THOMSON
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cuarta edición
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Massachusetts lnstitute of Technology
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Universidad 1
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THOIVllSON
Australia • Brasil • Canadá • España • Estados Unidos • México"
THOWl:SON
URUGUAY
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Álgebra lineal y sus aplicaciones, 4a. Ed.
Gilbert Strang
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Universidad Iberoamericana
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de la presente obra bajo
cúalesquiera formas, electrónica
o mecánica, incluyendo fotocopiado,
almacenamiento en algún sistema de
recuperación de información, o
grabado sin el consetimiento previo
y por escrito del editor.
Capítulo 1
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Lectores ortotipográficos:
David García Vázquez
Felipe Martínez Martínez
1.7
Impreso en México
Printed in Mexico
123409080706
Para mayor información
contáctenos en:
Corporativo Santa Fe
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Col. Cruz Manca, Santa Fe
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Traducido del libro Linear Algebra
and lts Applications, 4th., publicado
en inglés por Brooks Cole, © 2006
ISBN 0-03-010567-6
Datos para catalogación bibliográfica:
Strang, Gilbert. Álgebra lineal y
sus aplicaciones, 4a. ed.
ISBN 970-686-609-4
Contenido:
1. Matrices y eliminación gaussiana.
2. Espacios vectoriales.
3. Ortogonalidad. 4. Determinantes.
5. Valores característicos y vectores
característicos.
6. Matrices positivas definidas.
7. Cálculos con matrices. 8. Programación
lineal y teoría de juegos.
Puede visitar nuestro sitio en
http://www.thomson.com.mx
Capítulo 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
El Caribe
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Metro Office Park 3
Suite 201 St. 1 Lot 3
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Espacios y subespacios vectoriales
69
Cómo resolver Ax = O y Ax = b
77
Independencia lineal, base y dimensión
92
Los cuatro subespacios fundamentales
102
Gráficas y redes
114
Transformaciones lineales
125
Ejercicios de repaso
137
Capítulo 3
3.1
3.2
3.3
División Iberoamericana
México y América Central
Thomson Learning
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Introducción
Geometría de las ecuaciones lineales
3
Un ejemplo de eliminación gaussiana
11
Notación matricial y multiplicación de matrices
Factores triangulares e intercambios de renglones
Inversas y traspuestas
45
Matrices especiales y aplicaciones
58
Ejercicios de repaso
65
América del Sur
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3.4
3.5
Vectores y subespacios ortogonales
Cosenos y proyecciones sobre rectas
Proyecciones y mínimos cuadrados
Bases ortogonales y Gram-Schmidt
La transformada discreta de Fourier
Ejercicios de repaso
198
141
152
160
174
188
Capítulo 4
4.1
4.2
4.3
4.4
Introducción
201
Propiedades del determinante
203
Fórmulas para el determinante
210
Aplicaciones de los determinantes
220
Ejercicios de repaso
230
19
32
iv
Tabla de contenido
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Introducción
233
Diagonalización de una matriz
245
Ecuaciones en diferencias y potencias A k
Ecuaciones diferenciales y eA'
266
Matrices complejas
280
Transformaciones de semejanza
293
Ejercicios de repaso
307
f
7.4
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Introducción
351
Norma de una matriz y número de condición
Cálculo de valores característicos
359
Métodos iterativos para Ax = b
367
Desigualdades lineales
377
El método simplex
382
El problema dual
392
Modelos de redes
401
Teoría de juegos
408
3 - ·- ...:
21\!TRE. RlOS
254
6.1 Mínimos, máximos y puntos silla
311
6.2 Pruebas para comprobar si una matriz es positiva definida
6.3 Descomposición del valor singular
331
6.4 Principios minimales
339
6.5 El método del elemento finito
346
7.1
7.2
7.3
EF:.::,:y~-:.::. :J.
352
318
La revisión de este libro de texto ha sido un desafío especial por
razón bastante agradable. Mucha gente ha leído este libro, enseñado a partir de él e
lo ha querido.
Quizá el espíritu del libro no cambie jamás. Este texto fue escrito como ayuda para que
nuestra enseñanza del álgebra lineal mantenga la importancia crucial de este tema, que sigue creciendo.
Ciertamente, un paso era posible y aconsejable: añadir nuevos problemas. Tantos años
de enseñanza requirieron cientos de reactivos de examen nuevos (especialmente con interrogantes que impliquen el uso de la red). Considero que el lector aprobará la amplia gama
de problemas. Los reactivos siguen siendo una mezcla de explicación y cálculo: los dos
métodos complementarios para aprender este hermoso tema.
Personalmente considero que mucha más gente necesita álgebra lineal que cálculo.
¡Isaac Newton podría no estar de acuerdo! Sin embargo, él no está enseñando matemáticas
en el siglo XXI (y quizá no fue un gran profesor, aunque le otorgaremos el beneficio de la
duda). Ciertamente, las leyes de la Física se expresan bien mediante ecuaciones diferenciales. Newton requirió del cálculo, lo cual está bien. Pero el alcance de la ciencia, la ingeniería y la administración (así como de la vida) actualmente es mucho más grande, y el álgebra
lineal se ha desplazado a un sitio nodal.
Podría decir algo más, ya que muchas universidades aún no ajustan el equilibrio hacia
el álgebra lineal. Al trabajar con lineas curvas y superficies curvas, el primer paso siempre
es linealizar. Sustituir la curva por su recta tangente, ajustar la superficie por un plano y
entonces el problema se vuelve lineal. El
de este tema se hace evidente cuando se
tienen 10 variables, o 1000, en vez de dos.
Quizá el lector piense que estoy exagerando cuando uso la palabra "hermoso" para un
curso básico de matemáticas. En absoluto. Este curso empieza con dos vectores v y w que
apuntan en direcciones distintas. El paso clave es tomar sus combinaciones lineales. Se multiplica para obtener 3v y 4w, y se suma para obtener una combinación particular 3v + 4w.
Este nuevo vector está en el mismo plano que v y w. Cuando se toman todas las combinaciones, se está llenando todo el plano. Si v y w se dibujan en esta página, sus combinaciones cv + dw llenan la página (y más allá), pero no salen de la página.
En el lenguaje de las ecuaciones lineales, cv + dw = b puede resolverse exactamente cuando el vector b está en el mismo plano que v y w.
Apéndice B
Soluciones a ejercicios seleccionados
428
Factorizaciones matriciales
474
Glosario: Un diccionario de álgebra lineal
476
<:¡ódigos de enseñanza MATLAB
481
Indice
482
Álgebra lineal en pocas palabras
488
Se avanzará un poco más para convertir combinaciones de vectores tridimensionales al
lineal. Si los vectores son v = (1, 2, 3) y w = (1, 3, 4), se escriben en una matriz
columna:
vi
Prefacio
Prefacio
Para encontrar combinaciones de estas columnas, la matriz se ""nmlltiJ>fü:a por un vector
(e, á):
Combinaciones lineales cv + dw
Estas combinaciones llenan un espacio vectorial, denominado espacio columna de la matriz. (Para estas dos columnas, dicho espacio es un plano.) Para decidir si b = (2, 5, 7) está en ese plano, se cuenta con tres componentes para lograrlo. Así, hay que resolver tres
ecuaciones:
c+ d = 2
2c+3d=5
3c +4d = 7.
Se deja que el lector las resuelva. El vector b = (2, 5, 7) no está en el plano de v y w. Si
el 7 se cambia por cualquier otro número, entonces b no está en el plano; de hecho, no es
ninguna combinación de v y w, por lo que las tres ecuaciones no tienen solución.
Ahora es posible describir la primera parte del libro, sobre ecuaciones lineales Ax =
b. La matriz A tienen columnas y m renglones. El álgebra lineal se desplaza de manera
continua hacia n vectores en el espacio m-dimensional. Siguen buscándose combinaciones
de las columnas (en el espacio columna). Siguen obteniéndose m ecuaciones para producir
b (una por cada renglón). Estas ecuaciones pueden o no tener una solución. Siempre tienen
una solución por mínimos cuadrados.
La interacción de las columnas y los renglones constituye el núcleo del álgebra lineal.
No es totalmente fácil comprenderlo, aunque tampoco es tan difícil. A continuación se enumeran cuatro de los conceptos más importantes:
1.
2.
3.
4.
El espacio columna (todas las combinaciones de las columnas).
El espacio renglón (todas las combinaciones de los renglones).
El rango (el número de columnas independientes) (o renglones).
Eliminación (la forma idónea para encontrar el rango de una matriz).
Y aquí me detengo para permitirle iniciar el curso.
Quizá sea útil mencionar las páginas de la red conectadas con este libro. Recibimos
muchos mensajes con sugerencias y palabras de aliento, por lo que espero que el lector
utilice todo con libertad. Puede acceder directamente a http://web.mit.edu/18.06, que se actualiza constantemente para el curso que se imparte cada semestre. Álgebra lineal también
está en el sitio del MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu, donde 18.06 se volvió excepcional al incluir videos de las conferencias (que, por supuesto, usted no tiene que ver... ).
A continuación se menciona una parte del material disponible en la red:
1.
2.
3.
4.
5.
Programa de conferencias y tareas y exámenes actuales con soluciones.
Los objetivos del curso, así como preguntas conceptuales.
Demos interactivos Java (ahora ya se cuenta con audio para los valores característicos).
Códigos de enseñanza del álgebra lineal y problemas MATLAB.
Videos de todo el curso (tal y como se enseña en un aula real).
La página del curso se ha convertido en un vínculo valioso para la clase y un recurso para
los estudiantes. Estoy bastante optimista sobre el potencial de las gráficas sonoras. El an-
vii
cho de banda para la voz en off es bajo, y FlashPlayer está disponible de manera gratuita.
Esto ofrece un repaso rápido (con experimentos activos), y es posible bajar todas las conferencias. Espero que los profesores y estudiantes de todo el mundo encuentren úti~es estas páginas web. Mi objetivo es hacer este libro lo más útil posible con todo el matenal del
curso que puedo proporcionar.
Nota
La administración de estas páginas Web y de otras mencionadas dentro
del libro no está a cargo de Thomson Learning Theroamérica, por lo que la editorial no es
responsable de las modificaciones en el contenido y los cambios en las politic_a:' Y formas
de acceso que pudieran ocurrir. Le recomendamos visitar frecuentemente estos s11:!os a fin de
estar al tanto de cualquier actualización.
Este libro cuenta con complementos para el profesor, los cuales están en inglés y sólo se
proporcionan a los docentes que adopten la presente obra como texto para sus cursos. Para mayor información, favor de comunicarse con las oficinas de nuestros representantes o
a los siguientes correos electrónicos:
Thomson México y Centroamérica clientes@thomsonlearning.com.mx.
Thomson América del Sur cliente@thomsonlearning.com
Thomson Caribe amy.reyes@thomsonlearning.com
curso
Los dos problemas fundamentales son Ax = b y Ax = Ax para matrices ~uadradas. A. El
primer problema Ax= b tiene una solución cuando las columnas de A son independientes.
El segundo problema Ax = Ax es para vectores característicos independientes. Una parte
crucial de este curso es aprender el significado de "independencia".
Considero que la mayoría de nosotros aprendemos primero a partir de ejemplos. Puede ver que
A~u
Hl
no tiene columnas indepe111die11tes.
La columna 1 más la columna 2 es igual a la columna 3. Un teorema maravilloso del álgebra establece que los tres renglones tampoco son independientes. El tercer. ren~;ón debe
estar en el mismo plano que los dos primeros renglones. Con alguna combi:iac10n de los
renglones 1 y 2 se obtiene el renglón 3. Quizá el lector pueda encontrar rá~1damente esta
combinación (yo no pude). Al final tuve que usar eliminación para descubru que la combinación correcta utiliza 2 veces el renglón 2, menos el renglón l.
La eliminación es la forma simple y natural para entender una matriz al producir bastantes elementos iguales a cero. Por tanto, el curso empieza aquí. ¡Pero n? se quede de_masiado
aquí! El lector debe proceder de combinaciones de los renglones a mdependencia de los
renglones a la "dimensión del espacio renglón". Este es el objetivo clave, ab?rdar todos
los espacios de los vectores: el espacio renglón, el espacio columna y el espacw nulo.. .
Otro objetivo es comprender la manera en que actúa la matriz. Cuando A se multiplica por x se obtiene el nuevo vector Ax. Todo el espacio de vectores se ~ueve; es "trans,formado" por A. Transformaciones especiales se obtienen de matrices p~1culares, Y aquellas
son las primeras piedras del álgebra lineal: matrices diagonales, matnces ortogonales, matrices triangulares, matrices simétricas.
!la¡lllalo 1
Matrices, y eliminación gaussiana
Capítulo
Los valores característicos de estas matrices también son importantes. Considero que
las matrices de 2 por 2 constituyen ejemplos contundentes de la información que pueden
proporcionar los valores característicos Á. Las secciones 5.1 y 5.2 ameritan una lectura cuidadosa para ver la manera en que Ax = A:x es de utilidad. Ahí se presenta un caso en que
matrices
permiten la obtención de muchísimo conocimiento.
En forma global, la belleza del álgebra lineal
de varias maneras:
tri
li 1
1. Visualización. Combinación de vectores. Espacios de vectores. Rotación, reflexión
y proyección de vectores. Vectores perpendiculares. Cuatro subespacios fundamentales.
2. Abstracción. Independencia de vectores. Base y dimensión de un espacio vectorial.
Transformaciones lineales. Descomposición del valor singular y la mejor base.
111
,
1
1
3. Cálculo. Eliminación para producir elementos cero. Gram-Schrnidt para producir
vectores ortogonales. Valores característicos para resolver ecuaciones diferenciales y en diferencias.
4.
Solución por mínimos cuadrados cuando Ax = b tiene demasiadas
ecuaciones. Ecuaciones en diferencias que aproximan ecuaciones diferenciales. Matrices
de probabilidad de Markov (¡la base para Google!). Vectores característicos ortogonales
como ejes principales (y más ... ).
Para continuar con estas aplicaciones, se mencionan los libros publicados por WeUesley-Cambridge Press. Todos aparentan ser de álgebra, aplicados al procesamiento de señales, a ecuaciones diferenciales parciales y a cálculos científicos (e inclusive GPS: Sistema
de Posicionamiento Global). Si el lector consulta la página http://www. wellesleycambride.
com, verá parte de la razón por la que el álgebra lineal es tan utilizada.
Después de este prefacio, el libro hablará por sí mismo. De inmediato observará el espíritu. El énfasis se pone en la comprensión: intento explicar, más que deducir. Este es un
libro sobre matemáticas verdaderas, no un ejercicio interminable. En clase, constantemente trabajo con ejemplos para enseñar lo que necesitan los estudiantes.
1.1
Este libro
con el problema central del álgebra lineal: l~ solució~ de, ec~acion~s liEl
,
y el más sencillo, es cuando el numero de mcogmtas es igual
nea l es. caso mas.
.
.
empezando con n = 2:
al número de ecuaciones. Se tJ.enen n ecuacwnes en n
3
lx + 2y
(1)
Dos ecuaciones
Dos mc:ogirut:;i.s
4x
+
5y
6.
· , "tas son x y y. Para resolver estas ecuaciones requiero, describir dos métod?s el
Las mcogm
, d t
· adas por los nume.
d eliminación y el de determinantes. Ciertamente, x y Y estan e emun
e 1 2 3 4 5 6 La cuestión es cómo utilizar estos seis números para resolver el sistema.
ros , , , , , .
l.
De la segunda ecuación, réstes~ ~veces l~ primera ecuación. Así se elimina x de la segunda ecuación, y
una ecuac1on para Y·
(2)
Disfruté la redacción de este libro, y ciertamente espero que el lector disfrute leyéndolo.
por haber trabajado con amigos. Recibí una ayuda maraMucho de este placer
villosa de Brett Coonley, Cordula Robinson y Erin Maneri, quienes crearon los archivos
l5f X y trazaron todas las figuras. Sin el apoyo constante de Brett nunca hubiera podido
terminar esta nueva edición.
Steven Lee y Cleve Moler me proporcionaron ayuda
ñanza. Ellos siguieron los pasos descritos en el libro:
y Mathematica son
más rápidos para matrices grandes. Todos pueden utilizarse (de manera opcional) en este
curso. Hubiera podido añadir "Factorización" a la lista anterior, como una quinta avenida
para la comprensión de las matrices:
[L,U,P] = lu(A)
[Q,R] = qr(A)
para ecuaciones lineales
para hacer ortogonales a las columnas
(S,EJ = eig(A) para encontrar vectores característicos y valores característicos.
Al dar las gracias, nunca me olvido de la primera dedicatoria de este libro, hace años.
Aquélla fue una oportunidad especial para agradecer a mis padres por haberme proporcionado tantos presentes generosos. Su ejemplo es una inspiración en mi vida.
Y también agradezco al lector, esperando que le agrade este libro.
Gilbert Strang
De inmediato se sabe que y
lx + 2y = 3:
Con sw¡tUuc1:on hada atrás
2. Luego, x se conoce a partir de la primera ecuación,
lx + 2(2) = 3
se obtiene
(3)
Procediendo cuidadosamente, se comprueba que x y y trui:_bi~nl res~el~ene~:s sz;~~~
ecuación. Esto debe funcionar, como es el caso: 4 veces (x ) mas v
es igual a 6.
Determinantes La solución y = 2 depende completamente de los seis núm~:os :n
l~s ecuaciones. Debe haber una fórmula para Y (y tambi~~ Pa:;ª x). Se tra~a de una razon
2
de determinantes", que espero, el lector me permita escnbrr directamente.
-6
=-=2.
-3
(4)
2
Capítulo 1
1.2
Matrices y eliminación gaussiana
(5)
A continuación se compararán ambos métodos, pensando en futuros problemas reales
en los que n es mucho más grande (n = 1000 es un tamaño bastante moderado en cálculos
científicos). Lo cierto es que el uso directo de la fórmula de los determinantes para 1000
ecuaciones puede ser un desastre total, ya que el millón de números a la izquierda se utilizaría correcta pero ineficazmente. Esta fórmula se encontrará en el capítulo 4 (regla de Cramer),
aunque en el capítulo 1 se presenta un método aceptable para resolver 1000 ecuaciones.
Este método aceptable es la eliminación gaussiana. Se trata del algoritmo que suele
aplicarse de manera constante para resolver grandes sistemas de ecuaciones. A partir de los
ejemplos en un libro de texto (n = 3 se aproxima al limite superior de la paciencia del autor y del lector), quizá el lector no puede apreciar mucha diferencia. En las ecuaciones (2)
y (4) se siguieron esencialmente los mismos pasos para encontrar y = 2. Ciertamente, x se
conoció más rápido por la sustitución hacia atrás en la ecuación (3) que la razón en (5). Paran más grande, no hay caso. Gana la eliminación (e incluso este método es el mejor para
calcular determinantes).
La idea de eliminación es engañosamente simple: el lector la dominará luego de unos
cuantos ejemplos. Constituye la base de la mitad de este libro, simplificando una matriz de
modo que sea posible comprenderla. Junto con la mecánica del algoritmo, en este capítulo
es necesario explicar cuatro aspectos más profundos. Éstos son:
1.
2.
Las ecuaciones lineales llevan a la geometría de planos. No es fácil visualizar un plano nueve-dimensional en un espacio de diez dimensiones. Es más difícil ver diez de estos planos, que se cortan en la solución de diez ecuaciones, aunque de alguna manera
esto es casi posible. Nuestro ejemplo tiene dos rectas en la figura 1.1, que se encuentran en el punto (x, y) = (-1, 2). El álgebra lineal mueve esta imagen hacia diez dimensiones, donde la intuición debe imaginar la geometría (y la obtiene correctamente).
Pasamos a la notación matricial al escribir las n incógnitas como un vector x y las n
ecuaciones como Ax= b. Multiplicamos A por "matrices de eliminación" con la finalidad de obtener una matriz triangular superior U. Con lo anterior, A se factoriza en L
veces U, donde L es triangular inferior.
y
4x + 5y = 6
Una solución (x, y) = (- 1, 2)
4x + 8y = 6
Paralelas: no hay solución
3
A continuación se escribirán A y sus factores para nuestro ejemplo, y se explicarán en
su debido momento:
Lo anterior puede parecer algo misterioso, a menos que el lector ya conozca algo sobre determinantes de 2 por 2. Estos determinantes proporcionan la misma respuesta y = 2, proveniente de la misma razón de -6 a -3. Si nos quedamos con los determinantes (lo cual no
pensamos hacer), hay una fórmula semejante para calcular la otra incógnita, x:
3
= -3 =-l.
Geometría de las ecuaciones lineales
F . .,
actonzacmn A =
[1 ;J = [¡ ~] [~ _;J
4
=Lveces U.
(6)
Primero es necesario presentar las matrices, los vectores y las reglas de la multiplica1
ción. Toda matriz tiene una traspuesta A T. Esta matriz, tiene una inversa A - .
En la mayor parte de los casos, la eliminación se realiza sin dificultades. La matriz tiene una inversa, y el sistema Ax = b tiene una solución. En casos excepcionales el método falla; ya sea que las ecuaciones se escribieron en orden equivocado, lo cual se
arregla fácilmente al intercambiarlas, o las ecuaciones no tienen una solución única.
El caso singular aparece si 8 se sustituye por 5 en nuestro ejemplo:
3.
lx
4x
Caso "'"';<;""'"''
Dos rectas paralelas
+ 2y
+ 8y
3
6.
(7)
La eliminación resta simplemente 4 veces la primera ecuación de la segunda. Sin embargo, ¡observe el resultado!
(ecuación 2) - 4(ecuación 1)
4.
Este caso singular no tiene solución. Otros casos singulares tienen una
de
soluciones. (Cambie 6 a 12 en el ejemplo, y la eliminación producirá O = O. Así, y,
puede asumir cualquier valor.) Cuando la eliminación falla, se quiere encontrar toda
solución posible.
Se requiere una estimación aproximada del número de pasos de eliminación necesarios para resolver un sistema de tamaño n. El costo de cómputo a menudo determina
la precisión del modelo. Cien ecuaciones requieren alrededor de 300 000 pasos (multiplicaciones y restas). La computadora es capaz de hacer estos pasos rápidamente, pero no es así para el caso de varios billones de pasos. Y después de un millón de pasos,
el error por redondeo puede ser significativo. (Algunos problemas son sensibles; otros
no.) Sin entrar en todos los detalles, pretendemos considerar grandes sistemas que se
presentan en la práctica, así como la manera en que se resuelven realmente.
El resultado final de este capítulo, es un algoritmo de eliminación que es casi lo más
eficaz posible. Se trata del algoritmo que suele usarse en una numerosa variedad de aplicaciones. Y al mismo tiempo, comprenderlo en términos de matrices -la matriz de coeficientes A, las matrices E y P para la eliminación e intercambio de renglones, respectivamente,
y los factores finales L y U- es un fundamento esencial de la teoría. Espero que el lector
disfrute este libro y su curso.
1.2
X+ 2y = 3
La forma de comprender este tema es mediante un ejemplo. Se empieza con dos ecuaciones extremadamente simples, reconociendo que el lector puede resolverlas sin necesidad
de llevar un curso de álgebra lineal. No obstante, espero que le dé una oportunidad a Gauss:
4x + 8y = 12
2x-y=l
X+ y= 5.
Recta co1mt1lef:a de soluciones
1.1 El ejemplo tiene una solución. Los casos singulares no tienen solución, o tienen demasiadas soluciones.
Este sistema puede abordarse por renglones o por columnas. Queremos abordarlo en ambas formas.
1.2
4
011736
Geometría de las ecuaciones lineales
5
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
w
El primer método se centra en las ecuaciones por separado (los
Es el m'
conocido, y en dos dimensiones se hace rápidamente. La ecuación 2x - y = 1 se represe:
ta por una línea recta en el plano x-y. La recta pasa por los puntos x = 1 y = 1 y x = !2
Y = O (y también por (2, 3) y todos los puntos intermedios). La segunda e~uación, x + y '
= 5, pro~uce una segunda recta (véase la figura l.2a). Su
es dyldx = -1 y corta a la pnmera recta en la solución.
El pu.nto de intersección pertenece a ambas rectas. Se trata de la única solución de las
dos ecuaciones. El punto x = 2 y y = 3 se encontrará pronto por "eliminación".
(l, 5 ) =
~'
4u - 6v = -2 (plano vertical)
1
2 (columna 1)
+3 (columna 2)
(-3,3L//
'
(-1, 1)
(4, 2)
(2, 1) = columna 1
b) Las columnas se combinan con 2 y 3
a) Las rectas se cortan en
X = 2, y= 3
1.2 Representación por
punto de intersección con
el tercer plano = solución
(dos rectas) y representación por columna (se
u
1.3
La representación por
línea de intersección:
los dos
planos
tres planos que se cortan, provenientes de tres
ecuaciones lineales.
combinan columnas).
El segundo :Uétodo considera las columnas del sistema lineal. Las dos ecuaciones por
separado en realidad son una ecuación vectorial:
Forma de columna
X
rn + [-i] GJ
y
El problema consiste en encontrar la combinación de los vectores columna en el miembro
,
el vector del miembro derecho. Los vectores (2, 1) y ( - 1, 1) se repres~n~ con las líneas gruesas en la figura l .2b. Las incógnitas son los números x y y que
multiplican a los vectores columna. Toda la idea puede verse en esa
donde 2 veces la
columna 1 se suma a .3 veces la columna 2. Geométricamente, así se obtiene un famoso paralelogramo: Algebraicamente, se obtiene el vector correcto (1, 5), en el miembro derecho
de las ecuac1on~s. La re~resentación por columnas confirma que x = 2 y y= 3.
_ Puede ded1ca:se ma~
. a este ej~mplo, aunque se
pasar al caso en que
n - 3. Tres ecuaciones siguen siendo marnpulables, y presentan mucha mayor variedad:
2u + V+ W =
5
4u - 6v
-2
-2u + 7v + 2w
9.
(l)
De nuevo, es posible estudiar los renglones o las columnas, de modo que se
con los
Cada ecuación describe
en tres dimensiones. El primer plano es 2u +
v + w = 5, ~se muestra en la figura 1.3. Contiene a los puntos ( ~ , O, O) y (0, 5, O) y (O, O,
5). Es determmado por
tres de sus puntos, suponiendo que no son colineales
Al cambiar 5 a l O, el plano 2u + v + w = 1O debe ser paralelo al anterior. Conti~­
ne a (5, O, O) Y (O, 10, 0), Y (O, O, 10) que está dos veces más lejos del origen, que es el
punto central u = O, v = O, w = O. Al cambiar el miembro derecho, el plano paralelo se
mueve a sí mismo, y el plano 2u + v + w = O pasa por el origen.
El segundo plano es 4u - 6v = -2. Se trazó verticalmente porque w puede asumir
cualquier valor. El coeficiente de w es cero, aunque sigue siendo un plano en el espacio
tridimensional. (La ecuación 4u = 3, o incluso el caso extremo u = O, sigue describiendo un plano.) En la figura se muestra la intersección del segundo plano con el primero.
Esta intersección es una recta. En tres dimensiones, una recta requiere dos ecuaciones; en
n dimensiones
n - l.
Finalmente, el tercer plano corta a la recta en un punto. El plano (no está dibujado)
ret)reser1ta la tercera ecuación, -2u + 7 v + 2 w = 9, y corta a la recta en u = 1, v = 1,
w = 2. Este punto de intersección triple (1, 1, 2) resuelve el sistema lineal.
¿Cómo se extiende hasta n dimensiones esta representación por renglones? Las n ecuaciones contienen n incógnitas. La primera ecuación sigue determinando un "plano", que ya
no es un plano bidimensional en el espacio tridimensional; de alguna manera, su "dimensión" es n - 1. Debe ser plano y extremadamente delgado en un espacio n-dimensional,
aunque nos parezca sólido.
Si el tiempo es la cuarta dimensión, entonces el plano t = O corta al espacio tetradimensional y
el universo tridimensional en que vivimos (o más bien, el universo como
era en t = O). Otro plano es z = O, que también es tridimensional; se trata del
normal
x-y que se considera todo el tiempo. ¡Estos espacios tridimensionales se cortan! Comparten
el plano normal x-y en t = O. Si se desciende a dos dimensiones, el siguiente plano deja una
recta. Por último, un cuarto plano deja un solo punto. Se trata del punto de intersección de
4 planos en 4 dimensiones, y resuelve las 4 ecuaciones subyacentes.
Si continuamos con este ejemplo proveniente de la relatividad, estaremos en problemas. La cuestión es que el álgebra lineal es capaz de operar con cualquier número de ecuaciones. La
ecuación produce un plano (n - 1)
en n dimensiones. El
6
ing. Pé~{-:-;·;·i··~·~·
segundo plano lo corta (esperamos) un conjunto más pequeño de "dimensión n - 2". Suponiendo que todo va bien, todo plano nuevo (toda ecuación nueva) reduce la dimensión
en una unidad. Al final, cuando se hayan tomado en cuenta todos los n planos, la dimensión de la inters~cción es cero. Se trata de un punto1 que pertenece a todos los planos, y sus
coordenadas sattsfacen a todas las n ecuaciones. ¡Esta, es la solución!
Vectores columna v combinaciones lineales
Ahora volvemos a las columnas. Esta vez la ecuación vectorial (la misma ecuación que (1))
es
Forma de columna
. :'.: ¡,,, :;:·(j'~~ometría de las ecuaciones lineales
:
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
u
[_~J
Hl m Hl ~
+w
b
b.
', :·
,
.
-
.. '.. >:::;~:.·. :...:¡~DEL URUGH.JAV
En la figura de Ia'tl~técbi[°ña~ una'ÜiiiltÍ'plft:~~i~~~~or 2 (y si el vector hubiese sido multiplicado por -2, entonces el vector hubiera invertido su dirección):
M1ulti11lica.ciéin por escalares
También en la figura de la derecha se observa una de las ideas centrales del álgebra.
Utiliza las dos operaciones básicas: los vectores se multiplican por números y luego se suman. El resultado se denomina combinación lineal, y esta combinación resuelve nuestra
ecuación:
(2)
Estos son vectores columna tridimensionales. El vector b se identifica con el punto cuyas
coordenadas son .s, -2, 9. J'odo punto en el espacio tridimensional se hace corresponder
~on un vector, Y. viceversa. Esta, era la idea de Descartes, quien transformó la geometría en
álgebra al trabajar con las coordenadas del punto. Es posible escribir el vector en una columna, o sus componentes pueden enumerarse como b == (5, -2, 9), o incluso puede representarse geométricamente mediante una flecha a partir de su origen. Pueden elegirse la
flecha, o el punto o los tres números. En seis dimensiones, quizá es más conveniente elegir los seis números.
Cuando los componentes se enumeran horizontalmente, suele utilizarse paréntesis y
comas, Y cuando el vector columna se indica verticalmente se usan llaves (sin comas). Lo
que realmente importa es la suma de vectores y la multiplicación por un escalar (un número). En la figura l.4a se muestra una suma vectorial, componente por componente:
1
Combinación lineal
·l-~l Hl m Hl
2
+•
+
La ecuación (2) requirió multiplicadores u, v, w, que producen el miembro derecho b. Estos
números son u = 1, v = 1, w = 2. Y proporcionan la combinación correcta de las columnas. También proporcionaron el punto (1, 1, 2) en la representación por renglón (donde se
cortan los tres planos).
Nuestro verdadero objetivo es ir más allá de dos o tres dimensiones, hasta n dimensiones. Con n ecuaciones en n incógnitas, en la representación por renglón hay n planos. En
la representación por columna hay n vectores, más un vector b en el miembro derecho. La
ecuación pide una combinación lineal de las n columnas que sea igual a b. Para ciertas
ecuaciones esto es imposible. Paradójicamente, la mejor manera de entender el caso bueno es estudiando el caso malo. Por consiguiente, consideraremos la geometría, justo cuando falla, en el caso SUl!!tHar.
Representación por renglón: intersección de planos
Representación por columna: combinación de columnas
Suma vectorial
El caso singular
[-
~]
= combinación lineJ = b
2 (columna 3)
[
[/
/
1
/
Suponga que nuevamente estamos en tres dimensiones, y que tres planos en la representación por renglón no se cortan. ¿Qué puede estar mal? Una posibilidad es que dos planos
pueden ser paralelos. Las ecuaciones 2u + v + w = 5 y 4u + 2v + 2w = 11 son inconsistentes, y planos paralelos no dan solución (en la figura 1.5a se muestra una vista del extremo). En dos dimensiones, la única posibilidad de falla la constituyen las rectas paralelas. Sin
embargo, tres planos en tres dimensiones pueden estar en problemas sin ser paralelos.
La dificultad más frecuente se muestra en la figura l.5b. A partir de la vista del extremo, los planos forman un triángulo. Cada par de planos se corta en una recta, y estas
_~] + [-~] = [-i]
columnas 1 + 2
1
/
k. -
a) Los vectores se suman a
fo
de los ejes
1.4
igual a b.
b) Se suman las columnas 1 + 2 + (3 + 3)
La representación por columna: la combinación lineal de las columnas es
dos planos
paralelos
a)
no hay
intersección
b)
recta de
intersección
e)
todos los planos
son paralelos
d)
1.5 Casos singulares: no hay solución para a), b), o d), una infinidad de soluciones para c).
8
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
1.2
rectas son
El tercer plano no es paralelo a los otros planos, pero es
línea de intersección. Esto corresponde a un sistema singular con b = (2, 5, 6):
No
soluciones, como en fa
1.5b
u+v+ w=2
2u
+ 3w = 5
a su
(3)
3u + v + 4w = 6.
Sumados, los dos primeros miembros izquierdos son iguales al tercero. En el miembro derecho falla eso: 2 + 5 1= 6. La ecuación 1 menos la ecuación 2 menos la ecuación 3 es la
afirmación imposible O = l. Así, las ecuaciones son
como la eliminación
gaussiana descubre sistemáticamente.
Otro sistema singular, próximo a éste, tiene una infinidad de soluciones. Una vez que
el 6 en la última ecuación se vuelve 7, las tres ecuaciones se combinan para dar O = O. Así,
la tercera ecuación es la suma de las dos primeras. En ese caso, los tres planos tienen toda
una recta en común (véase la figura l.5c). Al cambiar los miembros derechos, los planos
de la figura l.5b se moverán en sentido paralelo a sí mismos, y para b = (2, 5, 7), repentinamente la figura es diferente. El plano inferior se movió para encontrar a los otros, y hay
una recta de soluciones. El problema l.5c sigue siendo singular, pero ahora adolece de demasiadas soluciones, en vez de tener unas cuantas.
El caso extremo lo constituyen tres planos paralelos. Para la mayor parte de miembros
derechos no hay solución (véase la figura 1.5d). Para miembros derechos especiales (¡como b = (0, O, O)!), hay todo un plano de soluciones, ya que los tres planos paralelos se mueven para convertirse en el mismo.
¿Qué ocurre con la
por columna cuando el sistema es singular? Debe
estar mal, aunque la pregunta es cómo. En el miembro izquierdo de las ecuaciones sigue habiendo tres columnas, y se intenta combinarlas para obtener b. Se queda con la ecuación (3):
Caso smgw1ar: re¡:&re!;eutac;ión
Tres columnas en el mismo
Fácil de resolver sólo para b en ese
9
en general no tiene solución. Sin embargo, hay una posibilidad de que b esté en el plano
de las columnas. En ese caso hay demasiadas soluciones; las tres columnas pueden combinarse en una infinidad de formas para producir b. Esa representación por columna de
la figura l.6b corresponde a la representación por renglón de la figura 1.5c.
¿Cómo se puede saber que las tres columnas están en el mismo plano? Una respuesta
consiste en encontrar una combinación de las columnas cuya suma sea cero. Después de algunos cálculos, esta combinación es u= 3, v = -1, w = -2. Tres veces la columna les
igual a dos veces la columna 2 más dos veces la columna 3. La columna 1 está en el plano
de las columnas 2 y 3. Sólo dos columnas son independientes.
El vector b = (2, 5, 7) está en ese plano de las columnas: es la columna l más la columna 3, de modo que (1, O, 1) es una solución. Es posible sumar cualquier múltiplo de la
combinación (3, -1, -2) que produzca b = O. Así, hay toda una recta de soluciones, como se sabe a partir de la representación por renglón.
La verdad es que se sabía que las columnas deben combinarse para obtener cero, ya
que eso ocurría con los renglones. Este hecho pertenece a las matemáticas, no a los cálculos, y sigue siendo verdadero en la dimensión n. Si los n
no tienen
punto
en común, o comparten una
de puntos, entonces las n columnas están en el
mismo
Si la representación por renglón falla, entonces también falla la representación por columna. Esto hace la diferencia entre el capítulo 1 y el capítulo 2. En el capítulo l se estudia
el problema más importante: el caso no singular, donde hay una solución que es necesario
encontrar. En el capítulo 2 se estudia el caso general, donde puede haber muchas soluciones
o ninguna. En ninguno de estos dos casos es posible continuar sin tener una notación (notación matricia[), y un algoritmo (eliminación) idóneos. Después de los siguientes ejercicios
se abordará la eliminación.
1. Para las ecuaciones x +y = 4, 2x - 2y = 4, trace la representación por renglón (dos
Para b = (2, 5, 7) era posible esto; para b = (2, 5, 6) no lo era. La razón de esto es que esEntonces cualquier combinación también está en el
tas tres columnas están en un
plano (que pasa por el orige_n). Si el vector b no está en ese plano, ninguna solución es posible (véase la figura 1.6). Este es por mucho el evento más probable; un sistema singular
rectas que se cortan), y la representación por columna (combinación de dos columnas
igual al vector columna (4, 4) en el miembro derecho).
2. Resuelva lo siguiente para encontrar una combinación de las columnas que sea igual a b:
U - V - W = b¡
Sistema
3 columnas
en un plano
Geometría de las ecuaciones lineales
3 columnas
en un plano
v + w = bz
w = b3·
3. (Recomendado) Describa la intersección de los tres planos u + v + w + z = 6 y u +
w + z = 4 y u + w = 2 (todos en el espacio tetradimensional). ¿Es una recta, un punto o un conjunto vacío? ¿Cuál es la intersección si se incluye el cuarto plano u = -1?
Encuentre una cuarta ecuación que deje la situación sin solución.
4. Trace las tres rectas siguientes, y decida si las ecuaciones son de fácil solución:
X+ 2y = 2
X y= 2
Sistema de 3 por 2
y= l.
b) infinidad de soluciones
¿Qué ocurre si todos los miembros izquierdos son cero? ¿Hay alguna opción diferente de cero de miembros derechos que permita que las tres rectas se cortan en el mismo
punto?
Casos singulares: b fuera o dentro del plano con todas las tres columnas.
5. Encuentre dos puntos en la recta de intersección de los tres planos t = O Y z = O Y
x + y + z + t = 1 en el
de 4 dimensiones.
solución
1.6
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
1.3
6. Cuando b = (2, 5, 7), encuentre una solución (u, v, w) de la ecuación (4) distinta de
la solución (1, O, 1), mencionada en el texto.
7. Proporcione dos miembros derechos más, aparte de b = (2, 5, 7) para los cuales la
ecuación (4) pueda resolverse. Proporcione dos miembros derechos más, aparte de
b = (2, 5, 6) para los cuales la ecuación (4) no pueda resolverse.
V+ 2w
=Ü
es singular, encontrando una combinación de las tres ecuaciones que produzca O = 1.
¿Qué valor debe sustituirse en el último cero del miembro derecho para que las ecuaciones tengan soluciones, y cuál es una de las soluciones?
9. La representación por columna del ejercicio anterior (sistema singular) es
u
¡11 +" m+ w m~ b.
Demuestre que las tres columnas de la izquierda están en el mismo plano, expresando
la tercera columna como una combinación de las dos primeras. ¿Cuáles son las soluciones (u, v, w) si bes el vector cero (0, O, O)?
10. (Recomendado) ¿Bajo qué condición sobre y 1, y 2 , y 3 los puntos (0, y 1), (1, y 2 ), (2, y 3 )
están en una línea recta?
U. Es cierto que la solución de las siguientes ecuaciones es x = y = O. ¿Para qué valores
de a hay toda una recta de soluciones?
ax+ 2y =O
2x +ay= O
12. Empezando con x + 4y = 7, encuentre la ecuación de la recta paralela que pasa por
x = O, y = O. Encuentre la ecuación de otra recta que corta a la primera en x = 3, y = 1.
Los pr101>Jlen1as 13 a 15 son un repaso de las representaciones por renglón y por
columna.
11
17. La primera de las siguientes ecuaciones más la segunda es igual a la tercera:
x+ y+ z=2
X+ 2y + Z = 3
2x + 3y + 2z = 5.
Los dos primeros planos se encuentran a lo largo de una recta. El tercer plano contiene a esta recta, ya que si x, y, z satisfacen las dos primeras ecuaciones, entonces también ___. Las ecuaciones tienen una infinidad de soluciones (toda la recta L). Encuentre las tres soluciones.
8. Explique por qué el sistema
u+ v+ w=2
u+ 2v + 3w = l
Un ejemplo de eliminación gaussiana
18. Mueva el tercer plano en el problema 17 hasta un plano paralelo 2x + 3y + 2z = 9.
Ahora, las tres ecuaciones no tienen solución; ¿por qué? Los dos primeros planos se
encuentran a lo largo de la recta L, pero el tercero no ___ esa recta.
19. En el problema 17, las columnas son (1, 1, 2) y (1, 2, 3) y (1, 1, 2). Este es un "caso singular" porque la tercera columna es ___. Encuentre dos combinaciones de las columnas que proporcionen b = (2, 3, 5). Esto sólo es posible para b = (4, 6, e) si e= _ _.
20. Normalmente, 4 "planos" en el espacio tetradimensional se cortan en un _ _. Normalmente, 4 vectores columna en el espacio de 4 dimensiones pueden combinarse para producir b. ¿Qué combinación de (1, O, O, O), (1, 1, O, O), (1, 1, 1, O), (1, 1, 1, 1) produce b = (3, 3, 3, 2)? ¿Cuáles son las 4 ecuaciones que está resolviendo para x, y, z, t?
21. Cuando la ecuación l se suma a la ecuación 2, ¿cuál de las siguientes opciones cambia: los planos en la representación por renglón, la representación por columna, lamatriz de coeficientes, la solución?
22. Si (a, b) es un múltiplo de (e, d) con abcd #O, demuestre que (a, e) es un múltiplo de
(b, d). Esto es sorprendentemente importante: denomínela pregunta de desafío. Primero
puede usar números para ver cómo están relacionados a, b, e y d. La pregunta lleva a:
Si A = [ ~
!]
tiene renglones dependientes, entonces tiene columñas dependientes.
23. En estas ecuaciones, la tercera columna (que multiplica a w) es la misma que el miembro derecho b. La forma en columna de las ecuaciones, ¿qué solución para (u, v, w)
proporciona de inmediato?
6u + 7v + 8w = 8
4u + 5v + 9w = 9
2u - 2v + 7w = 7.
13. Trace las dos representaciones en dos planos para las ecuaciones x - 2y = O, x + y = 6.
14. Para dos ecuaciones lineales en tres incógnitas x, y, z, la representación por renglón
muestra (2 o 3) (rectas o planos) en un espacio (bi o tri) dimensional. La representación por columna es en un espacio (bi o tri) dimensional. Las soluciones normalmente están en un
15. Para cuatro ecuaciones lineales en dos incóguitas x y y, la representación por renglón
muestra cuatro ___. La representación por columna está en un espacio ___ dimensional. Las ecuaciones no tienen solución, a menos que el vector del miembro derecho sea una combinación de
16. Encuentre un punto con z = 2 en la recta de intersección de los planos x + y + 3z =
6 y x - y + z = 4. Encuentre el punto con z = O y un tercer punto a la mitad entre los
dos puntos anteriores.
1.3
La forma de entender la eliminación es por medio de un ejemplo. Se empieza en tres dimensiones:
2u + V+ W =
5
4u - 6v
-2
(1)
-2u + 7v + 2w =
9.
El problema consiste en encontrar los valores incógnitos de u, v, y w, de modo que se
aplicará eliminación gaussiana. (Gauss es reconocido como el más grande de los matemáticos, aunque no ciertamente debido a este invento, que quizá le llevó 10 minutos. Irónicamente, es el concepto más frecuentemente utilizado que lleva su nombre.) El método em-
..
r:rJI-',*'-"~~!
12
O ;; : C: f.!, t'l A C l O N A l..
lilMi
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
'1 j ~. i.:Jii Siemplo de eliminación gaussiana
,., ..,
;·~;,,; ~L
por restar
de
ecuación a las otras ecuaciones. El objetivo es
eliminar u de las dos últimas ecuaciones. Para lograr este objetivo se requiere lo siguiente:
a) restar 2 veces la
ecuación de la segunda
b) restar -1 vez la
ecuación de la tercera.
2u+ v+ w=
5
-8v - 2w = -12
8v + 3w =
(2)
circunstancias es
Algo debe estar mal en el caso
singular, y algo puede estar mal en el caso no singular. Esto podría parecer algo prematuro; después de todo, apenas se ha logrado tener funcionando al algoritmo. Sin embargo, la
posibilidad de falla ilumina al método en sí.
La respuesta es: con un conjunto completo de n pivotes, sólo hay una solución. El sistema es no singular, y se resuelve por eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.
Pero si en
aparece un cero, es necesario detener la eliminación, ya sea
temporal o permanentemente. El sistema
o no ser singular.
Si el primer coeficiente es cero, en la esquina superior izquierda, la eliminación de u
de las otras ecuaciones es imposible. Lo mismo es cierto en toda etapa intermedia. Observe que en una posición pivote
aparecer un cero, aun si el coeficiente original en ese
no se sabe si
un cero sino hasta que
sitio no era cero. En términos
se intenta, al realizar en verdad el proceso de eliminación.
En muchos casos este problema
restablecerse, por lo que la eliminación puedé
recontinuar. Un sistema así sigue siendo no singular; es sólo el algoritmo lo que
paración. En otros casos es inevitable la falla Estos sistemas incurables son singulares; no
tienen solución o tienen una infinidad de éstas, por lo que no es posible encontrar un conjunto completo de pivotes.
14.
El coeficiente 2 es el primer pivote. La eliminación consiste en dividir constantemente el
primer pivote entre los números que están abajo de él, con la finalidad de encontrar los multiplicadores idóneos.
~l, pivote d~ l.a
de la eliminación es -8. Ahora se ignora la primera
ecuac1on. Un mult1plo de la segunda ecuación se restará de las ecuaciones que quedan (en
este caso sólo queda la tercera) con la finalidad de eliminar v. La segunda ecuación se suma a la tercera o, en otras palabras,
c) se resta -1 vez la segunda ecuación de la tercera.
Ahora el proceso de eliminación está completo, por lo menos en la dirección "hacia adelante":
Sistema
2u + V+ W =
5
-Sv - 2w = -12
lw =
(3)
2.
Este sistema se resuelve hacia atrás, de abajo arriba. La última ecuación da w = 2. Al
sustituir en la segunda ecuación, se encuentra v = 1. Luego, la primera ecuación da u = 1.
Este proceso se denomina sustitución hacia atrás.
P8:1"a repetir: con la eliminación hacia adelante se obtuvieron los pivotes 2, -8, l. En
este metodo se restan múltiplos de cada renglón de los renglones de abajo para llegar al sistema "triangular" (3), que se resuelve en orden inverso. Luego, cada nuevo valor calculado se sustituye en las ecuaciones restantes.
Observación Una forma aceptable de escribir los pasos de la eliminación hacia adelante
es incluir el miembro derecho como una columna adicional. No es necesario copiar u y v
Y w Y = en cada paso, por lo que se trabaja con lo rrúnirno indispensable:
[ ; -~ ~ _;l _ ,. [~o -~ _; -1;] _ ,. [~o -~o -2 -1;]·
-2
7
2
9
8
3
14
1
2
A_I final se llega al sistema triangular, que ya está listo para la sustitución hacia atrás.
za _el lector prefiera esta disposición, que garantiza que las operaciones en el miembro izqmerdo de la ecuación también se realizan en el miembro derecho, ya que ambos miembros están juntos ahí.
En,u~ problema más grande, la eliminación hacia adelante requiere más esfuerzo. Se
usan muluplos de la pri~er~ ecua~ión para producir ceros abajo del
pivote. Luego,
la segunda columna se limpia abajo del segundo pivote. El paso hacia adelante se finaliza
cuando el sistema es triangular; la ecuación n sólo contiene a la última incógnita multiplicada por el último pivote.
URUGU.IW
La sustitución
en orden opuesto: se empieza con
la última incógnita, luego se resuelve de la siguiente hasta la última, terminando con la
primera.
Por definición,
no
ser cero. Es necesario dividir entre ellos.
No singular (restablecido al intercambiar las ecuaciones 2 y 3)
u+ v+ w=
2u + 2v + 5w =
4u + 6v + 8w =
u+ v+ w=
3w =
2v + 4w =
u+ v+ w=
2v + 4w =
3w =
El sistema es triangular, y puede resolverse con sustitución hacia atrás.
1::1e11r1p10 2
Singular (caso incurable)
u+ v+ w=
2u + 2v + 5w =
4u + 4v + 8w =
---+
u+v+ w=
3w =
4w =
No existe ningún intercambio de ecuaciones que pueda evitar el cero en la segunda posición pivote. Las ecuaciones mismas
ser o no fáciles de resolver. Si las dos últimas
ecuaciones son 3w = 6 y 4w = 7, no hay solución. Si ocurre que estas dos ecuaciones son
consistentes, como con 3w = 6 y 4w = 8, entonces este caso singular tiene una infinidad
de soluciones. Se sabe que w = 2, pero la primera ecuación no puede decidir ambas u y v.
En la sección 1.5 se abordarán los intercambios de renglón cuando el sistema es no
singular. Así, los intercambios producen un conjunto completo de pivotes. En el capítulo 2
se estudia el caso singular. El 3w aún puede eliminar a 4w, por lo que el segundo pivote es
3. (No habrá un tercer pivote). Por ahora se confía en que todos los n elementos
son
diferentes de cero, sin cambiar el orden de las ecuaciones. Éste es el mejor caso, que será
continuado.
1.3
Capítulo 1 · Matrices y eliminación gaussiana
La otra pregunta es muy práctica. ¿Cuántas operaciones aritméticas requiere la eliminación para n ecuaciones en n incógnitas? Si n es grande, una computadora puede realizar
el proceso de eliminación. Debido a que se conocen todos los pasos, debe ser posible poder pronosticar el número de operaciones.
Por el momento se ignorarán los miembros derechos de las ecuaciones, y sólo se contarán las operaciones a la izquierda. Estas operaciones son de dos clases. Se divide entre el
pivote para encontrar qué múltiplo (por ejemplo e) de la ecuación pivote debe restarse. Una
vez que se realiza esta sustracción, continuamente se encuentra una combinación "multiplicar-restar"; los términos de la ecuación pivote se multiplican por e, y luego se restan de otra
ecuación.
Suponga que cada división, y cada multiplicación-sustracción se denomina una operación. En la columna l, se requieren n operaciones por cada cero que se obtiene: una para encontrar el múltiplo e, y la otra para encontrar los nuevos elementos a lo largo del
renglón. Abajo del primer renglón hay n - l renglones, de modo que la primera etapa de la
eliminación requiere n(n - 1) = n 2 - n operaciones. (Otra forma de llegar a n 2 - n es ésta:
es necesario cambiar todos los n 2 elementos, excepto los nen el primer renglón). Las etapas posteriores son más rápidas porque las ecuaciones son más cortas.
Cuando la eliminación se realiza con k ecuaciones, para limpiar la columna que está abajo del pivote se requieren sólo k2 - k operaciones, por el mismo razonamiento que se aplicó
en la primera etapa, cuando k era igual a n. Al reunir todo lo anterior, se encuentra que el número total de operaciones es la sumatoria de k2 - k sobre todos los valores k desde 1 hasta n:
12 + ... +n2)-(l + ... +n) = n(n + 1)(2n + 1)
n(n + l)
2
n 3 -n
01173115
Un ejemplo de eliminación gaussiana
bía teoremas para demostrarlo, aunque no tomaban en cuenta a todos los métodos posibles).
Sorprendentemente, se ha demostrado que esa conjetura es errónea. ¡En la.actualidad existe un método que requiere sólo Cn 10g2 7 multiplicaciones! Depende de un srmple hecho: parece que dos combinaciones de dos vectores en el espacio bidimensional requieren 8 multiplicaciones, aunque es posible hacerlas en 7. Lo anterior redujo el exponente de log2 8, que
es 3, a log2 7 ""' 2.8. Este descubrimiento provocó bastante actividad para encontrar la potencia mínima posible den. El exponente finalmente cayó (en IBM) debajo de 2.376. Afortunadamente para la eliminación, la constante C es tan grande y el código es tan difícil que
el nuevo método es bastante (o completamente) interesante desde el punto de vista teórico.
El problema más reciente es el costo con muchos procesadores en paralelo.
Los problemas 1 a 9 son sobre eliminación en sistemas de 2 por 2.
1. ¿Qué múltiplo de e de la ecuación 1 debe restarse de la ecuación 2?
2x + 3y = l
lOx + 9y = 11.
Después de este paso de eliminación, escriba el sistema triangular superior e identifique los dos pivotes. Los números 1 y 11 no afectan tales pivotes.
2. Resuelva por sustitución hacia atrás el sistema triangular del problema l, y antes que x.
Compruebe que x multiplicado por (2, 10) más y por (3, 9) es igual a (l, 11). Si el
miembro derecho cambia a (4, 44), ¿cuál es la nueva solución?
3. ¿Qué múltiplo de la ecuación 2 debe restarse de la ecuación 3?
3
Estas fórmulas son normales para encontrar las sumatorias de los n primeros números y los
n primeros cuadrados. Al sustituir n = 1 y n = 2 y n = 100 en la fórmula ~ (n 3 - n), la eliminación hacia adelante puede no requerir ningún paso, requerir dos pasos o requerir alrededor de un millón de pasos:
2x -4y = 6
0.
-X +5y =
Después de este paso de eliminación, resuelva el sistema triangular. Si el miembro derecho cambia a (-6, 0), ¿cuál es la nueva solución?
4. ¿Qué múltiplo de e de la ecuación 1 debe restarse de la ecuación 2?
ax+ by= f
Si el tamaño se duplica, y pocos de los coeficientes son cero, entonces el costo se multiplica por 8.
La sustitución hacia atrás es considerablemente más rápida. La última incógnita se encuentra en sólo una operación (una división entre el último pivote). Para encontrar la antepenúltima incógnita se requieren dos operaciones, y así sucesivamente. Entonces, el total
para la sustitución hacia atrás es 1 + 2 + · · · + n.
La eliminación hacia adelante también actúa sobre el miembro derecho (restando los
mismos múltiplos que en la izquierda con la finalidad de preservar las ecuaciones correctas). Empieza con n - l sustracciones de la primera ecuación. Junto con el miembro derecho es responsable de n 2 operaciones: mucho menos que las n 3/3 a la izquierda. El total
para la eliminación hacia adelante y la sustitución hacia atrás es
Miembro derecho
2
[(n - 1) + (n - 2) + · · · +l] + [l + 2 + · · · +n] = n •
Hace 30 años, casi cualquier matemático hubiera conjeturado que un sistema general
de orden n no podía resolverse con mucho menos que n3 /3 multiplicaciones. (Incluso ha-
ex+ dy = g.
El primer pivote es a (se supone que es cero). ¿Qué fórmula para el segundo pivote produce la eliminación? ¿Qué es y? El segundo pivote falta cuando ad= be.
5. Escoja un miembro derecho que no proporcione ninguna solución, y un miembro derecho que no proporcione una infinidad de soluciones. ¿Cuáles son dos de estas soluciones?
3x + 2y = 10
6x +4y = _.
6. Escoja un coeficiente b que haga singular este sistema. Luego, escoja un mi~mbro derecho g que lo haga fácil de resolver. Encuentre dos soluciones en ese caso smgular.
2x +by= 16
4x + 8y = g.
16
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
7. ¿Para
1.3
números a la eliminación faUa a) permanentemente, y b) rnrnponurrtente·:
ax +3y = -3
4x + 6y =
6.
la segunda faUa por un intercambio de renglón.
8. ¿Para cuáles tres números k faUa la eliminación? ¿Cuál es fijada por un intercambio
de renglón? En cada caso, el número de soluciones, ¿es O o l o oo?
kx + 3y =
6
3x +ky = -6.
9. ¿Qué prueba sobre b 1 y b2 decide si estas dos ecuaciones pexmiten una solución?
por columna.
¿Cuántas soluciones tienen? Trace la
3x -2y = b 1
14. a) Escriba un sistema de 3 por 3 que requiera dos intercambios de renglones para alcanzar una forma triangular, y una solución.
b) Escriba un sistema de 3 por 3 que requiera un intercambio de renglones para funcionar, y que falle después.
15. Si los renglones 1 y 2 son los mismos, ¿hasta dónde es posible
con la eliminac1on
intercambio de renglones)? Si las columnas 1 y 2 son las mismas,
¿cuál pivote falta?
2x-y+z=O
2x + 2y + z =O
2x-y+z=O
4x + 4y + z =O
4x +y+ z = 2
6x + 6y + z = 2.
16. Escriba un ejemplo de 3 por 3 que tenga 9 coeficientes distintos en el miembro
do, pero que los renglones 2 y 3 se vuelvan cero en la eliminación. ¿Cuántas soluciones tiene este sistema con b = (1, 10, 100), y cuántas tiene con b = (0, O, 0)?
17. ¿Cuál número q hace singular al siguiente sistema, y con qué miembro derecho t el sistema tiene una infinidad de soluciones? Encuentre la solución que tiene z = l.
6x -4y = bz.
X
10. Reduzca el s1gmente sistema a forma triangular superior, mediante dos operaciones en
renglones:
4x + 7y + 5z = 20
-2y +2z = O.
w<mtmc¡ue los pivotes. Resuelva por sustitución hacia atrás para z, y, x.
11. Aplique eliminación (identifique los pivotes) y sustitución hacia atrás para resolver
= 3
4x - 5y + z = 7
Enumere las tres operaciones en renglones: Restar _ _ veces el
renglón _ _ .
del
12. ¿Cuál número d
a un intercambio de renglón, y cuál es el sistema triangular
<>rnt~u•i:UJ para ese d? ¿Cuál d hace singular a este sistema (no el tercer pivote)?
2x + 5y + z =O
4x + dy + z = 2
y -z = 3.
13. ¿Cuál número d lleva
a un intercambio de renglón?
número b
lleva posteriormente a un pivote faltante? En ese caso singular, encuentre una solución x, y, z diferente de cero.
o
X+ by
X -
2y -
Z =
Ü
y+ z =
o.
X+ 7y -6z =
6
3y + qz =t.
19. Puede ocurrir que tres planos faUen en tener un punto de intersección, cuando ningún
par de ellos es paralelo. El sistema es singular si el renglón 3 de A es una _ _ de los
primeros dos renglones. Encuentre una tercera ecuación que no sea posible resolver si
X +y + Z = Ü y X - 2y - Z = l.
En los pr•1>bl,en1as 20 a 22 se abordan sistemas de 4 po:r 4, y de n. por n.
y - 3z = 5.
2x -
+4y -2z = 1
18. (Recomendado) Es imposible que un sistema de ecuaciones lineales tenga exactamente dos soluciones. Explique por qué.
a) Si (x, y, z) y (X, Y, Z) son dos soluciones, ¿cuál es otra?
b) Si 25 planos se encuentran en dos puntos, ¿dónde más se encuentran?
2x + 3y + z = 8
2x - 3y
Un ejemplo de eliminación gaussiana
20. Encuentre los pivotes, y las soluciones de las cuatro siguientes ecuaciones:
2x + y
X+ 2y +
=O
Z
= Ü
y+2z+ t=O
z + 2t = 5.
21. Si el problema 20 se extiende siguiendo el patrón l, 2, 1 o el patrón -1, 2, -1, ¿cuál
es el quinto pivote? ¿Cuál es el n-ésimo pivote?
22. Aplique eliminación y sustitución hacia atrás para resolver
2u + 3v
=O
4u + 5v + w = 3
2u - v - 3w = 5.
¿Cuáles son los pivotes? Enumere las tres operaciones en las que el múltiplo de un
se resta de otro renglón.
U!
1.4
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
Notación matricial y multiplicación de matrices
19
29. (Bastante opcional). Normalmente la multiplicación de dos números complejos
23. Para el sistema
(a + ib)(c +id) = (ac - bd) + i(bc +ad)
u+ v+ w=2
u+ 3v + 3w =O
u+ 3v + 5w = 2,
¿Cuál es el sistema triangular después de la eliminación hacia adelante, y cuál es la solución?
implica las cuatro multiplicaciones por separado ac, bd, be, ad. Ignorando a i, ¿puede
calcular ac - bd y be + ad con sólo tres multiplicaciones? (Puede realizar sumas, como formar a+ b antes de multiplicar, sin ninguna penalización.)
30. Aplique eliminación para resolver
24. Resuelva el siguiente sistema, y encuentre los pivotes cuando
u+v+w=6
u+ 2v + 2w = 11
2u + 3v - 4w = 3
2u - v
-u+ 2v -
=O
w
=O
-v + 2w - z =O
-w + 2z = 5.
31. ¿Para cuáles tres números a la eliminación fracasa en proporcionar tres pivotes?
ax + 2y + 3z = b 1
ax + ay + 4z = bz
ax + ay + az = b3.
Es posible llevar el miembro derecho como una quinta columna (y así omitir escribir
u, v, w, z hasta la solución al final).
25. Aplique eliminación al sistema
U+
V+ W
=-2
3u + 3v - w = 6
u- v+w=-1.
Cuando en la posición pivote aparezca un cero, intercambie esa ecuación por la que
está abajo, y continúe. ¿Qué coeficiente de v en la tercera ecuación, en lugar del - l
actual, haría imposible continuar, y forzar a una falla en la eliminación?
y
u+ v+ w= 7
u + 2v + 2w = 10
2u + 3v - 4w = 3.
32. Encuentre experimentalmente el tamaño medio (valor absoluto) de los pivotes primero, segundo y tercero para MATLAB con lu(rand(3, 3)). El promedio del primer pivote a partir de abs(A(l, 1)) debe ser 0.5.
1.4
27. Encuentre tres valores de a para los cuales falle la eliminación, temporal o permanentemente, en
Con el ejemplo de 3 por 3 es posible escribir por completo todas las ecuaciones. Es posible
enumerar los pasos de la eliminación, los cuales restan un múltiplo de una ecuación a otra
para llegar a una matriz triangular. Para un sistema grande, esta forma de mantener el rastro
de la eliminación sería inútil; se requiere un registro mucho más conciso.
A continuación se presenta la notación matricial para describir el sistema original, y
de matrices para describir las operaciones que lo hacen más sencillo.
la
Observe que en el ejemplo aparecen tres tipos distintos de cantidades:
2u+v+w= 5
Nueve coeficientes
4u - 6v
= -2
(1)
Tres incógnitas
-2u + 7v + 2w = 9
Tres miembros derechos
au + v = l
4u + av = 2.
En el miembro derecho está el vector columna b. En el miembro izquierdo están las incógnitas u, v, w. En el miembro izquierdo también están nueve coeficientes (de los cuales uno
es cero). Resulta natural representar las tres incógnitas por medio de un vector:
26. Resuelva por eliminación el siguiente sistema de ecuaciones
X y= Ü
3x + 6y = 18.
Trace una gráfica que representa cada ecuación como una línea recta en el plano x - y;
las rectas se cortan en la solución. También, agregue una recta más: la gráfica de una
nueva segunda ecuación que aparece después de la eliminación.
La falla en el primer paso puede establecerse intercambiando renglones, pero en el último paso no hay falla.
28. Falso o verdadero:
a) Si la tercera ecuación inicia con un coeficiente cero (empieza con Ou), entonces
ningún múltiplo de la ecuación 1 se resta de la ecuación 3.
b) Si el segundo coeficiente de la tercera ecuación es cero (contiene a Ov), entonces
ningún múltiplo de la ecuación 2 se resta de la ecuación 3.
e) Si la tercera ecuación contiene a Ou y a Ov, entonces ningún múltiplo de la ecuación
1 o de la ecuación 2 se resta de la ecuación 3.
La ffioógnita " x
~ [:]
Los nueve coeficientes están en tres renglones y tres columnas, con lo que se obtiene una
matriz de 3 por 3:
1
Matriz de coeficientes A = [
;
-6
-2
7
20
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
1.4
A es una matriz cuadrada, porque el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. Si hay n ecuaciones en n incógnitas, se tiene una matriz cuadrada de n por n. De manera más general, podría haber m ecuaciones y n incógnitas. En este caso, A es rectangular, con m renglones y n columnas. Se dice que es una "matriz de m por n".
Las matrices se suman entre sí, o multiplican por constantes numéricas, exactamente
como ocurre con los vectores: elemento por elemento. De hecho, los vectores pueden considerarse como casos especiales de las matrices; son matrices con una sola columna. Así
como con los vectores, la suma de dos matrices sólo es posible si tienen la misma forma:
AdiciónA + B
Notación matricial y multiplicación de matrices
21
Así es como suele explicarse Ax, aunque la segunda forma es
importante. De
hecho, ¡es más importante! Realiza la multiplicación de una columna a la vez. El producto Ax se encuentra de una vez, como una combinación de las tres columnas de A:
2[l]+sm+o[!J
m
(5)
La respuesta es dos veces la columna l más 5 veces la columna 2. Esto corresponde a la
"representación por columna" de las ecuaciones lineales. Si el miembro derecho b tiene las
componentes 7, 6, 7, entonces la solución tiene componentes 2, 5, O. Por supuesto, la representación por renglón coincide con aquélla (y finalmente se tienen las mismas multiplicaciones).
La regla de las columnas se utilizará una y otra vez, de modo que para recalcarla se
repite a continuación:
[~ ~l H~l [~ !l
+
Es necesario volver a escribir las tres ecuaciones con las tres incógnitas u, v, w en la forma matricial simplificada Ax = b. Escrita completamente, la multiplicación de una matriz
por un vector es igual al vector:
Forma matricial Ax = b
[_~
1
-6
7
~l [:J Hl
(2)
El miembro derecho bes el vector columna de los "términos no homogéneos". El miembro
es A por x. Esta multiplicación se define exactamente de modo que reproduzca el sistema original. La primera componente de Ax se obtiene al "multiplicar" el primer renglón de A en el vector columna x:
t]
[~] ~[2u+v+w]~[s]. (3)
La segunda componente del producto Ax es 4u - 6v + Ow, del segundo renglón de A. La
ecuación matricial Ax = b es equivalente a las tres ecuaciones simultáneas en la ecuación ( 1).
El
por columna es fundamental para todas las multiplicaciones de matrices.
inA partir de dos vectores produce un solo número. Este número se
terno de los dos vectores. En otras palabras, el producto de una matriz de 1 por n (un vector renglón) y una matriz den por 1 (un vector columna) es una matriz de 1por1:
Producto interno
[2 1 t]
rn ~[2·1+1·1+1·2J~[s].
Esto confirma que la solución propuesta x = (l, 1, 2) satisface la
ecuac1on.
de
una matriz A y un vector x. Una forma es multiplicar
renglón por renglón. Cada renglón de A se combina con x para obtener una componente de
Ax. Cuando A tiene tres renglones, se tienen tres productos.
=
º] [7]
1..22++o1.. 55++ 63 .. o
[31·2+1·5+4·0
=
6 . (4)
7
Para multiplicar A por x en n dimensiones, se requiere una notación para los elementos individuales en A. El elemento en el renglón i y en la columna j siempre se denota por
ªij· El
subíndice proporciona el número de renglón, y el segundo subíndice indica
la columna. (En la ecuación (4), a 21 es 3 y a 13 es 6.) Si A es una matriz de m por n, entonces el índice i va desde 1 hasta m, ya que hay m renglones, y el índice j va desde 1 hasta n.
En total, la matriz tiene mn elementos, y amn está en la esquina inferior derecha.
Para denotar un vector basta un índice. Laj-ésirna componente de x se denota xj. (La
multiplicación anterior tenía x 1 = 2, x2 = 5, x 3 = 0.) Normalmente, x se escribe como un
vector columna; es decir, como una matriz de n por 1. Pero algunas veces se escribe en
una línea, como en x = (2, 5, 0). Los paréntesis y las comas recalcan que no es una matriz de l por 3. Se trata de un vector columna, que sólo se ha escrito temporalmente en
forma horizontal.
Para describir el producto Ax se utiliza el símbolo "sigma" ~ para sumatorias:
Notación
Esta suma se lleva el i-ésimo renglón de A. El índice de la columnaj toma cada valor desde 1 hasta n y los resultados se suman: la suma es a; 1x 1 + a,.z:x;2 + · · · + a;nXn·
De nuevo se observa que la longitud de los
(el número de columnas en A)
un vector n-didebe corresponder a la longitud de x. Una matriz de m por n
mensional (y
un vector m-dimensi()r¡.al). Las sumatorias son más sencillas que escribir todo completamente, pero la notación matricial es mejor. (Einstein utilizó "notación
tensorial", en la
un índice repetido significa automáticamente una sumatoria. Escribió
a ..x. e incluso
sin el signo 2. Como no somos Einstein, mantenemos la 2.)
q~J'
forma matricial de un paso de eli1mir1ac1on
Hasta el momento, se ha utilizado una abreviatura conveniente Ax = b para denotar el sistema de ecuaciones original. Pero, ¿qué hay respecto de las operaciones que se realizan durante la eliminación? En nuestro ejemplo, en el
paso se restó 2 veces la primera
22
1.4
Capítulo 1 · Matrices y eliminación gaussiana
ecuación de la segunda. En el miembro derecho, 2 veces la primera componente de b se
restó de la segunda componente. Se obtiene el mismo resultado si b se multiplica por esta
matriz elemental (o matriz de eliminación):
E=[-~
Matriz elemental.
o
1
o
o
~l Hl Hl
Las componentes 5 y 9 siguen siendo las mismas (debido a los 1, O, O y O, O, 1 en los renglones de E). La nueva segunda componente, -12, apareció después del primer paso de
eliminación.
Es fácil describir las matrices como E, que llevan los pasos de eliminación por separado. También se observa la "matriz identidad'', que no hace absolutamente nada.
I =
¡g ~ ~]
tiene lb = b
lb = b es la matriz análoga a multiplicar por l. Un paso de eliminación típico multiplica
La pregunta importante es: ¿Qué ocurre en el miembro izquierdo de A?
por
Para preservar la igualdad, es necesario realizar las mismas operaciones en ambos
miembros de Ax = b. En otras palabras, también el vector Ax debe multiplicarse por la
matriz E. Nuestra matriz original E resta 2 veces la primera componente de la segunda.
Después de este paso, el nuevo sistema más sencillo (equivalente al anterior) es justamente E(A.x) = Eb. Es más sencillo debido al cero que se creó abajo del primer pivote.
Es equivalente porque es posible recuperar el sistema original (sumando 2 veces la primera ecuación de regreso a la segunda). Así, ambos sistemas tienen exactamente la misma solución x.
Ahora hemos llegado a la pregunta más importante: ¿Cómo se multiplican las matrices?
Hay una pista parcial de la eliminación gaussiana: Se conoce la matriz de coeficientes original A, se conoce la matriz de eliminación E, y se conoce el resultado EA después del paso de eliminación. Deseamos y esperamos que
o
E=[-~ o
l
º]
multi[ 2
O plicado A =
4
por
-2
l
1
-6
7
~i pr?porEA = [ ~ -8
_
c1ona
2
,•:_
/:·~.,;
#c"J
23
de escribirse como E(Ax) = Eb, aplicando E a ambos miembros de la ecuación, o como
(EA)x = Eb. La matriz EA se construye exactamente de modo que estas ecuaciones coincidan, por lo que no se requieren paréntesis:
M1wtiplicaciií•n de matrices (EA multiplicada por x) es igual a (E multiplicada por Ax).
Simplemente se escribe EA.x.
l
Lo anterior se comprueba simplemente obedeciendo la regla para multiplicar una matriz y
un vector:
o
Notá'clón matricial y ;n(;1tij5liáicib~e matrices
2
7
-u
Dos veces el primer renglón de A se ha restado del segundo renglón. La multiplícación de
matrices es consistente con las operaciones por renglones de eliminación. El resultado pue-
Esta es toda la cuestión de una "ley asociativa" como 2 X (3 X 4) = (2 X 3) X 4. La ley
parece tan evidente que es difícil imaginar que podría ser falsa. Pero lo mismo puede decirse de la "ley conmutativa" 2 X 3 = 3 X 2; y para matrices, se tiene que EA no es AE.
Para la multiplicación de matrices hay otro requerimiento. Se sabe cómo multiplícar
Ax, una matriz y un vector. La nueva definición debe ser consistente con esta definición.
Cuando una matriz B sólo contiene una simple columna x, el producto matriz-matriz AB
debe ser idéntico al producto matriz-vector Ax. Más aún: Cuando B contiene varias columnas b 1, b 2 , b 3 , ¡las columnas de AB deben ser Ab 1, Ab2 , Ab3 !
El primer requerimiento tenía que ver con renglones, y éste concierne a columnas. Un
tercer método es describir cada elemento individual en AB y esperar lo mejor. De hecho,
sólo hay una regla posible, aunque no estoy seguro de quién la descubrió. Hace funcionar
todo. No permite la multiplicación de cualquier par de matrices. Si son cuadradas, deben
tener el mismo tamaño. Si son rectangulares, no deben tener la misma forma; el número
de columnas en A debe ser
al número de renglones en B. Así, A puede multiplicarse por cada columna de B.
Si A es m por n, y Bes n por p, entonces la multiplicación es posible. El producto AB
es una matriz de m por p. A continuación se encontrará el elemento en el renglón i y columna j de AB.
Renglón
multiplicado
por colmnna
1.7
Una matriz A de 3 por 4, multiplicada por una matriz B de 4 por 2, es una matriz AB de 3 por 2.
Nota
Se escribe AB cuando las matrices no tienen nada especial que hacer con la eliminación. El primer ejemplo era EA debido a la matriz elemental E. Después se tiene PA, o
LU, e incluso LDU. La regla para la multiplicación de matrices permanece igual.
24
Capitulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
1
1.4
AB=[~ ~JU -1
2
~] = [ l~ 81
Queda por mencionar otras dos propiedades: una que posee la multiplicación de matrices, y otra que no posee. La primera es:
El elemento 17 es (2)(1) + (3)(5), el producto interno del
renglón deA y la primera columna de B. El elemento 8 es (4)(2) + (0)(-1), el producto interno del segundo
renglón y la segunda columna.
La tercera columna es cero en B, por lo que es cero en AB. B consta de tres columnas una junto a la otra, y A multiplica cada columna por separado. Cada columna de AB
es una combinación de fus columnas de A. Así como en la multiplicación matriz-vector,
las columnas de A se multiplican por los elementos de B.
tll:HlíllJIO 2
EiE1m1rnlo 3
Por supuesto, las formas de estas matrices deben corresponder correctamente: B y C
tienen la misma forma, de modo que es posible sumarlas, y A y D son del tamaño idóneo
es depara la multiplicación por la izquierda y por la derecha. La demostración de esta
masiado tediosa como para escribirla
La propiedad que no se cumple para la multiplicación de matrices es un poco más interesante:
[~~][;~]
Matriz de intercambio de
25
Notación matricial y multiplicación de matrices
Los ls en la matriz identidad l dejan igual a la matriz:
Matriz identidad
!A= A
y
Suponga que E resta dos veces la primera ecuación de la segunda. Suponga que F es la matriz del siguiente paso, sumar el renglón 1 al renglón 3:
Bl =B.
o
Importante: La multiplicación AB también puede efectuarse renglón por renglón. En
el ejemplo l, el primer renglón de AB utiliza los números 2 y 3 del primer renglón de A.
Con estos números se obtiene 2 [renglón l] + 3 [renglón 2] = [17 1 O]. Exactamente como en la eliminación, donde empezó todo esto, cada renglón de AB es una combinación
de los
de B.
A continuación se resumen estas tres formas de considerar la
trices.
un
o
E=[-~ o fl
1
y
F=
1
o
al mismo
Estas dos matrices conmutan, y
=[-l o fl
o
EF
1
=FE.
En cualquier orden, EF o FE, así se cambian los renglones 2 y 3 usando el renglón 1.
tle11111:110 5
Esto nos recuerda a una propiedad clave de la multiplicación de matrices. Suponga
que las formas de tres matrices A, B, C (quizá rectangulares) permiten su multiplicación.
Los renglones en A y B se multiplican por las columnas de B y C. Así, la propiedad clave
es la
Suponga que E es la misma pero que G suma el renglón 2 al renglón 3. Ahora el orden establece una diferencia. Cuando se aplica E y luego G, el segundo renglón está modificado
antes de afectar al tercero. Si E se aplica después de G, entonces la tercera ecuación no sufre
efecto del primero. En el elemento (3, 1) de EG se verá un cero, mientras en GE
hay un-2:
GE =
[¿o ~ gl [-;o o~ gl [-; o
1 1
l
Así, EG 'i6 GE. Un ejemplo aleatorio mostraría el mismo hecho: la mayor parte de las matrices no conmutan. Aquí las matrices tienen sentido. Hay una razón por la cual EF = FE,
y otra por la cual EG 7" GE. Merece la pena realizar otro paso, para ver lo que ocurre con
las tres matrices de eliminación a la vez:
o
AB multiplicado por C es igual a A multiplicado por BC. Si ocurre que C es simplemente
(EA)x = E(Ax) ya
un ve~tor (una matriz c?n una sola columna), este es el
mencionado. Esto constltuye toda la base para las leyes de la multiplicación de matrices.
Y si C consta de varias columnas, basta pensar que éstas se encuentran una junto a la otra
Y aplicar la misma regla varias veces. Cuando se multiplican varias matrices no se
'
ren pairén1teEiis.
-2
o
1
l
GFE = [ - ;
-1
1
l
~]
y
EFG=
[-¡ : n
El producto GFE es el verdadero orden de eliminación. Es la matriz que lleva la matriz original A a la triangular superior U. Este hecho se verá de nuevo en la siguiente sección.
La otra matriz, EFG, es más agradable. En ese orden, los números -2 de E y 1 de F Y
G no fueron alterados. Se escribieron
en el producto. Es el orden incorrecto para la
26
eliminación. Pero por fortuna, se trata del orden correcto para invenir los pasos de eliminación, lo cual también se verá en la siguiente sección.
Observe que el producto de matrices triangulares inferiores también es triangular inferior.
1. Calcule los productos
Para el tercero, trace los vectores columna (2, 1) y (O, 3). La multiplicación por (1, 1)
simplemente suma los vectores (hágalo gráficamente).
2. Trabaje con una columna a la vez para calcular los productos
9. Si los elementos de A son aif, use notación de subíndices para escribir
a) El primer pivote.
b) El multiplicador l¡¡ del renglón 1 que debe restarse del renglón i.
e) El nuevo elemento que sustituye a aif después de la sustracción.
d) El segundo pivote.
10. ¿Falso o verdadero? Cuando sea falso, proporcione un contraejemplo.
a) Si las columnas l y 3 de B son las mismas, también las columnas 1 Y 3 de AB son
las mismas.
b) Si los renglones l y 3 de B son los mismos, también los renglones 1 y 3 de AB son
los mismos.
c) Si los renglones 1 y 3 de A son los mismos, también los renglones 1 Y 3 de AB son
los mismos.
7]Hl
y[!
7]m Hl['
y
-2
5
A~[~-1 i] Y B=[~i]?
!].
Con el primero se obtiene la longitud del vector (al cuadrado).
4. Si una matriz A de m por n multiplica a un vector n dimensional x, ¿cuántas multiplicaciones por separado están implicadas? ¿Qué ocurre si A multiplica a una matriz B de
n por p?
5. Multiplique Ax para encontrar un vector solución x del sistema Ax= vector cero. ¿Puede encontrar más soluciones para Ax = O?
Ax~[~
B2 .
11. El primer renglón de AB es una combinación lineal de todos los renglones de B. ¿Cuáles son los coeficientes en esta combinación? y ¿cuál es el primer renglón de AB, si
3. Encuentre dos productos internos y un producto de matrices:
-2
12. El producto de dos matrices triangulares inferiores es nuevamente triangular inferior
(todos sus elementos arriba de la diagonal principal son cero). Confirme esto con un
ejemplo de 3 por 3, y luego explique por qué este hecho se deduce a partir de las leyes de la multiplicación de matrices.
13. Por ensayo y error, encuentre ejemplos de matrices de 2 por 2 tales que
a) A 2 = -I, donde A sólo tiene elementos reales.
b) B2 = O, aunque B # O.
c) CD = -DC, no permitiendo el caso CD = O.
-6
d) EF = O, aunque ningún elemento de E o F es cero.
2
-1
14. Describa los renglones de EA y las columnas de AE si
6. Escriba las matrices A y B de 2 por 2 cuyos elementos son aif = i + j y bif = (-1); + j.
Muitiplíquelas para encontrar AB y BA.
7. Proporcione ejemplos de 3 por 3 (no sólo la matriz cero) de
a) una matriz diagonal: aif = O si i ,P j.
b) una matriz simétrica: aif = aji para toda i y j.
c) una matriz triangular superior: aif = O si i > j.
d) una matriz simétrica sesgada: aif = -aji para toda i y j.
8. Las siguientes subrutinas, ¿multiplican Ax por renglones o por columnas? Empiece
conB(l) =O:
10
DOIOI=l~
DOIOJ=l~
DO lOJ = l,N
DO 10 I = 1,N
B(l) = B(I) + ACT,J) * X(J)
3 6 21
Las salidas Bx = Ax son las mismas. El segundo código es ligeramente más eficaz en
FORTRAN, y mucho más eficaz en una máquina vectorial (el primero cambia los elementos simples B(l), mientras el segundo es capaz de actualizar vectores completos).
d) (AB) 2 =
[l
Notación matricial y multiplicacióPde latles7
1.4
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
10
B(I) = B(I) + A(I,J) * X(J)
E=
[~ ~J.
15. Suponga que A conmuta con toda matriz de 2 por 2 (AB = BA), y en particular
A=[~ ~]
conmuta con
B1 =
[¿ g]
Y B2 = [g ¿J.
Demuestre que a = d y b = c = O. Si AB = BA para todas las matrices B, entonces A
es un múltiplo de la identidad.
16. Sea x el vector columna (1, O, ... , 0). Demuestre que la regla (AB)x = A(Bx) obliga a
que la primera columna de AB sea igual a A multiplicada por la primera columna de B.
17. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) matrices garantizan ser iguales a (A + B)2?
2
2
A 2 +2AB + B 2 , A(A + B) + B(A + B), (A+ B)(B +A), A +AB +BA + B .
28.
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
1.4
18. Si A y B son matrices den por n con todos los elementos iguales a 1, encuentre (AB)ij.
La notación de la sumatoria transforma el producto AB, y la ley (AB)C = A(BC), en
(AB)u =
L a1kbkj
k
Calcule ambos miembros de C si también es de n por n, con todo c11 = 2.
19. Una cuarta forma de multiplicar matrices es m1'4lti.'ulicai>ido las columnas
renigto1nes de B:
los
AB = (columna l)(renglón 1) + · · · + (columna n)(renglón n) = suma de matrices
simples.
Proporcione un ejemplo de 2 por 2 de esta importante
matrices.
para la multiplicación de
resta el renglón 1 del
2y
intercambia los renglones 2 y 3.
¿Qué matriz M =
realiza ambos pasos a la vez?
b)
intercambia los renglones 2 y 3 y luego E31 resta el renglón 1 del renglón 3.
¿Qué matriz M = E 31 P 23 realiza ambos pasos a la vez? Explique por
las matrices M son las mismas pero las matrices E son distintas.
29. a) ¿Qué matriz E 13 de 3 por 3 suma el renglón 3 al renglón 1?
b)
matriz suma el renglón 1 al renglón 3 y al mismo tiempo suma el renglón 3 al
renglón l?
e) ¿Qué matriz suma el renglón 1alrenglón3 y luego suma el renglón 3 al renglón 1?
30.
o
[~ o ~rn ~rn
20. La matriz que rota el plano x-y en un ángulo 8 es
8 -sen
8].
sen 8
cos 8
«'m1nr11,,.h,. que A(8 1 )A(82 ) = A(81
y sen(81 + 8 2 ). ¿A
u!]
Los
31. ¿Cuáles matrices de eliminación
+ 82 ) a partir de las identidades para cos(81 + 82 )
3
2
, A (A multiplicada por A), y B 2 , B 3 , C 2 ,
y
B=
[1o º]
-1
y
C =AB =
211
[2
-iJ
l
6
r-2 2
-1
U?
y
Multiplique estas matrices E para obtener una matriz M que haga la eliminación:
MA=U.
o
2 _,
-1
2 -1
O -1
2
o -1
-n
de matrices.
33. La parábola y = a + bx + ex?- pasa por los puntos (x, y) = (1, 4) y (2, 8) y (3, 14).
Encuentre y resuelva una ecuación matricial para las incógnitas (a, b, e).
matrices en los órdenes EF, FE y E 2 •
E~[: !
fl
F
~ ¡g
ni
3.5. a) Suponga que todas las columnas de B son las mismas. Entonces todas las columnas de EB son las mismas, ya que cada una es E multiplicada por _ _.
b) Suponga que todos los renglones de B son [l 2 4]. Demuestre con un ejemplo que
todos los renglones de EB no son [ 1 2 4]. Es cierto que todos estos renglones son
36. Si E suma el
EFes
a FE?
1 al
2, y Fsumael
2 al renglón 1, ¿es cierto que
componente de Ax es I.
xj = a 11x 1 + · · · + a 1,,xn- Escriba fórmulas
(1, 1) de A 2 •
para la tercera componente de Ax y el
2.5. Suponga que a 33 = 7 y que el tercer pivote es 5. Si a se cambia a 11, el tercer pivo33
te es _ _ . Si a33 cambia a _ _, en la posición pivote hay un cero.
37. La
26. Si cada columna de A es un múltiplo de (1, 1, 1), entonces Ax siempre es un múltiplo de
(1, 1, 1). Escriba un ejemplo de 3 por 3. ¿Cuántos pivotes se producen por eliminación?
38. Si AB = I y BC = l, aplique la ley asociativa para demostrar que A = C.
27.
matriz
debe
n
requieren la siguiente matriz de 4 por 4?
E32Y
32 a 44 son sobre la obtención y
34. Multiplique las
23. En el problema 22, al aplicar E 21 y luego E 32 a la columna b = (l, O, 0) se obtiene
= _ _ .Al aplicar
antes que E 21 se obtiene E 21 E 32b = _ _. Cuando
se aplica primero
el renglón _ _ no se ve afectado por el renglón _ _ .
l
4
2
l
b) (x, y) = (2, 5) y (3, 7) está en la recta y= mx + c. Encuentre m y c.
e) P intercambia los renglones 1 y 2, y luego los renglones 2 y 3.
E3 1, E 32 que hacen de A una forma
r
[-~ o ~rn 43
y
32. Escriba estos problemas clásicos en forma matricial de 2 por 2 para Ax = b y resuélvalos:
a) X es dos veces más viejo que Yy la suma de la edad de ambos es igual a 39.
2 del renglón 3.
24. ¿Cuáles son las tres matrices
o
ol o']
o o
o
Los
22. Escriba las matrices de 3 por 3 que producen los siguientes pasos de eliminación:
a) E21 resta 5 veces el renglón 1 del
2.
b) E 32 resta -7 veces el
A=
. ¿Qué son A\
22 a 31 son sobre matrices de eliminación.
A=
2
5
8
es igual A(8) multiplicada por A(-8)?
21. Encuentre las potencias
y ck?
A=
las siguientes matrices:
1
A( 8 ) = [cos
29
28. a)
(~aikbkj)Cjt= k a¡k(~bkjCjz).
j
Notación matricial y multiplicación de matrices
resta 7 veces el renglón 1 del renglón 3? Para invertir este paso, R 31
7 veces el
_ _ al renglón _ _.
por
39. A es 3 por 5, B es 5 por 3, C es 5 por 1, y D es 3 por l. Todos los elementos son l.
¿Cuáles de las siguientes operaciones matriciales son permitidas, y cuáles son los resultados?
A(B + C).
ABD
DBA
BA
AB
rt~v,.'~_,f_. '., .'....'
'···'···'!. ~·~"':1~i. .. ¡• . .':\t Ut:..t- Ul~UUUAT
1:. ~o/\ C i O t-.1 AL
t~t.-.(,:::1\..)p;f'-.r.~
UN i \'e·: ,
30
-. ,-. : '.::
· 1.4 · Notación.matricial y multiplicación de matrices
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
lng. P!'.:F::.:Yr;:·
40. ¿Qué renglones, columnas o matrices es necesario multiplicar para encontrar,
.. ·•
,·
. .
b) el primer renglón de AB?
e) el elemento en el renglón 3, columna 4 de AB?
d) el elemento en el renglón l, columna 1 de CDE?
48. La multiplicación en bloque indica que la eliminación en la columna l produce
EA= [-c)a
a) BA = 4A.
[
~ ~l
el "complemento de Sehur" S:
b) BA = 4B.
[
e) BA tiene invertidos los renglones 1 y 3 de A y el renglón 2 sin cambio.
d) Todos los renglones de BA son los mismos que el renglón l de A.
b) Si AB y BA están definidas, entonces A y B son cuadradas.
[A?
e) Si AB y BA están definidas, entonces AB y BA son cuadradas.
43. Si A es de m por n, ¿cuántas multiplicaciones por separado están implicadas si
a) A multiplica un vector x con n componentes?
b) A multiplica una matriz B den por p? Entonces AB es m por p.
e) A se multiplica a sí misma para producir A 2 ? Aquí m = n.
44. Para demostrar que (AB)C = A(BC), use los vectores columna b 1, · • • , bn de B. Primero suponga que C tiene una sola columna e con elementos e 1, • ··,en:
AB tiene columnas Ab 1, • • • , Abn y Be tienen una columna e 1b 1 + · · · + cnb,,.
Entonces (AB)e = e 1Ab 1 + · · · + enAbn es igual a A(e 1b 1 + · · · + enbn) = A(Bc).
La linealidad proporciona la igualdad de estas dos sumas, y (AB)e = A(Be). Lo mismo es cierto para todos (todas) los (las) __ de C. En consecuencia, (AB)C = A(BC).
En los problemas 45 a 49 se utiliza mtl.lti¡pfü:ación collunm~t-rE~nii¡l611, y mu!lti1ofü:aciión
en bloque.
45. Multiplique AB usando multiplicación de columnas por renglones:
¡; ; ~] ~ [~]
[33 O]+
46. La multiplicación en bloque separa las matrices en bloques (submatrices). Si sus formas hacen posible la multiplicación en bloque, entonces es permitida. Sustituya las siguientes x por números, y confirme que la multiplicación en bloque es exitosa.
~] = ( AC + BD J
-~] [~] [Ax ? By] ~== ~~~ginaria
51. Suponga que resuelve Ax = b para tres miembros derechos especiales de b:
d) Si AB = B, entonces A = l.
;]
l
50. Con i2 = -1, el producto (A + iB)(x + iy) es Ax+ iBx + iAy- By. Use bloques para separar la parte real de la parte imaginaria que multiplica i:
42. ¿Falso o verdadero?
a) Si A 2 está definida, entonces A es necesariamente cuadrada.
BJ[
~] [ ~ ~]
49. Eliminación para una matriz en bloque de 2 por 2: Cuando A - IA = /, el primer renglón en bloque se multiplica por CA- 1 y se resta del segundo renglón, para encontrar
41. (Matrices de 3 por 3) Escoja la única B de modo que para toda matriz A,
[A
.... :e¡.¡ ::::-oL l.ii':UGUAY
e) Los ren~loties.:de;A..:maltipliea.des.;.pli)rlkwicOlumnas de B.
d) Las columnas de A multiplicadas por los renglones de B.
a) la tercera columna de AB?
AB~ [~
.
31
y
¡
X
X
XX
X
X
X] [X
X
X
XX
X]
X
X
X
X
X.
47. Trace los cortes en A y By AB para mostrar cómo cada una de las cuatro reglas de la
multiplicación es en realidad una multiplicación en bloque para encontrar AB:
a) La matriz A multiplicada por las columnas de B.
b) Los renglones de A multiplicados por la matriz B.
Ax,
~ [~]
y
Ax,
~ [!]
y
Ax,
~ [U
Si las soluciones x 1, x 2 , x 3 son las columnas de una matriz X, ¿qué es AX?
52. Si las tres soluciones en el problema 51 son x 1 = (1, l, 1) y x 2 = (0, 1, 1) Y X3 =
(0, O, 1), resuelva Ax = b cuando b = (3, 5, 8). Pregunta de desafío: ¿Qué es A?
53. Encuentre todas las matrices
A = [
~ ! ] que satisfacen A [i i] = U i] A.
54. Si una matriz noroeste A se multiplica por una matriz sureste B, ¿qué tipo de matrices
son AB y BA? "Noroeste" y "sureste" significa ceros abajo y arriba de la antidiagonal
que va de (1, n) a (n, 1).
55. Escriba 2x + 3y + z + 5t = 8 como una matriz A (¿cuántos renglones tiene?) multiplicando el vector columna (x, y, z, t) para obtener b. Las soluciones llenan un plano
en el espacio tetradimensional. El plano es tridimensional sin volumen de 4-dimensiones.
56. ¿Cuál es la matriz P 1 de 2 por 2 que proyecta el vector (x, y) sobre el eje x para producir (x, 0)? ¿Cuál es la matriz P 2 que proyecta el vector (x, y) sobre el eje y para producir
(0, y)? Si se multiplica (5, 7) por P 1 y luego se multiplica por P2 , se obtienen
y
57. Escriba el producto interno de (1, 4, 5) y (x, y, z) como una multiplicación de matrices
Ax. A tiene un renglón. Las soluciones de Ax = O están en un _ _ perpendicular al
vector _ _ . Las columnas de A sólo están en el espacio _ _dimensional.
58. En notación de MATLAB, escriba los comandos que definen la matriz A y los vectores columna x y b. ¿Cuál es el comando que prueba si Ax= bono?
A=[; ¡]
X
= [_;]
b
=·PJ
32
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
1.5
59. Los comandos MATLAB A = eye(3) y v = [3:5]' producen la matriz identidad de 3
por 3 y el vector columna (3, 4, 5). ¿Cuáles son las salidas de A* v y v' * v? (¡No se
requiere computadora!) Si pregunta por v * A, ¿qué ocurre?
60. Si la matriz de 4 por 4 integrada sólo por unos A = ones(4, 4) se multiplica por la coes A * v? (No se
computadora) Si B = eye(4)
lumna v = ones(4, 1),
+ ones(4, 4) se multiplica por w = zeros(4, 1) + 2* ones(4, 1), ¿qué es B * w?
61. Escriba una matriz
M de 3 por 3 con elementos 1, 2, ... , 9. La suma de todos los elementos de los renglones, de las columnas y de la diagonal debe ser igual a
15. El primer renglón podría ser 8, 3, 4. ¿Cuánto es M por (1, 1, l)? ¿A qué es igual el
vector renglón [1, 1, l] multiplicado por M?
¡ -6 ~l [~l
-2
1
Ax= [
7
Hl ~b.
(l)
Paso l. Restar 2 veces la primera ecuación de la segunda.
Paso 2. Restar-1 vez la primera ecuación de la tercera.
Paso 3. Restar -1 vez la segunda ecuación de la tercera.
DeAaU
1
-8
o
-~l [~l
(3)
Esto es bueno, pero la pregunta más importante es exactamente lo opuesto: ¿Cómo puede
regresarse de U a A?
deshacerse los pasos de la eliminación gaussiana?
Deshacer el paso l no es difícil. En
de restar, se suma dos veces el primer renglón al segundo. (¡No dos veces el segundo renglón al primero!) El resultado de realizar
tanto la sustracción como la adición es recuperar la matriz identidad:
La inversa de
la sustracción
es la adición
l[ l [ l
[1 o o
2 1 O
O O 1
1 O O
-2 1 O
O O 1
1 O O
(4)
O 1 o .
O O 1
Una operación cancela la otra. En términos matriciales, una matriz es la inversa de la otra.
Si la matriz elemental E contiene al número -.e en la posición (i, j), entonces la inversa
contiene a +e en esa posición. Por tanto,
= l, que es la ecuación (4).
Cada paso de la eliminación puede invertirse, usando
y
y a- 1• Considero que
no es malo abordar las inversas ahora, antes de la siguiente sección. El
final es
deshacer todo el proceso de una vez, y ver
matriz regresa U a A.
Debido a que
el último
de A a U, su matriz G debe ser
raen ser invertida en la dirección opuesta. ¡Las inversas se presentan en orden opuesto!
El segundo paso en reversa es p- 1 y el último es E- 1:
a- 1 U = A
El resultado era un sistema equivalente Ux =e, con una nueva matriz de coeficientes U:
Hl ~c.
(2)
Esta matriz U es
todos los elementos debajo de la diagonal son cero.
El nuevo miembro derecho e se obtuvo a
del vector original b siguiendo los misa tres º"'"r"''"ºn"'~
mos pasos que llevan de A a U. La eliminación hacia adelante
en renglones:
.cn1pezar con A y b;
Aplicar los pasos 1, 2, 3 en ese orden;
Terminar con U y c.
Ux = e se resuelve por sustitución hacia atrás.
nos centramos en relacionar A con U.
Las matrices E para el paso 1, F para el paso 2, y G para el paso 3 se presentaron en
la sección precedente. Se denominan matrices
y es fácil ver cómo trabajan.
Para restar un múltiplo .e de la ecuaciónj de la ecuación i, el número -.e se escribe en la
posición (i,j). En caso contrario, se preserva la matriz identidad, con Is en la diagonal y Os
fuera de ésta.
la multiplicación de matrices realiza la operación en los renglones.
33
El resultado de todos los tres pasos es GFEA = U. Observe que E es la
en
multiplicar a A, luego es F, y por último G. Puede multiplicarse GFE entre sí para encontrar una simple matriz que lleve A a U (y también b a e). Es una matriz
inferior
(se omiten los ceros):
1.5
Se desea considerar nuevamente la eliminación para ver lo que significa en términos de
matrices. El punto de partida fue el sistema modelo Ax = b:
Factores triangulares e intercambios de renglones
=
es LU = A.
(5)
Es posible sustituir GFEA por U con la finalidad de ver, cómo las inversas eliminan los pasos originales.
Luego se reconoce la matriz L que regresa U a A. Se denomina L porque es triangular inferior. Y posee la propiedad especial de que sólo puede verse, multiplicando las tres
matrices inversas en el orden correcto:
(6)
La cuestión especial es que los elementos
de la
son los miultii.pllicado,res
e = 2, -1, y -1. Cuando se multiplican matrices, suele no haber una forma directa de leer
la respuesta.
las matrices se presentan justo en el orden correcto, de modo que su producto
escribirse de inmediato. Si la computadora almacena cada multiplicador eij, el
número que
el
pivote j cuando se resta del renglón i y produce un cero
en la posición i, j, entonces estos multiplicadores proporcionan un registro completo de la
eliminación.
Los números
34
1.5
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
La demostración es aplicar los pasos de eliminación. En el miembro derecho, éstos llevan
A a U. En el miembro izquierdo reducen L a /, como en el ejemplo 4. (El primer paso resta e21 veces (1, O, O) del segundo renglón, con lo cual se elimina l 21 .) Ambos miembros
de (7) terminan iguales a la misma matriz U, y todos los pasos para llegar ahí son reversibles. En consecuencia (7) es correcta y A = LV.
A = LU es tan crucial, y tan bella, que el problema 8 al final de esta sección sugiere
un segundo método. Aquí se están escribiendo matrices de 3 por 3, aunque el lector puede
darse cuenta de la forma en que los razonamientos se aplican a matrices más grandes.
A continuación se proporciona otro ejemplo, y luego se empieza a utilizar A = LU.
Ejemplo 1
A =
Eie11r1plo 2
[31 82] se
~;nsforma
l ;J con
[
0
L = [
~ ~J. Luego, LU =A.
Lo cual necesita un intercambio de renglones
A = [~
Eie11nplo 3
U =
¡]
no puede factorizarse en A = LU.
(con todos los pivotes y multiplicadores iguales a 1)
Ele1111PIO 5
~1 ~i1 [~o o t] ~w.
l
(A = LU, con ceros en los espacios vacíos)
A=
[
-i
-1
l
-1
2
-1
l
2
-1
1
-1
1
-1
-1
l
De A a U hay restas de renglones. De U a A hay sumas de renglones.
tle11rmlo 4
35
Factores triangulares e intercambios de renglones
-J
(cuando U es la identidad y Les la misma que A)
Esto demuestra cómo una matriz A con tres diagonales tiene factores L y U con dos diagonales. Este ejemplo proviene de un problema importante en ecuaciones diferenciales (véase la sección 1.7). La segunda diferencia en A es la diferencia hacia atrás L multiplicada
por una diferencia hacia adelante U.
o
Caso
iaI11guJar inferior
Los pasos de eliminación en esta A son fáciles: i) E resta l 21 veces el renglón l del renglón
2, ii) F resta l 31 veces el renglón l del renglón 3, y iii) G resta l 32 veces el renglón 2 del
renglón 3. El resultado es la matriz identidad U= l. Las inversas de E, F, y G producen de
regreso A:
l
l
Multi- [ 1
plicada
por
l31
l
l
Multiplicada
por
[l
Hay un punto práctico importante que mencionar sobre A = LU. Es más que un simple registro de pasos de eliminación; L y U son las matrices derechas para resolver Ax= b. De
hecho, ¡es posible descartar a A! Deba c se va por eliminación directa (que utiliza L), Y
de e ax se va por sustitución hacia atrás (que usa U). Esto puede y debe hacerse sin A:
es
igual
a
Separación de Ax = b
El orden es correcto para que los es estén en su posición. ¡Esto ocurre siempre! Observe
que los paréntesis en E- 1p- 1a- 1 no fueron necesarios debido a la ley asociativa.
A
= LU: El caso n por n
La factorización A = LU es tan importante que es necesario comentar más acerca de ella.
Normalmente se la ignoraba en cursos de álgebra lineal cuando la orientación de éstos era
la parte abstracta. O quizá se pensaba que era demasiado difícil, pero es necesario abordarla.
Si el último ejemplo 4 permite cualquier U en vez de la U particular U = /, es posible percatarse de cómo trabaja la regla en general. La matriz L, aplicada a U, regresa A:
o
A=LU
º]
O
l
[renglón 1 de U]
renglón 2 de U = A original.
renglón 3 de U
(7)
Primero Le= b
y luego
Ux =c.
(8)
La segunda ecuación se multiplica por L para obtener LUx =Le, que es Ax = b. Cada sistema triangular se resuelve rápidamente. Esto es exactamente lo que un buen código de eliminación hace:
La separación entre Factoriza y Resuelve significa que es posible procesar una serie de bs.
La subrutina Resuelve obedece la ecuación (8): dos sistemas triangulares en n2 /2 pasos cada uno. La solución para
miembro derecho nuevo b
encontrarse en
sólo n 2
Esto es mucho menos que los n313 pasos necesarios para factorizar A
en el miembro izquierdo.
36
1.5
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
En las L, D, y U finales no hay libertad. Esta es la cuestión más importante:
Esta es la matriz previa A con miembro derecho b = (1, 1, 1, 1).
X¡
Ax=b
-
C¡
Lc=b
-C¡
c
se separa en Le = b y U x = e.
=l
= 1
= 1
-C2 + C3
-C3 + C4 = l
proporciona c =
= 1
=2
X4 = 3
X4 = 4
proporciona x =
+ Cz
X¡ -
Ux
Xz
+ 2Xz - X3
-Xz + 2X3 - X4
-X3 + 2X4
-X¡
37
Factores triangulares e intercambios de renglones
X2
Xz -
X3
X3 -
m
La demostración constituye un buen ejercicio en la siguiente sección.
rn
Ahora es necesario enfrentar un problema que se ha evitado hasta el momento: el número
que se espera utilizar como pivote puede ser cero. Esto puede ocurrir en medio de un cálculo. Ocurrirá casi al principio si a 11 = O. Un simple ejemplo es
Para estas "matrices tridiagonales" especiales, la operación cae desde
hasta 2n. Usted
verá cómo Le= b se resuelve hacia adelante (c 1 viene antes de c2 ). Esto es precisamente
lo que ocurre durante la eliminación hacia adelante. Luego, Ux = e se resuelve hacia atrás
(x4 antes de x 3 ).
Observación 1 La forma LU es "no simétrica" en la diagonal: L tiene 1s donde U tiene los
pivotes. Esto es fácil de
U se divide entre una matriz
D:
U¡z/ d¡
Factorizar D
1
(9)
En el último ejemplo, todos los pivotes eran d; = 1. En ese caso D = l. Pero esto fue muy
excepcional, y normalmente LU es diferente de WU (lo cual también se escribe como
WV).
Sie:mJJre que se observa WU o WV, se entiende que U o V tiene ls en la diagonal: cada
L y U se tratan de la misma forma. A conrenglón se dividió entre el pivote en D.
tinuación se muestra un ejemplo de separación de LU en WU.
Lo anterior tiene los ls en las diagonales de L y U, y los pivotes 1 y -2 en D.
Observación 2 Al describir cada paso de eliminación, quizá dimos la impresión de que los
cálculos deben realizarse en ese orden. Esto es erróneo.
algo de libertad, y
un "algoritmo Crout" que arregla los cálculos de una manera
distinta.
La dificultad es evidente; ningún múltiplo de la primera ecuación elimina al coeficiente 3.
El remedio es igualmente claro. Intercambiar las dos ecuaciones, moviendo el
elemento 3 hacia el pivote. En este ejemplo, la matriz pudo transformarse en triangular superior:
3u + 4v = b2
Intercambio de re1ut1•om!S
2v = b1
Para expresar esto en términos matriciales, se requiere la matriz
P que
produce el intercambio de renglones. Se obtiene al intercambiar los renglones de /:
Permutación
P = [
~ ~]
Y
PA = [
~ ~] [~ ¡] = [ ~ ~
l
p tiene el mismo efecto sobre b, intercambiando b 1 y b2 • El nuevo sistema es P Ax = Pb.
Las incógnitas u y v no se invierten en un intercambio de renglones.
Una matriz
P tiene los mismos
que la identidad (en algún
orden). En cada renglón y columna hay un simple "l". La matriz de permutación más común es p = I (no intercambia nada). El producto de dos matrices de permutación es otra
permutación: los renglones de I se reordenan dos veces.
De:sp1l!és de P = I, las permutaciones más sencillas intercambian dos
Otras
pe1m11tac:1011es intercambian más renglones.
n! = (n)(n - 1) • • • (1)
de tamaño n. El renglón l tiene n opciones; luego, el renglón 2 tiene n - 1 opciones, y finalmente el último renglón sólo tiene una opción. Es posible mostrar todas las permutaciones de 3 por 3 (hay 3 ! = (3)(2)(1) = 6 matrices):
38
1.5
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
y
A~ [~ ~
;
l
d = O
a = O
c = O
==}
==}
==}
ningún primer pivote
ningún segundo pivote
ningún tercer pivote
Si d = O, entonces el problema es incurable y esta matriz es singular. No hay esperanza de
una solución única de Ax= b. Si d no es cero, un intercambio P 13 de los renglones l y 3
mueve d al pivote. No obstante, la siguiente posición pivote también contiene un cero. El
número a está ahora abajo del cero (el e arriba del cero es inútil). Si a no es cero, entonces
se requiere otro intercambio de renglones P 23 :
P13 =
y
P23
=
l o
O
O
[o 1
º]
l
o
Eje11!lplo 1
De haberlo sabido, hubiera sido posible multiplicar A por P en primer lugar. Con los renglones en el orden correcto PA, cualquier matriz no singular está lista para el proceso de
eliminación.
La cuestión más importante es la siguiente: Si la eliminación puede completarse con ayuda de intercambios de renglones, entonces es posible suponer que estos intercambios se
realizan primero (por P). La matriz PA no requiere intercambios de renglones. En otras palabras, PA permite la factorización normal en L multiplicada por U. La teoría de la eliminación gaussiana puede resumirse en unas cuantas líneas:
(10)
1
5
Ese intercambio de renglones recupera LU, pero no f 31 = 1 y f 21 = 2:
p =
[
º]
ol o 1
y
o 1 o
L=
y
PA = LU.
(11)
En MATLAB , A ([ r k],:) intercambia el renglón k con el renglón r abajo del renglón
k (donde se ha encontrado el k-ésimo pivote). Las matrices L y P se actualizan de la misma manera. Al principio, P = I y signo = + l:
A([r k], : ) = A((k r], : );
L([r k].l:k-1) = L([k r].l:k-1);
P((r kJ, : ) = P([k r]. : );
sign = -sign
y
Una cuestión más: La permutación P 23 P 13 realiza los dos intercambios de renglones
a la vez:
39
En la práctica, también es posible considerar un intercambio de renglones cuando el
pivote original está próximo a cero: aun cuando no sea exactamente igual a cero. Cuando
se elige un pivote más grande se reduce el error por redondeo.
Debe tenerse cuidado con L. Suponga que la eliminación resta el renglón l del renglón 2, creando f 21 = l. Luego suponga que intercambia los renglones 2 y 3. Si este intercambio se realiza de antemano, el multiplicador cambia a f 31 = 1 en PA = LU.
Hay 24 matrices de permutación de orden n = 4. Sólo hay dos matrices de permutación de
orden n = 2; a saber,
Una vez que se conoce sobre inversas y traspuestas (en la siguiente sección se definen
A- 1 y AT), se descubre un hecho importante: p- 1 siempre es igual a
Un cero en la ubicación del pivote origina dos posibilidades: El problema puede ser
fácil de arreglar, o puede ser grave. Esto se decide al observar abajo del cero. Si más abajo en la misma columna hay un elemento distinto de cero, entonces se realiza un intercambio de renglones. El elemento distinto de cero se convierte en el pivote necesario, y la eliminación puede continuar de nuevo:
Factores triangulares e intercambios de renglones
El "signo" de P indica si el número de intercambios de renglones es par (signo = + 1) o
impar (signo = -1). Un intercambio de renglones invierte el signo. El valor final del signo es el determinante de P y no depende del orden de los intercambios de renglones.
En resumen: Un buen código de eliminación ahorra L y U y P. Estas matrices contienen la información que originalmente estaba en A, y la contienen en una forma más utilizable. Ax = b se reduce a dos sistemas triangulares. Este es el equivalente práctico del cálculo
que se presenta a continuación: encontrar la matriz inversa A - t y la solución x = A - t b.
l. ¿Cuándo es no singular una matriz triangular superior (un conjunto completo de pivotes)?
2. ¿Qué múltiplo f 32 del renglón 2 de A resta la eliminación del renglón 3 de A? U se la
forma factorizada
¡; ~ gl [~ ; ~]·
A =
1 4
l
o o 6
¿Cuáles son los pivotes? ¿Se requiere un intercambio de renglones?
3. Multiplique la matriz L = E- 1p- 1 a- 1 en la ecuación (6) por GFE en la ecuación (3):
[ ; ~ g]
-1
-1
1
multiplicada por
[ -~ o ~]·
-1
l
También multiplique en orden opuesto. ¿Por qué las respuestas son iguales?
40
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
4.
1.5
eliminación para obtener los factores L y V de
A =
[~ ~]
11. Resuelva lo '"á'"""'""'"' como dos sistemas u1•:m~;m•tac•:;, sin ...... ~!:'~~- LV para encontrar A:
A=[:HJ
y
41
Factores triangulares e intercambios de renglones
5. Factorice A en LV, y escriba el sistema u«i.11)';1.u.:u superior Ux = e que aparece después
de la eliminación, para
Ax=rn ~ ~] [~]
12. ¿Cómo es posible factorizar A en un producto VL,
superior multiplicado por
un sistema triangular inferior? ¿Tendrían los mismos factores que en A = LV?
m
13. Resuelva lo siguiente por eliminación, intercambiando renglones cuando sea necesario:
6. Encuentre E 2 y E 8 y E- 1 si
u + 4v + 2w
-2u
8v + 3w
E=[! ~l
V+
7. Encuentre los productos FGH y HGF si (donde se han omitido los ceros triangulares
superiores)
-2
V+ W
32
y
= Ü
U+ V
u+v+w=l.
1
W
= 0
¿Qué matrices de permutación se requieren?
14. Escriba todas las matrices de permutación de 3 por 3, incluyendo P = l. Identifique
sus inversas, que también son matrices de permutación. Las inversas satisfacen
pp-I = l, y están en la misma lista.
15. Encuentre (y compruebe) las factorizaciones PA = WU para
8.
demostración de A =
El tercer renglón de U proviene del tercer renglón
de A al restar múltiplos de los renglones 1 y 2 (¡de V!):
renglón 3 de U= renglón 3 de A -
y
e31 (renglón 1 de U) - l 32(renglón 2 de U).
a) ¿Por qué se restan renglones de U y no de A? Respuesta: Debido a que en ese mo-
mento se utiliza un renglón pivote _ _.
b) La ecuación anterior es la misma que
16. Encuentre una matriz de permutación de 4 por 4 que requiera tres intercambios de renglones para llegar al final de la eliminación (que es V= [).
17. La forma menos conocida A = LPV intercambia renglones sólo al final:
renglón 3 de A = e31 (renglón l de U) - ln(renglón 2 de U) + l(renglón 3 de U).
1
l
¿Qué regla de la multiplicación de matrices multiplica por V este renglón 3 de L?
Los otros
9. a) ¿En
de LV coinciden de manera semejante con los
de A.
condiciones el siguiente producto es no singular?
A=
H
o
-1
1
1
-1
o
b) Resuelva el sistema Ax = b empezando con Le = b:
18. Decida si los siguientes sistemas son singulares o no singulares, y si no tienen solución, una solución o una infinidad de soluciones:
V
u -
o
u
1
-1
b) ¿Cuántos pasos
5
l
O O
[o 3
¿Cuál es Len este caso? Al comparar con PA = LU en el recuadro lJ, ahora los multiplicadores permanecen en su sitio (e 21 es 1 y l 31 es 2 cuando A = LPU).
-n
10. a) ¿Por
para resolver cada uno de los sistemas Le = by Vx = e se
ximadamente n2 /2 pasos de multiplicación-sustracción?
l
A=
apro-
la eliminación para resolver 10 sistemas con la misma matriz de coeficientes A de 60 por 60?
V
- w = 2
=2
- w =2
V
u -
y
u
V
- w =O
=O
=O
- w
V
y
+ w
u + V
u
+ w
l.
19. ¿Cuáles números a, b, e conducen a intercambios de renglones? ¿Cuáles hacen
lar a la matriz?
2
8
b
~]
y
A= [
~ ~J.
'li.173@
42
1.5
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
En los pr4llbl1emas 20 a 31 se calcula la factorización A = LU (y también A = WU).
20. La eliminación hacia adelante cambia [ :
x+ y= 5
X+ 2y = 7
-
;Jx = b a una triangular[¿
[i
x+ y=5
y=2
1
2
-
;J
:J X= C:
[~
i].
Ese paso restó t 21 = _ _ veces el renglón l del renglón 2. El paso inverso suma t 21
veces el renglón l al renglón 2. La matriz para ese paso es L = _ _ . Al multiplicar
esta L por el sistema triangular
X =
se obtiene - - = - - · En otras
palabras, L multiplica a Vx = e para obtener _ _.
21. (Cambio a 3 por 3) La eliminación hacia adelante cambia Ax = b a un sistema triangular Vx =e:
x+y+z=5
x+ y+ z=5
x+ y+ z=5
y+2z=2
y +2z = 2
X+ 2y + 3z = 7
X+ 3y + 6z = 11
2y + 5z = 6
z = 2.
La ecuación z = 2 en Vx = e proviene de la ecuación original x + 3y + 6z = 11 en
Ax = b al restar t 31 = _ _ veces la ecuación 1 y f 32 = __ veces la ecuación.final 2. Lo anterior se invierte para recuperar [1 3 6 11] en [A b] de la [l l 1 5] final y [O l 2 2] y [O O 1 2] en [V e]:
Renglón 3 de [A b] = (t 31 renglón l + t 32 renglón 2 + l renglón 3) de [V e].
En notación de matrices, esto es una multiplicación por L. Así, A = LU y b = Le.
43
tercera posición pivote? Así, un intercambio de renglones no puede ayudar y la eliminación falla:
º]
e4 l .
5 1
¿Cuáles
son
L
y
D
para
esta
matriz
A?
¿Cuál
es V en A = LV y cuál es la nueva U en
27.
A=WU?
m
[¿ :]
Factores triangulares e intercambios de renglones
A=
2 4 8]
[o o 7
O 3
9.
28. A y B son simétricas a través de la diagonal (porque 4 = 4). Encuentre sus factorizaciones triples WV, y escriba cómo está relacionada V con L para estas matrices simétricas:
A=
[¡ 1~]
y
29. (Recomendado) Calcule L y V para la matriz simétrica
Encuentre cuatro condiciones sobre a, b, e, d para obtener A = LV con cuatro pivotes.
30. Encuentre L y U para la matriz no simétrica:
22. ¿Cuáles son los sistemas triangulares de 3 por 3 Le = by Vx = e del problema 21?
Compruebe que e= (5, 2, 2) resuelve el primero. ¿Cuál es el vector x que resuelve el
segundo?
y E32 que transforman la matriz A en
23. ¿Cuáles son las dos matrices de eliminación
la forma triangular superior E 32E 21 A = V? Multiplique por E3?_1 y EZ./ para factorizar A en LU
E3?_1 V:
A =
¡; ! ~1.
31. Las matrices tridiagonales tienen elementos iguales a cero, excepto en la diagonal principal y en las dos diagonales adyacentes. Factorice lo siguiente en A = LU y A = LDV:
o 4 o
24. ¿Cuáles son las tres matrices de eliminación E 21 ,
y E 32 que transforman la matriz
A en la forma triangular superior E 32E 31 E 21A = V? Multiplique por E3?_1 ,
y
para factorizar A en LV, donde L = EZi 1 E3/ E3?_1 • Encuentre L y V:
A~[~ ~
n
rn ;J =u
n[~ ;]
¡¡
A~[i~!l
y
A~[~+bu
32. Resuelva el sistema triangular Le= b para encontrar c. Luego, resuelva Ux = e para
encontrar x:
L =
25. Cuando en la posición pivote aparece un cero, ¡A = LV no es posible! (Se requieren
pivotes diferentes de cero d,f, i en V.) Demuestre directamente por qué los dos casos
siguientes son imposibles:
l
l
2
Encuentre cuatro condiciones sobre a, b, e, d, r, s, t para obtener A =LV con cuatro
pivotes.
n~ [! i] [ n
e
d
f
n
26. ¿Qué número e produce un cero en la segunda posición pivote? Se requiere un íntercambio de renglones y A =LV no es posible. ¿Qué número e produce un cero en la
[~ ~]
y
u= [;
~]
y
Por seguridad, encuentre A = LU y resuelva Ax = b como de costumbre. Identifique
e cuando lo vea.
33. Resuelva Le = b para encontrar c. Luego resuelva Vx = e para encontrar x. ¿Cuál era
la matriz A?
L~ u
o
fl
y
U=
[~ o n b~ m
l
y
44
Capítulo 1 Matrices y elímínacíón gaussíana
1.6
34. Si A y B tienen elementos distintos de cero en las posiciones indicadas con x,
ros siguen siendo ceros en sus factores L y U?
ce-
35. (Importante) Si A tiene pivotes 2, 7, 6 sin intercambios de renglones, ¿cuáles son los
pivotes para la parte superior izquierda de la submatriz B de 2 por 2 (sin el renglón 3
y la columna 3)? Explique su respuesta.
36. Empezando con una matriz A de 3 por 3 con pivotes 2, 7, 6, añada un cuarto renglón
y una cuarta columna para obtener M. ¿Cuáles son los tres primeros pivotes de M, y
por qué? ¿Cuáles son el cuarto renglón y la cuarta columna que aseguran la obtención
de un 9 en el cuarto pivote?
37. Use ehol(pascal(5)) para encontrar los factores triangulares de paseal(5) de MATLAB.
¡Intercambios de renglones en
U] = lu(pascal(5)) arruinan el patrón de Pascal!
38. (Repaso) ¿Para qué números ces imposible A = LU con tres pivotes?
A~[~ ~
n
39. Calcule la diferencia temporal para cada nuevo miembro derecho b cuando n = 800.
Establezca A = rand(800), b = rand(SOO,l) y 8 = rand(800,9). Compare los tiempos de tic; A\b; toe y tic A\B; toe (que resuelve para 9 miembros derechos).
Inversas y traspuestas
45
45. Si se toman potencias de una permutación, ¿por qué
F1' termina siendo igual a
/? Encuentre una permutación de 5 por 5 P de modo que la menor potencia que es
igual a I es f'6. (Éste es un problema de desafío. Combine un bloque de 2 por 2 con un
bloque de 3 por 3.)
46. La matriz P que
a (x, y, z) para obtener (z, x, y) también es una matriz de
rotación. Encuentre P y P 3 • El eje de rotación a = (1, 1, 1) no se mueve, y es igual a
Pa. ¿Cuál es el ángulo de rotación de v = (2, 3, -5) a Pv = (-5, 2, 3)?
47. Si Pes cualquier matriz de permutación, encuentre un vector x diferente de cero de
modo que (/- P)x = O. (Esto significa que/ - P no tiene inversa, y que su determinante es cero).
48. Si P tiene ls en su antidiagonal desde (1, n) hasta (n, 1), describa PAP.
1.6
La inversa de una matriz de n por n es otra matriz de n por n. La inversa de A se denota por
A - 1 (lo cual se lee "A inversa"). La propiedad fundamental es sencilla: Si se multiplica por
A y luego se multiplica por A- 1, se regresa a la posición inicial:
Matriz inversa Si b =Ax, entoncesA- 1b = x.
Así,
= x. La matriz A - i multiplicada por la matriz A es la matriz identidad. No todas las matrices tienen inversas. Una inversa es
cuando Ax es cero y x es dide cero. Por tanto, A - 1 debería tener que regresar de Ax = O a x. Ninguna matriz
puede multiplicar ese vector cero Ax y producir un vector x diferente de cero.
Los objetivos son definir la matriz inversa, calcularla y aplicarla, cuando A - l existe,
y luego comprender cuáles matrices no tienen inversas.
40. Hay 12 permutaciones "pares" de (1, 2, 3, 4) con un número par de intercambios. Dos
de éstas son (1, 2, 3, 4) sin intercambios y (4, 3, 2, 1) con dos intercambios. Enumere
los otros 10. En vez de escribir cada matriz de 4 por 4, use los números 4, 3, 2, 1 para proporcionar la posición del 1 en cada renglón.
41. ¿Con cuántos intercambios se permuta (5, 4, 3, 2, 1) de vuelta a (1, 2, 3, 4, 5)? ¿Cuántos intercambios son necesarios para ir de (6, 5, 4, 3, 2, 1) a (l, 2, 3, 4, 5, 6)? Uno es
par Y el otro es impar. Para ir de (n, ... , 1) a (1, ... , n), demuestre que n = 100 y
101 son pares, y que n = 102 y 103 son uur-"'''"'"·
1:i
42. Si
y
son matrices de permutación, también lo es P 1P 2 • Esta última matriz sigue
y
temendo los renglones de len algún orden. Proporcione ejemplos con P 1P 2 =fa
P3P4 = P 4 P 3 .
43. (!ntente responder esta pregunta). ¿Cuál es la
que hace triangular supenor a PA? ¿Cuál es la permutación que hace triangular inferior a P 1 AP2 ? Al mx,1m1r1tila derecha por
se intercambia el _ _ de A.
A~[!
HJ
44. Encuentre una matriz de permutación de 3 por 3 con p 3 = /(pero no p = /). Encuentre una permutación de 4 por 4 p con p4 =fa ¡ .
Nota 1 La inversa existe
sólo si la eliminación
(se
intercambios de renglones). La eliminación resuelve Ax = b sin encontrar explícitamente
Nota 2 La matriz A no puede tener dos inversas distintas. Suponga que BA = I y también
que AC = !. Entonces B = C,
la siguiente "demostración por paréntesis":
B(AC) = (BA)C proporciona Bl = IC, que es B = C.
(2)
Esto demuestra que una inversa izquierda B (que multiplica por la izquierda) y una inversa derecha C (que multiplica a A por la derecha para obtener AC = /)deben ser la misma
matriz.
Nota 3
Si A es invertible, la sola y única solución de Ax= bes x = A- 1b:
Nota 4 (Importante)
que
un vector x
de cero tal
=O. Entonces A no puede tener inversa. Para repetir: Ninguna matriz es capaz de regresar el O ax.
Si A es invertible, entonces Ax = O sólo
tener la solución x = O.
46
1.6 Inversas y traspuestas
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
Nota S
Así, se tienen tres sistemas de ecuaciones (o n sistemas). Todos tienen la misma matriz de
coeficientes A. Los miembros derechos e 1, e2 , e 3 , son diferentes, aunque la eliminación es
posible en todos los sistemas de manera simultánea. Éste es el método de Gauss·Jordan.
En vez de detenerse en U y cambiar a sustitución hacia atrás, continúa restando múltiplos
de un renglón de los renglones de arriba. Esto produce ceros arriba de la diagonal, Y también abajo de ésta. Cuando llega a la matriz identidad, se ha encontrado A - i.
El siguiente ejemplo preserva todas las tres columnas e 1, e2 , e3 , y opera sobre renglones de longitud igual a seis:
Una matriz de 2 por 2 es invertible si y sólo si ad - be es diferente de cero:
a
[e
Inversa de 2 por 2
b]-I
d
1
= ad - be
rl-cd -b]a ·
(3)
El número ad - be es el determinante de A. Una matriz es invertible si su determinante es
distinto de cero (véase el capítulo 4). En MATLAB, la prueba de invertibfüdad consiste en
encontrar n pivotes diferentes de cero. La eliminación produce estos pivotes antes de que
aparezca el determinante.
Nota 6 Una matriz diagonal tiene una inversa en el supuesto de que ninguno de los elementos diagonales es cero:
d1
Si A=
d
[
l
entonces A -
1
=
[
y
AA- 1 =l.
Cuando están implicadas dos matrices, no hay mucho que hacer sobre la inversa de
A + B. La suma puede o no ser invertible. En vez de lo anterior, la fórmula clave en cálculos matriciales es la inversa de su producto, AB. Los números normales son los mismos:
(a+ b)- 1 es difícil de simplificar, mientras llab se separa en l/a veces lib. Sin embargo,
para matrices el orden de la multiplicación debe ser correcto: si ABx = y, entonces Bx =
A- 1y y x = s- 1A- 1y. Las inversas se presentan en orden opuesto.
1l Un producto ABde matrices ir1vertibles es. invertido por
Inversa de AB
(AB)- 1 = B- 1A- 1•
(4)
Demostración Para demostrar que s- 1A- 1 es la inversa de AB, las matrices se multiplican y se aplica la ley asociativa para quitar los paréntesis. Observe que B se escribe al lado de B- 1:
(AB)(B- 1A- 1) =ABB- 1A- 1 = AIA- 1 = AA- 1 = l
(B- 1A- 1)(AB) = s- 1A- 1AB = s- 11B = s- 1s =l.
111
Una regla semejante se cumple para tres o más matrices:
Inversa de ABC (ABC)-1 = c-1s-1A-1.
Este cambio de orden se vio cuando las matrices de eliminación E, F, y G se invirtieron para regresar de U a A. En la dirección hacia adelante, GFEA era U. En la dirección hacia
era el producto de las inversas. Debido a que al último aparece G,
atrás, L =
entonces 0- 1 aparece primero. Por favor compruebe que A- 1 sería U- 1GFE.
de
Considere la ecuación
= l. Si se toma una columna a la vez, la ecuación determina
cada columna de A - i. La primera columna de A - I se multiplica por A, para producir la primera columna de la identidad: Ax1 = e 1• De manera semejante, Ax2 = e2 y Ax3 = e 3 ; las
es son las columnas de l. En un ejemplo de 3 por 3, A multiplicada por A -r es I:
1
Ax;= e¡
[J
-6
7
Aplicar el método de Gauss-Jordan para encontrar A -
e¡
ez
e3]
Pivote = 2 --+
(5)
[_~
[~
Pivote~ -8 ~ [~
1
-6
7
1
1
1
o
1
1
o o 1
2 o o
~]
o
~]
l
-8 -2 -2
l
8
3
1
o
1
1
1
o
-8 -2 -2
o 1 -1
l
1
~] ~¡u
Esto completa la eliminación hacia adelante, de la primera mitad. La triangular superior
U aparece en las tres primeras columnas. Las otras tres columnas son las mismas que en
L - 1 . (Éste es el efecto de aplicar las operaciones elementales GFE a la matriz identidad).
1
1
Luego, la segunda mitad regresa de U a l (al multiplicar por u- ). Esto lleva L- a
U- 1L- 1 , que esA- 1 . Creando ceros arriba de los pivotes se llega aA -t:
[~ o
1
mitad [u L-11 --+
ceros arriba de los pivotes --+
"'divide ontre los pivotes
de
• El
1
[A
l/d1
47
-8
[i
~ [~
-~1
o 2 -1
o -4 3
-1
1
o o 812
-8 o -4
o 1 ..:...1
-¡¡
5
3
-~]
s
12
o o 16
-16 -16
o 84 -¡¡3 -~ = [I A-11.
1
l
-1
o
']
En el último paso, los renglones se dividieron entre sus pivotes 2 y -8 y l. La matriz de
coeficientes en el miembro izquierdo se transformó en la identidad. Debido a que A se convirtió en I, las mismas operaciones en el miembro derecho deben llevar l a A - i. En consecuencia, se ha calculado la inversa.
Una nota para el futuro: El lector puede ver el determinante-16 que aparece en los denominadores de A- 1 • El determinante es el producto de los pivotes (2)(-8)(1). Entra al
final cuando los renglones se dividen entre los pivotes.
48
Capitulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
1.6
Obse~~ción 1 A pesar de este brillante éxito al calcular A - 1, no lo recomiendo. Admito
que A resuelve en un paso Ax = b. Dos pasos triangulares son mejores:
x = A- 1b se separa en Le= by Ux = c.
Puede e~cribir_~~ c = 1
y luego X = u- 1c = u- 1L - lb. Sin embargo, observe que estas matrices L Y U- no se formaron de manera explícita, y en el cálculo verdadero, no
deben formarse. Hacerlo sería una
de tiempo, ya que sólo se
sustitucio'
h .
,
n
acia atras para x (y la sustitución hacia adelante produjo c).
. Un~ observación semejante es válida para A - 1 ; la multiplicación A -Ib seguiría
nendo n pasos. Lo que se busca es la
no todos los elementos de la inversa.
~bservación 2 Sól~ por curiosidad, podría contarse el número de operaciones necesanas para encontrar A . La cuenta normal para cada nuevo miembro derecho es n 2 la mitad en la dirección hacia adelante y la mitad en la sustitución hacia atrás. Con n mi~mbros
derechos e¡, . .. , en esto hace n 3 • Luego de incluir las n 3 /3 operaciones sobre A misma
parece que el total es 4n 3/3.
'
1
.
Este resultad? es ligeramente elevado debido a los ceros en los ej. La eliminación hacia adelante cambia sólo los ceros que están debajo del 1. Esta parte sólo tiene n - j componentes, d~ modo que la cuenta para las ej cambia efectivamente a (n - 1)212. AJ sumar sobre
t~s las J, ~l total para la eliminación hacia adelante es n 3/6. Esto debe combinarse con las
n. 13 o¡;erac1ones de costumbre que se aplican a A, y los n(n 212) pasos de la sustitución hacia atrás que finalmente
las columnas xj de A - 1• La cuenta final de multiplicaciones para calcular A - l es n 3 :
Conteo de open1cí~llm~s
:3 + ~3 +
n (
~2) = n3.
Este conteo es extraordinariamente bajo. Debido a que la multiplicación de matrices
3
consume n pasos,
tantas operaciones para calcular A 2 como las necesarias para
calcular A - I ! Este hecho parece casi increíble (y calcular A 3 requiere el doble, hasta donde puede verse). A pesar de lo anterior, si A - i no es necesaria, no debe calcularse.
Inversas y traspuestas
49
Suponga que A cuenta con un conjunto completo de pivotes.
= l proporcionan
sistemas Ax1 = e; por separado para las columnas de A- 1 • Estos sistemas pueden resolverse por eliminación o por Gauss-Jordan. Pueden requemse intercambios de renglones, pero
las columnas de A - i están determinadas.
Hablando estrictamente, es necesario demostrar que la matriz A - 1 con esas columnas
también es autoinversa. Al resolver AA - 1 = l se resuelve al mismo tiempo A - 1A = l, pero,
es automáticamente una
¿por qué? Una inversa po:r un lado de una matriz
inversa po:r dos lados. Para ver por qué, observe que todo paso de Gauss-Jordan es una
multiplicación por la izquierda por una matriz elemental. Se están permitiendo tres tipos de
matrices elementales:
para restar un múltiplo e del renglónj del renglón i.
l.
E;j
2.
Pij para intercambiar los renglones i y j.
3.
D (o
para dividir todos los
entre sus pivotes.
El proceso de Gauss-Jordan en realidad es una secuencia gigantesca de multiplicaciones de
matrices:
(D- 1 ···E··· P · · · E)A = l.
(6)
La matriz entre paréntesis, a la izquierda de A, ¡evidentemente es una autoinversa! Por la
es innota 2, existe, y es igual a la inversa derecha, de modo que toda matriz no
vertible.
La conversa también es verdadera: Si A es
tienen pivotes. En un caso extremo que es claro: A no puede tener toda una columna de ceros. La inversa jamás podría
multiplicar una columna de ceros para producir una columna de/. En un caso menos extremo, suponga que la eliminación inicia en una matriz invertible A, pero que falla en la columna 3:
Falla
En. la columna 3 no
~bservación 3 En el cálculo de Gauss-Jordan, siempre se fue en busca de U, antes de inic1'.11" ~! P~~edimi~nto hacia atrás para obtener ceros arriba de los pivotes. Esto es como la
A '=
[
X]
d¡
X
Ü
Ü
dz
X
X
Ü
Ü
X
Ü
Ü
Ü
X
X
•
eliminac1on gau.ss1ana, aunque también son posibles otros órdenes. Hubiera podido utilizarse el .segundo pivote cuando se estaba ahí antes, con la finalidad de obtener un cero arriba
del p1;ote, ~í.como también abajo de él. Esto no es
En ese instante el segundo
renglo~ está virtualmente lleno, mientras cerca del extremo tiene ceros provenientes de las
operaciones en renglones hacia arriba que ya se habían realizado.
Esta matriz no puede tener una inversa, sin importar cuáles sean las x. Una demostración de
este hecho es aplicar operaciones en las columnas (¿por primera vez?) con la finalidad
de hacer cero toda la columna. Al restar múltiplos de la columna 2 y luego de la columna l,
se llega a una matriz que ciertamente no es mvertible. En consecuencia, la matriz original A
no es invertible. La eliminación proporciona una
completa: Una matriz de n por n es
invertible sí y sólo si tiene n pivotes.
En última ins~,cia, lo qu~ se
saber es cuáles matrices son invertibles y cuáles no lo
son. Esta cuestiones tan importante que tiene muchas respuestas. 1·Consulte ta 'tt·
,_
gina del libro!
u ima pa
la matriz
En cad~ uno de los cinco primeros capítul~s se proporciona una prueba diferente
(~unque eqmv~lente) para comprobar la invertibilidad.
veces las pruebas se extienden a matrices rec~angulare~ e inversas por un lado: el capítulo 2 investiga el tema de
ren~lones Ycolumnas mdepend1entes. En el capítulo 3 se invierte AAT 0 ATA. En los otros
cap1tulos se abordan los determinantes
de cero, los valores característicos diferentes de. c~ro ~ !ºs pivotes
de cero. Esta última prueba es la que se encuentra en la ehmmac10n gaussiana. Se
demostrar (en unos cuantos párrafos teóricos)
que la prueba de los pivotes es exitosa.
Se requiere una matriz más, y por fortuna es mucho más sencilla que la inversa. La t:raspuesta de A se denota por AT. Sus columnas se toman dfrectamente de los renglones de A:
el i-ésimo renglón de A se convierte en la i-ésima columna de AT:
Si A=
[~ o1
Al mismo tiempo, las columnas de A se convierten en los renglones de AT. Si A es una matriz de m por n, entonces
es de n por m. El efecto final es doblar la matriz respecto a su
50
1.6
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
diagonal principal, y el elemento en el renglón i, columna j de A T proviene del elemento
que está en el renglón}, columna i de A:
(7)
Elementos de
La traspuesta de una matriz triangular inferior es triangular superior. La traspuesta de A T
lleva de regreso a A.
Si se suman dos matrices y luego se traspone, el resultado es el mismo que si primero se traspone y luego se suma: (A + B)T es lo mismo que AT + BT. Pero, ¿a qué es igual
la traspuesta de un producto AB o de una inversa A - 1 ? A continuación se presentan las
fórmulas esenciales de esta sección:
Observe el parecido de la fórmula para (AB) T con el resultado de la fórmula para (AB)- 1•
En ambos casos se invierte el orden, con lo que se obtiene BTAT y
. La demostración para la inversa fue fácil, pero ésta requiere de una paciencia extraordinaria con la multiplicación de matrices. El primer renglón de (AB)T es la primera columna de AB. Así, las
columnas de A están ponderadas por la primera columna de B. Esto se suma a los renglones de AT ponderados por el primer renglón de BT. Eso es exactamente el primer renglón
de BTAT. Los otros renglones de (AB? y BTAT también coinciden.
Se
con
AB =
Traspuesta de
BT AT =
u ~] [; ; ;J
= [;
;
;J
Sea cualquier matriz R, quizá rectangular. Multiplique RT por R. Entonces el producto RTR
es automáticamente una matriz simétrica cuadrada:
Esta es una demostración rápida de simetría para RTR. Su elemento i, j es el producto interno del renglón i de RT (columna i de R) con la columna} de R. El elemento (j, i) es el
mismo producto interno, la columna} con la columna i. Así, RTR es simétrica.
RRT también es simétrica, aunque diferente de RTR. En mi experiencia, la mayor parte de los problemas científicos que empiezan con una matriz rectangular R terminan con
RTR, con RRT o con ambas.
R = [l
2]
y RT =[~]producen RTR = [~
;]
y RRT = (5).
El producto RTR es den por n. En orden opuesto, R RT es de m por m. Incluso si m = n,
no es muy probable que RTR = R RT. La igualdad puede ocurrir, aunque no es normal.
Las matrices simétricas se presentan en todo tema cuyas leyes son justas. "Cada
acción tiene una reacción igual y opuesta." El elemento ªu que proporciona la acción de i
sobre j es compensado por aji· Esta simetría se verá en la siguiente sección, para ecuaciones diferenciales. Aquí LU pierde la simetría, pero WLT la captura perfectamente.
[3 2] [lo 1] -- [3 5]
3
3
2
2
1
3
3
5 .
5
Con la finalidad de establecer la fórmula para (A - i)T, se inicia con AA - 1 = /y A - 1 A = /,
y se toman las traspuestas. En un miembro, ¡T = l. En el otro miembro, por el inciso i) se
conoce la traspuesta de un producto. Puede verse cómo (A - 1) T es la inversa de AT, lo cual
demuestra ií):
Inversa de A T = Traspuesta de A - 1 (A - 1) T AT = J.
La traspuesta de A= WUproporcionaAT = UTDTLT. Debido a que A=
, ahora se tienen dos factorizaciones de A en triangular inferior multiplicada por triangular superior (LT
es triangular superior con 1s en la diagonal, exactamente como U.) Debido a que la factorización es única (consulte el problema 17), LT debe ser idéntica a U.
º] 0[1 4º] 0[1 12]
1 2] [l2 1
[28
(8)
LT =U y
A=
=
Matrices simétricas
Una vez que se han establecido estas reglas, es posible presentar una clase especial de matrices; quizá la clase más importante de todas. Una matriz simétrica es una matriz que es
igual a su propia traspuesta: AT = A. La matriz es necesariamente cuadrada. Cada elemento en un miembro de la diagonal es igual a su "imagen especular" en el otro lado:
ªu= ªji· Dos ejemplos sencillos son A y D (y también A- 1):
Matrices simétricas
51
Inversas y traspuestas
y
y
A-1 =
~[ 8
4 -2
-2]
l .
Una matriz simétrica no necesariamente es invertible; incluso, puede ser una matriz de ceros. Pero si A-¡ existe, también es simétrica. Con base en la fórmula ii) anterior, la traspuesta de
siempre es igual a (AT)- 1; para una matriz simétrica lo anterior es justo A - 1•
A - l es igual a su propia traspuesta; es simétrica siempre que A lo sea. Ahora se ha demostrado que el resultado de multiplicar cualquier matriz R por
es una matriz simétrica.
= LDLT
.
Cuando se aplica eliminación a una matriz simétrica, A T = A es una ventaja. Las matrices
más pequeñas siguen siendo simétricas a medida que procede la eliminación, de modo que
posible trabajar con la mitad de la matriz! El ángulo inferior del miembro derecho sigue siendo simétrico:
[~ ;]
b
d
e
.....
a
b
o
d-
e
bz
a
be
be
a
e-c2
o e-f- a
a
El trabajo de la eliminación se reduce de n 3 /3 a n3 /6. No es necesario almacenar los elementos de ambos lados de la diagonal, o de almacenar tanto a L como a U.
52
•:.•.. •.:;;_,,;;-; ut::L URUGUAY
.. ,
'·1 i\ C i O NA l.
. . 1.6·., lnv.ersas y traspuestas
u Vi ~ "./ ~ .. ' \
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
l. Encuentre las inversas (no se requiere ningún sistema especial) de
il
oo o1 o
[1 o o
y
P=
1]
o1 Oo O.
[o 1 o
b) Explique para permutaciones, por qué p- 1 siempre es igual a pT_ Demuestre que los
ls están en los sitios correctos para obtener ppT = J.
3. A partir de AB = C, encuentre una fórmula para A - i. También encuentre A - i a
dePA = LU.
4. a) Si A es invertible y AB = AC, demuestre rápidamente que B = C.
b) Si A = (
¿ g], encuentre un ejemplo con AB = AC, pero B 7" C.
2
5. Si la inversa de A es B, demuestre que la inversa de A es AB. (Por tanto, A es invertible siempre que A2 es invertible.)
6. Aplique el método de Gauss-Jordan para invertir las siguientes matrices
7. Encuentre tres matrices de 2 por 2, que no sean A = l y A = - J, que sean sus propias
inversas: A 2 = J.
;
J no tiene inversa, resolviendo Ax = O, y fallando al resolver
[1 l] [ª b] [1 º]
3
3
e
d
=
O 1·
9. Suponga que la eliminación fracasa porque en la columna 3 no hay pivote:
Pivote fafümte
A~ [~ ~ ~ !J
Demuestre que A no puede ser invertible. El tercer renglón de A - i, multiplicado por A,
debe proporcionar el tercer renglón [O O 1 O] de A -iA =J. ¿Por qué es imposible esto?
10. Encuentre las inversas (de cualquier manera
A,~[~
o o
o 2
3 o
o o
A,{i
~l'
o
1
2
-3
o
12. Si A es invertible, ¿qué propiedades de A siguen siendo verdaderas para A- 1?
a) A es triangular.
b) A es simétrica.
e) A es tridiagonal.
d) Todos los elementos de A son números enteros.
e) Todos los elementos de A son fracciones (incluso los números como
13. Si A =
[n y B
f ).
= [;), calcule ATB, BTA, ABT y BAT.
14. Si B es cuadrada, demuestre que A = B + BT siempre es simétrica, y K = B - BT siempre es simétrica sesgada, lo cual significa que KT = - K. Encuentre estas matrices A
y K cuando B = [
y escriba B como la suma de una matriz simétrica y una matriz simétrica sesgada.
i i] ,
15. a) ¿Cuántos elementos pueden elegirse independientemente en una matriz simétrica
de orden n?
b) ¿Cuántos elementos
independientemente en una matriz simétrica
sesgada (KT = -K) de orden n? ¡La diagonal de K es cero!
16. a) Si A = WU, con ls en la diagonal de L y U, ¿cuál es la factorización correspondiente de
Observe que A y AT (matrices cuadradas sin intercambios de renglones) comparten los mismos pivotes.
b) ¿Con qué sistemas triangulares se obtiene la solución de AT y = b?
-1
2
-1
8. Demuestre que A = [;
, ~:·;?~L i..Jr'{UGUAY
tales::que {·;.....:r·. AHGL:-!1H'JA
a) A + B no es invertible, aunque A y B sí lo son.
b) A + Bes invertible, aunque A y B no lo son.
e) Las tres A, B, y A + B son invertibles.
En el último caso su A- 1 (A +
= s- 1 + A- 1 para demostrar que
1
1
C = B- + A - también es invertible y encuentre una fórmula para c- 1•
2. a) Encuentre las inversas de las matrices de perrnuta.ciém
p =
· ¡·~·._,.:.
d~
11º Proporcione
!il
de
o
o
1
-¡
3
~l'
17. Si A = L 1D 1 U 1 y A = LzD2 U2 , demuestre que L 1 =
= D2 y U 1 =
Si A es
invertible, la factorización es única.
a) Deduzca la ecuación C] 1 L 2 D 2 = D 1 U1 u 2- 1, y
por qué un miembro es
triangular inferior y el otro es triangular superior.
b) Compare las diagonales principales, y luego compare el resto de las matrices.
18. ¿Cuáles son las condiciones sobre los elementos de A y B para que éstas sean invertibles?
b
b
d
e
B=
A~[~ o ~]
19. Compruebe la factorización simétrica
3
12
18 30
A~ [i
de
1i]
20. Encuentre la inversa de
A3 =
[~ o
A=
[j
A=[: :].
y
o o
o
l
3
1
2
n
1
¡
2
~l
54
1.6
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
21. (Extraordinario) Si A y B son matrices cuadradas, demuestre que l - BA es invertible
sil -AB es invertible. Empiece con B(l -AB) = (l BA)B.
