Chuyên đề 2:
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
(tiếp theo)
III. Bài toán tốc độ biến thiên
Nhắc lại: Đạo hàm của hàm số tại một điểm chỉ sự thay đổi của hàm số
tại điểm đó.
Phương pháp giải
1
Đặt tên các biến là hàm thời gian theo t và liệt kê các đại lượng đã
biết tại thời điểm đang xét.
2
Lập phương trình liên quan giữa các đại lượng.
3
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình vừa lập theo biến t.
4
Tìm giá trị của đạo hàm của đại lượng cần tính và Kết luận.
TS. Nguyễn Duy Cường
Đạo hàm và Ứng dụng
Ngày 9 tháng 1 năm 2025
1/8
Ví dụ 1: Tìm tốc độ biến thiên của chiều cao hình trụ tại thời điểm thể
tích của nó là 60 (cm3 ) và đang tăng với tốc độ 2 (cm3 /phút), bán kính
đáy đang là 5 (cm) và đang tăng với 1 (cm/phút).
Giải
r (t), h(t), V (t): bán kính, chiều cao, thể tích tại thời điểm t. Ta có
V (t0 ) = 60, V ′ (t0 ) = 2, r (t0 ) = 5, r ′ (t0 ) = 1, h(t0 ) =
12
.
5π
Tìm h′ (t0 ).
V (t) = πr 2 (t)h(t) ⇒ V ′ (t) = π[2r (t)r ′ (t)h(t) + r 2 (t)h′ (t)].
Thay t = t0 :
2
12
22
= 2.5.1.
+ 52 .h′ (t0 ) ⇒ h′ (t0 ) = −
π
5π
25π
(cm/phút).
Vậy chiều cao của hình trụ đang giảm với tốc độ
22
(cm/phút).
25π
TS. Nguyễn Duy Cường
Ngày 9 tháng 1 năm 2025
Đạo hàm và Ứng dụng
2/8
Ví dụ 2: Một bản kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng
với tốc độ là 0, 01 (cm/phút). Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản
kim loại khi bán kính của nó đang là 50 (cm). Nếu tốc độ này không đổi
thì sau bao lâu bán kính của nó là 52 (cm).
Giải
Gọi r (t), S(t): bán kính, diện tích. Ta có r (t0 ) = 50, r ′ (t0 ) = 0, 01.
S(t) = πr 2 (t) ⇒ S ′ (t) = 2πr (t)r ′ (t)
Thay t = t0 : S ′ (t0 ) = π (cm2 /phút). Vậy diện tích bản kim loại đang
tăng với tốc độ π (cm2 /phút).
Gọi ∆t là khoảng thời gian cần tìm. Ta có:
∆t =
S(t0 + ∆t) − S(t0 )
π522 − π502
=
= 204
′
S (t0 )
π
(phút).
Vậy cần 204 phút để bán kính bản kim loại tăng lên đến 52 (cm).
TS. Nguyễn Duy Cường
Đạo hàm và Ứng dụng
Ngày 9 tháng 1 năm 2025
3/8
Ví dụ 3: Nước đang chảy vào một bể chứa hình nón với tốc độ 9
(ft3 /phút). Bể chứa có đỉnh hướng xuống với chiều cao 10 (ft) và bán
kính mặt là 5 (ft). Hỏi chiều cao mực nước trong bể đang tăng ở tốc độ
nào khi nó đang là 6 (ft)?
TS. Nguyễn Duy Cường
Đạo hàm và Ứng dụng
Ngày 9 tháng 1 năm 2025
4/8
Giải
x(t), y (t), V (t): bán kính, chiều cao, thể tích. Ta có:
V ′ (t0 ) = 9, y (t0 ) = 6. Tìm y ′ (t0 ).
x(t)
y (t)
y (t)
=
⇒ x(t) =
5
10
2
π 2
π 3
1
V (t) = x (t)y (t) = y (t) ⇒ V ′ (t) = πy 2 (t)y ′ (t)
3
12
4
1
1 2 ′
Thay t = t0 : 9 = π.6 .y (t0 ) ⇒ y ′ (t0 ) = (ft/phút). Vậy mực
4
π
1
nước trong hồ tăng với tốc độ (ft/phút).
π
TS. Nguyễn Duy Cường
Đạo hàm và Ứng dụng
Ngày 9 tháng 1 năm 2025
5/8
Ví dụ 4: Một cái hồ bơi có dạng là nửa hình cầu có bán kính là 2 (m).
