CURS 2
8
1
0
NATURA PĂMÂNTURILE NESATURATE. PROPRIETĂȚILE FAZELOR
M
F
2
P
VOLUMUL ELEMENTAR REPREZENTATIV
Concept
Unele proprietăți ale pământului (spre exemplu,
temperatura) pot fi măsurate într-un punct, în
timp ce alte proprietăți sunt dependente de
volum. Să presupunem că dorim să măsurăm
unele proprietăți ale pământului dependente de
volum, precum porozitatea. Dacă proba este
foarte mică, să zicem, de dimensiunile unei
singure particule sau ale porilor, porozitatea
măsurată poate varia între zero și 100 de
procente, în funcție de punctul în care se face
măsurătoarea. Dacă măsurăm porozitatea
repetat în câteva puncte învecinate, rezultatele
vor fluctua foarte mult. Totuși, dacă creștem
scara sau volumul fiecărei probe astfel încât să
includem atât partea solidă cât și porii, variația
între măsurătorile repetate în poziții învecinate
se va micșora. Dacă continuăm să mărim
dimensiunile probe progresiv, în cele din urmă
vom obține o măsurătoare corectă a porozității
medii a pământului.
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
Volumul minim al probei necesare pentru
obținerea unei valori reale a unui parametru
măsurat a fost numit volum elementar
reprezentativ (Bear, 1969). Este evident că REV
devine mai mare în pământuri care sunt
puternic agregate (precum și în pământuri care
sunt fisurate sau eterogene) decât în pământuri
mai uniforme.
Problema conceptului REV este că diferiți
parametri pot manifesta modele spațiale sau
temporale diferite, astfel încât REV pentru un
parametru sau proprietate poate diferi de cele
pentru alți parametri. Altfel spus, fiecare
proprietate poate avea o scară specifică. O
problemă importantă în ceea ce privește
conceptul REV apare în cazul terenurilor
structurate, i.e., în terenuri în care proprietățile
variază sistematic într-o singură direcție. În
astfel de terenuri, creșterea mărimii probei
poate conduce la valori eronate.
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
2
CLASIFICAREA PĂMÂNTURILOR
Generalități
8
1
0
Pentru clasificarea pământurilor se folosesc
rezultatele a două categorii de încercări de
laborator: curba granulometrică (analiza
granulometrică prin metoda cernerii și metoda
sedimentării) și limitele Atterberg (metoda
cilindrilor din pământ, metoda cu cupa
Casagrande etc.). Aceste încercări sunt realizate
pe eșantioane netulburate. Totuși, când este
vorba despre pământuri nesaturate, încercările
pentru clasificarea pământurilor capătă o
semnificație suplimentară.
Există trei caracteristici de plasticitate care
caracterizează pământul: limita superioară de
plasticitate (limita de lichiditate), limita
inferioară de plasticitate (limita de frământare)
și limita de contracție. Separat față de limita
de contracție apare și noțiunea de „curbă de
contracție” care este stabilită prin uscarea
pământului și măsurarea masei și volumului
acestuia. Aceste calcule permit calculul indicelui
porilor și umidității pe măsură ce pământul se
usucă.
Curba granulometrică furnizează informații
despre distribuția particulelor solide sau
procentul pentru fiecare dimensiune de
particule. Distribuția particulelor solide este în
strânsă legătură cu distribuția porilor. Informația
despre distribuția porilor poate fi utilizată
pentru estimarea relației dintre umiditate și
sucțiunea pământului. În consecință, distribuția
granulometrică capătă o semnificație mai mare
pentru
înțelegerea
comportamentului
pământurilor nesaturate
Anumite caracteristici de bază ale pământului
nesaturat pot fi vizualizate pe curba de
contracție. Curba de contracție furnizează
indicații asupra valorii de intrare a aerului
precum și condițiilor de umiditate reziduală.
Curba de contracție este întocmită pornind de
la pământul aflat inițial în suspensie dar se
poate întocmi și pornind de la condiții
nesaturate.
2
P
23.02.2018
M
F
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
3
DIMENSIUNILE PARTICULELOR
Cum decidem care este mai mare?
2
P
8
1
0
Volum?
Suprafață?
Aria proiectată?
Cea mai lungă secțiune?
Cea mai mare sferă înscrisă?
Cea mai mare sferă circumscrisă?
Cel mai mare cerc înscris în proiecție?
Cel mai mare cerc circumscris în proiecție?
...
23.02.2018
M
F
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
4
CERNEREA
Determinarea dimensiunilor particulelor pământului
1. Relaționată cu cel mai mic cerc circumscris
proiecției
2. Se folosesc seturi de site și ciururi
3. Muncă intensă
4. Dependență de timp
5. Dependență de masă
6. Dependență de energie
7. Dependență de mărime și formă
8. Dimensiuni discrete
9. Erori în fiecare direcție
10. Salturi
11. Pentru particule mai mari de 50 μm
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
5
SEDIMENTAREA
Determinarea dimensiunilor particulelor pământului
Sedimentarea gravitațională
Stabilizarea STOKES
8
1
0
Imaginați-vă o sferă ce se scufundă într-un
fluid vâscos – să zicem o particulă de praf în
apă.
Forța în sus (𝑭𝒔𝒖𝒔 ) = (𝑭𝒋𝒐𝒔 ) Forța în jos
Prima lege a lui Newton: Orice corp își menține starea de repaus sau de
mișcare rectilinie uniformă atât timp cât asupra sa nu acționează alte forțe
sau suma forțelor care acționează asupra sa este nulă.
2
P
Un obiect ce se deplasează cu o viteză constantă este acționat de
forțe egale ca mărime: Forțele ce îl încetinesc și forțele ce îl
accelerează
A II-a lege a lui Newton:
M
F
Forța în jos:
Forța = Masa ∙ Accelerația
4
= 𝜌𝑠 − 𝜌𝑤 /
∙𝑔
3𝜋𝑟 3
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
6
SEDIMENTAREA
Determinarea dimensiunilor particulelor pământului
Legea lui Stokes
Forța în sus:
𝑭𝒔𝒖𝒔 = 𝟔 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝜼 ∙ 𝒗
2
P
vâscozitatea
M
F
𝐹𝑗𝑜𝑠 = 𝝆𝒔 − 𝝆𝒘 /
𝟒 𝟑
𝝅𝒓 ∙ 𝒈
𝟑
𝟔 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝜼 ∙ 𝒗 = 𝝆𝒔 − 𝝆𝒘 /
𝟒 𝟑
𝝅𝒓 ∙ 𝒈
𝟑
⇒
Forța în jos:
8
1
0
𝟒 ∙ 𝝅 ∙ 𝝆𝒔 − 𝝆𝒘 ∙ 𝒓𝟑 ∙ 𝒈
𝒗=
𝟏𝟖 ∙ 𝝅 ∙ 𝒓 ∙ 𝜼
A II-a lege a lui Newton
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
7
SEDIMENTAREA
Determinarea dimensiunilor particulelor pământului
𝟐 𝝆𝒔 − 𝝆𝒘 ∙ 𝒓𝟐 ∙ 𝒈
𝒗=
𝟗∙𝜼
Particulele cu dimensiuni mai mari de 𝒓
vor cădea cel puțin ∆𝒉 la un timp
cunoscut 𝒕
2
P
Prelevarea la o anumită adâncime și timp
conduce la aflarea dimensiunii celei mai
mari particule din probă.
8
1
0
IPOTEZE:
1. Particulele sunt sfere netede
2. Particulele cad încet (curgere laminară)
3. Toate particulele au aceeași densitate
4. În suspensie particulele nu
interacționează una cu alta
5. Lichidul este în repaos
6. Viteza maximă este atinsă instantaneu
23.02.2018
M
F
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
8
FRACȚIUNILE GRANULOMETRICE
Clasificare
Cele mai mari particule ale pământului sunt
vizibile cu ochiul liber în timp ce cele mai mici
sunt coloidale și pot fi observate doar cu
ajutorul unui microscop electronic.
