미적분학1 Solving the problem CALCULUS 2022 2019-1 기말고사 미적분학1 1 � sec 𝑥𝑥 tan3 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 를 계산하여라. 풀이 � sec 𝑥𝑥 tan3 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � tan2 𝑥𝑥 × sec 𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � sec 2 𝑥𝑥 − 1 × sec 𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 = sec 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = sec 𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 + tan2 𝑥𝑥 = sec 2 𝑥𝑥 = � 𝑢𝑢2 − 1 𝑑𝑑𝑢𝑢 1 3 𝑢𝑢 − 𝑢𝑢 + 𝐶𝐶 3 1 = sec 3 𝑥𝑥 − sec 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 3 = 2 2019-1 기말고사 미적분학1 3 2, 풀이 2 3 −2 2 2 2 7 7 𝑥𝑥 에서 3, 까지 곡선 𝑦𝑦 = 3 3 3 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 3 2 = × 𝑥𝑥 − 2 2 × 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 2 2 이므로 구하는 호의 길이는 𝐿𝐿 = � 3 =� 2 2 1 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 2 1 + 𝑥𝑥 4 − 2𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 3 = � 𝑥𝑥 2 − 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 2 3 의 호의 길이를 구하여라. 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 1 3 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 2 16 = 3 3 2019-1 기말고사 미적분학1 4 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 과 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 + 1에 의하여 둘러싸인 영역을 𝑥𝑥 = 2를 축으로 회전하여 생기는 입체의 부피를 구하여라. 풀이 회전하는 영역의 그림이 아래와 같습니다. 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 회전체와 대표 원기둥의 그림이 위와 같습니다. 입체의 부피는 1 𝑉𝑉 = � 𝐴𝐴 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 − 𝑥𝑥 2 −1 1 2 − 𝑥𝑥 𝐴𝐴 𝑥𝑥 = 2𝜋𝜋 × 2 − 𝑥𝑥 × 1 − 𝑥𝑥 2 = 2𝜋𝜋 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2 4 = � 2𝜋𝜋 𝑥𝑥 3 − 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 −1 1 = 2 � 2𝜋𝜋 −2𝑥𝑥 2 + 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 1 2 3 = 4𝜋𝜋 − 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 3 0 16𝜋𝜋 = 3 2019-1 기말고사 미적분학1 5 ∞ � 𝑥𝑥 𝑝𝑝 ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 가 수렴하는 𝑝𝑝를 찾고, 그 경우의 적분값을 구하여라. 1 풀이 ① 𝑝𝑝 = −1인 경우 ∞ ∞ � 𝑥𝑥 𝑝𝑝 ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 1 𝑢𝑢 = ln 𝑥𝑥 ∞ 1 ln 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑡𝑡→∞ 1 𝑥𝑥 1 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 1 → 𝑢𝑢 = 0 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 → 𝑢𝑢 = ln 𝑡𝑡 𝑝𝑝 � 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑는 발산 1 𝑡𝑡 = lim � ln 𝑡𝑡 𝑡𝑡→∞ 0 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 1 ln 𝑡𝑡 2 𝑡𝑡→∞ 2 =∞ = lim ② 𝑝𝑝 ≠ −1인 경우 ∞ 𝑡𝑡 � 𝑥𝑥 𝑝𝑝 ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim � 𝑥𝑥 𝑝𝑝 ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim 𝑡𝑡→∞ 1 1 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ln 𝑥𝑥 , 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑝𝑝 1 1 𝑥𝑥 𝑝𝑝+1 → 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = , 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑝𝑝 + 1 ∞, lim 𝑡𝑡 𝑟𝑟 = � 0, 𝑡𝑡→∞ 𝑟𝑟 > 0 𝑟𝑟 < 0 5 𝑡𝑡→∞ 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑝𝑝+1 1 𝑥𝑥 𝑝𝑝+1 ln 𝑥𝑥 × −� × 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝 + 1 1 𝑝𝑝 + 1 1 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑝𝑝+1 ln 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑝𝑝 = lim 𝑑𝑑𝑑𝑑 −� 𝑡𝑡→∞ 𝑝𝑝 + 1 𝑝𝑝 + 1 1 𝑡𝑡 𝑝𝑝+1 ln 𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑝𝑝+1 − 1 = lim − 𝑡𝑡→∞ 𝑝𝑝 + 1 2 𝑝𝑝 + 1 1 , = � 𝑝𝑝 + 1 2 ∞, 𝑝𝑝 < −1 𝑝𝑝 > −1 2019-1 기말고사 미적분학1 6 함수 𝑓𝑓 𝑥𝑥 가 다음 조건을 만족시킨다. 