22. Encuentre las inversas (directamente o a partir de la fórmúla de 2 por 2) de A, B, C:
A =
[~ ~]
y
B =
23. Resuelva para la<> columnas de A -
1
[~ ~]
= [
y
C =
[~ ~J.
33. Demuestre que A= 4*eye(4)- ones(4, 4) no es invertible: Multiplique A*ones(4,l).
34. Hay 16 matrices de 2 por 2 cuyos elementos son ls y Os. ¿Cuántas de estas matrices
son invertibles?
35. Transforme len A - I a medida que reduce A a l (por medio de operaciones en los renglones):
~ ~] :
[A l] = [; 73
36. Imite el ejemplo de 3 por 3 del texto, pero con un signo + en A. Elimine por arriba y
por abajo de los pivotes para reducir [A l] a[/ A- 1]:
[1 62] no tiene inversa tratando de resolver para la columna (x, y):
1
3
1
debe incluir
25. (Importante) Si A es tal que renglón 1 + renglón 2 = renglón 3, demuestre que A no
es invertible:
a) Explique por qué Ax= (1, O, 0) no puede tener una solución.
b) ¿Qué miembros derechos (b 1 , b2 , b 3 ) pueden permitir una solución aAx = b?
e) ¿Qué ocurre al renglón 3 en la eliminación?
27. Suponga que A es invertible y que sus dos primeros renglones se intercambian para obtener B. La nueva matriz B, ¿es invertible? ¿Cómo puede obtenerse s- 1 apartirdeA- 1?
38. Invierta las siguientes matrices por eliminación de Gauss-Jordan, empezando con [A l]:
:J por [_~ -!J. ¿Cuál es la inversa de cada matriz si ad o;f be?
31. a) ¿Qué matriz E tiene el mismo efecto que los siguientes tres pasos? Reste el renglón
l del renglón 2, reste el renglón 1 del renglón 3, y luego reste el renglón 2 del renglón 3.
b) ¿Qué simple matriz L tiene el mismo efecto que los siguientes tres pasos inversos?
Sume el renglón 2 al renglón 3, sume el renglón l al renglón 3, y luego sume el renglón 1 al renglón 2.
¡. ,_, -r [i ~l
32. Encuentre los números a y b con los que se obtiene la inversa de 5*eye(4)
b
4 -1 -1
-1
4 -1
-1 -1
4
¿Cuáles son a y ben la inversa de 6*eye(5)
a
b
b
b
b
a
b
ones(5, 5)?
ones(4, 4):
A=¡¡
y
Ul
39. Intercambie renglones, y prosiga con eliminación de Gauss-Jordan para encontrar
A-1:
2
2
28. Si el producto M = ABC de tres matrices cuadradas es invertible, entonces A, B, C son
invertibles. Encuentre una fórmula para B- 1 que implique a M- 1, A y C.
29. Demuestre que una matriz con una columna de ceros no puede tener una inversa.
º]
o1 ol ol o .
2 o o 1
37. Aplique eliminación de Gauss-Jordan sobre [A l] para resolver AA- 1 = l:
26. Si A es tal que columna 1 + columna 2 = columna 3, demuestre que A no es invertible:
a) Encuentre una solución x diferente de cero de Ax = O. La matriz es de 3 por 3.
b) La eliminación preserva columna 1 + columna 2 = columna 3. Explique por qué
no hay un tercer pivote.
-1
-1
-1
[A l] = [~ 49 o1
y
2
30. Multiplique [:
55
Los problemas 35 a 39 son sobre el método de Gauss-Jordan para calcular A- 1 •
y
24. Demuestre que
Inversas y traspuestas
º]
ol 1 .
40. ¿Falso o verdadero? (proporcione un contraejemplo si es falso y una explicación si es
verdadero):
a) Una matriz de 4 por 4 con un renglón de ceros no es invertible.
b) Una matriz con ls abajo de la diagonal principal es invertible.
e) Si A es invertible, entonces A - l es invertible.
d) Si AT es invertible, entonces A es invertible.
41. ¿Para cuáles tres números e la siguiente matriz, no es invertible? ¿Por qué?
A=
[~
e
e
7
42. Demuestre que A es invertible si a o;f O y a o;f b (encuentre los pivotes y A - l):
A=[:
b
a
a
56
Capítulo 1
1.6
Matrices y eliminación gaussiana
43. La inversa de la siguiente matriz es extraordinaria. Encuéntrela por eliminación sobre
[A l]. Extienda lo anterior a una "matriz alternante" de 5 por 5, y conjeture su inversa:
A =
[g
-i -~ ~ t].
o o
o
Inversas y traspuestas
57
53. a) Al multiplicar el vector renglón xT por la columna y, ¿qué número se obtiene?
=
[o
l
1] [ 4
2
5
b) Este es el renglón xTA = _ _ veces la columna y = (O, 1, 0).
1
e) Este es el renglón xT = [O l] veces la columna Ay= _ _ .
44. Si B tiene las columnas de A en orden invertido, resuelva (A - B)x = O para demostrar
que A - B no es invertible. Un ejemplo lo conducirá ax.
45. Encuentre y compruebe las inversas (suponiendo que existen) de las siguientes matrices en bloque:
54. Cuando se traspone una matriz en bloque M = [~
~],el resultado es MT = _ _ .
a A, B, C, D para que la matriz en bloque
Prue'belo. ¿Qué condiciones deben
sea simétrica?
55. Explique por qué el producto interno de x y y es igual al producto interno de Px y Py.
Luego, (Px)T(Py) = xTy, indica que pTp = l para cualquier permutación. Con x = (1,
2, 3) y y= (1, 4, 2), escoja? para demostrar que (Px?y no es
igual axT(PTy).
46. Use inv(S) para invertir la matriz simétrica MATLAB de 4 por 4 S = pascal(4). Obtenga la matriz Pascal triangular inferior A= abs(pascal(4,l) y test inv(S) = inv(A')*
inv(A).
47. Si A= ones(4,4) y b = rand(4,l), ¿cómo le hace saber MATLAB que Ax= b no tiene
solución? Si b = ones(4,1), ¿qué solución de Ax= b se encuentra por medio deA\b?
48. M- 1 muestra el cambio en A - I (lo cual es útil saber) cuando una matriz se resta de A.
Cr1mrm11•hP el siguiente inciso 3 cuidadosamente,
M M- 1 para obtener /:
l. M = l -
UVT
2. M =A - UVT
3. M = l - UV
4. M=A-uw- 1 v
y
y
y
y
M- 1 = l + uvT /(1 - vTu).
M- 1 =A- 1 +A- 1 uvTA- 1 /(I-vTA- 1u).
M- 1 =In+ U(lm - VU)- 1 V.
M- 1 = A- 1 + A- 1 u(W- v A- 1 u)- 1 v A- 1 •
Las cuatro identidades provienen del bloque 1, 1 luego de que se invierten las siguientes matrices:
[0 ~]
Los probllen1as 49 a 55 son sobre las
56. SiA =
y B = BT, ¿cuáles de las siguientes matrices son ciertamente simétricas?
b) (A+ B)(A -B)
a)
cambio de columnas para permanecer simétrica. En lenguaje de matrices, PA pierde la
simetría de A pero _ _ recupera la simetría.
58. a) ¿Cuántos elementos de A pueden elegirse independientemente, sí A =
es de 5
por 5?
b)
L y D (de 5 por 5) proporcionar el mismo número de op-
59. Suponga que Res rectangular (de m por n) y que A es simétrica (de m por m).
a) Trasponga
B =
no contiene números negativos en su diagonal .
. La matriz D es diagonal:
[91 º]3 y también A __ [el 0cJ.
n ~]
para mostrar su simetría. ¿De qué forma es esta matriz?
b) Demuestre por qué
para trasponer matrices.
50.
A=
d) ABAB
57. Si A = AT requiere un intercambio de renglones, entonces también necesita un inter-
A= [;
A =
e) ABA
[~ i]
AB = [;
;J
A=
y
[! ~]
y
A=
H~~ -n
Los tres síg;uJ.Emt•es piroble~miill son sobre apne;aciones de (Ax)Ty =
61. Las ciudades de Boston, Chicago y Seattle están conectadas con cables que conducen
n
En caso de que AB = BA (¡lo cual en general no es cierto!), ¿cómo
que BTAT = ATBT?
energía eléctrica. Los voltajes que reciben estas ciudades son xB, Xc, Xs. Con resistencias unitarias entre las ciudades, las tres corrientes están en y:
demostrar
qué orden?
51. a) La matriz ((AB)- 1)T proviene de (A- 1)T y (B- 1)T.
b)Si U es
superior, entonces (U- 1)T es _ _ ui.u,5 u<eu.
52. Demuestre que A 2 = O es posible pero ATA = O no es posible (a menos que A = matriz cero).
y =Ax
es
[~~~1
[~1 -iO -1-~] ¡~~]·
YBs
xs
a) Encuentre las corrientes totales ATy de las tres ciudades.
b) Compruebe que (Ax?y coincide con xT(ATy): hay seis términos en cada una.
x 1 + 50x2 toneladas de acero,
62. La producción de x camiones y x 2 aviones
40x 1 + lOOOx2 libra'.s de caucho, y
+ 50x2 meses de trabajo. Si los costos unita-
511
Capítulo 1
Matrices y eliminación gaussiana
1.7
rios y 1, y 2 , y 3 son $700 por tonelada, $3 por libra, y $3000 por mes, ¿cuáles son los valores de un camión y un avión? Éstas son las componentes de ATy.
63. Ax proporciona las cantidades de acero, caucho y trabajo para producir x en el problema 62. Encuentre A. Luego (Ax)Ty es el _ _ de entradas, mientras xT(ATy) es el valor de
64. A continuación se presenta otra factorización de A en una triangular multiplicada por
una simétrica:
Se empieza con A= LDU. Luego, A es igual a L(UT)- 1 por UTDU.
¿Por qué es triangular L(UT)- 1? En su diagonal sólo hay ls. ¿Por qué es simétrica
UTDU?
65. Un grupo de matrices incluye a AB y A- 1 si incluye a A y B. "Los productos y las inversas permanecen en grupos." ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son grupos? Las
matrices triangulares inferiores L con ls en su diagonal, las matrices simétricas S, las
matrices positivas M, las matrices diagonales invertibles D, las matrices de permutación P. Invente dos grupos de matrices más.
66. Si todo renglón de una matriz de 4 por 4 contiene a los números O, 1, 2, 3 en algún orden, ¿la matriz puede ser simétrica? ¿Puede ser invertible?
Matrices especiales y aplicaciones
59
El otro objetivo consiste en ilustrar, aprovechando la misma aplicación, las propiedades especiales que suelen tener las matrices de coeficientes. Las matrices grandes siempre
presentan un patrón definido; a menudo un patrón de simetría, y muchísimos elementos
iguales a cero. Debido a que una matriz "holgada" contiene mucho menos de n 2 piezas de
información, los cálculos deben ser rápidos. Se abordarán las matrices banda, con la finalidad de ver cómo la concentración cerca de la diagonal acelera la eliminación. De hecho,
se analiza una matriz tridiagonal especial.
La matriz misma
verse en la ecuación (6). Proviene del intercambio de una
ecuación diferencial con una ecuación matricial. El problema continuo pide por u(x) en cada x, por lo que una computadora no es capaz de resolverlo exactamente. Debe ser aproximado por un problema discreto: mientras más incógnitas se tienen, mejor es la precisión y
mayor el gasto. Como un problema continuo sencillo aunque también bastante típico, nuestra elección se dirige a la ecuación diferencial
d 2u
- -d? = f(x), Ü $ X$ l.
(1)
xEsta es una ecuación lineal para la función incógnita u(x). Cualquier combinación
C + Dx puede sumarse a cualquier solución, ya que la segunda derivada de C + Dx no
contribuye con nada. La incertidumbre que dejan estas dos constantes arbitrarias C y D se
elimina mediante una "condición a la frontera" en cada extremo del intervalo:
67. Demuestre que ningún reordenamiento de renglones ni de columnas puede trasponer
una matriz típica.
u(O) =O,
(2)
u(l) =O.
70. l = eye(lOOO); A = rand(lOOO); B = triu(A); produce una matriz triangular aleatoria
B. Compare los tiempos para inv(B) y B\l. La diagonal al revés se somete a ingeniería con la finalidad de utilizar los ceros en B, mientras inv utiliza los ceros en I cuando [B /] se reduce por Gauss-Jordan. (También compare con inv(A) y A \1 para toda la
matriz A.)
El resultado es un problema de dos puntos con valor en la frontera, que describe un fenómeno que no es transitorio, sino de estado estacionario; por ejemplo, la distribución de temperatura en una varilla cuyos extremos están fijos a 0°, y con una fuente de calor f(x).
Recuerde que nuestro objetivo es producir un problema discreto; en otras palabras, un
problema en álgebra lineal. Es por ello que sólo es posible aceptar una cantidad finita de información sobre f(x), por ejemplo, sus valores en n puntos equidistantes x = h, x = 2h, ... ,
x = nh. Para la solución verdadera u se calculan valores aproximados u 1, • • • , un en esos
mismos puntos. En los extremos x = O y x = 1 = (n + l)h, los valores en la frontera son
u0 = O y Un+ 1 = O.
La primera pregunta es: ¿Cómo se sustituye la derivada d 2 u!dx 2 ? La primera derivada puede ser aproximada deteniendo !:>.u!6.x en un tamaño de paso finito, y no permitiendo
que h (o 6.x) tienda a cero. La diferencia !:>.u puede ser hacia adelante, hacia atrás, o centrada:
71. Demuestre que L - i tiene elementos j / i para i :::; j (la matriz -1, 2, -1 tiene esta L):
.6.u
68. Una matriz noroeste cuadrada B es cero en la esquina sureste, abajo de la antidiagonal que une (1, n) con (n, 1). BT y B 2 , ¿son matrices noroeste? s- 1 , ¿es noroeste o sureste? ¿Cuál es la forma de BC = noroeste multiplicada por sureste? Se permite combinar permutaciones con las L y U de costumbre (suroeste y norc:ste).
69. Compare tic; lnv(A); toe para A = rand(500) y A = rand(lOOO). El conteo n3 indica
que el tiempo de cómputo (medido por tic; toe) debe multiplicarse por 8 cuando n se
duplica. ¿Cree el lector que esta A aleatoria es invertible?
L=
o o
o
[-~ ~]
2
-3
o-*
y
L-1
¡¡
o o
o
2
3
2
:¡
1
4
~l
Pruebe este patrón para L = eye(5) - díag(1:5) "diag(1:4, -1) e inv(L).
1.7
Esta sección tiene dos objetivos. El primero consiste en explicar una forma en la que grandes
sistemas lineales Ax = b pueden presentarse en la práctica. La verdad es que un problema
grande y realista en ingeniería o economía nos llevaría demasiado lejos del alcance de este libro, aunque hay una aplicación natural e importante que no requiere mucha preparación.
AX
+ h) - u(x)
h
b"
o 1en,
u(x) - u(x - h)
b"
u(x + h) - u(x - h)
h
o 1en,
h
. (3)
2
La última expresión es simétrica respecto ax, y es la más precisa. Para la segunda derivada hay justo una combinación que sólo utiliza los valores de x y x ± h:
Segunda diferencia
u(x + h) - 2u(x) + u(x - h)
h2
(4)
Lo anterior también tiene el mérito de ser simétrico con respecto a x. Para repetir, el miembro derecho tiende al valor verdadero de d 2 u!dx 2 cuando h-+ O, aunque es necesario detenerse en una h positiva.
En cada punto de la malla, x = jh, la ecuación -d 2 u/dx 2 = f(x) se sustituye por su
análogo discreto (5). Se multiplicó por h2 para alcanzar n ecuaciones Au = b:
Ecuación en diferencias
-u ¡+t + 2u¡ - u¡- 1 = h 2 f (j h) para j = 1, ... , n. (5)
Las ecuaciones primera y última (j = 1 y j = n) incluyen u0 = O y Un+ 1 = O, que se conocen a partir de las condiciones a la frontera. Estos valores deben desplazarse al miembro
derecho de la ecuación si se desea que sean distintos de cero. La estructura de estas n ecua-
60
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
1. 7
ciones (5) puede visualizarse mejor en forma matricial. Se escoge h =
matriz A de 5 por 5:
Ecuación matricial
¡-i
-1
2
-1
-1
2
-1
l
l[
Uz
U¡]
-1
U3
2
-1
-1
2
i para obtener una
= h2
U4
U5
[/f(2h)
(h)
f(3h) .
f(4h)
j(5h)
(6)
A partir de este momento se trabajará con la ecuación (6). Tiene una matriz de coeficientes bastante regular, cuyo orden n puede ser muy grande. La matriz A tiene muchas propiedades especiales, de las cuales tres son fundamentales:
l.
2.
3.
La matriz A es
Todos los elementos diferentes de cero están en la diagonal principal y en las dos diagonales adyacentes. Fuera de esta banda todos los elementos son aij = O. Estos ceros traerán una simplificación considerable para la eliminación gaussiana.
La matriz es simétrica. Cada elemento aij es igual a su imagen especular aj,, de modo
que
= A. La triangular superior U es la traspuesta de 1a triangular inferior L, y
A = LDLT. Esta simetría de A refleja la simetría de d2 uld:é2. Una derivada impar como du/dx o d 3 uldx3 destruiría la simetría.
La matriz
Esta
adicional indica que los pivotes son positivos. Los intercambios de renglones son innecesarios en la teoría y en la práctica.
Esto contrasta con la matriz B, al final de esta sección, que no es positiva definida. Sin
ningún intercambio de renglones, es totalmente vulnerable al redondeo.
La característica de positiva definida reúne todo este curso (¡en el capítulo 6!)
Ahora se vuelve al hecho de que A es tridiagonal. ¿Cuál es el efecto de esto en la eliminación? La primera etapa del proceso de eliminación produce ceros abajo del primer
pivote:
Eliminación
en A: Paso 1
¡-i
-1
2
-1
En comparación con una matriz
importantes:
l.
2.
-1
-1
2
-1
3
2
-1
-1
2
-1
2
-1
-1
2
-1
-J
de 5 por 5, este paso presenta dos simplificaciones
Abajo del pivote sólo hay un elemento diferente de cero.
El renglón del pivote es muy corto.
El multiplicador e21 = -~
de una división. El nuevo pivote,~, proviene de una
simple multiplicación-sustracción. Además, se preserva el patrón tridiagonal: Toda etapa
de la eliminación acepta las simplificaciones a) y b).
El resultado final es la factorización LDU = LDLT de A. ¡Observe los
Matrices especiales y aplicaciones
61
Los factores L y U de una matriz tridiagonal son bidiagonales. Los tres factores juntos tienen la misma estructura de banda de tres diagonales esenciales (3n - 2 parámetros) que A.
También observe que L y U son traspuestas entre sí, como era de esperar por la simetría.
Todos los pivotes 2/1, 3/2, 4/3, 514, 615 son positivos. Su producto es el determinante de
A: det A = 6. Resulta evidente que los pivotes convergen a 1 cuando n se hace grande. Estas matrices hacen muy felices a las computadoras.
Estos factores holgados L y U cambian por completo el conteo de operaciones de costumbre. La eliminación en cada columna requiere sólo dos operaciones, como arriba, y hay
n columnas. En vez de las n 3!3 operaciones, sólo se necesitan 2n. Los sistemas tridiagonales Ax = b pueden resolverse casi de inmediato. El costo de resolución de un sistema tridiagonal es proporcional a n.
Una matriz de banda tiene ªu = O excepto en la banda li - ji< w (véase la figura
1.8). El "semiancho de banda" es w = 1 para una matriz diagonal, w = 2 para una matriz
tridiagonal, y w = n para una matriz completa. Para cada columna, la eliminación
re w(w - 1) operaciones: un renglón de longitud w actúa sobre w - 1 abajo. La eliminación en las n columnas de una matriz de banda requiere alrededor de w 2 n operaciones.
A
LU
Una matriz de banda A y sus factores L y U.
Cuando w tiende a n, la matriz se vuelve completa, y el conteo es aproximadamente n3 •
Para un conteo exacto, la esquina inferior del miembro derecho ya no tiene espacio para un
ancho de banda w. El número preciso de divisiones y multiplicaciones-sustracciones que
producen L, D, U (sin suponer que A es simétrica) es P = ~ w(w - 1)(3n - 2w + l). Para
una matriz completa con w = n, se recupera P = ~ n(n - l)(n + 1). Este es un número entero, ya que n - 1, n, y n + l son enteros consecutivos, y uno de ellos es divisible entre 3.
Este es el último conteo de operaciones, y se recalca la cuestión más importante. Una
matriz de diferencias finitas como A tiene una inversa completa. Al resolver Ax= b, en realidad se está en una peor situación si se conoce A - I que si se conocen L y U. La multiplicación de A - i por b requiere n 2 pasos, mientras para la eliminación hacia adelante y la sustitución hacia atrás que producen X = u- 1c = u- 1L - lb = A - I b, son suficientes 4n pasos.
Esperamos que este ejemplo haya reforzado la comprensión que el lector tiene sobre
la eliminación (¡de la cual ahora suponemos que está perfectamente entendida!) Se trata de
un ejemplo genuino de los grandes sistemas lineales que en realidad se encuentran en la
práctica. En el siguiente capítulo la atención se centra en la existencia y unicidad de x, para m ecuaciones en n incógnitas.
1
2
3
-±3
2
1
4
3
-±3
1
5
¡
Error por redondeo
En teoría, el caso no singular se ha completado. Hay un conjunto completo de pivotes (con
intercambios de renglones). En la práctica, más intercambios de renglones pueden ser
convertirse fácilmente en inútil.
igualmente necesarios, o bien, la solución calculada
62
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
1.7
Dedicaremos dos páginas (completamente opcionales en clase) para hacer más estable la
eliminación: por qué es necesaria y cómo se lleva a cabo.
Para un sistema de tamaño moderado, por ejemplo de 100 por 100, la eliminación implica alrededor de 330 000 operaciones (~ n 3 ). Con cada operación es necesario esperar un
error por redondeo. Normalmente, se mantiene fijo un número de dígitos significativos (por
ejemplo tres para una computadora extremadamente débil). Así, la adición de dos números
de tamaños diferentes proporciona un error:
Matrices especiales y aplicaciones
63
O.OOOlu + 0.9999 = l, o bien, u = 1.
Resultado correcto
En vez de lo anterior, al aceptar v = 1, que es erróneo sólo en la cuarta cifra decimal, se
obtiene u = O:
Resultado erróneo
O.OOOlu + l = l, o bien, u = O.
La u calculada es completamente errónea. B está bien acondicionada pero la eliminación
es violentamente inestable. L, D, y U están completamente fuera de escala con B:
Error por redondeo 0.456 + 0.00123 -+ 0.457 pierde los dígitos 2 y 3.
¿Cómo contribuyen todos estos errores individuales al error final en Ax = b?
Este problema no es fácil. Fue atacado por John von Neumann, quien era el matemático más reputado en la época en que las computadoras repentinamente hacían posible un
millón de operaciones. De hecho, la combinación de Gauss y Von Neumann proporciona
al simple algoritmo de eliminación una historia extraordinariamente distinguida, aunque
incluso Von Neumann sobreestimó el error por redondeo final. Quien encontró la forma correcta para contestar la pregunta fue Wilkinson, cuyos libros se han convertido en clásicos.
Dos ejemplos sencillos ilustrarán tres cuestiones importantes sobre el error por redondeo. Los ejemplo son
Mal acondicionado A = [
i:
·" .
d o B = [0.0001
. aconu.tcmna
B 1en
l.
l. ]
1.0001
l.]
l. .
A es casi singular, mientras B está lejos de ser singular. Si el último elemento de A se modifica ligeramente a a 22 = 1, entonces A es singular. Considere dos miembros derechos
bastante parecidos:
u+
v=2
u+ l.OOOlv = 2
y
u+
v=2
u + l.OOOlv = 2.0001
La solución del primero es u = 2, v = O. La solución del segundo es u = v = l. Un cambio en el quinto dígito de b fue amplificado a un cambio en el primer dígito de la solución.
Ningún método numérico es capaz de evitar esta sensibilidad a pequeñas perturbaciones.
El mal acondicionamiento puede desplazarse de un lado a otro, pero no es posible eliminarlo. La verdadera solución es muy sensible, y la solución calculada no puede dejar de serlo.
El segundo punto es como sigue.
Incluso una matriz bien aci:mdicionacfa ~Ómo
gotj~mo defi<;iente.
. . . . ·.
Lamentamos decir que para la matriz B, la eliminación gaussiana directa es un algoritmo
deficiente. Suponga que .0001 es aceptado como el primer pivote. Luego, 10 000 veces el
renglón se resta del segundo. El elemento inferior derecho se convierte en -9999,
pero el redondeo hasta tres cifras proporcionaría -10 000. Cualquier traza del elemento l
desaparecería:
Eliminación en B con
un
O.OOOlu + v = l
u+v=2
O.OOOiu + v = 1
-9999v = -9998.
El redondeo produce -10 OOOv = -10 000, o bien v = l. Esto es correcto hasta tres cifras
decimales. La sustitución hacia atrás con el v = .9999 correcto proporciona u = I:
l
B= [ 10000
10 1ººº] .
º1] [º·ºº0º1
El pequeño pivote 0.0001 trajo insensibilidad, y el remedio es evidente: intercambiar
renglones.
Para B, el pivote 0.0001 podría compararse con el pivote posible l que está abajo de él. Un
intercambio de renglones tendría lugar de inmediato. En términos matriciales, esta es una
multiplicación por una matriz de permutación P = [~ b]. La nueva matriz C = PB tiene buenos factores:
e = [ 0.0¿01
n
= [ 0.0¿01
~] [~ 0.9g99J [~
Los pivotes para C son l y 0.9999, mucho mejores que 0.0001 y -9999 para B.
La estrategia del pivoteo completo también busca en todas las últimas columnas el pivote más grande posible. No sólo podría ser necesario un intercambio de renglones, sino
también uno de columnas. (Esto es la posmultiplicación, por una matriz de permutación).
La dificultad al ser tan conservador es el gasto, y el pivoteo parcial es bastante adecuado.
Finalmente se ha llegado al algoritmo fundamental del álgebra lineal numérica: la eliminación con pivoteo
Algunos refinamientos adicionales, como, ver si es necesario reescalar todo un renglón o toda una columna siguen siendo posibles. Pero esencialmente, el lector sabe ahora lo que hace una computadora con un sistema de ecuaciones
lineales. En comparación con esta descripción "teórica" -encontrar A - 1 , y multiplicar
A- 1b- nuestra descripción ha consumido bastante del tiempo (y paciencia) del lector.
Desearía que hubiese una forma mas fácil de explicar cómo x se encuentra realmente, aunque no creo que la haya.
1.7
1. Escriba los factores LDU = LDLT de A en la ecuación (6) cuando n = 4. Encuentre el
determinante como el producto de los pivotes en D.
2. Modifique ªn en la ecuación (6) de a 11 = 2 a a 11
de esta nueva matriz tridiagonal.
1, y encuentre los factores LDU
64
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
Ejercicios de repaso
65
3. Encuentre la matriz A 0 de 5 por 5 (h = ~)que aproxima
= f(x),
du
dx
du
dx
-(0) = -(1) =O,
Capítulo
1.1
sustituyendo estas condiciones a la frontera por u0 = u 1 y u6 = u5 • Compruebe que
su A 0 multiplicada por el vector constante ( C, C, C, C, C) produce cero; A 0 es singular. De manera semejante, si u(x) es una solución del problema
entonces también lo es u(x) + C.
4. Escriba la ecuación de la matriz de diferencias finitas de 3 por 3 (h = ~ ) para
+u =x,
1.2
A=
1.3
A 2 =l.
a)
1.4
u
+w=4
u+v
=3
u+v+w=6
!
primero por cálculo exacto y luego redondeando cada número hasta tres cifras. Esta
matriz H está mal acondicionada y los intercambios de
no son de utilidad.
10. Compare los pivotes en eliminación directa con los del pivoteo parcial para la siguiente matriz.
A= r0.001
l
O ]
1000
v+w=O
u
+w=O
u+v
=~
y
Factorice las matrices pn~ceijerttes en A = LU o bien PA = LU.
1.6
a)
16 matrices de 2 por 2 cuyos elementos son ls y Os. ¿Cuántas son invertibles?
b) (¡Mucho más difícil!) Si al azar se escriben ls y Os en los elementos de una matriz de 10 por 10, ¿qué es más probable: que la matriz sea invertible o que sea
singular?
1.7
Hay 16 matrices de 2 por 2 cuyos elementos son ls y-ls. ¿Cuántas son invertibles?
1.8
¿Cómo están relacionados los renglones de EA con los renglones de A en los casos
siguientes?
8. Para la misma matriz H, compare los miembros derechos de Hx = b cuando las soluciones son x = (1, 1, 1) y x = (0, 6, -3.6).
9. Resuelva Hx = b = (1, O, ... , 0) para la matriz de Hilbert de 10 por 10 con h .. =
l/(i + j - 1), usando cualquier código de computadora para ecuaciones lineales. Luego, intercambie un elemento de b por .0001, y compare las soluciones.
A 2 =A.
1.5
7. Calcule H- 1 en dos formas para la matriz de Hilbert de 3 por 3
~ [i !J
e)
Resuelva por eliminación y sustitución hacia atrás.
6. ¿Cuál es el sistema de 5 por 5 que sustituye a (6) si las condiciones en la frontera se
cambian a u(O) = 1, u(l) = O?
H
y
Encuentre ejemplos de matrices de 2 por 2 con a 12 = ~ para las cuales
-1
Los pr1obllenias 7 a U son sobre el error por redondeo y los intercambios de re111g11on1es.
u ~]
calcule AB y BA y A - 1 y
2
Resuelva para u 1, u2 , u3 y encuentre su error en ,-,01mn"'r"1r1tm con la solución verdadera u = sen 21Tx en x = ~ , x = ~, y x = ~ .
j
b) Calcule los productos AB, BA y A 2 •
Para las matrices
u(O) = u(l) = O.
-1
y
= i - j
aij
5. Con h = ~ y flx) = 4r sen 2=:, la ecuación en diferencias (5) es
H
a) Escriba las matrices de 3 por 3 con elementos
E=
l o
O 2 ~ o bien, E =
[4
1.9
o
º] .
[l 1 l] .
0
0
0 o bien, E =
[º 6o gl ·
~
Escriba un sistema de 2 por 2 que tenga una infinidad de soluciones.
1.10 Encuentre inversas, si existen, por inspección o por eliminación de Gauss-Jordan:
~ -2 -2]11 .
-2
1
y
y
A= [
1.11 Si E es de 2 por 2 y suma la primera ecuación a la segunda, ¿cuáles son las matrices
E2 y
y SE?
11. Explique por qué el pivoteo parcial produce multiplicadores .eij en L que satisfacen j.e.¡
:5 1. ¿Puede proporcionar un ejemplo de 3 por 3 con todos los jaiji :5 1 cuyo últim~
pivote sea 4? Este es el peor de los casos, ya que cada elemento es cuando mucho multiplicado por 2 cuando ¡.eijj ::; l.
1.12 ¿Falso o verdadero? Proporcione una explicación si es verdadero y un contraejemplo si es falso:
1) Si A es invertible y sus renglones aparecen en orden invertido en B, entonces B
es invertible.
66
61
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
3) Si A y B son invertibles, entonces BA es invertible.
en el grupo; la identidad está en el grupo; y la ley P 1(P2 P 3 ) = (P 1P 2 )P3 es verdadera, ya que es verdadera para todas las matrices.
4) Toda matriz no singular puede factorizarse en el producto A = LU de una triangular inferior L y una triangular superior U.
a) ¿Cuántos miembros pertenecen a los grupos de las matrices de permutación de 4
por 4 y de n por n?
2) Si A y B son simétricas, entonces AB es simétrica.
1.13 Resuelva Ax = b resolviendo los sistemas triangulares Le = b y Ux = e:
2
b) Encuentre una potencia k de modo que todas las matrices de permutación de 3
por 3 cumplan pk = l.
1.21 Describa los renglones de DA y las columnas de AD si D = [~
l
o
1.22 a) Si A es invertible, ¿cuál es la inversa de AT?
b) Si A también es simétrica, ¿cuál es la traspuesta de A - l?
¿Qué parte de A - i encontró con esa b particular?
e) Ilustre ambas fórmulas cuando A = [~
1.14 De ser posible, encuentre matrices B de 3 por 3 tales que
1 .
[o2 o3]n ' [o2 3]n
[2o 3]-l
1 '
e) BA tenga los renglones primero y último de A, invertidos.
d) BA tenga las columnas primera y última de A, invertidas.
1.24 Empiece con un primer plano u + 2v - w = 6, para encontrar la ecuación de lo siguiente:
1.15 Encuentre el valor de e en la siguiente inversa de n por n.
n
si A=
.
[
-1
a) El plano paralelo que pasa por el origen.
-1
n
-11
-1
-~
-1
entonces
n +l
-1
['. : . l]·
b) Un segundo plano que también contenga los puntos (6, O, 0) y (2, 2, 0).
e) Un tercer plano que se corte con los planos primero y segundo en el punto (4, 1, 0).
1.25 ¿Qué múltiplo del renglón 2 se resta del renglón 3 en la eliminación hacia adelante
de A?
1.16 ¿Para qué valores de k el sistema
kx + y= l
X+ ky = 1
no tiene solución, tiene una, solución, o bien tiene una infinidad de soluciones?
1 2
2
6
[o 4
¡~]
y
A=
[~ ~l
1.18 Suponga que A es la matriz identidad de 4 por 4, excepto por un vector v en la columna 2:
A~ [~ ~¡ i ~l
a) Factorice A en LU, suponiendo v2 ;;6 O.
b) Encuentre A - 1, que tiene la misma forma que A.
1.19 Resuelva por eliminación, o demuestre que no hay solución:
u+ v+ w=O
u+ 2v + 3w =O
3u + 5v + 7w = 1
y
A
~ [~ ! ~] [~ !
n
¿Cómo sabe el lector (sin multiplicar estos factores) que A es invertible, simétrica, y
tridiagonal? ¿Cuáles son los pivotes?
1.17 Encuentre la factorización simétrica A= LDLT de
A=
:J.
1.23 Experimente con n = 2 y n = 3, para encontrar
a) BA = 2A para toda A.
b) BA = 2B para toda A.
-1
~].
u+ v+ w=O
U+ V+ 3w = Ü
3u + 5v + 7w = l.
1.20 Las matrices de permutación de n por n constituyen un ejemplo importante de un
"grupo". Si se multiplican, se sigue permaneciendo dentro del grupo: tienen inversas
1.26 a) ¿Cuál es el vector x que hace Ax = columna 1 de A + 2(columna 3), para una
matriz A de 3 por 3?
b) Obtenga una matriz que cumpla columna 1 + 2(columna 3) = O. Compruebe que
A es singular (menos de 3 pivotes), y explique por qué, éste debe ser el caso.
1.27 ¿Falso o verdadero? Proporcione un contraejemplo si es falso, y una explicación si
es verdadero:
1) Si L 1 U 1 = ~U2 (las matrices U son triangulares superiores con diagonal diferente de cero, y las matrices L son triangulares inferiores con diagonal de ls), entonces L 1 = ~ y U 1 = U2 . La factorización LU, es única.
2) SiA2 +A=/, entonces
=A +l.
3) Si todos los elementos en la diagonal de A son cero, entonces A es singular.
1.28 Al tanteo o con la eliminación de Gauss-Jordan calcule
[!
nr
[!
[~
o
m
68
Capítulo 1 Matrices y eliminación gaussiana
Capítulo
1.29 Escriba las matrices de 2 por 2, tales que
a) Invierten la dirección de cada vector.
11
b) Proyectan cada vector sobre el eje x 2 .
c) Hacen girar 90º a cada vector en sentido contrario al sentido de movimiento de
las manecillas del reloj.
d) Reflejan cada vector a 45º respecto a la recta x 1 = x 2 •
1
t
11
1
2.1
La eliminación puede simplificar, elemento por elemento, el sistema lineal Ax= b. Por fortuna, también simplifica la teoría. Las preguntas básicas de existencia y unicidad: ¿existe
una solución?, ¿no existe ninguna solución?, o bien, ¿existe una infinidad de soluciones?
Todas estas preguntas podrán responderse más fácilmente después de aplicar la eliminación. Para tratar estas interrogantes se requiere una sección más, con la finalidad de encontrar todas las soluciones para un sistema de m por n. Así el ciclo de ideas estará completo.
Sin embargo, la eliminación sólo produce un tipo de entendimiento sobre Ax = b.
Nuestro objetivo principal es lograr una comprensión distinta y más profunda. Se trata del
corazón del álgebra lineal.
Para la noción de
de inmediato se empieza con los espacios más importantes, que se denotan por R 1, R 2 , , . . . ; el espacio Rn consta de todos los vectores columna con n componentes. (Se escribe R porque los componentes son números reales). R 2 se
representa por el plano x-y de costumbre; las dos componentes del vector se convierten en las
coordenadas x y y del punto correspondiente. Las tres componentes de un vector en R 3 proporcionan un punto en el espacio tridimensional. El espacio unidimensional
es una recta.
Lo importante para el álgebra lineal es que la extensión a n dimensiones es directa. Para un vector en
sólo se requieren siete componentes, incluso si es difícil visualizar la
geometría. En todos los espacios vectoriales son posibles dos operaciones:
La suma obedece la ley conmutativa x + y = y + x; existe un "vector cero" que
O+ x = x; y hay un vector "-x" que satisface -x + x =O. Ocho propiedades (incluyendo las tres anteriores) son fundamentales: la lista completa se proporciona en el problema
de vectores junto con
5 al final de esta sección. Un espacio vectorial real es un
la suma
la
números reales. La suma y la multiplicación deben producir vectores en el espacio, y deben cumplir las ocho condiciones.
Normalmente, estos ocho vectores pertenecen a uno de los espacios Rn; son vectores
columna normales. Si x = (1, O, O, 3), entonces las componentes de 2x (y también de x + x)
son 2, O, O, 6. La definición formal
que otros entes sean "vectores", en el supuesto
de que la adición y la multiplicación por escalares estén bien. Se proporcionan tres ejemplos:
70
Capítulo 2
Espacios vectoriales
l.
2.
3.
El espacio dimensional infinito R"°. Sus vectores tienen una infinidad de componentes, como en x = (1, 2, l, 2, ... ). Las leyes para x + y y ex permanecen sin cambio.
El espacio de las matrices de 3 por 2. ¡En este caso los "vectores" son matrices! Es
posible sumar dos matrices, y A + B = B + A; existe una matriz cero, etc. Este espacio es casi el mismo que R 6 . (Las seis componentes están dispuestas en un rectángulo, en vez de en una columna.) Cualquier elección de m y n proporcionaría, como
ejemplo semejante, el espacio vectorial de todas las matrices de m por n.
El espacio de las funciones f (x). Aquí se admiten todas las funciones f que están definidas en un intervalo fijo, por ejemplo O ::5 x ::5 l. El espacio incluye af(x) = x2,
g(x) = sen x, su suma (f + g )(x) = x2 + sen x, y todos los múltiplos como 3x2 y - sen
x. Los vectores son funciones, y la dimensión es de alguna manera un infinito más
grande que para R=.
En los ejercicios se proporcionan otros ejemplos, pero los espacios vectoriales que más
requerimos, están en otra parte: se encuentran dentro de los espacios estándares R". Desearnos describirlos y explicar por qué son importantes. Geométricamente, piense en el espacio tridimensional de costumbre
y elija cualquier plano que pase por el origen. Ese
plano es un espacio vectorial por derecho propio. Si un vector en el plano se multiplica por
3, o por -3, se obtiene un vector en el mismo plano. Si se suman dos vectores en el plano,
su suma permanece en el plano. Este plano que pasa por (O, O, O) ilustra uno de los conceptos más importantes en el álgebra lineal; se trata de un subespacio del espacio original R 3 .
Un subespacio de un espacio vectorial es un conjunto no vacío que satisface los requisitos de un espacio vectorial: las combinaciones lineales pennanecen en el
subespacio.
i)
Si se suman dos vectores cualesquiera en el subespacio, x + y está en d subespacio.
ii)
Observe cómo se recalca la palabra espacio. Un subespacio es un subconjunto "cerrado" bajo la suma y la multiplicación por un escalar. Estas operaciones cumplen las reglas
del espacio huésped, ya que se sigue estando dentro del subespacio. Las ocho propiedades requeridas siguen cumpliéndose en el espacio más grande, por lo que se cumplen automáticamente en todo subespacio. Observe en particular que el vector cero pertenece a
todo subespacio. Este hecho se debe a la regla ii): el escalar se escoge como c = O.
El subespacio más pequeño Z contiene sólo un vector: el vector cero. Se trata de un
"espacio con dimensión cero", que sólo contiene el punto en el origen. Las reglas i) y ii) se
cumplen, ya que la suma O + O está en este espacio con un punto, así como todos los multiplicadores cO. Este es el espacio vectorial más pequeño posible: el espacio vacío no está
permitido. En el otro extremo, el subespacio más grande es todo el espacio original. Si el
espacio original es , entonces es fácil describir los subespacios posibles: R 3 mismo, cualquier plano que pase por el origen, cualquier recta que pase por el origen, o sólo el origen
(el vector cero).
La diferencia entre un subconjunto y un subespacio se aclarará mediante ejemplos. En
cada caso, ¿es posible sumar vectores, y multiplicar por escalares sin salir del espacio?
t¡e11r1p101
Considere todos los vectores en R 2 cuyas componentes son positivas o cero. Este subcones el primer cuadrante del plano x-y; las coordenadas satisfacen x 2: O y y 2: O. No es
un subespacio, aunque contiene al cero, y la adición permanece dentro del subconjunto. Se
viola la regla ii), ya que si el escalar es -1 y el vector es [l l], entonces el múltiplo
ex = [-1 - l] está en el tercer cuadrante, no en el primero.
2.1
Espacias y subespacias vectoriales
11
Si se incluye el tercer cuadrante junto con el primero, la multiplicación por un escalar
está bien. Todo múltiplo ex permanece en este subconjunto. No obstante, ahora se viola la
regla i), ya que al sumar [l 2] + [ -2 -1] se obtiene [ -1 l], que no está en ninguno de los
cuadrantes mencionados. El menor subespacio que contiene al primer cuadrante es todo el
espacio R 2 .
Empiece por considerar el espacio vectorial de todas las matrices de 3 por 3. Un subespacio posible es el conjunto de las matrices triangulares inferiores. Otro es el conjunto de las
matrices simétricas. A + By cA son triangulares inferiores si A y B son triangulares inferiores, Y son simétricas si A y B son simétricas. Por supuesto, la matriz cero, está en ambos
subespacios.
El
columna de A
A continuación se proporcionan los ejemplos clave: el espado columna y el espado nulo de una matriz A. El espacio columna contiene a todas las combinaciones lineales de
las columnas de A. Es un subespacio de Rm. Se ilustra con un sistema de m = 3 ecuacio-
nes en n = 2 incógnitas:
La combinación de fas columnas es
ab
[~ :J [~] [El
(1)
Con m > n se tienen más ecuaciones que incógnitas; en cuyo caso normalmente no hay sol~ción. El sistema sólo es resoluble para un subconjunto muy "delgado" de todas las bs posibles. Una forma para describir este subconjunto delgado, es tan simple que es fácil
ignorarla.
Eisistemk\ Axi = ·~-e~ r~sol11ble si y sólo siel vect~:i- b puecJ.e yXpresar,;e .como
combinación ~e las. columnas de~: Poi.' tánto, b es~á. e~. elespaciO columna~
Esta descripción sólo implica un replanteamiento de Ax = b por columnas:
Combffiaclón de oolum= u
m m [EJ
+V
(2)
Estas son las mismas tres ecuaciones en dos incógnitas. Ahora el problema es: encontrar números u y v que multiplican a las columnas primera y segunda para producir b. El sistema es
resoluble exactamente cuando estos coeficientes existen, y el vector (u, v) es la solución x.
Se está afirmando que los miembros derechos obtenibles b son todas las combinaciones
de las columnas de A. Un miembro derecho posible es la columna en sí; los pesos son u = l
y v = O. Otra posibilidad es la segunda columna: u = O y v = 1. Otra tercera posibilidad es
el miembro derecho b = O. Con u = O y v = O, el vector b = O siempre puede obtenerse.
Es posible describir todas las combinaciones de las dos columnas geométricamente;
Ax = b puede resolverse si y sólo si b está en el plano generado por los dos vectores columna (véase la figura 2.1). Este es el conjunto delgado de bs obtenibles. Si b está fuera del
plano, entonces no es una combinación de las dos columnas. En ese caso Ax = b no tiene
solución.
Lo importante es que este plano no sólo es un subconjunto de R 3 ; es un subespacio.
Se trata del espacio columna de A, que consta de todas las combinaciones lineales de las
columnas. Se denota por C(A). Es fácil comprobar los requerimientos i) y íi) para un subespacio de Rm:
Capítulo 2
Espacios vectoriales
2. 1
Espacios y subespacios vectoriales
73
S~ cum~le el re~uerimiento i): Si Ax = O y Ax' = O, entonces A(x + x') = O. El requerirment_o u) ~b1én se cumple: Si Ax = O entonces A(cx) = O. ¡Ambos requerimientos fallan s1 el rme:nbro derecho no es cero! Sólo las soluciones de una ecuación homogénea
(b = O) constituy.en un subespacio. Es fácil encontrar el espacio nulo para el ejemplo que
acaba de proporcionarse; es lo más pequeño posible:
:i
¡~ [~] m
2.1
i)
ii)
El espacio columna C(A), un plano en el espacio tridimensional.
Suponga que b y b' están en el espacio columna, de modo que Ax = b para alguna x
y A-r' = b' para alguna x'. Luego, A(x + x') = b + b', de modo que b + b' también
es una combinación de las columnas. El espacio columna de todos los vectores obtenibles b es cerrado bajo la suma.
Si b está en el espacio columna C(A), también lo está cualquier múltiplo cb. Si alguna combinación de columnas produce b (por ejemplo Ax = b ), entonces al multiplicar
esa combinación por c produce cb. En otras palabras, A(cx) = cb.
Para otra matriz A, las dimensiones de la figura 2.1 pueden ser muy distintas. El espacio columna más pequeño posible (con sólo un vector) proviene de la matriz cero A =O.
La única combinación de las columnas es b = O. En el otro extremo, suponga que A es la
matriz identidad de 5 por 5. Entonces C(l) es todo R 5 ; las cinco columnas del pueden combinarse para producir cualquier vector pentadimensional b. Esto no es en absoluto especial
de la matriz identidad. Cualquier matriz de 5 por 5 que sea no singular tiene como espacio columna todo R 5 . Para una matriz así, Ax= b puede resolverse por eliminación gaussiana; hay cinco pivotes. En consecuencia, todo b está en C(A) para una matriz no singular.
en este capítulo. En
Ahora puede darse cuenta de cómo el capítulo 1 está
aquél se estudiaron matrices de n por n cuyo espacio columna es Rn. Ahora se permiten
matrices singulares, y matrices rectangulares de cualquier forma. Así,
puede estar en
alguna parte entre el espacio cero y todo el espacio Rm. Junto con este espacio perpendicular, constituye uno de nuestros dos métodos para comprender Ax = b.
El segundo método para tratar Ax= bes "dual" al primero. No sólo se tiene interés en
los miembros derechos obtenibles b, sino también en las soluciones x que los obtienen.
El miembro derecho b = O siempre permite la solución x = O, aunque puede haber una
infinidad de otras soluciones. (Siempre hay, en caso de que haya más incógnitas que
un
vectorial: el esecuaciones, n > m). Las soluciones de Ax =O
nulo de A.
La
ecuación proporciona u = O, y entonces la segunda ecuación obliga a que v =
O. El espacio nulo sólo contiene al vector (0, O). Esta matriz tiene "columnas imiet)ertdi1entes", un concepto clave que se presentará en breve.
La situación cambia cuando una tercera columna es una combinación de las dos primeras:
o
4
4
B tiene el mismo espacio columna que A. La nueva columna está en el plano de la figura
2:1; es la suma de ~os dos vectores columna con los que se empezó. Sin embargo, el espacio nulo de B contiene al vector (1, 1, -1), por lo que automáticamente contiene a cualquier múltiplo (e, c, -c):
El eS!i>fü~io nulo es una recta
El espacio nulo de Bes la recta que contiene a todos los puntos x =e, y= c, z = -c. (La
recta pasa por el origen, como debe hacer cualquier subespacio). Lo que se desea es poder
encontrar, para cualquier sistema Ax= b, y encontrar C(A) y N(A): todos los miembros derechos obtenibles b, y todas las soluciones de Ax = O.
Los vectores b, están en el espacio columna y los vectores x están en el espacio nulo.
Se calcularán las dimensiones de estos espacios, y un conjunto idóneo de vectores para generarlos. Esperamos terminar comprendiendo todos los cuatro subespacios que están estrechamente relacionados entre sí y con A: el espacio columna de A, el espacio nulo de A, y
sus dos espacios perpendiculares.
1.
Construya un subconjunto del plano x-y
que sea
a) cerrado bajo la suma y resta, pero no bajo la
por un escalar.
b) cerrado bajo la multiplicación por un escalar, pero no bajo la suma vectorial.
Sugerencia:
con u y v; sume y reste para el inciso a). Intente cu y cv para el
inciso b).
2.
¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son realmente subespacios?
a) El plano de vectores (b 1, b 2 , b 3 ) cuya primera componente es b 1 = O.
F1~C~JLT/\D RE0':f''JN.t-.. L cor-.;c~::>CJ0f\! D~f__ URUGUAY
74
U N ; ·,/ e·.: }"': '.: ¡ D / · ··;
Capítulo 2 Espacios vectoriales
constitu)lonP:::r:~:" ':.
a) Un plano.
b) Una recta.
e) Un punto.
d) Un subespacio.
e) El espacio nulo de A.
j) El espacio columna de A.
b) El plano de vectores b con b 1 = l.
e) Los vectores b con b2 b3 = O (esta es la unión de dos subespacios, el plano
b2 = O y el plano b3 = 0).
d) Todas las combinaciones de dos vectores dados (1, 1, 0) y (2, O, 1).
e) El plano de vectores (b 1, b2 , b3 ) que satisface b3 - b2 + 3b 1 =O.
3.
Describa el espacio columna, y el espacio nulo de las matrices
A =
4.
5.
[¿ -¿]
y
B =
[~ ~ ~]
y
C =
[g oo
¿Cuál es el menor subespacio de matrices de 3 por 3 que contiene a todas las matrices
simétricas, y a todas las matrices triangulares inferiores? ¿Cuál es el mayor subespacio que está contenido en cada uno de estos dos subespacios?
Se requiere que la suma y la multiplicación por un escalar cumplan las ocho siguientes condiciones:
2. 1 ESpaclos ysutfe!;~¡jcfus~vectoriales
9.
15
-· .;.... t.J;:{UGUAV
Demuestre que el conjunto de matrices no singulares de 2 por 2 no es un espacio vectorial. También demuestre que el conjunto de matrices singulares de 2 por 2 no es un
espacio vectorial.
10. La matriz A = [; :::; ] es un "vector" en el espacio M de todas las matrices de 2
por 2. Escriba el vector cero en este espacio, el vector ~A y el vector -A. ¿Qué matrices están en el menor subespacio que contiene a A?
¿
-H
gJ pero no a B = [ g
11. a) Describa un subespacio de M que contenga a A = [
b) Si un subespacio de M contiene a A y a B, ¿debe contener al?
e) Describa un subespacio de M que contenga matrices diagonales diferentes de cero.
12. Las funcionesf(x) = x2 y g(x) = 5x son "vectores" en el espacio vectorial F de todas
las funciones reales. La combinación 3f(x) - 4g(x) es la función h(x) = _ _.¿Cuál
regla se rompe si al multiplicar f(x) por e se obtiene la funciónf(ex)?
13. Si la suma de los "vectores" f (x) y g(x) en F se define como f (g(x)), entonces el "vector cero" es g(x) = x. Considere la multiplicación por un escalar de costumbre ef (x),
y encuentre dos reglas que no se cumplen.
a) Suponga que la adición en R 2 suma un 1 extra a cada componente, de modo que
(3, 1) + (5, 0) es igual a (9, 2) en vez de (8, 1). Si la multiplicación por un escalar
permanece sin cambio, ¿qué reglas se rompen?
b) Demuestre que el conjunto de todos los números reales positivos con x + y y ex
vueltos a definir como de costumbre, igual a xy y xc, es un espacio vectorial. ¿Cuál
es el "vector cero"?
e) Suponga que (x 1, x 2 ) + (y 1, y2 ) se define como (x 1 + y2 , x 2 + y 1). Con ex= (ex 1 ,
exz) de costumbre, ¿cuáles de las ocho condiciones no se cumplen?
6.
7.
Sea P el plano en tres dimensiones con ecuación x + 2y + z = 6. ¿Cuál es la ecuación del plano P 0 que pasa por el origen y es paralelo a P? ¿P y P 0 , son subespacios
deR3 ?
¿Cuáles de los siguientes son subespacios de R"'?
a) Todas las sucesiones como (1, O, 1, O, ... ) que incluyen una infinidad de ceros.
b) Todas las sucesiones (x¡, x 2, ... ) con xj = O a partir de un punto.
e) Todas las sucesiones decrecientes: xj+I :::; xj para cadaj.
d) Todas las sucesiones convergentes: la xi tiene límite cuando j -+ oo.
e) Todas las progresiones aritméticas: xj+I - xi es la misma para todaj.
f) Todas las progresiones geométricas (x 1, kx 1 , k2x 1 , • .• ) permitiendo toda k y x 1•
8.
¿Cuáles de las siguientes descripciones con correctas? Las soluciones x de
Ax=
uo
1
14. Describa el menor subespacio del espacio vectorial M de las matrices de 2 por 2 que
contiene
a)
[6 g]
e)
[6 6].
Y
[~ ¿].
b)
d)
[¿ g]
[6 ~J.
[6 6]· [6 ~]. [g iJ.
y
15. Sea P el plano en
con ecuación x + y - 2z = 4. ¡El origen (O, O, 0) no está en P!
Encuentre dos vectores en P, y compruebe que su suma no está en P.
16. P 0 es el plano que pasa por (0, O, O) y es paralelo al plano P del problema 15. ¿Cuál es
la ecuación de P 0 ? Encuentre dos vectores en P 0 , y compruebe que su suma está en P 0 .
17. Los cuatro tipos de subespacios de R 3 son planos, rectas, R 3 mismo, o Z que sólo contiene a (O, O, 0).
a) Describa los tres tipos de subespacios de R 2 •
b) Describa los cinco tipos de subespacios de R 4 •
18. a) La intersección de dos planos que pasan por (0, O, 0) probablemente es una _ _,
aunque puede ser un _ _ . ¡No puede ser el vector cero Z!
b) La intersección de un plano que pasa por (0, O, O) con una recta que pasa por (0, O,
O) probablemente es un _ _, aunque puede ser un _ _ .
e) Si S y T son subespacios de
, su intersección S n T (vectores en ambos subespacios) es un subespacio de R 5 . Compruebe los requerimientos sobre x +y y ex.
76
Capítulo 2
2.2
Espacios vectoriales
19. Suponga que P es un plano que pasa por (O, O, 0) y que L es una recta que pasa por
(0, O, O). El menor espacio vectorial que contiene tanto a P como a L es _ _ o _ _.
20. ¿Falso o verdadero? para M =todas las matrices de 3 por 3 (compruebe la suma utilizando un ejemplo).
a) Las matrices simétricas sesgadas en M (con AT = -A) constituyen un subespacio.
b) Las matrices simétricas en M (conAT =fa A) constituyen un subespacio.
c) Las matrices que tienen a (1, 1, 1) en su espacio nulo constituyen un subespacio.
Los
29. Construya una matriz de 3 por 3 cuyo espacio columna contenga a (1, 1, O) y a (1, o,
1) pero no a (1, 1, 1). Construya una matriz de 3 por 3 cuyo espacio columna sea sólo una recta.
30. Si el sistema de 9 por 12 Ax = bes resoluble para toda b, entonces C(A) = __ .
31. ¿Por qué
no es un subespacio de R 3 ?
=b
21. Describa los espacios columna (rectas o planos) de estas matrices particulares:
~ ¡g g]
B
y
~ [i ~]
C
y
~ rn n
22. ¿Para qué miembros derechos (encuentre una condición sobre b¡, bz, b3 ) los siguientes sistemas son resolubles?
a) =
1 4 2] [X¡] [b¡l
b2 .
[-12 -48 -24
b3
b)
X2
[ ;
-1
X3
~1 [X¡] [~~1.
b3
-4
X
2
=
23. Al sumar el renglón 1 de A al renglón 2 se obtiene B. Al sumar la columna 1 a la columna 2 se obtiene C. Una combinación de las columnas de _ _ también es una combinación de las columnas de A. De las siguientes matrices, ¿cuáles tienen la misma
columna
?
¡]
A= [;
24. ¿Para qué vectores
y
B =
[~ ~]
Y
e=
U~J.
(b b b los siguientes sistemas tienen una solución?
1,
2,
Oy Ax = b
columna C(A), y la ecuación Ax = b.
21 a 30 son sobre
A
Cómo resolver Ax
3)
y
1
l
[i o
25. (Recomendado) Si a una matriz A se suma una columna extra b, entonces el espacio columna se vuelve más grande, a menos que _ _. Proporcione un ejemplo en el que el
espacio columna se vuelva más grande, y un ejemplo en que no lo haga. ¿Por
Ax = b es resoluble exactamente cuando el espacio columna no se vuelve más grande
al incluir a b?
26. Las columnas de A B son una combinación de las columnas de A. Esto significa: El
espacio columna de A B está contenido en (y quizá es igual a) el espacio columna de
A. Proporcione un "ejemplo en el que los espacios columna de A y AB no sean iguales.
27. Si A es cualquier matriz invertible de 8 por 8, entonces su espacio columna es _ _ .
¿Porqué?
28. ¿Falso o verdadero? (proporcione un contraejemplo si es falso).
a) Los vectores b que no están en el espacio columna C(A) constituyen un subespacio.
b) Si C(A) contiene sólo al vector cero, entonces A es la matriz cero.
e) El espacio columna de 2A es igual al espacio columna de A.
d) El espacio columna de A - les igual al espacio columna de A.
El capítulo 1 se centró en matrices invertibles cuadradas. Había una solución de Ax = b,
que era x = A- 1b. Esta solución se encontró por eliminación (y no calculando A- 1). Una
matriz rectangular trae nuevas posibilidades: U puede no tener un conjunto completo de pivotes. Esta sección aborda el tema de ir de U a una forma reducida R: la matriz más simque
obtenerse con eliminación. R revela de inmediato todas las soluciones.
Para una matriz invertible, el espacio nulo sólo contiene ax = O (multiplicado Ax = O
por A - ¡ ). El espacio columna es todo el espacio (Ax = b no tiene solución para toda b ). Las
nuevas preguntas surgen cuando el espacio nulo contiene más que al vector cero y/o el espacio columna contiene menos que todos los vectores:
1.
Cualquier vector xn en el espacio nulo puede sumarse a una solución particular xP. Las
soluciones de todas las ecuaciones lineales tienen esta forma: x = xP + xn:
Solución
2.
= b, y Ax
=O
+ x,.) = b.
Cuando e1 espacio columna no contiene a toda ben Rm, se requieren las condiciones
sobre b para hacer resoluble a Ax = b.
Un ejemplo de 3 por 4 es un tamaño aceptable. Se escribirán todas las soluciones de
Ax = O. Se encontrarán las condiciones para que b esté en el espacio columna (de modo
que Ax = b sea resoluble). El sistema de 1 por l Ox = b, con una ecuación y una incógnita, presenta dos posibilidades:
Ox = b no tiene soluciones a menos que b = O. El espacio columna de la matriz cero de
l por 1 sólo contiene a b = O.
Ox = O tiene una infinidad de soluciones. El espacio nulo contiene a toda x. Una solución particular es xP = O, y la solución completa es x = xP + x,, = O + (cualquier x).
Admito que es sencillo. Si se pasa a una matriz de 2 por 2, la cuestión se vuelve más interesante. La matriz [ ~ ~] no es invertible: y + z = b 1 y 2y + 2z = b2 suele no tener
solución.
No
solución a menos que b 2 = 2b 1 . El espacio columna de A sólo contiene bs
que son múltiplos de (1, 2).
Cuando b 2 = 2b 1 ,
una
de soluciones. Una solución particular de
y+ z = 2 y 2y + 2z = 4 es xP = (1, 1). El espacio nulo de A en la figura 2.2 contiene a (-1, 1) y a todos sus múltiplosxn = (-c, c):
Solución
y+ z = 2
2y + 2z = 4
es resuelto por
Xp
+ Xn =
[i] + [-iJ
c
c]
1[ l+c·
2.2
78
Cómo resolver Ax = Oy Ax = b
79
Capítulo 2 Espacios vectoriales
z
recta de todas las soluciones x = Xp + Xn
todas las
Xn
[i1= solución particular más corta
~~-l-~~~~1--~~-"-~~ y
2.2
Las rectas paralelas de soluciones de Axn = O Y [
R=
2.3 Elementos de una matriz escalonada U de 5 por 8 y su forma reducida R.
Debido a que se empezó con A y se terminó con U, seguramente el lector preguntará: ¿Se tiene A = LU como antes? No hay razón para lo contrario, ya que los pasos de eliminación no cambiaron. Cada paso sigue restando un múltiplo de un renglón de un renglón
abajo de él. El inverso de cada paso, suma el múltiplo que fue restado. Estos inversos vienen en el orden correcto para colocar los multiplicadores directamente en L:
~
l<t!l11':Ui"1I
inferior
L =
r~ o
1
-1
El ·
t
=
1 es diferente de cero. Las operaciones elementales de costumbre produ-
ce:~:~º: :~1la primera columna abajo de este pi vote. Las malas noticias aparecen en la columna 2:
En la rolumna 2 0-0 hay pivote
H
[
g
i ! ~l
·
·,
·
· eptable AbaJ· o de ese cero se busEl candidato a segundo pivote se volv10 cero. esto es ma~
· .
ca un elemento diferente de cero, intentando realizar un mtercamb10 de re~gl~ne~. E~ este
caso el elemento en cuestión también es cero. Si A fuese cuadrada, lo antenor md1cana que
la matriz es singular. Con una matriz singular, de cualquier forma es de esperar prob_lerr_ias.
no ha ninguna raión para detenerse. Todo lo que puede hacerse es proceder a l~ siguzen~e colu~na, donde el elemento pivote es 3. Al restar dos veces el segundo renglon del tercero, se llega a U:
3
Matriz escalonada U
3
o 3
o o
Hablando estrictamente, se procede a la cuarta columna. En la tercera_ posición piv?te hay
un cero, y no puede hacerse nada. u es triangular superior, pero sus p1v~~es n~ estan e:~~
diagonal principal. Los elementos diferentes de cero de U muestran un patron ~sc:Uo
do", o forma escalonada. Para el caso de 5 por 8 en la figura 2.3, los elementos md1cados
con un asterisco pueden o no ser cero.
.
.
.
Esta forma escalonada U, siempre puede obtenerse, con cero abajo de los pivotes.
l.
2.
3.
o * o * * * o
* o1 * * * o
o
o o* o* o* 1
o o o o o
Xp
[~1 =solución particular MATLAB Ab
espado nulo Axn = O
•o •* ** ** ** ** ** **
U= o o o • * * * *
o o o o o o o •
o o o o o o o o
Los pivotes son los primeros elementos diferentes de cero en su~ r~ngl~~es.
Abajo de cada pivote hay una columna de ceros, obt~nida po\e i~nac1ond
el pa
Cada pivote está a la derecha del pivote en el renglon de arn a. sto pro uce
trón escalonado, y los renglones cero aparecen al último.
y
A= LU.
2
Observe que L es cuadrada. Tiene el mismo número de renglones que A y U.
La única operación que no es necesaria en nuestro ejemplo, aunque sí es necesaria en
términos generales, es el intercambio de renglones por una matriz permutación P. Debido
a que cuando no hay pivotes disponibles se prosigue con la siguiente columna, no es necesario suponer que A es no singular. A continuación se proporciona PA = LU para todas las
matrices:
Ahora viene R. Es posible avanzar más que hasta U, con la finalidad de hacer aún
más sencilla a la matriz. El segundo renglón se divide entre su pivote 3, de modo que todos los pivotes son l. Luego, el renglón pivote se utiliza para obtener cero arriba del pivote. Esta vez, se resta un renglón de un renglón más arriba. El resultado final (la mejor
forma que puede obtenerse) es Iaforma escalonada por renglones R:
[~
3
3
o 3
o o
~]
3
3
o 1
o o
~]
[~
3 o
o 1 -011] =R.
o o
La matriz Res el resultado final de la eliminación sobre A. MATLAB usa el comando R =
rref(A). ¡Por supuesto, rref(R) proporciona nuevamente R!
¿Cuál es la forma reducida por renglones de una matriz invertible cuadrada? En este
caso R es la matriz identidad. Hay un conjunto completo de pivotes, todos iguales a 1, con
ceros arriba y abajo. Así, rref(A) = I, cuando A es invertible.
Para una matriz de 5 por 8 con cuatro pivotes, en la figura 2.3 se muestra la forma reducida R. Sigue conteniendo una matriz identidad en los cuatro renglones pivote, y en
las cuatro columnas pivote. A partir de R rápidamente se encuentra el espacio nulo de A.
Rx. = O tiene las mismas soluciones que Ux = O y Ax = O.
80
Capítulo 2 Espacios vectoriales
2.2
y variables libres
Rx
~
[i
Matriz del
nulo
(las columnas son soluciones es·pe1cia1le1•)
3 o
o 1
o o
Las incógnitas u, v, w, y se presentan por grupos. Un grupo contiene las variables pivote,
las que corresponden a las columnas
Las columnas primera y tercera contienen a los pivotes, de modo que u y w son las variables pivote. El otro grupo está integrado por las variables
que corresponden a las columnas sin
Éstas son las
columnas segunda y cuarta, por lo que las variables libres son v y y.
Para encontrar la solución más general de Rx = O (o, de manera equivalente, de Ax=
0), es posible asignar valores arbitrarios a las variables libres. Suponga que estos valores se
denominan simplemente v y y. Las variables pivote están determinadas completamente en
términos de v y y:
u +3v - y =O
w +y =O
produce
u= -3v +y
-y
w =
El
nulo contiene a
todas las combinaciones de
las soluciones es1pe<~iaJes
Por favor, observe nuevamente esta solución completa de Rx = O y Ax = O. La solución
especial (-3, 1, O, O) tiene a las variables libres v = 1, y y= O. Las variables libres de la
otra solución especial (1, O, -1, 1) son v =O, y y= l. Todas las soluciones son combinaciones lineales de estas dos soluciones. La mejor forma de encontrar todas las soluciones
de Ax = O es a partir de las soluciones especiales:
l.
3.
N =
-3o 1]
[o
1
O
-1
1
no es libre
es libre
no es libre
es libre
Los valores de las variables libres son 1 y O. Cuando las columnas libres se movieron al
miembro derecho de la ecuación (2), sus coeficientes de 3 y O y -1 y 1 cambiaron de signo. Esto determinó las variables pivote en las soluciones especiales (las columnas de N).
Este es el momento de reconocer un teorema extremadamente importante. Suponga
que una matriz tiene más columnas que renglones, n > m. Debido a que m renglones pueden aceptar cuando mucho a m pi votes, por lo menos debe haber n - m variables libres.
Hay aún más variables libres si algunos renglones de R se reducen a cero; pero no importa el caso: por lo menos una variable debe ser libre. A esta variable libre puede asignarse
cualquier valor, lo cual lleva a la siguiente conclusión:
(1)
un "doble infinito" de soluciones, con v y y libres e m<le¡)er101erntes. La solución completa es una combinación de dos soluciones ~:!>I~''"'""'•~:!>;
2.
81
espacio nulo, para que el lector vea el patrón claro:
Nuestra meta es leer todas las soluciones de Rx = O. Los pivotes son cruciales:
Rx =O
Cómo resolver Ax = Oy Ax = b
Después de llegar a Rx = O, identificar las variables pivote, y las variables libres.
Asignar a una variable libre el valor 1, igualar a cero las demás variables libres, y resolver Rx = O para las variables pivote. Esta x es una solución especial.
Cada variable libre produce su propia "solución especial" por el paso 2. Las combinaciones de las soluciones especiales constituyen el espacio nulo: todas las soluciones
de Ax= O.
Dentro del espacio tetradimensional de todos los vectores posibles x, las soluciones de
At = O constituyen un
bidimensional: el espacio nulo de A. En el ejemplo,
N(A) es generado por los vectores especiales (-3, 1, O, 0) y (1, O, -1, 1). Las combinaciones de estos dos vectores producen todo el espacio nulo.
Aquí hay un pequeño truco. Las soluciones
son especialmente fáciles a
partir de R. Los números 3 y O y -1 y 1 están en las "columnas no pivote" de R. Para
encontrar las variables
(no las libres), invierta sus
en las soluciones es1''"'..'""'"· Escribiré las dos soluciones especiales de la ecuación (2) en una matriz N, de
Debe haber una infinidad de soluciones, ya que cualquier múltiplo ex también satisface A(cx) = O. El espacio nulo contiene a la recta que pasa por x. Y si hay variables libres
adicionales, el espacio nulo se convierte en más que justo una recta en el espacio n-dimensional. El espacio nulo tiene la misma "dimensión" que el número de variables libres, y
las soluciones especiales.
La idea central: la dimensión de un subespacio, se precisará en la
secc1on.
Para el espacio nulo se cuentan las variables libres. ¡Para el espacio columna se cuentan las
variables pivote!
resolver Ax= b, Ux =e y Rx = d
El caso b =!= O es bastante distinto al caso b = O. Las operaciones en los renglones sobre A
también deben actuar sobre el miembro derecho (en b). Se empieza con las letras (b 1, b 2 ,
b3 ) para encontrar la condición de solubilidad para que b esté en el espacio columna. Luego se escoge b = (1, 5, 5) y se encuentran todas las soluciones x.
Para el ejemplo original Ax = b = (b 1, b 2 , b 3 ), a ambos lados se aplican las operaciones que llevaron de A a U. El resultado es un sistema triangular superior Ux = e:
Ux = c
[~
3
3
2] [u]~
o 3 3
o o O
V
=
[
¡
l>i -b 2b¡
b3 - 2b2 + 5b1
l
.
(3)
El vector e en el miembro derecho, que aparecía después de los pasos de eliminación hacia adelante, es
L- 1b, como en el
previo. Ahora se inicia con Ux = c.
No resulta evidente que estas ecuaciones tengan una solución. La tercera ecuación prees cero. Las ecuaciones son inconsistensenta serias dudas, ya que su miembro
+
=O.
haya más incógnitas que ecuaciones, puede
tes a menos que
no haber solución. Conocemos otra forma para contestar la misma pregunta: Ax = b puede resolverse si y sólo si b está en el espacio columna de A. Este subespacio proviene de
las cuatro columnas de A (¡no de U!):
82
(\ 1 l 7 3 8
2.2
Capítulo 2 Espacios vectoriales
Las columnas de A
"generan" el
espacio columna
Aunque hay cuatro vectores, sus combinaciones sólo llenan un plano en el espacio tridimensional. La columna 2 es tres veces la columna 1. La cuarta columna es igual a la tercera menos la primera. Estas columnas dependientes, la segunda y la cuarta, son exactamente las
que carecen de pivotes.
El espacio columna C(A) puede describirse en dos formas distintas. Por una parte, es
el plano generado por las columnas 1 y 3. Las otras columnas están en ese plano, y no contribuyen con nada nuevo. De manera equivalente, es el plano de todos los vectores b que
cumplen b3 - 2b 2 + 5b 1 = O; esta es la restricción si el sistema ha de ser resoluble. ¡Toda columna satisface esta restricción, de modo que está forzada sobre b! Geométricamente, se verá que el vector (5, -2, 1) es perpendicular a cada columna.
Si b pertenece al espacio columna, las soluciones de Ax = b son fáciles de encontrar.
La última ecuación en Ux = c es O = O. A las variables libres v y y, es posible asignarles
valores cualesquiera, como antes. Las variables pivote u y w siguen determinándose por
sustitución hacia atrás. Para un ejemplo específico con b 3 - 2b2 + 5b 1 = O, se escoge
b = (1, 5, 5):
3
6
Ax= b
3
9
3
-3
1.
2.
3.
Reducir Ax = b a Ux = c.
Con las variables libres = O, encontrar una solución particular de AxP = b y UxP = e.
Encontrar las soluciones especiales de Ax= O (o de Ux = O o de Rx = 0). Cada variable libre, a su vez, es l. Así, x = xP + (cualquier combinación xn de soluciones
especiales).
Cuando la ecuación era Ax = O, ¡la solución particular era el vector cero! Esto se ajusta al
patrón, aunque xpartlcu!ar = O no se escribió en la ecuación (2). Ahora xP se sumó a las soluciones del espacio nulo, como en la ecuación (4).
Pregunta: ¿cómo la forma reducida R hace aún más clara esta solución? Se verá en el
ejemplo. La ecuación 2 se resta de la ecuación l, y luego la ecuación 2 se divide entre su
pivote. En el miembro izquierdo, esto produce R, como antes. En el miembro derecho, estas operaciones cambian c = (1, 3, 0) a un nuevo vector d = (-2, 1, 0):
Rx = d
Ux =e
l
[~ oo o il [~ m
3
3
3
La última ecuación es O = O, como era de esperarse. La sustitución hacia atrás proporciona
3w + 3y = 3
u + 3v + 3w + 2y = l
o
o
w =
1 -y
u = -2 - 3v +y.
83
La solución particular en la ecuación (4) proviene de haber resuelto la ecuación con todas las variables libres iguales a cero. Esta es la única parte nueva, porque el espacio nulo ya estaba calculado. Cuando la ecuación en el recuadro se multiplica por A, se obtiene
Axcompleta = b + O.
Geométricamente, las soluciones llenan de nuevo una superficie bidimensional, pero
no es un subespacio. No contiene ax = O. Es paralelo al espacio nulo que se tenía anteriormente, desplazado por una solución particular xP' como se muestra en la figura 2.2. La
ecuación (4) es una forma aceptable de escribir la respuesta:
Ecuación reducida
La eliminación hacia adelante produce U a la izquierda y e a la derecha:
Cómo resolver Ax = Oy Ax = b
[~
3
o
o l
o o
(5)
La solución particular xP (una de muchas opciones) tiene las variables libres v = y = O.
Las columnas 2 y 4 pueden ignorarse. Luego, de inmediato se tiene u = -2 y w = 1, exactamente como en la ecuación (4). Los elementos de d van directamente hada xr ¡Esto
se debe a que la matriz identidad se encuentra en las columnas pivote de R!
A continuación se resumirá esta sección, antes de presentar otro ejemplo. La eliminación revela las variables pivote y las variables libres. Si hay r pivotes, entonces hay r varia.bles pivote, y n - r variables libres. A este número importante r se asigna un nombre:
se trata del rango de la matriz.
De nuevo, hay una infinidad de soluciones: v y y son libres; u y w no lo son:
Lo anterior contiene todas las soluciones de Ax = O, más la nueva xP = ( -2, O, 1, 0). Esta xP es una solución particular de Ax = b. Los dos últimos términos con v y y producen
más soluciones (ya que cumplen Ax = 0). Toda solución de Ax = b es la suma de una solución
y una solución de Ax = O:
Ahora el lector puede ver cómo es crucial el rango r. Éste cuenta los renglones pivote en
el "espacio renglón" y las columnas pivote en el espacio columna. En el espacio nulo hay
n
r soluciones especiales. Hay m - r condiciones de solubilidad sobre b o e o d.
Capítulo 2
2.2
Espacios vectoriales
La representación completa utiliza eliminación, y columnas pivote para encontrar el espacio columna, el espacio nulo y el rango. La matriz A de 3 por 4, tiene rango 2:
Cómo resolver Ax = Oy Ax = b
85
Esa matriz f'mal [R d] es rref( [A b]) = rref( [U e]). Los números 2 y O y 2 y 1 en las
columnas libres de R tienen signo opuesto en las soluciones especiales (la matriz espacio
nulo N). Rx = d, revela todo.
1x 1 + 2x 2 + 3x3 + 5x4 = b1
(6)
2x 1 + 4x2 + 8x3 + 12x4 = b2
Ax = b es
l.
3x 1 + 6x2 + 7x3 + 13x4 = b3
l.
2.
3.
4.
5.
6.
Reducir [A b] a [U c], para llegar a un sistema triangular Ux = c.
Encontrar la condición sobre b 1, b2 , b3 para tener una solución.
3
Describir el espacio columna de A: ¿Cuál plano en R ?
4
Describir el espacio nulo de A: ¿Cuáles soluciones especiales en R ?
Encontrar una solución particular de Ax = (O, 6, -6) y la solución completa Xp + Xn·
Reducir [U c] a [R d]: soluciones especiales de R y xP de d.
Solución
1.
[l
2.
3.
4.
2.
A=
2
3
4
8
6 7
5 b1] [lo 2o 3 5
12
13
b2 _.,.
b3
o
b1
l [1 2 3 5
2 2b2-2b1
o -2 -2 b3 - 3b1
3.
= (O, 6, -6)
[u e] =
[bo o~ ~o o
2
Xp
1
d] =
o l
8
- [º 1 3]
4.
- [b1]
b-b2"
Efectúe los mismos pasos que en el problema previo para encontrar la solución comde Mx = b:
b~ fül
5.
Escriba las soluciones completas x = xP + Xn de estos sistemas, como en la ecuación
[;
2
4
;] [:] ~ [!]
columna) para
6.
¡-~13 es libre
=
La solución completa de Ax = (O, 6, -6) es (esta xp) + todas las xJ.
En la R reducida, la tercera columna cambia de (3, 2, O) a (O, 1, 0). El miembro derecho c = (0, 6, 0) se convierte en d = (-9, 3, 0). Así, -9 y 3 van hacia xP:
5
2
2
5
Ax = b es consistente
una solución) cuando b satisface b2 = _ _. Encuentre
la solución completa en la misma forma que la ecuación (4).
O es libre
6.
[1
ol o1]
(4):
Se elige b = (O, 6, -6), que tiene b 3 + b 2 - 5b 1 = O. La eliminación lleva Ax = b a
Ux = c = (O, 6, 0). Se sustituye hacia atrás con las variables libres = O:
de
1
o 6'
A-020
Matriz del
nulo
Soluciones
de Ax = O
Sustitución hacia atrás en U x = O
Silnple11ne11te cambia
en Rx = O
5.
2
Encuentre la forma escalonada de U, las variables libres, y las soluciones especiales:
b1
]
_.,.o o 2 2b2.
o o o o b3 + b2 - 5b1
La última ecuación muestra la condición de solubilidad b3 + b2 - 5b1 = O. Así, O = O.
El espacio columna de A es el plano que contiene a todas las combinaciones de las coEl espacio columna contielumnas
(1, 2, 3) y (3, 8, 7).
ne a todos los vectores con b3 + b2 - 5b 1 =O. Esto hace resoluble aAx = b, de modo
que b está en el espacio columna. Todas las columnas de A pasan esta prueba b3 +
b 2 - 5b 1 = O. Esta es la ecuación del plano (en la primera descripción del espacio
columna).
Las soluciones especiales en N tienen las variables libres x 2 = 1, X4 = O Y Xz = O,
x 4 = 1:
l
O
Encuentre las soluciones especiales de Ax = O y Bx = O. Encuentre todas las soluciones.
(¡Observe cómo el miembro derecho se incluye como una columna adicional!)
Los multiplicadores en la eliminación son 2 y 3 y -1, tomando [A b] a [U c].
Construya un sistema con más incógnitas que ecuaciones, pero sin solución. Cambie
el miembro derecho a cero, y encuentre todas las soluciones xn.
Reduzca A y B a forma escalonada para encontrar sus rangos. ¿Qué variables son libres?
2
o 2
o o 1 1
[o o o o
-91o
3 .
al encontrar las restricciones sobre b que hacen que la tercera ecuación sea O= O (después de la eliminación). ¿Cuál es el rango, y una solución particular?
7.
Encuentre el valor de c que hace posible resolver Ax = b, y resuélvalo:
U
+
V
+ 2w = 2
2u + 3v
w = 5
3u + 4v +
w =c.
2.2
Capítulo 2
Cómo resolver Ax
Oy Ax = b
Espacios vectoriales
¿Cuáles deben ser las condiciones sobre b 1 y b2 (en caso de haber alguna) para que
8.
16. Suponga que todas las r variables pivote aparecen al último. Describa los cuatro bloques en la forma escalonada reducida de m por n (el bloque B debe ser de r por r):
Ax= b tenga solución?
31
l 2 o
A=
[ 2407'
b =
R=[~ ~J.
[~~l
¿Cuál es la matriz espacio nulo N de las soluciones especiales? ¿Cuál es su forma?
Encuentre dos vectores en el espacio nulo de A, así como la solución completa de
9.
Ax= b.
a) Encuentre las soluciones especiales de Ux = O. Reduzca U a R, Y repita lo ante-
rior:
Ux =
[ºJ0
x
[1 20 31 4J20 lX¡J
O O
Q
2
Ü
X
O ·
3
17. (Problema tonto) Describa todas las matrices A 1 y A2 de 2 por 3 con formas escalonadas por renglones R 1 y Rz, tales que R 1 + R 2 es la forma escalonada por renglones de
A1 + A2 .
cierto que R 1 = A 1 y R 2 = A2 en este caso?
18. Si A tiene r columnas pivote, entonces AT tiene r columnas pivote. Proporcione un
ejemplo de 3 por 3 para el que los números de columna son distintos para A y AT.
19. ¿Cuáles son las soluciones especiales de Rx =O y RT y= O para las siguientes R?
X4
b) Si el miembro derecho se cambia de (O, O, O) a (a, b, 0), ¿cuáles son todas las solu-
ciones?
10. Encuentre un sistema Ax = b de 2 por 3 cuya solución completa es
x~[i}+w[fl
R
~ ¡g
e) El número de columnas menos el número de columnas hbres.
13.
d) El número de ls en R.
Encuentre las formas escalonadas reducidas por renglón R. y el rango de las siguien-
tes matrices:
a) La matriz de 3 por 4 de todos los ls ...
1
b) La matriz de 4 por 4 con aij = (-1)' .
e) La matriz de 3 por 4 con aij = (- lY.
14.
Encuentre R para cada una de las siguientes matrices (en bloque), así como las soluciones especiales:
A=[gg~1
2 4 6
B = [A
A}
e=[~ ~l
15. Si primero aparecen las r primeras variables pivote, entonces la R reducida debe verse como
/ F1
R = [o o
l es de r por r
F es de r por n - r
¿Cuál es la matriz espacio nulo N que contiene las soluciones especiales?
2]
oO Oi O.
[o o o
cuentre esa submatriz S a partir de los renglones pivote, y las columnas pivote para cada A:
2
2
Encuentre un sistema de 3 por 3 con estas soluciones exactamente cuando b1 + b2 =
12. ¿Cuáles de las siguientes reglas proporcionan una definición correcta del rango de A?
a) El número de renglones diferentes de cero en R.
b) El número de columnas menos el número total de rengl~nes.
R=
20. Si el rango de A es r, entonces tiene una submatriz S de r por r que es invertible. En-
A=U
b3.
Escriba un sistema Ax = b de 2 por 2 con muchas soluciones Xm ~ero sin solución Xp·
11.
(En consecuencia, el sistema no tiene solución.)"¿Cuáles bs permiten una xP?
¡ ni
!]
A=
º]
[l2 42 ~]
i O.
oO
A=O
[o o 1
21. Explique por qué los renglones pivote y las columnas pivote de A (no R) siempre proporcionan una submatriz invertible de A de r por r.
22. Encuentre los rangos de AB y AM (matriz de rango l multiplicada por una matriz de
rango 1):
A=
u !]
y
B = [;
1.5
~]
y
M =
[1e beb].
23. Al multiplicar las matrices de rango l A = u vT y B = wzT se obtiene uzT multiplicada por el número _ _. El rango de AB es 1 a menos que _ _ = O.
24. Toda columna de AB es una combinación de las columnas de A. Así, las dimensiones
de los espacios columna proporcionan rango(AB) ::5 rango(A). Problema: También
demuestre que rango(AB) ::5 rango(B).
25. (Importante) Suponga que A y B son matrices de n por n, y que AB = l. A partir de rango(AB) ::5 rango(A), demuestre que el rango de A es n. Así, A es invertible, y B debe ser
su inversa por ambos lados. En consecuencia, BA = l (¡lo cual no es tan evidente!).
26. Si A es de 2 por 3 y C es de 3 por 2, a partir de su rango demuestre que CA =F J. Proporcione un ejemplo en el que AC = l. Para m < n, una inversa derecha no es una inversa izquierda.
27. Suponga que A y B tienen la misma forma escalonada reducida por renglones R. Explique cómo cambiar de A a B, mediante operaciones elementales en los renglones.
Así, B es igual a una matriz _ _ multiplicada por A.
28. Toda matriz de m por n de rango r se reduce a (m por r) multiplicada por (r por n):
2.2
88
Capítulo 2
Cómo resolver Ax = Oy Ax = b
89
Espacios vectoriales
Escriba la matriz de 3 por 4 A, al inicio de esta sección, como el producto de la matriz de 3 por 2 a partir de las columnas pivote, y la matriz de 2 por 4 de R:
A= [
38. a) Si Ax = b tiene dos soluciones x 1 y x 2 , encuentre dos soluciones de Ax = O.
b) Luego, encuentre otra solución de Ax = b.
~ ~3 ;]
4
;
-1 -3
29.
Suponga que A es una matriz de m por n de rango r. Su forma escalonada reducid\es
R. Describa exactamente la forma escalonada reducida por renglones de RT (no A ).
30. (Recomendado) Ejecute los seis pasos que están después de _l~ ecuació~ (~)para encontrar el espacio columna, y el espacio nulo de A y la soluc1on de Ax - b.
A =
¡; ~ ~ :]
b =
23)2
¡:~] [~]5 ·
~H
H~]
y
A
~[
1
; '
2
39. Explique por qué las siguientes afirmaciones son falsas:
a) La solución completa es cualquier combinación lineal de xP y xnb) Un sistema Ax= b tiene cuando mucho una solución particular.
e) La solución xP con todas las variables libres iguales a cero es la solución más breve (longitud mínima llxli). (Encuentre un contraejemplo de 2 por 2).
d) Si A es invertible, entonces no hay solución x,, en el espacio nulo.
40. Suponga que la columna 5 de U no tiene pivote. Entonces x 5 es una variable _ _ . El
vector cero (es) (no es) la única solución de Ax= O. Si Ax= b tiene una solución, entonces tiene _ _ soluciones.
b3
31. Para cada e, encuentre R, y las soluciones especiales de Ax = O:
A
37. ¿Por
no es posible que un sistema de 1 por 3 tenga xP = (2, 4, O) y xn = cualquier
múltiplo de (1, 1, l)?
~ e]
41. Si se conocen xP (variables libres = 0) y todas las soluciones especiales de Ax = b,
encuentre xP y todas las soluciones especiales para los siguientes sistemas:
[1] [x] =[:J.
Ax= 2b
32. ¿Cuál es la matriz espacio nulo N (de soluciones especiales) para A, B, C?
A = [I
I]
y
B = [
~ ~]
y
C = [I
l
l].
L
33 a 36 son sobre la solución de Ax = b. Si.ga los pasos
d: en el texto pa:ra encont:ra:r xP y Xn· Reduzca la matriz aumentada
b].
42. Si Ax = b tiene una infinidad de soluciones, ¿por qué es imposible que Ax = B (nuevo miembro derecho) tenga una sola solución? ¿Es posible que Ax= B no tenga solución?
43. Escoja el número q de modo que (de ser posible) los rangos sean a) 1, b) 2, e) 3:
33. Encuentre las soluciones completas de
l
X+ 3y + 3z = 1
2x + 6y + 9z = 5
-x - 3y + 3z = 5
Y
A=
3
2 6
[o
o
34. ¿Cuál debe ser la condición sobre b 1, b2 , b 3 , para que el sistema sea r~soluble? Inclu-
ya a b como una cuarta columna en [A b]. Encuentre todas las soluciones cuando se
cumple esa condición:
X
+2y -2z = b¡
2x + 5y - 4z = b2
4x + 9y - 8z = b3.
35. ¿Cuáles son las condiciones sobre b 1, b2 , b3 , b4 para que cada uno de los siguientes sistemas sea resoluble? Despeje x:
ri ~1 t~:1 ~ rElb4J1
b
[i ~ ~] [::] flbJE1
9
3 9 12
36. ¿Cuáles vectores (b 1, b 2 , b 3 ) están en el espacio columna de A? ¿Cuáles combinaciones de los renglones de A proporcionan cero?
a)
A~[~ H]
b)
A~ [i
Hl
[-~9 -~6
-i]
q
y
B =
[!
1
2
!]·
44. Proporcione ejemplos de matrices A para las cuales el número de soluciones de Ax =
b sea
a) O o 1, dependiendo de b.
b) oo, sin importar b.
e) O o oo, dependiendo de b.
d) 1, sin importar b.
45. Escriba todas las relaciones conocidas entre r y m y n si Ax = b
a) No tiene solución para alguna b.
b) Tiene una infinidad de soluciones para toda b.
e) Tiene exactamente una solución para alguna b, y ninguna solución para otra b.
d) Tiene exactamente una solución para toda b.
46.
la eliminación de Gauss-Jordan (el miembro derecho se convierte en una columna extra) a Ux = O y Ux = c. Obtenga Rx = O y Rx = d:
º]
l 2 3
[uo]=oo4o
[
[1 2 3 5]
Y [uc]=oo4g·
Resuelva Rx = O para encontrar xn (su variable libre es x 2 = 1). Resuelva Rx = d para encontrar xP (su variable libre es x2 = 0).
2.2
90
Capítulo 2
Espacios vectoriales
fI
Apliqu' [~6~[i r¡1~tra:= (~': ~~ay ~do;].
47.
Resuelva Rx =o (variable libre= 1). ¿Cuáles son las soluciones de Rx = d?
48.
0
""'"''" ¡
•iguiente ::~~[; ('~;ci;l'n g[~;}ssiana[). iJlu:g: a Rx ~ d
2
o 4
9
3
Encuentre una solución particular xP y todas las soluciones Xn del espacio nulo.
•
Encuentre
A y B con la propiedad mencionada, o bien, explique por qué no es posible.
49
a)
b)
La única solución de Ax =
u]
La única solución de Bx = [
es X = [
n.
91
57. Suponga que las columnas primera y última de una matriz de 3 por 5 son iguales (diferentes de cero). Entonces _ _ es una variable libre. Encuentre las soluciones especiales para esa variable.
58. La ecuación x - 3y - z = O determina un plano en R 3 • ¿Cuál es la matriz A en esta
ecuación? ¿Cuáles son las variables libres? Las soluciones especiales son (3, 1, O) y
_ _.El plano paralelo x - 3y - z = 12 contiene al punto particular (12, O, O). Todos
los puntos en este plano tienen la forma siguiente (escriba las primeras componentes):
[~] fa] +y[¿]+,[~]
10
X4
Cómo resolver Ax = Oy Ax = b
59. Suponga que columna 1 + columna 3 + columna 5 = O en una matriz de 4 por 5 con
cuatro pivotes. ¿Cuál columna carece seguramente de pivote?(¿ Y cuál es la variable
libre?) ¿Cuál es la solución especial? ¿Cuál es el espacio nulo?
En los i:mobllen1as 60 a 66 se solicitan matrices (de ser posill1l.e) con ciertas propiedades.
60. Construya una matriz cuyo espacio nulo conste de todas las combinaciones de (2, 2,
1, 0) y (3, 1, O, 1).
~} es x = [ i] ·
61. Construya una matriz cuyo espacio nulo conste de todos los múltiplos de (4, 3, 2, 1).
1
50. La solución completa de Ax = [;] es x = ( b + e [ ~] . Encuentre A.
51. El espacio nulo de una matriz A de 3 por 4 es la recta que pasa por (2, 3, 1, 0).
a) ·Cuál es el rango de A y la solución completa de Ax= O?
b) 1.,¿Cuál es la forma escalonada reducida exacta por renglones R de A?
52. Reduzca las siguientes matrices A y B a sus formas escalonadas ordinarias U:
2 2
a) A=
~ ~]
11 2 3
2 3
[0 o
b) B =
!] .
[~o 1
8 8
Encuentre una solución especial para cada variable libre, y describa cada solución de
Ax = o y Bx = o. Reduzca las formas escalonadas U ~ ~· y d~staque con un recuadro
los renglones pivote y las columnas pivote de la matnz 1dentJ.dad.
53. ¿Falso 0 verdadero? (En caso de ser cierto, proporcione una razón, o un contraejemplo si es falso.)
a) Una matriz cuadrada no tiene variables libres.
b) Una matriz invertible no tiene variables libres.
e) Una matriz de m por n no tiene más de n variables pivote.
d) Una matriz de m por n no tiene más de m variables pivote.
54. ·Existe una matriz de 3 por 3 sin elementos cero para la cual U = R = I?
55. ~scriba tantos 1s como pueda en una matriz escalonada U de 4 por 7, y en una forma
reducida R cuyas columnas pivote sean 2, 4, 5.
Suponga
que la columna 4 de una matriz de 3 por 5 es toda igual a ?s. Entonces X4 es
56.
·
· ble _ _ . La solución especial para esta vanable es el vector
ciertamente
una vana
x= __ .
62. Construya una matriz cuyo espacio columna contenga a (1, 1, 5) y a (O, 3, 1), y cuyo
espacio nulo contenga a (l, 1, 2).
63. Construya una matriz cuyo espacio columna contenga a (1, 1, 0) y a (0, 1, 1), y cuyo
espacio nulo contenga a (1, O, 1) y a (0, O, 1).
64. Construya una matriz cuyo espacio columna contenga a (1, 1, 1) y cuyo espacio nulo
es la recta de múltiplos de (1, 1, l, 1).
65. Construya una matriz de 2 por 2 cuyo espacio nulo sea igual a su espacio columna.
66. ¿Por qué ninguna matriz de 3 por 3 tiene un espacio nulo igual a su espacio columna?
67. La forma reducida R de una matriz de 3 por 3 con elementos elegidos aleatoriamente
casi seguramente es _ _. ¿Cuál R es virtualmente cierta si la matriz aleatoria A es de
4 por 3?
68. Demuestre con un ejemplo que las tres siguientes afirmaciones suelen ser falsas:
a) A y AT tienen el mismo espacio nulo.
b) A y AT tienen las mismas variables libres.
e) Si Res la forma reducida de rref(A), entonces RT es rref(AT).
69. Si las soluciones especiales de R.x = O están en las columnas de estas N, vuelva hacia
atrás para encontrar los renglones diferentes de cero de las matrices reducidas R:
y
y
N
=[ ]
C=triz vacía de 3 pod).
70. Explique por qué A y -A siempre tienen la misma forma escalonada reducida R.
92
Capítulo 2
01173ti
Espacios vectoriales
2.3
Por sí mismos, los números m y n proporcionan una representación incompleta del verdadero tamaño de un sistema lineal. La matriz de nuestro ejemplo tenía tres renglones y cuatro columnas, aunque el tercer renglón era sólo una combinación de los dos primeros.
Después de la eliminación se convirtió en un renglón cero. No afectó el problema homogéneo Ax = O. Las cuatro columnas también fracasaron en cuanto a ser independientes, y
el espacio columna degeneró en un plano bidimensional.
El número importante que está comenzando a surgir (el tamaño verdadero) es el rango
r. El rango se introdujo como el número de pivotes en el proceso de eliminación. De manera equivalente, la matriz final U tiene r renglones diferentes de cero. Esta definición hubiera podido proporcionarse a una computadora, aunque sería erróneo
ahí, porque el
rango posee un significado simple e intuitivo: El rango cuenta el número de renglones genuinamente independientes en la matriz A. Lo que se busca son definiciones matemáticas,
más que computacionales.
El objetivo de esta sección es explicar y usar cuatro conceptos:
1.
2.
3.
4.
Independencia o dependencia lineal.
Generación de un subespacio.
Base de un subespacio (un conjunto de vectores).
Dimensión de un subespacio (un número).
El
9l
Los renglones también son linealmente dependientes· el renglón 3 es do
glón 2 me
·
s veces e 1ren'
nos cmco veces e 1renglón l. (Esto es lo mismo que la combinación de b b b
que tuvo que desaparecerse en el miembro derecho para que Ax = b fuera consis~~n~~- }.:_
menos que b3 -2b2 + Sb1 = O, la tercera ecuación no se convierte en O= O).
Las columnas de la siguiente matriz triangular son linealmente independientes:
No
«~<nla
A~ rg
U1
Se busca una combinación de las columnas que produzca cero:
S< re.u<lv.Ac
~O
'<
m m m m.
+e,
+e;
qu~ demostrar que c ¡, c :z, c 3 están
todos a ser cero. La última ecuación
pr?porciona c~ ,= O.
.
la siguiente ecuación proporciona c2 = O, y al sustituir en la
pnmera ecuacio~ se_ ?bh~a .ª que C¡ = O. La única combinación que produce el vector
cero es la combmac10n tnv1al. El espacio nulo de A contiene sólo al vector cero c =
~=~=~
1
lineal. Dado un conjunto de vectores v 1, •.. ,
paso es definir
vk, se buscan sus combinaciones c 1v 1 + c 2 v2 + · · · + ckvk. La combinación trivial, con
todos los pesos c1 = O, evidentemente produce el vector cero: Ov 1 + · · · + Ovk = O. La
pregunta es si ésta es la única forma de producir cero. En caso afirmativo, los vectores son
independientes.
Si con cualquier otra combinación de los vectores se obtiene cero, entonces son dependientes.
Suponga que c 1v 1 + · · · + ckvk =O sólo ocurre cuando
los vectores v 1, ••• , vk son lln:ea.tm•enl~e i1ult1flt~1Ul!teiite·s.
de cero, las vs sori linealmente aeiuei'lá1'.ente~;~
La dependencia lineal es fácil de visualizar en el espacio tridimensional, cuando todos
los vectores salen del origen. Dos vectores son dependientes si están en la misma recta. Tres
vectores son dependientes si están en el mismo plano. Una elección aleatoria de tres vectores, sin ningún accidente especial, debe producir independencia lineal (no están en un
plano). Cuatro vectores siempre son linealmente dependientes en R 3 .
Si v 1 = vector cero, entonces el conjunto es linealmente aepe:na:tenlte. Puede elegirse c 1 =
3 y todas las demás e;= O; esta es una combinación no trivial que
cero.
t1e11r1p10 2
Independencia lineal, base y dimensión
pendientes. Suponga que
C¡ (3, 4, 2)
+ C2(0, l, 5) + C3(0, O, 2) = (0, O, 0).
A
de las primeras c~mponentes se encuentra que 3c 1 =O 0 c 1 =o. Luego, las segundas componentes proporc10nan c2 = O, y finalmente c3 = o.
Los renglones diferentes de cero de una matriz en forma escalonada u d b
·
d
d"
d
,
.
.
e en ser m_epen lente~. A ema:', s1 se eligen las columnas que contienen a los pivotes, también son
hnealmente mdepend1entes. En el ejemplo previo, con
u~ [H
°"'
las c?lumnas ~ivote 1 y 3 son independientes.
conjunto de tres columnas es indep~~d1ente, Y ciertamente tampoco ninguno de cuatro. Es cierto que las columnas 1 y 4 tam-
b1en son ""~'"'l''°''""'"m.;::::;, pe~o s1· e I u'1timo
·
1 cambia
· a O, entonces serían dependientes. Por
tanto, '.0 qu~, garantiza su_ independencia son las columnas que contienen a los pivotes.
A contmuac10n se proporciona la regla general:
una:IJEiatrtz recor1ile11en a
Las columnas de la matriz
~]
3 3
6 9
;
-1 -3 3
son linealmente dependientes, ya que la segunda columna es tres veces la primera. La combinación de las columnas con pesos -3, 1, O, O proporciona una columna de ceros.
A= [
nl
Las columnas de la matriz identidad de n por n son independientes:
,~ r: ! n
o
2.3
Capítulo
Independencia lineal. base y dimensión
95
z Espacios vectoriales
Se permite que una combinación distinta de ws proporcione el mismo vector v. Las es no
necesitan ser únicas, porque el conjunto generador puede ser excesivamente grande: puede incluir el vector cero, e incluso a todos los vectores.
Estas columnas e¡, ... , en representan vectores unitarios en las direcciones coordenadas;
en
Los vectores w 1 = (1, O, O), w 2 = (O, 1, O), y w 3 = (-2, O, 0), generan un plano (el plano
x-y) en R 3 • Los dos primeros vectores también generan este plano, mientras w 1 y w 3 sólo
generan una recta.
4
La mayor parte de los conjuntos de cuatro vectores en R son independientes. Estos es
podrían ser el conjunto más seguro.
Para comprobar la independencia de un conjunto de vectores Vi, ••• , Vn, éstos deben
escribirse en las columnas de A. Luego se resuelve el sistema A': = O; l?s vectores son deendientes si hay otra solución aparte de e = O. Si no hay v';1"1ables ~bres (rango n), no
~xiste espacio nulo excepto e = O; los vectores son indepe~d1entes. Si el rango es menor
que n, entonces por lo menos una variable libre puede ser diferente de cero Y las columnas
son dependientes.
.
Un caso reviste especial importancia. Considere que los n vectores tienen m componentes de modo que A es una matriz de m por n. Ahora suponga que n > m. ¡Hay demasiadas, columnas para ser independientes! No puede haber n pivote~, ya que ~o hay
suficientes renglones para acomodarlos. El.rango es menor que n. Todo s1stemaAc - Ocon
más incógnitas que ecuaciones tiene soluciones e =I= O.
. 2G Un conjunto de n vectores en'R'.'' ae1~,sei;Jií1eiltlllJLente.1d~j,~i:1di~r~te S.~
El lector reconocerá esto como una forma disfrazada de 2C: Todo sistema Ax = O de m por
n tiene soluciones diferentes de cero si n > m.
~'---·-·- 5
Eie~nplo 7
El espacio columna de A es exactamente el espacio generado por sus columnas. El espacio renglón es generado por los renglones. La definición se hace para ordenar. Al multiplicar A por cualquier x se obtiene una combinación de las columnas; es un vector Ax en el
espacio columna.
Los vectores de coordenadas e 1, ••• , en que provienen de la matriz identidad generan
Rn. Todo vector b = (b 1, ••• , bn) es una combinación de estas columnas. En este ejemplo
los pesos son las componentes b; mismas: b = b 1e 1 + · · · + bne,.. Sin embargo, ¡lascolumnas de otras matrices también generan Rn!
Base de un espacio vectorial
Para decidir si bes una combinación de las columnas, se intenta resolver Ax= b. Para decidir si las columnas son independientes, se resuelve Ax = O. La generación implica al espacio columna, y la independencia implica al espacio nulo. Los vectores de coordenadas
e 1, .•• , en generan Rn y son linealmente independientes. En términos bastos, ningún vector en ese conjunto se desperdicia. Esto conduce al concepto crucial de base.
Las tres siguientes columnas en R 2 no pueden ser independientes:
A=[i; ;J.
Para encontrar la combinación de las columnas con la que se obtiene cero se resuelve
Ac =O:
A-+U=[~
2
l
Si a la variable libre c3 se asigna el valor l, entonces la sustitución hacia atrás en Uc = O
·
l e - 1 Con estos tres pesos la primera columna menos la segunda
proporciona c2 - - , t - ·
.
'
más la tercera es igual a cero: Dependencia.
A continuación se definirá lo que se entiende por el hecho de que un conjunto de vect?res
generen un espacio. El espacio columna de A es generado por las columnas. Su combmación produce todo el espado:
2H Si un espacio vectorial V consta de.todas las cornt>inaetones
wf, entonces estos veetores generan el esps,ci'?.
binación de las ws:
·
Todo v
. ·
de ws v = CtWt + · · · +ceiue
Esta combinación de propiedades es absolutamente fundamental para el álgebra lineal.
Significa que todo vector en el espacio es una combinación de los vectores de la base, ya
que éstos generan el espacio. También significa que la combinación es única: Si v = a 1v 1
+ · · · + akvk y también v = b 1v 1 + · · · + bkvk> entonces al restar se obtiene O= ::S(a; - ·
b¡)v;. Es ahora que entra en juego la independencia: todo coeficiente a; - b; debe ser cero.
En consecuencia, a;= b;. Hay una y sólo una forma de escribir v como una combinación
lineal de los vectores de la base.
Hubiera sido mejor decir de una vez que los vectores de coordenadas e 1, ••• , en no
son la única base de R". Algunas cosas en álgebra son únicas, pero no ésta. Un espacio vectorial tiene una infinidad de bases distintas. Siempre que una matriz cuadrada es invertible, sus columnas son independientes, de modo que son una base de Rn. Las dos columnas
de la siguiente matriz no singular constituyen una base de R 2 :
A=[;~]
Todo vector bidimensional es una combinación de estas columnas (¡independientes!).
r· C
~ r.
.~
A C 1 U N AL
•.. ~.: ... 1
96
Capítulo 2
, 2.3 Independencia lineal, base y dimensión
-·:.:L í_:;=:~!QUAV
Espacios vectoriales
_ de la figura 2.4, es justo . El vector v 1 en sí es linealmente independiente,
El Pl ano x Y
·
pero no son
pero fracasa en generar . Los tres vectores v 1 , v2 , v3 ciertamente gener~ ,
independientes. Dos vectores cualesquiera de esos, por
. vi Y V2, tienen ambas pr~­
piedades: generan el espacio y son independientes.,A.sí, constituyen una base. Observe e
nuevo que un espacio vectorial no tiene una base unzca.
y
97
En tres diménsiones se requforen tres vectores, ya sea a lo largo de los ejes x-y-z o en otras
tres direcciones (¡linealmente independientes!) La dimensión del espacio Rn es n. La dimensión del espacio columna de U en el ejemplo 9 era 2; era un "subespacio bidimensio."La matriz cero es más bien excepcional, ya que su espacio columna contiene
nal de
sólo al vector cero. Por convencionalismo, el conjunto vacío es una base de ese espacio, y
su dimensión es cero.
A continuación se presenta el primer gran teorema en álgebra lineal:
Demostración Suponga que hay más ws que vs (n > m). Se llegará a una contradicción.
Debido a que las vs constituyen una base, deben generar el espacio. Toda wj puede escribirse como una combinación de las vs: si 1 = a¡¡v 1, + · · · + amiVm, esta es la
columna de una multiplicación de matrices VA:
w
V¡
2.4
Conjunto generador v 1 , v2 , v 3 • Bases V¡, V2 Y V¡, V3 Y Vz, V3.
Las cuatro siguientes columnas generan el espacio columna U, pero no son independientes:
3
Matriz escalonada
o
o
muchas posibilidades para la base, pero se propone una opción específica: Las colur:'"y la tercera, que corresponden a las vana(en este caso la
nas que
· d
d.
bles básicas) constituyen una base de
columna. Estas columnas son m. epen ientes,
y es fácil ver
generan el espacio. De hecho, el espacio columna de U es JUS~o ~l pl~~
x-y dentro de . C (U) no es lo mismo que el espacio column~ C (A) antes de la eliminac1on,
sin embargo, el número de columnas independientes no cambia.
En resumen: Las columnas de cualquier matriz generan su espacio columna. ~i son
independientes, constituyen una base del espacio columna, sin importar que la man:-z
cuadrada 0 rectangular. Si se pide que las columnas sean una base para todo el espac10 R ,
entonces la matriz debe ser cuadrada e invertible.
se:
Umfle111mc1n de un ti~~'~"''"' "'"'r.tnri:a1
No se conoce cada ªu· pero sí la forma de A (es de m por n). El segundo vector w2 también
es una combinación de las vs. Los coeficientes de esa combinación llenan la segunda columna de A. La clave es que A tiene un renglón para cada v y una columna para cada w. A
una solución diferente de cero para
es una matriz corta pero ancha, ya que n > m.
Ax =O. Así, VAx = O, que es Wx = O. ¡Una combinación de las ws da cero! Las ws podrían no ser una base, de modo que no es posible que n > m.
Si m > n, se intercambian las vs y las ws y se
los mismos pasos. La única forma de evitar una contradicción es si m = n. Así se termina la demostración de que m = n.
Repitiendo: La dimensión de un
es el número de vectores que hay en cada base. 111111
Esta demostración se usó antes para demostrar que todo conjunto de m + 1 vectores
en Rm debe ser dependiente. Las vs y las ws no necesitan ser vectores columna: la demostración fue toda concerniente a la matriz A de coeficientes. De hecho, puede verse este resultado general: En un subespacio de dimensión k, ningún conjunto de más de k vectores
puede ser independiente, y ningún conjunto con menos de k vectores puede generar el espacio.
otros teoremas "duales", de los cuales sólo se menciona uno. Puede empezarse con
un conjunto de vectores que sea demasiado pequeño o demasiado
y terminar con la
base siguiente:
Un espacio tiene una infinidad de bases distintas, aunque todas estas opc~ones t~enen algo
en común. El número de vectores de 'la. base es una propiedad del espacio en s1:
Hay que demostrar este hecho: Todas las bases posibles contienen el misrr:o nú~~­
ro de vectores. El plano x-y en la figura 2.4 tiene dos vectores en cada base; su drmens1on
es 2.
La cuestión es que una base es un contimto tiuJ..~n~mtlze,nte
más grande sin
independencia. Una base también es un
minimal. No es posible hacerlo más pequeño y seguir generando el espacio.
El lector debe observar que el término "dimensional" se utiliza en dos sentidos diferentes. Se habla sobre un vector tetradimensional, haciendo referencia a un vector que está en
2.3
98
Capítulo 2
Independencia lineal. base y dimensión
99
Espacios vectoriales
9.
R 4. Ahora se ha definido un subespacio tetradimensional; un ejemplo es el conjunto de
vectores que están en R 6 cuyas componentes primera y última son cero. Los elementos de
este subespacio tetradimensional son vectores hexadimensionales como (O, 5, 1, 3, 4, 0).
Una nota final sobre el lenguaje que se utiliza en álgebra lineal. Nunca se utilizan expresiones como "la base de una matriz", "rango de un espacio" o "dimensión de una base".
Estas frases carecen de sentido. Es la dimensión del espacio columna lo que es igual al rango de una matriz, como se demostrará en la siguiente sección.
Suponga que V1, Vz, V3 Y V4 son vectores en R3
a) Estos cuatro vectores son dependientes porq~e
b) Los dos vectores v 1 y Vz son dependientes porq-;;-·
e) Los vectores v 1 y (O , (\ , 0) son d ependientes
.
-·
porque-_
_.
4
10. Encuentre dos vectores independientes en el plano x + 2 - 3 - y ? z t - O en R . Luego encuentre tres vectores independientes . Por q ,
te el espacio nulo?
· i..
ue no cuatro· ¿De cuál matriz es ésLos problemas 11 a 18 son sobre el es ado
Considere todas las combinadon~~ li ~. d glenerado por un conjunto de vectores.
""' ne....es e os vectores.
Los problemas 1 a 10 son sobre independencia, y dependencia lineal.
Demestre que v , v , v son independientes pero que v 1, v 2 , v 3 , v 4 son dependientes:
3
2
1
l.
Encuentre el mayor número posible de vectores independientes entre los siguientes:
12. ~c~~~t~: b está en el subespaci? generado por las columnas de A cuando hay una so__ . El vector e esta en el espacio renglón de A cu d h
.,
de
· Fals
d d ? .
an o ay una soluc1on
nes son d~pen~;;:; a ero.: S1 el vector cero está en el espacio renglón, los renglo-
Este número es la _ _ del espacio generado por las vs.
13. Encuentre las dimensiones de
a) El espacio columna de A
b) El espacio columna de
e) El espacio renglón de A, '
d) El espacio renglón de u.
Resuelva c v + · · · + c4 v 4 =O o bien Ac =O. Las vs van en las columnas de A.
1 1
2.
3?
11. Describa el subespacio de R3 (¿es una recta un l
0
a) Los vectores (1 1 - l) (
'
P ano R ·) generado por
, '
y - 1, -1, 1).
b) Los vectores (O, 1, 1) y (1, 1, O) y (O, O, O).
e) Las columnas de una matriz escalonada de 3 por 5 con 2 pivotes
d) Todos los vectores con componentes positivas.
.
u
Demuestre que si a = O, d = O o bienf = O (3 casos), entonces las columnas de U son
3.
dependientes:
b
d
o
4.
5.
6.
Si a, d, f en el problema 3 son todos distintos de cero, demuestre que la única solución
de Ux = O es x = O. Así, las columnas de U son independientes.
Decida la dependencia o independencia de
a) Los vectores (1, 3, 2), (2, 1, 3), y (3, 2, 1).
b) Los vectores (1, -3, 2), (2, 1, -3), y (-3, 2, 1).
Escoja tres columnas independientes de U. Luego elija otras dos. Haga lo mismo para A. ¿Encontró bases para estos espacios?
¿Cuáles de estos dos espacios son iguales?
A~
.
8.
las vs que dé cero.
Si w , w , w son vectores independientes, demuestre que las sumas v 1 = w2 + w 3 ,
3
v =1 w 2+ w , y v = w 1 + w2 son independientes. (Escriba c 1 v 1 + c2 v2 + c3 v3 =
3
3
1
2
O en términos de las ws. Encuentre, y resuelva ecuaciones para las cs.)
3
2
1
3
3
U~ ¡g ~
!l
+ w
w yYvv -- w
w son
de v y w. E sen·ba v y w como combinaciones de
15. vv +
Los combinaciones
dos p
d
·
ares e vectores
el mis
. C ,
yen una base para el mismo espa . ?
-mo espac10. ¿ uando constituc10.
16. ~~t:~~e1z~a :ivlo~ scigvuie+ntes ve~oores son o no linealmente independientes, resolvien-
y
7.
y
14. EscoJax = (xi, Xz, X3, X4) en R4. Tiene 24 reordenarnientos como (
X3, X¡, Xz). Estos 24 vectores, incluyendo x mism
Xz, Xi: X3, X4) y (x4,
tre vectores específicos x de modo que la dº
~', gednerSan un subespac10 S. Encuen1mens1on e sea: a) o, b) 1, e) 3, d) 4.
2 2
Si w , w , w son vectores independientes, demuestre que las diferencias v 1 = w 2 3
w , v1 =2 w - w , y v = w - w 2 son dependientes. Encuentre una combinación de
1
¡¡ ~ J]
'
v,
3 3
C4V4 -
:
~ [~l v, ~ [il v, ~ l!l· v, ~ [~]
Tamb1en decida si generan R4, intentando resolver C1V1 + ... +e4 v4 =(O ' O' O' 1) ~
17. Seunpolnga que los vectores cuya independencia habrá de comprobarse se escriben en los
. el proceso de eliminación
g ones,
rde A
a U .en
l vez de en las colun:nas de A . i..·C,orno decide
s1 os vectores son o no mdependientes?
e
2.3
100
Capítulo 2
Independencia lineal. base y dimensión
101
Espacios vectoriales
18. Para decidir si b está en el subespacio generado por w 1, ••• , w no considere que los vectores w son las columnas de A, e intente resolver Ax = b. ¿Cuál es el resultado para
a) W¡ = (1, 1, 0), W2 = (2, 2, 1), W3 = (0, 0, 2), b = (3, 4, 5)?
b) w = (1, 2,.0), w 2 = (2, 5, 0), w 3 =(O, O, 2), w 4 =(O, O, 0), y cualquier b?
1
28.
¿F~~o o verdadero? (proporcione una razón aceptable).
a)) E1 las columnas de una matriz son dependientes, también lo son los renglones
· d e 2 por 2 es el mismo que su espacio renglón
·
de una matnz
b El1
e)
. columna
l
~spacio ~o umna de una matriz de 2 por 2 tiene la misma dimensión que su es.
pac10 reng on.
d) Las columnas de una matriz son una base para el espacio columna.
1
29. ¿Para cuáles números e y del rango de las siguientes matrices es 2?
19. Si v , . . . , Vn son linealmente independientes, el espacio que generan tiene dimensión
_ _1 . Estos vectores son una _ _ para ese espacio. Si los vectores son las columnas
de cualquier matriz de m por n, entonces m es _ _ que n.
20. Encuentre una base para cada uno de los siguientes subespacios de
a) Todos los vectores cuyas componentes son iguales.
b) Todos los vectores tales que la suma de sus componentes es cero.
e) Todos los vectores perpendiculares a (1, 1, O, 0) y (1, O, l, 1).
d) El espacio columna (en R 2 ) y el espacio nulo (en
de U =
o 1 o 1)
[~ 1 o 1 o .
21. Encuentre tres bases distintas para el espacio columna de la matriz U anterior. Luego
encuentre dos bases distintas para el espacio renglón de U.
22. Suponga que v 1, v 2 , .•• , v 6 son seis vectores en
4
a) Estos vectores (generan)(no generan)(podrían generar) R •
b) Estos vectores (son)(no son)(podrían ser) linealmente independientes.
e) Cuatro cualesquiera de esos vectores (son)(no son)(podrían ser) una base de
d) Si esos vectores son las columnas de A, entonces Ax = b (tiene)(no tiene)(podría
tener) una solución.
23. Las columnas de A son n vectores de Rm. Si son linealmente independientes, ¿cuál es
el rango de A? Si generan Rm, ¿cuál es el rango? Si son una base de Rm, entonces ¿qué
ocurre?
24. Encuentre una base del plano x - 2y + 3z = O en
. Luego encuentre una base para la intersección de ese plano con el plano xy. Luego encuentre una base de todos los
5
o
o o d
25. Suponga que las columnas de una matriz invertible A de 5 por 5 son una base de
a) La ecuación Ax = O sólo tiene la solución x = O porque _ _ .
, entonces Ax= bes resoluble porque _ _ .
Conclusión: A es invertible. Su rango es 5.
26. Suponga que Ses un subespacio pentadimensional de
. ¿Falso o verdadero?
6
a) Toda base de S
extenderse a una base de R sumando un vector más.
puede reducirse a una base de S quitando un vector.
b) Toda base de
27. U se obtuvo a partir de A restando el renglón 1 del renglón 3:
3
l
y
o
n
Encuentre bases de los dos espacios columna. Encuentre bases de los dos espacios renglón. Encuentre bases de los dos espacios nulos.
~]
y
B =
[~ ~J.
30. Localice los pivotes, para encontrar una base del espacio columna de
u~¡~ ~ ~
n
d 1 b cae:; col~~ª que no está en la base como una combinación de las columnas
e ª . ase. amb1en encuentre una matriz A con esta forma escalonada u pero cuyo
espac10 co 1umna sea diferente.
'
Encuentre un contraejemplo de la
afirm . , . s·1
31. del
espacio vect "al
·
. acmn.
V¡, V2, V3, V4 es una base
on
, Y s1 W es un subespac10, entonces algún subconJ"unto de las
vs es una base de W.
32. Encuentre ~as dimensiones de los siguientes espacios vectoriales:
~~ ~i espac:o de ltoddosllos vectores en R4 tales que la suma de sus componentes es cero
espac~o nu o e a matriz identidad de 4 por 4.
·
e) El espacio de todas las matrices de 4 por 4 _
33. Suponga qu~ se sabe que la dimensión de V es k. Demuestre que
en V son una base·
a) cualesqmera k vectores
b) cualesquiera k vectores que generan V son una base.
,
~n otras ~adlabras, si se sabe que el número de vectores es correcto entonces una de las
os prop1e ades de una base implica a la
vectores perpendiculares al plano.
b) Si b está en
2
O e 2
'
34. Demuestre que si V Y W son subespacios vectoriales tridimensionales de
V Y W deben tener en c?mún un vector diferente de cero. Sugerencia:
ses de los dos subespac1os, formando seis vectores en total.
, entonces
con ba-
35. ¿Falso o verdadero?
entonces Ax = b tlene
exaca) Si las columnas de. A son linealmente
·
tamente una soluc1ón para toda b.
b) Una matriz de 5 por 7 nunca tiene columnas linealmente in•C!e¡:ier1dien1:es.
A Ax
es una
matriz
,
36. Silen
_ O?
. , de 64 por 17 ~on rango 11 , ¿cuantos
vectores independientes cum- ·.,cuantos vectores mdependientes cumplenAT y= O?
p
37. E)n~edntre una b~e de ~ada uno de los siguientes subespacios de matrices de 3 por 3:
a 'º as las matnces diagonales.
b) Todas las matrices simétricas (AT =A).
e) Todas las matrices sesgadas simétricas (AT = -A).
2. 4
102
Capítulo 2
Espacios vectoriales
**
*
Los problemas 38 a 42 son sobre espacios en los que los "vectores" son funciones.
38. a) Encuentre todas las funciones que cumplen
b) Encuentre una función particular que cumpla
e) Encuentre todas las funciones que cumplen
=O.
El lector puede adivinar cuál debe ser el rocedi .
A produce una matriz escalonada U o una red P. d R rmento. Cuando la eliminación sobre
.uc1 a , para ~ada uno de los subespacios asociados con A se encuentra una base Lue
go total:
.
go nene que considerarse el caso extremo de ran-
= 3.
=
Cuando el rango es lo más grande posible r n o r 0
B
u .
' d
- m r m = n, la matriz tiene una inversa
, 0 na mversa erecha C o una A -1 por ambos lados.
= 3.
39. El espacio coseno F contiene todas las combinaciones y(x) =A cos x + B cos 2x +
3
C cos 3x. Encuentre una base del subespacio que cumple y(O) = O.
40. Encuentre una base para el espacio de las funciones que cumplen lo siguiente:
103
Los cuatro subespacios fundamentales
=
Con, la finalidad de organizar todo el ana-¡·is1s
. cad a uno de los cu tr
b
.
a o su espac10s se abord ara a su vez. Dos de ellos son conoc1·dos Y d,os son nuevos.
1.
2.
3
•
C(A
.
.
'
El espacio columna de A se denota
El espacio nulo de A
d
por
). Su d1mens1ón es el rango r.
El
.
se enota por N(A). Su dimensión es n - r
espacw renglón de A es el espacio columna de T
T
.
renglones de A. Su dimensión también es r.
A . Es C(A ), y es generado por los
dx
X
41. Suponga que y (x), yz(x), y 3 (x) son tres funciones distintas de x. El espacio vectorial
1
que pueden generar tiene dimensión l, 2, 3. Proporcione un ejemplo de y 1, Yz· Y3 que
4.
El espacio nulo izquierdo de A es el es acio l
T
.
res Y, tales que A T y = O y se escribe Np(AT) Snud~ de A . . Connene a todos los vecto,
· u imens1ón es
muestre cada posibilidad.
42. Encuentre una base para el espacio de los polinomios p(x) de grado ::s 3. Encuentre
La cuestión sobre los dos últimos subes acios es
.
--·T
tr,iz de m por n, es posible ver cuáles espaci! "hués que f,rovz~nen de A . Si A es una mac10s, al observar el número de componentes:
pedes connenen a los cuatro subespa-
dy
-2y =O.
dx
a)
-
b)
dy -
~=o.
una base para el subespacio de p(l) =O.
43. ¡Escriba la matriz identidad de 3 por 3 como una combinación de las otras cinco matrices permutación! Luego demuestre que estas cinco matrices son linealmente independientes. (Suponga que una combinación proporciona cero, y verifique los elementos
para probar que cada término es cero.) Las cinco permutaciones son una base del subespacio de matrices de 3 por 3 cuyas sumas de renglones y columnas es igual.
El espacio nulo N(A) y el espacio reno-lón C(AT) son sub
El espacio nulo izquierdo N(AT) y el :spacio columna
3
y (0, l, -1).
b) (1, l, -1),(2, 3,4),(4, 1, -1),(0, 1, -1).
e) (1,2,2),(-1,2,l),(0,8,0).
d) (1, 2, 2),( -1, 2, 1),(0, 8, 6).
d R
Los
. sencilla
.
comorenglones tienen n componentes y las columnas tienen m. p ara una matnz
A = U = R = [ l
º]
o oO o,
44. Repaso: ¿En cuáles de los siguientes incisos se muestran bases de R ?
a) (1, 2, 0)
.
C(~f:~~:ui::s;~cios de Rm.
el
columna
. renglón es la recta que pasa por
[l espacio
O O]T. Está
en R3esElla recta .que pasa por [ oi] . E1 espacio
· espacio nulo es un plano en R3 Y e1 espac10
. nulo izquierdo es una
recta en R :
2
45. Repaso: Suponga que A es de 5 por 4 con rango 4. Demuestre que Ax = b no tiene solución cuando la matriz [A b] de 5 por 5 es invertible. Demuestre que Ax = bes reso-
N(A) contiene
m ¡n
y
N(A') contiene
¡n
Observe que todos los vectores son vectores c l
tos, y el espacio renglón de A es el espacio co~u:~:ad;i;;uso los renglones están tras~ueslos cuatro espacios para u (después de
r . .,
·Nuestro problema es relacwnar
1
1
La sección anterior se centró más en definiciones que en construcciones. Se sabe lo que es
una base, pero no cómo encontrar una. Ahora, empezando con una descripción explícita de
un subespacio, sería conveniente calcular una base explícita.
Los subespacios pueden describirse en dos formas. Primero, puede proporcionarse un
subconjunto de vectores que generan el espacio. (Ejemplo: Las columnas generan el espacio columna.) Segundo, pueden especificarse las condiciones que deben cumplir los
vectores en el espacio. (Ejemplo: El espacio nulo consta de todos los vectores que cumplen Ax= O.)
La primera descripción puede incluir vectores inútiles (columnas dependientes). La segunda descripción puede incluir condiciones repetidas (renglones dependientes). No es posible escribir una base por inspección, de modo que se requiere un procedimiento
sistemático.
básico
U =
i'"':::::n ~~[troi'P'Ctt
[g g ; ;
o o
:
-1
-3
3
;] ·
4
Como
' novedad, los cuatro espacios se considerarán en un orden más interesant e.
u ¡
.
deA p ara cad a matnz
. escalonada
3· E •espado
dente. Contiene a todas las combina .
d
como , e espacio renglón es evi.
c10nes e 1os ren.,.lones c
.
pac10 renglón aunque aquí el terc
,
"'
• orno ocurre con cualquier eser reng1on no contribuye a nad L d
.
,
reng1ones son una base del espacio ren 1 , U
.
a. os os pnmeros
triz escalonada U o R
.
g on. na regla seme3ante es válida para toda ma, con r pivotes y r renglones dif
t
d
l
rentes de cero son una base y la dº
., d l
eren es e cero: os renglones difecon la matriz original A.
,
zmenswn e espacio renglón es r. Esto facilita tratar
2.4
104
Capítulo 2
Los cuatro subespacios fundamentales
105
Espacios vectoriales
La razón es que cada operación elemental deja sin cambio el espacio renglón: Los rengl~­
nes en u son combinaciones de los renglones originales en A. En consecuencia, el espa~10
l 'n de u no contiene nada nuevo. Al mismo tiempo, debido a que cada paso
m::~~e nada se pierde; los renglones de A pueden recuperarse de U. Es cierto qu~l_?s .ren~
glones de A y u son distintos, pero las combinaciones de los renglones son l entlcas.
l
·
l'
·mismo espacio!
i
Observe que no se empezó con los m renglones de A, que g~neran e e~pac10 r~ng on~
r de ellos para terminar con una base. Segun 2L, hubiera podido ha
. ·
y que se elmunan m ,
ar y cuá
cerse lo anterior. Sin embargo, podría ser difícil decidir cuáles reng1o~es preserv ,
les eliminar, por lo que fue más fácil considerar los renglones de U diferentes de cero.
El
nulo de A La eliminación simplifica un sistema de ecuaciones lineales
2
sin cambiar las soluciones. El sistema Ax = O se reduce al sistema Ux = O, y este ~roceso
'ble El espacio nulo de A es el mismo que el espacio nulo de U Y R. Sol~ r d:
els revers1. . Ax - b son independientes Al elegir las n - r "soluciones espec1ales
as ecuac10nes
·
.
de Ax = o se obtiene una base definida para el espacio nulo:
La dinaencSión
una base: a
·son O, Así, Ax= O o Ux 7"'.0o
atrás.
Ésta es exactamente la forma en que se ha venido resolviendo Ux = º: El eje:Uplo básito
anterior tiene pivotes en las columnas 1 y 3. En con~ecuencia, sus vanables libres son as
columnas segunda y cuarta, v y y. La base del espacio nulo es
v=O
Soluciones es1Jec:ialles
V
= 1
X¡
y=O
= [-:
1];
d¡
[
0
º
El
columna de A
¡El espacio renglón y el espacio columna tienen la misma dimensión r! Este es uno de
los teoremas más importantes en álgebra lineal. A menudo se abrevia como "rango de los
un resultado que, para una matriz aleatoria
renglones =rango de las columnas".
de 10 por 12 no es para nada evidente. También dice algo sobre las matrices cuadradas: Si
los renglones de una matriz cuadrada son linealmente independientes, entonces también lo
son las columnas (y viceversa). De nuevo, esto no parece autoevidente (por lo menos, no
para el autor).
Para ver otra vez que la dimensión del espacio columna y del espacio renglón de U es
r, considere una situación típica con rango r = 3. La matriz escalonada U ciertamente tiene tres renglones independientes:
* * * * *]
U=~¡;[:¡_**
y=l
Cualquier combinación c 1x 1 + cz.X2 tiene a c 1 en su componente v, y a c2 en su componenc - c = O de modo que estos vecte . La única forma en que c1X1 + c2x2 = es que 1 - 2
,
•,
to:es son independientes. También generan el espacio nulo; la soluc1on completa es vx1 +
Así los n - r = 4 - 2 vectores son una base.
.
YX2. El ~spacio nulo también se denomina kernel de A, y su dimensión n - res la nulidad.
1
estas dos. Además, lo mismo es cierto para la A original; aun cuando sus columnas son diferentes. Las
de A son una base de su espacio columna. La segunda cojusto como en U. La cuarta columna es igual a (columna 3)
lumna es tres veces la
- (columna 1). El mismo espacio nulo indica estas dependencias.
Lo anterior se debe a que Ax = O exactamente cuando Ux = O. Los dos sistemas son
equivalentes y tienen las mismas soluciones. La cuarta columna de U también era (columna 3) - (columna 1). Toda dependencia lineal Ax= O entre las columnas de A es compensada por una dependencia Ux = O entre las columnas de U, con exactamente los mismos
coeficientes. Si un conjunto de columnas de A es independiente, entonces también lo son
las columnas correspondientes de U, y viceversa.
Con la finalidad de encontrar una base del espacio columna C(A), se usa lo que ya se
ha hecho para U. Las r columnas que contienen a los pivotes son una base del espacio columna de U. Estas mismas r columnas se elegirán en A:
o oo~·
000000
Se afirma que U también tiene tres columnas independientes y no más que tres. Estas columnas sólo tienen tres componentes diferentes de cero. Si puede demostrarse que las columnas
pivote: la primera, la cuarta, y la sexta, son linealmente independientes, entonces debe haber
una base (¡para el espacio columna de U, no el de A!) Suponga que una combinación de estas columnas pivote produjo cero:
El espacio columna a veces se denomi~a. :rango. Esto es
c~nsistente con la idea de costumbre que se tiene respecto del contradorrumo como el co~­
junto de todos los valores posiblesf(x); x está en el dominio y f(x) está en el contra:~rru­
nio En nuestro caso, la función es f (x) = Ax. Su dominio consta de todas las x en
; su
co~tradominio consta de todos los vectores posibles Ax, que es el espacio columna. (En una
edición previa a ésta se denominó R(A).
.
A Estos esEl problema consiste en encontrar base para los espacios col~a de
observe las matrices!) aunque su drmens1on es la misma.
. tt'nt
son d1s os
.
s
Las columnas primera y tercera de U son una base de su espacio column~. ~,trata
.
otra columna es una combmac1on de
de Zas columnas que conttenen a
'!,Y · .
Trabajando hacia arriba como de costumbre, c 3 debe ser cero porque el pivote d3 =fa O; así,
c 2 debe ser cero porque el pivote d2 =fa O; y finalmente c 1 =O. Con esto se establece la inde1oe11de:ncia y se completa la demostración. Como Ax = O si y sólo si Ux = O, las columnas
cuarta y sexta de A, sin importar cuál era la matriz original A, que ni siquiera
se conoció en este ejemplo, son una base de C(A).
011736
2.4
106
Capítulo 2
Los cuatro subespacios fundamentales
10 7
Espacios vectoriales
El espacio columna y el espacio renglón se vuelven evidentes después de la eliminación sobre A. A continuación se abordará el cuarto subespacio fundamental, que se ha mantenido silenciosamente fuera de la vista. Debido a que los tres primeros espacios eran C(A),
N(A) y C(AT), el cuarto espacio debe ser N(AT). Es el espacio nulo de la traspuesta, o el espacio nulo izquierdo de A. ATy = O significa que yTA = O, y el vector aparece en el miembro izquierdo de A.
A = [;
l.
4. El espado nulo
de A ( = espacio nulo de A T) Si A es una matriz de m por
n, entonces AT es de n por m. Su espacio nulo es un subespacio de Rm; el vector y tiene m
componentes. Si se escribe como yTA =O, estas componentes multiplican los renglones de
A para producir el renglón cero:
Ym] [
A
] =
[O ···O].
La dimensión de este espacio nulo N(AT) es fácil de encontrar. Para cualquier matriz,
el número de variables pivote más el número de· variables libres debe corresponder al número total de columnas. Para A, erar+ (n - r) = n. En otras palabras, el rango más las
nulidades igual a n:
dimensión de C(A) + dimensión de N(A)
2.
~] tiene m = n = 2, y rango r = l.
El espacio columna contiene a todos los múltiplos de [ l ] La segund
en
la mi
dir · ,
3 •
a co lumna esta,
sma ecc1on y no contribuye con nada nuevo.
El espacio nulo contiene a todos los múltiplos de [-~]. Este vector satisface Ax = o.
3.
El espacio renglón contiene a todos los múltiplos de [ 21 ] • Lo esen·bo como un vector
columna porque, hablando estrictamente, está en el espacio columna de A T.
4. El espacio
nulo izquierdo contiene a todos los múltiplos de y = [-3]
L
d 1
l
1 • a suma e os
reng. ones de A con coeficientes -3 y l es cero, de modo que ATy = o.
E~este e3emplo todos los cuatro subespacios son rectas. Esto es accidental y proviene de
r-lyn-r=ly m - r - I ·Enl f
a iigura 2.5 se muestra que dos pares' de rectas son
perpendicul ares. ¡Esto no es accidental!
= número de columnas.
espacio columna
C(A)
múltiplos de (1, 3)
Esta ley se aplica igualmente aAT, que tiene m columnas. AT es tan buena matriz como A.
Pero la dimensión de su espacio columna también es r, de modo que
r +dimensión (N(AT)) = m.
(1)
Las m - r soluciones de yTA = O se esconden en alguna parte durante la eliminación.
Los renglones de A se combinan para producir los m - r renglones cero de U. Se empieza
1
con PA = LU, o con L - i PA = U. Los últimos m - r renglones de la matriz invertible L- P
deben ser una base de las ys en el espacio nulo izquierdo, ya que multiplican a A para producir los renglones cero en U.
En el ejemplo de 3 por 4, el renglón cero era el renglón 3 - 2(renglón 2) + 5(renglón
1). En consecuencia, las componentes de y son 5, -2, l. Esta es la misma combinación que
en b - 2b + 5b en el miembro derecho, lo cual lleva a O = O como la ecuación final.
1
2
3
Ese vector y es una base para el espacio nulo izquierdo, cuya dimensión es m - r = 3 2 = l. Es el último renglón de L- 1P, y produce el renglón cero en U, y a menudo puede
verse sin necesidad de calcular L - i. Cuando se está desesperado, siempre es posible resolver precisamente ATy = O.
Me doy cuenta de que hasta el momento, en este libro, no se ha proporcionado ninguna razón para tener cuidado sobre N(AT). Es correcto pero no convincente si en cursivas se
escribe que el espacio nulo izquierdo siempre es importante. En la siguiente sección se mejora el tema de encontrar un significado físico para y, a partir de la ley de la corriente de
Kirchhoff.
Ahora ya se conocen las dimensiones de los cuatro espacios. Pueden resumirse en una
tabla, y aún así falta mucho para poder indicarlas como el
espacio renglón C(AT)
múltiplos de (1, 2)
Figura 2.5
espacio nulo N(A)
espacio nulo N(AT)
múltiplos de (3, -1)
múltiplos de (2, -1)
Los cuatro subespacios fundamentales (rectas) de la matriz singular A.
:i
el ~~timo elemer:to de A se cambia de 6 a 7, todas las dimensiones son diferentes.
La d1mens1on
· nu¡o y e¡ es·
l · del
· espacio
, columna y el espacio renglón es r = 2 · El es pac10
pacio nu o izquierdo solo contienen a los vectores x = O y y - o. La ma t nz
· es mvertz
·
'ble.
Existencia de inversas
Se sabe que si~ tiene una inversa izquierda (BA = [) y una inversa derecha (AC = l) entonces
dos·1 mversas
tri las f'
d ·dir son
, iguales: B = B(AC) = (BA)C = e · As1,, por e l rango de ' una
ma z, es ·ac1 ec1 . cuáles matrices tienen en realidad estas mversas.
·
E n tenrunos
, ·
ral
geneura
es,Eluna inversa
· existe sólo cuando el rango es lo más ,,,.
. nd e posiºble.
rango
r :::; m y también r <
d
.
t
, d siempre cumple
- n · Una matriz de mpornnopuee
ener_ mas e ~ reng1ones mdependientes o n columnas independientes. No hay espacio para mas de m p1vot'.:_'.', o O:ás de n ..se quiere demostrar que cuando r = m hay una inversa de:ech'.1' Y que Ax - . ~ s1e:np~e nene una solución única. Cuando r = n, hay una inversa
izquierda y la soluc1on (si existe) es única.
Sólo. una matriz cuadrada puede t ener ambos r - m y r = n, y en consecuencia sólo
~na matrlz cuadrada puede tener existencia y unicidad. Sólo una matriz cuadrada tiene una
mversa por ambos lados.
2.4
108
Capítulo 2
Los cuatro subespacios fundamentales
109
Espacios vectoriales
No hay variables libres, ya que n - r = O. Si existe una solución, es única. El lector puede ver cuándo este ejemplo tiene una solución o no tiene solución.
[g g] [~:]
En el caso de existencia, una solución posible es x = Cb, ya que entonc~s Ax =
ACb = b. Sin embargo, hay otras soluciones si hay otras inversas derechas. El numero de
soluciones cuando las columnas generan Rm es 1 o oo.
En el caso de unicidad, si hay una solución de Ax = b, debe ser x = BAx = Bb. Pero
puede no haber solución. El número de solucione~ es º.o 1.
.
.
_
Hay fórmulas sencillas para encontrar las mejores mversas izquierda y derecha, en ca
l.
2.
T
l
.
Ciertamente BA = ¡y AC = /. Lo que no es tan cierto es que A A y
son rea mente~vertibles. En el capítulo 3 se demostrará que ATA tiene inversa si el rango es n, Y
tiene inversa cuando el rango es m. Así, las fórmulas tienen sentido exactamente cuando el
rango es lo más grande posible, y se encuentran las inversas por un lado.
Considere una matriz sencilla de 2 por 3 con rango 2:
A=[6 ~ g}
Debido a que r = m = 2, el teorema garantiza una inversa derecha C:
Ac~[~ ~ g] U. L1 ~¡¿ n
Hay muchas inversas derechas porque el último renglón de Ces co~pleu:rnente ~bit~ario.
Este es un caso de existencia pero no de unicidad. La matriz A no tiene mversa izqmerda
porque la última columna de BA es ciertamente cero. La inversa derecha específica C =
AT(AAT)-1
que c 31 y c 32 sean cero:
La
Esta es la seudoinversa: una forma de escoger la mejor C en la sección 6.3. La traspuesta
de A, lleva a un ejemplo de una infinidad de inversas izquierdas:
BAT
~ ¿ ~ ~:: l [~ ~] ~ [¿
[
n
Ahora, la que es completamente arbitraria es la última columna ~~ B. La me~o~ in~~rsa izquierda (también la seudoinversa) tiene b 13 = b23 = O. Este es un caso de umc1dad , cuando el rango es r = n.
mcum~trn~do b, ~o.
Las columnas generan Rn, de modo que Ax = b tiene por lo menos una solución para
toda b.
Las columnas son independientes, de modo que Ax = O sólo tiene la solución x = O.
Esta lista puede hacerse mucho más grande, especialmente si se piensa en los capítulos ulteriores. Cada condición es equivalente a cualquier otra, lo cual asegura que A es invertible.
4.
5.
Los renglones son linealmente independientes.
Es posible completar la eliminación: PA = LDU, con todos los n pivotes.
6.
7.
8.
El determinante de A es diferente de cero.
El cero no es un valor característico de A.
ATA es positiva definida.
A continuación se presenta una aplicación típica a polinomios P(t) de grado n - l. El
único de estos polinomios que se hace cero en t 1, . • • , tn es P(t) =O. Ningún otro polinomio de grado n - l puede tener n raíces. Esto es unicidad, e implica existencia: Dados valores cualesquiera b 1, • • • , bn, existe un polinomio de grado n - 1 que interpola estos
valores: P(t¡) = b¡. La cuestión es que está tratando con una matriz cuadrada; el número n
de coeficientes en P(t) = x 1 + x 2 t + · · · + xnt"- 1 corresponde al número de ecuaciones:
P(t;) = b;
inversa derecha
"'"º!ubio
tener tanto existencia corno unicidad. Si m es diferente de
n, entonces no
r = m y r = n.
Una matriz cuadrada constituye el caso opuesto. Si m = n, no
cumplirse una propiedad sin la otra. Una matriz cuadrada tiene una inversa izquierda si y sólo si tiene una
inversa derecha. Sólo hay una inversa; a saber, B = C = A -l. Cuando la matriz es cuadrada, la existencia implica la unicidad y la unicidad implica la existencia. La condición para
invertibilidad es el :rango total.: r = m = n. Cada una de las siguientes condiciones es una
prueba necesaria y suficiente:
so de existir:
Inversas por un lado
mi
[(
t¡
t2
t2
t2
1
2
t2
n
Esta matriz de Vandermonde es de n por n y con rango total. Ax = b
tiene una solución: un polinomio puede pasar por cualquier b¡ en puntos distintos t¡. Después se encontrará realmente el determinante de A; no es cero.
Matrices de rango 1
Por último llega el caso más sencillo, cuando el rango es lo más pequeño posible (excepto
por la matriz cero con rango O). Uno de los temas básicos de las matemáticas es, dado algo
1111
Capítulo 2
Espacios vectoriales
2.4
complicado, demostrar cómo puede descomponerse en piezas sencillas. Para el álgebra lineal, las piezas sencillas son las matrices de rango 1.
Rango 1
¡ ; ;]
A=
[-~ -~ -~
uJJl ur
= (columna)(renglón)
l
1)
El producto de una matriz de 4 por l y una matriz de l por 3 es una matriz de 4 por 3. El
rango de este producto es l. Al mismo tiempo, las columnas son todos los múltiplos del
mismo vector columna; el espacio columna comparte la dimensión r = 1, y se reduce a una
recta.
111
6. Supong,a que A es cualquier matriz de m por n de rango r. ¿En qué condiciones sobre
estos numeros
a) A tiene una inversa por ambos lados: AA- 1 = A- 1A =
b) Ax= b tiene una infinidad de soluciones para toda b?
tiene r = l.
Cada renglón es un múltiplo del primer renglón, de modo que el espacio renglón es unidimensional. De hecho es posible escribir toda la matriz como el producto de un vector columna y un vector renglón:
A
Los cuatro subespacios fundamentales
n
7. ¿Por qué no existe ninguna matriz cero cuyos espacios renglón y nulo contengan a (1 '
l, 1)?
,
8. Suponga que la única solución de Ax= O (m ecuaciones en n incógnitas) es = o
¿Cuál es el rango Y por qué? Las columnas de A son linealmente _ _.
x
·
9. Encuentre una matriz de 1por3 cuyo espacio nulo conste de todos los vectores en
tales que x 1 +
+ 4x3 = O. Enc uentre una matriz
· de 3 por 3 con el rmsmo
·
espacio
nulo.
10. Si~ = b siempre tiene por lo menos una solución, demuestre que la única solución
de A y = O es y = O. Sugerencia: ¿Cuál es el rango?
11. Si Ax= O tiene una solución diferente de cero, demuestre queATy =/falla en ser resoluble para algunos miembros derechos f Construya un ejemplo de A y¡
12. Encuentre el rango de A, y escriba la matriz como A = uv T;
vT,
A=
Todos los renglones son múltiplos del mismo vector
y todas las columnas son múltiplos de u. El espacio renglón y el espacio columna son rectas: el caso más sencillo.
1 o o 3]
[2O oO oO 6O
y
A=
[2 -2]
6
-6.
13. Si se proporcionan a, b, c con a =I= O, escoja d de modo que el rango de
l.
2.
Falso o verdadero: Si m = n, entonces el espacio renglón de A es igual al espacio columna. Si m < n, entonces el espacio nulo tiene una dimensión mayor que _ _ .
Encuentre la dimensión, y construya una base para los cuatro subespacios asociados
con cada una de las siguientes matrices
1
4
2 8
3.
y
º]
o i 4
U=oooo·
[
Encuentre la dimensión y una base para los cuatro subespacios fundamentales de
2
1
2
4.
º]o
l
ol o1
o l
y
l
2
u= o
l
ll
o1 o .
[o o o o
Describa los cuatro subespacios en el espacio tridimensional asociados con
º]
A=[~ !]=uvT
sea l. ¿Cuáles son los pivotes?
