组合数学报告
题目1：输入一个数值x，输出x的拆分数p(x)=？，分析其时
间复杂度。验证p(416)和p(417)
解题思路
拆分数 p(x) 表示将整数 x 拆分成整数的所有可能方式的数量，称为整数拆分。具体来
说，p(x) 表示将整数 x 写成一组非递增正整数的和的不同方法数。
例如：
p(4) = 5，对应的拆分方式是 4、3+1、2+2、2+1+1、1+1+1+1。
为了高效地计算整数拆分数，我们可以使用动态规划方法。动态规划是一种通过将复杂问
题分解为更小的子问题来解决问题的技术。对于整数拆分问题，我们使用动态规划来记录
从 1 到 x 的所有整数的拆分数。这样可以避免重复计算子问题，提高效率。
设 dp[i][j] 表示将整数 j 拆分成最多 i 个部分的方法数。则有以下递推关系：
算法设计
计算 p(x) 可以通过动态规划实现。其时间复杂度为
，因为我们需要构建一个二维
数组，其中每个元素表示部分拆分的可能性。
详细步骤如下：
1. 初始化：创建一个二维数组
，其中
表示将整数 拆分成最多 个部分的
方法数。
2. 设置初始条件：
，因为只有一种方法可以拆分零，就是不拆分。
3. 填充动态规划表格：
2
O(x )
dp
dp[i][j]
j
i
dp[i][0] = 1
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1
对于每个 从 1 到 ，以及每个 从 1 到 ：
如果 ，那么
；
否则，
。
4. 返回结果：
即为 。
i
x
j >= i
j
x
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-i]
dp[i][j] = dp[i-1][j]
dp[x][x]
p(x)
伪代码实现
复制代码
plaintext
function partition_count(n):
create a 2D array dp of size (n+1) x (n+1) initialized to 0
for i from 0 to n:
dp[i][0] = 1
for i from 1 to n:
for j from 1 to n:
if j >= i:
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-i]
else:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
return dp[n][n]
结果分析
输入：用户输入一个整数 x。
2. 输出：输出该整数的拆分数 p(x)。
例如，输入 x=416 和 x=417，输出分别为：
1.

p(416) = 17873792969689876004

p(417) = 18987964267331664557
输出正确符合要求。
下面分析一下算法复杂度。在上面的实现中，我们使用一个大小为
的二维数组，其中填充每个元素的操作是常数时间 。因此，总时间复杂度为
(n + 1) × (n + 1)
O(1)
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2
2
O(n )
结论
。

整数拆分 p(x) 是一个经典的组合数学问题，表示将整数 x 拆分成一组非递增正整数的和
的不同方法数。通过动态规划的方法，可以高效地计算出p(x)。该算法具有
的时
间复杂度，能够快速处理较大的输入值。计算结果表明，整数拆分数随着 x 的增加迅速
增长。
2
O(x )
题目2：输入一个数值x，输出x的欧拉函数Φ(x)=？
解题思路
欧拉函数 表示小于或等于 且与 互质的正整数的个数。
对于一个整数 n 和它的所有质因数 p，有公式：
ϕ(x)
x
x
1
1
ϕ(n) = n × (1 −
​
p1
1
) × (1 −
​
​
p2
​
) × ⋯ × (1 −
​
pk
)
​
算法设计
质因数分解：首先需要找到 n 的所有质因数。
2. 欧拉函数计算：根据公式计算
。
详细步骤如下：
1. 初始化：结果变量 result 初始化为 n 。
2. 遍历所有可能的质因数：
对于每个质因数 p，如果 p 是 n 的因数：
不断将 n 除以 p ，直到 n 不再能被 p 整除。
更新结果 result：result -= result / p。
3. 检查剩余的 n ：如果在循环结束后 n 大于 1，那么 n 本身是一个质因数，也需要
更新结果 result。
4. 返回结果：最终的 result 即为
。
1.
ϕ(n)
ϕ(n)
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3
伪代码实现
function euler_totient(n):
if n == 1:
return 1
result = n
p=2
while p * p <= n:
if n % p == 0:
while n % p == 0:
n = n // p
result = result - result // p
p=p+1
if n > 1:
result = result - result // n
return result
结果分析
输入：用户输入一个整数 x。
输出：输出该整数的欧拉函数值 。
验证输入 x=416 和 x=417，输出分别为：
ϕ(x)
ϕ(416) = 192

ϕ(417) = 276

其结果与查表相同，算法正确。
接下来对算法的复杂度进行分析：
欧拉函数的计算主要依赖于质因数分解。对于一个数 n，质因数分解的复杂度为
，因此该算法的时间复杂度也是
。在实际应用中，这种复杂度是可以接受的，并
且计算速度较快。
O(
O(
n)
​
n)
​
结论
欧拉函数 是一个重要的数学函数，用于计算与给定整数 x 互质的整数个数。通过质
因数分解和更新结果的方式，可以高效地计算欧拉函数值。该算法具有
的时间复
ϕ(x)
O(
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n)
​
4
杂度，能够快速处理较大的输入值，适用于实际应用。
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5