Depto. de Ingeniería Mecánica
ESTABILIDAD I
Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
Guía Teórica Nº1:
SISTEMAS DE FUERZAS.
Sistema de fuerzas en el plano y en el espacio. Resultantes y
descomposición. Momentos. Fuerzas distribuidas.
SISTEMAS DE FUERZAS. ............................................................. 1
1. INTRODUCCIÓN A LA ESTÁTICA. ............................................ 3
1.1 Estática ........................................................................... 4
1.2
Los principios de la Estática y la Dinámica ........................... 5
1.2.1
1ª Ley de Newton ................................................... 5
1.2.2
2ª Ley de Newton ..................................................... 5
1.2.3
3ª Ley de Newton ..................................................... 5
1.3 Definición y características fuerzas ..................................... 6
1.3.1
Definición y representación ........................................ 6
1.3.2
Origen ..................................................................... 6
1.3.3
Efectos generales ..................................................... 6
1.3.4
Características de una fuerza: .................................... 6
1.3.5
Clasificación de fuerzas según posiciones relativas de sus
rectas de acción: .................................................................. 7
1.3.6
Clasificación de fuerzas según las entidades entre las que
se establecen: ...................................................................... 7
2. FUERZAS Y VECTORES. ......................................................... 8
2.1 Composición, descomposición y operaciones con fuerzas ..... 10
2.1.1
Descomposición de una fuerza ................................. 10
2.1.2
Composición de fuerzas ........................................... 10
2.1.3
Suma y resta de fuerzas .......................................... 11
2.1.4
Fuerza Resultante ................................................... 12
3. EQUILIBRIO: FUERZA EQUILIBRANTE. ................................... 12
3.1 Fuerzas concurrentes ...................................................... 12
3.2
Fuerzas no concurrentes ................................................. 13
4. MOMENTO DE UNA FUERZA .................................................. 13
4.1 Momento resultante ........................................................ 15
4.2
Par de fuerzas ................................................................ 15
4.3
Principio de Transmisibilidad ............................................ 16
5. Sistema de fuerzas y pares .................................................. 17
5.1 Sistema de fuerzas concurrentes ...................................... 17
5.2
Sistema de fuerzas coplanares ......................................... 17
Dr. Ing. Marcos R. Carrizo
1
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ESTABILIDAD I
5.3
Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
Otros ............................................................................ 18
6. CARGAS DISTRIBUIDAS ...................................................... 19
6.1 Su origen. ..................................................................... 19
6.2
El peso propio como carga distribuida. .............................. 21
6.3
La resultante de una carga distribuida............................... 22
7. REFERENCIAS..................................................................... 24
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2
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Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
1. INTRODUCCIÓN A LA ESTÁTICA.
La MECÁNICA es una ciencia perteneciente a la física, y por ello está
relacionada con las matemáticas. Sin embargo, también se puede
relacionarse con la ingeniería, en un modo menos riguroso.
El conjunto de disciplinas que abarca la MECÁNICA convencional es
muy amplio y es posible agruparlas en cuatro bloques principales:
Mecánica clásica
Mecánica relativista
Mecánica cuántica
Teoría cuántica de campos
La mecánica clásica es la ciencia que estudia las leyes del
comportamiento de cuerpos físicos macroscópicos en reposo y a
velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.
Existen varias formulaciones diferentes, en mecánica clásica, para
describir un mismo fenómeno natural que, independientemente de los
aspectos formales y metodológicos que utilizan, llegan a la misma
conclusión.
• La mecánica vectorial: Deviene directamente de las leyes de
Newton, por eso también se le conoce como «mecánica
newtoniana». Se basa en el tratamiento de dos magnitudes
vectoriales bajo una relación causal: la fuerza y la acción de la
fuerza, medida por la variación del momentum (cantidad de
movimiento). Requiere del uso privilegiado de sistemas de
referencia inercial.
