Учебник по теории электронных схем: Сигорский, Петренко

G I I і а В. Я. А. И. S ф з э с г Сигорский, Петренко ч х А X X О а і ж Ф к § 3 3 а Издание второе Допущено Министерством высшего и среднего специального образования УССР в качестве учебного пособия для студентов радиоэлектронных специальностей вузов 0 ф Е 1 а о х Издательство „НИЩА ШКОЛА" Киев — 1971 на о ко»» ««V о и з 5U«' ноГ< 6 ФО.З С 34 УДК 621.37/.39/084.2/ Основы теории электронных схем. С и г о р с к и й В П., П е т р е н к о А. И. «Вища школа», 1971, стр. 568. В книге рассматриваются графоаналитические и линей,ные методы анализа электронных цепей. Основное внимание уделено зависимостям между токами и напряжениями на внешних зажимах элементов цепей. Вопросы, касающиеся внутренней структуры элементов и происходящих в них процессов, освещены в рамках их связи с внешними характеристиками. Изложены основы анализа функций схемы, который включает в себя определение временных и частотных характеристик, а также критериев устойчивости схемы. Основное внимание сосредоточено на современных методах теоретического исследования электронных цепей с использованием специальных разделов математики — метрического исчисления, теории графов и т. д.— и применением средств вычислительной техники. Предназначена для студентов радиотехнических факультетов вузов. Будет полезна также научным работникам и инженерам, работающим в области радиоэлектроники. Табл. 47. Илл. 350. Библ. 24. Редакция литературы по электронике и автоматике энергетике, радиотехнике, Зав. редакцией А. В. Д ь я ч к о в 3—3—12 64—71 Сигорский Виталий Петрович, докт. техн. наук Петренко Анатолий Иванович, докт. техн. наук ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ Издательство «Вища школа» Редактор Л. Н. Ч м и л ь Обложка художника В. В. Т е р е щ е н к а Художественный редактор С. П. Д у х л е н к о Технический редактор Л. Ф. В о л к о в а Корректоры И. П. З б о р о в е ц, Н. В. В о л к о в а < дпмо п набор 1.IV.1971. Подписано к печати 7.VII.1971. Ф о р м а т бумаги 6 0 Х 9 0 ' / ц I>111 № 2 Фнэ. печ. л. 35,5. Уч.-изд. л . 34,5. Т и р а ж 13 ООО. И з д а т . № 239 Цена 1 р у б 3»к № 1-837 І Ь д п т е л ь с т п о «Вища школа». Киев-54, ул. Г о г о л е в с к а я , 7. ' модный ТИ издательства «Вища школа», 1971, поз 64 К иг и І.ІІП п о л и г р а ф и ч е с к и й комбинат Комитета по м і и при С о в е т е Министров УССР, >л, Д о в ж е н к о , 3. ОГЛАВЛЕНИЕ Стр 7 Введение Раздел первый О Б Щ И Е ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СХЕМ Глава 1. Методы описания функций времени и параметров схем . 9 § 1. Электронные цепи и схемы § 2. Активные и пассивные элементы § 3. Символическое изображение § 4. Ряд Фурье § 5. Интеграл Фурье § 6. Преобразование Лапласа § 7. Основные уравнения схем с двухполюсниками , . § 8. Установившиеся и переходные процессы . . . . 9 II 13 16 21 26 35 45 Глава 2. Матрично-векторные параметры схемы . . . . /§~А Основные уравнения схемы в матричной форме § 2.' Метод контурных токов § 3.'Метод узловых напряжений § 4У Схемы с индуктивными связями Глава 3. Функции схемы 51 51 61 70 79 92 § 1. Первичные и вторичные параметры схемы . . . . § 2. Связь вторичных параметров с матрицей сопротивления схемы . § 3. Связь вторичных параметров с матрицей проводимости схемы § 4. Связь вторичных параметров с матрицей схемы в канонической системе координат . . . § 5. Параметры и схемы замещения четырехполюсника § 6. Способы представления функций схемы . . . . 92 97 104 110 118 130 Раздел второй ГРАФОАНАЛИТИЧРСКИЕ СХЕМ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ Глава 4. Электронные элементы и схемы их включения § 1. Электронные элементы § 2. Характеристики и параметры электронных ламп § 3. Характеристики и параметры транзисторов . . . § 4. Сравнение характеристик электронных ламп и транзисторов § 5. Схемы включения электронных приборов . . . . 141 141 147 156 172 176 Глава 5. Статические и динамические характеристики электронных схем § 1. Определение напряжений и токов в режиме покоя § 2. Статические характеристики электронных схем § 3. Динамические характеристики электронных схем § 4. Полные динамические и статико-динамические характеристики § 5. Динамические характеристики при комплексной нагрузке § 6. Динамические характеристики при импульсном воздействии Глава 6. Расчет электронных схем по статическим и динамическим характеристикам 189 189 196 200 204 211 213 217 § 1. Определение токов и напряжений в режиме колебаний первого рода 217. § 2. Выходное сопротивление и коэффициент передачи напряжения 223 § 3. ) Нелинейные искажения в режиме колебаний перЛ - ^ в о г о рода 230 <у Определение токов и напряжений в режиме колебаний второго рода 236 § 5. Двухтактная схема в режимах усиления класса В и АВ 241 § 6. Усилительная схема в режиме усиления класса С 245 Раздел третий ЛИНЕЙНЫЕ СХЕМ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ Глава 7. Метод эквивалентных схем 255 § 1. Введение § 2. Эквивалентные схемы электронных ламп . . . . § 3. Эквивалентные схемы транзисторов § 4. Применение метода эквивалентных схем . . . . § 5. Матрица схемы с зависимыми источниками . . . Глава 8. Метод четырехполюсника 304 § 1. Параметры простейших четырехполюсников . , § 2. Простейшие соединения четырехполюсников . . § 3. Применение метода четырехполюсника к анализу электронных схем § 4. Условие регулярности соединений четырехполюсников Глава 9. Обобщенные матричные методы § 1. Многополюсные элементы § 2. Матричные параметры многополюсников *ч§ 3. Обобщенный метод узловых напряжений § 4. Обобщенный метод контурных токов 255 257 272 292 299 304 317 324 330 334 . . . . . . . . 334 343 358 371 I § 5. Анализ электронных схем методом многополюсных подсхем § 6. Схемы с двумя входными сторонами выделения Глава 10. Метод ориентированных графов § 1. Ориентированные графы электронных схем . . . § 2. Эквивалентные преобразования графов § 3. Передача графа § 4. Применение метода ориентированных графов к анализу электронных схем Раздел четвертый АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ 377 390 395 395 401 405 419 СХЕМЫ Глава 11. Определение временных характеристик схемы § 1. Теорема разложения § 2. Определение коэффициентов разложения на комплексной плоскости § 3. Интеграл суперпозиции § 4. Параметры переходной характеристики . . . . § 5. Схемные функции первого порядка § 6. Схемные функции второго порядка § 7. Схемные функции высших порядков Глава 12. Частотные характеристики схемы § 1. Получение частотных характеристик по схемным функциям и карте нулей и полюсов § 2. Параметры частотных характеристик схемы . . § 3. Частотные характеристики схемных функций первого порядка § 4. Частотные характеристики схемных функций второго порядка § 5. Логарифмические частотные характеристики . . § 6. Аппроксимация частотных характеристик . . . § 7. Связь между частотными и фазовыми характеристиками § 8. Связь между частотными и переходными характеристиками Глава 13. Анализ устойчивости схемы § 1. Условия устойчивости линейной схемы . . . . § 2. Характеристики схем с обратной связью . . . . § 3. Алгебраический критерий устойчивости Рауса — Гурвица , § 4. Частотный критерий устойчивости Михайлова . § 5. Частотный критерий устойчивости Найквиста . . 425 435 431 436 438 442 449 460 465 465 468 470 474 487 493 497 501 506 506 514 522 526 527 § 6. Логарифмический частотный критерий вости Боде § 7. Иммитансный критерий устойчивости § 8. Критерий корневого метода § 9. Условия стационарности генератора устойчи535 538 539 554 Литература 565 Предметный 566 указатель ВВЕДЕНИЕ Проектирование электронных устройств связано с решением широкого комплекса вопросов — от выбора принципа действия устройства до разработки его конструкции и технологии изготовления. При этом существенным этапом является исследование электронных цепей, которое выполняется как экспериментально с помощью различных измерительных приборов и специальных устройств, так и теоретически на основе методов анализа и синтеза электронных схем. В первый период развития радиоэлектроники преобладали экспериментальные методы проектирования, и успех создания нового электронного устройства часто зависел от искусства и интуиции инженера. Со временем значительно возросла роль теоретического подхода к исследованию электронных цепей на базе современных физических представлений с привлечением соответствующего математического аппарата. При этом электронные цепи представляются схемами с идеализированными элементами. Экспериментальные и теоретические методы взаимно дополняют друг друга, хотя и играют различную роль на тех или иных этапах проектирования. Содержание и методы теории электронных схем в значительной мере определяются тенденциями развития радиоэлектроники. Д л я радиоэлектроники наших дней характерно постоянное усложнение электронных устройств, широкое проникновение их в различные отрасли науки и техники, использование новых элементов и прогрессивной технологии. При всем многообразии электронных устройств их можно разделить на две группы. К первой группе относятся устройства, выполняющие функции отбора, передачи, преобразования и хранения информации. Носителями информации являются электрические сигналы, и электронные цепи должны обеспечить требуемые преобразования этих сигналов с заданной степенью точности. Другую группу образуют устройства получения и преобразования электромагнитной энергии. К ней относятся преобразователи постоянного тока в переменный (инверторы, мощные генераторы), преобразователи переменного тока в постоянный (выпрямители), стабилизирующие устройства, импульсные системы управления большими потоками энергии и т. п. Усложнение электронных устройств, повышение требований к их характеристикам постоянно требуют разраббтки более эффективных методов теоретического исследования электронных цепей с использованием специальных разделов математики. В последнее время интенсивно развиваются методы, основанные на использовании матричного исчисления, теории графов и т. д. Возможности развития новых методов сильно расширяются в связи с применением современных средств вычислительной техники. Радиоэлектроника непрерывно пополняется новыми элементами, разрабатываемыми на основе достижений физики, химии и новейшей технологии. Наряду с производством вакуумных и газонаполненных ламп, полупроводниковых и диэлектрических приборов интенсивно проводятся работы по созданию микроэлементов, в которых используются пленочные, кристаллические и молекулярные структуры. Теория электронных схем разрабатывает основные положения так, чтобы каждый раз не было необходимости в их коренном пересмотре при появлении новых элементов. Основное внимание сосредоточивается на зависимостях между токами и напряжениями на внешних зажимах (полюсах), посредством которых элементы соединяются между собой и различными частями цепи. Вопросы, касающиеся внутренней структуры элементов и происходящих в них процессов, в теории электронных схем затрагиваются лишь постольку, поскольку они связаны с внешними характеристиками . В каждой схеме можно выделить один или несколько входов, к которым прикладываются воздействия, и один или несколько выходов, на которых обнаруживаются соответствующие реакции. Воздействия и реакции выражаются обычно через электрические токи и напряжения. Задача анализа состоит в определении соотношений между реакциями и воздействиями для известной схемы. Обратная задача синтеза состоит в нахождении такой схемы, которая обеспечивала бы заданные соотношения между реакциями и воздействиями. Синтез схем по сравнению с анализом является более сложной и менее разработанной областью. Это объясняется тем, что задача синтеза неоднозначна, т. е. одним и тем же требованиям может отвечать большое число различных схем, а выделение наиболее подходящей схемы часто связано с серьезными трудностями. В настоящей книге рассматриваются графоаналитические и линейные методы анализа электронных цепей. Нелинейные явления затрагиваются лишь в связи с рассмотрением конкретных примеров цепей, осуществляющих нелинейные преобразования сигналов. Книга написана на основе лекций по курсу теории электронных схем, которые авторы читают на факультете радиоэлектроники Киевского ордена Ленина политехнического института. В ней также использованы некоторые результаты научных исследований, проводимых на кафедре промышленной электроники КПИ. Раздел первый ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ С Х Е М Г л а в а I МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ И ПАРАМЕТРОВ СХЕМ § 1. Электронные цепи и схемы Электронные цепи образуются путем соединения простейших элементов — сопротивлений (резисторов), конденсаторов, катушек индуктивности, трансформаторов, вакуумных и газонаполненных ламп, полупроводниковых приборов. Они содержат т а к ж е источники энергии и сигналов. В ряде случаев в электронные цепи входят приборы, преобразующие неэлектрические величины (освещенность, давление, перемещение и т. д.) в электрические сигналы или электрические величины в неэлектрические. Электронные цепи изображают в виде принципиальных схем, на которых с помощью условных знаков и правил указывается способ соединения элементов цепи между собой и приводятся необходимые сведения об элементах. Соединительные линии представляют на схемах провода или какие-либо другие соединительные элементы (например, проводящие поверхности при печатном монтаже). На принципиальных схемах отражается наиболее существенное в цепи и опускаются конструктивные особенности. Более полное представление о конструкции цепи дают монтажные схемы, на основании которых осуществляются технологические процессы сборки и производства электронных устройств. Понятие электронной цепи, как совокупности соединенных между собой отдельных элементов, содержит упрощенный подход к описанию физических явлений в электронных устройствах. Эти явления подчиняются законам электромагнитного поля, характеристики которого зависят как от времени, так и от пространственных координат. Однако, если устройства малы по сравнению с длиной волны электромагнитных колебаний, можно считать, что всякие изменения во времени электрических и магнитных величин передаются от элемента к элементу практически мгновенно. П р и этом электронные устройства можно представить как цепи с сосредоточенными элементами, причем состояние этих цепей характеризуется электрическими токами и напряжениями на отдельных участках. Такой подход допустим только постольку, поскольку не рассматриваются явления внутри элементов цепи. Исследование ж е самих элементов, как правило, требует привлечения аппарата теории поля. При этом с точки зрения теории цепей задача сводится к приведению соотношений, описывающих электромагнитные процессы в элементах, к зависимостям между токами и напряжениями на их полюсах — внешних зажимах, посредством которых элементы цепи соединяются между собой. Рассмотрение электронных устройств с позиций теории цепей значительно упрощает задачу их исследования. Однако при этом( приходится иметь дело с большим разнообразием элементов, отличающихся своими характеристиками, принципом действия, конструктивным оформлением и т. п. Дальнейший шаг по пути упрощения заключается в том, что реальные элементы представляются с помощью сравнительно небольшого количества идеальных элементов и их соединений. В зависимости от количества полюсов простейшие элементы схем могут быть двухполюсными и многополюсными. К двухполюсным элементам относятся источники, сопротивления, емкости и индуктивности. Трехполюсными элементами являются транзистор и трехэлектродная лампа. К многополюсным элементам относятся многоэлектродная лампа, трансформатор с несколькими обмотками и т. д. На вид схемы существенно влияет режим, в котором находится цепь. Например, катушка индуктивности при постоянном токе представляется на схеме идеальным элементом сопротивления, при переменном токе низкой частоты — последовательно соединенными идеальными элементами сопротивления и индуктивности, а на высоких частотах схема катушки индуктивности дополняется параллельно присоединяемым идеальным элементом емкости. Другим примером может служить электронная лампа, в схему которой на высоких частотах необходимо включить элементы, учитывающие влияние межэлектродных емкостей и индуктивностей вводов. Д а ж е для одной и той же цепи схема может принимать различный вид в зависимости от постановки задачи при ее исследовании. Так, усилитель на транзисторах представляется одной схемой при расчете цепей смещения и температурной стабилизации и другой схемой для переменных сигналов. Таким образом, можно определить схему как геометрическую абстракцию цепи, отражающую ее структуру и характер входящих в нее элементов с учетом режима работы и постановки задачи исследования. Если токи и напряжения на полюсах элемента связаны линейными уравнениями, то коэффициенты этих уравнений полностью характеризуют поведение элемента и называются его параметрами. Параметры могут быть постоянными величинами или некоторыми функциями времени. В первом случае схемы описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, а во втором — линейными уравнениями с переменными коэффициентами. Если зависимости между токами и напряжениями на элементах нелинейны, то и схемы описываются нелинейными уравнениями. При этом параметры элементов являются некоторыми функциями токов и напряжений. Соответственно различают три типа схем: линейные схемы, описывающиеся линейными уравнениями с постоянными коэффициентами; параметрические схемы, описывающиеся линейными уравнениями с переменными коэффициентами; нелинейные схемы, описывающиеся нелинейными уравнениями. Все реальные элементы являются нелинейными и в электронных цепях всегда имеются нелинейные явления. В одних случаях эти явления несущественны или нежелательны, а в других — принципиально необходимы для того, чтобы цепь отвечала своему назначению. Например, усиление сопровождается нелинейными искажениями, которые желательно свести к минимуму, а при выпрямлении получение постоянной составляющей тока или напряжения возможно только благодаря нелинейности цепи. Линейные уравнения решаются значительно проще, чем нелинейные. Поэтому там, где это допустимо, стремятся свести задачу исследования цепи к рассмотрению линейных схем. § 2. Активные и пассивные элементы Элементы схем подразделяются на активные и пассивные. К активным элементам относят источники энергии и сигналов, к пассивным — элементы, рассеивающие или накапливающие энергию. Активные элементы представляются в схеме идеальными источниками напряжения и тока. Их условные обозначения показаны на рис. 1. Идеальный источник напряжения характеризуется задающим напряжением е (*), величина и форма которого не зависят от тока, отдаваемого источником в ет 0 цепь. Идеальный источник тока ха— @ о о рактеризуется задающим током /'(/)> величина и форма которого не зависят от значения напряжения на его Рис. 1. Условное обозначение идеальных активных элементов: зажимах. н а п р я ж е н и я ; 6 — источРеальные источники могут при- аник— источник тока. ближаться по своим свойствам к идеальным, но в них всегда имеются внутренние потери энергии. Это учитывается на схемах введением пассивных элементов, которые представляют собой внутренние сопротивления источников. Чем меньше внутреннее сопротивление источника по сравнению с сопротивлением нагрузки, тем больше он приближается к идеальному источнику напряжения. Этим свойством обладают аккумуляторы, гальванические батареи, электромеханические генераторы. Если же внутреннее сопротивление велико по сравнению с сопротивлением нагрузки (например, в усилителе на пентоде), то он ведет себя примерно так же, как идеальный источник тока. Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения принимается равным нулю, а идеального источника тока — бесконечности. К пассивным двухполюсникам относятся идеальные элементы: сопротивление R или проводимость G — i - , емкость С и индуктивность L 1 , условные обозначения которых приведены на рис. 2. Напряжения на идеальных двухполюсниках связаны с протекающими по ним токами зависимостями: uR = R i * (1-1) uc = -^\icdt\ (1-2) = (1-3) Обратные соотношения для токов имеют вид: iR = GuR-, „ гс ' ~ (1-4) dur иг * (1-6) iL=-j^\uLd(. (1-6) В общем случае свойства линейного пассивного двухполюсника можно описать линейным уравнением U = ZI (1-7) или I = YU. (1-8) Взаимообратные величины Z и Y являются параметрами двухполюсника, а величины I и U представляют в этих уравнениях z = а б в Рис. 2. Условные обозначения идеальных пассивных двухполюсников: а — сопротивление; « — индуктивность. 6 — емкость; - y , У- Рис. 3. Положительные направления токов и иапряжений ДВухпоЛЮСника. соответственно ток и напряжение на двухполюснике, положительные направления которых условимся принимать, как указано на рис. 3. Выбор положительных направлений токов и напряжений носит условный характер и не влияет на окончательные результа1 Иногда вводят величины, обратные емкости и индуктивности: инверсную емкость 5 = — • и инверсную индуктивность Г = ——. С ь ты. Необходимо только все время в процессе расчета придерживаться принятого варианта. Можно было бы принять положительные направления токов и напряжений совпадающими, но тогда некоторые правила получили бы иную формулировку. Если под U и / понимать произвольные функции времени, то Z и Y будут некоторыми операторами, указывающими, какие операции (умножение на постоянную величину, интегрирование или дифференцирование) следует выполнить для того, чтобы удовлетворить уравнениям (1-1) — (1-6). Условились операцию дифференцирования обозначать через р, а операцию интегрирования — через р~ 1 , т. е. Р~] = \dt. Р= (1-9) Тогда уравнение (1-7) будет формальной записью (1-1) — (1-3), если положить Z r = R , Zc = ZL = pL. уравнений (1-10) Аналогично уравнение (1-8) соответствует уравнениям (1-4) — (1-6) при условии, что Y r = G, Yc = рС, (1-11) В рассмотренном случае уравнения (1-7) и (1-8) по существу ничем не отличаются от уравнений (1-1) — (1-3) и (1-4) — (1-6) и являются только другой формой представления последних. Переход от интегро-дифференциальных уравнений к алгебраическим осуществляется посредством специальных видов преобразования функций времени, описывающих токи и напряжения. Вид этих преобразований зависит от характера функций времени. § 3. Символическое изображение Пусть задающие токи и напряжения представляют собой гармонические функции времени I (t) = A cos (at + а), (1-12) где А — амплитуда; fa — круговая частота и а — начальная фаза. Период колебаний Т и частота / связаны с круговой частотой соотношениями: Г = f = ~T> ® = - f - = 2n f . Обычно гармоническую функцию / (t) заменяют символическим изображением, которым служит функция Ф(/) = A e i M + a ) = А е ш . (1-13) ее условным комплексная (1-14) сопротивление идеального источника напряжения принимается равным нулю, а идеального источника тока — бесконечности. К пассивным двухполюсникам относятся идеальные элементы: сопротивление или проводимость б = емкость С и индуктивность Ь у с л о в н ы е обозначения которых приведены на рис. 2. Напряжения на идеальных двухполюсниках связаны с протекающими по ним токами зависимостями: «я - /»*; «с = (1-1) 11с<И\ (1-2) ^ = (1-3) Обратные соотношения для токов имеют вид: »я = С а д = к = (1-4) „ с1иг (1-5) _6 ) ) В общем случае свойства линейного пассивного двухполюсника можно описать линейным уравнением И = 11 (1-7) / = У1/. (1-8) или Взаимообратные величины 1 и У являются параметрами двухполюсника, а величины I и и представляют в этих уравнениях /? о—I С \-о о а Ц 6 У L о о в Рис. 2. Условные обозначения идеальных пассивных двухполюсников: а — сопротивление; б — емкость; в — индуктивность. сгз - г —О У Рис. 3. Положительные направления токов и напряжений двухполюсника. соответственно ток и напряжение на двухполюснике, положительные направления которых условимся принимать, как указано на рис. 3. Выбор положительных направлений токов и напряжений носит условный характер и не влияет на окончательные результа1 Иногда вводят величины, обратные емкости и индуктивности: инверсную емкость 5 = — С и инверсную индуктивность Г = ——. 1-1 ты. Необходимо только все время в процессе расчета придерживаться принятого варианта. Можно было бы принять положительные направления токов и напряжений совпадающими, но тогда некоторые правила получили бы иную формулировку. Если под U n i понимать произвольные функции времени, то Z и Y будут некоторыми операторами, указывающими, какие операции (умножение на постоянную величину, интегрирование или дифференцирование) следует выполнить для того, чтобы удовлетворить уравнениям (1-1) — (1-6). Условились операцию дифференцирования обозначать через р, а операцию интегрирования — через р ~ \ т. е. P = 4t> Р-1 = i d t - Тогда уравнение (1-7) будет формальной записью (1-1) — (1-3), если положить Z r = R , Zc = ^ г , ZL = pL. 0-9) уравнений (1-10) Аналогично уравнение (1-8) соответствует уравнениям (1-4) — (1-6) при условии, что Y r = G, Y с — рС, Y i - j z - (1-П) В рассмотренном случае уравнения (1-7) и (1-8) по существу ничем не отличаются от уравнений (1-1) — (1-3) и (1-4) — (1-6) и являются только другой формой представления последних. Переход от интегро-дифференциальных уравнений к алгебраическим осуществляется посредством специальных видов преобразования функций времени, описывающих токи и напряжения. Вид этих преобразований зависит от характера функций времени. § 3. Символическое изображение Пусть задающие токи и напряжения представляют собой гармонические функции времени / (/) = A cos (ы/ + а), (1-12) где А — амплитуда; о) — круговая частота и а — начальная фаза. Период колебаний Т и частота / связаны с круговой частотой соотношениями: Т = "!г- / = *> = - у - = 2 я / . Обычно гармоническую функцию / (/) заменяют символическим изображением, которым служит функция Ф(0 = Л е Л в , + а ) = Аеш. (1-13) ее условным комплексная (1-14) Комплексная величина Л, которая не зависит от времени, называется комплексной амплитудой и выражается через ее модуль А и аргумент а (1-15) А = Ае'а. Графически комплексная амплитуда А представляется на комплексной плоскости символическим вектором, а символическое изображение ф (/) — тем же вектором, но враУ щающимся против часовой стрелки с угловой скоростью со (рис. 4). В алгебраической записи комплексной амплитуды ио 7 У / V 0 И*.. А = а + }Ь + Рис. 4. Символическое изображение гармонической функции на комплексной плоскости. (1-16) величины а и Ь представляют собой соответственно проекции символического вектора на вещественную и мнимую оси. Как видно из рис. 4, а = Лсоза; й = Лзта. (1-17) Для перехода от алгебраической формы к показательной (1-15) используются соотношения: А = \/~аг + Ь2- а = (1-18) При умножении символического изображения ф (0 на постоянную величину К, дифференцировании и интегрировании соответственно имеем: КФ (0 = КАеш- Сравнивая полученные выражения с записью (1-14), видим, что эти операции влияют только на результирующую комплексную амплитуду, а множитель е ,0) ' сохраняется. При этом умножение символического изображения на постоянную величину К соответствует умножению комплексной амплитуды на эту же величину, а дифференцирование или интегрирование — соответственно умножению или делению комплексной амплитуды на /со. Если в уравнениях (1-1) — (1-3) токи заменить символическими изображениями и выполнить указанные там операции, получим символические изображения напряжений на пассивных двухполюсниках: 0ке'ш = Шкеш-, Vcele* = -fcc iс е *" иьеш = ja>ULe,ai. Общий множитель ei<at показывает, что при гармонических воздействиях некоторой частоты со в линейной пассивной цепи могут возникать только гармонические токи и напряжения той же частоты. Опуская в полученных зависимостях этот множитель, приходим к уравнениям пассивных двухполюсников для комплексных амплитуд токов и напряжений: Ur = RIr\ (1-19) t>c = ^ / c ; (1-20) UL (1-21) = /COL/L. Таким образом, при переходе от гармонических токов и напряжений к комплексным амплитудам их символических изображений, интегро-дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические. Обращаясь к уравнению (1-7), легко заметить, что величины U и / в этом случае являются комплексными амплитудами (или символическими изображениями) напряжений и токов, a Z — комплексными сопротивлениями, которые для идеальных пассивных двухполюсных элементов выражаются равенствами: ZR = R\ Zc = -±U\ZL = ju>L. (1 - 2 2 ) Аналогично для комплексной проводимости получаем соотношения: YR = G,Yc = /(оС; Yl = . (1-23) Комплексная амплитуда полностью определяет гармоническую функцию данной частоты со. Действительно, как это следует из сравнения выражений (1-12) и (1-15), амплитуда А и фаза а косинусоидальной функции совпадают соответственно с модулем и аргументом комплексной амплитуды, что позволяет легко переходить от гармонической функции к комплексной амплитуде и обратно. Пользуясь зависимостью между показательной и тригонометрической формами комплексной функции, можно записать выражение для символического изображения в виде q> (0 = Ae'i<at+a) = A [cos (со/ + a ) -f / sin (со* + а)]. Отсюда вытекает зависимость, связывающая между собой гармоническую функцию и ее символическое изображение: / (0 = A cos (со/ + а) = Re [Ф (01, (1 -24) т. е. косинусоидальная функция равна вещественной составляющей ее комплексного изображения. Если исходить из синусоидальной функции, то при переходе от символического изображения к соответствующей ему функции времени следует взять мнимую часть ф (/). § 4. Ряд Ф у р ь е Рассмотрим более общий случай, когда задающие токи и напряжения описываются периодическими функциями времени, удовлетворяющими условию /(*) = /(* + Г ) , (1-25) Рис. 5. Периодические функции где < — любой момент времени на интервале — о о ^ ^ ^ с о , а Т — период функции / ( 0 , т. е. наименьший конечный промежуток времени, удовлетворяющий условию (1-25). Поскольку периодическая функция состоит из участков, повторяющихся с периодом Т, достаточно знать ее вид в пределах промежутка времени, равного одному периоду (рис. 5). При несущественных для технических приложений ограничениях 1 периодическая функция может быть представлена рядом Фурье, тригонометрическая форма которого имеет времени. вид Д О = "X + 2 (я* соэ /г=1 2л где сох = - у ляются + й^т Ы А (1-26) основная частота, а коэффициенты ак и Ьк опреде- выражениями: К ак = ^ | / ( О с о з ( й с о 1 О Л ' ; (1-27) Ьк — у-1 (1-28) / (*) вш (Лю^) Л . 1 Периодическая функция должна удовлетворять условию Дирихле, т. е. должна быть ограниченной, а также иметь на протяжении периода конечное число разрывов и экстремальных значений. Пределы интегрирования t 1 и соответствуют интервалу С •< / < . / 2 , в котором задана периодическая функция. Другим вариантом тригонометрической формы ряда Фурье является выражение оо / (0 = % + Е 4 к соз (Лш^ - осА), (1 -29) / к=1 которое тождественно выражению (1-26) при условии, что справедливы зависимости Л , = Уа1 + Ь1, ак = (1-30) Р я д Фурье можно т а к ж е представить в комплексной форме. Воспользовавшись формулами Эйлера для тригонометрических функций, из выражения (1-26) после несложных преобразований получим со I (/) = Лз. 2 У оо у А-=1 1ьк — 2 + 2 Введем обозначения для взаимно сопряженных величин комплексных Ак = а к - ! Ь к ^ А к е ч \ (1-31) = ак + \Ьк = Аке'\ (1-32) где Ак и ак определяются формулами (1-30). Тогда, полагая а0 = = Л 0 , получим выражение ^ со со /г=1 /г=1 оо — оо = 4 - М . + 2 А У - ч 2 V - ' которое приводит к искомому выражению ряда Фурье оо /(о = 4 - 2 ( Ь З З) к = —оо Величина Л^ называется комплексной амплитудой &-й гармоники. Подставляя в выражение (1-31) значения ак и Ьк из (1-27) и (1-28), получим Ак = Аке~'ак = А | / (/) (1.34) Гармонические составляющие с амплитудами А к и начальными фазами ак образуют дискретный или линейчатый спектр с частотами /г®! {& = 1, 2, 3, ...), кратными основной частоте. Постоянную составляющую можно рассматривать как гармонику с нулевой д частотой и амплитудой Она равна среднему значению функции / Ц) за период. Графически спектр периодической функции представляется спектрами амплитуд и фаз. При их построении по оси абсцисс откладывают частоты гармонических составляющих, а по оси ординат — значения амплитуд или начальных фаз. Непрерывная кривая, соединяющая концы линий спектра, называется огибающей спектра амплитуд или фаз. Ее уравнение легко получить, если рассматривать зависимость комплексного коэффициента Фурье не от дискретного номера гармоники к, а от текущего значения частоты. Д л я этого следует в выражении А к положить &<»! = со и считать ю независимой переменной, т. е. ЧаЫ) Л(со) = А((о)е . В разложении (1-33) суммирование производится как по положительным, так и отрицательным к. Н о физический смысл имеют только положительные частоты, а отрицательные частоты появляются лишь как следствие примененного математического преобразования. Из выражений (1-31) и (1-32) видно, что комплексные амплитуды А —/е для отрицательных /г полностью определяются величинами А к , так как амплитуда А к является четной функцией, а фаза ак — нечетной функцией номера гармоники Пример 1. Найти выражение для комплексной амплитуды периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой В и длительностью т , следующих с периодом Т (рис. 6, а). По формуле (1-34) находим: Ак = \ | Ве-^'сИ = [в-/*«л = и -/*•,(<•+?) 2В = 1щТ~ е 2/ ~ 2 X . — ~Т~ ' /гсйд Т _ е 2 Постоянная составляющая определяется при к — О а амплитуда k-й гармоники выражается соотношением Ль где у т k(0, т 2Вт sin sin 2 2В Y tojT 2 Т (1-36) kn — скважность импульсов. т *к 2л 7Г —- J 0 kn ~f t, *2Т и ИТ ИТ 2г_ 4її 6п8л. а т т г Т t U 2тг 11 tf~0 о 2її М М ІЖ. т т т т А V ' N лг t A Jn 2it Я ' / Г Т І У Г Г Г a)f2ajfJto14bJ, for а) ' і А 1 2я >я & 8п ш 4я 6п Г~ Тт Т в т т и Т" Рис. 6. Спектры периодической последовательности импульсов: а — последовательность импульсов; б — спектр амплитуд: в — с п е к т р ы ф а з д л я ных значений различ- Эти величины не зависят от значения т. е. от положения импульсов относительно начала координат. Спектр амплитуд показан на рис. 6, б. При его построении принято V = 4, а также 1 2я Г' т 2л ~Т -- • Огибающая спектра определяется уравнением я / ч А (®) = 2Вт ~т~ Sin ' (ОТ (ОТ (1-37) т При определении фазы гармоники а-k следует учесть, что функция sin foOjX меняет свой знак при изменении аргумента на я , что соответствует приращению 2я частоты Доз = . Если обозначить через порядковый номер интервала Дсо т (но не гармоники) на оси частот, отсчитываемого от начала координат, то выражение для фазы гармоники на данном интервале можно записать в виде (1-38) 19 Фаза ak зависит от выбора начала отсчета времени. На рис. 6, в приведены спектры фаз и их огибающие для трех различных случаев. Наиболее простым получается спектр фаз при = т — , когда величина а*, принимает только два значения: 0 и л в соответствующих интервалах частот Дсо. Из полученного выражения для Ak видно, что с увеличением скважности у (например, в радиолокационной технике) амплитуды гармоник уменьшаются. При очень больших скважностях величина оказывается еще достаточно малой Y кп для сравнительно больших значений k. Так как для малых аргументов s i n - — - я ? да kn V , то Ak сравнительно 2В • — • , т. е. амплитуды начальных гармоник с ростом к убывают медленно. Вернемся теперь к уравнениям (1-7) и (1-8) пассивного двухполюсника. Пусть ток или напряжение, приложенное к двухполюснику, характеризуется периодической функцией, представленной в одной из форм разложения Фурье. В силу принципа суперпозиции для линейных элементов отклик на сложное воздействие, представляющее собой сумму более простых воздействий, равен сумме откликов от Каждого слагаемого. В пределах допустимой точности можно ограничиться некоторым конечным числом N членов разложения, так что, например, ток может быть представлен в виде N i(t) = -^ + îIkcos(k(lht-<pk). Тогда напряжение на двухполюснике при протекании по нему тока i (0 представится аналогичной суммой: N Постоянная составляющая и каждая определены отдельно по уравнению гармоника могут быть Uk = zkik. (1-39) Здесь U k и I h — соответственно комплексные амплитуды тока и напряжения, a Zk = Z (&0i) — комплексное сопротивление, подсчитанное для &-й гармоники, частота которой со = ka>v т. е. 2** = Я; = _ L _ ; ZLk = jk^L. (1 -40) При определении постоянной составляющей комплексные амплитуды совпадают с постоянными токами и напряжениями, a Z0 = = Z (0) для элемента сопротивления равно R, для емкости — бесконечно большое и для индуктивности равно нулю. Переходя от комплексных амплитуд напряжения к соответствующим им коси- нусоидальным функциям времени и суммируя их вместе с постоянной составляющей, получим выражение для напряжения. Аналогично решается задача, если задано напряжение и требуется определить ток. При этом уравнение (1-8) для k-й гармоники в комплексной форме принимает вид ik = YkUk, (1-41) причем Yk= Y (foo^ — комплексная проводимость двухполюсника для частоты т. е. YRk = G-, YCk = jk^C^ = (1-42) Пусть периодическая функция представлена плексной форме, тогда можно написать оо рядом в ком- со «(0 = 4 - 2 = 4- k= — с о 2 k= — о о Z j ^ : Если известны аналитические выражения для Zk и Ik как функции &соь то соответствующее аналитическое выражение для Ù k получается по формуле (1-39). Следует заметить, что каждое из N уравнений (1-39) соответствует одной из гармоник, в то время как написанное выше уравнение позволяет определить общий член ряда Фурье в комплексной форме. § 5. Интеграл Фурье В радиоэлектронике широко используются сигналы, которые представляются непериодическими функциями времени. Обычно непериодическая функция задается в некотором промежутке времени < / < to, вне которого она принимается равной нулю Сигнал может иметь любую форму и в пределах времени своего существования может, в частности, совпадать с периодической функцией. Примеры непериодических функций (отрезок синусоиды, единичная функция, одиночный импульс) показаны на рис. 7. Формально непериодическую функцию можно рассматривать как периодическую с бесконечно большим периодом. Если Т ->• оо, то частота первой гармоники ш1 0 и ее следует заменить бесконечно малой величиной da>. Разность частот между соседними гармониками также стремится к нулю и частота k(à l = со может принимать любые значения от — оо до + оо. При этих условиях выражение (1-34) для комплексной амплитуды приводится к виду t2 1 ^ f, оо ' — оо В частном случае ti может быть равно нулю, a t2 — бесконечности. где комплексная величина со 5(/ш)= { П^е-'^Ш (1-43) называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой, а ее модуль 5 (со) — спектром функции / ((). Подставив полученное выражение для комплексной амплитуды в разложение (1-33) и учтя, что при Т со операция суммирования превращается в операцию интегрирования, получим со / ( 0 = 2^ | 5(/ю)Лсо. (1-44) — оо Выражения (1-43) и (1-44) получили название соответственно прямого и обратного преобразований Фурье. Д л я непериодической функции получается сплошной спектр, состоящий из бесконечно большого количества гармоник с бесконечно малыми амплитудами Рис. 7. Непериодические функ— 5 (/со) йсо. Можно показать, что спектр ции времени. 5 (со) (модуль спектральной плотности) по форме совпадает с огибающей линейчатого спектра периодической функции, полученной из непериодической путем продолжения ее с периодом Т, и отличается от нее только масштабом. Комплексное выражение для спектральной плотности можно представить в алгебраической или показательной форме 5 (/со) = а (со) — ]Ь (со) = 5 (со) е—/а(в) (1-45) где, по аналогии с соответствующими зависимостями для комплексной амплитуды периодической функции, имеем а (со) = / ( 0 СОБ со/Л; (1-46) ] / (/) э т со/Л; (1-47) 5 (со) = У а 2 (со) + Ьг (со); (1-48) | — оо оо ь (со) = а (со) = а п ^ Ь(ш) а (со) ' (1-49) Как и для ряда Фурье, модуль спектральной плотности 5 (со) есть функция четная, а фаза — функция нечетная относительно частоты со. т--е ш Рис. 8. Характеристики экспоненциального импульса: а — временная ф у н к ц и я ; б — модуль с п е к т р а л ь н о й плотности; « — фаза плотности. спектральной Воспользовавшись соотношением (1-45) — (1-47), обратное преобразование Фурье можно привести к тригонометрической форме оо оо / (/) = | 5 (а) сое (со/ — а ) йа> = -—- |* 5 (со) СОБ (СО/ — ос) с?со. (1-50) Пример 2. Определить спектральные плотности экспоненциального импульса и единичной функции. Экспоненциальный импульс (рис. 8, а) описывается функцией Ве~при I > 0; К0 = 0*51} 0 т-т при і < 0. А(ш) т й) о а ш 6 6 Рис. 9. Характеристики единичной функции: а — в р е м е н н а я ф у н к ц и я ; б — модуль с п е к т р а л ь н о й плотности; в — ф а з а плотности. спектральной На основании прямого преобразования Фурье « № В Р + /0) ' откуда получим выражения для модуля и фазы спектральной плотности В 5(<о) = - arctg (О а (со) Ю ' гл2 ' У (1-52} (1-53} графики которых представлены на рис. 8, б и е. Единичная функция (рис. 9, а) определяется следующим образом: ( 1 при / > 0; / ( 0 - 1 ( 0 = і 0 при < < 0. (1-54} Таблица Спектральные характеристики некоторых распространенных типов импульсов І Непосредственно применить прямое преобразование Фурье невозможно, так как эта функция не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости (интеграл абсолютного значения этой функции не ограничен). Но можно рассматривать ее спектральную плотность как предел, к которому стремится найденная выше спектральная плотность экспоненциального импульса при ß 0 и В = 1, т. е. S (/со) = lim ß-t-o р + /со = - L = _L /со со (1 -55) Т . Отсюда записываем 5 (со) = — , со « ( ш ) = — 4А - . (1-56) Спектры амплитуд и фаз единичной функции показаны на рис. 9, б и е. Выражения для спектральных плотностей некоторых наиболее распространенных импульсов приведены в табл. 1. Если ток i (t) и напряжение и (t) представлены соответствующими спектральными плотностями I (/со) и JJ (/со), то уравнения пассивного двухполюсника принимают вид: U (/со) = Z (/со) / (/со); (1-57) /(/со) = Г (/©)£/(/со), (1-58) где Z (/со) и Y (/со) — комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника. Выражения для Z (/со) и Y (/со) двухполюсных элементов совпадают по форме с (1-22) и (1-23). Следует, однако, помнить, что при гармонических токах и напряжениях, представленных комплексными амплитудами, параметры двухполюсника Z и Y в уравнениях (1-7) и (1-8) являются алгебраическими комплексными величинами, характеризующимися своими единственными значениями для данной частоты гармонических колебаний. В более общем случае периодических токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами гармоник, параметры Z и Y принимают дискретный ряд значений для частот coft = При непериодических токах и напряжениях, когда токи и напряжения представляются их спектральными плотностями, параметры двухполюсника Z и Y являются комплексными функциями Z (/со) и Y (/со) вещественной частоты со. Преобразование Фурье является удобным и наглядным способом представления процессов в электронных схемах. Однако оно применимо лишь к абсолютно интегрируемым функциям, для которых со j / (/) dt с М, (1-59) где М. — конечная величина. Обобщение преобразования Фурье на более широкий класс функций приводит к преобразованию Лапласа. § 6. Преобразование Лапласа Выберем начало отсчета времени таким образом, чтобы при 0 непериодическая функция / (t) равнялась нулю, и умножим се на показательную функцию e ~ a t . Положительной величине а всегда можно приписать такое числовое значение для рассматриваемой функции, чтобы f (t)e~at удовлетворяло условию (1-59). Тогда, применяя к этой новой функции прямое преобразование Фурье (1-43), получим со со [ f (0 е~°' е чш dt = \ f (t) e~la+M'dt - oo = F(a + /©). 0 В соответствии с обратным преобразованием Фурье (1-44) можно написать со — со Умножим обе части равенства на е°' и внесем под знак интеграла (это возможно, поскольку число), т. е. 'Ю - 5Г оо J По — 00 + этот множитель а — постоянное M e ^ ' d a . Введем обозначение р = о + /<в. Тогда, учитывая, что dco = X-dp, (1-60) получим интегральные преобра- зования Лапласа: со F(p) = J/(/)<r"d/; (1-61) о a+i<x> = J' F(p)e»'dp. (1-62) О—/оо Прямое преобразование Лапласа (1-61) осуществляет переход от исходной функции времени / ( / ) — оригинала — к новой функции F (р) — изображению. Условно это записывается так: F(p) = L [/(/)], или F(p)==f(t). Пользуясь обратным преобразованием Лапласа (1-62), можно по известному изображению F (р) найти оригинал f (t), что условно записывается выражениями f(t) = L-l[F(p)), или f(t) = F(p). Пример 3. Найти изображения единичной функции и экспоненты. Применяя преобразование Лапласа к функции / (() = 1 (О, изображенной на рис. 9, а, находим - т 1 О откуда изображение единичной функции к о ф - L . Д л я экспоненты / ( 0 = о-бз> имеем оо оо cU p j e e- 'dt^ j о о e-^P-^dt. Д л я того, чтобы интеграл сходился, необходимо удовлетворить а > а , где а — Re [р]. При этом получаем условию» е а ( ц = _ 1 _ . (1-64) р— а Переход от оригиналов к изображениям значительно проще, чем обратная задача. Поэтому в практике инженерных расчетов формула (1-62) применяется редко, а для обратного преобразования пользуются таблицами изображений функций времени по Лапласу. Изображения наиболее часто встречающихся функций представлены в табл. 2. Из линейности преобразования Лапласа следует, что умножению оригинала на постоянный коэффициент К соответствует умножение изображения на тот же коэффициент: если F (р) Ф f (t), то KF (р) Ф Kf (0. (1-65) Кроме того, изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений: если / ( 0 = 2 h (0. то F(p) = 2 Fl (р). (1-66> Особенно важное значение преобразования Лапласа заключается в том, что оно сводит операции дифференцирования и интегрирования к алгебраическим операциям, а следовательно, интегродифференциальные уравнения во временной области — к алгебраическим уравнениям в комплексной области. Так, применяя прямое преобразование (1-61) к производной функции / (f) и интегрируя по частям, получаем оо У г (0 e-p'dt О со = у e-"df О оо (0 = e-ptf ( 0 1 0 оо +p]f (0 0 e-p,dt. Таблица 2 Оригиналы и изображения (по Лапласу) Оригинал Изображение 1(0 1 IP 1 at e р—a а. \~eat Р (Р + cos со0^ 1 " Р + w„ •> (О0 Sin (00/ sin (C00? + ф) COS (сй0/ + ф) ai sin с у е - a ' COS а) Р 2 Р + со2 р sin ф + (»0 COS ф р COS ф — CO0 sin ф о 1 : р- + шо со0 (р + а) 2 + со' р+ а (р + а) 2 + со' t 1 tn , где п — целое положительное число рп+1 le~at (Р + а)2 tne~ я! 1 п\ , где п — целое положительное число (Р+«)"+' Л ' (Р - Р „ ) а (a-1)1 1 Интеграл во втором слагаемом представляет собой изображение /•• (р) функции / (/). Поэтому можно написать П О Ф / ^ ( / > ) - / ( 0). (1-67) где / (0) — начальное значение функции / (/) при / = 0. Аналогично выводится соотношение для второй производной Г ( 0 Ф Р2Р (Р) — Р / (0) — / ' (0). (1-68) Д л я производной п-го порядка справедлива формула /<"> (()==рпР (р) - рп~\/ (0) - р*- 2 /' (0) / ( "- 1 ) (0), (1 -69) которая может быть представлена в рекурентной форме (/) == р/ 7<п-1> (р) — (0), (1-70) где (/?) — изображение (п — 1)-й производной и / ( " -1 - 1 (0) — начальное значение этой же производной. Найдем изображение интеграла функции / (/), т. е. Ф (0 = 1/(0 Л. Подставляя / (/) = ср' (<) в формулу прямого преобразования Лапласа (1-61) и интегрируя по частям, получим оо оо р (р) = | / ( 0 = о оо | Ф' ( 0 о = оо = е~р' ф ( 0 | + р | ф ( 0 о о Первое слагаемое при надлежащем выборе сг = Р е [ р ] равно начальному значению интеграла ф (0), а второе — произведению р на изображение интеграла ф (I) функции / (/)• Следовательно, можно написать оо о или (1.71, Получинные формулы принимают начальных условиях, а именно: простой вид при нулевых п о Ф р т . (1-72) ]"/(/) й ф ^ ( р ) (1-73) и вообще . | ... ^ У ) № я Ф у г Р ( р ) . { 1.74) (1-75) п /(ак видим, при нулевых начальных условиях операции дифференцирования оригинала соответствует умножение его изображения на р, а операции интегрирования — деление изображения на р. В связи с этим комплексная переменная р может рассматриваться как некоторый оператор. Так как члены разложения е~"' = 1 — р / + + (1-76) безразмерны, то переменная р имеет размерность сект-1. Поэтому иногда оператор р = а + /со трактуется как комплексная частота. Понятие комплексной частоты шире обычного, применяемого к периодическим функциям и сигналам, и используется для описания любой временной функции. Если в уравнениях пассивного двухполюсника (1-7) и (1-8) под величинами и и / понимать изображения напряжения V (р) и тока / (р), то получим уравнения в операторной форме: и(р) = г(р)Пр)- • 1(р) = У(р)и(р). (1-77) (1-78) Здесь 1(р) и У (р) — некоторые функции оператора р, называемые соответственно операторными сопротивлением и проводимостью. Переходя в уравнениях (1-1) — (1-3) к изображениям и сравнивая их с (1-77), замечаем, что для идеальных двухполюсных элементов при нулевых начальных условиях операторное сопротивление 2 Л ( Р ) = Я, гс(р) = -±-, (р) = р1. (1-79) Аналогично, записав уравнения (1-4) — (1-6) в операторной форме и сравнив с уравнением (1-78), получаем выражения для операторной проводимости пассивных двухполюсников У*[р)=0, Ус (р) = рС, = (1-80) Выражения (1-79) и (1-80) внешне совпадают с выражениями (1-10) и (1-11), но по существу между ними имеется глубокое различие. В одном случае р только заменяет символ дифференцирования в дифференциальных уравнениях, а в другом случае он отображает операцию дифференцирования в операторных уравнениях. Если в начальный момент времени / = 0 напряжение на емкости ис (0) и ток в индуктивности (0) отличны от нуля, то уравнения (1-2) и (1-3) в операторной форме записываются в виде: 1 "г (0) "с (°) *Мр) = - ^ / с ( Р ) + ^ = 2 С / С ( Р ) + - ^ г - ; (1-81) иI (р) = рЬк (р) - (1-82) (0) = (р) - Иь (0). Из выражения (1-81) следует, что идеальную емкость с начальным напряжением ис (0) (рис. 10, а) можно представить эквивалентной операторной схемой (рис. 10, б) в виде последовательного соединения пассивного двухполюсника, операторное сопротивление которого равно операторному сопротивлению идеальной емкости С с нулевым начальным напряжением, и идеального источника напряжения, изображение которого равно "с (°) . 1 W Х ш С) р ш ic(t) 1 ^сМ'рС )Сис(0) Ш Рис. 10. Эквивалентные операторные схемы емкости с начальным напряжением: а — и с х о д н а я ; б — с источником н а п р я ж е н и я : а — с источником т о к а . Аналогично из выражения (1-82) следует, что идеальную индуктивность с начальным током (0) (рис. 11, а) можно представить эквивалентной операторной схемой (рис. 11, б), которая состоит из последовательно соединенных пассивного двухполюсника, \zL(p)°pL ф ^ О Lit(0) ш W а Рис. 11. Эквивалентные операторные схемы индуктивности с начальным током: а — и с х о д н а я ; б — с источником н а п р я ж е н и я ; в — с и с т о ч н и к о м т о к а . операторное сопротивление которого ZL равно операторному сопротивлению идеальной индуктивности L с нулевым начальным током, и идеального источника напряжения, изображение которого равно LiL (0). Таким образом, начальные условия можно учесть непосредственно в операторной схеме, вводя в нее соответствующие источники напряжения. Решив уравнения (1-81) и (1-82) относительно токов, получим: 1с (р) = pCUc {р) — Cue (0) = YcUc (р) — Сис (0); (1-83) IL(P) 1 Р 1 UL(P). + , к (0) р YL-UL(p) - X, , .+ iL( 0) р (1-84) Соответствующие этим равенствам эквивалентные операторные схемы с источниками тока приведены на рис. 10, б и 11, в. Пассивный двухполюсник при ненулевых начальных условиях можно представить одним из двух вариантов операторных схем — с источником напряжения или с источником тока. Выясним, как изменяется изображение при запаздывании оригинала на время т (рис. 12). Пусть /-'(р) = / ( / ) , а Рх (р) == = = / ( / — т). Тогда, обозначив V — т, согласно (1-61) получим со оо р Fг (Р) = | е- Ч (/ - т) Л = 5 Л о (Г) Л ' = О со = е~ р% $ е~рХ'\ (П Ш' = о (р). Рис. 12. К выводу теоремы запаздывания: а — исходнаяфункция; ция. б — з а п а з д ы в а ю щ а я во времени ф у н к - Этот результат выражает теорему запаздывания, согласно которой запаздывание функции времени на промежуток т соответствует умножению ее изображения на е~рх, т. е. Р ( р ) е ~ р х = ! { 1 - т). (1-85) Эта теорема может быть использована для определения оригиналов функций, которые представляются более простыми запаздывающими функциями. Пример 4. Определить изображение единичного импульса, длительность 1 которого х и амплитуда — (единичный импульс занимает площадь, равную единит це, рис. 13, а). Его можно представить в виде разности двух ступенчатых функций, сдвинутых относительно друг друга на промежуток х и имеющих высоту ступеньки, равную — (рис. 13, б), т. е. / (0 = — [1 (0 — 1 (/ — т)]. Т X Изображение ступенчатой функции получим, умножив изображение единичной функции (1-63) на — . Тогда в соответствии с теоремой запаздывания х При т -* 0 функция / (0 переходит в импульсную функцию б (0, называемую функцией Дирака, т. е. б (0 = 11ш [1 (0 — 1 (< - т)]. Следовательно, изображение импульсной функции 1 т->-0 Р% (1-86) Пример 5. Определить изображение двойного импульса (рис. 14, а) длительности 2% и амплитуды —— . Его можно представить в виде трех ступенчатых и и 0 t т Рис. 13. Представление единичного импульса ций! в виде разности ступенчатых функ- ч — единичный импульс} б — с о с т а в л я ю щ и е с т у п е н ч а т ы е функции и 2т Рис. 14. Представление двойного импульса суммой трех ступенчатых функций] а — двойной импульс; б — с о с т а в л я ю щ и е ступенчатые ф у н к ц и и . функций, сдвинутых относительно друг друга на промежуток т (рис. 14, б), т. е. /(0= ^г[1(0-2- 1(/-т) + 1(/-2т)]. В соответствии с теоремой запаздывания /(0=4= (1 — 2е~~рт + е~2рх). При т —» 0 функция /(0 переходит в импульсную функцию первого порядка, изображение которой 0'(О = Н т Л - (1 — 2 + 2 р х — р 2 х 2 + 1 — 2рт + 2р 2 т 2 ) = р, т-»о т. е. импульсная функция первого порядка Дирака. 2 1-837 6'(0 равна производной (1-87) функции 33 В тех случаях, когда порядок числителя изображения функции /-1 (р) равен или выше, чем у знаменателя, при обратном преобразовании в оригинале функции / (0 появляются импульсные функции. Например, Так как для физической реализации единичного (или двойного) импульса потребовались бы источники с бесконечно большой энергией, то реальные цепи и системы характеризуются тем, что порядок числителя описывающих их функций ниже, чем порядок знаменателя. Замена в изображении величины р на р + а соответствует умножению функции времени на е~ а1 , т. е., если (р), то 1 { { ) е - а ' ф Р ( р + а). (1-88) Это соотношение выражает теорему смещения. Из сравнения соотношений (1-43) и (1-61) видно, что аналогичными свойствами обладает и интегральное преобразование Фурье. Соответствующие выражения получим, если вместо изображений по Лапласу подставим спектральные плотности и положим р — /со. Кроме того, при определении спектральных плотностей функций времени можно пользоваться таблицами изображений по Лапласу, в которых необходимо лишь заменить р на /со. В частном, но наиболее распространенном случае, изображение /*• (р) является дробно-рациональной функцией комплексного переменного р, т. е. Р(„\ •• _ ^ т Р т + а , п - х р т - х + ••• + *1Р + в» КР) ~ В(Р) Ьпрп + ЬПг_1рп-\+ ... +ь1Р + ь0 • причем коэффициенты ак и Ьк многочленов А (р) и В (р) — вещественные числа и дробь несократимая (многочлены А (р) и В (р) не имеют общих корней). Кроме того, как указывалось, обычно удовлетворяется условие т < п. Из табл. 2 видно, что изображения простых дробей имеют вид: (1-90) 1 р — Рк ф / * 7 1 (Р-Рк)п (1-91) „»*' • ( я - 1)1 ек. (1-92) Значит, если разложить Р (р) каким-либо способом на простые дроби (например, методом неопределенных коэффициентов) и применить эти формулы к каждому слагаемому, получим оригинал простым суммированием оригиналов слагаемых. Аналитические и графические методы анализа функций схем будут рассмотрены в заключительных главах. Здесь же укажем п.I предельные соотношения, позволяющие определить начальное (при I - 0) и установившееся (при I = оо) значения оригинала непосредственно по его изображению. В соответствии с (1-67) оо о Считая, что вещественные части всех корней многочлена отрицательны, т. е. Ие \р\ < 0, видим, что интеграл в левой части этого равенства при р -> со стремится к нулю. Следовательно, начальное значение оригинала /(О)-Нт^(р). (1-93) р-ь оо Если устремить р к нулю, то со со I / ' (О М = / (/) | о о =Пт[р^(р)-/(0)] е - о /(оо)-/(0) = Нт [рР{р)-{(0)], р-+ о откуда получим выражение для конечного (установившегося) значения оригинала / ( с о ) = \\mpF (р). (1-94) Р-» о Следует иметь в виду, что эти зависимости применимы только при условии, что вещественные части корней знаменателя В (р) функции Т7 (р) отрицательны и отсутствуют чисто мнимые корни. § 7. Основные уравнения схем с двухполюсниками Изложенные выше методы представления функций времени (гоков и напряжений) позволяют подойти с общих позиций к уравнениям двухполюсника и = гг-, I = уи. Д л я краткости в дальнейшем, независимо от типа применяемого преобразования, будем называть V — напряжением, I — током, а Ъ и У — соответственно сопротивлением и проводимостью. Уравнения двухполюсника можно записать в обобщенном виде = (1-95) где величины (2 и X играют соответственно роль напряжений или токов, а — сопротивления или проводимости двухполюсника. 2* 35 азз "S £ 8 V/ з V/ і * Л + 'S ° г II к 8 з •ч з ь. з 2. Ol Сй +Г • и ! 1см о. 3 Л! + в 4II « .0 V "йі З, з Î со И fs II з te. з ч, .3 СО и X •е2 5 £щ •Є- <u яsc оS о. к га s UЯ gs as s g * 3і g Sn Й as оо s n, U с 8 + 3 U си S S ч яC a £ кCLмВ л >-е> С в- V + см« uЗ- а> g« s as а. 0) g 5 «CK J -ЭX g* а» а G К £ ^ о. >> S а, >. Є g а чга о. со LСЗо оC о аj аз5а а, сч Величина IV, называемая иммитансом, определяет характер величин Q и X. Так, если № — сопротивление, то <2 — напряжение, а X — ток и, наоборот, если № — проводимость, то С} — ток, а X — напряжение. В табл. 3 сведены распространенные типы преобразований и даны значения величины р, которые она приобретает при различных преобразованиях. Величину р можно рассматривать как обобщенный оператор, тогда иммитансы двухполюсников принимают общий вид, независимо от характера преобразования. Они приведены в табл. 4. Таблица 4 Параметры и уравнения основных двухполюсников Уравнения Параметр Сопротивление Яэ II Тип двухполюсника Емкость С= Индуктивность я 1 1 т рС 1 1 г = -Г Р1 \ для н а п р я ж е н и я д л я тока й рС 1 р1 и с и1 = с Риь 1с = рСис и, 1 Таким образом, будем считать, что пассивный двухполюсник описывается линейным алгебраическим уравнением, которое устанавливает зависимость между током и напряжением в указанном выше смысле посредством операторного иммитанса. Это позволяет исходить из единого уравнения, независимо от характера двухполюсного элемента и функций времени, которыми описываются токи н напряжения. Задающие напряжения и токи, характеризующие источники энергии и сигналы, также будем толковать в обобщенном смысле, | о. под величинами Е и J будем понимать любую форму представления соответствующих функций времени £(/) и / ( / ) (символиче| кос изображение, комплексная амплитуда, спектральная плотность или изображение по Лапласу). Различные соединения пассивных и активных двухполюсников образуют схемы. Имеется два основных способа соединения эле кондуктивный и индуктивный. При кондуктивном соединении элементы связываются между собой исключительно путем объединения их полюсов. При индуктивно соединении связь между элементами осуществляется посредством общего магнитного потока двух или нескольких индуктивнос Индуктивная связь обозначается на схеме двухсторонними стрелкам указывающими на двухполюсники, между которыми она имеет место. На рис. 15 показана схема с кондуктивными и индуктивными связями между элементами. В каждой схеме можно выделить некоторую совокупность узлов и контуров. Узлы изображаются точками, в которых объединяются полюсы элементов. Две или несколько точек принимаются за один узел, если они связаны между собой соединительными линиями (например, узел 2 на рис. 15). Узлы, посредством которых схема может соединяться с другими схемами, называются внешними. В частности, двухполюсник имеет два внешних узла. Выделяются также те узлы, между которыми необходимо определить напряжение или к которым притекают подлежащие определению токи. Замкнутый путь, который проходит по элементам схемы и соединительным линиям Схема, составленная из двухпотак, что ни один из узлов не люсных элементов. попадает в этот путь дважды, образует контур. Примером контура в схеме на рис. 15 может служить путь, проходящий через двухполюсники 2 , /?з, 1 а , С5, О,, Большое значение в теории схем имеют законы Кирхгофа. В соответствии с первым законом Кирхгофа в любой момент времен алгебраическая сумма всех токов, сходящихся к данному узлу, равна нулю, т. е. 2 / ( 0 = 0. (1-96) В соответствии с вторым законом Кирхгофа в любой момент времени алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т. е. 2 и (0 = 0. (1-97) Вследствие линейности всех рассмотренных типов преобразований функций времени законы Кирхгофа можно выразить в обобщенном виде 2 / = 0; (1-98) 2 ^ = 0. (1-99) Под I и U подразумеваются любые формы представления токов и напряжений. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо выбрать положительное направление токов относительно узла. При этом можно считать положительными токи, направленные к узлу, или токи, направленные от узла. Наряду с токами, протекающими через пассивные двухполюсники, учитываются и задающие токи источников, которые связаны с рассматриваемым узлом. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбрать положительное направление контура (по часовой а 5 Рис. 16. Обобщение законов Кирхгофа на случаи: а — части схемы, выделенной з а м к н у т о й линией; б — контура, в к л ю ч а ю щ е г о у ч а с т о к , не п р о х о д я щ и й через элементы схемы. стрелке или против). Напряжения, направления которых совпадают с выбранным положительным направлением контура, записываются в уравнение со знаком плюс, а противоположно направленные — со знаком минус. При этом учитываются и задающие напряжения источников, которые входят в рассматриваемый контур. Ев • а е - иI Рис. 17. Ветви схемы: а — при п о с л е д о в а т е л ь н о м соединении д в у х п о л ю с н и к о в ; б — при п а р а л л е л ь н о м соединении д в у х п о л ю с н и к о в ; в — ветвь с источником н а п р я ж е н и я ! г — ветвь с источником т о к а . Первый закон Кирхгофа применим не только к узлам, но и к любой части схемы, выделенной замкнутой линией (рис. 16, а). При этом и уравнение (1-98) входит алгебраическая сумма токов в соединитель линиях (связях), пересекаемых при выделении замкнутой линией. Второй закон Кирхгофа применим и к таким замкну |урам, которые включают участки, не проходящие через элементы алгебраическая сумма напряжений на элементах, входящих в данный контур, и напряжений между соответствующими узлами схемы на участках контура, которые не проходят через двухполюсные элементы. Уравнения Кирхгофа (1-98) и (1-99) вместе с уравнением пассивного двухполюсника (1-7) или (1-8) лежат в основе теории схем с двухполюсными элементами. С их помощью можно составить необходимое количество уравнений, связывающих токи и напряжения на элементах с учетом способа их соединения в схеме. При анализе схем с двухполюсными элементами вводится понятие ветви. В общем случае ветвь представляет собой последовательное соединение пассивных двухполюсных элементов и идеальных источников напряжения (рис. 17, а) или параллельное соединение пассивных двухполюсных элементов и источников тока (рис. 17, б). Поскольку при последовательном соединении напряжения суммируются, а токи, протекающие по элементам, одинаковы, то ив = и я + и с + ^ + £ в = Ыи + + рЬк + £в = + рЬ])1 в + £ в . = (1? + ~ Учитывая, что сопротивление ветви Z в = R ив=гв1в — ^ + рЬ, получим + Ев. (1-100) Таким образом, ветвь можно рассматривать как активный двухполюсник, представляющий собой последовательное соединение источника напряжения £ в , равного сумме задающих напряжений всех источников данной ветви, и пассивного двухполюсника, сопротивление которого равно сумме сопротивлений всех пассивных двухполюсников, входящих в данную ветвь (рис. 17, в). Если ветвь представляет собой параллельное соединение пассивных элементов и источника тока, то токи суммируются, а напряжение на всех элементах общее и равно напряжению ветви, поэтому = + + = Оин + рСис + + Учитывая, что проводимость ветви Ув = в + рС + получим уравнение ветви в виде /в = YaUu + Jв. (1-101) Таким образом, ветвь можно рассматривать как активный двухполюсник, представляющий собой параллельное соединение источника тока J в , равного сумме задающих токов всех источников данной ветви, и пассивного двухполюсника, проводимость которого Ув равна сумме проводимостей пассивных двухполюсников, отнесенных к данной ветви (рис. 17, г). Активные двухполюсники (ветви) с источником тока и источником напряжения взаимно эквивалентны, если Е„ = или jв ' Ув za = (1-102) Fn = (1 -103)~ Эти зависимости вытекают Z„ из ' сопоставления уравнений (1-100) и (1-101). Они, в частности, могут быть использованы для преобразования источника тока в источник напряжения или для обратного Рис. 18. Вынесение идеального источника напряжения за узел: а — и с х о д н а я схема; б — вынесение источника за узел а; в — вынесение источника за узел Ь. Рис. 19. Внесение идеального источника тока в контур: а — и с х о д н а я схема; б — внесение источника в к о н т у р Ь; в - внесение и с т о ч н и к а в конiyp а. преобразования. Однако формулы (1-102) и (1-103) применимы только при условии, что и У в не равны нулю. Если идеальные источники входят в ветви схемы без пассивных двухполюсников, непосредс применять формулы (1-101) и (1-102) нельзя. В подобных случаях пользуются специальными приемами, которые рассматриваются ниже. Пусть между какими-нибудь двумя узлами схемы включен идеальн источник напряжения Е (рис. 18, а). Электрическое состояние схемы не изменится, если узлы, между которыми находит источник, объединить в один узел, а в каждую из ветвей, сходящихся к этому узлу, включить источники с тем же задающим напр Эта операция получила название «вынесение источника напряжения за узел». Очевидно, всегда имеются две возможности осуществить эту операцию, вынося источник за один из двух узлов, м е ж д у которыми он включен (рис. 18, 6 и в). Допустимость этого преобразования вытекает из простых соображений. Пусть один из узлов, например узел а, принят за у7» ^ [ Д К Рис. 20. Преобразование источников: а — исходная о п е р а т о р н а я схема; б — схема с источниками схема с источниками тока;- г — с к е л е т н а я схема. напряжения; начало отсчета напряжений. Тогда напряжения всех ветвей, сходящихся к узлу Ь, будут больше соответствующих напряжений, отсчитанных от узла Ь, на величину Е. Значит распределение токов и напряжений в схеме после объединения узлов а и Ь не изменится, если в каждую ветвь, присоединенную к узлу Ь, включить источник напряжения (рис. 18, б). Рассмотрим случай, когда в схему входит идеальный источник тока J таким образом, что отсутствует параллельно присоединенная проводимость (рис. 19, а). Выберем контур, образованный источником тока и некоторой совокупностью других ветвей схемы. Действие источника J эквивалентно действию таких же источников, присоединенных параллельно каждой ветви, входящей в этот контур. Два варианта такого преобразования, называемого «внесение источника в контур», показаны на рис. 19, б и в . После того как выполнены рассмотренные преобразования, переход от источников напряжения к источникам тока и обратно осуществляется по формулам (1-102) и (1-103). Таким образом, всегда имеется возможность привести источники, действующие в схеме, к одному типу, а при анализе схемы в зависимости от удобства использовать одно из уравнений ветвей — (1-100) или (1-101). При замене нескольких элементов од- Рис.21. Топологически эквиной ветвью устраняется некоторое число валентные двухсвязные схемы. узлов и контуров схемы, а следовательно, упрощается ее геометрическая структура. Это видно, например, из рис. 20, а, где приведена операторная схема, которая получается из схемы на рис. 15 после объединения элементов ветви. На рис. 20, б и в показаны соответствующие схемы после приведения источников к одному виду. Количество узлов и контуров схемы может быть уменьшено с помощью эквивалентных преобразований — замены параллельного и последовательного соединений эквивалентными двухполюсниками, преобразованием звезды в треугольник и обратным преобразованием треугольника в звезду. Соответствующие формулы таких преобразований сведены в табл. 5. При рассмотрении геометрических свойств схемы удобно пользоваться скелетной схемой, в которой ветви изображаются просто линиями (рис. 20, г). В начертании скелетной схемы допускается произвольная конфигурация, лишь бы сохранились взаимные связи ветвей с узлами. В этом смысле схемы оказываются топологически эквивалентными. Так, на рис. 21 показаны две скелетные схемы,топологически эквивалентные схеме на рис. 20, г. Схема может состоять из двух или нескольких отдельных частей, которые связаны только индуктивно и имеют не больше ОДН О Г О общего узла. Так, схема, изображенная на рис. 20, а, состоит из двух частей. В зависимости от количества отдельных |схема называется двухсвязной, трехсвязной и многосвязной. Схема, состоящая из одной части, называется односвязной или кондуктивной. Тсіблица 5 Эквивалентные преобразования схем Эквивалентные схемы Исходные схемы Формулы преобразования т Ей Е < Ет 7 ^ -о«>*о(^> -Г 1—о е ^ ^ (=1 с т = 2 1 І=1 т £— С/Я / і ш і .г• т V I ^ 2; —Ні І=1 І=1 іт ' т у Л К у - <=' ' ; К = Ут У 1 т т У ± к, г=1 V I —к,(=1 /^уЛ т •••'// Ц>-о у ' = 2 !=і т к = 2 (=і Кот ог П* к, к, V« = у, + у 2 + К3 К2 Vа V Г н - - К, + К.г + К-3 У, 1V гп / о / Дг -і—і & ^ІЇ^ІЗ + 2 13 + 2 г з „ 2, г 2 г з 2_ + 2 13 + 2.,3 7 7 ' 13 23 3 ~ 2 12 + 2 13 + 2 г , 1 ~ § 8. Установившиеся и переходные процессы Пусть к некоторой пассивной схеме подключается источник напряжения (рис. 22). Д л я тока, возникающего после замыкания ключа (моментом замыкания считаем ^ = 0), выражение в операторной форме имеет вид 1(р)=У(р)Е(р), где Е (р) — изображение задающего напряжения источника, а У (р) — операторная проводимость двухполюсника, представляющая собой дробно-рациональную функцию комплексной переменной р. Изображение тока равно произведению двух функций У(р) и Е{р). Значит, вид решения будет определяться корнями знаменателей этих функций. В пассивной схеме, независимо от вида приложенного напряжения, не могут возникнуть токи, неограниченно возрастающие с течением времени. Поэтому слагаемые функции времени I (/), соответствующие корням знаменателя операторной проводимости У (р), носят затухающий характер, а сами корни в соответствии с формулами табл. 2 должны иметь отрицательные вещественные части. Эти слагаемые определяют переходный режим и называются свободными величинами. Слагаемые функции времени I (0, соответствующие корням знаменателя изображения задающей функции Е (р), повторяют вид оригинала е (()• Они определяют принужденный режим и называются принужденными величинами. Если функция е (/) является периодической (в частном случае постоянной величиной или гармонической функцией), то спустя некоторое время принужденная часть функции I (/) будет преобладать над затухающей частью настолько, что последней можно пренебречь. Такое состояние схемы называют установившимся режимом. Переходные процессы возникают при всевозможных коммутациях в схеме (включение и отключение отдельных ветвей, короткое замыкание участков схемы, внезапное изменение параметров элементов и т. п.). Иногда время переходного процесса мало по сравнению с временем, в течение которого схема находится в установившемся состоянии, а сам переходный процесс не представляет интереса. В подобных случаях рассматриваются только величины, характеризующие установившийся процесс, с использованием в радиоэлектронике, переходные процессы играют решающую Поэтому исследование переходных процессов является одной важнейших задач, которая решается на основе преобразования Фурье или Лапласа. Обычно при анализе схем параметры задающих источников и пассивных двухполюсников считаются известными, требуется определить распределение токов и напряжений в схеме. Путь решения этой задачи состоит из следующих этапов: 1) данная схема представляется в виде операторной схемы, с учетом начальных условий для емкостей и индуктивностей. Отдельные участки схемы, если это требуется, преобразуются в соответствии с табл. 5; 2) для каждой ветви определяются пассивные (сопротивление или проводимость) и активные (задающий ток или напряжение) параметры в общей форме; 3) составляются уравнения схемы по первому и второму законам Кирхгофа, причем количество независимых уравнений должно соответствовать числу входящих в них неизвестных величин; 4) полученная система уравнений решается относительно искомых токов и напряжений (не обязательно все неизвестные токи и напряжения должны быть определены, может представлять интерес только часть из них); 5) функции времени, характеризующие задающие источники, представляются в одной из форм в зависимости от их характера (символическое изображение, комплексная амплитуда гармоники, спектральная плотность, изображение по Лапласу); 6) в найденные соответственно п. 4 решения вносятся значения параметров задающих источников в требуемой форме и подставляется соответствующее значение оператора р\ 7) полученные решения преобразуются, если это требуется, к соответствующим им функциям времени, которые представляют собой искомые токи и напряжения. Пример 6. Определить напряжение и (() на конденсаторе С 2 при включении в схему (рис. 23, а) источника постоянного напряжения е (/) = Е. Операторная схема приведена на рис. 23, б, где 7 ^ = » , _1_ Я1 + р С 1 РЯА + 1 . - = р с 1 . А - I р с 2 5 7 -Я - «2- Уравнения Кирхгофа для операторной схемы имеют вид: / , - / , - / з = 0; ис (0) Е(р)-г111 + - ^ 23/3=0; "с, (°) z :t l з — —^ _ г 2 / 2 — о. Искомое напряжение I! — 2 3 / 3 , поэтому решаем эту систему относительно тока / 3 : , 2а [рЕ (р) + цС1 (0)) + г.ыс, (0) 1 + + Р ^ Х 22 Е На основании полученного выражения, учитывая, что Е (р) = — ( г д + ад + г,г3)р , имеем Подставляя значения сопротивлений после элементарных получим выражение преобразований, А (р) _ ахр + а0 вТЙ"ь2р* + ь1р + ь0 • где а, « Я 1 Я 2 С 1 С г и Сг (0) = т,т,и С г (0); а0 = /?,С1 [£ + « С( (0)| + /?А«с, (0) = ^ Iе + иС1 (0)1 + т2«сг (0); С, 6, = + Л2С2 + Л А = т1 + тг + т3; й0=1. т • <1 и« /Г / . б-« 4,7 0,1 0 РИС. 23. К примеру 6 гл. 1: а — исходная схема; б — о п е р а т о р н а я с х е м а ; в — кривые н а п р я ж е н и я на емкости С, (/ — при т , = т г = Тз, Тз = 5т; 2 — при т 1 = т 2 = т 3 = т ) . Здесь введены обозначения /^С^, То = Т 3 — /?2Сх- Корни уравнения В (р) = 0 определяются по формуле \±у~ь Р1,2 = • 4 Ьф 0 - (т1 + т2 + та) ± V (тл + т2 + т3)3 • 4т, т . 2Т^2 2. о о Так как подкоренное выражение всегда больше нуля, то оба корня вещественны и отрицательны. Выражение для напряжения и (р) можно разложить па простые дроби и (р): А', +, Р — Р1 ' К* Р — Рг. и в соответствии с формулой (1-91) решение запишется в виде и (0 = к1ей' + к2е"*<. Определим коэффициенты Кг и К2, приравняв выражения для и (р): а\Р + «о = Кл (Р — рг) + К2(Р— Рх) . ЬгР1 + V + 6, (р — рх) (р — р2) Отсюда можно написать равенство ДіР + Ор (К, + К,) Р-(,К1Р2 + К2РІ), которое приводится к системе уравнении /СіРі + ^гРа = • Ь. Решив эту систему относительно К\ и К 2 , находим К _ 1 Учитывая, а іРі + ао • Мр.-Ра) ' а іРі + ао к Ла Ь2 (р, - р^ что • 6 2 (Рі — Рг) = / ( Т і + Ь + т3)2 — 4т,тг, и подставляя значения величин а , и а 0 , после несложных преобразований получаем: т 3 [Е + ис А, = (0)1 + х2ис 17 1 (0) ( т Л + 1) 4 22 = = " +' т., - + т- 3 ) — 4т,т.г У (Т, т 3 \Е + иСі (0)1 + т г и С г (0) (тдра + 1) К. У ( т , + т 2 + т 3 ) а — 4т,т 2 Как видно из полученных выражений, напряжение и (0 на конденсаторе С2 зависит от начальных напряжений и С] (0) и (0). При нулевых начальных условиях -н , ЕхАеР " -е*') . 2 У (т, + т 2 + т 3 ) — 4т,т 3 Обозначив — — а ± т, запишем 2Ехче-а1 и (0 = • У (Т, + Т2 + т 3 ) 2 — 4т,т 2 ет'-е~т1 или, воспользовавшись известным выражением для гиперболического синуса через экспоненциальные функции, имеем и Ц) = V(Т, 2£т 3 е + т . + т 3 ) 2 - 4т, Т 2 ^ где _ т, + т а + т 3 т = У ( т , + т 2 + т 3 ) 2 — 4ТхТ2 2т, т 2 2т, т 2 Вид кривой и (0 для двух случаев т, = т 2 = т и т 3 = 5т (кривая /) и т, = — т2 = т з = т (кривая 2) показан на рис. 23, в. Как видно из приведенных графиков, при подключении к рассмотренной схеме постоянного напряжения на емкости С2 напряжение сначала резко возрастает, а затем, достигнув некоторого максимального значения, медленно убывает и стремится в пределе (при < -*• оо) к нулю. к Обычно предполагается, что ключ, посредством которого осуществляется коммутация, замыкается или размыкается мгновенно. Также мгновенно могут изменяться токи и напряжения на идеальном элементе сопротивления. Д л я реактивных элементов (емкости и индуктивности) справедлив закон коммутации: токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации и в дальнейшем изменяются, начиная именно с этих значений. Если допустить возможность скачка напряжения на емкости и тока в индуктивности, то производные этих величин, определяющие соответственно ток в емкости и напряжение на индуктивности, приняли бы бесконечно большие значения. А это физически невозможно, что и подтверждает справедливость закона коммутации. При переходе схемы в некоторый момент времени вследствие коммутации из одного состояния в другое начальные условия для переходного процесса определяются при t = t0 из рассмотрения схемы до коммутации, а переходные процессы вычисляются на основании того вида схемы, который она приняла после коммутации. Если после коммутации в схеме действуют постоянные или гармонические задающие токи и напряжения, то расчет можно несколько упростить, определяя свободные и принужденные величины отдельно. Результирующие величины X (0 будут равны сумме свободных х св (() и принужденных хпР (/) составляющих соответствующих величин, т. е. *(/) = *пр(') + *св(0. (1-104) Это уравнение справедливо и для начального момента времени, поэтому *св (0) = * (0) — лгпр (0). (1-105) Так как напряжения на емкостях и токи в индуктивностях не могут изменяться скачком, то, определив х (0) из расчета схемы до коммутации при ^ = 0, а лгпр (0) — из расчета принужденного режима схемы после коммутации также при I = 0, по формуле (1-105) получим независимые начальные условия для свободного режима. Пример 7. В схеме (рис. 24, а) действует источник синусоидального напряжения е (t) = Ет sin соt. Определим ток i ( t ) после замыкания ключа. Рассчитываем установившийся режим до коммутации, пользуясь символическим методом. Комплексные амплитуды тока i(t) и напряжения ис (() на емкости II — — Е т &— ; и г = — - ее " со Сг где /' I 1 \8 со L R2 + (<oL - - ^ г • ф = arctg — Переходя от комплексных амплитуд к функциям времени, имеем і (0 => ис (/) : со Сг БІП (со/ — ф); віп Сй/ - ф соСг С05 (СО/ — ф). При і = 0 эти величины принимают значения і (0) = І 1 (0) = ис (0) = - вігі ф; 4 соСг сое ф. 1--0 т О Рис. 24. К примеру 7 гл. 1: а — исходная схема; б — операторная схема. Рассматриваем принужденный (установившийся) Запишем выражения комплексных амплитуд: і 'пр иг 'пр где введено обозначение сод = со£„ коммутации. после коммутации, 'ос пі Г'Я. м®2-«з) 1 /соС =-2Р-=. /соС С0д Ет _ -^г. Величины, характеризующие принужденный выражаются следующим образом: іпр (0 = после . л Ет /0)/- • режим со£„ сое со/; (со2 - сой) • БІП О)/ Е (со2 — соо) "с пр режим и&Е, 0 т со2- • БІП со/. При / = 0 эти величины характеризуются начальными значениями ; р 1(0) = ; {,"Р (0)' = —£• (со - «§), ' , и"Р (0) = 0. а Е т 1 2 Сс В соответствии с равенством (1-105) начальные условия для свободного режима после коммутации Ет- 5ІПф+ •„ ,„ , о)Е т „ , На основе эквивалентной операторной схемы для (рис. 24, б) записываем выражение для изображения тока "С 'св (р) = — " р (°) свободного "с i (°) = "Г7Т2 + Р ~рС + режима 0 Применяя к каждому слагаемому соответствующие формулы табл. 2, получаем "С tea (0 = LLRN (°) c o s °V шЕт ~2 L (со2 - шЙ (°) Sin co„< = Ет . \ со Е . — sin ф ] cos оу — "0 у т cos ф sin a>0t. сог Окончательный результат для тока i ( t ) в соответствии с равенством (1-104) получаем в виде I (Л = ю £ т - (cos coJ — cos at) — — L( o)2 - cog) г sin фY cos со„/ - ^ ^ сог cos ф sin w 0 /. Как видно, в данном случае в схеме после коммутации устанавливается ток, характеризующийся суммой гармонических колебаний с частотой со задающего напряжения и собственной частотой со0 схемы. Г л а в а 2 МАТРИЧНО-ВЕКТОРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СХЕМЫ § 1. Основные уравнения схемы в матричной форме Уравнения сравнительно простых схем можно записать непосредственно на основе законов Кирхгофа. С усложнением схем усложняется процесс составления и решения уравнений. В этих случаях широко используется аппарат матричной алгебры, с помощью которого уравнения схемы представляются в более компактной форме, а сама схема характеризуется ее матрично-векторными параметрами. Вообще можно полагать, что каждая ветвь включает в себя пассивный двухполюсник с идеальным источником напряжения или тока, хотя в конкретных случаях ветви могут содержать одни лишь пассивные или активные двухполюсные элементы. Записав для каждой ветви уравнение (1-100), получим I уравнений: иВ1 = 2В1/В1 -(- Еъ~, иВг = %в21в2 -{- ЕвУв I ^В^ ВI Н"" ЕВ[. Систему линейных уравнений можно представить в матричной форме "в, 2 В, 2 В2 + ... и »1 или в сокращенной записи [ ^ в ] = [2 В ] [/ в 1 + [ £ в ] . (2-1) Здесь [Ив], [/„] и \ЕВ\ — столбцевые матрицы или, как их часто называют, многомерные векторы. Каждый из этих векторов состоит из I величин, которые называются компонентами многомерного вектора. Векторы получают наименования в соответствии с конкретным содержанием, которое приписывается его компонентам, а именно: [£/„] называют вектором напряжений ветвей, [/ п ] — сектором токов ветвей и ( £ у — вектором задающих напряжений ветвей. Квадратная матрица 1-го порядка 1 1 [2В] = 2 I 2 2 ... I в, 2 В2 2 в, называется матрицей сопротивлений ветвей. Как видно, она является диагональной матрицей, так как только элементы ее главной диагонали отличны от нуля (они равны сопротивлениям ветвей), а все остальные — равны нулю. В матричное уравнение входит произведение квадратной матрицы на многомерный вектор (столбцевую матрицу), которое равно также многомерному вектору. По правилу умножения матрицы на вектор к-я компонента результирующего вектора получается как сумма произведений элементов &-й строки матрицы на соответствующие компоненты вектора [/„]. Алгебраическая сумма двух векторов есть вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент слагаемых векторов. Наконец, два вектора (и вообще любые две матрицы) равны, если равны их соответствующие элементы. Выполняя необходимые операции в правой части матричного уравнения по этим правилам и приравняв компоненты полученного в результате вектора соответствующим компонентам вектора [£/„], получим I уравнений ветвей. Таким образом, матричная символика позволяет более кратко представлять системы алгебраических уравнений и выполнять над ними различные операции в общем виде. При этом матричное уравнение эквивалентно системе скалярных уравнений. В соответствии с выражением (1-101) уравнения ветвей можно представить в другом виде: (2-2) — У "Н 3 ві> или в матричной форме 'в, 'в, + иВ >в, Этому мнись матричному 1 уравнению [/в] = [ У , ] [£/.] + соответствует [ДЬ сокращенная (2-3) Здесь /-мерные векторы [/ в ] и [£/ в | имеют тот же смысл, что и в уравнении (2-1), а величина [ / в ] является вектором задающих токов ветвей. Квадратная матрица 1-го порядка 1 2 ... I г* называется матрицей проводимостей ветвей. Она, как и матрица Ц в ] , является диагональной, причем элементы главной диагонали равны проводимостям соответствующих ветвей. Решив уравнение (2-3) относительно вектора напряжений ветвей [£/.] = [У В Г ] [/„I - [У.]" 1 1/ в ] (2-4) и сопоставив с уравнением (2-1), замечаем, что [2В] - [У„Г 1 ; (2-5) 1 [£ в ] = - [ У В Г [/ в ]. (2-6) Эти соотношения являются обобщением зависимостей (1-102). Как видно, для одной и той же схемы матрицы [2 В ] и [К в ] взаимно обратные. А квадратная матрица, обратная диагональной Рис. 25. Скелетная схема и ее деревья: а — схема; б, в, г — д е р е в ь я (ветви дерева и з о б р а ж е н ы с п л о ш н ы м и л и н и я м и , а г л а в н ы е ветви — ш т р и х о в ы м и ) . матрице, является также диагональной с элементами, обратными соответствующим элементам исходной матрицы. В I уравнениях ветвей содержится 21 неизвестных величин — токов и напряжений. Так как для определения 21 неизвестных необходимо располагать 21 уравнениями, то недостающие I уравнений следует искать из рассмотрения законов Кирхгофа. Докажем, что количество независимых уравнений схемы, записанных по первому и второму законам Кирхгофа, как раз равно требуемому числу I. При решении этого вопроса безразлично, какие элементы входят в ветви, поэтому можно исходить из скелетной схемы, на которой ветви представлены линиями, а узлы — точками. Ветви и узлы обозначены порядковыми цифрами (рис. 25, а). Выделим некоторую совокупность ветвей таким образом, чтобы она была связана со всеми узлами и не образовала ни одного замкнутого контура. Такая совокупность ветвей называется деревом схемы. Д л я данной схемы можно построить несколько вариантов деревьев, причем их количество возрастает с увеличением 1 • 7 1 • __ 7 Рис. 26. Контуры и сечения схемы: а — к о н т у р ы (стрелки ветвей у к а з ы в а ю т п о л о ж и т е л ь н ы е н а п р а в л е н и я токов); б — сечеиин (стрелки ветвей у к а з ы в а ю т п о л о ж и т е л ь н ы е н а п р а в л е н и я н а п р я ж е н и й ) . числа узлов. На рис. 25, б, в и г ветви деревьев изображены сплошными линиями. Ветви, которые не вошли в дерево, называются главными ветвями схемы. Так, на рис. 25, б дерево образовано ветвями 1, 4 и 8, а главными ветвями являются ветви 2,5,6 и 7. Совокупность главных ветвей может образовывать замкнутые контуры, но нельзя указать ни на один узел, к которому подходили бы только главные ветви. Количество независимых напряжений равно количеству ветвей дерева. Действительно, так как замкнутые контуры в дереве отсутствуют, нельзя записать ни одного уравнения по второму закону Кирхгофа, в которое входили бы только напряжения ветвей дерева. В то же время остальные напряжения (напряжения главных ветвей) могут быть выражены через напряжения ветвей дерева по второму закону Кирхгофа, поскольку каждая главная ветвь образует вместе с деревом (или его частью) замкнуты контур. На рис. 26, а приведены замкнутые контуры для случая, когдадерево схемы выбрано по рис. 25, б. Контурам обычно приписываются некоторые положительные направления (по часовой стрелке или против нее) и порядковые номера. Итак, в качестве совокупности независимых напряжений схемы можно выбрать напряжения ветвей ее дерева. Количество независимых токов схемы равно количеству главных ветвей. Действительно, токи всех ветвей дерева можно выразить через токи в главных ветвях. Д л я этого достаточно провести замкнутые линии так, чтобы каждая из них пересекала только одну из ветвей дерева, а остальные пересекаемые ветви относились бы к главным ветвям. Для каждой ветви дерева существует единственная совокупность главных ветвей, пересекаемых этой линией. Выделенная таким образом замкнутая область схемы называется сечением. На рис. 26, б штрихами показаны все сечения для выбранного варианта дерева, причем для упрощения рисунка образующие сечение линии обрываются во внешней области схемы, хотя предполагается, что они должны замыкаться. Сечения, как и контуры, нумеруются порядковыми цифрами. Им также приписываются некоторые положительные направления. Применяя к сечениям первый закон Кирхгофа, получаем уравнения, каждое из которых, наряду с токами главных ветвей, содержит ток какой-либо одной ветви дерева. В то же время нельзя образовать сечение, которое пересекало бы только главные ветви, значит отсутствует линейная зависимость между токами этих ветвей. Следовательно, токи главных ветвей представляют собой совокупность независимых токов схемы. Итак, для каждой схемы количество независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно количеству главных ветвей, а по второму закону Кирхгофа — количеству ветвей дерева, т. е. всего I уравнений, что и требовалось доказать. Установим, сколько независимых уравнений можно составить по каждому закону в отдельности. • Из простых соображений следует, что дерево схемы, в которой имеется V узлов, состоит из у — 1 ветвей. Выделив для рассмотрения одну ветвь дерева, замечаем, что она связана с двумя узлами, а каждая последующая ветвь связывает еще по одному узлу. Значит ветвей дерева всегда на единицу меньше, чем узлов. Отсюда также следует, что количество главных ветвей в схеме равно I — — V + 1. Таким образом, обозначив через V количество сечений, а через а количество независимых контуров, можно записать для кондуктивной схемы соотношения: V = V — 1; О = I — (2-7) V + 1. (2-8) Аналогичные зависимости имеют место для каждой части многосвязной схемы. Если многосвязная схема имеет & отдельных частей, то общее количество v(i, сечений и а к независимых контуров такой схемы выражается равенствами: \>к = ь-—к й; ОК = I — V (2-9) + (2-10) Уравнения схемы по законам Кирхгофа в матричной форме записываются с помощью матриц, отражающих связь ветвей с контурами и сечениями схемы. При этом каждой ветви приписывается некоторое направление, которое может отождествляться с положительным направлением тока или напряжения. Ветви и контуры находятся во взаимно однозначном соответствии. Каждому контуру принадлежит определенная совокупность ветвей и, наоборот, через каждую ветвь проходит определенная совокупность контуров. Это соответствие может быть представлено матрицей контуров [Г], являющейся прямоугольной таблицей, в которой для каждого контура отведена строка, а для каждой ветви — столбец. При записи матрицы контуров направления ветвей отождествляются с положительными направлениями токов, протекающих в ветвях. В клетку матрицы на пересечении &-й строки и s-го столбца вписывается элемент у кв (первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца) по следующему правилу: + 1, если &-й контур проходит через я-ю ветвь и их направления совпадают; у к5 = — 1, если &-й контур проходит через я-ю ветвь и их направления противоположны; О, если контур не проходит через я-ю ветвь. Так, для схемы, приведенной на рис. 26, а, матрица контуров записывается в виде — 1 — 1 + 1 + 1 + 1 - 1 +1 [Г] = — 1 — 1 + 1 — I + 1 + 1 +1 Каждая строка матрицы [Г] указывает на совокупность ветвей схемы, входящих в данный контур. Перемножив элементы этой строки на соответствующие элементы вектора напряжений ветвей \Uв„\ и сложив, получим алгебраическую сумму напряжений в контуре, которая в соответствии с вторым законом Кирхгофа тождественно равна нулю. Следовательно, можно записать матричное уравнение [Г] [1/8] = [0], (2-11) где [0] — нулевой вектор, все компоненты которого нули. Это уравнение соответствует системе а скалярных уравнений для независимых контуров и может рассматриваться как обобщенное выражение второго закона Кирхгофа для схемы в целом. Каждый столбец матрицы [ Г | указывает на совокупность контуров схемы, проходящих через данную ветвь. Через главные ветви проходит только по одному контуру. Поэтому можно отождествить токи в главных ветвях с независимыми контурными токами схемы. Снабдив контурные токи числовыми индексами от 1 до о соответственно нумерации контуров, образуем а-мерный вектор контурных токов 1/1 = [1Ь / 2 /а]. (2-12) Здесь многомерный вектор записан в строку, что более удобно, чем запись в виде столбцевой матрицы, но оба представления можно считать идентичными. Если умножить какой-либо столбец матрицы [ Г | на вектор [ / ] , получим алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через соответствующую этому столбцу ветвь, т. е. значение тока в данной ветви. Таким образом, можно выразить токи ветвей через контурные токи. Но по правилу умножения матрицы на вектор следует перемножить на этот вектор не столбцы, а строки. Поэтому предварительно необходимо в матрице [ Г | заменить строки соответствующими столбцами. В результате получим транспортированную матрицу [Г Ь, которая для рассматриваемого примера имеет вид 1 1 2 3 —1 4 —1 2 +1 3 —1 4 -1 5 + 1 + 1 —1 + 1 [Г],= 6 + 1 7 8 +1 +1 — I + 1 Теперь можно записать матричное уравнение, связывающее вектор токов ветвей [/„] с вектором контурных токов [ / ] , посредством транспортированной матрицы контуров [Г]/, т. е. (2-13) [/в1 = [ П , [ Я Это уравнение соответствует I скалярным уравнениям для токов ветвей, выраженных через контурные токи. Можно выразить также взаимно однозначное соответствие ветвей и сечений схемы. При этом направления ветвей отождествляются с положительными направлениями напряжений ветвей. Данное сечение включает те ветви, которые оно пересекает и, наоборот, данной ветви принадлежит совокупность сечений, которыми она пересекается. Поскольку данному сечению принадлежит только одна ветвь дерева, то направление сечения можно отождествить с направлением этой принадлежащей ему ветви. Остальные ветви схемы могут совпадать или не совпадать по направлению с данным сечением. Соответствие между ветвями и сечениями представляется матрицей сечений [ГЦ, в которой для каждого сечения отведена строка, а для каждой ветви — столбец. В клетку матрицы на пересечении 6-й строки и х-го столбца вписывается элемент по следующему правилу: + 1, если 6-е сечение включает ж-ю ветвь и их направления совпадают; я = — 1 , если 6-е сечение включает 8-ю ветвь и их направления противоположны; .0, если 6-е сечение не включает х-ю ветвь. Д л я схемы, приведенной на рис. 26, б, матрица сечений записывается в виде 1 2 + 1 + 1 3 4 5 6 7 8 —1 + 1 + 1 — 1 + 1 + 1 — 1 — 1 + 1 [П] = + 1 +! + 1 Каждая строка матрицы [Ш указывает на совокупность ветвей, пересекаемых данным сечением. Перемножив элементы этой строки на соответствующие элементы вектора токов ветвей [/ в ] и сложив произведения, получим алгебраическую сумму токов в ветвях сечения, которая согласно первому закону Кирхгофа тождественно равна нулю. Следовательно, можно записать матричное уравнение [П] [/ в ] = [0], (2-14) которое соответствует системе V скалярных уравнений для сечений и может рассматриваться как обобщенное выражение первого закона Кирхгофа. Напряжения ветвей дерева составляют совокупность независимых узловых напряжений схемы. Снабдив узловые напряжения числовыми индексами от 1 до V соответственно нумерации сечений, образуем v-мepный вектор узловых напряжений [Щ = [ и 1 г и 2 и,]. (2-15) Каждый столбец матрицы [ГГ1 указывает на совокупность сечений, принадлежащих данной ветви. Если умножить какой-либо столбец матрицы [П] на вектор [{/], то, как видно из рис. 26, б, получим алгебраическую сумму узловых напряжений, которая равна напряжению данной ветви. Поэтому, чтобы выразить напряжения ветвей через узловые напряжения, необходимо предварительно транспортировать матрицу сечений. Так, для рассматриваемого примера транспонированная матрица [П], имеет вид 1 1 + 1 2 + 1 2 3 —1 4 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 —1 6 + 1 • —1 + 1 7 + 1 8 + 1 Тогда зависимость между вектором напряжений ветвей [£/ в ] и вектором узловых напряжений [(/] записывается в виде = [П], ДО. (2-16) Уравнения ветвей в форме (2-1) или (2-3) вместе с уравнениями Кирхгофа (2-11) и (2-14) являются основными матричными уравнениями схемы. Вместе они соответствуют 21 скалярным уравнениям. При анализе сложных схем решение 21 уравнений привело бы к громоздким выкладкам. Поэтому желательно соответствующим выбором независимых переменных свести задачу к возможно меньшему числу исходных уравнений. Это достигается одним из двух методов, рассматриваемых в следующих параграфах. § 2. Метод контурных токов В качестве независимых токов схемы можно выбрать совокупность контурных токов, протекающих в главных ветвях. Д л я получения матричного уравнения относительно вектора контурных токов проделаем следующие операции. Подставим в уравнение ветвей (2-1) вместо вектора токов ветвей его значение в соответствии с (2-13) [£/в] = [2В] [Г], [/] + [Ев1 и умножим это равенство на матрицу контуров [ Г ] [Г] [£/в] = [Г] [г в ] [Г], [/| + [Г] [Ев\. Согласно второму закону Кирхгофа (2-11) произведение в левой части равенства равно нулю. Выполнив умножение в правой части равенства (порядок следования сомножителей в матричных уравнениях изменять нельзя!), получим [0] = ЦГ112в) [Г],) [/] + [Г] [Е в ]. Введя обозначения: [2] = [Г] [Яв] [Г],; [£] = — [Г] [£ в ], получим контурное уравнение схемы в матричной форме т / ] = [£]. Здесь \1\ — квадратная противления схемы / матрица, 2 И 2 называемая 2 *12 (2-17) (2-18) (2-19) матрицей со- 1а 7 22 2 2а г 2 аа [2] = а г а1 а2 Как видно из выражения (2—17), ее элементы являются линейными комбинациями сопротивлений ветвей. Многомерный вектор [Е] Еа) (2-20) называется вектором задающих напряжений или просто задающим вектором, поскольку в соответствии с выражением (2-18) его элементами служат линейные комбинации задающих напряжений ветвей. Величины [Z] и [ £ ] представляют собой матрично-векторные параметры схемы и для данной системы независимых контуров вполне определяются значениями параметров ветвей, которые обычно считаются известными. Решив уравнение (2-19) относительно вектора контурных токов, получим значения токов в главных ветвях. Это решение в матричной форме получается умножением обеих частей уравнения (2-19) на обратную матрицу \Z\~\ т. е. [2Г1 [г] [/] = [г]-1 [Е]. Произведение взаимообратных матриц равно единичной матрице, элементы главной диагонали которой равны единицам, а все остальные элементы — нули: 1 1 И] = 1 Учитывая, что умножение на единичную матрицу не изменяет сомножителя, получаем [1\ = [гГ1[Е]. (2-21) Напомним, что для получения обратной матрицы необходимо заменить в исходной матрице каждый элемент его алгебраическим дополнением, затем транспонировать полученную таким способом матрицу и разделить ее на определитель исходной матрицы 2п д = <м \г\ = 212 .. ^22 • • Z02 •. Z2a Zaa Следует иметь в виду, что определитель представляет собой число или функцию, в то время как матрица является прямоугольной таблицей и может равняться только такой же таблице, причем условием равенства двух матриц является равенство их соответствующих элементов. Алгебраическим дополнением А ь элемента '1к% квадратной матрицы называется умноженный на (—1)''^ определитель, получающийся из элементов матрицы после вычеркивания 6-й строки и я-го столбца. Таким образом, обратная матрица имеет вид (обратить внимание на порядок индексов алгебраических дополнений!) 1> Д21 Д Д д 12 1 д . . . Да, Д „2 22 (2-23) Д Д 20 !а . .. Д аа Использовав выражение для обратной матрицы, можно записать равенство (2-21) следующим образом: п Д Д 12 Д Д Д д 1о 21 Д а2 22 2а . . . Даа Если выполнить умножение в правой части этого равенства и приравнять элементы полученного в результате вектора соответствующим элементам вектора в левой части равенства, получим значения контурных токов. Д л я тока в 6-м контуре имеем а /* = X ( А 1кЕ1 + А 2к Е 2 + ... + АакЕа) = ± У. А зк Е $ . (2-25) 5=1 С помощью этого выражения можно вычислить любую компоненту вектора [/I, не прибегая к обратной матрице. Оно обычно применяется при решении соответствующих матричному уравнению (2-19) системы а скалярных уравнений: 2ц/х + + ••• + г1а1„ = Ец 221Л + 1<я1% + + 2 0 2/ 2 + ••• + 22а/а = Е2; ••• + 2 с г а / 0 =Еа.) (2 °6) В каждом конкретном случае, выбрав систему независимых контуров с помощью некоторого дерева и записав матрицу контуров [Г], можно по формулам (2-17) и (2-18) определить матричновекторные параметры схемы. Однако такой путь связан с перемножением матриц, что является довольно утомительной операцией. Можно установить правила, позволяющие записывать матричновекторные параметры непосредственно из рассмотрения схемы без каких-либо математических операций. Д л я этого выясним свойства матрицы [2] и вектора [ £ ] . Покажем, прежде всего, что матрица [2] схемы, составленной из двухполюсных элементов, симметрична относительно главной диагонали, т. е. что между ее элементами имеет место зависимость = Zsk^ (2-27) Транспонируем обе части уравнения (2-17), от чего равенство не нарушится. Из матричной алгебры известно, что при транспонировании произведения матриц нужно транспонировать каждую матрицу отдельно и записать произведение в обратном порядке, а дважды транспонированная матрица равна исходной. Поэтому [21, = [Г] \г ъ \ { [Г],. Н о [2 В ], = [2 В ], так как матрица ветвей является диагональной и не изменяется при транспонировании. Следовательно, = [2], (2-28) это указывает на то, что при перестановке строк и столбцов матрица [2] не изменяется, а значит она симметрична. Из формулы (2-17) видно, что диагональный элемент £ к к матрицы [21 получается в результате умножения А-й строки произведения [Г] [2 В ] на &-й столбец матрицы [Г] ( , т. е. на вектор [у й1 , у м , ..., уы]. В свою очередь, /г-я строка произведения [Г] [2 В ] получается умножением к-й строки матрицы [Г] на матрицу [2 В ]. Это значит, что Zkk = [ум, Ум, • .. , у*г] [2В] [у/гь ум Ум]. Поскольку матрица диагональна, произведение первых двух сомножителей можно записать через вектор [у и 2 В 1 , у Л2 2 В1 , УА(2в/ ], тогда 2/гЛ' = У2А12В1 + у*22Вг + • • • + у | ; 2 в ; = V у2.гВ1. (2-29) 1=1 Величина уы положительна и отлична от нуля только для значений I, соответствующих ветвям, которые входят в /г-й контур. Значит Z k к равно сумме сопротивлений ветвей, входящих в £-й контур. Эта величина называется собственным сопротивлением &-го контура. Рассуждая аналогично, можно записать выражение для элемента, расположенного на пересечении &-й строки из я-го столбца матрицы [2], а именно: Zks — [Ум, Ум, •• • , Ум] [2В] [у51, У$2 Узг1. После перемножения получим = УМУз^в, + У ы У ^ г , + ••• + уиъ^»! = 2 (2-30) 1=1 Произведение УыУз1 отлично от нуля только для значений I, которые соответствуют ветвям, входящим одновременно в 6-й и я-й контуры, причем оно равно + 1 , если контуры в данной ветви направлены одинаково, и —1, если контуры направлены противоположно. Это значит, что элемент Хк5 равен сумме сопротивлений ветвей, общих для 6-го и я-го контуров. Элемент называется взаимным сопротивлением к-го и я-го контуров. Так как взаимное направление двух контуров одинаково относительно всех принадлежащих им ветвей, то и все слагаемые взаимного сопротивления имеют один и тот же знак. Д л я 6-й компоненты вектора [ £ ] на основании формулы (2-18) можно записать выражение Ек = — 17«. Ук2, • • •, Уы\ 1£в1 = I = — (УК\Ев, + УК2Ев, + • • • + УИЕК1) = — У) УЫЕв.. (2-31) /=1 Поскольку 6-я строка матрицы [Г] указывает на совокупность принадлежащих 6-му контуру ветвей с учетом их направлений относительно направления контура, то 6-я компонента вектора [ £ ] равна алгебраической сумме задающих напряжений ветвей, принадлежащих данному контуру. При этом задающие напряжения входят в сумму со знаком плюс, если они совпадают с направлением контура, и со знаком минус, если они направлены противоположно. Знак минус в выражении (2-31) появился вследствие того, что при записи матрицы контуров направления ветвей отождествлялись с положительными направлениями токов, а значит они противоположны положительным направлениям напряжений. Полученные выше результаты позволяют записать все элементы матрицы \1\ и вектора [ЕI непосредственно из схемы без каких-либо математических операций над матрицами и векторами. Соотношения (2-17) и (2-18) имеют теоретическое значение и служат, в частности, для обоснования правил записи матрично-векторных параметров. Следует заметить, что матрица ІZ] может быть составлена двумя способами: поочередным рассмотрением контуров и их комбинаций и поочередным рассмотрением ветвей. В каждом случае заранее заготавливается квадратная таблица с числом строк и столбцов, равным количеству независимых контуров. По первому способу можно рекомендовать следующий порядок записи матрицы. Сначала в таблицу записываются элементы главной диагонали, равные собственным сопротивлениям контуров. Затем рассматриваются комбинации контуров и заполняются клетки верхней от главной диагонали части таблицы элементами, равными взаимным сопротивлениям контуров с учетом их знака. 3 1-837 65 Наконец, заполняется нижняя часть матрицы с учетом ее симметрии относительно главной диагонали. По второму способу поочередно рассматриваются ветви схемы, и сопротивления ветвей с определенным знаком вписываются в соответствующие клетки таблицы как слагаемые. Из установленных свойств матрицы [ZI следует правило: сопротивление ветви алгебраически суммируется с теми элементами матрицы [Z], которые расположены на пересечении строк и столбцов с номерами проходящих через данную ветвь контуров, причем сопротивление вписывается со знаком плюс, если контуры направлены согласно, и со знаком минус, если контуры направлены противоположно относительно расРис. 27. Ветвь схесматриваемой ветви. Так, на рис. 27, на котомы, связанная с конром показана ветвь Zn с некоторой совокуптурами, а, Ь и с. ностью проходящих через нее контуров с номерами a, b и с, это правило может быть наглядно представлено следующим образом: a b c . .. а . . . + 2в . .. b . . . + 2В . .. + z B . .. . . . - 2 В . . . + 2В + 2В . .. с -z* -2В Если через ветвь проходит т контуров, то его сопротивление записывается в т2 клеток таблицы. Сопротивление главной ветви, через которую проходит единственный контур, входит в матрицу только один раз как слагаемое собственного сопротивления этого контура. Компоненты задающего вектора [ £ ] получаются алгебраическим суммированием задающих напряжений источников, входящих в соответствующие контуры, причем совпадающие с направлением контура напряжения записываются со знаком плюс, а противоположно направленные — со знаком минус. Если в схему входят Рис. 28. К примеру 1 гл. 2: а — и с х о д н а я схема; б — о п е р а т о р н а я схема; в — о п е р а т о р н а я схема после элемент а р н ы х п р е о б р а з о в а н и й ; г — п р и в е д е н н а я схема; д — с к е л е т н а я схема с системой независимых к о н т у р о в ; е — к а н о н и ч е с к а я система к о н т у р о в ( я ч е е к ) . источники тока, то их необходимо преобразовывать в источники напряжения по правилам, изложенным в § 7 гл. 1. При определении матрично-векторных параметров схемы по изложенным правилам учитываются только взаимные направления контуров относительно ветвей и направления задающих источников напряжения относительно направлений контуров. Направления ветвей имеют значение только при определении токов и напряжений ветвей по найденным значениям контурных токов. Пример 1. Записать матричио-векториые параметры схемы, приведенной на рис. 28, а. Эквивалентная операторная схема с учетом начальных условий показана на рис. 28, б. Преобразовав последовательно и параллельно соединенные двухполюсники к эквивалентным двухполюсникам по формулам табл. 5, а также внеся источник тока в контур (§ 7 гл. 1), получим схему, изображенную на рис. 28, в. После преобразования источников тока в источники напряжения по формулам (1-102) схема принимает вид, представленный на рис. 28, г. Сопротивления ветвей определяются выражениями: = 1 я* 1 +1 рс 4 pR.fi, + 1 К, = я 5 + я , + рЦ- 28 = /?4. + 23 ~ + рЦ\ 2„ = Задающие напряжения ветвей имеют значения: и с1(0) . ; £ 7 = -(/?,+р£ г ) / . Из скелетной схемы (рис. 28, 3) устанавливаем, что V = 5 и / = 8, следовательно, по формуле (2-8) число независимых контуров сг = 8 — 5 4 - 1 = 4 . Выбираем дерево, определяющее систему независимых контуров и, составив квадратную таблицу с четырьмя строками и четырьмя столбцами, по изложенным выше правилам записываем матрицу сопротивления и задающий вектор схемы: . 