VOL U ME
3
ELETRICIDADE E
MAGNETISMO
RANDALL D. KNI GHT
Sobre o Autor
Randy Knight leciona Física básica há 25 anos na Ohio State University, EUA, e na Califórnia
Polytechnic University, onde atualmente é professor de física. O professor Knight bacharelouse em Física pela Washington University, em Saint Louis, e doutorou-se em Física pela University of Califórnia, Berkeley. Fez pós-doutorado no Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, antes de trabalhar na Ohio State University. Foi aí que ele começou a pesquisar sobre o
ensino da física, o que, muitos anos depois, o levou a escrever este livro.
Os interesses de pesquisa do professor Knight situam-se na área de laser e espectroscopia,
com cerca de 25 artigos de pesquisa publicados. Ele também dirige o programa de estudos ambientais da Cal Poly, onde, além de física introdutória, leciona tópicos relacionados a energia,
oceanografia e meio ambiente. Quando não está em sala de aula ou na frente de um computador, o professor Knight está fazendo longas caminhadas, remando em um caiaque, tocando
piano ou usufruindo seu tempo com a esposa Sally e seus sete gatos.
K71f
Knight, Randall D.
Física 3 [recurso eletrônico] : uma abordagem estratégica /
Randall Knight ; tradução Manuel Almeida Andrade Neto. – 2.
ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2009.
Editado também como livro impresso em 2009.
ISBN 978-85-7780-553-2
1. Física. 2. Eletricidade. 3. Magnetismo. I. Título.
CDU 537
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922
R A N DA L L D . K N I G H T
Tradução:
Manuel Almeida Andrade Neto
Doutor em Física pela Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP
Professor assistente do Centro Universitário La Salle
Revisão técnica:
Trieste Freire Ricci
Doutor em Ciências pela UFRGS
Professor Adjunto do Instituto de Física da UFRGS
Versão impressa
desta obra: 2009
2009
Obra originalmente publicada sob o título Physics for Scientists and Engineers, 2nd Edition.
ISBN 0805327363
Authorized translation from the English language edition, entitled PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS: A STRATEGIC APPROACH WITH MODERN PHYSICS, 2ND EDITION by KNIGHT, RANDALL D., published Pearson Education, Inc.,
publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2008. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any
form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system,
without permission from Pearson Education, Inc.
Portuguese language edition published by Bookman Companhia Editora Ltda, a Division of Artmed Editora S.A., Copyright © 2009
Tradução autorizada a partir do original em língua inglesa da obra intitulada PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS: A
STRATEGIC APPROACH WITH MODERN PHYSICS, 2ª EDIÇÃO, de autoria de KNIGHT, RANDALL D., publicado por Pearson
Education, Inc., sob o selo Addison-Wesley, Copyright © 2008. Todos os direitos reservados. Este livro não poderá ser reproduzido
nem em parte nem na íntegra, nem ter partes ou sua íntegra armazenado em qualquer meio, seja mecânico ou eletrônico, inclusive
reprográfico, sem permissão da Pearson Education, Inc.
A edição em língua portuguesa desta obra é publicada por Bookman Companhia Editora Ltda., uma divisão da Artmed Editora S.A.,
Copyright © 2009
Capa: Rogério Grilho, arte sobre capa original
Leitura final: Andrea Czarnobay Perrot
Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk
Editoração eletrônica: Techbooks
Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à
ARTMED® EDITORA S.A.
(BOOKMAN® COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED® EDITORA S.A.)
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sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação,
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SÃO PAULO
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SAC 0800 703-3444
IMPRESSO NO BRASIL
PRINTED IN BRAZIL
Prefácio para o Professor
Em 2003, publicamos Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach. Foi
o primeiro livro didático abrangente concebido com base na pesquisa sobre como os
estudantes podem aprender física de maneira mais significativa. Os desenvolvimentos e
testes que possibilitaram a publicação deste livro foram financiados pela National Science Foundation. Essa primeira edição tornou-se rapidamente o livro didático de física mais
adotado em mais de 30 anos, obtendo reconhecimento crítico geral de professores e de
estudantes. Esta segunda edição, agora traduzida para o português com o título Física:
uma abordagem estratégica, foi escrita com base nas técnicas de ensino introduzidas na
primeira edição e também no feedback de milhares de usuários com o objetivo de proporcionar um aprendizado ainda melhor para o estudante.
Os objetivos
Meus principais objetivos ao escrever o Física: uma abordagem estratégica foram:
■ Produzir um livro que fosse mais focado e coerente, e menos enciclopédico.
■ Trazer resultados-chave da pesquisa em ensino de física para a sala de aula de uma
maneira que permitisse aos professores adotar uma gama de estilos didáticos.
■ Oferecer um equilíbrio entre o raciocínio quantitativo e a compreensão dos con-
ceitos, com especial atenção aos conceitos que costumam causar dificuldades aos
estudantes.
■ Desenvolver de maneira sistemática as habilidades dos estudantes na resolução de
problemas.
■ Promover um ambiente de aprendizagem ativa.
Estes objetivos e os princípios que os embasam são discutidos detalhadamente em
meu pequeno livro Five Easy Lessons: Strategies for Successful Physics Teaching (Addison-Wesley, 2002). Se for de seu interesse (ISBN 0-8053-8702-1), entre em contato com
a editora original, Addison-Wesley.
A organização da obra
Todo o conteúdo desta obra está distribuído em quatro volumes. O Volume 1 trata das
Leis de Newton, das Leis de Conservação e de algumas aplicações da Mecânica Newtoniana, como: Rotação de um Corpo Rígido, A Teoria de Newton da Gravitação e Oscilações. O Volume 2 abrange Fluidos, Elasticidade, Termodinâmica, Ondas e Óptica. O
Volume 3 abrange todo o conteúdo sobre Eletricidade e Magnetismo. O Volume 4 trata
da Relatividade, da Mecânica Quântica e da Física Atômica e Nuclear. Cada tópico é
autoconsistente, e a seqüência dos capítulos pode ser rearranjada para se adequar à preferência do professor ou da universidade.
Dessa forma, quase toda Mecânica Newtoniana se encontra no Volume 1, permitindo
que os professores das diversas universidades brasileiras possam ter maior flexibilidade
na estrutura curricular da disciplina.
As razões para a organização adotada: a termodinâmica foi colocada antes do estudo
das ondas por ser uma continuação das idéias da mecânica. A idéia-chave na termodinâmica é a de energia, e passar direto da mecânica para a termodinâmica promove um
desenvolvimento ininterrupto dessa idéia importante. Além disso, o estudo das ondas
introduz os estudantes a funções de duas variáveis, e a matemática envolvida nos fenômenos ondulatórios é mais afim com a eletricidade e com o magnetismo do que com a
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Prefácio para o Professor
mecânica. Portanto, ir de ondas para campos, e de campos para a física quântica, permite
uma transição gradual de idéias e habilidades.
O propósito de incluir a óptica junto aos fenômenos ondulatórios é oferecer uma
apresentação coerente da física ondulatória, um dos dois pilares da física clássica. A
óptica, como é apresentada nos cursos introdutórios de física, não faz uso das propriedades de campos eletromagnéticos. Existe pouca razão, além da tradição histórica, em
deixar a óptica para depois da eletricidade e do magnetismo. As dificuldades documentadas dos estudantes com a óptica são dificuldades com fenômenos ondulatórios, e não
com a eletricidade e o magnetismo. Todavia, os capítulos de óptica podem ser facilmente postergados para depois da Parte VI por professores que prefiram tal seqüência
de conteúdo.
O que há de novo na segunda edição
Esta segunda edição reafirma os propósitos e os objetivos da primeira edição. Ao mesmo
tempo, o feedback que recebemos a partir dos desempenhos dos estudantes em testes,
enviados pelos professores, resultou em inúmeras alterações e melhorias no texto, nas
figuras e nos problemas de final de capítulo. Estas incluem:
■ Uma apresentação mais “enxuta” do conteúdo. Encurtamos cada capítulo em uma
página tornando a linguagem mais sintética e reduzindo o material supérfluo.
■ Questões conceituais. Por solicitação do público em geral, a parte final de cada ca-
pítulo agora inclui uma seção de questões conceituais semelhantes às do Student
Workbook (Manual de Exercícios do Estudante).
■ Desenhos à lápis. Cada capítulo contém vários esboços feitos à mão, em exemploschave resolvidos, com a finalidade de mostrar aos estudantes os tipos de desenhos
que eles deveriam fazer em suas próprias resoluções de problemas.
■ Problemas novos e revisados ao final do capítulo. Os problemas foram revisados com
o objetivo de incorporar o inédito número de dados e feedback proveniente de mais
de 100 mil estudantes que trabalharam com estes problemas em Mastering PhysicsTM.
Mais de 20% dos problemas de final de capítulo são novos ou foram revisados significativamente, incluindo um número maior de problemas que requerem o cálculo.
As características pedagógicas
O Prefácio para o estudante mostra como essas características foram concebidas para
auxiliar seus estudantes.
O Student Workbook*
Um material adicional ao livro Física: Uma Abordagem Estratégica é o Student Workbook (Livro de Exercícios do Estudante). Esta obra permite vencer o espaço entre o livro
e os problemas para casa dando aos estudantes a oportunidade de aprender e de praticar
suas habilidades antes de usá-las nos problemas quantitativos de final de capítulo, de
forma muito parecida como um músico desenvolve sua técnica separadamente das peças
que apresenta ao público. Os exercícios do Student Workbook, ajustados a cada seção do
livro, concentram-se no desenvolvimento de ferramentas específicas, que vão desde a
identificação das forças e do traçado de diagramas de corpo livre à interpretação de funções de onda.
Os exercícios do Workbook, que geralmente são de caráter qualitativo e/ou gráfico, estão embasados na literatura técnica da educação em ensino de física. Os exercícios tratam
de tópicos conhecidos por causarem dificuldades aos estudantes e fazem uso de técnicas
que se mostraram eficientes na superação de tais dificuldades. Os exercícios do Workbook
podem ser usados em sala de aula como parte da estratégia de ensino e aprendizagem ativos, em seções de argüição oral ou como uma tarefa de casa para os estudantes.
* Disponível apenas no mercado norte-americano.
Prefácio para o Professor
CD-ROM para o estudante
Um CD-ROM contendo inúmeros exercícios interativos e animações em Java é uma
excelente ferramenta de aprendizado. Ele está encartado no Volume 1. Caso você não
tenha comprado o Volume 1 e queira receber o CD, basta preencher a Carta-resposta nas
páginas finais deste volume e enviar para a Bookman Editora.
Suplementos para o professor
Os professores que adotarem a obra e desejarem acesso ao material disponível para
o mercado brasileiro devem entrar na área do professor no site da Bookman editora
(www.bookman.com.br). Lá, encontrarão versões em word e pdf do Instructor Solutions (em inglês), contendo as soluções dos exercícios, além do Test Bank, um banco
de exercícios (em inglês) diferentes dos propostos no livro. Em português, lâminas de
PowerPoint contendo as figuras e as tabelas do texto, excelente recurso e de fácil uso
na sala de aula.
Os demais recursos listados a seguir estão disponíveis nos locais indicados em cada
item.
■ O Instructor Guide for Physics for Scientists and Engineers contém comentários
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detalhados e sugestões de idéias para o ensino de cada capítulo, uma revisão extensa
do que se aprendeu da pesquisa em ensino de física e linhas-mestras para o uso de
técnicas de aprendizagem ativa em sua sala de aula.
O Instructor Solutions Manual, Capítulos 1-19 (ISBN 0-321-51621-4/978-0-32151621-3) e Capítulos 20-43 (ISBN 0-321-51657-5/978-0-321-51657-2), escritos
pelo autor e pelo professores Scott Nutter (Nouthern Kentucky University) e Larry
Smith (Snow College), traz soluções completas de todos os problemas de final de capítulo. As soluções seguem os quatro passos do procedimento Modelo/Visualização/
Solução/Avaliação usado nas Estratégias para Resolução de Problemas e em todos
os exemplos resolvidos do livro. O texto inteiro de cada solução está disponível em
documento Word e em arquivo pdf, editáveis, no Media Manager CD-ROM para
uso próprio ou para seu website protegido por senha.
O Instructor Resource Center online (www.aw-bc.com/irc) oferece atualizações
para arquivos do Media manager CD-ROMs. Para obter um nome de usuário e uma
senha, contate a Pearson Addison-Wesley.
O Mastering PhysicsTM (www.masteringphysics.com) é o mais amplamente usado
e educacionalmente comprovado livro de exercícios de física, tutorial e sistema de
avaliação disponível. Ele foi concebido para atribuir notas, avaliar e acompanhar o
progresso de cada estudante através de uma variedade de problemas extensivamente
pré-testados. Ícones distribuídos através do livro indicam que o Mastering PhysicsTM
disponibiliza tutoriais para todos os Boxes Táticos e todas as Estratégias para Resolução de Problemas, bem como para todos os problemas de final de capítulo, itens
do Test Bank e do Reading Quizzes. O Mastering PhysicsTM oferece aos professores
maneiras rápidas e efetivas de propor tarefas para casa de amplo alcance online com
a duração e o nível de dificuldade adequados. Os poderosos diagnósticos após a atribuição de notas permitem ao professor verificar o progresso de sua classe como um
todo ou identificar rapidamente áreas de dificuldades para estudantes individuais.
O ActivPhysics OnLineTM (acessado através da área Self Study em www.masteringphysics.com) disponibiliza uma livraria com mais de 420 applets provados e testados do ActivPhysics. Além disso, ele disponibiliza um conjunto altamente respeitado de tutoriais baseados em applets, desenvolvidos pelos professores pioneiros em
educação Alan Van Heuvelen e Paul D⬘Alessandris. Os ícones de ActivPhysics, que
aparecem ao longo do livro, direcionam os estudantes para exercícios interativos
específicos que complementam a discussão apresentada no livro.
Os exercícios online foram concebidos para encorajar os estudantes a confrontar
concepções alternativas, raciocinar qualitativamente sobre os processos físicos, realizar experimentos qualitativos e aprender a pensar criticamente. Eles cobrem todos
os tópicos, desde a mecânica à eletricidade e ao magnetismo, da óptica à física moderna. Os livros de exercícios que acompanham a altamente aclamada ActivPhysics
OnLine ajudam os estudantes a operar com conceitos complexos e a entendê-los
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Prefácio para o Professor
mais claramente. Mais de 280 applets da livraria do ActivPhysics OnLine também
estão disponíveis nos Media Manager CD-ROMs do professor.
■ O Printed Test Bank (ISBN 0-321-51622-2/978-0-321-51622-0) e a plataforma
Computerized Test Bank (incluído com o Media Manager CD-ROMs), preparado
pelo Dr. Peter W. Murphy, contém mais de 1.500 problemas de alta qualidade, com
uma variedade de questões para casa do tipo múltipla escolha, falso-verdadeiro, respostas curtas. Na versão para computador, mais da metade das questões têm valores
numéricos que podem ser fornecidos aleatoriamente a cada estudante.
■ O Transparency Acetates (ISBN 0-321-51623-0/978-0-321-51623-7) disponibiliza
mais de 200 figuras-chave do Physics for Scientists and Engineers para uso em sala
de aula.
Suplementos para o estudante*
■ Os Student Solutions Manuals Chapters 1-19 (ISBN 0-321-51354-1/978-0-321-
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51354-0) e Capítulos 20-43 (ISBN 0-321-51356-8/978-0-321-51356-4), escritos
pelo autor e pelos professores Scott Nutter (Northern Kentucky University) e Larry
Smith (Snow College), fornecem soluções detalhadas de mais da metade dos problemas de final de capítulo com numeração ímpar. As soluções seguem o procedimento
das quatro etapas Modelo/Visualização/Resolução/Avaliação usado nas Estratégias
para Resolução de Problemas e nos exemplos resolvidos no livro.
MasteringPhysicsTM (www.masteringphysics.com) é o mais amplamente usado e
educacionalmente comprovado livro de exercícios de física, tutorial e sistema de
avaliação disponível. Ele é baseado em anos de pesquisa sobre como os estudantes
trabalham nos problemas de física e onde precisamente eles precisam de ajuda. Estudos revelam que os estudantes que usam o MasteringPhysicsTM melhoram significativamente suas notas finais em comparação com os livros de exercícios escritos
à mão. O MasteringPhysicsTM consegue tal melhora dando aos estudantes feedbacks
instantâneos e específicos para suas respostas erradas, apresentando subproblemas
mais simples sob requisição quando eles forem incapazes de ir além e atribuindo
notas parciais pelos métodos que eles usaram. Esta orientação socrática e individualizada 24/7 é recomendada aos seus colegas por nove entre dez estudantes como
sendo a maneira de estudar mais efetiva e que ecomomiza tempo.
Pearson Tutor Services (www.pearsontutorservices.com). A assinatura do MasteringPhysics de cada estudante inclui um acesso complementar aos Pearson Tutor
Services, fornecido pela Smarthinking, Inc. Fornecendo seu MasteringPhysics ID e
a sua senha, o estudante estará ligado aos altamente qualificados e-structorsTM, que
disponibilizam orientação online interativa adicional acerca dos principais conceitos
da física. Existem algumas limitações mas oferece a possibilidade de alterações.
ActivPhysics OnLineTM (acessado por www.masteringphysics.com) disponibiliza aos
estudantes uma suíte altamente recomendada de tutoriais autodidáticos baseado em
applets (veja mais acima). Os ícones do ActivPhysics ao longo do livro direcionam
os estudantes para exercícios específicos que complementam a discussão levada à
cabo no texto. Os seguintes livros de exercícios constituem uma gama de problemastutoriais concebidos para usar as simulações do ActivPhysics OnLine, ajudando os
estudantes a operar com conceitos complexos e a compreendê-los mais claramente:
ActivPhysics OnLine Workbook 1: Mechanics ⫺ Thermal Physics ⫺ Oscillations
& Waves (ISBN 0-8053 ⫺ 9060 ⫺ X)
ActivPhysics OnLine Workbook 2: Electricity & Magnetism ⫺ Optics ⫺ Modern
Physics (ISBN 0-8053 ⫺ 9061 ⫺ 8)
Agradecimentos
Tive como base conversas e, especialmente, publicações escritas de muitos membros
da comunidade de pesquisadores em ensino de física. Aqueles cuja influência posso
reconhecer incluem Arnold Arons, Uri Ganiel, Ibrahim Halloun, Richard Hake, Ken
* Os materiais impressos citados estão disponíveis apenas para o mercado norte-americano. Os interessados nos materiais on-line (em inglês) devem acessar os endereços mencionados.
Prefácio para o Professor
Heller, David Hestenes, Leonard Jossem, Jill Larkin, Priscilla Laws, John Mallinckrodt, Kandiah Manivannan e os membros do grupo de pesquisa em ensino de física da
University of Washington, David Mattzer, Edward “Joe” Redish, Fred Reif, Jeffery
Saul, Rachel Scherr, Bruce Sherwood, Josip Slisko, David Sokoloff, Ronald Thornton,
Sheila Tobias e Alan Van Heuvelen. John Rigden, fundador e diretor do Introductory
University Physics Project, deu o impulso que me pôs neste caminho. Os primeiros
desenvolvimentos de materiais foram patrocinados pela National Science Foundation
como parte do projeto Physics for the Year 2000; meu agradecido reconhecimento pelo
apoio dado.
Agradeço também a Larry Smith e a Scott Nutter pela difícil tarefa de redação do
Instructor Solutions Manuals; a Jim Andrews e a Rebecca Sabinovsky pela redação das
respostas para os livros de exercícios; a Wayne Anderson, Jim Andrews, Dave Ettestad,
Stuart Field, Robert Glosser e Charlie Hibbard por suas contribuições aos problemas
de final de capítulo; e a meu colega Matt Moelter por muitas contribuições e sugestões
valiosas.
Eu queria agradecer especialmente a meu editor Adam Black, à editora de desenvolvimento Alice Houston, à editora de projetos Martha Steele e a toda a equipe administradora da Addison-Wesley por seu entusiasmo e pelo árduo trabalho realizado neste
projeto. A supervisora de produção Nancy Tabor, Jared Sterzer e a equipe da WestWords
Inc. e o pesquisador fotográfico Brian Donnely têm grandes méritos por tornar realidade
este projeto complexo. Além dos revisores e dos responsáveis pelas aplicações de testes
em sala de aula, listados abaixo, que forneceram um inestimável feedback, sou particularmente grato a Charlie Hibbard e a Peter W. Murphy pelo escrutínio detalhado de cada
palavra e de cada figura deste livro.
Finalmente, serei eternamente grato à minha esposa Sally, por seu amor, encorajamento e paciência, e aos meus vários gatos (e especialmente à memória de Spike, minha
companhia infalível de redação), por suas habilidades inatas em manter meu teclado e
minha impressora cheios de pêlos e por sempre sentarem bem no meio das pilhas de
páginas de provas cuidadosamente empilhadas.
Revisores e aplicadores de testes em sala de aula
Gary B. Adams, Arizona State University
Ed Adelson, Ohio State University
Kyle Altmann, Elon University
Wayne R. Anderson, Sacramento City College
James H. Andrews, Youngstown State University
Kevin Ankoviak, Las Positas College
David Balogh, Fresno City College
Dewayne Beery, Buffalo State College
Joseph Bellina, Saint Mary’s College
James R. Benbrook, University of Houston
David Besson, University of Kansas
Randy Bohn, University of Toledo
Richard A. Bone, Florida International University
Gregory Boutis, York College
Art Braundmeier, University of Southern Illinois, Edwardsville
Carl Bromberg, Michigan State University
Meade Brooks, Collin College
Douglas Brown, Cabrillo College
Ronald Brown, California Polytechnic State University, San Luis
Obispo
Mike Broyles, Collin County Community College
Debra Burris, University of Central Arkansas
James Carolan, University of British Columbia
Michael Chapman, Georgia Tech University
Norbert Chencinski, College of Staten Island
Kristi Concannon, King’s College
Sean Cordry, Northwestern College of Iowa
Robert L. Corey, South Dakota School of Mines
Michael Crescimanno, Youngstown State University
Dennis Crossley, University of Wisconsin–Sheboygan
Wei Cui, Purdue University
Robert J. Culbertson, Arizona State University
Danielle Dalafave, The College of New Jersey
Purna C. Das, Purdue University North Central
Chad Davies, Gordon College
William DeGraffenreid, California State University–Sacramento
Dwain Desbien, Estrella Mountain Community College
John F. Devlin, University of Michigan, Dearborn
John DiBartolo, Polytechnic University
Alex Dickison, Seminole Community College
Chaden Djalali, University of South Carolina
Margaret Dobrowolska, University of Notre Dame
Sandra Doty, Denison University
Miles J. Dresser, Washington State University
Charlotte Elster, Ohio University
Robert J. Endorf, University of Cincinnati
Tilahun Eneyew, Embry-Riddle Aeronautical University
F. Paul Esposito, University of Cincinnati
John Evans, Lee University
Harold T. Evensen, University of Wisconsin–Platteville
Michael R. Falvo, University of North Carolina
Abbas Faridi, Orange Coast College
Nail Fazleev, University of Texas–Arlington
Stuart Field, Colorado State University
Daniel Finley, University of New Mexico
Jane D. Flood, Muhlenberg College
Michael Franklin, Northwestern Michigan College
Jonathan Friedman, Amherst College
Thomas Furtak, Colorado School of Mines
Alina Gabryszewska-Kukawa, Delta State University
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Prefácio para o Professor
Lev Gasparov, University of North Florida
Richard Gass, University of Cincinnati
J. David Gavenda, University of Texas, Austin
Stuart Gazes, University of Chicago Katherine
M. Gietzen, Southwest Missouri State University
Robert Glosser, University of Texas, Dallas
William Golightly, University of California, Berkeley
Paul Gresser, University of Maryland
C. Frank Griffin, University of Akron
John B. Gruber, San Jose State University
Stephen Haas, University of Southern California
John Hamilton, University of Hawaii at Hilo
Jason Harlow, University of Toronto
Randy Harris, University of California, Davis
Nathan Harshman, American University
J. E. Hasbun, University of West Georgia
Nicole Herbots, Arizona State University
Jim Hetrick, University of Michigan–Dearborn
Scott Hildreth, Chabot College
David Hobbs, South Plains College
Laurent Hodges, Iowa State University
Mark Hollabaugh, Normandale Community College
John L. Hubisz, North Carolina State University
Shane Hutson, Vanderbilt University
George Igo, University of California, Los Angeles
David C. Ingram, Ohio University
Bob Jacobsen, University of California, Berkeley
Rong-Sheng Jin, Florida Institute of Technology
Marty Johnston, University of St. Thomas
Stanley T. Jones, University of Alabama
Darrell Judge, University of Southern California
Pawan Kahol, Missouri State University
Teruki Kamon, Texas A&M University
Richard Karas, California State University, San Marcos
Deborah Katz, U.S. Naval Academy
Miron Kaufman, Cleveland State University
Katherine Keilty, Kingwood College
Roman Kezerashvili, New York City College of Technology
Peter Kjeer, Bethany Lutheran College
M. Kotlarchyk, Rochester Institute of Technology
Fred Krauss, Delta College
Cagliyan Kurdak, University of Michigan
Fred Kuttner, University of California, Santa Cruz
H. Sarma Lakkaraju, San Jose State University
Darrell R. Lamm, Georgia Institute of Technology
Robert LaMontagne, Providence College
Eric T. Lane, University of Tennessee–Chattanooga
Alessandra Lanzara, University of California, Berkeley
Lee H. LaRue, Paris Junior College
Sen-Ben Liao, Massachusetts Institute of Technology
Dean Livelybrooks, University of Oregon
Chun-Min Lo, University of South Florida
Olga Lobban, Saint Mary’s University
Ramon Lopez, Florida Institute of Technology
Vaman M. Naik, University of Michigan, Dearborn
Kevin Mackay, Grove City College
Carl Maes, University of Arizona
Rizwan Mahmood, Slippery Rock University
Mani Manivannan, Missouri State University
Richard McCorkle, University of Rhode Island
James McDonald, University of Hartford
James McGuire, Tulane University
Stephen R. McNeil, Brigham Young University–Idaho
Theresa Moreau, Amherst College
Gary Morris, Rice University
Michael A. Morrison, University of Oklahoma
Richard Mowat, North Carolina State University
Eric Murray, Georgia Institute of Technology
Taha Mzoughi, Mississippi State University
Scott Nutter, Northern Kentucky University
Craig Ogilvie, Iowa State University
Benedict Y. Oh, University of Wisconsin
Martin Okafor, Georgia Perimeter College
Halina Opyrchal, New Jersey Institute of Technology
Yibin Pan, University of Wisconsin-Madison
Georgia Papaefthymiou, Villanova University
Peggy Perozzo, Mary Baldwin College
Brian K. Pickett, Purdue University, Calumet
Joe Pifer, Rutgers University
Dale Pleticha, Gordon College
Marie Plumb, Jamestown Community College
Robert Pompi, SUNY-Binghamton
David Potter, Austin Community College–Rio Grande Campus
Chandra Prayaga, University of West Florida
Didarul Qadir, Central Michigan University
Steve Quon, Ventura College
Michael Read, College of the Siskiyous
Lawrence Rees, Brigham Young University
Richard J. Reimann, Boise State University
Michael Rodman, Spokane Falls Community College
Sharon Rosell, Central Washington University
Anthony Russo, Okaloosa-Walton Community College
Freddie Salsbury, Wake Forest University
Otto F. Sankey, Arizona State University
Jeff Sanny, Loyola Marymount University
Rachel E. Scherr, University of Maryland
Carl Schneider, U. S. Naval Academy
Bruce Schumm, University of California, Santa Cruz
Bartlett M. Sheinberg, Houston Community College
Douglas Sherman, San Jose State University
Elizabeth H. Simmons, Boston University
Marlina Slamet, Sacred Heart University
Alan Slavin, Trent College
Larry Smith, Snow College
William S. Smith, Boise State University
Paul Sokol, Pennsylvania State University
LTC Bryndol Sones, United States Military Academy
Chris Sorensen, Kansas State University
Anna and Ivan Stern, AW Tutor Center
Gay B. Stewart, University of Arkansas
Michael Strauss, University of Oklahoma
Chin-Che Tin, Auburn University
Christos Valiotis, Antelope Valley College
Andrew Vanture, Everett Community College
Arthur Viescas, Pennsylvania State University
Ernst D. Von Meerwall, University of Akron
Chris Vuille, Embry-Riddle Aeronautical University
Jerry Wagner, Rochester Institute of Technology
Robert Webb, Texas A&M University
Zodiac Webster, California State University, San Bernardino
Robert Weidman, Michigan Technical University
Fred Weitfeldt, Tulane University
Jeff Allen Winger, Mississippi State University
Carey Witkov, Broward Community College
Ronald Zammit, California Polytechnic State University, San Luis
Obispo
Darin T. Zimmerman, Pennsylvania State University, Altoona
Fredy Zypman, Yeshiva University
Prefácio para o Estudante
De mim para você
A coisa mais incomprenssível sobre o universo é que ele é compreensível.
—Albert Einstein
No dia em que fui à aula de física, estava morta.
—Sylvia Plath, The Bell Jar
Vamos ter uma pequena conversa antes de começar. Uma conversa unilateral, é verdade, pois você não pode responder, mas OK. Eu venho conversando com seus colegas estudantes por anos a fio, de modo que tenho uma boa idéia do que se passa em
sua mente.
Qual é sua reação ao se mencionar a física? Medo ou abominação? Incerteza? Entusiasmo? Ou tudo que foi mencionado? Vamos admitir, a física tem uma imagem meio
problemática no campus. Provavelmente você já ouviu que ela é uma disciplina difícil,
talvez até mesmo impossível de ser compreendida a menos que você seja um Einstein.
O que você tem escutado por aí, as suas experiências com outras disciplinas e muitos
outros fatores criam suas expectativas sobre como vai ser este curso.
É verdade que existem muitas novas idéias a serem aprendidas na física e que este
curso, como os cursos superiores em geral, terá um ritmo muito mais rápido do que o
dos cursos de ciências que você teve no Ensino Médio. Acho honesto dizer que será
um curso intenso. Mas poderemos evitar muitos problemas e dificuldades potenciais se
deixarmos claro, desde o início, do que tratará o curso e o que se espera de você ⫺ e de
mim!
O que é a física, afinal? A física constitui uma maneira de pensar sobre os aspectos
físicos da natureza. A física não é melhor do que as artes ou a biologia, a poesia ou a religião, que também são modos de pensar a natureza; ela é, simplesmente, diferente. Um
dos aspectos que será salientado neste curso é que a física é uma empreitada humana. As
idéias apresentadas neste livro não foram descobertas em uma caverna ou transmitidas a
nós por alienígenas; elas foram descobertas e desenvolvidas por pessoas reais, engajadas
em uma luta extenuante com assuntos reais. Eu espero conseguir transmitir um pouco da
história e dos processos através dos quais viemos a aceitar os princípios que constituem
as fundações da ciência e da engenharia de hoje.
Você pode estar surpreso em ouvir que a física não trata de “fatos”. Oh, isso não
significa que os fatos não sejam importantes, e sim, que a física foca mais a descoberta
de relações entre os fatos e os padrões existentes na natureza do que o aprender fatos por
seu próprio interesse. Conseqüentemente, não há muito para memorizar quando se estuda física. Há algumas ⫺ como definições e equações por aprender ⫺, mas muito menos
do que nos outros cursos. Em vez disso, nossa ênfase estará na reflexão e no raciocínio.
Este é um aspecto importante de suas expectativas sobre o curso.
E talvez o que seja o mais importante de tudo: a física não é matemática! A física é
muito mais ampla. Iremos examinar os padrões e as relações da natureza, desenvolver
uma lógica que relacione diferentes idéias e buscar as razões pelas quais as coisas ocorrem do modo que vemos. Ao fazer isso, iremos destacar a importância do raciocínio qualitativo, pictórico e gráfico e também daquele que se vale de analogias. E, sim, usaremos
a matemática, mas ela será apenas uma ferramenta dentre outras.
Muitas frustrações serão evitadas se você estiver consciente, desde o início, dessa
distinção entre física e matemática. Boa parte dos estudantes, eu sei, gostaria de encontrar uma fórmula e nela inserir números ⫺ ou seja, resolver um problema de matemática.
Talvez isso funcione em cursos de ciência universitários avançados, mas não é isso que
xii
Prefácio para o Estudante
(a) Padrão de difração de raios X
(b) Padrão de difração de elétrons
este curso espera de você. Certamente realizaremos muitos cálculos, todavia os números
específicos para serem usados geralmente só surgirão como o último, e menos importante, passo da análise.
A física diz respeito à identificação de padrões. Por exemplo, a fotografia superior desta página é um padrão de difração de raios X que mostra como um feixe focado de raios X se espalha após atravessar um cristal. A fotografia inferior mostra o
que acontece quando um feixe focado de elétrons incide no mesmo cristal. O que as
similaridades óbvias nas duas fotos nos dizem a respeito da natureza da luz e da
matéria?