• La mecánica analítica: Se puede encontrar el germen de la
mecánica analítica en la obra de Leibniz que propone para
solucionar los problemas mecánicos magnitudes escalares
básicas que son: la energía cinética y el trabajo.
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3
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Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
Considerando a la mecánica clásica como la rama de la física que
estudia y analiza el movimiento y reposo de los cuerpos, y su
evolución en el tiempo, bajo la acción de fuerzas; podríamos subclasificarla en:
• ESTATICA: Que estudia el equilibrio.
• CINEMATICA: Que estudia el movimiento
• DINAMICA: Que estudia la relación entre las fuerzas actuantes
y el movimiento que estas originan.
1.1
Estática
La estática es la parte de la mecánica de los sólidos que trata el
estudio de las condiciones que deben cumplir las fuerzas externas
que actúan sobre un cuerpo, para que éste permanezca en equilibrio.
Al equilibrio de fuerzas en el espacio se lo denomina Estática Espacial,
en cambio cuando todas las fuerzas se encuentran contenidas en un
mismo plano se lo denomina Estática Plana.
La estática no analiza lo que ocurre en el interior del cuerpo,
haciendo abstracción de la materia que lo constituye y considerándolo
rígido e ilimitadamente resistente.
Esto se conoce como hipótesis de la rigidez: los cuerpos serán
considerados rígidos (indeformables) e ilimitadamente resistentes.
Ello significa que la acción de las fuerzas sobre ellos no modificará las
distancias entre cualquier par de puntos del cuerpo.
Desde el punto de vista de la estática interesa el concepto de fuerza
por los efectos que produce, prescindiendo de su naturaleza. Es
importante aclarar que en un sólido pueden actuar fuerzas externas
como también existen fuerzas internas que se analizarán en
“Resistencia de materiales”.
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4
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1.2
Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
Los principios de la Estática y la Dinámica
1.2.1
1ª Ley de Newton
La inercia expresa la tendencia de un cuerpo a
mantenerse en el estado en que está. Si está en
reposo y no actúan fuerzas sobre él, continúa en
reposo.En ausencia de fuerzas externas un cuerpo
permanece en reposo si su velocidad inicial es
cero. Si tiene velocidad inicial se mueve con movimiento rectilíneo
uniforme, manteniendo su velocidad constante, mientras no actúen
fuerzas sobre él.
Ley de Inercia: ¨ Un cuerpo libre continúa en estado de reposo
o con MRU, sino actúan fuerzas sobre él o si la suma vectorial
de las fuerzas es igual a cero ¨.
 F = 0. => Estática.
1.2.2
2ª Ley de Newton
¨La aceleración de un cuerpo libre es proporcional a la fuerza
que está actuando sobre él e inversamente proporcional a su
masa. ¨
 F = ma. =>Dinámica.
El vector aceleración tiene la misma dirección que la fuerza.
1.2.3
3ª Ley de Newton
Par Acción – Reacción: ¨ Al interaccionar dos partículas, la
fuerza F1/2 que la primera ejerce sobre la segunda es igual y
opuesta a la fuerza F2/1 que la segunda ejerce sobre la
primera, estando ambas sobre la recta que las une.¨
Surgen de una interacción, nunca aparece una sola: son dos y
simultáneas, actúan sobre cuerpos diferentes: una en cada cuerpo.
Nunca forman un par de fuerzas: tienen la misma línea de acción. Un
cuerpo que experimenta una única interacción no está en equilibrio
(ΣF=0), pues sobre él aparece una fuerza única que lo acelera. Para
estar en equilibrio se requieren por lo menos dos interacciones.
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5
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1.3
1.3.1
Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
Definición y características fuerzas
Definición y representación
Fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de movimiento o
de reposo de un cuerpo o de producir en él una deformación.
Es una magnitud vectorial: módulo, dirección, sentido y punto de
aplicación.
La unidad en el SI es el Newton (N).
