NỘI DUNG THI CUỐI KỲ MÔN VI TÍCH PHÂN TN099
Thời gian dự kiến thi cuối kỳ: trong khoảng tuần thứ 15 đến tuần 17 cuối học kỳ.
Đề thi cuối kì: 90 phút bao gồm các nội dung sau
Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến (1 điểm)
- Bài toán tốc độ biến thiên
- Bài toán tối ưu chi phí xây dựng hình trụ và hình hộp chữ nhật.
Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến (1 điểm)
- Tính họ nguyên hàm: tích phân hữu tỷ hoặc tích phân từng phần.
Chương 4: Hàm nhiều biến biến (1 điểm)
- Tìm cực trị của hàm 2 biến.
Chương 5: Tích phân bội (2 điểm)
- Tính tích phân 2 lớp: hình thang cong, phương pháp tọa độ cực.
- Tính tích phân 3 lớp theo phương pháp hình chiếu.
Chương 6: Phương trình vi phân (1 điểm)
Dạng nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với các hệ số là hằng.
BỐ CỤC ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN TN099
Thời gian thi: 90 phút
Câu 1: Bài toán tốc độ biến thiên hoặc bài toán tối ưu chi phí xây dựng.
Câu 2: Tính tích phân hữu tỷ hoặc tích phân từng phần
Câu 3: Tìm cực trị của hàm 2 biến.
Câu 4: Tính tích phân bội 2 lớp
Câu 5: Tính tích phân bội 3 lớp
Câu 6: Tìm dạng nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 với các hệ số là hằng số.
1
Vấn đề: Bài toán tốc độ biến thiên
+ Gọi đại lượng.
+ Thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng.
+ Lấy đạo hàm theo t
+ Dự báo thời gian t 
S (t sau )  S (t0 )
S '(t0 )
Bài 1. Những trái dưa được trồng có dạng hình cầu đang tăng trưởng. Tìm tốc độ tăng thể tích
của lứa dưa tại thời điểm chu vi đường tròn lớn của chúng đang là 20cm và đang tăng
ở tốc độ 2 cm/giờ. Nếu tốc độ tăng thể tích này không đổi và tiêu chuẩn để thu hoạch
dưa là thể tích phải đạt cở 100 dm3 thì sau đó bao lâu sẽ thu hoạch được dưa?
Bài 2. Thể tích của một hình hộp đang giảm với tốc độ 32cm3/s trong khi chiều dài đang tăng
với tốc độ 5cm/s, chiều rộng đang giảm với tốc độ 7cm/s. Nếu chiều dài đang là 29cm,
chiều rộng 25cm, chiều cao 19cm thì chiều cao thay đổi như thế nào?
Bài 3. Người ta nhúng một khối sắt hình bán cầu (nửa quả cầu) vào một dung dịch acid để thí
nghiệm. Giả sử, trong quá trình hòa tan, hình dạng thỏi sắt vẫn là bán cầu. Hãy tính tốc
độ biến thiên của thể tích khối sắt tại thời điểm mà tổng diện tích bề mặt (diện tích đáy
