第 31卷第 1期
2
018年 2月
四川理工学院学报(自然科学版)
J
o
u
r
n
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lo
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i
c
h
u
a
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i
v
e
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i
t
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n
g
(Na
t
u
r
a
lS
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i
e
n
c
eEd
i
t
i
o
n)
文章编号:
1673
1549(2018)01
0025
09
Vo
l
3
1 No
1
Fe
b
2
0
1
8
DOI
:
10.
11863/
j
.sus
e.
2018.
01.
05
基于模型参数不确定的四旋翼飞行器混合 H2 /
H∞ 控制
石 川 a,林 达 b,任 斌 a,余 亮 a
(四川理工学院 a
.自动化与信息工程学院;b.物理与电子工程学院,四川 自贡 6
4
3
0
0
0)
摘
要:针对四旋翼无人飞行器的模型参数不确定性和在飞行过程中易受到外界不确定性干扰而
导致飞行不稳定的问题,首先,对四旋翼无人飞行器进行了较为精确的非线性动力学建模,并进行适当
地简化成为存在误差的线性动力学模型,而后,利用鲁棒控制与极点配置原理,设计了一种基于线性矩
阵不等式(Li
ne
a
rMa
t
r
i
xI
ne
qua
l
i
t
y
,LMI
)的 H2/
H∞ 混合鲁棒控制器。MATLAB实验仿真表明,通过与传
统的较为单一的 H2 标准控制器和 H∞ 标准控制器进行比较,文章提出的 H2/
H∞ 混合鲁棒控制器能够解
决四旋翼无人飞行器本身模型参数不精确和干扰噪声导致控制不稳定甚至发散等问题,展示出了良好
的稳定性和鲁棒性。
关键词:H2/
H∞ 混合控制;线性矩阵不等式;鲁棒性;模型参数不确定性;极点配置
中图分类号:TP242;TP3919
文献标志码:A
D)控制 [2]和线性二次型调节
法主要有比例积分微分(PI
引 言
器(LQR)控制 [3]。文献[3]中提出的 LQR控制器用于
当前,由于四旋翼无人飞行器具有体积小、安全和
控制飞行器姿态和位移跟踪,实验表明控制效果优秀。
灵活高效等特点,使得其应用领域越来越广泛,如救援、
然而飞行器的现实飞行环境是十分复杂的,线性控制器
航空摄影、航空测绘、空 中 监 视、物 流 快 递 和 电 力 巡 线
往往难以较好地完成控制任务,所以越来越多的非线性
等,加速其在军民两个领域的发展
[1]
。然而由于飞行器
控制算法被研究,并运用到了飞行器上。文献[4-6]均
的数学模型通常是非线性的,对输入变化较为敏感,并
采用滑模控制策略,考虑到外界的干扰,展现了较好的
且容易受外界环境的干扰,使得控制四旋翼飞行器稳定
鲁棒控制性能。反步法与自适应控制相结合,使得飞行
飞行成为自动控制领域中的一个难题。
器在面对未知的外界干扰时,能够实现稳定飞行 [7]。在
近年来,有越来越多的控制算法应用于飞行器,大
积分反步控制 [8]的基础上,自适 应 地 估 计 外 界 阵 风 干
体可以分为线性控制和非线性控制两类。线性控制算
扰,不仅可以完成飞行器的轨迹跟踪任务,而且更具抗
收稿日期:
2
0
17
1
1
1
7
基金项目:国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 (61
6
4
02
23);四 川 省 自 然 科 学 基 金 (2
01
6J
Y01
7
9);四 川 省 自 然 科 学 基 金 重 点 资 助 项 目
(2
0
