ÁLGEBRA I – MAT 100.
Formulario 1
Álgebra I
Contenido:
Álgebra de Boole
Conjuntos.
Relaciones.
Funciones.
MAT – 100
3. Tabla de Verdad.
Si: 2𝑛 = # Combinaciones
𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡, … , 𝑧
⏟
𝑛 Proposiciones
4. Propiedades Lógicas.
(Leyes Lógicas)
1) Ley de Idempotencia.
𝑝∨𝑝=𝑝
; 𝑝∧𝑝 =𝑝
2) Ley Asociativa.
Tot. 12 pag.  Javier J. Apaza M.
(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 = 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 = 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
1. Lógica y Álgebra de Boole
1.
2.
3.
4.
1. Lógica.
3) Ley de Identidad.
Parte de la matemática que estudia a las
𝑝∨𝐹 =𝑝 ; 𝑝∧𝑉 =𝑝
proposiciones. Analiza si una proposición es
4) Ley de Negación.
falsa o verdadera. El Algebra de Boole
~(~𝑝) = 𝑝
constituye un sistema centrado en el 1 y 0.
𝑝 ∨ ~𝑝 = 𝑉 ; 𝑝 ∧ ~𝑝 = 𝐹
2. Conectivos Lógicos.
1.Conjunción (∧) (𝑦) (Serie).
5) Ley Conmutativa
Ambos deben
p
q
p∧q
𝑝∨𝑞 = 𝑞∨𝑝 ; 𝑝∧𝑞 = 𝑞∧𝑝
ser
verdad
V V
V
para que sea
V F
F
6) Ley Distributiva.
verdadera.
F V
F
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) = (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
F F
F
2.Disyunción Inclusiva (∨) (𝑜) (Paralelo).
7) Ley de Absorción
Basta que una
p
q
p∨q
𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) = 𝑝
de ellas sea
V V
V
𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑝
verdadera
V F
V
𝑝∨𝑉 =𝑉 ; 𝑝∧𝐹 =𝐹
para que sea
F V
V
verdadera.
F F
F
8) Ley de De Morgan.
3.Implicación (→) (entonces)
~(𝑝 ∧ 𝑞) = ~𝑝 ∨ ~𝑞
El antecedente
p q
p→q
~(𝑝 ∨ 𝑞) = ~𝑝 ∧ ~𝑞
es verdadero y
V V
V
el consecuente
V F
F
9) Implicación.
es
falso
F V
V
𝑝 → 𝑞 = ~𝑝 ∨ 𝑞
entonces es F.
F F
V
10) Doble Implicación. (∧)
4.Doble implicación (↔) (si solo si)
𝑝 ↔ 𝑞 = (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)
Si
las
p
q
p↔q
𝑝 ↔ 𝑞 = (~𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (~𝑞 ∨ 𝑝)
proposiciones
V V
V
11) Disyunción Exclusiva.
son iguales es
V F
F
𝑝 ⊻ 𝑞 = ~(𝑝 ↔ 𝑞)
verdadera.
𝑝 ⊻ 𝑞 = (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝)
F V
F
* Negación Alternativa.
F F
V
𝑝/𝑞 = ~𝑝 ∨ ~𝑞
5.Disyunción Exclusiva (⊻) (ó)
Analogías. ∧≡× ; ∨≡ + ; 𝑉 ≡ 1 ; 𝐹 ≡ 0
Si
las
p q
p⊻q
proposiciones
V V
F
5. Circuitos Lógicos.
son iguales es
V F
V
AND ∧ (∙) Serie.
falsa.
F V
V
p
q
Operación
p∧q
p∙q
F F
F
V
V
V
1
1∙1 =1
6.Negación:(~) (𝑛𝑜)
p
~p
V
F
F
0
1∙0 =0
Contradice
a
la
V
F
F
V
F
0
0∙1 =0
proposición.
F
V
F
F
F
0
0∙0 =0
7.Conjunción Negativa o Binegación
() (Ni … Ni … )
p q pq
OR ∨ (+) Paralelo.
Si
las
V V
F
p
q
Operación
p∨q
p+q
proposiciones son
V F
F
V
V
V
1
1+1 =1
falsas
es
F V
F
V
F
F
1
verdadera.