và diện tích xung quanh) của nó là 36cm2 và đang giảm tốc độ 2cm2/phút. Nếu tốc độ
không đổi thì sau bao lâu khối sắt này tan hết trong dung dịch acid?
Bài 4. Người ta nhúng một thỏi sắt hình trụ vào một dung dịch acid để thí nghiệm. Giả sử,
trong quá trình hòa tan, hình dạng thỏi sắt vẫn là hình trụ. Hãy tính tốc độ biến thiên
của thỏi sắt tại thời điểm mà chiều cao của nó là 15cm và đang giảm tốc độ 2mm/phút,
còn bán kính đáy là 15cm, giảm với tốc độ 1mm/phút. Nếu tốc độ không đổi và thời
gian cần thêm cho thí nghiệm là 0,5 giờ thì thỏi sắt này có đủ dùng cho thí nghiệm
không?
Bài 5. Nước được bơm vào một hồ chứa hình nón với tốc độ 2 m 3 /phút. Hãy tính tốc độ biến
thiên của mực nước trong hồ tại thời điểm mà thể tích nước trong hồ là 10 m 3 , bán kính
đáy của khối nước là 3m và đang tăng với tốc độ 0,2m/phút.
Vấn đề: Bài toán tối ưu trong thực tế
+ Gọi đại lượng.
+ Thiết lập mối liên hệ giữa các đại lượng.
+ Xác định đại lượng khảo sát và đưa về hàm một biến.
+ Khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
Bài 1. Một nhà máy muốn sản xuất một lọai thùng chứa hình trụ có thể tích 1000cm3. Hai đáy
của hình trụ được làm bằng một loại vật liệu giá 500$/cm2, còn vật liệu để làm mặt bên
giá 300$/cm2. Hãy xác định bán kính đáy và chiều cao của hình trụ để chi phí sản xuất
thùng chứa nhỏ nhất.
Bài 2. Người ta xây dựng một bồn chứa nước không nắp với sức chứa 10.000m3, bồn chứa có
dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy có kích thước chiều dài gấp năm lần chiều rộng.
Biết rằng chi phí làm đáy là 800.000VNĐ/m2, chi phí làm bề mặt xung quanh là
500.000VNĐ/m2. Xác định kích thước của hồ chứa nước để chi phí xậy dựng là nhỏ
nhất.
2
Vấn đề: Tính tích phân một biến.
 Phương pháp tích phân từng phần
 udv  uv |   vdu
“Nhất ln- nhì đa - tam lượng - tứ mũ”
1) I   x 2 cos xdx
2) I   (2 x  1) cos 3xdx
3) I   ( x  1) sin 2 xdx
4) I   x 2 sin 3xdx
5) I   x sin 2 2 xdx
6) I   x cos 2 xdx
7) I   xe2 x dx
8) I   ( x  1)e3 x dx
9) I   ( x 2  1)e x dx
10) I   ln(2 x  1)dx
11) I   x 2 ln( x  1)dx
12) I  
13) I   x ln 2 xdx
14) I   e x sin xdx
ln x
dx
x2
x
15) I   2 dx
sin x
b
P ( x)
dx .
Q
(
x
)
a
 Tích phân hữu tỷ I  
+ Bậc Tử  bậc Mẫu: Chia đa thức.
+ Bậc Tử  bậc Mẫu: Giải phương trình Mẫu Q(x)=0 và phân tách mẫu.
 