În general, este posibil să clasificăm sau să
grupăm particulele din pământ în funcție de
dimensiunile acestora și să caracterizăm
pământul ca un întreg în termeni de proporții
relative ale acelor grupe de dimensiuni. Grupele
pot diferi în funcție de compoziția mineralogică
precum și în funcție de dimensiunea
particulelor. Aceste două atribute ale fazei
solide, dimensiunea particulelor și compoziția
mineralogică, determină, în general, natura și
comportamentul
pământurilor:
geometria
internă și porozitatea, interacțiunea cu fluidele
și soluțiile precum și compresibilitatea,
rezistența și regimul termic.
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
Metoda tradițională de caracterizare a
dimensiunilor particulelor din pământuri este
separarea în trei paliere de dimensiuni
cunoscute sub denumirea de fracțiuni
granulometrice, adică nisip, praf și argilă.
Procedura de separare a acestor fracțiuni și
măsurarea proporțiilor este cunoscută sub
denumirea de analiză mecanică, pentru care au
fost concepute proceduri standard.
Din păcate, nu există încă o schemă acceptată
universal pentru clasificare dimensiunilor
particulelor.
Spre
exemplu,
clasificarea
standardizată în America de Departamentul de
Agricultură diferă de cea a Societății
Internaționale a Științei Pământului (ISSS)
precum și de cele promulgate de Societatea
Americană pentru Testarea Materialelor (ASTM),
Institutul de Technologie Massachusetts (MIT) și
diferite institute naționale din țară sau
străinătate. Clasificarea utilizată de ingineri
diferă de cea folosită de cercetătorii agronomi.
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
9
FRACȚIUNILE GRANULOMETRICE
Sisteme de clasificare
2
P
M
F
8
1
0
STAS 1913-5/85 (STAS); SR EN 14688-1:2004 (SR EN); U.S. Department of Agriculture (USDA);
International Soil Science Society (ISSS); U.S. Public Roads Administration (USPRA);
British Standards Institute (BSI); Massachusetts Institute of Technology (MIT)
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
10
FRACȚIUNILE GRANULOMETRICE
Clasificarea
Unele pământuri conțin fragmente de roci
mai mari care evident că nu se comportă ca
pământul, iar dacă sunt numeroase, pot afecta
comportamentului pământului în grămadă.
Definiția convențională a pământului include
particule mai mici de 2 mm în diametru.
Particulele mai mari sunt denumite pietrișuri
iar particulele și mai mari sunt denumite
bolovănișuri sau blocuri.
Cele mai mari particule care sunt recunoscute
ca pământuri sunt numite nisipuri, fiind
particulele cu diametru cuprins între 2000 μm
(2 mm) și 50 μm (clasificare STAS) sau 63 μm
(clasificare SR EN). Fracțiunea nisip este
adesea împărțită în subfracțiuni precum nisip
mare, mediu sau fin. Particulele de nisip, în
general, constau din cuarț dar de asemenea
din fragmente de feldspat, mică și ocazional
minerale mai grele precum zirconiu, turmalină
și hornblendă, deși ultimul mai rar.
În majoritatea cazurilor, particulele de nisip au
mai mult sau mai puțin dimensiuni uniforme
și pot fi reprezentate ca sfere, deși nu sunt
neapărat netede și pot avea în realitate
suprafețe destul de colțuroase. Asta,
împreună cu duritatea, le fac abrazive.
Următoarea fracțiune este praful, care constă
din particule cu dimensiuni cuprinse între cele
ale nisipului și argilei. Mineralogic și fizic,
particulele de praf se aseamănă cu cele de
nisip.
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
Totuși, pentru că praful
este mai mic, particulele
au o suprafață specifică
mai mare și sunt adesea
acoperite
cu
argilă
foarte aderentă, ceea ce
conduce, într-o anumită
măsură,
la
unele
caracteristici
fizicochimice atribuite în
general argilelor.
Nisip
Argilă
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
Praf
11
FRACȚIUNILE GRANULOMETRICE
Clasificare
Fracțiunea argilă, cu particule mai mici de
2(5) μm, este fracțiunea coloidală. Particulele
de argilă sunt în general de formă plană sau
aciculară și aparțin în general grupei de
minerale
cunoscute
sub
numele
de
aluminosilicați.
Acestea
sunt
minerale
secundare, formate în interiorul pământului în
cursul evoluției lui din minerale primare ce
erau conținute în roca originară. Totuși, în
unele cazuri, fracțiunea argilă poate include
particule (precum oxid de fier sau carbonat de
calciu) ce nu aparțin categoriei de mineral
argilos aluminosilicat.
Din cauza unei suprafețe specifice foarte mari
și activității fizico-chimice, argila este
fracțiunea cu cea mai mare influență asupra
comportamentului pământului. Particulele
de argilă adsorb apă și hidrați, astfel cauzând
umflarea pământului după umezire și
contracția după uscare. Particulele de argilă
poartă sarcină electrostatică negativă și când
este hidratată, formează un strat dublu
electrostatic de ioni în soluția înconjurătoare.
O altă expresie a activității este căldura care
evoluează când argila este umezită – căldură
de hidratare.
Un
corp
din
argilă
manifestă
un
comportament plastic și devine lipicios când
este umezită și apoi fisurează și formează
fragmente cimentate când este desicat.
Fracțiunile aproximativ inerte de praf și nisip
sunt numite „scheletul” pământului în timp ce
argila, prin analogie, poate fi numită „carnea”
pământului. Împreună, toate aceste fracțiuni
ale fazei solide, așa cum ele sunt combinate în
diferite configurații, constituie matricea
pământului.
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
12
DIAGRAMA TERNARĂ
STAS 1913/5-85
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
13
DIAGRAMA TERNARĂ
SR EN ISO 14688-1:2004
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
14
CURBA GRANULOMETRICĂ
Relații matematice
Curbele granulometrice dau informații asupra
distribuției dimensiunilor particulelor solide din
pământ și pot fi folosite pentru introducerea
conceptelor legate de mecanica pământurilor
nesaturate.
Distribuția porilor (i.e. inversul distribuției
particulelor solide) reprezintă baza a numeroase
tehnici propuse pentru estimarea curbelor
caracteristice
pământ-apă
(SWCC)
pentru
pământuri nesaturate.
2
P
Relația matematică pentru reprezentarea întregului
palier al dimensiunilor particulelor
•
pot fi folosite pentru clasificarea pământurilor
•
este un mijloc flexibil de căutare a pământurilor
similare în diferite baze de date.
•
este o funcție matematică ce poate fi folosită
pentru estimarea curbelor umiditate-sucțiune.
M
F
8
1
0
Majoritatea curbelor granulometrice au o
distribuție unimodală a particulelor în timp ce
altele au o distribuție bimodală. Ambele tipuri de
distribuții pot fi descrise de o ecuație matematică.
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
15
CURBA GRANULOMETRICĂ
Relația unimodală
8
1
0
𝑃𝑝 (𝑑)
– masa procentuală de
particule ce trec de o anumită
dimensiune a particulelor;
𝑎𝑔𝑟 – parametru ce desemnează
punctul de inflexiune al curbei
granulometrice aflat aproape de
particulele granulare;
2
P
𝑛𝑔𝑟 – parametru relaționat de cea
mai
mare
pantă
a
curbei
granulometrice (i.e. uniformitatea
curbei granulometrice);
M
F
𝐏𝐩 𝐝 =
23.02.2018
𝟏
𝐚𝐠𝐫 𝐧𝐠𝐫
𝐥𝐧 𝐞 +
𝐝
𝐦𝐠𝐫
𝐝
𝐥𝐧 𝟏 + 𝐫
𝐝
𝟏−
𝐝
𝐥𝐧 𝟏 + 𝐫
𝐝𝐦
𝑚𝑔𝑟 – parametru relaționat de forma
curbei granulometrice pe măsură ce
se apropie de regiunea particulelor
fine;
𝟕
𝑑 – diametrul oricărei particule
considerate;
𝑑𝑚 – diametrul minim admisibil al
particulei (e.g. 0,0001 mm).
