Cálculo II, 14 de agosto de 2024
1
PRIMITIVAS E DERIVADAS DE FUNÇÕES ELEMENTARES:
Lembre-se: Sejam I ⊂ R um intervalo e f : I → R uma função. A função F é uma
primitiva de f em I, quando:
F 0 (x) = f (x), x ∈ I.
Funções Elementares: exponencial, potências, logaritmo
Primitivas
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Derivadas
ex dx = ex + c,
(ex )0 = ex ,
x∈R
xn dx =
xn+1
+ c; (n ∈ N),
n+1
xn dx =
xn+1
+ c; (n ∈ Z∗− \ {−1}),
n+1
√
p
√
p
1
dx =
x
x ∈ R \ {0}
x∈R
(xn )0 = nxn−1 , (n ∈ Z∗− \ {−1}),
x ∈ [0, ∞)
√
1 1
( p x)0 = x p −1 , (p par)
p
x1/p+1
+ c; (p ı́mpar)
1/p + 1
x∈R
√
1 1
( p x)0 = x p −1 , (p ı́mpar)
p
xα+1
+ c; (α ∈ R \ Q)
α+1
x ∈ (0, ∞)
(xα )0 = αxα−1
xdx =
xα dx =
(xn )0 = nxn−1 , (n ∈ N),
x∈R
x1/p+1
xdx =
+ c; (p par)
1/p + 1
x∈R
(
ln(x) + c,
ln(−x) + c,
Ana Paula Peron
x ∈ (0, ∞)
x ∈ (−∞, 0)
SMA354 - Cálculo 2
(ln |x|)0 =
1
,
x
x ∈ R \ {0}
x ∈ (0, ∞)
x ∈ R \ {0}
x ∈ (0, ∞)
x ∈ R \ {0}
Primitivas e Derivadas
Cálculo II, 14 de agosto de 2024
2
Funções elementares: trigonométricas e trigonométricas inversas
Primitivas
Derivadas
Z
sin xdx = − cos x + c,
(cos x)0 = − sin x,
x∈R
Z
cos xdx = sin x + c,
Z
(sin x)0 = cos x,
x∈R
∗
sec x tg xdx = sec x + c; (* em apropriados intervalos)
Z
Z
Z
Z
Z
∗
sec2 xdx = tg x + c;
(* em apropriados intervalos)
1
dx = arctg x + c,
1 + x2
√
1
dx = arcsin x + c,
1 − x2
√
1
dx = − arccos x + c x ∈ (−1, 1)
1 − x2
x ∈ (−1, 1)
1
dx = arcsec x + c,
x x2 − 1
√
sin2 x =
1 − cos 2x
;
2
(tg x)0 = sec2 x
1
,
1 + x2
x∈R
1
(arcsin x)0 = √
,
1 − x2
x ∈ (−1, 1)
−1
,
1 − x2
x ∈ (−1, 1)
(arccos x)0 = √
1
(arcsec x)0 = √
,
x x2 − 1
x>1
sin2 x + cos2 x = 1;
x∈R
(sec x)0 = sec x tg x
(arctg x)0 =
x ∈ R;
x∈R
x>1
sec2 x = tg 2 x + 1;
cos2 x =
1 + cos 2x
;
2
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Ana Paula Peron
SMA354 - Cálculo 2
Primitivas e Derivadas
Cálculo II, 14 de agosto de 2024
3
Funções elementares: hiperbólicas e hiperbólicas inversas
Primitivas
Z
√
Derivadas
1
dx = senh−1 x + c,
1 + x2
√
senh−1 x = ln x +
Z
√
1
x2 − 1
1 + x2 ,
x∈R
dx = cosh−1 x + c,
x>1
cosh−1 x = ln x +
Z
x2 − 1 ,
1+
√
1 − x2
,
x
1
dx = tgh−1 x + c
1 − x2
tgh
x = 12 ln
1+x
1−x
Z x
0<x<1
x∈R
1
(cosh−1 x)0 = √
,
2
x −1
x>1
−1
(sech−1 x)0 = √
,
x 1 − x2
0<x<1
0<x≤1
|x| < 1
(tgh−1 x)0 =
1
,
1 − x2
|x| < 1
,
|x| < 1
1
dx = cotgh−1 x + c,
1 − x2
cotgh−1 x = 21 ln
1
,
1 + x2
(senh−1 x)0 = √
x≥1
1
dx = −sech−1 x + c,
2
x 1−x
−1
Z
√
√
sech−1 x = ln
Z
x∈R
1+x
x−1
|x| > 1
(cotgh−1 x)0 =
1
,
1 − x2
|x| > 1
|x| > 1
0
f (t)dt = f (x),
x ∈ [a, b] (f contı́nua em [a, b], c ∈ [a, b])
c
Ana Paula Peron
SMA354 - Cálculo 2
Primitivas e Derivadas
Cálculo II, 14 de agosto de 2024
4
NOTE:
arcsin x + c1
- a função f (x) = √
x∈(−1,1)
Z
=
√
1
x∈(−1,1)
dx = − arccos x + c2
1 − x2
1
é contı́nua em (−1, 1);
1 − x2
- portanto f é integrável em qualquer subintervalo fechado de [−1, 1].
1
Além disso, arcsin x e − arccos x são primitivas de f (x) = √
em (−1, 1) e vale:
1 − x2
arcsin x = − arccos(x) + c
pois:
y = arcsin x ⇐⇒ x = sin y
z = − arccos x ⇐⇒ x = cos(−z)
)
=⇒ sin y = cos z =⇒ y = z +
π
+ 2kπ.
2
ASSIM, por exemplo:
Z 1/2
1
√
dx = arcsin(1/2) − arcsin(−1/2) = − arccos(1/2) − (− arccos(−1/2)).
1 − x2
−1/2
−1
|x|<1
tgh (x) + c1 =
Z
1
|x|>1
dx
= cotgh−1 (x) + c2 ,
1 − x2
1
é contı́nua em R \ {−1, 1} e não é limitada em R \ {−1, 1};
1 − x2
1
é contı́nua em qualquer subintervalo fechado de (−1, 1) ou de
- a função f (x) =
1 − x2
(−∞, −1) ou de (1, ∞).
- a função f (x) =
portanto:
1
é integrável em qualquer subintervalo fechado de (−1, 1) ou de
1 − x2
(−∞, −1) ou de (1, ∞).
- a função tgh−1 (x) é uma primitiva de f em (−1, 1), enquanto a função cotgh−1 (x) é
uma primitiva de f em (−∞, −1) ∪ (1, ∞).
MAS, neste caso, não faz sentido compararmos as funções tgh−1 com cotgh−1 pois elas
possuem domı́nios distintos!
ASSIM, por exemplo:
- a função f (x) =
Z 1/2
1
dx = tgh−1 (1/2) − tgh−1 (−1/2);
2
1
−
x
−1/2
Ana Paula Peron
Z 3
2
1
dx = cotgh−1 (3) − cotgh−1 (2)
1 − x2
SMA354 - Cálculo 2
Primitivas e Derivadas