1.3.2
Origen
Una interacción entre dos objetos siempre produce dos fuerzas
iguales y opuestas, aplicadas una en cada objeto. Las interacciones
pueden ser a distancia como la gravitatoria y la electromagnética o
por contacto (como las originadas en un choque). Las 2 fuerzas de
una interacción aunque son iguales, no se anulan porque actúan cada
una en un cuerpo diferente.
1.3.3
Efectos generales
Una fuerza produce una aceleración que cambia el valor de la
velocidad y/o su sentido, producen deformaciones, momento.
1.3.4
Características de una fuerza:
Las fuerzas son magnitudes vectoriales que se definen por medio de:
Intensidad: es el módulo cuya magnitud se expresa en: Newton [N],
kilogramo fuerza [kgf], tonelada fuerza [tf], etc.
Recta de acción: es la recta que contiene a la fuera. Dirección: definida
por la inclinación de la recta de acción.
Sentido: es una de las dos posibilidades que existen en dicha recta y se
indica con una flecha.
Origen y extremo de la fuerza: a la fuerza se la representa con una
flecha, a la cola se la denomina “origen” y a la punta se la denomina
“extremo”.
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6
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1.3.5
Guía Teórica Nº1:
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Clasificación de fuerzas según posiciones relativas
de sus rectas de acción:
Colineales: la misma recta de acción.
Concurrentes: todas concurren a un único punto.
No concurrentes: no concurren todas a un mismo punto.
Paralelas: son paralelas entre sí.
1.3.6
Clasificación de fuerzas según las entidades entre
las que se establecen:
Fuerzas externas: Son las que se establecen entre dos cuerpos a
través de sus superficies libres o por atracción o repulsión entres sus
masas. Ej.: fuerzas magnéticas, gravitatorias, etc.
Fuerzas Internas: Son las que se producen entre partículas vecinas
(interiores) de un mismo cuerpo. La “Resistencia de materiales”
estudiará solamente a las fuerzas internas provocadas exclusivamente
por la acción de las fuerzas externas.
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7
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Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
2. FUERZAS Y VECTORES.
El concepto físico de fuerzas, es representado matemáticamente
mediantes vectores.
Se llama vector de dimensión n a una n-upla de números reales (que
se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores
de dimensión n se representa como  n (formado mediante el
producto cartesiano).
Así, un vector V perteneciente a un espacio  n se representa como:
V = ( a1 , a2 , a3 ,..., an ) donde V n .
Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la
geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el
espacio tridimensional 3 , o bidimensional 2 .
Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que
hay que distinguir tres características:
Módulo: la longitud del segmento.
Dirección: la recta donde está representado el segmento.
Sentido: la orientación del segmento, del origen al extremo del
vector.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por
i , j , k , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las
componentes del vector en una base vectorial predeterminada
pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
V = (Vx ,Vy ,Vz )
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8
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Sistemas de Fuerzas.
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O expresarse como una combinación de los vectores unitarios
definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas
cartesiano, será:
V = Vx i + Vy j + Vz k
El modulo del mismo será:
V =
(Vx ) + (Vy ) + (Vz )
2
2
2
Y por lo tanto, el versor (quien define la dirección y sentido)
asociado:
eV =
eV =
Vx i + Vy j + Vz k
V
=
V
(Vx ) + (Vy ) + (Vz )
2
2
Vx
(Vx ) + (Vy ) + (Vz )
2
2
i+
2
2
Vy
(Vx ) + (Vy ) + (Vz )
2
2
j+
2
Vz
(Vx ) + (Vy ) + (Vz )
2
2
k
2
Ejemplo de aplicación:
eFAB = erAB ,
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eFAC = erAC ,
eFAD = erAD
9
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Sistemas de Fuerzas.