dx
1
 ln | ax  b |  C
ax  b a
 
 A
cx  d
B 
dx   

 dx  A ln | x  X 1 |  B ln | x  X 2 |  C .
( x - X 1 )( x - X 2 )
 x  X1 x  X 2 
 
t  x- X 0
cx  d
At  B
B
B
A B
dx
 
dt     2  dt  A ln | t |   C  A ln | x - X 0 | 
C
2
2
(x - X 0 )
t
t
x - X0
t t 
 
cx  d
x - X0   a
2
t  x- X 0
dx 
2
At  B
tdt
dx
A
B
4 x3  6 x  1
dx
x 1
x2  x  1
4) I   2
dx
x  4x  4
2
2
2
2
2
x2  6 x  1
dx
x 1
x2  x  1
5) I   2
dx
x  6x  9
2
2
2
x3  x 2  x  1
dx
2 x
4x 1
dx
6) I   2
x  10 x  25
1) I  
2) I  
3) I  
x2  2x  1
dx
7) I  
x2  4
x2  x  1
dx
8) I   2
x  3x  2
x 2  8 x  14
dx
9) I   2
x  6x  8
x4 1
dx
x2  9
x2  1
13) I   2
dx
x  2x  4
10) I  
t
 t  a dx  A. t  a  B. t  a  2 ln(t  a )  a arctan a  C
x2  2 x  3
dx
x2  1
x2  x 1
14) I   2
dx
x  x 1
11) I  
2x  3
dx
x  2x  2
x2  x
15) I   2
dx
x  4x  7
12) I  
2
Vấn đề. Tìm cực trị tự do của hàm hai biến z = f (x, y)
+ Tìm các điểm tới hạn.
+ Tại điểm dừng M ( x0 , y0 ) : A  f xx'' ( x0 , y0 ) , B  f xy'' ( x0 , y0 ) , C  f yy'' ( x0 , y0 ) ,
Tính  = AC- B2 . Kết luận tại ( x0 , y0 ) :
i)  > 0: A > 0  cực tiểu; A < 0  cực đại
ii)  < 0: không đạt cực trị
iii)  = 0: không có kết luận gì cho điểm nghi ngờ ( x0 , y0 )
3
Tìm cực trị của các hàm sau:
1) z  4( x  y )  x 2  y 2 ;
2) z  x3  y 3  3xy ;
3) z = x3 + y3 – 18xy + 18.
4) z  2 x 3  xy 2  5 x 2  y 2  1 .
5) z  x3  3xy 2  15 x  12 y .
8) z  x 4  y 4  x 2  2 xy  y 2 .
9) z  1 xy  (47  x  y )( x  y ) .
2
3
10) z  f ( x, y )  5 xy 
11) z  xy 
6) z  x 3  4 xy  y 2  13 x  4 y  10 .
7) z  3 x 2 y  y 3  3 x 2  3 y 2  2 .
Vấn đề: Tích phân hai lớp I   f ( x, y)dxdy
4
10 20

x
y
50 20
.

x
y
D
1) D là hình thang cong loại 1:
D: { a  x  b , y1( x)  y  y2 ( x) }.
b  y2 ( x )

I =    f ( x, y) dy  dx


a  y1 ( x )

2) D là hình thang cong loại 2: D: {c  y  d, x1( y)  x  x2 ( y) }.
d  x2 ( y )

c  x1 ( y )

I =    f ( x, y) dx  dy


3) Phương pháp tọa độ cực: với f ( x, y) chứa biểu thức x2  y2 và D có dạng hình tròn.
     2
 x  r cos 
Đặt 
, với  1
. Chú ý: x2  y2  r 2 ; J = r.
y

r
sin

r
(

)

r

r
(

)

2
1
 2  r2 ( )

I     f ( r cos  , r sin  ).r .dr d .


1  r1 ( d )

Tính các tích phân:
1)  sin( x  y) dxdy với D:{y = 0, y = x, x  y  2 };
D
2)  x2 ydxdy với D:{y = 0, y  6 x  x 2 };
D
3)  xdxdy với D:{ x2  y2  2x };
D


4)  xy  1 dxdy với D:{ 1  x2  y2  2x }
D
5)  arctan xy dxdy với D:{ x3  y  3x , 1  x2  y2  9 };
D
6)  xy2dxdy với D: { x2  ( y  1)2  1 , x2  y2  4y  0 };
D
 ĐS: 1)
1
2
; 2)
972
5
; 3)  ; 4)
3
 3
2
5) 6 ; 6) 0.
2
4
Vấn đề. Tích phân 3 lớp I =  f ( x, y, z) dxdydz
V
Phương pháp dựa vào hình chiếu D của V trên mặt phẳng Oxy để đưa về tích phân 2 lớp:
 z2 ( x , y )

I     f ( x, y , z ) dz  dxdy .