Quando estiver estudando, às vezes você ficará perplexo, intrigado e confuso. Isso
é perfeitamente normal e esperado. Cometer erros é absolutamente OK se você estiver
desejando aprender com a experiência. Ninguém nasce sabendo como fazer física mais
do que como tocar piano ou arremessar bolas de basquete numa cesta. A habilidade em
fazer física vem da prática, da repetição e da luta com as idéias até que você as “domine”
e consiga aplicá-las por si mesmo a novas situações. Não existe maneira de aprender sem
esforço, pelo menos para um bom aprendizado, de modo que se espera que você sinta
dificuldades em determinados momentos futuros. Mas também se espera que haja alguns
momentos de excitação com a alegria da descoberta. Haverá instantes em que os pedaços
subitamente se ajustam aos lugares certos e você terá certeza de ter compreendido uma
idéia poderosa. Haverá ocasiões em que você se surpreenderá resolvendo com sucesso
um problema difícil que você achava que fosse incapaz de resolver. Minha esperança,
como autor, é de que a excitação e o senso de aventura acabem por superar as dificuldades e as frustrações.
Obtendo o melhor de seu curso
Muitos estudantes, eu suspeito, gostariam de conhecer qual é a “melhor” maneira de estudar este curso. Não existe tal maneira. As pessoas são diferentes, e o que funciona para um
estudante é menos eficiente para outro. Mas o que eu desejo destacar é que ler o texto é de
importância vital. O tempo em sala de aula será usado para superar dificuldades e desenvolver as ferramentas para usar o conhecimento adquirido, porém seu professor não deverá
usar o tempo em sala de aula para, simplesmente, repetir a informação que se encontra no
texto. O conhecimento básico para este curso está descrito nas páginas seguintes; a expectativa número um é a de que você leia atentamente o livro para encontrar este conhecimento
e aprenda a utilizá-lo.
A despeito de não existir uma melhor maneira de estudar, eu lhe sugiro uma maneira que
tem sido bem – sucedida com muitos estudantes. Ela consiste nas quatro seguintes etapas:
1. Leia cada capítulo antes de discuti-lo em sala de aula. Não tenho como expressar
quão importante é esta etapa. Sua participação nas aulas será muito mais efetiva se
você estiver preparado. Quando estiver lendo um capítulo pela primeira vez, concentre-se no aprendizado do novo vocabulário, das novas definições e da nova notação.
Há uma lista de termos e notações no final de cada capítulo. Estude-a! Você não
compreenderá o que está sendo discutido e as idéias utilizadas se não souber o que
significam os termos e os símbolos empregados.
2. Participe ativamente das aulas. Faça anotações, faça perguntas, tente responder às
questões propostas e participe ativamente das discussões em grupos. Existe a mais
ampla evidência científica de que a participação ativa é muito mais efetiva no aprendizado científico do que assistir passivamente às aulas.
3. Após as aulas, faça uma releitura do capítulo correspondente. Nesta sua segunda
leitura, preste muita atenção nos detalhes e nos exemplos resolvidos. Procure descobrir a lógica por trás de cada exemplo (eu procurei destacar isso para torná-lo mais
claro), e não, apenas a fórmula usada. Quando terminar a leitura, faça os exercícios
do Student Workbook de cada seção.
4. Finalmente, aplique o que aprendeu nos problemas para casa no final de cada capítulo. Eu recomendo fortemente que você forme um grupo de estudos com dois ou três
colegas de turma. Existe boa evidência de que alunos que estudam regularmente em um
grupo saem-se melhor do que aqueles estudantes individualistas que tentam resolver
tudo sozinhos.
Prefácio para o Estudante
xiii
Alguém mencionou um livro de exercícios? O acompanhamento no Student Workbook
constitui uma parte vital do curso. Suas questões e seus exercícios lhe exigirão que raciocine
qualitativamente, que utilize a informação gráfica e que formule explicações. Espera-se
destes exercícios que você aprenda o que significam os conceitos e que você pratique habilidades de raciocínio apropriadas para cada capítulo. Você, então, terá adquirido o conhecimento básico e a confiança de que necessita antes de se voltar para os problemas para
casa de final de capítulo. Nos esportes e na música, você jamais pensaria em se apresentar
publicamente sem ter praticado; logo, por que deveria tentar fazer diferentemente no caso da
física? O livro de exercícios é onde você praticará e trabalhará as habilidades básicas.
Muitos dos estudantes, eu sei, serão tentados a ir diretamente para os problemas de casa
e, então, se porão a procurar, através do texto, uma fórmula que lhes pareça que funcione.
Essa abordagem não terá sucesso neste curso, e é garantido que, neste caso, eu os frustrarei
e os desencorajarei. Muitos poucos problemas para casa são do tipo “ligue e prossiga”, em
que o estudante simplesmente insere números em uma fórmula. Para trabalhar com sucesso
os problemas para casa, você precisará de uma estratégia melhor ⫺ ou a que foi delineada
acima ou uma própria ⫺ que o ajude a aprender os conceitos e as relações entre as idéias.
Uma orientação tradicional no ensino superior é que o aluno estude duas horas fora
de aula para cada hora gasta em sala de aula, e este livro foi concebido sob tal expectativa. É claro, duas horas em média. Certos capítulos são mais fáceis e neles você irá mais
rapidamente. Outros provavelmente exigirão muito mais do que duas horas de estudo
para cada hora em aula.
Obtendo o melhor de seu livro-texto
Seu livro tem várias características planejadas para ajudá-lo a aprender os conceitos da física
e a resolver problemas de forma mais eficiente.
■ Os BOXES TÁTICOS apresentam procedimentos passo a passo para desenvolver habili-
dades específicas, como a interpretação de gráficos ou o traçado de diagramas especiais. Os Boxes Táticos são explicitamente ilustrados nos exemplos resolvidos que
o seguem, e estes são, com freqüência, os pontos de partida de uma Estratégia para
Resolução de Problemas completa.
BOX TÁTICO
5.3
BOX TÁTICO
Desenhando um diagrama de corpo livre
33.3
Identifique todas as forças exercidas sobre o objeto de interesse. Esta etapa foi
descrita já no Box Tático 5.2.
Faça o desenho do sistema de coordenadas a ser usado. Use os eixos definidos
em sua representação pictórica. Se eles forem inclinados, para o movimento ao
longo de rampas, então os eixos correspondentes no diagrama de corpo livre
também devem ser analogamente inclinados.
Represente o objeto por um ponto na origem do sistema de coordenadas. Este é
o modelo de partícula.
Desenhe vetores que representem cada uma das forças identificadas. Isso foi
descrito no Box Tático 5.1. Certifique-se de ter denotado cada vetor força.
Desenhe e denote o vetor força resultante
. Trace este vetor ao lado do diagrama, e não sobre a partícula. Ou, se for apropriado, escreva
. Depois
verifique se, em seu diagrama de movimento,
aponta com a mesma direção
e sentido do vetor aceleração .
Exercícios 24–29
Calculando integrais de linha
Se for perpendicular à linha em qualquer lugar da mesma, então a integral de
linha de é dada por
Se for tangente à linha de comprimento l em qualquer lugar da mesma, e tiver
a mesma intensidade B em qualquer de
seus pontos, então
Exercícios 23–24
xiv
Prefácio para o Estudante
■ As ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS servem para uma grande classe de pro-
blemas ⫺ problemas característicos de um dado capítulo ou de um grupo de capítulos. As estratégias seguem uma abordagem consistente de quatro passos para ajudálo a adquirir confiança e proficiência na habilidade de resolver problemas: MODELO,
VISUALIZAÇÃO, RESOLUÇÃO E AVALIAÇÃO.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 6.2
Problemas de dinâmica
MODELO Faça hipóteses simplificadoras.
VISUALIZAÇÃO Desenhe uma representação pictórica.
Mostre os pontos importantes do movimento em um esboço, escolha um sistema de coordenadas, defina os símbolos e identifique o que o problema está
pedindo para se determinar. Este é o processo de tradução de palavras em
símbolos.
Use um diagrama de movimento para determinar o vetor aceleração do objeto, .
Identifique todas as forças exercidas sobre o objeto e represente-as em um diagrama de corpo livre.
É normal ir e voltar entre estas etapas enquanto você visualiza a situação.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada na segunda lei de Newton:
A soma vetorial das forças é determinada diretamente do diagrama de corpo livre.
Dependendo do problema,
Isole a aceleração e depois use a cinemática para encontrar as velocidades e as
posições; ou
Use a cinemática para determinar a aceleração e depois obtenha as forças desconhecidas.
AVALIAÇÃO Verifique se seu resultado está em unidades corretas, se ele é plausível e
se responde à questão.
Espelho
A onda é
dividida
neste ponto.
■ Os EXEMPLOS resolvidos ilustram boas práticas para a resolução de problemas por
Espelho
■
Fonte
Divisor
de feixe
O detector mede a
superposição das 2
ondas que percorreram
caminhos diferentes.
Parafuso
de ajuste
As ondas que
retornam se
recombinam aqui.
FIGURA com anotações que explicam
o funcionamento do interferômetro de
Michelson.
■
■
■
meio do uso consistente da abordagem de quatro etapas para resolver problemas e,
quando apropriado, dos Boxes Táticos. Os exemplos resolvidos com freqüência são
muito detalhados e cuidadosamente o conduzem ao raciocínio por trás das soluções,
bem como aos cálculos detalhados. Um estudo cuidadoso do raciocínio o ajudará a
aplicar os conceitos e as técnicas em novos problemas que encontrará nas tarefas
para casa e nas provas.
NOTAS São parágrafos que o alertarão para erros freqüentes e que dão dicas em
problemas complicados.
As questões do tipo PARE E PENSE ao longo dos capítulos lhe permitirão rapidamente
avaliar se você compreendeu a idéia principal de uma seção. Uma resposta correta
lhe dará a confiança para passar à próxima seção. Uma resposta errada o alertará
para a necessidade de uma releitura da seção anterior.
Anotações em azul, nas figuras, o ajudarão a interpretar gráficos; a obter a equivalência entre gráficos, matemática e desenhos; a compreender conceitos difíceis por
meio de analogias visuais; e a desenvolver muitas outras habilidades importantes.
Esboços a lápis oferecem exemplos concretos das figuras que você deve desenhar
por sua conta quando for resolver problemas.
y
Antes: y0 = 5,0 m
v0 = 20 m/s
5,0 m
Após: y1 = 0 m
y1
0
Determinar: v1
FIGURA desenhada a lápis que mostra uma pessoa descendo
uma rampa e sua energia representada em um gráfico de barras.
Prefácio para o Estudante
■ Os objetivos de aprendizagem e as ligações que iniciam cada capítulo resumem o
foco daquele capítulo e o que você precisa relembrar dos capítulos anteriores.
Olhando adiante lista conceitos-chave e habilidades que você deverá aprender
no capítulo que se inicia.
Em retrospectiva destaca tópicos importantes de capítulos anteriores que você
deve revisar.
■ Resumos de capítulo esquemáticos o ajudarão a organizar o que você aprendeu em
uma forma hierárquica, desde os princípios gerais (parte superior) até as aplicações
(parte inferior). Representações pictóricas, gráficas, discursivas e matemáticas, dispostas lado a lado, são usadas para ajudá-lo a passar de uma dessas representações
para as outras.
■ Os resumos de final e de início das partes do livro descrevem a estrutura global
do que você está aprendendo. Cada parte inicia com um resumo panorâmico dos
capítulos à frente e conclui com um amplo resumo para ajudar você a relacionar
os conceitos apresentados naquele conjunto de capítulos. As tabelas de ESTRUTURA
DE CONHECIMENTO nos Resumos de partes, parecidas com os resumos de capítulo, o
ajudarão a enxergar a floresta, e não apenas as árvores individuais.
ESTRUTURA DE CONHECIMENTO I
RESUMO
O objetivo do Capítulo 28 foi compreender e aplicar a lei de Gauss.
As Leis de Newton
OBJETIVOS BÁSICOS
Partícula, aceleração, força, interação
Como uma partícula responde a uma força? Como os objetos interagem?
PRINCÍPIOS GERAIS
Primeira lei de Newton
CONCEITOS ESSENCIAIS
Princípios gerais
Lei de Gauss
Simetria
Para qualquer superfície fechada que encerre uma carga Qint, o fluxo elétrico resultante
através da superfície é
A simetria do campo elétrico deve corresponder à simetria da distribuição de carga.
Na prática, e é computável apenas quando a simetria da superfície gaussiana
corresponde à simetria da distribuição de
carga.
O fluxo elétrico
Qint.
e
é o mesmo para qualquer superfície fechada que encerre uma carga
A sobre B
B sobre A
ESTRATÉGIA BÁSICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Use a segunda lei de Newton para cada partícula ou objeto. Use a terceira lei de Newton
Conceitos importantes
para igualar os módulos dos dois membros de cada par ação/reação.
A Carga cria o campo elétrico que é responsável pelo
fluxo elétrico.
Qin é a soma algébrica de todas as
cargas encerradas pela gaussiana.
Esta é a carga líquida que contribui
para o fluxo.
Superfície gaussiana
O Fluxo é a quantidade de campo elétrico
que atravessa uma superfície de área A:
onde
Segunda lei de Newton
Terceira lei de Newton
Um objeto permanecerá em repouso ou continuará movendo-se com
.
velocidade constante (equilíbrio) se e somente se res
m
res
Movimento linear
Movimento em um plano
Movimento circular
As cargas externas à superfície
contribuem para o campo elétrico,
mas não para o fluxo.
As integrais de superfície fornecem o fluxo por meio do somatório dos fluxos parciais através de várias pequenas áreas da superfície:
é o vetor área.
Para superfícies fechadas:
Um fluxo resultante de fora
para dentro ou de dentro para
fora indica que a superfície encerra uma carga líquida. Linhas
de campo que atravessam uma
superfície, mas sem produzir
fluxo resultante através da
mesma indicam que a superfície não encerra carga líquida.
Duas situações importantes:
Se o campo elétrico é tangente à superfície
em qualquer ponto da mesma, então
Se o campo elétrico é perpendicular à superfície em qualquer ponto da mesma e apresenta a mesma intensidade E em cada um de
seus pontos, então
Cinemática do movimento linear e do movimento no plano
Cinemática circular
Aceleração uniforme:
(as constante)
Movimento circular uniforme:
Trajetórias: as mesmas equações são usadas tanto para x quanto para y.
Movimento uniforme:
(a 0, vs constante)
Aplicações
Condutores em equilíbrio eletrostático
• O campo elétrico é nulo em todos os pontos internos ao condutor.
Caso geral
• Qualquer excesso de carga do condutor se distribui inteiramente sobre a superfície exterior.
• O campo elétrico externo é perpendicular à superfície do condutor e tem módulo igual a / 0, onde
densidade de carga da superfície.
éa
• O campo elétrico é nulo dentro de qualquer cavidade fechada no interior de um condutor, a menos que exista
uma carga líquida dentro da cavidade.
vs
ds/dt
declividade do gráfico da posição
as
dv/dt
declividade do gráfico da velocidade
vfs
vis
asdt
sf
si
vsdt
vis
area sob a curva da aceleração
Termos e notação
simétrico
superfície gaussiana
fluxo elétrico,
vetor área,
e
integral de superfície
lei de Gauss
blindagem
si
área sob a curva da velocidade
Agora que você já sabe mais sobre o que se espera de si, o que você espera de mim?
Isso é mais sutil, pois o livro já foi escrito! Mesmo assim, ele foi organizado e preparado
com base naquilo que, eu penso, meus estudantes têm esperado ⫺ e desejado ⫺de um
livro ao longo de meus anos de profissão. Além disso, eu listei o extenso feedback que
recebi de milhares de estudantes, como você, e de seus professores, que usaram a primeira edição da obra.
Você deve saber que estes materiais do curso ⫺ o texto e o livro de exercícios ⫺ são
baseados na pesquisa extensiva sobre como os estudantes aprendem física e sobre os desafios com que se deparam. A efetividade de muitos dos exercícios foi demonstrada pela
aplicação ampla de testes em sala de aula. O livro foi redigido em um estilo informal
que, eu espero, você ache agradável e que o encoraje a realizar a leitura do mesmo. Finalmente, esforcei-me não apenas para que a física, um corpo de conhecimento técnico,
seja relevante em sua profissão, mas também para que a física constitua uma aventura
excitante da mente humana.
Tenho a esperança de que você se divirta durante o tempo que passarmos juntos.
Movimento circular não-uniforme:
xv
Sumário Resumido
VOLUME 1
Parte I As Leis de Newton
Parte III Aplicações da Mecânica
Newtoniana
Capítulo 1
Conceitos do Movimento
2
Capítulo 2
Cinemática em uma Dimensão
Capítulo 3
Vetores e Sistemas de
Coordenadas 72
34
Capítulo 4
Cinemática em duas Dimensões
90
Capítulo 5
Força e Movimento
Capítulo 6
Dinâmica I: Movimento ao Longo de
uma Reta 151
126
Capítulo 7
A Terceira Lei de Newton
183
Capítulo 8
Dinâmica II: Movimento no Plano
Capítulo 12
Rotação de um Corpo Rígido
Capítulo 13
A Teoria de Newton da Gravitação 385
Capítulo 14
Oscilações
Apêndice A
Revisão Matemática
410
A-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração
Ímpar R-1
Créditos
C-1
Índice I-1
210
Parte II Princípios de Conservação
Capítulo 9
Impulso e Momentum
Capítulo 10
Energia
267
Capítulo 11
Trabalho
302
240
VOLUME 2
Capítulo 15
Fluidos e Elasticidade
442
Parte IV Termodinâmica
Capítulo 16
Chapter 17
Capítulo 18
Uma Descrição Macroscópica da
Matéria 480
Trabalho, Calor e a Primeira Lei da
Termodinâmica 506
A Conexão Micro/Macro
541
340
Capítulo 19
Máquinas Térmicas e
Refrigeradores 566
Parte V Ondas e Óptica
Capítulo 20
Ondas Progressivas
602
Capítulo 21
Superposição
Capítulo 22
Óptica Ondulatória
670
Capítulo 23
Óptica Geométrica
700
634
xviii
Sumário Resumido
Capítulo 24
Instrumentos Ópticos
739
Capítulo 25
Óptica Moderna e Ondas de
Matéria 763
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração
Ímpar R-1
Créditos
Apêndice A
Revisão Matemática
A-1
Índice
Apêndice B
Tabela Periódica dos Elementos
C-1
I-1
B-1
VOLUME 3
Parte VI Eletricidade e Magnetismo
Capítulo 26
Cargas Elétricas e Forças
788
Capítulo 27
O Campo Elétrico
Capítulo 28
Lei de Gauss
Capítulo 29
O Potencial Elétrico
881
Capítulo 30
Potencial e Campo
911
Capítulo 31
Corrente e Resistência
Capítulo 32
Fundamentos de Circuitos
Capítulo 33
O Campo Magnético
818
850
Capítulo 34
Indução Eletromagnética
1041
Capítulo 35
Campos Eletromagnéticos e
Ondas 1084
Capítulo 36
Circuitos CA
Apêndice A
Revisão Matemática
1114
A-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração
Ímpar R-1
Créditos
941
967
Índice
C-1
I-1
998
VOLUME 4
Parte VII Relatividade e Física
Quântica
Capítulo 37
Relatividade
1142
Capítulo 38
O Fim da Física Clássica
Capítulo 39
Quantização 1208
Capítulo 40
Funções de Onda e Incerteza
Capítulo 41
Mecânica Quântica
Unidimensional 1262
1184
Capítulo 43
Física Nuclear
Apêndice A
Revisão Matemática
Apêndice B
Tabela Periódica dos Elementos
Apêndice C
Dados Atômicos e Nucleares
Física Atômica
1300
A-1
B-1
C-1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração
Ímpar R-1
1239
Créditos
Capítulo 42
1333
Índice
C-1
I-1
Sumário
INTRODUÇÃO
A Jornada na Física xxi
VOLUME 3
PARTE VI Eletricidade e Magnetismo
PANORAMA
Fenômenos e teorias 787
27.7 Movimento de um dipolo em um campo
elétrico 838
RESUMO 842
QUESTÕES E PROBLEMAS 843
Capítulo 28 Lei de Gauss 850
28.1
28.2
28.3
28.4
28.5
28.6
Simetria 850
O conceito de fluxo 854
O cálculo do fluxo elétrico 856
A lei de Gauss 861
Usando a lei de Gauss 865
Condutores em equilíbrio eletrostático 870
RESUMO 873
QUESTÕES E PROBLEMAS 874
Capítulo 29 O Potencial Elétrico 881
Capítulo 26 Cargas Elétricas e Forças
26.1
26.2
26.3
26.4
26.5
788
Desenvolvendo um modelo de carga 788
Carga 793
Isolantes e condutores 795
A lei de Coulomb 800
O modelo de campo 805
RESUMO 811
QUESTÕES E PROBLEMAS 812
Capítulo 27 O Campo Elétrico
818
27.1 Modelos de campo elétrico 818
27.2 Campo elétrico criado por múltiplas cargas
puntiformes 820
27.3 Campo elétrico criado por uma distribuição
contínua de carga 825
27.4 Campos elétricos criados por anéis, discos,
planos e esferas 829
27.5 O capacitor de placas paralelas 833
27.6 Movimento de uma partícula carregada em
um campo elétrico 835
28.1 Energia potencial elétrica 881
29.2 Energia potencial criada por uma carga
puntiforme 885
29.3 Energia potencial de um dipolo 889
29.4 Potencial elétrico 890
29.5 Potencial elétrico no interior de um capacitor
de placas paralelas 893
29.6 Potencial elétrico criado por uma carga
puntiforme 897
29.7 Potencial elétrico criado por várias cargas
puntiformes 899
RESUMO 903
QUESTÕES E PROBLEMAS 904
Capítulo 30 Potencial e Campo 911
30.1 Relacionando o potencial e o campo 911
30.2 Fontes de potencial elétrico 914
30.3 Determinando o campo elétrico a partir do
potencial 916
30.4 Condutor em equilíbrio eletrostático 921
30.5 Capacitância e capacitores 922
30.6 Energia armazenada em um capacitor 927
xx
Sumário
Capítulo 34 Indução Eletromagnética
30.7 Dielétricos 929
RESUMO 933
QUESTÕES E PROBLEMAS
934
Capítulo 31 Corrente e Resistência 941
31.1
31.2
31.3
31.4
31.5
A corrente de elétrons 941
Criando uma corrente 945
Corrente e densidade de corrente 950
Condutividade e resistividade 954
Resistência e lei de Ohm 956
RESUMO 961
QUESTÕES E PROBLEMAS 962
Capítulo 32 Fundamentos de Circuitos 967
32.1
32.2
32.3
32.4
32.5
32.6
32.7
32.8
32.9
Elementos e diagramas de circuitos 967
Leis de Kirchhoff e o circuito básico 968
Energia e potência 972
Resistores em série 975
Baterias reais 978
Resistores em paralelo 980
Circuitos resistivos 983
Aterramento 985
Circuitos RC 987
RESUMO 990
QUESTÕES E PROBLEMAS 991
Capítulo 33 O Campo Magnético 998
33.1 Magnetismo 998
33.2 A descoberta do campo magnético 1000
33.3 As fontes do campo magnético: cargas em
movimento 1003
33.4 O campo magnético produzido por uma
corrente 1005
33.5 Dipolos magnéticos 1009
33.6 A lei de Ampère e os solenóides 1012
33.7 Força magnética sobre uma carga em
movimento 1018
33.8 Forças magnéticas sobre fios condutores de
corrente 1024
33.9 Forças e torques sobre espiras de
corrente 1026
33.10 Propriedades magnéticas da matéria 1028
RESUMO 1032
QUESTÕES E PROBLEMAS 1033
1041
34.1 Correntes induzidas 1041
34.2 Fem de movimento 1043
34.3 O fluxo magnético 1048
34.4 A lei de Lenz 1051
34.5 A lei de Faraday 1055
34.6 Campos induzidos 1059
34.7 Correntes induzidas: três aplicações 1062
34.8 Indutores 1064
34.9 Circuitos LC 1069
34.10 Circuitos LR 1072
RESUMO 1074
QUESTÕES E PROBLEMAS 1075
Capítulo 35 Campos Eletromagnéticos e
Ondas 1084
E ou B? Depende do ponto de vista 1084
As leis de campo até aqui 1091
Corrente de deslocamento 1092
As equações de Maxwell 1095
Ondas eletromagnéticas 1097
Propriedades das ondas
eletromagnéticas 1102
35.7 Polarização 1105
RESUMO 1108
QUESTÕES E PROBLEMAS 1109
35.1
35.2
35.3
35.4
35.5
35.6
Capítulo 36 Circuitos CA
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
PARTE VI RESUMO
1114
Fontes CA e fasores 1114
Circuitos capacitivos 1117
Circuitos com filtro RC 1119
Circuitos indutivos 1122
O circuito RLC em série 1124
Potência em circuitos CA 1127
RESUMO 1131
QUESTÕES E PROBLEMAS 1132
Eletricidade e Magnetismo 1138
Apêndice A Revisão Matemática A1
Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração
Ímpar R1
Créditos C1
Índice I1
Introdução
A Jornada na Física
Alice disse ao gato Cheshire,
“Gatinho Cheshire, poderia me dizer, por favor, qual o caminho para sair daqui?”
“Isso depende muito do lugar aonde você deseja ir”, disse o gato.
“Não me importa muito onde ...”, disse Alice.
“Neste caso não importa qual o caminho que você pegue”, disse o gato.
— Lewis Carrol, Alice no País das Maravilhas
Talvez você já tenha se indagado a respeito de questões, como:
Por que o céu é azul?
Por que o vidro é um isolante, enquanto um metal é um condutor?
O que é, realmente, um átomo?
Estas são questões das quais a física é feita. Os físicos tentam entender o universo em
que vivemos através da observação dos fenômenos da natureza ⫺ como o céu ser azul ⫺
e da procura por padrões e princípios que expliquem tais fenômenos. Muitas das descobertas feitas pelos físicos, desde ondas eletromagnéticas até a energia nuclear, alteraram
para sempre a maneira como vivemos e pensamos.
Você está para embarcar em uma jornada para o reino da física. Trata-se de uma jornada em que você aprenderá sobre muitos fenômenos físicos e obterá as respostas para
questões tais como as que citamos acima. Ao longo do caminho, você também aprenderá
como usar a física para analisar e resolver muitos problemas práticos.
Enquanto prossegue, você vai conhecer os métodos com os quais os físicos chegam
a compreender as leis da natureza. As idéias e as teorias dos físicos não são arbitrárias;
elas são firmemente alicerçadas em experimentos e medições. Quando você terminar de
estudar este texto, será capaz de reconhecer as evidências sobre as quais está baseado
nosso presente conhecimento sobre o universo.
xxii
Introdução
Por qual caminho devemos seguir?
Aqui, no começo da jornada, somos muito parecidos com Alice no país das maravilhas por
termos de decidir qual caminho seguir. A física é um imenso corpo de conhecimento, e,
sem objetivos específicos, não importaria que assuntos estudássemos. Todavia, diferentemente de Alice, nós temos de fato alguns destinos particulares que gostaríamos de visitar.
A física que constitui o alicerce para toda a ciência e a engenharia modernas pode ser
dividida em três grandes categorias:
■ Partículas e energia
■ Campos e ondas
■ A estrutura atômica da matéria
Um microscópio de varredura por
tunelamento nos permite “ver” os átomos
individuais de uma superfície. Um de
nossos objetivos é compreender como
uma imagem dessas é obtida.
Uma partícula, no sentido em que usaremos este termo, é uma idealização de um
objeto físico. Faremos uso da idéia de partícula para entender como os objetos se movem
e como interagem uns com os outros. Uma das mais importantes propriedades de uma
partícula ou de uma coleção de partículas é a energia. Estudaremos a energia por seu
valor na compreensão de processos físicos e por causa de sua importância prática em
uma sociedade tecnológica.
Partículas são objetos discretos e localizados. Embora muitos fenômenos possam
ser compreendidos em termos de partículas e de suas interações, as interações de ação a
distância da gravidade, da eletricidade e do magnetismo são mais bem-compreendidas
em termos de campos, tais como o campo gravitacional e o campo elétrico. Em vez de
serem discretos, os campos espalham-se continuamente através do espaço. Boa parte da
segunda metade deste livro se concentrará na compreensão dos campos e das interações
entre campos e partículas.
Certamente uma das mais importantes descobertas dos últimos 500 anos é que a
matéria é constituída por átomos. Os átomos e suas propriedades são descritos pela física
quântica, porém não podemos saltar diretamente para este assunto e esperar que ele faça
algum sentido. Para chegar ao nosso destino, vamos ter de estudar muitos outros assuntos ao longo do caminho ⫺ como ter de passar pelas Montanhas Rochosas se deseja ir de
carro de Nova York a São Francisco. Todo nosso conhecimento a respeito de partículas e
campos estará em ação quando, no fim de nossa jornada, estivermos estudando a estrutura atômica da matéria.
A rota a seguir
Aqui, no início, podemos ter uma panorâmica da rota a seguir. Aonde nossa jornada nos
levará? O que veremos ao longo do caminho?
topo
res
res
fundo
As Partes I e II, as Leis de Newton e os Princípios de conservação, constituem a base do
que chamaremos de mecânica clássica. A mecânica clássica é o estudo do movimento.
(Ela é chamada de clássica para que possamos distingui-la da teoria moderna do movimento em nível atômico, que é chamada de mecânica quântica.) Estas duas primeiras
partes estabelecem a linguagem e os conceitos básicos do movimento. A Parte I examinará o movimento em termos de partículas e de forças. Usaremos esses conceitos para
analisar o movimento de qualquer coisa, desde velocistas até satélites em órbita. Na
Parte II, introduziremos as idéias de momentum e energia. Esses conceitos ⫺ especialmente o de energia ⫺ nos darão novas perspectivas acerca do movimento e ampliarão
nossas habilidades de analisar movimentos.
Introdução
xxiii
A Parte III, Aplicações da mecânica newtoniana,
examinará quatro importantes aplicações da mecânica
clássica: a teoria de Newton da gravitação, o movimento de rotação, os movimentos oscilatórios e o movimento de fluidos. Apenas as oscilações constituem um
pré-requisito para os capítulos posteriores.
A Parte IV, Termodinâmica, estende as idéias de partículas e de energia a sistemas tais como líquidos e gases
que contêm um enorme número de partículas. Aqui examinaremos as relações entre o comportamento microscópico de um grande número de átomos e as propriedades macroscópicas de volumes de matéria. Você
constatará que algumas das propriedades dos gases que
você conhece da química, como a lei dos gases ideais, são conseqüências diretas da estrutura atômica subjacente do gás. Também estenderemos o conceito de energia e aprofundaremos o estudo de como a energia é transferida e utilizada.
As ondas são de natureza onipresente, sejam elas oscilações em larga escala como as
ondas oceânicas, o movimento menos óbvio das ondas sonoras ou as sutis ondulações
das ondas luminosas e das ondas de matéria que nos levarão ao coração da estrutura
atômica da matéria. Na Parte V, Ondas e Óptica, enfatizaremos a unidade da física ondulatória e verificaremos que muitos fenômenos ondulatórios diferentes podem ser analisados com os mesmos conceitos e a mesma linguagem matemática. É aqui que começaremos a acumular evidências de que a teoria da mecânica clássica é inadequada para
explicar o comportamento observado dos átomos, e terminaremos esta seção com alguns
enigmas que parecem desafiar nossa compreensão.
Aumentando U
Terminal positivo
Fluxo
de íons
A Parte VI, Eletricidade e Magnetismo, é devotada à força eletromagnética, uma das mais
importantes da natureza. Essencialmente, a força eletromagnética é a “cola” que mantêm os
átomos juntos. Ela é também a força que faz de
nossa época a “era eletrônica”. Iniciaremos esta
parte da jornada com observações simples a respeito da eletricidade estática. Passo a passo, seremos levados às idéias básicas subjacentes aos
circuitos elétricos, ao magnetismo e, por fim, à
descoberta das ondas eletromagnéticas.
Terminal negativo
A Parte VII é sobre Relatividade e Física
Quântica. Iniciaremos explorando o estranho
A escada rolante de cargas as “eleva” do
mundo da teoria da relatividade de Einstein, um
terminal negativo para o positivo. A carga
mundo em que o espaço e o tempo não são o
q adquire energia ⌬U ⫽ q⌬Vbat.
que parecem ser. Depois entraremos no domínio
microscópico dos átomos, onde o comportamento da luz e da matéria é completamente
estranho frente ao que nosso senso comum nos diz ser possível. Embora a matemática da
teoria quântica esteja muito além do nível deste livro, e o tempo esteja acabando, você
verificará que a teoria quântica dos átomos e dos núcleos explica muito do que você
aprendeu, simplesmente, como regras da química.