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2.1
2.1.1
Composición, descomposición y operaciones con
fuerzas
Descomposición de una fuerza
Las proyecciones, de una fuerza conocida (módulo y ángulo), sobre
los ejes cartesianos, son sus componentes y se determina mediante
las relaciones trigonométricas:
Fx = F cos 
Fy = F sen 
Si tenemos varias fuerzas podemos descomponer cada una sobre sus
ejes y luego hacer una sumatoria por eje.
2.1.2
Composición de fuerzas
Para hallar la resultante total hay que realizar el procedimiento
inverso, es decir componer las dos fuerzas.
Conocidas las componentes de F sobre los ejes, no sólo conocemos la
orientación (el ángulo con el eje x define su dirección), sino que
podemos hallar su módulo por medio del Teorema de Pitágoras.
El módulo se calcula como la raíz cuadrada de cada componente al
cuadrado y el ángulo se puede calcular con la tangente, según:
F =
( Fx ) + ( Fy )
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2
2
tg ( ) =
Fy
Fx
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2.1.3
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Sistemas de Fuerzas.
Suma y resta de fuerzas
Si las fuerzas tienen la misma dirección se suman sus módulos sin
más (o resta si su sentido es opuesto).Si las fuerzas tienen diferentes
direcciones, se sustituyen por sus proyecciones en los ejes. A
continuación se suman las componentes del mismo sentido y se
restan las de sentido opuesto.
La regla del paralelogramo: En el extremo de una de las fuerzas se
dibuja una paralela a la otra. Se une el extremo de esta fuerza
desplazada con el origen de las fuerzas y éste vector será la
resultante de las dos.
Método del paralelogramo
Método del triangulo
Aplicando las propiedades de vectores, fácilmente se observa que:
w=u +v
w = u +v = v +u
u + (v + w) = (u + v ) + w
u =u +0
w = u + ( −u ) = 0
1u = u
a(bu ) = (ab)u
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a(u + v ) = au + av
(a + b)u = au + bu
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2.1.4
Fuerza Resultante
Única fuerza que produce el mismo efecto mecánico que la totalidad
de las fuerzas que componen un sistema. El efecto es el de tratar de
trasladar al sólido.
 F = R.
3. EQUILIBRIO: FUERZA EQUILIBRANTE.
3.1
Fuerzas concurrentes
Las fuerzas tienen el mismo punto de aplicación.
Para neutralizar todas las fuerzas concurrentes
aplicadas en un punto de un sólido rígido, sólo
debemos aplicar en ese punto una fuerza de igual
valor y opuesta a la resultante: Fequilibrante .
Entonces, si la suma de todas las fuerzas incluida la resultante es
igual a cero no hay desplazamiento:
F1 + F2 + F3 + Feq = 0
R + Feq = 0
Como la distancia entre el punto de aplicación de las fuerzas y la
recta de acción de las fuerzas es cero, el momento de las fuerzas
será cero y por lo tanto no hay giro.
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12
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3.2
Fuerzas no concurrentes
Cuando las fuerzas no son concurrentes a un punto, se puede
establecer una resultante, trasladando las fuerzas a un punto,
considerando el momento generado.
4. MOMENTO DE UNA FUERZA
El momento de una fuerza se puede expresar usando el producto
vectorial M = r X F. Actúa en un eje perpendicular al plano que
contiene las fuerzas y la dirección sigue la regla de la mano derecha.
Para la fuerza expresada en forma cartesiana
i
j
k
M = r X F = rx
ry
rz
Fx
Fy
Fz
Expandiendo el determinante
MO = ( ry Fz − rz Fy ) i − ( rx Fz − rz Fx ) j + ( rx Fy − ry Fx ) k
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Sistemas de Fuerzas.
El teorema de Varignon: “El Momento de una fuerza respecto a un
punto es igual a la suma de los momentos de las componentes de esa
fuerza respecto al punto”
F = F1 + F2 , M = r X F = r X ( F1 + F2 ) = r XF1 + r X F2
La magnitud resulta, MO = rFsin . Si r se aplica en un punto de la
línea de acción, ya que d = rsin ( ) , el momento se puede expresar
como:
MO = rFsin ( ) = F rsin ( ) = Fd.