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
16
CURBA GRANULOMETRICĂ
Relația unimodală
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
17
CURBA GRANULOMETRICĂ
Relația bimodală
𝐏𝐩 𝐝 = 𝐰
𝟏
𝐚 𝐧𝐛
𝐥𝐧 𝐞 + 𝐛𝐢
𝐝
𝐦𝐛
+ 𝟏−𝐰
𝟏
𝐣𝐛𝐢 𝐤𝐛𝐢
𝐥𝐧 𝐞 +
𝐝
unde
𝑎𝑏𝑖 - parametru relaționat de primul punct de
inflexiune în zona fracțiunilor grosiere de curbei
granulometrice
𝑛𝑏𝑖 - parametru relaționat cu prima pantă din zona
fracțiunilor grosiere ale curbei granulometrice
𝑚𝑏𝑖 - parametru relaționat de prima porțiune a
curbei granulometrice
𝑗𝑏𝑖 - parametru relaționat de al doilea punct de
inflexiune al curbei
𝑘𝑏𝑖 - parametru relaționat de a doua pantă a curbei
𝑙𝑏𝑖 - parametru relaționat de forma celei de-a doua
porțiuni a curbei granulometrice
𝑑𝑟 - parametru relaționat de zona fracțiunilor fine,
dimensiunile particulelor reziduale
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
𝐥𝐛𝐢
𝐝
𝐥𝐧 𝟏 + 𝐫
𝐝
∙ 𝟏−
𝐝
𝐥𝐧 𝟏 + 𝐫
𝐝𝐦
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
𝟕
18
CURBA DE CONTRACȚIE
Curba de contracție asociată cu
un pământ aflat inițial în
suspensie furnizează informații
despre consistența pământului în
termeni de umiditate. Curba de
contracție pornește de la starea
lichidă, trece prin starea plastică
și apoi prin starea semisolidă și
solidă pe măsură ce pământul se
usucă.
Pământul trece prin diferite stări
ca răspuns la creșterea sucțiunii
pământului cauzată de uscarea
pământului.
Este
util
să
înțelegem curba de contracție ca
răspuns a modificărilor în starea
de tensiune (i.e. sucțiunea
pământului
sau
presiunile
negative ale apei din pori).
23.02.2018
M
F
2
P
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
19
CURBA DE CONTRACȚIE
Relație de calcul
Unei argile îi crește rezistența la forfecare pe
măsură ce este uscată de la umidități inițiale
superioare limitei superioare de plasticitate.
Rezistența la forfecare devine aproximativ 1,7
kPa la limita de lichiditate a pământului
(Aitkinson, 2007). Sucțiunea matriceală continuă
să crească pe măsură ce umiditatea descrește ca
rezultat al evaporării.
unde
23.02.2018
M
F
𝐰
𝐜
𝐛𝐬𝐡𝐬𝐡
+𝟏
𝑎𝑠ℎ - indicele porilor minim, 𝑒𝑚𝑖𝑛
𝑏𝑠ℎ - panta tangentei
2
P
Majoritatea pământurilor încep desaturarea pe
măsură ce umiditatea se apropie de limita
inferioară de plasticitate. Rezistența la forfecare
la limita inferioară de plasticitate este estimată a
fi în jur de 170 kPa (Atkinson, 2007). Pe măsură
ce umiditatea pământului argilos scade sub
limita inferioară de plasticitate, volumul
pământului scade cu rată mai redusă în timp ce
rezistența la forfecare crește semnificativ. În cele
din urmă nu mai există modificări de volum
după ce pământul atinge limita de contracție.
Uscarea reduce umiditatea pământului la zero
în condiții de volum contant. În punctul de
umiditate zero sucțiunea pământului se apropie
de 1 000 000 000 kPa
8
1
0
𝐞 𝐰 = 𝐚𝐬𝐡
𝟏/𝐜𝐬𝐡
𝐜𝐬𝐡
𝑐𝑠ℎ - curbura curbei de contracție
𝑎𝑠ℎ
𝐺
= 𝑠 - constantă pentru un anumit pământ
𝑏𝑠ℎ
𝑆
𝑤 – umiditatea
Parametrul 𝑎𝑠ℎ reprezintă indicele porilor minim
corespunzător
limitei
de
contracție
a
pământului. Relația dintre indicele porilor și
umiditatea masică este liniară dacă gradul de
saturare 𝑆𝑟
rămâne constant în timpul
contracției. Panta dreptei este condiționată de
proprietățiele vomul-masă inițiale.
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
20
CURBA DE CONTRACȚIE
Comparație între rezultatele experimentale și relația de calcul propusă
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
21
CURBA DE CONTRACȚIE
Influența diferiților parametri
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
22
PROPRIETĂȚILE FAZELOR
O parte dintr-un amestec se consideră fază
independentă
dacă
are
următoarele
caracteristici: (1) proprietăți diferite față de
amestec și (2) suprafață de delimitare bine
definite. Aceste două condiții trebuie întrunite
pentru ca o parte dintr-un sistem multifazic să
fie calificată ca fază independentă. Este ușor să
înțelegem cum un pământ saturat este
constituit din două faze (i.e. particule solide și
apă). Este de asemenea ușor de înțeles cum
aerul devine o altă fază independentă când
pământul devine nesaturat. Fiecare din aceste
faze (i.e. particule solide, apă și aer) întrunesc
clar cerințele de a fi desemnate faze.
2
P
M
F
Este de asemenea posibil ca o fază să-și
schimbe „starea” ca în cazul înghețului sau
vaporizării apei. Gheața devine o fază
independentă de apa lichidă când analizăm
problemele inginerești. Apa poate, de
asemenea, exista sub formă de vapori și astfel
apa poate exista în cele trei stări în pământurile
nesaturate.
23.02.2018
8
1
0
Un pământ nesaturat este un amestec de mai
multe faze. Este important să stabilim numărul
de faze ce apar în pământ deoarece au o
influență foarte mare asupra modului în care se
definește starea de tensiune a amestecului. Este
important ca pentru început să înțelegem
proprietățile fiecărei faze a unui pământ
nesaturat. Pe baza definiției fazei, se consideră
că pământurile nesaturate sunt alcătuite din
patru faze. A patra fază este reprezentată de
interfața aer-apă (membrana contractilă).
Membrana contractilă joacă un rol important
din punctul de vedere al stării de tensiune.
Totuși, când considerăm relațiile dintre
volumele și masele pământurilor nesaturate nu
este necesar să separăm apa de membrana
contractilă.
Deci,
pământurile
nesaturate
pot
fi
considerate sisteme alcătuite din trei faze
când facem referire la proprietățile volummasă și sisteme alcătuite din patru faze când
considerăm stările de tensiune.
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
23
FAZA SOLIDĂ
Densitatea particulelor solide
Densitatea și volumul specific sunt folosite pentru
definirea relațiilor volum-masă pentru fiecare fază.
Densitatea 𝜌 este definită ca raportul dintre masă și
volum. Fiecare fază a unui pământ are o densitate
specifică.
Densitatea particulelor solide 𝜌𝑠 este definită ca
𝐌𝐬
𝛒𝐬 =
𝐕𝐬
Mineral
Densitatea specifică
Cuarț
2,65
Feldspat K
2,54-2,57
Feldspat Na-Ca
2,62-2,76
Calcit
2,72
Dolomit
2,85
Muscovit
2,7-3,1
Biotit
Clorit
Caolinit
Illit
Montmorillonit
2,8-3,2
2,6-2,9
2,62-2,66
2,60-2,86
2,75-2,78
2
P
unde
𝑀𝑠 = masa particulelor solide
𝑉𝑠 = volumul particulelor solide
M
F
8
1
0
Volumul specific, 𝜈0 este definit ca inversul
densității (valumul specific este raportul dintre
volum și masă).
Densitatea particulelor solide se poate raporta la
densitatea apei la temperatura de 4℃ și condiții de
presiune standard (i.e. 101,3 kPa) rezultând
densitatea relativă a particulelor solide. Densitatea
apei la 4℃ și 101,3 kPa este de 1000 kg/m3.
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
24
FAZA SOLIDĂ
Densitatea particulelor solide
În majoritatea pământurilor minerale, masa
medie pe unitatea de volum a solidului este
aproximativ 2600-2700 kg/m3 (2,6 – 2,7 g/cm3).
Aceasta este aproape de densitatea cuarțului,
care în general este cel mai întâlnit mineral în
fracțiunile grosiere ale pământului.
