固态晶体结构：半导体材料

山 a 1 0.< 王 3 고체의 결정구조 이 장은 반도체 재료와 소자의 전기적 성질과 특성을 다룬다. 따라서 고체의 전기적 성질이 주 요 내용이 된다. 반도체는 일반적으로 단결정 형태로 사용하며, 단결정의 전기적 성질은 구성 원자의 화학적 성질뿐 아니라 원자 배열에 의해서 결정된다. 고체의 결정 구조에 대해 공부해 보면 이것이 사실인 것을 알게 될 것이다. 단결정을 만드는 성장기슬은 반도체 기슬의 증요한 요소이므로 여러 가지 단결정 성장기슬들에 대해서 간략히 다루었고. 또한 반도체 관련 주요 용어들을 설명하였다. ■ 1.0 개설 ■ 고체의 세 가지 분류 즉 비정질，다결정. 단결정에 대해서 설명한다. ■ 단위셀의개념을 논의한다. ■ 세 가지 단순 격자구조를 설명하고 각 구조의 원자 부피밀도와 표면밀도를 다룬다. ■ 다이아몬드 결정구조를 논의한다. ■ 몇 가지 단결정 반도체 재료 제조공정에 대해서 간단히 설명한다. 1-1 반도체 재료 반도체는 전도도가 도체와 절연체 사이에 있는 물질의 집단이다. 반도체는 일반적으로 주기 율표의 4족에 있는 원소반도체(elementary semiconductor)와 3족과 5족 원소들의 특수한 결합으로 이루어 지는 화합물반도체(compound semiconductor), 두 가지로 분류 할 수 있디、표 1,1은 몽상적인 반도체들을 구성하는 원소들이 있는 주기율표의 일부분 을 보여준다，그리고、표 1,2는 이러한 원소들로 구성된 반도체의 에를 나타내고 있다 (빈•도체는 2족과 6족의 원소들로도 만들어 질 수 있다, 그러나、이 책에시는 다루지 않 올 깃이다). 원소반도체는 한 가지 원소로 구성된 반도체료서 심리콘(Si)과 게르마늄(Ge)이 이 2 Chapter 1 고체의 결정구조 표 1.1 통상적인반도체를 구성히는 주 요 원소들로 이루어 진 주기율표의 일부분 III 표 1.2 는 반도체들의 사례 V IV 5 6 B Boron C Carbon 13 14 15 Al Aluminum Si Silicon P Phosphorus 31 32 33 Ga Gallium Ge Germanium As Arsenic 표 1.1 의 원소들로 구성할 수 있 Elemental semiconductors Si Ge 49 51 In Indium Sb Antimony Silicon German iu in Compound semiconductors A1P AlAs GaP GaAs InP Aluminum phosphide Aluminum arsenide Gallium phosphide Gallium arsenide Indium phosphide 에 해당한다. 실리콘은 지금까지 집적회로에서 가장 많이 사용되는 반도체이므로 특히 많이 논의할 것이다. 갈륨비소(GaAs) 혹은 갈륨인(GaP)과 같은 2원소 화합물은 3족과 5족 원소들의 결합 으로 구성된다. 갈륨비소는 화합물반도체 중에서 가장 널리 사용되는 반도체이다. 이 반도체는 우수한 광 특성 때문에 광소자에 널리 활용되고，전하 이동도가 우수하여 고 속동작이 요구되는 특수 용도에 사용되기도 한다. 3원소로 이루어진 화합물반도체도 만들 수 있다. 예로서 를 들 수 있다. 여기서 첨자x는 원자번호가 작은 원소의 혼합비율을 표시한다. 보다 복잡한 원소구성 을 갖는 반도체들도 만들 수 있으며，이러한 특성은 반도체 선택에 있어 넓은 자유도를 제공한다. 1.2 원자 배열에 따른 고체의 세 가지 형태 고체는 일반적으로 원자들의 배열에 따라 비정질(amorphous), 다결정(poly crystal) 그리 고 단결정(single crystal) 등 세 가지 형태로 분류할 수 있다. 각 형태는 원자들이 규칙 적인 배열을 갖는 질서영역의 크기로 결정된다. 질서영역이란 원자 혹은 분자들이 기 하학적 규칙 적 배열 혹은 주기 성을 갖는 공간적 부피를 의미한다. 비정 질은 질서 영 역 의 부피가 가장 작은 고체로서 몇 개의 원자 혹은 분자 크기의 영역에서만 질서를 가지 며 전체적으로는 통일된 규칙성을 갖지 않는디-. 반면에 다결정은 비정질 보다는 다소 넓은 질서영역의 부피를 갖지만 서로 다른 규칙성을 갖는 질서영역들로 구성되어 이 역시 전체 부피에 걸쳐 통일된 규칙성이 없다. 이러한 질서영역 혹은 단결정 영역을 그 레인(grain)이라고 부르고，그레인과 그레인의 경 계를 그레인 경계(grain boundary)라고 한다. 단결정은 전체 부피에 걸쳐서 원자들이 일정한 규칙으로 배열된 고체이다. 단결 정의 장점은 일반적으로 전기적 특성이 단결정이 아닌 재료들 보다 우수하다는 점이다. 13 그림 1.1 세 가지 일반적인 결정 형태의 도식: (a) 비정질，(b) 다결정，(c) 단결정 이것은 단결정이 아닌 재료의 그레인경계들이 전기적 특성을 저하시키기 때문이다. 비 정질，다결정 그리고 단결정의 2차원 그림들이 그림 1.1 에 나타나 있다. 1.3 격자 우리의 주된 관심은 원자들이 규칙적으로 배열된 단결정이다. 원자 한 개，흑은 몇 개 의 원자들로 구성된 대표 단위들이 3차원 공간에서 규칙적인 간격으로 반복되어 단결 정을 이룬다. 결정의 이러한 규칙적인 배열을 격자(lattice)라고 부른다. 1.3.1 기본셸과 단위셸 대표 단위들의 위치를 점으로 나타내고 이것을 격자점(lattice point)이라고 부른다. 그 림 1.2는 격자점 의 무한대 2차원 배 열을 나타낸다. 원자배 열을 반복하는 간단한 방법은 평행이동이다. 그림 1.2의 각 격자점은 첫 번째 방향으로 거리 아과 두 번째 같은 선상 에 있지 않는 다른 방향으로 거리 어 만큼 평행이동하여 2차원 격자를 이룬다. 이 그림 에서는 나타나 있지 않지만 세 번째 방향으로 평행이동하면 3차원 격자를 만들 수 있 다. 평행이동 방향은 상호 수직일 필요가 없다. 3차원 격자는 원자 단위의 주기적 반복으로 이루어지므로 물리적 특성을 알기 위하 여 전체 격자를 분석할 필요가 없고，단지 반복되는 기초 단위만 분석하면 전체 특성을 예측할 수 있다. 이러한 기초 원자 단위를 단위셀(unit cell)이라고 하며、전체 결정을 재 현하는데 사용되는 작은 결정 부피이다. 단위셀은 한 가지 형태만 있는 것이 아니다. 그림 13은 2차원 격자에 서 여러 가지 형태의 단위셀들을 보여주고 있다, 단위셀 A는 々와 b2 방향으로 평행이동할 수 있고， 단위셀 B는 아와 by 방향으로 평행이동할 수 있다. 그리고、전체 2차원 격자는 이러한 단위셀들의 평행이동으로 재현될 수 있다. 그림 1.3의 단위셀 C와 D도 역 시 적당한 평 행이동을 사용하여 전체 격자를 재현하는데 사용될 수 있다、2차원 단위빌의 이러한 설 명은 3차원으로 쉽게 확대하여 실제 단결정을 묘사하는데 사용원 수 있다， 격자 3 스 Chapter 1 고체의 결정구조 그림 1.2 단결정 격자의 2차원 그림 그림 1 3 다양한 가능한 단위셀들을 보여주는 단결정의 2차원 그림. 기본셀(primitive unit all)은 가능한 모든 단위셀들 중에서 가장 부피 가 작은 단위셸 이다. 많은 경우 기본셀이 아닌 단위셀을 사용하는 것이 더 편리할 때가 있다. 예를 들 면 기본셀의 면들은 비직교일 수 있지만 단위셀의 면들은 직교되도록 선택할 수 있어 분석이 더 쉬워질 때가 있다. 일반화된 3차원 단위셀이 그림 1.4에 나타나있다. 이 셀과 격자의 관계는 세 가지 벡터들 즉 도 ᄒ와?에 의하여 표시하고 단위벡터(unit vector)라고 한다. 이것은 수직일 필요 없고，길이는 같을 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. 3차원 결정에서 모든 등가 격자점은 벡터를 사용하여 찾을 수 있다. r = pa + qb sc 여기서 厂，이와 s는 정수이다. 원점의 위치는 아무 곳에나 둘 수 있기 때문에 厂, 는 간단히 양의 정수로 둘 수 있다. 벡터 죠，。근의 크기를 단위셀의 격자상수(lattice constant) 라고 한다. 1.3.2 기본 격자구조 반도체 결정을 논의하기 전에 3가지 결정 구조들을 고찰하고 이러한 결정의 기본 특성 을 살펴본다. 그림 L5는 단순입방(sc; simple cubic crystal), 체심입방(bcc; body centered cubic crystal) 그리고 면심입방(fee; face centered cubic crystal) 등 대표적인 입방결정 (cubic crystal)의 구조를 나타낸다. 이 러한 단순한 구조에 대하여 벡터。厂와 c가 서로 그림 1.4 일반화된 기본 단위셀. 13 그림 1.5 격자 세 가지 격자 형태: (a) 단순입방，(b) 체심입방，(c) 면심입방 직각이고 길이가 같도록 단위셀들을 선택할 수 있다. 단순입방(SC) 구조에서는 각 모서 리에 원자가 위치한디、체심입방(bcc) 구조에서는 입방 중심에 추가로 원자가 존재한다. 그리고 면심입방(fee) 구조에서는 각 면 중심에 추가로 원자들이 존재한다. 재료의 결정 구조와 격자 크기를 알면 결정의 여러 가지 특성，예를 들어 원자의 부 피 밀도를 결정할 수 있다. r력! 결정의 원자 부피 밀도를 계산한다. 예제 1.1 격자상수 « = 5A = 5xlO_8cm인 체심입방의 단결정을 생각하자. 모서리 원자는 각 모서리에서 만나는 8개 단위셀들이 공유하므로 각 모서리 원자는 각 단위셀에 부피의 1/8 씩 포함된다. 따라서 8개의 모서 리 원자들은 단위셀에 1 개의 원자를 제공하는 결과가 된다. 만약 체심에 있는 원자를 모서 리 원자들에 합하면 각 단위셀은 2개의 원자들을 내포하는 것이 된다. 풀이 단위셀에 내포된 원자의 수: | x S + 1 = 2 원자의 부피밀도는 다음과 같이 계산된다. 부피 …도 = 단위셀에 내포된 원자의 수 단위썰의 부피 i다라써 부피 밀도 = ^ = (즈 = L6〉〈 10- atoms/cm; 연습 문제 Ex 1.1 면심입방격자의 격 자상수가 4.25 A 이다. (a) 단위 셀 당 원자의 수롤 계산하시오. (b) 원자의 부피밀도를 계산하시오. I. 비:、::이 x 1[、쎄r ⑷ suv] 5 6 Chapter 1 고체의 결정구조 1.3.3 결정면과 밀러지수 실제 결정은 무한대의 크기를 가질 수 없으므로 결국 어떤 표면에서 결정의 주기는 끝 나게 된다. 반도체 소자는 표면 근처에서 제작되므로 표면의 성 질은 소자 특성에 큰 영 향을 준다. 이러한 표면들을 격자로 표기할 수 있어야 한다. 표면 혹은 결정을 관통하 는 평면을 결정면(crystal plane)이라고 하며，이 결정면은 격자를 나타내는데 사용되는 도 5와 ? 축과 평면의 교차점을 시용하여 표현된다. 예제 1.2 목적 I 그림 1.6에 나타난 결정면을 묘사한다. (그림 1.6에서 격자점들은 죠，서와 ? 축상에 있는 것들만 나타내었다.) 물이 식 ［니］을 사용하면 결정면의 교차점은 p = \q = 2 그리고 s = 1 이다. 교차점의 역수를 취하면 丄丄 3* 2* 이다. 분모의 최소공배수를 즉 6을 곱하면 (2,3,6)이 된다. 그러 면 그림 1.6에 있는 평 면을 (236) 면이라고 부른다. 정수를 밀러지수(Miller indices)라고 한다. 이 평 면을 (hkl) 결정면 이라고 부른다. 區3 그림 1.6에 나타난 결정면에 평행힌- 어떤 결정면도 같은 밀러지수를 갖는다. 평행한 결정면 들을 서로 등가 결정면(equivalent crystal plane)이라고 한다. 연습 문제 Ex 1.2 그림 1.7 에 있는 결정면을 표기하시오. ［답. (2II) 결정면 J 1.3 그림 1.7 연습문제 1.2의 그림 입방결정에서 보통 고려되는 3가지 평면들이 그림 1.7에 나타나 있다. 그림 1.8에서 결정면은 5와 c 축에 평행이므로 교차점은厂 = 1, ty = oo 그리고 5 = QC이다. 역수를 취하면 밀러지수 (1,0, 0)를 얻게 되므로 그림 1.8에 나타난 결정면을 (100) 결정면이라 고 부른다. 다시 그림 1.8에 나타난 결정면에 평행하고 격자상수의 정수배 떨어져 있는 결정면은 서로 등가이고 (100) 결정면이라고 한다• 밀러지수를 구하기 위하여 역수를 취하는 이점은 축과 평행인 결정면을 묘사하는데 무한대 사용을 피할 수 있다는 것이 다. 만약 원점을 관통하는 결정면을 묘사하려면 교차점의 역수를 취하면 밀러지수의 한 두 개는 무한대가 될 것이다. 그러나，원점의 위치는 아무 곳에나 들 수 있으므로 원 점을 다른 등가 격자점으로 평행이동하면 밀러지수에서 무한대를 피할 수 있다- 단순입방 구조，체심입방 그리고 면심입방에서는 고도의 대칭성이 있다. 측들은3차 원 공간에서 90O회전할 수 있고，각 격자점은 다시 식 (1.1)에 의하여 표시될 수 있으 므로 r = 厂方 + 公h + j든 (1.1) 이다. 그림 1.8a에 나타난 입방 구조의 각 면의 결정면은 완전히 등가이다. 이러한 결정 그림 1.8 3가지 질정먼: (기 (loo) 견정면，니이 ？｝정면.(기(ill) 결징면 격자 7 8 Chapter 1 고체의 결정구조 면들을 함께 집단으로 묶어 {10이 결 정 면 집 합이 라고 부른다. 그림 1.8b와 1.8c에 나타난 결정면들을 생각해볼 수 있다. 그림 1.8b에 나타난 결정 면의 교차점들은/) = 1,7=1 그리고 x … 이다. 밀러지수들은 이 51한 교차점들의 역수를 취함으로써 얻을 수 있고, (H0) 결정면이라고 부른다. 이와 같은 방법으로 그림 1.8c에 나타난 평면은 (1】1) 결정면이다. 결정의 특성을 나타내는 요소로서 이웃한 등가 평행 결정면 사이의 거리와 결정면 에 의하여 잘려지는 원자의 표면밀도, (#/cm2)가 있다. 단결정 반도체는 무한대로 크지 않고 어떤 표면에서 주기가 종결된다. 원자의 표면밀도는 그 위에 다른 재료(예를 들면 절연체)를 적층할 때 다른 재료가 반도체 표면에 결정 구조적으로 얼마나 잘 맞는지를 판단하는 중요한 요소이 다. 예제 1.3 '떼 결정에서 특정 결정면에 있는 원자의 표면밀도를 계산한다• 체심입방구조와 그림 1.9a에 나타난 (110) 결정면을 생각히•자. 원자를 이웃한 원자들이 서로 맞닿아 있는 구슬과 같은형태로 가정하자. 격자상수가이 =5A 이라고 가정하자. 그 림 1.9b는 원자들이 (110) 결정면으로 절단된 모습을 보여준다. 그림 1.9 (a) 체심입방에서 (】10) 평면과 (b) 체심입방에서 (110) 평면으로 절단된 원자들 각모서리의 원자는4개의 등가 결정면에 의하여 공유되므로 각모서리 원자는 그림에 서 표시되었듯이 이 결정면에 면적의 】/4이 포함된다. 따라서 4개의 모서리 원자들은 이 결 정면에 하나의 원지를 제공하는 것이 된다. 중심에 있는 원자는 완전히 이 결정면에 포함된 다. 이 중심 원자와 모서 리 원자들을 자르는 다른 등가 결정 면은 없으므로 중심 원자의 전 체가 결정면에 있는 원자의 수에 포함된다. 따라서 그림 L9b에 있는 결정면은 2개의 원자 를 포함하고 있다. 물이 결정면에 포함된 원자의수: 을 X 4 + 】 = 2 1.3 ᄂ ~ _ 결정면에 포함된 원자의 수 결정면의 면적 따라서 ᄇ；立1 미주 一 2 =---- 2---1 （이）（이'/5）（5X10니*1）*2斤 * IV = 5.66xio14 원자/cm2 이다. 원자의 표면밀도는 결정면에 따라 변한다. 연습 문제 Ex 1.3 면심입방구조의 격자상수는 4.25 A이다. 다음 결정면에 대해서 표면밀도를 계산 하시오. (a) (100) 결정면，(b) (110) 결정면 [卜aw N0I X £8•스(0)SiOI X II I (b) suvl 1.3乂 결정방향 격자에서 결정면을 표현하는 것 외에도 결정에서 특정 방향을 표현할 수 있어야한다- 방향을 결정방향이라고 하며，결정방향은 이 방향을 나타내는 벡터 성분인 3개의 정수 집합으로 표현한다. 예를 들면 단순입방 격자에서 체심 대각선은 벡터의 세 성분 1, L 1 로 구성된다. 그러면 체심 대각선 결정방향은 [111]으로 표현한다. 중괄호는 결정면 을 표시하는데 사용된 소괄호와 구별하여 결정방향을 나타내는데 사용된다. 단순입방 구조에서 3가지 기본결정방향과 관련 결정면이 그림 1.10에 나타나 있다. 단순 입방격 자에서 [hkl] 결정방향은 (W/) 결정면에 수직인 점을 유의하라. 그러나 단위셀이 입방 격자가 아닐 때에는 결정면과 결정방향은 동일한 밀러지수를 갖지 않는다. 이해도 평가 TYU 1.1 단순입방구조의 원자 부피밀도가4x m22 cm-3이다. 원자는 단단한 구슬 모양이 고，주변의 원자들과 맞닿아 있다고 가정하자. 격자상수와 원자의 반경을 계산하 시 오. (Y =-* Y p TYU 1.2 격자상수가 “ = 4.65 人 인 단순입방구조를 생각한다. 다음 결정면의 원자의 표 면밀도를 계산하시오. (a) (100) 결정면、(b) (110) 결정면. (c) (III) 결정면 [네I。"이 x Z.9T (。) 나u。"이 x Z.cT (Q) -C-UIO 미이 x C9T ⑷ suyl TYU 1.3 (a) 격자상수가(i = 4.83 A인 단순입방구조에서 (I⑶) 결정면들 나이의 거리 를 계산하시오, (b) (110) 결정면에 대해서 (a)와 동일한 계산、음 하시오. IV CtT (이 -Y VS.t，•애Vl 격자 9 10 Chapter 1 고체의 결정구조 c 그림 1.10 3가지 결정방향과 결정면: (a) (W0) 결정면과 [10이 결정방향，(b) (110) 결정면과 [11 이 결정방향, (c) (111) 결정면과 [H1J 결정방향. 1乂 다이아몬드 구조 이미 말한바와 같이 실리콘은 가장 널리 사용되는 반도체이다. 실리콘은 4족 원소이고 결정체는 다이아몬드 구조를 갖는다. 게르마늄도 역시 4족 원소이고 같은 다이아몬드 구조를 갖는다. 그림 1.11 에 나타난 다이아몬드 구조의 단위셀은 지금까지 논의하였던 단순 입방구조 보다 훨씬 복잡하다. 그림 1.12에 나타난 사면체(tetrahedral) 구조를 논의함으로써 다이아몬드 구조를 살 펴보자. 이 사면체 구조는 기본적으로 체심입방 구조이나 8개의 모서 리 원자 중에서 4 개가 없는 구조이다. 사면체 구조에서 각 원자는 4개의 이웃한 원자를 가지 며，이것이 다이아몬드 격자의 기본셀이다. 다이아몬드 구조를 형상화하는 여러 가지 방법이 있다. 다이아몬드 격자에 대한 이 해를 보다 깊이 있게 하기 위한 한 가지 방법은 그림 1.13에 나타나 있다. 그림 1.13a는 a/2 그림 1.12 그림 1.11 다이아몬드 구조 다이아몬드 격자에서 이웃한 원자들의 사면체 구조 1.4 // (b) (a) 그림 1.13 다이아몬드 격자의 일부: (a) 하부 반쪽과 (b) 상부 반쪽 서로 대각선 방향으로 이웃한 2개의 체심입방，혹은 사면체 구조를 나타낸다. 흰 원들 은 그 구조가 왼쪽，혹은 오른쪽으로 격자상수 67 만큼 평행이동하였을 때 생성되는 원 자들을 나타낸다. 그림 1.13b는 다이아몬드 구조의 상부 반쪽을 나타낸다. 상부 반쪽도 역시 대각선 방향으로 결합된 두 개의 사면체 구조로 이루어지지만 하부 반쪽과 대각 선을 중심으로 90° 회전되어 있다. 다이아몬드 구조의 중요한 특성은 다이아몬드 구조 의 모든 원자는 4개의 이웃한 원자들을 갖는다는 것이다. 이러한 특성은 다음절에서 원 자결합을 논의할 때 다시 설명할 것이다. 다이아몬드 구조는 모든 원자가 실리콘과 게르마능과 같이 동일한 종류의 원소로 이루어진 특별한 격자이다. 섬아연광(zincblend) 구조는 기하학적 구조는 다이아몬드 구조와 동일하나 2개의 다른 원소들로 구성되 어 있다는 점 이 다른 점 이다. 같름비소와 같은 화합물 반도체는 그림 1.14에 보이는 섬아연광 구조를 갖는다. 다이아몬드와 섬아 연광과 구조의 중요한 특징은 원자들이 결합하여 사면체 구조를 이룬다는 것이다. 그 림 1.15는 각 Ga 원자가 4개의 이웃한 As 원자를 갖고, 각 As 원자는 4개의 이웃한 Ga 원자를 갖는 GaAs의 기본 사면체 구조이다. 이 그림은 또한 다이아몬드，혹은 섬아연 a r? i J j 가 / 匕八、 GaAs의 섬아연광 직자 \ ， 1 1, /-v L.------- 〉 그림 1.15 그림 1.14 1 선아연광 격자에서 이 웃한 위자右의 사면체 구조 다이아몬드구조 이 12 Chapter 1 고체의 결정구조 광 격자를 재생하는데 시용되는 두 개의 부격지들의 상호 투괴를 나타낸디•• 이해도 평가 TYU 1.4 그림 1.11 의 다이아몬드 단위셀을 생각히-자. 다음을 구하시오. (a) 모서 리 원지.의 수. (b) 면심 원자의 수，(c) 단위엘에 내포된 원자의 수. 卜 (3) -9(M)-8 («) -suV| TYU 1.5 실리콘의 격자상수가 5.43 A이다. 실리콘 원자의 부피밀도를 계산하시오. (v-UI3zz이 X S *suy) 1-5 원자결합 지금까지 여 러 가지 단결정 구조들을 살펴보았다. 특정한 원자들이 집합체를 이룰 때 왜 이 결정 구조가 다른 구조보다 우수한지 의문을 갖게 된다. 자연의 기본 법칙은 열 평형상태에 있는 시스템의 총 에너지는 최솟값에 도달하려는 경향이 있다는 것이다. 고체를 이루어 총 에너지가 최솟값에 도달하기 위해서 원자들 사이에 발생하는 상호작 용은 관여하는 원자에 따라 달라진다. 이러한 상호작용을 원자결합이 라고 하며, 원자결 합은 관여하는 원자에 의하여 결정된다. 만약 원자들 사이에 강한 결합이 없으면 단단 히 붙어서 고체를 만들 수 없다. 원자들 사이의 결합은 양자역학으로 설명할 수 있다. 양자역학의 기초가 다음 장에 소개되지만 원자결합의 자세한 양자역학적 설명은 이 책의 범위를 벗어난다. 그러나 원자의 가전자，즉 최외각 전자들을 살펴봄으로써 다양한 원자들이 어떤 원자결합을 이루는지에 대한 정성적 이해를 얻을 수 있다. 주기율표의 양 끝에 있는 원자(불활성 원소들은 제외함)들은 가전자들 잃어버리든 지 혹은 얻든지 하여 이온을 형성하고，이러한 이온들의 외각 전자궤도는 전자로 완전 히 채워지게 된다. 주기율표의 1족 원소들은 전자 하나를 잃어버리고 양이온이 되려는 경향이 있다. 반면에 7족의 원소들은 전자 하나를 얻어서 음이온이 되려는 경향이 있 다. 이러한 반대 전하를 띤 이온들은 쿨롱 힘에 의하여 이온결합(ionic bond)이 라고 하 는 결합을 이루게 된다. 만약 이온들이 너무 가까이 접근하면 반발력이 작용하여 두 원 자들 사이에 평형 거리를 유지하게 된다. 결정에서 음이온들은 양이온들에 의하여 포 위되는 경향이 있고, 양이온들은 음이온들에 의하여 포위되는 경향이 있다. 따라서 이 러한 경향적 원리에 의하여 원자는 주기적으로 배열되어 격자를 형성하게 된다. 이온 결합의 한 예로서 염화나트륨을 들 수 있다. 원자 간의 결합은 이온결합에서 보았듯이 완전한 가전자 각을 이루려는 경향이 있 다. 완전한 가전자 궤도를 이루는 또 다른 원자결합으로 공유결합(covaient knd)이 있 다. 대표적인 예로서 수소분자를 들 수 있다. 수소원자는 전자 하나를 가지고 있으므로 바닥 궤도가 완전한 각을 이루기 위해서는 전자가 하나 더 필요히-다. 상호 간섭하지 않 는 두 개의 수소원자들과 이 수소원지들이 공유결합을 이루고 있는 수소분자의 그림이 15 원자결합 그림 니6에 나타나 있다. 공유결합에서 전자들은 원자들 사이에서 공유되므로 각 원자 의 기•진자 궤도는 완전히 전자로 채워진다. 신 리콘과 게르마늄과 같은 주기율표의 4족의 원소들은 공유결합을 이루는 경향이 있디 . 각 원소들은 4개의 가전자들을 가지므로 가전자 궤도를 채우기 위해서는 4개의 신지 가 더 밀요하다. 만약 예를 들어 실리콘 원자가 4개의 이웃한 원자들을 가지고, 각 이웃 원자들이 하나의 가전자를 공유하도록 제공한다면 중앙의 원자는 최외각에 8개의 진자를 가지게 된다. 그림 니7a는 각 원자가 4개의 가전자들을 가지고 있으며 상호 간 섭하지 않는 5개의 실리콘 원자들을 보여주고 있다. 실리콘에서 공유결합의 2차원 그 림 이 그림 1.17b에 나타나 있다, 중앙의 원자는 8개의 공유 가전자들을 가지고 있다. 수소와 실리콘의 공유결합 사이의 큰 차이는 수소분자가 형성되면 추가 공유결합을 형성할 수 있는 추가 가전자가 없으므로 분자상태로 존재하는 반면 실리콘 원자의 집 합에서는 외각 실리콘 원자가 추가 공유결합에 사용할 수 있는 가전자를 항상 가지고 있다는 것이다. 따라서 실리콘 원자가 무한히 많다면 각 실리콘 원자는 4개의 이웃 원 자들과 8개의 공유전자들과 함께 반복적 배열을 형성하여 무한대의 단결정 구조를 이 룰 수 있다. 공유결합을 이루는 실리콘에서 4개의 이웃 원자들은 그림 1.11 과 1.12에서 각각 나타난 사면체 구조의 4개의 모서 리 원자에 해당하며. 다이아몬드 구조에서도 찾 아볼 수 있다. 세 번째 원자결합은 금속결합(metallic b에d)이다. 1족 원소들은 하나의 가전자를 가진다. 예를 들어 두 개의 나트름 원자 (Z = 11)가 근접하면，가전자들은 공유결합과 유사한 방법으로 두 개의 나트름 원자에 의하여 공유된다. 세 번째 나트를 원자가 첫 번째 두 개의 원자에 접근하면 세 개의 나트름 원자 모두 각각 한 개의 가전자틀 내보 내어 상호 공유한다. 이와 같은 방법으로 고체 나트름은 체심입방 구조를 이루는데 여 기서 각 원자는 8개의 이웃 원자들을 가지고• 각 원자는 가전자들을 공유한다. 공유 방 법은 공유결합과는 달리 각 원자들이 내보낸 많은 전자들은 특정 원자에 공유되는 것 이 아니라 전자구름 형태를 이루고 이 전자구름은 전자를 내보내고 양이온이 된 원자 들을 정전기 력으로 끌어당겨 상호 결합하게 한다. 전자구름으로 둘러싸인 양의 금속이 - (§)I ® ® ⑭ 니 ® 。三 I — -⑪ - I — 一 ⑪- I ® - ®=® I (a) 그림 1.16 (a) 수소원자의 가진자와 (b) 수소분자의 공유견합 (a) 그림 1.17 (b) ⑶ y리콘 원자의 가전자와실리콘 결 정의 공유건합 u Chapter 1 고체의 결정구조 온들을 상상할 수 있고，이러한 정전기력에 의하여 원자들은 강하게 결합하여 고체暑 이룬다. 네 번째 형태의 원자결합은 가장 약한 화학결합인 분자결합(molecular bond; Van der Waals 결합)이다. 예를 들어 불화수소(HF) 분자는 이온결합으로 형 성된디-. 이 분자 의 양전하의 유효중심은 음이온의 유효중심과 일치하지 않기 때문에 진하분포의 비대 칭이 발생하여 작은 전기 쌍극자를 형성하며，이것은 다른 HF 분자의 씽극자와 간섭하 여 분자들을 결합시킨다. 이러한 결합력을 van der Waals 힘이라고 하며，이 힘은 약 하기 때문에 융점이 낮은 것이 특징이다. 따라서 이러한 물질은 대부분 상온에서 기체 상태를 이룬다. *1.6 고체의 결함과불순물 지금까지 이상적인 단결정을 살펴보았다. 실제 결정에서는 격자가 완전하지 않고, 완전 한 기하학적 주기가 어떤 형태로 파괴되어 결함을 가지고 있다. 결함은 물질의 전기적 성질을 변화시키고，어떤 경우 전기적 파라미터가 이러한 결함，혹은 불순물에 의하여 지배될 수 있다. 1.6.1 고체의 결함 모든 결정이 공통적으로 가지고 있는 결함은 원자의 열진동이다. 완전한 단결정은 특 정 격자점에 원자를 가지고 있고，이 원자들은 서로 일정한 간격을 유지하고 있다. 그 러나 결정의 원자들은 온도의 함수인 열에너지의 영향을 받는다. 열에너지는 원자들이 무작위 형태로 평형상태의 격자점을 중심으로 진동하게 한다. 이러한 무작위 열운동은 원자간의 간격이 무작위로 변형되게 하고，이것은 원자들의 완전한 기하학적 배열을 깨뜨린다. 격자진동이라고 부르는 이러한 결함은 전기적 파라미터에 영향을 주게 되며， 다음 장에서 논의하게 될 반도체재료 특성에서 이러한 현상을 보게될 것이다. 또 다른 형태의 결함은 점결함(point defect)이고，여러 가지 형태의 점결함들이 존재 한다. 이상적인 단결정 격자에서 원자들은 완전한 주기적 배열을 이루고 있다. 그러나， 실제 결정에서는 원자 하나가 특정 격자점으로부터 이탈할 수 있다. 이 러한 결함을 빈 자리(vacancy)라고 부르고，그림 l.】8a에 나타나 있다. 또 다른 경우 원자가 격자점 사 이에 위치할 수 있다. 이러한 결함을 틈새(interstitial)라고 부르고，그림 1.18b에 나타나 있다. 빈자리와 틈새의 경우는 원자들의 완전한 기하학적 배열이 깨질 뿐만 아니 라 원 자들간의 이상적인 화학결합도 변형시켜 물질의 전기적 성질을 변화시킨다. 빈자리와 틈새는 서로 근접하여 두 점결함들 사이의 간섭을 일으킬 수 있디、프랭캘(Frenkel) 결 ♦ 표시는 반도체 소자에 대한 이해를 총 정리하는데 도음을 주는 절이지만 생략해도 책 내용의 연속싱을 입 지 않으니 생략해도 좋음. 1.6 그림 1.18 (a) 빈자리 결함과 (b) 틈새 결함을 보여주는 단결정의 2치원 그림. 그림 1.19 선단층의 2차원 그림. 합이 라고 부르는 이 러한 빈자리-틈새 결함은 단순한 빈자리와 틈새 결함과는 다른 형 태의 영향을준다. 점결함은 단일 원자，혹은 단일 격자점의 결함이다. 단결정을 형성하는데 있어서 보 다 복잡한 결함들이 발생할 수 있다. 예를 들면 선결함(line defect)은 원자들의 전체 열 이 정상적인 격자 선에서 이탈할 때 발생한다. 이 결함을 선단층(line dislocation)이라고 하고，그림 1.19에 나타나 있다. 점결함의 경우와 같이 선단층은 격자의 정상적인 기하 학적 주기와 함께 결정에서 이상적인 원자 결합을 깨뜨린다. 이러한 단층도 역시 단순 한 점 결함 보다 훨씬 복잡한 형태로 물질의 전기 적 성질을 변화시킬 수 있다. 다른 복잡한 단층도 결정격자에서 발생할 수 있다. 그러나. 이 책에서는 몇 가지 기 본적인 형태의 결함을 제시하고, 실제 결정은 완전한 격자 구조를 가질 수 없다는 것을 보여주는 것으로 만족한다. 이러한 결함들이 반도체의 전기 적 성질에 미치는 영향은 다음 장에서 살펴볼 것이다. 1.6.2 고체의 불순물 이질 원지、혹은 불순물 원자들이 결정 직자 내에 존재할 수 있다. 불순물 원자들은 정 상적인 격자점에 위치할 수 있다. 이 경우 이 불순물올 치환 볼순물(substitutional inipurhy)이라고 한다. 그리고 불순물 원자들이 정상적인 격자정듭 사이에 위치할수 있고，이것올 틈새 불순물(interstitial impurity)이라고 한다、두 경우 모두 격자 결함이고， 고채의절합과普순몰 15 16 Chapter 1 고체의 결정구조 Substitutional impurity (a) 그림 1.20 (a) 치환 불순물과 (b) 틈새 불순물을 나타내는 단결정의 2차원 그림. 그림 1.20에 나타나 있다. 실리콘에서 산소와 같은 불순물들은 전기적 특성에 영향을 주지 않는 불활성 불순불이지만 금이나 인과 같은 불순물들은 전기 적 성 질을 크게 변 화시킨다. 4장에서 특정 불순물을 일정량 첨가함으로써 반도체의 전기적 성질을 유용하게 변 화시킬 수 있음을 보게될 것이다. 전도도를 변화시키기 위하여 반도체에 불순물 원자 들을 첨가하는 기술을 도핑(doping)이라고 부른다. 도핑에는 일반적으로 불순물 확산 (diffusion)과 이온주입(ion implantation) 두 가지 방법이 있다. 불순물의 확산공정은 원하는 불순물 원자들이 내포된 고온에，000°C)의 가스 분위 기에 반도체 결정을 두고 수행한다. 이러한 고온에서는 많은 결정 원자들이 무작위로 단결정 격자 자리를 이탈하여 빈자리를 만들 수 있고，이러한 빈자리로 불순물 원자들 이 이동하면서 확산해 간다. 불순물 확산은 불순물 입자들이 반도체 표면 근처의 불순 물의 높은 농도 영역에서 결정 내의 낮은 농도 영역으로 이동하는 현상이다. 온도가 감 소하면 빈자리를 차지한 불순물 원자들은 격자 자리에 완전히 동결되어 치환불순물 (substitutional impurity)이 된다. 반도체의 특정 영역에 다양한 불순물을 확산시킴으로 써 단일 반도체 결정에 복잡한 전자회로를 제작할 수 있다. 일반적으로 이온주입은 확산보다 낮은 온도에서 수행한다. 불순물의 이온빔은 50KeV 혹은 그 이상의 운동 에너지로 가속되어 반도체 표면에 주입된다. 고 에너지 불 순물 이온들은 결정 내에 주입되어 표면으로부터 일정한 깊이에서 정지한디-. 이온주입 의 이점은 불순물 원자들의 원하는 수를 결정 내의 원하는 위치에 주입할 수 있다는 점 이다. 이 기술의 단점은 주입 불순물 원자들이 결정 원자들과 충돌하여 격지- 손상의 원 인이 된다는 것이다. 그러나，대부분의 격자 손상은 격자의 온도를 짧은 시간 동안 증 가시키는 열처리에 의하여 제거될 수 있다. 열처리는 이온주입 후 반드시 수행해야 할 공정이다. *1.7 반도체의성장 대규모 집적회로(VLSI)를 제작할 수 있는 것은 순수한 단결정 반도체를 만들 수 있는 1.7 기술이 발달하였기 때문이다. 고순도를 유지하기 위해서는 제조공정의 각 과정 마다 물질을 다루고 성장하는데 있어서 대단한 주의가 필요하다. 결정 성장의 역학은 대단 히 복잡하므로 이 책에서는 일반적인 용어만 설명할 것이다. 1.7.1 용액으로부터 성장 단걸정 물질을 성장하는 통상의 기술은 Czochralski 방법이다. 이 기술에서 씨앗이라고 부르는 단결정 물질의 작은 조각을 액상의 같은 물질의 표면에 접촉시킨다. 그리고 천 천히 용액으로부터 끌어 올린다. 씨앗을 천천히 끌어 올림에 따라 응고가 고체-액체 경 계면 사이의 표면을 따라 발생한다. 보통 결정을 끌어 올리면서 천천히 회전시킴으로 써 용액에 약간의 휘젓는 작용을 가하여 보다 균일한 온도를 유지하도륵 한다. 붕소 혹 은 인과 같은 일정량의 특정 불순물 원자들을 용액에 첨가하여 성장된 반도체 결정을 의도적으로 불순물 원자로써 도핑한다. 그림 1.21 는 Czochralski 성장 공정과 이 공정 에서 성장된 실리콘 주괴(ingot)의 그림을 나타낸다. 어떤 불순물들은 원하지도 않게 주괴에 존재할 수도 있다. 지역정제(zone refining) 는 물질을 정제하는 일반적 인 기술이다. 고온 코일 혹은 RF 유도 코일이 주괴의 길이 를 따라 천천히 이동한다. 코일에 의하여 유도된 온도는 충분히 높아서 반도체 S면에 얕은 액체 층이 형성된다. 고체-액체 경계에서 붙순들의 재분포가 이루어 진다. 이러한 분포를 나타내는 파라미 터를 편석계수(segregation coefficient)라고 부르고 액체에서의 불순물 농도에 대한 고체에서의 불순물 농도 비로 나타낸다. 만약 편석계수가 0.1 이면 액체에서 불순물 농도가 고체에서 보다 10배 더 크다는 의미이다. 액체 영역은 RF 코 일을 따라 주괴의 아래부터 위까지 이동하며 블순물은 액체에 포함되어 함께 이등한다. 