풀이 조건 (나)에서 양변을 미분하면 2𝑥𝑥 1 ′ ′′ ′ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 ′′ 𝑥𝑥 = 2 4 + 𝑥𝑥 2 4 + 𝑥𝑥 2 이므로 1 1 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � × 2 sec 2 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 2 4 + 𝑥𝑥 4 + 4 tan2 𝜃𝜃 (가) 𝑓𝑓 ′ 0 = 0이고 이계도함수 𝑓𝑓 ′′ 𝑥𝑥 가 존재한다. (나) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 − 4 + 𝑥𝑥 2 � ln 8 0 ′ 𝑒𝑒 2𝑓𝑓 𝑥𝑥 ′ + 𝑒𝑒 −2𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � sec 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 𝑥𝑥 = 2 tan 𝜃𝜃 → 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 sec 2 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 = ln(sec 𝜃𝜃 + tan 𝜃𝜃) + 𝐶𝐶 일 때, 함수 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 의 그래프와 𝑦𝑦축 및 직선 𝑦𝑦 = = ln ln 8로 둘러싸인 부분을 𝑦𝑦축 둘레로 회전시켜 생기는 조건 (가)에서 𝑓𝑓 ′ 0 = 0이므로 입 체 의 부 피 를 𝐴𝐴 의 식 으 로 나 타 내 시 오 . ( 단 , ′ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ln sinh−1 𝑥𝑥 = ln 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 1 이다.) 6 𝑥𝑥 2 + 4 𝑥𝑥 + = ln 2 2 𝑥𝑥 2 + 4 𝑥𝑥 + + 𝐶𝐶 2 2 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 +1+ = sinh−1 2 2 2 2019-1 기말고사 미적분학1 6 함수 𝑓𝑓 𝑥𝑥 가 다음 조건을 만족시킨다. 풀이 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = sinh−1 (가) 𝑓𝑓 ′ 0 = 0이고 이계도함수 𝑓𝑓 ′′ 𝑥𝑥 가 존재한다. 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 (나) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 − 4 + 𝑥𝑥 2 � ln 8 0 ′ 𝑥𝑥 2 ′ 𝑒𝑒 2𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −2𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 일 때, 함수 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 의 그래프와 𝑦𝑦축 및 직선 𝑦𝑦 = ln 8로 둘러싸인 부분을 𝑦𝑦축 둘레로 회전시켜 생기는 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 를 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 의 역함수라고 하자. 𝑥𝑥 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = sinh−1 2 ′ 𝑥𝑥 = 2 sinh 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ′ ′ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 2 sinh 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 −𝑓𝑓 𝑥𝑥 입 체 의 부 피 를 𝐴𝐴 의 식 으 로 나 타 내 시 오 . ( 단 , sinh−1 𝑥𝑥 = ln 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 1 이다.) 7 2019-1 기말고사 미적분학1 6 함수 𝑓𝑓 𝑥𝑥 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 𝑓𝑓 ′ 0 풀이 ln 8 𝑉𝑉 = � = 0이고 이계도함수 𝑓𝑓 ′′ 𝑥𝑥 가 존재한다. =� 0 (나) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 − 4 + 𝑥𝑥 2 � ln 8 0 ′ 0 ln 8 = 𝜋𝜋 � ′ 𝜋𝜋 𝑒𝑒 ln 8 0 𝜋𝜋 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 ′ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑒𝑒 −𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 ′ 𝑒𝑒 2𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2 + 𝑒𝑒 −2𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋(𝐴𝐴 − 2 ln 8) 𝑒𝑒 2𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 −2𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐴𝐴 일 때, 함수 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 의 그래프와 𝑦𝑦축 및 직선 𝑦𝑦 = ln 8로 둘러싸인 부분을 𝑦𝑦축 둘레로 회전시켜 생기는 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 를 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 의 역함수라고 하자. 