Não visitaremos toda a física em nossa jornada. Não há tempo suficiente. Muitos
tópicos entusiasmantes, indo desde os quarks até os buracos negros, terão de permanecer
inexplorados para nós. Mas esta jornada particular não precisa ser a última. Quando você
terminar este texto, terá a base e a experiência para explorar novos assuntos em cursos
ainda mais avançados ou por própria conta.
Os átomos são mantidos juntos
por meio de fracas ligações
moleculares, mas podem deslizar
uns sobre os outros.
Líquido
Rarefação
Compressão
Alto-falante
som
Moléculas
Moléculas individuais oscilam de
um lado para o outro com deslocamentos D.
Enquanto fazem isso, as compressões se
propagam para frente com velocidade vsom.
Uma vez que as compressões correspondem
a regiões de pressão mais alta, pode-se
conceber uma onda sonora como uma onda
de pressão.
Este desenho de um átomo precisaria ter 10 m
de diâmetro a fim de estar na mesma escala que
o ponto que representa o núcleo.
Átomo
Núcleo
Núcleons
(prótons e nêutrons)
Eletricidade e
VI Magnetismo
P A R T E
Este circuito
integrado
contém milhões
de elementos
de circuito.
A densidade
destes elementos
nos circuitos
integrados tem
dobrado a cada
18 meses nos
últimos 30 anos.
A manutenção
dessa tendência
depende da
compreensão,
pelos cientistas e
engenheiros, da
física de circuitos
elétricos em escala
nanométrica.
Panorama
Fenômenos e Teorias
O âmbar, ou resina de árvore fossilizada, há muito tempo é apreciada por sua beleza. Hoje
em dia o interesse científico no âmbar se deve ao fato de que os biólogos aprenderam a
recuperar segmentos de DNA de insetos capturados nessa resina há milhões de anos. Mas o
âmbar também tem uma conexão científica antiga. A palavra grega para âmbar é elétron.
Sabe-se desde a Antigüidade que friccionar um pedaço de âmbar com a pele pode tornálo capaz de atrair penas ou palha – poderes aparentemente mágicos nas sociedades précientíficas. Também era do conhecimento dos antigos gregos que certas pedras de uma
região que eles chamavam de Magnesia podiam erguer pequenos pedaços de ferro. Foi a
partir desse humilde começo que chegamos hoje aos computadores de alta performance,
aos lasers e às imagens por ressonância magnética, assim como aos milagres comuns do
mundo moderno, tais como a lâmpada elétrica.
Os fenômenos básicos da eletricidade e do magnetismo não nos são tão familiares
quanto aqueles da mecânica. Passamos a vida inteira exercendo forças sobre objetos e observando-os se moverem, mas nossa experiência com a eletricidade e com o magnetismo,
provavelmente, é muito mais limitada. Enfrentaremos essa limitação em experiência enfatizando os fenômenos da eletricidade e do magnetismo.
Comecemos olhando em detalhe para a carga elétrica e para o processo de eletrização
de um objeto. É fácil fazer observações sistemáticas sobre o comportamento das cargas, e
iremos considerar as forças entre as cargas e o seu comportamento em diferentes materiais.
Além disso, nosso estudo do magnetismo se concentrará na observação de como os ímãs
atraem certos metais, e não, outros, e de como ímãs afetam as agulhas das bússolas. Mas
nossa observação mais importante será a de que uma corrente elétrica afeta a agulha de uma
bússola exatamente da mesma maneira como faz um ímã. Tal observação, sugerindo uma
ligação entre a eletricidade e o magnetismo, nos levará à descoberta das ondas eletromagnéticas.
Na Parte VI, nosso objetivo é desenvolver uma teoria para explicar os fenômenos da
eletricidade e do magnetismo. O cerne da teoria será o conceito inteiramente novo de campo. A eletricidade e o magnetismo tratam da interação de ação a distância entre cargas,
sejam elas cargas estáticas ou cargas em movimento, e o conceito de campo nos ajudará a
entender como ocorrem essas interações. Queremos saber como os campos são criados pelas cargas e como as cargas, em contrapartida, respondem a estes campos. Bit a bit, iremos
construir uma teoria – baseada nos novos conceitos de campos elétrico e magnético – que
nos permita compreender, explicar e prever o comportamento eletromagnético em uma
larga escala.
A história da eletricidade e do magnetismo é vasta. A formulação da teoria eletromagnética no século XIX gerou uma grande revolução na ciência e na tecnologia, tendo sido
chamada por ninguém menos que Einstein de “o evento mais importante da física desde a
época de Newton”. Portanto, tudo o que podemos fazer neste livro é desenvolver algumas
das idéias e dos conceitos mais básicos, deixando muitos detalhes e aplicações para cursos
avançados. Ainda assim, nosso estudo da eletricidade e do magnetismo irá explorar um dos
tópicos mais empolgantes e importantes da física.
26 Cargas Elétricas
e Forças
O raio é uma manifestação viva das
cargas e forças elétricas.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 26 é
desenvolver uma compreensão básica
dos fenômenos elétricos em termos
de cargas, forças e campos. Neste
capítulo, você aprenderá a:
■ Usar um modelo de carga para
explicar fenômenos elétricos
básicos.
■ Compreender as propriedades
elétricas de isolantes e condutores.
■ Usar a lei de Coulomb para calcular
a força elétrica entre duas cargas.
■ Usar o modelo de campo para
explicar a interação a distância
entre duas cargas.
■ Calcular e representar o campo
elétrico de uma carga puntiforme.
Em retrospectiva
A análise matemática das forças e dos
campos elétricos faz uso extensivo da
soma vetorial. Em muitos aspectos, a
força elétrica é análoga à da gravidade.
Revise:
■ Seções 3.2 – 3.4 Propriedades dos
vetores e soma vetorial
■ Seções 13.3 e 13.4 Teoria de
Newton da gravitação
A força elétrica é uma das forças fundamentais da natureza. Algumas vezes, como nes-
ta descarga elétrica, as forças elétricas podem ser selvagens e incontroláveis. Por outro
lado, a eletricidade sob controle é o fundamento da nossa sociedade moderna e tecnológica. Os dispositivos elétricos variam desde lâmpadas elétricas e motores a computadores e equipamento médico. Tente imaginar como seria viver sem a eletricidade!
Mas como controlamos e lidamos com essa força? Quais são as propriedades da
eletricidade e das forças elétricas? Como geramos, transportamos e usamos a eletricidade? Essas são as questões que iremos explorar na Parte VI. A eletricidade é um assunto
vasto, de modo que não poderemos responder a todas as questões de uma vez.
Começaremos pela investigação de alguns dos fenômenos mais básicos da eletricidade. É difícil perceber o que bastões de plástico e lã têm a ver com computadores e
geradores elétricos, mas apenas se começarmos bem do início, com simples observações, é que poderemos desenvolver a compreensão necessária para usar a eletricidade
de maneira controlada.
26.1 Desenvolvendo um modelo de carga
Você pode receber um choque fraco, mas desagradável, ou produzir uma pequena faísca
ao tocar em uma maçaneta metálica após caminhar sobre um tapete. Friccionar vigorosamente seu cabelo recém-lavado e seco fará com que os fios fiquem eriçados. Um
CAPÍTULO 26
■
Cargas Elétricas e Forças
789
pente de plástico que você passar pelos cabelos atrairá pequenos pedaços de papel e outros objetos, porém um pente metálico não fará o mesmo.
O aspecto comum a essas observações é que dois objetos foram friccionados. Por
que a fricção de um objeto deveria causar forças ou faíscas? Que tipos de forças são essas? Por que os objetos de metal se comportam diferentemente dos não-metálicos? Essas
são as questões com as quais começaremos nosso estudo da eletricidade.
Nossa primeira meta é desenvolver um modelo para a compreensão do fenômeno
elétrico em termos de cargas e forças. Futuramente, usaremos nosso conhecimento atual
dos átomos para compreender a eletricidade em nível microscópico, todavia os conceitos
básicos da eletricidade não se referem especificamente a átomos ou elétrons. A teoria da
eletricidade foi bem-estabelecida muito antes da descoberta do elétron.
Experimentos com cargas
Entremos em um laboratório onde possamos fazer observações de fenômenos elétricos. Trata-se de um laboratório modesto, parecido com o que encontraríamos no ano de
1800. As principais ferramentas do laboratório são:
■ Uma variedade de bastões de plástico e de vidro, com vários centímetros de compri-
Um pente de plástico que foi carregado
pelo atrito com seus cabelos atrai objetos
neutros, tais como pedacinhos de papel
ou, como visto aqui, pingos de água.
mento. Eles podem ser manuseados ou suspensos por um fio em um suporte.
■ Alguns bastões com punho de madeira.
■ Pedaços de lã e de seda.
■ Pequenas esferas de metal, com 2,5 a 5 cm de diâmetro, presas em suportes de
madeira.
Vamos ver o que podemos aprender com essas ferramentas.
Descobrindo a eletricidade I
Experimento 1
Bastões que não
foram friccionados
Plástico
Experimento 2
Plástico friccionado
com lã
Plástico
Pegue um bastão de plástico que
não foi perturbado por um longo
período de tempo e pendure-o por
um fio. Pegue outro bastão,
também de plástico e nãoperturbado por um longo período
de tempo, e o aproxime do bastão
pendurado. Nada acontece a
qualquer um dos dois.
Friccione separadamente, com lã, o
bastão de plástico pendurado e o
que está na sua mão. Depois disso,
quando você aproxima o bastão
que está em sua mão do bastão
pendurado, este tende a se
afastar. Dois bastões de vidro
friccionados com seda também
passarão a se repelir.
Experimento 3
Plástico
friccionado
com lã
Vidro friccionado
com seda
Experimento 4
Distância aumentada
Aproxime agora o bastão de
Observações adicionais mostram
vidro, que foi friccionado com
que:
seda, do bastão de plástico
Essas forças são maiores para
pendurado, que foi friccionado
os bastões que foram fricciocom lã. Os dois objetos passam,
nados mais vigorosamente.
então, a se atrair.
A intensidade das forças
diminui com o aumento da
distância entre os bastões.
No Expermiento 1, não são observadas forças. Dizemos que os objetos originais
são neutros. Friccionar os bastões (Experimentos 2 e 3), de alguma maneira, faz com
que eles passem a exercer força um sobre o outro. Chamamos de carregar ou eletrizar o
processo de fricção descrito aqui, e dizemos que o bastão friccionado foi carregado ou
eletrizado. Por hora, esses termos são, simplesmente, descritivos. Eles não nos dizem
nada a respeito do processo em si.
O Experimento 2 mostra que existe uma força repulsiva de ação a distância entre dois
objetos idênticos que foram carregados da mesma maneira, tal como os dois bastões de
plástico que foram friccionados com lã no experimento descrito. Além disso, o Experimento
4 mostra que a força entre dois objetos carregados depende da distância entre eles. Essa é a
primeira força de ação a distância com que nos deparamos desde a introdução da gravidade,
no Capítulo 5. É também a primeira vez que observamos uma força repulsiva, de modo que,
veremos, serão necessárias novas idéias para a compreensão da eletricidade.
790
Física: Uma Abordagem Estratégica
O Experimento 3 constitui um enigma. Os dois bastões parecem ter sido carregados da
mesma maneira, ou seja, por fricção, mas os dois se atraem ao invés de se repelirem. Por que
o resultado do Experimento 3 difere daquele do Experimento 2? De volta ao laboratório.
Descobrindo a eletricidade II
Experimento 5
Bastão carregado
Segure um bastão de plástico carregado (i.e., que foi friccionado) acima de pequenos pedaços de papel sobre uma mesa. Os pedaços de papel saltam e se grudam ao bastão. O mesmo
ocorre com um bastão de vidro que tenha sido carregado. Entretanto, um bastão neutro não
afeta os pedaços de papel.
Papel
Experimento 6
Bastão
carregado
Friccione um bastão de plástico com lã, e um bastão de vidro, com seda. Erga ambos por
meio de suportes separados por certa distância. Ambos são atraídos por um bastão de plástico neutro (i.e., não-friccionado) mantido próximo. Curiosamente ambos são atraídos
também por um bastão neutro de vidro. Na verdade, os bastões carregados são atraídos por
qualquer objeto neutro, tal como um dedo, um pedaço de papel ou um bastão de metal.
Bastão neutro
Experimento 7
Seda usada para
friccionar o vidro
Bastão de plástico
carregado
Lã usada para
friccionar o plástico
Friccione com lã um bastão de plástico suspenso e, depois, segure a lã próxima ao bastão.
O bastão é fracamente atraído pela lã, e o bastão de plástico é repelido pelo pedaço de
seda que foi usado para friccionar o vidro.
Experimento 8
Experimentos adicionais revelam que:
Bastão
de plástico
carregado
Bastão
de vidro
carregado
Outros objetos, após serem friccionados, atraem um dos bastões previamente carregados
que estão suspensos (de plástico ou de vidro) e que se repelem. Os objetos carregados
sempre atraem pequenos pedaços de papel.
Aparentemente não há objetos que, após terem sido friccionados, passem a atrair pedaços de papel e, simultaneamente, o bastão de plástico e o de vidro.
Objeto carregado
Nosso primeiro conjunto de experimentos revelou que objetos carregados exercem
forças uns sobre os outros. As forças às vezes são atrativas, e outras vezes, repulsivas.
Os Experimentos 5 e 6 indicam que existe uma força atrativa entre um objeto carregado
e qualquer objeto neutro (não-carregado). Tal descoberta nos apresenta um problema:
como podemos descobrir se um objeto está carregado ou neutro? Pelo fato de existir
força atrativa entre um objeto carregado e qualquer objeto neutro, a simples observação
de uma força elétrica não indica qual é o objeto que está carregado.
Entretanto, a característica importante de qualquer objeto carregado parece ser a de
que todo objeto carregado atrai pequenos pedaços de papel. Esse comportamento
fornece um teste direto que nos possibilita responder à questão “Tal objeto está carregado?” Se ele passar no teste de atrair o papel, estará carregado; caso falhe no teste, o
objeto estará neutro.
Estas observações nos levam a avançar numa tentativa de propor os primeiros passos
para um modelo de carga.
MODELO DE CARGA, PARTE I Os postulados básicos do nosso modelo são:
1. Forças de atrito, como o da fricção, adicionam algo chamado de carga a um
objeto ou a removem do mesmo. O processo é chamado de carregamento ou
eletrização. Quanto maior for a intensidade da fricção, maior será a quantidade
de carga produzida no processo.
CAPÍTULO 26
■
Cargas Elétricas e Forças
791
2. Há dois, e somente dois, tipos de carga. Por hora, chamaremos essas cargas
de “carga do plástico” e “carga do vidro”. Outros objetos, às vezes, podem ser
carregados por fricção, mas a carga que eles recebem é “carga do plástico” ou
“carga do vidro”.
3. Duas cargas de mesmo tipo (plástico/plástico ou vidro/vidro) exercem forças
repulsivas uma sobre a outra. Duas cargas opostas (plástico/vidro) se atraem.
4. A força entre duas cargas é de ação a distância. Ela aumenta à medida que aumentamos a quantidade de carga e diminui quando aumenta a distância entre as cargas.
5. Os objetos neutros contêm uma mistura igual de ambos os tipos de carga, “carga
do plástico” e “carga do vidro”. O processo de fricção, de alguma forma, separa
os dois tipos.
O postulado 2 é baseado no Experimento 8. Se um objeto está carregado (i.e., se
ele atrai papel), ele sempre irá atrair um dos bastões previamente carregados e repelir o
outro. Ou seja, ele se comporta como se fosse uma “carga do plástico” ou uma “carga
do vidro”. Se existisse um terceiro tipo de carga, diferente dos dois primeiros, um objeto
que contivesse este tipo de carga iria atrair o papel e ambos os bastões. Objetos como
esses nunca foram encontrados.
A base do postulado 5 é a observação do Experimento 7, em que um bastão plástico
carregado é atraído pela lã que foi usada para esfregá-lo, todavia é repelido pela seda que
foi friccionada com vidro. Parece que a fricção do vidro fez com que a seda adquirisse
a “carga do plástico”. A maneira mais fácil de explicar isso é supor que a seda possua
quantidades iguais de “carga do plástico” e “carga do vidro” no início, e que a fricção,
de alguma maneira, transferiu “carga do vidro” da seda para o bastão. Isso ocasiona um
excesso de “carga do vidro” no bastão e um excesso de “carga do plástico” na seda.
Embora o modelo de carga seja consistente com as observações, ele ainda não está
provado. Podemos facilmente imaginar outras hipóteses que sejam tão consistentes com
as observações limitadas que fizemos quanto as que foram feitas anteriormente. Ainda teremos alguns grandes enigmas por explicar, como o porquê de objetos carregados
exercerem forças atrativas sobre objetos neutros.
Propriedades elétricas dos materiais
Ainda temos de esclarecer como diferentes tipos de materiais respondem às cargas.
Descobrindo a eletricidade III
Esfera de metal
adquire “carga do
plástico.”
Experimento 9
Metal
Plástico
carregado
Experimento 10
Bastão que
foi carregado
Eletrize um bastão de plástico e, depois, passe seu dedo ao longo do mesmo. Após isso, o
bastão não atrairá novamente os pequenos pedaços de papel ou não repelirá o bastão de
plástico suspenso. Analogamente, a esfera de metal do Experimento 9 não repelirá mais o
bastão de plástico após você tê-lo tocado com o dedo.
Papel
Experimento 11
Esta esfera
permanece Metal
neutra.
Metal
Plástico
carregado
Bastão de
plástico
Esta esfera
Metal
adquiriu
“carga do
plástico.”
Eletrize um bastão de plástico friccionando-o com a lã. Encoste a área carregada do bastão
a uma esfera de metal neutra. A esfera passará, agora, a atrair pequenos pedaços de papel, e
a repelir o bastão de plástico suspenso que fora previamente carregado. A esfera de metal
aparenta ter adquirido “carga do plástico”.
Experimento 12
Metal
Bastão de
metal
Mantenha duas esferas de metal próximas uma da outra presas às extremidades de um
bastão de plástico. Por fricção, eletrize um segundo bastão de plástico e o encoste a uma
das esferas de metal. Após isso, a esfera de metal que foi tocada passará a atrair pequenos
pedaços de papel e a repelir o bastão de plástico previamente carregado e suspenso.
Com a outra esfera nada acontece.
Plástico
carregado
Repita o Experimento 11 com as duas esferas de metal agora presas às extremidades de um
bastão metálico. Encoste um bastão de plástico carregado em uma das esferas de metal.
Após isso, ambas as esferas de metal passarão a atrair pequenos pedaços de papel e a repelir o bastão de plástico previamente carregado e suspenso.
792
Física: Uma Abordagem Estratégica
Nosso conjunto final de experimentos revelou que
■ A carga pode ser transferida de um objeto para outro, mas apenas quando os objetos
se tocam. É necessário haver contato. O ato de remover a carga de um objeto, o que
se pode fazer simplesmente tocando nele, é chamado de descarregamento.
■ Há dois tipos ou duas classes de materiais com propriedades elétricas muito distintas. Nós os chamamos de condutores e de isolantes.
O Experimento 12, no qual é usado um bastão de metal, está em franco contraste
com o Experimento 11. De alguma forma, a carga se move através ou ao longo de
um bastão de metal, indo de uma esfera para outra, mas permanece fixa no seu lugar
em um bastão de plástico ou de vidro. Vamos definir os condutores como aqueles
materiais nos quais a carga pode se mover livremente, e os isolantes como aqueles
materiais nos quais a carga permanece imóvel. O plástico e o vidro são isolantes; o
metal é um condutor.
Essa informação nos permite adicionar mais dois postulados ao nosso modelo de
carga:
MODELO DE CARGA, PARTE II
6. Há dois tipos de materiais. Os condutores são materiais através dos ou nos quais
a carga pode facilmente se mover. Os isolantes são materiais através dos ou nos
quais as cargas permanecem em locais fixos.
7. A carga pode ser transferida de um objeto para outro por contato.
NOTA Isolantes e condutores podem ser eletrizados. Eles diferem quanto à mobilidade da carga. Não exaurimos o número de experimentos e de observações que ainda podemos tentar. As primeiras investigações científicas se depararam com estes e com muitos outros
resultados. Além disso, muitos dos experimentos eram difíceis de reproduzir com boa
precisão. Como podemos dar sentido a tudo isso? O modelo de carga parece promissor,
todavia certamente não foi provado. Não explicamos ainda como os objetos carregados
exercem forças atrativas sobre os objetos neutros, tampouco em que consiste a carga,
como ela é transferida ou por que ela se move através de alguns objetos, e não, de outros.
No entanto tiraremos vantagem da nossa visão retrospectiva histórica e continuaremos
a nos dedicar a esse modelo. Nos exercícios propostos você irá praticar o emprego do
modelo na explicação de outras observações.
EXEMPLO 26.1 Transferindo carga
No Experimento 12, tocar uma esfera de metal com um bastão de
plástico carregado fez com que uma segunda esfera de metal adquirisse o mesmo tipo de carga do bastão. Use os postulados do modelo de
carga para explicar este fato.
RESOLUÇÃO Precisamos das seguintes hipóteses do modelo de carga:
1. A carga é transferida por contato.
2. O metal é um condutor.
3. Cargas de mesmo tipo se repelem.
PARE E PENSE 26.1
O bastão de plástico foi carregado pela fricção com a lã. A carga não
se move pelo bastão, pois ele é um isolante, mas uma parte da “carga
do plástico” é transferida ao metal no contato. Uma vez no metal,
que é um condutor, as cargas estão livres para se moverem através do
material. Além disso, devido ao fato de que cargas iguais se repelem,
as “cargas do plástico” rapidamente se afastam umas das outras o máximo possível. Algumas se movem através do bastão de metal para a
segunda esfera. Conseqüentemente, a segunda esfera adquire “carga
do plástico”.
Para determinar se um objeto tem “carga do vidro”, você necessita:
a. Verificar se o objeto atrai um bastão de plástico carregado.
b. Verificar se o objeto repele um bastão de vidro carregado.
c. Fazer ambos, a e b.
d. Fazer a ou b.
CAPÍTULO 26
■
Cargas Elétricas e Forças
793
26.2 Carga
Como você provavelmente sabe, os nomes dados atualmente aos dois tipos de carga são
carga positiva e carga negativa. Talvez você se surpreenda ao saber que esses nomes foram cunhados por Benjamin Franklin. Franklin descobriu que a carga se comporta como
os números positivos e negativos. Se um bastão de plástico está carregado duplamente
por fricção e transfere uma dupla carga para uma esfera de metal, as forças elétricas
exercidas pela esfera serão dobradas. Ou seja, 2 2 4. Mas a esfera se encontra neutra após receber iguais quantidades da “carga do plástico” e da “carga do vidro”. Isso se
parece com a operação 2 (2) 0. Estes experimentos estabelecem uma importante
propriedade da carga.
Então, o que é positivo e o que é negativo? Isso depende apenas de nós! Franklin
estabeleceu a convenção de que um bastão de vidro friccionado com seda torna-se
carregado positivamente. É isso. Qualquer outro objeto que repila um bastão de vidro
carregado também estará carregado positivamente. E qualquer objeto que atraia um bastão de vidro carregado estará carregado negativamente. Portanto, um bastão de plástico
friccionado com lã torna-se carregado negativamente. Somente muito tempo depois
disso, com a descoberta dos elétrons e dos prótons, foi verificado que os elétrons são
atraídos por um bastão de vidro carregado, enquanto os prótons são repelidos por ele.
Portanto, por convenção, os elétrons têm carga negativa, e os prótons, carga positiva.
NOTA Teria sido melhor se Franklin tivesse feito uma escolha oposta. Os elétrons
são os formadores das correntes elétricas em metais, e a convenção de assinalar
uma carga negativa para os elétrons irá apresentar futuramente algumas dificuldades de sinal que poderiam ser evitadas se os elétrons fossem considerados como
positivos. Átomos e eletricidade
Voltemos rapidamente ao século XXI. A teoria da eletricidade foi desenvolvida sem o
conhecimento da existência dos átomos, mas não há razão para continuarmos a desprezar essa parte importante de nossa perspectiva atual. Por enquanto, prosseguiremos sem
demonstrar algumas das características importantes dos átomos e da matéria. Oportunamente você aprenderá as evidências experimentais que embasam tais afirmações.
A FIGURA 26.1 mostra que todo átomo consiste de um núcleo muito pequeno e denso
14
(diâmetro 10 ) circundado por elétrons, de massa muito menor do que o núcleo, or15
bitando em torno do mesmo. As freqüências orbitais dos elétrons são tão grandes (10
revoluções por segundo) que os elétrons parecem formar uma nuvem eletrônica com diâ10
4
metro 10 m, um fator 10 maior do que o núcleo. De fato, a dualidade onda-partícula
da física quântica destrói qualquer noção de trajetória bem-definida para um elétron, e
tudo o que nós sabemos sobre os elétrons é o tamanho e a forma da nuvem eletrônica.
Experimentos realizados no fim do século XIX – experimentos que estudaremos
na Parte VI – revelaram que os elétrons são partículas de carga negativa e de massa. O
núcleo é uma estrutura composta, que consiste de prótons, que são partículas carregadas
positivamente, e de nêutrons neutros. O átomo é mantido coeso pela força elétrica atrativa entre o núcleo positivo e os elétrons negativos.
Uma das descobertas mais importantes é de que a carga, como a massa, é uma
propriedade inerente de prótons e elétrons. É tão impossível haver um elétron desprovido de carga quanto o mesmo existir sem massa. Tanto quanto podemos saber atualmente, elétrons e prótons possuem cargas com sinais opostos e com exatamente o mesmo valor absoluto. (Experimentos realizados com muito cuidado nunca revelaram
diferenças.) Essa unidade de carga em nível atômico, chamada de unidade fundamental
de carga, é representada pelo símbolo e. A Tabela 26.1 mostra as massas e as cargas de
prótons e de elétrons. Precisamos definir uma unidade de carga, o que faremos na Seção
26.5, antes de especificarmos quanto vale a carga e.
A conexão micro/macro
Os elétrons e os prótons são as cargas básicas da matéria elementar. Conseqüentemente, as várias observações feitas na Seção 26.1 precisam ser explicadas em termos de
elétrons e de prótons.
O núcleo, exagerado para visualização,
contém prótons positivos.
A nuvem eletrônica é carregada negativamente.
FIGURA 26.1 Um átomo.
TABELA 26.1 Prótons e elétrons
Partícula
Massa (kg)
Carga
Próton
1,67 10
27
e
Elétron
9,11 1031
e
794
Física: Uma Abordagem Estratégica
NOTA Elétrons e prótons são partículas da matéria. Seus movimentos são governados pelas leis de Newton. Elétrons podem se mover de um objeto para outro quando
os objetos estão em contato, mas nem elétrons e nem prótons podem saltar de um
objeto para outro através do ar. Um objeto não se torna carregado simplesmente por
ter sido colocado próximo a um objeto carregado. A carga é representada pelo símbolo q (algumas vezes Q). Objetos macroscópicos
como o bastão de plástico têm uma carga
q Np e – Ne e (Np – Ne) e
Íon positivo
O átomo perdeu um elétron, ficando com uma
carga líquida positiva.
(26.1)
onde Np e Ne são, respectivamente, o número de prótons e o número de elétrons contidos
no objeto. A maioria dos objetos macroscópicos tem um número igual de prótons e elétrons e, portanto, tem q 0. Um objeto sem carga líquida (i.e., q 0) é considerado
eletricamente neutro.
NOTA Neutro não significa “sem cargas”, e sim, que não possui uma carga líquida.
Um volume de 1 cm de um sólido comum contém 10 elétrons e um número igual de
prótons. Trata-se de um número enorme de cargas, mas a maioria dos sólidos é eletrica10
mente neutra ou muito próxima disso. Um bastão de vidro perde apenas 10 elétrons
14
quando é carregado por fricção. Isso corresponde a apenas 1 elétron em 10 . 3
O átomo ganhou
um elétron, ficando
com uma carga
líquida negativa.
Íon negativo
FIGURA 26.2 Íons positivos e negativos.
Molécula eletricamente
neutra
Átomos
Ligação
Fricção
Estas ligações foram
quebradas pela fricção.
Íon
molecular
positivo
Íon
molecular
negativo
24
Um objeto carregado contém um número desigual de prótons e de elétrons. Qualquer
objeto estará positivamente carregado se Np Ne. Ele é negativamente carregado se Np
Ne. Note que um objeto carregado possui uma carga que é sempre igual a um múltiplo
inteiro de e, ou seja, a quantidade de carga de um objeto sofre variações pequenas, mas
discretas, e não-contínuas. A isto se denomina quantização da carga.
Na prática, os objetos adquirem carga positiva não por ganharem prótons, como se poderia esperar, mas por perderem elétrons. Os prótons estão extremamente firmes e ligados ao
interior do núcleo e não podem ser adicionados ou removidos do átomo. Os elétrons, por outro lado, estão ligados mais frouxamente ao núcleo e podem ser removidos mais facilmente.
O processo de remoção de um elétron da nuvem eletrônica é chamado de ionização. Um
átomo que perdeu um elétron é chamado de íon positivo. Sua carga líquida é q e.
Constatamos que alguns átomos podem acomodar um elétron extra e, portanto, se
tornarem um íon negativo com uma carga líquida q e. Uma solução de água salgada
é um bom exemplo. Quando o sal de cozinha (cloreto de sódio, NaCl) se dissolve na
água, ele é separado em íons positivos de sódio, Na , e íons negativos de cloro, Cl . A
FIGURA 26.2 mostra íons positivos e negativos.
Todos os processos de eletrização que estudamos na Seção 26.1 envolveram atrito e
fricção. As forças de atrito ocasionam quebras nas ligações moleculares da superfície
enquanto os dois materiais passam um pelo outro. Moléculas são eletricamente neutras,
mas a FIGURA 26.3 mostra que pode-se criar um íon molecular quando uma das ligações
de uma molécula grande for quebrada. Os íons moleculares positivos permanecem em
um material, e os negativos, no outro, de modo que um dos objetos que sofre a fricção
fica com uma carga líquida positiva, e o outro, com uma carga líquida negativa. Essa é a
maneira pela qual o bastão de plástico é carregado pelo atrito com a lã ou um pente é
carregado ao passar através do seu cabelo.
A eletrização por atrito, através de quebra de ligações, funciona melhor para grandes moléculas orgânicas. Isto explica não somente por que o plástico é eletrizado pela
fricção com a lã, mas também as nossas experiências cotidianas, como a produção de
“eletricidade estática” em uma secadora de roupas. Os metais geralmente não podem ser
carregados por atrito.
Conservação da carga e diagramas de carga
Esta metade da
molécula perdeu
um elétron na
quebra da ligação.
Esta metade da
molécula ganhou
um elétron extra na
quebra da ligação.
FIGURA 26.3 A eletrização por fricção
geralmente cria íons moleculares através
da quebra das ligações.
Uma das importantes descobertas sobre a carga é a lei de conservação da carga: a carga
não é criada nem destruída. Uma carga pode ser transferida de um objeto para outro, à medida que elétrons e íons se movem, mas a quantidade total de carga se mantém constante.
Por exemplo, carregar um bastão de plástico por fricção com a lã transfere elétrons da lã
para o plástico durante a quebra das ligações moleculares. A lã fica com uma carga positiva de mesmo valor absoluto, porém de sinal contrário à carga do bastão: qlã – qplástico. A
carga líquida permanece nula.
CAPÍTULO 26
■
Cargas Elétricas e Forças
795
Os diagramas serão uma importante ferramenta para entender e explicar cargas e forças sobre objetos carregados. Conforme você for usando os diagramas, será importante
fazer uso explícito da conservação de carga. A quantidade líquida de sinais positivos e de
sinais negativos desenhados no seu diagrama não deverá mudar conforme você os move.
BOX TÁTICO
Desenhando diagramas de carga
26.1
Faça um desenho da seção transversal bidimensional simplificada do objeto.
Desenhe as cargas superfíciais bem próximas da superfície do objeto.
Desenhe as cargas internas distribuídas uniformemente no interior do objeto.
Represente apenas a carga líquida. Para objetos neutros, não se deve indicar
cargas nem uma porção de sinais positivos ou negativos.
Se você usar uma série de diagramas para explicar um processo, conserve a
carga de um diagrama para o próximo.
Exercícios 10–13
Estas referências são do Student Workbook, disponível, em inglês, apenas
no mercado norte-americano.
A FIGURA 26.4 mostra dois exemplos de diagramas de carga. O passo 5 se tornará mais
claro à medida que o usarmos nos exemplos. O passo 4 é de especial importância. Por
exemplo, um objeto positivamente carregado perdeu elétrons. Independentemente de
como o objeto se torna eletrizado, o diagrama de carga deve trazer o sinal positivo.
PARE E PENSE 26.2
Seção transversal de
um condutor carregado positivamente.
Seção transversal
de um isolante
carregado negativamente.
A carga líquida
positiva está espalhada internamente
próxima à superfície.
A carga líquida
negativa está
imóvel sobre a
superfície.
