Área del Conocimiento de:
Ciencias Básicas y Tecnológicas
Departamento de:
Física
Carrera de:
Ingeniería Civil
Componente curricular de:
Física II
Docente:
Lic. María José Jaime Obregón
Temas del componente curricular.
Metodología de evaluación
Momento Angular
Su unidad de medida en el Sistema Internacional, es el kg·𝒎𝟐 ·s-1
Torque y momento angular
La unidad de medida del torque en el Sistema Internacional es el 𝑵. 𝒎 o
𝒌𝒈.𝒎𝟐
ൗ𝒔𝟐
Torque y momento angular
Asi como la magnitud de la fuerza resultante es igual a la rapidez de cambio del
momento lineal
𝐹 = 𝑚𝑎
𝑣
𝑎=
𝑡
𝑚𝑣 ∆𝑝 𝑑𝑝
𝐹=
=
=
𝑡
∆𝑡 𝑑𝑡
La magnitud del momento de rotación o magnitud del momento de una fuerza (𝜏) es
igual a la rapidez de cambio del momento angular:
∆𝐿 𝑑𝐿
𝜏=
=
∆𝑡 𝑑𝑡
La ley de la conservación del momento angular señala que 𝐿 = 𝑐𝑡𝑒, si no actúa
sobre el sistema un momento de rotación externo o torque no equilibrado.
Torque y momento angular
Momento de inercia
El momento de inercia de un cuerpo rígido respecto a cierto eje de rotación,
representa su resistencia a cambiar su velocidad angular alrededor de dicho
eje. Es proporcional a la masa (m) y también a la ubicación (r) del eje de giro,
ya que el cuerpo, según su geometría, puede rotar más fácilmente en torno a
ciertos ejes que en otros
Su expresión viene dada por:
𝐼 = 𝑚𝑟 2
Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I) es el kg·m2
Relación entre el momento angular y el momento de
inercia.
Esta relación es fundamental en la física de la rotación y se expresa mediante la fórmula:
𝐿 = 𝐼𝜔
Donde:
𝐿 :es el momento angular o ímpetu angular.
I: es el momento de inercia.
𝜔 ∶es la velocidad angular.
El momento angular de una partícula se define como el producto vectorial entre el vector de posición (𝑟 ) y
el momento lineal (𝑝 ):
𝐿=𝑟 x 𝑝
𝑟 es el vector de posición de la partícula respecto a un punto de referencia (usualmente el eje de rotación).
𝑝 = m 𝑣Ԧ es el momento lineal, con m como la masa y 𝑣Ԧ como la velocidad de la partícula.
𝑣Ԧ = 𝜔 x 𝑟
Sustituyendo la velocidad 𝑣Ԧ = 𝜔 x 𝑟 en 𝑝
𝐿=𝑟 x 𝑝
𝐿 = 𝑟 x (m (𝜔 x 𝑟 ))
𝐿 = 𝑚 𝑟 x (𝜔 x 𝑟 )
Aplicando la propiedad de los vectores:
𝑎Ԧ x (𝑏 x 𝑐 ) = 𝑏 (𝑎 . 𝑐 ) - 𝑐Ԧ (𝑎 . 𝑏 )
Donde: 𝑎Ԧ = 𝑟 , 𝑏 = 𝜔 y 𝑐Ԧ = 𝑟
𝜔 (𝑟 . 𝑟 ) - 𝑟Ԧ (𝑟 . 𝜔 ) = 𝜔 (𝑟 2 ) - 𝑟Ԧ (0)
(𝑟 . 𝜔 ) = 0, porque ambos vectores son perpendiculares
(𝑟 . 𝑟 ) = 𝑟 2 , donde r es la magnitud del vector 𝑟
Entonces: 𝐿 = 𝑚 𝑟 x (𝜔 x 𝑟 ) = 𝜔 (𝑟 2 ) - 𝑟Ԧ (0) = m( 𝜔 𝑟 2 ) = 𝑚𝑟 2 𝜔
donde 𝐼 = 𝑚𝑟 2 es el momento de inercia, se demuestra que la relación entre el ímpetu angular y el
momento de inercia es:
𝐿 = 𝐼𝜔
Torque y momento de inercia
Por la Segunda ley de Newton para la rotación:
𝑑𝐿
𝜏𝑛𝑒𝑡𝑜 =
𝐿 = 𝐼𝜔
𝑑𝑡
Derivando 𝐿 respecto al tiempo, considerando 𝐼 = 𝑐𝑡𝑒 para un cuerpo rígido:
𝑑𝐿
𝑑(𝐼𝜔)
𝑑𝜔
=
= 𝐼. ( )
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Recordemos que:
𝑑𝜔
=∝
𝑑𝑡
Entonces:
𝑑𝐿
= 𝐼. ∝
𝑑𝑡
𝜏𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐼. ∝
Conservación momento angular
Ejemplo de Torque y momento
angular
Ejemplo 1
Un sistema formado por dos masas 𝑚1 = 1 𝑘𝑔 y 𝑚2 = 2 𝑘𝑔 unidas por
una barra sin masa de longitud r=3m gira con una velocidad
angular 𝜔1 = 5𝑟𝑎𝑑/s. Si se aplica un torque externo durante t =2s,
calcula el momento angular final del sistema.