1+0 =1
F F
V
F
V
F
1
0+1 =1
8.Negación Alternativa o Anticonjunción
F
F
F
0
0+0 =0
( /) (no es cierto que … y … )
Si
las
p
q
p/q
Convenciones para probar:
proposiciones
V V
F

Si p es V hay paso de corriente.
son
V F
V
p = 1 p es V; Estado V.
verdaderas es
F V
V

Si p es F no hay paso de corriente.
falsa.
F F
V
~p = 0 ~p es F; Estado F.
6. Álgebra de Boole.
Propiedades.
1) Ley de Idempotencia.
𝑥+𝑥 =𝑥
; 𝑥∙𝑥 =𝑥
2) Ley Asociativa.
(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
(𝑥∙𝑦)∙𝑧 = 𝑥∙(𝑦∙𝑧)
3) Ley de Identidad.
𝑥+0=𝑥 ; 𝑥∙1=𝑥
4) Ley de Negación.
𝑥=𝑥
𝑥+𝑥 =1 ; 𝑥∙𝑥 =0
5) Ley Conmutativa
𝑥+𝑦=𝑦+𝑥
;
𝑥∙𝑦 =𝑦∙𝑥
6) Ley Distributiva.
𝑥 + ( 𝑦 ∙ 𝑧 ) = (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑧)
𝑥 ∙ ( 𝑦 + 𝑧 ) = (𝑥 ∙ 𝑦) + (𝑥 ∙ 𝑧)
7) Ley de Absorción.
𝑥 + (𝑥 ∙ 𝑦) = 𝑥
𝑥 ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝑥
𝑥+1=1 ; 𝑥∙0 =0
8) Ley de De Morgan.
𝑥+𝑦 =𝑥∙𝑦
𝑥∙𝑦=𝑥+𝑦
Analogías. ∧≡× ; ∨≡ + ; 𝑉 ≡ 1 ; 𝐹 ≡ 0
7. Funciones Booleanas.
(Compuertas Lógicas)
𝑥 𝑦
Función (+)
0 0
OR (paralelo)
0 1
1 0
1 1
Función (∙)
AND (serie)
𝑥
0
0
1
1
Función NOT
𝑥+𝑦
0
1
1
1
𝑦
0
1
0
1
𝑥∙𝑦
0
0
0
1
𝑥
1
0
𝑥
0
1
Función
NOR
(NOT + OR)
𝑥
0
0
1
1
𝑦
0
1
0
1
𝑥+𝑦
1
0
0
0
Función
NAND
(NOT + AND)
𝑥
0
0
1
1
𝑦
0
1
0
1
𝑥∙𝑦
1
1
1
0
Función
EXOR
(OrExcluyente)
𝑥
0
0
1
1
𝑦
0
1
0
1
𝑥⊕𝑦
0
1
1
0
𝑥 ⊕ 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦
© 31.07.17, Javier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 1.
ÁLGEBRA I – MAT 100.
8.
Simbología: Digital, Logo y Ladder
9. Mapas de Karnaugh.
Ejemplo: Encontrar una representación como
suma minimal de productos para la función
booleana:
𝑓 = ∑𝑚 = ( 0 ,1 ,3 ,4 ,7 )
6. Ley de Conjunción (LC)
𝑝
𝑞
𝑝 ∧ 𝑞
7. Ley de Adición (LA)
𝑝
𝑞
𝑝 ∨ 𝑞
8. Ley del Dilema Constructivo (DL)
𝑝 ∨ 𝑞
𝑝 → 𝑟
𝑞 → 𝑠
𝑟 ∨ 𝑠
9. Ley de la Doble Negación (DN)
~(~𝑝)
𝑝
10. Ley de De Morgan (LM)
~𝑝 ∧ ~𝑞
~𝑝 ∨ ~𝑞
𝑝
∨
𝑞
~(
)
~(𝑝 ∧ 𝑞 )
11. Leyes Conmutativas (LCM)
𝑝 ∧ 𝑞
𝑝 ∨ 𝑞
𝑞 ∧ 𝑝
𝑞 ∨ 𝑝
12. Ley de Simplificación Disyuntiva (SPD)
𝑝 ∨ 𝑞
𝑝
Otra notación para las leyes anteriores:
Ley de Modus Ponendo Ponens (PP)
𝑝 → 𝑞 , 𝑝 |~𝑞
𝑓 = 𝑥 𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧
Solución: el correspondiente Mapa de
Karnaugh es:
𝑦𝑧
𝑦𝑧
𝑦𝑧
𝑦𝑧
𝑦𝑧
2. Teoría de Conjuntos.
00
01
11
10
𝑥𝑧
1. Conjunto.
1
1
1
0
Es una colección, reunión o agrupación de
𝑥 0
0
1
3
2
objetos cualesquiera llamado elementos.
