SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE
MENGGUNAKAN DERET PANGKAT (POWER SERIES)
(Suatu Studi Pustaka secara Analitik)
Oleh: Marzuki1)
1)
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Mataran, Jalan Majapahit No.62 Mataram
KodePos83125
Abstrak
Persamaan Diferensial Legendre merupakan salah satu jenis per diferensial khusus, yang memiliki bentuk
(1 − 𝑥 2 )
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 2
− 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0, dengan l adalah suatu tetapan. Persamaan diferensial ini dapat
diselesaikan menggunakan deret pangkat (power series). Solusi persamaan ini memunculkan suatu fungsi
khusus yang dikenal dengan Polinomial Legendre, 𝑃𝑙 (𝑥). Polinom ini memiliki sifat-sifat yang membentuk
suatu himpunan fungsi-fungsi ortogonal. Setelah diselesaikan, diperoleh beberapa polinom Legendre, antara
1
1
1
2
2
8
lain: 𝑃0 (𝑥) = 1 ;𝑃1 (𝑥) = 𝑥 ; 𝑃2 (𝑥) = (3𝑥 2 − 1) ; 𝑃3 (𝑥) = (5𝑥 3 − 3𝑥); 𝑃4 (𝑥) = (35𝑥 4 − 30𝑥 2 + 3);
1
𝑃5 (𝑥) = (63𝑥 5 − 70𝑥 3 + 15𝑥), dan seterusnya.Polinom-polinom ini dapat juga dicari dengan Formula
8
1
Rodrigues: 𝑃𝑙 (𝑥) = 𝑙
𝑑𝑙
2 𝑙! 𝑑𝑥 𝑙
(𝑥 2 − 1)𝑙 , dengan 𝑙 = 0,1,2,3, … Namun untuk nilai l yang cukup besar, akan
lebih menyulitkan jika polinom dicari melalui formula ini. Untuk mengatasi hal itu, polinom Legendre dapat
dicari melalui hubungan rekursif :𝑙𝑃𝑙 (𝑥) = (2𝑙 − 1)𝑥𝑃𝑙−1 (𝑥) − (𝑙 − 1)𝑃𝑙−2 (𝑥), dengan syarat dua polinom
berturutan di bawahnya harus sudah diketahui.
Kata Kunci: Deret Pangkat,Formula Rodrigues,Hubungan Rekursi, Polinomial Legendre.
I.
memunculkan fungsi khusus yang
dikenal dengan Polinom Legendre,
𝑃𝑙 (𝑥). Fungsi-fungsi khusus ini
memiliki sifat-sifat yang membentuk
suatu himpunan fungsi ortogonal.
Dalam beberapa permasalahan
fisika
seperti
misalnya
tentang
persamaan
gelombang
mekanika
kuantum, polinom legendre ini sering
muncul. Atas dasar itulah maka
persamaan legendre ini menjadi penting
untuk dipahami sebagai alat untuk
mendalami permasalahan fisika yang
lebih lanjut.
Pendahuluan
Persamaan diferensial Legendre
atau sering juga disebut dengan
persamaan Legendre merupakan salah
satu jenis fungsi khusus. Fungsi khusus
dalam fisika matematika adalah fungsifungsi pemecahan istimewa dari
persamaan diferensial biasa orde dua
homogen (Wospakrik, H.J. 1993).
Beberapa contoh sederhana tentang
fungsi khusus adalah himpunan fungsifungsi trigonometri seperti cos nx, sin
nx, ataupun einx, yang muncul dalam
pemecahan persamaan diferensial orde
dua dengan koefisien tetap.
Dalam permasalahan ini yang
akan
dikaji
adalah
persamaan
diferensial biasa orde dua homogen
dengan koefisian taktetap. Secara
khusus yang akan dibahas adalah
tentang
persamaan
diferensial
Legendre. Solusi persamaan ini akan
II. Persamaan Diferensial Legendre
Persamaan diferensial Legendre
memiliki bentuk sebagai berikut (Boas,
M.L., 1983):
(1 − 𝑥 2 )
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
𝑑𝑦
− 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 =
0,.......................................................(1)
1
Atau dapat dituliskan dalam bentuk:
dengan n=0,1,2,3,...
Berdasarkan persamaan (5), untuk
nilai n yang genap diperoleh sebagai
berikut:
𝑑
2 𝑑𝑦
[(1
−
𝑥
) 𝑑𝑥 ] + 𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0,.....(2)
𝑑𝑥
dengan l adalah konstanta.
Persamaan ini memiliki pemecahan
polinom 𝑦𝑙 (𝑥)denganlmerupakan bulat
taknegatif. Secara umum, solusinya
dalam bentuk deret pangkat seperti
berikut ini(Boas, M.L., 1983):
𝑦(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 +
𝑛
⋯ = ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 ................................(3)
Jika diturunkan terhadap x, diperoleh
𝑑𝑦
𝑑𝑥
untuk n = 0, 𝑎2 = −
untuk n = 2, 𝑎4 =
𝑑𝑥
𝑎6 = −
𝑑
= 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + 4𝑎4 𝑥 3 +
6!
untuk n = 3, 𝑎5 =
𝑎0 ,
𝑎0 ,
(𝑙+2)(𝑙−1)
𝑎
1
3!