14. Encuentre una inversa izquierda y/o una inversa derecha (cuando existan) para
A=[¿: n
n T=[~ !J
y
16. (Una paradoja) Suponga que A tiene una inversa derecha B. Así, AB = ¡conduce a
ATAB = AT o B = (ATA)- 1AT· s·m emb argo, satisface
·
·
BA = l; es una mversa
izquierda. ¿Cuál paso no está justificado?
17. Encuentre .una matriz A cuyo espacio renglón sea V, y una matriz B cuyo espacio nulo sea V, s1 V es el subespacio generado por
[ll rnl· w
o o o
Si el producto AB es la matriz cero, AB = O, demuestre que el espacio columna asociado de B está contenido en el espacio nulo de A. (También, el espacio renglón de A
está en el espacio nulo izquierdo de B, ya que cada renglón de A multiplica B para obtener un renglón cero.)
M=[l
15. Si las columnas de A s?n linealmente independientes (A es de m por n), entonces el
rango es _ _, el espac10 nulo es __, y existe una inversa _ _ .
A= [oO Oi 1.
5.
y
18. Encuentre una base de cada uno de los cuatro subespacios de
A=
[o
1
O l
2 3
2 4
o o o
~]
u ~][~ n
o
l
l 2 3
o o 1
o o o
112
Capítulo 2 Espacios vectoriales
2.4
19. Si A tiene los mismos cuatro subespacios fundamentales que B, ¿es cierto que A = cB?
20. a) Si el rango de una matriz de 7 por 9 es 5, ¿cuáles son las dimensiones de los cuatro subespacios? ¿Cuánto es la suma de los cuatro subespacios?
b) Si el rango de una matriz de 3 por 4 es 3, ¿cuáles son el
columna y el espacio nulo izquierdo?
21. Construya una matriz con la propiedad requerida, o explique por
a) El espacio columna contiene a [
i] ,[~] ,
no es posible.
31.
por qué v = (1, O,
espacio nulo.
A=
22. Sin eliminación, encuentre las dimensiones y bases de los cuatro subespacios de
A~[P
Hl
B~[Hl
y
23. Suponga que una matriz A de 3 por 3 es invertible. Escriba bases de los cuatro subespacios de A, y también para la matriz de 3 por 6 B = [A A].
24. ¿Cuáles son las dimensiones de los cuatro subespacios de A, B, y C, si I es la matriz
identidad de 3 por 3, y O es la matriz cero de 3 por 2?
A = [1
0)
B = [
y
¿T ¿T]
y
C = (0).
ser un renglón de A y también estar en el
º]
oO Oi 1
[o o o
y
1
+A~ ¡g
[A b]
=u
2
5
8
3
6
9
b1]
b2
b3
-+
[ol -32 -63
o o o
Una combinación de los renglones de A produjo el renglón cero. ¿Qué combinación
es? (Observe b3 - 2b2 + b 1 en el miembro derecho.) ¿Cuáles vectores están en el espacio nulo de A T, y cuáles están en el espacio nulo de A?
34. Siga el método del problema 33 para reducir A a forma escalonada, y busque los renglones cero. La columna b indica cuáles combinaciones de los renglones se tomaron.
2
3
4
5
2
4
6
25. ¿Cuáles subespacios son iguales para las siguientes matrices de tamaños distintos?
a) [A]
y
b)
[1]
y
Demuestre que el rango de estas tres matrices es el mismo: r.
26. Si los elementos de una matriz de 3 por 3 se escogen aleatoriamente entre Oy l, ¿cuáles son las dimensiones más probables de los cuatro subespacios? ¿Qué ocurre si la
matriz es de 3 por 5?
27. (Importante) A es una matriz de m por n con rango r. Suponga que hay miembros derechos b para los cuales Ax = b no tiene solución.
a) ¿Cuáles desigualdades(< o :s) deben ser ciertas entre m, n, y r?
b) ¿Cómo se sabe que ATy = O tiene una solución diferente de cero?
28. Construya una matriz con (1, O, 1) y (1, 2, 0) como una base para su espacio renglón y su espacio columna. ¿Por qué esta base no
ser una base del espacio
renglón y del espacio nulo?
29. Sin calcular A, encuentre bases de los cuatro subespacios fundamentales:
A~
¡¡
o
2
l
1
8
3
2
o l
ln
33. (Espacio nulo izquierdo) Sume la columna extra b, y reduzca A a forma escalonada:
J el espacio renglón contiene a [ i] ·
e) Espacio renglón = espacio columna, espacio nulo =fa espacio nulo izquierdo.
no
32. Describa los cuatro subespacios de R 3 asociados con
b) El espacio columna tiene como base a [ ~] , el espacio nulo tiene como base a [ ~] .
d) El espacio nulo izquierdo contiene a [ ~
113
30. Si se intercambian los dos
renglones de una matriz A, ¿cuáles de los cuatro
subespacios permanecen igual? Si y = ( 1, 2, 3, 4) está en el espacio nulo izquierdo de
A, escriba un vector en el espacio nulo izquierdo de la nueva matriz.
el espacio renglón contiene a [;] , [ ~] .
e) La dimensión del espacio nulo = 1 +dimensión del espacio nulo izquierdo.
Los cuatro subespacios fundamentales
A partir de la columna b después de la eliminación, lea m - r vectores de la base en
el espacio nulo izquierdo de A (combinaciones de renglones que proporcionan cero).
35. Suponga que A es la suma de dos matrices de rango 1: A = uvT + wzT.
a) ¿Cuáles vectores generan el espacio columna de A?
b) ¿Cuáles vectores generan el espacio renglón de A?
e) El rango es menos de 2 si _ _ o si _ _ .
d) Calcule A y su rango, si u = z = (1, O, 0) y v = w = (0, O, 1).
o
1
¿Cómo se sabe a partir de estas formas que A no es invertible?
37. ¿Falso o verdadero?
corresponda, proporcione una razón o un co1m:raeJen1p10.
a) A y
tienen el mismo número de pivotes.
b) A y AT tienen el mismo espacio nulo izquierdo.
e) Si el espacio renglón es igual al espacio columna, entonces
=A.
d) Si AT = -A, entonces el espacio renglón de A es
al espacio columna.
2.5
114
Gráficas y redes
115
Capítulo 2 Espacios vectoriales
38.
Si AB = o, las columnas de B están en el espacio nulo de A. Si estos vectores están en
Rn, demuestre que rango(A) + rango(B) :S n.
39.
·Es posible completar un juego de "gato" (tic-tac-toe) (5 un~s y 4 ceros ~n A~ de mo~o que rango(A) = 2, pero que en ningún lado se tenga una Jugada gana ora.
Construya una matriz de 2 por 3 de rango l. Copie la figura 2.5, y ponga un vector en
cada subespacio (dos en el espacio nulo). ¿Cuáles vectores son ortogonales?
· d 3
2 de rango r = 2 ¿Cuál subes. ·
2
41. Vuelva a dibujar la figura 2.5 para una matnz e por
pacio es (sólo el vector cero)? La parte del espacio nulo de cualquier vector x en R
40.
z
esxn = - - ·
No esto muy contento con la matriz de 3 por 4 en la sección previa. Desde un punto ~e
vista telrico era bastante satisfactoria; los cuatro subespacios eran c~culables yri:us di.
' - r r m - r eran diferentes de cero. Sin embargo, el ejemplo no e promensiones r, n
, ,
fu d
tal
almente son estos
dueto de una verdadera aplicación. No mostró cuán n amen es re
subespacios.
d
tajas Son
En esta sección se presenta una clase de matrices rectangu1ares con os ven
. 1
sencillas y son importantes. Son matrices de incidencia de gráficas, y cada elemento esl ,
_1
Lo extraordinario es que lo mismo es cierto·de L, U y vectores de la b~e para os
0 0
cua~o s~bespacios. Estos subespacios desempeñan un papel central en _l~ teona de redes.
, ·no "gráfica" no se refiere a la gráfica de una func1on (como una pase rec alca que el terffil
. .
,
, .
rábola ara y = x2). Hay un segundo significado, completame~te d1stmto, m~~ prox1m~ a
las cie:cias de la computación que al cálculo, que es fácil exphc~. Esta seccion es op,cwnal, pero constituye una oportunidad para ver en acción a las matnces rectangulares, as1 como la forma en que la matriz simétrica cuadrada ATA aparece al final..
.
Una gráfica consta de un conjunto de vértices o nodos y un. conjunto ~e aristas ~ue
unen a los nodos. La gráfica de la figura 2.6 tiene 4 nodos y 5 an:tas. N~ ~1ene una anst_a
aristas de un nodo hacia sí mismo estan prohibidas). Esta graentre los nod os 1 Y 4 (y las
.
fica es dirigida, debido a la flecha que hay en cada ansta.
,
da . t
La matriz de incidencia arista-nodo es de 5 por 4; co_n un renglon para ca :rr1~ªi
Si la arista va del nodoj al nodo k, entonces ese renglon ttene -1 en la columna} Y . ,
en la columna k. La matriz de incidencia A se muestra junto a¡~ gráfica (aunque t'.1111b~~
podría recuperarse la gráfica si sólo se contara c_on A) .. El renglon l muestra la ansta 4 e
nodo 1 al nodo 2. El renglón 5 proviene de la qumta ansta, que va del nodo 3 al nodo .
arista 1
1
arista 4
A=
4
arista 5
nodo
1
l-1oo
-1
-1
arista 2
3
2
o
o
1
l
o
o -1
!]
1
2
3
4
-1
o
Observe las columnas de A. La columna 3 proporciona información sobre el nodo 3:
indica qué arista entra y qué arista sale. Las aristas 2 y 3 entran, la arista 5 sale (con el signo menos). Algunas veces A se denomina matriz conectividad o matriz topología. Cuando
la gráfica tiene maristas y n nodos, A es de m por n (y normalmente m > n). Su traspuesta es la matriz de incidencia "nodo-arista".
Cada uno de los cuatro subespacios fundamentales tiene un significado en términos de
la gráfica. Es posible hacer algo de álgebra lineal, o escribir sobre voltajes y corrientes.
¡Haremos ambas cosas!
ts11>a1~io m..do de A: ¿Existe una combinación de columnas que proporcione Ax = O?
Normalmente, la respuesta se obtiene a partir de la eliminación, aunque aquí viene a
mera vista. La suma de las columnas es la columna cero. El espacio nulo contiene ax =
(1, 1, 1, 1), ya que Ax= O. La ecuación Ax= b no tiene una solución única (en caso de tener alguna solución). Cualquier "vector constante" x = (c, c, c, c) puede sumarse a cualquier solución particular de Ax = b. La solución completa tiene esta constante arbitraria c
(como la +C cuando se integra en cálculo).
Esto tiene un significado si se piensa que x 1 , x 2 , x 3 , x 4 son los potenciales (voltajes)
en los nodos. Las cinco componentes de Ax proporcionan las diferencias de potencial a través de las cinco aristas. La diferencia a través de la arista l es x 2 - x 1 , proveniente del ::t:: 1
en el
renglón.
La ecuación Ax= b solicita: Dadas las diferencias b 1 , ••• , b5 , encontrar los potenciales verdaderos x 1, ••• , x 4 • ¡Pero esto es imposible de hacer! Todos los potenciales pueden
aumentarse o disminuirse por la misma constante e, y las diferencias permanecen sin cambio, lo cual confirma que x = (c, c, e, e) está en el espacio nulo de A. Estos son los únicos
vectores en el espacio nulo, ya que Ax = O significa igual potencial a través de cada arista.
El espacio nulo de esta matriz de incidencia es unidimensional. El rango es 4 - 1 = 3.
ts1t»ac~m columna: ¿Para cuáles diferencias b 1, ••• , b 5 es posible resolver Ax= b? Para
encontrar una prueba directa, considere la matriz. El renglón l más el renglón 3 es igual al
renglón 2. En el miembro derecho se requiere b 1 + b 3 = b2 , o ninguna solución es posible. De manera semejante, el renglón 3 más el renglón 5 es igual al renglón 4. El miembro
derecho debe satisfacer b 3 + b5 = b4 , para que la eliminación llegue a O = O. Repitiendo,
si b está en el espacio columna, entonces
b¡ - b2 + b3 = o
y
Continuando la investigación, también se encuentra que los renglones 1 + 4 son iguales a
los renglones 2 + 5. Pero esto no es nada nuevo: al restar las ecuaciones en (1) en realidad
se obtiene b 1 + b4 = b2 + b 5 . Hay dos condiciones sobre las cinco componentes, ya que
la dimensión del espacio columna es 5 - 2. Estas condiciones provienen de la eliminación,
pero aquí tienen un significado sobre la gráfica.
Circuitos: La ley del voltaje de Kirchhoff establece que la suma de las diferencias de potencial alrededor de un circuito debe ser cero. Alrededor del circuito superior en la figura 2.6,
las diferencias satisfacen (x2 - x 1) + (x3 - x 2 ) = (x3 - x 1). Estas diferencias son b1 + b3 =
b2 • Para recorrer todo el circuito y regresar al mismo potencial, se requiere b 3 + bs = b4.
esté en el espacio columna es laley
vohajéde
di,¡fer;en.ciae.s de potencial alrededor
de un .circuito debe ser cero.
.·
'
'
2.6
Gráfica dirigida (5 aristas, 4 nodos, 2 circuitos) y su matriz de incidencia A.
(1)
'"•
';"'.
"°'
f'.! A C ¡ O N A l.
;,._,¡_
116
Capítulo 2
2.5
Espacios vectoriales
.
Gráficas y redes
111
_::,.
nulo
Para resolver ATy = O, se encuentra su significado en la gráfica. El vector y tiene cinco componentes, una para cada arista. Estos números representan
corrientes que circulan a lo largo de las cinco aristas. Debido a que
es de 4 por 5, las
ecuaciones ATy =O proporcionan cuatro condiciones sobre estas cinco corrientes. Se trata
de condiciones de "conservación" en cada nodo: En cada nodo, el
de entrada es
l:Si!ii:l'l'Hl
al
de salida:
-y¡ - Y2
=O
Y1 - Y3 - Y4 = 0
La corriente total hacia el nodo 1 es cero
hacia el nodo 2
Y2 + Y3 - Ys = O
hacia el nodo 3
Y4 + Ys =O
hacia el nodo 4
La belleza de la teoría de redes es que tanto A como A T tienen papeles importantes.
Resolver ATy = O significa encontrar un conjunto de corrientes que no se "amontone"
en ningún nodo. El tráfico continúa circulando, y las soluciones más sencillas son las corrientes alrededor de circuitos
Nuestra gráfica tiene dos circuitos, Y alrededor
de cada circuito se envía 1 amp de corriente:
-1 1].
= (O O
o o] y
Vectores de circuito
y[= [l -1
4
El espacio renglón de A contiene vectores en R , pero no a todos los
vectores. Su dimensión es el rango r = 3. Con la eliminación se encuentran tres renglones
independientes, y también es posible ver la gráfica. Los tres primeros renglones son dependientes (renglón l + renglón 3 = renglón 2, y estas aristas forman un circuito). Los renglones l, 2, 4 son independientes porque las aristas 1, 2, 4 no contienen circuitos.
Los renglones 1, 2, 4 son una base del espacio renglón. En cada renglón, la suma de
los elementos es cero. Toda combinación (f1,f2,f3,f4 ) en el espacio renglón tiene la misma
propiedad:
reriglém f 1+ fz + f3 + f4 =O x en el espacio nulo x = c(l, 1, l, 1) (2)
Nuevamente, esto ilustra el teorema fundamental: el espacio
es perpendicular al espacio nulo. Si f está en el espacio renglón y x está en el espacio nulo, entonces JTx = O.
Para , la
básica de la teoría de redes es la ley de la corriente de
El flujo total hacia cada nodo es cero. Los númerosf1,f2 ,f3 ,f4 son fuentes de corriente hacia los
nodos. La fuentef1 debe equilibrar a -y 1 - y 2 , que es el flujo que sale del nodo l (a lo larde las aristas 1 y 2). Esta es la primera ecuación en ATy = f De manera semejante en los
~tros tres nodos, la conservación de la carga requiere flujo de entrada = flujo de salida. Lo
hermoso es que
es exactamente la matriz derecha de la
de la corriente.
ªº
arista 1
yJ
Cada circuito produce un vector y en el espacio nulo izquierdo. La componente + 1 o -1
indica si la corriente va en el sentido de la flecha o en contra. Las combinaciones de Y1 Y
Yz llenan el espacio nulo izquierdo, por lo que y 1 y y 2 son una base (la dimen~ión tendría
que ser m - r = 5 - 3 = 2). De hecho, y 1 - y2 = (1, -1, O, l, -1) proporciona el gran
circuito alrededor de la parte externa de la gráfica.
El espacio columna y el espacio nulo izquierdo están relacionados estrech~ente. El
espacio nulo izquierdo contiene a y 1 = (1, -1, 1, O, 0), y los vectores en el espac10 columna satisfacen b 1 - b2 + b 3 =O. Así, yTb = O: ¡los vectores en el espacio columna y en el
espacio nulo izquierdo son perpendiculares! Esto pronto se convertirá en la parte dos del
"Teorema fundamental del álgebra lineal."
el
Toda componente de y 1 y y 2 en el espacio nulo izquierdo es 1 o -1 o O (provenientes de
los flujos en el circuito). ¡Lo mismo es cierto para x = (1, 1, 1, 1) en el espacio nulo, y todos los elementos en PA = LDU! La cuestión clave es que todo paso de la eliminación tiene un significado para la gráfica.
El significado puede observarse en el primer paso de la eliminación para la matriz A: reste el renglón 1 del renglón 2. Esto sustituye a la arista 2 por una nueva arista "1 menos 2";
arista
renglón 1
renglón 2
1- 2
o o
1 o
o 1 -1 o
-1
1
-1
o
Ese paso de la eliminación
una arista y crea una nueva arista. Aquí la arista "l - 2"
es justo la arista 3 anterior en dirección opuesta. El siguiente paso de la eliminación produce
ceros en el renglón 3 de la matriz. Esto demuestra que los renglones l, 2, 3 son dependientes. Los renglones son dependientes si las aristas correspondientes contienen un circuito.
Al final de la eliminación se tiene un conjunto completo de r renglones independientes. Estas r aristas constituyen un árbol: una
sin circuitos. Nuestra gráfica tiene
r = 3, y las aristas 1, 2, 4 forman un árbol posible. El nombre completo es árbol generador
porque el árbol "genera" todos los nodos de la gráfica. Un árbol generador tienen - l aristas si la gráfica es conexa, y si se
una arista más se obtiene un circuito.
En el lenguaje del álgebra lineal, n - l es el rango de la matriz de incidencia A. La
dimensión del espacio renglón es n - 1. El árbol generador que se obtiene de la eliminación constituye una base para el espacio renglón: cada arista del árbol corresponde a un renglón en la base.
El teorema fundamental del álgebra lineal relaciona las dimensiones de los subespacios:
.Espa•cio nuio: dimensión 1, contiene ax = (1, ... , 1).
Espado columna: dimensión r = n - 1, cualesquiera n - l columnas son independientes.
generador.
ES:pa.cui nulo 17,.,,;,,,,.,r1.,. dimensión m - r = m
n + l, contiene ys de los circuitos.
de Euler, que de alguna manera es el
Estos cuatro espacios proporcionan
mer teorema en topología. Cuenta aristas de dimensión cero menos aristas unidimensionales más circuitos bidimensionales. Ahora cuenta con una demostración del álgebra lineal
para cualquier gráfica conexa:
(#de nodos) - (#de aristas)+(# de circuitos)= (n) - (m) + (m - n + 1) = 1.
(3)
2.5
118
Capítulo 2
Gráficas y redes
119
Espacios vectoriales
Para un simple circuito de 10 nodos y 10 aristas, el número de Euler es 10 - 10 + l. Si
todos y cada uno de esos 10 nodos están unidos a un undécimo nodo en el centro, entonces 11 - 20 + 10 sigue siendo l.
Todo vector f en el espacio columna tiene xTf = f 1 + · · · + fn = O; la suma de las
corrientes provenientes del exterior es cero. Todo vector b en el espacio columna tiene
yTb = O; la suma de las diferencias de potencial es cero alrededor de todos los circuitos.
En algún momento, x y y se vincularán mediante una tercera ley (ley de Ohm para cada
resistor). Primero nos quedamos con la matriz A para presentar una aplicación que parece
frívola pero no lo es.
Clasificación de los equipos de fútbol
Al final de esta temporada, los equipos de fútbol colegial son clasificados según varias encuestas. La clasificación es esencialmente un promedio de opiniones, y algunas veces se
vuelve vaga después de las primeras doce universidades. Se desea clasificar a todos los
equipos de acuerdo con una base más matemática.
El primer paso es reconocer la gráfica. Si el equipo j jugó contra el equipo k, entonces
entre ambos hay una arista. Los equipos son los nodos, y los juegos son las aristas. Hay unos
cientos de nodos y algunos miles de aristas, a las que se asignará una dirección mediante una
flecha que va del equipo visitante al equipo local. En la figura 2.7 se muestra parte de la Liga Ivy, así como algunos equipos serios, y también una universidad que no es famosa por sus
logros en fútbol colegial. Afortunadamente para esa universidad (en donde estoy escribiendo estas líneas), la gráfica no es conexa. En términos matemáticos, no es posible demostrar
que el MIT no es el número 1 (a menos que ocurra que juegue contra alguien).
USC
Texas
.
MIT
Princeton
'l.1
Purdue
Ohio State
-----¡
l
_____ .,.
Notre Dame Georgia Tech
Parte de la gráfica de fútbol americano colegial.
Si el fútbol fuese perfectamente consistente, a cada equipo podría asignarse un "potencial" xj. Así, si un equipo visitante v juega con el equipo local h, entonces ganaría el
equipo que tuviera mayor potencial. En el caso ideal, la diferencia b en el resultado sería
exactamente igual a la diferencia xh - xv en sus potenciales. ¡Ni siquiera tendrían que jugar! Habría acuerdo por completo en que el mejor equipo es aquel con ~ayor potencial.
Este método presenta dos dificultades (por lo menos). Se está intentando encontrar un
número x para cada equipo, y se desea xh - xv = b; para cada juego. Esto significa unos
cuantos miles de ecuaciones y sólo unos cuantos cientos de incógnitas. Las ecuaciones
xh - xv = b; van a un sistema lineal Ax= b, donde A es una matriz de incidencia. Todo
juego tiene un renglón, con + 1 en la columna h, y - l en la columna v, con la finalidad de
indicar qué equipos jugaron ese partido.
Primera dificultad: Si b no está en el espacio columna no hay solución. Los resultados
deben ajustarse perfectamente o no es posible encontrar potenciales exactos. Segunda dificultad: Si A tiene vectores diferentes de cero en su espacio nulo, los potenciales x no están
bien determinados. En el primer caso x no existe; en el segundo, x no es único. Quizá estén presentes ambas dificultades.
El espacio nulo siempre contiene el vector de ls ya que A sólo ve las d;+.
·
x - x Parad t
·
'al
'
¡¡erenczas
h
v·
e enrunar 1os potenc1 es, arbitrariamente podría asignarse potencial
Ha:"ard. (Estoy hablando matemáticamente, no asumiéndolo como un hecho). Per~e;~l=
gráfica no es ~onexa, entonces toda pieza por separado de la gráfica contribuye a un vector e~ el e~pac10 ?ulo. Incluso está el vector con xMrr = l y todos los demás xj = o Es nece~ano umr n~ solo a H'.11"ard sino a un equipo en cada pieza. (No hay nada de inj.usto en
as1gn~ potencia: cero; ~1 todos los ~emás ~?tendales están abajo de cero, entonces el equipo,uru~o se clas1fi:a pnmero.) La.d1mens1on del espacio nulo es el número de piezas de la
~áfica. Y no habra forma de clasificar una pieza contra otra, ya que éstas no 1·uegan partidos.
Parece que el ~spacio colur:ina es más difícil de describir. ¿Cuáles resultados se ajustan perfectamente bien a un conjunto de potenciales? Ciertamente Ax = b es irresoluble si
Harv~d derrota a Yale, Yale derrota a Princeton y Princeton derrota a Harvard. Más que lo
antenor, la suma de las diferencias en los resultados de ese circuito de juegos debe ser cero.
Ley de Kirchhoff para diferencias en los resultados bHY + b YP + bP H
- -o·
É~ta también es un~ le~ del álgebra lineal. Ax = b puede resolverse cuando b satisface las
rmsmas dep~ndenc1a:' lmeales que los renglones de A. Así, la eliminación lleva a o = o.
, En reahdad, casi ~on toda certeza b no está en el espacio columna. Los resultados de
fútbol no son tan consistentes. Para obtener una clasificación es posible utilizar mínimos
cuad~ados: ha~er a Ax lo más próximo posible de b. Eso se verá en el capítulo 3, y sólo se
me~c10na ~n ajuste. El ganador obtiene un bono de 50 e incluso 100 puntos por arriba de
la diferencia en resultados. En caso contrario, ganar por 1 está demasiado próximo a perder por 1. Esto hace que las clasificaciones calculadas se aproximen bastante a las encuestas: Y el.doctor Leake (Notre Dame) proporcionó un análisis completo en Management
Sczence m Spons (1976).
Después de escribir esta subsección, encontré lo siguiente en el New York Times:
~n sus clasific~ciones finales en 1985, la computadora ubicó a Miami (10-2) en sép-
timo lugar, arnba de Tennessee (9-1-2). Pocos días después de su publicación, al departam~nto d~ deportes del Times empezaron a llegar paquetes con naranjas y cartas
de enoJO, enviados por los fanáticos descontentos de Tennessee. La irritación suro'ió
del hecho de que Tennessee apabulló a Miarni 35-7 en el tazón del azúcar. Las :ncuestas ?nale~ de AP y UPI clasificaron en cuarto lugar a Tennessee, con Miami bastante mas abaJO.
A~er en la m~ana llegaron nueve envases de naranjas al muelle de carga. Fueron
enviadas .ªl hos~1t~ Bellevue con una advertencfa de que la calidad y contenido de
las naranjas era mc1erto.
Tanto, para esta aplicación del álgebra line;;¡l.
Redes y matemáticas discretas aplicadas
Una gráfica se vuelve un~red cuando. a las aristas se asignan números c 1 , ••• , cm. El número C; puede ser la longitud de la ansta i, o su capacidad, o su rigidez (si contiene a un
resorte), o su conductancia (si contiene un resistor). Estos números van en una matriz diago~al .e qu~ es de m por m. C refleja "propiedades materiales", en contraste con la matriz
de mc1denc1a A, que proporciona información de las conexiones.
Nuestra descripción será en términos de electricidad. Sobre la arista í, la conductancia
es C; Y la resistencia es lle;. La ley de Ohm establece que la corriente Y; que pasa
120
Capítulo 2
Espacios vectoriales
2.5
por el resistor es proporcional a la caída de tensión e;:
de
= c1 e1 (corriente) = (conductancia)(caída de tensión).
Lo anterior también se escribe E = IR, caída de tensión igual a la corriente multiplicada
por la resistencia Como una ecuación vectorial sobre todas las aristas a la vez, la ley de
Ohmesy =Ce.
Para completar el marco de referencia se requieren la ley del voltaje y la ley de la corriente de Kirchhoff:
LVK:
LCK:
Gráficas y redes
121
eliminado. La matriz resultante es lo que ahora se entiende por A, sus n - l columnas so
independientes. La matriz cuadrada ATCA, que es la clave para resolver la ecuación (7) pa~
rax, es una matriz invertible de orden n - 1:
mporm
c
La suma de las caídas de tensión alrededor de cada circuito es cero.
La suma de las corrientes y 1 (y f;) hacia cada nodo es cero.
La ley del voltaje permite asignar potenciales x 1, ••• , xn a los nodos. Luego, las diferencias alrededor de un circuito proporcionan una sumatoria como (x2 - x 1) + (x3 - Xz) +
(x 1 - x3 ) = O, en la que todo se cancela. La ley de la corriente pide sumar las corrientes
hacia cada nodo por la multiplicación de ATy. Si no hay fuentes de corriente externas, la
ley de la corriente de Kirchhoff es ATy = O.
La otra ecuación es la ley de Ohm, pero es necesario encontrar la caída de tensión e a
través del resistor. Con la multiplicación Ax se obtuvo la diferencia de potencial entre los
nodos. Al invertir los signos, -Ax proporciona la caída en potencial. Parte de esta caída
puede deberse a una batería en la arista de intensidad b1• El resto de la caída es e = b Ax a través del resistor:
de Ohm
y = C(b - Ax) o bien c- 1 y +Ax = b.
Ys
R2
R5
Y2
(5)
(6)
y la sustracción
Y4
R4
La
-:::-
cuestión es la ley de la corriente ATy = f en los nodos 1, 2, 3:
-y¡
y¡
Y3
Y2
Y2 + Y3 -
o
Ys
o
Y4
r-1o o o oo -11oo .
-1
fz tiene
=
1
-1
1
-1
tes y por la ley de Ohm. La matriz diagonal C contiene las cinco conductancias c1 = l/R •
1
El miembro derecho explica la batería de intensidad b 3 en la arista 3. La forma de bloque
tiene a C- 1y +Ax= b arriba deATy = f:
-1
o
-1
R3
[~;¡ ~] [;]
o
R4
-1
l
Observación
Un potencial debe fijarse de antemano: x,, = O. El n-ésimo nodo está conectado a ti.erra, y la n-ésima columna de la matriz de incidencia original se ha
1
Para el nodo 4 no se ha escrito ninguna ecuación, donde la ley de la corriente es y 4 + y +
5
!2 = O. Esto se concluye al haber sumado las otras tres ecuaciones.
1
La otra ecuación es c- y +Ax= b. Los potenciales x están conectados a las corrien-
Rz
Luego, la sustitución hacia atrás en la
ecuación ,.,,.,,r1,.,,..,.
tituye y= C(b - Ax) en ATy = f para obtener (7).
=Ü
X4
(4)
Este es un sistema lineal simétrico, del cual ha desaparecido e. Las incógnitas son lascorrientes y y los potenciales x. Usted ve la matriz simétrica por bloques:
Para eliminación por bloques el pivote es c- 1, el multiplicador es
manda a A T abajo del pivote. El resultado es
X1
X2
X3
Las
de
combinan las leyes de Ohm y Kirchhoff en un
problema central de las matemáticas aplicadas. Estas ecuaciones aparecen en todas partes:
Ecuaciones de
Suponga que una batería b 3 y una fuente de corriente f 2 (y cinco resistores) conectan cuatro nodos. El nodo 4 está conectado a tierra y el potencial x4 = O es fijo.
o
o
-1
1
Rs
-1
o
o -1
o o
-1
o
-1
-1
o
o
o
o
y¡
1
1
-1
Y2
o
Y3
Y4
Ys
o
o
b3
X¡
o
o
o
Xz
fz
X3
o
El sistema es de 8 por 8, con cinco corrientes y cuatro potenciales. La eliminación de las
ys reduce al sistema de 3 por 3
= A T Ch - f La matriz A T CA contiene los rec_íprocos C; = l!R; (porque en la eliminación se dividen los pivotes). También se muestran el
122
2.5
Capítulo 2 Espacios vectoriales
cuarto renglón y la cuarta columna, provenientes del nodo conectado a tierra, fuera de la
matriz de 3 por 3:
C¡
+ C3 + C5
ATCA =
-ci
-c3
-es
[
Cz
-c3
-cz
+ C3 + C4
l
o
-c4
(nodo 1)
(nodo 2)
(nodo 3)
(nodo 4)
El primer elemento es 1 + 1 + 1, o c 1 + c3 + c5 cuando se incluye C, ya que las aristas
1, 3, 5 tocan el nodo l. El siguiente elemento diagonal es 1 + l o c 1 + c 2 , provenientes de
las aristas que tocan al nodo 2. Fuera de la diagonal, las es aparecen con signo menos. Las
aristas hacia el nodo 4 conectado a tierra pertenecen al cuarto renglón y a la cuarta columna, que se borran una vez que la columna 4 se elimina de A (haciendo invertible a AT- CA).
La matriz de 4 por 4 debe cumplir que la suma de todos los renglones y todas las columnas es cero, y que ( 1, 1, I, 1) debe estar en el espacio nulo.
Observe que ATCA es simétrica. Tiene pivotes positivos y proviene del marco de referencia básico de las matemáticas aplicadas que se ilustra en la figura 2.8.
f
X
A
( Ley del voltaje)
e=b-Ax
b
2.8
C (Ley de Ohm )
AT
(Ley de la corriente )
y =Ce
Marco de referencia para equilibrio: fuentes b y f, tres pasos para
En mecánica, x y y se vuelven desplazamientos y esfuerzos. En fluidos, las incógnitas son la presión y el caudal de flujo. En estadística, e es el error y x es el mejor ajuste
por mínimos cuadrados a los datos. Estas ecuaciones matriciales y las ecuaciones diferenciales correspondientes se encuentran en nuestro libro de texto lntroduction to Applied
Mathematics, y en el nuevo Applied Mathematics and Scientific Computing. (Consulte la
página ¡;¡¡¡-¡.;. wellesleycambridge . com.)
Este capítulo termina en un punto culminante: el planteamiento de un problema fundamental en matemáticas aplicadas. A menudo para esto se requiere más habilidad que para la solución del problema. En el capítulo l se resolvieron ecuaciones lineales como
primer paso del álgebra lineal. Para plantear las ecuaciones se requiere el conocimiento
más profundo del capítulo 2. La contribución de las matemáticas, y de la gente, no es la
computación sino la inteligencia.
1.
2.
Para la gráfica triangular de 3 nodos de la siguiente figura, escriba la matriz de incidenciaA de 3 por 3. Encuentre una solución de Ax = O, y describa todos los otros vectores en el espacio nulo de A. Encuentre una solución de ATy = O, y describa todos los
otros vectores en el espacio nulo izquierdo de A.
Para la misma matriz de 3 por 3, demuestre directamente a partir de las columnas que
todo vector b en el espacio columna satisface b 1 + b 2 - b3 = O. Deduzca el mísmo
123
nodo l
arista 3
arista 1
-es
Gráficas y redes
nodo 2
3.
arista 2
nodo 3
hecho a partir de los tres renglones: las ecuaciones en el sistema Ax = b. ¿Qué significa esto sobre las diferencias de potencial alrededor de un circuito?
Demuestre directamente a partir de los renglones que todo vector f en el espacio renglón satisface f 1 + / 2 + / 3 = O. Deduzca el mismo hecho a partir de las tres ecuaciones A T y = f ¿Qué significa esto cuando las f s son corrientes hacia los nodos?
4. Calcule la matriz ATA de 3 por 3, y demuestre que es simétrica aunque singular: ¿qué
vectores están en su espacio nulo? Al eliminar la última columna de A (y también el
último renglón de AT) se queda con la matriz de 2 por 2 en la esquina superior izquierda; demuestre que es no singular.
S. Escriba la matriz diagonal C con elementos c 1, c2 , c3 en medio, y calcule ATCA. Demuestre nuevamente que la matriz de 2 por 2 en la esquina superior izquierda es invertible.
6. Escriba la matriz de incidencia A de 6 por 4 para la segunda gráfica en la figura. El
vector (1, l, l, 1) está en el espacio nulo de A, pero ahora ahí hay m - n + 1 = 3 vectores independientes que satisfacen ATy = O. Encuentre tres vectores y, y únalos con
los circuitos en la gráfica.
7. Si esa segunda gráfica representa seis juegos entre cuatro equipos, y las diferencias en
los resultados son b 1, . • • , b6 , ¿cuándo es posible asignar potenciales x 1, ••• , x 4 de
modo que la diferencia de potenciales coincida con las bs? Usted está encontrando
(a partir de las leyes de Kirchhoff o por eliminación) las condiciones que hacen resoluble a Ax= b.
8. Escriba las dimensiones de los cuatro subespacios fundamentales para esta matriz de
incidencia de 6 por 4, y una base para cada subespacio.
9. Calcule ATA y A T CA, donde la matriz diagonal c de 6 por 6 tiene los elementos
c 1, ••. , c6 . ¿Cómo puede afirmar a partir de la gráfica dónde aparecen las es en la diagonal principal de A T CA?
10. Trace una gráfica con aristas numeradas y dirigidas (y con nodos numerados) cuya
matriz de incidencia es
-1
-1
A=
[
l
o
o
1
o 1 o
o o -1
Esta gráfica, ¿es un árbol? (los renglones de A, ¿son independientes?) Demuestre que
al eliminar la última arista se obtiene un árbol generador. Así, los renglones restantes
son una base de
124
Capítulo 2
2.6
Espacios vectoriales
11. Sin la última columna de la A on~cede11te. y con los números 1, 2, 2, 1 en la diagonal
de e, escriba el sistema de 7 por 7
125
Transformaciones lineales
2.6
Se sa~e cómo una matriz mueve los subespacios alrededor cuando se multiplica por A. El
espa~10 nulo se va al ve~tor ~~ro. Todos los vectores van hacia el espacio columna, ya que
Ax s1~mpre es, una combma~1on de las columnas. Pronto verá algo hermoso: que A lleva su
~spac~o renglon en su espacio columna, y que sobre estos espacios de dimensión res 100%
mvertible. Esta es la verdadera acción de A. Parcialmente está escondida por los espacios
nulos Y los espacios nulos izquierdos, que están a ángulos rectos y llevan su propio camino (hacia cero).
Lo que importa ahora es lo que ocurre dentro del espacio, lo cual significa dentro del
un análisis más detallado.
espacio n-dimensional, si A es de n por n. Esto
Suponga que x es un vector n-dimensional. Cuando A se multiplica por x, trL1ru,fn,rm'n
ese ~ector en uno nuevo Ax. Esto ocurre en todo punto x del espacio n-dimensional Rn. La
matriz A transforma todo el espacio, o lo "mapea en sí mismo". En la figura 2.9 se ilustran
cuatro transformaciones que provienen de estas matrices:
Al eliminar y 1, y 2, y 3 , y 4 se queda con tres ecuaciones
= - fparax¡,X2,x 3 • Resuelva las ecuaciones cuando f = ( l, 1, 6). Con estas corrientes entrando en los nodos
1, 2, 3 de la red, ¿cuáles son los potenciales en los nodos y las corrientes en las aristas?
12. Si A es una matriz de incidencia de 12 por 7 de una gráfica conexa, ¿cuál es su rango?
¿Cuántas variables libres hay en la solución de Ax = b? ¿Cuántas variables libres hay
= f? ¿Cuántas aristas deben eliminarse para obtener un árbol
en la solución de
generador?
13. En la gráfica anterior con 4 nodos y 6 aristas, encuentre todos los 16 árboles generadores.
14. Si MIT derrota a Harvard por 35 a O, Yale empata con Harvard, y Princeton derrota a
MIT-P,
Yale por 7 a 6, ¿qué diferencias en los resultados en los otros tres juegos
MIT-Y)
diferencias de potencial que coincidan con las diferencias en los resultados? Si las diferencias en los resultados se conocen en un árbol generador, entonces se conocen para todos los juegos.
A=[~ ~]
1. Un múltiplo de la matriz identidad, A = el, alarga cada vector
por el mismo factor c. Todo el espacio se dilata o contrae (o de alguna forma pasa por el origen y sale por el lado opuesto, cuando
e es negativo).
A=[~ -6]
2. Una matriz rotación hace
a todo el espacio alrededor del
origen. Este ejemplo gira 90º a todos los vectores, transformando
cada punto (x, y) en (-y, x).
A=[~ 6]
3. Una matriz
transforma a todos los vectores en su imagen especular. En este ejemplo el espejo es la recta x = y a 45º,
y un punto como (2, 2) permanece sin cambio. Un punto como (2,
-2) se invierte en ( -2, 2). Sobre una combinación como v = (2,
2) + (2, -2) = (4, 0), la matriz preserva una parte e invierte la
otra. El resultado es Av = (2, -2) + (-2, 2) = (0, 4).
matriz reflexión es también una matriz permutación! Algebraicamente es tan sencillo, mandar (x, y) a (y, x), que la representación geométrica se ocultó.
[6 g]
4. Una
transforma todo el espacio en un subespacío de dimensión inferior (no invertible). El ejemplo transforma
cada vector (x, y) en el plano hasta el punto más próximo (x, O)
sobre el eje horizontal. Este eje es el espacio columna de El
y que proyecta a (O, O) es el espacio nulo.
1
15. En nuestro método de clasificación de fútbol, ¿es necesario considerar la fuerza de la
oposición, o ya está considerada?
16. Si entre cada par de nodos hay una arista (una gráfica completa), ¿cuántas aristas hay?
La gráfica tiene n nodos, y no se
aristas de un nodo hacia sí mismo.
17. Para las dos gráficas que se muestran a continuación, compruebe lafórrnula de Euler:
(#de nodos) - (#de aristas) + (#de circuitos) = 1.
E8
18. Multiplique matrices para encontrar ATA, y conjeture cómo provienen sus elementos
de la gráfica:
a) La diagonal de ATA indica cuántos (cuántas) _ _ hay en cada nodo.
b) Los elementos - l o O fuera de la diagonal indican cuáles pares de nodos son _ _.
A=
A.
20. ¿Por qué una gráfica con n = 6 nodos tiene m = 15 aristas? Un árbol generador que
4
nn- 2 = 6 árboles gene:raclores!
une a todos los seis nodos tiene _ _ aristas.
21. La matriz de adyacencia de una gráfica tiene Mii = 1 si los nodos i y j están unidos
por una arista (en caso contrario M;j = 0). Para la gráfica del problema 6 con 6 nodos
y 4 aristas, escriba M y también M 2 • ¿Por
(M2)ii cuenta el número de rutas de 2
pasos del nodo i al nodo j?
~/~· x)
f ---
(ex, cy)/
/
1(-y, x) ',
1
'
1
(x, y)
1
/
19. ¿Por qué el espacio nulo de ATA contiene a (1, 1, 1, l)? ¿Cuál es su rango?
/
/
1
(x,y)
'
1
(x, y)'
1
1
:al
1
rotación de 90º
alargamiento
2.9
reflexión (espejo a 45º)
proyección sobre el eje
Transformaciones del plano realizadas por cuatro matrices.
.1
126
Capítulo 2
Espacios vectoriales
2.6
Estos ejemplos pudieron presentarse en tres dimensiones. Hay matrices para alargar la
Tierra, hacerla girar o reflejarla a través del plano del ecuador (el Polo Norte se transforma
en el Polo Sur). Hay una matriz que proyecta todo sobre ese plano (ambos polos al centro).
También es importante reconocer que las matrices no pueden hacer todo, y que algunas
transformaciones T(x) no son posibles con Ax:
(2)
i::1 espacio nulo de esta A_ es el ~spaci~ unidimensional de constantes: da0 /dt = O. El espa-
c~o column~ es el espac1.o n-d1mens1onal Pn_ 1 ; el miembro derecho de la ecuación (2)
siempre ~stá e? ~se espac10. La suma de la nulidad(= 1) y el rango(= n) es la dimensión
del espacio ongmal P n-
ya que A(cx) = c(Ax).
ya queA(x +y)= Ax+ Ay.
La multiplicación de matrices impone estas reglas sobre la transformación. La segunda regla contiene a la primera (tome e = O para obtener AO = 0). La regla iii) se vio en acción
cuando (4, O) se reflejó a través de la recta a 45°. Se separó en (2, 2) + (2, -2) y ambas
partes fueron reflejadas por separado. Lo mismo puede hacerse para las proyecciones: separar, proyectar por separado, y sumar las proyecciones. Estas reglas son válidas para cualquier transformación que provenga de una matriz.
Esta importancia les ha ganado una denominación: las transformaciones que cumplen
las reglas i) a iii) se denominan transformaciones lineales. Las reglas pueden combinarse
en un requerimiento:
127
La operación de diferenciación, A = d/dt, es lineal:
i) Es imposible mover el origen, ya que AO = O para toda matriz.
ii) Si el vector x se va en x', entonces 2x debe irse en 2.x'. En general, ex debe irse en ex',
iii) Si los vectores x y y se van en x' y y', entonces su suma x + y se debe ir en x' + y',
Transformaciones lineales
1:1em1:1110 2
La integración desde O hasta t también es lineal (lleva p a p
n
)·
n+l ·
Ap(t) = {' (ao + ... + ant") dt = aot + ... +~tn+1.
Jo
n+ l
(3)
~s,ta vez no hay espacio nulo ~¡exc~pto por el vector cero, como siempre!) pero Ja integra~1on n~ pr?duce todos los polmorruos en
El miembro derecho de la ecuación (3) no
tle~e temu.no constante. Probablemente los polinomios constantes sean el espacio nulo izqmerdo.
La multiplicación por un polinomio fijo como 2 + 3t es lineal:
Ap(t) = (2 + 3t)(ao + ... + antn) = 2ao + ... + 3antn+I.
De nuevo, esto transforma
en
sin espacio nulo excepto p = o.
En es.t~s .ejemplos (y en casi todos los ejemplos), no es difícil comprobar la linealidad.
I~clu~o, d1f1c1lmente parece interesante hacerlo. Si hay linealidad, prácticamente es impo-
Cualquier matriz lleva de inmediato a una transformación lineal. La pregunta más interesante es en la dirección opuesta: ¿Toda transformación lineal lleva a una matriz? El objetivo de esta sección es encontrar la respuesta: sí. Este es el fundamento de un método del
álgebra lineal --empezar con la propiedad 1) y desarrollar sus consecuencias-; esto es
mucho más abstracto que el método más importante de este libro. Aquí se eligió empezar
directamente con matrices, y a continuación se verá cómo representan transformaciones lineales.
Una transformación no necesita ir de Rn al mismo espacio Rn. Se permite absolutamente transformar vectores en Rn en vectores en otro espacio distinto Rm. ¡Esto es exactamente lo que hace una matriz de m por n ! El vector original x tiene n componentes, y el vector
transformado Ax tiene m componentes. La regla de linealidad la cumplen igualmente las matrices rectangulares, de modo que éstas también producen transformaciones lineales.
A estas alturas del libro, no hay razón para detenerse. Las operaciones sobre la condición de linealidad 1) son la suma y la multiplicación por un escalar, aunque x y y no necesitan ser vectores columna en Rn. Éstos no son los únicos espacios. Por definición,
cualquier espacio vectorial permite las combinaciones ex + dy, los "vectores" son x y y,
aunque en realidad pueden ser polinomios, matrices o funciones x(t) y y(t). En la medida
en que la transformación cumpla la ecuación 1), es lineal.
Como ejemplos se toman los espacios P m donde los vectores son polinomios p(t) de
grado n. Se denotan como p = a0 + a 1t + · · · + a,, tn y la dimensión del espacio vectorial
es n + 1 (debido a que con el término constante, hay n + l coeficientes).
sible ignorru:la. ~pesar de ello, se trata de la propiedad más importante que puede tener una
n:ansformac1ón. Por supuesto, la mayor parte de las transformaciones no son lineales: por
ejemplo, para elevar al cuadrado al polinomio (Ap = p 2 ), 0 sumar l (Ap = p + 1) 0 pres,ervar los coeficientes positivos (A(t - f) = t). Son las transformaciones lineales: y sólo
estas, lo que lleva a las matrices.
La linealidad tiene una consecuencia crucial: Si se conoce Ax para caáa vector en una base, entonces se conoce Ax para cada vector en todo el espacio. Suponga que esta base
consta de los. n vectores x 1, • . . , xn- Cualquier otro vector x es una combinación de estos
vectores particulares (generan el espacio). Así, la linealidad determina Ax:
Linealidad si x = C¡X¡ + · · · + CnXn entonces Ax = c 1 (Ax 1 ) + ... + Cn(Axn). (4)
Una vez que la transformación T(x) =Ax ha decidido qué hacer con los vectores de la base? ya no tiene libertad disponible. El resto es determinado por la linealidad. El requerirmento 1) p~a ~os vectores x y y lleva a la condición 4) paran vectores x 1 , ••• , x,,. La
transforn;ac1on tiene manos libre~, con los vectores en la base (son independientes). Una
vez que estos se establecen, tamb1en se establece la transformación de cada vector.
*En orden de importancia, quizá en segundo lugar esté la invertibilidacl.
il
.~
Capítulo 2
i:1e11rm10 4
Espacios vectoriales
2.6
¿Qué transformación lineal lleva x 1 y x 2 a Ax 1 y Ax2?
x,
~ [b] ""en Ax,~
m ~ [~]
x,
se va en
Ax,~
Transformaciones lineales
129
En breve, la matriz contiene toda la información esencial. Si se conoce la base, y se conoce la matriz, entonces se conoce la transformación de cada vector.
La codificación de la información es sencilla. Para transformar un espacio en sí mismo, basta una base. Una transformación de un espacio en otro
una base para cada
espacio.
m
Debe ser la multiplicación T(x) = Ax por la matriz
A~[Hl
Empezando con una base distinta ( 1, 1) y (2, -1 ), esta misma A también es la única transformación lineal con
y
A¡_;]~ m
Para la matriz diferenciación, la columna 1 provino del primer vector de la base,
Luego se encuentran matrices que representan diferenciación e integración. Primero
debe decidirse sobre una base. Para los polinomios de grado 3 hay una elección natural
para los cuatro vectores de la base:
Base de
p 1 = 1, p 2 = t, p 3 == t 2 , p4 = t 3 •
Esta base no es única (nunca lo es), pero se
de una elección, y ésta es la más conveniente. Las derivadas de estos cuatro vectores de la base son O, 1, 2t, 3t2:
Acción de dldt Ap 1 =O,
Ap2 = p¡,
Ap3 = 2pz,
Ap4 = 3p3.
p 1 = l. Su derivada es cero, de modo que la columna 1 es cero. La última columna provino de (dldt)t 3 = 3t2. Debido a que 3t2 = Op 1 + Op2 + 3p 3 + Op4 , la última columna con-
tenía a O, O, 3, O. La regla (6) construye la matriz, columna por columna.
Para la integración se hace lo mismo. Ahí se va de cúbicas a cuárticas, transformando
V=
en W =
por lo que se
una base de W. La elección natural es y 1 = 1,
4
Y2 = t, y 3 =
y 4 = t3, y 5 = t , generando los polinomios de grado 4. La matriz A es de m
por n, o de 5 por 4. Proviene de la aplicación de la integración a cada vector de la base de
V:
1'
1 dt = t
1'
o bien, Ax 1 = y 2 ,
o
(5)
"d/df' actúa de inmediato exactamente como una matriz, pero ¿cuál matriz? Suponga que
se está trabajando en el espacio tetradirnensional de costumbre con la base de costumbre,
los vectores de coordenadas p 1 = (1, O, O, 0), p 2 = (O, 1, O, 0), p 3 == (O, O, l, 0), p4 = (0,
O, O, 1). La matriz es decidida por la ecuación (5):
Matriz diferenciación
Afil
~ l~ ~ ~ ~l
Ap 1 es su
columna, que es cero.
es la segunda columna, que es p 1 • Ap3 es 2p2 ,
y Ap4 es 3p3 . El espacio nulo contiene ap 1 (la derivada de una constante es cero). El espacio columna contiene a p 1 , p 2 , p 3 (la derivada de una cúbica es una cuadrática). La derivada de una combinación como p = 2 + t - t2 - t3 es decidida por la linealidad, y no
nada nuevo en eso: es la forma en que todos diferenciamos. Seria absurdo memorizar la derivada de cada polinomio.
La matriz puede diferenciar este p(t), ¡porque las matrices incluyen linealidad!
4
t 3 dt = -t
1
Aint =
4
o bien,
1
Ax4
= ¡Ys·
o o o o
l o o o
o 21 o o
o o 31 o
o o o 41
La diferenciación y la integración son operaciones inversas. O por lo menos la integración
seguida de la diferenciación regresa a la función original. Para hacer que esto ocurra para
la matriz diferenciación de cuárticas a cúbicas, que es de 4 por 5:
las matrices, se
1 o
o 2
o o
o o
y
La diferenciación es una inversa
de la integración. ¡Las matrices rectangulares
no pueden tener inversas por ambos lados! En el orden opuesto, Ain.Amf = l no puede ser
cierto. El producto de 5 por 5 tiene ceros en su columna l. La derivada de una constante
es cero. En las otras columnas Ain.Actif es la identidad, y la integral de la derivada de tn
es t".
2.6
130
Transformaciones lineales
Capítulo 2 Espacios vectoriales
Esta sección empieza con rotaciones de 90º, proyecciones sobre el eje x, Y reflexiones a
través de la recta a 45°. Sus matrices son especialmente sencillas:
Q =
[~ -~}
[~ g]
H=[~ ~]·
(proyección)
(reflexión)
p =
(rotación)
Las transformaciones lineales subyacentes del plano x-y también son sencillas. Sin embargo, las rotaciones a través de otros ángulos, las proyecciones sobre otras rectas, Y las :eflexiones en otros espejos son casi tan fáciles de visualizar. Siguen siendo transformaciones
lineales, suponiendo que el origen esté fijo: AO = O. Deben estar representadas por matrices. Usando la base natural [b] y [~],se desea descubrir estas matrices.
1. Rotación En la figura 2.10 se muestra la rotación de un ángulo e. También ~uesn:a
el efecto sobre los dos vectores de la base. La primera va a (cose, sen&), cuya longitud sigue siendo l; está en la "recta&". El segundo vector base (O, 1) rota en (-sen e, cos B). Por
la regla (6), estos números van a las columnas de la matriz (se usa e para cose Y s para sen
&). Esta familia de rotaciones Q11 constituye una oportunidad perfecta para probar la correspondencia entre las transformaciones y las matrices:
¿La inversa de Q11 es igual a Q_ 11 (rotación hacia atrás por un ángulo 8)? Sí.
QeQ-e = [ es
-s] [
se J =
-se
e
[1O º]1 ·
e
-sJ [e
e
s
2
-sJ = [c -s
e
2cs
2
El último caso contiene a los dos primeros. La inversa aparece cuando rp es -e, y el cuadrado aparece cuando rp es + e. Estas tres ecuaciones fueron decididas por identidades trigonométricas (y constituyen una nueva manera de recordar estas identidades). No es
accidental que la respuesta a las tres preguntas sea sí. La multiplicación de matrices se define exactamente de modo que el producto de las matrices corresponda al producto de las
transformaciones.
Para Actíf Aint• la transformación compuesta era la identidad (y Ain, Actif aniquilaron a
todas las constantes). Para rotaciones, el orden de la multiplicación no importa. Así, U =
V = W es el plano x-y, y Q 11 Q<P es lo mismo que Q<PQ11 • Para una rotación y una reflexión, el orden sí es importante.
Nota técnica: Para construir las matrices, se requieren bases de V y W, y luego para U y
V. Al mantener la misma base para V, el producto de matrices va correctamente de la base en U a la base en W. Si la transfomiación A se distingue de su matriz (sea ésta [A]), entonces la regla del producto 2V se vuelve extremadamente concisa: [AB] = [A][B]. La regla
para multiplicar matrices, en el capítulo l estaba totalmente determinada por este requerimiento: debe corresponder al producto de transformaciones lineales.
2. Proyección En la figura 2.10 también se muestra la proyección de (1, 0) sobre la recta
e. La longitud de la proyección es e = cos e. Observe que el punto de proyección no es (e,
¿El cuadrado de Q11 es igual a Q 20 (rotación por un ángulo doble)? Sí.
Q~ = [ s
-2cs J = [cos28 -sen28]
c2 - s 2
sen 28
cos 28 ·
s), como yo consideraba erróneamente; la longitud de ese vector es l (es la rotación), de
modo que es necesario multiplicar por c. De manera semejante, la longitud de la proyección de (0, 1) es s, y cae en s(c, s) = (es, s2 ). Así se obtiene la segunda columna de lamatriz proyección P:
·] = [cos (8 + rp)
·
sen (8 + rp)
QeQ"' = Lsen&cosrp +cos&senrp
[-~]
[~]
[~]
-~]
[~]
· ·].
· ·
Esta matriz no tiene inversa, porque la transformación no tiene inversa. Los puntos sobre
la recta perpendicular son proyectados sobre el origen; esa recta es el espacio nulo de P.
¡Los puntos sobre la recta e son proyectados sobre sí mismos! Proyectar dos veces es lo
mismo que proyectar una vez, y P 2 = P:
pz =
[~]
[ces
2
Por supuesto, c 2 + s2 = cos2 e + sen2 e = 1. Una matriz proyección es igual a su propio
cuadrado.
1
ez es]
P= [ es
82
e
2.10
R= [~
·
·
[ccs sc~]2
p =
¿El producto de Q11 y Q<p es igual a Qe+<p (rotación por un ángulo e y luego rp)? Sí.
rcose cos rp - sene senrp
131
e
1
[~]
Rotación en un ángulo e (izquierda). Proyección sobre la recta e (derecha).
3. Reflexión En la figiira 2.11 se muestra la reflexión de (1, O) en la recta e. La longitud
de la reflexión es igual a la longitud del original, como era después de la rotación; sin embargo, en este caso la recta e permanece donde está. La recta perpendicular invierte la dirección; todos los puntos pasan directamente a través del espejo. La linealidad decide el resto.
Matriz reflexión
2c2 - l
H= [ 2cs
2cs ]
2s 2 - l ·
2.6
132
Capítulo 2
Transformaciones lineales
133
Espacios vectoriales
~
2c [ J
[~]
[~ J
2
[
2c
1]
2cs
H=2P
I = [
1. ¿Qué matriz tiene el efecto de rotar cada vector un ángulo de 90° y luego proyectar el
x? ¿Qué matriz representa la proyección sobre el
x seguida
resultado sobre el
de la proyección sobre el eje y?
2c2 - 1
2cs ]
2cs
2s 2 - 1
= 2 X ~~"""'""'
imagen+
2. El producto de 5 reflexiones y 8 rotaciones del plano x-y, ¿produce una rotación o una
reflexión?
Hx+x = 2Px
·.
2.11
[~]
3. La matriz A = [ ~
[e] [º] = [
'\, 2s s
1
por A. ¿Qué forma tiene esa curva?
4. Toda recta sigue siendo recta después de una transformación lineal. Si z está a la mitad entre x y y, demuestre que Az está a la mitad entre Ax y Ay.
La matriz H posee la extraordinaria propiedad H 2 = l. Dos
.
devuel~en el
nal. Una reflexión es su propia inversa, H =
, lo cual resulta ev1dente a partrr de lag~?­
metría pero es menos evidente a
de la matriz. Un método es a través de la relac1on
de las reflexiones con las proyecciones: H = 2P - l. Esto significa que Hx + x = 2Px: la
imagen más el original es igual a dos veces la proyección. También confrrma que
= l:
-4P + l = 1, ya que
=P.
Otras transformaciones Ax pueden incrementar la longitud de x; el alargamiento Y el
esfuerzo cortante se encuentran en los ejercicios. Cada ejemplo tiene una matriz que lo representa, lo cual constituye la cuestión más importante de esta se~ción. Sin embargo, t~­
bién está la cuestión de elegir una base, y se recalca que la matnz depende de la eleccwn
de fa base. Suponga que el primer vector en la base está sobre la recta 8 Y que el segundo
vector en la base
i)
La matriz proyección es regresada por p = [ b ~] . Esta matriz se construye como
siempre: su primera columna proviene del primer vector en la base (proyectado en
sí mismo). La segunda columna proviene del vector en la base que es proyectado en
cero.
ii) Para reflexiones, esa misma base proporciona H = [ b _~] .El segundo vector en la
base es reflejado sobre su negativo para producir esta segunda columna. La matriz H
sigue siendo 2P - I cuando la misma base se usa para H Y P.
iii) Para rotaciones, la matriz no cambia. Estas rectas siguen rotando un ángulo
Q = [~
en la dirección x. Trace el círculo
x2 + y = 1 y a su alrededor trace los puntos (2x, y) que resultan de la multiplicación
2cs ]
2s2 - 1
Reflexión a través de la recta &: geometría y matriz.
= (2P -1) 2 =
~] produce un
2
e, Y
-~ J como antes.
Toda la cuestión de elegir la mejor base es absolutamente fundamental, por lo que en el capítulo 5 se abordará nuevamente. El objetivo es hacer diagonal a.la matriz, como se
para p y H. Para hacer diagonal a Q se requieren vectores complejos, ya que todos los vectores reales están rotados.
Aquí se menciona el efecto que tiene sobre la matriz un cambio de base, mientras las
transformaciones lineales permanecen igual. La matriz A (o Q, o P, o H) se
a
Así, una simple transformación es representada por varias matrices (mediante bases diferentes, tomadas en cuenta por S). La teoría de los vectores característicos conduce
a la fórmulas- tAS, así como a la mejor base.
5. La matriz A = [ ~
~ J produce una transformación por esfuerzo cortante, que deja el
este efecto en el eje x, indicando lo que ocurre a (1, 0) y
eje y sin cambio.
(2, 0) y ( - 1, 0), y cómo se transforma todo el eje.
6. ¿Cuáles son las matrices de 3 por 3 que representan las transformaciones que
a) proyectan cada vector sobre el plano x-y?
b) reflejan cada vector a través del plano x-y?
e) rotan el plano x-y un ángulo de 90°, dejando sólo al eje z?
d) rotan un ángulo de 90° al plano x-y, luego al plano x-z, y luego al plano y-z?
e) realizan las tres rotaciones, pero cada una de un ángulo de 180º?
7. En el espacio
de polinomios cúbicos, ¿qué matriz representa d 2 /dt 2 ? Construya la
matriz de 4 por 4 a partir de la base estándar 1, t, t2, i3. Encuentre su espacio nulo y su
espacio columna. ¿Qué significan éstos en términos de polinomios?
8. De los cúbicos P 3 hasta los polinomios de cuarto grado
¿qué matriz representa la
multiplicación por 2 + 3t? Las columnas de la matriz A de 5 por 4 provienen de la
aplicación de la transformación a 1, t, t 2 , t 3 •
9. Las soluciones de la ecuación diferencial d 2 u!dt 2 = u forman un espacio vectorial (ya
que las combinaciones de soluciones siguen siendo soluciones). Encuentre dos soluciones independientes, con la finalidad de obtener una base para ese espacio solución.
10. Con valores iniciales u = x y duldt =y en t = O, ¿qué combinación de los vectores
en la base del problema 9 resuelve u" = u? Esta transformación de valores iniciales a
solución es lineal. ¿Cuál es su matriz de 2 por 2 (usando x = 1, y= O y x =O, y= 1
como base de V, y su base de W)?
11. Compruebe directamente a partir de c2 + s2 = 1 que las matrices reflexión satisfacen
=l.
12. Suponga que A es una transformación lineal del plano x-y en sí mismo. ¿Qué hace
A - 1(x + y) = A - 1x + A - 1 y? Si A está representada por la matriz M, explique por
qué A - i está representada por M- 1•
13. El producto (AB)C de transformaciones lineales empieza con un vector x y produce
u = Cx. Luego, la
2V aplica AB a u y llega a (AB)Cx.
011736
2.6
134
Capítulo 2
Transformaciones lineales
135
Espacios vectoriales
a) ¿Este resultado es el mismo si se aplican por separado C, luego B ~ po:: últim? A?
b) ¿Este resultado es el mismo si se aplica BC seguido de A? Los parentes~s son :nnecesarios y la ley asociativa (AB)C = A(BC) se cumple para transformaciones lmeales. Esta es la mejor demostración de la misma ley para matrices.
3
3
14. Demuestre que T 2 es una transformación lineal si Tes lineal (de R a R ).
15. El espacio de todas las matrices de 2 por 2 tiene los cuatro "vectores" en la base
~ ~· ~ ~· ~ ~· ~ ~·
16. Encuentre la matriz permutación cíclica de 4 por 4: (x 1, x 2 , x 3 , X4) se transforma en
Ax= (x2, x 3 , x 4 , x 1). ¿Cuál es el efecto de A 2?D
. emuestre que A3 = A-1 .
T(x) =x .
T(x) = x + ll.
T(x) =ex.
T(x) = cos x.
(X2, X3, X¡)?
28. Encuentre el contradominio y el kernel (estos términos son nuevos para designar el espacio columna y el espacio nulo) de T.
a) T(v¡, v2) = (v2, V¡). b) T(vi. vz, v 3) = (v 1, v 2).
e) T(v¡, V2) = (0, O).
d) T(v 1 , v 2 ) = (v¡, v 1 ).
cuando
a)
V
= (2, 2).
b) v=(3,1).
e) v=(-1,l).
d)
v=(a,b).
Los problemas 31 a 35
ser más difíciles. El espacio de entrada V contiene a todas las matrices M de 2 por 2.
31. Mes cualquier matriz de 2 por 2 y A = [;
~]. La transformación lineal T se define
como T(M) = AM. ¿Cuáles reglas de la multiplicación de matrices muestran que Tes
lineal?
32. Suponga que A = [
i ¿] .Demuestre que la matriz identidad I no está en el contra-
dominio de T. Encuentre una matriz M diferente de cero tal que T(M) = AM es cero.
21. Una transformación lineal debe dejar fijo al vector cero: T(O) = O. Demuestre esto a
partir de T(v + w) = T(v) + T(w) escogiendo w = _ _.También demuéstrelo a partir del requerimiento T(cv) = cT(v) escogiendo e = _ _.
22. ¿Cuáles de las siguientes transformaciones no son lineales? La entrada es v = (v1. Vz).
T(v) = (v 2, V¡).
T(v) =(O, v 1).
2
30. Suponga que una T lineal transforma (1, 1) en (2, 2) y (2, O) en (O, 0). Encuentre T(v)
3
20. ¿Cuál es el eje y el ángulo de rotación para la transformación que lleva (x¡, Xz, X3) a
a)
e)
V¡+ Vz
2
d; =O. Compruebe que Ses un subespacio
2
19. Una transformación no lineal es invertible si T(x) = b tiene exactamente una solución
para toda b. El ejemplo si T(x) =
no es invertible porque :x? = b tiene dos soluciones para b positiva y ninguna solución para b negativa. ¿Cuáles de las siguientes trans1
formaciones (de los números reales R 1 a los números reales R ) son invertibles?
Ninguna es lineal, ni siquiera e).
a)
e)
V¡+ Vz
+ a3x , seaS el sub-
18. En el espaciovectorialP3 de todos los p(x) = a 0 + a 1x + a2x
b)
d)
T(v) =proyección =
29. Una transformación lineal de V a W tiene una inversa de W a V cuando el contradominio es todo W y el kernel sólo contiene a v = O. ¿Por qué estas transformaciones
no son invertibles?
a) T(v¡, v2) = (v 2, v 2 )
W = R 2.
b) T(v¡, Vz) = (vi. Vz, V¡ + v2)
W = R 3.
e) T(vi,v 2 ) = v 1
W = R 1•
17. Encuentre la matriz A de 4 por 3 que representa un desplazamiento derecho: (x¡, x2'
x ) se transforma en (O, x 1, x 2 , x 3 ). También encuentre la matriz desplazamiento iz3
quierdo B de
de regreso a R 3 , transformando (x 1, x 2, x 3 , X4) en (xz, X3, X4). ¿Cuáles
son los productos AB y BA?
3
d)
27. La transformación "cíclica" T se define por T(v 1, v2 , v3 ) = (v2 , v3 , v 1). ¿Cuál es
T(T(T(v)))? ¿Cuál es y 10<\v)?
Para la transformación lineal de trasposición, encuentre su matriz A respecto a estabase. ¿Por qué A 2 = !?
conjunto de los polinomios con f 01 p(x)
y encuentre una base.
26. Para las siguientes transformaciones de V= R 2 en W = R 2, encuentre T(T(v)).
a) T(v) = -v.
b) T(v) = v + (1, 1).
e) T(v) = 90º rotación= (-v2 , v 1).
b)
d)
T(v) = (v¡, V¡).
T(v) =(O, 1).
2
23. Si S y Tson lineales con S(v) = T(v) = v, entonces ¿S(T(v)) = v o v ?
24. Suponga que T(v) = v, excepto que T(O, v2 ) = (0, O). Demuestre que esta transformación satisface T(cv) = cT(v) pero no T(v + w) = T(v) + T(w).
25. ¿Cuáles de las siguientes transformaciones satisfacen T(v + w) = T(v) + T(w), y cuáles satisfacen T(cv) = cT(v)?
b) T(v) = V¡ + v2 + V3.
a) T(v) =vi llv\I.
d) T(v) = la mayor componente de v.
e) T(v) = (v¡, 2v2, 3v3).
33. Suponga que T transpone a toda matriz M. Intente encontrar una matriz A que haga
AM = MT para toda M. Demuestre que ninguna matriz A puede hacer lo anterior. Para los profesores: ¿Esta es una transformación lineal que no proviene de una matriz?
34. La transformación T que transpone a toda matriz es definitivamente lineal. ¿Cuáles de
las siguientes propiedades adicionales son ciertas?
a) T 2 =transformación identidad.
. b) El kernel de Tes la matriz cero.
e) Todas las matrices están en el contradominio de T.
d) T(M) = - Mes imposible.
35. Suponga que T ( M) = [
¿ gJ [M J[g ~J. Encuentre una matriz con T(M) =f. O.
Describa todas las matrices con T(M) =O (el kernel de T) y todas las matrices de salida T(M) (el contradominio de T).
'f"+"P. Cvt:~/::~u Mt.-::t.;:;::~.J~'·l,U.~~ 'l..,...•_:i~vc:.i-'-·!"-...Jl'-1 Wt::.'- Vf-\'..J•...;11UM~
u¡..,.!~ \f t:~ . ~:~ ~
f~'. r: T ,.- -:~ ~·. <J L o e~ 1 :~ P:. s··1.A.e1 o NA l.
n
Capítulo 2
Espacios vectoriales
Ejercicios de repaso
";._,: ;;iL
;~Eé.
Los p:roblenilas 36 a 40 son sobre cambio de base.
36. a) ¿Qué matriz transforma (1, 0) en (2, 5) y (O, 1) en (1, 3)?
b) ¿Qué matriz transforma (2, 5) en (1, O) y (1, 3) en (0, 1)?
e) ¿Por qué ninguna matriz transforma (2, 6) en (1, 0) y (1, 3) en (O, l)?
b¡V¡
137
URUGUAY
+ · · · +bnVn = Vb = C¡W¡ + · · · +cnWn = Wc.
Su respuesta representa T( v) = v con base de entrada de vs y base de salida de ws. Debido a que las bases son distintas, la matriz no es J.
37. a) ¿Qué matriz M transforma (1, 0) y (O, 1) en (r, t) y (s, u)?
b) ¿Qué matriz N transforma (a, e) y (b, d) en (1, 0) y (0, l)?
e) ¿Qué condición sobre a, b, e, d hace imposible el inciso b)?
49.
o verdadero? Si se conoce T(v) paran vectores diferentes de cero en R", entonces se conoce T(v) para cada vector en R".
50. (Recomendado) Suponga que todos los vectores x en el cuadrado unitario O .:5 x 1 :.:5 1,
O :.:5 x 2 :.:5 1 se transforman en Ax (A es de 2 por 2).
38. a) ¿Cómo M y N del problema 37 producen una matriz que transforma (a, e) en (r, t)
y (b, d) en (s, u)?
b) ¿Qué matriz transforma (2, 5) en (1, 1) y (1, 3) en (O, 2)?
a) ¿Cuál es la forma de la región transformada (toda Ax)?
b) ¿Para qué matrices A esta región es cuadrada?
39. Si se conservan los mismos vectores en la base pero se escriben en otro orden, la matriz de cambio de base M es una matriz _ _ . Si los vectores en la base se preservan
en orden pero se cambian sus longitudes, entonces M es una matriz _ _.
e) ¿Para qué matrices A es una recta?
d) ¿Para qué matrices A la nueva área sigue siendo l?
40. La matriz que transforma (1, 0) y (O, 1) en (1, 4) y (1, 5) es M = __.La combinación a(l, 4) + b(l, 5) igual a (1, O) tiene (a, b) = (,).¿Cómo se relacionan estas coordenadas de (1, 0) con M o M- 1?
41. ¿Cuáles son las tres ecuaciones para A, B, C si la parábola Y= A + Bx + Cx?- es igual
a 4 en x = a, 5 en x = b, y 6 en x = e? Encuentre el determinante de la matriz de 3
por 3. ¿Para qué números a, b, e es imposible encontrar esta parábola Y?
42. Suponga que v 1, v 2 , v 3 son vectores característicos para T. Esto
que T(v1) =
A.;v; para i = 1, 2, 3. ¿Cuál es la matriz para Tcuando las bases de entrada y de salida
son las vs?
43. Toda transformación lineal invertible puede tener a I como su matriz. Para la base de
salida se elige w 1 = T(v). ¿Por qué T debe ser invertible?
44. Suponga que Tes una reflexión a través del eje x y que S es una reflexión a través del
eje y. El dominio V es el plano x-y. Si v = (x, y), ¿cuál es S(T(v))? Encuentre una descripción más sencilla del producto ST.
Capítulo
2.1
a) Los vectores para los cuales x 1 = 2.x4 .
b) Los vectores para los cuales x 1 + x 2 + x 3 = O y x 3 + x 4 =O.
e) El subespacio generado por (1, l, 1, 1), (1, 2, 3, 4), y (2, 3, 4, 5).
2.2
2.3
cos 2a
[sen 2a
-cosW
sen 2a]
-cos 2a ·
2.4
47. La matriz de Hadamard de 4 por 4 está integrada completamente por + 1 y -1:
H =
[i -~ i -~1
l
l
-1
-1 .
1 -1
-1
l
1
Encuentre H- y escriba v = (7, 5, 3, 1) como una combinación de las columnas de H.
48. Suponga que se tienen dos bases v1, . . . , vn y w 1, .•. , w,. de R". Si un vector tiene coeficientes b; en una base y e, en la otra base, ¿cuál es la matriz de cambio de base en
¿Falso o verdadero? Proporcione un contraejemplo si es falso:
b) La intersección de dos subespacios de un espacio vectorial no puede ser vacía.
e) Si Ax = Ay, entonces x = y.
d) El espacio
de A tiene una base única que puede calcularse reduciendo A
a forma escalonada.
e) Si una matriz cuadrada A tiene columnas independientes, también A 2 tiene columnas independientes.
46. Demuestre que el producto ST de dos reflexiones es una rotación. Multiplique estas
matrices reflexión para encontrar el ángulo de rotación:
W sen 2e]
Proporcione una base para describir un subespacio bidimensional de R 3 que no contenga ninguno de los vectores de coordenadas (l, O, 0), (0, 1, 0), (0, O, 1).
a) Si los vectores x 1 , ••• , Xm generan un subespacio S, entonces dim S = m.
45. Suponga que Tes una reflexión a través de la recta a 45°, y que S es una reflexión a
través del eje y. Si v = (2, 1), entonces T(v) = (1, 2). Encuentre S(T(v)) y T(S(v)). Con
esto se demuestra que en general ST =/= TS.
cos
[sen2e
Encuentre una base para los siguientes subespacios de R 4 :
¿Cuál es la forma escalonada U de A?
2
o
-2
1
1
2
-3
-7
2
b].
-2
¿Cuáles son las dimensiones de sus cuatro subespacios fundamentales?
2.5
Encuentre el rango y el espacio nulo de
Capítulo 2
Ejercicios de repaso
Espacios vectoriales
2.6
Encuentre bases para los cuatro subespacios fundamentales asociados con
[l 2]
A=36'
[º º]
B=12'
[1 1 º]
o 1·
C=o10
2.7
¿Cuál es la solución más general de u+ v + w = 1, u - w = 2?
2.8
a) Construya una matriz cuyo espacio nulo contenga al vector x = (1, 1, 2).
b) Construya una matriz cuyo espacio nulo izquierdo contenga a y = (1, 5).
e) Construya una matriz cuyo espacio columna sea generado por (1, 1, 2) Y cuyo
espacio renglón sea generado por (1, 5).
i:I) Si se tienen tres vectores cualesquiera en R 6 y tres vectores cualesquiera en
¿existe alguna matriz de 6 por 5 cuyo espacio columna es generado por los primeros tres y cuyo espacio renglón es generado por los segundos tres?
2.9
139
2.14
¿Los vectores (1, l, 3), (2, 3, 6), y (1, 4, 3) son una base de R 3 ?
2.15
¿Qué se sabe de C(A) cuando el número de soluciones de Ax= bes
a) O o l, dependiendo de b.
b) oo, independientemente de b.
e) O o oo, dependiendo de b.
i:I) 1, sin importar b.
2.16
En el ejercicio anterior, ¿cómo está relacionado r con m y nen cada ejemplo?
2.17
Si x es un vector en Rn, y xTy =O para toda y, demuestre que x =O.
2.18
Si A es una matriz den por n tal que A 2 =A y rango A = n, demuestre que A = l.
2.19
¿Qué subespacio de matrices de 3 por 3 es generado por las matrices elementales
Eij, con ls en la diagonal y cuando mucho un elemento diferente de cero debajo de
En el espacio vectorial de matrices de 2 por 2,
la diagonal?
a) ¿el conjunto de matrices con rango 1 es un subespacio?
b) ¿qué subespacio es generado por las matrices permutación?
e) ¿qué subespacio es generado por las matrices positivas (todos los aij > O)?
i:I) ¿qué subespacio es generado por las matrices invertibles?
2.20
¿Cuántas matrices permutación de 5 por 5 hay? ¿Son linealmente independientes?
¿Generan el espacio de todas las matrices de 5 por 5? No es necesario que las escriba todas.
2.10
Invente un espacio vectorial que contenga a todas las transformaciones lineales de
Rn a Rn. Defina una regla para la suma. ¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial?
2.21
¿Cuál es el rango de la matriz de n por n con todos los elementos igual a 1? ¿Qué
puede decir sobre la "matriz de tablero de ajedrez", con aij =O cuando i + j es par,
aij = 1 cuando i + j es impar?
2.11
a) Encuentre el rango de A, y proporcione una base de su espacio nulo.
2.22
a) ¿Qué condiciones deben imponerse a b para que Ax= b tenga una solución, para las siguientes A y b?
o 1 2
o 2 2 o
o o o o
o o o o
2
b) Los 3 primeros renglones de U son una base del espacio renglón de A: ¿falso o
verdadero?
Las columnas 1, 3, 6 de U son una base del espacio columna de A: ¿falso o verdadero?
Los cuatro renglones de A son una base del espacio renglón de A: ¿falso o verdadero?
e) Encuentre tantos vectores b linealmente independientes como sea posible para
los cuales Ax = b tenga una solución.
i:I) En la eliminación sobre A, ¿qué múltiplo del tercer renglón se restó para eliminar el cuarto renglón?
2.12
2.13
Si A es una matriz den por n - 1, y su rango es n - 2, ¿cuál es la dimensión de su
espacio nulo?
Use eliminación para encontrar los factores triangulares en A = LU, si
2 o
o o
4 o
~]
y
b) Encuentre una base para el espacio nulo de A.
e) Encuentre la solución general de Ax= b, cuando exista una solución.
i:I) Encuentre una base para el espacio columna de A.
e) ¿Cuál es el rango de AT?
2.23
¿Cómo puede construirse una matriz que transforme los vectores de coordenadas e 1,
e2 , e 3 en tres vectores dados v 1, v2 , v3 ? ¿Cuándo es invertible esa matriz?
2.24
Si e 1 , e2 , e3 están en el espacio columna de una matriz de 3 por 5, ¿ésta tiene inversa izquierda? ¿Tiene inversa derecha?
2.25
Suponga que Tes una transformación lineal sobre R 3 que transforma cada punto (u,
v, w) en (u+ v + w, u + v, u). Describa lo que r- 1 hace al punto (x, y, z).
2.26
¿Falso o verdadero?
a) Todo subespacio de R 4 es el espacio nulo de alguna matriz.
b) Si A tiene el mismo espacio nulo que AT, entonces la matriz debe ser cuadrada.
e) La transformación que manda x a mx + b es lineal (de R 1 a R 1).
2.27 Encuentre bases para los cuatro subespacios fundamentales de
¿Qué condiciones deben imponerse a los números a, b, e, d para que las columnas sean linealmente independientes?
A1
y
.140
Capítulo 2 Espacios vectoriales
Capítulo
2.28
a) Si los renglones de A son linealmente independientes (A es de m por n), entonces
el rango es _ _, el espacio columna es _ _ y el espacio nulo izquierda es _ _.
b) Si A es de 8 por 10 con un espacio nulo bidimensional, demuestre que Ax = b
resolverse para toda b.
2.29
Describa las transformaciones lineales del
base estándar (l, 0) y (0, 1) por las matrices
A1 =
2.30
[~ -~],
Az =
i
1
x-y que están representadas con la
[~ ~], AJ=[-~ ~J
a) Si A es cuadrada, demuestre que el espacio nulo de A 2 contiene al espacio nulo
de A.
b) También demuestre que el espacio columna de A 2 está contenido en el espacio
columna de A.
2.31
¿Cuándo se cumple A 2 =O para la matriz A = uvT de rango 1?
2.32
a) Encuentre una base para el espacio de todos los vectores en
con x 1 + x 2 =
X3 + X4 = X5 + X6.
b) Encuentre una matriz cuyo espacio nulo sea ese subespacio.
c) Encuentre una matriz cuyo espacio columna sea ese subespacio.
2.33
Suponga que las matrices PA = LU son
[~
1 o
o o
o o
o
!] [~
o o
o
o
-1
-2
-1
~ ~rn
l
o
1
4
-3
2
9
5
1
-1
-1
~]
4
2
o 1 -3
o o o
o o o
~J
a) ¿Cuál es el rango de A?
b) ¿Cuál es una base para el espacio renglón de A?
c) ¿Falso o verdadero?: Los renglones l, 2, 3 de A son linealmente mcieoiendie:nt~~s
d) ¿Cuál es una base para el espacio columna de A?
e) ¿Cuál es la dimensión del espacio nulo izquierdo de A?
f) ¿Cuál es la solución general de Ax = O?
Una base es un conjunto de vectores independientes que genera un
Geométricamente, es un conjunto de ejes coordenados. Un espacio vectorial se define sin estos ejes,
aunque cada vez que pienso en el plano x-y, en el espacio tridimensional o en Rn, ahí están los ejes. ¡Suelen ser perpendiculares! Los ejes coordenados producto de la imaginación
prácticamente siempre son ortogonales. Al elegir una base, se tiende a
una ortogonal.
Uno de los fundamentos del álgebra lineal es el concepto de base ortogonal. Se requiere una base para convertir construcciones geométricas en cálculos algebraicos, y se
necesita una base ortogonal para que estos cálculos sean sencillos. Especialización más
detallada hace casi óptima la base: los vectores deben tener longitud 1. Para una base ortonormal (vectores unitarios ortogonales) se encuentra que
l.
2.
3.
la longitud IJxll de un vector;
la prueba xTy = O para vectores perpendiculares; y
cómo crear vectores
a partir de vectores linealmente independientes.
Más que justamente vectores, los subespacios también pueden ser perpendiculares. Se
descubrirá, de manera tan hermosa y simple que será una delicia ver, que los subespacios
fw1dl.zmental.es se encuentran a
rectos. Estos cuatro subespacios fundamentales
son perpendiculares por pares, dos en Rm y dos en Rn. Esto completará el teorema fundamental del álgebra lineal.
El
paso es encontrar la
de un vector, que se denota por llxll, y en
dos dimensiones proviene de la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase la figura
3.la). El cuadrado de la longitud fue proporcionado hace mucho tiempo por Pitágoras:
llxll 2 = x? +xi.
(O, O, 3),
,
(1, 2)
(0,2)
y'5;
2
1
,"'
(1, 2, 3) tiene longitud
' '
1- -
llxll2
xi+x~+x~
5
12 + 22
14
12 + 22 + 32
X
' '
'
'
, (O, 2, O)
(1, O)
= :....:Ó, 2, O) tiene longitud v'5
(1, O, O)
aj
3.1
~
Longitud de los vectores (x 1, x2 ) y (x 1, x 2 , X3).
142
Capítulo 3
Ortogonalidad
3. 1
Vectores y subespacios ortogonales
143
En el espacio tridimensional, x = (x1 , x 2, x 3) es la diagonal de una caja (véase la figura 3.lb). Su longitud proviene de dos aplicaciones de la fórmula de Pitágoras. El caso bidimensional se ocupa de (x 1, x 2 , 0) = (1, 2, 0) a través de una base. Esto forma un ángulo
recto con el lado vertical (O, O, x3 ) = (0, O, 3). La hipotenusa del triángulo en negritas (nuevamente Pitágoras) es la longitud llxll que se busca:
L<J•ng;nu:Cl en 3 dimensiones
llx 11 2 = 12 + 22 + 32
y
La extensión ax = (x 1 , ••• , xn) en n dimensiones es inmediata. Por el teorema de Pitágoras multiplicado por n - 1 veces, w longitud de llxll en Rn es w raíz cuadrada positiva de xTx:
Longitud al cuadrado
(1)
3.2 Triángulo rectángulo con 5 + 20 = 25. Ángulo con lfuea punteada 1000, ángulo con línea discontinua 300.
Algunas veces este número se denomina producto escalar o producto punto, y se denota por
(x, y) o x. y. Aquí se usará el nombre de producto interno y se preservará la notación xTy.
La suma de cuadrados corresponde a xTx, y la longitud de x = (1, 2, -3) es ./í4:
La longitud al cuadrado es el producto interno de x consigo mismo: x T x = Xf + · · · +
x;; = llxll 2 • El único vector con longitud cero --el único vector que es ortogonal a sí
mismo-- es el vector cero. Este vector x =O es ortogonal a cada vector en Rn.
(2, 2, -1) es ortogonal a (-1, 2, 2). La longitud de cada uno es ../4 + 4 + 1 = 3.
¿Cómo decidir si dos vectores x y y son perpendiculares? ¿Cuál es la prueba de ortogonalidad en la figura 3.2? En el plano generado por x y y, estos vectores son ortogonales en el
supuesto de que f~rmen un triángulo rectángulo. Volvamos a a 2 + b2 = c2:
(2)
Hecho útil: Si los vectores diferentes de cero v1 , ••• , vk son mutuamente ortogonales
(cada vector es perpendicular a los demás), entonces estos vectores son linealmente independientes.
Demostración Suponga que c 1v 1 + · · · + ckvk = O. Para demostrar que c 1 debe ser cero,
se toma el producto interno de ambos miembros con v 1. Debido a la ortogonalidad de las
vs, se queda con un solo término:
(5)
Al aplicar la fórmula de la longitud (1), esta prueba de ortogonalidad en Rn se vuelve
(x~ + · · · +x;)
Los vectores son diferentes de cero, de modo que v[ v1 ,¡, O y en consecuencia c 1 =O.
Lo mismo se cumple para cada c1• La única combinación de las vs que produce O tiene a
1111
todas las c1 =O: ¡independencia!
+ (y~+··· +y;) = (xi - Y1) 2 + · · · +(x,. - y,.) 2.
El miembro derecho contiene un término -2x1 Y; extra de cada (x1 - y;) 2 :
miembro derecho
=
(xf + · · · + x;) - 2(X1Y1 + · · · + XnYn) + (yf + · · · +y;).
Se tiene un triángulo rectángulo cuando la suma de los términos del producto cruz x 1 y 1 es
cero:
Vectores ortogonales
(3)
Esta sumatoria es xTy = ~ X;Y; = yTx, el vector renglón xT multiplicado por el vector columna y:
Producto interno
xT y = [x 1
(4)
Los vectores coordenados e 1, ••. , en en Rn son los vectores ortogonales más importantes. Éstos son las columnas de la matriz identidad. Constituyen la base más sencilla de
Rn, y son vectores unitarios: la longitud de cada uno es lle111 = l. Apuntan a lo largo de los
ejes de coordenadas. Si estos vectores se rotan, el resultado es una nueva base ortonormal: un nuevo sistema de vectores unitarios mutuamente ortogonales. En R 2 se tiene cos 2
e+ sen2 e= 1:
Vectores ortonormales en R 2 V¡ = (cose, sen()) y Vz = (-sen e, cos ()).
A continuación se abordará la ortogonalidad de dos subespacios. Cada vector en un subespacio debe ser ortogonal a cada vector en el otro subespacio. Los subespacios de R 3 pueden tener dimensión O, 1, 2, o 3. Estos subespacios están representados por rectas o planos
que pasan por el origen, y en casos extremos, sólo por el origen o todo el espacio. El
subespacio (O} es ortogonal a todos los subespacios. Una recta puede ser ortogonal a otra
recta, o puede ser ortogonal a un plano, pero un plano no puede ser ortogonal a un plano.
Capítulo 3
Ortogonalidad
Debo admitir que el muro frontal y el muro lateral de una habitación se ven como planos perpendiculares en
. Pero según nuestra definición, ¡no es así!
rectas v y w en
los muros frontal y lateral que no se encuentran a ángulos rectos. La recta que corre a lo
largo de la arista pertenece a ambos muros, y ciertamente no es ortogonal a sí misma.
Suponga que V es el plano generado por v 1 = (1, O, O, O) y v2 = (1, 1, O, O). Si W es el
plano generado por w = (0, O, 4, 5), entonces w es ortogonal a ambos vectores vs. La recta W es ortogonal a todo el plano V.
.
Es ortogonal al espacio columna, y se trata de un vector típico en el espacio nulo izquierdo: N(AT) ..L C(A). Esto es lo mismo que la primera mitad del teorema, con A sustituí~~~
;:,e,guna:a demostración El contraste con esta "demostración libre de coordenadas" debe ser
de utilidad para el lector.
un método de razonamiento más "abstracto". Me gustaría saber cuál de las dos demostraciones es más clara y
comprendida.
Si x está en el espacio nulo, entonces Ax = O. Si v está en el espacio renglón, es una
combinación de los renglones: v = A T z para algún vector z. Así, en una línea:
(8)
•
4
En este caso, con subespacios de dimensiones 2 y 1 en R , hay espacio para un tercer
subespacio. La recta L que pasa por z = (O, O, 5, -4) es perpendicular a V y W. Así, la suma de las dimensiones es 2 + 1 + 1 = 4. ¿Qué espacio es perpendicular a los tres, V, W,
y L?
Los importantes subespacios ortogonales no se presentan accidentalmente, y se presentan por pares. De hecho, los subespacios ortogonales son inevitables: ¡Son los espacios
El
par lo constituyen el espacio nulo y el espacio renglón. Estos
son subespacios de Rn: los renglones tienen n componentes, como el vector x en Ax = O.
Es necesario demostrar, usando Ax = O, que los
de A son
al vector
x en el
nulo.
Suponga que el rango de A es 1, de modo que su espacio columna y su espacio renglón son
rectas;
Makn do rango 1
...
1
···renglón 2
Ax=
[
···renglón m
l [] t:J
(6)
La cuestión importante ya está presente en la primera ecuación: el renglón 1 es ortogonal a x. Su producto interno es cero: esa es la ecuación 1. Todo miembro derecho es cero, de modo que x es ortogonal a todo renglón. En consecuencia, x es ortogonal a toda
combinación de los renglones. Cada x en el espacio nulo es ortogonal a cada vector en el
espacio renglón, de modo que N(A) ..L C(AT).
El otro par de subespacios ortogonales proviene de ATy =O, o
=O:
o].
(7)
El vector y es ortogonal a cada columna. La ecuación así lo indica, a
de los ceros en
el miembro derecho. En consecuencia, y es ortogonal a toda combinación de las columnas.
il
~ [~
Los renglones son múltiplos de (1, 3). El espacio nulo contiene ax= (-3, 1), que es ortogonal a todos los renglones. El espacio nulo y el espacio renglón son rectas perpendiculares en
y
Primera demostración Suponga que x es un vector en el espacio nulo. Entonces Ax = O, y
este sistema de m ecuaciones puede escribirse como renglones de A que multiplican ax:
A
y
En contraste, los otros dos subespacios están en R 3 • El espacio columna es la recta quepasa por (1, 2, 3). El espacio nulo izquierdo debe ser el plano y 1 + 2y2 + 3Y3 =O. Esta ecuación es exactamente el contenido de yTA =O.
Los dos primeros subespacios (las dos rectas) tienen dimensiones l + l = 2 en el espacio
. El segundo par (recta y plano) tienen dimensiones 1 + 2 = 3 en el espacio
En general, el espacio renglón y el espacio nulo tienen dimensiones cuya suma es r + (n r) = n. La suma de las dimensiones del otro par es igual a r + (m - r) = m. Está ocurriendo algo más que la ortogonalidad, por lo que pido paciencia al lector para abordar otra cuestión adicional: las dimensiones.
Con toda certeza es verdad que el espacio nulo es perpendicular al espacio renglón,
aunque ésta no es toda la verdad. N(A) contiene a todo vector ortogonal al espacio renglón. El espacio nulo fue formado a
de todas las soluciones de Ax= O.
su·be1;pa.c1c V de Rn, el espacio de todos los vectores ortogonales
V. Se denota por VJ. ="V perp."
Con esta terminología, el espacio nulo es el complemento ortogonal del espacio renglón: N(A) = (C(AT))J.. Al mismo tiempo, el espacio renglón contiene a todos los vecser ortogonal al espacio
tores que son ortogonales al espacio nulo. Un vector z no
nulo sino fuera del espacio renglón. Al agregar z como un renglón extra de A se agranda el
,v,,6 ,v.. , aunque se sabe que hay una fórmula fija r + (n - r) = n:
Fórmula de la dimensión
columnas.
dim(espacio renglón)+ dim(espacio nulo)= número de
Todo vector ortogonal al espacio nulo está en el espacio renglón: C (A T) = ( N (A)) J..
3.1
Capítulo 3 Ortogonalidad
El mismo razonamiento aplicado a AT produce el resultado dual: El espacio nulo izquierdo N(AT) y el espacio columna C(A) son complementos ortogonales. La suma de sus
dimensiones es igual a (m - r) + r = m. Esto completa la segunda mitad del teorema fundamental del álgebra lineal. La primera mitad proporcionó las dimensiones de los cuatro
subespacios, incluyendo el hecho de que rango renglón = rango columna. Ahora se sabe
que estos subespacios son perpendiculares. Más que eso, los subespacios son complementos ortogonales.
El espacio nulo es el complemento ortogonal del espacio renglón en Rn.
El espacio nulo izquierdo es el complemento ortogonal del espacio columna en Rm.
Para repetir, el espacio renglón contiene todo lo que es ortogonal al espacio nulo. El espacio columna contiene todo lo que es ortogonal al espacio nulo izquierdo. Esta es sólo una
oración, escondida a medio libro, pero ¡decide cuáles ecuaciones pueden resolverse! Si se
mira directamente, Ax = b requiere que b esté en el espacio columna. Si se mira indirectaal espado nulo izquierdo.
mente, Ax = b requiere que b sea
El método directo fue "b debe ser una combinación de las columnas". El método indirecto
es "b debe ser ortogonal a cada vector ortogonal a las columnas". Esto no se ve como una
mejoría (para plantearlo en términos suaves). Pero si sólo uno o dos vectores son ortogonales a las columnas, resulta mucho más fácil comprobar estas una o dos condiciones yTb =
O. Un buen ejemplo es la ley del voltaje de Kirchhoff en la sección 2.5. Verificar cero alrededor de los circuitos es mucho más fácil que reconocer combinaciones de las columnas.
w
Vectores y subespacios ortogonales
147
w
Dos ejes ortogonales en R 3
No son complementos ortogonales
..,i.----v
Recta W perpendicular al plano V
Complementos ortogonales V = WL
,,
V
3.3 Complementos ortogonales en R 3 : un plano y una recta (no dos rectas).
Al separar Rn en dos partes ortogonales, cada vector se separa en x = v + w. El vector v es la proyección sobre el subespacio V. La componente ortogonal w es la proyección
de x sobre W. En la siguiente sección se muestra cómo encontrar estas proyecciones de x.
Éstas conducen a lo que quizá es la figura más importante del libro (véase la figura 3.4).
En la figura 3.4 se resume el teorema fundamental del álgebra lineal. Ilustra el verdadero efecto de una matriz: lo que ocurre al interior de la multiplicación Ax. El espacio nulo es llevado al vector cero. Todo Ax está en el espacio columna. Nada se manda al espacio
nulo izquierdo. La verdadera acción es entre el espacio renglón y el espacio columna, y el
lector verá esto al analizar un vector típico x. Éste contiene una " componente del espacio
renglón" y una "componente del espacio nulo", con x = Xr + xw Cuando esto se multiplica por A, se trata de Ax = Axr + Axn:
La componente del espacio nulo se va en cero: Axn = O.
La componente del espacio renglón se va al espacio columna: Axr = Ax.
Por supuesto, todo va al espacio columna: la matriz no puede hacer otra cosa. He intentado hacer los espacios renglón y columna del mismo tamaño, con dimensión igual r.
Cuando la suma de los miembros izquierdos de Ax = b es cero, entonces los miembros derechos también tienen que
lo siguiente:
X¡ -
Xz
= b¡
[
x2 - x3 = b2 es resoluble si y sólo si b1
X3 -
X¡
= b3
+ b2 + b3 =O. Aquí A =
1
O
-1
-1
l
Ü
-n
Esta prueba b 1 + b 2 + b3 =O hace que b sea ortogonal a y= (1, 1, 1) en el espacio nulo
izquierdo. Por el teorema fundamental, ¡bes una combinación de las columnas!
La matriz y los s1.Jt1es1t1ac:ios
/
/
Se recalca que V y W pueden ser ortogonales sin ser complementos. Sus dimensiones también pueden ser pequeñas. La recta V generada por (O, l, O) es ortogonal a la recta W generada por (0, O, 1), pero V no es W.L. El complemento ortogonal de W es un plano
bidimensional, y la recta es sólo parte de W.L. Cuando las dimensiones están correctas, los
subespacios ortogonales son necesariamente complementos ortogonales.
/
/
Xn
espacio
nulo
dimn-r
A:i;.=0
dimm-r
Si W = VJ., entonces V= W.L y dirn V+ dirn W = n.
En otras palabras, yJ..L = V. Las dimensiones de V y W están correctas, y todo el espacio
Rn se ha descompuesto en dos partes perpendiculares (véase la figura 3.3).
3.4
La verdadera acción Ax = A(Xrenglón + Xnuio) de cualquier matriz de m por n.
148
Capítulo 3 Ortogonalidad
3. 1
Demostracwn Todo b en el espacio columna es una combinación Ax de las columnas. De
hecho, b es Ax,., con xr en el espacio renglón, ya que la componente del espacio nulo da
Axn = O. Si otro vector x; en el espacio renglón proporciona Ax~ = b, entonces A(xr x;) = b - b = O. Esto coloca ax,
en el espacio nulo y en el espacio renglón, lo cual
lo hace ortogonal a sí mismo. En consecuencia, es cero, y xr
Exactamente un vector
111
en el espacio renglón es llevado a b.
Vectores y subespacios ortogonales
149
8. Si V y W son subespacios ortogonales, demuestre que el único vector que tienen en
común es el vector cero: V n W = {O}.
9.
Encuentre el
ortogonal del plano
por los vectores (1, 1, 2) y
(1, 2, 3), considerando que son los renglones deA y resolviendo Ax= O. Recuerde que
el
es toda una recta.
10. Escriba una ecuación homogénea en tres incógnitas cuyas soluciones sean la combinación lineal de los vectores (1, 1, 2) y (l, 2, 3). Ésta es el inverso del
previo, aunque en realidad ambos problemas son el mismo.
Sobre estos espacios r-dimensionales, A es invertible. Sobre su espacio nulo, A es cero.
Cuando A es diagonal, se observa que la submatriz invertible preserva los r no ceros.
AT va en dirección opuesta, de Rm a Rn y de C(A) de vuelta a C(A T). Por supuesto, ¡la
traspuesta no es la inversa! AT mueve correctamente los espacios, pero no los vectores individuales. Este honor corresponde a A - i en caso de existir, y sólo existe si r = m = n. No
puede pedirse que A- 1 regrese todo un espacio nulo a partir del vector cero.
Cuando A - i no existe, el mejor sustituto es la seudoinversa A+. Esta matriz invierte A
donde es posible hacerlo: A+Ax = x para x en el espacio renglón. Sobre el espacio nulo izquierdo, nada puede hacerse: A+ y = O. Así, A+ invierte A cuando ésta es invertible, y tiene
el mismo rango r. Una fórmula para A+ depende de la
del valor szn!Tlli'D.r.
tema para el cual antes se requiere saber algo sobre valores característicos (o singulares).
11. A menudo, el teorema fundamental se
en forma de la alternativa de Fredholm:
Para A y b cualesquiera, uno y sólo uno de los siguientes sistemas tiene una solución:
i)
ii)
Ax= b.
ATy = 0, yTb =f 0.
Ya sea que b esté en el espacio columna C(A) o que en N(AT) exista una y tal que
yTb i= O. Demuestre que esto es contradictorio, ya que ambos i) y ii) tienen soluciones.
12. Encuentre una base para el complemento ortogonal del espacio renglón de A:
A=
1.
2.
3.
4.
5.
Encuentre las longitudes y el producto interno de x = (1, 4, O, 2) y y= (2, -2, 1, 3).
Pr<)PC>rc10IJLe un ejemplo en R 2 de vectores linealmente independientes que no sean ortogonales. También, proporcione un ejemplo de vectores ortogonales que no sean independientes.
Dos rectas en el plano son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es
-l. Aplique este hecho a los vectores x = (x 1, x 2 ) y y= (y 1, y 2 ), cuyas pendientes son
x2/x 1 y y 2 /y 1, para deducir nuevamente la condición de ortogonalidad xTy =O.
Cómo puede saberse si el i-ésimo renglón de una matriz invertible B es ortogonal a la
j-ésima columna de s- 1' si i j?
De los siguientes vectores, v 1, v 2 v:Y v 4 ¿qué pares son ortogonales?
*
[i o
x = (3, 3, 3) en una componente del espacio renglón xr y una componente del
espacio nulo xw
13. Ilustre la acción de AT mediante una figura que corresponda a la figura 3.4, mandando C(A) de vuelta al espacio renglón y el espacio nulo
a cero.
14. Demuestre que x - y es ortogonal ax + y si y sólo si llx 11 = llY 11.
15. Encuentre una matriz cuyo espacio renglón contenga a (1, 2, 1) y cuyo espacio nulo a
(1, -2, 1), o demuestre que no puede existir una matriz así.
16. Encuentre todos los vectores que son perpendiculares a (1, 4, 4, 1) y (2, 9, 8, 2).
17. Si V es el complemento ortogonal de W en Rn,
una matriz con espacio renglón V y espacio nulo W?
con una base de V, y obtenga tal matriz.
18. Si S = {O} es el subespacio de R 4 que sólo contiene al vector cero, ¿cuál es si.? Si S
es generado por (O, O, O, 1), ¿cuál es si.? ¿Cuál es (SJ..)J..?
19. ¿Por qué son falsas las siguientes afirmaciones?
6.
7.
Encuentre todos los vectores en R 3 que son ortogonales a (1, 1, 1) y (1, -1, 0). Escriba una base ortonormal a partir de estos vectores (vectores unitarios mutuamente ortogonales).
Encuentre un vector x ortogonal al espacio renglón de A, un vector y ortogonal al espacio columna, y un vector z ortogonal al espacio nulo:
a) Si V es ortogonal a W, entonces vi. es ortogonal a wi..
b) V es ortogonal a W y W ortogonal a Z hace que V sea ortogonal a Z.
20. Sea S un subespacio de Rn. Explique el significado de (SJ..)J.. = S, y por
<ladera.
es ver-
21. Sea P el plano en R 2 con ecuación x + 2y - z = O. Encuentre un vector perpendicular a P. ¿Qué matriz tiene al plano P como espacio nulo y qué matriz tiene a P como
su espacio renglón?
22. Sea Sel
de R 4 que contiene a todos los vectores con x 1 + Xz + X3 + X4 = O. Encuentre una base para el espacio si. que contenga a todos los vectores ortogonales a S.
150
3.1
Capítulo 3 Ortogonalidad
23. Construya una matriz no simétrica de 2 por 2 con rango l. Copie la figura 3.4 y escriba un vector en cada subespacio. ¿Qué vectores son ortogonales?
24. Vuelva a dibujar la figura 3.4 para una matriz de 3 por 2 con rango r = 2. ¿Cuál subespacio es Z (sólo el vector cero)? La parte del espacio nulo de cualquier vector x en R 2
esxn = - - ·
25. Construya una matriz con la propiedad requerida o escriba una razón que explique por
qué es imposible hacerlo.
a) El espacio columna contiene a
b) El espacio renglón contiene a [
e) Ax =
[l]
[J J [-n,
J] y[-~],
y
el espacio columna contiene a
el espacio nulo contiene a [
tiene una solución y AT [
g] = [H
ll
26. Si AB = O, entonces las columnas de B están en las (los)_ _ de A. Los renglones de
A están en las (los) _ _ de B. ¿Por qué A y B no pueden ser matrices de 3 por 3 con
rango 2?
27. a) Si Ax= b tiene una solución y ATy =O, entonces y es perpendicular a _ _.
b) Si ATy = e tiene una solución y Ax = O, entonces x es perpendicular a _ _.
28. El siguiente es un sistema de ecuaciones Ax = b sin solución:
2x + 2y + 3z = 5
3x + 4y + 5z = 9.
Encuentre números y 1, y2 y y 3 que multipliquen las ecuaciones de modo que sumen
O= l. ¿Encontró un vector y, en cuál subespacio? El producto interno yTb es l.
29. En la figura 3.4, ¿cómo se sabe queAxr es igual aAx? ¿Cómo se sabe que este vector
J,
: ] y x = [ b ¿cuál es xr?
30. Si Ax está en el espacio nulo de AT, entonces Ax = O. Razón: Ax también está en el _ _
de A y los espacios son _ _. Conclusión: ATA tiene el mismo espacio nulo que A.
31. Suponga que A es una matriz simétrica (AT =A).
a) ¿Por qué su espacio columna es perpendicular a su espacio nulo?
b) Si Ax = O y Az = 5z, ¿cuáles subespacios contienen a los "vectores característicos"
x y z? Las matrices simétricas tienen vectores característicos pe,rpencm:ullares
(consulte la sección 5.5).
32. (Recomendado) Dibuje la figura 3.4 con la finalidad de mostrar cada subespacio para
A =
[~ ~]
B = [;
y
g].
33. Encuentre las piezas Xr y xm y trace idóneamente la figura 3.4, si
A= [
g -11g
1
y
34. Escriba bases de los espacios ortogonales V y W en las columnas de las matrices V y
W. ¿Por qué VTW =matriz cero? Esto corresponde a vTw =O para vectores.
35. El piso y la pared no son subespacios ortogonales porque comparten un vector diferente de cero (a lo largo de la recta en que se unen). ¡Dos planos en R 3 no pueden ser
ortogonales! Encuentre un vector en ambos espacios columna C(A) y C(B):
y
Este es un vector Ax y también Bx. Piense en la matriz [A B] de 3 por 4.
36. Extienda el problema 35 a un subespacio p-dimensional V y un subespacio q-dimensional W de Rn. ¿Qué desigualdad sobre p + q garantiza que V se corta con W en un
vector diferente de cero? Estos subespacios no pueden ser ortogonales.
37. Demuestre que cada y en N(AT) es perpendicular a cada Ax en el espacio columna,
usando la abreviatura para matrices de la ecuación (8). Empiece con ATy =O.
38. ¿Si S es el subespacio de
que sólo contiene al vector cero, ¿cuál es SJ..? Si S es generado por (1, 1, 1), ¿cuál es SJ..? Si Ses generado por (2, O, 0) y (O, O, 3), ¿cuál es SJ..?
39. Suponga que S sólo contiene a (1, 5, 1) y a (2, 2, 2) (no es un subespacio). Entonces
g.J.. es el espacio nulo de la matriz A = _ _ . SJ.. es un subespacio aun cuando S no lo
sea.
40. Suponga que L es un subespacio unidimensional (una recta) en
. Su complemento
ortogonal LJ.. es el (la)_ _ perpendicular a L. Luego, (LJ..)j_ es un (una) _ _ perpendicular a LJ... De hecho, (LJ..)J.. es lo mismo que _ _.
X+ 2y + 2z = 5
está en el espacio columna? Si A = [;
151
Los pr~[)blienms 34 a 44 son sobre subespados or1togon:ate:s.
UJ.
d) Cada renglón es ortogonal a cada columna (A no es la matriz cero).
e) La suma de las columnas es una columna de Os y la suma de los renglones es un
renglón de 1s.
Vectores y subespacios ottogonales
X= [;].
41. Suponga que V es todo el espacio R 4 . Entonces V J.. sólo contiene al vector _ _ . Así,
(VJ..)J.. es _ _. De modo que (VJ..)J.. es lo mismo que _ _.
42. Suponga que Ses generado por los vectores (1, 2, 2, 3) y (1, 3, 3, 2). Encuentre dos
vectores que generen a SJ... Esto es lo mismo que resolver Ax = O ¿para cuál A?
43. Si P es el plano de los vectores en R 4 que satisfacen X¡ + x 2 + x 3 + x4 = O, escriba
una base de p.L_ Escriba una matriz cuyo espacio nulo sea P.
44. Si un subespacio S está contenido en un subespacio V, demuestre que SJ.. contiene a VJ...
Los
45 a 50 son sobre columnas y re11~,ornes p1eq:1end.ic:ull1res.
45. Suponga que una matriz de n por n es invertible: AA - i = l. Entonces, la primera columna de.A - t es ortogonal al espacio generado por ¿cuáles renglones de A?
46. Encuentre ATA si las columnas de A son vectores unitarios, todos mutuamente perpendiculares.
47. Construya una matriz A de 3 por 3 sin elementos cero cuyas columnas sean mutuamente perpendiculares. Calcule ATA. ¿Por qué es una matriz diagonal?
48. Las rectas 3x + y = b 1 y 6x + 2y = b 2 son _ _ . Son la misma recta si _ _ . En ese
caso, (b 1, b2 ) es perpendicular al vector _ _ . El espacio nulo de la matriz es la recta
3x + y = _ _ . Un vector particular en ese espacio nulo es _ _.
152
Capítulo 3
Ortogonalidad
3.2
49. ¿Por qué es falsa cada una de las siguientes afirmaciones?
a) (1, l, 1) es perpendicular a (1, l, -2), de modo que los planos x + y + z = O y
x + y - 2z = O son subespacios ortogonales.
b) El subespacio generado por (1, 1, O, O, 0) y (O, O, O, l, 1) es el complemento ortogonal del subespacio generado por (1, -1, O, O, O) y (2, -2, 3, 4, -4).
c) Dos subespacios que sólo se cortan en cero son ortogonales.
50. Encuentre una matriz con v = (l, 2, 3) en el espacio renglón y en el espacio columna. Encuentre otra matriz con v en el espacio nulo y en el espacio columna. ¿En cuáno estar v?
les pares de subespacios
51. Suponga que A es de 3 por 4, que Bes de 4 por 5, y que AB = O. Demuestre que rango(A) + rango(B) :S 4.
52. El comando N = null(A) produce una base del espacio nulo de A. Así, el comando
8 = null(N') produce una base para el _ _ de A.
Los vectores con xTy = O son ortogonales. Ahora se
permitir productos internos distintos de cero, y ángulos que no sean rectos. Se desea relacionar los productos internos con
los ángulos, y también con las traspuestas. En el capítulo l la traspuesta se construyó dándole la vuelta a una matriz como si fuese algún tipo de panqué. Es necesario mejorar lo an·
terior.
Algo es inevitable: el caso ortogonal es el más importante. Suponga que se desea encontrar la distancia de un punto b a la recta en dirección del vector a. En esa recta se busca el punto p más próximo a b. La clave está en la geometría: la recta que une b con p (la
recta discontinua en la figura 3.5) es
a a. Este hecho permite encontrar
la proyección p. Aun cuando a y b no sean ortogonales, el problema de la distancia automáticamente supone ortogonalidad.
l.
2.
Cosenos y proyecciones sobre rectas
153
Esta proyección, ¿realmente se presenta en aplicaciones prácticas?
Si se tiene una base del subespacio S, ¿hay una fórmula para la proyección p?
Ciertamente, las respuestas son sí. Este es exactamente el problema de la solución por
mínimos cuadrados de un sistema sobredeterminado. El vector b representa los datos provenientes de experimentos o cuestionarios, y contiene demasiados errores para ser encontrado en el subespacio S. Cuando se intenta escribir b como una combinación de los
vectores de la base de S, no es posible hacerlo, ya que las ecuaciones son inconsistentes, y
Ax = b no tiene solución.
El método de mínimos cuadrados selecciona a p como la mejor opción para sustituir
a b. No puede haber duda sobre la importancia de esta aplicación. En economía y estadística, los mínimos cuadrados introducen el análisis de regresión. En geodesia, el departamento de agrimensura de Estados Unidos abordó 2.5 millones de ecuaciones en 400 000
incógnitas.
U na fórmula para p es fácil cuando el subespacio es una recta. Entonces b se proyectará sobre a de varias formas, y la proyección p se relacionará con varios productos internos y ángulos. La proyección sobre un subespacio de dimensión mayor es por mucho el
caso más importante; corresponde a un problema de mínimos cuadrados con varios parámetros, y se resolverá en la sección 3.3. Las fórmulas son incluso más sencillas cuando se
produce una base ortogonal de S.
y cosenos
A continuación se abordará el análisis de los productos internos y los ángulos. Pronto se
verá que no es el ángulo, sino el coseno del ángulo, el que está relacionado directamente
con los productos internos. Se acude a la trigonometría en el caso bidimensional para encontrar la relación. Suponga que los vectores a y b forman ángulos a y f3 con el
x (véase la figura 3.6).
y
b
cos {}]
[ sene
u·i=cos8
[~]
3.6 Coseno del ángulo e = f3 - a usando productos internos.
La longitud ¡¡a¡¡ es la hipotenusa del triángulo OaQ. Así, el seno y el coseno de a son
3.5
La proyección p es el punto (sobre la recta que pasa por a) más próximo a b.
a2
sen a= - -
Hall'
La situación es la misma que cuando se tiene un
(o con cualquier subespacio S)
en vez de una recta. De nuevo, el problema es encontrar el punto p en ese subespacio que
sea el más próximo a b. Este punto pes
de b sobre el
Una recta perpendicular de b a S corta al subespacio en p. Geométricamente, así se obtiene la distancia entre puntos b y subespacios S. Sin embargo, hay dos preguntas que es necesario
a¡
cosa = - - .
llall
Para el ángulo f3, el seno es b 2 /I/ b¡¡, y el coseno es bi/l/b/J. El coseno de e = /3 - a proviene de una identidad inolvidable:
Fórmula del coseno
cose =cos{3cosa +sen{3sena =
a 1b 1 + a2b2
llall llbll .
(1)
154
Capítulo 3
Ortogonalidad
3.2
155
Cosenos y proyecciones sobre rectas
El numerador en esta fórmula es exactamente el producto interno de a y b. Esto es proporcional a la relación entre aTb y cose:
1
1e=b-p
a
Esta fórmula es dimensionalmente correcta: si se duplica la longitud de b, entonces tanto
el numerador como el denominador se duplican, y el coseno permanece sin cambio. Al invertir el signo de b, por otra parte, se invierte el signo de cos e y el ángulo cambia por 180°.
Hay otra ley de trigonometría que conduce directamente al mismo resultado. No es tan
inolvidable como la fórmula de la ecuación (1), aunque relaciona las longitudes de los lados de cualquier triángulo:
Ley de los cosenos Jlb - all 2 = llbll 2 + 1Jall 2 - 211bll llall cose.
2
2
Proyecciónp de b sobre a, con cos e = Op
Ob
llall llbll
de que Jlell 2 = !lb - pli 2 en la figura 3.7 no puede ser negativa:
(3)
Cuando e es un ángulo recto, se acude al teorema de Pitágoras: !lb - all = llbll + llall •
Para cualquier ángulo e, la expresión ¡¡b - a¡¡ 2 es (b - a)T(b -a), y la ecuación (3) se convierte en
2
3.1
ll
b - -ªT_b all2 = bTb - 2-(a_T_b)_z = (ª-T_b)2 ªTª = (bTb)(aTa) - (aTb)2 ::: o.
a Ta
a Ta
(a Ta)
a Ta
Lo anterior indica que (brb)(ara) ::: (aTb) 2 , y luego se toman las raíces cuadradas:
bTb - 2aTb +a Ta= bTb +a Ta - 211bll 1Jal! cose.
Al cancelar bTb y aTa en ambos miembros de esta ecuación, se reconoce la fórmula (2) para el coseno: aTb = llall llbll cose. De hecho, esto demuestra la fórmula del coseno en n
dimensiones, ya que sólo es necesario preocuparse sobre el triángulo plano Oab.
Ahora se desea encontrar el punto proyección p. Este punto debe ser algún múltiplo
p =
del vector dado a: cada punto sobre la recta es un múltiplo de a. El problema es
calcular el coeficiente x . Todo lo que se requiere es el hecho geométrico de que la recta
desde b
más próximo p =
es perpendicular al vector a:
xa
xa
~ J_ a, o b.ien a T(b - xa)
~ = 0 , o b.1en x~ = aTb
( b - xa)
(4)
Así se obtiene la fórmula para el número x y la proyección p:
Según la fórmula (2), la razón entre aTb y llall Jlbll es exactamente leos e¡. Debido a que
todos los cosenos están en el intervalo -1 :S cos e :S 1, esto constituye otra demostración
de la ecuación (6): la desigualdad de Schwarz es lo mismo que leos e¡ :S l. De alguna manera es una demostración que se entiende más fácilmente debido a que los cosenos son bastante conocidos. Cualquier demostración está bien en Rn, aunque debe observar que la aquí
proporcionada provino directamente del cálculo de llb - pll 2 • Esto permanece no negativo
cuando se introducen nuevas posibilidades para las longitudes y los productos internos. El
nombre de Cauchy también está ligado a esta desigualdad JaTbl :S llall llbll, ¡y los rusos se
refieren a ella como la desigualdad de Cauchy-Schwarz-Buniakowsky! Los historiadores
expertos en matemáticas parecen coincidir en que la reclamación de Buniakowsky es legítima.
Una observación final sobre laTbl :S llall !lbll. La igualdad se cumple si y sólo si bes
un múltiplo de a. El ángulo es e = Oº o e = 180° y el coseno es l o - l. En este caso b es
idéntico a su proyección p, y la distancia entre b y la recta es cero.
Proyectar b = (1, 2, 3) sobre la recta que pasa por a = ( 1, 1, 1) para obtener
~
x y p:
aTb
6
= - =2.
a Ta
3
X= -
Esto permite volver a trazar la figura 3.5 con una fórmula correcta para p (véase la figura 3.7).
Lo anterior conduce a la desigualdad de Schwarz en la ecuación (6), que es la desigualdad más importante en matemáticas. Un caso especial es el hecho de que las medias
aritméticas~ (x +y) son más grandes que las medias geométricas ,.fXY. (Esto es equivalente -consulte el problema 1 al final de esta sección- a la desigualdad del triángulo para
vectores.) Parece que la desigualdad de Schwarz surge casi accidentalmente de la afirmación
La proyección es p =
cos
xa = (2, 2, 2). El ángulo entre a y b tiene
e _ llPll _ ..,/12
-
llbll -
.J'i4
y también
aTb
cose = Jlall llbll =
6
,J3.J'i4.
La desigualdad de Schwarz laTbl :S llall llbll es 6::::: ,J3.J'i4. Si 6 se escribe como v'36,
esto es lo mismo que J:36::::: ,J42. El coseno es menor que 1, ya que b no es paralelo a a.
156
Capítulo 3 Ortogonalidad
3.2
3
La proyección de b sobre la recta que pasa por a está en p = a(aTb/aTa). Esta es nuestra
fórmula p = xa, aunque aquí se ha escrito con un leve giro: El vector a aparece antes que
el número = aTb/aTa. Detrás de este cambio aparentemente trivial hay una razón. La
proyección sobre una recta es llevada a cabo por una
P, y escrita en este nuevo orden puede verse de qué se trata. P es la matriz que multiplica a b y produce p:
de modo que la matriz proyección es
(7)
157
Proyectar sobre la "dirección e" en el plano x-y. La recta pasa por a = (cose, sen O) y la
matriz es simétrica con P2 = P:
[~] [e s) = [c
x
aTb
P = a -a Ta
Cosenos y proyecciones sobíe rectas
[e s] [~]
2
es
es]
s2
.
Aquí, e es cos e, s es sen e y c 2 + s2 = l en el denominador. Esta matriz P se descubrió en
la sección 2.6 sobre transformaciones lineales. Ahora, P se conoce en cualquier número de
dimensiones. Se recalca que produce la proyección p:
Esto es una columna multiplicada por un renglón -una matriz cuadrada- dividida entre
el número aTa.
La matriz que proyecta sobre la recta que pasa por a = ( 1, 1, 1) es
l [l]
p = -aaT = -
aTa
3
1
1
[l
Por último, los productos internos se relacionan con
. Hasta el momento, AT es si'.11plemente la reflexión de A a través de la diagonal principal: los renglones de A se conv1erten
en las columnas de AT, y viceversa. El elemento en el renglón i, columna j de A es el elemento (j, i) de A:
1]
Esta matriz tiene dos propiedades que serán consideradas como típicas de las proyecciones:
l.
2.
P es una matriz simétrica.
un significado más profundo de
. Su estrecha relación con los productos internos
constituye una nueva y mucho más "abstracta" definición de la traspuesta:
Su cuadrado es eUa misma: p2 = P.
prc1p1e:aa~J: el producto
2
V<.m~~U•~.,._~, esto sig-
P b es la proyección de Pb, ¡y Pb ya está en la recta! Así, P 2 b =
Pb. Esta matriz P también constituye un gran ejemplo de los cuatro subespacios fundamentales:
(8)
El espacio columna consta de la recta que pasa por a = (1, 1, 1).
El espacio nulo consta del plano perpendicular a a.
El rango es r = l.
Esta definición constituye otra (mejor) manera de comprobar la fórmula (AB) T = BTAT. La
ecuación (8) se aplica dos veces:
Toda columna es un múltiplo de a, así como también lo es p b = xa. Los vectores que proyectan hacia p = O son
importantes. Satisfacen aTb = O-s9n perpendiculares a a y su componente a lo largo de la recta es cero. Están en el espacio nulo = plano
perpendicular.
En realidad, este ejemplo es demasiado pe!fecto. Tiene el espacio nulo ortogonal al espacio columna, que se ha vuelto loco. El espacio nulo debe ser ortogonal al espacio renglón. Pero como P es simétrica, sus espacios renglón y columna son el mismo.
Observación sobre la esca/ación La matriz proyección aaT!aTa es igual a a si se duplica:
a~ mprnp0<0ion• ~ l~ m[2 2 2¡
p
[! ¡!J M~.
oomo
La recta que pasa por a es la misma, y eso es todo lo que le
a la matriz proyección.
Si la longitud de a es 1, el denominador es aTa = 1 y la matriz es justo p = aaT.
Primero se mueve A y
La traspuesta se da vuelta en orden inverso sobre el lado derecho, justo como hacen las
inversas en la fórmula (AB)- 1 = B- 1A - 1 . Se hace mención nuevamente que estas dos
fórmulas se encuentran para producir la extraordinaria combinación (A - l) T = (A T)- 1.
1.
.JX, JY.),
y escoja a= (Jy, .jX).
la desigualdad de Schwarz para comparar la media
aritmética~ (x +y) con la media geométrica .JXy.
b)
que se empieza con un vector que va del
al punto x, y q~~ luego se
suma un vector de longitud llYll que une x con x +y. El tercer lado del tr_1angu~o va
del origen ax + y. La desigualdad del triángulo establece que esta distancia no
puede ser mayor que la suma de las dos primeras distancias:
a) Dados dos números positivos cualesquiera x y y, escoja el vector b igual a (
158
3.2
Capítulo 3 Ortogonalidad
llx + Yll :=:: llxll + llYll.
Después de elevar al cuadrado ambos miembros, y desarrollar (x + y)T(x +y), reduzca lo anterior a la desigualdad de Schwarz.
2. Compruebe que la longitud de la proyección en la figura 3. 7 es 11p11 = 11b11 cos e,
aplicando la fórmula (5).
3.
¿Qué múltiplo de a= (1, 1, 1) está más próximo al punto b = (2, 4, 4)? También encuentre el punto más próximo a a sobre la recta que pasa por b.
4. Explique por qué la desigualdad de Schwarz se vuelve igualdad cuando a y b están sobre la misma recta que pasa por el origen, y sólo en ese caso. ¿Qué ocurre si están en
lados opuestos del origen?
5. En n dimensiones, ¿qué ángulo forma el vector (1, 1, ... , 1) con los ejes de coordenadas? ¿Cuál es la matriz proyección P sobre ese vector?
6. La desigualdad de Schwarz puede demostrarse en una línea si a y b se normalizan delante del tiempo para que sean vectores unitarios:
II: 1 L la·llb 1 L laj1 +2
2
la T bl =
a·b·
<
11-
1
<
lbj1
2
1-
Cosenos y proyecciones scDe
l:tal 7 3
14. ¿Cuál matriz P proyecta todo punto de R 3 sobre la recta de intersección de los planos
X + y + t = o y X - t = O?
15. Demuestre que la longitud de Ax es igual a la longitud de ATx si AAT = ATA.
16. Suponga que P es la matriz proyección sobre la recta que pasa por a.
a) ¿Por qué el producto interno de x con Py es igual al producto interno de Px con y?
b) ¿Son iguales los dos ángulos? Encuentre sus cosenos si a= (1, l, -1), x
1), y y = (2, 1, 2).
= (2, O,
e) ¿Por qué el producto interno de Px con Py siempre es el mismo? ¿Cuál es el ángu-
lo entre Px y Py?
proyecciones sobre rectas. También los errores
En los 1n·1>blcem:¡¡s 17 a 26 se
e = b - p, y las matrices P.
17. Proyecte el vector b sobre la recta que pasa por a. Compruebe que e es perpendicular
aa:
= -21 + -2l = llall llbll·
18. Trace la proyección de b sobre a y también calcúlela a partir de p = xa:
¿Cuál de los problemas previos justifica el paso de en medio?
a)
7. Escoja el vector correcto ben la desigualdad de Schwarz para demostrar que
2
(a¡ + · · · +an) :S: n(af +···+a;).
º]
b = [cos
sene
y
a=
[~J.
b =
[i]
y
[-~].
a=
19. En el problema 17, encuentre la matriz proyección P = aaT/aTa sobre la recta quepasa por cada vector a. En ambos casos, compruebe que p2 = P. Multiplique Pb en cada caso para calcular la proyección p.
¿Cuándo se cumple la igualdad?
8. La molécula de metano CH4 está dispuesta como si el átomo de carbono estuviese en
el centro de un tetraedro regular con cuatro átomos de hidrógeno en los vértices. Si los
vértices están en (0, O, 0), (1, l, O), (1, O, 1), y (O, 1, 1) -observe que la longitud de
todas las seis aristas es ./2. de modo que el tetraedro es regular-, ¿cuál es el coseno
del ángulo formado por los rayos que van del centro (
i) a los vértices? (El ángulo de enlace en sí mide aproximadamente 109.5°, un viejo conocido de los químicos.)
i, i,
9. Eleve al cuadrado la matriz P = aaT!aTa, que proyecta sobre una recta, y demuestre
que P 2 =P. (¡Observe el número aTa en medio de la matriz aaTaaT!)
20. Construya las matrices proyección P 1 y P 2 sobre las rectas que pasan por cada vector
a del problema 18. ¿Es cierto que (P 1 + P 2 )2 = P 1 + P2? Esto sería cierto si P1P2 =
o.
Para los problemas 21 a 26, consulte las
.,~
Hl
10. La matriz proyección P, ¿es invertible? ¿Por qué?
U. a) Encuentre la matriz proyección P 1 sobre la recta que pasa por a =
la matriz P 2 que proyecta sobre la recta perpendicular a a.
b)
[~] y también
ª' ~ [
b) Calcule P 1 + P2 , P 1P 2 , y explique.
12. Encuentre la matriz que proyecta todo punto en el plano sobre la recta x + 2y = O.
13. Demuestre que la traza de P = aaT!aTa -que es la suma de sus elementos diagonales - siempre es igual a 1.
Problemas 21 a 23
J]
que se muestran a continuación.
a2 =
[;]
b=
GJ
a1 =
[~]
Problemas 24 a 26
e-:
21. Construya las matrices proyección aaT!aTa sobre las rectas que pasan. por a¡ =
1,
2, 2) y a 2 = (2, 2, -1). Multiplique estas matrices proyección, y exphque por que su
producto P 1P 2 es lo que es.
160
Capítulo 3
Ortogonalidad
', ,_,_
22. P~?yecte b = (l, O, 0) sobre las rectas que pasan por a 1 y a 2 del problema 21 y tamb1en sobre a 3 = (2, -1, 2). Sume las tres proyecciones p 1 + p 2 + p 3 •
23. Continuando con los problemas 21 y 22, encuentre la matriz proyección P 3 sobre a 3 =
(2, -1, 2). Compruebe que P 1 +
+ P3 =l.
base a 1, az, a3 es ortogonal!
24. Proyecte el vector b = (1, 1) sobre las rectas que pasan por a 1 = (l, O) y a 2 = (1, 2).
Trace las proyecciones Pi y p 2 y sume p 1 + p 2 . La suma de las proyecciones no es b
porque las as no son ortogonales.
3.3
Proyecciones y mínimos cuadrados
161
:.:.::-.:_ URUGUA"!
La derivada de
es cero ei:i:eI'pufiro~
(a¡x - b¡)a¡ + · · · +(amx - bm)am =O,
Se está minimizando la distancia de b a la recta que pasa por a, y en cálculo se obtiene
la misma respuesta, = (a 1 b 1 + · · · +ambm)/( a?+··· +a;), que se obtuvo antes con
la geometría:
x
25. En el problema 24, la proyección de b sobre el plano de a 1 y az es igual a b. Encuentre
P=A(ATA)- 1ATparaA = [a 1 a 2 )
26.
=u
~].
ª1 = (1, O) sobre ª2 = (1, 2). Luego proyecte el resultado de vuelta sobre a 1.
Trace estas proyecciones y multiplique las matrices proyección P 1P 2 : ¿Ésta es una
proyección?
Hasta el morr_iento, Ax = b tiene una solución o no. Si b no está en el espacio columna C(A),
entonces el sistema es inconsistente y la eliminación gaussiana fracasa. Casi seguramente,
esta falla ocurre cuando hay muchas ecuaciones y sólo una incógnita:
Más ecuaciones
que u:u:ói:i:ID1tas:
¿no
solución?
2x = b 1
3x = b 2
4x = b 3 .
Este sistema es resoluble cuando la razón entre b 1, b 2 y b3 es 2:3:4. La soluciónx existe sólo si b está sobre la misma recta que la columna a= (2, 3, 4).
A pesar de su irresolubilidad, las ecuaciones inconsistentes se presentan todo el tiempo en la práctica. ¡Es necesario resolverlas! Una posibilidad es determinar x con base en
una parte de ese sistema e ignorar el resto; esto es difícil de justificar si todas las m ecuaciones vienen de la misma fuente. En vez de esperar que en algunas ecuaciones no haya
error Y que en otras el error sea grande, es mucho mejor escoger la x que minimiza un error
promedio E en las m ecuaciones.
El "promedio" más conveniente proviene de la suma de los cuadrados:
Error al cuadrado
2
E = (2x - b 1) 2 + (3x - b 2 ) 2 + (4x - b 3 ) 2 •
Si hay una ~olución exact~ el error ;IDnimo es E = O. En el caso más probable en que b no
sea proporcional a a, la gráfica de E- es una parábola. El error mínimo está en el punto más
bajo, donde la derivada es cero:
dE2
= 2[(2x - b1)2 + (3x - b2)3 + (4x - b 3 )4] =O.
Al despejar x, la solución por mínimos cuadrados de este sistema modelo ax = b se denota por :X:
Solución por mínimos cuadrados
x = 2b¡ + 3b2 + 4b3
2 2 + 32 + 4 2
En el numerador se reconoce aTb, y en el denominador; aTa.
El caso general es el mismo. ax = b se "resuelve" al minimizar
aT b
Puede darse cuenta de que seguimos regresando a la interpretación geométrica de un
problema de mínimos cuadrados: minimizar una distancia. Al igualar a cero la derivada de
E 2 , el cálculo confirma la geometría de la sección previa. El vector error e que une b con
p debe ser perpendicular a a:
T
~
T
aTb T
a (b - xa) =a b - - a a =O.
a Ta
Como observación al margen, observe el caso degenerado a = O. Todos los múltiplos
de a son cero, y la recta es sólo un punto. En consecuencia, p = Oes el único candidato para la proyección. Sin embargo, la fórmula para x se convierte en una expresión O/O sin sentido, y correctamente refleja el hecho de que x está completamente indeterminado. Todos
los valores de x proporcionan el mismo error E = ¡¡ox - b¡¡, de modo que E2 es una recta
horizontal en vez de una parábola. La "seudoinversa" asigna el valor definitivo :X =O, que
es una elección más "simétrica" que cualquier otra.
Problemas de mínimos cuadrados con varias variables
Ahora ya estamos listos para dar un paso
b sobre un subespacio --en
vez de hacerlo simplemente sobre una recta. Este problema se presenta de Ax = b cuando
A es una matriz de m por n. En vez de una columna y una incógnita x, ahora la matriz tiene n columnas. El número m de observaciones sigue siendo mayor que el número n de in= b sea inconsistente. Quizá no haya una elección
cógnitas, por lo que es de esperar
de x que se ajuste perfectamente a los datos b. En otras palabras, probablemente el vector
b no sea una combinación de las columnas de A; está fuera del espacio columna.
De nuevo el problema es escoger x con la finalidad de minimizar el error, y de nuevo
esta minimización se hace en el sentido de mínimos cuadrados. El error es E= l\AX - b¡¡,y
es exactamente la distancia de b
Ax en el espacio columna. Buscar la solución
por mínimos cuadrados x, que minimiza E, es lo mismo que ubicar el punto p = Ax que
está más próximo a b que
otro punto en el espacio columna.
Para determinar x
usarse geometría o cálculo. En n dimensiones es preferible
utilizar geometría; p debe ser la "proyección de b sobre el espacio columna". El vector
a ese
(véase la
3.8). Encontrar
error e = b - Ax debe
:X y la
p = Ax es tan fundamental que se hace de dos maneras:
l. ' Todos los vectores perpendiculares al espacio columna están en el espacio nulo izquierdo. Así, el vector error e = b - Ax debe estar en el espacio nulo de AT:
AT(b - Ax) =O
o bien
162
Capítulo 3 Ortogonalidad
3.3
163
permanecen igual pero z = 6 desaparece. Este hecho lo confirman las ecuaciones normales:
b
ate= O
a'.fe =O
columna a 1
se combinan en
ATe=AT(b-Ax)=O
ATA
~
u; g] [i ~] ~ ¡; ;,]
X~ (ATA)-'ATb ~ [ 2~ -n [~ i g] [i]
Proy«ción
P
~AX~ [i ~] [i]
m
m
Proyección sobre el espacio columna de una matriz de 3 por 2.
En este caso especial, lo mejor que puede hacerse es resolver las dos primeras ecuaciones
de Ax = b. Así, x1 = 2 y x2 = 1. Es seguro que el error en la ecuación Ox 1 + Ox2 = 6 es
el 6.
El vector error debe ser perpendicular a cada columna a 1, ••• , ande A:
Observación 1 Suponga que b está realmente en el espacio columna de A: es una combinación b = Ax de las columnas. Entonces, la proyección de b sigue siendo b:
Figura 3.8
2.
Proyecciones y mínimos cuadrados
a[(b - Ax) =O
o bien
aJ(b - Ax)= O
ben el espacio columna
p
= A(ATA)- 1 ATAx =Ax= b.
El punto p más próximo es justo b mismo, lo cual es evidente.
Esto es nuevamente A T ( b - Ax) = O y A T Ax = A T b. El método del cálculo consiste en tomar derivadas parciales de E 2 = (Ax - b)T(Ax - b). Así se obtiene lo mismo
que 2AT Ax - 2AT b = O. La forma más rápida es
la ecuación irresoluble Ax
= b por A T. Con todos estos métodos equivalentes se obtiene una matriz de coeficientes
cuadrada ATA. Es simétrica (¡su traspuesta no es AAT!) y es la matriz fundamental de este
capítulo.
En estadística, las ecuaciones A T Ax = A T b se conocen como ecuaciones normales.
Observación 2 En el otro extremo, suponga que b es perpendicular a cada columna, de
modo que A Tb = O. En este caso b se proyecta al vector cero:
Observación 3 Cuando A es cuadrada e invertible, el espacio columna es todo el espacio.
Cada vector se proyecta en sí mismo, p es igual a b, y x = x: .
Este es el único caso en que es posible separar (ATA)- 1 , y escribirla como A - l (AT)- 1 •
Cuando A es rectangular esto no es posible.
·
Observación 4 Suponga que A sólo tiene una columna, que contiene a a. Entonces lamatriz ATA es el número aTa y x es aTblaTa. Se regresa a la primera fórmula.
Se escoge un ejemplo en donde nuestra intuición es tan buena como las fórmulas:
A
~ [H],
b
~ [i].
La matriz ATA es ciertamente simétrica. Su traspuesta es (ATA l = ATATT, que es ATA de
nuevo. Su elemento i, j (y el elemento j, i) es el producto interno de la columna i de A con
la columna j de A. La cuestión clave es la invertibilidad de ATA, y por fortuna
Ax = b no tiene solución
A T Ax = A T b proporciona la mejor x.
~b~_colun_mas terminan con un cero, de modo que C(A) es el plano x-y dentro del espacio tnd1mens1onal. La proyección de b = (4, 5, 6) es p = (4, 5, O); las componentes x y y
Ciertamente, si Ax = O, entonces A TAx = O. Los vectores x en el espacio nulo de A también
están en el espacio nulo de ATA. Para ir en la otra dirección, debe empezarse suponiendo
164
Capítulo 3
Ortogonalidad
3.3
que ATAx = O, y tomar el producto interno con x para demostrar que Ax = O:
Proyecciones y mínimos cuadrados
165
Para demostrar que P también es simétrica, se toma su traspuesta. Las traspuestas se
multiplican en orden invertido, y se usa la simetría de (ATA)-1, para regresar a P:
xT AT Ax =O, o bien, llAx11 2 =O, o bien, Ax =O.
Los dos espacios nulos son idénticos. En particular, si las columnas de A son independientes (y sólo x =O está en su espacio nulo), entonces lo mismo es cierto para ATA:
Para la conversa, a partir de P 2 = P y
= P es necesario deducir que Pb es la pronr1~"º''"'""'1 de b sobre el
columna de P. El vector error b - Pb es ortogonal al espacio. Para cualquier vector Pe en el espacio, el producto interior es cero:
Después se ~~mostrará qu~ _ATA también es positiva definida (todos los pivotes y los valores caractenst1cos son pos1tlvos).
Este caso es por mucho el más común e importante. La independencia no es tan difícil en un espacio m-dimensional si m > n. Esto se supone de aquí en adelante.
Así, b - Pb es ortogonal al espacio, y Pb es la proyección sobre el espacio columna.
Eie11rnplo 1
Se ha demostrado que el punto más próximo abes p = A(AT A)-1 ATb. Esta fórmula expresa en términos matriciales la construcción de una recta perpendicular de b al espacio
columna de A. La matriz que proporciona Pes una matriz proyección, denotada por P:
(4)
Esta matriz proyecta cualquier vector b sobre el espacio columna de A.* En otras palabras,
P = Pb es la componente de b en el espacio columna, y el error e = b - Pb es la componente en el complemento ortogonal.(¡/ - P también es una matriz proyección! Proyecta b
sobre el complemento ortogonal, y la proyección es b - Pb.)
En ~reve, se tiene ~na fórmula matricial para separar cualquier b en dos componentes
perpend~culares: Pb .esta en el ;spacio columna C(A), y la otra componente (/ _ P)b está en
el espacio nulo izqmerdo N(A ), que es ortogonal al espacio columna.
Las matrices proyección pueden entenderse geométrica y algebraicarnente.
Suponga que A es verdaderamente invertible. Si es de 4 por 4, entonces sus cuatro columnas son independientes y su espacio columna es todo R 4 • ¿Cuál es la proyección sobre todo el espacio? Es la matriz identidad.
(5)
La matriz identidad es simétrica,
de datos por mínimos cuadrados
Suponga que se realiza una serie de experimentos, y se espera que la salida b sea una función lineal de la entrada t. Se busca una linea recta b = C + Dt. Por ejemplo:
2.
*Puede haber un riesgo de confusión con las matrices permutación, que también se denotan por P, aunque el riesgo debe ser pequeño, y trataremos que nunca aparezcan ambas en la misma página.
= !, y el error b - lb es cero.
La cuestión con todos los otros ejemplos es que lo que ocurrió en la ecuación (5) no
se permite. Para repetir: No es posible invertir las partes por separado AT y A cuando estas
matrices son rectangulares. La que es invertible es la matriz ATA.
l.
De'!'ostración Es. fácil ver por
P 2 = P. Si se
con cualquier b, entonces Pb
esta en e: subespac10 sobre el <i,ue se está proyectando. Cuando se vuelve a proyectar nada camfuz. El vector Pb ya ~sta en el subespacio, y P(Pb) sigue siendo Pb. En otras
b~s, P = P. D?,s o tres o cmcuenta proyecciones proporcionan el mismo punto p que la
pnmera proyecc10n:
1111
3.
En instantes diferentes se mide la distancia a un satélite en su camino a Marte. En este caso t es el tiempo y b es la distancia. A menos que el motor esté encendido o la gravedad sea intensa, el satélite se moverá casi a velocidad constante v: b = b0 + vt.
En una estructura se hace variar la carga, y se mide el movimiento que esto produce.
En este experimento t es la carga y b es la lectura en el medidor de deformación.
A menos que la carga sea tan grande que el material se vuelva plástico, en la teoría de
la elasticidad es normal una relación lineal b = C + Dt.
El costo de producción de t libros como éste es casi lineal, b = C + Dt, con la edición
y la composición en C y luego la impresión y la encuadernación en D. Así, Ces el costo de preparación y D es el costo por cada libro adicional.
¿Cómo calcular C y D? Si no hay error experimental, entonces dos mediciones de b
detenninan la recta b = C + Dt. Pero si hay error, es necesario estar preparado para "promediar" los experimentos y encontrar una recta óptima. ¡Esta recta no debe confundirse
con la recta que pasa por a sobre la cual se proyectó b en la sección previa! De hecho, ya
que hay dos incógnitas por detenninar: C y D, ahora se proyecta sobre un subespacio bidimensional. Un experimento perfecto debe proporcionar una C y una D perfectas:
Capítulo 3
3.3
Ortogonalidad
C + Dt2 = bz
(6)
C + Dtm = bm.
Este es un sistema sobredeterminado, con m ecuaciones y sólo dos incógnitas. Si hay errores presentes, el sistema no tiene solución. A tiene dos columnas, y x = (C, D):
Ax = b.
Ax = b
(7)
Minimizar
que rrúnirrúza el error al cuadrado E 2 :
E 2 = !lb - Ax11 2 = (b¡ - C - Dt¡) 2 + · · · +(bm - C - Dtm) 2 •
El vector p = Ax está lo más próximo posible a b. De todas las rectas b = C + Dt, se está eligiendo la que mejor se ajusta a los datos (véase la figura 3.9). En la gráfica, los errores son las distancias verticales b - C - Dt a la recta (¡no son distancias perpendiculares!)
Son las distancias verticales las que se elevan al cuadrado, se suman, y rrúnirrúzan.
b
-1
1
2
~
-q [~] [~]=
2J
3
e = t' D = ~, y la mejor recta es t + ~t.
Observe las hermosas relaciones entre las dos figuras. El problema es el rrúsmo pero
el arte lo muestra distinto. En la figura 3.9b, b no es una combinación de las columnas
(1, 1, 1) y (-1, l, 2). En la figura 3.9, los tres puntos no están sobre una recta. ¡Los mínimos cuadrados sustituyen los puntos b que no están sobre una recta por puntos p que sí están! Al no ser posible resolver Ax= b, se resuelve Ax= p.
La recta 27 + :!:t
7 tiene alturas~, lf- y l;j- en los instantes de medición -1, 1, 2. Estos
•
5 13 17)
puntos están sobre una recta. En consecuencia,
el vector p = ( 7.
-::¡. -::¡ esta, en el espacio columna. Este vector es la proyección. La figura 3.9b está en tres dimensiones (o en m
dimensiones si hay m puntos) y la figura 3.9a está en dos dimensiones (o en n dimensiones si hay n parámetros).
Al restar p de b, los errores son e =
~, ~ Estos son los errores verticales en la
figura 3.9a, y son las componentes del vector discontinuo de la figura 3.9b. Este vector
error es ortogonal a la primera columna (1, l, 1), ya que~ - ~ + ~ =O. Es ortogonal a la
n, - ).
b)
La aproximación por una recta corresponde a la proyección p de b.
b = l en t = -1,
~~ ~ ~
:
o bien [
C + 2D = 3
1
segunda columna (-1, 1, 2) porque-~ - ~ + ~ =O. Es ortogonal al espacio columna,
y está en el espacio nulo izquierdo.
Pregunta: Si las mediciones b = (~, -~, ~)fuesen estos errores, ¿cuál sería la mejor
recta y el mejor x? Respuesta: La recta cero, que es el eje horizontal, y x = O. Proyección
a cero.
Fácilmente pueden resurrúrse las ecuaciones para ajustar una recta. La primera columna de A contiene a los 1s y la segunda columna a los tiempos t1• En consecuencia, ATA contiene a la suma de los ls y los t1, así como a t?:
a)
3.9
es
Si estas ecuaciones Ax = b pudieran resolverse, no habría errores. No es posible resolverlas porque los puntos no están en una recta. En consecuencia, se resuelven por mínimos
cuadrados:
La mejor solución es
La mejor solución ( C, 5) es la x
167
Entonces C + Dt coincidiría exactamente con b:
C + Dt 1 = b 1
o bien,
Proyecciones y mínimos cuadrados
b = 1 en t = 1,
b = 3 en t = 2.