𝝆𝒔 =
𝑴𝒔
𝑽𝒔
23.02.2018
M
F
𝝆𝒔
(𝒈/𝒄𝒎𝟑 )
Nisipuri prăfoase, nisipuri
argiloase
2,65
Praf, prafuri nisipoase,
prafuri argiloase
2,67
Argile, argile nisipoase,
argile prăfoase
2,72
2
P
Unele minerale ce compun fracțiunile fine ale
pământului au densități similare. Totuși,
prezența oxidului de fier și a altor minerale
“grele” (definite ca fiind cele cu o densitate mai
mare de 2900 kg/m3) cresc valoare medie a lui
𝜌𝑠 , în timp ce prezența materiei organice, în
general cu densitate mică scade densitatea
medie a fazei solide.
8
1
0
Tipul de pământ
STAS 1913/2-76, Teren de fundare.
Determinarea densității scheletului
pământurilor
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
25
FAZA SOLIDĂ
Proprietățile termice ale fazei solide
Sunt
două
proprietăți
termice
importante în ingineria geotehnică:
căldură specifică și conductivitatea
termică.
De
asemenea,
trebuie
considerate și anumite proprietăți ale
modificărilor de fază atunci când apare
o modificare a fazei când se schimbă
temperatura.
Căldura specifică
𝑪𝒔 (𝒌𝑱/𝒌𝒈𝑲)
Conductivitatea
termică
𝝀𝒔 (𝑾/𝒎𝑲)
Cuarț
Calcit
Dolomit
Talc
Granit
Marmură
Gresie
Ardezie
0,698
0,793
0,930
0,870
0,880-1,382
0,750
0,762-1,072
0,779
7,69
3,57
5,50
6,10
1,65-2,83
2,79-2,89
2,18-5,10
1,89-2,59
Materie
organică
1,923
0,25
2
P
Căldura specifică, 𝐶𝑠 este definită ca
fiind cantitatea de căldură necesară
unității de masă dintr-un material
pentru a-și modifica temperatura cu un
grad Kelvin. O valoare medie a căldurii
specifice pentru roci și minerale este de
0,85 kJ/kg K.
M
F
8
1
0
Mineral
sau
rocă
Conductivitatea termică, 𝜆𝑠
este
mărimea
fizică
prin
care
se
caracterizează capacitatea unui material
de a transmite căldura (prin conducție
termică) atunci când este supus unei
diferențe de temperatură.
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
26
FAZA APĂ
Densitatea apei
Faza apă joacă un rol important în
comportamentul pământurilor. Apa poate exista
în una dintre cele trei stări (i.e. lichid, solid,
vapori) și proprietățile sunt o funcție de
temperatură și presiune.
8
1
0
T + 288,9414 T − 3,9863 2
ρw = 1000 1 −
508929,2 T + 68,12963
unde
𝜌𝑤 = densitatea apei, 𝑘𝑔/𝑚3
𝑇 = temperature, ℃.
Densitatea apei, 𝜌𝑤 este definită prin
𝐌𝐰
𝛒𝐰 =
𝐕𝐰
În majoritatea problemelor de inginerie
geotehnică densitatea apei în condiții
izotermice este considerată de 1000 𝑘𝑔/𝑚3 .
2
P
Apa distilată sub presiunea vaporilor saturați
este numită apă saturată pură. Densitatea apei
saturate pure poate fi măsurată experimental.
În problemele de inginerie geotehnică, variația
densității apei datorită diferențelor de
temperatură este mai importantă decât variația
datorită presiunii aplicate. McCutcheon et al.
(1993) au propus o relație empirică pentru
calculul densității apei în funcție de
temperatură.
24.02.2018
M
F
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
27
FAZA APĂ
Amestecuri sare-apă
Densitatea apei sărate este mai mare decât a
apei pure. Fie masa fie volumul apei trebuie să
se modifice pentru ca densitatea amestecului
apă pură – sare să se modifice. Densitatea apei
pure este aproximativ 1000 𝑘𝑔/𝑚3 iar sarea
comună (𝑁𝑎𝐶𝑙) are o densitate mult mai mare
2160 kg/m3 .
8
1
0
McCutcheon et al. (1993) a propus o relație
empirică pentru determinarea densității apei în
funcție de concentrația de sare:
ρws = ρw + A ∙ s + B ∙ s1,5 + C ∙ s2
unde
𝜌𝑤𝑠 = densitatea apei ce conține sare, 𝑘𝑔/𝑚3
2
P
Să considerăm un recipient de 1000 mL este 𝑠 = concentrația de sare, 𝑔/𝑘𝑔
umplut până la semnul de 1000 mL cu apă 𝐴
distilată la 23℃. Adăugăm 30g de NaCl. Masa = 0,824493 − 0,0040899 ∙ 𝑇 + 1,6438 ∙ 10−5 ∙ 𝑇 2
recipientului cu conținut va crește cu 30g, dar − 8,2467 ∙ 10−7 ∙ 𝑇 3 + 5,3675 ∙ 10−9 ∙ 𝑇 4
este interesant de obsrvat ce se întâmplă cu
𝐵
volumul apei cu sare. Poate fi o surpriză să
= −0,005724 + 1,0227 ∙ 10−4 ∙ 𝑇 − 1,6546 ∙ 10−6
descoperim că apare o reducere a volumului
∙ 𝑇2
total cu aproximativ 0,66%. Densitatea
𝐶 = 0,00048314
amestecului de apă cu sare crește din două
motive: (i) densitatea sării este mai mare decât 𝑇 = temperature, ℃
densitatea apei și (ii) adăugarea sării cauzează
scăderea volumului total. Acest fenomen este
posibil datorită naturii dipolar a apei și a
modificării ușoare a aranjamentului molecular și
legăturilor ce apar când sarea este adăugată
apei.
23.02.2018
M
F
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
28
FAZA APĂ
Amestecuri sare-apă
8
1
0
(i) Efectul creșterii temperaturii
de la 40 la 10 ℃ este comparabil
cu modificarea concentrației de
sare de la 0 la 10 g/kg.
2
P
23.02.2018
M
F
(ii) Modificările densității apei
sunt relativ mici până la
depășirea concentrației sării de
10 g/kg.
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
29
FAZA APĂ
Proprietățile termice ale apei
Apa poate exista în pământ în trei
faze: faza lichidă, faza solidă și faza
vapori. Fiecare fază are propriile
proprietăți termice. Valorile uzuale
ale căldurii specifice ale apei sunt
4,19 kJ/kg K pentru faza lichidă,
2,11 kJ/kg K pentru faza solidă (i.e.
gheață) și 1,97 kJ/kg K pentru faza
vapori. Căldura specifică a apei, 𝐶𝑤
este o funcție de temperatură.
Conductivitatea termică a apei, 𝜆𝑤
depinde
de
asemenea
de
temperatură.
Temperatura
(℃)
5
10
2
P
23.02.2018
M
F
15
20
25
30
8
1
0
Căldura
specifică
𝑪𝒘 (kJ/kg K)
Conductivitatea
termică
𝝀𝒘 (W/m K)
4,204
-
4,193
0,582
4,186
4,183
0,560
4,181
0,608
4,179
0,615
35
4,178
40
4,179
0,629
50
4,182
0,640
60
4,185
0,651
70
4,191
0,659
80
4,198
0,667
90
4,208
0,673
100
4,219
0,677
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
30
FAZA APĂ
Vâscozitatea și cavitația
Cavitația apei
Vâscozitatea apei
Toate fluidele au o rezistență la modificarea
formei sau la acțiunea de forfecare și această
proprietate
este
numită
vâscozitate.
Vâscozitatea absolută (dinamică) a unui fluid
este definită ca fiind rezistența unui fluid la o
forță de forfecare aplicată prin glisarea unui
plăci peste alta având fluidul între cele două
plăci. Vâscozitatea absolută depinde de
presiune și temperatură. Totuși, influența
presiunii este neglijabilă pentru domeniul de
presiuni întâlnit de obicei în aplicațiile din
ingineria civilă.
23.02.2018
2
P
M
F
Temperatura
(℃)
5
10
20
30
40
50
Vâscozitatea absolută
𝝂 (10-3 N·s/m2)
1,519
1,310
1,009
0,800
0,654
0,548
8
1
0
Cavitația este un fenomen în care se formează
bule de vapori în interiorul unui lichid în mișcare
sau sub acțiunea câmpului ultrasonic. Odată cu
creșterea vitezei curentului de lichid, presiunea
statică în interiorul tubului de curent se
micșorează și, la un moment dat (când este
atinsă viteza critică), poate să scadă până
aproape de zero, ceea ce provoacă apariția unor
goluri în masa lichidului. Acest lucru e datorat
dilatării bulelor de vapori. Fiind antrenate în
zonele cu presiune mai mare, aceste bule se
comprimă brusc și produc șocuri hidraulice,
însoțite de un sunet specific și de luminescență.