(𝑙+4)(𝑙−3)(𝑙+2)(𝑙−1)
5!
𝑎1
untuk n = 5, diperoleh
𝑎7
(𝑙 + 6)(𝑙 − 5)(𝑙 + 4)(𝑙 − 3)(𝑙 + 2)(𝑙 − 1)
𝑎1
7!
dan seterusnya.
Tampak bahwa semua konstanta a
yang berindeks genap dapat dinyatakan
dalam a0 dan yang berindeks ganjil
dapat dinyatakan dalam a1. Dengan
demikian, bila koefisien-koefisien ini
disubstitusi ke persamaan (3), diperoleh
=−
𝑛−1 ∑∞
𝑛+1 ]
[∑∞
+
𝑛=1 𝑛𝑎𝑛 𝑥
𝑛=−1 𝑛𝑎𝑛 𝑥
𝑛
𝑙(𝑙 + 1) ∑∞
𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 = 0,
∞
∑ 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛−2
∞
− ∑ 𝑛(𝑛 + 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑛=0
(𝑙+5)(𝑙−4)(𝑙+3)(𝑙−2)(𝑙+1)𝑙
untuk n=1, 𝑎3 = −
𝑛−1 ]
[(1 − 𝑥 2 ) ∑∞
+
𝑛=1 𝑛𝑎𝑛 𝑥
𝑛=2
4!
dan seterusnya.
Sedangkan bila n bernilai ganjil,
diperoleh seperti berikut ini:
𝑙(𝑙 + 1)𝑦 = 0,
𝑑𝑥
𝑎 ,
0
2!
(𝑙+3)(𝑙−2)(𝑙+1)𝑙
untuk n = 4, diperoleh
𝑛−1
⋯ = ∑∞
..........................(4)
𝑛=1 𝑛𝑎𝑛 𝑥
Jika persamaan (3) dan (4)
disubstitusi ke dalam persamaan (2),
diperoleh sebagai berikut:
𝑑
(𝑙+1)𝑙
∞
𝑦𝑙 (𝑥) = 𝑎0 [1 −
+ 𝑙(𝑙 + 1) ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 0
(𝑙+3)(𝑙−2)(𝑙+1)𝑙
(𝑙+1)𝑙
2!
𝑥2 +
𝑥4 −
4!
(𝑙+5)(𝑙−4)(𝑙+3)(𝑙−2)(𝑙+1)𝑙
𝑛=0
Jika pangkat dari variabel x
disamakan dalam pangkat n, maka batas
bawah notasi sigma menjadi sama yaitu
nol,
∑∞
𝑛=0{(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑎𝑛+2 −
[𝑛(𝑛 + 1) + 𝑙(𝑙 + 1)]𝑎𝑛 } 𝑥 𝑛 = 0.
Oleh karena 𝑥 𝑛 ≠ 0, maka hal itu
berarti bahwa
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑎𝑛+2 − [𝑛(𝑛 + 1) +
𝑙(𝑙 + 1)]𝑎𝑛 = 0 , atau
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑎𝑛+2 = −[𝑙(𝑙 + 1) −
𝑛(𝑛 + 1)]𝑎𝑛 , atau
6!
⋯ ] + 𝑎1 [𝑥 −
(𝑙+2)(𝑙−1)
3!
𝑥6 +
𝑥3 +
(𝑙+4)(𝑙−3)(𝑙+2)(𝑙−1)
𝑥5 −
5!
(𝑙+6)(𝑙−5)(𝑙+4)(𝑙−3)(𝑙+2)(𝑙−1)
7!
𝑥 7 + ⋯ ](6)
Penyelesaian ini dinamakan dengan
fungsi Legendre (Wospakrik, H.J.
1993). Dari persamaan (6) ini tampak
bahwa solusi ini terdiri dari dua bentuk
deret, yaitu deret pertama yang terkait
dengan a0 dan deret kedua yang terkait
dengan a1. Untuk nilai l yang genap
maka deret pertama yang konvergen
(𝑙+𝑛+1)(𝑙−𝑛)
𝑎𝑛+2 = − (𝑛+2)(𝑛+1) 𝑎𝑛 .................(5)
2
63𝑥 5 −70𝑥 3 +15𝑥
dan deret kedua akan divergen, dan
sebaliknya untuk nilai l yang ganjil.
Kita telah mengetahui bahwa deret
yang selalu menarik untuk dibicarakan
adalah
deret
yang
konvergen.
Kekonvergenan deret dalam fungsi
Legendre ini terbatas dalam daerah
−1 ≤ 𝑥 ≤ 1,(Rosdiana M. 2004), dan
deret ini sangat bergantung pada nilai l.