2.
Determinación de Conjuntos.
1
0
1
0
𝑥 1
Por Comprensión:
4
5
7
6
𝐴 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑍 ,
1 ≤𝑥 ≤ 9}
Por lo tanto, como suma minimal de
Por Extensión:
productos: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧
𝐴 = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }
Los grupos (agrupaciones de 1) a formar 3. Conjuntos Especiales.
máximo:
 Conjunto Finito:
2𝑛 = 1 , 2 , 4 , … con 𝑛 = 0 , 1 , 2 , 4 , …
𝐴 = {𝑥/𝑥 es Un dígito impar }
En las combinaciones 00 01 11 10 no pueden
𝐴 = { 1 ,3 ,5 ,7 ,9 }
cambiar los 2 digitos al mismo tiempo.
 Conjunto Infinito:
10. Reglas de Inferencia.
𝐴 = {𝑥/𝑥 es Un número par }
1. Ley de Modus Ponendo Ponens (PP)
𝐴 = { 0 ,2 ,4 ,6 ,… }
𝑝 → 𝑞
~𝑝 ∨ 𝑞
 Conjunto Universo: 𝑼
𝑝
( 𝑝
)
Conjunto de referencia.
𝑞
 Conjunto Vacio: ∅
𝑞
2. Ley de Modus Tollendo Tollens (TT)
Carece de de elementos.
𝑝 → 𝑞
~𝑝 ∨ 𝑞
 Sub Conjunto:
~𝑞
Si todos los elementos de A
( ~𝑞
)
pertenecen a B.
~𝑝
~𝑝
𝐴 ⊂ 𝐵 = A es un subconjunto de B.
3. Leyes de Modus Tollendo Ponens (TP)
𝐴 ⊂ 𝐵 = A esta incluido en B.
𝑝
∨ 𝑞
𝑝
∨ 𝑞
 Complemento de un Conjunto 𝑨𝒄 .
~𝑝
~𝑞
𝐴𝑐 formado por elementos que no
𝑞
𝑝
pertenecen a A.
4. Ley de Silogismo Hipotético (SH)
 Conjunto Potencia.
𝑝 → 𝑞
Si: 2𝑛 = # Subconjuntos
𝑞 → 𝑟
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … , 𝑧
⏟
𝑝 → 𝑟
5. Ley de Simplificacion (LS)
𝑝 ∧ 𝑞
𝑝 ∧ 𝑞
𝑝
𝑞
𝑛 Elementos
Ejemplo: 𝑁 = {1 , 2} 𝑃(𝑁) = 22 = 4
𝑃(𝑁) = {1 , 2 , (1 , 2) , ∅} 4 elementos
4. Número de Elementos (Cardinalidad)
1) 𝑛(𝐴∪𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴∩𝐵)
2) 𝑛(𝐴∪𝐵∪𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) −
−𝑛(𝐴∩𝐵) − 𝑛(𝐴∩𝐶) − 𝑛(𝐵∩𝐶) + 𝑛(𝐴∩𝐵∩𝐶)
3)
𝑛(𝐴−𝐵) = 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐴∩𝐵)
5. Operaciones con Conjuntos.
Unión
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
Intersección
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Inclusión
𝐴 ⊂ 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵}
Complemento
(𝐴𝑐 )𝑐 = 𝐴
𝐴𝑐 = {𝑥/𝑥 ∉ 𝐴 }
𝐴𝑐 = 𝑈 − 𝐴
Diferencia
𝐴 − 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 }
Diferencia Simétrica
𝐴 △ 𝐵 = {𝑥/ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵)
∨ (𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)}
Conjunto Potencia
Si: 2𝑛 = # Subconjuntos ⏟
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … , 𝑧
𝑛 Elementos
6. Propiedades de Conjuntos.
(Leyes de Conjuntos)
1) Ley de Idempotencia.
𝐴∪𝐴 = 𝐴 ; 𝐴∩𝐴 = 𝐴
2) Ley Asociativa.
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
3) Ley de Identidad.
𝐴∪∅ = 𝐴 ; 𝐴∩𝑈 = 𝐴
4) Ley del Complemento.