În general, se consideră că punctul de cavitație
al unui lichid este egal cu presiunea absolută a
vaporilor unui lichid considerat. Dacă presiunea
apei a o anumită temperatură este 4 kPa și
presiunea absolută a aerului este 101,3 kPa
atunci cavitația trebuie să apară la -97,3 kPa pe
o scară manometrică. Aceasta este presiunea de
vacuum la care apa ar trebui să înceapă să se
vaporizeze
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
31
FAZA APĂ
Cavitația apei
Apa poate suporta tensiuni de întindere mari și
acest fenomen pare că intră în conflict cu
înțelegerea fundamentală a comportamentului
apei. Acest subiect al cavitației apei merită o
examinare mai amănunțită. Este important să
înțelegem condițiile în care apa poate suporta
tensiuni de întindere mari. Subiectul cavității
este de interes în ingineria geotehnică de când
a fost posibilă realizarea de senzori de sucțiune
ce pot furniza măsurători directe pentru valori
mari ale sucțiunii pământurilor (i.e. 500 – 1500
kPa). Dispozitivele de măsurare directă a
sucțiunilor mari beneficiază de rezistența la
întinderea mare asociată apei presurizate.
Se estimează că apa poate prelua întinderi de
500.000 – 1.000.000 kPa în absența nucleelor de
cavitație. Principalul proces de colaps al
nucleelor de cavitație este presurizarea.
2
P
M
F
8
1
0
(3) degazarea poate apare când gazul iese
dintr-o bulă prin procesul de difuzie și (4)
fierberea poate apare când apare o creștere
suficientă a temperaturii.
Cavitația este crearea unui nou gol sau
expansiunea unuia preexistent. Young (1989) a
descris patru modalități prin care se poate
induce creșterea bulelor: (1) cavitație gazoasă –
apare ca rezultat al reducerii presiunii sau
creșterii temperaturii (2) cavitația vaporoasă –
poate apare când bulele umplute cu vapori sunt
supuse la reducerea presiunii
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
32
FAZA AER
Densitatea aerului
Faza apă are proprietăți fizice ce variază
semnificativ în funcție de temperatură și
presiune
Densitatea aerului poate fi exprimată prin
𝑴𝒂
𝝆𝒂 =
𝑽𝒂
Aerul este un amestec de mai multe gaze ;I
diferite cantități de vapori de apă.
Amestecul de gaze este numit aer uscat atunci
când nu este prezentă apa sub formă de vapori
și aer umed când sunt prezenți vaporii. Este
important de notat că vaporii de apă se
comportă ca un gaz și nu ca picături mici lichide
de apă. În condițiile de temperatură și presiune
întâlnite în ingineria geotehnică se poate
considera că aerul uscat sau umed se comportă
ca un gaz ideal.
23.02.2018
unde
𝑢ത 𝑎 = presiunea absolută a aerului unde bara
superioară indică presiunea absolută (i.e., 𝑢ത 𝑎 =
𝑢𝑎 + 𝑢ത 𝑎𝑡𝑚 ) 𝑘𝑁/𝑚2 sau 𝑘𝑃𝑎.
2
P
Volumul specific al aerului, 𝜈𝑎𝑜 , este
𝑽𝒂
𝝂𝒂𝒐 =
𝑴𝒂
M
F
8
1
0
Legea gazului ideal poate fi scrisă sub forma
𝑴𝒂
ഥ 𝒂 ∙ 𝑽𝒂 =
𝒖
∙ 𝑹 ∙ 𝑻𝑲
𝝎𝒂
𝑢𝑎 = presiunea manometrică a aerului
𝑢ത 𝑎𝑡𝑚 = presiunea atmosferică (i.e. 101,3 kPa sau
1 atm)
𝑉𝑎 = volumul aerului, 𝑚3
𝑀𝑎 = masa aerului, 𝑘𝑔
𝜔𝑎 = masa moleculară a aerului, 𝑘𝑔/𝑘𝑚𝑜𝑙
𝑅 = constanta universală a gazului [i.e. 8,31432
J/(mol K)]
𝑇𝐾 = temperature absolută (i.e. 𝑇𝐾 = 𝑇 +
273,16)
= temperatura, ℃.
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
33
FAZA AER
Densitatea aerului, 𝝆𝒂 (𝒌𝒈/𝒎𝟑 )
Proprietățile vaporilor de apă din aer
𝑢𝑣 = presiunea parțială a vaporilor de apă din
aer, kPa
Presiunea absolută a
aerului
ഥ 𝒂 (kPa)
𝒖
80
85
90
95
100
101
105
𝑢𝑣0 = presiunea de saturație a vaporilor a apă la
aceeași temperatură, kPa.
Corecția densității în funcție de umiditate
Kg/m3.
Concentrația de vapori de apă din aer este
exprimată în termeni de umiditate relativă
𝑢𝑣 100
𝑅𝐻 = ℎ𝑟 =
𝑢𝑣0
unde
𝑅𝐻 = umiditatea relativă, ℎ𝑟 = %,
2
P
Umiditatea absolută, 𝐴𝐻 este definită ca masa
de vapori de apă dintr-un volum de aer
𝑀𝑤
𝐴𝐻 =
𝑉𝑎
M
F
Umiditatea absolută variază între 0 și 30 g de
apă pe metru cub de aer și se modifică în
funcție de presiunea aerul.
23.02.2018
8
1
0
𝟏𝟎℃
𝟐𝟎℃
𝟑𝟎℃
0,982
1,043
1,105
1,167
1,228
1,240
1,290
0,946
1,005
1,065
1,124
1,184
1,196
1,243
0,910
0,968
1,025
1,083
1,140
1,152
1,198
Umiditatea relativă
RH (%)
𝟏𝟎℃
𝟐𝟎℃
20
30
40
50
60
70
80
+ 0,003
+ 0,002
+0,001
0
-0,001
-0,002
-0,003
+0,006
+0,004
+0,002
0
-0,002
-0,004
-0,006
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
34
FAZA AER
Proprietățile termice și vâscozitatea aerului
Căldura specifică a aerului, 𝐶𝑎 , este o funcție de
temperatură. De asemenea și conductivitatea
termică a aerului este tot o funcție de
temperatură
Vâscozitatea
temperaturii
Temperatura
(℃)
Căldura
specifică
𝑪𝒘 (kJ/kg K)
Conductivitatea
termică
𝝀𝒘 (W/m K)
Temperatura
(℃)
-5
0
20
40
60
80
100
1,005
1,005
1,005
1,005
1,009
1,009
1,009
0,0204
0,0243
0,0257
0,0271
0,0285
0,0299
0,0314
-5
0
10
20
30
40
23.02.2018
M
F
2
P
8
1
0
aerului
crește
cu
creșterea
Vâscozitatea absolută (dinamică)
𝝂 (10-5 N·s/m2)
1,667
1,705
1,761
1,785
1,864
1,909
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
35
INTERFAȚA APĂ-AER (MEMBRANA CONTRACTILĂ)
Generalități
Membrana contractilă se comportă ca o
membrană elastică supusă la întindere întrețesută
prin
structura
pământului.
Majoritatea
proprietăților membranei contractile sunt diferite
de cele ale fazei apă. Spre exemplu densitatea apei
din membrana contractilă este mai mică,
conductivitatea termică este mai mare iar
birefringența este similară cu cea a apei.
2
P
Trebuie notat că unele insecte precum păianjenul
de apă au capacitatea de a se deplasa pe partea
superioară a membranei contractile în timp ce
insecte precum Backswimmer Bug (Notonecta
glauca) se deplasează pe partea inferioară a
membranei contractile. Dacă nu ar fi membrana
contractilă păianjenul s-ar scufunda iar natonecta
glauca ar fi scos la suprafață.
M
F
8
1
0
Din punct de vedere fizic, un pământ nesaturat
poate fi văzut ca un amestec de două faze care
ajung la echilibru sub acțiunea unor gradienți de
tensiune (i.e. particulele solide și membrana
contractilă) și două faze care curg sub acțiunea
gradienților de tensiune (i.e. aer și apă).
