ECUACIONES DIFERENCIALES
Sergio Mata Céspedes
Hernán Vı́quez Céspedes
E-mail address, Sergio Mata Céspedes: smata@ufide.ac.cr
Índice general
1. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
2. Ecuaciones Diferenciales no homogéneas
3. Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n con coeficientes
constantes
4. Variación de Parámetros
9
La ecuación de Euler de orden n
11
6. La transforamada de Laplace
7. Teorema (Primer Teorema de Traslación)
1
3
5
5.
iii
13
14
1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
1.
1
Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
Problemas de valor inicial y de valores en la frontera
Ejemplo: Hallar la solución particular de cada ecuación diferencial.
1. y1 = c1 ex + c2 e−x ; y 00 − y = 0 ; y(0) = 0 , y 0 (0) = 1
2. y1 = c1 e4x + c2 e−x ; y 00 − 3y 0 − 4y = 0 ; y(0) = 1 , y 0 (0) = 2
Definición: Operador lineal D
Se denota por D al operador derivación, de manera que si y = f (x) es una función,
entonces se tiene lo siguiente Dy = y 0 , Dy 2 = y 00n = y (n) . Como Dn es un operador
lineal, entonces cumple que:
a) D(y ± z) = Dy ± Dz
b) D(ky) = kDy , k ∈ R
Ejemplo: Si f (x) = 3x4 − 8x, calcule Dy, D2 y, (x3 D2 + 3D)f (x).
Definición: Ecuación Diferencial Lineal de Orden n
Una ecuación diferencial lineal de orden n, definida en un intervalo I, es una ecuación de la forma:
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = h(x) (∗)
donde an (x), an−1 (x), . . . , a0 (x) son funciones continuas en el intervalo I con an (x) 6=
0.
Si utilizamos el operador lineal D para transformar la ecuación diferencial (∗) se
obtiene lo siguiente:
an (x)D(n) y + an−1 (x)D(n−1) y + · · · + a1 (x)Dy + a0 (x)y = h(x)
Como todos los términos de la izquierda en la ecuación anterior tienen y, entonces
se podrı́a aplicar la factorización por factor común para obtener:
(an (x)D(n) + an−1 (x)D(n−1) + · · · + a1 (x)D + a0 (x))y = h(x)
Ahora bien, si se considera que
L(D) = an (x)D(n) + an−1 (x)D(n−1) + · · · + a1 (x)D + a0 (x)
entonces la ecución diferencial (∗) se puede escribir de forma abreviada como:
L(D)y = h(x).
Definición: Ecuación Diferencial Homogénea
La ecuación diferencial se llama homogénea si la función h(x) = 0 en todo valor del
intervalo I, de lo contrario se llama ecuación no homogénea.
Teorema: Principio de superposición
Si y1 , y2 , · · · , yn son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial homogénea lineal de orden n en un intervalo I, entonces la combinación
2
Índice general
lineal:
y = c1 y1 + c2 y2 + . . . + cn yn ; ci ∈ R
es la solución general de la ecuación diferencial en ese intervalo.
1.1. Wronskiano
. Sean y1 , y2 , · · · , yn funciones arbitrarias continuas y con derivadas continuas al
menos hasta el orden n − 1, se llama Wronskiano de y1 , y2 , · · · , yn al siguiente
determinante:
y2
y20
..
.
···
···
..
.
(n−1)
···
y1
y10
..
.
W [y1 , y2 , · · · , yn ] =
(n−1)
y1
y2
yn
yn0
..
.
(n−1)
yn
1.2. Conjunto fundamental de soluciones
. Un conjunto de n soluciones particulares de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n (llamado conjunto fundamental de soluciones) es linealmente
independiente en un intervalo I si y sólo si su Wronskiano nunca se hace cero en el
intervalo I.
Ejemplo: Determine si el conjunto de funciones dado en cada caso es linealmente
independiente o linealmente dependiente en R.
1. {x, x2 , 4x − 3x2 }
=
x
1
0
x2 4x − 3x2
2x
4 − 6x
2
−6
W 5, cos x, sen x =
5
0
0
cos2 x
sen2 x
−2 cos x sen x
2 cos x sen x
2 sen2 x − 2 cos2 x 2 cos2 x − 2 sen2 x
2
W x, x , 4x − 3x
2
=0
2. {5, cos2 (x) , sen2 x}
2
2
0
3.
2
x , 2x + 1, x3 , 4x2 + 1
W x2 , 2x + 1, x3 , 4x2 + 1 =
−6
x2 2x + 1
2x
2
2
0
4x2 + 1
8x
8
x2
2x
2
0
2x + 1
2
0
0
= −6 (−4) = 24
x3
3x2
6x
6
4x2 + 1
8x
8
0
=⇒
=
2. ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS
3
Ejemplo: Verifique si las funciones dadas en cada caso forman un conjunto fundamental de soluciones para la ecuación diferencial, de ser el caso, forme la solución