1 2, + г , + 2, + 2 8 2 3 -2г 28 22 + 24 + 2 5 25 - (2, + 28) 121 = 2а + 2 в + 28 — 28 -28 2, + 2 7 + 2 а - (2, + 28) 1 2 3 Ез + £, Матрично-векторные параметры зависят от того, как выбрана система контуров. Наиболее просто они выражаются в случае, когда через каждую ветвь проходит не более двух контуров, что соответствует так называемой канонической системе контуров. Она образуется контурами, которые охватывают ячейки схемы — замкнутые области, на которые схема разделяется ее ветвями (рис. 28, е). Если при этом условиться, что все контуры направлены одинаково (например, по часовой стрелке), то получается простое правило записи матрицы Сопротивление ветви, через которую проходит один контур, суммируется с собственным сопротивлением данного контура, а взятое со знаком минус сопротивление ветви, через которую проходят два контура (они всегда направлены противоположно), равно взаимному сопротивлению этих контуров. Так, для рассмотренного выше примера при выборе канонической системы контуров (рис. 28, ё) матрично-векторные параметры имеют вид: 1 2 2, + іг + г3 3 4 -23 -22 2, + г4 + гъ -25 + + -28 -23 г3 + г 7 + га + £а а б В Рис. 29. Скелетные схемы: — £ 3 — Е-) а — неплоская. б — плоская, вычерченная с п е р е с е ч е н и я м и ветвей; в — п л о с к а я без пересечения ветвей. Каноническая система контуров существует только для плоских схем, т. е. таких, которые можно представить на плоскости без пересечения ветвей. Пример неплоской схемы показан на рис. 29, а. Необходимо иметь в виду, что плоские схемы часто изображаются с пересечениями ветвей, и для того, чтобы применить каноническую систему контуров, необходимо перечертить ее без пересечений. Соответствующий пример показан на рис. 29, б и в. § 3. Метод узловых напряжений В качестве независимых величин можно принять совокупность узловых напряжений, которые отождествляются с напряжениями ветвей дерева схемы. Подставим в уравнение ветвей (2-3) вместо вектора напряжений ветвей его значение в соответствии с (2-16) 1/.I = [Уві [П], |U] + |УВ] и умножим это равенство на матрицу сечений [П], т. е. [П] [/В] = [П1([К В ] [ЛЬК/1 + l J j ) . Согласно первому закону Кирхгофа (2-14) произведение в левой части равенства тождественно равно нулю. Выполнив умножение в правой части, получим [0] = ([П] [У в ] [П],) [U] + [П] [Ув]. Введя обозначения [У] = |П] [Ув] [П],; [/] = - [П| [J в ], (2-32) (2-33) получим узловое уравнение схемы в матричной форме [У] [U] = [У]. Здесь [У] — квадратная матрица v-ro матрицей проводимости схемы порядка, 1 2 . . . 1 Уи у а . . . R.v 2 У2і У<гі .. . (2-34) называемая v (2-35) [У1 = V *\>1 У^2 . . . Y vv Как видно из выражения (2-32), ее элементы УА5 являются линейными комбинациями проводимостей ветвей. Многомерный вектор [Л = [А, А и (2-36) называется вектором задающих токов или просто задающим вектором, поскольку в соответствии с выражением (2-33) его элементами служат линейные комбинации задающих токов ветвей. Величины [У] и [У] представляют собой матрично-векторные параметры схемы и для данной системы независимых сечений вполне определяются значениями параметров ветвей, которые обычно считаются известными. Решив уравнение (2-34) относительно вектора узловых напряжений, получим значения напряжений в ветвях дерева. Это решение записывается через обратную матрицу проводимости [ К ] - 1 следующим образом: [Ш = [ К ] - ' Й (2-37) или в развернутом виде "г Дц и, д12 Д 21 . .. Д 22 . .. Л (2-38) . I А* Д 2у Здесь А — определитель матрицы проводимости, а Ак$ — алгебраические дополнения элемента У к5 матрицы [У], причем Уи Уі2 . . . /IV сіеі [У] = У21 У 22 • • • Угу (2-39) Уу. У\2 • . . Уvv Если выполнить умножение в правой части равенства (2-38) и приравнять элементы полученного в результате вектора соответствующим элементам вектора в левой части равенства, получим значения узловых напряжений. Д л я &-го узлового напряжения имеем ик = (Д,^ + Д2^2 + • • • + = х 2 Л»*у.- (2"4°) Полученное выражение обычно применяется при решении соответствующих матричному уравнению (2-34) системы V скалярных уравнений ¥ 2 1 и 1 + К22(У2 + • • • + У 2 ^ = Л; (2-41) + ••• + у^и* = л В каждом конкретном случае, выбрав систему независимых сечений с помощью некоторого дерева схемы и записав матрицу сечений [П], можно по формулам (2-32) и (2-33) определить матричновекторные параметры схемы. Однако, как и в методе контурных токов, проще пользоваться правилами, позволяющими записать матричио-векторные параметры непосредственно из рассмотрения схемы без математических операций над матрицами. Д л я этого выясним свойства матрицы проводимости [У] и вектора [У]. Как и матрица [Z], матрица [У] схемы, составленной из двухполюсных элементов, симметрична относительно главной диагонали, т. е. между её элементами имеется зависимость Yks = Ysk. (2-42) Действительно, транспонировав обе части уравнения (2-32), получим [У], = [П] [YB]t [IT],. С учетом того, что диагональная матрица при транспонировании не изменяется, т. е. \YB]t = [У] в , получаем [Y]t = [Y], (2-43) что указывает на симметрию матрицы проводимости схемы. Из формулы (2-32) видно, что диагональный элемент Y kk матрицы [ F ] получается в результате умножения k-й строки произведения [П] [У в ] на k-й столбец матрицы [П] ( , т. е. на вектор [я А1 , лкг, ..., пи]. В свою очередь, k-я строка произведения [П] [У в ] получается умножением k-й строки матрицы [П] на матрицу [У в ]. Это значит, что Ykk — [axfti, Я/а, • • • , ftki] [YB] [Jtfei, л и Учитывая, что матрица [У в ] диагональна, имеем Ykk = nl,YBl + яl2YBl + • • • + n\yBl пи]. = 2 <УВ.. i=i (2-44) Величина л и всегда положительна и отлична от нуля только для значений i, соответствующих ветвям, которые принадлежат /г-му сечению. Поэтому из выражения (2-44) следует, что Y kk равно сумме проводимостей ветвей, пересекаемых k-u сечением, в связи с чем эта величина называется собственной проводимостью k-ro сечения. Рассуждая аналогично, можно записать выражение для элемента, расположенного на пересечении k-й строки и s-ro столбца матрицы [У], а именно: Yks = [Яя, Лк2, . . . Я/»] [Ув] [я51, nS2, ... После перемножения получим , Jtsij. I • • • + я ы я 5 , У В ( = 2 Лыя 8( У В( .. (2-45) 1=1 Произведение я ы я 5( - отлично от нуля только для значений i, которые соответствуют ветвям, входящим одновременно в /г-е и s-e сечения, причем оно равно + 1 , если сечения по отношению к данной ветви направлены одинаково, и —1, если сечения направлены про- Yks = яА1Я51УВ1 + я и я 5 2 У в , + тивоположно. Это значит, что элемент У к , равен сумме проводимостей ветвей, общих для 6-го и х-го сечений. Элемент У к$ называется взаимной проводимостью 6-го и я-го сечений. Так как взаимное направление двух сечений одинаково относительно всех принадлежащих им ветвей, то и все слагаемые взаимной проводимости имеют один и тот же знак. Д л я к-й компоненты вектора [ Л на основании формулы (2-33) можно написать выражение К — — ["и, я®, • • • , я ы ] [/ в ] = = — (ящУв, + Яи^в, + I • • • + Я Ы 7 В/ ) = — 2 (=1 (2-46) Поскольку 6-я строка матрицы [П ] указывает на совокупность принадлежащих 6-му сечению ветвей с учетом их направлений относительно направления сечения, то 6-я компонента вектора [/1 равна алгебраической сумме задающих токов ветвей, принадлежащих данному сечению. При этом задающие токи входят в сумму со знаком плюс, если они совпадают с направлением сечения, и со знаком минус, если они направлены противоположно направлению сечения. На основании результатов, полученных выше, можно записать все элементы матрицы [У] и вектора [У] непосредственно из схемы без каких-либо операций над матрицами и векторами. При этом матрица может быть составлена двумя способами: поочередным рассмотрением сечений и их комбинаций и поочередным рассмотрением ветвей. В каждом случае заранее заготавливается квадратная таблица с числом строк и столбцов, равным количеству независимых сечений. Можно рекомендовать следующий порядок записи матрицы по первому способу. Сначала в таблицу записываются элементы главной диагонали, равные собственным проводимостям сечений. Затем рассматриваются комбинации сечений и заполняются клетки верхней от главной диагонали части таблицы элементами, равными взаимным проводимостям сечений. Наконец, заполняется нижняя часть матрицы элементами, симметричными относительно главной диагонали. По второму способу поочередно рассматриваются ветви схемы, и проводимости ветвей с определенным знаком вписываются в соответствующие клетки таблицы слагаемые. Из установленных выше свойств матрицы [У] следует правило: проводимость ветви алгебраически суммируется с теми элементами матрицы [У], которые расположены на пересечении строк и столбцов с номерами пересекающих данную ветвь сечений, причем проводимость вписывается со знаком плюс, если сечения направлены согласно, и со знаком минус, если сечения направлены противоположно относительно рассматриваемой ветви. Так, для случая, когда ветвь Ув принадлежит совокупности пересекающих ее сечений а, Ь и с (рис. 30), это правило может быть наглядно представлено следующим образом: .... -У в .... - К в .... .... .... .... + У .... в - У . -У в .... + Уь Ч Если ветвь пересекается т сечениями, то ее проводимость записывается в т2 клеток таблицы. Проводимость ветви, которую пересекает единственное сечение, входит в матрицу только один раз как слагаемое собственной проводимости этого сечения. Компоненты задающего вектора [У] получаются алгебраическим суммированием задающих токов и токов ветвей, пересекаемых соответствующими сечениями, причем совпадающие с направлением сечения токи записываются со знаком плюс, а противоположно направленные — со знаком минус. Если в схему входят источники напряжения, то их необходимо преобразоРис. 30. Ветвь схемы, свявать в источники тока. занная с сечениями а, Ь и с. При определении матрично-векторных параметров схемы по изложенным правилам принимаются во внимание только взаимные направления сечений относительно ветвей и направления задающих токов источников относительно направлений сечений. Направления ветвей учитываются только при определении токов и напряжений ветвей по найденным значениям узловых напряжений. Пример 2. Записать матрично-векторные параметры схемы, приведенной на рис. 31, а. Эквивалентная операторная схема с учетом начальных условий показана на рис. 31, б. Преобразовав последовательно и параллельно соединенные двухпо- люсники к эквивалентным двухполюсникам по формулам табл. 5, а также вынеся источник напряжения за узел (§ 7 гл. 1), получим схему, изображенную на рис. 31, в. После преобразования источников напряжения в источники тока по формулам (1-102) схема принимает вид, приведенный на рис. 31, г. / ФО /\/ N \ ! © Рис. 31. К примеру 2 гл. 2: а — и с х о д н а я схема; б — о п е р а т о р н а я с х е м а ; в — о п е р а т о р н а я схема после э л е м е н т а р н ы х п р е о б р а з о в а н и й ; г — п р и в е д е н н а я с х е м а ; д — с к е л е т н а я схема с системой н е з а в и с и м ы х сечений; е — к а н о н и ч е с к а я система сечений ( у з л о в ) . Проводимости ветвей определяются выражениями: Уі рС1 рСЛ+ „ Г 1 1 К3 = 02; К4 = рС2; Г5 = рЦ К в = 0 3 ; К 7 = 0 5 ; Г 8 = рС 3 ; К э = 0 4 + 0 а . Задающие токи ветвей имеют значения: і, (0) J l = ЕУХ; J.1 = — ; У„ = У; = £04. Рассматривая скелетную схему (рис. 31, д), устанавливаем, что V = 5, следовательно, ао формуле (2-7) число независимых сечений V = 5 — 1 = 4. Выберем дерево, определяющее систему независимых сечений, и по изложенным выше правилам записываем матрицу проводимости и вектор задающих токов: 3 У у + У 2 - + У 3 + У 4 -(Уі + Уз+Уі) (Уг + Уш + У*) Ул ++ КУ,+ , + У* + к в У* У4 -У, У, + У 9 - У4 У, + к, У4 + Уь+У. у» Уі + у. + Гв + г 6 + к 9 • Л + У, + Л [У]. >ч Л + 'е . 4 ' \ I Рис. 32. КаноV/ ническая система сечений (узлов). + А Сложность матрицы [К] и вектора [7] в значительной мере зависит от того, как выбрана система сечений. Наиболее просто они выражаются в случае, когда каждую ветвь пересекает не более, чем два сечения, что соответствует канонической системе сечений. Она образуется сечениями, охватывающими только по одному узлу схемы, и соответствует дереву, все ветви которого выходят из единого узла, называемого базисным (рис. 31, е). При этом часть ветвей дерева может не совпадать с ветвями схемы, так как последние могут отсутствовать между некоторыми узлами и базисным узлом (рис. 32). Если условиться отсчитывать узловые напряжения от базисного узла, то сечения будут направлены во внутреннюю область относительного узла, как указано на рис. 32 (напомним, что направление сечения совпадает с положительным направлением напряжения ветви дерева, а значит противоположно направлению тока). Ветви, включенные между базисным узлом и каким-либо узлом схемы, принадлежат только одному сечению, а ветви, включенные между двумя узлами, из которых ни один не является базисным, принадлежат двум сечениям с противоположными направлениями. В рассматриваемом случае сечения можно отождествлять с узлами. Система независимых узловых напряжений будет вполне определена, если выбрать базисный узел и пронумеровать остальные узлы порядковыми числами от 1 до V. При этом матрица проводимости [У] записывается по простому правилу: собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся к данному узлу, а взаимная проводимость двух узлов — взятой с отрицательным знаком сумме проводимостей ветвей,включенных между этими узлами. Можно записать матрицу [У], также рассматривая поочередно ветви схемы: проводимость ветви, включенной между базисным узлом и каким-либо узлом схемы,суммируется только с собственной проводимостью этого узла, а проводимость ветви, которая включена между двумя узлами, суммируется со знаком плюс с собственными проводимостями и со знаком минус — с взаимными проводимостями этих двух сечений. Компоненты задающего вектора [ Л равны алгебраическим суммам задающих токов, притекающих к данному узлу. Поскольку сечения направлены во внутреннюю область узла, то задающие токи, направленные к узлу, суммируются со знаком плюс, а направленные от узла — со знаком минус. Так, для рассмотренного выше примера при канонической системе сечений, соответствующей четырем узлам схемы (рис. 31, е), матричио-векторные параметры имеют вид: 1 / Ух + У* + + У, + У 4 2 У4 3 -Уз 4 -У2 2 3 4 -У, - Уз У4 У 4 + У* + -У, -У5 Уз + У5 + — У7 У7 у , + К, + к 9 1 [/] = 2 Ь + Ь 3 4 А Каноническая система сечений может быть выбрана для любой схемы как плоской, так и неплоской, поскольку здесь нет ограничений, подобных тем, которые связаны с выбором канонической системы контуров. При рассмотрении методов контурных токов и узловых напряжений удобно воспользоваться понятием дуальности, которое играет в теории схем большую роль. Сравнивая изложенное в двух последних параграфах, можно заметить, что имеется аналогия во всех выкладках для рассмотренных методов представления матрично-векторных параметров схемы и определения искомых величин. Полученные выражения и правила сходны по форме и отличаются друг от друга только названиями величин и терминов. Эти величины и термины называются дуальными. Примерами дуальных величин являются ток и напряжение, проводимость и сопротивление, контурный ток и узловое напряжение. Дуальными терминами являются источник тока и источник напряжения, контур и сечение, ячейка и узел и т. п. Практическое значение принципа дуальности состоит в том, что замена в формулировке любой зависимости или правила величин и терминов соответствующими дуальными величинами и терминами приводит к новой формулировке, которая также имеет смысл. Это значит, что изучив некоторую группу соотношений, на основе принципа дуальности можно получить другую группу соотношений относительно дуальных величин и терминов. Вследствие принципа дуальности матричное уравнение схемы можно представить в обобщенной форме [Г] [X] = [(?]. (2-47) Входящие в это уравнение величины приобретают конкретный смысл в зависимости от системы отсчета величин, характеризующих состояние схемы. Если в качестве такой системы выбрана совокупность независимых контуров, то [XI представляет собой вектор контурных токов, [№] — матрицу сопротивления схемы и [ <31 — вектор задающих напряжений. Если в качестве системы отсчета выбрана совокупность независимых сечений, то [X ] представляет собой вектор узловых напряжений, — матрицу проводимости схемы и I <51 — вектор задающих токов. Совокупность независимых контуров или сечений можно рассматривать как некоторую систему координат в многомерном пространстве, а значения контурных токов или узловых напряжений — как некоторые координаты, характеризующие состояние схемы при данных значениях параметров ее элементов. Таким образом, вектор [X] является некоторой обобщенной координатой схемы, в связи с чем его можно назвать вектором состояния схемы. Этот вектор однозначно определяется через матрично-векторные параметры схемы т и [си [X] = [ Г ] - 1 [<?]. (2-43) В принципе методы контурных токов и узловых напряжений являются равноценными. Преимущества одного из них проявля- ются в конкретных случаях. Например, как это следует из выражений (2-7) и (2-8), матрично-векторные параметры имеют низший порядок при выборе метода узловых напряжений, если V < а , т. е. при условии I > 2 (и — 1). В противном случае преимущество в этом смысле за методом контурных токов. § 4. Схемы с индуктивными связями Индуктивная связь между элементами схемы отражает наличие общих магнитных потоков в катушках индуктивности. Зависимости между токами и напряжениями двух связанных индуктивностей Ьа и Ьь (рис. 33, а), имеют вид Ша <аь и„ = 1„ <и -Ь МаЬ- ш (2-49) шь А'о Ъ = М а Ь ш + 1ь- ш где МаЬ — взаимная индуктивность. В алгебраической форме эти уравнения записываются следующим образом: <2 60) «/.-Я/. + зд.) ' где га = рЬа, 1Ъ = рьь и I™ = рМаЬ. Величина 7,аь называется сопротивлением взаимоиндукции. Под величинами 1 а и подразумеваются операторные сопротивления индуктивно связанных ветвей (рис. 33, б), в которые наряду с индуктивностями могут входить сопротивления и емкости. Взаимная индуктивность МаЬ, а значит и сопротивле- Рис. 33. Схемы с индуктивными связями: а — связанные индуктивности; б — индуктивние взаимоиндукции Ъ^ь могут но с в я з а н н ы е д в у х п о л ю с н и к и . быть как положительными, так и отрицательными величинами. Д л я суждения о знаке этой величины необходимо рассмотреть магнитные потоки в индуктивно связанных катушках. Если при выбранных положительных значениях токов в катушках магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции усиливают друг друга, сопротивление взаимоиндукции следует считать положительным, а если ослабляют — отрицательным (рис. 34). Направления магнитных потоков для выбранных положительных токов в катушках можно определить по правилу буравчика. Если конструкция обмоток неизвестна, можно воспользоваться экспериментальным способом. К одной из обмоток присоединяется батарея, а к другой — вольтметр постоянного тока так, чтобы полярности батареи и вольтметра соответствовали выбранным поло- жительным направлениям токов в катушках. Знак сопротивления взаимоиндукции устанавливается по направлению отклонения стрелки вольтметра при включении батареи (рис. 35). и Ц 'а —о г 11—\ ; ь>0 • о4 Рис. 34. К определению знака взаимной индуктивности МаЬ на основании взаимного направления магнитных потоков в катушках. При изменении положительного направления одного из токов на обратное соответственно изменяется и знак сопротивления взаимоиндукции. Обычно один из зажимов кажМаЬ>0 дого индуктивно связанного двухполюсника отмечают каким-либо значком, наприМаЬ>0 МаЬ<0 те от Рис. 35. Экспериментальное определение знака взаимной индуктивности. Рис. 36. Катушки индуктивности с общим магнитопроводом, взаимные индуктивности которых всегда имеют разные знаки. мер, жирной точкой (рис. 34). Отмеченные зажимы называют одноименными. При определении знака сопротивления взаимоиндукции считают, что токи в двухполюсниках направлены одинаково относительно одноименных зажимов. Одноименные зажимы удобно выбирать так, чтобы сопротивление взаимоиндукции было положительным. Однако это не всегда осуществимо, если число индуктивно связанных катушек больше двух. Соответствующий пример показан на рис. 36. Пусть для катушек Ь а и Ь ь , а также для катушек Ь а и Ь с одноименные зажимы выбраны так, чтобы М а Ь и М а с были положительными. Тогда для пары катушек Ьь и Ьс получаем МЬс < 0. Поэтому в подобных случаях одноименные зажимы отмечают произвольным способом и уже по отношению к ним определяют знак коэффициента взаимоиндукции 1 . Иногда до решения задачи о величине взаимной индукции ничего не известно, и цель анализа схемы — определение ее знака и численного значения. В таком случае приходится выбирать одноименные зажимы произвольно, а в результате расчета взаимная 1 Это обстоятельство часто не учитывается, и в литературе встречаются указания на то, что коэффициент взаимоиндукции всегда положительная величина. индуктивность может получиться как положительной, так и отрицательной величиной. Таким образом, под будем понимать величину, которой присущ свой собственный знак в зависимости от конкретного спо- Рис. 37. Индуктивно связанные ветви схемы: а — с источниками н а п р я ж е н и я ; б — с и с т о ч н и к а м и т о к а . соба осуществления индуктивной связи и выбранного обозначения одноименных зажимов. От знака следует отличать знак, с которым эта величина входит в уравнения схемы. Индуктивная связь может иметь место не только между двумя, но и любым числом ветвей схемы (рис. 37, а). В общем случае можно считать, что все I ветвей схемы индуктивно связаны между собой, причем связь между к-й и я-й ветвями характеризуется сопротивлением взаимоиндукции Тогда уравнения ветвей запишутся в виде: 2 и В, ~ 2 В ,/ в иВг = п1в, + ••• + + + ••• 1+ Ев- + Е в2; (2-51) и в, = я й / . , + В матричной форме эта система уравнений запишется следующим образом: уМ уМ и. 12 уМ и. 12 ва уМ уМ 21 .... • ип И .... Iм21 + В» 'В1 (2-52) или в сокращенной записи [*/.] = [2ВМ] [/в] + [Еа]. (2-53) По своей структуре уравнение (2-52) совпадает с матричным уравнением (2-1) для ветвей без индуктивных связей, но матрица / К 2 . . . I 7М . .. 7М . .. 7М 12 уМ [2 м. 12 21 (2-54) уМ 7М 21 . .. уже не является диагональной. Ее элементами служат собственные сопротивления и сопротивления взаимоиндукции, причем, так как 2 ^ = 2 ^ , матрица [ 2 ^ ] симметрична относительно главной диагонали. Обычно в схемах, встречающихся на практике, индуктивная связь имеет место только между небольшим числом ветвей, поэтому многие взаимные сопротивления оказываются равными нулю. Если схема с индуктивными связями состоит из двух или нескольких частей, то при определении ее параметров по методу контурных токов необходимо выбрать для каждой части свое дерево. Совокупность деревьев всех частей образует так называемый лес схемы, который определяет систему независимых контуров. Матрица сопротивления может быть получена по формуле (2-17), в которую вместо матрицы [2„] следует подставить матрицу ], т. е. [2] = [Г] 1 [Г],. (2-55) •Задающий вектор \Е] определяется, как и для кондуктивных схем, по формуле (2-18) или в соответствии с правилом, изложенным в § 2 этой главы. Если в схеме имеется небольшое число индуктивно связанных ветвей, то матрицу сопротивления [2] можно записать непосредственно по схеме, руководствуясь правилом, которое вытекает из формулы (2-55). Сначала составляется матрица сопротивления схемы без учета индуктивных связей. Затем попарно рассматриваются все индуктивно связанные ветви и с учетом проходящих через,них контурных токов вписывается в соответствующие клетки матрицы [2] сопротивление взаимоиндукции этих ветвей. Пусть, например, рассматриваются индуктивно связанные 6-я и 5-я ветви, сопротивление взаимоиндукции которых . Пусть также через 6-ю ветвь проходят контуры а и Ь, а через 5-ю ветвь — контуры а и с (рис. 38, а), т. е. контур а является общим для обеих ветвей. Сопротивление взаимоиндукции впишется в клетки матрицы, расположенные на пересечении строк и столбцов, номера которых соответствуют всем комбинациям контуров, проходящих 6 Рис. 38. Индуктивно связанные двухполюсники: о — к о н т у р ы , п р о х о д я щ и е через д в у х п о л ю с н и к и ; б — мнемоническая схема и н д у к т и в н о й с в я з и . через 6-ю ветвь, с контурами, проходящими через Я-Ю ветвь. При ЭТОМ величина вписывается со знаком плюс, если контуры направлены одинаково относительно одноименных зажимов, и со знаком минус, в случае противоположных направлений контуров. Это правило наглядно изображается следующим образом: а Ь .. . а . .. Ь . .. 7м с . .. 7М 7М с . .. 7м . .. . .. . . . 4- 7 м При записи матрицы \1\ по этому правилу удобно пользоваться мнемоническими схемами, составляемыми для каждой пары индуктивно связанных ветвей, как показано на рис. 38, б. В данном случае имеется общий для индуктивно связанных ветвей контур а, одинаково направленный относительно одноименных зажимов. Поэтому на пересечении а-й строки и а-го столбца матрицы \ 1 \ величина вписывается дважды со знаком плюс, в результате чего появляется слагаемое Пример 3. Определить матрицу сопротивления [7.] схемы, приведенной В схеме имеется семь ячеек (так как 1 = 13, о = 8 и к = 2, то = 13 — 8 + + 2 = 7 ) . Мнемонические таблицы для пар индуктивно связанных ветвей представлены на рис. 39, в. Заполняем таблицу сопротивлений схемы без учета индуктивных связей и таблицу сопротивлений взаимоиндукции: 1 2 -22 3 -23 5 3 -гг 1 4 2 4 5 +28213 — 213 7 -23 2 2 +2 4 — 7 ^10 -2„ -2, 7 ^ 13 6 7 6 2ю+2ц + 2 1г -2„ -2„ 28 + +2и+29 1 2 2 3 4 ~ 3 4 7М 45 7М ~ ^47 7М 45 4+ 6 7 7м т 7м 5 57 7М ~^10,13 757м 5 7М — ^10,13 6 м 4- 7 Т ^10,13 4- — — гм ^10,13 7М ^ю,1з 7М 10.13 7 Искомая матрица сопротивления [2] получается суммированием соответствующих элементов этих двух таблиц. Для определения матрично-векторных параметров схемы по методу узловых напряжений необходимо располагать значениями проводимостей ветвей и преобразовать все источники напряжения в источники тока. Умножая уравнение (2-53) на обратную матрицу \ Z B \ ~ 1 И решая его относительно вектора токов ветвей [/ в ], получим [/в] = [2в Л 'Г' № - [2в М Г' [Ев\. Это уравнение можно записать в виде [/в] = [УвМ] [С/.] + (2-56) т.е. матрица проводимости ветвей схемы с индуктивными связями равна, как и ранее, обратной матрице сопротивлений ветвей К в, уМ г 12 . .. уМ Г 12 уМ ' 11 уМ 'И = ^ Г 1 . = уМ 1 1/ 1уМ 21 . .. (2-57) Но следует иметь в виду, что так как матрица [2ВМ] недиагональна, элементы матрицы [У;'),| уже не равны обратным значениям соответствующих элементов матрицы а должны быть определены по общим правилам обращения матриц. Элементы главной диагонали УВк представляют собой проводимости ветвей, а величины У ^ — проводимости взаимоиндукции /г-й и я-й ветвей. Аналогично определяется вектор задающих токов ветвей [Увм] = JBs, • • • , Л,] = - ^ ] - ' [Ев]. (2-58) ? •I/ . и'г Ф^ Ь, и2 Рис. 40. Два индуктивно связанные двухполюсника с источниками: а — напряжения; б — тока. Компоненты вектора [./„ ] представляют собой задающие токи индуктивно связанных ветвей. Таким образом, если известны сопротивления и задающие напряжения ветвей, а также сопротивления взаимоиндукции индуктивно связанных ветвей (рис. 37, а), то по формулам (2-57) и (2-58) можно определить собственные проводимости и задающие токи ветвей, а также проводимости взаимоиндукции индуктивно связанных ветвей (рис. 37, б). При этом У„. Ф — , У^ ф -4т^п 7 £ и ф а имеют место более сложные зависимости, вытекающие из приведенных выше матричных равенств. В частном случае, когда индуктивно связаны только две ветви (рис. 40, а), имеем уМ [2ВМ] = уМ 12 гВ 2 Определим обратную матрицу В, 7М — с\2 7М — ^12 К 2 Умножение или деление матрицы на какую-либо величину равносильно умножению или делению на эту величину каждого ее элемента. В связи с этим общий множитель или делитель всех элементов может быть вынесен из матрицы, как это сделано выше. Из полученного выражения для [2в'] _ 1 в соответствии с равенством (2-57) можно написать: _ 7М у __ . *в' ' у _ уМ . ' В2 _ 12 " 12 (2-59) По формуле (2-58) имеем 2 1 ~~ вг 7М 7М '12 7 Е 1 откуда можно записать значения задающих токов ветвей I _ •'в, — + 7 7 7д1 3 _ _ •'в, — „ „ — 2В1£пг • (/-ои) При — 0 выражения (2-59) и (2-60) приводятся к простым соотношениям (1-102) и (1-103) для преобразования ветвей без индуктивных связей. Аналогично решается задача и для большего числа ветвей. После того как сопротивления и источники напряжения индуктивно связанных ветвей преобразованы в проводимости и источники токов, задача определения матрично-векторных параметров по мет узловых напряжений решается аналогично методу контурных токов. Дальше воспользуемся принципом дуальности и сформулир соответствующие правила на основе полученных выше. Выбрав на основании дерева схемы (или леса в случае многосвязной схемы) систему сечений, матрицу проводимости получим по формуле [У] = [П] [ F f ] [П],. (2-61) Задающий вектор [ / ] определяется, как и для кондуктивных схем, по приведенному в § 3 правилу или по формуле [У] = - [П] [ / * ] . (2-62) Если в схеме имеется небольшое число индуктивно связанных ветвей, то матрицу проводимости [ F ] можно записать непосредственно по схеме, руководствуясь правилом, которое вытекает из формулы (2-61). Сначала составляется матрица проводимости схемы без учета индуктивных связей. Затем попарно рассматриваются все индуктивно связанные ветви и с учетом пересекающих их сечений вписывается в соответствующие клетки матрицы [У] проводимость взаимоиндукции этих ветвей. Пусть, например, рассматриваются индуктивно связанные /г-я и s-я ветви, проводимость взаимоиндукции которых Yul• Пусть также /е-й ветви принадлежат сечения а и Ь, а s-й ветви — сечения а и с (рис. 41, а), т. е. сечение а — общее для обеих ветвей. Проводимость взаимоиндукции У kl впишется в клетки матрицы, расположенные на пересечении строк и столбцов, номера которых соответствуют всем комбинациям сечений, принадлежащим k-й ветви, с сечениями, принадлежащими s-й ветви. При этом величина УЦ вписывается со знаком плюс, если сечения направлены одинаково относительно одноименных зажимов, и со знаком минус, в случае противоположных направлений сечений. Это правило наглядно изображается следующим образом: a b c . .. а . .. . . . + 2Vf s . .. yM — Г ks . .. . .. . .. yM — " ks с . .. . .. • • . .. . .. . .. . . . . . .. . .. . .. . . . . .. . .. yM ' ks . .. yM ~ ' ks y.M . .. Ь • . .. При записи матрицы [У] по этому правилу также удобно пользоваться мнемоническими таблицами, которые составляются для каждой пары индуктивно связанных ветвей, как показано на рис. 41, б. В данном случае имеется общее для индуктивно связанных ветвей сечение а, одинаково направленное относительно одноимен- Рис. 41. Индуктивно связанные двухполюсники: о — сечения, п е р е с е к а ю щ и е д в у х п о л ю с н и к и ; б — м н е м о н и ч е с к а я схема индуктивной связи. ных зажимов, поэтому на пересечении а-й строки и а-го столбца матрицы [У] величина УЦ вписывается дважды со знаком плюс, в результате чего появляется слагаемое + 2 У Й . Пример 4. Определить матрицу проводимости [К] и задающий вектор [У] схемы, приведенной на рис. 39, а, для канонической системы сечений. Сначала преобразуем сопротивления ветвей в проводимости и источники напряжения в источники тока. Д л я индуктивно связанных ветвей 2 4 , 2 7 можно записать матрицу (считаем, что направления ветвей выбраны одинаковыми относительно одноименных зажимов) 24 [2?] = 245 25, 246 247 247 25-, 2, Матрица проводимости ветвей имеет вид — 1 М,—1 1С) = Кг1 = <1еИ2ам] 2472б7 245257 2 г 57 24527 2,47^57 24527 2 2 4 2, — г 47 24й247 — 24267 24Й2В7 — 25г47 245247 24257 2 2426 — 245 Задающие токи этих ветвей определяются по формуле (2-58), т. е. где знак «минус» перед Е7 учитывает, что этот источник направлен противоположно положительному направлению напряжения, как это принято на рис. 37, Перемножив соответствующие строки матрицы на вектор задающих напряжений, получим значения задающих токов ветвей. иеі1 У г, = = — м (•24Г,247 — 24257) ^еТТі^Г ~ ^ Е7\ Ет Рис. 42. К примеру 4 гл. 2: а — схема рис. 39 после п р е о б р а з о в а н и я ветвей с источниками н а п р я ж е н и я в ветвн с источниками тока; б — мнемонические схемы д л я и н д у к т и в н о с в я з а н н ы х ветвей. Проводимости и задающие токи двух индуктивно связанных ветвей 7 1 0 и 7 1 3 определяются по формулам (2-59) и (2-60): V I 10 10 — ^13 п ; ґ' — V у1 7 7 2 , 13 > 10, 13 ^ 'іо'ІЗ 7 7 •'іо'із— ^10,13 ; із — '7М 7' і з Г /^7ю I 10 ~ ^Ю' із^із г 7 7 — '7ю2 , 13 ' 'м'Чз ~ 72 '10,13 7и,Ну 2 '7к т7з — 7 13 Проводимости равны обратным значениям соответствующих сопротивлений, а задающие токи остальных ветвей выражаются по формуле (1-103) г 8 . 7—; «Чг — Е 1г 7—• Выбрав один из узлов в каждой части преобразований схемы (рис. 42, а) в качестве базисного и обозначив остальные узлы порядковыми числами (в данном случае о = 8 , к= 2, следовательно V = 8 — 2 = 6 ) , заполняем сначала квадратную таблицу без учета индуктивных связей 1 2 У1 + У*+ - уГ 3 4 5 6 - У 1 УХ + У» + ~ У , -У7 + ^,3 -у, У, + УЮ + + '12 - у А У*+УП+ - -у» + ^12 -у* У7 Мнемонические схемы для индуктивно связанных ветвей показаны на рис. 42, б. На основе этих схем вписываем соответствующие проводимости взаимоиндукции 1 2 3 У 45 ^47 Уп У51 У 57 У« -У» 4 У 57 5 6 Ую< 13 У10' 13 ^47 ^57 Матрица проводимости элементовэтих таблиц 1 2 ^1 + ^2 + суммированием 3 1 + ^45 -^47 получается 4 соответствующих, 5 ^47 У 57 - У 57 У 6 + У , + + У13 - У , - — - У 7 ^ 10' 13 - У Е - ~ У » 13 - у а У,+ УЦ + ^12 ^47 6 - У 47 У4 - У [У] У57 У7 ~ У , + - У8 ^7 + ^8 + Компоненты задающего вектора определяются как алгебраические суммы задающих токов, втекающих в узлы схемы, т. е. 1 - К 2 -1% О О У 7 — Лз 4 У 10+ У12 5 6 У* ^12 — У 7 4" У 8 Хотя методы контурных токов и узловых напряжений дуальны и правила записи матрично-векторных параметров аналогичны, метод контурных токов более удобен для анализа схем с индуктивными связями. Это объясняется тем, что индуктивные связи принято характеризовать сопротивлениями взаимоиндукции, и не требуется переход к соответствующим проводимостям и задающим токам. Глава о ФУНКЦИИ СХЕМЫ § 1. П е р в и ч н ы е и в т о р и ч н ы е п а р а м е т р ы с х е м ы Матрично-векторные параметр^/— матрица схемы [И7] и задающий вектор [<21 —определяются параметрами элементов данной схемы (значениями сопротивлений или проводимостей, задающих токов и напряжений). Кроме того, они зависят от характера системы координат (контуры или сечения) и от того, какая из возможных систем независимых контуров или сечений принята при рассмотрении схемы. Для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, матрицу [ № | и вектор [С?) называют первичными параметрами схемы. Электрическое состояние схемы определяется значениями токов и напряжений, которые получаются в результате решения уравнения схемы относительно вектора состояния [XI. На практике часто представляют интерес не сами токи и напряжения, а соотношения между этими величинами на входах и выходах схемы. Эти соотношения в обобщенном виде выражаются некоторыми функциями комплексной переменной р = о + /со. Они характеризуют свойства схемы относительно некоторых фиксированных входов и выходов и называются функциями схемы. В зависимости от функционального назначения схемы воздействия, приложенные к ее входам, рассматриваются как носители информации (сигналы) или как источники энергии, при этом преобразования, осуществляемые схемой над входными воздействиями, определяются функциями схемы. Функции схемы определяются только параметрами ее элементов и способом соединения последних и для дачной совокупности фиксированных входов и выходов не зависят от выбора системы ко1и Рис. 43. Разновидности схем: а — о несколькими полюсник. входами и выходами; б — д в у х п о л ю с н и к ; в четырех- ординат. В связи с этим функции схемы можно назвать вторичными параметрами схемы. В общем случае схема может иметь несколько входов и выходов (рис. 43, а). Предполагается, что в самой схеме отсутствуют задающие источники и начальные условия нулевые. Каждому входу и выходу соответствует пара внешних узлов (полюсов). К входным полюсам присоединяются источники напряжения или тока, действие которых учитывается входными величинами и в К [ и / в х . (г = 1, 2, ..., т ) . К выходным полюсам могут присоединяться пассивные двухполюсники, и состояние схемы на выходах характеризуется выходными величинами б'вых,- и 1ВЫХ/ (/ = 1, 2 п). Следует выделить два частных случая. Если имеется только один вход, то схема приводится к двухполюснику (рис. 43, б). При наличии только одного входа и одного выхода схема приводится к четырехполюснику (рис. 43, в). Если обозначить любую входную величину (ток или напряжение) Хвх., а выходную Х в ы х ., то вследствие линейности схемы можно написать зависимость Х в ы х / = Р цХВХи (3.1) где Рц — некоторая функция, связывающая входную и выходную величины. Реакция Хвых. на у'-м выходе от воздействий на всех гп входах на основе принципа суперпозиции может быть выражена суммой реакций от воздействия на каждом входе отдельно, т. е. т Хвых/ = РцХвх, + ^г/Хвх, + • • • + ^т/ХВхот = 2 РцХьн. (3-2) (=1 Таким образом, схему с несколькими входами и выходами можно характеризовать набором функций отражающих свойства схемы при передаче сигнала или энергии от г-го входа до /-го выхода при отсутствии воздействий на других входах. Это значит, что рассмотрение сложной схемы с несколькими входами и выходами можно Рис. 44. Нагруженный четырехполюсник: а — с источником напряжения на входе; б — с источником тока на входе. свести к рассмотрению набора четырехполюсников для требуемых комбинаций входов и выходов. Поэтому в дальнейшем сосредоточим внимание именно на схемах, приводящихся к четырехполюснику (рис. 43, в). Источник энергии или сигнала, действующий на входе четырехполюсника, может быть представлен в виде идеального источника напряжения Е с внутренним сопротивлением (рис. 44, а) или идеального источника тока.] с внутренней проводимостью У и (рис. 44, б). Нагрузка на выходе соответственно представляется сопротивлением 1 а или проводимостью У н . Очевидно, справедливы соотношения: ^вх = Е ^ВЫХ 2И/ВХ; (3-3) вых (3-4) == ИЛИ IBX = J - У а и в х ; /вых = ^ Н^ВЫХ- (3-5) (3-6) Важными являются следующие вторичные параметры четырехполюсника, характеризующие прохождение через него энергии и сигналов: коэффициент передачи напряжения = (3-7) и вх коэффициент передачи тока к, = ; /вх (3-8) сопротивление передачи Znep = ; / вх (3-9) проводимость передачи Упер = (3-10) U вх В общем случае сопротивление и проводимость передачи не взаимно обратные величины. Учитывая соотношения ( 3 - 4 ) и ( 3 - 6 ) , эти параметры можно выразить через коэффициенты передачи на пряжения и тока следующим образом: Znep = ZnKi Упер = У пКи = v'- - ; = (3-11) 'н • (3-12) К вторичным параметрам относится также входное сопротивление ZBX = - ^ - , (3-13) I вх или обратная ему величина — входная проводимость Увх = - ^ . и вх (3-14) Входные сопротивления и проводимость также можно выразить через другие вторичные параметры. Так как ^BX Z вх — ' 'вх то с учетом выражений 7 ^вх ^вых ^вх 'вых ^вых 'вх 'вых 'вх (3-11) и ( 3 - 1 2 ) получаем г пер вх — —р Л [/ К К _ 1 _ 1 — у — V К ' пер ' нЛу входная проводимость Аналогично V - К ц ' вх — 7 пер - КпеР — кЛ / _ V 1 — к н ~ " к 7 - К н ! А' ' 1\и К и — 7 К ' V /О.гч ' И 1 Входное сопротивление или входная проводимость характеризуют четырехполюсник как нагрузку на источник сигнала или энергии. С этой точки зрения четырехполюсник вместе с нагрузкой на его выходе можно представить (рис. 45) эквивалентным пассивным двухполюсником, сопротивление (проводимость) которого определяется значениями его входного сопротивления (проводимости). Непосредственно из рис. 45 следует выражение для входных тока и напряжения: /вх — 2 + 2 И В и вх = (3-17) 1 Уи 4увх ^ 2И + 2В (3.18) К ' и 4" К вх Относительно выходных полюсов четырехполюсник вместе с источником на входе в соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе можно представить эквивалентным активным двухполюсником (рис. 46). Задающие напряжение Еэ и ток Jэ оп^ I ределяются соответственно как напрячь и х жение холостого хода и ток короткого замыкания на выходе четырехполюсника: Е , — ( У вых) г п = оо 1 (з-19) Уэ — ( / вых) Рис. 45. Эквивалентная замена четырехполюсника: а — входным сопротивлением; б — входной проводимостью. 1п = 0 (3-20) Так как выходное напряжение при холостом ходе равно КиИ в х , то с учетом выражения (3-18) можно написать: 0 0 К кии 7 вх и = J (3-21) £э = Е К 42„ + К и ' Ув где Ки и 2ВХ — соответственно коэффициент передачи напряжения и входное сопротивление схемы при холостом ходе на выходе. Аналогично, выходной ток при коротком замыкании равен /С// вх , и с учетом выражения (3-17) имеем Jь = Е К", К 7 и 4' 7 вх к У и 4~ 'Кв (3-22) где /С/ и 2ВХ — соответственно коэффициент передачи тока и входное сопротивление при короткозамкнутом выходе. Величины 2 Вых и У вых представляют собой соответственно выходное сопротивление и проводимость четырехполюсника. Они определяются при Е = 0 и У == 0 соотношениями: и. У ВЫ .4 и. (3-23) (3-24) Напомним, что при Е — О полюсы идеального источника напряжения закорачиваются, а при I — 0 ветвь с идеальным источником тока разрывается. Выходное сопротивление (проводимость) можно рассматривать как входное, если вход и выход четырехполюсника поменять местами, а в качестве нагрузки считать внутреннее сопротивление (проводимость) источника. Значения вторичных параметров можно найти для каждой конкретной схемы, определив предварительно каким-либо образом о * Рис. 46. Замещение четырехполюсника эквивалентным генератором: а — с источником н а п р я ж е н и я ; б — с источником тока. соответствующие токи и напряжения. Однако такой путь нецелесообразен, так как он приводит к громоздким расчетам, которые в значительной части повторяются в каждом конкретном случае. В то же время имеется возможность установить непосредственную связь между первичными и вторичными параметрами и, таким образом, получить для последних зависимости в общей форме. Пусть четырехполюсник представляет собой произвольную схему, не содержащую задающих источников. В качестве системы координат рассматриваемой схемы может быть выбрана совокупность независимых контуров или сечений. Рассмотрим каждый из этих случаев. § 2. Связь вторичных параметров с матрицей сопротивления схемы Условимся совокупность независимых контуров выбирать таким образом, чтобы каждое из внешних напряжений 1УВХ и 1/ вых четырехполюсника входило только в один контур. Таким образом, будем иметь только два внешних контура — входной и выходной, направления которых для определенности выберем по часовой стрелке. Обозначим номер входного контура а, э выходного — Ь (рис. 47). На выбор остальных контуров схемы никаких ограничений, кроме требования их взаимной независимости, не накладывается. В этой системе координат внешние токи / в х и / в и х равны контурным токам / а 4 1—837 97 и 1Ь соответствующих внешних контуров. Поэтому согласно выражению (2-25) можно записать равенства: /вых = 1 а 2 5=1 г д е д — определитель матрицы сопротивления схемы, записанной в соответствии с выбранной системой о независимых контуров. Кроме того, поскольку по условию внут/)Ы ри четырехполюсника источники энер/вх гии или сигналов отсутствуют, задающие напряжения всех внутренних конту3 ров тождественно равны нулю, а задающие напряжения Еа и Еь внешних Рис. 47. Внешние контуры контуров определяются только внешсхемы, приведенной к четыними напряжениями 6/вх и £/ вых , а именрехполюснику. но Еп = £/„ и Ей = — Уа Тогда уравнения для внешних токов четырехполюсника принимают вид: 1 (3-25) /вх — -д- (Даа^вх — Дйа^вых), -д- (ДаьУ вх — ДйЬ^вых)- (3-26) Решив эти уравнения относительно внешних напряжений четырехполюсника, получим: ^ВХ = —1 : I : (Д ьь! вх — Дйа/вых); — Кь^Ьа аа ЬЬ '(Ааь/вх Дая^вых)ааЛй, - Да А & Воспользуемся известной из теории определителей У ВЫХ Д формулой ДааДйй — ДаьДба == ДДаа.М» (3-27) где Ааа ,ьь — двойное алгебраическое дополнение матрицы после вычеркивания в ней двух строк и столбцов с номерами а и Ь. Тогда 1 (3-28) и вх = (Д ЬЬ1 вх — Д Ьа1 вых)! аа,ЬЬ 1 (3-29) ивых —• \ (Д аь/ах Ддд/вых)* аа,ЬЬ Уравнения (3-25) и (3-26) или эквивалентные им уравнения (3-28) и (3-29) совместно с соотношениями (3-3) и (3-4) позволяют выразить вторичные параметры схемы, приводящейся к четырехполюснику, через определитель и алгебраические дополнения матрицы \1\. Подставив из соотношения (3-4) значение / в ы х = (3-26), после несложных передачи напряжения преобразований получим в уравнение коэффициент (3 30) 1ТЙГ- ' При коротком замыкании на выходе = 0) величина Ки обращается в нуль, а при холостом ходе (2Н = оо) (3- 3 1 ) К°и=4г~-ьь Подставив значение и в ы х из соотношения (3-4) в уравнение (3-29), получим выражение для коэффициента передачи тока К > = Д Д + Гл • (3-32) При холостом ходе величина /</ обращается в нуль, а при коротком замыкании 1С, = . аа (3-33) Выражение для сопротивления передачи с учетом зависимостей (3-11) и (3-32) можно записать в виде 2 п е р = 2ц К/ — -Ат — . " у "д • аа "Г н аа,ЬЬ (3-34) Аналогично, для проводимости передачи с учетом зависимости (3-12) и (3-30) имеем Пер = 4 г = д + ?ндм- • (3 "35) Для определения входного сопротивления можно воспользоваться формулой (3-15) и найденными ранее зависимостями г 7 пер ^вх = - т ; ЯУ _ А — -д аа + 2 нА№ , 7 А ' и аа, ЬЬ /о (.о-сю; Входное сопротивление при коротком замыкании = (3-37) А аа а при холостом ходе г1 = . (3-38) Выражение для выходного сопротивления вытекает непосредственно из формулы (3-36), если вместо подставить и взаимно 4* 99 заменить индексы а и Ь в алгебраических дополнениях, что соответствует перестановке входа и выхода. В результате получаем Д-МАа ^вых — 2 ИААА. ^ЬЬ + (3.39) ЪЬ Задающее напряжение Е3 эквивалентного генератора находим по формуле (3-21) с учетом зависимостей (3-31) и (3-38) Л Ьй 0 ч Л' 7° аа, аЬ ^Ц вк £э = £ = 7 И 4г- '7И°Х £ 2И + Л аа, М а после упрощения получаем выражение Е \ь &ЬЬ + ЬЬ (3-40) Зависимости для вторичных параметров схемы, приводящейся к четырехполюснику, выраженные через определитель и алгебраические дополнения матрицы сопротивления, сведены в табл. 6. Иногда при анализе схем определяют полный коэффициент усиления напряжения (коэффициент усиления напряжения Е источника сигнала) КЕ = ^ р , который, в отличие от коэффициента и усиления напряжения Ки = й -, включает и коэффициент передачи напряжения входной цепи Ки. Кв = Подставляя в полученное выражение формулы для Ки и 1-1=1—1 можно найти значение полного коэффициента усиления напряжения 1 КЕ через алгебраические дополнения матрицы сопротивления ненаРис. 48. Включение сопротивлений груженной схемы. источника и нагрузки в схему при определении полного коэффициента Напомним, что при выводе фор усиления. мул табл. 6 использовалась матрица схемы, элементы которой не включают сопротивления источника напряжения и нагрузки. Если эти сопротивления отнести к схеме (рис. 48) и ввести их в значения соответствующих элементов матрицы сопротивлений нагруженной схемы, то в соответствии с формулой (2-25) можно записать л г» ц 1 а аЬ д* Таблица 6 Связь вторичных параметров с матрицей сопротивления схемы Величина Обозначение ь- Коэффициент передачи тока 'вых ' 11 вх Формула Кь ая + гп А аа.ЬЬ Л \ь Коэффициент передачи тока при коротком замыкании 2 Н=0 Д 1! А+ вх напряжения ггО /^вых \ \ и вх 11 \ь А + 2НД ь ь ^вх 7 Входное сопротивление вх Входное сопротивление ком замыкании Д 2 оа + " А а а . ЬЬ д при корот- Сопротивление передачи Проводимость передачи Выходное сопротивление (внутреннее сопротивление эквивалентного генератора) А гн = о аа Л Входное сопротивление при холостом ходе 6Ь аа, ЬЬ А 2 Н = °° 7 у/ пер ^ вых / ' вх Д аа + г и Л а а . Ь6 пер 'вых ,, вх А + 2 нД ьь 7вых — ^вых А + 2иД а а ' вых Абь + 2 И Д а а < ь ь ЫаЬ ЬЬ + г и Д аа_ ьь у Задающее го генератора аЬ гп\Ьь вых Коэффициент передачи напряжения Коэффициент передачи при холостом ходе аа Еэ = ( в ы х ) напряжение эквивалентно- А Так как и „ /вых^н. ТО КЕ 2,Аь = Е (3-41) Д* і* и АаЬ — определитель и алгебгде А* раическое дополнение матрицы сопротивления схемы с учетом сопротивлений источника и нагрузки. Пример 1. Определить вторичные параметры мостовой схемы (рис. 49), считая ее входом диагональ питания, а выходом — индикаторную диагональ с сопротивлением нагрузки Для выбранной в соответствии с принятым условием системы независимых контуров а = 1 Рис. 49. Мостовая схема с источником напряжения и Ь = 3. Матрица сопротивления имеет вид / 12 і схемы (без учета сопротивлений 2 И и 2 Н ) 23 + 24 2 3 + 24 -24 2 3 + 24 2, + 2 г + 2 3 + г 4 -2,-24 — 24 -2,-2, 2,+24 Находим значение определителя этой матрицы (целесообразно предварительно упростить определитель путем сложения и вычитания некоторых его строк и столбцов) 2 3 + 24 2 3 + 24 2 3 + 24 О " -2„ • 23 + 24 2,+2а 23 + 24 О 2] 23 + 7„ — 2, гг + гг + г 3 + 2 4 — 2] — 24 •2, 2,+24 г 3 -|-2 4 о -24 — - -2, 4 о гі+22 —2 1 24 2, 2, + 24 2, + 2 4 О 2, + г, — 25 2, О • (23 + 24) 2х2а + 2324 (2, + 2,) Вторичные параметры в данном случае выражаются здедующими зависимостями: К,, 2„Д 1; Д + 2 н Да, •; к,- Дц + 2„Дц,зз 7 пе _ " 7НЛ13 Vпе — Р Д „ + 2 Н Д 11,33 13 Д + 2„Д 33 Е Д,: Д + 2НДМ 2„„ = £э Ли + 2„Д„, зз г вых = А Д "Дзз + 2ИДИ_ 33 + г иД„ зз + 2 Н Д 1 1 > 3 3 Для определения этих величин необходимо найти значения алгебраических дополнений Д и , Д 13 , Д 33 и Дц 33. Обращаясь к матрице сопротивления схемы и вычеркивая соответствующие строки и столбцы с учетом знака алгебраических дополнений, имеем: + ^2 + + — — "}" — "Г 2 3 о — 24 1Х + = (22 + г3) (2, + г,у, Д 13 = ( - 1 ) ' + 3 Ъ3 + 24 24 (-1)3+3 2 3 + 24 2з ~Ь 24 2, -}- 22 + 23 + 24 — — 24 23 23 - 2 4 - 2 , — 2224 — У\У\\, 2 3 + 24 22 -р 23 24 23 + 24 23 + 24 ^2 + - 2 4 - 2 4 О 2 г + 22 = (24 + 2г) (г, + 24); Лц, зз = ^ + 2 2 + 23 -)- 24 Подставляя полученные значения определителя и алгебраических дополнений в формулы для вторичных параметров, получаем: ц и __ г н (2224 — 2]23) 2^2 (23 + 24) + 2324 (2[ + 22) + 2„ (2, + 2,,) (23 + 24) ; (2а + 23) {2, + 24) + 2„ (2, + 22 + 2 3 + 24) ^ 2Н (^2^4 пе К пер 7 = Р ~ ^З) (2 2 + 2 3 ) (2, + 2 4 ) + 2н (г, + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) 2 2 2 4 — 2,2 3 г 1 2 2 (2 3 + 24) + 2324 ( 2 , + 2 2 ) + 2 н (2 1 + 2 а ) ( 2 3 + 24) ' 242г (23 + 24) + 2324 (2, + 22) + г н (г, + 2г) (23 + 24) (г2 + 23) (24 + г4) + 2„ (2, + 2 г + 2 3 + 24) £ (2224 — 2Х23) (2Х + 2 2 ) (г 3 + г 4 ) + 2и (2, + 2 г + 2з + г 4 ) • 2 ^ (23 + 24) + 2324 (2, + г2) + 2и (22 + 23) (2г + 24) (2! + 2з) (23 + 24) + 2И (2, + 22 + 2 3 + 24) § 3. Связь вторичных параметров с матрицей проводимости схемы Выберем совокупность сечений таким образом, чтобы два внешние сечения охватывали только по одному входному и выходному узлу схемы, приводящейся к четырехполюснику (рис. 50, а). Одно из этих сечений а назовем входным, а другое Ь — выходным. Такой выбор сечений означает, что узлы а и Ь схемы должны быть внешними для дерева схемы, т. е. к ним должны подходить только по одной ветви дерева, которые отождествляются соответственно с напряжениями £/ вх и и в ы х . Иначе говоря, внешние напряжения а 5 Рис. 50. Внешние сечения схемы, приводящейся к четырехполюснику. и и {Увых будут при этом соответственно равны узловым напряжениям и а и и ь , т. е. IIв х = и а и и в ы х = и ь . Поэтому в соответствии с выражением (2-40) 1 г = -д~ 2 ^»я®в, 1 v ^ВЫХ = - д - 2 5, где Д — определитель матрицы проводимости схемы, записанной в соответствии с выбранной системой V независимых сечений. В частном, но распространенном случае, когда вход и выход четырехполюсника имеют общий узел (четырехполюсник с короткозамкнутой стороной), удобно пользоваться канонической системой координат, выбрав этот общий узел в качестве базисного (рис. 50, б). При этом напряжения, отсчитанные от базисного узла к узлам а и Ьг также совпадут соответственно с входным и выходным напряжениями четырехполюсника, и будут справедливы написанные выше равенства. Так как внутри четырехполюсника отсутствуют источники, то задающие токи сечений будут определяться исключительно внешними токами / в х и /ВЬ1Х. Нетрудно убедиться в том, что / а = / в х и J b — — / в ы х . Остальные компоненты задающего вектора тождественно равны нулю. Действительно, каким бы способом не были выбраны внутренние сечения, они всегда или пересекают две входные ветви с токами / в х , или пересекают две выходные ветви с токами /ВЫх, или не пересекают ни одной внешней ветви. При пересечении входной или выходной пары внешних ветвей токи этих ветвей оказыва- ются противоположно направленными относительно сечения и их алгебраическая сумма равна нулю. Таким образом, уравнения для внешних напряжений четырехполюсника принимают вид: и ВХ = (Ааа1вх — Д&а/вых); (3"42) ивых = ( А с ь 1 вх — д ь ь ! в ы х ) - (3-43) Решив эти уравнения относительно внешних токов четырехполюсника и воспользовавшись формулой (3-27), получим /вх = - д - Ц г ( Л ^ в х - ^аа.ЬЬ /вых = Даа' Д&а^вых); ( Д а ь ^ в х — Д а а £ / вых)- (3.44) (3-45) С помощью уравнений (3-42) и (3-43) или эквивалентных им уравнений (3-44) и (3-45) и соотношений (3-5) и (3-6) можно выразить вторичные параметры схемы, приводящейся к четырехполюснику, через определитель и алгебраические дополнения матрицы [У]. Подставив /ВЬ1Х из соотношения (3-6) в уравнение (3-45), после несложных преобразований получим выражение для коэффициента передачи напряжения К " = А "аа +УА ~ ' н^аа, ьь ЬЬ • (3-46) При холостом ходе на выходе (У„ = 0) = (3-47) аа Подставив значение и в ы х — "н в уравнение (3-43), получим выражение для коэффициента передачи тока При коротком замыкании на выходе (Ун = оо) имеем (3-49) О учетом зависимостей (3-11) и (3-48) получаем выражение для сопротивленияпередачи /пер- Кп - л , + Ун А ьь ' ^ йи ' 105 Аналогично для проводимости передачи с учетом зависимостей (3-12) и (3-46) имеем Упер = У Ли = -д—I Нуйд • (3-51) Д л я определения входной проводимости можно воспользоваться формулой (3-16) и найденными ранее зависимостями у Входная _ К А пер _ проводимость + КНДЙЬ при коротком ,о с т замыкании (У н == оо) УоХ = - Л г ^ - , ^аа.ЬЬ (3-53) а при холостом ходе (У н = 0) У°вх = ^ - . "аа (3-54) Выражение для выходной проводимости получаем непосредственно на основании формулы (3-52), в которую вместо Ун подставляем У и и взаимно заменяем индексы а и Ь, что соответствует перестановке входа и выхода. В результате получим у А - + УА« ,о_55, ВЫХ ~ (3&0) ЬъЪ + Уу£аа,ЬЬ ' Задающий ток J э эквивалентного генератора находим по формуле (3-22) с учетом зависимостей (3-49) и (3-53) 1 _ , */Квх ^ ~ и уУ , у к ~ и -Г Г вх , Къ *ЬЬ у Ь ьь да, ЬЬ Д . ЬЬ . , И "Г д аа,ЬЬ а после упрощения получаем / . = л Л / у ! ЬЬ -г 'илаа,ьь • (3-56) Зависимости для вторичных параметров схемы, приводящейся к четырехполюснику, выраженные через определитель и алгебраические дополнения матрицы проводимости, сведены в табл. 7. Из сравнения соответствующих формул табл. 6 и 7 легко заметить их дуальность. Коэффициент передачи относительно источника сигнала т/ 1ВЫХ У ВХ - Т Е Т Т Г / Таблица 7 Связь вторичных параметров с матрицей проводимости схемы Обозначение Параметр A ab ^вых К Коэффициент передачи напряжения Формула А II напряжения >t Cjo Коэффициент передачи при холостом ходе А аа = 0 ab 'вых К Коэффициент передачи тока при коротком замыкании А *ab А 'вх ьь / V„ = «о у А + 'вх и вх " YHbbb А аа + аа.ЬЬ д Входная проводимость при холостом ходе А аа \ u j vH = o Кк А ьь М А аа,Ьь у Проводимость передачи пер 'вЫХ у " ВХ z пер - 6 , вых Сопротивление передачи вх Задающий ратора У»Аьь + 'вых \ Входная проводимость Выходная проводимость (внутренняя проводимость эквивалентного генератора) Ааа.ЬЬ Аab вх Входная проводимость при коротком замыкании " /Чых\ WBX К Коэффициент передачи тока К аа + ^вх у ВЫХ ВЫХ 1] ^вых Ун&аЬ А а а + У» А аа,ЬЬ A ab А + А + Гидаа Aftft + э — С в ы х ) V = оо ток эквивалентного гене' н YuAaa.bb J АдЬ Aftft + Уц&аа,ЬЪ где значения К/ и У вх в соответствии с табл. 7 определяются через алгебраические дополнения матрицы проводимости ненагруженной схемы. Если проводимости источника и нагрузки отнести к схеме, показанной на рис. 51, и ввести их в значения соответствующих элементов матрицы проводимости, то в соответствии с формулой (2-40) Л. можно записать Ц"! 4 Рис. 51. Включение проводимостей источника и нагрузки в схему при определении полного коэффициента передачи. J. ^вых — і Так как /1!ЫХ = и ъ ы х У н , то УЛь д* /О = (3-57) где А* и Ааь — определитель и алгебраическое дополнение матрицы проводимости схемы с учетом проводимостей источника и нагрузки. Пример 2. Определить вторичные параметры мостовой схемы (рис. 49), воспользовавшись матрицей проводимости. Преобразовав источник напряжения в источник тока и перечертив схему в более удобном виде, выберем систему независимых узловых напряжений и соответствующую ей систему сечений, как показано на рис. 52. Записываем матрицу проводимости схемы (без учета проводимостей источника и нагрузки) Рис. 52. Мостовая схема с источником тока. + + + \У]- -Ух - (V, + у,) - ул - {Уг + У*) + Находим определитель этой матрицы У\ Д= + Ул Уі + У* У\ + У'і + + к4 - (У, + У-г) -Ух - (>', + У,) + ^ У,+У< У2 + К3 + -У, У, + К 2 У, + К, о у. О и2 + у 3 У.+У, О -К, о + У* -У, -к, - У2 У, + У 2 -к, - к , = УаУ3 (У, + У4) + У,У4 (У2 + К,) о В данном случае а — 1 и Ь = 3. В соответствии с табл. 7 вторичные параметры выражаются следующими зависимостями: Ки А» = АЦ + . УЦАЦ.ЗЗ КнАхз А + '1ппе«р р . К„А33 ' А,., = Д + У„Д33 ' УнА» УП®" _ " Ац + УнД[ 1,зз ' А + УНА33 + У н Д „ ,33 •/А13 А33 + . . УИАЦ.ЗЗ УВЫХ = А А +I у УАИаА „ "зз "Г ' И 11,з3 Находим значения алгебраических дополнений матрицы проводимости, входящих в эти зависимости: Ац = Г, + - У2 + У 3 + У4 (У, + У г) ~(У, + У2) (У3 + У4) ( У , + у, + У4 -У, - (У, + - У 2 о Уг) У, + У3 + У4 У2 У2); Уг) Кл Уt - (У, + к, + у 2 + у 3 + У4 -У, ^ + У, + У4 Уз + У , + У* У4 -У, - (У, + У2) — ^ 1^3 — ^ 2 У 4 ; У,+У, У1 + У4 у^ + У* = У1 + У2 + У3 + У4 о у2 + у 3 = (У, + у4) (У2 4- у3); АЦ.ЗЗ - У А + У* + У» + ^4 Подставляя полученные значения определителя и алгебраических дополнений в формулы для вторичных параметров, получаем: Ки = • У,У„-У 2 У 4 (Уз + У4) (Уг + У д + Ун ( У , + У г + Уз + У4) • кн к ' 2 . У 2 У 3 (У, + У 4 ) + У У* (У2 + Уз) + У»(У1 + У4) (У2 + Уз) ' УРг-УгУ* , УгУз(У, + У<) + УгУ1(Уг + Уз) + У»(У1+УА)(У1 + Уз) ' пер у пер У Ун (УуУз-УУ,) (У» + У4) (У, + уг) + Ун (У, + , У 2 ) + Ун (У, + У 2 + Уз + У4) лУ.Уз-УУ,) (У, + У 4 ) ( У 2 + У з ) + У в ( У , + У 2 + Уз + У4) = * 4 _ У2У3 (У г + У4) + К^« (У, + У а) + У и (У 1 + У*) {Уг + У3). (Уз + У 4 ) (У, + / . уг + Уз + У ) . ' У*У» (У! + у4) + ^У4 (У2 + Уз) + Уи (У4 + Уз) (У1 + У») (У, + У 4 ) ( К , + Уз) + У и (У, + У 2 + Уз + У 4 ) § 4. Связь вторичных параметров с матрицей схемы в канонической системе координат Зависимости, приведенные в табл. 6 и 7, справедливы при условии, что вход и выход связаны только с одной координатой (контуром или сечением). Канонические системы координат не всегда Рис. 53. Варианты выбора базисного узла схемы, приведенной к четырехполюснику; а — внутри четырехполюсника; б — на входе; в — на выходе: г — четырехполюсник с короткозамкнутой стороной (базисный узел общий для входа и выхода). могут удовлетворять этому условию. В то же время матрица схемы записывается наиболее просто именно в канонических системах координат. При этом вторичные параметры будут выражаться другими соотношениями. Пусть системой сечений служат узлы схемы, напряжения которых относительно базисного узла 0 образуют систему независимых узловых напряжений. В самом общем случае базисный узел может оказаться внутри четырехполюсника (рис. 53, а). При этом вход и выход оказываются связанными с двумя координатами (узлами), а входное и выходное напряжения выражаются через разности соответствующих узловых напряжений: UBX — Ua — — Uс и ивых — Ub — Ud. Среди компонент задающего вектора [J ] отличными ОТ нуля будут четыре компоненты: Ja — / „ , Jb = — /вых, J е = — / в х , J d — Iвых- В соответствии с выражением (2-40) можно записать и k = 1 v -д- 2 hskJs = 1 - д - ( A a k ! в х — ДЬк/вых — A f f e / в х - f Adfc/ В Ы х) = S=1 = (Aak — Affc) / в х (Abk — Adk) /вых- Учитывая выражения для входного и выходного напряжений через узловые н а п р я ж е н и я , приходим к уравнениям четырехполюсника в виде: Uвх — -д- (Ада — АСа Аас -]- Лсс) ( A b a — A da — A b c + ^вых = /вх A dc) / вых! ( A a b — А сь — A ad + Acd) 1 вх — ( А ь ь — A d b — Abd + А ^ ) /вых- В правой части уравнений в скобках суммируются алгебраические дополнения матрицы проводимости. Эти суммы можно записать и вычислить проще, если ввести некоторые новые правила операций над алгебраическими дополнениями одной и той же матрицы. При выводе этих правил будем исходить из матрицы схемы wu ... ... Win ... Win ... ... ... wni ... wn Wnn 1 которая в зависимости от характера координат может быть как матрицей проводимости [У], так и матрицей сопротивления [2]. Под решеткой матрицы будем понимать совокупность некоторых ее строк и столбцов. Элементы данной матрицы, расположенные на пересечении образующих решетку строк и столбцов, назовем элементами решетки. Например, в выражение (Aab—АсЬ—Aarf + -f Acd) входят алгебраические дополнения элементов решетки, которая образована строками а и с и столбцами b и d. Найдем сначала правило суммирования алгебраических дополнений двух элементов какого-либо столбца, например, Аас и АЬс (это алгебраические дополнения элементов решетки матрицы, образованной строками а и b и столбцом с). Искомую сумму можно представить определителем, который отличается от определителя А матрицы [ № ] Т ем, что элементы решетки wac и wbc заменены единицами, а остальные элементы с-го столбца нулями, т. е. / с . . wu п 0 W l,c-\ W \n ... w w a\ a,c-l 1 W 1 W ... w an a.c+1 Aar + Abc = w b\ ... w b,c—1 w b,c+1 bn ... w n\ ... w n,r-1 0 W n,c+1 ... ... w nn Значение определителя не изменится, если из элементов Ь-й строки вычесть элементы а-й строки. Но при этом в с-м столбце останется единственный элемент, отличный от нуля, и он равен единице. Значит искомая сумма равна алгебраическому дополнению А ас нового определителя А', получающегося после вычитания элементов а-й строки из элементов Ь-й строки в определителе А. Это можно условно записать так: А ас + А Ьс = А{а-Ъ) с• Аналогично можно получить также следующие (3-58) выражения: А ( а + 6 ) С, (3-59) А аь + Аас = А а (Ь-ф (3-60) АаЬ — А ос = А а (й+с). (3-61) Аас — А Ье-- Формально здесь выполняются преобразования индексов по правилу: общий индекс алгебраических дополнений можно вынести за скобку, но при этом знак в скобках между индексами принимается обратным знаку между алгебраическими дополнениями. По существу сумма или разность двух алгебраических дополнений одной и той же матрицы заменяется одним алгебраическим дополнением, которое будем называть суммарным алгебраическим дополнением. Одиночные индексы суммарного алгебраического дополнения указывают на номер вычеркиваемых строк (столбцов). Первый индекс в скобках указывает на номер строки (столбца), элементы которой переносятся со следующим за ним знаком в строку (столбец), с номером, соответствующим второму индексу в скобках. З н а к суммарного алгебраического дополнения определяется множителем (—1) в степени, равной сумме первого индекса в скобках и одинарного индекса. Эти индексы будем называть опорными. Переставив местами слагаемые в левой части равенств (3-58) и (3-59), получим зависимости Д(а-Ь) с = Д(й-а) с! (3-62) Д ( а + Ь ) с — — Д(6+а) с> (3-63) т. е. при взаимной перестановке индексов в скобках величина суммарного алгебраического дополнения не изменяется, если между индексами в скобках стоит знак минус, и изменяется по знаку, если между индексами стоит знак плюс. Следует иметь в виду, что при такой перестановке изменяются опорные индексы. Пример 3. Вычислить выражение Д, 2 — Д м + Д 34 4- Д 31 ' 2 0 4 1 ; 0 1 5 6 ! 9 0 0 4 3 7 2 для матрицы Применяя к разности Д 1г — Д22 формулу (3-59), а к сумме Д 34 + Д 31 формулу (3-60), получим (Д12 — Д22) + (Д34 + Д31) = Л(1_|_2) 2 + Л3 (4-1) = 2 9 7 1 = (-1)1+2 1 0 0 + ( - 1),3+4 4 7 2 0 •6 2 4 15 3 . — 31 + 88 = 57. 7 Если определить каждое алгебраическое дополнение отдельно, получим Д12 — Д22 + Д34 + Д31 = 0 1+2 5 4 7 2 + ( - 1 ),3+1 2 0 1 0 0 + (-1)3+4 0 1 5 4 4 3 7 2 6 1 0 0 -(-1)2+2 0 4 1 5 6 = 3 7 2 4 1 7 2 4 + 1 — 32 + 1+ 32 + 56 = 57, т. е. приходим к тому же результату, но более длинным путем. Два суммарных алгебраических дополнения, у которых суммирующиеся индексы одинаковы, а одинарные различны, можно записать в виде суммарного алгебраического дополнения \а+Ь) Д с ± Д (а+Ь) й — Д(а+6) (с+Л)\ (3-64) Д (а—Ь) с ^ Д (а—Ь) <1 — (а— Ь) (с+<1)< (3-65) Д А а (Ь+с) ± (а?<*) ф+с)' (3-66) Д а ф-с) ± Д<? (6-,•с) ' 1 А(а+й) ф-с)' (3-67) </ ф+с) = Д Эти формулы выражают суммы четырех алгебраических дополнений элементов решетки матрицы [ №], образованной какими-либо двумя ее столбцами и двумя строками. Пример 4. Для матрицы [ИП предыдущего примера найти сумму алгебраических дополнений элементов решетки, образованной строками 2 и 3 и столбцами 1 и 3. Искомая сумма выражается следующим образом: Д 21 + А 23 + Д 31 + А 33 = Д 2 (1-3) + А ; 3 (1—3) ' 1 ( 2 - 3 ) (1—3)" Выполняем соответствующие преобразования матрицы 2 0 4 1 0 1 5 6 1 4 9 3 0 7 2 0 4 1 1 8 — 5 — 6 4 3 7 2 0 2 0 2 1 8 —6 —6 3 3 2 ках, Учитывая, что определяющими индексами являются первые индексы в скобполучаем О ( - 1 ) 2+1 8 3 2 -6 I - 6 = 26 3 2' Выведенные правила позволяют записать уравнения четырехполюсника в виде: ^вх = У ВЫХ - д ~ 1 Д ( а + с ) (я+с) I в х ' • Л(Ь+й) (а+с) /в [ А ( а + с ) (&+</) / в х — \ ь + < 1 ) (Ь+й) /вых1- (3-68) (3-69) Сравнивая эти уравнения с уравнениями (3-42) и (3-43), замечаем, что вместо индексов а и Ь, соответствующих входной и выход/ \ \ <3 // / Рис. 54. Варианты выбора внешних контуров схемы, приведенной к четырехполюснику: о — с входом и выходом с в я з а н ы по два контура; б — с входом связан только один к о н т у р ; в — с выходом связан только один контур; г — с входом и выходом связано по одному к о н т у р у . ной координатам (сечениям а и Ь), имеют место суммы индексов (а + с) и (Ь + Ф, соответствующие паре узлов а и с на входе и паре узлов Ь и с( на выходе (рис. 53, а). Поэтому выражения для вторичных параметров в случае, когда матрица записана в канонической системе сечений, получаются соответствующей заменой индексов в формулах табл. 7. Аналогично в канонической системе контуров со входом и выходом могут быть связаны по два контура, как показано на рис. 54, а. В этом случае формулы связи вторичных параметров схемы с ее матрицей сопротивления могут быть получены из табл. 6 такой же заменой индексов. Соответствующие выражения в обобщенной форме сведены в табл. 8. Величины и IVи представляют соответственно иммитансы нагрузки и источника, ф — задающий ток или напряжение источника, а А — определитель матрицы проводимости или сопротивления. Если с входом или выходом связана только одна координата, Таблица 8 Связь вторичных параметров с матрицей схемы в канонических системах координат Выражение через определитель Л матрицы проводимости (сопротивления) Параметр Коэффициент (тока) передачи Д напряжения Д ^Ая+сНа+сЫЬ-МхМ-«*) Коэффициент передачи напряжения (тока) при холостом ходе (коротком замыкании) Коэффициент передачи тока жения) А проводимость (а+с)(а+г) (напряД+ (0+с)(6-М) Д (Ь+<*)(Ь+<П Д + №нД (сопротивлеА (а+с)(а+с) + ^нД<в+с)(я+еМ*-М>(»-М) д А Входная проводимость при коротком замыкании (сопротивление при холостом ходе) Проводимость (сопротивление) передачи 1У н Д ( 6 + ( г ) ( 6 + ( < ) А Входная проводимость при холостом ходе (сопротивление при коротком замыкании) Сопротивление дачи (а+с)(Ь+й) Д Коэффициент передачи тока (напряжения) при коротком замыкании (холостом ходе) Входная ние) (а+с)(Ь+<*) (а+с)(о+с) + Д Д (Д+с)(а-М (Ь4-</ )((>+</) иН-с)<(Ц-с),<6- Г 4)('>-Н'> 11?нД А (а+сНЬ+<'> №"А(а+с)(а+с).ф+Л)ф+<1) (а-К)(а+о + (проводимость) переД + №нД ( 6 + < / , ( б + < 0 Д + №,вД(в+е)(в+с) Выходная проводимость (сопротивление) А Задающий ток (напряжение) эквивалентного генератора Д }Х, А (6+с()(й+</)+ " ^+с)(а+с).(Ь+<1)(Ь+<1) ®А(а+с)(Ь+(1) (6+(/)(6+(/)+ № 'нД(а+с)(а+(;),(6+(/)(6+<г) \ то для получения требуемых выражений достаточно вычеркнуть лишние индексы. Так, для рис. 53, б и 54, б необходимо вычеркнуть индекс с, для рис. 53, в и 54, в — индекс рис. 53, г и 54, г соответствуют случаям, когда со входом и выходом связаны только по одной координате. При этом необходимо вычеркнуть индексы с и й, что приводит к формулам табл. 6 и 7. Рис. 55. Мостовая схема: б — каноническая схема сечений (узлон) а — каноническая схема контуров (ячеек) Пример 5. Определить коэффициент передачи напряжения четырехплечего моста (рис. 49) на основе матрицы схемы в канонической системе координат. Каноническая система сечений (узлов) мостовой схемы показана на рис. 55, а, где базисный узел связан с выходом схемы. Сравнивая рис. 55, а с рис. 53, в, видим, что а = 1, Ь = 2, с = 3, /1 = 0. Матрица проводимости 1 1 2 У\ + У4 -Ух У\ к, + у2 -у, -Уг У2 + Уз [К] = 2 3 3 В соответствии с табл. 8 выражение для коэффициента передачи напряжения через алгебраические дополнения матрицы проводимости записываем в виде /Г А и •• ДN1+3) 2 ' (1+3) (1+3),22 0 + 3 ) (1+3) Находим требуемые суммарные алгебраические дополнения матрицы проводимости: -Ух -у, -к, -У, 2 -41+3) 2 : ( - 1)<'+ > У, + У4 У* + У з У, = У,К 3 -К.,К 4 ; - \ | + 3 ) (1+3) ' | ( - 1 ) |+1 V, + У 2 - (У, + У г) — (У, + Ка) К 1 + У 2 + К 3 + У4 У1 + У2 - (У1 + Уг) 0 Уз+>% 4 1 + 3 ) (1+3),22 = = (У, + Уг) (У3 + У*У, К1 + У« + У,+У 4 - Подставляя полученные значения в формулу для коэффициента передачи напряжения, находим (Уі + Уг) (У з + У,) + У н (У\ + У2 + У3 + У4) ' Каноническая система контуров мостовой схемы показана на рис. 55, б. Сравнивая с рис. 54, б, видим, что а = 1 , 6 = 2 , с = 0 и і = 3. Матрица сопротивления 1 2 3 23 + г4 -24 -23 [2] = 2 3 -23 ^2 23 В соответствии с табл. 8 выражение для коэффициента передачи напряжения через алгебраические дополнения матрицы сопротивления записываем в виде 2 н Д 1 (2+3) Д + 2нА(2+з) (2+з) Находим требуемые суммарные алгебраические дополнения: (2+3) = ( - 1)'+2 21 + 2 3 + -24 ^ + О -г* -г3 0 ^2 "Г 2 3 -24 ^ — 2г о0 г г — г4 ІуЛ-7. о : 2224 — -23 О ^г г 3 = ад (2г + г3) + г 2 г 3 (г, + г4); Л (2+3) (2+3) г3 + г4 - (г 3 + г 4 ) - (г 3 + г4) г . + г . + г . + г« . (2, + г 2 ) (г 3 + 24). Подставляя полученные значения в формулу для коэффициента передачи напряжения, получаем: ад г„ (г, + г3) + г 2 г 3 г^з) + г 4 ) + г„ (2, + г 2 ) (г, + г 4 ) Как и следовало ожидать, результаты совпадают с полученными в примерах 1 и 2. § 5. Параметры и схемы замещения четырехполюсника Понятие четырехполюсника широко используется в теории схем. В предыдущих параграфах были получены зависимости для внешних токов и напряжений четырехполюсника, выраженные через первичные параметры схемы. Вообще для четырехполюсника можно записать шесть вариантов уравнений: ' вх — Уи^вх + У1ги ВЫХ| /вЫХ = УцУВХ ^вх — 2ц/вх 41' ВХ ^хг/вых! ив вх Ч~ вых! йц/вх + V /вых = ВЫХ) = (3-72) (3-73) /21^ вх ~Ь /22/вЫХ) ^вх = Д ц ^ вых ^хг/вых! /вх ^22/вых') и (3-71) ^21^вх Ч" ^22^вых! /вх = /ц^ВХ "Ь /12/вых! ииых (3-70) У22^-1 вых! йп^и вых ' ввх + Ь^х2/вх> 1 ВЫХ (3-74) (3-75) = ^22/ВХ' ) / вых вх + ^22 В матричной форме эти уравнения записываются образом: вх I 'вх ) = /вых^ [0] = [2] ^вых2 /вх ( (3-77) / вых2 ВХ | (3-78) /вых7 и вых а (3-79) и вых 2 = [а] Г^вых!1 |_/вы*г. = [6] (3-80) /вых г £/ВхГ (3-81) 'вх / Матрицы, входящие в эти уравнения, имеют вид: >11 у « 2 ; [г] = г/21 ^22. И) = [Л = .^21 ^22J 11 212 „221 г22. /11 /12 /21 /22 У11 [а] = 21 22 (3-76) ^ВЫХ} ^/вх I 11/] = следующим ь21 ь Эти матрицы, как и их элементы, являются параметрами четырехполюсника. Они связаны между собой зависимостями, которые представлены в табл. 9, где через | у |, | г\, | й |, | /1, | а | и | Ь | обозначены определители соответствующих матриц. Соотношения между определителями матриц основных параметров линейного четырехполюсника приведены в табл. 10. Таблица 10 Зависимости между определителями матриц эквивалентных параметров От [Ы ш [2] 14] Ш [у] N 1 И ^22 /11 /22 «21 «12 Ьг 1 \ у \ /22 /н «12 а 21 Ь (*) 1 «И «22 К [<*] (Я («1 1*1 а и с1ц 1 14 ^22 [о] Ь 12 12 г>21 </22 г Уп 2 1"1 У11 г 22 11 1/1 Ьи г 1 И 0-22 У 22 °11 Ь* 2 У12 2 У21 г 12 21 ^12 ±п /» /21 11"п 11 Уп г <*21 кх Ум г ^12 11 22 21 12 1П 1 и *22 Ьп ~ 1 \Ь\ \ь\ Параметры четырехполюсника можно также выразить через определитель и алгебраические дополнения матрицы проводимости и сопротивления, записанной для приводящейся к четырехполюснику схемы по правилам, изложенным в предыдущих параграфах. Так, сравнивая, например, уравнения (3-70) с уравнениями (3-25) и (3-26), можно выразить матрицу [у] четырехполюсника через определитель и алгебраические дополнения матрицы сопротивления соответствующей ему схемы 1 Ада — А Ъа Уи Уп ~ А А аЬ — А ЬЬ_ .Уп У 22 Сравнивая уравнение (3-70) с уравнениями (3-44) и (3-45), получаем выражение для матрицы [у] четырехполюсника через алгебраические матрицы проводимости "А ьь — А Ьа 1 Уп Уи А аа,ЬЬ .АаЬ — Аа а .Уп У22. Аналогично получаются и другие соотношения, которые приведены в табл. 11. Параметры четырехполюсника в случае, если его структура неизвестна, можно измерить экспериментально. К а к следует из Таблица 11 Выражение параметров четырехполюсника через определитель и алгебраические дополнения матрицы схемы Матрица четырехполюсника Выражение через определитель и алгебраические дополнения матрицы проводимости >11 .г/21 У VI г 212 и /21 1 " дЬЬ аа,ЬЬ д аЬ Уп г Д 1 •д аа д д аЬ 22_ 1 Л і д <*21 Г/п ьь 1 /і2~| «21 Д «22 Й Ы & 22_ Д аЬ Д Д Ьа Д аа ЬЬ — Д Д аа ~ Д Ь а " Д аЬ - 1 "ДЬЬ - Д Ь а " а а > ЬЬ [ Д а Ь ~ Д а а ] аа_ Д — Д Д Д Ьа Д аа,ЬЬ_ Д аа [ ДаЬ Д 1 Д а а , ЬЬ ЬЬ д аЬ — Д Д Д 1 а а > ЬЬ — Д а а , ЬЬ Д аа Д Ьа 1 - аа,ЬЬ. ЬЬ Д Ьа 1 " аЬ . а а , ЬЬ Д Д 1 д аа — Д д ЬЬ ЬЬ ^ -Д Д 1 Д 1 Ьа — Д Д 1 1 12 Д а а , ЬЬ аЬ — і д Ьа - V д - «12 [А. - Д Д ~ДЬа] Ль Д ^22 «11 Д — матрицы сопротивления Ьа ~Даа> Ь аа Д ЬЬ уравнений (3-70)—(3-75), для этого необходимо поочередно на входных и выходных зажимах четырехполюсника создавать режим холостого хода ( / в х — 0 , /ВЫх = 0) или режим короткого замыкания (£/ вх = 0, (Увых = 0) и измерять отношения соответствующих токов и напряжений. Если параметры измеряются на переменном сигнале, то режим короткого замыкания соответствует закорачиванию большой емкостью входных или выходных зажимов, а режим холостого хода — последовательному включению в цепь соответствующих зажимов большой индуктивности. При этом режим четырехполюсника по постоянному току не изменяется. Т а к как при подключении задающего источника к выходу четырехполюсника ток во внешней цепи противоположен принятому на рис. 44, то параметры, стоящие коэффициентами в уравнениях (3-70)—(3-75) при величине / в ы х (например, у2и у22, г12, г 2г и др.), при экспериментальном определении получают с отрицательными знаками. На основании уравнений (3-70)—(3-75) и соотношений (3-3) и (3-4) или (3-5) и (3-6) можно выразить вторичные параметры схемы через параметры четырехполюсника. Так, подставив в уравнения (3-70) (Увых = г н / в ы х , получим /вх = уп^вх 4" 2„г/12/вых'| / в ы х == у 21^вх Из второго откуда следует 2нг/2г/вых- + уравнения имеем (1 7 ц У 2 2 ) /ВЫХ = ВХ, Исключив из первого уравнения 1ВЫХ, находим (3 83) ли- ' Исключив из первого уравнения £/ вх , находим Подставив во второе уравнение / в ы х = —7 = У21^вх Ч" Уг^ вых, получим н откуда и вых „ 7 У 41 У22 2-У.Уп /о о с\ С учетом полученных выражений, находим г П е р =» / С ^ в х =* уп — г" | у | (3-86) • Пользуясь выражениями для коэффициента передачи напряжения источника сигнала и принимая во внимание (3-83) и (3-85), получаем к ^и Увх+У» „ 2 кУп ^ у I- 1 Ухг-2щ\У\ — _ 2нг/22 1 — 2н(/22 Ки!/г1 (Ун + Уп) (У„ — Уп) + УиУп (3-87) Выражение вторичных параметров схемы через параметры четырехполюсника Система Обозначение Параметр т Входной иммитанс у Выходной иммитанс Коэффициент передачи напряжения К и Коэффициент передачи тока к Проводимость передачи Сопротивление передачи Коэффициент передачи напряжения генератора у ' ВЫХ У/ ВЫХ ІҐ ~ ,, У22 . = 7 — г , г 2 2 " Г вых г г ^'вых (УИ + - 2 2 2 ) + 21 " 2 21 \У\ + 2 + н 21 (*!!+*„ )( н У12У21 И г22 — 2 Уи)(У*-У22) + 21 г 1 1 г п У2\¥* (V И 11 н ~ 2 </|1 н - и — г22 У2\ вх 12 г 21 21^н г К 22 11 2 г —У22 вых ' 7 а — У21Кн У» г 2221 -., + гц ~ У21уп ЛіЬІХ а вх у и У н - \ у \ п е р — 77 " вх _ , у У\\ -т ' и У2\ 'вых 7. У12У21 1 Т У* — у2 2 "7 вх пер — У 42 ^и вх ' 7 У12У21 ^ВЫХ 1/ у 1 Уп-І-у 'и ,, вх г12г21 П р и м е ч а н и я : 1. Определение параметров четырехполюсника производится о у • 1 __ - Л ы х . вых = ~~7] ' и в ы х у _ ^РЫХ ВЫХ " • ВЫХ Аналогично определяются вторичные параметры схемы через элементы других матриц четырехполюсника. В табл. 12 приведены соответствующие зависимости через элементы матрицы [г/], [г], [с(], [/] и [а], записанные в форме, наглядно иллюстрирующей их дуальность. В общем случае четырехполюсник с двумя сторонами (входной и выходной) характеризуется четырьмя параметрами, например: Ун, Уц, У и У22- Если он обратимый, т. е. приводящаяся к четырехполюснику схема удовлетворяет принципу взаимности, то из четырех параметров только три оказываются независимыми. Действительно, пусть при действии на входе четырехполюсника источника напряжения Е на короткозамкнутом выходе протекает ток / (рис. 56, а). В соответствии с принципом взаимности при действии такого же источника на выходе обратимого четырехпо- Таблица 12 параметров [«] т 1 'вых- агг1 вх — '11 1 ^12^21 у й 1 1 + 2 „ -ВЫХ , . '22 ' а12 + а и 2 н «22 Н- «212 н /12^21 7—1 н '22 ~ вх /12/21 ( 11 у '11 и „ " ВЫХ 7 а 12 + в222и «11+«21*« <*21 ^ Н ^н — /22 «12 "Ь «П^н /21 /ц^н-1/1 1 а22 + а21ги 1 12 + а112и /21 ^н — /22 а <*21 У н-^22 /г12н /ц2„-|/1 ^21 /212Н ^И (/П + М ( 2 Н - / 2 2 ) + + /12/21 + ^12^21 при У н = 0; ^н «22 + а212н 7.н У1 и « И ^ н + «12Уи + + «212н + «22 Ги=0. люсника на его короткозамкнутом входе протекает такой же ток (рис. 56, б). Как следует из уравнения (3-70), в первом случае I — у21Е, а во втором I — — УцЕ, т. е. справедливо соотношение Г~ Уп = - Уи- (3-88) 4 > ; Воспользовавшись табл. 9, получаем условия обратимости, выраженные через элементы других матриц, которые приведены Рис. 56. К пояснению принципа а — источник действует на входе; Ю взаимности: б — источник действует на выходе. о в табл. 13. Из табл. 11 легко заметить, что эти условия выполняются, если Дой = АЬа, т. е. если матрица схемы симметрична. Отсюда можно сделать вывод, что схемы с пассивными двухполюсниками подчиняются принципу взаимности и, таким образом, приводятся к обратимым четырехполюсникам. Можно также установить общие условия симметрии четырехполюсника. Если параметры четырехполюсника не изменяются при Таблица 13 Условия обратимости и симметрии четырехполюсника Система параметров Условия обратимости Условия симметрии [у] г/21 = — г/12 г/п = — г/гг [г] г г 21 = 2 11 = — 12 г 22 М <*21 = ^12 И 1 = ^11^22 — ^12^22 = — 1 [/1 /21 = /12 1 / 1 = /п/22 М 1 а 1 = ЯцОгг — аиаг1 = 1 Й [Ь] 1 ь \ = ъиъгг — ЬиЬ21 <= 1 Ьп = 6гг /12/21 — ' 11 = й22 перестановке местами его входа и выхода, то такой четырехполюсник называется симметричным. При этом уравнения (3-70) принимают вид: /ВЫХ = /ВХ УцУВЫХ У\2^ ъх\ I = УЦУВЫХ "Ь ^/22^ВХ| ) ИЛИ / в х 1 ВЫХ = У о ^ В Х У ц У == У х ^ в х УцУвых. вых! 1 I Сравнивая эти уравнения с уравнениями (3-70), находим условие симметрии Уи = Угч.В соответствии с табл. 9 получаем условия симметрии, выраженные через элементы других матриц. Эти выражения также приведены в табл. 13. Таким образом, из четырех параметров обратимого четырехполюсника независимыми являются только три, а симметричного — только два параметра. Очевидно, схема замещения обратимого четырехполюсника должна включать три пассивных двухполюсника, которые могут образовать П-схему (рис. 57, а) или Т-схему (рис. 57, б). Д л я П-схемы имеем уравнения: /вх = У1ивх /вых = У2 + У2 (1/вх ВХ и вых) ^вых) = (У, + У2) 1>вх У З^вых = Уаивх (У 2 Угивых! У з) и ВЫХ- Сравнивая эти уравнения с (3-70), можно записать соотношения: Уи = Уг + У2; Уп = — г/22 = - ( Г 2 + Г 3 ). Отсюда находим выражения для параметров двухполюсников П-схемы замещения через элементы матрицы [г/] четырехполюсника: У 1 = Уи + Уп'' У2 = - Уп> У3 = Уи — Ум(3*89) Преобразовав П-схему как треугольник в звезду по формулам табл. 5, получим значения элементов Т-схемы замещения: г и«-у» . • г/пг/22 + У 12 = —М-—; г3 = —Уп+Уи• _ УиУю + У\2 УиУм + № (3.90) а 5 Рис. 57. Схемы замещения обратимого четырехполюсника: а — П-схема; б — Т-схема. Аналогично можно выразить параметры пассивных двухполюсников схемы замещения через элементы других матриц четырехполюсника. Д л я симметричного четырехполюсника = У3 и Д л я обоснования схемы замещения необратимого люсника запишем уравнения (3-70) в виде /вх /вых = — упит = ВХ + четырехпо- Ух2^/вЫХ) г/ 2 2 (Увых + (у12 + уп) ит. Последнее слагаемое во втором уравнении представляет собой некоторый ток Пи вх) = (У 14 + У 21) и вх> (3-91) который зависит от входного напряжения £/ вх . Схема, соответствующая уравнениям необратимого четырехполюсника, приведена на рис. 58, а. Преобразовав источник тока J (С в х ) в источник напряжения Е ({/ вх ), получим другую схему замещения (рис. 58, б), где + Е (1/вх) = = ивх. (3-92) ' 8 У12 У21 Схема замещения необратимого четырехполюсника содержит три пассивных двухполюсника и один зависимый источник тока или н а п р я ж е н и я , который управляется входным напряжением £/ в х . Е с л и воспользоваться уравнениями (3-71), то можно записать: ^ вх — 211/вх и ВЫХ = — вх + 212/вых; ВЫХ г ц) 4* (г12 /вх- Д л я Т-схемы с источником напряжения Е (/ в х ) (рис. 58, в) имеем и вх — вх - р 2 2 ( / в х — / вых) = и вых = = 2 2 ( / в х /вых) (^1 2 2 ) /Вх 2 3 / ВЫХ + ^ вых (/вх) Z 2 1 вых! = вх/- й г Рис. 58. Схемы замещения необратимого четырехполюсника: а _ П-схема с источником тока; б — П-схема с источником н а п р я ж е н и я ) в — Т-схема с источником н а п р я ж е н и я ; г — Т-схема с источником т о к а . Сравнивая соответствующие уравнения, получаем г и = 2Х + г 12 — г 22 = "2' (^2 "Ь 2 3 ); Е (/вх) = (2 12 -4- 2 2 1 ) / в х . Отсюда находим выражения для параметров пассивных элементов Т-схемы замещения необратимого четырехполюсника: = г и + г 12 : = ~ г 12; = 212 — г22> (3-93) а также £ ( / в х ) = (г 12 + г 2 1 ) / В х . (3-94) Сравнивая выражения (3-90) и (3-93), замечаем, что они совпадают, если учесть зависимость между матрицами [#] и [г] четырехполюсника (табл. 9) и условие обратимости (3-88). Другую Т-схему замещения необратимого четырехполюсника получим, преобразовав источник напряжения в источник тока, как показано на рис. 58, г, где Схемы замещения необратимого четырехполюсника содержат идеальные источники, зависящие от входных величин — тока или напряжения. Можно было бы получить еще такое же количество схем замещения, в которых идеальные источники зависели бы от выходных величин. Представляется это сделать читателю в качестве упражнения. При использовании й- и /- Рис. 59. Схема замещения четырехпос двумя зависимыми генерапараметров четырехполюсника люсника торами. обычно применяются схемы замещения, содержащие по два идеальных источника, один из которых зависит от входных, а другой — от выходных величин. На рис. 59 приведена схема замещения четырехполюсника, описываемого ^-параметрами, для которой в соответствии с уравнением (3-72): Е (и вых) = <*12£/вых; J (/вх) = <*21/вх. (3-96) Однако и в случае с1- и /-параметров могут быть применены П- и Т-схемы замещения (рис. 58), если в выражениях элементов этих схем (3-89) и (3-93) перейти с помощью табл. 9 от параметров у и г к Л или \ соответственно. Пример 6. Найти параметры и схему замещения мостового четырехполюсника (рис. 52). Воспользовавшись матрицей проводимости мостовой схемы (пример 2 гл. 3) и учитывая, что а — 1 и Ъ = 3, на основе табл. 11 находим: Ух + К4)(Уг + У3) Уі + Уг + у» + ' Кг К — К К 2 4 1 3 У12 1 - у-21 = — Чзз = »Ч + У. + У. + У, д,, (Уі + у4 (У* + У4) Ун = VI 33 У1 + У2 + У3 + У4 • Уи д п,зз Параметры элементов П-схемы замещения находим по формулам (3-89) у* + У і = „У а А.+ иУи — У і ++ У 2 + У +У 3 •—У 12 •Уы-Уч= В 1-837 4 У ^ з - У2У4 Уг + У, + ¥3 + У, : У»У» + У.У«+2У,У« У, + У4 + У, + У4 129 § 6. Способы представления функций схемы Вторичные параметры выражаются через определитель и алгебраические дополнения матрицы схемы. В общем случае элементы матрицы представляют собой некоторые функции от р, и вторичные параметры выражаются дробно-рациональными функциями вида (3-97) где А (р) и В (р) — многочлены некоторых степеней комплексной переменной р с вещественными коэффициентами, т. е. „/71—1 + [Р + ••• + а 1 Р + Яр тР (3-98) р(р) = ьпрп + ьп_1рп-1+ ••• + ьіР + ь0 В связи с тем, что вторичные параметры определяют поведение схемы или системы, они называются функциями схемы (или системными функциями). Входные сопротивление и проводимость называют входными функциями. Коэффициенты передачи тока и напряжения, а также сопротивление и проводимость передачи называют передаточными функциями. Функции схемы представляются различными способами в зависимости от цели и принятого метода анализа. Если известны корни гх, г2 ..., гт числителя и корни ри рг, рп знаменателя, функция И (р) может быть записана в виде гх) (р — г2) . . . (р — гт) ат _ (Р — ь ' (Р — Рі)(Р От = + г2 + Р(Р) = п — Рг) ••• (Р — (3-99) Рп) При этом а, — = (— 1) г х • г 2 . ат ьп—I Ьп = Рг + Рі + Ьп = ( - 1)ПР1 - р 2 . . . (3-100) + Рп, рп. При р — г1 числитель А (р) обращается в нуль, следовательно, и функция Р (р) при этих значениях р оказывается равной нулю, в связи с чем величины г и г 2 , ..., г т называют нулями функции. При р = р1 в нуль обращается знаменатель В (р), а сама функция принимает бесконечно большие значения, поэтому величины р1г р2, ..., рп называют полюсами функции. Полюсы и нули бывают различными и кратными. В частных случаях они могут быть расположены в нуле или бесконечности. Разделив знаменатель выражения (3-98) на числитель, получим "п 0 а п—т , I °п-\ т-1 ^ г (3-101) рп-т-\ + Если п > т, то функция Г (р) имеет п — т нулей, расположенных на бесконечности, так как в соответствии с (3-101) (/?)-> 0 при р оо. Поскольку коэффициенты а0, ..., ат и Ь0, Ьи ..., Ьп вещественные числа, то комплексные или мнимые полюсы и нули могут быть только попарно сопряженными. Как видно из выражения (3-99), функция (р) полностью определяется заданием ее нулей и полюсов, а также постоянного множителя /Со = От (3-102) Ьп Рис. 60. Двойная Т-схема. Множитель К 0 , называемый масштабным коэффициентом, часто опускают, предварительно пронормировав функцию. Функция (р) может быть представлена графически на комплексной плоскости переменной р путем изображения ее нулей (кружками) и полюсов (крестиками), а также указанием каким-либо способом масштабного коэффициента Ко- Обычно значение коэффициента К 0 указывается справа в квадратике у действительной оси. Такое построение называют картой нулей и полюсов. Пример 7. Построить карту нулей и полюсов функции передачи напряжения двойной Т-схемы (рис. 60). Выразим сначала функцию передачи напряжения при холостом ходе К (р) = = Ку через параметры элементов схемы. Выбрав каноническую систему сечений, записываем матрицу проводимости схемы й + рС —О 1 + а а ^ , °+ Р т в а - 0 Р С -рС , Р + в а Л* -рС 1+ а „^ а РС С С 4 " (0 + рС) 131 На основании табл. 7, учитывая, что в рассматриваемом примере а — 1 и Ь = = 4, выражение для функции передачи напряжения запишем в виде 11 Вычислив соответствующие алгебраические дополнения матрицы проводимости схемы, имеем G К (р) = CV + CG + Y + 2 1 _Р_ + — j p + G3 а а~ і или, вводя обозначение со0 = — , получим и 1 +а Р2 + «О I l - l ) p + ag К (Р) = р2 4- со0 (р 4+ — 4- — ) р 4\ р a a l Функция К (р) характеризуется двумя нулями (3-103) и двумя полюсами со0. Расположение нулей и полюсов функции в комплексной плоскости зависит от соотношений между параметрами элементов схемы, т. е. от значений величин а и Р. Полюсы функции всегда вещественные, простые и располагаются на вещественной оси в левой полуплоскости, так как 1 1 1 \2 Р ~л~ I ß 4 з I ~ Ь _ ) - 1 > 0 . Действительно, это неравенство приводится к виду (Р—1) 2 4- — ( Р 4 - 1 ) > 0 , а откуда видно, что оно справедливо при любых положительных значениях а и р. Нули функции будут комплексно сопряженными, если - КО, - г 1 4-а „ 1 4-а „ т. е. при р < 3. Обозначая Р через V запишем 1,2 : и 1 - У ^ ±i j / ' - 4 - Y)2 В предельном случае, когда у О, имеем /1 ^ . т ш т. е. нули располагаются в правой полуплоскости на расстоянии —0 от мнимой оси. С ростом величины у вещественная часть уменьшается, и нули приближаются к мнимой оси. При V = 1 вещественная часть оказывается равной нулю и, следовательно, г,_2 = ± /©о. >Г=О / / / 1 КПЗ > Т 0<И1 I 2Г I Г><Г \ 0 / "»/ у-— Шо 6 2 Рг | Р, А 6 *> V\ / / ——ч Рис. 61. Карта нулей и полюсов двойной Т-схемы: а — перемещение V= — Р ; нулей на комплексной плоскости б — п о л о ж е н и е н у л е й и п е л ю о о в при а = 3 = при изменении 1 (V = параметра 2). т. е. нули располагаются на мнимой оси. С дальнейшим увеличением у вещественная часть становится отрицательной, а мнимая часть уменьшается по абсолютной величине. При V = 3 нули функции становятся вещественными и равными, т. е. г 1,2 = — "оЕсли у > 3, нули принимают различные вещественные значения, оставаясь в левой полуплоскости. При 0 < V < 3, когда нули комплексно сопряженные, они находятся на расстоянии со,, от начала координат. Таким образом, с увеличением V от 0 до 3 нули функции перемещаются влево по окружности радиуса со0 с центром в начале координат, как показано на рис. 61, а. В качестве примера на рис. 61, б приведена карта нулей и полюсов при а = (3 = 1. Нули и полюсы определяются значениями: г,,2 = ( ± 1 ио = ( - 0,5 ± /0,866) ш0; /»1,2 = (— 2 ± КЗ) со0, или Р] = — 3,73<в0 и р2 = — 0,27со„. Таким образом, функция схемы полностью определяется значениями комплексной переменной р, при которых функция становится нулем или бесконечностью, и постоянным множителем Ко- Подставляя комплексную переменную р = о + /со для функции схемы .Р (/?), можно записать выражение (о, со) + уТ7, (о, со), (3-104) Р (р) == Р (а + /со) = ^ или Р(р) = Р(о, со)е /ф(а,а)) . (3-105) Здесь и Л — вещественная и мнимая части функции схемы Р (р), а Т7 (а, со) и <р (о, со) — ее модуль и фазовый угол. При этом Р (а, со) = (о, со)2 + Р, (а, со)2; (3-106) Р , ( а , со) Ф(о, со) = агс1 § ^ (о<ц) • Функции ^ (ст, со), Р\ (а, со), Т7 (о, со) И ф (о, со) являются функциями двух переменных о и со и могут в соответствующих системах координат быть заданы поверхностями, расстояния которых от плоскости с ортогональными осями с и со определяются значениями этих функций. Д л я примера на рис. 62 приведено графическое изображение поверхности модуля передаточной функции Р (о, со) двойной Т-схемы, построенное по данным примера 7. Рис. 62 представляет собой как бы рельеф местности. Значения модуля Р (о, со) обозначают высоты. Полюсы являются горными пиками, а нули — впадинами. Линии фаз (пунктирные линии) представляют собой траектории, по которым спускался бы с возвышенности безынерционный шарик. Имеется также седловая точка, обозначенная буквой й, в которой производная от модуля Р (о, со) равна нулю и раз- ветвляются линии фаз. В двух противоположных направлениях от седловой точки начинается подъем к пикам, а в перпендикулярных направлениях — спуск в долины с впадинами. Ф (а, со) в р-плоскости семействами изолиний. Для удобства можно функцию двух переменных задать в виде семейства линий равного значения соответствующей функции. При этом функция схемы задается графически на комплексной плоскости /> = о + /со семействами изолиний функций (а, со), (а, со), / (а, о), ф (а, со). На рис. 63 приведены изолинии ^ (о, со) и ф (а, со), вычерченные на комплексной плоскости р — о + /со для передаточ функции двойной Т-схемы при разных значениях о и со. Такое задание функции схемы /•" (р), хотя и требует определенных затрат времени, является очень наглядным и полезным при анализе сложных схем, например, для нахождения полюсов и нулей замкнутой схемы по карте нулей и полюсов разомкнутой схемы [16]. Д л я частного случая о = 0 комплексная переменная р = /со, и функция схемы задается в виде /7(/со) = У » е У Ф ( < Л ) . (3-107) Рис. 64. Частотные характеристики двойной Т-схемы: а — амплитудно-частотная; б — фазо-частотная. Модуль и фаза функции ґ (/со) могут быть найдены из выражения квадрата функции Р (/со) Р (/со) = (/со) Р ( - /со) = Iр т |1 м, (3.108) откуда |Р(/со)| 2 = ґ ( / с о ) Р ( - / с о ) ; (3-109) V (3-110> Зависимость^ модуля Р (со) от частоты называется амплитудночастотной характеристикой схемы (АЧХ), зависимость от частоты аргумента ср (со) — фазо-частотной характеристикой схемы ( Ф Ч Х ) . Точки частотных характеристик ґ(со) и ф (со) могут быть получены по координатам точек изолиний функций Б (а, со) и ф (ст, со), лежащих на мнимой оси комплексной плоскости р (рис. 63), или же определены аналитически по известной функции Б (р) заменой оператора р на оператор /со. Частотные характеристики могут быть представлены в виде графиков, аналогичных приведенным на рис. 64 для двойной Т-схемы из примера 7. Амплитудно-фазовая характеристика схемы (АФХ), или частотный годограф, строится в полярных координатах и объединяет амплитудно- и фазо-частотные характеристики в одну кривую (рис. 65). АЧХ определяется длиной вектора, проведенного из начала координат, а Ф Ч Х — углом этого вектора с горизонтальной осью комплексной плоскости. Если ф (со) < 0, говорят об отставании напряжения или тока по фазе, если ф (со) > 0 — об опережении по фазе (движение от действительной оси против часовой стрелки принимается за положительное направление отсчета угла). Частотный годограф представляет собой на комплексной плоскости значений F(/со) = FR (со) + jF\ (со) кривую, являющуюся геометрическим местом концов вектора F (/со) для всех значений со в диапазоне от со = = 0 ДО СО = со. , Частотные характеристики (АЧХ и Ф Ч Х ) могут сниматься экспериментально. Если на вход линейной схемы подавать гармоническое воздействие / і / 1 U'oa 0 \ xBX (t) = X BX sin со/, F^lil) \ \ \ \\ то через некоторое время, необхо\ \ димое для затухания переходного Рис. 65. Амплитудно-фазовая харакпроцесса, реакция схемы будет так- теристика двойной Т-схемы. же гармонической функцией с той же частотой, но может отличаться от входного воздействия фазой колебаний, т. е. *вых ( 0 = ХВЫХ s i n (СОT + ф). V Снимая зависимости (со) и ф (со) при постоянном ХВХ, находим искомые частотные характеристики схемы. Иногда А Ч Х и Ф Ч Х строят в логарифмическом масштабе по оси частот, чтобы отобразить более широкий частотный диапазон. Д л я удобства вычислений модуль передаточных функций F (со) строится т а к ж е в логарифмическом масштабе, пропорциональном Fee (со) = 20 log 10 F (со), (3-111) F He „(®) = l n f ( c o ) . (3-112) или Выражения (3-111) и (3-112) определяют логарифмические частотные характеристики ( Л Ч Х ) . Амплитудная J I 4 X выражается в децибелах или неперах, при этом Хдб = ~Шо~ = 8 686 ' неп - Децибел (дб) был введен как специальная единица, определяемая логарифмом отношения мощностей Пдб = 10 log 10 j • (3-113) Если мощности, по которым определяются потери или усиление (в децибелах), рассеиваются в омических сопротивлениях, то уравнение (3-113) можно переписать Г R 'вых^вых /а2 п U bx/ R BX 'вхАВх / ^ВХ Пл 'вых , ^ВЫХ ф. 10 log 10 = 20 log 10 - f i - + 10 log 10 Пдб z 10 log 10 = 20 log-10 "вь и. вых' ~вых 101og10 " в ы х ' в х X • B_. (3-114) При RBx = RBых последний член в выражении (3-114) равен нулю и усиление мощности в децибелах можно определить непосредственно из отношений напряжений или токов. Однако в дальнейшем уравнение (3-111) 9, брад / /1 і у \ / 2 Q < 10 Ь ?юМ 5 а Рис. 66. Логарифмические частотные характеристики двойной Т-схемы: а — амплитудная; б — фазовая. начали применять не только для определения усиления схемы по напряжению или току (в случаях, когда входные и выходные омические сопротивления не равны между собой), но и для характеристики передаточных функций сопротивления и проводимости, в результате чего первоначальное понятие о децибеле как об отношении мощностей было утеряно. Фазовая Л Ч Х строится в линейном масштабе по оси ординат обычно в электрических градусах. Особенность Л Ч Х состоит в том, что из-за логарифмического масштаба по оси абсцисс (частот) соответствующие кривые нельзя строить, начиная с ю = 0 (рис. 66). Удобство применения Л Ч Х заключается в том, что при использовании логарифмических величин можно свести операции умножения и деления числовых отношений к простым операциям сложения и вычитания логарифмических единиц. Например, в случае многокаскадной схемы суммарные амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики находятся из соотношений f = FxF2 .. (3-115) Ф == Фі + ф Ф22 ++ • • ' + Ф„Переходя от А Ч Х к Л Ч Х , вместо (3-115) получаем (3-116) Рдб = У і5б + Р2дб + • • • + У«аб(3-117) В некоторых случаях интерес представляет лишь вещественная амплитудно-частотная характеристика схемы, определяемая с по- мощью АФХ: • F r (со) = Re [F (/со)]; FR (СО) = 4 - (/") + f ( - /М)І• (3-118) Если же известны амплитудно- и фазо-частотные характеристики F(co) и ф(со), то вещественная амплитудно-частотная характеристика определяется выражением Fr (со) = F (со) cos ф (со). (3-119) При малых значениях ф вещественная АЧХ F R (со) мало отличается от АЧХ F (со), что справедливо, например, для рассмотренной выше двойной Т-схемы. Если фазовые сдвиги большие и, в частности, І ф I > - у ' значения ординат вещественной характеристики FR (со) становятся отрицательными, а к р и в ы е / ^ (со) и F (со) существенно разными. Функции схемы могут быть также заданы во временной области с помощью импульсной и переходной характеристик. Реакция схемы на единичный импульс б (t) == 1 называется импульсной реакцией, или импульсной характеристикой, и в общем случае находится при обратном преобразовании функции схемы g(t) = L-l[F(p)]. (3-120) Реакция схемы на единичную функцию 1 (£) = — называется переходной функцией, или переходной характеристикой, и в общем случае находится из выражения h(t) = L - l ^ F ( p ) ^ . (3-121) Величины h(t) и g(t) являются временными характеристиками схемы и определяются при нулевых начальных условиях для ее элементов. Как следует из сравнения выражений (3-120) и (3-121), изображение импульсной характеристики может быть получено умножением изображения переходной характеристики на р, что соответствует зависимости g{t) = -^[h(t)\. (3-122) На рис. 67 приведены импульсная и переходная характеристики двойной Т-схемы из примера 7. Вследствие равенства показателей полиномов числителя и знаменателя передаточной функции характеристика g (t) имеет выброс в начальной стадии. Таким образом, частотные и временные характеристики схемы описывают ее реакцию на простые воздействия — синусоидальную и единичную входные функции. Зная эти реакции, можно судит об основных свойствах и параметрах схемы в целом. Поэтому взадачуанализа схемы, наряду с нахождением функций схемы, входит также определение временных и частотных характеристик и степени устойчивости схемы.При этомсхема называется устойчивой, если ее импульсная характеристика во времени стремится к нулю. Выражения, определяющие частотно-временные характеристики схемы, сведены в табл. 14. Так как эти характеристики описывают Рис. 67. Временные характеристики двойной Т-схемы: а — переходная; б — импульсная. одну и ту же функцию схемы/ 7 (р), то между ними существуют определенные соотношения, позволяющие переходить от одной формы Таблица 14 Определение частотно-временных характеристик по функции схемы Р(р) Характеристики амплитудно-фа»овая (частотный годограф) Формула ¥ (/со) = (со) + ІРІ (со) Р (со) = I^ (/со)! = Частотные амплитудно-частотная фазо-частотная вещественная амплитудно- частотна я = УРЧ <®)2 + р1 и2 Р, (со) Ф (со) - arctg р = \Р(Ісо) Ке I/7 (/со)) = (со) = Р (со) сое ф переходная й (/) = 1ГХ импульсная § (0 = Г" 1 [ ¥ (р)] = -ур(р) Временные 1* (01 задания функции /•" (р) к другой. Эти соотношения, как и графоаналитические методы определения частотно-временных характеристик, будут изложены в последних главах книги после рассмотрения методов определения функций схемы, содержащей электронные лампы и полупроводниковые триоды. Р а з д е л второй ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ А Н А Л И З А ЭЛЕКТРОННЫХ С Х Е М Глава ЭЛЕКТРОННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СХЕМЫ ИХ ВКЛЮЧЕНИЯ § 1. Электронные элементы Электронные элементы или, как их часто называют, электронные приборы, основаны на использовании электрических явлений в вакуумном промежутке, газовой среде или твердом теле. Соответственно различают электровакуумные, ионные и полупроводниковые приборы. Токи, протекающие через электронный прибор, Рис. 68. Условные обозначения диодов. Рис. 69. Условные обозначения электронных элементов. управляются напряжениями, приложенными к его электродам, и выполняют функции, определяемые назначением прибора и схемой его включения. Не вдаваясь в рассмотрение сложных физических процессов в электронных приборах и большого разнообразия их конструкций, отметим, что в качестве усилительных и преобразовательных элементов электронных цепей наиболее широко применяются триоды и пентоды (трех- и пятиэлектродные электровакуумные приборы) и транзисторы (трехэлектродные полупроводниковые приборы). Широко используются также диоды (двухэлектродные электровакуумные и полупроводниковые приборы). Рис. 70. Токи и напряжеВ соответствии с количеством внешних ния многополюсного элеузлов (полюсов), посредством которых элек- мента. тронные приборы соединяются с другими элементами цепи, различают двухполюсные и многополюсные элементы. На рис. 6 8 , а , б , в приведены условные обозначения двухполюсных элементов — электровакуумного, полупроводникового и туннельного диодов. На рис. 69, а, б, в даны обозначения многополюсных элементов — триода, пентода и транзистора. В общем случае, электронный прибор независимо от принципа действия и конструкции можно представить в виде многополюсника (рис. 70). Токи, протекающие через электронный прибор, зависят от приложенных к его электродам напряжений = !