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
36
INTERACȚIUNEA AERULUI ȘI APEI
Aerul și apa se comportă atât ca un
amestec imiscibil cât și ca un amestec
miscibil. Amestecul imiscibil este o
combinație de aer liber și apă pură fără
să existe o interacțiune. Amestecul
imiscibil este caracterizat de separația
dintre lichid și gaz produsă de
membrana contractilă. Un amestec
miscibil aer-apă poate avea două forme.
Primul caz, aerul este dizolvat în apă și
poate ocupa aproximativ 2% din volumul
apei. Al doilea caz, vaporii de apă pot fi
prezenți în aer.
2
P
8
1
0
Apa se poate găsi în una din cele trei
stări: starea solidă ca gheață, starea
lichidă ca apă și stare gazoasă ca vapori
de apă. Starea apei depinde de condițiile
de presiune și temperatură.
M
F
Punctul A este punctul triplu al apei în
care apa coexistă în cele trei stări.
Punctul triplu este atins la temperatura
de 0℃ și o presiune de 0,61 kPa.
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
37
TENSIUNEA SUPERFICIALĂ
Interfața aer-apă (membrana contractilă) are
proprietatea numită tensiune superficială.
Fenomenul de tensiune superficială rezultă din
forțele intermoleculare ce acționează în
membrana contractilă. Aceste forțe sunt diferite
de cele ce acționează asupra moleculelor din
interiorul apei.
Temperatura
(℃)
8
1
0
0
75,70
10
74,20
20
72,75
30
71,20
40
60
80
100
69,60
66,20
62,60
58,80
Pentru ca membrana contractilă să fie în
echilibru apare o tracțiune în lungul membranei
contractile. Proprietatea membranei contractile
ce îi permite să exercite o tracțiune este numită
tensiune superficială, 𝑇𝑠 ( 𝑚𝑁/𝑚 ). Tesniunea
superficială este tangențială la suprafața
membranei contractile. Valoarea ei descrește cu
creșterea temperaturii.
2
P
O moleculă din interiorul apei este supusă la
forțe egale în toate direcțiile. Molecula de apă
din membrana contractilă este supusă la o forță
dezechilibrată spre interiorul apei.
23.02.2018
M
F
Tensiunea superficială
𝑻𝒔 (mN/m)
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
38
TENSIUNEA SUPERFICIALĂ
Tensiunea superficială face ca membrana
contractilă să se comporte ca o membrană
elastică.
Comportamentul
membranei
contractile este similar cu cel al unui balon
umflat care are o presiune mai mare în interior
decât în exterior.
În pământuri nesaturate membrana contractilă
este supusă la o presiune a aerului 𝑢𝑎 care este
mai mare decât presiunea apei 𝑢𝑤 . Diferența de
presiune 𝑢𝑎 − 𝑢𝑤
reprezintă sucțiunea
matriceală (sau presiunea capilară) din pământ.
Diferența de presiune determină curbarea
membranei contractile
2𝑇𝑠
𝑢𝑎 − 𝑢𝑤 =
𝑅𝑠
2
P
M
F
8
1
0
Astfel, când sucțiunea matriceală tinde spre zero
apare o interfață aer-apă plată. Interesant, chiar
și în aceste condiții tensiunea superficială a apei
rămâne o valoare constantă.
Această relație este relația modelului capilar a
lui Kelvin. Raza curburii membranei contractile
scade pe măsură ce crește sucțiunea matriceală.
Când diferența dintre presiunea aerului din pori
și a apei din pori tinde spre zero raza de
curbură 𝑅𝑠 tinde spre infinit.
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
39
CAPILARITATEA
Înălțimea capilară
8
1
0
Fenomenul de capilaritate este asociat cu componenta sucțiune matriceală din sucțiunea totală.
Înălțimea de ridicare a apei într-un tub capilar și raza curburii interfeței apă-aer au implicații asupra
relației umiditate-sucțiune matriceală din pământuri (i.e. curba caracteristică pământ-apă).
Ascensiunea capilară este diferită pentru procesele de umezire și uscare în pământ datorită
variațiilor dimensiunilor porilor capilari.
Înălțimea capilară
Considerăm un tub de sticlă introdus în apă în condiții atmosferice.
2
P
23.02.2018
M
F
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
40
CAPILARITATEA
Înălțimea capilară
Ridicarea apei în tub ca
rezultat
al
tensiunii
superficiale a membranei
contractile și tendinței apei
de a umezi suprafața tubului
din sticlă (i.e. proprietăți
higroscopice).
Comportamentul
capilar
poate
fi
analizat
prin
considerarea
tensiunii
superficiale 𝑇𝑠 ce acționează
pe circumferința meniscului.
Tensiunea superficială 𝑇𝑠
acționează la un unghi 𝛼1 față
de verticala peretelui tubului
capilar. Unghiul este cunoscut
sub numele de unghi de
contact și valoarea
lui
depinde de adeziunea dintre
moleculele din membrana
contractilă
și
cele
din
materialul tubului (i.e. sticlă).
23.02.2018
8
1
0
Considerăm echilibrul forței verticale a apei capilare din tub.
2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑇𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼1 = 𝜋 ∙ 𝑟 2 ∙ ℎ𝑐 ∙ 𝜌𝑤 ∙ 𝑔
unde
𝑟 = raza tubului capilar
𝑇𝑠 = tensiunea superficială a apei
𝛼1 = unghiul de contact
2
P
ℎ𝑐 = înălțimea capilară
𝑔 = accelerația gravitațională
Înălțimea tubului capilar este
ℎ𝑐 =
M
F
unde
2𝑇𝑠
𝜌𝑤 ∙ 𝑔 ∙ 𝑅𝑠
𝑅𝑠 = raza de curbură a meniscului (i.e. 𝑟/𝑐𝑜𝑠𝛼1 )
Unghiul de contact dintre membrana contractilă pentru apă pură și
sticlă este zero (i.e. 𝛼1 = 0).
𝟐𝑻𝒔
𝒉𝒄 =
𝝆𝒘 ∙ 𝒈 ∙ 𝒓
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
41
CAPILARITATE
Tuburi Jamin
8
1
0
Uscare
2
P
Umezire
10.03.2017
M
F
42
VARIABILELE MASĂ-VOLUM
Diagrama fazelor
Considerăm relațiile dintre volumele și masele
celor trei faze ale pământului și definim unii
parametri de bază ce ne pot ajuta la
caracterizarea fizică a pământurilor. Figura
alăturată reprezintă o schemă a unui pământ
ipotetic în care cele trei faze au fost separate și
aranjate una peste alta cu scopul de a evidenția
volumele și masele.
2
P
În această figură, masele fazelor sunt indicate în
partea dreaptă: masa aerului 𝑀𝑎 , care este
neglijabilă comparativ cu masele solidului și
apei; masa apei 𝑀𝑤 , masa solidului 𝑀𝑠 și masa
totală 𝑀𝑡 . (Aceste mase pot fi reprezentate de
asemenea în termeni de greutăți, fiind
produsele dintre fiecare masă cu accelerația
gravitațională). Volumele acelorași componente
sunt indicate pe partea stângă a diagramei:
volumul de aer 𝑉𝑎 , volumul apei 𝑉𝑤 , volumul
porilor 𝑉𝑝 = 𝑉𝑎 + 𝑉𝑤 , volumul fazei solide 𝑉𝑠 și
volumul total al probei reprezentative 𝑉𝑡 .
23.02.2018
M
F
8
1
0
Pe baza acestei diagrame, putem să definim
termenii care sunt în general pentru exprimarea
cantitativă a interacțiunii dintre cele trei faze
principale.
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
43
VARIABILELE MASĂ-VOLUM
Porozitatea și indicele porilor
8
1
0
Pentru a caracteriza raportul dintre faza solidă și
celelalte două faze se folosesc doi indici:
porozitatea (𝑛) și indicele golurilor (𝑒).
Totuși, porozitatea totală nu dă nici o indicație
privitoare la mărimea și forma porilor din
pământ.