Observe que no se requiere que los valores t = -1, l, 2 sean equidistantes. El primer paso es escribir las ecuaciones que se cumplirían si una recta pudiera pasar por todos los
tres puntos.
m
[ I: t¡
[e] [I:I: J
I: t¡ J
I: t? fi
b;
=
t¡ b;
.
Observación Las matemáticas de los mínimos cuadrados no están Iirrútadas a ajustar los
datos por rectas. En muchos experimentos no hay razón para esperar una relación lineal, Y
no tendría sentido buscar una. Suponga que se manipula material radiactivo. La salida bes
la lectura de un contador Geiger en varios instantes t. Podría saberse que se está trabajando con una mezcla de dos productos quúnicos, de los cuales se conocen sus vidas medias
168
Capítulo 3
Ortogonalidad
3.3
(o tasas de desintegración), aunque se ignor¡l la cantidad que se está manipulando de cada
producto. Si estas dos cantidades desconocidas son C y D, entonces las lecturas del contador Geiger se comportarían como la suma de dos exponenciales (y no como una recta):
(8)
En la práctica, el contador Geiger no es exacto. En vez de ello, se toman lecturas
Proyecciones y mínimos cuadrados
169
xw
En vez del promedio de b 1 y b2 (para w 1 = w 2 = 1),
es un
ponderado de
los datos. Este promedio está más próximo de b 1 que de b 2 •
El problema normal de mínimos cuadrados que llevaba a
proviene de cambiar
Ax = b al nuevo sistema WAx = Wb. Con esto, la solución cambia de x a xw. La matriz
WTW se voltea sobre ambos lados de las ecuaciones normales ponderadas:
xw
b 1 , ••• , bm en los instantes t 1, ••• , tm, y la ecuación (8) se cumple aprmun1aclarne111te
ce-At¡ + De-µI¡ ~ b¡
Ax= b es
Si hay más de dos lecturas, m > 2, entonces con toda probabilidad no es posible resolver para C y D. Sin embargo, el principio de mínimos cuadrados proporciona valores
óptimos y B.
La situación sería completamente diferente si se conocieran las cantidades C y D, y
estuviera intentándose descubrir las tasas de desintegración A. y µ. Este es un problema de
mínimos cuadrados no lineales, y es más difícil. Sin embargo, aún se forman E 2 , y la suma de los cuadrados de los errores, y se minimizan. Pero igualar a cero las derivadas no
proporciona ecuaciones lineales para las A. y µ, óptimas. En los ejercicios sólo se consideran mínimos cuadrados lineales.
e
x
¿Qué ocurre con la representación de b proyectada en Ax? La proyección Axw sigue
siendo el punto en el espacio columna más próximo a b. Pero la expresión "más próximo"
adquiere un nuevo significado cuando la longitud implica a W. La longitud ponderada de x
es igual a la longitud ordinaria de Wx. Perpendicularidad ya no significa yTx = O; en el nuevo sistema la prueba es (i.fy)T(Wx) = O. La matriz wrw aparece en medio. En este nuevo
sentido, la proyección Axw y el error b - Axw nuevamente son perpendiculares.
El último párrafo describe todos
internos: provienen de matrices inverinterno de X y
tibles w. Sólo implican a la combinación simétrica e = WTW.
y es
Para una matriz ortogonal W = Q, cuando esta combinación es C = QTQ = I,
el producto interno no es nuevo o diferente. La rotación del espacio deja sin cambio al producto interno. Cualquier otra W cambia la longitud y el producto interno.
Un problema sencillo de mínimos cuadrados es estimar del peso de un
a partir
de dos observaciones, x = b 1 y x = b 2 . A menos que b 1 = b2 , la situación supone resolver
un sistema inconsistente de dos ecuaciones en una incógnita:
Para cualquier matriz invenible W, estas reglas definen un nuevo producto interno y una
nueva longitud:
UJ [x] = [t].
Debido a que W es invertible, a ningún vector se asigna la longitud cero (excepto al vector
cero). Todos los productos internos posibles -que dependen linealmente dex y y- son positivos cuando x = y O, y se encuentran de esta manera, para alguna matriz C = WTW.
En la práctica, la cuestión importante es la elección de C. La mejor respuesta proviene de los expertos en estadística, originalmente de Gauss. Puede saberse que el error medio es cero. Este es el "valor esperado" del error en b, ¡aunque en realidad se espera que el
error no sea cero! También es posible conocer
del cuadrado del error; ésta es
la varianza. Si los errores en las b1 son independientes entre sí, y sus varianzas son o}, enUna medición más precisa, que significa menor
tonces los pesos correctos son w 1 =
varianza, obtiene un mayor peso.
Además de tener confiabilidad desigual, las observaciones pueden no ser independientes. Si los errores vienen por parejas -las encuestas para presidente no son independientes de las encuestas para senador, y ciertamente tampoco de las encuestas para
vicepresidente- entonces W tiene términos fuera de la diagonal. La mejor matriz no sesgada C = WTW es la inversa de la matriz de covarianza, cuyo elemento i,j es el valor esperado de (error en b,) multiplicado por (error en b). Entonces, la diagonal principal de c- 1
contiene a las varianzas a?, que son el promedio de (error en b;) 2 •
Hasta el momento, b 1 y b2 se han aceptado como igualmente confiables. Se buscaba el valor x que minimizaba E 2 = (x - b1 ) 2 + (x - b,) 2 :
2
dE = O
dx
en
~
b¡ + b2
x = --2-.
El x óptimo es el promedio. La misma conclusión se obtiene a partir de A T Ax = A T b. De
hecho, ATA no es una matriz de 1 por 1, y la ecuación normal es 2 x = b i + b2.
Ahora se supone que dos observaciones no son confiables en la misma medida. El valor x = b 1 puede obtenerse a partir de una escala más precisa, o bien, en un problema estadístico, de una muestra más grande, que x = b 2 • A pesar de ello, si b 2 contiene alguna
información, no es aconsejable depender totalmente de b 1• El compromiso más sencillo es
asignar valores distintos
y w?, y escoger
que minimice la suma ponderada de cuadrados:
wi
xw
Si w 1 > w 2 , entonces a b 1 se asigna mayor importancia. El proceso de minimización (derivada = O) intenta con mayor alúnco hacer pequeño a (x - b 1) 2 :
dE2
( 2
z
]
-;¡;= 2 W¡(X -b¡) + Wz(X - b2) =o
en
(9)
PonderadoporW
(x,y)w =(Wy)T(Wx)
y
llxllw = llWxJI.
(10)
*
Suponga que dos compañeros en una partida de bridge conjeturan (después de pujar) la
tener la miscantidad de picas que tienen. Para cada conjetura, los errores -1, O, 1
ma probabilidad, ~ . Así, el error esperado es cero y la varianza es ~ :
E(e) = ~(
1) + ~(O) + ~(1) =O
E(e2) = ~( -1)2 + ~(O)z + ~(1)2 = ~·
170
Capítulo 3
Ortogonalidad
3.3
Las dos conjeturas son dependientes, porque están basadas en la misma puja, pero no son
idénticas, porque los compañeros tienen manos distintas. Considere que la posibilidad de
que los compañeros tengan muchas picas o tengan pocas picas es cero, pero que la posibilidad de errores opuestos es ~. Entonces E(e 1e 2 ) = ~ (-1), y la inversa de la matriz de
covarianza es WTW:
[-t2 -~¡]-l [2 l] e wT w.
=
I
2
=
=
Esta matriz va en medio de las ecuaciones normales ponderadas.
Proyecciones y mínimos cuadrados
111
Separe b enp + q, conp en el espacio columna y q perpendicular a este espacio. ¿Cuál
de los cuatro subespacios contiene a q?
7. Encuentre la matriz proyección P sobre el espacio generado por a 1 = (1, O, 1) y a2 =
(1, 1, -1).
8. Si P es la matriz proyección sobre un subespacio k-dimensional S de todo el espacio
Rn, ¿cuál es el espacio columna de P, y cuál es su rango?
9. a) Si P = pTp, demuestre que Pes una matriz proyección.
b) ¿Sobre qué subespacio proyecta la matriz P = O?
10. Si los vectores a 1, a2 , y b son ortogonales, ¿cuáles son ATA y ATb? ¿Cuál es la proyección de b sobre el plano de a 1 y a2 ?
11. Suponga que P es la matriz proyección sobre el subespacio S y que Q es la matriz proyección sobre los complementos ortogonales S_i_. ¿Cuáles son P + Q y PQ? Demuestre que P - Q es su propia inversa.
l.
Encuentre la mejor solución por mínimos cuadrados x de 3x = 10, 4x = 5. ¿Cuál es
el error E2 que se minimiza? Compruebe que el vector error (10 - 3x, 5 - 4x) es
perpendicular a la columna (3, 4).
2.
Suponga que los valores b 1 = 1 y b2 = 7 multiplicados por t 1 = 1 y t2 = 2 son ajustados por una recta b = Dt que pasa por el origen. Resuelva D = 1 y 2D = 7 por mínimos cuadrados. Dibuje la mejor recta.
12. Si V es el subespacio generado por (1, l, O, 1) y (O, O, l, 0), encuentre
a) Una base para el complemento ortogonal V-1..
b) La matriz proyección P sobre V.
e) El vector en V más próximo al vector b = (O, 1, O, -1) en V-1..
3.
Resuelva Ax = b por mínimos cuadrados, y encuentre p = Ax si
13. Encuentre el mejor ajuste por una recta (mínimos cuadrados) de las mediciones
b = 4
b = l
en
en
t = -2,
t =O,
b = 3
b =O
en t = -1,
en t = 2.
Luego encuentre la proyección de b = (4, 3, 1, O) sobre el espacio columna de
Compruebe que el error b - p es perpendicular a las columnas de A.
4.
X
=
[~]'
Compare las ecuaciones resultantes con AT Ax = ATb. confirmando que el cálculo,
así como la geometría, proporcionan las ecuaciones normales. Encuentre la solución
x y la proyección p = Ax . ¿Por qué p = b?
5.
El siguiente sistema no tiene solución:
Ax~¡¡-~][;] m~b.
Dibuje y resuelva un ajuste por una recta que lleve a la minimización de la cuadrática
(C - D - 4) 2 + (C - 5) 2 + (C + D - 9) 2 • ¿Cuál es la proyección de b sobre el
espacio columna de A?
6.
l -2]
A= [i
~ .
Escriba E 2 = llAx - bll 2 e iguale a cero sus derivadas respecto de u y u, si
Encuentre la proyección de b sobre el espacio columna de A:
1
-1
14. Los vectores a¡ = (1, 1, 0) y a 2 = (1, 1, 1) generan un plano en R 3 . Encuentre lamatriz proyección P sobre el plano, y encuentre un vector b diferente de cero que sea proyectado en cero.
15. Si Pes la matriz proyección sobre una recta en el plano x-y, dibuje una figura para describir el efecto de la "matriz reflexión" H = l 2P. Explique geométrica y algebraicamente por qué
= l.
16. Demuestre que si la longitud de u es uno, entonces la matriz P = uuT de rango 1 es
una matriz proyección: tiene las propiedades i) y ii) enunciadas en 3N. Si se escoge
u = al lla 11, P se convierte en la matriz proyección sobre la recta que pasa por a, y Pb
es el punto p =
Las proyecciones de rango l corresponden exactamente a problemas de mínimos cuadrados en una incógnita.
xa.
17. ¿Qué matriz de 2 por 2 proyecta el plano x-y sobre la recta de 45° x +y= O?
18. Se quiere ajustar un plano y = C + Dt + Ez para los cuatro puntos
y = 3
y = 5
en t = 1, z = l
en t = 2, z = l
y = 6 en t = O, z = 3
y = O en t = O, z = O.
172
Capítulo 3
3.3
Ortogonalidad
a) Encuentre 4 ecuaciones en 3 incógnitas para hacer pasar un plano por los puntos
(en caso de que tal plano exista).
b) Encuentre 3 ecuaciones en 3 incógnitas para la mejor solución por mínimos cuadrados.
19. Si Pe= A(ATA)- 1AT es la proyección sobre el espacio columna de A, ¿cuál es la proyección PR sobre el espacio renglón? (¡No es PI!)
20. Si P es la proyección sobre el espacio columna de A, ¿cuál es la proyección sobre el
espacio nulo izquierdo?
21. Suponga que
es la recta que pasa por el origen en la dirección de a 1 y que L,. es la
recta que pasa por ben la dirección de a 2 • Para encontrar los puntos más próximos x 1a 1
y b + x 2 a2 sobre las dos rectas, escriba las dos ecuaciones para x 1 y x 2 que minimizan
llx 1a¡ -x2a2-bJl.Resuelvaparaxsia 1 = (1, l,O),a 2 =(0,1,0),b = (2, 1,4).
22. Encuentre la mejor recta C + Dt para ajustar b = 4, 2, -1, O, O en los instantes t =
-2, -1, O, 1, 2.
23. Demuestre que el mejor ajuste por mínimos cuadrados a un conjunto de mediciones
y 1 , • .• , Ym por una recta horizontal (una función constante y = C) es su promedio
m
24. Encuentre el mejor
por una recta a las siguientes mediciones, y dibuje su solución:
y = 2 en t = -1,
y = O en t =O,
y = -3 en t = 1,
y = -5 en t = 2.
25. Suponga que en vez de, por medio de una recta, los datos del problema 24 se ajustan
por una parábola: y = C + Dt + Et2. En el sistema inconsistente Ax = b proveniente
de las cuatro mediciones, ¿cuáles son la matriz de coeficientes A, el vector desconocido x, y el vector de datos b? No es necesario calcular
x.
26. Bajo tortura, una persona de la Edad Media fue alargada las longitudes L = 5, 6, y 7
pies bajo fuerzas aplicadas de F = 1, 2, y 4 toneladas. Suponga la ley de Hooke L =
a + bF para encontrar por mínimos cuadrados la longitud normal a de la persona.
En los
27 a 31 se presentan los conceptos básicos de la estadística: la base
de los mínimos cuadrados.
27. (Recomendado) Este problema proyecta b = (b 1, ••• , bm) sobre la recta que pasa por
a = (1, ... , 1). Se resuelven m ecuaciones ax= ben 1 incógnita (por mínimos cuadrados).
a) Resuelva aTax = aTh para demostrar que x es la media (el promedio) de las bs.
b) Encuentre e = b - ax, la varianza J1e¡¡ 2, y la desviación estándar ¡¡e¡¡.
c) La recta horizontal b = 3 es la más próxima a b = (1, 2, 6). Compruebe que p =
(3, 3, 3) es
a e, y encuentre la matriz proyección P.
28. Primera suposición detrás de los mínimos cuadrados: La media de cada error de medición es cero. Multiplique los 8 vectores error b - Ax = (±l. ±l. ± 1) por
(ATA)- 1AT para demostrar que el promedio de los 8 vectores x - x también es cero.
La estimación x es insesgada.
29. Segunda suposición detrás de los mínimos cuadrados: Los m errores e 1 son
dientesdelavarianzaa2 ,demodoqueelpromedio(b - Ax)(b -Ax)T esa2/.Multiplique por la
por (ATA)- 1AT y por la derecha por A(ATA)- 1 para demostrar
173
Proyecciones y mínimos cuadrados
que el promedio de (x-xH x-x)T es a 2( AT A)- 1 • Esta es la fundamental matriz de
covarianza para el error en X..
30. Un doctor toma 4 lecturas del ritmo cardiaco de una persona. La mejor solución de
x = b 1, ••• , x = b4 es el promedio X. de b 1 , •.• , b4 . La matriz A es la columna de ls.
En el problema 29 se proporciona el error esperado (x - x) 2 corno a 2 (AT A)- 1 =
- - · Al promediar, la varianza cae desde e? hasta cr/4.
31. Si se conoce el promedio :X9 de 9 números b 1 , ••• , b9 , ¿cuán rápido puede encontrarse
el promedio xw con un número más b 10? La idea de mínimos cuadrados recurrentes es
evitar la suma de 10 números. ¿Qué coeficiente de 9 proporciona correctamente 1o?
x
xw = fob10 +
x
= fo<bi + · · · +bw).
En los pn}bl~em:as 32 a 37, use cuatro puntos b = (0, 8, 8, 20) para pnxl:lltctr
nuevas.
32. Con b
O, 8, 8, 20 en t = O, 1, 3, 4, escriba y resuelva las ecuaciones normales
AT Ax= ATb. Para la mejor recta como en la figura 3.9a, encuentre sus cuatro altu-
, ·
Ez _- e 2 + ezz + e32 + e2?
ras p 1 y sus cuatro errores e1• ¿c uál es e l valor rmmmo
4·
1
33. (La recta C + Dt pasa por los ps). Con b = O, 8, 8, 20 en los tiempos t = O, 1, 3, 4,
escriba las cuatro ecuaciones Ax= b (irresoluble). Cambie las mediciones ap = 1, 5,
13, 17 y encuentre una solución exacta de Ax = P.
34. Compruebe que e= b- p = (-1, 3, -5, 3) es
a ambas columnas de A.
¿Cuál es la distancia más corta llell de b al espacio columna de A?
35. Para la parábola más próxima b = C + Dt + Et 2 a los mismos cuatro puntos, escriba las ecuaciones irresolubles Ax= ben tres incógnitas x = (C, D, E). Escriba las
tres ecuaciones normales AT Ax = ATb (no se requiere su solución). Ahora se está
ajustando una parábola a los cuatro puntos; ¿qué ocurre en la figura 3.9b?
36. Para la cúbica más próxima b = C + Dt + Et 2 + Ft 3 a los mismos cuatro puntos,
escriba las cuatro ecuaciones Ax= b. Resuélvalas por eliminación. Ahora, esta cúbica pasa exactamente por los puntos. ¿Cuáles sonp y e?
37. El promedio de los cuatro tiempos es t = ~(O + 1 + 3 + 4)
2 .. El promedio de
las cuatro bs es b = ~(O+ 8 + 8 + 20) = 9.
a) Compruebe que la mejor recta pasa por el punto central \t, b) = (2, 9) ·
b)
por qué e+ Dt = b proviene de la
ecuación en AT Ax = ATb.
38. ¿Qué ocurre con el peso ponderado xw = (wfb¡ + w~b2)/(wf + w~) si el primer peso w 1 tiende a cero? La medición b 1 es completamente desconfiable.
39. A
de m mediciones independientes b 1, ••• , bm del pulso de una persona, ponderadas por w 1 , ••• , wm, ¿cuál es el promedio ponderado que sustituye a la ecuación
(9)? La respuesta es la mejor estimación cuando las varianzas estadísticas son
a? = 1/w"f.
40. Si w = [ ~
n,
encuentre el producto interno de X = (2, 3) y y = ( 1, 1), así como
la longitud W de x. ¿Qué recta de vectores es W-perpendicular a y?
41. Encuentre la solución ponderada por mínimos cuadrados xw de Ax = b:
174
Capítulo 3
Bases ortogonales y Gram-Schmidt
3.4
Ortogonalidad
115
Matrices ortogonales
·= m
Compruebe que la proyección Axw sigue siendo perpendicular (¡en el producto interno W!) al error b - Axw.
42. a) Suponga que usted adivina la edad de su profesor, cometiendo errores e= -2, -1,
5, con probabilidades~· ~. ~·Compruebe que el error esperado E(e) es cero, y
encuentre la varianza E(e2 ).
b) Si también el profesor adivina (o intenta recordar), cometiendo errores -1, O, 1,
k·
k·
con probabilidades
~.
¿qué pesos w 1 y w 2 proporcionan la confiabilidad de
su conjetura, así como la confiabilidad de la conjetura del profesor?
Cuando el renglón i de QT multiplica a la columna j de Q, el resultado es q( qj = O.
Sobre la diagonal, donde i = j, se tiene q( q¡ = l. Esta es la normalización a vectores unitarios de longitud l.
Observe que QTQ = I incluso si Q es rectangular. Pero entonces QT es sólo una inversa izquierda.
En una base ortogonal, todos los vectores son perpendiculares entre sí. Los ejes de coordenadas son mutuamente ortogonales. Esta situación es casi óptima, y la única mejoría es fácil de realizar: cada vector se divide entre su longitud con la finalidad de hacerlo un vector
unitario. Así se cambia una base ortogonal a una base ortononnal de qs:
Q = [cose
sene
-sene]
cose '
QT =
Q-l
= [
COS
e sene]
cose .
-sene
Q hace girar a todo vector un ángulo e, y QT lo hace girar de regreso un ángulo -e. Resulta evidente que las columnas son ortogonales, y son ortonormales porque sen2 e + cos 2
e = l. La matriz QT es justo una matriz tan ortogonal como lo es Q.
Eiel1r1PIO 2
El ejemplo más importante es la base estándar. Para el plano x-y, los ejes más conocidos e 1 = (1, 0) y e 2 = (O, 1) no sólo son perpendiculares, sino que también son horizontal y vertical, respectivamente. Q es la matriz identidad de 2 por 2. En n dimensiones, la
base estándar e 1, ••• , en nuevamente consta de las columnas de Q = /:
Base
estándar
"=
[!]· ,, =[1]·
¡Esta no es la única base ortonormal! Es posible rotar los ejes sin modificar los ángulos rectos a los que se cortan. Estas matrices rotación constituyen ejemplos de Q.
Si se tiene un subespacio de Rn, los vectores estándar e, pueden no estar en ese subespacio. Sin embargo, el subespacio siempre tiene una base ortonormal, que puede construirse en forma sencilla a partir de cualquier base dada. Esta construcción, que transforma un
conjunto sesgado de ejes en un conjunto perpendicular, se denomina ortogonalización de
Gram-Schmidt.
En resumen, los tres tópicos fundamentales de esta sección son:
l.
2.
3.
La definición y las propiedades de las matrices ortogonales Q.
La solución de Qx = b, ya sea den porno rectangular (mínimos cuadrados).
El proceso de Gram-Schmidt y su interpretación como una nueva factorización A = QR.
Cualquier matriz permutación P es una matriz ortogonal. Ciertamente, las columnas son
vectores unitarios y ortogonales, ya que el l aparece en un sitio distinto en cada columna:
La traspuesta es la inversa.
= P' =
[!
o
o
Una P antidiagonal, con P 13 = P22 = P 31 = 1, lleva los ejes x-y-z en los ejes z-y-x:
un sistema "derecho" en un sistema "izquierdo". Portanto, hubiera sido erróneo sugerir
que cada Q ortogonal representa una rotación. También se permite una reflexión.
P = [~
¿] refleja cada punto (x, y) en (y, x), su imagen especular a través de la recta a
45º. Geométricamente, una Q ortogonal es el producto de una rotación y una reflexión.
Queda por abordar una propiedad compartida por las rotaciones y las reflexiones, y de
hecho, por cualquier matriz ortogonal. No es compartida por las proyecciones, que no son
ortogonales y ni siquiera invertibles. Las proyecciones reducen la longitud de un vector,
mientras que las matrices ortogonales poseen una propiedad que es la más importante y característica de todas:
*Matriz ortonormal hubiera sido un mejor nombre. pero ya es demasiado tarde para cambiar. También, no hay una
denominación aceptada para una matriz rectangular con columnas ortonormales. Seguimos escribiendo Q, pero
no se denominará "matriz ortogonal" a menos que sea cuadrada.
176
Capítulo 3
3.4
Ortogonalidad
Bases ortogonales y Gram-Schmídt
111
Debido a que estas proyecciones son ortogonales, el teorema de Pitágoras sigue siendo
válido. El cuadrado de la hipotenusa sigue siendo la suma de los cuadrados de las componentes:
llbll 2 = (q{b) 2 + (qi.b) 2 + ... +(qJb) 2
La preservación de longitudes proviene directamente de QTQ = l:
11 QxJ1
2
= llxll 2 debido a que (Qxf (Qx) = xT QT Qx = xT x.
(3)
Cuando el espacio se gira o refleja, se preservan todos los un1uutcu"' internos y las longitudes.
A continuación se abordará el cálculo en que se utiliza la propiedad '°~¡1c1,;1""
. Si se tiene una base, entonces cualquier vector es una combinación de los vectores de
la base. Esto es excepcionalmente simple para una base ortonormal, lo cual será un concepto clave detrás de las series de Fourier. El problema es encontrar los coeficientes de los
vectores de la base:
Para calcular x 1 hay un truco evidente. Ambos lados de la ecuación se multiplican por q¡.
En el miembro izquierdo está q Tb. En el miembro derecho todos los términos desaparecen (porque q{qj = O) excepto el primer término. Lo que queda es
q{b = X¡q{q¡.
Debido a que q¡q¡ = 1, se ha encontrado que x 1 = qTb. De manera semejante, el segundo coeficiente es x2 = qJ b; este término permanece cuando se multiplica por qJ. Los otros
términos desaparecen por la ortogonalidad. Cada
de b tiene una fórmula sencilla, y
al recombinar las piezas se recupera b:
(4)
bes
No puedo resistir escribir esta base ortonormal en una matriz cuadrada Q. La ecuación
vectorial x¡q¡ + · · · +xnqn =bes idéntica a Qx = b. (Las columnas de Q multiplican a
es donde enlas componentes de x). Su solución es x = Q- 1b. Pero como Q- 1 = QT
tra la ortonormalidad- la solución también es x = QTb:
X=
QTb =
[
_q¡
_l [l [q'[bl
_ _ qJ
qJb
b
=
(5)
Las componentes de x son los productos internos q(b, como en la ecuación (4).
La forma matricial también muestra lo que ocurre cuando las columnas no son ortonormales.
b como una combinación x 1a 1 + · · · +xnan es lo mismo que resolver
Ax = b. Los vectores de la base se van en las columnas de A. En ese caso, se requiere A - 1,
lo cual cuesta trabajo. En el caso ortonormal sólo se
QT.
Observación 1 La razón aTbfaTa ya apareció antes, cuando b se proyectó sobre una recta. Aquí a es q 1, el denominador es l y la proyección es (qÍb)q 1 • Por tanto, se tiene una
nueva interpretación de la fórmula (4): Todo vector bes la suma de sus proyecciones unidimensionales sobre las rectas que pasan por las qs.
(6)
que es
Observación 2 Debido a que QT = Q- 1, también se tiene que QQT = l. Cuando Q viene antes que QT, la multiplicación toma los productos internos de los renglones de Q. (Para QT Q eran las columnas.) Ya que el resultado es nuevamente la matriz identidad, se llega
a una conclusión sorprendente: Los
de una matriz cuadrada son ortonormales
.~iem11re que lo sean las columnas. Los renglones apuntan en direcciones c01mp'1etarrtente
distintas a las de las columnas, y geométricamente no veo por qué están obligados a ser ortonormales, pero lo son.
l/ ..j3
1/ v'2
Colw:nnas ortonormales
o -2/ .J6 .
Q
=
11../3
Ren2Iortes ortonormales
[
-1/
v'2
1/ .J6
11../3
11.Jól
Matrices rec:ta1run1!a1res con columnas ortonormales
Este capítulo es sobre Ax = b, cuando A no necesariamente es cuadrada. Para Qx = b ahora se admite la misma posibilidad: puede haber más renglones que columnas. Los n vectores ortonormales q; en las columnas de Q tienen m > n componentes. Así, Q es una matriz
de m por n y no es de esperar poder resolver Qx = b de manera exacta. Se resuelve por mínimos cuadrados.
Si hay justicia, las columnas ortonormales deben hacer más sencillo el problema. Funcionó para matrices cuadradas, y ahora funcionará para matrices rectangulares. La clave
consiste en observar que se sigue teniendo QTQ = l. Así, QT sigue siendo la inversa izde Q.
Para mínimos cuadrados, esto es todo lo que se necesita. Las ecuaciones normales se
presentaron al multiplicar Ax = b por la matriz traspuesta, para obtener ATA :X = A T h .
Ahora las ecuaciones normales son QT Qx = QTb. ¡Pero QTQ es la matriz identidad! En
consecuencia, :X = QTb, ya sea que Q es cuadrada y si :X es una solución exacta, o si Q
es rectangular y se requieren mínimos cuadrados.
Qx = b
QTQX = QTb
X= QTb
P = Qx
p = QQTb
Las últimas fórmulas son como p = Ax y P = A (ATA i - 1 A T. Cuando las columnas son
ortonormales, la "matriz producto cruz" ATA se convierte en QTQ =l. La parte difícil de
cuando los vectores son ortonormales. Las proyecciolos mínimos cuadrados
nes sobre los ejes no se presentan por pares, y pes la suma p = (qTb)qi + · · · +(qJb)qn.
Se recalca que estas proyecciones no reconstruyen b. En el caso cuadrado m = n sí lo
hacían. En el caso rectangular m > n no lo hacen. Proporcionan la proyección P Y no el
vector original b, que es todo lo que puede esperarse cuando hay más ecuaciones que incógnitas, y las qs dejan de ser una base. La matriz proyección suele ser A (ATA) - i A T,
178
Capítulo 3
Ortogonalidad
3.4
y aquí se simplifica a
Oii736
17 9
Bases ortogonales y Gram-Schmidt
e = _,,_[l_-::-_l_,,]--"-[Y_1_--,-;::--Y_m]=-T
l2 + l2 + ... +12
(7)
d= [(ti-0
Observe que QT Q es la matriz identidad de n por n, mientras QQT es una matriz proyección P de m por m. Es la matriz identidad sobre las columnas de Q (P las deja solas). Pero
QQT es la matriz cero sobre el complemento ortogonal (el espacio nulo de QT).
El siguiente caso es sencillo pero típico. Suponga que un punto b = (x, y, z) se proyecta sobre el plano x-y. Su proyección es p = (x, y, 0), y esta es la suma de las proyecciones por
separado sobre los ejes x y y:
Um-t)][Y1
m
Ym]T _ I;(t; -T)y¡
(t¡ - T) 2 + · · • +(tm - t)2
-
I;(t; - t) 2 •
(8)
e
El mejor es la media, y también se obtiene una fórmula conveniente para d. Los elementos fuera de la diagonal de la ATA anterior eran }; t;, y al cambiar el tiempo por t estos elementos se hacen cero. Este cambio es un ejemplo del proceso de Gram-Schmidt, que
ortogonaliza la situación de antemano.
Las matrices ortogonales son cruciales en álgebra lineal numérica, ya que no introducen inestabilidad. Mientras las longitudes permanecen igual, el redondeo está bajo control.
La ortogonalización de vectores se ha convertido en una técnica esencial. Quizá sólo esté
en segundo lugar, detrás de la eliminación; y conduce a una factorización A = QR que es
casi tan famosa como A = LU.
La matriz proyección global es
P = q¡qr + qzq'J =
[¿o o~ og],
pm r~i
y
Proyección sobre un plano = suma de las proyecciones sobre q 1 y q2 ortonormales.
t1e1111p10 4
Cuando el promedio de los tiempos de medición es cero, ajustar una recta conduce a columnas ortogonales. Considere t 1 = -3, t 2 =O, t 3 = 3. Luego, el intento de ajustar y=
C + Dt produce tres ecuaciones en dos incógnitas:
C+Dt 1 =y 1
:
: ;: ,
~ ~~~
o bien,
[1~ -3]~ ;J [y];: .
[
Las columnas (1, 1, 1) y (-3, O, 3) son ortogonales. Es posible proyectar y por separado
sobre cada columna, de modo que los mejores coeficientes
y í5 pueden encontrarse por
separado:
e
D = [-3
º 3J [Y1 Y2 Y3r
(-3)2 +02 +32
El proceso de Gram-Schmidt
Suponga que se tienen tres vectores independientes a, b, c. Si son ortonormales, las cosas son fáciles. Para proyectar un vector u sobre el primero, se calcula (aTv)a. Para proyectar el mismo vector v sobre el plano de los dos primeros, simplemente se suma
(aTv)a + (bTv)b. Para proyectar sobre lo generado por a, b, c, se suman tres proyecciones. Todos los cálculos sólo requieren los productos internos a Tu, b T v, y e T v. Pero para hacer realidad esto, es obligado decir: "Si son ortonormales." A continuación se propone
encontrar una manera de hacerlos ortonormales.
El método es sencillo. Se tienen a, b, c y se buscan q 1, q 2 , q3 • Con q 1 no hay problema: puede ir en la dirección de a. Se divide entre la longitud, de modo que q1 =al llall es
un vector unitario. El verdadero problema empieza con q2 , que debe ser ortogonal a q 1• Si
el segundo vector b tiene cualquier componente en la dirección de q 1 (que es la dirección
de a), es necesario restar esa componente:
Segundo vector
B = b - (qib)q¡
y
qz = B/IJBJI.
(9)
B es ortogonal a q 1• Es la parte de b que va en una nueva dirección, y no en la dirección de
a. En la figura 3.10, Bes perpendicular a q 1. Establece la dirección para q 2 .
Observe que C = (y¡ + Yz + y3)/ 3 es la media de los datos. C proporciona el mejor
ajuste por una recta horizontal, mientras Dt es el mejor ajuste por una recta que pasa por
el origen. Las columnas son ortogonales, de modo que la suma de estas dos piezas por separado constituye el mejor ajuste por cualquier recta. Las columnas no son vectores unitarios, por lo que y f> tienen la longitud al cuadrado en el denominador.
a
e
Las columnas ortogonales son en mucho mejores, tanto que merece la pena cambiar a
ese caso. Si el promedio de los tiempos de observación no es cero -es t = (t 1 + · · · +
tm)I m - entonces el origen del tiempo puede cambiarse por t. En vez de y = C + Dt se
trabaja con y = c + d(t - t). ¡La mejor recta es la misma! Así como en el ejemplo, se encuentra
3.10
La componente q 1 de b se elimina; a y B se normalizan en q¡ Y q2 .
En este punto ya se cuenta con q 1 y q2 • La tercera dirección ortogonal empieza con c.
No está en el plano de q 1 y q 2 , que es el plano de a y b. No obstante, puede tener una componente en ese plano, y ésta, debe restarse. (Si el resultado es C = O, esto indica que a, b,
'1'i :. .11.:.L
Capítulo 3
UHU\.:lUA'f
/, ,-; l ON AL
3. 4 Bases ortogonales y Gram-Schmidt
Ortogonalidad
181
e no eran
desde el principio.) Lo que queda es la componente C que se busca, la parte que está en una nueva dirección perpendicular al plano:
y q3 = c111cu.
e =e - (q{c)q¡ - (qJc)qz
Tercer vector
(10)
Esta es la idea de todo el proceso de
restar de cada vector nuevo sus componentes en las
establecidas. Esta idea se utiliza una y otra vez.* Cuando se
tiene un cuarto vector, se restan sus componentes en las direcciones de q 1, q 2 , q 3 .
Gram-Schmidt Suponga que los vectores m<1e¡:iendHmt•es son a, b, e:
Observación sobre los cálculos Considero que es más fácil calcular los ortogonales a, B,
C, sin forzar a que sus longitudes sean iguales a l. Luego, las raíces cuadradas entran sólo
al final, cuando se divide entre esas longitudes. El ejemplo anterior debería tener las mismas By C, sin utilizar raíces cuadradas. Observe el~ de aTb/aTa en vez del
de qTb:
B
Para encontrar q 1, el primer vector se hace unitario: e¡, = al ../2. Para encontrar q2 , del segundo vector se resta su componente en la primera dirección:
B = b - (q{b)q 1 =
[l l [l/~ 1[ 1]
l
O - ¡;;;
O
v2
O
11.,/2
=-
2
O .
-1
El q 2 normalizado es B dividido entre su longitud, para producir un vector unitario:
q? =
=
[~]o
../2 ¡11
[ -1/ .,/2
-f] -
1/ .,/2
../2 [
=
1/.,/2
o
-1/../2
2 [
= QR
Se empezó con una matriz A, cuyas columnas eran a, b, c. Se termina con una matriz Q,
cuyas columnas son q 1, q2 , q 3 • ¿Cuál es la relación entre estas matrices? Las matrices A y
Q son de m por n cuando los n vectores están en el espacio m-dimensional, y debe haber
una tercera matriz que las relacione.
La idea es escribir las as como combinaciones de las qs. El vector b en la figura 3.10
es una combinación de los q 1 y q 2 ortonormales, y se sabe de cuál combinación se trata:
º]
01 .
(12)
¡Observe los ceros en la última matriz! Res triangular superior debido a la forma en que
se realizó el proceso de Gram-Schmidt. Los primeros vectores a y q 1 están sobre la misma
recta. Luego, q 1 y q2 estaban en el mismo plano que a, b. Los terceros vectores, e y q 3 no
se requirieron sino hasta el paso 3.
La factorización QR es como A = LU, excepto que el primer factor Q tiene columnas
ortonormales. El segundo factor se denomina R, porque los elementos diferentes de cero
están a la derecha de la diagonal (y la letra U ya se había utilizado). Los elementos fuera
de R fuera de la diagonal son los números q'[b = 1/ .,/2 y q'[c = q:fc = ../2, que se encontraron antes. Toda la factorización es
t2
•s¡ Gram fue el primero que tuvo esta idea, ¿qué le quedó a Schmidt?
~ m m- _f] ·
Factores
Este vector ya es unitario, de modo que es q3 . Acudí a longitudes desesperadas para disminuir el número de raíces cuadradas (la parte penosa del proceso de Gram-Schmidt). El resultado es un conjunto de vectores ortonormales q 1, q2 , q3 , que van en las columnas de una
matriz ortonormal Q:
Base o.rtononnal
C
Todo vector en el plano es la suma de sus componentes q 1 y q2 • De manera semejante, e es
la suma de sus componentes q 1, q2 , q 3 : e = (q'[c)q 1 + (qJc)q 2 + (q°jc)q 3 • Si lo anterior
se expresa en forma matricial, se tiene la
A =
f] [o~]·
11
-1/ .,/2
y ontonoo.
b = (qf b)q¡ + (qJb)qz.
(q{c)q¡ - (qJc)q2
-
la factorización A
1/o
.,/2
Para encontrar q 3 , de e se resta su componente a lo largo de q 1 y q2 :
e =e
~ mZ m
1/
-1/ .,/2
1/../2 ~
º01] [.,/2
1/ .,/2
1J
=
QR.
1112
Capítulo 3
3.4
Ortogonalidad
Las longitudes de a, B, C se observan en la diagonal de R. Los vectores ortonormales q 1,
q2 , q 3 , que constituyen todo el objeto de la ortogonalización, están en el primer factor Q.
Tal vez QR no es tan elegante como LU (debido a las raíces cuadradas). Ambas factorizaciones revisten una importancia crucial en la teoría del álgebra lineal, y absolutamente
fundamental en los cálculos. Si LU es Hertz, entonces QR es Avis.
Los elementos r;; = q(a; aparecen en la fórmula (11), cuando llA 1 llq¡ se sustituye
por A/
a¡= (q[a¡)qi + ··· +(qJ_ 1a1)q¡-1+11A 1llq1 =QMultiplicadoporlacolumnajdeR (13)
ATA= RTQTQR = RTR.
(14)
La ecuación fundamental AT Ax= ATh se simplifica a un sistema triangular:
RT R'x = RT QTb
o bien
Rx = QTb.
(15)
QTb, lo cual supoEn vez de resolver QRx = b, lo cual no es posible, se resuelve Rx
ne sólo sustitución hacia atrás porque R es triangular. El costo real lo constituyen las mn2
operaciones del proceso de Gram-Schmidt, que son necesarias para encontrar en primer lugar a Q y a R.
La misma idea de ortogonalidad se aplica a las funciones. Los senos y los cosenos son
ortogonales; las potencias 1, x, x2 no lo son. Cuando f(x) se escribe como una combinación
de senos y cosenos, se trata de una serie de Fourier. Cada término es una proyección sobre una recta; la recta en el espacio de funciones que contiene múltiplos de cos nx o de sen
nx. Esta situación es completamente paralela al caso vectorial, y es muy importante. Por último, se tiene una tarea para Schmidt: ortogonalizar las potencias de x y producir los polinomios de Legendre.
Espacios de funciones y series de Fourier
Lo1n2itu.d al cuadrado
2.
3.
4.
5.
Introducir el espacio vectorial de dimensión infinita más famoso (el espacio de Hilbert);
Extender los conceptos de longitud y producto interno de vectores va funcionesf(x);
Identificar las series de Fourier como sumatorias de proyecciones unidimensionales
(las "columnas" ortogonales son los senos y los cosenos);
Aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a los polinomios 1, x, x2, ... ; y
Encontrar la mejor aproximación af(x) mediante una recta.
Trataremos de seguir este esbozo, que abre una variedad de nuevas aplicaciones para
el álgebra lineal de manera sistemática.
1. Espacio de Hilbert. Luego de estudiar Rn, resulta natural pensar en el espacio R 00 •
Contiene a todos los vectores v = (v 1, v2 , v3 , . . . ) con una sucesión infinita de componentes. En realidad, este espacio es demasiado grande cuando no hay control sobre el tamaño
(16)
La serie infinita debe converger a una suma finita. Esto deja ( 1, ~, ~, ... ) pero no (1, 1,
1,... ). Los vectores con longitud finita pueden sumarse ( ll v + w 11 :::; 11v11 + 11w11) y multiplicarse por escalares, de modo que forman un espacio vectorial. Es el célebre espacio de
Hilbert.
Este espacio es la forma natural para hacer que las dimensiones se vuelvan infinitas, y
al mismo tiempo preservar la geometría del espacio euclidiano normal. Las elipses se convierten en elipsoides de dimensión infinita, y las rectas perpendiculares se reconocen exactamente como antes. Los vectores v y w son ortogonales cuando su producto interno es cero:
VTW
= V¡W¡ + V2W2 + V3W3 + ... = Ü.
Se garantiza que esta sumatoria converge, y que para dos vectores cualesquiera sigue cumpliendo la desigualdad de Schwarz 1v T w ¡ :::; 11v11 11w11. El coseno, incluso en el espacio de
Hilbert, nunca es mayor que l.
Hay otra cuestión extraordinaria respecto a este espacio: se presenta bajo numerosos
disfraces. Sus "vectores" pueden ser funciones, lo cual es otra cuestión importante.
y productos internos. Suponga que l(x) = sen x sobre el intervalo O :s: x :s:
21T. Estafes como un vector con todo un continuo de componentes, donde los valores de
sen x están a lo largo de todo el intervalo. Para encontrar Ja longitud de un vector así, la re-
2.
gla de costumbre de sumar los cuadrados de las componentes se vuelve imposible. Esta sumatoria se sustituye, de forma natural e inevitable, por la integración:
fo "(f(x)) dx = fo "(senx) dx =rr.
2
2
Lo1rigi1tmi.l!flldelafundón 11111 2 =
2
2
(17)
El espacio de Hilbert se ha convertido en un espacio defunciones. Los vectores son funciones, se cuenta con un método para medir su longitud, y el espacio contiene a todas aquellas funciones de longitud finita, justo como en la ecuación (16). No contiene a las
funciones F(x) = l/x, ya que la integral de llx2 es infinita.
La misma idea de sustituir la sumatoria por la integración produce el producto interno de dos funciones: Sil(x) = sen x y g(x) = cos x, entonces su producto interno es
¡2~
Esta sección es breve y opcional, aunque tiene varias buenas intenciones:
1.
183
de las componentes vj. Una idea mucho mejor es preservar la conocida definición de longitud, usando una suma de cuadrados, e incluir sólo aquellos vectores cuya longitud sea
finita:
Ortogonalidad
No debe olvidarse la cuestión más importante de la ortogonalización. Simplifica el
problema de mínimos cuadrados aA.x = b. Las ecuaciones normales siguen siendo correctas, pero ATA se vuelve más fácil:
Bases ortogonales y Gram-Schmidt
(f,g) =lo
¡2~
l(x)g(x)dx =lo
senxcosxdx =O.
(18)
Esto es exactamente como el producto interno vectoriallTg. Sigue estando relacionado con
la longitud mediante {f, f) = 11111 2 • La desigualdad de Schwarz se sigue cumpliendo:
1{f, g) 1 ::5 11I11 11g11. Por supuesto, dos funciones como sen x y cos x, cuyo producto interno es cero, se denominan ortogonales. Incluso, son ortogonales después de la división entre su longitud fo.
3.
La serie de Fourier de una función es un desarrollo en senos y cosenos:
'.
f(x} =' ao + a 1 cosx.
Para calcular un coeficiente como b 1 , ambos miembros se multiplican por la función correspondiente sen x y se integra desde O hasta 21T. (La función g(x) está dada en ese intervalo). En otras palabras, se toma el producto interno de ambos miembros con sen x:
184
Capítulo 3
3.4
Ortogonalidad
fo
fo ~enxdx +a fo "'cosxsenxdx +b 1 ¡27f(senx)2 dx + · ··
2
2
"'f(x)senxdx = a 0
2
En el miembro derecho, cada integral es cero excepto una: donde sen x se multiplica a sí
mismo. Los senos y los cosenos son mutuamente ortogonales, como en la ecuación (18):
Por tanto b 1 es el miembro izquierdo dividido por aquella integral no cero:
J1_1X 2 d X
(1, X 2 )
(x, X 2 )
z
v3=x -(T,1)1- (x,x)x=x 2
1
f~1ldx =x
x ~)
= [1 (x
~)
dx = [x3 ~]3
(
3
l-1
3
0
1,
(f, senx)
(sen x, sen x)
El coeficiente de Fourier a 1 hubiera podido ser cos x en vez de sen x, y a2 hubiera podido
ser cos 2x.
Todo el asunto consiste en ver la analogía con las proyecciones. La componente del
por a es bTa/aTa. Una serie de Fourier proyecta
vector balo largo de la recta
f(x) sobre sen x. Su componente p en esta dirección es exactamente b 1 sen x.
El coeficiente b 1 es la solución por mínimos cuadrados de la ecuación inconsistente b 1
sen x = f(x). Esto lleva a b 1 sen x lo más cerca posible def(x). Todos los términos en la
serie son proyecciones sobre un seno o un coseno. Debido a que los senos y los cosenos
son ortogonales, la serie de Fourier proporciona las coordenadas del "vector" f(x) respecto a un conjunto de (una infinidad de) ejes perpendiculares.
4. Gram-Schmidt para funciones. Además de los senos y los cosenos, hay muchas funciones útiles que no siempre son ortogonales. Las más sencillas son las potencias de x, y
lamentablemente no existe ningún intervalo sobre el cual incluso 1 y x2 sean perpendiculares. (Su producto interno siempre es positivo, ya que es la integral de x2.) En consecuencia, la parábola más próxima af(x) no es la suma de sus proyecciones sobre 1, x, y x2. Hay
una matriz como (ATA)- 1, y su correlato está dado por la matriz de Hilbert mal acondicionada. Sobre el intervalo O :::; x :::; 1,
( 1, 1)
ATA=
[
( 1, x)
2
Jx
Jx 3 ]
x
(x, 1)
(x, x)
Jxz
f
(x 2 , 1)
(x 2 , x)
fx3
Jx4
=
~
(1, x) =
¡1 x dx =O,
l-1
( x, x 2 ) =
-
1
=O.
-
-1
recta. Suponga que se desea aproximar y = x5 mediante una recta C + Dx entre x = O y x = 1. Hay por lo menos tres formas para encontrar esa recta, y si se comparan
estas formas, entonces ¡todo el capítulo se aclara!
1.
Se resuelve [ 1
(l, 1)
2.
x] [~] = x 5 por mínimos cuadrados. La ecuación A T Ax = A T b es
(l,x)] [e] [(1,x
=
[ (x, 1)
(x, x)
Se minimiza E 2 =
5
)]
o bien
(x, x 5 )
D
[
~ ~]
~
1
[e] [1]¡ .
D
fo1(x 5 - C - Dx) 2 dx = rt - ~C - ~D + C 2 +CD+
~ D 2 • Las derivadas respecto a C y D, después de dividir entre 2, traen de regreso las
ecuaciones normales del método i (y la solución es
1
6
1
2
-- + C + -D =O
3.
7
2
3
Se aplica el proceso de Gram-Schmidt para sustituir x por x - (1, x)/(l, 1). Esto es
x - &, que es ortogonal a l. Luego, las proyecciones unidimensionales producen la
mejor recta:
l,
1.
e = ~ - f;¡, B = ~ ).
1
1
1
- - +-C + D =O.
y
5
2
e + Dx = (xs , 1) 1 + (x ' x - l)
1
5 (
(x - l)
= - + - X 2
(x - 4, x - D
6
7
1)
-
2
•
a) Escriba las cuatro ecuaciones para ajustar y= C + Dt a los datos
y = - 4 en t = -2,
y= -1 en t = 1,
y= -3
y =O
en
en
t = -1
t = 2.
Demuestre que las columnas son ortogonales.
b) Encuentre la recta óptima, trace su gráfica, y escriba .
e) Interprete el error cero en términos del sistema original de cuatro ecuaciones en dos
incógnitas: el miembro derecho (-4, -3, -1, O) está en el espacio _ _ .
[1 x 3 dx = O.
l-1
En consecuencia, el proceso de Gram-Schmidt
empezar aceptando a v 1 = 1 y v2 =
x como los dos primeros ejes perpendiculares. Debido a que (x, x2) = O, sólo tiene los ángulos correctos entre 1 y x2. El tercer polinomio ortogonal es
2
2 -
5.
!
Esta matriz tiene una gran inversa, ya que los ejes 1, x, x2 están lejos de ser perpendiculares. La situación se vuelve imposible si se agregan unos cuantos ejes más. Es virtualmente inútil resolver A T Ax = A Tb para el polinomio más próximo de grado diez.
Con más precisión, resulta inútil resolver esto por eliminación
todo error
por redondeo puede amplificarse por más de 10 13 • Por otra parte, no es posible rendirse y
ya; la aproximación mediante polinomios debe ser posible. La idea correcta es cambiar a
ejes ortogonales (con el proceso de Gram-Schmidt): Se buscan combinaciones de 1, x,
x2 que sean ortogonales.
Resulta conveniente trabajar con un intervalo situado simétricamente como -1 :::; x
::5 1, ya que así todas las potencias impares de x se hacen ortogonales a todas las potencias
pares:
l
-3..
Ahora ya es posible calcular el polinomio más próximo de grado 10, sin ningún desastre,
al proyectar sobre los 10 (u 11) primeros polinomios de Legendre.
[14 4i ¡ll ·
i
z
Los polinomios que se construyen de esta manera se denominan polinomios de Le!t:eJ'ld1·e
y son ortogonales mutuamente sobre el intervalo - 1 ::5 x ::5 1.
3
b _ J~1Tf(x)senxdx
l J21T (senx)2 dx
185
Bases ortogonales y Gram-Schmidt
2.
2
2
l)
Proyecte b = (O, 3, 0) sobre cada uno de los vectores ortogonales ª1 = ( 3, 3' -3 Y
a 2 = (-~e ~e
y luego encuentre su proyección p sobre el plano de a¡ Y ª2·
D,
186
3. 4
Capítulo 3 Ortogonalidad
3. Encuentre también la proyección de b = (O, 3, 0) sobre a 3 = (~, - ~, ~) y sume las
tres proyecciones. ¿Por qué P = a 1aT + a 2 ai + a 3 aj' es igual a n
4. Si Q 1 y Q2 son matrices ortogonales, de modo que QT Q = /,demuestre que Q1Q 2 también es ortogonal. Si Q 1 es una rotación en un ángulo e y Q2 es una rotación en un ángulo <f>, ¿a qué es igual Q1Q2 ? ¿Puede encontrar las identidades trigonométrica.S para
sen (e + </>) y cos (e + </>) en la multiplicación de matrices Ql Qz?
5. Si u es un vector unitario, demuestre que Q = 1- 2uuT es una matriz ortogonal simétrica. (Es una reflexión, también conocida como transformación de Householder .) Calcule Q cuando uT = [l2 l2 -l2 -l]
2 •
Bases ortogonales y Gram-Schmidt
187
15. Encuentre un conjunto ortonormal q 1 , q2 , q 3 para el cual q 1 y q2 generen el espacio columna de
-i].
A= [ ;
-2
4
¿Qué subespacio fundamental contiene a q 3 ? ¿Cuál es la solución por mínimos cuadrados de Ax= b si b= [l 2
7f?
16. Exprese la ortogonalización de Gram-Schmidt de a 1 , a2 como A= QR:
6. Encuentre una tercera columna de modo que la matriz
Q =
l/../i4
l/v'3
l/v'3 2/../i4
[ l/v'3 -3/../i4
l
sea ortogonal. Debe ser un vector unitario que sea ortogonal a las otras columnas;
¿cuánta libertad deja esto? Compruebe que los renglones automáticamente se vuelven
ortonormales al mismo tiempo.
7. Demuestre, formando directamente bTb, que el teorema de Pitágoras se cumple para
cualquier combinación b = x 1q 1 + · · · +xnqn de vectores ortonormales: llbll 2 =
xf + · · · + x;; .. En términos matriciales, b = Qx, de modo que esto demuestra otra vez
que se preservan las longitudes: 11 Qx /1 2 = llx 11 2 •
8. Proyecte el vector b = (1, 2) sobre dos vectores que no sean ortogonales, a 1 = (1, 0)
Y = (1, 1). Demuestre que, a diferencia del caso ortogonal, la suma de las dos proyecciones unidimensionales no es igual a b.
ªz
9. Si los vectores q 1, q 2 , q 3 son ortonormales, l,cuál combinación de q 1 y q 2 es la más próxima a q 3 ?
10. Si q 1 y qz son la salida del proceso de Gram-Schmidt, ¿cuáles eran los posibles vectores de entrada a y b?
11. Demuestre que una matriz ortogonal triangular superior debe ser diagonal.
12. ¿Qué múltiplo de a 1 = [~]debe restarse a a 2 = [¿]para que el resultado sea ortogo-
Dados n vectores a; con m componentes, ¿cuáles son las formas de A, Q, Y R?
17. Con la misma matriz A del problema 16, y con b = [l
resolver el problema de mínimos cuadrados Ax= b.
1f, use A = QR para
18. Si A = QR, encuentre una fórmula sencilla para la matriz proyección P sobre el espacio columna de A.
19. Demuestre que los siguientes pasos modificados del proceso de Gram-Schmidt producen la misma C que en la ecuación (10):
C* =e - (q{c)q 1
C = C* -(q:{C*)q2.
y
Esto es mucho más estable, restar las proyecciones una a la vez.
20. En el espacio de Hilbert, encuentre la longitud del vector v = (1 / ../2, 1/ ,J4, 1/
.,/8, ... ) y la longitud de la funciónf(x) = e" (sobre el intervalo O :S x :S 1). ¿Cuál es
el producto interno sobre este intervalo de e" y e-x7
21. ¿Cuál es la función a cos x + b sen x más próxima a la funciónf(x) = sen 2x sobre
el intervalo de -Tr a n? ¿Cuál es la recta e+ dx más próxima?
22. Iguale la derivada a cero para encontrar el valor de b 1 que minimiza
llb1senx-cosxi1 2 =
{2rc
Jo (b 1 senx-cosx) 2 dx.
ci Jen QR con vectores ortonormales en Q.
nal a a 1 ? Factorice [:
Compare con el coeficiente b 1 de Fourier.
13. Aplique el proceso de Gram-Schmidt a
23. Encuentre los coeficientes de Fourier a0 , a 1, b 1 de la función escalón y(x), que es igual
a 1 sobre el intervalo O :::; x :S n y O en el intervalo restante n < x < 2n:
y escriba el resultado en la forma A = QR.
14. A partir de los vectores no ortogonales a, b, e, encuentre vectores ortonomales q 1, q2 ,
q3:
a
~ [l] ·
b
~ m' ' ~ m
a¡=
(y, cosx)
(cosx, cos x)
24. Encuentre los cuatro polinomios de Legendre. Se trata de una cúbica ::? + a:x? +
bx + e que es ortogonal a 1, x, y x? - ~ sobre el intervalo - l :S x :S 1.
25. ¿Cuál es la recta más próxima a la parábola y = x? sobre - 1 :S x :S 1?
26. En la fórmula de Gram-Schmidt (10), compruebe que Ces ortogonal a q¡ Y q1.
188
Capítulo 3
Ortogonalidad
3. 5
27. Encuentre una base ortonormal del subespacio generado por a 1 = (1,
(O, 1, -1, 0), a 3 =(O, O, 1, -1).
1, O, 0), a 2 =
28. Aplique el proceso de Gram-Schmidt a (1, -1, O), (0, l, -1) y (1, O, -1) para encontrar una base ortonormal sobre el plano x 1 + x 2 + x 3 = O. ¿Cuál es la dimensión de
del proceso de Grameste subespacio y cuántos vectores diferentes de cero
Schmidt?
29. (Recomendado) Encuentre vectores ortogonales A, By C por Gram-Schmidt a partir
de a, b, e:
a=(l,-1,0,0)
b =(O, 1, -1,0)
e= (O, O, 1, -1).
A, B, C y a, b, e son bases para los vectores perpendiculares ad= (1, l, 1, 1).
30. Si A = QR, entonces
= RTR = _ _ triangular multiplicada por _ _ triangular. El proceso de Gram-Schmidt sobre A corresponde a eliminación sobre ATA.
Compare
-1
con
2
-1
-!]
3y los multiplicadores son-! y -~.
Para ATA, los pivotes son 2, ~·
a) Use estos multiplicadores sobre A para demostrar que la columna l de A y B = columna 2
(columna 1) y e= columna 3
(columna 2) son ortogonales.
b) Compruebe que llcolumna 111
2
= 2, llBll 2 = ~.
y llCll 2 = }. usando los pivotes.
31. ¿Falso o verdadero? (proporcione un ejemplo en cualquier caso):
1
a) Q- es una matriz ortogonal cuando Q es una matriz ortogonal.
b) Si Q (de 3 por 2) tiene columnas ortonornales, entonces llQx¡¡ siempre es igual a lf.xll·
32. a) Encuentre una base para el subespacio Sen R 4 generado por todas las soluciones de
X¡
+ Xz + X3
X4
= Ü.
b) Encuentre una base para el complemento ortogonal SJ...
e) Encuentre b 1 en S y b2 en SJ.. de modo que b 1 + b 2 = b = (I, 1, 1, 1).
La transformada discreta de Fourier
189
Las señales se digitalizan, ya sea que provengan del habla, de imágenes, del sonar o
de TV (o incluso de la exploración petrolera). Las señales son transformadas por la matriz
p; y después es posible transformarlas nuevamente con la finalidad de reconstruirlas. Lo
crucialmente importante es que F y p- 1 pueden ser rápidas:
Estas dos afirmaciones son ciertas. p- 1 se ha conocido durante años, y se ve justo como F. De hecho, Fes simétrica y ortogonal (excepto por un factor .,/ñ), y sólo tiene un inconveniente: sus elementos son números
Este es un precio bajo que hay que
pagar, lo cual se hace a continuación. Las dificultades son minimizadas por el hecho de que
todos los elementos de F y p-I son potencias de un solo número w. Este número
wn =l.
La transformada discreta de Fourier usa w = i (y observe que i4 = 1). El éxito de toda la TDF
de la multiplicación de F por su conjugado complejo F:
i
¡2
l
(-i)
(-i)2
(-i)3
1
(-i)4
(-i)3
1
(-i)6
(-i)6
(-i)9
(-i)2
l = 41.
(l)
De inmediato,
= 41 indica que p-i = F /4. Las columnas de F son ortogonales (para obtener los elementos cero en 41). Las matrices den por n cumplen FF =ni. Así, la
inversa de Fes justo FI n. Dentro de poco se considerará el número complejo w = e2"il n
(que es igual a i paran = 4).
Es extraordinario que F sea tan fácil de invertir. Si esto fuese todo (y hasta 1965 era
todo), entonces la transformada discreta tendría un lugar importante. Ahora hay más. Las
multiplicaciones por F y p- 1 pueden hacerse de una manera extremadamente rápida e ingeniosa. En vez de realizar n2 multiplicaciones por separado, que provienen de los n2 elementos de la matriz, para efectuar los productos matrices-vectores Fe y
sólo se
n log n pasos. Este reordenarniento de la multiplicación se denomina transformada
de Fourier (TRF).
Esta sección empieza con w y sus propiedades, continúa con p- i, y termina con la
TRF: la transformada rápida. La gran aplicación en el procesamiento de señales es la filtración, y la clave de su éxito es la regla de convolución. En lenguaje matricial, todas las
"matrices circulantes" son diagonalizadas por F. Así, se reducen a dos TRFs y una matriz
diagonal.
Raíces co1mp1e1•~s de la unidad
La serie de Fourier es álgebra lineal en dimensiones infinitas. Los "vectores" son funcionesf(x); éstas son proyectadas sobre los senos y los cosenos. Así se obtienen los coeficientes de Fourier ak y bk. A partir de esta serie infinita de senos y cosenos, multiplicados por
ak y bk, es posible reconstruir af(x). Este es el caso clásico, en el que soñaba Fourier, aunque en los cálculos verdaderos lo que se calcula es la
discreta de Fourier
(TDF). Fourier sigue vivo, pero en dimensiones finitas.
se trata de álgebra lineal pura, basada en la ortogonalidad. La entrada es una sucesión de números Yo, ... , Yn- 1, en vez de una funciónf(x). La salida c 0 , . . . , cn-I tiene
la misma longitud n. La relación entre y y e es lineal, de modo que debe estar dada por una
matriz. Esta es la matriz F de
y toda la tecnología del procesamiento de señales
digitales
de ella. La matriz de Fourier posee propiedades extraordinarias.
Es posible que ecuaciones reales tengan soluciones complejas. La ecuación x2 + 1 = O
condujo a la invención de i (¡y también de -i!) Lo anterior fue declarado como una solución y se cerró el caso. Si alguien preguntaba sobre x2 - i = O, había una respuesta: las raíces cuadradas de un número complejo de nuevo son números complejos. Es necesario
ne1rm1tir las combinaciones x + iy, con una parte real x y una parte imaginaria y, pero ya
no se requieren inventos adicionales. Todo polinomio real o complejo de grado n tiene un
conjunto completo de n raíces (tal vez complejas y tal vez repetidas). Este es el teorema
fundamental del álgebra.
Aquí se tiene interés en ecuaciones como x 4 = l. Ésta tiene cuatro soluciones: las raíces cuartas de la unidad. Las dos raíces cuadradas de la unidad son 1 y -1. Las raíces cuartas son las raíces cuadradas de las raíces cuadradas, l y -1, i y -i. El número i satisface
190
Capítulo 3 Ortogonalidad
3.5
4
2
i = l porque satisface i = -1. Para calcular las raíces octavas de la unidad se requieren
las raíces cuadradas de i, lo cual lleva a w = ( 1 + i)/ v'z. Al elevar al cuadrado w se ob2
tiene (1 + 2i + i )/2, que es i porque l + i2 es cero. Así, w 8 = i 4 = 1. Aquí debe haber un
sistema.
Los números complejos cos e + i sen e en la matriz de Fourier son extremadamente
especiales. La parte real se traza sobre el eje x y la parte imaginaria, sobre el eje y (véase
unitaria; su distancia al orila figura 3.11). Así, el número w está sobre la
2
2
gen es cos e + sen e = 1. Forma un ángulo e con la horizontal. Todo el plano se estudia
en el capítulo 5, donde los números complejos aparecen como valores característicos (incluso de matrices reales). Aquí sólo se requieren puntos especiales w, todos ellos sobre la
circunferencia unitaria, para resolver wn = 1.
w 2 =i
La transformada discreta de Fourier
Nota Recuerdo el día en que al MIT llegó una carta enviada por un prisionero en Nueva
York, preguntando si la fórmula de Euler (2) era cierta. Es verdaderamente sorprendente
que tres de las funciones clave en matemáticas se presenten juntas de forma tan elegante.
Nuestra mejor respuesta fue considerar la serie de potencias de la exponencial:
e
;e
.
(i8)2
(ie)3
= 1 + ¡{) + - - + - - + · · ·.
2!
3!
La parte real 1 - fJ2! 2 + · · · escose. La parte imaginaria e - e 3 /6 + ... es el seno. La
fórmula es correcta, y me hubiera gustado enviar una demostración más hermosa.
Con esta fórmula es posible resolver wn = l. Esto se convierte en eine = l, de modo
que ne debe llevarnos alrededor de la circunferencia unitaria y volver al principio. La solución es escoger e = 2rr:/ n: la n-ésima raíz "primitiva" de la unidad es
w = e "1 8 = cos ~ + isen~
2
w3
(4)
Su n-ésíma potencia es e 2"' 1, que es igual a l. Paran = 8, esta raíz es (1 + i)/ v'z:
rr:
rr:
w 4 = cos - + i sen -
2
w 6 = -i
3.11
Las ocho soluciones de z8 = 1 son l. w. w 2 •••.• w 7 con w = (l + i)/ v'z..
El cuadrado de w puede encontrarse directamente (simplemente duplica el ángulo):
w
2
2
= (cose + i sen ()) = cos 2 e - sen 2 e + 2i sen ecos e.
2
La parte real de cos e - sen2 e es cos 2e, y la parte imaginaria 2 sen ecos ees sen W. (Observe que no se ha incluido a i; la parte imaginaria es un número real). Por tanto, w 2 = cos
W + i sen W. El cuadrado de w sigue estando en la circunferencia unitaria, pero al ángulo
doble W. Esto hace sospechar que wn está en el ángulo ne, y la sospecha es correcta.
una mejor manera de tomar potencias de w. La combinación del coseno y el seno es una exponencial compleja, con amplitud l y ángulo de fase (}:
(2)
Las.reglas.para.m~tiplicar, como (e )(e3 ) = e5 , ·!e siguen cumpliendo cuando los exponentes 1e son imagmanos. Las potencias de w = e' permanecen en la circunferencia unita2
ria:
Potencias de w
2
y
rr:
rr:
1+i
w 8 = cos ¡ + i sen ¡ - ./2
La raíz cuarta está en e = 90°, que es~ (360°). Las otras raíces cuartas son las potencias
i 2 = -1, i 3 = -i, e i 4 = l. Las otras raíces octavas son las potencias w~, w~, ... , w~. Las
raíces son equidistantes sobre la circunferencia unitaria, a intervalos de 21T!n. Observe nuevamente que el cuadrado de w 8 es w 4 , lo cual es esencial en la transformada de Fourier rápida. la suma de las raú::es es cero. Primero l + i - 1 - i = O, y luego
Suma de las raíces octavas
1 + w 8 + w~ + · · · +w~ = O.
(5)
Una demostración es multiplicar el miembro izquierdo por w 8 , que lo deja sin cambio. (Se
obtiene w 8 + w~ + · · · + w~, y w~, es igual a 1). Cada uno de los ocho puntos se desplaza un ángulo de 45°, aunque siguen siendo los mismos ocho puntos. Debido a que cuando se multiplica por w 8 el único número que permanece sin cambio es el cero, la suma debe
ser cero. Cuando n es par, las raíces se cancelan por pares (como 1 + i 2 = O e i + i 3 = 0).
Sin embargo, la suma de las tres raíces cúbicas de 1 también es igual a cero.
la matriz de Fourier y su inversa
En el caso continuo, la serie de Fourier puede reproducir af(x) sobre todo un intervalo. Utiliza una infinidad de senos y cosenos (o exponenciales). En el caso discreto, con sólo n coeficientes co, ... , Cn-1 a elegir, sólo se pide igualdad en n puntos. Así se obtienen n
ecuaciones. Se reproducen los cuatro valores y = 2, 4, 6, 8 cuando Fe= y:
+ C¡ + Cz + C3 = 2
3
2
Co + ÍC¡ + i c2 + i c3 = 4
4
2
co + i c 1 + i c2 + i 6c3 = 6
9
3
6
Co + i c¡ + i c2 + i c3 = 8.
Co
(3)
Fe= y
L~ n-ésima potencia está al ángulo ne. Cuando n = -1, el ángulo del recíproco 1/ w es
S1 cose+ i sen e se multiplica por cos(-e) + i sen(-e), se obtiene la respuesta l:
=i
-e.
(6)
La secuencia de entrada es y= 2, 4, 6, 8. La secuencia de salida es c0 , e¡, c2 , C3. Las cuatro ecuaciones (6) buscan una serie de Fourier de cuatro términos que corresponda a las entradas en cuatro puntos equidistantes x sobre el intervalo de O a 2rr:
-· ·-·
192
,_._., ''··""-'
' • r . .'.
Capítulo 3
Serie de
Fomier
discreta
2
eo
+ e1 eix + eze2ix + e3e3ix = 4
6
en
en
X
en
X= TI:
8 en
~~f;,
X= 0
X
w2
wn-1
w2
w4
w2(n-l)
1-
1
.
WZ(n-1)
W
y¡
Y2
[Yº]
.
en-1
Yn-1
J[cºJ
.
(n-1)2
193
Llr'lVQklAY
Otra demostración proviene de
wn = (1
W)(l + W + W 2 + · · · +wn- 1).
(11)
Debido a que W" = 1, el miembro izquierdo es cero. Pero W no es 1, por lo que el último
factor debe ser cero. Las columnas de F son ortmw1iates.
=3rr/2.
e1
't..ilillUUVMi
/'..,C!ONAL
3,5 La transformada discreta de Fourier
,,
= rr/2
C1
\-''-l...
Estas raíces .<ati.ef.'1.r.•n
Éstas son las cuatro ecuaciones en el sistema (6). En x = 21T, la serie devuelve y = 2 y
continúa periódicamente. La serie de Fourier discreta se escribe mejor en su forma ~omple­
ja, como una combinación de exponenciales etkx, en vez de como sen kx y cos kx.
Para toda n, la matriz que relaciona y con e puede invertirse. Representa n ecuaciones,
coincida con y (en n punlo cual requiere que la serie finita e 0 + e 1eix + · · · (n
tos). La
coincidencia es en x = O, donde e 0 + · · · + en-i = y 0 • Los puntos restantes conllevan potencias de w, y el problema completo es Fe= y:
1
w
~''--·'''J
..-·~'
-·-~ •.:•:
Ortogonalidad
.
(7)
!.a matriz F de Fourier con elementos F¡k = wjk. Resulta natural numerar los
renglones y las columnas desde O hasta n - l, en vez de hacerlo desde 1 hasta n. El
renglón tiene j = O, la primera columna tiene k = O, y todos los elementos son wº = l.
Para encontrar las es es necesario invertir F. En el caso de 4 por 4, P- 1 se construyó
a partir de 1/i = -i. Esta es la regla general, que F- 1 proviene del número complejo
1
w- = W. Está en el ángulo -2rr/n, donde w estaba en el ángulo +27Tln:
la transformada
de fourier
El análisis de Fourier constituye una hermosa teoría, además de ser bastante práctico. Analizar una forma de onda en sus frecuencias es la mejor manera de aislar una señal. El proceso inverso regresa la señal. Por razones físicas y matemáticas, las exponenciales son
especiales, y es posible precisar una razón central: Si ikx se
se
o si x
siendo un
de eikx. Las exponenciales se
se traslada a x + h, el resultado
ajustan especialmente a ecuaciones diferenciales, a ecuaciones integrales, y a ecuaciones
en diferencias. Cada componente de la frecuencia va a su manera, como vector característico, y se recombinan en la solución. El análisis y la síntesis de señales -calculando e a partir de y y y a partir de e- constituyen una parte toral del cálculo científico.
Se
demostrar que Fe y p- 1y pueden efectuarse rápidamente. La clave está en
la relación de F4 con F2 , o mejor aún, con dos copias de
que van en la matriz
i
¡2
¡3
l
·3
;6
está próximo a
¡9
l
-1
i]·
-1
F4 contiene las potencias de w 4 = i, la raíz cuarta de l.
contiene las
de w 2 =
- 1, la raíz cuadrada de l. Observe especialmente que la mitad de los elementos en Fl. La
transformada de 2 por 2, aplicada dos veces, sólo requiere la mitad de trabajo que una transformada directa de 4 por 4. Si una transformada de 64 por 64 puede sustituirse por dos
transformadas de 32 por 32, entonces el trabajo se reduce a la mitad (más el costo de volver a ensamblar los resultados). Lo que hace realidad, y posible en la práctica, lo anterior,
es la simple relación entre w 64 y w 32 :
(w64)2 = W32,
o bien (e2rrí/64)2 = e2tríl32.
Así
e2ni/3
e4rrí/3
p-1 =
~3 r~l
La trigésimosegunda raíz está dos veces más lejos en la circunferencia unitaria que la sexagésimacuarta raíz. Si w 64 = 1, entonces (w 2 ) 32 = l. La m-ésima raíz es el cuadrado de
la n-ésima raíz, si m es la mitad de n:
e-2rri/3
e-4rríi3
La multiplicación del renglón j de F por la columna j de p- 1
es ( l + 1 + · · · +
~)/~ = l. La parte más difícil es fuera de la diagonal, demostrar que el renglón} de F multiplicado por la columna k de F- 1 es cero:
1 · l + wjw-k + w 2 jw-lk + · · · + w<n-l)jw-(n-l)k =O
si
j
=f k.
(9)
La clave es observar que estos términos son las potencias de W = wjw-k:
(10)
El número W sigue siendo una raíz de la unidad: wn = wnj w-nk es igual a 111 -k = l. Ya
que j es distinto de k, W es diferente de l. Es una de las otras raíces sobre la circunferencia unitaria.
(12)
La rapidez de la TRF, en la forma estándar aquí presentada,
de trabajar con
números altamente compuestos como 2 1 = 1 024. Sin la transformada rápida, se
ren (1024) 2 multiplicaciones para obtener F por e (lo cual se desea a menudo). En contraste, una transformada rápida puede realizar cada multiplicación en sólo 5 · l 024 p':8os. E~
200 veces más
ya que sustituye un factor de 1024 por 5. En general, sustituyenmultiplicaciones por ~ni, cuando n es 2e. Al relacionar Fn con dos copias de Fn12' Y luego
con cuatro copias de F ,,¡4 , y finalmente con una F muy pequeña, los n 2 pasos de costumbre
se reducen a ~ n log2 n.
º
Es necesario ver cómo y = Fnc (un vector con n componentes)
recuperarse a
de dos vectores que sólo miden la mitad de
El
paso es dividir e entre
1!14
Capítulo 3
3.5
Ortogonalidad
sí mismo, separando sus componentes con número par de sus componentes con número
impar:
Eie11raplo 1
195
la transformada discreta de Fourier
Los pasos de n = 4 a m = 2 son
y
Los coeficientes simplemente van de forma alterna en e' y e". A partir de estos vectores, la
transformada a la mitad de tamaño proporciona y' = F me' y y" = F me". Estas son las dos
multiplicaciones por la matriz más pequeña Fm· El problema central consiste en recuperar
y a partir de los vectores y' y y" que miden la mitad, Cooley y Tukey se dieron cuenta de
cómo hacerlo:
Combinados, los tres pasos multiplican e por F4 para obtener y. Debido a que cada paso es
lineal, debe provenir de una matriz, y el producto de estas matrices debe ser F4 :
1
l
[1
-1
l
-1
1
J[' J
(16)
En un momento se comprobará que haciendo lo anterior se obtiene la y correcta. (Quizá el lector prefiera un diagrama de flujo al álgebra). Esta úlea puede repetirse. Se va de
F i 024 a F s12 a F 25r,. La cuenta final es 1ne, cuando se empieza con la potencia n = 2t y
todo el camino la dirección es hacia n = 1, donde no se requiere multiplicación. Este número ~ne, satisface la regla antes proporcionada: el doble del conteo para m, más m multiplicaciones extra, producen el conteo para n:
2 (~m(e
-1)) + =~ne.
m
Las dos copias de F2 se reconocen en el centro. A la derecha se encuentra la matriz permutación que separa e en e' y e". A la izquierda está la matriz que multiplica por wi. Si se hubiera empezado con F 8 , la matriz de en medio hubiera contenido dos copias de F4 • Cada
una de éstas se hubiera separa.do como se hizo arriba. Entonces, ¡la TRF representa una
2
factorización gigante de la matriz de Fourier! La simple matriz con n no ceros es un producto de aproximadamente e = log2 n matrices (y una permutación) con un total de sólo
ne no ceros.
la TRF y la mariposa
Otra forma de contar: De n = 2e a n = 1 hay f, pasos. Cada paso requiere n/2 multiplicaciones por Dnn en la ecuación (13), que en realidad es una factorización de ·
Un paso de
El primer paso de la TRF cambia la multiplicación por Fn en dos multiplicaciones por F m·
Las componentes con número par (c0 , c2 ) se transforman por separado de (c 1, c 3 ). En la figura 3.12 se proporciona un diagrama de flujo para n = 4.
(14)
laTRF
CO
Yo
00
10
Cz
Y¡
01
01
C¡
Yz
10
Y3
11
00
El costo es sólo ligeramente más que lineal. El análisis de Fourier ha sido transformado completamente
por la TFR. Para comprobar la ecuación (13), es necesario separar y-J en
•
pare impar:
n-l
Yj =
L w~kck
m-1
es idéntica a
k=O
~ w2kj e
n
2k
L...,,
k=O
+
e'
m-l
w<2k+l)jc
n
2k+l·
k=O
Cada sumatoria de la derecha consta de m = ~ n términos. Debido a que w2 es wm, las dos
"
sumatorias son:
m-1
k=O
11
m-l
wkj
e' + wjn_L_,¡rnk
~ wkj e" = y'.¡ + wjy'~
mk
n1·
Y1· =
e"
C3
(15)
-1
k=O
Para la segunda parte de la ecuación (13),j + m en vez dej produce un cambio de signo:
Dentro de las sumatorias, w~U +m) permanece w':,!_ debido a que w~n = 1k = l.
Fuera w~+m = -w~ ya que w'; = e2n:iml n = e"i = -L
La idea de la TRF se modifica fácilmente con la finalidad de permitir otros factores primos
de n (no sólo potencias de 2). Si n mismo es primo, se aplica un algoritmo completamente
distinto.
3.12
Diagrama de flujo para la transformada de Fourier rápida con n = 4.
Paran = 8, la idea clave es sustituir ca.da recuadro F 4 por recuadros F 2• El nuevo factor
w 4 = i es el cuadrado del factor anterior w = w 8 = e2"il 8 • El diagrama de flujo muestra
el orden en que las es entran en la TRF y las log2 n etapas que les lleva entrar, Y también
muestra la sencillez de la lógica.
196
Capítulo 3
3.5
Ortogonalidad
197
La transformada discreta de fourier
Cada etapa requiere ~ n multiplicaciones, de modo que el conteo final es ~ n log n. Hay
una regla asombrosa para la permutación global de es antes de entrar en la TRF: Escribir
los subíndices O, ... , 7 en binario e invertir el orden de sus bits. Los subíndices aparecen
en "orden invertido de bits" en la parte izquierda de la gráfica. Los números pares apareque los núcen antes que los impares (los números que terminan con O aparecen
meros que terminan con 1).
15. Invierta los tres factores en la ecuación (14) para encontrar una factorización rápida de
1. ¿Qué son F 2 y F4 para la matriz F de Fourier de 4 por 4?
Escriba estos factores con l, w, w 2 en D y 1, w 2 , w en
2. Encuentre una permutación P de las columnas de F que produzca FP = F (den por
n). Combine lo anterior con FF =ni con la finalidad de encontrar
y
para la
matriz F de Fourier de n por n.
En los
18 a 20 se introducen los conceptos de vector característico y valor
característico, cuando el
de una matriz
por un vector es un
m1íltiolo de ese vector. Éste es el tema del
5.
3. Si se forma una submatriz de 3 por 3 de la matriz F 6 de 6 por 6, manteniendo sólo los
elementos que están en sus renglones y columnas, primero( a), tercero(a) y cuarto(a),
¿cuál es esa submatriz?
18. Las columnas de la matriz de Fourier F son los valores característicos de la permutación cíclica P. Multiplique PF para encontrar los valores característicos J..0 a J.. 3 :
p-1.
16. Fes simétrica. Así, ¡trasponga la ecuación (14) para encontrar una nueva transforma-
da rápida de Fouriert
17. Todos los elementos en la factorización de F 6 impfü~an potencias de w =raíz sexta de 1:
4
i
¡2
¡3
4. Indique todas las raíces sextas de 1 en el plano complejo. ¿Cuál es la raíz primitiva
w 6 ? (Encuentre sus partes real e imaginaria). ¿Qué potencia de w 6 es igual a 1/w6 ?
¿Cuál es 1 + w + 1112 + w 3 + 111 4 + w5 ?
5. Encuentre todas las soluciones de la ecuación eix = -1, y todas las soluciones de
e;e = i.
6. ¿Cuáles son el cuadrado y la raíz cuadrada de w 128 , la centésimovigesimaoctava raíz
primitiva de 1?
1
es PF = Fll.,o P = Fll.F- •
J
2
[
3
Co
C¡
Cz
C3
Co
C¡
Cz
C3
Co
C¡
Cz
C3
y
20. Encuentre los valores característicos de la matriz "periódica" C -1, 2, - 1. Los l s en
las esquinas de e la hacen periódica (una matriz circulante):
2 -1
-1
2
C= o -1
[
9. a) Si y= (1, 1, 1, 1), demuestre que e= (1, O, O, 0) satisface F4 c =y.
b) Ahora suponga que y= (1, O, O, 0), y encuentre c.
10. Paran= 2, escriba Yo a partir de la
linea de la ecuación (13) y y 1 a partir de la
segunda línea. Paran = 4, use la primera línea para encontrar y0 y y 1 y la segunda
línea para encontrar Y2 y y 3 , todo en términos de y' y y".
A1
19. Dos vectores característicos de esta matriz circulante e son (l, 1, l, 1) y (1, i, i , i ).
¿Cuáles son los valores característicos e0 y e 1?
7. Resuelva el sistema (6) de 4 por 4 si los miembros derechos son y 0 = 2, y 1 = O, Y2 =
2, y 3 = O. En otras palabras, resuelva F 4 c = y.
8. Resuelva el mismo sistema con y = (2, O, -2, O) sabiendo que F 4- 1 y calculando
e =
. Compruebe que Co + C¡eix + c2e 2ix + c3e 31 x asume los valores 2, O, -2, O
en los puntos x = O, n:12, n:, 3n:12.
¡2
¡4
¡6
¡Multiplique l
-1
o
-1
2
o -1
-i]
tiene c0 = 2, c 1 = -1, c2 =O, c3 = -l.
1
11. Calcule y =
mediante los tres pasos de la transformada rápida de Fourier si e =
(1, O, 1, O). Repita el cálculo con e= (0,l,0,1,0,1,0,1).
'es posible
x)). En
21. Para multiplicar e por X, cuando e=
el producto directo Cx se requieren n 2 multiplicaciones por separado. Si se conocen E
y F, con el segundo método sólo se usan n log2 n + n multiplicaciones. ¿Cuántas de
éstas
de F, y cuántas de p- 17
12. Calcule y = F 8c mediante los tres pasos de la transformada rápida de Fourier si e =
(1, O, 1, O, 1, O, 1, 0). Repita el cálculo con e= (0, l, O, 1, O, 1, O, 1).
22. ¿Cómo podría calcular rápidamente estas cuatro componentes de Fe empezando con
c0 + c2 , c0 - c2 , c 1 + c3 , c 1 - c3 ?
encontrando la transformada rápida de Fou-
13. Para la matriz de 4 por 4, escriba las fórmulas para c0 , c 1, c2 , c 3 y compruebe que sif
e~ impar; entonces e es impar. El vector fes impar sifn-J = -fj; paran= 4 esto sigmficafo = O,f3 = -f1.f2 = O como en sen O, sen n/2, sen 7T, sen 37T/2. Esto es copiado por e y conduce a una transformación rápida del seno.
14. Multiplique las tres matrices en la ecuación (16) y compare con F.
mentos es necesario saber que i 2 = l?
cuáles seis ele-
rier!
1!UI
6
o 1 3 1'"'
" "" de irepaso 7
E¡erc1c1os
Capítulo 3 Ortogonalidad
"""'
3.19 Si v 1 , ••• , vn es una base ortonormal de Rn, demuestre que v 1 vi + · · · +v,.vJ = I.
Capítulo
3.20 ¿Falso o verdadero? Si los vectores x y y son ortogonales, y Pes una proyección, entonces Px y Py son ortogonales.
3.1
Encuentre la longitud de a = (2, -2, 1), y escriba dos vectores independientes que
sean perpendiculares a a.
3.2
Encuentre todos los vectores que sean perpendiculares a (1, 3, 1) y (2, 7, 2), haciendo a éstos los renglones de A y resolviendo Ax = O.
3.21 Intente ajustar una recta b = C + Dt que pasa por los puntos b = O, t = 2, y b = 6,
t = 2, y demuestre que las ecuaciones normales fracasan. Dibuje todas las rectas óptimas, minimizando la suma de los cuadrados de los dos errores.
3.3
¿Cuál es el ángulo entre a = (2, -2, 1) y b = (1, 2, 2)?
3.22 ¿Cuál punto en el plano x +y - z = O es el más próximo a b = (2, 1, 0)?
3.4
¿Cuál es la proyección p de b = (1, 2, 2) sobre a = (2, -2, l)?
3.5
Encuentre el coseno del ángulo entre los vectores (3, 4) y (4, 3).
3.6
¿Dónde está la proyección de b = (1, 1, 1) sobre el plano generado por (1, O, 0) y
(1, 1, 0)?
3.7
El sistema Ax= b tiene una solución si y sólo si bes ortogonal a ¿cuál de los cuatro
subespacios fundamentales?
3.8
¿Qué recta proporciona el mejor ajuste a los datos siguientes: b =O en t =O, b =O
en t = l, b = 12 en t = 3?
3.9
Construya la matriz proyección P sobre el espacio generado por (1, l, 1) y (0, 1, 3).
3.25 ¿Es posible recuperar una matriz de 3 por 3 si se conocen las sumas en los renglones,
las sumas en las columnas y también la suma a lo largo de la diagonal principal, así
como a lo largo de las otras cuatro diagonales paralelas?
3.10 ¿Cuál función constante está más próxima de y = x 4 (en el sentido de mínimos cuadrados) sobre el intervalo Os x s l?
3.26 Encuentre una base ortonormal del plano x - y + z = O, y encuentre la matriz P que
proyecte sobre el plano. ¿Cuál es el espacio nulo de P?
3.11 Si Q es ortogonal, ¿es cierto lo mismo para Q3 ?
3.12 Encuentre todas las matrices ortogonales de 3 por 3 cuyos elementos sean ceros y
unos.
3.13 ¿Qué múltiplo de a 1 debe restarse a a 2 , para que el resultado sea ortogonal a a 1? Dibuje una figura.
e]
como QR, reconociendo que la primera columna ya es un vector unitario.
3.15 Sí todo elemento de una matriz ortogonal es
triz?
io
3.24 Rastreadores CT examinan a un paciente desde direcciones distintas y producen una
matriz que proporciona las densidades del hueso y el tejido en cada punto. Matemáticamente, el problema consiste en recuperar una matriz a partir de sus proyecciones.
En el caso de 2 por 2, ¿es posible recuperar la matriz A si se conoce la suma a lo largo de cada renglón y de cada columna?
3.27 Sea A = [3 l - lJ, y sea V el espacio nulo de A.
a) Encuentre una base para V y una base para V1-.
b) Escriba una base ortonormal para V1-, y encuentre la matriz proyección P 1 que
proyecta vectores de
sobre V 1-.
e) Encuedtre la matriz proyección P 2 que proyecta vectores de R 3 sobre V.
3.28 Aplique el proceso de Gram-Schmidt para construir un par ortonormal q 1 , q2 a partir
de a 1 = (4, 5, 2, 2) y az = (1, 2, O, O). Exprese a 1 y a2 como una combinación de q 1
y q 2 , y encuentre la matriz triangular R en la forma A = QR.
3.14 Factorice
cose sen
[sene
o
3.23 Encuentre una base ortonormal de R 3 , empezando con el vector (1, 1, -1).
, ¿cuál es el tamaño de esta ma-
3.29 Para A, b, x, y y cualesquiera, demuestre que
a) Si Ax = b y yTA = O, entonces yTb = O.
b) Si Ax= O y ATy = b, entonces xTb =O.
¿Cuál teorema demuestra esto sobre los subespacios fundamentales?
3.16 Suponga que los vectores q 1, ••• , qn son ortonormales. Si b = c1q1 + · · · +c,.qn,
proporcione una fórmula para calcular el primer coeficiente c 1 en términos de by las
qs.
3.30 ¿Existe alguna matriz cuyo espacio renglón contenga a (l, 1, 0) y cuyo espacio nulo
contenga a (O, 1, l)?
3.17 ¿Qué palabras describen a la ecuación AT Ax= ATb, al vector p = Ax= Pb, y a
la matriz P = A(AT A)- 1 AT?
3.31 La distancia de un plano aTx =e (en el espacio m-dimensional) al origen es !cl/llall.
¿Cuán lejos está el plano del origen xi + x 2 - x 3 - x 4 = 8, y cuál punto en éste es el
más próximo?
G,
3.18 Si los vectores ortonormales q¡ =
~. -1) y qz = ( -~, ~. ~) son las columnas de Q, ¿cuáles son las matrices QTQ y QQT? Demuestre que QQT es una matriz
proyección (sobre el plano de q 1 y q 2 ).
3.32 En el paralelogramo con vértices en O, v, w, y v + w, demuestre que la suma de las
longitudes al cuadrado de los cuatro lados es igual a la suma de las longitudes al cuadrado de las dos diagonales.
200
Capítulo 3 Ortogonalidad
Capítulo
3.33 a) Encuentre una base ortonormal para el espacio columna de A.
!.
l -6]
A~ [~
t
1
t
b) Escriba A como QR, donde Q tiene columnas ortonormales y R es triangular superior.
e) Encuentre la solución por mínimos cuadrados de Ax= b, si b = (-3, 7, 1, O,
3.34 Con la matriz de ponderación W =
[i ¿J¿cuál es al producto interno de (1, 0) con
(O, 1)?
3.35 Para resolver un sistema rectangular Ax = b, reemplazamos A- 1 (que no existe) se
sustituye por (ATA)- 1AT (que existe si las columnas de A son independientes). Demuestre que ésta es una inversa izquierda de A pero no una inversa derecha. A 1a izquierda de A proporciona la identidad; a la derecha proporciona la proyección P.
3.36 Encuentre la recta C + Dt que ajuste mejor las mediciones b = O, 1, 2, 5 en los instantes t = O, 1, 3, 4.
3.37 Encuentre la curva y = C + D2' que proporcione el
por rrúnimos cuadrados a las mediciones y= 6 en t =O, y= 4 en t = 1, y y= O en t = 2. Escriba las
tres ecuaciones que se resuelven si la curva pasa por los tres puntos, y encuentre los
mejores C y D.
4.1
Los determinantes están mucho más lejos del centro del álgebra lineal de lo que estaban
hace cien años. ¡Las matemáticas siguen cambiando de dirección! Después de todo, un
simple número puede decir tanto sobre una matriz. De todos modos, es extraordinario
cuánto puede hacer este número.
Un punto de vista es: el determinante constituye una fórmula "explícita" para cada elemento de A- 1 y A- 1b. Esta fórmula no modifica la manera de realizar los cálculos; incluso el determinante en sí se encuentra por eliminación. De hecho, la eliminación puede
considerarse como la manera más eficiente de sustituir los elementos de una matriz de n
por n en la fórmula. Lo que hace la fórmula es mostrar cómo A - I depende de los n2 elementos de A, y la forma en que varía cuando los elementos cambian.
Los usos más importantes de los determinantes pueden enumerarse como se muestra
a continuación:
3.38 Si las columnas de A son ortogonales entre sí, ¿qué puede decir sobre la forma de
ATA? Si las columnas son ortonormales, ¿qué
decir entonces?
l. Prueban la invertibilidad. Si el determinante de A es cero, entones A es
det A =fa O, entonces A es invertible (y A - i implica l/detA).
3.39 ¿Qué condición deben cumplir las columnas de A (que puede ser rectangular) para
que ATA sea invertible?
La aplicación más importante, y la razón por la que este capítulo es esencial para el libro, es en la familia de matrices A - Al. El parámetro ). se resta a lo largo de toda la diagonal principal, y el problema consiste en encontrar los valores característicos para los
cuales A - U es singular. La prueba es det(A - U) = O. Este polinomio de grado n en ).
tiene exactamente n raíces. La matriz tiene n valores característicos. Este hecho se concluye por la fórmula del determinante, y no por computadora.
Si
2. El determinante de A es igual al volumen de una caja en el espacio n-dimensional. Las
4.1). Con las columnas
aristas de la caja provienen de los renglones de A (véase la
de A se obtiene una
totalmente diferente con el mismo volumen.
La caja más sencilla es un cubo pequeño dV = dx dy dz, como en
f(x, y, z) dV.
Suponga que se cambia a coordenadas cilíndricas mediante x = r cose, y = r sen e, y
z = z. También que el pequeño intervalo dx se alarga a (dx/ du)du -cuando u sustituye ax
en una simple integral- así el elemento de volumen se convierte en J dr de dz. El determinante jacobiano es el análogo tridimensional del factor de alargamiento dx!du:
JJJ
Jacobiano
J =
ax/ar
ay/C!r
Bz/ar
ax/ae
ay/ae
az/ae
ax/C!z
ay/C!z
az/C!z
cose
sene
o
-rsene
rcose
o
O
o
l
El valor de este determinante es J = r. Es la r en el elemento de volumen cilíndrico r dr
de dz; este elemento es nuestra pequeña caja. (Al intentar dibujarla se ve curva, aunque quizá se haga más recta a medida que las aristas se vuelven infinitesimales.)
202
4.2
Capítulo 4 Determinantes
z
Propiedades del detenmínante
203
Esta es una pregunta optimista sobre las permutaciones: ¿cuántos cambios son necesarios para cambiar VISA en AVIS? Esta permutación, ¿es par o impar?
4.2
Consisten en una lista bastante larga. Por fortuna, cada regla es fácil de encontrar, e incluso más fácil de ilustrar, mediante un ejemplo de 2 por 2. En consecuencia, se comprobará
que la conocida definición en el caso de 2 por 2,
det [;
Figura 4.1
Caja formada a partir de los renglones de A: volumen = 1determinante1.
3. El determinante proporciona una fórmula para cada pivote. Teóricamente, es posible
pronosticar cuándo un elemento pivote es cero, lo cual requiere un intercambio de renglones. A partir de la fórmula determinante = :±: (producto de los pivotes), se concluye que
sin importar el orden de la eliminación, el producto de los pivotes permanece igual, salvo
el signo.
Hace años, este hecho condujo a la creencia de que era inútil escapar a un pivote
pequeño intercambiando renglones, ya que al final el pivote pequeño ganaría la partida.
Sin embargo, lo que suele ocurrir en la práctica, en caso de que no sea posible evitar un
pivote anormalmente pequeño, es que en muy poco tiempo se presenta un pivote anormalmente grande. Así es corno el producto se vuelve nuevamente normal, aunque deja en ruinas la solución numérica.
4. El determinante mide la dependencia de A - i b respecto a cada elemento de b. Si en un
experimento se cambia un parámetro, o una observación es corregida, el "coeficiente contaminante" en A - I es un cociente de determinantes.
Hay otro problema respecto al determinante. Es difícil no sólo decidir acerca de su importancia, así como de su lugar idóneo en el álgebra lineal, sino también elegir la mejor definición. Resulta evidente que, det A no es alguna función extremadamente sencilla de n 2
variables; en caso contrario, sería mucho más fácil encontrar A - i de lo que realmente es.
Las cuestiones sencill,as sobre el determinante no son !,as fórmu!,as explícitas, sino
las propiedades que posee. Esto sugiere un lugar natural para comenzar. El determinante
puede (como será el caso) definirse mediante sus tres propiedades más importantes: det
l = l, el signo se invierte por un intercambio de renglones, el determinante es lineal
en cada renglón por separado. Entonces el problema es demostrar cómo, usando estas
propiedades de manera sistemática, es posible calcular el determinante. Esta situación retrotrae al producto de los pivotes.
En la sección 4.2 se explicarán estas tres propiedades definitorias del determinante, así
como sus consecuencias más importantes. En la sección 4.3 se proporcionarán dos fórmulas
más para calcular el determinante: la "gran fórmula" con n! términos y una fórmula por "inducción". En la sección 4.4, el determinante se aplica para encontrar A - i. Luego, x = A - i b
se calcula con la regla de Cramer. Y finalmente, en una observación opcional sobre permutaciones, se demuestra que sin importar el orden en que se apliquen las propiedades, el resultado siempre es el mismo; es decir, las propiedades definitorias son autoconsistentes.
!]
=
!
1;
1 =
ad - be,
posee cada propiedad de la lista. (Observe las dos notaciones aceptadas para el determinante, det A y IAI.) Las propiedades de 4 a 10 se deducen de las propiedades previas. Cada
propiedad es u.na consecuencia de las tres primeras. Se recalca que las reglas son válidas para matrices cuadradas de cualquier tamaño.
1.
El determinante de la matriz identidad es 1.
detl = 1
2.
'~ ~ 1=1
1 o o
o 1 o = l
o o
y
y ...
El determinante cambia de signo cuando se intercambian dos renglones.
Intercambio de re11g1,om~s
1~
~ 1= cb - ad = -1 ; ! I·
El determinante de cualquier matriz permutación es det P = :±:l. Mediante intercambio de
renglones es posible transformar P en la matriz identidad. Cada intercambio de renglones
ahí se obtienen todas
cambia el signo del determinante, hasta que se llega a det l = l.
las demás matrices!
3. El determinante depende linealmente del primer renglón. Suponga que A, B, C son
iguales a partir del segundo renglón, y que el renglón l de A es una combinación lineal de
los primeros renglones de B y C. Entonces la regla establece: det A es la misma combina. .
ción que det B y det C.
Las combinaciones lineales implican dos operaciones: sumar vectores y multJ.phcar
por escalares. Por consiguiente, esta regla puede separarse en dos partes:
Sumar los vectores en el renglón 1
1a :
a'
b : b' 1 = 1 ;
1
t; t:
1 =
t 1;
!+~ ~
!
1
1
I·
I·
Observe que la
parte no es la afirmación falsa det(B + C) = det B + det C:· No es
posible sumar todos los renglones: sólo se permite cambiar a un renglón. Ambos miembros
proporcionan la respuesta ad + a' d - be - b' c.
.
.
La segunda parte no es la afirmación falsa det(tA) = t det A. La matriz A tiene un factor ten cada renglón (y el determinante se multiplica por tn). Es como el volumen de u~a
caja, cuando todos los lados se alargan por 4. En n dimensiones, el volun:en Y el detenrunante se alargan por 4". Si sólo se alarga un lado, el volumen y el detenrunante se alargan
por 4; ésta es la regla 3. Por la regla 2, no hay nada especial respecto al renglón l.
204
Capítulo 4 Determinantes
4.2
Ahora ya se ha establecido el determinante, aunque este hecho no es nada evidente.
En consecuencia, las reglas se aplican gradualmente para encontrar el determinante de
"'-'''-"-il""º1 matriz.
4.
=
=
Esto se concluye de la
2, ya que si se intercambian los renglones iguales, se supone
que el determinante cambia de signo. Pero también queda igual, porque la matriz no cambia. El único número capaz de hacer esto es el cero, de modo que det A = O. (El razonamiento falla si 1 = -1, que es el caso en álgebra booleana. Así, la regla 4 sustituye a la
regla 2 como una de las propiedades definitorias).
Matriz sin1gular
[ªe
La regla 3 indica que hay otro término -e¡~ ~¡,pero por la regla 4 este término es cero.
paso de eliminación de costumbre no afecta al determinante!
Producto de
IAl IBI
~ ~ 11 ;
1
{ 1 = 1;; :
bh ¡
~! aj+
cj + dh ·
1
A
debido a que (det A)( det
= det AA- 1 = detl = l.
(2)
(ad - bc)(eh - j g) = (ae + bg)(cj + dh) - (aj+ bh)(ce + dg).
7'. Si A es triangular, entonces det A es el producto a 11 a 22 • • • ann de los elementos en la
dwgonal. Si la A triangular tiene ls a lo largo de la diagonal, entonces det A = 1.
~ ~ 1 = ad.
1
Demostración
Suponga que los elementos en la diagonal son diferentes de cero. Entonces la eliminac_ión es capaz de eliminar todos los elementos fuera de la diagonal sin modificar el determmante (~orla r~gla 5). Si A es triangular inferior, los pasos son hacia abajo,
c~~o de cos:U~bre. S1 A es triangular superior, primero se trabaja con la última columna,
ut1hzando muluplos de
De cualquier forma se llega a la matriz diagonal D:
ªnn·
tiene
(1)
En el caso de 2 por 2, la regla del producto puede comprobarse pacientemente:
U?a demostración consiste en sumar otro
al renglón cero. Por la regla 5, el determmante permanece sin cambio. Debido a que ahora la matriz cuenta con dos renofones
idénticos, por la regla 4 se tiene que det A = o.
"'
[ª11 ·. ]
detA = ± detU = ±d1d2···dn.
La regla nueve es la regla del producto. Yo diría que es la más sorpre:nueme.
det A- 1 =
/~ ~/=O.
D =
ad - be = O.
Un caso particular de esta regla proporciona el determinante de A -i. Debe ser l/det A:
Si A tiene un renglón de ceros, entonces det A = O.
~ ~ 1 = ad
no es invertible si y sólo si
9. El determinante de AB es el producto de det A por det B.
Restar un múltiplo de un renglón de otro renglón deja igual al determinante.
1
db]
Si A es singular, la eliminación produce un renglón cero en U. Así, det A = det U = O. Si
A es no singular, la eliminación coloca los pivotes d 1, ••• , dn en la diagonal
¡Se
tiene una fórmula para el "producto de pivotes" de det A! El signo depende de si el número de intercambio de renglones es par o
del
6.
205
Si A es singular, entonces det A = O. Si A es invertible, entonces det A =F O.
Si dos renglones de A son iguales, entonces det A = O.
1: t1 ab - ba O.
5.
8.
Propiedades del determinante
det D = a¡¡a22 · · · ann det l = a11a22 • • • ann·
ann
Para enco~trar det D, ~a~ient~ se aplica la regla 3. Al factorizar a 11 y luego a 22 y por último
art!V se obtiene la matriz identidad. Por fin tenemos una aplicación para la regla 1: det ¡ = l.
111
Si un elemento en la diagonal es cero, entonces la eliminación produce un renglón cero. Por l~ regla 5,_ es~os pasos de la eliminación no cambian el determinante. Por la regla 6,
el renglon cero significa un determinante cero. Es decir: cuando una matriz trian!rular es
0
singular (debido a un cero en la diagonal principal), su determinante es cero.
Esta propiedad es fundamental. El detenninante de todas fas matrices snigt1.1ares es
cero.
En el caso de n por n, se sugieren dos demostraciones posibles, ya que ésta es la regla menos evidente. En ambas demostraciones se supone que A y B son no singulares; en caso
contrario, AB es singular, y la ecuación det AB = (det A)(det B) se comprueba fácilmente.
Por la regla 8, se convierte en O = O.
i) Se demostrará que el cociente d(A) = det AB/det B cumple las propiedades 1 a 3.
Así, d(A) debe ser igual a det A. Por ejemplo, d(l) = det
B = 1; se cumple
la regla 1. Si se intercambian dos renglones de A, también se intercambian los mis-
mos renglones de AB, y el signo de d cambia según lo requiere la regla 2. Una combinación lineal en el primer renglón de A proporciona la misma combinación lineal
en el primer renglón de AB. Luego la regla 3 para el determinante de AB, dividida
entre la cantidad fija det B, lleva a la regla 3 para el cociente d(A). Así, d(A) = det
AB/det B coincide con det A, que es nuestra fórmula del producto.
ii) Esta segunda demostración es menos elegante. Para una matriz diagonal, det DB =
(det D)(det B) se concluye al factorizar cada d; a
de su renglón. Una matriz
A se reduce a D por eliminación -de A a U como de costumbre, y de U a
D por eliminación hacia arriba. El determinante no cambia, excepto por una inversión de signo cuando se intercambian renglones. Los mismos pasos reducen AB a
DB, con precisamente el mismo efecto sobre el determinante. Pero para DB ya se
confirmó que la regla 9 es correcta.
10. La traspuesta de A tiene el mismo determinante que A misma: det AT = det A.
de la traspuesta
De nuevo, el caso singular se trata por separado; A es ~u.•&Y"~ si y sólo si AT es singular,
y se tiene O = O. Si A es no singular, entonces
la factorización PA = WU, y se
206
Capítulo 4
4.2
Determinantes
(3)
Al trasponer PA = LDU se obtiene ATpT = UTDTLT, y de nuevo por la regla 9,
(4)
det AT det pT = det uT det DT det
Esto es más sencillo de lo que parece, ya que L, U, LT, y UT son triangulares con diagonal
de ls. Por la regla 7, su determinante es igual a l. También, cualquier matriz diagonal es
igual a su traspuesta: D = DT. Sólo es necesario demostrar que det P = det pT_
Ciertamente, det Pes 1 o -1, ya que P proviene del por intercambios de renglones.
También observe que ppT = l. (El 1 en el primer renglón de P corresponde al l en la primera columna de pT, y le faltan los Is en las demás columnas.) En consecuencia, det P det
pT = det l = 1, y P y pT deben tener el mismo determinante: ambos 1 o ambos - l.
Se concluye que los productos (3) y (4) son los mismos, y entonces det A = det A T.
Este hecho prácticamente duplica la lista de propiedades, ya que cada regla aplicada a los
renglones puede aplicarse ahora a las columnas: el detenninante cambia de signo cuando
se intercambian dos columnas, dos columnas iguales (o una columna de ceros) producen
un detenninante cero, y el determinante depende linealmente de cada columna individual.
La demostración consiste justamente en trasponer la matriz y trabajar con los renglones.
Considero que es hora de guardar silencio y declarar que la lista está completa. Sólo
queda encontrar una fórmula definitiva para el determinante, y aplicarla.
207
Nota Algunos lectores ya conocerán alguna fórmula para calcular determinantes de
3 por 3. Tiene seis términos (ecuación (2) de la siguiente sección); tres son paralelos
a la diagonal principal y otros tres van en dirección opuesta con signo menos. Hay una
fórmula semejante para determinantes de 4 por 4, aunque contiene 4! = 24 términos
(no sólo ocho). Ni siquiera es posible estar seguro de que un signo menos va con la
diagonal invertida, como se muestra en el siguiente ejercicio.
aplica la regla 9 para el determinante de un producto:
detPdetA = detLdetDdetU.
Propiedades del determinante
Cuente los intercambios de renglones para encontrar los siguientes determinantes:
5.
det
[
gO g1 ~O ~]O
1
= +1
det
y
o o o
º]
o o1 ol o
O O O 1
[1 o o o
= - l.
6.
Para cada n, ¿con cuántos intercambios se coloca el (renglón n, renglón n - l, ... ,
renglón 1) en el orden normal (renglón 1, ... , renglón n - l, renglón n)? Encuentre
det p para la permutación de n por n con unos en la diagonal invertida. En el problema 5 se tenía n = 4.
7.
Encuentre el determinante de:
a) Una matriz de rango l
m
A~
[2 -1 2].
b) La matriz triangular superior
1.
u~ [~ ¡i i]
Si una matriz de 4 por 4 tiene det A = ~,encuentre det(2A), det (-A), det (A 2 ), y det
(A-1).
2.
Si una matriz de 3 por 3 tiene det A = - 1, encuentre det( l2 A), det (-A), det (A 2) y
det(A- 1).
3.
Intercambio de renglones: Sume el renglón 1 de A al renglón 2 y luego reste el renglón 2 del renglón 1. Luego sume el renglón 1 al renglón 2 y multiplique el renglón 1
por -1 para llegar a B. ¿Cuáles reglas muestran lo siguiente?
c) La matriz triangular inferior uT.
d) La matriz inversa u- 1 .
e) La "matriz triangular invertida" que resulta de intercambios de renglones,
M
~ ~ 1 es igual a -det A = -1 ~ ! I·
det B = 1
Aplique operaciones en los renglones para obtener una triangular superior U, para
calcular
2
3
-2
2
-4
-2
º]
1
o 2
5
3
2
y
-1
o
2 -1
g
-1
2
[
-1
det
o -1
-~]·
-2
Intercambie los renglones 3 y 4 de la segunda matriz, y vuelva a calcular los pivotes
y el determinante.
n
8.
Demuestre cómo la regla 6 (det = O si un renglón es cero) proviene directamente de
las reglas 2 y 3.
9.
Suponga que realiza dos operaciones a la vez, yendo de
Estas reglas pueden sustituir a la regla 2 en la definición de determinante.
4.
~ [~ ! ~
[
~ ~]
a
[:
=;; ~-=_~: l
Encuentre el determinante de la nueva matriz, aplicando la regla 3 o por cálculo directo.
10. Si Q es una matriz ortogonal, de modo que QTQ = l, demuestre que det Q es igual a
+ l 0 - l. ¿Qué tipo de caja se forma a partir de los renglones (o las columnas) de Q?
11. Demuestre otra vez que det Q = 1 o -1, usando sólo la regla del producto. Si \det Q\
> l, entonces det Q:' explota. ¿Cómo se sabe que esto no puede ocurrir a Q:'?
208
Capítulo 4
4.2
Determinantes
12. Use
en los renglones para justificar que el "determinante de Vandermonde" de 3 por 3 es
a
20. ¿El determinante de las
KT = -K, como en
det
aO bl
e .
[-~
-b -e O
En los
A=
e) Si A es invertible y Bes singular, entonces A + Bes invertible.
d) Si A es invertible y B es singular, entonces AB es singular.
e) El determinante de AB - BA es cero.
[1'
~·(],
y
t3
l
t2
t
t2
t'
t .
t2
1
A=[~ ~J.
10
-2]
4 ,
-1
A-AI=[ 4 ~.A.
3
¡; ~ ;l ·
3
2
3
6
6
y
3
3
=.A.J
~·[¡
1
1
2
1
2
1
1
1
i]
minantes:
301]
201
[ lOl
y
102 202 302
103 203 303
25. La eliminación reduce A a U. Luego, A = LU:
o
3
1
8
A=
4
5
det
j] [_~
Encuentre los determinantes de L, U, A,
..!__ [ 3
A=
24. Aplique operaciones en los rer1g~orne.s para simplificar y calcular los siguientes deter-
[_~
17. Encuentre los determinantes de
A-1 =
y
2
16. Encuentre los siguientes determinantes de 4 por 4 por eliminación gaussiana:
det
[~1 ;2 ;]3
detH o oo i]
15. Si la suma de cada renglón de A es cero, demuestre que det A =O. Si la suma de cada renglón es 1, demuestre que det (A - l) =O. Demuestre con un ejemplo que esto
no implica que det A = l.
14]
para calcular dete:rm.immtes es1>ecifü:os.
23. Aplique operaciones en los renglones para obtener una triangular superior U, y calcule
a) Si A y B son idénticas excepto que b 11 = 2a 11 , entonces det B = 2 det A.
24
34
44
-b] _ ad - be _ 1
a - ad - be - ·
22. Reduzca A a U, y encuentre det A = producto de los pivotes:
b) El determinante es el producto de los pivotes.
13
23
33
43
= det _ _ _ [ d
-e
22 a 28 se usan
14. ¿Falso o verdadero? Proporcione una razón si es cierto, y un contraejemplo si es falso.
12
22
32
42
C
B
¿Qué está mal en este cálculo? ¿Por qué es correcto
En el caso de 3 por 3, ¿por qué det ( - K) = ( - 1) 3 det K? Por otra parte, det
det K (siempre). Deduzca que el determinante debe ser cero.
b) Escriba una matriz simétrica sesgada de 4 por 4 con det K diferente de cero.
21
31
41
fl ~ [! ~ il ~ u n
21. Parece que la inversa de una matriz de 2 por 2 tiene determinante= 1:
13. a) Una matriz simétrica sesgada
K =
209
matrices es igual a O, l, 2, o 3?
A~ [! g
ª2] = (b a)(c - a)(c - b).
b2
c2
b
e
Propiedades del determinante
~f
t't
1
t2
l
~rn o -~]
3
2
.
=LU.
-1
, y u-1L-1A.
26. Si a;j es i multiplicado por j, demuestre que det A = O. (Con la excepción cuando
A= [1].)
27. Si aij es i + j, demuestre que det A =O. (Con la excepción cuando n = lo 2.)
¿Para qué valores de A se cumple que A - Al es una matriz
18. Evalúe det A reduciendo la matriz a forma triangular (reglas 5 y 7).
4
5
B =
l
l
O
4
[o
o
glones:
Hl
¿Cuáles son los determinantes de B, C, AB,
19. Suponga que CD= -DC, y encuentre la falla en el
razonamiento: Al tomar
determinantes se obtiene (det C)(det D) =
D)(det C), de modo que det C =O
o det D = O. Así, CD= -DC sólo es posible si C o Des singular.
A~[H~l· s~[~~U1·
Y
c~[~t:J
29. ¿Cuál es el error en la siguiente demostración de que las matrices proyección
detP = 1?
p = A(AT A)- 1 AT
de modo que
210
Capítulo 4
4.3
Determinantes
30. (Problema de cálculo) Demuestre que las derivadas parciales de ln(det A) proporcionan A-1:
f(a, b, e, d) = ln(ad - be)
·conduce a
a¡;ae]=A- 1
a¡/ad
·
8f/8a
[ 8f/8b
211
Fórmulas para el determinante
Los pivotes de la matriz - l, 2, - l en segundas diferencias son 211, 3/2, ... en D:
r-i
-1
2
-1
-1
2
3/2
u.
4/ 3
]
31. (MATLAB) La matriz de Hilbert hilb(n) tiene el elemento i, j igual a l/(i + j - 1).
Imprima los determinantes de hilb(l), hilb(2), ... , hilb(lO). ¡Es difícil trabajar con
las matrices de Hilbert! ¿Cuáles son los pivotes?
Su determinante es el producto de los pivotes. Todos los números 2, ... , n se cancelan:
32. (MATLAB) ¿Cuál es un determinante típico (experimentalmente) de rand(n) y
randn(n) paran = 50, 100, 200, 400? (¿Y qué significa "lnf' en MATLAB?)
detA=2(~) (~)···(n:l) =n+l.
33. Use MATLAB para encontrar el determinante más grande de una matriz de 4 por 4 de
Os y ls.
MATLAB calcula el determinante a partir de los pivotes. Sin embargo, concentrar toda la
información en los pivotes hace imposible imaginarse cómo el cambio en un elemento puede afectar al determinante. Se desea encontrar una expresión explícita para el determinante en términos de los n 2 elementos.
34. Si se sabe que det A = 6, ¿cuál es el determinante de B?
det A =
renglón l
renglón 2
renglón 3
= 6
renglón l + renglón 2
renglón 2 + renglón 3
renglón 3 + renglón 1
det B =
35. Suponga que la matriz M de 4 por 4 tiene cuatro renglones iguales, todos conteniendo a, b, e, d. Se sabe que det(M) = O. El problema es encontrar det(l + M) por cualquier método:
det(/ + M) =
l+a
b
a
l+b
a
a
b
b
e
e
l +e
d
d
d
e
l+d
Crédito parcial si encuentra este determinante cuando a = b = e = d = 1. Eliminado
de inmediato si afirma que det(l + M) = det l + det M.
4.3
La primera fórmula ya apareció. Las operaciones en los renglones producen los pivotes en D:
(n + 1)/ n
-1
Para n = 2, se demostrará que ad - be es correcto. Para n = 3, la fórmula del determinante es bastante bien conocida (tiene seis términos):
a11
a12
a¡3
a21
a22
a23
a31
a32
a33
+aua22a33 + a12a23a31
-a11a23a32 -
+ a13a21a32
(2)
a12a21a33 - a13a22a3¡.
Nuestro objetivo es deducir estas fórmulas directamente a partir de las propiedades definitorias l a 3 de det A. Si es posible manejar n = 2 y n = 3 de manera organizada, podrá verse el patrón.
Para empezar, cada renglón puede descomponerse en vectores en las direcciones de
coordenadas:
[a b] =[a o]+ [o b]
[e d]=[e o]+[o d].
y
Luego se aplica la propiedad de linealidad, primero al renglón 1 y luego al renglón 2:
Separaren
nn = 22
determinantes fáciles
I~ !l=I~ ~¡+¡~ :1
= 1
~ g1+1 ~ ~ 1+1 ~ ~ 1+1 g : I·
(3)
Cada renglón consta de n direcciones de coordenadas, por lo que su desarrollo contiene n 2
términos. La mayor parte de tales términos (todos menos n! = n factorial) son automáticamente cero. Cuando dos renglones están en la misma dirección de coordenadas, uno es
múltiplo del otro, y
1
En el caso de 2 por 2, la factorización estándar WU es
b/a]
1 .
El producto de los pivotes es ad - be. Este es el determinante de la matriz diagonal D. Si
el primer paso es un intercambio de renglones, entonces los pivotes son e y (-det A)/c.
~ g = O,
1
1
g : = O.
1
Se presta atención sólo cuando los renglones apuntan en distintas direcciones. Los términos diferentes de cero deben estar en columnas distintas. Suponga que el primer renglón
tiene un elemento diferente de cero en la columna a, el segundo, un elemento diferente de
cero en la columna /3, y que finalmente el renglón n-ésimo tiene un elemento diferente
de cero en la columna v. Todos los números de columna a, f3, ... , v son diferentes. Son
un reordenarniento, o
de los números 1, 2, ... , n. El caso de 3 por 3 pro-
212
Capítulo 4
4.3
Determinantes
a¡ 1 a12
a22
a31
a32
a13
213
(1, 3, 2) requiere un interc~~io y (3, 1, 2) requiere dos intercambios para recuperar (1, 2,
3). Estos son dos de los seis signos ±.Paran = 2, sólo se tiene (1, 2) y (2, 1):
duce 3 ! = 6 determinantes:
a21
Fórmulas para el determinante
a¡¡
+
a23
det A = a11a22 det [
~ ~] + a12a21 det [ ~ ~] = a¡¡a22
a 12a21 (o ad - be).
a33
Nadie puede afirmar que la gran fórmula (6) es particularmente simple. Sin embargo,
es posible darse cuenta de por qué tiene las propiedades 1 a 3. Para A = I, todo producto
de los aij es cero, excepto por la sucesión de columnas (1, 2, ... , n). Este término proporciona det I = l. La propiedad 2 se comprobará en la siguiente sección, porque aquí se tiene más interés en la propiedad 3: el determinante debe depender linealmente del primer
renglón a 11 , a 12 , ••• , ªin·
Considere a todos los términos a 1aa28 • • • anv que implican a a 11 • La primera columna es a = l. Esto deja alguna permutación (/3, ... , v) de las columnas restantes (2, ... ,
n). Todos estos términos se agrupan como a 11 C 11 , donde el coeficiente de a 11 es un determinante más pequeño, al que se han retirado el renglón 1 y la columna 1:
a12
(4)
+
+
a32
a33
a3¡
'-'"·""'l·"" estos n! determinantes, todos los demás son cero porque la columna se
te. (Para la
columna a hay n opciones, para f3 hay n - 1 opciones restantes, y por
último, queda una opción para la última columna v. Cada vez se utiliza una sola columna,
cuando se "serpentean" los renglones de la matriz). En otras palabras,
n!
de
permutar los números 1, 2, ... , n. Los números de columna proporcionan las permutaciones:
Cofactor de a 11
Números de columna (a,{3, v)=(l, 2, 3), (2, 3, 1),(3, 1, 2),( 1, 3, 2),(2, 1, 3),(3, 2, 1).
Cu = 2:::Ca2p · · · anv) det P = det (submatriz de A)
(7)
De manera semejante, el elemento a 12 se ha multiplicado por algún determinante más pequeño
Al agrupar todos los términos que
con el mismo a 1j, la fórmula (6) se
convierte en
3! = 6 permutaciones de (1, 2, 3); la primera es la identidad.
El determinante de A se reduce ahora a seis determinantes por separado y mucho más
sencillos. Al factorizar aij, para cada una de las seis
hay un término:
1
1
1
Esto demuestra que det A depende linealmente de los elementos a 11 , ••• , a 1n del primer
renglón.
1
1
(5)
1
t1em1:110 2
Para una matriz de 3 por 3, con esta manera de agrupar términos se obtiene
1
Cada término es un producto den= 3 elementos aij, donde cada renglón y cada columna
están representados una vez. Si el orden de las columnas es (a, ... , v), ese término es el
producto de a1a · · · anv por el determinante de una matriz permutación P. El determinante de toda la matriz es la suma de estos n! términos, y esa sumatoria es
cita que se está buscando:
Para una matriz de n por n, esta sumatoria se toma sobre todas las n! permutaciones
(a, ... ,v) de los números (1, ... , n). La permutación proporciona los números de columna a medida que se desciende por la matriz. Los ls aparecen en P en los mismos sitios en que las as aparecían en A.
Queda por encontrar el determinante de P. Los intercambios de
transforman
P en la matriz identidad, y cada intercambio cambia el signo del determinante:
det P = + 1 o -1 para un nt<imc~ro
(1, 3, 2)
es
de modo que
o
-l
es par,
(3 , l, 2 ) de modo que
1
=l
Desarrollo de det A por cofactores
Se busca otra fórmula más para el determinante. Si esto significa partir de cero, sería demasiado. Sin embargo, la fórmula ya está descubierta: es (8), y la única cuestión es identificar los cofactores el) que multiplican a ªlj·
Se sabe que C lj depende de los renglones 2, . . . , n. El renglón 1 ya está tomado en
cuenta por
Además, alJ también toma en cuenta la columnaj-ésima, de modo que su
depender por completo de las otras columnas.
renglón ni columcofactor C 1j
na puede usarse dos veces en el mismo término. Lo que realmente se está haciendo es separar el determinante en la
suma:
ª11
a¡¡
ª12
en
cofactores
a31 a32 a33
a 32 a 33
a 31
a 33
a 31 a 32
Para un determinante de orden n, esta separación origina n determinantes más pequeños
(menores) de orden n - 1; se puede ver las tres submatrices de 2 por 2. La submatriz Mlj
se forma quitando el renglón 1 y la columna}. Su determinante se
por alj, así como por un signo más o menos. Estos signos alternan como en det M 11 , -det M 12, det M 13 :
214
4.3
Capítulo 4
Uil.736
215
Fórmulas para el determinante
Determinantes
Lo anterior proporciona el determinante de matrices cada vez más grandes. En cada paso,
el determinante de An es n + l, a partir de los determinantes previos n y n - 1:
El segundo cofactor C 12 es a 23a 31 - a 21 a 33 , que es det M 12 multiplicado por -1. Esta misma técnica funciona en toda matriz de n por n. La separación anterior confirma que C 11 es
el determinante del ángulo inferior derecho M 11.
Hay un desarrollo semejante en cualquier otro renglón, por ejemplo i. Puede demostrarse intercambiando el renglón i con el renglón 1. Recuerde borrar el renglón i Y la columna j de A para M ;/
det An = 2(n) - (n - 1) = n + 1.
matriz -1, 2, -1
La respuesta n + l coincide con el producto de pivotes al inicio de esta sección.
4.J
l.
Para las siguientes matrices, encuentre el único elemento diferente de cero en la gran
fórmula (6):
y
El C<;>fattor C¡¡ es el det:errnin.ant:e
el renglón i y
Sólo hay una forma de elegir cuatro elementos diferentes de cero de renglones distintos y columnas distintas. Al decidir par o impar, calcule det A y det B.
Estas fórmulas expresan detA como una combinación de determinantes de.orden
n - l. Hubiera sido posible definir el determinante por inducción sobre n. Una matnz de l
por l tiene det A = a 11 , y así la ecuación (10) define los determinantes de las matrices de
2 por 2, de 3 por 3, y den por n. Aquí se prefirió definir un determinante según sus propiedades, que son mucho más simples de explicar. La fórmula explícita (6) y la fórmula de cofactores (10) se concluyeron directamente, a partir de esas propiedades.
Hay una consecuencia más de detA = detAT. Es posible desarrollar por cofactores de
una columna de A, que es un renglón de A T_ Siguiendo por la columna j de A,
detA = a¡jC!j + a2jC2j + · · · +anjCnj·
(12)
La matriz en segundas diferencias A4 de 4 por 4 sólo tiene dos elementos diferentes de cero en el renglón 1:
-1
o
2 -1
Usar cofactores
-1
2
o
-1
-n
2.
Desarrolle estos determinantes en cofactores en el primer renglón. Encuentre los cofactores (incluyen los signos (- li+j) y los determinantes de A y B.
3.
¿Falso o verdadero?
a) El determinante de s- 1AS es igual al determinante de A.
b) Si detA =O, entonces por lo menos uno de los cofactores debe ser cero.
c) Una matriz cuyos elementos son Os y ls tiene determinante 1, O, o -1.
4.
a) Encuentre la factorización LU, los pivotes, y el determinante de la matriz de 4 por
4 cuyos elementos son a¡¡= el menor de i y j. (Escriba la matriz.)
b) Encuentre el determinante si a¡¡= el menor den; y nj, donde n 1 = 2, n 2 = 6, n 3 = 8,
n 4 = 10. ¿Puede proporcionar una regla general para cualquier n 1 :::; n1 :::; n3 :::; n 4 ?
5.
Sea Fn el determinante de la matriz tridiagonal 1, 1, -1 (den por n):
-1
1
-1
-1
C 11 proviene al borrar el renglón 1 y la columna 1, quedando así el patrón - 1, 2, - 1:
e,,
~
detA,
~
dot
[-! =~ -!]
n -1]
Para a 12 = -1, la columna eliminada es la 2, y se requiere su cofactor C12:
Cu
~(-1)'.,det
=~
6.
~ +det[-~ -~i ~detA,
detA 4 = 2(detA 3 ) - det A2 = 2(4) - 3 = 5
La misma idea es válida para A 5 y A 6 , así como para toda An:
detAn = 2(detAn-1) - detAn-2·
Suponga que A,, es la matriz tridiagonal n por n con ls en las tres diagonales:
A 1 = [l],
Así se queda con el determinante de 2 por 2. En total, el renglón 1 ha producido 2C11 - C12:
Recurren.da por cofactores
J
Desarrolle por cofactores a lo largo del renglón 1, para demostrar que Fn = F,,_ 1 +
F,,_ 2 • Esto lleva a la sucesión de Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... para los determinantes.
(13)
Sea Dn el determinante de An; se requiere encontrarlo.
a) Desarrolle por cofactores a lo largo del primer renglón para demostrar que Dn =
Dn-1 - Dn-2·
b) Empiece con D 1 = 1 y D 2 =O, para encontrar D 3 , D 4 , . . . , D 8 • Observe la manera en que estos números se repiten (¿con qué periodo?), y encuentre D1 ooo·
216
Capítulo 4
Determinantes
7.
4.3
a) Evalúe el siguiente detemrinante por cofactores del renglón 1:
2 o 1
o l 2
1 o 2
A=
b) Compruebe restando la columna 1 de las demás columnas, y vuelva a calcular.
8.
Calcule los detemrinantes de
A2 =
[~ ¿]
A3 =
[!
o
l]
1
A4 =
o
[!
1
1
1
1
o
n
Use operaciones en los renglones para producir ceros, o use los cofactores del renglón 1.
¿Cuántas multiplicaciones se requieren para encontrar un detemrinante den por na
de
a) la gran fórmula (6)?
del conteo paran - 1?
b) la fórmula de cofactores (10), construyendo a
e) la fórmula del producto de pivotes (incluyendo los pasos de eliminación)?
10. En una matriz de 5 por 5, ¿un signo + o un signo
con a 15 a 24 a 33 a 42 a 51 invierte la
diagonal? En otras palabras, P = (5, 4, 3, 2, 1) ¿es par o impar? El patrón de tablero
de
de signos ± para cofactores no proporciona det P.
U. Si A es de m por n y B es de n por m, explique por qué
det [
O AJ = det A 8 .
- B
l
( (Sugerencia: posmultiplicar [ J
por la derecha por)
B
O] )
l ·
Proporcione un ejemplo con m < n, y un ejemplo con m > n. ¿Por qué su segundo
ejemplo automáticamente tiene det AB = O?
12. Suponga que la matriz A es fija, excepto que a 11 varía desde -oo hasta +oo. Proporcione ejemplos en los cuales det A siempre es cero o nunca es cero. Luego, a partir del
desarrollo por cofactores (8), demuestre que en caso contrario det A = O para exactamente un valor de a 11 •
use Ja gran fórmula con n! términos: 1Al =
13. Calcule los detemrinantes de A, B, C, a partir de seis témrinos. ¿Sus renglones son independientes?
X
(¿Cuál es el rango de A?)
[Ü Ü X
A~[~
X
X
X
X
X
X
o o X
o o X
o o X
~J
matriz de 5 por 5
matriz cero de 3 por 3
Siempre es singular
a) ¿Cómo se sabe que los renglones son linealmente dependientes?
por qué todos los 120 términos son cero en la gran fórmula para det A.
b)
9.
X]
X
o o X.
16. Este problema muestra en dos formas que det A = O (las xs son números cualesquiera):
A 3 , A 4 . ¿Puede pronosticar An?
1
211
15. Demuestre que det A = O, sin importar los cinco elementos diferentes de cero indicados por las xs:
4 4 4 4
1
2
1
Fórmulas para el determinante
17. Encuentre dos formas para elegir elementos diferentes de cero, a partir de cuatro renglones y columnas diferentes:
o o
l
A=
[!
1
o
o o
1
o o
1]
B
~ [~ o oo íJ ti~o
3
4
4
det A, ¿es igual a l + 1 o 1 - 1 o -1 - 1?
(B
lo' mhmoo """ que A).
es igual det B?
18. Coloque el menor número de ceros en una matriz de 4 por 4 que garantice det A = O.
Coloque tantos ceros como sea posible
a la vez que det A =f O.
19. a) Si a 11 = a 22 = a 33 = O, ¿cuántos de los seis términos en det A son cero?
b) Si ali = a 22 = a 33 = a 44 =O, ¿cuántos de los 24 productos a¡¡a2ka3ta4m en detA
es seguro que son cero?
20. ¿Cuántas matrices permutación de 5 por 5 tienen det P = + 1? Estas son permutaciones pares. Encuentre una que requiera cuatro intercambios para llegar a la matriz identidad.
21. Si det A =f O, por lo menos uno de los n! términos en la gran fórmula (6) no es cero.
Deduzca que algún ordenamiento de los renglones de A no deja ceros en la diagonal.
(No use P de la eliminación; esa PA puede tener ceros en la diagonal.)
22. Demuestre que 4 es el determinante más grande para una matriz de 3 por 3 de ls positivos y ls negativos.
23. ¿Cuántas permutaciones de (1, 2, 3, 4) son pares, y cuáles son? Crédito extra: ¿Cuáles son todos los posibles determinantes de 4 por 4 de l +
En los
24 a 33 se usan cofactores
= ( -1); + j det
Elimine el ren-
i, col:un1ruU
14. Calcule los detemrinantes de A, B, C. ¿Sus columnas son independientes?
24. Encuentre cofactores, y luego trasponga. ¡Multiplique
A =
[~ !]
y
yBl
218
Capítulo 4
4.3
Determinantes
25. Encuentre la matriz por cofactores C, y compare ACT con A - i:
A=
º]
1[3i ~2
2 -1
-1
2 -1
[ o -1
2
A-1=4
-1
-1
2
-1
n
S3 =
l
2
La recurrencia ¡Bnl = 21 Bn-d - 1Bn- 2 1 es la misma que para las As. La diferencia
es en los valores iniciales 1, 1, l paran = 1, 2, 3. ¿Cuáles son los pivotes?
27. Bn sigue siendo igual a An, excepto por bu = l. Así, use linealidad en el primer renglón, donde [1 -1 O] es igual a [2 -1 O] menos [l O 0):
o
-1
!Bnl =
-1
o
2
o
-1
l
-1
-1
An-1
An-1
o
C1=101
C3 =
1
o
o
l
o o
3
32. Los cofactores de estas matrices 1, 3 1 proporcionan Sn = 3Sn-l - Sn-2. Desafío: Demuestre que Sn es el número de Fibonacci F2n+ 2 al demostrar F2n+2 = 3F2n - Fzn-Z·
Siga utilizando la regla de Fibonacci Fk = Fk-I + Fk-Z·
33. Cambie 3 por 2 en la esquina superior izquierda de las matrices en el problema 32.
¿Por qué se resta Sn- i del determinante Sn? Demuestre que los determinantes se convierten en los números de Fibonacci 2, 5, 13 (siempre F 2,,+ 1).
y determinantes en
Los p:r1obllen1as 34 a 36 son sob:re matrices en
34. Con bloques de 2 por 2, ¡no siempre es posible usar determinantes en bloque!
\~ ~\ = IAllDI
pero
\~ ~I f IAllDl-ICllBI.
35. Con multiplicación por bloques, A = LV tiene Ak = LkUk en la esquina superior izquierda:
o 1 o
o 1
o
o o
1
1
C4 =
o
O 1
a) ¿Cuáles son los determinantes de C 1 , C2, C 3 , C4?
b) Por cofactores, encuentre la relación entre Cn y Cn-i y C,.-2. Encuentre C10.
29. En el problema 28 se tienen ls justo arriba y abajo de la diagonal principal. Desc~n­
diendo en la matriz, ¿qué orden de las columnas (en caso de haber alguno) proporc10na todos los ls? Explique por qué esa permutación es par paran = 4, 8, 12, ... , e
impar para n = 2, 6, 10, ...
Cn =O (n impar)
l
l
o
b) Demuestre con un ejemplo que la igualdad falla (como se muestra) cuando entra C.
e) Demuestre con un ejemplo que la respuesta det(AD - CB) también es errónea.
28. El determinante Cn den por n tiene ls arriba y abajo de la diagonal principal:
l
O
3
a) ¿Por qué es cierta la primera afirmación? De alguna manera, B no entra.
La linealidad en el renglón 1 proporciona ¡B,,I = IAnl - IAn-t 1 = _.
o
l
l
An-1
o
o
o
3
Haga una conjetura de Fibonacci para S4 , y compruebe que tiene razón.
o
o
219
31. Calcule los determinantes S 1, S2 , S3 de las siguientes matrices tridiagonales:
26. La matriz Bn es la matriz An -1, 2, -1, excepto que bu = len vez de ª11 = 2. Use
cofactores del último renglón de
para demostrar que 1841 = 21 B3I - 1B2I = 1:
-i -;
[
-1
Fórmulas para el determinante
a) Suponga que los tres primeros pivotes de A son 2, 3, -1. ¿Cuáles son los determi-
nantes de
Lz, ~ (con ls en la diagonal), U 1, U2 , U 3 , y A¡, A 2 , A3 ?
b) Si A 1, A 2 , A 3 tienen determinantes 5, 6, 7, encuentre los tres pivotes.
36. En la eliminación por bloque se resta CA - i multiplicado por el primer renglón [A B]
del segundo renglón [C D]. Así, en la esquina queda el complemento de Schur D CA- 1B: .
Cn = -1 (n = 2, 6, ... ).
Cn = 1 (n = 4, 8, ... )
30. Explique por qué el siguiente determinante de Vandermonde contiene a X' pero no a
o x5:
a
b
e
X
a
2
b2
c2
x
2
ª3]
Tome determinantes de estas matrices para demostrar reglas correctas para bloques
cuadrados:
b3
e3
•
x3
El determinante es cero en x = _ _, _ _ ,y _ _ . El cofactor de X' es V3 = (b - a)
(e - a)(c - b). Así, V4 = (x - a)(x - b)(x - e) V3.
A
1C
~ 1 = IAI 1D -1 CA- BJ = jAD - CBI.
1
si A-
existe
si AC =CA
37. Un determinante de 3 por 3 tiene tres productos "abajo a la derecha" y tres "abajo a la
izquierda" con signos menos. Calcule los seis términos de la figura para encontrar D.
220
Capítulo 4
4.4
Determinantes
Aplicaciones de los determinantes
221
El renglón a, b multiplicado por la columna Cu,
produce ad - be. Este es el dedivide los cofactores
sarrollo por cofactores de det A. Esta es la pista que se requiere:
entre detA.
D=
+
38.
+
+
en el problema 6, cinco de los 4! = 24 términos en la gran fórmula (6) son di= - 1.
ferentes de cero. Encuentre estos cinco términos para demostrar que
Nuestro objetivo es comprobar esta fórmula
A)I:
. Es necesario ver por qué A CT = (det
39. Para la matriz tridiagonal de 4 por 4 (elementos -1, 2, -1), encuentre los cinco términos en la gran fórmula con los que se obtiene det A = 16 - 4 - 4 - 4 + l.
40. Encuentre el determinante de la
matriz cíclica P por cofactores del renglón
l. ¿Con cuántos intercambios se reordena 4, 1, 2, 3 en 1, 2, 3, 4? es ¿ IP2 I = + l o - l?
41. A= 2Hye (n)-diag(ones(n-1, 1), 1)-diag(ones(n-1, 1),-1) es la matriz -1,
2, -l. Cambie A(l, 1) a 1 de modo que detA = 1.
los elementos deA- 1
con base en n = 3, y pruebe su conjetura paran = 4.
42. (MATLAB) Las matrices -1, 2, -1 tienen determinante n + l. Calcule (n + l)A - l
paran = 3 y 4, y
su conjetura paran = 5. (Las inversas de las matrices
tridiagonales tienen la forma
de rango 1 arriba de la diagonal.)
43. Todas las matrices de Pascal tienen determinante 1. Si l se resta del elemento n, n,
¿por qué el determinante se vuelve cero? (Use la regla 3, o cofactores).
det [
~ i 1 1 ~]
1 4
10
= 1 conocido
20
det [
i i 11 ~]
1 4
10
= O (explique).
19
(2)
Con los cofactores C 11 , ••• , C in en la primera columna y no en el primer renglón, se
multiplican a a 11 , . . . , a 1n y proporcionan el elemento diagonal det A. Cada renglón
de A multiplica a sus cofactores (el desarrollo por cofactores) para obtener la misma respuesta det A sobre la diagonal.
La pregunta crítica es: ¿Por qué se obtienen ceros fuera de la diagonal? Si se combi1 con los cofactores C 2j del renglón 2, ¿por qué el resulnan los elementos a!j del
tado es cero?
(3)
La respuesta es: se está calculando el determinante de una nueva matriz B, con un nuevo
renglón de A se copia en el segundo renglón de B. Así, B tiene dos
renglón 2. El
renglones iguales, y det B = O. La ecuación (3) es el desarrollo de det B a lo largo de
su renglón 2, donde B tiene exactamente los mismos cofactores que A (porque el segundo
renglón se elimina para encontrar esos cofactores). La extraordinaria multiplicación matricial (2) es correcta.
Esa multiplicación A CT = ( det A )l proporciona de inmediato A - ¡. Recuerde que el cofactor al borrar el renglón i y la columna j de A va en el renglón j y en la columna i de CT.
Al dividir entre el número detA (¡en caso de no ser cero!) se obtieneA- 1 = CT/detA.
La inversa de una suma de matrices es una matriz en diferencias:
A
En esta sección se desarrollan cuatro aplicaciones fundamentales: la inversa de A, la solución de Ax = b, el volumen de cajas y los pivotes. Estas aplicaciones se encuentran entre
los cálculos clave en álgebra lineal (realizados por eliminación). Los determinantes proporcionan fórmulas para las respuestas.
l.
Cálculo de
. El caso de 2 por 2 ilustra cómo los cofactores van en A i
[ d
ad - be -e
-b J
i
a = det A
[e
11
C 12
1
:
C21]
C22 .
Se está dividiendo entre el determinante, y A es invertible exactamente cuando det A es diferente de cero. El número C 11 =des el cofactor de a. El número C 12 = -e es el cofacnúmero C 12 va en el renglón 2, columna 1 !
tor de b (observe el signo menos).
~ [~
i :]
tiono
El signo menos entra porque los cofactores
La solución de Ax = b.
-1
1
o
-n
incluyen a (- l)i+j.
La multiplicación x = A - i b es justo CTb dividido entre det
una forma conocida de escribir la respuesta (x 1, ••• , xn):
222
Capítulo 4
4.4
Determinantes
Demostración Bj se desarrolla por cofactores de su columnaj-ésima (que es b). Como los
cofactores ignoran esa columna, det Bj es exactamente laj-ésima componente en el producto CTb:
det Bj = b 1 Clj + b2C2j + · · · + bnCnj·
Al dividir lo anterior entre det A se obtiene xj. Cada componente de x es un cociente de dos
detenninantes. Este hecho pudo haberse reconocido a partir de la eliminación gaussiana,
~00~~
2
•
La solución de
X¡
+ 3xz = Ü
2x 1 + 4x2 = 6
tiene O y 6 en la primera columna para X¡, y en la segunda columna para x 2 :
_I~ !I!\
X¡ -
,;
-18
=-2= 9,
6
-2
-3.
Los denominadores siempre son det A. Para 1 000 ecuaciones, la regla de Cramer requiere
1001 determinantes. Para mi consternación, encontré en un libro titulado Mathematics for
the Millions que la regla de Cramer era realmente recomendada (y la eliminación se dejaba de lado):
3. El volumen de una caja. La relación entre el determinante y el volumen se vuelve más
evidente cuando los ángulos son rectos: las aristas son perpendiculares, y la caja es rectangular. Así, el volumen es el producto de las longitudes de las aristas: volumen = e 1e 2 ••• en.
Se desea obtener el mismo e 1e 2 ..• en a partir de det A, cuando las aristas de esa caja estén en los renglones de A. Con ángulos rectos, estos renglones son ortogonales y AAT
es diagonal:
r
r
e
e
n
n
g
[ =glón ']
Caja con
rectos
AAT =
:
l
Renglones ortogonales
ó
ó
renglón n
n
n
1
n
y
¡:
:l
223
Las i.,. son las longitudes de los renglones (las aristas), y los ceros fuera de la diagonal se
deben a que los renglones son ortogonales. Usando las reglas del producto y de la trasposición,
Caso con ángulos rectos efe~ ... ¡~ = det(AA T) = (det A)( det A T) = ( det A) 2 .
La raíz cuadrada de esta ecuación indica que el determinante es igual al volumen. El signo de det A indica si las aristas constituyen un conjunto "derecho" de coordenadas, como
en el sistema x-y-z de costumbre, o un sistema izquierdo, como y-x-z.
Si los ángulos no son de 90º, entonces el volumen no es el producto de las longitudes.
En el plano (véase la figura 4.2), el "volumen" de un paralelogramo es igual a la base e
multiplicada por la altura h. El vector b - p de longitud hes el segundo renglón b = (a 21 ,
a 22), menos su proyección p sobre el primer renglón. La cuestión clave es ésta: Por la regla 5, det A permanece sin cambio cuando un múltiplo del renglón l se resta del renglón 2.
El paralelogramo puede cambiar a un rectángulo, donde ya se ha demostrado que volumen = determinante.
En n dimensiones, se requiere más trabajo para hacer rectangular a cada caja, aunque
la idea es la misma. El volumen y el determinante permanecen sin cambio si de cada renglón se resta su proyección sobre el espacio generado por los renglones precedentes, dejando un "vector longitud" perpendicular como pb. Este proceso de Gram-Schmidt produce
renglones ortogonales, con volumen = determinante. Así, la misma desigualdad debe cumplirse para los renglones originales.
Para tratar con un conjunto que implica cuatro variables u, w, z, primero es necesario eliminar una de ellas en cada uno de los tres pares con la finalidad de obtener tres
ecuaciones en tres variables y así proceder para el triple miembro izquierdo para obtener valores para dos de ellas. El lector que haga esto como ejercicio empezará a
darse cuenta de cuán formidablemente laborioso se convierte el método de eliminación, donde es necesario tratar con más de tres variables. Esta consideración nos invita a explorar la posibilidad de un método más rápido ...
¡El "método más rápido" es la regla de Cramer! Si el autor intentaba calcular 1001 determinantes, ¡yo llamaría al libro Mathematics for the Millionaire!
Aplicaciones de los determinantes
o
Figura 4.2
Volumen (área) del paralelogramo = f, veces h = ldet Al.
Así se completa el vínculo entre los volúmenes y los determinantes, aunque merece la
pena volver una vez más al caso más simple. Se sabe que
det [
~ ~] = l,
Estos determinantes proporcionan los volúmenes, o las áreas, ya que se está trabajando en
dos dimensiones, que se muestran en la figura 4.3. La base y la altura del paralelogramo
miden uno; de modo que su área también es l.
4. Una fórmula para los pivotes. Finalmente ya es posible saber cuándo es posible
realizar la eliminación sin intercambios de renglones. La observación clave es que los
k primeros pivotes están determinados completamente por la submatriz Ak en la esquina superior izquierda de A. Los renglones y las columnas restantes de A no afectan esta
u~;;
224
Capítulo 4
Aplicaciones de los determinantes
Determinantes
lng;. r ,.-,,.,::.
1
renglón 2 = (O, 1)
1
Al multiplicar
renglón 2 = (e, 1)
225
:_}, J DC:L URUGUAY
sí·a tonos Iolpiv-die'hffdiWd.ti:ales, se recupera
did ••. dn = det A¡ det Az ... det An = det An = det A.
2
detAo detA 1
detAn-1
detAo
J~
Con base en la ecuación (5) es posible leer finalmente la respuesta de nuestra pregunson
de cero
que todos los números
sean
de cero:
renglón 1 = (1, O)
ta original: Todos los elementos
1
1
4.3 Las áreas de un cuadrado unitario y de un paralelogramo unitario son iguales a 1.
esquina del problema:
La eliminación
sobre A
fa
eliminación sobre
b
(ad - bc)/a
(af
h
~ec)/a] ·
Ciertamente, el primer pivote sólo depende del primer renglón y de la
columna. El segundo pivote (ad - bc)!a, sólo depende de la submatriz esquinadaA2 de 2 por 2. El resto de
A no entra sino hasta el tercer pivote. En realidad, lo que determina la esquina superior
da de L no sólo son los pivotes, sino todas las esquinas superiores izquierdas de L, D, y U:
a
*
ll [
(ad - bc)/a
b/a
1
7*] .