(𝐴𝐶 )𝐶 = 𝐴
𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = 𝑈 ; 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = ∅
𝑈 𝐶 = ∅ ; ∅𝐶 = 𝑈
5) Ley Conmutativa
𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴 ;
𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴
6) Ley Distributiva.
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
7) Ley de Absorción
𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴
𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
𝐴∪𝑈 =𝑈 ; 𝐴∩∅=∅
8) Ley de De Morgan.
(𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶
(𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶
9) Diferencia.
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝐶
10) Diferencia Simetrica.
𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)
𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐵 ∩ 𝐴)
11) Complementarios. 𝑈 𝐶 = ∅ ;
∅𝐶 = 𝑈
Analogías. ∩≡× ; ∪≡ + ; 𝑈 ≡ 1 ; ∅ ≡ 0
© 31.07.17, Javier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 2.
ÁLGEBRA I – MAT 100.
7. Propiedades de la Diferencia.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 }
1)
2)
3)
4)
5)
6)
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝐶
𝐴−𝐴 =∅
𝐴−𝐵 ≠𝐵−𝐴
𝐴 − 𝐴𝐶 = 𝐴
𝐴−∅=𝐴
𝐴−𝑈 =∅
mediante regla o una función proporcional 2) Simétrica:
nos permite establecer pares ordenados.
Es ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 existe un (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅. (para
Una relación se da entre dos elementos y un
todos los pares)
conectivo.
∀𝑥, ∀𝑦 ∈ 𝐴: ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 → (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅
∀(𝑥, 𝑦): 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥
𝑅 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 / 𝑥 𝑅 𝑦 ≡ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 }
Ejm: sea 𝐴 = {1,2,3,4} la relación será:
𝑅 es el conjunto d los pares ordenados.
𝑅 = {(1,2), (1,1)
, (2,3), (2,1), (3,2)}
⏟
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵/ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
(1,1)
No Simétrico:
Es para algún par (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 no existe un
(𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅.
∃𝑥, ∃𝑦 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅
∃(𝑥, 𝑦): 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥
Ej: 𝑅 = {(1,2), (1,1)
, (𝟐,
}
⏟
⏟ 𝟑) , (2,1), (3,3)
⏟
𝑅 es una correspondencia entre los elementos
del conjunto 𝐴 con los elementos del conjunto
𝐵. es decir: 𝑥 𝑅 𝑦
8. Propiedades de Diferencia Simétrica.
Observaciones:
𝑅 ⊂ (𝐴 × 𝐵)
𝐴 △ 𝐵 = {𝑥/ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵)
Dominio
∨ (𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)}
El dominio de una relación es el primer
1) 𝐴 △ 𝐴 = ∅
(1,1)
?
(3,3)
elemento del par ordenado (𝑥, 𝑦).
2) 𝐴 △ 𝐵 = 𝐵 △ 𝐴
Asimétrico:
𝐷𝑅 = { 𝑥 ∈ 𝐴 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 }
3) 𝐴 △ 𝐴𝐶 = 𝑈
Es ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 no existe un (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅.
Imagen
4) 𝐴 △ ∅ = 𝐴
𝐶
La
imagen
de
una
relación
es
el
segundo
∀𝑥, ∀𝑦: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 → (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅
5) 𝐴 △ 𝑈 = 𝐴
elemento del par ordenado (𝑥, 𝑦).
∀(𝑥, 𝑦): 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥
𝐼𝑅 = { 𝑦 ∈ 𝐵 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 }
9. Concepto de Pertenencia e Inclusión
Ejm: 𝑅 = {(1,2), (3,2), (2,4)}
3. Relación Inversa.
Pertenencia ∈ :
∀ ninguno tiene que tener su simétrico.
Sea el par ordenado (𝑥, 𝑦) donde (𝑦, 𝑥) sera la
Para expresar que un elemento pertenece a un
relación inversa.
conjunto.
3) Transitiva:
𝑅−1 = { (𝑦, 𝑥) / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 }
Inclusión de Conjuntos ⊂ :
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴:
Hay un par ordenado (𝑦, 𝑥) siempre que
Se dice que A esta incluido en B, o que A es
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅.
sub conjunto de B, si todos los elementos del
Ejm:
𝑅 = {(1,2), (1,4), (2,4), (1,1)
}
⏟
conjunto A pertenecen al conjunto B.