Аих> "а " т - 0 , к = 1, 2 т — 1. (4-1) ЭТИ зависимости изображаются семействами характеристик, которые являются исходными данными при графоаналитическом анализе электронных схем. Как правило, функции (4-1) нели- Рис. 72. Вольт-амперная и вольт-омная характеристики полупроводникового диода. Рис. 71. Вольт-амперная и вольт-омная характеристики вакуумного диода. нейны, поэтому характеристики электронных приборов обычно получают экспериментальным путем. Во многих случаях для диода достаточно одной вольт-амперной характеристики, выражающей зависимость между током и напряжением на его электродах. На рис. 71 и 72 приведены типичные вольт-амперные характеристики вакуумного и полупроводникового диодов. Характеристика вакуумного диода несимметрична. При положительных напряжениях ее начальный участок подчиняется известному закону степени трех вторых і = аи'\ (4-2) Конечный участок характеристики определяется током насыщения, который зависит от напряжения накала диода, так как при больших напряжениях на аноде практически все испускаемые катодом электроны достигают анода. Как видно из рис. 72, ток полупроводникового диода в прямом направлении во много раз превышает ток в обратном направлении, что обусловливает практически одностороннюю проводимость прибора. При этом ветвь характеристики для прямого направления тока подчиняется закону Яи' і = Ій(екТ -О. (4-3) где / 0 — ток насыщения электронно-дырочного перехода, обусловленный неосновными носителями заряда; q — элементарный заряд; к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура перехода; и' = и — IV, г — распределенное сопротивление полупроводникового материала. Единственным параметром линейного безреактивного двухполюсного элемента является сопротивление к , но для описания и Рис. 74. Вольт-амперная и вольт-омная характеристики туннельного диода. Рис. 73. К определению статического и динамического сопротивлений нелинейного элемента. нелинейного элемента в данной точке его характеристики, например в точке А (рис. 73), вводят два параметра: статическое сопротивление диода т,,ОВ "'и' (4-4) = т/г р Яд = - 1г - = А т,ВА и динамическое, или дифференциальное, сопротивление Га = (1и т„ОВ и Ш т.] СА =тц . tg а, (4-5) где т и , т.1, т р — соответствующие масштабы для напряжения, тока и сопротивления. Вследствие нелинейности вольт-амперной характеристики сопротивления /? д и г д зависят от значений токов и напряжений на электродах диода. На рис. 71 и 72 приведены гак называемые вольт-омные характеристики динамических сопротивлений г д = ср (и). Д л я рассматриваемых электронных приборов статическое сопротивление всегда положительно, а динамическое сопротивление может быть как положительным, так и отрицательным. На рис. 74 приведены вольт-амперная и вольт-омная характеристики туннельного диода. Участок АВ соответствует отрицательному динамическому сопротивлению, так как при возрастании напряжения на нем ток убывает. Статические и динамические проводимости обратны соответствующим сопротивлениям (рис. 73): Gfl = - ^ - = m 0 t g p ' ; (4-6) £д = - г ~ = m c t g a ' . (4-7) В некоторых случаях, особенно при работе на высоких частотах, необходимо учитывать также реактивность диодов. Например, электровакуумный и полупроводниковый диоды характеризуются емкостной реактивностью указанных выше характеристик, для диода приводятся также характеристики динамических реактивностей С д = -ф (и) или С д = "ф (t). Зависимости (4-1) между токами и напряжениями для трехполюсных элементов сводятся к паре функций двух переменных h = fl ("l. "2); (4-8) h = Ы " i - "г)Графически их представляют семействами характеристик на плоскости, в которых одно из независимых переменных служит параметром, т. е. 11 = ф 1 (ы 1 ) и «2 = ф 2 (и 1 ) при « 2 = const, (4-9) или h ~ ( и г) 11 = "Фа ( и г) П Р Н ui ~ const. (4-10) Если число полюсов элемента больше трех, графически представить зависимости (4-1) трудно. Д л я полного описания свойств такого элемента необходимо располагать набором семейств характеристик. Д л я каждого конкретного элемента трудности преодолеваются путем дополнительных упрощений, вытекающих из свойств элемента, или путем введения специальных методов пересчета характеристик. Свойства многополюсного элемента можно описать также системой параметров, которые определяются на основании семейств его характеристик аналогично тому, как это делалось для двухполюсных элементов. Так, трехполюсный элемент характеризуется четырьмя статическими параметрами (проводимостями) при и2 = const; Сп = G,2 = —— при и, = const; и 2 (4-11) G21 = при «2 = const; G22 = — п р и = const и четырьмя динамическими параметрами (проводимостями) дн gu = дих при «2 = const; при 8ы = ди2 = const; ди dUj при « 2 = const; di2 g22 = ди2 при «1 = const. g2, = С увеличением количества электродов элемента возрастает и количество его параметров. В общем случае для элемента с т электродами статические проводимости выражаются равенствами Gks = - ^ ~ при Uj = const (/ Ф s) (4-13) (k, s = 1, 2, . . . , tn — 1). Аналогично для динамических проводимостей при ыу = const (/=£s) (4-14) (k, s = 1, 2, . . . , m— 1). Величины gkk называются внутренними проводимостями по k-щ электроду, а величины gks (k Ф s) представляют собой крутизны характеристик k-ro электрода по s-му электроду. С помощью динамических параметров электронных элементов можно установить зависимости между переменными составляющими токов и напряжений на электродах. Обычно начальный режим ламп и транзисторов задается некоторыми значениями постоянных напряжений ы/0 на электродах. При небольших отклонениях от этого режима напряжения получают некоторые приращения А«/, так что « / = «/„ 4- А и/, что влечет за собой соответствующие изменения токов. Если токи зависят только от двух напряжений (как для триодов), то, разлагая уравнения (4-8) в ряд Тейлора, имеем h = Ы " 1> "я) = Ы " 10 + А«1, «20 + Д" 2 ) = = Ы " 10, «2о) + ( - | f - А«1 + Ли ») + Если приращения напряжений Д « j и А« 2 достаточно малы, то членами с высшими производными можно пренебречь, и тогда получим h = Ы " ю , "2о) + Д«1 + Д« 2 ) • (4-15) Первый член этого выражения определяет значения постоянных составляющих токов іко = /а («10. "го)> (4-16) а остальные члены выражают переменную составляющую токов через приращения напряжений на электродах: Ді 1 ді і = дих Аи = ді2 ди] ла Д«! + ди, • Аи„; ди ди, Аи„. (4-17) Частные производные, служащие коэффициентами в этих уравнениях, представляют собой динамические параметры триода, выражаемые соотношениями (4-12). Приращения токов А('й и напряжений Аи к являются некоторыми временными функциями, которые в зависимости от способа представления уравнений можно заменить их изображениями 1 к и V к . Тогда уравнения (4-17) с учетом зависимостей (4-12) принимают вид: Аналогично для многополюсного элемента, имеющего т электродов, получим ( т —1) линейных уравнений т—1 /*= 2 8*&ш(Ь, 5 = 1 , 2 т - 1). (4-19) 5=1 Линейность полученных уравнений позволяет анализировать линейными методами схемы с нелинейными элементами, если в диапазоне изменения токов и напряжений на электродах динамические параметры изменяются настолько мало, что их можно считать постоянными величинами. Заметим, что вид функций, выражающих зависимости между токами и напряжениями Рис. 75. Обобщенный на полюсах многополюсного элемента, может отличаться от формы (4-1). Разделение токов трехполюсник. и напряжений на зависимые и независимые переменные носит условный характер, и любые из них могут быть использованы в одной из этих ролей. Например, трехполюсный элемент можно представить в виде четырехполюсника с короткозамкнутой стороной (рис. 75). Тогда одна пара токов и напряжений будет играть роль входных величин, а другая — выходных. Зависимости между ними могут быть представлены в одной из шести форм, рассмотренных в гл. 3. Соответственно принимают другой вид характеристики элемента и изменяется смысл его параметров. При рассмотрении каждого конкретного прибора приходится считаться с его специфическими особенностями, а т а к ж е с некоторыми установившимися традициями. В частности, это относится к выбору общего электрода, относительно которого отсчитываются н а п р я ж е н и я других электродов электронного прибора. Вид характеристик и значения параметров существенно зависят от того, какой из электродов прибора выбран общим и какие направления выбраны в качестве положительных направлений токов и напряжений на электродах. Дальнейшее рассмотрение этого вопроса проведем раздельно для электронных ламп и транзисторов. § 2, Характеристики и параметры электронных ламп Электровакуумный прибор (лампа) представляет собой конструкцию, в которой между катодом и анодом расположены один или несколько электродов (сеток), управляющих прохождением электронного потока от катода с термоэлектронной эмиссией к аноду. При рассмотрении электронных ламп, например триодов, обычно в качестве общего электрода выбирают катод и от него отсчитывают напряжения других электродов, а сеточный и анодный токи считают направленными внутрь лампы (рис. 76). Соответственно в зависимостях (4-8) входными величинами (ток ïj и напряжение мх) являются сеточные ток t c и напряжение и с , а выходными (ток t 2 и напряжение и2) — анодные ток t'a и напряжение иа. На рис. 77 приведены типичные семейства характеристик триода. Анодные характеристики более нелинейны в области малых и больших зна- Рис. 76. Триод как чений анодного тока, а т а к ж е при больших трехполюсник: положительных и отрицательных напряже- a — анод; к — катод; с — сетка. ниях на сетке. Сеточный ток протекает только при положительных напряжениях на сетке. Соответственно различают режим без сеточных токов (и с < 0) и режим с сеточными токами (ис > 0). Режим без сеточных токов характерен для измерительных неискажающих усилителей и реостатно-емкостных генераторов гармонических колебаний, а режим с сеточными т о к а м и — д л я мощных усилителей, LC-генераторов гармонических колебаний и импульсных цепей. Семейства характеристик, приведенные на рис. 77, а и б, являются зависимыми и могут быть взаимно преобразованы. Процесс преобразования понятен из рис. 78, где по координатам точек пересечения семейства анодных характеристик и вертикальной прямой, определяемой уравнением u ai = const, строится соответствующая анодно-сеточная характеристика. Д л я обратного перехода нужно пользоваться координатами точек пересечения кривых анодно-сеточного семейства характеристик с прямой u j = const. Динамическим параметрам триода, определяемым соотношениями (4-12), присваиваются следующие названия и обозначения: Рис. 77. Характеристики триода: а — анодные; б — анодно-сеточные. сеточная проводимость = С, с , крутизна сеточно-анодной характеристики g 1 2 = 5 С , крутизна анодно-сеточной характеристики &2і = и анодная проводимость £ 2 2 = Используются т а к ж е Рис. 78. Пример преобразования характеристик триода, г. параметры Н іс — 1 и о = 1 называемые соответственно сеточ- ным н анодным сопротивлениями. Уравнения триода (4-18) для переменных составляющих токов и напряжений принимают вид: = /, = + } + 0іяиг. I ( 4 . 2 0 ) В режиме без сеточных токов ~ ОО (віс = 0) и — 0. Поэтому д л я характеристики триода достаточно двух параметров (или І^іа) И 5 а , которые обозначаются через Б; (или к і) И ^ и называются соответственно внутренней проводимостью (сопротивлением) и крутизной характеристики триода. В этом случае уравнения триода (4-20) записываются следующим образом: Л = 0; / 2 = Би, + 0(и2. 5,мв/в;щ " 50 100 ком 40 30 20 10 V\ 10- 6НЗП иа=1506 40 /и (4-21) 80 •160 у / О V А н'А.ком -200- 30 60 120-^- 20 40 80 10 20 О О 40 / 40 а Рис. 79. Кривые зависимости параметров триода: -ис.б -4 -3 -2 -1 / —У 2,0 16 /6Н2П / Щ.-1В 1,2 0,8 'в 0,4 80 120 160 и., 6 о — в ф у н к ц и и сеточного п о т е н ц и а л а ; б — в ф у н к ц и и анодного н а п р я ж е н и я . Часто используется также параметр р., называемый статическим коэффициентом усиления триода, связанный с этими двумя параметрами зависимостью р = = ОІ (4-22) Сз 1—-о— Вследствие нелинейности характери—о—и— 1 Сі стик параметры триода зависят от напряжений и с и « а . Соответствующие кривые И ^ приведены на рис. 79. Типичные значеК ния параметров триодов обычно лежат в следующих пределах: = (8 -г- Рис. 80. Пятиэлектродная лампа — пентод: -^-100) ком, Я =* (2 -г- 10) ма/в и ц = а — анод; к — катод; с, — у п р а в л я ю щ а я сетка; сг — э к р а = 10 -г- 100. н и р у ю щ а я сетка; с, — антидиД л я уменьшения связи через пара- н а т р о и н а я сетка. зитную емкость между анодом и сеткой, приводящей к нежелательным явлениям при усилении сигналов высокой частоты, разработаны многоэлектродные лампы — тетроды и пентоды. В отличие от триода в пентоде введены две дополнительные сетки, расположенные между управляющей сеткой и анодом (рис. 80). Одна из них — экранирующая — находится под положительным напряжением иСг относительно катода, а потенциал и с , второй сетки (защитной или антидинатронной) обычно равен потенциалу катода. В результате достигается надежное экранирование пространственного заряда у катода от поля анода, и тем самым значительное повышение статического коэффициента усиления лампы при сохранении (или даже увеличении) значения крутизны анодного тока. В предположении постоянства н а п р я ж е н и я накала и отсутствия тока защитной сетки свойства пентода (как и тетрода) определяются зависимостями: 'с, = / 1 ( ^ с , , Мсг> И а ) , »с, = /а ( " с , , «с,, "а): 'а = / з ( " с , , «с,, "а)- Эти зависимости являются функциями трех переменных и представить их в графической форме нелегко. При отрицательном напряжении управляющей сетки ыс, < 0 сеточный ток 1с, = 0. Обычно а Рис. 81. Характеристики пентода: а — анодные и сеточно-анодные; 6 б — анодно-сеточные и сеточные. потенциал экранирующей сетки принимается постоянным. Поэтому приведенные выше зависимости сводятся к функциям двух переменных (при и с , = const): t'c, = l M " c , , "а); 'а = ("с„ "а). которые, как и для триода, могут быть представлены, с одной стороны, семействами анодных и сеточно-анодных характеристик (рис. 81, а), а с другой — семействами анодно-сеточных и сеточных характеристик (рис. 81, б). Катодный ток распределяется между анодом и экранирующей сеткой, находящимися под положительными потенциалами относительно катода. От соотношения этих потенциалов зависит вид анодных характеристик пентода. При малых анодных напряжениях доля электронов, достигающих анода, увеличивается с ростом иа за счет электронов, возвращающихся из пространства экраниру- ющая сетка — анод к экранирующей сетке под действием ее высокого положительного потенциала. При больших ил практически все электроны, прошедшие плоскость экранирующей сетки, достигают анода, поэтому га и t c , слабо зависят от анодного напряжения. В общем случае пентод характеризуется девятью динамическими параметрами в соответствии с соотношениями (4-14), в которых следует положить t j = t'c,, t 2 = iCl и • t 3 = t a , а также иг = HCi, «2 = «с, и u 3 = н а . При t'x = tc, = 0 количество параметров уменьшается до шести: сеточная и анодная проводимости G,, = ^ при uCj — const и « а = const; С 2 G,a = При Ыс, = COnst И Uc, = Const и четыре крутизны характеристик сеточного и анодного токов di S21 = - ^ р c i при u Cl = const и ыа = const; 52а = при ыс, = const и uQl = const; Sai = З а2 : диа дис діа при «с2 = const и ма = const; при «с, = const и иа = const. Используются также статические коэффициенты усиления напряжения ^21> Mal и Ма2' Определяемые СООТНОШеНИЯМИ: Параметры С1а, 5 2 1 , 5 2 а и 5 а 1 определяются по семействам характеристик, приведенным на рис. 81. Д л я определения параметров в12 и 5 а 2 необходимо располагать зависимостями сеточного тока іСг и анодного тока іа от напряжения иСг на экранирующей сетке. Обычно такие характеристики в справочниках приводятся только для мощных ламп. Д л я пересчета семейства анодных характеристик пентода на новое экранное напряжение можно воспользоваться теоремой подобия, в соответствии с которой при изменении всех напряжений на электродах лампы в п раз все токи ее электродов изменяются в т раз. Если характеристики пересчитываются от напряжения к напряжению мСг, коэффициент п задается отношением и^ (4-26) п = При этом напряжения « с , и иа пересчитываются к напряжениям «с, и ия, которые соответствуют новому значению иСг напряжения экранирующей сетки, по формулам «с, = ««с,; "а = пиа. (4-27) Токи га и /с, пересчитываются к токам г'а и г'с2, соответствующим новому значению иС!, по формулам (а = /ш'а; 4 = /ш Сг. (4-28) Следует заметить, что внутренние проводимости и крутизны изменяются при переходе к новому экраннот му напряжению в — раз. • 0,2 0,3 04 0,5 Коэффициент т определяется экспериментально или по характеристике пентода в триодном включении при «с, = 0. В триодном включении экранирующая сетка и анод соединяются вместе, поэтому и а = « с ,. Выбирая две точки характеристики с координатами 1 а , « а = Ыс2 и г'а, На = «с, НЭХОДИМ Коэффициент Ш = Условие триодного включения близко совпадает с режимом низкочастотных пентодов. Д л я высокочастотных пентодов на рабочем участке анодных характеристик га слабо зависит от ыа, что в первом приближении при определении т позволяет т а к ж е принять иа да ис,. При « с , = 0 анодный ток пентода в триодном включении в соответствии с уравнением (4-2) определяется приведенным к сетке анодным напряжением Рис. 82. Графики зависимости т — / (п) и а = /і (л), используемые при пересчете характеристик и параметров пентода для измененного экранного напряжения. г' = Ьиа2 га = Ьиа откуда а "а = П4'. (4-29) График зависимости rn = f (п) построен на рис. 82. Там же приведена зависимость а = ~ = (п), используемая при пере- счете значений параметров. Пример 1. Методика пересчета двух анодных характеристик пентода 6Ж4П) соответствующих напряжению на экранирующей сетке ис = 150 а, к напряже. 100 нию иСг = 100 в иллюстрируется рис. 83, а. По условию п = -у^- = 0,67, а по графику (рис. 82) находим т = 0,545. Взяв на характеристике при «Сі = —1 в и иСг = 150 в в точке, соответствующей некоторому анодному напряжению, например иа — 300 в, значение анодного 'a.i'a. МО ис,=~/1 10 -1,5 Uc,=-Q676_ ZT- 1,м\— иС2= /506 uh2=W0B 200 300 ua;u'a,ä a Рис. 83. Пример пересчета характеристики пентода на другое экранное напряжение: 100 а — анодные характеристиии: б — к р и в а я зависимости к р у т и з н ы Я. тока (а = 10,5 ма и умножив его на т, определим анодный ток (а = тіл = 5,72 ма, который установится в лампе при иСг = 100 в, иСі = л«Сі = —0,67 в и анодном напряжении ыа = пил — 200 в. Пересчитывая таким образом и другие точки этой и следующей характеристик и отмечая их на графике, получим анодные характеристики при иСі = —0,67 в и «Сі = —1,34 в искомого нового семейства для нового экранного напряжения иСг = 100 в (рис. 83, а). Пример 2. Найти значение крутизны 5 а1 анодного тока пентода 6ЖЗП, работающего в режиме иСг = 25 в и иСі — —0,5 в, по характеристике зависимости крутизны лампы, снятой экспериментально при напряжении на аноде 250 в и напряжении второй сетки ис = 100 в (рис. 83, б). 25 По условию задачи коэффициент п = — = 0,25, поэтому характеристике = —0,5 в соответствует характеристика ис = - 1 —2 в. По графику (рис. 83, б) определяем, что при иСг = 100 в и uCi = —2в S a l = 4,4 miß. Затем т по графику на рис. 82 находим а = -—- = 0,5 и, следовательно, п S a l = aS , > 4,4 . 0,5 :: 2 , 2 ма/в. Ч а щ е всего пентод работает при постоянном напряжении на экранирующей сетке. Если при этом ток управляющей сетки равен нулю, то пентод, к а к и триод, характеризуется только двумя динамическими параметрами — внутренней проводимостью Рис. 84. Кривые зависимости параметров пентода в функции: а — анодного н а п р я ж е н и я ; б — экранного напряжения. 0га = и крутизной 5 а 1 = 5 . Из рис. 84, на котором приведены типичные зависимости параметров пентода от напряжений на его электродах, видно, что для пентода эги зависимости сказываются в большей мере, чем для триода. Крутизна и внутреннее сопротивление пентода для обычных режимов лежат в пределах соответственно (2-=-20) ма/в и (0,8-=- 2,5) Мом, что дает для статического коэффициента усиления среднее значение 800—1500. У некоторых же типов высокочастотных пентодов ц доходит до 3000—6000. При расчете электронных цепей более удобны, по сравнению с приводимыми обычно в паспорте лампы анодными характеристиками, анодно-экранные характеристики i a = -ф (ыСз, u j , и а = const - Примерный вид их для пентода типа 6 Ж 7 показан на рис. 85. На этом ж е рисунке приведены кривые поправочных коэффициентов "*і = Ф і ( " У и = Рис. 86. Характеристики постоянных проводимостей триода. с помощью которых для любого значения анодного н а п р я ж е н и я ыа находятся анодный ток и ток экранной сетки С = m 1 і а и i'c, + m 2 i a , (4-30) где / а — значение тока, определяемое по оси ординат графика семейства анодно-экранных характеристик (рис. 85). На семействе характеристик лампы иногда наносят кривые постоянных значений ее параметров: крутизны 5 и проводимости Gt = -g- (рис. 86). В этих случаях не нужно вычислять параметры лампы при выборе ее режима и последующем его изменении, что ускоряет и упрощает расчет электронных схем. С этой же целью на семействе кривых анодно-экранных характеристик, изображенных на рис. 85, нанесены линии постоянных значений крутизны 5 . Мощные усилительные и генераторные лампы, как п р а в и л о , работают с сеточными токами. Их свойства удобно описывать семейством характеристик постоянного тока: "с, = /і ( « J , "с, = / 2 ("а), 'а = C o n s t > = COnst, «с, = const; "с, — /з ("а)> 'с, = COnst, UCl = COnst. с, = const; Рис. 87. Семейство характеристик постоянного тока. Семейство таких характеристик для лампы ГУ-72 приведено на рис. 87. Как видно, наклон первой группы характеристик обратно пропорционален статическому коэффициенту усиления р а . § 3. Характеристики и параметры транзисторов Транзисторами называют полупроводниковые приборы с д в у м я электронно-дырочными переходами, разделенными областью базы. Электронно-дырочные переходы возникают на границе между областями полупроводников с различными типами проводимости, обусловленными специально введенными примесями. По принципу действия транзисторы существенно отличаются от электронных ламп тем, что вместо эмиссии электронов с термокатода в них используется инъекция (ввод) носителей заряда в рабочую область прибора (область базы) через электронно-дырочный переход. При этом электропроводность транзисторов обусловливается носителями зарядов двух типов: свободными электронами и дырками — «связями» с недостатком электронов. Полупроводник с электронной проводимостью относится к тг-типу, а с дырочной проводимостью — к /7-типу. В зависимости от характера проводимости граничных областей полупроводников, образующих электронно-дырочные переходы, различают транзисторы типа р-п-р Рис. 88. Основные типы и п-р-п. Их схематическое изображение при- транзисторов. ведено на рис. 88. Стрелка указывает положительное направление эмиттерного тока. Два типа транзисторов отличаются тем, что направления токов и полярность напряжений у них противоположны. При различных величинах и знаках напряжений на переходах транзистор может находиться в режиме отсечки, активном режиме и режиме насыщения. Режим отсечки характеризуется обратным смещением на обоих переходах (оба перехода заперты), активный Рис. 89. Токи и н а п р я ж е н и я на электродах транзистора при разных схемах включения: а — с общим эмиттером; б — с общей базой; в — с общим к о л л е к т о р о м . режим — прямым смещением на одном переходе (инъекция носителей зарядов через переход) и обратным на другом (экстракция носителей зарядов), а режим насыщения — прямым смещением на обоих переходах (оба перехода инъектируют носители в базу). Наибольший интерес представляет работа транзистора в активном режиме." При этом переход, смещенный в прямом направлении, называют эмиттерным, а переход, смещенный в обратном направлении,— коллекторным. Изменение потенциала области базы приводит к изменению потенциального барьера эмиттерного перехода и, следовательно, потока носителей зарядов от эмиттера к коллектору. При рассмотрении характеристик и параметров транзисторов в качестве общего узла для входа и выхода может быть выбран любой из трех электродов транзистора — эмиттер, база или коллектор (рис. 89). Обычно на практике измеряют параметры и приводят характеристики для схем с общим эмиттером и общей базой. При этом для измерений чаще всего в качестве независимых величин принимают входной ток и выходное напряжение, а в качестве зависимых — входное напряжение и выходной ток. Таким образом, зависимости между токами и напряжениями для схемы с общим эмиттером "эб = / 1 (г'б> « э к ) ; 'к = / я ('"б. " э к ) и для схемы с общей базой «эб 1 = Ч>1 (г'э, И б к ) ; к = Ф г ( 1 'э, " б к ) - В этих зависимостях направления токов и напряжений удобно принимать совпадающими с действительными направлениями для активного режима, как это указано на рис. 89. Тогда на осях У. а 6 Рис. 90. Статические характеристики транзистора по схеме: а — с общей б а з о й ; б — о общим эмиттером. координат характеристик всегда будут откладываться положительные значения токов и напряжений. Функции двух переменных представляются графически семействами характеристик, которые могут располагаться на одном графике (рис. 90). В соответствии с принятой терминологией характеристики первого квадранта называют выходными, второго — управляющими (или характеристиками прямой передачи), третьего — входными и четвертого — переходными (или характеристиками обратной связи). Так как выходной ток и входное напряжение слабо зависят от выходного напряжения, семейства управляющих и входных характеристик, как правило, представляются одной или двумя кривыми. Из четырех семейств характеристик для каждой схемы включения независимы только два семейства. Поэтому обычно в паспортных данных транзисторов ограничиваются приведением только входных и выходных характеристик. Принципиально возможно на основании любых двух семейств, связывающих все четыре входные и выходные величины, построить остальные два семейства. Однако, поскольку вместо семейства входных характеристик приводится только одна или две кривые, то практически этого сделать нельзя. Существует связь и между семействами характеристик д л я различных схем включения. Так, пересчет характеристик с общим эмиттером к характеристикам с общей базой и общим коллектором осуществляется на основе зависимостей: Ц = Ц + гк; (4-34) "бк = "эк — "эб(4-35) Если характеристики транзистора удобно представлять для реальных направлений токов и напряжений \ то для переменных составляющих целесообразно выбрать единые положительные направления токов и напряжений на входе и выходе для всех схем включения. Это можно сделать различными способами. В литературе чаще всего принято обозначать токи и н а п р я ж е н и я транзистора, как указано на рис. 75. Из шести возможных форм уравнений, подобных уравнениям четырехполюсника, для описания транзисторов обычно пользуются только тремя: 1 = ёии1 + ) ! и = ^21^1 и 1 = г1111 + г1г12; У 2 ~ Г21^1 Г22^2' и 1 = Аи/Х + Н п и г - , / 2 = А 21 / х + Н 2 2 и 2 . , (4 ) (4-37) (4-38) Соответственно различают три системы параметров транзисторов g, г и А. Зависимости между этими параметрами приведены в табл. 15. Они аналогичны соответствующим зависимостям между параметрами систем у, г и й четырехполюсника (табл. 9). Д л я каждого способа включения параметры транзистора могут быть выражены на основании соответствующих статических характеристик. Д л я этого необходимо установить смысл токов и напряжений, входящих в уравнения (4-36) — (4-38) при данном способе включения, и найти отношения приращений соответствующих величин при неизменном значении третьей величины с учетом их 1 В справочной литературе такой подход последовательно не выдерживает знаков в соответствии с принятыми положительными направлениями токов и напряжений. Так, сравнивая рис. 75 и 89, видим, что для схемы с общим эмиттером Аг-1 = — А/ б , А{'2 = — Д; к , а т а к ж е А = — Дн э б и Таблица 15 Зависимости между параметрами транзистора \ О ш /с г ft g \ >u г /21 22J ё h §22 —§12l 1 |A| Л1г" I§| .—§21 §11J A22 —Аг1 1 . 1 f 1 -A»" Au U21 |A|J /"lal r Г 1 N 1 Чг 22 —Г12 —Г21 Г11 §11 §12] §21 § 2 2 ] И /"и" /"ai 1 1 -§12l 1§IJ §11 .§21 1 А,, Л|2 A« A 22 Опре- дели. тель 1 r \ — ruri% — гпгг\ 1 §1 = §U§22 — §12521 | A | = АцЛ8г — Д« 2 = — Ди э к . Следовательно, уравнения (4-36)—(4-38) записать в виде: Л'б = ёпэДиэб + £12ЭЛ«эк; ) ftlafts, можно (4-39) Лг к = ^21эАМэб + ёГ22эА«эк; А«эб = гиэМб + г 12зД«к; (4-40) А«эк = г21ЭАгб + г22эА/к; АиЭб = ЛиэАг'б + /г12эА«зк; (4-41) Агк = /г21зА/б + /г22эАиЭкЗдесь буквенный индекс при параметрах указывает на электрод транзистора, выбранный в качестве общего узла для отсчета напряжений. Из этих уравнений записываем в ы р а ж е н и я для g-naраметров: ^213 = ^ при « э к = const; &12э = эк , £22э = эк При Иэб = COnst; для /"-параметров: = Г12э = ^ Д«,б , = /*22э = при / к = const. Днэк - д - - При «б = COnst; для h-ш pa метров: ш эб Лпэ = Діб Д иэб Лі2з = Д« а /І21З = h 22э при « эк = const; Діб Лік Дм, при i 6 = const. Поскольку наклоны семейств характеристик во всех квадрантах для схемы с общим эмиттером положительны (рис. 90, б), то в соответствии с написанными выше выражениями все Л-параметры для этой схемы включения оказываются положительными. Воспользовавшись табл. 15, устанавливаем, что параметры г 21э и £, 2 з отрицательны, а остальные г- и ^-параметры положительны. Аналогично из сравнения рис. 75 и 89 для схемы с общей базой А^ = Агэ, Аі 2 = — Аг'к, Аи 1 = Д«Эб и Ди2 = — А« Зк , следовательно, уравнения (4-36) — (4-38) принимают вид: А«э = £іібАи5б — ЯігбАибк; (4-42) Аїк = — £2ібАизб + ^22бА«бк; ДиЭб = /• пбА'э — Л і2бАгк; Ди бк = - л21бДгэ + г22бДїк> Д«эб = ЛпбД'э - /гі2бД"бк; (4-43) (4 44) Ді к = — /їіібДц + /г22бД"бкСоответственно записываем выражения для параметров зистора с общей базой. Для пара метров: Дія ' Д'к при Ыбк = const; g216 = Дії, gue = Ди эб эб £126 • Ais Ди,бк £226 = Дік Д и,бк для г-параметров: - Д цбк Д а.эб Ггіб = г 116 = Ді М 3 • Д а. Д",бк эб г 22б = Дік Г126 = Дік для /і-параметров: Д и.эб h\\б = Д і 3 — Дцэб ^ 126 = Ли бк h2 іб = — Дік Д('э h'226 Д'к_ Діїбк тран- при « э б = const; при (к = const; при (э = const; при «бк = const; при t 3 = const. В схеме с общей базой некоторые параметры выражаются отрицательными отношениями приращений токов и напряжений. Следует иметь в виду, что знак параметра определяется т а к ж е О 1-837 161 знаком наклона соответствующего семейства характеристик. Из рис. 90, а следует, что в четвертом квадранте характеристики имеют отрицательный наклон, т. е. при г, = const с возрастанием ибк Рис. 91. Нормированные кривые зависимости Л-парамггров от: о — н а п р я ж е н и я на коллекторе; б — тока к о л л е к т о р а ; в — т е м п е р а т у р ы . напряжение мэб уменьшается. Таким образом, параметр /г12б оказывается положительным, и единственным отрицательным /г-параметром будет Н216. С помощью табл. 15 устанавливаем, что все г-параметры положительны, а среди ^-параметров отрицательными являются ё и б и g n 6 . Физический смысл параметров различных систем очевиден из приведенных выражений. Д л я коэффициента передачи тока при постоянном выходном напряжении (т. е. при коротком замыкании на выходе для переменной составляющей) приняты специальные обозначения: •э иб к =СОПЖ Ц~к=СОП51 (4-45) (4-46) В принципе параметры транзистора можно определить на основании соответствующих семейств характеристик подобно тому, как это делается для электронных ламп. Однако характер зависимостей между токами и напряжениями и способы изображения характеристик, принятые в справочниках и паспортах полупроводниковых приборов, практически не позволяют решить эту задачу таким путем. Поэтому приходится пользоваться значениями параметров, приводимыми для некоторых фиксированных значений токов и напряжений на электродах транзистора. Эти значения получают непосредственным измерением или вычисляют по специально снятым характеристикам в окрестностях рабочей точки. Д л я того чтобы иметь возможность судить о параметрах транзистора при других режимах и температуре, обычно дополнительно к статическим характеристикам приводятся нормированные кривые зависимостей /г-параметров от выходного н а п р я ж е н и я (рис. 91, а), выходного тока (рис. 91, б) и температуры (рис. 91, в) для схем с общим эмиттером и общей базой. По оси ординат откладываются отношения значений параметров к при данном значении выходных напряжений и тока или температуры к табличным значениям 1г0. Указанные выше знаки параметров 1г, г справедливы для транзисторов типов р-п-р и п-р-п. Схемы, собранные на этих транзисторах, отличаются одновременным изменением направлений токов и напряжений на входных и выходных полюсах прибора. результате этого в схеме с общим эмиттером приращения Д ^ , Л/ 2 , Д«] и Д« 2 будут положительными, и, следовательно, уравнения (4-39) — (4-41) сохраняют свою запись. В схеме с общей базой приращения Ы и Д«! становятся отрицательными, а Д/ 2 , Д« 2 — положительными, что также не видоизменяет запись выражений (4-42) — (4-44). Пример 3. Типовые значения Л-параметров транзистора П103 при включении с общей базой следующие: Л11б = 62 ом, = 0,5 • 10 3 , / ^ б — —0,97, = Ю-6 сим. Определим параметры других систем, пользуясь табл. 15. Найдем сначала определитель | Лг, | - 62 • 10~6 — 0,5 • Ю - 3 (— 0,97) = 6,2 . Ю - 5 + 48,5 • 10 _ 5 = 547 • 10~б. Для r-параметров получаем значения: 547 • m—б 10 _6 10"6 ом = 547 ом\ 0,5 • Ю-"3 10_6 ом = 500 ом; |А б | Л 22б '116 Л 12б 226 '126 h h 2\6 22б г 2\б — — (— 0,97) - ом — 970 ком; Ю-6 ,1 '226 - — /, "226 ом = 1 Мом. ,п10 Аналогично для g-параметров имеем: 1 Л..6 ~ 116 Л 12б «126 = - - 1 = "Иб л 12б «216 •= —Z "116 = £Г99Л *= J - M - = 6 А, 1 б 1 62 сим = 16,15 • 10 0,5-Ю-3 J» —0,97 fiö b z 547 сиМ CUM = ' 10 3 сим\ , Л _6 ~ ' CUM ' , , с г , л—з ~ 1 5 , 6 5 " 1 0 СиМ'' сим = 8,8 • Ю - 6 сил«. 62 Из этого примера видно, что для схемы с общей базой соотношения численных Л Л Л значений /--параметров следующие: г Пй да /-12б, г21б 22б' н о 11б- r i26 21б/ ' 2 2 б . Аналогично g n 6 да g 2 1 6 , g 1 2 6 да g 2 2 6 , но g 1 1 6 , g 2 1 6 » g 1 2 6 , g 2 2 6 . Легко установить зависимость между параметрами для различных схем включения транзистора. Пусть, например, известны /г-параметры схемы с общим эмиттером и требуется выразить через них /i-параметры схемы с общей базой. Воспользовавшись выражениями Ai 6 = Агэ — At'K и Аи ж — Аыэб + Аи бк , вытекающими из соотношений (4-34) и (4-35), приводим уравнения (4-41) к виду уравнений (4-44): А "*б- д. л пэ 1 — Л12э + А?1э + | А9 | I /гэ I — Л12э 1 - А , 2 , + АЯ,+ |А,| А 21э +|А э 1 1-Л12э + Л21э+|Л,| А*бк и » Л223 + 1 - А , а , + А г „ + 1 А »1 Сравнивая эти уравнения с уравнениями (4-44), получим необходимые формулы пересчета, которые наряду с другими формулами, полученными аналогичным способом, приведены в табл. 16 и 17. Там же даны приближенные выражения с учетом того, что для VC a 1 — «г Oi О оті C M -ST + « + — о— - < = + ! -cSI -\<$ + + •e I з S m CM — CM «Ґ + I CMt -s: « c5 a — C4 •c -s; « + + IINN £J •c + Я S + о •s; + •e + •c + •5Î2 X 4® + + -c + •e о •sT + M I •c<N •4 * "Г + Jj -cSi * I ю (N •C t Д i3 •sT T •s: + — СЧ •sT -sT = •s? X - типовых Л-параметров можно приближенно считать |Аб|-/Ц2б«1 (4-47) | А . | — Й12э<< 1 + Ая»; (4-48) (4-49) В частности, принимая во внимание равенства (4-45) и (4-46), можно записать следующие приближенные соотношения между Таблица 17 Соотношения между определителями /г-параметров транзистора для различных схем включения Схема с общей базой Схема о общим эмиттером Схема о общим коллектором 14 14 об 1 Об 14 оэ 14 Оэ о„ 14 оК 14 Примечания: | к | = = 1— /г1г + Л2, + |Л|- — НпНг1; О = (1 + Л21) (1 — >112) + /г„/1г2 = коэффициентами передачи тока схем с общей базой, общим эмиттером и общим коллектором: = а = — /г21б = Т Т ^ 7 Р= /г21к = = 1 +/! 2 1 б = - (4 50) Т + Т ' ' = (1 + Ля.) = - (4-51) -у^Г = - (1 + Р)- (4-52) Формулы пересчета г- и ^-параметров д л я различных схем включения приведены соответственно в табл. 18 и 19. Пример 4. Вычислить параметры транзистора П103 в схемах с общим эмиттером и общим коллектором, если известны параметры в схеме с общей базой (пример 3 гл. 4). По формулам табл. 16 получаем для схемы с общим эмиттером: Об =. 1 — 0,5 • Ю - 3 + (— 0,97) + 547 . Ю - 6 = 31 • 10 3; Л Иб 62 Лп_ = —=г— =• ———- Об 31 . ю-з ом = 2000 ом-, 4 «5 «сС fr- <о ь7 о .і m + a IM Ä **> + «m 4 4m hé- •è Т be + hr bé be be ь. 4 be be 41С 4 о be I— •ъ < N C M bß Е с. ЬС tx be fee 4 " ьё 4- 4 vсм o bë be be од 4 VC t? be hé 4о CM+ JM СЧ >* be + «3 «ечо о C C-)l Of Ье CO Z £ m bo be 4 z be bé + +fм- CСЧ-*] 2 be её 4 4 X be 4 m + Сч «M - і «s 4 4 X яо. её + 4 be » + «г ьё 4 -+ vc t? +1 C*-l C-I be be 4 m J" be he 4 <M 5 \h(,\—h 126 Л 12э 547 • 10~6 —Т),5 • 1031 • 10i-З D6 = 21э = " , э ,-6 0,97 — 547 • 10 = 31,1; -3 31 • ю ^216 + 1^6 1 Л D6 _ 226 - ~ w 1,51 • 10—3J 1 31 • 10,-3 мксим = 32,1 мксим. Для схемы с общим коллектором: , 1 'г12к — ' . 62 Л, '116 ~W _ ~ Ик + /г12б _ D& 21к = — пОб :— = 1 + (— 0,97) 31 • 10" 0,97) 0,5 • 10—3 — 1 = - 32,1} 31 • 10 _3 "226 22к • ом = 2000 ом; 31 • Ю- 3 31 • ю -3 мксим = 32,1 мксим. Если требуется вычислить для различных схем включения параметры друюй системы, то пользуются табл. 15. Так, для схемы с общим эмиттером имеем: |АЭ| = 2000 • 32,1 • 10—6 — 1,51 |АЭ| Л 22э г 11э Л 12э ^22э г12э Л '2Ь ' S 12э = - 1 22э 1 -6 32,1 • ю 11э 2000 «22э — 2000 "21э 'г11э | А3| _ 11э 31,1 2000 ом = 31,2 ком; сим = 0,5 • 10 1,51 • 10~3 12э Н Пэ *>21э " 10~3 - ом = 47 ом; Ю-5 1,51 32,1 3 ,1 - 6 • ом = — 970 ком; 32,1 ю /г £пэ = 17,6 Ю - 3 . им = 547 ом; 32,1 Ю - 6 21э 22э Л >2э Ю - 3 • 31,1 = 17,6 • 10—3; 3 сим сим = —0,755 • i0 6 сим\ сим = 15,6 • 10 сим; 17,6 • 10" 2000 сим — 8,8 • 10 / CUM.L Сі ваа ч <3 3о 7 о СО і о сСОм" 3 ф л -т; со с с -с о О) о 1 со I о ю о сч «3 о а3н о ТО о. с1 V» 1 »Г 0,97-106 і» СО со 1 О ю. § п о сч СО X. Г-О О) — ох сч' со _ (со М I Для схемы с общим коллектором находим: |Л„ | ~ ЛИкЛ22к— л12кл21к = = 2000-32,1 • 10~6 + 0,97- 32,1 =32,1; ,1к І Лк I л22к го" 8о см со о Л 12к 12к V. 22к оо ю * ао ад г-ч- Ю (О О со 00 * «о 3а н га О ю СО Ю* со о ем оСО — 32,1 32,1 • 10 _6 _ СО о1 со | ЇО ад об 1 СО 1 о со ю С общей базой Схема «3 ом = 31,2 ком; £пк = ' Л 1* СО оI ю о 1 11к 1 , сим = 0,5 • 10 2000 £і2К о1 сим; ^12к 1 — 11к СО сим = - 0,485 • 10—3 сим; СО х„ §21к = со 1 о ою 21к Л 11к сил» = — 16,05- Ю - 3 сим; о Х С общим коллектором ^ С общим эмиттером 0о, н <и г « О. ш Е 4) Я 1ь < вСИ X Л •22к Л X® о і 1 22к Т <£> то С ом = — 10е ом; 1 32,1 • Ю - 6 < ое о со 00* О СО ю* 21к и 22к 21к — • со я 32.1 • Ю - 6 = 30,2 ком; Л « -чю £ 0,97 Л л < оо ом — = 10е ом; л =5 о 32,1 3 2 Л . ю-6 §22к : 32,1 2000 ІМ . и Пк сил = 16,05 . Ю~3 сил. Значение параметров транзистора П103 для различных схем включения сведены в табл. 20. В рассмотренном примере г- и gпараметры транзистора находились по /і-параметрам соответствующей схемы включения. Однако, пользуясь формулами табл. 15, 16 и 17, можно найти в ы р а ж е н и я , с помощью которых можно Таблица 21 . Формулы определения г - и ^--параметров схемы с общей базой по А-параметрам транзистора Параметр Схема с общей базой Схема с общим эмиттером |Л«| Л 22б IA.I h 223 г Чб Схема с общим коллектором ок 22к Л m 226 1ftg1 h h 223 АО2К г - Л 216 Л 22б 1 Аэ ] + А21э 21б 223 1 hK I - А12к h 22v. 22б Л Л D3 22э |Лк| Аггк «116 h 1 U6 Оз Ац, |Ак| Ацк г h 1 22б ';12б h U6 «126 Аі2в |А к | + Л21к h 12б г Л Л «216 1 Аэ 1 + А21э h Ацэ «226 he ІАіібІ 21б \\6 Примечания: | A І 1 - Л 1 8 + й м + |Л|. | лк 1 + А2!к Ацк 129-І4 Л 11э 1М Ацэ Л 12К-|АК| Ацк Ок Ацк ЛиЛ22 — А12А21; D = (1 + Ла1) (1 — Л12) + й и й и = находить параметры r u g транзистора по ft-параметрам, снятым для любой схемы включения (табл. 21). Д л я мощных транзисторов, как и для ламп, иногда задается семейство характеристик постоянного тока «эб = fi ("эк) При £к = const; | "эб = / 2 («эк) при г"б = const. I Соответствующие кривые приведены на рис. 92. При необходимости они могут быть получены пересчетом входных и выходных характеристик. Семейство усилительных полупроводниковых приборов все время увеличивается. Как и в случае рассмотренного выше диффузионного транзистора, каждый из таких приборов (дрейфовый транзистор, транзистор с областью собственной проводимости, плоскостной тетрод и др.) описывается семейством характеристик, по которым находятся соответствующие параметры, связывающие приращения токов и напряжений на электродах прибора. § 4. Сравнение характеристик электронных ламп и транзисторов Лампу удобнее сравнивать с транзистором типа п-р-п, эмиттер которого, как и катод лампы, является источником электронов (рис. 93). При этом целесообразно пользоваться семействами ламповых характеристик іа = / , (ис, ыа); ) а 2 -М — Ана. 'с = —і / і 1ма 50 -0,2 -0.4 < 1 0,5 25 /г ("с. "а) I іа ік'О іц=0 I 10 15 изк, в Рис. 92. Статические характеристики постоянного тока для транзистора: Рис. 93. Направления токов и напряжений на электродах лампы и транзистора п-р-п. и соответствующих характеристик транзистора гк = Фг(»б. "к); ) 'б = Фг ("б- "к)- I Аналогия между лампой и транзистором видна из сравнения выходных, управляющих, переходных и входных характеристик, которые приведены соответственно на рис. 94—97. Однако в отличие от ламп, анодный ток которых при отрицательных значениях анодного н а п р я ж е н и я равен нулю, коллекторный ток транзисторов при отрицательных напряжениях на коллекторе принимает отрицательные значения и быстро возрастает при увеличении коллекторного напряжения. Кроме того, коллекторный ток в активном режиме не уменьшается до нуля ни при каких напряжениях базы. Статические характеристики при и б — 0 и при и б < О (Д л я транзистора п-р-п) практически сливаются. Началь- ный ток коллектора / к о при и б = О образуется неосновными носителями, переходящими из области базы в область коллектора и наоборот, мало зависит от базового н а п р я ж е н и я иб и в то же время сильно зависит от температуры. Основное отличие входных характеристик состоит в том, что при обычных режимах лампы сеточный ток отсутствует в то. время, 'я К Рис. 94. Выходные характеристики: а — лампы; 6 — транзистора. и' а 6 Рис. 95. Характеристики прямой передачи: а — лампы; б — транзистора. как у транзистора из-за прямого смещения на эмиттерно-базовом переходе во входном контуре протекает ток базы (или эмиттера для схемы с общей базой), в связи с чем входное сопротивление транзистора становится конечным. Ток базы изменяет знак при Чо "к Рис. 96. Характеристики обратной передачи: а — л а м п ы с сеточными токами; б — т р а н зистора. а и< б Рис. 97. Входные характеристики: а — л а м п ы при п о л о ж и т е л ь н ы х н а п р я ж е н и я х на сетке; б — т р а н з и с т о р а . приближении базового напряжения к нулю. Так как при иъб = О эмиттерный ТОК приблизительно равен нулю, ТО /б = — /коД л я вакуумных ламп с «правыми» характеристиками, работающих при положительных смещениях на сетке и с сеточными токами, входные характеристики рассматриваемых приборов т а к ж е аналогичны по форме (рис. 97). К а к и для ламп, на статические характеристики транзистора могут быть наложены линии постоянных значений отдельных параметров. Отмечая сходство характеристик транзистора и лампы, позволяющее подходить к расчету ламповых и транзисторных схем с общих позиций, следует еще раз подчеркнуть существенное различие физических процессов в этих приборах. Например, анало- гичный ход характеристик обратной передачи лампы и транзистора (рис. 96) обусловлен следующими физическими явлениями. Д л я лампы изменение напряжения на аноде и а влияет на распределение катодного тока между сеткой и анодом, находящимися под положительными потенциалами относительно катода. С увеличением анодного напряжения сеточный ток іс уменьшается, так как большее число электронов поступает на анод лампы. Д л я транзистора при изменении коллекторного напряжения и к изменяется ширина коллекторного перехода, смещенного в Модулятор / И Л вток — 7 Канал Сток / Рис. 98. Полевой полупроводниковый триод: конструкция; условное обозначение. обратном направлении. Поскольку коллекторный переход сосредоточен в базе, приращения его ширины практически равны приращениям толщины базы. С увеличением коллекторного напряжения ик активная ширина базы уменьшается, в результате чего увеличивается градиент концентрации неосновных носителей (электронов для транзистора п-р-п) в районе базы, и, следовательно, увеличивается диффузионный ток, пропорциональный указанному градиенту концентрации. Электрическая нейтральность области базы обеспечивается инъекцией избыточных дырок через эмиттерный переход в область эмиттера и уменьшением числа электронов, покидающих область базы через вывод базы. В результате ток базы г'й уменьшается, а ток эмиттера г'э, обусловленный электронами внешней схемы, компенсирующими заряд дырок в области эмиттера, возрастает. К а к следует из сравнения рис. 94—97, поведение обычного транзистора в схеме совпадает с поведением лампы, работающей в режиме с сеточными токами. Это обстоятельство обусловливает аналогию транзистора и лампы, как элементов электрической схемы. В последнее время разработаны полевые (каналовые) полупроводниковые триоды с бестоковым управлением электрическим полем, являющиеся прямыми аналогами электронных ламп. В них используется явление дрейфа носителей зарядов (электронов) в полупроводниковом материале, электрическое сопротивление которого управляется электрическим полем, приложенным в поперечном направлении через электронно-дырочный переход модулятора М (рис. 98). При достаточно больших напряжениях смещения на модуляторе канал, по которому движутся носители з а р я д а ; может полностью перекрыться обедненной областью, и ток через прибор прекратится. Так как переход модулятора смещен в запорном направлении, входной ток прибора мал, а входное сопротивление весьма высокое (десятки мегом). Типичные выходные вольт-амперные характеристики такого прибора типа п-р-п (марки 2N2499, Texas Instruments Inc, США) в функции н а п р я ж е н и я на модуляторе приведены на рис. 99. При больших отрицательных напряисжЮб; Т=25°С Рис. 99. Статические характеристики каналового полупроводникового триода. 8 і с, на Рис. 100. Кривые зависимости параметров каналового полупроводникового триода от его режима. жениях на стоке С (рис. 98) возможен обратный пробой диодного промежутка модулятор — сток, что показано на семействе характеристик. Ток модулятора при комнатной температуре обычно не превышает 0,005 мка. Свойства полевого полупроводникового триода, как элемента схемы, достаточно полно, как и в случае лампового триода, работающего без сеточных токов, описываются двумя эквивалентными параметрами: внутренней проводимостью ЗГ-ТЕЬ "* = CONST <4"54) и крутизной характеристики 5 = ' "с = COnst' что делает расчет сравниваемых схем практически идентичным. Кривые зависимости параметров S и Gt для транзистора 2N2499 приведены на рис. 100. Статические характеристики лампы и транзистора и определяемые ими эквивалентные параметры характеризуют свойства электронных приборов только для постоянных и достаточно низкочастотных переменных напряжений и токов на их электродах. С увеличением частоты между рассматриваемыми токами и напряжениями появляются фазовые сдвиги. Зависимость параметров электронных приборов от частоты, естественно, не может быть установлена из рассмотрения статических характеристик. Решение этого вопроса требует более глубокого рассмотрения свойств электронных приборов. § 5. Схемы включения электронных приборов Электронные лампы и транзисторы как элементы схемы обычно рассматриваются по отношению к переменным составляющим токов и напряжений. Каждый из трех электродов прибора может играть роль входного, выходного или общего полюса. Однако усиление мощности сигнала при помощи электронной лампы и транзистора возможно только в одном направлении, когда управляющая сетка Рис. 101. Схемы с общим: а — эмиттером; б — катодом. лампы или база транзистора являются одним из входных полюсов, а анод и соответственно коллектор — одним из выходных полюсов. Мощность, которую переменная составляющая выходного тока или напряжения выделяет в нагрузочном сопротивлении, в значительной части или полностью получается не от источника вход- а Рис. 102. Схемы с общей: а — базой; б — сеткой. ного сигнала, а за счет энергии источника постоянного напряжения, определяющего совместно с вспомогательными элементами начальный режим электронного прибора. В связи с этим различают три основные схемы включения вакуумного триода и транзистора: с общим катодом и общим эмиттером (рис. 101), с общей сеткой и общей базой (рис. 102), с общим анодом и общим коллектором (рис. 103). Способ включения источника сигнала И и нагрузки Н для каждой из схем понятен из рисунков. Обычно сопротивление нагрузки переменному току отличается от сопротивления нагрузки постоянному току /? н . На выходе электронного прибора последовательно с нагрузкой включается источник питания Е0. На вход электронного прибора наряду с задающим напряжением или током источника сигнала И подается постоянное напряжение смещения, создаваемое источником Есы. Подбором напряжений источников Е0 и Есы и сопротивления нагрузки /? н однозначно задается начальный статический режим электронного прибора (исходная рабочая точка), т. е. значения Рис. 103. Схемы с общим: а — коллектором; б — анодом. постоянных напряжений и токов на его электродах. Способ установки исходной рабочей точки прибора с помощью двух источников напряжения, указанных на рис. 101—103, используется обычно лишь в мощных оконечных двухтактных усилителях. а б в г Рис. 104. Способы подачи напряжения смещения на управляющую сетку. В большинстве же случаев, как правило, используется только один источник напряжения (не считая источника накала катодов электронных ламп) — источник питания анода лампы Еа или коллектора транзистора Ек. Ниже описываются методы подачи напряжения смещения, применяемые в ламповых и транзисторных схемах. Д л я получения отрицательного начального смещения ысм на управляющей сетке лампы обычно применяют независимое смещение с делителем напряжения (рис. 104, а), а также автоматическое смещение — катодное (рис. 104, б) или сеточное (рис. 104, в и г). Так как в рабочей области статических характеристик лампы напряжение на сетке оказывается противоположным по знаку анодному напряжению, делитель — Я г подключается к катоду лампы. При этом иш = £ а ^ ^ + /?2г'ао, (4-56) где г'а0 — начальное значение анодного тока. Если ток делителя /Д1 протекающий через сопротивление намного превышает ток лампы / а0 , то вторым слагаемым можно пренебречь и "см ~ £а • (4-57) В формуле (4-56) следует использовать не начальное значение анодного тока 1а0, а среднее значение 1а.Ср, равное постоянной составляющей полного тока 1а. Однако в ряде случаев такое уточнение несущественно. В схемах с автоматическим смещением (рис. 104, б) катоду лампы сообщается положительный потенциал относительно общей точки, а следовательно, и относительно сетки, благодаря падению напряжения на катодном сопротивлении от начального значения анодного тока 1а0, т. е. «см = г'аоЯк(4-58) Чтобы избежать переменной составляющей напряжения на сопротивлении /? к , оно шунтируется емкостью С к . Д л я некоторых режимов лампы (при усилении медленно меняющихся во времени сигналов, в схемах с общей сеткой и общим анодом) шунтировать катодное сопротивление /? к емкостью нельзя. Схемы сеточного автоматического смещения (рис. 104, в и г) применяются чаще в генераторах и мощных однотактных усилителях с избирательной нагрузкой. В положительный полупериод входного сигнала сетка оказывается под более высоким потенциалом, чем потенциал катода. Возникающий сеточный ток заряжает разделительную емкость С с , которая затем медленно разряжается через сопротивление утечки /? с , создавая падение на- пряжения, понижающее потенциал сетки. При большой величине Я с сеточный ток протекает лишь в моменты положительных пиков входного сигнала. При отсутствии входного сигнала (в статическом режиме) смещение равно нулю. В схемах на пентодах потенциал экранирующей сетки устанавливается постоянным относительно катода лампы. Наиболее распространенные схемы питания экранирующих сеток пентодов приведены на рис. 105. Схема, приведенная на рис. 105, а, является схемой с дополнительным источником постоянного напряжения. Его роль выполняет здесь газоразрядный стабилитрон СГ. Конденсатор С б сглаживает флуктуационные колебания напряжения стабилизации. При большой величине емкости С б и индуктивном характере реактивного сопротивления стабилитрона в схеме возможны автоколебания. В схеме с автоматическим смещением (рис. 105, б) потенциал экранирующей сетки "с = Е в — 1'с 2 оЯс г . (4-59) Д л я устранения переменной составляющей на экранирующей сетке включается достаточно большая блокирующая емкость С б . При усилении медленно изменяющихся сигналов применяется потенциометрическое включение экранирующей сетки без блокирующих емкостей (рис. 105, б). В отличие от лампы в рабочей области статических характеристик транзистора с общим эмиттером напряжение на базе имеет одинаковый знак с коллекторным напряжением (положительным для транзистора типа п-р-п и отрицательным для транзистора типа р-п-р). Поэтому в транзисторных схемах невозможно реализовать автоматическое смещение аналогично тому, как это достигается с помощью катодного или сеточного сопротивлений смещения (рис. 104). Если желательно обойтись без отдельного источника напряжения смещения, используют источник питания коллектора, присоединив к нему делитель напряжения. На рис. 106, а а б даны примеры включения таких делителей в схемах транзистора типа р-п-р с общим эмиттером и общей базой. Для схемы рис. 106, а можно написать «см = О д — «б) (4-60) где г'д — ток делителя, 1д = £ к — нсм ^ • ,, - п И'61) Эти уравнения справедливы и для схемы рис. 106, б при условии, что Ri3 R2 (ia — i6)- Решая совместно уравнения (4-60) и (4-61), получаем В последнем уравнении имеются две неизвестные величины /?! и R2. Дополнительные соображения, позволяющие выбрать одну из них, выводят из условия, что по переменной составляющей сопротивления Rx и R2 делителя оказываются включенными параллельно на входе транзистора. Д л я уменьшения потерь мощности сигнала можно принять 1 , Г — (4-63) Я <(0,l-f-0,5)GBX, где GBX — входная проводимость транзистора. В схеме с общим коллектором (рис. 106, в) обычно обходятся без делителя, ограничиваясь включением сопротивления R. При этом " с м = Ек — i6R — i3Rb. (4-64) Выбор способа начального смещения транзистора тесно связан с задачей температурной стабилизации схемы в целом. Основными факторами, определяющими температурную нестабильность транзистора, являются обратный ток коллекторного перехода / к о и тепловое смещение его статических характеристик, в частности, из-за изменения напряжения иэб на эмиттерном переходе. В области базы и коллектора в экспоненциальной зависимости от температуры образуются пары электрон — дырка, в результате чего (в случае транзистора типа р-п-р) увеличивается поток дырок из базы в коллектор и поток электронов из коллектора в базу. Концентрации генерируемых в базе (коллекторе) неосновных носителей обратно пропорциональны концентрациям основных носителей, поэтому обратный ток / к о в основном определяется дырочной составляющей. Обратный ток / к о изменяется примерно в два раза для германиевых транзисторов при повышении температуры на каждые 11° С, а для кремниевых транзисторов —при повышении температуры на каждые 8° С. Однако обратный ток при нормальной температуре (20° С) у кремниевых транзисторов пренебрежимо мал, поэтому абсолютное изменение / к о у них существенно меньше, чем у германиевых. В первом приближении для температурной зависимости обратного тока / к о , смещения на эмиттерном переходе иэа и коэффи- циента усиления тока а в диапазоне температур 0 -г- 50° С можно записать следующие уравнения: Д/ - ^ — 0,07 [/ко|г°с а/град; 0,0025 в/град; дт Да ДГ = 0 , 0 1 2 1[а]2о°с ъ " ' ' град ' Таким образом, с повышением температуры на один градус величина обратного тока увеличивается на 7% от значения, измеренного при данной температуре; величина напряжения иЭб нарастает со скоростью 2,5 мв/град, а коэффициент усиления по току а — на 1,2% от своего значения, измеренного при Т = 20° С. С ростом температуры базовая область становится областью с избыточными электронами, переход которых через смещенный в положительном направлении эмиттерный переход затруднен. Некоторые из этих электронов уходят через омический контакт базы, образуя ток базы. Величина этого тока зависит от величины сопротивления, присоединенного к базе. Предположим, что в единицу времени из области базы уходит только часть избыточных электронов М / к о (к С 1), а оставшаяся часть (1 — к) А/ к о накапливается. Д л я нейтрализации их заряда возрастает число дырок, инъектируемых эмиттером, т. е. эмиттерный ток возрастает на величину Д{э. Часть инъектируемых дырок, определяемая коэффициентом усиления а , собирается коллектором, а с избыточными электронами в области базы рекомбинируют только оставшиеся дырки, число которых равно (1 — а) Агэ. Таким образом, вследствие нейтральности области базы Д/ э (1 — а) = (1 — к) А/ко, откуда Л'э = А/к (4"65> °- Вызываемые при этом изменения коллекторного тока и тока базы М К = А/ к о + осА(э = А/ко + 1 " а (1 — к) А/Ко = Д/„„ аМ/„„ 1 —а 1 —а ' Мб = Дг'э — Дгк = — Д/ к о + Дгэ (1 — а) = — kAIK0. (4-66) (4-67) Для схемы с отключенным эмиттером (рис. 107, а) Дгэ -= 0, поэтому коэффициент отбора избыточных электронов k = 1 и, как следствие выражений (4-66) и (4-67), Д»к = Д/ к о ; = — А/ко. (4-68) Таким образом, в рассматриваемом случае все избыточные электроны уходят через базовый вывод во внешнюю схему и обратный ток / к о протекает через промежуток коллектор — база транзистора. При отключенной базе (рис. 107, б) А/б = 0, поэтому коэффициент отбора избыточных элементов 4 = 0 и, как следствие выражений (4-66) и (4-67), А/ А/ = "° = М э . (4-69) 1—а Как следует из сравнения выражений (4-69) и (4-68), изменения коллекторного тока с повышением температуры в схеме рис. 107, б Ai, =Л!К0 ы,-0 й'Г'AU 4 К AifO Рис. 107. Обратный ток коллектора при включении: а — с общей б а з о й ; б — с общим эмиттером. намного превосходят изменения A iK, реализуемые в схеме рис. 107, а. Нетрудно видеть, что схемы рис. 107, а и б соответствуют схемам с общей базой и общим эмиттером транзистора, питание входного электрода которого осуществляется от идеальных источников тока. Следовательно, схема включения с общим эмиттером оказывается при изменении температуры более нестабильной по сравнению со схемой с общей базой. При конечной величине сопротивления, подключенного к базе, в схеме с общим эмиттером условия отвода электронов из базы улучшаются, при этом уменьшается добавочный ток А/ э , необходимый для компенсации остаточного заряда в базе, а значит, уменьшаются и соответствующие изменения коллекторного тока Дгк. В общем случае приращение коллекторного тока, являющегося функцией многих переменных гк = г'к (/ к о , а , иэб, иэк), можно выразить с помощью соответствующего полного дифференциала дк dl + duзб + du3K. (4-70) diu K du, duзб dL ' ко — Последний член в выражении (4-70) учитывает изменение наклона выходных характеристик при изменении температуры. Вошедшие в (4-70) частные производные, характеризующие скорость нарастания di к под действием различных дестабилизирующих факторов, имеют специальные обозначения: д'к д'к di д'к 5 («эк) = д K S (Ыэб) «S (/ко) = а/„„ да эб да "т (4-71) Используя выражения (4-70) и (4-71), приращение коллекторного тока можно приближенно записать, пренебрегая изменением наклона выходных характеристик транзистора, в виде Мк « 5 (/ ко ) Д/ко + SaAa + 5 (цэб) Д иэб. (4-72) На практике часто в выражении (4-72) учитывают лишь один первый член, т. е. полагают (4-73) MK^S(IK0)MK0. При этом малая величина коэффициента нестабильности S (/ ко ) указывает на высокую степень температурной стабилизации. Сравнивая выражение (4-73) с выражениями (4-68) и (4-69) для схем рис. 107, а и б, можно соответственно записать: 5 ( / к о ) = 1; 5 (/ко) = - р ^ с Г • В общем случае для оценки коэффициента нестабильности 5 (/ ко ) в конкретной схеме составляется уравнение, выражающее зависимость г'к от / к о и других параметров схемы. Дифференцируя это уравнение по / к о , можно найти величину S (/ ко )- Используемые при этом соотношения токов в транзисторе iK = /ко + аг э ; (4-74) 1б = — /ко + 1 э (1 - « ) (4-75) получаются при интегрировании выражений (4-66) и (4-67) в предположении а — const. Обычно для температурной стабилизации в схеме используют отрицательные обратные связи по постоянному току, уменьшающие влияние дестабилизирующих температурных факторов. Например, к эмиттеру прибора подключают сопротивление /? э (рис. 108, а). Д л я рассматриваемой схемы "см = £ б — 1-Л3 — i(lR6- (4- 76) При возрастании температуры увеличивается / э и / в и, следовательно, увеличивается напряжение на сопротивлении R 3 . В результате смещение на эмиттерном переходе «см уменьшается, что ведет к уменьшению токов 4 и / к . Найдем значение коэффициента нестабильности 5 (/ ко ) для данной схемы. Подставляя в уравнение (4-76) значения токов гэ и i6, найденные из выражений (4-74) и (4-75), после несложных преобразований получим . _ /к- а (Ее, ысм) -((1_а)д6 + /K0(R6+R3) /?э • У1'"* Дифференцируя выражение (4-77) по / к о , находим искомый коэффициент д1к /? с + Яэ ' 1 (4-78) 5(/ко) = (1 _ а ) / ? б + /?э аЛб Обычно второй источник смещения Еб (рис. 108, а) на практике не применяется, а смещение базы осуществляется от источника коллекторного напряжения Ек через делитель — (рис. 108, б). Используя теорему об эквивалентном генераторе, можно схему рис. 108, б свести к схеме рис. 108, а, если выбрать р ЕцКг я1 + я2 (4-79), П _ Аб /?1 + Рис. 108. Стабилизация рабочей точки: а, б — п о с л е д о в а т е л ь н о й о б р а т н о й с в я з ь ю по п о с т о я н н о м у току; в — п а р а л л е л ь н о й о б р а т н о й с в я з ь ю по п о с т о я н н о м у н а п р я ж е н и ю ; г — к о м б и н и р о в а н н о й обратной с в я з ь ю . При этом справедливость выражения (4-78) для анализа темпе-, ратурной стабильности сохраняется. Д л я устранения влияния отрицательной обратной связи на частотах входных сигналов сопротивление £?э шунтируется емкостью. Как следует из выражения (4-78), температурная стабилизация схемы будет тем выше, чем меньше величина сопротивления, присоединенного к базе, и чем больше величина сопротивления, подключенного к эмиттеру транзистора. При выполнении этих условий снижается к. п. д. схемы за счет потерь мощности источника питания в сопротивлении обратной связи. Иногда для стабилизации тока коллектора применяют отрицательную обратную связь по постоянному напряжению, вводимую с помощью сопротивления, включенного между коллектором и базой транзистора (рис. 108, в). При увеличении тока коллектора возрастает падение напряжения на сопротивлении /? к , вследствие чего снижается напряжение на сопротивлении Я б , уменьшается смещение на эмиттерном переходе и см и изменения тока коллектора частично компенсируются. Для схемы рис. 108, в справедливо уравнение "см = "эк - /?в*в = £ к — /? к (г'к + У - /?бгб(4-80> Подставляя в выражение (4-80) значение тока гб из (4-75), после решения относительно г'к получим а ( £ к - " с м ) + / к о (Я к + Я б) к = или после 5 {/ о) /гк + ( 1 _ а ) « в дифференцирования • - !х/?б ' (4"82> Яб + Як Уравнение (4-82) аналогично (4-78) для предыдущей схемы смещения. Температурную стабильность можно улучшить увеличением величины сопротивления или уменьшением /<?6. Рассматриваемая схема мало пригодна для трансформаторно связанных звеньев, так как величина для них очень мала. Однако в сравнении с предыдущей эта схема имеет то преимущество, что отсутствует, а следовательно, к. п. д. схемы повышается. Д л я устранения обратной связи по переменному напряжению вводится конденсатор С\. Эффективность температурной стабилизации при заданном к. п. д. повышается в комбинированной схеме питания с последовательной и параллельной обратной связью по постоянному току (рис. 108, г). Д л я этой схемы справедливо уравнение " = „. (4 81> = Лк + О - ^ / г в " = ~ — ит = Ек - /? к (гк + гб) - /?бгб - (4-83) Решая совместно уравнения (4-83), (4-74) и (4-75), получим а ( Е к - « с м ) + Л о < Я к + Яб + Яэ) Як + Яэ + Яб(1 - а ) откуда 5 (I к о ) «К <Э/ко Ик+Яб + Ъ Лк + /г9 + / г в ( 1 - а ) (4-84) 1 , ссЯб Як + Я б + Я э (4-85) Для практических транзисторных схем величина коэффициента .V (/,40) = 2-т-Ю. В меньшей степени по сравнению с рассмотренными схемами снижается к. п. д. при использовании для температурной стабилизации метода термокомпенсации. В этом случае к базе транзистора подключают элементы, сопротивления которых зависят от температуры: термисторы или включенные в обратном направлении полупроводниковые диоды, обладающие отрицательным температурным коэффициентом, а также специальные типы термосопротивлений (силиконовые) с положительным температурным коэффициентом. Термочувствительные элементы включаются таким образом, чтобы вызываемые ими изменения напряжения смещения входного электрода транзистора обеспечивали постоянство величины тока покоя коллектора. Д л я достижения эффективной компенсации необходимо, чтобы характер зависимости сопротивления компенсирующего элемента от температуры и его тепловая инерция были близки к аналогичным параметрам транзистора. Пример 5. Выбрать коэффициент нестабильности 5 (/ к в ) и рассчитать элементы цепочки смещения транзисторного звена, собранного по схеме рис. 108, б на транзисторе П411 с координатами точки покоя (| к = 1,2 ма; и9к = 2 в; г б ' = и наг = 15 мка; иЭб= 0.1 Р У З К 0 Й Як = 1,5 ком, если напряжение источника питания Ек = 5 в. При изменении температуры от 20 до 60° С координаты точки покоя на плоскости выходных характеристик должны изменяться не более, чем на 5%. Обычно допустимые^ изменения выбираются из условия сохранения положения точки покоя в линейной области характеристик с учетом амплитуды входного сигнала при сопоставлении статических характеристик транзистора для рассматриваемых температур (20 и 60° С). В соответствии с условиями задачи при температуре 60° С изменения значений коллекторных тока и напряжения составляют Д1К = 0,48 ма и ДыЭк = 0,08 в соответственно. Так как = 1,5 ком, то допустимое изменение коллекторного Д«эк _ 0.08 тока Д('к = —х гт 0,053 ма, задаваемое требованием к стабильности Кк коллекторного напряжения, будет определяющим. Учитывая зависимость обратного тока / к о германиевого транзистора и располагая значением /ко = 0,4 мка при температуре Т0 = 20° С, получим Тг-т0 Д/ко^'ко« 2 60-20 6 - 1 ) = 0 , 4 . Ю- (2 11 " - 1) ^ 6 • Ю- 6 а. Следовательно, допустимый коэффициент нестабильности о,, . д = 'к 0,053 Ю-3 6.10— Сопротивление Яэ, подключенное к эмиттеру, обычно выбирается из условия, что напряжение 1э#э, определяемое уравнением 1ЭЯЭ = Як — " э к — 1КЯК, намного превосходит смещение иэеПри заданных по условию задачи Ек = 5 в; иэк = 2 в; (к = 1,2 ма; /?к = = 1,5 ком; г'э = 'к + 'б = 1,215 ма получим 5 — 2 — 1 , 2 • Ю - 3 • 1,5 • 103 1,2 = 1,215 • Ю - 3 = Величину сопротивления базы находят из выражения (4-78), решенного относительно /?б, при использовании паспортного значения а = 0,99 _ |5(/ко)-1]/?з " 1 — (1 — а ) 5 (/ к 0 ) 7,9-0,99 - 1 - 0,01 • 8,9 = 8,6 ком ' При этом в соответствии с (4-79) Л. Нижнее сопротивление делителя напряжения /?2 выбирают несколько большим, чем расчетное значение (процентов на 20—30), т. е. принимают = 11 ком. Ток, протекающий через это сопротивление, • _ ^э+иэв ж — _ = 1,2 + 0,1 _ п п я Ток, протекающий через верхнее сопротивление само сопротивление находят из выражения Я, = Ек — (ЭЯЭ — и б т ,0-3 11 • ю з — ° ' 1 1 8 - 1 0 л а - ('х = *3 + 1 6 = 0,133 лиг, а 5 — 13 = — — — = 27,8 • 103 ом => 27,8 ком. 0,133 • Ю - 3 Реализуемое В схеме сопротивление /?б = 11 • 27,8 — —— = 8 ком примерно соответ11 Ц- 27,8 ствует расчетному значению Яб — 8,6 ком. В зависимости от того, подано на вход ламповой или транзисторной схемы напряжение возбуждения или нет, различают динамический и статический режимы электронной схемы. Обычно полагают, что напряжение возбуждения является гармонической функцией времени, реже — импульсной (например, ступенькой). В процессе работы амплитуда напряжения возбуждения может изменяться от нуля (при этом режим работы соответствует статическому режиму, или режиму покоя) до некоторого максимума, которому соответствует режим максимальной мощности. Под действием напряжения возбуждения через нагрузку, подключенную к коллектору транзистора или аноду лампы, протекают токи гк или / а . График зависимости этого тока от напряжения возбуждения называется динамической управляющей характеристикой электронного прибора. Метод построения динамических характеристик по семейству статических характеристик приведен в следующей главе. Точка динамической характеристики, соответствующая режиму покоя, называется точкой покоя. Выходное переменное напряжение создается на нагрузке, через которую протекает переменная часть коллекторного или анодного тока. При правильном выборе сопротивления нагрузки и режима работы прибора выходное напряжение в схемах с общим катодом (эмиттером) или сеткой (базой) оказывается по величине большим, чем напряжение возбуждения. Обычно для получения необходимого усиления применяют многокаскадные схемы, в которых сигнал, усиленный одним электронным прибором, подается на вход другого. Непосредственное соединение электронных приборов (ламп и транзисторов) связано с рядом трудностей, которые возникают, главным образом, потому, что напряжения питания входного и выходного электродов различны по величине и в ряде случаев по знаку. Кроме того, при непосредственном соединении невозможно согласовать входные и выходные сопротивления отдельных подсхем и тем самым обеспечить оптимальные режимы работы. Эти трудности можно устранить, если между электронными приборами включить специальные четырехполюсники связи, обеспечивающие их разделение по постоянному току (рис. 109). Четырехполюсники, показанные на рис. 109, а и б, называются четырехполюсниками типа /?С, а схемы усиления, содержащие такие Рис. 109. Подключение нагрузки к электронной схеме: а. б — с помощью разделительной ЯС-цепочки; в, г — а помощью трансформатора. четырехполюсники,— реостатными, или схемами на сопротивлениях. При большой емкости разделительного конденсатора С суммарное сопротивление нагрузки электронного прибора переменному сигналу Яо Я. + Я.. (4-86) в то время как в статическом режиме нагрузка равна На рис. 109, в н е показаны схемы трансформаторного четырехполюсника связи. Первичная обмотка трансформатора подключается к выходу электронного прибора, а вторичная обмотка — к сопротивлению нагрузки или входным узлам следующей схемы усиления. Первичная обмотка имеет небольшое омическое сопротивление /? р , на котором постоянная составляющая выходного тока создает очень малое падение напряжения. Поэтому напряжение на выходном электроде прибора почти не отличается от напряжения источника питания. Суммарное сопротивление нагрузки переменному сигналу определяется через коэффициент трансформации п = (4-87) Таким образом, в соответствии с выражениями (4-86) и (4-87) сопротивление нагрузки переменному току может быть меньше или больше сопротивления нагрузки постоянному току. Электронный прибор с источником питания и нагрузкой, включая четырехполюсник связи, образует усилительное звено, или ступень усиления, являющуюся наиболее важным видом электронных схем вообще. Помимо своего прямого назначения — усиления, такое звено является основой ряда электронных устройств: генераторов гармонических колебаний, мультивибраторов, триггеров, операционных усилителей и др. В процессе анализа статического режима усилительного звена определяются координаты точки покоя, т. е. постоянные составляющие напряжений и токов на электродах электронного прибора. Анализ динамического режима такого звена сводится к определению переменных составляющих токов и напряжений на его входе и сопротивлении нагрузки (1/ вх , и в ы х , /вх, Л,ых), через которые выражаются вторичные параметры схемы. Глава СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ § 1. Определение напряжений и токов в режиме покоя При графических методах расчета электронных схем используются статические характеристики отдельных элементов, по которым строится характеристика всей схемы. Усилительное звено со стороны выхода может быть представлено в общем случае последовательным соединением нелинейного Рис. 110. К анализу схемы последовательного соединения нелинейного и линейного элементов: а — схема с о е д и н е н и я ; б — п о с т р о е н и е р е з у л ь т и р у ю щ е й вольт-амперной х а р а к т е р и с т и ки; в — г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е у р а в н е н и й , с в я з ы в а ю щ и х ток и н а п р я ж е н и е н е л и н е й н о г о элемента. элемента /?нел (диод, лампа, транзистор) и линейного элемента /? (сопротивление нагрузки), питающихся от напряжения источника питания Е0 (рис. 110, а). Вольт-амперная характеристика т а к о й схемы при известных вольт-амперных характеристиках составля- ющих элементов / = / ( « ) и I = 4 и находится сложением напряжений иг и ы2 при одинаковых значениях тока для обоих элементов (рис. 110, б). Пользуясь результирующей характеристикой г = ф (и), по заданному напряжению и = Е0 легко определить величину тока г0 в последовательном соединении элементов. Зная величину тока «0, по составляющим вольт-амперным характеристикам находим напряжения их и ы2, которые устанавливаются на зажимах отдельных элементов. Такой подход к расчету схем с многоэлектродными приборами приводит к необходимости попарного суммирования вольт-амперной характеристики нагрузки с каждой кривой из семейства вольтамперных характеристик прибора, описывающего его свойства, Рис. 111. К анализу схемы параллельного соединения нелинейных элементов: а — схема с о е д и н е н и я ; б — построение р е з у л ь т и р у ю щ е й в о л ь т - а м п е р н о й х а р а к теристики. что практически неудобно. Получаемое семейство кривых не дает наглядной информации о влиянии изменения нагрузки на величину выходного тока, так как для каждого нового значения нужно выполнять отдельное построение. Более удобный другой подход, основанный на одновременном исследовании соотношений, связывающих напряжение и ток нелинейного элемента #нел- С одной стороны, связь между напряжением и2 и током I определяется вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента »' = /(" 2 ). (5-1) а с другой,— уравнением «г = ^ (0 = Ео — «1 = Ео ~ Ш, (5-2) справедливым для схемы рис. 110, а. Ток в схеме с последовательно соединенными элементами находится при совместном решении графическим методом уравнений (5-1) и (5-2). Графическая зависимость, определяемая уравнением (5-2), находится построением зеркального отражения вольт-амперной характеристики линейного элемента г = ц, относительно вертикали, проведенной через точку О' (Е 0 , О) (рис. 110, в). Точка пересечения кривых I = / («2) и г); (г) (точка А) определяет величину тока г0 в такой схеме при заданном напряжении Е0. Одновременно, как показано на рис. 110, в, определяются напряжения и ы2 на элементах схемы. Таким образом, при расчете последовательного соединения элементов (рис. 110, а), когда свойства нелинейного элемента описываются семейством вольт-амперных характеристик, в отличие от общего подхода требуется лишь проведение зеркального изображения вольт-амперной характеристики нагрузки, представляющей собой прямую, которая проходит через на оси точку Е0 на оси напряжений и точку токов. Эта прямая называется линией нагрузки постоянному току. Угол ее наклона определяется из соотношения откуда а = агсте (5-3) где тц, т1 — масштабы напряжений и токов. Приведенная методика графического расчета справедлива также в том случае, когда оба последовательно соединенные сопротивления будут нелинейными. В этом случае линия нагрузки постоянному току будет также нелинейной (например, когда в качестве нагрузки используется диод, термистор и т. д.). При последовательном соединении двух электронных многоэлектродных приборов (каскодное соединение) линия нагрузки постоянному току вырождается в семейство линий нагрузки, и удобства второго метода графического анализа в сравнении с первым теряются. Поэтому для каскодного соединения ламп строят суммарные вольт-амперные характеристики. При параллельном включении нелинейных элементов (рис. 111, а) их суммарная вольт-амперная характеристика находится сложением токов, соответствующих одинаковым напряжениям, установившимся на зажимах рассматриваемых элементов (рис. 111, б). Необходимость такого построения может возникнуть при параллельном включении электронных приборов, а также при анализе двухтактных схем усиления методом разностных токов. Применение линии нагрузки постоянному току для анализа схем с диодами иллюстрируется рис. 112. На схему с диодом (рис. 112, а), вольт-амперная характеристика которого дана на рис. 112, б, подается напряжение, форма которого приведена на рис. 112, в. Для нахождения выходного сигнала (рис. 112, г) на нагрузке диода /?„ = 500 ом значения установившихся токов /, = 140 ма и I, = 60 ма вычисляются построением линий нагрузки MQN и М'ф'Л" для входных напряжений ит = 100 в и « вх = 50 в соответственно. Д л я электронных ламп и транзисторов линия нагрузки постоянному току (5-2), построенная на семействе выходных — анодных или коллекторных — характеристик, является геометрическим местом всех возможных начальных значений (точек) г';1(), ыа„ или -Н—г і,ма м 200 150 І) 100 иех, 6 500 П ^ а ^ 0 100 50 О г Е Е -50 \ N. -100 ц/ V ч / м' А 20 40 6 \ 60 70 V 80 30 аI О Г: 5 ? .. Рис. 112. К расчету схемы с диодами: а — схема; б — в о л ь т - а м п е р н а я х а р а к т е р и с т и к а и линии — выходной с и г н а л . нагрузки; — входной с и г н а л ; «к,, «к, при данных Е0 и Одна начальная точка отличается от другой напряжением на управляющей сетке мС1, для ламп (рис. 113, а) и базовым (эмиттерным) током гб(г'э) для транзисторов (рис. 113, б). Точка пересечения линии нагрузки со статической характеристикой, соответствующей заданным или выбраным мС1„ или Рис. 113. Определение точки покоя для электронной схемы: а — на лампе; б — на транзисторе. іб0, определяет исходную точку покоя ( Е е координаты однозначно характеризуют начальный статический режим схемы (исходные напряжения и токи электродов прибора). Для транзисторного усилительного звена по известным мк„, г'б„ пользуясь семейством входных характеристик, находят напряжение начального смещения «б0- Зная координаты точки покоя С2, можно выбрать и, пользуясь выражениями предыдущего параграфа, рассчитать соответствующие элементы смещения и стабилизации усилительного звена. Начальное положение точки покоя С} определяется назначением данной схемы, режимом работы, температурными условиями, типом связи с нагрузкой, заданными коэффициентами усиления и нелинейных искажений, к. п. д. и т. д. Если, например, входной сигнал возбуждения схемы с общим катодом или эмиттером симметричный, то точка покоя выбирается примерно на середине используемой части линии нагрузки. Если на входе предполагается лишь положительный сигнал, точка покоя <5 выбирается на нижней части линии нагрузки для вакуумной лампы и транзистора типа п-р-п (в области больших отрицательных смещений или малых базовых токов соответственно) и в верхней части линии нагрузки (при больших базовых токах) — для транзистора типа р-п-р, работающего в этом случае на запирание. Обычно в точке покоя прибор проверяется на мощность рассеяния выходного электрода Ра = "аог'ао ИЛИ Рк = Ыко'ко, (5-4) которая не должна превышать допустимой паспортной величины. Часто возникает и обратная задача: по известной схеме усилительной ступени рассчитать ее начальный электрический режим. В этом случае в дополнение к линиям нагрузки постоянному току используются также линии смещения / О'а); (5-5) Ф ("эк), (5-6) «с! = 'б = определяемые на основании уравнений, характеризующих усилительное звено со стороны входа. Например, для входа и выхода типичного лампового усилительного звена с катодным автосмещением (рис. 114, а) можно записать: "а = £ а - ' а ( Я а + Я к ) ; «см = «сО = (5-7) — «а # к- (5-8) Учитывая вольт-амперную характеристику самой лампы (семейства) <а=/("а)> ' (5-9) искомое значение тока покоя г'а0 находят при совместном решении уравнений (5-7) (5-9). Линия нагрузки постоянному току АШ, определяемая уравнением (5-7), строится, как и раньше, на семействе анодных характеристик лампы (рис. 114, б). Здесь же в координатах 1 а ,"с наносится линия смещения (5-8). Для этого, выбирая разные значения анодного тока, находят при заданном сопротивлении /?к падение напряжения на катодном сопротивлении ик = | ис | = 1а/?к- Например, если Як = = 2 ком и 1 а = 0 , 5 ма, то ыс = —1 в (точка К, рис. 114, б); при | а = 1 ма ис= —2 в (точка I). Линия, соединяющая точки К и I , называется линией смещения. Она 7 1-837 193 пересекает линию нагрузки постоянному току в искомой точке покоя С} (с координатами « а 0 = 210 в, і'а0 = 0,9 ма, ис0 = —1,8 в). Вообще же линия смещения не является прямой линией, это особенно заметно в области малых анодных токов. Для усилительных звеньев на пентодах (рис. 115, а) уравнение (5-8) видоизменяется « с = — 1'кЯк = — (Іа + / с Ж , (5-10) что затрудняет построение линии смещения, так как ток экранирующей сетки в общем случае является функцией от анодного напряжения 1Сг = / (ыа). Ввиду того, что на пологих участках анодных характеристик пентода (в режиме перехвата) гс„ практически не зависит от и а , в уравнение (5-10) вводят коэффициент токораспределения т 2 , равный отношению токов г'Сг и га: ис = — 0 + т 2 ) (5-11) после чего линия смещения строится аналогично триодному звену. Если же точка покоя С} попадает в область возрастающих участков анодных характеристик, соответствующих режиму возврата, ее положение находится методом последовательных приближений без специальных построений. Для этого произвольно выбирается точка на линии нагрузки и по ее координатам вычисляется падение напряжения (г'а + г'Сг), которое затем сравнивается с выбранным «со, после чего расчет повторяется. Линию сеточного смещения пентодного звена можно нанести на график анодно-сеточной характеристики (рис. 115, б). Для ее построения задаются различными значениями анодного тока г'а и определяют соответствующие им значения произведения (1 + т 2 ) г а /? к . Точка покоя <2 определяется пересечением линии смещения ис = = — (1 + га/?к и анодно-сеточной характеристики. Линия нагрузки постоянному току пентодного звена на плоскости анодных характеристик строится также с учетом коэффи- циента токораспределения т 2 под наклоном а ап^ « у [Яа + (1+/л 2 )/? к ] ' На рис. 116, а приведена схема типичного транзисторного звена с потенциометрической цепочкой смещения и стабилизирующей отрицательной обратной связью по постоянному току. Методика нахождения положения точки покоя <3 транзистора при этом аналогична методике для электронной лампы. Пользуясь формулами эквивалентного преобразования (4-79), преобразуем исходную схему к виду, показанному на рис. 116, б. При этом £б - Я, + я2 Для входа и выхода этого звена, учитывая соотношение 4 = гк + г'о и пренебрегая напряжением смещения «эб> можно записать: б - Я э ( ' " к + '"в) = 0; (5-13) Рис. 115. К определению точки £„ — и й 3 — ('„ X покоя схемы на пентоде. х (Я э + / ? к ) - Ы э к = 0. (5-14) Исключая из уравнений (5-13), (5-14) ток базы £б, получим уравнение линии нагрузки постоянному току £.1 Если выполняются ЯбЯэ \ (« б + # э ) условия Я,Я Рис. 116. Построение линии смещения д л я транзисторной схемы. I«к | Я» + Як • Яб+Яэ (5-15) (5-16) то уравнение линии нагрузки упрощается: иэк^Ек-1к(Яэ + Як), (5-17) т. е. ее наклон определяется суммарным пассивным нием, подключенным к выходу схемы. сопротивле- При заданных Ек = 3 в, = 1,2 ком, Яэ = 0,3 ком линия нагрузки на оси токов имеет значение 1кМ — 2 ма. Исключая из уравнений (5-13) и (5-14) ток коллектора !',< и учитывая (5-12), получим уравнение линии смещения + „ , Яэ + Я к (5-18) Подставляя в это уравнение численные значения параметров схемы, при условии что = ком, = 4 0 , 5 ком, иж= находим 145,2 • 1 0 3 ; б - 1,325, (5.! 9 ) где ток базы подставляется в амперах. Выбирая значения /б = 10, 20, 30 мка, (рис. 116), получаем в соответствии с (5-19) точки К, <2 и Ь с координатой иэк, равной соответственно 0,127; 1,58 и 3,03 в. В данном частном примере точка покоя схемы совпадает с точкой С} линии смещения. Ее координаты н к 0 = 1,6 в; , к 0 = 0,95 ма; <б = 20 мка. Д л я транзисторного звена со стабилизацией отрицательной обратной связью по постоянному напряжению (рис. 117) линия нагрузки определяется уравнением «эк = £ к — Об + 1к) (5-20) или, учитывая неравенство г'б С г'к, и« = £ к - / к Я к . Линия ния (5-21) смещения находится из соотноше- Рис. 117. Транзисторный усилитель. и ее построение такое же, как для вакуумного триода § 2. Статические характеристики электронных с х е м Семейство результирующих вольт-амперных характеристик последовательного или параллельного соединения электронных приборов строится по статическим характеристикам входящих в него приборов. В качестве примера рассмотрим каскодный усилитель (рис. 118, а), в котором две лампы непосредственно соединены так, что через них протекает один и тот же анодный ток. При этом верхн я я лампа Л2, работая усилителем по схеме с общей сеткой, является одновременно и динамическим нагрузочным сопротивлением для нижней лампы Л1, работающей по схеме с заземленным катодом. Такой усилитель обладает высоким усилением, близким к характерным для пентодных схем значениям, и низким уровнем собственных шумов, как в обычном триодном усилителе. Благодаря заземленной сетке второй лампы резко уменьшается паразитная связь выхода усилителя со входом. Рис. 118. Построение результирующих статических характеристик схемы каскодного усилителя. Результирующие статические единения электронных ламп характеристики каскодного со- К — f ("а)> "с2 = const, иС1 — var (5-23) определяются при различных смещениях на сетке первой лампы « с и неизменном потенциале на сетке второй лампы иСг = и0, задаваемом делительной цепочкой (рис. 118, а). Д л я их построения используются следующие соотношения, справедливые для схемы рис. 118, а: и Ж 1 — иК2 — и 0 — «ск2, (5-24) Uакг = "а — "к 2 = "а — "о "ск2(5-25) Из (5-24) следует, что при иСК! = 0 « aKl = и0. Поэтому результирующие характеристики строят в следующей последовательности. На осях га, ма (рис. 118, б) в левой части графика наносят статические характеристики лампы Jlx для всех значений uCl и анодных напряжений MaKl, несколько превышающих величину и 0 . Затем наносят на этот же график кривые лампы JJ 2 , но так, чтобы их начало координат было смещено вдоль оси ыа вправо на величину = «о- Кривая для Иск. = 0 начинается из этой смещенной точки. По кривым для лампы Л, находят токи, соответствующие различным ыс, при Мак, = «о (точки аъ Ьъ съ ..., рис. 118, б). Т а к как через лампы в рабочем режиме протекает один и тот же ток, то эти токи переносят на статическую анодную характеристику лампы Л а при «Ск2 = 0. Полученные точки öi, b\, Ci, ... соответствуют определенному режиму каскодного соединения, для которого «ск„ = 0- Точно таким же образом можно построить точки а'2> оI, ... , соответствующие режиму при иСКг. При этом для обеспечения такого режима напряжение на аноде лампы Л ! увеличивается до и ак , — = и0 + Мскг- Далее снова определяют токи в точках а 2 , Ь2, с 2 , ..., устанавливающиеся в схеме при вычисленном иЖх и разных смещениях и'С1. Таким образом, для получения последующих точек результирующих вольт-амперных характеристик каскодного соединения нужно смещать начальную точку на оси напряжений на «ск„ т. е. выбирать Мак, = «о + "скг, И проектировать точки, получаемые при пересечении прямой, проведенной из точки «ак, параллельно оси ординат, с анодными характеристиками лампы Л 1 ( на анодную характеристику лампы Л 2 , соответствующую выбранному Иск,Линии, соединяющие точки а\,а2, . . . , а ' / , . . . , б у д у т результирующими характеристиками искомого семейства статических характеристик. Зная Рис. 119. Построение линий нагрузки ламп сопротивления каскодного усилителя. нагрузки /?н, смещения Н к и напряжение питания £а> можно по обычным правилам построить линии нагрузки постоянному току, линию смещения и выбрать точку покоя С}. Построим линии нагрузки постоянному току каждой из ламп, входящих в каскодное соединение, в предположении, что в каскодном усилителе используется двойной триод 6Н14П, сопротивление нагрузки = 12,5 ком, напряжение питания схемы £ а = = 250 в, а смещение на сетке второй лампы ис, = и0 — 100 е. Асимптотическое положение линии нагрузки первой лампы определяется условием Ыак, = "о — Ю0 в, так как при и ск , > 0 потенциал ее анода не может значительно отличаться от этого значения. Промежуток сетка — катод верхней лампы и делительная цепочка смещения ее сетки служат в этом случае параллельным диодным ограничителем. Асимптотическое положение линии нагрузки второй лампы находят из условия "ак2 = (Е„ — и о) — 1 а я н = 1 5 0 — /,/?„. Обе асимптотические линии нагрузки наносятся на семейство статических характеристик лампы (рис. 119). При нормальных режимах работы каскодной схемы падение напряжения на второй лампе иаКг меньше значений, определяемых по асимптотической линии нагрузки для этой линии, на величину напряжения ее смещения иСКг. Поэтому истинные положения рабочей точки второй лампы можной найти, если сместиться вдоль каждой статической характеристики лампы, соответствующей и[к„ Рис. 120. Определение статического режима схемы усилителя с катодной связью. от точки ее пересечения с асимптотической линией нагрузки (точки а, Ь, с, ...) так, чтобы напряжение на лампе уменьшилось на Ыск, (точки а', Ь', с', ..., рис. 119). При этом падение напряжения на первой лампе « а к, увеличивается на ту же величину смещения «ск,- Так как ток обеих ламп одинаков, то проектируя точки а', Ь', с', ... на асимптотическую линию нагрузки первой лампы и смещаясь вдоль оси напряжений на величину и'ск„ находим положение рабочей точки этой лампы (точки а" Ь" с", ..., рис. 119). Проанализируем статический режим усилителя с катодной связью (рис. 120, а), часто применяемого в качестве буферного, так как изменение нагрузки на его выходе чрезвычайно слабо влияет на полную входную проводимость схемы. Схема усилителя с катодной связью по существу является сочетанием схемы с общим анодом на Л1 и схемы с заземленной сеткой на лампе Л 2 . Общее сопротивление подсоединенное к катодам, является сопротивлением связи, служащим для передачи сигнала с лампы Л , на лампу Л2. Задаваясь величиной смещения " к = ( Ч + 1а2) Я к , (5-26) на семействе характеристик используемой лампы (двойного триода), приведенных на рис. 120, б, строят линию нагрузки первой и второй ламп схемы: и аК1 = £ 1 — м к = 200 — и к ; "ак2 = — и к — г 'а2^н = 2 5 0 — ик — г'а 2 /? н . Асимптотические линии нагрузки А В и СО соответствуют ик = 0. Так как параметр анодных характеристик ис = —м к изменяется с интервалом Аи с = 2 в, то построение семейства линий нагрузки выполнено также с таким разрешением (рис. 120, б). При заданном и с / находят точки пересечения построенных линий нагрузки с анодной характеристикой, соответствующей и с /. Координаты этих точек (а и Ь, а' и Ь', а" и Ъ" и т. д.) определяют токи обеих ламп га, и г'а2, устанавливающиеся в схеме при заданном ык = | и с / | . Положение точек покоя ламп и <32 определяется той анодной характеристикой, для которой выполняется условие (5-26). Д л я рассматриваемого примера при = 3,2 ком точки покоя ламп совпадают с точками а'" и Ь"', так как "к = Я к («'.I + 'а2) = (2 + 1,14). Ю - 3 • 3 , 2 • 103 = 1 0 в> Изменяя величину сопротивления /? к , можно точки покоя ламп и переводить в положение а', Ь' или а, Ь и т. д. В частности, при /? к = 1,25 /сол< точки покоя совпадают с точками а", Ь", а токи обеих ламп /ах = = 3,2 Л/«. Методика определения статического режима усилителя с катодной связью сохраняется, если обе лампы Лх и Л 2 питаются от одного источника питания. Характер выходного сигнала лампы или транзистора при возбуждении схемы синусоидальным сигналом определяется положением точки покоя электронного прибора на линии нагрузки, т. е. зависит от напряжения или тока начального смещения. При этом можно получить на выходе усилительного звена два различных типа колебаний: колебания первого рода, когда выходной ток протекает в течение всего периода сигнала, подаваемого на вход схемы; колебания второго рода, когда выходной ток в течение части периода равен нулю. Действительная форма выходных колебаний при известной форме сигнала возбуждения определяется с помощью динамической характеристики схемы. § 3. Динамические характеристики электронных схем Переменные составляющие токов и напряжений на входе и выходе усилительного звена, как отмечалось выше, определяются с помощью динамических характеристик, построенных для задан- ной нагрузки схемы. Д л я лампового варианта схемы динамической управляющей характеристикой анодного тока называется зависимость тока i.a от напряжения на сетке ис при конечной величине сопротивления анодной нагрузки R0 и постоянстве напряжения источника питания i, = /(u c ), E . i const, R 0 Ф O . (5-27) Для транзисторного варианта схемы динамические управляющие характеристики коллекторного тока определяются зависимостью тока iK от тока или напряжения на входном электроде (базе или эмиттере) при конечной величине сопротивления коллекторной нагрузки R0 и постоянном Ек. В общем случае, в зависимости от схемы включения транзистора, используется одна из динамических характеристик: 'к = fi Об). £ к = const, R0 ф 0; ) iK-= ф i ( i 3 ) , Ек = const, R() ф 0; J 'к = ft ("б). Е к = const, tf0=#0;J iK = Ф2 (иэ), Ек = const, R0 Ф 0. I Характеристики, определяемые уравнением (5-28), называются токовыми динамическими управляющими характеристиками, а характеристики, заданные выражением (5-29) — динамическими управляющими характеристиками по напряжению. Разновидности динамической управляющей характеристики транзисторной схемы в сравнении с ламповой обусловливаются тем, что ее входной ток не равен нулю. Рассмотрим методы построения динамической управляющей характеристики применительно к ламповой схеме. Для транзистора задача с некоторыми добавлениями решается аналогично. При переменном сигнале на входе анодный ток и напряжение лампы будут пульсировать, причем t'a = га0 + Ata; (5-30) « а = ЫаО + А"а. С 5 " 31 ) где t'a0, « а0 — начальные значения тока и напряжения при напряжении возбуждения ес = 0; At'a, Aus — приращения соответственно анодного тока и напряжения. Переменные анодные напряжение и ток связаны соотношением А и, = - MaR0, (5-32) где Rn — нагрузка схемы переменному току. Знак минус поставлен потому, что положительные направления напряжения и тока противоположны. Решая совместно уравнения (5-32) и (5-31) и учитывая (5-30), получим «а = "ао — At a #o = «а0 — (l'a — «ао) Я oî l'a — га0 = (5-33) ("а ~~ "ао)- Уравнение (5-33) представляет собой уравнение прямой, проходящей через точку покоя Q с координатами / а0 , ма0. Наклон ее определяется сопротивлением нагрузки переменному току R0. По аналогии с (5-3) находим Р = arctg -~75г • (5-34) Линию нагрузки схемы переменному току иногда называют выходм . Линии -ие,в а -16 -12 -8 -4 6 Рис. 121. Построение динамических характеристик ламповой схемы: а — выходной: б — управляющей. нагрузки переменному и постоянному току, всегда пересекаясь в точке покоя (2, могут совпадать или не совпадать в зависимости от того, равны или отличаются сопротивления нагрузки схемы постоянному току Rн и переменному току Яо (при Хн = 0). Линия нагрузки переменному току проходит не только через точку покоя но и, как это следует из (5-33), через точку т с координатами г = г'а0 + и., = 0, лежащую на оси ординат. Пример построения приведен на рис. 121, а. Если R 0 — малая величина, то указанный способ построения может оказаться неудобным из-за большой величины В этом "о случае динамическую характеристику следует проводить через точку покоя (2 и точку п (г'а = 0, « а = аао + 'аоЯо), лежащую на оси абсцисс (рис. 121, а). Точки пересечения линии нагрузки переменному току т, п со статическими анодными характеристиками лампы в координатах ї а , ия дают значения напряжений на управляющей сетке « с и соответствующие значения анодного тока га. По этим значениям строится искомая динамическая управляющая характеристика га = = / (ис) в координатах га, ис (рис. 121, б). Рассмотрим построение динамических характеристик для схемы на транзисторе. На рис. 122, а показано построение линии нагрузки переменному току на статических выходных характеристиках прибора. Координаты точки пересечения ее с отдельными Рис. 122. Построение динамических характеристик транзисторной схемы: о — выходной; б — токовой у п р а в л я ю щ е й ; в — входной; по н а п р я ж е н и ю . г — управляющей коллекторными характеристиками (точки а, Ь, с, ...) определяют токовую динамическую управляющую характеристику iK = f (іб), которая построена на рис. 122, б. Д л я построения управляющей динамической характеристики по напряжению t'K = ср (иб) необходимо дополнительно воспользоваться семейством входных характеристик транзистора (рис. 122, в), на котором, пользуясь координатами точек пересечения линии нагрузки переменному току с выходными характеристиками прибора (точки а, Ь, с, ...), строится динамическая входная характеристика "б = ^ Об). £ к = const, R0 — const. (5-35) Эта характеристика связывает значения тока и напряжения базы (для схемы с общим эмиттером) при конечной величине сопротивления, подключенного к коллектору, и постоянстве напряжения питания схемы. На основании определяемых ею данных строится управляющая динамическая характеристика по напряжению (рис. 122, г). З н а я сигнал возбуждения, легко с помощью динамической управляющей характеристики построить коллекторный ток как функцию времени. При этом линейность динамической управляющей характеристики определяет линейность усилительного звена в целом. Как видно из сравнения кривых (рис. 122, б и г), зависимость коллекторного тока от тока базы более линейна, чем от напряжения базы. Поэтому для транзистора рекомендуется сигнал возбуждения подавать от источника тока. § 4. Полные динамические и статико-динамические характеристики Д л я оценки свойств усилительного звена в целом используется полная управляющая динамическая характеристика, соответствующая полному коэффициенту усиления напряжения и определяющая зависимость выходного тока (анодного или коллекторного) от напряжения источника возбуждения: га = 4ч (ес), Ея = const, R0 Ф 0; (5-36) iK = г|)2 (<?с), Ек = const, R0 Ф 0. (5-37) Отличие полной динамической характеристики от рассмотренных выше обусловливается тем, что в ряде случаев сигнал возбуждения на входных узлах электронного прибора и с или ив (и э ) не равен напряжению источника возбуждения ес. Разница значений ис (или иб) и вс определяется при наличии тока на входе схемы конечным внутренним сопротивлением источника сигнала возбуждения Rir Д л я ламповой схемы с общим катодом в большинстве случаев ис = ес, так как в нормальном режиме работы при отрицательных полных напряжениях на сетке (смещении и наложенном сигнале возбуждения) сеточный ток практически отсутствует. Когда полное сеточное напряжение становится положительным, появляется сеточный ток, который быстро увеличивается с увеличением сеточного напряжения. Если при этом сопротивление промежутка сетка — катод лампы Ric намного превышает в н ^ р е н н е е сопротивление генератора сигнала Ric » Я„, (5-38) то падением напряжения на R H можно пренебречь и считать, что i/c ж ес. Если же Ric<£ R„, то сеточное напряжение ис оказывается очень малым по сравнению с величиной е с . Следовательно, при положительных значениях напряжения источника сигнала ес сеточное напряжение ис практически равно нулю, а анодный ток будет постоянной величиной (сеточное ограничение). Если сопротивление /?1С сравнимо с то анодный ток будет изменяться меньше, чем в рассмотренном случае. Учет влияния сеточного тока и величины сопротивления на динамическую управляющую характеристику ламповой схемы важен для мощных усилителей и автогенераторов. В транзисторной схеме для обычных режимов входной (базовый или эмиттерный) ток существует все время, поэтому внутреннее сопротивление источника сигнала нужно учитывать как для слабых, так и для сильных сигналов возбуждения. Связь между входными током и напряжением транзистора (например, по схеме с общим эмиттером) определяется, с одной стороны, динамической входной характеристикой (5-35), с другой Рис. 123. Построение полной стороны, уравнением, характеризующим управляющей динамической усилительное звено со стороны входа, характеристики с учетом сопротивления источника сиганалогичным (5-2), нала. "б = — ( б Я„. (5-39) При заданном значении ес уравнения (5-35) и (5-39) решаются рассмотренным выше графическим методом: из точки иб = ес на оси напряжений динамической входной характеристики (рис. 123) проводится линия нагрузки, угол наклона которой (5-40) гп,й и и определяется точка ее пересечения с входной динамической характеристикой (кривая А). Так как в процессе работы схемы ес изменяется по величине, то такие линии нагрузки проводятся из многих точек оси напряжений, в результате чего получают семейство точек пересечения а, Ь, с, й, ... Координаты этих точек при заданных ес£ определяют установившиеся значения входного тока г'б1-, по которым, пользуясь токовой динамической управляющей характеристикой схемы (кривая Б), находят значения выходного тока коллектора гк, соответствующие разным значениям напряжения источника возбуждения ес. Построенная по этим значениям полная управляющая динамическая характеристика гк = гр2 (ес) приведена на рис. 123 (кривая В). Следует отметить, что она более линейна, чем динамическая входная характеристика (кривая А). Если бы кривая А была зеркальным изображением кривой Б, то при = 0 кривая В была бы прямой линией. Но, так как у — аіч^ кривизна характеристики А больше, чем у кривой Б, то при /?„ = 0 полная у п р а в л я ю щ а я динамическая характеристика (кривая В) имеет слегка «вогнутую» форму. Кроме того, линейность кривой В зависит от сопротивления источника сигнала /? и . С ростом «вогнутая» форма кривой В переходит в «выпуклую», приближаясь к форме кривой Б . При а - 5 Рис. 124. Схемы с последовательной обратной связью: а — ламповый вариант; б — транзисторный вариант. некотором оптимальном обеспечивается наибольшая линейность кривой В, а следовательно, усиление схемой сигнала еа без искажений. С этой целью на вход схемы подключают последовательное сопротивление (для увеличения Ян) ИЛИ, наоборот, 11,мка— иЭ11°4в ік,ма / \В 8 80 І}=12С мка -4-А г® 80 ы 40 "1 V 40 у \ 2 0 ги э 4 6 8 Чз!А 10 изк,в 0,7 0,9 1,1 1,3 е,с, б 5 Рис. 125. Построение статико-динамических характеристик транзистора: а — выходных; б — входных. входные узлы транзистора шунтируют сопротивлением (для уменьшения эффективного значения /?„). Н а п р я ж е н и е на входе электронного прибора (ис или иб) может отличаться от напряжения источника сигнала ес еще и за счет введения в схему последовательных отрицательных обратных связей на частоте сигнала. Широко распространены, например, схемы с последовательной отрицательной обратной связью, показанные на рис. 124, а и б, для которых соответственно: "с = е "а = "а + с — | 1-Як = "а + "к \ ес — i3R3 «б «к : «К + "э = (5-42) "к + Эти обратные связи учитываются при построении статико-динамических характеристик электронного прибора, соответствующих уравнениям (5-41) или (5-42). С этой целью для тргнзистора через начало координат плоскости его выходных статических характеристик (рис. 125, а) проводится прямая ОВ под наклоном, соответствующим величине сопротивления обратной связи, подключенного к эмиттеру 3 0 прибора, I = arctg m,R з (5-43) Д л я каждого значения тока коллектора і к статические характеристики смещаются на величину Аи к =• iKR3 — иэ. На рис. 125, а построены статико-динамические характеРис. 126. Статико-динамические характеристики (штриховые линии) ристики триода при последовательной отрицательной обратной связи. в предположении, что R3 = .= 200ом. Аналогично входные характеристики для каждого значения г'б и ик смещаются на величину Аиб = и3 = iKR3 (рис. 125, б). Построенные таким образом статико-динамические характерне гики транзистора с сопротивлением, подключенным к эмиттеру, можно использовать для расчета схемы обычным способом. Д л я ламп построение статико-динамических анодных характеристик осложняется тем, что, как это следует из уравнения (5-41), параметр пересчитываемой характеристики (входное напряжение) не остается постоянным. При пересчете же выходных характеристик транзистора принимали г'б = const. Поэтому при построении статико-динамических характеристик лампы задаются величиной напряжения ес, а затем, пользуясь уравнениями (5-41), для каждого значения анодного тока іл находят координаты ис, и'й точек этой характеристики. На рис. 126 приведено построение статико-динамических характеристик триода в предположении, что RK — 1 ком. Например, выбираем значение ес — 0 и, задаваясь величиной тока ia = 5 ма, из (5-41) находим « с = —i a R K = —5 е. По заданным (а = 5 ма, ис = —5 в находим напряжение на аноде лампы иа = 170 в (точка а), а в соответствии с (5-41) и'а = иа + iaRK =* 1 7 0 + 5— 175 в (точка а'). Поддерживая ес = 0 и задаваясь г'а = 10 ма, аналогично найдем положение точек b и Ь', затем с и с' и т. д. Соединив а'Ь'с' ... линией, получим статико-динамическую характеристику при ес = 0 = const. Расчет схемы с отрицательной обратной связью можно значительно упростить, если пересчитывать не все семейство статических характеристик прибора, а только координаты тех точек, которые принадлежат линии нагрузки схемы. Рассмотрим этот способ на примере схемы с общим анодом (общим коллектором), в которой последовательная отрицательная обратная связь достигает наибольшей глубины. Для схемы, изображенной на рис. 127, а, справедливы уравнения, аналогичные (5-41): ес = ис + «вых = ис + г'аЯк; = «а + " в ы х (5-44) (5"45) == « а + Пользуясь соотношениями (5-44) и (5-45) вместе с семейством ста. тических анодных характеристик лампы, можно построить динамическую управляющую ха- . г рактеристику схемы г'а = = г|з (ес). Для этого на семействе анодных характеристик строится линия нагрузю о >Ея--2508 О 100 6 200 Н 300 и„,6 Рис. 127. Построение динамической характеристики схемы с общим анодом на плоскости выходных характеристик. ки АШ (рис. 127, б), задаваемая соотношением (5-45) и проходящая через две крайние точки с координатами (О, Ея) и ( £ а / # к , 0) соответственно. Точки пересечения линии нагрузки со статическими характеристиками лампы дают для заданного значения га и и с , подставляя которые в уравнение (5-44), можно определить ес. Например, в точке пересечения п (рис. 127, б) имеем ia = 5,5 ма, ыс = —4 в, в соответствии с формулой (5-44) получаем ес = ис + iaRK — —4 + 5,5 • 20 = = 106 в. Заменой значения параметра ис каждой статической характеристики на соответствующее значение ес совершается переход от семейства анодных характеристик лампы г'а = / («с> "а) к статико-динамическому семейству характеристик (а = ар (ес, и а ). Штриховой линией на плоскости статических характеристик нанесена линия смещения KL, определяющая совместно с линией нагрузки положение точки покоя Q для схемы. Как видно из рис. 127,6 при изменении напряжения источника сигнала ес в диапазоне от 170 до —15 в выходное напряжение ивык изменяется от 170 в до нуля. При наличии последовательной отрицательной обратной связи в схеме полная управляющая динамическая характеристика г'а -= я|; (ес) или г'к = 4 (ес) может быть также получена в соответствии с выражениями (5-41), (5-42) графическим суммированием в плоскости координат t'a, « с или tK, иб управляющей динамической характеристики электронного прибора по напряжению г'а = f (ucj или гк = / (иб) (соответственно рис. 121, били 122, г) с вольт-амперной характеристикой обратной связи ик = iaRK или иэ = г к /? э . іа, ма 10 с- ) fИ с V II 4 с ~и„;ис;в-170 -120 -80 -40 -15 0 40 / 80 120 110 ес,6 Рис. 128. Построение управляющей динамической характеристики схемы с общим анодом на плоскости анодно-сеточных характеристик. Такое построение с учетом числовых данных рис. 127 приведено на рис. 128. Для каждого значения ія находят величины ик и и с , по которым вычисляют значение ес = ик — ис точки, принадлежащей искомой характеристике. Описанные выше построения динамических характеристик схем с общим анодом или общим коллектором проводились на плоскости семейства статических характеристик, снятых по схеме с общим катодом или общим эмиттером. Д л я графического анализа транзисторных схем по схеме с общей базой используются статические характеристики транзистора, снятые при соответствующем включении прибора. Построение линий нагрузок постоянному и переменному току, а также полной управляющей динамической характеристики такое же, как и для схемы с общим эмиттером. Для ламповой схемы с общей сеткой обычно используются статические характеристики, приведенные в справочниках для схем с общим катодом. Как следует из рис. 129, а и б, при работе лампы в области отрицательных сеточных смещений ис падение напряжения на лампе изк в режиме покоя (ес = 0) выражается через выходное напряжение схемы иа и напряжение = — и с следующим образом: «ак = "а — "к = катодного смещения « к = «а + "с" (5"46> Поэтому уравнение линии нагрузки схемы в целом определяется из условия «а = Еа - іа/?