general.
1. y 00 − y 0 − 12y = 0, e−3x , e4x
e−3x
e4x
= 7ex ∴es L.I
W e−3x , e4x =
−3x
−3e
4e4x
La solución será:
y = C1 e−3x + C2 e4x
2. x2 y 00 + xy 0 + y = 0 ; {cos (ln x), sen (ln x)} ; I =]0, +∞[
cos (ln x)
sen (ln x)
1
1
W (cos (ln x) , sin (ln x)) =
− sen (ln x)
cos (ln x)
x
x
1
1
sen2 (ln x) = ∴es L.I
x
x
La solución será:
y = C1 cos (ln x) + C2 sen (ln x)
2.
=
1
cos2 (ln x)+
x
Ecuaciones Diferenciales no homogéneas
Definición: ED no homogénea
Considere la ecuación diferencial lineal de orden n siguiente
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = h(x)
se llama ecuación homogénea asociada a la ecuación diferencial no homogénea a
la ecuación:
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0
Teorema: Solución general de una ED no homogénea
Suponga que yp es una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea
y yc es la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada, entonces
la solución general de la ecuación diferencial no homogénea es y = yp + yc .
Ejemplo: Determine si y = c1 e2x + c2 e5x + 6ex es solución general de la ecuación
diferencial no homogénea y 00 − 7y 0 + 10y = 24ex .
Ejemplo:Desarrolle lo que se le solicita en cada caso:
a) Verifique si yp1 = 3e2x y yp2 = x2 + 3x son respectivamente las soluciones
particulares de las ecuaciones diferenciales y 00 − 6y 0 + 5y = −9e2x ; y 00 −
6y 0 + 5y = 5x2 + 3x − 16
b) Use el ejercicio a) para encontrar las soluciones particulares de las ecuaciones diferenciales siguientes y 00 − 6y 0 + 5y = −9e2x ; y 00 − 6y 0 + 5y =
5x2 + 3x − 16
2.1. Reducción del orden. Suponga que y1 (x) es una solución particular
conocida de la ecuación diferencial a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0. Se busca una
4
Índice general
segunda solución y2 (x) linealmente independiente con y1 (x) en algún intervalo I,
para ello utilizamos la fórmula:
Z
y2 (x) = y1 (x) ·
e
−
R a1 (x)
a2 (x)
dx
[y1 (x)]2
dx
Ejemplo: La función y1 (x) es una solución particular de la ecuación diferencial
dada, use la fórmula de reducción de orden para calcular una segunda solución
particular y2 (x).
1. 1 − 2x − x2 y 00 + 2 (1 + x) y 0 − 2y = 0; y1 = x + 1
R
2(1+x)
Z − (1−2x−x
2 ) dx
e
y2 (x) = (x + 1) ·
dx =⇒ y2 (x) = x2 + x + 2
(x + 1)2
2. y 00 + 2y 0 + y = 0 ; y1 (x) =
xe−x
Z − R 2 dx
e
dx =⇒ y2 (x) = −e−x
y2 (x) = xe−x ·
(xe−x )2
3. (1 − x2 )y 00 + 2xy 0 = 0R ; y1 (x) = 1
2x
Z − (1−x
2 ) dx
e
y2 (x) = 1 ·
dx =⇒ y2 (x) = x − 2 ln (x + 1)
12
2.2. Ecuaciones Diferenciales lineales homogéneas con coeficientes
constantes. Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es una ecuación de la forma: a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0. A dicha ecuación
se le asocia una ecuación cuadrática (llamada también ecuación auxiliar o caracterı́stica)de la forma a2 m2 + a1 m + a0 = 0, la cual cumple una de las siguientes
condiciones:
a) Tiene dos raı́ces reales distintas.
b) Tiene una raı́z real repetida (Multiplicidad algebraica 2)
c) Tiene dos raı́ces conjugadas complejas.
Nota: El estudio de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes lo haremos en dirección a los tres casos anteriores:
Caso 1: Si m1 y m2 son raı́ces reales diferentes entonces la solución general de la
ecuación diferencial es y = em1 x c1 + em2 x c2
Ejemplo: Resuelva cada ecuación diferencial.
1. y 00 + 2y 0 − 8y = 0
2
4 = (2) − 4 (1) (−8) = 36, caso I
2
m + 2m − 8 = 0
m1 = 2, m2 = −4
y = C1 e2x + C2 e−4x
3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES
5
2. 9y 00 − y = 0
2
4 = (0) − 4 (9) (−1) = 36, caso I
9m2 − 1 = 0
1
1
m1 = − , m2 =
31
31
y = C1 e− 3 x + C2 e 3 x
Caso 2: Si m1 = m2 entonces la solución general de la ecuación diferencial es:
y = c1 em1 x + c2 xem2 x
Ejemplo: Resuelva cada ecuación diferencial.
1. y 00 + 10y 0 + 25y = 0
2
4 = (10) − 4 (1) (25) = 0, caso II
2
m + 10m + 25 = 0
m1 = −5
y = C1 e−5x + C2 xe−5x
2. y 00 + 2y 0 + y = 0
2
4 = (2) − 4 (1) (2) = 0, caso II