𝑥𝑥 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = sinh−1 2 ′ 𝑥𝑥 = 2 sinh 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ′ ′ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 2 sinh 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑒𝑒 −𝑓𝑓 𝑥𝑥 입 체 의 부 피 를 𝐴𝐴 의 식 으 로 나 타 내 시 오 . ( 단 , sinh−1 𝑥𝑥 = ln 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 1 이다.) 8 2020-1 기말고사 미적분학1 1 ⒝ 를 계산하여라. 풀이 � � 1 + 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 1 1 + 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 1 1 = ln 1 + 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 3 9 2020-1 기말고사 미적분학1 2 연속함수 𝑓𝑓 𝑥𝑥 가 𝑥𝑥 𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 2 − 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑥𝑥 2 𝑎𝑎 𝑎𝑎 를 만족시킬 때, 𝑓𝑓 𝑎𝑎 의 값을 구하여라. 풀이 𝑥𝑥 식을 정리하면 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑎𝑎 이므로 양변을 미분하면 𝑎𝑎 � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 1 𝑎𝑎 2 이다. 양변에 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎를 대입하면 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 𝑎𝑎 그러므로 𝑥𝑥 2𝑥𝑥 � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 𝑎𝑎 10 � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 − 1 𝑎𝑎 𝑓𝑓 𝑎𝑎 = 1 2020-1 기말고사 미적분학1 4 곡선 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 과 𝑥𝑥축으로 둘러싸인 영역을 𝑥𝑥축을 회전축으로 하여 얻은 입체의 부피를 𝑉𝑉1 , 𝑦𝑦축을 회전축으로 하 𝑉𝑉 𝑉𝑉2 여 얻은 입체의 부피를 𝑉𝑉2 라 할 때, 1를 구하여라. 풀이 𝑉𝑉1 을 구 하 면 회전시키는 영역의 그림 이 오른쪽과 같다. 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 그러므로 𝑉𝑉1 은 2 𝑉𝑉1 = � 𝐴𝐴 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 0 = � 𝜋𝜋 4𝑥𝑥 4 − 4𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 6 𝑑𝑑𝑑𝑑 이 영역을 𝑥𝑥축으로 회전 0 하여 생기는 입체는 그 오 𝐴𝐴 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 2 른쪽 그림과 같다. = 𝜋𝜋 4𝑥𝑥 4 − 4𝑥𝑥 5 + 𝑥𝑥 6 11 4 5 2 6 1 7 2 = 𝜋𝜋 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 5 3 7 0 128 = 𝜋𝜋 105 2020-1 기말고사 미적분학1 4 곡선 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 과 𝑥𝑥축으로 둘러싸인 영역을 𝑥𝑥축을 회전축으로 하여 얻은 입체의 부피를 𝑉𝑉1 , 𝑦𝑦축을 회전축으로 하 𝑉𝑉 𝑉𝑉2 여 얻은 입체의 부피를 𝑉𝑉2 라 할 때, 1를 구하여라. 풀이 그러므로 𝑉𝑉2 은 𝑉𝑉2 을 구하면 회전시키는 영역의 그림이 아래와 같다. 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 𝐴𝐴 𝑥𝑥 = 2𝜋𝜋 × 𝑥𝑥 × 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 3 = 2𝜋𝜋 2𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 4 이 영역을 𝑦𝑦축으로 회전하여 생기는 입체와 대표 원기둥 그림이 위와 같다. 12 2 𝑉𝑉2 = � 𝐴𝐴 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 0 = � 2𝜋𝜋 2𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 1 4 1 5 2 = 2𝜋𝜋 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 5 0 16 = 𝜋𝜋 5 그러므로 128 𝑉𝑉1 105 𝜋𝜋 8 = = 16 𝑉𝑉2 21 𝜋𝜋 5 2020-1 기말고사 미적분학1 5 를 구하여라. 풀이 𝑥𝑥 2 � 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 + 1 2 𝑥𝑥 2 tan2 𝜃𝜃 tan2 𝜃𝜃 tan2 𝜃𝜃 2 2 � 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � × sec 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 = � × sec 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 = � 𝑑𝑑𝜃𝜃 = � sin2 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 2 2 2 4 2 𝑥𝑥 + 1 tan 𝜃𝜃 + 1 sec 𝜃𝜃 sec 𝜃𝜃 𝑥𝑥 = tan 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 = sec 2 