La magnitud del momento de una fuerza es MO = Fd, cuyas unidades
pueden ser
( Nm ) . Siendo d : distancia perpendicular desde O a la
línea de acción de la fuerza.
La fuerza no contribuye al momento si su línea de acción pasa o es
paralela al eje.
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Sistemas de Fuerzas.
4.1 Momento resultante
El momento resultante es la suma de todos los momentos.
N
M R =  Fd
i i.
i=1
El momento de las fuerzas respecto a O puede determinarse
mediante adición vectorial.
N
M R =  ( ri X Fi ).
i=1
4.2 Par de fuerzas
Un par de fuerzas lo forman dos fuerzas paralelas, separadas por una
distancia, de igual intensidad y dirigidas en sentido contrario. La
fuerza resultante de un par es cero, ( F1 − F2 = 0 ) . Y produce un
momento igual a M = Fd .
2 pares son equivalentes si producen el mismo momento. Las fuerzas
de pares equivalentes están en el mismo plano o en planos paralelos.
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15
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4.3
Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
Principio de Transmisibilidad
La fuerza F aplicada en cualquier punto A, crea un momento respecto
a O dado por M = r X F.
F tiene las propiedades de un vector deslizante, ya que puede ser
aplicada en cualquier punto de su línea de acción (principio de
transmisibilidad).
Por lo tanto: M = rX
F = r2 X F = r3XF.
1
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Sistemas de Fuerzas.
5. Sistema de fuerzas y pares
Un sistema equivalente es aquel que causa los mismos efectos
externos (movimientos de traslación y la rotación de un cuerpo rígido
o las fuerzas reactivas en los soportes si el cuerpo se mantiene fijo)
que los causados por el sistema de fuerzas y pares originales.
5.1 Sistema de fuerzas concurrentes
Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel en el que las líneas de
acción de todas las fuerzas se intersectan en un punto común O.
 F = R.
5.2
Sistema de fuerzas coplanares
Las líneas de acción de todas las fuerzas están en el mismo plano. La
fuerza resultante del sistema también está en el mismo plano
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17
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5.3
Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
Otros
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18
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Sistemas de Fuerzas.
6. CARGAS DISTRIBUIDAS
6.1
Su origen.
En la naturaleza, las cargas actúan distribuidas en una superficie de
contacto entre los cuerpos que interactúan, en forma de presión.
F 
P  2
L 
Si bien las cargas que actúan sobre una línea o bien las cargas
puntuales no existen en la naturaleza, aproximar las presiones de
contacto por este tipo de cargas es una simplificación de mucha
ayuda.
Hay muchos casos en que la superficie de contacto es tal que una de
sus dimensiones es pequeña, pero la otra no lo es en relación con las
dimensiones del sólido, por ejemplo:
• Carga ejercida sobre una viga que soporta un piso intermedio
en un edificio.
• La carga ejercida por el viento sobre una torre metálica para
soporte de conductores.
Siendo así, el problema puede considerarse plano, entonces la
presión puede manifestarse como una carga distribuida ( Q ) a lo largo
del componente estructural.
La carga distribuida lineal queda
expresada por Q = Pb, cuyas
unidades quedan expresadas en
unidades de fuerza por longitud
 Kgf   N 
 cm  ,  m  .
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19
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Sistemas de Fuerzas.
Si esa superficie es pequeña (en ambas direcciones), en comparación
con las dimensiones del sólido en estudio, será posible considerar que
la resultante de esa fuerza distribuida se encuentra concentrada en el
centro de la superficie de contacto.
La fuerza concentrada
por FR = PA = Pab.
queda
dada
Donde:
• P : Es la presión de contacto entre
 Kgf 
ambas superficies.  2  ,  Pa  .
 cm 
• A : Área de contacto. cm 2  , m 2  .