Ordene em seqüência decrescente os valores das cargas de qa a qe destes
cinco sistemas.
Próton
Elétron
prótons
elétrons
.
.
.
.
prótons
elétrons
Bola de vidro
que perdeu
3 elétrons
FIGURA 26.4 Diagramas de carga.
26.3 Isolantes e condutores
Você aprendeu que existem duas classes de materiais quanto às suas propriedades elétricas: a dos isolantes e a dos condutores. É hora de examinar melhor esses materiais.
A FIGURA 26.5 representa os interiores de um isolante e de um condutor metálico. Os
elétrons do isolante estão todos fortemente ligados aos núcleos positivos e não são livres
para se movimentar. Carregar um isolante por fricção deixa trechos da superfície com
íons moleculares, mas tais íons são imóveis.
Em metais, os elétrons atômicos externos (chamados de elétrons de valência em química) estão ligados apenas fracamente ao núcleo. Quando os átomos se aproximam para
formar um sólido, estes elétrons se desprendem de seus núcleos de origem e tornam-se
livres para se mover através do sólido inteiro. O sólido, como um todo, permanece eletricamente neutro porque nenhum elétron foi adicionado ou removido durante o processo;
todavia, agora os elétrons se parecem com um gás ou um líquido negativamente carregado – o que os físicos gostam de denominar mar de elétrons – que permeia uma rede de
caroços iônicos positivamente carregados.
A conseqüência imediata dessa estrutura é que os elétrons são altamente móveis em
um metal. Eles podem, rápida e facilmente, se mover através do metal em resposta a
forças elétricas exercidas. O movimento de cargas através de um material é o que chamamos de corrente, e as partículas com carga que realmente se movem são chamadas de
portadores de carga. Em um metal, os portadores de carga são os elétrons.
Os metais não são os únicos condutores que existem. As soluções iônicas, como a
água salgada, também são bons condutores. Mas os portadores de carga em uma solução
iônica são íons, e não, elétrons. Manteremos nossa atenção sobre os condutores metálicos devido à sua importância nas aplicações elétricas.
Isolante
Núcleo
Elétrons do caroço
Elétrons de valência
Os elétrons de valência
estão fortemente ligados.
Metal
Íons
positivos
do caroço
Os elétrons de valência
formam um “mar de elétrons”.
FIGURA 26.5 Uma visão microscópica dos
isolantes e condutores.
796
Física: Uma Abordagem Estratégica
Eletrização
Os isolantes, em geral, podem ser eletricamente carregados por atrito. Os diagramas de
carga da FIGURA 26.6 mostram que a carga do bastão está na superfície do mesmo e que a
carga é conservada. A carga sobre o bastão é imóvel. Ela pode ser transferida para outro
objeto por contato, mas não se move através do bastão.
Friccione o bastão de
plástico com um pedaço
de lã.
Este lado
continua neutro.
Lã
Plástico
Cargas negativas estão
imóveis sobre a
superfície do bastão.
A carga positiva da lã é de mesmo valor
absoluto que a carga negativa sobre o bastão.
FIGURA 26.6 Um bastão isolante é carregado por atrito.
Plástico
Metal
A carga
é transferida para
o metal durante o
contato.
Essas cargas
se repelem.
Muito
rápido
As cargas se
espalham sobre a
superfície do metal.
FIGURA 26.7 Um condutor é carregado
por contato com um bastão de plástico
eletrizado.
Os metais geralmente não podem ser eletrizados por atrito, mas o Experimento 9
mostra que uma esfera de metal pode ser eletricamente carregada por contato com um
bastão de plástico. A FIGURA 26.7 mostra um desenho explicativo do processo. A idéia
essencial é que, em um condutor, os elétrons são livres para se mover pelo material.
Uma vez que a carga tenha sido transferida para o metal, as forças repulsivas entre as
cargas negativas farão com que os elétrons se afastem uns dos outros.
Note que os novos elétrons adicionados não precisam se mover para os cantos distantes do objeto metálico. Devido às forças repulsivas, os novatos simplesmente “empurram” o mar inteiro de elétrons para o lado. Em um tempo extremamente curto, geralmen9
te menor do que 10 s, o mar de elétrons se ajusta à presença da carga adicionada. Para
fins práticos, um condutor responde instantaneamente à adição ou à subtração de carga.
A não ser pelo breve intervalo de tempo durante o qual o mar de elétrons está se ajustando, as cargas em um condutor isolado encontram-se em equilíbrio estático, ou seja,
as cargas estão em repouso e não há força resultante exercida sobre qualquer carga. Essa
condição é chamada de equilíbrio eletrostático. Se houvesse uma força resultante sobre
qualquer uma das cargas, ela iria rapidamente se mover para um ponto de equilíbrio no
qual a força voltasse a ser nula.
O equilíbrio eletrostático tem uma conseqüência importante:
Em um condutor isolado, qualquer excesso de carga está localizado sobre a
superfície do condutor.
Para ilustrar isso, suponha que exista um elétron em excesso no interior de um condutor
isolado. O elétron extra irá desequilibrar a neutralidade elétrica do interior, exercendo forças
sobre os elétrons próximos e fazendo com que se movam. Mas tal movimento violaria a
hipótese de equilíbrio estático; logo, somos forçados a concluir que não pode haver elétrons
em excesso no interior de um condutor isolado. Qualquer excesso de elétrons causará repulsões que os empurrarão para longe uns dos outros até que todos estejam na superfície.
EXEMPLO 26.2 Carregando um eletroscópio
Muitas demonstrações em eletricidade são feitas com o auxílio de um
eletroscópio como o mostrado na FIGURA 26.8. Tocar a esfera do topo
de um eletroscópio com um bastão de plástico carregado faz com que
as folhas se afastem, mantendo um ângulo entre elas. Use os diagramas de carga para explicar por quê.
FIGURA 26.8 Um eletroscópio carregado.
Esfera de metal
Caixa de vidro para
isolar as folhas
Folhas de
ouro muito
finas
Haste metálica
Carregar o
eletroscópio faz
com que as folhas
de ouro se repilam.
CAPÍTULO 26
MODELO Usaremos o modelo de carga e o modelo de um condutor
como um material através do qual os elétrons podem se mover.
■
Cargas Elétricas e Forças
VISUALIZE A FIGURA 26.9 usa uma série de diagramas de carga para
mostrar o processo de eletrização de um eletroscópio.
Plástico
Muito rápido
Eletroscópio
F
1. Cargas negativas (i.e., elétrons)
são transferidas do bastão para
a esfera de metal durante o
contato.
797
2. O metal é um condutor.
Portanto, a carga se espalha
rapidamente através de todo
o eletroscópio.
F
3. As cargas de mesmo tipo se repelem.
As cargas negativas nas folhas exercem
forças repulsivas umas sobre as outras,
fazendo com que se afastem.
FIGURA 26.9 Processo pelo qual um eletroscópio é carregado.
Descarregamento
A água pura está longe de ser um bom condutor, mas quase toda água contém uma variedade de minerais dissolvidos que flutuam entre os íons. O sal de cozinha, conforme
.
citamos anteriormente, se separa em íons Na e Cl Eles são os portadores de carga,
permitindo que a água salgada seja um bom condutor.
Uma grande parte do corpo humano consiste de água salgada. Conseqüentemente, e
ocasionalmente de forma trágica, os humanos são condutores razoavelmente bons. Este
fato nos permite entender por que, ao tocar em um objeto carregado, nós o descarregamos como descrito no Experimento 10. A FIGURA 26.10 mostra uma pessoa que toca um
metal positivamente carregado que perdeu elétrons. Ao contato, alguns dos íons negati
vos Cl sobre a superfície da pele transferem seu elétron extra para o metal, tornando
ambos neutros, o metal e o átomo de cloro. Isso deixa o corpo com um excesso de íons
positivos Na e, portanto, uma carga líquida positiva. Como em qualquer condutor, as
cargas positivas em excesso se afastam o máximo possível umas das outras, espalhandose rapidamente sobre a superfície do condutor.
Tocar em um metal carregado resulta em que, juntos, ele e o corpo humano condutor se tornam um único condutor maior do que o metal sozinho. Qualquer excesso de
carga que estiver inicialmente confinado no metal poderá, agora, se espalhar sobre o
grande condutor metal corpo humano. Isso pode não descarregar totalmente o metal,
mas, em circunstâncias típicas, onde o corpo humano é muito maior do que a amostra
de metal, a carga residual que permanece no metal é muito menor do que a quantidade
de carga original. Para a maioria das aplicações práticas, o metal está descarregado. Em
essência, dois condutores em contato “repartem” a carga que originalmente pertencia a
apenas um deles.
O ar úmido é um condutor, mas um mau condutor. Objetos carregados expostos ao
ar perdem lentamente sua carga à medida que o objeto a divide com o ar. A própria Terra
é um gigantesco condutor devido à água, à umidade do ar e a uma variedade de íons –
claro, não um condutor tão bom quanto um pedaço de cobre, mas sem dúvida um condutor. Qualquer objeto que esteja fisicamente conectado à Terra através de um condutor
é considerado como aterrado. O efeito do aterramento é que o objeto reparte qualquer
excesso de carga que possua com a Terra inteira! Mas a Terra é tão grande que qualquer
condutor conectado a ela estará completamente descarregado.
A finalidade de aterrar objetos, tais como circuitos e eletrodomésticos, é impedir
acúmulos de carga sobre os mesmos. Como você verá adiante, o aterramento tem o
efeito de impedir o surgimento de uma diferença de voltagem entre o objeto e o solo.
O terceiro pino existente nos plugues de eletrodomésticos e aparelhos eletrônicos
tem a finalidade de conector o dispositivo à Terra. A fiação de uma construção conecta fisicamente o terceiro pino do plugue para dentro do solo, em algum lugar externo
à construção, geralmente ligado a um cano de metal enterrado profundamente no
solo.
Metal
Cargas espalhadas
através do sistema
humano + metal.
Poucas cargas
restam no metal.
FIGURA 26.10 Encostar em um metal
carregado o descarrega.
798
Física: Uma Abordagem Estratégica
Aproxime um bastão de vidro positivamente
carregado de um eletroscópio, sem tocar a
esfera.
O eletroscópio está neutro, mas
as folhas se repelem. Por quê?
FIGURA 26.11 Um bastão carregado
mantido perto de um eletroscópio
faz as folhas do mesmo se repelirem
mutuamente.
Polarização da carga
Fizemos grandes avanços ao aprender como a estrutura atômica da matéria pode explicar
os processos de carga e as propriedades dos isolantes e dos condutores. Entretanto, uma
observação da Seção 26.1 ainda necessita de explicação. Como objetos com cargas de
sinais quaisquer exercem forças atrativas sobre um objeto neutro?
Para começar a responder à questão, consideremos um condutor neutro. A FIGURA
26.11 mostra um bastão positivamente carregado mantido próximo – mas sem o tocar – a
um eletroscópio neutro. As folhas se afastam e se mantêm afastadas enquanto o bastão
for mantido próximo, mas rapidamente descem para suas posições normais quando o
bastão é removido. Podemos compreender esse comportamento?
Podemos, sim, e a FIGURA 26.12a mostra como. Embora o metal como um todo ainda
esteja eletricamente neutro, dizemos que o objeto foi polarizado. A polarização da carga consiste em uma leve separação das cargas positivas e negativas em um objeto neutro.
A polarização da carga produz um excesso de cargas positivas nas folhas do eletroscópio mostrado na FIGURA 26.12b, de modo que elas se repelem. Mas, devido ao fato de o
eletroscópio não possuir uma carga líquida, o mar de elétrons rapidamente se reajustará
uma vez que o bastão seja removido.
(b) O eletroscópio está polarizado pelo
bastão carregado. O mar de elétrons é
deslocado em direção ao bastão positivo.
(a) O mar de elétrons é atraído para o bastão
e se separa, de modo que surge um excesso
de carga negativa próximo à superfície.
Bastão
positivo
Metal
Um déficit de elétrons – uma
carga líquida positiva – é criado
na superfície mais afastada.
Embora a carga líquida do eletroscópio continue
A carga líquida do metal ainda
nula, as folhas estão com excesso de carga
é nula, mas ele foi polarizado
positiva e se repelem.
pelo bastão carregado.
FIGURA 26.12 Um bastão carregado polariza um metal.
As partículas de tinta de uma máquina
fotocopiadora grudam-se a gotas
portadoras eletrizadas devido a uma força
de polarização. Em seguida, as partículas
de tinta são transferidas para áreas
previamente eletrizadas de uma folha de
papel, produzindo, assim, uma fotocópia
da imagem.
Por que nem todos os elétrons na Figura 26.12a vão para o lado carregado positivamente? Uma vez que o mar de elétrons se desvia ligeiramente, os íons positivos estacionários
começam a exercer uma força restauradora, que puxa os elétrons de volta para a direita. A
posição de equilíbrio para o mar de elétrons está suficientemente deslocada para a esquerda
para que as forças exercidas pelas cargas externas e pelos íons positivos estejam equilibra15
das. Na prática, o deslocamento do mar de elétrons é geralmente menor do que 10 m!
A polarização da carga explica não somente por que as folhas do eletroscópio se
defletem, mas também como um objeto carregado exerce uma força atrativa sobre um
objeto neutro. A FIGURA 26.13 mostra um bastão carregado positivamente próximo a um
pedaço de metal neutro. Uma vez que a força elétrica diminui com a distância, a força
atrativa sobre os elétrons no topo da superfície é levemente maior do que a força repulsiva
dos íons no fundo. A força resultante orientada para o bastão carregado é chamada de força de polarização. As forças de polarização surgem por causa da separação de cargas no
metal, e não, porque o bastão e o metal estão carregados com cargas de sinais opostos.
1. O bastão carregado polariza
o metal neutro, fazendo com
que a superfície de cima fique
negativa, e a superfície de baixo,
positiva.
3. O bastão também exerce
uma força repulsiva, orientada
para baixo, sobre o excesso
de íons positivos do caroço
na superfície inferior.
2. O bastão exerce uma força
atrativa, orientada para cima,
sobre o excesso de elétrons
na superfície superior.
topo
res
fundo
4. Como a força elétrica
diminui com a distância,
Ftopo Ffundo. Portanto, há
uma força resultante sobre o
metal neutro, orientada para
cima, que o atrai para o
bastão positivo!
FIGURA 26.13 A força de polarização em um pedaço de metal neutro deve-se à pequena
separação de cargas.
■
CAPÍTULO 26
Cargas Elétricas e Forças
799
Um bastão negativamente carregado irá empurrar o mar de elétrons para longe de si,
polarizando o metal com cargas positivas na superfície superior, e cargas negativas, na
inferior. Mais uma vez, essas são as condições para que a carga exerça uma força resultante atrativa sobre o metal. Assim, nosso modelo de carga explica como um objeto
carregado de sinal qualquer atrai pequenos pedaços metálicos neutros.
O dipolo elétrico
Agora vamos considerar uma situação um pouco mais complicada. Por que um bastão
carregado atrai papel, que é um isolante, e não, um metal? Primeiro considere o que
ocorre quando um átomo é aproximado de uma carga positiva. Como mostra a FIGURA
26.14a, a carga polariza o átomo. A nuvem eletrônica não se afasta muito, pois a força do
núcleo positivo a puxa de volta, entretanto o centro de carga positiva e o centro de carga
negativa estão levemente separados.
(a)
Força resultante sobre o átomo
Força sobre
os elétrons
Carga
externa
Centro de
carga negativa
Em um átomo isolado, a nuvem
eletrônica está centrada no núcleo.
Força sobre
o núcleo
Centro de
carga positiva
O átomo é polarizado por cargas
externas, gerando um dipolo elétrico.
As forças intramoleculares que dão forma as
moléculas biológicas, como esta proteína,
estão relacionadas às forças de polarização.
(b)
Força resultante
Cargas
externas
Força resultante
Dipolos elétricos podem ser criados por
cargas positivas ou negativas. Em ambos os
casos, há uma força resultante atrativa que
aponta para a carga externa.
FIGURA 26.14 Um átomo neutro é polarizado por uma carga externa, dando origem a um
dipolo elétrico.
Duas cargas opostas com uma pequena separação entre si formam, então, o que chamamos de dipolo elétrico. A FIGURA 26.14b mostra que uma carga externa de sinal qualquer polariza o átomo, dando origem a um dipolo elétrico com o lado adjacente de sinal
oposto ao da carga. (A distorção real em relação a uma esfera perfeita é minúscula, nada
comparada à distorção ilustrada na figura.) A força atrativa no lado do dipolo próximo
à carga é ligeiramente maior do que a força repulsiva no lado oposto, pois aquele lado
está mais próximo à carga externa. A força resultante, uma força atrativa entre a carga e
o átomo, constitui outro exemplo de força de polarização.
Um isolante não contém o mar de elétrons que se desloca se uma carga externa for
aproximada dele. Em vez disso, conforme mostra a FIGURA 26.15, todos os átomos individuais do isolante tornam-se polarizados. A força de polarização exercida sobre cada
átomo dá origem a uma força de polarização resultante orientada para a carga externa.
Isto resolve o quebra-cabeça. Um bastão carregado atrai pedaços de papel porque ele
■ Polariza os átomos do papel,
■ E, deste modo, exerce uma força de polarização atrativa sobre cada átomo.
Isto é importante. Tenha certeza de ter entendido todos os passos do raciocínio.
PARE E PENSE 26.3 Um eletroscópio é positivamente carregado por contato com um bastão
de vidro positivamente carregado. As folhas do eletroscópio se separam, e, depois, o
bastão de vidro é removido. Em seguida, um bastão de plástico negativamente carregado
é aproximado da parte superior do eletroscópio, mas sem fazer contato. O que acontece
com as folhas?
a. As folhas se aproximam.
b. As folhas se afastam ainda mais.
c. Uma das folhas se move para cima, e outra, para baixo.
d. As folhas não se movem.
Átomos polarizados
Carga
externa
Isolante
Força resultante
FIGURA 26.15 Os átomos de um isolante
são polarizados por uma carga externa.
800
Física: Uma Abordagem Estratégica
Eletrização por indução
A polarização da carga é responsável por uma maneira interessante e contra-intuitiva
de carregar um eletroscópio. A FIGURA 26.16 mostra um bastão de vidro positivamente
carregado que é mantido próximo a um eletroscópio, sem tocá-lo, enquanto uma pessoa
encosta um dedo no aparelho. Ao contrário do que acontece na Figura 26.11, as folhas
do eletroscópio não se movem.
Sem contato
F
1. O bastão carregado polariza o eletroscópio
e a pessoa condutora. As folhas se repelem
ligeiramente por causa da polarização do
eletroscópio, mas ele, como um todo, contém
um excesso de elétrons, enquanto na pessoa
existe um déficit de elétrons.
2. A carga negativa do eletroscópio é isolada
quando o contato é rompido.
F
3. Quando o bastão é removido,
primeiro as folhas colapsam à
medida que a polarização desaparece
e, depois, passam a se repelir enquanto
o excesso negativo de carga se espalha pelo aparelho. O eletroscópio
termina carregado negativamente.
FIGURA 26.16 Eletrização por indução.
A polarização da carga ocorre como descrito na Figura 26.11, mas, desta vez, no
grande sistema eletroscópio pessoa condutora. Se a pessoa remover o dedo enquanto o sistema estiver polarizado, o eletroscópio ficará com uma carga resultante
negativa, e a pessoa, com uma carga resultante positiva. Por um processo chamado de
eletrização por indução, o eletroscópio tornou-se carregado com uma carga oposta
à do bastão.
26.4 A lei de Coulomb
Uma reprodução do século XIX da balança
de torção de Coulomb.
As últimas seções estabeleceram um modelo de cargas e de forças elétricas. O modelo é
muito bom para explicar fenômenos elétricos e fornece uma visão geral da eletricidade.
Agora precisamos torná-lo quantitativo. O Experimento 4 da Seção 26.1 mostrou que a
força elétrica aumenta para objetos que possuem maiores cargas e diminui quando os
objetos carregados são afastados. A lei de força que descreve este comportamento é conhecida como lei de Coulomb.
Charles Coulomb foi um dos muitos cientistas que investigaram a eletricidade no
século XVIII. Coulomb teve a idéia de estudar as forças elétricas utilizando um arranjo
experimental com uma balança de torção com o qual Cavendish havia medido o valor
da constante gravitacional G (ver Seção 13.4). Foi muito difícil realizar o experimento.
As massas que Cavendish usara podiam ser colocadas nas suas posições sem sofrerem
alterações posteriores, ao passo que Coulomb, de vez em quando, tinha de recarregar as
extremidades de sua balança. Como ele conseguiu tornar isso reprodutível? Como Coulomb podia saber que os dois objetos haviam sido “igualmente carregados”? Como ele
podia ter certeza do lugar onde a carga estava localizada?
A despeito desses obstáculos, em 1785 Coulomb comunicou que a força elétrica
obedece a uma lei do inverso do quadrado, análoga à lei de Newton da gravitação. Historiadores da ciência ainda debatem se Coulomb realmente descobriu essa lei a partir
dos seus dados obtidos ou se, talvez, tirou conclusões não-justificadas porque desejava
que a sua descoberta rivalizasse com a do grande Newton. Entretanto, a descoberta de
Coulomb ou sua feliz intuição, seja qual for, foi confirmada subseqüentemente, e a lei
básica da eletricidade leva hoje o seu nome.
CAPÍTULO 26
■
Cargas Elétricas e Forças
801
LEI DE COULOMB:
1. Se duas partículas eletrizadas com cargas q1 e q2 estão afastadas uma da outra
por uma distância r, as partículas exercem entre si forças de módulo dado por
(26.2)
onde a constante K é chamada de constante eletrostática. Essas forças constituem um par ação/reação, tendo mesmo módulo e orientações opostas.
2. As forças estão orientadas ao longo de uma reta que passa pelas duas partículas.
Elas são forças repulsivas para cargas de mesmo sinal e atrativas para cargas de
sinais opostos.
Às vezes falamos em “a força entre a carga q1 e a carga q2”; todavia, devemos ter
sempre em mente que, de fato, estamos lidando com objetos carregados que também
possuem massa, tamanho e outras propriedades. A carga não é uma entidade imaterial
que existe independentemente da matéria. A lei de Coulomb descreve as forças entre
partículas carregadas, que também chamamos de cargas puntiformes. Uma partícula
carregada, o que constitui uma extensão do modelo de partícula usado na Parte I, possui
uma massa e uma carga, mas não, um tamanho.
A lei de Coulomb se parece muito com a lei de Newton da gravitação, mas há uma
importante diferença: a carga q pode ser tanto negativa quanto positiva. Conseqüentemente, os valores absolutos dos sinais na Equação 26.2 são de especial importância. A
primeira parte da lei de Coulomb fornece tão somente a intensidade (módulo) da força,
uma grandeza que é sempre positiva. A orientação da força deve ser determinada a partir
da segunda parte da lei. A FIGURA 26.17 representa as forças entre diferentes combinações
de cargas positivas e negativas.
1 sobre 2
Duas
cargas
positivas
2 sobre 1
1 sobre 2
Duas
cargas
negativas
2 sobre 1
Unidades de carga
Coulomb não dispunha de uma unidade de carga, portanto não foi capaz de determinar
o valor da constante K, que depende tanto da unidade usada para a distância quanto da
unidade de carga. A unidade SI para a carga, o coulomb (C), é derivada da unidade SI
de corrente, de modo que teremos de esperar até o estudo da corrente, no Capítulo 31,
antes de definir o coulomb precisamente. Por ora, faremos apenas a observação de que a
unidade fundamental de carga e foi medida como tendo o valor
e 1,60 10
19
NOTA As quantidades de carga produzidas por atrito em bastões de plástico ou de
9
7
vidro têm valores tipicamente na faixa de 1 nC (10 C) a 100 nC (10 C). Isto corres10
12
ponde a excessos ou a déficits de aproximadamente 10 a 10 elétrons nos objetos. Uma vez que a unidade de carga esteja estabelecida, experimentos como os de Coulomb, com a balança de torção, podem ser usados para medir o valor da constante eletrostática K. Em unidades do SI,
K 8,99 10 N m /C
2
2
Costuma-se arredondar K por 9,0 10 N m /C em tudo, exceto para cálculos extremamente precisos, e assim o faremos.
Surpreendentemente, veremos que a lei de Coulomb não é usada explicitamente na
maior parte da teoria da eletricidade. Embora ela seja a lei de força básica, a maioria
de nossas discussões e cálculos futuros serão baseados em entidades físicas chamadas
de campos e potenciais. Tornar-se-á evidente que cálculos futuros serão mais fáceis de
efetuar se expressarmos a lei de Coulomb em uma forma um pouco mais complicada.
Vamos definir uma nova constante, chamada de constante de permissividade ⑀0 (pronunciada “épsilon zero”), como
9
2
2
Cargas
opostas
2 sobre 1
C
Trata-se de uma quantidade muito pequena de carga. Dito de outra forma, 1 C é a carga
total de aproximadamente 6,25 1018 prótons.
9
1 sobre 2
FIGURA 26.17 Forças atrativas e repulsivas
entre cargas.
802
Física: Uma Abordagem Estratégica
Reescrevendo a lei de Coulomb em termos de ⑀0, temos
(26.3)
Será mais fácil utilizar a lei de Coulomb diretamente com a constante eletrostática K.
Entretanto, nos capítulos posteriores iremos trocar para a segunda versão com ⑀0.
Usando a lei de Coulomb
11.1–11.3
A lei de Coulomb é uma lei de força, e forças são grandezas vetoriais. Já se passaram
muitos capítulos desde que fizemos uso de vetores e de soma vetorial, mas essas técnicas
matemáticas serão essenciais para o nosso estudo da eletricidade e do magnetismo. Talvez você deva revisar a soma de vetores no Capítulo 3.
Há três observações importantes a fazer com relação à lei de Coulomb:
1. A lei de Coulomb se aplica somente a cargas puntiformes. Uma carga puntiforme
é um objeto idealizado dotado de carga e massa, mas sem extensão ou tamanho.
Para fins práticos, objetos carregados podem ser considerados como cargas puntiformes se forem muito menores do que a separação entre eles.
2. Estritamente falando, a lei de Coulomb se aplica somente à eletrostática, a força
elétrica entre cargas em repouso. Na prática, a lei de Coulomb é uma boa aproximação para a força elétrica entre cargas em movimento se a velocidade relativa
entre ambas for muito menor do que a velocidade da luz.
3. Forças elétricas, como outras forças, podem ser superpostas. Se estiverem presentes múltiplas cargas 1, 2, 3..., a força elétrica resultante sobre a carga j, devida a
todas outras cargas, é
(26.4)
onde cada uma das
é dada pela Equação 26.2 ou 26.3.
Essas condições formam a base da estratégia para o emprego da lei de Coulomb na
resolução de problemas sobre forças eletrostáticas.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 26.1
Forças eletrostáticas e a lei de Coulomb
MODELO Identifique as cargas puntiformes ou os objetos que possam ser considerados como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO Faça uma representação pictórica para estabelecer o sistema de coor-
denadas, indique as posições das cargas, represente os vetores força sobre as cargas,
defina as distâncias e os ângulos relevantes e identifique o que o problema pede para
determinar. Este é o processo de transformação de palavras em símbolos.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada na lei de Coulomb:
■ Indique as orientações das forças – repulsivas para cargas de mesmo sinal, atra-
tivas para cargas de sinais opostos – na representação pictórica.
■ Quando possível, mostre graficamente a soma vetorial na representação ilustra-
da. Mesmo não sendo exato, o desenho lhe indicará que tipo de resposta se deve
esperar.
■ Escreva cada vetor força em termos de seus componentes x e y e, depois, some
os componentes a fim de obter a força resultante. Use a representação pictórica
para determinar qual componente é positivo e qual é negativo.
AVALIAÇÃO Verifique se seu resultado está expresso nas unidades corretas, se é coerente e se responde à questão.
CAPÍTULO 26
EXEMPLO 26.3 A soma de duas forças
MODELO Considere as partículas carregadas como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 26.18 define o sistema de coordenadas a ser
e
F2 sobre 3
F1 sobre 3
q1
q3
0
1
Cargas Elétricas e Forças
803
RESOLUÇÃO Forças elétricas são vetores, e a força resultante sobre q3
Duas partículas carregadas com 10 nC estão separadas por 2 cm
sobre o eixo x. Qual é a força resultante sobre uma partícula de 1,0
nC posicionada no ponto médio da distância entre elas? Qual será a
força resultante se a partícula da direita for substituída por outra, com
10 nC de carga?
usado e representa as forças
■
é a soma vetorial res 1 sobre 3 2 sobre 3. Cada uma das cargas q1 e
q2 exerce uma força repulsiva sobre q3, mas elas são de mesmo módulo e de sentidos opostos. Conseqüentemente, res . A situação
mudará se q2 for negativa. Neste caso, as duas forças terão mesmo
módulo e mesma orientação, apontando ambas no mesmo sentido,
de modo que res 2 1 sobre 3. O módulo da força é dado pela lei de
Coulomb:
.
Fres = 0
q2
x (cm)
2
F1 sobre 3
Portanto, a força resultante sobre a carga de 1,0 nC é
.
AVALIAÇÃO Este exemplo ilustra a idéia importante de que as forças
elétricas são vetores.
Fres
q3
q1
F2 sobre 3
0
1
q2
x (cm)
2
FIGURA 26.18 Uma representação pictórica das cargas e forças.
EXEMPLO 26.4 O ponto de força nula
Duas partículas positivamente carregadas com q1 e q2 3q1 estão
afastadas uma da outra por 10 cm. Onde (excetuando-se o infinito)
pode ser colocada uma terceira carga q3 de forma que ela experimente
uma força resultante nula?
MODELO Considere as partículas carregadas como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 26.19 define o sistema de coordenadas usado,
em que q1 está na origem. Primeiro, precisamos identificar a região do
espaço na qual q3 deve ser posicionada. Não temos informação acerca
do sinal de q3, portanto aparentemente a posição pela qual procuramos funcionará para qualquer sinal. Você pode ver pela figura que, no
ponto A, acima do eixo, e no ponto B, além das cargas, as forças não
podem se cancelar. Entretanto, no ponto C sobre o eixo x, na região
entre as cargas, as duas forças possuem sentidos opostos.
As cargas q1 e q2 são positivas e não é preciso tomar seus módulos.
Igualando as duas forças, obtemos
O termo Kq1|q3| é cancelado. Multiplicando por x2(d – x)2, encontramos
o que pode ser rearranjado na forma da equação quadrática
2 sobre 3
1 sobre 3
2 sobre 3
1 sobre 3
2 sobre 3
1 sobre 3
Somente se q3 estiver em algum lugar do
segmento de reta que liga q1 a q2 é que as forças
podem se somar e dar um resultado nulo.
FIGURA 26.19 Representação pictórica das cargas e das forças
RESOLUÇÃO O problema matemático é determinar a posição para a
qual as forças 1 sobre 3 e 2 sobre 3 possuem módulos iguais. Se x for a
distância dessa posição em relação a q1, sua posição em relação a q2
será, então, d x. As intensidades (módulos) das forças são
onde usamos d 10 cm e x está em cm. As soluções para a equação
são
x 3,66 cm
e
13,66 cm
Ambos correspondem a pontos onde as intensidades (módulos) das
duas forças são iguais, todavia x 13,66 cm corresponde a um ponto onde os módulos são iguais e apontam no mesmo sentido. A solução
pela qual procuramos, correspondente a uma carga puntiforme posicionada entre as cargas, é x 3,66 cm. Portanto, o ponto onde colocar q3
situa-se a 3,66 cm de distância de q1, ao longo da linha que une q1 e q2.
AVALIAÇÃO A carga q1 é menor do que q2, portanto esperamos que o ponto no qual as forças se equilibram esteja mais próximo de q1 do que de
q2. A solução parece plausível. Note que o enunciado do problema não
define o sistema de coordenadas; assim, “x 3,66 cm” não é uma resposta aceitável. Você precisa descrever a posição em relação a q1 e q2.