D  z1 ( x , y )

a) Tính  y cos( x  z ) dxdydz với V:{ y  x , y = 0, z = 0, x  z  2 }
V
b)  x  y 2 dxdy với V:{ x2  y2  z2 , z = 1};
2
V
c)   x 2  y 2  dxdydz với V:{ x2  y2  2z , z = 2}.
V
d)  xyzdxdydz với V:{ x 2  y 2  z 2  1 , x = 0, y = 0, z = 0};
V


 ĐS: a) 12 8  1 . b) 6 ; c) 163  , d) 1/48;
2
Vấn đề: Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi
 Phương trình ay " by ' cy  f ( x ) (1)
* Nghiệm tổng quát: y  y  Y với
y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ay " by ' cy  0 .
Y là một nghiệm riêng của (1)
 Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất ay " by ' cy  0 .
Xét phương trình đặc trưng: ak 2  bk  c  0 . Phương trình có hai nghiệm k1, k2 .
i) k1, k2 là hai nghiệm thực phân biệt  y  C1e k x  C2 e k x .
1
2
ii) k1 = k2 λ  y  (C1  C2 x )e k x .
1
iii) k1,2     i  y  e x (C1 cos  x  C2 sin  x)
 Tìm một nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất ay " by ' cy  f ( x )
a) f ( x )  e x Pn ( x ) , trong đó Pn ( x) là đa thức bậc n.
So sánh  với hai nghiệm k1, k2 của phương trình đặc trưng:
i)   k1,   k2  Y  e x Qn ( x ) .
ii)   k1,   k2  Y  x.e x .Qn ( x ) .
iii)   k1  k2  Y  x 2 .e x .Qn ( x ) .
b)
f ( x )  e x [ Pn ( x ) cos  x  Qm ( x ) sin  x ]
So sánh k     i với hai nghiệm k1, k2 của phương trình đặc trưng:
i)    i  k1, k2  Y  e x [U r ( x ) cos  x  Vr ( x ) sin  x ] với r  max( n, m) .
ii)    i  k1  Y  x.e x .[U r ( x ) cos  x  Vr ( x) sin  x]
Tìm dạng nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
a) y " 4 y ' 8 y  e2 x  sin 2 x ;
 ĐS: y  Ae2 x  B cos 2 x  C sin 2 x .
b) y " 4 y ' 5 y  e x  cos x ;
 ĐS: y  C1e x  C2e 5 x  Axe x  B cos x  C sin x ;
c) y " y  xe x  2e x ;
 ĐS: y  C1 cos x  C2 sin x  ( Ax  B )e x  Ce  x .
5
ĐỀ MINH HỌA 01
Câu 1: Người ta muốn xây dựng một bình chứa nước hình trụ có thể tích 150m3. Đáy làm bằng
bêtông giá 500 nghìn VND/m2, thành làm bằng tôn giá 300 nghìn VND/m2, nắp bằng nhôm
không gỉ giá 400 nghìn VND/m2. Vậy phải chọn kích thước hình là như thế nào để chi phí xây
dựng là nhỏ nhất ?
Câu 2: Tính các tích phân sau
a) I  
6x  5
dx
x  4x  3
b) I   (2 x  3) sin 2 xdx
2
Câu 3: Tìm cực trị của hàm z  f ( x, y )  3x 2 y  y 3  3x 2  3 y 2 .
Câu 4: Tính tích phân 2 lớp I   ydxdy , với D là miền phẳng được giới hạn bởi
D

D  ( x, y ) 
2
1
Câu 5: Tính tích phân 3 lớp I  
x2  y2
V

: x 2  y 2  2 x, y  0 .
dxdydz , với V là miền không gian ba chiều được
giới hạn bởi các mặt z  x 2  y 2 và z  2 .
Câu 6: Tìm dạng nghiệm của phương trình sau: y '' 3 y ' 2 y  xe x  5sin 2 x .
ĐỀ MINH HỌA 02
Câu 1: Người ta xây dựng một hố ga sức chứa 1000m3, hố ga có dạng hình hộp chữ nhật với
mặt đáy có kích thước chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Biết rằng chi phí làm đáy là
600.000VNĐ/m2, chi phí làm bề mặt xung quanh là 500.000VNĐ/m2 và chi phí làm nắp đậy hố
ga là 400.000VNĐ/m2. Xác định kích thước của hố ga để chi phí xậy dựng là nhỏ nhất.
Câu 2: Tính các tích phân sau
a) I  
6x  5
dx
x  5x  6
2
2x
b) I   ( x  3 x  1)e dx
2
Câu 3: Tìm cực trị của hàm hai biến z  f ( x, y )  x3  y 3  3x 2  3 y  2023 .
Câu 4: Tính tích phân 2 lớp I   xy x 2  y 2 dxdy , với D là miền phẳng được giới hạn bởi
D