16J
Y0
17
9);中国科学院自动化研究所复杂系统管理与控制国家重点实验室开放基金资助项目(20
1
60
10
6);人工智能四川
省重点实验室开放基金资助项目(20
16RZJ
0
2);校级研究生创新基金资助项目(y
2
01
6
03
4)
作者简介:石 川(199
2
),男,河北邯郸人,硕士生,主要从事无人机姿态估计与控制方面的研究,(E
ma
i
l
)1
102s
c
@s
i
n
a
.c
n
林 达(197
4
),男,山东日照人,教授,博士,硕士生导师,主要从事多智能体协同控制理论及应用等方面的教学与科研工作。
26
干扰性
四川理工学院学报(自然科学版)
[9]
。文献 [1
0]将 Gl
o
v
e
r
Mc
Fa
r
l
a
ne回路成型
[1
1]
20
18年 2月
本文中,做 如 下 假 设:(a)飞 行 器 是 刚 性 对 称 的;
与 H∞ 控制相结合,用于控制四旋翼飞行器。文献[1
2]
(b)螺旋桨是刚体;(c)电机的推力和阻力正比于转子
提出一种非线性鲁棒 H无穷 PI
D控制器,用于存在模型
转速的平方;(d)电机转动轴平行于 Z轴方向;(e
)忽略
和参数等不确定情况下的飞行器实时飞行。文献[13]
地面效应;(f
)惯性矩阵时不变;(g)忽略飞行器的弹性
应用非线性 H∞ 控制器良好地解决了存在外界干扰、模
形变及冲力。
型和参数不确定时的飞行器路径跟踪问题。
通过文献[1
4]提供的 Ne
wt
o
n—Eu
l
e
r方程和 S
E(3)
本文提出的基于参数不确定的 H2/
H∞ 混合鲁棒控
配置空间中的运动方程公式,针对四旋翼飞行器的线运
制器,用于解决飞行器在模型建立不精确时受到外界阵
动和旋转运动进行数学建模。因为在惯性坐标系中列
风和传感器白噪声等不确定性干扰导致飞行器无法稳
写飞行器的线性运动方程式较简单,而且在机体坐标系
定飞行的问题。
中列写飞行器的旋转运动方程也很方便,所以可以围绕
1 模型建立
飞行器的重心表示线性和旋转运动:
U1
ẍ=(cos
i
nθ
c
o
s
i
nφs
i
nψ)
φs
ψ+s
m
U1
i
nθ
c
o
s
i
nφs
i
nψ)
φs
ψ-s
ÿ=(cos
m
U1
o
s
) -g
φc
θ
z̈=(cos
m
J
b
l
r
y -I
z
I
φ̈ =θ
+ θ
ψ
ωd + U2
I
I
I
x
x
x
J
b
l
r
z -I
x
I
φ
ωd + U3
θ̈=φψ I - I
I
y
y
y
d
x -I
y
ψ̈ =φ
I
+ U4
θ
I
I
z
z
四旋翼飞行器具有四个电机,通过螺旋桨的旋转产
生向上的升力,带动机体飞行,如图 1所示。假设惯性
坐标系与地球坐标系重合,即 E(OE,XYZ)。机体坐标
y
z为轴向定义
系则是以飞行器的几何中心为重心、以 x
的,即 B(OB,x
y
z
)。
(
)
(
)
(
)
(2)
其中,ωd =ω4 +ω2 -ω1 -ω3。
根据文献[1
5],经过小角度假设以及线性简化得
到:
图 1 四旋翼飞行器的参考坐标系
z̈=
U1
l
U2
l
U3
U4
,φ̈ = ,θ̈= ,ψ̈ =
m
I
I
I
x
y
z
(3)
四旋翼飞行器可以看作是一个具有三个轴向旋转
自由度、三个轴向平移自由度和四个输入项的欠驱动的
运动刚体,可以用一个整齐的数学公式组合来描述其动
力学模型。这四个输入项 Ui(i=1,
2,
3,
4)与四个电机
的旋转角速度 ωi(i=1,
2,
3,
4)的关系为:
2
1
2
2
2
3
2
4
1
3
本文采用的 H2/
H∞ 混合鲁棒控制方法,是一种基于
线性矩阵不等式(LMI
)算法的线性静态反馈控制。该控
制器包含了两个已知的且应用比较广泛的控制器,即 H2
2
4
b
(ω +ω +ω +ω )
U1
2
(ω2
U2 b
4 -ω
2)
U=
=
2
2
U
b
(
-ω
)
ω
3
3
1
U
d(ω2 +ω2 -ω2 -ω2)
4
2 H2/
H∞ 鲁棒混合控制
和 H∞ 控制器,将这两个控制器混合的好处是,既可以体