а) (5-47) где /?а — сопротивление анодной нагрузки лампы. Уравнение нагрузки самой лампы можно получить из выражений (5-46) и (5-47): ыак = £а — ик — или Рис. 129. Построение динамической характеристики схемы с общей сеткой. откуда Еа + ис — и . (5-49) h Пользуясь уравнением (5-49), можно построить линию нагрузки электронной лампы id = / (мак), положение которой зависит от напряжения смещения ис. При заданном значении ис положение точки покоя Q на плоскости анодных характеристик (рис. 129, в) находят по точке пересечения статической характеристики, соответствующей и с , с линией нагрузки, проведенной из точки на оси напряжений Ея + ис под углом, определяемым нагрузочным сопротивлением R a . На рис. 129, в найдены положения точек Q lt Q2 и Q3 для частного примера при ис1 = 0 в; ис2 — —30 в; ис3 — —60 в; Еа = 300 в; /?а = 1,5 ком. Координаты указанных точек соответственно равны: "ак = 108 в; l'a = "ак = 190 в; (а = 55 л а ; " а к = 2 2 0 в; 125 ма\ t'a — 0 ма\ ис — 0 в; ис = — 3 0 в; ис = — 6 0 в. Таким образом, как и для верхней лампы каскодного усилителя (рис. 119), точки плоскости выходных характеристик, принадлежащие линии нагрузки лампы, смещены вдоль статических анодных характеристик от точек их пересечения с линией нагрузки схемы ( 5 - 4 7 ) влево при отрицательных смещениях ис. Линию нагрузки лампы переменному току строят аналогично. После выбора точки покоя, например, точки лежащей на пересечении линии нагрузки (^С? 3 и линии смещения ДХ, определяемой уравнением « с = — іяЯк, переходят вдоль анодной характеристики для ыс0 в точку А (рис. 129), принадлежащую линии нагрузки схемы ( 5 - 4 7 ) . Через эту точку проводят линию нагрузки схемы переменному току с наклоном, определяемым сопротивлением Затем по точкам пересечения этой линии со статическими характеристиками лампы строят динамическую нагрузочную характеристику лампы в соответствии с формулой і а — і а0 = ~ (иа — "о — "аО — "с)' Методика построения полной динамической управляющей характеристики схемы г'а = / (ес) состоит в следующем. Д л я схемы рис. 129, б входной сигнал ес совпадает по значению с и к , т. е. еы = «кі = — "СІ, (5-50) поэтому искомые значения характеристики га = / (ес) определяются по координатам точек пересечения линии нагрузки лампы со статическими характеристиками лампы. Д л я схемы рис. 129, а при построении полной динамической управляющей характеристики учитывают наличие последовательной отрицательной обратной связи в схеме, если сопротивление /? к не шунтируется емкостью. В этом случае по координатам ігі, исі точек пересечения анодных характеристик и линии нагрузки лампы определяют значения Єсі = "сі + »'аг#к. (5-51) З н а я значения есі, можно, пользуясь выражением ( 5 - 4 6 ) , построить амплитудную характеристику схемы « а = / (ес). § 5. Динамические характеристики при комплексной нагрузке При комплексной нагрузке динамические характеристики электронного прибора (лампы и транзистора) приобретают сложный вид, который будет зависеть как от частоты входных сигналов, так и от их формы. В электронных схемах чаще приходится встречаться либо с индуктивно-омической, либо с емкостно-омической нагрузкой. И в том, и в другом случае при синусоидальном входном сигнале между выходным током и напряжением создается добавочный сдвиг по фазе, определяемый фазовым углом нагрузки Фн = агс1ё-^, (5-52) где X „ — реактивная составляющая Например, для лампы можно записать: сопротивления нагрузки. «а — "аО = Аиа = — Ai a Z a = — Uam sin Сùt\ (5-53) іа — г'ао = Ага = I a m sin (û)/ — ф„). (5-54) Кроме ТОГО, между амплитудой переменного напряжения Uam и амплитудой переменной составляющей анодного тока / а т существует зависимость Uа т = / (5-55) «7 •Линия нагрузки Рис. 130. Динамические выходные характеристики триода при комплексной нагрузке и гармоническом возбуждении. где |Z„ | — модуль полного сопротивления, подключенного к аноду лампы. Из выражений (5-54) и (5-53) следует, что ia — 'ао = /ат sin сot cos ф н — / а ш" cos сot sin фI нII; Uа , "а - " а 0 -) s ' n Фнla — IаО = — Jam JJ COSРнфн—/аш I/. (5-56) После перегруппировки членов и возведения левой и правой частей в квадрат уравнение (5-56) приводится к виду \2 / —Uw • ; \ / 2 ("а a0) (і, — іа0) /"а — "а0\ о /С С7\ аО sin z фн. (5-57) 2 77 ; COS ф" T t/ ^ arn^ m \ am a Выходная динамическая характеристика схемы, определяемая выражением (5-57), представляет собой эллипс с центром в точке покоя, соответствующим образом ориентированный относительно координатных осей га, « а (рис. 130, а). При этом размеры эллипса зависят от амплитуды и частоты входных сигналов. В частном случае чисто реактивной нагрузки, когда фн = 90", уравнение (5-57) принимает вид \2 / .. .. \2 і "а - "аО 'аО (5-58) = 1, и. + ш что соответствует эллипсу с осями, параллельными координатным осям (штриховые линии на рис. 130, а). Д л я емкостно-омической нагрузки Х„ уменьшается с ростом частоты, поэтому для случая со оо эллипс вырождается в прямую вертикальную линию, параллельную оси ординат. При уменьшении реактивной составляющей Х„ фазовый угол ср„ 0 и выражение (5-57) сводится к уравнению прямой (5-59) из которого на основании зависимости (5-55) легко получить где = Яо> ч т 0 совпадает с рассмотренным случаем динамической линии нагрузки. Метод определения переменных составляющих токов и напряжений с помощью динамического эллипса понятен из рис. 130, б, где точка покоя <3 взята за начало системы координат {/ а , / а . При нагрузке емкостного характера рабочая точка по эллипсу вращается против часовой стрелки. При этом анодный ток изменяется скорее, чем потенциал анода, т. е. вектор тока опережает вектор напряжения: анодный ток достигает максимума (точка 1) раньше, чем анодное напряжение достигает минимума, отмеченного точкой 2. Как видно из рис. 130, б, амплитуда переменной составляющей тока 1 ъ т получается больше, а амплитуда напряжения V ъ т меньше, чем при чисто омической нагрузке, равной На практике при комплексной нагрузке, как правило, динамический эллипс не строят, так как это довольно трудоемкая задача. Вместо эллиптической характеристики в системе координат г'а, и3 используется динамическая прямая, соответствующая некоторой эквивалентной омической нагрузке /?оэ- Наибольшее приближение к действительным условиям работы электронного прибора получается, если условием эквивалентности принять неизменность отношения / а ,„ к и & т , т. е. в соответствии с зависимостью (5-55) Я о э = | 2 н | . Таким образом, эллипс заменяют динамической линией нагрузки, за которую принимают большую ось эллипса. § 6. Динамические характеристики при импульсном воздействии Д о сих пор рассматривалось построение динамической характеристики схемы для синусоидального сигнала возбуждения. Однако электронные схемы часто используются т а к ж е при импульсном сигнале возбуждения. При омической нагрузке переменному току построение динамических линий схемы такое же, как и для гармонического входного сигнала. При комплексном сопротивлении нагрузки картина усложняется и траектория рабочей точки на плоскости выходных характеристик отклоняется от прямой линии. Динамическая выходная характеристика схемы с емкостно-омической нагрузкой (рис. 131, а) для случая, когда на ее вход поступают прямоугольные импульсы (рис. 131, б), амплитуда которых превышает напряжение запирания лампы, приведена на рис. 131, в. При этом предполагаем, что длительности т 1 и т 2 достаточны для того, чтобы произошел полный заряд или разряд емкости Сн, присоединенной к аноду лампы. Точки, указанные на динамической характеристике, соответ- Рис. 131. Динамические выходные характеристики схемы с емкостно-омической нагрузкой при импульсном возбуждении. Вследствие влияния емкости С„ потенциал анода не может изменяться мгновенно, но анодный ток 1а свободно увеличивается (участок АВ). По мере разряда емкости С„ потенциал анода постепенно уменьшается (участок ВС) и приходит к установившемуся значению, определяемому линией нагрузки постоянному току / Ш . В точке С потенциал сетки снова меняется, лампа запирается, анодный ток прекращается. Переходы от точки А к В или от С к О происходят практически мгновенно. Время перехода от В к С определяется постоянной времени разряда емкости С и через параллельно соединенные по переменному току сопротивления лампы и нагрузки Время перехода от точки В к А зависит, наоборот, от постоянной времени заряда емкости С„ от источника питания Е а через сопротивление Если длительности т, и т 2 входных импульсов будут меньше указанных постоянных времени разряда и заряда емкости С н , то динамическая характеристика принимает положение А'В'С'О', указанное на рис. 131, е. При этом установившиеся значения токов и напряжений в схеме не достигаются. Если уменьшить амплитуду импульсов возбуждения, то динамическая характеристика принимает положение А"В"С"0". Динамическая выходная характеристика схемы с параллельной индуктивно-омической нагрузкой (рис. 132, а), возбуждаемой теми же прямоугольными импульсами (рис. 132, б), приведена на рис. 132, в. На участке мгновенного перехода от Л к В через лампу протекает ток, но ток в индуктивности равен нулю; поэтому изображающая точка смещается вдоль линии нагрузки, определяемой сопротивлением /? а . По мере возрастания тока через индуктивность (участок ВС) напряжение на нагрузке уменьшается и потенциал анода лампы стремится к Еа. Ток лампы при этом = — где — ток через времени ^ индуктивность, + нарастающий (5-61) с постоянной К [К а Я< + Я. Как следует из выражения (5-61), при движении изображающей точки вдоль статической характеристики, соответствующей и1 — О, Рис. 132. Динамические выходные характеристики схемы с параллельной индуктивно-омической нагрузкой при импульсном возбуждении. от точки В к С линия нагрузки смещается параллельно самой себе (рис. 132, в). Когда ток іі достигает установившегося значения іт, напряжение на нагрузке равно нулю и иа = Еа. Во время мгновенного перехода СО (рис. 132, б) ток индуктивности іт не успевает измениться. Лампа запирается, а ток іт, протекая через сопротивление нагрузки /? а , создает падение напряжения ітЯа. В результате именно на эту величину потенциал анода лампы превосходит напряжение источника питания Еа (рис. 132, в). По мере экспоненциального убывания тока индуктивности с постоянной времени Т3 = напряжение на аноде запертой лампы иа приближается к значению Еа. Выше предполагалось, что длительности входных импульсов Ті и т 2 достаточны, чтобы переходные процессы в схеме заканчивались. При малых длительностях этих импульсов ток через индуктивность при открытой лампе не успевает достигнуть установившегося значения, а потенциал анода закрытой лампы — упасть до Еа (траектория А'В'С'О', рис. 132, в). Если же уменьшить амплитуду входных импульсов, то при повышении потенциала анода запертой лампы на участке СЬ она может начать проводить, например, в точке Б " , соответствующей статической характеВС в с о +£„ -и,- п Е А И Г д а а / / / / // С/ // А і / іі " в / _ / ч Ау и, Еа 5 г Е/ иг /і / ! ! 1 1 і— и, иа Рис. 133. Динамические выходные характеристики схемы с последовательной индуктивно-омической нагрузкой при импульсном возбуждении. Рис. 134. Осциллограммы сигналов в схеме с последовательной индуктивно-омической нагрузкой: а — входно?! сигнал; б — анодное н а п р я ж е н и е ; в — анодный ток. ристике, снятой при иы. В результате траектория динамической характеристики пойдет вдоль этой статической кривой до выхода на ось напряжений. Динамическая выходная характеристика схемы с последовательной индуктивно-омической нагрузкой (рис. 133, а) в предположении достаточно больших длительностей входных сигналов построена на рис. 133, б. Если отнести сопротивление Л? к сопротивлению лампы, то схему рис. 133, а можно рассматривать как предыдущую схему с чисто индуктивной нагрузкой. Это соответствует схеме рис. 132, а при = сх>. Поэтому участки переходов АВ и СБ идут параллельно оси напряжений (под нулевым углом). В схеме с последовательной индуктивно-омической нагрузкой ток лампы не может быть мгновенно уменьшен до нуля ни при каких амплитудах входного сигнала ы вх . Пользуясь построенными динамическими характеристиками, можно, как и в случае гармонических сигналов возбуждения, определить форму выходного сигнала. Например, диаграммы входного сигнала и выходных тока и напряжения для схемы с последовательной индуктивно-омической нагрузкой приведены на рис. 134. Одинаковыми точками А, В, С, О, Е обозначены ординаты сигналов, соответствующие одному и тому же моменту времени. При этом ординаты иъ и2, и3 и г т определяются на основании динамической характеристики рис. 133, б. Изменения выходных тока и напряжения на участках В С и Б Е происходят с постоянной вреПриведенные выше построения динамической характеристики выполнялись для триода, но рассмотренная методика справедлива д л я любого электронного прибора, описанного семейством характеристических кривых. Следует отметить, что графический анализ работы электронных схем при импульсном воздействии менее удобный, чем при гармоническом. Изложенная выше методика позволяет определить параметры плоской части выходного импульса. Она значительно усложняется по мере уменьшения длительностей входных импульсов и связанной с этим необходимостью учета паразитных параметров схемы (межэлектродных емкостей лампы, емкостей р-га-перехода и т. д.) для определения фронта импульса. Так как в процессе работы большинства известных импульсных устройств на входы электронных приборов поступают сравнительно большие по величине положительные импульсы в определенном диапазоне длительностей, то при таких расчетах вместо обычного семейства статических характеристик прибора используются: для ламп — специальные импульсные характеристики г'а = / (и а ), гс = = / (« а ), снятые для высоких положительных сеточных потенциалов; для транзистора — характеристики и параметры в режимах насыщения и отсечки. Глава 6 РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ ПО СТАТИЧЕСКИМ И ДИНАМИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ § 1. Определение токов и напряжений в режиме колебаний первого рода Методы графического анализа основаны на использовании динамических характеристик схем в виде незамкнутой линии, соответствующей работе прибора на омическую нагрузку. При этом полный анализ работы схемы ведется по выходной, входной и полной управляющим динамическим характеристикам. Вид характеристик для ламповых и транзисторных схем сходен.Различие заключается в том, что для ламповых схем (за исключением схемы с общей сеткой) входная динамическая характеристика прибора обычно не строится, так как при нормальных режимах работы большинства приемно-усилительных ламп входной сеточный ток равен нулю. Располагая управляющей динамической характеристикой типа г'к = / (ыб) или га = = / (ис), можно построить по заданному входному напряжению график зависимости анодного или коллекторного тока от времени. Такое построение выполняется, например, для транзистора следующим образом: к координатным осям Рис. 135. Построение графика коллекториб, в которых построена ного тока по заданному базовому напряуправляющая динамическая жению и динамической управляющей характеристике. характеристика (рис. 135), пристраивается график базового напряжения, построенный в координатах иб, t(t — время) так, чтобы оси иб обоих графиков совпадали. Координатные оси 1К, t располагают так, чтобы ось времени являлась продолжением оси иб. Задаваясь каким-либо моментом времени t ъ можно найти мгновенное значение базового напряжения иб1 (точка а). Если эту точку снести по вертикали на управляющую динамическую характеристику, то получим точку Ь, соответствующую мгновенному значению коллекторного тока / к . По координатам точек а и Ь находится точка с графика искомой зависимости г'к = 1К (/). Из построения видно, что при подаче на вход прибора переменного напряжения точка Ь на характеристике, называемая изображающей точкой, колеблется вокруг точки покоя <2, определяемой начальным напряжением смещения (гл. 5). При этом вокруг среднего значения, определяемого положением точки покоя, колеблется и ток. В режиме колебаний первого рода (иногда его называют режимом усиления класса А) смещение в схеме и величина входного синусоидального сигнала подобраны так, что коллекторный или анодный ток на выходе прибора протекает в течение всего периода изменения входного сигнала. При обозначении режима лампы (например, индекс 1 указывает, что работа лампы протекает без сеточных токов; индекс 2 означает, что в процессе- работы появляется сеточный ток. С помощью выходной динамической характеристики определяют переменные составляющие напряжения и тока на выходных узлах прибора Аг'н и Ан„, а также мощность переменного тока, поступающую в нагрузку, и общий к. п. д. схемы. Пользуясь входной динамической характеристикой, находят переменные составляющие напряжения и тока на входных узлах прибора А« в х , Д/ в х , а следовательно, и потребляемую схемой мощность сигнала возбуждения. С помощью найденных переменных составляющих токов и напряжений на входе и выходе прибора вычисляют такие вторичные параметры схемы, как коэффициенты усиления по напряжению / Ки и току /С/, а также входное сопротивление Я в х . Пользуясь полной динамической управляющей характеристикой, находят при заданном Ае0 переменную составляющую выходного тока (Дг'а или Дгк)^ Далее по выходной динамической характеристике от переменной составляющей выходного тока переходят к переменной составляющей выходного напряжения и тем самым определяют полный коэффициент усиления напряжения КЕКроме того, по динамическим характеристикам определяют коэффициент нелинейных искажений выходного сигнала, а также выходное сопротивление Явых, получаемое при подключении источника сигнала к выходу усилительного звена. Рассмотрим подробнее определение отдельных вторичных параметров схемы. Выходные статические характеристики электронного прибора и построенная на их плоскости линия нагрузки переменному току (выходная динамическая характеристика) используются независимо от того, какой зажим прибора общий для входа и выхода схемы. Так как в последующем анализе ламповых и транзисторных схем имеется много общего, целесообразно перейти к некоторому обобщенному семейству выходных характеристик ia, и0 (рис. 136), параметр которого Xi может быть в действительности напряжением или током для лампы и транзистора соответственно. Если мгновенные значения входного параметра xt известны, анализ выходных величин прибора одинаков для электронной лампы и транзистора. На рис. 136 приведено семейство обобщенных выходных характеристик и линия нагрузки переменному току тп, проходящая через точку покоя Q, которой соответствует начальное смещение х0. Если переменная составляющая входного сигнала х (параметра семейства характеристик) изменяется по синусоидальному закону X = 2Ах sin cot, (6-1) то изображающая точка смещается вдоль линии нагрузки тп (выходной динамической характеристики), совершая колебания вокруг точки покоя Q между статическими характеристиками, обозначенными х2 и х4. При работе схемы в режиме усиления первого рода точка покоя Q расположена примерно на середине используемого участка выходной динамической характеристики, так что изменения входного сигнала х, соответствующие отрезкам aQ и Qb, будут одинаковы. При этом используемая (рабочая) область выходных характеристик ограничена, с одной стороны, предельно допустимыми значениями токов, напряжений и мощности рассеяния выходного электрода (анода или коллектора) и, с другой,— теми значениями малых токов и напряжений, при которых статические характеристики становятся существенно нелинейными. Предельно допустимые значения токов, напряжений и мощности рассеяния указываются в паспортных данных для каждого типа лампы или транзистора. Равенство отрезков aQ и Qb достигается как соответствующим выбором положения точки покоя Q, так и изменением наклона выходной динамической характеристики при заданном положении точки Q. На практике стремятся обеспечить линейный режим при наименьшем допустимом значении тока iQ в статическом режиме. Переменные составляющие выходных напряжения и тока, как это следует из рис. 136, ДИ2 = " м а и с " "мин s j n f a ) / i макс — i мин SU1 • A- Д(2 = — 2 t= _£/2mSin(0/. = 1 • (6-2) i / с Q\ '2m Sin cot, (b-3) где U 2m , 12m — амплитудные значения переменных составляющих. Действующие значения переменных составляющих напряжения и тока находятся из выражений: it U ~2 = • U2т .. /2 = "макс "мин. 2У2 , I ,2 = '2т — = У2 'макс 'мин 2 У2 . 1С. л\ (0-4) При больших уровнях входного сигнала возникают нелинейные искажения в схеме вследствие выхода рабочего участка выходной динамической характеристики за пределы рабочей области статических обобщенных характеристик. Значения имш и г'мн„ устанавливаются в зависимости от требований к степени линейности усиления при максимальном уровне входного сигнала. Колебательная или выходная мощность, передаваемая переменной составляющей в нагрузку схемы, р ц j ы ("макс м и ц ) *'макс 'мин) ^g Из рис. 136 видно, что колебательная мощность пропорциональна площади нагрузочного треугольника abc: ac • be S abc — ô ("макс = ы мин) ('маке 'мин) 2mim u ' где m/, ти — масштабы осей напряжения и тока. Следовательно, Р 21 = J - 4 . Mymy . . v( 6 - 6 ) ' Подбором наклона линии нагрузки переменному току тп, т. е. подбором сопротивления R0, можно обеспечить условия получения максимальной площади нагрузочного треугольника abc, т. е. получения от схемы максимальной колебательной мощности. Наклон линии нагрузки переменному току при трансформаторной связи с нагрузкой (рис. 109, б и г) регулируется изменением коэффициента связи, т. е. коэффициента трансформации п (4-87). При непосредственной или реостатно-емкостной связи с нагрузкой (рис. 109, а и б) наклон нагрузочной характеристики, определяемый сопротивлением нагрузки переменному току (4-86), оказывается заданным и возможности оптимального выбора параметров схемы ограничиваются. Пользуясь выходными характеристиками схемы, можно произвести ее полный энергетический расчет. Если известны напряжение источника питания схемы Е0 и составляющая iQ (координата точки покоя), то можно найти мощность, расходуемую этим источником, 2л Р °° = Ъ Г \ Е° + , 2 т sin d(ùt = E °iQ• (6"7) ' о Часть этой мощности выделяется на нагрузке постоянной и переменной составляющими тока. Мощность, выделяемая переменной составляющей, определяется формулой (6-5); потери, создаваемые постоянной составляющей, P r = ilR H , где RH — нагрузка схемы постоянному току. (6-8) Остальная мощность расходуется на аноде лампы или коллекторе транзистора (мощность рассеяния). В режиме покоя мощность, рассеиваемая на приборе, Ро = При наличии переменного принимая значение — = и дідвходного сигнала (6-9) она уменьшается, Р 0 = Е^а — г 0 Я н (6-10) Р* Поэтому при выборе положения точки покоя исходят из неравенства < Ро доп, (6-11) где Р0 доп — предельная величина мощности рассеяния, определяемая гиперболой рассеяния, нанесенной на семейство выходных <о Ео "о Рис. 137. Сдвиг изображающей точки из режима покоя вследствие нелинейности обобщенных характеристик. характеристик прибора (рис. 136). Статический режим прибора 1<з, «<? может соответствовать только точкам, лежащим под кривой 0 доп или на ней. Принимая во внимание, что колебательная мощность Р2 является полезной мощностью схемы, к. п. д. схемы л к оО н) С. 8£0Ід : 'мим) и 2т! 2т 2Е01д" (6-12) Т а к как вообще (и2т/Е0) < 1, а в режиме усиления класса А 12 т < г<з (рис. 136), то г\ < 0,5, т. е. к. п. д. схемы не превышает 5 0 % . Приведенный расчет является ориентировочным. При точном расчете необходимо производить гармонический анализ кривой пульсирующего выходного тока. При подаче сигнала на вход схемы с нелинейной управляющей динамической характеристикой изменяется среднее значение выходного тока. Это значение 1ср тем сильнее отклоняется от координаты точки покоя <3 (рис. 137, а), чем больше нелинейность схемы и амплитуда входного сигнала. Точка фл с координатой г'ср лежит на линии нагрузки МЫ постоянному току (рис. 137, б). Такой сдвиг изображающей точки при наличии сигнала, иногда называемый «эффектом выпрямления», обычно незначителен в усилителях слабых сигналов, но часто оказывается существенным в мощных усилителях. Именно в этой точке ф] пересекаются линии нагрузок постоянному и переменному току схемы. Таким образом, для учета нелинейности схемы линия нагрузки переменному току (выходная динамическая характеристика) сдвигается в плоскости статических характеристик без изменения ее наклона. Определение переменных составляющих напряжений и токов по изложенной выше методике производится с помощью этой сдвинутой нагрузочной линии т'п'. Начало отсчета переменных составляющих, т. е. значения выходного тока и напряжения в моменты времени со/ == 0, я , 2л, ..., когда входной синусоидальный сигнал равен нулю, определяются точкой пересечения смещенной линии нагрузки переменному току со статической характеристикой, соответствующей начальному смещению ха (рис. 137, б). При наличии в схеме отрицательной обратной связи (например, через сопротивление Я , подсоединенное к катоду или эмиттеру) точка начального отсчета <32 сместится на статическую характеристику, параметр которой хс определяется через начальное значение х0 и разницу токов (гср — г<з). Д л я лампы = х0 — (г'ср — / 0 ) Я; для транзистора значение параметра х1 (тока базы) находят по входной динамической характеристике схемы. Метод определения приращения постоянной составляющей выходного тока гср — будет рассмотрен ниже. § 2. Выходное сопротивление и коэффициент передачи напряжения Выходное сопротивление усилительного звена при любой схеме включения электронного прибора определяется в соответствии с выражением пЯвЫХ\ • (6-13) 8ЫХ -Г где — сопротивление нагрузки; /?' В Ы х — сопротивление промежутка выходной электрод прибора — общая точка схемы. Сопротивление /? н ы х , если в качестве выходного электрода выбран анод лампы или коллектор транзистора, наиболее удобно определяется по семейству выходных статических характеристик. Изменяя выходное напряжение схемы относительно координаты точки покоя на Аи а , находим изменение тока выходного электрода прибора Аг 0 , по которым определяется Авых = «вь,х=4^. (6-14) При отсутствии обратной связи в схеме приращение выходного тока Дi 0 определяется по точкам статической характеристики, соответствующей начальному смещению х0. При этом сопротивление я ; ы х совпадает со значением внутреннего сопротивления прибора Ri или 1/Л22, определяемым наклоном соответствующей статической характеристики. Это справедливо для низкочастотных ламповых и транзисторных схем, смещение которых осуществляется от источника тока, обеспечивающего х0 = i6 = const. В общем же случае, благодаря присущей самому транзистору внутренней обратной связи, определяемой характеристикой и6 — го звена. = f (ик), обратная связь в схеме имеется всегда, и при конечной величине сопротивления, подключенного КО ВХОДУ прибора, Rвых Ф Ф 1 /Л2г. При наличии обратной связи в схеме (как внутренней, например, у транзистора, так и внешней, вводимой с помощью сопротивления, присоединенного к катоду или эмиттеру) приращение выходного тока Дг0 отсчитывается по двум статическим характеристикам с параметрами х0 и xt. Величина параметра xt определяется через начальное значение х0 и приращение выходного напряжения Ди 0 . Найдем в качестве примера выходное сопротивление транзисторного усилительного звена, собранного по схеме рис. 138, а. Его статический режим рассчитан в соответствии с выражениями (5-16)-г-(5-18), полученные координаты точки покоя (рис. 138, б) равны: Uq= 6 в; г б0 = 150 мка; г'д = 9,5 ма. Точка покоя Q переносится на семейство входных характеристик (рис. 138, в). На плоскости этих характеристик через точку покоя Q проводится прямая линия аЬ входной нагрузки схемы по переменному току под углом где Rб — эквивалентное сопротивление, подключенное ко входу прибора и определяемое в соответствии с (5-12) п Rc о При подключении ко входу схемы источника сигнала его внутреннее сопротивление также учитывается при определении сопротивления входной нагрузки г,' _ RбRи Rб+R» ' 6 Задаваясь приращением выходного напряжения Ди 0 = 4 в (рис. 138, б), по точкам пересечения линии входной нагрузки аЬ со статическими характеристиками, соответствующими ыэк1 = 6 в и иж2 = 2 в (рис. 138, в), находим токи базы 1б1 — / / §/ <J00S У V 'А . «А І ис,в-5 -4 -J -1 6 —~ &ис Рис. 139. К определению выходного сопротивления ламповой схемы. = 150 мка и г'б2 = 160 мка. Перенося точку пересечения 1 на плоскость выходных характеристик (рис. 138, б) и определяя приращение выходного тока Дгк = 0,6 ма, вычисляем о' Д«о А«к 4 ^з" = 6,7 ком. 0,6 • 10 Если сопротивление входной нагрузки /?б = со и угол у = 0, то приращение выходного тока определяется координатами точек (} н 2 и равно Дг'к = 0,8 ма, а Явых = 5 ком Аналогично определяется выходное сопротивление ламповой схемы с отрицательной обратной связью по току, изображенной на рис. 139, а. В соответствии с формулами (5-7) и (5-8) находится статический режим лампы: ид = 210 в, ід = 6 ма, иСо = —2 в. Точка покоя () наносится на плоскость анодно-сеточных характеристик лампы (рис. 139, б). Она лежит на пересечении вольт-амперной характеристики обратной связи Чс — £а/?к и статической вольт-амперной характеристики, соответствующей ид. Задаваясь приращением выходного напряжения Д«о — 45 в, находим точку 1 пересечения характеристики обратной связи с вольт-амперной характеристикой лампы, снятой при и а1 = ид + Ды0 = 210 + 45 = 255 в. Приращение выходного тока Ді а = 1,5 ма находится по координатам точек 1 и (}, в результате Явых = 8 1-837 = 3 0 К0М 225 Как видно из рис. 139, б, при отсутствии обратной связи в схеме, т. е. при = = 0, приращение тока Д/ а = 4 на и /? в ы х = Я/ = 11 ком. Выходное сопротивление ламповой схемы можно также определить, построив соответствующую линию смещения К 1 на плоскости выходных (анодных) характеристик (рис. 139, в). Для определения коэффициентов усиления схемы по напряжению и току параметр х семейства обобщенных выходных характеристик (рис. 136) должен быть выражен через входное напряжение -о то о то в в 1/2 6Н8С 1/2 6Нв С 1/2 6Н8С Рис. 140. Схемы усилителей, сравниваемых по коэффициенту усиления напряжения. или ток прибора ы вх , 'вх, а также через напряжение источника входного сигнала ес. Для лампы удобно определяются коэффициенты усиления напряжения КИ и КЕ, так как параметр х совпадает с входным напряжением мвх или может быть легко выражен через ей. Изменениям входного сигнала соответствуют перемещения изображающей точки вдоль выходной динамической характеристики. Задаваясь величиной входного сигнала Аит или Аес, находят соответствующие им приращения выходного напряжения Аи0. Коэффициент усиления напряжения КИ Рис. 141. Построение выходных динамических характеристик для сравниваемых на рис. 140 схем. Д«„ или КЕ Д«о Дес (6-15) На рис. 140, а, б, в изображены схемы усилителей соответственно с общим катодом, общей сеткой и общим анодом, собранные на одной и той же лампе и из одинаковых элементов. Требуется определить и сравнить их полные коэффициенты усиления по напряжению. Анодные характеристики используемой лампы приведены на рис. 141. На их плоскости построены линия смещения АХ, линия нагрузки МЫ, общая для схем с общим катодом и анодом, и линия нагрузки сЛ схемы с общей сеткой. Точки пересечения линий нагрузки со статическими анодными характеристиками определяют значения напряжения анод—катод лампы иак, тока лампы ( а и напряжения смещения сетка — катод « 0 . Связь между входным напряжением еа и напряжением смещения ис устанавливается для каждой схемы с учетом присущей ей отрицательной обратной связи по формулам, приведенным в гл. 5. Предположим, что в процессе работы лампы в каждой из сравниваемых схем напряжение смещения ыс изменяется от ис| = —2 в до и й = —10 в. В этом случае для схем с общим катодом и общим анодом пересчету подлежат лишь координаты точки а (мс] = —2 в; (а1 = 7,4 ма\ и ак1 = 115 в) и точки Ь (и& — —10 в; ( а2 = = 2,8 ма\ и ак2 = 232 в), а для схемы с общей сеткой — координаты точки с (ис1 = = —2 в; ('а3 = 7,2 ма; ыак3 = 114 в) и точки <1 (ис2 = —10 в; ' а 4 = 2,4 ма\ «ак4 = = 225 в). Для схемы с общим катодом (рис. 140, а) в соответствии с выражением (5-41) е с/ = "с/ + 'а/Як; «вых/ = "ак/ + 'а/Як. поэтому "рых2—"вы.41 е с2 — ес1 к (232 + 2 , 8 ) - ( 1 1 5 + 7,4) ( - 1 0 + 2,8)-(-2+7,4) 112,4 -12,6 Если зашунтировать сопротивление емкостью и тем самым устранить влияние обратной связи на частоте сигнала, коэффициент усиления увеличится до „- "ак2 - /С. = u "ак! c2-"cl = 2 3 2 - 115 ,» I . - 1 0 + 2 ... — 14,6. Для схемы с общей сеткой (рис. 140, б) в соответствии с формулами (5-50) и (5-46) e cl = "с/; "вых/ = "ак/ + е с:/• в результате коэффициент усиления напряжения „ "вых4 "выхЗ (225+ 10)-(114 + 2 ) 119 10^2 8 «с4-всЗ •= 14,9. Для схемы с общим анодом благодаря глубокой обратной связи согласно выражениям (5-44) и (5-45) е с/ = " с / + 'а/ № "вых/ = + 'а/ = "с/ + "вых/!+ Яа). С учетом координат точек а и Ь находим, что коэффициент усиления напряжения схемы „ As "вых! = "вых2 е с1 — ес2 = 2,8) • 2 5 115 (7,4 • 25 — 2) — (2,8 • 25 — 10) ~~ (7,4 - 123 = ' Таким образом, из сравниваемых схем при сопротивлении источника сигнала R B = 0 усилитель с общей сеткой обладает наибольшим коэффициентом усиления по напряжению, а коэффициент усиления напряжения схемы с общим анодом меньше единицы. При омической нагрузке в схеме с общим катодом начальная фаза выходного напряжения сдвинута на 180° по отношению к начальной 8* 227 фазе входного напряжения. В схемах с общей сеткой и общим анодом начальные фазы входного и выходного напряжений совпадают. По статическим анодным характеристикам можно определить выходное сопротивление лампы не только со стороны анодного зажима, но и со стороны катода, что применяется, например, в схеме рис. 140, в. Как и раньше, определив статический режим лампы, задаемся приращением выходного напряжения Ди (рис. 141) и определяем соответствующее ему приращение выходного тока ДІ. Так как выходное сопротивление измеряется в режиме короткого замыкания на входе (для переменной составляющей), то изменения смещения лампы Ди с равны приращениям выходного напряжения Ди. Учитывая координаты точки покоя (2(ид= 177 в, — 5,52 ма) и задавшись приращением выходного напряжения Аи = 1,6 в, находим по анодной характеристике с параметром ис = — иСо-\- Аи = — 4 в приращение тока ДI = 2,88 ма, поэтому д = 8выч 1.6 " "ТТ = 2,88 . Ю-Т3 — л< 5 5 6 ом • Выходное сопротивление схемы с общим анодом находится по формуле (6-13) Р ^вых^к "выч вых = — РЧВЫХл. ~ в = (0,556 • 25) • 103 ОС +I Л ссс = 5 4 8 ом• 25 0,556 (6-16) 4 где /?к = + — сопротивление нагрузки, включенное параллельно промежутку катод — анод лампы Как видно из рис. 140, б, катодный узел лампы используется как входной в схеме с общей сеткой. Пользуясь статическими анодными характеристиками (рис. 141), можно также найти входное сопротивление этой схемы. К аноду лампы подключена нагрузка /? а , поэтому методика определения сопротивления несколько изменяется. Рассматривая координаты крайних точек с и сі линии нагрузки лампы в схеме с общей сеткой, находим, что при изменении смещения лампы от исі = —2 в до ис2 = — 10 в анодный ток изменяется от £а3 = 7,2 ма до ( а4 = 2,4 ма. Поэтому сопротивление лампы со стороны катода Явх вх = - 4 ^ - = А'а ~ ч = 1,68 • 10» ом. 4,8 - Ю - 3 Входное сопротивление всей схемы „ О к = *вх + Як ^ВХ = — ' 1,68 • 1 ' + .... ї1 м6 8 І 1I = 630 ом. ..... (6-17) Сравнивая выражение (6-16) с (6-17), находим, что выходное сопротивление схемы с общим анодом такого же порядка, как и входное сопротивление схемы с общей сеткой. Так как параметр семейства выходных характеристик транзистора л: представлен входным током / вх , то для транзисторных схем удобнее определять коэффициент усиления по току КІ. Д л я этого, задавшись приращением входного тока Лг'вх, определяют по характеристикам приращение выходного тока А/ к и вычисляют К, = (6-18) "'вх На рис. 142, а приведены выходные характеристики диффузионного транзистора типа ГТ309Д, на которых построена линия нагрузки переменному току А 1 0А 2 , проходящая через точку покоя <2 с координатами ид — 6,2 в, ід — = 3 ма, іл = 40 мка. Полагая, что входной ток прибора изменяется по гармоническому закону с амплитудой Дг'б = 30 мка, по смещению изображающей точки вдоль линии на- ТТШЖ а Рис. 142. К определению коэффициентов усиления и входного ления транзисторной схемы. сопротив- грузки из начального положения С в точку Ах (и эк = 11,5 в, ік = 1,4 ма) находим амплитудное значение переменной составляющей коллекторного тока Д' к = = 1,6 ма, в результате в соответствии с выражением (6-18) Дг = ' 1,4 • 10~ 3 — (3 • Ю - 3 ) 10 • Ю £ -6 — (40 • Ю а -6 ) = 1,6 • 10~ 3 = к" 30 • Ю - 6 . 00,4. Для нахождения коэффициента усиления напряжения транзисторного усилителя по линии нагрузки переменному току строят входную динамическую характеристику прибора а1 фа2 на плоскости входных характеристик (рис. 142, б). Координаты точки С}: і'бо = 40 мка, « б о = 0,175 в; а точки % : і б1 = 10 мка, н б1 = 0,095 в. По заданному приращению входного тока Д('в= 30 мка, пользуясь входной динамической характеристикой, находят соответствующее ему изменение входного напряжения Диб = 0,08 е. Последнее сопоставляется с приращением выходного напряжения Дик = ык1 — ид, определяемым по точкам <2 и А1 в плоскости выходных характеристик (рис. 142, а). Коэффициент усиления напряжения при этом Аык _ 11,5 — 6,2 _ _ 5,3 = _ 6 6 Ки= " ~ А й ^ ~ 0,095 — 0,175 ~~ 0,08 Зная значения переменных составляющих напряжения Дне и тока Діб на входе транзистора, нетрудно вычислить его входное сопротивление 0,175-0,095 о,08 1ПЗ „ „ ,„_ ~ 40- Ю - « - Ю - Ю- 6 = "ода" • К» = 2,66 • 103 «щ. Полный коэффициент усиления транзисторного усилителя находится по заданному напряжению источника сигнала Аес с учетом его внутреннего сопротивлениями (гл. 5, рис. 123). Д л я этого через точку покоя <3 на входной динамической характеристике (рис. 142, б) проводится п р я м а я ей до пересечения с осью напряжений под наклоном, соответствующим сопротивлению источника сигнала (5-40) От точки с, лежащей на оси напряжений, откладывается отрезок сЬ, равный амплитудному значению Аес н а п р я ж е н и я источника возбуждения. Точка Ь проектируется на входную динамическую характеристику линией Ь/, параллельной ей. Координаты точек 0. к ! определяют изменение входного тока Дг'б, соответствующее заданному значению Аес. По известным Дг'б и положению точки покоя ф с помощью линии нагрузки переменному току (рис. 142, а) находят приращение выходного напряжения Аик, через которое определяется полный коэффициент усиления напряжения (6-19) Более точные значения вычисляемых величин получаются, если при расчетах пользоваться двойными приращениями переменных составляющих напряжений и токов на входе и выходе прибора, соответствующих изменениям рассматриваемых синусоидальных сигналов от максимального положительного до максимального отрицательного значений. § 3. Нелинейные искажения в режиме колебаний первого рода Нелинейные искажения в усилительном звене возникают вследствие нелинейности его динамических характеристик (прежде всего управляющей и входной), обусловленной, в свою очередь, нелинейностью вольт-амперных характеристик электронных приборов. При входном синусоидальном сигнале выходной сигнал электронной схемы будет периодической функцией, частота основной гармонической составляющей которой совпадает с частотой входного сигнала. Следовательно, выходной ток (или напряжение) с помощью ряда Фурье может быть представлен в виде l o = г ср + U sin Gj/ + I b l COS К>/ + I a 2 sin 2(0/ -f f b 2 cos 2м/ -f- f l a з sin 3cot + l b 3 cos Зсо/ + . . . , где i'Cp — среднее значение ia при наличии сигнала; ((6-20) 1 Ф ] ы — амплитудные значения г'-й синусоидальной и косинусоидальной гармонических составляющих. Значения величин г'ср, I a i , 1 Ы могут быть определены по графику формы выходного сигнала, построение которого было показано на рис. 135. На рис. 143, а приведена типичная форма выходного сигнала, например, триодной схемы, возникающая из-за различия коэффициентов усиления в положительный и отрицательный полупериоды изменения входно- •мам го сигнала. Как следует из рис. 143, б, в рассматриваемом выходном сигнале можно учитывать лишь вторую гармоническую составляющую «о = 'ср + h m sin 0it + + / 2 Ш cos 2ш/. (6-21) В уравнении (6-21) имеется три неизвестных г'ср, Л т и тД л я их определения необходимо составить три независимых уравнения. Это удобно сделать, Рис. 143. График искаженного выходпользуясь выходной динамиче- ного сигнала при наличии второй гарской характеристикой схемы монической составляющей. (рис. 144). При этом полагаем, что известно ее начальное смещение из-за неравенства iQ Ф icp (рис. 137, б) и отсчет переменных составляющих ведется от точки При этом входной сигнал xi = х0 + 2/S.x sin (at, где jf0' — начальное смещение прибора; чение переменной составляющей. В моменты времени t = 0, 2Ах — амплитудное (6-22) зна- ... в соответствии с фор- мулой (6-22) входной сигнал xi — х0 + 2Ах\ л:0; х0 — 2Ах; ... и изображающая точка смещается вдоль линии нагрузки переменному току в положения Q2, А И В (рис. 144). На основании рис. 144, с одной стороны, и уравнения (6-21), с другой, для указанных моментов времени можно записать: г 02 — 1ср + (6-23) ^макс ^ 'ср I im ^2т» (6-24) 'мин ~ 'ср I\т 1цп' (6-25) Решая эти уравнения, получим: , Mm __ 'макс г» 'мин . , (6-26) 12т = ср = 2 9 ' ' 'ма4кс - р 'макс 4 'мин ; ' мин • (6-27) 0 0\ (о-^й) Значения г макс , /МИн и г'<эг легко определяются по графику рис. 144. Следует заметить, что выходной ток достигает значения 1(2, с задержкой на 1 / 4 периода после значения г' м а ксВыше предполагалось, что положение смещенной линии нагрузки переменному току схемы известно. Но для этого необходимо знать величину г'ср, чтобы построить С^ (рис. 137, б). Поэтому при Рис. 144. К определению нелинейных искажений выходного тока по статическим обобщенным характеристикам. Рис. 145. График искаженного выходного сигнала при наличии третьей гармонической составляющей. расчетах применяется метод последовательного приближения: вначале полагаем, что линия нагрузки переменному току проходит через точку покоя Q (рис. 137, б), а затем в результате вычислений вносим поправки, корректирующие ее положение. Рассмотренный метод гармонического анализа колебаний первого рода применим к выходным сигналам с любым числом гармонических составляющих. Например, для симметрично искаженного сигнала (рис. 145, а) на основании рис. 145, б и уравнения (6-20) можно записать «о = J'cp + l l m sin соt -f- I 3 m sin Зсо/. (6-29) Д л я нахождения неизвестных г'ср, 1\ т , /3 т записываются три уравнения, соответствующие моментам времени / = 0, -^Д-, При этом в соответствии с выражением (6-22) входной сигнал xt = л:0 + Ах, х0 + 2Ах, а изображающая точка из положения Q сместится вдоль линии нагрузки переменному току в точки С и А (рис. 144). На основании уравнения (6-29) и графика ленных моментов времени можно записать !q, = рис. 144 для выде- гср; (6-30) '* = *ср + - f - + h™ (6-31) ' с р 4 " 11т — А)иг 'макс = (6-32) Решая эти уравнения, получим 11т= 2 /з „ = 'X~'T~'Q' ; (6-33) • <6"34> Если искажения в электронной схеме обусловливаются одновременно наличием второй и третьей гармоник, что характерно для пентодных и транзисторных усилительных звеньев, то 10 = / ср + / 1 ш sin (оt + / 2 т cos 2wt + I3m sin 3(ot. (6-35) л зх я 7я Ззх В моменты времени t = -g^-, "2^-, -g^- и изображающая точка прибора находится в точках С, A, Q2, D и В выходной динамической характеристики (рис. 144), для которых в соответствии с (6-22) входной сигнал x i = хо + А + л;0, л;0 — Дх, лг0 — 2Лл:. На основании выражения (6-35) и рис. 144 для выбранных моментов времени можно записать: i , = icp + - t f - + - ! f - + /а™; 'макс = 'ср + / im ^2 т 'Q, = 'ср + /2т; і у = 'ср — 2*" (6-36) I ат> (6-38) ' 3 '"' !F = 'мин 'ср I im m ^ЗшВычитая попарно (6-37) и (6-40), (6-36) и (6-39), получим 'макс 'Л: 'мин — 2 / 'У = AM Н (6-37) (6-39) (6-40) 2/Зт, - 2/ЗШ, откуда , г /1т = 'макс _ 'макс ~~ 'мин 'Зт — 'мин "Г '* з g ^ (Ij- — '# /с л і \ (6-41) • Ô-IZJ Уравнение (6-38) используется наряду с (6-27) для коррекции положения выходной характеристики. Нелинейные искажения в электронной схеме принято характеризовать коэффициентом нелинейности v== V > г[/ vl + vl + v* + ...t = (6 . 43) I — коэффициент нелинейности по г'-и гармонике. ' 1т В соответствии с выражениями (6-27) и (6-26), с одной стороны, и (6-42) и (6-41), с другой, для наиболее важных коэффициентов нелинейности по второй и третьей гармоникам можно записать: где v£ = v3 = V2= 2 1 -n 2 'макс ~~ 'мин ( ' * ~ ~ 'У) У> ; : — і ; . • 1 ' м аакксс — 'мнн 'мин ' ' * У z ' з ' " " " ^'мако ; . (6-44) 'мин' .rv (6-45) Общая выходная мощность переменного сигнала Р2 определяется суммой мощностей каждой гармонической составляющей + (6-46) где /?0 — сопротивление нагрузки переменному току. Колебательная полезная мощность Р-2 — /Т/?0, передаваемая основной гармонической составляющей в нагрузку, должна учитываться в выражении (6-12) при определении к. п. д. схемы. Как видно из рис. 144, отрезки выходной динамической характеристики а, Ь, с, сі пропорциональны выбранным приращениям выходного тока: ^ _ 1 . туБіпф ' 'макс С)г £ _ '<?г — 'мни . т.БІпф * (6-47) с = пі/ * sin . 41ф ; d = т , sin ф Используя выражения (6-47), (6-44) и (6-45), можно определить частные коэффициенты нелинейности v2 и v 3 непосредственно через участки выходной динамической характеристики, что в ряде случаев является более удобным и экономичным: vJ, = ' 2 {a + а ' )b-+2 с( l-{-Vd) • (6-49) Коэффициент нелинейных искажений, как и выходная колебательная мощность, при заданном сигнале возбуждения зависит от сопротивления нагрузки R 0 , определяющего наклон выходной динамической характеристики. В транзисторных схемах искажения зависят также от сопротивления источника сигнала влияющего на линейность полной динамической управляющей характеристики. В этом случае построением, аналогичным построению при определении полного коэффициента усиления напряжения схемы (рис. 142, б), находят значения входных токов 1"б/ (параметра х семейства выходных характеристик), соответствующие при известном /?и изменениям напряжения источника сигнала на заданные величины где Ест — амплитудное значение напряжения возбуждения. После этого расчет в плоскости выходных характеристик ведется по обычной методике. Д л я анализа нелинейных искажений, возникающих в электронной схеме, можно также использовать запись выходного тока / 0 в окрестности точки покоя в виде ряда Тэйлора, т. е. относительно приращения входного сигнала Ах: (6-50) i0 = к, + ai (bx) + а2 (Ах) 2 + а3 ( A x f + . . . где Ах — хі — А:0; Х0 — начальное смещение. Если в выражении (6-50) Ах = 0, то і0 = При наличии переменного сигнала среднее значение выходного тока г'ср равно сумме тока покоя і<г, и постоянных составляющих остальных членов ряда (6-50). Анализ нелинейных искажений таким методом более общий, позволяющий оценить искажения выходного сигнала в случае, если входной сигнал содержит несколько частотных составляющих. Коэффициенты аі могут быть подсчитаны подстановкой в выражение (6-50) значений і0 и Ах, определяемых по выходной динамической характеристике. С этой целью записывают и решают по координатам точек этой характеристики столько уравнений, сколько членов в (6-50) учитываются при аппроксимации. Предположим, что в первом приближении зависимость і 0 — = / ( А х ) может быть аппроксимирована квадратичной параболой г 'о = 1<г, + ахАх + а2 (Ал:)2. (6-51) Если входной сигнал схемы синусоидальный xL = х0 + Ах sin то в соответствии с этим выражением at, а (Ах)'2 'о = г'сг. + fliA.v sin (at + g (1 — cos 2ю/) = = tQ, + сигнале ^ +появляется «іА-v sin (at—a ^ гармоника - cos 20it, и изме(6-52) 2 или в выходном вторая няется постоянная составляющая. Если входной сигнал содержит две xl = х0 - F S.xx sin частотные составляющие + АЛ'2 sin a2t, то на основании выражения (6-51) после известных тригонометрических преобразований получим 'о — '<?. + ~2 ( ^ 1 + + a i (A-V'i s ' n + s n ' ®г0 — — Y (Дл-f cos 2(oJ + A.v2 cos 2w 2 t) -j- a2AxxAx2 [cos (<o1 — a2)t — — cos ((Oj -f co2) /]. (6-53) Из выражения (6-53) следует, что вследствие нелинейности усилительного элемента в выходном токе, помимо основных и вторых гармонических составляющих, появляются составляющие комбинационных частот, представляющие собой сумму и разность частот, входящих в состав входного напряжения. Если аппроксимирующий полином содержит члены более высокого порядка, чем уравнение (6-51), спектральная структура выходного тока еще более усложнится. Составляющие комбинационных частот определяют перекрестные искажения схемы. Если в усилительных устройствах нелинейные и перекрестные искажения нежелательны, то в устройствах, предназначенных, например, для умножения и преобразования частоты, модуляции и детектирования колебаний, эти искажения принципиально необходимы для того, чтобы электронная схема отвечала своему назначению. Учет нелинейности характеристик электронных приборов всегда усложняет анализ электронных схем. Поэтому там, где принципиально возможно по условиям работы прибора, стремятся остаться в рамках линейного приближения. Линеаризация характеристик электронных приборов и обусловленная ею возможность аналитического анализа динамического режима схем допустима в той части рабочей области характеристик, где параметры прибора остаются примерно постоянными. Это условие выполняется для лампово-транзисторных усилительных звеньев с малым уровнем входного сигнала, аналитические методы анализа которых подробно рассмотрены в третьем разделе книги. Графические методы анализа динамического режима схемы, рассмотренные выше, могут быть использованы всегда, но особенно они эффективны при анализе усилительных звеньев со средним и большим уровнем сигнала. § 4. Определение токов и напряжений в режиме колебаний второго рода Режим колебаний второго рода является существенно нелинейным: усилительный элемент, работающий в этом режиме, вносит при усилении большие нелинейные искажения, так как вы- ходной ток прибора в течение части периода изменения входного сигнала равен нулю. На рис. 146, а и б для рассматриваемого режима с помощью управляющей динамической характеристики схемы построены графики выходного тока. В качестве величины, характеризующей форму выходного сигнала усилительного звена, удобно использовать угол отсечки 9, определяемый как половина той части периода (выраженного в градусах), в течение которого протекает ток. При колебаниях первого Рис. 146. Форма выходного сигнала схемы: А — в режиме усиления класса В ; б — в режиме усиления класса С. рода (класс усиления А) 0 = 180°; при колебаниях второго рода 6 < 180°. В усилительной технике принята более подробная классификация режимов колебаний второго рода: а) класс усиления В, соответствующий 6 = 90°. При этом режиме выходной ток протекает в течение половины периода изменения входного сигнала (рис. 146, а); б) класс усиления АВ, промежуточный между режимами А и В, в этом режиме 90° < 0 < 180°; в) класс усиления С, при котором выходной ток протекает в течение времени, меньшего половины периода изменения входного сигнала. В режиме С 0 < 90° (рис. 146, б). Основная характеристика режима колебаний второго рода — экономичность, которую оценивают величиной к. п. д. т). Как правило, с уменьшением угла отсечки увеличиваются нелинейные искажения, но одновременно растут ri и полезная мощность, отдаваемая электронным прибором (лампой или транзистором) в нагрузку. Этим и определяется выбор класса режима работы электронного прибора. В мощных ламповых усилительных звеньях для более полного использования ламп применяют режимы, при которых в течение некоторой части периода напряжение на управляющей сетке становится положительным, т. е. появляются сеточные токи. При работе с сеточными токами условное обозначение режима сопровождается индексом 2 (например. В 2 ), при отсутствии сеточных токов — индексом 1 (например, Л В , ) . В режимах с токами сетки используются входные (сеточные) характеристики лампы, на которых, как и для транзистора, строится линия входной нагрузки. При положительных сеточных потенциалах на величину анодного тока существенно влияет подключенное к сетке лампы сопротивление Д л я сравнения на рис. 147, а приведены динамические управляющие характеристики схемы для двух случаев: /?н = О Рис. 147. Характеристики лампы с сеточными токами: а — анодно-сеточные; б — входные. и ф 0. При конечном в области положительных сеточных напряжений анодная динамическая характеристика схемы становится более плоской вследствие падения напряжения, создаваемого сеточным током на сопротивлении сеточное смещение ис, а вместе с ним и анодный ток будут меньше, чем при = 0. Рис. 148. Построение динамической сеточной характеристики триода по его анодным и сеточно-анодным характеристикам. На величину сеточного тока лампы влияет и величина анодной нагрузки, так как в динамическом режиме она определяет изменение анодного напряжения (рис. 147, б). С ростом сеточный ток лампы возрастает благодаря происходящему в лампе токораспределению между анодом и сеткой. Зависимость г'с = / (ис) при ф О соответствует динамической сеточной (входной) характеристике. Она может быть построена с помощью семейств выходных и сеточноанодных характеристик. Построение выполняется следующим образом. По заданным значениям Еа и строят линию нагрузки МЫ на плоскости анод- ных характеристик (рис. 148, а). Точки а, Ь, с, ... пересечения построенной линии и анодных характеристик определяют установившиеся значения сеточного смещения « с /, пользуясь которыми по сеточно-анодным характеристикам находят сеточные токи гс/(точки а', Ь', с', ...). Зная значения сеточных напряжений ыс;и токов ici, строят входную динамическую характеристику лампы (рис. 148, б). Положение точки покоя Q, как и для транзистора, определяется точкой пересечения входной динамической характеристики и линии входной нагрузки CD, проведенной под углом , т и из точки, лежащей на оси напряжений и имеющей координату, равную напряжению источника возбуждения ес. По аналогии с рис. 123 и 142, б можно построить полную управляющую динамическую и входную Рис. 149. Построение временных завихарактеристики лампы га = / (ес) симостей анодного и сеточных токов. и гс = ф (ес). Д л я этого из точек входной динамической характеристики а", Ь", с", ... проводятся линии, параллельные линии входной нагрузки CD, до пересечения с осью напряжений. По точкам пересечения находят значения е с /, соответствующие значениям га/ и г'с/, которые определяются в точках а, Ь, с, ... и а', Ь', с', ..., рис. 148, а. На рис. 149 методом, изложенным в § 1 настоящей главы, по динамическим характеристикам i a = f (ес) и i c = ф (ес) построены временные зависимости анодного и сеточного токов в режиме усиления класса АВ2. Сплошные линии относятся к случаю, когда RH = 0, а штриховые — когда R» ф 0. Из рисунка видно, что при работе с токами сетки подключение к сетке сопротивления приводит к «уплощению» верхней полуволны анодного тока. В результате нелинейные искажения увеличиваются, а амплитуда переменной составляющей анодного тока падает. Поэтому в мощных усилительных звеньях связь с предыдущей ступенью усиления делается трансформаторного типа. В этом случае приведенное ко входу усилительного звена выходное сопротивление предыдущей ступени оказывается меньшим, чем сопротивление проводящего промежутка сетка — катод /?1С, т. е. выполняется неравенство Ric Ru. На рис. 150, а приведено построение кривой зависимости выходного тока от времени для схемы, работающей в режиме усиления класса В. Выходной ток (анодный или коллекторный) не гзэ содержит высших нечетных гармоник (рис. 150, б) и разложение i0 в ряд Фурье имеет такой вид: і'о — 1SL „ 4. Т sin (Ot • Зя cos 2ш/ — (6-54) где /„, — амплитуда импульса выходного тока. Среднее значение выходного тока за период изменения входного сигнала «ср = - т г . (6-55) I,msinat I\ -І—Ї- - Л I \ ! л V л і(\\/\ v \\W \ ' І' ЛI \^ \ 'і \ / Um Н Рис. 150. К определению коэффициента нелинейности схемы в режиме усиления класса В: о — о с ц и л л о г р а м м ы и м п у л ь с о в анодного тока; б — их г а р м о н и ч е с к и е составляющие. поэтому потребляемая схемой МОЩНОСТЬ /5оо=-^, (6-56) где Еи — координата точки покоя Q на оси напряжений. Выходная колебательная мощность р 2- /imU\m 2 /mt/„ (6-57) Если принять, ЧТО Ulm С £ 0 , то к. п. д. схемы в данном режиме л = - £ - < 4 = 0.78. (6-58) Значение г], близкое к предельному (6-58), практически реализуется в схемах на пентодах и транзисторах, а также на триодах, работающих в режиме с сеточными токами. Мощность, получаемая от усилительного звена, обычно ограничивается мощностью рассеяния на аноде или коллекторе прибора, при этом Р0 = Ро0 — Р3. Р Но, с другой стороны, Ро0= — , поэтому или (6-59) 1 — Т| Так как коэффициент 1] в режиме усиления класса В выше, чем в режиме усиления класса А, то выходная мощность больше. Например, для триодного усилительного звена в режиме усиления р класса А1 (т] = 0,25) выходная мощность Р2 = -у-, а в режиме 2 усиления класса В (г] = 0,75) Р2 = 3Р 0 . Следует отметить, что увеличение выходной мощности достигается не просто изменением напряжения смещения электронного прибора, а и за счет увеличения входного сигнала (его раскачки). § 5. Двухтактная схема в режимах усиления класса В и АВ Об увеличении нелинейных искажений в схеме при переходе от режима усиления класса А к режиму усиления класса В можно судить по частному коэффициенту нелинейных искажений, равному в соответствии с (6-54) '»т 21т • 2 V, = 0,424. "2 ~~ ~ Зя/„ Зл Л Поэтому режим усиления класса В обычно применяется в двухтактных схемах усиления (рис. 151), в которых нелинейные ис- Рис. 151. Двухтактные схемы мощных усилителей: с — на лампах; б — на транзисторах. кажения выходного сигнала благодаря принципу работы схемы существенно уменьшаются. Лампы Л i и Л 2 должны быть одного типа и по возможности с одинаковыми параметрами (рис. 151, а). Аналогичное требование предъявляется к транзисторам 7 \ и Т2 (рис. 151, б). Дальнейшее изложение ведется применительно к ламповой схеме, но все сказанное ниже справедливо и для схемы на транзисторах. Анодный ток каждой лампы на основании уравнения (6-35) в общем случае может быть представлен рядом Фурье типа 'а = <ср + hm sin со/ -f I 2 m COS 2со/ + I 3 m Sin 3(0/ — ' • • (6-60) Входное напряжение схемы Де с = (6-61) sin (dt создает на сетках ламп и Л2 противофазные напряжения возбуждения Д«! = U sin со/; І Ди 2 — U sin (at + я), J так как вывод от средней точки вторичной обмотки входного трансформатора Тр\ по переменной составляющей заземлен. Вследствие полной симметрии схемы анодные токи t a , и іа„ создаваемые напряжениями иСі и иСг, имеют одну и ту же форму и сдвинуты во времени на полпериода (рис. 152, а и б). Поскольку направления этих токов в половинках первичной обмотки выходного трансформатора Тр2 противоположны, то магнитодвижущая сила (м. д. е.), действующая в трансформаторе, пропорциональна их разности о k (га, — г'а,). Если используется линейный участок кривой намагничивания, то выходное напряжение U 2 пропорционально ампер-виткам в обмотке, т. е. U2 = k2 ('а, 'а*)В связи с этим для описания работы двухРис. 152. Осциллограммы тактной схемы усиления вводится понятие токов в двухтактной схео разностном выходном токе Л Л Л Л Л Л Л Л h = 'а, — 'а,. (6-63) Однако через источник питания Е0 проходит суммарный выходной ток <0 = 'а, + г'аг. (6-64) С учетом формул (6-60) и (6-61) для разностного и суммарного токов получим выражения: i2 — 2 (IUn sin сat + I3m sin 3cot -f • • •); (6-65) i 0 = 2 (iCp + hm COS 2co/ + • • •). (6-66) Из выражения (6-65) следует, что в разностном выходном токе отсутствует постоянная составляющая и четные гармоники, в результате чего коэффициент нелинейности существенно снижается. Осциллограммы токов i2 и / 0 приведены на рис. 152, в и г. Вследствие нелинейности статических анодных и коллекторных характеристик в области малых токов в режиме класса В, когда напряжение смещения на электронном приборе выбрано точно равным напряжению запирания, коэффициент нелинейности двухтактной схемы не равен нулю. Д л я дальнейшего его уменьше- ния изменяют напряжение смещения на электронных приборах (рис. 153, а и б). Нужную величину смещения ысм получают по точке пересечения продолжения сравнительно линейной части анодносеточной ламповой характеристики (рис. 153, а) или входной характеристики транзистора (рис. 153, б) с осью напряжений. При указанном выборе смещения режим ламп или транзисторов относится к режиму усиления класса АВ. В этом случае к. п. д. уменьшается в сравнении с режимом усиления класса В, но по-прежнему намного превосходит значение і] для режима усилений класса А. Рис. 153. К выбору напряжения смещения в двухтактной схеме. Анализировать работу двухтактной схемы в режимах усиления классов А В и А удобнее графическим методом по статико-динамическим характеристикам разностного тока, которые строятся на основании выходных (анодных и коллекторных) характеристик используемых приборов. На рис. 154 приведено построение для ламповой двухтактной схемы усиления. Разностные характеристики строятся по сдвоенному семейству анодных характеристик ламп (например, 6ПЗС в триодном включении), при этом семейство Л2 представляет собой зеркальное отображение семейства Л і , сдвинутое на 180°. Сопряжение характеристик проводится так, чтобы точки покоя Qi и Q2 обеих ламп лежали на одной вертикальной линии, а анодное напряжение в режиме покоя и„0 1 и и. 0 2 совпадало. При подаче на вход схемы (рис. 151, а) сигнала возбуждения мгновенное напряжение на сетке первой лампы увеличивается «с, = «см + A"i. а на второй — уменьшается "с а = «см — А иг, причем в каждый момент времени сумма мгновенных напряжений на сетках обеих ламп равна удвоенному напряжению смещения «с, + «с 2 = 2 « с м . (6-67) Уменьшение анодного напряжения на одной из ламп сопровождается увеличением напряжения на другой (рис. 154). Характеристику разностного тока строят графическим вычитанием ординат токов и ia двух сопряженных статических характеристик. Разностную характеристику для нулевого сигнала возбуждения U — 0 получают вычитанием ординат статических характеристик, соответствующих одинаковому смещению обеих ламп иси = —30 в. Аналогично, вычитая ординаты характеристик при напряжении смещения первой лампы « Ci = —15 в; 0 в; — 45 в; —60 в и второй лампы иСг = —45 в; —60 в; —15 в; 0 в, получим разностные характеристики для входного сигнала U — 15 в; 30 в; —15 «; —30 в. Полученное семейство разностных характеристик показано на рис. 154 штриховыми линиями. На плоскости семейства разностных характеристик строится линия нагрузки тп двухтактной схемы (ее выходная динамическая характеристика), проходящая через точку покоя двухтактной схемы Q, лежащую на оси напряжений, под наклоном а = arctg где R„ miRa RH — (6-68) сопротивле- ние нагрузки, приведенное к по0<а2,м ловине первичной обмотки выходний 500 40С J00 200 100 ного трансформатора (рис. 151, а). Рис. 154. Построение семейства стаПо этим характеристикам при затико-динамических характеристик данном входном сигнале опредеразностного тока двухтактной схеi x t іуі з заляют токи iv мы. тем по формулам (6-12), (6-44), (6-45) рассчитывают выходную мощность и коэффициент нелинейности схемы в целом. Режим же работы каждой лампы схемы определяется по ее индивидуальной выходной динамической характеристике. Точки этой характеристики можно получить, если перенести по вертикали на соответствующие анодные характеристики лампы точки пересечения линии нагрузки схемы тп с разностными характеристиками (точки а, Ь и с, рис. 154). В частности, по индивидуальным линиям нагрузки ламп тк и 1п определяется средний потребляемый ток іср = г'а0 + Дга, с помощью которого оценивается к. п. д. п двухтактной схемы. Следует отметить, что наклон характеристики разностного тока больше, чем наклон статической характеристики каждой лампы в точках покоя Сії и Можно показать, что в режиме усиления класса А угол наклона разностной характеристики где — внутреннее сопротивление лампы схемы. Если при регулировке начального смещения ламп схемы их режим сдвигается в сторону классов АВ и В, наклон разностной характеристики возрастает, стремясь к 1 /Rt, так как при больших сеточных смещениях разностная характеристика сливается с сопряженными. Поэтому в режиме класса В отпадает необходимость в построении семейства характеристик разностного тока, и работа двухтактной схемы анализируется по статическим характеристикам одной лампы. Описанная методика построения разностных характеристик и сделанные замечания относято I и,к ся и к транзисторным двухтактРис. 155. Линия нагрузки двухтактным схемам. Как и ранее, одного ной схемы в режиме класса В. семейства коллекторных характеристик достаточно для анализа работы схемы в режиме АВ, близком к В. На рис. 155 построены линии нагрузки всей схемы тп и одного транзистора ті, по которым анализируется работа двухтактной схемы в течение полупериода изменения ее выходного сигнала. При этом полагают, что оба полупериода совершенно одинаковы. § 6. Усилительная схема в режиме усиления класса С Режим усиления класса С, характеризуемый значительным коэффициентом нелинейности, не пригоден для обычных однотактных и двухтактных мощных усилителей низкой частоты с омической нагрузкой. Он широко используется в однотактных и двухтактных чь-< - с/т а о ^ Н т : Рис. 156. Усилительные звенья с избирательной нагрузкой: а — на лампе; б — на транзисторе. мощных усилительных звеньях высокой частоты (рис. 156, а, б). Н а выходе этих звеньев имеется колебательный контур, поэтому происходит эффективная фильтрация всех высших гармоник. В режиме усиления класса С напряжение смещения электронного прибора устанавливается еще более высоким, чем в режиме усиления класса В, поэтому прибор отпирается только при определенной величине амплитуды входного сигнала и угол отсечки 9 оказывается меньше 90° (см. рис. 146, б). В то же время благодаря избирательным свойствам колебательного контура, настроенного на частоту сигнала возбуждения, анодное или коллекторное напряжение изменяется по синусоидальному закону. При этом между входным и выходным напряжениями схем с общим катодом или эмиттером устанавливается сдвиг по фазе 180°. Осциллограммы токов и напряжений для ламповой схемы в режиме усиления класса С приведены на рис. 157, а. Обычно схема работает с сеточными ! 1 i | i^л . t N— М 1 1 !/->J 1 / V <с гЛ<с а \щ 2в, Рис. 157. Осциллограммы напряжений и токов электронной схемы в режиме класса С. токами, причем максимальный положительный сеточный потенциал минимальному анодному « а . мин (условие критического режима работы). На рис. 157, б приведены кривые зависимости формы анодного тока от соотношения между г/с. макс и и3. мин . Если потенциал сетки превышает потенциал анода ис. м а к с > « а . мин, то из-за происходящего в лампе токораспределения ток сетки возрастает, а анодный ток падает (кривая 1 с провалом на рис. 157, б, соответствующая перенапряженному режиму работы). При выполнении условия « с . „ а к с < « а . мин ИСКЭЖеНИЯ ИМПуЛЬСЭ ЭНОДНОГО Т О К Э будут незначительными (кривая 3, соответствующая недонапряженному режиму работы). Методика графического расчета режима усиления С существенно отличается от рассмотренных выше, так как при ис. макс>- "а. мин линейная зависимость между входным сигналом и анодным током не соблюдается. В расчете нужно учитывать форму импульсов анодного и сеточных токов, по которым, пользуясь методом графического интегрирования и преобразованием Фурье, находят средние и основные гармонические составляющие га.Ср, t с.ср И / а 1 т , /elm- П о известным средним составляющим токов /а.Ср, гс.ср определяют мощности Ро0 и Рс, потребляемые от источников сеточного и анодного питания, а по основным гармоническим составляющим / а \ т , / с \ т — « с . макс равен мощность сигнала возбуждения P t и выходную колебательную мощность Р2. Действительную форму анодного и сеточного токов удобно определять по характеристикам постоянного тока лампы ис = —Î ("а). га — const, ic — const. Как указывалось в гл. 4, характеристики постоянного тока типа u 6 = f(u K ), iK = const, і б = const приводятся и для транзисторов. В обоих случаях такие характеристики могут быть построены по семействам входных и выходных характеристик электронного прибора. Расчет схемы в режиме усиления класса С начинается с построения на плоскости характеристик постоянного тока точки покоя Q (рис. 158). Например, она может быть выбрана при £ а = 2000 в и «см = —370 в, при этом напряжение смещения «см по абсолютной величине вдвое превосходит напряжение запирания лампы « з а п = —185 в (рис. 158). Ниже будет показано, что к. п. д схемы г) возрастает с увеличением и з а п Вторая точка на плоскости характеристик выбирается на линии Od, проведенной с учетом условия равенства 1000 2000 иa, в при критическом режиме работы макРис. 158. Метод графического анализа симального сеточного и минимального схемы в режиме класса С по семейству анодного напряжений. Например, для характеристик постоянного тока. точки а справедливо н с . м а к с = и а . м и н = = 200 в. При указанном выборе точки а амплитудные изменения сеточного и анодного напряжений соответственно: и сш = I "см I + «с. м а к с = 370 + 200 = 570 (6-70) Uaim = £ а - "а.мин = 2 0 0 0 ~ 2 0 0 = 1 8 0 0 (6"71) Так как анодное и сеточное напряжения сдвинуты на 180°, то геометрическимместом точек зависимости ис = / (и а ) будет прямая линия, соединяющая точки Q и а. Пользуясь этой линией, для заданных значений входного напряжения «с находят соответствующие значения анодного и сеточного токов (а также тока экранирующей сетки для тетрода и пентода), по которым можно построить графики изменения токов во времени. Отмечая точку пересечения с линии aQ со статической характеристикой, соответствующей ia = 0, находим, что импульс анодного тока начинается в момент времени, когда полное анодное напряжение достигает значения иа = 1150 в, или когда его переменная составляющая и а = иа1т cos 6j = Еа — «а = 2 000 — 1150 = 850 в, (6-72) так как точка a на характеристиках (рис. 158) соответствует моменту максимума анодного тока. Угол отсечки 6, анодного тока находится из выражения (6-72) с учетом формулы (6-71) Єі = а Г С С 0 5 ^ = а Г С С 0 5 * = 620- Таблица Значение токов и напряжений усилителя в режиме усиления класса С 22 Фазовый угол Є. ° Сеточное напряжение ис,в Анодное напряжение иа, в Анодный ток • а. ма Сеточный ток <с, ма 0 10 20 30 40 50 60 63 200 190 165 106 68 —3 —85 —91 200 230 310 440 620 840 1100 1190 460 450 415 350 230 120 10 0 110 95 75 35 10 0 0 0 Точка пересечения Ь со статической характеристикой, снятой при ( с = 0, соответствует моменту появления сеточного тока. При этом -U, 1 mcos 0 2 = Е а — и_ = 2000 — 830 = 1170 в. Ua (6-73) откуда 0., = arccos 'о.'с. на 400 300 300 f " N // \\ / \Л І • \ _ /Г О1 „ •60° 30° 60° 1170 1800 = 49.5°. Угол отсечки сеточного тока 02 может быть также найден по известным напряжению смещения исм = —370 в и амплитуде сеточного напряжения и с 1 т = 570 в „„ 370 = 49,5°. (6-74) 0, = arccos "см 570 и.elm Определение угла отсечки анодного тока 0 t через параметры сеточного контура затрудняется тем, что напряжение запирания лампы u 3 i n зависит от мгновенного значения анодного напряжения. Например, по характеристикам (рис. 158) получаем, что при ия — Ел — 2000 в и з а п = = —185 в, а при ua = 1150 в (точка с) напряжение запирания и з а п = —95 в. Выбирая, как и раньше, точку а, соотВеТСТВуЮЩуЮ "с.МЭКС и 0,, 02 = 0, за начало от- Рис. 159. Графики анодного и сеточного токов (о) и разбиение площади под кривой на элементарные участки при графическом интегрировании (б). счета, можно, пользуясь линией аСнайти значения токов и напряжений для любых значений фазового угла 0. С этой целью вводятся интервалы приращения угла Д0 = 10°, для которых определяются сеточные напряжения "с, = исм+IIсШсс& (лДв). (6-75) где п = 0, 1, 2, Пользуясь линией а(2, по известным и с ; находят значения анодного и сеточного токов и анодного напряжения (табл. 22). Осциллограммы токов приведены на рис. 159, а. Постоянная составляющая анодного тока находится из выражения л 'а.ср = - ^ - $ ^ 9 - (6-76) —я Необходимая операция интегрирования может быть выполнена графическим методом. Как известно, интеграл от функции у = = ! (х) в пределах от а до р, или площадь под кривой функции (рис. 159, б) вычисляется по приближенной трапецеидальной формуле 3 / ^У(1х^Ах{^-+у3 + уа+ . . . +уп-1 (6-77) где Ах — шаг разбиения. я Учитывая, что Д0 = 10° = -уд рад, и пользуясь формулой (6-77), находим л ^ = + / а 2 + • • • + /а7 + , (6-78) о где 1 а1 , / а 2 , ... — значения анодного тока из табл. 22. Так как при принятой выше косинусоидальной симметрии импульса анодного тока его площадь от —я до 0 равна площади от 0 до я , то выражение (6-76) приводится к виду 'а.ср«2 1 1а2 + + (6-79) Если подставить в (6-79) значения ординат тока из табл. 22, получим 'а.ср = 1 0 0 МаСовершенно аналогично определяется среднее значение сеточного тока «с с р , равное, с учетом данных табл. 22, 15 ма. Основная гармоническая дится из выражения составляющая анодного тока нахо- я /aIm = - L j i a COS 0 d 9 . —я (6-80) Учитывая выбор начала отсчета, получаем я / a l m = 4Я kJ COS №. (6-81) Следовательно, 2 „ [ <• 1 cos 0° -^"2 + /a2COsl0o + I a 3 C O S 2 0 o + ••• + i _ cos (Юл — 10)° 1 ta(n-l) cos (Юл — 20)° -|—— \ j- (6-82) Аналогично определяется основная гармоническая щая сеточного тока / с \ т . составляю- Используя значения табл. 22, получим / а 1 т = 180 ма и / с1 „, = 28,5 ма. Пользуясь вычисленными значениями напряжений и токов, можно провести энергетический расчет схемы, работающей в режиме усиления класса С. Мощность, потребляемая от источника анодного питания, Р (б" 83 ) оо = ^а'а.ср, а для рассматриваемого примера Ро0 = 2000 • 0,1 = 200 вт. Можно найти сопротивление нагрузки (колебательного контура) на частоте резонанса, или частоте основной гармонической составляющей, Выходная колебательная мощность схемы Рп 2 — и âlm'alm а\,п'а\т 2 1 8 0 0 • u,io 0,18 юии . am 162 в т . = ~~ or. (О-СЭ) 2 Мощность, рассеиваемая анодом лампы, Р а = Ро0 — Р 2 = 200 — 162 = 38 вт. (6-86) Коэффициент полезного действия схемы Из сравнения формул (6-87) и (6-58) следует, что реализуемый коэффициент т) в режиме усиления класса С выше, чем максимально возможный в режиме усиления класса В. Эквивалентное входное сопротивление Мощность, потребляемая от источника входного сигнала, п 1 = и с\т1с1т 2 Р = 570 • 0,0285 = 2 . . вт , , я „. " Мощность, потребляемая от источника сеточного смещения, Рс = «см'с. с р = 370 • 15 10~ 3 = 5,6 вт. (6-90) Если же в схеме используется цепочка сеточного автоматического смещения (см. рис. 104, в и г), то мощность, потребляемая от источника входного сигнала, я л р = \ J'c^clmCOsOde. (6-91) —л —л Полагая для упрощения, что cos 02 да 1, так как импульс сеточного тока сравнительно короток, получим = 4 г П II п elm j icd0 = UQlmi^ 2n —я cp. (6-92) Для рассматриваемого примера Р в х = 5 7 0 • 15 • Ю - 3 = 8 , 5 5 вт. Часть этой мощности расходуется для заряда емкости цепочки автосмещения Pc = "см'с.ср = 3 7 0 • 15 • 1 0 ~ 3 = 5 , 6 вт, при этом сопротивление, подключенное к сетке, выбирают из условия Rc = Л и - = 'с.ср 3 7 0 = 2 4 , 6 . 10 3 ом. (6-93) 15 • Ю - 3 Остальная часть потребляемой мощности К р в х — Рс= 8 , 5 5 — 5 , 6 = 3 вт рассеивается сеткой лампы. Коэффициент усиления мощности схемы Рассмотренный выше пример иллюстрировал методику расчета мощных усилителей, работающих в режиме класса С. Если изменяется смещение лампы или величина входного сигнала, весь расчет повторяется. Оптимальное решение обычно находится методом последовательных приближений. При расчетах с семейством характеристик постоянного тока предполагалось, что входное и выходное напряжения схемы имеют синусоидальную форму. Это положение справедливо лишь в том случае, когда внутреннее сопротивление источника входного сигнала оказывается меньшим наименьшего значения входного сопротивления схемы Rte- Такое условие на практике часто не выполняется ни для транзисторных, ни для ламповых схем. Напряжение источника возбуждения ес и входные напряжения транзистора (например, по схеме с общим эмиттером) иб и электронной лампы ыс связаны известными соотношениями: ес = г'б^и + «б! (6-95) ec = icR„ + uc. (6-96) Д л я анализа электронной схемы нужны характеристики постоянного тока, определяемые зависимостями: ес = f1 (ик), iK = const, i6 = const; (6-97) ec = / 2 (и а ), t a = const, ic = const. (6-98) Последние строятся по справочным характеристикам постоянного тока типа u6 = q>1(uK), "с — ф2 ( " а ) . i ' K = const, 'а = const, i6 — const; (6-99) = COnst (6-100) l' c с учетом (6-95), (6-96). К а к следует из этих соотношений, модифицированные характеристики постоянного входного тока (базового і6 или сеточного г'с) сдвинуты относительно паспортных кривых вверх вдоль оси входных напряжений на величину і'б/?и или і с /? и . Одновременно с ними сдвигаются и характеристики постоянного выходного тока (коллекторного і к или анодного іа). При этом их положение относительно кривых входного тока сохраняется. Следовательно, переход от паспортных характеристик (6-99), (6-100) к расчетным (6-97), (6-98) сопровождается изменением масштаба по оси входных напряжений в соответствии с (6-95), (6-96). Возможен и аналитический подход к анализу схемы в режиме усиления класса С, если линеаризировать ее динамическую X г Од, и, .. а 80 б 120 160 в, град Рис. 160. Метод аналитического анализа схемы в режиме усиления класса С: а — л и н е а р и з о в а н н а я д и н а м и ч е с к а я х а р а к т е р и с т и к а ; б — графики коэффициентов а 0 , X в ф у н к ц и и у г л а отсечки 0. аи характеристику (рис. 160, а). При этом реальная форма импульса выходного тока (рис. 159, б) заменяется частью синусоиды. Из рис. 160, а видно, что соэ 9 = Ст • (6-101) Уравнение прямой ВС можно записать следующим образом: In = - где 1 Um-ue •{U в), m cos at —и "'т (6-102) и в = U m COS0. Поэтому выходной ток (анодный или коллекторный) l ° ~ / (cos (at — cos 0) 1 — cos 0 • (6-103) Коэффициенты разложения функции (6-103) в ряд Фурье находятся аналитически. Среднее значение тока (постоянная составляющая) 2я 9 b - r b f r m - L S " - * - ? " « * ) о о , в в / sine — е c o s e л (1 — cos 0) • ,с ,п.. (6"104) Вводя обозначение Sill G — 0COS0 л (1 — cos 6) ,г <6-105> ' где а 0 — безразмерный коэффициент среднего значения, щий лишь от 0 или cos 0, получим «сР = / а 0 . завися(6-106) Амплитудное значение основной гармоники л 1 Ш = J 0 ' о c o s ш w = 4 \ / ( с о ; _ ~ г е ) c o s ш ( б - 1 0 7 > —я Т. Є. hm = /QCj, где « 11 = 2 f Є — а0)г I 4 2 л- Т(1і — —=cos 9 1 1 J-sin29 s n т~ ' 20 = — И ЙГ4 І лт (1—cos Є) v( 6 - 1 0 8 ) ' безразмерный коэффициент первой гармоники. Можно, продолжая раскладывать в ряд Фурье функцию (6-103), найти вторую, третью и последующие гармонические составляющие, по которым, учитывая избирательную характеристику выходного контура, оценивают коэффициент нелинейности схемы. Коэффициенты а 0 , a i t ... получили название коэффициентов разложения Берга. Д л я примера на рис. 160, б приведены графики зависимости некоторых коэффициентов (а 0 и а^) от угла отсечки 0, которыми удобно пользоваться при приближенных расчетах схем. Линеаризованная динамическая характеристика схемы в режиме усиления класса С, по аналогии с характеристиками гл. 5, может характеризоваться некоторым приведенным параметром — крутизной S* = —п—. Um К а к следует из рис. 160, а и выражения (6-108), S = t/m-t/0= l / m ( l — COS0) ( і ' - c o s Є)' (6"109) откуда S * = S a 1 ( l — cos0) = ^ - . (6-110) Приведенная крутизна динамической характеристики лампы 5 * меняется с изменением угла отсечки тока 0, соответственно меняется и приведенное внутреннее сопротивление лампы = (6-11Ч> ^ так как коэффициент усиления лампы р. практически постоянная 1 величина. Кривая зависимости коэффициента "X = Ctj —^т,— = /(0) 1 ~~ COSm UJ нанесена на рис. 160, б. Как видно из рисунка, X — Rt/Ri = = S/S * оо при 0 -> 0 и уменьшается с ростом 0, доходя до 1 при 0 = 180°. При этом S* и R*i будут совпадать с обычными динамическими параметрами лампы S и R { . Оценим к. п. д. схемы, работающей в режиме усиления класса С. Потребляемая от источника питания мощность RoO — £()'cp> или с учетом (6-104) р Е£ я и _J i n e - ö c o s ^ . 1 — COS 0 6 1 1 2 ) 4 ' Выходная колебательная мощность схемы Я,2 -= 2 Если положить, что используется вся плоскость выходных характеристик и выходное напряжение схемы изменяется с амплитудой, равной величине напряжения источника питания, U\m COS COt — Е0 COS (öt, то с учетом выражения (1-107) можно записать «О = р _ EJ 2 0 - s i n 20 1 — cos 0 • (b-Ш) Следовательно, к. п. д. схемы Ц _ ~ Р2 _ Ро0 ~ 20 — sin 20 4 (sin 0 — 0 cos 0) • Если 0 = - ^ , схема работает в режиме усиления / f i l l л\ ' 114) класса В. В этом случае т] = я / 4 = 0,785, что совпадает с выражением (6-58). Если 0 0, то sin 20 20 и sin 0 0. Подставляя эти значения в (6-114) и раскрывая получающуюся неопределенность, находим lim и = 1. /с , i r \ е-о (6-115) Однако при 0 0 выходная мощность Р2 в соответствии с (6-114) стремится также к нулю. Поэтому на практике выбирают достаточно малые значения угла отсечки 0, при которых, с одной стороны, обеспечивается высокое значение коэффициента г), а с другой,— выделяется требуемая от схемы мощность Р2. Раздел третий ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ А Н А Л И З А ЭЛЕКТРОННЫХ С Х Е М Глава МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СХЕМ § 1. Введение С помощью линейных методов анализа можно определить переменные составляющие токов и напряжений на элементах электронных схем или получить функции схем относительно входов и выходов в предположении, что характеристики элементов в рабочей области достаточно близки к линейным. При этом принципиальные схемы предварительно упрощаются. Сопротивления источников постоянного напряжения часто можно считать равными нулю. В зависимости от частоты сигнала возбуждения можно пренебречь некоторыми реактивными элементами схемы (например, разделительной емкостью на высоких частотах, индуктивностью рассеяния трансформатора на низких частотах и т. д.). В связи с этим упрощенные схемы в различных частотных диапазонах принимают другой вид. Например, реостатная схема усиления электрических сигналов (рис. 161, а) на низких, средних и повышенных частотах соответственно упрощается к схемам, приведенным на рис. 161, б, в иг. Здесь емкости Сф, ССг и Ск считаются достаточно большими и во всем частотном диапазоне напряжениями переменных составляющих на них можно пренебречь. На низких частотах еще существенно влияние разделительной емкости С с (рис. 161, б) , но на более высоких частотах с ней можно уже не считаться (рис. 161, в). В верхней части частотного диапазона начинают сказываться междуэлектродные емкости ламп, которые учитываются введением в схему емкости С (рис. 161, г), равной сумме выходной емкости первой лампы и входной емкости второй лампы. При упрощении схемы учитываются конкретные условия работы цепи, которую отображает схема, и постановка задачи анализа. Нередко принципиальная схема дополняется элементами, которые учитывают дополнительные связи (паразитные параметры элементов цепи, емкостные и индуктивные связи между элементами, сопротивления соединительных проводов и проводящих поверхностей и т. п.) или побочные явления в электронных цепях (тепловые шумы, изменения параметров при внешних воздействиях и т. д.). Линейные методы анализа схем достаточно развиты и многообразны. В настоящее время наиболее распространены метод эквивалентных схем, метод четырехполюсника, обобщенные матричные методы и метод ориентированных графов. При использовании метода эквивалентных схем электронные элементы (лампы и транзисторы) заменяются их эквивалентными схемами, состоящими из пассивных двухполюсников и зависимых источников (§ 5 гл. 3). При этом формально задача сводится к анализу схемы с двухполюсными элементами с применением аппарата, изложенного в первом разделе. Метод четырехполюсника основан на представлении сложной г Рис. 161. К методу эквивалентных схем: в а — п р и н ц и п и а л ь н а я схема реостатного у с и л и т е л я ; б, в, г — у п р о щ е н н ы е с х е м ы на н и з к и х , средних и п о в ы ш е н н ы х частотах соответственно. соединения более простых четырехполюсных подсхем. Параметры последних определяются заранее и сводятся в таблицы, а параметры всей схемы вычисляются по соответствующим формулам в зависимости от способа соединения четырехполюсных подсхем. Требуемые схемные функции находят по табл. 12. Пользуясь обобщенными матричными методами, можно получить матрично-векторные параметры схемы непосредственно из ее рассмотрения, по которым определяются искомые токи и напряжения или находятся аналитические выражения для функций схемы. В методе ориентированных графов используется в качестве адекватного представления схемы некоторая топологическая структура — ориентированный граф, состоящий из множества вершин и направленных ветвей. Переход от исходной схемы к ее графу осуществляется на основе уравнений элементов и зависимостей между токами и напряжениями, учитывающих соединения между элементами. Искомые функции схемы можно получить либо применением формулы передачи графа, либо последовательным преобразованием графа к эквивалентной ветви. Как пример на рис. 162 приведены усилительная каскадная схема (рис. 162, а), упрощенная схема (рис. 162, б), а также различные способы ее представления: эквивалентной схемой (рис. 162, в), соединением четырехполюсных подсхем (рис. 162, г), 1а, ,АV. 1 т= 2 3 ив, 5, Шш о— д . е Рис. 162. Способы представления электронной схемы. матрицей проводимости (рис. 162, д) и ориентированным графом (рис. 162, е). Характерные особенности и область рационального применения каждого из методов анализа электронных схем будут выяснены при их систематическом изложении. § 2. Эквивалентные схемы электронных ламп Простейшие эквивалентные схемы электронных ламп (триода и приводящегося к нему пентода) при работе без сеточных токов (рис. 163, а) получаются непосредственно на основании уравнений триода для переменных составляющих токов и напряжений (4-21): / с = 0; К = 9 1-837 ) + / (7 "° Схемы, приведенные на рис. 163, б и в, описываются такими же уравнениями. Они содержат либо зависимый источник тока 5(/ с , либо зависимый источник напряжения управляемые напряжением и с сетки лампы относительно ее катода. При положительном сигнале возбуждения ток зависимого источника направлен от анода а к а 5 Рис. 163. Эквивалентные схемы вакуумного триода: а — обозначение внешних токов и н а п р я ж е н и й ; б — схема с зависимым источником тока; в — с зависимым источником н а п р я ж е н и я . к катоду. Обе схемы могут быть взаимно получены одна из другой на основе преобразования ветвей с источниками тока и напряжения (§ 7 гл. 1). На высоких частотах оказывают существенное влияние емкости между электродами лампы (рис. 164, а). Соответственно усложняются с,а со Рис. 164. Эквивалентные схемы вакуумного триода на высоких частотах: а — междуэлектродные емкости триода; б — э к в и в а л е н т н а я схема с источником тока; в — э к в и в а л е н т н а я схема с источником н а п р я ж е н и я . и эквивалентные схемы (рис. 164, б и в). Значения междуэлектродных емкостей — ВХОДНОЙ С , ВЫХОДНОЙ С а к и проходной С — измеряются на частотах 300—500 кгц и приводятся в справочниках и паспортах ламп. Например, для триода 6С5С междуэлектродные емкости имеют следующие значения: С ск = 3,8 пф, С ак = 1,2 пф, С са = 2 пф. Специальные конструкции ламп позволяют значительно снизить эти значения. Так, для триода 6С1Ж типа «жолудь»: С — 1 пф, С = 0,6 пф, С с а = 1,4 пф. В пентоде необходимо учитывать также емкости между экранирующей сеткой и остальными электродами (рис. 165, а). Так как экранирующая сетка по переменной составляющей соединена с катодом, получаем эквивалентную схему (рис. 165, б), подобную схеме рис. 164, б для триода, но с другими значениями междуэлектродных емкостей. с к с к а к с а В диапазоне высоких частот, кроме междуэлектродных емкостей, на параметры лампы заметно влияют индуктивности и взаимоиндуктивности вводов, диэлектрические потери и время пролета электронов. Вследствие этого элементы схемы замещения сложным образом зависят от частоты и выражаются некоторыми операторными проводимостями лампы — входной 7ек, ВЫХОДНОЙ Как И ПрОХОДНОЙ К са (рис. 166). При этом крутизна 5 также является частотно зависимым Сса -о а V —II— Сск^Ссз Рис. 165. Эквивалентная схема пентода на высоких частотах: а — междуэлектродные емкости пентода! б — их п р е д с т а в л е н и е в эквивалентной параметром и в общем случае выражается некоторым операторным соотношением. Аналитические выражения для элементов схемы замещения на высоких частотах получаются очень сложными, в них входят многочисленные конструктивные и физические параметры. В каждом конкретном случае проводятся соответствующие расчеты и измерения, которые позволяют оценить характер проводимостей эквивалентной схемы и определить численные значения. В то же время можно ру- Рис. 166. Эквивалентная схеководствоваться некоторыми приближен- ма электронной лампы на выными соотношениями, которые приво- соких частотах. дятся ниже. Входная проводимость лампы имеет емкостный характер и может быть выражена следующим равенством: У CK = GCK + рСск — - р 1- рСCK- (7-2) На сравнительно низких частотах сопротивление RCK очень большое, хотя из-за утечки в цоколе и баллоне, остатков газа в лампе и электронного сеточного тока имеет конечную величину, равную примерно 107 ом. В диапазоне высоких частот Rщ зависит от частоты и может быть вычислено по приближенной формуле Rck = -JT > (7-3) где k — некоторая величина, характеризующая данную лампу, Мом • Мгц2\ f — частота, Мгц. Д л я обычных ламп k лежит в 9* 259 пределах (10 — 200) Мом • Мгц2. Как видно из формулы (7-3), сопротивление Кск резко снижается с повышением частоты. Так, для лампы с к = 20 Мом • Мгц2 на частоте 30 Мгц = 22 ком, а на частоте 100 Мгц — только 2 ком. Выходная проводимость Как = Сак + рСак (7-4) т а к ж е имеет емкостный характер. Проводимость бак и емкость С а к повышаются с увеличением частоты. Величина проводимости может быть представлена выражением Оак = С1. + со251, (7-5) где б, и 5 — соответственно внутренняя проводимость и крутизна лампы. В диапазоне высоких частот обычно значительно меньше второго слагаемого и практически не влияет на величину a — р а с ч е т н а я схема; б — э к в и в а л е н т н а я схема. со — круговая частота; | — некоторая функция междуэлектродных емкостей, индуктивностей и взаимоиндуктивностей вводов. О том, насколько резко снижается сопротивление R aK с ростом частоты, свидетельствует такой пример: для пентода 12Ж1Л сопротивление на частоте 1,5 Мгц равно примерно 2 Мом, а на частоте 300 Мгц — всего 10 ком. Проходная проводимость Кса даже на высоких частотах практически имеет чисто реактивный характер. На сравнительно низких частотах она характеризуется некоторой эквивалентной емкостью, значение которой с ростом частоты уменьшается. При некоторой частоте наступает самонейтрализация проходной проводимости, и она становится равной нулю. На более высоких частотах проводимость Кса меняет характер на индуктивный и возрастает по абсолютной величине. Определим входную проводимость и коэффициент передачи напряжения при различных включениях лампы. Эквивалентная схема при включении лампы с общим катодом (рис. 167, а) приведена на рис. 167,6. Д л я нее можно записать два уравнения по первому закону Кирхгофа: /вх Кса (Uвых - Ускивх к с а (£/ вь|Х £^вх) — 0; Uвх) + (Как + K J U вык + SUВ}1 = 0. Решив второе уравнение относительно и в ы х , получим —5 и" ВЫХ IV IV 'V са "Г * ак "Г ' Н иВХ. И Отсюда находим выражение для коэффициента передачи жения схемы с общим катодом тг ^вых ^са — ^ 1\и=—П и ВХ = у , у напря/7 с\ , у ('-О) ' са Т^ ' ак "Т" * н Подставив значение и в ы х в первое уравнение и решив его относительно / в х , получим [вх — ( У с к У са)^вх УсаКи^вх, откуда находим выражение для входной проводимости схемы Квх = ти Р вх = Уск + У с а (1 - Ки) = Уск + Уса Учитывая, что / в х ^и ВХ = ^Е — V «и • * Са "Г ' ак "Г ' н <7"7) , из уравнений схемы после исключения из них / в х получим / / ( ^ с а — 5 ) Ки и ВЫХ — (Уса + К а к + К „ ) (Ки + Кск) + р К с а (Как + Отсюда находим выражение для коэффициента жения источника сигнала т/ А £ и ВЫХ Е (^са — ' (Кса+Как-ЬКн)(К„ + К„ + Я) ^' передачи напря- Ки Кск) + о\ Кса(Как + Кн + 5) • Д л я частного случая У и — оо, как это следует из сравнения выражений (7-6) и (7-8), КЕ = К и Обычно справедливы следующие неравенства: |5|»|Уса|; |Как + Ка|»|Уса|, поэтому полученные выражения урощаются и принимают вид: Ки » — у—ЗПТ-1 ' ак г ' н К в х ^ У с к + К с а ( 1 + как + и- у ' и А £ = А£/ Ки + к 1!х ( К а к + К„) (Ки + (7-9) (?-10) Ки) ' 5КИ Кск) + Кса (Как + Кн + 5 ) • (7-11) На умеренно высоких частотах можно считать У а к = + Относя емкость С а к К Нагрузке, Т. е. ПОЛОЖИВ У а = У н + можно записать V 5 |х2 а и, '-а рСак. рСак, Как видно из этого выражения, коэффициент передачи напряжения возрастает с увеличением сопротивления нагрузки и при холостом ходе — оо) совпадает со статическим коэффициентом усиления лампы р,. На низких частотах при активной нагрузке = Я л ) выражение (7-12) принимает вид Ки = — • цЯн Яг + Лн ' (7-13) т. е. выходное напряжение находится в противофазе с входным напряжением. Подставим в выражение (7-10) значение К с к из (7-2) и, считая, ЧТО Уса = /?Сса, ДЛЯ ВХОДНОЙ ПрОВОДИМОСТИ Квх = бек + рСск + рСса ПОЛуЧИМ + ]• В состав проводимости Оск может входить также проводимость сопротивления утечки С с , подключенного между сеткой и катодом лампы. В установившемся режиме усиления гармонических колебаний р = ]со и К а — <За + ]Ви, где С а и Ва — соответственно вещественная и мнимая составляющие проводимости К а , причем Ва — = С а к + Ви. Тогда для вещественной и мнимой составляющих входной проводимости получаем выражения: бек (7-14) + Ввх = (оС с к + со С с 1 + 5 (О, + Оа) (б, + Оа)2 + (7-15) Из полученных выражений видно, что входная проводимость на высоких частотах имеет емкостный характер, так как при любых значениях Ва всегда Вех > 0. При омической нагрузке на средних частотах (В а = 0) С вх = С с к , а входная эквивалентная емкость Сек ^са 1 + • 0; +5 0 а = Сск + Сеа(1 - К и ) , (7-16) где через Ки обозначено значение коэффициента передачи напряжения. Таким образом, на входную емкость влияет емкость С с я , причем это влияние тем сильнее, чем больше по величине коэффициент передачи напряжения КиАктивная составляющая входной проводимости, как видно из выражения (7-14), может оказаться значительно больше проводимости бСк- Это часто неблагоприятно сказывается на прохождении сигналов, так как сильнее нагружается входной источник. Кроме того, при индуктивном характере нагрузки (Ва < 0) величина бвх может оказаться равной нулю и даже отрицательной. Это может привести к переносу энергии с выхода на вход схемы и вызвать возбуждение схемы на некоторой частоте, которая определяется значениями параметров ее элементов. Вследствие самовозбуждения схема теряет усилительные свойства (гл. 13). Коэффициент передачи напряжения источника сигнала КЕ определяется выражением (7-11) с учетом зависимостей (7-14) и (7-15). При индуктивном характере нагрузки, когда Овх < 0, и схема еще не возбуждена, коэффициент усиления КЕ может оказаться даже большим, чем К и • На низких частотах, когда К ^ я з 0, /<£ — Ки^—гт*—. Ои + о с к т. е. КЕК Ки- На практике, как правило, выполняется неравенство б с к , поэтому обычно принимают КЕ = К и . • ф Уак а -о у П " ю Рис. 168. Усилительное звено по схеме с общей ееткой: а — р а с ч е т н а я схема) б — э к в и в а л е н т н а я схема. На умеренно высоких частотах коэффициент передачи напряжения Ки схемы с общим катодом находится из выражения (7-6) подстановкой Км = рС с а , Как = <3/ + рСж и К н = вн + рСа; рСа к, с, + Он + Р (Сса + Сак + с„) 1 + Он Кр 1 + РТВ I л. р Сса + Сак + Си КдЧ>п Р + «в (7-17) Ог + бн где 0 1 + бн со» + + сн И Ко 0 г + 0н Д л я случая включения лампы с общей сеткой (рис. 168, а) записываем уравнения ее эквивалентной схемы (рис. 168, б) /вх Кск£/ИХ + Как (ивых — ^ в х ) — ЗУвх Как ( £ / „ - £/вых) - (Кса + К н ) /вх = нх = 0; + 5£УВХ = 0; (£-£/вх)Ки. Отсюда, как и для предыдущей схемы, находим к„ Как+ = • 5 К а к + К с а + Кн (7-18) Vex = is А^Р = - УСк + is ^ Уи А ^ ,У К в х + + + ' ак Т ' са Т ' н = FcK + s + У а к J _ К ). 7_19) (Уак + S) Ya Уи — (У а к + Уса + Ун) (Уи + Уск) + (Уак + S) (К с а + У„) ' (7-20) Подставляя У ак = G, + рСак и У са = рС са , для коэффициента передачи напряжения получаем г/ _ Gj + S + рСш О,- + Р (Сак + Сса) + УН ' Последним слагаемым в числителе можно пренебречь, а в знаменателе принять р (Сак + Сса) + У„ ~ ^а> ТОГДа rs S + Gj (1 + ц) 2..л /7 9П ^и - Gt + У а - Ri + Za • На низких частотах, когда можно не считаться с междуэлектродными емкостями, Уа = Ун и, следовательно, Ки = (1 + и-) z H " • (7-22) Ri + ZH Сравнивая полученное выражение с (7-12), видим, что схема с общей сеткой не создает дополнительного сдвига выходного напряжения на 180°. Фазовый угол Ки определяется характером нагрузки, и при чисто омической нагрузке (Za = RH) он равен нулю, а коэффициент передачи напряжения выражается вещественной величиной + Rн При возрастании сопротивления нагрузки К и увеличивается и при холостом ходе (R„ = со) становится равным (1 + ,и). Величина (1 + р.) является действующим статическим коэффициентом усиления при включении лампы по схеме с общей сеткой. После подстановки значений проводимостей эквивалентной схемы в выражение (7-19) получаем Увх = GCK + 5 + рС с к + (G, + рС, к ) (1 — Ки) = = GCK + рСск + (рС са + У н ) Ки. (7-24) Так как выражение (7-24) содержит крутизну S, то входная проводимость схемы с общей сеткой в сравнении со схемой с общим катодом оказывается значительно больше. В связи с этим величина GCK оказывается малой по сравнению с остальными слагаемыми и ею в дальнейшем можно пренебречь. Подставив в выражение (7-19) Уа == Ga jB:i яр— /со, после соответствующих преобразований получим выражения для веще- ственнои и мнимои составляющих входной проводимости: + и,7 С,) [»а [0„ ^(О, -1+ "ба) (В а ~ ~ Ш и Саакк )) Д, ^(5 -Iа ; + ("а (О, + Оа)2 + в _ № + Оа)2 + . (7-25) в2а 1 ' Величина бах может быть равной нулю при условии О а (С, + С а ) + ( В а - с о С а к ) В а = 0 или В\ - С0СакВ а + (<?, + О а ) = 0. Решив это квадратное уравнение относительно Ва, находим (Ва)..2 = ± / ( ^ - О Л ф + О.). Если — > С., + Оа), то оба корня вещественны и положительны, причем Ва{ > Ва2. Из выражения (7-25) видно, что при = 0 величина Свх > 0. При увеличении Ва до значения Ва2 величина бех убывает ДО нуля. В интервале Ва2 < Ва < Ба1 она отрицательна, а затем при В а > Ва[ снова становится положительной и с увеличением В3 возрастает. В соответствии с принятыми обозначениями ак ""Ь С са ) + У н = /со(С ак + С са^ "Г Он + /Вн. где (?„ и В„ —соответственно вещественная и мнимая составляющие нагрузки. Значит Ва = со (Сак + С са ) + В н , откуда В„ = Ва — со (С ак + С са ). Значения В и , при которых (В н ) 1 ,2 = = = - обращается в нуль, ( В а ) 1 > 2 - с о ( С а к + Сса) = ± - 0)Сса - ± У С а (О, + Оа) - СО ( С а к + Сса) = - Оа (Ос + Оа). Отсюда следует, что Вн\ и Вн2 отрицательны, т. е. вещественная составляющая С вх входной проводимости становится отрицательной при индуктивной нагрузке, но только в диапазоне Вн2 < Ви < < В„1. Следовательно, на высоких частотах схема с общей сеткой работает более устойчиво. Это значит, что в схеме с общей сеткой можно применять триоды на более высоких частотах, в т о время как в схеме с общим катодом в подобных условиях приходится переходить на высокочастотные пентоды. В этом, несмотря на низкое входное сопротивление, основное достоинство рассматриваемой схемы. В зависимости от характера и величины В в мнимая составляющая В в х входной проводимости, как это видно из выражения (7-26), может принимать как емкостный, так и индуктивный характер. На низких частотах выражение (7-24) для входной проводимости принимает вид Коэффициент передачи напряжения источника сигнала на низких частотах с учетом выражений (7-27) и (7-22) (5 + КЕ = Си (О, + ОН) БИ + (7-20) (1 + ц ) (Я + 0 ( ) О„ ЯН 4 - Я, + (1 + Ц) Я „ Рис. 169. Усилительное звено по схеме с общим анодом: а —^расчетная схема; б — эквивалентная схема. Рассмотрим схему с общим анодом (рис. 169, а). Из ее эквивалентной схемы (рис. 169, б) записываем уравнения: ^вх Кск ( ^ в х - К с а ^ в х 4" Кск (^вых — ^ в х ) — и в ы х ) — (Как + У н ) и в ы х + 5 ( и в х - 1вх = и в в х ) = 0; (Е-ивх)Уи. Отсюда получаем выражения для коэффициентов передачи напряжения и входной проводимости: К и ~ ^ск + 5 У » + К а к + 5 + >"„ (7-28) ^ск (Ут + У*) (7-29) 'ск + ^ак + 5 + Кв (Кск + 5) Ки (У ск + Уак •+" 5 4" Ун) (Уса 4" Уи) 4" Уск (Как + Ун) ' Квх — Кса 4 " + к, Так как обычно | У с к | имеем (7-30) I 5 !» то > подставляя У™ = (3,4- рСак, 5 к 8 + 01 + Отнесем емкость тогда Сак К НЭГруЗКе рСак+У„' и обозначим 1+ ц Ук Ун + рСак, 2к Л/9 + 1+ ц = ' (7-31) где г э 1 + Ц 1 + Ц эквивалентные параметры лампы при включении по схеме с общим анодом. Как видно из выражения (7-31), К и по модулю всегда меньше единицы и при холостом ходе = оо) 1. На низких частотах (2'к — 7?н) формула для коэффициента передачи напряжения принимает вид К и = з + 0 1 + ¥я = (7 я , + ( Г + ц ) /?„ ' "32) Подставляя в выражение (7-29) значения проводимостей, получаем Увх = рСса + (Сск + рСск) з^а^У« При гармонических (7-33) принимает вид воздействиях (7"33) • Кк = в к + /Вк выражение к в х = /СОСса + (О ск + /соСск) , откуда находим вещественную и мнимую составляющие проводимости: ивч = О с к [(Ос + С к ) (5 + Ос + О к ) + В2К] 5 (Я + ф + О ^ + б* со8С ск В к входной ; юС ск [(О; + О к ) (5 + Ос + 0 К ) + В2К] + 5С с к В к (5 + 0, + 0 ^ + В^ ('-34) . (7-35) При омической нагрузке (В к — 0) выражение (7-34) с учетом (7-32) принимает вид Свх = Сск 5 + о! + о к = ° с , ! Л/ Д У Й Я* = ° с к ( 1 ~~ (7 "36) т. е. при достаточно больших значениях р, в схеме с общим анодом <Звх<^ О ск . Здесь, как и в схеме с общим катодом, в 0Ск может входить проводимость утечки б с , подключенная к промежутку сетка — катод лампы. Величина Ввх имеет емкостный характер, причем входная емкость, как это следует из выражения (7-35), определяется равенством С в х = С с а -(- С с к £ = С с а 4* С с к (1 — Кц), (7-37) т. е. всегда справедливо соотношение С вх < Сся + С с к . Таким образом, схема с общим анодом отличается от других схем высоким входным сопротивлением. Поэтому, несмотря на то, что схема характеризуется коэффициентом передачи н а п р я ж е н и я , меньшим единицы, она широко применяется в тех случаях, когда нежелательно нагружать источник сигнала или энергии. Ее часто называют катодным повторителем. При комплексной нагрузке, носящей емкостный характер (Вк > 0), авх может приближаться к нулю и даже оказаться отрицательным, что может привести к неустойчивой работе схемы. Сравним рассмотренные схемы по выходному сопротивлению. Д л я этого необходимо пользоваться другими эквивалентными схемами, в которых на выходе отсутствует нагрузка, но на входе включена проводимость Уи источника сигнала или энергии (рис. 170). *и 1выхО Уса [ \Уск * -с=> N Уак 11 (^ т 1 Ьыхо а Уак вис О - а ие /выX Уск Рис. 170. Эквивалентные схемы для определения выходной проводимости триода. Д л я схемы с общим катодом (рис. 170, а) записываем уравнения: (Уск + У„) и а + Уса (1/ с - Iвых ~Ь Уса ивых) = 0; — ^ в ы х ) — Уак(Увых — ^ ^ с ~ Исключив из этих уравнений напряжение и с , получим Iвых — (Уса Уак) У вых — (Уса — 5 ) Уса Угк. Уса + Уи •и в откуда находим выражение для выходной проводимости ' Квых /вых и вых — Уак Ус (7-38) Уск + Уса + У и Обычно первый член имеет преимущественное значение, поэтому с небольшой погрешностью можно считать У вых » Уак = С, + рСак « в,. (7-39) Д л я схемы с общей сеткой (рис. 170, б): У.) ^ с + П к ( ^ в ы х + и с) + Я / с = 0 ; (Уск + *вых 1 як ( У вых вых $ис = 0. Исключив из этих уравнений 1/с, получим Ув са ' Уак (Уск + У я) Уак + ^ск + 5 + Ки (7-40) В этом выражении первым слагаемым можно пренебречь. Если, кроме того, | У с к | | У„| и Так » то получим приближенную формулу Увых = 0 . (7_41) К„ или = Ъ + < 1 + I*) 2 и - = (7"42) Отсюда видно, что выходное сопротивление схемы с общей сеткой значительно больше, чем схемы с общим катодом, и зависит от сопротивления источника сигнала. Уравнения эквивалентной схемы с общим анодом (рис. 170, в) имеют вид: (Уса + У„) (и с + и пых ) + У с к и с = 0; ^вых У с к ^ с — Уак^вых Ч - с — 0. Отсюда находим выражение для выходной проводимости \г' V I (КVск -[-П 5) (К + У и) ' вых — ' ак "Г" Г к — саТ у ' ск -1" ' с а I 'и / V7 , о\ Если внутренняя проводимость источника достаточно велика, то можно считать | Уи | ^ I Уск | и тогда при 5 У ск Увых = Уак + 5 = О, + рСак + б, + Я или Явых = т + у . (7-44) т. е. выходное сопротивление значительно меньше, чем у схем с общим катодом и общей сеткой. Если внутренняя проводимость источника мала (У и г=з0), то из выражения (7-43) находим Увых = Уак + у ^У ' ск т ' са • (7-45) В ряде случаев, например, для ламп с экранирующей сеткой, I Уса| | Уск|, тогда Увых 2 = 5 Уак = 0( рСак, т. е. выходное сопротивление такое же, как и в схеме с общим катодом. Полное выходное сопротивление схемы Я в ы х определяется параллельным включением сопротивления нагрузки и сопротивления промежутка выходной электрод — общая точка схемы, вычисляемого в соответствии с выражениями (7-39), (7-42), (7-44): #вых = вых - Г • Полученные результаты сведены в табл. 23 и 24. (7-46) +- s в 33 + I а + </5 + со со + + • + + со + ГО + + + ГО+ + +ГО о •X '+ кга •X X СО + + + СО X + + + s со + +ГО О + со +го + + СО + X со" + g Ï+ X со »ев о ' + + +ГО + го X Xй + + "à & О СО + СО со + Dt s Го S X + ь «у + + о s H а с и +X ГО + +ж со + а: v , a à £• ч к + +ГО со U + + +X га S N с а- і + 19 <N о; СО I І; t-. + + ftf -Ö к + со О* Ö a. +ск ск to + о + - ь + СО s N і т X N + s N І _ + N і ++ + ск о? ск 1 ++ со 6"* 1 ч + CJ 33 3 в s я 4 + о + о+" о + X CO О s X со О со + о N M + a. 2 н о. <и S ta i< te CL RT - О + 03 + О s £ яu С2 X о" a о \Q( «5 О + Пример 1. Для трех схем включения лампы 6Н8С (рис. 140) найти низкочастотные коэффициенты усиления напряжения, входные сопротивления и емкости и сравнить их между собой. В точке покоя, выбранной в соответствии с построениями рис. 141, параметры лампы ц = 22, = 14,5 ком, 8 — 1,5 ма/в, С а к = 0,8 пф, С^ = 3 пф, С а с = = 3,8 пф. Пользуясь формулами табл. 24, полученными на основании формул табл. 23 для низкочастотной области, находим: для схемы с общим катодом (рис. 140, а) К ^а 22-24 КМ Яа + Я, ~ 14,5 + 24 ~ ' Япх — Свх = Сек + Сас (1 - Кг) = з + 3,8 (1 + 13,7) = 59 пф) для схемы с общей сеткой (рис. 140, б) _ (ц+1)/г, . 