Fonctions Exponentielles
-Série 082BAC PC-SVT-
EXERCICE 01
EXERCICE 03
Déterminer D f l’ensemble de définition de la fonction
f dans chacun des cas suivants :
x 
5) f  x   1  e  x
 ex 1 
3) f  x   ln  x

 e 3
2e2 x  2
6) f  x   2 x
2e  5e x  2
1 1

7) f  x   x  ln  e x  1
2 2

4) f  x  

8) f  x   ln 5e
1
x  3e x

1) lim 5 x 2  x  e x
1) f  x  
ex  1
ex  2
2) f  x   x  ln  e x  3
Calculer les limites suivantes :
2x


2) lim e x  x 3  x 2  2
 6e x  1
x 
x 


4) lim 2 x3  4 x 2  5 e  x

5) lim e x ln 1  e  x
x 
EXERCICE 02

3) lim e 2 x  e3 x
x 

6) lim x 3e 2 x
x 
1)Résoudre dans
les équations suivantes :
2e  1
4
e 3
 E1  : x
3
x
x
 E5  : e 2  3e x  3e 2  2  0
x
 E2  : ln  3 e x  2   2
 E6  : e2 x  7e x  12  0
 E3  : 2e  3e
 E7  : e x  e2 x 2  1  0
x
x
5
 E4  :  e  1 e  3  0
x
x
2)Résoudre dans
2e x  1
0
e 2
 I 3  : ln  e x  2e x 
 I2  : x
0
2
e x  3e y  5
 S1  :  x y
2e  e  3
e  e
 xy  2
e
 I 7  : ln  3e x  1  x
 I8  : 2 x
3)Résoudre dans
 S3  : 
 I5  : 2e2 x  5e x  2  0
 I 6  : e2 x  8e x  15  0
ex 1
e 1
e3 x  1
3
e 2
 I4  : 3x
4y
1
2
les inéquations suivantes
 I1  :  e x  1 3  e x   0
x
 E8  : 1  e2 x 
2
ex  2
ex  2
les systèmes suivants :
e x 1  2e y 2  7
 S2  :  x1 y 2
3e  4e  1
ln  y  6   ln x  3ln 2
 S4  :  5 x  y 6
e  e
e
e2 x  e x  1
x 
2e x  5
2e x  3
12) lim x
x  e  1
e2 x  e x
13) lim
x 0
x
x
2
x
14) lim
e x 1
x 1 x  1
x 1
11) lim
e2 x
x  2 x  1
 1 
8) lim x  e x  1
x 


xe  e x
x 1 x  1
 ex 1 
16) lim ln  x
 x
x 
 e 3
15) lim


17) lim ln e 2 x  e x  x
7) lim
x 
2x
18) lim
x 
ex
x 
x
9) lim
19) lim
x 
1
2 x
10) lim x e
20)
x 0
1
1 e x
ln  e2 x  e x  1
x 1
1
 1

lim x 2  e x  e x 1 
x 


EXERCICE 04
Partie01 :
On considère la fonction numérique f définie sur
Par : f  x   x   x  2  e x .
 
Et C f sa courbe représentative dans un repère


orthonormé O; i; j .
1)a-Calculer lim f  x  et lim f  x  .
x 
x 
 
b-Déterminer la nature du branche infinie de C f
au voisinage de  .
c-Montrer que la droite    d’équation y  x est
 
une asymptote oblique à C f au voisinage de  .
 