(1)
现出 H∞ 控制方法能够良好地解决飞行器的鲁棒稳定性,
也可以保证飞行器在受到脉冲、
白噪声等干扰即不确定性
输入时,
不丢失鲁棒性。控制结构框图如图 2所示。
第 31卷第 1期
刘叶凤,等:基于模型参数不确定的四旋翼飞行器混合 H2/
H∞ 控制
[1
6]
引理 2
p
27
假 设 适 当 维 数 的 常 数 矩 阵 D、E,x∈
q
R 和 y∈ R ,对任何满足 FTF≤ I的适当维数矩阵 F,
T
T T
T
存在 εx
DDTx+ε-1y
E Ey≥ 2x
DFEy
,且 ε为任意正
的标量。
,所以可以得到
由于 FTF≤ I
0≤ (DTx-FEy
)T(DTx-FEy
)=
T
T
T T T
x
DDTx-2x
DFEy+y
E F FEy≤
图 2 H2/
H∞ 控制结构框图
图 2中,G(s
)是广义线性时不变被控对象,K(s
)
即证得引理 2。
H∞ 控制器。
则为 H2/
由于本文在对飞行器进行建模时,
采用了一些线性化
近似的计算,
忽略了一些要素,这就导致系统方程的模型
参数存在不确定性,
因此 G(s
)由下面状态方程描述:
{
(4)
其中,W为干扰噪声等,U为公式(1)给出的控制输入,
Z∞ 和 Z2 分别代表控制器 H∞ 指标和 H2 指标的相关输
珔2 =B2 +ΔB2。ΔA和 ΔB2 是反应系统
出,A=A+ΔA,B
引理 4[16] 假设已知 X、Y、Z是 k×k阶的实对称矩
T
(1)对所有非零向量 x∈ Rk,δ
(x
) =(x
Yx
)2 -
T
(2)对使得 x
Zx>0的 所 有 非 零 向 量 x∈ Rk,
xTYx<0,存在大于 0的常数 λ使得 M(λ) =λ2X+
λY+Z≤ 0。
引理 5[16] 假设已知 X、Y、Z是 k×k阶的实对称
模型参数不确定的扰动项。
针对系统(4)设计出状态反馈控制率:U =KX,那
矩阵,当 X >0,且对使得 xTZx≥ 0的任意 非 零 向 量
x∈Rk:
么对应的闭环控制系统即为:
{
T
T
T
在 ma
x
{(x
Fy
)2:F∈ Rp×q,FTF≤ I
} =(x
x
)(y
y
)。
T
T
4(x
Xx
)(x
Zx
) >0。
Z2 =C2X+D21W +D22U
T
(1)x
Yx≥ 0。
=(A
珔+B
珔2K)X+B1W
X
Z∞ =(C1 +D12K)X+D11W
引理 3[16] 假设已知任意 x∈ Rp和 y∈ Rq向量,存
阵,当 X >0,而且:
=A
珔X+B1W +B
珔2U
X
Z∞ =C1X+D11W +D12U
T
T
T T
x
DDTx-2x
DFEy+y
E Ey
(5)
Z2 =(C2 +D22K)X+D21W
为了得出上述控制率,需要考虑参数不确定,故先
介绍几个引理及其证明,假设 ΔA和 ΔB2 的范数有界以
及:[ΔAΔB2]=HF[E1 E2]。其中 F∈ Ri×j是各不确定
,而 H、E1、E2为已知常数项,反映不
项,
且满足 FTF≤ I
T
T
T
(2)δ
(x
) =(x
Yx
)2 -4(x
Xx
)(x
Zx
) >0。
那么存在大于 0的 常 数 λ,可 使 M(λ) = λ2X +
6]。
λY+Z <0。引理 4与引理 5的证明可见文献[1
引理 2可以推出引理 1的充分性。由引理条件不
T
等式,可 以 得 出 对 任 意 适 当 维 数 的 向 量 ξ
,ξ
Yξ+
T
T
2ξ
HFEξ< 0。根 据 引 理 3和 上 式,可 知 ξ
Yξ+2
T
T
T
T
T
T
T
T
T
确定模型的结构信息。为了得出重要结论,通过对参数
槡ξDD ξ 槡ξEE ξ < 0,即 ξYξ <- 2 槡ξDD ξ
不确定性进行相应处理。
) < 4(ξDD ξ
)(ξEE ξ
)。令
槡ξEE ξ,所 以 (ξYξ
引理 1[16] 假设已知适当维数的 D、E和对称的 Y
T
2
T
T
T
T
X =DDT,Z =EET 即可推出引理 1的必要性。
矩阵,则 DFE+Y+ETFTDT <0对所有满足 FTF≤ I的