804
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 26.5 Três cargas
Três partículas carregadas com q1 – 50 nC, q2 50 nC e q3 30
nC são colocadas nos cantos do retângulo de 5,0 cm 10,0 cm mostrado na FIGURA 2620. Qual é a força
resultante sobre a carga q3 devida às
duas outras cargas? Expresse sua resposta em módulo e orientação.
onde usamos r13 10,0 cm. A representação pictórica mostra que
aponta para baixo, no sentido negativo de y; logo,
,
1
sobre 3
,
MODELO Considere as partículas car-
Para calcular
cargas
2 sobre 3
Portanto, o módulo de
primeiro precisamos da distância r23 entre as
2 sobre 3
é
regadas como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO A representação pictóri-
FIGURA 26.20 As três
ca da FIGURA 26.21 define o sistema de
cargas do Exemplo 26.5.
coordenadas a ser usado. As cargas q1
e q2 são de sinais opostos, portanto o
vetor força 1 sobre 3 corresponde a uma força atrativa orientada para q1. As
cargas q2 e q3 são de mesmo sinal, portanto o vetor 2 sobre 3 corresponde
a uma força repulsiva que tende a afastar q3 de q2. As cargas q1 e q2 têm
módulos iguais, mas 2 sobre 3 foi desenhado com um comprimento menor
do que o de 1 sobre 3 porque q2 está mais distante de q3. A soma vetorial foi
usada para desenhar o vetor força resultante 3 e para definir o ângulo.
y
Isto é apenas a intensidade. O vetor
2 sobre 3
é
onde o ângulo ␪ é definido na figura e o sinal (componente x negativo
e componente y positivo) foi determinado a partir da representação
pictórica. Da geometria do retângulo,
F2 sobre 3
q3
5,0 cm
Portanto,
adicionar
F3
r23
e
2 sobre 3
para obter
10,0 cm
F1 sobre 3
r13
q1
. Agora podemos
1 sobre 3
q2
x
Esta poderia ser uma resposta aceitável para muitos problemas,
mas às vezes precisamos da força resultante dada em intensidade
(módulo) e orientação. Com o ângulo ␪ definido conforme a figura,
temos
FIGURA 26.21 Uma representação pictórica para as cargas e forças.
RESOLUÇÃO A questão pede por uma força, então nossa resposta será
o vetor soma 3 1 sobre 3 2 sobre 3. Precisamos escrever 1 sobre 3 e
2 sobre 3 em função dos componentes correspondentes. O módulo da
força 1 sobre 3 pode ser determinado através da lei de Coulomb:
Portanto
abaixo do eixo x negativo).
AVALIAÇÃO As forças não são grandes, mas são forças típicas da
eletrostática. Mesmo assim, veremos logo adiante que tais forças
podem produzir grandes acelerações porque as massas dos objetos
carregados sobre os quais elas são exercidas são geralmente muito
pequenas.
EXEMPLO 26.6 Erguendo uma conta de vidro
MODELO Conside a esfera de plástico e a conta de vidro como cargas
Uma pequena esfera de plástico carregada com 10 nC está suspensa
1 cm acima de uma pequena conta de vidro que se encontra em repouso sobre uma mesa. A conta tem massa de 15 mg e carga de 10 nC.
A conta de vidro saltará para cima, em direção à esfera de plástico?
puntiformes.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 26.22 define o eixo y, identifica a esfera plástica por q1 e a conta de vidro por q2 e mostra o diagrama de corpo livre
correspondente.
CAPÍTULO 26
■
Cargas Elétricas e Forças
805
RESOLUÇÃO Se F1 sobre 2 for menor do que o módulo da força gravitacio-
nal FG mconta g, então a conta permanecerá em repouso sobre a mesa
. Mas se F1 sobre 2 for maior do que mconta g,
com 1 sobre 2 G a conta de vidro será acelerada para cima em relação à mesa. Usando
os valores fornecidos, temos
Plástico
,
1 sobre 2
Vidro
Como F1 sobre 2 é maior do que mconta g por um fator igual a 60, a conta
de vidro saltará.
AVALIAÇÃO Os valores usados no exemplo são realistas para esferas
FIGURA 26.22 Uma representação pictórica para as cargas e as
forças.
com diâmetro 2 mm. Em geral, como no exemplo, as forças elétricas são significativamente maiores do que as gravitacionais. Conseqüentemente podemos desprezar a gravidade quando trabalharmos
em problemas sobre força elétrica, a menos que as partículas tenham
massas grandes.
PARE E PENSE 26.4 As esferas carregadas A e B exercem entre si forças
repulsivas. Sabemos que qA 4 qB. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a. FA sobre B FBsobre A
b. FA sobre B FBsobre A
c. FA sobre B FBsobre A
26.5 O modelo de campo
Como a gravidade, as forças elétricas e as forças magnéticas são forças de ação a distância. Não é necessário haver contato para que uma partícula carregada exerça uma
força sobre outra partícula carregada. De alguma maneira, a força se transmite através do
espaço. O conceito de ação a distância causou grande preocupação a muitos dos principais pensadores da época de Newton após a publicação da sua teoria da gravitação. Eles
acreditavam que a força deveria ter algum mecanismo por meio do qual ela fosse exercida a distância, e a idéia de ação a distância sem um mecanismo aparente estava além do
que muitos cientistas da época poderiam aceitar. Todavia, eles não podiam questionar o
sucesso da teoria de Newton.
O grande prestígio e sucesso de Newton mantiveram as dúvidas e as reservas dos
cientistas até o final do século XVIII, quando as pesquisas sobre os fenômenos elétricos
e magnéticos reabriram a questão da ação a distância. Por exemplo, considere as partículas carregadas A e B da FIGURA 26.23. Se as partículas forem deixadas em repouso por um
longo período de tempo, poderemos com certeza usar a lei de Coulomb para determinar
a força que A exerce sobre B. Mas suponha que, subitamente, A começasse a se mover
como indicado pela seta. Em resposta, o vetor força sobre B deveria girar para seguir A.
Isso ocorre instantaneamente? Ou existe algum atraso entre o instante em que A se
move e o instante em que a força A sobre B varia correspondentemente?
Nem a lei de Coulomb nem a lei de Newton da gravitação dependem do tempo, de
modo que a resposta, segundo a perspectiva da física newtoniana, teria de ser “instantaneamente”. Muitos cientistas ainda consideravam isso preocupante. O que acontece se
A estiver a 100.000 anos-luz de B? A partícula B irá responder instantaneamente a um
evento que ocorre a 100.000 anos-luz de distância? No começo do século XIX, a idéia
de transmissão instantânea de forças através do espaço começava a perder crédito junto a
muitos cientistas. Mas se existe de fato um atraso, de quanto é seu valor? Como a informação “variação da força” se transmite de A para B? Eram estas as questões quando um
jovem, Michael Faraday, entrou em cena.
Michael Faraday é uma das figuras mais interessantes da história da ciência. Nascido
em 1791, filho de um pobre ferreiro vivendo nos arredores de Londres, Faraday foi enviado muito jovem para trabalhar, com quase nenhuma educação formal. Na adolescência, Faraday trabalhou com um tipógrafo e restaurador de livros, e lá começou a ler obras
Original
A sobre B
após a
carga A se mover
A sobre B
FIGURA 26.23 Se a carga A se move,
quanto tempo leva para o vetor força sobre
B variar?
806
Física: Uma Abordagem Estratégica
N
S
N
N
que chegavam à loja. Por acaso, um dia um cliente trouxe uma cópia da Encyclopedia
Britannica para ser reparada, e Faraday descobriu lá um extenso artigo sobre a eletricidade. Aquilo foi a centelha necessária para lançá-lo em um carreira que, após sua morte,
iria torná-lo um dos cientistas mais prestigiosos da Europa.
Você aprenderá mais sobre Faraday nos capítulos seguintes. Por ora basta mencionar que Faraday nunca foi capaz de se tornar fluente em matemática. Aparentemente
a idade tardia com que começou seus estudos era muito elevada, o que prejudicou sua
aprendizagem da matemática. Em lugar da matemática, a mente brilhante e perspicaz
de Faraday desenvolveu engenhosos métodos pictóricos de pensar e descrever fenômenos físicos. Sem dúvida, o mais importante desses métodos é o relacionado ao
conceito de campo.
O conceito de campo
FIGURA 26.24 A limalha de ferro aspergida
sobre as extremidades de um ímã sugere
que a influência do mesmo se estende
através do espaço à sua volta.
A sobre B
Do ponto de vista de
Newton, A exerce uma força
diretamente sobre B.
Do ponto de vista de Faraday,
A produz uma modificação no
espaço à sua volta. (As linhas
onduladas são uma licença
poética. Não sabemos a
aparência dessa alteração.)
A partícula B, então, responde
à alteração do espaço. O espaço
alterado, portanto, é o agente
que exerce a força sobre B.
Campo sobre B
FIGURA 26.25 Idéias de Newton e de
Faraday sobre as forças de ação a distância.
Faraday estava particularmente impressionado com o padrão que a limalha de ferro
formava quando aspergida em torno de um ímã, como mostra a FIGURA 26.24. O padrão regular e as linhas curvas sugeriram a Faraday que o próprio espaço em torno
do ímã estaria preenchido com algum tipo de influência magnética. Esta alteração do
espaço, seja qual for, é o mecanismo através do qual uma força de ação a distância é
exercida.
A FIGURA 26.25 ilustra a idéia de Faraday. A visão newtoniana era a de que A e B interagem diretamente um com o outro. Na visão de Faraday, primeiro A altera ou modifica
o espaço à sua volta, e, depois, a partícula B chega e interage com esse espaço alterado.
A alteração do espaço torna-se o agente através do qual A e B interagem mutuamente.
Além disso, essa alteração pode facilmente ser imaginada como tendo um tempo de
propagação finito para longe de A, talvez sob a forma de algum tipo de onda. Se A sofrer
uma alteração, B responderá a ela somente quando a alteração do espaço produzida por
A o alcançar. A interação entre B e a alteração do espaço é uma interação local, mais do
que uma força de contato.
A idéia de Faraday viria a ser chamada de campo. O termo “campo”, que provém da
matemática, se refere a uma função f(x, y, z) que assinala um valor a cada ponto do espaço. Quando utilizado na física, o termo campo expressa a idéia de que uma dada entidade
física existe em todos os pontos do espaço. É isso o que Faraday realmente sugeriu acerca de como operam as forças de ação a distância. A carga produz uma alteração em todos
os lugares do espaço. Outras cargas, então, respondem à alteração do espaço nos lugares
em que elas estão. A alteração do espaço em torno de uma massa é chamada de campo
gravitacional. De forma análoga, uma carga altera o espaço em torno de si gerando um
campo elétrico.
NOTA O conceito de campo está em franco contraste com o conceito de partícula.
Uma partícula existe em um ponto do espaço. A finalidade das leis de Newton do
movimento é determinar como uma partícula se move de um ponto para outro ao
longo de uma trajetória. Já um campo é algo que existe simultaneamente em todos os
pontos do espaço. Uma onda constitui um exemplo de campo, embora o termo não
tenha sido usado durante o nosso estudo das ondas. Eu prefiro procurar por uma explicação (dos
fenômenos elétricos e magnéticos) que os
considere produzidos por ações que se propagam através do meio circundante, bem como
dos corpos excitados, e me empenho em explicar a ação entre corpos distantes sem presumir a existência de forças capazes de atuar
diretamente... A teoria que proponho, portanto, pode ser chamada de uma teoria do Campo Eletromagnético por estar relacionada ao
espaço nas vizinhanças de corpos elétricos e
magnéticos.
James Clerk Maxwell, 1865.
Faraday propôs uma maneira original de pensar sobre como um objeto exerce força
sobre outro. No início, sua idéia não foi levada a sério; ela parecia vaga demais e nãomatemática para os cientistas impregnados pela tradição newtoniana de partículas e forças. Mas a importância do conceito de campo foi crescendo à medida que a teoria eletromagnética se desenvolveu durante a primeira metade do século XIX. O que parecia, à
primeira vista, um “truque”, começou a ser visto cada vez mais como essencial para a
compreensão das forças elétricas e magnéticas.
Em 1865, as idéias de campo de Faraday foram finalmente embasadas em fundamentos matemáticos por James Clerk Maxwell, um físico escocês que possuía grande percepção física e habilidade matemática. Maxwell foi capaz de descrever completamente
todos os comportamentos conhecidos dos campos elétricos e magnéticos com quatro
equações, hoje conhecidas como as equações de Maxwell. Exploraremos aspectos da
teoria de Maxwell à medida que avançarmos no curso, até que, no Capítulo 35, vejamos
todas as implicações das equações de Maxwell.
CAPÍTULO 26
■
Cargas Elétricas e Forças
807
O campo elétrico
Iniciaremos nossa investigação dos campos elétricos postulando um modelo de campo
que descreve como as cargas interagem:
1. Algumas cargas, que denominaremos cargas-fonte, alteram o espaço ao redor de
si pela criação de um campo elétrico .
2. Toda carga isolada, dentro de um campo elétrico, experimenta uma força exercida pelo campo.
Devemos resolver duas tarefas para fazer deste um modelo útil para as interações elétricas. Primeiro, devemos aprender como calcular o campo elétrico para uma configuração
de cargas-fonte. Segundo, devemos determinar as forças exercidas sobre uma carga e o
movimento da mesma dentro do campo elétrico.
Suponha que a carga q experimente uma força elétrica sobre q devido a outras cargas.
A orientação dessa força varia de ponto a ponto através do espaço, de modo que sobre q é
uma função contínua das coordenadas (x, y, z) da carga. Isto sugere que “alguma coisa”
presente em cada ponto no espaço é o agente da força que a carga q experimenta. Vamos
definir o campo elétrico no ponto (x, y, z) como
(26.5)
Estamos definindo o campo elétrico como uma razão entre força e carga, de modo que
a unidade de campo elétrico é o newton por coulomb, ou N/C. O módulo E do campo
elétrico é chamado de intensidade de campo elétrico.
Você pode pensar em usar uma carga de prova q para determinar se existe um campo
elétrico em um determinado ponto do espaço. Se a carga q experimentar uma força elétrica naquele ponto do espaço, como ilustra a FIGURA 26.26a, dizemos que existe um campo
elétrico naquele ponto causando a força. Adiante, definiremos o campo elétrico em um
ponto como o vetor dado pela Equação 26.5. A FIGURA 26.26b representa o campo elétrico
em dois pontos apenas, entretanto você pode imaginar “um mapa” do campo elétrico
obtido posicionando a carga de prova q em todos os pontos do espaço.
sobre q
A carga q é utilizada como uma
carga de prova. A força sobre q
indica a existência de um campo
elétrico no ponto 1.
Ponto 1
sobre q
NOTA A carga de prova q também produz um campo elétrico. Mas cargas não
exercem forças sobre si mesmas, de maneira que com a carga q se mede apenas o
campo elétrico gerado por outras cargas. A idéia básica do modelo de campo é a de que o campo é o agente que exerce uma
força elétrica sobre a carga q. Note três idéias importantes sobre o campo:
1. A Equação 26.5 associa um vetor a cada ponto no espaço, isto é, o campo elétrico
é um campo vetorial. Diagramas de campo elétrico mostrarão uma amostra de vetores, mas haverá um vetor campo elétrico em qualquer ponto, seja ele mostrado
ou não ali.
2. Se q for positiva, o vetor campo elétrico apontará no mesmo sentido da força elétrica exercida sobre aquela carga.
3. Devido ao fato de q aparecer na Equação 26.5, pode parecer que o campo elétrico
dependa do valor da carga de prova utilizada para sondar o campo. Todavia ele, de
fato, não depende! A partir da lei de Coulomb, sabemos que a força sobre q é proporcional à q. Assim, o campo elétrico definido pela Equação 26.5 é independente
da carga de prova q utilizada para sondá-lo. O campo elétrico depende apenas das
cargas-fonte que o geram.
Na prática, geralmente invertemos a Equação 26.5 e encontramos a força exercida
sobre uma carga por um campo elétrico conhecido. Isto é, uma carga q, em um ponto do
espaço onde o campo elétrico é , experimenta uma força elétrica dada por
(26.6)
Se q for positiva, a força sobre ela terá a mesma orientação de . Sobre uma carga negativa, a força estará na mesma direção, porém em sentido oposto de .
Ponto 2
Agora a carga q é colocada no ponto
2. Aqui também existe um campo elétrico,
diferente daquele do ponto 1.
Este é o vetor campo
elétrico no ponto 1.
Os pontos são os
locais onde o campo
é conhecido.
Este é o vetor campo
elétrico no ponto 2.
FIGURA 26.26 A carga q serve para sondar o
campo elétrico.
808
Física: Uma Abordagem Estratégica
PARE E PENSE 26.5 Um elétron é colocado na posição indicada pelo ponto da figura ao lado. A força exercida sobre o elétron é
a. Nula b. Orientada para a direita c. Orientada para a esquerda
d. Não há informação suficiente para responder
O campo elétrico de uma carga puntiforme
Usaremos a definição de campo elétrico em sua totalidade no próximo capítulo. Por
ora, para desenvolver um pouco mais as idéias, determinaremos o campo elétrico gerado por uma única carga puntiforme q. A FIGURA 26.27a mostra a carga q e um ponto do
espaço no qual desejamos conhecer o campo elétrico. Necessitamos de uma segunda
carga, mostrada como q na FIGURA 26.27b, que desempenhe o papel de uma sonda do
campo elétrico.
Por enquanto, assumiremos que ambas as cargas sejam positivas. A força sobre q,
repulsiva e orientada radialmente para fora de q, é dada pela lei de Coulomb:
Qual é o campo elétrico
de q neste ponto?
Carga puntiforme
1. Coloque qⴕ no ponto
a fim de sondar
o campo.
sobre qⴕ
(26.7)
2. Meça a força
sobre qⴕ.
É usual empregar
em vez de K em cálculos de campo. A Equação 26.5 definiu
o campo elétrico em função da força exercida sobre uma carga de prova; logo, o campo
elétrico neste ponto é
(26.8)
O campo elétrico é representado na FIGURA 26.27c.
3. O campo elétrico é
sobre qⴕ
Trata-se de um vetor com
a mesma orientação de sobre qⴕ.
FIGURA 26.27 A carga q é usada para
sondar o campo elétrico criado por uma
carga puntiforme q.
NOTA A expressão para o campo elétrico é similar à lei de Coulomb. Para distinguir uma da outra, lembre-se de que a lei de Coulomb é dada pelo produto de duas
cargas no numerador. Isso descreve a força entre duas cargas. A expressão para o
campo elétrico contém uma única carga no numerador. Trata-se do campo criado por
uma carga. A intensidade do campo à distância r da carga puntiforme que o criou é inversamente
. Na FIGURA 26.28a, a intensidaproporcional ao quadrado dessa distância:
de do campo E1 é maior do que a intensidade do campo E2 porque r1 r2. Se calcularmos
o campo em um número suficiente de pontos, poderemos desenhar um diagrama de
campo tal como o mostrado na FIGURA 26.28b. Note que os vetores do campo apontam
todos para fora da carga q. Note também quão rapidamente as setas diminuem em comprimento devido à dependência com o inverso do quadrado de r.
Campo elétrico em
dois pontos
FIGURA 26.28 Campo elétrico de uma carga positiva.
CAPÍTULO 26
■
Cargas Elétricas e Forças
809
Tenha em mente estes três pontos importantes quando for usar diagramas de campo:
1. O diagrama é apenas uma amostra representativa de vetores de um campo
elétrico. O campo existe em todos os outros lugares. Um diagrama bem-desenhado pode informar com boa precisão o comportamento do campo nas vizinhanças do ponto.
2. A seta indica a orientação e a intensidade do campo elétrico no ponto a partir
do qual ela foi desenhada – ou seja, no ponto onde se localiza a origem do vetor. Neste capítulo, indicaremos o local no qual o campo elétrico é medido por
um ponto. O comprimento de qualquer vetor é relevante somente em relação aos
comprimentos dos outros vetores envolvidos.
3. Embora tenhamos de desenhar vetores ao longo da página, de ponto em ponto,
um vetor campo elétrico não é uma quantidade espacial. Ele não se “estica” de
um ponto a outro. Cada vetor representa o campo elétrico apenas em um ponto do
espaço.
11.4
Notação em vetores unitários
A Equação 26.8 é exata, mas não inteiramente conveniente. Além disso, o que acontecerá se a carga-fonte q for negativa? Precisamos de uma notação mais concisa para escrever o campo elétrico, uma notação que incorpore o fato de q poder ser tanto positiva
quanto negativa.
A necessidade básica é expressar em notação matemática o que queremos dizer com
“para fora de q”. Tal expressão significa uma orientação no espaço. Para nos guiar,
recorde-se de que já dispomos de uma notação para expressar certas orientações – a
saber, os vetores unitários , e . Por exemplo, o vetor unitário significa “no sentido
positivo do eixo x”. Com sinal negativo, – significa “no sentido negativo do eixo x”.
Vetores unitários, com módulos iguais a 1 adimensionais, fornecem informação apenas
sobre a orientação.
Com isso em mente, vamos definir o vetor unitário como um vetor de comprimento 1 orientado da origem para o ponto de interesse. O vetor unitário não provê
informação acerca da distância ao ponto. Ele apenas especifica a orientação (direção
e sentido).
A FIGURA 26.29a representa os vetores unitários , e apontando em direção aos
pontos 1, 2 e 3. Diferentemente de e , o vetor unitário não tem uma orientação fixa.
Em vez disso, o vetor unitário especifica a orientação “diretamente para fora de um
dado ponto”. Porém isso é exatamente o que precisamos para descrever o vetor campo
elétrico. A FIGURA 26.29b mostra o campo elétrico criado nos pontos 1, 2 e 3 por uma
carga positiva localizada na origem. Independentemente do ponto que você escolha, o
campo elétrico no mesmo aponta “diretamente para fora” da carga-fonte. Em outras palavras, o campo elétrico tem a mesma direção e sentido do vetor unitário .
Com essa notação, o campo elétrico à distância r de uma carga puntiforme q é dado por
(campo elétrico de uma carga puntiforme)
Os vetores unitários especificam
orientações nos pontos assinalados
na figura.
O campo elétrico no
ponto 1 tem a mesma
orientação de
tem a mesma orientação de
FIGURA 26.29 Usando o vetor unitário
.
(26.9)
onde é um vetor unitário orientado da carga para o ponto no qual queremos determinar
o campo. A Equação 26.9 é idêntica à Equação 26.8, todavia está escrita em uma notação
na qual o vetor unitário expressa a idéia “para fora de q”.
A Equação 26.9 funciona igualmente bem se q for negativa. Pôr um sinal negativo na
frente de um vetor simplesmente inverte seu sentido, então o vetor unitário aponta em
direção à carga q. A FIGURA 26.30 representa o campo elétrico criado por uma carga puntiforme negativa. Ele se parece com o campo elétrico de uma carga puntiforme positiva,
exceto pelo fato de que os vetores apontam para dentro, em direção à carga, ao invés de
para fora da mesma.
Encerraremos o capítulo com dois exemplos de campo elétrico criados por uma carga puntiforme. O Capítulo 27 expandirá essas idéias para o caso de campos elétricos
criados por múltiplas cargas e por objetos extensos.
FIGURA 26.30 O campo elétrico criado por
uma carga puntiforme negativa.
810
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 26.7 Calculando o campo elétrico
Uma partícula carregada com 1,0 nC está localizada na origem de
um sistema de coordenadas. Os pontos 1, 2 e 3 têm coordenadas (x, y)
dadas por (1 cm, 0 cm), (0 cm, 1 cm) e (1 cm, 1 cm), respectivamente.
Determine o campo elétrico nestes pontos e, depois, represente os
vetores em um diagrama de campo elétrico.
Devido ao fato de q ser negativa, o campo em cada uma dessas posições aponta diretamente para ela. Os vetores campo elétrico, em
função dos componentes, são dados por
MODELO O campo elétrico é criado por uma carga puntiforme negativa.
VISUALIZAÇÃO O campo elétrico aponta diretamente para a origem.
Ele será mais fraco no ponto (1 cm, 1 cm), que é mais distante da
carga.
Esses vetores estão representados no diagrama de campo elétrico da
FIGURA 26.31.
RESOLUÇÃO O campo elétrico é
y
onde
. A distância r dos pontos 1 e 2
0,0141 m no caso do
é de 1,0 cm 0,010 m e de
ponto 3. O módulo de nos três pontos é igual a
1 cm
3
2
45.000 N/C
E3
90.000 N/C
E2
E1
-1,0 nC
90.000 N/C
1
x
1 cm
FIGURA 26.31 Diagrama de campo elétrico de uma partícula
carregada com 1,0 nC.
EXEMPLO 26.8 O campo elétrico de um próton
Em um átomo de hidrogênio, o elétron descreve uma órbita com raio
de 0,053 nm em torno do próton.
a. Qual é a intensidade do campo elétrico criado pelo próton na posição do elétron?
b. Qual é o módulo da força elétrica exercida sobre o elétron?
Note que o campo é muito grande em comparação com o campo
do Exemplo 26.7.
b. Poderíamos usar a lei de Coulomb para determinar a força sobre
o elétron, mas o ponto-chave é que, conhecendo o campo elétrico, podemos utilizá-lo diretamente para obter a força exercida
sobre uma carga no campo. O módulo da força sobre o elétron é
RESOLUÇÃO a. A carga do próton é q e. A intensidade de seu campo
elétrico à distância onde se encontra o elétron é
PARE E PENSE 26.6 Ordene em seqüência decrescente as intensidades dos campos elétricos
de Ea a Ed nos pontos de a até d.
CAPÍTULO 26
■
Cargas Elétricas e Forças
811
RESUMO
O objetivo do Capítulo 26 foi desenvolver uma compreensão básica
dos fenômenos elétricos em termos de cargas, forças e campos.
Princípios gerais
Lei de Coulomb
As forças entre duas partículas carregadas q1 e q2, separadas entre si por uma distância r,
possuem módulos iguais dados por
2 sobre 1
1 sobre 2
Estas forças constituem um par ação/reação com a direção da reta que passa pelas duas partículas.
• As forças são repulsivas para duas cargas de mesmo sinal e atrativas para duas cargas de sinais opostos.
• A força resultante sobre a carga é a soma das forças exercidas individualmente por todas as outras cargas.
• A unidade de carga é o coulomb (C).
• A constante eletrostática é K ⫽ 9,0 ⫻ 109 N m2/C2.
Conceitos importantes
O modelo de carga
O modelo de campo
Existem dois tipos de carga, as positivas e as negativas.
As cargas interagem umas com as outras através do campo
elétrico .
• As cargas fundamentais são as dos prótons e as dos elétrons, com
⫺19
cargas ⫾e, onde e ⫽ 1,60 ⫻ 10 C.
• Os objetos são carregados por meio da adição ou da remoção de elétrons.
• A carga A altera o espaço em torno de si pela criação de
um campo elétrico.
• Qualquer quantidade q de carga satisfaz à relação q ⫽ (Np – Ne) e.
• Todo objeto que contenha um número igual de prótons e de elétrons é
neutro, o que significa a inexistência de uma carga resultante.
Objetos carregados exercem força elétrica entre si.
• Cargas de mesmo sinal se repelem, cargas de sinais opostos se atraem.
• A força aumenta com o aumento da carga.
sobre B
• O campo é o agente que exerce a força. A força sobre a
.
carga qB é
Todo campo elétrico é identificado e medido em termos da
força que ele exerce sobre uma carga de prova q:
• A força diminui com o aumento da distância.
Há dois tipos de materiais, os isolantes e os
condutores.
• A carga permanece fixa dentro ou sobre um isolante.
• A carga pode facilmente se mover através ou ao longo dos condutores.
• O campo elétrico existe em todos os pontos do espaço.
• Um vetor campo elétrico representa o campo apenas em
um ponto, aquele da origem do vetor.
• A carga é transferida de um objeto a outro por contato entre eles.
Objetos carregados atraem objetos neutros.
• A carga polariza o metal, deslocando o mar de elétrons.
• A carga polariza os átomos, criando dipolos elétricos.
O campo elétrico criado por uma carga puntiforme é
• A força de polarização é sempre atrativa.
Força resultante
Cargas
externas
Objetos neutros
polarizados
Força resultante
812
Física: Uma Abordagem Estratégica
Termos e notação
neutro
eletrização
modelo de carga
carga, q ou Q
cargas iguais
cargas opostas
descarregamento
condutor
isolante
nuvem eletrônica
unidade fundamental de carga,
e
quantização da carga
ionização
lei de conservação da carga
mar de elétrons
caroço iônico
corrente
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
portadores de carga
equilíbrio eletrostático
aterramento
polarização da carga
força de polarização
dipolo elétrico
eletrização por indução
lei de Coulomb
constante eletrostática, K
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
carga puntiforme
coulomb, C
constante de permissividade, ⑀0
campo
campo elétrico,
modelo de campo
carga-fonte
intensidade de campo elétrico, E
diagrama de campo
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. Um isolante pode ser eletrizado? Em caso afirmativo, como você
eletrizaria um isolante? Em caso negativo, por que não?
2. Um condutor pode ser eletrizado? Em caso afirmativo, como você
eletrizaria um condutor? Em caso negativo, por que não?
3. Quatro bolas leves A, B, C e D estão suspensas por fios. A bola A
foi tocada por um bastão de plástico previamente friccionado em
lã. Quando as bolas são aproximadas, sem se tocarem, observa-se o
seguinte:
■ As bolas B, C e D são atraídas pela bola A.
■ As bolas B e D não têm efeito uma sobre a outra.
■ A bola B é atraída pela C.
Qual é o estado de eletrização (carga do vidro, do plástico ou neutro) das bolas A, B, C e D? Explique.
4. Bastões de plástico e de vidro previamente carregados estão suspensos por fios.
a. Um objeto repele o bastão de plástico. Você pode prever o que
ele irá fazer com o bastão de vidro? Em caso afirmativo, descreva
o que irá acontecer. Em caso negativo, por que não?
b. Um objeto diferente atrai o bastão de plástico. Você pode prever
o que ele irá fazer com o bastão de vidro? Em caso afirmativo,
descreva o que irá acontecer. Em caso negativo, por que não?
5. Quando você retira roupas da secadora logo após a lavagem, as roupas geralmente grudam em suas mãos e seus braços. Seu corpo está
carregado? Em caso afirmativo, como ele poderia ter adquirido a
carga? Em caso negativo, por que isso ocorre?
6. Uma bola leve de metal está suspensa por um fio. Quando um bastão carregado é mantido próximo, a bola se move em direção a ele,
tocando–o, e, então, rapidamente “se afasta para longe” dele. Explique esse comportamento.
7. É dada a você uma amostra de um material. Proponha um experimento
ou uma série de experimentos para determinar se o material é um condutor ou um isolante. Descreva claramente quais serão os resultados
de cada experimento se o material for um condutor ou um isolante.
8. Suponha que exista um terceiro tipo de carga além daquelas que
chamamos de “carga do plástico” e “carga do vidro”. Chame este
terceiro tipo de carga X. Que experimentos ou série de experimentos você deveria realizar para testar se um objeto possui uma carga
do tipo X? Descreva claramente como os possíveis resultados do
experimento deveriam ser interpretados.
9. Um eletroscópio carregado negativamente está com as folhas separadas.
a. Suponha que você aproxime um bastão carregado negativamente
da parte superior do eletroscópio, porém sem tocá-lo. Como as
folhas irão se comportar? Desenhe um diagrama de carga e dê
uma explicação teórica em sua resposta.
b. Como as folhas irão se comportar se você aproximar um bastão
carregado positivamente da parte superior do eletroscópio, sem
tocá-lo? Desenhe um diagrama de carga e dê uma explicação teórica em sua resposta.
10. As duas esferas de metal da FIGURA Q26.10 estão carregadas com
cargas opostas de mesmo valor absoluto. Elas são colocadas em
contato com um bastão de metal neutro. Qual é o estado final de
carga de cada esfera e do bastão?
Metal
Contato
FIGURA Q26.10
FIGURA Q26.11
11. A esfera metálica A da FIGURA Q26.11 possui 4 unidades de carga
negativa, e a esfera B, também metálica, duas unidades de carga
positiva. As esferas são colocadas em contato. Qual é o estado final
de carga de cada esfera? Explique.
12. As esferas metálicas A e B da FIGURA Q26.12 estão inicialmente
neutras e encostadas uma na outra. Um bastão carregado positivamente é aproximado de A, mas não a toca. A esfera A ficará carregada positivamente, carregada negativamente ou permanecerá
neutra? Desenhe um diagrama de carga e dê uma explicação teórica
em sua resposta.
Dedo
FIGURA Q26.12
FIGURA Q26.13
CAPÍTULO 26
13. Se você aproximar seu dedo de uma bolinha pendurada por um fio e
negativamente carregada, ela se moverá em direção ao dedo, como
ilustrado na FIGURA Q26.13. Use um diagrama de carga e palavras
para explicar esta observação.
14. Reproduza a FIGURA Q26.14 em uma folha de papel. Depois, desenhe um ponto (ou vários pontos) sobre a figura para indicar a posição (ou posições) onde um elétron não experimentaria uma força
resultante.
FIGURA Q26.14
15. As cargas A e B da FIGURA
Q26.15 são iguais. Considere que
cada carga exerça uma força sobre a outra com módulo igual a
F. Suponha agora que o valor da
■
Cargas Elétricas e Forças
813
carga B aumente por um fator 4 e que todo o restante permaneça
igual. Em função de F, (a) qual é o módulo (intensidade) da força
exercida sobre A, e (b) qual é o módulo (intensidade) da força exercida sobre B?
16. A intensidade do campo elétrico em um ponto próximo a uma carga
puntiforme é de 900 N/C. Qual é a intensidade do campo em um
ponto 50% mais afastado da mesma carga?
17. A intensidade do campo elétrico em um ponto próximo a uma carga
puntiforme é de 1000 N/C. Qual é a intensidade do campo se (a) a
distância à carga puntiforme for dobrada e se (b) a distância à carga
puntiforme diminuir pela metade?