2)Etudier la position relative de la courbe C f et la
droite    sur
.
3)Montrer que pour tout x 
: f '  x   1   x  1 e x .
4)En exploitant le tableau de variations ci-dessous
de la fonction dérivée f ' sur
:
EXERCICE 05
Partie01 :
Soit g la fonction numérique définie sur
g  x   1   2 x  1 e
1)a-Vérifier que :  x 
par :
2x
 ; g '  x   4 xe2 x .
b-Dresser le tableau de variations de g ,en
justifiant votre réponse.
c-En déduire que :  x 
; g  x  0 .
2)On pose h  x   1   x  1 e 2 x .la figure ci-dessous
représente la courbe de la fonction h .
a-La fonction f admet-elle un extremum au point
d’abscisse 0 ?justifier votre réponse.
b-Montrer que f est strictement croissante sur
.
c-Donner le tableau de signe de la fonction f sur
''
 
d-Déduire la concavité de la courbe C f en
précisant les coordonnées de son point d’inflexion.
5)a-Montrer que l’équation f  x   0 admet une
solution unique  dans
et vérifier que 1  2 .
b-Résoudre dans
,en fonction de  l’inéquation
 x2 1 
f  2 0.
 x 1 
6)Calculer la dérivée de la fonction x
sur
 x  1 e
b-l’inéquation h  x 
x
,puis déterminer la primitive de f qui s’annule
en 0.
 
7)Construire la courbe C f .
8)a-Montrer que f admet une fonction réciproque
f 1 définie sur
.
 
b-Construire la courbe C f 1 .
c-Vérifier que f 1 est dérivable en 2,puis calculer
 f   2 .
1 '
9)Soit m
.Montrer que l’équation  x  2  e x  m  x
Admet une solution unique pour tout x  .
Partie 02 :
Soit  un  une suite numérique définie par :
u0  e et un 1  f 1  un  pour tout n
1)Montrer que :  n 
 ; un  2
2)Montrer que la suite  un  est décroissante.
3)Déduire que la suite  un  est convergente, puis
déterminer sa limite.
A partir de la courbe,déterminer les solutions de :
a-l’équation h  x   0 .
0.
Partie 02 :
Soit f la fonction numérique définie sur
 
par :
f  x   x  1   x  1 e 2 x
Et C f sa courbe représentative dans un repère


orthonormé O; i; j .
1)a-Calculer lim f  x  et lim f  x 
x 
x 
b-Montrer que la droite    d’équation y  x  1est
 
une asymptote oblique à C f au voisinage de  .
c-Calculer lim
x 
f  x
puis interpréter le résultat
x
Obtenu géométriquement.
2)a-Montrer que :  x   ; f '  x   g  x  .
b-Dresser le tableau de variations de f .
 
3) Etudier la position relative de la courbe C f et la
droite    sur
.
 C  ,en déterminera les
coordonnées du point d’inflexion de  C 
4)Etudier la concavité de
f
f
5)a-Vérifier que f      et montrer que
pour tout x  0;   : f  x 
Partie 03 :
Soit  un  une suite numérique définie par :
x.
 
b-Construire la courbe C f .(on prend 
u0  1 et un 1  f  un  pour tout n
0,8 ).
1)Montrer que :  n 
 ; un 0
2)Montrer que la suite  un  est décroissante.
3)Déduire que la suite  un  est convergente, puis
Partie 03 :
Soit  un  une suite numérique définie par :
1
et un 1  f  un  pour tout n
2
1)Montrer que :  n   ;0 un 
u0 
déterminer sa limite.
2)Montrer que la suite  un  est décroissante(Q5-a).
3)Déduire que la suite  un  est convergente, puis
Rattrapage 2017
EXERCICE 07
Partie 01 :
Soit g la fonction numérique définie sur
déterminer sa limite.
par :
g  x   1   x  1 e x
2
EXERCICE 06
1)Vérifier que : g  0   0 .
Partie 01:
Soit g la fonction numérique définie sur
 
2)A partir de la courbe C g ci-dessous :
par :
g  x   ex  x 1
1)a-Calculer g '  x  pour tout x 
.
b-Dresser le tableau de variations de g .
c-En déduire que :  x 
 ; ex  x  1
Partie 02 :
Soit f la fonction numérique définie par :
 
f  x   ln  e x  x 
Et C f sa courbe représentative dans un repère


orthonormé O; i; j .
Montrer que :
1)Montrer que pour tout x 
: Df 
 x  ;0 ; g  x   0 et  x  0;   ; g  x   0
.
f  x
0
x 
x
2)a-Calculer lim f  x  puis montrer que lim
x 
Partie 02 :
Soit f la fonction numérique définie sur
f  x   x  1   x  1 e
et donner une interprétation géométrique au résultat
b-Vérifier que pour tout x