(1,1)
4. Cuantificadores.
No Transitiva:
Cuantificador Existencial.- ∃𝑥 ∶ 𝑝(𝑥)
10. Conjunto de Partes.
3
∃𝑥, 𝑦, 𝑧 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∉ 𝑅
Ejemplo: 𝐴 = {𝑎 , 𝑏 , 𝑐} 𝑃(𝐴) = 2 = 8
Significa que hay al menos un elemento 𝑎
Ejm: 𝑅 = {(2,4), (3,2), (4,1), (1,1)
}
que pertenece al universo.
⏟
𝑃(𝐴) = {{𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑏, 𝑐}, 𝐴, ∅ }
(1,1)
Cuantificador Universal.- ∀𝑥 ∶ 𝑝(𝑥)
8 elementos
2𝑅4 ∧ 4𝑅1 pero 2𝑅1 ; 3𝑅2 ∧ 2𝑅4 pero 3𝑅4
Significa que todos los elementos 𝑥 de U
V
𝑎∈𝐴
{{𝑎}} ⊂ 𝑃(𝐴) V
Atransitiva:
hacen que 𝑝(𝑥) sea verdadera.
{𝑎} ∈ 𝐴
{𝑎} ∈ 𝑃(𝐴) V
F
∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧:
{𝑎} ⊂ 𝑃(𝐴) F
F
𝑎⊂𝐴
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∉ 𝑅
5. Relación de Igualdad.
{𝑎} ⊂ 𝐴
{𝑎, 𝑏} ∈ 𝑃(𝐴) V
V
Toda relación en la que se pueden sustituir
Ejm: 𝑅 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,2)} Ninguno
F
cosas entre sí sin alterar el significado propio 4) Antisimétrica:
∅∈𝐴
∅ ⊂ 𝑃(𝐴) V
de esa relación. Propiedades:
Si todo par (𝑥, 𝑦) y su traspuesta (𝑦, 𝑥)
V
∅⊂𝐴
∅ ∈ 𝑃(𝐴) V
Reflexiva:
𝑎
=
𝑎
pertenecen a la relación entonces 𝑥 = 𝑦.
F
𝐴∈𝐴
𝐴 ∈ 𝑃(𝐴) V
Simétrica:
𝑎=𝑏 → 𝑏=𝑎
(𝑥 = 2)
∀
𝑥, ∀ 𝑦,: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅 → 𝑥 = 𝑦
V
𝐴⊂𝐴
𝐴 ⊂ 𝑃(𝐴) F
Transitiva: 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑏 = 𝑐 → 𝑎 = 𝑐
Ejm:
𝑅 = {(1,2), (2,2), (3,4), (4,1)}
{∅} ⊂ 𝑃(𝐴) V
F
0∈∅
𝑥=2 ∧ 2=𝑦 →𝑥=𝑦
1𝑅2 ∧ 2𝑅1 → 1 = 2, es V. Idem (3,4), (4,1)
{𝑐} ⊂ 𝑃(𝐴) F
V
𝑎 ∈ 𝑃(𝐴)
6. Propiedades de Relaciones.
7. Relaciones de Equivalencia.
1. Reflexiva: 𝑥 𝑅 𝑥
1) Reflexiva:
∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅
3. Relaciones.
Una 𝑅 es reflexiva si dado un 𝑥 ∈ 𝐴 tal que
2. Simétrico: 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥
(Conceptos previos)
este 𝑥 este relacionado consigo mismo.
∀𝑥, ∀𝑦 ∈ 𝐴: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 → (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅
1. Par Ordenado.
∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅
𝑥∈𝐴→𝑥𝑅𝑥
3. Transitiva: 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 → 𝑥 𝑅 𝑧
Un par ordenado costa de dos elementos
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴:
Ejm: sea 𝐴 = {1,2,3,4} la relación será:
( 𝑥, 𝑦 ) donde
𝑥 es el 1er elemento
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 ∧ (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 → (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅
(2,2),
(3,3),
(4,4),
(2,3)}
𝑅
=
{(1,1),
(componente), 𝑦 es el 2do elemento.
Clases de Equivalencia.
Producto Cartesiano.
Sea ≈ una relación de equivalencia. La clase
No Reflexiva:
𝐴 × 𝐵 es el conjunto de todos los pares
de equivalencia de 𝑎 (que contiene a 𝑎) se
Una
𝑅
es
no
reflexiva
si
dado
un
𝑥
∈
𝐴
tal
ordenados entre dos conjuntos 𝐴 y 𝐵.
define como el conjunto de todos los 𝑥 de A
que
este
𝑥
no
este
relacionado
consigo
mismo.