18. Em um determinado campo elétrico, a força elétrica exercida sobre
uma partícula carregada é F. Qual seria a força se a carga da partícula fosse triplicada e se o campo elétrico fosse diminuído pela
metade?
FIGURA Q26.15
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 26.1 Desenvolvendo um modelo de carga
Seção 26.2 Carga
1. | Um bastão de vidro é carregado com 8,0 nC por meio de atrito.
a. Elétrons foram removidos do bastão ou prótons foram adicionados ao mesmo? Explique.
b. Quantos elétrons foram removidos ou quantos prótons foram
adicionados?
2. || Um bastão de plástico é carregado com 12 nC por meio de atrito.
a. Elétrons foram removidos do bastão ou prótons foram adicionados ao mesmo? Explique.
b. Quantos elétrons foram removidos ou quantos prótons foram
adicionados?
3. | Um bastão de plástico, previamente carregado com uma carga de
15 nC, toca uma esfera de metal. Logo a seguir, a carga do bastão
é de 10 nC.
a. Que tipo de partícula carregada foi transferida entre o bastão e a esfera, e em que direção se deu a transferência? Ou seja, as partículas
se moveram do bastão para a esfera ou em sentido contrário?
b. Quantas partículas carregadas foram transferidas?
4. | Um bastão de vidro, previamente carregado com uma carga de
12 nC, toca uma esfera de metal. Logo a seguir, a carga do bastão
é de 8 nC.
a. Que tipo de partícula carregada foi transferida entre o bastão e a esfera, e em que direção se deu a transferência? Ou seja, as partículas
se moveram do bastão para a esfera ou em sentido contrário?
b. Quantas partículas carregadas foram transferidas?
5. || Qual é a carga total de todos os prótons contidos em 1,0 mol de
gás O2?
6. || Qual é a carga total de todos os elétrons contidos em 1,0 L de
água na fase líquida?
Seção 26.3 Isolantes e condutores
7. | A Figura 26.9 mostrou como um eletroscópio torna-se negativamente carregado. As folhas também se repeliriam se você tocasse o
eletroscópio com um bastão de vidro carregado positivamente. Use
uma série de diagramas de carga para explicar o que acontece neste
caso e por que as folhas passam a se repelir.
8. | Um balão de plástico que foi friccionado com lã adere a uma parede.
a. Você pode concluir daí que a parede está carregada? Se ela não
estiver, por que não? Se ela estiver, de onde veio a carga?
b. Desenhe uma série de diagramas de carga que mostre como o
balão adere à parede.
9. | Duas esferas metálicas neutras, fixas em suportes de madeira, são
encostadas uma na outra. Um bastão carregado negativamente é posicionado diretamente acima do topo da esfera da esquerda, sem
tocá-la. Enquanto o bastão é mantido ali, a esfera da direita é movida de forma que as esferas não mais se toquem. A seguir, o bastão é
afastado. Após tudo isso, qual é o estado de carga de cada uma das
esferas? Use diagramas de cargas para ilustrar sua resposta.
10. || Você dispõe de duas esferas metálicas neutras e fixas em suportes
de madeira. Descreva um procedimento para eletrizar as esferas de
forma que elas fiquem com cargas opostas e de valores absolutos exatamente iguais. Use diagramas de carga para ilustrar o procedimento.
11. || Você dispõe de duas esferas metálicas neutras e fixas em suportes
de madeira. Descreva um procedimento para eletrizar as esferas de
forma que elas fiquem com cargas iguais e de valores absolutos exatamente iguais. Use diagramas de carga para ilustrar o procedimento.
12. | Um objeto passará no teste “Ele está carregado?” se atrair pequenos pedaços de papel.
a. Use uma série de diagramas de carga para explicar como um objeto carregado pode atrair pequenos pedaços de papel.
b. Este teste funciona para ambos os tipos de objetos eletrizados, os
positivamente carregados e os negativamente carregados. Explique por que isso é verdadeiro.
Seção 26.4 Lei de Coulomb
13. | Duas massas de 1,0 kg estão separadas por 1,0 m (de centro a
centro) sobre uma mesa sem atrito. Cada massa tem uma carga de
10 ␮C.
a. Qual é o módulo da força elétrica exercida sobre cada uma das
massas?
b. Qual será a aceleração inicial das massas se elas forem soltas e
puderem se mover?
14. || Duas pequenas esferas plásticas possuem massas de 2,0 g e cargas de 50 nC cada uma. Elas são colocadas a 2,0 cm uma da outra
(de centro a centro).
814
Física: Uma Abordagem Estratégica
a. Qual é o módulo da força elétrica exercida sobre cada esfera?
b. Por qual fator a força elétrica é maior do que o peso de cada
esfera?
15 || Uma pequena conta de vidro foi carregada com 20 nC. Uma
esfera de metal, suspensa 1,0 cm acima da conta, experimenta uma
força elétrica de 0,018 N orientada para baixo. Qual é a carga da
esfera suspensa?
16. | Qual é a força elétrica resultante sobre a carga A da FIGURA
EX26.16?
b. Desenhe um diagrama de campo que represente os vetores do
campo elétrico nestes pontos.
28. || Uma carga de 12 nC está localizada na origem de um sistema
de coordenadas.
a. Quais são os vetores de campo elétrico nas posições (x, y) dadas
por (0 cm, 5,0 cm), (5,0 cm, 5,0 cm), e (5,0 cm, 5,0 cm)?
Expresse cada vetor campo elétrico em função dos componentes.
b. Desenhe um diagrama de campo que represente os vetores de
campo elétrico nestes pontos.
,
Problemas
,
,
,
,
,
,
,
,
FIGURA EX26.16
FIGURA EX26.17
,
17. | Qual é a força elétrica resultante sobre a carga A da FIGURA EX
26.17?
18. | Um objeto A, previamente carregado com 10,0 nC, encontra-se
na origem de um sistema de coordenadas. Um objeto B, previamente carregado com 20,0 nC, encontra-se em (x, y) (0,0 cm, 2,0
cm). Determine a força elétrica exercida sobre cada objeto. Expresse cada vetor força em função de seus componentes.
19. | Uma pequena conta de vidro foi carregada com 20 nC de carga.
A 1,0 cm de distância do centro da conta de vidro, qual será o módulo e qual será a orientação da aceleração (a) de um próton e (b) de
um elétron ali soltos?
Seção 26.5 O modelo de campo
20. | Qual é a intensidade e a orientação do campo elétrico a 1,0 mm de
distância (a) de um próton e (b) de um elétron?
21. | O campo elétrico em certo ponto do espaço é
N/C.
a. Qual é a força elétrica sobre um próton posicionado neste ponto?
Expresse sua resposta em função dos componentes.
b. Qual é a força elétrica sobre um elétron posicionado neste ponto?
Expresse sua resposta em função dos componentes.
c. Qual é o módulo da aceleração do próton?
d. Qual é o módulo da aceleração do elétron?
22. || Que valor absoluto de carga cria um campo elétrico de 1,0 N/C a
1,0 m de distância?
23. || Quais são a intensidade e a orientação de um campo elétrico a 2,0
cm de uma pequena conta de vidro eletrizada com 8,0 nC?
24. || O campo elétrico a 2,0 cm de um pequeno objeto aponta para o
mesmo com uma intensidade de 180.000 N/C. Qual é a carga do
objeto?
25. || Quais são a intensidade e a orientação do campo elétrico que
equilibra uma esfera de plástico com massa de 1,0 g e eletrizada
com 3,0 nC?
26. || Quais são a intensidade e a orientação do campo elétrico que
equilibra o peso de (a) um próton e (b) de um elétron?
27. || Uma carga de 12 nC está localizada na origem de um sistema
de coordenadas.
a. Quais são os vetores de campo elétrico nas posições (x, y) dadas
por (5,0 cm, 0 cm), (5,0 cm, 5,0 cm), e (5,0 cm, 5,0 cm)?
Expresse cada vetor campo elétrico em função dos componentes.
29. || Duas esferas metálicas idênticas estão conectadas por um bastão de
metal. Ambas estão neutras inicialmente. Então, 1,0 1012 elétrons
são adicionados à esfera A, e a seguir o bastão que conecta as esferas
é removido. Logo após, quais serão as cargas de A e de B?
30. || Duas esferas metálicas idênticas estão conectadas por um bastão de
plástico. Ambas estão neutras inicialmente. Então, 1,0 1012 elétrons
são adicionados à esfera A, e a seguir o bastão que conecta as esferas
é removido. Logo após, quais serão as cargas de A e de B?
31. || Hoje em dia, nos EUA, as moedas de um centavo são feitas de
zinco recoberto com cobre, todavia antigamente elas eram feitas
de cobre, com 3,1 g de massa. Quais são a carga total positiva e a
carga total negativa existentes numa antiga moeda de centavo feita
de cobre e eletricamente neutra?
32. || Uma conta de plástico de 2,0 g, carregada com 4 nC, e uma conta de vidro de 4,0 g, carregada com uma carga de 8,0 nC, estão
separadas por 2,0 cm (centro a centro). Quais serão as acelerações
(a) da conta de plástico e (b) da conta de vidro quando forem soltas?
33. || Dois prótons estão a 2,0 fm de distância um do outro.
a. Qual é o módulo da força elétrica que cada próton exerce sobre o
outro?
b. Qual é o módulo da força gravitacional de um próton sobre o
outro?
c. Qual é a razão entre os módulos da força elétrica e da força gravitacional sobre cada próton?
34. || O núcleo de um átomo de 125X (um isótopo do elemento xenônio
com massa de 125 u) tem 6,0 fm de diâmetro. Ele contém 54 prótons e uma carga total q 54 e.
a. Qual é a força elétrica sobre um próton a 2,0 fm da superfície do
núcleo?
b. Qual é a aceleração do próton?
Dica: Considere o núcleo esférico como uma carga puntiforme.
35. || Duas esferas de 1,0 g são carregadas igualmente e mantidas separadas por 2,0 cm. Quando soltas, elas aceleram a 150 m/s2. Qual é o
valor absoluto da carga de cada esfera?
36. | Dois objetos A e B são carregados positivamente. Ambos têm
uma massa de 100 g, porém A possui uma carga duas vezes maior
que a de B. Quando A e B são mantidos afastados por 10 cm, B
experimenta uma força elétrica de 0,45 N.
a. Qual é o módulo da força sobre A?
b. Quanto valem as cargas qA e qB?
c. Se os objetos forem soltos, qual será a aceleração inicial de A?
37 || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC da FIGURA
P26.37? Expresse sua resposta em módulo e orientação.
,
,
,
FIGURA P26.37
,
,
,
CAPÍTULO 26
38. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC da FIGURA
P26.38? Expresse sua resposta em módulo e orientação.
,
■
Cargas Elétricas e Forças
45. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC na parte inferior da FIGURA P26.45? Expresse sua resposta em função dos
componentes.
,
,
FIGURA P26.38
,
,
,
,
,
39. || Qual é a força sobre a carga de 10 nC da FIGURA P26.39? Expresse sua resposta em função do módulo e de um ângulo medido
em sentido horário ou anti-horário (especifique qual) a partir do
semi-eixo x positivo.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
FIGURA P26.39
FIGURA P26.40
40. || Qual é a força exercida sobre a carga de 10 nC da FIGURA
P26.40? Expresse sua resposta função do módulo e de um ângulo
medido em sentido horário ou anti-horário (especifique qual) a partir do semi-eixo positivo de x.
41. || Qual é a força exercida sobre a carga de 5,0 nC da FIGURA
P26.41? Expresse sua resposta em função do módulo e de um ângulo medido em sentido horário ou anti-horário (especifique qual) a
partir do semi-eixo positivo de x.
,
,
,
,
,
,
FIGURA P26.41
FIGURA P26.42
42. || Qual é a força exercida sobre a carga de 5,0 nC da FIGURA
P26.42? Expresse sua resposta em função do módulo e de um ângulo medido em sentido horário ou anti-horário (especifique qual) a
partir do semi-eixo positivo de x.
43. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC no centro da FIGURA P26.43 devido às outras quatro cargas? Expresse sua resposta
em função dos componentes.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
FIGURA P26.43
FIGURA P26.49
49. || A carga q2 da FIGURA P26.49 encontra-se em equilíbrio eletrostático. Qual é o valor de q1?
50. || Uma carga puntiforme positiva Q está localizada em x a, e
outra carga puntiforme negativa Q encontra-se em x a. Uma
terceira carga positiva q pode ser posicionada em qualquer lugar
sobre o eixo y. Obtenha uma expressão para (Fres)x, o componente x
da força resultante exercida sobre q.
51. || Uma carga puntiforme positiva Q está localizada em x a, e
outra carga puntiforme negativa Q encontra-se em x a. Uma
terceira carga positiva q pode ser posicionada em qualquer lugar
sobre o eixo x. Obtenha uma expressão para (Fres)x, o componente x
da força resultante sobre q, quando (a) |x| a e (b) |x| a.
52. || A FIGURA P26.52 mostra quatro cargas nos vértices de um quadrado de lado L.
Considere Q e q como positivas. Qual é o
módulo da força resultante sobre q?
FIGURA P26.52
,
,
,
,
,
,
FIGURA P26.46
46. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC na parte inferior
da FIGURA P26.46? Expresse sua resposta em função dos componentes.
47. || Uma carga de 2,0 nC está na origem de um sistema de coordenadas, e outra carga de 4,0 nC encontra-se em x 1,0 cm.
a. Em qual coordenada x você colocaria um próton a fim de que a
força resultante sobre ele fosse nula?
b. A força resultante sobre um elétron colocado na mesma posição
também seria nula? Explique.
48. || A força resultante sobre a carga de 1 nC da FIGURA P26.48 é nula.
Qual é o valor de q?
,
,
,
,
FIGURA P26.48
,
,
,
,
FIGURA P26.45
,
,
815
,
,
FIGURA P26.44
44. || Qual é a força exercida sobre a carga de 1,0 nC no centro da FIGURA P26.44 devido às outras quatro cargas? Expresse sua resposta
em função dos componentes.
53. || Duas cargas puntiformes q e 4q estão em x 0 e x L, respectivamente, e são livres para se mover. Uma terceira carga é posicionada de forma que o sistema formado pelas três cargas fique em
equilíbrio eletrostático. Quais são o módulo, o sinal algébrico e o
valor da coordenada x da terceira carga?
54. || Suponha que o valor absoluto da carga do próton seja diferente
9
do valor absoluto da carga do elétron por apenas uma parte em 10 .
816
Física: Uma Abordagem Estratégica
a. Qual seria a força entre duas esferas de cobre de 2,0 mm de diâmetro separadas por 1,0 cm? Considere que cada átomo de cobre
tenha igual número de prótons e de elétrons.
b. Este valor de força pode ser detectável? O que você pode concluir do fato de que tais forças não são observadas?
55. || Em um modelo simplificado do átomo de hidrogênio, o elétron
descreve uma órbita circular de raio 0,053 nm ao redor do próton
estacionário. Quantas revoluções por segundo o elétron efetua?
56. || Em um projeto de ciências, você inventou uma “bomba de elétrons” que transfere elétrons de um objeto para outro. Para demonstrar sua invenção, você aparafusa uma pequena placa de metal no
teto da escola, conecta a bomba entre a placa metálica e você mesmo e começa a “bombear” elétrons da placa de metal para você.
Quantos elétrons devem ser movidos da placa de metal para seu
corpo de modo que você permaneça suspenso no ar a 2,0 m do teto?
Considere que sua massa seja de 60 kg.
Dica: Considere que você e a placa possam ser modelados como
cargas puntiformes.
57. || Você dispõe de uma mola com 4,0 cm de comprimento e não-tensionada e está curioso para ver se pode usar a mola para medir o valor
de uma carga. Primeiro você prende uma das extremidades da mola
ao teto, e na outra extremidade, uma massa de 1,0 g. A mola, então,
distende-se até atingir 5,0 cm de comprimento. A seguir, você prende
duas pequenas contas de plástico nas extremidades da mola, a coloca
sobre uma mesa livre de atrito e eletriza cada uma das contas com uma
mesma carga. A mola, então, distende-se até atingir um comprimento
de 4,5 cm. Qual é o valor absoluto da carga (em nC) de cada conta?
58. || Às vezes você gera uma centelha ao tocar uma maçaneta após ter
caminhado sobre um tapete. Por quê? O ar sempre contém alguns
elétrons livres que foram ejetados de átomos por raios cósmicos. Se
um campo elétrico está presente, um elétron livre é acelerado até
colidir com uma molécula do ar. Ele, então, transferirá sua energia
cinética para a molécula, que acelera, colide, acelera, colide e assim
sucessivamente. Se a energia cinética do elétron imediatamente antes
da colisão for de 2,0 1018 J ou maior, ele terá energia suficiente
para ejetar um elétron da molécula com a qual colida elasticamente. Onde havia um elétron livre, haverá agora dois! Cada um destes
poderá, a seguir, acelerar, atingir outra molécula e ejetar um novo
elétron. Portanto, haverá agora quatro elétrons livres. Em outras palavras, como mostra a FIGURA P26.58, um campo elétrico muito intenso causa uma “reação em cadeia” de produção de novos elétrons.
Isto é chamado “ruptura elétrica” do ar. A corrente de elétrons em
movimento é que produz o choque que você sente, e uma centelha é,
então gerada quando os elétrons se recombinam com os íons positivos, emitindo o excesso de energia como uma centelha de luz.
a. A distância média que um elétron percorre entre duas colisões sucessivas é de 2,0 ␮m. Que aceleração deve ter um elétron para ganhar 2,0 1018 J de energia cinética ao longo dessa distância?
b. Que força deve ser exercida sobre um elétron para lhe imprimir a
aceleração do item a?
c. Que intensidade de campo elétrico irá exercer essa força sobre o
elétron? Esta é a intensidade do campo de ruptura.
d. Suponha que um elétron livre no ar esteja a 1,0 cm de distância de
uma carga puntiforme. Qual é o valor mínimo qmin desta carga puntiforme que causa a ruptura elétrica do ar e gera uma centelha?
Átomos
Elétron ejetado do
primeiro átomo
Elétron original
FIGURA P26.58
Ruptura elétrica do ar
Elétron
59. || Duas cargas puntiformes de 5,0 g, penduradas por fios de 1,0 m
de comprimento, se repelem após terem sido carregadas com 100
nC cada uma, como mostrado na FIGURA P26.59. Quanto vale o ângulo ␪? Considere que o ângulo ␪ seja pequeno.
,
,
,
,
,
,
,
FIGURA P26.59
,
FIGURA P26.60
60. || Duas cargas puntiformes de 3,0 g, penduradas por fios de 1,0
m de comprimento, se repelem após terem sido carregadas como
mostrado na FIGURA P26.60. Quanto vale a carga q?
61. || Quais são os campos elétricos nos pontos 1, 2 e 3 da FIGURA
P26.61? Expresse sua resposta em função dos componentes.
,
,
FIGURA P26.61
62. || Quais são os campos elétricos nos pontos 1 e 2 da FIGURA P26.62?
Expresse sua resposta em módulo e orientação.
,
,
,
,
,
,
,
,
FIGURA P26.62
FIGURA P26.63
63. || Quais são os campos elétricos nos pontos 1, 2 e 3 da FIGURA
P26.63? Expresse sua resposta em função dos componentes.
64. || Uma carga de 10,0 nC está localizada na posição (x, y) (2,0
cm, 1,0 cm). Em que posições (x, y) o campo elétrico é expresso por
a.
b.
c.
65. || Uma carga de 10,0 nC está localizada na posição (x, y) (1,0 cm,
2,0 cm). Em que posições (x, y) o campo elétrico é expresso por
a.
b.
c.
66. || Três cargas de 1,0 nC estão
,
dispostas como mostra a FI,
,
GURA P26.66. Cada uma das
,
cargas cria um campo elétrico
,
em um ponto diretamente à
,
frente da carga central e a 3,0
FIGURA P26.66
cm da mesma.
a. Quais são os três campos ,
e
criados, respectivamente,
pelas três cargas? Escreva sua resposta para cada um dos campos
como um vetor em função dos componentes correspondentes.
CAPÍTULO 26
b. Você acredita que o campo elétrico satisfaça ao princípio da superposição? Ou seja, existe um “campo resultante” neste ponto
dado por
? Use o que você aprendeu neste capítulo e em capítulos anteriores no nosso estudo das forças
para argumentar se isso é verdadeiro ou não.
c. Se isso for verdadeiro, quanto é
?
67. || Um campo elétrico
faz com que uma carga
puntiforme de massa 5,0 g da FIGURA P26.67 fique suspensa em um
ângulo de 20°. Qual é a carga da bola?
■
Cargas Elétricas e Forças
Problemas desafiadores
73. Uma bola de cobre com 2,0 mm de diâmetro está carregada com
50 nC. Que fração de seus elétrons foi removida?
74. Três bolas de 3,0 g estão suspensas por fios de 80 cm de comprimento presos a um mesmo ponto fixo. Cada uma das bolas é eletrizada com uma mesma carga q. No equilíbrio, as três bolas formam
um triângulo eqüilátero no plano horizontal com 20 cm de lado.
Qual é o valor da carga q?
75. As pequenas esferas idênticas mostradas na FIGURA PD26.75 estão
carregadas com 100 nC e –100
nC. Elas estão suspensas, como
mostrado, em um campo elétrico
de módulo igual a 100.000 N/C.
Qual é a massa de cada esfera?
,
,
817
FIGURA PD26.75
FIGURA P26.67
FIGURA P26.68
76. Na FIGURA PD26.76 é representada uma força exercida sobre a carga
de –1,0 nC. Qual é o módulo dessa força?
68. || Um campo elétrico
faz com que uma carga
puntiforme da FIGURA P26.68 fique suspensa em um certo ângulo.
Qual é a valor do ␪ (*net res)?
Em cada um dos problemas de 69 a 72 lhe é fornecida uma equação
(ou mais) para ser utilizada na resolução de um problema ainda não
formulado. Em cada um deles,
a. Redija um problema realista para o qual esta(s) equação(ões)
seja(m) apropriada(s).
b. Resolva o problema proposto.
69.
,
,
FIGURA PD26.76
FIGURA PD26.77
77. Na Seção 26.3 afirmamos que objetos carregados exercem uma
força resultante atrativa sobre dipolos elétricos. Vamos investigar
isso. A FIGURA PD26.77 mostra um dipolo elétrico permanente que
consiste das cargas q e –q separadas pela distância fixa s. A carga
Q está à distância r do centro do dipolo. Consideraremos, como
geralmente é o caso, na prática, que s
r.
a. Escreva uma expressão para a força resultante que a carga Q
exerce sobre o dipolo.
b. Esta força aponta para Q ou para fora de Q? Explique.
c. Use a aproximação binomial
, válida para x
1, e mostre que a expressão que você obteve no item a pode
ser escrita como Fres 2KqQs/r3.
d. Como uma força elétrica pode depender do inverso do cubo da
distância? A lei de Coulomb não nos diz que a força elétrica depende do inverso do quadrado da distância? Explique.
70.
71.
72.
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 26.1: b. Objetos eletrizados sempre são atraídos por objetos neutros, de modo que uma força atrativa é inconclusiva. A repulsão
é o único teste seguro.
Pare e Pense 26.2: qe(3e) qa(1e) qd(0) qb(1e) qc(2e).
Pare e Pense 26.3: a. O bastão de plástico negativamente carregado
polarizará o eletroscópio empurrando os elétrons para baixo, na direção
das folhas. Isso neutralizará parcialmente a carga positiva que as folhas
adquiriram do bastão de vidro.
Pare e Pense 26.4: b. As duas forças constituem um par ação/reação,
com sentidos opostos, mas módulos iguais.
Pare e Pense 26.5: c. Existe um campo elétrico em todos os pontos, seja
o vetor mostrado ou não. O campo elétrico no ponto aponta para a direita. Todavia todo elétron possui uma carga negativa, portanto a força
devida ao campo elétrico, sobre o elétron, aponta para a esquerda.
Pare e Pense 26.6: Eb Ea Ed Ec.
27 O Campo Elétrico
Uma tela de cristal líquido opera usando
campos elétricos para alinhar longas
moléculas de polímeros.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 27 é ensinar
como calcular e usar o campo elétrico.
Neste capítulo, você aprenderá a:
■ Calcular o campo elétrico devido a
múltiplas cargas puntiformes.
■ Calcular o campo elétrico devido
a uma distribuição contínua de
cargas.
■ Usar o campo elétrico de dipolos,
linhas de carga e planos de carga.
■ Gerar um campo elétrico uniforme
por meio de um capacitor de
placas paralelas.
■ Calcular o movimento de cargas e
dipolos em um campo elétrico.
Em retrospectiva
Este capítulo desenvolve as idéias
sobre forças e campos elétricos que
foram introduzidas no Capítulo 26.
O movimento de uma partícula
carregada em um campo elétrico é
semelhante ao movimento de um
projétil. Revise:
■ Seção 4.3 Movimento de projéteis
■ Seção 26.4 A lei de Coulomb
■ Seção 26.5 O campo elétrico
produzido por uma carga
puntiforme
Você não pode vê-los, mas eles estão à sua volta – os campos elétricos. São estes campos que alinham moléculas de polímeros para formar imagens no visor de cristal líquido
(LCD) de um relógio de pulso ou no monitor LCD de um computador. Os campos elétricos
são responsáveis pelas correntes elétricas que fluem em seu computador e em seu aparelho
de som, sendo essenciais para o funcionamento de seu cérebro, seu coração e seu DNA.
No Capítulo 26, introduzimos a idéia de campo elétrico para compreender melhor
a interação de ação a distância entre cargas elétricas. O campo elétrico produzido por
uma carga puntiforme é muito simples, mas no mundo real os objetos carregados contêm um enorme número de cargas distribuídas segundo padrões complexos. Para fazer
uso prático dos campos elétricos, precisamos saber como calcular o campo elétrico de
uma complicada distribuição de carga. O principal objetivo deste capítulo é desenvolver
um procedimento para o cálculo de campos elétricos produzidos por configurações ou
distribuições específicas de carga.
No Capítulo 26, fizemos uma distinção entre partículas carregadas que geram um
campo elétrico e partículas carregadas que experimentam um campo elétrico e que se
movem em sua presença. Trata-se de uma distinção importante. A maior parte do capítulo discutirá as fontes do campo elétrico. Somente no final do capítulo, quando já
soubermos calcular o campo elétrico, examinaremos o que acontece às cargas que estão
imersas em um campo elétrico.
27.1 Modelos de campo elétrico
Os campos elétricos usados na ciência e na engenharia são geralmente produzidos por
distribuições de carga bastante complicadas. Às vezes esses campos requerem um cál-
CAPÍTULO 27
■
O Campo Elétrico
819
culo exato; todavia, na maioria dos casos podemos compreender a física essencial envolvida com base apenas em modelos simplificados de campo elétrico.
Uma carga puntiforme
Um plano carregado
infinitamente extenso
Uma esfera carregada
Um fio carregado
infinitamente longo
FIGURA 27.1 Quatro modelos básicos de campo elétrico.
Os quatro modelos de campo elétrico, amplamente utilizados e ilustrados na FIGURA
27.1, são:
■
■
■
■
O campo elétrico de uma carga puntiforme
O campo elétrico de um fio carregado infinitamente longo
O campo elétrico de um plano carregado infinitamente extenso
O campo elétrico de uma esfera carregada
Pequenos objetos eletrizados geralmente podem ser considerados como cargas puntiformes ou esferas carregadas. Os fios reais não são infinitamente longos, mas em muitas
situações práticas essa constitui uma aproximação perfeitamente razoável. Ao derivarmos e usarmos esses campos elétricos, consideraremos as condições sob as quais eles
são apropriados como modelos.
Nosso ponto de partida será o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme q:
(campo elétrico gerado por uma carga puntiforme)
(27.1)
onde é um vetor unitário que aponta para fora de q, e 0 8,85 1012 C2/Nm2 é a
constante de permissividade elétrica do vácuo. A FIGURA 27.2 serve para relembrá-lo acerca dos campos elétricos gerados por cargas puntiformes. Embora tenhamos de atribuir
um tamanho a cada vetor desenhado, devemos ter em mente que cada seta representa o
campo elétrico em um ponto apenas do espaço. O campo elétrico não é, de fato, uma
quantidade espacial que se “estica” a partir do fim de uma seta para outra seta.
onde
é a força elétrica
O campo elétrico foi definido como
exercida sobre a carga q. Forças se adicionam como vetores, portanto a força resultante
sobre q, devida a um conjunto de cargas puntiformes, é igual ao vetor soma
FIGURA 27.2 Campo elétrico de uma carga
puntiforme positiva e de outra, negativa.
Conseqüentemente, o campo elétrico resultante devido a um conjunto de cargas puntiformes é
(27.2)
onde é o campo gerado pela carga puntiforme indicada pelo subíndice i.
A Equação 27.2, que é a ferramenta primária para se calcular campos elétricos, significa que o campo elétrico resultante é o vetor soma dos campos elétricos produzidos por cada carga. Em outras palavras, os campos elétricos satisfazem ao princípio da
superposição. A FIGURA 27.3 ilustra esta idéia importante. A maior parte do capítulo focalizará os aspectos matemáticos envolvidos na realização dessa soma.
Campos produzidos pelas cargas-fonte 1 e 2
res
Casos limite e intensidades de campo típicas
O campo elétrico próximo a um objeto carregado depende da forma do objeto e de como a
carga está distribuída no mesmo. Todavia, a uma grande distância o campo elétrico gerado
por qualquer objeto finito deverá ser parecido ao campo de uma carga puntiforme. Portanto,
o campo elétrico gerado por um objeto carregado, a uma grande distância do mesmo, é aproximadamente igual ao campo elétrico gerado por uma carga puntiforme de mesmo valor.
Neste ponto, o campo
elétrico resultante é res
FIGURA 27.3 Os campos elétricos
obedecem ao princípio da superposição.
820
Física: Uma Abordagem Estratégica
TABELA 27.1 Intensidades típicas de campo
elétrico
Localização do campo
Intensidade do
campo (N/C)
Interior de um fio condutor
103 – 101
Próximo à superfície da
Terra
102 – 104
Próximo a objetos
carregados por atrito
103 – 106
Ruptura elétrica do ar,
produzindo uma centelha
3 106
Interior de um átomo
1011
Este é um exemplo do que se chama caso limite. Teremos a oportunidade de examinar ambos os casos limite, o de objetos carregados muito próximos e o de objetos muito
afastados em relação a um dado ponto do espaço. Os casos limite nos permitem:
■ Checar a solução verificando se o resultado obtido prevê o comportamento esperado
quando distância torna-se muito grande ou muito pequena.
■ Obter expressões simplificadas para o campo elétrico em pontos muito próximos ou
muito afastados de um objeto carregado.
Enfatizaremos os casos limite ao longo do capítulo, à medida que desenvolvermos os
modelos de campo elétrico.
Será de grande ajuda conhecer intensidades típicas de campo elétrico. Os valores
fornecidos pela Tabela 27.1 servirão para ajudá-lo a avaliar se a sua solução para um
dado problema é consistente ou não.
27.2 Campo elétrico criado por múltiplas
cargas puntiformes
Como vimos no Capítulo 26, é importante distinguir as cargas que são as fontes de um
campo elétrico daquelas que o experimentam e que se movem sob a influência deste
campo elétrico. Suponha que a fonte de um campo elétrico seja um conjunto de cargas
em
puntiformes q1, q2,.... De acordo com a Equação 27.2, o campo elétrico resultante
cada ponto no espaço é a superposição dos campos elétricos gerados individualmente
por cada carga do conjunto naquele ponto.
O vetor soma da Equação 27.2 pode ser escrito na forma
(27.3)
Muitas vezes você precisará escrever
Em outras vezes, expressará
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 27.1
em função dos componentes:
em módulo e orientação.
Campo elétrico criado por múltiplas
cargas puntiformes
MODELO Considere os objetos carregados como cargas puntiformes.
VISUALIZAÇÃO Para uma representação pictórica
■
■
■
■
Defina o sistema coordenado a ser usado e indique nele as posições das cargas.
Identifique o ponto P no qual você deseja calcular o campo elétrico.
Desenhe o campo elétrico criado por cada carga no ponto P.
Use a simetria do conjunto de cargas para determinar se um ou mais componentes de
são nulos.
SOLUÇÃO A representação matemática é dada por
.
■ Para cada carga, determine sua distância em relação ao ponto P e o ângulo que
■
■
■
■
faz com os eixos.
Calcule a intensidade do campo elétrico criado por cada carga.
Expresse cada vetor em função dos componentes correspondentes.
Some os vetores componentes e determine
.
Se necessário, determine o módulo e a orientação de
.
AVALIAÇÃO Verifique se o seu resultado está expresso na unidade correta, se é plausí-
vel e se está em concordância com algum caso limite conhecido.
