O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM FAN VA
INNOVATSIYA VAZIRLIGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALAR UNIVERSITETI
MUSTAQIL ISH
Mavzu: FURYE QATORI. ORTOGONAL VA ORTONORMAL
FUNKSIYALAR SISTEMASI. ORTOGONAL FUNKSIYALAR
SISTEMASI BO‘YICHA FUNKSIYALARNI FURYE QATORIGA
YOYISH. 2 DAVRLI FUNKSIYA UCHUN FURYE QATORI.
O'quvchi: 1 KURS
2024-2025-o'quv yili
Reja:
1. Fourier qatori tushunchasi
2. Ortogonal funksiya sistemasi
3. Ortonormal funksiya sistemasi
1. Fourier qatori tushunchasi
To‘rtli qatorlar tushunchasi matematikada muhim mavzulardan biridir va u
to‘lqinlar, tebranishlar va ko‘plab boshqa amaliy masalalarni o‘rganishda
qo‘llaniladi. Ushbu to‘g‘ri qatorlar fransuz matematigi Jan-Batist-Jozef
Fourier tomonidan XIX asr boshlarida kiritilgan. Fourier qatorlari uzluksiz
ravishda periodik funksiyalarni sinus va kosinus funksiyalari yig‘indisi
sifatida ifodalashga imkon beradi. Ushbu tushuncha ko‘plab ilmiy va
muhandislik sohalarida keng qo‘llaniladi, masalan, akustikada,
tebranishlarni tahlil qilishda, elektr muhandisligida va boshqa sohalarda.
Fourier qatorining asosiy g‘oyasi periodik funksiya \( f(x) \) ni sinus va
kosinus funksiyalari yig‘indisi sifatida ifodalashdir. Matematik jihatdan,
agar \( f(x) \) \( T \) davrga ega bo‘lgan periodik funksiya bo‘lsa, uni
quyidagi ko‘rinishda Fourier qatori shaklida yozish mumkin:
\[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi nx}{T} + b_n
\sin \frac{2\pi nx}{T} \right) \]
Bu yerda \( a_0, a_n, \) va \( b_n \) Fourier koeffitsiyentlari bo‘lib, ular
quyidagicha hisoblanadi:
- \( a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \, dx \)
- \( a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos \frac{2\pi nx}{T} \, dx \)
- \( b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin \frac{2\pi nx}{T} \, dx \)
To‘g‘ri qatorlarni hosil qilishda asosiy qadam \( a_n \) va \( b_n \)
koeffitsiyentlarini to‘g‘ri hisoblashdir. Ushbu koeffitsiyentlar periodik
funksiya xarakteristikalarini ifodalaydi va hosil bo‘lgan sinus va kosinus
to‘lqinlarining amplituda va fazalariga ta'sir qiladi.
Bu qatorlar ko‘pi bilan kiritiladigan cheksiz sinus va kosinus to‘lqinlarining
linear kombinatsiyasidir va turli qulay xossalarga ega. Masalan, Fourier
qatorlari ortogonal xossalarga ega, ya’ni sinus va kosinus to‘lqinlari o‘zaro
ortogonal bo‘ladi. Fourier qatorlarining bu xossasi ulardan foydalanib
murakkab funksiyalarni sodda komponentalarga bo‘lish imkoniyatini beradi.
Fourier qatorlari qo‘llanishlaridan biri signalni qayta ishlashda yuz beradi.
Signal bu yerda tebranish yoki o‘zgarish formasidagi ma’lumot sifatida
tushuniladi. Masalan, ovozli signalni qayta ishlashda Fourier qatorlari bilan
signalni uning amplituda va fazasiga ko‘ra tahlil qilishimiz mumkin. Bu usul
ovoz yoki musiqani raqamli formatga almashtirishda keng qo‘llaniladi.
Dastlab, Fourier qatorlari asosan muntazam davrli funksiyalarni tavsiflash
uchun ishlatilgan, lekin keyinchalik ular har qanday uslubiy funktsiyalarga
tatbiq etilib kengaytirildi. Bu kengayish Fourier o‘zgartirishlari (Fourier
transformatsiyasi) deb ataladi va vaqt yoki fazo sohasidagi funksiyalarni
chastota sohasiga o‘tkazish uchun ishlatiladi. Fourier transformatsiyasi
analog kommunitatsiya va raqamli signalni qayta ishlash tizimlarida keng
qo‘llaniladi.