𝐴 × 𝐵 = { (𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 }
tales que sean equivalentes al 𝑎.
(𝑥,
∃𝑥
/
𝑥
∈
𝐴
∧
𝑥)
∉
𝑅
∃𝑥;
𝑥
∈
𝐴
∧
𝑥R𝑥
Propiedades:
𝐾𝑎 = {𝑥 ∈ 𝐴⁄ 𝑎 ≡ 𝑥} / 𝑥 𝑅 𝑎
1. 𝐴 × 𝐵 tiene 𝑛 × 𝑚 elementos.
Ej: 𝑅 = {(1,1), (2,2), (3,3), (𝟑,
𝟒)
}
(4,4)
∉
𝑅
⏟
Conjunto Cociente:
?
2. 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴
Areflexiva:
𝑅
𝑅
2. Concepto de Relación.
= {𝐾𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐼 }
= {𝐾1 , 𝐾2 , … }
Una 𝑅 es areflexiva si dado un 𝑥 ∈ 𝐴 tal que
Propiedad de los elementos de un conjunto
≡
≡
este
𝑥
no
esta
relacionado
consigo
mismo.
que quedan sujetos a un vínculo o propiedad
Conjunto Índice:
determinada.
∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥, 𝑥) ∉ 𝑅 𝑥∀; 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥R𝑥
Es el conjunto formado por los representantes
Una relación es un subconjunto o igual al
Ejm: 𝑅 = {(1,2), (3,4), (1,3)}
de cada clase de equivalencia
producto cartesiano de 𝐴 × 𝐵, de la que
∀ ninguno tiene que ser par (1,1), (2,2), …
𝐼 = {𝑎 ∈ 𝐴/ 𝐾𝑎 es 𝑅 de equivalencia en A}
© 31.07.17, Javier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 3.
ÁLGEBRA I – MAT 100.
8. Relaciones de Orden.
2. Tipos de Funciones
5. Composición de Funciones.
1.Relación de Orden Amplio.(rel. d orden)
La composición de las dos funciones
Función Inyectiva.
A un elemento del Dominio, “le corresponde
𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 y 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐶 es una nueva

Reflexiva.
solo uno de la Imagen”. No afecta el que
función
𝑔 ⃘ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐶 denotada por:

Antisimétrica.
algún elemento de la Imagen no participe.
( 𝑔 ⃘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

Transitiva.
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓
𝑆𝑖: 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) → 𝑥1 = 𝑥2
2.Relación de Orden Parcial y Total.
Se lee: “ 𝑓 compuesta con 𝑔 de 𝑥 ”
No Inyectiva, si algún elemento de la Imagen,
Si R es una relación de orden amplio
( ℎ ⃘ 𝑔 ⃘ 𝑓 )(𝑥) = ℎ
es correspondencia de varios elementos del
definido en un conjunto A.
(𝑔(𝑓 ) )
(𝑥)
Dominio.
1) 𝑎 ≠ 𝑏 → (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ∨ (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅
Propiedades
2) ∃𝑎, ∃𝑏/(𝑎, 𝑏) ∉ 𝑅 ∧ (𝑏, 𝑎) ∉ 𝑅
1. 𝑔 ⃘ 𝑓 ≠ 𝑓 ⃘ 𝑔
Función Sobreyectiva.
3. Relación de Orden Estricto (Total) Si es:
2. ( 𝑔 ⃘ 𝑓 ) ⃘ ℎ = 𝑔 ⃘ ( 𝑓 ⃘ ℎ )
Participan todos los elementos de la Imagen.
Areflexiva Si ∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 𝑅 𝑥
3. ( 𝑔 + 𝑓 ) ⃘ ℎ = 𝑔 ⃘ ℎ + 𝑓 ⃘ ℎ
No afecta el que algún elemento de la Imagen,
Asimétrica Si ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅: 𝑥𝑅𝑦 → 𝑦 𝑅 𝑥
4. ( 𝑔 ∗ 𝑓 ) ⃘ ℎ = ( 𝑔 ⃘ ℎ ) ∗ ( 𝑓 ⃘ ℎ )
sea
correspondencia
de
varios
elementos
del
Transitiva
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴: 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧 → 𝑥𝑅𝑧
Dominio.
No Sobreyectiva, si algún elemento de la 6. Función Inversa.
Relación de Orden: (otros autores) refl. 2 ≤ 2
Sea el par ordenado (𝑥, 𝑦) donde (𝑦, 𝑥) sera la
Imagen no participa.