•
•
a : Longitud del área de presión.
b : Ancho del área de presión.
La consideración de cargas como fuerzas puntuales o lineales es una
idealización del modelo de calculo. Algunos ejemplos:
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20
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6.2
Guía Teórica Nº1:
Sistemas de Fuerzas.
El peso propio como carga distribuida.
Una viga tiene una longitud
( L) ,
sección normal
( A ) , y el peso
especifico (  ) .
Cada elemento de la barra de longitud dx tiene un peso dF =  Adx
Entonces la carga del peso propio está distribuida a lo largo de la
dF
longitud de la viga con una magnitud Q =
=  A.
dx
El peso total de la viga se obtiene por integración de la carga
L
L
L
0
0
0
distribuida.  dF =  Qdx =   Adx =  AL.
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21
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6.3
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La resultante de una carga distribuida.
Si el problema puede tratarse como un problema plano, la carga de
presión P = P ( x, y ) = P ( x ) se considera como una carga actuando sobre
una línea w = w ( x ) = P ( x ) b.
Se puede hallar un sistema de fuerzas equivalente (que el cuerpo
experimente el mismo movimiento – en caso de estar libre – o bien
las mismas reacciones de vinculo – en caso de tener grados de
libertad restringidos -)
al obtener la magnitud de la fuerza
resultante ( FR ) y su punto de aplicación ( x ) .
Si la carga distribuida, cuyas unidades están dadas en términos de
unidades de fuerza sobre unidades de distancia  F L  , se corresponde
a la función w ( x ) , entonces cada elemento dx de la viga está bajo la
acción de un diferencial de fuerza dF = w ( x ) dx.
La viga está bajo la acción de una serie de fuerzas paralelas dF , cuya
resultante es la suma algebraica de cada una de las componentes.
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22
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Sistemas de Fuerzas.
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La magnitud de la fuerza resultante es igual al área total del
diagrama de cargas. O sea, el valor de la integral definida de la
función que representa a la carga distribuida.
L
FR =  w ( x ) dx =  dA = A
0
A
Para que el sistema sea equivalente, se debe hallar la localización de
la fuerza resultante. A tal fin, es necesario primero identificar el
momento resultante de la carga distribuida.
El diferencial de fuerza dF produce un diferencial de momento
dM = xdF = x ( w ( x ) dx ) para todo elemento dx. Por lo tanto, el momento
total respecto del origen de coordenadas O , se obtiene como la
integral de dichos diferenciales de momentos a lo largo de toda la
estructura.
L
L
L
L
0
0
0
0
M RO =  M O =  dM =  xdF =  x  w ( x ) dx  =  w ( x ) xdx
Si este momento resultante, es equivalente al producido por la fuerza
resultante, entonces
L
M RO =  M O  xFR =  w ( x ) xdx
0
De lo que se desprende que la coordenada donde ubicar la carga
resultante está dado por:
L
w ( x ) xdx  xdA
M RO 0
x=
= L
= A
FR
dA
 w ( x ) dx 
A
0
Y se conoce como baricentro de la superficie de carga.
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7. REFERENCIAS.
• https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica
• https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica
• https://es.wikipedia.org/wiki/Est%C3%A1tica_(mec%C3%A1ni
ca)
• https://es.wikipedia.org/wiki/Vector
• Estática, Resultantes de Sistemas de Fuerzas.
• Tosone H., Introducción a la estática, fuerzas y equilibrio,
Estabilidad, Ing. Electrica, Facultad Regional Santa Fe, U.T.N.
• Ing. Asdrúbal E. Bottani, Apunte de clases: Cargas distribuidas,
Catedra Estructuras IA, Depto. de construcciones, Facultad de
Ingenieria - UNLP.
Dr. Ing. Marcos R. Carrizo
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