2
m + 2m + 1 = 0
m1 = −1
y = C1 e−x + C2 xe−x
Caso 3: Si m1 = a + bi y m2 = a − bi son raı́ces conjugadas complejas entonces la
solución general de la ecuación diferencial es: y = eax (cos (bx)c1 + sen (bx)c2 )
Ejemplo: Resuelva cada ecuación diferencial.
1. y 00 − 4y 0 + 13y = 0
2
4 = (−4) − 4 (1) (13) = −36, caso III
2
m − 4m + 13 = 0
m1 = 2 + 3i, m2 = 2 − 3i
y = C1 e2x cos 3x + C1 e2x sen 3x
2. y 00 + 49y = 0
2
4 = (0) − 4 (1) (49) = −196, caso III
2
m + 49 = 0, Solution is: −7i, 7i
m1 = −7i, m2 = 7i
y = C1 cos 7x + C1 sen 7x
3.
Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n con coeficientes
constantes
Considere la siguiente ecuación diferencial
an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
dicha ecuación tiene asociada la siguiente ecuación caracterı́stica:
an mn + an−1 mn−1 + · · · + a0 = 0
6
Índice general
Para resolver una ecuación diferencial homogénea de orden n con coeficientes constantes, se resuelve su ecuación caracter istica y luego se procede como en los tres
casos anteriores.
Ejemplo: Hallar la solución general de cada ecuación diferencial.
1. y (4) + y 000 − 4y 00 + 2y 0 − 12y = 0
1
1
−4
−3
6
−6
12 =⇒ m1 = −3
−2
2
−4
0
−2
2
−4
2
0
0
2
−3
1
1
− 12
2
2
1
4 =⇒ m2 = 2
0
2
2
m + 2 = 0 =⇒ 4 = (−0) − 4 (1) (2) = −8, caso III
m2 + 2√
=0
√
m3 = i 2, m4 = −i 2
√
√
y = C1 e−3x + C2 e2x + C3 cos 2x + C4 sen 2x
2. y (5) − 4y (4) + 14y 000 + 126y 00 + 189y 0 + 82y = 0
1
−4
14
126
189
−1
1
5
− 19
− 107
−5
19
107
82
−5
19
107
−1
6
− 25
1
−6
25
82
1
−6
25
82
−2
16
−8
41
1
−1
−2
1
2
−1
82
− 82 =⇒ m1 = −1
0
82
− 82 =⇒ m2 = −1
0
− 82 =⇒ m3 = −2
0
2
m − 8m + 41 = 0 =⇒ 4 = (−8) − 4 (1) (41) = −100, caso III
m2 − 8m + 41 = 0
m4 = 4 + 5i, m5 = 4 − 5i
y = C1 e−x + C2 xe−x + C3 e−2x + C4 e4x cos 5x + C5 e4x sin 5x
3.1. Ecuación Diferencial Lineal no Homogénea: Métodos de Solución
. Definición: Coeficientes Indeterminados usando aniquiladores
Pasos para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea L(D)y = h(x)
con coeficientes constantes utilizando el método de coeficientes indeterminados y la
tabla de aniquiladores.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS DE ORDEN n CON COEFICIENTES CONSTANTES
7
a) Resolver la ecuación diferencial homogénea L(D)y = 0 para encontrar la
solución general yc .
b) Obtener una nueva ecuación diferencial homogénea aplicando el aniquilador
mı́nimo posible M (D) a ambos lados de la ecuación diferencial L(D)y =
h(x).
b1 ) Resolver la ecuación homogénea M (D)L(D)y = 0 la cual tendrá n + 1
soluciones linealmente independientes.
b2 ) Identificar cuál de estas soluciones están en yc y eliminarlas.
b3 ) Las funciones no eliminadas en el paso anterior forman la solución
particular yp .
c) Sustituir yp y sus derivadas en la ecuación original para averiguar los coeficientes indeterminados.
d) Escribir la solución general y = yc + yp .
Nota: El método de coeficientes indeterminados utilizando la tabla de aniquiladores es exclusivo para ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y para
funciones h(x) que aparezcan en la tabla de aniquiladores.
Tabla de aniquiladores
Función h(x)
xn , xn−1 , · · · , c
xn eax , xn−1 eax , · · · , eax
n
x sen (bx), xn−1 sen (bx), · · · , sen (bx)
xn cos (bx), xn−1 cos (bx), · · · , cos (bx)
n ax
x e sen (bx), xn−1 eax sen (bx), · · · , eax sen (bx)
xn eax cos (bx), xn−1 eax cos (bx), · · · , eax cos (bx)
Aniquilador M (D)
Dn+1
(D − a)n+1
(D2 + b2 )n+1
(D2 + b2 )n+1
2
(D − 2aD + a2 + b2 )n+1
(D2 − 2aD + a2 + b2 )n+1
Ejemplo: Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
1. y 00 + 3y 0 + 2y = x2
m2 + 3m + 2 = 0 =⇒ m1 = −1, m2 = −2
yc = C1 e−x + C2 e−2x
Aniquilador: x2 =⇒ D3
D2 + 3D + 2 D3 = D3
(
2 ((((
(D(
+ 3D + 2) D3 = 0
(
D3 = 0
m3 = 0
m3 = m4 = m5 = 0
yp = C3 + C4 x + C5 x2
yp0 = C4 + 2xC5
yp00 = 2C5
2C5 + 3 (C4 + 2xC5 ) + 2 C3 + C4 x + C5 x2 = x2 2C3 + 3C4 + 2C5 +
2xC4 + 6xC5 + 2x2 C5 = x2
2
2
2x
 C5 + (2C4 + 6C5 ) x + (2C3 + 3C4 + 2C5 ) = x
2C5 = 1