Jika nilai 𝑥 = 1, nilai y selalu bernilai
satu, sehingga kita dapat menentukan
nilai 𝑎0 atau𝑎1untuk satu nilai l tertentu.
Akhirnya kita dapat menentukan fungsi
y untuk satu nilai l tertentu dalam
bentuk fungsi pangkat, yang dikenal
dengan nama polinom Legendre, 𝑃𝑙 (𝑥).
Berikut ini adalah polinompolinom Legendre, dimulai dari nilai l
yang genap:
Jika nilai l = 0, berdasarkan persamaan
(6),
maka𝑦 = 𝑃0 (𝑥) =
𝑎0 .Sedangkanuntuk𝑥 = 1, nilai 𝑦 =
1, diperoleh 𝑎0 = 1, sehingga 𝑃0 (𝑥) =
1.Jika 𝑙 = 2, 𝑦 = 𝑃2 (𝑥) = −𝑎0 (3𝑥 2 −
1). Untuk𝑥 = 1, 𝑦 = 1, didapat𝑎0 =
1
Jikal = 5,𝑃5 (𝑥) = 𝑎1 (
Untuk𝑥 = 1, 𝑦 = 1, diperoleh 𝑎1 = 8 ,
1
sehingga𝑃5 (𝑥) = 8 (63𝑥 5 − 70𝑥 3 +
15𝑥),dan seterusnya.
Dengan demikian, diperoleh
beberapa fungsi polinom Legendre
sebagai berikut:
𝑃0 (𝑥) = 1 ,𝑃1 (𝑥) = 𝑥 ;
𝑃2 (𝑥) =
1
2
1
(3𝑥 2 − 1) ; 𝑃3 (𝑥) = (5𝑥 3 − 3𝑥),
2
1
𝑃4 (𝑥) = 8 (35𝑥 4 − 30𝑥 2 + 3)
;
1
𝑃5 (𝑥) = 8 (63𝑥 5 − 70𝑥 3 + 15𝑥),
dan
seterusnya.
III. Formula Rodrigues
Formula ini memberikan cara lain
untuk menentukan polinom-polinom
Legendre. Misalkan ada suatu fungsi
𝑣 = (𝑥 2 − 1)𝑙 , maka turunan pertama
𝑑𝑣
terhadap x,𝑑𝑥 = 2𝑙𝑥(𝑥 2 − 1)𝑙−1 . Jika
dikalikan
(𝑥 2 − 1),
dengan
maka
𝑑𝑣
(𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥 = (𝑥 2 − 1)𝑙(𝑥 2 − 1)𝑙−1 2𝑥
= 2𝑙𝑥𝑣.........................(7)
Berdasarkan aturan
Leibniz,
turunan sebanyak n kali dari perkalian
fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan
sebagai berikut (Boas, M.L., 1983):
𝑑𝑛
𝑑0
𝑑𝑛
(𝑓𝑔)
=
𝑓
𝑔+
𝑑𝑥 𝑛
𝑑𝑥 0 𝑑𝑥 𝑛
1
Jikal = 4, maka
35𝑥 4 −30𝑥 2 +3
3
).
15
− 2,maka 𝑃2 (𝑥) = 2 (3𝑥 2 − 1).
𝑦 = 𝑃4 (𝑥) = 𝑎0 (
15
).
Untuk𝑥 = 1, 𝑦 = 1, didapat𝑎0 =
3
,sehingga
8
𝑑1
1
𝑑𝑛−1
𝑛(𝑛−1) 𝑑2
𝑑𝑛−2
𝑃4 (𝑥) = 8 (35𝑥 4 − 30𝑥 2 + 3),
𝑛 𝑑𝑥 1 𝑓 𝑑𝑥 𝑛−1 𝑔 +
dan seterusnya.
Lebih lanjut, untuk l yang bernilai
ganjil, berdasarkan persamaan (6) jika
𝑙 = 1, maka 𝑦 = 𝑃1 (𝑥) = 𝑎1 𝑥.
Untuk𝑥 = 1, nilai 𝑦 = 1, diperoleh
𝑎1 = 1, sehingga𝑃1 (𝑥) = 𝑥.
⋯,....................................................(8)
Dengan demikian, turunan sebanyak
𝑙 + 1 kali dari ruas kiri dan kanan dari
persamaan
(7),berdasarkan
aturan
Leibniz adalah sebagai berikut:
5𝑥 3 −3𝑥
Jika 𝑙 = 3, 𝑦 = 𝑃3 (𝑥) = −𝑎1 (
3
3
𝑑𝑙+1
2!
𝑓
𝑔+
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑛−2
𝑑𝑣
Ruas kiri: 𝑑𝑥 𝑙+1 [ (𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥]=
).