Lo que se ve en los dos primeros renglones y columnas es exactamente la factorización de
la submatriz esquinada
Esta es una regla general si no hay intercambios de rert!!:lcmes:
La demostración es ver que esta
derar otras eliminaciones. O bien, se
LDU = [
~k ~] [ ~k
puede establecerse vum<::;1v. incluso antes de consilas reglas para la
bloques:
F] = [LkDkUk
BDkUk
G
Eso es lo concerniente a los determinantes, excepto por una observación opcional sobre la
propiedad 2: el cambio de signo sobre los intercambios de renglones. El determinante de
una
P es el único punto cuestionable en la gran fórmula. Independientemente de los intercambios particulares en los renglones que vinculan P con /, el número
de intercambios ¿siempre es par o impar? De ser así, su determinante está bien definido por
la regla 2, como + 1 o - L
Empezando con (3, 2, 1), con un simple intercambio de 3 y l podría llegarse al orden
natural (1, 2, 3). Así sería también con un intercambio de 3 y 2, luego de 3 y 1, y después de
2 y 1. En ambas secuencias, el número de intercambios es
La afümación es que un número par de intercambios jamás puede producir el orden natural, empezando con (3, 2, 1).
A continuación se proporciona una demostración. Considere cada par de números en
la permutación, y sea N la cantidad de pares en que primero aparece el número mayor. Ciertamente, N = O para el orden natural (1, 2, 3). El orden (3, 2, 1) tiene N = 3 porque todos
los pares (3, 2), (3, 1), y (2, 1) son erróneos. Se demostrará que todo intercambio modifica
a N por un número impar. Luego, para llegar a N = O (el orden natural) se
un número de intercambios que tenga la misma característica par o impar que N.
Cuando se intercambian vecinos, N cambia por + 1 o -1. Cualquier intercambio puede lograrse mediante un número impar de intercambios de vecinos. Esto completa la demostración; un número impar de números impares es impar. Para intercambiar los
elementos primero y cuarto a continuación, que son 2 y 3, se requieren cinco intercambios
(un número impar) de vecinos:
(2, 1, 4, 3) -
(1, 2, 4, 3) -
(1, 4, 2, 3) -
(1, 4, 3, 2) -
(1, 3, 4, 2) -
(3, 1, 4, 2).
e - k intercambios de vecinos para mover el elemento que está en el lugar k
e - k - 1 intercambios mueven al elemento que originalmente estaba
en el sitio e (y que ahora se encuentra en el lugar e - 1) de regreso al lugar k. Debido a
LkDkF
]
BDkF + CEG .
Se
al lugar
Al comparar la última matriz con A, la esquina L~kUk coincide con Ak. Así,
e.
que (e - k) + (f - k - 1) es impar, se ha completado la demostración. El determinante
no sólo tiene todas las propiedades antes encontradas, incluso existe.
det Ak = det Lk det Dk det Uk = det Dk = d 1d 2 • • • dk.
El producto de los k primeros pivotes es el determinante de Ak. Ésta es la misma regla que
ya se conoce para toda matriz. Debido a que el determinante de
está dado por d 1d2 ·
dk- I • cada pivote dk puede aislarse como un cociente de determinantes:
Fórmula para los
(5)
En el ejemplo anterior, el segundo
era exactamente este cociente (ad - bc)/a.
Es el determinante de A 2 dividido entre el determinante de
(Por convencionalismo, det
A 0 = l, de modo que el primer pivote es a/1 =a).
1.
Encuentre el determinante y todos los nueve cofactores C;¡ de la siguiente matriz trian-
A=
[~o o~ ~l5
·
Escriba cT, y compruebe que ACT = (detA)/. ¿Qué es A- 1?
226
Capítulo 4
4.4
Determinantes
2.
Use la matriz de cofactores C para invertir las siguientes matrices simétricas:
-1
2
-1
3.
4.
-!]
10. Si P es una permutación impar, explique por qué P 2 es par pero p- I es impar.
12. Si A es una matriz de 5 por 5 con todos laifl s 1, entonces det A s __. Los volúmenes, la gran fórmula o los pivotes deben proporcionar alguna cota superior para
el determinante.
Los pr,obllen1as 13 al 17 son sobre la regia de Cramer para x = A
13. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales, aplicando la regla de Cramer x1 = det
a) Encuentre el determinante cuando un vector x sustituye a la columnaj de la identi-
B)detA:
dad (considere xj =O como un caso por separado):
a)
M {
}tonm
::
a) Dibuje el triángulo con vértices A = (2, 2), B = (-1, 3), y C = (0, 0). Al considerarlo como la mitad de un paralelogramo, explique por qué su área es igual a
área (ABC) = 1 det [ _ 2
1
2
b) Mueva el tercer vértice a C = (l, -4) y justifique la fórmula
1
área (ABC) = i det
[X¡ ;~ ~
X2
X3
J3
=
1
~2 det [- ~ -43
l
Sugerencia: Al restar el último renglón de cad;i uno de los demás se obtiene
2
3
67
-4
-4
º] [
O
1
= det
_l
2
Trace A' = (1, 6), B' = (-2, 7), C' = (O, 0) y su relación con A, B, C.
6.
Explique en términos de volúmenes por qué det 3A = 3n det A para cualquier matriz
A den por n.
7.
Pronostique, y confirme por eliminación, los elementos pivotes de
A
~ ¡~
Hl
y
B
2X¡ + X2
+ 5x2 = 1
X¡+ 4xz = 2.
~ [H
n
8.
Encuentre todas las permutaciones impares de los números { 1, 2, 3, 4}. Provienen de
un número impar de intercambios y conduce a det P = - 1.
9.
Suponga que la permutación P lleva (1, 2, 3, 4, 5) a (5, 4, 1, 2, 3).
a) ¿Qué hace P 2 a (1, 2, 3, 4, 5)?
b) ¿Qué hace
a (1, 2, 3, 4, 5)?
= 1
X¡ + 2x2 + X3 = Ü
b)
+ 2x3 = Ü.
14. Use la regla de Cramer para despejar (solamente) y. Sea Del determinante de 3 por 3:
ax+ by+ cz = 1
dx + ey + f z =O
gx + hy + iz =O.
15. La regla de Cramer falla cuando det A = O. El ejemplo a) no tiene solución, mientras
b) tiene una infinidad. ¿Cuáles son los cocientes xJ = det Bj / det A?
a)
2x1 + 3x2 = l
ax+ by= l
ex+ dy =O.
b)
2x 1 + 3xz = 1
(la misma recta)
4x 1 + 6x2 = 2.
16. Demostración rápida de la regla de Cramer. El determinante es una función lineal de la
columna l. Es cero si dos columnas son iguales. Cuando b = Ax = x1a1 + x2a2 +
x3a3 va en la columna l para producir B 1, el determinante es
a)
2
]
2X¡
X2
OOtM-_.
b) Si Ax = b, demuestre que AM es la matriz Bj en la ecuación (4 ), con b en la columna j.
e) Deduzca la regla de Cramer, tomando determinantes en AM = Bj.
5.
227
11. Demuestre que si se mantiene la multiplicación de A por la misma matriz permutación P, entonces el primer renglón termina por regresar a su sitio original.
y
Encuentre x, y, y z aplicando la regla de Cramer en la ecuación (4):
X +4y Z =1
ax+ by= 1
x+ y+ z=O
y
ex +dy =O
2x
+ 3z =O.
,¡
Aplicaciones de los determinantes
4x¡ + 6x2 = l.
/b
a2
(rectas paralelas)
b)
a3/ = /x 1a1 +x2 az +x3a3 a2
a3/ =x1/a¡
az
a3/ =x¡detA.
a) ¿Qué fórmula para x 1 proviene de miembro izquierdo= miembro derecho?
b) ¿Qué pasos llevan a la ecuación de en medio?
17. Si el miembro derecho bes la última columna de A, resuelva el sistema Ax= b de 3 por
3. Explique cómo cada determinante en la regla de Cramer conduce a su solución x.
Los problemas 18 a 26 son sobre
= CT/det A. Recuerde trasponer C.
18. Encuentre A- 1 a partir de la fórmula de cofactores CT/det A. Use simetría en el inciso b):
A=
[-i -; -~] ·
[¿o ; gl.
b) A=
4 l
o -1 2
19. Si todos los cofactores son cero, ¿cómo se sabe que A no tiene inversa? Si ninguno de
los cofactores es cero, ¿es seguro que A es invertible?
a)
20. Encuentre los cofactores de A, y multiplique ACT para encontrar det A:
3
A=
C =
y
ACT = _ _ .
1 2 5
.
.
Si el elemento de la esquina se cambia de 4 a 100, ¿por qué detA permanece sin cambio?
[i ; ~i,
[~
~i.
228
Capítulo 4
4.4
Determinantes
21. Suponga que det A = l y que se conocen todos los cofactores. ¿Cómo puede encontrarse A?
22. A partir de la fórmulaACT = (detA)J, demuestre que det C = (detAf- 1 .
23. (Sólo para profesores) Si se conocen todos los 16 cofactores de una matriz invertible
A de 4 por 4, ¿cómo encontrar A?
24. Si todos los elementos de A son enteros, y det A = 1 o -1, demuestre que todos los
elementos de A - I son enteros. Proporcione un ejemplo de 2 por 2.
25. L es triangular inferior y S es simétrica. Suponga que son invertibles:
L
~ [H ~]
s
~ [~ ;
H
a) ¿Cuáles son los tres cofactores de L que son cero? Entonces L - 1 es triangular infe-
rior.
b) ¿Cuáles son los tres pares de cofactores de S que son iguales? Entonces s- 1 es simétrica.
26. Paran= 5, la matriz C contiene _ _ cofactores y cada cofactor de 4 por 4 contiene
_ _ términos y cada término
multiplicaciones.
con 53 = 125
para el cálculo de Gauss-Jordan de
Los
27 a 36 son sobre área y volumen por determinantes.
27. a) Encuentre el área del paralelogramo con aristas v = (3, 2) y w = (1, 4).
b) Encuentre el área del triángulo con lados v, w, y v + w. Dibújelo.
e) Encuentre el área del triángulo con lados v, w, y w - v. Dibújelo.
28. Las aristas de una caja van de (O, O, 0) a (3, 1, 1), (1, 3, 1), y (1, 1, 3). Encuentre su
volumen y también el área de cada cara del paralelogramo.
29. a) Los vértices de un triángulo son (2, 1), (3, 4), y (O, 5). ¿Cuál es el área?
b) Un nuevo vértice en ( - 1, 0) lo hace de lobular (cuatro lados). Encuentre el área.
30. El paralelogramo con lados (2, 1) y (2, 3) tiene la misma área que el paralelogramo
con lados (2, 2) y (1, 3). Encuentre estas áreas a partir de determinantes de 2 por 2, y
justifique por
deben ser iguales. (No puedo verlo en una ilustración. Por favor escnbame si usted puede verlo.)
31. La matriz H de Hadamard tiene rer1g11:>m~s ortogonales.
¿Qué es det H =
caja es un hipercubo!
l
1
l
l
l -1 -1
_
_1
= volumen de un hipercubo en
1
1
1
l -1
1 -1
32. Si las longitudes de las columnas de una matriz de 4 por 4 son L 1 , Lz, L 3 ,
¿cuál es
el máximo valor posible para el determinante (con base en el volumen)? Si todos los
elementos son 1 o -1, ¿cuáles son esas longitudes y el determinante máximo?
33. Demuestre con una figura cómo un rectángulo con área x 1y 2 menos un rectángulo con
área XzY 1 produce el área x 1y 2 - XzY¡ de un paralelogramo.
34. Cuando los vectores arista a, b, e son perpendiculares, el volumen de la caja es /la/I por
llbll por llc/I. La matriz ATA es _ _. Encuentre det ATA y det A.
Aplicaciones de los determinantes
229
35. ¿Cuántos vértices tiene un cubo n-dimensional? ¿Cuántas aristas? ¿Cuántas caras n - l
dimensionales? El n-cubo cuyas aristas son los renglones de 21 tiene volumen _ _.
Una computadora hipercúbica tiene procesadores en paralelo en los vértices, con conexiones a lo largo de las aristas.
36. El área de un triángulo con vértices (O, 0), (1, O), (0, 1) es ~.El volumen de la pirámide con cuatro vértices (O, O, 0), (1, O, 0), (O, 1, O), (O, O, 1) es _ _ . ¿Cuál es el volumen de la pirámide en
con cinco vértices en (O, O, O, 0) y los renglones del?
Los
37 a 40 son sobre áreas dA y volúmenes dV, en cálculo.
37. Las coordenadas polares satisfacen x = r cos fJ y y = r sen fJ. El área polar l dr dfJ incluye al:
1 = 1 cose
-rsene 1
J=lax/ar ax/ae
sene
rcose .
ay/ar ay/ae
Las dos columnas son ortogonales. Sus longitudes son _ _. Así, l = _ _ .
38. Las coordenadas esféricas p, <f>, e proporcionan x = p sen</> cose, y= p sen</> sen e,
z = p cos <f>. Encuentre la matrizjacobiana de 9 derivadas parciales: ax/ap, ax/a</J,
ax/ae están en el renglón l. Simplifique su determinante al = p 2 sen <f>. Luego,
dV = p2 sen <f> dp d</> de.
39. La matriz que relaciona r, e con x, y y está en el problema 37. Invierta esa matriz:
ar/ay I =¡cose ?I =?
ae /ox ae /ay
?
?
·
Es sorprendente que ar!Ox = a:x1ar. El producto 11- 1 = l proporciona la regla de la
1 _¡ =¡ar/ax
cadena
ax =ax-ar- +ax-ae
- =1.
ax ar ax ae ax
-
40. El área del triángulo con vértices (0, 0), (6, 0), y (1, 4) es _ _. Cuando se hace rotar
un ángulo e= 60°, el área es _ _. La matriz rotación tiene
1
.
determmante
= 1 cose -sene
e 1 = 1 2?
sene cos
~\ =?
41. Sean P = (1, O, -1), Q = (1, 1, 1), y R = (2, 2, 1).
S de modo que PQRS sea
un paralelogramo, y calcule su área. Escoja T, U, V de modo que OPQRSTUV sea una
caja inclinada, y calcule su volumen.
42. Suponga que (x, y, z), (l, 1, 0), y (1, 2, 1) están en un plano que pasa por el origen.
¿Cuál determinante es cero? ¿Qué ecuación proporciona esto para el plano?
43. Suponga que (x, y, z) es una combinación lineal de (2, 3, 1) y (1, 2, 3). ¿Cuál determinante es cero? ¿Qué ecuación proporciona esto para el
de todas las combinaciones?
44. Si Ax = ( 1, O, ... , 0), demuestre que la regla de Cramer proporciona x = primera columna de A- 1•
45. (VISA a AVIS) Esto
un número impar de intercambios (IVSA, AVSI, AVIS).
Cuente los pares de letras en VISA y AVIS que están invertidas en orden alfabético.
La diferencia debe ser impar.
230
Capítulo 4
Determinantes
Ejercicios de repaso
4.15 Si C = [:
Capítulo
4.1 Encuentre los determinantes de
¡¡ i ¡ t]
[-i =i -~ =1].
o -1
-1
4.3 Empezando con A, multiplique su primer renglón por 3 para obtener B, y reste el primer renglón de B del segundo para obtener C. ¿Cómo está relacionado det C con det
A?
4.4 Resuelva 3u + 2v = 7, 4u + 3v = 11, aplicando la regla de Cramer.
Si todos los elementos de A y A- 1 son enteros, ¿cómo sabe que ambos determinantes
son 1 o - 1? Sugerencia: ¿A qué es igual det A multiplicado por det A - I?
4.6 Encuentre todos los cofactores, y la inversa o el espacio nulo, de
[3 5]
6
4.7
[cose
-sene]
sene
cose '
9 '
y
[ªa bb]·
¿Cuál es el volumen del paralelepípedo que tiene cuatro de sus vértices en (0, O, O),
(-1, 2, 2), (2, -1, 2), y (2, 2, l)? ¿Dónde están los otros cuatro vértices?
4.8 ¿Cuántos términos hay en el desarrollo de un determinante de 5 por 5, y cuántos de
éstos es seguro que son cero si a 21 = O?
4.9 Si P 1 es una matriz permutación par y P2 es impar, a partir de P 1 + P2
P 1(P 1T + P2 T)P2 deduzcaquedet(P 1 + P 2 ) =O.
=
4.10 Si det A > O, demuestre que A puede conectarse a I mediante una cadena continua de
matrices A(t), todas con determinantes positivos. (La ruta directaA(t) =A + t(l - A)
va de A(O) = A a A(l) = l, pero entretanto A(t) puede ser singular. El problema no es
tan sencillo, y el autor agradecerá las soluciones que le sean enviadas.)
4.11 Explique por qué el punto (x, y) está sobre la recta que pasa por (2, 8) y (4, 7), si
y
8
7
n~o.
o bien
es
[I
e
a+d
o
e
b
o
a+d
b
a) Demuestre que det A = O si a + d = O. Resuelva para u, v, w, z, los elementos
2
4.2 Si B = M- 1AM, ¿por qué es cierto que det B = det A? También demuestre que det
A- 1B =l.
4.5
~] y D = [: : ] , entonces CD = - DC produce 4 ecuaciones Ax = O:
CD+DC =O
y
231
X+ 2y -18 = Ü.
4.12 En analogía con el ejercicio previo, ¿cuál es la ecuación para que (x, y, z) esté sobre
el plano que pasa por (2, O, O), (0, 2, O) y (O, O, 4)? Implica un determinante de 4 por
4.
4.13 Si los puntos (x, y, z), (2, l, O), y (l, 1, 1) están sobre un plano que pasa por el origen, ¿qué determinante es cero? Los vectores (1, O, -1), (2, 1, 0), (1, 1, 1), ¿son independientes?
4.14 Si todo renglón de A tiene un solo + 1, o un solo -1, o uno de cada uno (y en caso
contrario es cero), demuestre que det A = l o -1 o O.
de D.
b) Demuestre que detA =O si ad= be (de modo que Ces singular).
En todos los demás casos, CD = - DC sólo es posible con D = matriz cero.
4.16 El desplazamiento circular permuta (1, 2, ... , n) en (2, 3, ... , 1). ¿Cuál es la matriz
permutación correspondiente P, y (dependiendo den), cuál es su determinante?
4.17 Encuentre el determinante de A = eye(5) + ones(5) y si es posible, el de
eye(n) + ones(n).
Capítulo
1
t ti
t
t ti
Este capítulo inicia la "segunda parte" del álgebra lineal. La primera mitad concernía a
Ax = b. El nuevo problema, Ax = A.x, se resolverá simplificando una matriz, haciéndola
diagonal de ser posible. El paso fandamental es ya no restar un múltiplo de un renglón de
otro. La eliminación modifica los valores característicos, lo cual no es deseable.
Los determinantes proporcionan una transición de Ax = b a Ax = A.x. En ambos casos el determinante lleva a una "solución formal": para la
de Cramer para x = A - 1b,
y para el polinomio det (A - ).J.) cuyas raíces son los valores característicos. (Ahora todas
las matrices son cuadradas; los valores característicos de una matriz rectangular no tienen
más sentido que su determinante.) El determinante puede usarse realmente sin = 2 o 3.
Paran grande, el cálculo de ).. es más difícil que resolver Ax = b.
El primer paso es comprender la manera en que los valores característicos pueden ser
de utilidad. Una de las aplicaciones de éstos es en las ecuaciones diferenciales. ¡Aquí se
supone que el lector no es un experto en ecuaciones diferenciales! Si el lector
diferenciar X', sen x, y e", sabe lo suficiente. Como ejemplo específico, considere el par de
ecuaciones acopladas
dv
= 4v - 5w,
dt
v =8
dw
= 2v - 3w
dt
'
w = 5 en t = O.
en t = O,
(1)
Este es
con valor inicial. La incógnita se especifica en el instante t = O, mediante los valores iniciales proporcionados 8 y 5. El problema consiste en encontrar v(t) y
w(t) para instantes posteriores t > O.
Resulta fácil escribir el sistema en forma matricial. Sea u(t) el vector que se desconoce, con valor inicial u(O). La matriz de coeficientes es A:
Vector desconocido
u(t)=[v(t)]c
w(t)
u
(O) = [8]5 ' A= [4
2 -5]
-3 .
Las dos ecuaciones acopladas se convierten en la ecuación vectorial que se busca:
Forma matricial
du = Au
(2)
234
Capítulo 5
5.1
Valores característicos y vectores característicos
Este es el planteamiento básico del problema. Observe que se trata de una ecuación de primer orden; no aparecen derivadas de orden superior, y es lineal en las incógnitas. También
tiene coeficientes constantes; la matriz A es independiente del tiempo.
·Cómo se encuentra u(t)? Si en vez de una sola incógnita hubieran dos, sería fácil contesU: esta pregunta. En lugar de una ecuación escalar se tendría una ecuación vectorial:
Ecuación.
du
- = au
dt
con u = u(O) en t = O.
(3)
Basta conocer la solución de esta ecuación:
Exponencial pura
(4)
En el instante inicial t = O, u es igual a u(O) porque e0 = l. La derivada de eª' tiene el factor requerido a, de modo que du/ dt = au. De esta forma se satisfacen tanto la condición
inicial como la ecuación.
Observe el comportamiento de u para grandes instantes. La ecuación es inestable si
a > O, neutralmente estable si a = O, o estable si a < O; el factor eª' tiende al infinito, permanece acotado o tiende a cero. Si a fuese un número complejo, a = a + if3, entonces las
mismas pruebas podrían aplicarse a la parte real a. La parte compleja produce oscilaciones
eiflr = cos f3t + i sen f3t. La disminución o el crecimiento están regidos por el factor e"'.
Tanto para una simple ecuación. Se asumirá un método directo a sistemas, y se buscarán soluciones con la misma dependencia exponencial sobre t justo para encontrar en el caso escalar:
v(t) = ei..ty
w(t) =eMz
(5)
o, en notación vectorial,
u(t) = e'-'x.
(6)
Introducción
235
Ahora se cuenta con la ecuación fundamental de este capítulo. Implica dos incógnitas,
>.. y x. Se trata de un problema algebraico, ¡por lo que es posible olvidarse de las ecuaciones diferenciales! El número ;... (lambda) es un valor característico de la matriz A, y el vector x es el vector característico asociado. Nuestro objetivo es encontrar los valores
característicos y los vectores característicos, las >..s y las xs, y utilizarlas.
Las soluciones de Ax = lx
Observe que Ax = >..x es una ecuación no lineal; ;... multiplica ax. Si fuese posible encontrar >.., entonces la ecuación para x sería lineal. De hecho, en lugar de >..x podría escribirse
Alx, y pasar este término al miembro izquierdo:
(9)
La matriz identidad preserva matrices y preserva rectos a los vectores; la ecuación (A J..)x = O es más corta, pero está mezclada. Esta es la clave del problema:
Por supuesto, toda matriz tiene un espacio nulo. Resultaría ridículo sugerir lo contrario, pero el lector puede darse cuenta de este asunto. Se busca un vector característico x distinto
de cero. El vector x = O siempre satisface Ax = >..x, aunque resulta inútil para resolver ecuaciones diferenciales. El objetivo es construir u(t) sin exponenciales t!'-'x, y se está interesado sólo en aquellos valores particulares ;... para los que exista un vector característico x
distinto de cero. Para que sea útil, el espacio nulo de A - Al debe contener vectores diferentes de cero. En breve, A - Al debe ser singular.
Para el efecto, el determinante proporciona una prueba concluyente.
Esta es toda la clave para las ecuaciones diferenciales du/ dt = Au: buscar solucwnes exponenciales puras. Al sustituir v = t!'-' y w = eA<z en la ecuación, se encuentra
>..ei..'y = 4ei..'y - 5eJ..tz
>..eJ..'z = 2eJ..ty - 3ei..tz.
El factor e;.' es común a cada término, por lo que puede eliminarse. Esta cancelación es la
razón por la cual para ambas incógnitas se supone el mismo exponente>..; así se queda con
En nuestro ejemplo, A se sustituye por Al para hacerla singular:
Problema de valol." característico
(7)
RestarH
Esta es la ecuación con valor característico. En forma matricial, se trata de Ax = >..x. Puede verla de nuevo si se utiliza u = eJ..tx: un número e;.' que crece o disminuye multiplicado
por un vector fijo x. Al sustituir en duldt = Au se obtiene le,..tx = Atl'x. Al cancelar e>-.t
se obtiene
Ecuación de valor caractel."ístico
(8)
-5 ]
-3->.. .
Observe que >.. sólo se resta de la diagonal principal (ya que multiplica a !).
Determinante
IA-AI1=(4
f..)(-3-f..)+10
o
>.. 2 -).-2.
Este es el polinomio característico. Sus raíces, donde el determinante es cero, son los valores característicos. Éstos provienen de la fórmula general para encontrar las raíces de una
cuadrática, o de la factorización de ;... 2 - ;... - 2 = (A. + l )(A. - 2). Esto es cero si f.. = - 1
236
5.1
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
Valores característicos
Solución
dos valores característicos, porque una cuadrática tiene dos raíces. Toda matriz
de 2 por 2 A - Al tiene a A. 2 (y ninguna otra potencia
de A.) en su determinante.
Los valores A. = -1 y A. = 2 llevan a la solución de Ax = A..x o (A - A.l)x = O. Una
matriz con determinante igual a cero es singular, por lo que en su espacio nulo debe haber
vectores x diferentes de cero. De hecho, el espacio nulo contiene toda una recta de vectores característicos; ¡es un subespacio!
A.1 = -1:
x1 =
[i] .
C¡X¡
+ CzXz = u(O) O bien
u(t) = 3e-t
u ;] [~~] m.
(13)
U] + e m.
21
(14)
Cuando las dos componentes se escriben por separado, se tiene v(O) = 8 y w(O) = 5:
Solución
El segundo vector característico es cualquier múltiplo diferente de cero de x 2 :
Vector caracteristko para A. 2
x2 = [
;J .
Quizá el lector observe que las columnas de A - A. 1/ proporcionan x2 , y que las columnas
de A - )..zl son múltiplos de x 1. Este hecho es especial (y útil) para las matrices de 2 por 2.
En el caso de 3 por 3, a menudo igualo una componente de x a l, y resuelvo (A - A.l)x
= O para las otras componentes. Por supuesto, si x es un vector característico, entonces
también lo son 7x y - x. Todos los vectores en el espacio nulo de A - Al (que se conoce
como espacio característico) cumplen Ax= A..x. En nuestro ejemplo, los espacios caracte·
rísticos son las rectas que pasan por x 1 = (1, 1) y x 2 = (5, 2).
Antes de volver a la aplicación (la ecuación diferencial), se recalcan los pasos para resolver Ax = A..x:
3.
(12)
vector característico) es cualquier múltiplo diferente de cero de x 1 :
El cálculo de A. 2 se realiza por separado:
2.
u(t) =c 1 e). 1'x 1 +c2 eA.2'x 2
Este hecho se denomina
y es válido para las ecuaciones diferenciales (homogéneas y lineales) justo como era válido para ecuaciones matriciales Ax = O. El espacio
nulo siempre es un subespacio, y las combinaciones de las soluciones siguen siendo soluciones.
Abora se tienen dos parámetros libres c 1 y c2 , y es razonable esperar que sea posible
de modo que cumplan la condición inicial u = u(O) en t = O:
Condición inicial
Vector característico para A. 1
1.
237
Estas dos soluciones especiales proporcionan la solución completa. Pueden multiplicarse
por números cualesquiera c 1 y c2 , y pueden sumarse entre sí. Cuando u 1 y u2 satisfacen la
ecuación lineal duldt = Au, también lo hace su suma u 1 + u 2 :
o A. = 2, lo cual se confirma con la fórmula general:
La solución (el
Introducción
Calcular el determinante de A - H. Una vez que A. se ha restado de la diagonal principal, este determinante es un polinomio de grado n. Comienza con (-A.t.
Encontrar las raíces de este
Las n raíces son los valores característicos
de A.
Para cada valor característico, resolver la ecuación (A - 'Al)x = O. Debido a que el
determinante es cero, hay otras soluciones distintas de x = O. Se trata de los vectores
característicos.
En la ecuación diferencial, lo anterior produce las soluciones especiales u = e1'-'x. Se trata
de las soluciones puramente exponenciales de du/ dt = Au. Observe a e-' y e2 ':
v(t) = 3e-' + 5e 2',
w(t) = 3e-' + 2e 2'.
La clave se encontraba en los valores característicos A. y en los vectores característicos x. Los valores característicos son importantes de suyo, y no sólo son parte de un truco
para encontrar u. Quizá el
más conocido es el de los soldados marchando sobre un
puente.* Tradicionalmente,
de marchar y simplemente caminan sobre el puente. Si
ocurre que caminan a una frecuencia igual a uno de los valores característicos del puente,
entonces éste comienza a oscilar. (Del mismo modo en que lo hace un columpio infantil;
pronto se percibe la frecuencia natural de un giro, e igualándola se hace más grande la oscilación). Un ingeniero intenta que las frecuencias naturales de su puente o nave espacial
estén alejadas de las frecuencias del viento o del movimiento del combustible. Y en el otro
extremo, un corredor de bolsa pasa su vida intentando estar en linea con las frecuencias naturales del mercado. Los valores característicos constituyen el rasgo más importante de
prácticamente cualquier sistema dinámico.
Para resumir, en esta introducción se ha mostrado cómo A. y x aparecen de forma natural y
espontánea cuando se resuelve duldt = Au. Esta ecuación posee soluciones puramente exponenciales u = e:>.tx; el valor característico proporciona la razón de crecimiento o disminución, y el vector característico x se desarrolla a esta razón. Las otras soluciones son mezclas
de estas soluciones puras, y la mezcla se ajusta para
las condiciones iniciales.
La ecuación clave era Ax = A..x. La mayor parte de los vectores no satisfacen esta ecuación. Cambian de dirección cuando se multiplican por A, de modo que Ax no es múltiplo
de x. Esto significa que sólo ciertos números especiales A. son valores característicos, y
sólo ciertos vectores
x son vectores característicos. Es posible observar el com-
y
•Ejemplo en el que nunca creí, aunque un puente se cayó de esta forma en 1831.
238
5.1
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
portamiento de cada vector característico, y luego combinar estos "modos normales" para
encontrar la solución. En otras palabras, es posible diagonalizar la matriz subyacente.
La diagonalización de la sección 5.2 se aplicará a ecuaciones en diferencias, a los números de Fibonacci, y a los procesos de Markov, así como a las ecuaciones diferenciales.
En cada ejemplo se comenzará con el cálculo de los valores característicos y los vectores
característicos; no existe ningún atajo para evitar esto. Las matrices simétricas son especialmente fáciles. Las "matrices defectuosas" carecen de un conjunto completo de vectores característicos, por lo que no son diagonalizables. Ciertamente, es necesario analizarlas,
aunque no se les permitirá su ingreso en el libro.
Se empieza con ejemplos de matrices especialmente bondadosas.
1
Todo resulta evidente cuando A es una matriz diagonalizable:
A= [ 3
0
º} .
2
tiene
A¡ = 3
con
con
Xz =
[~] ·
Sobre cada vector característico, A actúa como un múltiplo de la identidad: Ax 1 = 3x1 Y
Ax2 = 21:2 • Otros vectores como x = (1, 5) son mezclas de x 1+ 5x2 de los dos vectores característicos, y cuando A multiplica a x 1 y x 2 , se obtienen los valores característicos A.1 =
3 y A.2 = 2:
A multiplicada por
X¡
es 3x1 + l0x2 = [
+ 5x2
239
Introducción
El determinante es justo el producto de los elementos en la diagonal. Es cero si Je
A. = ~ o A = ~ ; los valores característicos ya estaban en la diagonal principal.
I,
Este ejemplo, donde los valores característicos pueden encontrarse por inspección,
apunta a otro tema fundamental del capítulo: la transformación de A en una matriz diagonal
o triangular sin cambiar sus valores característicos. Una vez más se recalca que la factorización gaussiana A = LU no es adecuada para este propósito. Los valores característicos de
U pueden ser visibles en la diagonal, pero no son los valores característicos de A.
Para la mayor parte de las matrices, no hay duda de que el problema de los valores característicos es computacionalmente más difícil que Ax= b. Con sistemas lineales, un número finito de pasos de eliminación producía la respuesta exacta en un tiempo finito. (O,
de manera equivalente, con la regla de Cramer se obtenía una fórmula exacta para la solución). Ninguna fórmula es capaz de proporcionar los valores característicos, o Galois se revolvería en su tumba. Para una matriz de 5 por 5, det (A - AJ) implica A5 . Galois y Abel
demostraron que no puede haber ninguna fórmula algebraica para encontrar las raíces de
un polinomio de quinto grado.
Todo lo que éstos permiten son algunas verificaciones sencillas de sus valores característicos, después que se han calculado, y se mencionan dos buenos: la suma y el producto.
1 ~] ·
Esto es Ax para un vector típico x, no para un vector característico. Sin embargo, la acción
de A es determinada por sus vectores característicos y valores característicos:
¡Los valores característicos de una matriz proyección son lo O!
P = [
11J
tiene
A. 1 = l
con
x1 =
[!],
A. 2 =O
con
x2 =
[-iJ.
Cuando x se proyecta sobre sí mismo, se tiene A. = 1, y cuando x se proyecta sobre el vector cero se tiene A = O. El espacio columna de P está lleno de vectores característicos, así
como el espacio nulo. Si las dimensiones de estos espacios son r y n - r, respectivamente, entonces A. = l se repite r veces y A = O se repite n - r veces (siempre n A.s):
Cuatro valores
característicos que
repeticiones
P~ [~ ~ ~ ~] ti~o >~l,l,0,0.
No
nada excepcional sobre A. =O. Así como cualquier otro número, el cero podría o no ser un valor característico. En caso de serlo, entonces sus vectores característicos
satisfacen Ax = Ox. Así, x está en el espacio nulo de A. Un valor característico cero indica
que A es singular (no invertible); su determinante es cero. Todas las matrices invertibles
cumplen Je 7"' O.
Cuando A es triangular, los valores característicos están sobre la diagonal principal.
det(A - Al)
1-A
4
o
o
~-A
5
6
o
~-A.
=(1-A)(%-Jc)0-A.).
La matriz proyección P tiene elementos en la diagonal !, ~ y valores característicos 1, O
Así, ~ + ~ coincide con 1 + O, como debe ser. Así también lo hace el determinante, que es
O · 1 = O. Una matriz singular, con determinante cero, tiene uno o más de sus valores característicos igual a cero.
No debe haber confusión entre los elementos en la diagonal y los valores característicos.
Para una matriz triangular siempre son iguales, aunque este hecho es excepcional. Normalmente los pivotes, los elementos en la diagonal, y los valores característicos son completamente distintos. Y para una matriz de 2 por 2, la traza y el determinante lo dicen todo:
[~ ! ]
tiene traza a + d, y determinante ad - be
det(A-AJ)=det )
a -A.
e
d ~A 1 = A2 - (traza)A. + determinante
La suma de estos dos AS es igual a la traza; en el ejercicio 9 se proporciona
para todas las matrices.
A.; = traza
Hay un programa de demostración MATLAB (simplemente hay que teclear eigshow), que
despliega el problema del valor característico para una matriz de 2 por 2. Empieza con el
vector unitario x = (1, 0). El mouse hace que este vector se desplace alrededor de la circun-
240
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
5.1
ferencia unitaria. Al mismo tiempo, la pantalla muestra a Ax, a color y también en movimiento. Posiblemente Ax esté enfrente de x. Posiblemente Ax esté detrás de x. Algunas veces Ax es paralelo ax. En ese instante paralelo, Ax= A.x (dos veces en la segunda figura).
y= (O, 1)
A= [0.8 0.3]
0.2 0.7
4.
r-~.3,0.7)
5.
A=
El valor característico .A. es la longitud de Ax, cuando el vector característico unitario
x es paralelo. Las opciones integradas para A, ilustran tres posibilidades: O, 1, o 2 para vectores característicos reales.
2.
3.
No hay vectores característicos reales. Ax permanece atrás o adelante de x. Esto significa que los valores característicos y los vectores característicos, son complejos, como lo son para la rotación Q.
sólo una recta de vectores característicos (lo cual es inusual). Las direcciones
cambiantes Ax y x se encuentran pero no se cortan. Este hecho ocurre para la
te matriz de 2 por 2.
vectores característicos en dos direcciones
hecho es típico!
Ax corta ax en el
vector característico X¡, y corta en el segundo vector característico x 2 •
Suponga que A es singular (de rango 1). Su espacio columna es una recta. El vector
Ax debe permanecer en esa recta mientras x gira alrededor. Un vector característico x está
a lo largo de la recta. Otr.o vector característico aparece cuando A.x2 = O. Cero es un valor
característico de una matriz singular.
Para estas seis matrices, es posible seguir mentalmente a x y a Ax. ¿Cuántos vectores
característicos hay, y dónde? ¿Cuándo ocurre que Ax se desplaza en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, en vez de hacerlo en sentido contrario a las manecillas
conx?
del
A=[~
con
u(O) =
[;J.
Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de
\
X= (1, 0)
l.
u
Parte de u(O) crece exponencialmente mientras la parte del espacio nulo, permanece
fija.
\
~X= (0.8,0.2)
241
Resuelva du/ dt = Pu cuando Pes una proyección:
~; =
-,
un
Introducción
n [~ -~]
3 4
O 1
[o
o
o o
~]
y
B =
O 2
[2 o
Compruebe que A. 1 + .A.2 + .A3 es igual a la traza y que A. 1.A. 2A. 3 es igual al determinante.
6.
Proporcione un ejemplo para demostrar que los valores característicos pueden cambiarse cuando un múltiplo de un renglón se resta de otro. ¿Por qué los pasos de eliminación no modifican un valor característico igual a cero?
7.
Suponga que .A. es un valor característico de A, y que x es un vector característico:
Ax= A.x:
a) Demuestre que este mismo x es un vector característico de B =A - 7/, y encuen-
tre el valor característico. Esto debe confirmar el ejercicio 3.
b) Suponga que A # O, demuestre que x también es un vector característico de A - 1, y
encuentre el valor característico.
8.
Demuestre que el determinante es igual al producto de los valores característicos, suponiendo que el polinomio característico se factoriza como
det(A - .Al) = (.A.1 - .A.)(.A. 2 - .A.)··· (,\.n - A),
y haciendo una elección inteligente de .A..
9.
(16)
En dos pasos, demuestre que la traza es igual a la suma de los valores característicos.
1
en el miembro derecho de la ecuación
Primero, encuentre el coeficiente de ( - .A.
(16).
encuentre todos los términos de
r-
ª11
-.A.
a?¡
~
det (A - >..!) = det
a12
a22 -
A.
[
anl
l.
Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de la matriz A =
[~ -l]. Compruebe que la traza es igual a la suma de los valores característicos, y
que el determinante es igual a su producto.
[~J.
2.
Con la misma matriz A, resuelva la ecuación diferencial du/dt = Au, u(O) =
¿Cuáles son las dos soluciones
puras?
3.
Si se pasa a A - 71, ¿cuáles son los valores característicos y los vectores característicos, y cómo están relacionados con los de A?
B=A-71=
[-6 -1]
2
_
3
.
que implican a (-A.)n-l. ¡Todos nr,,V1,,,,n,•n de la ""''"'"'""-' principal! Encuentre ese
coeficiente de
, y compare.
10. a) Construya matrices de 2 por 2 tales que los valores característicos de A B no sean
los productos de los valores característicos de A y B, y los valores característicos de
A + B no sean las sumas de los valores característicos individuales.
b) Compruebe, no obstante, que la suma de los valores característicos de A + B es
igual a la suma de todos los valores característicos individuales de A y B, y de ma-
nera semejante para los productos. ¿Por qué es cierto lo anterior?
11. Los valores característicos de A son iguales a los valores característicos
• Esto
se debe a que det (A - Al) es igual a det (AT - .A.[). Lo anterior es cierto porque _ _ .
Demuestre con un
que los vectores característicos de A y A T no son los mismos.
242
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
5. 1
12. Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de
A=[!
-~]
y
243
21. Calcule los valores característicos y los vectores característicos de A y A -1:
A=[:!]·
A-1 =
y
13. Si los valores característicos de B son 1, 2, 3, los valores característicos de C son 4, 5,
6, y los valores característicos de D son 7, 8, 9, ¿cuáles son los valores característicos
delamatrizde6por6 A=
Introducción
[g ;]?
[-3/4 o2] .
1/
112
A - i tiene los _ _ vectores característicos que A. Cuando los valores característicos
de A son A. 1 y A. 2 , los valores. característicos de su inversa son _ _.
22. Calcule los valores característicos y los vectores característicos de A y A 2 :
14. Encuentre el rango y todos los cuatro valores característicos de la matriz de ls y lamatriz de tablero de ajedrez:
y
Az = [
7 -3]
-2
6 .
2
A tiene los mismos _ _ que A. Cuando los valores característicos de A son A. 1 y A. ,
2
los valores característicos de A 2 son
¿Cuáles vectores característicos corresponden a valores característicos diferentes de
cero?
15. ¿Cuáles son el rango y los valores característicos cuando A y C en el ejercicio previo
son de n por n? Recuerde que el valor característico A. = O se repite n - r veces.
16. Si A. es la matriz de 4 por 4 de ls, encuentre los valores característicos y el determinante de A - J.
18. Suponga que los valores característicos de A son O, 3, 5, con vectores característicos
independientes u, v, w.
a) Proporcione una base para el espacio nulo y una base para el espacio columna.
b) Encuentre una solución particular de Ax= v + w. Encuentre todas las soluciones.
e) Demuestre que Ax = u no tiene solución. (En caso de tenerla, entonces ___ estaría en el espacio columna.)
19. Las potencias Ak de esta matriz A tienden al límite cuando k _,. oo:
0.3]
0.7 '
A2 =
[º·
70
O. 30
0.45]
0.55 '
y
A"° =
[º· 0.6]
6
O. 4
00
2
20. Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de las dos siguientes matrices:
A =
[~ ~]
y
k, k, ~, ~), construya la matriz proyección de rango
26. Resuelva det (Q - A/) = O, aplicando la fórmula cuadrática, para llegar a A = cos e
± i sen e:
-sene]
Q = [cose
sen e cose
rota el plano x-y por el ángulo e.
Resuelva (Q - A.l)x = O para encontrar los vectores característicos de Q. Use i 2 =
-l.
27. Toda matriz permutación deja sin cambio ax= (1, 1, ... , 1). Así, A. = l. Encuentre
dos A.s más para las siguientes permutaciones:
0.4 .
La matrizA está a mitad del camino entreA y A • Explique porqué A = !CA+ A00 ),
a partir de los valores característicos y vectores característicos de estas tres matrices.
2
25. A partir del vector unitario u = (
a) Demuestre que Pu= u. Así, u es un vector característico con A. = l.
b) Si ves perpendicular a u, demuestre que Pv =vector cero. Así, A. =O.
e) Encuentre tres vectores característicos independientes de P, todos con valor característico A. = O.
de modo que su polinomio característico IA - HI sea -A. 3 + 4A. 2 + 5A. + 6.
0.2
24. ¿Qué se hace a Ax = A.x, para demostrar los incisos a), b), y e)?
2
a) A. es un valor característico de A 2 , como en el problema 22.
b) A. - i es un valor característico de A - 1, como en el problema 21.
e) A. + l es un valor característico de A + /, como en el problema 20.
1 P = uuT.
17. Escoja el terct)r renglón de la "matriz siguiente"
A = [0.8
23. a) Si se sabe que x es un vector característico, la forma de encontrar A. es
b) Si se sabe que A. es un valor característico, la forma de encontrar x es
A+/=[~:].
A + l tiene los _ _ vectores característicos que A. Sus valores característicos están
_ _ por l.
p
o
y
1
o
28. Si A tiene A. 1 = 4 y A.2 = 5, entonces det(A - U) =(A. - 4)(A. - 5) = A.2 - 9A. + 20.
Encuentre tres matrices que cumplan lo siguiente: traza a + d = 9, determinante = 20,
y A.= 4, 5.
29. Se sabe que los valores característicos de una matriz B de 3 por 3 son O, l, 2. Esta información es suficiente para encontrar tres de los cuatro incisos siguientes:
a) el rango de A,
b) el determinante de BTB,
-•'--•
244
.._.., ..... ,,.
•• .,1·,.:i....
UT"lUUUA1'
. ,·-. ':i' ·:::: .:\ l·' /\ C 1 O N Al..
:,_ .s.21_ Diagonalización de una matriz
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
c) los valores característicos de
245
y
1
d) los valores característicos de (B + l)- .
30. Escoja el segundo renglón de A = [ ~
A sean 4 y 7.
! ] de modo que los valores característicos de
Se empieza directamente con el cálculo esencial. Es pei:fü~trumente
todas las secciones de este capítulo. Los vectores caracteristicos auzgtnu.W.z.'tl.n
31. Escoja a, b, c, de modo que det (A - A.[) = 9A. - A. 3 . Así, los valores característicos
son -3, O, 3:
l
o
b
A.1
A.2
32. Construya una matriz M de Markov de 3 por 3: la suma de los elementos positivos de
cada columna es l. Si e = (1, l, 1), compruebe que MTe = e. Por el problema 11,
A. = 1 también es un valor característico de M. Desafío: Una matriz singular M de
Markov de 3 por 3 con traza ~ tiene valores característicos A. = ___ .
s- AS =A=
33. Encuentre tres matrices de 2 por 2 que tengan A. 1 = A. 2 = O. La traza es cero y el determinante es cero. La matriz A podría no ser O, pero compruebe que A 2 = O.
La matriz S se denomina "matriz vector característico", y A se denomina "matriz valor
característico'', para la cual se utiliza una letra lambda mayúscula, ya que las lambdas minúsculas se usan para designar los valores característicos que están en su diagonal.
34. La siguiente matriz es singular con rango 1. Encuentre tres A.s y tres vectores característicos:
A~ m[2 1 2 J ~ ¡~ i
n
35. Suponga que A y B tienen los mismos valores característicos A. 1, ..• , J...n con los mismos vectores característicos independientes x 1, •.• , xn. Así, A = B. Razón: Cualquier
vector x es una combinación c 1x 1 + · · ·+ Cr?'w ¿Cuál es Ax? ¿Cuál es Bx?
1
f
Demostración Los vectores característicos X; se escriben en las columnas de S, y AS se
calcula por columnas:
r H[+·
1
36. (Repaso) Encuentre los valores característicos de A, B, y C:
2
o
4
2
o
y
o
C=
37. Cuando a + b =e+ d, demuestre que (1, 1) es un vector caracteristico, y encuentre
ambos valores característicos:
A=[~!].
38. Cuando P intercambia los renglones 1 y 2 y las columnas l y 2, los valores característicos no cambian. Encuentre vectores característicos de A y PAP pata J... = l l:
y
PAP
~ [~
! !]
+l
Luego, el truco consiste en separar esta última matriz, en un producto SA bastante diferente:
A.2x2
Xz
J
Es vital mantener estas matrices en el orden correcto. Si A está antes de S (y no después),
entonces A. 1 multiplicará los elementos de la primera linea. Deseamos que A. 1 aparezca en
la primera columna. Si es así, entonces SA es correcto. Por tanto,
(2)
Ses invertible, ya que se supuso que sus columnas (los vectores característicos) son independientes. Antes de proporcionar ejemplos o aplicaciones es necesario presentar cuatro
observaciones.
1111
39. Problema de desafío: ¿Existe alguna matriz real de 2 pQr 2 (distinta de [) con A 3 = n
Sus valores característicos deben
A. 3 =l. Pueden ser eZJru 3 y e-zn:u 3 _ ¿Qué
traza y
determinante se obtienen con lo anterior? Construya A.
Observación 1 Si la matriz A no tiene valores característicos repetidos; es decir, que los
números A. 1, ••• , A.n son distintos, entonces los n vectores característicos son automáticamente
(consulte el punto 5D a continuación). En consecuencia, cuau1m•er
matriz con valores característicos distintos
40. Hay seis matrices permutación P de 3 por 3. ¿Cuáles números
ser los determinantes de P? ¿Qué números pueden ser los pivotes? ¿Qué números pueden ser la traza de P? ¿Cuáles cuatro números pueden ser valores característicos de P?
Observación 2 La matriz de diagonalización S no es única. Un vector característico x
multiplicarse por una constante y seguir siendo un vector característico. Las columnas de S pueden
por constantes
diferentes de cero, y producir
5.2
246
Oiagonalización de una matriz
247
Capitulo 5 Valores característicos y vectores característicos
La prueba consiste en comprobar, para un valor característico que se repite p veces, si
hay p vectores característicos independientes; en otras palabras, si el rango de A - Al es
n - p. Para completar este círculo de ideas, es necesario demostrar que valores característicos distintos no constituyen ningún problema.
una nueva matriz de diagonalización S. Valores característicos repeti?os d~;u1 a~n más libertad en s. Para el ejemplo trivial A = [, cualquier S logra lo antenor: S IS s1e:mpre es
diagonal (A es justo [). Todos los vectores son vectores característicos de la identidad.
Observación 3 Otras matrices S no producen una A diagonal. Suponga que la primera
columna des es y. Entonces la primera columna de SA es A. 1y. Si esto ha de coincidir con
la primera columna de AS, que por multiplicación de matrices es ~y'. entonces y debe ser
un vector característico: Ay= A. 1y. El orden de los vectores caractensticos en S Y de los valores característicos en A es automáticamente el mismo.
veictores c¡µ:acterísticm; x 1, ••• , xk corresp<)ní:le
: • ; ~k• entonces e§tOS vectore's '"'nfr,tP1n<:1rif'i"\<:
Primero se supone que k = 2, y que con alguna combinación de x 1 y x 2 se obtiene cero: c 1x 1 + CzX2 =O. Al multiplicar por A, se encuentra c 1A. 1x 1 + c2 A. 2 x 2 =O. Al restar A. 2
multiplicado por la ecuación previa, el vector x2 desaparece:
Observación 4 No todas las matrices poseen n vectores característicos linealmente independientes, de modo que no todas las matrices son diagonalizables. El ejemplo estándar
C¡(A.1 - A.2)X1 = 0.
de una "matriz defectuosa" es
A=[g ~]·
Debido a que A. 1 7"' A. 2 y a que x 1 7"' O, se está forzando a que c 1 = O. De manera semejante,
c2 = O, y los dos vectores son independientes; sólo la combinación trivial proporciona cero.
Este mismo razonamiento se extiende a cualquier cantidad de vectores característicos:
si con alguna combinación se obtiene cero, debe multiplicarse por A, restar A.k multiplicado por la combinación original, y entonces desaparece xk> dejando una combinación de
x 1, ••• , xk-I• con lo cual se obtiene cero. Al repetir los mismos pasos (en realidad, esto es
inducción matemática) se termina con un múltiplo de x 1 que produce cero. Así se obliga
a que c 1 =O, y finalmente a que todo c; =O. En consecuencia, los vectores característicos
que provienen de valores característicos distintos, son automáticamente independientes.
Una matriz con n valores característicos distintos puede diagonalizarse. Este es el caso típico.
Sus valores característicos son A. 1 = ;,. 2 = O, ya que la matriz es triangular con ceros en la
diagonal:
det(A - U)= det [
-A.
0
Todos los vectores característicos de esta A son múltiplos del vector (1, 0):
o es un valor característico doble: su multiplicidad algebraica es 2. Sin embargo, la
multiplícidad geométrica es 1, porque sólo hay un vector característico independiente. No
;,. =
es posible construir S.
A continuación se proporciona una demostración más directa de que A no es diagona1
lizable. Debido a que A. 1 = A. 2 = O, A tendría que ser la matriz cero ..Pe~o si A = s- AS,
1 = o, entonces se premultiplica por la izquierda por S y se posmul°:phca por.la de~echa
por s-1, con la finalidad de concluir falsamente que A = O. No h~y nmguna S invertible.
Este fracaso de diagonalización no se debe a que A. = O. Proviene del hecho de que A¡
= A.2:
Valores característicos repetidos
A --
[03 31]
y
A=
[2 -1]
1
O .
Sus valores característicos son 3, 3 y 1, l. ¡No son singulares! El problema es la falta de
vectores característicos, que se necesitan para S. Es necesario recalcar estas necesidades:
La diagonalización de A depende de la existencia de suficientes vectores característicos.
La invertibilidad de A depende de los valores característicos diferentes de cero.
No hay relación entre la diagonalización (n vectores característicos independientes)~ la invertibilidad (valores característicos diferentes de cero). La única indicación proporcionada
por los valores característicos es: la diagonalízación puede frac~sar sólo si hay valo~es. característicos repetidos. Incluso así, no siempre fracasa. A = l tiene valor.es caractenst1cos
repetidos 1, 1, ... , 1, ¡aunque ya es diagonal! En este caso no hay carencia de vectores característicos.
Eje1nphls de
El punto más importante de esta sección es s- 1 AS = A. La matriz vector característico S
transforma A en su matriz valor característico A (diagonal). Esto se verá a continuación para proyecciones y rotaciones.
Eiemrmlo 1
It
La proyección A = [
J tiene matriz valor característico A = [
característicos van en las columnas de S:
s=[~ -i]
y
¿ g] . Los vectores
AS= =u ~]·
SA
La última ecuación puede comprobarse a primera vista. En consecuencia, s- 1AS = A.
Por sí mismos, los valores característicos no resultan tan evidentes para una rotación:
rotación de 90°
K =
[~ -~]
tiene det (K - H) = ;,.2 +l.
¿Cómo es posible que un vector rote, y aun así, preserve sin cambie su dirección? Aparentemente, lo anterior no es posible salvo para el vector cero, lo cual es inútil. Sin embargo, debe haber valores característicos, y debe ser posible resolver du/dt = Ku. El polinomio
característico A. 2 + 1 debe seguir teniendo dos raíces, aunque no son reales.
Ahora, el lector puede ver el camino de salida. Los valores característicos de K son
números imaginarios, A. 1 = i y A. 2 = -i. Tampoco los vectores característicos son reales.
248
5.2
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
(K - >-2l)x2 =
[-~ ~~] [~]
u -! ] [~]
[g]
[g]
Y
Y
X¡
X2 =
[-:]
K =
DJ.
-! ;J
y
1
s- K S = [
[~
-1]o '
=
[-1o º]
-1 ,
y
K-i = [
O o1] .
-1
Los valores característicos de K son i y -i; sus cuadrados son -1 y -1; sus recíprocos son
1/i = - i y 11( - i) = i. Así, K4 es una rotación completa de 360º:
Los valores característicos son distintos, aun cuando son imaginarios, y los vectores característicos son independientes. Éstos van en las columnas de S:
S = [
249
Si K es una rotación de 90º, entonces K 2 es una rotación de 180° (lo cual ~, 5,,w.''-"' -1) y
es una rotación de -90°:
De alguna manera, al rotar 90°, se multiplican por i o por -i:
(K - Á¡/)X¡ =
Diagonalización de una matriz
~ -~J.
Se está frente a un hecho ineludible: los números
son necesarios incluso
para matrices reales. Si hay muy pocos valores característicos reales, siempre hay n valores característicos complejos. (Los complejos incluyen a los reales, cuando la
imaginaria es cero). Si hay muy pocos vectores característicos en el mundo real
, o en Rn, se
busca en C 3 o en en. El espacio en contiene a todos los vectores columna con componentes complejas, y posee nuevas definiciones de longitud, producto interno y ortogonalidad.
Sin embargo, no es más difícil que Rn, y en la sección 5.5 se realiza una sencilla conversión al caso complejo.
y también
Para
de dos matrices, puede preguntarse sobre los valores característicos
de AB, aunque no se obtiene una buena respuesta. Es bastante tentador tratar de aplicar el
mismo razonamiento, esperando demostrar que en general no es cierto. Si A. es un valor característico de A yµ, es un valor característico de B, entonces he aquí la falsa demostración
de que AB tiene el valor característico, µ,J..:
Demostración falsa
ABx = Aµ,x =µ,Ax = µ,A.x.
El error consiste en suponer que A y B comparten el mismo vector característico x. En general, no es así. Es posible que haya dos matrices con valores característicos cero, mientras
A B tiene valor característico A. = 1:
yAB
Hay una situación adicional en que los cálculos son fáciles. Los valores característicos de
A 2 son exactamente .q, ... , J..;, y cada vector característico de A también es un vector
característico de A 2 • Se empieza con Ax = Ax, y se multiplica de nuevo por A:
A 2 x =Ah= A.Ax= A. 2x.
(3)
Por tanto, A. 2 es un valor característico de A 2 , con el mismo vector característico x. Si la
mera multiplicación por A deja sin cambio la dirección de x, entonces también lo hace la
segunda.
El mismo resultado se obtiene de la diagonalización, al elevar al cuadrado a s- 1AS
Los vectores característicos de estas A y B son totalmente distintos, lo cual es típico. Por la
misma razón, en general los valores característicos de A + B no tienen nada que ver con A.
+µ,.
Esta falsa demostración sugiere ser verdadera. Si el vector característico es el mismo
para A y B, entonces los valores característicos se multiplican y el valor característico de
A B es µ,J... Sin embargo, se tiene algo más importante. Hay una forma fácil de identificar
cuándo A y B comparten un conjunto completo de vectores característicos, lo cual plantea
una cuestión clave en mecánica cuántica:
=A:
Valorescaracteristkosde
(S- 1 AS)(S- 1 AS) = A 2
o bien,
A2 S = A2 •
La matriz A 2 es diagonalizada por la misma S, de modo que los vectores característicos permanecen sin cambio. Los valores característicos están al cuadrado. Este hecho se
para cualquier potencia de A:
Demostración Si la misma S diagonaliza tanto a A =SA 1 s- 1 y B =SA 2 s- 1,
mllltlPU.carse en cualquier orden:
AB = SA1S- 1 SA2S- 1 = SA1A2s- 1 y BA = SA2S- 1SA1s- 1 = SA2A1s- 1 •
Si A es invertible, esta regla también es válida para su inversa (la potencia k = -1).
Los valores característicos
son 1/11• Este hecho puede verse incluso, sin diagonalizar:
Si Ax= A.x entonces x = A.A-! x y
Debido a que A 1A 2 = A 2 A 1 (las matrices diagonales siempre son conmutativas) se tiene
queAB = BA.
En la dirección opuesta, suponga que A B = B A. Empezando con Ax = Ax, se tiene
ABx = BAx = BJ..x = J,.Bx.
Así, tanto x como Bx son vectores característicos de A, que comparten el mismo J.. (o bien,
Bx = 0). Si por conveniencia se supone que los valores característicos de A son distintos;
es decir, que todos los espacios característicos son unidimensionales, entonces Bx debe ser
un múltiplo de x. En otras palabras, x es un vector característico de B, así como de A. La
demostración con valores característicos repetidos es un poco más
11
250
Ul.l7it!!J
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
5.2
El principio de incertidumbre de Heisenberg proviene de las matrices no conmutativas, como la posición P y la cantidad de movimiento Q. La posición es simétrica, la cantidad de movimiento es simétrica sesgada, y juntas cumplen QP - PQ = l. El principio
de incertidumbre se concluye directamente de la desigualdad de Schwarz ( Qx) T ( P x) ::S
11Qx1111Px11 de la sección 3.2:
llxl\ 2 = XT X = XT(QP - PQ)x ::s 211 QxllllPxll.
El producto de JIQxll/llxll y llPxll/llxll -los errores de posición y cantidad de movi-
!.
miento, cuando la función de onda es x- es por lo menos Es imposible que ambos errores sean pequeños, porque al intentar medir la posición de una partícula se modifica su
cantidad de movimiento.
Al final se volverá a A = SAs- 1 • Esta factorización es particularmente idónea para
tomar potencias de A, y la cuestión se ilustra con el caso más simple: A 2 . La factorización
LU es inútil cuando se eleva al cuadrado, pero SAs- 1 es perfecta. El cuadrado es SA 2 s- 1 ,
y los vectores característicos permanecen sin cambio. Trabajar con estos vectores característicos permite resolver ecuaciones en diferencias y ecuaciones diferenciales.
1.
Factorice las siguientes matrices en SAS- 1 :
A=[~
2.
3.
i]
y
A=[~~]·
Encuentre la matriz A cuyos valores característicos son 1 y 4, y cuyos vectores característicos son
y
respectivamente. (Sugerencia: A= SAs- 1 .)
[i] [i],
Encuentre todos los valores característicos y los vectores característicos de
A~ u ¡ n
5.
Si los elementos diagonales de una matriz triangular superior de 3 por 3 son l, 2, 7,
¿cómo puede saberse que la matriz es díagonalizable? ¿Cuál es A?
De las siguientes matrices, ¿cuál(es) no puede(n) diagonalizarse?
A1 =
6.
[2 -2]
2
-2
A1 =
[~ -~]
2
a) Si A = /,¿cuáles son los posibles valores característicos de A?
b) Sí esta matriz A es de 2 por 2, y no es lo - I, encuentre su traza y su determinante.
e) Si el primer renglón es (3, -1), ¿cuál es el segundo renglón?
i ~ J, encuentre A
100
7.
Si A = [
8.
Suponga que A = uvT es una columna multiplicada por un renglón (una matriz con
rango l).
, diagonalizando A.
a) Multiplique A por u, para demostrar que u es un vector característico. ¿Cuál es/..?
b) ¿Cuáles son los otros valores característicos de A (y por qué)?
e) Calcule traza (A), a partir de la suma de la diagonal y la suma de los /..s.
251
9. Demuestre por cálculo directo que A B y B A tienen la misma traza cuando
A=[~~]
B=[; ;].
y
Concluya queAB - BA =les imposible (excepto en dimensiones infinitas).
10. Suponga que los valores característicos de A son l, 2, 4. ¿Cuál es la traza de A 2? • Cuál
· ¡,
es el determinante de (A - 1) T?
11. Si los v_alores característicos de A son l, 1, 2, ¿de cuáles de las siguientes afirmaciones se ttene la certeza de que son verdaderas?
Proporcione un razonamiento de por qué sf son verdaderas o un ejemplo si no son verdaderas.
a) A es invertible.
b) A es diagonalizable.
e) A no es diagonalizable.
12. Suponga que sólo los vectores característicos de A son múltiplos de x = (1, o, 0). Falso o verdadero:
a) A no es invertible.
b) A tiene un valor característico repetido.
e) A no es diagonalizable.
13. Diagonalice la matriz A = [ ~
triz tal que R
2
~] y encuentre una de sus raíces cuadradas: una ma-
= A. ¿Cuántas raíces cuadradas hay?
14. Sup~n ga q~e la _matri~ vector característico S tiene 5T = s- 1 . Demuestre que A
1
SAS es simétrica y tiene vectores característicos ortogonales.
Los problemas 15 a 24 son sobre matrices valor característico, y vector característico.
15. Factorice las siguientes matrices en A = sAS- 1 :
A= [¿ ;J
y escriba dos matrices de diagonalización S distintas.
4.
Diagonalización de una matriz
1
16. Si A = SAs- entonces A3 = (
)(
y
)(
A=[~
y
17. Si A tiene A.1 = 2 con vector característico X¡ =
;J.
A -1 = (
[
)(
)(
).
! ] y A.2 = 5 con x = UJ, use
2
1
SAs- para encontrar A. Ninguna otra matriz tiene los mismos A.s y xs.
18. Suponga ~ue A = S As- r. ¿Cuál es la matriz valor característico para A + 21? ¿Cuál
es la matriz vector característico? Compruebe que A + 2! = (
)(
)(
) -1.
19. ¿Fal~o o verdadero? Si las n columnas de S (vectores característicos de A) son independientes, entonces
a) A es invertible.
b) A es diagonalizable.
e) Ses invertible.
d) S es diagonalizable.
20. Si los vectores característicos de A son las columnas de I entonces A es una matriz
- - · Si la matriz vector característico S es triangular, e~tonces s- 1 es triangular y
A es triangular.
252
Capítulo 5
5.2
Valores característicos y vectores característicos
21. Describa todas las matrices S que diagonalizan la siguiente matriz A:
31. Encuentre A y S para diagonalizar B en-e~blema 29. ¿Cuál es B 1ºu 0 para estos u 0 ?
A=[~~]·
y
22. Escriba la matriz más general que tenga vectores característicos [
! ] Y [- ~] ·
23. Encuentre los valores característicos de A y B y A + B:
il A+B=[i ;J.
Los valores característicos de A + B (son iguales a)( no son iguales a) los valores característicos de A más los valores característicos de B.
24. Encuentre los valores característicos de A, B,
AB y BA:
AB
25.
25 a 28 son sobre la
de A.
o verdadero? Si los valores característicos de A son 2, 2, 5, entonces la matriz
ciertamente es
a) Invertible.
b) Diagonalizable.
c) No diagonalizable.
26. Si los valores característicos de A son 1 y O, escriba todo lo que sepa sobre las matrices A y A 2 •
27. Complete las siguientes matrices de modo que detA = 25. Así, traza= 10, y ¡A.= 5
es repetido! Encuentre un vector característico con Ax = 5x. Estas matrices no son diagonalizables porque no hay una segunda línea de vectores característicos.
A = [8
28. La matriz A = ( ~
2
J.
~],
A = [9
y
A = [
~~ 5].
; ] no es diagonalizable porque el rango de A - 31 es _ _.
Cambie un elemento para hacer diagonalizable a A. ¿Qué elementos podría cambiar?
Los pr•oblteni:as 29 a 33 son sobre pote111c1~1S de matrices.
29. Ak = SAks-1 tiende a la matriz cero cuando k--+ oo si
cada A. es menor que _ _. ¿Qué es cierto:
--+ O o
A= [0.6
0.4
0.4]
0.6
y
[~]·
A = [ 21
tiene
21 ]
33. Diagonalice B y calcule
B =
Los
= 1 [ 3k + 1
2 3k - 1
3k - 1 ]
3k + l .
con la finalidad de demostrar esta fórmula para
[~ ; ]
34 a 44 son nuevas
tiene
=
[3~
3k; 2k].
de A '"'."
34. Suponga que A = SAs- 1. Tome determinantes pJ~ demostrar que A = A1A.2 · · ·
An = producto de A.s. Esta rápida demostración sólo funciona cuando A es _ _.
Los valores característicos de
(son iguales a)(no son iguales a) los valores característicos de A multiplicados por los valores característicos de B. Los valores característicos de A B (son)(no son) iguales a los valores característicos de BA.
Los
Uo =
32. Diagonalice A y calcule SAk s- 1 con la finalidad de demostrar esta fórmula para Ak:
describa todas las matrices que diagonalizan a
A=[~~], B=[~
253
Oiagonalización de una matriz
35. La traza de S multiplicado por As- 1 es igual a la traza de As- 1 multiplicada por S.
Así, la traza de una matriz diagonalizable A es igual a la traza de A, que es _ _.
36. Si A = SAs- 1, diagonalice la matriz en bloque B = [ ~
ces valor característico y vector característico.
~J. Encuentre sus matri-
37. Considere todas las matrices A de 4 por 4 que son diagonalizadas por la misma matriz
vector característico fija S. Demuestre que las As constituyen un subespacio (cA y A 1 +
A 2 tienen esta misma S). ¿Cuál es este subespacio cuando S = n ¿Cuál es su dimensión?
38. Suponga que A 2 = A. En el miembro izquierdo A multiplica cada columna de A. ¿Cuál
de los cuatro subespacios contiene vectores característicos con A. = 1? ¿Qué subespacio contiene vectores característicos con A = O? Con base en las dimensiones de estos subespacios, A tiene un conjunto completo de vectores característicos
independientes y es posible diagonalizarla.
39. Suponga que Ax = A.x. Si A. = O, entonces x está en el espacio nulo. Si A ;6 O, entonces x está en el espacio columna. Las dimensiones de estos subespacios son (n -r) +
r = n. Entonces, ¿por qué ninguna matriz cuadrada tiene n vectores característicos linealmente independientes?
40. Sustituya A = SAs- 1 en el producto (A - A. 1 l)(A - ). 2 1) ···(A - A.nl), y explique por
esto
la matriz cero. Se está sustituyendo la matriz A por el número >.. en el polinomio p(A.) = det(A - Al). El te<Jrema de
establece
que este producto siempre es p(A) = matriz cero, incluso si A no es diagonalizable.
41. Pruebe el teorema de Cayley-Harnilton en la matriz de Fibonacci A =
sólo si el valor absoluto de
--+ O?
B = [0.6
0.1
0.9].
0.6
30. (Recomendado) Encuentre A y S para diagonalizar A en el problema 29. ¿Cuál es el
límite de A k cuando k --+ oo? ¿Cuál es el límite de S A k s- 1 ? En las columnas de esta
matriz limitante, es posible observar el _ _.
teorema pronostica que A
42. Si A = [ ~
2
-
A - l = O, ya que det (A - ).J) es A
2
-
[! ! ]. El
>.. - 1.
!J, entonces det (A - A/) es (A. - a)(A. - d). Compruebe la afirmación
del teorema de Cayley-Harnilton de que (A - al)( A - dl) = matriz cero.
43. Si A = [ ~
~ Jy A B = B A, demuestre que B = [:
: ] también es diagonal. B tie-
ne los mismos _ _ característicos que A, pero diferentes _ _ característicos. Estas matrices
B constituyen un subespacio bidimensional del espacio de ma-
254
Capítulo 5
5.3
Valores característicos y vectores característicos
trices. A B - B A = O proporciona cuatro ecuaciones para las incógnitas a, b, e, d. Encuentre el rango de la matriz de 4 por 4.
44. Si A es de 5 por 5, entonces A B - B A = matriz cero proporciona 25 ecuaciones para los 25 elementos de B. Demuestre que la matriz de 25 por 25 es singular, indicando una simple solución B diferente de cero.
45. Encuentre los valores caracteristicos y los vectores caracteristicos para las dos siguien00
tes matrices A y A 00 de Markov. Explique por qué A 100 está próxima a A :
A = [0.6
0.4
5.3
0.2]
0.8
A"° = [ 1/3
y
2/3
1/3]
2/3 .
Y POTENCIAS
ECUACIONES EN
Las ecuaciones en diferencias uk+ 1 = Auk se mueven hacia adelante en un número finito
de pasos finitos. Una ecuación diferencial asume una infinidad de pasos infinitesimales,
aunque ambas teorias permanecen absolutamente en paralelo. Se trata de la misma analogía entre el discreto y el continuo que aparecen una y otra vez en matemáticas. Un buen
ejemplo es el interés compuesto cuando el paso temporal se hace más corto.
Suponga que se invierten $1000 al 6% de interés. Si se compone una vez al año, el capital P se multiplica por l.06. Esta es una ecuación en diferencias Pk+i = APk = 1.06 Pk
con un paso temporal de un año. Al cabo de 5 años, la P0 = 1000 original se ha multiplicado cinco veces:
Anual
P5 = ( I.06) 5 Po
que es
(1.06) 5 1000 = $1338.
Ahora suponga que el paso temporal se reduce a un mes. La nueva ecuación en diferencias
es Pk+! = (1 + 0.06112)pk. Luego de 5 años, o 60 meses, se tienen $11 más:
6
Mensual.
º
0.06) Po
P6o = ( 1 + 12
que es
(l.005) 60 1000 = $1349.
El paso siguiente es componer cada día, sobre 5(365) días. Esto es de poca ayuda:
Composición diaria
( l
+ ~~: )
Ecuaciones en diferencias y potencias Ak
255
El objetivo principal de esta sección es resolver uk+I = Auk. Lo anterior lleva aAk y a potencias de matrices. El segundo ejemplo es la famosa sucesión de Fibonacci:
Números de Fibonacd
O, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Este es el patrón: cada número es la suma de los dos números de Fibonacci previos Fs:
Ecuadón de Fibonacci
(2)
Ésta es la ecuación en diferencias. Aparece en una inmensa variedad de aplicaciones, de
suyo merece todo un libro. Las hojas crecen siguiendo un patrón en espiral, y en el manzano o en el roble se encuentran cinco crecimientos por cada dos vueltas alrededor del tallo. El peral tiene ocho crecimientos por cada tres vueltas, y el sauce es 13:5. Parece que el
campeón es un girasol cuyas semillas escogen una razón casi increíble de F 12 / F 13 =
144/233.*
¿Cómo es posible encontrar el milésimo término de Fibonacci sin empezar en F0 = O
y F 1 = 1, y trabajar hasta llegar a F 1000? El objetivo es resolver la ecuación en diferencias
Fk+2 = Fk+l + Fk. Esta ecuación
reducirse a una ecuación de un paso uk+l
Cada paso
uk = (Fk+I,Fk) por una matriz A:
(3)
El sistema de un paso uk+I = Aukes fácil de resolver. Empieza desde u0 . Luego de un
paso se obtiene u 1 = Au0 • Luego, u2 es Au 1, que es A 2 u0 • Cada paso conlleva una multiplicación por A, y al cabo de k pasos hay k multiplicaciones:
El verdadero problema consiste en encontrar alguna forma rápida para calcular el milésimo término de Fibonacci. La clave se encuentra en los valores caracteristicos y en los vectores caracteristicos:
5·365
1000 = $1349.83.
Finalmente, para mantener activos a sus empleados, los bancos ofrecen composición continua. El interés se suma a cada instante, y la ecuación en diferencias fracasa. Es de esperar que el tesorero no sepa cálculo (lo cual es todo sobre límites cuando 11t -+ O). El banco
puede componer el interés N veces al año, de modo que 11t = l/N:
Continuamente
(1+º·C:YN1000
-+
e030 1000 = $1349.87.
O bien, el banco puede pasar a una ecuación diferencial: el límite de la ecuación en diferencias Pk+i = (1 + 0.0611t)pk. Al pasar Pk al miembro izquierdo y dividir entre 11t, se obtiene
dp
De discreto a
(
= 0.06p.
tiende a
continuo
dt
La solución es p(t) =
= 5 años, lo anterior nuevamente suma
$1349 .87. El capital sigue siendo finito, aun cuando se componga a cada instante, y la mejoría sobre la composición diaria es de sólo cuatro centavos.
e0 ·06'p 0 . Al cabo de t
Después de k pasos, uk es una combinación de las n "soluciones puras" J...kx.
estas aplicaciones en botánica, consulte el libro On Growth and Form de D' Arcy Thompson (Cambridge
University Press, 1942), o la hermosa obra de Peter Stevens, Pattems in Nature (Little, Brown, 1974). Cientos de
otras propiedades de los Fn han sido publicadas en el Fibonacci Quarterly. Parece que fue Fibonacci quien llevó
los números arábigos a Europa, alrededor de 1200 d.C.
256
Capítulo 5
5.3
Valores característicos y vectores característicos
Estas fórmulas constituyen dos métodos para encontrar la misma solución
fórmula reconocía que Ak es idéntica con SAks- 1, y es posible detenerse ahí. Sin embargo, el segundo método conlleva la analogía con una ecuación
diferencial: las soluciones
son ahora las
puras de
Los vectores característicos X¡ son amplificados por los valores característicos
A¡. Al combinar estas soluciones especiales para coincidir con u0 --que es de donde proviene e- se recupera la solución correcta u k = S A k s- 1u 0 •
paso es encontrar los
En cualquier ejemplo específico como el de Fibonacci, el
valores característicos:
uk
= SAkS- 1u 0 •• La
A-Al= [
l - J..
l
Dos valores característicos
-~] tiene det (A - U) = J..
A.1 =
1 + .J5
y
2
-
257
Ecuaciones en diferencias y potencias Ak
Para la ecuación en diferencias uk+1 = Auk> se recalca la cuestión principal. Cada vector característico x produce una "solución pura" con potencias de J..:
Cuando el u 0 inicial es un vector característico x, esta es la solución: uk = Akx. En general, u0 no es un vector característico. Pero si u0 es una combinación de vectores característicos, entonces la solución uk es la misma combinación de estas soluciones especiales.
J.. - 1
-.J5
l
A.2 = ---.
2
El segundo renglón de A - Al es (1, - J..). Para obtener (A - Al)x = O, el vector caracte= 1 van en u0 , y
rístico es x = (A., 1). Los primeros números de Fibonacci F0 = O y
s- 1uo =e:
_
_
S 1u0 -
[J.. 1
1
Matrices de Markov
J.. 2 ]-I [l]
.
_ [ l/(A.1 - Az)]
0 proporciona e - -l/(A.i _ Az)
1
Estas son las constantes en uk = c 1J..1x 1 + c 2 A.~x2 • Ambos vectores característicos X¡ y
x 2 tienen por segunda componente a l. Lo anterior deja Fk = c 1 J..~ + CzA~ en la se1rur1aa
componente de uk:
[(1 +/SJ c-/5)']
Números de
Fibonacci
t,
(
1
F 1000 = entero más próximo a .J5
1+.J5
) 1000
--2- -
Esta es una ecuación en diferencias típica, que lleva a las
de A = [ :
año las cantidades fuera y dentro son y 1 y z1 :
Ecuación en
diferencias
y 1 = 0.9y0 + 0.2z 0
z 1 = 0.1y0 + 0.8z0
o bien,
0.2] [yº].
[Z¡y¡] = [º·9
0.1 0.8
Zo
Este problema y su matriz poseen las dos propiedades esenciales de un proceso de Markov:
1.
2.
Este número es enorme, y F 1001 es todavía más grande. Las fracciones se vuelven insignificantes, y el cociente F 1001/F1000 debe estar muy próximo a (1+.J5)/2 ~ 1.618. Debido a que A.~ es insignificante en comparación con J..~, el cociente F k+ ¡IF k tiende a A1•
fo
fo
Cada año,
de la gente que vive Juera de California se cambia a este estado, y de la
gente que vive en California sale del estado. Se empieza con Yo gente fuera y Zo dentro.
Al final del
Esta es la respuesta que se buscaba. Las fracciones y las raíces cuadradas se ven sorpren= Fk+I + debe producir números enteros. De
dentes porque la regla de Fibonacci
alguna manera esa fórmula para debe proporcionar un entero. De hecho, como el seguntérmido término ( ( l - .J5)/2]k / .J5 siempre es menor que sólo debe mover el
no al entero más próximo:
En el capítulo 1, hay un ejercicio sobre salir y entrar a California, que merece un análisis
más detallado. Las reglas eran las si~~ui•ent:es:
El número total de gente permanece fijo. La suma de cada columna de la matriz de
Markov es 1. No se gana ni pierde a nadie.
Los números de gente afuera y dentro jamás pueden volverse negativos: La matriz no
tiene elementos
Todas las potencias de A k son no negativas.•
Esta ecuación en diferencias de Markov se resuelve, usando uk = SAks- 1u 0 . Luego se demuestra que la población tiende a un "estado estacionario". Primero es necesario
diagonalizar a A:
b].
Implica .J5 porque así lo hacen los valores característicos. Si se escoge una matriz con
J.. 1 = 1 y J..2 = 6, es posible centrarse en la simpleza del cálculo, después que se ha diagonalízado A:
A=[~~ -51
11
tiene A= 1 y 6,
con x 1
-l][lko º][2 1] [
2
6k
1
Las ootertcu'IS 6k y 1k aparecen en la última matriz
rísticos.
l
=
2-6k
-2 + 2 . 6k
1 - 6k ]
-1+2. 6k .
, mezcladas por los vectores caracte-
A. 1 = 1 y
A.2 =
O. 7:
[
l -ll][l
±.
0.7
][l 1]
1
-2 .
•Además, la historia ha sido relegada por completo; cada nuevo uk+l depende sólo del uk actual. Tal vez incluso
nuestras vidas son ejemplos de procesos de Markov, aunque espero que no lo sean.
258
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
5.3
Para encontrar Ak, y la distribución luego de k años, SAs- 1 se cambia por SA.ks- 1 :
Yk] = A k
[ Zk
[yº] [3~
~ ] [1k o. 7k ] [ l1 _21] [Yo]
[fl
[-!l
Zo
= (yo + zo)
Zo
+(yo - 2zo)(O. 7)k
Los dos términos son c 1A.1x 1 + c2 A.~x2 • El factor A.t = l está escondido en el primer término. A largo plazo, el otro factor (0.7)k se vuelve extremadamente pequeño. La solución
tiende a un estado limitante u 00 = (yoo, z00 ):
Estado estacionario
[; :] = (yo + zo)
[!] .
o bien,
259
todo mundo debe estar en algún sitio. Esto retrotrae las dos propiedades fundamentales de
una matriz de Markov: La suma de cada columna es 1, y ningún elemento es negativo.
¿Por qué A. = l siempre es un valor característico? La suma de cada columna de A - ¡
es l - 1 = O. En consecuencia, la suma de los renglones de A - I es el renglón cero, los
renglones son linealmente dependientes, y det (A - l) = O.
Excepto por casos muy especiales, uk tiende al vector característico correspondiente.•
En la fórmula Uk = c1A.tx1 + · · · + CnA~Xn ningún valor característico puede ser mayor
que l. (En caso contrario se inflarían las probabilidades u¡J. Si todos los demás valores característicos son estrictamente menores que A. 1 = 1, entonces el primer término en la fórmula es donúnante. Los otros A.~ se van a cero, y uk -+ c 1x 1 = u 00 = estado estacionario.
Este es un ejemplo de uno de los temas torales de este capítulo: Dada información sobre A, encontrar información sobre sus valores característicos. Aquí se encontró A.máx = l.
Estabilidad de uk + 1 = Auk
La población total sigue siendo y 0 + ZQ, pero en el límite ~ de esta población está fuera de
California y~ está dentro. ¡Lo anterior es cierto sin importar cuál haya sido la distribución
inicial! Si el año empieza con~ fuera y~ dentro, entonces termina de la misma forma:
[~:~ ~:~] [!] [!l
Ecuaciones en diferencias y potencias Ak
Au 00 = Uoo·
El estado estacionario es el vector característico de A correspondiente a A. = 1. Multiplicar por A, de un paso temporal al otro, deja sin cambio a u°''"
La teoría de los procesos de Markov, se ilustra con este ejemplo de California:
Hay una diferencia evidente entre los números de Fibonacci y los procesos de Markov. Los
números Fk se vuelven cada vez más grandes, mientras la definición de "probabilidad" está entre O Y 1. La ecuación de Fibonacci es inestable. También lo es la ecuación del interés
compuesto Pk+I = l.06Pk; el capital crece por siempre. Si las probabilidades de Markov
decrecen a cero, esa ecuación seria estable; pero no lo hacen, ya que en cada etapa su suma debe ser l. En consecuencia, un proceso de Markov es neutralmente estable.
Se desea estudiar el comportamiento de uk+t = Auk cuando k -+oo. Suponiendo que
A puede diagonalizarse, uk es una combinación de soluciones puras:
Solución en el instante k
El crecimiento de uk está regido por los A.~. La estabilidad depende de los valores carac-
terísticos:
La matriz A es ciertamente estable:
Para encontrar el múltiplo idóneo de x 1, se usa el hecho de que la población total permanece igual. Si California empezó con todos sus 90 millones de gente fuera, entonces terminó
con 60 núllones fuera y 30 dentro. Termina de la misma forma si originalmente los 90 millones están dentro.
Se observa que muchos autores trasponen la matriz, de modo que la suma de sus renglones es l.
A =
o
[0
4)
~
,
tiene valores característicos O y &.
Los A.s están en la diagonal principal porque A es triangular. Empezando con cualquier u0 ,
y siguiendo la regla uk+t = Auk, la solución debe terminar por tender a cero:
Observación Esta descripción de un proceso de Markov fue determinista: las poblaciones
se movieron en proporciones fijas. Pero si se considera un simple individuo, las fracciones
que se mueven se convierten en probabilidades. Un individuo fuera de California entra con
probabilidad
a este estado. Si está dentro, la probabilidad de salir es
El movimiento
se vuelve un proceso aleatorio, y A se denonúna matriz de transición.
Las componentes de uk = Aku0 especifican la probabilidad de que el individuo esté fuera o dentro del estado. Estas probabilidades nunca son negativas, y su suma es 1; es decir,
fo
fo.
todos los que están afuera se mueven hacia dentro y todos los que están adentro se mueven hacia fuera, entonces
las poblaciones se invierten cada año y no hay estado estacionario. La matriz de transición es A = [ ~
es un valor característico, así como + l, lo cual no puede ocurrir si todos los a,j > O.
~] y - 1
260
Capítulo 5
5.3
Valores característicos y vectores característicos
El mayor valor característico A. = ~ rige la disminución; después del primer paso, cada uk
es ~uk-l· El verdadero efecto del primer paso, es separar u 0 en los dos vectores característicos de A:
Matriz entrada-salida de .....,..,,.,•.VJ
Este es uno de los primeros grandes éxitos de la economía matemática. Para ilustrarlo, se
construye una matriz consumo, en la que aij proporciona la cantidad del producto j que
se requiere para obtener una unidad del producto i:
A=
0.4O 0.1o 0.1]
.
[0.5 0.7 0.8
0.1
(acero)
(alimentos)
(trabajo)
Y:
La
pregunta es: ¿Es posible producir y 1 unidades de acero, unidades de alimentos, y y 3 unidades de trabajo? Es necesario empezar con grandes cantidades Pi, P2, p3, porque una porción se consume en la producción misma. La cantidad que se consume es Ap,
y deja una producción neta de p - Ap.
1
Problema Encontrar un vector p tal que p - Ap = y, o bien, p = (l - A)- y.
Aparentemente sólo se está preguntando si l - A es invertible. Sin em?argo, ha~ un giro
negativo del problema. La demanda y la producción, y y p, son no negativas. Debido a que
pes (l - A)- 1y, la verdadera pregunta es sobre la matriz que multiplica a y:
Aproximadamente, A no puede ser demasiado grande. Si la producción consume demasiado, nada queda como salida. La clave radica en el mayor valor caracteristico A. i de A, que
debe ser menor que l:
si A. 1 > 1, (l - A)- 1 fracasa en ser no negativa.
si A. 1 = 1, (l -A)- 1 fracasa en existir.
si ).. 1 < 1, (l -A)- 1 es una suma convergente de matrices no
Serie ge•l)m.etr1ca
261
A. 1 < 1, cuando las potencias de A se hacen cero (estabilidad) y la serie infinita I + A +
A 2 + ... converge.
Al multiplicar esta serie por l - A se queda con la matriz identidad; todas las poten-
cias superiores se cancelan, de modo que (/ - A)- 1 es una suma de matrices no negativas.
A continuación se proporcionan dos ejemplos:
A = [
Al desarrollar las ideas de Markov es posible encontrar una pequeña mina de oro (completamente opcional) de aplicaciones matriciales a la economía.
Ecuaciones en diferencias y potencias Ak
~ ~] tiene A. = 2 y se pierde la economía
A = [ 0.5
0
1
.
.
.ble prod ucir
. algo.
A.1 = 1 y es 1mpos1
_2] tiene
05
2
En estos casos, las matrices (l
A)- son - ~ [ ~
1
i J y [ ~ ~J.
La inspiración de Leontief fue encontrar un modelo en que se utilizan datos genuinos
de la economía real. La tabla para 1958 contenía 83 industrias en Estados Unidos, con una
"tabla de transacciones" de consumo y producción para cada una. La teoría también llega
más allá de (/ , para decidir precios naturales y cuestiones de optimización. Normalmente, el trabajo está limitado en suministro y debe minimizarse. Y, por supuesto, la
economía no siempre es lineal.
en un modelo entrada-salida cerrado
El modelo se denomina "cerrado" cuando todo lo que se produce es consumido. Nada sale del sistema. En ese caso, A regresa a ser una matriz de Markov. La suma de las columnas es 1. Podría hablarse sobre el valor del acero, y de los alimentos, y del trabajo, en vez
del número de unidades. El vector p representa precios, en vez de niveles de producción.
Suponga que p 0 es un vector de precios. Entonces Ap0 multiplica los precios por cantidades con la finalidad de proporcionar el valor de cada producto. Este es un nuevo conjunto de precios que el sistema utiliza para el siguiente conjunto de valores A 2p 0 . La
pregunta es si los precios tienden al equilibrio. ¿Existen precios tales que p = Ap, y el sistema conduce a ellos?
p se reconoce como el vector característico (no negativo) de la matriz A de Markov,
con A. = l. Este es el estado estacionario p 00 , al que se tiende desde cualquier punto inicial
p 0 . Al repetir una transacción una y otra vez, los precios tienden al equilibrio.
El teorema de "Perron-Frobenius" proporciona las propiedades clave de una matriz
que no debe confundirse con una matriz positiva definida, que es simétrica y todos sus valores característicos son positivos. Aquí todos los elementos aij son positivos.
(7)
En el ejemplo de 3 por 3 se tenía :A. 1 = 0.9, y la salida excedía a la entrada. La producción
continuar.
Es fácil demostrar lo anterior, una vez que se conoce el hecho principal sobre una matriz no negativa como A: No sólo el mayor valor característico
es
sino que
tiene el mismo vector característitambién lo es el vector característico x 1 • Así (l co, con valor característico 1/(1 - A. 1).
Si A. 1 excede a 1, ese último número es .negativo. La matriz (l -A)- 1 tomará
el vec-1
.
tor positivo x 1 como si fuese un vector negativo x¡l(l - :A. 1). En ese caso (l -A) ~efimtivamente no es no negativa. Si A. 1 = 1, entonces l -A es singular. El caso productivo es
Demostración Suponga A > O. La idea clave es considerar todos los números t tales que
Ax 2: tx para algún vector no negativo x (que no sea x = O). La desigualdad Ax 2: tx se deja para contar con muchos candidatos positivos t. Para el mayor valor tmáx (que se alcanza), se demostrará que la
se
Ax = tmáxx.
En caso contrario, si Ax 2:: tm~ no es una igualdad, se multiplica
Debido a que
A es positiva, lo anterior produce una desigualdad estricta A 2x >
En consecuencia,
el vector positivo y = Ax cumple Ay > tmw• y tmáx hubiera podido ser más grande. Esta
contradicción obliga a la igualdad Ax = tm~' y se tiene un valor característico. Su vector
característico x es positivo (no solamente no negativo) debido a que en el miembro izquierdo de esa desigualdad, es seguro que Ax es positivo.
262
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
5.3
Para ver que ningún valor característico puede ser mayor que tmáx• suponga que Az =
A.z. Debido a que tanto A. como z pueden implicar números negativos o complejos, se toman valores absolutos: IA.I 1zl = 1Azl :::; Alzl por la "desigualdad del triángulo". Este lzl
es un vector no negativo, de modo que
es uno de los candidatos posibles t. En conse-
\A.\
cuencia \A.I no puede exceder a A. 1, que era tmáx-
11111
Modelo de von Neumann, de una economía en expansión
Se regresará a la matriz A de 3 por 3 que proporcionó el consumo de combustible, alimentos, y trabajo. Si las salidas son s 1,f1, € 1, entonces las entradas requeridas son
Uo
=
0.4
0
[ 0.5
0.1]
0.8
0.1
0.1
0.7
[S¡l
!1 = Au¡.
Ax=
0.4
o
O 0.1
[ 0.5 0.7
0.1
0.8
0.1
l [l] [º.9]
5
5
4. Sup~nga que cada número de "Gibon~cci" Gk+z es el promedio de los dos números
previos, Gk+I y Gk. Entonces Gk+z = 2 (Gk+t + Gk):
Gk+Z = !Gk+1 + !Gk
l.
Demuestre que cada tercer número de Fibonacci en O, 1, 1, 2, 3, ... es par.
2.
Bernadelli estudió un escarabajo que "sólo vive tres años, y se reproduce en su tercer
año". Estos escarabajos sobreviven el tercer año con probabilidad~, y el segundo con
probabilidad y luego producen seis hembras al final de su vida:
t,
a) Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de A.
b) E?cuentre el límite cuando n -+ oo de las matrices A n = S A n s-1.
e) S1 Go = O Y G1 = 1, demuestre que los números de Gibonacci tienden a~·
5. Diagonalice la matriz de Fibonacci completando s- 1:
u
¿]
o
o
1
3
Demuestre que A = l, y siga la distribución de 3000 escarabajos durante seis años.
calculadora, para encontrar F20 .
[A.~ A.n [A¿ A.~] [
].
A. 2 ).
6. Los números A.~ y A.~ cumplen la regla de Fibonacci Fk+Z = Fk+i + Fk:
Ak+2 = ;,.k+I +Ak
1
1
l
;,.k+2 = 1 k+l + ,k
y
2
"-2
"2·
Demuestre lo anterior, usando la ecuación original para los A.s (multiplíquela por A.k)_
Entonces, cualquier combinación de A.Í y A~ cumple la regla. La combinación
Fk = (A1 - A.D / (A. 1 - A. 2 ) proporciona el inicio correcto de Fo= O y F 1 = l.
7. Lucas empezó con Lo= 2 y L 1 = l. La regla Lk+z = Lk+i + Lk es la misma, de modo que A sigue siendo una matriz de Fibonacci. Sume sus vectores característicos
X¡+ Xz:
Al multiplicar por Ak, la segunda componente es Lk = A.1 +A~. Calcule el número
de Lucas L10• lentamente aplicando Lk+Z = Lk+t + Lk. y calcule aproximadamente
con A.lº·
8. Suponga que hay una epidemia en la cual, cada mes la mitad de los sanos enferman y
la cuarta parte de los enfermos fallecen. Encuentre el estado estacionario para el proceso de Markov, correspondiente
[ ~:::] [~ i ~] ¡~:].
=
Ü
Ü
~
Wk
9. Escriba ~a matri~ de transición de 3 por 3 para un curso de química que se enseña en
dos secciones, s1 cada semana ;¡1 de los de la sección A y de los de la sección B abandonan el curso, y ~ de cada sección se cambia a la otra sección.
t
10. Encuentre los valores limitantes de Yk y zk (k-+ oo) si
3
Para la matriz de Fibonacci A =
=
el k-ésimo número de Fibonacci Fk = (A.1 - A.D /(A. 1 -
Wk+I
3.
es
Gk+I = Gk+I
4.5
4.5
Con acero- alimentos -trabajo, en la razón 1 - 5-5, la economía crece tan rápido como es
posible: La razón de crecimiento máxima es 1/A. 1 .
Matriz escarabajo
[~
J,
263
Realice la multiplicación SA k s-i [ ~ J para encontrar su segunda componente. Este es
€1
En economía, ¡la ecuación en diferencias es hacia atrás! En vez de u 1 = Aito, se tiene u0 =
Au 1• Si A es pequeña (como es el caso), entonces la producción no consume todo, y la economía puede crecer. Los valores característicos de A - t rigen este crecimiento. Pero otra
vez hay un giro no negativo, ya que el acero, los alimentos, y el trabajo no se presentan en
cantidades negativas. Von Neumann se preguntó por la razón máxima t a la que puede crecer la economía sin dejar de ser no negativa, lo cual sigrúfica que u 1 ::::: tu 0 ::::: O.
Así, el problema requiere u 1 ::::: t Au 1. Es como el teorema de Perron-Frobenius, con
A en el otro lado. Como antes, la igualdad se cumple cuando t alcanza tmáx; que es el valor
característico asociado con el vector característico positivo de A - 1• En este caso, el factor
de expansión es ~ :
y
Ecuaciones en diferencias y potencias Ak
~ calcule A 2 , A 3 , A 4 • Luego, use el texto y una
Yk+I = 0.8yk + 0.3zk
Zk+I = 0.2yk + 0.7zk
o
Yo =
Zo = 5.
También, encuentre fórmulas parayk y zk, a partir de Ak = SAks-1.
264
5.3
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
11. a) A partir del hecho de que columna 1 + columna 2 = 2(columna 3), de modo que
las columnas son linealmente
encuentre un valor característico y un
vector característico de A:
A=
0.2
0.4
[ 0.4
0.4
0.2
0.4
13. a)
qué rango de a y b está la siguiente ecuación de un proceso de Markov?
Uk+! = Auk = [ l
~a
l
~ b] Uk,
Uo =
rn ·
5AkS- 1uo para cualesquiera a y b.
b) Calcule uk =
c) ¿En
condición sobre a y b, uk tiende a un límite finito cuando k-+ oo y cuál
es el límite? ¿A debe ser una matriz de Markov?
14.
multinacionales en América, Asia y
poseen bienes por $4 trillones.
Al principio, $2 trillones están en América y $2 trillones están en Europa. Cada año,
~ del dinero en América se queda en ese continente, y ~ se va a Asia y Europa. Para
Asia y
~ permanece ahí y ~ se envía a América.
a) Encuentre la matriz que proporciona
América
Asia
[
Europa
l
18. Encuentre los a, b, e más grandes, para los cuales las surníentes matrices son estables
o neutralmente estables:
0.2 ,
[o.~ -0.8]
12. Suponga que hay tres centros principales para los camiones Muévalo-Usted-Mismo.
Cada mes, la mitad de los camiones que están en Boston y en Los Ángeles, van a Chicago, la otra mitad se queda donde están, y los camiones en Chicago se dividen
tativamente entre Boston y Los Ángeles. Escriba la matriz de transición A de 3 por 3,
y encuentre el estado estacionario u= correspondiente al valor característico A = l.
[América
=A Asia
año k+ 1
Europa
l
A
20. Para A = (
[~
-b] (valores característicos i y -i) gira alrede-
dor de un círculo: u = (cos t, sen t). Suponga que duldt se aproxima por diferencias
hacia adelante, hacia atrás, y centradas F, B, C:
(F) Un+l - Un = Aun o Un+l = (l + A)un
(este es el método de Euler).
(hacia atrás Euler).
1
(C) Un+! -un= ~A(Un+I +un) O Un+!= (l-!A)- (! + iA)un•
(B) Un+l - Un = Aun+! o Un+! = (/ -
Encuentre los valores característicos de l + A, (/
, e ( l - ~A)-! ( l + ~A).
¿Para cuál ecuación en diferencias la solución un permanece en un círculo?
o;s]e ·
e
[ 0.2
~ rn ~
il
~ O.
que tiendmú
g g:~], encuentre las potencias Ak (incluyendo Aº), y demuestre explícita-
mente que su suma coincide con(/ -A)- 1•
21. Explique por matemáticas o economía por qué al incrementar la "matriz de consumo"
A debe incrementarse tmáx =
(y aminorar el desarrollo).
22. ¿Cuáles son los límites cuando k -+oo (los estados estacionarios) de lo siguiente?
[l]o , [º·4
0.2]k [º]l ,
[0.0.64 0.2]k
0.8
0.6 0.8
23 a 29 son sobre A = SAs- 1 y
Los
[º.4
0.2]k
0.6 0.8
Ak =
1
23. Diagonalice A y calcule S A k 5- con la finalidad de demostrar esta fórmula para A k:
A = [
~ ;J
tiene
Ak =
~ [ ;: ~ ~ ;: + !J.
24. Diagonalice B y calcule S A k s- 1 con la finalidad de demostrar esta fórmula para
B = [
~ ;]
Bk = [
tiene
~k
3
k; 2 k] .
25. Los valores característicos de A son 1 y 9, y los valores característicos de B son -1 y
9:
A=[¡ ~]
15. Si A es una matriz de Markov, demuestre que la suma de las componentes de Ax es
igual a la suma de las componentes de x. Deduzca que si Ax = Ax con A =76 1, entonces la suma de las componentes del vector característico es igual a cero.
16. La solución de dul dt = Au =
0.2 ,
[~ 0.8]
19. Multiplique término a término para comprobar que ( l - A)(/ + A + A 2 + ... ) = ¡.
Esta serie representa (/ - A)- 1. Es no negativa cuando A es no negativa, en el supuesto de que tenga una suma finita; la condición para esto es Amáx < 1. Sume la serie infinita, y confirme que es igual a(/ -A)- 1 , para la matriz de consumo
año k
b) Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de A.
e) Encuentre la distribución limitante de los $4 trillones, cuando se acaba el mundo.
d) Encuentre la distribución de los $4 trillones en el año k.
265
17. ¿Qué valores de a producen inestabilidad en Vn+I = a(vn + Wn), Wn+J = a(vn + Wn)?
0.3]
0.3 .
0.4
b) Encuentre los otros valores característicos de A (es una matriz de Markov).
e) Si u 0 = (O, 10, 0), encuentre el límite de Aku0 cuando k-+ oo.
Ecuaciones en diferencias y potencias A'
y
B = [
~ ¡].
Encuentre una matriz raíz cuadrada de A, a partir de R = S-Jl\. 5-1 . ¿Por qué para B
no existe ninguna matriz raíz cuadrada real?
26. Si A y B tienen los mismos A.s con el mismo conjunto completo de vectores característicos
su factorización en ___es la misma. Así, A = B.
27. Suponga que A y B tienen el mismo conjunto completo de vectores característicos, de
modo que A = SA 1 s- 1 y B = SA25- 1 • Demuestre que AB = BA.
ocurre, que los vectores característicos para A = O generan el espacio nulo N(A)?
b) ¿Cuándo ocurre, que todos vectores característicos para ),. =76 O generan el espacio
columna C(A)?
28. a)
266
Capítulo 5
29. Las potencias de Ak tienden a cero si todos los j.A.;j < 1, y se inflan si cualquier j.A.;1 >
l. Peter Lax proporciona cuatro ejemplos sorprendentes en su libro Linear Algebra.
u¡]
B = [ _;
_;]
8 1024 = ¡
-~]
C = ( _;
c1024
D = [ _;
~;]
-e
=
Encuentre los valores característicos A. = e ;e de B y C, para demostrar que B4 = I y
que C 3 =-l.
ECUACIONES DIFERENCIALES Y ,¡it
Siempre que se encuentra un sistema de ecuaciones, más que una sola ecuación, la teoría de
matrices tiene un papel que desempeñar. Para ecuaciones en diferencias, la solución uk =
Aku0 dependía de las potencias de A. Para ecuaciones diferenciales, la solución u(t) =
eA' u(O) depende de la exponencial de A. Para definir esta exponencial, y comprenderla, de
inmediato se presenta un ejemplo:
[-2 l]
du = Au =
dt
Ecuación diferencial
l
-2
u.
(1)
El
paso siempre consiste en encontrar los valores característicos ( -1 y -3), así como los vecto~es característicos:
A
[i]
=(-1)
rn
y
Hay dos cos~ 'iliáfq'uifa¿er i6fi'· é'S'i'.Ptjt!itliffó. Una es completar el procedimiento
matemático, proporcionando una definición directa de la exponencial de una matriz. La
otra es proporcionar una interpretación física de la ecuación y su solución. Se trata del tipo de ecuación diferencial que tiene aplicaciones de utilidad.
La exponencial de una matriz diagonal A es fácil; eAE tiene justo los n números é'
en la diagonal. Para una matriz general A, la idea natural es imitar la serie de potencias
ex = 1 + x + x 2/2 ! + x 3 /3 ! + .... Si se sustituye x por At y 1 por /, esta suma es una
matriz den por n:
Luego, varios métodos llevan a u(t). Quizá lo mejor sea hacer coincidir la solución general con el vector inicial u(O) en t = O.
La solución general es una combinación de soluciones exponenciales puras. Estas son
soluciones de la forma especial ce>-' x, donde A. es un valor característico de A, y x es su
vector característico. Estas soluciones puras satisfacen la ecuación diferencial, ya que
d/dt(ceA'x) = A(ceMx). (Fueron la introducción a los valores característicos al inicio
del capítulo). En este ejemplo de 2 por 2, hay dos exponenciales puras a combinar:
Solución
u(t) =cie>-•'xi +c2e1.21 x2 o bien, u=
[i -i] [e-' e_
3, ]
[~~]. (2)
e
Ar
(At)2
(At)3
= I + At + - - + - - + · · · .
=I+SAS- 1t+
s
(1 +
SA 2 s- 1 t 2
2!
+
SA 3 S- 1t 3
3!
+···
At + (At)2 + (At)3 + .. ·) s-1 = SeAt s-1.
2!
En la ecuación (1), la exponencial de A =
3!
[-f -~ J tiene A = [-
1
_ 3 ]:
En t = O, se obtiene e0 = l. La serie infinita e' proporciona la respuesta para toda t, aunque es difícil calcular una serie. La forma SeA' s- 1 proporciona la misma respuesta cuando es posible diagonalizar a A: se requieren n vectores característicos independientes en S.
Esta forma más senciUa, lleva a una combinación de n exponenciales e1.tx, que es la mejor
solución de todas:
En el instante cero, cuando las exponenciales son e0 = l, u(O) determina c 1 y c2 :
u(O) = c 1x 1 + c2 x 2 = [
Condición inicial
i _~] [~~]
= Se.
Se reconoce S, la matriz de vectores característicos. Las constantes e = s- 1u(O) son las
mismas que para las ecuaciones en diferencias. Al sustituirlas de nuevo en la ecuación (2),
se encuentra que la solución es
u(t) = [
~ -~] [e-'
e-3r] [~~] = S [e-' e-31] s- u(O).
1
(3)
He aquí lafónnulafundamental de esta sección: SeA' s- 1 u(O) resuelve la ecuación diferencial, justo como SA k s- 1 u 0 resolvía la ecuación en diferencias:
-t
con
y
eA' =
e
[
(4)
(5)
2!
3!
La serie siempre es convergente, y su suma e' tiene las propiedades idóneas:
d
(eA')(eA') = eA(s+t),
(eA')(e-A') = /,
y
-(eA') = AeA'.
(6)
dt
A partir de la última expresión, u(t) = eAtu(O) resuelve la ecuación diferencial. Esta solución debe ser la misma que la forma SeAE s- 1 u(O) empleada para computación. Para demostrar directamente que estas soluciones coinciden, recuerde que cada potencia (S As- 1 )k se
traduce en Ak = SAks- 1 (debido a que s- 1 cancela a S). Toda la exponencial es diagonalizada porS:
=
A[-~] =(-3) [-~]·
267
. ;··c;.::-'CI·.> ¡GEL URUGt:J¡;i.v
Matriz exponencial
5.4
Ecuaciones diferenciales y e-4'
- "! ! .. :
In¡;¡.~''.'..~'"'.
A =
f'-;,:... _
·.~o
Valores característicos y vectores característicos
Las constantes e; que cumplen las condiciones iniciales u(O) son e = s- 1 u(O).
268
5.4
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
Lo anterior proporciona una analogía completa con las ecuaciones en diferencias y
SAS- 1 u 0 • En ambos casos se supuso que era posible diagonalizar a A, ya que en caso contrario posee menos de n vectores característicos y no se han encontrado suficientes soluciones especiales. Las soluciones que faltan existen, aunque son más complicadas que las
exponenciales puras eMx. Implican "vectores característicos generalizados" y factores como te,_,_ (Para calcular este caso defectuoso, puede usarse la forma de Jordan que se muessiendo comtra en el apéndice B, y encontrar eJ'). La fórmula u(t) =
pl1et:a11nen1te co:r:recta.
La matriz e4' nunca es
Una demostración consiste en considerar sus valores característicos; si A. es un valor característico de A, entonces e,_' es el valor característico correspondiente de e4', y e,_' jamás puede ser cero. Otro método es calcular el
determinante de la exponencial:
(9)
Demostración rápida de que e4' es invertible: Simplemente reconozca e-At como su inversa.
Esta invertibilidad es fundamental para las ecuaciones diferenciales. Si n soluciones
son linealmente independientes en t = O, son linealmente independientes por siempre. Si
los vectores iniciales son v 1, ••• , vm entonces las soluciones e4'v pueden escribirse en una
matriz:
[eA'v1
El determinante del miembro izquierdo es el wronskiano.
nunca es cero, ya que es el
producto de dos determinantes diferentes de cero. Las dos matrices en el miembro derecho
son invertibles.
Observación No todas las ecuaciones diferenciales se presentan como un sistema de pride una simple ecuación de orden supemer orden du/dt = Au. Es posible empezar, a
rior, como y'" - 3y" + 2y' = O. Para convertir lo anterior en un sistema de 3 por 3, se
introducen v = y' y w = v' como incógnitas adicionales, junto con y misma. Luego, estas
dos ecuaciones se combinan con la original para obtener u' = Au:
y'= V
v' = w
w' = 3w -2v
u'~ [~ -2o
1
o bion,
n[;] ~
Au.
De nuevo, se ha regresado a un sistema de
orden. El problema puede resolverse
de dos formas. En un curso de ecuaciones diferenciales, y = e,_' se sustituiría por
y"' - 3y" + 2y' = O:
(A. 3 - 3A. 2 + 2A.)e,_, = O
o bien,
A.(A. - l)(A. - 2)e,_' = O.
(10)
Las tres soluciones exponenciales puras son y = eº', y = e', y y = e2'. No está implicado
ningún vector característico. En un curso de álgebra lineal, se encuentran los valores característicos de A:
det(A - U)
~
¡-g ::; rJ~
3
-Á' + 3Á' - 2Á
~O.
269
La
física de du! dt = [
-~] es fácil de
y al mismo tiempo
es realmente importante. Esta ecuación diferencial describe un proceso de difusión.
-i
5.1
Modelo de difusión entre cuatro segmentos.
Divida un tubo infinito en cuatro segmentos (véase la figura 5.1). En el instante t = O, los
segmentos de en medio contienen concentraciones v(O) y w(O) de un producto químico. En
cada instante t, la razón de
entre dos segmentos adyacentes es la
en
concentraciones. Dentro de cada segmento, la concentración permanece uniforme (cero en
los segmentos infinitos). El proceso es continuo en el tiempo pero discreto en el espacio;
las incógnitas son v(t) y w(t) en los dos segmentos interiores S 1 y S2 .
La concentración v(t) en S 1 cambia de dos formas.
una difusión hacia S0 , y hacia
o fuera de S2 . La razón de cambio neta es dv/dt, y dw/dt es semejante:
Caudal hada S1
-dv
= (w - v) + (0 - v)
dt
Caudal hacia S2
-
dw
= (O - w) + (v - w).
dt
Esta ley de difusión coincide exactamente con nuestro ejemplo du/dt = Au:
u=[~]
y
du =
dt
[-2v + w] [-2 l]
V -
2w
=
1
-2
u.
Los valores característicos - 1 y - 3 rigen la solución, y proporcionan la razón de que se
desintegra la concentración, y A1 es el más importante porque sólo un conjunto excepcional de condiciones puede conducir a "superdesintegración" a la razón e- 3'. De hecho, estas condiciones deben provenir del vector característico (1, -1). Si el experimento sólo
admite concentraciones no negativas, es imposible y la razón lirnitante debe ser e-'. La solución que se desintegra a esta razón más lenta, corresponde al vector característico (1, 1).
En consecuencia, las dos concentraciones se vuelven casi iguales (lo cual es típico de la difusión) cuando t -;.oo.
Un comentario adicional sobre este
Se trata de una
discreta, con
sólo dos incógnitas, para la difusión continua descrita por esta ecuación diferencial parcial:
Ecuación del calor
&u
o2 u
-¡¡¡ - ox 2 •
Esa ecuación del calor es aproximada, al dividir el tubo en segmentos cada vez más pequeños, de longitud 1/N. El sistema discreto con N incógnitas está regido por
(11)
¡Las ecuaciones (10) y (11) son las mismas! Aparecen los mismos tres exponentes: A. = O,
A = 1, y A.= 2. Esta es una regla general que hace consistentes a los dos métodos; las razones de crecimiento de las soluciones permanecieron fijas cuando las ecuaciones cambiaron de forma. Nos parece que resolver la ecuación de tercer orden es más rápido.
Ecuaciones diferenciales y e4'
1
-2
l [~ ]
1
-2
UN
= Au.
(12)
270
5.4
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
Esta es la matriz en diferencias finitas con el patrón l, -2, l. El miembro derecho de Au
tiende a la segunda derivada d 2 u/ d:x?-, luego que un factor de escalaN 2 se presenta del problema de flujo. En el límite cuando N--+ oo, se llega a la ecuación del calor aula t =
azula xz. Sus soluciones siguen siendo combinaciones de exponenciales puras, aunque
ahora hay una infinidad. En vez de vectores característicos de Ax = A.x, se tienen funciones características de d 2ut dx 2 = A.u. Éstas son u(x) = sen mrx con A. = -n2 n2. Así, la
solución de la ecuación del calor es
Ecuaciones diferenciales y !!/''
211
y es necesario saber cuándo, ambos valores característicos de esta matriz tienen partes reales negativas. (Observe nuevamente que los valores característicos pueden ser números
complejos). Las pruebas de estabilidad son
00
u(t) =
2=
2
Cne-n "
2
'
sennrr x.
n=I
Las constantes cn están determinadas por la condición inicial. La novedad es que los vectores característicos son funciones de u(x), ya que el problema es continuo y no discreto.
Estabilidad de las ecuaciones diferenciales
Así como para las ecuaciones en diferencias, los valores característicos deciden cómo se
comporta u(t) cuando t--+ oo. En la medida en que sea posible diagonalizar a A, hay n soluciones exponenciales puras de la ecuación diferencial, y cualquier solución específica
u(t) es alguna combinación
Cuando los valores característicos son reales, estas pruebas garantizan que son negativos.
Su producto es el determinante; es positivo cuando los valores característicos tienen el mismo signo. Su suma es la traza; es negativa cuando ambos valores característicos son negativos.
Cuando los valores característicos son un par complejo x ± iy, las pruebas siguen teniendo éxito. La traza es su suma 2x (que es< O) y el determinante es (x + iy)(x - iy) =
x2 + y2 >O. En la figura 5.2 se muestra el cuadrante estable, la traza< O y el determinante > O. También se muestra la línea fronteriza parabólica entre los valores característicos
reales y complejos. La razón de la parábola se encuentra en la ecuación cuadrática para los
valores característicos:
det [
a - ).
c
d
~A.] = A. 2 - (traza)A. + (det) =O.
(13)
La fórmula cuadrática para A. conduce a la parábola (traza) 2 = 4(det):
La estabilidad está regida por estos factores e";'. Si todos ellos tienden a cero, entonces u(t)
tiende a cero; si todos están acotados, entonces u(t) permanece acotado; si uno de ellos se
infla, entonces excepto por condiciones iniciales muy especiales la solución se infla. Además, el tamaño de eAi sólo depende de la parte real de A.. Lo único que rige la estabilidad
son las partes reales de los valores característicos: si A. =a + ib, entonces
Lo anterior se desintegra para a < O, es constante para a = O, y explota para a > O. La parte imaginaria produce oscilaciones, aunque la amplitud proviene de la parte real.
A.1
y A.2 =
1
2
[traza± V(traza) 2 - 4(det)].
Arriba de la parábola, el número en el radicando es negativo, de modo que A. no es real. Sobre la parábola, la raíz cuadrada es cero y A. es repetido. Debajo de la parábola, las raíces
cuadradas son reales. Toda matriz simétrica tiene valores característicos reales, ya que si
b = c, entonces
(traza) 2 - 4(det) =(a + d) 2 - 4(ad - b 2 ) =(a - d) 2 + 4b2 ::::: O.
Para valores característicos complejos, b y c tienen signos opuestos y son suficientemente
grandes.
determinante D
\
A.1 =A.2
y
/~=W
¡
ambos Re A. > O :
inestables
/
'
"",
valores
, '
'.característicos complejos
•
ambosA.<-0 "·
_.•• ···'ambosA.>0
reales y estables '' '.,
_..
reales e inestables
\
ambos Re A. < O
•,
estables
.
En algunos textos, la condición Re A.< O se denomina estabilidad asintótica, porque garantiza desintegración para grandes instantes t. Nuestro razonamiento dependía de contar con
n soluciones exponenciales puras, pero incluso si A no es diagonalizable (y haya términos
corno te;."; el resultado sigue siendo cierto: todas las soluciones tienden a cero si y sólo si
todos los valores característicos tienen Re A.< O.
La estabilidad es especialmente fácil de decidir para un sistema de 2 por 2 (que es muy
común en aplicaciones). La ecuación es
~~ = [~ ~]u,
(14)
.....
.... .......
det <O proporciona A. 1 <O y A. 2 >O: reales e inestables
5.2
Regiones de estabilidad e inestabilidad para una matriz de 2 por 2.
272
Capítulo 5
Valores característicos y vectores característicos
5.4
Uno de cada cuadrante: sólo #2 es estable:
[
-1
La última ecuación expresa una propiedad esencial de las matrices ortogonales. Cuando
multiplican a un vector, la longitud no cambia. El vector u(O) simplemente rota, y eso describe la solución de duldt = Au: se desplaza alrededor de un círculo.
En este caso bastante poco común, e4' también puede reconocerse directamente, a partir de la serie infinita.
º] [~ -~J
o -2
Sobre las fronteras del segundo cuadrante, la ecuación es neutralmente estable. Sobre el eje
horizontal, un valor característico es cero (porque el determinante es A. 1A. 2 = 0). Sobre el
vertical arriba del eje, ambos valores característicos son puramente imaginarios (porque la traza es cero). Cruzando estos ejes están las dos formas en que se pierde la estabilidad.
Observe que A = [ ~
El caso de n por n es más difícil. Una prueba para Re A.; < O se debe a Routh y Hurwitz, quienes encontraron una serie de desigualdades sobre los elementos ªij· No creo que
este método sea demasiado bueno para una matriz grande; quizá la computadora encuentre los valores característicos con mayor certidumbre de los que puede probar tales desigualdades. La idea de Liapunov fue encontrar una matriz de ponderación W tal que la
longitud ponderada IJWu(t)il siempre es decreciente. Si existe una W así, entonces IJWull decrece de manera estable a cero, y después de algunos altibajos u también debe llegar ahí
(estabilidad). El verdadero valor del método de Liapunov, se encuentra para una ecuación
no lineal; entonces la estabilidad
demostrarse sin necesidad de conocer una fórmula
para u(t).
du/dt =
[~
Ecuaciones diferenciales y e-4'
- ~] tiene A 2 = - 1, lo cual se aplica en la serie para e':
l + At + (At)2 + (At)3
= [cost
sent
La ecuación de difusión es estable: A = [ -~
-sentl
cost
-~ J tiene A. = -1 y A. = -3.
Si los segmentos infinitos se cierran, nada puede escapar:
-1] u manda a u(t) alrededor de un círculo, empezando desde u(O) = (1, 0).
0
o bien.
dvjdt = W -
V
dw/dt =V -
W.
Debido a que traza= O y det = 1, se tienen valores característicos puramente imaginarios:
-1]
_A.
= A.
2
+ l = O de modo que A. = + i
y
Este es un proceso de Markov continuo. En vez de moverse cada año, las partículas se mueven a cada instante. Su número total v + w es constante. Esto se debe al hecho de sumar
dos ecuaciones en el miembro derecho: la derivada de v + w es cero.
Una matriz de Markov discreta tiene la suma de sus columnas igual a Amáx = l. Una
matriz de Markov continua, para ecuaciones diferenciales, tiene la suma de sus columnas
igual a A.máx = O. A es una matriz de Markov discreta si y sólo si B = A - les una matriz
de Markov continua. El estado estacionario para ambas es el vector característico para
Amáx. Se multiplica por 1k = 1 en ecuaciones en diferencias y por eº' = 1 en ecuaciones diferenciales, y no se mueve.
En el ejemplo, el estado estacionario tiene v = w.
- i.
Los vectores característicos son (1, -i) y (1, i), y la solución es
1. [ 1] + 2e-"
1 . [l]
u(t) = 2e" -i
i .
Lo anterior es correcto pero no es elegante. Al sustituir cos t ± i sen t para ei' y e-'', vuelven a aparecer números reales: la solución circulante es u(t) = (cos t, sen t).
bn1pezat1C10 desde una u(O) = (a, b) distinta, la solución u(t) termina como
t] [ª]b"
a cos t - b sent]
[ cos t -sen
u(t)=bcost+asent=sent
[
cost
tieilílDIO 6
(15)
¡Aquí se tiene algo importante! La última matriz multiplica a u(O), por lo que debe ser la
exponencial e"'-'. (Recuerde que u(t) = e4'u(0).) Esta matriz de senos y cosenos es nuestro
ejemplo principal de una matriz ortogonal. La longitud de las columnas es 1, su producto
interno es cero, y se tiene una confirmación de un hecho maravilloso:
= -A proporciona un sistema conservador. En amortiguamiento o difusión no se pierde energía:
En ingeniería nuclear, un reactor se denomina crítico cuando es neutralmente estable; la fisión equilibra la desintegración. Una fisión más lenta lo hace más estable, o subcrítico, y
finalmente se desmantela. La fisión inestable es una bomba.
Ecuaciones de se1~u11100 orden
Las leyes de difusión llevaron a un sistema de primer orden duldt = Au. Así lo hacen también muchas otras aplicaciones en química, biología, y otras áreas, aunque la ley más importante de la física no lo hace. Se trata de la ley de Newton F = ma, y la aceleración a es
una segunda derivada. Los términos inerciales producen ecuaciones de segundo orden (es
necesario resolver d 2 uldf = Au en vez de duldt = Au), y el objetivo es entender cómo este giro a segundas derivadas modifica la solución.* En álgebra lineal es opcional, pero no
es así en física.
cuartas derivadas también son posibles, en la flexión de vigas, aunque la naturaleza parece resistir si se pasa a derivadas superiores a aquéllas.
5.4
274
Ecuaciones diferenciales y e"'
275
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
La comparación es perfecta si se preserva la misma A:
2
-d u = Au =
dt 2
[-2 l]
l
-
(16)
2 u.
Dos condiciones iniciales inician el sistema: el "desplazamiento" u(O) y la "velocidad"
u' (0). Para cumplir estas condiciones, hay 2n soluciones exponenciales puras.
Suponga que se usa w en vez de Je, y que estas soluciones especiales se escrib~n como u = eiwt x. Al sustituir esta exponencial en la ecuación diferencial, debe cumphr
d2 ·
·
(17)
-(e""'x)
= A(e'"''x),
o bien, -w2 x = A x.
dt 2
El vector x debe ser un vector característico de A, exactamente como antes. Ahora el valor característico correspondiente es -w2 , de modo que la frecuencia w está relacionada
con la razón de desintegración Je mediante la ley -w 2 = Je. Toda solución especial e'-'x de
la ecuación de primer orden lleva a dos soluciones especiales eiwt x de la ecuación de seLo anterior sólo fracasa cuando Je =
gundo orden, y los dos exponentes son w =
O, que sólo tiene una raíz cuadrada: si el vector característico es x, entonces las dos soluciones especiales son x y tx.
Para una matriz de difusión genuina, todos los valores característicos Je son negativos
y todas las frecuencias w son reales: la difusión pura se transforma en oscilación pura. Los
factores eiwt producen estabilidad neutra, la solución no crece ni se desintegra, y la energía total permanece precisamente constante. Simplemente continúa pasando alrededor del
sistema. La solución general de d 2 u!di2 = Au, si A tiene valores característicos negativos
F"5:J,
Jc 1 , ••• ,An y si Wj =
es
u(t) = (c 1ei"' 1' + d 1 e-w 11 )X¡ + · · · + (cneiw.t + dne-i"'•')xn.
(18)
Como siempre, las constantes se encuentran a partir de las condiciones iniciales. Esto es
más fácil de hacer (a expensas de una fórmula adicional) cambiando de exponenciales oscilatorias a las funciones seno y coseno más conocidas:
!:i.3
Los modos de oscilación rápida y lenta.
tira (véase la figura 5.3a). La frecuencia w 1 = 1 es la misma que para un solo resorte y
una sola masa. En el modo más rápido x 2 = (1, -1) con frecuencia v'3, las masas se mueven de manera opuesta pero a la misma velocidad. La solución general es una combinación de estos dos modos normales. La solución particular es la mitad de cada una.
A medida que transcurre el tiempo, el movimiento es "casi periódico". Si la razón w 1/ w 2
fuese una fracción como 2/3, las masas terminarían por volver a u(O) = (1, 0) y empezarían
de nuevo. Una combinación de sen 2t y sen 3t tendría un periodo de 2rr. Sin embargo, ./3
es irracional. Lo mejor que puede decirse es que las masas estarán arbitrariamente próximas
a (1, O) y también a (0, 1). Como una bola de billar que rebota por siempre en una mesa perfectamente lisa, la energía total es fija. Tarde o temprano las masas llegan cerca de cualquier
estado con esta energía.
De nuevo es imposible dejar el problema sin establecer un paralelismo con el caso
continuo. A medida en que las masas y los resortes discretos se unen en una varilla sólida,
las "segundas diferencias" dadas por la matriz A I, -2, l se convierten en segundas derivadas. Este límite es descrito por la célebre ecuación de onda a2u!at 2 = a2u/ax2.
(19)
El desplazamiento inicial u(O) es fácil de mantener separado: t = O significa que sen wt =
O y cos wt = 1, dejando sólo
u(O) = a¡X¡ + ... + anXn,
o bien,
u(O) = Sa,
o bien,
a = s- u(O).
Luego de diferenciar u(t) y hacer t = O, las bs se determinan por la velocidad inicial:
u'(O) = b 1 w 1 x 1 + · · · + bnWnXn. La ecuación se resuelve al sustituir las as y las bs en la
fórmula para u(t).
La matriz A= [-~
W2 =
1.
1
-~ J tiene Jc 1 = -1 y Jc2 = -3. Las frecuencias son w 1 = l y
A= [
Solución de u(O) =
[!]
u(t) =
~cost
rn + ~cosJJt [-i]·
Físicamente, dos masas están unidas entre sí y a paredes estacionarias mediante tres
resortes idénticos (véase la figura 5.3). La primera masa se mantiene a v(O) = 1, la segunda se mantiene a w(O) = O y en t = O se libera. Su movimiento u(t) se convierte en un promedio de dos oscilaciones puras, correspondientes a los vectores característicos. En el
primer modo x 1 = (1, 1), las masas se mueven juntas y el resorte en el medio jamás se es-
-1
1
2.
Para la matriz previa, escriba la solución general de duldt = Au, así como la solución
específica que coincida con u(O) = (3, 1). ¿Cuál es el estado estacionario cuando
t--+ oo? (Este es un proceso de Markov continuo; Je =O en una ecuación diferencial
corresponde a Je = len una ecuación en diferencias, ya que eº'= l.)
3.
Suponga que la dirección temporal se invierte para obtener la matriz -A:
./3 . Si el sistema inicia desde el reposo, u' (0) = O, los términos en b sen wt desapa-
recen:
Siga el primer ejemplo de esta sección, para encontrar los valores característicos y los
vectores característicos, así como la exponencial !11', para
du
[ l
dt = -1
-1]
l
u
con
Uo =
rn.
Encuentre u(t) y demuestre que se infla en vez de desintegrarse cuando t --+ oo. (La
difusión es irreversible, y la ecuación del calor no puede aplicarse en retrospectiva.)
276
5.4
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
4. Si P es una matriz proyección, a
de la serie infinita demuestre que
5. UnamatrizdiagonalcomoA = [ ~
~] satisfacelaregladecostumbre eA(t+T) = eAteAT
ya que la regla se cumple para cada elemento diagonal.
a)
por qué eA t+TJ = eA1 eAT, usando la fórmula eA' = SeAt s- 1 •
b) Demuestre que eA+B = eAeB no se cumple para matrices a
del
B = [
du = Au =
dt
3
o
-4
13. Para la ecuación simétrica sesgada
g -~] (utilice la serie para eA y eB)
[y]
- [y']
y' - y"
[-~o
¿Por qué se sabe, sin necesidad de calcular, que ¿l' es una matriz ortogonal y que
llu(t) 11 2 = uf +u~ +u~ es constante?
~>Au=
6. La ecuación de orden superior y" + y = O puede escribirse como un sistema de primer orden si la velocidad y' se introduce como otra incógnita:
d
dt
277
12. Encuentre los valores característicos y los vectores característicos para
+ I.718P.
eP ~ I
Ecuaciones diferenciales y e'"
[ y']
H
e
o
-a
a) Escriba u~, u;, u; y confirme que u~ u 1 + u;u 2 + u;u 3 = O.
-y .
Si ésta es du/dt = Au, ¿cuál es la matriz A de 2 por 2? Encuentre sus valores característicos y sus vectores característicos, y calcule la solución que empieza desde y(O) = 2,
y'(O) =O.
b) Deduzca que la longitud uf +u~ +u~ es una constante.
e) Encuentre los valores característicos de A.
La solución gira alrededor del eje w = (a, b, e), porque Au es el "producto cruz" u X
w, que es perpendicular a u y w.
14. ¿Cuáles son los valores característicos A. y las frecuencias w, así como la solución general de la siguiente ecuación?
7. Transforme y" =O a un sistema duldt = Au de primer orden:
:t [~,] [~'] [g ~] [~l
=
Esta matriz A de 2 por 2 sólo tiene un vector característico y no es posible 01;:1.g1Jn<mzarla. Calcule ¿l1, a
de la serie I + At + ···y escriba la solución ¿l'u(O) empezando desde y (0) = 3, y' (O) = 4. Compruebe que su (y, y') satisface y" = O.
8. Suponga que la población de conejos r, y la población de lobos w están
dr
=
por
4r -2w
dw
= r +w.
dt
a) Este sistema es ¿estable, neutralmente estable o inestable?
en el instante t?
b) Si inicialmente r = 300 y w = 200, ¿cuáles son las
e) Al cabo de bastante
¿cuál es la proporción de conejos a lobos?
A=
b)
A=
e)
A=
d)
A=
u_;J.
J
17. Con una matriz fricción F en la ecuación u"+ Fu' - Au = O,
una exponencial pura u = eJ.tx, y encuentre un problema de valor característico cuadrático para A..
A = [
-1 .
una solución
matrices cam11. Con base en su traza y su determinante, ¿en qué instante t las
bian entre estables con valores característicos reales, estables con valores característicos complejos e inestables?
-1
-1 '
Az =
-t1
[~ 4 -2
[bJ
16. En la mayor parte de las aplicaciones, la ecuación de segundo orden se ve como Mu"+
Ku = O, con una matriz masa que multiplica a las segundas derivadas. Sustituya la exponencial pura u = eiwt x y encuentre el "problema de valores característicos generalizado" que es necesario resolver para la frecuencia w y el vector x.
[-1 -1]
-1
u(O) =
19. Toda matriz de 2 por 2 con traza cero puede escribirse como
10. Decida la estabilidad o inestabilidad de dv/dt = w, dw/dt =v.
que se desintegre?
1
Ai = [ t
~:~ = [ =i =~] u con
18. Para la ecuación (16) en el texto, con w = 1 --/3, encuentre el movimiento si la
mera masa se
en t = O; u(O) = (O, 0) y u'(O) = (1, 0).
9. Decida la estabilidad de u' =Aupara las siguientes matrices:
a)
15. Resuelva la ecuación de segundo orden
,
t
A3 = [ 1
-1]
t .
a
b-c
b
+e].
-a
Demuestre que sus valores característicos son reales exactamente cuando a 2 +
bz 2::: c2.
20. Por sustitución hacia atrás o calculando los vectores característicos, resuelva
du
dt
!T·\L!~:'L?f'::..'1 .J
\·~t:.'...~H ..J:
.;;:'·i .•
.,_;r,_;¡'-.1:..;1.:.:;::e,;ftJ\'\f GEL URUGUAY
. : l.
!'.• : r:: ,\ N i\
!
N A l..
,.; r-u.,":·;oN,"L 5.4
278
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
....,
·;· ;~~...
« · ·.>..
21. Encuentre los AS y los xs de modo que e>..'x resuelva
,·. ¡ / i:·, .. . ·-·~'
• ,.,,.
-·
' ... ': JCSPClüN DEL URUGUAY
¿Qué combinación u = c 1 e'- 1' x 1 + c2 e>-21 x 2 empieza desde u(O) = (5, -2)?
du _
dt -
22. Resuelva el problema 21 para u(t) = (y(t), z(t)) por sustitución hacia atrás:
4
du
-=2u-8
dt
.
a)
23. Encuentre A para cambiar y" = 5y' + 4y en una ecuación vectorial para u(t) = (y(t),
J [y]
= Au
y'
.
24. Entre dos habitaciones con aforo para v(O) = 30 personas y w(O) = 10 personas se
abre una puerta. El movimiento entre las habitaciones es proporcional a la diferencia
V - w:
dw
dv
=v-w.
y
- =w-v
dt
dt
Demuestre que el total v + w es constante (40 personas). Encuentre la matriz en
duldt = Au, así como sus valores característicos y vectores característicos. ¿Cuáles
son v y w en t = l?
25. Invierta la difusión de personas en el problema 24 a du!dt = -Au:
y
-1
O
y'
= Au.
b) dudt [2o 3º] u _[8]6 .
=
32. Encuentre una matriz A para ilustrar cada una de las regiones inestables en la figura
5.2:
a) A¡< O y A2 > O.
b) A¡ >O y Az > O.
e) AS complejos con parte real a > O.
Los problemas 33 a 41 son sobre la matriz ex1po1rre11ci:ill <!4'
33. Escriba cinco términos de la serie infinita para é'. Tome la derivada t de cada término.
Demuestre que tiene cuatro términos de Aé'. Conclusión: é'u (0) resuelve u' = Au.
34. La matriz B = [:
-! ) tiene B2 = O. Encuentre es', a partir de una serie infinita
(corta). Compruebe que la derivada de e13' es Be13'.
dw
dt = W - V.
El total v + w sigue siendo constante. ¿Cómo cambian los AS ahora que A ha cambiado a -A? Sin embargo, demuestre que v(t) tiende a infinito a partir de v(O) = 30.
26. La solución de y' = O es una recta y = C + Dt. Transfórmela en una ecuación matricial:
d
dt
-
31. Si e no es un valor característico de A, sustituya u = ec'v, y encuentre v para resolver
du/dt = Au - ec'b. Esta u = ec'v es una solución particular. ¿Cómo fracasa cuando e
es un valor característico?
¿Cuáles son los valores característicos de A? Encuéntrelos también por sustitución de
y = e>..t en la ecuación escalar y' = 5y' + 4y.
W
y"
30. l'.na solución particular de du!dt = Au - bes uP =A - 1b, si A es invertible. Las soluc10nes de duldt = Au dan un. Encuentre la solución completa up +un de
La solución para y es una combinación de e ' y e'.
dv
dt = V -
[y'] _[ O l] [y]
Escriba y(t) del inciso a) en u(t) = (y, y'). Esto resuelve nuevamente el problema 6.
dz
Primero se resuelve - = z, empezando con z(O) = -2.
dt
dy
Luego se resuelve dt = 4y + 3z, empezando cony(O) = 5.
[y']
[
y"
7
29. a) Enc~entre dos funciones conocidas que resuelvan la ecuación d 2 y/dt2 = -y. ¿Cuál
empieza con y (O) = 1 y y' (0) = O?
b) La ecuación de segundo orden y"= -y produce una ecuación vectorial u' = Au:
~~ = [ ~ i] u.
du =
dt
Ecuaciones diferenciales y
28. .u.u.a.-;u1c có'ii!llae&etibir4ny' fti.~b>y~fk~~~omo una ecuación vectorial Mu' = Au.
'~
y' (t)):
o
e o
e
U t-..5 a '--.J' E ¡·..~ :?. ~ [) ;\
[y]_[º
· la so1uc1on
., [y]y' -- [y(O)]
y' - 0 0l] [y]
y' tiene
y'(O) .
35. Empezando desde u(O), la solución en el instante Tes éru(O). Pase a un instante adici?~al tpara llegar a é'(éru(O)). Esta solución en el instante t + Ttambién puede escnbrrse como _ _. Conclusión: é' multiplicado por ér es igual a _ _.
36. Escriba A= [~
~ J en la forma SAs- 1 . Encuentre é', a partir de Se"'s-1.
37. Si A2 =A, demuestre que la serie infinita produce é' = / + (e' - l)A. Para A
e At
[ ~ ~ Jen el problema 36, con lo anterior se obtiene é' = _ _.
Esta matriz A no puede diagonalizarse. Encuentre A 2 y calcule eA' = / + At + ~A t
+ · · ·.Multiplique su é' por (y(O), y' (0)) para comprobar la recta y(t) = y(O) + y' (O)t.
2 2
27. Sustituya y = e>..' en y' = 6y' - 9y para demostrar que A = 3 es una raíz repetida. Es3
to es un problema: se requiere una segunda solución después de e '. La ecuación matricial es
38. En general, ée13 es diferente de e13é, y ambas son distintas de é+s. Compruebe esto,
usando los problemas 36-37 y 34:
A=[~ ~]
39. Escriba A = [ ~
Demuestre que esta matriz tiene A = 3, 3 y sólo una recta de vectores característicos.
3
Aquí también se tiene un problema. Demuestre que la segunda solución es y = te '.
; J como SAs- 1 • Multiplique SeA' s- 1 para encontrar la matriz
exponencial é'. Compruebe que é' = /cuando t = O.
280
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
40. Escriba A = [ ~
e
At
5.5
Matrices complejas
281
~] en la serie infinita para encontrar e'. Primero calcule A 2 :
Ü] + [ Ot 3tOJ + 2l [
O l
= [ l
41. Proporcione dos razones por las cuales la matriz exponencial e' nunca es singular.
a) Escriba su inversa.
b) Escriba sus valores característicos. Si Ax= A.x, entonces c'x = ___x.
el lector ya tenga experiencia con los números complejos; es fácil proporcionar un repaso. Los conceptos importantes son el conjugado complejo x y el valor absoluto JxJ. Todo
la ecuación i 2 = -1. Se trata de un
mundo sabe que, no importa qué sea i, si éste
número imaginario puro, como lo son sus múltiplos ib; b es real. La suma a + ib es un número complejo, que se grafica de forma natural en el plano complejo (véase la figura 5.4).
eje imaginario
42. Encuentre una solución x(t), y(t) del primer sistema que se haga
cuando t--+ oo.
Para evitar esta inestabilidad, ¡un científico consideró intercambiar las dos ecuaciones!
dx/dt = Ox - 4y
dy/dt = -2x + 2y
Así, la matriz[-;
se convierte en
dy/dt = -2x + 2y
dx/dt = Ox - 4y.
r =Ja+ ibJ
r2 = a2 + b2
-! ] es estable. Tiene A.< O. Comente esta locura.
- - - - - - - - - i r . - - , - - - - - : - ª - - - - - eje real
43. A partir de esta solución general de duldt = Au, encuentre la matriz A:
2
U(t) = C¡e '
[i] +
5
Cze '
a +ib = re;e
b
1
m·
-b
5.5
Ya no es posible trabajar sólo con vectores y matrices reales. En la primera parte de este libro, cuando el problema básico era Ax = b, la solución era real cuando A y b eran reales. Hubiera sido posible
números complejos, aunque eso no hubiera contribuido a nada.
Ahora ya no es posible evitarlos. Una matriz real tiene coeficientes reales en det (A - Al),
aunque los valores característicos (como en las rotaciones) pueden ser complejos.
A continuación se introduce el espacio en de vectores con n componentes complejas.
La suma y la multiplicación matriciales obedecen las mismas reglas que antes. La tor.ifi!il':iUJ.
se calcula de
Como se hacía antes, el vector en C 2 con componentes (1, i) podía tener longitud cero: 12 + i2 = O, lo cual no está bien. La longitud al cuadrado correcta es
12+ Jil2 = 2.
Este cambio a l)x 11 2 + !xd 2 + · · · + lxnl 2 obliga a toda una serie de cambios. El producto interno, la traspuesta, las definiciones de matrices simétrica y ortogonal, todo esto
debe modificarse para números complejos. Las nuevas definiciones coinciden con las
viejas cuando los vectores y matrices son reales. Estos cambios se presentan en una lista al
final de la sección, y cada cuestión se explica en la medida en que se aborda.
Esa tabla es virtualmente un diccionario para pasar de real a complejo.
que
se desea incursionar en las matrices simétricas
sea de utilidad para el lector. En
y en las matrices hennitianas: ¿Dónde están sus valores característicos, y qué hay de especial sobre sus vectores característicos? Para efectos prácticos, estas son las cuestiones
más importantes en la teoría de los valores característicos. De antemano se solicita atención para las respuestas:
5.4
: conjugado complejo
a - ib = a + = re-iB
El plano complejo, con a+ ib = re;e y su conjugado a - ib = re-;e.
Los números reales a y los números imaginarios ib son los casos especiales de los números complejos; están sobre los ejes. La suma de dos números complejos es fácil:
Suma de números cmnpllej<>s (a + ib) + (c +id) =(a + c) + i(b + d).
Al multiplicar a + ib por c + id se aplica la regla de que i 2 = -1:
(a + ib)(c +id) = ac + ibc + iad + i 2 bd
= (ac - bd) + i(bc +ad).
El
de a + ib es el número a - ib. Se invierte el signo de las partes imaginarias. Es la imagen especular a través del
real; cualquier número real es su
propio conjugado, ya que b = O. El conjugado se denota por una barra o una estrella:
(a+ ib)* =a+ ib =a - ib· Posee tres propiedades importantes:
1.
El conjugado de un producto es igual al producto de los conjugados:
(a+ ib)(c +id) = (ac - bd) - i(bc +ad) =
2.
(e+ id).
(1)
El conjugado de una suma es igual a la suma de los conjugados:
=(a +e) - i(b + d) =(a + ib) +
Valor absoluto
Aunque parezca extraño, para demostrar que los valores característicos son reales se empieza con la posibilidad opuesta, que lleva a números complejos, vectores complejos y matrices complejas.
(a + ib)(a - ib) = a 2 + b 2 = r 2 •
Esta distancia r es el valor absoluto ¡a + i bl =
(2)
282
5.5
Capítula 5 Valares características y vectores característicos
Por último, la trigonometría relaciona los catetos a y b con la hipotenusa r mediante a =
r cos f) y b = r sen 8. A1 combinar estas dos ecuaciones se llega a las coordenadas polares:
a+ ib = r(cosf) + isenB) = re;e.
Forma polar
(3)
El caso especial más importante es cuando r = l. Así, a + ib es e;e = cose + i sene, Y se
encuentra sobre la circunferencia unitaria en el plano complejo. A medida que f) varía de
O a 27T, este número e;e circula alrededor de cero a la distancia radial constante le;e¡ =
J cos2 f) + sen 2 f) = 1.
x = 3 + 4i multiplicado por su conjugado x = 3 - 4i es igual al valor absoluto al cuadrado:
xx = (3 + 4i)(3 - 4i) = 25 = lxl 2 de modo que
r = !xi = 5.
Si se toma el producto interno de x = (1 + i, 3!) consigo mismo, se regresa a llxil 2 :
Longitud al cuadrado :xTx = (1 + i)(l + i) + (3i)(3i) = 2 + 9
Observe que yT x es diferente de
En coordenadas polares, la multiplicación y la división son fáciles:
X
=
r~x:.n~j
(4)
Loingttu<t al cuadrado
y
2
ll xll = 2;
i]
2+
y -- [ 2-4i
y
liyll 2 = 25.
Para vectores reales, entre la longitud y el producto interno había una relación estrecha:
llx 11 2 = x T x. Se desea preservar esta relación. El producto interno debe modificarse para
coincidir con la nueva definición de longitud, de modo que en el producto interno se conjuga el primer vector. Al sustituir x por :X, el producto interno se convierte en
Producto interno
[
2 +i
4-i
2- i
[ -3i
o
4+i
5
Los vectores ortogonales cumplen
con componentes Xj =aj + ibj.
J
[~]
(6)
Este símbolo AH otorga reconocimiento oficial al hecho de que, con elementos complejos,
es muy raro que sólo se busque la traspuesta de A. Es la traspuesta conjugada AH lo que se
vuelve idóneo, y x8 es el vector renglón [x1 . . . Xn].
La suma de los vectores x y y sigue haciéndose componente por componente. La multiplicación escalar ex ahora se realiza con números complejos c. Los vectores v 1 , ••. , vk son linealmente dependientes si alguna combinación no trivial proporciona C¡V¡ + · · · +ckvk =O;
ahora los cj deben ser complejos. Los vectores de coordenadas unitarios si~uen estando en
C"; siguen siendo independientes, y siguen siendo una base. En consecuencia, C" es un espacio vectorial complejo de dimensión n.
En la nueva definición de longitud, cada x 2 se sustituye por su módulo ¡xf:
X=
tiene elementos (AH)ij = Aji·
El lector debe estar muy atento para distinguir esta denominación de la expresión "A es hermitiana", lo cual significa que A es igual a AH. Si A es una matriz de m por n, entonces AH
es den por m:
Volvemos al álgebra lineal, y se efectúa la conversión de reales a complejos. Por definición, el espacio vectorial complejo en contiene a todos los vectores x con n componentes
complejas:
Vector complejo
llxll 2 = 11.
Lo anterior deja un solo cambio más en la notación, resumiendo dos símbolos en
uno. En vez de una barra para el conjugado y una T para la traspuesta, estos símbolos se
combinan en la traspuesta conjugada. Para vectores f matrices, un supraíndice H (o una
estrella) combina ambas operaciones. Esta matriz A = AH = A* se denomina "A hermitiana":
conjugada
rew multiplicado por Re;ª tiene valor absoluto rR y ángulo f) + a.
re;e dividido entre Re;ª tiene valor absoluto r/R y ángulo f) - a.
y
es necesario vigilar el orden de los vectores.
"A hermitiana"
Para dividir entre 3 + 4i, el numerador y el denominador se multiplican por su conjugado
3 - 4i:
10 - 5i
2 + i 3 - 4i
2 +i
=--=---4i
25
3 +4i
3+
Matrices complejas
(5)
Matrices hermitianas
En capítulos previos se habló de matrices simétricas: A = AT. Con elementos complejos,
es necesario ampliar el concepto de simetría. La generalización correcta no es hacia matrices que son iguales a su traspuesta, sino a matrices que son iguales a su traspuesta conjugada. Estas son las matrices hermitianas, de las cuales un ejemplo típico es:
Matriz hermitiana
A = [ 3 .; 3i
3 ~ 3i ] =
(7)
Los elementos diagonales deben ser reales; la conjugación los deja sin cambio. Cada elemento fuera de la diagonal es compensado por su imagen especular a través de la diagonal
principal, y 3 - 3i es el conjugado de 3 + 3i. En cada caso, a ij = a ji.
Nuestro objetivo principal es establecer tres propiedades básicas de las matrices hermitianas. Estas propiedades son igualmente válidas para las matrices simétricas. Una matriz simétrica real ciertamente es hermitiana. (Para matrices reales no hay diferencia entre
AT y AH). Los valores característicos de A son reales, como se demostrará a continuación.
284
Capítulo 5
5.5
Valores característicos y vectores característicos
Cada elemento de A contribuye a xRAx. Intente el caso de 2 por 2 con x = (u, v):
v] [3_;3i
xHAx=[u
3~3i] [~]
= 2Uu + 5vv + (3 - 3i)uv + (3 + 3i)uv
=real +real +(suma de con.111g:u:u>s c,orrap!ej<>s
Para una demostración en general, (xHAx)H es el conjugado de la matriz de 1 por l
aunque en realidad se obtiene otra vez el mismo número: (xH Ax)H = xH AHxHH =
xH Ax. Por tanto, este número debe ser real.