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 𝑥𝑥 tan 𝜃𝜃 = 1 =� 1 − cos 2𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 2 1 1 𝜃𝜃 − sin 2𝜃𝜃 + 𝐶𝐶 2 4 1 1 = 𝜃𝜃 − sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 + 𝐶𝐶 2 2 1 𝑥𝑥 = tan−1 𝑥𝑥 − + 𝐶𝐶 2 2 𝑥𝑥 2 + 1 = 𝜃𝜃 = tan−1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 sin 𝜃𝜃 = 𝑥𝑥 2 + 1 1 cos 𝜃𝜃 = 𝑥𝑥 2 + 1 13 2019-2 중간고사 미적분학1 2 ∞ 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 에 대하여 𝑓𝑓 𝑥𝑥 의 수렴구간과 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 의 수렴구간을 구하여라. 풀이 ① 𝑥𝑥 = 0일 때, 수렴. ② 𝑥𝑥 ≠ 0인 실수 𝑥𝑥에 대하여 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2 , 𝑛𝑛 이라 하자. 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 = lim 𝑛𝑛→∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ lim 그러므로 비 판정법에 의해 𝑥𝑥 2 < 1일 때, 즉, −1 < 𝑥𝑥 < 1 ∞ 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 일 때, � 2 는 수렴한다 . 𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 1,2, ⋯ 𝑛𝑛=1 ∞ ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 2𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 1 𝑥𝑥 = −1 → � 2 = � 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑥𝑥 2𝑛𝑛+2 𝑛𝑛 + 1 2 𝑛𝑛2 = lim 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥 2 2 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 + 1 2 𝑛𝑛 𝑥𝑥 = 1 → � 𝑛𝑛=1 14 𝑥𝑥 1 = � 𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 𝑛𝑛=1 수렴구간 : −1,1 𝒑𝒑-급수 판정법 : 수렴 𝒑𝒑-급수 판정법 : 수렴 2019-2 중간고사 미적분학1 2 ∞ 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 에 대하여 𝑓𝑓 𝑥𝑥 의 수렴구간과 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 의 수렴구간을 구하여라. 풀이 멱급수의 미분법에 의해 ∞ ∞ 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛=1 1 2 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = � 2 × 2𝑛𝑛𝑥𝑥 2𝑛𝑛−1 = � 𝑥𝑥 2𝑛𝑛−1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 이고 𝑓𝑓 𝑥𝑥 와 수렴반지름이 같으므로 ∞ 𝑥𝑥 = −1 → � 2𝑥𝑥 2𝑛𝑛−1 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 ∞ 2𝑛𝑛−1 𝑥𝑥 = 1 → � 𝑛𝑛=1 2𝑥𝑥 𝑛𝑛 ∞ 2 = �− 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 ∞ =� 𝑛𝑛=1 2 𝑛𝑛 그러므로 비 판정법에 의해 𝑥𝑥 2 < 1일 때, 즉, −1 < 𝑥𝑥 < 1 ∞ 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 일 때, � 2 는 수렴한다 . 𝑛𝑛 수렴구간 : −1,1 𝑛𝑛=1 ∞ ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 2𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 1 𝑥𝑥 = −1 → � 2 = � 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝒑𝒑-급수 판정법 : 발산 𝑥𝑥 = 1 → � 𝒑𝒑-급수 판정법 : 발산 𝑛𝑛=1 15 𝑥𝑥 1 = � 𝑛𝑛2 𝑛𝑛2 𝑛𝑛=1 수렴구간 : −1,1 𝒑𝒑-급수 판정법 : 수렴 𝒑𝒑-급수 판정법 : 수렴 2019-2 중간고사 미적분학1 4 급수 ∞ 1 � ln 1 + 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 의 수렴여부를 판정하여라. 또한 풀이 1 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ln 1 + 2 𝑥𝑥 이라 하자. 그러면 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = 1 × − 2 2 = − 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 1 1 𝑥𝑥 2 이므로 𝑓𝑓 𝑥𝑥 는 𝑥𝑥 ≥ 1일 때 감소한다. 1+ ∞ 𝑡𝑡 1 1 � ln 1 + 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim � ln 1 + 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡→∞ 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 𝑡𝑡 𝑡𝑡 1 2 − � 𝑥𝑥 × − 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim 𝑥𝑥 ln 1 + 2 𝑡𝑡→∞ 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 1 1 1 = lim 𝑡𝑡 ln 1 + 2 − ln 2 + 2 tan−1 𝑥𝑥 1𝑡𝑡 𝑡𝑡→∞ 𝑡𝑡 1 = lim 𝑡𝑡 ln 1 + 2 − ln 2 + 2 tan−1 𝑡𝑡 − 2 tan−1 1 𝑡𝑡→∞ 𝑡𝑡 16 𝜋𝜋 2 이므로 적분판정법에 의해 급 = − ln 2 + 수는 수렴한다. 2019-2 중간고사 미적분학1 5 함수 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � 0 ∞ 2 𝑒𝑒 3𝑡𝑡−1 sin ∞ 𝜋𝜋𝑡𝑡 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 의 매클로린 급수가 � 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 이고 수렴반지름 𝑅𝑅 = ∞ 일 때, � −1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 의 값을 구하여라. 