𝑑𝑙+2 𝑣
𝑑𝑙+1 𝑣
(𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥 𝑙+2 + (𝑙 + 1)(2𝑥) 𝑑𝑥 𝑙+1 +
Untuk𝑥 = 1, 𝑦 = 1, maka𝑎1 = − 2,
(𝑙+1)(𝑙)
1
sehingga𝑃3 (𝑥) = 2 (5𝑥 3 − 3𝑥).
2!
3
𝑑𝑙 𝑣
. 2. 𝑑𝑥 𝑙 ,
"
Jika dimisalkan 𝑦 = 2𝑥ℎ − ℎ2 ,
maka persamaan (11) dapat ditulis
′
𝑑𝑙 𝑣
𝑑𝑙 𝑣
= (𝑥 − 1) ( 𝑙 ) + 2𝑙𝑥 ( 𝑙 ) +
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2
𝑑𝑙 𝑣
′
1
menjadiΦ(𝑥, ℎ) = (1 − 𝑦)− 2 .
Berdasarkan deret binomial newton,
(Boas, M.L., 1983) bahwa
𝑑𝑙 𝑣
2𝑥 (𝑑𝑥 𝑙 ) + 𝑙(𝑙 + 1) 𝑑𝑥 𝑙 .
𝑑𝑙+1
𝑑𝑙+1
Ruas kanan:𝑑𝑥 𝑙+1 [2𝑙𝑥𝑣] = 2𝑙 𝑑𝑥 𝑙+1 [𝑥𝑣]
(1 + 𝑥)𝑝 = 1 + 𝑝𝑥 +
𝑑𝑙+1 𝑣
𝑑𝑙 𝑣
= 2𝑙𝑥 𝑙+1 + 2𝑙(𝑙 + 1)
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑙
′
𝑑𝑙+1
𝑑𝑙 𝑣
[2𝑙𝑥𝑣]
=
2𝑙𝑥
(
)
𝑑𝑥 𝑙+1
𝑑𝑥 𝑙
𝑑𝑙 𝑣
+ 2𝑙(𝑙 + 1) 𝑙 ∙
𝑑𝑥
Jika
kedua
ruas
dipersamakan,
diperoleh:
𝑑𝑙 𝑣
"
𝑑𝑙 𝑣
𝑝(𝑝−1(𝑝−2)
3!
3
′
𝑑𝑙 𝑣
persamaan (1) dengan 𝑦 = 𝑑𝑥 𝑙 . Maka
𝑑𝑙
= 𝑑𝑥 𝑙 (𝑥 2 − 1)𝑙 adalah solusi dari
persamaan Legendre. Seperti kita
ketahui bahwa polinom Legendre
mengharuskan 𝑃𝑙 (1) = 1, sehingga hal
ini memberikan faktor pengali sebesar
(Boas,
M.L.,
1983).
Dengan
demikian diperoleh
1
5
1
Φ(𝑥, ℎ) = 1 + (2𝑥ℎ − ℎ2 )
2
3
5
(2𝑥ℎ − ℎ2 )3
+ (2𝑥ℎ − ℎ2 )2 +
8
16
+⋯
1 2 3 2 2 3 3
= 1 + ℎ𝑥 − ℎ + 𝑥 ℎ − 𝑥ℎ
2
2
2
3 4 5 3 3 30 2 4
+ ℎ + 𝑥 ℎ − 𝑥 ℎ +
8
2
8
15 5
5
𝑥ℎ −
6+⋯
8
16
3
1
= 1 + ℎ𝑥 + ℎ2 ( 𝑥 2 − ) +
2
2
5
3
ℎ3 ( 𝑥 3 − 𝑥) +
2
2
35
30
3
ℎ4 ( 𝑥 4 − 𝑥 2 + ) + ⋯
8
8
8
Φ(𝑥, ℎ) = 𝑃0 (𝑥) + ℎ𝑃1 (𝑥) + ℎ2 𝑃2 (𝑥)
+ℎ3 𝑃3 (𝑥) + ℎ4 𝑃4 (𝑥) + ⋯,
atau dalam notasi sigma dituliskan
𝑙
Φ(𝑥, ℎ) = ∑∞
𝑙=0 ℎ 𝑃𝑙 (𝑥).................(12).
Dengan demikian, menurut persamaan
(11) dan (12), maka
Bentuk persamaan (9) ini tidak lain
adalah persamaan Legendre seperti
2𝑙 𝑙!