定理 1[16] 若系统(5)稳定,而且从 W到 Z∞ 的闭环
矩阵 F均成立,当且仅当存在一个大于 0的常数 ε,使
传递函数 Twz 的 H∞ 范数小于一个保证闭环系统对不确
T
-1 T
得 εDD +Y+ε E E <0成立。
为证明引理 1,给出如下几个引理。
∞
定性具有鲁棒性的预先设定的数值 γ,且 γ>0,当且仅
当满足式(6)时成立。
28
四川理工学院学报(自然科学版)
珔 珔
珔 珔
T
T
(A+B2K)P1 +P1(A+B2K) B1 P1(C1 +D12K)
<0
T
T
B1
-γI
D1
1
(C1 +D12K)P1
D11
-γI
P =PT >0
1
1
(6)
定理 2[16] 若系统(5)稳定,且从 W到 Z2 的闭环传
,(ν>0),且 D22 =0,使以
递函数 Twz 的 H2 范数小于 ν
2
H2范数为性能指标的系统保持良好的性能输出,当且
仅当满足式(7)时成立。
珔 珔
珔 珔
T
(A+B2K)P2 +P2(A+B2K) B1
<0
T
B
-I
1
Q
(C1 +D12K)P2
(7)
<0
P2
P2(C1 +D12K)T
2
Tr
ac
e
(Q) <ν
P =PT >0
(
)
2
2
20
18年 2月
2
i
n(αγ +β
(Tr
a
c
e
(Q)))
γm
,
P,
Q
AP+珔
B2M +(AP+珔
B2M)T B1 ( C1P+D12M) T
T
T
B1
-γI
D1
<0
1
C1P+D12M
D11
-γI
珔
A
P+珔
B2M +(珔
A
P+珔
B2M)T B1
<0
T
B1
-I
Q
C1P+D12M
<0
(CP+D M)T
P
1
1
2
mi
(Tr
a
c
e
(Q))
n
(λP+μ(珔
A+珔
BK)P+μP+P(珔
A+珔
BK)TμT)
<0
(
(
)
)
i
j
i
j
2
i
j
2
,
j
i
j1
≤i
≤n
(9)
3 仿真与分析
本文的实验仿真平台为 MATLAB,程序以 m文件进
行编写。仿真中用到的飞行器的物理模型参数见表 1。
表 1 四轴飞行器物理模型参数
从公式(6)和(7)两组线性矩阵不等式中,可以发
符号
数值
物理意义
m
2
0
飞行器的质量 /
kg
a
puno
v矩阵 P,使得 P=P1 =P2,并
引入一个公共的 Ly
l
I
x
0
2
机臂的长度 /
m
0
00
5
X轴的转动惯量 /
(kg/
m2)
且也引入矩阵 M,使得 K =MP-1。
I
y
0
00
5
Y轴的转动惯量 /
(kg/
m2)
I
z
0
0
1
Z轴的转动惯量 /
(kg/
m2)
J
r
0
0
0
0
0
2
转子惯量 /
(k
g/
m2)
g
9
8
1
珔+B
珔2K)与 P1 和 P2 相耦合,为方便求解,
现增益矩阵 (A
[1
6]
定理 3
考 虑 一 个 LMI区 域 δ
,即 δ= {z∈:
h
0
0
1
2
重力加速度 /
(m/
s
)
采样时间 /
s
珔+
{μij}1≤i,j≤n,当且 仅 当 式 (8)成 立 时,使 得 矩 阵 (A
b
0
0
0
0
0
3
升力系数
d
0
00
0
0
0
07
阻力系数
珔2K)的特征值(系统(5)的极点)位于区域 δ内。
B
系统(5)中的相关符号及参数表示为:
T
L+Mz+M 珋
z< 0},且 L = LT = {λij}1≤i,j≤n 、M =
珔+B
珔2K)P+μijP+
(λijP+μij(A
珔+B
珔2K)TμT
P(A
)1≤i,j≤n <0
i
j
φ φ
θ θ
ψ ψ
X =[z z
]T
(8)
通过 H2/
H∞ 混合鲁棒控制器来求解状态反馈控制
器 K,需要上述中区域极点配置的限制、H∞ 的性能指标
小于 γ,在此基础上尽可能的将 H2 性能指标 ν降低到
H∞ 状 态 反 馈 控 制 率
最小。从而 得 到 系 统 (4)的 H2/
U =MP-1X。
W =[d n]T
Z2 =[φ θ ψ]T
φ
θ
ψ
Z∞ =[z
]T
B1 =
[