23-24 Ъ + а ~ 14,5+24 ~ 1 % а ' п> _ вх Аа + Д, 1 + ц _ ^ В Х = П' 24+14,5 23 , р, = У 1,67 ком; 1.67-1 1 , 6 7 + 1 = 6 2 5 0М• Спх = с с к - С а к (ЛГо — I) = 3 — 0,8 • 13,3 = - 7,6 пф; для схемы с общим анодом (рис. 140, в) !ЯК _ 22-25 3 ~ + (|х + 1) /? к ~ 14,5 + 2 3 - 2 5 ~ ' Яс ^ — ~ т с Я, Я, + Я 2 С в х = С а 0 + С с к (1 - К3) = 3,8 + 3 (1 - 0,935) да 4 пф. Пример 2. Определить выходное сопротивление схемы с общим (рис. 140, в) на лампе 6Н8С. В соответствии с формулами табл. 24 *вх = 1 -К: 630 <ь,х = Р ВЫХ " анодом Я в ы х (#1 + Я2) <ых + *1+*2 = 0,63 - 2 5 - 1 0 « 25,63 - 103 - 615 « * § 3. Э к в и в а л е н т н ы е с х е м ь : т р а н з и с т о р о в На низких частотах транзистор можно представить Т-схемой замещения с зависимым источником напряжения или тока (рис. 171). При этом обычно исходят из схемы с общей базой в предположении, что источники эквивалентной схемы управляются входным током 1Х = / э . Если входной ток направлен к эмиттерному узлу, то ток зависимого источника направлен к коллектору. Из сравнения схем находим, что а — 'к или гт = агк. (7-47) Четыре параметра эквивалентной схемы гб, гэ, гк и гт (или а) связаны однозначными зависимостями с г-, и Н- параметрами транзистора. Эти зависимости легко найти из сравнения уравнений транзистора в схеме включения с общей базой и его эквивалентной схемы. Считая, как и прежде (§ 3 гл. 4), что напряжения о/, 1-ю Чб 0 5 Рис. 171. Эквивалентные схемы транзистора: а — обозначение в н е ш н и х у з л о в ; б — э к в и в а л е н т н а я схема с источником а — э к в и в а л е н т н а я схема с источником т о к а . напряжения; отсчитываются. от общего электрода, а положительные направления токов выбраны внутрь элемента (рис. 172, а), для эквивалентной схемы (рис. 172, б) можно записать два уравнения по второму закону Кирхгофа: — гэЛ. — гб (Л + Ь) = 0; (7-48) а 6 Рис. 172. Включение транзистора по схеме с общей базой и его эквивалентная схема. Учитывая, что / э = 1 и после элементарных получим и 1 = ( г э + га) 11 + г б / 2 ; и2 = (г6 + гт) !г + (гб + гк) / 2 . преобразований (7-49) Из сравнения этих уравнений с соответствующими уравнениями транзистора (4-37) находим требуемые зависимости Г 11б = гг + гб\ г12б = Гб\ г21б = гб + гт\ г22б = гб + г к . (7-50) Решив эти равенства относительно параметров эквивалентной схемы, получим обратные соотношения Г э — г11б г 11б> г6 — г12б! гк — г22б г 12б! Гт = Г216 — г12б- (7-51) В соответствии с формулой (7-47) находим также а = Г21б ~'12й • Л>2б — '126 (7-52) 4 ' Легко выразить эти величины и через другие системы параметров транзистора. Соответствующие формулы приведены в табл. 25. Если параметры транзистора заданы для схемы с общим эмиттером, то при использовании табл. 25 необходимо предварительно перейти к соответствующим параметрам для схемы с общей базой в соответствии с зависимостями, приведенными в табл. 16. Д л я удобства при расчетах в табл.26 приведены формулы для непосредственного перехода к параметрам низкочастотной эквивалентной схемы, когда исходными данными являются параметры транзистора в схеме с общим эмиттером. С учетом типичных численных значений параметров транзистора (табл. 20) в табл. 25 и 26 приведены также приближенные формулы, которые обеспечивают обычно достаточную для практических расчетов точность. Поэтому нередко на эквивалентных схемах транзистора можно встретить вместо величины а коэффициент передачи тока в схеме с общей базой а ( § 3 гл. 4). Пример 3. Определить элементы низкочастотной эквивалентной схемы транзистора ГТ309Д по его ^-параметрам в схеме с общим эмиттером: НПэ = 2800 ом, Л 12э = 2 • Ю - 3 , /121э = 60, /і 22з = 50 • Ю - 6 сим. Воспользовавшись формулами табл. 26, находим: !г Пэ гэ = -; = Ь22э Л . г б = и нэ 12э 0 А + 21Э) ; / ,22э „ 2 • Ю-3 5 ом = 40 ом; 50 • 10~ в 2 О О Л Л • Ю = 2800 1+Л21э 1 + 60 50 • Ю - ' Л 21э 60 й 22э 50 • Ю - 6 - 3 (1 + 60) ' — з — — = 360 ом; 50 10_в 1,22 • 10 6 ом. = 1,2 • 106 ом; Л 21э 60 . пал Т Т ^ = = Т Г б о - = 0'984' Как видно из этого примера, гэ гб г к . Это неравенство можно использовать для упрощения общих зависимостей, выраженных через параметры эквивалентной схемы. Часто в справочных данных вместо параметров транзистора приводятся параметры его эквивалентной схемы гб, гэ, гк и а (или а). Если требуется осуществить обратный переход, удобно пользоваться табл. 27. На основе низкочастотной эквивалентной схемы можно выразить вторичные параметры усилительных звеньев с различными схемами включения транзистора (входное и выходное сопротивления, коэффициенты передачи тока и напряжения). ëSS §= S а з3 4 Sä -c ай С -r I 5 JІ- ° £2 8 — -sT -c »s о « + -f УО •ST + а IQ О ta «ад ta ta се а. о н о M X СИ а. (s g 9о. Р eu s CS ta 00 ta CL ta + «E ю (N ào ta ta ta ta •S О іS * * aÄ С Bgä ^ «* гSи її ш« 0s m X S3 m ta + ta ta ta ta ta ta ta ta ta ta ta ta ta о ta ta ta ta« ta ta ta I + 43 о *ад »4 ш=й 5 <3 аз £ + ,2-s g. а tі- + -Є + + + S s a Ю о Ьо в о. оH ta їв о. ta s S о. я ta в ta ta + С* bfi tao ta + вв u. ' см Sч °X IS С* >x оX а ( о ь3 Ё s3 I й S 0J «"Sxu ? s 05 +СП ta X ce и ta ta вв ÖÖ oo «so ta öo ta t>ö + Таблица 27 Связь параметров транзистора с элементами его низкочастотной эквивалентной схемы Схема с общей базой С х е м а с общим эмиттером Параметр 'э + Л і Гэ + Г б 'б Гэ — ї 22 г э + гк гэ + гэ + гк(\—а) 'б + Гэ + гк(1 — а) А, A 11 1 'к Гб Ал гк (1 — а) А, А„ гб + агк Аг Аг + гб Гэ агк Гк + гб Гб А, Ал г гк АЛ Гэ — Гэ а) Гб + гк Лг &22 Гк (1 — (1 — а) Гэ ^21 к Г6 + агк А, gl2 +Г к аг г к (1 — а ) gxi Г6 Гб Гэ ''а! Схема с о б щ и м коллектором , * ' ГэГк Г Гэ + гк — агк Al! Гэ гэ + гк — агк ft 21 агк — гэ гэ + гк — агк /»22 Гэ + гк —агк ( 1 - а ) гбгк гб + гк ГэГк г- 1 и Гб ' >э + '•к — агк + Гб гк — агк Гэ + Гк — агк Г б + агк Гб+Гк Гэ + Гк —агк Гк 1 + гк А, Гк. 1 1 Гк-\-Гб Гэ + Гк — агк А , = ГэГб + гк [лэ + г б (1 — а)] Д л я схемы с общей базой (рис. 173, а) записываем уравнения: ^вх ^вых ГЭ1в х ^б (^вх /вых) = Гб ( / в х О, а Iвых) — /"к ( 1 э — Iвых) = 0; е = и м -ь г Л х . Учитывая, что для данной схемы / э = / в х , а также (У вых = 2„/ в ы х , находим: 2 в х = г8 + гб ' (7"53) Ки = К _ А / ~ г« + г б + г„ ' агк +- Гб . (7-54) (агк + г6) г» г э (г к + г б + 2„) + гб[(1 - а ) г к + 2„] ' (аг к + /-б) 2„ + /*э) (гк + лв + 2„) + лб [(1 — а) 'к + г н ]' КЕ (7-55) (7-56) Рис. 173. Эквивалентные схемы транзисторных усилительных звеньев: 2Н а — с общей базой; б — с общим эмиттером; в — с общим к о л л е к т о р о м . Уравнения схемы с общим эмиттером (рис. 173, б) имеют вид! ^вх — ^ВЫХ ВХ — (/вх (/ В х /вых) /вых) = Гк ( о ! э 0; Iвых) = 0) Е — Увх 4~ 2 и /вх> Д л я данной схемы / э = — (/ в х метров получаем выражения: /вых) и для вторичных пара- г э (гк + 2„) (7-57) 2ВХ = г б -г • л (1 - а ) + /- + 2„ ' к э К, /Су = к£ = — (агк — /-8) . (7-58) = г (1 - а ) + г + г„ ' к э — (а^к — г э ) г» (гк + 2 Н ) + Тб [(1 - (7-59) а ) гк - г г э + 2 „ ] ' — (агк — гэ) г„ Гэ (Гк + 2„) + (г„ 4- гб) [(1 - а) гк + ЛЭ 4- 2 Н ]' (7-60) Аналогично записываем уравнения схемы с общим коллектором (рис. 173, в): и вх — г б / в х — г к ( / в х - - /вых — а / э ) = 0; г ивых — Гк (/вх — /вых — о/ э ) а/вых — 0; Е — 11Вх + •£„/вх* Отсюда с учетом 1Э — — /ВЫх находим: г — * + Г к ( 1 ^ + У + г н -_„)%„+*. = К е = ; (7-61) ; (7-62) гк (г8 + 2„) + гб (л* 0 - а) + ГЭ + г„] (7"63) (г, + г н ) + (гб + г») к (1 _ а) + г, + 2,,]' (7"64> / Выходное сопротивление определяется при закороченном источнике на входе. Подставляя в полученные выше уравнения и ъ х — — 2 И / ВХ и воспользовавшись зависимостью 2ВЫХ = вых , находим: для схемы с общей базой 2 в ы х = гк + Г 6 ( 1 - - ^ - ) ; (7-65) для схемы с общим эмиттером 7 I (/"6 + ги) (га — агк) —г Ч , п Л | аг к г э (7-66) для схемы с общим коллектором гвых-гэ+(гб + 2 и ) л ; ^ б - ^ и . (7-67) Полученные выражения сведены в табл. 28, в которой приведены также приближенные формулы с учетом того, что гэ гб гк, а также \ г н \ гк. Пример 4. Для схемы с общим эмиттером на транзисторе ГТ309Д, характеристики которого приведены на рис. 142, найти коэффициенты передачи напряжения и тока и входное сопротивление. Коллекторная нагрузка = 3 ком, а параметры транзистора в рабочей точке: й ц э = 2.8 ком; Н12э— 2 • 10~ 3 ; Л21э = = 60; /122Э = 50 • 106 сим. В соответствии с результатами примера 3 настоящей главы записываем параметры элементов низкочастотной эквивалентной схемы транзистора: гэ = 40 ом; гб = 360 ом; гл = 1,22 Мом; гт = 1,2 Мом; а = 0,984. Воспользовавшись формулами табл. 28, находим: К А / = ' - ("'к - Гэ) (1 - а ) / - к + г 9 + Я к = - 1 , 2 • 1 0 ' + 40 1,22 • 0,016 • 1 0 е + 40 + 3 • 103 1.2 • 10й ~ 22,5- 103 =3 ~53' = + N sо + a N N N + + ++ 'S + + "5" + S s 3 + 'S N І N X— ,, >0 S) m N ++ s V» N + + к.а ""я 'S" N і +Ü1 С? mX N + N +• + m N N v. о — N + + N + СП + N a I N M « + ; + Л m N ++ + 'S N + + X N + "S. s N N + N + VO VO »? ш< + ~a Na + + 1 < a Ü + VO s N N è-l a Ш c= S + N N N ++ + N + а Se: il + \o + »s. + +N+ Ia о +? vT + + N А„ = — (агк ~ гэ) Я* г а (/"к + Як) + Гб [(1 - а) г к + г э + /?к] 2 • 106 • 3 • 103 40 • 1,223 • 106 + 360 • 22,5 • 103 р - | + '» (г к + Я„) Л к ( 1 _ а ) + Лэ + 3,6 • 10» да — 63,4; 57 • 106 о.» , ^ к -лои-)- 40 • 1,223 •3 10« 22,5 • 10 да 360 + 2170 = 2530 ом. Пример 5. Для схемы с общим эмиттером на транзисторе П5В (рис. 138) определить выходное сопротивление. В точке покоя, выбранной в соответствии с построением рис. 138, б, заданы Л-параметры для схемы с общей базой: й 1 1 б = 2 8 ом\ Л12б = 0,25 • 10~ 3 ; Л 21б = —0,985; Л 22б — 2,8 • 10 —6 сим. Эквивалентное сопротивление в контуре базы Я б = ЯИ = 9,3 ком. Пользуясь формулами табл. 25, определяем элементы эквивалентной схемы; 0,25 • Ю- 3 _ я„ 88,89 2,8-10« 'Ч 26 ГЭ = н и б — (1 + /121б) - г ^ - = 28 — 0,015 • 89 да 26,7 ом; 226 - '-^-^-даЗбв-ЮЗ^ 2,8 • 10- Л 226 а Л = 12б + Л21б ; г 1 — Л = 0,985. 12б В соответствии с выражением (7-66) Л вых = г к ( 1 - а ) + г э | 1 •Г 3 Гэ + гб + /?„ 359 103 96 7 \ ( ' + Если 9,3 • 103 + 89 + 26,7 ) - 6400 -> оо, то Я в ы х « ' к ( 1 - а ) = 5,37 кол. Эквивалентная Т-схема весьма приближенно отображает свойства транзистора и применима только на достаточно низких частотах. Особенно большие погрешности даже в низкочастотном диапазоне возникают при определении величины внутренней обратной связи транзистора, так как в Т-схеме эффект модуляции ширины базовой области коллекторным напряжением не учтен (что можно было бы сделать, например, включением в контур базы эквивалентного генератора (.1к^к)В области высоких частот (для некоторых типов транзисторов она начинается уже с нескольких десятков килогерц) заметно сказываются дополнительные явления, которые обычно учитываются введением в эквивалентную схему реактивных элементов. Зависимость эквивалентных параметров транзистор а от частоты обусловливается конечной скоростью движения неосновных носителей вдоль базы, наличием диффузионных и статических емкостей эмиттерного и коллекторного переходов, которые, в отличие от ламповых междуэлектродных емкостей, резко зависят от режима работы прибора. Статическая емкость электронно-дырочного перехода С с определяется наличием обедненного слоя, на границах которого сконцентрированы ионизированные атомы разной полярности (акцепторы и доноры). Ее величина зависит от концентрации примесей и геометрических размеров самого перехода и обратно пропорциональна Приложенному К Переходу напряжению Ы П е р , т. е. Сс (7-68) "пер где п = 2-4-3 в зависимости от типа транзистора. Статическая емкость коллекторного перехода С к . с (между выводами коллектор — база) транзисторов типа П13 и П14 достигает 40-^-50 пф при малых напряжениях Ыбк и уменьшается с ростом напряжения «бк- Статическая емкость эмиттерного перехода С э . с в 3 - М раза больше. Можно считать, что емкость С к . с в эквивалентной Т-схеме транзистора включена параллельно сопротивлению коллектора rK, а емкость С э . 0 — параллельно сопротивлению эмиттерного перехода г ъ . Диффузионные емкости отражают перераспределение зарядов в базе при подаче на переходы смещающих напряжений. Например, в транзисторе типа р-п-р увеличение положительного напряжения Йа эмиттере приводит к увеличению плотности неосновных носителей (дырок), инъектируемых через переход в базу, что приводит к повышению плотности внешнего потока электронов, поступающих через базисный электрод для нейтрализации положительного заряда базы. Изменение заряда базы при модуляции высоты потенциального барьера напряжением сигнала эквивалентно наличию диффузионной емкости. Диффузионная емкость эмиттерного перехода Сэ.д пропорциональна току эмиттера / э и имеет для массовых сплавных транзисторов в обычных режимах величину порядка тысяч пф. Поэтому суммарная емкость эмиттера С э и определяется этой составляющей. Диффузионная емкость коллекторного перехода С к . д в сплавных транзисторах составляет всего единицы пикофарад, так как заряд в базовой области изменяется слабо при изменениях коллекторного напряжения. Поэтому суммарная емкость коллектора С к в основном определяется статической емкостью коллекторного перехода Ск.с. Таким образом, в эквивалентную Т-схему следовало бы включить параллельно сопротивлениям гэ и гк соответственно емкость Сэ и С к . Учитывая что сопротивление г э обычно в десятки тысяч раз меньше, чем г к , при упрощенном подходе в эквивалентную схему прибора вводят только емкость С к коллекторного перехода, так как влияние емкости С э на коэффициенты передачи схемы (но не на входное сопротивление!) значительно меньше, чем С к (рис. 174). В результате влияния емкости С к сопротивление коллектора становится комплексным 4 = + (7-69) ткСк В соответствии с формулами для Z выx табл. 28 выходное сопротивление схемы с общей базой примерно равно а схемы с общим эмиттером — 2 К (1 — а). Так как образовано параллельным соединением сопротивления г к и емкости С к , то для схемы с общим эмиттером (7-70) я» 'к О - а ) ; Ск Гк (7-71) 1-а -и- у-! Таким образом, выходная емкость схемы с общим эмиттером оказывается значительно большей и, следовательно, ее частотные Рис. 174. Упрощенная эксвойства должны ухудшаться в сравнении вивалентная схема транзисо схемой с общей базой. стора для высоких частот. Зависит от частоты и параметр а, определяющий величину задающего тока источника в эквивалентной схеме. Это обусловливается тем, что носители зарядов движутся от эмиттера к коллектору хаотично и по различным траекториям с различными скоростями, и для прохождения всего пути им требуется малое, но различное время. Следовательно, носители достигают коллектора неодновременно, результатом чего является фазовое смещение выходного тока относительно входного и уменьшение коэффициента усиления по току а с повышением частоты. Зависимость величины а от частоты довольно сложная, но в первом приближении для частоты / С / а она выражается равенством 1+/ ±_ (7-72) Ах где а = — Лг1б представляет собой коэффициент усиления по току в схеме с общей базой, измеренный на достаточно низких частотах, а соа = 2 я / а — граничная частота усиления по току в схеме с общей базой. Если в выражении (7-72) положить / = / а , то (<*)/=/,а = 0,707ае-/«°, 1+/ т. е. / а — это частота, на которой коэффициент усиления тока в схеме с общей базой по абсолютной величине уменьшается в |/ 2 раз и появляется фазовый сдвиг, равный —45 е . Однако экспериментально показано, что на частоте / а , когда коэффициент а по величине уменьшается примерно в раз, фазовый сдвиг больше определяемого формулой (7-71) и, например, для диффузионных транзисторов достигает — 57° и больше. В связи с этим выражение (7-72) обычно уточняется умножением на коэффициент e ~ ' v " ! a , вводящий дополнительный фазовый сдвиг и учитывающий среднее время пролета т электронов от эмиттера к коллектору: шГМ"* а ~ 1 + if/fa ' где V = т/„. Д л я диффузионных триодов V = 0,2, для дрейфовых V = 1. Разложив множитель запаздывания в ряд и введя ограничение v///a с при котором достаточно учитывать только два первых члена разложения, можно выражение для коэффициента а записать в виде a / l + v W / / a ) 2 oc(l-jvf/fa) ^ = 1 П 7 3 ) 2 + if'fa / 1 + (///a) ' ^ На частотах f < fa выражение (7-73) можно упростить к виду —/ a r c t g ( l + v ) | / / a a а = . е V1 + (/// а ) 2 В схемах с общим эмиттером и общим коллектором частотные зависимости вторичных параметров сказываются значительно сильнее. Однако для всех схем включения пригодны выражения, приведенные в табл. 28, если в них вместо гк подставить значение ZK по формуле (7-69), а величину а понимать так, как она определяется (}юрмулой (7-73). Пример 6. Найти частотную зависимость коэффициента усиления по току схемы с общим эмиттером при коротком замыкании выходных узлов (2П = 0), если граничная частота усиления диффузионного транзистора по току в схеме с общей базой fa — 500 кгц и а = 0,95. Пользуясь формулами табл. 28 и выражением (7-72), запишем 1 (а'к-'э) (1 — a) rK-\- гэ ' V l ~ M / f a 1—а P V I + VM//U 2 + (///р)2 Здесь Р - а = —/ a r c t g •e 1-е" , , . 1 + yq 11С l/ffj+vi/fg— '-vf,//afP 0 95 д дд = 19 — коэффициент усиления по току в схеме с об- , . 1— а 500(1 —0,95) щим эмиттером на достаточно низких частотах; /р = / а ^ ^ = 1 -| 0 2—09В = = 21 кгц — граничная частота усиления по току в схеме с общим эмиттером. " Если / < / р , / <С / а , V < 1, то выражение для коэффициента усиления по току можно записать в виде (К/)гн=0 = о |+ / , е / (1Г ~/агс'е-У . (7-74) При дальнейших уточнениях и приближениях появилось очень много эквивалентных схем транзистора, более или менее полно учитывающих его поведение в широком диапазоне частот. В настоящее время при расчетах на высоких частотах наиболее приемлемой считается так называемая гибридная схема замещения транзистора (рис. 175). Кроме внешних узлов, соответствующих выводам базы, эмиттера и коллектора, здесь, как и в Т-схеме, имеется внутренний узел в. Но, в отличие от Т-схемы, источник тока управляется не током эмиттера, а напряжением внутреннего узла относительно эмиттера. Емкость С вэ = Сэ отражает диффузионный характер движения носителей заряда в базе, причем ее величина для маломощных транзисторов может достигать нескольких тысяч пикофарад. Проводимость g в э учитывает потери части носителей в базе из-за объемной и поверхностной рекомбинаций, зависит от режима и рабочей температуры перехода и обычно составляет (0,5-^-5) • Ю - 3 сим. Распределенное сопротивление базы, равное для маломощных транзисторов (25 -г- 100) ом, учитывается сопротивлением г б . На этом сопротивлении падает напряжение 1бгб, поэтому напряжение и в э на самом эмиттерном переходе на эту величину меньше напряжения между внешними выводами базы и эмиттера. Проходная проводимость в транзисторе определяется двумя элементами: gвк и С в к . Обычно £ в к = (0,2 2) • Ю - 6 сим, а Свк = = (5-^-50) пф, причем величина С в к включает статическую емкость коллекторного перехода С к . Управляющие свойства транзистора учитываются проводимостью g , значение которой зависит от числа носителей, достигающих коллектора в единицу времени. Особенностью гибридной схемы является приближенная независимость значений ее элементов от частоты, что создает определенные удобства при расчетах. При определенных условиях некоторыми ее элементами можно пренебречь. Например, в области высоких частот проводимость емкости С вк оказывается значительно больше проводимости g Bil , поэтому последнюю можно не учитывать. Проводимость g,ІЭ имеет порядок Ю - 5 сим, поэтому при сравнительно большой проводимости нагрузки ею можно пренебречь или, в случае схемы с общим эмиттером, отнести к проводимости нагрузки. Д л я некоторых типов транзисторов можно т а к ж е опустить сопротивление г б , особенно если последовательно с ним включено достаточно большое внутреннее сопротивление источника. Приближенные выражения д л я параметров гибридной схемы выводятся следующим образом. Определяя входное сопротивление схемы (рис. 175) на низких частотах с учетом замечаний, относящихся к величинам gSK и gK3, и сравнивая его с формулой Д л я Явх схемы с общим эмиттером (табл. 28), находим Явх^Гд-) 1 =Гб 3 1 (7-75) откуда 1 (7-76) Сопротивление эмиттерного перехода обратно пропорционально статическому току эмиттера ЬЗ Рис. 175. Гибридная схема замещения транзистора на высоких частотах. ЛГ 25,8 «э'э 'э ом (7-77) 74 С) и токе эмитпри Т = 300° К (27° тера в ма. Например, при ц = 1 ма гэ = 26 ом, а при / э = 10 ма гэ — 2,6 ом. Закорачивая выходные узлы схемы рис. 175, находим коэффициент передачи тока „ а ёУ вэ к > = ПГГт ~ но, как следует из рис. 175, /б и = вз Iб /бГэ 1-а поэтому а г3, " а/б 0 ' а) (1 — а) /бгэ (7 "?8) Сопоставляя выражения (7-78) и (7-77), находим, что управляющая проводимость (крутизна) g пропорциональна статическому току эмиттера i3 и имеет величину порядка 0,039 сим при г'э = = 1 ма и Т = 300° К. Определяя выходное сопротивление схемы и пользуясь формулой (7-70), получаем ^ = ( T = W < 7 - 79 > Так как Т-схема неточно отображает свойства внутренней обратной связи транзистора, величину проходной проводимости, если это требуется, находят из других соображений. Например, пользуясь схемой рис. 175 и Л-параметрами, можно показать, что Л 12Э£ВЭ 1 — Л 12э 1 llVisge (7-80) Емкость Свк= С к обычно приводится в справочниках, а емкость С вэ находится по частотной зависимости коэффициента усиления по току при коротком замыкании выходных узлов (ZH = 0). Как следует из схемы рис. 175, , 1V- ч 1Л/МН=0= ВЗ - /б Я'вЗ 1+ /С0Лвэ( с вэ + с вк ) - - / a r c t g <о/- в э (С в э +С в к ) ёгьз V 1+[0)Гвэ(Свэ + Свк)р Сопоставляя полученное выражение с (7-74), находим 1 1 юз = г^ в э ,г л-п \ ^ ^ 1 + v a ' (Свэ + Свк) откуда при GB3 > С,вк С вэ = (7-82) Если вместо граничной частоты / а для транзистора указана максимальная частота генерации / г , т. е. частота, на которой коэффициент усиления по мощности равен единице, то Свэ = 16я*гблэСвк^ ~ 4Гбсвуг (7 83) ' " так как /„ и / г связаны соотношением ^ = У^вя (1 + V) гбСвк • Параметры гибридной эквивалентной схемы замещения транзисторов приведены в табл. 29. Применение гибридной эквивалентной схемы замещения транзистора позволяет в ряде случаев разработать общую методику расчета ламповых и транзисторных вариантов схем. Пример 7. Найти выражение для коэффициента передачи напряжения от источника к нагрузке схемы с общим эмиттером на высоких частотах при емкостной нагрузке. Воспользуемся гибридной схемой замещения транзистора (рис. 176,о), в ко- торой пренебрегаем проводимостью g в к . Относя сопротивление базы гс к сопротивлению источника сигнала Я = = Я и + Гб, приходим к эквивалентной схе- ме, приведенной на рис. 176, б. При этом ^вэ — ёвз + рС вЭ ; У ш = рС в к ; ^кз = V,, = £кэ> Он + рСа. Таблица 29 Параметры гибридной схемы замещения некоторых транзисторов Тип транзистора П25 П101 П104 П14 П9А П15 П406 П401 П403 П416 П410 ! е. 'к, ма "эк, г в б, ом мсим йвэ, мсим мксим 2,5 1 1 1 20 5 5 5 5 5 6 5 5 5 5 300 500 200 400 150 150 120 200 70 50 100 63 40 30 48 38 32 40 65 70 90 100 3,3 2,8 2,35 1,25 1,3 1,67 0,8 1,8 0,7 1,2 1,1 40 16 25 40 30 20 14 50 100 15 100 1 1 1 5 5 5 5 ЙКЭ, бвк, мксим 2 0,9 0,95 5 2,2 6,7 1 0,36 0,5 0,74 2 с вк. пф 50 100 55 45 45 50 17 7 5 5 2 б 6 УдК Ы дЦ,® ' О С вэ. пф и Мгц 0,5 25 400 0,7 10 800 0,6 9400 1,5 6360 1,2 5600 2 3300 7 2500 460 38 98 150 80 120 60 400 и Рис. 176. Высокочастотная схема замещения транзистора, включенного с общим эмиттером на емкостную нагрузку. Сопоставляя схемы замещения с общим эмиттером (рис. 176, б) и схемы с общим катодом (рис. 167, б), легко заметить их сходство. Поэтому требуемый коэффициент усиления К Е можно найти по формуле (7-8), заменив К с к на К в э , К с а на У в к , К ак на К к э , 5 на g, УИ на й: (pCвк~g)G к £ (рС вк + ёкэ + Он + рСи) (О + ёвЭ + рСвэ) + рСвк (ёкэ + £ + 0 Н + рС„)' Вводя обозначение О0 = й и + g к э , после элементарных преобразований получим КЕ = (рСвк - е) а (0+£вэ) Со+Р 1 ( С + £ в э ) (С в к +С„)+С в э 0 0 +С в к §]+Р а [СВЭС„+СВЭС ВК~НСвкСн] (7-84) і Кп і + & +б 2 іР гР к. где Свк Свэ і С вк ^ о + § в э 1 (О+гвэ)О 0 • + СН) +" СВ| с 0 (С+£ в Э ) Сн Ко (G+gzэ)Ga^ (7-85) Значение коэффициента усиления напряжения источника сигнала на низких частотах К - + гб Л о 1 ~ _ 1 Ки + Гй 1 Я0гв9д Яи + /- б + = /-вэ Яи+Явх ' 1 ' гвЭ так как в соответствии с выражениями (7-78) и (7-76) г в э § = ^ = Р, а в со- ответствии с (7-75) /? в х = /"6+ г в э . Как видно из выражения (7-85), функция КЕ (р) & имеет один вещественный нуль г, — — и два полюса р|>2Обычно величина Р (7-87) большая, т. е. нуль находится далеко справа от начала СВ 'К координат комплексной плоскости, а значит, мало влияет на свойства функции КЕ (р). Подставив значения Ьх и Ь2, можно убедиться, что всегда дискриминант Ь\ — 4Ь2 > 0. Следовательно, полюсы передаточной функции вещественны и отрицательны. Если обозначить отношение величин полюсов, от которого, как будет показано в разделе 4, существенно зависят характеристики схемы в целом, через п, т. е. _ д Рг _ р2 -Ь1-Уь1-4Ь1 —Ь1 + УЬ1 — 4Ь2 ' то получим У ь\ - Щ — * Г V Ь2 _ п- 1 7 "+1 откуда п+ 1 и* При этом полюсы передаточной функции КЕ (р) в соответствии с выражением (7-87) 1 (1 1/1 1.2 = —9/Г7Г 2&1? * р <7"88> где 9 (С п 9 С в к СвэСн + (б + ^В9) 0„ [(О + §вэ) (Свк + С„) + с вэ о (| + с в к £| 2 • (/ й9) " Частотные свойства схемы полностью определяются наименьшим полюсом передаточной функции, если расстояние между полюсами п > 10, т. е. при ё ^ < 0,08. В этом случае Рмин - --Щ-(1 - V 1 = 4 5 ) - О-1 + щ = ± , так как У \ — 4(? да 1 — Ц . 10 1-837 289 Следовательно, передаточная функция К Е (р) сводится к функции порядка первого Коэффициент Ьх можно записать в следующем виде: Ь 1= РМИН = — Ш + "ТТГ + Т и РЯ„С ш о Ш Н (7-91) т где о» -"о Свк 1 _ ЁВЭ _ С„ 5 + АБ •+ Сн 1 ЛІЗ + ГБ + Г„Э = С 0Э Яи+/"б + /"б + Г 1 СвэГцэ _ 7„ вэ Пользуясь выражением (7-90), можно проанализировать влияние режимов входа и выхода схемы на значение Ь и а следовательно, на частотные свойства схемы. Например, в режиме генератора тока на входе /? и = оо, у и = 1, сот = сор, поэтому V = и= а о = 7Шр 7 " + "Т Г + Шн = - }Шр - + / ? „ !С„ + С в к (1 + 3)]. (7-92) В режиме генератора напряжения на входе схемы /? = 0, у и — г— - г — < 1, б т~ гвэ > 'йр, поэтому в соответствии с формулой (7-91) 6 ін = (Ьі)яи=0 < V- или Рмин.н ^МИН.Т« Таким образом, при переходе от бесконечно большой величины сопротивления источника сигнала /? и к конечной (а в пределе к нулевой) расстояние наименьшего полюса от начала координат увеличивается, в результате чего уменьшаются частотно-фазовые искажения в схеме. Поэтому иногда для приближенных расчетов используют формулу (7-92), справедливую лишь для случая возбуждения схемы от генератора тока, полагая, что при конечной величине сопротивления источника сигнала I? фактические амплитудно-частотные искажения окажутся меньшими, чем вычисленные. Пример 8. Найти коэффициент передачи напряжения усилительного звена с общим эмиттером при частоте сигнала /с = 15 кгц на транзисторе П15, параметры которого ге — 150 ом, гэ — 30 ом, гк — 10е ом, С вк = 50 пф, а — 0,95 и / а = = 1,9 Мгц. Сопротивление источника сигнала и — 2 ком, сопротивление нагрузки в многоступенной схеме /?н = 2,5 ком, С н = 4000 пф. Вначале в соответствии с выражениями (7-76) — (7-82) находим параметры гибридной эквивалентной схемы транзистора: евэ 8кэ 1 _ а гэ 1 0,95 — 1,67 - 10 —3 сим; 30 = гк (1 — а) = 10« (1-0,95) ° °' 2 ' 1 0 _ 4 СиМ} Ж - . М 7 . Ю = = О Р 0 - М " •'»- • - » а = _ _ _ = = = = * 0,95 _ _ _ _ _ _ Ш; (2 + 0 , ! Б ) . 1 0 Г = ° - 4 6 5 • 1 0 - 3 О0 = Он + gк» = 2 5 1 [ 0 з + 0.2 • Ю - 4 = 4,2 . Ю - 4 сим. Воспользовавшись формулой (7-89), находим коэффициент 9 схемы с целью предварительной оценки расположения полюсов передаточной функции КЕ (р). Так как полученное значение коэффициента 9 = 0,12 несколько больше предельного значения <? = 0,08, то полюсы передаточной функции следует определять по выражению (7-88) Р1.2 = - (1 ± / 1 = 038). 11 7,45 6, ~ откуда 0,874 1 /Г = ~ -ТТ37Г 6, 1,146, = Л = 1 0,1340,' В соответствии с выражениями (7-85) и (7-91) коэффициент • lj L BK + С н • G0 1 0,333 • IQ" 8 2,135 • Ю Свэ , G + gB3 5 • I Q ' " - 3,17 • IQ- 3 -8 3 2,135 • 10~ • 4,2 • 10~ а коэффициент передачи согласно формуле (7-86) 0 = 4 n 2 ' . ю~5 1 ' ceK напряжения источника сигнала на низких частотах _ 0.465 • I Q - 3 - 3,17 • IQ" 3 Og К г,—8 CBKg _ 0,4 • 10(G + gB3) G0 4,2-ю-4 G0 (G + gB3) = 167 4,2 - Ю - 4 • 2,135 • Ю - 3 Следовательно, передаточная функция усилительного звена w /0\ 1 ' К& ^о w ' ^ (1 + 1,146,^) (1 +0.1346,р) ' Усиление на частоте сигнала сос = 2л/ 0 = 0,944 • 105 — определяется в сосвк ответствии с выражением /С£(Ие)- Ко V 1 + (1.146,a>c)a • У I + (0,1346,сос)2 16,7 У 1 + (1,12 • 1,14 • 0,944) 2 • У 1 + (1,12 • 0,134 • 0,944)2 16,7 1-57 • 1,01 = 10,5. Если, учитывая малое отличие полученного значения ^ от предельного, непосредственно при определении усиления пользоваться формулой (7-90), то ьг, ч К (шс) = 10 * Ко0 16,7 —= / да | / 1 + (6 1Шс ) 2 ] / 1 + (1,12 • 0,944)а 16,7 ,, _ , , . = 11,5. 1-44 291 Таким образом, в рассматриваемом примере аппроксимация передаточной функции К Е (р) функцией первого порядка (7-90) приводит при определении амплитудночастотных искажений схемы к ошибке, не превышающей 10%. § 4. Применение метода эквивалентных схем Р а с п о л а г а я эквивалентными схемами электронных приборов (и вообще любых много полюсных элементов), можно свести электронную схему к схеме с двухполюсными пассивными элементами и зависимыми источниками. В этом заключается сущность метода эквивалентных схем. Проиллюстрируем его применение на примере >©ТТ®* а З^исг а,к, I щг ^| I Рис. 177. Каскодная усилительная схема: а — у п р о щ е н н а я р а с ч е т н а я схема; б, в — э к в и в а л е н т н ы е схемы с источниками тока и н а п р я ж е н и я . анализа схемы каскодного усилителя. На рис. 177, а дана упрощенная схема этого усилителя, а на рис. 177, б и в — эквивалентные схемы, получающиеся при замене ламп их схемами замещения -с источниками тока (рис. 163, б) и с источниками напряжения (рис. 163, в). Пусть требуется найти коэффициент передачи напряжения. Д л я решения этой задачи можно воспользоваться любой из двух эквивалентных схем. При этом для схемы с источниками тока составляются уравнения по методу узловых напряжений, а для схемы с источниками н а п р я ж е н и я — уравнения по методу контурных токов. Эквивалентные схемы состоят из двух частей, но для определения коэффициента передачи напряжения достаточно воспользоваться только одной из них. Из рассмотрения эквивалентной схемы с источниками тока (рис. 177, б) записываем уравнения по первому закону Кирхгофа: (Gi, + Go) UCl - SJUс, + S2UC! + Gi2 (ивых + f / J = 0; Gi, (UBbn + UJ + S2UC, + GJJвы* = 0. Подставив значение управляющего напряжения UCl = UBX и исключив UC2, которое определяется из второго уравнения U + - Ц получим выражение - (Gi, + G2 + S2 + Git) Отсюда находим ^вых Кп = 47 + G^ ивых - StUBX = 0. -Si(Sä + Gj ^вх + °г> (О;, + С а ) + ( 5 , + Оа ' Умножая числитель и знаменатель на и переходя от проводимостей к сопротивлениям, получаем это выражение в другом виде ^ _ — М-1 (щ + 1) Яа и ~ 1 \ (l + ) (Я. + R,) + (1 + ßz) Аналогично поступаем и в случае, когда исходной является эквивалентная схема с источниками напряжения (рис. 177, в). Выбрав независимые контуры (для рассматриваемой части схемы имеем два контура), записываем уравнения по второму закону Кирхгофа: ц ^ с - ^ Л - Я , ( / , - / , ) = (); + RA/г/ 2 ) - ( Ъ , + Ra)/, = 0. Выразим управляющие напряжения Uc, и UC2 через контурные токи и / 2 и через входные и выходные напряжения: Uc, = Uвх; = / ? 2 ( Л — / 2 ). Подставив эти значения в уравнения схемы, получим: P I ^ B X — (Ri, + R2) h + R2J2 = 0 ; 1 ^ 2 (/l - /2) + #2 (/1 - /2) + Я а ) /2 = 0. Поскольку требуется определить коэффициент передачи напряжения ^ВЫХ Û UBX Ubk то из уравнений следует исключить ток / г . Из второго находим уравнения # „ + Я. + (1 + Иг) Яг /і ( 1 + щ ) Я г Подставив это значение в первое уравнение, получим выражение М^вх '2 + (1+14)*, = из которого после элементарных преобразований находим /, = • 2 ~~ Ці (1 + # / , [Я,;, + «а + (1 + Из) Я , Мї) Я 2 ] + Uв «» (Ri, + Яа) Коэффициент передачи напряжения ^ __ и ~ — M l -I- И;) R-Лі \ 1*1, + Яа + (Иг + 1) Я 2 ] + в Я 2 (Rit - Яа s 6 Рис. 178. Транзисторная усилительная схема с параллельной обратной связью: а — р а с ч е т н а я схема; б — э к в и в а л е н т н а я схема. как и следовало ожидать, совпадает с найденным на основе другой эквивалентной схемы. Применение метода эквивалентных схем к анализу схем с транзисторами принципиально ничем не отличается от применения его к ламповым схемам. Пусть, например, требуется найти входное сопротивление и коэффициент передачи тока низкочастотной усилительной схемы на транзисторе (рис. 178, а). Ее эквивалентная схема изображена на рис. 178, б, на основании которой записываем уравнения: fa + гэ) — гб12 — гэ13 = Uвх; — гбІ! + (лб + rK + /?„) / 2 — г к / 3 -г- - г т 1 э ; — rJl — Гк>2 + (г, + Гв + RH) / , = Учитывая, что / э = / 3 — Л, имеем: гтІ„ (г& + ra) 'і — гбІг — ral3 = UM\ - (rm + r6) / , + (r e + rK + /?0) / 2 - (rK - rm) / , = 0; (r m - Гз) / і — Г./, + (г, + rK — rm + RH) I з = 0. Поскольку требуется определить величины К ^ПЫХ _ _/з_. р _ и т _ Ц т 'вх 1\ В 'Х '1 то необходимо исключить из системы уравнений ток / 2 , который не входит в выражения для искомых величин. Из последнего уравнения находим и = 'к К'« - г э ) /г + (г э + Г к - Г т + /?„) / 3 ]. Подставив это выражение во второе уравнение, получим (гт + /о) и + Гб + Г + ; 'к Х» [(г т - Г9) + (г, + гк - г т + /?в) / 3 ] - - К - г т ) 1 3 = 0, откуда / _ ~ 3 Гк ('б + г э ) — (Гб + Ко) (Гт — ГЭ) (Гб + ГК + К„) К„ + (Гб + #„) (г э + гк - гт) + г к г э , 1 и коэффициент передачи тока _ к ' г к (г б + ГЭ) — (г б + К0) ( г т — г э ) (Гб + г к + К0) К„ + (Гб + К„) (Гэ + г к - гт) + г к г э ' Найдем входное сопротивление схемы. Подставляя значения / а и / 3 в первое уравнение, имеем (Гб + Гэ) и - у - (гт - гэ) и —у'к 'к (Г, + Г К - Г т + /?„) К / 1 1 - Разделив обе части равенства на / 1 , получим выражение Явх = '1 =тб + - ' К (Гэ + Г К - Гт + I I (г т - / - э ) Гк £„) + Гэ - /С/. После несложных, но довольно громоздких, с учетом выражения для /С/ находим преобразований ^вх — _ I (Гэ + г б ) (г к — гт) 4- г э (Гт + г б) I Яр + |(ГЭ + Гб) (г к + Кр) — г б (/-,„ - г 3 ) I (Гб + г к + Ко) К„ + (Гб + Ко) (г э +• г к — гт) + ГКЛЭ Из рассмотренных примеров ясна последовательность операций при использовании метода эквивалентных схем к анализу схем с электронными лампами и транзисторами. Она сводится к следующему: 1) в исходной схеме электронные лампы и транзисторы заменяются их эквивалентными схемами; 2) выбирается совокупность независимых токов и напряжений схемы и каким-либо способом составляются уравнения эквивалентной схемы; 3) управляющие токи и напряжения, от которых зависят источники эквивалентных схем, выражаются через токи и напряжения Рис. 179. Ламповая усилительная схема с катодной связью: а — принципиальная схема; б — э к в и в а л е н т н а я схема. 1 схемы, выбранные в качестве независимых переменных при составлении уравнений; 4) в зависимости от поставленной задачи анализа выделяются определяющие токи и напряжения, через которые выражаются искомые величины; 5) выражения для управляющих токов и напряжений подставляются в уравнения схемы, из которых исключаются все зависимые переменные, кроме определяющих токов и напряжений; 6) на основании соотношения для определяющих токов и напряжений записываются выражения для искомых величин. Ниже приводится еще несколько примеров, иллюстрирующих применение изложенной методики. Пример 9. Найти выражение для коэффициента передачи напряжения двухламповой схемы с катодной связью (рис. 179, а), считая лампы одинаковыми. Источник постоянного напряжения Ес служит для изменения начального режима схемы, вследствие чего изменяются параметры ламп, а значит, и коэффициент передачи напряжения. Эквивалентная схема с источниками напряжения приведена на рис. 179, 6. Выбрав два независимых контура, записываем ее уравнения: № + Як) /, - ЯЛ = р!/С1; - Я,/, + (2Я, + Яа) /, = - ц£/С1. Управляющие напряжения выражаются через контурные токи щим образом: и с1 = и в к — Я Л ; и Сг = — Як/Х. Так как необходимо найти — Яа/2 иВ и вх и / 2 следую- то определяющими величинами будут и ш и / 2 . Подставив значения управляющих напряжений в уравнения и исключив из них ток 1 1 , находим - р. (1 + (х) RK -U в (1 + ц) (2Ri + Ra) RK + (#, + #„) Отсюда коэффициент передачи напряжения к р (1 + р) RKRa + Ra)RK + (Ri + Ra)Ri = (l+^)(2Ri ' Пример 10. Найти входное сопротивление /? в х с и коэффициент усиления напряжения источника сигнала КЕс транзисторной схемы (рис. 180, а) с последовательной обратной связью на низких частотах. О $ а 6 Рис. 180. Транзисторная усилительная схема с последовательной обратной связью: а — расчетная схема; б — эквивалентная схема. Составим гибридную схему замещения транзистора (рис. 180, б), пренебрегая на низких частотах влиянием ее реактивных элементов. Данной схеме соответствуют уравнения: Е = (Яи + гб + гвэ + Яэ) Л + t/вх = ( ' б + ' в э + Я э ) h + Яэ/2; Яэ/2; U=gVB3Управляющее напряжение выражается через контурный ток / , ^вэ = r B3 /j. Так как необходимо определить Квх.с ' tVx _и т^ к / ^вых ЕЕ • —/?н/2 то определяющими величинами будут 1 1 , / 2 , (/ в х . Подставив значение управляющего напряжения в третье уравнение и исключив ток / 2 из второго уравнения, получим Rnv 1/вх сг = —f~ = гв + 'вэ + Ri (1 + grB3). '1 Так как grBS = ß, то KBX.c = r 6 + rB3 + 7?3(l+ß). Исключив ток / , из первого уравнения, находим КЕе ' S r BBRH U вых Z 7 „ + 6+ Ш R~±r6 + rB, + R3(\ +р) + R3(i+grB3) _ ßtf„ Сравнивая полученное выражение с уравнением (7-86), находим отношение коэффициента усиления схемы без обратной связи и с обратной последовательной связью К, Р К К ЕЕ + Явх, (7-93) Д я + Двх Решая выражение (7-93) относительно Д в ч с , получим формулу, отображающую влияние последовательной обратной связи по току на входное сопротивление ( р - !)• (7-94) Пример 11. На рис. 181, а приведена схема нейтрализации транзисторного усилительного звена высокой частоты последовательной ЯС-цепочкой, подключенной ко вторичной обмотке выходного трансформатора. В случае полной нейтрализации схема становится однонаправленной и при подключении к выходным узлам генератора Иъ входное напряжение Их = 0. Найти выражения, Рис. 181. Транзисторное усилительное звено с нейтрализацией: а — расчетная схема; 6 — эквивалентная схема. определяющие выбор величин элементов цепочки нейтрализации. Из рассмотрения схемы замещения (рис. 181, б) записываем для узлов б и в уравнения по первому закону Кирхгофа: •и х + пи2 1 Яп + /шС„ • 0; икз 1 /шСвэ и из , Гъэ Цг-и* Ь\ гб и,-ит 1 /юСвк Так как 1)х — 0, то система уравнений упрощается: иВЭ Яп 1 ]ч>Сп = п1/ггб; / И С Р К (І/, - и а э ) = и в э (/шСвэ -І- + \ ' ВЭ -Ц, •б / Определяя и2 через и в з из первого уравнения и подставляя полученное выражение во второе уравнение, после сокращения на £/ вэ находим (я /соСвк Яп- • 1 /шС„ пгб /о)С„ « I Гб х • /мСвЭ Н Свк "I" С в э Овк 1 Гъз 1 -ЬЯвэ^б /шСвк ь ~ Гб Приравнивая мнимые и вещественные составляющие правой и левой частей этого уравнения, получаем £ __ Свк _ п п(\+ёвэг6) / Ь-агб Г \ С п в к + Свэ 1< п = "'б — ^ Э да п г ( , С в э . Так как Ш3 (1 - а) ша К " соа пг6 (1 + \а) 2л[агэСвк § 5. Матрица схемы с зависимыми источниками Определение вторичных параметров на основе эквивалентной схемы связано с необходимостью составления ее уравнений и последующих громоздких преобразований. Этого можно избежать, если использовать методику определения матрично-векторных параметров, изложенную в гл. 2. Поскольку эквивалентная схема состоит из двухполюсных элементов, то формально можно записать ее матрицу []№]' и задающий вектор [ ф ] ' в некоторой системе координат (независимых сечений или контуров), определяющей вектор состояния [X]. При этом уравнение схемы запишется в виде ЮГ = т [X]. (7-95) Однако необходимо иметь в виду, что матрица [ № ] ' учитывает только пассивные двухполюсные элементы эквивалентной схемы (она всегда симметрична). Элементы вектора [ ф ] ' определяются не только задающими токами и напряжениями, но и зависимыми источниками, поэтому его можно представить в виде суммы двух векторов [<2Г = 1С] + [С]". (7-96) где [<21 — вектор задающих токов или напряжений и [С]" — вектор зависимых источников. Компоненты вектора [С?]" представляют собой некоторые линейные зависимости координат (элементов вектора состояния [X]). Эти зависимости можно представить матричным равенством [<2Г = - [ № ] " [ * ] . (7-97) Подставив это выражение в равенство (7-96), а затем значение [(2)' в уравнение (7-95), получим Ю ] - [ЙТ[Х] = т ' т , откуда Ю] = ( [ Г ] ' + [№]") [X]. (7-98) Таким образом, матрица схемы с зависимыми источниками может быть выражена суммой матрицы [ И П ' е е пассивной части и матрицы взаимосвязи [№]", связывающей с вектором состояния схемы, [И7] = вектор зависимых источников т " . [Г]' + (7-99) Как только получена матрица [НП, можно применять методику определения величин, характеризующих схему, изложенную в а * Рис. 182. Усилительная схема с составным транзистором: а — расчетная схема; 6 — эквивалентная схема. гл. 3. Матрица [У?]' всегда симметрична, а матрица как правило, несимметрична. Первую из них можно назвать пассивной матрицей, а вторую — управляющей. Рассмотрим, например, усилительную схему с составным транзистором (рис. 182, а). Ее эквивалентная схема с источниками напряжения приведена на рис. 182, б. Выбрав в качестве системы координат каноническую систему контуров, записываем матрицу сопротивления пассивной части схемы 1 2 3 / [2]' = 2 3 ~/?2 + «» + ' 6 , + ' » , - ч 'э, + 'к, + % + 'э2 #3 + ГЭ„ + гк2 -Я. Задающий вектор, каждая компонента которого равна алгебраической сумме напряжений независимых источников, выражается следующим образом: / [ Е ] = 2 3 Е Вектор зависимых источников записывается по тому же правилу, что и задающий вектор, т. е. 1 [£]" = 2 3 Ч'э, Л т/э 2 Выразим управляющие токи / э , и / э , через контурные токи: = — Л + Л; /э, = - / 2 + /3Тогда вектор зависимых источников принимает вид / 2 з [Е]" = / т Л + лтЛ ~гт, "'тЛ + 'тЛ тг /2 тг Квадратная матрица в правой части этого равенства и является матрицей взаимосвязи 1 2 3 \1\' = 2 ш, г т2 ~гт, Полная матрица сопротивления схемы в соответствии с равенством (7-99) Я і + Да + ' б . + ~ Г э1 + V 'з, 'э, + Ч + % - г э , + + \ ~ г , щ г т, Ъ + Ъ + Г э г + ^ - ' т , Легко подметить закономерность, по которой управляющие параметры (в нашем примере г т , и гШг) входят в матрицу схемы. Положение управляющего параметра в матрице схемы определяется связью зависимого источника и управляющей величины (тока или напряжения) с координатами схемы. Управляющий параметр вписывается в матрицу на пересечении некоторых строк и столбцов: номера строк соответствуют координатам, с которыми связан зависимый источник, а номера столбцов — контурным токам или узловым напряжениям, через которые выражаются управляющие величины. При этом, если зависимый источник и связанная с ним координата (сечение или контур) совпадают по направлению, а управляющая величина (ток или напряжение) также совпадает по направлению со связанной с ней координатой, то управляющий параметр вш.сывается в матрицу с отрицательным знаком. При изменении одного направления знак изменяется на обратный. Так, в рассмотренном примере зависимый источник первого транзистора характеризуется управляющим параметром г т 1 и управляющей величиной / Э1 . Источник входит во второй контур, а ветвь, в которой протекает ток / э ,, связана с первым и вторым контурами. Следовательно, управляющий параметр г т 1 следует вписать в матрицу схемы на пересечении второй строки с первым и вторым столбцами. Направления зависимого источника и связанного с ним второго контура совпадают. Поскольку управляющий ток / э , направлен противоположно контурному току и согласно с / 2 , то на пересечении с первым столбцом г т< вписывается со знаком плюс, а на пересечении со вторым столбцом — со знаком минус. Приведенное выше правило применимо для записи матрицы сопротивления, когда зависимые источники управляются токами, и для записи матрицы проводимости, когда зависимые источники управляются напряжениями. Пример 12. Определить коэффициент передачи напряжения схемы, приведенной на рис. 183, а. Эквивалентная схема с источниками тока 'показана на рис. 183, б. Для ее пассивной части матрица проводимости канонической системы сечений имеет вид 1 2 3 4 / 2 +\ (П' = 3 о к + с„ + с (1 -О0 4 -0„ с 2 + о0 + о,г Зависимый источник 81ис1 связан с узлами 2 и 3, причем направлен к узлу 3 и от узла 2. Управляющее напряжение 6'С1 = — и3. Поэтому управляющий параметр впишется на пересечении второй и третьей строк с первым и третьим столбцами с соответствующими знаками. Зависимый источник 52(УС1 связан только с узлом 4 (кроме базисного) и направлен от этого узла, а управляющее напряжение совпадает с узловым напряжением и 2 . Следовательно, управляющий параметр вписывается в матрицу схемы единственный раз на пересечении четвертой строки со вторым столбцом и знаком плюс. Итак, матрица проводимости взаимосвязи принимает вид 1 ИТ 2 3 4 5, -5, 52 а Рис. 183. Двухламповая усилительная схема: 6 а — р а с ч е т н а я схема; б — э к в и в а л е н т н а я схема с источниками тока. Полная матрица проводимости схемы получается суммированием матриц [ К ] ' и [К]" 1 2 3 - 4 (С,-, + 5,) щ Ок + 0„ + + 5, - С о с 2 + с„ + с ( г - С о Воспользовавшись формулой для коэффициента передачи напряжения при холостом ходе (табл. 7) и учитывая, что в рассматриваемом случае а = 1 и Ь — 4, имеем .-о _ Д14 Находим соответствующие алгебраические дополнения: «1 О, + С/, - (0<, + 5 Х ) Дц = — I — — С», Ск + + (?г, + 5 , 0 -О, 5 Дц 1 + Сг, - (О/, + 5,) О О О, 5, О к + О0 = = 5 , [О0С, + 5 а «?„ + С„)]5 -а. С,+0;, -№,+5!) -01, Ок + С„ + Сг, + 5, 0Х + с;, О, О, + 5 г - (0«, + 5,) °к + С„ 0 2 + в» + О/, о -Со <3и + = (О, + О.д [(О, + Сг,) (Ок + 0„) + о , (О/, + Вводя обозначения О' = Лу : Глава + + 0 0 [ О к (0, + С;,) + 0"— б 2 + О^ и в = + 5 , , получаем 5,1000, - 5 , (Ок + О0)] О" [ С (0 К + Со) + 0 , 0 ] + О0 [0 К 0' + О (О, + О МЕТОД ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА § 1. Параметры простейших четырехполюсников Как было выяснено в гл. 3, вторичные параметры схемы с одним входом и одним выходом определяются через первичные параметры эквивалентного четырехполюсника по формулам табл. 12. Если рассматриваемую схему удается представить в виде соединения более простых четырехполюсных подсхем, то параметры эквивалентного четырехполюсника можно определить через параметры составных четырехполюсников. Конечно, можно каждый раз при расчете схемы каким-либо способом определить параметры составных четырехполюсников. Но такой путь привел бы к нецелесообразной затрате труда. Более разумно заготовить таблицы параметров простейших четырехполюсников, часто встречающихся в соединениях, с тем, чтобы пользоваться ими при расчете конкретных схем. Можно указать два способа определения параметров четырехполюсника. Первый из них основан на использовании матрицы проводимости или сопротивления четырехполюсной схемы. Соответствующие формулы для расчета первичных параметров четырехполюсника по этому способу приведены в табл. 11. Второй способ основан на рассмотрении четырехполюсника при холостом ходе или коротком замыкании его входа или выхода. Требуемые режимы естественно вытекают из структуры основных уравнений (3-70) — (3-75). Пример 1. Выразить первичные параметры четырехполюсника, представленного на рис. 184. Обозначив контуры схемы, как показано на рис. 184, а, записываем матрицу сопротивления схемы 2, + 2, -г. -2г 22 + 2 3 [2] = Определитель этой матрицы Д = сЫ [2] = 2 ^ + (2Х + 22) 23. По формулам табл. 11, учитывая, что в рассматриваемом примере а = 1 и Ь = 2, находим первичные параметры четырехполюсника: ' [2 2 -Ь 2 3 — 2г 2]2а -(- ( + 22) 2 3 • + 22) [г] = 2Х +2 г 2о — (22 + 23) 1 2 1 2 г + (2! + 22) 2 3 о М] = 6 2 2 Н- 2 3 -1 22 Ь и_Ы1 А, ^ 1 1 22 [/] = 2 + 2 а г 22 2,2 г (2[ -]- 22) 2; Чь'О + 22 2 1 2 г + ( 2 , + 2.2)23 [а] == 2г г , 22+23 Рис. 184. Схемы для Г22 + 2 3 - 2 г 2 г - (2, + 2г) 23" [*>] = • определения парамет2г [ - 1 + 22 ров четырехполюсника: Определим, например, матрицу [/] из опытов хо- а,— по матрице сопротивсхемы; б — в релостого хода и короткого замыкания. Из уравнений лений жиме холостого хода на выходе; в— в режиме ко= /вх /и^вх + / 12/выХ; роткого замыкания на входе. С/вых = /гх^вх + /гг' вых видно, что параметры / п и /21 определяются при холостом ходе на выходе четырехполюсника. Из схемы рис. 184, б находим 1 /и ^ВХ //„.„= О 2, + 22 • 2а I ) 2, +22 • \ у вх // ВЫ х=( Параметры /12 и /22 определяются при коротком замыкании на входе. Из схемы рис. 184, в имеем 2, кг = 2і + 22 ' и вых 2х22 2 1 г 2 + ( 2 1 + 2 г )2 3 /га — Свх=0 = - 2 8 4 2х + 22 2Х + 2 2 /21 = = и ш Х Аналогично можно определить и другие параметры четырехполюсника. Как видно, второй способ связан с громоздкими вычислениями, но он указывает пути экспериментального определения параметров четырехполюсника и в этом его значение. Первичные параметры, включающие индуктивные связи между элементами, проще определяются через матрицу сопротивления схемы. Пример 2. Определить параметры четырехполюсника с индуктивными связями, схема которого приведена на рис. 185. Для выбранной системы контуров матрица сопротивления схемы имеет вид Z,+Z2 + 2 ZM — (Zo + ZM) 12| = Z, - (Z, + 7,м) По табл. 11, учитывая, что а • 1 и b — 2, находим: Z2 - (Z, + ZM) 1 w\" z,z 2 'M Z2 + ZM Z, + Z2 + 2Z_, Zt + Z2 + 2ZM (Z2 + ZM) Z, z* + z M zM = z7 1/1 = Z z„- 1 z, + z 2 + гг Л Z* + Z. 2 + ZM —1 z2 + zM 'M Z\ + z 2 + 2Z y ZjZ2 z. Z, I b], z , + Z. z,z. ZM 'M ZjZ2 Z, + Z2 + 2Z M В табл. 30 приведены первичные параметры простейших четырехполюсников, в которые входят только пассивные элементы. Матрица [6] в таблице отсутствует, так как она не Рис. 185. Схема для определения имеет практического значения при параметров эквивалентного четы- анализе схем методом четырехполюсрехполюсника с индуктивными ника. Элементы некоторых матриц обсвязями. ращаются в бесконечность, поэтому соответствующие места таблицы остались незаполненными. Матрицы электронной лампы и транзистора, рассматриваемых как простейшие четырехполюсники, можно получить непосредственно из уравнений, связывающих токи и н а п р я ж е н и я наэлектро- дах посредством низкочастотных параметров. Т а к , уравнения электровакуумного триода 'с=0; / а = 5(у с + о,г/ а с учетом зависимостей между внешним» токами и напряжениями триода и условными обозначениями токов и напряжений четырехполюсника (рис. 186) приводятся к виду /в* = Г 0; /вЫХ — вых. а Сравнивая полученные уравнения с уравнениями (3-70), получаем 0 [у] = 0 " — О,. ~ 1 • 0 К, - 1 1 0 /вх = 5 { 7 в х — Оа'-Овых'Оек 1вы. Гц - 1 (8-1) Матрицы остальных параметров трехэлектродной лампы, как четырехполюсника, при включении с общим катодом можно определить по формулам перехода (табл. 9). Если общим электродом является сетка, то / в х = / в ы х = — / а , и а = иъЬ1Х — — £/ вх и и с = — и в х (рис. 186, б), следовательно, уравнения четырехполюсника принимают вид: 5 1 ^ ( и в ы х — ^вх) — о 1>с'и1* -ивш г>,' Тс ) ^ о Твых'Та о Рис. 186. Схемы для определения матрицы трехэлектродной лампы при включении по схеме: а — с общим катодом; б — с общей сеткой; в — с общим анодом. / вых = ( 5 + в с) и ь х — 0 , ( / в ы х , откуда матрица проводимости четырехполюсника 5 + С, — О/ - 1 1 ц+1 [у] = 5 + 0 , -О,] К/ ц + 1 - 1 (8-2) Когда общим электродом служит анод (рис. 186, в), входной и выходной токи четырехполюсника совпадают соответственно с сеточным и анодным токами лампы, а 1/с = (УВх — и вых и £/ а = —(7В ых. Следовательно, уравнения запишутся в таком виде: /вх = 0; /вых = 5 (£/ в х — и ных) 6,(7вых = 5 £ / в х — ( 5 + б , ) и вых, и матрица проводимости 0 \У\ = (5+ОД 1 К/ о (8-3) Матрицы четырехполюсников, представляющих собой электронные лампы на низкой частоте без сеточных токов, приведены в табл. 31. Д л я всех трех схем матрица [г] не существует, так как ее элементы обращаются в бесконечность или неопределенность. Д л я схем с общим катодом и общим анодом не существует т а к ж е матрица Ш . Матрицы высокочастотного триода в различных схемах включения, рассматриваемых как простейшие четырехполюсники, можно Гц Уса ІІш -ФЙГ ІЬ -сз У„ 5ие у*« ак і Рис. 187. Схемы для определения параметров эквивалентного четырехполюсника для высокочастотного триода при включении по схеме: а — с общим катодом; б — с общей сеткой; в — с общим а н о д о м . получить на основании его эквивалентной схемы (рис. 187). При этом воспользуемся матрицами проводимости различных схем включения высокочастотного триода, которые запишем по правилу, изложенному в § 5 гл. 7. Обозначив узлы, как указано на рис. 187, соответственно получим: Кск ^са — ^са (8-4) Шк = - Кса + Я Кск + ^ак + ^ ^ ак ^са ^ак (8-5) т — ^ак — ^ ^ск 4" ^са ^ак + ^ са ^Ск [У] (8-6) — Кск — 5 ^ск + ^ак + 5 где индексы указывают общий электрод лампы. Параметры четырехполюсников находим на основе формул табл. 11. Они приведены в 1 Й< со + * + О со 1 СО СО + X + to + X со + + та СО +- + .< XJ + со - Х- + + 1 со + со Z СО + со < "Г * я со X + со ü СО со со СО + + и X + СО X <1 + «са + + X СО а - < + + со а СО - + aS X • -s S « I SCOSHі er СО X со + I «со СОи Ь Ь X + S to I са о <3 і Xі СО U X - f * СО X < со табл. 32. На низких частотах У с к = Y ca = 0, Y aK = G,- и А = 0. При подстановке этих значений в табл. 32 матрицы принимают значения, приведенные в табл. 31. Параметры транзисторов на низких частотах по существу определялись как параметры четырехполюсника. Разница заключается лишь в том, что при этом было принято считать протекающие через h-'ht/x I,-If, электроды токи направленными внутрь четырехполюсника (рис. 75). Таким образом, в уравнениях транзистора для всех схем включения напряжения U x Рис. 188. Четырехполюсник, и U2 совпадают с направлениями внешэквивалентный транзистору. них напряжений четырехполюсника UBX и Uвых и ток / х совпадает с входным током четырехполюсника / в х - Но выходной ток / в ы х четырехполюсника оказывается противоположно направленным току / 2 транзистора, т. е. / 2 = —/ В Ы х- Следовательно, основные уравнения (4-36) — (4-38) транзистора на низких частотах, если его рассматривать как четырехполюсник (рис. 188), принимают вид: о 7вх = ё и ^ в х + ёи^вых". (8-7) I ВЫХ — Sn^BK §22^ вы! г Ubx — и / вх Г 12^вых! (8-8) U ВЫХ = І" 2і/вх А 22^ВЫХ> и вх = hnl вх + h12^ U 12 вых, (8-9) 'вых /ї 2 і/вх • h 2 2^ выхСравнивая эти уравнения с уравнениями (3-70) — (3-72) четырехполюсника, получаем выражения д л я матриц четырехполюсника соответственно через g-, г- и /г-параметры транзистора: в 1 1 [у] = 12 ёп г [.г] = (8-10) — S 22 г п її (8-11) ' 22 '12 '11 (8-12) • ^22 . Воспользовавшись зависимостями между параметрами четырехполюсника (табл.9), можно найти выражения для всех матриц четырехполюсника, через низкочастотные параметры транзистора. Они приведены в табл. 33. Эти формулы справедливы для любой схемы включения, если под г и /г понимать соответствующие параметры. Например, для схемы с общей базой г h 1 " кбГ иб ЇМ n6 1 ^226 1 1 [d\ = [а] = - £216 .і^бі S116 г гіб 1 Г 22б h-пб h22б 1 . Таблица Матрицы параметров на низкой частоте четырехполюсников, представляющих 33 транзистор Параметры транзисторов Матрицы четырехполюсника ёи ё\2 ёп —е-п 1 И [у] — 1 §22 і-§21 И §12 1 [а] ё-п Г Г 21 ~ 11 Г Ч2 1 И» /21 Гю 1 Щ '!12І Ни "І 1 щ - ^22 Л21 'г12 І'Ч Л„1 іЛї ' Н п 1 Гц И 21 .1 '22 1 И =Г И Г 23 — = ,/їог — — Мгі Г |§| = §11^22 ~ А„ І М -Лі2І /і21 1 г п 1 1 ^*12 Гц '21 — И 812 -1 Л„ К Ч ^22 ^12 У 2\ \ё\ 1 \1 11 §22 1 -|§| §11 — Г 22 Г ёи 1 1 - 1§| §22 1 ём [/] Г Г - ё и 1 —1 §п~ ёи Щ Л Г е г ё,2ёи г \ї гх — Параметры четырехполюсников, представляющих транзисторы на высоких частотах, можно получить на основе высокочастотных эквивалентных схем. Так, если исходить из гибридной схемы замещения транзистора (рис. 177), то для схемы с общим эмиттером (рис. 189) матрица проводимости " « б §б + §вэ + - ^ б рСвЭ + £ в к + — 8вк — р С в к + рС№ § §ВК §вк + Р^ВК РС вк + £кэ Найдем, например, матрицу [у 1 четырехполюсника. В соответствии с табл. 11, учитывая, что а = 1 и Ь — 3, имеем: и у А _ У п зз Д _ _ П,33 — А 31 _ Ли ,33 £б^вэ + §вк + Р(Свэ + Свк)1 . 8б + ёвЭ+8вк+Р(СвЭ — ёб (ёак + ёб + ёвэ + ёвч + Свк) рСвк) ' . ~Ь Р (СвЭ + Свк) ' У 21 ёб (£вк — ё + РСвк) ёб + ёвэ + £вк + Р (Свэ + Свк) ' А п.зз д„ У 22 == 11,33 _ _ (г вк 4- рс вк ) & + Яб + йвэ + йкэ + рСВэ) -I- Якэ (Яб + я в э + рс пз ) _ ёб + ёвэ + ёвк + Р (Св Э + Свк) Обычно > §кэ > £вк, проводимость £ одного порядка с п р о в о д и м о с т ь ю а Свэ С в к . С учетом этих соотношений выражения для параметров четырехполюсника можно упростить: ёвъ + рСпэ 1 + г6 (£вэ + рСвэ) ' Уп~ _ У12 ~ Уп ё . • + Гб (ёвэ + рСвЭ) ' ~ - (£кэ 4" У2 Рис. 189. Гибридная схема замещения для определения матрицы транзистора. ёвк + рСвк 1 4 гб (Янэ + рСвэ) ' + рСт) — ё (ёвк 4 рСвк) г б і + гб (ёвэ 4 рс в9 ) На основании табл. 33 и полученных формул найдем выражения низкочастотных ^-параметров транзистора через элементы гибридной схемы: £п = (Уп)р=о = ^12 — І//і2ІР=0 = ёвк 1 + Гб^вэ ' ё §2і = [ - ^ « Ь - о = г + 7 ^ 7 ; ОО —• !/22ІР=0 = £кэ + g^бgвк 1 + Гбёвз Теперь г/-параметры четырехполюсника можно записать через низкочастотные £-параметры транзистора: 011 Яі2 011 = - _!_ . gllЛб + Ртв . Гб 1 + ртв рСв К 1 + 'б&'вЭ 1 + РТВ = 1 +рхв Й12 — рСвк . 1 + РГВ У 22 = — РС в ёцГбрСвк 1 +ртв а £кэ + + 1 + ГбЯвэ 1 +ртв 4-1 />Ь пС ВК 4+ Р^бС , + р Твкв где б т„ = 1 + Гб^вэ Аналогично определяются и другие матрицы четырехполюсни ков, представляющих транзисторы на высоких частотах. Вторичные параметры схем, приведенных к четырехполюснику, находятся в соответствии с формулами табл. 12. Пример 3. Для схемы с общим эмиттером на транзисторе ГТ309Д, рассмотренной в примере 4 гл. 7, найти коэффициенты усиления напряжения и тока н входное сопротивление. Коллекторная нагрузка = 3 ком (Ун = 0,33 • Ю - ' 1 сим), а параметры транзистора в рабочей точке: /1Иэ = 2,8 ком\ /г12э = 2 • 10 /г21э = = 60; И22э = 50 • 10~ 6 сим. На основании формул табл. 12 искомые вторичные параметры могут быть найдены по ^-параметрам четырехполюсника, представляющего транзистор: к, = У» ^22 йиУк-\Л\ Квх = ^и + ' ^12^21 Пользуясь табл. 33, находим эквивалентные ^-параметры четырехполюсника: ; ;<1 =— Л1;Л12э; ^21 411 =—АА11э с1 А21Э; й.п И22э. и 12 11э Следовательно, — 2,8 • 103 • 50 • 10~в + 2 • Ю - 3 • 60 = IЙI = — 140 10 _а + 120 • 10~3 я - 6 0 • 0,33 • 10~ 0,33 • 10 _3 + 5 0 • 10" -60 Ки = 2,8 • 103 • 0,33 • 10" К, = • 2 - 1 0 I—2. ,-3 СО • 0,33 • 10 - = — 52; 0,38 • 1060 2 • 10— 0,926 - = — 65; 120 • Ю - ' 2 • 10~3 • 60 3 — = 2,8 • 10 0,38 • 10" 0,33 • 10 ! + 50 • 10' = 2,48 • 103 ом. Пример 4. Для схемы с общим эмиттером на транзисторе П5В, представленной на рис. 138 и рассмотренной ранее в примере 5 гл. 7, определить выходное сопротивление. При этом в точке покоя заданы /г-параметры для схемы с общей базой: А и б = 28 ом\ Н12б = 0,25 • Ю - а ; 1г21б = —0,985; й22б = 2,8 • Ю - 6 сим, а эквивалентное сопротивление в контуре базы 7?и = 9,3 ком. 3 Лвх = 2.8 • 10 - Прежде всего, пересчитаем /г-параметры для схемы с общим эмиттером, пользуясь формулами табл. 16: Аб | = 28 • 2,8 • Ю - " + 0,985 • 0,25 • 10' ~ = 0 , 3 1 • Ю ; 3 /'пб А, э ~ _ 28 1 + А 2 1 б |Аб \ ~ b n e = ' Аздб ^223 1,87 • Ю3 ом; 1 - 0 , 9 8 5 _ • Ю - 3 —0,25 0,31 1 - 1 +Лгіб А 2 1Э - 3 10~3 . 4 - 10" 0,985 • ' ! 21б 1 + Л21б 1 - 0,985 2,8 • 10~" ' + К\6 - 0,985 1 — 0,985 : 65,6; = 187 • 60-® сим. С„ і—_—/ — (Г нагрузкой: Рис. 190. Усилительные звенья с комбинированной а — с высокочастотной к о р р е к ц и е й ; б — с и з б и р а т е л ь н ы м к о н т у р о м . Если известны /(-параметры транзистора, то вторичные параметры схемы удобно определять через ^-параметры эквивалентного четырехполюсника, так как АПэ> "12 • Л12Э; 4ц 1 — Л 2 1 э и < 4 , = А 2ЭВ соответствии с табл. 12 2 — Квьтх = 1 8 7 - 1 0 " + 4 • Ю - ' 3 ІЦ + «и ' • 65,6 1,87 • 103 + 9,3 • 103 163 • 10-"сим, откуда 103 Явых = 6,2 • 103 ом = 6,2 ком. 163 Пример 5. Найти коэффициент усиления по напряжению схемы с общим катодом на пентоде (рис. 190) с комбинированной ИЮ нагрузкой. Пользуясь табл. 32, выписываем матрицу четырехполюсника, представляющего ламповую схему с общим катодом, [у] = ск + ^ с а 'Уо .^са " • 5 ' са - ( К а к + Гса)] Коэффициент усиления по напряжению в соответствии с табл. 12 к К и г д е 1/21 = 516 кса — 5 и _ ~ 1/22 = — ( Г а к + У н - у ^са)- Для рассматриваемых вариантов схемы F c a = рСса. Уак — рСак, так как внутренней проводимостью пентода можно пренебречь. В усилительном звене с высокочастотной коррекцией (рис. 190, а) проводимость нагрузки 1 Уи = рСн + Ra+pL Поэтому рСса Кп = Ra + pL S (R. — S + рС„ + р (С ак т ^са) + pL) S ^ С 0 + р/?аС0+1 p + С0 р3 + R.JL р/?а/, + (8-13) 1 • ЬС0 где С 0 = С н + С с а + с а к . В избирательном усилительном звене (рис. 190, б) параллельное сопротивление Я соответствует сопротивлению контура на частоте резонанса м0 и может быть выражено через сопротивление катушки индуктивности г или ее добротность Проводимость нагрузки схемы У в = рСи + ± + - ± - , а коэффициент усиления по напряжению рСса - 5 К,,= ПГ Р 1 4н -4- ~~R~ 1 4-П(Г ~pZT Р _ 4-Г ак 1 SpLR P*LCa+PL + R са S р (8-14) RC0 Выражение (8-14) применяется также в случаях, когда проводимостью лампы Ri пренебречь нельзя и имеется дополнительная нагрузка схемы Rи, при этом о А = 1 Rl , 1 1 1 Ri R„ Я^/Л „ RiRu + RiRl + RhRl § 2. Простейшие соединения четырехполюсников К основным соединениям четырехполюсников относятся последовательное, параллельное, этажное, этажно-параллельное и параллельно-этажное соединения (рис. 191). При последовательном соединении (иногда его называют каскадным или цепочнвш соединением) двух четырехполюсников внешние токи и напряжения связаны между собой зависимостями, указанными на рис. 192. Одним и двумя штрихами обозначаются величины, относящиеся соответственно к первому и второму четырехполюсникам, а величины без штрихов — к эквивалентному четырехполюснику. Пусть исходные уравнения составных четырехполюсников заданы в виде: ^ /вх I вых „ ~ит - ВЫХ [а]' = /вх . „ ^ВЫХ = Ы" 1 вых _ Рис. 192. Последовательное соединение четырехполюсников. Тогда, учитывая, что ~ивх ^ вых и ;х" ^/вых ^/вых > /вых , 1 вых /вх / вых получаем уравнение лля эквивалентного четырехполюсника ик V вх = [а]' Iа]" _ 1 вх I ВХ Таким образом, матрица [а] эквивалентного четырехполюсника равна произведению матриц \аУ и [а 1" последовательно соединенных четырехполюсников, т. е. [а\ = [а]' [а]". (8-15) При последовательном соединении нескольких четырехполюсников их матрицы [а] перемножаются в той последовательности, в какой следуют соответствующие четырехполюсники: (8-16) [а]<"> = П [а1<г>. \а\ = \а\' |а\" Пример 6. Определить первичные параметры четырехполюсника, представляющего избирательную усилительную схему (рис. 193), а также найти коэффициент передачи напряжения схемы. Схема представляется в виде последовательного соединения четырех четырехполюсников: лампы с общим катодом (/), проводимости У, = рС1 (//), индуктив- " 0 1 7« !Ц №I ! 2,\ /// д Рис. 193. Избирательная усилительная схема: а — р а с ч е т н а я схема; б — ее п р е д с т а в л е н и е единением простых ч е т ы р е х п о л ю с н и к о в . последовательным со- но связанных двухполюсников 2Х — г1 + и = г2 -)- р£ а с сопротивлением взаимоиндукции гм=рМ (111) и проводимостиТ2=рС2 (IV). Выписав матрицы [а] составных четырехполюсников из табл. 30 и 31, в соответствии с формулой (8-16) [а] = [а]' [а\" [а]"' [а]/1/ • г, 1 Я, о г1г, — г м -м Матрицы перемножаются попарно, так что последовательно получаем: 1 1 + Я,К, Я, [а]' [а]" = о о [а|у \а\"\а]'" 1 = КУ, 0 -• (1 + Я ^ ) + Я, Я/ 0 ^, 1 1 (1 + Я Л ) (2^2 - Л;и) + о [а) = 1 р.2 ( 1 + /?,К1)21 + ^ 0 г. о (1 + Я Л ) (2х22 0 Я;22 Коэффициент передачи напряжения при холостом ходе в соответствии о табл. 12 выражается формулой ( \ = _1_ \ а п + а ц2ц /2н=оо аи что после подстановки значения а и дает к- О' Кц (1 + ЯК,) г, + Я + [(1 4- Я Л ) ( 2 А - 2^,) + Я Л ] К2 При параллельном соединении четырехполюсников (рис. 194) внешние токи суммируются, а напряжения являются общими: /вх " " 4 ' = /вЫХ ^вых '£/вх " 'і/« + /вх " _ і вых ~и" т ' г .^/вых и вых. Воспользовавшись уравнениями составных четырехполюсников: "/вх " ^вых "г/« " = [0|' „ ивх ^ вх ^вых _^вых _ = [0]" ' можно с учетом зависимостей между токами и напряжениями записать и и в = 101' и' /в Отсюда находим, что + Ц/Г = ы +10]") Вх ^пых (8-17) Ц/1 = І0І' + І0І". т. е. при параллельном соединении четырехполюсников их матрицы \у 1 суммируются. Этот результат можно распространить на любое число параллельно соединенных четырехполюсников [0] = [0]' + [уУ + • • • + Рис. 194. Параллельное соединение четырехполюсников. + 1 0 ] ( п ) = £ [01 ( °. г=1 (8-18) Пример 7. Определить матрицу [у] схемы с параллельной обратной связью, приведенной на рис. 195, и найти выражения для входной проводимости К вх с и коэффициента усиления напряжения источника сигнала К Ео на низких частотах. Представив схему в виде параллельного соединения двух четырехполюсников и выписав их матрицы [у] из табл. 30 и 33, по формуле (8-17) имеем [У] = [УХ + (У)" §11 §12 §21 §22 + -Кп Сложив матрицы, получим 11/1 = §11 + К0 §12" - § 2 , + К, -(§22 + У„) Ус а Рис. 195. Усилительная схема с параллельной обратной связью: а — р а с ч е т н а я с х е м а ; б — ее п р е д с т а в л е н и е п а р а л л е л ь н ы м с о е д и н е н и е м п р о с т ы х четырехполюсников. В соответствии с табл. 12 входная проводимость К вх и коэффициент передачи напряжения генератора выражаются через элементы матрицы [у] формулами: У12У21 Ун — У22 ' •Уи К,Е У2\У» (У» + Уи) (Ун — Ум) + У12У21' Подставляя значения первичных параметров рассматриваемой схемы, находим: к КЕ с ~ „х.с = §11 + К о ' (§12-Ко) (§21-К 0 ) Кн + К о + f e (~§21 + К 0 )К и (К И + § п + К0) (Кв + Уо + g22) - (§12 - к0) (§21 ~ К0) При отсутствии обратной связи (К0 = 0) искомые вторичные параметры принимают значения: Квх = §„ — К, §12§21 К„ + §22 ' -§2lK H (Ки + Sil) (Кн + §22) — §12§21 ° В предположении, что Ко <С §21 и что обратная связь не изменяет величины сопротивления нагрузки, т. е. £22 + Кн > К0> находим отношение коэффициента П 1—837 321 усиления схемы без обратной связи и с обратной параллельной связью ^ = Уи + Дц + К0) (Ун + ^о + 822) ~ ~ Ур) (г м ~ К») (У- + £и) (V» + 822) — 812821 /с£ с (§12 ~ V« + §11 + ^о • Уд) (821 - У о) ^и + У т Уи + V» У*+Ур+8-22 V 4- I <Г §12§21 (8-19) Решая выражение (8-19) относительно У вх с , получим формулу, отображающую влияние параллельной обратной связи на входную проводимость, ^х.с = ^ В х + 5 / и ( ^ - 1 ) . (8-20) При этажном соединении двух четырехполюсников (рис. 196) суммируются напряжения, а токи являются общими: ит ' + и ВХ . и ВЫ X . и ВЫ X і вх ' /вх " ^вых /вх ^вых _ /вых /вых Рис. 196. Этажное соединение четырехполюсников. Рис. 197. К определению матрицы схемы о индуктивными связями. Воспользовавшись уравнениями составных четырехполюсников: " 4 ; ' = \г\' . . ' НЫХ ^ в ы х / в х = [г]" /вых, вых с учетом зависимостей между токами и напряжениями имеем ^вх " " /вх " = [2]' ^ вых / ВХ + [2]" / вых _ /ВЫХ . / вх = ([2]' + [г]") 'вы Отсюда находим, что [г] = [гГ + [г]", (8-21) т. е. при этажном соединении четырехполюсников суммируются их матрицы Ы . Пример 8. Определить матрицу [г] схемы, приведенной на рис. 197, а. Представив схему в виде этажного соединения двух четырехполюсников (рис. 197, б) и воспользовавшись их матрицами (табл. 30), по формуле (8-21) находим 23 — 2, + 2 3 -м 1г] = - 2 , •2, + 2з — 2 3 =г - 2 М + 2 3 (22 + 23) Таблица 34 Основные соединения четырехполюсников Соединение Схема Формула Последовательное 1«) = [а]' 1 аГ Параллельное 1 У] = 1УГ +1 У]" И' (г] = [г]' + [г]" Этажное > Этажно-параллелыюе М = +ИГ [/] = ! / ] ' + [ / ] " Параллельно-этажное ['Г I_ Аналогично можно показать, что при этажно-параллельном соединении (рис. 191, г) суммируются матрицы [с?], а при параллельноэтажном соединении (рис. 191, д) — матрицы [/]. Основные соединения и формулы для расчета параметров эквивалентного четырехполюсника приведены в табл. 34. § 3. Применение метода четырехполюсника к анализу электронных схем В предыдущем параграфе метод четырехполюсника применялся к расчету схем, которые приводятся к однородным соединениям. В общем случае для представления схемы может потребоваться не один, а несколько различных видов соединений четырехполюсников. Такие соединения называются неоднородными. Основной особенностью расчета неоднородных соединений является переход от одной системы параметров четырехполюсников к другой с помощью зависимостей между параметрами (табл. 9). Проиллюстрируем применение метода четырехполюсника на примере анализа схемы, представленной последовательным соединением трех Рис. 198. Усилитель с обратной связью: четырехполюсников, которые, а — п р и н ц и п и а л ь н а я схема; б — ее представв свою очередь, соединены пал е н и е соединением п р о с т ы х четырехполюснираллельно с четвертым четыков. рехполюсником (рис. 198). Воспользовавшись табл. 30 и 31, на основании формулы для последовательного соединения (табл. 34) запишем [а]С-"'> = [а]1 [а]" [а]'" = 01, - о 1г о С/, о о 1 о 1 (0и + У2)01г Ос, + У, 0 0 Чтобы применить дальше формулу для параллельного соединения четырехполюсников, необходимо перейти от матрицы [а]{,~,,1) к матрице [у]и-",). В соответствии с табл. 9 имеем |/,1</—///) _ , 0 0 По формуле для параллельного соединения, воспользовавшись табл. 30 для четвертого четырехполюсника, находим [у] = ДО'-'"» + Ы т 5 Л + + - — (Ог, + К2) + П 1 - К 'я 3 . 3 Таким образом, матрица эквивалентного четырехполюсника имеет вид у 1 + Уа \ + \у\ = У -(0 + У) + 9 (! 3 Теперь по формулам для вторичных параметров (табл. 12) можно найти любую интересующую нас функцию схемы, например, входную и выходную проводимости: ' Ун — Ун + в. Ун + К3 (У» + С,., + к з ) (0(> + К2) У « - - Л , + > ( о ~ + Т Т + Кз) К, + К3 + Ки - £ $ 7 - 0 « . + Г . (О,-, + г«) (0(1 + + У«) К2) (К, + К3 + Ки) •У.. Из приведенного примера ясен порядок расчета схемы при использовании метода четырехполюсника. Он сводится к следующим операциям: 1) исходная схема представляется соединением простейших четырехполюсников; 2) по формулам табл. 34 рассчитываются однородные соединения путем соответствующих операций над матрицами составных четырехполюсников, которые выписываются из табл. 30—33 или из других источников; 3) если схема приводится к неоднородному соединению четырехполюсников, с помощью табл. 9 переходят к матрицам тех типов, которые требуются для дальнейших расчетов. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получена какая-либо матрица эквивалентного четырехполюсника; 4) в зависимости от условия задачи по соответствующей формуле (табл. 12) на основе матрицы эквивалентного четырехполюсника записывается выражение для искомого вторичного параметра; 5) полученное выражение приводится к удобному для последующего анализа виду или выполняются соответствующие численные расчеты. Ниже приводится несколько примеров на применение метода четырехполюсника к анализу электронных схем. Пример 9. Определить коэффициент передачи напряжения каскодной схемы (рис. 162, а). Схема приводится к последовательному соединению трех четырехполюсников с нагрузкой # (рис. 199). Применяя формулу (8-16), будем иметь 1 01 1 Р >1 о] О, 1 ( ц 2 + 1 ) 1 . 0 1 0 1 щ+1] 1 | 0 і , + °2 П 1 Ї (щ + 1) 1 0 о] 10 р 2 + 1 Таким образом, матрица эквивалентного четырехполюсника 1 Оч + 1) [а]: ^ + 0а О (О^ + О ^ + Оц-Н) о В соответствии с табл. 12 коэффициент передачи напряжения четырехполюсника с нагрузкой Я выражается через элементы матрицы [а] формулой Я, «12 + «11^3 Подставляя значения ап и а12 из матрицы [а], получаем Кц • к и = (О,, + 02) (|л г + 1)К а + (р2 + 1) + £>а + с,І2) • или после преобразований Ки = А Ї ~ Мі (Иг + I) Я,(1 + - } £ - ] < * . + *<,) + ( И . + 1)*/, I її ш Рис. 199. К определению параметров эквивалентного четырехполюсника, представляющего каскодную усилительную схему. Пример 10. Найти коэффициент передачи напряжения и входную проводимость катодного повторителя (рис. 200, а). Упрощенная схема для переменных составляющих (рис. 200, б) приводится к неоднородному соединению четырехполюсников (рис. 200, в). Рассчитываем сначала последовательное соединение двух четырехполюсников 1 г5 + 0г + 0 к 1 5 + О, 1 "1 0 0 0 Юк 1 ~ Н Переходим к матрице \у] по табл. 9 т о -(5 + С- + 0 к ) Находим матрицу \у] эквивалентного четырехполюсника \у\ •= [у\и~И) + \у] - (Я + О, + Ок) 00 — [ 5 + 0 о - (5 + С, + Ок + Ос) По формулам табл. 12 имеем (при холостом ходе): ь-0 Уг 1 . уО _ „ У\гУг\ г в Рис 200. К анализу катодного повторителя методом четырехполюсника. Подставив значения элементов матрицы [у], получим V» вх _ "~ Г. 5 +Ос к-0 К и = Б + О,+ 0„+ Оа Ос (5 + О ) _ л ,, А-0 1 — °с (О; + бк) с< 5 + 0 , + 0к + 0 с 5 + О,- + Ок + Ос • С Заметим, что рассматриваемую схему можно свести к однородному соединению двух четырехполюсников, если двухполюсник б к рассматривать как нагрузку (рис. 200, г). По формуле (8-17) имеем 0 0 5 • (5 + а,) Б + вс - (5 + О, + вс) В соответствии с табл. 12 для искомых величин используем выражения УугУгх ьУгі Уи + Ок — I/ж После подстановки значений элементов матрицы [у] получаем Л и Кпх ~ 5 +Ос 0 к + 5 + 0, + 0 с Ос (5 + Ос) 0 к + 5 + 0г + 0, °с : Ос (Ок + в,) Ок + 5 + Ог + Ос т. е. приходим к тому же результату. Пример 11. Определить коэффициенты передачи тока и напряжения, входное сопротивление и выходную проводимость схемы, приведенной на рис. 201, а. Схема приводится к неоднородному соединению трех четырехполюсников (рис. 201, б), один из которых (//) представляет собой простое скрещение (схема 1, Рис. 201. Усилительная транзисторная схема с параллельно-последовательной обратной связью. табл. 30). Найдем матрицу 1а] последовательного соединения четырехполюсников II и III: -1 0 1 1 /?2 -1 - Я2 1 («1' 0 - 1 ] й, 1 + 0 ^ 2 [_0і -(1+0^2)] Переходя к расчету этажно-параллельного соединения, преобразуем матрицу [а] в матрицу [(I] по табл. 9: 1 Я2 -1 «> " І II я, г я* ИҐ 1 + /г, + л , [ _ 1 —б,4 -1 -01] Складывая матрицы [й] четырехполюсника ірехполюсник I (табл. 33) и четырехполюсников 11—111 (табл. 34), имеем 1—^219 —/г22Э і Я\Я2 *и» + Я, І Н2\э + Яг Я, + Я.. + Ч2э~ 22 э ~ —1 —б! Яі я, + я9 1 я, + Я, Отсюда видно, как влияют сопротивления и /?2 на й-параметры эквивалентного четырехполюсника. Так как все /[-параметры транзистора с общим и эмиттером положительны, то параметры ёц, 1 ^гг увеличиваются, а с(12 уменьшается, что используется, например, для нейтрализации внутренней обратной связи транзистора В соответствии с табл. 12 формулы для искомых величин имеют вид: Явх = <*! Ян-Ъ °вых = <іі »СІп •^22 + <і + Яи ' и <121 —ІаI к,, К, = Дн Дальше остается лишь подставить в эти формулы элементы матриц [<2]. Результат выражается громоздкими зависимостями, но они обычно существенно упрощаются при учете реальных значений входящих в них величин. Рис. 202. К определению матрицы параметров четырехполюсника, представляющего генератор гармонических колебаний с емкостной трехточкой. Пример 12. Составить матрицу параметров четырехполюсника, представляющего схему генератора гармонических колебаний с емкостной трехточкой (рис. 202, а). Упрощенная схема генератора для переменных составляющих (рис. 202, б) приводится к неоднородному соединению трех четырехполюсников (рис. 202, в). Рассчитаем сначала последовательное соединение двух четырехполюсников 11 и 111: 1 + (Я + рЬ)рСг Я + рЬ 1 0 ,(// - I I I ) 1 рС, 1 рС2 г 1 + (Я + рЦ рСг Я + рЬ [ рСх [1 + (Я + рЦ РСг] + РС2 рСх (Я + рц+ 1 Переходя к расчету параллельного соединения, преобразуем матрицу [а] в матрицу \у] по табл. 9: (и - пи _ РС1 + . я +1 рь і я + рь Я + рЬ - Ы рі + рСг Матрица четырехполюсника I выписывается из табл. 33 ы1 ё 11 " §21 §22 После суммирования элементов матриц [у]' и | Ї / ] ( / / - / ; / ІУІ = Я + рЬ ^22 + РС 2 + Я + рЬ 8і » § 4. Условие регулярности соединений четырехполюсников Уравнения четырехполюсника ( § 5 гл. 3) имеют смысл только при условии, что его вход и выход не связаны между собой никакими внешними связями, т. е. четырехполюсник представляет собой промежуточное звено между схемой, воздействующей на его вход, и схемой, присоединенной на его выходе. Первая обычно представл я е т с я эквивалентным источником, а вторая — эквивалентной нагрузкой. При этом предполагается, что энергия и сигналы передаются от источника к нагрузке только через четырехполюсник. Если это условие выполняется, то протекающие через входные полюсы токи / в х и /Вхо в соответствии с первым законом Кирхгофа всегда равны и противоположно направлены. Аналогично токи /вых'выхо. протекающие через выходные полюсы, также равны и противоположно направлены относительно четырехполюсника. Равенство входной пары токов между собой и выходной пары токов по существу эквивалентно условию отсутствия внешних связей между входом и выходом. Это, кстати, позволило в уравнениях четырехполюсника вместо трех токов (один из четырех токов всегда зависим, так как он может быть определен по первому закону Кирхгофа) рассматривать только два — входной ток / в х и выходной ток /вых- В уравнения четырехполюсника также не входит напряжение между входом и выходом, поскольку оно не характеризует состояние на входе и выходе. Вход и выход называют сторонами четырехполюсника. Д л я четырехполюсника с двумя сторонами всегда справедливы равенства прямых и обратных токов на входе и выходе: (8-22) При соединении двух или нескольких четырехполюсников может произойти такое перераспределение внешних токов и напряжений, что равенства (8-22) внутри соединения нарушаются, хотя и могут оставаться справедливыми для соединения в целом. Рассмотрим простой числовой пример. Пусть два четырехполюсника связаны этажно-параллельным соединением (рис. 203, а). Найдем распределение токов, например, в режиме холостого хода при входном напряжении [/ в х = 1 е. Между внешними токами четырехполюсников в этом случае справедливы зависимости: 'вх 'вхО' 'вхО 'вх> 'вых 'вых' ^выхО ^выхО" Таким образом, достаточно найти токи первого четырехполюсника. Д л я этого представим схему в более удобном виде (рис. 203, б), выберем систему трех независимых контуров и запишем матрицу сопротивления Я, [2] -Яг Я3 + Я4 = -я* Яг + Я2 + Я з При заданных численных значениях сопротивлений = 2 ом, Я3 — 3 ом и = 4 ом матрица схемы вид = 1 ом, принимает —1 [2] = — 1 оі ї>| 1'вх —3 -С=> Ьь IX НыхО \1ом 13ом Я 4 4 ОМ Рис. 203. К расчету распределения токов при нерегулярном соединении четырехполюсников. Так как задающее напряжение IIвх — 1 в действует только в первом контуре, то контурные токи: / _ ^дп _ /»/- ' в х ,• '1 — / '2 — "12 11вх і. д •/ 3 — — д и и вх, где Д — определитель матрицы сопротивления \ 1 \ . Вычислив определитель и соответствующие алгебраические дополнения, находим: , 31 /і = Г I I , = -в- а\ 7 з = 24 а - Из рис. 203, б хорошо видна связь между найденными контурными и искомыми токами, для которых получаем значения: г - 31 1 - / вх — /1 ~ 24 а /вхО = 1<у — 1-л — Iвых — /з — 24 > Iвыхо — /г — Л = -р- о. Распределение токов в четырехполюсниках показано на рис. 203, в. Как видно, уравнения (8-22) не соблюдаются, а это значит, что при использовании формулы для этажно-параллельного соединения (табл. 34) результат получается неправильный. Так, в рассматриваемом примере для заданных числовых значений матрицы составных четырехполюсников (табл. 30) принимают вид: 1 " і "2 ' /г. і Яі — 3 «1 + ^2 1 —1 3 1 " 1 " /?а М1" = 1 -04 1 При этажно-параллельном соединении четырехполюсников матрицы Ы \ ' и Ы \ " суммируются и, следовательно, для эквивалентного четырехполюсника 4 2 1 1 - 1 3 3 4 _7_ 3 12 Входное сопротивление при холостом ходе в соответствии табл. 12 выражается формулой Г> Л ^12^21 Авх — "11 ^ с "22 Подставив значения элементов матрицы Ы \ , находим 4 3 /?ВХ = + X 4 47 _7_ 12 -ОМ. При и в к = 1 в входной ток эквивалентного четырехполюсника, а значит, и первого четырехполюсника /в .< _ ' вх — 47 у т. е. результат совершенно отличныи от полученного ранее правильного значения. Приведенный пример убедительно показывает, что формулы для расчета соединений четырехполюсников (табл. 34) применимы только в тех случаях, когда для каждого четырехполюсника в соединении сохраняются зависимости (8-22). Такие соединения называют регулярными. Д л я суждения о регулярности соединений предложен ряд теорем и критериев. Однако в подавляющем большинстве о 6 В г Рис. 204. Регулярные соединения четырехполюсников с короткозамкнутой стороной. практического применения метода четырехполюсника достаточным оказываются некоторые почти очевидные правила. Последовательное соединение любого числа четырехполюсников всегда регулярно, независимо от внутренней структуры последних. Такие четырехполюсники называются проходными, так как они являются звеньями в многоступенной системе передачи энергии или сигналов. Д л я регулярности остальных соединений обычно требуется, чтобы вход и выход четырехполюсников имели хотя бы один общий полюс. Такой четырехполюсник называют четырехполюсником с короткозамкнутой стороной. Регулярные соединения четырехполюсников с короткозамкнутой стороной приведены на рис. 204. При параллельном соединении (рис. 204, а) коротко-замкнутые стороны четырехполюсников должны совпадать. При этажном соединении (рис. 204, б) один из четырехполюсников «перевернут», в противном случае он оказался бы полностью закороченным. При «переворачивании» направления всех токов и напряжений меняются на противоположные, следовательно, параметры четырехполюсника не меняют знаков. В этажно-параллельном (рис. 204, в) и параллельно-этажном (рис. 204, г) соединениях один из четырехполюсников входит со скрещенным входом или выходом. При этом некоторые элементы матриц меняют знак. Из рассмотрения уравнений (3-70) — (3-75) четырехполюсника нетрудно убедиться, что при скрещении на одной из сторон в матрицах [а] и [Ы меняют знаки все элементы, а в остальных матрицах — только взаимные элементы. Например, [й]* = — ^12 (8-23) [/]* = ^22 /п - / 1 2 (8-24) -/21 /22 Если скрещение имеется одновременно на входе и выходе, то матрицы четырехполюсников не изменяются Ограничения, накладываемые на соединения четырехполюсников с двумя сторонами, сужают область применения метода четырехполюсника к анализу электронных схем. Более того, могут встретиться схемы, которые вообще нельзя представить в виде регулярного соединения простейших четырехполюсников. Глава У ОБОБЩЕННЫЕ МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ § 1. Многополюсные элементы Многополюсные элементы схем (электронные лампы и транзисторы) характеризуются некоторой совокупностью параметров. Значения этих параметров определяются не только свойствами данного элемента, но и способом его представления, который обусловливается выбранным методом анализа электронной схемы. Так, при использовании метода эквивалентных схем многополюсный элемент характеризуется совокупностью параметров его эквивалентной схемы (значениями сопротивлений или проводимостей пассивных двухполюсников и управляющими параметрами, определяющими значения задающих токов или напряжений зависимых Рис. 205. Токи и напряжения источников). В методе четырехполюснимногополюсника относителька многополюсные элементы представно внешних узлов (полюсов). ляются в виде элементарных четырехполюсников и характеризуются в зависимости от способа соединения матрицей какого-либо типа. При обобщении методов узловых напряжений и контурных токов на электронные схемы многополюсные элементы (электронные лампы, транзисторы и другие элементы с любым количеством внешних узлов) должны описываться уравнениями, аналогичными по своей структуре уравнениям, принятым для описания схемы в целом. В связи с этим используются два способа представления многополюсных элементов, соответствующих двум основным методам анализа схем. По первому способу уравнения многопол юс ного элемента (рис. 205) записываются подобно узловым уравнениям схе- мы: Л = V п и г + У12и2 У2 = у ^ + г22и2 + I у II . | ' игУ т> • + Уцт№т'< (9-1) ЛГ у' ттУи т ' При этом внешние токи J 1 , J 2 , ..., J т являются задающими и считаются направленными внутрь многополюсника, а узловые напряжения и 1 , и 2 , ..., и т отсчитываются от некоторого базисного узла, выбранного вне схемы. Такой выбор базисного узла ставит все полюсы в равноценное положение (ни один из них не является базисным). Система уравнений (9-1) в матричной форме имеет вид: ~ Л Л " _ ^т _ = У цУ 12 • • У ' 1т у У У ' 21' 22 ' • ' 2т 1 _ У ' т!У тг • • • у' тт 1 -и, - и2 (9-2) _ ит _ Стоящую в правой части этого уравнения квадратную матрицу т - г о порядка 1 1 Г У иУ' 12 • •• У 1 т 1 ^21^22 ' ' • У 2т (9-3) I У]<г) = 1 тт _ _ 1Ут\'У т2 • -• V можно рассматривать как обобщенный параметр многополюсного элемента. Все ее элементы имеют размерность проводимости, поэтому она и называется матрицей проводимости многополюсника. Индекс I указывает на номер элемента схемы, в отличие от матрицы проводимости без индекса, характеризующей схему в целом. Покажем, что не все элементы матрицы [У| (1> являются независимыми. С одной стороны, сложив уравнения (9-1) и приняв во внимание, что в соответствии с первым законом Кирхгофа сумма внешних токов многополюсного элемента равна нулю, получим т т т о = 2 уйи1 + 1 у*и2 + • • • Утиа. 5=1 4=1 Это равенство должно быть справедливым для любых значений узловых напряжений 1/ и 1>г, ..., И т , что возможно только при условии т 2 ^ = 0 (к =1,2 т), (9-4) 5=1 т. е. сумма элементов в каждом столбце матрицы 1КГ но равна нулю. тождествен- С другой стороны, поскольку коэффициенты уравнений (9-1) не зависят от значений узловых напряжений, эти уравнения сохраняют смысл и в частном случае, когда все узловые н а п р я ж е н и я одинаковы, т. е. и 1 — И 2 — • • • = и т = и . При этом все полюсы оказываются эквипотенциальными, и распределение токов и напряжений внутри многополюсника не должно измениться, если все его полюсы объединить с каким-нибудь одним полюсом, например, с первым. Но тогда все задающие токи окажутся приложенными к первому полюсу, и в соответствии с первым законом Кирхгофа их сумма равна нулю. Поэтому первое уравнение примет вид О = уии + У12и + • • • т • • • + уХти Рис. 206. Токи и напряжения многополюсника относительно внешних контуров. = и 2 у,*. к= 1 Рассматривая подобным образом поочередно все полюсы многополюсника и соответствующие им уравнения, приходим к выводу, что сумма элементов каждой строки матрицы проводимости [У]<г) многополюсника также тождественно равна нулю, т. е. т). (9-5) 2 У * = 0 ( 8 = 1, 2, .. к—\ Таким образом, из т 2 элементов матрицы [У] ( 0 независимыми являются только (т — I) 2 элементов, а остальные 2т — 1 определяются соотношениями (9-4) и (9-5). По второму способу уравнения многополюсного элемента (рис. 206) записываются подобно контурным уравнениям схемы: Е1 — 2И 1\-\- Е2 = 2 2 1 / 1 4" 2 2 2 / г 4" ••• 4 - ^ 2 тЛл! ЕТ — 212 /2 4- • * • 4- Z\M 1 4" 2п2 / 2 + IТ\ (9-6) 4 - 2 ,тщ/т' При этом внешние напряжения Ех, Е2, ..., Ет являются задающими, а токи 1 1 , / 2 1 т — контурными токами на сторонах мноГОИОЛЮСНОГО элемента. Под сторонами будем понимать фиксированные парой полюсов каналы, посредством которых осуществляется связь элемента с другими элементами схемы. В матричной форме система уравнений (9-6) записывается следующим образом: 7 1 ~ /1 - ЕГ 7 Е2 ^21^22 • • /. Е J 7 • • ^ТТ _ _ /* В этом случае обобщенным параметром многополюсного элемента служит матрица сопротивления 7 т 2ц 2 12 \г\ {і) = 2аі 2 2 2 7 (9-8) 7 шХ 7 В т - п о л ю с н и к е можно выделить т сторон, одна из которых всегда является зависимой в соответствии со вторым законом Кирхгофа. Действительно, сумма напряжений Ег, Ег,..., Ет всех сторон равна нулю, так как они образуют замкнутый контур. Следствием этого являются зависимости между элементами матрицы сопротивления \ 1 ] ( ' ) многополюсника, дуальные зависимости (9-4) и (9-5): т = 2 25(г к=1 4 о (в = 1, 2, т), (9-9) (9-10) Рис. 207. Объединение полюса многополюсника с базисным узлом. т. е. в матрице сопротивления многополюсного элемента суммы всех элементов в строках и столбцах тождественно равны нулю. Матрицы [У](1) и [2] <() называются особенными; их определители всегда равны нулю. Они могут быть несимметричными, если многополюсник не подчиняется принципу взаимности. Д а н н а я матрица соответствует многополюснику при определенном обозначении его полюсов или сторон. Очевидно, если нумерация полюсов или сторон изменится, то изменится и расположение элементов соответствующей матрицы. При взаимной замене обозначений двух каких-либо полюсов необходима перестановка соответствующих строк и столбцов матрицы проводимости многополюсника. Если, например, /г-й полюс стал в-м, а е-у полюсу дан номер, то в-матрице проводимости необходимо взаимно поменять местами в-ю и к-ю строки и 5-й и /г-й столбцы. Аналогично при взаимной замене обозначений двух каких-либо сторон необходима перестановка соответствующих строк и столбцов матрицы сопротивления многополюсника. Так, при перемене обозначений /г-й и в-й сторон необходимо в матрице сопротивлений взаимно поменять местами строки и столбцы с номерами /г и е. При объединении &-го полюса с базисным узлом (рис. 207) в матрице проводимости вычеркивается /г-я строка и /г-й столбец. При этом /г-й полюс является базисным узлом, и от него отсчитываются все узловые напряжения. В то же время матрица проводимости становится неособенной, и ее элементы уже не связаны зависимостями (9-4) и (9-5). В справедливости этого положения нетрудно убедиться, подставив в систему уравнений (9-1) И к = 0 и отбросив /г-е уравнение, которое является тождественной суммой остальных уравнений. Аналогично, когда устраняется одна из сторон (рис. 208), т. е. один из внешних контурных токов принимается тождественно равным нулю (1к = 0), в матрице сопротивления необходимо вычеркнуть ю строку и к-я столбец. После этого матрица сопротивления становится неособенной, и ее элементы не связаны зависимостями (9-9) и (9-10). Неособенные матрицы, полученные из особенных матриц [ К ] ' 0 и [2] ( , ) многополюсника вычеркиванием строки и столбца, называются каноническими, поскольку они описывают многополюсник в каноРис. 208. Устранение занических системах координат. Обратный висимого внешнего контура многополюсника. переход к особенной матрице многополюсника осуществляется дополнением канонической матрицы к-я строкой и к-м столбцом так, чтобы суммы элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы оказались равными нулю. 2о V >4Л11 4 ! / / \\ \ П)-1 4 Х^/77 7 1 і 4 Рис. 209. Токи и напряжения многополюсника при объединении двух полюсов относительно: а — полюсов; б — к о н т у р о в . Выясним, каким изменениям подвергаются матрицы многополюсника, когда два каких-либо полюса, например /г-й и 5-й, объединяются в один к-я полюс (рис. 209, а). Поскольку узловые напряжения объединенных полюсов совпадают (V к = <У8), а задающий ток к-го полюса становится равным сумме J k + 3 5 , в системе уравнений (9-1) на место /г-го уравнения необходимо записать уравнение, полученное в результате суммирования я-го и /г-го уравнений. В правых частях уравнений коэффициенты при и% и И к также суммируются и становятся коэффициентами при Ик. Отсюда следует, что при объединении &-ГО и в-го полюсов в один полюс в полной матрице проводимости к-я и в-я строки суммируются и становятся /г-й строкой, к-й и я-й столбцы также суммируются и стано вятся й-м столбцом. Иначе обстоит дело с матрицей сопротивления. При объединении двух полюсов одна из сторон, например в-я сторона, оказывается внутренней (рис. 209, б). Это значит, что в системе уравнений (9-6) необхолимо положить £ 5 = 0 и исключить из нее ток / 5 . Воспользовавшись 5-м уравнением при = 0, можно написать Рис. 210. Токи и напряжения многополюсника при превращении полюса во внутренний узел относительно: а — д р у г и х полюсов; б — внешних контуров Подставив это значение в остальные уравнения получим: ... системы (9-6), +(ггт-Щ,„. М 2 " ' - ^ ) ' . ^ 2 « - % ? ) ' * + ••• Л^-Ч?)!.Отсюда видно, что при объединении двух полюсов так, что я-я сторона становится внутренней, в матрице сопротивления [2] многополюсника вычеркиваются е-я строка и в-й столбец, а остальные элементы новой матрицы \Ъ\' определяются по формуле = (9-11) Пусть один из полюсов многополюсника, например й полюс, становится внутренним узлом, т. е. предполагается, что он не участвует в соединении многополюсника с другими подсхемами (рис. 210, а). При этом задающий ток J k = 0, а узловое напряжение 339 и к необходимо исключить из системы уравнений (9-1). В результате в матрице проводимости [У ] исчезают й-я строка и &-й столбец, а остальные элементы новой матрицы [У]' определяются по формуле У'ч = У ц — ( 9 - 1 2 > Превращение одного из полюсов во внутренний узел соответствует объединению двух сторон многополюсника, например 6-й и я-й в одну в-ю сторону (рис. 210, б). При этом контурные токи объединенных сторон совпадают (/ 8 = 1 к ), задающие напряжения 1о =5 О* о Рис. 211. Трехполюсник: О -о 2 -О 0 ,1 О <г о _ нумерация узлов и сторон; б — каноническая каноническая система контуров. а система сечений; в — суммируются и Е5 становится равным Е5 + Ек. Поэтому в матрице сопротивления строка и столбец с номером /г вычеркиваются, а к элементам строки и столбца с номером в прибавляются элементы строки и столбца с номером Два способа представления параметров МНОГОПОЛЮСНОГО элемента в виде матрицы проводимости и матрицы сопротивления соответствуют двум основным методам анализа электронных схем — методу узловых напряжений и методу контурных токов. Если известна одна из матриц многополюсника, д р у г а я может быть получена при помощи простых преобразований. Установим зависимости между матрицами проводимости и сопротивления для трехполюсного элемента. Примем для трехполюсника нумерацию полюсов и сторон, как указано на рис. 211, а. Пусть уравнения трехполюсника в канонической системе сечений, когда узел 3 является базисным (рис. 2 1 1 , 6 ) , имеют вид: ^ = У21иг+У22и2. 1 Этим уравнениям соответствует каноническая мости трехполюсника 1 2 т = Уц У12 уп У 22 матрица проводи- Особенная матрица проводимости может быть получена дополнением сокращенной матрицы одной строкой и одним столбцом таким образом, чтобы между ее элементами выполнялись зависимости (9-4) и (9-5): 1 2 з [К] ( " = 1 К,2 - (Уи + К1г) 2 У 22 - (У21 + У22) (9-15) -(У 12+ У 22) У11 + ^12 + У 21 + У 22 - (V,, + Уа) Д л я принятого обозначения сторон многополюсника, когда вторая сторона исключена из рассмотрения (рис. 211, в), J1 = 1и Л, = = — / 3 ) и1 = Ех и и2 = — Е 3 . Тогда уравнения (9-13) принимают вид: 'Г-Уе~УУпЕЕ\ ^ '3 — ' 21 напряжений 1 ' 22 3' I Е и Е , получим: Решив их относительно задающих х 3 Е-1 = ГГ~у у у (У 22^1 + У12^з)' ' 11' 22 ' 12' 21 (9-17) Е3 = у—у ' 11' 22 у у (У21^1 4" Гц/з)" ' 12' 21 Отсюда записываем каноническую матрицу сопротивления 1 3 [21 = КцК 22 1 У 12^21 У 22 У12 У21 Уи (9-18) Теперь достаточно эту матрицу дополнить второй строкой и вторым столбцом так, чтобы в каждой строке и каждом столбце сумма элементов равнялась нулю, и получим особенную матрицу трехполюсника ,(0 1 X 12] = У1^22 К12К.2, 2 У 22 X - (У12+ У 22) Уп - (У21 + У22) У11 + У12 + У21 4" У-22 (К„ + Г1г) Уп - (У 11 + У21) Уи 2 3 (9-19) Итак, если известна матрица проводимости трехполюсника / 2 3 1 1П (П = Гц 2 У* К,2 Г,а К22 ^23 ^32 У 33 (9-20) то матрица сопротивления для принятого обозначения полюсов и сторон (рис. 211, а) имеет вид 1 2 з [2|<0 = У ЦУ гч. Г12К21 У 22 У 32 У12 ^23 У 33 У13 У 2, Га, Уи (9-21) Аналогично находим зависимость для обратного перехода от матрицы сопротивления 1 2 з = 2 2„ 213 22, 2»з 2з1 (9-22) 232 2 зз 2 33 2,з 2 23 2з1 2ц 22, 2зг 212 2 зг к матрице проводимости = Т Т (9-23) § 2. Матричные параметры многополюсников Д л я получения матрицы конкретных многополюсных элементов достаточно их уравнения записать в форме (9-1) или (9-6). Тогда квадратная таблица, составленная из коэффициентов этих уравнений, и будет представлять собой матрицу проводимости [У11<) или сопротивления [21(1). Так, исходя из уравнений электровакуумного триода, работающего с сеточными токами (§ 2 гл. 4), /с = и с + 8 с и а ; 'I /а = 8 а и с + С 1 а и а | (9 "24) Рис. 212. К определению матрицы проводимости и сопротивления электровакуумного триода. и учитывая для принятой нумерации полюсов (рис. 212, а), что • / , = = /с- Л = 'а> ' з = — ( / с + 'а). 3 т а к ж е ^ с = — и з и и а = (У2 — £/ 3 , можно записать: Л = 0 г с ({/, - (У3) + ^г = + 5 с 1/ 2 - ( й с + 5 С ) и з ; У2 = Яа (Ц 1 - и з ) + 0 1 а (Ц, - и з ) = ЗД + - (5 а + О га ) £/ 3 ; Л = - (Ого + 5 а ) 1/г - (Яс + О га ) иг + (в,с + 5 С + 5 а + С1а) иь. Отсюда получаем матрицу проводимости электровакуумного триода I 2 3 1 \УГ = е«с 2 — (0гс + 5а) Яс - (б | е + 5С) Оы - (5а + 0£а) - ( 5 с + 0г.а) 0(с + 5с + 8 а + 0 , а (9-25) Эту матрицу можно было записать и непосредственно из системы уравнений (9-24), дополнив каноническую матрицу проводимости. Матрица сопротивления триода (рис. 212, б) записывается на основе зависимости (9-21) - 0,а 1 - ^с + 5а + 5а) 0(.а + 5 а + 5 с + 0 ( с — (Огс + 5 а ) -(5С+0,.С) О.с 5с (9-26) Д л я триода, работающего без сеточных токов, в 1 с = 0 и 5 С = = 0, а 0 ( а = и = 5 (§ 2 гл. 4). Поэтому матрица проводимости принимает простой вид _ / 2 з 1 |К| ( " = 2 5 3 —5 -О,- - (5 + О/) о, (9-27) 5 + 0, Элементы матрицы сопротивления в этом случае обращаются в бесконечность. Поэтому триод без сеточных токов рассматривается вместе с двухполюсником 1, включенным между сеткой и катодом (рис. 212, в). Его уравнения запишутся в виде: и с = 2/с; и * = "67 7а - -§- и с = — Учитывая соотношения между токами и напряжениями многополюсного элемента: Е1 = 1/с, Е2 = {/„ — IIс, Е3 = —11а, /с = = — / 2 и / а = / 2 — /„, получаем систему уравнений: — / = 2 ) ; 1 ) ( / 1 - / 2 ) + /?,(/8-/з); £8=р2(/1-/2)-/?,.(/2-/3). Отсюда получим матрицу сопротивления триода с пассивным двухполюсником 1 1 2 з [2](0 = 2 3 г - г - г (11+ 1) (и + \)г + я, иг - + Я,) Я/ Многоэлектродные лампы характеризуются матрицами, порядок которых равен числу электродов. Их можно записать на основе уравнений (4-19). Чаще всего приходится иметь дело с пентодами, у которых одна из сеток, как правило, закорочена с катодом. В этом случае пентод рассматривается как четырехполюсник (рис. 213, а) и описывается уравнениями 3 /* = 2 SksUs (6 = 1,2, 3), (9-29) 5=1 где 1 к — токи, втекающие в электроды Рис. 213. Пентод как многопентода, а и $ — н а п р я ж е н и я электрополюсник. дов относительно катода. При работе пентода без токов управляющей сетки эти уравнения в канонической системе сечений принимают вид (§ 2, гл. 4): А = 0; Л = ад | + ОиИ, + (9-30) J 3 = ЗД, + 5 а 2 ^/ 2 + в ^ з - I Отсюда сразу можно записать матрицу проводимости пентода по правилу, изложенному в предыдущем параграфе, [У,® = 1 2 ^21 3 °12 5 2а 5а2 4' — (Яа, + й12 5 2а ) - ($аі + 5 а 2 + о1а) + 5 а2 ) ~ ( 5 2 а + Оіа) 5 2 1 + О г 2 + 5 2 а + 5 а 1 + 5 а 2 + Оіа -(521+5а1) — (9-31) Если к тому же можно еще пренебречь и переменными составляющими тока, протекающего через экранирующую сетку, то матрица проводимости упрощается 1 2 3 4 [ У ] 5а, (9-32) «а2 - (5аі + 5 а 2 4 Ога) -5а2 5 а1 + Яа2 + Ога Если переменная составляющая напряжения на экранирующей сетке принята равной нулю (рис. 213, б), матрица пентода совпадает с матрицей триода. Матрицу высокочастотного триода можно получить, исходя из его эквивалентной схемы (рис. 214) Сначала запишем каноническую матрицу проводимости по правилу, изложенному в § 5 гл. 7. Поскольку зависимый источник связан со вторым узлом, а управляющий параметр — с первым, причем их направления противополож/о- -о 2 -сгь Уса Оо- -°0 Рис. 214. Высокочастотный триод: а — эквивалентная схема; б — н у м е р а ц и я у з л о в и сторон триода. ны относительно узлов, то крутизна 5 вписывается со знаком плюс на пересечении 2-й строки и 1-го столбца матрицы проводимости. Поэтому каноническая матрица имеет вид 1 2 1П = Уск +1 У са - ^ с а — Уса Уак ~4 - У са 5 Расширив эту матрицу до третьего порядка (§ 1 гл. 9), получим особенную матрицу проводимости высокочастотного триода 1 2 3 ^ск + 1П (<) = ? 5 - ^ с а з -('5 + " ^ с к Гсв ^ск) у ак Л. у са ~ - ~5"ак 5 + (5 + (9-33) Уак) ^ а к + ^ с к Воспользовавшись зависимостью (9-21), получим матрицу противления высокочастотного триода 1 2 3 Уак "4-У са - ( 5 + ^ак) 5 - ^ с а - ( 5 + Кск) где Ок = К с к (У ак + У са ) + К са (5 + К а к ). 346 -Ус, 1 — у ск 2, у* ок ~4 - *у оа 3 со- (9-34) Матрицы проводимости и сопротивления электронных ламп сведены в табл. 35 и 36. Д л я транзисторов матрица проводимости проще всего выражается через ^-параметры. Ее удобно представить в общем виде следующим образом: б к э [/]<« = Убб ^бк Кбэ У Кб ^кк Ккэ ^эб ^эк У ьэ (9-35) Здесь каждому электроду — базе, коллектору и эмиттеру (рис. 215, о) соответствует строка и столбец. В зависимости от того, 45 0Ь(3) а 0Ь(3) 6 0Ь(3) В г Рис. 215. К выводу канонических матриц транзистора при разных схемах включения. какой электрод принят общим при определении параметров транзистора, и от того, как пронумерованы остальные электроды, матрица преобразуется в каноническую матрицу проводимости вычеркиванием и перестановкой соответствующих строк и столбцов (§ 1 гл. 9). Так, для схем с общим эмиттером (рис. 215, б), общей базой (рис. 215, в) и общим коллектором (рис. 215, г) канонические матрицы принимают вид: Убб Убк [У 1, = У Кб У кк ^ээ ^эк [У\ 6 [Пк §11э §12э §21э §22э §116 «126 = (9-36) (9-37) = ^кэ ^кк §216 §226 Убб Кбэ §11к §12к §21к § 22к = Уэб Кээ (9-38) TO X уа 3 «Î а Е- йГ 1 а? N 1 0£ + <—. • 1 N А 1 + + і + з N 1 X 1 X CO + l-o TO X + + X 1 I -Q Q —. ч о + СО 1 о + со I со + CO 1 о о" 1 СО со 1 CO + + CO S >> ах X + со X 1 СО кто X 1 1 X еа CO X +as c5" 1 X 1 X +O C 0 о3 + и ' - соо X 1 1 СО G 3 а. я aЯ ls яп оs g I CL м с £ я 5 + X «M S X я X + X 1 о 1 о § о + са о + о + TO +X X N a то * X CO о N + CO X ос N «м X X 1 X 1 •es 3s s- o H '"Ïи X + СО 1 5й »з азз «Î <о £ +CS со со + со + см о* + С М со о + СО + <М со со о СО <М + СО СО О + л со si о* + £ со О СО + со со СО + CO CO CO 1 M CO + СЯ C CO еM е со СО 1 + СО § о X —1 <N "я CO я СО 05 > <NlO X S >> >i •—о 8. н ж V s н U о £ X 8. с a =r m о а=>к g I te S £ + а CO o* C1S* со" СО CO + + • О 0* +C4 +CM З sвоP оa <U X О t-о со tu ua 1 Любая из этих матриц может быть дополнена строкой и столбцом и приведена к виду (9-35). В результате получим особенную матрицу транзистора, элементы которой выражены через параметры при трех различных схемах включения: б к э б §113 § 12э -(§11з + §12з> 1П ( ° = К §21з §22з -<§2Ь + §22з> э — (§119 + §21э) (§12э +§22э) §11э +§12э +§21э + §22з (9-39) к э б §116 +§126 +§216 + §226 - (§126 + §22б) -(§11б + §21б) т<0 = к - (§216 +'§22б) §226 §216 э - (§116 + §12б) §126 §116 (9-40) (Ї [7]«> = б К Э §11к -<§11к +§12к> §12к -(§11к+§21к> §21к §11к +§12к + §21к + - (§12и + §22к) .(9-41) + Й22к -(«21к +§22к> §22к Все эти матрицы тождественны, что, в частности, следует из табл. 19. Воспользовавшись зависимостями, приведенными в табл. 15, можно выразить матрицу проводимости транзистора также через г- и /г-параметры. Результаты приведены в табл. 37. Матрицы сопротивления, выраженные на основе соотношения (9-21) через г- и /г-параметры транзистора, определенные в различных схемах включения, приведены в табл. 38. Если паспортные сведения о транзисторе заданы через параметры его эквивалентной Т-схемы (рис. 216, а), то матрицы проводимости и сопротивления определяются аналогично матрицам высокочастотного триода. Обозначим полюсы и стороны транзистора, как указано на рис. 216, б. Приняв для независимых контуров N CN bfl + аз3 4 «о ßi sc X CS C M + fM -üs 2 о. ьо. ас 1 M ( с V? 1 C M C S - M I CT 1 C-l wCl. + CS + C-1 I < см 00 + M (C M Ci + too + 1 < CS vT с4 1 1 1 СЧ M ( 1 о. < 3и" ÜJ 2 c«) X X M 2 CL ta + bo bo сз 00 + bo CN bo + вО . о н S Б оо s Ьй СЧ «s во + 8. с M ( be X CS1/ + 2 я cd S bö 7$ та IStи sта=m о. я to a С о- öo C M (M CS S C с 1 CS к CS 1 < CS 1 1 + CS ! w. 1 с vT" 1 CS с C M <CS і C M СМ см &см <м См о С 0О 3 +£ С М т + т + 111 + «г + с см С М »с Ой + см е см с4 см -Ссм +см + + 7ч С М см -«Г 1 1 Ой V \о о и со з<и т см С М Од 5м и Ой + 1 4 С! см сС ч » V.М со V 1 1 о I -1 С М Со -с; 1 см -«Г с см С М см + <м Ой Од «г V? с см 1 і см •с —' Ой см со смч Ой С М+ съ <ао т Схема с общим эмиттepo^ Ой Ой *•»« ссм ^ ОЙ + см см 11 т С М Ой + + Ой + 1 4 1 с 1 см с- см С М Ой •2£, (М см •м тТ см см -ё" < 11 СЧ к. М -Ссм -сС + •с"+ т 1 см см -сґ 1 1 « - см см -с -с ссм м Параметры транзистора Ой Од к - 1 V. сС м М см »г -С + см см 1 »» М І Ой С М+ Од см V?' <М м <С см т =о С М С М С1 Ой Ой + см СО см »5 с-1 С М Од + 1 •С 1 < 1 •с 1 эквивалентном схемы ту же матрицу сопротивления нумерацию, запишем 1 1 каноническую 3 Гэ + гб - Гб Г — (гт + б) Гб (9-42) +г к Рис. 216. Транзистор: а — э к в и в а л е н т н а я Т-схема; б — н у м е р а ц и я у з л о в и сторон транзистора. Дополняя эту матрицу 2-й строкой и 2-м столбцом (§ 1 гл. 9), получим особенную матрицу сопротивления транзистора в виде 1 2 3 1 [2](і> = 2 Гэ + Гб Гщ — (Гт + — Гэ — гб г Гэ э "Ь гк — гт Гб) Гщ Гк Гк .