Matrices complejas
285
Por supuesto, cualesquiera múltiplos x/ a y y/f3 son
válidos que los vectores característicos. MATLAB escoge a = l!xll y f3 = llYll, de modo que x/ a y y/{3 son vectores unitarios; los vectores característicos son normalizados para que su longitud sea 1.
Ahora son ortonormales. Si estos vectores característicos se escogen como las columnas
de S, entonces se tiene s- 1 AS = A, como siempre. La matriz de dil.2f[11m7.li;::at:ió,n
escogerse con columnas ortonormales cuando A =AH.
En caso de que A sea real y simétrica, por la propiedad 2 sus valores característicos
son reales. Por la propiedad 3, sus vectores característicos unitarios son ortogonales y también son reales; resuelven (A - J..l)x = O. Estos vectores característicos ortonormales van
en una matriz ortogonal Q,
con QTQ = l y QT = Q- 1 • Así, s- 1 AS =A se vuelve especial: es Q- 1 AQ =A o
A = QAQ- 1 = QAQT. Ahora es posible enunciar uno de los grandes teoremas del álgebra lineal:
Demostración Suponga que Ax = A.x. El truco consiste en
por
xH: xH Ax = :txHx. Por la propiedad 1, el miembro izquierdo es real, y el miembro derecho xHx = llxll 2 es real y positivo, ya que x""' O. En consecuencia, A. = xHAx/xHx
debe ser real. En el ejemplo se tiene A. = 8 y A. = - l:
J; ~ ;-=. ~ /
IA - u¡= /
= A.
2
-
n + 10 -¡3 - 3¡¡ 2
= A. 2 - n - s = (A. - S)(A. + 1).
(8)
111
Nota
Esta demostración de valores característicos reales es correcta para cualquier matriz real:
Demostración
.
T
T
x T Ax
Ax = A.x proporc10na x Ax = A.x x, de modo que A. =
es real.
f asa
1
Debe haber una trampa: El vector característico x podría ser complejo. Es cuando A = AT
que se tiene la certeza de que "A y x son reales. Más que eso, los vectores característicos
son perpendiculares: xTy = O en el caso simétrico real y .x1"1y = O en el caso herrnitiano
complejo.
En
o mecánica, este es el teorema de los ejes principales. Proporciona la
elección correcta de
para una elipse. Estos ejes son perpendiculares, y apuntan a lo largo de los vectores característicos de la matriz correspondiente.
la sección 6.2 se relacionan las matrices simétricas con elipses n-dimensionales). En mecánica, los vectores
característicos proporcionan las direcciones principales, a lo largo de las cuales hay compresión pura o tensión pura, sin esfuerzo de corte.
En matemáticas, la fórmula A = QAQT se conoce como teorema espectral. Si se multiplican las columnas por los renglones, la matriz A se convierte en una combinación de proyecciones unidimensionales, que son las matrices especiales xxT de rango 1, multiplicadas por A.:
= "A1x1x{ + "A2x2xJ + · · · + "AnXnX~.
(10)
En el ejemplo los valores característicos son 3 y 1:
l
La demostración errtpH~zacon Ax = A. 1x, Ay = A. 2 y, y A =AH:
("A¡x) 8 y = (Ax) 8 y = xHAy = x 8 (A.zy).
A= [
(9)
Los números exteriores son J.. 1xHy = ;.. 2xHy, ya que los "As son reales. Ahora se utiliza la
hipótesis de que A. 1 ""'J.. 2 , que obliga a concluir que .x1"1y = O. En el ejemplo,
-6
(A - 8l)x = [ + ¡
3 3
3=33i]
3
[~~]
~ 3i J [;~] =
Estos dos vectores característicos son ortogonales:
[g],
[g],
2
2
-1
y=
[! !]
=
combinación de dos proy1ecc:io111es
Los vectores característicos, con longitud escalada a 1, son
X¡
x=
~] +
=
~ [-i]
Y
Xz
=
~
rn.
Así, las matrices del miembro derecho son x 1xT y x 2xJ -columnas por renglones- Y
son proyecciones sobre la recta que pasa por x 1 y la recta que pasa por Xz.
Todas las matrices simétricas son combinaciones de proyecciones unidimensionales,
que son matrices simétricas de rango 1.
Observación Si A es real, y ocurre que sus valores característicos son reales, entonces también sus vectores característicos son reales. Resuelven (A - J..l)x = O y pueden calcularse
por eliminación. Sin embargo, no son ortogonales, a menos que A sea simétrica:
A= QA
lleva aAT =A.
286
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
5.5
Matrices complejas
281
Si A es real, todos los valores característicos complejos se convierten en pares conjugados: Ax = A.x y Ax = Xx. Si a + ib es un valor característico de una matriz real, también lo es a - ib. (Si A = AT, entonces b = 0.)
Se empieza con Ux = J.. 1x y Uy = A:zY, y se toman productos internos por la propiedad l':
Hablando estrictamente, el teorema espectral A= QAQT sólo se ha demostrado
cuando los valores característicos de A son distintos. Entonces ciertamente hay n vectores
característicos independientes y A puede diagonalizarse con seguridad. No obstante, es
cierto (consulte la sección 5.6) que incluso con valores característicos repetidos, una matriz simétrica sigue teniendo un conjunto completo de vectores característicos ortonormales. El caso extremo es la matriz identidad, que tiene J.. = l repetido n veces, y no carece
de vectores característicos.
Para terminar el caso complejo se requiere el análogo de una matriz ortogonal real, y
el lector puede conjeturar lo que ocurre al requerimiento QTQ = l. La traspuesta se sustituye por la traspuesta conjugada. La condición se vuelve UHU = l. La nueva letra U refleja la nueva denominación: Una matriz compleja con columnas ortonormales se
denomina matriz unitaria.
~ comparar la izquierda con la dere".!?-a, X° 1J..2 = 1 o xfiy = O. Pero la propiedad 2' es
A1A1 = 1, por lo que no puede tenerse A1A2 = l. Así, xfiy = O y los vectores característicos
¿Se nos permite proponer dos analogías? Una matriz hermitiana (o simétrica) puede compararse con un número real. Una matriz unitaria (u ortogonal) puede compararse con
un número en la circunferenci,a unitaria: un número complejo de valor absoluto l. Los
A.s son reales si AH= A, y están en la circunferencia unitaria si ifU =J. Los vectores característicos pueden escalarse a longitud unitaria y hacerse ortonormales. *
Hay dos afirmaciones aún no demostradas para matrices unitarias (incluyendo las ortogonales). En consecuencia, pasamos de inmediato a las tres propiedades de U que corresponden a las propiedades anteriores 1 a 3 de A. Recuerde que las columnas de U son
ortonormales:
uuH = 1,
y
uH = u-1.
Lo anterior lleva directamente a la propiedad 1', que la multiplicación por U no afecta los
productos internos, los ángulos, o las longitudes. La demostración se hace en una línea, justo como lo fue para Q:
Propiedad 1' (Ux)H(Uy) = xHu"Huy = xHy Xljnr"'~"''"'"'·
Iox1gi1tm1 permanece sin
son ortogonales.
Eie1111plo 4
11 U x 11
2 ·=;=
Propiedad 2' Todo valor caracterlstico. de .U tiene. valor ab¡¡plu!o ¡J..¡ = 1.
Lo anterior se concluye directamente de Ux = A.x, al comparar las longitudes de los
dos miembros: IJUxlJ = llxll por la propiedad l', y siempre JIA.xll = jJ..jlJxll. En consecuencia, IA.I = l.
U=
-sent] tiene
.
.
[cost
val ores característicos eª. y e-11.
sent
cos t
Los vectores característicos ortogonales son x = (1, -i) y y= (1, i). (Recuerde tomar conjugados en ry = 1 + i 2 = O). Después de la división entre .J2 son ortonormales.
A continuación se presenta la matriz unitaria, con mucho, la más importante que hay.
Eje11r1plo 5
Matrices unitarias
Matriz unitaria
xHy = (Ux)H(Uy) = (J..1x)H(J..2y) = X1.A.2xHy.
[i
u= _1
..fa .
w
Matriz de Fourier
l
El número complejo w está en la circunferencia unitaria al ángulo fJ = 27iln. Es igual a
e 2rril". Sus potencias son equidistantes alrededor de la circunferencia. Esa separación asegura que la suma de todas las n potencias de w -todas las raíces n-ésimas de l - es cero. Algebraicamente, la suma 1 + w + · · · + w"- 1 es (w" - l)/(w - 1). ¡Y (w" - 1) es cero!
n-I
w" - 1
el renglón l de UH multiplicado 1 (l +
w+w 2 +···+w ) = - - - = O
por la columna 2 de U es
n
w - 1
·
el renglón i de uH multiplicado 1
W" - 1
-(1 + w + w2 + ... + wn-1) = - - - =o.
por la columnaj de U es
n
W - ~
En el segundo caso, W = wj-i. Cada elemento de la F original tiene valor absoluto igual
a l. El factor .jñ encoge las columnas de U en vectores unitarios. La identidad fundamental de la transfonnadafinita de Fourier es UHU =J.
Así, U es una matriz unitaria. Su inversa se ve igual, excepto que w se sustituye por
w- 1 = e-;e = w. Debido a que U es unitaria, su inversa se encuentra trasponiendo (con
lo cual todo permanece igual) y conjugando (con lo cual w cambia a w). La inversa de esta U es U. Ux puede calcularse rápidamente mediante la transformada rápida de Fourier
según se encontró en la sección 3.5.
Por la propiedad 1' de las matrices unitarias, la longitud de un vector x es la misma
que la longitud de Ux. La energía en el espacio estado es igual a la energía en el espacio
transformado. La energía es la suma de jx1 !2 , y también es la suma de las energías en las
frecuencias por separado. El vector x = (1, O, ... , O) contiene cantidades iguales de cada
componente de la frecuencia, y su transformada de Fourier discreta Ux = (1, 1, ... , 1)/
.Jñ también tiene longitud l.
Pr'opiied!ad 3' Los vectó~es caracterlsticos cojrresp4::>rn:t1e:nt<os. ¡¡yall_o1res catra•cterist1cps
distintos son ortonormales.
•Más tarde se compararán las matrices "antihermitianas" con los números imaginarios puros, y las matrices "normales" con todos los números complejos a + ib. Una matriz no normal sin vectores característicos ortogonales
no pertenece a ninguna de estas clases, y está fuera de toda analogía.
Esta es una matriz ortogonal, de modo que por la propiedad 3' debe tener vectores característicos ortogonales. ¡Estos son las columnas de la matriz de Fourier! El valor absoluto
de sus valores característicos debe ser 1.
288
Capítulo 5
5.5
Valores característicos y vectores característicos
números 1, w, ... , wn-I (o l, i, i 2 , i 3 en este caso de4por4). Es una matriz real, aunque sus valores característicos y vectores característicos son complejos.
Una nota final: Las matrices antihemritianas cumplen K"'1 = - K, así como las matrices simétricas sesgadas satisfacen
= - K. Sus propiedades se concluyen de inmediato,
a partir de su estrecho vínculo con las matrices hemritianas:
Los valores característicos de K son puramente imaginarios, en vez de puramente reales;
se multiplica por i. Los vectores característicos no cambian. El ejemplo hemritiano de las
páginas previas conduciría a
2i
K = iA = [
-3 + 3i
3+5i 3i]
= -KH
a)
b)
e)
d)
la suma de un número complejo y su conjugado?
el conjugado de un número que está sobre la circunferencia unitaria?
el producto de dos números que están sobre la circunferencia unitaria?
la suma de dos números que están sobre la circunferencia unitaria?
3. Si x = 2 + i y y = 1 + 3i, encuentre x, xx, xy, 11 x y x/y. Compruebe que el valor
absoluto ¡xy¡ es igual a ¡x¡ multiplicado por ¡y¡, y que el valor absoluto 11/x¡ es igual a 1
dividido entre ¡x¡.
4. Encuentre a y b para los números complejos a + iba los ángulos e = 30º, 60º, 90º
sobre la circunferencia unitaria. Compruebe por multiplicación directa que el cuadrado del primero es el segundo, y que el cubo del primero es el tercero.
el plano complejo cuando t crece desde O hasta 2Tr.
6. Encuentre las longitudes y el producto interno de
=
X
en (n componentes complejas)
longitud: l!xll 2 = lxd 2 + · · · + !xnl 2
A0
producto interno: x T y = X1Y1 + · · · + XnYn *+
(Ax)Ty = xT(ATy)
-
xHy = x¡y¡ + · · · + XnYn
(Ax)Hy = xH(AHy)
ortogonalidad: x T y = O
*+
ortogonalidad: xHy =O
matrices simétricas: A T = A
*+
matrices hemritianas: AH = A
A = Ql\Q- 1 = Ql\QT (A real)
simétrica sesgada KT = -K
*+
ortogonal QT Q = l o bien, QT =
B-
A = u l\u- 1 = u l\UH (A real)
antihemritiana KH = - K
ijHij = [Unitariaobien UH= u-l
(Qx)T(Qy) = xTy y IJQxll = !lxll
*+
(Ux)H(Uy) = xHy
-
y l!Uxll = !lx!I
Las columnas, los renglones, y los vectores característicos de Q y U son ortonormales, y todo ¡;..¡ = l.
GoITT1i1mto de prnibleKnas 5.5
l.
Para los números complejos 3 + 4i y 1 - i:
a) Encuentre sus posiciones en el plano complejo.
b) Encuentre su suma y su producto.
e) Encuentre sus conjugados y sus valores absolutos.
¿Los números originales están dentro o fuera de la circunferencia unitaria?
[2 -4i 4¡]
y
y
=
[2 +4i 4i] .
7. Escriba la matriz AH, y calcule e = AHA si
traspuesta hemritiana: A~ =Aj;
(AB)H = BHAH
traspuesta:
=
(AB)T = BTAT
están los nú-
b) En t =O, el número complejo e<-l+i)t es igual a la unidad. Trace su trayectoria en
Real contra cm11p1e10
longitud: llxll 2 = x~ + · · · +x;
289
2. ¿Qué puede decir sobre
5. a) Six = re;e, ¿cuáles sonx2,x- 1, y x en coordenadas polares?
meros complejos que tienen x- 1 =x?
.
Los elementos diagonales son múltiplos de i
el cero). Los valores característeniéndoticos son Si y - i. Los vectores característicos siguen siendo ortogonales, y
se K = U AUH -con una U unitaria en vez de una Q ortogonal real, y con Si y -i en la
diagonal de A.
Esta sección se resume con una tabla de paralelismos entre reales y complejos.
Rn (n componentes reales)
Matrices complejas
A=[:
i
o
¿Cuál es la relación entre C y CH? ¿Esto se cumple siempre que C se construye a partir de alguna
8. a) Con la A
use eliminación para resolver Ax = O.
b) Demuestre que el espacio nulo que calculó es ortogonal a C(AH) y no al espacio
renglón de costumbre C(AT). Los cuatro espacios fundamentales en el caso complejo son N(A) y C(A) como antes, y luego N(A 8 ) y C(A 8 ).
9. a) ¿Cómo está relacionado el detemrinante de A 8 con el detemrinante de A?
b) Demuestre que el detemrinante de
matriz hemritiana es real.
10. a)
grados de libertad hay en una matriz simétrica real, en una matriz diagonal real, y en una matriz ortogonal real? (La primera respuesta es la suma de las
otras dos, ya que A = QAQT .)
b) Demuestre que las matrices hemritianas A de 3 por 3 y también la U unitaria tienen
8
multiplicarse por cualquier e' ).
9 grados de libertad (las columnas de U
U. Escriba P, Q y R en la forma A. 1 x 1 x~ + A. 2 x 2 x~ del teorema espectral:
R =
[! -~J.
290
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
5.5
12. Proporcione una razón si es verdadero o un contraejemplo si es falso:
1
b) Si Q es ortogonal, entonces Q + ~ les invertible.
c) Si A es real, entonces A + il es invertible.
21. Describa todas las matrices de 3 por 3 que simultáneamente son hermitianas, unitarias,
y diagonales. ¿Cuántas hay?
13. Suponga que A es una matriz simétrica de 3 por 3 con valores característicos O, 1, 2.
a) ¿Qué propiedades pueden garantizarse para los vectores característicos unitarios
correspondientes u, v, w?
.
.
.
b) En términos de u, v, w, describa el espacio nulo, el espac10 nulo tzqwerdo, el espa-
cio renglón, y el espacio columna de A.
, . ?
c) Encuentre un vector x que cumpla Ax = v + w, ¿x es umco.
d) ·En qué condiciones sobre b, Ax = b tiene una solución?
e) ~i U, V, w son las columnas de S, ¿cuáles son s- 1 y s- 1AS?
fu
¡,,~u~: ~rI
291
Calcule eK' = SeA' s- y compruebe que é' es unitaria ¿Cuál es la derivada de eK'
en t =O?
a) Si A es hermitiana, entonces A + il es invertible.
14.
Matrices complejas
22. Toda matriz Z puede separarse en una parte hermitiana y una parte antihermitiana,
Z = A + K, así como un número complejo z puede separarse en a + ib. La parte real
de z es la mitad de z + y la "parte real" de Z es la mitad de Z + zH. Encuentre una
fórmula semejante para la "parte imaginaria" K, y separe estas matrices en A + K:
z,
Z=[ ~ '.].
y
Ili~~' =·:~~r y:~ 1rMna.
,
.
B?
Ortogonales, invertibles, proyección, permutación, hermitianas, de rango l, diagonalizables, de Markov. Encuentre los valores característicos de A Y B.
15. ·Cuál es la dimensión del espacio S de todas las matrices simétricas reale~ de n por n?
~l teorema espectral establece que toda matriz simétrica es una combinac.1ón de n ~a­
trices proyección. Debido a que la dimensión excede a n, ¿cómo se explica esta diferencia?
16. Escriba un hecho importante sobre los valores característicos de cada uno de los siguientes incisos.
a) Una matriz simétrica real.
b) Una matriz estable: todas las soluciones de duldt = Au tienden a cero.
c) Una matriz ortogonal.
d) Una matriz de Markov.
e) Una matriz defectuosa (no diagonalizable).
j) Una matriz singular.
-1
¡
23. Demuestre que las columnas de la matriz de Fourier de 4 por 4 en el ejemplo 5 son
vectores característicos de la matriz permutación P, en el ejemplo 6.
24. Para la permutación en el ejemplo 6, escriba la matriz circulante C = cof + c P +
2
1
3
c2 P + c 3P . (Su matriz vector característico es nuevamente una matriz de Fourier.)
También escriba las cuatro componentes del producto matriz-vector Cx, que es la convolución de c = (co, C¡, Cz, C3) y x = (xo, X¡, Xz, x3).
25. Para una matriz circulante C = FA F- 1, ¿por qué es más rápido multiplicar por r 1,
luego por A, y luego por F (regla de convolución), que multiplicar directamente por
C?
26. Encuentre las longitudes de u = (1 + i, 1 - i, l + 2i) y v = (i, i, i). También encuentre UHV y VHU.
27. Demuestre que
siempre es una matriz hermitiana. Calcule AHA y AA H:
A=U
:J.
28. Si Az = O, entonces AHAz = O. Si AHAz = O, multiplique por z8 para demostrar que
Az = O. Los espacios nulos de A y AH A son _ _. AHA es una matriz hermitiana invertible cuando el espacio nulo de A sólo contiene a z = ___.
29. Cuando una matriz hermitiana se multiplica por un número real e, ¿cA sigue siendo
hermitiana? Sic = i, demuestre que i A es antihermitiana. Las matrices hermitianas
de 3 por 3 constituyen un subespacio, en el supuesto de que los "escalares" sean números reales.
17. Demuestre que si U y V son unitarias, también lo es U V. Use el criterio UHU =l.
18. Demuestre que una matriz unitaria tiene Jdet U] = l, aunque ~ui~á det U es diferente
de det UH. Describa todas las matrices de 2 por 2 que son umtanas.
30. ¿Qué clases de matrices P pertenecen a: ortogonales, invertibles, hermitianas, unitarias, factorizables en LU, factorizables en QR?
P~ [H
19. Encuentre una tercera columna, de modo que U sea unitaria. ¿Cuánta libertad hay en
la columna 3? ·
l/v'3 i/../i
u = l/v'3 o
[
i/v'3 1/../2
20. Diao-onalice la matriz antihermitiana de 2 por 2 K
dos"' Ff.
l
[;
; ], cuyos elementos son to-
2
3
31. Calcule P , P , y P
100
!l
en el problema 30. ¿Cuáles son los valores característicos de P?
32. Encuentre los vectores característicos unitarios de P en el problema 30, y luego escríbalos en las columnas de una matriz unitaria U. ¿Qué propiedad de P hace ortogonales a estos vectores característicos?
292
5.6
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
Transformaciones de semejanza
293
33. Escriba la matriz circulante de 3 por 3 C = 21 + 5P + 4P2 • Tiene los mismos vectores característicos que P en el problema 30. Encuentre sus valores característicos.
34. Si U es unitaria y Q es una matriz ortogonal real, demuestre que u- 1 es unitaria, y
también que UQ es unitaria. Empiece con ll"U =/y QTQ = /.
35. Diagonalice A (As reales) y K (As imaginarios) para llegar a UAll":
A=[i.~l l~i]
K=[1~i
-1/i]
a Q =U AUH. Ahora todos los
36. Diagonalice la siguiente matriz ortogonal para
ASSOn
Q = [cose -sene]·
sene cose
37. Diagonalice la siguiente matriz unitaria, V para llegar a V = U AUH. Nuevamente, todos los IAI = 1:
1 [
V=-J3
l
l+i
l
J
-1 i .
1.
2.
en,
38. Si v 1, ... , vn es una base ortonormal de
la matriz con estas columnas es una mavector z es igual a (v~z)v1 + · · · + (v~z)vn.
triz ___. Demuestre que
39. Las funciones e-ix y eix son ortogonales en el intervalo O :::: x :::: 2rr porque su produc.
. es Jo
rZn: _ _ _ = 0 .
to mterno
comp l e;o
40. Los vectores v = (1, i, 1), w = (i, 1, 0) y z = _ _ son una base ortogonal de _ _ .
41. Si A = R + iS es una matriz hermitiana, ¿las matrices R y S, son simétricas?
43. Describa todas las matrices de l por 1 que sean hermitianas y también unitarias. Haga lo mismo para las matrices de 2 por 2.
(una matriz cuadrada) con
45. Si u 8 u = 1, demuestre que 1- 2uu8 es hermitiana y también unitaria. La matriz
de rango 1 es la proyección sobre ¿qué recta en en?
46. Si A + iB es una matriz unitaria (A y B son reales), demuestre que Q = [ ~
una matriz ortogonal.
47. Si A + iB es una matriz hermitiana (A y B son reales), demuestre que [ ~
métrica.
¿Qué tienen en común estas matrices semejantes M- 1AM?
Con una elección especial de M, ¿qué forma especial puede obtenerse mediante
M- 1AM?
La respuesta final la proporciona
de Jordan, con la que termina el capítulo.
Estas combinaciones M- 1AM se presentan en una ecuación diferencial o en diferencias, cuando un "cambio de variables" u = Mv introduce la nueva incógnita v:
du
dv
b.
dt = Au se convierte en M dt = AMv, o ien,
dv
dt = M- 1 AMv
Un+\ =Aun se convierte en Mvn+I = AMvn, o bien, Vn+I = M- 1 AMvn.
42. La dimensión (compleja) de en es _ _. Encuentre una base no real de en.
44. ¿Cómo están relacionados los valores característicos de
los valores característicos de A?
Virtualmente, cada paso de este capítulo implicó la combinación s- 1AS. Los vectores característicos de A se fueron en las columnas S, con lo cual S 1AS se volvió una matriz diagonal
(denominada A). Una vez que A era simétrica, en vez de S, se escribió Q, escogiendo que los
vectores característicos fuesen ortonormales. En el caso complejo, cuando A es hermitiana,
se escribió U, que sigue siendo la matriz de vectores característicos. Ahora se consideran todas las combinaciones M- 1All1, formadas con cualquier M invertible en la derecha y su inversa en la izquierda. La matriz vector característico invertible S podría no existir (el caso
defectuoso), o podría no ser conocida, e incluso podríamos no querer utilizarla.
"semejantes". Pasar de
Primero un nuevo comentario: Las
de
Es el paso natural para las ecuaciones diuna a otra es una
ferenciales o matrices de potencias o valores característicos; así como los pasos de la eliminación eran naturales para Ax = b. La eliminación multiplicaba A por la izquierda por
L - i , pero no lo hacía por la derecha por L. De modo que U no es semejante a A, y los
votes no son los valores característicos.
Toda una familia de matrices M- 1AM es
a A, y hay dos preguntas:
-! ] es
La nueva matriz en la ecuación es M- 1AM. En el caso especial M = S, el sistema no está
acoplado porque A = s- 1 AS es diagonal. Los vectores característicos evolucionan de
manera independiente. Esta es la simplificación máxima, aunque también son de utilidad
otras Ms. Se intentará que trabajar con M- 1AM sea más fácil que hacerlo con A.
La familia de matrices M- 1AM incluye a A misma, eligiendo M = /.Cualquiera de
estas matrices semejantes puede aparecer en las ecuaciones diferencial y en diferencias,
mediante el cambio u = Mv, por lo que deben tener algo en común, como es el caso: las
matrices
comparten los mismos valores característicos.
-~]es si-
48. Demuestre que la inversa de una matriz hermitiana también es hermitiana.
En1pi,ece con Ax = 4 y sustituya A = M B M- 1:
49. Diagonalice la
matriz, construyendo su matriz valor característico A y su
matriz vector característico S:
Mismo valor característico M BM- 1x =Ax que es B(M- 1x) = A(M- 1x).
(1)
El valor característico de B sigue siendo A. El vector característico ha cambiado de x a
M- 1x.
También puede comprobarse que A - Al y B - Al tienen el mismo determinante:
Producto de matrices
B
Al = M- 1 AM - Al = M- 1(A - A.l)M
del
det (B U) = det M- 1 det (A - U) det M = det (A - H).
A=[1!i
l;i]=
50. U na matriz con vectores característicos ortonormales es de la forma A = U A u- 1 =
U AUH. Demuestre que AA8 = AHA. Éstas son exactamente las matrices normales.
.·-.;_e;r_:i-_ ,, NJ\.CIONAL
294
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
- ''-:J
ing. i"i.'.. ::·;. ·
Los polinomios det(A - AJ) y det(B - Al) son iguales. Sus raíces -los valores característicos de A y B- son los mismos. A continuación se presentan las matrices B que son semejantes a A.
tje1m1~10 1
A = [
¿ g] tiene valores característicos 1 y O. Cada Bes M- AM:
1
Si M = [
¿ ~] , entonces B = [ ¿ ~ J: triangular con ). = 1 y O.
Si M = [
-i i],entonces
Si M = [ ~
B = [
'
proyección con Je = 1 y O.
En este caso es posible producir cualquier B con los valores característicos correctos. Se
trata de un caso fácil, ya que los valores característicos l y O son distintos. La matriz diagonal A en realidad era A, el elemento distinguido de esta familia de matrices semejantes.
La forma de Jordan estará preocupada sobre valores característicos repetidos y una posible
carencia de vectores característicos. Todo lo que se dice ahora es que cada M- 1AM tiene el
mismo número de vectores característicos independientes que A (cada vector característico se multiplica por M- 1).
El primer paso es considerar las transformaciones lineales que están detrás de las matrices. Rotaciones, reflexiones, y proyecciones actúan sobre el espacio n-dimensional. La
transformación puede ocurrir sin álgebra lineal, aunque ésta resulta en multiplicación de
matrices.
La matriz semejante B = M- 1AM está estrechamente relacionada con A, si se regresa al estudio de las transformaciones lineales. Recuerde la idea clave: Toda transformación lineal
está representada por una matriz. ¡La matriz depende de la elección de la base! Silabase se cambia por M, entonces la matriz A se cambia por una matriz semejante B.
Las matrices semejantes representan la misma transformación T respecto a bases
diferentes. El álgebra es casi directa: Suponga que se tiene una base v 1, ••• , vn. Laj-ésima
columna de A se obtiene al aplicar T a V/
Tvj =combinación de los vectores de la base= a1jV1 + · · · +anjVn.
(2)
Para una nueva base V1, . • . , Vm la nueva matriz B se construye de la misma forma: TV¡
=combinación de los Vs = b 1j Vi+ · · · + bnj Vn· Pero también cada V debe ser una combinación de los vectores de la base anterior: los Vj = I:; m;jV;. Esta matriz M en realidad
representa la transformación identidad(!) cuando todo lo que ocurre es el cambio de base
(Tes J). La matriz inversa M- 1 también representa la transformación identidad, cuando la
base se cambia de los vs de regreso a los V s. Así, la regla del producto proporciona el resultado que se busca:
m>•tn"""'º .A y B que represtfri.tan
a dos bases diferentes (los ps y losVs)
[T]v a V = [l]v a V
B
= M- 1
'
. , [-o.5]
_
proyecc1on
0 5
~] , entonces B = una matriz arbitraria con Je = 1 y O.
295
Considero que fa ri:íeJór forma ;:c:xpIÍc~"}f = ~ 1AM es con un ejemplo. Suponga
que Tes la proyección sobre la recta L al ángulo e. Esta transformación lineal es descrita
completamente sin ayuda de una base. Sin embargo, para representar T con una matriz se
requiere de una base. En la figura 5.5 se presentan dos posibilidades, la base estándar
v 1 = (1, 0), v2 = (0, l) y una base V1, V2 escogida especialmente para T.
135° ,Y= -x
t t]:
Transformaciones de semejanza
:-.¡ OSL URUGUAY
[~]
A= [ o.5
-o.5
5.5
''
"'- , , ,
''
-o.5]
o.5
[~]
'
~ = [i]
135º'y =-X
~-
., [ -o.
o.5]
proyecc10n
5
'
''
proyecta
a cero
'
A=[~ ~]
Vi=[-i]
proyecta a 1ií
Cambio de base, con la finalidad de hacer diagonal a la matriz proyección.
De hecho, TV1 = V1 (porque V1 ya está en la recta L) y TV2 = O (porque V2 es perpendicular a la recta). En esa base de vectores característicos, la matriz es diagonal:
Base de vectores característicos
~ gJ.
B = [T]v ª v = [
La otra cuestión es el cambio de matriz base M. Para ello, V 1 se expresa como una combinación v 1 cos 8 + v2 sen e y estos coeficientes se escriben en la columna 1. De manera semejante, Vz (o IVz, la transformación es la identidad) es -v¡ sen e + Vz cose, con lo que
se obtiene la columna 2:
Cambio de base
M = [l]v a v = [ cs
-sJ
c .
La matriz inversa M- 1 (que aquí es la traspuesta) va de va V. Combinada con By M, proporciona la matriz proyección en la base estándar de vs:
Base estándar
A= MBM- 1 =
[ces es]
s
2
2 •
Es posible resumir la cuestión importante. La manera de simplificar la matriz A -de
hecho diagonalizarla- significa encontrar sus vectores característicos. Éstos van en lascolumnas de M (o de S) y M- 1AM es diagonal. El algebrista afirma lo mismo en el lenguaje
de las transformaciones lineales: escoger una base que conste de vectores característicos.
La base estándar llevó a A, lo cual no era sencillo. La base correcta condujo a B, que era
diagonal.
Nuevamente se recalca que M- 1AM no surge cuando se resuelve Ax= b. Ahí la operación básica fue multiplicar A (¡sólo por el lado izquierdo!) por una matriz que resta un
múltiplo de un renglón de otro. Esta transformación preserva el espacio nulo y el espacio
renglón de A: normalmente cambia los valores característicos.
En realidad, los valores característicos se calculan por medio de una sucesión de semejanzas. La matriz avanza poco a poco hacia una forma triangular, y los valores característicos aparecen de manera gradual sobre la diagonal principal. (Esta sucesión se describe
296
Capítulo 5
5.6
Valores característicos y vectores característicos
en el capítulo 7). Eso es mucho
que tratar de calcular det (A - Al), cuyas raíces deben ser los valores característicos. Para una gran matriz, numéricamente es imposible concentrar toda esta información en el polinomio y obtenerla de nuevo.
< 1, y las
con una M unitaria
Nuestro
movimiento más allá de la matriz vector característico M = S es un poco
ilógico: en vez de una M más general, se avanza en dirección opuesta y M se restringe de
modo que sea unitaria. Con esta restricción, M- 1AM puede alcanzar una forma T triangular. Las columnas de M = U son ortonormales (en el caso real podría escribirse M = Q).
A menos que los vectores característicos de A sean ortogonales, una diagonal u- 1AU es
imposible. Sin embargo, el "lema de Schur" en 5R es muy útil, por lo menos para la teoría. (El resto de este capítulo está dedicado más a la teoría que a aplicaciones. La forma de
Jordan es independiente de esta forma triangular).
[i -b]
* *
AU1 = U1
* *
[''g
* *
* *
~]
conduce a
u 1- 1 AU1 =
u
['' n
[''
u- 1 AU =
Si
U,~ [~
Mz
º]
~
-lJo [1/.J2
1/.,/2.] [1O 2]
l
1/.,/2. -1/.,/2.
=
=T.
(4)
1J1éi1gona11zac10111 de matrices simétricas y hermitianas
Esta forma triangular mostrará que cualquier matriz simétrica o herrnitiana -sin importar
que sus valores característicos sean distintos o no- tiene un conjunto completo de vectores característicos ortonormales. Se requiere una matriz unitaria tal que u- 1A U sea diagonal. El lema de Schur justamente acaba de encontrarla. Esta T triangular debe ser diagonal,
ya que también es herrnitiana cuando A = AH:
T =
(U- 1 AU)H = uHAttcu- 1)H = u- 1 Au.
La matriz diagonal u- 1AU representa un teorema clave en álgebra lineal.
* *
* *
g A.2o *
o **
En el último paso, un vector característico de la matriz de 2 por 2 en la esquina inferior derecha pasa a una M 3 unitaria, que se coloca en la esquina de U 3 :
u,-' (u,-'u,-' Au,u,)u,
[l/.,/2
1/.,/2.] [2
1/.,/2. -1/.,/2. l
* *
* *
entonces U2- 1 (U 1- 1 AU1)U2 =
tiene el valor característico A. = 1 (dos veces).
g * *
Luego, se trabaja con la submatriz de 3 por 3 en la
inferior derecha. Tiene un
vector característico unitario x 2 , que se vuelve la primera columna de una matriz unitaria M 2 :
o o
e""-1 tienden a cero cuando todos los Re A.1 < O, incluso sin
La única línea de vectores característicos pasa por (l, 1). Desp11és de dividir entre .J2, esta es la primera columna de U, y la
= T
tiene los valores característicos
sobre su diagonal:
Demostración
Toda matriz, por ejemplo de 4 por 4, tiene por lo menos un valor característico A. 1• En el peor de los casos, puede estar repetido cuatro veces. En consecuencia, A
tiene por lo menos un vector característico unitario x 1, que se coloca en la primera columna de U. En esta etapa, es imposible determinar las otras tres columnas, por lo que la matriz se completa de cualquier forma que la deje unitaria, y se la denomina U 1• (El proceso
de Gram-Schmidt garantiza que esto es posible). Ax 1 = A. 1x 1 en la columna 1 significa que
el producto u 1- 1 AU1 empieza de forma correcta:
297
el conjunto completo de vectores característicos que se supuso en las secciones 5.3 y 5.4.
A =
formas
Transformaciones de semejanza
[! i ~ ~] ~
El producto U= U 1U2 U 3 sigue siendo una matriz unitaria, y u 1AU = T.
T
Observación 1
En el caso simétrico real, los valores característicos y los vectores característicos son reales en cada paso. Así se obtiene una U unitaria real, que es una matriz ortogonal.
Observación 2 A es el límite de matrices simétricas con valores característicos distintos. A
medida que se tiende al límite, los vectores característicos permanecen perpendiculares.
Esto puede fallar si A ~
A(e) =
o cose
. vectores caractensticos
, . [i J y
sen e J tiene
[0
0
cose].
[ sene
Cuando e -+ O, el único vector característico de la matriz no diagonalizable [ g
111111
Este lema es válido para todas las matrices, sin la hipótesis de que A es diagonalizade Ak tienden a cero cuando todos los
ble. Puede usarse para demostrar que
bJ es [ b] .
El teorema es¡)ec;tnll establece que esta A = AT
1
o
o
fl
oon val="""°'''faticoue!"tidoo A,
~A,~¡ y A, ~ -1.
298
5.6
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
Je
[i]
y
X,~ [~l
y
1
X3
HJ
P= ,,
~
-l.
Estas son las columnas de Q. Al separar A = QAQT en 3 columnas multiplicadas por 3
renglones se obtiene
o
o
o
[~ ~] [~ ~] [~ ~]
l
2
l
[ - ll2
l
n
2
= A.1
o
2
o
o
o
o
Debido a que A. 1 = A. 2, estas dos primeras proyecciones x 1x[ y x2xi (cada una de ran-
A=
+A.2
+ A.3
go 1) se combinan para proporcionar una proyección P 1 de rango 2 (sobre el plano de vectores característicos). Así, A es
l
(5)
o
o
299
Entonces, si N es normal, la triangular T = u- 1NU debe ser diagonal. Debido a que T tiene los mismos valores característicos que N, debe ser A. Los vectores característicos de N
son las columnas de U, y son ortonormales. Éste es el buen caso. A continuación se regresa de las mejores matrices (normales) a las peores posibles (defectuosas).
= l tiene un plano de vectores característicos, y se escoge un par X¡ Y Xz:
x, ~ ~
Transformaciones de semejanza
Toda matriz hermitiana con k valores característicos distintos tiene una descomposición
espectral en A= A. 1p 1 + · · · + JckPb donde P¡ es la proyección sobre el esf!a.cio característico para A.;. Debido a que hay un conjunto completo de vectores caractenst:c~s, la suma de las proyecciones es igual a la identidad. Y como los espacios caractenst1cos son
ortogonales, dos proyecciones producen cero: Pj P; = O.
Se está muy cerca de responder una pregunta importante, por lo que se continúa:
que T = A? ¡Todas las Ts simétricas, simétricas sesgadas Y
ortogonales son diagonales! Las matrices hermitianas, antihermitianas y unitarias, también
están en esta clase. Corresponden a números en el eje real, el eje imaginario, Y en la circunferencia unitaria. Ahora se busca toda la clase, que corresponde a todos los números
complejos. Las matrices se denominan "normales".
Normal
N = [ _
~ ;]
Defectuosa A = [ ~
;
J.
La forma de Jordan
Esta sección ha hecho su mejor esfuerzo a la vez que demandó que M sea una matriz unitaria U. Se obtuvo M- 1AM en una forma triangular T. Ahora se retira esta restricción sobre M. Se permite cualquier ma!riz, y el objetivo es hacer M- 1AM lo más diagonal posible.
El resultado de este esfuerzo supremo para diagonalización es laforma de Jordan J.
Si A tiene un conjunto completo de vectores característicos, se toma M = S y se llega: a
J = s- 1 AS = A. Así, la forma de Jordan coincide con la diagonal A. Esto es imposible
para una matriz defectuosa (no diagonalizable). Para todo vector característicofaltante, la
forma de Jordan tiene un 1 justo arriba de su diagonal principal. Los valores característicos aparecen sobre la diagonal porque J es triangular. Y siempre es posible desacoplar valores característicos distintos.
Lo único que puede (o no) requerir un l fuera de la diagonal en J es un Je repetido.
Forma de Jordan
J = M-t AM =
ra qué matrices se
l
J¡ .
ls ]·
..•.• C~da l:>lo9uede Jordfili l; es UIJ.a matri;?;·triangular·que s()lo .tiene Un yal9r ;caracterís.· t,ico~;)' ~ solovectorcaracterístico:
Bloque de Jordan
]¡
Ciertamente, las matrices simétricas y las matrices hermitianas son normales: Si A =
2
AH, entonces ambas AAH y AHA son iguales a A . Las matrices ortogonales y las unitarias
también son normales: ambas uutt y uttu son iguales a l. Para cualquier matriz normal
bastan dos pasos:
1.
1
Si N es normal, también lo es la triangular T = U- NU:
= u- 1 NUUHNHU = u- 1 NNHU = u-tNHNU = uHNHuu- 1 NU =THT.
2.
¡Una T triangular que sea normal debe ser diagonal! (Consulte los problemas 19 Y 20
al final de esta sección).
Muchos autores han hecho de este teorema el punto clímax de su curso de álgebra lineal. Francamente, considero que esto es un error. Ciertamente es verdad que no todas las
matrices son diagonalizables, y la forma de Jordan es el caso más general. Simplemente
por ello, su construcción es técnica y extremadamente inestable. (Un ligero cambio en A
puede regresar todos los vectores característicos faltantes, y eliminar los ls fuera de la diagonal.) En consecuencia, el lugar correcto para tratar los detalles es el apéndice, y la mejor
manera de comenzar a trabajar con la forma de Jordan es considerando algunos ejemplos
específicos y manipulables.
300
Capítulo 5
5. 6
Valores característicos y vectores característicos
Transformaciones de semejanza
301
J es diagonal por bloques, y las potencias de cada uno de estos bloques pueden tomarse por
separado:
Estas cuatro matrices tienen valores característicos 1 y 1 con sólo un vector característico, de modo que J consta de un bloque. A continuación se comprobará este hecho. Todos los determinantes son iguales a 1. Las trazas (las sumas abajo de la diagonal principal)
son igual a 2. Los valores característicos satisfacen 1 · 1 = 1 y 1 + 1 = 2. Para T, B, y J,
que son triangulares, los valores característicos están sobre la diagonal. Se quiere demostrar que estas matrices son semejantes: todas pertenecen a la misma familia.
º]
o
)...
1
A.
k
=
~k(k - l)A. k-
o
[ ;.._ k
kA.k-1
;...k
O
l
.
(9)
Este bloque J; entra en juego cuando >.. es un triple valor característico con un solo vector
característico. Su exponencial está en la solución de la ecuación diferencial correspondiente:
e)./
eJ,1
~
=
[
(T) De Ta J, la tarea es cambiar 2 a 1, y una matriz diagonal M lo hace:
2
2
e).. 1
~t eAI
1
Ü
eAI
te'"'
te)..
l
•
(10)
I + J;t + (J;t) 2 /2! + ···produce l + >..t + >..2t2/2! +
= é' en la díagonal.
La tercera columna de esta exponencial proviene directamente de resolver du/dt = l;u:
(B) De B a J, la tarea es trasponer la matriz. Esto se obtiene con una permutación:
p-IBP=[~ ¿][in[~ ¿]=[6 n=J.
Lo anterior puede resolverse por sustitución hacia atrás (ya que l; es triangular). La última
ecuación du3/dt = AU3 produce u 3 = eJ..t. La ecuación para u 2 es du 2/dt = >..u 2 + u 3,
y su solución es teM. La ecuación de arriba es du¡/dt = >..u1 + u2, y su solución es
~ t 2e:;..1 • Cuando A. tiene multiplicidad m con un solo vector característico, el factor adicional t aparece m - 1 veces.
Estas potencias y exponenciales de J forman parte de las soluciones uk y u(t). La otra
parte es la M que relaciona la A original con la matriz más conveniente J:
(A) De A a J, primero se va a T como en la ecuación (4 ). Luego se cambia 2 a 1:
y entonces
y
B =
l
oO oO Oi .
[o o o
si Uk+l = Auk entonces uk = Akuo = MJkM- 1uo
si du/dt = Au entonces u(t) = eA 1 u(O) = Me 11 M- 1u(O).
Cero es un
valor característico de A y B, por lo que aparece en todos sus bloques de
Jordan. Puede haber un solo bloque de 3 por 3, o un bloque de 2 por 2 y un bloque de 1
por 1, o tres bloques de l por l. Así, A y B tienen tres posibles formas de Jordan:
11 =
º]
oo o1 1 ,
[o o o
º]
o I
]z=OOO,
[o o o
h =
º]
oo oo o .
[o o o
(8)
El único vector característico de A es (1, O, 0). Su forma de Jordan sólo tiene un bloque, y A debe ser semejante a J 1• La matriz B tiene el vector característico adicional (O, 1,
0), y su forma de Jordan es J2 con dos bloques. Así como para J3 = matriz cero, de suyo
constituye una familia; la única matriz semejante a '3 es M- 10M = O. Un conteo de los
vectores característicos determina J cuando no hay nada más complicado que un valor característico
IFiP•m111n 6
a ecuaciones en
y ecuaciones
(potencias y exponenciales). Si A puede diagonalizarse, las potencias de A = SAs- 1 son fáciles: Ak = SAks- 1
. En cada caso se tiene la semejanza de Jordan A = M J Ñ1 1, de modo que ahora se requieren las potencias de J:
Ak = (M J M- 1)(M J M- 1) • • -(M J M- 1) = M ¡k M- 1 •
Cuando M y J son S y A (el caso diagonalizable) aquéllas son las fórmulas de las secciones 5.3 y 5.4. El
B regresa al caso no diagonalizable, y muestra cómo es posible
alcanzar la forma de Jordan. Espero que la tabla siguiente sea un resumen conveniente.
302
5.6
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
1. Si B es semejante a A y C es semejante a B, demuestre que Ces semejante a A. (Sean
B = M- 1AM y C = N- 1BN.) ¿Qué matrices son semejantes al?
2. Describa con palabras todas las matrices que son semejantes a [
dos de ellas.
3
b) Calcule D , e interprete los resultados en términos de derivadas.
e) ¿Cuáles son los valores característicos y los vectores característicos de D?
4. Encuentre una diagonal M integrada por ls y - ls, para demostrar que
[i
2
1
l
2
l
J
es semejante a
B=
[-i
-1
2
-1
-1
2
-1
5. Demuestre (si B es invertible) que BA es semejante a AB.
-J
6. a) Si CD= -DC (y Des invertible), demuestre que Ces semejante a -C.
b) Deduzca que los valores característicos de C deben presentarse por parejas másmenos.
e) Demuestre directamente que si Cx = Ax, entonces C(Dx) = - J...(Dx).
r: z n ~ u~~: ~~~-: n
7. Considere cualquier A y una "rotación dada" M en el plano 1-2:
A
~
Dm [~]
¿ _~] , Y encuentre
3. Explique por qué A nunca es semejante a A + l.
A=
303
13. La derivada de a + bx + cx 2 es b + 2cx + Ox 2 .
a) Escriba la matriz de D3 por 3 tal que
de problemas 5.6
l
Transformaciones de semejanza
M
Escoja el ángulo de rotación e para obtener cero en el elemento (3, 1) de M- 1AM.
Nota Esta obtención "de ceros" no es fácil de continuar, ya que las rotaciones producen cero en lugar de d y h arruina el nuevo cero en la esquina. Es necesario dejar una
diagonal abajo de la principal, y terminar el cálculo de los valores característicos de
alguna otra forma. En caso contrario, si A puede hacerse diagonal y pueden verse sus
valores característicos, entonces se encontrarían las raíces del polinomio det (A - J.../)
usando sólo las raíces cuadradas que determinan cos e; lo cual es imposible.
8. ¿Qué matriz M cambia de la base V1 = (1, 1), V2 = (1, 4) a la base v 1 = (2, 5), v2 =
(1, 4)? Las columnas de M se obtienen al expresar V1 y V2 como combinaciones "ImijV; de los v's.
14. Demuestre que todo número es un vector característico para Tf(x) = d.f /dx, pero
f(t)dt no tiene valores característicos (aquí
que la transformación Tf(x) =
-oo <X< 00).
J;
15. En el espacio de matrices de 2 por 2, sea T la transformación que traspone cada matriz. Encuentre los valores característicos y las "matrices. características" para A T =
AA.
16. a) Encuentre una matriz ortogonal Q, de modo que Q- 1 AQ =A si
o
o
o
y
Luego, encuentre un segundo par de vectores ortonormales X¡, x 2 para J... =O.
b) Compruebe que P = x 1xT + x 2 xi es el mismo para ambos pares.
17. En dos pasos, demuestre que toda matriz unitaria A es diagonalizable:
i) Si A es unitaria, y U también lo es, entonces T = u- 1AU también es unitaria.
ii) Una T triangular superior que es unitaria debe ser diagonal. Así, T = A.
Cualquier matriz unitaria A (con valores característicos distintos o no) tiene un conjunto completo de vectores característicos ortonormales. Todos los valores característicos satisfacen IA.I = l.
18. Encuentre una matriz normal (NNH = NHN) que no sea hermitiana, antihermitiana, unitaria, o diagonal. Demuestre que todas las matrices permutación son normales.
19. Suponga que Tes una matriz triangular superior de 3 por 3, con elementos tij. Compare los elementos de ITH y THT, y demuestre que si son iguales, entonces T debe ser
diagonal. Todas las matrices triangulares normales son diagonales.
9. Para las dos mismas bases, exprese el vector (3, 9) como una combinación c 1 V 1 +
c2 V2 y también comod 1 v 1 + d 2 v2 • Compruebe numéricamente que Mrelaciona e con
d:Mc =d.
20. Si N es normal, demuestre que !INxll = llNHxll para todo vector x. Deduzca que el
i-ésimo renglón de N tiene la misma longitud que la i-ésima columna. Nota: Si N también es triangular superior, esto de nuevo lleva a la conclusión de que debe ser diagonal.
10. Confirme el último ejercicio: Si V¡= m1 1 v1 +m21Vz y Vz = m12V1 +m22V2• Y
m 11 c 1 + m 12 c 2 = d 1 y m 21 c1 + m22c2 = dz, los vectores c 1V¡+ c2V2Y d¡v¡+ dzVz
son los mismos. Esta es la "fórmula de cambio de base" Me = d.
21. Demuestre que una matriz con vectores característicos ortonormales debe ser normal,
como se establece en ST: Si u- 1NU =A, o N =U AUH, entonces NNH = NHN.
11. Si la transformación Tes una reflexión, a través de la recta a 45° en el plano, encuentre su matriz respecto a la base estándar v1 = (1, 0), v2 = (O, 1), y también respecto a
V¡ = (l, 1), V2 = (1, -1). Demuestre que estas matrices son semejantes.
12. La transfonnación identidad lleva cada vector en sí mismo: Tx = x. Encuentre la matriz correspondiente, si la primera base es v 1 = (1, 2), v 2 = (3, 4) y la segunda base
es w 1 = (1, 0), w 2 = (O, 1). (¡No es la matriz identidad!)
n
22. Encuentre una U unitaria y una Ttriangular de modo que u- 1AU = T, para
A~[! ::n
y
A~[H
23. Si A tiene valores característicos O, 1, 2, ¿cuáles son los valores característicos de
A(A - !)(A - 21)?
304
Capítulo 5
5.6
Valores característicos y vectores característicos
24. a) Demuestre por multiplicación directa que toda matriz triangular T, por ejemplo de 3
por 3, satisface su propia ecuación característica (T - 'A 1 l)(T - 'A 2 l)(T A3l) =O.
b) Sustituya u- 1A U por T para deducir el famoso teorema de
Toda matriz
ecuación característica. Para las matrices de 3 por 3,
esto es (A - A. 1 /)(A - A. 2 /)(A - A. 3 /) =O.
25. El polinomio característico de A = [ ~
Transformaciones de semejanza
305
Los or1obllen1as 35 a 39 son sobre la forma de Jordan.
35. Por multiplicación directa, encuentre J 2 y J 3 cuando
J=[~!].
Ccmii~trnre la forma de Jk. Haga k = O para obtener
k = - 1 para obtener
~] esA. - (a + d)'A +(ad - be). Por sus2
titución directa, compruebe el teorema de Cayley-Hamilton: A 2 - (a + d)A +
(ad - be)/ = O.
36. Si J es la matriz de Jordan por bloques de 5 por 5 con ). = O, encuentre J 2 y cuente
sus vectores característicos. También encuentre su forma de Jordan (dos bloques).
26. Si aiJ = 1 arriba de la diagonal principal y aiJ = O en todas partes, encuentre la forma
de Jordan (por ejemplo, para matrices de 4 por 4) encontrando todos los vectores característicos.
37. En el texto se resolvió du!dt = Ju para una matriz J de Jordan por bloques de 3 por 3.
Agregue una cuarta ecuación dwldt = 5w+ x. Siga el
de soluciones para z, y,
x con la fmalidad de encontrar w.
27. Demuestre al tanteo para una M que ningunas tomadas dos a dos de las tres formas de
Jordan en la ecuación (8) son semejantes: J 1 f M- 1 JzM, J 1 f M- 1 hM, y
38. Los valores característicos de las siguientes matrices de Jordan son O, O, O, O. Las matrices tienen dos vectores característicos (encuéntrelos). Sin embargo, los tamaños de
los bloques no coinciden y J no es semejante a K:
Jz f M- 1 J3M.
28. Resuelva u' = Ju por sustitución hacia atrás, resolviendo
du
dt = J u =
Observe te5 ' en la
29. CalculeA
[5 l] [U¡]
0
Ul
componente u 1(t).
º y C si A= M J M-
1
A= [
.. "al
con v alor m1c1
u(O) =
Uz
5
para u2 (t):
14
-16
1
Para cualquier matriz M, compare JM con MK. Si son iguales, demuestre que M no es
invertible. Luego,
= K es imposible.
:
9] [ 3 -2] [2o 1] [3 2]
-10
=
-4
3
2
4
3 .
30. Demuestre que A y B son semejantes encontrando una M tal que B = M- 1 AM:
a)
A=
b)
A=
e)
A=
u g]
[i ~]
[; ~]
y
B=
y
B=
y
B=
a
[ 1 -1]
[g
-1
1 .
[~ iJ·
31. ¿Cuáles de las siguientes matrices A 1 a A 6 son semejantes?
[~
32.
y
n [~ ~] [~ ~] [~ n u g] [g iJ
16 matrices de 2 por 2 cuyos elementos son Os y ls. Las matrices semejantes pertenecen a la misma familia. ¿Cuántas familias hay? ¿Cuántas matrices (en total 16)
hay en cada familia?
33. a) Si x está en el espacio nulo de A, demuestre que M- 1x está en el espacio nulo de
M- 1AM.
39. Demuestre en tres pasos que AT siempre es semejante a A (se sabe que los A.s son los
mismos; el problema son los vectores característicos):
a) Para A= un bloque, encuentre M; =permutación tal que M;- 1 J;M; = J7.
b) Para A = J cualquiera, construya M 0 , a partir de bloques, de modo que M(;- 1 J M 0
= JT.
e) Para cualquiera A = M J M- 1 , demuestre queAT es semejante a
y que también
es semejante a J y a A.
40. ¿Cuáles de los siguientes pares son semejantes? Escoja a, b, e, d para demostrar que
los otros pares no lo son:
[~ ! ] [! ~] [~ ~] [~ ~J.
41. ¿Falso o verdadero
una buena razón)?
a) Una matriz invertible no puede ser semejante a una matriz singular.
b) Una matriz simétrica no puede ser semejante a una matriz no simétrica.
e) A no puede ser semejante a -A, a menos que A= O.
d) A - l no puede ser
a A + l.
42. Demuestre que A B tiene los mismos valores característicos que BA.
43. Si A es de 6 por 4 y B es de 4 por 6, AB y BA son de tamaños distintos. No obstante,
[~-~][A~ g] [~ ~] = [~ B~] =G.
1
b) Los espacios nulos de A y M- AM tienen igual(es)(vectores)(bases)(dimensión).
34. Si A y B tienen exactamente los mismos valores característicos y vectores característicos, ¿es A = B? Con n vectores característicos independientes, se tiene A =B. Enuna línea de vectores
cuentre A ""' B cuando A. = O, O (repetido), aunque sólo
característicos (x 1, O).
qué tamaño son los bloques de G? Son los mismos en cada matriz.
b) Esta ecuación es M- 1FM = G, de modo que F y G tienen los mismos 10 valores
característicos. F tiene los valores característicos de AB más 4 ceros; G tiene los
a)
306
Ejercicios de repaso
Capítulo 5 Valores característicos y vectores característicos
valores característicos de BA más 6 ceros. AB tiene los mismos valores característicos que BA más ___ ceros.
44. ¿Por qué cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera?
2
a) Si A es semejante a B, entonces A2 es semejante a B •
b) A2 y B2 pueden ser semejantes cuando A y B no son semejantes (intente A. = O, O).
e)[~ ~]essemejantea[~
d') [ ~
Propiedades de los valores característicos y vectores característicos
¿Cómo se reflejan las propiedades de una matriz en sus valores característicos y vectores
característicos? Esta cuestión es fundamental en todo el capítulo 5. Una tabla que organice los hechos más importantes puede ser de utilidad. Para cada clase de matrices, a continuación se presentan las propiedades especiales de los valores característicos A; y los
vectores característicos X¡.
Simétrica: A T = A
). real
ortogonal x( x j = O
Urtol!om1l: QT = Q- 1
todal"AI = l
ortogonal xT X j = o
Simétrica sesgada: A T = -A
A. imaginaria
ortogonal xTx j = O
Hermitiana compleja: AT = A
A. real
ortogonal
xi X = Ü
j
A.(B) = A.(A)
x(B) = M- 1x(A)
Proyección: P = P 2 = pT
A.= 1; O
espacio de columna; espacio nulo
Reflexión: l - 2uu T
).=
Matriz rango 1: uvT
A.= vTu; O, ... ,O
Inversa: A - 1
l/A.( A)
vectores característicos de A
Corrimiento: A+ el
A(A) +e
vectores característicos de A
Potencias estables: An -+ O
toda¡;..¡ < l
Exponencialmente estable: eA' -+ O
toda Re A. < O
-1; 1, ... , 1
~]
y
B =
[-1~
-!l
5.2 Encuentre los determinantes de A y A - i si
5.3 Sí A tiene los valores característicos O y 1, correspondientes a los vectores característicos
y
¿podría decir de antemano que A es simétrica? ¿Cuáles son su traza y su determinante? ¿Cuál es A?
5.4 En el problema previo, ¿cuáles son los valores característicos y los vectores característicos de A 2 ? ¿Cuál es 1a relación de A 2 con A?
5.5 ¿Existe una matriz A tal que toda la familia A + el es invertible para todos los números complejos e? Encuentre una matriz real con A + rl invertible para todo r real.
5.6 Resuelva para los dos valores iniciales, y luego encuentre eA':
toda'A>Ü
u;uJ_
estado estacionario x > O
Markov: mij > O, I:'.'=t mij = l
Amáx = l
Permutación cíclica: pn = l
Ak = e2irikl n
Dh•gonaliza ble: SAs-t
diagonal de A
las columnas de S son independientes
Simétrica: QAQT
diagonal de A (real)
las columnas de Q son ortonormales
Jordan: J = M- 1 AM
diagonal de J
cada bloque de un vector característico
Cada matriz: A = U I: yT
rango (A) = rango (!:) los vectores característicos de
ATA, AAT en V, U
1
5.1 Encuentre los valores característicos, los vectores característicos, y la matriz de diagonalización S, para
A= [;
e) Si se intercambian los renglones 1 y 2 de A, y luego se intercambian las columnas
l y 2, los valores característicos siguen siendo los mismos.
Matriz similar: B = M- 1 AM
Capítulo
¡].
~] no es semejante a ( ~ ~].
307
du
dt =
[3 l] .
1
3
U
Sl
u(O) =
[¿]
y si
u(O) =
[~] .
5.7 ¿Prefiere un interés compuesto trimestralmente a 40% anual o anualmente a 50%?
5.8 ¿Falso o verdadero? (Proporcione un contraejemplo si es falso):
a) Sí B se forma a partir de A, mediante el intercambio de dos renglones, entonces B
es semejante a A.
b) Si una matriz triangular es semejante a una matriz diagonal, ya es diagonal.
e) Cualesquiera de las dos afirmaciones anteriores implica la tercera: A es hermitiana, A es unitaria, A2 = J.
d') Si A y B son diagonalizables, entonces también lo es A B.
5.9 ¿Qué ocurre a la sucesión de Fibonacci si se retrocede en el tiempo, y cómo está recon Fk? La ley Fk+2 = Fk+I + Fk sigue siendo válida, de modo que
lacionado
F _1 = l.
5.10 Encuentre la solución general de duldt = Au si
A~[! -~
-n
¿Puede encontrar un instante Tal que se garantice que la solución u(T) vuelva al valor inicial u( O)?
308
Capítulo 5
309
Ejercicios de repaso
Valores característicos y vectores característicos
5.11 Si p es la matriz que proyecta Rn sobre un subespacio S, explique por qué todo vector en S es un vector característico, y así como cada vector en S..L. ¿Cuáles son los va2
lores característicos? (Observe la relación con P 2 = P, lo que significa que A. = A..)
5.12 Demuestre que toda matriz de orden > 1 es la suma de dos matrices singulares.
5.13 a) Demuestre que la ecuación diferencial matricial dX/ dt = AX + XB tiene la solución X(t) = eA1 X(0)e 8 '.
b) Demuestre que las soluciones de dX/dt =AX - XA preservan los mismos valores
característicos para todos los instantes.
e) ¿Por
es unitaria eA'?
d) ¿Por qué es unitaria eK'?
5.21 Si Mes la matriz diagonal con elementos d, d 2 , d 3 , ¿cuál es M- 1AM? ¿Cuáles son sus
valores característicos en el siguiente caso?
A~¡¡ :
:J
5.22 Si A 2 = -!, ¿cuáles son los valores característicos de A? Si A es una matriz real den
por n, demuestre que n debe ser par, y proporcione un ejemplo.
5.14 Si los valores característicos de A son 1 y 3 con vectores característicos (5, 2) y (2, 1),
encuentre las soluciones de duldt = Au y uk+I = Auk, empezando con u = (9, 4).
5.23 Si Ax = A. 1x
5.15 Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de
5.24 Una variante de la matriz de Fourier es la "matriz seno":
y AT y = A. 2y (todos reales), demuestre que xTy = O.
-i
S=
-i
sene
sen 28
[ sen 38
sen 28
sen48
sen 68
sen38]
sen 68
sen98
con
Compruebe que sT = s- 1. (Las columnas son los vectores característicos de la matriz tridiagonal -1, 2, -1 ).
¿Qué propiedad se espera tengan los vectores característicos y es verdadera?
5.16 Intente resolver lo siguiente para demostrar que A no tiene raíz cuadrada.
5.25 a) Encuentre una matriz N diferente de cero tal que N 3 = O.
b) Si Nx = A.x, demuestre que A. debe ser cero.
e) Demuestre que N (denominada "matriz nilpotente") no puede ser simétrica.
Cambie los elementos en la diagonal de A a 4 y encuentre una raíz cuadrada.
5.17 a) Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de A = [ ~
~).
b) Resuelva du/dt = Au empezando con u(O) = (100, 100).
e) Si v(t) = ganancia de los corredores de bolsa y w(t) = ganancia del cliente, y ambos se ayudan mutuamente mediante dv/dt = 4w y dw/dt = ~ v, ¿a que tiende la
razón v / w cuando t -+ oo?
5.18 ¿Falso o verdadero? (Proporcione una razón si es verdadero y un contraejemplo si es
falso).
a) Para toda matriz A, hay una solución de du/ dt = Au empezando con u(O)
5.26 a) Encuentre la matriz P = aaT /aTa que proyecta cualquier vector sobre la recta que
pasa por a = (2, l, 2).
b) ¿Cuál es el único valor característico diferente de cero de P, y cuál es el vector característico correspondiente?
e) Resuelva uk+I = Puk, empezando con u0 = (9, 9, 0).
renglón de A es 7, 6 y que sus valores característicos son i, - i.
5.27 Suponga que el
Encuentre A.
5.28 a) ¿Para qué números e y d ocurre que A tiene valores característicos reales y vectores característicos ortogonales?
(1, ... , 1).
b) Toda matriz invertible puede diagonalizarse.
2
d
e) Toda matriz diagonalizable puede invertirse.
d) El intercambio de los
de una matriz de 2 por 2 invierte el signo de sus
valores característicos.
e) Si los vectores característicos x y y corresponden a valores característicos distintos, entonces .x8y = O.
1
5.19 Si K es una matriz simétrica sesgada, demuestre que Q = (J - K)(/ + K)- es una matriz ortogonal. Encuentre Q si K = [ -~
~ J.
5.20 Si E!' = - K (herrnitiana sesgada), los valores característicos son imaginarios y los
vectores característicos son ortogonales.
a) ¿Cómo se sabe que K - I es invertible?
b) · ¿Cómo se sabe que K = U A UH para una matriz U unitaria?
5
b)
cuáles e y d es posible encontrar tres vectores ortonormales que sean combinaciones de las columnas? (¡No lo resuelva!)
5.29 Si los vectores x 1 y x 2 están en las columnas de S, ¿cuáles son los valores característicos y los vectores característicos de
A= s
[~ ~] s-
1
y
B = s
[~
iJ s-
1
7
5.30 ¿Cuál es el límite cuando k-+ oo (el estado estacionario de Markov) de [
g:: 0.3]k [ª]?
0.7
b .
Capítulo
t
111
iti
Hasta el momento, difícilmente se ha pensado en los signos de los valores característicos.
No es posible preguntar si Je es positivo antes de saber si es real. En el capítulo 5 se estableció que toda matriz simétrica tiene valores característicos reales. A continuación se
encontrará una prueba que puede aplicarse directamente a A, sin calcular sus valores característicos, que garantizará que todos estos valores característicos son positivos. Esta prueba conlleva tres de los conceptos más importantes del libro: pivotes, determinantes y
valores característicos.
A menudo, el signo de los valores característicos es crucial. Para estabilidad en ecuaciones diferenciales, se requieren valores característicos negativos, de modo que t!'-' decaiga. El nuevo y muy importante nuevo problema es reconocer un punto mínimo. Esto se
presenta en toda la ciencia e ingeniería, así como en todo problema de optimización. El problema matemático es mover la prueba de la segunda derivada F" > O hacia n dimensiones.
A continuación se presenfünoosejemplos:
F(x, y) = 7 + 2(x + y) 2 - y sen y - x 3
f(x, y) = 2x 2 + 4xy + y 2 •
Ya sea F(x, y) o f(x, y), ¿tiene un punto mínimo en x = y = O?
Observación 1 Los términos de orden cero F(O, O) = 7 y f(O, O) = O no afectan la respuesta. Simplemente suben o bajan las gráficas de F y f
Observación 2 Los términos lineales proporcionan una condición necesaria: A fin de
tener alguna posibilidad de un mínimo, las primeras derivadas deben hacerse cero en
X= y= O:
aF = 4(x +y)
ax
-
3x 2 = O
a¡ = 4x + 4y = o
ax
y
y
aF = 4(x +y) - ycosy -seny =O
-
ay
a¡
ay = 4x + 2y = O. Todo cero.
-
Así, (x, y) = (O, 0) es un punto estacionario para ambas funciones. La superficie z = F(x,
y) es tangente al plano horizontal z = 7, y la superficie z = f(x, y) es tangente al plano
z = O. La cuestión es si las gráficas pasan o no por arriba de esos planos, a medida que
se aleja el punto de tangencia x = y = O.
312
Capítulo 6
6.1
Matrices positivas definidas
82 F
·¡p¡
-=
4
2
=4-6x =4
a2p
azp
axay
8y8x
8 F
Definida contra indefinida: tazón contra silla
8x
--=--=4
2
313
Cuandof(x, y) es estrictamente positiva en todos los demás puntos (el cuenco del tazón
está hacia arriba), se denomina positiva aett.nido.
Las se,f!mrza.~!i derivadas en (O, 0) son decisivas:
Observación 3
Mínimos, máximos. y puntos silla
axay
El problema se .reduce a lo siguiente: Para una función de dos variables x y y, ¿cuál es 1a
sustitución correcta para la condición 8 2 F/8 x 2 > O? Con una sola variable, el signo de
la segunda derivada decide entre un núnimo o un máximo. Ahora se cuenta con tres segundas derivadas:
y Fyy. Estos tres números (como 4, 4, 2) deben determinar si F (igual que f)
o no un rmmmo.
¿Qué condiciones sobre a, by c aseguran que la
+ 2bxy
+ cy2
Una condición necesaria es fácil:
=4
8y8x
af
2
= 4 + y sen y - 2 cos y = 2
8y2 = 2.
=
Estas segundas derivadas 4, 4, 2 contienen la respuesta. Debido a que son las mismas para F y paraf, deben contener la misma respuesta. Las dos funciones se comportan exactamente de la misma manera cerca del origen. F tiene un mínimo si y sólo
un
mínimo. ¡Se demostrará que estas funciones no lo hacen!
i) Si ax2 + 2bxy + cy2 es positiva definida, entonces necesariamente a > O.
Se considera x = 1, y = O, donde ax2 + 2bxy + cy2 es igual a a. Ésta debe ser positiva.
Trasladando de vuelta a F, lo anterior significa que 02 F/8 x 2 > o. La gráfica debe ser
hacia arriba en la dirección x. De manera semejante, se
x = O y se considera la dirección y, donde /(0, y) = cy2 :
Observación 4 Los términos de orden superior en F no afectan la cuestión de un núnimo local, aunque pueden
que éste se convierta en un núnimo global. En el
ejemplo, el término -:x? tarde o temprano empujará a F hacia -oo. Para/(x, y), sin términos superiores, toda la acción está en (O, O).
Toda forma cuadrática f = ax2 + 2bxy + cy2 tiene un punto estacionario en el origen, donde 8.f/Bx = 8.f/8y =o. Un núnimo local también debe ser un núnimo global.
Entonces, la forma de la superficie z = f(x, y) es como la de un tazón, apoyado en el origen (véase la figura 6.1). Si el punto estacionario de F está en x = a, y = {3, el único
cambio es en el uso de las
derivadas en a,
Parte
cuadrática
deF
2
2
2
2
ii) Sif(x, y) es positiva definida, entonces necesariamente c >O.
¿Estas condiciones sobre a> O y c >O
quef(x, y) siempre es positiva? La respuesta es no. Un gran término cruzado 2bxy puede empujar la gráfica por abajo de cero.
1
f(x, y)= x2- 10.xy + y2. Aquí a= l y c = 1 son ambas positivas. Sin embargo, fno es positiva definida, ya que f(l, 1) = -8. Las condiciones a> O y c >O aseguran que f(x, y)
es positiva en los ejes x y y. Pero la función es negativa sobre la recta x = y, porque b =
-10 supera a a y c.
2
En la f original, el coeficiente 2b = 4 era positivo.
asegura un núnimo? De nuevo la .respuesta es no; ¡el signo de b carece de importancia? Aunque sus segundas deriun mínimo
vadas son positivas, 2.x 2 + 4xy + y 2 no es positiva definida. Ni F
en (O,
-1)
2 - 4 + 1 = -1.
2
x 8 F
8 F
y 8 F
f(x, y) = Z 8x 2 (a, {3) + xy 8x8y (a, {3) + Z 8y 2 (a, {3).
(1)
Cerca de (O, 0), estáf(x, y), y se comporta de la misma forma en que F(x, y) se comporta cerca de (a, /3).
Las terceras derivadas hacen su aparición en el problema cuando las segundas derivadas fracasan en proporcionar una decisión definitiva. Esto ocurre cuando la parte cuadrática es singular. Para un núnimo verdadero, se permite que f sea cero sólo en x = y = O.
=
Lo que debe controlarse es el tamaño de b, en
con a y c. Ahora se
una condición necesaria y suficiente para la condición de positiva definida. La técnica más
es
el cuadrado:
usando
y
cuadrados
f = ax
2
+ 2bxy + cy 2 = a
(x + ~yY+ (
2
c- :
)
yz.
(2)
X
6.1
Tazón y silla: A =
[01 º1]
definida y A =
[º l]
1
0
indefinida.
El primer término a la derecha nunca es negativo, cuando el cuadrado se multiplica por
a> O. Pero este cuadrado puede ser cero, y entonces el segundo término debe ser positivo. El coeficiente de ese término es (ac - b 2 )/a. El último
para la condición de positiva definida es que este coeficiente debe ser positivo:
2
iii) Si ax 2 + 2bxy + cy 2 permanece positiva, entonces necesariamente ac > b •
i.i''i:~J~ ~;·~~ r·"' ~, i:' ;·~:·~~·~t~:~1 ~i~;-~:: ~~:·'-;'!.~~~~ ¡~~ljl~-'.\~,_u~~~'~;¡~~~;I
314
Capítulo 6
Matrices positivás definidas
- :-e id_ 6.1
Mínimos. máximos. y puntos silla
:ns
Prueba para 1.m mínimo: Las condiciones a > O y ac > b2 son correctas. Garantizan e > O.
El miembro derecho de (2) es positivo, y se ha encontrado un mínimo:
xTAx en
[ºzF]
> [~]
[(J2F]
ox 2
oy 2
oxoy
Prueba para un máximo: Debido a queftiene un máximo siempre que -!tiene un mínimo, simplemente se invierten los signos de a, b y c. Esto en realidad deja ac > b 2 sin
cambio: la forma cuadrática es negativa definida si y sólo si a< O yac> b 2 . El mismo
cambio es válido para un máximo de F(x, y).
En el primero, b = l domina a = e = O. En el segundo, a = 1 y e = -1 tienen signos
opuestos. Los puntos silla 2xy y x 2 - y 2 son prácticamente los mismos; si uno se hace girar 45°, se obtiene el otro. También es difícil trazarlos.
Estas formas cuadráticas son indefinidas, porque pueden asumir cualquier signo. Así,
se tiene un punto estacionario que no es máximo ni mínimo. Se denomina punto silla. La
superficie z = x 2 - y 2 va hacia abajo en la dirección del eje y, donde sus piernas se ajustan
(si usted ha montado a caballo). En caso de que usted haya cambiado a un automóvil, piense en una caJ.Tetera que va por un paso de montaña. La cima del paso es un mínimo mientras se observa a lo largo de la cordillera, aunque es un máximo cuando usted avanza por
la carretera.
lineal
El cálculo podría bastar para encontrar nuestras condiciones Fxx > O y F.u Fyy > F'jy
para un mínimo. Sin embargo, el álgebra lineal está preparada para hacer más, ya que las
segundas derivadas se ajustan a una matriz simétrica A. Los términos ax2 y cy 2 aparecen
sobre la diagonal. La derivada cruzada 2b:x:y está separada entre el mismo elemento b arri-
y] [ ~
~] [~J.
(4)
a22
Xz
a¡,.]
[X¡]
az,.
Xz
n
= LLªijXiXj.
(5)
i=l j=I
ann
Xn
Los elementos diagonales a 11 a ª"" multiplican x? y x~. El par aij = ajt se combina en
2aijxixj. Así, f = a 11 x? + 2a 12x 1x2 + · · · + a,.nx~.
No hay términos de orden superior ni términos de orden inferior; sólo de segundo orden. La función es cero en x = (0, ... , 0), y sus primeras derivadas son cero. La tangente
es plana; se trata de un punto estacionario. Es necesario decidir si x = O es un mínimo, un
máximo o un punto silla de la función f = xTAx.
1:1e11rmm 3 f = 2x 2 + 4xy + y 2 y A= [;
y c. Esto también ocurre si a y e tienen signos opuestos. Así, dos direcciones proporcionan
resultados opuestos: en una dirección, f crece; en la otra, decrece. Resulta de utilidad considerar dos casos especiales:
f 1 = 2xy y f 2 = x2- y 2 y ac - b 2 =-l.
[x1
xTAx enR"
=
Puntos silla en (0, 0)
+ 2bxy + cy 2 = [ x
a12
Caso singular ac b 2 : El segundo término en la ecuación (2) desaparece para dejar sólo el primer cuadrado, que es positivo semidefinido, cuando a > O, o negativo semidefinido, cuando a< O. El prefijo semi permite la posibilidad de que F pueda ser igual a cero,
como es el caso en el punto x = b, y= -a. La superficie z = f(x, y) degenera de un tazón
en un valle. Para f = (x + y) 2 , el valle se encuentra a lo largo de la recta x + y = O.
ción ac - b 2 puede ser negativa. Esto ocurrió en los dos ejemplos, cuando b dominaba a a
2
Esta identidad (por favor, realice el producto) constituye la clave para todo el capítulo. Se generaliza de inmediato a n dimensiones, y constituye una abreviación perfecta para estudiar máximos y mínimos. Cuando las variables son x 1, ••• , Xm van en un vector
columna x. Para
matriz simétrica A, el producto x T Ax es una forma cuadrática pura f (x ¡, ••• , x,.):
2
Punto silla ac <
En una dimensión, F(x) tiene un mínimo o un máximo, o bien,
F" = O. En dos dimensiones, permanece una posibilidad bastante importante: la combina-
ax
f = 2xy
5
y A = [
~
¿]
~] -+punto silla.
-+ punto silla.
A es de 3 por 3 para 2xf - 2x 1x 2 + 2xi - 2x2 x 3 + 2xj:
-1
f = [x1
2
-1
Cualquier función F(x 1 , ••• , x,.) es aproximada de la misma forma. En un punto estacionario todas las primeras derivadas son cero. A es la "matriz segunda derivada" con elementos aij = 0 2 F/8 x;oX¡· Esto automáticamente es igual a a¡;= &2 Flox¡ox;, de modo
que A es simétrica. Así, F tiene un mínimo cuando la cuadrática pura xTAx es positiva
definida. Estos términos de segundo orden controlan a F cerca del punto estacionario:
Serie de
F(x) = F(O) + x T (grad F) + ~x T Ax+ términos de orden superior.
2
(6)
En un punto estacionario, F =(o F /ox 1 , ••• , í) F /ax,.) es un vector de ceros. Las segundas derivadas en x TAx asumen la gráfica hacia arriba, hacia abajo (o en una silla). Si el punto estacionario está en x 0 en vez de en O, entonces F(x) y todas las derivadas se calculan en
x 0 • Luego, x cambia ax - x0 en el miembro derecho.
La siguiente sección contiene las pruebas para decidir si xTAx es positiva (el tazón se
dirige hacia arriba a partir de x = 0). De manera equivalente, las
deciden si la
matriz A es
definida, lo cual constituye el objetivo más importante del capítulo.
316
Capítulo 6
6.1
Matríces positívas definidas
1. La cuadrática f = x 2 + 4xy + 2y 2 tiene un punto silla en el origen, a pesar de que sus
coeficientes son positivos. Escriba f como una diferencia de dos cuadrados.
2. Decida a favor o en contra de la condición de positiva definida de las siguientes matrices, y escriba las f = xTAx correspondientes:
a)
b)
[-i -1]
l .
e)
[~ ~J
d)
[-1 2]
2
-8 .
El determinante en el inciso b) es cero; ¿a lo largo de cuál recta se encuentraf(x, y) = O?
3. Si una matriz simétrica de 2 por 2 satisface las pruebas a > O, ac > b 2 , resuelva la
ecuación cuadrática det (A - A/) = O, y demuestre que los dos valores característicos
son positivos.
4. Decida entre un rrúnimo, un máximo o un punto silla para las siguientes funciones.
a) F = -1 + 4(é"' -x) - Sx sen y+ 6y2 en el punto x =y= O.
b) F = (x2 - 2x)cos y, con punto estacionario en x = l, y= 1T.
5. a) ¿Para cuáles números b se cumple que la matriz A = [
! ~] es positiva definida?
b) Factorice A = LDLT cuando b está en el intervalo para la propiedad de positiva definida.
c) Encuentre un valor rrúnimo de ~(x 2 + 2bxy + 9y 2 ) - y para ben este intervalo.
d) ¿Cuál es el rrúnimo si b = 3?
6. Suponga que los coeficientes positivos a y e dominan a b en el sentido de que a +
e> 2b. Encuentre un ejemplo que tenga ac < b2 , de modo que la matriz no sea positiva definida.
8. Si A = [ ~
~ J es positiva definida, pruebe A - 1 = [:
;
Jen cuanto a esta propiedad.
9. La cuadrática f(x 1, x 2 ) = 3(x 1 + 2x 2 ) 2 + 4xi es positiva. Encuentre su matriz A,
factorícela en LDLT, y relacione los elementos en D y L con 3, 2, 4 en f
10. Si R =
[:
;
14. ¿Cuáles de
A 2 , A 3 , A 4 tienen dos valores característicos positivos? Pruebe a > O
y ac > b 2 ; no calcule los valores característicos. Encuentre una x, de modo que
xTA¡x < Q.
- [-1 -2]
A1 -
-2
J, escriba R 2 y compruebe que es positiva definida a menos que R sea
100
15. ¿Cuál es la cuadrática .f = ax2 + 2bxy + cy2 para cada una de las siguientes matrices?
el cuadrado con la finalidad de escribir f corno una suma de uno o dos
cuadrados d 1 ( )2 +d2 ( ) 2 •
A=
u~]
11. a) Si A = [ ~
~ J es hermitiana (b complejo), encuentre sus pivotes y su determi-
nante.
b) Complete el cuadrado parar"Ax. Ahora xH =
[x 1 x 2 ] puede ser compleja.
alxil 2 + 2Rebx1x2 + clx21 2 = ajx 1 + (b/a)x2 12 + _ _ _ ¡x2 ¡2 •
e) Demuestre que a> O yac> lbl 2 aseguran que A es positiva definida.
d) Las matrices [ 1 ~;
1
;
i] Y [ 4 3 ;
4
;;
A=[;~]·
y
16. Demuestre que f(x, y) = x 2 +
+ 3y2 no tiene un rrúnimo en (O, O) incluso si
sus coeficientes son positivos. Escriba f como una diferencia de cuadrados y encuentre un punto (x, y) donde fes negativa.
17. (Importante) Si A tiene columnas independientes, entonces ATA es cuadrada, simétrica e invertible (véase la sección 4.2). Vuelva a escribir
es positiva, excepto cuando x = O. Entonces, ATA es positiva definida.
18. Pruebe si ATA es positiva definida en cada caso:
y
J, ¿son positivas definidas?
A=
[i
1
2
19. Encuentre la matriz A de 3 por 3, sus pivotes, rango, valores característicos, y determinante:
A
20. Para F1(x, y) =
+ x 2 y + y2 y
trices segunda ri,.,,.;".,,.¡,, A 1 y A2 :
F 2(x, y) = x 3 + xy - x,encuentrelasrna-
o2F /ox 2
A= [ o2F/oyox
singular.
10110] .
10]
-5
2x1X2 - 2X¡X3 + 2x2X3
fz = xf + 2xi + l lx~ - 2x 1x 2 - 2x 1x 3 b) Demuestre que f 1 es una matriz cuadrado perfecto simple y no positiva definida.
¿Dónde ocurre que f 1 es igual a O?
c) Factorice A 2 en LLT. Escriba f 2 =
como una suma de tres cuadrados.
317
12. Decida si F = x 2 y 2 - 2x - 2y tiene un rrúnimo en el punto x =y = l (después de
demostrar que las
derivadas son cero en ese punto).
que ax 2 + 2bxy + cy 2 > x 2 + y 2 para
13. ¿En qué condiciones sobre a, b, e se
todax,y?
a f 1 y f 2?
7. a) ¿Cuáles matrices simétricas de 3 por 3 A 1 y A 2
f¡ = xf +xi +X~
Mínimos, máximos, y puntos silla
a2F /ax ay]
<J2F /ay2
.
A 1 es positiva definida, de modo que F 1 es cóncava hacia arriba ( = convexa). Encuentre el punto rrúnirno de F 1 y el punto silla de F 2 (analice, dónde las primeras deriva-
das son cero).
21. La gráfica de z = x2 + y2 es un tazón que se abre hacia arriba. La gráfica de
z = x2 - y2 es una silla. La gráfica de z = -x 2 - y 2 es un tazón que se abre hacia
abajo. ¿Cuál es una prueba sobre F(x, y) para tener una silla en (0, O)?
22.
valores de e se obtiene un tazón, y con cuáles un punto silla para la gráfica
de z = 4x2 + 12xy + cy2? Describa esta gráfica en el valor fronterizo de c.
:ns
Capítulo 6
Matrices positivas definidas
6.2
6.2
¿Cuáles son las matrices simétricas que poseen la propiedad de que xTAx > O para todos los
vectores x diferentes de cero? Hay cuatro o cinco formas distintas para contestar esta pregunta, y esperamos encontrarlas todas. La sección previa empezó con algunas sugerencias
sobre los signos de los valores característicos, aunque ello originó las pruebas sobre a, b, c:
A=[~~]
ax
2
b \
2
+ 2bxy + cy 2 =a ( x +;_Y} +
ac - b
a
A continuación se procede en la otra dirección. Si todos los A¡ > O, es necesario demostrar que xTAx >O para todo vector x (no sólo para los vectores característicos). Debido a que las matrices simétricas tienen un conjunto completo de vectores característicos
ortonormales, cualquier x es una combinación c 1x 1 + · · · + CnXn. Luego,
Ax= C¡AX¡ + • • · + CnAXn = C¡Á¡X¡ + · · · + CnÁnXn·
XT Ax= (cix'[ + · · · + Cnx~)(c¡A.¡X¡ + · · · + CnÁnXn)
A partir de estas condiciones, ambos valores característicos son positivos. Su producto
A. 1A. 2 es el determinante ac-b2 >O, de modo que los valores característicos son ambos positivos o ambos negativos. Deben ser positivos porque su suma es la. traza a + c > O.
Al considerar a yac - b 2 , incluso es posible pronosticar la apariencia de los pivotes.
Éstos aparecieron cuando xTAx se descompuso en una suma de cuadrados:
Suma de cuadrados
319
Debido a la ortogonalidad, x( xj =O, y la normalización xl X¡ = 1,
ac -b2 >O.
es positiva definida cuando a > O y
Pruebas para comprobar si una matriz es positiva definida
2
(1)
Estos coeficientes a y (ac - b2 )/a son los pivotes para una matriz de 2 por 2. Para matrices más grandes, los pivotes siguen constituyendo una prueba para comprobar si una matriz es positiva definida: xTAx es positiva cuando n cuadrados independientes se multiplican
por pivotes positivos.
Una observación preliminar más. Las dos partes de este libro se vincularon mediante
el capítulo sobre determinantes. En consecuencia, se pregunta cuál es el papel que desempeñan los determinantes. No basta requerir que el determinante de A sea positivo. Si a =
c = -1 y b = O, entonces det A = l, pero A = - I = negativa definida. La prueba del determinante se aplica no sólo a A misma, para obtener ac - b 2 > O, sino también a la submatriz a de 1 por 1 que está en la esquina superior izquierda.
La generalización natural implica a todas las n de las submatrices superiores izquierdas de A:
= ciA.1 + · · · + c~A.n.
(2)
Si todo A¡ > O, entonces la ecuación (2) demuestra que xTAx > O. Así, la condición Il implica la condición I.
Si la condición l se cumple, entonces también se cumple la condición lll: El determinante de A es el producto de los valores característicos. Y si la condición I se cumple, ya
se sabe que estos valores característicos son positivos. Pero también debe tratarse con toda
submatriz superior izquierda Ak. El truco consiste en considerar a todos los vectores diferentes de cero cuyas últimas n - k componentes sean cero:
O]
xTAx=[xJ
[:k :] [~k] =xJAkxk>O.
Así, Ak es positiva definida. Sus valores característicos (¡no los mismos· A.¡!) deben ser positivos. Su determinante es su producto, por lo que todos los determinantes izquierdos superiores son positivos.
Si la condición lll se cumple, entonces también se cumple la condición IV: Según la
sección 4.4, el k-ésimo pivote dk es la razón de det Ak a det Ak- t • Si todos los determinantes son positivos, también lo son los pivotes.
Si la condición IV se cumple, entonces también se cumple la condición l: Se cuenta
con pivotes positivos, y es necesario deducir que xTAx > O. Esto fue lo que se hizo en el
caso de 2 por 2 al completar el cuadrado. Los pivotes eran los números fuera de los cuadrados. Para ver cómo ocurre lo anterior para matrices simétricas de cualquier tamaño, se
regresa a la eliminación de una matriz simétrica: A = WLT.
An =A.
Pivotes positivos 2, ~ y ~:
A continuación se presenta el teorema principal sobre la comprobación de si una matriz es positiva definida, así como una demostración razonablemente detallada:
A=
[-~o -~ -~]
-1
2
[-;
o
O
~i [2 ~
1
l[~ -!] ~
1
2
}
o
LDLT.
o
Se busca separar xTAx en xTWLTx:
[
0l
~1 -3~i [u]
o
o
¡u-!v]
V
V -
3W .
w
w
Así, xTAx es una suma de cuadrados con los pivotes 2, ~ y ~ como coeficientes:
Demostración La condición I define una matriz positiva definida. El primer paso es demostrar que cada valor característico es positivo:
Si Ax = A.x, entonces xT Ax = xTA.x = A.\lxll 2 •
Una matriz positiva definida tiene valores característicos positivos, ya que
>O.
xTAx=(LTx)TD(LTx)=2 ( u- 1 v)
2
2
l
2
2•
2 ) +3(w)
4
+23 ( v-3w
Estos pivotes positivos en D multiplican cuadrados perfectos para hacer positiva a xTAx.
Así, la condición IV implica la condición I, y la demostración está completa.
1111111
Es hermoso que la eliminación y la completación al cuadrado sean realmente lo mismo.
La eliminación retira a x 1 de todas las ecuaciones posteriores. De manera semejante, el primer
320
Capítulo 6
6.2
Matrices positivas definidas
cuadrado explica todos los términos en xTAx que implican a x 1. La suma de cuadrados tiene a los pivotes fuera. ¡Los multiplicadores f,ij están dentro! En el ejemplo, puede ver los
dentro de los cuadrados.
números - l y
Todo e1emento diagonal a;; debe ser positivo. Como se sabe por los ejemplos, no obstante, es mucho más que suficiente observar sólo los elementos en la diagonal.
Los pivotes d1 no deben confundirse con los valores característicos. Para una matriz
positiva definida típica, se trata de dos conjuntos completamente distintos de números positivos. En el ejemplo de 3 por 3, quizá la prueba más fácil sea la del determinante:
Prueba del determinante det A 1 = 2, det A 2 = 3, det A 3 = det A = 4.
Pruebas para comprobar si una matriz es positiva definida
321
Scientific Computing (consulte la página www. wellesleycambridge. com). Se menciona que Ax = J...Mx se presenta constantemente en análisis ingenieril. Si A y M son positivas
definidas, este problema generalizado es paralelo al conocido Ax = A.x, y A. > O. Mes una
matriz masa para el método de elementos finitos de la sección 6.4.
Matrices semidefülidas
Las pruebas para comprobar si una matriz es positiva definida relajan xTAx >O,).> O,
d > O, y det > O, para dejar que aparezcan ceros. La cuestión principal es ver analogías con
el caso positiva definida.
Los
son las razones d 1 = 2, d2 = ~' d 3 = }. Normalmente, la prueba de los valores característicos es el cálculo más largo. Para esta A se sabe que todos los As son positivos:
Prueba del valor característico
A. 1 = 2 - ../2,
A.2 = 2,
A.3 = 2 + ../2.
Aunque es la más difícil de aplicar a una simple matriz, la prueba de los valores característicos puede ser la de más utilidad para efectos teóricos. Cada
es
por
sí misma.
que el lector permita la presentación de una prueba más para comprobar si una matriz es positiva definida. Dicha prueba está muy próxima. Las matrices
definidas
se relacionaron con los pivotes (véase el capitulo 1), los determinantes (véase el capítulo 4)
y con los valores característicos (véase el capítulo 5). Ahora se les ve en los problemas de
mínimos cuadrados del capítulo 3, provenientes de las matrices rectangulares del capítulo 2.
La matriz rectangular será R y el problema de mínimos cuadrados será Rx = b. Tiene
m ecuaciones con m 2: n (se incluyen los sistemas cuadrados). La elección por mínimos
cuadrados :X es la solución de RT Rx = RTb. Esta matriz A =
no sólo es simétrica,
sino que también es positiva definida, como se demostrará a continuación, en el supuesto
de que las n columnas de R sean linealmente independientes:
Ladiagonalizaciónde A = QAQT conduceaxT Ax = xT QAQTx = yT Ay. Si el rango de
A es r, en yTAy = A. 1 y[ + · · · + A.rY? hay r A.s diferentes de cero y r cuadrados perfectos.
Nota La novedad es que la condición ll' es válida para todas las submatrices principales,
no sólo para aquellas que están en la esquina superior izquierda. En caso contrario, no sería posible distinguir entre dos matrices cuyos determinantes superiores izquierdos fuesen
todos cero:
º]
··
[0o 1
es positiva senu·de fi1Ill·da, y
[g _~] es negativa semidefinida.
Para mantener la simetría, un intercambio de renglones va acompañado de un intercambio
de columnas.
La clave consiste en reconocer a xTAx como x TRT Rx = ( Rx) T( Rx ). Esta longitud al cuadrado 11Rx11 2 es positiva (a menos que x = 0), porque las columnas de R son independientes. (Si x es diferente de cero, entonces Rx es diferente de cero.) Así, x TRT Rx > O y RTR
es positiva definida.
Queda por encontrar una R para la cual A =
Esto ya se hizo dos veces:
Eliminación
áe.scl>m,rJm~tc;!ón de
A=
U na tercera posibilidad es R = Q ./A QT, la raíz
simétrica de
A. Hay muchas otras opciones, cuadradas o
que
verse. Si cu:atqme:r
R se multiplica por una matriz Q con columnas ortonormales, entonces ( Q R) T( Q R)
RT QT Q R = RT l R = A. En consecuencia, QR es otra opción.
Aplicaciones de las matrices positivas definidas se presentan en mi libro anterior
lntroduction to Applied Mathematics y también en el nuevo Applied Mathematics and
-1
2
-1
-1
-11
- ~
es positiva semidefinida, por todas las cinco pruebas:
o
= (x¡ - X2) 2 +(X¡ - X3) 2 + (x2 - X3) 2 2: (cero si X¡ = X2 = X3).
(Il') Los valores característicos son A. 1 = O, A. 2 = J... 3 = 3 (y cero los valores característicos).
(IIl') det A = O y los determinantes menores son positivos.
(l')
XT Ax
A= LDLT = (L,Ji5)(,Ji5LT). Así, tomar R =
tiene separados los pivotes equitativamente entre L y
Valores característicos A= QAQT = (Q./A)(./AQT). Así, tomar R = ./AQT. (3)
[-i
(IV')
A=[-~ -~ =~]--+ [~ ~ º]--+ [~ ; ~1
-1
(V') A =
-1
2
o -~
o o o
~
con columnas dependientes en R:
[ -~ -~ =~] =[ ~ -~o -~] [-~o
-1
(pivotefaltante).
-1
2
-1
1
O
-~i
-1
1
(1, 1, l)enelespacionulo.
322
Capítulo 6
Matrices positivas definidas
6.2
Observación Las condiciones para que una matriz sea semidefinida también pudieron deducirse de las condiciones originales I a V si se usa el siguiente truco: sumar un pequeño
múltiplo de la identidad para obtener una matriz positiva definida A + El. Luego, E tiende a cero. Debido a que los determinantes y los valores característicos dependen continuamente de E = O , son positivos hasta el último momento. En E deben seguir siendo no
negativos.
ij 11
Pruebas para comprobar si una matriz es positiva definida
V
A menudo, mis alumnos me preguntan sobre matrices positiva definida no simétricas.
Nunca se utiliza este término. Una definición razonable es que la parte simétrica ~ (A + A T)
debe ser positiva definida. Eso garantiza que las partes reales de los valores característi-
cos son positivas. Aunque esto no es necesario: A = [
= [;
i) es indefinida.
6
n
tiene A > O pero ~(A + AT)
6.2
Si Ax= AX, entonces xHAx = AXHX y xHA 8 x = IxHx.
Al sumar ~xH(A + AH)x = (ReA.)x 8 x >O
de modo que ReA. >O.
t1111>sc11dE~s en n dimensiones
En todo este libro, la geometría ha sido de ayuda para el álgebra de matrices. Una ecuación
lineal produjo un plano. El sistema Ax = b proporciona una intersección de planos. Los mínimos cuadrados proporcionaron una proyección perpendicular. El determinante es el volumen de una caja. Luego, para una matriz positiva definida y su xTAx, finalmente se
obtiene una figura curva. Se trata de una elipse en dos dimensiones, y de un elipsoide en n
dimensiones.
La ecuación que debe considerarse es
= 1. Si A es la matriz identidad, esto
se simplifica a xf + xi + · · · + x; = l. Ésta es la ecuación de la "esfera unitaria" en Rn.
Si A = 41, la esfera se vuelve más chica. La ecuación cambia a 4xf + · · · + 4x~ = 1.
En vez de pasar por (l, O, ... , 0), lo hace por ( ~, O, ... , 0). El centro está en el origen,
ya que si x satisface xTAx = 1, también lo hace el vector opuesto -x. El paso importante es
pasar de la matriz identidad a una matriz diagonal:
p.,. A
~[
4
¡
l·
laoou"ión " x T Ax
~ 4xi + xi + jxj ~ l.
Debido a que los elementos son desiguales (¡y positivos!), la esfera cambia a un elipsoide.
Una solución es x = (!,O, 0) a lo largo del primer eje. Otra es x = (O, 1, 0). El eje mayor tiene el punto más alejado x = (0, O, 3). Se parece a una pelota de fútbol americano o
!x~ = 1. Los dos
rugby, aunque no exactamente; éstas están más próximas a
coeficientes iguales las hacen circulares en el plano x 1-x2 , ¡y más fáciles de lanzar!
A continuación se presenta el paso final, para permitir elementos diferentes de cero lejos de la diagonal de A.
xr +xi+
u.1<m11¡.11u
3
A= [~
;] y xTAx = 5u 2 + 8uv + 5v 2 =l. Esta elipse está centrada en u = v =O,
aunque los ejes no son tan claros. Los 4s fuera de la diagonal dejan positiva definida a la
matriz, aunque hacen rotar la elipse, ya que sus ejes dejan de estar alineados con los ejes
de coordenadas (véase la figura 6.2). Se demostrará que los ejes de las elipses apuntan hacia los vectores característicos de A. Debido a que A = AT, estos vectores característicos
y los ejes son ortogonales. El eje mayor de la elipse corresponde al valor característico más
pequeño de A.
La elipse xTAx = 5u2 + 8uv + 5v2 = l y sus ejes principales.
Para localizar la elipse se calculan A. 1 = l y A. 2 = 9. Los vectores característicos unitarios son ( l, -1)/ ,J2 y (1, 1)/ ,J2. Estos son ángulos de 45° con los ejes u-v, y están
alineados con los ejes de la elipse. La forma para ver correctamente a la elipse es volver a
escribir xTAx = 1:
Nuevos cuadrados 5u
2
+ 8uv + v2 = (
:z -
~) + 9 (
2
5z + ~)
2
= l.
(4 )
A. = 1 y A. = 9 están fuera de los cuadrados. Los vectores característicos están dentro. Esto es diferente para completar el cuadrado a 5 (u + ~ v) 2 + ~ v 2 , con los pivotes fuera.
El primer cuadrado es igual a 1 en ( l / ,J2, -1 / ,)2) al final del eje mayor. El eje menor
es un tercio más corto, ya que para cancelar el 9 se requiere ( ~) 2 •
Cualquier elipsoide xTAx = 1 puede simplificarse de la misma manera. El paso clave
es diagonalizar A = QAQT. La figura se enderezó al hacer girarlos ejes. Algebraicamente, el cambio a y = QTx produce una suma de cuadrados:
xTAx = (xTQ)A(QTx) = yTAy = A¡y~+ · · · +A.11 y~ =l.
(5)
El eje mayor tiene Y1 = 1/..(f:; a lo largo del vector característico con el menor valor característico.
Los otros ejes están en dirección de los otros vectores característicos. Sus longitudes
son l/..¡¡.;;_, ... , 1/.J):;.. Observe que los AS deben ser positivos -la matriz debe ser positiva definida- o estas raíces cuadradas están en problemas. Una ecuación indefinida
YT - 9yi = 1 describe una hipérbola y no una elipse. Una hipérbola es una sección transversal que pasa por una silla, y una elipse es una sección transversal que pasa por un tazón.
El cambio de x a y = QTx hace girar los ejes del espacio para coincidir con los ejes
del elipsoide. En las variables y puede verse que se trata de un elipsoide, ya que la ecuación se vuelve manipulable:
324
Capítulo 6
Matrices positivas definidas
la
6.2
de la inercia
A-+ CTAC
para alguna e no singular.
(6)
La simetría de A se preserva, ya que CTAC permanece simétrica. La pregunta verdadera es
¿qué otras propiedades comparten A y cTAC? La respuesta la proporciona la ley de la inercia de Sylvester.
Los signos de los valores característicos (y no los valores característicos mismos) se
preservan con una transformación de congruencia. En la demostración, se supondrá que A
es no singular. Así, cTAC también es no singular, y no hay valores característicos de que
preocuparse. (En caso contrario, es posible trabajar con la no singular A + El y A - El, y
al final hacer E --+ O.)
Demostración Tomaremos prestado un truco de topología. Suponga que C está relacionada con una matriz ortogonal Q, por medio de una cadena continua de matrices no singulares C(t). En t = O y t = 1, C(O) = C y C( l) = Q. Así, los valores característicos de
C(t)TAC(t) cambian gradualmente, cuando t va de O al, de los valores característicos
de cTAC a los valores característicos de QTAQ. Debido a que C(t) nunca es singular, ninguno de estos valores característicos puede tocar a cero (¡por no decir cruzarlo!) En consecuencia, el número de valores característicos a la derecha de cero, y el número a la
izquierda, es el mismo para CTAC que para QTAQ. Y A tiene exactamente los mismos valores característicos que la matriz semejante Q- 1AQ = QTAQ.
Una buena elección de Q consiste en aplicar el proceso de Gram-Schmidt a las columnas de C. Así, C = QR, y la cadena de matrices es C(t) = tQ + (1 - t)QR. La farnilia C(t)
va lentamente a través del proceso de Gram-Schmidt, de QR a Q. Es invertible porque Q
es invertible y la diagonal del factor triangular tl + (1 - t)R es positiva. Así se termina la
1111
demostración.
Suponga que A = l. Entonces CTAC = cT e es positiva definida. Tanto l como cT e tienen
n valores característicos positivos, lo cual confirma la ley de la inercia.
Si A = [ b
-n,
325
Esta es la aplicación importante:
Para eliminación y valores característicos, las matrices se vuelven más sencillas mediante
operaciones elementales. La cuestión esencial es saber cuáles propiedades de una matriz
permanecen sin cambio. Cuando un múltiplo de un renglón se resta de otro renglón, el espacio
el espacio nulo, el rango y el determinante -todos- permanecen igual. Para
valores característicos, la operación básica fue una transformación de semejanza A --+
s- 1AS (o A--+ M- 1AM). Los valores característicos permanecen sin cambio (así como la
forma de Jordan). Ahora se pregunta lo mismo para matrices simétricas: ¿cuáles son las
operaciones elementales y sus invariantes para xTAx?
La operación básica sobre una forma cuadrática es cambiar variables. Un nuevo vector y está relacionado con x por medio de alguna matriz no singular, x = Cy. La forma cuadrática se convierte en yTCT ACy. Esto muestra la operación fundamental sobre A:
t1emp10 4
Pruebas para comprobar si una matriz es positiva definida
Se supondrá que A
la factorización simétrica A =
(sin intercambios de renglones). Por la ley de la inercia, A tiene el mismo número de valores característicos positivos que D. Sin embargo, los valores característicos de D son justo sus elementos diagonales
(los pivotes). Así, el número de pivotes positivos coincide con el número de valores característicos positivos de A.
Lo anterior es hermoso y práctico. Es hermoso porque conlleva (para matrices simétricas) dos partes de este libro que previamente estaban separadas: los pivotes y los valores
característicos. También es práctico, ya que los pivotes pueden localizar a los valores característicos:
Gracias a nuestra prueba, los valores característicos de A son positivos. Pero se sabe que Amín
es menor que 2, porque al restar 2 hizo que éste cayera bajo cero. En el siguiente paso se
aborda A - l, para ver Amín < 1. (Esto se debe a que A - l tiene un pivote negativo). El intervalo que contiene a A se divide a la mitad en cada paso al comprobar el signo de los pivotes.
Este era casi el primer método práctico para calcular valores característicos. Era dominante alrededor de 1960, después de una
importante: hacer tridiagonal a A primero.
Luego, los pivotes se calculaban en 2n pasos, en vez de en n3 • La eliminación se vuelve rápida, y la búsqueda de valores característicos (al dividir en dos los intervalos) se vuelve simple. El favorito actual es el método QR que se presenta en el capítulo 7.
i
y la estadística suelen
En sus problemas de valores característicos, la física, la
ser suficientemente bondadosas para producir matrices simétricas. Sin embargo, atfru1zas
veces Ax = A.x se
= l.Mx. Hay dos matrices, en vez de una.
Un ejemplo es el movimiento de dos masas distintas en una línea de resortes:
d 2v
m¡
d2w
+ 2v -
w =O
V+ 2W = Ü
o bien, [ m l
O
O J dz u + [ 2
mz
-1
-1]
2 u= o.
Cuando las masas son iguales, m 1 = m2 = 1, este era el sistema anterior u" + Au = O. Ahora es Mu" + Au = O, que es una matriz "masa" M. El problema de valores característicos
surge cuando se buscan soluciones exponenciales e;"''x:
Mu" + Au =O se convierte en M(iw) 2 eiwr x + Aeiwt x =O.
entonces CTAC tiene un determinante negativo:
(8)
2
Al cancelar e;"", y al escribir A por w , este es un problema de valores característicos:
det cT A e = (det CT)( det A)( det C) = -( det C) 2 < o.
Entonces cTAC debe tener un valor característico positivo y un valor característico negativo, como A.
(7)
Ax= J...Mx
º]X.
mz
(9)
6.2
326
327
Pruebas para comprobar si una matriz es positiva definida
Capítulo 6 Matrices positivas definidas
3.
Existe una solución cuando A - AM es singular. La elección especial M = l devuelve la expresión de costumbre det (A - Al) = O. det (A - AM) se trabajará con m 1 = 1 y m 2 = 2:
1
-1
det 2 _=- A
_ A
[
2
2
1
.
= 2A2 - 6A + 3 = O proporciona
A =
C~ns?11Yª una matriz indefinida cuyos elementos más grandes estén en la di"ago
pnnc1pal:
-b
Para el vector característico x 1 = ( ,J3 - 1, l), las dos masas oscilan juntas, aunque la
primera sólo se mueve ../3 - 1 """ 0.73 En el modo más rápido, las componentes de
x = ( 1 + ,J3 - l) tienen signos opuestog y las masas se mueven en direcciones opuestas.
2
Esta vez la masa más pequeña avanza mucho más.
La teoría subyacente es más fácil de explicar si M se separa en RTR. (Se supone que M
es positiva definida). Luego, la sustitución y = Rx cambia
Los valores característicos para Ax = AMx son reales, porque cTAC es simétrica.
Por la ley de la inercia, los AS tienen el mismo signo que los valores característicos
3.
de A.
cTAC tiene vectores característicos ortogonales Yf Así, los vectores característicos de
'
+ B es positiva definida. Los pivotes y los
v ores caractensncos no son convenientes para A + B Es mucho m · · t
xT(A + B)x >O.
·
eJor mentar
6.
A part[ir de los pivotes, los valores característicos y los vectores característicos de
~ ~
J, escriba A como RTR en tres formas:
(L.Ji5)(.Ji5LT), (Q,,/71.) (,,/71.QT), y
7.
(Q,,/71.QT)(Q,,/AQT).
Si A = QAQT, es positiva definida simétrica entonces R - Q IAQT
,
cuadrad
·r d ,.¡:; "d . , .
'
v ü
es su rmz
..
a posz zva e1,m a szmetnca. ¿Por qué los valores característicos de R son pos1t1vos? Calcule R, y compruebe que R2 = A para
A = [ 10
6
6]
10
A = [ -6
10
y
(11)
A y M se diagonalizan simultáneamente. Si S tiene los xj en sus columnas, entonces
sT AS = A y STMS =l. Esta es una transformación de congrnencia, con sT en la izquierda, y no una transformación de semejanza con s- 1 . Es fácil resumir la cuestión importante: En tanto M es positiva definida, el problema generalizado de valores característicos
Ax = AMx se comporta exactamente como Ax = A.x.
-6]
10 .
:4·
8.
s~
es po~i~iva definida simétrica y e es no singular, demuestre que B = CTAC tamb1en es pos1nva definida simétrica.
9.
Si A = RTR, demuestre la desigualdad de Schwarz generalizada ¡xT Ay¡z::::: (xT Ax)
(yT Ay).
1
10. La elipse u2 + 4v2 = 1 corresponde a A = [ 0
Ax = A.Mx tienen
ento _
n
S~A Y B son pos!ti1:a definida, entonces A
(10)
1.
2.
1
Demues~: a partir de los valores característicos que si A es positiva definida
A =
Los valores característicos Aj son los mismos que para la Ax = AMx origmal, y los vectores característicos están relacionados por yj = Rxj. Las propiedades de CTAC conducen directamente a las propiedades de Ax = A.Mx, cuando A = AT y M es positiva definida:
-bbl con lbl < 1 puede tener det A < O.
5
Ax= A.Mx = A.RTRx hacia AR- y = A.RTy.
Al escribir C por R- 1, y multiplicar por ( RT)- 1 = cT. lo anterior se convierte en un problema de valores característicos estándar para la matriz simétrica simple cTAC:
bl
b
ces tamb1en lo son A 2 y A-1.
1
Problema
bl
A = [
3 ± ,J3
4.
al
n
º] Esen·ba los valores característicos
4
·
Y los vectores característicos, y trace la elipse.
11. Reduzca la ecuación 3u2
, . - 2 v 12
LUV + 2 v 2 = 1. a una suma de cuadrados encontrando los valores caractenst1cos de la A correspondiente, y trace la elipse.
, 22 + A.3y32 = 1 representa un elipsoide cuando
12. En tres dimensiones ' A1 Y12 + 11.2Y
todos l_o~ A.; > ~- Des~riba todas las distintas clases de superficies que aparecen en el caso pos1tlva sertudefimda cuando uno o más de los valores característicos es (son) cero.
13. E~criba las. ~inco co~diciones para_ ~ue una matriz de 3 por 3 sea negativa definida
( A es pos1t1va defimda) con atenc1on especial a la condición III: ¿Cómo está relacionado det (-A) con det A?
1.
¿Para qué intervalo de números a y b ocurre que las matrices A y B son positiva definida?
fimdas, o mdefimdas:
A~(~
2.
14. De~ida si ~as sig~ientes matrices son positivas definidas, negativas definidas semide-
2
a
2
~l
(~ ~l
2
B=
8
A=
Decida si las siguientes matrices son positiva definida o no:
(-i
(-i
-1 , B ~
A~ -1 -1 -11
-1
-1
2
2
-1
2
1
1
2
4
-2
o
=~
-n ~
C
'
-B,
D
~
A_,
¿Existe una solución real para -x 2 - 5y 2 - 9zz - 4xy - 6xz - 8yz = l?
-11 e~[! o
l
[~ 5
2
b
2
6
,
1
ff
15. Suponga que A es positiva definida simétrica y que Q es una matriz ortogonal. ·Falso
o verdadero?
1.,
a) QTAQ es una matriz diagonal.
6.2
328
Capítulo 6
Pruebas para comprobar si una matriz es positiva definida
Matrices positivas definidas
26. Trace la elipse inclinada x 2 + xy + y 2 = 1 y encuentre las semilongitudes de sus
ejes, a
de los valores característicos de la A correspondiente.
b) QTAQ es positiva definida simétrica.
e) QTAQ tiene los mismos valores característicos que A.
d:) e-A es positiva definida simétrica.
se convierte en
27. Con pivotes positivos en D, la factorización A =
(Las raíces cuadradas de los pivotes proporcionan D =
Así, e = L.J/5
conduce a
de
A =
, que es "simetrizada LU'':
16. Si A es positiva definida y se incrementa a 11 , a partir de cofactores demuestre que el
determinante se ha incrementado. Demuestre con un ejemplo que lo anterior puede fallar si A es indefinida.
17. A partir de A =
demuestre para matrices positivas definidas que det A :::
a a . ·• ann· (La longitud al cuadrado de la columnaj de Resª»· Use determinan-
A partir de C = [
o 2
f = 2(xf +xi +xj -x¡X2 -x2x3).
f = 2(xf +xi+ xj - X¡X2 - X¡X3 - X2X3).
n
1
[ 4~ ~l ;l] ¡x~:]
1
2
X3 ]
2
""'
7
~] [~] = [x y] [b~a ~] [~ (ac-ºb2)/a] [b b{ª] [~].
+ 2bxy + cy2. El miembro derecho es a (x +~y) +
2
segundo pivote completa el cuadrado! Pruebe con a = 2, b = 4, e = 10.
[2 º] [-sene
cosa sena]
cose , encuentre:
-sen&]
cose o 5
a) El determinante de A.
b) Los valores característicos de A.
e) Los vectores característicos de A.
d:) Una razón de por qué A es positiva definida simétrica.
).
A=
23. Proporcione una razón rápida de por qué las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a) Toda matriz positiva definida es invertible.
b) La única matriz proyección positiva definida es P =l.
e) Una matriz diagonal con elementos diagonales positivos es positiva definida.
d:) ¡Una matriz simétrica con un determinante positivo podría no ser positiva definida!
que A y B tienen a todos los A. > O (y por tanto son posi-
[-: -·1
-4
A=
1
,
i
31. Para las matrices semidefinidas
no es positiva cuando (x 1, x 2 , x 3 ) = (
22. Un elemento diagonal ajj de una matriz simétrica no puede ser menor que todos los AS.
Si lo fuese, entonces A - ajj l tendría _ _ valores característicos y posiblemente sería positiva definida. Sin embargo, A -ajjl tiene un _ _ en la diagonal principal.
24. ¿Para cuáles s y t se
tivas definidas)?
[x y][~
30. Sin multiplicar A = [cosa
sene
21. Una matriz positiva definida no puede tener un cero (o incluso peor: un número negativo) en su diagonal. Demuestre que esta matriz no
xTAx >O:
8
0 1
29. La factorización simétrica A = WLT significa que x T Ax = x T L D L T x:
El miembro izquierdo es
20. Calcule los tres determinantes superiores izquierdos para establecer la condición de positiva definida. Compruebe que sus razones proporcionan los pivotes segundo y tercero.
x
2~ J encuentre e.
A partir de A = [ ~
,
19. ¿Cuáles matrices simétricas A de 3 por 3 producen las
funciones!= xTAx?
¿Por qué la primera matriz es positiva definida pero la segunda no?
[x
encuentre A.
P"º"'' "''~ ~ ra:~º¡ºt 7cg"i-:tre:r:~[n 7]n
18. (Prueba de M de estabilidad de Lyapunov) Suponga queAM + M8A = - l con A positiva definida. Si Mx = A.x, demuestre que Re A < O. (Sugerencia: Multiplique la primera ecuación por
y x.)
2
5
3
i ~]
28. E:i la facto~zación de Cholesky A = CCT, con C = LvJ5, las raíces cuadradas de los
11 22
te = volumen.)
a)
b)
329
s
-4
-4 -4
s
y
B
~
¡¡ ;]
3
t
4
2
25. Tal vez usted ya haya visto la ecuación de una elipse como ( ~) + ( i) = l. ¿Cuáles
2
son a y b cuando la ecuación se escribe como ).. 1x 2 + A. 2 y = l? La
9x2 +
l 6y2 = 1 tiene semiejes cuyas longitudes son a = ___ y b = ___.
2
[-i
-1
-1
2
-1
-1
-;
(rango 2)
y
B =
[~l ~l il]
(rango 1 ),
Escriba xTAx como una sur,fo éiv dos cuadrados y xTBx como un cuadrado.
32. Aplique tres pruebas cualesquiera para probar cada una de las
A~u :1i
y
matrices
B~[!:n
Y decidir si son positivas definidas, positivas semidefinidas, o indefinidas.
2
1
1
.
valores característi33. Para C = [ o -1o] y A - [ 1 1 ] , confirme que CTAC nene
cos de lo~ mismos signos que A. Construya una cadena de matrices no singulares C (t)
que relacione a C con una Q ortogonal. ¿Por qué es
construir una cadena no
que relacione a C con la matriz identidad?
34. Si todos_l~s pivotes de una matriz son mayores que 1, ¿es cierto que todos los valores
caractensticos son mayores que 1? Pruebe lo anterior con las matrices tridiagonales
-1, 2, -l.
330
Capítulo 6
6.3
Matrices positivas definidas
Descomposición del valor singular
331
35. Use los pivotes de A - ~ l para decidir si A tiene un valor característico menor que ~:
3
9.5
7
o7
7.5
l
.
36. Una demostración algebraica de la ley de la inercia empieza con los vectores característicos ortonormales x 1, ••• , xP de A correspondientes a los valores característicos
A.;> O, y los vectores característicos ortonormales y 1, ••• , Yq de CTAC correspondientes a los valores característicosµ¡< O.
a) Para demostrar que los p + q vectores x 1 , ••• , xP, Cy¡, ... , Cyq son independientes, suponga que alguna combinación proporciona cero:
a 1x 1 + · · · +apxp = b 1 Cy 1 + · · · +bqCYq (= z, digamos).
Demuestre que zTAz = A. 1af + · · · + Apa;::::; O y zTAz = µ¡bi + · · · + f.lqb~ ::: O.
b) Deduzca que las as y las bs son cero (demostrando independencia lineal). Con base en lo anterior, deduzca que p + q :5 n.
c) Con el mismo razonamiento para los n - p AS negativos y los n - q µs positivos se
obtiene n - p + n - q :::;; n. (Nuevamente se supone que no hay valores característicos diferentes de cero, que se manejan por separado). Demuestre que p + q = n,
de modo que el número p de AS positivos es igual al número n - q de µs positivos;
lo cual es la ley de la inercia.
Para el final del curso básico se ha dejado una gran factorización matricial. U ¿;yT se
vincula con LU de la eliminación y con QR de la ortogonalización (Gauss y proceso de
Gram-Schmidt). No se le ha asignado ninguna denominación o nombre: A = U ¿;yT seconoce como "DVS" o descomposición del valor singular. Así como "SVD" por sus siglas
en inglés. Se quiere describirlo, demostrarlo, y analizar sus aplicaciones, que son muchas
y cada vez más numerosas.
La DVS está estrechamente relacionada con la factorización valores característicosvectores característicos QAQT de una matriz positiva definida. Los valores característicos
están en la diagonal de la matriz A. La matriz vector característico Q es ortogonal (QTQ =
l) porque es posible escoger que los vectores característicos de una matriz simétrica sean
ortonormales. Esto no es cierto para la mayor parte de las matrices, y para las matrices rectangulares es ridículo (porque los valores característicos están indefinidos). Sin embargo,
ahora se permite que Q a la izquierda y QT a la derecha sean dos matrices ortogonales cualesquiera U y VT, no necesariamente traspuestas entre sí. Así, toda matriz puede separarse
enA = UI:VT.
¡La matriz diagonal (pero rectangular) ::E tiene valores característicos de ATA, no de
At Estos elementos positivos (que también se denominan sigma) son :E 1, . . . , I:r Son los
valores singulares de A, y ocupan los r primeros sitios sobre la diagonal principal de !:,
cuando el rango de A es r. El resto de ::E es cero.
Con matrices rectangulares, casi siempre la clave es considerar ATA y AAT.
37. Si Ces no singular, demuestre que A y CTAC tienen el mismo rango. Así, tienen el
mismo número de valores característicos cero.
38. Por experimentación, encuentre el número de valores característicos positivos, negativos, y cero de
A=
[~T ~]
cuando el bloque B (de orden ~ n) es no singular.
39. ¿A y CTAC siempre satisfacen la ley de la inercia cuando C no es cuadrada?
40. En la ecuación (9) con m 1 = l y m2 = 2, compruebe que los modos normales son M
ortogonales: xf Mx2 =O.
41. Encuentre los valores característicos y los vectores característicos de Ax = A.Mx:
Observación 1 Para matrices positivas definidas, :E es A y U :EVT es idéntica a QAQT.
Para otras matrices simétricas, cualesquiera valores característicos negativos en A se vuelven positivos en ::E. Para matrices complejas, ::E permanece real pero U y V se convierten
en unitarias (la versión compleja de las matrices ortogonales). Se toman conjugados complejos en U 8 U = ly V 8 V = ly A= u :EV8 .
Observación 2
fundamentales:
42. Si las matrices simétricas A y M son indefinidas, Ax = A.Mx podría no tener valores
característicos reales. Construya un ejemplo de 2 por 2.
43. Un grupo de matrices singulares incluye A B y A - i si incluye a A y B. "Los productos e inversas permanecen en el grupo". ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son grupos? Matrices positivas definidas simétricas A, matrices ortogonales Q, todas las
exponenciales e'A de una matriz.fija A, las matrices P con valores característicos positivos, matrices D con determinante l. Invente un grupo que sólo contenga matrices
positivas definidas.
U y V constituyen bases ortonormales de todos los cuatro subespacios
Las primeras
Las últimas
Las primeras
Las últimas
r
m - r
r
n-r
columnas de U:
columnas de U:
columnas de V:
columnas de V:
espacio columna de A
deA
espacio nulo
espacio renglón de A
espacio nufo de A
Observación 3 La DVS escoge estas bases de una manera extremadamente especial. Son
más que simplemente ortonormales. Cuando A multiplica a una columna v1 de V, produce
:E1 veces una columna de U. Este hecho proviene directamente de AV= Uí:., considerada
una columna a la vez.
Observación 4
y V:
Los vectores característicos de AAT y ATA deben ir en las columnas de U
332
Capítulo 6
.. 5a,1,0escomposición del valor singular
..,,
...,
Matrices positivas definidas
similar, y
U debe ser la matriz vector característico para AAT. La matriz valor caracteristico que es, que es de m por m con a f, ... , a ; en la diagonal.
tá en medio es
Con base en ATA = v :r;T :E vT, la matriz V debe ser la matriz vector característico
para ATA. La matriz diagonal :r;T¿:: tiene los mismos af, . .. , a;, pero es de n por n.
Observación 5
Esta es la razón por la que Av j = O'j u j . Se empieza con ATA v j = a J Av j :
AATAvj=ajAvj
(2)
¡Lo anterior indica que Avj es un vector característico de AAT! Simplemente se movieron
los paréntesis a (AAT)(Av¡). La longitud de este vector característico AvJ es
ya que
vT AT Av1 = aJvJvj proporciona 11AvJll 2 = aJ.
De modo que el vector característico unitario es Av j /aj = u J. En otras '""',_,,,..,,,,,_ AV =
U:E.
a.1tm11"9m 1
Esta A sólo tiene una columna: rango r = l. Entonces, .E sólo tiene :E 1 = 3:
2
3
~
3
-l
3
~
A TA es de 1 por 1, mientras AAT es de 3 por 3. Ambas tienen valor característico 9 (cuya
raíz cuadrada es 3 en :E). Los dos valores característicos cero de AAT dejan algo de libertad para los vectores característicos en las columnas 2 y 3 de U. Esta matriz debe mantenerse ortogonal.
2
Ahora el rango de A es 2, y AAT =
[-~
1
-1
n
= UL:VT =
[-~ -1]
[-~ i] [~ o g] [-:
2
con A.= 3 y 1:
-2
T~
..j3
o 1 ;Ji..
l
mitir 1 000-000dé'u.úmeros. Es. inej8(~nsontrarJri i9fe~~sencial dentro de lamatriz de 1000 por 1000,' y envfar'sólo ~sd. -"''. ,¡ ' ' 1 ;Np,
Suponga que se conoce la DVS. La clave está en los valores singulares (en :E). TípiSi se presercamente, algunos us son significantes y otros son extremadamente
van 20 y se desechan 980, entonces sólo se envían las 20 columnas correspondientes de u
y V. Las otras 980 columnas se multiplican por UI;VT por los us pequeños que se han ignorado. La multiplicación de matrices puede hacerse como columnas por renglones:
A= UL:VT = U¡O'¡vT +u2a2vJ + · · · +urO'rV;.
(3)
Cualquier matriz es la suma de r matrices de rango 1. Si sólo se preservan 20 términos, se
envían 20 veces 2000 números, en vez de un millón (compresión de 25 a 1).
Las fotografías son verdaderamente sorprendentes, a medida que se incluyen más y
más valores. Al principio no se ve nada y repentinamente se reconoce todo. El costo está
en el cálculo de la DVS; ésta se ha vuelto mucho más eficaz, aunque es costosa para una
matriz grande.
2. El rango efectivo El rango de una matriz es el número de renglones independientes, y el número de columnas independientes. ¡Esto puede ser difícil de decidir en cálculos! En aritmética exacta, el conteo de los pivotes es correcto. La aritmética real puede ser
engañosa, aunque eliminar los pivotes pequeños no es la respuesta. Considere lo siguiente:
2
DVS
333
1
/
Observe a .../3 y .JT. Las columnas de U son vectores singulares izquierdos (vectores característicos unitarios de AAT). Las columnas de V son vectores singulares derechos (vectores característicos unitarios de
Se presentan algunas aplicaciones
luego de recalcar una cuestión. La DVS es
terrorífica para cálculos numéricamente estables, ya que U y V son matrices ortogonales.
Nunca cambian la longitud de un vector. Debido a que !1Ux!1 2 = xTUTUx = llxll 2 , la
multiplicación por U no
destruir el escalamiento.
Por supuesto, .E puede multiplicar por un gran :E o bien (lo que es más común) dividir entre un I; pequeño, y saturar la computadora. Sin embargo, :E es la mejor posible.
Revela exactamente
es grande y qué es pequeño. La razón
/I;min es el número
de condición de una matriz invertible de n por n. La disponibilidad de esta información
es otra razón que explica la conocida popularidad de la DVS. En la segunda aplicación se
volverá a esto.
1. Procesamiento de
Suponga que un satélite toma una fotografía, y quiere
enviarla a la Tierra. La fotografía puede contener 1000 por 1000 "pixeles": un millón de
cuadros pequeños, cada uno con un color definido. Es posible codificar los colores y trans-
y
y
1+
!].
El rango de la primera es 1, aunque el error por redondeo probablemente produzca un segundo pivote. Ambos pivotes son pequeños, así que ¿cuántos se ignoran? La segunda tiene un pivote pequeño, pero no es posible pretender que este renglón es insignificante. La
tercera tiene dos pivotes y su rango es 2, aunque su "rango efectivo" debe ser l.
A continuación se procede a una medición más estable del rango. El primer paso es
utilizar ATA o AAT, que son simétricas pero tienen el mismo rango que A. Sus valores característicos -los valores singulares al cuadrado- no son engañosos. Con base en la precisión de los datos, se decide en una tolerancia como 10- 6 y se cuentan los valores singulares
arriba de ésta; este es el rango efectivo. Los
anteriores tienen rango efectivo 1
(cuando E es muy pequeño).
3.
Todo número complejo z es un número positivo r multiplicado por e'8 en la circunferencia unitaria: z = re'8 • Esto expresa a z en "coordenadas polares". Si se considera que z es una matriz de 1 por 1, r corresponde a una matriz positiva
definida y e'8 corresponde a una matriz ortogonal. Más exactamente, debido a que e'8 es
complejo y satisface e-'8e'8= 1, forma una matriz unitaria de 1por1: uHu =l. Se toma
el conjugado complejo, así como la traspuesta, de í..fI.
La DVS extiende esta "factorización polar" a matrices de
tamaño:
Para demostrar lo anterior simplemente se inserta vTv = 1 en medio de la DVS:
A= UL:VT = (UVT)(VL:VT).
(4)
334
Capítulo 6
Matrices positivas definidas
6.3
El factor s = VEVT es simétrica y semidefinida (porque :E lo es). El factor Q = uvT es
una matriz ortogonal (porque QT Q = V uT U yT = l ). En el caso complejo, S se convierte en hermitiana en vez de simétrica y Q se vuelve unitaria en vez de ortogonal. En el caso invertible, :E es definida, así como S.
Ejemplo 4
-2]
1
[3 -1
-1]o [ 3 -1]2 .
[o
1
-1
Descomposición polar inversa:
A=S'Q
[l -2] [2 l] [º -1]·
o
3
-1
=
l
3
1
Los ejercicios muestran cómo, en orden inverso, S cambia pero Q permanece igual. Tanto
S como S' son positivas definidas simétricas porque A es invertible.
All;fü:aciión de A = OS: Una utilización fundamental de la descomposición polar se encuentra en mecánica del continuo (y recientemente en robótica). En cualquier deformación,
es importante separar el alargamiento de la rotación, que es exactamente lo que logra QS.
La matriz ortogonal Q es una rotación, y quizá una reflexión. El material no experimenta
deformación. La matriz simétrica S tiene valores característicos :E¡, ... , :E,., que son los
factores de alargamiento (o de compresión). La diagonalización que despliegan estos valores característicos constituye la elección natural de los ejes, denominados ejes principales:
así como con las elipses en la sección 6.2. Es S la que requiere trabajar con el material, y
almacena energía elástica.
Se observa que S2 es ATA, que es positiva definida simétrica cuando A es invertible. S
es la raíz cuadrada positiva definida simétrica de ATA, y Q es AS- 1• De hecho, A puede ser
rectangular, en tanto ATA sea positiva definida. (Esta es la condición que se ha cumplido,
que A tenga columnas independientes.) En el orden inverso A = S' Q, la matriz S' es la raíz
cuadrada positiva definida simétrica de AAT.
335
A es diagonal, con renglones dependientes y columnas dependientes:
Ax=p
es
Descomposición polar:
A= QS
Descomposición del valor singular
º] l~:r~l] [b¡l~ .
o o
o
o o g
ª2
Todas las columnas terminan con cero. En el espacio columna, el vector más próximo a
b = (b¡, b2, b3) es p = (b 1, b2 , 0). Lo mejor que puede hacerse con Ax = bes resolver las
d~s primeras ecuaciones, ya que la tercera ecuación es O = b3 • Este error no puede reducirse, pero los errores en las dos primeras ecuaciones es cero. Así,
X¡ = b1/a1
y
Xi = b2/a2.
x
_ A?ora se enfrenta la segunda dificultad. Con la finalidad de hacer a lo más pequeno posible, se escoge que los totalmente arbitrarios x3 y x4 sean cero. La solución de longitud mínima es x+:
A+ es seudoinversa
x+ = A+ b es más corta
x+ =
[Z~gj;~l
11 1
= [
0ª
i;°a2
gl
00
00
00
1
[bbb ] .
23
(5)
Con esta ecuación se encuentra x+, y también se despliega la matriz que produce x+
a partir de b. Esta matriz es la seudoinversa A+ de la A diagonal. Con base en este ejemplo, ¿;+ y x+ se conocen para cualquier matriz diagonal :E:
a¡
j
:E =
[
]
La matriz :E es de m por n, con r elementos diferentes de cero en
Su seudoinversa ¿;+
es n por m con elementos r diferentes de cero en l/Ei. Todos los espacios en blanco son
ceros. Observe que (:E+)+ es de nuevo :E. Esto es como (A- 1) - 1 =A, pero aquí A no es
invertible.
A continuación se encuentra x+ en el caso general. Se afirma que la solución más
corta x+, siempre está en el espacio renglón de A. Recuerde que cualquier vector x pue~ separarse en una componente espacio renglón x, y una componente espacio nulo
x = x, + Xn · A continuación se presentan tres cuestiones importantes sobre esa separación:
4. Mínimos cuadrados Para un sistema rectangular Ax = b, la solución por mínimos
cuadrados proviene de la ecuación normal A T Ax = A T b . Si A tiene columnas dependientes, entonces ATA no es invertible y x no está detenninado. Cualquier vector en el espacio nulo puede sumarse ax. Ahora es posible completar el capítulo 3, eligiendo un "mejor"
(más corto) x para toda Ax= b.
Ax = b tiene dos posibles dificultades: renglones dependientes o columnas dependientes. Con renglones dependientes, Ax = b puede no tener solución. Esto ocurre cuando b está fuera del espacio columna de A. En vez de resolver Ax= b, se resuelve AT Ax= ATb.
Pero si A tiene columnas dependientes, este x no es único. Es necesario escoger una solución particular de A T Ax = A T b , y se elige la más corta.
3.
Esa solución de longitud mínima se denomina x+. Es nuestra opción preferida como
la mejor solución de Ax= b (que no tenía solución), y también de AT Ax= ATb (que tenía demasiadas). Empezamos con un ejemplo diagonal.
El teorema fundamental del álgebra lineal se mostró en la figura 3.4. Todo p en el espacio
columna proviene de uno y sólo un vector x, en el espacio renglón. Todo lo que se está haciendo es escoger ese vector x+ = x,., como la mejor solución de Ax = b.
La seudoinversa en la figura 6.3 empieza con b y regresa a x+. Invierte a A donde A
es invertible: entre el espacio renglón y el espacio columna. La seudoinversa elimina al espacio nulo izquierdo al enviarlo a cero, y elimina el espacio nulo escogiendo ax, como x+.
l.
2.
La componente espacio renglón también resuelve AT Ax, = A T b , porque Axn = O.
Las componentes son ortogonales, y cumplen el teorema de Pitágoras:
2
l!xll = llx,11
2
+ llxnll 2 , de modo que x es más corto cuando Xn =O.
Todas las soluciones de AT Ax = AT h tienen el mismo xr Ese vector es x+.
336
Capítulo 6
6.3
Matrices positivas definidas
Demostración
Descomposición del valor singular
337
la multiplicación por la matriz ortogonal uT deja sin cambio las longitudes:
llAx -bll = llU:E
-bll = li:EVTx -UTbll.
Se introduce la nueva incógnita y = VTx = v- 1x, cuya longitud es la misma que x. Así,
minimizar 11 Ax - b 11 es lo mismo que minimizar 11 :E y - uT b 11. Ahora :E es diagonal y se
conoce el mejor y+. Se trata de
= L, + UTb, de modo que el
x + es \y+:
Espacio renglón
x+........,=:7'6:::::::::::::::::::::~._:~_____::__~~~~~
Solución.máscl\rta
o
x+ = Vy+ = y¿,+uTb = A+b.
de laDVS.
11111
En los pr~[)bl.en1as 1 y 2 se calcula la DVS de un.a matriz sill1gu!ar cuadrada A.
6.3
l.
La seudoinversa A+ invierte A donde puede sobre el espacio columna.
Aún no se demuestra que existe una matriz A+ que siempre proporciona x +, pero la
hay. Esta matriz es de m por n, ya que lleva by p en Rm de regreso ax+ en Rn. Antes de
a A+ se considerará otro ejemplo.
encontrar en
A=
2.
Ax= bes -x1 +
+ 2x3 = 18, con un plano completo de soluciones.
Según nuestra teoría, la solución más corta debe estar en el espacio renglón de A =
[-1 2 2]. El múltiplo de ese
que satisface la ecuación es x+ = (-2, 4, 4).
soluciones más largas como (-2, 5, 3), (-2, 7, 1), o (-6, 3, 3), pero todas tienen componende
tes diferentes de cero provenientes del espacio nulo. La matriz que produce x+ a
b = [18] es la seudoinversa A+. Mientras A era de 1 por 3, esta A+ es de 3 por 1:
A·~¡-122r~nJ
y
A.[18]~¡-:)
(6)
El espacio renglón de A es el espacio columna de A+. A continuación se proporciona una
fórmula para A+:
2
A= [-1
2
2]
= U :E yT = [ 1 ] [ 3
n
2
3
v:E+uT =
-1
3
2
3
o Oj [
2
3
2
3
-1
3
2
3
-1irn[l] ¡-11
J]
:J [u1 u2] [ª1 o] [v1 v2f.
=
e) ¿Cuáles son los cuatro vectores que proporcionan bases ortonormales para C(A),
N(A), C(AT), N(AT)?
En los or1obllen:ias 3 a 5 se solicita la DVS de matrices de rango 2.
3.
Encuentre la DVS a partir de los vectores característicos v 1 , v2 de ATA y Av;= cr;u;:
Matriz de Fibonacd
A = [
~ ~] ,
4.
Use la parte DVS del demo
de MATLAB (o Java en la página del curso
web .mit. edu/18. 06) para encontrar gráficamente los mismos vectores v 1 y v 2 •
5.
Calcule ATA y AAT, así como sus valores característicos y vectores característicos unitarios para
A=[~
~].
Multiplique las tres matrices UI:VT para recuperar A.
Los
6 a 13 abordan las ideas
de la DVS.
6.
Suponga que u 1, ••• , un y v 1, ••• , Vn son bases ortono:rmales de R". Construya lamatriz A que transforma cada vj en uj para obtener Av 1 = u 1, • .• , Av,,= u,,.
7.
Construya la matriz con rango 1 que tiene Av= 12u para v =
2, 1). Su único valor
es u 1 =__.
8.
Encuentre uy;vT si A tiene columnas ortogonales W¡, . . ' ' Wn de longitudes O"¡, ••• ,
crncomo una suma de r matrices de rango 1 en la ecuacómo UL,VT
ción (3):
A = Cl¡U¡V{ + · · · +arUrV:.
=A+.
La solución de longitud mínima por mínimos cuadrados es x+ =A+ b = V :E+ UTb.
u:J.
a) Calcule AAT y sus valores característicos crr, O y sus vectores característicos unitarios u 1, Lli·
·
b) Escoja signos de modo que Av 1 ,{,; I: 1 u 1 y compruebe la DVS:
[~
En el ejemplo 6 se tenía :E = 3; la raíz cuadrada del valor característico de AAT = [9]. Aquí
está de nuevo con :E y :E+:
3
Calcule ATA y sus valores característicos crf, O y sus vectores característicos unitarios
9.
hl, 1, 1, 1) y u= ~(2,
338
Capítulo 6
6.4
Matrices positivas definidas
Principios minimales
339
10. Suponga que A es una matriz simétrica de 2 por 2 con vectores característicos unitarios
u 1 y u 2 . Si sus valores característicos son .A. 1 = 3 y A. 2 = -2, ¿cuáles son U, :E, y VT?
11. Suponga que A es invertible (con a- 1 > u 2 > 0). Cambie A por una matriz lo más pequeña posible para obtener una matriz singular Ao- Sugerencia: U y V no cambian:
Encuentre A 0 , a partir de
12. a) Si A cambia a 4A, ¿cuál es el cambio en la DVS?
b) ¿Cuál es la DVS para AT y A- 1?
13. ¿Por qué la DVS para A + l no utiliza simplemente :E + l?
14. Encuentre la DVS y la seudoinversa o+ de la matriz cero de m por n.
15. Encuentre la DVS y la seudoinversa vr;+uT de
A=[l
l],
B=[~ ¿ g].
y
C=[~ ¿J.
16. Si una matriz Q de m por n tiene columnas ortonormales, ¿cuál es Q+?
17. Diagonalice ATA para encontrar su raíz cuadrada positiva definida S = V :E 112 yT y su
descomposición polar A = QS:
A=
[lg ~J.
En esta sección nos escapamos por primera vez de las ecuaciones lineales. La incógnita x
no se proporcionará como la solución de Ax = b o Ax = A.x. En vez de ello, el vector x se
determinará por un principio mínimo.
Es sorprendente la cantidad de leyes naturales que pueden expresarse como principios
minimales. Justo el hecho de que los líquidos pesados se hunden hasta el fondo es una consecuencia de minimización de su energía potencial. Y cuando una persona se sienta en un
automóvil o se acuesta en una cama, los resortes se ajustan a sí mismos de modo que la
energía se minimiza. Una pajilla en un vaso de agua se ve flexionada porque la luz llega al
ojo lo más rápido posible. Ciertamente hay ejemplos más intelectuales: el principio fundamental de la ingeniería estructural es la minimización de la energía total.*
Es necesario mencionar de inmediato que estas "energías" no son otra cosa que funciones cuadráticas positivas definidas. Y la derivada de una cuadrática es lineal. Volvemos
a las conocidas ecuaciones lineales, cuando las primeras derivadas se igualaron a cero. El
primer objetivo en esta sección es encontrar el principio mínimo equivalente a Ax = b, y
la minimización equivalente a Ax = l.x. En dimensiones finitas se hará exactamente lo
que la teoría de la optimización hace en un problema continuo, donde "primeras derivadas
= O" proporciona una ecuación diferencial. En todo problema, se tiene libertad de resolver
la ecuación lineal o de minimizar la cuadrática.
El primer paso es directo: se desea encontrar la "parábola" P(x) cuyo mínimo ocurre
cuando Ax = b. Si A es justo un escalar, es fácil hacer lo anterior:
La gráfica de P(x) = ~
.
bx tiene
pend"tente cero cuando -dP = Ax - b = O .
dx
18. ¿Cuál es la solución de longitud mínima por mínimos cuadrados x + = A+ b de lo siguiente?
Este punto x = A - i b es un mínimo si A es positiva. Así, la parábola P(x) se abre hacia arriba (véase la figura 6.4). En más dimensiones esta parábola se transforma en un tazón parabólico (un paraboloide). Para asegurar un mínimo de P(x), no un máximo o un punto
silla, ¡A debe ser positiva definida!
Es posible calcular A+, o encontrar la solución general para A T Ax = A T b y escoger
la solución que está en el espacio renglón de A. Este problema ajusta el mejor plano
C + Dt + Ez a b = O y también a b = 2 en t = z = O (y b = 2 en t = z = 1).
positjva .definida simétric:i;•e~tonces P (x}
19. a) Si A tiene columnas independientes, su inversa izquierda (ATA)- 1AT es A+.
b) Si A tiene renglones independientes, su inversa derecha AT(AA T)- 1 es A+.
En ambos casos, compruebe que x + = A+ b está en el espacio renglón, y que A TAx+
P(x) = 4Ax 2 - bx
=ATb.
20. Separe A = U:EVT en su descomposición polar inversa QS'.
21. La expresión (AB)+ = B+ A+, ¿siempre es verdadera para seudoinversas? Creo que
X
no.
22. Si se eliminan los renglones cero de U se queda con A = L. ll. donde las r columnas
de L. generan el espacio columna de A y los r renglones de ll generan el espacio renglón. Así, A+ tiene la fórmula explícita UT(U UT)- 1(!/.IJ- 1
¿Por qué A+ b está en el espacio renglón con ll.T al frente? ¿Por qué ATAA+ b = ATb,
de modo que x+ = A+ b satisface la ecuación normal como debe hacerlo?
23. Explique por qué AA+ y A+A son matrices proyección (y por tanto simétricas). ¿Sobre qué subespacios fundamentales se proyectan?
Pmín
6.4
= -4b2 /A
Mínimo en
X = A- 1 b
/"'<;;;;::::::::=:::;;;"""'~- X2
X¡
Pmin = -4bT A- 1 b
La gráfica de una cuadrática positiva P(x) es un tazón parabólico.
'Estoy convencido de que los vegetales y los humanos también se desarrollan según principios minimales. Quizá la civilización está basada en una ley de acción mínima. Debe haber nuevas leyes (y principios minimales) por
descubrir en las ciencias sociales y en las ciencias de la vida.
340
Capítulo 6
Matrices positivas definidas
Demostración
P(x):
6.4
Suponga que Ax = b. Para cualquier vector y, se demostrará que P(y);;:::
l T
P(y) - P(x) = ly Ay
=
yTb
1 T
T
lx Ax + x b
1
1
-yTAy - yT Ax+
2
(iguale b =Ax)
l
= l(y - x)T A(y - x).
(1)
Minimizar P(x) = xl - x 1x 2 +xi - b 1x 1 - b 2x 2. El método de costumbre, por cálculo,
es igualar a cero las derivadas parciales. Así se obtiene Ax = b:
8 p /8X¡ = 2X¡ - Xz - b¡ = Ü
aP/8x2=-x1+2x2-b2=0
significa
[
2
-1
-1] [X¡]
2 X2
[b¡]
b2º
proporciona el mínimo. Se sustituye x = A - I b en P(x):
Pmín = ~(A- 1 b)T A(A- 1b) - (A- 1b)Tb =
Valor mínimo
!
-~bT A- b.
1
(3)
interna y -xTb es el trabajo externo. El sistema
donde la energía total P(x) es un rrúnimo.
En aplicaciones, x T Ax es la
automáticamente se vuelve x =
-d
Solución
Y =
El rrúnimo restringido de P =
l
Porrún =
(2)
El álgebra lineal reconoce estaP(x) como !xT Ax - xTb, y sabe de inmediato que Ax= b
341
Ahora se agrega una restricción c 1x 1 + c 2 x 2 = d. Esto coloca ax sobre una recta en
el plano x1-x2 . El minimizador anterior x 1 = x2 = O no está en la recta. La función lagrangiana L(x, y) = !x? +~xi + y(c¡X¡ + CzXz - d) tiene n + e = 2 + l derivadas
parciales:
8L/8x¡ = 0
X¡ + C¡y = 0
8L/8x2 =O
x2 + CzY ==O
(6)
aL/ay =o
C¡X¡ + C2X2 =d.
Al sustituir x 1 = -c 1y y x 2 = -c:;Y en la tercera ecuación se obtiene -c?y - ciy = d.
Lo anterior no puede ser positiva definida porque A es positiva definida, y es cero sólo si
y-x =O. En todos los demás puntos, P(y) es más grande que P(x), de modo que el rrúnimo ocurre en x.
111
t1ernp10 1
Principios minimales
Lo anterior es igual a
=o.
C¡d
X¡ = c2 + cz
¡
Czd
X2 = - 2 - - 2 ·
C¡ + Cz
2
(7)
! x T x se alcanza en ese punto solución:
1
1 c2d 2 + c2d 2
l
+ -x2
2
= 2 = - 1
2
2
2 ( cy + ci)
2
d2
(8)
-bd, corno se pronosticaba en la ecuación (5), ya que b = O y
En la figura 6.5 se muestra el problema que ha resuelto el álgebra lineal, si las restricciones mantienen a x sobre una recta 2x 1 - x 2 = 5. Se está buscando el punto más
moa
0) sobre esta recta. La solución es x = (2, -1). Se espera que este vector más
corto x sea perpendicular a la recta, y se tiene razón.
