Biophysical Chemistry: Calculus in Thermodynamics

BIOPHYSICAL CHEMISTRY II. Understanding of Calculus Overview Measurements 미적분학 (Calculus) Thermodynamics 미분 (Differentiation) : 물리량의 정의 적분 (Integration) : 물리량의 측정 상태 함수 (State function) : 완전 미분 경로 함수 (Path function) : 불완전 미분 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 용어의 정의 방정식의 예: 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 상수(constant, 𝒂, 𝒃): 수치가 항상 일정(𝒈, 𝑵𝑨 , 𝑹 등) 변수(variable, 𝒙, 𝒚): 임의의 수치로 실험에 따라 결정(𝑻, 𝑷, 𝑽, 𝒏 등) 실험 조건의 예: 살균 장치의 시간(𝒕)에 따른 온도(𝑻) 측정 독립 변수(independent variable, 𝒕): 실험자가 임의로 수치 결정 가능 종속 변수(dependent variable, 𝑻): 독립 변수에 의해 값이 결정 함수(Function): 변수 간의 관계 𝒚 = 𝒇(𝒙): 𝒚는 𝒙의 함수 물리량: 변수이며 함수 → 차원(dimension) II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 변화(Delta, 𝚫)의 의미 물리량 𝒙의 변화: 처음 상태(𝒙𝒊 ) → 최종 상태(𝒙𝒇 ) 𝚫𝒙 ≡ 𝒙𝒇 − 𝒙𝒊 𝚫𝒙 > 𝟎: 물리량의 증가 ΔL > 0 𝚫𝒙 < 𝟎: 물리량의 감소 Li 𝚫에 의한 물리량의 변화 예 ΔL < 0 부호를 통해 최종 상태의 크기와 방향을 예측 기준점: 초기 상태 Lf Lf Li 𝚫𝑳 = +1 m: 기준점에서 1 m 이동(또는 길이 증가) 𝚫𝑳 = –1 m: 기준점 반대 방향으로 1 m 이동(또는 길이 감소) II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 속도(Velocity, 𝒗)의 정의 등속 운동(𝒗 = const): 시간에 따른 이동 거리 변화가 일정한 운동 시간에 따른 이동 거리 변화는 직선(1차 함수)의 관계 이동 거리는 시간의 함수: 𝑳 = 𝒇(𝒕) L 속도: 시간에 따른 이동 거리 변화 ∆𝒕 = 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 L2 ∆𝑳 = 𝑳𝟐 − 𝑳𝟏 L1 𝒗 = ∆𝑳/∆𝒕 L = f(t) ∆L ∆t 속도: 함수 𝑳 = 𝒇(𝒕)의 기울기 기울기가 항상 일정 = 등속 운동 t1 t2 t 𝑳𝟐 − 𝑳𝟏 ∆𝑳 𝒇 𝒕𝟐 − 𝒇(𝒕𝟏 ) 𝒗= = = = 𝐬𝐥𝐨𝐩 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 ∆𝒕 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 등가속도 운동 일정한 가속도가 존재하는 물체의 운동(𝒂 ≠ 𝟎) 가속도(acceleration, 𝒂): 시간에 따른 물체의 속도 변화(𝒂 = ∆𝒗/∆𝒕) 등속 운동: 𝒂 = 𝟎 a=0 Time, t a≠0 Velocity, v Distance, L a≠0 a=0 Time, t 𝒂 ≠ 𝟎: 속도는 시간에 대한 1차 함수, 이동 거리는 시간에 대한 2차 함수 𝒂 = 𝟎:속도는 시간에 대한 0차 함수, 이동 거리는 시간에 대한 1차 함수 II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 등가속도 운동 가속도의 존재로 이동거리는 시간에 따라 비 선형으로 증가 A → B 구간에서 속도의 정의 𝒇 𝒕𝟎 + ∆𝒕 − 𝒇(𝒕𝟎 ) ഥ= 𝒗 ∆𝒕 ഥ: 구간 내 평균 속도 → 모든 𝒗 구간에서의 속도를 일반화하여 정의 불가 수학적으로 속도를 정의할 수 있는 방법 필요 L = f(t) f(t0 + ∆t) B ∆L f(t0) A t0 ∆t t0 + ∆t 가속도가 시간에 따라 변하는 조건 𝒂 = ∆𝒗/∆𝒕: 등가속도 운동에서만 가속도를 정의 가속도의 정의로 일반화 불가 