0 1 0 1 0 1 0 1T
]
1 0 1 0 1 0 1 0
D22 =03×4
因此,运用上 述 定 理 与 引 理,便 可 推 导 得 出 对 应
D11 =Dy1 =04×2
含模型 参 数 不 确 定 性 的 H2/
H∞ 的 控 制 方 法 设 计 要
D12 =Dy2 =04×4
求:
D21 =03×2
第 31卷第 1期
刘叶凤,等:基于模型参数不确定的四旋翼飞行器混合 H2/
H∞ 控制
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
A=
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
1
m 0
0 0
l
0 I
x
B2 =
0 0
0 0
0 0
0 0
0
29
保证闭环控制系统的渐近稳定性,将 LMI极点区域配置
为以原点为中心,半径为 60的左半平面的角度为
π
的
8
圆盘,且在实轴为 -1的左边,如图 3所示。这里的 d代
表外界阵风等干扰,n代表传感器测量白噪声等干扰。
0
0 0
0 0
0 0
0 0
l
0
I
y
0 0
1
0
I
z
初始设置 z=ψ =05,φ=θ=06,其余为 0。为
图 3 极点配置
假定实际高度 2m作为垂直方向原点 0位置。当
模型参数确定时,运用 MATLAB中的 LMI工具箱,求出
控制器见公式(13)。由图 4和图 5可知,在无干扰时,
5s以内迅
飞行器的三个姿态角以及角速度都可以在 0
速稳定,且高度位移及垂直方向的速度也可以在 1s左
右稳定,展现出良好的动态性能。
-326319 -226103 -1599331 -31657 -1599331 -31657 -1599331 -31657
-00075 -00059 -267759 -19018 -27167 -00553 -27167 -00553
(13)
K =
-00075 -00059 -27167 -00553 -267759 -19018 -27167 -00553
-00030 -00023 -10867 -00221 -10867 -00221 -107104 -07607
图 4 无干扰时的高度位移和姿态角
图 5 无干扰时的垂直速度和角速度
图 6和图 7表示有干扰的情况,这里的干扰见公式
在模型参数确定且有干扰的情况下,无论是高度位移及
(14),仿真时间为 30s
。从图中可以清晰地看出飞行器
速度还是姿态角及角速度都在干扰出现的对应时间受
30
四川理工学院学报(自然科学版)
20
18年 2月
到了相应的影响,但是在干扰消除后,均快速地返回到
当模型参数不确定时,
假设 ΔA=18×8,ΔB2 =18×4,为了均
稳定点,证明本文的控制器 H2/
H∞ 混合控制具有较强的
衡 H2 和 H∞ 的性能指标,故选取 α =0
5,β=0
5。H2/
鲁棒性和动态性能。
H∞ 混合控制器为式(1
5)。飞行器在不受外界干扰时,三
个姿态角及角速度都可以在 1s左右稳定,高度位移及速
度则在 2s左右完成稳定,
如图 8和图 9所示。
图 6 有干扰时的高度位移和姿态角
图 8 无干扰时高度位移和姿态角
图 7 有干扰时的垂直速度和角速度
W=
{
[10 05]T,
5≤ t≤ 6
(1
4)
[30 15]T,
15≤ t≤ 18
图 9 无干扰时垂直速度和角速度
在模型参数 不 确 定 且 有 式 (14)表 示 的 干 扰 时,
随着时间最 终 发 散,说 明 传 统 的 H∞ 控 制 和 H2 控 制
引入 H∞ 控 制 和 H2 控 制 并 做 比 较,其 控 制 器 如 式
在面对干 扰 和 模 型 参 数 不 确 定 两 个 困 难 的 情 况 时,
(16)和式(17)。从图 10~图 13所 示 的 仿 真 结 果 可
无法稳定,难以发挥 其 鲁 棒 性 能,无 法 达 到 控 制 器 的
知,飞行器采用传统的 H∞ 控 制 和 H2 控 制 方 法 时,会
基本要求。
1
1
592
K =
11592
04195