Porozitatea unui pământ reprezintă raportul
dintre volumul porilor (𝑉𝑝 ) și volumul total (𝑉𝑡 ) al
probei și se exprimă de obicei în procente:
Indicele porilor reprezintă raportul dintre
volumul porilor (𝑉𝑝 ) și volumul fazei solide (𝑉𝑠 ):
𝒏=
2
P
𝑽𝒑
∙ 𝟏𝟎𝟎 [%]
𝑽𝒕
Valoarea porozității variază în general între 3060%. În pământuri argiloase, porozitatea este
variabilă pentru că acestea alternativ se umflă,
contractă, agregă, dispersează, compactează și
fisurează. Așa cum este definit în general,
termenul porozitate se referă la volumul
fracțiunii poroase iar această valoare trebuie să
fie egală, în medie, cu porozitatea de suprafață
(fracțiunea
din
pori
dintr-o
suprafață
reprezentativă) precum și porozitatea lineară
(fracțiunea liniară a porilor în lungul unei drepte
ce intersectează pământul în orice direcție).
23.02.2018
M
F
𝑽𝒑
𝒆=
𝑽𝒔
Indicele porilor ia valori între 0,3 și 2. Avantajul
acestui indice (𝑒) față de porozitate (𝑛) este că
în cazul lui 𝑒 orice modificare a volumului
porilor afectează doar numărătorul în relația de
definiție, în timp ce în cazul lui 𝑛 o astfel de
modificare afectează atât numărătorul cât și
numitorul. Indicele porilor este un indice
preferat de ingineri în timp ce porozitatea este
utilizată mai frecvent de agronomi.
Relația dintre porozitate și indicele porilor este
𝒏=
𝒆
𝟏+𝒆
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
44
VARIABILELE MASĂ-VOLUM
Densitatea pământului (în stare naturală)
Densitatea pământului în stare naturală este o
proprietate foarte importantă ce are numeroase
aplicații
inginerești,
în
special
pentru
dimensionarea lucrărilor de pământ, fundațiilor,
structurilor de sprijin etc.
𝑴𝒕
𝝆=
[𝒈/𝒄𝒎𝟑 ]
𝑽𝒕
Metoda cu ștanța – se poate folosi pentru
pământuri coezive, plastic vârtoase ce nu conțin
particule mai mari de 2 mm (argile, prafuri
argiloase, nisipuri prăfoase-argiloase, nisipuri
slab cimentate sau cu coeziune aparentă)
2
P
Masa probei se determină prin cântărire.
Volumul se poate determina prin calcul dacă
proba are o formă regulată sau prin măsurători
indirecte în cazul formelor neregulate
În ingineria civilă se folosește mai des greutatea
volumică a pământului (𝛾), exprimată ca forța
gravitațională a unității de volum. Greutatea
volumică este egală cu densitatea pământului
înmulțită cu accelerația gravitațională ( 𝑔 =
9,81 𝑚/𝑠 2 ).
M
F
8
1
0
STAS 1913/3-76, Teren de fundare.
Determinarea densității pământurilor
Metoda prin cântărire hidrostatică, după
parafinare – se aplică la pământuri argiloase
plastic vârtoase la tari și la pământuri nisipoase
cu o cimentare puternică.
STAS 1913/15-75, Teren de fundare.
Determinarea greutății volumice, pe teren
Metoda cu conul – determinarea densității in
situ pentru pământuri compactate sau cu
structură nederanjată care au pori de
dimensiuni mai mici decât a nisipului utilizat
𝜸 = 𝝆 ∙ 𝒈 [𝒌𝑵/𝒎𝟑 ]
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
45
Valori uzuale ale porozității, indicelui porilor și densității
Tipul de pământ
Materiale granulare uniforme
(a) Sfere egale (valoare teoretică)
(b) Nisip Ottawa standard
(c) Nisip uniform, curat (fin sau mediu)
(d) Praf uniform
Materiale granulare bine gradate
(a) Nisip prăfos
(b) Nisip fin sau mare curat
(c) Nisip micaceu
(d) Pietriș și nisip prăfos
Amestecuri de pământuri
(a) Argilă prăfoasă sau nisipoasă
(b) Argilă prăfoasă cu pietre sau fragmente de roci
(c) Amestecuri bine gradate de pietriș, nisip, praf și argilă
Pământuri argiloase
(a) Argilă (30-50% fracțiunea argilă)
(b) Argilă coloidală (0,002 mm ≥ 50%)
Pământuri organice
(a) Praf organic
(b) Argilă organică (30 – 50 % fracțiune argilă)
Indicele
Porilor, 𝒆
Porozitatea,
𝒏(%)
Densitatea,
𝝆 (𝒌𝒈/𝒎𝟑 )
max
min
max
min
max
min
0,92
0,80
1,0
1,1
0,35
0,50
0,40
0,40
47,6
44,0
50,0
52,0
26,0
33,0
29,0
29,0
1762
1890
1890
1474
1330
1281
0,90
0,95
1,20
0,85
0,30
0,20
0,40
0,14
47,0
49,0
55,0
46,0
23,0
17,0
29,0
12,0
2034
2210
1922
2239
1394
1362
1217
1426
1,8
1,0
0,70
0,25
0,20
0,13
64,0
50,0
41,0
20,0
17,0
11,0
2162
2243
2371
961
1346
1602
2,4
12,0
0,50
0,60
71,0
92,0
33,0
37,0
1794
1698
801
308
3,0
4,4
0,55
0,70
75,0
81,0
35,0
41,0
1762
1602
641
481
2
P
23.02.2018
M
F
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
46
VARIABILELE MASĂ-VOLUM
Conținutul de apă
Gradul de saturație (𝑺𝒓 ) este procentul din
porii pământului ocupat cu apă.
𝑺𝒓 =
𝑽𝒘
∙ 𝟏𝟎𝟎 (%)
𝑽𝒑
Gradul de saturare poate fi folosit pentru a
împărți pământul în trei grupe principale:
Pământuri uscate (i.e. 𝑆𝑟 = 0% ) sunt
constituite din particule solide și aer iar apa
nu este prezentă;
-
Pământuri saturate (i.e. 𝑆𝑟 = 100% ) sunt
constituite din pământuri cu porii plini cu
apă;
-
Pământuri nesaturate (i.e. 0% < 𝑆𝑟 < 100%)
sunt constituite din pământuri în care porii
sunt ocupați atât de aer cât și de apă
23.02.2018
Pe de altă parte, este posibil ca la grade mici de
saturare (i.e. 0% < 𝑆 < ~15% ) faza apă să
devină discontinuuă iar curgerea lichidului prin
pământ încetează.
2
P
-
M
F
8
1
0
Pământurile nesaturate pot fi împățite în funcție
de continuitatea fazei apă respectiv a fazei aer.
Spre exemplu la grade de saturare mari (i.e.
~85% < 𝑆𝑟 < 100% ) faza apă poate conține
bule de aer oclus și în consecință faza aer este
discontinuuă.
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
47
VARIABILELE MASĂ-VOLUM
Conținutul de apă
Pentru a caracteriza raportul dintre faza lichidă
și cea solidă se folosește indicele denumit
UMIDITATE. Umiditatea pământului poate fi
exprimată în mai multe feluri: în funcție de masa
fazei solide, masa totală, volumul fazei solide,
volumul total sau volumul porilor.
Umiditatea masică ( 𝑤 ) exprimată ca fiind
raportul dintre masa fazei apei (𝑀𝑤 ) și masa
fazei solide (𝑀𝑠 ) exprimat în procente:
𝒘=
2
P
𝑴𝒘
∙ 𝟏𝟎𝟎 [%]
𝑴𝒔
Această umiditate se determină prin raportarea
masei apei la masa pământului în stare uscată.
Definiția standard a pământului în stare uscată
se referă la masa pământului la echilibru (în
practică, peste 24 de ore) în etuvă la 105°C, deși
pământurile argiloase pot conține încă o
cantitate apreciabilă de apă în această stare.
23.02.2018
M
F
8
1
0
Umiditatea masică este exprimată uneori ca
fracție zecimală dar în general în procente. O
probă de pământ uscată în aer la temperatură
normală va da o umiditate mai mare cu câteva
procente decât proba uscată în etuvă. Similar, o
probă uscată în etuvă expusă în aer va avea o
umiditate din ce în ce mai mare. Acest fenomen
rezultă din tendința fracțiunii argiloase de a
adsorbi umiditate din aer, proprietate cunoscută
ca higroscopicitate. Astfel, cantitatea de apă
adsorbită depinde de tipul și conținutul de
argilă din pământ precum și de umiditatea din
atmosferă. Umiditatea la saturare (când toți
porii sunt plini cu apă) este mai mare în
pământuri argiloase decât în cele nisipoase.