II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 미소 변화(Infinitesimal change) 변화가 무한히 작아 zero에 근접할 정도의 변화 A ∆t Time, t B A ∆t Time, t Distance, L Distance, L B Distance, L ∆𝒕가 작을수록 B의 위치는 A로 접근 B A ∆t → 0 Time, t ∆𝒕가 zero로 수렴: B의 위치는 A로 수렴 → A의 접선(tangent line) A에서 물체의 속도 = A에서 접선의 기울기 → 미분(differential) II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 미소변화의 기호 미분계수(Differential coefficient): 𝒇′(𝒂)의 형태 함수 𝒚 = 𝒇(𝒙)를 𝒙 = 𝒂에서 미분한 값(계수) 𝒇 𝒂 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒂) 𝒇 𝒂 = lim ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 ′ 𝒇′ 𝒂 는 𝒙 = 𝒂에서 𝒇(𝒙)의 미분 계수(결정된 수치로 함수가 아님) 의미: 𝒚 = 𝒇(𝒙) 그래프의 𝒙 = 𝒂에서 접선의 기울기 도함수(Derivative): 미분 계수를 함수로 표현 → 𝒇′(𝒙)의 형태 미분계수와 도함수는 개념적으로 동일함: 함수적 표현의 여부 차이 정의되지 않은 임의의 𝒙값에 대한 미분계수를 함수로 표현 의미: 𝒚 = 𝒇(𝒙) 그래프에서 𝒙값에 따른 접선의 기울기 𝒇′ 𝒙 𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙) 𝒅𝒚 = lim = ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 𝒅𝒙 II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ ∆와 𝒅의 비교 ∆: 물리량의 전체적인 변화(나중상태 – 초기상태) 𝒅: 물리량의 미소 변화(나중상태 = 초기상태) ∆𝑳 𝒅𝑳 = ∆𝒕→𝟎 ∆𝒕 𝒅𝒕 𝒗 = lim 미분의 예: 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 𝒅𝒚 𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙) = lim 𝒅𝒙 𝒉→𝟎 𝒉 𝟐 𝒙 + 𝒉 𝟐 − 𝟑 𝒙 + 𝒉 + 𝟏 − (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏) = lim ℎ→0 𝒉 𝟒𝒙𝒉 + 𝟐𝒉𝟐 − 𝟑𝒉 = lim = lim (𝟒𝒙 + 𝟐𝒉 − 𝟑) = 𝟒𝒙 − 𝟑 ℎ→0 𝒉→𝟎 𝒉 II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 편도함수 둘 이상의 독립 변수가 관여하는 함수의 미분: 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) ∆𝒛 = ∆𝒇 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 + ∆𝒚 − 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝒛 𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 + ∆𝒚) ∆𝒛𝒚 𝒇(𝒙, 𝒚 + ∆𝒚) ∆𝒛 ∆𝒛𝒙 ∆𝒚 ∆𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙, 𝒚) 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝒙 ∆𝒙 II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 편도함수 예: 적색 경로상의 변화 ∆𝒇 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 − 𝒇 𝒙, 𝒚 + 𝒇 𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 + ∆𝒚 − 𝒇(𝒙 + ∆𝒙, 𝒚) ∆𝒇 = 𝒇 𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 − 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒇 𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 + ∆𝒚 − 𝒇 𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 ∆𝒙 + ∆𝒚 ∆𝒙 ∆𝒚 변수 𝒙와 𝒚가 미소 변화하면(𝚫𝒙 → 𝟎, 𝚫𝒚 → 𝟎), 𝚫𝒇 = 𝒅𝒇 𝒇 𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 − 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒇 𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 + ∆𝒚 − 𝒇 𝒙 + ∆𝒙, 𝒚 ∆𝒙 + lim ∆𝒚 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒚→𝟎 ∆𝒙 ∆𝒚 𝒅𝒇 = lim 𝝏𝒇 𝝏𝒇 = 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 𝝏𝒙 𝒚 𝝏𝒚 𝒙 𝝏𝒇/𝝏𝒙 : 𝒚가 일정할 때의 도함수 𝝏𝒇/𝝏𝒚 : 𝒙가 일정할 때의 도함수 II. Understanding of Calculus 1. 물리량의 정의와 미분 ■ 편도함수의 활용 예 최대 또는 최소 상태를 찾는 과정 예: 𝒛 = −𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟗 → 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒇 𝒅𝒇 = 𝒅𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝝏𝒙 →𝒙=𝟏 𝒛 𝒅𝒇 = 𝒚 𝒙 𝝏𝒇 𝒅𝒚 = −𝟐𝒚 + 𝟒 = 𝟎 𝝏𝒚 →𝒚=𝟐 II. Understanding of Calculus 2. 변화량의 측정과 적분 ■ 적분(Integral)의 정의 𝒙 = 𝒇(𝒕)에 미분의 개념을 적용하면 𝒅𝒙 𝒗= 𝒅𝒕 Distance Differential 𝒅𝒗 𝒅 𝒅𝒙 𝒅𝟐 𝒙 𝒂= = = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕𝟐 Velocity Differential Acceleration 적분: 미분의 역 연산 과정 미분: 구간을 미세하게 나누는 과정(접선의 기울기 산출 방법) 적분: 미분으로 나눈 미세 구간을 합치는 과정(그래프 구간의 하단 면적 산출 방법) 𝒇′(𝒙) = 𝑭(𝒙)라고 하면 Differentiation 𝒇(𝒙) 𝑭(𝒙) Integration II. Understanding of Calculus 2. 변화량의 측정과 적분 ■ 적분의 활용 일의 정의: 𝒘 = 𝑭∆𝑳 𝑳𝟏 과 𝑳𝟐 의 범위에서 수행한 일의 측정: 𝑭 = 𝒇(𝑳)의 하단 면적의 산출 𝒘 = 𝑭 × 𝑳𝟐 − 𝑳𝟏 = 𝑭 × ∆𝑳 전제 조건: 𝑭는 항상 일정하게 유지 w ∆L F = f(L) Force, F Force, F ∆L Error F w Distance, L Distance, L II. Understanding of Calculus 2. 변화량의 측정과 적분 ■ 적분의 활용 일이 변화: 단계별 그래프의 하단 면적을 산출하여 합산(도식 적분법) 범위를 일정하게 나누어 개별 면적 계산 ∆L Force, F F1 = f(L1) 𝒘𝒊 = 𝑭𝒊 ∆𝑳 = 𝒇(𝑳𝒊 )∆𝑳 ∆L F2 = f(L2) 𝒏−𝟏 ∆L F = f(L) F3 = f(L3) w1 L1 w2 L2 𝒊=𝟏 … w3 L3 𝒘 = 𝒘𝟏 + 𝒘𝟐 + ⋯ = ෍ 𝒇(𝑳𝒊 )∆𝑳 L4 Lf Distance, L ∆𝑳이 작을수록 정확한 면적 계산이 가능: 극한값 활용 → 적분 𝒏−𝟏 𝑳𝒇 𝒘 = lim ෍ 𝒇(𝑳𝒊 )∆𝑳 = න 𝒇 𝑳𝒊 𝒅𝑳 ∆𝑳→𝟎 𝒊=𝟏 𝑳𝟏 II. Understanding of Calculus 2. 