1
𝑦 2 + 16 𝑦 3 + ⋯,sehingga diperoleh
8
𝑑𝑙 𝑣
1
𝑥2 +
𝑥 3 + ⋯. Berpedoman pada
1
𝑙(𝑙 + 1) 𝑑𝑥 𝑙 = 0 ................................(9)
𝑑𝑥 𝑙
2!
deret ini maka (1 − 𝑦)− 2 = 1 + 2 𝑦 +
(1 − 𝑥 2 ) (𝑑𝑥 𝑙 ) − 2𝑥 (𝑑𝑥 𝑙 ) +
𝑑𝑙 𝑣
𝑝(𝑝−1)
𝑑𝑙
𝑃𝑙 (𝑥) = 2𝑙𝑙! 𝑑𝑥 𝑙 (𝑥 2 − 1)𝑙 .................(10)
Persamaan (10) inilah yang dinamakan
dengan Formula Rodrigues, dimana
formula ini dapat digunakan untuk
menentukan
polinom-polinom
Legendre
1
𝑙
(1 − 2𝑥ℎ + ℎ2 )− 2 = ∑∞
𝑙=0 ℎ 𝑃𝑙 (𝑥)
...................................................(13)
IV. Fungsi
Pembangkit
(Generating
Function)
Fungsi pembangkit dari polinomial
Legendre dinyatakan dengan (Boas,
M.L., 1983):
IV.1 Ekspansi Potensial
Fungsi
pembangkit
dapat
dimanfaatkan untuk mengungkapkan
potensial di suatu titik P yang berjarak d
dari muatan sumber, q, dimana
potensial listrik berbanding terbalik
1
Φ(𝑥, ℎ) = (1 − 2𝑥ℎ + ℎ2 )− 2,.........(11)
dengan |ℎ| < 1.
q
4
𝑑 = 𝑅⃗ − 𝑟
O
𝑟
𝜃
P
𝑅⃗
berjarak 𝑟𝑖
dan sudut 𝜃𝑖 , maka
potensial pada titik P oleh masingmasing
muatan
adalah
𝑉𝑖 =
dengan jarak(Wospakrik, H.J. 1993).
Perhatikan gambar berikut:
𝑟𝑙
𝑖
𝑘𝑞𝑖 ∑∞
𝑙=0 𝑅 𝑙+1 𝑃𝑙 (cos 𝜃𝑖 ),
potensial total di titik P oleh n buah
muatan adalah:
Gambar 1: Potensial di titik P oleh
muatan sumber q
Catatan:
1
𝑛
𝑙
𝑉 = ∑∞
𝑙=0 𝑅 𝑙+1 ∑𝑖=1 𝑘𝑞𝑖 𝑟𝑖 𝑃𝑙 (cos 𝜃𝑖 ).(17)
Apabila muatan sumber terdistribusi
secara kontinu dalam suatu area A,
maka penjumlahan terhadap i menjadi
integral:
𝑟 = posisi muatan q, relatif terhadap O
𝑅⃗= posisi titik P, relatif terhadap O
𝑑= posisi titik P, relatif terhadap muatan q.
𝜃= sudut antara 𝑟 dan 𝑅⃗.
1
𝑙
𝑉 = 𝑘 ∑∞
𝑙=0 𝑅 𝑙+1 ∫ 𝑟 𝑃𝑙 (cos 𝜃)𝑑𝑞 ....(18)
Potensial listrik oleh sebuah
muatan q di titik pengamatan P yang
berjarak d dari q adalah:
Jika rapat muatan, 𝜌(𝑟) merupakan
muatan per volume, maka elemen
muatan 𝑑𝑞 = 𝜌(𝑟)𝑑𝜏, dengan 𝑑𝜏 adalah
elemen volume dalam area A. Dengan
demikian potensial total di titik P yang
berada di luar area A adalah
𝑘𝑞
𝑉 = 𝑑 , .........................................(14)
dengan k adalah suatu tetapan yang
nilainya bergantung pada satuan yang
dipakai. Jika R, r, dan d berturut-turut
adalah besar atau nilai dari vektor
𝑅⃗ , 𝑟, dan𝑑, maka berdasarkan gambar di
1
𝑙
𝑉 = 𝑘 ∑∞
𝑙=0 𝑅 𝑙+1 ∭ 𝜌(𝑟)𝑟 𝑃𝑙 (cos 𝜃)𝑑𝜏,
atau dapat ditulis sebagai
𝑘𝑄 (𝑙)
𝑉 = ∑∞
𝑙=0 𝑅 𝑙+1
atas, menurut aturan cosinus, 𝑑 =
1
2
1
𝑟 2 2
Atau 𝑑 = 𝑅 (1 − 2 (𝑅) cos 𝜃 + (𝑅) ) .
Dari persamaan (14) maka potensial
pada titik pengamatan P adalah:
1
𝑘𝑞
−
2
𝑟 2
𝑟
𝑉 = 𝑅 (1 − 2 (𝑅) cos 𝜃 + (𝑅) )
,
1
𝑘𝑞
.............................(19)
dengan 𝑄 (𝑙) = ∭ 𝜌(𝑟)𝑟 𝑙 𝑃𝑙 (cos 𝜃)𝑑𝜏
merupakan multipol listrik ke-l.
Jika l = 0, maka 𝑄 (0) = ∭ 𝜌(𝑟) 𝑑𝜏
tidak lain adalah muatan total dalam
area A. Jika l = 1, 𝑃1 (cos 𝜃) = cos 𝜃,
sehingga
𝑄 (1) = ∭ 𝜌(𝑟)𝑟 cos 𝜃𝑑𝜏
merupakan momen dipol listrik sumber.