D  ( x, y ) 
2

: x 2  y 2  8 x, y  x .
Câu 5: Tính tích phân 3 lớp I  
V
1
dxdydz , với V là miền không gian ba chiều được giới
x  y2
2
hạn bởi các mặt z  2 y và z  x 2  y 2 .
6
Câu 6: Tìm dạng nghiệm của phương trình sau: y '' 2 y ' y  5e x  x sin 2 x .
ĐỀ MINH HỌA 03
Câu 1: Những trái dưa được trồng có dạng hình cầu đang tăng trưởng. Tìm tốc độ tăng thể tích
của lứa dưa tại thời điểm diện tích bề mặt hình cầu của chúng đang là 100 cm 2 và đang tăng ở
tốc độ 80cm2/ngày. Nếu tốc độ tăng thể tích này không đổi và tiêu chuẩn thu hoạch dưa là thể
tích phải đạt cỡ 6dm3 thì sau đó bao lâu dưa sẽ thu hoạch được.
Câu 2: Tính các tích phân sau
a) I  
4x  3
dx
x  2x  2
b) I   (2 x  1) ln xdx
2
Câu 3: Tìm cực trị hàm của hàm số z  x3  y 3  18 xy  2024 .
2
2
Câu 4: Tính tích phân 2 lớp I   xy x  y dxdy , với D là miền phẳng được giới hạn bởi
D

D  ( x, y ) 
2

: x 2  y 2  2 y, y  x .
Câu 5: Tính tích phân 3 lớp I  
V
1
dxdydz , với V là miền không gian ba chiều được giới
x  y2
2
hạn bởi các mặt z  4 x và z  x  y .
2
2
Câu 6: Tìm dạng nghiệm của phương trình sau: y '' 2 y ' 5 y  x (e x  sin 2 x ) .
ĐỀ MINH HỌA 04
Câu 1: Người ta nhúng một khối sắt hình trụ vào một dung dịch acid để làm thí nghiệm. Giả sử
trong quá trình hòa tan khối sắt vẫn có dạng hình trụ. Hãy tính tốc độ biến thiên của thể tích khối
sắt tại thời điểm mà bán kính đáy là 0,5 cm và đang giảm với tốc độ 0,02 cm/phút; còn chiều cao
của nó đang là 2 cm và đang giảm với tốc độ 0,04 cm/phút. Nếu tốc độ thay đổi thể tích này là
không đổi thì sau khoảng thời gian bao lâu khối sắt sẽ tan hết?
Câu 2: Tính các tích phân sau
a) I  
x2  x  1
dx
x2  6x  9
b) I   x cos 2 xdx
2
Câu 3: Tìm cực trị của hàm số z  x3  y 3  3x  12 y .
2
2
Câu 4: Tính tích phân 2 lớp I   x x  y dxdy , với D là miền phẳng được giới hạn bởi
D

D  ( x, y ) 
2

: x 2  y 2  4 y, x  0 .
7
Câu 5: Tính tích phân 3 lớp I  
V
x
dxdydz , với V là miền không gian ba chiều được giới
x  y2
2
hạn bởi các mặt z  4 và z  x  y .
2
2
Câu 6: Tìm dạng nghiệm của phương trình sau: y '' 5 y ' 6 y  e 2 x ( x  cos x ) .
8