Antisimétrica: 𝑎𝑅𝑏 → 𝑏𝑅𝑎 𝑎 < 𝑏 → 𝑏 < 𝑎
Función Inversa.
∀𝑦 ∈ 𝑅𝑓 ,
∃𝑥 ∈ 𝐷𝑓 / 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Transitiva: 𝑎𝑅𝑏 ∧ 𝑏𝑅𝑐 → 𝑎𝑅𝑐
𝑓 −1 = { (𝑦, 𝑥) / 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 }
Función Biyectiva.
𝑎<𝑏 ∧ 𝑏<𝑐 →𝑎<𝑐
Hay un par ordenado (𝑦, 𝑥) siempre que
Es una Función
Inyectiva y Función
Relación de Inclusion:
Reflexiva: 𝐴 ⊂ 𝐴
Sobreyectiva.
𝑥 ∈ 𝐷𝑓 . Una función admite inversa si y solo
Antisimétrica: 𝐴 ⊂ 𝐵 → 𝐵 ⊂ 𝐴
si, 𝑓 es inyectiva. Propiedades:
Transitiva: 𝐴 ⊂ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊂ 𝐶 → 𝐴 ⊂ 𝐶
1. ( 𝑓 −1 ⃘ 𝑓 )(𝑥) = ( 𝑓 ⃘ 𝑓 −1 )(𝑥) = 𝑥
“Las matemáticas no estudian objetos, sino 3. Conteo de Funciones.
Conteo de Funciones Totales: si: 𝑓: 𝐴 → 𝐵
−1 ⃘ 𝑔−1 )
relaciones entre objetos”. Henri Poincaré.
2. ( 𝑔 ⃘ 𝑓 )−1
(𝑥)
(𝑥) = ( 𝑓
𝐴
#𝑓𝑇 = 𝐵
funciones.
Ejemplo: Sea: 𝐴 = {1,2,3} ; 𝐵 = {𝑎, 𝑏}
7. Otras Funciones.
𝐴 = 3 elementos. 𝐵 = 2 elementos.
Función Par: si verifica 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)
4. Funciones.
#𝑓𝑇 = 23 = 8 funciones.
Función Impar: si verifica 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
1. Concepto.
Conteo
de
Funciones
Inyectivas:
𝑓:
𝐴
→
𝐵
Función Periódica: si verifica 𝑓(𝑥+𝑇) = 𝑓(𝑥)
Una función 𝑓 de 𝑥 y 𝑦 , denotado por 𝑓 ∶
𝐵!
sin(𝑥 + 2𝜋) = sin(𝑥) donde 𝑇 = 2𝜋
𝑥 → 𝑦 es una relación entre dos conjuntos;
#𝑓𝑖𝑛𝑦 =
Funciones Inyectivas
(𝐵 − 𝐴)!
Función Constante: 𝑓(𝑥) = 𝑘 ; 𝑘 ∈ 𝑅 ; 𝑅𝑓 = 𝑘
llamados Dominio 𝒙 y la Imagen 𝒚 de la
Función Identidad: 𝑓(𝑥) = 𝑥
función, tales que a cada elemento del
Ejemplo: Sea: 𝐴 = {1,2} ; 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
dominio le corresponde una y sola un
𝐴 = 2 elementos. 𝐵 = 3 elementos.
Función Lineal: 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
3!
elemento del rango.
Función Irracional.
#𝑓𝑖𝑛𝑦 =
= 6 Funciones Inyectivas
𝑓 ∶ 𝑥 → 𝑦 (𝑓 es una función de 𝑥 en 𝑦)
(3 − 2)!
𝑓(𝑥) = √𝑥 𝐷𝑓 = [0, ∞[ ; 𝑅𝑓 = [0, ∞[
3
Conteo de Funciones Sobreyectivas:
𝑓(𝑥) = √𝑥 𝐷𝑓 = 𝑅 ; 𝑅𝑓 = 𝑅
𝑌
𝑋
Sea: 𝑓: 𝐴 → 𝐵
𝑓
Función Exponencial.
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑛
𝑥
→
𝑦 = 𝑎 𝑥 ; 𝑦 = 𝑎−𝑥 ; 𝑎 > 1; 𝐷𝑓 = 𝑅 ; 𝑅𝑓 = 𝑅+
𝑛
#𝑓𝑠𝑜𝑏 = ∑(−1)𝑛 ( 𝑗 ) (𝑛 − 𝑗)𝑚
𝑓 ⊂𝑋×𝑌
Función Logarítmica.