Kemudian, jika l = 2, 𝑃2 (cos θ) =
(𝑅 2 − 2𝑅𝑟 cos 𝜃 + 𝑟 2 ) .
𝑟
sehingga
𝑉 = 𝑅 (1 − 2𝑥ℎ + ℎ2 )− 2 , .............(15)
1
2
𝑟
dengan ℎ = 𝑅 dan 𝑥 = cos 𝜃.
(3cos 2 𝜃 − 1), sehingga
1
𝑄 (2) = 2 ∭ 𝜌(𝑟) 𝑟 2 (3 cos 2 𝜃 − 1)𝑑𝜏
Untuk 𝑟 < 𝑅, maka h< 1, sehingga
sebagaimana persamaan (13) bahwa
merupakan kuadrupol listrik sumber,
dan seterusnya(Boas, M.L., 1983).
1
𝑙
(1 − 2𝑥ℎ + ℎ2 )− 2 = ∑∞
𝑙=0 ℎ 𝑃𝑙 (𝑥).
Dengan demikian
persamaan (15)
IV.2Persamaan diferensial Legendre
dalam ungkapan polinom Legendre
Dapat dibuktikan bahwa fungsi
pembangkit memenuhi hubungan
𝑘𝑞
𝑙
menjadi 𝑉 = 𝑅 ∑∞
𝑙=0 ℎ 𝑃𝑙 (𝑥) , atau 𝑉 =
𝑟𝑙
𝑘𝑞 ∑∞
𝑙=0 𝑅 𝑙+1 𝑃𝑙 (cos 𝜃). ...........(16)
Jika
terdapat
n
buah
muatanq(𝑞𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3, … ) yang
5
(1 − 𝑥 2 )
𝜕2 Φ
− 2𝑥
𝜕𝑥 2
𝜕Φ
+ℎ
𝜕𝑥
𝜕2
𝜕ℎ2
dalam pembuktian ataupun penurunan
yang terkait dengan polinom Legendre.
Dengan
sedikit
manipulasi
matematis terhadap fungsi pembangkit,
kita dapat membuat beberapa hubungan
rekursi yang berbeda. Berikut ini adalah
contoh hubungan rekursi(Boas, M.L.,
1983), yaitu:
a. 𝑙𝑃𝑙 (𝑥) = (2𝑙 − 1)𝑥𝑃𝑙−1 (𝑥) −
(𝑙 − 1)𝑃𝑙−2 (𝑥)
′ (𝑥)
b. 𝑥𝑃𝑙′ (𝑥) − 𝑃𝑙−1
= 𝑙𝑃𝑙 (𝑥)
′ (𝑥)
′ (𝑥)
c. 𝑃𝑙
− 𝑥𝑃𝑙−1
= 𝑙𝑃𝑙−1 (𝑥)
′
2
d. (1 − 𝑥 )𝑃𝑙 (𝑥) = 𝑙𝑃𝑙−1 (𝑥) −
𝑙𝑥𝑃𝑙 (𝑥)
′ (𝑥)
e. (2𝑙 + 1)𝑃𝑙 (𝑥) = 𝑃𝑙+1
−
′ (𝑥)
𝑃𝑙−1
...............................................(22)
(ℎΦ) = 0
.........................................................(20)
Jika persamaan (12) disubstitusi ke
dalam persamaan (20), akan diperoleh
seperti berikut ini:
𝜕 2Φ
𝜕Φ
𝜕2
(1 − 𝑥 2 ) 2 − 2𝑥
+ ℎ 2 (ℎΦ)
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕ℎ
=0
∞
⟹ (1 − 𝑥
2)
𝜕2
(∑ ℎ𝑙 𝑃𝑙 (𝑥)) −
𝜕𝑥 2
𝑙=0
∞
2𝑥
𝜕
(∑ ℎ𝑙 𝑃𝑙 (𝑥))
𝜕𝑥
𝑙=0
2
∞
𝜕
+ ℎ 2 ( ∑ ℎ𝑙+1 𝑃𝑙 (𝑥)) = 0
𝜕ℎ
𝑙=−1
∞
⇒ (1 − 𝑥 2 ) (∑ ℎ𝑙 𝑃𝑙" (𝑥)) −
𝑙=0
∞
V. Ortogonalitas
dan
Normalisasi
Polinomial Legendre
Pada persamaan (21) telah
dituliskan
persamaan
diferensial
Legendre dalam ungkapan polinomnya
yaitu:
(1 − 𝑥 2 )𝑃𝑙" (𝑥) − 2𝑥𝑃𝑙′ (𝑥)
+𝑙(𝑙 + 1)𝑃𝑙 (𝑥) = 0
Atau dapat dituliskan seperti berikut:
2𝑥 (∑ ℎ𝑙 𝑃𝑙′ (𝑥)) +
∞
𝑙=0
∑ 𝑙(𝑙 + 1)ℎ𝑙 𝑃𝑙 (𝑥) = 0
𝑙=0
Oleh karena batas notasi sigma pada
setiap suku sudah sama dan semua
mengandung ℎ𝑙 , maka dapat kita
tuliskan seperti berikut:
"
′
𝑙
2
∑∞
𝑙=0 ℎ [(1 − 𝑥 )𝑃𝑙 (𝑥) − 2𝑥𝑃𝑙 (𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥
[(1 − 𝑥 2 )𝑃𝑙′ (𝑥)]+ 𝑙(𝑙 + 1)𝑃𝑙 (𝑥) = 0.