변화량의 측정과 적분 ■ 적분의 활용 정지된 물체(𝒕 = 0 s 에서 𝒗 = 0 m/s)가 가속되는 상황(𝒂 = 2 m/s2) 𝑳 𝒗 𝒂 𝑳 = 𝒇 𝒕 = 𝒕𝟐 𝒂 = 𝒇′′ 𝒕 = 𝟐 𝒗 = 𝒇′ 𝒕 = 𝟐𝒕 𝒕 𝒕 𝒕 시간 𝒕가 1에서 4로 변하는 동안 속도의 변화 ∆𝒗 측정 시간-가속도 관계의 하단 면적 산출 𝟒 𝟒 𝟒 ∆𝒗 = න 𝒅𝒗 = න 𝒂𝒅𝒕 = 𝟐 න 𝒅𝒕 = 𝟐 𝟒 − 𝟏 = 𝟔 𝐦/𝐬 𝟏 𝟏 𝟏 참고(시간-속도 관계 활용): ∆𝒗 = 𝒗𝟒 − 𝒗𝟏 = 𝟖 − 𝟐 = 𝟔 𝐦/𝐬 II. Understanding of Calculus 2. 변화량의 측정과 적분 ■ 미적분의 수학적 정의 원시함수 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 의 도함수: 미분 𝒅𝒚 𝒅 𝒅 𝒏 = 𝒇 𝒙 = 𝒙 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 도함수 𝒇′ (𝒙) = 𝒙𝒏 의 원시함수: 적분 𝒇 𝒙 = න 𝒇′ (𝒙) 𝒅𝒙 = න 𝒙𝒏 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒙𝒏+𝟏 + 𝑪 𝒏+𝟏 중요 적분식: න 𝒅𝒙 = 𝒙 𝟏 න 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 𝒙 II. Understanding of Calculus 2. 변화량의 측정과 적분 ■ 자연상수(Natural constant, 𝒆) 투자(1원)에 대한 소득의 관계 1년(100%): 1년 후 = 1(원금) + 1(이자) = 2원 6개월(50%): 6개월 후 = 1+(1×0.5) = 1.5원, 1년후 = 1.5+(1.5×0.5)=2.25원 4개월(100/3% 이자 적용) 4개월 = 1 + 1/3 8개월 = (1 + 1/3)+[(1 + 1/3)×1/3] 12개월 = (1 + 1/3)+[(1 + 1/3)×1/3]+{(1 + 1/3) + [(1 + 1/3)×1/3]}1/3 = 2.37 𝟏 = 𝟏+ 𝟑 𝟑 𝟏 → 𝟏+ 𝒏 𝒏 극한을 활용한 자연상수의 정의 𝟏 𝒆 ≡ 𝐥𝐢𝐦 𝟏 + 𝒏→∞ 𝒏 𝒏 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 𝟏 + 𝒙 𝒙 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏 ⋯ 𝒙→𝟎 II. Understanding of Calculus 2. 변화량의 측정과 적분 ■ 자연로그(Natural logarithm, loge = ln) 상용로그: 102 = 100 → log 100 = 2이므로 𝒙 = 𝟏𝟎𝒚 → 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒂𝒚 = 𝒙 → 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠𝒙 자연로그: 𝒆𝒚 = 𝒙 → 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒆 𝟏𝟎 𝐥𝐨𝐠𝒙 = 𝟐. 𝟑𝟎𝟑𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒙 > 𝟏 → 𝐥𝐧𝒙 > 𝟎 𝒚 = 𝐥𝐧𝒙 𝐥𝐧𝒆 =1 𝐥𝐨𝐠𝒙, 𝐥𝐧𝒙 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝟏 = 𝐥𝐧𝟏 =𝟎 𝒙 < 𝟏 → 𝐥𝐧𝒙 < 𝟎 𝒙=𝒆 𝒙 II. Understanding of Calculus 2. 변화량의 측정과 적분 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧𝒙라 하면 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐧𝒙 Integration Differentiation ■ 자연로그의 미분 𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇 𝒙 𝐥𝐧 𝒙 + 𝒉 − 𝐥𝐧𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒉→𝟎 𝒉 𝒉 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧 ′ 𝒇 𝒙 = 𝟏/𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒙+𝒉 𝒉 𝐥𝐧 𝟏 + 𝒙 𝒙 = lim 𝒉→𝟎 𝒉 𝒉 분자, 분모를 𝟏/𝒙로 곱하면 𝐥𝐧 𝟏 + 𝒉/𝒙 𝟏 𝟏 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧 𝟏 + 𝒉/𝒙 𝟏/(𝒉/𝒙) 𝒉→𝟎 𝒉/𝒙 𝒙 𝒙 𝒉→𝟎 𝒉/𝒙 = 𝒏이라 하면 = 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧 𝟏 + 𝒏 𝟏/𝒏 = 𝐥𝐧𝒆 = → න 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧𝒙 𝒙 𝒏→𝟎 𝒙 𝒙 𝒙 II. Understanding of Calculus 3. 