(9-43) Гб + ГК Переход к матрице проводимости осуществляется в соответствии с зависимостью (9-23). В табл. 39 приведены матрицы транзистора, выраженные через параметры эквивалентной Т-схемы. -о 2 9пО 1 о 0(3) Рис. 217. Гибридная схема транзистора и представление его четырехполюсным элементом. При получении матрицы транзистора из его гибридной схемы (рис. 217) целесообразно рассматривать транзистор как четырехполюсный элемент, три полюса которого являются внешними и могут объединяться с узлами схемы, а четвертый является внутренним 12 1 - 8 3 7 353 узлом. Обозначив узлы эквивалентной схемы (рис. 217, а) так, как они обозначены в транзисторе (рис. 217, б), запишем каноническую матрицу проводимости (§ 5 гл. 7) 1 2 4 — 86 86 [Г] = 2 «кэ + Рс вк - ( « в * +РС вк) £вк + ё - е в к - рСп 8ВЭ + 8ВК + Р ( С в э + 86+ С вк) Дополняя эту матрицу третьей строкой и третьим столбцом (§ 1 гл. 9), получаем особенную матрицу проводимости транзистора с внутренним узлом 1 2 3 4 — 86 86 &вк+£кэ+РСвк ~ ( 8 + 8кэ) 8~8ш—рСак [К]«> . (9-44) - ( 8 + 8 кэ + — 86 - ( £ а к + рС вк ) -<8ВЭ + РС*э + РСВЭ) 8ВЭ РС» э) §б+§вэ+§вк + + + Р(СВЭ+СВК) Эту матрицу можно преобразовать к матрице третьего порядка по формуле (9-12), что соответствует устранению четвертого внутреннего узла (& = 4). Д л я удобства расчетов матрицы проводимости транзистора, полученные на основе его гибридной схемы замещения, приведены в табл. 40. Элементы матрицы транзистора без внутреннего узла записаны В предположении, ЧТО£ б ^>£вэ^ ^ВЭ / / "-"ВЦ (§ 1 ГЛ. 8). Встречающиеся в электронных схемах группы индуктивно связанных <О двухполюсников можно также рас- Рис. 218. Токи и напряжения инсматривать как многополюсные эле- дуктивно связанной схемы отноменты. Если матрица сопротивления сительно внешних узлов. схемы с индуктивными связями записывается по простому правилу непосредственно из ее рассмотрения, то при записи матрицы проводимости необходимо предварительно преобразовывать сопротивления ветвей и индуктивных S 3 =r з «о а О. + * X m Сял et) + Ой О CL Ü° о. О. ü +« + I о. і m + Ой Ой О я 4Ой дm CJ оs. Q. + Ой m «M +o. + T S а. to о. Ой + Ой + + Ой + «о Ой —« Ой + ОЙ + їй m a cLgо Ой + + a Ой Ой uQ. + оо. +X- Ï m О CL + Ой ® m t»û +і <ы «ад + P оо. m Ой к f оо. u" è . + і ~ Ой txitSJ o ^ I+ + Ой Ой Ой О о. с 3 л о- + Ой g-1 ^S« cM eс «ад Ой о О s- ч S3 >' и и Ira Î+ X + S § 5 s + CJ a + Ой si Ой+m +Ой о CL О) S со зS s-s -a X m и СО о і Ой Ой + о О а. +а. + «ад + ta О) 00 взз а о s ™ as >i «5 х и о 2 fe sX 5.0 S Svg » йо « 03л и О Я Ччэ и з о§ 3X1 х035о s й.' с s И X5 M S « s* ч о35 Î! к 05 СmО H R s связей в соответствующие проводимости (§ 4 гл. 2). Этого можно избежать, если заранее составить матрицы проводимости наиболее часто встречающихся многополюсников с индуктивными связями. Определим, например, особенную матрицу проводимости трехполюсника, представляющего собой два индуктивно связанных двухполюсника (рис. 218). Н а п р я ж е н и я на двухполюсниках выражаются равенствами (§ 4 гл. 2): Уа = + 2д(/ 6 ; и ь = 1 м 1 п + 2/Л> которые, решенные относительно токов, принимают вид: К = 7 7 1 (гьиа у2 - гмиьу, 1 1Ь = ( - гмиа + гаиь). Из рис. 218 следует, что Jl = — = 1а, J2 = —-</4 = 1Ь, Иа = = и х — и з и 11ь = и 2 — 1/ 4 . Следовательно, задающие токи выражаются через узловые напряжения, отсчитанные от базисного узла, уравнениями: А = 1 7 7 72 К = 7 у ' Ь = . . № -гми2-гьи„ + 2 ( - ад, + гаи2 + гми3 (- ад + г*!/, + г ^ з 1 у2 гмид\ - А = 7 7 1 -2 ( З Д - гМи* + 2а(У4). Коэффициенты в правых частях уравнений и образуют искомую матрицу проводимости, которая приведена в табл. 41. Там ж е даны матрицы проводимости других многополюсников с индуктивными связями. § 3. Обобщенный метод узловых напряжений При анализе схемы методом узловых напряжений необходимо знать ее матрично-векторные параметры — матрицу проводимости [У| и вектор задающих токов [71. Проще всего они определяются в канонической системе координат, поэтому рассмотрим именно этот случай. Выберем в схеме один из узлов как базисный и запишем узловые уравнения без учета многополюсных элементов (считаем, что они отключены): ^ = Упи1 + У„и2 + ... + J 2 = У п и 1 + У22и2 + . . . + ; Jv = У^их + У^и2 + • ... + Эту систему уравнений можно записать более кратко = 2 У к і и л к = 1 . 2 , . . . , V), 5=1 (9-46) или в матричной форме (9-47) Выясним, какое влияние на матрично-векторные параметры схемы ( Л и [У] окажет включение многополюсного элемента. При этом предполагается, что параметры многополюсного элемента представлены особенной матрицей, записанной для некоторой нумерации его полюсов. Пусть, например, в схему включается трехполюсник (рис. 219, а), матрица которого задана в виде Г 2' У'п у» 3' !'а 1' [У]' = 2' ^22 У'п 3' ^32 ^33 Рис. 219. Многополюсник в схеме. Все величины, относящиеся к изолированному многополюснику, отмечены штрихом. Элементы матрицы (9-48) являются коэффициентами системы уравнений, характеризующих изолированный трехполюсник: у; = у'ии\ + У у>и 2 + У'ули з; А = У'ли[ + У'пи 2 + У23и'э; /з = + + (9-49) У'^и'з. Пусть трехполюсник включен в схему таким образом, что его полюс Г связан с узлом р схемы, полюс 2' — с узлом ц и полюс 3' — с узлом г (рис. 219, б). Влияние трехполюсника на состояние схемы скажется в изменении задающих токов только в р-м, ^-м и г-м уравнениях. Поскольку внешние токи Л2 и направлены от узлов, то их следует вычесть из задающих токов J р , и J г . Таким образом, все уравнения схемы останутся неизменными, кроме р-го, q-vo и г-го уравнений: V Лр — = 2 У р>У 5=1 Токи J' v J' 2 , J' 3 определяются равенствами (9-49), в которых напряжения 1/[, 0' 2 и и з следует заменить соответственно узловыми напряжениями IIр, (/ ч и и, схемы. Тогда + У[2ич + У[3иг; ^ = £ У„*и$ + У'21ир + У22РЧ + У'23иг; Л = 2 У у'33иг. JP=ІL + У'пир 5=1 + у'^ир + у32ич + [УТ = Уи (О 5=1 Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений схемы (9-45) только коэффициентами при и р , И ц и И п которые равны сумме их прежних значений и соответствующих элементов матрицы трехполюсника. Следовательно, вектор задающих токов для схемы с многополюсными элементами записывается по тем же правилам, что и для схемы с двухполюсниками ( § 3 гл. 2). В канонической системе координат компоненты задающего вектора [У) равны алгебраическим суммам задающих токов источников, которые Рис. 220. Усилительная схема с об- втекают в соответствующие узлы ратной связью. схемы. Матрица проводимости схемы с многополюсными элементами получается в результате дополнения матрицы проводимости, записанной без учета многополюсников: к элементам на пересечении строк и столбцов с номерами узлов схемы, к которым присоединен данный многополюсник, прибавляются соответствующие элементы матрицы многополюсника. Д л я удобства следует в матрице многополюсника заменить номера полюсов соответствующими номерами узлов схемы, с которыми соединены полюсы многополюсника. В рассматриваемом случае р д г Уи У'п У22 У2 3 У'-м ^32 ^33 (9-50) Теперь в этой матрице содержатся сведения не только о параметрах многополюсника, но и о положении, которое он занимает в схеме. Новая нумерация строк и столбцов указывает, в какую клетку матрицы схемы следует вписать соответствующий элемент матрицы многополюсника. Если один из полюсов многополюсника соединяется с базисным узлом схемы, то соответствующие номеру этого полюса строка и столбец матрицы многополюсника вычеркиваются. Это значит, что элементы строки и столбца, номера которых соответствуют полюсу, соединенному с базисным узлом, не вписываются в матрицу схемы. Рассматривая поочередно все многополюсные элементы, входящие в данную схему, приходим в конечном счете к ее матрице проводимости. Очевидно, изложенный способ пригоден для сколь угодно сложной схемы, независимо от числа полюсов многополюсных элементов. Анализ электронных схем обобщенным методом узловых напряжений сводится к следующим операциям: 1) один из узлов схемы выбирается в качестве базисного, а остальным узлам присваиваются номера от 1 до V. Целесообразно выбирать базисным узлом тот, к которому сходится наибольшее количество ветвей и связей; 2) записывается матрица схемы без учета многополюсных элементов по правилу, изложенному в § 3 гл. 2; 3) рассматриваются поочередно многополюсные элементы (электронные лампы, транзисторы, индуктивно связанные группы двухполюсников) и соответствующие элементы матриц многополюсников (табл. 35—41) вписываются в матрицу проводимости с учетом положения, которое многополюсники занимают в схеме; 4) устанавливаются входные и выходные полюсы схемы и записывается выражение д л я искомой функции (табл. 7 и 8); 5) полученное выражение д л я функции схемы преобразовывается к удобному для последующего анализа виду или вычисляется его численное значение. Пример 1. Определить выходное сопротивление усилительной схемы (рис. 220). Обозначив узлы схемы, как указано на рис. 220, записываем ее матрицу проводимости без учета электронных ламп 1 2 3 4 <зк + О0 -0. 1 2 3 0, О0 + О, Матрицы триодов (табл. 35) с обозначениями строк и столбцов, соответствую щими соединению этих элементов в схеме, имеют вид: 1 2 3 2 4 0 1 2 - (5, + 0(1) ; РТ = 2 3 -5, 1УГ-4 52 - (5, + 0,2) 0 -я, + 0(1 Нумерация полюсов первого триода не изменилась. Заполнив записанную ранее матрицу схемы элементами матрицы [К]', получим 1 2 3 4 1 2 3 о, + А1Г -5, (5, + 0,,) ~ Ск + Со + 5, + 01} 4 -0„ 0„ + 0, Второй триод включен в схему так, что его катод связан с базисным узлом, а остальные полюсы получили другую нумерацию. Следовательно, элементы 3-й строки и 3-го столбца матрицы триода не войдут в матрицу схемы. Остальные элементы вписываются в соответствующие клетки согласно новой нумерации строк и столбцов матрицы триода. Таким образом, получаем матрицу электронной схемы 1 2 3 о, + о (1 4 - (5, + 0 /х ) -5, о„ + о , + о, 2 Вход и выход схемы имеют общий узел, поэтому можно воспользоваться формулой для входной проводимости из табл. 7. Учитывая, что а = 1 , й = 4 и К и = оо, имеем К Д = ВЫХ А Ч 11,44 Найдем алгебраические дополнения: О! + 0 „ - (5, + Он) Д 11,44 (б, + о(1) (Ок + а п -}- 5, + 0^) = — А ІХ ° К + ЙО + 5 , + С,, (5, + О,,) = (О, + 0(1) (бк + Со) + б, (5, + С(1); о, + О/, Д„ = О! + О, 5 2 + б, - (5, + О — Сі, ° к •+• б 0 + 5 , + б^ 52 — О« - (5, + 0 (1 ) О Ск + Со - Оо — б0 С0 б г + б, = (Ог + о,2) [(О, ч-о„) (Ок + + 0„) + С, (5, + 0(1)] + б 0 [(0, + 0 (1 ) б к + (5, + 0 (1 ) (в, + о,)]. Обозначив 0 = 5 , + , С = 0,+ и 0" = б2 + б^, получим выражение для выходного сопротивления: 0' ( С к + О0) + О1О Явых = а. [О' ( 0 к + 0 о ) + 0 і 0 ] + о 0 [0'б к + б (52 + О,)] • Пример 2. Пентод с параметрами 5 = 2 ма/в и Л; = 1 /Ио.и используется в схеме реактивной лампы (рис. 221, а). Делитель напряжения, включенный между анодом и катодом лампы, состоит из емкости С = 30 пф и сопротивления к — = 50 ком. Показать, что комплексное сопротивление между анодом и катодом лампы эквивалентно индуктивности, шунтируемой сопротивлением. Найти величины этих компонент на частоте входного сигнала / = 1 кгц. Для схемы реактивной лампы по переменной составляющей (рис. 221, б) составим матрицу проводимости 1 2 1 б + —б РС Ш = —6+ 5 о+с, В соответствии с табл. 7 для входной проводимости при ражение к вх =Л А ' О получаем вы- мм где Д = (б + рС) (б + Ог) — (б2 —5 б) = О (5 + б,) + рС (й + б,) — определитель; Д22 = б + рС — алгебраическое дополнение. Следовательно, У _ б (Д + О,) + /мС (О + ОІ) = б + /<йС Г/2 (5 + б,) + <а2С2 (б + б,) — /мСб (5 — б) б 2 + ы2С2 вх ~ 2 2 2 б (5 + б,) + со С (б + 0,) б 2 + со2С2 = /мСб (5 — б) б 2 + ю2С2 Так как 5 > б, то реактивная составляющая входной проводимости имеет отрицательный знак, что указывает на ее индуктивный характер. Входную проводимость схемы можно представить в виде где эквивалентные входное сопротивление и индуктивность б 2 + со2С2 1+со 2 С 2 Я 2 Яэ 2 2 2 5 + + соаС2Я (1 + Щ ) ' 0 ( 5 + 0,) + сй С (О+С,) 2 2 2 1 + со2С2Я2 б + со С (й2С (5« — 1) со2Сб (Б - О) Пх Рис. 221. Схема реактивной лампы. Рис. 222. Избирательная ЯС-схема. Подставляя числовые значения элементов схемы, получим 1 + (6280)2 (30 • 10~12)а (50 • 103)2 Я. -3 -6 2 • Ю 4- Ю + (6280)2 (30 • Ю -12 ) 2 • 50 • 103 (1 + 50 • 103 • 10~6) 1 + ю-4 ' 500 ом\ 2 • Ю - 3 + 2 • 10~9 2 (6280) • 30 • Ю 1 -і- Ю - 4 • (2 • Ю - 3 ' 50 • 103 — 1) -12 1 іД8 . К),-1 : 8,45 гн. Пример 3. Найти коэффициент передачи напряжения избирательного усилителя, принципиальная схема которого дана на рис. 222. Полагая, что 00 + 0* = б, запишем матрицу проводимости схемы в канонической системе сечений 1 О0 -О0 2 3 4 5 -0„ 0+ Б рС - р С б, + б а + рС - р С - р С ~РС б + 2рС - Р С - р С 0 + 2 рС Коэффициент усиления в соответствии с табл. 7 для случая а = 1 и Ь = 3 выражается формулой д п Найдем требуемые алгебраические дополнения: 0 0„ О + рС Я - р С 0 0 + 2 рС 0 0 - р С 0 -рС •0„ 5 О •рС - р С О 0 + 2 рС — рС в + — рС 2 - 2 рСБ (0 + 2рС) 2 -р 3 С 3 - :-00[5 2 рС (в + 2рС)|; 2 р С2 - -рС 0 -рС й + 2рС С + рС О 5 + йа + рС -рС О -рС С + 2рС О —рС О — рС в + 2 рС — рС 0 - р С Раскладывая определитель Д п по элементам первого столбца, имеем Д 11 = 5А (О + рС) Д П 1 2 2 + 1 1 . 3 2 — Р С Д 11.52- При этом 0, + 0 а + р С д и,22 — -рС О + 2рС о 3 3 2 2 — рС = р С + Зр С (в + 0£- + О —рС й + 2 рС 2 + Оа) + рС [О + 40 (0, + Оа)] + О2 (О, + Оа); — рС 11,32 ' 11,52 ' О о -рС -рС 0 + 2 рС —рС О — рС О С< + О а + р С — рС 0 -рС С + 2рС + ва)] д Подставив значения Д п 22> и 32 где Д ц = а3р — рС О — рС + рСв и д 3 п,52 в + (б, + в + а2р - р3С3; 2рС е3С3 + р2С2 [ 0 + 2 (6,+ Оа). определитель, получим 2 + я,р + о0. «о - О3 (б; + Оа); о, = С0 2 [0 + 5 ( 0 , + 0я)]5 а2 = СЮ [4<3 + 0 (б/ + Оа)]; 3 а3 =• С [5 + (0, + Оа) + 20]. (9-51) Зводя также обозначения Ь3 — 3C3G0, b2 = С2 (35 •= SG2G0, запишем Ахз = b3p3 — &2р2 — btp — G)G0, = 4SCGG0 и Ь0 b0. Коэффициент передачи напряжения схемы h Р3 — Ь2р2 — 6гр — Ь0 К(р)> ' а3Р3 + «гР2 + а\Р + "о ' Пример 4. Определить коэффициент передачи напряжения и входную проводимость схемы (рис. 223) на низких частотах, если известны ^-параметры транзистора при включении с общим эмиттером. Воспользовавшись соответствующей матрицей транзистора (табл. 37), запишем матрицу проводимости в канонической системе сечений гШ И r7і 2 §12 §11 І І/о [У] §21 Рис. 223. Транзисторная усилительная схема. G 2 + §22 - 0 , -G2 G, + G2 В данном случае вход и выход не имеют общего узла, поэтому следует пользоваться формулами табл. 8. Учитывая, что а = 1, 6 = 2 , с = 3 и < ( = 0 , имеем: (1+3)2 Ки = Л (1+3) (1+3) + °нД(1-|-3) (1+3), 22 д + GHA22 A (i+3) (1+3) + °нА(1+3) (1+3), 22 2: Находим требуемые алгебраические дополнения и определитель матрицы проводимости: §11 Д = §21 0 G §12 0 2 + §22 -G2 G, + G2 -G2 : 41+3), 2" (1+3) (1+3) = §11 8,2 0 §21 §22 G, 0 — G2 Gj + G2 = • + (Gi + °г) (§11822 — 8і2§2,); 8и О О G, + 0 2 = (G, + GJ g n ; — С± — (GI + G2> §21 — G2«?„; ! §11 + °2 °2 + §22 §21 — G2 II —: (G2 + §22)(§u + 0I + G 2 ) §12 — °г §11 + + G2 І _| 821 — (§2i — 0 2 ) (git — G2); (1+3) (1+3), 22 : g n + GI + GA. Подставляя найденные значения в формулы для вторичных параметров, получаем: + 0 г) ёп + ^гёп к + Вы) (ёи + б, + 0г) - (8п - 02) (ё1г - 02) + 0„ + О! + 02) ' вх (О, + £22) ( г и + о, + о2) - ш21 - о2) йн (О1 + Ог) - в,) + о„ + о, + о2) Пример 5. На рис. 224, а приведена схема двухступенчатого усилителя с положительной обратной связью, применяемая для получения на входных узлах регулируемого отрицательного сопротивления. Первый транзистор включен по схеме с общей базой, второй — по схеме с общим коллектором. Найти величину входного сопротивления схемы на низких частотах, если заданы параметры Т-схемы замещения. Схема усилителя для переменного сигнала представлена на рис. 224, б. Пользуясь табл. 39, выписываем матрицы проводимости транзисторов с учетом положения, которое они занимают в схеме: 2 1 О Г6 + 'к —гб - (агк + гб) Гэ + Гб агк — гэ — г3 'э + '-кО —а) 3 0 1 б + гк — гб — 'к 3 агк — гэ 0г Гэ + Гк (1 — а) 1 — -гк(\-а) г 1 Ог — (агк + Г6) - М 1 -а) 'э + 'б — г9 и где °Г = гэ (г6 + гк) + гб гк (1 — а)даг к [гэ + (1 — а) гб]. Считая параметры транзисторов одинаковыми, запишем матрицу проводимости схемы 2гэ + гб + г к (1 Ог -а) г к ( 1 — а) Ог (агк + гб) Ог Оь гб О, + 0 , + 0, -0/ -0/ + + + Входное сопротивление в соответствии с табл. 7 выражается формулой (2„ : оо, а = 1) Я» Д ' При нахождении определителя Д и алгебраического дополнения Д п будем учитывать следующие соотношения между элементами: гк > г к > гэ, 1 — ада да 4 - , а да 1, 0« > 0/ и г - +—(1 — — а)— гб > э Тогда 'б + 'к + 0 е + о, + • О, ''к Гб + гк + (I — а) г6] + о?, + г э + (I — а) гб Раскрывая определитель Д по элементам, первого столбца, запишем 2г5 г 6 + гк (1 - а) „ V Гб Д. гк {г3 + (1 - «) гб] ^ и ь / гк [гэ + (1 - а) гб] ' 1 г э + (1 — а) г6 При этом (агк + гб) — гк (1 — а) О, • а, О, г б + Ог агк + гб Г6 + Г* Гк ['•э + (1 — а) г6] {I 'к! Гк [гэ -ь (1 — а) гб] + 0е+ гк (1 — а) О; / '•к1''э+ (1 — а)!гб] /-Э+ (1 —а)г6 1 I г э + (1 — а)гй 1 + ай е + Гэ + (1 — а) г 6 г э + (1 — а) гб — (агк + гб) Ог (агк + гб) О/ Гк [/-э + (1 - а) г б | 1 1 г 3 + (1 — а) гб ( 1 - а ) О? . + О/} • гэ+ (1 — а)гб [ г э + ( 1 -аа ) г б ] 2 • гк (1 — а) Ог г„(1-а) гк + гб Ое+ОЛ гк [гэ + (1 - а) гб] { гк [гэ + (1 - о) г6\ 1 —а + (1 -а)(0е + 0[) аО/гэ + (1 — а) гб 1 гэ + (1 — а) гб 1 —а г э + (1 —а)г 6 • ( 1 - е ) 0е + 0/) 1Подставляя полученные алгебраические дополнения в формулу для определителя схемы, получим 1! 1 —а I1 Д= 4- Оь г» 4 - 0 — а)г 6 ] + [гэ + 0 - а ) л б ] з Гэ (1 —а)г б Х г^ к 1 г3 4- (1 — а) г6 [ гэ 4- (1 — а ) гб | ' [ Оь + 1 —а 4-(1 - в) ОеЛ-О, Гэ + (1 —а)г б а _ _£б_ •'(1-е) /•э4- (• — а) гб гк 0е-0!\. Следовательно. я» Аз. д где аг б Г к \гъ 4- (1 — а) г6] С Если в ь + О = ~ 4- О/, то # в х = оо. При О ь + в < б + входное сопротивление схемы отрицательно. Пример 6. Найти частотную зависимость коэффициента передачи напряжения эмиттерного повторителя (рис. 225), пользуясь высокочастотной матрицей проводимости транзистора, приведенной в табл. 40. Сопоставляя нумерацию узлов схемы (рис. 225) с нумерацией особенной матрицы транзистора без внутреннего узла (табл. 40), находим + Рс вэ ёвэ 1+г6(ёвэ Рс вэ — « в к — Рс вк ёвэ+ + рСвэ) + Рс вэ + 8 1 + 'б (£ вэ + РСВЭ ) [У]' ёвэ 1 + г 6 (ёвэ + 8кэ + &ВК + рСвк Рсвэ) + 1г + ёвэ 1 + г6 (ёвэ При составлении схемы сопротивление 1 Ки + Рсвэ+(^б-1)(гВк+рСвк) + + рСвэ) матрицы проводимости источника сигнала Рис. 225. Схема с общим коллектором. можно объединить с сопротивлением /"б, введя в элементы матрицы транзистора сопротивление г б = /?и + ге- Тогда 1 ёвэ + 2 рСв 8ВЭ + РС ВЭ «вк •рсв, 1+ гб(ёвз + рСвэ) 1 + Гб (ё вэ + рСвэ) [П = ё + ёвэ 8ВЭ + РС вэ 1 + г б (ёвэ + 1)(§вк+рСвк) + рСвэ+(ёг'б— 1 + Гб (ёвэ + рСвэ) рСвэ) + + О0 + рС0 Здесь С„ = С„ + С вк ; О0 = £>кЭ + £вк + Он. В соответствии с табл. 7 коэффициент передачи напряжения схемы „о _ ЛаЬ Ку ~ " д - ' Учитывая, что о = 1 и & = 2, имеем Ки = ёвэ ~ (Со + рСа) |1 + Аб (£вэ + рСвэ)) + ё + рСвэ + ё + ёвэ + рСвэ + (ёвк + рСш) (^6-1)' Если пренебречь проводимостью ёвк при малых нагрузках схемы и положить, что О0 да 0„, то полученное выражение с учетом гб = /?,, + г(, и С0 = С„ + Свк приводится к виду ёвэ и + ё + рСвэ ~ 8Вэ + ё + Он [1 + (/?„ + Гб) § вэ 1 + рА + Р2СВЭ (С„ + Свк) ' где А =свэ + С вэ (/?„ + г6) Он + Сн + Сн (я и + гб) + с а к (/?„ + гб) (г вэ + На очень низких частотах коэффициент передачи напряжения К = ~\К Ао [Ау ]1р = 0 = ' г + ® + й-вз - Г [(/?„ + г6) § в э + 1] Он Подставляя значение § = р/гвэ> получим Л0 = (Р+!)/?• ( Р + 1 ) Я я + Л н + Я, х . т ' (Р+1)ЯВ (Р + 1)/?н + / ? и + г б + г вэ где в соответствии с выражением (7-75) /?вх = Гб + г кэ . С учетом значения К0 после преобразований и упрощений коэффициент передачи напряжения схемы К0(\+рта) (9-52) К, 1 +р/Со 2 т (» + П ^ ) + ^ ] + Р где С, О = (#„ + 'в) СВк + +• • + ё'вэ V ' +Р)©е + ^а , ы„ ЯИ + Г6 т2 = (/?„ + гб) (Сн + Свк). § 4. Обобщенный метод контурных токов Метод контурных токов дуальный по отношению к методу узловых напряжений, поэтому его обобщение д л я схем, включающих многополюсные элементы, приводит к дуальным соотношениям и правилам. Пусть многополюсный элемент, например трехполюсник, задан особенной матрицей сопротивления, записанной при определенной В конкретной схеме стороны трехполюсника совпадают с некоторыми контурами схемы. Если выбрана каноническая система контуров, то некоторые из контуров, например р, д и г, будут включать по одной стороне трехполюсника (рис. 226, б). Заменив в матрице сопротивления многополюсника номера сторон соответствующими номерами контуров схемы, с которыми связаны эти стороны, получим Р Ч Г СО 4 \гу ^22 ^23 2 2 32 (9-54) 33 Новые обозначения строк и столбцов указывают, в какие клетки матрицы сопротивления схемы следует вписать соответствующие элементы матрицы многополюсника. Записываем сначала матрицу схемы без учета многополюсных элементов. Затем, рассматривая последовательно все многополюсные элементы и вписывая в матрицу схемы их параметры, получаем матрицу сопротивления всей схемы. Рис. 227. Ламповая схема с обрат Если одна из сторон многопоной связью. люсника не связана ни с одним контуром схемы, то ее обозначают через 0, и элементы нулевой строки и нулевого столбца матрицы многополюсника не вписываются в матр и ц у схемы. По аналогии с базисным узлом можно сказать, что эта сторона совпадает с базисным контуром схемы. Вектор задающих напряжений записывается по тому же правилу, что и д л я схем с двухполюсными элементами. К а ж д а я его компонента равна алгебраической сумме задающих напряжений источников, входящих в соответствующий контур. Вследствие дуальности методов контурных токов и узловых напряжений последовательность операций при анализе электронных схем идентична. Заметим, что д л я анализа электронных схем этот хметод менее удобен, чем метод узловых напряжений. Во-первых, параметры электронных ламп и транзисторов, как правило, проще выразить через матрицу проводимости. Во-вторых, при выборе канонической системы сечений нет ограничений, подобных тем, которые возникают д л я канонической системы контуров (требование планариости схемы). Однако д л я некоторых электронных схем метод контурных токов имеет свои преимущества, например, когда транзистор представлен г-параметрами или параметрами эквивалентной Т-схемы и когда количество независимых контуров схемы меньше количества независимых узлов. Пример 7. Определить коэффициент передачи напряжения при холостом ходе и выходное сопротивление двухламповой усилительной схемы (рис. 227). Выбрав каноническую систему контуров (двухполюсники /?„ и отнесены к триодам Лх и Л 2 и рассматриваются вместе с ними), записываем матрицу сопротивления схемы без учета многополюсных элементов. Единственный двухполюсник Я3 входит только в третий контур, поэтому матрица имеет простой вид 1 2 3 4 1 2 3 Я3 4 Матрицы сопротивления триодов Л\ и Лг выписываем из табл. 35 с указанием номеров ячеек схемы, в которые входят соответствующие стороны многополюсных элементов: 1 0 2 1 [2]' = 0 -«1 - Я г (1*1 + 1) Я, ( ^ + 1) + % 2 2 2 [2]"=3 я, -я* (щ+1) 4 + V 3 4 -я* Я2 (р2 + 1) + /?г2 -Л, - (щЯ2 + Вписав элементы этих матриц в соответствующие клетки таблицы, получим матрицу сопротивления рассматриваемой схемы 1 1 Яг 2 цхЯх 3 2 3 Ясг + Яг - - 4 Яг Я2 (Щ + 1)Я3 + Я2 (Щ+ 1)+Я2 - (ц2Я2 + Я,2) % В соответствии с табл. б и с учетом того, что входной контур обозначен на схеме номером /, а выходной — 4, имеем: А"0 — х - ; А + Л и Да 44 + ЯИДП,44 • Так как в рассматриваемом примере Д = /?іДц и Д44 = /?іДи 44, р _ ^вых Д № + #и)дп Ди Д ^ 1 + «„) Д И,44 П,44' т. е. выходное сопротивление схемы не зависит от сопротивления /?1 и внутреннего сопротивления источника Я„. Это является следствием того, что триод работает без сеточных токов и, следовательно, отсутствует обратная связь. Найдем требуемые алгебраические дополнения: •Я2(Ц,+ 1) ц2К2 = Я» + « . ( 1 Ч - И ) + Я/1 - (ц2Я2 + /?,-2) Я2 + я 3 — : — Мі/?! — ( н Л + Я,2) Я3 -Яг = ц Л Я , (Я,2 + ц2Я3); Яіг + Яг «і + Яг -Яг(Рг + 1) Яз + Яі2 — Яг = Я, [(Я,г + Яг) (Я3 + Я;2) + Я^Яг (Цг + 1)» яіх + Яг -Яг ИгЯ2 Я3+Яг(»г + 1) + Яі2 - (^гЯг + Я,2) Я{1 + Яг О -Я2 Яг+Я3 -Яг - ( ц А + Яі2) Яіг + Яг - я2 Яіх Яз + Яг) Я3 + ЯгЯ^]} -я2 Я,г + Яг Д 11,44 = = - Я 2 (На 4" 1) ЯІ2 О О Я,- Яз+Яг 0 + Я/, = (Я/І + Яг) (Яз + Яі2) + Яі,Яг (щ + 1). Подставляя найденные значения в формулы для Кйи и /?0Х, получаемі — А// — (ЯІ2 + ЦгЯз) («/! + Я») (Я, + Я,,) + Я^Яг (щ + 1) Я/, [(я, х + Яг) Яз + Я2Я^} (Я,л + Яг) (Л, + ЯІ2) + Я/,*, (|Ц + 1) Пример 8. Определить коэффициент передачи усилительной схемы, приведенной на рис. 228, а. Пренебрегая внутренними сопротивлениями источников питания, представляем схему, как показано на рис. 228, б. В схему, чтобы воспользоваться методом контурных токов, добавлено сопротивление 1. Записываем матрицу сопротивления для канонической системы контуров (без учета сопротивления нагрузки /?„) 1 2 3 / г Ю = 2 % + я ц2Я 3 лгА> і О Г л © »-{ Рис. 228. Усилительная схема с динамической нагрузкой. Так как выход схемы связан с двумя контурами, то следует воспользоваться формулой для коэффициента передачи напряжения из табл. 8 при а = 1, 6 = 2 , с = 0, (1 = 3: ^ = и (2+3) А + ЯнЛ(2+3) (2+3) Подставляя значения определителя и соответствующих алгебраических дополнений в это выражение, получаем ЯнМ (|х„Я + Я,2) Ки ~ + П) я , , + 1«/, +я,- 2 + к (м, 1)1 или после сокращения на 1 И. (ц.Я + Д,-а) Ян Ки + Я) Я,, + Ян | Я,, + Я/, + Л (Щ + 1)] В рассматриваемом примере введенное в схему сопротивление Ъ не влияет на результат. Если бы результат не сокращался на следовало бы найти его предельное значение при 1 со. Пример 9. Найти входное сопротивление модифицированного эмиттерного повторителя (рис. 229, а). Модификация состоит во введении дополнительной обратной связи через емкость С, уменьшающей шунтирующее действие цепочки смещения — Яг на входное сопротивление схемы. Схема эмиттерного повторителя по переменному току представлена на рис. 229, б, где введены обозначения Я-Л „ р _ ЯХЯ4 Я Я2+Я3 И Лв /?! + /?4 Выбрав каноническую систему контуров, выпишем из табл. 39 матрицу сопротивления транзистора с указанием ячеек схемы, в которые входят соответствующие стороны многополюсного элемента 2 2 3 0 'э + 'б — Гэ — Г6 г Гщ О — (гт + г г э э + г Гб) К — гт т — ''к г* — Гб + Гк -о -£. -г^І ©*) ® I « , • -г ск о © Ц а 5 Рис. 229. Модифицированный эмиттерный повторитель. Матрица сопротивления схемы без учета транзистора имеет вид 1 2 3 [2]"= I Яш + Яэ 2 — Яш 3 -Яэ -Яэ Яэ . поэтому общая матрица сопротивления 1 2 Яш + Яэ — Яш 121= 2 — Яш Яш + гэ + 3 -Яэ Гщ — 1 г э -Яэ гб — Гэ Яэ + ''к + гэ — гт Так как сопротивление нагрузки отнесено к матрице сопротивления, то в соответствии с табл. 6 и рис. 229, б входное сопротивление схемы определяется по формуле для короткого замыкания на выходе При этом Д = (Яш + Яэ) д „ - ДшД,а - ЯэД»; + г 3 + гб — г3 г т — гэ Я э 4" гк + гэ — гп ( Я ш + /'э + гб) (Яэ + гк + гэ — гт) 4 - гэ (гт — г а); Д 12 — = • Яш — Яш — Яэ Я ш (Яэ + — г э Я э 4 - г к 4 - Га — Гт Г к + г э - г т ) 4- гЭЯ Э; Я ш 4- г э 4- Г(, = — Я ш (Гт — Га) 4- Я э ( Я ш 4 - Гэ 4" Г6). - Я э Следовательно, Я„ Я ш 4" Я э — Яи Я ш (Яэ + гк + г3 — г,п) -\-ГэЯэ Гэ — гт) 4- Га (г„ -гэ) ( Я ш +г3 4- гб) ( Я э 4 - гк + Яэ (Яш + - Я э - г3 + гб) — Я ш (Гт — г3) ( Я ш 4 - Г а 4- г б ) (Яэ 4 - Гк 4 - Га — Гт) 4" г3 (гт ~ Гэ) Учитывая следующие соотношения между элементами схемы гк > гэ\ гт » гк> Яш > г3 4" /"б. окончательно получим Я ш Я э ( Г т ~ Яэ — Явх = Я ш 4- Я э ЯшЯэ • Яш) Г3Гт § 5. Анализ электронных схем методом выделения многополюсных подсхем При расчете сложных схем приходится иметь дело с матрицами сравнительно высоких порядков. Вычисление определителей и алгебраических дополнений таких матриц связано с большими трудностями. К тому же и аналитические выражения для функций схемы получаются довольно громоздкими и трудно поддаются анализу. В подобных случаях удобно выделить многополюсные подсхемы так, чтобы некоторые узлы оказались внутренними узлами подсхем и не участвовали в соединении с остальной частью схемы. Тогда общее число узлов уменьшится, и схема будет описываться матрицей более низкого порядка. Чтобы воспользоваться обобщенным методом узловых напряжений, необходимо располагать удобным способом определения матриц проводимости многополюсных подсхем произвольной структуры. Пусть подсхема содержит п узлов (кроме базисного), из которых только в служит ее полюсами, а остальные п — в узлов являются внутренними (рис. 230). Пронумеруем я полюсов подсхемы порядковыми числами от / до я, а номера от 5 + 1 до п присвоим внутренним узлам. Рассматривая подсхему как обычную п-узловую схему, запишем ее систему узловых уравнений в матричной форме [У] = [У] [[/]. (9-55) Здесь [1/ ] — вектор узловых напряжений и 1 , 112} ..., и п , которые о т ч и т ы в а ю т ся от базисного узла ко всем узлам подсхемы; [У I — матрица проводимости п-го порядка. Отличительной особенностью вектора [У] многополюсной подсхемы является то, что я первых компонент, соответствующих его полюсам, равны соответствующим внешним токам J 1 , J 2 , ..., У8, а остальные п — я компонент тождественно равны нулю (предполагаетРис. 230. Многополюсная схе- ся, что внутри подсхемы отсутствуют ма с базисным узлом. независимые источники). Это значит, что в данном случае в соответствии с формулой (2-40) первые 8 компонент вектора [II] выражаются следующим образом: ^ 2 = 4 - ( А і Л + Д22-/2 + ^ 5 = -д-( + + + А51У8); + А й-/,); (9-56) ... +^ssJs). В матричной форме эта система уравнений запишется и2 " АЦ А 2 1 . . А5і А12 А22 . • А52 1 ~ Jl - А (9-57) = _ и, _ _ ДІЯ А 2 . 5 . • АИ _ Js _ _ Здесь А — определитель матрицы | У | п-го порядка и Акз — ее алгебраические дополнения. Д л я получения параметров многополюсной подсхемы относительно только ее внешних узлов (полюсов) необходимо привести уравнение (9-57) к виду "А А - А - у,, к ; . . " = - у;5 - У21 У22 . • V * _ УїІ Уї2 • • Г и г и2 \ (9-58) или в матричной форме и г = \у\' т . (9-59) В отличие от уравнения (9-55) векторы [УГ и [11Г являются я-мерными. Матрица [VI' — квадратная матрица в-го порядка, которая характеризует многополюсную подсхему относительно 5 ее полюсов. Она равна обратной матрице в правой части уравнения (9-57), умноженной на определитель Д матрицы [У]: д п д 2 1 . . Д і —1 5 Д12Д22 • • Дз2 I У]' (9-60) _ ДьДз* • • А.« .. Элемент обратной матрицы, расположенной на пересечении г-й строки и ^-го столбца, равен частному от деления алгебраического дополнения элемента исходной матрицы, расположенного на пересечении /-й строки и г-го столбца на ее определитель. Поскольку сами элементы матрицы, стоящей в правой части равенства (9-60), являются алгебраическими дополнениями матрицы проводимости [У] (эта матрица я-го порядка!), удобно воспользоваться теоремой Якоби. В соответствии с этой теоремой определитель О матрицы в уравнении (9-60) можно выразить следующим образом: Д Ц О = А>1 Д2і Д12 А 22 = Д 8 -'Д, 1,22, . Д*-'Д,, (9-61) Ді5 А25 где Д —определитель матрицы [У], а А, = Дц,22 ~ в-кратное алгебраическое дополнение матрицы | У | , образованное из ее определителя вычеркиванием первых я строк и я столбцов. Д л я доказательства этой теоремы найдем произведение двух определителей: її • • . Уь к,„ •• П . 5+1,1 У'п\ • • • • • Уз+ь Ув+і^+і • • • У 5+1 У ПЬ У 1 • У пп А„ • . Азі 0 . .. 0 Ді5 • А,, 0 . .. 0 ДІ.Ї+І • • Дя,5+1 1 .. 0 Діп • 0 .. 1 А.« Первый из них является определителем Д матрицы проводимости [У], а второй представляет собой расширенную запись определителя £>. Определители молено перемножить как и матрицы по правилу «строка на столбец». Тогда элементы первых в столбцов произведения выразятся суммами вида п УпА/1 + У12Д/2 + . . . + УщЬщ = 2 У<*Л/*. Как известно из теории определителей, эта сумма при I = / равна определителю А, а при I Ф / равна нулю. Таким образом, рассматриваемое произведение записываем в виде А 0 . . 0 У,. 5 +, 0 А . • 0 У2,5+1 .. Ухп • • У?п • • у1 чп 0 0 . • А У 5,5+] = Л 0 0 . . . 0 Уз+1,5+1 . • • У 5+1 ,П 0 0 . • 0 У П,5+1 '5+1,8+1 ^5+1 ,П У П. 5+1 У пп 5 • • У пп В правой части этого равенства стоит минор определителя, получающийся после вычеркивания его первых в строк и в столбцов, т. е. он представляет собой в-кратное алгебраическое дополнение А л,22 = А$. Таким образом, можно записать Д . О = А5 А 1 1 , 2 2 ее = А* А,. Разделив на А обе части этого равенства, получим выражение (9-61), которое и требовалось доказать. Алгебраическое дополнение элемента, расположенного на пересечении /-й строки и г-го столбца определителя О, имеет вид А,11 . А5, • А,-1,1 Ал+1,1 0 1 г = ( - 1)1+Г 1,1—1 .• Аг_1,(_1 А/-+М-1 1,(+1 • . Ал_11(+1 15 • Лг—1,8 . . А5./-1 Дн-1,ж • • Д5,/+1 АГ+1,8 • А55 8-2 По теореме Якоби О г ( будет равно А , умноженному на (я—1)-кратное алгебраическое дополнение матрицы 1У1, которое получается в результате вычеркивания первых в строк, кроме г-й строки, и первых в столбцов, кроме /-го столбца. Д л я обозначения номеров строк и столбцов, которые не вычеркиваются при образовании многократного алгебраического дополнения, применяются верхние индексы О и = Д ^ Д Ц . 12 55 = А 5 - 2 АГ. (9-62) Здесь не следует путать степень (я — 2) определителя и восстанавливающие индексы г1. Необходимо также сделать несколько замечаний об определении знака многократного алгебраического дополнения. Рассмотрим двойное алгебраическое дополнение АаЬ, ей- ДЛЯ его получения необходимо в определителе вычеркнуть строку с и столбец с1 и полученный таким образом определитель умножить на ( - 1 Г И . Затем следует снова вычеркнуть строку а и столбец Ь и умножить полученный определитель на ( — 1 ) а + \ Таким образом, знак двойного алгебраического дополнения определяется множителем (—1)°, где о = а + Ь 4- с + й, т. е. сумма всех индексов алгебраического дополнения. Но это справедливо только в случае, когда индексы алгебраического дополнения упорядочены, т. е. если а > с и Ь > й или а < с и Ь < й. Если индексы двойного алгебраического дополнения не упорядочены (а > с и Ь < (I или а < с и Ь > с1), то их можно упорядочить, переставив взаимно соответствующие строки или столбцы в определителе А. Но при каждой такой перестановке определитель меняет знак. Следовательно, при взаимной перестановке индексов, обозначающих строки и столбцы, знак двойного алгебраического дополнения т а к ж е меняется на обратный А аЬ,се1 = — ^аЛ.сЬ = — А сЬ,аЛ(9-63) При двойной перестановке индексов знак двойного алгебраического дополнения меняется дважды и, в конечном счете, останется прежним &аЬ,сЛ = Асс1,аЬАналогично могут быть получены тройное А а а, «/> четверноеАаь, а,е1, ел и вообще многократные алгебраические дополнения. При этом знак, который следует поставить при определителе, полученном после вычеркивания строк а, с, е, £ и столбцов Ь, <1,/, Н, определяется множителем (— 1) а + е , где а — сумма номеров всех вычеркиваемых строк и столбцов, а в — общее число перестановок, необходимое д л я упорядочения последовательностей первых и вторых индексов каждой пары. Если индексы предварительно упорядочены, то е = 0. Пусть, например, требуется вычислить алгебраические дополнения Д12 34 И А13 41 22 определителя четвертого порядка 1 А— 2 2 4 —7 0 5 0 3 2 0 3 — 1 — 8 В соответствии с изложенными правилами А2Мз=(-1)7+1 ° 1 .^ 2 3 1 12,34 : ( - I) 3 —8 = — 25; А, 43,41,22 = * ) ' 3 ' ' 1 = 1. Верхние восстанавливающие индексы можно опустить вниз, причем каждый верхний индекс нейтрализует соответствующий ему нижний, что отмечается нулем. Затем перестановкой индексов нули группируют парами и отбрасывают, после чего алгебраическое дополнение приводится к нормальному виду. Например, .32 Л 11,22,33 = д 11,20,03 11,23«' = - ( - ! ) ' ! 11,00,23 1 0 1 о Из теоремы Якоби вытекает важное следствие: Дай Лей Аа<г А ел ДА аЪ, е<1> ИЛИ А а б А ы — АсЬА оа = Д А „ъ.сл. (9-64) Это соотношение широко используется для преобразования выражений с определителями и алгебраическими дополнениями одной и той же матрицы. Возвращаясь к задаче определения параметров многополюсной подсхемы, запишем выражение для элемента характеризующей ее матрицы \s-2A П й ІГ = А Угі = д или после сокращения ' К' (9-65) Итак, матрица, характеризующая многополюсную подсхему относительно внешних узлов в канонической системе координат, запишется через алгебраические дополнения матрицы [ 7 1 следующим образом: Д " А^2 . . . ДІ ! [*Т _1_ А* Д21 А22 . . . д? (9-66) ДЇ' д ? Если многополюсная подсхема входит в схему так, что ни один из ее узлов не совпадает с базисным, то необходимо пользоваться особенной матрицей подсхемы. Эта матрица получается дополнением матрицы [ У ] строкой и столбцом так, чтобы суммы элементов в каждой строке и столбце были равны нулю (§ 1 гл. 9). Представляют интерес следующие два частных случая определения параметров многополюсных подсхем. В первом случае внутренним является единственный узел, которому присвоим номер п. Поскольку в = п — 1, то А5 = Дц,22 (п—1) (п—1) = Упп, т . е . Д5 равно элементу У п п матрицы [VI. В то же время У Г1 У гп У г^ пп ^ гп' ГпУп1Уп1 У пп Таким образом, элементы матрицы [У]' подсхемы выразятся в соответствии с формулой (9-65) равенством дГ « У'п = У п - - ф ± - , пп (9-67) которое было получено ранее другим путем (§ 1 гл. 9). Во втором случае в = 2, т. е. только два узла (кроме базисного) являются полюсами подсхемы. Обозначим полюсы номерами 1 и 2. Остальные (п — 2) узла подсхемы являются внутренними. При этдм Л, = Дц, 22 и в соответствии с формулой (9-66). Л 12 Д 11,22 Дц,22 Д22 21 . (9-68) [У]' = ,21 д21 д22 11,22 11,22 — д,« '11 Лц.22 М1,22 ^11,22 Просуммировав алгебраические дополнения, получим особенную матрицу трехполюсной схемы 1 [VIй = Дгг — Д21 Д — д 1г Дц Л 2(1+2) 1 (2+1) 11,22 Д <1+2)2 Д (2+1)1 (9-69) Д (1+2) (1+2) Пример 10. Определить коэффициент передачи напряжения избирательной усилительной схемы (рис. 231, а). Схема имеет восемь узлов, следовательно, она описывается матрицей проводимости седьмого порядка. Выделив в схеме два многополюсника (рис. 231, б) — четырехполюсник / (рис. 231, в) и трехполюсник II (рис. 231, г), порядок матрицы снижаем до четырех. Определим матрицы продсхем. Подсхема / содержит только один внутренний узел. Пронумеровав узлы подсхемы в соответствии с рис. 231, в, записываем матрицу проводимости 2' 4' - (5, + С..,) -5, я* По формуле (9-67) находим элементы матрицы третьего порядка, характеризующей подсхему относительно ее внешних узлов (5, + 0 (1 ) 5 2 + О,, + а,<2 о*Е,7 12' 1'о- -Л Л, " У „л Ьо' л" 1 о- ] " * 1 Г п Т 1 1 • | Г 7 п1 м т А Л . Г Рис. 231. Избирательная усилительная схема. Аналогично находим матрицу подсхемы // (рис. 231, г) 1" 2" 3" 4" 1" О + рС 2" - 0 -рС О + рС —О -рС 2 (О + рС) 3" —О - й 4" -рС -рС « 2 (0 + рС) С 1 • 1 1 J Поскольку здесь только два узла (кроме базисного) являются внешними, можно воспользоваться формулой (9-68), в соответствии с которой О2 + 4 рСО + р2С2 - (О2 + р2С2) — (в2 + р2С2) О2 + 4рС0 + р2С2 1 2 (О + рС) Рассматривая подсхемы как многополюсные элементы схемы (рис. 231, б,) запишем матрицу проводимости 1 2 3 ^21 оа + ^23 4 1 1У] ^2 -5. ^2, Ок + 5 3 + 0,;3 4- к и При а — 1 и Ь = 4 коэффициент передачи напряжения при холостом ходе (табл. 7) К?/ Ли ' 1 ^21 (0а + У'22) [У"и (0К + 5 3 + 0,3 + У'22) - У'а к22] - 5 : ) к м у[, ' где параметры многополюсных подсхем выражаются че рез параметры элементов схемы следующим образом: у 21 = ' '2 . ^ + 0 ^ + 0, , ' ! 23 у' У 22- + ^ и И ч ? (5х + 0 ( 1 )5 2 + 0^ + 0,, ; О2 + 4рС0 + р'С2 2 (О + рС) • — (О2 + р2С2) 2(0+рС) Д л я часто встречающихся многополюсных подсхем можно составить таблицы матричных параметров, подобные табл. 42, которые знал > г чительно облегчают анализ сложных схем. Рис. 232. Каскодная 3усилительная схема, Пример 11. Определить коэффициент передачи напряжения каскодной схемы (рис. 232). 13 1—837 385 Таблица 42 Матричные параметры многополюсных подсхем Матрицы проводимости (К)' 1 ' Подсхема 5 о, - ( 5 + 0,.) —5 -С,- (5 + 0 ; ) 5 + 0,- + К 5 - (5 + 0,.) —5 (5 + 0;) -о1 +0^+0^ X 1 0,110,.' 2 (5, + Ои) Б, (5! + 0^) X Х(5 2 + 0,.а) (5! + Ои) Б г (5! +О«,) х X (52 + 0(1) X 5^, 1 1 1 2 - ^б + §п X X ёи §12 — (§11 + §12> §21 , 1§1 §22 "Г уб — ((§21+§22+ У ~ ) §11 + §12 + §21 + — (§11+§21) ' (§12+522+ у б | + §22 + уб Подсхема Матрицы проводимости [У]'') X §11 + §12 + §21 + §22+ У „ Л- 1«! §11 + у ' э 1§! X §21 — у §12 |§1 у ' Э — (§11 + §12) » "Г и §22 у — (§21 + §22) ' Э — (§11 +§21) —(§12+§22) §11 + §12 + §21 + §22 §22 + Ук X §11 + « 1 » - 4 г к § 1 1 + ^ 'К -(§11 + §12 §11 +§12+§21 +§22 + , 1*1 — (§12 + §22) §21 | — (§21 + §22) §11 §12 + §12 X §11 §11 + 1 §' | X (§П + §1' 2 )~ | §22 ~ (§11 + §12) х X (§П + §'12) - к ' ! |§'| + |§;| + + §1'2 (§21 + §П§21 + + § 22 ) + §21 х + §21 (§ 11 + X (§)'2 + §22) + + §21 ) ! §') + §11§22+ §22 X X (§[. + е'\2 + + §21 + §22) -1§;,17 - (§!1 + § 2 1 ) х (§11 +§21)Х х (§12 + §22) х (§11 +§21) (§12 + §22) X х (§11 + §12 + - ( § 1 1 + §12) X X (§21 + §22) — — (§21+ §22) X X (§11 + §12 + + §21 + §22) - 1 § " |+(§П + + §12 + §21 + + §22) X (§п + + §12 + §21 + + §22) + §21 + § 2 2 ) ° = §11 + § 1 2 + §21 +§22 + §11 В этом примере можно воспользоваться параметрами подсхемы табл. 42. Матрица проводимости схемы 1 2 3 4 GC 1 G3 + G4 S2 SfiK Sx + G(1 + GK Û2 + - ( S 2 + G,2 G/,GK 1 S . + O ^ + - S , GK G,2) 1 Л 1 С 1 1 SA GL 1 I Л 2 Коэффициент усиления *£/ = -д— s iG K SI + Q/x + Ок + G2(S2 + • (52 + Gи) G,2) Пример 12. Найти входное сопротивление, коэффициент усиления по напряжению на низких частотах, коэффициент передачи тока короткого замыкания усилительной схемы (рис. 233), в которой используются транзисторы П14 с парамет-3 _6 рами g n = Ю сим; gV2 = —10 сим; g2i = 30 • 10 _3 сим; g22 = 25 • Ю - 6 сим, измеренными по схеме с общим эмиттером. Сопротивление нагрузки R н — 2,5 ком, а сопротивление источника сигнала RH = 1 ком. Воспользуемся параметрами подсхемы составного транзистора (табл. 42) и в соответствии с нумерацией / рис. 233 выпишем его матрицу 2проводимости Рис. 233. Усилительная схема на составном транзисторе. §'u§i -1-Іg'! §11*12+ §12 (§11 + ^ 2 ) — I g ' l Р Т = -5- 1 1 g' і + 1 g" 1 + §12 (§21 + §22) + «11*21 +«2! fel'l + «21) — 1 s' \ + §21 (§12 + §22) + §11 §22 + + §22 (§11 + §12 + §21 + §22) где D = g„ + gu + g2i + g22 + g„Эту матрицу можно переписать в виде 1 [У] = / V.l У» Y*1 ^22 и определить численные значения параметров составного транзистора через £-параметры используемых транзисторов. При этом 6 Ю - 3 • 25 • 10~6 + 30 • 10~3 • 10~ : 2 : 55 • Ю - 9 сим 2;: 1§ 8" II = в' I = 18" = ги§22 §11*22 -- I §12*21 - Э = Ю - 3 + 30 • Ю - 3 — Ю - 6 + 25 • Ю - 6 + 1 0 - 3 да 32 • 10~3 сим; _ 10~3 • 10~3 + 55 • 10~ э ^ = » 3 1 , 2 • Ю - 6 сим; 'її — 32 • Ю - 3 - Ю - 3 • Ю - 6 — 10~6 (10~ 3 — 10~ 6 ) —55 • 10~9 32 • Ю - 3 12 : - 5 7 - 1 0 ~ -;3 = — 1,78 • 10~6 сим; 32 • Ю '21 — 10~3 • 30 • 10~3 Н-30 • 10~3 (10~3 + 30 • 10—3) — 55 • Ю - 9 » — 32 • 10 _ 3 3 ж 30 • 10~ сим; -66 _. - 9>— —Ю 10~ (30• •Ю Ю- 3- 3 ++ 25 • 10~б) + 55 • 10~у +, 55 • Ю (30 6 3 6 3 3 К6 + зо • ю ~ • 24 • 10~ +' 10~ • 25 "" • 10~ ' — +' 25 • 10~ - 31 • 10~ У чч — = 3Ч 32 • 10'Г 1600 • Ю - 9 = 50 • 10 _ 3 32 • Ю - 3 Матрица проводимости схемы с учетом проводимости = 4-10 сим 1 31,2 • Ю - 6 нагрузки С/и : — 1,78- Ю - 6 {сим). [У] = 30 • Ю -3 50 • Ю -6 + 4• Ю -4 В соответствии с табл. 7 входное сопротивление схемы Д„ ЯВх = - д и " 50 • 10—6 + 4 • Ю - 4 31,2 • 10~ (50 • 10~ •4 • 10~4) + 1,78 • 30 • Ю - 9 4 4,5 • Юг 6,5 • 103 ом. 68,88 • 10'1-9 ь Коэффициент усиления составного транзистора по току при коротком замыкании на выходе 30 • 10' = 970 Р* = К) ^11 31,2 • Ю - 6 Для нахождения коэффициента усиления схемы по напряжению можно воспользоваться формулой (3-57) = У Аг Д* введя в матрицу проводимости схемы проводимость источника сигнала У „ = 10~3 сим 1 2 [У]* 1 31,2 • Ю - 6 + Ю - 3 — 1,78 • 10~6 30 • Ю - 3 50 • 10~6 + 4 • 10~4 (сим). = Тогда КР = (31,2 • 10 -ь — 30 • 10~3 • 10" + Ю ) (50 • 10~ь + 4 • 10~4) + 1,78-30-10 30 • 101-6 58. 518,8 • 101 - 9 -3 § 6. Схемы с двумя входными сторонами В практике нередко встречаются схемы, которые обеспечивают определенную зависимость напряжения на выходе Ивых от двух входных напряжений 11вх, и 0 В Х г . В соответствии с принципом суперпозиции можно записать Увых = К и и ^ + К и и в Х г , э (9-70). о С »5 м о— О 0О- а оО $ Рис. 234. Схема с двумя входными сторонами. где К' и — коэффициент передачи напряжения от первого входа К выходу при закороченном втором входе И /Су — коэффициент передачи напряжения от второго входа к выходу при закороченном первом входе. Пусть оба входа имеют общий узел, который выбран в качестве базисного узла при составлении матрицы проводимости схемы (рис. 234, а). При закорачивании второго входа узел с объединяется с базисным, поэтому из матрицы проводимости удаляется строка и столбец с номером с. После этого определитель матрицы обращается в алгебраическое дополнение \ с с . По формуле табл. 8 коэффициент передачи ^сс,а (й-И) (Ь+й),« (9-71) Ки = При закорачивании второго входа с базисным узлом объединяетс я узел а. Поэтому аналогично /Су — — А (9-72) А С Ф+Ф.аа А аа, сс оа, сс В соответствии с выражением (9-70) А и ° ф+ё), сс ^ВХ! + Ас аа^вх; _ ^д А аа.сс Если один выходной узел, например (I, также непосредственно связан с базисным (рис. 234, б), го I] = ^сЬ.аа^Шг (9-74) аа.сс С помощью полученных выражений можно анализировать целый класс схем в общем виде. Рассмотрим, например, вычитающие схемы. Преобразуем выражение (9-70) к виду А = А (ип, - иЮг) + В + . (9-75) Первый член определяет ту часть выходного напряжения, которая пропорциональна разности входных напряжений, а второй член представляет собой абсолютную погрешность, с которой схема осуществляет функцию вычитания. Сравнивая выражения (9-75) и (9-70), находим: _ Ад (б-но, сс ~ Ас ф+<1), аа _ ~ ^^ аа.сс _ Аа Ф+<1). сс + Аа(Ь-Н). са _ Аа ф+й), с (с—а) ^аа.с ^аа.сс 2Да_. А а (б+Л), сс + Ас ф+Л), аа В = Ки 4- К и А аа, сс А А А а (6-Ю, сс ~ а (Ь+Л), са а ф+(I), , (с+а) А А аа,гс аа,гс Подставив значения А и В в выражение (9-75), получим Л— 2 П — Аа(6-Ю.с (с-а) т й •^вых — од V вх, ОД аа.сс , , у , Аа (6+Л). с (с+д) ^ВХяУ-Г V вх„/ I д аТ аа.сс ^вх. + 9 * ' (9-76) Д л я того чтобы схема работала как вычитающая, в идеальном случае необходимо соблюдение условия А а ф+й),с (С+О) = 0(9-77) При этом В = 0, а значит /Су = — /Су, так что выходное напряжение £/вых = А (ивх, - ивХг) = ((/ в х , - У » , ) = /СУ (УВХ, - Увх2). Подставив значение К' и из (9-71), получим а (&-Н0, с с ^ВЫ.Х (9-78) Погрешность вычитания может быть оценена величиной 2Д„а ф+О), с ( с + а ) Д а (Ь+й). С (с—а) В (9-79) Чем меньше у, тем точнее схема осуществляет функцию вычитания. В идеальном случае у = 0; практически необходимо выполнение условия у < 1. В случае, когда не только входы, но и выходы связаны с базисным узлом (рис. 234, б), в полученных соотношениях следует положить й = 0. Тогда ошибка вычитания од у= , (9-80) аЬ, с (с—а)' условие идеального вычитания АаЬ, с (г+а) — 0 (9-81) и выходное напряжение при идеальном вычитании аЬ,с и Рис. 235. Вычитающая схема. ВЫ, = • ( и ю , — и т , ) . (9-82) Пример 13. Оценить пригодность для вычитания двух входных напряжений схемы, приведенной на рис. 235. Считая параметры обеих ламп одинаковыми, запишем матрицу проводимости в канонической системе координат 2 1 3 [И| = - 5 5 о а + о, - ( 5 + 0і) —5 -о, 0 к + 2(5 + 0,) В рассматриваемом случае входу и выход связаны с базисным узлом, поэтому по формуле (9-80) при а =• 1, Ь ==• 3, с =• 2 имеем 2Д,13,2 (Ж) V —' д 13,2 (2—1) Находим требуемые алгебраические дополнения: 13,2 (2+1) А 13,2(2-1) = = (_П8+! (-1)8+1 | 5 - ( 5 + Сг) = -50к; ! —25 0 к + 2(5 + 0,-) -5 - (5 + О,) = 5 [Ок + 2 (5 + О,)]. О Ок + 2 (5 + О,) Следовательно, ошибка вычитания выражается зависимостью 20к У ~ Ок + 2 (5 + О,-) ' Как видно, у н и П Р И каких значениях параметров элементов схемы не может равняться нулю. Чтобы схема работала как вычитающая, необходимо обеспечить неравенство Ок <С 2(5 + б,), т. е. выбрать сопротивление Як по условию Я Я к » 2((г +г 1) 6 г 3 [ Рис. 236. Вычитающая схема с обратной связью. Если у достаточно мало, то выходное напряжение можно определять по формуле (9-82), которая для рассматриваемого случая имеет вид А,. 11 да Ш — І/ ^ . ^ ^ )•) . 1 3 , 2 2 в х в х 11,22 Поскольку А13,22 А П.22= (— !)в (-1) 8+1 0 а + 0, -О, 0 - 5 - ( 5 + 0,.) = Б (Б + О,); 0к + 2 ( 5 + 0 , ) — (5 + О,) Ок+2(5+01) Оа + 0 ; Оа - (5 + О,-) Ок + 5 + О, = (Оа + О,-) (Ок + 5 + О,-) + (5 + О,) Оа, для выходного напряжения получаем приближенное выражение // вых (0а + 5 ( 5 + 0,) ( { / „ , -•£и/ „ , ) 5 + а .) + ( 5 + 0 .) 0;) (0к + а Пример 14. Исследовать вычитающую схему, приведенную на рис. 236. В рассматриваемом случае а= 1, с = 2, Ь = 4 и й — 5, поэтому в соответствии с формулой (9-77) ошибки вычитания не будет, если Д 1 (4+5), 2 (2+1) = О- Требуемое составное алгебраическое дополнение находится по матрице проводимости схемы 0', о* о3 + о4 + + о6 -с. -о. 0, + б 3 + о ( 1 5, — °4 - (5, + Он) 0 2 + 04 + + о, 2 -С4 - (52 + 0,2) 5, + 0 (1 + в, + 53 в которую введены эффективные параметры третьей лампы 5 3 , учитывающие наличие сопротивления /?в в ее катоде (табл. 42). Условие вычитания определяется равенством нулю алгебраического дополнения А О ^ = 0 3 + 0 4 + 0 6 - ( 0 3 + 04) О — + + — (5, + Он) 02 + 0 4 + 0 / 2 - (5, + 6,2) — - ( 0 ^ + 0^) ^ + 5 а + 0, 2 + 01а Прибавив сумму первых трех строк к последней строке (определитель не изменит своего значения), имеем = (_п9+1 1 (4+5). 2 (2+1) — 04 0 5, 52 0 0 3 + 04 + 05 -0, -04 + 05 — (0, + о 4 ) ^ + 0 3 + 0Н 0 2 + о 4 + о, 2 в, + о 2 0 - (5, + 0<х) - (5 2 + с г1 ) Отсюда условия точного вычитания можно записать в виде 51Д2) + 52Д3, = О Глава 10 МЕТОД ОРИЕНТИРОВАННЫХ Г Р А Ф О В § 1. Ориентированные графы электронных схем Ориентированный граф представляет собой совокупность направленных ветвей (ребер) и вершин (узлов). Ветви изображаются графически отрезками, а вершины — точками. Ветвь I] начинается в начальной вершине I и заканчивается в конечной вершине / (рис. 237, а). Направление ветви К;. х. указывается стрелкой от начальч ч ^ ной вершины к конечной. Началь' ^ ная И конечная вершины могут Р н с . 237. Элементы графа: совпадать, тогда ветвь образует а - ветвь; б - п е т л я , петлю (рис. 237, б). Ветви соединяются в вершинах и образуют некоторый граф. Если две любые вершины графа соединяются некоторой совокупностью его ветвей, то граф называется связным. Каждой вершине графа соответствует величина х1 — сигнал вершины, а каждой ветви — величина кц — передача ветви. Д л я одиночной ветви (рис. 237) (Ю-1) х, =ких1. Рис. 238. Вершина графа со входящими и выходящими ветвями. (10-2) Если в одну вершину, обозначенную, например /, сходится несколько направленных к ней ветвей (рис. 238), то сигнал /'-вершины определяется суммой X, = -(- /Г21Х2 + . . . + + К\*п = 2 Ьих, (10-3) 1=1 При этом ветви, направленные от вершины /, на величину сигнала хI не влияют, т. е. индекс i в равенстве (10-3) соответствует номерам вершин, которые являются начальными вершинами ветвей с общим окончанием в /-й вершине. Равенство (10-3) указывает на способ записи системы уравнений, соответствующих данному графу и, обратно, на способ построения графа д л я данной системы линейных уравнений. Например, записав выражения для сигналов всех вершин графа (рис. 239), к которым направлены некоторые из его ветвей, получим систему уравнений: = аХ} + ех3; Хд ї х я -{- Ьх2 х4 = Их2 сДк3; ях3 + (Іх^. = §Х Если эта система уравнений задана, то соответствующий ей граф можно построить, рассматривая поочередно каждое уравнение и отображая его графически для соответствующей вершины. Последовательность построения приведена на рис.240. В результате получаем граф, который совпадает с графом, показанным на рис. 239. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между системой линейных уравнений и ориентированным графом. Если к вершине графа направлены одна или несколько вегвей, то сигнал этой вершины зависит ог сигналов других вершин. Верши ны, с которыми связаны только вы ходящие ветви, являются источниками графа, так как сигналы таких вершин не зависят от сиг- а ° ' Л Л ' Ь л^г с X А " Л " Рис. 239 Граф схемы. а ?5 Рис. 240. Последовательность построения графа. налов других вершин. Любая другая вершина, к которой направлена хотя бы одна ветвь, может рассматриваться как сток графа. В целом граф топологически отображает передачу сигналов от источников к стокам. В связи с этим ориентированные графы, применяемые для анализа схем, часто называют графами прохождения сигналов. Как видно из равенства (10-3), уравнение графа составляется для зависимых вершин так, что их сигналы выражаются через сигналы других вершин (как зависимых, так и независимых). При этом наличие в правой части уравнения для 1-й вершины члена кпх1 означает, что с этой вершиной связана петля, передача которой равна к и (рис. 239). Граф, как и скелетная схема (§ 7 гл. 1), является не геометрической, а топологической фигурой. Существенные свойства графа отражают только направления ветвей и характер связи между вершинами. Важно лишь то, из какой вершины выходит данная ветвь и в какую вершину она входит, или, говоря иначе, какие ветви входят в данную вершину и какие ветви выходят из нее. Сами ветви могут изображаться отрезками произвольной конфигурации и длины. Графы, в которых направление ветвей и характер связи вершин одни и те же, называются тождественными в топологическом смысле. Наглядно это можно представить, изобразив граф на упругой поверхности, например, на листе резины. Какой бы деформации без разрушения не подвергалась эта поверхность, изображенный на ней граф не изменится хотя геометрически фигура, изображающая граф, при этом изменится существенно. При анализе электронных Рис. 241. Каскодная схема усилителя. схем методом графов роль сигналов вершин играют токи и напряжения, причем токи и напряжения на входах схемы являются сигналами источников графа. Всегда можно записать уравнения для некоторой совокупности токов и напряжений схемы, коэффициенты которых имеют размерность сопротивления, проводимости или являются безразмерными величинами. Они представляют собой не что иное, как передачи ветЕей соответствующего графа. Таким образом, число вершин графа всегда равно количеству различных токов и напряжений, выбранных д л я описания схемы, а число ветвей — общему количеству слагаемых в правых частях уравнений. Так как уравнение схемы можно представить в различной форме, то и получаемый на их основании граф может иметь различную конфигурацию. Но при всех вариантах для одной и той же схемы должны получаться эквивалентные графы, т. е. они должны отображать один и тот же закон передачи сигналов от источников к стокам. Как пример рассмотрим порядок составления графа для схемы каскодного усилителя (рис. 241). В качестве сигналов вершин графа выбираем токи и напряжения на выходах схемы и на полюсах многополюсных элементов. В рассматриваемой схеме имеются электронные лампы, которые при работе без сеточных токов описываются уравнениями: + <КМ) Поэтому в качестве сигналов вершин необходимо выбрать анодные токи / а , и 1 3г ламп, напряжения на сетках 11С1 и £/С2, анодные напряжения Ь Л1 и и а 2 , а также выходное напряжение 11 ьых- Запись уравнений начинаем с выходной величины, а затем выражаем последовательно все величины, которые входят в предыдущие уравнения. Так, в рассматриваемом примере имеем: Увых = ^ ^2^а2> = 'а/' (Уе1 = УЬы* «г. - 4 .О -у—ч-——-9 * / V ! У А. °2 Т * иСго- ^ р I / 1, к и^/х о <; ф--. Рис. 242. Последовательность построения графа схемы, показанной на рис. 241. Последовательно отображая эти уравнения (рис. 242), получаем искомый граф. Если исходить из уравнения для анодного напряжения лампы (10-5) то уравнения рассматриваемой схемы будут иметь вид: с/вых = и а.2 и С2' 1=1 а 1 а -1 2 1 ис ' и вх. % О- Рис. 243. Второй вариант графа каскодного усилителя. Граф, соответствующий этим уравнениям, приведен на рис. 243. Аналогично можно построить граф и для транзисторных схем. При записи уравнений схемы используется одна из форм уравнений транзистора ( § 3 гл. 4): Л = / 2 = ё21иг + + ё22и2; и2 — г21/1 г2212\ и1-=ки/1 (10-6) (10-7) + Н12и2; (10-8) 12 = Л21/1 + н22и 2. 9і1 и, 9 Гц •о и 922 9п 9<г «И, I, Гц г,2 обо и,<> Л»2 <>иг Рис. 244. Подграфы транзистора, выраженные через: а _ ^-параметры: б — г-параметры; в — й-параметры. Следует только помнить, что токи и / 2 направлены внутрь транзистора, а напряжения и х и ІІ 2 отсчитываются от общего узла, которым может служить любой из трех электродов транзистора. Уравнениям (10-6) — (10-8) соответствуют подграфы, приведенные на рис. 244, а, б, в. Проиллюстрируем методику построения графов транзисторных схем на примере схемы, приведенной на рис. 245, а. Д л я переменных составляющих токов и напряжений она принимает более простой вид (рис. 245, б) где я = Я» + «4 ' Так как в этой схеме / в х не равно нулю, то в качестве сигнала источника графа может быть принята любая из входных величин II в х или / а х . Пусть сигналом источника служит {/ вх , а параметры транзисторов определены в схеме с общим эмиттером. Обозначив внешние токи и напряжения транзисторов и схемы, выразим их, начиная с выходного напряжения ио и ] — и 2. Рис. 245. Транзисторный усилитель: а — принципиальная схема; б — расчетная схема. Н а п р я ж е н и я 11\ и 1)"2 выражаются через токи Г{ и Г2 с помощью уравнений (10-7) — Г\\э1\ + Т 12Э^2, £/2 = Г%\э1\ + Г22Э^2* Рассматривая узлы / и 2, записываем равенства для токов /[ = / , - ) - /2 — /2 = вых Вь,х; — /вх. Токи первого транзистора определяются уравнениями (10-6) Л= -Г 12 — 82\э11\ + §22э^2. В равенство для Г2 входит ток / в х . Поскольку по условию он не является сигналом источника, его также необходимо выразить через другие токи и напряжения /вх = / | + ((А — Напряжения первого транзистора выразим уравнениями: = и вх — вых; На основании полученных уравнений построим граф, приведенный на рис. 246 (подграфы транзисторов показаны штрихами). Если бы в качестве сигнала источника был выбран входной ток / в х или любая другая величина, то система уравнений, а следовательно, и соответствующий ей граф имели бы другой вид. Конфигурация графа зависит также от выбора общего электрода при определении параметров транзисторов § 2. Эквивалентные преобразования графов Преобразование графа удобно осуществлять, пользуясь эквивалентными преобразованиями простейших подграфов или правилами, которые формулируются ниже. Последовательное соединение двух одинаково направленных ветвей (рис. 247, а) может быть заменено одной эквивалентной ветвью, передача которой равна произведению передач исходных ветвей. Действительно, так как хг = ахх их3 — Ьх2, тол: 3 = (аЬ) хъ что и требовалось доказать. При параллельном соединении двух одинаково направленных ветвей (рис. 247, б) передача эквивалентной ветви равна сумме передач исходных ветвей. При этом число вершин остается неизменным, но граф упрощается за счет устранения ветви. Эти правила могут быть распространены на любое количество ветвей. / Пусть к некоторой вершине подходит несколько ветвей и несколько ветвей выходит из нее (рис. 247, в). Если в этой вершине отсутствуют петли, то после ее устранения к а ж д а я входная вершина (хг, х2, ха) будет связана с каждой выходной вершиной (х 4 , хъ) ветвью, передача которой равна произведению передач ветвей, расположенных между ними и внутренней вершиной. Справедливость этого выражения следует из уравнений подграфа; х^ = йх§\ хь — вхв, сх з- х^ — ахх Рис. 248. Исключение петли графа. Исключив из этих уравнений величину хв, получим: х4 = (аё,) хх + (Ьй) х2 + (сЛ) х3, х5 = (ае) хг + (Ье) х2 + (се) х3, что соответствует эквивалентному подграфу, приведенному на рис. 247, б. Рассмотрим случай, когда устраняемая вершина содержит петлю (рис. 248, а). При этом х2 = ахг + /х2; х3 = Ьх2. Определив величину х2 из первого уравнения и подставив ее во второе, получим аЬ Х-л = • 1 - / X,. Сравнивая этот результат с преобразованием по рис. 247, а, заключаем, что при наличии в устраняемом узле петли с передачей I, передача эквивалентной ветви умножается н а у - ^ . Это правило иллюстрирует также рис. 248, б и е. Следует обратить внимание на глубокое различие подграфов с параллельными ветвями, когда ветви направлены одинаково и раз- лично относительно вершин. В первом случае имеет место простое суммирование передач ветвей (рис. 247, б). Второй случай более сложный. Если с одной вершиной такого подграфа связаны только асе О б б Рис. 249. Исключение параллельного включения ветвей графа. входящие ветви, а с другой — т о л ь к о выходящие (рис. 249, а), то, применяя преобразование рис. 247, в, устраняем одну из вершин, но при этом образуется петля (рис. 249, б). В соответствии с пра- о—»•—о 4 Ьсг\ об >( о у а Г\ <9 fh У—^—о 6 о-»—о % о—— аьа П) ( К а—»• о , о §ЕК - о Ьс а 1 О- 6 г Рис. 250. Порядок упрощения графа с последовательно-параллельным соединением ветвей. вилом устранения вершины с петлей (рис. 248, в) получаем эквивалентный подграф, приведенный на рис. 249, в. Если граф представляет собой последовательно-параллельное соединение ветвей, причем параллельные ветви разнонаправленные (рис. 250, а), то упрощение следует начинать с внешних вершин (рис. 250, б). При этом получаются петли, которые затем учитываются при последующих преобразованиях (рис. 250, в). Если бы преобразование такого графа начиналось с внутреннего узла 3 или 4, то в результате получилось бы две петли (рис. 250, г), ^ — — — т о г д а как при устранении крайив него &I У з л а появляется только на / " Л " °Д петля. / З ^ г / ГИ у ^ г г у / Устраняя вершину за верши] 1 Уяа 7-1 у/ ной (или группы вершин), последовательно упрощаем граф. ' В конце концов всегда можно Рис. 252. Частичное упрощение графа транзисторной схемы, показанной на рис. 245. прийти к одной эквивалентной ветви, передача которой и будет выражать передачу сигнала от начальной вершины к конечной. Выбирая в графе соответствующие вершины, можно получить таким путем необходимый вторичный параметр схемы. Пример 1. Определить коэффициент передачи напряжения схемы (рис. 241) эквивалентным преобразованием ее графа (рис. 243). Приведение графа к одной ветви показано на рис. 251. Для коэффициента передачи напряжения получим выражение -Цд ( ц 2 + 1) 1 + Я/,/*» и. (Иг + 1) 1 + 1 + я^/я, + Я2 "'2 — р, (|хг + 1) 1 + Я, я. Пример 2. Частично упростить граф (рис. 246), считая вершины £/вх, / в х и С/вых внешними. Устраняя вершины /'2 и С/", (рис. 252, а), затем /,', (/,' (рис. 252, б) и (/, (рис. 252, в), получим более простой граф, в котором на 9 ветвей и 5 вершин меньше, чем в исходном (рис. 246). § 3. Передача графа Хотя передачу сигнала от источника к какой-нибудь вершине, выбранной в качестве стока, можно получить путем последовательных упрощений графа до одной ветви, этот путь может оказаться слишком громоздким. Кроме того, аналитические выражения получаются в виде многоэтажных дробей, что неудобно для последующего анализа. В то же время имеется возможность получить общую формулу передачи графа, которая позволяет записать выражение для Граф с п передачи сигнала от источника к стоку вершинами непосредственно из рассмотрения графа любой сложности. Обозначим через х0 сигнал источни- Рис. 253. К выводу форка, а остальные вершины графа пронуме- мулы передачи графа. руем от 1 до п и соответствующие им сигналы обозначим через хъ х2, ..., хп (рис. 253). Уравнения для каждого из этих сигналов (кроме сигнала источника) имеют вид: хг = 601*0 + ких1 + к2хх2 + • • • + ктХп', х2 = &02*0 + £12*1 + к22х2 + ... Хп —- & 0/1-^0 ~Ь + кП2Хп; к'2пЛ2 -(- Здесь /г01, /г02, ..., к 0п — передачи ветвей от источника до соответствующих вершин графа, на которые указывает второй индекс. Величина 1гц представляет собой передачу ветви, направленной от 1-й к /-й вершине, является передачей петли, которая выходит из 1-го узла и входит в тот же узел. Произведения к01х0, к02х0, ..., кппхй можно рассматривать как некоторые задающие величины, которые определяют воздействие источника на граф. Оставив эти величины в одной части уравнений и сгруппировав в другой части остальные члены, приведем уравнения (10-9) к виду: 601*0 — (1 — Х\ — к2хх2 ко2Х0 = — + (1 — к22) х2 — . . . — /г,і2хп; копХ0 — — к\пхх к2пх2 ... кпіХп", (10-10) (1 —кпп) хп. Разделив обе части уравнений на х0 и обозначив передачу графа к 1-й вершине через (10-11) получим: бої = (1 — kn) Кх — k2lKа — ko2 = — k12Kx + (1 — k22) К2 kn\Kn; — kn2Kn', (10-12) kon = — kinKi — k2nK.2 — • • • + (1 — knn) KnВ матричной форме эти уравнения имеют вид £01 ko2 1 — ^11 . k2x . . . — kn\ k\2 k22 . . . — k n 2 _ — kin _ kon _ или более кратко 1 — k2n • Г*1 K2 1 (10-14) [£„] = [Ли, ^ог, . • . , коп] \К] = [К1,К2 Кпу, матрица п-го порядка, называемая 1 — \Т] "-и k 12 (Ю-15) (10-16) матрицей kni 21 1 (10-13) . Kn _ [*„] = 1Л [ К ] , где \к 0 ] и 1/С1 — /г-мерные векторы, [Т1 — квадратная графа, " 22 ' ' - kn2 (10-17) = 1 • k\n k2n Следует обратить внимание на то, что первый индекс в передачах ветвей kn указывает на номер столбца, а второй — на номер строки. Из матричного уравнения (10-14) определяется вектор передачи графа [К] = [Л~'[£ 0 ]. (Ю-18) Передача графа от источника к t'-й вершине, т. е. і-я компонента вектора [/С] Рис. 254. Граф схемы, подготовленный к записи его матрицы. S S=1 D (10-19) іде О — определитель матрицы [Т], называемый определителем графа, а О,, — его алгебраическое дополнение. Записав для данного графа матрицу \Т\ и вектор [й 0 ], по формуле (10-19) можно определить искомую передачу графа. Пример 3. Найти выражение для коэффициента передачи напряжения схемы, представленной графом (рис. 251), по формуле передачи графа (10-19). Обозначив вершины графа, как указано на рис. 254, запишем матрицу и задающий вектор графа: 1 1 2 3 4 5 1 я. 2 1 1 [Т]= з Иг 1 1 — 1 1 1 Я-, 1 [*о1 = — ш В данном случае сток обозначен цифрой 4, т. е. 1 = 4 , а единственная отличная от нуля компонента задающего вектора /гог •= —Ц1, поэтому ~5 Находим определитель графа и его алгебраическое дополнение Я, 1 Иг 1 0 0 0 1 о 0 1 о -«I* о -1 л_ яг о 0 Иг 1 1 —1 о -Яі, 0 ~к~ 1 яг 1 0 о Иг 1 - Я і . 1 О -1 О о ' 1 = (Х 2 +1. Подставив значения О и получим — И1 ( щ + 1) , Л. . ,ч к что совпадает с результатом, полученным в примере 1 настоящей главы. Приведенный пример лишь иллюстрирует смысл формулы (10-19), но вовсе не является указанием на применение метода графов к анализу электронных схем. Задача заключается в том, чтобы связать способ вычисления определителя О и алгебраических дополнений с топологической о <5 £>- —-о о- ^ р о 2 о С^ N о ч о / 5 и Рис. 255. Контуры и сквозные пути графа. структурой графа и тем самым найти способ непосредственной записи выражения для передачи графа из его рассмотрения. Введем некоторые определения. Непрерывная последовательность ветвей, составленная так, что конечная вершина предыдущей ветви является начальной вершиной последующей, образует путь графа. Если путь проходит от источника к стоку, причем к а ж д а я вершина встречается вдоль этого пути не более одного раза, то он называется сквозным путем. Контуром является замкнутый путь, вдоль которого каждая вершина может встречаться только один раз. Петля представляет собой частный случай контура, включающего только одну вершину. Если два пути или контура имеют хоть одну общую вершину, то они называются соприкасающимися; пути или контуры, не имеющие ни одной общей вершины, называются несоприкасающимися. Например, д л я графа, представленного на рис. 255, а, все четыре контура показаны на рис. 255, б, а два сквозных пути — на рис. 255, а. Контуры 1 и 3 несоприкасающиеся. Сквозной путь / не имеет несоприкасающихся контуров, а сквозной путь 2 не соприкасается с контуром 2. Передача пути Р определяется произведением передач ветвей вдоль этого пути; передача контура I также равна произведению передач ветвей, входящих в данный контур. Так, передачи контуров и сквозных путей графа (рис. 255) выразятся следующим образом: = ^2 = ^23^32' ^3 = ^34^43' ^4 = ^14^43^32^21' — ^01^12^23^34^45' ^2 = ^01^14^45" Нетрудно заметить, что в контуры графа не входят ветви, начинающиеся в источнике. Напротив, в каждом сквозном пути обязательно имеется одна ветвь, исходящая из источника и одна ветвь, приходящая к стоку, но не может быть ни одной ветви, выходящей из стока х . Общее выражение передачи графа от некоторого источника к 1-й вершине может быть получено по формуле ^12^21' К, = - ^ 0 • (Ю-20) Здесь, как и в формуле (10-19), О — определитель графа, который зависит исключительно от контуров и может быть записан непосредственно из рассмотрения графа. Он равен единице минус сумма всех контуров, плюс сумма произведений всех попарных комбинаций несоприкасающихся контуров, минус сумма произведений всех комбинаций по три несоприкасающихся контура и т. д. Обозначив произведение г-й комбинации из д несоприкасающихся контуров через Ь(гч), можно записать О = 1 — 2 ^г" + V Г Г — ^ + ..., (10-21) Г ИЛИ 1)(<"^<7)- о = 1 + ч (Ю- 2 2 ) г Отсюда, в частности, следует, что определитель графа, не имеющего ни одного контура, равен единице. Таким образом, для получения определителя графа достаточно выделить его контуры и воспользоваться правилом, выраженным зависимостью (10-21) или (10-22). Например, для графа р и с . 255, 1 В дальнейшем для сокращения, говоря о передачах ветвей, путей и конту ров, а также об их произведениях термин «передача» можно опускать. Например, вместо «произведение передачи ветвей» будем говорить «произведение ветвей», вместо «передачи пути» — просто «путь» и т. п. учтя, что имеется только одна пара несоприкасающихся контуров (/ и 3), имеем О - 1 — (I, + 1, + + + V , = 1 - 623632 "Ь 634643 -[- 6^64363262!) -(- 612621634643. Числитель формулы (10-20) имеет другой вид, чем в формуле (10-19). Между ними имеется глубокая связь, которая будет выяснена позже. А пока без доказательства разъясним смысл величин Р5 и Величина Р 5 уже встречалась ранее. Это передача «-го сквозного пути графа. Величина называется алгебраическим дополнением з-го сквозного пути и равна определителю той части графа (подграфа), которая не соприкасается (не имеет общих вершин) с этим сквозным путем. Для рассматриваемого примера (рис. 255) Ру и Р 2 были получены выше. Выражения для алгебраических дополнений могут быть получены из рассмотрения контуров графа, не соприкасающихся с данным сквозным путем. Так как первый сквозной путь не имеет ни одного несоприкасающегося контура, а второй — не соприкасается только с контуром 2, то В] = 1; О 2 — 1 = I — 6236з2. Подставляя полученные из рассмотрения графа значения его определителя, сквозных путей и их алгебраических дополнений в формулу (10-20), получим выражение для искомой передачи графа. Так, для рассматриваемого примера ^01^12^23^34^45 + ^01^14^45 П ^23^32) К, = Х • к,,,к. ^14^43^32^2 21 "4" ^12^21^34^43 После того, как смысл формулы передачи графа (10-20) хорошо уяснен, можно перейти к ее доказательству. Задача заключается в гом, чтобы перевести выражение (10-19) с аналитического языка на топологический язык, связанный со структурой графа. При этом будем исходить из матрицы графа ІГ1, которую представим в виде суммы двух матриц п-го порядка: единичной матрицы 1 0 0 1 0 0 ... 0 0 и матрицы - [6| • 612 к • 21 ' 622 — 6, „ кп\ кП2 •ко, все элементы которой представляют собой отрицательные значения соответствующих передач ветвей кц (необходимо обратить внимание на то, что здесь первый индекс £ соответствует номеру столбца, а второй индекс / — номеру строки). В соответствии с теоремой об определителе суммы двух матриц [13] * _ 2 2 ( - 1 > м г ^ ** ч Рг> 5=0 Рг Г И Р* / Г " Г »")• \ Р5+1. Р5+2, • • •, Рп ! (10-23) где М ' — минор, образованный из некоторых в строк и столбцов определителя первой матрицы и М" — взаимно дополнительный минор, образованный из тех (п — в) остальных строк и столбцов определителя второй матрицы, которые не использованы при обрая п т е зовании минораМ'. Величина а = 2 К + Р<) — 2 ( а ( + - 1=1 1=П—$ она равна сумме номеров строк и столбцов, использованных при образовании миноров М' или М". Вторая сумма в (10-23) означает, что для данного значения в (б — 0, 1, 2, ..., п) суммируют произведения миноров М ' и М " , образованных всеми возможными комбинациями из п строк и столбцов по в или, что то же самое, всеми возможными комбинациями из п строк и столбцов по (п — я). Применим эту теорему к рассматриваемой задаче. Будем считать матрицу [6] первой, а единичную матрицу 111 — второй. Все отличные от нуля миноры единичной матрицы являются главными минорами и равны единице. Иначе говоря, они образуются из одинаковых комбинаций строк и столбцов определителя единичной матрицы. Это значит, что а всегда четное и, так как при в = 0 первый минор не содержит ни одной строки и столбца и вырождается в единицу, то можно записать д = 1+ у у л Л а 1 ' ^ы \ ах, а 2 + У л Л в - а * — \ а1( а , Ч а, / - М а„ ) Как видно, определитель графа разлагается на сумму всех главных миноров первого, второго и т. д. порядка до п включительно. Учитывая знаки элементов матрицы Ш , можно записать 0 = 1 + 2 (— I)5 1 Ж , 5=1 (10-24) где (—1)5М5 — главный минор я-го порядка матрицы [6]. В последнем слагаемом определитель М п содержит все строки и столбцы матрицы [6 ], т. е. М„ = (10-25) Определители М1г М2, •••, Мп-\ образуются из этого определителя вычеркиванием в определителе Мп соответственно (п — 1), (п — 2) 2, 1 строк и столбцов с одинаковыми номерами. Формуле для определителя Э графа необходимо дать топологическое толкование. Будем"называть полным графом такой граф, все элементы матрицы 161 которого отличны от нуля, т. е. между всеми вершинами графа имеются двусторонние ветви и каждая вершина содержит петлю. На рис. 256 показаны примеры полных графов с двумя, тремя и четырьмя вершинами. Каждый конкретный граф может рассматриваться как полный, у которого передачи некоторых ветвей равны нулю. Рассмотрим прежде всего граф с п вершинами, в котором нет ни одного контура. По-видимому, можно пронумеровать его вершины таким образом, чтобы все ветви графа выходили из вершин с меньшими номерами и подходили к вершинам с большими номерами, т. е. в передачах ветвей 6,/ индекс I < /. Если бы при этом оказалась хотя бы одна ветвь с передачей 6;,-, которая подходила бы от узла с большим номером к узлу с меньшим (I > /') или петля (/ = /'), то это означало бы, что она одна или вместе с другими ветвями образует контур. Таким образом, отсутствие контуров в полном графе можно записать общим условием: б,-/ = 0 при I > /. (10-26) При этом матрица графа (10-17) становится треугольной 1 0 ... 0 — к 12 1 О 1Л = — к\п — к2п ... 1 Поскольку определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали, то, как следует, определитель графа, не имеющего контуров, равен единице. На рис. 257 приведен пример полного графа без контуров для п = 5. Теперь займемся определителем М„ и его главными минорами, входящими в выражение (10-24). Как известно, любой определитель п-го порядка может быть представлен в 2 виде суммы произведений п его элементов, т. е. мп ки ^21 • кп\ ^12 ^22 • кп2 к\п к-2п • Кп = . Ь,шп. (10-27) Здесь первые индексы передач ветвей р и с 257. Граф, не указывающие номера столбцов, упорядочены, имеющий контуров, а совокупность вторых индексов а!, а 2 , ..., а п , указывающих номера строк в каждом слагаемом, представляет собой некоторую перестановку натурального ряда чисел 1, 2, ..., п. При этом сумма берется по всем возможным перестановкам. Напомним, что перестановка — это всякое расположение чисел или вообще любых символов в некотором вполне определенном порядке. Количество различных перестановок из п чисел равно п\ = 1, 2, 3 ... п и быстро растет с увеличением п. Так, при п = 3 количество перестановок 6, при п = 4 оно равно 24, при п — 5 имеем 120 перестановок. Но уже при / 1 = 6 число перестановок равно 720, а при п = 10 оно достигает огромного числа — 3 628 800. Это обстоятельство, между прочим, красноречиво свидетельствует о возрастающей сложности вычисления определителей даже сравнительно невысоких порядков. Величина е в выражении (10-27) означает сумму инверсий в перестановке а х , а 2 , ..., а„. Инверсия имеет место, если а 1 > а/ стоит в перестановке раньше а, . Перестановка называется четной, если ее символы а ^ ..., а„ составляют четное число инверсий, и нечетной — в противоположном случае. Так, среди всех перестановок при п = 3: 123; 213; 132; 231; 312; 321 первая не имеет инверсий, в двух следующих — по одной инверсии, в четвертой и пятой — по две и в последней — три инверсии. Следовательно, первая, четвертая и пятая перестановки четные, а остальные — нечетные. Упорядоченная последовательность 1, 2, п первых индексов в выражении (10-27) и некоторая перестановка а 1 ( а 2 , ..., а„, соответствующая вторым индексам, образуют так называемую подстановку л-й степени А=(1%2 , (10-28) \а 1 ( а 2 , а„/ Подстановка отображает попарное сочетание индексов при передачах кц, входящих в общее выражение для определителя М„. Очевидно, число подстановок п-й степени равно числу перестановок из п символов, т. е. п\. Четность подстановки определяется четностью перестановки а г , а 2 , ..., ап. Д л я выяснения топологического смысла определителя М„ важное значение имеет разложение подстановки в циклы. Цикл образуют такие пары индексов данной подстановки, что каждый второй индекс предыдущей пары равен первому индексу последующей пары, причем второй индекс последней пары равен первому индексу первой пары. Например, подстановка шестой степени , 1 2 3 4 5 6\ /5 3 6 1 4 2\ л \4 1 6 2 5 содержит три цикла: 3/ 15 6 3 4 2 1/ Л = ( 5 5 ) ( б з ) ( 1 4 2 1 )• Число пар индексов, образующих цикл, означает длину цикла. Очевидно, всякую подстановку можно разложить в произведение взаимно независимых циклов, причем сумма длин всех циклов равна числу п символов подстановки. Нетрудно заметить, что каждый цикл данной подстановки определяет произведение ветвей, образующих замкнутый контур, а каждая подстановка — произведение контуров графа. Эти контуры не соприкасаются, так как циклы подстановки включают существенно различные индексы, а значит и контуры не содержат одинаковых вершин. Например, подстановке А соответствует член разложения определителя шестого порядка (А»») зв^вл) (кцк42к21), • что представляет собой произведение трех несоприкасающихся контуров — петли пятой вершины, контура, образованного двумя ветвями между третьей и шестой вершинами, и контура, образованного тремя ветвями между первой, четвертой и второй вершинами графа. Таким образом, можно сделать важный вывод, что все слагаемые в разложении (10-27) определителя Мп представляют собой произведения различных комбинаций несоприкасающихся контуров графа. Будем называть порядком каждого такого произведения число, равное количеству входящих в него несоприкасающихся ветвей. Очевидно, разложение определителя М п включает произведение первого порядка (контур к12, 34 ... кп—\,пкпХ)у соответствующее циклической подстановке / 1 2 3 . . . п— 1 п \ \ 2 3 4 ... п 1 )' а также произведение «-го порядка (произведение всех петель-& и к22 ... &„„), соответствующее подстановке I 1 2 3 ... я \ 1 2 3 ... п / ' Можно убедиться в том, что в разложении (10-27) имеют место также различные комбинации произведений второго, третьего и других порядков. Значит, определитель М„ равен сумме всех возможных произведений от первого до п-го порядка несоприкасающихся контуров, которые связаны со всеми п вершинами полного графа. Обозначив сумму всех возможных произведений д-го порядка на п вершинах графа через Ь„г), можно записать выражение (10-27) в виде (10-29) 7=1 Здесь, как и в (10-27), знаки слагаемых определяются множителем (—1) е , где е —сумма инверсий перестановки а 1 , с^, ..., а п , т. е.- четность соответствующей подстановки. Имеет место непосредственная связь между четностью подстановки 8 и числом циклов, на которые разлагается данная подстановка п-й степени, т е, порядком <7 произведения Ъ(п . Подстановка п-й степени, которая разлагается на <7 циклов, характеризуется так называемым декрементом — числом, равным п — ц. Можно показать, что четность подстановки совпадает с четностью ее декремента. Действительно, каждый цикл содержит на единицу меньше инверсий, чем число образующих его пар символов. Следовательно, всего инверсий будет на столько меньше числа символов а и с^, ..., а„, сколько циклов содержит подстановка, т. е. е = п — <7. (10-30) Подставляя это значение е в выражение (10-29), получаем = 2 ( - 1) п ~'и ? ) . (ю-31) <7=1 Возвратимся теперь к выражению (10-24). Входящие в него определители М, (в = 1 , 2 , ..., п — 1) отличаются от определителя Мп только тем, что в них отсутствуют некоторые строки и столбцы с одинаковыми номерами. Очевидно разложение каждого такого определителя также представляет собой сумму всех возможных произведений несоприкасающихся контуров, связанных с некоторой комбинацией я вершин из п вершин полного графа. Значит, сумма всех комбинаций определителей в-го порядка может быть представлена в виде 2л<, = 2 ( - 1 Г ^ > , (Ю-32) <7=1 где Ь[ч) представляет собой сумму всех возможных комбинаций произведений <7-го порядка на в вершинах полного графа. Теперь выражение для определителя графа запишется следующим образом: £ = 1 + 2 ( _ I)5 V 1 (Ю-ЗЗ) в=1 <7=1 Перемножив величины, определяющие знаки членов разложения, ( - 1Г ( - 1 Г" = ( - 1 Г" = ( - 1 ) " , а также заменив порядок суммирования и учтя, что 8 С я, получим о = 1 + 2 2 <7=1 5=<7 ( — ( ю - 3 4 ) или о = + 5=1 ... 5=2 (ю-35) в=3 Если представляет собой сумму произведений всех возможных комбинаций <7 несоприкасающихся контуров на всех комбип нациях по я вершин графа из п его вершин, то 2 Цч) является 5=17 суммой произведений всех возможных комбинаций q несоприкасающихся контуров всего графа. Обозначив через г-ю комбинацию из <7 несоприкасающихся контуров, приходим к выражению для определителя графа в искомом виде, т. е. о = 1 - 2 г + 2 г и2) - 2 г ^ + ... (ю-36) При выводе этой формулы мы исходили из полного графа, в котором каждая вершина связана с каждой другой вершиной прямой и обратной ветвями. Очевидно, она справедлива и для любого другого графа, в котором отсутствуют какие-либо ветви полного графа. Практически даже сравнительно сложные графы, как правило, содержат произведения контуров не выше второго и очень редко третьего порядка. Поэтому разложение- ( 1 0 - 3 6 ) обычно содержит, кроме первого члена (единицы), еще один-два и, редко, три члена. Займемся теперь числителем выражения (10-19). Не нарушая общности доказательства, можно считать стоком п-ю вершину графа. Если сток обозначен другим номером, то всегда можно так перенумеровать вершины, чтобы удовлетворить этому требованию. Тогда s-e слагаемое суммы в числителе выражения (10-19) можно записать в виде п п Dsnkos = &0s 2 (—^s3,)A/i.HiS— 2 &0s^sP,As, ptri = pi=l 3i=l (Pi *S) n— 1 = kosksnDss, nn -f 2 ^0s&sp,As, P.=l Здесь последовательно выполнены следующие преобразования: разложение алгебраического дополнения Dsn по s-му столбцу (необходимо помнить, что в передачах kij первый индекс указывает на номер столбца матрицы графа, а второй индекс — на номер строки, и, кроме того, все величины kij входят в матрицу графа со знаком минус); перестановка вторых индексов двойного алгебраического дополнения в соответствии с зависимостью (9-63), т. е. Dsn, = —Ass, (Vm выделение из суммы слагаемого, соответствующего PJ = П. В выделенном члене произведение kosksn означает передачу сквозного пути от источника к стоку через s-ю вершину. Двойное алгебраическое дополнение Dss,nn равно определителю подграфа, образованного удалением из полного графа с п вершинами s-й и и я-й вершин, т.е. как раз тех вершин, через которые проходит умножаемый на него сквозной путь. Это следует из того, что удаление вершины из графа соответствует вычеркиванию в его определителе строки и столбца с номером этой вершины. Таким образом, выделенный член равен произведению сквозного пути, проходящего через s-ю вершину, на его алгебраическое дополнение. Выполнив аналогичные операции над вторым слагаемым, получим п—1 tl 2 kosksfi, 2 (— 6р,р2) As, р,п, ргр, = 01=1 Р2=1 (Pl + S) ( 3 , + s, р , ) it—1 п = 2 2 kdsksfS, Pi=l P,=l P.P., M = П—\ /1—1 /1—1 2 p,p„ nn + 2 2 Ôs^sp.^p.p,As, p,p„ p,nPl = l 01=1 02=1 Здесь алгебраические дополнения Dss, разлагались по р г м у столбцу (PJ = 1, 2, . . . , п — 1; (5 Ф s). Первое слагаемое соответствует р2 = п и представляет собой сумму произведений всех возможных сквозных путей графа, проходящих через вершины с номерами s и PJ, на алгебраические дополнения этих путей. = 14 1—837 417 Продолжая действовать подобным образом, нетрудно подметить общую закономерность и сделать следующий вывод: величина £>м/г0, разлагается на сумму, каждое слагаемое которой представляет произведение проходящего через 5-ю вершину сквозного пути на его алгебраическое дополнение, причем эта сумма охватывает сквозные пути через г-ю вершину и все возможные комбинации остальных п — 2 вершин графа (вершина п принята в качестве стока и она обязательно входит в сквозной путь). Обозначив сквозной путь, проходящий через я-ю вершину, через а его алгебраическое дополнение — через , можно записать Подставив это значение в выражение (10-19), получим окончательно требуемую формулу для передачи графа 2 2/у\. р а числитель которой равен сумме произведений всех сквозных путей графа на их алгебраические дополнения. Заметим, что разложение определителя О графа, имеющего т контуров, как и можно представить в следующем виде: С = [( 1 - ^ ) ( 1 - 1 2 ) ... (1 - / . „ ) ] • . (10-37) Здесь звездочка показывает, что среди всех возможных произведений контуров /, 2 , ..., сохраняются только произведения несоприкасающихся контуров, а произведения, в которые входят соприкасающиеся контуры, не учитываются. В справедливости выражения (10-37) нетрудно убедиться, выполнив умножение в указанном смысле и сравнив результат с полученной ранее формулой (10-36). Очевидно, если граф содержит только несоприкасающиеся контуры, то его определитель выражается произведением членов (1 — I , ) в обычном смысле, т. е. т 0 = (1 - 1 Х ) ( \ - Ц ) ••• ( 1 - ^ т ) = П (=1 (1-/.,). (10-38) Такой вид функции схемы, когда ее знаменатель может быть представлен в виде произведения сравнительно простых сомножителей, исключительно удобен для последующего анализа. Поэтому всегда, если это возможно, следует стремиться путем упрощающих предположений устранить прежде зсего соприкасающиеся контуры. § 4. Применение метода ориентированных графов к анализу электронных схем Метод, использующий ориентированные графы для анализа электронных схем, по существу изложен в предыдущих параграфах настоящей главы. Формула передачи (10-20) позволяет записать выражение для требуемой функции схемы непосредственно из рассмотрения графа. Во многих случаях так поступать более удобно, чем приводить граф к эквивалентной ветви рядом последовательных преобразований. Однако часто бывает полезно упростить исходный граф, прежде чем применять общую формулу. Итак, анализ электронных схем методом ориентированных графов сводится к выполнению следующих операций: 1) составлению ориентированного графа исходной схемы с одним или нерСс сколькими источниками Л^Г+рС,!?,) -рСс 'X" графа, выбранными в соответствии с условием задачи; и„ %Л 2) частичному упрощению графа (если это требу- Рис. 258. Усилительное звено с низкочается) путем применения экстотной коррекцией: вивалентных преобразова- 1 — эквивалентная схема; б — граф схемы. ний ; 3) выделению совокупности несоприкасающихся контуров и сквозных путей упрощенного графа и вычислению их передач; 4) записи требуемой функции схемы по общей формуле передачи графа. Пример 4. Определить функцию передачи напряжения усилительной цепи на пентоде с коррекцией в области низких частот, упрощенная схема которой для переменных составляющих токов и напряжений приведена на рис. 258, а (пентод заменяется эквивалентным триодом). Положив Ян > Яа и » Яь т. е. /2 « Н и / а ~ /1- При этих допущениях уравнения схемы запишутся в виде: вых /2 = рСс ^а = - / а (ив Л -иау, Я. 1+ рС,К, /. = В последнем уравнении величиной ном случае допустимо. пренебрегаем, что для пентодов в дан- Граф, соответствующий этим уравнениям, показан на рис. 258, б. По формуле (10-20) имеем ,, Ки У вых ~~ и Ті вх - 5 Яа + 1 + рС Я 1 1 + рСсЯн , Рис. 259. Граф транзисторной схемы, предI ставленной на рис. 245. Обозначив тх Сс/?„, после преобразований получим рт„ а Ки = К где Ко =• — о т (1 + р т , ) ( 1 + ртн) (1 + от + рту) рт„ °(1 + рт 1 )( 1 + ртн) ' (10-39) 'Ка \а Если цепочка коррекции отсутствует (/?1 = 0), то Т1 = 0 и от = 0, следовательно, Пример 5. Определить коэффициент передачи напряжения и входную проводимость транзисторной схемы (рис. 245), упрощенный граф которой приведен на рис. 259, а. Граф содержит восемь контуров (рис. 259, б), передачи которых Ц = - 4 (Яп + ё22)', Ц = в (г"12 — г22); = - (о + ё'и + §2\) ( 4 - 4); г ц = — (°1 — £12) \2> Ц = (61 + £п) (г\2 - г'22); Ц = = (О + = — (О, + + ( 4 — 4 ) 4'- + §21) (°1 - 8\2> < 4 - 4 ) Г"п> + ё 2 2 ) (4 — 4 ) 4 . Пары контуров / и 2, У и 5, 3 и 4 несоприкасающиеся. Следовательно, определитель графа + Ц + Ц+ + Ц + Ц + Ц + Ц) + + + ЦЦ. При определении коэффициента передачи напряжения источником служит вершина £/вх, а стоком О ш х . Имеются четыре сквозных пути от и т к £/вых (рис. 259, в), причем путь 1 не соприкасается с контуром 4, путь 2 — с контуром 1, а пути 3 и 4 не имеют несоприкасающихся контуров. Следовательно, Р 1 = (£п + £21) ( 4 - 4 ) . Р. = — (О, + £н) ( 4 - 4 ) - С, = 1 - /.4; 02=1-/.,; р 3 = — (£п + £21) (°1 - £12) ( 4 - 4 ) '"и- = 1; Р4 = (О, + Шп + £22) <4 - 4 ) 4 По формуле (10-20) коэффициент передачи напряжения ^вых = 1- (1 - /_4) + Р, (1 - Ц) + Р3 + Рt Для определения входной проводимости в качестве стока необходимо принять вершину / вх . Сквозные пути от источника (Увх к стоку / вх показаны на рис. 259, г. При этом сквозной путь 5 не соприкасается с двумя контурами / и 2, путь 6 с контуром 2, а пути 7 и 8 не имеют несоприкасающихся конуров. Следовательно, Рь = О, + 0 5 = 1 - (/,, + + ^ = (£и + £21) (°1 - £12) 4 Рт = - (£п + £21) (К, - 4 ) р8 = о = 1 — + *и). 0 7 = 1; + £21) (°1—£12) ( 4 - 4 ) 4> = 1. По формуле (10-20) входная проводимость схемы а »* /вх 1/ и р 51 1 + 1 - ( £ , + 1 2 + £3 + + Мч] + /-8 + + (1 - Ц + Р; + Р8 +/.8) + + + * Как видно из рассмотренного примера, для сравнительно сложных схем, особенно схем с транзисторами, применение метода ориентированных графов связано с необходимостью топологического анализа графа (выделение контуров и сквозных путей, установление соприкасающихся путей и контуров), что Рис. 260. Схема транзисторного усилителя, подготовлен- снижает эффективность метода. В подобная к записи матрицы провоных случаях лучше применять обобщендимости схемы. ный матричный метод. Приведем для сравнения анализ схемы, рассмотренной в предыдущем примере, обобщенным методом узловых напряжений. Пример 6. Определить коэффициент передачи напряжения и входную проводимость транзисторной схемы (рис. 245) обобщенным методом узловых напряжений. Обозначив узлы схемы, как указано на рис. 260, и приняв в качестве исходных параметров транзисторов §-параметры с общим эмиттером (табл. 37), записываем матрицу проводимости схемы 1 2 3 1 2 3 §и + §21 - ё\2 — °\ ~(§!l +§î2) + §22 + §11 + §12 + - (§21 + §22 + §11 + §21> + §21 +§22 ° + §U + §12 + §21 + (§ 11 + §21 ) - (§12 + §22 + §И + §12) + §22 +§11 Коэффициент передачи напряжения и входную проводимость схемы запишем (табл. 7) следующим образом: ^Ц ~д • °вх— " л - ' Находим определитель и соответствующие алгебраические дополнения таблицы проводимости: §п + §21 §12 — - (§п + §12) °1 + §22 + §11 +§12 + §21 +§22 ~ (§21 + §22 + §11 + §21> "(§11 + §21> - (§12 + §22 + §11 + §12) §П+0, §12-01 0 §21 + §22 "(§П+§21) — (§12+§22~ §11 +§1 2 ) 0 + §11 + §12 + §21 + §22 + §11 -(§11+§12> 0 — §21 ° + §И + § 1 2 + §21 + §22 + §11 й-п + G, Su —G, О 0 £21 +S22 -teu+î) ~ (£12 + £22 + £11 + S12) G + £22 G-gî2 = (Su + G,) !(sô, + §22) (G - S",2) + (Su + 822 + Su + Su) (G + £22)] + + (G, - g'u ) (G + S22) tei'i + SnY' Д.я = S21—G1 G, + g'22 + g"n + gï 2 + g^ + S22 — (si I + £21) - (Su + g'22 + s H + Su) (G, - £21) (Su + 822 + Su + £12) + (£11 + £21) (°i +£22 + + + £12+ £21 + £22) G 1 +§22 + ^11 + £ l 2 + £>1 +^22 — (£21 +£22 + ^11 +£21* - (g'u + 822 + Su + Su) G + g l , + Su + s'2\ + 822 + S'a G, + 822 + Su + £12 + £21 + £22 - te2, + 822 + £11 + £21) Gj - g'vl + g2\ + £22 G + g'u + g[2 - g"2i G, - §21 + £12 + 822 - teâi + 822 + £11 + £21) G + G, + g' n +§22 G + gu+g'v2 = (G, --£21 + Su + S22) (G + 8u + Su - 8n) + X te2i +822 + 8u — g"2X + G, + Su + 822) X +£21) Подставляя значения алгебраических дополнений и определителя матрицы в выражения для Кц и G°BX, получим искомые зависимости. Приведенный пример наглядно подтверждает сказанное выше о преимуществах обобщенных матричных методов. Однако, по крайней мере, в одной области метод ориентированных графов не имеет равных. Это схемы с однонаправленными звеньями, к которым сводятся, в частности, многие системы автоматического регулирования. Рис. 261. Схема с однонаправленными усилительными звеньями. Пример 7. Найти передаточную функцию замкнутой системы (рис. 261). Если звенья прямой и обратной передач считать однонаправленными, го схема имеет три контура с передачами и, следовательно, 1*1 = К Д . Ц = ^зРз. Ц = Л1/С2Я3Р4 2 = £ 1 + £, + £». Имеются лишь два несоприкасающихся контура с передачами /л и Ы, поэтому 2 ^ = Таким образом, знаменатель передаточной функции замкнутой схемы, в соответствии с формулами (10-20), О = 1 - (£, + Ц + Ц) + Ц Ц = 1 - к А - /СзРз - КгКгК зР4 + /С Д А Р з = = (1 - К А) (1 - КзРз) - К ^ М Передача единственного сквозного пути в замкнутой схеме (рис. 261) Р1 = К\КъКа< все контуры с ним соприкасаются, поэтому £>1 =• 1. Окончательно, 117 [Р> КхКгК3 (0ч (1 - К А ) (1 - ЛГзРз) - К х К г К&1 Рассматриваемая схема обладает интересными свойствами. Если на средней частоте полосы пропускания выбрать элементы так, чтобы /С1Р1 —^ 1 или /С3Р3 —^ 1=1 =1, то передаточная функция 1/Р4 не зависит от изменений усиления электронной части. Подобные схемы применяются при построении инвариантных систем автоматического регулирования. Раздел четвертый А Н А Л И З ФУНКЦИЙ СХЕМЫ Глава 11 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СХЕМЫ § 1. Теорема разложения Временные характеристики схемы — переходная к (/) и импульсная g (() — находятся по изображению схемной функции в (р): = Ь~1 [Н (/?)]. /і (О = / г Оригиналы /г (/) и £ можно получить суммированием оригиналов простых слагаемых, на которые можно разложить функции в (р) и Н (р). Схемные функции являются дробно-рациональными функциями комплексной переменной р, т. е. каждую из них, например Н (р), можно представить в виде ( 1 М ) Простые составляющие разложения функции Н (р) определяются корнями полинома В (р), стоящего в знаменателе схемной функции и называемого характеристическим. При этом В ( р ) = ( р - р 1 ) ( р - р 2 ) ... где рх . . . (11-2) (р-рп), рп — корни характеристического уравнения В(р) = 0. (11-3) Рассмотрим случай, когда корни р1г р2, . . ., рп характеристического полинома В (р) различны (один из них может равняться нулю). При этом функция Н (р), разложенная на простейшие дроби, имеет вид ' ' В (р) Р — Р1 Р — Рг ^ Р — Рп ^ Р — Рк К ' Определим коэффициенты разложения К ъ К г Кп- Умнож а я р я д (11-4) на (р — рк) и полагая р рк, получим п Нш (Р Р-*Рк Рк) 2 к=л = Игл 4 т § - (Р -/>*)• р Рк Р-+Рк [р > (11-5) Левая часть равенства равна искомому коэффициенту Кк, а правая представляет собой неопределенность. Применяя правило раскрытия неопределенности, получим А(р) + ( р - р к ) А ' ( р ) | _ }р=р Кь = Н т =Рк В'( Р ) »~Рк Кроме того, в соответствии с равенством (11-5) Кк=[(Р-Рк)Н(р)]р=рк, или Кк == (.Р - Рк) А А(рк) В' (рк) (11-7) Рк (р) В(р) В (11-6) (р) р=рк (11-8) Как следует из сравнения выражений (11-6) и (11-8), для вычисления производной полинома В (р) при р = рк достаточно разделить его на множитель (р — рк) и подставить р = рк, т. е. В' УИк> (Рк) = \ I &{р) Р — Рк 1 \Р=Рк . (11-9) V ' После того, как по формуле (11-6) или (11-7) найдены коэффициенты разложения К\, • • ., Кп, переходная характеристика /г (0 = Кхе"1' + К2ер>' + ... + Кпер"'. (11-Ю) В соответствии с выражением (11-10) каждая компонента разложения первого порядка имеет начальное значение, равное коэффициенту разложения, и постоянную времени, величина которой обратна величине корня характеристического уравнения (11-3). Если один из корней характеристического уравнения равен нулю (например рх — 0), соответствующая экспоненциальная составляющая переходной характеристики схемы (11-10) преобразуется в постоянную составляющую величина которой определяется коэффициентом разложения. В соответствии с формулой (11-7) для рассматриваемого случая К1 = [рН(р)]р=0. (11-11 у Выделяя в знаменателе функции Н (р) множитель р, т. е. записывая функцию реакции в виде Н(р)= УР) А(р) рВ\ (Р) ' на основании выражений (11-11) и (11-6) находим значения коэффициентов разложения: /1(0) рА{р) (11-12) /<1 рВх (р) !Р=о В, (0) А (Рк) А(Р) Г А(р) (11-13) Кк = А [Вх (р) + рВх (Р)\р=Рк РкВ 1 (Рк) \рв (/>)] х Р—Рк {кФ 1) Ар где Вх (рк) = 0. Применение для нахождения коэффициентов Кк формулы (11-13) с учетом соотношения (11-9) эквивалентно прямому использованию общего выражения (11-7). Пример 1. Пользуясь теоремой разложения, найти оригиналы по заданным изображениям: Я (р) = 2р+1 (р + 1)(р + 2)(р + 5) ' 1 Р (Р + а) (Р + Ь) В первом примере все корни знаменателя простые и различные (рх = —1, Рг — —2, ря — —5), поэтому в соответствии с (11-10) Я (Р) И (0 = Кхе~' + К2е-2' + К3е~5', где коэффициенты разложения соответственно: Кг = 2р+1 ! (р + 2)(р + 5) р——1 2р+ 1 ( р + 1 ) ( р + 5) р=-2 2р+1 к3 ( р + 1 ) ( р + 2) р=— 5 Во втором примере один корень нулевой и два отрицательных (р\ = 0, рг —а и р3 = —Ь), поэтому + Кзе~ ы . А (/) = /С, + При этом (р + а ) ( р + 6 ) | Р =о аЬ К2 = 1 1 1 = — = р (р + 6) }р=—а —а(—а + Ь) "а (а — Ь) к3 = 1 Р (Р + а) р=—Ь 1 —6(—й + а) 6 (а—й) Окончательно для переходной характеристики получаем Л(0 1 , ай Ье~а' - ае~ы аЬ (а — Ь) Рассмотрим частный случай применения теоремы разложения, когда среди корней знаменателя имеется пара комплексно-сопряженных корней рх = — с — /га0 и р 2 = — с + /со„. Тогда функцию можно представить в виде Н(р) = А(Р) (Р — Рх) (Р — Ра) В г (Р) , Р - й К* Р-Р! I Кя , Р ~ Рз , Р — Рп (1М4) Коэффициенты разложения для первых двух членов находятся по формуле (11-7): « , - ю > - л > и (Pi — Pi) Вг (pt) 2 /ш0 В 2 (р2) (11-15) Полученные комплексные коэффициенты К\ и /<2 сопряженные, т. е. можно положить К1 = п + jm = | / п 2 + ш 2 е / ф и K2=n — jm = Vп2 + т* е _ / ф , (11-16) где ф = acrtg — . При обратном преобразовании функции // (р) два первых комплексных члена разложения (11-14) можно объединить: ,-lj L n + jm n - j m | (-c-/<o„К 1 Р + с + /(о0 + 7 + 7 3 Г 7 5 7 | - ( п + / т ) е 4- (/г — jm) e(~c+la°)t = = 2VV + m где ф = arctg , + (n cos GJ0/ -f rn sin со«/) = 2 sin ( o y + ф), (11-17) = |ârcctg Таким образом, паре комплексно-сопряженных корней знаменателя Б (р) соответствуют затухающие колебания с частотой со0 и затуханием с, определяемыми соответственно мнимой и действительной составляющими корня. Начальное значение огибающей этих колебаний Л и их фаза в соответствии с выражением (11-17) определяются через модуль ]/;г 2 + т2 и аргумент ф коэффициента разложения (11-16): А = 2 У п2 + т2; ф = 90° — ф. Если с = 0, т. е. корни p j и р 2 — мнимые, то экспоненциальный множитель в формуле (11-17) равен единице и оригинал содержит гармоническое слагаемое. ГТример 2. Выполнить обратное преобразование функции Н {Р) = /(р +. а W ) ( р 2 + ш г> 5) • Знаменатель имеет два мнимых сопряженных корня P l i 2 = = ±/'wo и один вещественный корень р3 = —а, поэтому в соответствии с теоремой разложения Ki . Кг , Кз Р + /(Й0 р — 1Щ р + а Находим коэффициенты разложения К3 = р* + р=—а со, 1 (р —/Ч) (Р + а) Р = - / Ш „ (—2/(0„) ( а — 1 /'(о0) 2 о 0 ( — /а — со0) „-/<Р. 2со0 j / а 2 + и; где ш = — arc t g — . ш0 По формулам (11-12) и (11-17) имеем -а/ Л (0 = а2 + sin (ш0/ + ф), ©о ы Ф = 90° + о + ®о агс!й — <в0 = где ф = т 90° — т — агс1е . а Если функция Н (р) имеет кратные корни в знаменателе, то разложение на составляющие усложняется. Пусть характеристическое уравнение В (р) = 0 имеет q различных корней, причем р х повторяется в! раз, р2 — Р а з а и т - Д-. П Р И э т о м «1 + + + ••• + = п. Изображение функции Н(р) = Ш - = В (Р) (Р - Р^ (Р - р2У' • • • (Р - Ра)5ч • Так как разложение на простые составляющие для корня характеристического уравнения рк кратности . (р-рк)*ь | • - ! sk (P-Pk) ~ Кквк - У ^ i±7 (Р - PkYk~ каждого (11-18) то для всей функции Н (р) 1 sk А{р) = V V Kb (11-19) В (А Определим сначала все коэффициенты для корня рк, т. е. Кк1, Кк2, . . . , Кквк. Д л я этого, умножив равенство (11-19) на (р — ркУк, найдем значение при р = рк кр - ркуь Н (Р)}р=рк = [Кк1 + Кк2 (Р - рк) + Ккз (Р + • • • +Кщ(р- рк)(5к'\^рк^Кк1. Рк? + Продифференцировав р — рк, получим написанное выше равенство по р при + 2 Кк3(Р~Рк)+ ^ ( р - р ^ Н ( р ) ...+ Продолжая дифференцирование до (5* — 1)-й производной и полагая р = рк, получим выражения для всех вь коэффициентов разложения корня рк, которые в общем виде можно записать следующим образом: Кы — (»•— 1)! [ _ | ( р Я (р)] ' I п= пи 1Р=Р*г ( £ = 1 , 2 , 3 , . . . , 5,). (11-20) Применяя к разложению (11-19) формулу (1-92), получаем «Л К* М 0 = —. 1)! *т=11=1 где К к 1 определяется выражением (11-20). еРк 1 (П-21) Пример 3. Выполнить обратное преобразование функции Н (п) = 30 ( р + 1 ) № ' = ( р - Ь 2 ) М р + 3 ) ( р + 5)' Знаменатель функции имеет три корня: трехкратный корень р1 = —2 (51 = = 3) и однократные корни рг = —3 и р3 — —5. В соответствии с выражениями (11-19) и (11-4) Ку Кщ Н(р)=- (р + 2)з 1 (рКп -г 2)'- 1 р + 2 +' • р +к* 3 + • р +К3 5 ' На основании формул (11-20) и (11-7) находим: 30 (р + 1) КП = ИР + 2)3 н (р)]Р=-2 = (р + 3) (р + 5) *и = 30 П Ыр 30 ( р + 1 ) (р + 3) (р + 5) : —10; Р——2 р=-2 (р + 3) (р + 5) - (р + 1) |(р + 3) + (р + 5)1 (р + 3)» (р + 5) 2 = 30 _ р 2 _ 2 р + 7 (р + З) 2 (р • сГК » = "КГ 2! I Лр1 2 [2 (р 2 + 2р - 7) (р + 4) - -12. 5)« р= — 2 ~ 3 2 23,3; 30 ( р + 1 ) (р + 3) (р + 5) р=-2 250 (р 4 - 1) (р + 3) (р + 5)1 \ (Р + З) 3 (р + 5)» = - 27,7; )р 2 К г = [(р К з 3) Я ( р ) Ь = - з = = КР + 5) Н (р)]р~ (2, 3 ° з ) ' з ( 5 3 1 3 ) = 30; 5= = - 2.2. По теореме разложения получаем оригинал изображения Ь (0 = (— 27,7 + 23,3< — б/2) + 30 е~3' - 2,2е~ы. При сложном виде Н (р) и большой кратности корня 5 вычисление /г (£) усложняется. Д л я упрощения вычислений кратный корень аппроксимируется разными, но близкими по значению корнями. Д л я предыдущего примера можно папожить, что Н (р) 30( "+1> (р + 1,9) (р + 2) (р + 2,1) (р + 3) (р + 5) • В этом случае определение коэффициентов разложения упрощается. Хотя /г (/) будет отличаться по форме записи, действительное отклонение суммарной кривой будет незначительным. Д л я повышения точности можно выбрать еще более близкие значения для кратного корня, например, рп = — 1,99; ри = — 2; р 1 3 = —2,01. § 2. Определение коэффициентов разложения на комплексной плоскости Графический метод определения коэффициентов разложения функций на простейшие составляющие применяется при задании схемной функции картой нулей и полюсов. В соответствии с выражением (3-99) И (р) = К 0 ( Р - ^ П Р - ^ •• , (11-22) Формулу (11-7) для определения коэффициента разложения /С, с учетом (11-22) можно записать в форме /С, = [ ( р - р 1 ) Я ( р ) ] р = р . (р — г,) (р — г2) . . . (р — гт) (р — Рг) • • • (Р — Р , _ 1 ) ( Р — Р 1 + 1 ) • • • (Р -Р„) 1 \р^Р1 ' ^ ( ^ 1 которая графически интерпретируется в комплексной плоскости. Каждый член числителя выражения (11-23) (р — 2 ; ) р = р . и знаменателя (р — Рь)р=*р1 определяется вектором, проведенным соответственно из нуля г, (/ = 1, 2, ..., т) или полюса р* (6 =£ г, & = 1, . . . , п) к точке полюса р ( . Положительное направление этих векторов при вещественных значениях г1 и р* совпадает с положительным направлением действительной оси комплексной плоскости. Поэтому вектор, проведенный к полюсу р1 из полюса или н у л я , расположенных на действительной оси справа от рассматриваемой точки, отрицателен. В дальнейшем дчя краткости изложения модули векторов (р — г/) будем называть нулевыми расстояниями, а модули векторов (р — РА)Р=Р; — полюсными расстояниями. Следовательно, коэффициент разложения /С,, соответствующий полюсу р1 функции Н (р), определяется проведением векторов из всех остальных полюсов и нулей к точке р1 и вычислением отношения произведения нулевых расстояний к произведению полюсных расстояний Кі = Ко п р (11-24) Р=РІ Коэффициент отрицателен, если справа от полюса рг находится нечетное число полюсов и нулей, и положителен, если их число четное. Когда числитель функции Н (р) постоянен, т. е. функция не имеет конечных нулей, пользуются частным случаем формулы (11-24) в виде Пр] р = = р ( . После того, как коэффициенты разложения найдены, переходная характеристика записывается в соответствии с выражением (11-11) Л(0 = + ... + КпеРп'. Каждая экспоненциальная составляющая переходной характеристики имеет начальное значение, равное коэффициенту разложения, и постоянную времени, величина которой обратна величине полюса. При наличии пары комплексно-сопряженных полюсов р = = — с ± /со0, коэффициент разложения К* ДЛЯ одного из них (например, р; = — с — /(о„) находится в соответствии с формулой (11-24). В рассматриваемую точку плоскости р, проводятся векторы из остальных полюсов и нулей функции, включая второй комплексно-сопряженный полюс, определяются их модули (/' = = 1, . . . , т), Рн (] ф і, і = 1 п) и аргументы \Zjj_ и | Р у , так как теперь векторы не совпадают с действительной осью комплексной плоскости. Модули векторов находятся из выражения г И, Рн = У( - с - О)2 + ( - со0 - со)2, (11-25) где о, о) — координаты рассматриваемого нуля или полюса функции, а их аргументы измеряются, как правило, в направлении против часовой стрелки от положительной действительной полуоси плоскости. Модуль и аргумент коэффициента разложения, соответствующего полюсу р1 = —с — /ш 0 , Пг„ 1^*1 = ^0 Пр. • (11-26) /I В соответствии с формулой (11-17) пара комплексно-сопряженных полюсов р = —с ± /со0 функции Н (р) обусловливает в переходной характеристике к (() затухающую синусоидальную составляющую 2 | К* —ct sin (ш0* 4- l|>), огибающая которой имеет начальное значение, равное удвоенному модулю коэффициента разложения К*, а фаза г|з = = 90° — \К*. Пример 4. Выполнить обратное преобразование функции р+ 4 р (р2 + 2р + 2) (р + 2)' Н(р) В соответствии с теоремой жения Н (р) = Кг Кг р + 2 разло- + к. + Р + к13 + /Ї +1 Р + 1 - / 1 Для определения коэффициентов разложения Кг и Кг, соответствующих полюсам р1 — 0 и рг = —2, на рис. 262, а, б построены соответствующие нулевые и полюсные расстояния. При этом 4 К\ — 2 _ ../•—! л со. л—I Тез: 2 (К2 |45!) (V2 1 - 4 5 ° ) 2_ Кг =2 ( ~ 2 ) ( / 2 | 135°) = І1 2, Рис. 262. Графические построения для определения коэффициентов разложения функции Н (р) = Графические построения, определяющие коэффициент разложения К 3 для приведены на рис. 262, в: ( / 2 Уїї 1; I - 3Ч б — 135°)~ Кз=2 —~7=- 6 -1 2(Р + 4) р(р + 2 ) (р» + 2р + 2) комплексного полюса р3 = —1 — /1, 18° 135°) С|/"2~| — 45°) (2.