7
3
1
2C4 + 6C5 = 0
, entonces: C3 = , C4 = − , C5 =
=⇒

4
2
2
2C3 + 3C4 + 2C5 = 0
7 3
1
yp = − x + x2
4 2
2
La solución general
8
Índice general
y = C1 e−x + C2 e−2x +
7 3
1
− x + x2
4 2
2
2. y 00 + 2y 0 + y = sen x + 3 cos 2x
m2 + 2m + 1 = 0 =⇒ m = −1
yc = C1 e−x + xC2e−x
(
2 ((((
D 2 + 1 D 2 + 4 (
(D(
+ 2D + 1) = D2 + 1 D2 + 4
D2 + 1 D2 + 4 = 0
yp = C3 cos x + C4 sen x + C5 cos (2x) + C6 sen (2x)
yp0 = C4 cos x − C3 sen x + 2C6 cos 2x − 2C5 sen 2x
yp00 = −C3 cos x − C4 sen x − 4C5 cos 2x − 4C6 sen 2x
−C3 cos x−C4 sen x−4C5 cos 2x−4C6 sen 2x+2 (C4 cos x − C3 sen x + 2C6 cos 2x − 2C5 sen 2x)+
C3 cos x + C4 sen x + C5 cos (2x)
+C6 sen (2x) = 2C4 cos x−2C3 sen x−3C5 cos 2x+4C6 cos 2x−4C5 sen 2x−
3C6 
sen 2x = sen x + 3 cos 2x
2C4 = 0