상태함수와 경로함수 ■ 함수의 분류 상태 함수(State function): 계의 평형 상태를 기술하는 양의 개념 함수의 값이 계의 주어진 상태에만 의존하고, 그 상태에 도달하기까지의 경로와 무관한 물리량 평형 상태로 존재하는 현재의 계의 특성에만 의존(예: 내부에너지, 엔탈피, 엔트로피, 자유에너지, 온도, 압력 등) 예: 물의 온도, 압력, 부피, 엔탈피는 일정(가열/냉각 이력 정보는 불필요) 경로 함수(Path function): 상태 함수를 이루는 기본 양 계가 상태 변화할 때 경로에 따라 값이 달라지는 물리량(예: 일, 열) 물을 만들기 위해 가해준 열의 양은 얼음의 온도에 따라 상이 Ice Heating Water 25°C, 1 atm, 1 L Cooling Vapor II. Understanding of Calculus 3. 상태함수와 경로함수 ■ 함수의 분류 함수 구분의 예: 고도 vs 이동 거리 두 경로의 최종상태와 초기상태는 동일 고도: 경로에 상관없이 최종상태와 초기상태에 의해 결정(상태함수) 이동거리: 경로에 따라 변화(경로함수) Path 2 Distance (Path function) Path 2 > Path 3 > Path 1 Path 1 Height (State function) Path 3 II. Understanding of Calculus 3. 상태함수와 경로함수 ■ 함수의 수학적 특성 완전 미분(Exact differential) 미분소가 존재(𝒅𝒛): 미분소의 합(적분)이 처음과 최종 상태 간의 경로에 무관 𝒚 𝑩(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) 𝒚𝟐 𝒇 ∆𝒛 = න 𝒅𝒛 = 𝒛𝒇 − 𝒛𝒊 Area 2 𝒊 𝒙𝟐 𝒚𝟐 ∆𝒛 = න 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + න 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 𝒙𝟏 𝒚𝟏 Area 1 불완전 미분(Inexact differential) 미분소가 존재하지 않음(𝛅𝒛): 적분 시 변화의 과정(경로)을 고려해야 함 𝒚𝟏 𝑨(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) 𝒙 ∆𝒛 = න 𝒅𝒛 ≠ 𝒛𝒇 − 𝒛𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝐩𝐚𝐭𝐡 II. Understanding of Calculus 3. 상태함수와 경로함수 ■ 함수의 수학적 특성 일과 열의 수학적 표현: 𝒘 = −𝑷∆𝑽, 𝒒 = 𝑪∆𝑻 열은 𝑪와 𝑻의 함수: 𝒒 = 𝒇(𝑪, 𝑻) → 열의 미소 변화는 편도함수로 표현 𝝏𝒒 𝝏𝒒 𝒅𝑪 + 𝒅𝑻 → 𝐄𝐱𝐚𝐜𝐭 𝐝𝐢𝐟𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐭𝐢𝐚𝐥 𝝏𝑪 𝑻 𝝏𝑻 𝑪 𝒅𝒒 = BUT 열의 흐름은 온도차가 존재할 때만 발생(열역학 제0법칙) 𝝏𝒒 𝒅𝒒 = 𝒅𝑻 → 𝐢𝐧𝐞𝐱𝐚𝐜𝐭 𝐝𝐢𝐟𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐭𝐢𝐚𝐥 𝝏𝑻 𝑪 불완전 미분: 관여하는 두 변수 중 하나의 변수로만 미분되는 함수 참고: 부피 변화를 수반하지 않는 변화는 일을 수행하지 않음 𝒅𝒘 = 𝝏𝒘 𝝏𝒘 𝝏𝒘 𝒅𝑷 + 𝒅𝑽 → 𝒅𝒘 = 𝒅𝑽 𝝏𝑷 𝑽 𝝏𝑽 𝑷 𝝏𝑽 𝑷 II. Understanding of Calculus

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