....................................................(23)
Jika l diganti dengan m, diperoleh:
𝑙(𝑙 + 1)𝑃𝑙 (𝑥)] = 0.
Karena
ℎ𝑙 ≠
0,maka hal ini berarti
(1 − 𝑥 2 )𝑃𝑙" (𝑥) − 2𝑥𝑃𝑙′ (𝑥) +
𝑙(𝑙 + 1)𝑃𝑙 (𝑥) = 0 ...........................(21)
Persamaan (21) inilah yang merupakan
ungkapan
persamaan
diferensial
Legendre dalam polinom Legendre.
𝑑
𝑑𝑥
[(1 − 𝑥 2 )𝑃𝑚′ (𝑥)]+ 𝑚(𝑚 + 1)𝑃𝑚 (𝑥)
= 0. ..............................................(24)
Jika persamaan (23) dikalikan dengan
𝑃𝑚 (𝑥) dan persamaan (24) dengan
𝑃𝑙 (𝑥) kemudian dikurangkan, diperoleh
𝑑
𝑃𝑚 (𝑥) 𝑑𝑥 [(1 − 𝑥 2 )𝑃𝑙′ (𝑥)]
𝑑
IV.3 Hubungan Rekursi
Fungsi pembangkit juga dapat
digunakan untuk menurunkan hubungan
rekursi
(recursionrelations)
dari
polinomial Legendre. Hubungan rekursi
merupakan identitas yang digunakan
−𝑃𝑙 (𝑥) 𝑑𝑥 [(1 − 𝑥 2 )𝑃𝑚′ (𝑥)] +
[𝑙(𝑙 + 1) − 𝑚(𝑚 + 1)]𝑃𝑙 (𝑥)𝑃𝑚 (𝑥) = 0
....................................................(25)
Suku pertama dan kedua persamaan
(25) dapat direduksi menjadi
6
𝑑
𝑑𝑥
1
1
2 (𝑥)𝑑𝑥
𝑙 ∫ 𝑃𝑙
= ∫ 𝑥𝑃𝑙 (𝑥)𝑃𝑙′ (𝑥)𝑑𝑥
−1
−1
1 1
𝑑
= 2 ∫−1 𝑥 𝑑𝑥 𝑃𝑙2 (𝑥)𝑑𝑥.
[(1 − 𝑥 2 )(𝑃𝑚 𝑃𝑙′ − 𝑃𝑙 𝑃𝑚′ )], dan jika
diintegralkan dengan batas (-1,1)
hasilnya sama dengan nol. Sedangkan
suku kedua jika diintegralkan dalam
batas yang sama hasilnya juga harus
sama dengan nol.
[𝑙(𝑙 + 1) − 𝑚(𝑚 + 1)] ×
Kalikan kedua ruas dengan 2, didapat
1
1
𝑑 2
2 (𝑥)𝑑𝑥
2𝑙 ∫ 𝑃𝑙
=∫ 𝑥
𝑃𝑙 (𝑥)𝑑𝑥
−1
−1 𝑑𝑥
1
= 𝑥𝑃𝑙2 (𝑥)|1−1 − ∫−1 𝑃𝑙2 (𝑥)𝑑𝑥.
1
∫−1 𝑃𝑙 (𝑥)𝑃𝑚 (𝑥)𝑑𝑥 = 0 ...................(26)
kedua ruas kanan dipindahkan ke ruas
kiri, diperoleh sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (26) ini
dapat
disimpulkan
bahwa
1
∫−1 𝑃𝑙 (𝑥)𝑃𝑚 (𝑥)𝑑𝑥 = 0
1
(2𝑙 + 1) ∫−1 𝑃𝑙2 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑃𝑙2 (𝑥)|1−1.
untuk 𝑙 ≠ 𝑚,
Nilai 𝑃𝑙2 (1) = 𝑃𝑙2 (−1) = 1, sehingga
kecuali jika 𝑙 = 𝑚. Ungkapan ini
menunjukkan
bahwa
polinomialpolinomial Legendre saling ortogonal.