9
12
1
−2C3 = 1
C3 = − , C4 = 0, C5 = − , C6 =
−3C5 + 4C6 = 3

2
25
25


−4C5 − 3C6 = 0
9
12
1
cos (2x) +
sen (2x)
yp = − cos x + 0 sen x −
2
25
25
1
9
12
y = C1 e−x + xC2 e−x − cos x −
cos (2x) +
sen (2x)
2
25
25
3. y 000 − 3y 00 + 4y = 2e3x − 4ex
y 000 − 3y 00 + 4y = 0
D3 y − 3D2 y + 4y = 0 =⇒ y D3 − 3D2 + 4 = 0; D = m
m3 − 3m2 + 4 = 0
1 −3
0
4
−1
1
2
−1
4
−4
4
− 4 =⇒ m1 = −1
0
2
m − 4m + 4 = 0 =⇒ 4 = (−4) − 4 (1) (4) = 0, caso II
m4 = −2, m5 = −2
La solución complementaria será:
yc = C1 e−x + C2 e2x + C3 xe2x
Calculando los aniquiladores:
2e3x =⇒ D − 3 ; 4ex =⇒ D − 1
((
3 (((
(D(
− 3D2 + 4) (D − 3) (D − 1) = (D − 3) (D − 1)
(
(D − 3) (D − 1) = 0; D = m =⇒ (m − 3) (m − 1) = 0
m − 3 = 0 =⇒ m4 = 3
m − 1 = 0 =⇒ m5 = 1
yp = C4 e3x + C5 ex
yp0 = 3C4 e3x + C5 ex
yp00 = 9C4 e3x + C5 ex
yp000 = 27C4 e3x + C5 ex
4. VARIACIÓN DE PARÁMETROS
9
27C4 e3x + C5 ex − 3 9C4 e3x + C5 ex + 4 C4 e3x + C5 ex = 2e3x − 4ex
27C4 e3x + C5 ex − 27C4 e3x − 3C5 ex + 4C4 e3x + 4C5 ex = 2e3x − 4ex
4C4 e3x + 2C5 ex = 2e3x − 4ex =⇒
4C4 = 2 =⇒ C4 = 21
2C5 = −4 =⇒ C5 = −2
yp = 21 e3x − 2ex
La solución será: y = yc + yp
y = C1 e−x + C2 e2x + C3 xe2x + 21 e3x − 2ex
4.
Variación de Parámetros
El método de variación de parámetros se basa en el conocimiento de la solución
general de la ecuación diferencial homogénea asociada a la ecuación diferencial no
homogénea.
Considere la ecuación diferencial
a2 (x)y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = h(x)
la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada es y = c1 y1 (x) +
c2 y2 (x), el método de variación de parámetros propone que la solución particular
es yp = U (x)y1 (x) + V (x)y2 (x) donde U (x) y V (x) son funciones desconocidas que
se deben determinar.
Ahora bien, se propone la pregunta ¿cómo encontrar las funciones U (x) y V (x)?,
para ello se debe plantear y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
f (x) =
 0
0

 U (x)y1 (x) + V (x)y2 (x) = 0

h(x)