0 : f  x   x  ln 1  xe
x
c-En déduire que la droite    : y  x est une
 
asymptote oblique à C f au voisinage de  .
 
d-Montrer que C f est au-dessous de    sur
l’intervalle  0;  .
3)a-Montrer que pour tout x 
ex 1
: f  x 
.
1 g  x
'
b-Etudier le signe de f '  x  ,puis dresser le
tableau de variations de f .
 
4)Tracer    et C f .

2
 
par :
x
Et C f sa courbe représentative dans un repère


orthonormé O; i; j (unité 2cm).
2
x x
x
1)a-Vérifier que :  x   : f  x   x  1  4  e 2   e
2 
Puis en déduire que : lim f  x    .
x 
b-Calculer lim  f  x    x  1  puis en déduire que
x 
la droite  D  d’équation y  x  1est une asymptote
 
oblique à la courbe C f au voisinage de  .
 
c-Montrer que la courbe C f est au-dessous de la
droite  D  .
2)a-Montrer que : lim f  x    (on pourra écrire
x 
 1 
1 
f  x  sous la forme : f  x   x 1    x   e x  ).
x 
 x 
b-Montrer que la courbe C f admet une branche
 
1 2x
5)a-Montrer que : f  x   e g  x  .
2
''
x
Avec g  x    2 x  4  e 2  x  4 pour tout x 
b-A partir de la courbe ci-dessous de la fonction g
parabolique au voisinage de  dont on déterminera
la direction.
3)a-Montrer que pour tout x 
: f '  x  g  x .
b-Montrer que f est croissante sur ; 0 et
décroissante sur  0;  ,puis dresser le tableau
de variations de f .
 
c-Montrer que la courbe C f admet deux points
d’inflexion d’abscisse -1 et -3.
 
4)Construire la droite  D  et la courbe C f dans le


même repère O; i; j .
Déterminer le signe de g  x  sur
(on prend f  3  2,5 et f  1  0, 75 )
c-Etudier la concavité de la courbe C f et
Soit f la fonction numérique définie sur
 
 x 
f  x   x  e 2  1


par :
2

x 

4,5 et f   3,5 ).
7)a-Montrer que la fonction f admet une fonction
.
 f   ln 4  .
1 '
b-Calculer
8)Soit  un  une suite numérique définie par :
u0  1 et un 1  f  un  pour tout n
1)Calculer lim f  x  et lim f  x  .
2)Calculer lim
(on prend ln  4  1, 4 ; 
réciproque f 1 définie sur
orthonormé O; i; j (unité :1cm).
x 

 
6)Construire la courbe C f dans le repère O; i; j .
Et C f sa courbe représentative dans un repère

 
déterminer les abscisses des deux points d’inflexions
Normale 2022
EXERCICE 07
(R.Q g    0 )
x 
f  x
et interpréter géométriquement
x
Le résultat obtenu.
3)a-Montrer que la droite    d’équation y  x est
 
une asymptote oblique à la courbe C f au voisinage
de  .
b-Etudier le signe de f  x   x pour tout x 
et
 
a-Montrer que :  n 
 ; 0 un ln 4
b-Montrer que la suite  un  est décroissante.
c-En déduire que la suite  un  est convergente.
d-Déterminer la limite de la suite  un  .
EXERCICE
08
Partie
01 :
Soit f la fonction numérique définie sur
en déduire la position relative de la courbe C f et
la droite    .
2
x
 x 
 x 
'
4)a-Vérifier que  x   : f  x    e 2  1  xe 2  e 2  1




x


b-Vérifier que x  e 2  1  0 pour tout x  puis en


déduire le signe de la fonction dérivée f ' sur
.
c-Dresser le tableau de variations de f sur
.
Normale 2020
 
par :
5 1
f  x    x   e x2  e x2  4 
2 2
Et C f sa courbe représentative dans un repère


orthonormé O; i; j (unité :2cm).
1)Montrer que lim f  x    et lim f  x    .
x 
x 
2)a-Montrer que la droite    d’équation y   x 
 
