BÀI GIẢNG HÌNH HỌC HỌA HÌNH
CHƯƠNG II :
‘ BIỂU DIỄN ĐIỂM- ĐƯỜNG THẲNG
- MẶT PHẲNG’
Th.S Nguyễn Văn Hoa --Khoa Xây dựng
MÔN HỌC BAO GỒM
I
• BIỂU DIỄN ĐIỂM
II
• BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
III
• BIỂU DIỄN MẶT PHẲNG
© by Nguyễn Văn Hoa, Ths
I. BIỂU DIỄN ĐIỂM
I. BIỂU DIỄN ĐIỂM
Lấy X và Z làm trục xoay, gập lần lượt cho (P2) và (P3) trùng với (P1) theo chiều mũi tên
I. BIỂU DIỄN ĐIỂM
I. BIỂU DIỄN ĐIỂM
I. BIỂU DIỄN ĐIỂM
BÀI TẬP
BÀI TẬP
BÀI TẬP
BÀI TẬP
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
1. Đồ thức của đường thẳng thường
- Trong không gian, đường thẳng được xác định bởi hai điểm.
- Vậy đồ thức của đường thẳng cũng được xác định bởi đồ thức của hai điểm thuộc đường
thẳng đó.
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
1. Đồ thức của đường thẳng đặc biệt.
a) Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu.
+ Đường mặt - đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
+ Tính chất của đường mặt
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
1. Đồ thức của đường thẳng đặc biệt.
+ Đường bằng - đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
+ Tính chất của đường bằng
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
1. Đồ thức của đường thẳng đặc biệt.
+ Đường cạnh - đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
+ Tính chất của đường cạnh
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
b) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
+ Đường thẳng chiếu đứng – đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
+ Tính chất của đường thẳng chiếu đứng
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
b) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
+ Đường thẳng chiếu bằng – đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
bằng
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
+ Tính chất của đường thẳng chiếu bằng
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
b) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu
+ Đường thẳng chiếu cạnh – đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
+ Tính chất của đường thẳng chiếu cạnh
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
2. Vết và cách tìm vết của đường thẳng
a) Định nghĩa
- Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
- Vết đứng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng
- Vết bằng của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng
 Ta thấy rằng A là giao điểm giữa đường thẳng a với mặt phẳng hình chiếu đứng (P1) do đó
A1 trùng A và A2 thuộc x.
- Ta thấy rằng B là giao điểm giữa đường thẳng a với mặt phẳng hình chiếu đứng (P2) do đó
B2 trùng B và B1 thuộc x
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
+ Cách tìm vết của đường thẳng
+ Cách tìm vết đứng
Kéo dài hình chiếu bằng l2 của đường thẳng l, l2 cắt trục X
tại N2. Từ N2 kẻ đường gióng thẳng đứng, đường này cắt
hình chiếu đứng l1, của đường thẳng l tại N1
+ Cách tìm vết bằng
Kéo dài hình chiếu đứng lA của đường thẳng l, l1 cắt trục
X tại M1 Từ M1 kẻ đường gióng thẳng đứng, đường này
cắt hình chiếu bằng l2 của đường thẳng l tại M2.
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
3. Điều kiện nhận biết điểm thuộc đường thẳng
a) Trường hợp đường thẳng không phải là đường cạnh
Điều kiện để một điểm thuộc đường thẳng là các hình chiếu của điểm phải thuộc hình chiếu
tương ứng cùng tên của đường thẳng. Nghĩa là điểm A thuộc đường thẳng l khi A1 thuộc l1
và A2 thuộc l2.
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
b) Trường hợp đường thẳng là đường cạnh
- Xét trên hệ ba mặt phẳng hình chiếu
Điều kiện để một điểm thuộc đường thẳng là các hình chiếu
của điểm phải thuộc hình chiếu tương ứng cùng tên của
đường thẳng.
Nghĩa là A1 thuộc l1, A2 thuộc l2 và A3 thuộc l3
- Xét trên hệ hai mặt phẳng hình chiếu
Điều kiện để một điểm C thuộc đường thẳng AB là ba điểm
ABC phải thỏa mãn điều kiện tỷ số đơn bảo toàn trên hai
hình chiếu tương ứng:
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a) Hai đường thẳng cắt nhau
- Trường hợp một trong hai đường thẳng không phải là đường cạnh
Điều kiện để hai đương thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau là giao điểm của cặp
hình chiếu tương ứng cùng tên phải cùng trên đường gióng
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a) Hai đường thẳng cắt nhau
- Trường hợp một trong hai đường thẳng đã cho là đường cạnh
Giả sử có đường cạnh AB và đường thẳng thường CD, hai đường thẳng này cắt nhau hay
không cắt nhau thì hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của chúng cũng cắt nhau và giao
điểm của cặp hình chiếu ( hình chiếu đứng, hình chiếu bằng) cùng nằm trên đường going
thẳng đứng.
 Vậy điều kiện để chúng cắt nhau là:
- Xét trên ba mặt phẳng hình chiếu: K3 thuộc A3B3;
- Xét trên hai mặt phẳng hình chiếu: ba điểm AKB thỏa
mãn điều kiện tỷ số đơn bảo toàn trên các hình chiếu.