M1rmm2:acu:m con restricciones
Muchas aplicaciones agregan ecuaciones extra Cx = d por encima del
de minimización. Estas ecuaciones son restricciones. P(x) se minimiza sujeto al requerimiento
adicional Cx = d. Por lo general x no es capaz de satisfacer n ecuaciones Ax = b y también e restricciones extra Cx = d. Se tienen demasiadas ecuaciones y se
e incógnitas más.
de
InEstas nuevas incógnitas Yi. ... , Yt se denominan
tegran la restricción en una función L(x, y). Esta fue la brillante aportación de Lagrange:
l
L(x, y)= P(x) + yT(Cx - d) =
-xTb + xTCTy - yTd.
El término en L se escoge exactamente de modo que 8L/8y =O devuelva Cx =d. Cuando las derivadas de L se igualan a cero, se tienen n + e ecuaciones para n + e incógnitas
xyy:
Minimización
Ax+ CTy = b
aL/ax =o :
(4)
aL/ay =o :
Cx
=d
Las primeras ecuaciones implican las misteriosas incógnitas y. Bien
preguntarse
representan. Estas "incógnitas duales" y indican cuánto el mínimo restringido Pc1rrun (que
sólo permite ax cuando Cx = d) excede al P rrún no restringido (permitiendo todas las x):
Po mín = Prrun + ~y T (CA-¡ b - d) :;::: Prrun .
Sensibilidad del mínimo
!
!
(5)
Suponga que
, x2) = xf + xi. Ciertamente, su valor más pequeño es P mín = O.
Este problema no restringido tiene n = 2, A = I y b = O. Así, la ecuación de minimización
Ax = b justamente proporciona x 1 = O y x2 = O.
6.5 Minimización de !llxll 2 paratodaxsobrelarectaderestricciones2x1 -x2 =5.
En minimización, la gran aplicación son los rrúnimos cuadrados. El mejor x es el vector
es una cuadrática y se ajusta a
que minimiza el error al cuadrado E 2 =\\Ax - b\\ 2 .
nuestro marco de referencia! Esclarecerá las partes que parecen nuevas:
Error al cuadrad.o
=(Ax - b)T(Ax - b) =
x-
!
Compare con x T Ax - x T b al inicio de esta sección, que condujo a Ax = b:
[A cambia a A TA]
La constante bTb eleva toda la gráfica, lo cual no afecta al mejor x. Los otros dos cambios,
A en ATA y ben ATb, originan una nueva manera de
a la ecuación de rrúnirnos cua-
342
Capítulo 6
Matrices positivas definidas
6.4
drados (ecuación normal). La ecuación de minimización Ax= b cambia a la
Ecuación por mínimos cuadrados
AT Ax = A Tb.
011736
343
Principios minimales
(10)
El tema de la optimización requiere todo un libro. Nos detendremos mientras sea álgebra
lineal pura.
elipse xT Ax= 1
El segundo objetivo es encontrar un problema de minimización que sea equivalente a Ax
= A.x, lo cual no es tan fácil. La función a minimizar no puede ser cuadrática, ya que entonces su derivada tendría que ser lineal, y el problema de valores característicos es no lineal (A. multiplicado por x). El truco exitoso es dividir una cuadrática entre otra:
xTAx
Cociente de Rayleigh Minimizar
R(x) =
.
6.6 Ambas, la x = xi/ A más alejada y la x = Xn/ F:, más próxima proporcionan x T Ax = x T A.x = l. Estos son los ejes mayor y menor de la elipse.
Si se mantienexTAx = 1, entoncesR(x) es un mínimo cuando xTx = llxll 2 es lo más grande posible. Se está buscando el punto sobre el elipsoide xTAx = l lo más lejano posible al
origen: el vector x de mayor longitud. Con base en el análisis que se hizo sobre el elipsoide, su eje mayor apunta a lo largo del primer vector característico. Así, R(x) es un mínimo
enx 1•
Algebraicamente es posible diagonalizar la matriz simétrica A por medio de una matriz ortogonal: QT A Q = A. Luego se hace x = Qy y el cociente se facilíta:
R(x) =
(Qy) 1 A(Qy)
y 1 Ay
A.1Yi + · · · + A.,.y;
(Qy)T(Qy) = yTy =
YÍ + ... +y;
L~s vecto~es característicos intermedios x 2 , .•• , xn-i son puntos silla del cociente de Rayle1gh (den~adas ~~ro, aunq~e ningún mí~mo o máximo). La dificultad con estos puntos es
que no se tlene m idea de s1 R(x) está arnba o abajo de ellos. Esto hace más difícil de estimar a los valores característicos intermedios A. 2, ... , A.n- 1•
. :ara este tópico opcional, la clave consiste en encontrar un mínimo o un máximo restrmg1do. Las restricciones provienen de la propiedad básica de las matrices simétricas· X·
es perpendicular a los otros vectores característicos.
. 7
(11)
El mínimo de Res A. 1, en el punto en que y 1 = l Y Y2 = · · · = Yn = O:
En todos los puntos
A.1 (yf + Yi + · · · +y;) .:::: (A.1 yf + A.2Yi + · · · + A.,.y;).
El cociente de Rayleigh en la ecuación ( 11) nunca es menor que A. 1 y nunca es mayor que
A.n (el mayor valor característico). Su mínimo está en el vector característico x 1 y su máximo está en xn:
Máximo
= A,.Xn
Un detalle pequeño pero importante: el cociente de Rayleigh es igual a all, cuando el vector ensayo es x = (1, O, ... , O). Así, a¡¡ (sobre la diagonal principal) está entre A. 1 y A.n- Esto puede verse en la figura 6.6, donde la distancia horizontal a la elipse (donde a 11 x2 = 1)
está entre la distancia más corta y la distancia más larga:
l
l
l
-- < -- < -que es A.1 5 a11 5 An.
Fn - y7iíí - ...¡;::;
Los elementos diagonales de cualquier matriz simétrica están entre A. 1 y Án· Para ver más
claramente lo anterior, la figura 6.6 se trazó para una matriz positiva definida de 2 por 2.
Este "principio máximo" hace de A. 2 el máximo sobre todas las v del mínimo de R(x) con
xTv =O. Esto supone un método para estimar A. 2 sin conocer A. 1 .
tiernolo 3
Eliminar el último renglón y la última columna de cualquier matriz simétrica:
A.¡ (A) = 2 - ~
A.2(A)=2
A.3(A) = 2 +~
[
A=
2
-1
-1
2
O -1
-~1
2
se convierte en B = [
2
-1
1
-~1 A.2(B)
= 3.
A. (B) = 1
El segundo valor característico A. 2(A) = 2 está por arriba del menor valor característico
A¡(B) = l. El menor valor característico A.i(A) = 2 - ~está por abajo de A. 1(B). Así,
Jc 1(B) está atrapado entre ambos.
En este ejemplo se escogió v = (0, O, 1), de modo que la restricción xTv =O eliminó
la tercera componente de x (reduciendo así A a B).
344
Capítulo 6
Matrices positivas definidas
6.4
La fotografía completa es un entrelazamiento de valores característicos:
A¡(A) :::: A¡(B):::: A.2(A) :::: A.2(B) :::: ... :::: An-1(B):::: An(A).
Máximo del mínimo
Mínimo del máximo
Aj+!
= máx [mínR(x)].
todas las S¡
Án-j =
todas
3.
Encuentre el mínimo, en caso de haberlo, de P 1 = ~x 2 + xy + y 2 - 3y y p 2 = kx2
- 3y. ¿Qué matriz A está asociada con P2 ?
4.
(Repaso) Otra cuadrática que ciertamente tiene su mínimo en Ax = b es
l
1
1
Q(x) = -llAx bll 2 = -xT AT Ax xT ATb + -bTb
2
2
2
.
Al comparar Q con P, e ignorar la constante ~bTb, ¿qué sistema de ecuaciones se obtiene en el mínimo de Q? ¿Cómo se denominan estas ecuaciones en la teoría de mínimos cuadrados?
5.
Para cualquier matriz simétrica A, calcule la razón R(x) para la elección especial x =
(1, ... , 1). ¿Cómo está relacionada la suma de todos los elementos aij con A. 1 y >..n?
6.
Con A = [ _
X J_S¡
7.
Si Bes positiva definida, a partir del cociente de Rayleigh demuestre que el menor valor característico de A + B es mayor que el menor valor característico de A.
8.
Si A. 1 y µ, 1 son los menores valores característicos de A y B, demuestre que el menor
valor característico e1 de A + B es por lo menos tan grande como A. 1 + µ, 1• (Intente el
correspondiente vector característico x en los cocientes de Rayleigh.)
(15)
Observación 3 Para el problema generalizado Ax = A.Mx, los mismos principios se cumplen si Mes positiva definida. En el cociente de Rayleigh, xTx se convierte en xTMx:
Al minimizar R(x) = xTAx seobtieneA. 1 (M- 1 A). (16)
f -~ J,encuentre una elección de x con la que se obtenga un menor R (x)
que la cota A. 1 :S 2 que proviene de los elementos diagonales. ¿Cuál es el valor mínimo de R(x)?
(14)
Sij = l, se está maximizando R(x) sobre una restricción xTv = O. Este máximo está entre
An-I y An no restringidas. La restricción más fuerte hace que x sea perpendicular al vector
característico superior v = xn- Así, el mejor x es el siguiente vector característico Xn- 1• El
"mínimo de los máximos" es Án- l ·
Cociente de
Complete al cuadrado en P = kxT Ax -xTb = ~(x -A- 1b)T A(x -A -1b) + constante. Esto es igual a P mm porque el término anterior nunca es negativo. (¿Por qué?)
x J_ S¡
[ má:xR(x)].
345
2.
(13)
Esto tiene una interpretación natural para un elipsoide, cuando es cortado por un plano que
pasa por el origen. La sección transversal es un elipsoide de una dimensión menor. El eje
mayor de esta sección transversal no puede ser más largo que el eje mayor de todo el
soide: A. 1 (B) :::: A. 1 (A). Sin embargo, el eje mayor de la sección transversal es por lo menos tan largo como el segundo eje del elipsoide original: A. 1(B)::;: A. 2 (A). De manera
menor de la sección transversal es menor que el segundo eje original, y
semejante, el
mayor que el eje menor original: A. 2(A) ::; A. 2 (B) ::; A. 3 (A).
Lo mismo puede verse en mecánica. Cuando los resortes y las masas están oscilando,
suponga que una masa se mantiene en equilibrio. Entonces la menor frecuencia se incrementa, pero no por arriba de A2 • La mayor frecuencia disminuye, pero no por debajo An-l ·
Se termina con tres observaciones.
que su intuición le indique que son correctas.
Principios minimales
Nota Quizá los problemas 7 y 8 son los resultados más típicos y más importantes
que resultan fácilmente del principio de Rayleigh, pero no es así en el caso de las ecuaciones de valores característicos.
9.
Si Bes positiva definida, a partir del principio minimax (12) demuestre que el segundo menor valor característico se incrementa al sumar B : A.2 (A + B) > A. 2 (A).
10. Si se eliminan dos renglones y dos columnas de A, ¿qué desigualdades son de esperar
entre el menor valor característico µ, de la nueva matriz y los AS originales?
11. Encuentre los valores mínimos de
y
Incluso para masas desiguales en un sistema oscilatorio (M ?6 l), al mantener una masa en
equilibrio se eleva la menor frecuencia y se
la mayor frecuencia.
12. A partir de la ecuación (11), demuestre que R(x) nunca es mayor que el mayor valor
característico Án.
13. El principio minimax para >..j implica subespacios Sj de dünensi.ón
l.
Considere el sistema Ax = b dado por
-1
2
-1
Construya la cuadrática correspondiente P(x 1, x 2 , x 3 ), calcule sus derivadas parciales
aP /ax;, y compruebe que se hacen cero exactamente en la solución deseada.
a) Si A.j es positivo, deduzca que todo Sj contiene un vector x con R(x) > O.
b) Deduzca que sj contiene un vector y= c- 1x con yTcT ACy/yT y> o.
e) Concluya que el j-ésimo valor característico de
con base en el principio minimax, también es positivo,
de nuevo la ley de la inercia proporcionada en la sección 6.2.
346
Capítulo 6
·e ;::- i ·li El método del elemento finito
Matrices positivas definidas
, lf!v. p:::".2, ;•;,
14. Demuestre que el menor valor característico A. 1 de Ax= A.Mx no es más largo que la
razón all/m 11 de los elementos en las esquinas.
15. ¿Qué subespacio particular S2 en el problema 13 proporciona el valor mínimo A. 2 ? En
otras palabras, ¿sobre qué S2 se cumple que el máximo de R(x) es igual a Jc 2 ?
16. (Recomendado) A partir de la submatriz cero, decida los signos de los n valores característicos:
A~[f ~~:l
17. (Mínimo restringido) Suponga que el mínimo sin restringir x = A- 1b satisface la
restricción Cx = d. Compruebe que la ecuación (5) proporciona correctamente
P c/mín = P mín; el término de corrección es cero.
En la sección previa sobre principios mínimos se presentaron dos conceptos fundamentales:
i)
Resolver Ax= bes equivalente a minimizar P(x) = ~xTAx -xTb.
ii)
Resolver Ax= Jc 1x es equivalente a minimizar R(x) = xT Ax/xTx.
A continuación se intentará explicar cómo es posible aplicar estas ideas.
La historia es larga, ya que estos principios se conocen desde hace más de un siglo.
En ingeniería, problemas como el doblado de planchas, o problemas de física como el estado fundamental (función característica) de un átomo, la minimización se ha utilizado para obtener una aproximación tosca a la solución verdadera. La aproximación tenía que ser
tosca; las computadoras eran humanas. Los principios i) y ii) ahí estaban, aunque no era
posible implementarlos.
Resulta evidente que la computadora conllevaría una revolución. Lo que saltó hacia
delante fue el método de diferencias finitas, ya que es fácil "discretizar" una ecuación diferencial. Ya en la sección 1.7, las derivadas se sustituyeron por diferencias. La región física es cubierta con una malla, y u" = f(x) se convirtió en u j + 1 - 2u j + u j _ 1 = h 2 fj. En Ja
década de 1950 surgieron nuevos métodos para resolver sistemas Au = f que eran muy
grandes y ralos: actualmente los algoritmos y el hardware son mucho más rápidos.
Lo que no se reconoció por completo fue que incluso las diferencias finitas se vuelven
increíblemente complicadas para problemas ingenieriles reales, como las deformaciones
que experimenta un avión. La verdadera dificultad no estriba en resolver las ecuaciones,
sino en plantearlas. Para una región irregular el trozo de malla se colocó junto con triángulos, cuadriláteros o tetraedros. Luego se requirió un método sistemático para aproximar
las leyes físicas subyacentes. La computadora tuvo que ayudar no sólo en la solución de
Au = fy Ax= A.x, sino también en su planteamiento.
Puede conjeturarse lo que ocurrió. Los antiguos métodos están de vuelta, con un nuevo
concepto y un nuevo nombre. El nuevo nombre es método del elemento finito. La nueva idea
utiliza más de la potencia de la computadora -en la construcción de una aproximación discreta, en su resolución y en el despliegue de los resultados- que cualquiera otra técnica en la
computación científica.* Si la idea básica es simple, las aplicaciones pueden ser complicadas.
*Por favor, disculpe este entusiasmo; sé que el método puede no ser eterno.
.. :
~- ·. c'.i-'.'.'c: '°·•·:.i'~;:~~iEL URUGUAY
341
Para problemas en eáilieschla;;etúñic5ljfmft&'qfi¿4iil:)Jf}uede discutirse es su costo; me temo
que mil millones de dólares es una estimación conservadora del costo hasta la fecha. Espero que algunos lectores tengan el vigor necesario para dominar el método del elemento
finito y utilizarlo correctamente.
fum::iones ensayo
Empezando con el clásico principio de Rayleigh-Ritz, se introducirá la nueva idea de los
elementos finitos. La ecuación puede ser -u" = .f{x) con condiciones en la frontera u(O) =
u(l) = O. Este problema es de dimensión infinita (el vector b se sustituyó por una función
J, y la matriz A se convierte en -d. 2 / dx2). Es posible escribir la energía cuyo mínimo se busca, al sustituir los productos internos vTf por integrales de v(x) f(x):
Energía total P(v)
= ~vT Av - vT f = ~ ¡1 v(x)(-v"(x)) dx - [1 v(x)f(x) dx.
2 lo
2
lo
(1)
P(v) debe minimizarse sobre todas las funciones v(x) que satisfacen v(O) = v(l) = O. La
función que proporciona el mínimo es la solución u(x ). La ecuación diferencial se ha convertido en un principio mínimo, y sólo queda integrar por partes:
1
1
fo (v') dx - [vv'J~.:6 ~t~o P(v) 1 [~(v'(x)) 2 + v(x)f(x)] dx.
1
1
v(-v") dx =
2
=
El término vv'es cero en ambos límites, ya que v lo es. Así, J(v'(x)) 2 dx es positiva, como xTAx. Se tiene garantizado un mínimo.
El cálculo exacto del mínimo es equivalente a resolver exactamente la ecuación diferencial. El principio de Rayleigh-Ritz produce un problema n-dimensional al escoger
sólo nfunciones ensayo V1 (x), ... , Vn(x). A partir de todas las combinaciones V= y 1
Vr(x) + · · · + Yn Vn(X) se busca la combinación particular (se denomina U) que minimiza
P(V). Esta es la idea clave: minimizar sobre un subespacio de Vs en vez de sobre todas las
v(x) posibles. La función que proporciona el mínimo es U(x). Es deseable y de esperar que
U(x) esté próxima a la u(x) correcta.
Al sustituir V por v, la cuadrática se convierte en
P(V) =
~ ¡1(y1 V;(x) +· · ·+yn V~(x)) 2 dx- ¡1(y 1 V¡(x) +· · ·+yn Vn(x))f(x) dx. (2)
2 Jo
fo
Las funciones ensayo V se escogen de antemano. ¡Este es el paso clave! Las incógnitas y 1,
... , Yn van en un vector y. Luego, P(V) = !YT Ay - yTb se reconoce como una de
las cuadráticas de costumbre. Los elementos Aij de la matriz son f V¡'Vj dx = coeficientes de YiYj· Las componentes bj son J Vj f dx. Ciertamente, es posible encontrar el mínimo de ~YT Ay - yTb al resolver Ay= b. En consecuencia, el método de Rayleigh-Ritz
consta de tres pasos:
1. Escoger las funciones ensayo V 1, ••• , Vn.
2. Calcular los coeficientes Aij y bj.
3. Resolver Ay= b para encontrar U(x) = y 1 V¡(x) + · · · + Yn Vn(x).
Todo depende del paso 1. A menos que las funciones V¡ (x) sean extremadamente simples, los otros pasos serían virtualmente imposibles. Y a menos que alguna combinación de
los V¡ esté próxima a la solución u (x) verdadera, estos pasos serán inútiles. Para combinar
la facilidad de hacer los cálculos y la exactitud, la idea clave que hace exitosos los elementos finitos, es el uso de los polinomios por partes como las funciones ensayo V(x).
348
Capítulo 6
6.5
Matrices positivas definidas
349
El método del elemento finito
Elementos finitos lineales
-u"= 2 con u(O) = u(l) =O, y solución u(x) = x-x2.
El elemento finito más simple y de mayor uso es lineal po:r partes. En los puntos interiores x 1 = h, x 2 = 2h, . .. , xn = nh se colocan nodos, así como para las diferencias finitas.
Luego, Vj es la "función sombrero" que es igual a 1 en el nodo x1, y cero en todos los demás nodos (véase la figura 6.7a). Está concentrado en un pequeño intervalo alrededor de
su nodo, y es cero en todas las demás partes (incluyendo x = O y x = 1). Cualquier combinación Y1 Vi + · · · + Yn Vn debe tener el valor y1 en el nodo j (los otros Vs son cero ahí),
de modo que resulta fácil trazar su gráfica (véase la figura 6.7b).
La aproximación usa tres intervalos y dos funciones sombrero, con h = ~. La matriz
A es de 2 por 2. El miembro derecho requiere integración de la función sombrero multiplicada por f(x) = 2. Lo anterior produce el doble del área ~ bajo el sombrero:
Vi(x)
6
o
X4
= 4h
1
o
6.1
b)
Funciones sombrero y sus combinaciones lineales.
En el paso 2 se calculan los coeficientes Au = f V(Vj dx en la "matriz de
A.
La pendiente Vj es igual a l / h en el
intervalo a la izquierda de x1, y a -1 / h en el
intervalo a la derecha. Si estos "intervalos dobles" no se traslapan, el producto V.' V~ es ce'
J
ro y Au = O. Cada función sombrero se traslapa consigo misma y con sólo dos vecinos:
En la di.at~o:nal
Fuera de la
=j
-J
Au -
i = j ± l A;j =
V¡1 V; 1 dx =
f (1)h
2
dx +
!(-¡;1)
2
dx =
2
h.
j V( v; dx j (~) ( ~ 1) dx
=
A=~ r ,
-1
La solución de Ay = bes Y = ( ~. ~).La mejor U(x) es~ V 1 + ~ V2 , que es igual a~ en los
Problemas de valores característicos
El concepto de Rayleigh-Ritz -minimizar sobre una familia de dimensión finita de Vs en
lugar de hacerlo sobre todas las vs admisibles- también es de utilidad para los problemas
de valores característicos. El verdadero mínimo del cociente de Rayleigh es la frecuencia
fundamental A. 1• Su mínimo aproximado A 1 es más grande, ya que la clase de funciones
ensayo se ha restringido a los Vs. Este paso era completamente natural e inevitable: aplicar
las nuevas ideas del elemento finito a esta forma variacional del problema de valores característicos establecida hace bastante.
El mejor ejemplo de un problema de valores característicos tiene u(x) = sen 'TTX y
A.1 =
Así, la matriz de rigidez es realmente tridiagonal:
Matriz de
[l]·
En un ejemplo más complicado, la aproximación no es exacta en los nodos. Aunque
está extraordinariamente próxima. La teoría subyacente es explicada en el libro del autor
An Analysis of the Finite Element Method (consulte la página www. wellesleycambridge
. com) escrito al alimón con George Fix. En otros libros se proporcionan aplicaciones más
detalladas, y el tema de los elementos finitos se ha convertido en una parte importante de
la educación de la ingeniería. Se aborda en lntroduction to Applied Mathematics, y también
en mi nuevo libro Applied Mathematics and Scientific Computing. Ahí se analizan ecuaciones diferenciales parciales, donde el método realmente se encuentra en su medio.
1
a)
b =
puntos de la malla. Esto coincide con la solución exacta u (x) = x - x 2 = ~ - ~ ..
V(x) = Y1V1 + · · · +ysVs
lj
y
-u 11 = A.u,
Función ca:racteristka u(x)
-1
2
-1
-1
2
-1
con
u(O) = u(l) = O.
Esta función sen 'TTX minimiza el cociente de Rayleigh vTAv / vT v:
-1
2
-1
-J
¡Esto se ve como diferencias finitas! Ha conducido a miles de discusiones sobre la relación
entre estos dos métodos. Elementos finitos más complicados -polinomios de grado superior, definidos sobre triángulos o cuadriláteros para ecuaciones diferenciales parcialestambién producen matrices ralas. Podría pensarse que los elementos finitos es una forma
sistemática para construir ecuaciones en diferencias exactas sobre mallas irregulares. La
cuestión esencial es la sencillez de estos polinomios por partes. Dentro de cada elemento,
sus pendientes son fáciles de calcular e integrar.
Las componentes bj en el miembro derecho son nuevas. En vez de
contar con el valor de f en xj, corno para las diferencias finitas, ahora son un promedio
alrededor de ese punto: b1 = f V1 f dx. Luego, en el paso 3, se resuelve el sistema tridiagonal Ay = b, que proporciona los coeficientes en la función ensayo minimizadora
U= y 1 Vi + · · · +yn Vn- Al unir todas estas alturas y1 con una recta quebrada, se obtiene la
solución aproximada U(x).
f 0\v'(x)) 2 dx
R(v)
l
fo (v(x)) 2 dx
.
Esta es una razón de energía potencial a
cinética, y están en equilibrio en el vector
característico. Normalmente este vector característico es desconocido, y para aproximarlo
es necesario admitir sólo los candidatos de ensayo V = y 1 V¡ + · · · + Yn Vn:
1
f (y 1V'+··· +y
R(V) = Jo
1
1
n
V') 2 dx
n
fo (y¡ V¡ + ... + Yn Vn)2 dx
yT Ay
= --.
yT My
A continuación se aborda el problema matricial: Minimizar y T Ay/yT M y. Con M = l, lo
anterior conduce al
de valores característicos estándar Ay = A.y. Sin embargo, la
matriz M es tridiagonal, ya que la aproximación a esta función se traslapa. Es exactamente
la situación que conlleva el problema generalizado de valores característicos. El valor mínimo
es el meno:r valo:r ca:racte:ristico de
Esta
está próxima a (y por
arriba de)
El vector característico y proporciona la aproximación U = y 1 V¡ + · · · +.
Yn Vn a la función característica.
350
Capítulo 6
Matrices positivas definidas
Capítulo
Así como en el problema de estática, el método puede resumirse en tres pasos: 1) escoger los V¡, 2) calcular A y M, y 3) resolver Ay = J...My. No sé por qué esto cuesta mil millones de dólares.
I
l;Olll!UlltO de
L
l.
Use tres funciones sombrero, con h = para resolver -u" = 2 con u(O) = u(l) = O.
Compruebe que la aproximación U coincide con u = x - i2 en los nodos.
2.
Resuelva -u" = x con u (O) = u(l) = O. Luego resuelva aproximadamente con dos
funciones sombrero y h = ~.¿Dónde está el error más grande?
3.
Suponga que -u"= 2, con la condición en la frontera u(l) =O cambiada a u'(l) =O.
Esta condición "natural" sobre u' no requiere ser impuesta sobre las funciones ensayo
V. Con h = ~' existe un semisombrero extra V3 , que va de O a 1 entre x = ~ y x = l.
Calcule A33 = f (V;> 2 dx y f3 = f 2 V3 dx. Resuelva Ay = f para la solución del elemento finito y 1 V¡ + y 2 Vi + y3 V3 •
4.
Resuelva -u" = 2 con una sola función sombrero, pero coloque su nodo en x = ~ en
vez de x = ~·(Trace esta función V1.) Con condiciones a la frontera u(O) = u(l) =O,
compare la aproximación por elementos finitos con la u = x - i2 verdadera.
5.
El método de Galerkin empieza con la ecuación diferencial (por ejemplo -u" = f(x))
en vez de con la energía P. La solución ensayo sigue siendo u = y 1 V¡ + y 2 Vz + · · · +
Yn Vno y las ys se escogen para hacer que la diferencia entre -u" y f sea ortogonal para
todo V¡:
Galerkin
!(-y¡ V;' - Y2 V~' - · · · - Yn V~') Vj dx =
J
f(x)Vj(x) dx.
Integre por partes el miembro izquierdo para llegar a Ay = f, demostrando que el método de Galerkin proporciona las mismas A y f que Rayleigh-Ritz para problemas simétricos.
6.
Una identidad fundamental para cuadráticas demuestra y= A- 1b como la minimización de:
El mínimo sobre un subespacio de funciones ensayo está en lay más próxima aA- 1b.
(Esto hace lo más pequeño posible al término de la derecha; constituye la clave para
la convergencia de U a u.) Si A = l y b = (l, O, O), ¿qué múltiplo de V= (1, 1, 1)
proporciona el menor valor para P(y) = ~YT y - Y1?
7.
Para una simple función sombrero V(x) centrada en x = ~.calcule A = f (V')2 dx y
M = J V 2 dx. En el problema de valores característicos de l por 1, ¿J... = A/M es
mayor o menor que el verdadero valor característico J.. = n2?
8.
Para las funciones V 1 y V2 centradas en x = h =
y x = 2h = ~.calcule la matriz
masa de 2 por 2 Mii = J Vi Vj dx, y resuelva el problema de valores característicos
Ax= J...Mx.
9.
¿Cuál es la matriz masa M;j = J Vi Vj dx paran funciones sombrero con h =
t
?
1 1
t
111
7.1
Uno de los objetivos de este libro es explicar las partes útiles de la teoría de matrices. En
comparación con libros más antiguos sobre álgebra lineal abstracta, la teoría subyacente no
ha cambiado radicalmente. Una de las mejores cosas sobre el tema es que la teoría es realmente esencial para las aplicaciones. Lo que es diferente es el cambio en el énfasis que viene con un nuevo punto de vista. La eliminación se convierte en más que justo una forma de
encontrar una base para el espacio renglón, y el proceso de Gram-Schmidt no sólo es una
demostración de que todo subespacio tiene una base ortonormal. En vez de lo anterior, realmente se necesitan estos algoritmos. Y se requiere una descripción conveniente, A = LU
o A = QR, de lo que hacen aquéllos.
Este capítulo avanzará unos pasos más en la misma dirección. Supongo que estos pasos
están regidos por la necesidad computacional, más que por la elegancia, y no sé dónde pedir
disculpas por esto; los hace sentir muy superficiales, lo cual es erróneo. Tratan con los problemas más antiguos y fundamentales del tema, Ax = b y Ax = J...x, aunque cambian y mejoran continuamente. En análisis numérico hay un remanente de la prueba de ajuste, y se desea
describir algunos conceptos que han prevalecido. Éstos pueden clasificarse en tres grupos:
l. Técnicas para resolver Ax = b. La eliminación es un algoritmo perfecto, excepto
cuando el problema en cuestión tiene propiedades especiales, como ocurre con casi todos
los problemas. En la sección 7.4 la atención se centrará en la propiedad de ser ralo(a),
cuando la mayor parte de los elementos en A son cero. Para resolver Ax = b se desarroflan métodos iterativos en vez de directos. Un método iterativo se "corrige a sí mismo", y
nunca llega a la respuesta exacta. El objeto es aproximarse más rápidamente que la eliminación. En algunos problemas esto es posible; en muchos otros, la eliminación es más segura y rápida si aprovecha los ceros. La competencia está lejos de terminar, y se identificará
el radio espectral que controla la velocidad de convergencia ax = A - i b.
2. Técnicas para resolver Ax = J...x. El problema de valores característicos es uno de
los extraordinarios éxitos del análisis numérico. Está definido claramente, su importancia
es evidente, aunque hasta no hace mucho nadie sabía cómo resolverlo. Se han sugerido docenas de algoritmos, y todo depende del tamaño y de las propiedades de A (y del número
de valores característicos que se quieren). El lector puede solicitar LAPACK, una subrutina para valores característicos, sin conocer su contenido, aunque es mejor conocerlo. Hemos escogido dos o tres conceptos que han sustituido a casi todos sus predecesores: el
algoritmo QR, la familia de "métodos de potencias" y el reprocesarniento de una matriz
simétrica para hacerla tridiagonal.
352
Capítulo 7
7.2
Cálculos con matrices
Los dos primeros métodos son iterativos, y el último es directo. Hace su trabajo en un
número finito de pasos, aunque no termina con los valores característicos en sí. Esto produce una matriz mucho más simple de utilizar en los pasos iterativos.
3. El número de condición de una matriz. En la sección 7 .2 se intenta medir la "sensibilidad" de un problema: si A y B se modifican ligeramente, ¿cuán grande es el efecto sobre x = A - I b? Antes de abordar esta pregunta, se
un método para medir A y el
cambio M. La longitud de un vector ya se ha definido, y ahora se necesita la norma de
una matriz. Luego el número de
y la sensibilidad de A se concluyen al multiplicar las normas de A y A - 1• Las matrices de este capítulo son cuadradas.
Un error y una metedura de pata son cosas muy distintas. Un error es una pequeña equivocación, quizá inevitable incluso para un matemático perfecto o una computadora perfecta.
Una metedura de pata es mucho más seria, y por lo menos un orden de magnitud mayor.
Cuando la computadora redondea un número después de 16 bits, eso es un error. Pero cuando un problema es tan espantosamente sensible que este error de redondeo cambia por
completo la solución, entonces casi con toda seguridad alguien ha metido la pata. Nuestro
objetivo en esta sección es analizar el efecto de los errores con la finalidad de evitar las meteduras de pata.
En realidad, se está continuando un análisis que empezó en el capítulo l con
A =
[i ~.0001 J
y
B =
Ecuación de error A(x + ox) = b + ob, de modo que, por sustracción, A(ox) = 8b. (1)
A- 18b. En la solución x hay un gran cambio cuando A- 1 es
Un error ob conduce a ox =
grande, A es casi singular. El cambio en x es especialmente grande cuando ob apunta en la
dirección que es más amplificada por A - 1•
Suponga que A es simétrica y que sus valores característicos son positivos:
O< A.1 ::S · · · ::S A.n. Cualquier vector ob es una combinación de los vectores característicos unitarios correspondientes x 1, ••• , xn. El peor error 8x, que
de A - 1, es en la
dirección del primer vector característico x 1 :
Si
8b = Ex 1 ,
El error llobll es
que es el mayor valor característico de A- 1 • Esta
próximo a cero, y A es casi singular.
amplificación es máxima cuando A. 1
Medir la sensibilidad completamente, por medio de A. 1 tiene una seria desventaja. Suponga que todos los elementos de A se multiplican por 1000. Así, A. 1 se multiplica por 1000
y la matriz se verá mucho menos singular. Esto ofende nuestro sentido del juego justo; un
reescalamiento tan simple no puede corregir a una matriz mal acondicionada. Es cierto que
8x será 1000 veces menor, pero lo mismo ocurre a la solución x = A - i b. El error relativo
llóx!l/llxll será el mismo. Al dividir entre lixll, el problema vuelve a normalizarse contra un
cambio trivial de escala. Al mismo tiempo hay una normalización para ob. Nuestro problema es comparar el cambio relativo lloblJ/llbll con el error relativo l!hll/llxll.
El peor de los casos es cuando llóxll es grande --con ob en la dirección del vector característico x 1- , y cuando l!xll es pequeña. La verdadera solución x debe ser lo más pequeña posible en comparación con la b verdadera. Esto significa que el problema original
Ax = b debe estar en el otro extremo, en la dirección del último vector característico xn: si
b = Xm entonces X = A- 1b = b/A. n.
Es esta combinación, b = xm y ob = EX¡, lo que hace al error relativo lo más grande
posible. Estos son los casos extremos en las siguientes desigualdades:
[~·0001 ~]·
Se afirmó que B está bien acondicionada, y no es particularmente sensible al redondeo, excepto que si la eliminación gaussiana se aplica de manera imprudente, entonces la matriz
se vuelve completamente vulnerable. Una metedura de pata es aceptar a 0.0001 como el
primer pivote, por lo que es necesario insistir en una elección más grande y segura, mediante un intercambio de renglones de B. Cuando "pivoteo parcial" se integra al algoritmo
de eliminación, la computadora busca automáticamente los pivotes más grandes. Así, la resistencia natural al error por redondeo deja de estar comprometida.
¿Cómo se mide esta resistencia natural, y se decide si una matriz está bien acondicionada o mal acondicionada? Si hay un cambio ligero en b o en A, ¿cuán grande es el cambio que esto produce en la solución x?
Se empieza con un cambio en el miembro derecho, de b a b + ob. Este error podría
deberse a los datos experimentales o al redondeo. Puede suponerse que ob es pequeño, pero su dirección está fuera de nuestro control. La solución ha cambiado de x ax + 8x:
Peor error
353
Norma de una matriz y número de condición
entonces
ob
8x = - .
A.1
(2)
Los valores característicos de A son aproximadamente A. 1 = 10- 4 ¡2 y A. 2 = 2:
A = [
i
4
i.OOOl] tiene número de condición aproximado de c = 4. 10 .
Debe esperarse un cambio brusco en la solución debido a los cambios normales en los datos. En el capítulo 1 se compararon las ecuaciones Ax= by Ax' = b':
+
V
2
u + l.OOOlv = 2
U
U
U
+
V= 2
+ 1.0001 V = 2.0001.
Los miembros derechos sólo han cambiado por llobll = 0.0001 = 10-4 • Al mismo tiempo,
la solución va de u = 2, v = O a u = v = l. Este es el error relativo de
!loxll = 11(-1, 1)11
IJxll
11(2, 0)11
,,/2
2
que es igual a
2 .
Sin haber hecho ninguna elección especial de la perturbación, en la solución se observa un
cambio relativamente grande. Las x y ob forman ángulos de 45° con los peores casos, lo
cual explica el 2 faltante entre 2 · 104 y la posibilidad extrema c = 4 · 104 .
Si A = I o incluso si A = l/10, su número de condición es e = A.máx/A.mín = l. Por
comparación, el determinante es una medida terrible del mal acondicionamiento. Depende no sólo del escalamiento, sino también del orden n: si A = l/10, entonces el determinante de A es 10-n. De hecho, esta matriz "casi singular" está lo mejor acondicionada
posible.
354
Capítulo 7
2
7.2
Cálculos con matrices
Norma de una matriz y número de condición
355
La matriz diferencia finita A de n por n tiene A.máx = 4 y A.mín = i2 / n2 :
A=
[
-~
-1
2
-1
-1
2
-1
-J
El número de condición es aproximadamente c(A) = ~n2 ', y esta vez la dependencia respecto al orden n es genuina. Mientras mejor se aproxime a - u" = f, incrementando el número de incógnitas, más difícil es calcular la aproximación. En cierto punto de intersección, un incremento en n produce en realidad una respuesta más deficiente.
Afortunadamente para el ingeniero, esta intersección ocurre donde la precisión es bastante buena. Al trabajar con precisión simple, una computadora típica podría hacer errores
por redondeo del orden de 10- 9 . Con n = 100 incógnitas y c = 5000, el error se amplifica
cuando mucho, de modo que es del orden de 10- 5 , lo cual sigue siendo más preciso que
cualquier medición normal. Sin embargo, con 10 000 incógnitas se tiene un problema, o con
una aproximación 1, -4, 6, -4, 1 a d 4 u/dx4 = f(x), para la cual el número de condición
crece con n 4 .*
Las matrices A y A - I en la ecuación (4) tienen normas ubicadas en alguna parte entre
100 y 101. Es posible calcularlas exactamente, pero primero se desea completar la relación
entre las normas y los números de condición. Debido a que b =Ax y óx = A- 1ób, la ecuación (6) proporciona
llhll :5 llAJl!lxll
(7)
y
Esta es la sustitución de la ecuación (3), cuando A no es simétrica. En el caso en que es simétrica, /IA 11 es la misma que ,\máx. y //A - 1 ¡¡ es lo mismo que 1/ ,\rrún· La sustitución correcta para A.máx/>..rrún es el producto llA 11 llA - 1 11, que es el número de condición.
Matrices no simétricas
Hasta el momento, nuestro análisis ha sido aplicado a matrices simétricas con valores característicos positivos. La hipótesis de positividad puede abandonarse fácilmente, y usar
sólo valores absolutos JA.!. Pero para ir más allá de la simetría, como ciertamente se quiere, debe haber un cambio fundamental. Esto puede verse fácilmente para las matrices bastante no simétricas
A=[~ 10~]
-100}
y
1 .
(4)
Todos los valores característicos son iguales a la unidad, aunque el número de condición
idóneo no es A.máx/A.rmn = l. El cambio relativo en x no está acotado por el cambio relativo en b. Compare
X
=
m
cuando b =
[ 10~];
x' =
[lQg] cuando b' = [lQg].
Un cambio de 1o/o en b ha producido un cambio centenario en x; el factor de amplificación
es 1002 . Debido a que c representa una cota superior, el número de condición debe ser por
lo menos 1O 000. La dificultad aquí es, que un gran elemento fuera de la diagonal en A significa un elemento igualmente grande en A - 1• A menudo es erróneo esperar que A - I se haga más pequeña a medida que A se hace más grande.
Para una definición idónea del número de condición, se considera nuevamente la ecuación (3). Se está intentando hacer pequeño ax y grande a b = Ax. Cuando A no es simétrica, el máximo de 11Ax11 /llx 11 puede encontrarse en un vector x que no es uno de los vectores
característicos. Este máximo es una excelente medida del tamaño de A. Es la norma de A.
Lo que es extraordinario es que el mismo número de condición aparece en la ecuación (9),
cuando se perturba la matriz misma: Si Ax= by (A+ óA)(x + óx) = b, entonces por
sustracción
Aox + óA(x + óx) = O,
óx = -A-¡(8A)(x + óx).
Al multiplicar por 8A se amplifica un vector por no más de ll 8A JI, y al multiplicar por A - 1
seamplificapornomásde l/A- 1 1/.Luego, llóx// < /IA- 1 11//óA//llx +ox!l,quees
llox
< llA-t
llx + óxll -
_ llOAll
llllOAll - c llAll .
(10)
Estas desigualdades significan que el error por redondeo proviene de dos fuentes. Una
es la sensibilidad natural del problema, medida por c. La otra es el error verdadero ób o
8A. Esto constituyó la base del análisis de error de Wilkinson. Debido a que la eliminación
realmente produce factores aproximados L' y U', resuelve la ecuación con la matriz errónea A + 8A = L' U', en vez de hacerlo con la matriz correcta A = LV. Wilkinson demostró que el pivoteo parcial controla 8A, de modo que la carga del error por redondeo es
llevada por el número de condición c.
Una
• La regla empírica, comprobada experimentalmente, es que la computadora puede perder log e cifras decimales debido a los errores de redondeo en la eliminación gaussiana.
o
para la norma
La norma de A mide la mayor cantidad por la cual cualquier vector (vector característico o
no) es amplificado por la matriz multiplicación: llAll = máx (llAxll/llxll). La norma de la
356
Capítulo 7
Cálculos con matrices
7.2
matriz identidad es 1. Para calcular la norma, ambos miembros se elevan al cuadrado para
llegar a la
simétrica:
xTATAx
=máx--=--
(11)
Norma de una matriz y número de condición
357
Con vectores característicos ortonormales y S = Q, el problema de valores característicos
está perfectamente acondicionado: c(Q) = l. El cambio ÓA en los valores característicos no
de los casos es cuando A es simétries mayor que el cambio 8A. En consecuencia, el
ca, o más generalmente, cuando AAT = ATA. Entonces A es una matriz normal; su S diagonalizadora es una Q ortogonal (véase la sección 5.6).
Si xk es la k-ésima columna de S y Yk es el k-ésimo renglón de s- 1, entonces A.k cambia por
(14)
En la
7.1 se muestra una matriz no simétrica con valores característicos .A. 1 =
.A. 2 = 1 y norma llAll = 1.618. En este caso
tiene la misma norma. Los puntos más
alejado y más próximo Ax sobre la elipse provienen de los vectores característicos de ATA,
no de A.
A=
[~ ~]
ATA=
[~ ~]
l. Para una matriz ortogonal Q, demuestre que llQll = 1 y también que c(Q) = l. Las
matrices ortogonales (y sus múltiplos aQ) son las únicas matrices perfectamente acondicionadas.
llAll = l+ y'5
JJAJJ 2 = Amáx(AT A)~ 2.618
1/JJA- 1 JJ 2 = Amín(ATA) ~ 0.382
c(A) = llAll\IA- 1 11 ~ (1.618) 2
2. ¿Qué "famosa" desigualdad proporciona 11 (A + B)x 11 ::s 11Ax11 + 11Bx11, y por qué se
concluye de la ecuación (5) que 11 A + B 11 :5 11A11 + 11B11?
3. Explique por
llABxll :5 llAll llBll llxll,yconcluyadelaecuación(5)que llAB!I :S
llAllllBJl. Demuestre que esto también implica c(AB) ::s c(A)c(B).
4. Para la matriz positiva definida A=
elipse total de Ax
7 .1
En la práctica, y¡fl:xk es una estimación realista de 8J.... La idea en todo buen algoritmo es
mantener la matriz error E lo más pequeña posible -usualmente al insistir, como se hará
en la siguiente sección, en matrices ortogonales en cada paso del cálculo de A.
Nota 1 La norma y el número de condición no se calculan realmente en la práctica, sino
que sólo se estiman. No hay tiempo para resolver un problema de valores característicos
para Amáx(ATA).
Nota 2 En la ecuación por mínimos cuadrados ATAx = ATb, el número de condición
c(ATA) es el cuadrado de c(A). Al
un problema sano puede convertirse en uno
enfermo. Quizá sea necesario ortogonalizar A con el proceso de Gram-Schmidt, en vez de
calcularla con
Nota 3 Los valores singulares de A en la DVS son las raíces cuadradas de los valores
característicos de ATA. Por la ecuación (12), otra fórmula para la norma es llAll = amáx·
Las matrices ortogonales U y V dejan sin cambio las longitudes en llAxll = 11Uy;vrx11 ·
Así, el mayor llAxll/llxll proviene del mayor a en la matriz diagonal :E.
Nota 4 El error por redondeo también entra en Ax = A.x. ¿Cuál es el número de condición del problema de valores característicos? El número de condición de la matriz de diagonalización S mide la sensibilidad de los valores característicos. Si µ, es un valor
característico de A + E, entonces su distancia a uno de los valores característicos de A es
>.¡ :5 llSll !IS- 1 11 llEll = c(S)llEll.
-n
calcule llA- 1 11 = l/A.1, IJAll = .A. 2 ,
y c(A) = >. 2 />. 1• Para un miembro derecho by una perturbación ob de modo que el
error sea el peor posible, 118x 11/llx11 = cllóbll /llbll-
Las normas de A y A - I provienen de la Ax más larga y más corta.
Jµ,
[-i
(13)
5. Demuestre que si A. es cualquier valor característico de A, Ax= A.x, entonces ll.A.11 :s
llAll.
6. Las matrices en la ecuación (4) tienen normas entre 100 y 101. ¿Por qué?
7. Compare los valores característicos de ATA y AAT, para demostrar que llAll = llAT¡¡.
8. Para una matriz positiva definida A, la descomposición de Cholesky es A = LDLT =
RTR, donde R = .Ji5Lr. A
de la ecuación (12), demuestre directamente que el
número de condición de c(R) es la raíz
de c(A). La eliminación sin intercambios de renglones no puede afectar a una matriz positiva definida, ya que c(A) =
c(RT)c(R).
9. Demuestre que máxl.A.I no es una norma verdadera, encontrando contraejemplos de 2
por 2 para Amáx(A + B) :5 Amáx(A) + Amáx(B) y Amáx(AB) :5 Amáx(A)Amáx(B).
10. Demuestre que los valores característicos de B = [
gulares de A. Sugerencia: Intente B 2 .
11. a)
b)
1T ~] son ±a;, los valores sin-
A y A -i,
el mismo número de condición c?
En paralelo con la cota superior (8) sobre el error, demuestre una cota inferior:
lloxll > ~ llobll. (ConsidereA- 1b = xen vez deAx = b.)
llxll - c llbll
358
Capítulo 7
7.3
Cálculos con matrices
12. Encuentre las normas >-máx y los números de condición A.máx/Arrun de las siguientes matrices positivas definídas:
[1og ~]
[~
;J [i i]·
A.máx(ATA) y Árrún(ATA):
23. Calcule Amáx y Amín para la matriz de Hilbert de 8 por 8 aij = 11( i + j - 1). Si Ax=
b con 11 b ll = 1, ¿cuán grande puede ser llxll? Si el error por redondeo de b es menor
que 10- 16, ¿cuán grande es el error que esto puede provocar en x?
25. Escoja el pivote más grande disponible en cada columna (pivoteo parcial), para factorizar cada A en PA = LU:
A=
14. Demuestre que el número de condición llA 11 llA -
16. Las matrices ortogonales tienen norma JIQll = l. Si A = QR, demuestre que llAll ::O
llRll y también que llRll ::: llAll. Así, llAll = llQll llRll. Encuentre un ejemplo de A =
LUcon llAll < llLllllUI\.
17. (Sugerido por Moler y Van Loan) Calcule b - Ay y b - Az cuando
- [0.217]
0.254
- [0.780
0.913
A -
0.563]
0.659
y
= [
0.341]
-0.087
z
= [ 0.999]
-1.0
1mobllen1as 18 a 20 son sobre normas vectoriales distintas a la norma de costwn-
18. La "norma e1" es llx/1 1 = /xil + · · · + /x,,/. La "norma e=" es llxlloo = máx lxJ
Calcule IJxll, llx\li, y llxll 00 para los vectores
= (1, 1, 1, l, 1)
y
X
= (0.1, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5).
19. Demuestre que HxlJ 00 :5 Uxll :5 llxll 1• A partir de la desigualdad de Schwarz, demuestre
que las razones llxll/ llxll 00 y Hxll i/ llxll nunca son mayores que Jn. ¿Con qué vector
(x 1, ••• , xn) se obtienen razones iguales a .,/ñ?
20. Todas las normas vectoriales deben cumplir la desigualdad del triángulo. Demuestre
que
llx + Yllco ::O \lx\loo + llYlloo
y
llx + Yll1::: llxl11 + llYll1·
21. Por eliminación, calcule la inversa exacta de la matriz de Hilbert A. Luego, calcule de
nuevo A - i redondeando todos los números hasta tres cifras:
En MATLAB A
~
h;!b(3)
~
[
y
A=
26. Encuentre la factorización LU de A = [ ~
¡; ~ 6].
o 2 o
: J. En su computadora, resuelva por eli-
minación cuando E= 10-3, 10-6, 10-9, 10-12, 10-1s:
El x verdadero es ( 1, 1). Elabore una tabla para mostrar el error para cada E. Intercambie las dos ecuaciones y vuelva a resolver: los errores casi deben desaparecer.
.
Para resolver Ax= b, ¿y está más próximo que z? Conteste en dos formas: Compare
el residuo b - Ay con b - Az. Luego compare y y z con el verdadero x = (l, -1). Algunas veces se desea un residuo pequeño, y algunas veces, un 8x pequeño.
X
[~ ~]
11 es por lo menos 1.
15. ¿Por qué I es la única matriz positiva definida simétrica que cumple Amáx = Amín = 1?
Así, las únicas matrices con llA 11 = 1 y llA - i 11 = l deben cumplir ATA = l. Son matrices
b -
359
24. Si se conocen L, U, Q, y R, ¿qué es más rápido resolver, LUx = b o QRx = b?
13. Encuentre las normas y los números de condición, a partir de las raíces cuadradas de
1
Cálculo de valores característicos
¡!!]
22. Para la misma A, calcule b =Ax parax = (1, 1, 1) y x = (0, 6, -3.6). Un cambio pequeño ,6,b produce un gran cambio Ax.
No hay ninguna forma mejor que otra para encontrar los valores característicos de una matriz. Sin embargo, ciertamente existen algunas formas terribles que nunca deben intentarse, así como también algunas ideas que merecen un sitio permanente. Empezamos con la
descripción de un método bastante fácil y aproximado: el método de potencias, cuyas propiedades de convergencia son fáciles de comprender. Para demostrar este método en acción, en la página del curso web.mit.edu/18.06 se agregó una animación gráfica (sonora).
De manera continua nos dirigimos hacia otro algoritmo más complicado, que empieza por hacer tridiagonal a una matriz simétrica y termina por hacerla virtualmente diagonal. Este segundo paso se realiza repitiendo el proceso de Gram-Schmidt, por lo que se
denomina método QR.
El método de potencias normal opera, con base en el principio de una ecuación en
diferencias. Empieza con una conjetura inicial u 0 y sucesivamente forma u 1 = Au0 , u 2 =
Au 1 y en general uk+l = Auk· Cada paso es una multiplicación matriz-vector. Luego de k
pasos produce uk = Aku 0 , aunque la matriz Ak nunca aparece. La cuestión esencial es que
la multiplicación por A debe ser fácil -si la matriz es grande, mejor sería si fuese raladebido a que la convergencia al vector característico a menudo es muy lenta. Suponiendo
que A tiene un conjunto completo de vectores característicos x 1 , ••• , x,,, el vector uk está
dado por la fórmula de costumbre:
Suponga que el valor característico más grande A.n es todo en sí: no hay otro valor característico de la misma magnitud, y l.lcil::: ... ::: 1An-il < l>-ni· Entonces, a medida que la
conjetura inicial u0 contenía alguna componente xn del vector característico, de modo que
en ;;6 O, esta componente domina gradualmente en uk:
kuk = C¡ (A¡
- )k X¡+ ' . ' + Cn-l (An-I
- - )k Xn-l + CnXn.
An
An
An
(1)
360
7.3
Capítulo 7 Cálculos con matrices
Los vectores uk apuntan cada vez con mayor precisión hacia la dirección de Xn- Su factor
de convergencia es la razón r = /).n-il / jA.• ¡. Es justo como la convergencia hacia un estado estacionario, para una matriz de Markov, excepto que ahora A.,. puede no ser igual a l.
El factor de escalamiento A.~ en la ecuación (1) evita que uk se vuelva muy grande o muy
pequeño, en caso de que \A.,.\ > 1 o !A.ni < l.
A menudo apenas es posible dividir cada uk entre su primera componente °'k antes
de continuar con el paso siguiente. Con este simple escalamiento, el método de potencias
uk+ 1 = Auk/a k converge a un múltiplo de xnde escalamiento
a
.
0.9 0.2]
, . [2/3]
[0.667]
0. 333 cuando A -_ [ 0.1 O.S es la matriz
113
El uk t1ende al vector caractenst1co
Cuando A es simétrica, una opción bastante
Cálculo de valores característicos
361
es el cociente de J:f.«iw.ern·n.
desplazado por
Este cociente R(x) tiene un mínimo en el vector característico verdadero x 1 • Su gráfica es
como el fondo de una parábola, de modo que el error A. 1 = °'k es aproximadamente el cuadrado del error del vector característico. Los factores de convergencia IA. 1 - akl/ jA. 2 - akl
en sí convergen a cero. Así, estos desplazamientos de cocientes de
proporcionan
una convergencia cúbica de ak a A. 1.*
=
de movimientos de población en la sección 1.3:
Sir= \An-d/ \A.,.\ es próximo a 1, entonces la convergencia es muy lenta. En muchas
aplicaciones r > 0.9, lo cual significa que para alcanzar un dígito más se requieren más de
20 iteraciones. (En el ejemplo se tenía r = 0.7, y aun así era lenta). Sir= 1, lo que significa \An-J \ = \ A.n\, entonces es probable que la convergencia ni siquiera ocurra. Esto sucede
(en el paquete sonoro) para un par conjugado complejo An-i =In. Hay varias formas de
evitar esta limitación. A continuación se describen tres.
l.
2.
3.
El método de
en bloque funciona con varios vectores a la vez, en lugar de
uk. Si p vectores ortonormales se multiplican por A, y luego para ortogonalizarlos se
aplica de nuevo el proceso de Gram-Schmidt -lo cual es un solo paso del métodoentonces la razón de convergencia se convierte en r' = l.A.n-pl/ IA.nl· Se obtendrán
aproximaciones para p valores característicos distintos y sus vectores característicos.
El método de potencias inverso opera con A - 1 en vez de A. Un simple paso es vk+ 1 =
A - 1 v k, lo cual significa que se resuelve el sistema
1 = v k (¡y se ahorran los factores L y U!) En este caso se converge al valor característico más pequeño A. 1 y su vector característico x 1, en el supuesto de que \A. 1\ < \A. 2 \. A menudo, lo que se recm11>,re
en las aplicaciones es A. 1, y entonces la iteración inversa es una opción automática.
El método de
inverso
es el mejor de todos. A se
por
A - al. Cada valor característico es
por a, y el factor de convergencia para el método inverso cambia ar" = IA. 1 - al/ IA. 2 - a¡. Si a es una aproximación
aceptable a A. 1, entonces r" es muy pequeño y la convergencia se acelera enormemente. Cada paso del método resuelve (A - al)wk+ 1 = wk:
El método de potencias es razonable sólo para una matriz grande y rala. Cuando demasiados elementos son distintos de cero, este método es un error. En consecuencia, se plantea
la pregunta de si existe alguna forma sencilla de crear ceros. Este es el objetivo de los
rrafos srn;mente:s.
Puede afirmarse que después de calcular una matriz semejante Q- 1AQ con más ceros
que A, no se intenta regresar al método de potencias. Hay variantes mucho más poderosas,
y parece que la mejor es el algoritmo QR. (El método de potencias inverso desplazado tiene su sitio al final, para encontrar el vector característico.) El
paso es producir rápidamente tantos ceros como sea posible, usando una matriz ortogonal Q. Si A es simétrica,
entonces también lo es
Ningún elemento puede hacerse peligrosamente grande
porque Q preserva la longitud.
Para pasar de A a Q- 1AQ, hay dos posibilidades principales: Es posible producir un
cero en cada paso (como en la eliminación), o puede trabajarse con toda una columna a la
vez. Para un simple cero, es fácil utilizar una rotación del plano como se ilustra en la ecuación (7), que se encuentra cerca del final de esta sección, que tenga a cos y sen en un
bloque de 2 por 2. Luego, puede ciclarse a través de todos los elementos por debajo de la
diagonal, escogiendo en cada paso una rotación que produzca un cero; este es el método
de Jacobi. Fracasa en diagonalizar A después de un número finito de rotaciones, ya que los
ceros de pasos previos se destruyen cuando se crean ceros posteriores.
Para preservar los ceros y detenerse, es necesario plantear lo anterior para menos que
una forma triangular.
de Hessenberg acepta una
distinta de cero por
de la
Si una matriz de Hessenberg es simétrica, entonces sólo
tiene tres diagonales distintas de cero.
Una serie de rotaciones en los planos idóneos produce los ceros requeridos. Householder encontró una nueva manera de obtener exactamente lo mismo. Una
de
Householder es una matriz reflexión, determinada por un vector v:
e
e
e
Matriz de Householder
Cuando a está próximo a A. 1, el primer término domina sólo al cabo de uno o dos pasos. Si A. 1 ya se ha calculado con algún otro algoritmo (como QR), entonces a es este
valor calculado. Un procedimiento normal es factorizar A - al en LU y resolver
Ux 1 = (1, 1, ... , 1) por sustitución hacia atrás.
Si A. 1 no se ha aproximado aún, entonces el método de potencias inverso desplazado
debe generar su propia elección de a. Es posible hacer variar a = ak en cada paso si así se
desea, de modo que A - akl)wk+1 = wk.
A menudo, v se normaliza para convertirlo en un vector unitario u = v / ¡¡ v ¡¡ , y entonces H
se transforma en l - 2uu'·
• Convergencia lineal significa que cada paso multiplica el error por un factor fijo r < 1. Convergencia cuadrática significa que en cada paso el error se eleva al cuadrado, como en el método de New1
ton
- xk == - f(xk)/f'(xk) para resolver f(x) = O. La convergencia cúbica requiere de 10- a
a 10- 9 •
362
Capítulo 7 Cálculos con matrices
7.3
En cualquier caso, Hes tanto simétrica como ortogonal:
Ejemplo 2
Cálculo de valores característicos
363
(para cambiar a 13 = a 31 en cero)
= (/ - 2uuT)(l - 2uuT) = J -4uuT + 4uuTuuT =J.
A~[~ ~
Así, H =
= H- 1. El plan de Householder era producir ceros con estas matrices, y su
éxito depende de la siguiente identidad Hx = -az:
n
X
=
[~],
V
=
[i],
[ -1o
H =
-1]
O .
Al incrustar H en Q, el resultado Q- 1AQ es tridiagonal.
Q
La demostración consiste en calcular Hx y llegar a -az:
-1
-!l
-1
o
Q- 1AQ es una matriz que ya está lista para revelar sus valores característicos: el algoritmo
QR está listo para comenzar, aunque a continuación se hace una digresión para mencionar
otras dos aplicaciones de estas mismas matrices H de Householder.
2vvTx
2(x + o-z)Tx
Hx - x - - - = x -(x + o - z ) - - - - - - llvl!2
(x +o-z)T(x +o-z)
= x - (x + o-z)
(porque xT x = o- 2)
= -o-z.
~ rn
o
o
(2)
1.
Esta identidad puede utilizarse de inmediato, sobre la primera columna de A. A la
Q- 1AQ final le permite una diagonal diferente de cero abajo de la diagonal principal (forma de Hessenberg). En consecuencia, sólo participan los elementos que están estrictamente debajo de la diagonal:
Lafactorización de Gram-Schmidt A = QR. Recuerde que R ha de ser triangular superior. Ya no es necesario aceptar una diagonal distinta de cero extra abajo de la diagonal principal, ya que no hay matrices multiplicando por la derecha que estropeen los
ceros. El primer paso en la construcción de Q es trabajar con toda la primera columna
de A:
v =x+llxllz,
(3)
En este punto la matriz H de Householder es sólo de orden n - 1, de modo que está incrustada en la esquina inferior derecha de una matriz U 1 de tamaño completo:
y
* * *
* * *
* * *
* * *
* * *
Esta primera etapa está completa, y U 1- 1AU1 tiene la primera columna requerida. En la segunda etapa, x consta de los n - 2 últimos elementos en la segunda columna (tres estrellas
en negritas). Así, H 2 es de orden n - 2. Cuando está incrustada en U2 , produce
l
o o o
o 1 o o
U2 = O O
[o o
o o
* *
* *
* *
* *
* *
U3 se encargará de la tercera columna. Para una matriz de 5 por 5, se alcanza la forma de
Hessenberg (tiene seis ceros). Como regla general, Q es el producto de todas las matrices
U 1 U2 • • · Un-z, y el número de operaciones necesarias para calcularla es de orden n3 .
2.
vvT
H1 = l - 2 - -2.
llvll
La primera columna de H 1A es igual a -llxllz. Es cero abajo de la diagonal principal,
y es la primera columna de R. El segundo paso trabaja con la segunda columna de
H 1A, desde el pivote hacia abajo, y produce una H 2H 1A que es cero abajo de ese pivote. (Todo el algoritmo es como la eliminación, aunque ligeramente más lento.) El resultado de n - l pasos es una matriz triangular superior R, aunque la matriz que
registra los pasos no es una triangular inferior L. En vez de lo anterior, es el producto
Q = H 1 H 2 ••• Hn-i' que puede almacenarse en esta forma factorizada (sólo se preservan los vs) y nunca se calcula explícitamente. Así se completa el proceso de GramSchmidt.
La descomposición del valor singular UTAV = ::Z. La matriz diagonal}; tiene la misma forma que A, y sus elementos (los valores singulares) son las raíces cuadradas de
los valores característicos de ATA. Debido a que las transformaciones de Householder sólo pueden preparar el problema de valores característicos, no es de esperar que
produzcan 2.. En vez de ello, producen de manera estable una matriz bidiagonal, con
ceros en todas partes, excepto a lo largo de la diagonal principal y la diagonal arriba
de ésta.
El primer paso hacia la DVS es exactamente corno en QR arriba: x es la primera columna de A, y H 1x es cero abajo del primer pivote. El paso siguiente es multiplicar por la
derecha por una ¡.f.l) que produzca ceros, como se indica a lo largo del primer renglón:
*
*
*
(4)
364
Capítulo 7
7.3
Cálculos con matrices
Luego, dos transformaciones de Householder alcanzan rápidamente la forma bidiagonal:
* o
o* **
:J
* o
o* **
y
tores caracteristicos, lo cual es un
dos por Householder.
Cálculo de valores característicos
365
paso de potencias inverso, y usar los ceros crea-
2. Cuando A 0 es tridiagonal o de
cada paso QR es muy rápido. El proceso
de Gram-Schmidt (factorización en QR) requiere 0(n 3) operaciones para una matriz completa A. Para una matriz de Hessenberg, lo anterior se vuelve en O(n2 ), y para una matriz
tridiagona!, es O(n). Por fortuna, cada nueva Ak está nuevamente en forma de Hessenberg
o tridiagonal:
El algoritmo es casi mágicamente sencillo. Empieza con A0 , la factoriza en Q 0 R 0 con el
proceso de Gram-Schmidt, y luego invierte los factores: A 1 = R 0 Q0 • La nueva matriz A 1
essemejantealaoriginalporque Q 01 A 0 Q 0 = Q 01 (Q 0 R 0 )Q 0 = A 1.Así,elprocesocontinúa sin cambio en los valores característicos:
y entonces
Toda Ak es igual
(5)
Esta ecuación describe el algoritmo QR no desplazado, y casi siempre Ak tiende a una forma triangular. Sus elementos diagonales tienden a sus valores caracteristicos, que también
son los valores caracteristicos de A0 • Si ya existía algún procesamiento para obtener la forma tridiagonal, entonces A 0 está relacionada con la A absolutamente original, mediante
Q- 1AQ = Ao.
Como está, el algoritmo QR es bueno pero no tanto. Para hacerlo especial, requiere dos
refinamientos: es necesario permitir
a Ak - 0t.kl, y debe asegurarse que la
factorización QR en cada paso sea muy rápida.
l. El
Si el número ak está muy próximo de un valor característico, el paso en la ecuación (5) debe desplazarse de inmediato por Ot.k (lo cual cambia
Qk y Rk):
(6)
y entonces
Puede comprobarse fácilmente que esta multiplicación
a Q0 con los mismos tres ceros que A 0 • Una matriz de Hessenberg multiplicada por una matriz triangular es una matriz de Hessenberg. Lo mismo es cierto para una matriz triangular multiplicada por una
matriz de He~ss1~nt>erg:
A,
~ ~~~~~
RoQo
.,
. .
Rotacmn para elimmar a a 21 P21 Ak =
*
*
:* *=1 ,
o*
€
con € « 1.
A.í
El A.~ se acepta como una aproximación muy próxima al Jc 1 verdadero. Para encontrar el
siguiente valor característico, el algoritmo QR continúa con la matriz más pequeña (de 3
por 3, en la ilustración) en la esquina superior izquierda. Sus elementos subdiagonales se
reducen algo en los primeros pasos QR, y otros dos pasos son suficientes para encontrar A. 2 •
Así se obtiene un procedimiento sistemático para encontrar todos los valores característiestá
Sólo queda encontrar los veccos. De hecho, el método
rn ~ ~ ff
El caso simétrico es todavía mejor, ya que A 1 = Q01 AoQo = QÓAoQo permanece simétrica. Por el razonamiento que acaba de presentarse, A 1 también es de Hessenberg. Así, A 1
debe ser tridiagonal. Lo mismo es válido para
A 3 , . • . , y cada paso QR empieza con
una matriz tridiagonal.
El último punto es la factorización en sí, que produce las Qk y Rk a partir de cada
(o realmente, de Ak - a.J). Householder puede usarse de nuevo, pero es más sencillo aniquilar cada elemento subdiagonal a la vez, mediante una "rotación del plano" Pu. La primera
es P 21 :
cose
sene
Esta matriz Ak+ 1 es semejante a Ak (siempre los mismos valores característicos):
Lo que ocurre en la práctica es que el elemento (n, n) de Ak; el que está en la esquina inferior derecha, es el primero en tender a un valor caracteristico. Ese elemento es fa elección
más simple y conocida para el desplazamiento Ot.k. Normalmente esto produce convergencia
cuadrática, y en el caso simétrico incluso convergencia cúbica, al menor valor característise ve como sigue:
co. Al cabo de tres o cuatro pasos del algoritmo desplazado, la matriz
[
-sene
ª11
a21
* *
o ** **
[
1l
o o *
cose
[
-El elemento (2, 1) en este producto es a¡¡ sen e+ ª21 cose, y se escoge el ángulo e que
hace cero esta combinación. La siguiente rotación P 32 se elige de forma semejante, para
eliminar el elemento (3, 2) de P 32P 21 Ak. Después den - 1 rotaciones, se tiene
Factor
Rk
=
Pnn-1 · · · P32P21Ak.
(8)
Más información acerca de este extraordinario algoritmo para cálculos científicos, puede
encontrarse en libros sobre álgebra lineal numérica. Se menciona un método más: A.rnoldi
en ARPACK, para matrices
Ortogonaliza la sucesión de Krilov x, Ax, A 2x, ... , melos valores caracteristicos de una matriz
diante el proceso de Gram-Schmidt. Si
grande, ¡no use det(A - A.!)!
7.3
1.
Para la matriz A = [
-i -á] ,con valores característicos A. = 1 y A. = 3, aplique tres
1
2
veces el método de potencias uk+I = Auk a la conjetura inicial u 0 =
vector limitante u=?
[b] ·¿Cuál es el
366
Capítulo 7
7.4
Cálculos con matrices
2. Para la misma A y la conjetura inicial u 0 = [!].compare tres pasos de potencias inversos con un paso desplazado con a = uJAu 0 tuJu 0 :
Uk+t
= A
-1
Uk
=
1[2
El vector limitante u~ ahora es un múltiplo del otro vector característico (1, 1).
3. Explique por qué p. n!A. n-d controla la convergencia del método de potencias de costumbre. Construya una matriz A para la que este método no converge.
g:i g:~] tiene A. = l y 0.6, y el método de potencias
A ku0 converge a [ g: ;; ]. Encuentre los vectores característicos de
13. Escoja sen e y cose para hacer triangular a P21 AP2~ 1 (misma A). ¿Cuáles son los valores característicos?
uk
=
. ¿A qué converge
15. ¿Cuántas multiplicaciones y cuántas sumas se usan para calcular PA? (Una organización cuidadosa de todas las rotaciones proporciona ~n3 multiplicaciones y sumas, lo
mismo que para QR por reflectores y el doble que para LU.)
16. (Giro de una mano robot) Un robot produce cualquier rotación A de 3 por 3, a partir
de rotaciones del plano alrededor de los ejes x, y, y z. Si P32 P 31 P21 A = l, las tres
vueltas del robot están en A = P2i. 1 P3í. 1 P32 1• Los tres ángulos son ángulos de Euler.
Escoja la primera 8 de modo que
el método de potencias inverso U-k = A-ku0 (después de multiplicar por 0.6k)?
-sene
5. Demuestre que para dos vectores distintos de la misma longitud, llxll = llyll, la transformación de Householder con v = x - y proporciona Hx = y y Hy = x.
6. Calcu1ea=llxll,u=x+az, y
o
-1
=b
z = [~].
y
7. U se el problema 6 para encontrar la HA H - i tridiagonal que es semejante a
A~[!
! g]
8. Demuestre que empezando con Ao = [ -~
. , A 1 = 51 [ -3
14
prod uce lamod esta meJona
-~J. el algoritmo QR sin desplazar sólo
-3]
6 ·
En contraste con los valores característicos, para los cuales no hay opción, en absoluto se
requiere un método iterativo para resolver Ax= b. La eliminación gaussiana llega a la solución x en un número finito de pasos (n 3 /3 para una matriz completa, menos para las grandes matrices que se encuentran en realidad). A menudo este número es razonable. Cuando
es enorme, quizá convenga detenerse en una x fija que pueda obtenerse más rápido, y entonces ya no es de utilidad aplicar parcialmente la eliminación y luego detenerse.
Nuestro objetivo es describir métodos que empiecen desde cualquier conjetura inicial
x 0 , y obtener una aproximación mejorada xk+ 1 a partir de la xk previa. Es posible detenerse donde se quiera.
Es fácil inventar un método iterativo al separar la matriz A. Si A = S - T, entonces
la ecuación Ax = b es la misma que Sx = Tx + b. En consecuencia, puede intentarse
9. Aplique a la siguiente matriz A un solo paso QR con el desplazamiento a = a 22 , que
en este caso significa sin desplazamiento, ya que a 22 = O. Demuestre que los elementos fuera de la diagonal van de sen a -sen3 que es convergencia cúbica.
e
e,
A = [cose
sene
sene]
o .
[
~ ~] . Es uno
de los (raros) contraejemplos de la convergencia (por lo que se desplaza).
11. Demuestre por inducción que, sin desplazamientos, (QoQ1 · · · Qk)(Rk · · · R1Ro) es
exactamente la factorización QR de Ak+ 1• Esta identidad relaciona QR con el método de
potenciasyconduceaunaexplicacióndesuconvergencia.Si IJ1.d > IA.2! > · · · > p. n¡,
estos valores característicos aparecen gradualmente sobre la diagonal principal.
e y cos 8 en la rotación P para triangularizar A, y encuentre R:
p 21 A= [cose -sene] [1
cos e
3
-1] =
5
Iteración desde xk hasta xk+l
(1)
No hay garantía de que este método funcione. Una separación exitosa S - T satisface dos
requisitos:
10. Compruebe que el algoritmo QR no modifica la matriz tridiagonal A =
sen e
;] es cero en la posición (2, 1)
cose
H=l-2uvTJvTu.CompruebeHx=-ax:
X=[!]
12. Escoja sen
367
14. Cuando A se multiplica por Pu (rotación del plano), ¿qué elementos cambian? Cuando P;j se multiplica por la derecha por P;"j 1, ¿qué elementos cambian ahora?
3 l ~ J uk o bien, u =(A
4. La matriz de Markov A = [
Métodos iterativos para Ax = b
[*o : ] =R.
2.
El nuevo vector xk+ 1 debe ser fácil de calcular. En consecuencia, S debe ser una matriz sencilla (¡e invertible!); puede ser diagonal o triangular.
La sucesión xk debe converger a la solución verdadera x. Si la iteración en la ecuación
(1) se resta de la ecuación verdadera Sx = Tx + b, el resultado es una fórmula que implica sólo los errores ek = x - xk:
Ecuación error
(2)
Ésta es justo, una ecuación en diferencias. Empieza con el error inicial e0 , y luego de
kpasos produce el nuevo error ek = (S-'TYeo. La cuestión de convergencia es exactamente la misma que la cuestión de estabilidad: xk -7 x exactamente cuando ek -7 O.
368
Capítulo 7
7.4
Cálculos con matrices
Métodos iterativos para Ax = b
369
El paso siguiente opera inmediatamente con este nuevo valor de x 1, para encontrar (x2 )k+l:
Y la última ecuación en el paso de iteración usa exclusivamente nuevos valores:
Nuevaxn
Esto se denomina método de Gauss-Seidel, aunque aparentemente Gauss no lo conocía y
Seidel no lo recomendaba. Esto es parte de una historia sorprendente, ya que no es un mal
método. Cuando los términos en xk+ 1 se muevan al miembro
S se ve como la parsuperior.
te triangular inferior de A. En el miembro derecho, Tes estrictamente
Recuerde que una solución típica de ek+l = s- 1rek es una combinación de vectores característicos:
(4)
Error después de k pasos
El mayor IJ1. 11termina por ser dominante, de modo que el radio espectral P = IA.máxl gobierna la razón a la que ek converge a cero. Ciertamente, se requiere P < l.
Los requisitos 1 y 2 son contradictorios. Es posible alcanzar convergencia absoluta con
s =A y T =O; el primer y único paso de la iteración debe ser Ax1 = b. En ese caso lamatriz error s- 1y es cero, sus valores característicos y el radio espectral son cero, y la razó~
de convergencia (que suele definirse como -log p) es infinita. Pero.Ax¡ ::= b puede ser difícil de resolver; ésa fue la razón para separar. A menudo una elección srrnple de S
ser exitosa, y se empieza con tres posibilidades:
1.
2.
3.
2
(Gauss..Seidel)
Aquí s- 1T tiene valores característicos menores:
A=[_;-;], S=[_; ~l T=[g ¿],
Un
:J·
T=[~
paso del método de Gauss-Seidel lleva las componentes vk y wk en
+ +bz,
b¡
O
2Vk+l = Wk
2Wk+¡ = Vk+l
[
2
-1
º]
2
Xk+l
=
[º J +
Ü
1
Ü
X'k
b
•
S =parte diagonal de A'-~+--~~ de Jacobi).
S = parte
de A
S = combinación de 1 y 2
de Gauss-Seidel).
sucesivo o SRS).
i
S también se conoce como ur.~a1:01uucumt'Ulllr, y su elección es crucial en análisis numéricos.
(Jacobi)
A=
Aquí S es la parte diagonal de A:
[ 2 -1] s=[2 2]·
-1
T =
2 ,
[~ ~] ,
Si las componentes de x son v y w, el paso de Jacobi Sxk+ 1 = T Xk + b es
2Vk+l
2wk+1
= Wk + b¡
b"
0
= Vk + bz,
ien,
[]
V
_
w
k+l -
[0~ lO] [V] + [b /2]
2
l
w
k
b2/2 .
La matriz decisiva s- 1 Ttiene valores característicos±~, que significa que el error se reduce a la mitad (un dígito binario más se vuelve correcto) a cada paso. En este ejemplo,
que es demasiado
para ser típico, la convergencia es
Para una matriz A más grande, hay una dificultad muy práctica. La iteración de Jacobi
mantener todas las
de xk hasta que se ha
el
cálculo de xk+l· Una idea mucho más natural, que sólo requiere la mitad de almacenamiento, es empezar utilizando cada componente de la nueva xk+ 1 tan pronto como ~s
calculada; xk+ 1 toma el lugar de xk una componente a la vez. Entonces xk puede destruirse en cuanto xk+ 1 es creada. La primera componente
como antes:
Nuevax 1
Los valores caracteristicos de s- 1Tson y O. El error se divide entre 4 cada vez, de modo que un solo paso de Gauss-Seidel amerita dos pasos de Jacobi. Debido a que ambos
métodos
el mismo número de operaciones -simplemente se utiliza el nuevo valor en vez del anterior, y realmente ahorra almacenamiento-- el método de Gauss-Seidel
es mucho mejor.
Esta regla se cumple en muchas aplicaciones, aun cuando hay ejemplos en los que el
método de Jacobi converge y Gauss-Seidel fracasa (o a la inversa). El caso simétrico es directo: cuando todos los au > O, Gauss-Seidel converge si y sólo si A es positiva definida.
Durante la época en que los cálculos se hacían manualmente se descubrió (tal vez accidentalmente) que la convergencia es más rápida si se va más allá de la corrección xk+i - xk
de Gauss-Seidel. En términos generales, estas aproximaciones quedan en el mismo lado de
la solución x.
de
(a) nos acerca más a la solución. Con w =
1, se recupera Gauss-Seidel; con w > l, el método se conoce como
sucesivo (SRS). La elección óptima de w nunca es mayor que 2. A menudo está en la vecindad de 1.9.
Para describir el
sean D, L, y U las partes de A sobre, abajo y arriba de la diagonal, respectivamente. (Esta separación no tiene nada que ver con la A = WU
de la eliminación. De hecho, ahora se tiene A = L + D + U.) El método de Jacobi tiene
S = Den el miembro izquierdo y T = - L - U en el miembro derecho. El método de GaussSeidel
S = D + L T = - U. Para acelerar la convergencia, nos movemos a
[D + wL]xk+ 1 = [(l + w)D - wU]xk + wb.
(5)
Sin
w, la matriz de la izquierda es triangular inferior y la de la derecha es triangular superior. En consecuencia, xk+ 1 puede seguir sustituyendo a X1o componente a componente, tan pronto como es calculada. Un paso típico es
a;;(X¡)k+1
= a¡¡(X¡}k + w[(-a¡¡X¡ - · · · -
a;;-1X1-1h+1
+ (-a¡¡X¡ - · · · - a¡nXnh + b¡].
, ,-,
•
J
1
,....\ /'~' ·, -
'· ._,'
· ·: · :-- ,
370
Capítulo 7
Cálculos con matrices
(SRS)
Para la misma A = [
[
-~ ~]
-i -; ], cada paso de sobrerrelajarniento es
2
Xk+l
= [ (1
~ w) 2 ( 1~ w)]
Xk
= ·[-w2
'· ..~.. e:::: 1 ·"~4.
]-t
o
2
[2(1 -w)
0
w
]
[ 1-w
2(1-w) = ~w(l -w)
l -
lw
J
~ + ~w2 •
La w óptima hace lo más pequeño posible al mayor valor característico de L (su radio espectral). Todo el chiste del sobrerrelajamiento es descubrir esta w óptima. El producto de
los valores característicos es igual a det L = det T / det S:
'vuu"''
'f..Jit
Métodos iterativos para Ax= b
371
;;· :;;¡(b3EL URUGUAY
.' : . ; -· .
. ·'. .'
tienen valores cafa'ctériStid:ii' µ- qfi~Scúft&H~iif~~es más-menos, y la .A. correspondiente
son O y µ 2 • Así, Gauss-Seidel duplica la razón de convergencia de Jacobi.
El problema importante es escoger w de modo que .A.máx sea minimizado. Por fortuna
¡la ecuación de Young (7) es exactamente nuestro ejemplo de 2 por 2 ! La mejor w hace
ambas raíces .A. sean iguales a w - l:
qu;
(w - l) + (w - 1) = 2 - 2w + µ 2 w 2 ,
+ wb.
Si se divide entre w, estas dos matrices son S y Ten la separación A = S - T; la iteración
1
regresa a Sxk+l = Txk + b. La matriz crucial L = s- r es
L
• ~ ........... _ _
e¡.,_ NA e¡ o NA L.
\ lrt:;¡. ::-c;~¡.:;ovn'..: ...:~ .... :_ -
Si ocurre que la conjetura anterior xk coincide con la verdadera solución x, entonces la nueva conjetura xk+ 1 puede ser la misma, y la cantidad entre corchetes se elimina.
3
;
o bien,
P:rra una matriz grande, este patrón se repite para una cantidad de pares distintos ±µ1, y
solo puede hacerse una elección deµ. Laµ más grande proporciona el mayor valor de w
y de .A. = w - l. Como el objetivo es hacer a .A.máx lo más pequeño posible, ese par extremo satisface la mejor elección de w 6 pt:
wóptima
Wópt =
2(1 - v/l - µ~áx)
y
Amáx = Wópt -
1.
(8)
2
A. 1 .A. 2 = detL = (1 - w) •
Siempre det S = det D porque L está abajo de la diagonal, y det T = det ( 1 - w )D porque
U está arriba de la diagonal. Su producto es det L = (1 (Esto explica por qué nunca se llega tan lejos como a w = 2. El producto de los valores característicos sería tan grande, y la iteración no convergería.) También se obtiene una pista sobre el comportamiento
de los valores característicos: En la w óptima, los dos valores característicos son iguales.
Ambos deben ser iguales a w - 1, de modo que su producto coincide con det L. Este valor
de w es fácil de calcular, porque la suma de los valores característicos siempre coincide con
la suma de los elementos diagonales (la traza de L):
wr.
.A. 1 + A. 2 = (w 6p, - 1) + (wópt - 1) = 2 -
l
2wópt
2
+ 4w6p,.
(6)
Esta ecuación cuadrática proporciona w 6 p, = 4(2 - ../3) ~ 1.07. Los dos valores característicos iguales son aproximadamente w - l = 0.07, que es una reducción importante del
valor de Gauss-Seidel .A. = ~ en w = l. En este ejemplo, la elección correcta de w ha du2
~ 0.07. Si w se incrementa aún
plicado nuevamente la razón de convergencia, ya que (
más, los valores característicos se convierten en un par conjugado complejo, ya que ambos
tienen IA.I = w - 1, que ahora crece con w.
D
El descubrimiento de que tal mejoría podía obtenerse tan fácilmente, casi como por arte de magia, fue el punto de partida para 20 años de intensa actividad en análisis numérico.
El primer problema fue resuelto en la tesis de Young de 1950: una simple fórmula para la w
óptima. El paso clave era relacionar los valores característicos .A. de L con los valores característicosµ, de la matriz original de Jacobi D- 1(-L - U). Esta relación se expresa como
(7)
Fórmula para w
Lo anterior es válido para una amplia variedad de matrices de diferencias finitas, y si se to2
ma w = 1 (Gauss-Seidel), se obtiene .A.2 = .A.µ 2 • En consecuencia, .A.= O y .A.= µ como
en el ejemplo 2, donde µ =
y .A. = O, A. =
Todas las matrices en la clase de Young
i.
Lo anterior sólo puede apreciarse con un ejemplo. Suponga que A es de orden 21, lo
cual es bastante moderado. Así, h = -,fz, cos n:h = 0.99 y el método de Jacobi es lento;
cos2 n:h = 0.98 significa que incluso el método de Gauss-Seidel requiere muchas iteraciones. Pero como sen rch = .,/0.02 = 0.14, el método de sobrerrelajarniento óptimo tendrá
el factor de convergencia
)._
-
máx -
0.86 - 0.75,
l.l
4
con
Wópt =
l + Amáx = 1.75.
El error se reduce en 25% en cada paso, y un solo paso SRS es el equivalente de 30 pasos
de Jacobi: (0.99)30 = 0.75.
Este es un sorprendente resultado de una idea tan sencilla. Sus aplicaciones reales no
son en un problema unidimensional como -uxx = f Un sistema tridiagonal Ax= b ya es
fácil. Para lo que es importante el sobrerrelajarniento (y otros conceptos) es para las ecuaciones diferenciales. Al cambiar a -uxx - uyy = f se llega al "esquema de cinco puntos".
Los elementos -1, 2, -1 en la dirección x se combinan con -1, 2, -1 en la dirección y
para proporcionar una diagonal principal de +4 y cuatro elementos de -1 fuera de la diagonal. ¡La matriz A no tiene un ancho de banda pequeño! No hay ninguna forma para numerar los N 2 puntos de la malla en un cuadrado, de modo que cada punto permanezca
próximo a sus cuatro vecinos. Esta es la verdadera dirección de la dimensionalidad, y
computadoras en paralelo la alivian parcialmente.
372
Capítulo 7 Cálculos con matrices
7.4
Si el ordenamiento se realiza
por renglón, cada punto debe esperar todo un
renglón para que el vecino de arriba se aproxime. El ancho de banda de la "matriz de cinco puntos" es N:
Métodos iterativos para Ax = b
373
Los problemas 4 y 5 requieren el "teorema del círculo" de Gershgorin: Todo valor característico de A está en por lo menos uno de los círculos C 1 , •.. , Cm donde C 1 tiene su centro en el elemento diagonal ªu· Su radio r; =
laijl es igual a la suma absoluta a lo
largo del resto del renglón.
Demostración
Suponga que x 1 es la mayor componente de x. Entonces Ax = ).x con-
duce a
2,-1 en x y y
da -1, -1, 4, -1, -1
(A. -a;;)X;
= Lª;jXj,
o bien,
j'T'i
Esta matriz ha recibido más atención, y ha sido atacada en más formas diferentes que cualquier otra ecuación lineal Ax = b. La tendencia actual es volver a métodos directos, con
base en una idea de Golub y Hockney: ciertas matrices especiales se apartarán cuando se
aborden de la manera idónea. (Esto es comparable a la Transformada de Fourier Rápida.)
Antes del surgimiento de los métodos iterativos de dirección alternada, donde la separación dividía a la matriz tridiagonal en la dirección x y en la matriz en la dirección y. Una
elección reciente es S = LoU0 , donde elementos pequeños de las verdaderas L y U se iguay puede ser terrible.
lan a cero mientras se factoriza A. Se denomina LU
No es posible terminar esta sección sin mencionar el método
que parecía muerto aunque
resultó bastante vivo (los pasos se proporcionan en el problema 33). Es directo, más que iterativo, pero a diferencia de la eliminación,
detenerse en cualquier parte del proceso. Y aunque no merece la pena mencionarlo,
un concepto completamente nuevo puede surgir y ganar. Sin embargo, parece justo decir
que fue el cambio de 0.99 a 0.75 lo que revolucionó la solución de Ax = b.
1.
Los valores característicos de la siguiente matriz son 2- ,J2, 2, y
A~[-¡ -12
-1
4.
A~rnii]
Se denomina dominante diagonalmente porque toda laul > r1• Demuestre que cero no
puede estar en ninguno de los círculos, y concluya que A es no singular.
5.
Escriba la matriz de Jacobi J para la matriz A diagonalmente dominante del l:'"'u'"rn'"
4, y encuentre los tres círculos de Gershgorin para J. Demuestre que todos los radios
satisfacen r1 < 1, y que la iteración de Jacobi converge.
6.
La verdadera solución de Ax = b es ligeramente diferente de la solución por eliminación de LUx0 = b; A - LU se pierde el cero debido al redondeo. Una estrategia es hacer todo en doble precisión, aunque una manera mejor y más rápida es el refinamiento
iterativo: Calcula sólo un vector r = b - Ax0 en doble precisión, resuelva LUy = r, y
sume la corrección y a x 0 • Problema: Multiplicar x 1 = x0 + y por LU, escriba el resultado como una separación Sx 1 = Tx0 + b, y explique por qué Tes extremadamente
pequeña. Este simple paso lleva casi exactamente a x.
7.
Para una matriz general de 2 por 2
2 + -J2:
-n
A=[~~],
Encuentre la matriz de Jacobi D- 1( - L - U) y la matriz de Gauss-Seidel (D +
L)- 1( -U) y sus valores característicos, así como los números w 6 P, y Amáx para SRS.
2.
Para la siguiente matriz de n por n, describa la matriz de Jacobi J =
[
A= -~
-1
-1
-
Demuestre que el vector x 1 = (sen nh, sen 2nh, ... , sen nnh) es un vector característico de J con valor característico A. 1 = cos rch = cos n/(n + 1).
3.
encuentre la matriz de la iteración de Jacobi S - l T =
+ U) y sus valores
característicos µ, 1• También encuentre la matriz de Gauss-Seidel -(D + L)- 1 U y sus
valores característicos A.1, y decida si A.máx = µ,~áx·
U):
-J
En el problema 2, demuestre que xk = (sen k1Ch, sen 2krch, ... , sen nknh) es un vector característico de A. Multiplique xk por A para encontrar el valor característico correspondiente ªk· Compruebe que en el caso de 3 por 3 estos valores característicos
son 2 - -J2, 2, 2 + ,J2.
Nota Los valores característicos de la matriz de Jacobi J = ~ ( - L - U) = I - ~ A
son A.k = l - ~ak = cos krch. Ocurren en pares más-menos y Amáx es cos nh.)
Lamatriz
8.
Cambie Ax = b ax = (l - A)x + b. ¿Cuáles son S y T para esta separación? ¿Qué matriz s- 1Tcontrola la convergencia de xk+J = (J - A)xk + b?
9.
Si A. es un valor característico de A, entonces
es un valor característico de
B = I - A. Los verdaderos valores característicos de B tienen valor absoluto menor
y ____
que 1 si los verdaderos valores característicos de A están entre
10. Demuestre por qué la iteración xk+1 = (1 - A)xk + b
A = [
no converge para
-i -~] ·
11. ¿Por
la norma de Bk nunca es mayor que llBllk? Entonces llBll < 1 garantiza que
las potencias de Bk tienden a cero (convergencia). Esto no es una sorpresa, ya que JA. 1máx
está debajo de llBll.
374
Capítulo 7 Cálculos con matrices
7.4
12. Si A es singular, entonces deben fracasar todas las separaciones A = S - T. A partir
de Ax= O, demuestre que s- 1rx =X. Por tanto, esta matriz B = s- 1 rtiene A.= 1 y
fracasa.
3
[ -1
¿IJ.. \máx para Gauss-Seidel es igual a IJcl;;,áx para Jacobi?
14. Escriba un código de computadora (MATLAB u otro) para Gauss-Seidel. Puede definir S y T a partir de A, o establecer el ciclo iterativo directamente a partir de los
elementos ªij· Pruébelo en -1, 2, -1 las matrices A de orden 10, 20, 50, con b =
(1, O, ... , O).
15. La matriz de separación S para SRS es la misma que para Gauss-Seidel, excepto que
la diagonal se dividió entre w. Escriba un programa para SRS de una matriz den por
n. Aplíquelo con w = l, 1.4, 1.8, 2.2 cuando A es la matriz -1, 2, -1 de orden 10.
16. Cuando A = AT, el método de Amoldi-lAnczos encuentra qs ortonormales de modo
que Aqj = bj-lqj-t + ajqj + bjqj+l (con q0 = 0). Multiplique por qJ con la finalidad de encontrar una fórmula para a1 . La ecuación indica que AQ = QT, donde Tes
una matriz _ __
17. ¿Cuál es la cota sobre \Jclmáx proporcionada por Gershgorin para las siguientes matrices (consulte el problema 4)? ¿Cuáles son los tres círculos de Gershgorin que contienen a todos los valores característicos?
A =
0.3
0.3
[ 0.2
0.3
0.2
0.4
0.2]
0.4
0.1
A~
H=~ -!]
La cuestión dave para matrices grandes, es que la
matriz-vector es
mucho más
que la multiplicación matriz-matriz. Una construcción crucial empieza con un vector by calculaAb, A 2 b, ... (¡pero nuncaA2 !) Los N primeros vectores generan el N-ésimo subespacio de Krilov. Se trata de las columnas de la matriz KN de Krilov:
La iteración de Amoldi-Lanczos ortogonaliza las columnas de KN, y la iteración del gradiente conjugado resuelve Ax = b cuando A es positiva definida simétrica.
Iteración de Amoldi
q¡ = b! llbll
paran=laN-1
V= Aqn
paraj = l a n
hjn
=
qJv
V =V -
hn+l,n
= l!vll
x 0 =O, r 0 = b, p 0 =ro
paran= 1 a N
an = (rJ_ 1rn-t) / (P~-l Apn-1) longitud del paso Xn-1 a Xn
Xn = Xn-1 + O!nPn-1
rn = rn-1 - anAPn-1
hjnqj
aproxime la solución
residuo nuevo b - Axn
mejora en este paso
f3n = (rJrn) / (rJ_ 1rn-1)
dirección de la siguiente búsqueda
Pn = rn + f3nPn-l
Nota: Sólo 1 m~at!J?l!<:aczón ~-·•~•~-·•n~•n~
375
18.
~n ~oldi, demuestre que q2 es ortogonal a q 1• El método de Amoldi es la orto 0
hzac1on de Gram-Schmidt aplicada a la matriz de Krilov· K = Q R L
g nad
· N
N N·
os valores
característicos de QT AQ
N
N a menu o se encuentran muy próximos a los de A ·
¡
para N ~ n. La iteración de Lanczos es el método de Amold.
. , ~ne us.o
cas (todas codificadas en ARPACK).
t para matrices s1métn-
19.
En .p-adi~tes conj~gad~s, demues~e que r 1 es ortogonal a r0 (residuos ortogonales),
Y P1AP0 - O (las drrecc10nes de busqueda son A-ortogonales) La ·t
·6
Ax - b al · · ·
T
·
t erac1 n resuelve
, :--rrunuruzar el error e Ae en el subespacio de Krilov. Es un algoritmo fan
tast1co.
-
13. Cambie los 2s a 3s, y encuentre los valores característicos de s- 1 Tpor ambos métodos:
(GS)
Métodos iterativos para Ax = b
a p tu o
11
,
1
t
i
1
1
11
J
8.1
El álgebra concierne ecuaciones, y a menudo el análisis concierne desigualdades. La línea
entre ambos siempre ha parecido clara. Sin embargo, me he percatado que este capítulo es
un contraejemplo:
lineal es sobre
aunque constituye una
parte incuestionable del álgebra lineal. También es extremadamente útil: es más probable
que las decisiones de negocios impliquen programación lineal que determinantes o valores
característicos.
tres formas para abordar las matemáticas subyacentes: intuitivamente a través de
la geometría, computacionalmente a través del método simplex, o algebraicamente a través
de la dualidad. Estos enfoques se desarrollan en las secciones 8.1, 8.2, y 8.3.
la sección 8.4 es sobre problemas (como el matrimonio) donde la solución es un entero. En la
sección 8.5 se analizan el póquer y otros juegos matriciales. Los estudiantes del MIT en
Bringing Down the House contaron cartas altas para ganar en blackjack (en Las Vegas se
siguen reglas fijas, y un verdadero juego matricial implica estrategias al azar).
En la sección 8.3 se presenta algo nuevo en esta cuarta edición. El método simplex
ahora se presenta en franca competencia con una forma completamente nueva de hacer los
cálculos, denominada método del punto interior. La emoción comenzó cuando Karmarkar afirmó que su versión era 50 veces más rápida que el método simplex. (Su algoritmo,
delineado en la sección 8.2, fue uno de los primeros que fueron patentados: algo que entonces creíamos imposible, y no realmente deseable.) Esa afümación provocó una oleada
de investigación sobre métodos que tienden a la solución desde el "interior", donde todas
las desigualdades son estrictas: x 2:: O se convierte en x > O. El resultado es ahora una gran
forma de obtener ayuda del problema dual para resolver el problema primario.
Una clave para este capítulo es considerar los significados geométricos de las desigu:al4.úutes lineales. Una desigualdad divide el espacio n-dimensional en un sei1m~sp,ac,w
donde se cumple la desigualdad, y en un subespacio en el que no lo hace. Un ejemplo típico es x + 2y 2:: 4. La frontera entre los dos semiespacios es la recta x + 2y = 4, donde la
desigualdad es "apretada". La
8.1 se vería casi igual en tres dimensiones. La frontera se convierte en un plano como x + 2y + z = 4, y arriba se encuentra el semiespacio
x + 2y + z 2:: 4. En n dimensiones, la "dimensión" del
es n - 1.
378
Capítulo 8
Programación lineal y teoría de juegos
8. 1
Desigualdades lineales
379
y
'
'
'
costo 2x + 3y = 6 ' ,
........
... ....
....
2x + 3y'=O
X
X
X+ 2y = Ü
8.2
8.1
Las ecuaciones proporcionan rectas y planos. Las desigualdades, semiespacios.
Hay otra restricción fundamental para la programación lineal: se requiere que x y y
sean nonegativas. Este par de desigualdades x 2: O y y 2: O produce dos subespacios más.
La figura 8.2 está acotada por los ejes coordenados: x 2: O admite todos los puntos a la derecha de x = O, y y 2: O es el subespacio que está arriba de y = O.
El paso importante es imponer de una vez las tres desigualdades. Éstas se combinan para
proporcionar la región sombreada de la figura 8.2. El conjunto factible es la intersección
de los tres subespacios x + 2y 2: 4, x 2: O, y y 2: O. Un conjunto factible está constituido
por las soluciones de una familia de desigualdades lineales como Ax 2: b (la intersección
de m subespacios). Cuando también se requiere que toda componente de x sea no negativa
(la desigualdad vectorial x 2: 0), se agregan n subespacios más. Mientras más restricciones
se imponen, más pequeño es el espacio factible.
Puede ocurrir fácilmente que un conjunto esté acotado o incluso sea vacío. Si el ejemplo se cambia al subespacio x + 2y ::;: 4, preservando x 2: O y y 2: O, se obtiene el pequeño
triángulo OAB. Al combinar las dos desigualdades x + 2y 2: 4 y x + 2y ::;: 4, el conjunto
se reduce a una recta donde x + 2y = 4. Si se añade una restricción contradictoria como x
+ 2y ::;: -2, el conjunto factible es vacío.
El álgebra de las desigualdades lineales (o conjuntos factibles) constituye una parte
de nuestro tema de estudio. Sin embargo, la programación lineal tiene otros ingredientes:
busca el punto factible que maximiza o minimiza una cierta función de costo como 2x +
3y. El problema en programación lineal es encontrar el punto que está en el conjunto factible y minimiza el costo.
El problema se ilustra con la geometría de la figura 8.2. La familia de costos 2x + 3y
proporciona una familia de rectas paralelas. El costo núnimo aparece cuando la primera
recta corta al conjunto factible. Esta intersección ocurre en B, donde x* = O y y* = 2; el
costo núnimo es 2x* + 3y* = 6. El vector (0, 2) es factible porque está en el conjunto factible, y es óptimo porque minimiza la función de costo, y el costo núnimo 6 es el valor del
programa. Los vectores óptimos se denotan con un asterisco.
Conjunto factible con lados planos, y los costos 2x + 3y, que se tocan en B.
El vector óptimo ocurre en un vértice del conjunto factible. Este hecho lo garantiza
la geometría, ya que las rectas que proporcionan la función de costo (o los planos, cuando
se llega a más incógnitas) se desplazan de manera continua hasta que cortan al conjunto
factible.
primer contacto debe ocurrir a lo largo de su frontera! El "método simplex" va
de un vértice del conjunto factible al siguiente hasta que encuentra el vértice de menor costo. En contraste, los "métodos del punto interior'' tienden a esa solución óptima desde el
interior del conjunto factible.
Nota Con una función de costo distinta, la intersección podría no ser un solo punto. Si el
costo fuese x + 2y, toda la arista entre By A sería óptima. El costo mínimo es x· + 2y*,
que es igual a 4 para todos estos vectores óptimos. En nuestro conjunto factible, ¡el problema máximo no tendría solución! El costo podría elevarse arbitrariamente y el costo máximo sería infinito.
Todo problema de programación lineal puede ubicarse en cualquiera de las tres categorías posibles siguientes:
1.
2.
3.
El conjunto factible es vacío.
La función de costo no está acotada en el conjunto factible.
El costo alcanza su mínimo (o máximo) en el conjunto factible: este es el caso bondadoso.
Los casos vacío y no acotado son bastante raros para un problema genuino en econonúa o
ingeniería. Se espera una solución.
Variables flojas
Hay una forma simple para cambiar la desigualdad x + 2y 2: 4 en una ecuación. Simplemente se introduce la diferencia como una variable floja w = x + 2y - 4. ¡Esta es nuestra ecuación! La restricción anterior x + 2y 2: 4 se convierte en w 2: O, lo cual coincide
perfectamente con las otras restricciones de la desigualdad x 2: O, y 2: O. Así, se tienen sólo ecuaciones y simples restricciones de no negatividad sobre x, y, w. Las variables w que
"quitan la flojera" ahora se incluyen en el vector incógnito x:
Problema
Minimizar ex sujeto a Ax = by x 2: O.
El vector renglón c contiene los costos; en nuestro ejemplo, c = [2 3 O]. La condición x
2: O pone el problema en la parte no negativa de Rn. Estas desigualdades se reducen a las
soluciones de Ax= b. La eliminación corre peligro, por lo que se requiere una idea completamente nueva.
380
Capítulo 8
Programación lineal y teoría de juegos
8. 1
Nuestro ejemplo con costo 2x + 3y
plantearse con palabras. Ilustra el "problema de
la dieta" en programación lineal, con dos fuentes de proteínas, por ejemplo, un bistec y
mantequilla de cacahuate. Cada libra de mantequilla de cacahuate proporciona una unidad
por lo mede proteínas, y cada bistec proporciona dos unidades. En la dieta se
nos dos unidades de proteínas. Por tanto, una dieta que contiene x libras de mantequilla de
cacahuate y y bisteces está restringida por x + 2y 2: 4, así como por x 2: O y y 2: O. (No
puede tenerse un bistec o mantequilla de cacahuate negativos.) Este es el conjunto factible,
y el problema es minimizar el costo. Si una libra de mantequilla de cacahuate cuesta $2 y
un bistec cuesta $3, entonces el costo de toda la dieta es 2x + 3y. Por fortuna, la dieta óptima consta de dos bisteces: x* =O y y* = 2.
Todo programa lineal, incluyendo éste, tiene un dual. Si el problema original es una
original" dado,
minimización, su dual es una maximización. El mínimo en el
es igual al máximo en su dual. Esta es la clave de la programación lineal, que se explicará en la sección 8.3. Aquí se permanece con el problema de la dieta y se intenta interpretar
su dual.
En lugar del comprador, quien compra suficientes proteínas al costo mínimo, el problema dual es confrontado por el farmacéutico. Las ptldoras de proteínas compiten con los
bisteces y con la mantequilla de cacahuate. De inmediato se encuentran los dos ingredientes de un programa lineal típico: el farmacéutico maximiza el precio p de las píldoras, aunque este precio está sujeto a restricciones lineales. Las proteínas sintéticas no deben costar
más que las proteínas que hay en la mantequilla de c.acahuate ($2 por unidad) o las proteínas que hay en los bisteces ($3 por dos unidades). El precio debe ser no negativo o el farmacéutico no venderá nada. Debido a que se
cuatro unidades de proteínas, la
ganancia del farmacéutico es de 4p:
Problema dual
Maximizar
ap :::s 2,
i)
ii)
Problema
Maximizar la ganancia 200x + 300y + 500z sujeta a
20x + 17y + 14z 2: 18(x +y+ z),
x + 2 Y + 3 Z _< 480,
X, y, Z 2: O.
no es posible invertir más de $20 000 en bonos chatarra, y
la calidad media del portafolios no debe ser menor que los bonos municipales, de modo que x 2: z.
Problema
Maximizar 5x + 6y + 9z sujeto a
x+y+z::slOOOOO,
z::S20000,
z::sx,
x,y,z::::O.
Las tres desigualdades proporcionan tres variables flojas, con nuevas ecuaciones como
w = x - z y desigualdades w 2: O.
1.
Trace el conjunto factible con restricciones x + 2y 2: 6, 2x + y 2: 6, x 2: O, y 2: O.
¿Qué puntos están en los tres "vértices" de este conjunto?
2.
¿cuál es el valor mínimo de la
(Recomendado) Sobre el conjunto factible
función de costo x + y? Trace la recta x + y = constante que toca primero el conjunto factible. ¿Qué puntos minimizan las funciones de costo 3x +y y x - y?
3.
Demuestre que el conjunto factible restringido por 2x + Sy :::S 3, -3x + 8y :::S -5,
x 2: O, y 2: O, es vacío.
4.
Demuestre que el siguiente problema es factible pero no acotado, de modo que no
tiene solución óptima: Maximizar x + y, sujeto a x 2: O, y 2: O, -3x + 2y ::: - 1,
X -y :::S 2.
5.
Agregue una simple desigualdad restrictiva a x 2: O, y 2: O de modo que el conjunto
factible contenga sólo un punto.
6.
¿Qué forma tiene el conjunto factible x 2: O, y 2: O, z 2: O, x + y + z = l, y cuál es
el máximo de x + 2y + 3z?
7.
Resuelva el problema del portafolios al final de la sección precedente.
8.
En el conjunto factible para el problema de la General Motors, la no negatividad x, y,
z 2: O deja un octavo del espacio tridimensional (el octante positivo). ¿Cómo es cortado esto por los dos planos de las restricciones, y qué forma tiene el conjunto factible?
¿Cómo muestran sus vértices que, con sólo estas dos restricciones, sólo hay dos tipos
de automóviles en la solución óptima?
9.
(Problema de transporte) Suponga que Texas, California, y Alaska producen--cada
uno-- un millón de barriles de petróleo; en Chicago se
800 000 barriles, a
una distancia de 1000, 2000, y 3000 millas de los tres productores, respectivamente; y
se necesitan 2 200 000 barriles en Nueva Inglaterra a 1500, 3000, y 3700 millas de distancia. Si el
cuesta una unidad por cada barril-milla, ¿qué programa lineal
con cinco restricciones de igualdad debe resolverse con la finalidad de minimizar el
costo por embarque?
La siguiente sección se concentra en la resolución de programas lineales. Este es el momento para describir dos situaciones prácticas en las que se minimiza o maximiza una función de costo lineal sujeta a restricciones lineales.
1. Planeación de la
Suponga que fa General Motors gana $200 por cada
Chevrolet, $300 por cada Buick y $500 por cada Cadillac. Estos automóviles dan 20 17
Y. 14 millas por ~alón, respectivamente, y el Congreso insiste en que el automóvil pr~me~
dio debe proporcionar 18. La planta puede ensamblar un Chevrolet en un minuto un Buick
en dos minutos, y un Cadillac en 3 minutos. ¿Cuál es la ganancia máxima en 8 horas (480
minutos)?
·
3111
2. Selección del
Los bonos federales pagan 5%; los municipales, 6%, y los
bonos chatarra, 9%. Es posible comprar cantidades x, y, z sin exceder un total de $100 000.
El problema consiste en maximizar el interés, con dos restricciones:
::::: 3 yp 2: o.
En este ejemplo es más fácil resolver el dual que el original; sólo tiene una incógnita p. La
restricción 2p :::S 3 es la estricta que en realidad es activa, y el precio máximo de la proteína sintét~ca es p = $1.50. La ganancia máxima es 4p = $6, y el comprador termina pagando lo rmsmo por la proteína natural que por la proteína sintética. Este es el teorema de
al mínimo.
dualidad: el máximo es
Desigualdades lineales
382
Capítulo 8 Programación lineal y teoría de juegos
B.2
8.2
Esta sección aborda la programación lineal con n incógnitas x 2: O y m restricciones Ax 2:
b. En la sección previa se tenían dos variables, y una restricción x + 2y 2: 4. No es difícil
explicar todo el problema, pero no es fácil resolverlo.
EI mejor método es plantear el problema en forma matricial. Se cuenta con A, b, Y e:
1.
2.
3.
una matriz A de m por n,
un vector columna b con m componentes, y
un vector renglón e (vector de costo) con n componentes.
El método simplex
383
Una posibilidad es escoger las n ecuaciones x 1 = O, ... , xn = O, y terminar en el origen. Así como todas las demás posibilidades, este punto de intersección sólo es un vénice
genuino si también satisface las demás m restricciones de desigualdad. En caso contrario,
ni siquiera está en el conjunto factible, por lo que es un engaño total. Nuestro ejemplo con
n = 2 variables y m = 2 restricciones tiene seis intersecciones, que se ilustran en la figura
8.3. Tres de ellas en realidad son los vértices P, Q, R del conjunto factible. Se trata de los vectores (0, 6), (2, 2) y (6, 0). Uno de ellos debe ser el vector óptimo (a menos que el costo mínimo sea -oo). Los otros tres, incluyendo el origen, son falsos.
Para ser "factible", el vector x debe satisfacer x ::: O y Ax ?::: b. El vector óptimo x * es el vector factíble de costo mínímo, y el costo es ex = C¡X¡ + · · · + CnXn·
Problema mínimo
Minimizar el costo ex, sujeto ax 2: O y Ax 2: b.
La condición x ::: O restringe ax al cuadrante positivo en el espacio n-dimensional. En
es un cuarto del plano; es un octavo de R 3 • Un vector aleatorio tiene una posibilid~d en
zn de ser no negativo. Ax ::: b produce m semiespacios adicionales, y los vectores factibles
satisfacen todas las m + n condiciones. En otras palabras, x está en la intersección de m + n
semiespacios. Este
factible tiene lados planos; puede no estar acotado Y ser vacío.
La función de costo ex aporta al problema una familia de planos paralelos. Un plano
ex = O pasa por el origen. Los planos ex = constante proporcion~ todo_s los ~ostos posi:
bles. A medida que varia el costo, estos planos barren todo el espacio n-dnnens1onal. La x
óptima (el menor costo) ocurre en el punto en que los planos tocan por vez primera al conjunto factible.
Nuestro objetivo es calcular x*. Esto puede hacerse (en principio) encontrando todos
los vértices del conjunto factible, y calculando sus costos. En la práctica esto es imposible.
Podría haber millones de vértices, por lo que sería imposible calcularlos todos. En vez de
hacer lo anterior, se aplica el método simplex, que es uno de los conceptos más célebres en
matemáticas computacionales. Este método fue desarrollado por Dantzig como una forma
sistemática para resolver programas lineales, y ya sea por suerte o no, se trata_ de un éx~to
sorprendente. Los pasos del método simplex se resumirán en breve, ya que pnmero se mtentará explicarlos.
movimiento a lo
de las aristas
Considero que lo que revela el método es la explicación geométrica. En la fase I simplemente se localiza un vértice del conjunto factible. El meollo del método va de vértice a vértice a lo largo de las aristas del conjunto factible. En un vértice típico hay n aristas a
escoger. Algunas aristas se alejan de la x • óptima pero desconocida, y otras llevan gradualmente hacia ésta. Dantzig escogió una arista que lleva a un nuevo vértice con un costo menor. No hay posibilidad de volver a nada que sea más costoso. Finalmente se llega a un
vértice especial, a partir del cual todas las aristas conducen al camino equivocado: se ha
minimizado el costo. Este vértice es el vector óptimo x·, y ahí se detiene el método.
El siguiente problema es transformar los conceptos de vértice y arista en álgebra lineal. Una arista es el punto de encuentro de n planos distintos. Cada plano está dado
por una ecuación -justo como tres planos (muro frontal, muro lateral, y piso) producen un
vértice en tres dimensiones. Cada vértice del plano factible proviene de transformar n de
las n + m desigualdades Ax ::: b y x ::: O en ecuaciones, y encontrar la intersección de estos n planos.
8.3
Los vértices P, Q, R y las aristas del conjunto factible.
En general, hay (n + m)!/n!m! intersecciones posibles. Esto incluye el número de formas para elegir n ecuaciones planas de n + m. El tamaño de este coeficiente binomial hace imposible el cálculo de todos los vértices para m y n grandes. La tarea de la Fase I es
encontrar un vértice genuino o establecer que el conjunto factible es vacío. Continuamos
con la hipótesis de que se ha encontrado un vértice.
Suponga que se retira uno de los n planos de intersección. Los puntos que satisfacen
fas n - 1 ecuaciones restantes constituyen una arista que sale del vértice. Este vértice
es la intersección de los n - l planos. Para permanecer en el conjunto factible, a lo largo
de cada arista sólo se permite una dirección. Pero se tiene una elección de n aristas, y la Fase Il debe hacer esta elección.
Para describir esta fase, Ax ::: b vuelve a escribirse en una forma completamente paralela a las n restricciones simples xj ::: O. Este es el papel de las variables flojas w = Ax b. Las restricciones Ax:;:; b se traducen a w 1 2: O, ... , wm 2: O, con una variable floja para cada renglón de A. La ecuación w = Ax - b, o Ax - w = b, pasa a la forma matricial:
Las variables flojas proporcionan m ecuaciones
[A
-1J[;]=b.
El conjunto factible está regido por estas m ecuaciones y las n + m desigualdades simples
x ::: O, w ::: O. Ahora se cuenta con restricciones de igualdad y nonegatividad.
El método simplex no establece ninguna diferencia entre x y w, de modo que se simplifica:
se vuelve a
[A -!] nombrar
como A
se vuelve a
[wx] nombrar
como x
[e
se vuelve a
OJ nombrar como c.
384
Capítulo 8
Programación lineal y teoría de juegos
8.2
Las restricciones de igualdad son ahora Ax = b. Las n + m desigualdades se vuelven
justo x :::: O. El único rastro que queda de la variable floja w se encuentra en el hecho de
que la nueva matriz A es de m por n + m, y la nueva x tiene n + m componentes. Se preserva mucho de la notación original, dejando sin cambio a m y n como recordatorio de lo
que ha ocurrido. El problema ha cambiado a: Minimizar ex,
ax =::: Oy Ax = b.
El problema en la figura 8.3 tiene las restricciones x + 2y :::: 6, 2x +y :::: 6, y costo x + y.
El nuevo sistema tiene cuatro incógnitas (x, y, y dos variables flojas):
A=[~
2
1
-1
o
b=
m
e= [ 1
El método simplex
385
minimizar el costo. Se escoge x 5 porque tiene el coeficiente de costo más negativo· _ La
3•
•
variable de entrada es x 5 •
Con x~ qu.e entra ~ la base, deben salir x 1 o x 2 • En la primera ecuación, x 5 se incrementa Y X¡ se dismmuye nuentras se mantiene x 1 + 2x5 = 8. Luego, x 1 se lleva hasta cero cuando xs llega a 4. En la segunda ecuación se mantiene x 2 + 3x5 = 9. Aquí x sólo puede cree
hasta 3. Ir más allá haria negativo a x 2 , de modo que la variable de salMa es x . El
er
, ·
·
2
nuevo
vert1ce tiene x = (2, O, O, O, 3). El costo ha bajado a -9.
F_orma
En Ax= b, los miembros derechos divididos entre los coeficientes de la van~ble de entrada son ~ y ~ . La razón más pequeña, ~ indica cuál es la variable que llega
o o].
Con restricciones de
el método simplex puede comenzar. Un vértice es ahora un
punto donde n componentes del nuevo vector x (los x y w anteriores) son cero. Estas n
componentes de x son las variables libres en Ax = b. Las m componentes restantes son las
variables básicas o variables pivote. Al igualar a cero las n variables libres, las m ecuaciones Ax = b detenninan las m variables básicas. Esta "solución básica" x es un vértice genuino si sus m componentes distintas de cero son positivas. Así, x pertenece al conjunto
factible.
pn;nero a cero, por lo que debe salir. Sólo se consideran razones positivas, porque si el coeficiente de x 5 fuese - 3, entonces incrementar x 5 en realidad haría crecer ax . (En x = 1o
la segunda ecuación daríax2 = 39.) La razón 23 indica que la segunda va~ble sal~. Tam~
bién proporciona x 5 = 3.
S~ todos los coeficientes de x 5 hubieran sido negativos, se tendría un caso no acotado:
es posible hacer arbitrariamente grande a x 5 , y disminuir el costo hacia -oo.
. El paso actual tennina en el nuevo vértice x = (2, O, O, O, 3). El paso siguiente es fácil sólo si las variables básicas x 1 y x 5 se mantienen por sí mismas (como originalmente fue
el caso con x 1 y x 2). En consecuencia, se "pivotea" sustituyendo x 5 = 1(9 - x 2 - x ) en la
fu ., d
3
3
nc10n e costo Y en la primera ecuación. El nuevo problema, empezando desde el nuevo
vértice, es:
Minimizar el costo
con restricciones
X¡
-
~Xz + ~X3 + 6x4
}x2 + }x3
Ax=[~
2
1
-1
o
¿A cuál vértice ir a continuación? Se
moverse a lo largo de una arista hacia
un vértice adyacente. Debido a que los dos vértices son vecinos, m - 1 variables básicas
permanecen siendo básicas. Sólo uno de los 6s se vuelve libre (cero). Al mismo tiempo,
una variable se mueve desde cero para convertirse en básica. Las otras m - 1 composiendo positivas. La elecnentes básicas (en este caso, los otros 6) cambian pero
ción de arista (consulte el ejemplo 2 a continuación) decide qué variable sale de la base y
cuál entra. Las variables básicas se calculan al resolver Ax = b. Las componentes libres
de x se igualan a cero.
Una variable que entra y una variable que sale producen un desplazamiento hacia un nuevo vértice.
Minimizar
sujeto a
X¡
+ X3 + 6x4 + 2xs
X2 + X3
+ 3xs
3.
El ~aso siguiente es fácil ahora. El único coeficiente negativo -1 en el costo hace que la
vanable de entrada sea x 4 . Las razones de ~ y ~, los miembros derechos divididos entre
la columna de X4, hace que x 1 sea la variable de salida. El nuevo vértice es x* = (O O o l
' ' ' 3'
3). El nuevo costo -9} es el mínimo.
El punto vértice P en la figura 8.3 es la intersección de x =O con 2x +y - 6 = O.
Vértice (0, 6, 6, 0)
(dos ceros)
Básica
Factible (positivos diferentes de cero)
2
+ X5
8
9.
Se empieza desde el vértice en que x 1 = 8 y x 2 = 9 son las variables básicas. En ese vértice, x 3 = x 4 = x 5 = O. Esto es factible, aunque el costo puede no ser el mínimo. Sería imnn1r1<>nr.. hacer positivo a x3 , ya que su coeficiente de costo es +7 y se está tratando de
En un problema grande, una variable de salida puede volver a entrar a la base después.
Pero el costo sigue bajando --excepto en un caso degenerado-- de modo que las m variables básicas no pueden ser las mismas de antes. ¡Ningún vértice se visita dos veces! El método simplex debe tenninar en el vértice óptimo (o en -oo si ocurre que el costo no está
acotado). Lo extraordinario es la rapidez con que se encuentre x*.
Res11me11 Los coeficientes de costo 7, -1, -3 en el primer vértice y 1, 8, -1 en el segundo vértice decidieron las variables de entrada. (Estos números van en r el vector crucial que se define a continuación. El método se detiene cuando todos son ~ositivos). Las
razones decidieron las variables de salida.
Observación sobre la
Un vértice es degenerado si más de las n componentes de costumbre de x son cero. Por el vértice pasan más de n planos, de modo que ocurre
que una variable básica se hace cero. Las razones que detenninan la variable de salida incluyen ceros, y la base podría cambiar sin realmente moverse del vértice. Teóricamente, es
permanecer en un vértice y dar vueltas por siempre en la elección de la base.
Por fortuna, esta situación no ocurre. Es tan rara que los códigos comerciales la ignoran. Lamentablemente, los casos degenerados son bastante comunes en aplicaciones: si el
costo se imprime después de cada paso simplex, se observa que se repite varias veces anel costo decrece otra vez.
tes de que el método simplex encuentre un buen vértice.
8.2
386
Capítulo 8
El método simplex
Programación lineal y teoría de juegos
Suponga .que el costo reducido más negativo es r 1• Entonces, la i-ésima componente de xN
es la vanable de entrada, que crece desde cero hasta un valor positivo a en el vértice siguiente (el final de la arista).
A medida que se incrementa x1, otras componentes de x pueden decrecer (para mantener Ax = b ). La primera xk que llega a cero se convierte en la variable de salida: cambia de
básica a libre. El siguiente vénice se alcanza cuando una componente de x 8 cae a cero.
El nuevo vértice es factible porque sigue teniéndose x ?:: O. Es básico porque de nuevo
se tienen n componentes cero. La i-ésirna componente de xN pasó de cero a a. La k-ésima
componente de x 8 cayó a cero (las otras componentes de x 8 siguen siendo positivas). La xk
de salida que cae a cero es la que proporciona la razón mínima en la ecuación (3):
la tabla lt-<>l•lo•m
Cada paso simplex implica decisiones seguidas por operaciones en los renglones --es necesario escoger a las variables de entrada y de salida, y es necesario hacer que vayan Yvuelvan. Una forma de organizar el paso es escribir A, b, c en una matriz grande, o tabla:
L~ tabla es de m + l por m + n + 1 T = [ ~ ~
l
Al inicio las variables básicas pueden mezclarse con las variables libres. Volviendo a numerar en c~o de ser necesario, suponga que x 1, ••• , Xm son las variables básicas (distintas de
cero) en el vértice actual. Las m primeras columnas de A form~ una matriz c_uadrada B (la
matriz base para ese vértice). Las n últimas columnas proporc10nan una matnz N de m por
n. El vector de costo se separa en [c 8 cN], y la incógnita x lo hace en (xa, xN)·
En el vértice, las variables libres son xN = O. Ahí, Ax = b se convierte en Bxa = b:
Tabla en el vértice
T =
[!L.¡__ ¿y_·f-··?]
Cs 'CN'
1
x 8 = B- 1 b costo = c 8 B- b.
XN =O
Ü
1
Las variables básicas quedan solas cuando la eliminación multiplica por B- :
Tabla reducida
T' =
[!. . L~:-:~!'!:.~-~:-:'.~ ].
Cs :
CN
:
B- 1u es la columna de B- 1N en la tabla reducida R, arriba del elemento más negativo en
el renglón inferior r. Si B- 1u :'.S O, el siguiente vértice está infinitamente lejos y el costo mínimo es -oo (esto no ocurre aquí). Nuestro ejemplo va del vértice P a Q, y de nuevo empieza en Q.
Ü
Para alcanzar Iaforma escalonada totalmente reducida R = rref(T), c8 multiplicado por
el renglón en bloque superior se resta del renglón inferior:
Totalmente reducida
R =
Ejemplo 3
[!..l
....... !'!.~:.f!.
....... l-----f!_~-~~-¡-·].
Oi
csB- N; -csB- b
CN
La función de costo original x + y y las restricciones Ax = b = (6, 6) proporcionan
1
A continuación se revisará el significado de cada elemento de esta tabla, y se llama la atención hacia el ejemplo 3 (a continuación, con números). He aquí el álgebra:
Restricciones
x 8 + B- 1 NxN = B- 1 b
Vértice
1
xs = B- b,
XN =O.
(1)
El costo c 8 x 8 + CNXN se ha convertido en
Costo
1
ex = (cN - c 8 B- 1N)xN + c 8 B- 1b Costo en este vértice= c 8 B- b.
En el vértice P en la figura 8.3, x =O corta a 2x +y= 6. Para estar organizados, se intercambian las columnas 1 y 3 con la finalidad de escribir las variables básicas antes que las
variables libres:
(2)
Toda cantidad importante aparece en la tabla comple~a¡nente red~cida R. Es ,Pº~ible. deci:
dir si el vértice es óptimo al observar ar= cN - c 8B Nen med10 del renglon 1nfeno~. SI
cuaic¡wer elemento en r es negativo, sigue siendo
reducir el costo. Es posible
hacer negativo a rxN, al principio de la ecuación (2), incrementando una ~omp?~ente de xN·
Este es el paso siguiente. Pero si r ?:: O, entonces se ha encontrado el mejor vert1ce. Esta es
la prueba de detención, o condición de optimalidad:
TablaenP
Luego, la eliminación multiplica el primer renglón por -1, para obtener un pivote unitario, y usa el segundo renglón para producir ceros en la segunda columna:
Totalmente reducida en P
Las componentes negativas de r son los costos reducidos: el costo en cN por.usar un~
variable menos lo que ahorra. El cálculo de r se denomina poner precio a las vanables. S1
el costo directo (en cN) es menor que el ahorro (de reducir las variables básicas), entonces
r; < O, y pagará por incrementar esa variable básica.
Primero observe a r = [ -11] en el renglón inferior. Tiene un elemento negativo en la columna 3, de modo que la tercera variable entra a la base. El vértice actual P y su costo +6
no son óptimos. La columna arriba de ese elemento negativo es B- 1u = (3, 2); sus razones con la última columna son ~ y ~ . Debido a que la primera razón es menor, la primera
incógnita w (y la primera columna de la tabla) es obligada a abandonar la base. En la figura 8.3, se efectúa un movimiento a lo largo del conjunto factible del vértice P al vértice Q.
388
8.2
Capítulo 8 Programación lineal y teoría de juegos
La nueva tabla intercambia las columnas 1 y 3, y al pivotear por eliminación se obtiene
3 o !i o1 -2 ! 6] ~o1 oi i: l
[º o '
1
[
:
2
1
-1 :
6
---~i------¿·--t·--0·-------i·- ------.:_·¿
En esa nueva tabla en Q, r = [ ~
-,
3
: 2]
~] es positivo. Se ha pasado la
(4)
y
•
de deten-
389
Algu~as veces, lo anterior se denomina método
revisado para distinguirlo de
las operaciones en la tabla. En realidad es el método simplex en sí, reducido.
Este análisis termina una vez que se ha decidido cómo calcular los pasos 1, 3, y 4:
'
1!
2
3 :
-------------:---------------------:--------~
~ '
-4
:
El método simplex
La forma más conocida es trabajar directamente con s- , calculándola explícitamente en
el primer vértice. En vértices subsecuentes, el paso de pivoteo es sencillo. Cuando la columna k de la matriz identidad se sustituye por u, la columna k de B- 1 se sustituye por v =
B- 1u. Para reconvertir la matriz identidad, la eliminación multiplica la B- 1 anterior por
1
ción. El vértice x =y= 2 y su costo +4 son óptimos.
V¡
Or11a111izac11l111 de un paso sm11ne1x
A continuación, la geometría del método simplex se representa en álgebra: Los "vértices"
son "soluciones factibles básicas". El vector r y la razón a son decisivos. Su cálculo constituye el corazón del método simplex, y puede organizarse de tres formas distintas:
1.
2.
3.
En una tabla, como arriba.
Actualizando s- 1 cuando la columna u tomada de N sustituye a la columna k de B.
1
Calculando B = LU, y actualizando estos factores LU en vez de hacerlo con B- •
Esta lista constituye una breve historia del método simplex. En algunas formas, la etapa más fascinante es la primera -la tabla- que dominó el tem~ ~or :nuchos _añ~s. Para la
mayoría de nosotros, trajo un aura de misterio a la programac10n hneal, pnnc1palmente
porque se las arregló para evitar casi por completo la notación matricial (¡mediante el dispositivo habilidoso de escribir por completo todas las matrices!) Para efectos computacionales (excepto para pequeños problemas en libros de texto), la época de la tabla ya
terminó.
Para ver por qué, recuerde que después de que el coeficiente más negativo en r indica
cuál columna u entra a la base, no se utilizará ninguna de las otras columnas arriba de r.
Fue una pérdida de tiempo calcularlas. En un problema más grande, cientos de col~mnas
se calculan una y otra vez, justo para esperar su tumo de entrar a la base. Esto perm1te que
la teoría haga por completo las eliminaciones y alcanzar R. Sin embargo, en la práctica no
es posible justificar esto.
.
Es más rápido, y al final más simple, ver cuáles cálculos son realmente necesanos. Cada paso simplex intercambia una columna de N por una columna de B. Estas columnas son
decididas por r y a. Este paso comienza con la matriz base actual B y la solución actual
x8 = B- 1b.
(5)
V¡¡
En muchos códigos simplex se utiliza laforma de producto de la inversa, que ahorra
estas simples matrices E- 1 en vez de actualizar directamente a B- 1• Cuando es necesario,
se aplican a b y c8 . A intervalos regulares (quizá cada 40 pasos simplex), se vuelve a
calcular B- 1 y la E- 1 se borra. En el problema 9 se comprueba la ecuación (5), al final de
esta sección.
En un método más reciente se usan los métodos normales del álgebra lineal numérica,
considerando a la ecuación (4) como tres ecuaciones que comparten la misma matriz B:
J..B = c 8 ,
Bv =u,
Bxs = b.
(6)
La factorización de costumbre B = LU (o PB = LU, con intercambios de
porrazones de estabilidad) conduce a las tres soluciones. L y U pueden actualizarse, en vez de
calcularlas de nuevo.
Queda una pregunta: ¿Cuántos pasos simplex es necesario efectuar? Es imposible
contestar de antemano. La experiencia indica que el método toca sólo alrededor de 3m/2
vértices distintos, lo cual significa un conteo de operaciones aproximado de m 2n. Esto es
comparable con la eliminación normal para Ax= b, y es la razón del éxito del método simplex. Sin embargo, las matemáticas muestran que la longitud de la ruta no
puede
acotarse por cualquier múltiplo fijo o potencia de m. Los peores conjuntos factibles (Klee
y Minty inventaron un cubo lobulado) pueden obligar a que el método simplex intente cada vértice, a costo exponencial.
Fue el método de Khachian. lo que demostró que la programación lineal podía resolverse en tiempo polinomial.* Su algoritmo permaneció dentro del conjunto factible, y capturó ax* en una serie de elipsoides que se contraen. La programación lineal está en la clase
agradable P, no en la temible clase NP (como el problema del agente de ventas viajero).
Para problemas NP, se considera
no está demostrado) que todos los algoritmos determinísticos deben terminar en un tiempo interminablemente exponencial, en el peor de
los casos.
Todo este
el método
ha hecho su trabajo --en un tiempo medio del
que ya se ha demostrado (para variantes del método de costumbre) que es polinomial. Por
• El número de operaciones está acotado por potencias de m y n, como en la elinúnación. Para programación entera y factorización en primos, todos los algoritmos conocidos pueden ser exponencialmente largos. La célebre conjetura "P >"' NP'' establece que tales problemas no pueden tener
algoritmos polinomiales.
8.2
390
Capítulo 8
El método simplex
391
Programación lineal y teoría de juegos
alguna razón, oculta en la geometría de poliedros de muchas dimensiones, los malos conjuntos factibles son raros y el método simplex tiene suerte.
Ahora llegamos al evento más sensacional que ha ocurrido en la historia reciente de la programación lineal. Karmarkar propuso un método basado en dos conceptos simples, y en sus
experimentos derrotó al método simplex. Tanto la elección del problema como los detalles
del código son cruciales, y el debate sigue vigente. Sin embargo, las ideas de Karmarkar
eran tan naturales y se ajustaban tan perfectamente al marco de referencia del álgebra lineal aplicada, que pueden explicarse en unos cuantos párrafos.
La primera idea es comenzar desde un punto que esté dentro del conjunto factible: se
supondrá que es xº = (1, 1, ... , 1). Debido a que el costo es ex, la mejor dirección para reducir el costo es hacia -c. Normalmente, lo anterior nos saca del conjunto factible; mover0
1
1
se en esa dirección no preserva Ax = b. Si Axº = by Ax = b, entonces tu = x - x debe
satisfacer Atu = O. El paso tu debe estar en el espacio nulo de A. En consecuencia, -e
se proyecta sobre el espacio nulo, con la finalidad de encontrar la dirección factible más próxima a la mejor dirección. Este es un paso natural pero costoso en el método de Karmarkar.
El paso tu es un múltiplo de la proyección - Pe. Mientras más grande sea el paso, más
se reduce el costo, aunque no es posible salir del conjunto factible. El múltiplo de - Pe se
escoge de modo que x 1 esté próximo, aunque un poco adentro, de la frontera en la cual una
componente de x llega a cero.
Así se completa la primera idea: la proyección que proporciona el descenso factible
más pronunciado. El segundo paso requiere una nueva idea, ya que continuar en la misma
dirección es inútil.
La sugerencia de Karmarkar es transformar x 1 de vuelta a (1, 1, ... , 1) en el centro.
Su cambio de variables no era lineal, pero la transformación más simple es justo un reescalamiento por una matriz diagonal D. Luego ya hay espacio para moverse. El reescalamiento desde x hasta X= v- 1x cambia las restricciones y el costo:
Ax = b se vuelve ADX = b
En consecuencia, la matriz AD toma el sitio de A, y el vector cTD toma el lugar de cT. El
segundo paso proyecta la nueva e sobre el espacio nulo de la nueva A. Todo el trabajo está en esta proyección, para resolver las ecuaciones normales ponderadas:
(7)
1. Minimizar x 1 + x2 - x 3 , sujeto a
2x1 - 4x2 + x 3 + x 4
= 4
3xi + 5x2 + x 3
+ x 5 = 2.
¿Cuál de :;1• x2, x 3, d.ebe entrar a la base, y cuál de x 4 , x 5 , debe salir? Calcule el nuevo
par de variables bas1cas, y encuentre el costo en el nuevo vértice.
2. Después del paso simplex precedente, prepare y decida el paso siguiente.
3. En el ejemplo 3, suponga que el costo es 3x + y. Con reagrupamiento, el vector de
~os~o es e= (0, 1, 3, O). Demuestre que r 2: O y, en consecuencia, que el vértice pes
optimo.
4. Suponga q~e la función de costo en el ejemplo 3 es x - y, de modo que después de un
reagruparmento e = (0, -1, 1, 0) en el vértice P. Calcule r y decida qué columna u
debe ser elemento de ;a.base. Entonces calcule B- 1u y muestre desde su signo que
nunca llegará a otro vert1ce. En la figura 8.3 estamos escalando el eje y y x - y Uecra
a -oo.
e
5. De nuevo en el ejemplo 3, cambie el costo ax + 3y. Compruebe que el método simplex va de P a Q a R, y que el vértice R es óptimo.
6. La F~se !_encuentra una solución factible básica de Ax= b (un vértice). Después de
cambiar signos para. hacer b 2: O, considere el problema auxiliar de minimizar w 1 +
Wz +.:. · + Wm'.SUJeto ax 2: O, w 2: O, Ax+ w = b. Siempre que Ax= b tiene una
soluc10n nonegat1va, el costo mínimo en este problema es cero, con w * = O.
a) Demuestre que, para este nuevo problema, el vértice x = O, w = b es tanto básico como factible. En consecuencia, su Fase I ya está establecida, y el método simplex puede proceder para encontrar el par óptimo x •, w •. Si w • = O, entonces x *
es el vértice requerido en el problema original.
b) Con A = [l -1] Y b = [3], escriba el problema auxiliar, el vector de su Fase I
x = O, w = b, y su vector óptimo. Encuentre el vértice del conjunto factible
X¡ - x2 = 3, X¡ 2: x2 2: O, y trace una figura de este conjunto.
7. Si ~uisiera maximizarse ~1 costo en vez de minimizarlo (con Ax= by x 2: O), ¿cuál
sena_ la prueba de detención sobre r, y qué reglas escogerían la columna de N con la
finalidad de hacerla básica y la columna de B para hacerla libre?
La forma normal para calcular y es por eliminación. El proceso de Gram-Schmidt ortogonaliza las columnas de DAT, lo cual puede resultar costoso (aunque facilita el resto de los
cálculos). El método favorito para problemas ralos grandes es el método del gradiente conjugado, que proporciona la respuesta exacta más lentamente que la eliminación, aunque
puede aplicarse parcialmente y luego detenerse. A mitad de la eliminación no es posible de-
8. Minimice 2x 1 + x 2 , sujeto a x 1 + x 2 2: 4, x 1 + 3x2 2: 12, x 1 - x 2 2: O, x 2: o.
tenerse.
Así como otras ideas nuevas en la computación científica, el método de Karmarkar tuvo éxito en algunos problemas y en otros no. La idea subyacente fue analizada y mejorada.
Un éxito primordial lo constituyen métodos de
interior (que permanecen dentro del
conjunto factible) más recientes, que se mencionan en la siguiente sección. Y el método
simplex sigue siendo tremendamente valioso, como todo el tema de la programación lineal,
que fue descubierta siglos después que Ax = b, aunque comparte las ideas fundamentales
del álgebra lineal. De estas ideas, la que va más lejos es la de dualidad, que se presenta a
continuación.
10. Suponga que se quiere minimizar ex= x 1 x 2 , sujeto a
2x1 - 4x2 + x 3
= 6
3x1 + 6x2
+ X4 = 12 (todax¡, Xz, X3, X4?: 0).
9. C~~pruebe la inversa en la ecuación (5), y demuestre que BE tiene Bv = u en su
k-es1ma columna. Así, BE es la matriz básica correcta para la siguiente detención
E- 1B- 1 es su inversa, y E- 1 actualiza correctamente la matriz básica.
'
Empezando desde x = (O, O, 6, 12), ¿deben incrementarse x 1 o x 2 a partir de su valor
actual de cero? ¿Cuánto puede incrementarse hasta que la ecuación obliga a cero a x3
o x4 ? En ese punto, ¿cuál es el nuevo x?
392
Capítulo 8
8.3
Programación lineal y teoría de juegos
11. Para la matriz P = l - AT(AAT)-t A, demuestre que si x está en el espacio nulo de
A, entonces Px = x. El espacio nulo permanece sin cambio bajo esta proyección.
12. a) Minimice el costo
= 5x 1 + 4x2 + 8x3 sobre el plano x 1 + x2 + X3 = 3, probando los vértices P, Q, R, donde el triángulo está cortado por el requerimiento
El problema dual
393
Los conjuntos factibles para los problemas original y dual se ven completamente diferentes. El primero es un subconjunto de Rn, marcado por x:::: O y Ax:::: b. El segundo es u
.
de Rmid
.
su bconJ~nto
, ~:enrunado
por y 2:: O~".-T y c. Toda la teoría de la programación li-n
neal radica en la relac10n que hay entre el ongmal y el dual. A continuación se presenta el
resultado fundamental:
X 2:: Ü.
b) Proyecte e= (5, 4, 8) sobre el espacio nulo de A = [l 1 l], y encuentre el paso má-
ximo s que mantiene nonegativo a e - sPc.
La eliminación puede resolver Ax= b, pero los cuatro subespacios fundamentales han demostrado que una comprensión diferente y más profunda es posible. Es exactamente lo
mismo para la programación lineal. La mecánica del método simplex resuelve un programa lineai, aunque la dualidad se encuentra en el centro de la teoría subyacente. La introducción del problema dual es una idea elegante, que al mismo tiempo es fundamental para
las aplicaciones. Se explicará tanto como entendemos.
La teoría empieza con el problema original dado:
Minimizar ex, sujeto ax 2:: O y Ax 2:: b.
El problema dual comienza a partir de las mismas A, b, y e, e invierte todo. En el problema original, e está en la función de costo y b está en la restricción. En el problema dual, se
cambian b y c. La incógnita dual y es un vector renglón con m componentes, y el conjunto factible tiene yA ::: e, en vez de Ax 2:: b.
En corto, el dual de un problema mínimo es un problema máximo. Ahora y 2:: O:
Maximizar yb, sujeto a y 2:: O y
::: c.
El dual de este problema es el problema mínimo original. Hay simetría completa entre los
problemas dual y original. El método simplex es igualmente válido para una maximización; en todo caso, ambos problemas se resuelven a la vez.
Es necesario proporcionar una interpretación de todas estas inversiones. Aconsejan
una competencia entre el minimizador y el maximizador. En el problema de la dieta, el minimizador cuenta con n alimentos (mantequilla de cacahuate y bistec, en la sección 8.1).
Entran en el
de la dieta en las cantidades (nonegativas) x 1, . . . , Xn- Las restricciones representan m vitaminas requeridas, en vez de una restricción anterior de suficientes proteínas. El elemento aij mide la i-ésima vitamina en elj-ésimo alimento, y el i-ésimo
renglón de Ax :::: b obliga a que en la dieta se incluya por lo menos b; de esa vitamina. Si
cj es el costo delj-ésimo alimento, entonces c 1 x 1 + · · · + CnXn = ex es el costo de la dieta. Este es el costo que debe minimizarse.
En el dual, el farmacéutico vende
de vitamina, a
y¡ 2:: O. Debido a
que el alimento j contiene vitaminas en las cantidades aij, el precio del farmacéutico para
el equivalente de vitaminas no puede exceder el precio cj del tendero. Esta es laj-ésima restricción en yA ::: c. Al trabajar dentro de esta restricción sobre los precios de las vitaminas,
el farmacéutico puede vender la cantidad requerida b; de cada vitamina por un ingreso total de y 1b 1 + · · · + Ymbm = yb a maximizar.
Si los vectores óptimos no existen, hay dos posibilidades: ya sea que ambos conjuntos factibles son vacíos o uno es vacío y el otro problema no está acotado (el máximo es +oo 0
el mínimo es -oo).
El teorema de dualidad establece la competencia entre el tendero y el farmacéutico. El
resultado siempre es un empate. En la teoría de juegos se encuentra un "teorema minimax"
semejante. El cliente no tiene ninguna razón económica para preferir las vitaminas a los alimentos, aun cuando el farmacéutico garantice igualar al tendero en cada alimento --e incluso venda más barato los alimentos costosos (como la mantequilla de cacahuate). Se
demostrará que los alimentos costosos se mantienen fuera de la dieta original, de modo que
ser (y es) un empate.
la salida
Lo anterior puede parecer un punto muerto, aunque espero que el lector no se deje engañar. Los vectores óptimos contienen la información crucial. En el problema original, x*
indica al comprador qué comprar. En el dual, y* fija los precios naturales (precios
narios) a los cuales la economía debería marchar. En tanto nuestro modelo lineal refleje la
verdadera economía, x * y y* representan las decisiones esenciales que han de tomarse.
Se
demostrar que ex* = y*b. Puede parecer evidente que el farmacéutico
pueda subir los precios y* de las vitaminas para encontrar al comprador, aunque sólo una
cuestión es verdaderamente clara: Debido a que cada alimento puede sustituirse por su
equivalente vitamínico, sin incremento en el costo, todas las dietas alimentarias idóneas deben costar por lo menos tanto como las vitaminas. Esta desigualdad es unilateral: precio del
farmacéutico ::: precio del tendero. Se denomina dualidad débil, y es fácil demostrarlo para cualquier programa lineal y su dual:
Demostración Debido a que los vectores son factibles, satisfacen Ax :::: b y yA ::: c. Debido a que la factibilidad también incluye x :::: O y y :::: O, es posible tomar productos internos sin arruinar estas desigualdades (multiplicar por números negativos debe invertirlos):
yAx 2:: yb
Debido a que los miembros
y
yAx::: ex.
(1)
son idénticos, se tiene la dualidad débil yb ::: ex. 1111
Esta desigualdad unilateral
la posibilidad de que ambos problemas sean no
acotados. Si yb es arbitrariamente grande, unax factible contradice yb::: ex. De manera semejante, si ex puede ir hacia -oo, entonces el dual no puede admitir una y factible.
Igualmente
cualesquiera vectores que alcancen yb = ex deben ser óptimos. En este punto el
del tendero es igual al del farmacéutico. Una dieta alimentaria óptima y los precios óptimos de las vitaminas se reconocen por el hecho de que el
394
Capítulo 8
8.3
Programación lineal y teoría de juegos
consumidor no tiene nada que elegir:
Debido a que ningún y puede hacer yb más grande que ex, la y que alcanza este valo~
es óptima. De manera semejante, cualquier x que alcance el costo ex = yb debe ser una x
óptima.
A continuación se proporciona un ejemplo con dos alimentos y dos vitaminas. Observe que AT aparece cuando se escribe el dual, ya que yA :;: e para vectores renglón significa AT yT :;: eT para columnas.
Original
Minimizar x 1 + 4x2
sujeto a x 1 :::: O, x2 :::: O
2X¡
5X¡
+ X2 2'.: 6
+ 3X2 2'.: 7.
Dual
Maximizar 6y 1 + 7y2
sujeto a Yt :::: O, Y2 :::: O
2y¡ + 5y2 ::: l
y 1 + 3x2 :::=: 4.
Solución x 1 = 3 y x2 = O son factibles, con costo x 1 + 4x2 = 3. En el dual, Y1 = ~ Y
y2 =O proporcionan el mismo valor 6y 1 + 7y2 = 3. Estos vectores deben ser óptimos.
Por favor, observe la situación detenidamente para ver lo que ocurre realmente en el
momento en que yb = ex. Algunas de las restricciones de desigualdad son estricta~, lo cual
significa que se cumple la igualdad. Otras restricciones son flojas, y la regla clave nene sentido económico:
xt
=O cuahdoel precio de los.alimentósjse fija por arnba desu
equivalente vitamínico.
El precio es y( = o cuando se tiene una sobreoferfa de vítamina i en la díeta x*.
i). La dieta tiene
En el ejemplo, x 2 = O porque el segundo alimento es demasi~do costoso. ~u pr~cio excede el precio del farmacéutico, ya que y 1 + 3y2 :::=: 4 es una desigualdad estncta 2 +O< 4.
De manera semejante, la dieta requería siete unidades de la segunda vitamina, aunque en
realidad proporcionó 5x 1 + 3x2 = 15. Así, se encontró y2 = O, y esta vitamina es un producto libre. Puede verse cómo se ha completado la dualidad.
Estas condiciones de optimalidad pueden entenderse fácilmente en términos matriciales. A partir de la ecuación (1) se quiere y*Ax* = y*b en el óptimo. La factibilidad requiere Ax* :::: b, y se buscan cualesquiera componentes en las que fracase la igualdad. Esto
corresponde a una vitamina que esté sobreofrecida, de modo que su precio es y¡* = O.
Al mismo tiempo se tiene /A :;: c. Todas las restricciones estrictas (alimentos costosos) corresponden ax~ =O (omisión en la dieta). Esta es la clave para y*Ax*= ex*, que
1
se requiere. Estas son las condiciones flojas complementarias de la programación lineal,
y las condiciones de Kuhn-Tucker de programación no lineal:
vectores óp1tin10~
si (Ax*); > b;
A continuación se repite la demostración. Cualesquiera vectores factibles x y y satisfacen
la dualidad débil:
(3)
yb:;: y(Ax) = (yA)x :;: ex.