Est une asymptote oblique à la courbe C f au
voisinage de  .
5
2
2)a-Montrer que f est continue en 0.
l’équation e x2  4  0 puis
b-Résoudre dans
 
montrer que la courbe C f est au-dessus de   
b-Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche
en 0.
sur l’intervalle ; 2  ln 4 et en dessous de   
sur l’intervalle  2  ln 4;  .
f  x
  et interpréter le
x 
x
3)Montrer que lim
résultat obtenu géométriquement.
4)a-Montrer que pour tout x 


: f '  x    e x2  1
2
b-Dresser le tableau de variations de f .
5)Calculer f ''  x  pour tout x 
puis montrer que
A  2; 2  est un point d’inflexion de  C f  .
6)Montrer que l’équation f  x   0 admet une solution
unique  telle que 2  ln 3 
2  ln 4 .
1
g 
 x
*
'
3)a-Montrer que :  x   : f  x  
2
 1x 
 e  1


b-Dresser le tableau de variations de f .

4)Montrer que : x 
*
 : f  x  x  x   0; ln12 

 

5)Construire la courbe C f dans le repère O; i; j .
Partie 03 :
Soit  un  une suite numérique définie par :
u0  1 et un 1  f  un  pour tout n
1
1)Montrer que :  n   ;0 un
ln 2
même repère O; i; j .(on prend ln 2 0,7 et ln 3 1,1 )
2)Montrer que la suite  un  est décroissante.
8)a-Montrer que la fonction f admet une fonction
3)En déduire que la suite  un  est convergente.
réciproque f 1 définie sur
.
 
7)Construire la droite    et la courbe C f dans le



b-Construire dans le même repère O; i; j
 
4)Déterminer la limite de la suite  un  .
 la
courbe C f 1 .(remarquer que la droite    est
EXERCICE 10
perpendiculaire à la première bissectrice du repère)
   2  ln 3 .(ind: f  2  ln 3  2  ln 3 )
c-Calculer f 1
'
1
g  x   e  2x
1)Calculer les limites lim g  x  et lim g  x  .
par :
2)a-Montrer que  x 
3)Montrer que :  x 
x 
 : g  x    x  2 e .
x
b-Dresser le tableau de variations de g .
3)Calculer g  0  puis en déduire le signe de g  x  .
Partie 02 :
Soit f la fonction numérique définie sur
par :
x

;x  0
 f  x  1

e x 1

 f  0  0
0
 : x  e x  1  0 .
Partie 02 :
Soit f la fonction numérique définie sur
f  x   2 xe  3 x
x
 
par :
2
Et C f sa courbe représentative dans un repère


orthonormé O; i; j .
x 

orthonormé O; i; j .
x 
b-Montrer que lim
x 
f  x
  puis interpréter
x
géométriquement le résultat obtenu.
 
c-Etudier la branche infinie de C f au voisinage
1)a-Calculer lim f  x  et lim f  x 
x 
 : g  x
1)a-Calculer lim f  x  et lim f  x  .
Et C f sa courbe représentative dans un repère
x 
.
b-Dresser le tableau de variations de g .
c-En déduire que  x 
1)Calculer les limites lim g  x  et lim g  x  .
'
2)a-Calculer g  x  pour tout x 
'
g  x    x  1 e x  1
x 
x 
x 
Partie 01 :
Soit g la fonction numérique définie sur

par :
x
EXERCICE 09
 
Partie 01 :
Soit g la fonction numérique définie sur
 
b-Etudier les branches infinies de la courbe C f
de  .
2)a-Montrer que:  x 
 : f '  x   2  x  e x  1  g  x 
b-Montrer que f est strictement croissante sur
puis dresser le tableau de variations de f .