 U 0 (x)y10 (x) + V 0 (x)y20 (x) =
a2 (x)
Luego de encontrar U 0 (x) y V 0 (x) se integra cada función para construir la solución
particular.
Ejemplo: Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
ex sec x
1. a) 3y 00 − 6y 0 + 6y = ex sec x =⇒ y 00 − 2y 0 + 2y =
(Valor 8 puntos)
3
2
3m − 6m + 6 = 0, m1 = 1 + i, m1 = 1 − i
y(= C1 ex cos x + C2 ex sen x
U 0 ex cos x + V 0 ex sen x = 0
ex sec x
U 0 (ex cos x − ex sen x) + V 0 (ex sen x + ex cos x) =
3
ex cos x
ex sen x
, determinante: cos2 x e2x +
x
x
x
x
e cos x − e sen x e sen x + e cos x
e2x sin2 x = e2x
0
ex sen x
1
−e2x tan x
2x
x
,
determinante:
−
e
sin
x
=
e sec x
ex sen x + ex cos x
3 cos x
3
3
10
Índice general
ex cos x
0
e2x
x
x , determinante: 3
e cos x − ex sin x e sec
3
Z
−e2x tan x
tan x
tan x
0
0
U =
=⇒
U
=
−
=⇒
U
=
−
dx =⇒ U =
2x
3e
3
3
ln (cos x)
+ C1
3
Z
2x
1
x
e
1
0
0
V = 2x =⇒ V = =⇒ V =
dx =⇒ V = + C2
3e
3
3
3
ln
(cos
x)
x
x
+ C1 ex cos x +
y = C1 e cos x + C2 e sen x =⇒ y =
3
x
+ C2 ex sen x =⇒
3
ln (cos x) x
x
y=
e cos x + C1 ex cos x + ex sen x + C2 ex sen x
3
3
x
2. y 00 + y = sec2 (x)
m2 + 1 = 0 =⇒ m1 = −i, m2 = i
y = C1 cos
+ C2 sen (x)
 (x)
 U 0 (x) cos (x) + V 0 (x) sen(x) = 0
f (x) =

−U 0 (x) sen(x) + V 0 (x) cos(x) = sec2 (x)
Por Cramer:
cos (x) sen(x)
= cos2 x + sen2 x = 1
4G =
− sen(x) cos (x)
0
sin(x)
sin(x)
= − cos12 (x) sin (x) = − cos
4U 0 =
2 (x)
sec2 (x) cos (x)
1
cos (x)
0
=
4V 0 =
= sec (x)
− sin(x) sec2 (x)
cos x
sen(x)
Z
− cos
2 (x)
dU
sen (x)
sen (x)
U0 =
=⇒ U 0 = − 2
=⇒
=− 2
=⇒ dU =
1
cos (x)
dx
cos (x)
Z
sen (x)
− 2
dx =⇒
cos (x)
1
U =−
+ C1
cos x
Z
sec (x)
dV
0
0
V =
=⇒ V = sec (x) =⇒
= sec (x) =⇒
dV =
1
dx
Z
sec (x) dx =⇒
V =ln (sec (x) + tan
(x)) + C2
1
+ C1 cos (x) + (ln (sec (x) + tan (x)) + C2 ) sen (x) =⇒
y= −
cos x
y = −1 + C1 cos (x) + ln (sec (x) + tan (x)) sen (x) + C2 sin (x)
3. y 00 − 8y 0 + 16y = 2x−3 e4x
m2 − 8m + 16 = 0 =⇒ m1 = m2 = 4
y = C1 e4x + C2 xe4x
5. LA ECUACIÓN DE EULER DE ORDEN n
f (x) =
11
 0
 U (x)e4x + V 0 (x)xe4x = 0
4U 0 (x)e4x + V 0 (x) 4xe4x + e4x = 2x−3 e4x
Por Cramer:
e4x
xe4x
= e8x
4G =
4x
4x
4e
4xe + e4x
0
xe4x
= − 2 e8x
4U 0 =
2x−3 e4x
4xe4x + e4x
x2
4x
2
e
0
= 3 e8x
4V 0 =
4e4x 2x−3 e4x
x
Z
Z
− x22 e8x
2
dU
2
2
0
0
=⇒ U = − 2 =⇒
U =
= − 2 =⇒ dU = − 2 dx =⇒
e8x
x
dx
x
x
2
U = + C1
x
Z
Z
2 8x
2
dV
2
2
3e
dx =⇒
= 3 =⇒ dV =
V 0 = x 8x =⇒ V 0 = 3 =⇒
e
x
dx
x
x3
1
V = − 2 + C2
x
2
1
4x
y=
+ C1 e + − 2 + C2 xe4x =⇒
x
x
4x
2 4x
xe
2
e4x
y = e + C1 e4x + − 2 + C2 xe4x =⇒ y = e4x + C1 e4x + −
+
x
x
x
x
4x
C2 xe =⇒
1
y = C1 e4x + e4x + C2 xe4x
x

