= 2019 + 2019
1、 设
1
2020
是 g ( x)
x 的一个根.证明
= 2019 + 2019
1
2020
g ( x ) 的根.(2019 年 2020 年是我们人生中特殊的年份 就用这两个年份出一
e
i
505
也是
以
示纪念。)
2、 设多 式 f ( x )
x 的所有复根 是实数 证明 如果 a 是 f ( x ) 的导数 f ( x ) 的
则 a 也是 f ( x ) 的根.
根
3、 整系数多 式 f ( x ) =
n
k =0
1) p | an , 2) p | ai , i = 0,1, 2,
证明
, 2019,3) p 2 | a0 .
f ( x ) 必有次数不低于 2019 的不可约整系数多 式.
4、 整系数多 式 f ( x ) =
n
k =0
1) p | a0 , p | a1 ,
证明
ak x k ( n 2020 ) .若存在素数 p 满足
ak x k ( n 1) .若存在素数 p 满足
, p | ar 1, 2) p | ar , p | an ,3) p 2 | a0 .
f ( x ) 必有次数不低于 r 的不可约整系数多 式.
5、设 p ( x ) 是 n 次有理系数多 式
n 为大于 1 的奇数 且 p ( x ) 在上
果 c1 和 c2 是 p ( x ) 的两个不同复根
么 c1 + c2 不是有理数.
不可约. 证明 如