| •90°) 1,581 2 5 2 ^ Искомая переходная характеристика h ( t ) = 2 - е —it -3,1 б е - ' sin ( / + 18°). Пример 5. Найти импульсную характеристику двойной Т-схемы, рассмотренной в примере 7 гл. 3. Передаточная функция схемы характеризуется двумя комплексными нулями г, 2 = (—0,5 ± j 0,866) coo и двумя вещественными полюсами pi = —0,27 coo и рг = —3,73 Шо (рис. 61, б), где ш0 = Д л я нахождения импульсной вается на составляющие К (р) ~ характеристики р + 0,27О)О + функция К (р) расклады- Р + 3,73а>0 ' при этом в соответствии с выражениями (11-26) и (11-25) [(— 0,5 + 0,27) 2 + (0,866) 2 ] о 2 К, 0,23со 0 ; (3,73 — 0,27) со0 [(— 0,5 + 3,73) 2 + (0,866)2] м 2 кг = Импульсная (3,73 — 0,27) а)0 характеристика, определяемая выражением g ( 0 = 0,23Ш0<=~°,27Ыо' — 3,24о) 0 е -3,73№ о' приведена на рис. 67, б. Д л я двойного полюса Н(Р) ^о (Р — • • • (Р — гш) _ (Р — Р1)2 (Р — Рг) • • • (Р — Рп) (Р — Р1)2 ' Р — Р, + Л'.2 Р — Рг ' ' Р — Рп Коэффициенты /С2, /Сз--- можно определить векторным методом В комплексной ПЛОСКОСТИ. Значения коэффициентов / с и , /Схг могут быть также определены графическим построением. Применяя аналитические формулы (11-20) для 5 2, находим /С, (р — г д ) . . . (р — г т ) К п = [ ( / > - Р х ) 2 Я (/>)р=р,= (Р — Рг) • • • (Р — Рп) р=р. П 7 (11-27) п р=р 1 У» (Р — г1> • • • (Р — *т) А £/р . (Р — Рг) (Р — Рз) • • • (Р — Рп)р = р , . (11-28) Продифференцировав выражение (11-28), получим Л'хг = К0 (р — г,) . . . (р — гт) + _ ! _ + . . . Р — г.2 (Р — Рг) • • • (Р — Рп) Р — г 1 1 Р — РпЛр=Р1 Р ~ Рг Г 1 1 /С12 = + ••• Р — Р —21 р — гг Р — Рг ±-1 Р — Рп 1р=р, ' + - Л . р- г„ (11-29) После графической интерпретации уравнения (11-29), получаем (11-30) 1=1 г і=і Р /Р=рі Для определения коэффициента К 1 2 проводят векторы от нулей и полюсов к точке р = Р1 и вычисляют разность сумм обратных величин нулевых и полюсных расстояний. Если функция не имеет конечных нулей, первая сумма в формуле (11-30) равна нулю. Если кратность корня больше 2, графический метод определения коэффициентов разложения становится громоздким, проще для кратного корня подбирать близкие по величине значения. Пример 6. Найти оригинал функции 4р К, Н(р) ( р + 1 ) 2 ( р + 3) (р+1)' к. + • р Ки+1 р + 3 Пользуясь графическим построением рис. 263, а, б, находим коэффициенты разложения функции іш т . (-3) К., 2) ( - 2 ) Кп : 4 — 1) -1 а — 2; /и —2 К-І) _1_ 2 = 3. Вектор, направление которого совпадает с отрицательной действительной осью плоскости, имеет отрицательную величину; вектор с противоположным направлением — положителен. При определении знака коэффициентов разложения учитывается наличие в точке р — —1 двойного полюса. Искомый оригинал функции „-t /г (/) да Зе" т, * -1 6 Рис. 263. Графические построения для определения коэффициентов разложения функции с кратным корнем Н (р) = 4р (р + I) 2 (р + 3) 2іе~ — Зе,-3' Относительная величина коэффициентов разложения позволяет сделать вывод о важности соответствующей составляющей в выходной реакции системы. В соответствии с выражением (11-24) малые К/ соответствуют малым величинам П г или большим П р . Первый случай возможен, когда нуль передаточной функции расположен вблизи рассматриваемого полюса; второй характерен для наиболее удаленного от начала координат полюса. Очень часто в системах высших порядков можно пренебречь некоторыми полюсами и нулями, не видоизменяя при этом значительно /г ((). Рассмотрим функцию Н{р) = р ( р + 1 ) ( р + 2 ) ( р + 15) ' для которой 2 , 1 4 3 e - ' + 1,153e - 2 ' — 0,01e - 1 5 '. h(t) — \ Так как членом —0,01е можно пренебречь, то 15 ' в общей переходной характеристике 30 Н{р) р ( р + 1)(р + 2 ) ( р + 15) р(р + 1)(р Числитель функции изменен так, чтобы сохранить чение переходной характеристики. При этом + 2)- конечное зна- 1 — 2е-' + е-2' и максимальная ошибка аппроксимации, определяемая выражением е (/) = — 0,143е — ' + 0 , 1 5 3 е - 2 ' — 0,01 е - ' 5 ' , составляет лишь 4% от конечного значения /г (/). § 3. Интеграл суперпозиции Зная реакцию линейной схемы на элементарное воздействие, можно найти реакцию схемы на любой входной сигнал. Непрерывная входная функция времени представляется запаздывающими ступеньками (рис. 264, а) или импульсами (рис. 264, б). В зависиX(t) 1 1 1 ч / : 1 • 0 r " • 1 а t 6 Рис. 264. Виды аппроксимации входного воздействия. мости от выбранного варианта получаем выражение для реакции схемы на данное воздействие. Определим реакцию ц (/) схемы на воздействие х (/) в некоторый момент времени I. Разобьем интервал времени от £ = 0 до / н а п равных частей, длительность каждой из которых равна Дт, а кривую х (/) заменим ступенчатой кривой (рис. 264, а). При I = 0 высота ступеньки равна л: (0), а высота ступеньки, соответствующая моменту I = тА, при достаточно малых т Ахк да Ат tg а = Атх' (тй). Реакция на элементарное воздействие х (0) • 1 (I), представленное первой ступенькой, в момент времени t равна х (0) • h [t). В тот же момент времени t воздействие, имеющее высоту ступеньки Ахк и возникающее в момент хк, обусловит составляющую реакции Ахк • h (t — хк). Суммируя составляющие реакции по всем ступенькам на интервале 0 < т < t, получаем п q(t) = x (0) h (t) + 2 (**) hV — xfc) Д"1(11 "3 О При AT ^ 0 величины xk соответствуют значениям текущего времени х, а сумма переходит в интеграл с пределами 0 и t: t q(t) = х (0) h(t) + j x' (T) h(t — x)dx. (11 -32) о Эта формула получила название интеграла суперпозиции, или интеграла Дюамеля. Известны также другие формы записи интеграла Дюамеля: t q(t) = x(0)h(t) + \ x ' ( t — x)h(x)dx\ о ( q(t) = h (0) х (/) + J h' {t — т) x (x) dxо (11-33) (11 -34) t q(t) = h (0) x (t) + J h' (т) x (t — x) dx-, о t q(t)=-^\x(t-x)h{x)dx0 (11 -35) (11-36) t q ( f ) = A j X(x)h(i — x)dx. (11-37) о Форма интеграла Дюамеля выбирается в конкретном случае в зависимости от удобств и простоты выполнения вычислений. Если функция х (/) представляется в виде прямоугольных импульсов (рис. 264, б) в пределе при т 0, то t q(t) = h (0) * (t) + j g (t — T) * (x) dx. (11-38) о Эта формула может быть также получена непосредственно из (11-35), если воспользоваться зависимостью (3-122). При h (0) = 0, что встречается в реальных условиях, выражение (11-38) принимает более простой вид: t <7(0 = ^ g(i о — x)x{x)dx. Если функция входного воздействия может быть описана математически и представлена изображением X (р), то реакция схемы находится из операторного уравнения (?(р) = 0(р)Х(р), (11-39) где С (р) — передаточная функция схемы. При отыскании 17 (/) по уравнению (11-39) используется теорема разложения и рассмотренные выше аналитический и графический методы нахождения коэффициентов разложения. § 4. Параметры переходной характеристики Д л я сравнения свойств различных схем обычно исследуется характер их реакции на входную ступенчатую функцию. Типичный вид переходной характеристики приведен на рис. 265, где кроме конечного значения /г0 показаны другие параметры характеристики — выбросу, время нарастания t н и время задержки Выброс характеризует максимальное относительное превышение мгновенного выходного напряжения схемы над установившимся значением и обычно выражается в процентах Рис. 265. К определению параметров переходной характеристики. -(- 1 • 100%. Время нарастания можно определить многими способами. Обычно оно определяется как мера времени, требуемого для нарастания характеристики от 10 до 90% ее конечного значения. Цифры, выражающие проценты, не имеют особого значения. Так, можно с одинаковым успехом пользоваться цифрами 5—95% или другой комбинацией процентов, подходящей для решения заданной задачи. При любом определении такого типа для нахождения времени нарастания необходимо предварительно вычислить и построить переходную характеристику. Построение временной характеристики можно избежать, если пользоваться определениями времени (11-40) П = 2л | (/ — /з)2 К (/)Л . (11-41) Эти определения вводятся по аналогии с понятиями математического ожидания и дисперсии случайной величины, применяемыми в математической статистике. При этом'кривая распределения вероятности сопоставляется с импульсной нормированной характеристикой схемы /г„ ( 0 = £ (0- Так как распределение вероятностей не может быть отрицательным, то и импульсная нормированная характеристика схемы не может принимать отрицательные значения. Но положительная импульсная характеристика соответствует переходной характеристике, в которой не наблюдаются выбросы. Поэтому формулы (11-40) и (11-41) справедливы лишь для монотонных переходных характеристик. щ Если учесть, что ) А и ( / ) А = 3 £ Н ( * ) А = 1, о о (11-42) то смысл выражения (11-40) определяется следующим образом: / 3 — это абсцисса центра тяжести плоской фигуры, ограниченной (/), или среднее значение времени в процессе установления (рис. 266). Время нарастания / н определяется средней величиной квадратичного отклонения времени переходного процесса от Выражение (11-41) с учетом (11-42) преобразуется к виду 2 /*н 2л ( П ' н (/) Л г (11-43) Рис. 266. К определению задержки как центра тяжести площади иод кривой импульсной схемы. Значения времени / н , определяемые непосредственно по передаточной функции С (р), довольно близки к значениям, подсчитанным при его определении для нарастания от 10 до 90%. Если Лн (/) — нормированная переходная характеристика и Н„ (р) — ее операторное изображение, то Согласно М О = £Я(/)Ф/>Я(Р). определению операторного изображения рНн(р) \ е'"'кп Ц) Ш о Разложив е~"' в степенной ряд, получим С„(р) = где + /А2 = 0„(р)= /;„(/) Л = 1 + Ар + Вр2 + •• • Л = — | //(,, (/) Л = — 4 ; (11-44) (11-45) (11-46) (11-47) Для времени нарастания, пользуясь формулой (11-43), запишем tH = ]/2л [2В — А2]. (11-48) Для сложных схем изображение нормированной передаточной функции обычно имеет вид отношения полиномов р l + a i p + GH(P)~ 1 +ЬіР a 2 p 2 + + Ьгр* + — ••• • Поделив числитель на знаменатель, получим С „ ( р ) = 1 + (а1 — Ь1)р + (а2 — Ь2—а1Ь1 + ЬЇ)р2 + ••• Из сравнения выражений (11-49) и (11-45) находим (П-49) А = ах — Ь{, В = а2 — Ь2 — а1Ь1 + Ь\. В соответствии с формулами (11-46) и (11-48) = — (11-50) /н = V 2 п А| + 2(а 2 — Ь2)] да 2,5 {/Ь'І _ а] + 2 (а2 — Ь2). (11-51) При проектировании электронных цепей учитываются требования, предъявляемые к переходным процессам в них. В большинстве случаев эти требования сводятся к обеспечению быстрого и плавного протекания переходных процессов, к отсутствию резких выбросов и резко колебательного характера переходной характеристики. Этим определяется возможность использования на практике при анализе и проектировании соотношений (11-50) и (11-51). Если переходная характеристика имеет немонотонный характер, время нарастания определяют величиной, обратной максимальной крутизне нормированной переходной характеристики / „ = —dhт - 4( 0 . (11-52) n dt макс При этом полагают, что /„ — это время, в течение которого реакция возрастала бы от 0 до установившегося значения, если бы скорость ее роста была постоянной и максимальной. Пример 7. Найти время запаздывания и время нарастания для схемы с передаточной функцией с . . (Р) ~ р+ 4 р 3 + 11р2 + 38р + 4 0 ' имеющей три разных вещественных полюса (рі = —2, р 2 = —4, р3 = —5) и монотонную переходную характеристику (условия монотонности переходных характеристик схемных функций разных порядков будут выведены ниже). Вначале надо нормировать переходную характеристику, для чего определяется ее конечное значение h lim (01 н.« = р-у Р н (р) = рl i-m> 0 О (р) = 0,1. 0 Нормированная передаточная функция 1 -+- — • Р 0„(р) . . 38 11 Л а2 = 0, А 38 0I=4Ö-. 1 + 1 ö p + IÖp „ + 1 ж р „ откуда 1 а, = — . 11 Л 2=4Ö"- 6 В соответствии с выражениями (11-50) и (11-51) 28 tз = — 40гтт" = 0,7 сек; ^ = 2,5 1/ (^-1 --^Л_=1,34 сек. Пользуясь формулами (11-46) и (11-48), можно обосновать законы суммирования искажений в многоступенных электронных схемах. Рассмотрим эти законы на примере двухкаскадного усилителя, передаточные функции звеньев которого соответственно Г, (п\ - 1 + a iP + агР2 + • • • и Ci I п\ 1 + ciP + W 1 + • • • Суммарная передаточная функция схемы Г, GH in)-С, (р) - Он, (п\ (р) Г, 0 Нг In) (р) - - 1 (а + е ) р + (а2 + Сг + a Cl) р2 + ' ' ' '' • i+ + ibi + d j p + ( b t + d t + b i d j f + . . . , или G„(p) = G„, (р) • G„S(P) = 1 + Лр + Bp 2 + . . . , где А = at + с, — Ьг — d В = (а2 + с2 + ЯА) - (Ь, +d2 + bjdJ - (аг + сг)(Ьг + d j + (Ьг | J (11-53> В соответствии с формулами (11-46) и (11-50) получаем /3 = — А = (b, — а,) + (dt — С]) = *„ + t32. Этот вывод распространяется на общий случай /г-ступенной схемы 4 = £ t3t. (11-54) г=1 Таким образом, время задержки сложной схемы равно сумме задержек отдельных звеньев. При подстановке формул (11-53) в (11-48) и сравнении с (11-51) получим tl = 2я [2В — А2] = 2я [(6? — а2, + 2а 2 — 2Ь2) + + (<tf - с' + 2с2 - 2d2)] = th + L. Так же, как и для можно записать общее выражение для геометрического суммирования времени нарастания в многоступенной электронной схеме И = 2 4. (11-55) § 5. Схемные функции первого порядка Порядок схемной функции определяется наивысшей степенью при р в ее знаменателе, т. е. порядком характеристического уравнения В (р) — 0. В простейшем случае порядок уравнения В (р) — 0 равен единице. Рассмотрим передаточную функцию типа С"-1*) Такую передаточную функцию имеет, например, простая интегрирующая цепочка (рис. 267, а). Функция реакции схемы при ступенчатом входном воздействии р р р+ а В этом случае карта нулей и полюсов Н (р) отличается от карты для в (р) лишь наличием полюса в начале координат (рис. 267, б). Применяя теорему разложения Н (р) = А- + , чг р р+ а и пользуясь векторным правилом, находим коэффициенты разложения . = — Кг а Переходная характеристика схемы = (11-57) Время переходного процесса, т. е. время затухания экспоненциального члена, и установившееся значение реакции, определяемое коэффициентом разложения К ъ зависят от значения полюса передаточной функции р = — а . Влияние величины ос на форму переходной характеристики удобно проследить, предварительно нормировав ее по установившемуся значению. В соответствии с теоремой о конечном значении функции (1-94) требование /і (оо) = 1 эквивалентно выбору в формуле (11-57) коэффициента Ко — Д л я этого случая переходная характеристика йв(0 = 1 (11-58) построена на рис. 267^ б. Постоянная времени затухания экспоненциального члена, найденная методом подкасательной, т = ~ • Если абсолютное значение полюса возрастает а -»- оо , то экспоненциальный член выражения (11-58) затухает быстрее и переходная т X 4 ' X -а! № -6 -и У '® -ос -а Рис. 267. рядка. Переходная характеристика простой схемной функции первого по- характеристика лучше аппроксимируется ступенчатой функцией (рис. 267, в). Если значение а уменьшается и полюс стремится к началу координат, то для начальной стадии переходной характеристики при можно воспользоваться разложением в ряд экспонен- циального члена выражения (11-58) и переходную характеристику записать в виде *„(*)»! - ( 1 + ) » « / - + (П-59) Второй член в выражении (11-59) характеризует отклонение переходной характеристики от линейно изменяющейся функции при малом, но конечном значении а (рис. 267, г). При а = 0 передаточная функция схемы вместо (11-56) описывается выражением G(p)=-&-, (11-60) которое не нормируется, так как [G (р)1 р = 0 = Переходная характеристика, определяемая ff (р) =--LG № уравнением = (11-61) h (t) = K0t. Рис. 268. Переходная характеристика схемной функции первого порядка с нулем, лежащим слева от полюса. Часто на практике встречаются схемы с передаточной функцией типа Если передаточная функция нормируется по установившемуся значению, то из условия [ С ( р ) ] р = о = 1 находим К 0 = у- Форма переходной характеристики таких схем зависит от соотношения координат полюса = —а и нуля гх = —р. Предположим, что 444 Р > а , т. е. нуль схемной функции в (р) находится слева от полюса. Это справедливо, например, для задерживающей цепочки (рис. 268,а). Переходная характеристика находится из уравнения Н(р) = — 0(/?) = р (Ц.63) р(р + а) р ' 4 р+ а Используя векторный метод, находим К » К = - к ^ ~ а ) „ -/с.(-1—1)• г ' (П-64) Переходная характеристика схемы К0 (4- - 1 ) Н«) = К0-^~ . Д л я нормированной передаточной функции К 0 — у (11 -65) и выраже- ние (11-65) приводится к виду М0 = 1-(1--^)<га'. (11-66) Переходная характеристика, построенная на рис. 268, б в соответствии с выражением (11-66), отличается от характеристики рис. 267, б начальным скачком при 1 = 0. Рассмотрим, как влияет значение нуля гх == —Р на переходную характеристику схемы. При р оо нуль расположен далеко слева и отношение , определяющее начальный скачок, мало (рис. 268, в). Коэффициенты разложения /Сх и К 2 (11-64) примерно равны. Если Р » о с , т. е. нуль передаточной функции приближается к полюсу, коэффициент разложения К 2 , а следовательно, и экспоненциальный член переходной характеристики становятся очень малыми (рис. 268, г). В этом случае говорят о взаимокомпенсации нуля и полюса. Рассмотрим переходные характеристики схем с передаточной функцией (11-62), для которых справедливо обратное неравенство Р < а , т. е. нуль схемной функции гх = — р находится всегда справа от полюса рх = —ос. Примером может служить ускоряющая цепочка, представленная на рис. 269, а. Переходная характеристика находится из уравнения (11-63), однако, изменяется знак коэффициента разложения К2> так как он теперь соответствует полюсу, лежащему слева от четного числа особых точек функции Н (р). Вместо выражения (11-64) имеем *, = *.(!—§-), (11-67) и, следовательно, Л ( 0 = Ко 4 - + Ко ( 1 - 4 ) е _ а г • о:1 -68> Д л я нормированной передаточной функции К0 и выражение (11-68) приводится к виду М') = 1+ 4 - - 1 )е -Ш (11-69) Переходная характеристика, построенная на рис. 269, б в соответствии с выражением (11-68) для частного случая Ко ~ 1, ш 1«> -<о -ОС М) -ё -а -0 Рис. 269. Переходная характеристика схемной функции первого порядка с нулем, лежащим справа от полюса. характеризуется резким выбросом в момент / = 0 и плавным уменьшением до установившегося значения. Влияние значения нуля г} = — р на переходную характеристику показано на рис. 269, в и г . При |3 ->- а нуль передаточной функции приближается к полюсу и экспоненциальный член уменьшается. При р 0 нуль приближается к началу координат, обусловливая уменьшение постоянной составляющей (установившегося значения), определяемой коэффициентом разложения К\ = Ка— - При этом передаточная функция упрощается р+ а а переходная характеристика характеризуется циальным членом -а і Л (/) - Кпе (11-70) одним экспонен(11-71) Д л я рассмотренной на рис. 269, а ускоряющей цепочки условие Р а соответствует выбору величины последовательного сопротивления = 0, а р 0 — выбору сопротивления ^ = оо. При этом ускоряющая цепочка преобразуется в обычную .КС-пассивную дифференцирующую цепочку. Из рассмотренных примеров схемных функций первого порядка очевидно влияние знака коэффициента разложения на вид приближения переходной характеристики к своему установившемуся ]!» Ш 1 I т— О і ІИ -Ь'тс а Рис. 270. Характеристики ЯС-усилительного звена в области низких частот: -6 о — карта полюсов передаточной функции; б — переходная х а р а к т е р и с т и к а . значению (сверху или снизу). Поэтому знаки коэффициентов разложения сложной передаточной функции могут быть использованы для общей оценки характера переходных характеристик схем, в частности, степени перерегулирования и недорегулирования. Пример 8. Определить переходный процесс в некорректированном и корректированном ЯС-усилительном звене при передаче вершины импульса. Передаточная функция ЯС-усилительного звена в области низких частот определяется выражением (10-40) К (р) = Ко где т с = РЧ 1 +РЧ ЯнСе. Функция реакции схемы Н (р) Ко К(Р) характеризуется одним Р + полюсом (рис. 270, а), обусловливающим экспоненциальный характер переходной характеристики /г (<) (рис. 270, б). При усилении импульсов длительностью ( и С т с экспонента может быть заменена прямой линией, а спад вершины импульсов А. Гг. (11-72) Спад вершины импульса при заданной продолжительности можно уменьшить, сдвинув полюс функции Н (р) к началу координат комплексной полуплоскости. Это достигается, с одной стороны, выбором большей величины постоянной времени т с ; с другой,— применением цепочки низкочастотной коррекции, состоящей из и Сх (рис. 258). Передаточная функция корректированного звена, определяемая выражением (10-39) К1п\ к (1 + т + Рт1> ~ Ъ+Р^)(1+ргс) К{Р> Кв • где т = -=Ц Ка Т1 = /?1Сх, обычно сводится определенным выбором элементов кор- ректирующей цепочки к схемной функции первого порядка. Сравнивая выражения (10-39) и (10-40), находим, что эффект коррекции эквивалентен добавлению к карте нулей и полюсов исходной функции И (р) диполя полюс — нуль рг = и Хг (рис. 271, а). Диполь в комплексной плоскости размещается так, }ш -6 „-'Л: /)„(І) -'Л Рис. 271. Характеристика корректированного по низкой частоте лительного звена: уси- а — карта нулей и полюсов передаточной ф у н к ц и и ; б — п е р е х о д н а я ристика. характе- чтобы вводимый нуль г 2 компенсировал влияние полюса функции реакции рг 1 = 1_ е 1 1 +т (11-73) Ті = (1 + т) тс. Так как т = Аа > 0, то ті > т с , и вводимый диполем полюс р 2 = ложен ближе к началу координат, чем исходный полюс => — распо- Т] . Чем больше Тс отношение т = тем эффективней коррекция. ции Подставляя в выражение (11-73) значения Ті, т с и /п, получим условие коррек- ЯіСі = (І+-|А-)янСс. Если т = «і > 1, то /?аС1 да (11-74) Спад вершины импульса в корректирован- ном усилительном звене (рис. 271, б) вместо (11-72) определяется выражением йк = где б =• т, = <и (1 + т ) т 0 6 = 1+ т ' (11-75) спад вершины импульса в некоррелированном звене. При заданном б к элементы коррекции выбираются на основании (11-74) и (11-75). В предельном, практически недостижимом случае т -*• оо Тх -> оо и полюс р 2 смещается в начало координат, обусловливая ступенчатую переходную характеристику. § 6. Схемные функции второго порядка Передаточная функция второго порядка G(p) = (11-76) р» + 2&o„p +'co2n Нормируя в (р) по установившемуся значению, находим К 0 = = «я . Примером схемы с передаточной функцией указанного типа является последовательная /?/,С-цепочка (рис. 272, а), для которой LC (11-77) р' 2 + - г Р + LC т* т X PJ /4» Рис. 272. Переходные характеристики схемной функции второго порядка при 1 > > 1. Сравнивая выражения (11-76) и (11-77), находим = 1 ; VLC ' б= R = А 2Ь)„ 2 і / А L ' Д л я единичной входной функции НАР) к. р 1р» + 2|со„р + а>»| р Р 1 +' Р-Р* к3 (11-78) Р-Р» где р2, р3 — корни характеристического уравнения, /?2,3 = — £«„ ± С0„ К Е 2 — 1• (11-79) " Таким образом, реакция рассматриваемой схемы на единичную входную функцию характеризуется тремя конечными полюсами. Один полюс находится в начале координат, а положение двух других определяется величинами | и со,,. 15 1-837 449 Возможны три случая: 1. 1, полюса р 2 , р3 — действительные и разные, лежащие на отрицательной оси в комплексной плоскости (рис. 272, б). Произведение их значений равно о) 2 . Коэффициенты разложения, найденные векторным способом, К = Д (й„ К = Ю„ Л А 3 1 Рг (Рз — Ра) р'іг — РгРз Р . 1 Рз (Рз — Рг) Рз — р.2рз ' Нормированная переходная характеристика (рис. 272, б) определяется выражением М 0 = 1 +К*е-р''+ К9е-"''. (11-80) При |р 3 | > |р2| коэффициент разложения \К2\ > К 3 и ЛГ2 < 0, поэтому переходная характеристика монотонно нарастает до своего установившегося значения снизу. Время переходного процесса можно оценить, пользуясь введенными выше критериями для і а и Пронормировав передаточную функцию схемы (11-76) при Ко = а>1, получим он(Р) = — V — г — О1"81) ш„ соп Сравнивая выражения (11-49) и (11-81), находим = 0; а 2 = 0; = 2Е ; Ь = — 1 . 2 ш<! ш;, Следовательно, в соответствии с выражениями (11-50) и (11-51) (11-82) /н=-1-|/2я(4|г-2) »-|®-К412-2. (11-83) Формулы (11-82) и (11-83) справедливы лишь для неколебательного режима при | > 1, когда переходный процесс в схеме имеет монотонный характер. Чем больше тем сильнее отличаются по величине корни р2 и Рз и тем больше время задержки ^ или нарастания / н . Д л я рассмотренной в качестве примера последовательной цепочки такой режим наступает при > 2 | . 2. При | = 1 , как это следует из (11-79), полюса р2 и р3 действительные и равные. Кратный корень схемной функции лежит в точке р = —со„ (рис. 272, в). В этом случае изображение переходной характеристики (функция реакции) ^21 | К 22 (11-84) " „ ( / » = 4Рі ' - + Ґ ]Ш 1 £ 1 -6 -ІШп № т 5 =о .~1шп 6 Рис. 273. Переходные характеристики схемной функции второго порядка при | < 1 . Коэффициенты разложения, вычисленные по формулам (11-24) и (11-30), К, = <4 • 4 < К 21 = і; "[-(Оп)- со., /С22 = со Нормированная переходная характеристика, разложению (11-84), Лн (0 = 1— е - ' 0 " ' — сол/е_<0"' соответствующая (11 -85) представлена на рис. 272, в. Параметры этой характеристики могут быть найдены из выражений (11-82) и (11-83) для предельного случая 5 = 1 : 2 'з = шп 2 Ул шп (11-86) (11-87) Рассмотренный режим называется критическим. Для последовательной /?/.С-цепочки он наступает при /? кР = 2 • 3. При I < 1 полюса р2 и р3 передаточной функции схемы будут комплексно-сопряженными (рис. 273, а): №.» = - Б Ю „ ± / Ю л К 1 - I 2 (И-88) Функция реакции может быть разложена следующим образом: + ^ 1/, » + -Г1 Кз ,/т-^, <1189) Р р + £со„ + /ш„ V 1 — 1г р + |ш„ — /со„ У 1 — | 2 ' где коэффициенты разложения, определяемые векторным методом, Л ь-1 ~_ 2" __~~ 1. ' I — 16] [соп 1 8] К г = с4 ' л = — - 4 = 1 - 9 0 ° —9; [СО» | 180° + 6] [2со„ У \ - 6» 1 - 9 0 ° ] 2/1 К, = К ,2 = — 5« I1 9 — 270°. 2 Переходная характеристика, вычисляемая при обратном преобразовании в соответствии с выражением (11-17), МО = 1+ где ф = 90° — 1 V T 1 - F е 1(0„< , sin (to,, У 1 - 1 4 + !>), = 180° + 0; 0 = arctg (11-90) j / Ц ^ . Чем дальше полюсы расположены от мнимой оси (больше £со„), тем быстрее уменьшается экспоненциальный член. Чем дальше полюсы расположены от действительной оси (больше с о „ | Л тем выше частота накладываемых колебаний. Для частного случая 1 = 0 уравнение (11-90) преобразуется к виду hH (0 = 1 + sin (со,/ + - | - я ) = 1 — c o s u y . (Н-91) Следовательно, в схеме возникают колебания с частотой со,, (рис. 273, б). Поэтому эта величина называется собственной частотой системы. Как следует из уравнения' (11-90), частота накладываемых колебани Й СОо — со,, I 1 —£ 2 при £ <[ 1 меньше, чем со„. Характер переходного процесса зависит от величины называемой коэффициентом относительного затухания. Собственная частота схемы, как видно из рис. 273, а, равна расстоянию от начала координат до любого из комплексно-сопряженных полюсов, а коэффициент £ определяется косинусом угла, образованного прямой, соединяющей начало координат с полюсом, и отрицательной действительной полуосью, т. е. £ = cos 0. Для определения параметров переходного процесса схем с передаточными функциями второго порядка, имеющими постоянный числитель (11-76), удобно пользоваться семейством нормированных кривых, соответствующих разным I (рис. 274). Величину выброса переходной характеристики, определяемого превышением 1гыакс над установившимся значением Л0 = 1, и время его появления находят, дифференцируя уравнение (11-90) и приравнивая производную нулю: l--0,2 = ЮОе %; (11-92) n£\ " (11-93) (о. Уг\ - £а Для оценки длительности нарастания переходной характеристики можно при I < 1 воспользоваться соотношением (11-52) = dhH (/) 0,5 dt макс <Р = Нормированная характеристика К (0=1 — /угу* / 4 10 / переходная •—la„t X ут 2 X sin((o„V І — £ 2 / + 9), 12 14 hint Рис. 274. Обобщенные переходные характеристики схемной функции второго порядка с постоянным числителем. так как ф = 180° + 6. Дифференцируя по времени данное выражение, находим dhu (/) со. - e _ e e n ' | s i n (co„ l / l _ g « / + 0)Sdt Vl-F — 1 / 1 — і 2 cos (со,, v 1 — I і t -f 0)1. В соответствии с рис. 273, а: £ = cos 0; ] / 1 — £2 = sin 0, поэтому dh„ (t) sin (со„ V 1 — I 2 1). (11-94) <и _ Еще раз дифференцируя выражение (11-94) по времени, находим условие максимума крутизны переходной характеристики 8» (0 = gH (Q dt -бо>ni V1 - 1 2 ] / l — 5 2 cos(co„|/l — 1 2 0 ] = g Sin к j/1-І2 0 e-°0>n'!sin((orij/l — l2t—0). (11-95) 453 н С) Из равенства О следует Ш агс^ У е 4 = 1-Е2 5 (11-96) со„У 1 — £2 Д л я предельного случая £ = .1, пользуясь правилом раскрытия неопределенности, в соответствии с выражением (11-96), получим arctg I = Нш _ ! _ £-•1 Вп 1 + IУ1 - 1 2 1 ^ ( - 26) 2/1-6 / Г -б2 (УТ=6 2 11ГП и! 2 / 1 - б5 :(-2б) что совпадает с (11-82). Подставляя выражение (11-96) и (11-94) с учетом (11-52), получим (11-97) Ш/г МЦ Если нормировать время запаздывания и время нарастания по собственной частоте со„, т. е. ввести / з н = /3<л„ и / нн = /нсо„, то между ними можно установить связь (и = /И„ = = е<знСО'е. (11-98) Если передаточная функция второго порядка будет иметь нуль в числителе, то семейство кривых (рис. 274) теряет свою силу. Например, для той же последовательной цепочки, изменив положение выходной клеммы (рис. 275, а), получим о АР) к где а = (11-99) р2 + 2 6(о„р + шгп а = П у 1С Карта нулей и полюсов функции реакции Нн (р) этой цепочки для колебательного режима приведена на рис. 275, б. Рассмотрим влияние конечного нуля передаточной функции схемы на ее переходную характеристику. Наличие нуля не изменяет общее выражение переходной характеристики, но существенно сказывается на величинах коэффициентов разложения функции реакции, а следовательно, на результирующей форме /г н (/): Ку 3 (11-100) + р + 6со„ + к,М Л 1 - б2 + Р + 6<0„ - К/Ъ„У « м 1 - б2' ЯС где к л К, = a _ і а о • |а>п | — 6][со,; | 8] ~ ,. '' [У (а ~ + ((On Уї=¥)г Lrg. ' К I '80° + Є] [2(o„ V T ^ ¥ \ ~ 90°| yra*-2a&n + w2n (11-101) Рис. 275. Переходная характеристика схемной функции второго порядка с конечным нулем. Объединяя два последних члена и беря обратное преобразование, получим У а2 - 2аЫп + Лн(0=1 + аУ 1-g2 _6 е , " 5т((0п-К1-52<+^), (П-102) у\ - f где г|> = 180° + се + 0; а = a r c t g " " М ~ ; 0 = arctg а — £а)„ Переходные характеристики для некоторых частных значений £ при со„ = const приведены на рис. 275, в. Сравним переходные характеристики схемы второго порядка с нулем и без нуля. Реакцию схемы с передаточной функцией типа (11-90) можно записать в виде р+ а Н(р) а р (р°- + 2*ш„р + со 2) р (р2 + 21ыпр + < ) 1 2 1ГР<°п р (р* + 21шпр + 0)2 ) ' + Если обозначить первый член разложения (11-103) через то Н{р)^На{р) + На (р), ~рНа(р), т. е. (0 (11-104) Л Здесь /га (/) — переходная характеристика простой схемы второго порядка. Общая переходная характеристика к (/) может быть построена, как показано на рис. 276. В моменты времени і = 0, / 1 ( Л(0 = М 0 + - 100 200 500 Г, % Рис. 276. Переходные характеристики схемных функций второго порядка с конечным нулем и без нуля. Рис. 277. Кривые зависимости выброса переходной характеристики схемной функции второго порядка с конечным нулем от § и (?. . . . наклон характеристики /га (/) равен нулю, поэтому результирующая к (/) проходит через те же точки. Наклон /га (/) положителен для 0 < / < / х и отрицателен для < г! < / 2 ; соответ1 (О ственно изменяется знак дополнительного члена — ' — . вызывая большие колебания переходной характеристики Н (/). Величина дополнительного члена в выражении (11-104) зависит также от координаты нуля а. Для больших а (нуль расположен далеко слева в комплексной плоскости) дополнительный член мал, и Л (I) » кй (/). Если нуль функции расположен близко к началу коордфнат, дополнительный член становится соизмеримым с /га (/) и к (/) да ~ /га (/), за исключением больших где преобладаетНапостоянная составляющая (/)• рис. 277 приведены кривые/газависимости выброса переходной характеристики от параметров схемы I и (5 = — , а на рис. 278— семейство переходных характеристик при переменном Р и некотором Как следует из приведенных графиков, выброс в схемах второго порядка с передаточной функцией, имеющей нуль, может намного превосходить 100%, что является пределом для схем с передаточной функцией без нуля. Второе различие переходных характеристик схем второго порядка с нулем передаточной функции и без нуля проявляется, если подсчитать начальный наклон переходных характеристик, пользуясь теоремой о начальном значении функции: ші p (p 4- ä) dh (t) = lim p [pH (/»)! = lim — , 2 , , = — ; (11-105) dt /=0 p-+ oo p->oo a p + 2£conp + < (0 dha = lim p [pH (p)] = lim co„ 2 ' 2 = 0. (11-106) J<=0 p- oo p-co p + 2£ö>,г + W„ Таким образом, начальный наклон переходной характеристики схемы с нулем передаточной функции не равен нулю, как для схемы без нуля, и не зависит от коэффициента Д л я нахождения времени нарастания tn и времени запаздывания t3 перепишем выражение нормированной переходной характеристики (11-102) в виде dt hn(t) = 1 -Ае~Ъ(й«' х X s i n K K l - £ 2 ' + a + ö), (11-107) где ] / а 2 - 2 а | с о „ + о)2 А aV I - ? 2 Дифференцируя /гн'(/) дважды по времени и учитывая, что £ = cos 0 и У 1 — | 2 = sin 0, находим: d Рис. 278. Обобщенные переходные характеристики схемной функции второго порядка с конечным нулем. M 0 = со .. Ае~ Ып ' [sin (а> У I — I 2 1 + a + 0) cos 0 — п л dt — cos (co„ У 1 — I 2 / + a + 0) sin 0] = = со n Ae~ Unt sin (co„ VT^W dt- t + a); (11-108) = - ( o U e ^ " ' [sin (ш„ V T ^ f t + a) cos 0 • cos (со,, У1 — I2 t + a) sin 0 I = - — cojUe " sin (<и„ УI — £2 t + a — 0). Приравнивая выражение (11-109) нулю, получим VI — І 2 • arctg - опУТ^F arctg 8 —a а — gö)„ t,= CO« , «h, > 1 - I а (11-109) (11-110) Подставляя выражение (11-110), в (11-108) с лучаем /н = - А е ( 9 - а ) с , г Є с з с Є с0пА шп У а 2 учетом (11-52), по- — 2а|со„ + ы2п „(0-а) сі« Є . (11-111) Если нуль передаточной функции отсутствует, т. е. а ->- сю, то а -> 0 и формула (11-111) преобразуется в (11-97). 10) -6 Рис. 279. Переходная характеристика схемной функции второго порядка с нулем в начале координат. Для неколебательного режима при £ > 1 время нарастания переходной характеристики схемы с передаточной функцией типа (11-99), записанной в виде 0ЛР) = 1+ — Р а 1 + С0„ (О находится в соответствии с (11-51) і ашп ] / ( 4 | 2 - 2) а2 - со?,. (11-112) Для частного случая, когда передаточная функция второго порядка имеет нуль в точке = 0, т. е. Р (11-113) 0{р) = Ка- 2 р + ЧЫпР + ш* ' переходная характеристика не имеет постоянной составляющей и находится из выражения Н(р) = + Кг , Карта полюсов функции реакции Н (р) приведена на рис. 279, б, по которой определяется коэффициент разложения 1 К„ |90°. Кг = К0•90° 2ыпУ\2о>п/і-|2 Переходная характеристика в соответствии с выражением (11-17) А(/) = -ш ^ - в ~ Є ш п ' вігі ©Л, у 0 ' (11-114) 0 где ю0 = со„ 1 / Г ^ р " ; ф = 90°-|*і = 0. Переходная характеристика, для которой понятия смысл, иллюстрируется рис. 279, в. и теряют Пример 9. Проанализировать переходную характеристику усилительного звена с простой высокочастотной коррекцией для обеспечения минимального времени нарастания при практически монотонном характере Л (<). -о + а 6 Рис. 280. Усилительное звено с высокочастотной коррекцией: а — п р и н ц и п и а л ь н а я схема; б — к а р т а нулей и полюсов его п е р е д а т о ч н о й функции. Коэффициент усиления реостатного звена с простой высокочастотной коррекцией (рис. 280, а) Р+ Я Л ^ £р 1 К(Р) Р К (Р) = Ко £С0 Р + 2£(»„ р 2 + 2£ш„р + ю„ где - • - т к ' 4?- Критический режим соответствует выбору І = 1 Яа 2 откуда получаем известное соотношение т = - 4 — = 0,25. (11-115) Время нарастания в соответствии с выражением (11-112) /„ = у 2п (Я* С* _ - 2ЬС0]. Подставляя в формулу для / н значение индуктивности I =• тЯ\Со, найденное из соотношения (11-115), находим /н = У 2л ЯаС0 У1 —тг—2т = 'н„ У1 — т 2 — 2т, где /Но — время нарастания усилительного звена без коррекции. Для критического режима т = 0,26 и выигрыш во времени нарастания составляет 1 -V = НК /1 - = 1 49 (0,25) 2 - 0,5 При 6 < 1, а следовательно т > 0,25, комплексные корни знаменателя передаточной функции обусловливают колебательный характер переходных процессов, для которых используемая ранее формула (11-51) неприменима. В этом случае соотношения между элементами схемы выбираются на основании обобщенных графиков рис. 277. При заданном передаточной функцией отношении Р = — 2 выбросы пере- ходной характеристики, не превышающие 1 -г- 2%, обеспечиваются выбором 6 = = 0,8 или т = - 4Ла- = е 0,39. Время нарастания можно оценить по формуле (11-111), учитывая, что для рассматриваемого случая 6 = а = \ (рис. 280, б), поэтому с учетом а = 26со„ а ш„ | Д Подставляя значение е = дим 2 2? - 2а|со„ + со2 1 для критической переходной характеристики, нахо- <НК 4>п Следовательно, = и выигрыш во времени нарастания определяется выражением < 'но /но 1 49 Для рассматриваемого случая 6 •= 0,8 ( т = 0,39) выигрыш во времени составляет 1,86 раза. Этот результат немного завышен в сравнении с <н, измеренным между уровнями 0,1 и 0,9 установившегося значения, так как максимум крутизны переходной характеристики соответствует начальной стадии реакции (рис. 275). § 7. Схемные функции высших порядков Пользуясь соотношениями между картой нулей и полюсов, с одной стороны, и коэффициентами разложения, постоянными времени и собственной частотой схемных функций первого и второго порядков, с другой, можно оценивать и вычислять переходные характеристики схемных функций высших порядков. Это объясняется тем, что передаточные функции таких схем могут быть представлены в соответствии с теоремой разложения суммой составляющих первого и второго порядков. Строя каждую из полученных составляющих и складывая их, получим график И (0- Например, для передаточной функции третьего порядка (рис. 281) 2 1 (11-116) Ян (р) = 2 2 р (р + а) (р + 2|<опР + со ) ' р М0'= р+ а , 3 + р + |а)„ + К/ю„ У1— р+ /С4 — /ш„ У 1 — £2 + 2 | /С, | в - 6 в » ' в т ( © „ у Т ^ + г|э). (11-117) + > А»«/ -о\вг! Рис. 281. Схемная функция третьего порядка: а — карта полюсов; б — п е р е х о д н а я характеристика. Коэффициенты разложения, найденные по карте нулей и полюсов (рис. 281, а), = асо„ а К , 19][со„|-е[ К 2 = а<«>п 1; 1 (а [180° [ У ( Ш п | Л £М(г)2 |_-е, X Г Т ^ В 2 + (а - |(о„)2 | 02] Х _£2)2+( а - о2 — 2£м„а + со" Л"з = а СОг, (11-118) (соя 1180°+ 9,) [ V «2 - 2£ш„а + со21-9,1 [2и»„ / 1 - I 2 I - 90° К Г • 1 - 9 0 ° - 9 1 + е2. 2 У (1 -Ег)(а2-21ш„а + (о2) Окончательное выражение для переходной характеристики - М0 = 1 ае-^п' . . ,*-"' + а 2 — 2£со„а + ш„ зш ((0П / 1 — 1*1 + Ф) 1/(1 - £2) (а2 - 26ш„а + <»2п) (11-119) где = 180° + 0 1 — 02 = 180о + а г с 1 § Ь 1 _ _ 1 : _ а г с 1 § а — %и>п Перерегулирование в такой схеме будет отсутствовать, если действительный полюс лежит на линии или справа от нее, соединяющей два комплексных полюса, т. е. если постоянная времени первого экспоненциального члена равна или больше постоянной времени огибающей наложенных колебаний. Проще всего это доказать, взяв производную -—^-р- — ё а ( 0 («ли импульсную характеристику схемы) и показав, что для ос > |(о п (/) > 0. Это означает, что переходная характеристика, являющаяся интегралом от ((), будет монотонно-возрастающей функцией (рис. 281, б). При а > переходная характеристика имеет выброс, величина которого заГ, % 40 30 20 10 °1,0 1,5 2,0 3,0 І0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 р Рис. 282. Кривые зависимости выброса переходной характеристики схемной функции третьего порядка от 6 и р. висит от соотношения между ос и На рис. 282 показаны кривые зависимости выброса у переходной характеристики схемы третьего порядка от соотношения Р = Как видно из рисунка, выброс отсутствует для значений а С |со„ или Р С 1. Д л я больших значений р действительный полюс функции расположен далеко слева от комплексной плоскости и коэффициент разложения, соответствующий этому полюсу, будет малым, поэтому выброс характеристики определяется практически парой комплексно-сопряженных полюсов. Д л я передаточных функций более высоких порядков переходные процессы в схеме также определяются в основном расположением полюсов и нулей функции относительно первой пары комплексно-сопряженных полюсов, ближайшей к мнимой оси /со. В частности, переходная характеристика монотонна,если между абсциссой первой пары комплексно-сопряженных полюсов и началом координат расположен хотя бы один вещественный полюс. Более точно связь между параметрами переходной характеристики и картой полюсов и нулей функции можно определить по формулам и графикам, приведенным в работе [2]. Схемные функции с полюсами в правой полуплоскости характеризуют неустойчивые схемы, выходные напряжения которых из-за положительного экспоненциального члена или сомножителя неограниченно возрастают вместо того, чтобы стремиться к определенному установившемуся значению. Примеры таких переходных характеристик и соответствующие им карты полюсов передаточных функций показаны на рис. 283. Так как в физически реализуемых схемах невозможно бесконечное увеличение выходного сигнала, то под влиянием нелинейностей используемых элементов полюсы, лежащие в правой полуплоскости, смещаются на мнимую ось или в начало координат, , т -6 Р1 > 0 а т х р, 0 -6 х Рг Рис. 283. Карты полюсов и переходные характеристики неустойчивых схемных функций: а — первого п о р я д к а ; б — второго п о р я д к а . обусловливая тем самым гармонические или релаксационные автоколебания в схеме. Схемные функции, имеющие один или более нулей в правой полуплоскости, названы фазо-неминимальными вследствие специфики своих фазо-частотных характеристик. Они характеризуют устойчивые схемы. Нули таких схемных функций влияют на величину и знак коэффициентов разложения и тем самым на действительную форму переходной характеристики. В частности, если фазо-неминимальная схемная функция имеет нечетное число нулей в правой полуплоскости, то переходная характеристика имеет отрицательное конечное значение при возбуждении положительным ступенчатым сигналом. Пример 10. Найти переходную характеристику для схемной функции ( Р + 1 Н Р + 2) • (1Ы20) 463 Функция реакции Я (Р) = "У" + К, Р+ 2 * Т + т где коэффициенты разложения, найденные по карте нулей и полюсов на рис. 284, а, К, = - 2- 1 1• 2 2 Кг = 2 1 • 1• = 4; = - 2 3 = — 3. Р -6 -2 1 -1 0 6 Р*2 £ 4 рИ Рис. 284. Фазо-неминимальная схемная функция: а — к а р т а нулей и полюсов; б — переходная характеристика; Переходная характеристика схемы, определяемая — — способ р е а л и - уравнением -2 И (0 = — 1 + 4е ' — З е ' , приведена на рис. 284, б. Схемы с фазо-неминимальными передаточными функциями физически могут быть осуществлены определенным соединением простых подсхем. Например, передаточная функция (11-20) реализуется в схеме рис. 284, в применением вычитающей схемы на выходе двух простейших цепочек первого порядка: 0 ( р ) _ 6 р+ 2 4 Р+ _ 1 6р + 6 - 4р - 8 ( р + 1)(р + 2) 2 (р — 1) ( р + 1)(р + 2) Глава 12 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СХЕМЫ § 1. Получение частотных характеристик по схемным функциям и карте нулей и полюсов Предположим, что синусоидальный входной сигнал х (/) = Х 0 sin ait подведен к схеме с передаточной функцией г,1п\— К ~ (Р — zi) (Р — ч) • • • (Р — гт) (Р Pi) (Р Ра) • • • (р Рп) ' (12-1) при этом все полюсы G (р) лежат в левой комплексной полуплоскости. Так как преобразование Лапласа для сигнала возбуждения Х Х(р) = р2 +о"><в2 ' то реакция схемы находится из уравнения Рис. 285. К вопросу определения реакции схемы на гармоническое возбуждение. Q(p) = K0X0iо (р(р2 -+ гшг ) 2(р) (—р - гр2) ). .. .. .(р( р—- гт) -Рп)' (12-2) 1 Применяя теорему Q(P) = Кс разложения р — 1 со +, • Р К с 4- /ш к выражению +, Р Ki —Р1 , (12-2), получим Кп (12-3) | •Рп Все члены разложения, кроме первых двух, соответствуют затухающим членам в реакции схемы. Так как рассматривается только установившееся значение реакции, описываемое частотнофазовой характеристикой схемы, то Q(P) Кс р — /0) кс 4' р + /со При этом коэффициенты разложения, ляются векторным методом (рис. 285) Кс = (К0Хи 0)) (12-4) например Кс, вычис- щ (12-5) п, р=1 ш Здесь произведения нулевых и полюсных расстояний П г и П р относятся к полюсам и нулям функции реакции схемы <2 (р). Все полюсы и нули, кроме одного, относятся к передаточной функции схемы G (р), поэтому выражение (12-5) можно записать в виде (0 К с = Х 0 - 2усо К0(р — г1)... (р Ztn) (12-6) (Р — Pi) (Р — Р-г) • • • (Р — Рп) С учетом выражения (12-1) уравнение (12-6) преобразуется Кс=щХ0\0(р)]р^. (12-7) Так как G (J со) = | G ( / w ) | 1 _GQ'e>). то = Х011G (/со) — 90°. Сопряженный коэффициент разложения, соответствующий су р = —/(О, ^ К с = L ^ M l Х 0 1 90° — | G (/со). (12-8) полю- Если воспользоваться формулой (11-17), объединяющей комплексные члены разложения для частного случая чисто мнимых корней (с = |со„ = 0), то реакция схемы q (/) = 2 I Кс I Х 0 sin (со/ + ф) = Х 0 1 G (/со) | sin (со/ + ср) = = Q 0 sin(co/ + cp), (12-9) где ср = 90° — = 1 G (Іа). Амплитудно-частотная характеристика схемы, определяемая отношением Q o ( m ) Х0 (со) • К (со) = [G (/со)], (12-10) а фазовая характеристика Ф = | G (/со). (12-11) Таким образом, для получения частотных характеристик линейной схемы необходимо заменить оператор р в схемной функции на /со. При этом модуль | G (/со) | определяет амплитудно-частотную, а аргумент |G (/со) — фазо-частотную характеристики схемы. При высоком порядке передаточной функции аналитическое вычисление АЧХ и ФЧХ или АФХ в широком диапазоне частот составляет трудоемкую задачу. Пример 1. Построить амплитудно-фазовую характеристику схемы рис. 286, а при R = 1 ком; С = 10 мкф. Частотная передаточная функция схемы где Т — RC — 103 • Ю - 5 = Ю - 2 сек. Выражение частотной передаточной функции можно преобразовать так, чтобы оно представляло собой комплексное число в алгебраической форме О (/СО) : Сд (со) + /С, (со) 1 + 10 соГ + со2Т2 + /" + со272 ю-2 Ю - 4 со2 —4 (£)гТг 2 со +' '/ 1 + 1 0 - 4 со' (12-12) Задаваясь отдельными значениями со, можно по формуле (12-12) вычислить ряд пар значении <3К (со) и б , (со) и построить по ним амплитудно-фазовую характеристику схемы. Эта характеристика для всех положительных частот может быть представлена полуокружностью, расположенной в верхней полуплоскости, с центром в точке (0,5, /0) и радиусом 0,5 (рис. 286, б). Из выражения (1212) видно, что при со = 0 0 (/со) = 0 + /0, а при со = оо й (/со) = 1 + /0. Точки, соответствующие этим частотам, указаны па рис. 286, б. Частоты, соответствующие промежуточным точкам, могут быть найдены через аргумент комплексного числа (12-12) , „ .. , , 1 1 5я(ш) ,100 Ф = 1 С (/со) = а п ^ — — = а ^ со/ со Рис. 286. Дифференцирующее звено: а — схема; б — амплитудно-фазовая ха- Частотные характеристики рактеристика. косвенным образом описывают схемную функцию, расположение ее нулей и полюсов и могут быть определены графическим построением в комплексной плоскости. При этом для определения значений функции в точках /со, лежащих на мнимой оси плоскости, применяется сформулированный выше векторный метод. Мнимую ось плоскости называют осью действительной частоты, так как полюса преобразованных синусоидальных временных функций, используемых для возбуждения схемы, лежат на ней. Используя выражение (12-1) для схемной функции, запишем | /со — г, I • I /со — г21 .. . [ /со — гт 11 + + • • • + <*т б (/со) = Ко 1/со-^р, I . | А а - р , | . . . | / с о - р „ М Р 1 + Р г + ••• + Р„ • (12-13) Следовательно, | О (/со) | = /С«ш (12-14) П|р| ' где П | г | и П | р | — произведения длин векторов, проведенных от нулей и полюсов схемной функции до точки на мнимой оси, соответствующей со; І М = 2 а, - 2і=і Р„ 1=1 где а, и Р, — соответственно нулевые и полюсные углы. (12-15) Д л я построения зависимости величины и аргумента в (/со) от частоты со проводят вычисления по формулам (12-14) и (12-15) для ряда различных положений изображающей точки /со на мнимой оси. § 2. Параметры частотных характеристик схемы Частотные характеристики схемы, введенные для специфических гармонических сигналов возбуждения, характеризуют реакцию схемы при любом возбуждении. Схема не искажает сигнал при передаче, если возбуждение и реакция на ее входе и выходе связаны простои зависимостью д(() = К0х (/ — т). (12-16) Из выражения (12-16) видно, что форма входного сигнала сохраняется при передаче, если все его элементы запаздывают на одну и ту же величину х (рис. 287). Такое за4<7 паздывание возникает в реальных цепях при наличии реактивных элементов. Вып ражение (12-16) в операторном виде мож№ 1Л " 1Л но записать так: /! Г 7 Ч Л И \ ' Рис. 287. К определению условии неискаженной передачи сигналов. Откуда й (р) = Частотно-фазовые характеристики ходятся из выражения д ^ ^ ^ _ = К0е неискажающей схемы на- О (/®) = К 0 е Ч ™ , (12-17) Л » = |С(/со)| = Я 0 ; ср(со) = | в (/со) = — тсо. (12-18) (12-19) откуда Поскольку составляющие сложного сигнала могут иметь любую частоту в диапазоне 0 < со < со, условия неискаженной передачи сложного сигнала могут быть сформулированы следующим образом: 1) амплитудно-частотная характеристика схемы должна быть независимой от частоты; 2) фазо-частотная характеристика схемы должна быть пропорциональна частоте сигналов возбуждения. Амплитудно-частотная, фазо-частотная и амплитудно-фазовая характеристики неискажающей схемы приведены на рис. 288. Характеристики, приведенные на рис. 288, не могут быть полностью реализованы в реальных электронных схемах; следовательно, абсолютно точное воспроизведение формы сложного сигнала при передаче невозможно, сигнал может быть воспроизведен с некоторой конечной точностью. Характеристики реальной схемы совпадают с характеристиками неискажающей схемы в определенном диапазоне частот До> (рис. 289). Чем шире этот диапазон, тем точнее данная схема будет передавать сложный сигнал. Поскольку достичь полного совпадения Рис.288. Частотные характеристики неискажающей идеальной схемы. Р и с . 2 8 9 . Частотные характеристики реальной схемы. характеризуют диапазоном частот, внутри которого ее характеристики расходятся с характеристиками неискажающей схемы не более, чем на некоторую определенную величину. Внутри диапазона Дсо = (с0 в ) гр -(со„) гр (12-20) отношение = 1 (12-21) Ко больше или равно некоторому значению М л о п . Величина М называется коэффициентом неравномерности амплитудно-частотной характеристики. Диапазон До», внутри которого М > /Идоп, называется полосой пропускания данной схемы при заданном коэффициенте неравномерности М д о и . Частоты (юв)гр и (ын)гр, ограничивающие полосу пропускания, называются верхней и нижней граничной частотой полосы пропускания. Величина М д о п может быть выбрана произвольно. Однако чаще всего принимают М л о " = ~ТТ' (12'22) Полоса пропускания, соответствующая такому коэффициенту неравномерности, называется условной. При этом мощность, отдаваемая нагрузке компонентой сигнала, частота которой равна граничной частоте условной полосы пропускания схемы, в два раза меньше мощности, отдаваемой нагрузке компонентой той же амплитуды, если ее частота лежит в середине этой полосы. Амплитудно-частотная характеристика некоторых схем может иметь резонансные выбросы в области граничных частот, которые нежелательны (рис. 289). Величина резонансного выброса также К, характеризуется коэффициентом неравномерности, но М = рез > Ко > 1. Как и при оценке переходных процессов схемы, целесообразно научиться определять параметры частотно-фазовых характеристик без полного их построения. § 3. Частотные характеристики схемных функций первого порядка Передаточной функцией первого порядка описывается простая #С-цепочка (рис. 290, а). Карта этой передаточной функции изображена на рис. 290, б. Ч-с=> Л « с полюсов г X -ОС ЛМ (і) =оо 1 ккт Ш-оС д Рис. 290. Частотные характеристики простой схемной функции первого порядка. Обозначая длину вектора, проведенного из полюса р = —а к точке р = /со, через | /со + а | и отмечая его аргумент 8, получим К( «) = а а \/со + а| У со2 + а 3 ф (со) = •9 = — ап^- ' Рассмотрим, как изменяются АЧХ и Ф Ч Х при изменении частоты в диапазоне 0 < со < оо. С ростом со длина вектора ] /со + а [ увеличивается, а его аргумент 9 стремится к 90° по мере приближения со к бесконечности. Поэтому А Ч Х схемы монотонно убывает с увеличением оз (рис. 290, в). Так как угол <р отрицательный, то данная цепочка вводит отставание по фазе (рис. 290, г). Максимальный угол ф при со -> оо равен 90°. Из карты полюсов (рис. 290, б) видно также, что при со = а Ф = —45°, К (со) = у = - — У Ко, г Д е ^ о = у & ления при со = 0. Следовательно, с со = а 1 — коэффициент усиявляется граничной I > > У г* / л™ -б -<х , 1 5 Рис. 291. Частотные характеристики схемной функции первого пощідка_с_ну л е м ' лежащим в начале координат. частотой, так как она условно разделяет частотную характеристику на участки низкой и высокой частоты, Амплитудно-фазовая характеристика рассматриваемой цепочки будет полуокружностью, расположенной в нижней полуплоскости (рис. 290, 5). Аналогичные построения для схемы с передаточной функцией типа г р а приведены на рис. 291, а и б. Так как в (р) имеет, кроме полюса р == —а, еще нуль в начале координат, то А Ч Х и Ф Ч Х схемы находят из выражений К( со) = | < ? ( / с о ) | = ф(со) ' — 1/(01 | /со + а I У'ю* (12-24) (/со) = Єх — Є2 = 90° — а г с ^ Кривые зависимости К (оз) и ф (со) от частоты в диапазоне 0 < < со < оо представлены на рис. 291, в и г . При со = 0 длина вектора, проведенного из нуля, и угол 8 равны нулю, поэтому соответственно К (0) = 0; ф (0) = 90°. При (0 = оо длины векторов, проведенных из н у л я и полюса передаточной функции, примерно совпадают по величине, а угол 0 2 стремится к 90°, поэтому К = 1; ср (оо) = 0. Так как <р (со) > 0, то цепочка вносит опережение по фазе и ее АФХ, рассмотренная в примере 1 данной главы, расположена в верхней комплексной полуплоскости. Рассмотрим частотные характеристики схемы, приведенной на рис. 292, а, с передаточной функцией 0(Р) = Ко^Л", когда р<а. Рис. 292. Частотные характеристики схемной функции первого порядка с нулем, лежащим справа от полюса. Частотные характеристики находятся из условий К (со) = | О (/со) | = /С0 + ; ф (со) = [О(/со) = 0Х - 0 а = а г с ! ё - агс! § (12-25) . (12-26) При со = 0 вектор | /со + р | имеет длину р и увеличивается с ростом со. Аналогично вектор |/со + а \ имеет начальную длину а и также возрастает при увеличении со. Но так как р < а , то длина вектора | /со + р | изменяется быстрее, чем длина вектора |/со + а | . При очень больших со векторы становятся примерно одинаковыми по длине. Поэтому рассматриваемая схема имеет монотонно-нарастающую АХЧ (рис. 292, в). Из карты нулей и полюсов передаточной функции (рис. 292, б) также видно, что угол 0! больше угла 0 2 для всех значений часто- ты со, исключая со = 0. При со = 0 оба угла равны нулю, при со -> оо оба стремятся к 90°. Поэтому ФЧХ цепочки всегда положительна и имеет максимум на некоторой частоте в диапазоне 0 < со < оо (рис. 292, г), т. е. схема вносит опережение по фазе. В соответствии с выражением (12-26) присо = а и с о = р фазовый сдвиг одинаков Р фа,3 = 45° аг^ а Если а > Р, он приближается к 45°. Частоту максимального фазового сдвига можно найти из условия аш в Дифференцируя выражение (12-26) по со, получим I со2 \ I / Ч'+тг) = 0 со2 \ Т + - И откуда СОмакс = У Щ Максимальный фазовый сдвиг фмакс = а п ^ ё У^Ф Р (12-27) — arctg а = УОФ + ар Амплитудно-фазовая характеристика рассматриваемой схемы приведена на рис. 292, д. На ней указаны начальные и конечные значения К (со), а также отмечен максимальный положительный фазовый СДВИГ фмаксЧастотные характеристики схемы с передаточной функцией того же типа Р+ Р 0 ( р ) = Я„- р + а но для случая Р > а , приведены на рис. 293. Уравнения (12-25) и (12-26) для определения К (со) и ф (ю) сохраняют свои значения, однако в силу условия р > а длина вектора |/со + Р | изменяется медленнее, чем длина вектора |/<о+а|. Поэтому АЧХ схемы имеет монотонно-падающий характер и на крайних частотах со = 0 и со = оо коэффициент передачи К (ю) отличен от нуля (рис. 293, в). Вследствие того, что угол 0 2 , больше угла 6 Ъ для всех значений частоты со, кроме со = 0, схема вносит отставание по фазе. Фазо-частотная характеристика схемы приведена на рис. 293, г. Фазовый сдвиг на крайних частотах равен нулю, а частота максимального сдвига и его величина находятся в соответствии с Рис. 293. Частотные характеристики схемной функции первого порядка с нулем, лежащим слева от полюса. выражениями (12-27) и (12-28). Амплитудно-фазовая ка схемы иллюстрируется рис. 293, д. характеристи- § 4. Частотные характеристики схемных функций второго порядка Карта полюсов нормированной передаточной порядка с постоянным числителем функции второго приведена на рис. 294, а. Частотно-фазовые характеристики схемы с такой передаточной функцией определяются двумя векторами, проведенными из полюсов в изображающую точку, лежащую на мнимой оси. При со = 0 оба вектора имеют одинаковую длину, так что /С <0> ы2п =1. Фазовая характеристика схемы при со = 0 определяется аргументом | К (/со), равным ф = — (—а х + а 2 ) = 0°. При увеличении со верхний вектор уменьшается по длине, пока изображающая точка р = /со не окажется выше координаты полю- са, после чего вектор снова начинает увеличиваться. Нижний вектор возрастает монотонно. Амплитудно-частотная характеристика схемы обратно пропорциональна произведению длин этих векторов и в колебательном режиме при | < 1 может иметь резонансный выброс на некоторой частоте сот (рис. 294, б). Резонансная частота определяется точкой пересечения окружности радиуса со0 = = со„ У1 —£ 2 с центром в точке р = — |со„ с мнимой осью комплексной плоскости (рис. 294, а), при этом со„ со„1/1-2|2 (12-29) Рис. 294. Частотные характеристики схемной функции второго порядка с постоянным числителем. Следовательно, резонансный выброс на частотной характеристике будет лишь при £ < 0,7. Можно показать, пользуясь картой полюсов функции (рис. 294, а), что при увеличении о фазовый сдвиг в схеме ф = — (—с*! + а 2 ) нарастает от 0 до —180°, а при со = о)„ Ф = —90° независимо от значения коэффициента относительного затухания | (рис. 294, в). Указанные выше соотношения могут быть получены и аналитически. Если в передаточной функции заменить р на /со, то г,2 G (/со) = 2 К- • со ) + 2/§со„ш откуда tf(co) = |G(/co)| (12-30) У(Ы2П - со2)2 + (2gconco)2 и Ф(со) = |С(/со) = - а г с 1 ё 2 Юп } °\2 . (12-31) п~ ш Находим условия максимума функции К (со), дифференцируя выражение (12-30) по со и приравнивая производную нулю, ш ы т ~ мп у Т — Щ 2 Км = К { С0ОТ) = . " 21^1 \ 1 - I* 21 > 1 - б2 . (12-32) Рис. 295. Частотные характеристики схемной функции второго порядка с конечным нулем. Как следует из выражения (12-32), сот 0 при | 0,707, а из (12-31) ф = —90° при со = <в„. Граничная частота, на которой К (со) уменьшается до 0,707 своего значения на нулевой частоте, также находится из выражения (12-30) согр = со,, V 1 - 2?.2 + V 2 - 4 | 2 + 4£4. (12-33) Амплитудно-фазовая характеристика схемы второго порядка, построенная по полученным ранее АЧХ и Ф Ч Х , приведена на рис. 294, г. Частотно-фазовые характеристики схемы второго порядка существенно изменяются, если ее передаточная функция, кроме пары комплексно-сопряженных полюсов, имеет конечный нуль 0(р) = 4 в - р* + " + а + со22 2&пр п • Частотная характеристика схемы, определяемая выражением / с о 2 + а2 /С (со) = 10 (/со) | 1Лш 2 -со 2 ) г + (25а)яш)'г или К (со) / И ? (12-34) МЫ Рис. 296. Частотные характеристики схемной функции второго порядка с нулем в начале координат. всегда имеет некоторый максимум при а < со,г независимо от значения I (рис. 295, б). Это объясняется наличием дополнительного третьего вектора |/со + а\, длина которого увеличивается с ростом частоты со. Граничная частота определяется выражением со.гр со„ ^ + 1-21* + ] / и^-+1-2Е2 +1. (12-35) Фазовая характеристика схемы находится из выражения ср = ос3 — (— а г + а 2 ) = агс!^ •агс1 ё ГЛ ГЛ® , (12-36) из которого следует, ЧТО ф = 0 при СО = О И ф = —90° при СО -»- оо. Из выражений (12-34) и (12-36) видно, что частотно-фазовые характеристики схемы зависят от координаты конечного нуля р = а. В предельном случае, когда а = 0 и нуль расположен в начале координат (рис. 296, а), 0 ( Р ) = Р К о р2 + 2Есопр + со2 К (со) = | б (/со) | = ; К (со2 - со2)2 + (2Еш„сй)2 Ф (со) = 1I б (/со) = 90° — а г с ^ со^ - со2 (12-37) . (12-38) Как следует из выражений (12-37) и (12-38) и из рис. 296, б и в, схема с передаточной характеристикой указанного типа имеет определенную избирательность: К {со) = 0 на частотах со = 0 и со = со и имеет некоторое максимальное значение в середине условной полосы пропускания. Такая АЧХ присуща широкому классу избирательных схем, поэтому рассмотрим ее параметры несколько подробнее. Разделив числитель и знаменатель передаточной функции на р, получим О (р) = К0 2£со„ + со„ —— + • Р «я Подставляя оператор /со вместо р и вынося общий множитель знаменателя, получим предыдущее выражение в виде • <12-39> _!_ Л 2^ \ со„ со ) Введя обозначения получим /С (/со) = ^ (12-41) 1+ Я \ С0„ со / Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики сматриваемой схемы находятся из выражений /((со) = Крез ; |/ » + < ф(со) = - а г с 1 § < 2 ( — - -®п В Ц\ . рас- (12-42) (12-43) Из выражения (12-42) следует, что на некоторой частоте со = = со„ К (со„) = Крез (рис. 296, б). На частотах со < со,, и со > соп К (ш) < /Срез- Поэтому частота со = со„ называется резонансной. На граничных частотах (сон)гр и (сов)гр знаменатель выражения (12-42) равен 1^2, т. е. <2 (сон) гр СОп (со в ) г р со„ (®н) гр с0„ («в). = 1, (12-44) откуда (<вн) ір (Ив)гр С0„ со„ со,, (СОв)гр (сонКгр После выполнения ряда простых преобразований (СОн)гр (0„ + ( ( °н) Г р + К ) ГР СО„ со„ (шн)гр + (®в),.р Ю г р СО« 1(со„) г р + (сов)' г р і со„ (СОН)гр + Югр получим Ч, = (12-45) К ( ® н ) г р ( СО в)гр- Решая совместно уравнения (12-45) и (12-44), находим <3 (С0В) гр • ( с о н ) г п (СОв) гр со„ (сов) 1, гр или (СОв)гр — (СОн)гр = 1, (0„ откуда условная полоса пропускания рассматриваемой схемы <2 - 2|со„. Лео = (сов)гр — (сон)гр = (12-46) Полоса пропускания схемы существенно зависит от добротности а следовательно, от положения пары комплексно-сопря<2 = 2Е женных полюсов. Чем меньше 5 (полюса ближе расположены к мнимой оси), тем больше добротность С} и тем уже полоса пропускания Доз. Как следует из выражения (12-46), полоса пропускания геометрически на комплексной плоскости определяется удвоенным расстоянием комплексных полюсов до мнимой оси. Коэффициент широкополосности схемы, определяемый площадью под кривой АЧХ и равный произведению Ко а>п /СрезДсО = к 2£со„ ' <3 0 остается величиной постоянной. При сужении полосы пропускания увеличивается коэффициент передачи на резонансной частоте и наоборот. На основании приведенных выше соотношений можно сформулировать простое правило нахождения резонансной и граничных частот схемы второго порядка с нулем передаточной функции в начале координат по ее карте нулей и полюсов. Это правило иллюстрируется на рис. 297 для функций с парой комплексно-сопряженных полюсов р1)2 — —3 ± /5. 1Ш Вначале радиусом, равным собственной частоте полюсов со„ = ІШгр — У 9 + 25 = 6, проводится дуга с / Ч центром в начале координат до пеГ ! РЄЗ ресечения с мнимой осью в точке А' Ш №м1гр -Ып Рис. 297. Графический метод определения резонансной частоты и полосы пропускания частотной характеристики схемной функции второго порядка с нулем в начале координат. Рис. 298. Избирательная /.С-усилительная схема. р = /сорез, соответствующей резонансной частоте. Затем проводится полуокружность с центром в полученной точке р = /Шрез и радиусом, равным расстоянию одного из сопряженных полюсов до мнимой оси, т. е. равным действительной части корня. Точки пересечения этой полуокружности с мнимой осью определяют граничные частоты схемы ((он)гр и (сов)гр. Пример 2. Найти усиление на резонансной частоте, полосу пропускания и величину индуктивности нагрузки усилительного звена (рис. 298), построенного на пентоде с параметрами 5 = 2 ма/в, = 1 Мом. Резонансная частота схемы / Р ез— = 2 Мгц, общая шунтирующая емкость Со = 30 пф, добротность катушки индуктивности <2о = 100, сопротивление утечки следующей ступени /?с = 1 Мом. Передаточная функция усилительного избирательного звена в соответствии с выражением (8-14) КО») * Р2 где Я = + " 1 Р + ЯС, 1С„ — суммарное шунтирующее сопротивление контура; Я, + Я (?0со£ — сопротивление потерь катушки включенное параллельно. индуктивности, Сопоставляя выражение (8-14) с общим выражением (12-37) для передаточной функции второго порядка с нулем в начале координат, находим К„ = 1 6' ; Со 2|со„ = Дсо = ' 1 КС» ' " У^ГСо Значение индуктивности определяется по заданной резонансной •= 1 \ - С0 [ 2 л / р е з | 2 30 . 10-12 . 39,6 • 4 . 1 0 " частоте _з = 0,21 ' 10 гН Д л я нахождения полосы пропускания необходимо вначале определить суммарное шунтирующее сопротивление контура = 500 • 6,28 • 2 • Ю - 6 • 0,21 • Ю - 3 = 250 • 103 ом; д = ! 1+ 1+ = 0,167 Мом. — 0,25 Полоса пропускания схемы = А/ = 2л Р Д = RC02я ^ То е 0,167 • 10 • 30 • Ю -12 = 3 1 , 6 • 10 3 гц. 6,28 Следовательно, его добротность в соответствии с выражением (12-46) 'IДрезГ ^ = 2^ • 10 е 31,6 • 10 3 .ид Коэффициент усиления схемы на резонансной частоте согласно выражению (12-40) = = =5^334. В теории электрических фильтров встречаются схемы второго порядка, передаточные функции которых имеют пару комплексносопряженных нулей, лежащих на мнимой оси или расположенных вблизи от нее. На рис. 299 приведено построение частогно-фазовых характеристик схемы с передаточной функцией типа G(р) = До р*+ „, 2£сопр ;—г • + При этом АЧХ и ФЧХ находят из выражений: соН —со 2 ° =; со2)2 + (2£со„о>)2 (12-47) Ф (со) = а 4 + а , — (а, + сс2) = а 3 + а 4 ~ arctg ? MriB> 9 . (12-48) со- - со2 К (и) = К0 - т = V (0)2 - Как следует из выражений (12-47) и (12-48), коэффициент усиления напряжения схемы уменьшается до нуля (рис. 299, б), а фазовый сдвиг скачкообразно изменяется (рис. 299, в) на частоте со = со0. Изменение фазового сдвига на 180° можно объяснить 16 1-837 481 тем, что, как следует из рис. 299, а, сумма углов нулевых векторов а 3 + а 4 = 0 для частот со < со0 и а 3 4- а 4 = 180° при со > со0. Если нормировать передаточную функцию по установившемуся значению переходной характеристики из условия [О (р) ]р==о = = 1, как это делалось в гл. 2, то 4 ^о = — г - Шо град 1. 90 Ш0 0) Рис. 299. Частотные характеристики схемной функции второго порядка с комплексно-сопряженными нулями. Поэтому коэффициент передачи схемы на высоких частотах, равный К 0 , зависит от соотношения со0 и собственной частоты комплексно-сопряженных полюсов со„. Если со0 < со„, то усиление на высоких частотах больше, чем на низких; при со0 > со,, усиление на низких частотах преобладает над усилением на высоких частотах. Амплитудно-фазовая характеристика схемы построена на рис. 299, г. Можно по аналогии с предыдущим случаем ввести понятие добротности АЧХ схемы и определить для нее полосу пропускания Дсо. Однако это имеет смысл для частного случая со0 = = со„, когда усиление на низких и высоких частотах будет одинаковым. Приняв со0 = со„ и разделив знаменатель передаточной функции на ее числитель, получим 0(Р)= 1 2|сОпР Рг + ч>1 При замене опера гора р на /со сосо„ «>пР р*+< СО со„ С0п (О р=ц1) поэтому б (/СО) 1 + /25I соП \ со со_ со„ Амплитудно-частотная характеристика находится из выражения 1 К ( со) = г. 4|2 / СОп _ \ со (12-49) со шп ) На граничных частотах знаменатель (12-49) равен | / 2 , т. е. 21 21 со„ (сон) гр (сон; гр СОп СОп (СОв)р (сов гр = 1, (12-50) откуда Ь>п = К( ю н)гр (®в)грРешая совместно выражения (12-50) и (12-51), находим 2? I, (сов)гр (сон)гр г„ — (СО„гр (12-51) (сон)грсо„ т. е. Асо = (сов)гр — (сон)гр = 2£со„. (12-52) Определяя добротность АЧХ отношением СОп 3 = Дсо ' получим для данной схемы выражение 1 <2 = 21 ' (12-53) которое полностью совпадает с (12-40). Таким образом, и в этом случае уменьшение полосы пропускания избирательной характеристики схемы достигается размещением комплексно-сопряженных полюсов вблизи мнимой оси комплексной плоскости. Пример 3. Исследовать влияние изменения параметров двойной Т-схемы на ее частотно-фазовые характеристики. Передаточная функция симметричной двойной Т-схемы, изображенной на рис. 300, а, может быть получена из общего выражения (3-103) при выборе коэффициента а = 1: р2 + ш (1 (2Р- 1) Р + со2 ; 1 р 2 + и 0 ( 2 р + —- + 1 ) р + К (Р) = где 0)0 ; ' ЯС Такая передаточная функция характеризуется двумя вещественными полю- УЦ Р 1.2 2Р + + 1 ) со„ I у<у р С/В -1*>0 У, град Рис. 300. Частотные характеристики двойной Т-схемы при точной настройке. *90 т -90 р. и двумя комплексно-сопряженными нулями '1,2 • - І - ( 2 Р - 1 ) ± ]/ - (2|3 — I)2 — 1 1 4-а Р = 2(5 нули могут а лежать на мнимой оси, в левой или правой полуплоскости. При у = 2Р = 1 нули расположены на мнимой оси При этом в зависимости от значения коэффициента у : г, 2 = ±/ш 0 , а полюсы на отрицательной вещественной оси Рі,2: ( - 2 ± / 3 ) < Соответствующая карта нулей и полюсов, по которой находятся частотно-1 зовые характеристики схемы, приведена на рис. 300, б. Как известно, П; К (со) = п, р=/о> Ф(со) = 2 L£— где г и р — векторы, проведенные соответственно из нулей и полюсов передаточной функции к изображающей точке на мнимой оси /со. При со = 0 м о <о£[(2) 2 -(/3) 2 ] '' 0 Ф (0) = а, + а 2 — а 3 — а 4 = 90° — 90° . о — 0° = 0. К (0) При ш = оо величины векторов, проведенных из нулей и полюсов в точку, расположенную на бесконечности, примерно равны, поэтому К ( о о ) = 1; Ф (ОО) = 90° + 90° — 90° — 90° = 0. При изменении частоты ш в диапазоне 0 < со со частотная и фазовая характеристики изменяются следующим образом. В диапазоне 0 < со < соо верхний вектор, проведенный из нуля г\ = /соо, уменьшается подлине, а следовательно, падает частотная характеристика К (со). При со = <оо К (шо) = 0, после чего указанный вектор снова начинает увеличиваться. Величины остальных векторов возрастают монотонно. Вид получаемой частотной характеристики схемы приведен на рис. 300, в. Добротность моста, определяемая в соответствии с выражением (12-53), С} < 0,5, так как § > 1 для вещественных полюсов. При изменении со в диапазоне 0 < со < со0 углы а : и а 2 , образованные векторами, проведенными из нулей передаточной функции, остаются постоянными и равными соответственно ± 9 0 ° . Углы же а 3 и а 4 монотонно возрастают, поэтому суммарный фазовый угол ф по мере увеличения частоты в этом диапазоне будет отрицательным и возрастающим (рис. 300, г) В непосредственной близости к точке /СОо мнимой оси arctg а 4 = arctg I ( - 2 + /3) (-2-/3) Суммарный фазовый сдвиг Ф<« , , , . ( - 2 + УЗ) + ( - 2 - / 3 ) (а3 + а 4 ) = — arctg : 1 2 (2) - (/3) 2 = arctg оо = — 90°. При переходе изображающей точки через точку /соо ориентация верхнего вектора относительно мнимой оси изменяется на противоположную, т. е. угол вместо а , =» —90° становится а 2 = + 9 0 ° , чем обусловливается перегиб фазовой характеристики моста (рис. 300, г). Рассмотренный случай Р == соответствует выбору величины параллельно- R го сопротивления моста R * => -g-, где R — величина последовательного сопротивления. Если соотношение параметров схемы таково, что 3 > у > 1 или у > (5 > то передаточная функция схемы имеет два комплексно-сопряженных нуля с отрицательными действительными частями. При этом мнимые части нулей меньше мо (рис. 301, а). Пользуясь векторным методом, находим частотную и фазовую характеристики схемы (рис. 301, б и в). При увеличении со верхний вектор, проведенный из нуля, уменьшается по длине, пока точка р = /соі не окажется выше координаты нуля, после чего вектор снова начинает увеличиваться. Нижний вектор, проведенный из А ш W «у. 4 Г ч і і і і і ш, со0 S 1і I V а б-р- 0 f, град 90 ы 1 / 1/ 0 \ Рис. 301. Частотные характеристики двойной Т-схемы при R* > R/2. -90 у А (О в второго нуля, возрастает монотонно. Амплитудно-частотная характеристика схемы прямо пропорциональна произведению этих векторов и на некоторой частоте coi < соо будет иметь квазирезонансный минимум. Фазовая характеристика в отличие от случая (3 = у не имеет резкого перегиба, так как угол а 2 (рис. 301, а) при изменении положения изображающей точки на мнимой оси изменяется плавно. Фазовые сдвиги будут меньшими по величине, так как при изменении со отрицательный угол а 2 уменьшается (вплоть до со = со,) и разность углов а, — а 2 , в отличие от первого случая, будет положительной. 3 При Р > нули передаточной функции становятся вещественными и избирательные свойства схемы теряются. Рассматриваемый случай соответствует величине параллельного сопротивления R * > R/2. Если параметры схемы выбраны так, что у < 1 или (5 < то ее передаточная функция имеет комплексно-сопряженные нули с положительными действительными частями, лежащие в правой полуплоскости (рис. 302, а). Частотная характеристика (рис. 302, б) имеет примерно такую же форму, как и в случае р > у . Только вследствие изменения расположения полюсных и нулевых расстояний частота минимума передачи р => /сог расположена несколько выше точки р = /соо. Фазовая характеристика, наоборот, имеет резкий скачок на угол 2л при со = соа (рис. 302, в), так как аргумент верхнего вектора, проведенного из нуля, изменяется от —180 до + 1 8 0 ° при изменении ориентации вектора возле точки минимума. Фазовые сдвиги в схеме в этом случае будут большими, так как при изменении со (вплоть до ша) отрицательный угол аз увеличивается и разность углов 062 — ось в отличие от предыдущих вариантов, будет отрицательной. 6 Свойства двойной Т-схемы при Я* < — , когда на некоторой частоте сог ее коэффициент передачи конечен, а фазовые сдвиги достигают 180°, используется для построения ЯС-генераторов гармонических колебаний. Например, в одноламповом варианте двойную Т-схему помещают в контур связи анода и сетки лампы, обеспечивая тем самым необходимую для генерации положительную обратную связь. § 5. Логарифмические частотные характеристики Целесообразно сочетать изложенные выше методы точного построения частотно-фазовых характеристик с приближенными, основанными на построении асимптотических логарифмических частотных характеристик А Л Ч Х . Асимптотическая логарифмическая частотная характеристика для любой передаточной функции может быть построена разложением ее на произведение простых функций. Асимптотическое построение занимает незначительное время в сравнении с другими вычислительными методами. Д л я передаточной функции типа G(p) = Apn логарифмическая частотная характеристика определяется из соотношения Квб (со) = 20 log [G (/со)] = 20п log со + 20 log А. (12-54) Как следует из выражения (12-54), Кае (®) при логарифмическом масштабе частоты будет прямой линией, имеющей наклон 20п дб/дек (декада соответствует изменению частоты в со2/(о1 = = 10 раз) и пересекающей линию 0 дб при частоте со0 — А " • Фазовая характеристика схемы ср (со) будет постоянной и равномерной ср = п • 90°. При отрицательных значениях п наклон частотной характеристики и фазовый угол отрицательны. Иногда наклон Л Ч Х характеризуют величиной ± 6 , 0 6 дб/октав, где под октавой понимается изменение частоты в два раза. Пример 4. Построить логарифмическую частотную характеристику для схемы с передаточной функцией 0(Р) = - 2V Р Так как показатель степени п = —2, то характеристика имеет отрицательный наклон — 40 дб/дек и пересекает линию 0 дб при частоте 2 4 6 10 20 40100ш, 1/сек Рис. 303. Логарифмическая частотная характеристика схемной функции б (р) = - 1 • Р2 со0 = / 4 = 2 . сек Искомая рис. 303 характеристика построена на Рассмотрим логарифмические частотные характеристики, которые не являются прямыми линиями, но могут быть ими аппроксимированы на очень низких и очень высоких частотах. Например, для схемы с передаточной функцией О(Р) К (со) А Р + А IG (/*>) 1 = V со2 + а 2 ф (со) = I G (/со) = — arctg — . Предположим сначала, что частоты низкие, т. е. со ^ а. Тогда К( со)~ — • (12-55) Выражению (12-55) соответствует прямая линия с нулевым накло/I ном и координатой 20 log — (рис. 304, а). Предположим теперь, ч ю частоты высокие, т. е. со а. Тогда Д(со)~^-. (12-56) Этому выражению соответствует прямая линия с наклоном — 20 дб/дек, пересекающая линию 20 log — в точке со = а (рис. 304,а). Полученная кусочно-линейная аппроксимация для Кдб (ю) справедлива для низких и высоких частот. Оценим ошибку аппроксимации для частот вблизи значения со = а [К (ш)1,о=а = А _ А ~ V а2 + а2 ~ у~2 а ' При логарифмическом представлении . Ш /С* = 20 log ( - £ - ) — 20 log У 2. 1 L (12-57) 6 Рис. 304. Логарифмические частотные характеристики схемной функции С (р) = Но 20 log У 2 = 3 , 0 1 5 6 , поэтому действительная лога- = А рифмическая частотная харакр + а' теристика (ЛЧХ) проходит через точку, расположенную на 3 дб ниже точки пересечения аппроксимирующих сегментов. Частота со = а является граничной частотой условной полосы пропускания схемы. Как известно, для простейшей передаточной функции первого порядка фазовый сдвиг на граничной частоте ср = —45°. Общий вид фазовой характеристики приведен на рис. 304, б. В общем случае для передаточных функций с кратными полюсами или нулями типа К(р) = А(р + Ы; К(р)= {р*а)П Л Ч Х может быть аппроксимирована двумя прямолинейными участками: для низких частот линией с нулевым наклоном и координатой 20« log (АЧпЬ) или 20« log прямой с наклоном линии u ±20 I Ах'п\ 1 дб, а для высоких частот пдб/дек, пересекающей линии 20п log (A "b) или 20« log I — / при частотах со = b и со = а соответственно. Действительная ЛЧХ проходит через точку, расположенную на ± 2 0 log У2 • п = ± 3 « дб выше или ниже точки пересечения аппроксимирующих сегментов (рис. 305). Частоты со•= Ь и со — а называют граничными частотами передаточной функции, фазовый сдвиг на этих частотах равен ±п • 45°. Если передаточная функция содержит несколько полюсов и нулей, суммарная Л Ч Х может быть построена следующим образом. Каждая составляющая ряда разложения функции аппроксимируется линейным отрезком, граничная частота которого равна численно значению полюса или 20п1од (А"Ь) 20Шодф \ £ \ \ Кдб Хэ I л Наклон ш=а ш Рис. 305. Логарифмические частотные характеристики схемных функций: а - а(р) А = А (р + Ь)п\ б - Рис. 306. Построение асимптотической логарифмической характеристики по карте нулей и полюсов передаточной функции. а (р) = нуля функции. Асимптота имеет положительный наклон для нулей и отрицательный — для полюсов. На рис. 306, б показано построение Л Ч Х по карте нулей и полюсов функции, приведенной на рис. 306, а. (р+'а)" Пример б. Построить логарифмическую амплитудную и фазовую характеристики схемы с передаточной функцией О(Р). * р( 1 +Тр) при К = 400 — для трех случаев: 1) Т 25 мсеїс; 2) Т • 5 мсек; 3) Т = 2,5 мсек. сек При наличии полюса передаточной функции в начале координат метод построения Л Ч Х , примененный на рис. 306, непригоден. Передаточную функцию можно представить в виде двух сомножителей 1 К Т ^ р+ у Л Ч Х которых строятся сравнительно просто. Например, первому сомножителю соответствует логарифмическая характеристика с наклоном — 20 дб/дек, пересекающая линию 0 дб в точке со = К = 400 — . сек 1 /Т ^ ^ при <в = 0 равна единице. Соответствую- Величина второго сомножителя щая логарифмическая характеристика аппроксимируется двумя сегментами: линией 0 дб и прямой с наклоном — 20 дб/дек, при этом граничные частоты при задан- ных Т будут равны соответственно сох = 40 — , сек Построенные Л Ч Х и соответствующие им фазовые характеристики приведены на рис. 307. Построение Л Ч Х несколько отличается для передаточной функции, содержащей комплексно-сопряженные полюса, ^ _ 11» р2 2Есо р 4- со 2 п п ' со2 = 200 — , сек ы 3 = 400 — сек "2 4 610 40 100200 400 1000 тии ц ^ ис Р - 307. Логарифмические характеристики к примеру 5 г л . 12. где Ко = С0„. Передаточная функция нормируется относительно со„ введением со переменной и = — : у СО/1 : *(">Ф( ы ) = - а г с 1 8 ( - т ^ ) . (12 "58) (12-59) У(и1,граЗ 00.1 0.15 -20 0.1 0,2 0,3 0,40.50,60,8 Г 1,5 2,0 и О 5 Р и с . 308. Нормированные логарифмические характеристики схемной второго порядка: а — амплитудная; б — фазовая. функции Графики, соответствующие уравнениям (12-58) и (12-59), построены на рис. 308. Асимптота для высоких частот для всех кривых является прямой линией, имеющей наклон — 40 дб/дек и проходящей через точку и = 1, т. е. при со = со„. Отметим также, что резонансная частота сот равна нулю при £ = 0,707 и приближается к со„ при уменьшении что соответствует выражению (12-29). Располагая приведенными нормированными кривыми, можно аппроксимировать характеристики любых передаточных функций. Если передаточная функция имеет пару комплексно-сопряженных нулей, приведенными нормированными кривыми можно также пользоваться при построении К (со) и ф (со), беря соответствующие величины с обратным знаком. Изменение логарифмической частотной характеристики на каждые ± 2 0 дб пропорционально изменению фазовой характеристики на ± 9 0 ° . На высоких частотах наклон Л Ч Х для схемы с передаточной функцией п-го порядка, имеющей т конечных нулей, равен —20 (п — т) дб/дек, а фазовый угол — 90° (п — т) эл. град. Пример 6. Построить логарифмическую частотную характеристику схемы с передаточной функцией П1п\ УР> 50 (р + 4) 2 р (р + 4р + 100) ' Заданную передаточную функцию можно представить произведением простых сомножителей 100 " " - . « ( т Н - ^ Н р 2 + 4р + 100 Логарифмические характеристики, соответствующие первым трем сомножителям, строятся сравнительно легко (рис. 309). При построении характеристики, соответствующей квадратному члену, исп; пользуются нормированные характеристики (рис. 308). При этом ш п = Ю и | => 0,2. Искомая характеристика получается суммированием ординат отдельных составляющих. Как было показано в § 2 гл. 12, передаточная функция неискажающей схемы определяется постоянным значением модуля в полосе пропускания Асо и линейной характеристикой аргумента в этой области. Такая передаточная функция нереализуемая, Рис. 309. Логарифмическая характепоэтому на практике при проектиристика к примеру 6 гл. 12. ровании электронных схем стремятся за счет соответствующего выбора параметров схемы максимально приблизиться к идеальным условиям. С этой целью вводят понятие о «максимально плоской» частотной характеристике схемы, при которой получается наилучшим произведение коэффициента передачи на полосу пропускания, т. е. максимальный коэффициент широкополосности схемы. Например, для схемы с передаточной функцией второго порядка (рис. 308) плоскостность характеристики зависит от коэффициента т. е. от расположения полюсов функции в комплексной плоскости. Из рис. 308 видно, что при £ — 1 (кратные действительные корни) отклонение составляет примерно —6 дб, а при | = 0,707, когда частотная характеристика не имеет еще резонансных выбросов, это отклонение составляет только — 3 дб. Случай при £ = 0,707 соответствует углам полюсов ± 4 5 ° , измеренным от отрицательно вещественной оси. Пользуясь формулой (12-33), можно показать, что при £ = 1 условная полоса пропускания схемы Дсо = согр = = 0,64со„, а при I = 0,707 Дсо = согр = со„. § 6. Аппроксимация частотных характеристик В общем случае А Ч Х реальной схемы на частотах со0, лежащих в середине полосы пропускания Дсо, можно аппроксимировать рядом Тейлора /С (со) = /С (со0) + Чем больше производных функции К (со) при со = со0 равны нулю, тем лучше эта функция аппроксимирует идеальную частотную характеристику схемы, постоянную в диапазоне частот Дсо. В качестве максимально плоской функции для аппроксимации А Ч Х иногда используют функцию ^ N где и = со„ = - 7 7 = ^ 1-п . У~1 +и- (12-61) нормированная ча- Рис. 310. Расположение полюсов максимально плоских передаточных функций: а — второго; б — третьего порядка. стота. Первые 2п — 1 производных этой функции равны нулю, т. е. она является аппроксимацией ступенчатой А Ч Х рядом Тейлора. Такой аппроксимации соответствуют передаточные функции, знаменатели которых выражаются через полиномы Баттерворта ОІР)==-рЬрГ (12'62) и полюса которых располагаются на единичном круге на равных расстояниях один от другого [14, 15]. Расположение полюсов для п = 2 и п = 3 показано на рис. 310. Коэффициенты и сомножители полиномов Баттерворта для п = = 1-И>, выраженные через нормированное значение комплексной частоты и, приведены в табл. 43. Как следует из таблицы, при четном п все полюсы максимально плоской функции комплексносопряженные, а при нечетном п имеется только один вещественный полюс. Интересно отметить, что максимальное отклонение асимптотической логарифмической характеристики от точной равно 3 дб и не зависит от порядка аппроксимирующей функции. Таблица 43 Полином Баттерворта р и ь(Р) 1 " + 1 2 «3 + 1 , 4 1 4 « + 1 3 ( и + 1 ) ( « 3 + « + 1) 4 ( « 1 + 0,7654« + 1) (и 3 + 1,8478« + 1) 5 (« + 1) (« 2 + 0,618« + 1) (и 3 + 1,618« + 1) 6 (« 3 + 0,5176« + 1) (« 3 + 1,414« + 1) (« 3 + 1,932« + 1) Аппроксимация типа (12-61) не является единственно возможной. Если передаточная функция схемы имеет нули и полюсы, то максимально плоская частотная характеристика определяется выражением У\ + аУ + а4»4 + •' • + а2т»:,2т (12-63) К ((о) = | С ( / ы ) | = V + ••• + Ь2пи2п Іш V, град -6 -п-90 \X Р и с . 311. Расположение полюсов специальных передаточных функций: а, б — с линейной фазовой характеристикой; о — с максимально плоской частотной и линейной фазовой характеристиками. где коэффициенты числителя и знаменателя взаимосвязаны. Функция (12-63) будет максимально плоской функцией Л^-го порядка, если соблюдается условие N. а 2 з = Ъ2ь при з = 1 , 2, (12-64) Если все а 25 = 0, то и Ь2э = 0, что соответствует функции (12-61). У максимально плоской функции М-го порядка степень знамена- теля правой части уравнения (12-63) должна быть не меньше 2 (ЛГ + 1). Фазовая характеристика схемы с максимально плоской амплитудной характеристикой отклоняется от линейной, а форма переходной характеристики может оказатьТаблица 44 ся неприемлемой, так как при приближении максимально плоской ха- Полиномы Чебышева рактеристики к идеальной выброс и время нарастания переходной харакп теристики увеличивается. Близкую к линейной фазовую характеристику можно получить, расйолагая по1 и люсы через равные отрезки на пря2 2и2 — 1 мой, параллельной оси /со (рис. 311, а). 3 4 и3 — 3 и Чем дальше эта прямая от оси /со, 2 4 8и4 — 8и + 1 тем меньше пульсация фазовой ха3 5 рактеристики (рис. 311, б). Преиму16и -- 20ц + 5« 5 щества максимально плоских характеристик можно совместить, располагая полюсы по окружности единичного радиуса но через равные отрезки ординаты (рис. 311, в). Д л я аппроксимации идеальной частотной характеристики схемы часто используют функции Чебышева, при этом 1 /С (ев) = | О (Іи) | = ]Л (12-65) + еС2п (и) Функция Сп(и) в выражении (12-65) представляет собой полином Чебышева соответствующей степени п (табл. 44). Как следует из выражения (12-65), значение амплитудно-частотной характеристики равно единице для тех значений и, а и Рис. 312. Аппроксимация частотной характеристики по Чебышеву: а — амплитудно-частотная характеристика; б — построение соответствующей карты полюсов функции. при которых Сп (и) = 0, и образом, вместо плоской г > • • , когда Сп (и) — ± 1 . У 1 +е частотной характеристики Таким получаем кривую равной пульсации (рис. 312, а), имеющую небольшие максимумы и минимумы. Заметим, что крутизна кривой избирательности при аппроксимации по Чебышеву выше (кривая 2, рис. 312, а). Д л я определения расположения полюсов при аппроксимации по Чебышеву удобно использовать следующее простое построение, основанное на том, что вещественные части полюсов при равной пульсации в сравнении с полюсами максимально плоской функции уменьшаются в Ш а раз [15], где (12-66) В левой полуплоскости нормированной комплексной частоты строят окружности с радиусами, равными единице и Ш а . На окружностях отмечают точки, соответствующие расположению полюсов максимально плоских функций, а из этих точек проводят горизонтальные и вертикальные прямые, на пересечении которых (на эллипсе) и расположены полюсы функции передачи, аппроксимированной по Чебышеву (рис. 312, б). Общая ширина полосы пропускания схемы остается такой же, как и при максимально плоской частотной характеристике. При анализе электронных схем получаемое для схемы общее выражение амплитудно-частотной характеристики К (со) сравнивается с выражениями (12-61), (12-63) и (12-65) и находятся условия, позволяющие свести или приблизить К (со) к одному из этих выражений. Задача синтеза состоит в проектировании отдельной схемы или каскадного соединения простых схем так, чтобы описывающее их распределение полюсов совпадало с распределением для максимально плоской функции или функции равной пульсации. Например, при проектировании полосовых усилителей для достижения большей избирательности характеристики применяются звенья с парой (.п — 4) или тройкой (п — 6) взаимно расстроенных контуров. При большой расстройке этих контуров АЧХ полосового усилителя принимает горбовидную форму. При этом из-за смещения полюсов вправо (рис. 312, б) сужаются полосы пропускания отдельных звеньев, характеризующихся парой комплексно-сопряженных полюсов, хотя общая ширина полосы пропускания усилителя Дсо сохраняется прежней. В результате при том же коэффициенте добротности можно поднять усиление отдельного звена, а значит, повысить общий показатель качества схемы. Чем больше допустимая величина пульсации частотной характеристики е, тем меньше а, тем больше выигрыш в увеличении показателя качества схемы, гак как полосы пропускания звеньев уменьшаются пропорционально Ш а . Тот же результат при заданной пульсации, как следует из (12-66), получается за счет увеличения п, т. е. увеличения числа звеньев в схеме. § 7. Связь между частотными и фазовыми характеристиками Различают схемные функции фазо-минимальные и фазо-неминимальные. К фазо-неминимальным относят передаточные функции, имеющие нули в правой комплексной полуплоскости. Например, на рис. 313, а, б показаны частотные и фазовые характеристики фазо-минимальной и фазо-неминимальной схем, полученные векторным способом по передаточным функциям р+ GAP) -а ь „и Г.С 2 (гЛ (р) _ = Р ~ ь Р+а -о Kas % f(m), град <Є(ш),гра9 к / 1 '\ 1 1 1 1 1 1 90 \ і Рис. 313. Сравнение частотных характеристик схемных функций первого порядка: а — фазо-минимальных; б — фазо-неминимальных. При этом амплитудно-частотные характеристики сравниваемых схем совпадают и определяются выражением ^ ' /со 2 + а* а фазо-частотные, определяемые из общего выражения Ф (со) = существенно Ф , (со) = Ф2(со) = р — а, отличаются: arctg- а г ^ у - — arctg ; со • arctg — = 180° — arctg I T со arctg — . Д л я фазо-минимальной схемной функции фх = 0 при со = 0, так как полюс и нуль лежат в левой полуплоскости; для фазонеминимальной схемной функции ф 2 = 180° при со = 0 из-за нуля в правой полуплоскости. Обе фазовые характеристики стремятся к нулю, когда со ->- оо. Так как фазовый сдвиг, реализуемый в первом случае, меньше по величине, то схемная функция называется фазо-минимальной. Схемные функции с фазо-неминимальными характеристиками встречаются в теории электрических фильтров, например, они характерны для схем «скрещенного» типа (рис. 314, а). На основе фазо-неминимальных схем могут быть построены цепи, пропускающие одинаково все частоты. Если в предыдущем примере положить а = Ь, то амплитудно-частотная характеристика схемы будет постоянной в диапазоне изменения со. Обобщая этот случай, приходим к заключению, что полюсы и нули схемы, пропускающей все частоты, равны по величине и противоположны по знаку У, X > -6 Рис. 314. Схемы, пропускающие все частоты: а — схема скрещенного типа) 6 — карта нулей и полюсов. (рис. 314, б). Если число нулей в правой полуплоскости нечетное, то начальный фазовый сдвиг в схеме равен 180°. Обычные электронные устройства имеют фазо-минимальные характеристики, для которых существует определенная однозначная связь между частотной и фазовой характеристиками. Это означает, что нельзя в отличие от схемы, пропускающей все частоты, изменять ход фазовой характеристики, не видоизменяя амплитудночастотную характеристику и наоборот. Одна из теорем, связывающих частотные характеристики схемной функции, формулируется так: площадь под фазовой кривой пропорциональна разности коэффициента усиления на бесконечно больших и нулевых частотах, т. е. J ф(<а)Ло = А[/С(оо) —/С(0)]. (12-67) Эта теорема иллюстрируется рис. 315, а, б, в для схемных функций соответственно с запаздыванием, с опережением по фазе и запаздывающе-опережающей характеристикой. Аналитические соотношения между К (©) и ф (со) имеются лишь для простейших схемных функций первого порядка типа И О 2 ( Р ) = Р р+ а Воспользовавшись функциями (12-23) и (12-24), получим 77» = Т7г=, / Г + Т/ - Т І І Р = с о з Ф ; (12-68) У ' + Ш (О а к г н - 2 і М т Ф) (ф - 90°) /і+[-і8(ф-90°)1« = віп (90° — ф). (12-69) В общем случае фазовый сдвиг град схемной функции на данной частоте сос находят по наклону ее амплитудно-частотной характеристики оо Ф(<0 С ) = І | (12-70) ти/ 5 3 2 1 О -46 О •2,3 ОМ Г а — с отставанием по фазе; б — с опережением по фазе; в — с запаздывающе-опережающей характеристикой. (!) С 2.3 и- 10шс <!)- Рис. 316. График функции веса Р и с . 315. Амплитудно- и фазо-частотные характеристики схемных функций: 1 со где и = 1п и>с (и). нормированная частота; — наклон Л Ч Х , построенный в функции от и; № (и) — функция веса, — И7(ы) = 1 п с Ш - | - = 1п построенная на рис. 316. € —1 = Шс со С0с + 1 (12-71) і При нормировании частоты наклону ЛАХ, равному ± 2 0 « дб/дек, йК(и) наклон нормированном характеристики — - , соответствует равный ± « . Изменение частоты ш на декаду соответствует изменению нормированной частоты на ± 2 , 3 . Как следует из выражения (12-70), на фазовый сдвиг при частоте (ос существенно влияет наклон частотной характеристики в ближайших к сос точках. Для примера рассмотрим схему с передаточной 4 функцией й (р) = — Р > логарифмическая нормированная частотная характеристика которой имеет постоянный наклон —г-*- = —1. В соответствии с выражением (12-70) 100шс 0,1 щ ное выражение 1п сіЬ -г- йи. <р(со)с = - 4 т - и Рис. 317. К определению фазового сдвига в схеме по Л Ч Х . Известно, что входящий в полученл2 определенный интеграл р а в е н - у , поэтому л ФК) = 2" ' Вычисления фазового сдвига по формуле (12-70) для схем с передаточными функциями типов 0(Р)= {р*Ь)П и 0(р) = А(р + а)п существенно упрощаются, если положить, что в окрестностях рассматриваемой точки частотной характеристики ее наклон можно принять постоянным. Размеры учитываемой окрестности определяются протяженностью участка пересечения графика функции веса № (и) и кривой наклона Л Ч Х (рис. 317). Чем больше показатель «, т. е. круче наклон Л Ч Х , тем меньше исследуемая окрестность. При сделанном допущении выражение (12-70) приводится к ф(«) с <1К (и) 4 ёи = <ІК (и) сій Если от нормированной частоты перейти к обычной с!К ( ю ) Ли , . Л [рад], Ф К ) ~ V (12-72) 1 20 где наклон Л Ч Х гісо выражен в дб/дек. (12-73) Упрощенное выражение (12-73) непригодно для схем, J14X которых имеют резонансные выбросы в непосредственной близости от рассматриваемой точки сос. В § 4 было показано, что для схемных функций второго порядка на резонансной частоте сот фазовый сдвиг ср = —90°. Если же пользоваться формулой (12-73), то при со0 = сот ~ = 0 и ср = 0. Наклон Л Ч Х схемы до точки резонанса положительный, после нее — отрицательный, поэтому, распространяя условие постоянства наклона Л Ч Х на всю область интегрирования в выражении (12-70), получим соответственно положительные и отрицательные фазовые сдвиги слева и справа от com, в то время как в действительности фа зовая характеристика рассматриваемой схемной функции отрицательна (рис. 308, б). Следовательно, справедливость выражения (12-73) ограничена диапазоном частот, намного меньших или намного больших граничных или резонансных. В общем же случае необходимо пользоваться выражением (12-70) и определять ср (со) графическим интегрированием. § 8, Связь между частотными и переходными характеристиками Частотные и временные характеристики описывают одну и ту ж е схемную функцию и, как было показано выше, могут быть определены по ее карте нулей и полюсов, поэтому между ними имеется определенная связь. Аппроксимируя логарифмическую частотную характеристику схемы асимптотическими отрезками, можно вычислить расположение полюсов и нулей функции, по которому переходной процесс определяется обычным способом. Переходную характеристику схемы можно построить по ее частотной характеристике и без промежуточного определения передаточной функции, расположения ее карты нулей и полюсов. Согласно выражению (1-44) импульсная характеристика схемы связана с частотной передаточной функцией следующим образом: [ G(/co) е'ш!с)ю, (12-74) —оо при этом интеграл для устойчивых схем сходится и g(t) = 0 при / < 0, (12-75) так как реакция схемы на воздействие не может появиться раньше него. Но G (/со) = К И el* «*> = Кя (со) + jK\ (со), где /CR (А») = /С (а>) cos ф (oi); j (12-76) К\ (со) = К (со) sin ф (со). I Учитывая формулу (12-76), запишем выражение (12-74) в виде 1 I" К. (со) {cos (0* COS ф (со) — sin СО^ sin ф (со)} da = £•(/)=-— о = 1 00 Я 1 ^ C0S a t ~ ^ sin d(0 ' (12-77) 0 Заменяя в (12-77) t на — t , на основании условия (12-75) получим 00 О = - 1i - j [ K R (со) cos at + K\ (со) sin со^] dco. (12-78) Складывая и вычитая равенства (12-77) и (12-78), находим 2 g ( t ) = - % - j KR И cos atda\ о 2 ^ g (t) = — I /(i (to) sin co/dco. (12-79) Из сравнения выражений (12-79) видна двойственность этих преобразований и однозначность связи частотной и импульсной характеристик схемы. Используя выражение (12-79), получаем переходную характеристику схемы h (t) = j g (т) dr = — j KR (СО) j" cos axdxda о o o KR(a>) я ) sin atda. (12-80) Существует несколько методов получения с помощью выражения (12-80) приближенной картины переходного процесса, основанных на разных видах аппроксимации действительной части частотной характеристики схемы /Си (со). Наиболее известен метод трапецеидальных частотных характеристик В. В. Солодовникова, при котором функция К я (со) представляется суммой нескольких трапецеидальных кривых, выбираемых с таким расчетом, чтобы сумма ординат трапеций равнялась ординате вещественной частотной характеристики К я (со): Кк(со) = 2 г(.(со). (12-81) Каждая трапеция должна иметь типовой вид, показанный на рис. 318, тогда она полностью определяется тремя числами: часто- той среза со„, коэффициентом наклона X со „ и высотой г0. При этом Г. (<о) = го, (0 < со < cod); to П •to (co < со < co„); г01 (On — COrf d О Подстановкой суммы (12-81) в (12-80) нахождение к (?) сводится к суммированию табличных функций (12-82) (co„ < со). пм оо п (со) sin co/dco. h, иIn w (12-83) Рис. 318. Аппроксимирующая цеидальная функция. трапе- Подставляя в (12-83) формулу (12-82), получим 2гп sin со/ м о =- 0) п dco + Г J — to cod sin to/ to dco откуда 2rn MO Si (cod/) + (ГГГ^Г. |Si (a>„/) — Si (<od01 + co„ • I — ( - COS COn/ •— COS tOrf/ (12-84) где Si — обозначение интегрального синуса. Д л я вычисления значений функций Л, (t) вводятся единичные трапецеидальные частотные характеристики, у которых r0i = 1, со„ = 1, а X изменяется от 0 до 1. В этом случае К (/о) = 4 {51 ( х д - 1 / j ч о- /Л/J ч, , COS In • cos Xtn л - т ± т [5! ( д — а (х/0)] + (12-85) Табличная функция /гх(?0) приводится для различных коэффициентов наклона 0 < х < 1, причем допускается интерполяция, если X лежит между двумя табличными значениями [17]. Чтобы найти /г,- (/), соответствующую трапецеидальной характеристике с параметрами г01, со„ и X по табличной функции 1гх (/„) с тем же коэффициентом наклона X, необходимо увеличить ординаты функции /гх (10) в г01 раз, а значения аргумента /„> приведенные в таблице, разделить на со„. Найдя таким способом все составляющую переходной характеристики и суммируя их, получим ную картину переходного процесса приближен- Л(0 = 2 М О г=1 Можно действительную зависимость Кя (со) аппроксимировать также прямоугольными или треугольными составляющими, при этом объем табличного материала существенно сокращается. Во многих случаях практически важен не точный ход переходных и частотных характеристик, а соотношения между описывающими их параметрами: временем нарастания t н и выбросом переходной характеристики, с одной стороны, и полосой пропускания До и резонансным подъемом Км частотной характеристики схемы, с другой. Д л я схемных функций первого и второго порядков такие соотношения могут быть получены на основе приведенных выше расчетных выражений. Для схемы с передаточной функцией первого порядка в (р) = ~ — время нарастания в соответствии с выраже- нием (11-51) _ /2л _ 2,5 ~~ а ~ ~аГ ' а полоса пропускания, определяемая верхней граничной частотой, Дсо = (шв)гр = а . Решая совместно полученные выражения, находим / _ 2,5 _ 2.5 _ 0,4 Если пользоваться практическим определением времени нарастания выходной реакции между уровнями 0,1 и 0,9 установившегося значения, то . 2,2 = —— . и /„ 0,35 /в ' Таким образом, в рассматриваемой схеме более быстрому переходному процессу соответствует более широкая частотная характеристика. В случае многоступенного соединения нескольких звеньев первого порядка соотношения (12-85) и (12-86) изменяются. Для простейшего случая одинаковых п звеньев согласно формуле суммирования времени нарастания (11-55) tun = tH У П. С другой стороны, определяя полосу пропускания на уровне 0,707 для л-ступенного соединения с суммарной частотной характери- стикои К( С0) = 2 +1 к нетрудно показать, что Лео* = сов„ = а У П / 2 - 1 , (12-87) где До = а — полоса на уровне 0,707 для одного звена первого порядка. На основании выражений (11-55) и (12-87) получим для пступенного соединения звеньев первого порядка вместо (12-86) и / в . = 0,35 К п ( 7 2 - 1 ) . (12-88) 1/ п Можно показать, что при п > 2 множитель V п(У2 — 1) меняется сравнительно медленно, поэтому с достаточной точностью можно положить ^нл/вп ~ 0,3. Аналогично можно сравнить переходную и частотную характеристики схемных функций второго порядка. Согласно выражений (11-92) и (11-97) выброс и время нарастания переходной характеристики определяются из соотношений —"і у = ЮОе = _ і _ е0 Е ; • агсад £ в = _!_ е ^ 1-ї' Сдругой стороны, в соответствии с выражениями (12-33) и (12-32) полоса пропускания и резонансный подъем частотной характеристики схемы согр = < о „ ] Л - + 7 2 - 4£2 + 4 | 4 и Соотношения между параметрами у, соГр и Км нелинейные, зависящие от коэффициента относительного затухания Чем меньше тем больше выброс у и подъем частотной характеристики КмПри этом выброс переходной характеристики 7 всегда возникает при | < 1, а резонансный подъем лишь при | < 0,707. Сравнивая зависимости (оГр и от собственной частоты со„, находим, что и в данном случае с увеличением полосы пропускания уменьшается время нарастания переходной характеристики. Это положение справедливо для схем любого порядка. Пример 7. Найти верхние граничные частоты трехступенного /?С-усилителя на пентодах и каждого звена в отдельности, если известно, что время нарастания переходных характеристик усилительных звеньев соответственно: <„, = 1 мксек, <Н2 == 2 мксек, /]13 = 3 мксек. Выполнение усилительных звеньев на пентодах подразумевает тот факт, что частотные свойства отдельного звена практически не изменяются, если оно рассматриваетея изолированно или в соединении с другими звеньями. Д л я решения поставленной задачи можно воспользоваться формулами (11-55) и (12-88). Так как = & + 4 то + / = / 1 + 4 + 9 = 3,75 мксек. Поэтому /в п = 0,35 У 3 ( 1 ^ 2 — 1 ) 3,75. 10_б « 83 • 10' гц. Следовательно, полоса пропускания всего усилителя ограничена сверху частотой 83 кгц, а граничные частоты отдельных звеньев, вычисленные по формуле (12-86), составляют 350, 175 и 117 кгц соответственно. Глава 13 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СХЕМЫ § 1. Условия устойчивости линейной схемы Вторичные параметры и характеристики схемы могут быть улучшены при рациональном использовании обратной связи. В электронных схемах отрицательная обратная связь на частоте сигнала используется для стабилизации усиления, уменьшения уровня шумов и нелинейных искажений, повышения входного и уменьшения выходного сопротивлений, расширения полосы пропускания. Положительная обратная связь в основном используется в схемах регенеративных усилителей и автогенераторов. Контуры обратной связи могут охватывать как отдельные звенья, так и всю схему в целом. Большинство схем с обратной связью можно классифицировать в соответствии с регулярным соединением четырехполюсников, если собственно первичную схему и звено обратной связи заменить эквивалентными четырехполюсниками. При одноканальной обратной связи между выходом и входом схемы возможны следующие типы обратной связи: параллельная (рис. 319, а), параллельно-последовательная (рис. 319, б), последовательно-параллельная (рис. 319, в) и последовательная (рис. 319, г). Каждый тип обратно« связи можно анализировать при помощи любых эквивалентных параметров для слабых сигналов, но наиболее удобно д л я данного регулярного соединения использовать соответствующие параметры эквивалентного четырехполюсника у, г, (I, I. Сложные, многоканальные схемы обратной связи являются комбинацией четырех основных схем, поэтому свойства сложных схем а б в Рис. 319. Схемы с обратной связью: а — параллельной; б — параллельно-последовательной; лельной; г — последовательной. последовательно-парал- определяются суперпозицией свойств основных типов обратной связи. На практике широко используются схемы с непосредственной обратной связью, приведенные в табл. 45. Д л я подачи обратной связи также могут быть использованы трансформаторы, включенные в схему. При этом видоизменяется матрица эквивалентных параметров четырехполюсника контура обратной связи [18]. Д л я схемы с обратной связью Рис. 320. Схема определения возхарактерно то, что какая-то часть вратной разности и возвратного отвыходного сигнала с выхода схе- ношения. мы через звено обратной связи, в большинстве случаев состоящее лишь из пассивных элементов, снова попадает на ее вход. При этом предполагается, что в схеме имеются активные элементы второй группы (лампы и транзисторы), управляющие сигналы которых (£/ск д л я лампы и и в э для транзистора) изменяются под действием сигналов обратной связи. Величину и тип обратной связи удобно характеризовать с помощью таких параметров, как возвратное отношение Т и возвратная разность ^ [4]. Если разорвать провода, соединяющие звено Р (р) со входом основной схемы в (р) (рис. 320) и присоединить ко входу схемы генератор напряжения Е, то в точках а'—а' появится возвратное напряжение Ит. При этом возвратное отношение ит Т = (13-1) Параметр Т можно записать в следующем виде: Т = Ие [Г] + 1 1 т [Т] = | Т | е'4» = | Т | (соэф + / эш ф), (13-2) г д е | Г | — модуль возвратного отношения; Ф — угол между векторами возвратного и входного сигналов. •а Її + X + X + s 2. N + о- ; + ' '"к N + N + «оN + - | N + X + + N + N + 5 + о- —- «•а 0 1 о- N + N + е- і, N + + N X — N N + s + N 5» N + _ II о- NT N + +в X о+ I Если ф = 0°, параметр Т имеет положительный знак; если ф = = 180° —отрицательный. Возвратное отношение Т можно измерять при разрыве контура обратной связи не только на входе схемы G (р), но и на ее выходе, а также в любом другом месте обратной связи. При этом выход контура необходимо нагрузить на двухполюсник с сопротивлением, равным сопротивлению входа контура, как это сделано на рис. 320. Отношение разности между поданным и возвратным напряжениями к поданному в разрыв контура обратной связи называют возвратной разностью F= E LT ~' с = 1 —Т. (13-3) Обратную связь называют отрицательной, если \ F \ > 1, и положительной, если | F | < 1. Подставляя выражение (13-2) в (13-3), находим |F| = V \ \ — | Г 1 cos ф| 2 + [ | Г | sin ф]2 = | / 1 — 2 | 7 | cos <p + | T |2. (13-4) Из формулы (13-4) следует, что \F\ > 1, если \Т\ > 2созф, 1 П 3 5) \F\ < 1, если | Т | < 2созф. ] При | Т\ = 2 cos ф I/ 7 ! = 1 и обратная связь является нейтральной. В большинстве схем, применяемых на практике, обратная связь в рабочей полосе пропускания принимается как вещественная, когда начальный фазовый сдвиг по петле обратной связи ф составляет 180 или 0°, поэтому выражение (13-3) приводится к F**l±T. (13-6) З н а к « + » в выражении (13-6) соответствует вещественной отрицательной обратной связи; знак «—» — вещественной положительной обратной связи. Как следует из рис. 320, возвратное отношение определяется усилением по контуру обратной связи, т. е. произведением передаточных функций звеньев G (р) И Р (р) Г = 0(р).