CAPÍTULO 27
EXEMPLO 27.1 O campo elétrico criado por três cargas
puntiformes iguais
Três cargas puntiformes iguais q estão localizadas sobre um eixo vertical, em y 0 e y d. Determine o campo elétrico criado em um
ponto do eixo x.
MODELO Este problema constitui uma primeira etapa para a compreensão do campo elétrico gerado por um fio retilíneo carregado. Ao
desenhar a figura, consideramos que q fosse positiva, mas a solução
obtida deverá ser válida também no caso de q ser negativa. O enunciado não menciona qualquer ponto específico, portanto devemos obter
uma expressão algébrica em função de uma posição x qualquer.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.2 mostra as cargas, o sistema de coordenae . Cada um
das escolhido e os três vetores campo elétrico ,
aponta para fora de sua carga-fonte, pois consideramos que q seja
.
positiva. Precisamos determinar o vetor soma
y
FIGURA 27.4 Calculando
o campo elétrico
criado por três cargas
puntiformes iguais.
q1
O Campo Elétrico
821
onde r2 x é a distância de q2 até o ponto no qual estamos calculando o campo. O vetor faz um ângulo com o eixo x. Portanto, seu
componente x é
onde r1 é a distância de q1. Esta expressão para (E1)x está correta,
mas ainda não é suficiente. A distância r1 e o ângulo variam com
a posição x e precisam ser expressos como funções de x. A partir
2
2 1/2
do teorema de Pitágoras, r1 (x d ) . Logo, usando a trigonometria,
Combinando essas equações, vemos que (E1)x é
r1 = x2 + d2
E3
d
P
q2
r2 = x
d
q3
■
x
E2
E1
Este é o ponto no qual
calcularemos o campo elétrico.
Antes de nos precipitarmos e de realizar cálculos, podemos tornar
nossa tarefa mais fácil raciocinando qualitativamente a respeito da
situação. Por exemplo, os campos ,
e
estão todos no plano
xy, conseqüentemente, sem precisar efetuar qualquer cálculo, podemos concluir que (Eres)z 0. Em seguida, observe os componentes
e
possuem módulos iguais e estão
y dos campos. Os campos
inclinados segundo o mesmo ângulo , mas para lados contrários em
relação ao eixo x. Conseqüentemente, os componentes y de e se
cancelarão quando forem adicionados. não possui componente y,
portanto podemos concluir que (Eres)y 0. O único componente que
necessitamos calcular de fato é (Eres)x.
RESOLUÇÃO Estamos prontos para realizar o cálculo. O componente
x do campo é
onde fizemos uso do fato de que os campos e possuem o mesmo
componente x. O vetor possui apenas o componente x, dado por
Esta expressão é um tanto complexa, todavia podemos notar que a
2
2 3/2
2
unidade de x/(x d ) é 1/m , como deve ser para o caso do campo
criado por uma carga puntiforme. Examinar as dimensões constitui
um bom meio de checar se você não cometeu erros de álgebra.
Podemos agora combinar (E1)x e (E2)x e escrever o componente x
na forma
de
Os outros dois componentes de
são nulos, sendo que o campo
elétrico criado pelas três cargas em um ponto sobre o eixo x é
AVALIAÇÃO Este é o campo elétrico somente em pontos sobre o eixo x.
Além disso, a expressão é válida somente para x 0. O campo elétrico à esquerda das cargas tem sentido contrário, mas nossa expressão
não troca de sinal para x 0. (Esta é uma conseqüência da forma
como expressamos (E2)x.). Precisaríamos modificar esta expressão
para poder usá-la para valores negativos de x. A boa notícia, todavia,
é que nossa expressão é válida para ambos os casos de q positiva ou
negativa. Um valor negativo de q implica (Eres)x negativo, o que corresponde a um campo elétrico que aponta para a esquerda, em direção
às cargas negativas.
Vamos explorar este exemplo um pouco mais. Há dois casos limite para os quais
conhecemos os resultados possíveis. Primeiro, tornemos x realmente muito pequeno. À
medida que o ponto da FIGURA 27.4 se aproxima da origem, os campos e tornam-se
, o campo deve se reduzir ao
opostos um ao outro e se cancelam. Portanto, quando
campo criado por uma carga puntiforme q posicionada na origem, o qual já conhecemos.
Será que isso é verdade? Note que
(27.4)
Portanto
quando
, que é o campo esperado para uma única cargafonte puntiforme.
Agora considere a situação limite oposta, quando x torna-se extremamente grande.
Vistas de um ponto muito distante, as três cargas-fonte parecerão fundir-se em uma única carga de valor 3q, da mesma forma como três lâmpadas acesas se parecerão com uma
d deveria ser
só lâmpada quando olhadas de muito longe. Portanto, o campo para x
igual ao de uma carga puntiforme 3q. Será que isso é verdade?
822
Física: Uma Abordagem Estratégica
O campo elétrico coincide
com aquele de uma única carga
puntiforme q quando x
d.
res
O campo é nulo no limite
. Isso não nos ajuda muito, portanto não queremos
supor um ponto tão distante. Nós simplesmente desejamos que x seja muito grande em
d, então o denominador
comparação com o espaçamento d entre as cargas-fonte. Se x
pode ser aproximado por (x2 d2)3/2 艐 (x2)3/2 x3. Portanto,
do segundo termo de
Campo elétrico de uma
carga puntiforme 3q
(27.5)
Conseqüentemente, o campo elétrico resultante em um ponto distante das cargas-fonte é
Campo elétrico de uma
carga puntiforme q
(27.6)
O campo elétrico coincide com
aquele de uma carga puntiforme
3q quando x
d.
FIGURA 27.5 Intensidade do campo elétrico
ao longo de uma linha perpendicular a três
cargas puntiformes iguais.
A molécula de água constitui um dipolo
permanente porque os elétrons negativos
passam a maior parte do tempo mais
próximos do átomo de oxigênio.
O campo elétrico de um dipolo
Duas cargas iguais, mas de sinais contrários, separadas por uma pequena distância,
constituem um dipolo elétrico. A FIGURA 27.6 mostra dois exemplos. Em um dipolo
elétrico permanente, tal como uma molécula da água, as partículas carregadas com
cargas opostas mantêm entre si uma pequena separação permanente. Podemos também
criar um dipolo elétrico, como você aprendeu no Capítulo 26, por meio da polarização
de um átomo neutro por um campo elétrico externo. Este é o caso de um dipolo elétrico induzido.
A FIGURA 27.7 mostra que podemos representar um dipolo elétrico, seja ele permanente ou induzido, por duas cargas opostas q separadas por uma pequena distância s. O
dipolo tem carga total nula, mas ele cria seu próprio campo elétrico. Considere um ponto sobre o semi-eixo positivo de y. O ponto está um pouco mais próximo de q do que
de q, de modo que os campos das duas cargas não se cancelam. Podemos ver na figura
aponta na direção positiva de y. Similarmente, o vetor adição mostra que, em
que
pontos ao longo do eixo x,
aponta no sentido negativo de y.
Vamos calcular o campo elétrico criado por um dipolo em um ponto sobre o eixo do
mesmo. Trata-se do eixo y da Figura 27.7. Este ponto dista r y s/2 da carga positiva e r y s/2 da carga negativa. O campo elétrico neste ponto possui apenas um
componente y, e a soma dos campos das duas cargas puntiformes resulta em
Este dipolo foi induzido por ou causado
pelo campo elétrico que atua sobre as
cargas e .
FIGURA 27.6 Um dipolo elétrico
permanente, e outro, induzido.
E
E E
porque a
carga positiva
está mais
próxima. E
Edipolo
Como esperado, este é o campo elétrico de uma carga puntiforme 3q. Estas verificações
nos casos limite nos dão confiança quanto aos resultados obtidos.
A FIGURA 27.5 é o gráfico da intensidade de campo Eres para as três cargas do Exemplo
27.1. Embora não tenhamos qualquer valor numérico, podemos expressar x como um
múltiplo da separação d entre as cargas. Observe como o gráfico coincide com o do
d, e com o de uma carga 3q quando
campo de uma única carga puntiforme quando x
d.
x
Neste ponto, o campo
elétrico do dipolo está
no sentido positivo do
eixo y.
Neste ponto, o campo
elétrico do dipolo está
no sentido negativo do
eixo y.
(27.7)
Combinando os dois termos sobre um denominador comum, achamos
(27.8)
E
Todo dipolo
não possui
carga líquida.
E dipolo
E
FIGURA 27.7 O campo produzido por um
dipolo elétrico em dois pontos.
Omitimos alguns passos algébricos intermediários, mas você deve ter certeza de que
consegue efetuá-los. Alguns dos problemas para casa requereram álgebra semelhante.
Na prática, quase sempre o campo elétrico de um dipolo é observado apenas a diss – ou seja, a distâncias muito maiores do que a separação entre as cargas.
tâncias y
. Com
Nesses casos, o denominador pode ser aproximado por
isso, a Equação 27.8 assume a forma
(27.9)
CAPÍTULO 27
■
O Campo Elétrico
Isto é útil para definir o momento de dipolo , mostrado na FIGURA 27.8, como o vetor
(qs, da carga negativa para a carga positiva)
(27.10)
A direção e o sentido de identificam a orientação do dipolo, e o módulo do momento
de dipolo, p qs, determina a intensidade do campo elétrico. A unidade do SI para momento de dipolo é o Cm.
Podemos usar o momento de dipolo para escrever uma expressão sintética para o
campo elétrico em um ponto sobre o eixo de um dipolo:
(sobre o eixo de um dipolo elétrico)
(27.11)
onde r é a distância medida a partir do centro do dipolo. Trocamos y por r porque agora
especificamos que a Equação 27.11 é válida somente ao longo do eixo do dipolo. Note que
o campo elétrico ao longo do eixo tem a mesma orientação do momento de dipolo .
Um dos problemas propostos como tarefa para casa lhe pedirá para calcular o campo
elétrico no plano que bissecciona o dipolo e é perpendicular a ele. Trata-se do campo
mostrado sobre o eixo x na Figura 27.7, mas poderia muito bem ser o campo sobre o eixo
s, o campo é
z que sai perpendicularmente da página. Para r
(plano perpendicular)
Este campo é oposto a
à mesma distância.
(27.12)
e tem apenas a metade da intensidade do campo sobre o eixo x
NOTA As equações obtidas, onde a dependência é com o inverso do cubo, violam a
lei de Coulomb? Não necessariamente. A lei de Coulomb descreve a força entre duas
cargas puntiformes, e a partir da lei de Coulomb concluímos que o campo elétrico de
uma carga puntiforme varia com o inverso do quadrado da distância. Mas um dipolo
não é uma carga puntiforme. O campo de um dipolo diminui mais rapidamente do
que o de uma carga puntiforme, o que deveria ser esperado, uma vez que, afinal de
contas, o dipolo é eletricamente neutro. EXEMPLO 27.2 O campo elétrico criado por uma molécula da água
A molécula H2O da água possui um momento de dipolo permanente com módulo de 6,2 30
10 Cm. Qual é a intensidade do campo elétrico a 1,0 nm da molécula da água em um ponto
sobre o eixo do dipolo?
MODELO O tamanho de uma molécula de água é 艐 0,1 nm. Portanto, r
s, e podemos usar a
Equação 27.11 para o campo elétrico sobre o eixo do momento de dipolo da molécula.
SOLUÇÃO A intensidade do campo elétrico sobre o eixo, para r 1,0 nm, é
AVALIAÇÃO Consultando a Tabela 27.1, você pode verificar que a intensidade do campo é “for-
te” se comparada à nossa experiência cotidiana com objetos carregados, todavia é “fraca”
quando comparada à intensidade dos campos elétricos no interior dos próprios átomos. Isso
parece razoável.
Ilustrando o campo elétrico
Não podemos ver o campo elétrico. Conseqüentemente, precisamos de ferramentas pictóricas que nos ajudem a visualizá-lo através do espaço. Um desses métodos, introduzido no Capítulo 26, é o de visualizar o campo elétrico desenhando os seus vetores em
vários pontos do espaço. Outra maneira de mostrar o campo é desenhar as linhas de
campo elétrico.
O momento de dipolo é um
vetor que aponta da carga negativa para a positiva, com módulo
igual a qs.
FIGURA 27.8 Momento de dipolo.
823
824
Física: Uma Abordagem Estratégica
BOX TÁTICO
27.1
Desenhando e usando as linhas de campo elétrico
As linhas de campo elétrico são curvas contínuas desenhadas tangencialmente
aos vetores do campo elétrico. Alternativamente, em qualquer ponto do espaço, o vetor do campo elétrico é tangente à linha de campo naquele ponto.
Linhas de campo mais próximas indicam uma intensidade de campo maior,
correspondentes a vetores de campo maiores. Linhas de campo mais espaçadas indicam intensidades de campo menores.
As linhas de campo elétrico jamais se cruzam.
As linhas de campo elétrico partem das cargas positivas e se dirigem para as
negativas.
11.5, 11.6
Vetor campo
Linha de campo
Exercícios 2–4, 12, 13
O passo 3 é necessário para nos garantir que tenha uma única orientação em cada
ponto do espaço. O passo 4 segue do fato de o campo elétrico ser criado por cargas.
Entretanto, no Capítulo 34, teremos de modificar o passo 4, quando virmos uma outra
maneira de criar um campo elétrico.
A FIGURA 2.9a representa o campo elétrico de um dipolo por meio de um diagrama
vetorial de campo. A FIGURA 27.9b representa o mesmo campo usando linhas de campo
elétrico. Note como o campo sobre o eixo aponta na direção de , abaixo e acima do dipolo, enquanto o campo no plano bissetor está orientado contrariamente a . Na maioria
dos pontos, entretanto, possui tanto um componente paralelo quanto um componente
perpendicular a .
Os vetores
campo elétrico
são tangentes
às linhas de
campo elétrico.
FIGURA 27.9 Campo elétrico criado por um dipolo.
FIGURA 2.10 O campo elétrico criado por
duas cargas positivas iguais.
A FIGURA 27.10 mostra o campo elétrico de duas cargas de mesmo sinal. Trata-se de
um diagrama de linhas de campo elétrico no qual mostramos apenas alguns vetores do
campo. Vale a pena uma cuidadosa comparação entre as Figuras 27.9b e 27.10. Verifique
se você consegue explicar as similaridades e as diferenças entre as duas.
Nem os diagramas vetoriais de campo e tampouco os diagramas de linhas de campo
são representações pictóricas fiéis de campos elétricos. Os vetores de campo são um pouco
mais difíceis de traçar e mostram o campo somente em poucos pontos, mas indicam claramente a orientação e a intensidade do campo elétrico naqueles pontos. Os diagramas de
linhas de campo talvez pareçam mais elegantes e algumas vezes são mais fáceis de esboçar,
mas não há o conhecimento de uma fórmula através da qual se possa desenhar as linhas e é
mais difícil, a partir deles, inferir a orientação e a intensidade reais do campo elétrico.
Simplesmente não existe uma maneira de mostrar precisamente o que o campo é.
Somente a representação matemática é exata. Usaremos os diagramas vetoriais de campo e os diagramas de linhas de campo dependendo de quais sejam as circunstâncias,
mas você perceberá que a preferência deste texto inclina-se pelo emprego dos diagramas
vetoriais de campo.
CAPÍTULO 27
PARE E PENSE 27.1
■
O Campo Elétrico
825
No ponto indicado na figura, o campo elétrico aponta
a. Para a esquerda
c. Para cima
e. O campo elétrico é nulo
b. Para a direita
d. Para baixo
27.3 Campo elétrico criado por uma
distribuição contínua de carga
Objetos comuns – mesas, cadeiras, um béquer com água – parecem, aos nossos sentidos,
distribuições contínuas de matéria. Não existe uma evidência óbvia para a existência
de uma estrutura atômica, embora tenhamos boas razões para acreditar que obteríamos
átomos individuais se subdividíssemos muitas e muitas vezes a matéria. Portanto, para
efeito prático, é mais fácil considerar a matéria como contínua e falar em uma densidade
de matéria. A massa específica – o número de quilogramas por metro cúbico de matéria
homogênea – nos permite descrever a distribuição da matéria como se ela fosse contínua,
ao invés de atômica.
Uma situação parecida ocorre com a carga. Se um objeto carregado contém um nú12
mero elevado de excesso de elétrons – por exemplo, 10 elétrons extras em um bastão
de metal –, não é prático contar cada elétron. É mais adequado considerar a carga como
sendo contínua e descrever como ela se distribui pelo objeto.
A FIGURA 27.11a mostra um objeto de comprimento L, como um bastão de plástico ou
um fio metálico, dotado de carga líquida Q espalhada uniformemente ao longo do mesmo. (Usaremos a letra maiúscula Q para denotar a carga total de um objeto, reservando
a letra minúscula q para cargas puntiformes individuais.) A densidade linear de carga
é definida como
Carga Q sobre um
bastão de comprimento L.
A densidade linear de
carga é
(27.13)
A densidade linear de carga, com unidade de C/m, é a quantidade de carga por metro
de comprimento. A densidade linear de carga de um fio com comprimento de 20 cm e
7
carregado com 40 nC é 2,0 nC/cm, ou seja, 2,0 10 C/m.
NOTA A densidade linear de carga é análoga à densidade linear de massa , que
você usou no Capítulo 20 para determinar a velocidade de uma onda em uma corda. A carga em um pequeno
comprimento
é
Carga Q sobre uma superfície de área A.
A densidade superficial de carga é Q/A.
Também estaremos interessados em distribuições superficiais de carga. A FIGURA
27.11b mostra uma distribuição bidimensional de carga sobre uma superfície de área A.
Definimos a densidade superficial de carga (a letra grega minúscula eta) como
(27.14)
2
A densidade superficial de carga, com unidade de C/m , é a quantidade de carga por metro quadrado. Uma superfície quadrada de 1,0 mm 1,0 mm, com densidade de carga
4
2
10
de 2,0 10 C/m , contém 2,0 10 C, ou 0,20 nC de carga. (No Capítulo 28, será
, expressa em C/m3.)
usada a densidade volumétrica de carga,
A Figura 27.11 e as equações de definição 27.13 e 27.14 são válidas se o objeto estiver uniformemente carregado, o que significa que as cargas estão espalhadas de maneira uniforme sobre o objeto. Assumiremos que objetos carregados estão uniformemente
carregados a menos que seja indicado o contrário.
NOTA Alguns livros didáticos representam a superfície de carga pelo símbolo .
Uma vez que este símbolo também é usado para representar a condutividade, um
conceito introduzido no Capítulo 31, escolhemos um símbolo diferente para densidade superficial de carga. PARE E PENSE 27.2 Um pedaço de plástico está uniformemente carregado com densidade de carga a. O plástico é, então, dividido em um grande pedaço com densidade
superficial de carga b e em um pequeno pedaço com densidade superficial de carga
c. Coloque em ordem decrescente as densidades superficiais de carga de a até c.
Área
A carga em um pequeno elemento
de área A é Q A.
FIGURA 27.11 Uma distribuição contínua
de carga unidimensional e outra
bidimensional.
826
Física: Uma Abordagem Estratégica
Uma estratégia para resolução de problemas
Nosso objetivo agora é determinar o campo elétrico criado por uma distribuição contínua de carga, tal como ao longo de um bastão carregado ou de um disco carregado.
Dispomos de duas ferramentas básicas para lidar com isso:
■ O campo elétrico de uma carga puntiforme e
■ O princípio da superposição.
Podemos empregar estas ferramentas, para o caso de uma distribuição contínua de carga,
seguindo uma estratégia de três etapas:
1. Divida a carga total Q em muitas pequenas cargas puntiformes Q.
2. Use o conhecimento a respeito do campo elétrico criado por uma carga puntiforme para determinar o campo elétrico criado por cada Q.
somando todos os campos criados por Q.
3. Calcule o campo resultante
Na prática, conforme seria esperado, essa soma será uma integral.
A dificuldade com os cálculos de campos elétricos não está em efetuar a soma ou a
integração propriamente em si, mas se encontra no último passo, ao montar as equações
e saber o que integrar. Agora, passo a passo, através de vários exemplos, ilustraremos
esses procedimentos. Entretanto, primeiro precisamos relembrar os passos da estratégia
para resolução de problemas. O objetivo da estratégia é subdividir um problema difícil
em uma série de pequenas etapas que são, individualmente, mais tratáveis.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 27.2
Campo elétrico criado por uma
distribuição contínua de carga
MODELO Modele a distribuição com uma forma simples, tal como uma linha eletriza-
da ou um disco eletrizado. Considere que a carga esteja uniformemente distribuída.
VISUALIZAÇÃO Para uma representação pictórica:
Desenhe a figura e defina nela um sistema de coordenadas.
Identifique o ponto P no qual você deseja calcular o campo elétrico.
Divida a carga total Q em pequenos pedaços de carga Q usando formas para as
quais você já sabe como determinar o . Geralmente, mas nem sempre, é como se
dividíssemos a carga total em um grande número de cargas puntiformes.
Desenhe o vetor campo elétrico criado em P por uma ou duas porções de carga
Q. Isso o ajudará a identificar as distâncias e os ângulos que precisam ser calculados.
Verifique se não existem simetrias na distribuição de cargas que simplifiquem
o campo. Você poderá, talvez, concluir que um ou mais componentes de , por
exemplo, são nulos.
RESOLUÇÃO A representação matemática é
.
■ Use o princípio da superposição para obter uma expressão algébrica para cada
■
■
■
■
um dos três componentes de (a menos que tenha certeza de que um ou mais
deles sejam nulos) no ponto P.
Tome como variáveis as coordenadas (x, y, z) do ponto.
Troque a pequena carga Q por uma expressão equivalente que envolva uma densidade de carga e uma coordenada, tal como dx, que descreva a forma da carga Q.
Este é o passo fundamental ao fazer a transição de uma soma para uma integral, pois você precisa de uma coordenada para servir de variável de integração.
Expresse todos os ângulos e distâncias em função das coordenadas.
Faça a soma tornar-se uma integral. A integração será feita sobre a coordenada
variável relacionada a Q. Os limites de integração para essa variável devem
“cobrir” todo o objeto carregado.
AVALIAÇÃO Verifique se o seu resultado é consistente com algum limite para o qual
você saiba que o campo deveria tender.
■
CAPÍTULO 27
EXEMPLO 27.3 O campo elétrico de uma linha de carga
A FIGURA 27.12 mostra um bastão fino, de comprimento L e uniformemente carregado com uma carga total Q que pode ser tanto positiva quanto negativa. Determine a intensidade do campo elétrico a
uma distância d do bastão, no plano que bissecciona o mesmo.
O Campo Elétrico
827
MODELO O bastão é fino, de modo que consideraremos que as cargas estejam dispostas ao longo de uma linha, formando o que chamamos de linha de carga. Esta é uma importante distribuição de
carga cujo campo serve como modelo do campo elétrico criado por
um bastão carregado ou por um fio metálico carregado. A densidade
.
linear de carga é
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.13 ilustra as 5 etapas da estratégia para
Carga total Q
resolução de problemas. Escolhemos um sistema de coordenadas
no qual o bastão esteja posicionado ao longo do eixo y, e o ponto
P, no plano bissetor sobre o eixo x. Dividimos o bastão então, em N
pequenos segmentos de carga Q, cada um dos quais podendo ser
considerado como uma carga puntiforme. Para cada Q na parte
inferior do fio, produzindo um campo que aponta para a direita e
para cima, existe uma carga Q recíproca, na metade superior, que
cria um campo orientado para a direita e para baixo. Os componentes y desses dois campos se cancelam, e o campo elétrico resultante
dos dois sobre o eixo x aponta perpendicularmente para fora do
bastão. O único componente que precisamos calcular realmente é
Ex . (Trata-se do mesmo raciocínio, baseado em simetrias, que usamos no Exemplo 27.1.)
Qual é o campo
elétrico neste ponto?
A densidade linear
de carga é FIGURA 27.12 Um bastão fino e uniformemente carregado.
y
Escolha um sistema de coordenadas
com a origem no centro do bastão.
L/2
Segmento i
Identifique o ponto no qual
será calculado o campo.
ri
yi
i
Divida o bastão em N pequenos segmentos 0
de comprimento y e carga Q y.
P
Distância d
y
i
Ei
Desenhe o vetor do campo
do segmento de carga i.
Note que os campos (Ei)y criados pelas cargas
simetricamente localizadas se cancelam.
-L/2
FIGURA 27.13 Calculando o campo elétrico criado por uma linha de carga.
RESOLUÇÃO Cada um dos pequenos segmentos de carga pode ser
considerado como uma carga puntiforme. Conhecemos o campo elétrico criado por uma carga puntiforme e, assim, podemos escrever o
componente x de , o campo elétrico criado pelo segmento i, como
onde ri é a distância da carga i ao ponto P. Você pode ver da figura
e
. Com isso,
que
(Ei)x torna-se
Observe que este resultado é muito parecido com o do cálculo que
fizemos no Exemplo 27.1. Se, agora, somarmos essa expressão para
todos os segmentos de carga, o componente x resultante do campo
elétrico será
Esta é a mesma superposição que fizemos para o caso de N 3, no
Exemplo 27.1. A única diferença é que agora escrevemos o resultado como uma soma explícita, de forma que N possa ter qualquer
e substituímos a soma por uma integral, mas
valor. Fazemos
não podemos integrar sobre Q, pois ele não é uma quantidade geométrica. É aqui que entra a densidade linear de carga. A quantidade
de carga em cada segmento está relacionada ao seu comprimento
. Em termos de densidade linear de
y por
carga, o campo elétrico é expresso como
Agora estamos prontos para tornar a soma uma integral. Tomando o
, cada segmento se transforma em um comprimento infilimite
, enquanto a variável discreta de posição yi se torna
nitesimal
Continua
828
Física: Uma Abordagem Estratégica
uma variável contínua de integração y. A soma que var de i 1 até i
N é substituída por uma integral entre os limites y L/2 e y ,
L/2. Assim, no limite
Esta é uma integral comum que você aprendeu a fazer no cálculo
e cujo resultado pode ser encontrado no Apêndice A. Note que, da
forma como essa integral foi concebida, d é uma constante até onde
sabemos. Integrando, obtemos
Devido ao fato de que o único componente não-nulo do campo é Ex, a
intensidade do campo elétrico Ebastão a distância d do centro do bastão
carregado é
A intensidade do campo deve ser positiva, então expressamos a carga
Q em módulo, o que permite a possibilidade de que a carga seja negativa. A única restrição ao resultado é que se trata do campo criado em
um ponto do plano que bissecciona o bastão.
AVALIAÇÃO Suponha um ponto muito afastado do bastão. Se d
L, o
comprimento do bastão não é relevante e ele se parece com uma carga
L espepuntiforme Q a esta distância. Portanto, no caso limite d
ramos que o campo elétrico criado pelo bastão apresente o comportaL, a raiz quadrada torna-se
mento de uma carga puntiforme. Se d
, e a intensidade do campo elétrico à
, que é o campo elétrico de
distância d resulta em
uma carga puntiforme. O fato de que nossa expressão Ebastão apresenta
o resultado correto para o caso limite nos dá confiança de que não
cometemos quaisquer erros durante a derivação.
EXEMPLO 27.4 O campo elétrico criado por um bastão
Usando
, obtemos
carregado
Qual é a intensidade do campo elétrico a 1,0 cm do centro de um bastão de vidro com 8,0 cm de comprimento carregado com 10 nC?
RESOLUÇÃO O Exemplo 27.3 mostrou que a intensidade do campo elétrico no plano que bissecciona um bastão carregado é
Para comparação, o campo a 1,0 cm de uma carga puntiforme de 10
5
nC seria um pouco maior do que 9,0 10 N/C.
AVALIAÇÃO O resultado é consistente com os valores da Tabela 27.1.
Uma linha de carga infinita
O que acontece se um bastão ou se um fio torna-se muito longo enquanto a densidade
linear de carga mantém-se constante? Ou seja, mais carga é adicionada de modo que
a razão
permaneça constante à medida que L aumenta. Quando L tende a
infinito, a densidade do campo elétrico torna-se
(27.15)
onde substituímos d pela distância radial mais usual r. Essa é a intensidade do campo criado por uma linha de carga infinitamente longa que possui uma densidade linear de carga
. A densidade linear de carga mede quão próximas ou quão afastadas estão as cargas do
bastão umas das outras, e ela não é afetada quando o comprimento L do bastão aumenta.
NOTA Ao contrário de uma carga puntiforme, que gera um campo que diminui
com 1/r2, o campo gerado por um fio carregado e infinitamente longo diminui mais
lentamente com a distância – ou seja, com 1/r. A Equação 27.15 é de um significado prático considerável. Embora nenhum fio real
seja infinitamente longo, o fato de que o campo de uma carga puntiforme decresce inversamente com o quadrado da distância significa que o campo elétrico em um ponto próximo
ao fio é determinado principalmente pelas cargas mais próximas sobre ele. Além disso, devido ao grande comprimento do fio, as suas extremidades estão muito afastadas para fazer
qualquer contribuição significativa. Conseqüentemente, o campo de um fio real de tamanho finito é bem-aproximado pela Equação 27.15, o campo que seria gerado por uma linha
de carga infinitamente longa, exceto para os pontos próximos às extremidades do fio.
CAPÍTULO 27
A FIGURA 27.14 representa alguns vetores do campo elétrico criado por uma linha de
carga positiva e infinitamente longa. Se a linha de carga fosse negativa os vetores apontariam para dentro dela.
■
O Campo Elétrico
829
O campo aponta diretamente para
fora da linha em todos os pontos.
PARE E PENSE 27.3 Qual das ações descritas abaixo aumentará a intensidade do campo elétrico na posição do ponto?
a. Aumentar o tamanho do bastão sem alterar sua carga.
b. Diminuir o tamanho do bastão sem alterar sua carga.
c. Tornar o bastão mais largo sem alterar sua carga.
d. Tornar o bastão mais estreito sem alterar sua carga.
e. Adicionar carga ao bastão.
f. Remover carga do bastão.
g. Afastar o ponto do bastão.
h. Aproximar o ponto do bastão.
Bastão carregado
Linha de carga infinita
A intensidade do campo diminui
com a distância.
27.4 Campos elétricos criados por anéis,
discos, planos e esferas
FIGURA 27.14 O campo elétrico criado por
uma linha de carga infinita.
Nesta seção, iremos derivar os campos elétricos criados por três distribuições de carga
importantes e relacionadas: um anel de carga, um disco de carga e um plano de carga.
O anel de carga é a principal delas e será a base para a determinação dos outros dois.
Também examinaremos o campo elétrico criado por uma esfera carregada.
EXEMPLO 27.5 O campo elétrico criado por um anel de carga
Um anel delgado de raio R está uniformemente carregado com uma
carga total Q. Determine o campo elétrico em um ponto situado sobre
o eixo do anel (perpendicular ao plano do anel).
Como você pode ver da figura, o componente do campo perpendicular
ao eixo se cancela para cada par de segmentos diametralmente opostos.
Dessa forma, precisamos calcular apenas o componente Ez do campo.
RESOLUÇÃO O componente z do campo elétrico criado pelo segmento i é
MODELO Uma vez que se trata de um anel delgado, consideraremos
que as cargas estejam ao longo de um círculo de raio R. Você pode
imaginar isso como uma linha de carga de comprimento 2R curvada
.
em um círculo. A densidade linear de carga do anel é
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.15 mostra o anel e ilustra as cinco etapas
Da figura você pode ver que, para qualquer segmento do anel, independentemente de i, temos
da estratégia para resolução de problemas. Escolhemos um sistema
de coordenadas em que o anel se encontra no plano xy, e o ponto P,
no eixo z. Depois dividimos o anel em N pequenos segmentos de carga
Q, cada um dos quais podendo ser considerado uma carga puntiforme.
Conseqüentemente, o campo criado pelo segmento i é
Escolha um sistema de coordenadas.
Segmento
com carga
Divida o anel em segmentos.
Determinamos o campo elétrico resultante somando os (Ei)z criados
por todos os N segmentos:
Identifique o
ponto onde deve
determinar o campo.
Note que o campo produzido
por um segmento de carga
diametralmente oposto
cancelará (Ei)y.
Desenhe o vetor campo
elétrico produzido pelo
i-ésimo segmento de
carga.
FIGURA 27.15 Calculando o campo elétrico sobre o eixo x devido a
um anel carregado.
Como estabelecido no problema, z é constante, e, assim, podemos tirar
do símbolo de soma todos os termos que envolvem z. Surpreendentemente, não precisamos converter a soma em uma integral para compleao longo do anel é, simplestar o cálculo. A soma sobre todos os
, de modo que o campo sobre o eixo é
mente, a carga total
A expressão é válida para ambos os valores de z, positivo ou negativo
(i.e., em qualquer um dos lados do anel), e para ambos os sinais da
carga, positivo ou negativo.
AVALIAÇÃO Deixaremos como exercício de casa mostrar que este reR.
sultado fornece o valor esperado para o caso limite em que z
830
Física: Uma Abordagem Estratégica
O campo é nulo
no centro.