𝑟 2
𝑟 2
𝐼 = 𝑚1
+ 𝑚2
2
2
𝐼 = 1 𝑘𝑔.(1.5𝑚)2 + 2 𝑘𝑔.(1.5𝑚)2
= 1𝑘𝑔 2.25𝑚2 + 2𝑘𝑔 2.25𝑚2 = 2.25 𝑘𝑔. 𝑚2 + 4.5𝑘𝑔. 𝑚2
𝐼 = 6.75𝑘𝑔. 𝑚2
El momento angular inicial es:
𝐿𝑖 = 𝐼𝑖 𝜔𝑖
El cambio en el momento angular ΔL debido al torque aplicado es:
∆𝐿 = 𝜏. 𝑡
𝜏Ԧ = 𝑟 x 𝐹
𝜏Ԧ = 𝑟. F 𝑠𝑒𝑛𝜃
∆𝑝
𝐹=
∆𝑡
∆𝑝
𝜏 =𝑟
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 3𝑚 0 = 0
∆𝑡
∆𝐿 = 0 2𝑠 = 0𝑘𝑔. 𝑚2 .
sabemos que ϴ =180° entonces 𝜏 = 0 por lo que no existe variación del
momento angular ∆𝐿, es decir, que el momento angular se conserva 𝐿𝑖 =
𝐿𝑓
Teniendo en cuenta eso
𝐿𝑓 = 𝐼𝜔𝑖 = (6.75𝑘𝑔. 𝑚2 )(5𝑟𝑎𝑑/s)= 33.75 kg·m·s−1
Ejemplo 2
Un objeto de masa m = 2kg se encuentra a una distancia r = 3m de un
eje de rotación. Calcula su momento de inercia.
Solución:
El momento de inercia se calcula como: 𝐼 = 𝑚𝑟 2
Sustituyendo los valores:
𝐼 = 2 kg (3𝑚)2 = (2 kg ) (9𝑚2 ) = 18 kg. 𝑚2
Ejemplo 3
Un objeto de masa 2𝑘𝑔 gira alrededor de un eje ubicado a 2,5𝑚 con una
velocidad angular ω = 4 𝑟𝑎𝑑Τ𝑠. calcule su momento angular.
Solución:
El momento angular se calcula como: 𝐿 = 𝐼𝜔
Sustituyendo los valores:
𝐴 = 𝜋𝑟 2
𝑳 = 𝟐𝒌𝒈 𝟐, 𝟓𝒎 𝟐 𝟒 𝒓𝒂𝒅ൗ𝒔 = 𝟓𝟎 𝒌𝒈𝒎𝟐 𝒔−𝟏
kg·m·s-1
Ejercicio 3: Conservación del momento angular
Una patinadora gira con los brazos extendidos, con un momento de inercia de
2.34 𝑘𝑔. 𝑚2 y una velocidad angular ω𝑖 =2 rad/s. Si cierra los brazos, su
momento de inercia se reduce a 0.363 𝑘𝑔. 𝑚2 . Calcula su nueva velocidad
angular.
Solución:
Como no hay torque externo, el momento
angular se conserva:
𝐿𝑖 = 𝐿𝑓
𝐼𝑖 𝜔𝑖 = 𝐼𝑓 𝜔𝑓
Despejando 𝜔𝑓
𝐼𝑖 𝜔𝑖 (2.34 𝑘𝑔. 𝑚2 )(2 rad/s)
𝜔𝑓 =
=
= 12.892 rad/s
2
𝐼𝑓
0.363 𝑘𝑔. 𝑚
Resolver
1. Una patinadora sobre hielo gira con los brazos extendidos a una
velocidad angular de ω = 3 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 y su momento de inercia
inicial es de 4 𝑘𝑔. 𝑚2 , luego junta los brazos disminuyendo su
momento de inercia a 1𝑘𝑔. 𝑚2 Calcule su velocidad angular.
2. Un disco de 2kg y radio de 0.5m gira con una velocidad
angular inicial de 10 rad/s. si se deja caer una masa
punctual de 0.1kg sobre el borde del disco. Calcule la
velocidad angular del Sistema.
Nota:
El momento de inercia
de un disco está dado
por:
1
𝐼 = 𝑀𝑟 2
2
Trabajo en equipo
En equipos de cuatro integrantes resolver los
siguientes ejercicios.
Entregar en el la próxima clase 10-03-2025
3. Un disco con una inercia de 5kg𝑚2 gira a una velocidad angular de
8 rad/s. otro disco inicialmente en reposo , con una inercia 3 𝑘𝑔. 𝑚2
cae sobre el primero, Calcule la velocidad del Sistema.
Nota:
El momento de inercia
de un disco está dado
por:
1
𝐼 = 𝑀𝑟 2
2
4. Un objeto de masa de 0.5kg se mueve en un circulo de radio
de 1.5m con una velocidad inicial de 4m/s. calcule el momento
angular con respecto al centro del circulo.
5. Un trompo gira con velocidad angular inicial de 20 rad/s, su
momento de inercia es de 0.1 𝑘𝑔.𝑚^2. Cuando se frena genera
un torque constante de 0.02 N.m. calcule el tiempo que tarda
en detenerse.
6.‐ Dos masas puntuales 𝑚1 y 𝑚2 están separadas por una barra sin masa
de longitud L:
a) Deducir una expresión para el momento de inercia del sistema respecto
a un eje perpendicular a la barra que pasa a través de ésta por un punto
situado a la distancia 𝑥1 de la masa 𝑚1 .
b) b) Calcular dI/dx y demostrar que es mínimo cuando el eje pasa por el
centro de masas del sistema.
7. Cuatro masas de 5 kg cada una se colocan formando un cuadrado de o.50m
Como se muestra en la imagen, si se hace rotar en torno al eje mostrado en la
imagen calcule el momento de inercia del sistema.
La duda no debe ser temida, debe ser
bienvenida y debatida, no hay problema
en decir ´´no lo sé´´
(Richard Feyman)