Shunday qilib, Fourier qatori tushunchasi va uning kengaytmalari,
matematika va muhandislik muammolarini hal etishda asosiy vositalardan
biri hisoblanadi. Joylashish va vaqt farqlanuvchi keng doiradagi signallarni
tahlil va qayta ishlashda ular juda ahamiyatlidir. Fourier qatorlari yordamida
kompleks signal yoki funksiya muayyan chastotalarning kombinasiyasi
sifatida ifodalanishi va bu malakalar kuchli kompyuter simulyatsiyalari va
tahlillarida fundament bo‘lib xizmat qilishi mumkin.
2. Ortogonal funksiya sistemasi
2. Ortogonal funksiya sistemasi haqida ma'lumot berishda ortogonal
funksiya sistemalarining matematik nazariyasi va uning asoslari bilan bog'liq
jihatlarni ko'rib chiqamiz. Ortogonal funksiya sistemalari matematik
analizda va amaliy masalalarda keng qo'llaniladi. Bu usul bir funksiyani
boshqa, oddiyroq funksiyalar kombinatsiyasi sifatida ifodalash imkonini
beradi.
Ortogonal funksiya sistemasi deganda bir xil intervaldagi ortogonal bo'lgan
funksiyalar oilasini tushuniladi. Bu degani, agar bizda ikkita funksiya \( f(x)
\) va \( g(x) \) bo'lsa, ular intervalda ortogonal bo'lishi uchun quyidagi
tengsizlik bajarilishi kerak:
\[
\int_{a}^{b} f(x) g(x) \, dx = 0
\]
Bu yerda \( [a, b] \) interval hisoblanadi. Ortogonal funksiya sistemalarida
har bir funksiya o'zaro ortogonal bo'ladi, ya'ni bir funksiya boshqa funksiya
bilan ko'paytirilib, berilgan oraliqda integrallanganda nol chiqishi kerak.
Ortogonal funksiya sistemalariga klassik misollar sifatida sinli va kosinusli
to'lqinlar, Legendre polinomlari, Chebyshev polinomlari, Hermite va
Laguerre polinomlari kiradi.
Misol tariqasida trigonometrik funksiya sistemalarni keltirib o'tish mumkin.
Bu sistemalarda \( \sin(nx) \) va \( \cos(nx) \) kabi trigonometrik funksiyalar
ortogonal sistemani hosil qiladi. Trigonometrik funksiyalarning ortogonal
ekanligi Quyidagi integrallar orqali tesdiqlanadi:
\[
\int_{0}^{2\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \begin{cases}
0, & m \neq n \\
\pi, & m = n \neq 0 \\
\end{cases}
\]
\[
\int_{0}^{2\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \begin{cases}
0, & m \neq n \\
\pi, & m = n \neq 0 \\
\end{cases}
\]
Shuningdek, ortogonal funksiya sistemalari Fourier qatorlarida keng
qo'llaniladi. Fourier qatori orqali har qanday \( 2\pi \) - davriy funksiya
trigonometrik funksiya sistemasi orqali ifodalanishi mumkin. Buning uchun
berilgan funksiya Fourier koeffitsiyentlariga ajratiladi va keyin
trigonometrik qator ko'rinishida yoziladi:
\[
f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))
\]
Bu yerda \( a_0 \), \( a_n \), va \( b_n \) Fourier koeffitsiyentlari bo'lib:
\[
a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx
\]
\[
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx
\]
\[
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx
\]
Ortogonal funksiya sistemalari nazariyotda fandagi muhim tushunchalardan
biridir. U o'lchamlari yuqori bo'lmagan, lekin nisbatan murakkab
funksiyalarni soddalashtirishga va hisoblashni osonlashtirishga imkon
beradi. Asosiy tushunchalardan biri shundaki, ortogonal funktsiyalar (va ular
sistemalari) orqali murakkab signallarni ajratish va tahlil qilish osonroq
bo'ladi.
Ortogonal funksiya sistemalaridan foydalanib, ko'plab fizik avliyosi va
texnik jarayonlarni tahlil qilish mumkin. Masalan, signalni qayta ishlashda
va Riamann-klassdagi masalalarda ortogonal funksiya sistemalari
qo'llaniladi.
Yana bir muhim narsa shundaki, ortogonalizmning umumlashtirilgan turi,
ya'ni ortonormal funksiya sistemalari mavjud. Ortonormal sistemada har bir
funksiya o'zaro ortogonal bo'lishdan tashqari, o'zi bilan ko'paytirilganda
birlik integrallangan bo'lishi kerak:
\[
\int_{a}^{b} f_i(x) f_i(x) \, dx = 1
\]
Ortogonal funksiya sistemalari ko'plab sanoat sohalarida ham qo'llanilib,
ularni masalan signallarni siqish va qayta ishlashda, ovoz va tasvirlarni
raqamli formatda saqlash va uzatishda ko'rish mumkin. Bu o'z navbatida,
ularni keng ko'lamli muammolarni yechishda amaliy ahamiyat kasb etishiga
olib keladi.