Kemudian,
untuk
melakukan
normalisasi
terhadap
polinomial
Legendre, dapat digunakan hubungan
rekursif (22.b),
′ (𝑥)
𝑙𝑃𝑙 (𝑥)= 𝑥𝑃𝑙′ (𝑥) − 𝑃𝑙−1
. Jika kedua
ruas dikalikan dengan 𝑃𝑙 (𝑥) kemudian
diintegralkan, dihasilkan:
1
Suku
1
(2𝑙 + 1) ∫−1 𝑃𝑙2 (𝑥)𝑑𝑥 = 2.
1
2
∫−1 𝑃𝑙2 (𝑥)𝑑𝑥 = (2𝑙+1),
Jadi,
......(28)sehingga
bentuk
polinom
Legendre yang sudah dinormalisasi
(ortonormal)
adalah
(2𝑙+1)
√
2
𝑃𝑙 (𝑥)
......................(29)
VI. Simpulan dan Saran
1
𝑙 ∫ 𝑃𝑙2 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑃𝑙 (𝑥)𝑃𝑙′ (𝑥)𝑑𝑥
VI.1 Simpulan
Persamaan Diferensial Legendre
dapat diselesaikan menggunakan deret
pangkat
(power
series).
Solusi
persamaan ini merupakan fungsi khusus
yang dikenal dengan Polinomial
Legendre, 𝑃𝑙 (𝑥). Setelah diselesaikan,
diperoleh beberapa polinom Legendre,
antara lain: 𝑃0 (𝑥) = 1 ; 𝑃1 (𝑥) = 𝑥 ;
−1
−1
1
′
− ∫−1 𝑃𝑙 (𝑥)𝑃𝑙−1 (𝑥) 𝑑𝑥 ...................(27)
Untuk suku kedua ruas kanan, jika l
genap maka 𝑃𝑙 (𝑥) merupakan fungsi
′ (𝑥)
genap dan 𝑃𝑙−1
juga fungsi genap
sehingga hasil perkaliannya juga fungsi
genap. Sedangkan jika l ganjil maka
𝑃𝑙 (𝑥) merupakan fungsi ganjil dan
′ (𝑥)
𝑃𝑙−1
juga fungsi ganjil, tetapi hasil
perkaliannya merupakan fungsi genap.
Jadi untuk semuanilai l bulat taknegatif,
′ (𝑥)
hasilkali 𝑃𝑙 (𝑥)𝑃𝑙−1
merupakan
fungsi genap yang hasil integrasinya
adalah fungsi ganjil dan bernilai nol
jika batas bawah dan atas integral sama
besar tapi berlawanan tanda. Dengan
demikian, suku kedua ruas kanan
persamaan (27) bernilai nol, sehingga
menjadi:
1
𝑃2 (𝑥) = 2 (3𝑥 2 − 1) ; 𝑃3 (𝑥) =
1
2
1
(5𝑥 3 − 3𝑥);𝑃4 (𝑥) = (35𝑥 4 −
8
2
1
30𝑥 + 3); 𝑃5 (𝑥) = 8 (63𝑥 5 − 70𝑥 3 +
15𝑥), dan seterusnya. Polinom-polinom
ini saling ortogonal pada (-1,1).
Polinomial Legendre dapat juga dicari
dengan Formula Rodrigues: 𝑃𝑙 (𝑥) =
1
𝑑𝑙
2𝑙 𝑙! 𝑑𝑥 𝑙
7
(𝑥 2 − 1)𝑙 , dengan 𝑙 = 0,1,2,3, …
4. Wospakrik, H.J. (1993). Dasardasar Matematika untuk Fisika II.
Jurusan Fisika ITB.
Polinomial Legendre memiliki
fungsi
pembangkit
(Generating
Function), yang dapat digunakan untuk
semisal mengungkapkan potensial
listrik pada suatu titik oleh muatan
sumber yang berada pada jarak tertentu.
Melalui fungsi ini juga dapat diperoleh
ungkapan
Persamaan
Diferensial
Legendre dalam bentuk polinomialnya,
dan
juga
dimanfaatkan
untuk
menurunkan
hubungan-hubungan
rekursi
yang
bermanfaat
untuk
menentukan polinomial Legendre untuk
nilai l yang besar, ataupun untuk
menyelidiki
sifat-sifat
polinomial
Legendre
lainnya,
seperti
sifat
ortonormal.
VI.2 Saran
Solusi
Persamaan
Diferensial
Legendre ini masih terbatas pada
polinomial Legendre orde ke-nol. Perlu
kiranya untuk dikaji polinomial
Legendre dengan orde yang lebih tinggi
(associated Legendre Functions) serta
aplikasinya
dalam
berbagai
permasalahan fisika lanjut.
DAFTAR PUSTAKA
1. Arfken, G. (1970). Mathematical
Methods for Fhysicist. London:
Academic Press, Inc.
2. Boas, M.L. (1983) Mathematical
Methods in the Fhysycal Science.
Second Edition. New York: John
Wiley & Sons, Inc.
3. Rosdiana, dkk. (2004). Matematika
Fisika I,II. Common Textbook
(Edisi Revisi). Jurusan Pendidikan
Fisika, FPMIPA UPI.
8