𝑛𝑛=0 𝑛𝑛=1 ∞ 미적분학의 기본정리에 의해 풀이 이고, ′ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 3𝑥𝑥−1 2 𝜋𝜋𝑥𝑥 2 sin 2 이므로 ∞ 이다. 그러므로 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = � 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=0 𝑓𝑓 ′ 𝑥𝑥 = � 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑓𝑓 ′ −1 = � 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛 −1 𝑛𝑛−1 𝑛𝑛=1 2 � −1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 = −𝑓𝑓 ′ −1 = −𝑒𝑒 −3−1 sin 이므로 멱급수의 미분에 의해 𝑛𝑛=1 17 𝜋𝜋 = −𝑒𝑒 16 2 2020-2 중간고사 미적분학1 4 sin2 𝑥𝑥의 매클로린 급수를 구하여라. 풀이 ∞ −1 𝑛𝑛 2𝑛𝑛 cos 𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 ! 𝑛𝑛=0 이므로 이고 ∞ ∞ 𝑛𝑛=0 𝑛𝑛=0 −1 𝑛𝑛 −1 𝑛𝑛 22𝑛𝑛 2𝑛𝑛 2𝑛𝑛 2𝑥𝑥 =� cos 2𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 2𝑛𝑛 ! 2𝑛𝑛 ! ∞ 1 − cos 2𝑥𝑥 1 1 −1 𝑛𝑛 22𝑛𝑛 2𝑛𝑛 2 sin 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = − � 2𝑛𝑛 ! 2 2 2 𝑛𝑛=0 18 2020-2 중간고사 미적분학1 5 적절한 판정법을 이용하여 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하여라. ∞ 𝑛𝑛𝑛𝑛 � 𝑛𝑛! × 𝑏𝑏1 × 𝑏𝑏2 × ⋯ × 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 단, 수열 𝑏𝑏𝑛𝑛 은 모든 항에 대해 𝑏𝑏𝑛𝑛 > 0이고 lim 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 3 이다. 풀이 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛! × 𝑏𝑏1 × 𝑏𝑏2 × ⋯ × 𝑏𝑏𝑛𝑛 이라 하자. 그러면 (𝑛𝑛 + 1)𝑛𝑛+1 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 + 1 ! × 𝑏𝑏1 × 𝑏𝑏2 × ⋯ × 𝑏𝑏𝑛𝑛 × 𝑏𝑏𝑛𝑛+1 = lim lim 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛! × 𝑏𝑏1 × 𝑏𝑏2 × ⋯ × 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛 = lim 𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛+1 19 1 1 = lim × 1+ 𝑛𝑛→∞ 𝑏𝑏𝑛𝑛+1 𝑛𝑛 1 = 𝑒𝑒 < 1 3 이므로 비 판정법에 의해 수렴한다. 𝑛𝑛 2020-2 중간고사 미적분학1 6 급수 ∞ 의 수렴구간을 구하여라. 풀이 𝑛𝑛=1 이라 하자. −1 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 − 5 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 2𝑛𝑛 − 1 3 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 = lim 𝑛𝑛→∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 수렴구간 : 2 < 𝑥𝑥 ≤ 8 1 ① 𝑥𝑥 = 5일 때, 수렴. ② 𝑥𝑥 ≠ 5인 실수 𝑥𝑥에 대하여 lim −1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑥𝑥 − 5 � 2𝑛𝑛 − 1 3𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 1,2,3, ⋯ −1 𝑛𝑛+1 𝑥𝑥 − 5 𝑛𝑛+1 𝑛𝑛+1 2𝑛𝑛 − 1 2𝑛𝑛 + 1 3 = lim 𝑥𝑥 − 5 −1 𝑛𝑛 𝑛𝑛→∞ 3 2𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛 𝑥𝑥 − 5 1 2𝑛𝑛 − 1 3𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 − 5 3 20 그러므로 비 판정법에 의해 𝑥𝑥 − 5 < 1일 때, 즉, 3 −3 < 𝑥𝑥 − 5 < 3 → 2 < 𝑥𝑥 < 8 ∞ −1 𝑛𝑛 𝑥𝑥 − 5 𝑛𝑛 는 수렴한다 . 일 때, � 𝑛𝑛 2𝑛𝑛 − 1 3 𝑛𝑛=1 ∞ ∞ −1 𝑛𝑛 1 𝑛𝑛 𝑥𝑥 = 2 → � 𝑥𝑥 − 5 = � 2𝑛𝑛 − 1 3𝑛𝑛 2𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ −1 −1 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑥𝑥 − 5 = � 𝑥𝑥 = 8 → � 2𝑛𝑛 − 1 3𝑛𝑛 2𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛=1 𝑛𝑛 𝑛𝑛=1 발산 수렴
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