Material N° 2
Ing. Melva Barrios
Unidad 1 (Continuación)
Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Método de Newton Raphson
Se considera la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) y la serie de Taylor alrededor de 𝑥 :
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 ) +
𝑓 (𝑥 )
𝑓 (𝑥 )
(𝑥 − 𝑥 ) +
(𝑥 − 𝑥 ) + ⋯
1!
2!
Es posible aproximar la función 𝑓(𝑥) usando los dos primeros términos
𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑥 ) +
𝑓 (𝑥 )
(𝑥 − 𝑥 )
1!
𝑙: 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
𝑦 = 𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) Ecuacion de la recta tangente
Aproximación lineal conocida como ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) en 𝑥
(𝑥 , 𝑓(𝑥 ))
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑔(𝑥)
Recordemos que el objeto es resolver 𝑓(𝑥) = 0. Sea 𝑥 una ecuación y ahora empleamos la recta tangente para
aproximar este valor. El punto 𝑥 denota esta aproximación y se obtiene al intersectar la recta tangente y el eje x.
𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) = 0
𝑦=0
𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) = 0
El punto de intersección con el eje x es: 𝑥 = 𝑥
𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) = 0
𝑓 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) = −𝑓(𝑥 )
1
𝑥 −𝑥 =
−𝑓(𝑥 )
𝑓 (𝑥 )
𝑥 =𝑥 −
𝑓(𝑥 )
𝑓 (𝑥 )
Iteraciones
𝑥 =𝑥 −
( )
( )
1º Aproximación
𝑥 =𝑥 −
( )
( )
2º Aproximación
𝑥 =𝑥 −
( )
( )
𝑥
=𝑥 −
(
(
3º Aproximación
)
)
nº Aproximación
Fórmula de recurrencia de Newton Raphson
Proceso del método de Newton Raphson
Paso 1: Aplicar el método grafico para identificar la existencia o no de soluciones reales.
Paso 2: Determinar un valor inicial 𝑥 (convenio el entero más próximo)
Paso 3: Emplear la fórmula de recurrencia de Newton Raphson
𝑥
=𝑥 −
𝑓(𝑥 )
𝑓 (𝑥 )
2
Reasignar la condición inicial
Por lo cual 𝑥 ≈ 𝑥
La aproximación de la raíz es: 𝑥
Ejemplo 1 Resolver la ecuación 𝑒 − 𝑥 + 5 = 0 usando el método de Newton Raphson con 𝑛 = 3 iteraciones
mediante un proceso manual. En el cálculo de las aproximaciones use 4 dígitos después del punto decimal.
Solución
5
Paso 1: Primero realizamos el grafico
4
3
Usamos la ecuación como:
2
1
𝑓(𝑥) = 𝑒 + 𝑥 − 5
X: 1.3
Y: -0.0307
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Paso 2: Graficando obtenemos: 𝑥 = 1 (valor entero más próximo)
𝑓(𝑥) = 𝑒 + 𝑥 − 5
𝑓 (𝑥) = 𝑒 + 1
Paso 3: Usamos
𝑥
=𝑥 −
𝑓(𝑥 )
𝑓 (𝑥 )
3
Nº
𝑥
=𝑥 −
𝑓(𝑥 )
𝑓 (𝑥 )
𝑒 =
𝑥 −𝑥
∗ 100
𝑥
0
1
2
3
Ejemplo 2 Resolver la ecuación 𝑒 − 𝑥 + 5 = 0 usando el método de Newton Raphson con una tolerancia de es=3%,
mediante un proceso manual. En el cálculo de las aproximaciones use 4 dígitos después del punto decimal.
Solución
Nº
𝑥
=𝑥 −
𝑓(𝑥 )
𝑓 (𝑥 )
𝑒 =
𝑥 −𝑥
∗ 100
𝑥
0
1
2
4