여러 번 RF 코일을 통과시키면 대부분의 불순물들은 주괴의 끝에 모이고 이것을 잘라 버린다. 지역정제기술은 정제에 대단한 효과가 있다. 반도체를 성장한 후 주괴를 일정한 직경으로 절단하여 웨이퍼(wafer)를 만든다. 웨 이퍼는 기 계적 인 강도를 갖도록 충분히 두꺼워야 한다. 기계적으로 두 면을 잘 문질러 서 일정한 두께의 평탄한 웨이퍼를 만든다. 문지르는 과정에서 기계적인 등작으로 표 면에 손상을 주거나 오염을 일으킬 수 있기 때문에 문지르는 공정 후 표면을 화학적 식 각으로 깍는디-. 마지막 과정은 윤을 내는 공정이다. 이것은 표면을 매끄럽게 하며 소자 를 그 위에 제작하거나 성장공정을 수행할 수 있다. 이렇게 마지막 처리된 반도체 웨이 퍼를 기판(substrate)이 라고 부른다. 1.7.2 에피성장 반도체 소자와 집적회로 제조공정에 널리 사용되는 일반적인 션장기술은 에피성장 (epitaxial grow山)이다，에피싱장은 얇은 단결정 물질을 단견 정 기만 위에 정장시키는 공정이다. 에피공정에서 단걸정 기판은 비록 융점 이하의 온도에 이 수행되 지만 씨앗 반도재의 성장 17 18 Chapter 1 고체의 결정구조 역할을 한다. 에피층이 같은 물질의 기판 위에 성장할 때 이 공정을 동종에피택시 (homoephaxy)라고 부른디.. 실리콘 기판 위에 실리콘을 성장시키는 것이 동궁에피택시 의 한 예이다. 현재 이종에피택시(heteroepiiaxy)에 많은 연구가 수행되고 있디、이종에 피택시 공정에서 비록 기판과 에피 물질은 같지 않지만 만약 기판-에피층 경계면에 질 함이 없으려면 두 결정 구조는 반드시 같아야 한다. GaAs 기판 위에 AIGaAs 3원소 합 금의 에피층을 성장시키는 것은 이종에피택시 공정의 한 에이다， 널리 시용되는 에피성장 기술은 화학기상증칙\Chemical Vapor Deposition; CVD)o] z，용기 척 씨앗 卜一 튜브 결정—卜、 히터 O O O 0 용융 도가니 (a) (b) 그림 1.21 (a) Czochralski 성장 (b) 성장된 실리콘 주괴 그림 1.8 디-. 예를 들면 실리콘을 내포한 화학 증기로부터 실리콘 원자들을 실리콘 기판의 표면 에 증착한으로써 실리콘 에피층을 성장시킬 수 있다. 한 가지 방법으로 4염화실리콘 (SiCl4)은 가열된 기판의 표면에서 수소와 반응한다. 실리콘 원자는 반응에서 유출되어 기민 위에 증착되고 다른 화학 반응물 HCl은 기체 상태로 반응기로부터 빠져 나간다. 이 기술은 반도체 소자의 제작에 아주 유용한 기술이다• 또 다른 에피 성장기술로서 액상에피 택시(liquid epitaxy)가 있다. 다른 원소를 내포 한 반도체의 화합물은 반도체 자체 보다 융점이 낮다. 반도체 기관을 액상 화합물에 넣 는디、융해물의 온도가 기판의 융점 보다 낮기 때문에 기판은 녹지 않는다. 액체가 천 천히 식음에 따라 단결정 반도체층이 씨앗 결정 위에 성장한다. Czochralski 방법 보다 낮은 온도에서 이루어지는 이 기술은 III-V족 화합물 반도체를 성장하는데 유용하다. 에피층 성장의 또 다른 유용한 기술로서 분자빔에피택시(Molecular Beam Epitaxy; MBE)가 있다. 기판은 다른 공정에 비하여 비교적 낮은 온도인 400-800X： 범위의 온도 에서 진공 상태에 놓이게 된다. 반도체와 도펀트 원자는 기판의 표면으로 증발한다- 이 기술에서 도핑은 대단히 복잡한 도핑 분포를 만들 수 있도록 정확히 조절된다. AlGaAs 와 같은 복잡한 3원소 화합물을 GaAs 기판위에 결정 조성을 급격히 변화시키면서 성 장시킬 수 있다. 여러 가지 형태의 에피 조성을 가진 많은 층을 이와 같은 방법으로 기 판 위에 성장시킬 수 있다. 이러한 구조들은 LASER와 같은 광소자에 대단히 유응하게 활용된다. 1.8 ■ 요약 이 장을 시작할 때 몇 가지 통상적인 반도체를 나열하였다. 실리콘(Si)은 가장 일반적 인 반도체 재료이다. ■ 반도체와 다른 재료들의 성질은 단위 셀로 표현되는 단결정 격자 구조에 의하여 결정 된다. 단위셀은 전체 결정을 재현하는데 사용되는 작은 부피의 결정이다. 세 가지 간단 한 격자 구조 - 단순입방，체심입방, 면심입방-를 살펴보았다. ■ 실리콘은 다이아몬드 결정구조를 갖는다. 원자들은 이웃한 원자들과 함1 사면체 구조 를 이룬다. 2원소반도체는 섬아연광격자를 갖는데，기본적으로 다이아몬드 구조와 동 일한구조이다. ■ 반도체 소자들은 표면 근처에서 제작되므로 이 표면을 밀러지수라고 하는 정수를 나용 하여 표기하는 것이 편리하다，밀러지수는 결정격자에서 평면을 표기하는데 나용된다. 이러한 평면들은 반도체 재료의 표면을 표기하는데 사용될 수 있다. 밀러지수는 결정 에서 방힝을 표기하는데도 사용될 수 있다. ■ 이상적으로 완전한 단결정 반도체를 만들기 원한다. 그러나、견함과 불순물들이 실제 물질에 존재한다. 단순한 점결함과 보다 복잡■한 선걸합 둥 여러 가지 형태의 결함들을 논의하있다. 특정 불순물 원자들을 일정량 첨가하는 도핑으로어 반도체의 전기적 성질 요약 19 20 Chapter 1 고체의 결정구조 을 다음 장에서 보게될 유용한 방법으로 변화시킬 수 있다. 반도체의 성장은 대단히 복잡한 공정이다. 성장 방법을 간단히 살펴보면서 몇 기 지 용 ■ 어를 소개하였다. 반도체 덩어리(bulk)로부터 시작 반도체，즉 기판을 만든다. 에피성 장은 반도체의 표면성질을 제어하는데 사용할 수 있다. 대부분의 반도체 소자는 에피 충에서 제작된디•. 주요용어 - --------- - --- 〜 2원소 반도체 갈름비소(GaAs)와 같이 두 가지 원소로 이루어 진 반도체 공유결합 가전자들이 공유되는 원자들 긴의 결합 다이아몬드 격자 각 원자가 사면체 구조에서 4개의 이웃한 원자들을 갖는 원자 결정 구조 (예: 실리콘) 도핑 전기 적 성질을 유용하게 변화시키기 위하여 반도체에 특정 원자들을 첨가하는 공정 원소 반도체 실리콘과 게르마늄과 같이 단일 원소로 이루어진 반도체 에피층 기판의 표면 위에 형성된 얕은 단결정 물질 이온주입 반도체를도핑하는공정 격자 결정에서 원자들의 규칙적인 배열 밀러지수 결정면을 묘사하는데 사용되는 정수 집합 기본 셀 격자를 재현하기 위하여 반복될 수 있는 가장 작은 단위 셀 기판 에피층 성장. 혹은 확산과 같은 반도체 공정을 수행할 수 있는 시작물질로서 사용되 는 반도체 웨이퍼 3원소 반도체 알루미늄갈륨비소(AlGaAs)와 같이 세 가지 원소로 이루어진 반도체 단위 셀 전체 결정을 재현하는데 사용되는 작은 부피의 결정 섬아연광 격자 한 가지 대신에 두 가지 원소들로 구성된 점만 제외하고 다이아몬드 격자와 동일한 격자 구조 점검사항 본 장을 공부한 후에 독자는 반드시 다음과 같은 능력을 갖추어야 한다. ■ 가장 보편적인 원소 반도체 재료를 나열하였다. ■ 단위셀의 개념을 설명한다. ■ 다양한 격지구조에 대해서 부피밀도를 계산할 수 있어야 한디-. ■ 결정격자평면의 밀러지수를 구할 수 있어야 힌다. ■ 밀러지수가 주어지 면 그에 해당하는 평 면을 그릴 수 있어야 한다. ■ 주어진 결정격자평면에서 원자의 표면밀도를 계산할 수 있어야 한다. ■ 실리콘 원자의 시-면체 구조를 설명한디-. ■ 단결정 격자의 다잉한 결점들을 이해하고 설명할 수 있어야 한다. 문재 복습 질문 1. 2가지 원소반도체와 2가지 화합물반도체를 쓰시오- 2. 다음 3가지 격자구조를 그리시오: (a) 단순입방，(b) 체심입방，(c) 면심입방 3. 신징의 부피밀도를 계산하는 과정을 설명하시오. 4. 긴징에서 평민을 표기하는 밀러지수를 결정하는과정을 설명하시오. 5. 특징 질정 면에서 원자의 표면밀도를 도출하는 과정을 설명한다. 6. 단위셀로서 기본셀을 선호하는 이유를 설명한다. 7. 실리콘에서 공유결합을 설명한다. S. 결정에서 치환불순물과 틈새불순물이 무엇인지 설명하시오- 문제 1.3절 공간 격자 1.1 (a) 면심입방，(b) 체심입방，(c) 다이아몬드 격자에서 단위셀 당 원자의 수를 구하라- 1.2 원자는 단단한 구슬 모양을 갖고，주변의 인접한 원자들과 맞닿아 있다고 가정한다. (a) 단순입방격자，(b) 면심입방격자，(c) 체심 입방격자，(d) 다이아몬드격자에서 단위 셀에 포함되어 있는 원자의 부피비를 백분을로 계산하시으 1.3 만일 Si의 격자상수가 5.43 A이라면 (a) 하나의 Si 원자 중심으로부터 인접한 원자의 중심까지의 거 리，(b) Si 원자의 개수밀도(#/cm3) (c) Si의 질량밀도(g/cm가틀 계산하 라. 1.4 (a) GaAs의 격자상수는 5.65 A이다. cm3 당 Ga 원자와 As 원자의 개수를 구하라. (b) Ge 반도체에서 Ge 원자의 부피밀도를 구하라. Ge의 격자상수는 5.65 A이다. 1.5 GaAs 의 격자상수 a = 5.65A 이다. (a) 가장 근접한 Ga 원자와 As 원자 증심 사이의 거 리，(b) 가장 인접한 As 원자들의 증심으로부터 중심까지의 거리를 계산하라. 1.6 사면체 구조에서 결합 쌍들 간의 사잇각을 구하라. 1.7 원자를 반경 /• = 1.95 A 의 단단한 구슬 형태라고 가정한다. 원자는 ⑶ 단순입방격 자，(b) 면심입방격자，(c) 체심입방격자、(d) 다이아몬드격자로 배열되어 있다. 가장 인접한 원자들은 표면이 서로 닿아 있다. 각 격자들의 격자상수를 구하라. 18 결정이 A와 B，두 가지 원소로 구성되어있다. 기본 결정구조는 각 모니리에 A원소가 있고，중앙에 B원소가 있다는 면심입방구조이다. 원소 A의 유효반지름 rA = 1.035 A 이다. 각 원소는 단단한 구슬 모양이 며 A-type 원소는 가장 인정한 A-type 원소와 표 면이 서로 맞닿아 있다고 가정한다. (a) 이 구조에 적합한 B-type 원上의 최대 반지름, (b) 격자상수，(c) A-type 원소와 B-tvpe 원소의 부피 밀도(#/cm시를 각각 구하라. 1.9 (a) 단순입방격자의 결정이 유효반지름 r = 2.25 A이고 원자량이 115인 원소들로 구성되어 있다. 단단한 구습 모양의 원자들이 인접한 원자듬과 표면이 맞닿아 있다 고 가정하고，진량민도(g/cm3)룰 계산하라，(b) 원자의 구조가 채신입방구조일 때 (a) 룹 반복하라， 1.10 부피가 1 en?인 물질이 직자상수가 2.5 mm인 면 신입방구조分 하고 있다. 이 물질의 21 22 Chapter 1 고체의 결정구조 원자는 실제로 커피콩이다. 단단한 구슬 모양의 커피콩이 인접한 다른 커피콩과 표 면에서 맞닿아 있다고 가정하자. 커피콩을 완전히 갈아 분말로 만든 후 커피의 부피 를 구하라(분말 형태의 커피의 밀집도는 100%라고 가정한디-)• 1.11 염화나트륨(NaCl)은 Na와 C1 원지들이 번갈아 위치한 단순입방결정구조이디-. 각각의 Na원자는 여섯 개의 C1 원자들로 둘러싸여지고，마찬가지로 C1 원자는 여섯 개의 Na 원자들로 둘러싸여진다. (a) 결정면(100)에 위치한 원자들을 그려라. (b) 단단한 구슬 모양의 각 원자들은 인접한 원자과 표면이 서로 및•닿아 있다고 가정힌-디•. Na의 유효 반지름이 1.0 A이고 C1 의 유효 반지름이 1.8 A 일 때，격자 상수를 구하라. (c) Na와 C1 원자의 부피밀도(#/cn?)를 계신•하라. (d) NaCl의 질량밀도(g/crri3)를 구하라. 1.12 (a) 두 종류의 원자로 구성된 물질이 있디-. 원자 A의 유효 반지름은 2.2 A이고，원자 B의 유효 반지름은 1.8 A이다. 이 격자는 모서리에 A원자들이 있고，중앙에 B원자 가 있는 체심입방구조를 가진다. 격자상수를 구하고, A원자와 B원자의 부피밀도를 각각 구하라. (b) 원자 B가 모서리에 위치하고, 원자 A가 중앙에 있을 때，(a)를 반복 하라. (c) 문제 (a)와 (비에서 물질들을 비교해 보아라. 113 (a) 문제 1.12(a)와 1.12(b)에서 언급한 물질들을 고려하자. 각각의 경우에 대하여，결 정면(100)에서 A원자와 B원자의 표면밀도(#/cm2)를 계산하라. 두 물질을 비교해 보 아라. (b) 결정면(110)에서 (a)를 반복하라. 1.14 (a) 정육면체의 중앙에 하나의 원자로 구성된 결정구조를 가지는 특별한 물질이 있 다. 격자상수는아이고 원자의 지름도아이다. 결정면(110)에 대하여 원자의 부피밀 도와 표면밀도를 구하라. (b) 그림 1.5a와 같은 격자상수를 가지는 단순입방구조의 결과와 문제(a)의결과를 비교해 보아라. 1.15 단순입방격자의 격자상수가 바이다. a) 다음의 결정면을 그려라. (i) (110)，(ii) (111)， (Hi) (220). (iv) (321), (b) 다음의 결정방향을 그려라. (i) [11 이，(ii) [111], (iii) [22이， (iv) [321] 1.16 단순입방격자에 대해서 그림 P1.16에 나타난 결정면의 밀러지수를 구하라. 1.17 격자상수가4.83A인 체심입방구조가 있다. 직교좌표축과 9.66A，19.32A, 14.49A 에서 교차하는 결정면의 밀러지수를 구하라. 1.18 격자상수가5.28 A인 단순입방구조가 있다. (a) 결정면(100)，(b) 결정면(110)，(c) 결 정면(】 11)과 평행한 결정면들 사이의 거리를 계산하라. 1.19 다음 단결정의 격자상수는 4.73 A이다. (a) 단순입방구조，(b) 체심입방구조，(c) 면심 입방구조에서 각각 (i) 결정면(100)，(ii) 결정면(110)，(iii) 결정면 (111) 에서 원자의 표 면밀도(#/cm2)를 계산하라. 1.20 (a) 결정면(100)，(b) 결정면(110), (c) 결정면(111)에서 Si원자의 표면밀도(#/cm2)를 계산하라. 1.21 면심입방구조에서 단단한 구슬 모양의 원자들이 인접힌- 원자들과 표면이 서로 맞닿 아 있고, 원자의 유효 반지름이 2.37A이라 가정히-지-. (a) 결정에서 원자의 부피밀도 (#/cm3)를 구하라. (b) 결정면(110)에서 원자의 표면밀도(#/cm2)를 계산하라. (c) 결정 면(110)과 평행한 결정면들 사이의 거 리를 구하라. (〔I) 결정 면(111)에서 (b)와 (이를 반복하라. 문재 그림 P1.16 문제 1.16 의 그림 1.5절 원자 결합 1.22 Si의 가전자 밀도를 계산하라. 1.23 GaAs는 섬 아연광 격자구조를 갖는다. 격자상수가 5.65 A 이다. GaAs의 가전자 밀도 를 계산하라. 1.6절 고체의 결함과 불순물 1.24 (a) 인(P) 원자가 치환불순물로서 실리콘에 단위 부피당 5X1017개 주입되었다면. 단 결정 격자 지점에서 인 원자에 의하여 밀려나간 실리콘의 원자 개수를 단위 부피당 비율로 계산하라. (b) 붕소 원자 2 x 1015를 주입한 경우 (a)의 계산을 반복하라. 1.25 (a) 2xl016 cm-3의 보론 원자가 단결정 실리콘에 균일하게 분포되어있다고 가정하 자. 결정 내의 보론 원자의 무게 비율은 얼마인가? (b) IO18 cm-3의 농도를 갖는 인 원자가 (a)에 있는 물질에 첨가되었다면 결정 내의 인 원자의 무게 비을은 얼마인가？ 1.26 만약 치환불순물로 붕소 원자를 2x 1016 cm-3 농도로 주입하고 균일하게 분포되어 질 때，붕소 원자 간의 거리를 실리콘 격자상수를 써서 구하라｛붕소 원자는 장방형 혹은 정육면제 배열을 한다고 가정한다). 1.27 4xl015 cm—의 인 원자가 실리콘에 주입되었을 때 문제【.26을 반복하라. 참고문헌 ____________________________ 1. AzarolT, L. V.，and J、J. Bmphy. Electronic Processes in Materials. New York: McGrow-Hill, 1963. 2. Campbell S. A. The science and Enîneeru^ of Microclectromc Fabrication. New York: Oxford University Press，1996. 3. Dimitrijev, S. Principles of Semiconductor Devices, New York: Oxford University 23 24 Chapter 1 고체의 결정구조 Press. 2006. 4. Kitiel. C. Introduction io Solid State Physics. 7th ed. Bei lin: Springer-Verlag，1993. ♦5. Li. S. S. Scmiconduclor Physical Electronics. New York: Plenum Press，1993. 6. McKelvey. J. P. Solid State Physicsfor Engineering and Matcnals Science. Malabar， FL: Krieger. 1993. 7. Pierrel. R. F. Semiconductor Device Fundamentals. Reading. MA. Addison-Wesley, 1996. 8. Runyan, W. R” and K. E. Bean. Scmiconducfor Infected Circuit Processing and Technology. Reading. MA: Addison-Wesley. 9. Singh. J. Semiconductor Devices: Basic Principles. New York: John Wiley and Sons， 2001. 10. Streetman. B. G.，and S. Banerjee. Solid Stale Electronic Devices. 5th ed. Upper Saddle River. NJ: Prentice Hall. 2000. 11. Sze. S. M. \ LSI Thclviolo^y. New York: McxGraw-HilL 1983. *12. Wolfe. C. M.. N. Holonyak. Jr., and G. E. Stillman. Physical Properties of Semiconductors. Englewood Cliffs. NJ: Prentice Hall, 1989. ，표시는 이 책보다 수준이 높은 침•고문헌을 의미한다. 必山 2 1 王 Q.V O 양자역학의 입문 -•LT 이 장의 목적은 독자로 하여금 반도체 소자의 등작과 특성을 이해하는데 도음을 주려는 것이 다. 바라기는 이러한 소자에 대하여 바로 논의하고 싶지만 전류-전압 특성을 이해하기 위해서 는 다양한 전위 아래에서 결정에서 전자의 은등에 대한 지식이 필요하다. 혹성과 위성 같은 큰 물체들의 은등은 뉴턴의 은등법칙을 바탕으트 하는 고전이른클리를 사 용하여 고도의 정확도로 예측될 수 있다. 전자와 고주파 전자기파에 대한 어던 실험결과들은 고전물리와 일치하지 않는 경우가 있다. 그러나 이러한 실험결과들은 양자역학(Quantum Mechanics)의 원리를 이옹하여 설명할 수 있다. 이러한 전자들의 운등과 특성은 파등역학이 라고 하는 양자역학의 공식으로 표현될 수 있다. 슈뢰딩거(Schrodinger)의 파등방정식을 사응 하는 파동역학의 핵심 요소들이 이 장에 설명되어 있다. 이 장의 목적은 양자역학에 대하여 간단히 소개함으로써 득자들이 양자역학을 이해하고 분 석기법에 익숙해지도록 하는 것이다. 이러한 기본적인 지식은 반도체들리의 가츠가 된다. ■ 2.0 개설 ■ 반도체 소자 물리에 적용되는 양자역학의 몇 가지 기본 원리에 대해 M 는의한다. ■ 슈뢰딩거 파동방정식을 설명하고 파동함수의 물리적 의미를 날펴 본다. ■ 결정에서 전자 거동의 근본적인 성질을 논의하기 위하여 다양한 전위함수에 슈뢰 딩거 파동방정식을 적용한다. ■ 단일 전자를 가진 원자에 슈뢰딩거 파동방정식을 적용한다. 이 분되 결과로부터 4가지 양자수、분리된 에너지밴드의 개념、주기율표의 형 성 원리를 도출한다. 26 Chapter 2 양자역학의 입문 양자역학의원리 2.1 양자역학의 수학을 탐구하기 전에 생각해야할 세 가지 원리가 있디、즉 에너지의 양자 화 원리(principle of energy quanta), 파동-입자 이중성 (wave-particle duality principle), 그리고 불확■정성의 원리(uncertainty principle)이디-. 2.1.1 에너지 양자 빛에 대한 실험결과와 고전적 이론과의 모순을 보여주는 실험 의 한 예로 광전효과 (photoelectric effect)를 들 수 있다. 단색광 빛이 금속의 깨끗한 표면에 조사되면 특정 조건 아래서는 전자(광전자: photoelectr에)가 표면으로부터 방출된디-. 고전 물리에 의 하면 빛의 세기가 충분히 크면 입사광의 주파수와 상관없이 전자는 재료의 일함수 (work functi에)를 극복하고 표면으로부터 방출될 것이다. 그러나 이러한 결과는 관찰 되지 않는다. 입사광의 세기 가 일정하면 한계 주파수 v = v0 아래에서는 광전자가 방 출되지 않고 그 이상의 주파수에서는 방출되는 광전자의 최대 운동에너지가 주파수에 선형 적으로 변화하는 것이 관찰된다. 이 결과가 그림 2.1 에 나타나 있다. 주파수가 일 정하고 빛의 세기가 변하면 광전자 방출율은 변하지만 최대 운동에너지는 일정하게 유 지 된다. 1900년에 플랑크는 가열되는 물질의 표면으로부터 열복사는 양자(quanta)라고 부르 는 불연속적인 에너지 덩어리 형태로 방출된다고 가정하였다. 이 에너 지 양자는 £ = /n，로 주어진다. 여기서 1，는 복사 주파수이고 h는 지금은 프랑크 상수 (/i = 6.625 XW34 J-sec)로 알려진 상수이다. 이어서 1905년에 아인슈타인은 광파의 에너지도 역시 불연 속적인 덩어리로 나타난다고 가정함으로써 광전효과를 해석하였다. 입자와 같은 에너 지 덩어리를 광자(photon)라고 부르고 이 에너지도 역시 E = In，로 주어진다. 따라서 충 분한 에너지를 가지는 광자는 전자를 재료의 표면으로부터 방출시 킬 수 있다. 전자를 방줄하는데 필요한 최소 에너지를 일함수(work function)라고 부르고 초과 광자 에너지 는 광전자의 운동 에너지로 전환된다. 이 결과는 그림 2.1 에서 보듯이 실험적으로 확인 J 입사 광전자 으 네 그림 2.1 (b) (a) 광전효과，(b) 입사 광파의 주파수에 대한 광전자의 최대 운동 에 니 지와의 함수 관계 2.1 양자역학의 원리 되 었다. 광전효과는 광자의 개별성(discrete nature)을 보여주고，광자의 입자 같은 거동 을 증명하는 것이다. 광전자의 최대 운동에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다. T = y/nv2 = hv — (v 는 v0) = hv — hv0 $ = /zv0 匕 여기서 …는 입사광자 에너지이고 수 = /시0 는 표면으로부터 전자를 방출시키는데 필 요한 최소 에너지 혹은 일함수이다. [동히 예제 2.1 특정 파장에 해당하는 광자 에너지를 계산하는 것. X = 0.708 X 1(广8 cm인 파장을 갖는 X-선을 고려하라. 풀이 에너지는 E = hv = 불 = (6.625 X 10_상)(3 X 1O10) 0.708 X 10_8 = 2.81 X 10시5 J 이 에 너 지 값은 보다 일반적 인 단위 인 전자-볼트(eV) (부륵 F 참고 바람)로 계산할 수 있다. 區친 광자 에너지와 파장 사이의 역수관계가 설명되었다. 큰 에너지는 파장이 짧다- 연습 문제 Ex 2.1 다음의 파장을 갖는 광자의 에너 지를 eV 단위로 계산하시오. (a) X = 100 A, (b) X = 4500 A- 2.1.2 lA9 9Z.T (상) tel (미 sny] 따동과 입자의 이중성(Wave-Particle Duality) 앞 절의 광전효과에서 광파동은 마치 입자처럼 행동함을 보았다. 전자기파의 입자 같은 거동 은 콤프턴(Compton) 효과를 설명하는데 도움이 된다. 이 실험에서 x-선 빔이 고체에 입 사된다. x-선 빔의 일부가 회절되고 회절된 파동의 주파수가 입사파와 비교하여 이동되었다. 관찰된 주파수의 변이와 회절 각도는 x-선의 양자 혹은 광자와 전자와의 당구공 충돌、즉 에너지와운 동량이 보존되는 충돌 때 예측되는 결과와 정확히 일치하였다. 1924년에 디 브로이는 물질파의 존재를 가설하였다. 파동이 입자와 같은 거동을 보 이므로 입자는 파동 같은 성질을 보일 것으로 예측되어져야 한다고 제안하였다. 디 브 로이의 가설은 파동과 입자의 이중싱 원리의 존재를 예측한 것이 되었다. 광자의 운동 량은 다음괴* 같이 주어 진다 (2.2) 27 28 Chapter 2 양자역학의 입문 그림 2.3 그림 2.2 Davisson-Germer 실험의 실험 배치도 Davisson-Germer 실험에서 산란각 도에 대한 전자선의 산란 여기서 X는 광파의 파장이다. 따라서 디 브로이는 입자의 파장은 A=유 로 표현된다고 가정하였고, 여기서 (2.3) 는 입자의 운동량이며 X는 물질파의 디 브로이 파 장(de Broglie wavelength)으로 알려 졌다. 전자의 파동성은 여러 가지 방법으로 실험되었다. 1927년 Davison과 Germed 의 한 한 실험에서 가열된 필라멘트로부터 전자들은 니켈 단결정에 수직 입사되도록 방출 되었다. 그림 2.2는 실험장치를 보여주고，그림 2.3은 그 결과를 보여준다. 산란된 전자 들의 농도에서 최대값이 존재한다는 것은 니켈 결정면에 있는 주기적인 원자들로부터 산란된 파동들의 보강간섭으로 설명된다. 각도 분포는 격자로부터 회절된 빛에 의하여 만들어진 간섭무늬와 대단히 유사하다. 입자와 파동의 이중성 원리에 내포된 주파수와 파장에 대한 인식을 갖기 위해서 그 림 2.4는 전자기파의 주파수 스펙트럼을 나타내었다. 다음 예제에서 계산되는 파장 72.7A은 자외선 영역에 해당한다. 주로 자외선과 가시광선 영역의 파장들을 살펴보게 될 것이다. 이 파장들은 통상적인 라디오 스펙트럼 영역과 비교하여 대단히 짧은 파장 이다.0 1) 전자현미경은 시편의 확대 사진을 만드는 현미경이다. 전자현미경의 배율은 광히 힌미징보다 약 1,00()배 크다. 왜냐하면 전자는 빛보다 약 100,000배 짧은 파장을 가지고 있기 때문이디. Z . 6 S ᅭ . 2 0 SO -A- o 0 0 2 Tr 2.1 양자역학의 원리 29 Luo 0 = 2 .2A 3 . 0 卜 0卜 0 J r6 2 ᅩ Q 1 P S * 1 1 — ▲ JTJaz ▼ i 호 s x w J -0.0」 (uno Y - O S X-rays Infrared Ultraviolet Gamma rays A fm o시2 + o시5 o시o 23 1o 8 1 Mm 1(厂 3 io3 io6 1 THz 1 MHz 1 kHz 6 Io 3 lo Mm 1 mm -9 10~6 5 1lo 그림 2.4 | 목적_| m 1 km nm I Radio spectrum - * 1 lo 2 - Wavelength (m) 1O8 1 Hz Frequency (Hz) 전자기파의 주파수 스펙트럼 예제 2.2 입자의 디 브로이 파장을 계산한다. 107 cm/sec = IO5 m/sec 속도로 운동하는 전자를 생각한다. 풀이 운동량은 p = mv = (9.11 X 1(广31)(105) = 9.11 X IO"26 kg-m/s 이고，그러면 디 브로이 파장은 x /? 6.625 X lO-^4 P~ 9.11 X IO'20 = 7그7 X IO'9 m 혹은 이 계산은 일반적인 전자의 디 브로이 파장의 크기의 차수를 보여준다. 연습 문제 Ex 2.2 (a) 전자가 12 meV의 운동에너 지를 가지고 있다. 디 브로이 파장올 계 안하시오. (b) 2.2X1O-31 kg의 질량올 가진 입자의 디 브로이 파장은 M2 入이다. 그 입자의 운동량과 운동에너지를 계산하시오， :-이 X Z.6 t = 3 •과 次-이 x S16 C = 30 Chapter 2 양자역학의 입문 어떤 경우에 전자기파는 마치 입자인 것처럼 행동하고，어떤 경우에 입자는 마치 파| 인 것처럼 행동한다. 양자역학의 이러한 파동과 입자의 이중성 원리는 주로 전자와 같 은 작은 입자들에게 적용된다. 그러나 양성자와 중성자에게도 역시 적용된 적이 있다 대단히 큰 입자에 대해서는 관련된 방정식들이 고전역학의 방정식으로 변환됨을 볼 수 있다. 파동과 입자의 이중성 원리는 결정에서 전자의 거동과 운동을 묘사하기 우1하0] 파동이론을 적용할 수 있는 바탕이 된다. 2.1.3 불확정 성 원 리 (Uncertainty Principle) 하이젠버그(Heisenberg)의 불확정성원리는 1927년에 주장되었는데 이것 또한 대단히 작은 입자에 적용되며，원자 보다 작은 입자의 거동은 절대적 정확성으로 설명될 수 없 다는 것을 입증하고 있다. 불확정성원리는 상보적(conjugate) 관계에 있는 변수들ᅳ예 를 들면 위치와 운동량. 혹은 에너지와 시간 등-사이에 성립하는 원천적 인 관계를 설 명하는 것이다. 불확정성원리의 첫 번째 주장은 입자의 위치와 운동량은 절대적 정확성을 가지고 동시에 묘사할 수 없다는 것이다. 만약 운동량의 불확실 정도가 이고 위치의 불확실 정도가 쓰•라면, 불확정성원리는 다음과 같다고 주장한다.2> * Ap Ax > (2.4) 여기서 h는 h = hllTT = 1.054xl(T34 J-s이고，변형된 프랑크 상수라고 부른다. 이 원 리는 각 위치와 각 운동량으로 일반화될 수 있다. 불확정성원리의 두 번째 주장은 입자의 에너지와 입자가 이 에너지를 갖는 순간 시 간을 절대적 정확성으로 동시에 묘사할 수 없다는 것이다. 다시 말하면 에너지의 불확 실 정도가 이고，시간의 불확실 정도가 Af 라면, 불확정성원리는 다음과 같다고 주 장한다. AE-Ar>A (2.5) 불확정성원리를 가시화할 수 있는 한 가지 방법은 위치와 운동량을 동시에 측정하던가 아니면 에너지와 시간을 동시에 측정하는 상황을 생각해 보는 것이다. 불확정성원리는 이러한 동시 측정은 어떤 범위 안에서 반드시 오차를 갖게 된다는 뜻이다. 그러나, 변 형된 프랑크 상수는 대단히 작기 때문에 불확정성원리는 원자 보다 작은 크기의 입자 의 경우에만 중요성을 가지게 된다. 그럼에도 불구하고 불확정성원리는 본질적인 원리 이며 측정할 때에만 적용되는 것이 아니라는 것을 반드시 명심해야 한다. 불확정성원리의 한 가지 결론은 예를 들면 전자의 위치를 정확히 결정할 수 없다는 것이다. 대신에 전자를 특정 위치에서 발견할 확률(probability)은 결정할 수 있다. 뒷장 2) 어떤 책에서는 불획■정성의 원리를 빠 작은 차이는 무시할 것이다. 化로 표현한다. 여기서 우리는 크기의 차수에 관심있으므로 2.2 슈뢰딩거 (Schrodinger》의 파동방정식 에서 전자가 특정 에너지를 가지는 확률을 계산할 수 있는 확률밀도함수(probability density function)를 배우게 될 것이다. 그래서 전자의 거동을 묘사하는데 있어서 확률 함수를 취급하게 된다. 이해도 평가 TYU 2.1 전자의 위치의 불확실 정도가 Ax = 8 A이다. (a) 운동량의 최소 불확실 정도 를 계산하시오. (b) 운동량이 p = 1.2X 10_23 kg-m/sec이면 그에 해당하는 운 동에너지의 불확실 정도를 계산하시오. [八^8 이 = TYU 2.2 X 8ICI = 여 ⑶ suy] (功 (a) 양성자의 에너지가 0.8 eV의 불확실성으로 측정되었다. 이 에너지를 측정하 는데 소요된 시간의 최소 불확실성을 계산하시오. (b) 전자에 대해서 (비의 계 산을 반복하시 오. [⑷ Lred sums (상) ts 9I_0Ix£t'8 = (”) suy] 2.2 슈뢰딩거(Schrodinger)의 파동방정식 물리의 고전 법칙으로 설명할 수 없는 전자기파와 입자들이 관련된 다양한 실험 결과 들은 역학 공식의 수정이 필요함을 보여 주었다. 1926년에 슈뢰딩거는 프랑크에 의하 여 도입된 양자의 원리와 디 브로이에 의하여 도입된 파동-입자 이중성 원리를 결합한 파동방정식이라고 부르는 공식을 제공하였다. 파동-입자 이중성 원리를 바탕으로 결정 에서 전자의 운동을 파동이론으로 표현할 것이다. 이 파동이론은 슈뢰딩거 파동 방정 식으로 표현된다. 2.2.1 파동방정식 1차원 비상대성 슈뢰딩거 방정식은 • 윳 '匕’') + V(x)'P(.v, r) = '녜Y，r) (2.6) 이다. 여기서 ^Cv,，)는 파동함수，V(.\)는 시불변 전위함수，w，은 입자의 질량、그리고 j 는 허수 이다. 슈뢰딩거 방정식의 형태의 타당성에 대한 논란은 있지만、이 방정 식 은 양자역학의 기본 공리이다. 파동함수 小(.V，f)는 시스템의 거동을 묘나하기 위하여 시용될 것이고，수학적으로 化\\ 0는 복소량이다. 변수분리 방법으로 파동함수를 시간 종속 부분과 위치 종속 즉 시불변 부분으로 나 눌 수 있다. 피동힘•수를 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다고 가정한다. r) = <A(-V)(/>(0 (2.7) 여기서 卞⑴는 위치 a•만의 함수이고，<t(f)는 시간 t 만의 함수이다. 이 해를 슈뢰딩거 31 32 Chapter2 양자역학의 입문 파동 방정식에 대입하면 + V⑴少 ⑷承⑴ = 州小비 H스 극1 必⑴ (2.8) 을 얻을 수 있다. 만약 양변을 파동함수로 나누면 식 (2.8)은 습^뽑+ VW= 서 •▲•뿐2 (2.9) 이 된다. 식 (2.9)의 좌변은 위치 a•만의 힘-수이고，우변은 시 간( 만의 함수이므로 이 방 정식의 각 변은 상수와 같아야 한다. 이렇게 변수분리된 함수를 상수 기로 표시한다. 식 (2.9)의 시 간 종속 부분은 1 (的) ~dt~ (2.10) 로 쓸 수 있고 여기서 파라미터 기를 분리상수라고 부른다. 식 (2.10)의 해는 4>(/) = e_)(T、씨' (2.11a) 형태로 쓸 수 있다. 이러한 형태의 해는 사인파의 고전적 지수형태이고, 여기서 기/ft는 각 주파수 ⑴이다. E = hv 혹은 E = 八0)/27?이고(D = x\/h = Elh 이므로 분리상수는 입자의 총에너 지 £와 같다. 따라서 4>(/) — e_j뻬、I — 公-j에 (2.11 b) 여기서 co = Elh 이며，정현파의 라디안 혹은 각 주파수이다. 슈뢰딩거 방정식의 시간 종속 부분은 식 (2.9)로 부터 -fe2. 1 . 빠M 2m 너，(z) dx2 + V(x) = E (2.12) 로 쓸 수 있다. 여기서 분리상수는 입자의 총에너지이다. 식 (2.12)은 + ^ (£ - V(x))<//(x) = 0 (2.13) 로 쓸 수 있다. 여기서 w은 입자의 질량이고，가시는 입자가 격는 전위이며 £는 입자의 총 에너지이다. 이러한 시간 독립 슈뢰딩거 파동방정식은 부록 E에서 보듯이 고전적 파동방정식을 미루어 보면 타당함을 알 수 있다. 부록에서 사용된 유도방식은 간단하 지만 시간 독립 슈뢰딩거 방정식의 타당성을 보여준다. 2.2.2 파동함수의 물리적 의미 우리는 궁극적으로 결정에서 전자의 거동을 묘사하기 위하어 피-동함수 小Cv, /)를 사용 2.2 슈뢰딩거(Schrodinger》의 파동방정식 하려는 것이다. 함수 水(지 /)는 파동함수이므로 함수와 전자와의 관계가 무엇인지를 밝 히는 것이 순서일 것이다. 전체 파동함수는 위치의존 혹은 시간독립 함수와 시간의존 하수의 곱과 같다. 식 (2.7)로부터 다음 식을 얻을 수 있다. = ip(x)e一뼈 卞(乂，/) = </，(，〔)(/)(，) = (2.14) 신체 파동한수 卞a, 0는 복소함수이기 때문에 그 자체가 물리량을 나타낼 수 없다. /)12는 주어진 시간에 x와x+企 사이에 입자를 발 Max Born은 1926년에 함수 견할 확률 혹은 확률밀도함수라고 가정하였다. 함수 상(지 0는 1卞(文，/)12 = 卞(ᄌ，/) • 卞•(ᄌ，0 (2.15) 이며，여기서 卞*(지 0는 복소공액함수이다. 그러므로 ^(x, t) = 小'(乂) • eÊ/h)r 이고, 따라서 전체 파동함수와 그 복소공액의 곱은 ^(x,，)'(%, t) = [i/，(x)e가"야] = 이다. 그러므로 nf(x，t)\2 = ^(x)^(x) = liAtx)!2 (117) 은 확률밀도함수이고，시간독립적이다. 고전역학과 양자역학의 하나의 중요한 차이점 은 고전역학에서는 입자의 위치가 정확히 결정되는 반면에 양자역학에서는 입자의 위 치가 확률로서 주어 진다는 점이다. 여 러 가지 예에 대하여 확를밀도함수를 계 산할 것 이다. 그리고 이것은 시간독립적이기 때문에 일반적으로 시간독립 파동함수에 관심을 가질 것이다. 2.2.3 경계조건 함수 나(시12는 단일 입자에 대한 확률밀도함수를 나타내기 때문에 (2. IS) 이어야 한다. 즉 어느 곳엔가 입자몰 반견함 확률은 반드시 있다. 식 (2.1S1 은 파동함수 를 정규화할 수 있게 하고 파동한수의 계수를 질정하기 위하여 나용되는 경계조건이다. 파동함수에 적용되는 나녀지 정계조건들과 그 미분들은 가정이다. 그어나 경계조건 들을 언급하고 왜 이 깃음 직용해야 하는지를 합리화하는 논거감 제 <1합 수 있다. 만약 총에니 지 “와 진위 V(a)가 모든 곳에서 유한하다면 파、동한수와 그 미분은 반드시 다음 의 싱 신올 가지야 한다, 33 34 Chapter2 양자역학의 입문 그림 2.5 다음 경우의 전위함수와 그에 해당하는 파동함수의 해: (a) 전위함수가 모든 영역에서 유한할 경우，(b) 전위함수가 특정 영역에서 무한할 경우 조건 】. 수⑴는 유한하고 단일값을 가지며，연속이어야 한다. 조건 2. d十⑴/사는 유한하고，단일값을 가지며，연속이어야 한다• 에(.r，r)l2는 확률밀도이므로 小⑴는 유한하고 단일 값을 가져야 한다. 만약 확률밀 도가 공간의 어느 지점에서 무한하다면 그 지점에서 입자를 발견할 확률은 확실하며 붙확실성의 원리에 위배되는 것이다. 총에너지 £와 전위 …니가 모든 지점에서 유한하 다면，식 (2.13)로 부터 2차 미분은 유한하여야 하며 이것은 1차 미분이 연속이어야 함 을 의미한다. I차 미분은 입자의 운동량과 관계가 있으므로 유한하여야 하고 단일 값을 가져야 한다. 결과적으로 유한한 1차 미분은 그 함수 자체가 연속이어야 함을 의미한 다. 특별한 경우에서는 전위함수가 공간의 특정 지역에서 무한할 수 있고，이 경우 1 차 미분은 연속일 필요가 없다하지만 나머지 경계조건들은 여전히 적용될 것이다. 그림 2.5 두 가지 전위함수와 그에 대응하는 파동함수 해의 예를 보여 주고 있다. 그 림 2.5a에서 전위함수는 모든 영역에서 유한하다. 파동함수와 그 1 차 미분은 연속이다. 그림 2.5b에서 전위함수는x < 0과^:〉"에서 무한하다. 파동함수는 경계에서 연속이지 만 그 1차 미분은 불연속이다. 다음 절과 연습문제에서 파동함수를 실제 계산할 것이다. 2.3 슈뢰딩거파동방정식의응용 이제 슈뢰딩거 파동방정식을 여러 가지 전위함수에 적용해 볼 것이다. 이러한 예들은 슈뢰딩거 미분방정식을 푸는데 사용되는 기법들을 보여줄 것이고，이 예의 결과들은 다양한 전위 아래에서 전자의 운동을 이해하는데 도움을 줄 것이디、이러한 결론적 개 념들은 뒤에 반도체물성을 논의하는데 적용될 것이디•• 2.3 슈뢰딩거 파동방정식의 웅용 자유공간의 전자 2.3.1 슈뢰딩거 파동방정식을 적용하는 첫 번째 예로서 자유공간에서 전자의 운동을 생각하 자. 입자에 작용하는 힘이 없다면 전위함수 가지는 일정할 것이고，전자의 에너지 E > 이어야 하므로 간단히 하기 위해서 모든 위치，게서 전위함수 가시 = 0 라고 가정 하자. 그러면 시간 독립 파동방정식은 식 (2.13)으로 부터 다음과 같이 쓸 수 있다. + 2^^) = 0 Tll dx2 (2.19) 이 미분방정식 의 해는 아래와 같은 두 가지 형태를 갖는다• jxy/2mE </，(，:) — A exp h —jxV2/7zE j + 公 exp (2.20a) 혹은 i//(x) = A exp(jkx) + B exp(—/見x) (220b) 여기서 (2.21) 이며, 파수(wave number)라고 한다. 해의 시간 의존 부분은 (/>(/) = e~j(E/h)t = e~jtul (2그2) 인 것을 상기하자. 그러 면 파동함수의 총 해는 t) = A exp[j(^ — a)r)] + 公 exp[—j(Ax + (2그3) 이다. 이 파동함수 해는 진행파이고，자유공간에서 운동하는 입자는 진행파로 표현됨을 의미한다. 계수 가를 갖는 첫 항은 방향으로 진행하는 파이고, 계수 £를 갖는 두 번 째 항은 -X 방향으로 진행하는 파이다. 이 계수들의 값은 경계조건으로 부터 결정될 것이다. 결정 혹은 반도체에 있는 전자에 대하여 진행파 해를 다시 보게 될 것이다. 먼저 진행파로 표현되는 +X 방향으로 진행하는 입자를 생각하자. 즉 식 (223) 에서 계수 B = 0인 파동함수를 생각하자. 이 경우 진행파 해는 아래와 같은 형태를 갖 는다. 성'(.'.，r) = A exp[J(ZLv - cot)] (2.24) 厂方 (2.25a) 여기서 々는 파수이고 혹은 一一卜、/히 jg 36 Chapter2 잉자역학의 입문 (2.25b) p — hk 로 표현된다, 또한 디 브로이 파장은 A I I 2 - - 부 •26) 임을 기억하자. 식 (2.25a)와 식 (2.26)< 결합하여 파장을 파수로 다음과 길-이 표현할 수 있다. A = 등 (2.27a) k = 뜻 (2.27b) 혹은 정확한 에너지를 갖는 자유입자는 역시 정확한 파장과 운동량을 갖는다. r) = /U*이고，위치에 무관한 상수이다. 결정된 운동 확률밀도함수는 小(X. 량을 갖는 자유입자는 동일한 확률을 가지고 모든 위치에서 발견된다. 이 결과는 운동 량이 정확할 경우 위치를 결정할 수 없다는 하이젠버그의 불확정성원리와 일치한다. 편재화된(localized) 자유전자는 파속(wave packet)으로 묘사되 며, 이 것은 다른 운동 량 즉 ( 값을 가지는 파동함수들의 중첩(superpositi에)으로 표현된다. 파속에 대해서는 여기서 논의하지 않을 것이다. 2.3.2 무한전위우물 무한 전위우물에 있는 입자 문제는 갇힌 입자의 고전적 예이 다. 이 문제의 경우 전위 \/(시는 위치의 함수로서 그림 2.6에 나타나 있다. 입자는 영역 II에 존재한다고 가정하 면 입자는 유한 공간 영역 내에 갇혀 있다. 시간 독립 슈뢰딩거 파동 방정식은 다시 식 (2.13)과 같이 주어지고， 사뿐수 불 (£-VWW) = 0 (2.13) 여기서 끈는 입자의 총에너지이다. 만약드가 유한하다면，파동함수는 영역 I과 III에서 ‘0’ 즉 小⑴ = 0이다. 입자는 무한 전위 장벽을 투과할 수 없으므로 영 역 I괴- III에서 입자를 발견할 확률은 ‘0’ 이다• 전위 나 = 0인 영역 U에서 시간 독립 슈뢰딩거 파동 방정식은 르욘 + 목뿐切 = 0 이 되고, 이 방정식에 대한 해의 특별한 형태는 (2.28) 2.3 슈뢰딩거 파동방정식의 웅용 V(x) 영역 I 영역 m 영역 n x=0 그림 2.6 x=a 무한 전위우물의 전위함수 (2.29) 小(、x) = A[ cos kx + A2sin kx 으로 주어진다. 여기서 (230) 이다. 경 계조건 즉 파동함수 양⑴는 연속이 어 야 하므로 i!/(、x = 0) = i!A、x = «) = 0 (2.31》 이다. A- = 0에서 경계조건을 적용하면 시 = 0 이어야 한다. _V= 쎄서는 小(、x = a) = 0 = A2 sin ka (2.32) 이다. 이 방정식은。= /ht이면 성립하며, 여기서 파라미터 "은 양의 정수 즉 n = L 2, 3, ... 이 다. 파라미터 "을 양자수라고 부른다. 다시 k =등 (2义) 로 쓸 수 있다. n의 음의 값은 단순히 파동함수에 서 음 부호를 붙이는 것이고. 파동밀도 함수에 대해서는 중복되는 해가 된다. 따라서 과 해 사이에 물리적으로 어떤 차 이점도 없다. 계수 시2는 식(2.18) 즉 C W(x)dv 에 의해 주어지는 정규화 경계조건으로 부터 구할 수 있다. 만약 파동함수 해 小⑴가 실함수이면 小⑴ = 卞»이다. 파동한수를 식 (2.18)에 대입하민 |0 A; sin2 kx(lx = 1 (—34) 37 38 Chapter2 양자역하의 입문 이다. 이 적분을 계산하면ᄁ (2.35) A2 = VI 이 된다. 마지막으로 시간 독립 파동의 해는 少⑴ =、!、sin (꼭즈) where n = 1，2, 3,... (2.36) 로 주어 진다. 이 해는 무한 전위우물에 있는 전자를 나타내고，정재파 해이다. 자유전자는 진행파 로 표현되고 이 갇힌 전자는 정재파로 표현된다. 파동 해의 파라미터 I는 식 (2.30)과 (2.33)으로 정의되었다. 이 두 방정식을 같게 놓 o며 쇼2 —然 = 2"化„ _ "27근 h2 (2.37) a2 를 얻는다. 따라서 총에너지는 E = En= 간,。 where n — 1，2, 3,... (2.38) 로 주어 진다. 무한 전위우물의 입자에 대한 파동함수는 少U) = VI sin knx (2.39) 로 주어지며，여기서 상수，는 불연속 값을 가져야 하는데 이것은 입자의 총에너 지가 단지 불연속적 값만 갖는다는 의미이다. 이 결과들은 입자의 에너지가 양자화된다는 것을 뜻한다. 즉 입자의 에너지는 오직 특정한 불연속 값들만 가질 수 있다. 입자 에너 지의 양자화는 입자가 연속 에너지 값을 가질 수 있는 고전 물리의 결과와 상반된다. 이러한 불연속 에너지들은 이 장과 다음 장에서 보다 자세히 고찰하게 될 양자상태들 을 유도한다. 갇힌 입자의 에너지 양자화는 대단히 중요한 결과이다. 3)좀 더 상세히 분석하면 I42!2 = 2/상이므로 상수/는 十\/^，■세 —j外石:、一를 포함한다. 파 동함수 자체는 물리적 의미가 없으므로 어느 상수를 선텍할 것인가는 중요하지 않다. 즉 이들 모두가 같 은 획살밀도함수를 나타내기 때문이다. 2.3 슈뢰딩거 파동방정식의 융용 S3 예제 2.3 무한 전위우물에 있는 전자의 첫 3개 에너지 준위를 계산한다. 폭 5 A 의 무한 전위우물에 있는 전자를 생각한卜자. ■ 시 (2.38)로 부터4) E — fe2/727F2 n 2ma2 n2( 1.054 X lQ-34)2?^ = n2(2.41 X 10시9) J 2(9.】 i X 1(广31)(5 X 1(广10)2 E = h2(2.41 X IO-'9) 1.6 X 10_19 = n2(l.引) eV 그러면 E. = 1.51 eV, E2 = 6.04 eV, E. = 13.59 eV 이다. 區히 이 계산은 갇힌 전자의 에너지 준위의 차수의 크기를 보여준다. 연습 문제 Ex 2.3 (a) 무한 전위우물의 폭이 12 A이다. 전자의 첫 3개의 허용 에너지 준위를 계산 하시오. (b) 양성자에 대해서 (a)와 동일한 계산하시오« [ap £-이 父 8:1 ‘八3，卜oi x qls ‘八9，，이 x gzn ⑷-As isrz ‘서 gwi ‘八이 9ro ⑶ suvl 그림 2.7a는 무한 전위우물에 있는 입자의 첫 4개의 허용 에너지들을 보여주고，그림 2.7b와 2.7c는 그에 해당하는 파동함수들과 확률함수들을 보여준다. 에너 지가 증가함 에 따라 주어진 x에서 입자를 발견할 확를은 보다 균일해짐에 주의하여야 한다 2.3.3 계단전위함수 그림 2.8의 계단전위함수를 살펴보자. 전 절에서 두 전위장벽 사이에 갇힌 입자를 살펴 보았다. 이 예에서는 입자 속(tlux)이 전위장벽에 입사한다고 가정한다. 입자들은 +.v 방향으로 진행하고 x = -oo에서 출발하였다고 가정한다. 특히 흥미로운 결과는 입자 의 총에너지가 장벽의 높이 보다 작은 경우 즉E< Vo 일 때 얻어진다. 각 영역에 시간 독립 파동 방정식을 적용한다. 이 일반 방정식은 식 (2.13)에서 d2i|/(A)/dx2-V(.v))i|i(.v) = 0로 주어진다. V = 0인 영역 I 에서 파동방정 식은 〜 + 一元「= 0 규乂⑶ , 2mE , ,、 4) 에너지 단위로서 eV에 대해서는 부록 D롭 참조합 것. a /，4m (- 40) 39 40 Chapter2 양자역학의 입문 - 八AAA ，，= 4 15 t i 헤10 1 n=3 O 쓰 - 방 /\/\_A fM .E 、크，， 니 5 - 스느7 거 n=2 n — 1 ,v = 0 x=a (b) (a) 그림 2.7 广、、，、、乂、、 a- = 0 (c) 무한 전위우물속의 입자: ⑶ 4개의 낮은 불연속 에너지 준위 （b） 파동함수 （c） 확률함 수 （Pierret [9]에서 인용） 이다. 이 방정식의 일반해는 i/（）（x） = A\dk'x + B}e~jklX （x 드 0） (2.41) 로 주어진다. 여기서 상수 시은 a /2mE V 一쥬「 (2.42) 이다. 식 （2.4】）의 첫 항은 입사파를 나타내는 하 방향의 진행파이고，둘째 항은 반사 파를 나타내는 -x 방향의 진행파이다. 자유입자의 경우와 같이 입사와 반사입자는 진 행파로 표현된다. 입사파에 대해서 Aj • 시* 은 입사입자들의 확률밀도함수이다. 만약 이 확률밀도함 VM 입사입자 --------- ► 나0 영역 II 영역 I x=0 그림 2.8 계단전위함수 2.3 슈뢰딩거 파동방정식의용용 수에 입사속도를 곱하면 v,• • 시 . 시*은 #/cm2-sec 단위를 갖는 입사입자들의 속(flux)이 된디-. 이와 마찬가지로 v,. • • 비•은 #/cm2-sec 은 반사입자들의 속(flux)이 되며，여기 시 v,. 은 반사파의 속도이 다. (파라미 터 과 vr 은 속도의 크기 만을 나타낸다.) 영역 II에서 진위는 V =。이다. 만약 £ ＜。이면 영역 자에서 파동함수를 표현하 는 미분방정식은 (2.43) 이디-. 그러면 일반해는 i//2(x) = A2e-^ + 公2e+사 (X > 0) (2.44) 로 주어지며，여기서 卜 V，여 (2.45) 이다. 경계조건으로 파동함수 양2«는 유한하여야 하며，따라서 이것은 계수= 0이어 야 한다. 파동함수는 i/，2(x) = A2e~^ 이 된다. (x > 0) (2-46) = 0에서 파동함수는 연속이 어야 하므로 WO) = (2.47) 이다. 그러면 식 (2.41)，(2.46)과 (2.47)로부터 A! + = A2 (2.48) 를 얻을 수 있다. 전위함수는 모든 영역에서 유한하여야 하므로 파동함수의 1차 미분도 역시 유한하 여야 한다. 그러므로 (2.49) 이다. 식 (2.41)，(2.46)과 (2.49)를 이용하여 jklAl - jk'B、= -Mz (2.50) 을 얻을 수 있다. 식 (2나8)고I (2.50)음 풀어서 제수 /가과 A2를 입사파의 계수，시으로 나타낸다. 그 결과 D 一一여 + 2#化一 억) 1 — (2.51a) 41 42 Chapter2 양자역학의 입문 과 2k、(k、_ jk2) 乂1 (2.51b) 을 구할 수 있다. 반사 확률밀도함수는 .시•시 역얘+ (2.52) (J드 + 사)2 로 주어진다. 반사계수 R 즉 입사속과 반사 속의 비율은 … .公, .公7 (2.53) R = Vi • Ai • Ai 으로 주어진다. 여기서 Y,과 Vr은 입자의 입사 및 반사 속도이다. 영역 I에서 V=0 이 므로 £ = r이며，여기서 r는 입자의 운동에너지이다. 운동에너지는 T = |/nv2 (2.54) 로 주어 지므로 상수 시은 식 (2.42)로부터 k'= V봉 (士”써= =T (2-55) 이 된다. 그러면 입사속도는 V. = | • (2.56) 로 주어진다. 영역 I에도 반사입자가 존재하므로 반사속도(크기)는 V，= 춈 • 시 (2.57) 로 주어진다. 입사와 반사속도(크기)는 같다. 따라서 반사계수는 V, • 公，• 公; = 公! • 公; Vi • 八1 • A\ (2.58) 乂 I • AJ 이 된다. 식 (2.52)를 식 (2.58)에 대입하면 히.억-사+ 4fc從 A| • A\ 걷 + 사 1.0 (2.59) 를 얻을 수 있다. R = 1이란 에너지 E<V0 이면서 에너지 장벽에 입사한 모든 입자들은 결국 반사 함을 의미한다. 입자들은 전위장벽을 통과하지도 흡수되지도 않는다. 이 결과는 고전찰 2.3 슈뢰딩거파동방정식의웅용 리와 완전히 합치되는 것이므로 왜 이러한 문제를 양자역학적으로 다루어야 하는지 질 문하게 된다. 흥미로운 결과는 영역 니에서 발생한다• 영역 II의 해는 식 (2.46)에 의하여 小2(x) = 乂/_나로 주어진다. 식 (2.48)로부터 계 수 시는 시 = 시 + 히이며 경계조건으로부터 유도된다. £< Vo의 경우 계수시는 영 이 아니다. 만약시는 영이 아니면 영역 n에서 발견될 입자의 확률밀도함수化(x) • 化⑴은 영 이 아니다. 이 결과는 입사입자가 전위장벽을 투과하여 영역 n에 존재할 확 률이 있다는 의미이다. 입자가 전위장벽을 투과할 확률은 고전과 양자역학의 또 다른 차이이다. 양자역학적 투과는 고전적으로 허용되지 않는다. 입자가 장벽을 투과할 확률 이 있다고 하더라도 영역 I의 반사계수가 1 이기 때문에 영역 n의 입자는 결국 되돌아 서 영역 I로 이동한다. I 목히 예제 2.4 전위장벽에 충돌한 입자의 투과 길이를 계산한다. 영역 I에서 속도 1 X IO5 m/sec로 진행하는 입사 전자를 생각하자. 풀이 = 0이므로 총에너지는 운동에너지와 같다. 따라서 E = T = | wv2 = 4.56 X 10_그1 J = 2.85 X 10~2 eV a = 0에서 전위장벽은 입사입자의 총에너지의 2배 만큼 크다고 가정한다. 즉 Vo = 고 가정한다. 영역 n에서 파동함수해는心(시 라 다1이며. 여기서 상수、는 h = v 이다. 이 예에서 파동함수 크기가 A- = 0에서 값의 e-1 만큼 감소하는 거리 X = 신를 구하고 싶다. 그러면 이 경우/^ = 1 혹은 이다. 따라서 거리는 j-\ _ 1.054 X 10'54 ，，스、, w " V 2Ê - vi(9.1lX10-») (4.56X10-^) = 116 X 10 m 혹은 11.6 A 이다. 이 투과 깊이는 대략 실리콘의 격자상수의 2배 정도에 해당한다. 이 예제에서 나용된 숫자 는 임의로 징한 것이다，파동함수가 초기 값으로부터 에를 들면 e-2 감쇄하는 거리률 사용할 수도 있다. 로 감쇄하는 거리읍 사용했지만， 43 44 Chapter 2 양자역학의 입문 연습 문제 영역 II에서 .v = 0로부터 거리 "에서 입자를 발견할:확구!시 다. 영역 1에서 속도 IO5 m/s로 전위장벽으로 입사하는 전지를 생각우ᄉ:시 s 비으， Ex 2.4 이는 전자의 운동에너지의 3배이다. a = 0로부터 장벽 내부의 거리 써서 진자코 발에 확률을 계산하시오. (a) J = 10 A, (b) 100 A miᅀ‘%089 8 = d (베 전위장벽에 입사하는 입자의 총에너지가 장벽높이 보다 클 경우’ 즉 £〉Vo는 이 장의 연습문제로 남겨둔다. 2.3.4 전위장벽과 투과 그림 2.9의 전위장벽 함수를 살펴보자. 흥미로운 문제는 입사 입자의 총에너지가 £< Vo 일 때 나타난다. 입사입자들이 음의 그•축에서 출발하여 —J 방향으로 진행한다고 가 정한다. 전과 같이 3개의 각 영역에서 슈뢰딩거 시간 독립 파동방정식을 풀어야 한다. 영역 I과 II 그리고 III에서 파동방정식의 해는 각각 다음과 같이 주어진다• 此 (x) = A}^x + B'e-如 (2.60a) i//2(x) = A 2^ + 니신 (2.60b) = A3e,k,x + 公 기T (2.60c) 여기서 (2.61a) 이고， k2 = }J^(VQ-E) (2.61b) 이다. V(x) Incident particles — — (£ < Vo) 영역 II 영역 1 영역 III x = 0 그림 2.9 전위상벽함수 2.3 슈뢰딩거 파동방정식외 옹용 45 식 (2.60c)의 계수 산3는 영 역 ni에서 음으로 진행하는 파를 나타낸다. 그러나 일단 입자가 영역 ni으로 진입하면 반사시키는 전위장벽이 없다. 따라서 계수馬는 ‘0’ 이다 시 (2.6애)에서는 두 개의 지수항 모두 존재해야 한다. 왜냐하면 장벽의 폭이 유한하므 소 이느 항도 제한되지 않기 때문이다. 오 = 0과 x = tz의 경계점에서 파동함수와 그 I 차 미분함수들은 연속이어야하는 4개의 경계조건으로부터 4개의 계수피,A2,fl2,A3 를 시으로 플 수 있다，3개 영역에서 파동함수들이 그림 2,10에 나타나 있다. 특히 흥미로운 파라미터는 영역 I의 입사속에 대한 영역 m의 투과속도의 비율로 정 의되는 투과계수이다. 그러면 투과계수 r는 vf-A3-A^_A3- A； Vi • *4* 녜 (2.62) 이며，여기서 v,와 v,는 투과 및 입사입자의 속도이다. 영역 I과 HI의 전위는 V = 0 이므 로 입사과 투과입자의 속도는 같다. 투과계수는 경계조건 방정식들을 플어서 구할 수 있다. E 〜인 특별한 경우 7，« 16(측- 준卜자) (一(2.63) 이다. 식 (2.63)은 전위장벽에 충돌한 입자가 장벽을 뚫고 영역 m에 나타날 확률이 있다 는 의미이다. 이 현상을 투과(tunneling)라고 하며. 이 또한 고전역학을 벗어나는 현상 이다. 뒤에서 어떻게 이 양자역학적 투과현상이 반도체 소자，즉 터널 다이오드에 응응 되는지를 보게 될 것이다. S3 전자가 전위장벽을 투과할 확률을 계산한다. 에너지 2 eV를 가진 전자가 높이가 Vo = 20 eV이고 폭이 3A인 전위장벽에 층들하는 경우를 살펴본다. 풀이 식 (2.62)은 투과확률이다. 계수。는 그림 2.10 전위장빅名- 관룽하는 파공함수 예제 2.5 ᅴ 46 Chapter 2 양자역학의 입문 k = f; =X 10_31)(20 - 2)(1.6 X 10에 (1.054 X 10 34)2 즈 k2 = 2.17 X 10,0m-1 그러면 T= 16(0.1)(1 -0.1) exp [-2(2.17 X 10,0)(3 X IO'10)] 그러므로 T= 3.17 X 10 6 區互] 투과확률은 적은 값일 수 있다. 그러나 영은 아니다. 만약 많은 수의 입자들이 전위장벽에 충돌한다면 적지않은 수의 입자들이 장벽을 투과할 것이다. 연습 문제 Ex 2.5 (a) 높이 Vo = 1.2 eV, 폭 a = 5 A인 구형 전위장벽을 에너 지 E = 0.12 eV 가 진 전자가 투과할 확률을 추정하시오. (b) = 25 A에 대해서 문제 (a)를 반복하시오. [zi-01 X 스6T = 丄 (公):£-01 父 ZO L = 丄 (P) suv] 이해도 평가 TYU 2.3 (a) 장벽높이가。0 = 0.8 eV이고 장벽의 폭이 12 A 인 구형 장벽을 관통하는 전자의 투과확률을 계산하라. 전자의 에너지는 0.10 eV이다. (b) Vo = 1.5 eV 에 대해서 문제 (a)를 반복하시오. TYU 2.4 [£_이 X = 1 (公) -5-01 x L6S = 1 (») suy] 어떤 반도체 소자가 장벽의 높이 Vo = 0.8 eV인 구형장벽에 대한 전자의 투과 확률이 T = 5X10-5 6가 되도록 요구한다. 전자의 에너지는 0.08 eV이다. 최대 장벽의 폭을 계산하시오. (Y 9Ktn = D suv) 2.스 파동이론의 원자로의 확대5》 이 장에서 지금까지 여러 가지 1차원 전위 에너지 함수를 살펴보았고，입자를 발견할 확률함수를 얻기 위하여 슈뢰딩거 시간-독립 파동방정식을 풀어 보았다. 이제는 단일 전자 원자 혹은 수소원자의 전위함수를 살펴보자. 수학적 계산과 파동함수 해에 대해 서는 간략히 살펴보지만 그 결과는 대단히 흥미롭고 중요하디-. 5) 상세한 역학적 분석은 이 책의 범위를 벗어난다，그러나 이 절에서 강조하는 결과는 반도체물리를 논의하 는데 있어서 대단히 중요하다- 2.4 파동이론의 원자로의 확대 2.4.1 47 단일 전자 원자 원자핵은 무거운 양전하를 띤 양성자이고，전자는 가볍고 음전하를 띤 입자이며，고전 Z-] 보이 이론에 의하면 전자는 원자핵 주위를 회전한다. 전위함수는 양성자와 전자 사 이의 물통 인력에 의하여 형성되며， _ 於2 _ = 4^7 化64) 로 주어진다. 여기서 卜는 전자전하의 크기이고，은0는 자유공간의 유전률(permittivity)이 디-. 이 전위함수는 비록 구대칭이지만 구좌표계에서 3차원 문제를 야기시킨다. 시간-독립 슈뢰딩거 파동방정식을 3차원으로 일반화하면 ▽2(A(r，0，(/>) + #(£ — V(厂))少(，，0, </>) = 0 (2.65) 이 된다. 여기서 더은 라플라스 작용자이고 이 경우 구좌표계로 표현되어야 한다. 파라 미터 시는 전자의 정지질량이다.6》구좌표계에서 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다- i .옮 卜普) + 7“ •■ + 7늘 •옮卜0•홅) (2.66) _ V(r))(A = 0 + 식 (2.66)의 해는 변수분리 방법을 사용하여 구할 수 있다. 시간_독립 파동방정식의 해는 少(r，0, </>) = R(r) • 0(0) • $(d) (167) 로 쓸 수 있다고 가정한다. 여기서 또 0와 송는 각각 r. 0와 d만의 함수이다. 이것을 식 (2.66)에 대입하면 sin20 d 성 K•業+쁑•옮卜-f) + ,너매 •증(표一 v) = o (2.68) 이 된다. 식 (2.68)의 두 번째 항은(/>만의 함수인 반면에 다른 항들은 r과 e의 함수임을 유의하라. 변수분리 후 얻어지는 0의존 방정식은 A •'= 一，，l: (2.69) 이다. 여기서 m은 변수분리 상수이다.n 식 (2.69)의 해는 다음의 형태를 갖는다. 6) 질량은 두 입자 시스'?!의 정지질양이어야 하지만 양성자의 질량은 전자 보다 원반 크기 때유에 등가질량 은 전자의 린량이 된다. 7) 이기서 "，은 민수분리의 상수불 의미한다. 이러한 상수는 진자 집량과 혼든위 수 있지만 여기서 계속 사 용워 싯이다. 일반비으로 질량 파라미터는 천자와 함께 사용편다. lt，Ol 48 Chapter2 양자역학의 입문 (/> = ejm4> (2.70) 파동함수는 단일 값을 가져야 하므로 ⑶은 정수 즉 m = 0, ±1，之2, ±3,... 이라는 조건을 부여한다. 변수분리 상수를 사용하여 변수 e와 /.을 분리하고 추가로 변수분리 상수 '과 "을 만 든다. 변수분리 상수들 즉 n, /과 ⑴은 양자수라고 하며， n = 1，2, 3, … / = 기 一 1，，，一 2, " 一 3,... 0 (2.72) l，nl = /，/ 一 1,...» 0 의 관계를 갖는다. 양자수의 조합은 전자가 차지하는 양자상태에 해당한다. 전자의 에너지는 (2.73) E„ = (477€o)22^2/Z2 의 형태로 주어진다. 여기서 n은 주양자수이다. 음의 에너지는 전자가 핵에 갇혀있음을 나타내고, 갇힌 전자의 에너지는 다시 양자화 됨을 알게 된다. 만약 에너지가 양이면 전자는 더 이상 갇힌 입자가 아니고 총에너지는 더 이상 양자화 되지 않는다. 식 (2.73) 에서 파라미터 n은 정수이므로 전자의 총에너지는 단지 불연속적인 값을 갖게 된다. 양 자화 된 에너지는 공간적으로 유한한 영역에 입자가 갇힌 결과이다. 여제 2.6 | 목적 j 단일 전자 원자의 첫 3개 에너지 준위를 계산하시오. 풀이 - -moe4 _ 一(9.11 X 10-3,)(1.6 X 10시9)4 n ~ (4tt€0)2 2^n2 ~ [4미8.85 X 10시2)】2 2(1.054 文 1(广사)2 n2 _ 一21.726 X 】0-|9j n2 w = I; Ei = -13.58 eV n = 2; w = 3; E2 = -3.39 eV Ey - -1.51 eV Of , -13.58 cV n2 o 에너지 준위가 증가함에 따라 에너지의 음의 값이 작아진다. 이것은 전자가 원자의 속박으 로부터 점점 벗어남을 의미한다. 연습문제 Ex 2.6 예제 2.6에서 자유공간의 유전률。를 어떤 재료의 유전률 e = ere0로 대체하였 다고 가정한다. 만약 호,. = ".7일 때 예제 2.6의 계산을 반복하시오. 2.4 파동이론의 원자로의 확대 （八3山 0. 니 - = 앙 ‘A3山 8 竹- = 상 A3UIT66一 = l3 suy） 미동방징식의 해는 九/w으로 표시하고，여기서 "，/과 ⑵은 양자수이다. 가장 낮은 에너 지 싱 데에 대해서，7 = 1，/ = 0과 A” = 0이며，파동함수는 〜 = 옳，(A)3/2W (2-예 로 주어진다. 이 함수는 구대칭이며 파라미터 아)는 = 47^ = 0529A mQe2 (2.75) 로 주어지며，보어 반경과 같다. 반경확률밀도함수 혹은 핵으로부터 특정 거 리에서 전자를 발견할 확률은 이oo • 곱에 비례하고，또한 핵 주위의 부피 각에 비례한다. 가장 낮은 에너지 상태의 확 률밀도함수가 그림 2.11a 에 그려져 있다. 핵으로부터 가장 확률이 높은거리는 r = 마 이며，보어의 이론과 일치한다. 이러한 구대칭적 확률함수를 고찰하면서 핵 주위를 공 전하는 불연속 입자보다는 핵을 둘러싸고 있는 전자구름，혹은 에너지 각의 개념이 더 적합하다. 다음으로 높은 에너지 상태인 시 = 2, / = 0, m = 0에 해당하는 구대칭 파동함수 즉 반경확률밀도함수가 그림 2.10b에 나타나 있다. 이 그림은 전자의 다음으로 높은 에 너지 각에 대한 개념을 보여준다. 두 번째 에너지 각은 첫 번째 보다 핵으로부터 더 큰 반경에 위치한다. 그림에서 나타나듯이 전자가 더 작은 반경에 존재할 작은 확를이 여 전히 있음을 볼 수 있다. ” = 2와 / = 1 의 경우 세 개의 허용된 양자수 이에 해당하는 3 개의 가능한 상태가 존재한다. 이 파동함수들은 더 이상 구대칭이 아니다. S C?운 O 0.1 O S. 그림 2.11 단일 전자 원자의 (a) 가장 낮은 에너지 상태와 (b) 다음 높은 에너지 상태의 반경확률밀도 함수 (Eisberg와 Resnick |5| 참조) 49 50 Chapter2 양자역하의 입문 비록 단일 전자 원자에 대하여 수학적으로 깊이 있게 다루지 않았지만 반도체를 C-] 깊이 있게 고찰하기 위해서는 3가지 결과가 중요하다. 첫째는 간단힌 선위함수에서와 같이 전자확률함수를 제공하는 슈뢰딩거 방정식의 히1이다. 다음 징에 니 반도체의 | 성을 다룰 때 전자확률함수도 고려할 것이다. 두 번째 결과는 갇힌 산자의 에너지 § 위는 양자화 된다는 것이다. 세 번째 결과는 변수분리 과정에서 도출된 양자수와 양자 상태의 개념이다. 다음 절과 다음 장에서 반도체물성을 다룰 때 이 새념을 다시 사용 할 것이다. 2乂.2 주기율표 원소 주기율표의 처음 부분은 단일 전자 원자의 결과와 2개의 추가 개념으로부터 결정 된디•. 첫 번째 필요한 개념은 전자 스핀이다. 전자는 양자화 되어 두 개의 가능한 값 중 에 하나를 취하는 스핀 혹은 내부(intrinsic) 각운동량을 갖는다. 스핀은 양자수 로 지 정되며 5= +士 혹은 s니의 값을 갖는다. 그러면 이제 4개의 기본 양자수 즉,?J， Z7! 그리고 X를 갖게 된다. 두 번째 필요한 개념은 파울리의 배타원리(Pauli’s Exclusion Principle)이다. 파울리 의 배타원리란 주어진 시스템(원자，분자 혹은 결정)에서 두 개의 전자가 같은 양자상 태를 차지할 수 없는 원리를 말한다. 배타원리는 결정에서 가능한 에너 지 상태 중에서 전자의 분포를 결정하는 중요한 요소임을 보게 될 것이다■ 표 2.】은 주기율표의 몇 가지 원소들을 보여주고 있다. 첫 번째 원소로서 수소는 n = 1에 해당하는 가장 낮은 에너지 상태에 전자 하나를 갖는다. 식 (2.72)에서 보듯이 양자수 /과 이은 영이어야 한다. 그러나 전자는 스핀 상수 냐 혹은 -士 중에서 하나를 택하게 된다. 헬륨은 가장 낮은 에너지 상태에 2개의 전자를 갖는다. 이 경우 / = w = 0 이므로 두 전자 스핀 상태는 모두 점유되고 가장 낮은 에너 지 각은 가득 차게 된다. 전자의 화학작용은 주로 가전자 혹은 최외각 전자에 의하여 결정된다. 헬륨의 가전자 각은 완전히 채워져 있으므로 헬륨은 다른 원소와 반응하지 않는 불활성 원소이다. 표 2.1 주기율표의 처음 부분 원소 표기 n 수소 Ij1 】 헬륨 】戶 리톰 베릴름 l?2r m s 0 0 + ? 이■-+ 】 0 0 4 and 4 2 0 0 ior-\ 0 0 and 一크 1 붕소 1 1 r2r2p2 질소 lr2j22p3 m = 0, 一 1, + 1 산소 l?2?2p4 + 불소 LsJ2r2/?5 1 네온 1?2?2/ 1 丄 탄소 I 2* 1 2 주요용어 세 빈째 원소 리듬은 3개의 전자를 가진다. 3번째 전자는 n = 2에 해당하는 두 번째 에니지 각으로 이동해야 한다. /I = 2 일때 양자수 I은 0 이거나 1일수 있고/ = 1 일 때 앙자수 m은 - 】，0 혹은 + 1 일 수 있다. 각 경우 마다 건자 스핀 상수는 나 혹은 一士 일 4 있다. 따라서 n = 2에 대해서 8개의 가능한 양자상태가 존재한다. 네온은 10개의 신사를 기-진다. 두 전자는 /? = 1 에너지 각에 위치하고 8개 진자는 /J = 2 에너지 각에 위치힌-다. 이 경우 두 빈째 에너지 각이 채워지므로 네온도 역시 불활성 원소이다. 전자 스핀과 파울리 배타원리의 개념과 함께 단일 전자 원자에 대한 슈뢰딩거 파동 방정식의 해로부터 원소의 주기율표를 작성할 수 있다. 원소의 원자번호가 증가함에 따라 전자들은 서로 영향을 주게되어 주기율표의 작성은 간단한 원리로부터 다소 벗어 나게 된다. 2.5 요약 « 다양한 전위함수에 대해서 전자의 거동을 묘사하는데 사용되는 양자역학의 몇 가지 기 본 개념을 다루었다. 전자의 거동을 이해하는 것은 반도체물성을 이해하는데 필수 요 소이다. ■ 파동-입자의 이중성 원리는 양자역학에서 중요한 요소이다. 입자들은 파동과 유사한 거동을 보일 수 있고，파동은 입자와 유사한 거동을 보일 수 있다- ■ 슈뢰딩거 방정식은 전자의 거동을 예측하고 설명하는데 기초가 된다• ■ 막스 본은 내(X)l2이 확률밀도함수라고 가정하였다. ■ 슈뢰딩거 방정식을 갇혀있는 입자에 적용한 결과는 갇힌 입자의 에너지가 양자화된다 는 것이다. ■ 슈뢰딩거 방정식을 전위장벽에 입사되는 전자에 적용한 결과는 투과할 확률이 존재한 다는 것이다. ■ 단일 전자원자에 슈뢰딩거 파동방정식을 적용한 결과로부터 양자수의 개념을 도출하 였다. ■ 주기율표의 기본 구조는 슈뢰딩거 방정식과 파울리의 배타율을 단일 전자를 갖는 원자 에 적용함으로써 예측할 수 있다. 주요용어 디 브로이 물질파 운동량 厂를 갖는 입자의 파장 X로서、플랭크 상수로 나타내어 진다. 하이젠버그 불확정성 원리 입자의 운동량과 위치를 동시에 알 수 없다는 원리 Pauli 배타율 두 개의 전자가 같은 양자상태를 차지할 수 없는 원리 광자 입자같은 전자기파 에너지 덩어리 양자 입자같은 열방출 에너지 덩어리 양자화된 에너지 갇힌 입자돌이 차지할 수 있는 허용된 개헌 에너지 준위 51 2 Chapter2 양자역학의 입문 양자수 단일원자의 단일전자의 경우와 같이 입자의 양자상태를 표기하는 상수집합 터널링 입자가 얇은 전위장벽을 투과하는 양자역학적 현상 파동-입자 이중성 전자기파가 때로는 입자같이 거동하고 때로는 파동같이 거동하는 특성 점검사항 ' ------------------------ ----- 이 절을 공부한 후. 독자는 다음과 같은 능력을 갖추어야 한다. ■ 에너지 양자화. 파동•입자 이중성의 원리，불확정성의 원리를 말할 수 있디-. ■ 다양한 전위상태에서의 문제들에 슈뢰딩거 방정식과 경계조건을 적용할 수 있다. ■ 경 계입자의 양자화된 에너 지 준위을 구할 수 있다. ■ 전위장벽에서 입자의 정확한 터널링 확률을 알 수 있다. ■ 파울리의 배타을을 언급하였다. ■ 단일 전자 원자의 분석 결과로부터 양자수와 그들의 상호관계 그리고 주기율표의 형성 원리 등을 다루었다. 복습 질문 1. 파동입자 이중성을 설명하고 운동량과 파장간의 관계를 설명하라. 2. 슈뢰딩거 파동 방정식의 물리적 의미는 무엇인가? 3. 확률밀도함수는무엇을의미하는가? 4. 슈뢰딩거 파동 방정식을 플기 위한 경계 조건을 열거하라. 5. 양자화된 에너지 준위는 무엇을 의미하는가? 전위우물에 갇혀 있는 전자는 아무 에 너지나 가질 수 있는가? 6. 터널링이 개념을서술하라. 7. 단전자 원자의 양자수를 열거하고, 어떻게 전개되는가? 8. 단일 전자 원자의 양자수 간의 관계에 대해서 설명하고 이 결과가 어떻게 불활성 원 소를 유도하는지에 대해서 설명하시오. 문제 2j 2선식 전송선의 고전적인 파동 방정식은 d2vᆻ，어於2 = LC • d2V(x, z)/ar2으로 주어 진다. K = n竹la，U)= K/VLC 일 때 한 가지 가능한 해기-') = (sin Kx) • (sin ⑴，) 로 주어진다. (i) id/ = 0, (ii) o)/ = 肝/2, (iii) a" = it, (iv) (사 = 3ᅲ/2, (v) = 2ir 일 때, 0 m 산와 n = 0에서 네 함수로써의 V(x, /)을 같은 그래프 상에 그려라. 2.2 함수 r) = cos(2ttx/X 一a)，) 또한 고전적인 파동 방정식의 해이다. (i) a)r = 0, (ii) ①, = 0그5肝, (iii) ⑴，= 0.5tt, (iv) (，)，= 0.75tt, (v) g)，=: tt 일 때，0 < 乂 < 3에서 x 의 함수로써의 /)을 같은 그래프 상에 그려라. 2J VU, /)= cos(2ttaA 十a") 함수에 대하여 문제 2.2를 되풀이하라. 24 문제 2.2와 2.3에서 표현된 움직이는 파등의 위상속도를 구하라. 문제 2.1 절 양자역학의 원리 2.5 물질의 일함수는 물질로부터 전자를 떼어 내기 위하여 요구되는 최소에너지를 가리 킨다. 금의 일함수가 4.90 eV라 가정하고 세슘의 일함수가 1.90 eV라 가정하자. 금과 새슈에 대하여 전자의 광전자 방출에 대한 빛의 최대 파장을 계산하라. 2.6 (a) 초록 빛의 파장이 X = 550 nm이다. 만약 전자가 같은 파장을 가지고 있다고 했 을 때，진자의 속도와 운동량을 결정하라. (b) X = 440 nm의 파장을 가지는 붉은 빛 에 대하여 ⑷를 반복하라. (c) (a)와 (비에서 광자의 운동량과 전자의 운동량은 같은 가? 2.7 (a) (i) 1.2 eV (ii) 12 eV (iii) 120 eV의 운동 에너지를 가지는 전자，(b) 1.2 eV의 운 동 에너 지를 가지는 수소원자에 대한 각각의 드브로이 파장을 결정하라. 2.8 고전물리에 따르면 열적평형상태에서 전자가스 내의 전자의 평균 에너지는 3W72이 다. T = 300 K에서，평균전자에너지(eV단위로)，평균 전자 운동량，드브로이 파장을 구하라. 2.9 전자와 광자는 같은 에너지를 갖는다. 어떤 에너지 값(eV)에서 광자의 파장이 전자 의 파장의 10배가 되는가? 2.10 (a) 전자의 드브로이 파장이 85 A일 때，전자 에너지(eV)，운동량，속도를 결정하라. (b) 전자가 8 x 105 cm/s의 속도를 가지고 움직일 때，전자 에너지(eV), 운동량，드브 로이 파징-(시을 결정하라. 2.11 1 A의 파장을 가진 X-선 복사를 만드는 것을 고려하자. (a) 전자가 진공에서 가속되 어 타겟과 충돌하여 광자를 발생시킬 수 있는 전위차는 얼마인가? (전자의 모든 에 너지는 광자에 전달된다고 가정하자.) (b) 전자가 타겟을 때리기 이전에 (a)에서 전자 의 드브로이 파장은 얼마인가? 2.12 불확실성 이론을 고려해볼 때 하나의 광자가 한 파장보다 더 정확하게 위치할 수 없 다. 광자의 파장이 1 나m라 가정할 때，광자의 운동량의 불확실성은 얼마인가? 2.13 (a) 어떤 위치에서 불확실성은 질량이 9x1(广31 kg인 입자에 대해 12 A이다. 입자의 에너지가 16 eV일 때，(i) 운동량과 (ii) 입자의 운동 에너 지의 최소 불확실성을 결정 하라. (b) 입자의 질량 5 x IO'28 kg에 대해서 문제 (a)를 반복하라. 2.14 자동차의 질량이 1500 kg이다. 무게중심이 1 cm이내의 불확실성을 가질 때, 속력 (miles/hour)에 대한 불확실성은 얼마인가? 2.15 (a) 전자의 에너 지가 0.8 eV 이하의 불확실성을 가지고 측정된다. 시간에 대한 최上 불확실성을 결정하라. (b) 전자의 위치에 대한 불확실성이 1.5 A이하이다. 운동량의 최소 불확실성을 결정하라. 2.2절 슈뢰딩거 파동 방정식 2.16 '1，化，，)와 卞如，')이 1 차원 시간 종속 슈뢰딩거 파동 방정식의 해라고 가정하자. (a) 기+义가 해라는 것음 보여라. (b) 이 • 卞2는 일반적인 슈뢰딩거 방정식의 해인가? 그 이유는? 2.17 -I < .V < +3에 대한 피동함수 4'(x I) = A(cos (^)) for -1 s .v s +3 옴 고려하자. 53 Chapter2 앙자여학의 입문 /NU 川此 = 1 이 되도록 가를 구하라. 1 2.18 -l/2< x<4- 1Z2에 대한파동함수水(.v, /) = A(cos nirx)e'邸'을 고려히지-. "은 정수이다 2.19 JI小u t)\zdx = 1 이 되도록 가를 구하라. -1 입자 위치에 대한 슈뢰딩거 파동 방정식의 해가 抑'》= W《，네‘' 로 주어 졌다. A•가 다음의 범 위로 주어 질 때，각각의 입자의 발견확률을 구히•라. ⑷ 0 - x - 여/2, (b) 여/4 < _v < £7(/2, (c) 0 < .V 2.20 a0 구 <x〈부의 범위에서 전자는 _ = '/『 cos(무) 의 파동함수로 묘사된다. 다른 곳에서의 파동함수는 0이다. (a) 0<.v<|，(b) f 외，(c)〒<^< 〒의 각 구 간에서 전자가 발견될 확률을 계산하라• 2.21 파동함수가 = \ZFsin (혁리 로 주어 질 때 문제 2그0을 반복하라. 2.3절 슈뢰딩거 파동 방정식의 응용 2.22 (a) 자유공간에서 전자는水(乂r) = 사거…-삐로 주어진 평면파로 표현된다. k = 8x l()8m시, u) =8xlOl2rad/s일 때，(i) 위상속도와 평면파의 파장，(ii) 전자의 운동량과 운동 에너지(eV)를 결정하라. (b) k = -1.5xl09 m_1, (!) = 1.5x 1013 rad/s일 때，(a) 를 반복하라. 2.23 전자가 0.025 eV의 운동 에너지를 가지고 음의 a•방향으로 움직이고 있다. (a) 이 입 자를 표현하는 평면파의 식을 서술하라. (b) 이 전자를 묘사하는 파동의 파수，파장， 각주파수를 구하라. 2.24 자유공간에서 (a)、’ = 5 x 106 cm/s, (b) v = 108 cm/s,의 속도로 움직이는 전자를 표현 하는 파동함수의 파수. 파장. 각주파수，주기를 결정하라• 2.25 전자가 75 A 의 폭을 가지는 1 차원 무한 전위 우물에 갇혀 있다. « = 1,2, 3에서 대하 여 전자의 에너지 준위를 구하라. 2.26 전자가 10 A의 폭을 가지는 】 차원 무한 전위 우물에 갇혀있다. (a) 전자가 자리를 차 지하고 있을 것이라 가정하고，처음 세 개의 에너지 준위를 계산하라. (b) 만약 전자 가 세 번째 에너지 준위에서 두 번째 에너지 준위로 떨어질 때，방출되는 광자의 파 장은 얼마인가? 2.27 15 mg의 질량을 가지는 입자가 폭 】그 cm인 1 차원 무한 전위 우물에 갇혀 있디-. (a) 입자의 에너지가 15 nJ일 때，상태에 관한//의 값을 결정하라. (b) (n-hl) 상태의 에 너 지는 얼마인가? (c) 이 입자에 대해 양자 효과를 관측할 수 있을 것인가? 2.28 원자핵 내부의 중성자가의 1(广14 m 폭을 갖는 무한 전위 우물에 있는 것 같이 취급 될 때，최저 에너지 준위를 계산하라. 같은 무한 전위 우물에서 전자에 대한 최저 에 너지 준위를 비교하라■ 2.29 그림 2.29에 보여 준 무한 전위 우물 내의 입자를 고려히자. 4빈째로 낮은 에너지 준 위에 대응하는 파동함수를 유도하고 그려리•.(파동한수를 표준화하지 않는다.) 문제 그림 P2.29 문제 2.29을 위한 전위 함수 *2.30 3차원 무한 전위 우물을 고려하자. 전위 함수는 0<x<a，0<y< 公，0<z<a 에 대하여 V(x) = 0, 다른 경우에는 V(x) = 父로 주어진다. 슈뢰딩거의 파동 방정식 에서 출발해서 변수 분리 기법을 사용하여，에너지는 양자화 되고 여기서 nr= 1,2,3,..., 하 = 1，2,3，...，1，2.3，.... 으로 주어지는 것을 브여라. 2.31 2차원 무한 전위 우물에 속박된 자유 전자가 0 < X < 40 A, 0 < y < 20 A에서 V = 0이고，나머지는 V = co라고 정의 되었다고 하자. (a) 허용 전자 에너지대를 문현 하라. (b) 1 차원 무한 전위 우물의 결과와 비슷한 점과 차이점을 묘사하라. 2.32 그림 2.6에서 보여주는 1차원 무한 전위 우물 내의 양성자를 고려하자. (a) 양성자의 허용 에너 지 상태에 대한 식을 유도하라. (b) (i) = 4 A과 (ii) a = 0.5 cm에 대하여 최저 가능 에너 지와 다음의 높은 상태간의 에너지 차<eV)를 계산하라. 2.33 그림 2.33에서 보여준 계단 전위 함수에 대하여 E = 나이고 입자가 방향에서 방 향으로 이동하여 입사된다고 가정하자. (a) 각 영역에 대한 파동 해를 적어라. (b) 전 송 계수와 반사 계수에 대한 식을 유도하라. 입사 입자 •V = 0 +A ------ ► 그림 P2.33 문제 내올 위한 전위 함수 2.34 2.8 eV의 운동 에너 지표 가지는 진자가 3.5 eV 높이의 계단 전위 한수에 입 나하는 것을 고려하자. 장비유 서이 (a) 5A、(b) 15 A、(c) 40A의 각각의 거리에 M 전사간 찾을 상대직인 획상於 건'성하라. 각각의 위치에서 입사七｝ 상유 차각과 상여 모 <1리 에시민 문제는 미 이시운 산사I사 의미한다. 55 56 Chapter2 양자역학의 입문 에 입 사하는 입 자를 찾을 확률과 비 교하라. 235 。 (a) 폭이 4A. 높이가 1.0 eV인 전위 장벽에 충돌하는 0.1 eV의 운농，에너 지를 가친 전자의 전송 계수를 계산하라. (b) 12 A의 장벽 폭에 대하여 (시를 반복하라. (c) (이의 결과를 사용하여 터널링 전류 밀도가 12 mA/cm2라고 했을 때 소낭 장벽에 중돌하 는전자의밀도를결정하라. 236 (a) 유효질량이 O.O7/no(갈륨비소 내의 전자)인 입자의 터널링 확률을 주징하라. 여기 서 는 전자의 질량이고, 높이가 Vo = 0.8 eV이고 폭이 15 A 인 직사각형 전위 우물을 통과하는 터널링을 말한디、입지•의 운동 에너 지는 0.20 eV이디、(b) 만약 입자의 유 효질량이 l.OS/化(실리콘 내의 전자)일 때, (a)번을 반복하라• 2.37 (a) 1 MeV의 운동 에너지를 가지는 양성자가 높이 12 MeV，폭 10 〜의 전위 장벽 에 입사한다. 터널링 확률은 얼마인가? (b) (a)에서 전위 장벽의 폭을 줄여서 터널링 확률을 】0배 증가시 키 려고 한다. 전위 장벽의 폭은 얼마로 줄여야 하는가？ *2.38 에너지 £를 가진 전자가 그림 2.9에 보이는 직사각형의 전위 장벽에 입사된다. 전위 장벽은 폭이 u이고 높이가 Vo » £이다. (a) 세 개 영역의 각 파동함수의 형태를 적 어라. (b) 이런 전위구조에서 파동함수 해의 어느 계수가 ‘0’ 이 되는지 결정하라. (c) 전자의 전송 계수transmission coefficient)(터널링 확률)에 대한 표현식을 유도하라. (d) 각 영역에서 전자의 파동함수를 그려라. *2.39 전위 함수가 그림 2.39에 보듯이，전체 에너지 E > 을 가지고 -。。로 부터 온 입사 입자들로 되어있다. 상수 々는 어충、卜에꼲H 로 정의된다. k2a = 2/itt, n = 1,2, 3,…인 특별한 경우로 가정하자. k'，k2 그리고 乂;로 전송 계수 표현식을 유도하라. 전송 계수는 region I 의 입사 유량에 대한 region 파에서의 입자의 유량 비율로 정의한다• *2.40 그림 P2.40에 보이는 】차원 전위 함수를 고려해보자. 전자의 총 에너 지는 E > 라 가정하자. (a) 각각의 영역에 적용되는 파동 식을 적어라. (b) 경계조건을 적용하여 얻어진 결과식들을 적어라. (c) 전자의 에너지 준위가 양자화 되었는지，혹은 되지 않 았는지 명백하게 보여라• 입사 입자 프〉。 -- ， 나2 ᅳ V III H 1 x= 0 x=a 그림 P2.39 문제 2.39을 위한 전위 함수 그림 P2.40 문제 2.40을 우|힌- 전위 함수 참고문헌 2.4절 파동이론의 원자로의 확대 2.41 수소 원자에서 전자의 첫 4개의 허용 에너지 준위를 계산하라(eV 단위로). 2.42 수소 원자에서 Lv 궤도 전자의 반경 r으로 가장 확률이 값이 보어 반지름 바와 같음 을 보여라. 2.43 식 (2.74)에 의해 주어진 小|00에 대한 파동함수가 식 (2.65)에 의해 주어진 미분 방정 식에 대한 해라는 것을 보여라. 2.44 H, 니，Na, 그리고 K는 공통적으로 어떤 성질을 지니고 있는가? 참고문헌 *1. Datta, S. Quantum Phenomena. Vol. 8 of Modular Series on Solid State Devices. *2. Reading, MA: Addison?-Wesley, 1989. deCogan, D. Solid State Devices: A Quantum Physics Approach. New York: 3. Springer-Verlag, 1987. Diinitrijev, S. Principles of Semiconductor Devices. New York: Oxford University. 4. 2006. Eisberg, R. M. Fundamentals of Modern Physics. New York: Wiley, 1961. 5. Eisberg, R., and R. Resnick. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids，Nuclei，and 6. Particles. New York: Wiley, 1974. Kano, K. Semiconductor Devices. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1998. 7. Kittel, C. Introduction to Solid State Physics, 7th ed. Berlin: Springer-Verlag，1993. 8. McKelvey, J. P. Solid State Physics for Engineering and Materials Science. Malabar. FL: Krieger Publishing, 1993. 9. Pauling, L.，and E. B. Wilson. Introduction to Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill, 1935. 10. Pierret, R. F. Semiconductor Device Fundamentals. Reading, NÎA: Addison-Wesley Publishing Co., 1996. 11. Pohl, H. A. Quantum Mechanics for Science and Engineering. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1967. 12. Schiff, L. I. Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill. 1955. 13. Shur, M. Introduction to Electronic Devices. New York: John Wiley and 즈에、1996. *표시는 이 책교다 수준이 높은 社고法•힌옴 의미한다. 57 必山 3 1 q _< h o 고체양자이론의 입문 ，“I丄“ 앞 장에서 여러 가지 다양한 전위함수의 영향 속에서 전자의 거동을 결정하기 위하여 양자역학 과 슈뢰딩거 파동방정식을 적용하였다. 원자에 구속되어 있거나 혹은 작은 공간에 갇혀있는 전 자의 중요한 특성은 그러한 전자는 반드시 끊어져 있는 개별적인 에너지 값 즉 양자화된 에너 지만 가질 수 있다는 사실이다. 또한 한 개 전자는 단지 한 개의 양자상태만을 차지할 수 있다 는 파울리의 배타율도 배웠다. 이 번 장에서는 이러한 개념을 결정격자 속에 있는 전자로 일반 화시킬 것이다. 본 장의 목적 중의 하나는 반도체 소자의 전류-전압 특성을 해석하는데 필요한 반도체재료 의 전기적 성질을 배우는 것이다. 이 장에서 이러한 목적을 달성하기 위해서 두 가지를 배워야 하는데, 첫째는 결정격자 속에 있는 전자의 성질이고，다른 하나는 결정 속에 있는 엄청난 수의 전자들의 통계적 특성을 다루는 방법이다. ■ 3.0 개설 ■ 단결정 재료에서 허용 에너지밴드와 금지 에너지밴드의 개념을 다룬다. 그리고 반 도체의 가전자대와 전도대 에너 지밴드를 설명한다. ■ 반도체의 전하 캐리어로서 음의 전하를 띤 전자와 양의 전하를 띤 정공의 개념을 논의한다. ■ 단결정 재료의 전자 에너지에 대한 운동량 곡선을 유도하고，이 곡선으로부터 직 접 및 간접 밴드 반도체의 개념을 도출한다. ■ 전지，및 정공의 유효질량의 개념을 논의한다. ■ 허용 에너 지밴드의 양자상태 밀도를 유도한다. ■ 페르미-디락 분포함수를 소개하고，이를 사용하여 허용 에너 지 대역에 너 전자의 통계적 분포룰 도출하고、페르미 에너지를 정의한다. 59 상) Chapter 3 고채양자이론의 입문 3.1 허용 에너지밴드와금지대 지난 절에서 단일 전자 원소 즉 수소에 대하여 살펴보았디-. 그 결고I- 갇힌 전자의 이I너 지는 양자화되어 전자의 에너지는 단지 불연속적으로 떨어진 값만을 갖는다는 것을보 았다. 전자의 궤도 반경 확률밀도 함수도 구하였다. 이 함수는 원자핵으로부터 특정 거 리에서 전자를 발견할 확률을 나타내는데，전자는 특정 궤도 반경에만 존재하지 않는 다는 것을 보여주었다. 이러한 단일 원자의 결과를 결정으로 확장시 켜서 정성적으로 허용 및 금지 에너지밴드의 개념을 추론할 것이디-. 이어서 양자역학과 슈뢰딩거 파동 방정식을 단결정 속의 전자 문제에 적용하여 전자의 에너지 상태들은 금지대로 분리된 허용 에너지밴드로 구성된다는 것을 정량적으로 확인할 것이다• 3.1.1 에너지밴드의 형성 그림 3.1a는 단일 수소원자의 최저 전자 에너지 상태의 반경 확률밀도함수를 보여준다. 그리고 그림 3.1b는 서로 가까이 근접한 두 원자들의 확률곡선을 나타낸다. 두 원자 전 자들의 파동함수들은 중첩되어 두 전자가 상호작용함을 보여준다. 이 러한 상호작용 혹 은 교란(perturbation)은 불연속으로 양자화된 에너지 준위가 그림 3.1c에서 보듯이 두 개의 불연속 에너지 준위로 분리되게 만든다. 불연속 상태가 두 상태로 분리되는 것은 파울리 배타울을 만족함을 의미한다. 서로 멀리 떨어져 있는 수소 원자들이 가까이 밀착하면 각 원자의 양자화된 에너지 준위는 불연속 에너지 준위로 분리되어 에너지 준위의 다발，즉 밴드(band)를 형성한 다. 이 효과가 그림 3.2에 그림으로 나타나 있다. 여기서 파라미터 는 원자들이 밀착 하여 결정을 이룰 때 원자간 평형간격을 나타낸다. 원자들이 결정 속에서 일정한 평형 간격으로 배열하면 전자의 허용된 에너지밴드가 형성되며，허용밴드(allowed band)는 무수히 많은 불연속 에너지 준위를 가진다. 결정을 이루는 원자들은 그 수가 아무리 많 더라도 각 원자가 가지는 양자상태의 수는 변함이 없다. 그리고 파울리 배타율에 의하 여 전자는 같은 양자상태에 두 개의 전자가 동시에 존재할 수 없다. 따라서 결정에 있 는 모든 전자가 하나의 양자상태를 차지하기 위해서는 양자상태의 수는 총 전자의 수 보다 많아야 하므로 단일 원자의 에너지 준위는 나뉘어져 에너지밴드를 형성하게 된다. ▲ I K 그 p( 사 TT ll Q rt저 2* 그림 3.1 ⑷ 고립된 수소 원자의 확률밀도험수 (b) 두 개의 근접한 수소 원자들의 중첩된 획를밀도함수 (c)，/ = i 싱페의 분리 3.1 허용에너지밴드와금지대 ▲ n k TT T 져 rt 서 원자간거 리 -_卜 그림 3.2 하나의 에너지 상태가 허용된 에너지밴드로 분리됨 전 장에서 에너지 준위에 존재하는 양자상태 수는 많지 않음을 보았다. 따라서 결정 의 모든 전자들을 수용하기 위해서는 허용밴드에 많은 에너지 준위를 가져야 한다. 예 를 들면 1019 개의 단일 전자 원자들로 구성된 시스템을 가정하고 원자간 평형 간격에 서 허용된 에너지밴드의 폭은 1 eV라고 가정하자. 시스템의 각 전자가 다른 에너지 준 위를 차지하고 에너지 상태는 등간격을 유지한다고 하면 에너지 준위들은 10_19eV 간 격으로 떨어져 있어야 한다. 이 에너지 간격은 극히 작기 때문에 실제로는 허용된 에너 지밴드에서 준 연속적인 에너지 준위의 분포를 가진다. IO'19 eV이 대단히 작은 에너 지 간격이라는 사실을 다음 예에서 알 수 있을 것이다. | 목히 속도가 약간 변할 때 전자의 운동에너지의 변화를 계산한다. IO7 cm/sec 속도로 운동하는 전자를 생각하자. 속도가 1 cm/sec 증가한다고 가정하면 운 동에너지의 증가는 AE = 士"너 - 士(너 — uf) 로 주어진다. 신2 = 비 +ᅀV라고 하자. 그러 면 ”2 =(Vi + Av)2 = vj + 2i，i 스 i，+ (Av)2 이 된다. 그러나 Av《 Vj 이므로 ᅀ£ ~ y /n(2uiAv) = /nihAu 풀이 이 방정식에 숫자를 대입하면 ᅀ£ = (9.11 X 10-3,)(10s)(0.0l) = 9.11 X 10一25 J 이 되고，전자볼트로 환산하면 9.11 X 10-$ = 5.7 X IO'9 eV 1.6 X IO1** °1 된디'. 區空］ IO7 cm/sec에 비하여 1 cm/sec 속도의 빈화는 5.7 X 10一9 eV의 에니 지 변화툴 초래하고，이 예제 3.1 61 62 Chapter3 고체양자이론의 입문 겨으 허용 에너지밴드에서 에너지 상태 사이의 에너지 간격10-19 ev 보= =수가 월씬 큰 “I. 이 예제는 이웃한 에너지 상태의 에너지 간격10-19 ev 이=느，것을 보여주며, 따라서 허용 밴드의 에너지 상태들을 준 연속적인 분포로 쥐LJ T 보여 준다. 연습문제 Ex 3.1 전자의 초기 속도가 107 —이다. 전자의 운동에너지가 A£ = 10 가하면 속도는 얼마 증가하는지 계산하시오. eV 만큼 증 卜/⑴3 1•-이 X 9Z/1 = 다▽ ’suv) 다시 규칙적인 원자배열을 생각하자. 여기서 각 원자는 하나 이상의 전자를 갖고 있 다. 이러한 상상의 결정에서 원자는” = 3 에너지 준위까지 전자를 채우고 있다고 가 정한다. 처음에는 원자들이 멀리 떨어져 있으면 이웃한 원자들의 전자들은 상호작용하 지 않고 불연속적 에너 지 준위를 차지하게 된다. 이러한 원자들이 점 점 가까이 접근하 면 " = 3에 있는 최외각 전자들은 상호작용을 시작하고 이러한 불연속 에너지 준위는 에너지밴드로 분리된다. 원자들이 더 가까이 접근하면 n = 2의 전자들이 상호작용을 시작하고 에너지밴드로 분리된다. 마지막으로 원자들이 더욱 접근하면 n = 1의 최 내 각전자들이 상호작용하게 되고，이 에너지 준위도 에너지밴드로 분리된다. 이러한 불연 속 에너지 준위의 분리가 정성적으로 그림 3.3에 나타나 있다. 평형상태에서 원자들이 평형 간격 어를 유지하며 배열하면 전자들은 금지밴드(forbidden band)로 분리된 허용 에너지밴드를 갖게 된다. 이러한 에너지밴드의 분리와 허용밴드 및 금지밴드의 형성이 단결정 물질의 에너지밴드 이론이다. 결정에서 실제 밴드 분리는 그림 3.3에서보다 훨씬 복잡하다. 독립된 실리콘 원자의 도식적 표현이 그림 3.4a에 나타나있다. 실리콘 원자의 14개 전자들 중 10개는 원자핵 에 가까운 깊은 에너지 준위를 차지한다. 4개의 남은 가전자들은 비교적 약하게 구속되 어 있고 화학적 반응에 관여하는 전자들이다. 그림 3.4b는 실리콘의 밴드 분리를 보여 주고 있다. 가전자에 해당하는 n = 3 에너지 준위만 고려한다. 왜냐하면 첫 두 에너지 그림 3.3 3개의 에너지 상태가 허용 에너지밴드로 분리되는 것을 보여주는 기1념도 3.1 허용에너지밴드와금지대 H = 2 ▲ I K 4N 상태 0 전자 으 4/V 상태 O 4/V 전자 -K장 63 6/V 상태 2N 전자 3p £g 3s 교상태 2N 전자 (b) 그림 3.4 (a) 독립된 실리콘 원자의 개념도 (b) 실리콘의 3s와 3p 상태가 허용 에너지밴드와 금지 에너지밴드로 분리되는 것을 보여주는 개념도 각들은 완전히 채워져 있고 핵에 단단히 구속되어 있기 때문이다. 3s 상태는 n = 3과 / = 0에 해당하고 원자당 두 개의 양자상태를 내포하고 있다. 이 상태는 T = 0K에서 2 개의 전자들을 차지한다. 3p 상태는 n = 3과 / = 1에 해당하며 원자당 6개의 양자상태 를 갖는다. 이 상태는 나머지 2개의 전자들을 차지한다. 원자간 간격이 가까워짐에 따라 3s와 3p 상태들이 상호작용하고 겹치게 된다- 평형 상태의 원자간 거리에서 밴드는 다시 분리되지만 원자 당 4개의 양자상태들은 낮은 밴 드어L 4개의 양자상태는 높은 밴드에 각각 위치한다. 절대온도 0 K에서 전자들은 가장 낮은 에너지 상태에 위치하므로 낮은 밴드(가전자대: valence band)의 모든 상태들은 가 득 차게 되고，높은 밴드(전도대; conduction band)의 모든 상태들은 완전히 비어 있게 된 다. 가전자대의 꼭대기 에너지와 전도대의 밑바닥 에너지 사이의 에너지 간격을 에너지 밴드접(energy bandgap)이라고 하며，Eg로 표시하고，이것이 금지대의 에너지 폭이다. 지금까지 결정에서 허용밴드와 금지밴드가 어떻게 그리고 왜 형성되는지에 대해 여 고찰하였다. 이러한 에너지밴드의 형성은 뒤에서 보게 될 결정의 전기적 특성에 직접 적으로 관련된다. *3.1.2 Kronig-Penney 모1필】》 앞 절에서 결정을 형성하기 위하여 원자들을 가까이 접근시킴에 따라 전자의 허용 에 너지들이 분리되는 것을 정성적으로 설명하였다. 허용과 금지밴드의 개념은 양자역학 과 슈뢰딩 거 방정식을 시용하여 보다 정밀하게 유도할 수 있다. 독자들은 이 유도과정 * 이 질온 반도체 소자블 보다 깊이 이해하는데 도움올 주지만 생략하더라도 본 책의 먼취It 분내되 <1 않는다. I)자유진자 모벨과 방법도 에너 지밴드 이론율 예측하는데 사용치 수 있다. 예於於어 KiueU?) 혹은 Wolfe|l4|블 침조합 깃. (스 Chapter3 고채양자이론의 입문 을 쉽게 잊어버릴 수 있지만 그 결과는 반도체 에너지밴드 이론의 기초가 됨을 유의하 기 바란다. 단일 전자를 가지면서 상호 간섭하지 않는 단일 원자의 전위가 그림 3.5a에 나타나 있다. 그리고，전자에 허용된 개별 에너지 준위도 그림에 표시되어 있디、그림 3.5b는 여러 개의 원자들이 1차원 배열로 가까이 배치되어 있을 때 동일한 형태의 전위함수톺 나타내고 있다. 인접한 원자들의 전위함수들은 서로 겹치게 되고，이러한 경우 형성되 는 알짜 전위함수가 그림 3.5c에 나타나 있다. 이러한 함수가 1 차원 단결정 재료를 § 석하기 위하여 슈뢰딩거 방정식을 푸는데 필요한 전위함수이다. 이러한 1차원 단결정 격자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해는 보다 단순화된 전위함수 를 사용함으로써 쉽게 구해질 수 있다. 그림 3.6은 주기 전위함수의 1차원 Kronig. Penney 모델인데，이것은 1차원 단결정 격자를 정의하는데 사용된디-. 전위함수의 각 영역에서 슈뢰딩거 방정식을 풀게 된다. 앞 장의 양자역학 문제와 마찬가지로 £ < vQ 일 경우，즉 결정 속에 전자가 갇혀있을 때 보다 흥미로운 결과 얻게 된다. 전자들은 전 위우물 내에 갇혀있지만 우물 사이로 터널링할 확률은 존재한다. Kronig-Penney 모델 은 1 차원 단결정을 표현하는 이상적인 주기전위이지만，그 결과로부터 주기 격자에서 전자의 양자역학적 운동의 중요한 많은 요소들을 배울 수 있다. 그링 3.5 (a) 단일 원자의 전위힘수 (b) 이웃한 원지들의 중첩된 전위함수. (c) 1 차원 단결징의 임짜 견위함수 3.1 허용에너지밴드와금지대 V（x）一（公 + 分） 그림 3.6 0 —b 公（a + 公） x »■ Kronig-Penney 모델의 1차원 주기 전위함수 슈뢰딩거 방정식의 해를 얻기 위해서 Bloch의 정리를 사용한다. 이 정리에 의하면 주기 직으로 변하는 전위에너지 함수에 대한 슈뢰딩거 방정식에서 얻어지는 모든 단일 전자 의 파동함수는 반드시 다음과 같은 형 태를 가진다. = u^x)^ (3.1) 파라미터 소는 운동상수라고 부르며，이론을 전개해 감에 따라 보다 상세히 밝혀질 것이 다. 함수 써x)는 주기 여 +이를 갖는 주기함수이다. 2장에서 파동방정식의 완전 해는 시불변 해와 시간종속 해의 곱으로 나타남을 알 수 있었다. 즉 卞(ᄌ, t) = ib(x)(b(t) = idx)^ . e一치卜그》 이 것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. 사에■ 항(x，f) = (33) 이러한 진행파의 해는 단결정에서 전자의 운동을 나타낸다. 진행파의 크기는 주기함수 이고，파라미터 々를 파수(wave number)라 부른다. 이제 파라미터 々와 운동에너지 E，그리고 전위 Vo의 상호관계를 결정할 수 있다. 그 림 3.6에서 영역 I (0 < X < 이 즉 V(.v) = 0인 영역에서 식 (3.1)을 2차 미분하고 그 결 과를 식 (2.13)의 시불변 슈뢰딩거 파동방정식에 대입하면 다음과 같다. + 2jk—^ ~ (Ir - «2)비(.\-) = 0 (3.4) 함수 비(X)는 영역 I에서 파동함수의 크기이고, 파라미터 «는 다음과 같이 정의된다. （3.5） 이제 영역 n，-b < ,v < o 즉 v(a)= v0인 영역을 살펴보자. 다음과 가a 관계 <].<> 언 을 수 있다. （Lv + 2jk 서 一（Lx + 복）"、iv、: 0 fr ' （3.6） 65 (스 Chapter3 고Ml양자이론의 입문 여기서 사:⑴는 영역 n에서 피동함수의 크기이다. 파라미터들을 다음과 길•이 정의하면 ♦ (£ - Vo) = a2 - 아2 (3.7) 식 (3.6)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. J.r - + 2jk^ 一 (서 _ 斤)"化) = 0 dx (3.8) 식 (丄7)로부터 만약 E > Vo 이면 파라미터 P는 실수가 되고，만약 E < vo이 면 파라미 터 유는 허수가 된다. 영역 I에서 식 (3.4)의 해는 다음과 같은 형태를 가지고， 비(x) = Ae/(a~kyx + Be，，for (0 < x < a) (3.9) 영역 n에서 식 (3.8)의 해는 다음과 같다. "2(a) = Cej(fi~k}x + De~j{fi^k}x for (―Z? < x < 0) (3.10) 전위함수 나가는 모든 영역에서 유한하므로 파동함수 求⑴와 그 1차미분 3卞(A.)/dx는 반드시 연속이어야 한다. 이 연속조건은 파동의 크기함수 “⑴와 그 1 차미분 山/⑴/ax도 반드시 연속이어야 함을 의미한다. x = 0에서 경계조건과 이것을 파동크기함수에 적용하면， 비(0) = w2(0) (3.11) 이 된다. 식 (3.9)와 식 (3.10)을 식 (3.11)에 대입하면 다음과 같다. 乂+公一C一公=0 (3.12) 아래의 조건을 적용하면 dU\ 一묘 r=0 _ d"2 dx (3.13) 다음 식을 얻을 수 있다. (a 一 k)A 一 (a + k)B — (fi — k)C + (/? + k)D = 0 (3.14) 영역 I，0 < 乂 < “와 영 역 U，一h < 义 < 0를 살펴보았다. 주기와 연속조건은 함수 이 o]x-â 그리고 j — 나에 따라 함수와 같아짐을 의미한다. 이러한 조건은 다음과 같 이 쓸 수 있다. 이(“) = «2(— 公) (3.15) 비⑴와 야⑴의 해에 식 (3.15)5] 경계조건을 적용하면 다음과 같다. 石끈胸-시" + Qe-j{a±k)a — 마지막 경계조건은 一 Qej(^k)b = 0 (3.16) 3.1 허용에너지탠드와금지대 (3.17) 이고，이것은 풀면 다음과 같다. (a - k)Ae'<a_k)a 一 (a + k)Be^(a+k}a 一 (/3 - k)Ce'^-ktb + + k)De，山1，= 0 (3.18) 이제 4개 경계조건을 적용한 결과 4개 미지수를 갖는 4개의 연립방정식 즉 (3.12)， (3.14), (3.16) 그리고 (3.】8)을 얻었다. 이와 같은 선형연립방정식에서 의미있는 해 (nontrivial solution)를 얻을 수 있는 조건은 계수의 행렬식(deteminant)이 0일 때이다. 우리의 경우 계수들은 파라미터 A B，C와D의 계수이다. 이 행렬식을 계산하는 것은 대단히 지루한 작업이므로 자세히 설명하지 않겠다- 결 과는 다음과 같다. —그 신 (sin aa)(sin 公) + (cos a있)(cos "公) = cos k、a + b) (3.19) 식 (3.19)는 파라미터 노를 파라미터 a를 통하여 총에너 지 E 그리고 파라미터 P를 통하 여 전위함수。와 관계를 맺어준다• 앞에서 설명하였듯이 £ <。，즉 결정에 갇힌 전자에 대해서 더 흥미로운 해를 얻 을 수 있다. 이 경우 식 (3.7)로부터 파라미터 P는 허수가 되고, 다음과 같이 정의한다. (3 그0) P=jy 여기서 17는 실수이다. 식 (3.19)는 거에 관하여 다시 쓸 수 있다. 즉 y2 — a2 . - u厂 (sin aa)(sinh yb) + (cos aa)(cosh yb) = cos 섟fl + b) 스u y (3그 1) 이다. 식 (3.21)은 해석적으로 풀 수 없지만 소，E 및 나와의 관계를 구하기 위하여 그래 프나 수치해석으로 풀어야 한다. 갇혀있는 단일 입자의 슈뢰딩거 파동방정식의 해는 개별 에너지 준위를 만들어 내었음을 기억하라. 이와 유사하게 식 (3.21)의 해는 개별 에너지 준위로 이루어진 에너지밴드를 만들어 낼 것이다. 그래프로 해를 구할 수 있고 그 결과의 특성을 쉽게 해석하기에 적합한 형태의 방정 식을 얻기 위하여 전위장벽의 폭 /? 一 0 그리고 장벽의 높이 Vo —x 하되 두 파라미터 의 곱，즉 /八、는 유한하도록 유지한다、그러면 식 (3.21)은 I \ sin aa r方厂i 一而一 + cos = cos ka 이 된다. 파라미터 广률 다옴과 갑이 정의하면 fnVoba 一F— (3.23) 67 68 Chapter3 고채양자이론의 입문 최종적으로 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다. p，벤^ + cos CK7 = COS ka (3.24) 다시 말하면 식 (3.2시는 파라미 터 k，총에너 지 E (파라미 터 «에 포함되 어 있음)，그리 고 전위장벽 및 폭 bVQ (파라미터 r 에 포함되어 있음)과의 관계를 나타내고 있다. 식 (3.24)는 슈뢰딩 거 파동방정식 의 해는 아니 지만 슈뢰딩 거 파동방정 식 이 해를 가질 수 있는 조건을 보여주고 있다. 만약 결정이 무한정 크다고 가정하면，식 (3.24)의 &는 연 속적 인 값을 가지게 되고，실수이어야 한다. 3.1.3 fc-공간그림 해의 성질을 이해하기 위해서 먼저 Vo = 0인 특별한 경우를 살펴본다. 이 경우，== 0 가 되는데. 이것은 전위장벽이 없는 경우이므로 자유입자에 해당한다. 식 (3.24)로부터 cos aa = cos ka (3.25) a =k (3.26) 호으 이 된다. 전위가 0이므로 총 에너지는 운동에너지와 같게 되고，식 (3.5)로부터 식 (3.26)은 다음과 같이 정 리된다. (3.27) 여기서 P는 입자의 운동량이다. 운동파라미터 &는 자유전자의 운동량과 관련이 있으며， 파수(wave number) 라고도 부른다. 자유입자의 에너지와 운동량은 E = 촌：:!유 2m 2m (3.28) 의 관계를 갖는다. 그림 3.7은 식 (3.28)에서 표현된 자유입자의 에너지 £와 운동량厂의 포물선 관계를 보여준다. 운동량과 파수는 비례관계가 있기 때문에 그림 3.7은 자유입 자의 £와 々의 곡선을 나타낸다고도 볼 수 있다• 이제 단결정 격자에 갇혀있는 입자에 대한 E와 々 사이의 관계를 식 (3.24)로부터 살 펴보고자 한다. 파라미터 厂'이 증가함에 따라 입자는 전위우물 혹은 원자에 더욱 강하 게 결합하게 된다. 식 (丄24)의 좌변을 함수/(a상)로 정의하면 f(aa) = 4- cos aa (3.29) 3.1 허용에너지밴드와금지대 7]- 된디-. 그림 3.8a는 식 (3.29)의 첫째 항을 cw에 대해서 그린 것이다. 그림 3.8b는 cos 0旧를 그린 것이고，그림 3.8c는 위의 두 항의 합 즉/(0미를 그린 것이다• 식 (3.24)로부터 f(、aa、 ) = cos ka (3.30) 이 된디•. 식 (3.30)이 성립하려면 함수八«비의 허용 값은 반드시 +1과 -1 사이에 존 p=0 그림 3.7 p or k------ ► 자유전자에 대한 £와 & 포물선 관계 곡선 그림 3.8 («) 식 (丄29)의 첫째 항의 그래프, (b) 식 (3.29)의 듈째 항의 그래뜨 그리고최종 朴수 /(이/》의 그배프• 이두운 부분은 A의 실수 값에 해당히는 의 허용 값없 나다\1!다. 69 70 Chapter3 고체양자이론의 입문 재해야 한다. 그림 3.8c는 함수.Acw)의 허용값과 에의 허용값을 어두운 부분으로 표시 하였다. 식 (3.30)의 우변으로부터 ka 값 즉/(ota)의 허용값에 해당하는 값들도 역시 표 시 되어있다. 파라미터 a는 식 (3.5)，즉 a2 = 2/n£/A2로부터 입자의 총 에너 지 £와 관계된다. 입 자의 에너 지 £와 파수 々의 관계함수그래프를 그림 3.8c로 그릴 수 있디-. 그림 3.9는 이 그래프를 보여주고 있으며, 결정격자를 이동히는 입자의 허용 에너지밴드의 개념을 나 타내고 있다. 에너지 f는 불연속이므로 결정에서 운동하는 입자에 대한 금지대의 개념 도 역시 나타나 있다. 예제 3.2 금지대의폭을계산한다. = 미그림 3.9 참조)에 존재하는 금지대의 밴드캡 폭을 계산하시오. 상수，= 8 그리고 전위의 폭 =4.5 A 라 가정한다. 물이 식 (3.29)와 (3.30)을 결합하면 cos ka = 广 ^^으 + cos aa 이다.。= 77와 P' =8을 대입하면 ~1 = 8 산농응^ + cos aa 이 된다. 위 방정식을 만족하는 이7의 최솟값을 구하고 밴드갭 에너지를 구하기 위해서 a와 f의 관계를 활용한다. 그림 3.8로부터 ka = 77의 한 값에서 = 7T = a，을 알 수 있다. 그러면 그림 3.9 그림 3.8로부터 만들어진 £와 々 관계 다이어그렘. 허용 에너지밴드와 금지 에너지|,1||드가 표시되어 있다. 3.1 허용에너지밴드와금지대 a^=\^T'a = 7r 혹은 卜藏==2972 XI°-,,J 이 다. 그림 3.8로부터 ka = IT의 또 다른 값에서 0…는 7T < aa < 있다. 시행착오를 거쳐 Ota = 5.I41 = 범위에 있음을 알 수 을 도줄할 수 있다• a2a = \卜》• 公 = 5.141 혹은 치 따라서 밴드캡 에너지는 E, = E2~ Ey= 7.958 X 10-'9 一 2.972 X 10이9 = 4.986 X 10시9 J 혹은 4.986 X 10시9 = 3.12eV 1.6 X 10-*9 이다. 區豆］ 이 예제의 결과는 금지대 에너지 폭의 크기를 가늠할 수 있게 한다. 연습 문제 Ex 3.2 예제 3.2에 주어진 파라미터를 사용하여 77 < Ay; < 2tt 범위에 있는 허용 에너지 밴드의 폭을 구하시오. （八9 9VZ = JV •幻 식 (3.24)의 우변 즉 함수 cos 切를 다시 살펴보자. 코사인 함수는 주기함수이므로 cos ka = cos(뇨z + 2，nr) = cos(ka — 2mr) (331) 로 쓸 수 있고，여기서 "은 양의 정수이다. 그림 3.9에서 곡선의 일부를 2tt만큼 이동 시키더라도 식 (3.24)는 수학적으로 여전히 만족한다. 그림 3.10은 곡선의 여러 부분 들이 어떻게 2ir 만큼 이동할 수 있는지를 보여주고 있다. 그림 3.11 은 전체 E-k 그림 이 -idu <k< tt/u 범위 내에 포함된 모양을 보여준다. 이 그림을 축소된 “공간 그 림 혹은 축소된 영역 표현이라고 한다. 식 (3.27)에서 자유진자에 대하여 입자 운동량과 파수는 p = 사의 관 비간 가진다는 점에 주의하라. 자유전자의 해와 그림 3.9에 나타난 단걸정의 결과，퐁 나이에 유 나성이 있으며 단질징에서 파라미터 hk는 결정 운동량이라고 한다. 이 파라미니는 사 성에 너 전 자의 심제 운동랑은 아니지만 질정고!•의 상호작용윤 포한한 운동상수이다. 71 72 Chapter3 고채양자이론의 입문 ，—厂용^ 시 그림 3.10 혀용 에너지밴드의 여러 부분들이 2▽ 만큼 이동하는 모잉을 보여주는 £와 々 관계 다이어그램 그림 그림 3.11 축소된 영역의 이 논의의 중요한 결과는 결정에서 전자들이 가질 수 있는 어떤 허용 에너지밴드들과 가질 수 없는 금지 에너지밴드들이 있다는 것이다. 실제 3차원 단결정에서도 이와 유사 한 에너지밴드 이론이 존재한다. 다음 절에서 더 깊은 전자의 성질에 대해서 고찰할 것 이다. 단결정 격자를 모델링하기 위해서 】 차원 주기 전위함수를 사용한 Kronig-Penney 모 델을 살펴보았다. 이러한 분석의 주요 결과는 전자들은 결정에서 허용 에너지밴드만 차지할 수 있고, 금지 에너지밴드는 차지할 수 없다는 것이다. 실제 3차원 단결정 에 대해서도 유사한 에너지밴드 이론이 있다. 다음 절에서는 Kronig-Penney 모델로부 터 전자의 다른 성질들을 배우게 될 것이다. 이해도 평가 TYU 3.1 " ' 1 —■ - -- 예제 3.2에서 주어진 파라미터를 활용하여 ka = 2tt에 존재하는 두 번째 금지 에너지밴드의 폭（단위 〜）을 계산하시오 （그림 3.8c 참조）. TYU 3.2 - -- ■ （A3 = 앙 .suv） 예제 3.2에서 주어진 파라미터를 활용하여 0 < “ < 쎄 존재하는 허옹 에너지 밴드의 폭（단위 eV）을 계산하시오. （그림 3.8c 참조）. （A3 =9.0 = 3 .suy） 3.2 고체의전기 전도 우리의 궁극적인 관심은 반도체 소자의 전류•전압 특성이다. 앞 절에서 고찰하 배드 이 론을 사용하여 고체의 전기 전도를 살펴볼 것이다. 다양한 허용 에너지밴드전자 3.2 고체의 전기 전도 의 운동을 고찰함으로써 시작한다• 3.2.1 에너지밴드와 결합 모델 I 상에서 실리콘의 공유결합을 논의하였다. 그림 3.13은 단결정 실리콘 격자에서 공유 실합의 2차원 그림을 나타내고 있다. 이 그림은 丁 = 0 K에서 실리콘을 나타낸다. 이 온도에서는 각 실리콘 원자가 8개의 가전자들에 의하여 둘러싸여 있고，에너지적으로 는 가장 낮은 상태에 있으며，공유결합에 직접 관여한다. 그림 3.4b는 실리콘이 결정을 형성하면서 실리콘의 개별 에너지 상태들이 허용 에너지밴드로 분리되는 것을 나타낸 다. T = 0 K에서 하부밴드 즉 가전자대의 4"개의 상태들이 가전자들로 가득차게 된 다. 상부밴드 즉 전도대는 T = 0 K에서는 완전히 비어있다. 온도가 0 K 위로 증가함에 따라 약간의 가전자대 전자들이 충분한 열에너지를 얻게 되어 공유결합을 깨뜨리고 전도대로 이동한다. 그림 3.13a는 이러한 결합의 깨어짐을2 차원 그림으로 나타내고 있고，그림 3.13b는 동일한 현상에 대한 에너지밴드 모델의 해 석을 보여주고 있다. 반도체는 전하적으로 중성이다. 이것은 음전하를 띤 전자가 자기의 공유결합 위치 를 깨뜨리고 탈출함에 따라 양전하를 띤 빈 상태가 가전자대의 원래 공유결합 위치에 n I I 一 n I - n 一一 O H I I H II | 니 니 II ^ 一 I == o I I =-- M n H O H H H O| = H H O H= == H n II II n y I I o H =니니0=0=0 M I I --- 니 니 니 니 니 니 그림 3.12 r = OK에서 반도체의 공유결합의 2차원 그림 H it || :::〔）= H H it =o= it II II H U it =o=-= I I =o=== -==O= if I I I —o==o= =O-== it n U it H II it II it it it it 그림 3.13 ⑷ 공유접한의 끼I이신，& 나타내는 2차원 그민과（6）공유 :!朴이 개어 시변시 마생하4:- 진 자와 정공의 생싱을 에너시밴드상에시 표시한 그인 73 74 Chapter3 고체양자이론의 입문 형성됨을 의미한다. 온도가 더욱 증가함에 따라 더 많은 공유결합이 깨어지고 더 많은 전자들이 전도대로 이동하며 더 많은 양전하의 빈 상태들이 가전자대에 형 성된다. 이러한 결합의 깨어짐을 £나 에너지밴드와 관련지을 수 있디-. 그림 3.14크는 7\=() &에서 전도대와 가전자대의 E-k 그래프를 보여준다. 가전자대의 에너지 상태들은 완전 히 채워져 있고 전도대의 상태들은 비어있다. 그림 lUb는 T〉OK에 대한 밴드를 보 여준다. 여기서 전자들은 충분한 에너지를 얻어 전도대로 이동하고 가전자대에 빈 상 태들을 남긴다. 외부 힘은 가해지 지 않았다고 가정하면 전자와 빈 상태들의 분포는 소에 대하여 대칭이 된다. 3.2.2 드리프트(drift) 전류 전류는 전하의 이동에 의하여 발생하며, 특히 전계에 의한 전하의 이동을 드리프트 (drift)라고 하고, 그 전류를 드리프트 전류라고 한다. 만약 어떤 양전하의 집합체가 부 피밀도는/V(cm_3)이고 평균 드리프트 속도는 v/cm/sec)이라고 하면 드리프트 전류 밀 도는 J - qNvd A/cm2 (3.32) 이 된다. 만약 평균 드리프트 속도를 고려하는 대신 개별적인 양전하의 속도를 고려하 면 드리프트 전류 밀도를 다음과 같이 쓸 수 있다. N J = q^vi (3.33) i=l 여기서 바는' 번째 양전하의 속도이다. 식 (3.33)에서 합은 단위 부피에 대하여 취해지 므로 전류밀도는 여전히 A/cm2의 단위를 갖는다. 전자는 전하를 띤 입자이므로 전도대에서 전자의 드리프트는 전자전류를 일으킨다. 그림 시새에서 보듯이 전도대에서 전자의 분포는 외부 힘이 인가되지 않았을 때 々의 그림 3.14 (a)r = OA^(b)r〉OJ^W 반도체의 전도대 및 기진자대의 公乂 그림 3.2 고체의 전기 전도 우함수이다. 자유전자에 대한 々는 운동량과 관계됨을 기억하고 +|시값을 가지는 전자 의 수 만큼 ᅱ시값을 가지는 전자들이 있으므로 이러한 전자들에 의한 순 드리프트 전 류입도는 영이 된다. 이 결과는 외부 힘이 없는 상태이므로 확실히 예견할 수 있다. 힘이 입자에 가해지고 입자가 움직이면 에너지를 얻게 된다. 이 효과는 다음과 같이 표현된다. dE = F dx = Fvdt (3.34) 여기서 厂는 인가된 힘이고，化는 입자가 움직인 미분 거리이며，있는 속도 그리고 ■는 에너지 증가량이다. 외부 힘이 전도대의 전자에 인가되면 전자들이 움직일 수 있는 빈 에너 지 상태들이 많이 있으므로 외부 힘에 의하여 전자들은 에너지와순 운동량를 얻 을 수 있다. 전도대의 전자 분포는 그림 3.15에서 보듯이 분포하게 되고 순 운동량을 얻 게 된다. 전자의 운동에 의한 드리프트 전류 밀도는 다음과 같이 쓸 수 있다. J = —e (3.35) r=l 여기서 C는 전자 전하량의 크기이고 은 전도대의 단위 부피당 전자 수이다. 다시 합은 단위 부피에 대하여 취해지므로 전류밀도는 A/cm2이 된다. 식 (2.78)로부터 전류는 전 자 속도에 직 접 관계됨을 주의 해야 한다. 즉 전류는 전자가 고체 내부에서 얼마나 잘 움직이는지에 의하여 결정된다. 3.2.3 전자유효질량 격자에는 많은 양성자와 전자들이 있으므로 격자 속에서 움직이는 전자의 운동은 자유 공간에서의 전자의 운동과 달리 아주 복잡한 힘의 영향을 받게 되므로 이러한 힘을 고 려하여 정확히 분석하기란 불가능하다. 격자에는 외부로부터 인가되는 힘 외에도 양전 하를 띤 이온이나 양성자 그리고 음전하를 띤 전자에 의한 격자 내부 힘들이 있으며, 이들은 격자에서 전자의 운동에 영향을 줄 것이다. 따라서 (3.36) 그림 3.15 외부 힘이 인가되있옴 때 시에 이 전자의 비대 상 H.y. 75 76 Chapter3 고체양자이론의 입문 로 쓸 수 있고，여기서 F10lal. Fcxl 그리고 /、는 각각 격자에서 입자에 작용하는 총힘，외 부 힘. 그리고 내부 힘들이다. 파라미터 以는 가속도이고 시/은 입자의 정지질량이다. 모든 내부 힘을 고려하는 것은 어렵기 때문에 다음과 같은 방정식을 사용한다. Fcx( = mâ (3.37) 여기서 가속도 a는 외부 힘과 직접 관계된다. 유효질량(effective mass)이라고 부르는 파 라미터 /”*은 입자의 정지질량과 함께 내부 힘의 영향을 고려한 파라미터로서 내부 힘 에 의한 정 지 질량이 변화된 질량으로 보아도 된다. 유효질량의 개념과 유사한 비유로서 물과 기름이 담겨 있는 각 용기 속의 유리구슬 의 운동의 차이를 생각해 보자. 일반적으로 유리구슬은 물 보다 기름 속에서 천천히 떨 어진다. 이것은 기름의 점도가 물 보다 크기 때문인데，이 경우 외부 힘은 중력이고 내 부 힘은 기름 분자에 의한 점성이 된다. 만약 기름을 물로 대체하면서 기름 속에서 느 린 구슬의 운동을 그대로 유지하려면 구슬의 질량을 작게 만들어야 한다. 이렇게 작아 진 질량이 유효질량에 해당하며，기름을 물로 대체하는 대신에 구슬의 정지질량을 기 름의 점성에 의한 질량의 변화로 간주하여 새로운 작은 질량을 사용한 것이다. 이와 같이 격자에서 운동하는 전자는 양성자 및 전자에 의한 복잡한 내부 힘의 영향 을 전자의 정지질량의 변화로 대체하고 대신에 기름을 물로 대체하였듯이 주변 환경， 즉 결정을 양성자와 전자 등이 없는 진공상태 혹은 자유공간으로 대체하여 생각할 수 있다. 따라서 유효질량을 사용하면 격자를 자유공간으로 대체하고 외부 힘의 영향만을 고려하여 뉴턴역학에 의한 자유전자의 운동으로 분석할 수 있다. 유효질량의 방정식을 유도하기 위하여 그림 3.11 의 E-k 곡선을 생각한디-. 이를 위하 여 전자가 거의 비어있는 전도대와 거의 채워져 있는 가전자대를 살펴보자•. 그림 3.7에 나타난 자유전자의 E-k 곡선을 먼저 생각해 보자. 식 (3.28)에서 보듯이 에너지와 운동량은 프 = p2lm = 가2P의 관계를 갖는다. 여기서 m은 전자의 정지질량 이다. 운동량과 파수 소는 " = hk으］ 관계를 갖는다. 식 (3.28)을 々에 대하여 미분하면 dE _ h2k _ 徒P (도재) 이 된다. 운동량과 속도의 관계로부터 식 (3.38)은 i dE P (3.39) 이 되며，여기서 ”는 입자의 속도이다. 표의 々에 대한 1차 미분은 입지-의 속도와 관계된다. 드를 H 대하여 2차 미분하면 d2E = h2 dk2 균 이 되며, 식 (3.40)을 다시 쓰면 (3.40) 3.2 고체의 전기 전도 (3.41) 이 되 미，유효질량의 식을 얻을 수 있다. 으에 대한 프의 2차 미분은 유효질량의 역수에 미 레힌다. 자유전자의 경우 질량은 상수이므로(비상대성 질량) 2차 미분도 상수이다. 그림 3.7에서 (PEIdk1 은 양의 량인 것을 주의해야 하며，이것은 유효질량도 역시 양의 량임을 으1 미한다• 자유전자에 전계를 인가하고 뉴턴의 운동 방정식을 사용하면 F = ma = —eE 이 되고，여기서 (3.42) 는 가속도이고，£는 인가 전계 그리고 e는 전자 전하량이다. 가속도를 구하면 이 된다. 자유전자의 운동은 음 전하를 가지므로 전계에 대하여 반대 방향이다. 이제 이 결과를 허용 에너지밴드의 하단에 있는 전자에 적용해 보자. 그림 3.16의 허용 에너지밴드를 생각하자. 이 에너지밴드의 하단 근처의 에너지는 자유전자와 마찬 가지로 근사적으로 포물선이다. 따라서 E-Ec = Cᄊ)2 이다. 에너지 '■는 밴드의 하단 에너지를 나타낸다. E > £c이므로 파라미터 C3-44) 은 양의 량이다. 식 (3.44)로부터 £를 心에 대하여 2차 미분을 취하면 W = 2Cl (3.45) 1 d2E _ 2G fi2 dk2 (3.46) 이 된다. 식 (3.45)< 다시 쓰면 이 된다. 식 (3.46)을 식 (3.41)과 비교하면 나/2(\은 유효질량과 같다. 그러나. 그림 3.16a에서 곡선의 곡률은 일반적으로 자유전자의 곡선의 곡률과 같지 않다. 이것을 다 시 쓰면 1 "午一 2C, _ 1 h: dk2 fi2 /h* 이 되고, ， .47) 을 유효질량이라고 부른다. C)> 0 이므로 역 시 이* > o이다. 유효질량은 양자역학적 결과를 고전적 힘의 방정식과 결부 니키는 파라미터이다. 대 부분의 징우 진도대 하단에 있는 전자는 내부 힘과 양자역학적 성질둘옴 유효질량으로 77 78 Chapter3 고체양자이론의 입문 그림 3.16 (aU-공간에서 전도대와 포물선 근사, (bU••공간에서 가전자대와 포물선 근사 고려하면 뉴턴역학으로 그 운동을 묘사할 수 있는 고전적 입자로 생각할 수 있다. 어I너 지밴드의 하단에 있는 전자에 전계를 인가하면 가속도는 (3.48) 이 되고, 여기서 W은 전자의 유효질량이다. 전도대 하단 근처에 있는 전자의 유효질량 은 상수이다. 3.2乂 정공의 개념 그림 3.13a에서 보듯이 공유결합의 2차원 그림을 생각하면 가전자가 전도대로 올라갈 때 양의 전하를 띤 빈 상태가 생성된다. r〉0 K에서 모든 가전자들은 열에너지를 얻 게되고，가전자가 작은 량의 열에너지를 얻으면 빈 상태로 뛰어들 수 있다. 빈 상태로 의 가전자의 이동은 양전하의 빈 상태 자체의 이동과 같다. 그림 3.17은 하나의 빈 상태 를 채우면서 새로운 빈 상태를 만들어 내는 결정에서 가전자들의 운동 즉 가전자대에 서 양전하의 운동을 나타낸다. 이와 같은 양전하의 운동은 새로운 전류를 만들어 내며 전자전류와 함께 결정의 중요한 전류이다. 이 양전하 캐리어를 정공(hole)이라고 부르 며，앞으로 보게 될 것이지만 뉴턴역학으로 운동을 묘사할 수 있는 고전적 입자로 생각 II II II - =Z 중 니 니 니 . = II II == II ⑷ 그림 3.17 반도체에서 정공의 운동의 시각화 그림 ⑷ O II 0= = 一一一一 == 一一一一 - =니<&= = 니 " = 니 © = ^=©: I 니 니 니 0 = 心 H == = =@= © 혜 == 니 =^ = 니 3.2 고체의 전기 전도 합 수 있다. J= (3.49) Vi /(filled) 이니. 어기시 합 부호는 모든 채워진 상태에 대하여 취해진다. 이 합 부호는 거의 완전 o| 채워진 가진자대에 대하여 취해지므로 대단히 많은 수의 상태를 고려해야하는 불편 힘 이 있다. 따라서 식 (3.49)를 다시 쓰면 비 + J = -e i (total) (3.50) i (empty) 이 된다. 만약 완전히 채워진 밴드를 고려할 경우 모든 허용 상태가 전자로 채워져 있게 된 다. 각 전자는 식 (3.39)로 주어지는 속도를 갖고 이동하는 것으로 생각할 수 있다- 。(幻=llllfi (3J9》 밴드는 々에서 대칭이고 각 상태는 채워져 있으므로 속도 네를 갖는 모든 전자에 대해 서 속도 시시를 갖는 전자가 있다. 밴드는 완전히 채워져 있으므로 々에 대한 전자의 분 포는 외부 힘에 대하여 변할 수 없다. 따라서 완전히 채워져 있는 밴드에서 발생하는 순 드리프트 전류밀도는 영 혹은 v, = 0 -e i (local) (3 JI) 이다. 거의 채워져 있는 밴드에 대해서 식 (3.50)으로부터 드리프트 전류밀도를 쓰면 / = Vi i (empc\) 이고，여기서 합 부호 속의 끼.는 그림 3.18 ⑷ 전자가 채워지 있는 상데와 비어 있는 상태# 나타내는，1ᄉ?| 나 ?! 다내“b、빈 상태 骨 양진하가 차지하는 새로운 개념도 79 80 Chapter3 고체양자이론의 입문 이며, 빈 상태와 관계된다. 식 (3.52)는 빈 상태에 양전하를 두고 다■른 상태'는 중성이라 고 가정한 것과 같다. 이 개념이 그림 3.18a에 나타나 있다. 그림 3.18a는 전자가 치떠 져 있는 상태와 비어 있는 상태를 나타내는 기존의 가전자대를 나타내고，빈-면에 그림 3.18b는 양의 전하가 빈상태를 차지하고 있는 새로운 개념을 나타낸다. 이 개념은 그림 3.17에서 보았듯이 양전하를 민 빈 상태의 논의와 일치힌-디、 식 (3.52)의 마는 이러한 양전하 입자들이 반도체에서 얼마나 잘 이동하고 있는지를 나타낸다. 그림 3.16b에 나타나 있는 에너지밴드 상단 근처에 있는 전자를 생각하자. 에너지밴드의 상단 근처의 에너지는 포물선으로 근사할 수 있으므로 (E - E.) = -C2(fc)2 (3.53) 이 된다. 에너지 〜는 에너지밴드 상단의 에너지이다. 가전자대에서 전자의 에너지는£ < 이므로 파라미 터 C2는 양의 량이 어야 한다. 식 (3.53)으로부터 M 대하여 £를 2차 미분하면 (3.54) 이 된다. 이 방정식을 다시 쓰면 1 d2E -2C2 h2 dk2 _ 1厂 (3.55) 이 된다. 식 (3.55)를 식 (3.4】)과 비교하면 (3.56) 이 된다. 여기서 …은 다시 유효질량이다. 상수 이는 양의 량임을 이미 언급하였다. 따 라서 …은 음의 량을 의미하게 된다. 에너지밴드의 상단 근처에서 이동하는 전자는 음 의 질량을 가진 것 같이 행동하게 된다• 유효질량 파라미터는 양자역학을 고전역학과 연관 짖기 위하여 사용된다는 것을 기 억해야한다. 이러한 두 이론을 관계 지으려는 시도는 음의 유효질량이라는 이상한 결 과를 초래하였다. 그러나，슈뢰딩거 파동 방정식의 해는 고전역학과 상반되는 결과를 초래하였다는 것을 독자는 기억해야 한다. 음의 유효질량은 또 다른 그러한 예이다. 지난 절에서 유효질량의 개념을 논의하는데 있어서 두 액체에서 운동하는 구슬의 비유를 사용하였다. 지금은 물로 채워져 있는 용기 중앙에 얼음조각을 놓아둔 경우를 생각하자. 얼음조각은 중력의 힘과 반대방향의 수면으로 상승운동을 하게 된다. 이 얼 음조각은 가속도가 외부 힘에 대하여 반대이므로 음의 유효질량을 가진 것 같이 보인 다. 유효질량은 입자에 작용하는 모든 내부 힘을 고려한 것이다. 다시 에너지밴드의 상단 근처의 전자를 생각하고，외부 전계에 대한 뉴턴의 힘의 방 정식을 사용하면 F = m*a = -eE (3.57) 3.2 고채의 진기 전도 이 된디-. 그리 나，"，*은 지금 음의 량이므로 _ a —《E _ +《E \m*\ — Iam*I (3.58) V- 舍 수 있다. 에너지밴드의 상단 근처에서 운동하는 전자는 외부 전계와 같은 방향으 로 이동한다. 거의 완전히 채워진 밴드의 전자의 순 운동은 양의 전하가 각 빈 상태에 관계되고 식 (3.56)의 음의 씨*이 각 빈 상태에 관계되면 단지 빈 상태를 고려함으로써 묘사할 수 있디、이 경우 이 밴드는 양의 전자 전하와 양의 유효질량을 갖는 입자를을 가진 것으 로 묘사할 수 있다. 가전자대의 이 러한 입자들의 농도는 비어있는 전자의 에너지 상태 의 농도와 길-다. 이 새로운 입자가 정공이다. 따라서 정공은 〜/ 로 표시되는 양의 유효 질량과 양의 전자 전하를 가지므로 인가 전계와 같은 방향으로 이동한다. 3.2.5 금속, 절연체, 반도체 각 결정체는 자신의 에너지밴드 구조를 갖는다. 예를 들면 실리콘에서 에너지 상태가 분리 되 어 가전자대와 전도대를 형성하는 복잡한 과정을 보았다. 그러한 복잡한 밴드 분리는 다른 결정체에서도 발생하며，다양한 고체들로부터 많은 종류의 밴드 구조가 유도되고 또한 넓은 범위의 전기적 특성을 나타낸다. 단순화된 에너지밴드를 살펴붐으 로써 이러한 밴드 구조의 차이 때문에 발생하는 전기적 특성의 근본적인 차이점을 정 성 적으로 이해하고자 한다. 여러 가지 가능한 에너지밴드를 고려할 수 있다. 그림 3.19a는 전자가 완전히 비어 있는 에너지밴드를 보여주고 있다. 전계가 인가되면 음직일 수 있는 입자는 없으므로 전류는 흐르지 않는다. 그림 3.1%는 에너 지 상태가 전자로 완전히 채워져 있는 또 다 른 에너지밴드를 보여주고 있다. 전 절에서 논의하였듯이 완전히 채워진 에너지밴드도 전류를 만들지 못한다. 완전히 채워져 있던지，혹은 비어있는 에너지밴드를 갖는 물질 은 절연체(insulator)이다. 절연체의 저항도(resistivity)는 대단히 크며，혹은 역으로 전도 도(conductivity)는 대단히 작다. 드리프트 전류에 기여할 수 있는 전하 입자는 근본적 으로 존재하지 않는다. 그림 3.19c는 절연체의 단순화된 그림을 보여준다. 절연체의 밴 드캡 에너지 &는 보통 3.5에서 6 eV 정도이며、혹은 더 큰 경우도 있다. 그러므로 상온 에서 전도대에는 전자가 전혀 없고 가전자대는 완전히 채워져 있다, 질연체에는 연 생 성된 전자와 징공은 거의 존재하지 않는다. 반도체(semic이lduct이，)의 에너지밴드는 그림 3.20과 같다. 그림 3.20a는 밴｝、의 하 단근처에 비교적 약간의 진자동이 있는 에너지밴드를 보여주고 있다. 여기에 전 예를 인가하면 전자는 에너지돌 인어 높은 에너지 상태로 이동하고、게체 이농•한다. 이러한 진하의 순 흐름이 전류이다. 그림 3.20b는 거의 채워진 에니지배네 상이수미, 이것은 이 밴드에서 정공이 존재함올 의미한다. 그립 3.20cb 이어하 3우외 슨한 에 81 82 Chapter3 고체양자이론의 입문 빠 ^ 히용 에너지 밴드 나 ^b (^ 지 1 B 충 전도대 전도대 ---------------- (거의 공핍) (공립) _________________________ 공 핍 전 자 상태 전자 & 1 가전자대 1 (충만) -- I 가전자대 | (거의충만) ' (c) (C) 그림 3.19 (a) 빈 밴드 (b) 완전히 채워진 밴드 그림 3.20 (a) 거의 비어있는 밴드, (b) 거의 채워 그리고 (이 두 허용된 에너지밴드 사이의 에너지 져 있는 밴드 그리고 (c) 두 밴드 사이의 에너지 갭을 보여주는 에너지밴드 갭을 보여주는 에너지밴드 너지밴드를 보여준다. 밴드캡 에너지는 1 eV 정도의 크기를 가질 수 있다. 이 에너지밴 드는 T〉0 K의 반도체를 나타낸다. 다음 장에서 보게 될 것이지만 반도체의 저항도는 큰 차수의 크기로 조절되고 변화될 수 있다. 금속은 저항도가 작은 것，즉 전도도가 높은 것이 특성이다. 금속의 에너지밴드는 두 가지 형태 중 하나를 취한다. 그림 3.21a는 부분적으로 채워진 밴드를 보여주며，여 기에는 전도에 이용될 수 있는 많은 전자들이 있다. 그러므로 이 물질은 높은 전기 전 도도를 나타낸다. 그림 3.21b는 금속의 또 다른 형태의 에너지밴드이며，전도대와 가전 자대가 중첩되는 경우를 보여준다. 그림 3.21a와 같이 많은 수의 전자와 동시에 전자들 이 이동할 수 있는 많은 수의 빈 상태가 존재하므로 이 물질도 역시 높은 전기 전도도 를 나타낸다. 부분적으로 채워진 밴드 충만대 (a) (b) 그림 3.21 ⑷ 부분적으로 채워진 밴드，(b) 중첩된 밴드를 보여주는 두 가지 가능한 금속의 에너지밴드 3.3 3차원으로확장 그림 3.22 연습 TYU3.3 01해도 평가 TYU 3.3 전도대의 전자에 대한 단순화된 E-k 곡선이 주어져 있다. a 값이 10 A이다. 상 대적 유효질량 TYU 3.4 （乂I] = 0비/，，•제V） 계산하시오. 가전자대의 정공에 대한 단순화된 E-k 곡선이 주어져 있다. fl = 12 A일 때 상 대적 유효질량 （대6Z'O = 1°씨/*씨I-5UV） 를 계산하시오. 3.3 3차원으로 확장 허용 밴드와 금지 밴드에 대한 기본 개념과 유효질량에 대한 기본 개념이 전 절에서 다루어졌 다. 이 절에서는 이 개념들을 3차원으로 그리고 실제 결정체로 확장할 것이다. 3차원 결정의 특성들을프나 도표 밴드캡 그리고 유효질량을 사용하여 정성적 고찰을 시도할 것이다. 여기서 는 단지 기본적인 3차원 개념에 대하여 간단히 언급하고 자세한 것은 고려하지 않을 것이다. 전위함수를 3차원으로 확장함에 있어서 부딪히게 되는 한 가지 문제는 원자들 간의 간격이 결정방향에 따라 바뀐다는 것이다. 그림 3.24는 [10이와 [110] 방향이 표시되어 있는 면심입방 구조를 보여준다. 전자들의 운동방향이 다르면 전자들이 격는 전위 에 너지의 모양이 달라지고 또한소-공간에서의 에너지도 달라진다. E-k 도표는 일반적으 로 결정에서 卜공간 방향의 함수이다. 【"이 그림 3.24 110이오！' [1101 방향옴 보여주는 민심인방 선정의 （100》거 싱면 83 g4 Chapter3 고채양자이론의 입문 3.3.1 Si과 GaAs의 k-공간 도표 그림 3.25는 갈륨비소와 실리콘의 E-k 도표를 보여준다. 이 단순화된 도표는 이 책에서 고러 할 기본적인 성질을 보여주지만 높은 차원에서 필요한 보다 자세한 시항은 나타나 있지 않다 양과 음의 卜축 자리에 두 개의 다른 결정 방힝을 표시하였음에 주의히•라. 1 차원 모델 에 대한£乂 도고는 々에 대하여 대칭이므로 음의 좌표축을 표시함으로서 새로운 정보를 을 수 없었다. [10이 빙-힝을 축에 두고 [111ᅵ 방향은 +k 축의 왼쪽，즉 _k 축에 두는 것 이 일반적인 관례이다. 다이아몬드와 섬아연광 격자의 경우 가전자대의 최대 에너지와 전 도대의 최소 에너지 지점은 々 = 0점, 혹은 +A- 나 -스의 두 방향 중 한 방향에 위치한다. 그림 3.25a는 GaAs의 E-k 도표를 보여준다. 가전자대의 최대와 전도대의 최소 에너 지 점은/; = 0에 위치한다. 전도대의 전자는/: = 0 지점의 최소 전도대 에너지 점에 주로 위치한다. 왜냐하면 전자는 작은 에너지 상태부터 채우기 때문이다. 이와 유사하 게 가전자대의 정공은 가전자대의 최대 에너지 점에 주로 위치한다. GaAs에서 전도대 최저 에너지와 가전자대의 최대 에너지 점은 같은 々 값에 위치한다. 이러한 성질을 갖 는 반도체를 직접 밴드갭 반도체(direct bandgap semiconductor)라고 부른다. 이 반도체 에서 두 에너지밴드 사이의 전이는 동일한，= 0에서 발생하므로 운동량의 변화 없이 이루어 진다. 이러한 직접적인 성질은 물질의 광 특성에 중대한 영향을 준다. GaAsf 비롯한 직접 밴드캡 반도체들은 반도체 레이저와 광소자들에 사용하기에 적합하다. 실리콘의 나 도표가 그림 3.2걔에 나타나있다. 가전자대의 최대 에너지 점은 GaAs 와 같이 /: = 0에 위치한다. 전도대의 최저 에너지 점은 々 = 0이 아니라 [10이 방향 위 에 위치한다. 최저 전도대 에너지와 최대 가전자대 에너지 점의 에너지 차이를 에너지 캡으로 정의한다. 최대 가전자대 에너지와 최소 전도대 에너지가 /: 축에서 일치하지 않 는 반도체를 간접 밴드갭 반도체(indirect bandgap semiconductor) 라고 부른다. en 에 너 지 점의 K 값이 일치하지 않기 때문에 전자가 전도대와 가전자대 사이에서 전이할 때 k 값의 불일치량，즉 운동량의 차이가 보존되어야 한다. 이러한 운동량 보존은 전자와 결 정의 상호작용에 의하여 이루어진다. 게르마늄도 역시 간접 밴드갭 물질이고，가전자대의 최대는 k = 0에서 발생하고 전 도대의 최저는 [111] 방향 상에 발생한다. GaAs는 직접 밴드캡 반도체이지만 GaP와 AlAs와 같은 다른 화합물 반도체는 간접 밴드캡을 갖는다. 3.3.2 유효질량의 추가 개념 전도대의 최저 에너지 점 근처에서 E-k 도표의 곡률은 전자의 유효질량과 관계된디•. 그 림 3.25로부터 GaAs의 전도대 최저값에서 곡률은 실리콘 보다 크다는 점에 유의하라. 이것은 GaAs의 전도대에서 전자의 유효질량이 실리콘 보다 작다는 것을 의미한다. 1 차원 E-k의 경우 유효질량은 식 (3.41) 즉 1八w*=l"P • cPEIcll은로_ 정의되며，여기서 은 곡률을 나타낸디.. 따라서, 실제 3차원 결정에서는 々가 3차원 벡터이므로 々는 세 가 지 다른 값을 가질 수 있으므로 유효질량도 3가지 값을 나타낼 수 있다. 이 책에서는 유 3.4 준위입도함수 4 4 3 2 2 > 3 ) s f e c w 1 0 I [111] 0 [100] -2 [111] 0 [100] k k (a) (b) 그림 3.25 (a) GaAs，(b) Si의 에너지밴드 구조 （Sze [12] 인용） 효질량의 여러 가지 다른 값에 대해서는 자세히 언급하지 않는다. 앞으로 필요할 경우 3가지 다른 유효질량의 적합한 확률적 평균 값을 사용할 것이다.2》 3乂 준위밀도함수 이미 언급하였듯이 최종적인 목표는 반도체 소자의 전류_전압 특성을 설명하는 것이다. 전류는 전하의 흐름에 기 인하는 것이므로 반도체에서 전도에 참여하는 전자와 정공의 수 를 결정하는 것이 중요한 요소가 된다. 전도에 기여하는 캐리어의 수는 이용 가능한 에너 지 상태，혹은 양자상태의 수의 함수이다. 왜변h면 파울리의 배타율에 의하면 단지 하나 의 전자만이 하나의 양자상태를 차지할 수 있기 때문에 양자상태의 수가 많으면 결국 전 자의 수가 많을 수 있음을 의미하기 때문이다. 에너 지 준위가 허용 및 금지 에너지밴드로 분리되는 현상을 설명할 때 허용 에너지밴드는 개별 에너지 준위들로 구성된 점을 지적 하였다. 전자와 정공의 수를 계산하기 위해서는 이 허용 에너지 상태들을 에너 지 함수로 표현하여야 하는데 이 것을 에너 지 상태밀도 함수（energy density of states funciion》라고 하며，단위 에너지당 단위 부피당 양자상태 수 （단우양자상태 수/cn? • eV）로 정의된다. 3.41 수학적 유도 양자상데 밀도를 에너지 함수로 결정하기 위해서는 적절한 수하적 모대유 고리하 필요 2） 유효집방 개 VI에 대한 심충 논의는 부욕 F想朴조합 것, 85 86 Chapter3 고채양자이론의 입문 가 있다. 전지들은 반도체의 전도대에서 비교적 자유롭게 이동할 수 있지만 결정 내부 에 갇혀있다. 따라서 첫 단계로서 3차원 무한 양자우물에 갇혀있는 하나의 자유전자홍 생각하자. 여기서 양자우물은 결정을 나타낸다. 무한전위우물의 전위는 다음과 같이 정 의 된다. V(.v, )，，z) = 0 for 0 < x < « 0 <y < a 0<z<« V(.r, )’，z) =。。 여기서 결정은 한 변의 길이가 (3.59) elsewhere 인 육면체라고 가정한다. 3차원 슈뢰딩 거 파동방정식 은 변수분리 방법으로 풀 수 있다. 1 차원 무한전위우물의 결과로부터 다음과 같이 f 수 있다 (문제 3.23 참조). = 여기서 = + + = (선 + «v + (J) (3.60) 그리고 '는 양의 정수이다. (np 아，그리고 사의 음의 정수의 경우는 양의 정수의 경우와 비교하여 부호만 다르지 동일한 파동함수를 가지므로 동일한 확률함수 와 에너지를 갖는다. 따라서，음의 정수는 양의 정수와 다른 양자상태를 의미하지 않는 다.) k 공간에서 허용 양자상태를 도식화할 수 있다. 그림 3.26a는、와 '의 2차원 그림 을 나타낸다. 각 점은 心와 乂의 여 러 가지 값에 해당하는 허용 양자상태를 나타낸다. /… nv, 그리고 '의 양과 음의 값은 동일한 에너지를 가지므로 동일한 양자상태를 갖는 다. 따라서，k、，ky，그리고 소:의 음의 값에 해당하는 추가 양자상태는 존재하지 않기 때 문에 양자상태 밀도를 계산할 때 그림 3.24b에 나타나 있는 k 공간의 구(球) 부피 의 양 의 부분에 해당하는 1/8 영역만 고려한다. 예를 들면 kx 방향으로 두 양자상태 간의 거 리는 그림 3.26 [100】와 [니어 방향을 보여주는 면심입방 결정의 (100) 결정면 3.4 준위밀도함수 — kx = (nx + 1) (몸) - 세) = a (3*61) 주어 진다. 이 결과를 3차원으로 일반화하면 단일 양자상태의 부피。는 V, = (증)3 (3.62) 이디-. 이제 k 공간에서 양자상태밀도를 계산할 수 있다. k 공간에서 미분 부피가 그림 3.26b에 나타나 있고, 47rk2dk로 주어진다. 따라서，k 공간에서 양자상태밀도의 미분은 grW dk = 2 1 - 4，n，k，dk 8 (밝 (3.63) 으로 쓸 수 있디-. 첫 번째 인자 2는 각 양자상태에서 허용되는 2개의 스핀상태를 고려 한 것이디-. 다음 인자 士은 kv kr 그리고 소:의 양의 값에 해당하는 양자상태만을 고려하 였기 때문에 포함되었다. 인자 4t政2씨:는 미분부피이고，인자 (7미)3은 단일 양자상태의 부피이다. 식 (3.63)은 다음과 같이 간소화 된다. (3.64) gr^dk = 식 (3.64)는 파라미터 k 즉 운동량의 함수로 양자상태밀도를 나타낸다. 이제 에너지 £ 의 함수로 양자상태밀도를 유도해보자. 자유전자에 대해서 파과미터 £와 /:는 난 = 고뿐 (3.65a) k = 卜도豆 (3.65b) dk = iVSdE (3.66) 혹은 의 관계를 갖는다. 미분 dk는 이다. 그러면 F과 값의 표현식을 식 (3.64)에 대입하여 드와 f+t/E 사이에 존재하는 양 자상태의 수를 다음과 같이 계산할 수 있다. — 뿐 (管 (3.67) h = A/2tt이므로 식 (3.67)은 幻(£)(/프 = 이 된다. 식 (3.68)은 공간직 부피 - • (2m)y/2 - VEdE (3.68) 를 갖는 결정에 대해서 에니 지 /?와 厂 + JE 사이의 양자상배의 총 수를 의미한다. 만약 부피 도를 얻을 수 있다. 그러 면 식 (3.68)은 으로 나누먼 긴정의 단미우피당 양사상데민 87 거 gg Chapter3 고체양자이론의 입문 g(£) = 행^ (3.的) 이 된다. 양자상태 밀도는 에너지 £의 함수이다. 이 자유전자의 에너지가 작아짐에 따 라 이용 가능한 양자상태의 수는 감소한다. 이 밀도함수는 시•실은 이중밀도이다. 즉 단 위 부피당 단위 에너 지당 양자상태수로 주어진다. 예제 3.3 rw히 __________________ 특정 에너지 범위의 단위 부피당 상태밀도를 계산한다' —— _• 식 (3.69)로 주어진 자유전자의 상태밀도를 고려하자. 에너 지 0부터 1 eV 사이에 있는 단위 부피당 상태밀도를 계산한다. 물이 양자상태의 부피밀도는 식 (3.69)로부터 ] eV N = 호(E) dE = 47r(2m)3/2 1 eV VEdE 一戶- 혹은 N= 47r(2/n)3/2 厂 2 3 2 이 된다. 따라서 상태밀도는 N= 4tt[2(9J 1 X 10_31)]3,2 • j • (1.6 X 10시9)3'2 = 4.5 X 1027 n「3 (6.625 X 10 치3一 혹은 TV = 4.5 X 1021 states/cm3 이다. 양자상태밀도는 일반적으로 큰 수이다. 다음 절과 장에서 보게될 반도체의 유효상태밀도도 역시 큰 수이지만 보통 반도체의 원자밀도 보다는 작다. 안습 문제 Ex 3.3 자유전자에 대하여 다음 에너지 범위에서 양자상태밀도를 계산하시오. (a) 0 드 £ 드 2.0 eV (b) 1 < £ < 2 eV. [卜uk) izOI X 63*8 = N (A) -c-iuo K이 x 83.1 = A广 (b) -suy] 3乂.2 반도제의 양자상태밀도 앞 절에서 3차원 무한 양자우물에 갇힌 질량 /”을 가진 자유전자의 모델을 사용하여 전 자 양자상태밀도에 대한 일반적인 표현식을 유도하였다. 이와 같은 일반적인 모델을 반 도체에 확대 적용하여 전도대 및 가전자대의 양자상태밀도 식을 유도할 것이디. 전^.와 3.4 준위밀도함수 싱공은 반도체 결정에 갇혀 있으므로 무한양자우물의 기본 모델을 적용할 수 있다• 자유진자의 에너 지와 운동량과의 포물선 관계는 식 (3.28) 즉 £ = p2/2w = fi2k2/2m 주어진디、그림 3.16a는 소-공간에서 전도대 에너지밴드를 보여준다. 전도대 하단에 서 々 = () 근처 의 E-k 곡선은 포물선으로 근사할 수 있으므로 £=反+g (3.70) 으로 쓸 수 있고，여기서 Ec는 전도대 바닥 에너지이고 /^은 전자유효질량이다.3》식 (3.70) 은 —S (3'71) 로 다시 쓸 수 있다• 전도대 하단에서 전자에 대한 £나의 일반적인 형태는 질량이 유효질량으로 대체된 것을 제외하고는 자유전자와 같다. 따라서 전도대 하단의 전자는 자신의 특별한 질량 을 가진 자유전자로 생각할 수 있다. 식 (3.기)의 우변은 상태 밀도함수의 유도과정에서 사용되었던 식 (3.28)의 우변과 같은 형태이다. 자유전자 모델을 낳았던 이러한 유사성 때문에 식 (3.69)의 자유전자결과를 일반화하여 전도대의 에너지상태밀도를 Sc(E) = 로 쓸 수 있다. 식 (3.72)는 £ )3/2 y/EÊc (3.72) 化에 대하여 성립한다. 전도대에서 전자의 에너 지가 감소함에 따라 양자상태의 수도 역시 감소한다. 가전자대의 양자상태밀도는 위와 같은 무한 전위우물모델을 사용하여 얻을 수 있 다. 왜냐하면 정공도 역시 반도체 결정에 갇혀있고 자유전자로 취급할 수 있기 때문이 다. 정공의 유효질량은 이다. 그림 2.21b는 소-공간에서 가전자대를 보여준다. 자유정 공에 대하여 々 = 0 근처 에서 E-k 곡선도 역 시 포물선으로 근사할 수 있으므로 (3.73) 이다. 식 (3.73)은 (3.74) 로 다시 쓸 수 있다. 식 (3.74)의 우변은 상태밀도함수의 일반적 유도과정에서 사용되었던 갑은 형태이 다. 따라서 식 (3.69)의 상태밀도함수를 일반화하여 가전자대에 적용함으로이 47T(2m；,)'/2 艾 r(E) = 一P~ \/Ev - E 3) 유A진량 개Y1 에 대하여 더 깊은 논의는 부하 F{} 참고힌 깃. (3.75) 89 90 Chapter3 고채양자이론의 입문 그림 3.27 에너지 함수에 대한 전도대의 에너지상태밀도와 가전자대의 에너지상태밀도 을 얻을 수 있다. 식 （3.75）은 E* £、.에 대하여 성립한다. 양자상태는 금지대 내부에는 존재하지 않는다고 설명하였다. 그러므로 Ev< E< 에 대하여 g<、幻 = 0이다. 그림 3.27은 에너지함수에 대한 양자상태밀도의 그림을 나 타낸다. 전자와 정공의 유효질량이 같으면，함수 次셔）와 시£）는 지 통로. 혹은 중간캡 에너지 예제 3.4 ［능적 I 와 Ev 사이의 에너 을 사이에 두고 대칭이 될 것이다. r = 300 K에서 £c와사이에 존재하는 Si의 에너지상태의 총 수를 계산한다. 물이 식 （3.72）를 사용하여 N= J —"芮一 y/E — Ec . dE 47】，（2써广）3/2 示 4tt[2(].08)(9JI X 10에)]3/2 (6.625 X W34)3 2 j • [(0.0259)(1.6 X 10',9)p/2 = 2.12 X IO25™'3 혹은 八 =2.12 X IO19 cm-3 區互｝ 이 예제의 결과는 반도체의 양자상태 밀도의 크기를 가늠할 수 있게 한다. 연습문제 Ex 3.4 시오. T = 300 K에서 와』네 사이에 존재하는 Si의 에너지상태의 총 수를 계산하 （卜⑴。HiOI X 362 = N •배V） 3.5 릉계역학 3.5 통계역학 많은 수의 입자들을 다루는데 있어서 각 개별 입자의 거동보다는 전체로서 집단의 통 계직 거동을 취급하게 된다. 예를 들면 용기 속에 든 가스는 용기 벽에 평균 압력을 가 하게 된디•• 이 압력은 사실은 용기 속의 개별 가스 입자들의 충돌에 의한 것이지만 입 자가 벽에 부딪힐 때 각 개별 분자를 추적하지 않는다. 결정에서도 마찬가지로 전기적 특성은 많은 수의 전자들의 통계적 거동에 의하여 결정된다• 3.5.1 통계 법칙 입자들의 통계적 거동을 다루는데 있어서 입자들이 따라야 하는 법칙들을 고려해야 한 다. 에너지 상태에서 입자들의 분포를 결정하는 세 가지 분포 법칙들이 있다. 첫째 분포법칙은 맥스웰-볼츠만(Maxwell-Boltzmann) 확률함수이다. 이 경우 입자 들은 1부터 N 등으로 번호를 매김으로써 구분 가능하고，각 에너 지 상태에 허용되는 입자의 수에 제한이 없다. 적당히 낮은 압력 상태의 용기 속에 든 가스 분자들의 거동 은 이 분포의 예가 된다. 두 번째 분포 법칙은 보스-아인슈타인(Bose-Einstein) 함수이다. 이 경우 입자들은 구분 불가능하고 각 양자상태에 허용되는 입자의 수에는 제한이 없다. 광자，혹은 흑체 복사의 거동이 이 법칙의 예가 된다. 세 번째 분포법칙은 페르미-디락(Fermi-Dirac) 확률함수이다. 이 경우 입자들은 구 분 불가능하지만 각 양자상태에 오직 하나의 입자만이 허용된다. 결정의 전자들은 이 러한 법칙을 따른다. 각 경우 입자들은 상호간에는 서로 영향을 주지 않는 것으로 가정 한다. 3.5.2 페르미-디락 확률함수 그림 3.28은 &•개의 양자상태를 갖는 /•번째 에너 지 준위를 보여주고 있다. 파울리의 배 타율(Pauli’s Exclusion Principle)에 의하여 각 양자상태에 최대 1 개의 입자가 존재할 수 있다. 1 번째 입자를 양자상태에 넣을 수 있는 방법은 로,개가 있고，2번째 입자는 (幻一 1) 개，3번째 입자는 (幻-2)개 등 이런 식으로 각 입자를 각 양자상태에 배치할 수 있는 방법의 개수가 존재한다. 그러면 /번째 에너지 준위에서 斗개의 입자를 배열함 수 있는 방법의 수는 / 빈째 에너지 준위 • • 1 2 • • 3 씨 양자 상태 그림 3.28 外개의 양자상태한 갖는 /빈째 에니시 Vv?l 91 92 分■까고때양하이톤의입p (세어 - " • • • (幻 - (M - 1)) = 斤一스 人斤 (3.7()) 이다. 이 표현 식은 /V,개의 입자의 자신들 간의 모돈 교外pcnnuhUion)유 포히•한 깃이다 그러나, 입자는 서로 구별할 수 없기 때문에 주어진 배업에 니 시 기에 교科어| 의한'!개의 교환은 별개의 배열로 간주할 수 없다 예를 들미 2 川이 하지유 간의 싱호 교환은 사I로운 배열로 구벌할 수 없다. 그어r_丄 생째 에니 지 슈미에서 '개 입자§ 배치할 수 있는 실제 독립된 배열의 개수는 M, = M)! (3J7) 이다. 고 여 3.5 ᅫ 옥【다음의 경우 입자를 배열할 수 있는 기능한 방법의 수를 계산힌-다. (a) 幻 = 10. (b) = 1(). \( = 9 폴이 (a) 氏 = N\ = 10: 식 (3.77、으로부터 分! - W! - , W 切一 ᄊ)! ~ 10! ~ 1 이 된다. (b) 义 = 10. Nt = 9 S，’ = 】0! = 니0)(9!) = /VJ(分一 사)! (9!)(1) (9«) (a＞외 같이 만약 10개의 양자상태에 】0개의 입자를 배열한다면，단지 1 개의 가능한 배열이 있올 뿐이다. 각 양자상태는 1 개의 입자를 갖게 된다. (비와 같이 9개의 입자를 10개의 양자 상태에 배열합 경우 1 개의 빈 상태가 있으므로 빈 상대가 발생할 수 있는 경우의 수는 10가 지이다. 그래서 】0가지 가능한 배열상태가 존재한다. 안습 문제 Ek 3.5 만약 g, = 10, N, = 8이면 배열 가능한 경우의 수를 계산하시오. (gp suv) 식 (3.77》은 /빈째 에너지 준위에서 '개의 입자를 배열할 수 있는 독립된 방법의 가지 수롤 나타낸다. "개의 에너지 준위에서 구별할 수 없는 입자 (시, /V2, /V3, ..... 乂,)개의 입자롤 배열함 수 있는 기능한 모든 방법의 가지 수는 W '다 사)! (3•개) 이다. 파라미터 IV는 이러한 시스템에서 시개의 전자롤 배열합 수 있는 모든 방십의 /| 3.5 롱제역학 시 ；；!- » ᅡ다내고. 이기서 /V = 사 하 r 卜 4 나，의 최댓값을 구할 것이다. …의 최댓값은 £,에서 '를 변화시키면 | , ) ； 는 총 선자의 수이다. 이제 최대확률분포를 계 ； 있卜대. 이렇개 하면 분포가 변하지만. 총 입자의 수와 총 에너지는 고정시켜 <나『 I. N(E) '石百 = fr(E) = exp (부) (3.79) 수 7!도 /v(£)는 단위 에너지당 단위 부피당 입자의 수이며. 함수,하fh는 단위 에너지당 단위 부피 당 양자상태의 수이다. 함수/가幻를 페르미-디락(FermiJDim 분포. 효은 3* 월-한수라고 하며, 에너 지 쓰에 있는 하나의 양자상태를 전자가 차지할 확률을 나타낸다- 나를 페르미 에너지라고 부른다. 이 분포함수의 다른 의미는 어느 에너지 £에 있는 총 양자상태 중에서 전자로 채워진 양자상태의 비율이다. 3.5.3 분포함수와 페르미 에너지 분포함수의 의미와 페르미 에너지를 이해하기 위하여 에너지에 대한 분프함수를 그러 보자. 먼저 T = 0 K라고 두고 E < Ef 경우를 생각한다- 식 나그이의 지수항은 expb£EF)!kT] -êxp(-oo) = 0이 된다. 결과적인 분프함수는/>(£ < 하) = 1이 된味 다니 T = 0 K이고，드〉의 경우를 생 각한다. 분포함수의 지수향은 exP[(£-FFVin — exp( +00)+oo가 된다. 결과적으로 페르미-디락 분•프환수는/"<厂 > £:厂、= 0° •된다 『 = 0 K에 대한 페르미-디락 분포함수가 그림 3그9에 나타나 있다. 이 결장는 T = 0 K에서 전자는 가능한 가장 낮은 에너 지 상태에 있음을 브여준다. 하나의 양斗y태 — 채워질 확률은 드 < 心에 대해서 1이며，f〉하에 대해 니는 0이다. 모든 전간들은 ? = 0 K에서 페르미 에너지 이하의 에너지를 갖는다. 그림 3.30은 어느 특정 시스템의 분리된 에너지 준위와 각 에너지에 니 가눙핟 양 -V 태의 수를 보여준다. 이 경우 시스템은 13개의 전각를 가진다고 가정하면、그림 은 이 전자들이 r = 0 K에서 양자상태 나이에 어떻계 분포되는지를 보여준다 전다들은 가능한 가장 낮은 에너 지 상태에 있으므로 에너지 준위 직과 나이에 있는 양간S때'나 채워질 확률은 1 이 된다. 그리고 에너지 준위 에 있는 양자낭태가 채위길 화률은 … 된다. 이 경우 페르미 준위는 F4 보다는 크고 보다는 작아야 한다 폐르12' 거녀 < : 전자의 통계적 확률분포를 결정하녀、허용된 에너 지 준위와 일치할 필요는 없가 양자상태밀도 以以아 그림 세에 니 보듯이 에너지의 연속함수일 끼률 성，야、 이 시스템에 시 시0개의 진사가 있으면、厂 = 0 에 니 양자양태 나이？:、’、 J 그 포는 fl 선과 갑이 보인다. 전사둘은 가장 낮은 에너지 양태에 있-厂 ᄉ거、': v-r상비I듈온 채워시고、다 위의 보든 公태들은 비어있게 된다 이 시、옌에 M 사겨와 압미지 있으면，베르미 에니지 다룹 결정할 수 있다. 나 93 w Chapter3 고체양자이론의 입문 、傷I、繼卜墨1 \</ W W 、繼 ! 그림 3.29 T = OK에서 에너지에 대한 그림 3.30 T = 0 K에서 어느 특정 시스템의 페르미 확률함수 분리된 에너지 준위와 양지상태 온도가 T = 0K 이상으로 증가할 경우를 생각하자. 전자들은 어느 정도의 열에너 지를 얻게 되어 일부 전자들은 더 높은 에너지 준위로 올라가게 되며，이것은 에너지 상태들 사이에 전자의 분포가 변하는 것을 의미한다. 그림 3.32는 그림 3.30과 같은 에 너지 준위와 양자상태를 나타낸다. 양자상태 사이의 전자의 분포는 T = 0 K의 경우로 부터 변화하였다. E4 준위로부터 두 전자들이 충분한 에너지를 얻어서 E5로 이동하였 으며, £3로부터 하나의 전자가 £4로 이동하였다. 온도가 증가함에 따라 에너지에 대한 전자의 분포는 변화한다. 7〉0 K에서 에너지 준위에 대한 전자분포의 변화는 페르미-디락 분포함수를 그림 으로써 알 수 있다. £ = 하와 r〉o K에서 식 (3.79)는 /X£= Ef} = Wexp(O) = T+T = 士 이 된다. E = 에서 하나의 상태가 채워질 확률은 4■이다. 그림 3.33은 페르미 에너지 는 온도에 대하여 무관하다고 가정하고 여 러 온도에 대해서 그려진 페르미-디 락 분포 함수를 보여준다. 절대온도 0 K 이상의 온도에서 Ef 위의 에너지상태들이 전자에 의하여 채워질 확률 이 0이 이•니며，Ef 아래의 에너지상태들이 비어있을 확률이 존재한다. 이 결과는 일부 g(E) ▲ . C n(E) / F 一'，= dE cc 그림 3.31 I = OK에서 연속 에너지 시스템의 양자상태 그림 3.32 r〉OK에 대한 그림 2.31 와 같 밀도 및 전지밀도 은 시스템의 에너지 준위와 잉지상데 3.5 통계역학 전자들이 열에너지의 증가와 함께 더 높은 에너지 준위로 이동함을 의미한다- 예제 3.6 f둘보다 큰 에너지 상태가 전자로 채워질 확률을 계산한다. 온도 T = 300 K라고 둔다. 페르미 에너 지 보다 3kT 위의 에너지 준위가 전자로 채워질 확 률을 계산하라. 털n 식 (3.79)로부터 ”7다，厂7더顯 이며， 서£) = 1 4- 20^9 = 0 0474 = 4.74% 이다. Er 보다 큰 에너지에서 어느 상태가 전자로 채워질 확률，혹은 가능한 양자상태에 대한 전 자 수의 비는 1 보다 훨씬 작아진다. 연습문제 Ex 3.6 페르미 에너지가 전도대 아래 0.3 eV에 위치한다. T = 300 K과 가정하자. (a) E = 표C + H74 에너지 준위에 전자가 존재할 확률을 계산하시오. (b) E = 듀 + 斤에 대해 너 (a)의 계산을 반복하시오. L_01 X 朴•£ (q)、이 X 9CY (미 suvl 그림 3.33으로부터 Ef 위의 에너지가 채워질 확률은 온도가 증가함에 따라 증가하고 아래의 상태가 비워질 확률은 온도가 증가함에 따라 증가한다. 「목적 I 예제 3.7 어느 에 너 지 상데 가 비워 질 확률이 1 % 되는 온도를 계 산■한다. 특정 물질의 페르미 에너지 준위가 6.25 eV이고，이 물질의 전자풍은 페르미-디락 분포함수 를 따른다고 가정하자. 페르미 에너지 아래 0.3 eV 상태가 전자* 갖시 않융 확分이 되 95 % Chapter3 고체양자이론의 입문 는 온도를 계산하라. 풀이 어느 상태가 비워질 확률은 1 -fF(、E) = 1-------1 + exp 1________ 뿐 이며， 0.01 = 1-------- Zi--Q7-- r 9S \ 1+exp(195__^5) 이다. 々r에 대하여 풀면 kT = 0.06529 eV이므로 온도는 T = 756 K가 된다. 區푀 페르미 확률함수는 온도의 영향이 큰 함수이다. 연습문제 Ex 3.7 £厂 가 £c 아래 0.3 eV에 위치한다. £ = £c + 0.025 eV 에너 지 준위에 전자가 존재할 확률이 8 x 10_6이 되는 온도를 계산하시오. (N m = 丄 .suy) £F 보다 dE 위에 있는 상태가 채워질 확률은 Ef 보다 dE 아래에 있는 상태가 비워질 확률과 같다는 점에 유의하라. 함수/>(幻는 페르미 에너지 표/7에 대하여 함수 1 一 />(£) 와 대칭이다. 이러한 대칭성질이 그림 3.34에 나타나 있고 다음 장에서 사용될 것이다. E-Ef » 厂인 경우를 생각하자. 이 경우 식 (3.79)의 분모에 있는 지수항은 1 보다 훨씬 큰 값을 갖는다. 분모의 1을 무시하면 페르미-디락 분포함수는 -＜、E - Ef)‘ fp(E)« exp —一kT一一. (3.80) 이 된다. 식 (3.80)은 페르미-디락 분포함수의 맥스웰-볼츠만 근사，혹은 간단히 볼츠만 근사라고 한다. 그림 3.35는 페르미-디락 확률함수와 볼츠만 근사를 보여준다. 이 그림 3.5 통계역학 은 근사가 성립하는 에너지 영역을 나타내고 있다. 동척! 예제 3.8 볼츠만 근사가 성립하는 에너지를 결정한다. 볼츠만 근사와 페르미-디락 함수의 차이가 페르미 함수의 5% 되는 에너지를 AT와£F로 계 산하라. 풀이 그러면 exp -{E~Ep)}__________ 1 IE-Er 一斤—J 7T 1 + exp \ 肝 1 1 + exp = 0.05 (르두리 이 다. 분모와 분자를 1 +exp（）로 곱하면 eXp [’% 切 ] '{1+eXP [^17^]} ~ 1 = 0 05 이 되고, 외[무?쁴 = _ 혹은 （公 - Er） = kT bi （石눈）883 3次7、 이 된다. 區互] 이 예제와 그림 3.33에서 보듯이 £一칵，》kT은 다소 오해의 여지가 있다. 맥스했-온츠만 과 페르미-디락 힘•수는 프-다、며 3AT 일 때 서로 5% 차이 내에 들게 된다, 연습 문제 Ex 3.8 봅츠만 근사와 페르미-디락 함수의 차이가 페르미 함수의 2% 되는 싱우에 대해 시 에새 3.8의 계신'올 반복하시오. = <7 - 57 suy） 97 98 Chapter 3 고채양자이론의 입문 실제 볼츠만 근사는 exp[(£-£厂)八丁]》1일 때 성립한다. 그러나. 볼츠만 근시를 적용 할 때 일반적으로 E-Ef » kT을 사용한디-. 다음 장에서 반도체를 논의할 때 이 볼츠 만 근사를 사용할 것이다. 이해도 평71; TYU 3.5 페르미 에너지가 가전자대 위 0.35 eV에 위치한다. 온도는 1 = 300 K이다. (a) E = Ev-kTI2 에너 지 준위에 전자가 비어 있을 확률을 계산하시오. (b) E = Ev-3kTI2 에너 지 준위에 대해서 반복하시오. L-이 X Z0T (9)、-이 父 03 8(표) .suV】 TYU 3.6 T = 400 K에 대해서 Ex 3.6을 반복하시오. [、이 x 比싱 ⑷、-이 X l£ l (b) suy] TYU 3.7 T = 400 K에 대해서 TYU 3.5를 반복하시오.[9-이 乂 대 8 ⑷이 x 3.6 ■ ⑷ *suVl 요약 결정이 형성되도록 원자들을 가까이 접근시키면 전자의 양자화된 에너 지 준위들이 분 리되어 에너지밴드를 만든다. ■ 허용밴드와 금지밴드의 개념은 양자역학과 슈뢰딩거 파동방정식을 Kionig-Penney 모 델을 사용하여 단결정의 전위함수에 적용하면 보다 깊이 이해할 수 있다. 이 결과는 반 도체의 에너지밴드 이론의 기초가 된다■ 유효질량의 개념을 배웠다. 유효질량은 외부 힘에 대한 결정 내부에서 입자의 운동과 관계되며, 결정격자가 입자 운동에 미치는 영향을 고려한 것이다• ■ 반도체에는2 종류의 전하 입자가 존재한다. 전자는 허용 에너지밴드의 바닥에너지에 존재하고 음의 전하와 양의 질량을 갖는다. 정공은 허용 에너지밴드의 꼭대기에너지에 존재하며 양의 전하와 양의 질량을 갖는다. ■ 실리콘와 갈륨비소 반도체의 드-々 다이어그램을 살펴보았고，직접밴드와 간접밴드의 가I념을 논의하였다. ■ 허용 에너지밴드 내의 에너지들은 실제 분리된 에너지 준위들이고，각각은 유한한 수 의 양자상태를 내포하고 있다. 양자상태의 단위에너지당 밀도 3차원 무한양자우물을 모델로 사용하여 유도하였다- ■ 많은 수의 전자와 정공을 취급함에 있어서 이러한 입지들의 통계적 거동을 고려해야 한& 페르미-디락 확률함수를 유도하였다. 이것은 에너지 £에 있는 양자상태를 전자 가 차지할 확률을 나타낸다. 페르미 에너지를 정의하였다. 주요용어 허용 에너지밴드 양자역학을 기초로하여 결정내의 전자가 차지하도록 허용된 에너 주이 의 영역 혹은 에너지밴드 상태밀도함수 단위부피당 단위에너지당 개수의 단위를 사용하며，에너지에 대한 양자상데 복습질문 의 밀도 함수 전자 유효질량 결정의 전도대 가속도와 외부힘과 관계된 파라미터 ; 결정의 내부힘의 영향 을 고려한 파라미터 페르미-디락 분포함수 허용된 에너지 상태가 전자에 의하여 채워질 확률과 에너지 상태에 서 전자의 통계적 분포를 나타내는 함수 페르미 에너지 간단히 정의하면，T = 0 K에서 그 에너지 이하의 모든 상태는 전자로 채워 지고 그 이상의 모든 상태는 비어있는 에너지 금지 에너지밴드 양자역학을 기초로 하여 결정에서 전자가 차지하도록 허용되지 않은 에너 지 준위의 영역, 혹은 에너지밴드 정공 가전자대 상단에 있는 전자의 빈 상태와 관련된 양전하를 띤 입자 정공 유효질량 결정의 가전자대 정공의 가속도와 외부힘과 관계된 파라미터 ; 결정의 내부 힘의 영향을고려한파라미터 k-공간 다이어그램 결정의 전자 에너지에 대한 소 관계 도표- 여기서 는 결정간섭과 연관 된 운동의 운동량 관련 상수이다. 크로니-페니 모델 주기 계단 함수들에 의해 일차원 단결정 격자에 존재하는 주기 전위함 수의 수학적 모델 Maxwell-Bolzmann 근사 Fermi 에너지의 수쇼T 이하，혹은 이상의 에너지에서 FermiDirac 분포함수가 간단한 지수함수로 근사될 수 있는 조건 점검사항 이 장을 공부한 후，독자들은 다음과 같은 능력을 갖추어야 한다. ■ 허용 에너지대와 금지 에너지대의 개념에 대하여 논할수 있다. ■ 실리콘에서 에너지밴드의 나뉨을 말할 수 있다. ■ 소 다이어그램에 대한£로부터의 유효질량을 정의할 수 있고，결정에서 입자의 운동에 대한 개념적 의미를 말할 수 있다. ■ 홀의 개념을 설명할 수 있다. ■ 금속，절연체 그리고 반도체간의 차이점을 에너지밴드의 개념으로 열거할 수 있다. ■ 상태 밀도함수의 유효밀도를 구할 수 있다. ■ 상태밀도함수의 의미가 무엇인가? ■ 페르미-디락 분포 함수와 페르미 에너지의 의미를 이해한다. 복습 질문 1. Kronig-Penney 모델이란 무엇인가? 그것이 의미 있는 결과는 무엇인가? 2. 슈레딩거 피동방정식에 크로니-페니 모델을 사용한 두 가지 결과에 대하여 논하라. 3. 유효질량이란 무엇인가? I나 곡선에서 유효질량은 어떻게 정의되는가? 4. 직 접 밴드집 반도체란 무엇인가? 간집 밴드갭 반도체란 무엇인가? 5. 상데밀도함수의 의미는 무엇인가？ 6. 상태밀도함수를 유도하는데 사용되는 수학적 모엔은 무엇인가‘? 99 100 Chapter3 고재양자이론의 입문 7. 일반적으로 상태밀도와 에너지 사이의 관계는 무엇인기? S. 페르미-디락 확률함수의 의미는 무엇인기-? 9. 페르미 에너지란무엇인가? 문제 3.1 절 허용 에너지밴드와 금지대 3.1 실리콘의 에너지밴드 분리를 보여주는 그림 34b를 고려하자. 평형상태의 원자 간의 간격이 변화할 경우 실리콘의 전기적 특성은 어떻게 변하는가를 논의하리-. 어느 정 도 간격에서 물질이 절연체 또는 금속처럼 행동하는가를 결정하라. 3.2 식 (3.3)에 주어진 풀이 형식을 이용하여 식 (3.4)와 (3.6)이 슈뢰딩 거 파동방정 식으 로부터 유도된 것을 보여라. 3J 식 (3.9)와 (3.10)이 각각 식 (3.4)와 (3.8)에서 주어진 미분방정식의 해임을 보여라. 3.4 식 (3.12)，(3.14)，(3.16)，그리고 (3.18)이 크로니-페니 모델에서 경계조건으로부터 나온 결과임을 보여라. 3.5 (a) 0 에서 함수/'(a公) = 12(sin cm)/ae7 + cos a公를 그려라. 또한，f(aa) aa = cos。로 주어 진 함수에서 이 수식을 만족하는 aa 값을 찾아라. (b)(i) ka = ir， (ii) 일 때 cw 값을 구하라. 3.6 함수 /(a公) = 5 sin aa/aa+cos a分 = cos /佔에 대하여 문제 3.5를 반복하라. 3.7 식 (3.24)을 이용하여，n = 0, 1, 2, ... 에 대하여，k =，nr/a에서 clE/dk = 0임을 보여 라. 3.8 문제 3.5의 변수들과 " = 4.2 A을 이용하여，(a) ka = 肝，(b) ka = 2tt에 존재하는 금지 에너지밴드의 폭(eV로)을 구하라. (그림 3.8c를 참조하라.) 3.9 문제 3.5의 변수들과 a = 4.2 A을 이용하여，(a) 0 < 切 < it, (b) 0 < “ < 2아에 존재하는 허용 에너지밴드의 폭(eV로)을 구하라. 3.10 문제 3.6의 변수들을 이용하여 문제 3.8을 반복하라. 3.11 문제 3.6의 변수들을 이용하여 문제 3.9를 반복하라. 3.12 반도체의 밴드갭 에너지는 보통 약한 온도의 함수이다. 어떤 경우 밴드캡 에너지와 온도와의 관계는 Eg = 兵(0) - 가 으로 수식화할 수 있다. 여기서 £/0)는 T = 0K 에서 밴드캡 에너지 값이다. 실리콘에서 변수값들은 〜(0) = 1.170 eV, a = 4.73 x 】(广4 eV/K 그리고 P = 636 K이다. 0 600 K 사이에서의 온도에 대한 〜를 그려라. 특히，T = 300 K에서 값을 표기하라. 3.2절 고체의 전기전도 3J3 두 개의 기능한 전도대가 그림 P3J3에서 E-k 곡선으로 주어져 있다. 어느 밴드의 전 자유효질량이 더 무거운지 결정하고，그 이유를 설명하라. 3.14 두 개의 가능한 가전자대가 그림 한.14에서 E~k 곡선으로 주어져 있디-. 어느 밴드의 정공유효질량이 더 무거운지 결정하고，그 이유를 설명하라. 문제 k —► 그림 P3.15 문제 3.15를 위한 그림 그림 P3.16 문제 3.1H- 위한 그림 3.15 각각의 허용 에너지밴드에 대한 표-/: 곡선이 그림 P3.15에 주어져 있다. (a) 유효질량 의 부호와 (b) 표기된 네 가지 위치에서 입자의 진행방향을 구하라. 3.16 그림 P3.16은 두 가지 반도체 물질에 대한 전자의 전도대 E-k 곡선을 보이고 있다. 두 전자의 유효질량(자유전자 질량단위로)을 구하라. 3.17 그림 P3.17은 두 가지 반도체 물질에 대한 정공의 가전자대 E-k 곡선을 보이고 있다. 두 정공의 유효질량(자유전자 질량단위로)을 구하라. 3.18 (a) GaAs의 금지대 밴드갭 에너지는 1.42 eV이다. (i) 가전자와 간섭하여 전자를 전 도대로 이온화할 수 있는 입사 광자의 최소 주파수를 구하라. (ii) 그에 해당하는 파 장을 구하라. (b) 실리콘 에너지밴드캡이 1.12 eV일 때 (a)를 반복하라. 3.19 자유전자의 E-k 곡선(곡선 A)과 반도체에서 전자의 E-k 곡선(곡선 비이 그림 P3.N 에 나타나 있다. (a) 각 곡선에 대한 dE/dk -소곡선과 (b) 각 곡선에 대한 d~E J난 나곡 선을 그려(c) 두 경우에 있어서 유효질량을 비교하였을 때 어떤 결론윤 내인 수 있는가? 3.3절 삼차원으로 확장 3.20 실리콘의 에너지밴드가 그린 3.25b에 나타나 있다. 전도대의 최소 에너 지는 110이방 향에 있다. 최솟값 근치에서 일차원 방향의 에너지는 다읍과 갑이 근사함 수 있다. E = Eq — E\ cos a（k — fc、） 101 그림 P3.19 문제 3.19를 위한 그림 여기서、는 최소 에너지에서의 값이다. k =、에서 입자의 유효질량을 위 수식의 파라미터를 사용하여 나타내라. 3.21 게르마늄의 전도대에 있는 전자에 대해서 일정한 운동에너지 곡선은 실리콘과 같이 4개의 타원으로 이루어져 있다｛부록 F 참조). 장축과 단축의 유효질량은 각각 = 1.64/n0. 지 = 0.0S2、이다. (a) 상태밀도 유효질량，(b) 전도도 유효질량을 각각 구하 라. 3.22 GaAs에는 유효질량이 각각 아/,/, = 0.45，nQ과，、= O.O82，no인 무거운 정공과 가벼 운 정공이 존재한다. (a) 상태밀도 유효질량，(b) 전도도 유효질량을 각각 구하라. 3.4절 상태밀도함수 3.23 식 (3.59)에 주어진 삼차원 무한 전위우물함수와 변수분리법을 이용하여 식 (3.60)을 유도하라. 3.24 식 (3.69)가 식 (3.64)로부터 유도될 수 있음을 보여 라. 3.25 GaAs(^ = 0.067시)에서 1 차원적인 전자가스의 상태밀도함수를 유도하라. 운동에 너지는 £ = (±P)2/2<이며，각 에너지 준위마다 2개의 운동량 상태가 존재함을 의 미한다는 것을 주의하라. 3.26 (a) (i) T = 300 K와 (ii) T = 400 K에서 와 Ec + 2kT 사이에 존재하는 실리콘의 에 너지상태의 총수를 구하라. (b) GaAs에 대해서 (a) 문제를 반복하라. 3.27 (a) (i) T = 300 도와 (ii) T = 400 K에서 슉.와 Ec-2kT 사이에 존재하는 실리콘의 에 너지상태의 총수를 구하라. 이 GaAs에 대해서 (a) 문제를 반복하라. 3.28 (a) 실리콘의 전도대에서 EC<E< £r+0.4 eV 범위에 존재하는 상태밀도를 그려 라. (b) 가전자대에서 尾一0.4 eV < £ < 범위에 존재하는 상태밀도를 그려라. 3.29 (a)실리콘에서 가전자대의 에에 존재하는 상태밀도에 대한 전도대의 EC + ZT에 존재하^상태밀도의 비율을 구하라.(b) 어서에 대하여 (a) 문제를 반복하라. 3.5절 통계 역학 330 ⑷ T = 200 K, (b) T = 300 K，(c) T = 400 예 대해서 一0.2 < (E-Er) < 0.2 eV 범위에서 식 (3.79)로 표현되는 페르미-디락 확률함수를 그려라. 문제 3.31 (a) 이 = 10이고 Nj = 7에 대해서 예제 3.5를 반복하라. (b) (i) g, = 12, Nf = 10 그 리고 (ii) 학, = 12, 八。= 8에 대해서 (a) 문제를 반복하라. 3.32 반약 어느 상태의 에너지 준위가 페르미 에너지 보다 (a) kT, (b) 5kT, (c) \0kT 만큼 위에 위치합 때 그 에너지 준위가 전자로 채워질 확률을 구하라. 3.33 만약 이느 상태의 에너지 준위가 페르미 에너지 보다 (a) 肝，(b) 5kT, (c) lOkT 만큼 이 래에 위치할 때 그 에너지 준위가 비어있을 확률을 구하라. 3.34 (a) 실리콘에서 페르미 에너지가 전도대 에너지 Ec보다 0.30 eV 낮은 위치에 있다. T = 300 K에서 Er < £ < Ec + 2kT 범위에 있는 상태를 전자가 차지할 확률을 그려 라. (b) 실리콘에서 페르미 에너지가 가전대 에너지 Ev보다 0.25 eV 높은 위치에 있 다. Ev-2kT eV < E< 범위에 있는 상태에 전자가 비어있을 확률을 그려라• 3.35 £、. + 斤의 에너지상태에 전자가 채워질 확률은 £。+斤의 에너지상태에 비어있을 확 률과 같다. 페르미 에너 지 준위의 위치를。와 £v의 함수로 결정하라. 3.36 6개의 자유전자들이 폭이 = 12 A 인 무한 전위우물 안에 있다. r = 0 일 때 페르 미 에너지 준위를 구하라. 3.37 (a) 5개의 전자가 세 면의 폭이 모두 10 A로 등일한 삼차원 무한 전위우물 안에 존 재한다. 이것들이 자유전자라 가정할 때，『 = 0 K에서 페르미 에너지는 얼마인가? (b) 13개의 전자에 대하여 (a)를 반복하라. 3.38 페르미 에너지로부터 AE 만큼 위에 있는 에너지 상태에 전자가 채워질 확률이 페르 미준위로부터 AE 만큼 아래에 있는 에너지 상태에 전자가 비어 있을 확률과 같다는 것을 보여 라. 3.39 (a) Ef 위에 있는 에너지로서 페르미-디락 확률 함수가 블츠만 근사의 1% 이내가 되 는 에너지를 결정하라. (b) 이 에너지의 확률 함수의 값을 계산하라. 3.40 T = 300 K에서 특정 물질의 페르미 에너 지 준위가 5.50 eV이다. 이 믈질안의 전자 는 페르미-디락 분포 함수를 따른다. (a) 5.S0 eV틀 전자가 차지할 확를을 구하라. (b) 온도가 T = 700 K로 증가할 때 (a)를 반복하라 따는 일정하다고 가정하자). (O 페 르미 준위 아래 0.25 eV 에너지 상태에 전자가 비어있을 확률이 2%인 온도를 계 안 하라. 3.41 T = 300 K에서 구리의 페르미 에너지는 7.0 eV이다. 구리에서 전자는 페르미-디락 분포함수에 따른다. (a) 7.15 eV 에너 지를 전자가 차지할 확률을 구하라. T = 1000 K인 경우에 대하여 (a)를 반복하라 (다는 일정하다고 가정하자、(C)E = 6.S5 eV, T = 300 K인 경우에 대하여 (a)를 반복하라. (d) r = 300 K와 F = 1000 K에 니 E = 하를 전자가 차지할 확률윤 구하라. 3.42 그림 P3.42의 에너 지 준위를 고려하자. T = 300 K이다. ⑷ 만일 Ex-E卜 = 030 e\ 이면 £ = 킥를 진자가 차지학 확물윤 구하라、그리고 E = £:에 전자가 비어있소- 확 률을 구하라. (b) Eb -E. = 0,40 eV일 정우에 대하여 ⑷를 반복하라. 3.43 E「E2 = 1.42 eV인 정우에 대하여 문제 3.42를 반복하라. 3.44 페르미-디 락 분포함수의 에너 지에 대한 도한수를 구하라. ⑶ T 0 K、(b) T 3()0 K. 그리고 (c) 7、= 50() K에서 에너지에 대한 도함수한 그미라. 3.45 T = 300 K에서 메르미 이1니지 준위가 정확하게 반노체의 배｝. ；«?] 귱 外이아고 사， 103 10£ Chapter3 고체양자이론의 입문 표I 1.12eV 5 = 0 그림 P3.42 문제 3.42를 위한 에너지 준위 정하자. (a) Si. Ge, GaAs에 대하여 전도대의 최소 에너지 상태가 전자에 의해 점유 될 확률을 계산하라. (b) Si, Ge, GaAs에 대하여 가전자대 최대 에너지 상태가 비어 있을 확률을 계산하라. 3.46 페르미 에너지로부터 0.60 eV 만큼 위에 있는 에너지 상태가 전자 점유 확률이 10'8 이 되는 온도를 계산하라. (b)확률이 10_6일 때 (a)를 반복하라. 3.47 £厂 = 5.0 eV이고 (a) T = 200 K. (b) T = 400 K인 경우에 대하여 fF(E) = 0.95와 /r(£) = 0.05 사이의 에너지 범위(eV로)를 구하라. 참고문헌 1. Dimitrijev, S. Principles of Semiconductor Devices. New York: Oxford University, 2006. 2. Kano. K. Semiconductor Devices. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1998. 3. Kittel. C. Introduction to Solid State Physics, 7th ed. Berlin: Springer-Verlag, 1993. 4. McKelvey. J. P. Solid Slate Physics for Engineering and Materials Science. Malabar, FL: Krieger. 1993. 5. Pierret, R. F. Semiconductor Device Fundamentals. Reading. MA: Addison-Wesley, 1996. *6. Shockley, W. Electrons and Holes in Semiconductors. New York: D. Van Nostrand, 1950. 7. *8. 9 10. 11. Shur, M. Introduction to Electronic Devices. New York: John Wiley and Sons, 1996. Shur, M. Physics of Semiconductor Devices. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1990. Singh, J. Semiconductor Devices: An Introduction. New York: McGraw-Hill, 1994. Singh. J. Semiconductor Devices: Basic Principles. New York: John Wiley and Sons, Streetman, B. G” and S. K. Baneijee. Solid State Electronic Devices, 6 th ed. Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, 2006. 12. Sze, S. M. Semiconductor Devices: Physics and Technology, 2nd ed. New York: John Wiley and Sons, 2001. •13. Wang, S. Fundamentals of Semiconductor Theory and Device Physics. Englewood Cliffs, NJ： Prentice Hall, 1988. 14. Wolfe. C. M., N. Holonyak, Jr” and G. E. Stillman. Physical Properties of Semiconductors. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1989. •표시는 이 책보다 수준이 높은 참고문헌을 의미한다. 山，斗 01 1 王 Q.V O 평형상태의 반도체 ________________________________________________________________________________________________________________________ 지금까지 일반적인 결정을 다루었고 단결정 격자에서 전자의 몇 가지 특성을 밝히기 위하여 양 자역학의 개념을 일반적인 결정에 적용하였다. 이 장에서는 이 개념들을 특별히 반도체에 적용 할 것이다. 특히 페르미-디락 확률함수와 함께 가전자대와 전도대의 양자상태 밀도를 사응하여 가전자대와 전도대의 전자 및 정공의 농도를 각각 계산할 것이다. 또한 페르미 에너지 개념을 반도체에 적용할 것이다. 반도체 소자의 전류-전압 특성을 밝히는 것이 최증 관심사이다. 전류는 전하의 순흐름에 기 인하므로 전류를 만드는데 사용되는 전하 캐리어의 수를 결정하는 것이 필요하다. 우리는 금속 도선에서 주요 전하 캐리어로서 전자에 익숙해 있다. 반도체에서는 전하 캐리어르서 전자 뿐 아니라 이와 상응하게 중요한 2차 캐리어로서 정공이 있다. 이 장은 전자와 정공의 능도에 초 점이 있으며 반도체와 관련한 다양한 용어들을 취급한다. 이 장에서는 평형상태(eq니ilibri니m)의 반도체를 다룬다. 평형상태 혹은 열평형상태(thermal equilibri니m)는 전압, 전계 자기장 혹은 온도 기을기와 같은 외부 힘이 반도체에 작응하지 않는 상태를 의미한다. 이 경우 반도체의 모든 성질은 시간에 대하여 변하지 않는다. ■ 40 개설 ■ 페르미 에너지에 대한 반도체의 열평형상태의 전자 및 정공농도 표현식 유도 ■ 반도체에 특정 불순물 원소들을 주입함으로써 반도체의 물성윤 의도적으로 변화 시키는 공정에 대한 논의 ■ 반도체에 주입된 도펀트의 농도에 대한 열평형상태의 전자 및 정공농도 표현 이 유도 ■ 반도체에 주입된 도펀트의 농도에 대한 에너지밴드에 니 페스미 에너지의 위치 길정 105 106 Chapter스 평형상태의 반도체 반도체의 전하 캐리어 4.1 전류는 시간당 이동한 전하량으로 결정된다. 반도체에는 전자와 정공의 두 가지 형대 의 전하 캐리어가 전류에 기여한다. 반도체에서 전류는 주로 전도대의 전자의 수와 가 전자대의 정공의 수에 의하여 결정되므로 반도체의 중요한 특성은 이 러한 전히- 캐리이 의 농도이다. 전자와 정공의 농도는 앞에서 이미 다루었던 상태 밀도함수와 페르미 분 포함수에 관련된다. 이러한 관계의 정성적 논의 후 열평형상태의 전자와 정공의 농도 를 수학적으로 유도할 것이다. 스丄1 평형상태의 전자와 정공 분포 전도대의 에너 지에 대한 전자농도의 분포는 양자상태 밀도와 하나의 양자상태가 전자 에 의하여 채워질 확률의 곱으로 주어진다. 이것은 다음과 같은 방정식으로 쓸 수 있다. n(E) = gc(E)fF(E) (4.1) 여기서分(幻는 페르미-디락 확률함수이고，gr(£)는 전도대의 양자상태 밀도이다. 전 도대에서 단위부피당 총 전자농도는 전체 전도대 에너지에 대하여 식 (4.1)을 적분함으 로써 구할 수 있다. 이와 유사하게 가전자대의 에너지에 대한 정공의 분포도 가전자대의 양자상태밀도 와 양자상태가 전자에 의하여 채워지지 않을 확률의 곱과 같다. 즉 다음과 같이 주어 진다. p(E) = g.,(E)[l (4.2) 단위 부피 당 총 정공의 농도는 이 함수를 가전자대의 전체 에너지에 대하여 적분함으 로써구할수있다. 열평형상태의 전자와 정공의 농도를 구하기 위해서 전도대 하단부 心와 가전자대 상단부。에 대한 페르미 에너지 하의 위치를 결정하는 것이 필요하디-. 이 문제를 다루 기 위해서 먼저 진성반도체(intrinsic semiconductor)를 고려할 것이다. 이상적인 진성반 도체는 불순물과 결함이 전혀 없는 순수한 반도체이다. 앞 절에서 논의한 바와 같이 T = 0 K의 진성반도체에서 가전자대의 모든 에너지 상태는 전자로 채워지고 전도대의 모든 에너지 상태는 전자의 빈상태이다. 그러므로 페르미 에너지는 .와 Ev 사이에 있 어야 한다. (페르미 에너지는 허용된 에너지밴드에 있어야 하는 것은 아니다.) 온도가 0 K 이상으로 증가함에 따라 가전지들은 열에너지를 얻게 된다. 가전자대의 일부 전지들은 충분한 에너지를 얻어서 전도대로 올라가게 된다. 전자가 가전지•대에서 전도대로 올라가게 됨에 따라 가전자대에 전자의 빈 자리 즉 정공이 생성된디-. 따라서 진성반도체에서는 열에너지에 의하여 전자와 정공의 쌍이 생성되므로 전도대의 전자 의 수와 가전자대 의 정공의 수는 길-다• 그림 4,1 은 전도대의 상태밀도함수 Sc(E)와 가전자대의 상태 밀도함수 Sv(E) 그리고 4.1 반도체의전하캐리어 그림 4.1 (a) 상태밀도함수，페르미•디락 확률함수，그리고 EF가 증간갭(midgap) 에너지 근처에 있을 경우 전자와 정공의 능도를 나타내는 면적; (b) 전도대 하단부 부근을 확대한 그림, (c) 가전자대 상단부 부근을 확대한 그림. T> 0 K 에서 Ef7\ 와 £、,의 대략 중간정도에 위치하는 페르미-디락 분포함수를 보여 준다. 전자와 정공의 유효질량이 같다고 가정하면 유 C(幻와 유、(£)는 중간에너지斤C와 £v의 가운데 에너지)에 대하여 대칭함수가 된다. 이미 언급한바와 같이 E > 다에 대한 함수fF(、E)는 에너지 E = £厂에 대하여 E < £>에 대한 함수 卜7乂£)에 대칭이다. 이것 은 E = 표F+‘에 대한 함수/F(£)는 E = 하-斗에 대한 함수 1-介(幻와 같다는 것을 의미한다. 그림 4.1b는 전도대 에너지 Ec 위에서서E)와사E)의 그래프를 보여주는 그림 4Ja 을 확대한 그림이다. 外(£)와/f(£)의 곱은 식 G.1)에서 주어진 전도대의 전가농도 분포 n(£)를 나타낸다. 이 곱의 그래프는 그림 4,1a에 나타나 있다, 그림 4.1c는 가전자대 에 너지 Ev 이-래에서 [1_/F(幻ᅵ와、사리의 그래프를 보여주는 그림 4,1a윤 화대한 그입이 디-. 상、.(£)와 1 一介(幻의 곱의 곡선은 식 나그)에 주어 진 가전자대의 정공농도의 분포 p(幻를 나타낸다. 이 곱의 그래프도 그림 4.1a에 나타나 있다, 이 곡언의 면적은 전도대 의 총 진자농도오1- 기 진자대의 총 정공농도이다，이깃으로부터 반야、솨M 사 대 칭이면 진자와 징공농도가 같기 위히•여 페르미 에너지는 중간선 에니 이에 위치해야함 107 108 ChapterA 평형상태의 반도체 을 알 수 있다. 만약 전자와 정공의 유효질량이 같지 않으면 상태 밀도함수 «C(£)와 사D는 중간갭 에너지에 대하여 대칭이 되지 않고，띠•라서 진성반도=ᅵ에서 전자와 징 공농도가 같기 위해서는 페르미 준위가 중간갭 에너지로부터 악간 이상■히 게 나. 세 n0와 p0 방정식 진성반도체의 페르미 에너지는 밴드갭 가운데 근처에 있다고 하였다. 열평형상태의 젼 자농도 아와 정공농도시의 방정식을 유도함에 있어서 특별한 경우 페르미 에너지는 이 밴드갭 가운데 에너 지로부터 벗어날 수 있음을 보게 될 것이다. 그러나 일단 페르미 준 위는 밴드캡 에너지 내에 있음을 가정한다. 열평형상태의 전자농도 열평형상태의 전자농도 식은 식 (4.1)을 전도대 에너지에 대하 여 적분함으로써 구할 수 있다. 즉 저o = j gc(E)fF(E) dE 적분의 하한은 (4.3) 이고 상한은 전도대 에너지의 상단이어야 한다. 그러나 페르미 확률 함수는 그림 4.1a에서 보듯이 에너지가 증가함에 따라 급격히 0에 접근하므로 적분의 상한을 무한대로 취하여도 큰 오차는 없다. 페르미 에너지는 금지대 밴드접 내에 있다고 가정한다. 전도대의 전자들은 전도대 의 하단 에너지 Ec 보다 크다. 즉 E〉Ec. 만약 (Ec - £厂)》…이면 (E - Ef)》kT 이므로 페르미 확률함수는 볼츠만 근사로 축소할 수 있다.1》즉 於(幻 = 1 （E 그 £厂） 1 + exp kT 업 exp 一（E 一 £厂） kT （4.4） 볼츠만 근사를 식 (4.3)에 적용하면 전도대의 열평형상태 전자농도는 다음과 같이 주어 진다. r 477(2대)3/2 ' /厂n "o= / 方j V豆豆^ exP -(Ec- Ef) … 1斤---- (1E (4.5) 식 (4,5)의 적분은 변수를 치환함으로써 쉼게 풀어질 수 있다. 즉 _E-EC 기 = ~j方一 (4.6) 로 치환하면, 식 (4.5)는 ，) 맥스원-볼츠만과 페르미-디락 분포함수는£ - Ef 트 3 斤 (그림 3.35 참조)일 u|| 상호 5% 오차 빈위에 들어간다. 따라서》기호를 혼히 사용하지만 볼츠만 근사가 언제 유효한지에 대한 이느 정도 상 .)1^ 단 려 을 수 있다. 4.1 반도체의 전하 캐리어 47r(2zg^ /?() expj-(^-Ed]£ 서/나베)的 109 (4.7) 이 진다. 이 적분은 감마(gamma) 함수로서 그 값은 T7，/2 exp (—17) J17 = 1、/示 f (4.8) o 이다. 그러면 식 (4.7)은 n0 = 2| 27r<^v/2exp h2 -(Ec — Ef)1 1元 J (4.9) 가 된다. 파라미터 乂를 다음과 같이 정의하면 Nc = 2(27nW； kT^ h2 (4.10) 여기서 파라미터 ”＜는 전자의 상태밀도 유효질량(density of ststae effective mass)이다. 전도대의 열평형상태의 전자농도는 n0 = Nc exp -(足-대 (4.11) kT 이 된다. 파라미 터 Nc를 전도대의 유효상태밀도함수(effective density of states function) 라고 한다. 만약 = /바라고 가정 하면 T = 300 K에 서 유효상태 밀도함수의 값은 이 되고，대부분 반도체의 Nc가 이 정도의 값을 갖는다. 전자의 유효질량이 /化보다 크거나 작으면 유효상태밀도함수의 값도 따라서 변하지만 비슷한 크기의 차수를 갖는다. E=EC + 뉴/2에서 전자가 채워져 있는 전도대의 한 상태를 전자가 차지할 확를 을 계산한다. T = 300 K에서 실리콘의 열평형상태의 전자능도를 계산한다. 페르미 에너지는 전도대 아래 0.25 eV라고 가정한다. T = 300 K에서 실리콘의 은 Nc = 2.8 x IO19 cm一3이다. (첨부 B 참조) 풀이 £ = 드.의 에너지를 전자가 차지할 확률은 /X幻 = 1+exp(^^) ^1= -(Fc + (kT/2) 一 Ef\ kT 혹은 [-(025 + (0.0259/2))] 서리 = e이---- o®------- 卜 3.90 X 1(广5 이다. 의 값 예제 4.1 거 110 Chapter스 평형상태의 반도체 전자의 농도는 no = Nc exp[~(^~—j = (2.8 X ’) exp[^Si 혹은 n0= 1.80 X 1015 cnr3 (추히 _ 하나의 상태가 점유될 확률은 아주 작다. 그러나, 엄청난 수의 상태가 존재하기 때문에 모 든 상태에 존재하는 모든 전자의 농도는 상당히 큰 값을 갖는다는 것을 유의해야 한다. 연습문제 Ex 4.1 에너지 E = £C+JIT인 양자 상태를 전자가 차지하는 획률을 구하라. 페르미 에너 지는 전도대 아래 0.25 eV라고 가정한다. T = 300 K/게서 갈름비소의 전자의 농도를 계산 [£_uio fl0I X [OT = °w ‘s-이 X 9£T = 汝)".suv] 하라. 열평형상태의 정공농도 가전자대의 열평형상태의 정공농도는 가전자대 의 에너지에 대 하여 식 (4.2)를 적분하여 구할 수 있다. 즉 I gv(£)[l dE (4.12) 여기서 _______ 1_______ 1 -yx^)= l+expj 녹거 (4.13a) 임을 유의하라. 가전자대의 에너지는 £ < 公ᄆ이므로 {Ef 一 Ev) » kT (페르미 에너지 는 여전히 밴드캡 내에 있다고 가정한다)이면，볼츠만 근사로부터 약간 다른 형태를 갖 게 된다. 식 (4.13a)는 1 -/X幻 1 + exp (V) exp —一kT一一 (4.13b) 이 된다. 식 (4.】3b)의 볼츠만 근사를 식 (4.12)에 적용하면 가전자대의 열평형상태의 정공농도는 ，£t 쓰으무'、/exp Po = lr 一 (Ef 一 E) kT dE (4.14) 가 되고, 여기서 적분의 하한은 가전자대의 하단 대신에 음의 무한대를 취힌•다. 지수항 은 빨리 감소하므로 이 근사가 적 절하다. 4.1 반도체의전하 개리어 111 식 (4.14)는 변수를 치환하므로써 쉽게 풀어진다. 즉 卜 트군 (4.15) 로 치환하면 식 (4.14)는 ᅳ4ᅲ7’세진］ r ⑷…베'w ，… (4.16) J +» 이 되고，여 기서 음의 부호는 미분항 … = -HWr?'으로부터 온 것이다. 7厂 의 하한은 E = - oo이므로 프 = +oo이 됨을 유의하라. 적분의 순서를 바꾸면 또 다른 -부호가 도입된다. 식 (4.8)을 사용하면 식 (4.16)은 "o = 2 m3/M:많쁴 (4.17) 이 된다. 파라미터 Nv를 다음과 같이 정의하며， (4.18) 가전자대의 유효상태밀도함수라고 부른다. 파라미터 에/는 정공의 상태밀도 유효질량 이다. 가전자대의 열평형상태의 정공농도는 厂0 = Nv exp -(£r-£r) (4.19) 이 된다. 대부분의 반도체의 경우 ';의 크기도 역시『 == 300 K에서 1019 cm_3의 크기 를 갖는다. ［독히 T = 400 K에서 실리콘의 열평형 정공농도를 계산하라. 페르미 에너지는 가전자대 위 0.27 eV이라고 가정한다. T = 300 K에서 실리콘의 A； 값 은 N” = 1.04 x 1019 cm'3. (첨부 B 참조) 풀이 T = 400 K에서 파라미터 값들은 아래와 같다. N、，= (1.04 X IO1") = 1.60 X IO1"cm -' kT = ((10259)(^) = 0.03453 eV 그러면 정공농도는 /A、= N'，exp [- :卞 미 = (L60 X 1(F) exp (긁§■ 예제 4.2 ， 112 Chapter으 평형상태의 반도체 혹은 po = 6.43 X 10,5cm-3 이다. 區3 어떤 온도에서든지 파라미터 값들은 300 K일 때 값과 온도 의존성을 활용하여 계산할 수 있다. 연습 문제 Ex 4.2 (a) T = 250 K일 때 4.2를 반복하라. (b)『 = 250 K에 대한 T = 400 K의 凡의 lhat at r = 400 K? [卜이 x 於卞 (功un u이 父 Z6T = 0넜 (») suy] 비율을 구하라. 유효상태밀도함수 와 '는 주어진 반도체에 대하여 특정 온도에서 상수이다. 표 4.1 은 실리콘，갈륨비소，게르마늄의 유효상태밀도함수와 유효질량의 값을 보여준다. 갈름비소의 Nc 값은 전형적인 값 1019 cm"3 보다 작음에 유의하라. 이 차이는 갈륨비소 의 전자의 유효질량이 작기 때문이다. 전도대의 열평형상태의 전자농도와 가전자대 의 열평형상태의 정공농도는 유효상태 밀도함수와 페르미 에너지에 직접 관련되어 있다. _____ 이하온 평가 E4.1 T = 300 K에서 페르미 에너지 준위가 전도대 에너지 E〔 아래 0.22 eV에 있을 때 실리콘 의 열평형상태의 전자농도와 정공농도를 계산하라의 값은 첨부 B.4를 참조할 것. (C-山가이 X £t7*8 = od、-Ui3s|이 x SUV) E4.2 T = 300 K에서 페르미 에너지 준위가 가전자대 에너지 Ev 위 0.3eV에 있을 때 GaAs의 열평형상태의 전자농도와 정공농도를 계산하라.。의 값은 첨부 B.4를 참조할 것. (£-m。£1이 X £5.9 = 0넜、-山3 6ZZ0 0 = °w suv) 41.3 진성캐리어농도 진성반도체에 대하여 전도대의 전자농도는 가전자대의 정공농도와 같다. 진성반도체 의 전자와 정공농도를 각각 사/와/7,라고 표시하고，보통 진성전자농도와 진성정공농도 라부른다. 그러나 n, = 凡이므로 간단히 파라미터 이를 사용하여 진성캐리어농도를 표 4.1 유효상태 밀도함수와 유효질량의 값 실리콘 갈름비소 게르마늘 Nc (cur3) Nv (cm-3) ，”:/，”0 mf/mo 2.8 X JO19 4.7 X 10,7 1.04 X 10'9 1.04 X 1019 7.0 X 10,8 6.0 X 10,8 1.08 0.067 0.55 0.56 0.48 037 4.】 반도체의 전하 캐리어 하시하고，이것은 진성전자와 정공농도를 동시에 의미한다. 진싱반도체의 페르미 에너지 준위를 진성 페르미 에너지라고 부르고，Ef = EFi로 사-시•아다. 식 (4. 니)과 (4.19)를 진성반도체에 적용하면 시 \-(Ec-EFi)] = rij = Nc exp --- ~j元--- J (4.20) 이고, 시 \-(EFi- Ev)] = Nv exp I--- 斤---- ] Po = Pi = (4.21) 이다. 식 (4.20)과 (4.21)을 곱하면 = 세 exp [ ，대 대]. exp (4.22) 이고，정리하면 nj = NCNV exp 一£시 —(Er — EJ kT \ = NCNV exp L kT 이다. 여기서 Eg는 밴드캡 에너지이다. 특정 온도에서 주어진 반도체에 대하여 n, 값은 일정하고，페르미 에너지에 대하여 무관하다. T = 300 K에서 실리콘의 진성캐리어농도는 표 4.1 의 유효상태밀도함수 값을 사용 하여 계산할 수 있다. Eg = 1.12 eV에 대하여 식 (4.23)으로부터 계산한/?,■ 값은 이 = 6.95 x 109 cm-2 3이다. T = 300 K에서 실리콘의 n, 값2》으로 보통 받아들이는 값은 1.5 x 1O,0 cm_3이다. 이러한 차이는 여러 가지 원인으로부터 발생한다. 첫째，유효질량은 방사광 공진 실험이 수행되는 저온에서 측정된 값이다. 유효질량은 실험적으로 측정된 파라미터이고，유효질량은 입자가 결정에서 얼마나 잘 이동하는가를 나타내므로 이 파 라미터는 약간 온도의 함수이다. 다음으로 반도체의 상태밀도함수는 3차원 무한 양자 우물에 갇혀 있는 전자의 모델을 일반화함으로써 얻어 졌다. 이 이론적 함수는 물른 정 확히 실험과 일치하지 않는다. 그러나，이론과 실험값의 차이는 대략 2배 정도이고, 대 개의 경우 심각한 오차는 아니다. 표 4.2는 T = 300 K에서 실리콘，갈륨비소 게르마늄 의 이로서 보통 받끼들이는 값들이다. 진성캐 리어농도는 강한 온도의 함수이다. 표 4.2『 = 3()이＜에서 보푱 사용하는 다의 값 실리콘 갑朴녀소 게르마늄 2) 이미 n. = 1.5 X 10l0cm-3 n. = L8 X 106cm ' Hi = 2.4 X 10" cm ' 朴고문힌들온 상온에서 심리콘의 진싱키I리어 농도의 값에니 나소 차이아 시이시 있으며, OjHl AjO 모 I X 매0괴 1.5 X IO10 cm，、의 VJ위에 포한된다. 대부산의 성우 이어한 사이卜 ;'요하 시 상나 113 Chapter4 예제 4.3 평형상태의반도체 f목적I r = 250 K와 r = 400 K에서 갈륨비소의 진성캐리어농도를 계산힌-다. r = 300 K 실리콘의 사와久의 값은 각각 2.8 x 10l9cni_3와 1.04 x 1019 cm니이다 사와시，모두 r?/2에 따라 변한다. 실리콘의 밴드갭 에너지가 1.12 eV이고，이 온도범위에 서는 변하지 않는다고 가정한다. 풀이 식 (4.23)을 사용하면 T = 250 K에 서 =(2'8 X 10'9)(，04 X 1QI，)(l)，exP[(0.0259X250/300). = 4.90 X 1015 이므로 n, = 7.0 X IO7 cm-3 T = 400 K에서 =(2-8 x 10,,)(104 x 10'')(■、이 _디品/_: = 5.67 父 1024 이므로 n, = 2.38 X IO12 cm-3 區空] 이 예제로부터 진성캐리어농도는 온도가 150°C 증가함에 따라 차수가 4 증가함을 유의하라. 연습문제 Ex 4.3 (a) 7 = 200 K와『 = 450 K에서 갈륨비소의 진성캐리어농도를 계산한다. 갈륨 비소의 밴드캡 에너지 & = 1.42 eV이고，이 온도범위에서는 변하지 않는다고 가정한다. 에 대한 7" = 250 K의 이의 비율을 구하라. (b) UOI X I9.fr 여)山3 c이 X £17. = (0比/니 ‘f-un 6이 x 6ZT = (0어0山 (”) *suv] 그림 4.2는 실리콘，갈륨비소，게르마늄에 대하여 식 (4.23)으로부터 온도에 대한 ", 의 도표이다. 그림에서 보듯이 이러한 반도체들의 하 값은 온도가 적당한 범위에 걸쳐 변함에 따라 쉽게 여러 차수의 크기로 변한다• 이해도 평가 _ TYU43 다음의 경우 실리콘의 진성캐 리어농도를 계산하라; (a) T - 200 K, (b) T = 450 K, (c)7 = 450K/T= 200K의 비를구하라. [«0I X 91 Z ⑶山3 nOI X ZL'\ =，u (?) if-Uio “이 x £9 £ = '，/ (p) -suy) 4.1 반도체의전하캐리어 T( C) 200 100 1500 ) Il000 500 10 V격 人 가 10 L -X一 X t\ 아 10 27 0—20 I ' 지 \ \ ------- 1 -V V \ kGe 乂 \\ 一- \ \ 10 10 ( 7 5 10 X: X 、 \ \ \ ---- \\ ------- 1 乂 Si \ 。 \X \ 一 ) . 버 10 . ^ 으 ■ 10 윽 가 0 \ \ \\ \ \\ X \ \ \ x -■ 、- X L 、 \ A \\--T 겨 \ 가 KJ \ — \ 1 10 \ \ -V ZV 109 108 107 106 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 35 4.0 1000/HK 니) 그림 4.2 온도에 대한 Ge，Si, GaAs의 진성캐리어농도 (Sze [13] 참조) TYU 4.4 E4.3을 GaAs에 대하여 반복하라. [이이 X 187(게피3 이이 X C8T = 'W (에m3 스이 ='L，(D) 지IV】 TYU 4.5 E4.3을 Ge에 대하여 반복하라. U)I X 8£1 (그)、-出그 이이 x L6 Z = 化 (<?)、-出그 이이 X ci c = 'u (d) suv] 4.1.4 진성 페르미 준위 위치 진성반도체에서 페르미 에너지 준위는 금지대 밴드갭의 중앙 근처에 위치한다는 것을 정성적으로 설명하였다. 진성 페르미 준위 위치를 정확하게 계산할 수 있다. 진성반도 체에서 전자와 정공농도는 같기 때문에 식 (4.20)과 (4.21)을 같게 놓으면 外 빼[」^미，, e니」농친 이 된다. 이 방정식의 양변에 자연 log를 취하여 £사를 구하면 115 Chapter스 평형상태의 빈도체 Ef' == 士 (£_r + Er) •— 士々7, In (☆) (4.25) 식 (4.10)과(4.18)에 의하여 주어진 '와 ',의 정의로부터 식 (4.25)는 = | (Ef + Ev) In (岩) (4-26a) 가 된다. 첫 항 y(Ec 4- 디는 £.와의 사이의 정확히 가운데 에너지이다. 다음과 같 은 정의에 의하여 (£: + £、,) = idgap 이므로 (4.26b) Efi 一' 끈midgap 이다. 전자와 정공의 유효질량이 같으면 즉 써;; = 밴드캡의 중앙이 된다. 만약 ,77;; > 바 < 이면，진성 페르미 준위는 정확히 이면，진성 페르미 준위는 중앙의 위에 위치하고， <이면，밴드캡 중앙의 아래에 위치한다. 상태밀도함수는 캐리어 유효질량과 직 접 관계되므로 유효질량이 크면 상태밀도함수가 커진다. 진성 페르미 준위는 전자와 정공의 수가 같아지기 위해서 상태밀도함수가 큰 밴드로부터 멀어진다. 예제 4.4 ［둘히 ^ = 300 K에서 실리콘의 밴드캡 중앙에 대한 진성 페르미 준위의 위치를 계산한다. 실리콘의 유효상태밀도 캐리어질량이 < = 1.08 /바와 乂 = 0.56 /化이다. 물이 밴드캡 중앙에 대한 진성 페르미 준위는 - 瓦—P = ^rin( = | (0.0259) In 혹은 Eh 一 Emidgap - 一0.이28 eV = -12.8 meV 실리콘의 진성 페르미 준위는 가운데 에너지캡 아래 12.8 meV에 위치한다. 12.8 meV와 560 meV(실리콘의 밴드캡 에너지의 "2인 에너지)를 비교해보면 12.8 meV는 아주 작기 때 문에 많은 경우 진성 페르미 준위는 밴드갭 중앙에 위치한다고 근사할 수 있다. 연습문제 Ex 4.4 T = 300 K에서 다음 반도체에서 진성 밴드캡 중앙에 대한 진성 페르미 에너지 준위의 위치를 계산하시오. (a) Gats and (b) Ge. 4.2 도먼트원자와에너지준위 [A3U1 0£7,- W :A에u $3'8£+ ⑶ suVl 이해도 평가 I YU 4.6 ____________ 다음 온도에서 실리콘 반도체에 대하여 밴드갭의 중앙으로부터 진성 페르미 에 너 지 준위의 위치를 계산하시오. a）T = 200K, b）T == 400IG 이 온도 범위에서 유 효질 량은 변하지 않는다고 가정 함. 4.2 Lvu川）7J- （상）:A매 505 8- （미 ûvl 도펀트 원자와 에너지 준위 진성반도체가 흥미로운 재료일 수 있으나 반도체의 실제 저력은 소량의 특정 도펀트 혹은 불순물 원자를 첨가함으로써 발휘된다. 1장에서 잠깐 언급하였던 이 도핑공정은 반도체의 전기 적 특성을 크게 변화시킬 수 있다. 외인성반도체（extrinsic semiconductor） 라고 부르는 도핑된 반도체가 다음 장들에서 논의하게 될 반도체 소자들에 사용되는 주요 재료이다. 정성적 설명 42.1 3장에서 실리콘의 공유결합을 논의하였고，그림 4.3에서 보듯이 단결정 실리콘 격자의 간단한 2차원 그림을 고찰하였다. 이제 여기에 인（미과 같은 5족의 원소를 치환 블순물 로서 첨가한 경우를 생각하자. 5족 원소는 5개의 가전자를 가진다. 이 중 4개는 실리콘 원자와 공유결합하는데 사용되고，5번째 전자는 인 원자와 느슨하게 결합되어 남게 된 다. 이 효과가 그림 4.4에 도식되어 있다. 5번째 가전자를 도너（d에or） 전자라고 부른다. 도너 전자가 없는 인 원자는 양전하를 띠 게 된다. 아주 낮은 온도에 서 도너 전자는 인 원자에 결합되어있다. 그러나，도너 전자를 전도대로 상승시키는데 필요한 에너지는 공유결합에 관여한 전자들 보다 작을 것이라는 것을 직관적으로 알 수 있다. 그림 4.5 는 에너지밴드 그림이며，에너지 준위 &는 도너 전자의 에너지 준위이다. -：= Si = Si = Si = Si = Si = Si ::: II II II II II II = = - Si = Si = Si = Si =： Si = Si ::: II ::: Si II II II II II II Si = Si = Si = Si = Si ::: II II II II II ::: Si = Si = Si = Si = Si = Si ::: 그림 4.3 진성 심리곤 직자의 2차원 그인 ::: Si Si == Si == Si = Si == Si II II Si Si == Si == Si = P == Si II ::: Si II II II Si = II II llXii SIH II = II IL_^1 Si = Si Si = Si = Si - 그림 4.4 인 인자오，'쨌! 卜!시산 시자 의 2차워 ：1\1 사? 118 Chapter스 평형상태의 반도체 전 대 :군 i 一子: 一 t | + K T T 一一 X J _ 厂 T 오 등 + + L(i r< ?< (b) 그림 4.5 (a) 개별 도너 에너지 상태와 (b) 이온화된 도너 상태의 영향을 나타낸 에너지밴드 열에너지와 같은 작은 량의 에너지가 도너 전자에 가해지면 양전하를 띤 인 이온을 남기고 도너 전자는 전도대로 상승한다. 전도대 전자는 결정 내부를 이동하면서 전류 를 생성시키는 반면에 양이온은 결정 내에 고정되어 있다. 이러한 형태의 불순물 원자 는 전자를 전도대에 제공하기 때문에 도너 불순물(donor impurity) 원자라고 부른다. 도 너 불순물 원자는 가전자대에 정공을 만들지 않고 전도대에 전자를 제공한다. 따라서， 이러한 반도체를 n형 반도체라고 부른다. (，!은 음전하 전자를 의미한다.) 1 이제 3족의 붕소(비를 치환 불순물로서 실리콘에 첨가하자. 3족 원소는 3개의 가전 자를 갖고. 모두 공유결합에 참여한다. 그림 4.6a에서 보듯이 1 개의 공유결합 자리가 비어있다. 만약 전자가 이 빈 자리를 차지하려면 이 전자의 에너지는 가전자 보다 커야 하는데 이것은 전자가 이 빈자리를 차지한 후 붕소 원자의 순 전하는 음 전하가 되기 때문이다. 그러나，이 빈 자리를 차지하는 전자는 전도대로 상승할 만큼 큰 에너지를 갖지 못하기 때문에 빈 자리의 에너지 상태는 전도대 에너지 보다 훨씬 작은 에너지를 갖는다. 그림 4.6b는 가전자들이 어떻게 작은 열에너지를 얻게 되어 결정 내에서 이등 하는지를 보여준다. 붕소 원자의 빈 자리는 채워지고，다른 가전자 자리는 비게 된다. 이 다른 빈 전자 자리는 반도체의 정공으로 생각할 수 있다. 그림 4.7은 빈 자리의 에너지 상태와 전도대의 정공 생성을 보여준다. 정공은 결정 내를 이동하면서 전류를 생성하는 반면에 음전하의 붕소원자는 결정 내에 고정되어있 = Si = Si = si II II Si-~ B = Si I. • -.1 S II II Si = Si = Si =- = II II Si = Si = Si - = II II 니 니 니 = Si = II Si II 그:: Si = Si = (b) 그림 4.6 붕소 원자가 도핑된 실리콘 격자와 (비 붕소 원자가 이온화되어 정공을 생성시킨 실리콘 격자의 2차원 그림 4.2 도편트원자와에너지준위 전도대 ----------------------------[c K Z X 가전자대 (a) (b) 그림 4.7 (a) 개별 억셉터 에너지 상태와 (b) 이온화된 억셉터의 영향을 나타낸 에너지밴드 디-. 3족 원소는 가전자대로부터 전자를 받아들이므로 억셉터 불순물(acceptor impurity) 원자라고 부른다. 억셉터 원자는 전도대에 전자를 생성하지 않고 가전자대에 정공을 생성한다. 이러한 형태의 반도체를，형 반도체이라고 부른다. 切는 양전하 정공을 의미 한다.) 순수한 단결정 반도체를 진성반도체라고 부른다. 도너 혹은 억셉터와 같은 도펀트 원자를 조절된 양으로 첨가함으로써 외인성반도체를 만든다. 외인성반도체는 전자 우 성어형)을 갖던지 혹은 정공 우성(p형)을 갖는다. 스.2.2 이온화에너지 도너 불순물 이온과 도너 전자 사이의 거리를 근사적으로 계산하여 도너 전자를 전도 대로 상승시키는데 필요한 에너지를 계산할 것이다. 이 에너지를 이온화 에너지라고 부 른다. 이 계산을 위하여 보어의 원자 모델을 사용할 것이다. 이 모델을 사용하는데 대 한 타당성은 수소원자에서 원자핵과 전자 사이의 양자역학적으로 가장 개연성 높은 거 리가 보어 반경과 일치한다는 점에서 찾을 수 있다. 양자역학으로 결정되는 수소원자 의 에너지 준위들도 역시 보어 이론에서 얻어지는 결과와 일치한다. 도너 불순물 원자를 반도체 속에서 도너 이온의 궤도를 회전하는 도너 전자를 가진 원자로 상상해 보자. 수소원자의 경우에 사용했던 자유공간의 유전률(dielectric constant) 대신에 이 계산에서는 반도체의 유전률을 사용해야 한다. 또한 전자의 유효질 량을 사용한다. 이 계산은 전자를 궤도에서 회전시키는 원심력과 전자와 이온 사이의 쿨롱 인력을 같게 둠으로써 시작한다. 이 조건은 안정된 궤도운동을 위한 것이다. 따라너 이디、여기서 v는 속도의 크기이고、/•„은 궤도반경이다. 각 운동량도 양자화된다고 가정 하면 "I* rnv = n fi (4.28) 119 )20 Chapter^ 평형상태의 반도채 이다. 여기서 시은 양의 정수이다. 식 (4.28)로부터 u에 대하여 플고. 식 (4.27)에 대입하 여 반경을 구하면 — n2/i247T € mê2 (4.29) 이 된다. 각 운동량의 양자화가 반경의 양자회를 유도한다. 보어 반경을 다음과 같이 정의한다. = 0.53 A 幻0 (4.30) 도너 궤도의 반경을 보어 반경으로 정규화하면 (4.31) 이고, 여기서 하은 반도체의 유전상수이고，/”0는 전자의 정지질량이며，은 반도체에 서 전자의 전도도 유효질량적이다. n = 1인 최저 에너지상태에 대해서 실리콘의 유전상수 e,. = 11.7과 유효질량 = 0.26을 사용하면 厂1 = 45 (4.32) 이고，r, = 23.9 A 이다. 이 반경은 근사적으로 실리콘의 격자상수의 4배와 일치한다. 실리콘의 단위셀은 8개의 원자를 내포하므로 도너 전자의 궤도반경은 많은 실리콘 원 지들을 포함하게 되므로 도너 전자는 도너 원자에 단단히 결합되어 있지 못 한 것을 의 미한다. 궤도전자의 총에너지는 E=T^V (4.33) 이고 7는 운동에너지이며 나는 전자의 위치에너지이다. 운동에너지는 T=\^v2 (4.34) 이다. 식 (4.28)의 속도 v와 식 (4.29)의 반경，•，，을 사용하면 운동에너 지는 T— W - 2("A)2(47re)2 이 된다. 위치에너지는 3) 전자와 정공이 이동합 때는 전도도 유효질량을 시용한다. 유효질량에 대한 침부 F 참조. (4.35) 4.2 도펀트 원자와 에너지 준위 V= _슛2 = 47T€rn (4.36) (n^)2(477€)2 공에 너지는 운동에너지와 위치에너지의 합이므로 E=T+V= 이 디-. 수소원자에 있어서 —W (4.37) 2(mA)2(47T€)2 = wo와 6 = e。이다. 최저에너 지 상태에 있는 수소원자 의 이온화 에너지는 으 = 13.6 eV이다. 만약 실리콘을 고려하면 이온화 에너지는 £ = -25.8 meV이고 실리콘의 밴드캡 에너지 보다 훨씬 작다. 이 에너지가 도너 원자의 근 사 이온화 에너지，혹은 도너 전자를 전도대로 상승시키는데 필요한 에너지이다. 실리콘과 게르마늄에서 인과 비소와 같은 통상적인 도너 불순물에 대해서 수소 모 델은 잘 맞으며 이온화 에너지 크기를 추축할 수 있다. 표 4.3은 실리콘과 게르마늠의 몇 가지 불순물에 대해서 실험적으로 측정한 이온화 에너지를 나열하였다. 게르마능과 실리콘의 유전상수와 유효질량은 서로 다르므로 이온화 에너지 또한 다를 것으로 예측 된다. 4.2.3 M-V족 반도체 계열 전 절에서 실리콘과 같은 IV족 반도체 계열의 도너와 억셉터 블순물에 대하여 고찰하 였다. 갈륨비소와 같은 III-V족 화합물반도체의 경우 더 복잡하다. Be, Zn, Cd과 같은 II족 원소는 III족 갈륨원소를 대체하는 치환불순물로서 격자자리에 들어가서 억셉터 불순물이 된다. 이와 같이 Se과 Te과 같은 VI족 원소는 V족 비소원소를 대체하는 치환 불순물로서 격자자리에 들어가서 도너 불순물이 된다. 이러한 불순물의 이온화 에너지 는 실리콘의 불순물의 이온화 에너지 보다 작다. 갈름비소에서 전자의 유효질량이 정 공 보다 작기 때문에 도너의 이온화 에너지는 억셉터 보다 작다. 실리콘과 게르마늄과 같은 IV족 원소도 갈륨비소에서 불순물 원자가 될 수 있다. 만 약 실리콘이 갈름원자를 대체하면 실리콘 원자는 도너 역할을 하지만 실리콘 원자가 비소 원자를 대체하면 실리콘 원자는 억셉터 역할을 한다. 게르마늄도 같은 역할을 한 다. 이와 같은 불순물을 양쪽성(amphoteric)이라고 부른다. 실험적으로 갈륨비소에 여 표 4.3 실리콘과 게르마늄의 불순물 이온화 에너지 Impurity Ionization energy (eV) Si Ge Donors Phosphonis Arsenic 0.045 ().05 0.012 0.0127 0.045 0.06 0.0104 0.0102 Acceptors Boron Aluminum 121 122 ChaplerX 평형상태의 반도체 표 4.4 갈륨비소의 불순물 이온화 에너지 불순물 도너 셀렌 텔e 르 실 -r리콘 게 마 르 이온화 에너지(eV) 0.0059 0.0058 0.0058 0.0061 억셉터 베릴륨 아연 카드뮴 실리콘 게르마늄 0.028 0.0307 0.0347 0.0345 0.0404 게르마늄은 주로 억셉터가 되고，실리콘은 도너가 된다. 표 4.4는 갈륨비소에서 다양한 불순물들의 이온화 에너지를 나열하였다. 01해도 평가 TYU 4.7 a) GaAs의 최저 에너지상태에 있는 도너 전자의 반경(보어 반경으로 정규화된 값)과 이온화 에너지를 계산하시오. (b) Ge에 대해서 (a)와 동일한 계산을 하시오 지、‘A에1 사:'9- (상) -5^61 = 0간/^ ‘八이11 Ofg- (») -suy] 4.3 외인성반도체 진성반도체는 결정에 어떤 불순물 원자도 존재하지 않는 물질을 의미한다고 정의하였 다. 외인성반도체는 일정량의 특정 도펀트，혹은 불순물 원자를 첨가하여 열평형상태의 전자와 정공의 농도가 진성반도체와 다르게 만든 물질이다. 외인성반도체에서는 2개의 캐리어 중에 어느 하나의 캐리어가 지배적으로 많이 존재한다. 43.1 전자와 정공의 평형상태 분포 반도체에 도너와 억셉터 불순물 원자들을 첨가하는 것은 전자와 정공의 에너지 분포를 변화시킨다. 페르미 에너지는 분포함수와 관계되므로 페르미 에너지는 도펀트 원자가 첨가되면 변할 것이다. 만약 페르미 에너지가 가운데 캡으로부터 멀어지면 전도대의 전자농도, 혹은 가전자대의 정공농도가 변할 것이다. 이러한 효과가 그림 4.8과 그림 4.9에 나타나 있다. 그림 은 > £>/의 경우를 나타내고，그림 4刀는 Er < 의 경우를 나타낸디' Ef > 하,의 경 우 전자농도는 정공농도 보다 크고, Ef < 하，.의 경우 정공농도는 전지농도 보다 더 크다. 전자농도가 정공농도보다 클 때 반도체는 도너 불 순물이 첨가된 //형이고，정공농도가 전자농도보다 클 때 반도체는 억셉터 불순물이 침 가된/?형이다. 반도체에서 페르미 에너지 준위는 전자와 정공농도가 변함에 따라 번하 4.3 외인성반도체 123 그림 4.8 상태밀도함수，페르미-디락 확률함수 그리고 £F가 그림 4.9 상태밀도함수. 페르미-디락 확률함수 그리고 듀가 밴드캡의 상단부에 있을 때 전자와 정공의 농도를 표시하는 밴드집의 하단부에 있을 때 전자와 정공의 능도를 표시하는 면적을 나타내고 있다. 면적을 나타내고 있다. 고，다시 페르미 에너지는 도너와 억셉터 불순물이 참가됨에 따라 변한다. 불순믈농도 의 함수로서 페르미 준위의 변화가 4.6절에서 논의될 것이다. 열평형상태의 전자와 정공농도에 대하여 앞 절에서 유도한 표현식 즉 식 (4.11)과 (4.19)는 페르미 에너지에 대한 바와p0의 표현식이다. 이 방정식들을 다시 쓰면 ”0 = Nc exp [ 와 Po = N、，exp --- 단--- ] 이다. 방금 논의하였듯이 페르미 에너지는 밴드캡 에너지 안에서 변하며 이에 따라 아 와 Po 값도 빈한다, 「능적 I 주어진 페르미 에너지에 대하여 열평형상데의 진자와 정공농도간 계산한다. 예제 4.5 124 Chapter4 평형상태의 반도체 1 = 300 K에 대하여 Nc = 2.8 x IO19 cm-3와 /、= 104 x 10卜) cm 3를 갖는 실리푯 을 생각한다. 페르미 에너지가 전도대 아래 0.25 eV 있다고 가정하자. 만익: 실리콘의 밴£ 갭 에너지가 1.12 eV라고 가정하면 페르미 에너지는 가전자대 위 0 87 eV에 있을 것이다. 풀이 식 (4.11)을 사용하면 = 18 x 10,5 cm 3 ”0 = (2.8 X IO'9) exp 이며. 식 (4.19)로부터 Po = (1.04 X IO19) exp |^||) = 2.7 X 104 cm-3 이 된다. 薛히 페르미 에너지의 변화는 반도체에 첨가된 도너와 억셉터 불순물 농도의 함수이다. 그러나. 이 예에서는 페르미 에너지가 수십 분의 1 eV 변함에 따라 전자와 정공농도가 진성 캐리어농도 크기의 수 차수만큼 변함을 보여준다. 연습문제 Ex 4.5 페르미 에너지 준위가 가전자대 에너지 위 0.215 eV에 위치할 때 7, = 300 K 에서 실리콘의 열평형상태 전자와 정공농도를 계산하시오. t이 X Z.8 I = °w \_ujo S|이 x 85T = oJ suv) 이 예에서，?0 > 厂0이므로 반도체는 시형이다. "형 반도체에서 전자를 다수 캐리어 (majority carter) 라고 부르고 정공을 소수 캐 리 어(minority carrier) 라고 부른다. 이 예에 서 자)와外)의 값을 비교해보면 이러한 용어의 사용을 이해하게 될 것이다. 이와 같이 Po인 P형 반도체에서는 정공이 다수 캐리어이고 전자가 소수 캐리어이다. 전자와 정공의 열평형상태의 농도에 대한 또 다른 표현식을 유도하자. 식 (4.11)의 지수항에 진성 페르미 에너지항을 더하고 빼면 n0 = Nc exp —(Ec- En) + (Er - £、)' kT (4.38a) n0 = Nc exp -人Ec 一 £，,)• (Er - EFi) IT一—. exp ~kT■一 (4.38b) 가 되며，즉 가 된다. 진성캐리어 농도는 식 (4.20)에 의하여 nt = Nc exp 이므로 열평형상태의 전자농도는 一 (E《. 一 EJ ~lT . 4.3 외인성반도체 (4.39) 이디、이와같이 식 (4.19)의 지수항에 진성 페르미 에너지 항을 더하고 빼면 Pq = exp -(£f - EFi)] kT J (4.40) 이 된다. 앞으로 보게 되겠지만 페르미 에너지는 도너와 억셉터가 첨가될 때 변하지만 식 (4.39)와 (4.40)은 페르미 에너지가 진성 페르미 에너지와 차이 만큼 n0와p0는 n,와 차 이 나게 됨을 보여준다. 만약 Ef > £F/이면 n0 > 하이고p0 < 자이다. n형 반도체의 한 가지 특성은 Ef > E厂，이므로 /70 > 厂0이다. 이와 같이 厂형에서는。< £厂,끼므로厂0 > 이•이고 "0 < 하이다. 따라서 p0 > 시이다. 바와 厂o가 〜와의 함수관계를 그림 시과 4.9에서 볼 수 있다. £F가 하,의 위로나 아 래로 움직임에 따라 전도대와 가전자대에서 상태밀도함수와 확를함수와의 겹치는 부 분이 변한다. Ef7\ EFi 위로 이동함에 따라 전도대 에서 확률함수는 증가하는 반면에 가 전자대 에 서 전자가 비 어 있을 확률 즉 1 _ fF(、E)은 감소한다. EF가 EFi 아래로 이동함에 따라 반대 현상이 발생한다. 4.3.2 Hq • Pq 곱 식 (4.11)과 (4.19)로 주어진 아와外)의 일반식을 곱한다. 그 결과는 Po = Nc Nv exp [£厂) ] exp [ 하r £l ) (4.41) 이고， n0 Po = Nc Nv exp kT . (4.42) 이 된다. 식 (4.42)가 페르미 에너지의 일반적인 값에 대하여 유도되었기 때문에 와…가 같 을 필요는 없다. 식 (4.42)는 진성반도체에 대하여 유도된 식 (4.23)과 정확히 같다. 따 라서 열평형상태에 있는 반도체에 대하여 "0厂0 =，，? (4.43) 의 관제가 성립한다. 식 (4.43)은 와 /서의 곱은 주어 진 온도에서 주어 진 반도체에 대하여 항상 상수임을 의미힌•디-. 이 방정식은 단순해 보이지만 열평형 상태에 있는 반도체의 근본적인 원리 125 126 Chapter' 평형상태의 반도체 중 하나이다. 이 관계의 중요성은 이어지는 장에서 더 명확해진디-. 식 (4.43)은 볼츠만 근사로부터 유도되었음을 명심해야 한다. 불쯔만 근사가 성립하지 않으면 식 (4.43)도 성립하지 않는다. 열평형상태에 있는 외인성반도체는 엄밀히 말하여 비록 열생성된 캐리어들은 존재 하지만 진성캐리어는 존재하지 않는다고 할 수 있다. 진성 전자와 정공농도는 억셉터와 도너 불순물에 의하여 변화되었다. 그러나，식 (4.43)의 진성농도 이를 단순히 반도체의 물성 파라미터로 생각할 수 있다. *4.3.3 페르미-디락적분 열평형상태의 전자와 정공농도에 대한 식 (4.11)과 (4.19)를 유도하는데 있어서 볼츠만 근사가 성 립한다고 가정하였다. 만약 볼츠만 근사가 성 립하지 않으면 열평 형상태 전자 농도를 식 (4.3)으로부터 710 = 등 (가따)… ，x JE - Ecy，2 dE 1 + exp E - Ef kT (4.44) 가 된다. 다시 변수를 지 = 트T은 (4.45a) Ef 一 Ec ~ kT (4.45b) 와 로 치환하면 식 (4.44)는 , (2m：kT^2 广 t),/2 dr) 사。= 4十/ _l-+exp 에) (4.46) 이 돤다. 적분을 다음과 같이 정의한다• — 卜芸촌교 (4.47) 페르미-디락 적분이라고 부르는 이 함수는 변수 …에 대하여 표로 계사되느 함수이 다. 그림 4.10은 페르미-디락 적분의 그림이다. 만약 化 > 0이면 Ep〉이로 퍼j르 미 에너지는 사실상 전도대 내에 있게 된다. ［豆:적 j 페르미•디락 적분을 이용하여 전자농도를 계산한다. 化 = 2라고 두면 페르미 에너지는 T = 300 K에서 전도대 위 약 52 meV에 존재한다. 4.3 외인성반도체 10 S O 野 빠 I O2 -6 -4 -2 0 2 6 4 (EF-Ec)/kT^r)F 그림 4.10 페르미 에너지의 함수로서 페르미-디락 적분 Fl/2(Sze [11] 참조) 풀이 식 (4.46)은 «0 = ^^NcF1/2(7)f) 이 된다. 300 K에서 실리콘에 대하여 Nc = 2.8 xio19 cm一3이고，그림 4.10으로부터 페르 미-디락 적분은 /71/2(幻 = 2.3이다. 따라서 no = ~^= (2.8 X 1019)(2.7) = 8.53 父 10,Q cm'3 이다. 區3 식 (4.11)을 사용하면 바의 열평형상태의 값은 시 = 2.08 xlO2G cm-3이고，이것은 볼츠만 근사가 이 경우 성 립하지 않으므로 옳지 않다. 연습 문제 Ex 4.6 T = 300 K에서 실리콘의 n0 = 1.5 x IO20 르미 에 너 지 준위의 위 치를 제산하시오. 이면 전도대 에너 지 £；에 대한 페 도、(，V> SSCSO'O 로 3 - 년 -suw) 얼평형상태의 정공농도를 계산하기 위해서 동일한 방법윤 이용한다. 따라시 /’I) - 4ᅲ [2m；.kT^2 广 (rf)’ 广 ) I 1 + exp ( V - ”;、 (4.48) 127 128 Chapter* 평형公태의 반도체 이고, 여기서 ， Ev — E 지 =1厂 (4.49a) 이고 一 1厂 (4.49b) 이다. 식 (4.48)에서 적분은 비록 변수는 약간 다르지만 식 (4.47)에서 정의한 같은 페르 미-디락 적분이다. 만약 바 > 0이면 페르미 준위는 가전자대에 있게 된다는 점을 유의 하자. ◦I 해도 평간 TYU 4.8 (a) Ef = £c이고 r = 3W K일 때 실리콘의 열평형상태의 전자농도를 계산하 라. (b) Ef = £v이고 T = 300 K일 때 실리콘의 열평형상태의 정공농도를 계 [ᅡ出。81 이 x £97. = 내 (q) !£_uio 61 이、人 gQ Z = °w (») -suy] 산하라. 4.3X 축퇴와 비축퇴 반도체 반도체에 도펀트 원자들의 도핑을 논의함에 있어서 도펀트 원자의 농도가 반도체를 구 성하고 있는 원자의 농도와 비 교하여 작다고 묵시 적으로 가정 하였다. 작은 수의 불순 물 원자들은 멀리 떨어져서 넓게 퍼져 있기 때문에 n형 반도체의 경우 도너 전자들 사 이의 상호간섭은 없다. 불순물은 n형 반도체에서 개별적이고 비간섭적인 도너 에너지 상태를 만들고，모형 반도체에서는 개별적이고 비간섭적인 억셉터 에너지 상태를 만든 다고 가정하였다. 이러한 형태의 반도체를 비축퇴(nondegenerate) 반도체라고 한다. 만약 불순물 농도가 증가하면 불순물 원자들 사이의 거 리가 감소하고 도너 전자들 이 서로 간섭하기 시작하는 점에 도달하게 될 것이다. 이러한 현상이 발생할 때 단일 개별 도너 에너지는 에너지밴드로 형성될 것이다. 도너농도가 더욱 증가함에 따라 도 너 에너지 상태의 밴드화는 더 확장되고 전도대 하단과 겹치게 된다. 이러한 겹침은 도 너농도가 유효상태밀도와유사한 크기를 가질 때 발생한다. 전도대의 전고도가1상태 밀도 斗 보다 클 때 페르미 에너지는 전도대 내부에 있게 된다. 이 러한 형태의 반도체 를 축퇴(degenerate) 반도체 라고 부른다. 이와 마찬가지로 p형 반도체에서 억셉터 도핑농도가 증가함에 따라 개별적인 억셉 터 에너지 상태가 에너지밴드로 형성되어 가전자대의 상단과 겹쳐지게 된다. 르미 에너지는 정공농도가 상태밀도 久를 넘어서게 될 때 가전자대 내부에 있게'된디. 이러 한 형태의 반도체를 축퇴 P형 반도체라고 한다. 축퇴 n형과 축퇴 p형 반도체에 대한 에너지밴드의 그림 모형이 그림 4시 에 니.타니. 4.4 도너와억셉터의릉제 ^ ᄂ 충만상태 ? '7~ （전자） .於_ 리 厂 전도대 ▲ 전도대 Ee l K l 으 k -K져 공립 상태 （전자） 가진자대 가포4포. （a）（b） 그림 4.11 축퇴된 知내항 化化형 반도체의 단순화된 에너지밴드 그림 있디-. Ep 아래의 에너지 상태들은 대부분 전자로 채워지고。위의 에너지 상태들은 대 부분 비 어 있다. 전술한 바와 같이 축퇴 n형 반도체에서 EF는 Ec 위에 위치하므로 라와 Ec 사이의 양자상태들은 대부분 전자로 채워진다. 그래서 전도대의 전자농도는 대단히 크게 된다. 이와 같이 축퇴 모형 반도체에서 Ep는 Ev 아래에 위치하므로 £v와 사이의 에너지 상태들은 대부분 비어 있고，따라서 가전자대의 정공농도는 대단히 크게 된다. 4乂 도너와억셉터의통계 지난 장에서 특정 에너지 상태가 전자로 채워질 확를을 나타내는 페르미-디락 분포함 수를 다루었다. 이 함수를 다시 논의하여 확률통계를 도너와 억셉터 에너지 상태에 적 용할 것이다. 4.4.1 확률함수 페르미-디락 확률함수를 유도하는데 사용된 하나의 조건은 오직 하나의 입자만이 각 양자상태에 허용되는 파울리의 배타율이다. 파울리의 배타율 역시 도너와 억 법터 양태 에도 적용된다. 乂 전자와gi 양자상태가 있다고 가정하자. 여기서 첨자，•는 /번째 에너지 준위를 나 타낸다. 첫 번째 입자를 양자상태에 둘 수 있는 방법은 상,개가 있다. 각 도너 준위는 도 너 전자에 대해서 두 가지 가능한 스핀 방향을 가지고 있으므로 각 도너 준위는 2개의 양자상태를 가지고 있다. 그러나、양자상태가 두 개이더라도 모든 도너 준위의 동일한 방향의 스핀이 우선적으로 모두 채워진 후 다른 방향의 스핀이 채워지므로 하나의 전 자가 하나의 도너 준위의 한 양자상태（스핀 업）를 채우면 그 도너 준위의 두 번때 양자 싱데（스핀 다운）는 다른 도너 준위들의 스핀 업 양자상태가 다 채워진 때까지 나른 전 자를 받아들일 수 없다. 하나의 전자를 채움으로써 원자의 빈자리 조건 - 도니 불순물 은 도너 전자를 하나만 갖는다- 이 충족되기 때문에 도너 준위에 두 빈째 전자를 첨가 히는 것은 불가능하다. 즉 양자상태는 둘이지만 전자는 하나반 分 수 있으므로 도너 에 너지 상배에 있는 도너전자의 분포함수는 페르미-디아 한수와。야:! 나르다. 129 130 Chapter스 평형상태의 반도체 도너상태를 차지하는 전자의 확률함수는 (4.50) 이다. 여기서 /나는 도너준위를 차지하는 전자농도이고 〜는 도너준위의 에너 지이다. 이 방정식의 인수 1/2는 위에서 언급한 전자의 스핀 방향을 고려한 결과이다. 인수 1/2은 때로는 1/g로 쓰고 여기서 료를 퇴화인자(degeneracy factor)라고 부른다식 (4.50)은 (4.51) nd = Nd — N: 라고도 쓸 수 있다. 여기서 /V/는 이온화된 도너농도이다. 많은 경우 도너 상태에 남아 있는 전자농도 보다는 이온화된 도너농도가 더 중요하다. 왜냐하면 이온화된 도너농도 는 전도대로 이온화된 전자농도와 동일하기 때문이다. 억셉터 원자에 대해서도 같은 분석을 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. Na = Na~ Na 1 + | exp (4.52) 여기서 Na는 억셉터 원자의 농도이고，。는 억셉터 에너지 준위，〜는 억셉터 에너지 준위에 있는 정공농도이다. 그리고/、-는 이온화된 억셉터 농도이다. 억셉터 에너지 상 태에 있는 정공은 전하적으로 중성이며 4.2.1 절에서 논의한 바와 같이 주변의 가전자를 포획하기 전 억셉터 원자의 빈자리 결함에 해당한다. 파라미터 모는 퇴화인자이다. 바닥 상태의 퇴화인자 g는 실리콘과 갈륨비소의 경우 억셉터 준위에 대해서 밴드 구조 때문 에 보통 4가 된다. 4.4.2 완전 이온화와 동결 도너 에너지 상태에 있는 전자의 확률함수는 식 (4.50)으로 주어졌다. 만약 (E(rEF) » "이면 (4.53) 이다. 만약 (슉厂하) » 셔끼면 볼츠만 근사가 전도대의 전자에 적용되므로 식 (4.1D 로부터 Ho = Nc exp 가된다，一(生. 一公厂) kT 4.4 도너와억셉터의동계 131 총 견자의 수에 대하여 도너 상태에 있는 전자의 상대적 인 수를 비교할 수 있다. 그 러£1성 전도대의 총 전자 수와 도너 상태에 있는 전자의 합에 대한 도너 상태에 있는 전자 수의 비를 계산할 수 있다. 식 (4.53)과 (4.11)을 사용하면 nd 一 2",exP[ 一他시 kT J 2êxp[^d 卜心니흑책 (4.54) 이 된다. 페르미 에너지는 이 방정식에서 상쇄된다. 분자로써 분모와 분자를 나누면 nd nd + n0 1 Nc 1 + 2êxp (4.55) ［뿌?책 이 된다. 인자 (표c_〜)는 바로 도너전자의 이온화 에너지이다. 동司 T = 300 K에서 도너 상태에 남아있는 전자 수의 비율을 계산한다. T = 300 K에서 도핑농도 〜 = 1016 cm_3인 도핑을 생각한다. 풀이 식 (4.55)< 사용하면 乃0 + 1 1_______________ = 0.0041 =0.41% 2.8 X 1019 pYn /-0.045 \ 2(10'6) P \ 0.0259 ) 이 예제는 전도대에 비하여 도너 상태에는 아주 적은 수의 전자가 있음을 보여준다. 중요한 것은 도너 상태에서 이온화된 모든 전자들은 전도대로 이동한다는 것이다. 왜냐하면 도너 상태의 0.4% 만이 전자로 채워져 있기 때문이다. 이러한 상태를 완전이온화라고 부른다. 연습문제 Ex 4.7 (a) T = 250 K와 (b) T = 200 K에서 예제 4.7을 반복 계산하시오. (c) 온도가 감 소함에 따라 그 비는 어떻게 변화하는지 설명하시오. 음 극Ir T： 4ᄅ4고 llo接卞往杜크궁 ⑶、-이 x ⑷ 네 X 0<7. (미 해V】 상온에서 도너 상태는 원칙적으로 완전이온화(C이nplete ionization)되며、통상적인 도핑농도인 1016 cni_3일 경우 거의 대부분의 도너 불순물 원자들은 전도대로 전자를 이온화시킨다. 상온에서 억셉터도 역시 완전이온화된다. 이것은 각 억셉터 원자가 가전자대로부터 전자를 받아들이므로 八，는 0이 된다는 의미이다. 통상적인 억셉터 도평농도에서 하나 의 억셉터 원자는 하나의 정공을 가전자대로 이온화시킨다. 이러한 이온화 현상과 전 도대 및 가전자대에서 전자와 정공의 발생이 각각 그림 <12에 나타나 있다. 완전이온화의 반대 현상이 r = 0 K에서 반생한다、신대온노 0 K에서 모든 전자는 예제 4.7 132 Chapter4 명형 상태의빈도체 전도대 전도대 丄 J E I X k l o o + x TTl l x ^ rt 져 !+ 가전자대 + '''' + (a) + + 가•전자■디1 (b) 그림 4.12 (a) 도너 상태와 (b) 억셉터 상태의 완전이온화를 보여주는 에너지밴드 그림. ▲ x -7Fl ? rK정 r< 7< i. - 드p ?i I K 전도대 Ec : EFi o Ea 가전자대 L—一연지i:_] (a) (b) v 그림 4.13 (a)n형 반도체와 (b) p형 반도체의 T = 0 K에서 에너지밴드 그림. 가능한 가장 낮은 에너지 상태에 있게 된다. 즉 n형 반도체에서 각 도너 상태는 하나의 전자를 가져야 하므로 nd = Nd 혹은 N: = 0이 된다. 그러 면 식 (4.50)으로부터 exp[(Ed-Ej)/kT] = 0이 어야 한다. T = 0 K이므로 이 것은 exp(-oo) = 0이 어 야 하고 따라서 Ef > Ed 임을 의미한다. 페르미 에너지 준위는 절대온도 0 K에서는 도너 에너 지 준위 위에 있어야 한다. 모형 반도체의 경우 절대온도 0 K에서 불순물 원자는 어떤 전자도 가질 수 없으므로 페르미 에너지 준위는 억셉터 에너지 상태 아래에 있어야 한 다. 그래서 전자의 분포와 페르미 에너지는 온도의 함수이다. 이 책에는 없지만 자세한 분석에 의하면 페르미 에너지는 n형 반도체의 경우。와 。가운데 위치하고 p형 반도체에 대해서는 ^와 £v 가운데 위 치 한다. 그림 4.13은 이 러한 현상을 보여준다. 도너 상태로부터 어떤 전자도 열에너지에 의하여 전도대로 상 승하지 못하고 이러한 현상을 동결(freeze-아비이라고 한다. 이와같이 가전자대로부터 어떤 전자도 억셉터 상태로 상승하지 못할 때 이것도 역시 동결이라고 한디-. 『 = 0 K의 동결과 T = 300 K의 완전이온화 사이에 도너와 억셉터의 부분 이온화 가 있다. 에제 4.8 [耳억셉터 원자의 90%가 이온화되는 온도를 계산한다. 농도 Na = IO16 cm-3 으로 붕소가 도핑된 p형 실리콘을 생각한다. 4.5 전하중성 E抑! 사<|사대와 억셉터 상태에 있는 정공에 대한 억셉터 상태에 있는 정공의 비율을 계산한다. M 스반 근사와 퇴화인자 모 = 4를 고려하면 P。 _ ______ I [뿌겨 이다. 90% 이온화되려면 —준一 = 0.10 =--------------厂0 十凡 (1.04 X 10,9) 1 + 4(10,6) -0.045 • exp 0.0259 이다. 반복계산하면 T = 193 K가 얻어진다. 이 예제는 약 상온 100OC 아래에서 억셉터 원자의 90%가 이온화됨을 보여준다. 다시 말하 면 억셉터 원자의 90%가 가전자대에 정공을 보태주었다연습 문제 다음 온도에서 Na = 1016 cm'3 도핑된 실리콘의 억셉터 상태에 있는 정공의 비 Ex 4.8 율을 계산하시오. t-OI X (상):r-이 X 16T (미 '和V】 이해도 평가 TYU 4.9 실리콘에서 B의 농도가 … = 1017cr이일 때 r = 300 K에서 억 씹터 상태에 남아있는 정공을 총 정공에 대한 비율로 계신하라. TYU 4.10 (6/ro^vi P7\ Nd = 1015 cm-3 도핑된 실리콘에 대해서 다음 온도에서 이온화된 P 원자 의 비율을 계산하시오. (a) T = 100 K, (b) T = 200 K, (c) 7 = 300 K. (d) T = 400 K 々-5 [%S6'66 (P)'*>96 66 (기 :%冗66 ⑷ :-bCQYb (미 'suy] 전하중성 열평형상태에서 반도체는 진기 적으로 중성이다. 전자는 음전하와 양전하공 만듐면 <] 에너지상태에 분포되어 있지만 순 전하밀도는 o이다. 이 전하중영조건은 연평형 상태의 전자와 정공농도룰 한순卷* 도핑농도의 함수로 제산하는데 나용진다、보상leompensateci) 반도체를 정의하고 진사와 정공농도를 도너와 억씹터 농도의 함수오 계 나한 시이다. 45.1 보상 반도체 보상 반도체는 같은 영역에 도너와 익 행터 朴、：니、하게 노핑한 반도체이다. 보상 반 133

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