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
b) Hai đường thẳng song song
• Trường hợp cả hai đường thẳng đã cho là đường thẳng thường
Điều kiện để hai đường thẳng song song là các hình chiếu tương ứng cùng tên của chúng phải
song song với nhau
• Trường hợp cả hai đường thẳng đã cho là đường cạnh.
- Xét trên hệ 2 mặt phẳng hình chiếu, hai đường cạnh AB và CD dù song song hay không thì các
cặp hình chiếu tương ứng cùng tên của chúng cũng song song.
- Qua các điểm đầu mút AB, CD của hai đoạn thẳng ta kẻ các đường chéo nối chúng với nhau.
Nếu các đường thẳng đó cắt nhau thì chứng tỏ hai đường cạnh AB và CD song song
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
• Ta cũng có thể xét điều kiện song song của hai đường cạnh bằng cách xét tỷ số đơn.
• Xét trên hệ ba mặt phẳng hình chiếu. Để hai đường cạnh AB và CD song song thì A3B3 song
song với C3D3
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
b) Hai đường thẳng chéo nhau
• Nếu hai đường thẳng không thỏa mãn điều kiện cắt nhau hoặc song song thì ta nói chúng
chéo nhau
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
+ Chú ý:
- Hai đường thẳng chéo nhau chỉ dựng được cặp mặt phẳng song song nhau. Khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau chính bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
chứa chúng
- Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là góc hợp bởi hai đường thẳng cắt nhau
tương ứng song song với hai đường thẳng chéo nhau đó. Nếu góc bằng 90 độ thì hai
đường thẳng chéo nhau vuông góc nhau.
BÀI TẬP
Ví dụ 1: Tìm độ dài thật của đoạn thẳng AB sau.
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 2: Cho điểm A, vẽ đoạn thẳng AB sao cho: AB//(P1), AB = 3 cm và góc (AB, (P2))= 60
độ
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng p và q chéo nhau, dựng đường thẳng chiếu bằng d sao cho
dXp=dXq=N
II.BIỂU DIỄN ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 4: Tìm trên đường thẳng p điểm D có hai hình chiếu đối xứng nhau qua trục x.
III.BIỂU DIỄN MẶT PHẢNG
1. Đồ thức của mặt phẳng
Trong không gian mặt phẳng được xác định bởi:
- Ba điểm không thẳng hàng
- Một điểm và một đường thẳng
- Hai đường thẳng cắt nhau
- Hai đường thẳng song song
 vậy nên đồ thức, mặt phẳng cũng được xác định bởi các cách tương ứng trên
III.BIỂU DIỄN MẶT PHẢNG
1. Đồ thức của mặt phẳng
Chú ý: Trong các cách biểu diễn mặt phẳng trên, ta có thể biến đổi từ cách biểu diễn này
sang cách biểu diễn kia và ngược lại.
III.BIỂU DIỄN MẶT PHẢNG
2. Các vết của mặt phẳng
a. Định nghĩa
- Vết của mặt phẳng là giao tuyến giữa mặt phẳng với các mặt phẳng hình chiếu.
- Trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu, tương ứng ta có ba vết là: vết đứng, vết bằng
và vết cạnh.
+ Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến giữa mặt phẳng với (P1)
+ Vết bằng của mặt phẳng là giao tuyến giữa mặt phẳng với (P2)
+ Vết cạnh của mặt phẳng là giao tuyến giữa mặt phẳng với (P3)
b. Tính chất
- Trên đồ thức các vết của mặt phẳng luôn luôn cắt nhau trên trục chiếu, điểm đó chính là
giao điểm của trục chiếu với mặt phẳng ( điểm đó có thể hữu hạn hay vô hạn or vuông góc
(P3)
III.BIỂU DIỄN MẶT PHẢNG
III.BIỂU DIỄN MẶT PHẢNG
C. Cách tìm vết của mặt phẳng
- Từ tính chất của vết ta suy ra: vết của mặt phẳng là tập hợp vết cùng tên của tất cả các
đường thẳng thuộc mặt phẳng đó
- Do đó để tìm vết của một mặt phẳng ta tìm vết cùng tên của hai đường thẳng thuộc mặt
phẳng
III.BIỂU DIỄN MẶT PHẢNG
III.BIỂU DIỄN MẶT PHẢNG
3. Các mặt phẳng đặc biệt
III.BIỂU DIỄN MẶT PHẢNG
BÀI TẬP
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng ® xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau p, q. Hãy vẽ đường bằng b
thuộc ® và cách MPHC bằng một đoạn bằng 4 cm.
BÀI TẬP
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng ABC và hình chiếu đứng K1 của điểm K thuộc (ABC). Tìm hình chiếu
bằng K2 của K
BÀI TẬP
Ví dụ 3: Cho điểm A thuộc mặt phẳng (P),( V1P, V2P), biết A2, tìm A1.
BÀI TẬP
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d vuông góc với (P3), và d thuộc mặt phẳng P(V1P, V2P), biết d1, tìm
d2.