р(р). (13-7) Однако на практике при попытке раздельного рассмотрения частей схемы с передаточными функциями G (р) и Р (р) встречаются определенные трудности. Например, для нахождения точной величины G (р) необходимо учитывать входное сопротивление Р-схемы и, наоборот, в результате почти каждый элемент схемы в некоторой степени влияет на передачу сигнала в прямом и обратном направлениях. В этих случаях удобно сводить схему с обратной связью к эквивалентному четырехполюснику, параметр v 12 которого и будет характеризовать величину обратной связи. Если составить матрицу нагруженного четырехполюсника с учетом источника сигнала г и и нагрузки [V] = иммитансов 12 + ^22 + то возвратное отношение Т = К п К п = АЗІ У12У21 ПЗ-8) А2а (V!! + УИ) (У2г + У„) Здесь матрица иммитансов [V] обобщает матричные формы активного четырехполюсника [г], [у], [сЛ и [/]. Возвратная разность Р в соответствии с выражением (13-3) АіАі _ (Уц + Уи) (Угз + Ун) — УїзУаі Р= 1 = (13-9) АЦА22 ( У п + Уи) (У22 + Ун) где Д - - определитель [V] матрицы нагруженного четырехполюсника; До - определитель матрицы однонаправленного четырехполюсника, у которого г 1 2 = 0 (отсутствует обратная связь) или у 21 = 0 (схема не пропускает энергии слева направо ввиду отключения активных элементов). Величины Р и Т зависят, как это следует из выражений (13-8) и (13-9), от нагрузок V,, и присоединенных ко входу и выходу четырехполюсника. Следует заметить, что определитель Д° иногда вычисляют при условиях, отличных от принятых выше. Так, вместо обращения в нуль какого-либо взаимного иммитанса схемы (у 12 или V,;!), а также его части, при определении Д° «гасят» управляемый генератор тока или напряжения в схеме замещения активного четырехполюсника, что соответствует условию выбора V,, — = 0. Последний случай соответствует общему подходу к Д° как к определителю матрицы параметров заведомо устойчивой схемы. Любая пассивная схема устойчива, а определитель ее матрицы симметричный. Поэтому в матрице М выделяют симметричную и несимметричную части [VI = v n + V,, V 12 +^ 12 + о 22 + 21 ^22 + "12 21 12 и находят условие равенства нулю несимметричной части матрицы, Т. е. \?21 — \>12 = 0. Целесообразность выбора способа вычисления Д°, особенно в сложных схемах, определяется структурой самой схемы и постановкой задачи исследования. Д л я широкого класса схем с одноканальными обратными связями, образованными пассивными двухполюсниками (табл. 45), обычно при определении Д° полагают у 12 = 0. Это обстоятельство позволяет ввести понятия схемы без обратной связи и схемы с обратной связью и найти четкую взаимосвязь между вторичными параметрами таких схем. Д л я схем с прак- тически неразделяемыми элементами прямой и обратной передач или многоканальной обратной связью введенные понятия теряют силу, поэтому такие схемы анализируются в целом, а при определении возвратной разности используемой при исследовании их устойчивости, удобно применять метод разделения матрицы на симметричную и несимметричную части. Предположим, что сложная схема содержит п управляемых активных элементов и ее укороченная матрица (проводимости или сопротивления) с учетом нагрузок имеет вид п V "тп- + ... £ ... в ... і - "тк + У і V + V« V V - V , / + V,, - "п » • • "п Здесь v i | — иммитансы параметров элементов схемы; (13-10) V, — управляющий иммитанс 1-го активного зависимого элемента (5 для лампы; g, g21 или гт для транзистора). В соответствии о формулой (13-9) возвратная разность схемы где А0 — определитель симметричной части матрицы схемы, у которой все управляющие иммитансы ..., \ п ) равны нулю. Определитель Д можно выразить в явном виде через п управляющих иммитансов, воспользовавшись формулой об определителе суммы двух матриц [14], одна из которых состоит из иммитансов параметров схемы, а вторая из управляющих иммитансов активных элементов. На основании этой формулы определитель матрицы схемы выразим сначала через управляющий иммитанс находящийся на пересечении 1-й и т-й строк «-го и А-го столбцов определителя А = А^=° + V, (ДУГ 0 - А Г ° - А Г ° + Д Г ° ) = А У '=° + , , Л У,=0 д , + V! |Д/ (п+к) — (п+«1 = а = Ау'=0 + «„+*> = ( 1 + V, 'г+т: ), (13-11) где А г ' ,=0 — определитель, содержащий все элементы матрицы схемы, кроме параметра V!; Аи+ш) (п+к)—его суммарное алгебраическое дополнение, получающееся из в результате прибавления 1-й строки к т-й строке, п-го столбца к к-му столбцу и умножением полученного таким образом определителя, порядок которого на единицу меньше, на множитель (—\) 1 + п ( § 5 гл. 3). Выразим определитель А у , = 0 , стоящий перед скобками в выражении (13-11), через управляющий иммитанс второго активного элемента, находящегося на пересечении г-й и ии-й строк и 1-го и /-го столбцов определителя дГ,=0 С+т) (п+к) v = [А 1 + (£+/)] 1 Д + + V! ) ' (13-12) где Д г ' = г г = 0 — определитель, содержащий все элементы матрицы схемы, кроме управляющих параметров v1 и v 2 , которые приравниваются нулю; — его суммарное алгебраическое дополнение. Поступая аналогично, выразим определитель д ч ' , - у ' , ~ 0 в явном виде через управляющие иммитансы активных элементов от до Уп \ / д^, —V«—О а а (1+т) 1 + ^ (п+к) \ / , , (г+ш) ), (1 + 1) (13-13) где ДО = ДУ.=У.= ---=У„=0 Возвратную разность сложной схемы с п активными элементами можно определить следующей формулой: VI— • • • ^ = (13-14) к=\ где ак, $к, ск, йк — индексы, указывающие соответственно строки и столбцы определителя матрицы схемы, на пересечении которых находится \ к управляющий параметр. Это выражение нельзя представить в виде разности, состоящей из единицы и некоторой передаточной функции Т-схемы, которая в принципе могла бы быть найдена опытным путем. Но каждая частная разность Р к может быть вычислена по формуле ( 1 3 - 1 4 ) , которая по записи напоминает формулу Мэзона для определителя графа сложной схемы (10-37). Однако определитель матрицы проводимости или сопротивления схемы не совпадает с определителем графа и число активных элементов схемы не соответствует числу петель обратной связи графа. Передаточная функция сложной схемы с многоканальной обратной связью, содержащей п активных элементов, определяется в соответствии с формулами (3-41) и (3-57) КЕ = У и - ~ , или = (13-15) в зависимости от применения при анализе обобщенного метода узловых напряжений или контурных токов. Когда сложная схема содержит явно выраженные петли обратной связи (например, система автоматического регулирования), возвратная разность Р и коэффициент передачи КЕ схемы с многоканальной обратной связью могут определяться на основании теоремы Мэзона (10-20). Д л я частных случаев, когда в сложной схеме имеются только однотипные обратные связи, например, параллельные или последовательные, определитель нагруженной схемы можно разложить не по управляющим параметрам активных элементов, а по иммитансам пассивных элементов \ ц , образующих эти связи. Устранение всех элементов обратной связи из схемы (Уц = 0 для разомкнутых параллельных обратных связей, = 0 для включенных последовательных обратных связей) приводит к устойчивой первичной схеме с определителем А 0 . Возвратная разность схемы в этом случае определяется по формуле, аналогичной (13-14). Полюса передаточной функции схемы КЕ (13-15) с одноканальной или многоканальной обратной связью определяются корнями характеристического уравнения схемы, совпадающего с определителем матрицы схемы, включающей иммитансы нагрузки и источника сигнала, А(р) = В(р) = 0. (13-16) Характеристическое уравнение схемы с обратной связью может иметь самое различное сочетание значений корней, но схема будет устойчивой (переходный процесс в ней будет затухающим), если все вещественные корни и все вещественные части комплексных корней характеристического уравнения этой схемы в замкнутом состоянии будут отрицательными, т. е. схема будет устойчивой, если характеристическое уравнение схемы в замкнутом состоянии 1/2' 171-837 513 не имеет корней в правой полуплоскости. Определитель схемы Д (р) согласно формуле (13-9) выражается через возвратную разность / \ поэтому характеристическое уравнение схемы т а к ж е записывается в виде /=•(/») = 0, (13-17) где Д° Ф 0. При анализе устойчивости схемы определяют расположение корней функции Т7 в комплексной плоскости. Сформулированное условие устойчивости для линейных систем справедливо как для малых, так и для больших возмущений. Д л я нелинейных систем, которые исследуются с помощью линеаризованных уравнений, условие устойчивости справедливо лишь для малых возмущений. Таким образом, задача исследования устойчивости схемы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения схемы с обратной связью или к установлению расположения этих корней на комплексной плоскости. Знаки корней можно определить при решении характеристического уравнения замкнутой схемы. Но решение уравнений 4-й и более высокой степеней затруднительно. На практике часто применяются косвенные методы анализа схем на устойчивость, которые дают ответ об устойчивости схемы без определения корней характеристического уравнения. Такие методы называются критериями устойчивости. В настоящее время разработано много различных форм критериев устойчивости. С математической точки зрения все эти формы эквивалентны положению о том, что все корни характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости. Однако при решении конкретных задач целесообразно выбрать тот критерий устойчивости, который позволяет провести исследование наиболее простым путем. § 2. Характеристики схем с обратной связью В теории схем с обратной связью возвратная разность играет первостепенную роль. Например, при одноканальной обратной связи влияние обратной связи на коэффициент усиления, входное и выходное сопротивления, стабильность параметров замкнутой схемы непосредственно выражается через параметр / \ Передаточную функцию замкнутой схемы № (р) в общем случае следует находить по формуле коэффициента усиления напряжения источника сигнала КЕ, так как обратная связь может существенно изменить входное сопротивление замкнутой схемы. На основании формул табл. 12 находим = (13-18) где А — определитель матрицы нагруженного четырехполюсника; А, 2 — алгебраическое дополнение элемента г 12 матрицы; р — параметр, зависящий от системы используемых параметров четырехполюсника: для системы «/-параметров р = У и , для г-параметров р = для ^-параметров р = 1 , для /-параметров р = гиг„. Если определить передаточную функцию основной схемы по формуле (13-18) в предположении, что элемент обратной связи У12 отсутствует, то (13'19) Поэтому связь между № (р) и б (р) в общем случае можно записать Г (р) = О (р) = -Ш-т, (13-20) 12 где т Л»2 Значения коэффициента т, характеризующего непосредственную передачу сигнала на выход через пассивный элемент обратной связи, для основных схем одноконтурной обратной связи приведены в табл. 45. Так как коэффициент т в практическом диапазоне обратной связи достаточно близок к единице, то (13-21) Отрицательная обратная связь (I/ 7 ! > 1) уменьшает, а положительная обратная связь (| < 1) увеличивает коэффициент передачи замкнутой схемы. При использовании эквивалентных проводимостей Д П 7 („\ - Уи °<Р> - \ ±Т ~ 12 Д0 — УиУг, _ _Д_ Ун) упуп (Уи + Уи + Ки) ( у « + , ± Ао уи (Уп + ^ и ) (г/ 22 + К» Уи 1 ± КиКп К„) (13-22) ' Так как обычно лампа имеет высокое входное сопротивление, т. е. уп » 0, то для анализа ламповых схем выражение (13-22) приводится к известному виду ^ > = - П т а Г = 1± ш а (р) • <13"23> Для транзисторных схем, где условие К и уп практически не соблюдается, необходимо учитывать влияние обратной связи на распределение токов как в схеме с /С1а = О (р), так и в источнике сигнала, и пользоваться выражением (13-22). V» 17* 515 Влияние обратной связи на величину входного сопротивления схемы можно оценить, пользуясь выражениями (7-93), (7-94) и (8-19), (8-20). Для схемы, охваченной последовательной обратной связью по току, р __ + Z BX.C Z„ + ZBX • Zn.e = FZ„ + Z4(F — 1); для схемы с параллельной обратной связью по напряжению р _ ^и + ^вх.с к„ + к в х • Здесь Z„ и К и — соответственно сопротивление и проводимость источника сигналов; ZBX и У вх — входное сопротивление и проводимость схемы без обратной связи. Приведенные выражения легко могут быть доказаны в общем виде. Формулы, характеризующие влияние обратной связи на выходные сопротивления ZBbIX или проводимость УВЬ]Х схемы, аналогичны приведенным. Заменяя сопротивление источника сигналов Z H (проводимость Уи) на сопротивление нагрузки схемы ZH (или проводимость F H ), запишем для схемы с последовательной обратной связью Zbhx.C = FZ.m -(- ZH (F 1); для схемы с параллельной обратной связью ^вых.с = / Т . ы , -f- F H (F 1). Из приведенных выражений, в частности, следуют такие выводы: 1. Положительная связь по т о к у О / 7 ^ 1) и отрицательная связь по напряжению (| F \ > 1) уменьшают по модулю входное сопротивление схемы Z BXC . 2. Отрицательная связь по току (l/ 7 ! > 1) и положительная связь по напряжению (| F | < 1) увеличивают по модулю входное сопротивление ZBX.C. Приведенные выражения удобны для приближенных расчетов схем с обратной связью на низких частотах, когда исходными данными служат параметры схемы без обратной связи. Пример 1 В усилительном звене на транзисторе П 1 5 ( | 5 = 19) с общим эмиттером, рассмотренном в примере 8 гл. 7, к эмиттеру подсоединяется нешунтируемое емкостью сопротивление Rэ = 500 ом. Сопротивление источника сигнала Rи = 2 ком, а сопротивление нагрузки Rн= 2,5 ком. Определить, как изменится при этом коэффициент усиления по напряжению схемы на низких частотах. Входное сопротивление усилительного звена без последовательной обратной связи в соответствии с формулой (7-75) и учетом данных примера 8 гл. 7 Явх = 'б + 'вэ = 150 + 1б7 ' 10_3 = 750 сш. При этом коэффициент усиления по напряжению к - - 1 " Входное сопротивление звена с последовательной обратной связью находим по формуле полученной в примере 10 гл. 7. Подставляя числовые данные, находим Явх.с = 750 + 500 Ü + 19 ) = 10 -75 • 103 ом • ' ' Возвратная разность схемы ^и + ^вх.с 2+10,75 * и + *вх 2 + 0,75 _ Поэтому в соответствии с формулой (13-21) усиление схемы с обратной связью W — К ЕР G 16,7 = — = — — F 4,64 = 3,6. Обратная связь влияет на стабильность коэффициента усиления по напряжению и другие вторичные параметры схемы. Предположим, что из-за изменений напряжения питания (или других дестабилизирующих факторов) коэффициент усиления схемы без обратной связи Gx изменяется на А G, принимая новое значение G., = G, — AG, а коэффициент усиления схемы с обратной связью tt^ при тех же условиях изменяется на AW, принимая новое значение W?j = Wy — АW. Найдем соотношение между изменениями усиления AG и AW. Пользуясь формулой (13-21), запишем Ай7 = ^ - Г2 = 4 C lF ' l ~ r G'lFl • = (13-24) Но согласно выражениям (13-3) и (13-7) Ft = 1 - 7 \ = 1 - 0 ^ ; (13-25) F,= 1 - Т 2 = 1 —G a ß, так как коэффициент передачи звена обратной связи ß, состоящего из пассивных элементов, является величиной постоянной. Подставл я я соотношения (13-25) в выражение (13-24), получим _ ~ Gt - GtG2ß - G 2 + G]G 2 ß _ - F,F2 G, w i AG f,F2 _ - AG G, F,F2 • Gl - ' Ft откуда AW AG 1 G, ^ ' (13-26) лам При малых приращениях усиления переходим к дифференциалам dW W »/„+17 1-837 ~ dG 1 G F7' (13-27) 517 Следовательно, отрицательная обратная связь ( \ Р \ > 1) повышает стабильность параметров усилителя, а положительная ( | У71 < 1) — уменьшает. Пример 2. Усилительный каскад без обратной связи имеет коэффициент усиления, который в результате колебаний напряжения источника питания изменяется на 4 0 % . При включении цепи обратной отрицательной связи усиление каскада Щ = К 0 с = 100, причем из-за колебаний напряжения питания оно падает до значения № 2 = К 0 с м н н = 99. Найти начальное значение коэффициента усиления усилительного каскада без обратной связи. Пользуясь формулой (13-26) и подставляя значения ЬУР/УРх = 0,01 и ^ =» = 0,4, заданные условиями задачи, находим возвратную разность усилительного каскада, работающего в измененных условиях, р 2 -_ А 0 • О, ^ № - °-4 0,01 --40 Следовательно, коэффициент усиления каскада без обратной связи в измененных условиях К , = 02 = = 40 • 99 = 3960. Полученное значение составляет 60% от искомого начального значения коэффициента усиления, т. е. 3960 6600 = —л1Г" ' О,О = = При использовании формулы (13-27), как это часто бывает на практике, получим /ч = Рг = /=• = 40, и, следовательно, К\ = 61 => №1Р1 = 100 • 40 = 4000. Таким образом, если не учитывать конечные приращения коэффициента усиления, получаем ошибку почти в 5 0 % . При введении обратной связи в схему, как это следует, в частности, из выражения (13-22), полюса передаточной функции смещаются в комплексной плоскости, а значит, изменяются ее частотно-временные характеристики. Проиллюстрируем это на примерах схемных функций первого и второго порядков. Пусть в схеме с передаточной функцией р + а. р+ а вводится вещественная обратная связь с коэффициентом передачи р. Тогда согласно формуле (13-21) у(р) = КР > = Р(Р) , Ра - 5 р + а(1±Р) ' р+ а или = - Т Г • где а ' = а (1 ± Р) = а Р 0 . 518 Р+ а а ± Р ) = (13-28) При отрицательной обратной связи F0 = 1 + Р > 1 полюс смещается влево от мнимой оси. При этом условная полоса пропускания схемы, определяемая граничной частотой а ' , увеличивается во столько же раз, во сколько уменьшается усиление схемы W 0 , т. е. произведение «усиления на полосу» не изменяется: К Лео = = const (рис. 321, а). Подобные результаты получаем и при анализе схемы с передаточной функцией G(P) — К0 р + а ja> -6 J(0 JIO . І'С^Д Рис. 321. Частотные характеристики схемы с отрицательной обратной связью. в которую вводится вещественная обратная связь. При этом КоР W ( p ) р + а КоР (1 ±К0$)р+а р+а или W ( p ) = - Ко 1 ±/СоР = «70 Р + - 1 ±ЛГоР (13-29) р +- При отрицательной обратной связи = 1 + /С0Р > 1 и полюс схемной функции смещается вправо к началу координат. Коэффициент усиления и граничная частота при этом уменьшаются в раз (рис. 321, б). 1/2+17* 519 Д л я схемы с передаточной функцией второго порядка <0„2 0(р)== р2 + 2£со„р + со* при введении обратной вещественной связи получим = р2 + 2?,со р + 0 ) 2 ( 1 ± Р ) ' л 1±Р0(Р) или Г *2 1 1±р ^(1±Р) р 2 + 2|ш„р 2|о) п р + со2 со*(1 ±Р) = " 0 р2 + 2 | * с о > + « ; 2 " (13-30) Здесь введены обозначения СО* = С0„ VI ± Р = <о„ \ 'ГР0(13-31) V где У \ ± Р У^О ' £со„ = £*со,?. При отрицательной обратной связи Р 0 = 1 + Р > 1 в соответствии с выражением (13-31) собственная частота полюсов увеличивается, коэффициент относительного затухания уменьшается, т. е. угол 0 == агссоэ увеличивается, но действительная координата полюсов, равная |со„, не изменяется (рис. 321, в). В результате при < < 0,707 на частотной характеристике появляются резонансные подъемы (рис. 321, в), которые могут вызвать изменение площади под кривой амплитудно-частотной характеристики, в результате чего увеличится произведение /(Асо. Траектории, описываемые полюсами передаточной функции при изменении коэффициента обратной связи р, называются корневыми годографами. Правила построения таких годографов для схемных функций любого порядка будут описаны ниже. Расчет схем с обратной связью на транзисторах существенно усложняется при наличии внутренней обратной связи во всем частотном диапазоне, включая низкие частоты. Как следует из эквивалентной гибридной П-схемы замещения транзистора (рис. 322), элементом внутренней обратной связи на низких частотах в схеме с общим эмиттером служит сопротивление г вк . Напряг7 г-ч Ян ^КЭ жение и в ы х на нагрузке /?0 = ц — и м е е т противоположную "н "Г 'кэ полярность по сравнению с источником сигнала Е, поэтому ток обратной связи / 0 .с, протекающий через сопротивление г ш , имеет направление, указанное на рис. 322. Ток обратной связи / о х разветвляется на токи и / 2 , протекающие через сопротивления Гвэ и + г 6 . Ток частично компенси- рует ток входного контура / б , вызывая уменьшение управляющего напряжения (/ в э и тем самым уменьшение выходного напряжения и к м при постоянном Е. Таким образом, внутренняя обратная связь ,—в схеме с общим эмиттером имеет ' ' ' 1 " отрицательный знак. ,| Величина тока зависит от соотношения сопротивлений г вэ и /?и + г б . В режиме генератора тока на входе (/?„ = оо) = /0 с И действие отрицательной внутренР и с . 322. Эквивалентная схема транней обратной связи будет наиболь- зистора на низких частотах, шим. В режиме генератора напряжения на входе = 0) влияние обратной связи будет наименьшим, так как < /2. Определим величину возвратной разности внутренней обратной связи в схеме (рис. 322), матрица проводимости которой имеет вид 1 2 3 1 1 Я „ + гб Яи + 'б 1 Ли + гб 1 Яи + 'б " £вэ 8вк — 8в ёвк + °0 Коэффициент усиления но напряжению с учетом внутренней обратной связи 1 д —(£ — £„<)#И + Гб 1 1 Со Ян + Гб +' £ ов вэ ё. ) Г е в к \ Л„ + Гб + ЯВЭ + (13-32) В случае пренебрежения внутренней обратной связью § в к = 0 и 1 /?Н + Гб КЕ = 1 Оо Яи + 'б что совпадает с выражением (7-86). Следовательно, возвратная разность схемы согласно выражению (13-21) при £ > £ в к / 1 К, - = N ' " " 1 '» 1 Ее Ки + Гб + 5 в э После преобразований и (7-78) получим F = l где +Л-(1+ ' вк DU 1 с учетом g > G0 и выражений - 1 \ = А Ди + 'б Уи I "вэ I+_5L(I ' DU- + P Y h ), (7-76) (13-33) 1 Яи + гб Яи + Гб + гв Влияние внутренней обратной связи на вторичные параметры схемы можно учесть, пользуясь формулами для параллельной обратной связи. Например, входная проводимость схемы находится в соответствии с формулой Гвх.с = / 7 П х + К и ( / 7 - 1 ) . Д л я источника тока на входе Уи = 0, поэтому с учетом формул (13-33) и (7-75) Явх.с = - Г ^ 1 Ч=° = ^ . (13-34) 1 + — ( 1 + р) г вк Обратной внутренней связью можно пренебречь, если Т7 да 1, т. е. т Ч 1 + р7и)«1. вк В режиме максимальной обратной внутренней связи, когда /? и = = оо и у и = 1, а Руи Ь предыдущее неравенство сводится к более простой форме Р/?оС«. (13-35) Таким образом, при малых нагрузках влиянием внутренней обратной связи на свойства транзисторного низкочастотного усилительного звена можно пренебречь. Если расчет схемы с обратной связью ведется в широком диапазоне частот и с высокой степенью точности, то внутренними обратными связями через паразитные емкости в транзисторах и лампах пренебрегать нельзя, и схема, как правило, превращается в схему с многоканальной обратной связью. При этом проще и целесообразнее рассчитывать вторичные параметры такой схемы с помощью методов, изложенных в гл. 7—10, чем выражать их через параметры схемы без обратной связи и величину /*•. § 3. Алгебраический критерий устойчивости Рауса — Гурвица Критерий устойчивости Рауса — Гурвица позволяет, не решая характеристическое уравнение (13-16) или (13-17), по его виду и величине коэффициентов при членах с разной степенью р сделать вывод о наличии мнимых или комплексно-сопряженных корней с по- ложительными вещественными составляющими, т. е. лежащих на мнимой оси или в правой полуплоскости. Д л я того чтобы корни характеристического уравнения п-й степени В (р) = апрп + а«-,/)"- 1 + • • • + alP + а0 = 0 (13-36) имели отрицательные вещественные части, все коэффициенты ап, ..., а 0 должны быть не нулевыми и иметь одинаковый алгебраический знак. Коэффициенты характеристического уравнения выписываются в такой последовательности: а„ ап—2 Qn—4 ... а, ап-1 dn—3 Qn—Ь а0 (13-37) h c i d, d, где коэффициенты blt ct, dt образуются по правилу: а,п—1ап—2'' а а п—\ п—4 ' п п—5 и п-1 п п-Ъ V„_ з — ап_хЬ.г (13-38) V„-5 h dj сх62 — Va Если алгебраический знак членов первой колонки построения (13-37) не изменяется, все корни уравнения (13-36) лежат в левой полуплоскости и схема устойчива. Наоборот, передаточная функция схемы имеет столько полюсов в правой полуплоскости, сколько раз изменяется знак в ряде ап, ап-\, Ь1з с 1( d1 ... Пример 3. Определить, сколько 4 корней характеристического уравнения 3 В (р) = р + 6р + 11 рг + 6р + 30 = 0 лежат в правой комплексной полуплоскости. Первая часть критерия удовлетворяется, так как все коэффициенты ненулевые и положительные. Д л я использования второй части критерия составляем таблицу коэффициентов, пользуясь условиями (13-37) и (13-38) 1 И 30 6 6 10 30 — 12 30 Т а к как коэффициенты в первой колонке дважды изменяют знак (с положительного на отрицательный и затем наоборот), то приходим к заключению, что рассматриваемое характеристическое уравнение имеет два корня, лежащих в правой полуплоскости. Известна и вторая формулировка алгебраического критерия Рауса — Гурвица, когда условия (13-37) и (13-38) задаются для уравнения я-й степени в виде требований к п определителям типа ах ао 0 «1 «0 а3 а2 ах П, = ах, ; а3 а2 ал а3 «1 а3 «0 а2 0 ... 0 «1 ... 0 0-Чп—\ а,2п—2 «2«—3 ... 0 при т~> п. , где ат = О ап (13-39) Д л я устойчивой схемы при а 0 > О все эти определители должны быть положительными. Из условия (13-39) видно, что главный определитель О п (определитель п-го порядка) составляется следующим образом: 1) по главной диагонали вписываются коэффициенты уравнения в порядке возрастания индексов, начиная со второго ах и до последнего ап включительно; 2) строки влево от диагонали дополняются коэффициентами с возрастающими индексами, а строки вправо от диагонали — коэффициентами с убывающими индексами; 3) недостающие коэффициенты заполняются нулями. Определитель более низкого порядка получается из определителя более высокого порядка вычеркиванием одного столбца справа и строки снизу. С учетом перечисленных правил и условия (13-39) в табл. 46 приведены результаты анализа схемных функций от первого по пятый порядок включительно. Как видно из таблицы, с ростом порядка схемной функции усложняются условия устойчивости, а вычисления по ним становятся громоздкими. Поэтому для схем, порядок которых превышает пятый, применение алгебраического критерия затруднительно. Пример 4. Исследовать устойчивость избирательного усилителя, рассмотренного в примере 3 гл. 9 и представленного на рис. 222. В соответствии с формулой (9-51) характеристическое уравнение схемы, определяемое знаменателем передаточной функции где •8 (Р) = ЯвР3 + а2р2 + ахр + а0 = О, Оо = 03(0(. + 0ц); а1 = С0 3 [0 + 5(0(. + 0а)]; <Н = СЮ [4й + 6 (О,- + (?а)];. а 3 - СМ5 + ( ^ + О а )+20]. Пользуясь табл. 46, запишем условие устойчивости схемы третьего порядка аха2 > а0а3. Таблица 46 Условия устойчивости схем в соответствии с критерием Р а у с а — Г у р в и ц а Характеристическое уравнение В (р) = 0 Главный определитель Оп Условия устойчивости при ненулевых и положительных. коэффициентах уравнения (р) — 0 <ЧР + а0 = о \аЛ Ограничений нет а 2 р 2 + ахр + а0 = 0 а3р3 + а 2 р а + ахр + а0 = 0 + ЧР* + азР3 + «аР2 + 0 «1Р «о + + = аъРь + Й4Р4 + а3Р3 + 2 + а 2 р + ахр + Й0 = 0 а, а0 0 а2 Ограничений нет 0 а, а0 а3 а., а, 0 0 а3 а ^ г > а0а3 а, а0 0 0 а3 Й2 аЛ а0 0 а4 а3 а2 0 0 0 Й4 а х (а 2 и 3 — алах) . 2 ах а„ а3 Й2 а, а0 0 аь Й4 а3 аг аг 0 0 а3 а4 а3 0 0 О.о «5 Подставляя значения коэффициентов > >а з й 0 О О О (Й4Й3 — а 5 а 2 ) (а 2 йл — — а 3 а 0 ) > (а4Й1 — Й5Й0)2 характеристического уравнения, получим [ О + 5 (О, + Оа)] [40 + 6 (О,- + 0 а )] > (0£ + 0 а ) [5 + (0/ + 0 а ) + 20]. Разделив части неравенства на (в,- + О а ) 2 , получим коэффициент усиления звена <29 +24 ^ Т о Г +4 (-отЬг)2• при котором схема устойчива. Как следует из приведенного примера, для реализации алгебраического критерия необходимо все параметры элементов схемы ввести в ее характеристическое уравнение в виде постоянных коэффициентов. Это не всегда возможно или удобно, что ограничивает применение алгебраических критериев при исследовании устойчивости схем. Кроме того, к недостаткам критерия Рауса — Гурвица можно отнести сложность определения влияния того или иного параметра схемы на ее устойчивость. Критерий позволяет определить только абсолютную устойчивость схемы и мало дает для определения степени устойчивости. § 4. Частотный критерий устойчивости Михайлова Кроме алгебраического критерия устойчивости Рауса — Гурвица, применяются частотные критерии устойчивости Михайлова, Найквиста и логарифмический частотный критерий Боде, позволяющие по виду частотно-фазовых характеристик схемы определять ее устойчивость. Пользуясь критерием Михайлова, можно судить об устойчивости схемы по частотному годографу, построенному на основании характеристического уравнения замкнутой схемы (13-17) Ш (р) = апрп + \ V п--5 рп~1 + + ... + а х р + а 0 = 0. Схема будет устойчивой, если годограф Михайлова при изменении о» о т О д о о о последовательно пройдет п квадрантов против часовой щ стрелки, начиная от положительной вещественной оси, где п — Рис. 323. Годограф Михайлова для устойчивой схемы пятого порядка. степень характеристического уравнения. На рис. 323 приведен годограф Михайлова для устойчивой схемы пятого порядка. Критерий легко доказывается на основе векторного метода построения частотно-фазовых характеристик схемы по карте нулей и полюсов. Если функция Т7 (р) имеет п корней, лежащих в левой полуплоскости, то суммарный фазовый сдвиг на частоте со = со будет равен п • 90°. Если корни попадут на мнимую ось или в правую полуплоскость, монотонный характер фазовой характеристики функции Т7 (р) нарушится и ход годографа Михайлова изменится. Д л я устойчивой схемы частоты, при которых годограф пересекает вещественную и мнимую оси (рис. 323), должны удовлетворять неравенству < ®г < ю 3 < со4 < со5. (13-40) Неравенство (13-40) используется при построении годографа Михайлова. Если в выражении (13-17) заменить р на /со и выделить вещественную и мнимую части, то Б (/со) = (со) + /Т7, (со). (13-41) 4г ш,=0 \ш5 Г^ш] Частоты со ь соз, со5, соответствующие точкам пересечения годографа с вещественной осью, находят из выражения мнимой части характеристического полинома, приравняв ее нулю 1 т [/7 (/со)] = (со) = 0, (13-42) а частоты со2, со4 — в точках пересечения с мнимой осью плоскости — из выражения действительной части характеристического полинома Ие (/со)] = (со) = 0. (13-43) Д л я устойчивой схемы корни уравнений (13-42) и (13-43) будут вещественными и перемежающимися. Пример 5. Определить с помощью критерия Михайлова устойчивость замкнутой схемы, характеристическое уравнение которой F (р) = р4 + 8р3 + 32р2 + 80р + 112. Заменив р через /о», получим F (/со) = со4 — 8/со3 — 32со2 + 80/со + 112, или F (/со) = (со4 — 32(ü2 + 112) + /со (80 — 8со2). Определим частоты в точках пересечения годографа Михайлова и вещественной оси из уравнения Fx (си) = со (80 — 8со2) = 0; coi = 0; 10 = со2, откуда шd3 = уто = 3,16 —!— . ' сек Отрицательные значения корней интереса не представляют, так как изменение со берем от 0 до оо. Частоты в точках пересечения годографом мнимой оси определяются из уравнения F R (СО) = со4 — 32ю2 + 112; о)2 = 16 ± 12, 1 откуда <о = У 1 6 — 1 2 = 2 и ш = / 1 6 + 12 = 5,3 2 . 4 сек Так как выполняется неравенство сек СО] < со2 < со3 < со4 или 0 < 2 < 3,16 < 5,3, то схема будет устойчивой. Годограф Михайлова можно построить после определения точек пересечения годографа с осями координат. Д л я этого найденные значения сої и со3 подставляем в выражение для (со), а значения со2 и ш4 — в выражение для (со). § 5. Частотный критерий устойчивости Найквиста Критерий устойчивости Найквиста основан на известной в теории функции комплексного переменного теореме о конформном преобразовании замкнутых кривых из р-плоскости в плоскость функции F (р) [1]. Теорема преобразования связывает разницу между числом нулей N, и полюсов N2 функции F (р), которые охвачены контуром S x в комплексной плоскости р = о + /со, и числом оборотов замкнутой кривой F l в комплексной плоскости F (р) — = Fr ( С О ) + jFi (со). Устойчивость замкнутой схемы определяется наличием нулей Шу и полюсов tlx возвратной разности F (р) в правой полуплоскости. При этом нули F (р) соответствуют полюсам передаточной функции замкнутой схемы W (р). Если рассмотреть правую полуплоскость как замкнутую кривую в плоскости р, то замкнутая кривая Fi в плоскости функции F (р) опишет вокруг начала координат k = т1 — пх оборотов. Построение кривой F j несложное. Участок Оа этой характеристики (рис. 324, б) соответствует отрезку ОА кривой S j в плоскости р (рис. 324, а) и строится при изменении р — /со в диапазоне О < /(о < оо. Часть кривой S X) соответствующая бесконечной полуокружности ABC, определяется в предположении р — lim Re / 9 , R-+00 когда угол 8 изменяется от + 9 0 до —90°. Обычно полуокружность ABC превращается в точку, лежащую в начале координат плоскости jF,(tv) Рис. 324. К теореме о конформном преобразовании замкнутых кривых из р-плоскости в плоскость функции комплексного переменного: а — правая комплексная полуплоскость аргумента р; б — плоскость возвратной разности или возвратного отношения. Т7 (р), т. е. точку 0". Участок сО кривой (рис. 324, б), соответствующий отрезку СО кривой получается в предположении р — —/со, когда со изменяется от бесконечности до нуля. Следует заметить, что кривая р х (—/со) является комплексносопряженной кривой Т7! (/со), поэтому графически участок сО представляет зеркальное изображение участка Оа относительно действительной оси. Если сдвинуть на единицу начало отсчета плоскости функции Р (/со) вправо или влево (в зависимости от знака обратной связи), то в соответствии с выражением (13-6) кривая будет определяться частотным годографом возвратного отношения Т Цса) (рис. 324, б). Следовательно, проверка числа оборотов вокруг начала координат 0" для функции возвратной разности ( / с о ) 1 ± Т (/со) равноценна проверке охвата точки 0" комплексной плоскости с координатами [— 1, /0] при сдвиге начала отсчета вправо (или точки 0" с координатами [1, /0) при сдвиге влево) для функции возвратного отношения Т (/со). Иными словами, можно проверять устойчивость замкнутой схемы, рассматривая число оборотов вектора возвратного отношения Т (/со) вокруг критической точки [—1, /01 для отрицательной обратной связи и точ- ки II, /01 для положительной обратной связи. Если критическая точка не охватывается годографом Т (/со), то схема устойчива. Критическая точка плоскости охвачена годографом Т (/со), если при обходе замкнутых контуров и с возрастанием частоты по часовой стрелке она лежит справа от кривой годографа. Если кривая Т (/со) имеет сложную форму, удобно пользоваться «правилом заштрихованной площади». При т прохождении кривой по направлению возрастания частоты штрихуем площадь, справа от кривой. Если критическая точ£ ка, например [—1, /01, лежит в £ а незаштрихованной области Ьс С Ш* оо 3 U-0 (рис. 325), то годограф Т (/со) ее йМ-оо § ТЛ[Ы) не охватывает, и, следовательно, замкнутая схема будет устойчивой. Это случай «условной» устойчивости, обычно соответствующий сложным схемам с немонотонной фазовой характеристикой. Вывести такую схему из Рис. 325. Иллюстрация правила заустойчивости можно как уве- штрихованной площади. личением, так и уменьшением Ґ \ коэффициента усиления. При изменении усиления частотный годограф Т (/со) изменяется в масштабе, поэтому критическая точка 1—1, /01 может оказаться в заштрихованных областях аЬ или ей (рис. 325). Д л я фазо-минимальных схем, устойчивых в разомкнутом состоянии, с возвратным отношением Т (р) = возвратная ВІР) (13-44) разность F(p)=l±T(p)= В(Р) Р) В%^ (13-45) не имеет полюсов в правой полуплоскости, т. е. пх = 0, так как полином В (р) не имеет корней с вещественными положительными частями. В этом случае число обходов кривой частотного годографа Т (/со) вокруг соответствующей критической точки определяется числом нулей т у характеристического уравнения замкнутой схемы F ip) = 0, а значит, и полюсов передаточной функции W (/?), лежащих в правой полуплоскости. Например, на рис. 326 приведен частотный годограф разомкнутой схемы Т (/со), охватывающий критическую точку [—1, /01 дважды при изменении частоты со в диапазоне — оо <; со < оо и соответствующий неустойчивой замкнутой схеме с двумя полюсами в правой полуплоскости. Если схема в разомкнутом состоянии неустойчива, т. е. полином В (р) в выражении (13-44) имеет пх корней с вещественными положительными частями, то возвратная разность F (р) (13-45) имеет полюса в правой полуплоскости, и, применяя критерии Найквиста, можно получить сведения только о разнице между числами полюсов и нулей в правой полуплоскости, т. е. величину т х — п х . Если тх = пх, то частотный годограф возвратного отношения Т (/со) не охватывает критическую точку, хотя число т х имеет конечное значение. Следовательно, можно прийти к ошибочному выводу, что эта схема устойчива в замкнутом состоянии. Поэтому критерий устойчивости Найквиста может быть применен непосредственно только тогда, когда предварительно проверено, что пх = 0. Сделать это сравнительно нетрудно, например, с помощью критерия Рауса. Существует много случаев, когда схема неустойчива в разомкнутом состоянии и становится устойчивой, когда контур обратной связи замкнут. Условие устойчивости замкнутой схеРис. 326. Частотный годограф мы сводится к требованию отсутствия возвратного отношения неустойнулей возвратной разности F (р) в чивой схемы с двумя полюсами в правой полуплоскости. правой полуплоскости, т. е . к условию тх = 0. В этом случае число оборотов частотного годографа F (р) вокруг критической точки определяется лишь числом полюсов пх возвратной разности F (р) схемы, имеющих положительные веществейные части. Реализуемая при этом устойчивая замкнутая схема будет фазо-неминимальной, так как ее нули, совпадающие с полюсами функции F (р), будут расположены в правой полуплоскости. Суммируя изложенное выше, критерий устойчивости Найквиста можно сформулировать следующим образом: 1. Схема, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой схемы (возвратного отношения) не охватывает на комплексной плоскости критическую точку с координатами [—1, /0] при отрицательной обратной связи или [1, /0] при положительной обратной связи. Число охватов критической точки в этом случае определяет количество полюсов передаточной функции W (р), лежащих в правой полуплоскости. 2. Схема, неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая пх полюсов в правой полуплоскости, будет устойчива в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой схемы (возвратного отношения) охватывает критическую точку [—1, /0; 1, /0] пх раз в положительном направлении изменения частоты в диапазоне —оо < © < со. Основное преимущество частотного критерия Найквиста в том, что частотные характеристики возвратного отношения T(jсо) можно получить экспериментально. Это очень важно в тех случаях, когда трудно составить уравнение передаточной функции схемы и провести аналитическое исследование. Пример 6. Определить устойчивость замкнутой схемы, содержащей неустойчивое звено, по критерию Найквиста, если ее возвратное отношение Г ({Р р)= ' > ™0(р + 2) р{р — 10) (р + 20) Как видно из приведенного выражения, функция Т (р), а значит, и Г (р), имеет один полюс р = 10 в правой полуплоскости (п\ = 1). Д л я построения амплитудно-фазовой частотной характеристики в выражение для возвратного отношения вместо р подставляем /со и находим формулы для вычисления модуля и фазы: Г (СО): 500 /со 2 + 4 2 со/со + 100 • V со2 + 400 ф(С0) : : агсс§ — - • 90° — а г ^ ' 180° — а г ^ 10 •агсій 20 = — 2 7 0 ° + агсіе 6 ' 20 10 со + arctg — . Вычисленная по этим формулам амплитудно-фазоРис. 327. Частотный годогвая характеристика приведена на рис. 327. К а к раф возвратного отношения видно из рисунка, частотный годограф Т (/со) устойчивой фазо-неминимальпри изменении частоты — оо со оо охватыной схемы с нулем в компвает критическую точку [ — 1, /0] один раз. При лексной полуплоскости. наличии одного положительного корня в Т (р) такая система устойчива, гак как возвратная разность /7 (р) не имеет конечных нулей в правой полуплоскости (т\ = 0). При уменьшении общего коэффициента передачи Ко = 500 фазовые соотношения остаются прежними, а модуль частотной характеристики уменьшается. При этом с уменьшением Ко (например, до 200) амплитудно-фазовая характеристика Т (/со) уже не охватывает критическую точку и замкнутая схема переходит в неустойчивое состояние. В инженерной практике преобладают минимально-фазовые схемы низких порядков, до третьего включительно, с одним контуром обратной связи. Д л я них возможна упрощенная формулировка критерия устойчивости, использующая лишь частотный годограф разомкнутой схемы при возрастании частоты от со = 0 до со = оо. Если при отрицательной обратной связи критическая точка [—1, /0] лежит справа, а при положительной обратной связи точка [1, / 0 ] слева от кривой годографа, то схема будет неустойчивой. Характеристическое уравнение схемы с одноканальной обратной связью можно переписать в виде Т = С(р)Р (р) = ± 1 . (13-46) Так как в (р) Р (р) = (р) Р (р)\ (р) Р (р), то для отрицательной обратной связи, когда в (р) Р (р) = —1, условие устойчивости сводится к | 0 ( / 7 ) Р ( р ) | < 1 При 1<3(р)Р(р) = ± 180°, ± 540, ± 900° . . . (13-47) Д л я схем с положительной обратной одноканальной связью характеристическое уравнение сводится к условию в (р) р (р) — 1, поэтому схема будет устойчивой при |С(р)Р(р)|<1 \ и (13-48) | О (р) Р (р) = 0°, ± 360°, ± 720° . . . ) Физический смысл упрощенного критерия можно объяснить следующим образом. Как следует из условия (13-47), на некоторой частоте соя колебания на выходе разомкнутого контура отрицательной обратной связи будут совпадать по фазе с колебаниями на входе схемы. Вследствие этого на частоте ю я обратная связь из отрицательной превращается в положительную. Если при положительной обратной связи модуль возвратного отношения | С (р) р (р) | равен или больше единицы, т. е. если амплитуда выходных колебаний разомкнутой схемы будет равна или больше, чем амплитуда колебаний на ее входе, то при замыкании схемы в ней возникают соответственно либо незатухающие, либо возрастающие колебания, т. е. схема будет неустойчивой. Если модуль (р) р (р)| меньше, чем единица, т. е. амплитуда выходных колебаний меньше, чем амплитуда входных, то колебания в схеме затухнут, и схема будет устойчивой. При пользовании этим критерием необязательно строить всю амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой схемы, достаточно найти точку пересечения частотного годографа с вещественной осью плоскости. Если возвратное отношение задано в аналитическом виде Т (/со) = в (/со) р (/со) = Тн (со) + }Т\ (со), то для нахождения точки пересечения частотного годографа возвратного отношения с вещественной осью нужно из уравнения Т\ (со) == 0 определить частоту, при которой наблюдается пересечение, и подставить полученное значение в выражение для (со). Приведенная упрощенная формулировка критерия устойчивости, часто используемая в радиотехнической литературе, не позволяет объяснить явления условной устойчивости или оценить устойчивость фазо-неминимальных схем. Она является частным случаем общего критерия устойчивости Найквиста и справедлива для ограниченного класса схем. При пользовании упрощенным критерием Найквиста степень устойчивости замкнутой схемы характеризуют запасом устойчивости по модулю и фазе. Эти параметры определяют ход кривой ампли- тудно-фазовой характеристики возвратного отношения вблизи критической точки [—1, /ОJ (рис. 328). Запас устойчивости по фазе Дф определяется разностью между критическим значением фазового угла (ф = —180° для отрицательной и ф = 0° для положительной обратной связи) и значением аргумента возвратного отношения схемы \Т (/со), вычисленным при частоте сос, на которой модуль возвратного отношения Т (со) равен единице. Д л я частотного годографа (рис. 328) Дф = я — I Т (ja>c)-, \ (13-49) IТ (/сос) | = 1 . 30 -г- 45°, Обычно запас устойчивости по фазе составляет Дф а частота сос называется частотой среза. Запас устойчивости по модулю ДМ определяется величиной, обратной модулю возвратного отношения, вычисленного на частоте со2, на которой аргумент \Т (/(о)равен—180 или 0° в зависимости от типа обратной связи. Д л я частотного годографа (рис. 328) 1 AM = \Т(іщ) I mOB І T(/<02) = — 180°, (13-50) где m — масштабный коэффициент. Иногда коэффициент запаса устойчивости по модулю выражается в децибелах ДМав = 20 l o g = Рис. 328. К определению запасов устойчивости по фазе и модулю схемы по частотному годографу возвратного отношения. = 20 log - L - . mOB Д л я нормальной работы обычно требуется, чтобы AM = 3 - ^ - 4 ; АМд6 = (10-=- 15) дб. Имеется также упрощенная формулировка критерия устойчивости Найквиста применительно к фазо-минимальным схемам, обладающим «условной» устойчивостью. Рассматривая ход ветви частотного годографа Т (/со), изображенного на рис. 325 для частот в диапазоне 0 < со < со, отмечаем число переходов годографа возвратного отношения через отрезок вещественной оси —со, —1 (левее критической точки). Переход считается положительным, если Т (/со) переходит через вещественную ось сверху вниз, и отрицательным, если снизу вверх. Направление движения по частотному годографу возвратного отношения принимается совпадающим с направлением возрастания со. В соответствии с критерием «условной» устойчивости схема, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числами положительных и отрицательных переходов возвратного отношения Т (/со) через отрезок вещественной оси, левее критической точки [—1, /0] для отрицательной обратной связи и правее критической точки [1, /01 для положительной обратной связи, будет равна нулю. При пользовании этим критерием, как и раньше, необязательно строить всю амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой схемы. Если возвратное отношение задано в аналитическом виде Т (/со) = Г к (со) + /Т, (со), то из уравнения Т\ (со) = 0 находим частоты о>! ... сок, при которых годограф Т (/со) пересекает вещественную ось. Подставляя полученные значения в уравнение Т (со) = Тк (со), определяем общее число частных значений Т (со,) > 1, г = 1 ... к. Если это число четное, то схема устойчива в замкнутом состоянии. Пример 7. Определить устойчивость замкнутой схемы с помощью критерия Найквнста, если ее передаточная функция для разомкнутого состояния Г(р) = . К(\+Т ) (1 + Тхр)(1 + 7 » < 1 з Р+ Г4р) (1 + Г5р) а параметры имеют значения К 100, Т\ «= 1,2 сек, Тг •=* 0,8 сек, Т3 = 0,2 сек, Тг — 0,05 сек, Ть = 0,04 сек. Так как передаточная функция схемы в разомкнутом состоянии устойчива, то можно пользоваться упрощенным критерием Найквиста для фазо-минимальных схем. Определяя модуль и аргумент возвратного отношения, получим: 100 У 1 + со2Г?3 Т (со) = У\ Ф (со) = arctg + со 2 Г 2 • У1 + со г Т\ • У\ + шЧ2 • V 1 + ш 2 7 | — arctg соТ, — arctg соТг — arctg соТ4 — arctg шТь. Из условия ф (со) •=• —180° найдем частоты, при которых годограф возвратного отношения пересекает вещественную ось комплексной плоскости. После простых тригонометрических преобразований получим со (7\ -f Т 2 ) arctg соГ3 - arctg 1 — со2Г,Г 11 г ' 2 Г со (Г 4 + Г 5 ) 1 - ш4гТ.Т 6 6 со (Tj + Тг) (Г4 + Гц) . _ = - 180°, 2 (1 -со Г г Г а )(1 -со»Г 4 Г 5 ) откуда 1 — со 2 Г 1 Г, + 1-со2Г4Г5 или ^ТхТгТ3Т,Тъ - со2 | Г 3 (TJ2 + TtT5) - TJb ( Г , 4 ТО - ТХТ2 (Г 4 + Г 5 )] + + Т3 — Г, — Т2 - Tt - Т„ = 0. После подстановки значений постоянных времени находим со4 — 2,3 • 102со2 — 5 • 103 = 0. Это уравнение имеет лишь один действительный корень со_ = / ( 1 , 1 5 + 1,35) Ю 2 = 15,8 — — , сек т. е. годограф Г (/со) пересекает вещественную ось лишь в одной точке. При этом модуль возвратного отношения " ^ Д , — — = 0,9 < 1. /361 • /161 • /1,625 • V1,4 Следовательно, данная схема в замкнутом состоянии будет устойчивой. Т(в>) = Критерии Михайлова и Найквиста могут быть применены к анализу устойчивости схем с многоканальной обратной связью, если для возвратной разности схемы воспользоваться выражением (13-14) F = U F k = П(1 ±7\). k=\ k=\ При этом необходимо исследовать все п частных возвратных разностей Fk или возвратных отношений Tk, получаемых при последовательном устранении управляющих параметров активных элементов из матрицы схемы. Если ни один из годографов возвратной разности Fk (/со) не охватывает критическую точку [0, /0], или ни один из годографов возвратных отношений Тk (/со) не охватывает критическую точку [—1, /01 или 11, /0], то схема является устойчивой, т. е. схема будет п устойчивой в том случае, если возвратная разность схемы F = П Fk 1 не имеет нулей в правой полуплоскости. Такой подход к сложным схемам иногда более эффективен в сравнении с обычным решением характеристического уравнения схемы и отысканием его корней. § 6. Логарифмический частотный критерий устойчивости Боде Логарифмический частотный критерий устойчивости Боде основывается на критерии Найквиста и представляет по существу более удобную его формулировку при пользовании логарифмическими частотными характеристиками. Рассмотрим сначала фазо-минимальные схемы, устойчивые в разомкнутом состоянии. Логарифмируя выражения (13-47) и (13-48), получим для схемы с одноконтурной обратной связью условие устойчивости: замкнутая схема устойчива, если значение фазового сдвига на частоте среза сос, когда Т (сос) = 1 и 20 log Г (сос) = 0, по абсолютной величине меньше, чем 180° (для отрицательной обратной связи), или больше 0° (для положительной обратной связи). В гл. 12 было показано, что изменение наклона Л Ч Х возвратного отношения Т,)6 (со) на каждые ± 2 0 дб/дек соответствует изменению фазового сдвига \Т (/со) на ± 9 0 ° . Поэтому замкнутая схема будет устойчивой, если наклон логарифмической частотной характеристики ее возвратного отношения В точке пересечения С линией Ойб будет меньше, чем ± 4 0 дб/дек. Т/ф) Запас устойчивости по амплитуде ЛМйб определяется как число децибел, на которое нужно увеличить усиление схемы, чтобы она достигла границы устойчивости. Схема находится на границе устойчивости, если на частоте ю2, на которой вносится запаздывание ф пр = —180° (для отрицательной обратной связи) или фпр = 0° (для положительной обратной связи), модуль возвратного отношения Т (Iо2)= 1. Запас устойчивости по фазе Дер определяется как разность между предельными значениями фазового [ град сдвига фПр и абсолютным значеРис. 329. Определение запасов нием аргумента возвратного отноустойчивости по фазе и модулю схешения на частоте среза сосмы по логарифмическим частотным характеристикам. Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе для схемы с отрицательной обратной связью показано на рис. 329. Пример 8. Определить методом логарифмических вость замкнутой схемы с возвратным отношением г,„, [р устойчи- 'РОС +0-2 Р) (1 + 1,2р)(1+0,8р)(1 +0,05р) (1+0,04р) ' > • 20 о, 3 характеристик і Ті Рис. 330. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика к примеру 8 гл. 13. рассмотренную в примере 7. Д л я построения амплитудной логарифмической характеристики определяем частоты излома асимптот логарифмической амплитудной характеристики: 1 1 7\ 1,2 п оо Мі1 - —т..— = -г-н- = 0,83 1 сек ; 1 1 і ос 1 (0, = -=— = —п~Б~ = 1 >25 Тг 0,8 сек ; 1 i e ® 3 ~ Т Г ~ Т 2 ~ Шб I _ 1 _ air'' 1 ~ Т\ ~ W 1 _»л 1 0,05 1 ~ or; 1 "^Г Определяем начальное значение амплитудной характеристики на бесконечно малых частотах Тдб (со) = 20 log К — 20 log 100 = 40 дб На основании полученных данных и вида передаточной функции возвратного отношения строим амплитудную логарифмическую характеристику (рис. 330). Так как наклон этой характеристики при пересечении линии 0 дб равен 20 дб/дек, 'ММ то можно сделать вывод об устойчивости схемы в замкнутом состоянии и без построения фазовой характеристики. Запас устойчивости в первом приближении можно оценить при частоте со4, когда наклон Л Ч Х достигает критического значения — 40 дб/дек. Как следует из рис. 330, запас устойчивости равен A/Vfd6=s s s 1 дб, что примерно соответствует результату Т (со) = 0,9, полученному в примере 7 аналитически. Д л я фазо-минимальных схем с «условной» устойчивостью основой логарифмического критерия устойчивости является правило о числе переходов частотного годографа через вещественную ось, рассмотренное выше. Д л я отрицательной обратной связи переходам АФХ (частотного годографа) Т (/со) че- устойчивых схем. рез отрицательную вещественную ось будут соответствовать переходы Л Ф Ч Х через линию —180°. Кроме того, при модуле |Т (/со)| > 1 (т. е. в точках пересечения АФХ с вещественной осью левее критической точки [—1, /01) ЛАЧХ положительна. Поэтому схема, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой в замкнутом состоянии, если число переходов ФЧХ через прямую — 180° четное в диапазоне частот, в котором Л А Ч Х положительна. Аналогично можно сформулировать критерий устойчивости для схем с положительной обратной связью, учитывающий число переходов фазовой характеристики через линию 0°. На рис. 331 приведены для примера Л А Ч Х и Л Ф Ч Х с «условной» устойчивостью. Там же штрихами показаны логарифмические амплитудно-частотные характеристики, полученные при таких изменениях коэффициента усиления Ко, когда схема теряет устойчивость. 18 1-337 537 § 7. Иммитансный критерий устойчивости Частотные критерии устойчивости, основанные на исследовании возвратной разности Т (р) и возвратного отношения Т(р), удобны для анализа влияния внешних обратных связей, специально вводимых в схему, но мало пригодны для учета сложных внутренних обратных связей, действующих в транзисторных и ламповых схемах на высоких частотах. Действительно, невозможно, например, искусственно разорвать обратную связь через емкость С ас , / и экспериментально снять частотную характеристику возвратного отношения Ту. Поэтому частные возвратные разности для сложных схем, как указано выше, приходится вычислять аналитически по формуле (13-14). При определении устойчивости схемы с внутренними обратными связями можно исследовать частотные характеристики, снятые экспериментально, если от анализа функций Р (р) или Т (р) перейти к анализу функции входного иммитанса схемы к (р). Если рассматриваются уравнения схемы, составленные для контурных токов, то под иммитансом следует понимать сопротивление, а при использовании уравнений узловых напряжений — проводимость. Из формул табл. 6 и 7 известно, чтоиммитанс, действующий между любыми двумя узлами сложной схемы, определяется выражением Здесь А — главный определитель схемы, а А^, — алгебраическое дополнение, получаемое из А вычеркиванием п-й строки и п-го столбца. Вычеркивание строки и столбца из определителя матрицы проводимости схемы соответствует закорачиванию рассматриваемого я-го узла с базисным; вычеркивание строки и столбца из определителя матрицы сопротивления схемы — изоляции соответствующего узла п. Таким образом, узлы схемы, между которыми измеряется иммитанс, находятся в режиме холостого хода, если анализ ведется методом контурных токов, или в режиме короткого замыкания, если анализ ведется методом узловых напряжений. В соответствии с выражением (13-16) условие устойчивости замкнутой схемы сводится к отсутствию нулей определителя А в правой комплексной полуплоскости. О размещении нулей определителя А можно судить по функции иммитанса к (/со), если уравнение Апп = = 0 не имеет корней в правой полуплоскости. Это означает, что исследуемая схема должна быть устойчивой при изоляции выделяемого узла п или его закорачивании с базисным узлом в зависимости от метода анализа. В первом случае отключаются обратные связи, последовательные по отношению к рассматриваемому узлу; вовтором — параллельное. Если построить для функции Я (р) диаграмму Найквиста аналогично тому, как это делалось для возвратной разности /•• (р) на рис. 324, то для устойчивой схемы кривая к (/со) в соответствующей комплексной плоскости не охватывает начало координат при изменении вещественной частоты со в диапазоне —оо со со. Связанный с неустойчивостью охват начала координат плоскости А, годографом X (/со) означает, что Ие [X (/со)] < 0 , (13-51) 1 т [I (/со)] = 0 при некоторых вещественных частотах в области со = 0 ч - оо. При использовании иммитансного критерия выбор эквивалентных параметров схемы ограничен условием отсутствия корней уравнения Д„„ = 0 в правой полуплоскости. При этом «/-параметры четырехполюсника используются при параллельной, г-параметры — п р и последовательной, ^-параметры — при последовательно-параллельной и /-параметры — при параллельно-последовательной обратных связях (табл. 45). Рис. 332. Резонансный усилиПример 9. Н а й т и условия устойчивости ретель на туннельном диоде. зонансного усилителя на туннельном диоде (рис. 332, а), эквивалентная схема которого приведена на рис. 332, б. Здесь Од — отрицательная проводимость диода, определяемая наклоном падающего участка характеристики; С д — переходная емкость диода; Я д — с о п р о т и в л е н и е толщины полупроводника и выводов; — индуктивность выводов. Нагрузкой на диод является последовательный резонансный контур С к , /? к с общим сопротивлением Z. Учитывая, что диод заведомо устойчив при замыкании точек а — а, условие (13-51) для схемы рис. 332, б можно записать при ~ 0 д + Ке( /со 0 Сд + 1т г + ^ + М А 1 + Яд + /со0£д )>° = 0. Обозначим + = Ц / ? к + Я д = " Я и примем С д < С к . Тогда условие устойчивости схемы принимает вид > 6д при со0 = -^1=-. Таким образом, суммарное сопротивление контура Я должно быть меньше критического значения /? к р -ГГ-. "д § 8. Критерий корневого метода Пользуясь методом корневого годографа, можно не только судить об устойчивости схемы, но и определять необходимые значения (уставки) ее элементов, при которых реализуются заданные частотно-временные характеристики замкнутой схемы. Корневыми годографами при этом называются траектории, описываемые корнями характеристического уравнения схемы (13-17) / 7 (р) = 1 ± 7 » = О в комплексной плоскости при изменении одного из параметров, чаще всего общего коэффициента усиления, от 0 до оо. Передаточные функции основной схемы в (р) и звена обратной связи Р (р) могут быть записаны в общем виде: ^ = <13"52) ; Построение корневого годографа начинается с нанесения в комплексной плоскости карты нулей и полюсов функций в (р) и р (р), определяемых корнями ПОЛИНОМОВ Рх(р), Р2 (р), <21 (р) и <Э2 (р). В общем случае возвратное отношение системы Т (р) имеет п полюсов и т конечных нулей и может быть записано 0 V) (р — Ру) (Р — Рд - {Р — Рп) V или Т(Р) = К0 рт + ат р ,рт~Х+ ••• , +а0 (13-55) где Ко = КХК2Разделив знаменатель выражения (13-55) на числитель, получим Р + ( й „ _ 1 — ат-\)Р (13-56) Н откуда следует, что при п > т функция Т (р) имеет п — т нулей, расположенных на бесконечности. С учетом выражения (13-54) характеристическое уравнение схемы запишется как = 1 —Ко0 а 0 ' (Р — Р г ) ( Р — Рг) • • • (Р — Рп) ' ИЛИ Р(Р) = (Р — Рд(Р — /»«) ••• (Р — Рп)—К0(р—г1) ... (р — гт) = 0. (13-57) Как следует из выражения (13-57), корни характеристического уравнения схемы или полосы функции № (р) зависят от значения Ко- Если Ко 0, корни характеристического уравнения приближаются по значениям к ри р2 ... рп, т. е. полюсы передаточной функции замкнутой схемы I?7 (р) совпадают с полюсами возвратного отношения Т (р). Наоборот, при бесконечном увеличении Ко корни характеристического уравнения приближаются по значениям к гъ г2 ... гт, соответствующим нулям возвратного отношения схемы. Следовательно, при увеличении Ко ОТ О ДО ооПОЛЮСЫ функции ' W (p) должны двигаться вдоль ветвей годографа от полюсов функции возвратного отношения Т (р) к ее нулям. Число ветвей корневого годографа равно числу полюсов функу» ции Т (р). Так как полюса лежат на вещественной оси, или, будучи комплексно-сопряженными, расположены симметрично относительно нее, то J10 корневой годограф также будет симметричным относительно веществен-6 ной оси комплексной плоскости. 5 К ветвям корневого годографа отРис. 333. Ветви корневого годогносятся те точки плоскости р, в ко- рафа, лежащие на действительторых выполняются фазовые условия ной оси: а — при отрицательной обратной (13-47) и (13-48): связи; б — при положительной обратной связи. ^ Т ( р ) = ± 180°, ± 540°, ± 900° для схем с отрицательным значением свободного параметра К0 или с отрицательной обратной связью и Т(р) = 0°, ± 360"; ± 7 2 0 ° . . . для схем с положительным значением коэффициента Ко или схем с положительной обратной связью. Пользуясь векторным методом построения фазовой характеристики, можно доказать, что условиям аргумента функции возвратного отношения Т (р) удовлетворяют: а) для отрицательных значений коэффициента Ко — точки вещественной оси плоскости, которые лежат слева от нечетного числа нулей и полюсов функции Т (р) (рис. 333, а)\ б) для положительных значений коэффициента К 0 — точки вещественной оси, лежащие справа от нечетного числа нулей и полюсов функции Т (р) (рис. 333, б). В силу того, что п — m нулей возвратного отношения Т (р) расположены на бесконечности, то п — m ветвей корневого годографа уходят в бесконечность на комплексной плоскости. Найдем общее выражение для асимптот этих уходящих в бесконечность ветвей корневого годографа. На основании выражений (13-56) и (13-46) находим Рп~т + - flm-i) Pn~m~] + ••• = К0. (13-58) Асимптоты определяются из выражения (13-58) в предположении, что р принимают большие значения. Это полином п — т степени, корни которого в сумме равны — (6,г_i — a„,_i). Поэтому точка пересечения асимптот п. Ь _а т S P I - S 4 г п— т п—т Таким образом, координата точки пересечения асимптот равна разности сумм полюсов и нулей функции возвратного отношение Т (р), деленной на разность полюсов и конечных нулей функции Т(р). Д л я отрицательных значений свободного параметра Ко асимптоты образуют с действительной осью углы 180° 540° > m ' ± „ 900° m •••> (13-60) а для положительных значений коэффициента К0 углы о ; , 360° , 720° (13-61) ± п—т — При п — т > 2 сумма корней уравнения (13-58), равная ( Ь п - \ — « т - О , не зависит от величины коэффициента Ко, хотя абсолютные значения отдельных корней зависят от Ко- Следовательно, при увеличении Ко одни полюсы смещаются по ветвям годографа вправо, уменьшаясь по абсолютной величине; другие — влево, увеличиваясь по величине. По той же причине смещению полюса в + /со направлении соответствует смещение другого полюса в —/со направлении. На основании приведенных выше правил можно по виду функции Т (р), набросав ход ветвей корневого годографа в комплексной плоскости, однозначно ответить на вопрос об устойчивости схемы при регулировке ее параметров в широком диапазоне. ± — п— —— т , Рис. 334. Корневой годограф схемы с возвратным отношением Т (р) = -Ко р(р + 5) (р2 + 8р + 64) Пример 10. Оценить с помощью корневого метода устойчивость схемы с возвратным отношением Т(Р)- - К о р(р + 5 ) ( р 2 + 8 р + 64) Сначала наносим в комплексной плоскости (рис. 334) полюса функции Т (р) : pi =• 0; p i = —5; р э , р4=> —4 ± / / 4 8 . Так как возвратное отношение не имеет конечных нулей, ветви годографа начинаются при Ко = 0 в каждом полюсе Т (р) и уходят в бесконечность. Д л я облегчения построения годографа проведем четыре асимптоты. Так как коэффициент Ко отрицателен, то углы, которые асимптоты образуют с действительной осью, определяются в соответствии с формулой (13-60): 180° 540° 900° 6= ± — —, ± — — , ± — = ± 4 5 ° , ± 1 3 5 ° , ± 2 2 5 ° . . . и т. д. 4—0 4—0 4— 0 Геометрически углы ±225° и ±45° совпадают, поэтому только первых два члена определяют углы четырех асимптот. Координата точки пересечения этих асимптот [0 + ( - 5 ) + ( - 4 + ; / 4 8 ) + ( - 4 - ; / 4 8 ) ) - [ 0 ] = —3,25. Р = При изменении Ко от нулевого значения полюс р\ из начала координат движется влево, а полюс из точки рг = —5 — вправо. Они встречаются в промежуточной точке и покидают действительную ось, двигаясь вдоль асимптот с углами наклона ± 4 5 ° к нулям, расположенным на бесконечности. Две другие ветви годографа, начинающиеся в комплексно-сопряженных полюсах р 3 , р 4 = —4 ± / 48, также уходят в бесконечность вдоль асимптот с углами наклона ±135 е . Так как первые две ветви годографа при некотором значении Ко пересекают мнимую ось и переходят в правую полуплоскость, то данная схема может быть неустойчивой. Значение Ккр будет определено ниже. Применение корневого метода к анализу электронных усилителей иллюстрируется рис. 335—338. На рис. 335, а, б, в приведены > 1 То 1Ш б а /ш 3 Л / Ш Сг» / 11 ( 11 Т ; 1 _ т! V т °] 6 'г \ \ Рис. 335. Корневые годографы многоступенных усилителей в области высоких частот при отрицательной обратной связи. Рис. 336. Корневые годографы многоступенных усилителей в области высоких частот при положительной обратной связи. корневые годографы соответственно одноступенного, двухступенного и трехступенного ^С-усилителей на лампах в области высоких частот, построенные в предположении, что в соответствии с формулой (7-17) возвратное отношение усилителя в этом диапазоне частот Т'(р) ™ Р(тТртГ и что в усилителе введена отрицательная обратная связь, т. е. коэффициент К 0 = РК" имеет отрицательный знак. Как следует из рис. 335, в, гармонические колебания возможны лишь в трехступенном #С-усилителе, так как ветви его корневого годографа пересекают мнимую ось и уходят в правую полуплоскость. Д л я сравнения на рис. 336, а, б, в приведены корневые годографы тех же усилителей при введении в них положительной обратной связи. При определенных значениях коэффициента Ко — $Кп и постоянной времени анодного контура та,- в схемах возникают релаксационные колебания за счет перехода действительного полюса в правую полуплоскость. > I тс > -6 1 тс2 \ Дбойной нуль 1 , /4» Двойной нуль б 1 -тСг б ]0) 1 Тс, б 6 Тройной |нуль \ \ \ \ -6 Г '/ ' \ Тсг тС; _ \ Тройной \ > 4 нуль 6 6 Рис. 337. Корневые годографы многоступенных усилителей в области низких частот при отрицательной обратной свя зи. Рис. 338. Корневые годографы многоступенных усилителей в области низких частот при положительной обратной связи. В области низких частот согласно формуле (10-40) возвратное отношение Т(Р) = ?> К Р Р + - где Корневые годографы одноступенного, двухступенного и трехступенного КС-усилителей в области низких частот для случая отрицательной и положительной обратной связи построены на рис. 337, а, б, в и 338, а, б, в. Снова, как это видно из хода приведенных годографов, гармонические колебания возможны в трехступенном усилителе с отрицательной обратной связью (рис. 337, в). При введении положительной обратной связи и определенных соотношениях параметров в схемах возможны релаксационные колебания. При этом положение полюса на бесконечности соответствует случаю критической обратной связи, когда модуль возвратного отношения | Г ( р ) | = 1, т. е. = 1. При построении корневых годографов рис. 334—338 использовались следующие правила нахождения углов, под которыми ветви годографа отходят от полюса и приближаются к нулям функции возвратного отношения. Ветвь годографа отходит от одиночного полюса и подходит к одиночному нулю, лежащему на вещественной оси, вдоль этой оси. Если полюс и нуль, расположенные на оси, кратные, то соответствующая ветвь годографа совпадает с веществен/ ной осью плоскости или образу/ / ет с ней прямой угол (рис. 337, б). Если на оси расположены тройной полюс или нуль, одна из Рис. 339. К определению угла выхода ветви корневого годографа из комплексно-сопряженного полюса. Рис. 340. К определению точки ухода ветвей корневого годографа с вещественной оси. ветвей корневого годографа обязательно совпадает с отрезком вещественной оси, а две другие образуют с ней угол 120° (рис. 337, в и 338, в). В общем случае, если полюс или нуль имеют кратность г, то угол между прилегающими ветвями годографа равен 360°/г. Аналогично может быть найден угол, под которым ветвь корневого годографа отходит от комплексно-сопряженного полюса или подходит к комплексно-сопряженному нулю. Рассмотрим ближайшую к полюсу точку а (рис. 339), лежащую на ветви корневого годографа, для которой при отрицательных значениях коэффициента К 0 должно выполняться условие углов Ф1-01-02-ез-'ф= 180°, а для положительных значений коэффициента К 0 Ф 1 - 0 1 — 02 — 03 — ^ = 0°. Так как точка а расположена возле комплексного полюса, то искомый угол равен и находится из приведенных выше соотношений. Углы 0j, 0 2 , 0 3 и фд примерно такие же, как и в случае совпадения точки с комплексным полюсом. Их величины определяются обычным векторным методом. Ветвь годографа между двумя полюсами, расположенными на вещественной оси, имеет точку ухода. Координата этой точки р = — —х может быть найдена из условия нулевого изменения суммы углов при переходе от точки ухода 1 к точке 2, принадлежащей годографу и находящейся на малом расстоянии е от вещественной оси (рис. 340). При этом должно выполняться условие Д ф 1 _ д е 1 _ д е 2 _ Д0 3 _ Д0 4 = 0. (13-62) Можно указанные приращения углов выразить через координаты особых точек функции ( а ь а 2 , |со„, (о0) и координаты точки 2 (х, г): Дф1 = — а г с ^ — ; Д62 = агс1 ё — Ле х = — а п ^ ; Д03 = агс!§ а2 — х — ш0 со0 (со0 — е) + (%юп — х) 4 6 5 СО0 6 С00 + 8 г Ш0 (СО0 + е) + (|й>„ — X? ЕСЛИ Е мало, тангенсы всех этих углов примерно равны величинам углов. Уравнение (13-62) при со0 > е принимает вид _!_ + 5 5 * аа —* х—а, 2едШп-х) м2 + (|Шп _ (13б3) ху Исключая е и учитывая, что в соответствии с рис. 340 / =У<о2 + ( | ( о „ - * ) г ; соэф = 1(0„ — х У<»20 + (Ее0„ - *)2 получим 4X- + ~ о Г ^ хА Л — (Х^ + I = (13"64) Формула (13-64) может быть обобщена на случай любого распределения нулей и полюсов функции возвратного отношения Т (р). В выражение для координаты х точки ухода годографа с оси будут 1 ссвтЬ г, входить члены двух видов: ^ ^ и — р - . Первые члены определяются нулями и полюсами функции, лежащими на вещественной оси в точках р = — а , . З н а к при члене будет положительным, если рассматриваемый полюс расположен слева, а нуль — справа от предполагаемой точки ухода с оси. Члены второго типа определяются комплексно-сопряженными полюсами или нулями. Численно они равны отношению косинуса угла, образованного вектором, проведенным из полюса или нуля в точку ухода с оси, к величине этого вектора. Знак при члене будет положительным, если комплексно-сопряженные полюса расположены слева, а комплексно-сопряженные нули — справа от предполагаемой точки ухода с оси. Пример 11. Д л я корневого годографа, построенного в примере 8 данной главы, найти угол, под которым кривая корневого годографа отходит от комплексного полюса, и координату точки ухода годографа с действительной оси. У г о л отхода от комплексного полюса ф = 180° —О!—Є2 —64. К а к следует из рис. 341, 0 i = 120°; 6 2 => 82 s ; 0 4 = 90°, по этому = —112". Точка ухода годографа с оси (рис. 334) лежит между значениями —3,25 и 0. Методом проб с помощью выражения 1 Рг- 1 2 (£а>„ - х) вытекающего из уравнения (13-63), £со„ = 4 , а>д = 48 находим х да 2,3. = 0, = 5, к -6 для значений рг; — Координату точки ухода ветви годографа с оси можно вычислить также аналитическим методом. При этом исходим из уравнения (13-57), которое для простоты записывается Р(Р) = Ф п ( р ) - К 0 ^ т ( р ) = 0, (13-65) Рис. 341. Корневой годограф к примеру 11 г л . 1 3 . где Ф„ (Р) = П ( Р - рд\ (р) = П {р— г,). 1=1 м Так как в точке ухода с оси корни двух ветвей совпадают (становятся кратными), то значение р = х удовлетворяет как исходное уравнение (13-65), так и его производную: Ф „ ( * ) - / ( 0 ф т ( х ) = 0; (13-66) Ф'п(х)-Хо**(*) = 0. Исключив из системы уравнений (13-66) коэффициент усиления Ко, получим уравнение возможных кратных точек годографа ф„ (*) ц'т (X) - Ф'п (х) Ф т (*) = 0. (13-67) Значение р = х, лежащее на отрезке вещественной оси, принадлежащей ветви годографа, и одновременно удовлетворяющее уравнению (13-67), определяет точку ухода годографа с оси. Пример 12. Д л я годографа схемы с отрицательной обратной связью (Ко < 0) и возвратным отношением Т (о) = Р (р + ~~ 5 ) (р' + найти точку ухода годографа с оси (рис. 334). 8р + 64) При заданном возвратном отношении Ф п (Р) = Р (Р + 5) (Р а + 8р + 64); ф т (р) = 1. После дифференцирования на основании выражения (13-67) получим О/ (р) = 4р 3 + 39р 2 + 208р + 320 = 0 Корни полученного кубического уравнения: р, = — 2,3; р2, Рз = — 3,75 ± /4,54. Вещественный корень pi = — 2 , 3 , лежащий на оси, определяет точку ухода годографа. При анализе устойчивости замкнутых схем методом корневого годографа, кроме определения общего хода ветвей годографа, важно найти значение коэффициента усиления /С кр , при котором ветви годографа пересекают мнимую ось плоскости. Пользуясь известным векторным методом и координатами точек пересечения с мнимой осью р к р , на основании уравнения (13-65) находим п п П (Ркр - Pi) П | Pi | |Ккр| = = - 4 П(ркр-г/) т . (13-68) Г11 г/1 1 1 где и |Zj| — абсолютные величины векторов, проведенных в точку пересечения ветви годографа с мнимой осью из полюсов и нулей функции возвратного отношения. Координаты точек пересечения р к р = jо) кр определяют критические значения частоты ю кр замкнутой схемы. По формуле, аналогичной (13-68), можно находить значение параметра к0, соответствующего любой точке р*, лежащей на ветви годографа. Это обстоятельство используется при синтезе замкнутых схем, когда, исходя из динамических характеристик замкнутой системы, находят соответствующее расположение нулей и полюсов на ветвях годографа возвратного отношения, а затем определяют необходимую величину параметра КоЕсли передаточная функция возвратного отношения задана через постоянные времени Т / ПЧ 7 К * = * (1 + p T t ) ( l + р т 2 ) . . . (1 + pim) „ о ( l + p r o a + p T V ) ... <1+р7„) (13 • Ш " Ь9 > где Tj = —- и Т/ = - р , то определяемый из годографа коэффициент усиления is TiT2 • • - Tm гrif Pi ... Pn A0 - A T n - A Zm Здесь К* — Т (0) — усиление электронной части схемы. Точки пересечения ветвей годографа с мнимой осью находят или геометрическим построением хода ветвей или аналитически. При выводе уравнения траекторий корневого годографа исходят из тождественного преобразования целых полиномов от комплексного аргумента р = а + /со следующего типа [3]: Ф„ (р) = [ ф „ (о) _ ф ; (о) + Ф™ (а) • + /со [ Ф ; (а) - Ф Г (а) + Ф 1 (а) - + (13-70) Применив формулу (13-70) к обоим полиномам общего выражения (13-65) и приравняв порознь нулю действительные и мнимые части, получим Ф„(о)—|-Ф„(а) Ф„(а)- + -Ко •Ф„(а) + -Ко (О) 2! г = 0; т = 0. (13-71) Исключив из этих уравнений параметр Ко, находим основное аналитическое уравнение ветвей годографа [фП(О)-4-Ф:(О)+ ФДО)- ( а ) - - . . О) 2! С ( о ) + 3! Ф„ (о) + . = 0. (13-72) Д л я частного случая точек пересечения ветвей годографа с мнимой осью о = 0, поэтому на основании (13-72) получаем уравнение критических частот Ф„(0)~ кр 2! Ф„(0) + Фп(0)- кр Ф'п(0) + 3! г ( 0 ) 3! С "> + = 0. (13-73) Соответствующие критическим частотам значения коэффициента усиления находятся по вытекающим из (13-71) формулам Ф„ (0) • К кр "кр 21 Ф„(0) + Ф„(0)- кр 3! Ф„ (0) + - Ч>«(0)- кр 21 ' Ш ' М кр з, ^ т (0) + (13-74) З н а к критического коэффициента К кр соответствует знаку свободного параметра Ко- Пример 13. Н а й т и критические значения частоты и коэффициента усиления корневого годографа (рис. 334), соответствующего схеме с отрицательной обратной связью и возвратным отношением ~Ко Т {Р(п) = — > р ( р + 5 ) ( р 2 + 8р + 64) ' К а к указывалось в примере 12, в данном случае Ф4 (Р) = Р (Р + 5 ) (Р 2 + 8 Р + 6 4 ) = Р 4 + 13р8 + Ю4р 2 + 320р ф ( р ) = 1. ся к Т а к как все производные от ф (р) равны нулю, то выражение (13-73) сводит- со2 ф;<0) Ф 4 (0) = 0. Дифференцируя функцию Ф 4 (р), получим ф [ (р) = 4р 3 + 39р 2 + 208р + 320; (0) = 320; 2 Ф'4' (р) = 12р + 78р + 208; (0) = 208; Ф4 (Р) = 24р + 78; Ф] у Ф™ (0) = 78. ф ' у (0) = 24. (р) = 24; Следовательно, критическая частота 3!Ф; (0) 2 320 . 6 или ш кр = 4.96, а координаты точек пересечения годографа с мнимой осью Ркр = ± /4,96 Критическое значение коэффициента усиления в соответствии с (13-74) О _ 4 - ф ; ( О ) Ккр = - % Ф Г ( 0 ) + 5 -208 = —тр- + Исключая значения полюсов, получим - КкР _ 1954 _ 5 Р2Р3Р4 '64 Следовательно, при Ко < 1954 данная схема будет устойчивой; при Ко > 1954 — нет. кр Уравнения для параметров сокр и /С кр могут быть выражены через коэффициенты полиномов Ф„ (р) и ф т (р): ф „ ( р ) = Ьпр" + т Ут(р) = атр + ... т 1 + ат^р ~ + ... -Ь ь0+а0, Таблица В ы р а ж е н и я д л я к р и т и ч е с к и х значений ш и 47 К т Пор яде к схемы т 2 1 2 Значение критического усиления К к р Уравнение критических частот п 2 Ь„ — Ьгсокр Мі«кР + Mo — M i = о ах Ь 0)2р + 60а, — b ^ (— Ьгах + b!а2) о — Мкр = 0 а & 0 3 И кр — 6 1 = ч 1Р b0 — 0 6, а ш о — 3 __ ftt а0 b2a>lp a0 3 (й3а0 — V I ) W K P — M o + M i = 1 b 0 l — Мкр «і 3 М г « > к р + ( V i — fr3a0 — Ьхаг) 2 X ткр + ( — b3a2 + 3 4 0 4 1 — b0a3)a>lp (63а0 — 620j + + V i — V o = 0 MlWKP + + м г ) — Мз^кр + X ш 0 Мкр V i = 0 «і (Mo — M i <4P—Mo + M i + = ° (Ml — Мг + Мз) x (Mo — M l + М г — Мз) + V i — &іа 0 = М4кр - М к р + ft. = Мкр г»і — й 3 ш 2 р - Мкр oi — кр + X 5 — «і — °»шкр ( M o — M l ) 0) 2 p — (Mi — M2)w£p + 2 3 Мкр Ь0 — М > к р + — Mo + 4 i ~ fli 3 + 4 b 0 (Mo — M i ) = 6 2 a 3 ) <o*p + X Мкр X — а 8ШКР 0 о — Мкр + «0 6 4 <"кр входящих в характеристическое уравнение замкнутой схемы [см. выражение (13-57) и (13-65)]. В табл. 47 для некоторых распространенных сочетаний п и т приведены системы уравнений для определения (оКр и Ккр, полученные на основании выражений (13-73) и (13-74). Как отмечалось выше, корневой годограф строится необязательно при изменении коэффициента усиления К 0 - Можно решить характеристическое уравнение Т7 (р) = 0 относительно некоторого параметра А, записав его в виде Р(р) = Фп(р) + Аут(р) = 0. (13-75) Построив соответствующий корневой годограф, можно проанализировать области устойчивости замкнутой схемы в зависимости от значений параметра А в комплексной плоскости р = о + /со, а не в плоскости самого параметра А, как это делается при О-разбиении [19]. Пример 14. Определить предельную величину емкости нагрузки С н эмиттерного повторителя, подключенного к источнику сигналов с индуктивным сопротивлением (рис. 342, а), при которой еще обеспечивается устойчивость схемы. Н а рис. 342, б приведена эквивалентная схема эмиттерного повторителя, по которой составляется матрица проводимости схемы, учитывающая проводимости источников сигнала и нагрузки ° б + рЬ + + - рс ™ + (£вэ + рСвэ) 8вк + рС ™ -<,gвэ + pCвэ 8ъэ + РСвэ + °« + + g) РСн+ё Здесь введены обозначения О0 =• й к э + Он и 0 б =• ^ <С 1. Характеристическое уравнение схемы можно определить аналогично выражению (13-11), если в качестве выделяемого параметра принять проводимость емкости нагрузки V = = р С н , расположенную на пересечении второй строки и второго столбца матрицы, т . е. Д (р) = Д р С н = ° + рС„ Д ^ н = ° . При большом индуктивном сопротивлении источника сигнала О б -* 0 и определитель 7 Г + §вэ + Д"СН=°= рС *э + 8 ш + р °вк ~ ^вэ + С - (§вэ + Р вэ> рСвэ + ё) §вэ + Р°вэ + °о + § вк + /*„) (£вэ + рСвэ + о0 + 0 + (§вэ + Рсвэ) о0. = Из определителя находится алгебраическое дополнение А 22« =0 = рЬ + йвэ + РСвэ + ёвк + РСВК- Характеристическое уравнение схемы после небольших преобразований можно записать в виде _ , , , „ , „ ^СвэСвк , , г Г Свэ°0 + Свэ§вк + СВ ф 3 (Р) + Спг|з3 (Р) = Р3 — — Г-7Г- + рЧ ё + ё в э + °о С + , + Р ^( С вэ + Свк) + ^8ш + с в к + 1 + С „ Р , вэ + МоВв р ^вэ + 18ш Г——— Я+£ В Э + С0 Р Ь + + 0. Если принять, что С в э > С„, § + £ в э > бо, £Оо£вэ < С в э и пренебречь прото водимостью характеристическое уравнение упрощается: Ор^вэ р^ СдЗ Обозначив Свк Свк = т „ и С0-| * + 8вэ + 1 -Ь +р- = о. , = Оп, получим характеристическое урав- Ч ф 3 (Р) + С„Фз (р) = р^т а с вк + р 2 / . ^ + р т а + 1 - ( - С„) Та/-р3 = 0. Соответственно коэффициенты ПОЛИНОМОВ ф 3 (р) И Фз (р): Ь3 = ^т а С вк ; а Ь2 = £таОд; 6, = т а ; з= 60=1; а2 = а, = а0 = 0- Уравнения критических частот и критического значения параметра С н , выписанные из табл. 47, для случая от = 3, п = 3, имеют вид — 60йзМКР = 0; "Сн.кр —' 4р °з0>кр Ь Ь 12 Так как <о; кр К то С„ „„ = н.кр . . После подстановки соответствую- щих коэффициентов и значения О0 получим с __та ^сРо ~ н.кр 1% 1х С а ьк = т а°0 — СвК = т а °0' Таким образом, рассматриваемая схема условие С будет н < Сн кр = таС0 = Свэ устойчивой, 8кэ + & Т °п если выполняется . бвэ Например, в эмиттерном повторителе на транзисторе П403 с нагрузкой / ? „ = 1 ком в соответствии с данными табл. 29 генерация наступает при Сн > 100 • 10~4 + 10~3 /V" - 3 70 • Ю + 0,7 • 1(Г з = 1-56 пф. Как следует из табл. 47, с увеличением порядка замкнутой системы определение критических значений (оКр и Кк Р , как и аналитическое построение ветвей годографа в соответствии с выражениями (13-67) и (13-72), существенно усложняется. Графические же методы нахождения (путем последовательных проверок фазового угла) критических точек годографа — точки отхода от вещественной оси, точки пересечения с мнимой осью, угла отхода от комплексных полюсов — безотносительны к сложности исследуемой системы. Существенную помощь в графических построениях оказывает спиральное лекало (спируль), позволяющее строить общий фазовый угол полюсных и нулевых векторов для любой точки в комплексной плоскости [15, 16]. § 9. Условия стационарности генератора Схема с обратной связью работает в автоколебательном режиме, если на ее выходе образуются периодические колебания (изменения выходной величины) при отсутствии входного возбуждения. Хотя автоколебательные схемы являются нелинейными системами, условия стационарности (или, как их называют, условия возбуждения) могут быть найдены на основании линейной теории. В автоколебательном режиме передаточная функция замкнутой схемы = (13-76) так как входной сигнал отсутствует. При этом характеристическое уравнение схемы, определяемое возвратной разностью Р (р) = 0, имеет корни с положительными действительными частями, лежащими в правой комплексной полуплоскости. Схема генерирует гармонические колебания, если передаточная функция № (р) имеет пару комплексно-сопряженных полюсов на мнимой оси, а остальные полюса, если они имеются, лежат в левой полуплоскости. Автоколебательные свойства схемы определяются структурой передаточных функций в (р) и р (р), т. е. картон их полюсов и нулей, а также знаком обратной связи. Д л я анализа условий возбуждения может быть использован любой из рассмотренных выше критериев устойчивости. Но удобней всего пользоваться критерием корневого годографа, с помощью которого определяются не только условия неустойчивости схемы, но и вид возникающих автоколебаний (гармонических или релаксационных). Изучая корневой годограф схемы, можно установить принципиальную возможность вывода полюсов на мнимую ось и выбора такого усиления в ней, при котором схема переходит в автоколебательный режим. Например, на рис. 343, а и б приведены корневые годографы схем с возвратными отношениями •Ко Т г (Р + Рх)(Р + Рг)(Р Рз) и Т2 = Ко р 2 + 2|сопр + < которые могут генерировать гармонические колебания при отрицательной и положительной обратных связях соответственно. 3 б Рис. 343. Корневые годографы автоколебательных схем. С помощью уравнений, приведенных в табл. 47 для критических значений сокр и Ккр, можно определить частоту колебаний, устанавливающихся в генерирующей схеме, и найти зависимость между параметрами такой схемы. Так как элементы схемы предполагаются линейными, то в выражения для (окр и Ккр не входят амплитуды токов и напряжений. Это значит, что теоретически возможны любые значения этих амплитуд, определяемые начальными условиями. В действительности, существенным для генераторов является наличие нелинейных элементов, ограничивающих значения амплитуд токов и напряжений. Если анализ схемы генератора ведется без выделения возвратного отношения Т (р), то условия стационарности находятся из общего выражения Р (р) = 0, эквивалентного в соответствии с выражением (13-16) условию А (р) = 0, (13-77) где А — определитель укороченной матрицы нагруженной схемы. Выразив определитель в виде комплексного выражения А = А + + ]'В, на основании (13-77) находим два условия стационарности: А ((о) = 0; В (в») = 0, (13-78) которые называются условиями баланса амплитуд и фаз и которые используются для нахождения значений (окр и /С кр . Пример 15. Определить условия стационарности трехступенного /?С-генератора (рис. 344, а). Разорвав в точках а — а контур обратной связи, находим величину возвратного отношения К3Р3 Т(Р) = = - к 3 яс р 2 + Я2С2 р + Р3 + Р + - ЯС Я3С3 где К — коэффициент усиления одного усилительного звена. Корневой годограф схемы при отрицательной обратной связи приведен на рис. 344, б. Д л я удобства пользования формулами табл. 47 определим коэффициенты полиномов Фз (Р) = ЬзР3 + Ь2рг + Ь,р + 60 = 3 2 = рЗ + . +• яс Я2С2 Фз (р) =°з Р3 + ау Р + 1 рзСз ' + ахр + а„ = р 3 . Т а к как д л я рассматриваемой схемы / 1 = 3 , т •= 3, то в соответствии с табл. 47 частота генерации, определяемая координатой точки пересечения ветви годографа с мнимой осью, находится из следующего уравнения: (— Ь3аг + Ьга3) со4 + (Ь3а0 — Ьгах + 4- Ька2 — Ь0а3) ш2 + Ь(ру — Ьха0 = О или после подстановки значений коэффициентов Ь2(о4 — Ьасо2 = Рис. 344. Трехступенный ЯС-генератор: а — принципиальная схема; б — корневой годограф. 3 ЯС ш* — = 0, Я3С3 откуда 1 У 3 ЯС Суммарный критический коэффициент усиления в соответствии с табл. 47 _ 3 2 ^кр = — — Ь3 о) К 3 — а, — а ог 3 1 же* Я*с2 I 2 ЗЯ С Поэтому для устойчивых колебаний жен быть К > 8=2. = 8. 2 коэффициент усиления каждой ступени дол- Пример 16. Н а й т и условия стационарности /?С-генератора с мостом Вина (рис. 345, а). Разрывая контур обратной связи в точках а — а, находим R • R + Т(р) = КЪ = 1 рС рС К- = 1 К' Р рС R + PC где К ' = К R + г _з_ + RC 1_ P_t ~ RlC* PC ш Возвратное отношение Т (р) имеет нуль в начале координат, и два вещественных полюса 2,618 З ± V 5 0,382 Рг = — RC Р\- Рг = 2Ж— илнр, = —• RC Р и с . 345. ЯС-генератор с мостом Вина: о — принципиальная схема; б — корневой годограф. Корневой годограф при существующей в схеме положительной обратной связи имеет вид, показанный на рис. 345, б. Д л я удобства использования формул табл. 47 запишем Ф 2 (р) = ь у + blP + b0 = р 2 + р 3 + 1 - — - ; \|>i (р) = ахр + а0 = р Д л я данной схемы п => 2, m =» 1, поэтому частота генерации и критический коэффициент усиления находятся из выражений (табл. 47): Ь.гах<£р + Ьхаа — й0а, = 0; К «Р = - t После подстановки значений коэффициентов полиномов 1 /? 2 С 2 RC = 0; получим откуда со = — /\С и коэффициент усиления электронной части К > К к р Я С = 3. Пример 17. Определить частоту генерации и соотношение элементов генератора с емкостной трехточкой (рис. 346, а). Разрывая контур в точках а — а, получим схему, изображенную на рис. 346, б, по которой при условии большого Я с находится возвратное отношение —5 " и, - Аи = рЗС^Ь + рг ( С , С 2 К + /.С 1 С 1 ) + р ( З Д Я + С , + С 2 ) + О , 1 где /? — сопротивление потерь индуктивности. Вписываем коэффициенты полинома Ф 3 (р), стоящего в знаменателе Т (р) ; Ы = СхСгЯ + Ш О , ; Ьх = СхО,/? + Сх + С 2 ; 60 = О/. Ь3 = С^и > \ я р \ I® г( Рис. 346. Генератор с емкостной трехточкой: а — принципиальная схема; б — схема для определения возвратного отношения; а — корневой годограф. Из табл. 47 для частного случая п = 3 2 6з(0 — и т = 0 выписываем формулы: = 0; • 6„сог. Используя значения коэффициентов полинома Ф 3 (р), получим І-С^Сч э > Л - ц = (С, + Сі с2) + А о£ (і + *0і + 1 + "Ж" + яс2 Л + Яі 1 + Сі Обычно выполняется неравенство Я <С Я/, поэтому /АС, + ц» ( С , + С2). Пример 18. Усилитель постоянного тока состоит из трех идентичных звеньев (рис. 347, а) и имеет частотную характеристику, приведенную на рис. 347, б. Общий коэ(}х})ициент усиления на низких частотах Ко = 8000. Часть выходного напряжения последнего звена подается через делитель на в^од первого, образуя на низких частотах контур отрицательной обратной связи. Было обнаружено, что при определенном коэффициенте обратной связи усилитель возбуждается. Определить это значение р к р и частоту генерации. Генерация в рассматриваемой схеме на высоких частотах обусловливается паразитными емкостями усилительных звеньев, при этом согласно формуле (7-17) передаточная функция каждо1,кгц го звена 0,20,40,6№ о Кпхщ Кг = р + щ 1000 •0„ Н _ °са ' °ак т н Возвратная разность схемы где ы 2 = 1_Кп®2_\ К Щ 3 Р (Р) = 1 + Р\ рР ++0І ш а 22 I = = (р + со2)3 + р (Кохщ? (Р + со2)' а ее характеристическое уравнение (р + С02)3 + Р (К01(Оо)3 = р3+ Зсо2р'2 + 3 + Зш?2р + ш2 (1 + Р/С,,) = 0, где К » = К о , - 8000. Рис. 347. К примеру 18 г л . 13: Аппроксимируя Л А Ч Х двумя лиа — блок-схема усилителя; б— его частотнейными отрезками, находим граничную ная характеристика. частоту /з = 50 кгц, на которой в трехступенном усилителе коэффициент пере3 1 дачи уменьшается на — 9 дб. При этом ш 2 = 2 я / 2 = 6,28 • 50 103=314 • 10 сек Пользуясь алгебраическими критериями устойчивости и формулами табл. 46, находим условие генерации в виде а а г = аоа 3 . При подстановке коэффициентов характеристического уравнения получим (Зо>2) (Зса|) = ео| (1 Н- Э/Со) или откуда 9 = 1 + р/С 0 , 8 8 Ко 8 • 10 3 = 101 - 3 Подставляя полученное значение |3 в характеристическое уравнение, получаем р 3 + Зо)зР2 + Зсй\р + 9со| = р 2 (р + Зсо2) + Зсо2 (р + 3®2) = = (р + Зсо2)(р2 + 3ю|) = 0. Корни этого уравнения, лежащие на мнимой оси плоскости, этому частота возникающих колебаний /ген = А 2 — ± /<»2 3, по- р - = / 3 / г = 87 кгц. Анализ транзисторных автоколебательных схем несколько сложнее, так как при разрыве замкнутой схемы выход петли нужно нагружать на конечное входное сопротивление, которое точно трудно определяется. Поэтому в ряде случаев проще проанализировать схему в замкнутом виде и для нахождения условий стационарности использовать общие условия баланса фаз и амплитуд (13-78). Пример 19. Проанализировать схему генератора гармонических колебаний с емкостной трехточкой на транзисторе (рис. 202, а), матрица которой была получена в примере 12 гл. 8 в виде 1 + Рс і + Я + рЬ §12" 1 Я + рЬ м = Я + ЯІ. — (§22 + РСг + ^ 1 рі Определитель схемы в режиме генерации должен быть равен нулю: А= + Р^ + - й н Ь г ) + (§12 - )( Н1Р1 + рС> + Д + р/, ) + ) = Р ^ С ^ + р2 ( С ^ Я + С г Ц и + - + С 2 ^ ц ) + р (С, + С 2 + С ! Я§22 + С2Ями + | § | £ ) + | § | Я + < і = 0. Здесь | в | = gllgii — gl2g2l И сі = §11 + £12 + §21 + §22. Заменив р на /со и разделив мнимую и вещественную части, получим: А (со) = | § | я + & - ( С , С , £ + С,§ 2 2 /, + С 2 / . § „ ) = 0; В (со) = С , + С2 + С \ Я § 2 2 + С 2 / ? § „ + | § І і- - со2С\С2£. = 0. Из последнего выражения находим частоту генерации І/ / Сі + с 2 с,с 2 /. я І / § 22 ! с2 г С, ) с,с а ,1 \ Если перейти от ^-параметров к /г по формулам табл. 15, то Сі + С2 1I Ґ |А| * 1 і IV С2/гц ' | САг) А22 С]С 2 /г п Подставляя в уравнение А (ш) = 0 полученное значение частоты и выражая и d через соответствующие /г-параметры, получим h > Я (Ct + С,) h u I +_ С, сГ"Г С2 , . _ Сг ~сГ|Л,~~сГ' Из корневого годографа генератора гармонических колебаний следует, что выходные синусоидальные напряжения вырабатываются ЛИШЬ при определенном коэффициенте усиления /Скр- Если усиление меньше этого значения, то выходные сигналы содержат экспоненциально убывающие синусоидальные колебания; если больше — выходные колебания существенно искажены. Поэтому в генераторах предусматривается контроль величины усиления. Например, в двухламповом генераторе с мостом Вина (рис. 345, а) для стабилизации амплитуды колебаний применяется дополнительный контур обратной связи через нелинейное сопротивление (небольшая лампа' накаливания), подключенное к катоду первой лампы. При возрастании амплитуды колебаний сопротивление такого нелинейного элемента увеличивается, возрастает глубина отрицательной обратной связи и усиление уменьшается. Во многих генерирующих схемах имеется внутренний контроль усиления вследствие нелинейности, присущей самой схеме. Допустим, что усиление К таково, что полюса смещаются в правую полуплоскость. Амплитуда выходных колебаний нарастает до уровня насыщения в одном или нескольких звеньях, в результате чего уменьшается среднее значение усиления. Следовательно, в нелинейной системе усиление зависит от мгновенного значения амплитуды сигнала. В начальной области возбуждения генератора уровни сигнала малы, усиление больше критического и полюса смещаются в правую полуплоскость. Когда колебания возрастают, усиление уменьшается, что вызывает перемещение полюсов к мнимой оси /со. Поэтому в процессе колебаний полюса схемы двигаются вперед и назад по участку корневого годографа, пересекающего мнимую ось. Вследствие нелинейности схемы (участков насыщения) выходные колебания генератора искажаются. Кроме основной генерируемой частоты, появляются дополнительные гармонические составляющие. В методе гармонического баланса, применяемом для определения амплитуды выходных колебаний, рассматривают лишь основную составляющую и пренебрегают гармониками. Метод гармонического баланса (принцип эквивалентной линеаризации нелинейности) основан на условном отождествлении данной нелинейной схемы с некоторой линейной, установившаяся реакция которой на гармоническое воздействие совпадает с первой гармоникой реакции на то же воздействие исходной нелинейной схемы. Однако в отличие от линейных схем, передаточные функции которых не зависят от величины сигнала, передаточная функция эквивалентной линейной схемы будет функцией амплитуды и частоты подводимого возбуждения (U и со). Возвратное отношение Т (V, /со) эквивалентной линейной схемы для многих практических случаев разбивается на две составляющие Т ( и , /со) = Т (/со) • В (£/, /со). (13-79) Первая составляющая Т (/со) является обычной передаточной функцией разомкнутой линейной схемы, независящей от величины сигнала. Вторая составляющая В (II, /со) связывает амплитуду основной составляющей на выходе нелинейной схемы с величиной сигнала на ее входе. Во многих случаях параметр В зависит только от амплитуды сигнала и . первого рода Д л я RС-генераторов, активные элементы которых, как правило, работают в режиме колебаний первого рода, характерна нелинейность, показанная на рис. 348, а. При этом характеристики насыщения симметричны, а положительный и отрицательный полупериоды генерируемой волны искажаются одинаково, что уменьшает вторую гармонику. Третья гармоника, как главная составляющая искажений, может быть легко исключена фильтрацией. С этой точки зрения RС-генераторы с фазосдвигающими цепочками типа интегрирующих обеспечивают лучшую форму генерируемого сигнала в сравнении с цепочками дифференцирующего типа. Используя формулу Фурье, можно по кривой рис. 348, а найти величину основной составляющей для каждого значения входного сигнала. Отношение величин основной гармоники и входного сигнала определяет параметр В: В (а) = — (arcsin — JT у ОС — cos arcsin — ) , Ct Ct I (13-80) где а = U J U — относительная величина синусоидального входного сигнала возбуждения; U0 — максимальное значение входного неискаженного сигнала. Кривая зависимости В (а) приведена на рис. 348, б. В £С-генераторах активные элементы обычно используются в режиме колебаний второго рода (классе С). При этом нелинейность, учитываемая при определении амплитуды колебаний, показана на рис. 349, а. Так как в качестве нагрузки в £С-генераторах используется параллельный резонансный контур с высокой добротностью, то влияние гармоник существенно ослабляется и форма волны анодного (коллекторного) напряжения будет искажена намного меньше, чем форма выходного тока. Нетрудно видеть, Рис. 349. Нелинейность LC-генераторов, работающих в режиме второго рода. что параметр В в этом случае совпадает с коэффициентом а ь определяющим амплитудное значение основной гармоники в режиме класса С (6-108): R О = 1 я Э • — s i n 20 2 1: — cos зВ I где 0 — угол отсечки выходного тока. График зависимости В (0) приведен на рис. 349, б. Сводя задачу определения периодических колебаний в нелинейной схеме к рассмотрению поведения эквивалентной линейной схемы на границе устойчивости, можно воспользоваться различными критериями устойчивости или условиями стационарности генератора. Например, для установившихся колебаний необходимо выполнение равенства F (а, /со) = 0 или Т (а, /со) = ± 1 . Воспользовавшись формулой (13-79), получим П/С0) = ± ^ - . (13-81) Оба члена уравнения (13-81) могут быть построены в комплексной плоскости (рис. 350). Точка пересечения полученных кривых определяет значения ш0 и . По известному В0 для схем с активными "о элементами, работающими в режиме колебаний первого рода, с помощью кривой рис. 348, б находят соответствующее значение параметра а 0 и вычисляют величину входного сигнала и в х = — . При этом криа0 тическое значение £/0 находят по семейству статических характеристик используемых элементов или по экспериментально снятой в разомкнутом состоянии амплитудной характериституды автоколебаний по частотному годографу эквивалентной ке схемы. линейной схемы. Амплитуда выходных колебаний и вых = КкрУвх, (13-82) где Ккр — критическое усиление данной схемы, устанавливающееся в процессе выхода полюсов на мнимую ось. Для генераторов с активными элементами, работающими в режиме колебаний второго рода, по известному В0 и графику рис. 349, б находят угол отсечки выходного тока 0, по которому проводят полный расчет звена в соответствии с методикой, изложенной в гл. 6. ЛИТЕРАТУРА 1. А н д р е А н г о. Математика для электро- и радиоинженеров. М., «Наука», 1965. 2. А й з и н о в М. М. Анализ и синтез линейных радиотехнических цепей в переходном режиме. М., «Энергия», 1964. 3. Б е н д р и к о в Г . A . , T е о д о р ч и к К- Ф- Траектории корней линейных автоматических систем. М., «Наука», 1964. 4. Б о д е Г . Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. М., Изд. иностр. лит., 1948. 5. В е л и ч к о Ю. Т . Прох1дш чотириполюсники. К . , Держтехвидав У Р С Р , 1958. 6. 3 е в е к а Г . В . , И о н к и н П . А . , Н е т у ш и л А. В . , С т р а х о в С. В . Основы теории цепей. М . , Госэнергоиздат, 1963. 7. К У л и к о в с к и й А . А. Устойчивость активных линеаризованных цепей с усилительными приборами новых типов. М., Госэнергоиздат, 1962. 8. М а р т и н Т . Электронные цепи. М., Воениздат, 1958. 9. М э з о н С . , Ц и м м е р м а н Г . Электронные цепи, сигналы и системы. М., Изд. иностр. лит., 1963. 10. Р о б и ш о Л . , Б у а в е р М., Р о в е р Ж . Направленные графы и их приложение к электрическим цепям и машинам. М., «Энергия», 1964. 11. С е ш у С . , Б а л а б а н я н Н . Анализ линейных цепей. М., Госэнергоиздат, 1963. 12. С и г о р с к и й В . П. Общая теория четырехполюсника. К . , Изд-во А Н У С С Р , 1955. 13. С и г о р с к и й В . П. Методы анализа электрических схем с многополюсными элементами. К , Изд-во А Н У С С Р , 1958. 14. С и г о р с к и й В . П. Анализ электронных схем. К , «Техника», 1964. 15 С о л о д о в н и к о в В . В . , Т о п ч е е в Ю . И., К р у т и к о в Г . В . Частотный метод построения переходных процессов с приложением таблиц и номограмм. М., Гостехиздат, 1955. 16. С т ю а р д Д . Теория и синтез электрических схем. М., Изд. иностр. лит., 1962. 17. Т р а к с е л Д . Синтез системы автомагического регулирования. М., Машгиз, 1959. 18. Т р о х и м е н к о Я . К. Радиоприемные устройства на транзисторах. Киев, «Техника», 1964. 19. Ф е л ь д б а у м А. А . , Д у д ы к и н А. Д . , М а н о в ц е в А. П . , М и р о л ю б о в Н . Н . Теоретические основы связи и управления. М., Физматгиз, 1963. 20. А 11 е у С . , A t w о о d К . Electronic Engineering, John Wiley and Sons. Inc., New York, 1962. 21. С 1 a r k R . N. Introduction to Automatic Control Systems, John Wiley and Sons., Inc., New York, 1962. 22. P u 1 1 e n K . A. Conductance Design of Active Circuit, John F . Rider Publisher, Inc., New York, 1959. 23. R у d e r J . D. Electronic Fundamentals and Applications (second edition), Prentice — H a l l , Inc., New York, 1959. 24. Z i m m e r m a n n H . J . , M a s o n S . J . Electronic Circuit Theory (Devices, Models and Circuits), John Wiley and Sons, Inc., New Y o r k , 1960. \ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгебраическое дополнение сквозного пути графа 410 элемента матрицы 62 Амплитуда комплексная 14 гармоники 17 Амплитудная характеристика 136, 466 Анализ схем 8 Аппроксимация частотных характеристик 493 Базисный узел 76 Вектор задающих напряжений ветвей 52 напряжений схемы 70 токов схемы 70 — контурных токов 58 — напряжений ветвей 52 — токов ветвей 52 — узловых напряжений 60 Вершина графа 395 Ветвь схемы 40 — графа 395 Взаимная индуктивность 78 Возвратная разность 507 Возвратное отношение 507 Вторичные параметры схемы 93, 102, 107, 109 схем включения лампы 270, 271 транзистора 288 Входная проводимость лампы 259 Выходная проводимость лампы 259 Вычитающая схема 391 Главные ветви 55 Гибридная схема замещения транзистора 285 Графическое определение выходного сопротивления 222 — — коэффициента передачи напряжения и тока 226 Граф схемы 395 Граф транзистора 400 Двухполюсник 37 Двухтактная схема 241 Дерево схемы 55 Динамические характеристики при имполюсном- воздействии 212 при комплексной нагрузке 210 электронных схем 200 Динамическое сопротивление 145 Диод 144 Емкость 11 Закон коммутации 48 Законы Кирхгофа 38 — — в матричной форме 58, 60 Изображение интеграла 30 — производной 28 — символическое 14 — функции 26 Изолинии функции 135 Иммитанс 37 Импульсная характеристика 140 Инверсии перестановки 415 Индуктивность 12 Интеграл суперпозиции 436 Источники графа 397 — напряжения 11 — тока 11 Каноническая система контуров 69 сечений 76 Карта нулей и полюсов 131 Контур графа 409 — схемы 38 Коэффициент нелинейности 234 в режиме колебаний второго рода 240 — неравномерности частотной характеристики 469 — передачи напряжения 94 тока 94 Критерий устойчивости Боде 541 иммитансный 538 Михайлова 526 Найквиста 528 корневого метода 539 Рауса — Гурвица 523 Критические значения частоты и усиления 553 Крутизна характеристики 147 Линия нагрузки 190 — смещения 193 Логарифмические частотные характеристики 138, 487 Масштабный коэффициент 131 Матрица высокочастотного транзистора 353 триода 346 — графа 407 — индуктивных связей 82 — контуров 57 — многополюсной подсхемы 382 — пентода 344 — пассивных четырехполюсников 310 — проводимости схемы 70 — сечений 59 — сопротивлений ветвей 53 — сопротивления схемы 61 — схема с зависимыми источниками 301 — транзистора 349 — триода 343 Междуэлектродные емкости 257 Метод гармонического баланса 561 — корневого годографа 539 — контурных токов 61 — ориентированных графов 420 — подсхем 101 — трапецеидальных частотных характеристик 502 — узловых напряжений 69 — четырехполюсника 324 — эквивалентных схем 293 Многомерный вектор 52 Многополюсные элементы 143, 335 Нелинейные искажения в режиме колебаний первого рода 230 Нули функции 131 Обобщенный метод контурных токов 372 — — узловых напряжений 358 Обратная матрица 62 — связь 506 — внутренняя связь в транзисторе 520 Огибающая линейчатого спектра 17 Определитель графа 410 — матрицы 62 Определение частотно-временных характеристик 141 Оригинал 26 Ориентированный граф 395 Параллельное соединение четырехполюсников 366 Параметры пентода 150 — переходной характеристики 438 — многополюсного элемента 336, 343 — транзистора 160 — триода 147 — четырехполюсника 129. 307 — элемента 10 Пентод 149 Первичные параметры схемы 93 Передача ветви графа 395 — графа 406 Перекрестные искажения 236 Перестановка 415 Пересчет параметров транзистора 166, 167, 168, 171 - ^ ^ — характеристик пентода 151- Переходная характеристика 141 Период функции 14 Плоская схема 69 Погрешность вычитания 392 Подстановка 415 Подсхема 376 Полевой полупроводниковый триод 174 Полиномы Баттерворта 493 — Чебышева 495 Полюс элемента 10 Полюсы функции 131 Полный граф 414 Последовательное соединение четырехполюсника 330 Преобразование ветвей 41 - с индуктивными связями 81 — источников 42 — Лапласа 26 — функций времени 36 — Фурье 22 Принцип дуальности 77 Проводимость 12 — входная 96 — комплексная 16 — операторная 30 — передачи 96 Проходная проводимость лампы 260 Путь графа 409 Регулярные соединения четырехполюсников 334 Режим второго рода 237 Резонансная частота 479 Решетка матрицы 111 Ряд Фурье 17 — — в комплексной форме 18 Сечение 54 Сигнал вершины графа 395 Синтез 8 Сквозной путь графа 409 Соединение четырехполюсников 311 Сопротивление 12 — комплексное 15 — взаимоиндукции 79 — входное 96 — операторное 30 — передачи 96 Спектральная плотность 23 — — единичной функции 25 — — экспоненциального импульса 24 Спектр периодической функции 18 — непериодической функции 23 Статическое сопротивление 145 Статические характеристики электронной схемы 196 Сток графа 397 Суммарное алгебраическое дополнение 112 Схема замещения обратимого четырехполюсника 127 необратимого четырехполюсника 128 Схемы включения электронных приборов 176 Схема принципиальная 9 — монтажная 9 — электронная 10 Схема с общим анодом 266 — с общим катодом 260 — с общей базой 277 Схема с общей сеткой 263 — с общим коллектором 279 — с общим эмиттером 278 — с двумя выходными сторонами 491 Температурная стабилизация 180 Теорема запаздывания 32 — об определителе суммы двух матриц 412 — о начальном значении 35 — о конечном значении 35 — разложения 426 — смещения 34 — Якоби 379 Термокомпенсация 185 Точка покоя 191 Транзистор 156 Трехполюсный элемент 146 Туннельный диод 145 Узел 38 Уравнение ветви 40 в матричной форме 52 — индуктивной связи 78 Уравнение пассивного двухполюсника 12 Уравнение многополюсного элемента 336 — четырехполюсника 118 Условие взаимности четырехполюсника 119 — идеального вычитания 391 • — обратимости и симметрии четырехполюсника 127 — регулярности соединения четырехполюсников 331 Условия стационарности генератора 556 Устойчивость 514 Фазо-минимальные функции 498 Фазо-неминимальные функции 463, 497 Фазо-частотная характеристика 1°7, 466 Функции второго порядка 449, 474 — высших порядков 460 — первого порядка 442, 470 — схемы 130 Функция непериодическая 22 — периодическая 16 Характеристика пентода 151 — транзистора 159 — триода 149 Цепь электронная 9 Цикл подстановки 415 Частота 14 Частотные характеристики 464 Часть схемы 57 Четырехполюсник 93 Четырехполюсники связи 186 Эквивалентная схема лампы на высоких частотах 258 — на низких частотах 257 транзистора на низких частотах 272, 277 на высоких частотах 283 Эквивалентный генератор 96 Эквивалентные преобразования графов 402 — — схем 45 Эквивалентные операторные схемы емкости 30 индуктивности 31 Элементы активные 11 — пассивные 11 — решетки 111 — схемы 10 Оцифровка by Lёva ®

Учебник по теории электронных схем: Сигорский, Петренко

Related documents

Products

Support

Учебник по теории электронных схем: Сигорский, Петренко

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib