Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Departamento de Matemática
Listado 01: números reales
Cálculo I (527140)
1. Justificar las siguientes afirmaciones a partir de los axiomas del campo de los números reales.
(a) ∀x ∈ R ∀y ∈ R
− (x + y) = (−x) + (−y)
(b) ∀x ∈ R ∀y ∈ R
x(−y) = −xy
2. Justificar por qué los siguientes enunciados son falsos.
(a) ∀x ∈ R ∀y ∈ R
(x + y)3 = x3 + y 3
(b) ∀x ∈ R ∀y ∈ R
xy = 1 → x = 1 ∨ y = 1
3. Determinar el conjunto solución de la ecuación (x2 + x + 1)(x − 2)(x2 + 3x − 4) = 0.
4. En la ecuación kx2 + 10x = 8 una solución es x = 4. Determinar la otra solución, si
existe.
5. Determinar los valores de m ∈ R tales que la suma de las soluciones de la ecuación
2x2 + x − 18 = mx sea cero.
6. En cada una de las siguientes relaciones entre números reales despejar la variable x.
Indicar en cada caso las restricciones necesarias sobre las variables.
(a) x3 + x = ax2
(b) 3x2 + 2xy − y 2 = 0
a2 − b 2 1
a+b−x
=
−
x2
x3
x
3x − a
x−a
10
(d)
+
=
x−a
3x − a
3
(c)
7. Considerar la siguiente función.
f (x) =
x2 + 4
x−2
Resolver las siguientes ecuaciones usando la función f entregada.
(a) f (x) = 0
(b) f (x) = −5
(c) f (x) = x
(d) f (x) = f (x + 1)
8. Considerar las siguientes funciones.
x+1
f (x) =
x+3


x + 5
g(x) =
x

 3
5x
si x < −5
si − 5 < x ≤ 0
si x > 0
Resolver la ecuación f (x + 1) = g(x).
9. Considerar la siguiente función.
(
2x + 3
f (x) =
1 − x2
si x ≤ 1
si x > 1
Resolver las siguientes ecuaciones usando la función f entregada.
(a) f (x) = 0
(b) f (x) = 6
(c) f (x) = −2
(d) f (x) = f (x + 5)
10. Resolver los siguientes problemas.
(a) Determinar un número entero sabiendo que su suma con su inverso multiplica.
tivo es 26
5
(b) Dentro de un marco rectangular con un área de 540cm2 se tiene una foto, también rectangular, de 50cm de largo y 34cm de ancho. Sabiendo que el margen
entre cada borde de la foto y el marco es el mismo en todas direcciones, determinar su longitud.