 

3)Construire la courbe C f dans le repère O; i; j .
 
(on admet que C f a une point d’inflexion unique
0,3 et f   0,85 ).
d’abscisse 
 ; un  2
que :  n 
 ; un1  2un .
c-Montrer que la suite  un  est croissante.
3) Montrer que :  n   ; un  2n 1 puis déterminer la
limite de la suite  un  .
 
 f  x    x  12 e x 2 x  ; x  2

2
 f  x   1   x  2  ln  x  2  ; x
par :

1 
1

 2, 6 et f  2 
  0,8 )
e
e

par :
2 x
1)Calculer les limites lim g  x  et lim g  x  .
x 
x 
2)a-Etudier les variations de la fonction g .


b-En déduire que : x  ;0 : g  x 
0
Partie 02 :
Soit f la fonction numérique définie sur

 f  x   ln 1  xe  ; x 0

x
x

 f  x   xe  e  1; x  0
par :
x


1)Calculer lim f  x  et lim f  x  .
x 
x 
2)Montrer que lim
2
x 0

f  x
 1 ,puis interpréter
x
Géométriquement le résultat obtenu.
f  x
ex 1 1
 ex 
 x.
x
x
e
b-Etudier la dérivabilité de f à gauche en 0,puis
3)a-Vérifier que  x
1)Montrer que f est continue au point 2.
2)a-Vérifier que pour tout x  ;0  0; 2 :
0 :
Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
f  x
  puis interpréter
x 
x
x 2 x
f  x   f  2
e   1
 xe x 2 x   x.
x2
x 2  x
4)a-Monter que lim
Géométriquement le résultat obtenu.
b-Montrer que f est dérivable à gauche en 2.
c-Montrer que f est dérivable en 2 et que f '  2   0
Puis interpréter géométriquement le résultat.
3)a-Vérifier que pour tout x  2 :
5)a-Vérifier que  x
1 

0  : f  x   x  ln  x   ln 1  x 
 xe 
 
b-En déduire que C f admet une branche
parabolique de direction la droite    : y  x au
f  x   x  x  2  e x 2 x   e x 2 x 
b-Calculer lim f  x  et interpréter géométriquement
x 
le résultat obtenu.
f  x
c-Calculer lim f  x  et lim
puis interpréter
x 
x 
x

'
4)a-Montrer que  x 2  : f  x   2 x  x  1 2  x  e
b-Montrer que  x

orthonormé O; i; j .
orthonormé O; i; j (unité :1cm).
Géométriquement le résultat obtenu.
(on donne : f  3   1 ; 2 
 
Et C f sa courbe représentative dans un repère

 
Et C f sa courbe représentative dans un repère
Rattrapage 2023
On considère la fonction f définie sur
.
5)Construire la courbe C f dans le repère O; i; j .
g  x  1 x  e
 ; un1  u 2 n (on pourra
utiliser la question 2 partie01)
b-Vérifier que :  x  2  ; x 2  2 x puis en déduire
EXERCICE 11
tableau de variations de f sur
Partie 01 :
Soit g la fonction numérique définie sur
u0  2 et un 1  f  un  pour tout n
2)a-Montrer que :  n 
puis dresser le
EXERCICE 12
Partie 03 :
Soit  un  une suite numérique définie par :
1)Montrer que :  n 
d-Etudier le signe de f '  x  sur
x 2 x 
2  : f '  x    x  2  1  2 ln  x  2  
c-Résoudre dans 2;  l’inéquation 1  2 ln  x  2   0
voisinage de  .
6)a-Montrer que  x
b-Montrer que  x
0 : f '  x   g  x  ex .
0 : f '  x  
1  x  e x
1  xe x
c- Etudier le signe de f '  x  sur
tableau de variations de f .
 
et dresser le


7)Construire la courbe C f dans le repère O; i; j .
 
(On admet que C f est au-dessus de    sur 0;  )