5.
La ecuación de Euler de orden n
Una ecuación diferencial no homogénea que se puede escribir de la forma
an xn y (n) + an−1 xn−1 y (n−1) + · · · + a1 xy 0 + a0 y = h(x)
se llama ecuación de Euler.
Método de solución: Ecuación de Euler de orden 2
Considere la ecuación diferencial
a2 x2 y 00 + a1 xy 0 + a0 y = h(x)
Para resolverla tome la sustitución x = ez ⇒ ln x = z, este cambio de variable
transforma a la ecuación diferencial anterior en la ecuación
a2 y 00 + (a1 − a2 )y 0 + a0 y = h(ez )
Ejemplo: Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de Euler.
1. x2 y 00 − xy 0 + 2y = ln x
y 00 + (−1 − 1) y 0 + 2y = z
y 00 − 2y 0 + 2y = z
y 00 − 2y 0 + 2y = 0
m2 − 2m + 2 = 0 =⇒ m1 = 1 + i, m2 = 1 − i
yc = C1 ez cos (z) + C2 ez sen (z)
Aniquilador: z = D2
12
Índice general
D2 − D + 2 D2 = D2
(
2 ((((
(D(
− 2D + 2) D2 = 0
(
D2 = 0
m2 = 0
m3 = m4 = 0
yp = C3 + C4 z
yp0 = C4
yp00 = 0
0 − 2 (C4 ) + 2 (C3 + C4 z) = z =⇒ −2C4 + 2C3 + 2C4 z = z =⇒
−2C
4 + 2C3 + 2C4 z = z
2C3 − 2C4 = 0
=⇒ C3 = 21 , C4 = 21
2C4 = 1
yp = 12 + 12 z
y = C1 ez cos (z) + C2 ez sen (z) + 21 + 12 z
y = C1 x cos (ln x) + C2 x sen (ln x) + 12 + 21 ln x
2
ln 5 (x)
x
2
2
y 00 + (3 − 1) y 0 + y = z 5 e−z =⇒ y 00 + 2y 0 + y = z 5 e−z
m2 + 2m + 1 = 0 =⇒ m1 = m2 − 1
−x
y = C1 e
+ C1 xe−x
 U 0 (z)e−z + V 0 (z)ze−z = 0
f (x) =
2