-12
513
1 -38
006 -922
13 0
1
4
5
1 -9
2
2
13 0
1
4
5
1 -23
64
13 -0
86
3
5
66
9
2 6
48
78
0
18
01
6
62
9
5
0
14
28
10722 -177249 -1
10722
64878
0
1
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0
17
9 -0
68
1
6
(15)
-241030 29577 -185600 -00285 -185600 -00285 -198946 -10614
03031 11029 -27366 -14190 -03048 00083 -03291 -00355
K∞ =
03031 11029 -03048 00083 -27366 -14190 -03291 -00355
01113 04330 -01082 00035 -01082 00035 -10897 -05846
(16)
第 31卷第 1期
刘叶凤,等:基于模型参数不确定的四旋翼飞行器混合 H2/
H∞ 控制
-09108 -11442 -2382575 -59701 703524 -29992 1022408 83449
-00372 00601
769956
0
8
65
7 -2
8
20
50 1
46
4
7 -47
6
80
5 -3
73
69
K2 =
-00372 00601 1003825 27025 -515919 -03721 -476805 -37369
-00149 00240
402753
1
0
83
8 -1
1
15
97 0
58
8
7 -28
6
71
5 -2
23
51
图 10 有干扰时,H∞ 控制下的高度和姿态角
31
(17)
图 13 有干扰时,H2 控制下的垂直速度和角速度
旧可以体现出控制器的鲁棒性,且稳定的时间均保持在
2s左右,动态性能较好。
图 11 有干扰时,H∞ 控制下的垂直速度和角速度
图 14 有干扰时,H2/
H∞ 控制下的高度和姿态角
图 12 有干扰时,H2 控制下的高度位移和姿态角
而采用本文提出的 H2/
H∞ 混合控制方法,当飞行控
制器在遇到上述两个难题时,如图 14和图 15所示,依
图 15 有干扰时,H2/
H∞ 控制下的垂直速度和角速度
32
四川理工学院学报(自然科学版)
4 结束语
20
18年 2月
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!P # 侯明冬.刘金 琨.田 杰7欠 驱 动 四 旋 翼 飞 行 器 全 局 轨
本文提出了一种基于参数不确定的 H2/
H∞ 混合鲁
棒控制算法,在模型参数不确定并受到外界阵风和测量
噪声等不确定性因素干扰时,可以使四旋翼飞行器的三
个姿态角、角速度、高度位移以及垂直方向速度都迅速
做出响应,较快地稳定下来。和传统的鲁棒 H∞ 控制和
H2 控制方法进行了比较,仿真实验表明本文所提算法具
迹跟踪滑模控制!M#7控制工程.NO"P .NT VP WRQNU
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有更好的动态响应特性和鲁棒稳定性。后续工作为设
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计具抗干扰和鲁棒性能的控制器,使得飞行器在受外界
较强干扰时能够良好地跟踪参考轨迹。
!U # 石川7基于积分反步法的四旋翼飞行器轨迹跟踪控
制!M#7四川理工学院学报R自 然 科 学 版.NO"^ .TO VS WR
参 考 文 献:
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第 31卷第 1期
刘叶凤,等:基于模型参数不确定的四旋翼飞行器混合 H2/
H∞ 控制
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