Umiditatea variază între 25% și 60% în funcție
de densitate. În cazul special al pământurilor
organice, umiditatea masică poate depăși 100%.
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
48
VARIABILELE MASĂ-VOLUM
Conținutul de apă
Umiditatea volumică (𝜽)
𝜽=
𝑽𝒘
𝜸𝒔
∙ 𝟏𝟎𝟎 =
∙𝒘 %
𝑽𝒕
𝜸𝒘
𝒗𝒘 =
Umiditatea volumică este calculată ca procent
din volumul total al pământului. Astfel, la
saturare, este egală cu porozitatea. În pământuri
nisipoase, 𝜃 la saturație este de ordinul a 40%;
în pământuri prăfoase este aproximativ 50% iar
în pământuri argiloase poate fi aproximativ
60%. În sfârșit, în realitate, volumul apei la
saturare poate depăși porozitatea pământului
uscat, pentru că pământurile argiloase se umflă
după umezire. Utilizarea lui 𝜃 pentru exprimarea
umidității este mai convenabilă pentru că se
aplică mai direct la calculul fluxurilor și
volumelor de apă adăugate solurilor din
precipitații sau irigații și cantităților extrase din
sol prin evaporare și transpirație.
M
F
𝑽𝒘
𝑽𝒔
Pentru pământuri cu umflări și contracții mari, în
care porozitatea se schimbă prin umezire, este
de preferat raportarea volumului apei dintr-o
probă la volumul invariant al particulelor solide
decât la volumul total. La saturare, 𝑣𝑤 este egal
cu indicele porilor 𝑒.
2
P
23.02.2018
8
1
0
Raportul volumic (𝒗𝒘 )
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
49
DETERMINAREA UMIDITĂȚII
Metoda directă
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Recoltarea eșantioanelor pe amplasament
Sigilarea eșantioanelor
Transportul eșantioanelor în laborator
Recoltare probelor
Cântărirea probei în stare naturală
Uscarea în etuvă la 105°C (m1)
Răcirea probei în exsicator
Cântărirea probei în stare uscată (m2)
𝑤=
2
P
𝑚𝑤
𝑚2 − 𝑚1
∙ 100 =
∙ 100 [%]
𝑚𝑠
𝑚2
M
F
Avantaje:
- Valoarea se obține direct
- Este standardul după care se
calibrează alte metode
- Tehnologie simplă
23.02.2018
8
1
0
Dezavantaje:
-
Muncă intensivă
Metodă distructivă
Uscare standardizată
Se obține 𝑤, nu 𝜃
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
50
DETERMINAREA UMIDITĂȚII
Rezistența electrică (blocuri de gips sau nailon)
1.
2.
3.
4.
Îngroparea blocurilor în pământ
Așteptarea echilibrării
Măsurarea rezistenței electrice
Transformarea rezistenței în umiditate
2
P
Avantaje:
- Rezultate bune în pământ uscat
- Tehnologie mică
- Ușor de setat cu datalogere și
multiplexere
- Calibrarea este pentru bloc nu este
specifică fiecărui pământ
23.02.2018
M
F
8
1
0
Dezavantaje:
- Indirect: necesită calibrare
- Caracteristicile blocurilor se schimbă în
timp (în special în pământuri acide)
- Echilibrare lentă, histerezis
- Valori nesatisfăcătoare în pământuri cu
salinitate mare
- Sensibile la temperatură
- Nu se poate folosi în pământuri umede
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
51
DETERMINAREA UMIDITĂȚII
Neutroni (thermalization, moderation)
1.
2.
3.
4.
Introducerea tuburilor în pământ
Coborârea sondei cu neutroni în tub
Înregistrare raportului
Convertirea raportului în umiditate
2
P
Avantaje:
- Măsurători repetate în exact
aceeași locație
- Nu sunt probleme cu
temperature – funcționează chiar
și în pământuri înghețate
- Rezultate cu un grad bun de
încredere
23.02.2018
M
F
8
1
0
Dezavantaje:
- Materiale radioactive: necesită
training și atestare specială
- Metodă indirectă: necesită
calibrare specifică pământurilor
- Timp mare și muncă intensivă
- Nu funcționează aproape de
suprafața terenului
- Volumul încercat variază cu
umiditate
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
52
COMPACTAREA PĂMÂNTULUI
Compactarea este procesul mecanic folosit
pentru creșterea densității unui pământ prin
eliminarea
aerului
(i.e.
densificare).
Compactarea pământului este utilizată
extensiv în practica inginerească pentru
construirea de drumuri, baraje, aerodromuri,
fundații, bariere hidraulice și îmbunătățirea
terenului. Curba de compactare obținută
prin procedura standard este folosită ca
reper pentru controlul procesului de
construire pe amplasament. Obiectivul
încercării de laborator este de a determina
umiditatea optimă necesară obținerii
densității maxime.
2
P
M
F
8
1
0
Umiditatea apei în punctul de maxim al curbei de
compactare este numită umiditatea optimă de
compactare și reprezintă umiditatea la care
densitatea în stare uscată este maximă pentru o
anumită energie de compactare.
Obiectivul compactării pe amplasament este
de
a
crește
densitatea,
a
scade
compresibilitatea pământului, creșterea
rezistenței la forfecare și reducerea
permeabilității.
Curba de compactare arată că se obțin
diferite densități pentru aceiași energie de
compactare dar diferite umidităţi.
23.02.2018
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
53
COMPACTAREA PĂMÂNTULUI
8
1
0
De la cercetările lui Proctor în 1933, mulți Cercetarea arată rolul diferitelor variabile ale
cercetători au încercat să explice calitativ pământurilor nesaturate ce afectează forma curbei
mecanismele fundamentale implicate în de compactare.
procesul de densificare. S-a dorit înțelegerea
formei curbei de compactare, în particular în
partea uscată a umidității optime de
compactare. Curba de compactare a fost
explicată în termenii teoriei capilarității și
lubrefierii (Proctor, 1933), teoriei apei
vâscoase (Hogentogler, 1936), teoriei presiunii
porilor (Hilf, 1956), teoria interacțiunii fizicochimice (Lambe, 1960b) și teoriei tensiunilor
efective (Olson, 1963). Mai recent, Barden și
Sides (1970) au realizat un studiu
experimental al relației dintre performanța
inginerească a argilei nesaturate compactate
și observațiile microscopice ale structurii
argilei. Lee și Suedkamp (1972) au realizat o
cercetare asupra formei curbei de compactare
pentru diferite pământuri. Modelarea curbei
de compactare în contextul mecanicii
pământurilor nesaturate a fost realizată de
Kurucuk et al. (2007).
2
P
23.02.2018
M
F
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 1 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
54
APLICAȚII
1. O probă de pământ cu masa umedă de 1,0 kg și un volum de 0,64 litri a
fost uscată în etuvă. După uscare masa în stare uscată a probei este de 0,8
kg. Considerând că densitatea particulelor minerale ale pământului au o
densitate de 2650 kg/m3 să se calculeze greutatea volumică în stare uscată
𝛾𝑑 , în stare saturată 𝛾𝑠𝑎𝑡 și în stare submersată 𝛾′, porozitatea 𝑛, indicele
porilor 𝑒 , umiditatea masică wm , umiditatea volumică θ și gradul de
saturație.
2. Demonstrați relația dintre umiditatea volumică, umiditatea masică,
densitatea în stare uscată și densitatea apei:
𝝆𝒅
𝜽=𝒘∙
𝝆𝒘
3. Demonstrați relația dintre porozitatea, densitatea scheletului și densitatea
în stare uscată:
𝝆𝒔 − 𝝆𝒅
𝝆𝒅
𝒏=
=𝟏−
𝝆𝒔
𝝆𝒔
4. Demonstrați relațiile dintre porozitate și indicele porilor
𝒆
𝒏
𝒏=
ș𝑖 𝒆 =
𝟏+𝒆
𝟏𝟎𝟎 − 𝒏
2
P
24.02.2018
M
F
8
1
0
ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 2 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ
55