−U 0 (x)e−z + V 0 (x) (−ze−z + e−z ) = z 5 e−z
Por Cramer:
e−z
ze−z
= e−2z
4G =
−z
−z
−e
(−ze + e−z )
0
ze−z
7
4U 0 =
= −z 5 e−2z
2
−z
−z
−z
5
z e
(−ze + e )
e−z
0
2
= z 5 e−2z
4V 0 =
2
−e−z z 5 e−z
Z
Z
7
7
7
7
−z 5 e−2z
dU
0
5 =⇒
5 =⇒
U0 =
=⇒
U
=
−z
=
−z
dU
=
−z 5 dz =⇒
e−2z
dz
5 12
U = − z 5 + C1
12
Z
Z
2
2
2
2
z 5 e−2z
dV
0
= z 5 =⇒ dV = z 5 dz =⇒
V = −2z =⇒ V 0 = z 5 =⇒
e
dz
5 7
5
V = z + C2
7
5 12
5 7
y = − z 5 + C1 e−z +
z 5 + C2 ze−z =⇒
12
7
5 −z 12
5 −z 2
−z
y = − e z 5 + C1 e + e z 5 + C2 ze−z =⇒
12
7
12
2
5
5
y = − e−z z 5 + C1 e−z + e−z z 5 + C2 ze−z =⇒
12
7
5 12
C1
5 2
C2
y=−
z 5 + z + z z 5 + z z =⇒
12ez
e
7e
e
2. x2 y 00 + 3xy 0 + y =
6. LA TRANSFORAMADA DE LAPLACE
y=−
13
12
2
5
C1
C2
5
ln 5 (x) +
+
ln 5 (x) +
ln (x)
12x
x
7x
x
3. x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = ln x2
y 00 + (−4 − 1) y 0 + 6y = ln x2
1. a) y 00 − 5y 0 + 6y = 2z =⇒ (Por aniquiladores)
m2 − 5m + 6 = 0, m1 = 3, m2 = 2
yc = C1 e3z + C2 e2z
(
2 ((((
D2 (
(D(
− 5D + 6) y = D2 =⇒ D2 = 0 =⇒ m3 = m4 = 0
yp = C3 + zC4
yp0 = C4
y400 = 0
0
4 + 6C3 + 6zC4 = 2z =⇒
− 5C4 + 6 (C3 + zC4 ) = 2z =⇒ −5C
1
5
6C4 = 2
, C4 =
C3 =
−5C4 + 6C3
18
3
5
1
5
1
3z
2z
y = C1 e + C2 e +
+ z =⇒ y = C1 x3 + C2 x2 +
+ ln x
18
3
18 3
6.
La transforamada de Laplace
Definición (Transformada de Laplace): Sea f (t) una función tal que t ⩾ 0.
La transformada de Laplace de f (t), se denota por L{f (t)} y está definida por la
integral impropia siguiente
Z +∞
L{f (t)} =
e−st · f (t) dt
0
siempre y cuando dicha integral sea convergente, en cuyo caso nos conduce a una
función que depende de la variable s, a saber L{f (t)} = F (s)
Nota: Conviene utilizar la notación L{f (t)} = F (s), L{g(t)} = G(s), L{y(t)} =
Y (s), etc.
Definición (L{f (t)} es transformación lineal): La transformada de Laplace es
una transformación lineal, es decir L es un operador lineal, ya que si L{f (t)} = F (s)
y L{g(t)} = Gs y a ∈ R, entonces se cumple que:
L{af (t) + g(t)}
= aL{f (t)} + L{g(t)}
= aF (s) + G(s)
Ejemplo: Utilice la linealidad y la tabla de transformadas de Laplace para calcular
cada una de las siguientes transformadas.
1. L{2t5 + sen (2t) − 3 cosh (4t) − cos (3t) cos t}
240
2
3s
5s
5
= 6 − 2
− 2
−
−
2
2
s
s + 3 s − 16 2 (s + 16) 2 (s + 4)
1
7
1
3s
t
−t 2
2. L{(e − e ) − 3 cos2 t} =
−
+
−
2
s − 2 2s s + 2 2 (s + 4)
14
Índice general
7.
Teorema (Primer Teorema de Traslación)
Sea a ∈ R, si L{f (t)} = F (s), entonces se cumple que L{eat · f (t)} = F (s − a)
Ejemplo: Calcule cada una de las siguientes transformadas de Laplace.
(s − 3)
1. L{e3t · cos (8t)} =
2
(s − 3) + 64
6
2. L{t3 · e−2t } =
4
(s + 2)
TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE
L f (t)  F (s)
Nº
1
2
3
4
5
6
7
Nº




L f (t)  F (s)
1
; s0
s
1
L t  2 ; s  0
s
n!
L t n  n1 ; n  1,2,3,... ; s  0
s
11
L e at f (t )  F (s  a)
12
L t n f (t )  (1) n F ( n) (s)
 
13
L e at 
  s 1 a ; s  a
14
e  as
L U (t  a) 
s
L f (t  a)U (t  a)  e as F (s) ;
L sen(kt) 
k
; s0
2
s  k2
s
L cos(kt)  2
; s0
s  k2
2ks
L tsen (kt)  2
; s0
(s  k 2 ) 2
15
L1  
a0
L f (t )U (t  a)  e as L{ f (t  a)} con
a0
16
17
8
L t cos(kt) 
s2  k 2
; s0
(s 2  k 2 ) 2
18
9
Lsenh(kt) 
k
; s k
s2  k 2
19
L  (t  a)  e as
t




L f (u ) g (t  u )du   F ( s)G ( s)


0

t



 F ( s)
L  f (u )du  
s


0



T
1
L f (t ) 
e st f (t )dt
 sT
1 e
0

f (t ) función periódica, de periodoT
10
Lcosh(kt) 
s
; s k
s k2
2
20
L{ y(t )}  Y (s)
L y´(t )  sY (s)  y(0)
L y´´(t )  s 2Y (s)  sy(0)  y´(0)
…


L y ( n) (t )  s nY (s)  s n1 y(0)  ...  y ( n1) (0)
2senA cos B  sen( A  B)  sen( A  B)
2senAsenB  cos( A  B)  cos( A  B)
2 cos A cos B  cos( A  B)  cos( A  B)
2 cos AsenB  sen( A  B)  sen( A  B)