Người ta đang bơm nước vào hồ. Hỏi chiều cao của mực nước trong hồ
thay đổi như thế nào tại thời điểm bán kính mặt nước đang là 1,5 (m) và
đang tăng với tốc độ 0,1 (m/phút)? Nếu tốc độ này không thay đổi thì
sau bao lâu thì hồ đầy nước?
Giải
′
r (t), h(t): bán kính, chiều cao. Ta có: r (t0 ) =
√ 1, 5, r (t0 ) = 0, 1
7
[2 − h(t)]2 + r 2 (t) = 4. Khi đó h(t0 ) = 2 −
2
−2[2 − h(t)]h′ (t) + 2r (t)r ′ (t) = 0
Thay t = t0 :
h′ (t0 ) =
1, 5.0, 1
r (t)r ′ (t0 )
3
= √
= √ ≈ 0, 1134
2 − h(t0 )
7/2
10 7
(m/phút).
Vậy mực nước đang tăng với tốc độ khoảng 0,1134 (m/phút).
Gọi ∆t là khoảng thời gian hồ đầy nước. Ta có
√
7
h(t0 + ∆) − h(t0 )
35
2
√
∆t =
=
=
≈ 12 (phút)
3 7
h′ (t0 )
3
70
TS. Nguyễn Duy Cường
Đạo hàm và Ứng dụng
Ngày 9 tháng 1 năm 2025
6/8
Bài tập luyện tập
1. Một cái thang dài 15 (m) đang tựa vào bức tường, do nền đất bị ướt
nên chân thang bị trượt trên mặt đất với tốc độ 4 (m/giây). Hỏi tốc
độ trượt của đỉnh thang là bao nhiêu tại thời điểm nó đang tựa vào
tường ở độ cao 9 (m)?
2. Một cái thùng hình trụ có bán kính 5 (cm) và chiều cao là 20 (cm).
Hỏi tại thời điểm bán kính đang tăng với tốc độ 1 (cm/giây) thì chiều
cao phải thay đổi với tốc độ như thế nào để thể tích thùng là không
đổi?
3. Người ta đang bơm hơi vào một quả bong bóng hình cầu. Hỏi bán
kính thay đổi như thế nào tại thời điểm nó đang là 0.5 (cm) và diện
tích bề mặt đang tăng với tốc độ 2 (cm2 /s).
4. Người ta xả nước ra từ một cái thùng có hình dạng là nửa hình cầu
có bán kính 10 (cm). Hỏi bán kính của mặt nước thay đổi như thế
nào tại thời điểm chiều cao mực nước là 5 (cm) và đang giảm với tốc
độ 0.1 (cm/h).
TS. Nguyễn Duy Cường
Đạo hàm và Ứng dụng
Ngày 9 tháng 1 năm 2025
7/8
5. Một trái dưa hấu có dạng hình cầu đang tăng trưởng. Tìm tốc độ
tăng thể tích của quả dưa tại thời điểm chu vi của đường tròn lớn là
20cm và đang tăng ở tốc độ 2 (cm/giờ). Nếu tốc độ này không đổi
thì sau bao lâu quả dưa được thu hoạch? Biết tiêu chuẩn thu hoạch
dưa là thể tích phải đạt 1000 (cm3 ).
6. Nhúng một viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm.
Tính tốc độ biến thiên của bán kính viên sắt tại thời điểm diện tích
mặt của nó là 64π (cm2 ) và đang giảm với tốc độ 2 (cm2 /phút). Nếu
tốc độ này không thay đổi thì sao bao lâu viên sắt sẽ tan hết.
7. Một cái thùng đựng nước hình nón ngược có đường kính của nắp là 8
(cm), chiều cao thùng là 6 (cm). Do đáy thùng bị thủng nên nước
chảy ra ngoài nên thể tích nước trong thùng bị giảm với tốc độ 2
(cm3 /phút). Chiều cao của mực nước trong thùng thay đổi như thế
nào tại thời điểm mực nước trong thùng đang là 3 (cm). Nếu tốc độ
này không đổi thì sau bao lâu thùng hết nước.
TS. Nguyễn Duy Cường
Đạo hàm và Ứng dụng
Ngày 9 tháng 1 năm 2025
8/8