★ 공학수학 가르치는 화공엔지니어 ★
09 강
2계 ODE - 치환계수내림
▪ 복습
▪ , ′ , ″으로 이루어진 경우:
′ 로 차환 → ″ ′
▪ , ′ , ″으로 이루어진 경우:
′ 로 차환 → ″
증명: ″ ′ · ′
★ 2계 ODE에서는 미지상수가 2개 생긴다. 구분 및 결합을 잘하자!
★ 만약 ′ ″으로만 이루어졌다면?
★ , 는 모두 함수이며 독립변수는 이다.
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예제 1.
다음 주어진 ODE의 해를 구하시오.
(1) ″ ′
(2) ″ ′
(1) ″ ′
(2) ″ ′
′ → ″ ′
↓
↓
➜ ′
➜
➜
➜
➜
➜
➜ ln ln
↓ ′
➜
➜
↓ ′
➜
➜
➜
′ → ″
↓ 을 으로 본다면
➜ arctan
➜ arctan
∴
∴ tan
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▪ , ′ , ″으로 이루어진 경우
207. ″ ′
208. ″ ′
ln
209. ″ ′
lncos
210. ″ ′
arctan
211. ″ ′
lncos
212. ″ ′
ln
213.
″ ′
214. ″ ′ sin
sin cos
215. ″ ′
ln
216. ″ ′
lncos
217. ″ ′
, ′
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cos 그리고 sin
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▪ , ′ , ″으로 이루어진 경우
218. ″ ′
219. ″ ′cos
cos
220. ″ ′
221. ″ ′
222. ″
′
223. ″ ′
224. ″ ′
225. ″ ′
ln
226. ″ ′
227. ″
cos sin
228. ″ ′ ′
229. ″
230. ″ ′
tan
, ′
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▪ 선배들의 질문과 답변 (Q&A)
[Q1] 답안지의 답과 제가 적은 답이 다릅니다. 최종 답 정리는 어디까지 해야 합니까?
[A1] 정리는 최대한 해주시면 됩니다. 정확한 기준이 없다 보니 내가 구한 결과(A)와 해설의 답(B)이
서로 다른 경우가 많습니다. 하지만 A를 통해 B를 유도할 수 있다면 A와 B는 서로 같은 결과를 다르게
표현한 것뿐이므로 둘 다 정답입니다.
[Q2] c앞에 -가 붙을땐 항상 상수로 취급하고 -를 무조건 생략해야 하나요?
[A2] 수학에는 항상 논리가 있어야 합니다.
다음과 같은 함수 f(x)=x+3-c 을 생각해보세요.
아직 c가 주어지지 않았기 때문에 f(x)는 완벽하게 주어지지는 않았어요. 이때 제가 질문자님께 저 함수
는 무조건 (0,1)을 지난다고 하면
f(0)=1 조건을 대입해서 1=0+3-c 가 되고 c=2가 나옵니다.
따라서 f(x)=x+1이 되는것이죠.
다시 f(x)=x+3-c 로 돌아와서
만약에 제가 -c를 또 다른 상수 a로 볼게요. c랑 a는 서로 다른거에요.
이렇게 되면 f(x)=x+3+a 로 적을 수 있겠죠.
다시 조건 f(0)=1을 대입하면 1=0+3+a 이므로 a=-2가 되었네요. 따라서 f(x)=x+1입니다.
이번에는 3-c 이 부분을 통으로 b라는 다른 상수로 볼게요. 치환이라고 생각하면 됩니다. 그러면
f(x)=x+b가 되겠죠.
다시 조건 f(0)=1을 대입하면 1=0+b 이므로 b=1이고 따라서 f(x)=x+1 입니다.
전체적인 과정을 보세요. c, a, b값은 모두 다르지만 최종 구하는 함수 f(x)는 모두 x+1로 같습니다.
어때요? 결국 c라는것은 우리가 f(x)를 구하기 위한 수단일 뿐입니다. 그래서 상수값의 곱이나 합은 치환
해버려도 f(x) 구하는 데 영향을 주지 않죠. 그런데 c, a, b,....계속 다른 기호를 쓰면 기호가 너무 많아지
잖아요. 그래서 처음 쓴 c랑 나중에 쓴 c랑 다른 c이지만 우리는 그냥 c로 적을거에요. 다시 말하면
-c=d로 적으면 기호가 많아져서 -c 대신 또 다른 상수 c를 적어주는 것 뿐입니다. 같은 맥락으로 c1,
c2, c3, c4, ...이렇게 너무 많아지니 c로 쓰는 것 뿐이고요.
★ 물론 2계ODE에서는 c1, c2가 서로 통합 및 치환되지 않으니 조심해야 해요
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