𝑗=0
𝑓: 𝑋 → 𝑌 ↔ { ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓
𝑦 = log 𝑎 𝑥 ; 𝑎 > 1; 𝐷𝑓 = 𝑅+ ; 𝑅𝑓 = 𝑅
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ∧ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 → 𝑦 = 𝑧
8. Función Valor Absoluto.
4. Grafica de una Función.
Si: 𝑥 > 0
|𝑥| = { 𝑥
1. Intersección con el Eje 𝑥: hacer 𝑦 = 0
Una función es un conjunto de pares
−𝑥
Si: 𝑥 < 0
2. Intersección con el Eje 𝑦: hacer 𝑥 = 0
ordenados de elementos tales que ningunos
Propiedades: |𝑥|2 = 𝑥 2
√𝑥 2 = |𝑥| = ±𝑥
3. Simetría con el Eje 𝑥: hacer 𝑦 = −𝑦
dos pares distintos tienen el mismo primer
Traslación de graficas de valor absoluto:
elemento.
4. Simetría con el Eje 𝑦: hacer 𝑥 = −𝑥
𝑦 − ℎ = |𝑥 − 𝑘| 𝑉(ℎ, 𝑘)
Dados dos conjuntos A y B y una relación R
5. Simetría con el Origen:
9. Función Signo.
en 𝐴 × 𝐵, R es una función si para todo
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(−𝑥, −𝑦)
𝑥<0
−1
elemento del conjunto de partida hay una y
6. Asíntotas Horizontales: 𝑦 = 𝑘
se define:
𝑠𝑔𝑛(𝑥) = { 0
𝑥=0
solamente una imagen en el conjunto de
Ordenar la ecuación 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0
en
𝑥>0
1
llegada. Esto se expresa:
potencia decreciente de "𝑥" (variable)
𝐷𝑓 =] − ∞, ∞[ ; 𝐷𝑓 = [−1 , 0 , 1 ]
𝑓∶ 𝐴→𝐵
𝑓 es una función de 𝐴 en 𝐵
luego igualar a cero el coeficiente de mayor 10. Función Parte Entera.
Dominio.
potencia de "𝑥"
Es aquella función definida por:
El dominio de una función es el primer
7. Asíntotas Verticales: 𝑦 = ℎ
𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ ; si:
𝑦≤𝑥 <𝑦+1
elemento del par ordenado (𝑥, 𝑦).
Ordenar la ecuación 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0
en
Donde: 𝑦 ∈ 𝑍 ; 𝐷𝑓 = 𝐼𝑅 ; 𝑅𝑓 = 𝑍
𝐷𝑓 = { 𝑥 ∈ 𝐴 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 }
potencia decreciente de "𝑦" (variable)
Ejemplos: ⟦3.7⟧ = 3 ; ⟦−0.5⟧ = −1
luego igualar a cero el coeficiente de mayor
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥)
𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
⟦𝑥⟧ = 𝑦
Grafica:
𝑦≤𝑥 <𝑦+1
potencia de "𝑦" .
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥)
𝐷𝑓∙𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔
−2 ≤ 𝑥 < −1
−2
8. Asíntotas Oblicuas: ec. 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘
𝑓(𝑥)
−1 ≤ 𝑥 < 0
−1
= ℎ(𝑥) 𝐷𝑓/𝑔 = {𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 : 𝑔(𝑥) ≠ 0}
Se reemplaza el valor 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑘 en la
𝑓(𝑥) =
0≤𝑥<1
𝑔(𝑥)
0
ecuacion dada, ordenar la ecuacion
1
1≤𝑥<2
Imagen.
resultante en potencias decrecientes de "𝑥"
2≤𝑥<3
{ 2
La imagen (rango, codominio) de una función
luego se iguala a cero las dos potencias mas 11. Función Escalón Unitario.
es el segundo elemento del par ordenado
altas de "𝑥".
0; 𝑥 <0
(𝑥, 𝑦).
𝑈(𝑥) = {
𝐷 = 𝑅 ; 𝑅𝑓 = {0,1}.
Se divide p(x) entre q(x) y luego se iguala a
1
; 𝑥≥0 𝑓
𝐼𝑓 = { 𝑦 ∈ 𝐵 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 }
“y”.
© 31.07.17, Javier Jaime Apaza Mamani, 73203246, pág. 4.