El problema dual
395
Se requiere la igualdad, y sólo hay una forma en que y*b puede ser igual a /(Ax''). Cada
vez que b; < (Ax*);, el factor y;* que multiplica a estas componentes debe ser cero.
De manera semejante, la factibilidad proporciona yAx :;: ex. La igualdad se obtiene sólo cuando se cumple la segunda condición de flojera. Si hay un sobreprecio (y*A). <e-, debe cancelarse a través de la multiplicación por xj = O. Así, se queda con y• b ='ex• ~n la
ecuación (3). Esta igualdad garantiza la optimalidad de x· y y*.
Demostración de la dualidad
La desigualdad unilateral yb :::=: ex fue fácil de demostrar; proporcionó una prueba rápida
para vectores óptimos (la convierten en igualdad); y ahora ha proporcionado las condiciones de flojera en la ecuación (2). Lo único que no ha hecho es mostrar que y* b = ex* realmente es posible. El teorema de dualidad no está completo sino hasta que se obtienen estos
vectores óptimos.
Para obtener y*, se regresa al método simplex, que ya ha calculado x*. El problema
consiste en mostrar que el método se detuvo en el momento indicado para el problema dual
(aun cuando se construyó para resolver el problema original). Recuerde que las m desigualdades Ax :::: b se cambiaron a ecuaciones, mediante la introducción de las variables flojas
w =Ax- b:
Factibilidad miginal
y
[~] :::: o.
(4)
Cada paso simplex escogió m columnas de la matriz larga [A -1] para hacerlas básicas, y
las desplazó (teóricamente) hacia el frente. Así se obtuvo [B N]. El mismo desplazamiento reordenó el largo vector de costo [c O] en [es cNl· La condición de detención, que llevó a término al método simplex, era r = cN - c 8 B- 1N :::: O.
Esta condición r:::: O se alcanzó finalmente, ya que el número de vértices es finito. En
ese momento, el costo era lo más bajo posible:
Costo mínimo
ex* = [Ca
CN]
[B-'ob]
= CBB -1 b.
(5)
Si en el dual puede escogerse y*= c 8 B- 1 , ciertamente se tiene y*b =ex*. El mínimo y el máximo son iguales. Debe demostrarse que esta y* satisface las restricciones duales yA :::: e y y :::: O:
Factibilidad dual
y[A
-I]:::;[c o].
(6)
Cuando el método simplex vuelve a mezclar la gran matriz y el vector para poner primero
las variables básicas, esto reagrupa las restricciones en la ecuación (6) como
(7)
Para y* = c 8 B- 1, la primera mitad es una igualdad y la segunda es c 8 B- 1 N :::=: CN· ¡Esta
es la condición de detención r 2: O que se sabe debe cumplirse! En consecuencia, la y* es
factible, y se ha demostrado el teorema de dualidad. Al localizar la matriz crítica B de m
por m, que es no singular en tanto esté prohibida la degeneración, el método simplex ha
producido la y* óptima, así como x •.
396
Capítulo 8
397
Programación lineal y teoría de juegos
::. -· 1~.:.:.L
Métodos de
Precios im::>nin:::11·in!l
En cálculo, todo mundo conoce la condición para un máximo o un núnimo: las primeras
derivadas son cero. Sin embargo, este hecho es transformado completamente por las restricciones. El ejemplo más sencillo es la recta y = x. Su derivada nunca es cero, el cálculo
es exactamente la
parece inútil, y ciertamente la mayor y ocurre al final del intervalo.
situación en programación lineal! Hay más variables, y un intervalo se sustituye por un
conjunto factible, aunque el máximo sigue encontrándose en un vértice del conjunto factible (con sólo m componentes diferentes de cero).
El problema en programación lineal es localizar ese vértice. Para este efecto, el cálculo no es completamente inútil. Lejos de ello, porque los "multiplicadores de Lagrange"
harán cero las derivadas en el máximo y en el núnimo. Las variables duales y son exactamente los multiplicadores de Lagrange. Y responden la pregunta clave: ¿Cómo cambia el
costo mínimo ex* =
si se cambian b o e?
Esta es una pregunta en análisis de sensibilidad. Permite obtener información adicional del problema dual. Para un economista o un ejecutivo, estas preguntas sobre costo marson las más importantes.
Si se permiten grandes cambios en b o en e, la situación se comporta de manera bastante irregular. Cuando aumenta el precio de los huevos, hay un punto en el que éstos desaparecen de la dieta. La variable xhuevo salta de básica a libre. Para seguirla correctamente, es
necesario introducir programación "paramétrica". Pero si los cambios son pequeños, el vértice que era
permanece siendo
La elección de las variables básicas no
cambia; By N siguen siendo las mismas. Geométricamente, el conjunto factible se ha des. plazado un poco (al cambiar b), y los planos que lo cortan se han inclinado (al cambiar e).
Cuando estos cambios son pequeños, el contacto ocurre en el mismo vértice (que se ha movido ligeramente).
Al final del método simplex, cuando se conocen las variables básicas idóneas, las m
columnas correspondientes de A constituyen la matriz base B. En ese vértice, un desplazamiento de tamaño Ab modifica el costo mínimo por y* M. La solución dual y* proporciona la razón de cambio del costo mínimo (su derivada) respecto a cambios en b. Las
componentes de y• son los precios
Si el requerimiento para una vitamina sube por A y el precio del farmacéutico es y~, entonces el costo de la dieta (del farmacéutico
o del tendero) sube por y~ A. En el caso en que y~ es cero, esa vitamina es un producto libre y el pequeño cambio no tiene ningún efecto. La dieta ya contenía más que b 1•
Ahora se
una pregunta diferente. Suponga que se insiste en que la dieta contenga una pequeña cantidad digerible de huevo. La condición Xhuevo '.::: O cambia a Xhuevo '.:::
8. ¿Cómo modifica esto al costo?
Si en la dieta x * hubiera huevo, no habría ningún cambio. Pero si x:uevo = O, habrá un
costo extra por agregar la cantidad 8. El incremento no será en todo el precio chuevo8, ya
que es posible reducirlo de los otros alimentos. El costo reducido de los huevos es su propio precio, menos el precio que se paga por el equivalente en alimentos más baratos. Para
calcularlo, se regresa a la ecuación (2) de la sección 8.2:
1
costo= (cN - c 8 B- 1N)xN + c 8 B- 1b = rxN + csB- b.
variable libre, entonces el incremento de la primera componente
Si el huevo es la
de xN a 8 aumenta el costo por r18. El verdadero costo del huevo es r 1• Este es el cambio
en el costo de la dieta cuando la cota inferior cero (restricción de no negatividad) se mueve hacia arriba. Se sabe que r ::::: O, y la econonúa indica lo mismo: el costo reducido de los
huevos no
ser negativo, o habrían entrado a la dieta.
iMedor~~,,,,,
.. .
: ;~~ .
;:.:; . ,, . - ,,,,_,:;~ .- -RE::" :'R"'"'IT'~)EL URUGUAY
El método simplex se mueve a lo largo de los vértices dcl c(;i'iJunto 'factible, para llegar finalmente al vértice óptimo x*. Los métodos de puntos interiores empiezan dentro del conjunto factible (donde todas las restricciones son desigualdades). Estos métodos esperan
moverse directamente ax· (y también encontrar y*). Una vez que están muy próximos a la
respuesta, se detienen.
Una forma de permanecer dentro es colocando una barrera en la frontera. Agregar un
costo extra en la forma de un logaritmo que se infla cuando cualquier variable x o cualquier
variable floja w = Ax - b toca cero. El número e es un pequeño parámetro a escoger:
Problema con barrera p (0)
Minimizar ex -
e (~In X; + ~ ln W¡).
(8)
Este costo es no lineal (aunque la programación lineal de hecho ya no es lineal, a partir de
las desigualdades). La notación es más simple si el vector largo (x, w) vuelve a identificarse como x y [A - l] se vuelve a identificar como A. Ahora, las restricciones originales son
x ::::: O y Ax = b. La suma de ln X; en la barrera pasa ahora a m + n.
Las restricciones duales son yA ::S c. (Cuando se tiene Ax = ben el original no se requiere y?:: O). La variable
es s =e - yA, con s::::: O. ¿Cuáles son las condiciones de
quex y y sean las x* y y* óptimas? Junto con las restricciones se requieKuhn-Tucker
= y*b.
la barrera se obtiene un problema aproximado P(B). Para sus condiciones
de Kuhn-Tucker de optimalidad, la derivada de In x; proporciona l/x;. Si a partir de estos
números positivos X; se crea una matriz diagonal X, y se usa e= [1 ... 1] para el renglón
vector de n + m unos, entonces la optimalidad en P (B) es como sigue:
(vectores columna)
Dual (vectores ~d,~~11.n~
Ax= b con x::::: O
y A+ BeX- 1 =e
(9a)
(9b)
Cuando e-+ O, es de esperar que las X y y óptimas tiendan ax* y y" para el problema original sin barrera, y que Bex- 1 permanezca no negativo. El plan es resolver las ecuaciones
(9a y 9b) con barreras cada vez más pequeñas, dadas por el tamaño de e.
En realidad, estas ecuaciones no lineales se resuelven aproximadamente con el método de Newton (lo cual significa que son linealizadas). El término no lineal es s = eeX- 1•
Para evitar 1/x;, lo anterior se vuelve a escribir como sX =Be. Al crear la matriz diagonal
S a partir des, ésta es eSX = ee. Si e, y, e, y s se cambian a vectores columna, y se traspone, ahora la optimalidad consta de tres partes:
Dual
No lineal
Ax= b, x::::: O.
ATy+s=c.
(lOb)
XSe -ee =O.
(lOc)
(lOa)
El método de Newton
un paso~' ó.y, &, a partir de las x, y, s, actuales.
tas resuelven las ecuaciones (lOa) y (lüb), pero no la (lOc).) Al ignorar el término de segundo orden Li.Xthle, ¡las correcciones provienen de ecuaciones lineales!
Paso de Newton
(l la)
A ll.x =O.
AT ó.y + !);.s = O.
(llb)
S !);.x +X !);.s =Be - X Se.
(1 lc)
3911
Capítulo 8
Programación lineal y teoría de juegos
8.3
Las notas de Robert Freund para su curso en el MIT afianzan la razón de convergencia
(cuadrática) y la complejidad computacional de este algoritmo. Sin importar las dimensiones m y n, la brecha de dualidad sx suele estar abajo de 10-s luego de entre 20 a 80 pasos
de Newton. Este algoritmo se utiliza casi "como es" en software comercial de punto interior, así como para una amplia variedad de problemas de optimización no lineal.
El problema dual
399
¿Cuál es la alternativa si b está fuera del cono? En la figura 8.4 también se muestra
un "hiperplano de separación" que tiene, al vector b en un lado y a todo el cono en el otro
lado. El plano consta de todos los vectores perpendiculares a un vector fijo y. El ángulo entre y y b es mayor que 90°, por lo que yb < O. El ángulo entre y y toda columna de A es menor que 90°, de modo que yA 2:: O. Esta es la alternativa que se buscaba. Este teorema del
hiperplano de separación es fundamental para la economía matemática.
Teoría de las desigualdades
La dualidad puede estudiarse en más de una forma. Rápidamente se demostró yb ::5 ex, Y
luego se aplicó el método simplex para obtener la igualdad. Esta es una prueba constructiva; x* y y* se calculan en realidad. A continuación se aborda brevemente un método diferente, en el que se omite el algoritmo simplex, y se analiza más directamente la geometría.
Considero que los conceptos clave son igualmente claros (de hecho, quizá más claros) si
se omiten algunos detalles.
,
La mejor ilustración de este método se encuentra en el Teorema Fundamental del Algebra Lineal. El problema en el capítulo 2 consistía en encontrar b en el espacio columna
de A. Después de la eliminación y los cuatro subespacios, la cuestión de resolubilidad fue
respondida en una forma completamente distinta por el problema 11 en la sección 3.1:
Este es el teorema de la alternativa, porque encontrar tanto a x como a y es imposible: si
Ax = b entonces yAx = yb ~ O, lo cual contradice a yAx = Ox = O. En el lenguaje de los
subespacios, b está en el espacio columna, o tiene una componente adherida en el espacio
nulo izquierdo. Esta componente es la y que se busca.
Para desigualdades, se desea encontrar un teorema que sea exactamente del mismo
tipo. Se empieza con el mismo sistema Ax = b, pero se agrega la restricción x :::: O. ¿Cuándo existe una solución nonegativa de Ax = b?
En el capítulo 2, b estaba en cualquier parte del espacio columna. Ahora sólo se permiten combinaciones nonegativas, y las bs ya no llenan un subespacio. En vez de lo anterior, ocupan una regi6n en forma de cono. Paran columnas en Rm, el cono se convierte en
una pirámide de extremo abierto. En la figura 8.4 se muestran cuatro vectores en R 2 , y A
es de 2 por 4. Si b está en este cono, existe una solución nonegativa de Ax = b; en caso
contrario, no.
p
~oc:~ en Si b = [
_;J,
entonces y= [O
l] proporciona yl 2:: O pero yb = -3.
El eje x, perpendicular a y = [O l], separa b del cono = cuadrante.
A continuación se presenta un par de alternativas curiosas. Es imposible que un subespacio S y su complemento ortogonal s.i. contengan vectores positivos. El producto interno
debe ser positivo, no cero. Sin embargo, S podría ser el eje x y s.i. podría ser el eje y, en cuyo caso contienen a los vectores "semipositivos" [l O] y [O l]. Esta alternativa ligeramente más débil funciona: Ya sea que S contiene un vector positivo x > O, o que S.l.. contiene
un y 2:: O diferente de cero. Cuando S y S.l.. son rectas perpendiculares en el plano, una o la
otra deben estar en el primer cuadrante. No puedo ver claramente esto en tres o cuatro dimensiones.
Para la programación lineal, las alternativas importantes provienen cuando las restricciones son desigualdades. ¿Cuándo ocurre que el conjunto factible es vacío (no x)?
Demostración Las variables flojas w =Ax - b cambian aAx 2:: ben una ecuación. Se aplica 8I:
Primera alternativa
[A
:Sei1i:m1da alternativa
y [A
- l ] [
~] = b para algún [ ~] 2:: O.
- l] 2:: [O
O] para alguna y con
yb < O.
11111
Este es el resultado que conduce a una "demostración no constructiva" del teorema de dualidad.
plano de
separación
columna 2
Las combinaciones nonegativas de las columnas de A = ! llenan el cuadrante positivo
b 2:: O. Para cualquier otra b, la alternativa debe cumplirse para alguna y:
b
y
columna 3
figura 8.4 Cono de las combinaciones nonegativas de las columnas: b = Ax con x 2:: O.
Cuando b está fuera del cono, está separado por un hiperplano (perpendicular a y).
1. ¿Cuál es el dual del siguiente problema: Minimizar x 1 + x 2 , sujeto a x 1 :::: O, x 2 :::: O,
2x 1 :::: 4, x 1 + 3x2 :;::: 11? Encuentre la soluci6n de este problema y su dual, y compruebe que el mínimo es igual al máximo.
2. ¿Cuál es el dual del siguiente problema: Maximizar y2 , sujeto a y 1 2:: O, Y2 2:: O,
y 1 + y 2 :S 3? Resuelva este problema y su dual.
3. Suponga que A es la matriz identidad (de modo que m = n), y que los vectores by e
son nonegativos. Explique por qué x* = bes óptimo en el problema del mínimo, en-
400
Capítulo 8
8.4
Programación lineal y teoría de juegos
cuentre y* en el problema del máximo, y
que los dos valores son
Si la primera componente debes negativa, ¿cuáles son x* y y*?
Modelos de redes
401
16. Use 8H para demostrar que la siguiente ecuación no tiene solución, ya que la alternativa se cumple:
4. Construya un ejemplo de l por 1 donde Ax 2: b, x 2: O es no factible, y el
dual no esté acotado.
con la matriz de 2 por 2 A =
5.
[b -~],escoja by e de modo que los dos
17. Use 81 para demostrar que no hay solución x =:::O (la alternativa se cumple):
conjuntos factibles Ax 2: b, x 2: O y y A .:se, y 2: O sean vacíos.
6. Si todos los elementos de A, b, y e son positivos, demuestre que tanto el original como el dual son factibles.
7. Demuestre que x = (1, 1, 1, 0) y y = (1, 1, O, 1) son factibles en el original y en el
dual, con
Luego, después de calcular ex y yb, explique cómo se sabe que son óptimos.
8. Verifique que los vectores en el
previo satisfacen las condiciones de flojedad
complementarias en la ecuación (2), y encuentre la desigualdad floja tanto en el original como en el dual.
9. Suponga que A =
[6 ~], b = [-:J, y e = [iJ. Encuentre las x y y óptimas, y
compruebe las condiciones de flojedad complementarias (así como yb = ex).
10. Si el problema original se restringe por ecuaciones en vez de por desigualdades -Minimizar ex sujeto a Ax = b y x 2: 0-- luego, el
y 2: O se deja fuera del
dual: Maximizar yb sujeto a yA .:s c. Demuestre que la desigualdad unilateral yb .:S ex
sigue cumpliéndose. ¿Por qué en la ecuación (1) se
y 2: O pero aquí no es necesario? Esta dualidad débil puede completarse para dualidad total.
11. a) Sin utilizar el método simplex, minimice el costo 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 , sujeto a
x 1 + x2 + x3 2: 1, x 1 2: O, x2 2: O, X3 2: O.
b) ¿Cuál es la forma del conjunto factible?
e) ¿Cuál es el problema dual, y cuál es su solución y?
12. Si el problema original tiene una solución única x*, y luego e se modifica ligeramente, explique por qué x· sigue siendo la solución óptima.
3
-4
18. Demuestre que las alternativas en 8J (Ax 2: b, x 2: O, y A 2: O, yb < O, y .:s O) no
pueden cumplirse. Sugerencia: yAx.
Algunos problemas lineales tienen una estructura que llega muy rápido a su solución. Las
matrices de banda tienen elementos diferentes de cero cerca de la diagonal principal, y es
fácil resolver Ax = b. En programación lineal, se tiene interés en la clase especial para la
cual A es una matriz de incidencia. Sus elementos son -1 o + 1, o (en su mayoría) cero,
y los pasos de pivoteo sólo
sumas y restas. Es posible resolver problemas mucho
más grandes que los de costumbre.
Las redes se presentan en todo tipo de aplicaciones. La circulación en un crucero satisface las leyes de la corriente de Kirchhoff: el flujo que entra es igual al flujo que sale.
Para gas y petróleo, la programación de redes ha diseñado sistemas de conducción que son
millones de dólares más baratos que los diseños intuitivos (no optimizados). ¡La programación de pilotos, tripulaciones y aviones se ha convertido en un problema importante en
del matrimonio: maximizar el númatemáticas aplicadas! Incluso se resuelve
mero de matrimonios cuando las novias están vetadas. Este problema puede no ser real, pero es uno que resuelve la programación de redes.
El problema en la figura 8.5 consiste en maximizar
de
al sumidero.
Los flujos no
exceder las capacidades indicadas en las aristas, y las direcciones proporcionadas por las :flechas no pueden invertirse. El flujo sobre las dos aristas hacia el sumidero no puede exceder 6 + l = 7. ¿Es posible alcanzar este total de 7? ¿Cuál es
máximo de
a derecha?
Las incógnitas son los flujos x,j del nodo i al nodo j. Las restricciones de capacidad son
xij .:S cij. Los flujos son nonegativos: xij 2: O en dirección de las :flechas. Al maximizar el flujo de regreso x 61 (la recta punteada), se maximiza el flujo total hacia el sumidero.
- - - - de regreso X51
r
13. Escriba el dual del siguiente problema: Maximizar x 1 + x 2 + x 3 sujeto a 2x 1 + x 2 .:S 4,
x 3 .:s 6. ¿Cuáles son las
y y* óptimas (¡en caso de existir!)?
14. Si A =
2
[¿ i], describa el cono de combinaciones nonegativas de las columnas. Si b
está dentro del cono, por
b = (3, 2), ¿cuál es el vector factible x? Si b está fuera, por ejemplo b = (O, 1), ¿qué vector y sigue satisfaciendo la alternativa?
ioo - ~
-ollllllf-----
4
5
\
capacidad'
de corte ',
2+3+1\
1
fuente
15. En tres dimensiones, ¿es posible encontrar un conjunto de seis vectores cuyo cono de
combinaciones nonegativas llene todo el espacio? ¿Qué puede decir sobre cuatro vectores?
3
6
sumidero
1
5
\
4
8.5
\
Red con 6 nodos con aristas de capacidad: el problema del flujo máximo.
8.4
402
Capítulo 8
Modelos de redes
403
Programación lineal y teoría de juegos
Aún se escuchará hablar de otra restricción. Se trata de la "ley de conservación": el flujo que entra en cada nodo es igual al flujo que sale de cada nodo. Esta es la ley de la corriente de Kirchhoff:
LXij -
Ley de la corriente
L X j k =O
(1)
para j = l, 2, ... , 6.
k
Los flujos xij entran al nodo j provenientes de nod?~ previos i. Los fl~j?s Xjk salen de~no­
do ja nodos posteriores k. El balance de la ecuac1on (1) puede escnbrrs: ,como Ax -: O,
donde A es una matriz de incidencia nodo-arista (la traspues~ de la secc1on 2.5). A nene
una flecha por cada nodo y una columna+ 1, -1 para cada ansta:
-1
1
-1
Matriz de
incidencia
l
l
-1
-1
A=
-1
arista
12
13
24
25
-1
l
-1
1
46
56
61
-1
-1
34
35
nodo 1
2
3
4
5
6
Lo anterior sugiere una forma de construir el flujo maximal: Comprobar si alguna trayectoria posee una capacidad no utilizada. En caso de encontrar una, agregar flujo a lo largo de la "trayectoria aumentada". Luego, calcular las capacidades restantes y decidir si el
sumidero está cortado respecto a la fuente o si es posible añadir flujo adicional. Si cada nodo en S se identifica con el nodo previo del que pudo provenir el flujo, entonces es posible
realizar un rastreo para encontrar la trayectoria del flujo adicional.
Suponga que hay cuatro mujeres y cuatro hombres. Algunas de estas 16 parejas son compatibles y otras no. ¿Cuándo es posible encontrar un emparejamiento completo, en la que
todos estén casados? Si el álgebra lineal es capaz de trabajar en el espacio de dimensión 20,
ciertamente puede manejar el problema trivial del matrimonio.
Hay dos formas de presentar el problema: en una matriz o en una gráfica. La matriz
contiene aij = O si la i-ésima mujer y el j-ésimo hombre no son compatibles, y ªu = 1 si
están intentando ser compatibles. Así, el renglón i proporciona las opciones de la i-ésima
mujer, y la columnaj corresponde alj-ésimo hombre:
A -
máximo
=
Maximizar x 61 sujeto a Ax = O Y O:::; X;j :::; Cij ·
Un flujo de 2 puede ir en la trayectoria 1-2-4-6-1. Un flujo de 3 puede ir a lo largo de 1-34-6-1 Un flujo adicional de 1 puede seguir la trayectoria más corta 1-3-5-6-1. El total es
6, y ~da más es posible. ¿Cómo se demuestra que el flu~~ maxímal es 6 Y no 1:
El método al tanteo es convincente, pero las matemaucas son concluyentes. La clave
es encontrar un corte en la red, a través del cual todas las capacidades se llenen. Est~ corte separa los nodos 5 y 6 de los demás nodos. Las aristas que van directamente a trave~ del
corte tienen una capacidad total de 2 + 3 + 1 = 6, ¡y nada ~ás puede cruzar!. La dualidad
débil establece que cada corte constituye una cota para el fluJO total, y la dual:dad to~ establece que el corte de menor capacidad (el corte minimal) se llena por el flu30 maxrmal.
Teorema del flujo máx-corte mín
ira:vés
Un "corte" separa los nodos en dos grupos S y T (fuente en S y sumidero en 1). Su capacidad es la suma de las capacidades de todas las aristas que cruzan desde el corte (de S a
1). Varios cortes podrían tener la misma capacidad. Cie~ente, el flujo total nu,nca puede ser mayor que la capacidad total a través del corte ~mal. El problema, aq~1 Y en t?do lo que concierne a la dualidad, es demostrar que la igualdad se alcanza gracias al flujo
y el corte idóneos.
=
Demostración de que flujo máx corte mín Suponga que un flujo es maxirnal. Al~u­
nos nodos aún podrían alcanzarse desde la fuente mediante flujo adicional, sin excede~ mnguna de las capacidades. Estos nodos van con l~ fuente ?~cia el, conj~nto S. El ~urmdero
debe estar en el conjunto restante T, o bien, ¡hub1eran rec1b1do r:ias ~UJO! C:ada ansta a través del corte debe llenarse, o flujo adicional podría avanzar mas le3os ha~ia el nodo en T.
Así, el flujo maximal llena este corte a su capacidad y se ha alcanzado la igualdad.
1111
[gi g~ g~ gil
tiene 6 pares compatibles
La gráfica de la izquierda en la figura 8.6 muestra dos matrimonios posibles. Ignorando la
fuente s y el sumidero t, tiene cuatro mujeres en la izquierda y cuatro hombres en la derecha. Las aristas corresponden a los ls en la matriz, y las capacidades son l matrimonio.
Entre la primera mujer y el cuarto hombre no hay aristas, ya que la matriz tiene a 14 = O.
Podría parecer que no es posible alcanzar el nodo M 2 por más flujo, ¡pero éste no es
el caso! El flujo adicional a la derecha va de regreso para cancelar un matrimonio existente. Este flujo adicional realiza tres matrimonios, lo que es maximal. El corte minimal lo cruzan 3 aristas.
Un emparejamiento completo (en caso de ser posible) es un conjunto que tiene cuatro
ls en la matriz. Éstos pueden provenir de cuatro renglones distintos y cuatro columnas diferentes, ya que no se pennite la bigamia. Es como encontrar una matriz de permutación
dentro de los elementos de A diferentes de cero. En la gráfica, esto significa cuatro aristas
sin ningún nodo en común. El flujo maximal es menor que 4 exactamente cuando un emparejamiento completo es imposible.
l
s
s
t
1
figura 8.6 Dos matrimonios a la izquierda, tres (máximo) a la derecha. El tercero es creado agregando dos nuevos matrimonios y un divorcio (flujo hacia atrás).
404
Capítulo 8
Programación lineal y teoría de juegos
En nuestro
el
maximal es 3, no 4. Se
los matrimonios 1-1, 2-2,
4-4 (así como varios otros conjuntos de tres matrimonios), aunque no hay forma de lograr
cuatro. El corte minimal a la derecha separa a las dos mujeres en el fondo de los tres homlo cual
bres en la parte superior. Las dos mujeres sólo tienen un hombre restante para
no es suficiente. La capacidad a través del corte es sólo de 3.
La
1.
es decisiva. La misma imposibilidad puede plantearse en varias formas:
(Para
Resulta imposible poner cuatro peones en escaques que tienen ls en
8.4
(Para matrices de matrimonio) Los ls en la matriz pueden cubrirse con tres líneas
horizontales o verticales. Esto es igual al número de matrimonios.
3. (Para
lineal) Toda matriz con los mismos ceros que A es singular.
Recuerde que el determinante es una suma de 4! = 24 términos. En cada término se utilizan los cuatro renglones y columnas. Los ceros en A hacen cero a todos los 24 términos.
¡Un bloque de ceros impide un emparejamiento completo! La submatriz de 2 por 3 en
los renglones 3 y 4 y en las columnas 1, 2, 3 de A es completamente cero. La regla general para una matriz de n por n es que un
q de ceros
un enuJtzre·tai':fn.ento
+ q > n. Aquí las mujeres 3, 4 sólo podrían casarse con 4 hombres. Si p
pueden casarte con n - q y p > n - q hombres (lo cual es igual al bloque cero con p +
q > n), de modo que un emparejamiento completo es imposible.
El problema matemático es demostrar lo siguiente: si a todo
le
por lo menos p hombres, w1
es im1vo•sil,le.
condición de Hall. Ningún bloque de ceros es demasiado grande. Cada mujer debe agradarle por lo menos a un hombre; dadas dos mujeres, una de ellas debe agradarle por lo menos a dos hombres, y así sucesivamente, hasta p = n.
Sl
La demostración es más sencilla si las capacidades son n, en vez de 1, sobre todas las
aristas a través de la parte de en medio. Las capacidades que salen de la fuente y se dirigen
hacia el sumidero siguen siendo 1. Si el flujo maximal es n, entonces las aristas que van de
la fuente al sumidero están llenas, y el flujo produce n matrimonios. Cuando un emparejamiento completo es imposible y el flujo máximo está por abajo de n, algún corte debe ser
Ese corte mantiene a la capacidad por abajo de n, de modo que las aristas de en medio la cruzan. Suponga que p nodos a la izquierda y r nodos a la derecha están en el conjunto S con la fuente. La capacidad a través de ese corte está a n - p de la fuente a las
mujeres restantes, y a r de estos hombres al sumidero. Debido a que la capacidad de corte
otro. Sin emestá por debajo de n, las p mujeres sólo agradan a los r hombres y a
bargo, la capacidad n - p + r está por abajo de n exactamente cuando p > r, y la condición de Hall fracasa.
405
sumidero. Si las aristas son líneas telefónicas y las longitudes son tiempos de retraso, se está encontrando la ruta más rápida para una llamada. Si los nodos son computadoras, se
está buscando el protocolo perfecto para pasar el mensaje.
Un problema estrechamente relacionado encuentra el árbol generador más corto: un
conjunto den - 1 aristas que unen todos los nodos de la red. En vez de ir rápidamente de
una fuente a un sumidero, ahora se está minimizando el costo de conectar todos los nodos.
No hay ciclos porque el costo de cerrar un ciclo es innecesario. Un árbol generador conecta los nodos sin ciclos, y se desea encontrar el más corto. A continuación se presenta un algoritmo posible:
1.
A, de modo que bajo enroque no es posible, puede comer a cualquier otro enroque.
2.
Modelos de redes
Se empieza en cualquier nodo s y se repite el paso siguiente:
Sumar la arista más corta que une el árbol actual a un nuevo nodo.
En la figura 8.7, las longitudes de las aristas se observan en el orden 1, 2, 7, 4, 3, 6. El último paso omite la arista de longitud 5, que cierra un ciclo. La longitud total es 23, pero,
¿es mínimo? La arista de longitud 7 se aceptó muy fácil, y el segundo algoritmo proporciona una longitud más larga.
8
r.
2
1
uiente?•
i3 ¿siguiente? 2
7
3
4
6
Red y árbol generador más corto de longitud 23.
2.
Aceptar las aristas en orden creciente de longitud, rechazando las aristas que completan un ciclo.
Ahora las aristas se presentan en el orden 1, 2, 3, 4, 6 (rechazando 5 de nuevo), y 7.
Son las mismas aristas, aunque esto no ocurre siempre. Su longitud total es la misma, lo
cual ocurre siempre.
del árbol
es excepcional, porque
resolverse en un paso.
En el lenguaje de la programación lineal, primero se está encontrando el vértice óptimo. El problema del árbol generador se resuelve como en la sustitución hacia atrás, sin paavaro. A continuación se presenta
sos falsos. Este método general se denomina
otra idea codiciosa:
3.
Construir árboles a partir de todos los n nodos, repitiendo el paso siguiente:
Seleccionar cualquier árbol y sumar la arista de longitud mínima que sale de ese árbol.
Los pasos
del orden de selección de los árboles. Para permanecer en el mismo
árbol es el algoritmo 1. Tomar las longitudes en orden es el algoritmo 2. Barrer a través de
todos los árboles a la vez es un nuevo algoritmo. Se oye muy fácil, pero para un gran problema la estructura de los datos se vuelve crítica. Con mil nodos, podría haber cerca de un
millón de aristas, y no es recomendable repasar esta lista mil veces.
Los siguientes problemas están relacionados para hacer coincidir y son casi tan fáciles:
Uno de los modelos fundamentales de redes es
de la ruta mínima, donde las
aristas tienen longitudes en vez de capacidades. Se busca la ruta más corta de la fuente al
l.
de la
aij mide el valor del aspirante i al puesto j. Asignar puestos para maximizar el valor total -la suma de los aij sobre los puestos asignados. (Si todos los aij son O o l, este es el problema del matrimonio.)
406
Capítulo 8
8.4
Programación lineal y teoría de juegos
2.
3.
El problema de transporte: Dados suministros en n puntos y demandas en n mercados, escoger embarques xij de los proveedores a los mercados que minimicen el costo
total:¿:; Cijxij· (Si todos los suministros y las demandas son 1, este es el problema de
la asignación óptima: enviar una persona a cada puesto.)
de costo mínimo: Ahora las rutas tienen capacidades cij, así como costos Cij,
mezclando el problema de flujo máximo con el problema de transporte. ¿Cuál es el
flujo más barato, sujeto a restricciones de capacidad?
Una parte fascinante de este tema es el desarrollo de algoritmos. En vez de una demostración teórica de la dualidad, se usa primera búsqueda de amplitud o primera búsqueda
de profundidad para encontrar la asignación óptima o el flujo más barato. Es como el método simplex, ya que empieza con un flujo factible (un vértice) y suma un nuevo flujo (el
desplazamiento hacia el siguiente vértice). Los algoritmos son especiales porque los problemas de redes implican matrices de incidencia.
La técnica de programación dinámica se apoya en un concepto simple: Si una ruta de
una fuente a un sumidero es óptima, entonces cada pane de la ruta debe ser óptima. La
solución es construir hacia atrás a partir del sumidero, en un proceso de decisión de etapas
múltiples. En cada etapa, la distancia al sumidero es el mínimo de una nueva distancia más
una distancia anterior:
distancia x-t = mínimo sobre y de (distancias x-y + y-t).
Ecuación de Bellman
Me hubiese gustado tener más espacio sobre redes. Son simples y hermosas.
6.
Modelos de redes
407
Encuentre un conjunto máximo de matrimonios (un emparejamiento completo, de ser
posible) para
1
1
o
l
o
Trace la red para B, con líneas más gruesas en las aristas de los emparejamientos.
7. Para la matriz A del problema 6, ¿qué renglones violan la condición de Hall al tener
todos sus Is en muy pocas columnas? ¿Qué submatriz de ceros de p por q cumple p +
q > n?
8. ¿Cuántas rectas (horizontales y verticales) se requieren para cubrir todos los unos en
la matriz A del problema 6? Para cualquier matriz, explique por qué la dualidad débil
es cierta: si k matrimonios son posibles, entonces se requieren por lo menos k rectas
para cubrir todos los ls.
9. a) Suponga que cada renglón y cada columna contienen exactamenten dos ls. Demuestre que un emparejamiento completo es posible. (Demuestre que no es posible cubrir los Is con menos den rectas.)
b) Encuentre un ejemplo con dos o más Is en cada renglón y cada columna, para el
cual un emparejamiento completo es imposible.
10. Si una matriz de 7 por 7 tiene 15 ls, demuestre que permite por lo menos tres matrimonios.
1.
En la figura 8.5, sume 3 a cada capacidad. Por inspección, encuentre el flujo máximo
y el corte mínimo.
2.
Encuentre un flujo máximo y el corte mínimo para la siguiente red:
11. Para conjuntos infinitos, un emparejamiento completo puede ser imposible incluso si
se cumple la condición de Hall. Si todo el primer renglón es de ls y entonces cada
ªu-t = 1, demuestre que p renglones cualesquiera contienen ls en por lo menos p columnas; y ni así se tiene un emparejamiento completo.
12. Si la figura 8.5 muestra longitudes en vez de capacidades, encuentre la ruta más corta
de s a t, y un árbol generador mínimo.
1
3.
Si es posible incrementar la capacidad de cualquier tubo en la red de la figura anterior,
¿qué cambio provocaría el mayor incremento en el flujo máximo?
4.
Trace una red de cinco nodos con capacidad li - ji entre el nodo i y el nodo j. Encuentre el máximo flujo posible del nodo 1 al nodo 4.
S.
En una gráfica, el número máximo de rutas de s a t sin aristas comunes es igual al número mínimo de aristas cuya eliminación desconectas de t. Relacione esto con el teorema del flujo máximo-corte mínimo.
13. Aplique los algoritmos l y 2 para encontrar un árbol generador mínimo para la red del
problema 2.
14. a) ¿Por qué el algoritmo avaro es válido para el problema del árbol generador?
b) Demuestre con un ejemplo que el algoritmo avaro podría fracasar en encontrar la
ruta más corta de s a t, empezando con la arista más corta.
15. Si A es la matriz de 5 por 5 con ls justo arriba y abajo de la diagonal principal, encuentre
a) Un conjunto de renglones con ls en muy pocas columnas.
b) Un conjunto de columnas con ls en muy pocos renglones.
e) Una submatriz de ceros de p por q con p + q > 5.
d) Cuatro rectas que cubran a todos los ls.
16. El problema de flujo máximo tiene variables flojas wij = cij xij para la diferencia entre capacidades y flujos. Formule el problema de la figura 8.5 como un programa lineal.
408
Capítulo 8
Programación lineal y teoría de juegos
8.5
La mejor manera de explicar unjuego de suma-cero de dos personas es mediante un ejemplo. Hay dos jugadores X y Y, y las reglas son las mismas en cada turno:
- [-1010 -1020
$10
Columna mezclada
Contra esta
$2. ¡Esto no significa que todas las
estrategias son óptimas para Y! Si Y es flojo y se queda con una mano, X cambiará y empezará a ganar $20. Luego Y cambiará, y luego también lo hará X. Finalmente, como se
supone que ambos son inteligentes, se quedarán en
mezcladas óptimas. Y combinará los renglones con los pesos y 1 y 1 - y 1, tratando de producir un nuevo renglón que
sea lo más pequeño posible:
Ke11gicmmezdado y 1 [ -10 20] + (1-y 1 ) [ 10 -10] = [ 10 -20y 1 -10 + 30yi].
La mezcla correcta hace iguales a las dos componentes, en y 1 = ~. Luego, hace iguales a
mezclado se vuelve [2 2]. Con esta
Y no
2 a ambas componentes; el
más de $2.
409
Y ha minimizado la pérdida máxima, y este minimax coincide con el maximin encontrado
por X. El valor del juego es minimax = maxirnin = $2.
mezcla óptima de renglones puede no siempre tener elementos iguales! Suponga
que a X se permite una tercera estrategia de mantener hasta tres manos para ganar $60 cuando Y pone una mano y $80 cuando Y pone hasta dos. La matriz de pagos se convierte en
A -
Si X hace lo mismo cada vez, Y lo imitará y ganará. De manera semejante, Y no puede
adherirse a una sola estrategia, o X hará lo contrario. Ambos jugadores deben usar una estrategia mezclada, y la elección en cada tumo debe ser independiente de los turnos previos. Si hay algún patrón histórico, el oponente puede aprovecharlo. Incluso la estrategia
"quedarse con la misma opción hasta perder" es evidentemente fatal. Luego de suficientes juegos, el oponente debe saber exactamente qué esperar.
En una estrategia mezclada, X
poner una mano con una frecuencia x 1 y ambas
manos con frecuencia x 2 = 1 - x 1 • En cada turno, esta decisión es aleatoria. De manera semejante, Y puede escoger probabilidades y 1 y y2 = 1 y 1. Ninguna de estas probabilidades debe ser O o 1; en caso contrario, el oponente ajusta su estrategia y gana. Si son iguales
a~, Y perdería $20 muy a menudo. (Podría
$20 la cuarta parte del tiempo, $10 otra
la mitad del tiempo, lo cual supone una pérdida mecuarta parte del tiempo, y ganar
dia de $2.50. Esto es más de lo necesario.) Pero mientras Y se mueve más hacia una estrategia pura de dos manos, más se moverá X hacia una mano.
El problema fundamental es encontrar las mejores estrategias mezcladas. ¿X
escoger probabilidades x 1 y x2 que presenten a Y sin razón para moverse en su propia estrategia (y viceversa)? Entonces el pago medio habrá alcanzado un punto silla: es máximo
en tanto X esté preocupado, y es mínimo en tanto Y esté preocupado. Encontrar este punto
silla es resolver el juego.
X combina las dos columnas con pesos x 1 y 1 - x 1 para producir una nueva columna
"mezclada". Los pesos ~ y ~ deben producir esta columna:
Teoría de juegos
601 .
80
X escogerá la
de las tres manos (columna 3) cada vez, y ganará por lo menos $60.
Al mismo tiempo, Y siempre escoge el primer renglón; la pérdida máxima es $60. Sigue
teniéndose maximin = minimax = $60, pero el punto silla está en el vértice.
En la mezcla óptima de renglones de Ys, que era puramente el renglón 1, $60 aparece
sólo en la columna realmente utilizada por X. En la mezcla óptima de columnas de Xs, que
era la columna 3, $60 aparece en el renglón que entra en la mejor estrategia de Y.~. Esta
regla corresponde exactamente a la condición floja complementaria de la programación
lineal.
matriciales
El "juego matricial de m pór n" más general, es exactamente com2 nuestro ejemplo. X tienen posibles movimientos (columnas de A). Y escoge de los m renglones. El elemento aij
está en la matriz de pagos cuando X escoge la columnaj y Y escoge el renglón i. Un elemento negativo significa un pago a Y. Este es unjuego de suma-cero. Lo que pierde un jugador lo gana el otro.
X es libre de escoger cualquier estrategia mezclada x = (x 1, • . . , x,,). Estos X¡ proporcionan las frecuencias para las n columnas, cuya suma es 1. En cada turno, X utiliza un mecanismo aleatorio para producir la estrategia i con frecuencia X¡. Y escoge un vector y =
(y¡, ... , Ym), también con y,. 2:: O y :Ey¡ = 1, que proporciona las frecuencias para seleccionar los renglones.
Una simple jugada del juego es aleatoria. En promedio, la combinación de la columnaj para X y del renglón i para Y aparece con probabilidad XjYi· Cuando se presenta, el pago es ªii· El pago esperado para X a partir de esta combinación es¿;¿; a;jXjYi =
a12
yAx =
[Y1
Este es el pago
que X
maximizar y Y quiere minimizar.
Suponga que A es la matriz identidad de n por n, A = l. El pago esperado se vuelve y¡ x =
x 1y 1 + · · · + XnYn· X espera encontrar la misma opción que Y, ganar a¡¡= $1. Y está intentando evadir a X, pagar ªii = $0. Si X escoge cualquier columna más a menudo que otra,
Y puede escapar más a menudo. La mezcla óptima es x* = (l/n, l/n, ... , l/n).
De igual manera, Y no
a ningún renglón, ya que la mezcla óptima es
y* = ( l/n, 1/ n, ... , 1/ n). La probabilidad de que ambos escojan la estrategia i es {1/n)2 ,
y la sumatoria sobre i es el pago
a X. El valor total del juego es n veces ( 1Jn )2 , o
1/n:
410
Capítulo 8
8.5
Programación lineal y teoría de juegos
y* Ax*= [ 11 n
Teoría de juegos
n
Cuando n crece, y tiene mejores posibilidades de escapar. El valor 1/ n baja.
La matriz simétrica A = l no hizo justo el juego. Una matriz simétrica se~g~da, AT =.
-A, significa un juego completamente justo. Así, una elección ~e la estr~tegiaJ por X e z
or y gana a-· para X, y la elección de j por Y e i por X gana la rrnsma cantidad para Y (porP
'1
*
•
·
ser 1as rrnsmas,
y e1 pago esperado
que a'Jl.. = -az1..) ~ Las estrategia<> óptimas x y y deben
T
"'
debe ser y•Ax* = o. El valor del juego, cuando A = -A, es cero. Aunque aun es necesario encontrar la estrategia.
En este punto silla, x * es por lo menos tan bueno como cualquier otro x (ya que y*Ax ::;:
y *Ax*). Y el segundo jugador Y sólo puede pagar más si abandona y*.
Así como en la teoría de dualidad, maximin ::;: minimax es fácil. En la ecuación ( 1) se
combina la definición de x*, y en la ecuación (2) se combina la definición de y*:
2
máxmín yAx = mín yAx*::;: y* Ax*::;: máx y* Ax= mínmáx yAx.
Juego justo
X
En palabras, ambos X y Y escogen un número entre 1 Y_ 3. La elecció~ más p,equeña gana
$l. (Si x escoge 2 y y escoge 3, el pago es a 32 = $1; s1 escogen el rrnsmo_ nume~o, s~ está en la diagonal y nadie gana.) Ningún jugador puede escoger una es1'.ategia que 1mphque
2 0 3. Las estrategias puras x* = y* = (1, O, 0) son óptimas: ambos Jugadores escogen 1
cada vez. El valor es y*Ax* = ª11 = O.
La matriz que deja sin cambio a todas las decisiones ti_ene mn. ~lementos iguales, por
ejemplo a. Esto significa simplemente que X gana una c_'.111udad ad1c1~nal a.en c~da tumo.
El valor del juego se incrementa por a, pero no hay razon para cambiar ax Y Y ·
El teorema minimax
Póngase en el lugar de X, quien escoge la estrategia mezclada x = (x¡, . · · , Xn?· Y te~na­
rá por reconocer esa estrategia y escogerá y para minimizar el pago yAx. Un Jugador mteligente X elegirá x* para maximizar este mínimo:
X gana por lo menos
mínyAx* = máxmínyAx.
y
(1)
y
X
El jugador Y hace lo contrario. Para cualquier estrategia elegida y, X maximizará yAx.
En consecuencia, Y escogerá la mezcla y* que minimiza este máximo:
y
no más de
máxy* Ax= mínmáxyAx.
X
y
(2)
y
y
y
X
(5)
X
Esto sólo afirma que si es posible garantizar que X gane por lo menos a, y que Y pierda no
más de {3, entonces a ::;: /3. El logro de Von Neumann fue demostrar que a = {3. El teorema minimax significa que la igualdad debe cumplirse en toda la ecuación (5).
Para nosotros, lo extraordinario sobre la demostración es que utiliza exactamente los
mismos procedimientos matemáticos que la teoría de la programación línea!. X y Y desempeñan roles "duales". Ambos escogen estrategias del "conjunto factible" de vectores de
probabilidad: x; ?::: O,
X; = 1, y; ?::: O, I: y; = 1. Lo emocionante es que incluso Von Neumann no reconoció de inmediato ambas teorías como la misma. (Demostró el minimax en
1928, la programación lineal comenzó antes de 1947, y Gale, Kuhn, y Tucker publicaron
la primera demostración de la dualidad en 1951, ¡con base en notas de Von Neumann!) Estamos invirtiendo la historia para deducir el teorema minimax a partir de la dualidad.
En breve, el teorema minimax puede demostrarse como sigue. Sean b el vector columna de m ls, y e el vector renglón den Is. Estos programas lineales son duales:
minimizar ex,
maximizar yb,
sujeto a Ax ?::: b, x ?::: O
sujeto a y A ::;: e, y ?::: O.
Para tener la certeza de que ambos problemas son factibles, a todos los elementos de A se
suma un gran número a. Esto no puede afectar las estrategias óptimas, ya que cada pago
asciende por a. Para la matriz resultante, que sigue denotándose por A, y = O es factible en
el dual y cualquier x grande es factible en el original.
El teorema de dualidad de programación lineal garantiza x * y y* óptimos con ex* =
y*b. Debido a los ls que hay en by en e, esto significa que
x;* = I: y;* =S. La división entre S cambia las sumas a l, y las estrategias mezcladas resultantes x * / S y y*/S son
óptimas. Para cualesquiera otras estrategias x y y,
X
Espero que el lector se dé cuenta cuál será el resultado clave, si es cierto. Se ~uiere que
la cantidad en la ecuación (l) que se garantiza que X ganará sea igual a la cantidad en la
ecuación (2) que Y debe estar satisfecho de perder. Así se resolverá el jue~o: X puede ~a­
nar sólo moviéndose a partir de x* y Y puede perder sólo moviéndose a partrr de Y ·La existencia de este punto silla fue demostrada por Von Neumann.
Ax* ?::: b
implica yAx* ?::: yb = 1
y
y* A ::;: e
implica
y* Ax ::::: ex = l.
La cuestión más importante es que y* Ax ::;: l ::;: y Ax*. Al dividir entre S, esto indica que
el jugador X no puede ganar más que 1/ S contra la estrategia y*/ S, y que el jugador X no
puede perder más que l/S contra x* /S. Estas estrategias proporcionan maximin = minimax = l/S.
412
Capítulo 8
Programación lineal y teoría de juegos
verdaderos
8.5
recibe una reina. X puede
pasar y perder la apuesta de $1, o subir la apuesta por $2 adicionales. Si X apuesta, Y pue$1, o pagar los $2 adicionales y averiguar si X está fingiendo. Luego, la
de pasar y
carta más alta gana los $3 del oponente. Así, Y tiene dos posibilidades, en reacción a X
(quien tiene cuatro estrategias):
ªn =O:
a 2 1 = 1:
ª12 =
(Renglón 1) Si X apuesta, Y pasa.
(Renglón 2) Si X apuesta, Y paga los $2 adicionales.
1) Apostar los $2 adicionales al rey y pasar con una jota.
2) Apostar los $2 adicionales en cualquier caso (fingir).
3) Pasar en cualquier caso, y perder $1 (lo cual es una tontería).
4) Pasar con el rey y apostar con una jota (lo cual es una tontería).
1:
ªu =O:
X pierde $1 la mitad del tiempo en una jota y gana con un rey (Y pasa).
En ambas apuestas X pierde $1 la mitad del tiempo y gana $3 la mitad
del tiempo.
X apuesta y Y pasa (la simulación tuvo éxito).
X gana $3 con el rey y pierde $3 con la jota (el fingimiento fracasa).
A=[~ ol -1
-1
Matriz de pagos del
La
óptima para X es fingir la mitad del
x* = ( ~, ~, O, O). El probable
perdedor Y debe escoger y* = ( ~). El valor del juego es 50 centavos para X.
Esta es una forma extraña de terminar este libro, enseñando cómo jugar un póquer suavizado (el blackjack paga mucho más). Sin embargo, me imagino que incluso el póquer tiene su sitio dentro del álgebra lineal y sus aplicaciones. Espero que haya disfrutado el libro.
!,
1.
2.
¿De qué forma son afectadas las estrategias óptimas en el juego con que empieza esta
sección si los $20 se incrementan a $70? ¿Cuál es el valor (la ganancia media para X)
de este nuevo juego?
Con la matriz de pagos A = [;
;J,
los cálculos por X del maximin y por Y
del minirnax. ¿Cuáles son las estrategias óptimas x* y y*?
3.
Si aij es el mayor elemento en su renglón y el más pequeño en su columna, ¿X siempre escogerá la columnaj y Y siempre escogerá el renglón i (sin importar el resto de
la matriz)? Demuestre que el problema precedente tenía tal elemento, y luego construya A sin uno.
4.
Calcule la mejor estrategia de Ys ponderando los renglones de A = [ ~ ~ ; J con
y y l - y. X se centrará en la mayor de las componentes 3y + 2(1 - y), 4y, y y +
3(1 - y). Encuentre la más grande de estas tres (dependiendo de y), y luego encuentre la y* entre O y 1 que hace que esta componente sea lo más pequeña posible.
5.
para X. DemuesCon la misma A que en el problema 4, encuentre la mejor
tre que X sólo usa las dos columnas (la
y la tercera) que se encuentran en el
punto minimax en la gráfica.
6.
Encuentre tanto las es1tra1tegías óptimas como el valor, si
X recibe una jota o un rey, con igual probabilidad, y Y
para X
413
Para calcular la matriz de pagos A se requiere un poco de paciencia:
Con esto se completa la teoría, aunque queda una pregunta natural: ¿Cuáles juegos normales son equivalentes a los "juegos matriciales"?
el bridge y
¿se
tan a la teoría de Von Neumann?
Considero que el ajedrez no se ajusta muy bien, por dos razones. Una estrategia para
las negras debe incluir una decisión de cómo contestar a la primera jugada de las blancas,
a la segunda jugada y así sucesivamente hasta el final del juego. X y Y tienen millones de
estrategias puras. No veo mucho sobre el papel del azar. Si las blancas pueden encontrar
una estrategia ganadora, o si las negras pueden encontrar una estrategia inspirada -ninguna de estas posibilidades se ha descubierto-- eso podría efectivamente terminar el juego
del ajedrez. Puede jugarse corno tic-tac-toe (gato), aunque la emoción se perdería.
El bridge contiene algo decepcionante, como en un impasse. Se considera corno un juego matricial, aunque de nuevo m y n son fantásticamente grandes. Quizá sea posible analizar parte por separado del bridge para encontrar una estrategia óptima. Lo mismo es válido
para el béisbol, donde el pítcher y el bateador tratan de adivinar la elección del otro acerca
del lanzamiento. (O bien el cátcher intenta adivinar cuándo el corredor se robará una base.
Una "bola" cada vez otorga al bateador "base por bolas", de modo que debe haber una frecuencia óptima --dependiendo del corredor en base y de la situación.) De nuevo, una parte
del juego puede aislarse para su análisis.
Por otro lado, el blackjack no es un juego matricial (en un casino) porque sigue reglas
fijas. Mi amigo Ed Thorp encontró una estrategia ganadora mediante el conteo de cartas altas, obligando a barajar más y más naipes en Las Vegas. No había ningún elemento de azar,
y tampoco ninguna estrategia x*. El éxito editorial Bringing Down the House afirma cómo
estudiantes del MIT ganaron bastante dinero (mientras no estaban haciendo sus deberes).
en el que a dos cómplices se les ofrece por sepaTambién está el dilema
rado el mismo trato: confiesa y eres libre, en el supuesto de que tu cómplice no confiese (así,
el cómplice obtiene 10 años de prisión). Si ambos confiesan, cada uno es condenado a 6 años
de cárcel. Si ninguno confiesa, sólo es posible probar un delito menor (2 años de prisión a
cada uno). ¿Qué hacer? La tentación por confesar es muy grande, aunque si pueden depender mutuamente, saldrían libres. Este no es un juego de suma-cero: ambos pueden perder.
Un ejemplo de juego matricial es
La simulación o fingimiento (bluffing) es
esencial, y para que sea efectiva debe ser impredecible. (Si su oponente descubre un patrón, usted está perdido). Las probabilidades en pro y en contra de fingir dependen de las
cartas que estén a la vista, así como de las apuestas. De hecho, nuevamente el número de
alternativas hace impráctico encontrar una estrategia absolutamente óptima x *. Un buen jugador de póquer debe aproximarse bastante ax*, y ésta puede calcularse exactamente si se
acepta la siguiente simplificación enorme del juego:
para Y
Teoría de juegos
A= [
7.
Suponga que A =
1
-2
o
-1
-~J
[~ ~]. ¿Qué pesos x 1 y l - x 1 proporcionan una columna de la
forma [u u]T Y qué pesos y 1 y 1 - y 1 proporcionan un nuevo renglón [v v]? Demuestre que u= v.
414
Capítulo 8
Prng¡:amación lineal y teoría de juegos
P n
ce
8. Encuentre x •, y• y el valor v para
¡ ,;..,.,-,:.:;
1t
A
máx
mín
Y1 !:'.O
y¡ + Y2 = 1
X¡
X¡
2::: 0
+x2 = l
REP. ARGENTINA
URUGUAY
I
t
9. Calcule
-
p
10. Explique cada una de las desigualdades en la ecuación (5). Luego, una vez que el teorema minimax la transforma en igualdades, deduzca (otra vez con palabras) las ecuaciones del punto silla (4).
G,
11. Demuestre que x* =
~.O, O) y y* = (~, !) son estrategias óptimas en nuestra
versión simplificada del póquer, calculando yAx* y y*Ax, y comprobando las condiciones (4) para un punto silla.
1.
Al considerar dos subespacios V y W en vez de sólo uno, surgen nuevas preguntas. Primero se consideran los vectores que pertenecen a ambos subespacios. Esta "intersección"
V n W es un subespacio de estos subespacios.
12. ¿Ya se ha demostrado que ninguna estrategia de ajedrez hace ganar a las negras? Esto
es ciertamente verdadero cuando se permite que los jugadores realicen dos movimientos a la vez; si las negras tienen una estrategia ganadora, las blancas podrían adelantar
y retroceder un caballo y después seguir esa estrategia, llegando a la conclusión imposible de que ambos pueden ganar.
13. Si X escoge un número primo y simultáneamente Y adivina si es par o impar (conganancia o pérdida de $1), ¿quién tiene la ventaja?
Suponga que x y y son vectores que están en V y también en W. Debido a que V y W
son espacios vectoriales por derecho propio, x +y y ex están en V y en W. Los resultados
de la suma y la multiplicación escalar también están en la intersección.
Dos planos que pasan por el origen (o dos "hiperplanos" en Rn) se cortan en un subespacio. La intersección de varios subespacios, o de un número infinito también es un
subespacio.
14. Si X es un mariscal de campo de fútbol americano, con la opción de correr o lanzar un
pase, y Y puede defender contra una carrera o un pase, suponga que el pago (en yardas) es
A =
[2 8]
6
-6
defensa contra la carrera
defensa contra el pase.
La intersección de dos subespacios ortogonales V y W es el subespacio V n W = {O} que
consta de un solo punto. Sólo el vector cero es ortogonal a sí mismo.
correr pasar
¿Cuáles son las estrategias óptimas y la ganancia media en cada jugada?
Ejemplo 2
Suponga que V y W son los espacios de matrices triangulares superior e inferior de n por
n. La intersección V n W es el conjunto de matrices diagonales, que pertenecen a ambos
subespacios triangulares. El resultado de sumar matrices diagonales, o de multiplicarlas por
e, es una matriz diagonal.
c1e,m11m 3
Suponga que V es el espacio nulo de A y que W es el espacio nulo de B. Entonces V n W
es el menor espacio nulo de la matriz más grande C:
Intersección de espacios nulos
N(A) n N(B) es el espacio nulo de C
[~J.
Cx = O requiere tanto Ax = O como Bx = O. Así, x tiene que pertenecer a ambos espacios
nulos.
416
Apéndice A
Intersección, suma y producto de espacios
Apéndice A
417
2. La suma de dos
vectoriales
Casi siempre, después de analizar la intersección de dos conjuntos, resulta natural estudiar
su unión. Con espacios vectoriales esto no es natural. La unión V U W de dos subespacios
en general no es un subespacio. Si V y W son el eje x y el eje y en el plano, los dos
juntos no son un subespacio. La suma de (1, O) y (O, 1) no está en ninguno de estos ejes.
Se desea combinar V y W. En vez de estudiar su unión, lo hacemos con su suma.
Si V tiene dimensión n y W tiene dimensión q, su producto cartesiano V X W tiene dimensión n + q.
Si V y W son subespacios de un espacio dado, también lo es su suma. V +
W contiene a todas las combinaciones v + w, donde v está en V y w está en W.
Al sumar (v, w) a (v*, w*) en este espacio producto se obtiene (v + v*, w + w*), y al multiplicar por e se obtiene (cv, cw). Todas las operaciones en V X W se realizan componente por componente.
V + W es el menor espacio vectorial que contiene tanto a V como a W. La suma del
eje x y del eje y es todo el plano x-y, como también lo es la suma de dos rectas distintas
cualesquiera, sean perpendiculares o no. Si V es el eje x y W es la recta x = y a 45º, entonces cualquier vector como (5, 3) puede separarse en v + w = (2, 0) + (3, 3). Así, V+
W es todo R 2 •
3.
de vectores x
i;;¡t1m111m 7
Si V es el espacio de matrices triangulares superiores y W es el espacio de matrices triangulares inferiores, entonces V + W es el espacio de todas las matrices. Toda matriz de n
por n
escribirse como la suma de una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior --de muchas formas, ya que las diagonales no están determinadas de manera única.
Estos subespacios triangulares tienen dimensión n(n + 1)/2. El espacio V+ W de todas las matrices tiene dimensión n2 • El espacio V n W de las matrices diagonales tiene dimensión n. La fórmula (8) que se presenta a continuación se convierte en n 2 + n = n(n +
1)/2 + n(n + 1)/2.
Si V es el espacio columna de A y W es el espacio columna de B, entonces V + W es el
espacio columna de la matriz más
[A B]. La dimensión de V + W puede ser menor que las dimensiones combinadas de V y W (porque estos dos espacios podrían traslaparse):
_ [RR2 aa R3R RR aa R
2
2
M -
3
3
3
= [2por2
3 por 2
dim(V +
= rango de [A
B].
dim(V + W) + dim(V n W) = rango de [A B] + nulidad de [A B].
(7)
más las columnas liSe sabe que el rango más la nulidad (contando las columnas
bres) siempre es igual al número total de columnas. Cuando [A B] tiene k + f., columnas,
con k = dim V y f., = dim W, se llega a una conclusión clara:
+
Que no es una mala fórmula. El traslape de V y W es V n W.
[AC n·
B]
4.
De alguna manera se quiere contar con un espacio producto cuya dimensión sean multiplicada por q. Los vectores en este "espacio tensorial"
se denota por@), se parecen
a fas matrices de n por q. Para el producto tensorial
0 R 3 , los vectores se parecen a las
matrices de 2 por 3. La dimensión de R 2 x R 3 es 5, pero la dimensión de R 2 0 R 3 es 6.
Se empieza con v = (1, 2) y w = (4, 6, 5) en R 2 y R 3 • El producto cartesiano simplemente los aproxima mutuamente como (v, w). El producto tensorial combina a v y w en
la matriz
de rango 1:
6
por reirnmon
(6)
El cálculo de V n W es más sutil. Para la intersección de
columna, un buen
método consiste en poner bases de V y W en las columnas de A y B. El espacio nulo de [A
B] conduce a V n W (consulte el problema 9). Estos espacios tienen la misma dimensión
(la nulidad de [A B]). Al combinar con dim(V + W) se obtiene
2por3J
3por3 =
El resultado de la multiplicación de una matriz por un vector es (Av+ Bw, Cv + Dw), lo
cual no es muy fascinante.
Columna m1lltipü1cacla
Suma de es1>ac:ms columna
=
El producto cartesiano de R 2 y R 3 se parece bastante a
. Un vector típico x en R 2 x R 3
es ((1, 2), (4, 6, 5)); un vector de
y uno de
. Esto se ve como (1, 2, 4, 6, 5) en
Los productos cartesianos están asociados de forma natural con las matrices en blo5
5
que. De R a R se tienen matrices ordinarias de 5 por 5. En el espacio producto R 2 x R 3 ,
la forma natural de una matriz en bloque M de 5 por 5 es:
Suponga que V y W son complementos ortogonales en Rn. Entonces su suma es V + W =
Rn. Todo x es la suma de sus proyecciones en V y W.
Eien~PIO 5
Intersección, suma y producto de espacios
5] = [~
6
12
Todas las matrices especiales vw T pertenecen al producto tensorial R 2 0 R 3 • El espacio
producto es generado por estos vectores v 0 w. Las combinaciones de las matrices de rango 1 proporcionan todas las matrices de 2 por 3, por lo que la dimensión de R 2 0 R 3 es 6.
En términos abstractos: el producto tensorial V® W se identifica con el espacio de transformaciones lineales que van de V a W.
Si V es sólo una recta en R 2 y V es sólo una recta en
, entonces V ® W es sólo una
"recta en el espacio de matrices". Ahora las dimensiones son 1 X 1 = l. Todas las matrices vw T de rango 1 son múltiplos de una matriz.
Bases del
tensorial. Cuando V es R 2 y W es
, se tiene una base estándar
para todas las matrices de 2 por 3 (un espacio de seis dimensiones):
Base
o
o
1
o
o
o
o
o
o
o
o
Apéndice A
418
Apéndice A
419
Intersección. suma y producto de espacios
Intersección. suma y producto de espacios
Una ecuación de 5 puntos está centrada en cada uno de los nueve puntos de la malla. La
matriz de 9 por 9 (que se denomina A20 ) se construye a partir de la matriz "lD" de 3 por
3 para las diferencias a lo largo de una recta:
La base ara
R3 se construyó de forma natural. Se comenzó con la base est~~dar
0
_ (l PO) v = (O l) para R2. Estos vectores se combinaron con los vectores bas1cos
V1 ,
y z - ' l 0) w = (0 O, 1) en R3. Cada pareja V; 0 wj corresponde a
(l:S
de 2 por 3 de
en el producto tensorial
v 0 w. Esta construcción también tiene éxito para subespacms.
:~o ~e(~~~~~(; ~~t~r~~bá~ico~
matrlce~
ai:te~)
son sub•es~mc10;; de Rm y R!' con ?ase~ V1, · <· , Vn Y W¡, '
::_ 1 V·
ul con8tituyenuna
base 'para
V' 0
W.
' ' ' .J ' ,' ·,
' '. ' ' ''
'
'
-!]
-1
Matriz de diferencias
en una dirección
2
-1
Matriz identidad
en otra dirección l =
Los productos de Kronecker producen tres diferencias ID a lo largo de tres rectas, hacia arriba o transversales:
V
W es un subespacio de dimensión nq de las matrices de m por p. Un algebrista haría
®
d
sta construcción matricial con la definición abstracta de V 0 W. Luego, los
correspon er e
l mna
,
'al
eden ir más allá del caso especifico de 1os vectores co u
·
productos tenson es pu
Una dirección
5.
Otra dirección
l®A~ [~ o
Ambas direcciones
Azo = (A 0 /) + (/ 0 A) =
2/
A®!
[
-/
21
-!
-!
o
-~]·
21
o
Una matriz A de m por n transforma cualquier vector v de Rn en un vector Av ~e R~. ~~
·
·z B de
or transforma w en Bw. Las dos matnces JUn
manera seme3an~e, unAavmw*tnsT Esta ~s ~na~ransformación lineal (de productos tensoriales)
.
transforman vw en
,
.
d'
·
l
Y debe provenir de una -matriz.
d l
t · A '°' B? Esta lleva el espac10 nq- imens10na
. Cuál es el tamano e a ma nz
'CI
•
•
1.,
·
d'imensional Rm ~ IV. En consecuencia, la forma de la matnz
Rn ~ Rq en e1 espac10 mp.
d
·al)
oducto de Kronecker que también se denomma pro ucto tenson
Este
Pr
es demppornq.
se escribe
Producto de Kronecker mp
renglones, nq columnas
l
a12B
auB
a22B
A® B = ª2'.B
a,_B]
a2nB
am2B
amnB
am1B
EienraDIO 8
,,,
· tim'tas en las direcciones x y y) La ecuación diferencial original de Laplace
(D uerencias 1
.
.
fi d
trar valores pa- (J2 u/ x2 _azulo y2 = se sustituye por diferencias fi~1tas ~ m e encon
.
_
o
o
ra u en una malla bidimensional. Las diferencias. en la drrecc1ón x se suman a las d1feren
ciasen la dirección y, uniendo cinco valores vecmos de u:
-
+
diferencias-X
diferencias-y
+.
-1
l
•
4
-1
•-1
suma
•
[
A +21
-1
~¡
A +21
-!
-!
o
A +21
l
La suma (A 0 /) + (! 0 A) es la matriz de 9 por 9 de Laplace para la ecuación en diferencias de 5 puntos (en la sección 1.7 era para lD y en la sección 7.4 se mencionó a 2D).
El renglón de en medio de esta matriz de 9 por 9 muestra todos los cinco elementos diferentes de cero para la molécula de 5 puntos:
Lejos de la frontera
(9)
. Observe la estructura especial de esta matriz! Muchas ~atri~es en ~l~que i~portantes tie1
f
d Kronecker Aquéllas provienen de aphcac1ones btd1mens1onales, donde
nen esta orma e
·
(
·
., se propor
" t · z en la dirección x " y B actúa en la dirección y a contmuacmn
A es una man
b', 1
- n y p - q enton,
cionan algunos ejemplos). Si A y B son cuadradas, taro 1en o son m ces la matriz grande A 0 B también es cuadrada.
A
9
Renglón 5 de Azo = [O -1 O
-1 4 -1
O -1 O].
(Matriz de Fourier en 2D) La matriz unidimensional F de Fourier es la matriz compleja
más importante en el mundo. La Transformada Rápida de Fourier en la sección 3.5 es una
forma rápida para multiplicar por esa matriz F. Así, la TRF transforma el "dominio temporal en el dominio de frecuencias" para una señal de audio en ID. Para imágenes, se requiere la transformada 2D:
Se transforma a lo largo de cada renglón,
Matriz de Fourier en 2D F20 = F 0 F = y luego hacia
de cada columna
La imagen es un arreglo bidimensional de valores de pixeles. Es transformada por F20 en
un arreglo bidimensional de coeficientes de Fourier. Este arreglo puede comprimirse, transmitirse y almacenarse. Luego, la transformada inversa regresa de los coeficientes de Fourier a los valores de pixeles. Es necesario conocer la regla inversa para los productos de
Kronecker:
La inversa de la matriz A 0 B es la matriz A - i 0 B- 1•
-Ui+l,j
-Ui,j+l
+ 2Ui,j - 'Ui-1,j
+ 2Ui,j - 'Ui,j-1
=0
¡La TRF también acelera la transformada inversa 2D! Simplemente se invierte en una dirección seguida de la otra dirección. Se está sumando E E ckeeikxeieY sobre k y luego sobre f.
La matriz de diferencias de Laplace Azo= (A 0 /) + (! 0 A) no tiene una fórmula inversa sencilla. Es por ello que la ecuación A 20 u = b ha sido estudiada con tanto cuidado. Uno de los métodos más rápidos es diagonalizar A 20 usando la matriz de vectores
característicos (que es la matriz seno S 0 S de Fourier, muy semejante a A20 ). Los valores característicos de A20 provienen inmediatamente de los valores característicos de A ID:
420
Apéndice A
Intersección, suma y producto de espacios
Los n 2 valores característicos de (A 0 /) + (/ 0 B) son todas las sumas A.¡(A) +A. j(B).
Los n 2 valores característicos deA 0 B son todos los productos A.¡(A)A.j(B).
Apéndice A
Intersección, suma y producto de espacios
coincide con x = (1, 1, -2, -3) y encuentre la intersección
n
421
para
Si A y B son den por n, el determinante de A 0 B (el producto de sus valores característicos) es (det Ar(det Br. La traza de A 0 Bes (traza A)(traza B). ¡En este apéndice se ilustran tanto el "álgebra lineal pura" como sus aplicaciones cruciales!
10. Multiplique A® B por A- 1 ® B- 1 para obtener AA- 1 ® BB- 1 = / 0 ¡ = ¡ 20 •
1.
Suponga que S y T son subespacios de R 13 , con dim S = 7 y dim T = 8.
a) ¿Cuál es la máxima dimensión posible de S n T?
b) ¿Cuál es la mínima dimensión posible de S n T?
e) ¿Cuál es la mínima dimensión posible de S + T?
d) ¿Cuál es la máxima dimensión posible de S + T?
2.
¿Cuáles son las intersecciones de las siguientes parejas de subespacios?
a)
b)
e)
d)
El plano x-y y el plano z-y en
La recta que pasa por (1, 1, 1) y el plano que pasa por (1, O, 0) y (O, 1, 1).
El vector cero y todo el espacio R 3 .
El plano S
a (1, 1, 0) y (O, 1, 1) en
¿Cuáles son las sumas de estas parejas de subespacios?
3.
En el espacio de todas las matrices de 4 por 4, sea V el subespacio de las matrices
tridiagonales y W el subespacio de las matrices triangulares superiores. Describa el
subespacio V + W, cuyos elementos son las matrices superiores de Hessenberg.
¿Cuál es V n W? Compruebe la fórmula (8).
4.
Si V n W contiene sólo al vector cero, entonces la ecuación (8) se convierte en dim(V
+ W) = dim V + dim W. Compruebe este hecho cuando V es el espacio renglón de
A, W es el espacio nulo de A y la matriz A es de m por n de rango r. ¿Cuáles son las
dimensiones?
5.
Proporcione un ejemplo en R 3 para el que V n W contiene sólo al vector cero, pero V
no es ortogonal a W.
6.
Si V n W = {O}, entonces V + W se denomina suma directa de V y W, con la notación especial V 0 W. Si V es generado por (l, 1, 1) y (1, O, 1), escoja un subespacio
W de modo que V 0 W = R 3 .
por qué cualquier vector x en la suma directa V 0 W puede escribirse de una y sólo una forma como x = v + w (con v en V y
w en W).
7.
Encuentre una base para la suma V + W del espacio V
por v 1 = (1, 1, O, 0),
v 2 = (1, O, 1, 0) y el espacio W generado por w 1 = (0, 1, O, 1), w 2 = (0, O, 1, 1). También encuentre la dimensión de V n W y una base para éste.
8.
A partir de la ecuación (8), demuestre que rango (A + B) :::: rango(A) + rango(B).
9.
La intersección de C(A) n C(B) coincide con el
nulo de (A B]. Cada y=
Ax 1 = Bx2 en los espacios columna tanto de A como de B coinciden con x = (x 1, - x 2 )
en el espacio nulo, porque [A B]x = Ax 1 - Bx 2 = O. Compruebe que y = (6, 3, 6)
11. ¿Cuál es la matriz de Fourier de 4 por 4 F 20 = F 0 F para F = [
i
-i]?
12. Suponga que Ax = A.(A)x y By = A.(B)y. Forme un vector columna largo z con n1
componentes, x¡y, luego x 2 y y por último XnY· Demuestre que z es un vector característico de (A 0 l)z = A.(A)z y (A® B)z = A.(A)A.( B)z.
13. ¿Cuál debe ser la matriz de Laplace de 7 puntos para -uxx - uyy Uzz = O? Esta
matriz "tridimensional" se construye a partir de productos de Kronecker usando ¡ y
AlD.
Apéndice B
Apéndice
la forma de Jordan
423
no es semejante a J, y la pregunta planteada en realidad concierne a los vectores característicos.
Para contestar, M- 1AM = 1 se escribe en forma más simple como AM = MJ:
f
+·
Xz
X3
X4
X;
l
[X,
Xz
X3
X4
X;
Al efectuar la multiplicación columna por columna,
Ax 1 = 8x 1
1
Dada una matriz cuadrada A, se quiere escoger M de forma que M- AM sea lo más diagonal posible En el caso más sencillo, A tiene un conjunto completo de vectores característicos qu~ se convierten en las columnas de M, cono~ida como S. La_!orma de Jordan e~
1 = M-1AM =A; se construyó completamente a parur de bloques 1; - A; ?e 1por1, Y~
objeto de una matriz diagonal se ha alcanzado por complet?. En el c~o m~ general Y difícil, faltan algunos vectores característicos y una forma diagonal es imposible. Ese caso
constituye ahora nuestro principal interés.
Se repite el teorema que debe demostrarse:
Sí una matriz A tiene s vectores característicos lin.ea'lme:i11té ind.epenime:mc~s,
es semejante a una
1 que es lafonna
cua<11:ae1os.
l~ diagonal:
J
~ lt ~ ~ ~ ~1 l[~ ~l [g ¿l
Jl J
J,
¡,
El valor característico doble ).. = 8 sólo tiene un simple vector caracteris~ico, en la primera dirección de coordenadas e 1 = (1, O, O, O, 0); como resultado, A = 8 solo apar~c~ en un
·
J El valor característico triple f.. = O tiene dos vectores caractensticos, e3
bl
s1mp1e oque 1·
•
•
5
y es, que corresponden a los dos bloques de Jordan ~2 Y.h· S1 A tuviese vectores característicos, todos los bloques serian de l por 1 y J sena diagonal.
,
. .
La pregunta clave es: Si A es alguna otra matriz de 5 por 5, ¿en q!!e condiciones su
forma de Jordan sería esta misma 1? ¿Cuán~o existe una M tal ~ue M '.AM = l? Com~
rimer requerimiento, cualquier matriz semejante A debe compartir los rrusmos valo~es. ca
practens
, t.1cos 8 , 8, o, o, o· s1·n embarcro
la matriz diagonal con estos valores caractenst1cos
o ,
y
o 1
o o
Ax2 = 8x2 +xi
y
y
Axs = Oxs.
(10)
(l l)
Ahora es posible reconocer las condiciones sobre A. Debe tener tres vectores caractelisticos
genuinos, así como J. El que cumple A = 8 debe ir en la primera columna de M, exactamente como si hubiese ido en la primera columna de S: Ax 1 = 8x1• Los otros dos, que se identifican como x 3 y x5 , van en las columnas tercera y quinta de M: Ax3 = Ax5 = O. Por último,
debe haber otros dos vectores especiales: los vectores característicos generalizados x 2 y x 4 •
Se considera que x 2 pertenece a una cadena de vectores, encabezados por x 1 y descrita por
las ecuaciones (10). De hecho, x 2 es el único otro vector en la cadena, y el bloque 1 1 correspondiente es de orden 2. La ecuación (11) describe dos cadenas distintas, una en la que x 4 sigue a x 3 , y otra en la que x 5 está solo: los bloques 12 y 13 son de 2 por 2 y de 1 por 1.
La búsqueda de la forma de Jordan de A se convierte en la búsqueda de estas cadenas de vectores, cada una encabezada por un vector característico: Para toda i,
ya sea
Un ejemplo de esta forma de Jordanes el siguiente:
l¡~ J
1
8
Ax; = A;X;
o bien,
Ax; = A;X; +X;-¡.
(12)
Los vectores X; van en las columnas de M, y cada cadena produce un simple bloque en J.
Esencialmente, es necesario demostrar que estas cadenas pueden construirse para cada matriz A. Entonces, si las cadenas coinciden con las ecuaciones particulares (10) y (11), la J
obtenida será la forma de Jordan de A.
Considero que la idea de Filippov hace de la construcción lo más clara y sencilla posible.* Procede por inducción matemática, empezando con el hecho de que toda matriz de
1 por 1 ya está en forma de Jordan. Puede suponerse que la construcción se logra para todas las matrices de orden menor que n -esta es la "hipótesis de inducción"-y luego explicar los pasos para una matriz de orden n. Hay tres pasos, que después de una descripción general se aplican a un ejemplo específico.
Paso 1 Si se supone que A es singular, entonces su espacio columna tiene dimensión
r < n. Observando sólo dentro de este espacio más pequeño, la hipótesis de inducción
garantiza que una forma de Jordan es posible: en el espacio columna debe haber r vectores independientes w; tales que
ya sea
Aw; = A.;w;
o bien, Aw; = f..;w; + W;- 1 .
(13)
Paso 2 Suponga que el espacio nulo y el espacio columna de A tienen una intersección de dimensión p. Por supuesto, todo vector en el espacio nulo es un vector característico correspondiente a A. = O. Por consiguiente, en el paso l debe haber p cadenas
que comenzaron en este valor característico, y se tiene interés en los vectores w; que
* A. F. Filippov, A short proof of the reduction to Jordan form. Moscow Univ. Math. Bull..
volume 26(1971) pp. 70-71.
Apéndice B
424
la forma de Jordan
425
Apéndice B la forma de Jordan
vienen al final de estas cadenas. Cada uno de estos p vectores está en el espacio columna, por lo que cada uno es una combinación de las columnas de A: W; =Ay; para
Al comparar con l~ ecuaciones ( 10) y ( 11 ), se tiene una correspondencia perfecta: la forma de Jordan del ejemplo es exactamente la J que se escribió previamente. Al escribir los
cinco vectores en las columnas de M debe obtenerse AM = MJ, o bien, M-1AM = J:
.
alguna y;.
Paso 3 La dimensión del espacio nulo siempre es n - r. En consecuencia, de forma
independiente con respecto a su intersección p-dimensional con el espacio columna,
debe contener n - r - p vectores básicos adicionales z;fuera de esa intersección.
o o
1
A continuación se reúnen estos pasos para obtener el teorema de Jordan:
Si se desea renumerar estos vectores como x 1, . . . , Xn y hacerlos coincidir con la ecuación (12), entonces cada Y; debe insertarse de inmediato después del W; del que provino;
completa una cadena en la que A¡ = O. Las zs vienen hasta el final, cada una sola en su
propia cadena; de nuevo el valor característico es cero, ya que las zs están en el_ espacio
nulo. Los bloques con valores característicos diferentes de cero ya se habían terminado en
el paso 1, los bloques con valores característicos cero aumentan por un renglón Y una columna en el paso 2 y el paso 3 contribuye con cualesquiera bloques de 1 por 1 l; = [O).
A continuación se intentará trabajar un ejemplo, y a fin de permanecer próximo a las
páginas previas, los valores característicos se toman como 8, 8, O, O, O:
A~ lt ~ ~ ~ ~}
Paso 1 La dimensión del espacio columna es r = 3, y es generado por los vectores de
coordenadas e¡, e2 , e5 • Para buscar dentro del espacio se
los renglones tercero y cuarto y las columnas de A, lo que queda tiene valores característicos 8, 8, O Y su
forma de Jordan proviene de los vectores
8
o o
o o
1 o
Confiamos bastante en las matemáticas (o somos demasiado flojos), por lo que no multiplicamos M- 1AM.
En la construcción de
la única cuestión técnica es comprobar la 11""''~•cuut:J[lcia de toda la colección W¡, y 1 y z1• En consecuencia, se supone que alguna combinación es
cero:
C¡W¡
+
d¡y; +
g;Z¡ =
0.
(15)
Al multiplicar por A, y usar las ecuaciones (13) para las w;, así como Az; = O,
C¡ [
o).~~~'
A¡W¡
+ W¡-¡
l 2.::
+
d; Ay; = 0.
(16)
Las Ay1 son las W; especiales al final de las cadenas correspondientes a A;= O, de modo que
no pueden aparecer en la primera suma. (Están multiplicadas por cero en A;W;.) Debido a
que la ecuación ( 16) es alguna combinación de las w ;, que por la hipótesis de inducción eran
independientes -proporcionaban la forma de Jordan en el espacio columna- se concluye
que cada d 1 debe ser cero. Volviendo a la ecuación (15), esto deja
c1 w; = g 1z 1 y el
miembro izquierdo está en el espacio columna. Debido a que las zs eran independientes de
ese espacio, cada g1 debe ser cero. Por último,
c1w 1 =O y la independencia de las w 1
produce c1 =O.
Si la A original no hubiese sido singular, entonces los tres pasos se hubieran aplicado
a A' = A - el. (La constante c se escoge para hacer singular a A', y puede ser cualquiera
de los valores característicos de A.) El algoritmo pone A' en su forma de Jordan M- 1A'M
= J' al producir las cadenas X; a partir de las W;, y 1 y z;. Luego, la forma de Jordan para A
utiliza las mismas cadenas y la misma M:
M- 1 AM = M- 1 A'M + M- 1cM = J' +el= J.
Los w; están en el espacio columna, completan la cadena para A = 8 e inician la cadena para A = O:
Aw 1 = 8w 1,
Aw2 = 8w2 + W¡,
Aw3 = Ow3.
(14)
Paso 2 El espacio nulo de A contiene a e 2 y e 3 , por lo que su intersección con el espacio columna es generada por e2 • Por consiguiente, p = 1 y, como era de esperar, en la
ecuación (14) hay una cadena correspondiente a A =O. El vector w 3 viene al final (y
también al principio) de esa cadena, y w3 = A(e4 - e 1). En consecuencia, y= e4 - e¡.
Paso 3 El
tienen - r - p = 5 - 3- 1 = 1, y z = e 3 está en el espacio nulo pero fuera del espacio columna. Es esta z la que produce un bloque de 1 por 1 en J.
A =
Si los cinco vectores se ensamblan, las cadenas completas son
Aw 1 = 8w 1 ,
Aw 2 = 8w2 + w1,
Aw3 = Ow3,
Ay= Oy + W3,
Con esto se completa la demostración de que toda A es semejante a alguna matriz de Jordan J. Salvo un reagrupamiento de los bloques, es
sólo a una J así; hay una forma de Jordan única para A. Así, el conjunto de todas las matrices se separa en una cantidad de familias con la
propiedad: todas las matrices de la misma familia tienen
la misma forma de Jordan, y todas son semejantes entre sí (y a J), pero ningunas matrices
pertenecientes a familias distintas son semejantes. En cada familia, J es la más hermosa,
en caso de que a usted le agrade que las matrices sean casi diagonales. Con esta clasificación de familias terminamos.
Az = Oz.
[og º01 2¿]
con A = O, O, O.
426
Apéndice B la forma de Jordan
Apéndice B la forma de Jordan
Esta matriz tiene rango r = 2 y sólo un vector característico. Dentro del espacio columna
hay una sola cadena w 1, w 2 que coincide con las dos últimas columnas:
A
m~o
Am
y
La solución más general de du/dt = Au es una combinación de c 1 u 1 + · · · + c 5 u 5 , y la
combinación que coincide con u0 en el instante t = O de nuevo es
uo = c¡x¡ + · · · +csxs,
[H
427
uo =Me,
o bien
1
o bien
e= M- 1u 0 •
1
Esto sólo significa que u = Me ' M- u 0 , y que laSy la A en la fórmula anterior SeA' s-tu 0
se han sustituido por M y J.
o bien,
Aw2 = Ow2 + W¡.
y
Aw 1 =0
El espacio nulo está completamente dentro del espacio columna, y es generado por w 1• En
consecuencia, p = l en el paso 2, y el vector y proviene de la ecuación
1.
Encuentre las formas de Jordan (¡en tres pasos!) de
A=
cuya solución es
Demuestre que la solución especial u2 en la ecuación (17) satisface du/ dt = Au, exactamente debido a la cadena Ax 1 = 8x 1 , Ax2 = 8x2 + x 1 •
3.
Para la matriz Ben el problema l, use Me 1 ' M- 1 para calcular la exponencial e13', y
compárela con la serie de potencias l + Bt + (Bt)2! 2! + · · ·.
4.
Demuestre que cada bloque de Jordan l; es semejante a su traspuesta, J? = p- 1 l; p,
usando la matriz permutación P con Is a lo largo de la diagonal cruzada (de la parte
inferior izquierda a la parte superior derecha). Concluya que toda matriz es semejante
a su traspuesta.
5.
"Por inspección", encuentre las formas de Jordan de
y
=Au
Como siempre, el problema se simplifica separando las incógnitas. Esta separación está
completa sólo cuando hay un conjunto completo de valores característicos y u = Sv; el mejor cambio de variables en este caso es u = Mv. Esto produce la nueva ecuación M dv/dt
= AMv, o dv/dt = Jv, que es lo más simple como permiten las circunstancias. Está acoplada sólo por los ls fuera de la diagonal dentro de cada bloque de Jordan. En el ejemplo precedente, que tenía un solo bloque, du/ dt = Au se convierte en
dv=
dt
[º º]
Ü
0l
1
o o o
V
o bien,
da/ dt = b
db/ dt =e
del dt =o
y
6.
a = ao + bot + cot 2 / 2
o bien, b =
bo + cot
Co.
e=
7.
º]
oo oo o
o l t o.
o o 1 o
o o o 1
y
Puede verse cómo los coeficientes de a, b y e aparecen en la primera exponencial. Y en el
segundo ejemplo es posible identificar a todas las cinco de las "soluciones especiales" de
du/ dt = Au. Tres de ellas son las exponenciales puras u 1 = e 8' x 1, u 3 = eº' x 3 y u 5 =
eº' x 5 , formadas como de costumbre a partir de los tres vectores característicos de A. Las
otras dos implican los vectores característicos generalizados x 2 y x 4 :
u2 = e 8'(tx1 + x2)
y
(17)
B =
[-~
-n
Encuentre la forma de Jordan J y la matriz M para A y B (Los valores característicos
de B son 1, l, 1, -1). ¿Cuál es la solución de du/ dt = Au, y cuál es ~'?
A=
El sistema se resuelve trabajando hacia arriba a partir de la última ecuación, y en cada paso entra una nueva potencia de t. (Un bloque de f. por f. tiene potencias tan altas como
t e- 1). Las exponenciales de J, en este caso y en el ejemplo anterior de 5 por 5, son
tes'
es'
y
2.
Finalmente, la cadena W¡, w2 , y va en la matriz M:
A1>1ic•~ci1tm a
[i n
g g ~ ~ gl
[oo oo oo oo oo
y
O O O O l
B = [
¿
-2
2
-1
2
l
-1
o
o
-1
2
-~i
l
.
o
Suponga que A2 =A. Demuestre que su forma de Jordan J = M- 1 AM satisface
J2 = J. Ya que los bloques diagonales permanecen separados, esto significa que
J? = l; para cada bloque; demuestre por cálculo directo que l; sólo puede ser un bloque de l por 1, 11 = [O] o 11 = [l]. Así, A es semejante a una matriz diagonal de Os y
ls.
Nota Este es un caso típico del teorema con que terminamos: la matriz A puede diagonalizarse si y sólo si el producto (A - A. 1 l)(A
A. 2 1) ···(A - A. 0 1), sin incluir ninguna repetición de los A.s, es cero. Un caso extremo es una matriz con valores característicos distintos;
el teorema de Cayley-Harnilton establece que con n factores, A - Al siempre se obtiene cero. El otro extremo es la matriz identidad, también diagonalizable (p = 1 y A - l = 0). La
matriz no diagonalizable A = [ b J no satisface (A - /) = O, sino sólo (A - l = 0)2 : una
i
ecuación con una raíz repetida.
429
Soluciones a ejercicios seleccionados
1 CI
s
ici ss 1 cci
s
9
l. Las rectas se cortan en (x, y) = (3, 1). Así, 3(columna 1) + l(columna 2) = (4, 4).
3. Estos "planos" se cortan en una recta en el espacio tetradimensional. El cuarto plano
normalmente corta esta recta en un punto. Una ecuación inconsistente como u + w =
5 no deja solución (no hay intersección).
5. Los dos puntos sobre el plano son (1, O, O, 0) y (O, 1, O, O).
7. Resoluble para (3, 5, 8) y (1, 2, 3); no resoluble para b = (3, 5, 7) o b = (1, 2, 2).
9. Columna 3 = 2(columna 2) - columna l. Si b = (O, O, 0), entonces (u, v, w) =
(c, -2c, c).
11. Tanto a = 2 y a = -2 proporcionan una recta de soluciones. Todas las demás a proporcionan x = O, y = O.
13. La representación de los renglones tiene dos rectas que se encuentran en (4, 2). La representación de las columnas tiene 4(1, 1) + 2(-2, 1) = 4(columna 1) + 2(columna
2) = miembro derecho de (O, 6).
15. La representación de los renglones muestra cuatro rectas. La representación de lascolumnas está en el espacio tetradimensional. No hay solución a menos que el miembro
derecho sea una combinación de las dos columnas.
17. Six, y, z satisfacen las dos primeras ecuaciones, también satisfacen la tercera ecuación.
La recta L de soluciones contiene a v = (1, 1, 0), w =
1,
y u = ~v + ~w,
así como a todas las combinaciones cv + dw con e + d = l.
19. Columna 3 =columna 1; soluciones (x, y, z) = (1, l, 0) o (0, l, 1) y es posible sumar
cualquier múltiplo de (-1, O, l); b = (4, 6, e) necesita c = 10 para resolubilidad.
21. Se cambian el segundo plano, el renglón 2 y todas las columnas de la matriz. La solución no cambia.
23. u= O, v = O, w = l, porque l(columna 3) = b.
O. D
15
= 1y
= 6. Los
pivotes son 2 y -6
3. Se resta
veces la ecuación 1 (o se suma~ veces la ecuación 1). La nueva segunda
ecuación es 3y = 3. Así, y= 1 y x = 5. Si el miembro derecho cambia de signo, también lo hace la solución: (x, y) = ( - 5, - 1).
5. 6x + 4y es 2 veces 3x + 2y. No hay solución, a menos que el miembro derecho sea
2 · 10 = 20. Por tanto, todos los puntos sobre la recta 3x + 2y = 10 son soluciones,
incluyendo a (O, 5) y (4, -1).
7. Si a = 2, la eliminación debe fallar. Las ecuaciones no tienen solución. Sí a = O, la
eliminación se detiene para un intercambio de renglones. Así, con 3y = - 3 se obtiene y= 1 y con 4x + 6y = 6 se obtiene x = 3.
9. 6x - 4y es 2 veces (3x - 2y). Por consiguiente, se necesita = 2b 1• Entonces hay una
infinidad de soluciones. Las columnas (3, 6) y (-2, -4) están sobre la misma recta.
11. 2x - 3y = 3 pro- 2x - 3y = 3
x = 3 Del renglón 2 se resta 2 X renglón 1
y + z
por- y + z = 1 y y = l Del renglón 3 se resta l X renglón 1
2y - 3z = 2 dona
- 5z = O
z = O Del renglón 3 se resta 2 X renglón 2
1. Se multiplica por ,e
~ = 5 y se resta para encontrar 2x + 3y
13. La
posición pivote contiene a -2 - b. Sí b = -2, se intercambia con el renglón 3. Si b = -1 (caso singular), entonces la segunda ecuación es -y - z = O. Una
solución es (l, l, -1).
15. Si renglón 1 = renglón 2, entonces el renglón 2 es cero después del
paso; se
intercambia el renglón cero con el renglón 3 y no hay tercer pivote. Si columna 1 =
columna 2, no hay segundo pivote.
17. El renglón 2 se convierte en 3y - 4z = 5; luego, el renglón 3 se convierte en (q +
4)z = t - 5. Si q = -4, el sistema es singular; no
tercer pivote. Luego, si t = 5,
la tercera ecuación es O= O. Al escoger z = 1, la ecuación 3y - 4z = 5 proporciona
y= 3 y la ecuación 1 proporciona x = -9.
19. El sistema es singular si el renglón 3 es una combinación de los renglones 1 y 2. Desde la vista extrema, los tres planos forman un triángulo. Esto ocurre si los •v••e»vm-~
l + 2 = renglón 3 en el miembro izquierdo pero no en el miembro derecho; por
plo, x +y + z =O, x - z = 1, 2x - y = 9. Ninguna pareja de planos es paralela, aunque
no habiendo solución.
21. El quinto pivote es ~. El n-ésimo pivote es n
U
+
V +
W =
2
2v + 2w = -2
2w =
2
23. Sistema triangular
{
U
Solución v
w
=
3
-2.
25. (u, v, w) = (3/2, 1/2, -3). Se cambia a + 1 para que el sistema sea singular (2 columnas iguales).
27. a = O requiere un intercambio de renglones, pero el sistema es no singular: a = 2 lo
hace singular (un pivote, infinidad de soluciones); a = -2 lo hace singular (un pivote, no hay solución).
29. El segundo término be + ad es (a + b)(c + d) - ac - bd (sólo una iucu~1,,_, ... "ción adicional).
31. La eliminación falla para a= 2 (columnas iguales), a= 4 (renglones iguales), a= O
(columna de ceros).
l.
[:H Hl
26
[¡}Con fadoo (2. l) y (O. 3). el pomlelognuno va a (2. 4)
3. Productos internos 54 y O, al multiplicar la columna por el renglón se obtiene
[ -~ -1~
21
_;]·
35
7
l
· [~ ; ~l,
5. Ax = (0, O, 0), de modo que x = (2, 1, 1) es una solución; las otras soluciones son
ex = (2c, c, c).
[
7. Ejemplos: Diagonal
00
trica
sesgada[-~
; ~l
-4 o o
7
4
~ ~ °o , simétrica [ ~ ; ~l
·
07
simé-
007
a;¡
9. a) a 11
e) la nueva a;¡ es a;¡ - - a 1¡
a11
.
a21
b) segundo pivote a22 - - a ¡ z .
a¡¡
430
Soluciones a ejercicios seleccionados
Soluciones a ejercicios seleccionados
11. Los coeficientes del renglón B son 2, 1, 4 provenientes de A. El primer renglón de AB
es [6 3].
-1]
-1 .
15. AB 1 = B 1 A da b =e= O. AB2 = B 2 A da a= d. Así A= al.
17. A(A + B) + B(A + B), (A+ B)(B +A), A 2 + AB + BA + 8 2 siempre es igual a
(A+ B)2.
19.
[~ ~] [~ ~] = [~] [p q] + [~] [r s] = [~; :!~ ~: :!~l
21. An = A; sn =
23.
E12E21b
[¿ (-~r], = (g g] =
C
ningún efecto debido al renglón 1.
25. Al cambiar a 33 de 7 a 11 se cambia el tercer pivote de 5 a 9. Al cambiar a 33 de 7 a 2
se cambia el pivote de 5 a ningún pivote.
27. Para invertir E 31 , se suma 7 veces el renglón l al renglón 3.
29.
E 13 =[¿
1
o {j
o iJ
l
Eu tiene l43 = -~.En caso contrario, las
31. E 2 1 tiene i 21 = -~, E32 tiene f32 =
Es coinciden con /.
a+b+c=4
a=2
33. a + 2b + 4c = 8 proporciona b = l.
a + 3b + 9c = 14
e = 1
35. a) Cada columna es E multiplicado por una columna de B.
b) EB =
u ~] [i ; 1]
b) B =O.
! ~ : ~]
;
e) B =
coincide con [: :
n
81 35 4]9 [5 -S+u
[6 7 2
S+v
m[3 3 o]+m[l 2 1]
3
6 6
[6 6
.u -
=
V
39
1. U es no singular cuando ningún elemento sobre la diagonal principal es cero.
3. [
_¡ ~ g][-~ ~ gl =[¿o o~ gl; [-; ~ g][ ~ ~ gl
-1
l
-1
1
l
1
~] + [~ o º] = [
8
2
4
1
3
10
7
-1
1
1
-1
-1
=/también.
1
(E- 1F- 10- 1 )(GFE) = E-lp- 1FE = E- 1E = l; también (GFE)(E- 1F- 1
5. LU =
[¿ ~o gl [~o ;o ;];
7.
-
FGH -
-1
1
¡; ~ g g]·
O
2
l
después de la
eliminación,
2
3
o 5
[o o
a- 1) =l.
-fl [~l [_H
- [; ~ g g]
O 'HGF -
4 2 l O .
1
8 4 2 1
9. a) No singular cuando d 1d2d 3 '6 O. b) Suponga que d3 '6 O. Le = b se resuelve yendo
o o 2
h>ria obajo' Le = b pwpo<eio= e =
e) n3 (esto es n 2 productos punto)
3
45.
l
5-u+v
5-v
5
5+u +V ;
5+u-v
5-u
M 3 (1, 1, 1) = (15, 15, 15); M4 (1, l, 1, 1) = (34, 34, 34, 34) porque la suma de los
números 1 a 16 es 136, que es 4(34).
61. M =
l
d) Todo renglón de Bes l, O, O.
43. a) mn (todo)
b) mnp.
= (1 po'3)(3 pod) " oero para puntu. (x, y, z) ,~
bre un plano x + 4y + 5z = O en tres dimensiones. Las columnas de A son vectores
unidimensionales.
59. A * v = [3 4 5]' y v' * v = 50; v * A proporcionan un mensaje de error.
:].
[g o~ 6].
o
~ : : ~] cuando b = e y a = d.
55. 2x + 3y + z + 5t = 8 es Ax = b con la matriz A = (2 3 1 5] de 1 por 4. Las soluciones x llenan un "plano" tridimensional en cuatro dimensiones.
3
= [;
Los renglones de EB son combinaciones de los renglones de B, por lo que son múltiplos de [l 2 4].
37. (renglón 3) · x es 'L, a 3 jXj, y (A 2 ) 11 =(renglón 1) ·(columna 1) = 'L, a 1ja11 .
39. BA = 31 es de 5 por 5, AB = 51 es de 3 por 3, ABD = 5D es de 3 por l, ABD: No,
A(B + C): No
41. a) B = 41.
~
53. [ :
l
~ ¿];[¿ ~ 6l;E31 E 13 =[~ ~ 61.¡Pruebeconlamatrizidentidad!
o o 1
49. Los bloques (2, 2) S = D - CA - i B constituyen el
de Schur: los bloques en d - (chia).
51. A multiplicada por X= [x 1 x 2 x 3 ] es la matriz identidad l = [Ax 1 Ax2 Ax3 ].
[¿ o~ gl .
7
[lllJ,[11/][ l
B,
57. El produoto punto [1 4 5] [
matriz cero.
= (l, -5, -35) pero E21E32b = (l, -5, 0). Así, el renglón 3 no siente
La matriz es R 31 =
47. A multiplicada A [ 111 ]
por Bes
'
431
proporciona x =
[i~ ~~1.
m [~ ~;' ~'l [~l m
M.
11 d3
Al
resolver
Le
=
b
yendo
hacia abajo se obtiene e =
11.
Mcia orrilia re obtiene x
=
Hl
432
Soluciones a ejercicios seleccionados
13.
o
Permutación
renglones 2 y 3
[g o
l
1
Permutación
renglones l y 2
o
[! o
nl:J Hl
31.
Hl
g} [:]
15. PA = LDU"
[! l º] [~ i] [~ ~rn J] ¡g :}
[l o
!rn ~l [~ ~rn grn n
[l o ~l
utifü~
o
o
o
1
1
l
3
3
o
2
o
o
4
1
-1
2
1
1
o
o
o
o
o o
o 1
PA = LDUes O O
o 1
17. L se convierte en 1
2
1
o
MATLAB y otro"ódigoo
o
R4. = LU.
19. a = 4 conduce a un intercambio de renglones; 3b + lOa = 40 conduce a una matriz
singular; c = O conduce a un intercambio de renglones; c = 3 conduce a una matriz
21. l 31 = 1 y e32 = 2 (4'. 33 = 1): invierta los pasos para recuperar x + 3y + 6z = 11 a
de Ux = c; 1 multiplicado por (x + y + z = 5) + 2 multiplicado por (y + 2z =
2) + 1 multiplicado por (z = 2) proporciona x + 3y + 6z = 11.
[¿o
l
21
1
-2
3
o -6
u J[1
~
a
a+b
l
b+c
b
= (misma L)
[ª
(misma U)
1
23.
433
Soluciones a ejercicios seleccionados
33.
[i : ~l
<=
m
propo«iona < =
r:rn l il m
X=
prnpo«iona X=
m
A =LU.
35. La submatriz superior de 2 por 2 contiene los dos primeros pivotes 2 y 7; Razón: La
eliminación sobre A comienza en la esquina superior
con eliminación sobre B.
37.
2
3
4
5
[i
[j
1
1
3
4
6 10
10 20 35
15 35 70
li1
l
1
1
2
3
4
1
3
6
4
1
2
1
Jr
~J
3
3
El triángulo de Pascal en L y U. El código lu de MATLAB arruina el patrón.
El código chol no realiza ningún intercambio de renglones para matrices simétricas con pivotes positivos.
39. Cada nuevo miembro derecho sólo cuesta n 2 pasos en comparación con los n 3 /3 para
eliminación total A \b.
41. 2 intercambios; 3 intercambios; 50 intercambios y luego 51.
=u.
43. p =
[g1 0~ 0~1 ; = [¿0 1g0~1
P1
P2 =
y
[g1 0~ 0¿l
(P2 proporciona un intercambio de columnas).
1
¡¡ 2l ;1 =
27.
[l J["
A=[~ o ~]
4
3
e
J
n
~]
d = 1, e = 1, entonces l = 1
= o no está permitido
en el
2.
['
3
tionoL = l yD=
l
45. Hay n! matrices permutación de orden n. Al final, dos potencias de P deben ser las
mismas: Si pr = P8, entonces pr-s = l. Ciertamente, r - s ~ n!
º]
o l
6
[o1 oo o1 ' y P =l.
A= LU tiene U= A (pivotes
7
rg o1 ~l 'º" unm =fa diagonfil.
2
en la diagonal); A = LDU tiene U =
a
b-a
47. La solución es x = (1, 1, ... , 1). Así, x = Px.
a
b-a
c-b
l
a
a 1O
b-a
.
b1a
c _ b . Reqmere c b
d-c
1
d 1
de
52
[-º~o-;],· A2-1 = [_21
1
l. A 1- 1 =
º]·
~ ,
A -1 _
3
-
3. A- 1 = BC- 1 ; A- 1 = u- 1L- 1 P
5. A(AB) = (quitar paréntesis) = (A 2 )(B) = l.
[
cose
-sene
sene]
cose .
434
'Dll73 6
Soluciones a ejercicios seleccionados
Soluciones a ejercicios seleccionados
[º
[-.,/3/
1/ 2] ,
2
1/ 2]
l] d
.
2 7 . [.J3r 2 -.J3r
112 .J3r 2 , 1 0 to as tienen A - l.
2
1/ 2
9. Si el renglón 3 de A-! fuese (a, b, e, d), entonces con A - 1A = l se obtendría 2a = O,
a + 3b = O, 4a + 8b = l. Esto no tiene solución.
11. a)
c)
[¿ ~] + [-¿ -~] [g g].
=
b)
[¿ g] + [g ~] [¿
=
13. ATB = 8; BTA = 8; ABT =
35.
5
1
l
o o 2
[~ ~l BAT = [~
-n
[1 :
¡
l ~
"L
l
-+
[g o e oo oo
1
l
O
= [/
fl ~ [g
l
-2
39.
[~ 22 ol ¿] - [~
l
= [/
A- 1];
A- 1 ].
a o 1 o -bi
l o o l -e
o 1 o o 1
o o l -a
[g o1 o o 1 -e .
1 o o
1
o -1
o -1/2
2
1 ¿] - [¿ 1
l/ 2 V~] =[l
ac-bl
A- 1].
41. No es invertible para e = 7 (columnas iguales), e = 2 (renglones iguales) e = o (columna cero).
'
(6o oi o oºJ La
1
43. A-1 =
1
1 ·
.
matnz A
-1
.
de 5 por 5 tiene ls en la diagonal y arriba
•
[-~ ~], [-D~~A- 1 D~¡], Y r-~ ~].
47. Para _Ax = b con A --: o nes (4 , 4) -- mam·z smguar
· l Y b = ones(4, 1), A\b, escoge x - (1, O, O, O) Y pinv(A) * b escoge la solución más corta x = (1, 1, 1, l)/4.
O3] ' A = [-3l l/ 3º] ' (A-t ) =(A )
49. AT = [l
9
-1
entonces A- 1 = l
T
[~
-n
T -1
=
O l/-3]3 ; AT =A Y
[l
= (A-l)T = (AT)-1.
1
51. ((AB)- ) T = (B- 1 A- 1)T = (A- 1)T(B- 1)T; (U- 1)T es triangular inferior.
53.a)xTAy=a22=5.
b)xTA=[4
5
6].
c)Ay=[;J.
55. (Px)T(Py) = xTpT Py = xTy ya que pTp = l; por lo general, Px. y= x. pTy 'f
X·Py:
r~ g ri m·m rn ·¡~ g ri m
1
enton=
-2
~
45
= LDLT.
25. a) En Ax = (1, O, O), ecuación l + ecuación 2 - ecuación 3 es O = l. b) Los
miembros derechos deben satisfacer b 1 + b2 = b 3 • c) El renglón 3 se convierte
en un renglón de ceros; no hay tercer pivote.
27. Si B intercambia los renglones l y 2 de A, entonces B- 1 intercambia las columnas 1 y
2deA- 1•
29. Si A tiene una columna de ceros, también BA. Así, BA =les imposible. No existe A - 1 •
-1
l
o o o 1
[~] = [_g:;J, [:] = [-g:i] de modo que A- = 1~ [_;
l
1 -+ C
de ésta.
1
[
O
;].
21. ApartirdeB(l-AB) = ( l - BA)B se obtiene(!- BA)-1 = B(l- AB)- 1 B- 1,
una inversa explícita en el supuesto de que B e l - AB sean invertibles. Segundo método: si 1- AB no es invertible, entonces BAx = x para algunax diferente de cero. En
consecuencia, ABAx =Ax, o bien, ABy =y, el - AB podría no ser invertible. (Observe que y = Ax es diferente de cero, con base en BAx = x.)
31.
7
ab 1
37.
o o
[b)a ~] [~ d-(~2/a)] [¿ bia]
2
-+
¡; ~ gl [~ ~ gl [¿ ~ il];
19.
[l 3 1 º] [1 3 l º] [l o 7 -3]
u ~ 6 ~] [6 ~ -~ -i]
1
15. a) n(n + 1)/2 elementos sobre y arriba de la diagonal. b) (n - l)n/2 elementos
arriba de la diagonal.
17. a) La inversa de una matriz triangular inferior (superior) sigue siendo triangular inferior (superior). Al multiplicar matrices triangulares inferiores (superiores) se obtiene una matriz triangular inferior (superior). b) Las diagonales principales de L\ 1
L 2D 2 y Di U 1 U2 1 son las mismas que las de D 2 y D 1, respectivamente. D[ 1L 2 D 2 =
D 1 U 1 U:¡ 1 , de modo que se tiene D 1 = D 2 • Al comparar los elementos fuera de
las diagonales de L\ 1L 2 D 2 = D 1 U 1U2 1, ambas matrices deben ser diagonales.
1
L\ 1L 2 D 2 = D 2 , D 1 U 1 U2 1 = D 1 , D 1 es invertible, de modo que
L 2 = l,
U1U2 1 =l. Así, L¡ = Lz, U¡= Uz.
23.
33. A * ones( 4, 1) proporciona el vector cero, de modo que A no puede ser invertible.
n
[¿ ~]+[-~ ¿]=[-i ~l(B- 1 +A-1)-1=B(A+B)-1A.
435
f
57. PAPT recupera la simetría.
r', de<pu6 de ffivertrr el onlen de""" t= matrioe•
elementales y cambiar - l a + l.
59. a) La traspuesta de RTAR es RT AT RTT = RT AR = n por n.
b) (RT~).ii = (columnaj de R) · (columnaj de R) =longitud al cuadrado de la columna].
436
Soluciones a ejercicios seleccionados
Soluciones a ejercicios seleccionados
o
l
-1
ll [YEel
YEe +
O
Yes = [ -yEc
+ YES]
Yes ·
-1
YES
-yes - YBs
De cualquier forma (Ax)Ty = xT(ATy) = XEYEe + XEYBs -XeYBe +xeYcs -xsYcsXsYBs·
63. Ax· y es el costo de las entradas, mientras x · ATy es el valor de las salidas.
65. Estos son grupos: triangular inferior con diagonal de unos, diagonal invertible D y las
permutaciones P. Dos más: permutaciones pares; todas las matrices no singulares.
67. Al reordenar los renglones y/o las columnas de [ ~
lo que no se obtiene [ ~
!] se mueve el elemento a, con
~].
69. Casi seguramente, las matrices aleatorias son invertibles.
71. La matriz -1, 2, -1 en la sección 1.7 tiene A = LDLT con C;,;- 1 = 1 -
1.
¡-;
63
1.7,
de
-1
2
-J
-1
-1
2
-1
[-l
-±3
J['
3
2
4
3
Jrl
-l
2
l
-±3
1
-l
-1
3. Ao =
f·
-1
[ 1
-1
2
-1
2
-1
-1
2
-1
-J
La suma de cada
renglón es 1,
por lo que
Ao
[[]
LDLT
det = 5.
l~l
5. (u 1 , u 2 , u 3 ) = (n:2 /8, O, -rr 2 /8) en vez de los valores verdaderos (1, O, -1).
-36
192
-180
7.
30]
-180 .
180
9. La matriz de Hilbert de 10 por 10 está muy mal condicionada.
11. Un pivote grande se multiplica por menos que l en la eliminación de cada elemento
abajo del pivote. Un caso extremo, con multiplicadores = l y pivotes =
4, es
4, 4,
A=
1/ 2
-112
[ -1/2
1/ 2
O
-1
5. Reglas que no se cumplen: a) 7, 8, b) 1 c) 1, 2, 8.
7. b), d) y e) son subespacios. No es posible multiplicar por -1 en a) y c). No es posible
sumaren f).
9. La suma de dos matrices no singulares puede ser singular (A+ (-A)). La suma de dos
matrices singulares puede ser no singular.
11. a) Una posibilidad: las matrices cA forman un subespacio que no contiene a B.
b) Sí; el subespacio debe contener a A - B = l.
c) El subespacio de matrices cuya diagonal principal es toda cero.
13. Si (f + g)(x) es la f(g(x)) de costumbre, entonces (g + f)(x) es g(j(x)), que es diferente. En la regla 2 ambos miembros sonf(g(h(x))). La regla 4 se rompe porque po1
clria no existir función
(x) tal que f(f- 1(x)) = x. Si esta función inversa
existe, se trata del vector -f.
15. La suma de (4, O, 0) y (O, 4, 0) no está sobre el plano; tiene x +y - 2z = 8.
17. a) Los subespacios de R 2 son R 2 mismo, las rectas que pasan por (O, O) y el punto
(O, 0).
b) Los subespacios de R 4 son R 4 mismo, los planos tridimensionales n · v = O, los
subespacios bidimensionales (n 1 • v = O y n2 • v = 0), las rectas unidimensionales
que sólo pasan por (0, O, O, O) y (0, O, O, O).
19. El menor subespacio que contiene a P y Les Po R 3 .
21. El espacio columna de A es el eje x = todos los vectores (x, O, 0). El espacio columna
de Bes el plano x-y = todos los vectores (x, y, 0). El espacio columna de Ces la recta de los vectores (x, 2x, 0).
23. Una combinación de las columnas de C también es una combinación de las columnas
de A (mismo espacio columna; B tiene un espacio columna diferente).
25. La columna adicional b agranda el espacio columna, a menos que b ya esté en ese espacio:
[A b] =
o
27.
[¿ g i]
i]
(espacio de columna más grande)
(no hay solución para Ax = b).
(b incluida en el espacio de columna)
(Ax = b tiene solución).
columna= R 8 . Todo bes una combinación de las columnas, ya que Ax= b
es resoluble.
29. A
~ [i f g] o bion [i
1. a) El conjunto de todas las (u, v), donde u y v son razonesp/q de enteros. b) El conjunto de todas las (u, v), donde u = O o v = O.
3. C(A) es el eje x; N(A) es la recta que pasa por
1); C(B) es R 2 ; N(B) es la recta que
, el espacio nulo N( C) es
pasa por ( -2, l, O); C( C) es el punto (0, O) en
42
6
º]
O (columnas en la línea l).
o
31. R 2 contiene vectores con dos <:omponentes: no pertenecen a R 3 •
11l .
1
437
85
1. x +y + z = l,x +y+ z =O. Al cambiar 1 a O, (x, y, z) =e( -1, 1, 0) + d(-1, O, 1).
3. Forma escalonada U =
[
g b g ~] ;variables libres x x x soluciones espe1,
3,
4;
ciales (1, O, O, O), (O, O, 1, O) y (O, -3, O, 1). Consistente cuando b2 = 2b 1• Solución
completa (O, b 1, O, O) más cualquier combinación de soluciones especiales.
Soluciones a eiercicios seleccionados
Soluciones a ejercicios seleccionados
1
31. Si e= 1, R =
[l
2 o
Reducida
O
para
x
or
R=O o l
-2 ' cualesquiera x 2 , 4
p
renglones
O o o
[
l
b) Solución oonwteb x = ["
rl ni [
+ x,
+x4
-
Si e ¡' 1, R =
-2]
D i] [:~]
=
~i2 , para cualesquiera
S.l. e = 1, R
SI C =f' l, 2.
X4X4
[~]tieneespacionulo=rectaquepasapor(-1,1),peronotiene
[l l l 1]
O O O O ;R =
0000
¡~O O~ ¿
~i [1 -1O 1
-1]
O O ;R = O
O o.
0000
o
00
o
19. Las soluciones especiales son las columnas de N =
¡-
=[ºo 01] t.iene
4
[-g~ -~~ -0~1] 1)
(e =
x1 i·b
1 res; s1· e = 2 , R = [
Soluciones especiales en N =
matriz vacía de 2 por O.
33.
(a) r = l.
(b) r = 2.
(c) r = l.
y N =
¡-2! -2]~
(e =f' 1).
1 - 2] ·
·
.
tiene x 2 1ibres;
R = J
0
0
[~] (e = l) o bien, N = [~] (e = 2) o bien, N =
x-~· =ni+,, nlx-·~ =¡:::J nJ +,, HJ
+x,
35• a ) R esoluble s1·
b = 2b y 3b
2
1
1 -
3b3 + b4 = O. Así, x =
[5b1
2b3] (no hay vana.
b - Zbi
_
3
15. Una matriz espacio nulo N = [- ~] es de n por n - r.
17. Creo que es cierto.
3,
Soluciones especiales en N =
solución. Cualquier b = [ ~] tiene muchas soluciones particulares de Axp = b.
13. R =
tiene xz, x 3 , X4 libres.
[~ ol oo g] tiene x x libres.
2.
o
1
11.
2
¡g oo oo g]
o 2
7. e= 7 permite u= 1, v = 1, w =O. El espacio columna es un plano.
2]
439
bles libres).
2
¿
-4
-n
21. Las r columnas pivote de A forman una submatriz de m por r de rango r, de modo que
la matriz A* tiene r renglones pivote independientes, con lo cual se obtiene una submatriz invertible de r por r de A. (Los renglones pivote de A* y A son los mismos, ya
que la eliminación se efectúa en el mismo orden: simplemente para A* no vemos las
columnas "libres" de ceros que aparecen para A.)
b) Resoluble si b 2 = 2b 1 y 3b 1 - 3b3 + b 4 = O.
""X= ['~· ~i.7] +X, [=;]
37. Un sistema de l por 3 tiene por lo menos dos variables libres.
39. a) La solución particular xP siempre se multiplica por l.
ser Xp· c)
[~ ~] [~] = [~l Así,
rn
b) Cualquier solución puede
es más corta (longitud .)2) que
[~J d) La
solución "homogénea" en el espacio nulo es xn = O cuando A es invertible.
41. xP se multiplica por 2, misma xn; [ ~] P es [xÓ]; las soluciones especiales también in-
23. (uvT)(wzT) = u(vTw)zT tiene rango l, amenos que vTw =O.
25. Se tiene que AB = /, cuyo rango es n. Luego, rango(AB) :'.':: rango(A) obliga aquerango(A) = n.
27. Si R =EA y la misma R = E*B, entonces B = (E*)- 1EA. (Para obtener B, A se reduce a R y luego se invierten los pasos de vuelta a B). B es una matriz invertible multiplicada por A, cuando comparten la misma R.
cluyen a las columnas de [-~J xp y
43. Para A, q = 3 proporciona rango l, y cualquier otra q proporciona rango 2. Para B,
q = 6 proporciona rango 1, y cualquier otra q proporciona rango 2.
45. a) r < m, siempre r :'.':: n. b) r = m, r < n. c) r < m, r = n. d) r = m = n.
29. Debido a que R empieza con r renglones independientes, RT empieza con r columnas
independientes (y por tanto ceros). Así, su forma escalonada reducida es [ ~
de l es de r por r.
g] ,don-
las soluciones especiales no cambian.
47. R =
¡g
renglón 3.
-11
; : no hay solución debido al
440
441
Soluciones a ejercicios seleccionados
49. A
~.
[i fr
B no puode e,;,;fu po<que doo
~uodone< entre< incdgni""' no pueden
... ,:::. ·:_; :}_
s.
:nos -
_;o _;l.
tener una solución.
51. El rango de A es 4 - l = 3; la solución completa de Ax = O es x = (2, 3, 1, 0).
R =
[~ ~ =; gl con -2, -3 en la columna libre.
o o
u=
1l
l
1
1
1
l
o ol lo
o o o o 1 l 1
o o o o o o o
[º
lº 1 1
l lj
0001
o0
o1 1
yR=oooo111
o o o o o o o
(R no proviene
de esta U).
59. Es seguro que la columna 5 no tiene pivote, ya que es una combinación de columnas
anteriores y x 5 es libre. Con cuatro pivotes en las otras columnas, la solución especial
es (1, O, O, 1). El espacio nulo contiene a todos los múltiplos de (1, O, 1, O, 1) (una
recta en
-41
o1 oo -3 .
o 1 -2
[g ~l
67. Lo más probable es que R sea l; lo más probable es que R sea l con el cuarto renglón
de ceros.
69. Cualquier renglón cero aparece después de estos renglones: R =
[~ O
Co111i1.mto de
3.
gl
invertible=::} columnas íncie¡:1endiemtt~s
(hubieran podido usarse
-~1 ~ [i ~
(1 -2 -3],
R = l
98
Si a= O, entonces columna l =O; si d =O, entonces b(columna 1) - a( columna 2)
= O; sif = O, entonces todas las columnas terminan en cero (todas son perpendiculaxy, deben ser dependientes).
res a (O, O, 1), y todas en el
la suma de las columnas
es O (hubieran podido
usarse renglones).
7.
La suma v 1 - v 2 + v 3 =O porque (w 2 - w 3 ) - (w 1 - w 3 ) + (w 1 - w 2 ) =O.
9.
a) Los cuatro vectores son las columnas de una matriz A de 3 por 4 con po:r lo menos
una variable libre, de modo que Ax= O. b) Dependientes si el rango de [v 1 v 2 ] es
O o l. c) Ov 1 + c(O, O, 0) = O tiene una solución distinta de cero (tome cualquier
c =fa 0).
11. a) Recta en
c) Plano en R 3 .
. b) Plano en
d) Todo R 3 .
13. Todas las dimensiones son 2. Los espacios renglón de A y U son los mismos.
15. v = !<v + w) + ~(v - w) y w = !<v + w) - !<v - w). Los dos pares generan
el mismo espacio. Son una base cuando v y w son independientes.
17. Si la eliminación produce uno o más renglones cero, entonces los renglones de A son
linealmente dependientes;
pocejemplo. on el problemo 16
63. Esta construcción es imposible; dos columnas pivote, dos variables libres, sólo tres columnas.
R =
-3
d) Verdadero (sólo m
57. Si columna l = columna 5, entonces x 5 es una variable libre. Su solución especial es
(-1, O, O, O, 1).
65. A=
2
l
o l
c) Verdadero (sólo n columnas).
53. a) Falso. b) Verdadero.
renglones).
55.
-18/ 5
REP. kRGENTJNA
[~
1 o
o 1
o l
o
o
!] [~ oo !]
--+
~ [~
-1
1
-1
o
1
o 1
o o
n
19. Los n vectores independientes generan un espacio de dimensión n. Forman una base
para ese espacio. Si son las columnas de A, entonces m no es menor que n (m =::: n).
21. C(U): Bases cualesquiera de
, N(U): (renglón 1 y renglón 2) o bien, (renglón 1 y
renglón 1 + renglón 2).
23. Columnas
=::} rango n. Las columnas generan Rm =::} rango m. Las colwnnas son una base para Rm =::} rango = m = n.
25. a) La única solución es x =O porque las columnas son independientes. b) Ax= bes
resoluble porque las columnas generan R 5 .
27. Las columnas 1 y 2 son bases para los espacios columna (diferentes) de A y U; los renglones 1 y 2 son bases para los espacios renglón (iguales); (1, -1, 1) es una base para los espacios nulos (iguales).
29. rango(A) = 2 si c = O y d = 2; rango (B) = 2, excepto cuando c = do c = -d.
31. Sean v 1 = (1, O, O, 0), ... , v4 = (0, O, O, 1) los vectores de coordenadas. Si W es la
recta que pasa por (1, 2, 3, 4), ninguno de los vs está en W
33. a) Si no hubiera una base, sería posible sumar más vectores independientes, con lo
cual se excedería la dimensión k. b) Si no hubiera una base, sería posible eliminar algunos vectores, dejando menos que la dimensión k.
442
Soluciones a ejercicios seleccionados
Soluciones a ejercicios seleccionados
35. a) Falso, podría no haber solución. b) verdadero, 7 vectores en
37. a)
¡g
[~ o º] [º o º] [º o º]
O O ,
00
o
o
n
c)
b) Sumar
O 1 O ,
000
O O O .
001
[ -1o o1 o '
o o o, o
-1 o o
o
[º º] [° o l
1 O
1
00
º][ o o l [º o º]
o o o
son dependientes.
o 1
-1 o
o, o o o,
o 1 o o
Compruebe el elemento (1, 1), luego (2, 3), luego (3, 3), luego (1, 2) para demostrar
que estos cinco Ps son independientes. Cuatro condiciones sobre los nueve elementos
hacen que las sumas de renglones y columnas sean iguales: suma del renglón 1 = suma del renglón 2 = suma del renglón 3 = suma de la columna l = suma de la columna 2 ( = suma de la columna 3 es automático porque suma de todos los renglones =
suma de todas las columnas).
45. Si la matriz [A b] de 5 por 5 es invertible, b no es una combinación de las columnas
de A. Si [A b] es singular y las columnas de A son independientes, bes una combinación de estas columnas.
110
l. Falso; lo único que se sabe es que las dimensiones son iguales. El espacio nulo izquierdo tiene una dimensión más pequeña dim = m - r.
3. C(A): r = 2, (1, O, 1) (O, l, O); N(A): n - r = 2, (2, -1, 1, O), (-1, O, O, l);
C(AT): r = 2, (1, 2, O, 1), (0, l, 1, 0); N(AT): m -r = 1, (-1, O, l);
C(U): (1, O, 0), (0, 1, O); N(U): (2, -1, 1, 0), (-1, O, O, O);
C(UT): (1, 2, O, 1), (0, l, 1, 0); N(AT): (0, O, 1).
5. A multiplicada por cada columna de B es cero, de modo que C(B) está contenido en el
espacio nulo N(A).
7. Con base en Ax = O, el espacio renglón y el espacio nulo deben ser ortogonales. Consulte el capítulo 3.
9.
[l
2
4];
¡; ¡ :i
19. No: por ejemplo, todas las matrices invertibles de n por n tienen los mismos cuatro
subespacios.
21. >)
son una base para
todas las
A= -AT.
39. y(O) = o requiere A + B + e = o. Una base es cos X - cos 2.x y cos X - cos 3x.
41. y 1(x), y 2 (x), y 3 (x) pueden ser x, 2.x, 3x (dim 1) o bien, x, 2.x, x2 (dim 2), o bien, x, x2, x3
(dim 3).
tiene el mismo espacio nulo.
3 6 12
11. Si Ax = O tiene una solución diferente de cero, entonces r < n y C(AT) es menor que
Rn. Así, ATy = fno es resoluble para algunaf Ejemplo: A = [l l] y f = (1, 2).
13. d = be/a; el único pivote es a.
15. Con columnas independientes: rango n; espacio nulo = (O}; el espacio renglón es Rn;
inversa izquierda.
17. A = [l 1 O]; B = [O O l].
443
[1 ~l
d) [-;
b) Impo'ibk dimen•ione'1 + J,• 3 e) [l !].
-iJ
e) Imposible: espacio renglón =espacio columna requiere m = n.
Así, m - r = n - r.
23. A invertible: base del espacio renglón= base del espacio columna= (1, O, O), (O, 1, 0),
(0, O, 1); las bases del espacio nulo y del espacio nulo izquierdo son vacías. B: base
del espacio renglón (1, O, O, l, O, 0), (0, 1, O, O, l, 0) y (0, O, 1, O, O, l); base del espacio columna (1, O, 0), (O, 1, 0), (O, O, l); base del espacio nulo (-1, O, O, 1, O, O), (O,
-1, O, O, 1, 0) y (O, O, -1, O, O, l); la base del espacio nulo izquierdo es vacía.
25. a) El espacio renglón es igual al espacio nulo. En consecuencia, el rango (dimensión
del espacio renglón) es el mismo. b) El espacio columna es igual al espacio nulo
izquierdo. Mismo rango (dimensión del espacio columna).
27. a) La inexistencia de una solución significa que r < m. Siempre se tiene r::; n. No es
posible comparar m y n.
b) Si m - r > O, el espacio nulo de AT contiene un vector diferente de cero.
29. Base del espacio renglón (l, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3), (O, O, 1, 2); base del espacio nulo
(0, 1, -2, l); base del espacio columna (1, O, 0), (O, 1, 0), (O, O, l); el espacio nulo izquierdo tiene una base vacía.
31. Si Av = O y ves un renglón de A, entonces v · v = O. Sólo v = O en ambos espacios.
33. Renglón 3 - 2(renglón 2) +renglón l =renglón cero, de modo que los vectores c(l,
-2, 1) están en el espacio nulo izquierdo. Ocurre que los mismos vectores están en el
espacio nulo.
35. a) u y w generan a C(A). b) v y z generan a C(AT). e) Rango< 2 si u y w son dependientes o v y z son dependientes. d) El rango de uvT + wzT es 2.
37. a) Verdadero (mismo rango). b) Falso (A = [l O]. c) Falso (A puede ser invertible y también no simétrica). d) Verdadero.
39. ali= l,a12 = O,a13 = l,a22 = O,a32 = l,a31 = O,a 23 = l,a 3 3 = O,a2 1 = 1
(no es única).
41. Rango r = n significa espacio nulo = vector cero y Xn = O.
página 122
de
l.
A=
[~
-1
l
o
=:}
N(A) oontiene múltiplo• de [
¡l
N(AT) contiene múltipl"' de
[_l]
3. La suma de los elementos en cada renglón es cero. Por tanto, cualquier combinación posee esa misma propiedad: .f1 + f2 + _{J = O; A T y = f => y 1 + y 3 = f 1 ,
-y¡ + Y2 = f2, -y2 - y3 = f3 => f 1 + h + f3 = o. Significa que la corriente total que entra desde el exterior es cero.
444
Soluciones a ejercicios seleccionados
Soluciones a ejercicios seleccionados
-e¡
-e¡
+ C2
C¡
C¡
-c2
+ Cz
ro. Accidentalmente, el espacio columna es el mismo que el espacio nulo, porque las
segundas derivadas de cúbicas son lineales.
] tiene pivotes c 1 + c3,
9. e' y e-' son una base para las soluciones de u"= u.
[l
+ C2C3
C¡
+ C3
l
7. Las condiciones sobre b son b 1 + b4 - bs = O, b3 - b4 + b6 = O, b1 - bs + b6 = O.
9.
-1
-1
-1
[-i
3
-1] [''
-1
-1 '
-c1
+e,
- c 1+e;
C¡
-c2
+ C3 + C4
-e,
-c4
-c3
-c2
-c3
-1
3
Cz + C3 + C6
-c4
-c6
-1 -1
3
-es
Estas es que se unen con el nodo j ahora aparecen en el renglónj.
-1
-1
o
1
o
o
o
o
o
-1
-1
1
o
11.
1
2
o
1
o
o
o -1
o -1
l
o o
2
o 1 o
o o o
l
o o
o -1 o
1
o
l
o
1
o
o -1
o o
o o
o o
y¡
Y2
Y3
Y4
X¡
X2
X3
o
o
o
o
f¡
Í2
f3
-c6
C4
•
;x~ r~o~ly~
-4
!.
¡-11
3!3!
proporcionan triángulos, dejando 16 árboles o-e11er~<irires
15. Creo que ya está considerada.
17. 9 nodos - 12 aristas + 4 ciclos = l; 7 nodos - 12 aristas + 6 ciclos = l.
19. Con x = (1, 1, l, 1) se obtiene Ax= O; así, ATAx =O; de nuevo, el rango es n - 1.
21. M
M'
~ [I ~ ¿ i]
(M )ij = a¡¡a¡j + · · · + a1nanj
y se obtiene a 1k akj = 1 cuando hay una ruta
de 2 pasos que va de i a k aj. Observe las
-¿l [g g].
o o 2
o o o
o o
[o
o o o
que proporcionan una
A~r~
17.
A~[~ o ~lB ~ [~
~1
paréntesis!
2
y A = J; la doble traspuesta de una matriz
proporciona la matriz misma.
Observe que A23 = 1 porque la traspuesta
de la matriz 2 es la matriz 3.
1
1
l
o
o 1
o o
19. a) es invertible con r - (y) = y
113
~}AB ~ [~
o o
1 o
o 1
o o
~lBA ~ [~ o
o
l
; c) es invertible con T- 1(y) =y -
11.
n
21. Con w = O, la linealidad proporciona T(v + O) = T(v) + T(O). Así, T(O) =O. Con
e = -1, la linealidad proporciona T( -O) = -T(O). Con certeza T( -0) = T(O). Así,
T(O) =O.
23. S(T(v)) = S(v) = v.
25. b) y c) son lineales, a) falla T(2v) = 2T(v), d) falla T(v + w) = T(v) + T(w).
27. T(T(v)) = (v3, V¡, v2); T 3 (v) = v; T 100 (v) = T(T 99 (v)) = T(v).
29. a) T(l, 0) = O. b) (0, O, 1) no está en el rango. c) T(O, 1) = O.
31. La ley asociativa proporciona A(M 1 + M 2 ) = AM1 + AM2 • La
da a las es proporciona A(eM) = e(AM.
g]
=
[
distributiva
g ¿J. Para los profesores: la dimen-
sión del espacio de matrices es 4. Las transformaciones lineales en ese espacio deben
u•v'v"'w de matrices de 4 por 4 (16 parámetros). Las multiplicaciones por A en los problemas 31 y 32 son transformaciones especiales con sólo 4 parámetros.
35. T(J)=OperoM=
37. a) M =
[~ :].
(g ~] =T(M);éstasllenanelrango.M= [~ ~Jenelnúcleo.
b) N =
[~ ~r
1
c) ad= be.
39. Reordenar la base con la matriz permutación; cambiar las longitudes por medio de la
matriz diagonal positiva.
3. 11Axll 2 = 1
una elipse.
5. Son transformados a (1, 3), (2, 6), (-1, -3). El
x gira; las rectas verticales se desplazan hacia arriba o hacia abajo, pero permanecen verticales.
Matriz de
7. segundas
derivadas
o o
o 1
1 o
o o
o
o
tres rutas que van de un nodo a sí mismo.
133
Hz= J.
b) Sí. ¡Para (AB)C o A(BC) no se
15.
2
&m1ju111tc de orn111e1rnas
[~
13. a) Sí.
33. Con ninguna matriz se obtiene A [~
y
~ [~ ~ ~ ~l
1. Rotación
e - sen eJ [cos e -sene] =
u. [ cos
sene
cose sen e
cose
o ~]
+ C5 + e6
61
·
20 elecciones de 3 aristas de 6, ya que "6 en 3" = - - = 20. e uatro e i ecc1ones
13.
445
n
El "pocio nulo "
g~""do poc (
I. O, O, 0) y (0, l, O, 0),
lineal. Las segundas derivadas de funciones lineales son ce-
41.
[il a~ a~2;] [~Al [4~] ·,
el determinante de VanderMonde = (b - a)(e
a)
(e - b); los puntos a, by e deben ser distintos, y así el determinante ~ O (es posible
interpolar).
43. Si T no es invertible, entonces T(v 1 ), ••• , T(vn) no es una base. Así, no es posible
escoger w 1 = T(v;) como base de salida.
45. S(T(v)) = (-1, 2), pero S(v) = (-2, 1) y T(S(v)) = (1, -2). Así, TS ~ ST.
446
Soluciones a ejercicios seleccionados
Soluciones a ejercicios seleccionados
47. La matriz H de Hadamard tiene columnas ortogonales de longitud 2. Por tanto, la inversa de Hes J:lf/ 4 = H/ 4.
49. Falso: los n vectores diferentes de cero deben ser independientes.
r::n111i .. ntn de
1. llxil = .J2T; llY!I = 3,J2; XT y = 0.
3. (x2 /x 1)(y2 /y 1) = -1 significa que x 1y 1 + x 2 y 2 =O, de modo que xTy =O.
5. v1 y v3 son ortogonales, así como v2 y v3 .
7. x = ( -2, 1, 0); y = ( -1, - 1, l) ; el renglón z = (1, 2, l) es ortogonal al espacio nulo.
9. El complemento ortogonal es la recta que pasa por (-1, -1, 1) y (O, O, 0).
11. Si ATy =O, entonces yTb = yT Ax = (yT A)x =O, lo cual contradice que yTb #-O.
13. La figura separa cualquier y en Rm en la parte del espacio columna + la parte del es·
pacio nulo izquierdo.
15. No puede existir una matriz así, ya que (l, 2, l)T(l, -2, l) 'f O.
17. La matriz con la base para V como sus renglones. Así, el espacio nulo es V-1. = W.
19. a) Si V y W son rectas en , V-1. y W-1. son planos que se cortan. b) V.
23. A
41. Si V es todo R , entonces V-1. sólo contiene al vector cero. Así, (Vl.).t. = R4 =v.
43. (1, 1, 1, 1) es una base de p-L_ El espacio nulo de A = [1 1 1 l] es el plano P.
45. La columna 1 de A - i es ortogonal al espacio generado por los renglones 2o., ... ,
n-ésimo de A.
[~
~] tiene N(A) = P; B = [1
2
-1]
= [; ; ] tiene subespacios = cuatro rectas; (1, l) ortogonal a (-1, 1), (1, 2) or-
47. A=
[j
2
-3
5
-31
-2
l .
b)
Hl
no" OOOgonal a
[tl [tl
e)
en C(A) y
m
1
en N(AT) es imposible: no son perpendiculares. d) A = [
- lJ tiene A 2 = O.
1 -1
e) ( l, l, 1) está en el espacio nulo y en el espacio renglón; no existe una matriz así.
27. a) Si Ax= b tiene una solución y ATy = O, entonces bT y = (Ax)T y =O. b) b no
está en el espacio columna; así, no es perpendicular a ninguna y en el espacio nulo
izquierdo.
29. x = xr + Xn, donde Xr está en el espacio renglón y x,, está en el espacio nulo. Así,
Axn = O y Ax = Axr + Axn = Axr. Todos los vectores Ax son combinaciones de
las columnas de A. Si x = (1, O), entonces Xr = (1/2, 1/2).
31. a) Para una matriz simétrica, el espacio columna y el espacio renglón son iguales.
b) x está en el espacio nulo y z está en el espacio columna= espacio renglón; por tanto, estos "vectores característicos" tienen xTz = O.
33. x se separa en Xr + Xn = (1, -1) + (1, 1) = (2, 0).
35. Ax = Bx significa que [A
B] [ -~] = O. Tres ecuaciones homogéneas en cuatro
x
incógnitas siempre tienen una solución diferente de cero. Aquí x = (3, 1) y = ( 1, 0),
y Ax = Bx = (5, 6, 5) están en ambos espacios columna. ¡Dos planos en
(que
pasan por cero) deben cortarse por lo menos en una recta!
[-! -~ -u
ATA = 9/ es diagonal: (ATA)ii = (columna i de A) · (columnaj).
49. a) (1, -1, O) está en ambos planos. Los vectores normales son perpendiculares, ¡y los
planos siguen cortándose! b) Se requieren tres vectores ortogonales para generar
todo el complemento ortogonal en R 5 . c) Las rectas pueden cortarse sin ser ortogonales.
51. Cuando AB = O, el espacio columna de B está contenido en el espacio nulo de A. En
consecuencia, dimensión de C(B) :::: dimensión de N(A). Esto quiere decir rango
(B) :::: 4 - rango(A).
Gcn11u11:tc de problemas
157
l. a) (x + y)/2 2: .JXY (media aritmética 2: media geométrica de x y y).
togonal a (-2, 1). El espacio renglón siempre es perpendicular al espacio nulo ..L.
25. a)
; J. En consecuencia, S-1. es un subespacio in-
4
:U, página 148
21. (l, 2, -1) es perpendicular a P. A =
tiene espacio renglón = P.
39. S-1. es el espacio nulo de A = [;
cluso si S no lo es.
2
2
b) llx +yi1 :::: (lixll+llyll) significa que (x +y)T(x +y):::: llxll 2 +211xllllYll+llYll 2 .
El miembro izquierdo es x Tx + 2x T y + y Ty. Después de cancelar lo anterior, se
obtienexTy:::: llxllllyll.
3. p = (10/3, 10/3, 10/3); (5/9, 10/9, 10/9).
s.
"°'" = l/.fo. de 7odo que e =
fil=>'( l/ .fo¡; p = [;] [l/ n
l/n 1
todos los elementos - .
n
7. Se escoge b = (1, ... , l); la igualdad ocurre si a 1 = · · · = an (entonces a es paralela a b).
aaT
11. a) p =
[ftw wrli].
Pi P 2 =
3
9
[g g].
,
p.2 = ¡ _ p l =
=P.
[
fo3
-w
-rli]w
l
•
La suma de las proyecciones sobre dos rectas perpendiculares
proporciona el vector mismo. La proyección sobre una recta y luego una recta perpendicular proporcionan el vector cero.
448
Soluciones a ejercicios seleccionados
Soluciones a ejercicios seleccionados
15. !1Axu2 = (Ax)T (Ax) = xATAx, llATxll 2 = (ATx)T (ATx) = xAATx. Si ATA = AAT, entonces llAxll = llATxll. (Estas matrices se denominan normales).
17. a) aTb/aTa = 5/3; p = (5/3, 5/3, 5/3); e = (-2/3, 1/3, 1/3) tiene eTa = O.
b) aTbjaTa = -1; p = (1, 3, 1) =by e= (O, O, 0).
19. P 1 =
P,b
[i ~ i]
~ m·
~3
1
1
y P 1b =
1
~3 [~]5 P2
·
-21
[
-2] + ~ [
-2
4
4
4
4
4
4
-2
44
-2
9
de
X~
e = (ATA)- ATb, AT =[l ... 1), b =(y¡, ... , Ym)T entonces
1
p =
-2] + ~ [
-2
1
9
4
-2
4
-2
l
-2
-i] ~l.
y¡+···+ Ym
m
ATb
p
b - p
m~ m ~ Ul ~
31.
1
9
bw +
10
33.
¡¡ i] [;] ~ [J] · <=bi~
[1~2
o
35.
ij; -~/2].
-1/2
pT P) T = p. Así, P
1
= =
pT P
p 2.
1
= 10(b1 + ... + b10).
Al
resuelve Ax = p .
perpenC!lCUla! a ambas columnas.
5. b = 4, 5, 9 en t = -1, O, l; la mejor recta es 6 + (5/2)t; p = (7 /2, 6, 17 /2).
7. P = A(AT A)- 1 AT =
n
~3 [~l
29. (x - x)(x - x)T = (AT A)- 1 AT[(b - Ax)(b - Ax)T]A(AT A)- 1. Para errores independientes, al sustituir (b - Ax)(b - Ax)T = a 2 l se obtiene la matriz de covarianza (AT A)- 1 ATa 2 A(AT A)- 1• Esto se simplifica a a 2 (AT A)- 1 fórmula clara para
la matriz de covarianza.
A T = l : proyectar
+ (5 - 4x) 2 es minimizado; (4, -3)T(3, 4) =O.
3x) 2
=(
1
27. a) a Ta = m, aTb = b 1 + · · · + bm· En consecuencia, x es la media de las bs. b) La
varianza es lle/1 2 =
(b1 -x) 2 • (e) p = (3, 3, 3), e= (-2, -1, 3), pTe =O.
110
2; E 2 = (10 -
9. a) pT
23.
[~1 3~ 1~i y
-2.
25. Debido a que A es invertible, P =
sobre todo R 2 •
3.
Lamejorrectaes[_:f:~ -:f:~] [~~] =
C=
-21
4
4
-2
23. Pi+ P2 + P3
1. :X =
_!_
11
[-:ft}x= [;J.
21.
25.
-2
4 , P2 = ~
4
21. P 1 = -l [ -2l
4
9 -2
9 -2
4
4
=matriz cero porque a 1 J_ a2 •
~ ~ [=i
=
449
b) P proyecta sobre el espacio
el núcmbro derecho P"' p
~
Ul, ~ [!]
.o
¡
Pruibol•-~ó~nm ¡¡ l~l m[Jl
AT Ax= [ :
26
2~ ;~] [~E=l [1i~]·
92
338
=
400
11. P + Q = l, PQ =O, trasponer a QP =O, de modo que (P - Q)(P - Q) = P 0-0+Q=l.
37. a) La mejor recta es x = 1 + 4t, que pasa por el punto central (i, b) = (2, 9). b) Con
base en la primera ecuación Cm + D ¿ t1 =
b1 • Se divide entre m para obtener
C+Dt=b.
13. La mejor recta es 61/35 - (36/35)t; p = (133/35, 95/35, 61/35. -11/35) a
39.
Z = {O}.
/
deC=Dt.
15.
H2 =
(! - 2P) = l - 4P +
2
4P 2 =
obtiene l.
l - 4P + 4P =f. Con dos reflexiones se
17. La proyección sobre x +y= O= Proyección sobre (-1, 1) = [~{~
19. La matriz proyección sobre el espacio
nes fuesen independientes.
2 ~h }
2
~
_ wf b¡ + · · · + w~bm
Xw -
-2----W¡
+w~
+ '' •
41. xw = (l/21, 4/7); Axw = (1/21, 13/21, 25/21),
b - Axw = (-1/21, 8/21, -4/21), (Axw) WTW(b - Axw) =o.
185
l. a) -4 = C -2D, -3 = C - D, -1 = C + D, O= C + 2D. b)Lamejorrecta,
-2 + t pasa por todos los cuatro puntos;
= O. c) b está en el espacio columna.
450
O1 I
.
. . .
.
So1uc1ones a e¡erc1c1os se1ecc1onados
Soluciones a ejercicios seleccionados
3. Proyección sobre a 3: (-2/3, 1/3, -2/3); la suma es b mismo; observe que a1aT, a2~}·
a 3aT3 son proyecciones sobre tres direcciones ortogonales. Su suma es la proyecc10n
sobre todo el espacio y debe ser la 1.dentl•ctad .
1
-1
5. (I-2uuT)T(I-2uuT) = I-4uuT + 4uuTuuT = l; Q =
[-¡
2
2
l
2
1
1
2
2
1
-ll
7. (X¡q¡ + · · • + Xnqn)T(X¡q¡ + ... + Xnqn) = X¡2 + . • • + Xn2 :::::> ilbl\ = bTb =
Xf +•··+X~.
9. La combinación más próxima de q 3 es Oq¡ + Oq2.
11. Q es triangular superior; la columna 1 tiene q 11 = :±:: 1; por ortogonalidad, l)a colu~a·
2 debe ser (O, :±:: 1, O, ... ); por ortogonalidad la columa 3 es (0, O, :±:: 1, ... ; Y asi sucesivamente.
2
[g ~ i] ¡g ~ ~1 [~ i i]
=
111
15. q¡ = [
100
~X -- [q"f
b] =
qJb
17. Rx = QTb
2/3
= QR ·
11.
O
¡-;j;l
está en el espacio nulo izquierdo;
1/3
[l]
2 .
proporciona[~ 1] [x 1= [5 ~3] Y