Mukammal va ortogonal funksiya sistemalariga asoslangan matematik
dasturiy amaliyotlar millionlab, hatto milliardlab hisob-kitoblarni bir necha
marta osonlashtiradi va samaradorlikni oshiradi. Matematik tadqiqotchilar
va muhandislar tomonidan ushbu sohalarning faol o'rganilishi, olamshumul
yutuqlarga olib kelib, yanada ko'proq amaliy ko'lamni o'zlashtiradi.
3. Ortonormal funksiya sistemasi
Ortonormal funksiya sistemasi - matematikaning muhim tushunchalaridan
biri bo'lib, bu tushuncha boshqa ko'plab ilmiy sohalarda ham qo'llaniladi.
Ortonormal funksiya sistemasi haqida gapirganda, asosan funksiyalar
to'plami ko'zda tutiladi, bu to'plamda har bir funksiya o'zaro ortogonal,
normalizatsiyalangan va umumiy vaziyatda bir hil va chiziqli mustaqil
bo'ladi.
Ortonormal funktsiyalar tasviriy ko'rinishda qatorga jamlanadi va ulardan
kvadrat-integral funktsiyalar fazosida asos sifatida foydalanish mumkin.
Ushbu fazo mashhur Hilbert fazosidir, bu turdagi fazolar chiziqli algebra va
funksional analizda keng qo'llaniladi. Ortonomallikning muhimsharti
shundaki, ikkita turli funksiya orasidagi hilbertli ichki ko'paytma nolga teng
bo'ladi:
\[
\langle f_i, f_j \rangle = 0 \quad \text{agar} \quad i \neq j
\]
Bu erda \(\langle f_i, f_j \rangle\) funksiyalardan olinadigan Hilbert
fazosidagi ichki ko'paytma ifodasini anglatadi.
Funksiya sistema ortogonal bo'lsa, unga oldindan belgilangan ortogonallik
shartidan foydalanib, ko'pgina masalalarda ancha qulay bo'ladi. Bu esa,
ko'pincha Fourier seriyalar, Legendre ko'paytmalar, Chebyshev polinomlari
va boshqa ortogonal polinom sistemalaridan iborat bo'ladi.
Ortonormal funktsiya sistemasi misollaridan eng keng tarqalgani trigonometrik funktsiyalar orqali hosil qilingan Fourier qatorlaridir. Bu
qatorlar masalaning chiziqli almashtirishlarni sodda bajara olishida beqiyos
yordam beradi. Fourier qatorlarining eng keng tarqalgan ishlatilishi
signallarni qayta ishlash va kommunikatsiya teoriyasi sohalarida kuzatiladi.
Matematikada ortogonal funksiya sistemalari yordamida operatorlarni spektr
bo'ylab sturukturaga ajratish imkoni mavjud. Legendre va Chebyshev
polinomlari geodeziya va fizikada yechimlarni aniq topishda asosiy
usullariga kiradi.
Bundan tashqari, ortonormal funksiyalar statistikada asosiy komponentlar
analizida, kompressiya algoritmlarida va axborot nazariyasida keng
foydalaniladi. Statistikada ko'pincha dastlabki tasvirlarni va ma'lumotlarni
tahlil qilish uchun ortonormal asos bo'lib xizmat qiladi.
Agar ortonormallik tushunchasini matematik ma'noda ifodalash kerak bo'lsa,
ortonormal funksiya mavzusi asosan integratsiyalangan kvadrat funksiyalar
fazosi bilan bog'liq bo'ladi. Matematik xisobolatlarni osonlashtirish uchun
ortonormal asoslar mavjud bo'lib, bu asoslar ko'plab matematik va amaliy
masalalarda mukammal yechimlarni beradi.
Asosiy ortonormal funktsiyalarni tersebut turganidan keyin, ularning
ko'rinishini va ularni qanday o'lchashni bilish muhimdir. Funktsiyalar
orasidagi bunday o'lchash asosan integrallash orqali amalga oshiriladi.
O'yqaytish kerakki, ortonormal sistemaning mavjud bo'lishi amaliy
masalalarning yechimini esa ancha soddalashtiradi. Shunga ko'ra, ko'plab
javoblar ekzotik va noaniqlik masalalarini aniq va tushunarlikni tartibga
soladi.
Umuman olganda, ortonormal funksiya sistemasi to'g'ri ishlatilsa, nafaqat
amaliyotda balki ilmiy o'rganishlar ham qiziqarli va qulay bo'lishiga yordam
beradi. Bu har xil ilmiy tadqiqot sohalarida, xususan, matematik analiz,
ta'lim, muhandislik va texnologik rivojlanishda muhim rol o'ynaydi.