Intensidade
máxima de campo
A FIGURA 27.16 mostra duas representações do campo elétrico sobre o eixo de um anel
carregado positivamente. A FIGURA 27.16a mostra que os vetores campo elétrico apontam
e,
para fora do anel, aumentando de tamanho até atingir um máximo quando
depois, diminuindo. O gráfico de (Eanel)z da FIGURA 27.16b confirma que a intensidade do
campo possui um máximo em cada um dos lados do anel. Note que o campo elétrico no
centro do anel é nulo, embora este ponto esteja cercado por cargas. Talvez você queira
passar um minuto pensando sobre por que isso é assim.
Um disco de carga
Nosso objetivo agora é determinar o campo elétrico criado por um plano de carga infinitamente extenso, pois esse é um dos nossos modelos básicos de campo elétrico. A
maior parte do trabalho já foi feita. Primeiro, usaremos o resultado obtido para um anel
de carga para determinar o campo elétrico sobre o eixo de um disco de carga. Depois,
consideraremos que o disco se expanda até se tornar um plano de carga.
A FIGURA 27.17 mostra um disco de raio R uniformemente carregado com uma carga
Q. Este é um disco matemático, sem espessura e com densidade superficial de carga
dada por
anel
FIGURA 27.16 Campo elétrico sobre o eixo
(27.16)
de um anel de carga.
Disco de
raio R e
carga Q
A carga do
anel é
Campo
devido
ao anel i
Anel i com raio ri e área Ai.
Se desenrolarmos o anel, ele se
parecerá como mostrado abaixo.
Área
Desejamos calcular o campo elétrico sobre o eixo do disco. Nossa estratégia para resolução de problemas nos diz para dividir a carga contínua em segmentos para os quais já
saibamos como obter . Uma vez que já conhecemos o campo elétrico sobre o eixo de
um anel de carga, vamos dividir o disco imaginariamente em uma série de N anéis concêntricos e estreitos, com raio r e espessura r cada um. Um desses anéis, com raio ri e
carga Qi, é mostrado na figura.
Devemos tomar cuidado com a notação. No Exemplo 27.5, R era o raio do anel. Temos agora muitos anéis, e o raio do i-ésimo anel é ri. Analogamente, Q era a carga sobre
o anel. Agora a carga do i-ésimo anel é Qi, uma pequena fração da carga total do disco.
Com tais mudanças, o campo elétrico criado pelo i-ésimo anel de raio ri é
(27.17)
O campo elétrico sobre o eixo do disco carregado é a soma dos campos elétricos
criados por todos os anéis de carga:
(27.18)
FIGURA 27.17 Calculando o campo sobre o
eixo de um disco carregado.
Como sempre, o passo crítico é relacionar Q a uma coordenada. Como estamos em
, onde
é
uma superfície, e não, em uma linha, a carga do i-ésimo anel é
a área do i-ésimo anel. Podemos determinar
, como você aprendeu nos cursos de cálculo, “esticando” o anel de modo que ele forme um retângulo estreito de comprimento
e altura . Portanto, a área do i-ésimo anel é
, e o elemento de carga
. Com esta substituição, a Equação 27.18 assume a forma
é
(27.19)
Quando
,
e a soma se torna uma integral. Adicionar todos os anéis significa integrar desde r 0 até r R, ou seja,
(27.20)
Tudo o que resta é efetuar a integração. Isso será imediato se fizermos a troca de
variável u z2 r2. Portanto, du 2rdr ou, o que é equivalente,
. No limite
de integração inferior r 0, nossa nova variável vale u z2. No limite superior, r R,
2
2
a nova variável tem valor u z R .
CAPÍTULO 27
■
O Campo Elétrico
831
NOTA Quando trocamos de variável em uma integral definida, devemos também
trocar os limites de integração. Com a troca de variáveis, a integral torna-se
(27.21)
Multiplicando z pelo termo entre colchetes, o campo elétrico sobre o eixo de um disco
é
carregado com uma densidade de carga
(27.22)
NOTA Essa expressão é válida apenas para o caso z 0. Para z
o mesmo módulo, mas aponta no sentido oposto. 0, o campo tem
É um pouco difícil descobrir o que a Equação 27.22 significa; assim, iremos compará-la com o que já conhecemos. Primeiro, você pode ver que a quantidade entre colchetem a mesma unidade de
tes é adimensional. A densidade superficial de carga
2
tem a mesma unidade de
. Isso significa que
é realmente
q/r ; logo,
um campo elétrico.
R, o disco se assemelha
Segundo, vamos nos afastar do disco. A uma distância z
a uma carga puntiforme Q, e o campo do disco, a essa distância, deve tender ao camna Equação 27.22, então
,e
po de uma carga puntiforme. Fazendo
obtemos (Edisco)z → 0, o que está correto, embora não seja exatamente o que queríamos.
Desejamos que z seja muito grande em comparação a R, mas não tão grande que Edisco se
anule. Isso requer um pouco mais de cuidado no cálculo do limite.
2
Podemos escrever a Equação 27.22 de uma forma um pouco mais útil passando z
para fora da raiz do denominador, do que resulta
(27.23)
Porém
1/2
x) , onde x
se
, de modo que o segundo termo entre colchetes é do tipo (1
1. Podemos usar a aproximação binomial,
(aproximação binomial)
para simplificar a expressão entre colchetes:
(27.24)
R. Substituindo a aproximação na Equação
Essa é uma boa aproximação quando z
R, dado por
27.23, obtemos o campo elétrico do disco para z
(27.25)
Este é, realmente, o campo de uma carga puntiforme Q, o que confirma a validade da
Equação 27.22 para o campo elétrico sobre o eixo de um disco de carga.
NOTA A aproximação binomial é uma ferramenta importante para analisar casos
limite de campos elétricos. EXEMPLO 27.6 O campo elétrico de um disco carregado
Um disco plástico com 10 cm de diâmetro está carregado unifor11
memente com uma carga de 10 elétrons extras. Qual é o campo
elétrico criado em um ponto 1,0 mm acima da superfície e próximo
do centro?
MODELO Considere o disco plástico como um disco uniformemente
carregado. Desejamos determinar o campo elétrico sobre o eixo do
disco. Devido ao fato de a carga ser negativa, o campo elétrico irá
apontar para o disco.
Continua
832
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESOLUÇÃO A carga total do disco de plástico é Q N(e) 1,60
108 C. A densidade superficial de carga é
O sinal negativo indica que o campo aponta para o disco em vez de
para longe do mesmo. Em forma vetorial,
(1,1 105 N/C, orientado para o disco)
O campo elétrico em z 0,0010 m, dado pela Equação 27.22, é
AVALIAÇÃO A carga total de 16 nC é uma quantidade típica de carga
5
produzida por fricção em pequenos objetos de plástico. Portanto, 10
N/C é uma intensidade de campo elétrico típica para pontos próximos
a um objeto que tenha sido eletrizado por atrito.
Um plano de carga
Muitos dispositivos eletrônicos utilizam superfícies planas carregadas – discos, quadrados, retângulos e outros – para manter os elétrons em um determinado caminho. Tais superfícies carregadas são chamadas de eletrodos. Embora qualquer eletrodo real seja de
extensão finita, normalmente podemos considerar um eletrodo como um plano de carga
infinito. Como a distância z até o eletrodo é pequena em comparação com as distâncias
até as extremidades, podemos, aproximadamente, considerar as extremidades como se
elas estivessem infinitamente distantes.
O campo elétrico criado por um plano de carga sobre o eixo é determinado a partir
, ou seja, um disco
do campo gerado por um disco carregado tomando-se o limite
de raio infinito é um plano infinito. Da Equação 27.22, vemos que o campo elétrico criado por um plano de carga com densidade superficial de carga é:
(27.26)
Eletrodos de poucos milímetros de
comprimento guiavam os elétrons através
das antigas válvulas a vácuo. Transistores
modernos de efeito de campo usam um
eletrodo, chamado de gate*, com apenas
1 m de espessura.
* N. de T.: No Brasil, utilizamos tanto porta
como gate para nos referirmos ao dispositivo
de controle de elétrons por meio da voltagem
em um FET (Field Effect Transistor, transistor de efeito de campo). Neste livro, optouse por usar a palavra consagrada em inglês.
Trata-se de um resultado simples, mas o que ele nos diz? Primeiro, que a intensidade
de campo é diretamente proporcional à densidade de carga : quanto maior for a carga,
maior será o campo gerado. Segundo, e mais interessante, que a intensidade de campo é
igual em todos os pontos do espaço, independentemente de sua distância z. A intensidade
de campo a 1000 m do plano é igual à intensidade de campo a 1 mm do mesmo plano.
Como isso pode acontecer? Aparentemente o campo deveria tornar-se mais fraco à
medida que você se afasta do plano. Mas lembre-se de que estamos lidando agora com
um plano de carga infinito. O que significa estar “próximo“ ou “afastado” de um objeto
infinito? Para um disco de raio finito R, um ponto à distância z estará “perto do” ou “lonR, o ponto estará próximo
ge do” disco dependendo da comparação entre z e R. Se z
R, o ponto estará longe do disco. Mas quando
, não dispomos
ao disco. Se z
de escala que distinga o próximo do afastado. Em essência, qualquer ponto do espaço é
“próximo a” um disco de raio infinito.
Nenhum plano real é infinito em extensão, mas podemos interpretar a Equação 27.26
como significando que o campo criado por uma superfície de carga, independentemente
para aqueles pontos cuja distância z até a superfície
de sua forma, é uma constante
R, a superfície
seja muito menor do que as distâncias até as extremidades. Quando z
de carga começará a se parecer com uma carga puntiforme Q e o campo terá de diminuir
2
em 1/z .
É necessário observar que a derivação que resultou na Equação 27.26 considerou que
, o campo elétrico aponta para
z 0. Para um plano carregado positivamente, com
fora do plano em ambos os lados do mesmo. Isso requer que Ez 0 ( tem o sentido
negativo de z) no lado em que z 0. Portanto, a descrição completa do campo elétrico,
válida para ambos os lados do plano e para qualquer que seja o sinal de , é
(27.27)
CAPÍTULO 27
A FIGURA 27.18 mostra duas vistas do campo elétrico de um plano carregado positivamente. Todas as setas deverão ser invertidas no caso de um plano carregado negativamente. Teria sido muito difícil prever este resultado a partir da lei de Coulomb ou do
campo elétrico criado por uma única carga puntiforme; todavia, passo a passo, conseguimos usar o conceito de campo elétrico para analisar distribuições de cargas crescentemente mais complexas.
■
O Campo Elétrico
833
Vista em perspectiva
Uma esfera carregada
A última distribuição de carga para a qual desejamos conhecer o campo elétrico é a de
uma esfera carregada. Esse problema é análogo àquele em que queremos saber o campo gravitacional de uma estrela ou de um planeta esférico. O procedimento para calcular
o campo de uma esfera de carga é o mesmo que usamos para linhas e planos de carga,
mas as integrações envolvidas são significativamente mais difíceis. Omitiremos os detalhes dos cálculos e, por ora, simplesmente aceitaremos o resultado sem demonstrá-lo.
No Capítulo 28, usaremos um procedimento alternativo para determinar o campo criado
por uma esfera carregada.
Uma esfera de carga Q e raio R, seja ela uniformemente carregada ou apenas uma
casca esférica, cria um campo elétrico externo à esfera (r R) idêntico ao de uma carga
puntiforme Q que estivesse localizada no centro da esfera:
(27.28)
Essa afirmação é análoga à nossa afirmação anterior de que as forças gravitacionais
entre estrelas e planetas podem ser calculadas como se todas as massas dos corpos estivessem no centro.
A FIGURA 27.19 representa o campo elétrico criado por uma esfera carregada positivamente. O campo de uma esfera negativamente carregada aponta para dentro da mesma.
Note que o campo no interior da esfera (r R) não é dado pela Equação 27.28.
Vista lateral
FIGURA 27.18 Duas vistas do campo elétrico
criado por um plano de carga.
O campo elétrico fora de uma esfera ou de uma
casca esférica é igual ao campo criado por uma
carga puntiforme Q localizada no centro.
PARE E PENSE 27.4 Ordene em seqüência decrescente as intensidades de campo elétrico de
Ea até Ee criadas pelos cinco pontos próximos ao plano de carga.
FIGURA 27.19 Campo elétrico de uma
esfera carregada positivamente.
27.5 O capacitor de placas paralelas
A FIGURA 27.20 mostra dois eletrodos, um com carga Q e outro com carga Q colocados face a face e separados por uma distância d. Esse arranjo de dois eletrodos, carregados com o mesmo valor absoluto de carga, mas com sinais contrários, é chamado de
capacitor de placas paralelas. Os capacitores desempenham papéis importantes em
muitos circuitos elétricos. Nosso objetivo aqui é determinar o campo elétrico criado em
ambos os lados de um capacitor, ou seja, dentro (entre as placas) e fora do mesmo.
NOTA A carga total de um capacitor é nula. Os capacitores são carregados por
meio da transferência de elétrons de uma placa para outra. A placa que ganha N elétrons adquire carga Q N(e); a placa que perde elétrons adquire carga Q. Comecemos com uma análise qualitativa. A FIGURA 27.21 é uma vista ampliada das
placas do capacitor, observadas de lado. Devido ao fato de que cargas opostas se atraem,
todas as cargas se encontram sobre as superfícies internas das duas placas. Portanto, as
superfícies internas podem ser consideradas como planos carregados com densidades
Área A
FIGURA 27.20 Um capacitor de placas
paralelas.
834
Física: Uma Abordagem Estratégica
Dentro do capacitor, E e E são paralelos,
de modo que o campo resultante é grande.
Vista lateral
dos eletrodos
E E
Eres
E
E
E
Eres
E
Eres
Fora do capacitor, E e E são opostos,
de modo que o campo resultante ali é nulo.
FIGURA 27.21 Os campos elétricos no
interior e exterior de um capacitor de
placas paralelas.
(a) Capacitor ideal
Vista
lateral dos
eletrodos.
superficiais de carga iguais e opostas. O campo elétrico , criado pela placa positiva,
aponta para fora da superfície carregada correspondente. O campo , criado pela placa
negativa, aponta para a superfície correspondente. A figura mostra ambos os campos
entre as placas e também à esquerda e à direita do capacitor.
NOTA Talvez você tenha pensado que a placa direita do capacitor deveria, de alguma forma, “bloquear” o campo elétrico criado pela placa positiva e impedir a presenà direita do capacitor. Para verificar que ela não causa tal efeito,
ça de um campo
considere uma situação análoga que envolva a gravidade. A força da gravidade acima
de uma mesa é igual à força da gravidade abaixo da mesa. Assim como a mesa não
bloqueia o campo gravitacional da Terra, matéria ou cargas interpostas não alteram
ou bloqueiam o campo elétrico de um objeto. Dentro do capacitor,
e
são paralelos e de mesma intensidade. Sua superposição cria um campo elétrico resultante dentro do capacitor que aponta da placa positiva
e
apontam em sentidos opostos, e devido
para a placa negativa. Fora do capacitor,
ao fato de o campo de uma placa de carga ser independente da distância até o plano, eles
e
se anulam fora das
possuem o mesmo módulo. Conseqüentemente, os campos
placas do capacitor.
Podemos calcular os campos entre as placas do capacitor a partir do campo criado por
tem módulo
e aponta da placa
um plano infinito carregado. Entre os eletrodos,
também tem módulo
e também aponta da
positiva para a negativa. O campo
placa positiva para a negativa. Assim, o campo elétrico dentro do capacitor é
(27.29)
O campo é constante e aponta do
eletrodo positivo para o negativo.
(b) Capacitor real
Um campo fraco se estende
externamente aos eletrodos.
FIGURA 27.22 O campo elétrico criado por
um capacitor.
FIGURA 27.23 Campo elétrico uniforme.
e
onde A é a área superficial de cada eletrodo. Fora das placas do capacitor, onde
possuem módulos iguais e orientações opostas,
.
A FIGURA 27.22a mostra o campo elétrico criado por um capacitor ideal de placas planas construído com dois planos de carga infinitos. Ora, de fato não existe capacitor real
que seja de extensão infinita, todavia o capacitor ideal de placas paralelas constitui uma
aproximação muito boa para tudo, exceto em cálculos mais precisos, desde que a separação d entre os eletrodos seja muito menor do que o tamanho dos mesmos – ou seja, menor
do que sua extensão lateral ou seu raio. A FIGURA 27.22b mostra que o campo no interior de
um capacitor real é virtualmente idêntico àquele criado por um capacitor ideal exceto
pelo fato do campo exterior não ser exatamente nulo. Este campo fraco e externo ao capacitor é chamado de campo de margem. Manteremos as coisas simples considerando
sempre que os planos estejam muito próximos um do outro e usando a Equação 27.29
para o campo criado por um capacitor de placas paralelas em seu interior.
NOTA A forma dos eletrodos – circular, quadrada ou qualquer outra – não é relevante desde que os eletrodos estejam muito próximos um do outro. Campos elétricos uniformes
A FIGURA 27.23 mostra um campo elétrico que é igual – em intensidade e orientação – em
qualquer ponto de uma região do espaço. Chamamos isso de campo elétrico uniforme.
Um campo elétrico uniforme é análogo ao campo gravitacional uniforme próximo à superfície da Terra. Campos uniformes são de grande interesse prático, pois, como você
verá na próxima seção, calcular a trajetória de uma partícula carregada que se move em
um campo elétrico uniforme é um processo muito simples.
A forma mais fácil de produzir um campo elétrico uniforme é com um capacitor de placas paralelas, como se pode ver na Figura 27.22a. Na verdade, nosso interesse em capacitores deve-se em grande parte ao fato de o campo elétrico ser uniforme. Muitos problemas
sobre campo elétrico serão referentes a campos elétricos uniformes. Tais problemas trazem
implícita a suposição de que a ação ocorre dentro de um capacitor de placas paralelas.
CAPÍTULO 27
EXEMPLO 27.7 O campo elétrico interno de um capacitor
Dois eletrodos retangulares de 1,0 cm 2,0 cm estão separados por 1,0
mm. Que carga deve ser colocada em cada eletrodo a fim de criar um
6
campo elétrico uniforme com intensidade de 2,0 10 N/C? Para isso,
quantos elétrons devem ser transferidos de um eletrodo para outro?
■
O Campo Elétrico
835
A placa positiva deve ser carregada com 3,5 nC, e a negativa, com
3,5 nC. Na prática, as placas são carregadas usando-se uma bateria
para transferir elétrons de uma placa para outra. O número de elétrons
correspondente a 3,5 nC é
MODELO Uma vez que o espaçamento entre os eletrodos é bem menor
do que suas dimensões laterais, os eletrodos podem ser considerados
como um capacitor de placas paralelas.
RESOLUÇÃO A intensidade de campo elétrico dentro do capacitor é
. Assim, a carga para produzir um campo de intensidade E é
Portanto, são transferidos 2,2 1010 elétrons de um eletrodo para outro. Note que o capacitor como um todo não possui uma carga líquida.
AVALIAÇÃO O espaçamento entre as placas não aparece no resultado.
Enquanto o espaçamento for muito menor do que as dimensões da
placa, o que ocorre neste exemplo, o campo será independente do
espaçamento.
PARE E PENSE 27.5 Ordene em seqüência decrescente os módulos
Fa – Fe das forças que um próton experimentaria se fosse colocado nos pontos indicados de a até e neste capacitor de placas
paralelas.
27.6 Movimento de uma partícula carregada
em um campo elétrico
Nossa motivação ao introduzir o conceito de campo elétrico foi compreender a interação
de ação a distância entre cargas. Dissemos que algumas cargas, as cargas-fonte, criam
um campo elétrico. Outras cargas, então, respondem ao campo elétrico gerado. As primeiras cinco sessões deste capítulo se concentraram em campos elétricos produzidos
por cargas-fonte. Agora, voltaremos nossa atenção para a segunda metade da interação
elétrica.
A FIGURA 27.24 mostra uma partícula de carga q e massa m em um ponto onde um
campo elétrico foi produzido por outras cargas, as cargas-fonte. O campo elétrico
exerce a força
sobre uma partícula carregada. Essa relação entre campo e força constitui a definição de campo elétrico. Note que a força exercida sobre uma partícula negativamente
carregada tem o sentido oposto ao do vetor campo elétrico. Os sinais algébricos são
importantes!
sobre q
sobre q
O vetor representa o campo
elétrico neste ponto.
A força sobre uma carga positiva
tem o sentido de
A força sobre uma carga negativa
tem sentido oposto ao de
FIGURA 27.24 O campo elétrico exerce uma força sobre uma partícula carregada.
11.9, 11.10
836
Física: Uma Abordagem Estratégica
Se sobre q for a única força exercida sobre q, ela fará com que a partícula carregada
acelere com
(27.30)
Esta aceleração é a resposta da partícula carregada à carga-fonte que criou o campo
elétrico. A razão q/m é especialmente importante para a dinâmica do movimento de uma
partícula carregada. Ela é chamada de razão carga-massa. Duas cargas de mesmo sinal,
se posicionadigamos um próton e um íon Na , experimentarão forças iguais a
das em um mesmo ponto de um campo elétrico, mas suas acelerações serão diferentes
porque elas possuem massas diferentes e, portanto, diferentes razões carga-massa. Duas
partículas com diferentes cargas e massas, mas com a mesma razão carga-massa, experimentarão a mesma aceleração e seguirão a mesma trajetória.
Movimento em um campo uniforme
As “impressões digitais do DNA” são
obtidas com a técnica da eletroforese em
gel. Uma solução contendo fragmentos
de DNA é colocada em uma cavidade
numa das extremidades de uma lâmina
coberta com gel. Os fragmentos estão
negativamente carregados quando na
solução e começam a migrar através
do gel quando um campo uniforme é
estabelecido paralelamente à superfície
da lâmina. Devido à força de arrasto
exercida pelo gel, os fragmentos se
deslocam a velocidades terminais que
são inversamente proporcionais aos seus
tamanhos. Dessa forma, a eletroforese
em gel ordena os fragmentos de DNA
por tamanho, e marcadores fluorescentes
permitem a visualização dos resultados.
O movimento de uma partícula carregada em um campo elétrico uniforme é importante
pela sua simplicidade básica e por seu grande número de aplicações práticas. Um campo
uniforme é constante em todos os pontos – constante em módulo e orientação – na região do espaço em que a partícula carregada se move. Da Equação 27.30 segue que toda
partícula carregada, em presença de um campo elétrico uniforme, se moverá com
uma aceleração constante. O módulo dessa aceleração é
(27.31)
onde E é a intensidade do campo elétrico, e a orientação de é paralela ou antiparalela a
, dependendo do sinal de q.
A determinação do movimento de uma partícula carregada em um campo uniforme
com uma aceleração constante põe em uso todas as ferramentas da cinemática desenvolvida nos Capítulos 2 e 4 para o movimento com aceleração constante. A trajetória básica
de uma partícula carregada em um campo uniforme é uma parábola, analogamente ao
movimento balístico de uma massa no campo gravitacional uniforme próximo à superfície da Terra. No caso particular de uma partícula carregada lançada paralelamente ao
vetor campo elétrico, o movimento será unidimensional, análogo ao movimento unidimensional vertical de uma massa atirada para cima ou em queda.
NOTA A aceleração gravitacional
sempre aponta para baixo. A aceleração do
pode ter qualquer orientação. A fim de obter a orientação de ,
campo elétrico
você deverá determinar o campo elétrico . EXEMPLO 27.8 Um elétron se move através de um capacitor
Dois eletrodos com diâmetro de 6,0 cm estão espaçados por 5,0
11
mm. Eles são carregados pela transferência de 1,0 10 elétrons
de um eletrodo para outro. Um elétron é solto, a partir do repouso,
na superfície do eletrodo negativo. Quanto tempo ele demora para
chegar ao eletrodo positivo? Com que velocidade ele colide com o
eletrodo positivo? Considere que o espaço entre os eletrodos seja
um vácuo.
O capacitor foi carregado pela transferência de 1011
elétrons do eletrodo direito para o eletrodo esquerdo.
Elétron
,
MODELO Os eletrodos formam um capacitor de placas paralelas. O
campo elétrico no interior de um capacitor de placas paralelas é uniforme, portanto o elétron terá aceleração constante.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.25 mostra uma vista lateral do capacitor e
,
do elétron. A força sobre o elétron negativo é oposta ao campo elétrico, de modo que o elétron é repelido pelo eletrodo negativo enquanto
acelera através do espaço vazio de largura d entre os eletrodos.
FIGURA 27.25 Um elétron acelera através de um capacitor (as
placas estão exageradamente separadas na figura).
CAPÍTULO 27
RESOLUÇÃO Os eletrodos não são cargas puntiformes, dessa forma
não podemos usar a lei de Coulomb para determinar a força exercida
sobre o elétron. Em vez disso, devemos analisar o movimento do elétron em função do campo elétrico dentro do capacitor. O campo é o
agente que exerce a força sobre o elétron, produzindo sua aceleração.
A intensidade do campo elétrico dentro de um capacitor de placas
paralelas com carga Q Ne é
■
O Campo Elétrico
837
croscópicos com as quais estamos familiarizados. Podemos usar a cinemática unidimensional, com xi 0 e vi 0, para calcular o tempo
requerido pelo elétron para atravessar o capacitor.
A velocidade do elétron ao atingir o eletrodo positivo é
A aceleração do elétron no campo é
31
onde usamos a massa do elétron, m 9,11 10 kg. Trata-se de
uma aceleração enorme se comparada às acelerações de objetos ma-
AVALIAÇÃO Usamos e em vez de e para obter a aceleração porque já
sabemos qual é a orientação; precisamos apenas do módulo. A velocidade do elétron após percorrer meros 5,0 mm corresponde aproximadamente a 10% da velocidade da luz.
Eletrodos paralelos como os do Exemplo 27.8 freqüentemente são usados para acelerar partículas carregadas. Se a placa positiva tem um pequeno furo no centro, um feixe
de elétrons passará através do mesmo, após ter sido acelerado ao cruzar o “gap” do ca7
pacitor, e emergirá do furo com uma velocidade de 3,3 10 m/s. Esta é a idéia básica
do canhão de elétrons usado em televisores, osciloscópios, monitores de computador e
outros dispositivos com tubos de raios catódicos (CRT). (Um eletrodo negativamente
carregado é chamado de cátodo, denominação dada pelos físicos que pela primeira vez
conseguiram produzir feixes de elétrons em fins do século XIX, dominando-os de raios
catódicos.) O próximo exemplo mostra que eletrodos paralelos podem ser usados também para desviar partículas próximas carregadas.
EXEMPLO 27.9 Desviando um feixe de elétrons
Um canhão de elétrons gera um feixe de elétrons que se movem ho7
rizontalmente com velocidades de 3,3 10 m/s. Os elétrons percorrem um espaço vazio de 2,0 cm de largura entre dois eletrodos
4
paralelos, onde o campo elétrico é (0,50 10 N/C, para baixo).
Em que orientação (ângulo e sentido) o feixe de elétrons é desviado
por esses eletrodos?
RESOLUÇÃO Este é um problema sobre movimento bidimensional. Os elétrons entram no capacitor com uma velocidade vetorial
e saem do mesmo com velocidade
. O ângulo de saída dos elétrons em relação à direção
do campo elétrico é
MODELO O campo elétrico entre os eletrodos é uniforme. Considere
que o campo elétrico fora dos eletrodos sela nulo.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.26 mostra um elétron que se move através
do campo elétrico. Este aponta para baixo, de modo que a força que
ele exerce sobre os elétrons (negativos) é orientada para cima. Os elétrons seguem uma trajetória parabólica análoga àquela descrita por
uma bola arremessada horizontalmente, a não ser pelo fato de que os
elétrons “caem para cima” ao invés de para baixo.
Este é o ângulo de desvio. Para determinar , devemos calcular o vetor velocidade .
Não existe uma força horizontal exercida sobre os elétrons, por7
tanto v1x v0x 3,3 10 m/s. O módulo da aceleração dos elétrons
orientada para cima é
,
Podemos agora usar o fato de que a velocidade horizontal é constante para determinar o intervalo de tempo t necessário para o elétron
percorrer os 2,0 cm:
,
para baixo
Placas defletoras
Haverá também uma aceleração vertical durante esse intervalo de
tempo, resultando em uma velocidade vertical final
FIGURA 27.26 Um feixe de elétrons é desviado por um campo
elétrico uniforme.
Continua
838
Física: Uma Abordagem Estratégica
Ao deixar o capacitor, a velocidade de um elétron é, portanto
AVALIAÇÃO As acelerações de partículas carregadas em um campo elé-
e o ângulo de desvio é
trico são enormes em comparação com a aceleração de queda livre g.
Dessa forma, raramente é necessário levar em conta a força gravitacional quando calculamos as trajetórias de partículas carregadas. A
única exceção é para objetos macroscópicos carregados, como contas
de plástico eletrizadas em campos elétricos fracos.
O Exemplo 27.9 ilustrou como um elétron é direcionado para um ponto sobre a tela
de um tubo de raios catódicos. Primeiro um feixe de elétrons ultra-rápidos é criado por
um canhão de elétrons como aquele do Exemplo 27.8. O feixe passa primeiro através de
um conjunto de placas defletoras verticais, como no Exemplo 27.9, em seguida atravessa um segundo conjunto de placas defletoras horizontais. Após deixar as placas defletoras, ele se desloca (através do vácuo, a fim de não haver colisões com as moléculas de ar)
diretamente para a tela do tubo de raios catódicos, onde o elétron colide com um revestimento de fósforo sobre a superfície interna da tela, produzindo ali um ponto luminoso.
Ajustando-se adequadamente os valores do campo elétrico entre as placas defletoras, os
elétrons serão direcionados para qualquer ponto da tela.
Movimento em um campo não-uniforme
sobre q
O movimento de uma partícula carregada em um campo elétrico não-uniforme pode ser
um tanto complicado. Técnicas matemáticas sofisticadas e computadores são usados
para determinar tais trajetórias. Entretanto, um tipo de movimento em campo elétrico
não-uniforme é de fácil análise: a órbita circular descrita por uma partícula carregada em
torno de uma esfera ou de um fio carregado.
A FIGURA 27.27 mostra uma partícula de carga negativa em órbita de uma esfera positivamente carregada, analogamente à Lua em órbita da Terra. Você poderá rever no Capítulo
2
8 que a segunda lei de Newton para o movimento circular assume a forma (Fres)r mv /r.
Aqui, a força radial tem módulo igual a |q|E, onde E é a intensidade do campo elétrico à
distância r. Assim, a carga poderá se mover em uma órbita circular se
FIGURA 27.27 Movimento circular de uma
partícula carregada ao redor de uma esfera
carregada.
(27.32)
Exemplos específicos de órbitas circulares serão deixados como tarefas para casa.
PARE E PENSE 27.6
Qual é o campo elétrico responsável pela trajetória do próton na figura?
Trajetória
parabólica
27.7 Movimento de um dipolo em um campo
elétrico
Vamos concluir o capítulo retornando a um dos problemas mais interessantes que mencionamos nas observações iniciais do Capítulo 26. Lá, você descobriu que objetos carregados com qualquer sinal exercem forças sobre objetos neutros, tal como quando um
pente usado para pentear seu cabelo atrai pequenos pedaços de papel. Nossa compreensão qualitativa da força de polarização requeria duas partes:
■ A carga polariza os objetos neutros, criando um dipolo elétrico induzido.
CAPÍTULO 27
■
O Campo Elétrico
839
■ A carga, então, exerce uma força atrativa sobre a extremidade mais próxima do di-
polo que é um pouco mais intensa do que a força repulsiva exercida sobre a extremidade mais afastada.
Agora estamos em condições de entender isso de forma quantitativa. Analisaremos a
força exercida sobre um dipolo permanente. Deixaremos como tarefa para casa você
refletir acerca dos dipolos induzidos.
Dipolos em campos uniformes
A FIGURA 27.28a mostra um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme externo que
foi criado por cargas-fonte não-mostradas na figura, ou seja, não é o campo criado
pelo dipolo, é um campo ao qual o dipolo responde. Neste caso, devido ao fato de o
campo ser uniforme, o dipolo encontra-se presumivelmente dentro de um capacitor de
placas paralelas não-visível na figura.
A força resultante sobre o dipolo é a soma das forças exercidas sobre as duas cargas
que o constituem. Uma vez que as cargas q têm o mesmo módulo, mas sinais opostos,
e
também serão iguais em módulo, mas de sentias duas forças
dos opostos. Assim, a força resultante sobre o dipolo é
(27.33)
Não existe força resultante exercida sobre um dipolo em um campo elétrico uniforme.
Pode não haver força resultante, mas o campo elétrico afeta o dipolo. Uma vez que
as duas forças da Figura 27.28a têm sentidos opostos, mas não são exercidas ao longo de
uma mesma linha de ação, o campo elétrico exerce um torque sobre o dipolo, fazendo-o
entrar em rotação.
O torque faz com que o dipolo gire até ficar alinhado com o campo elétrico, como
mostrado na FIGURA 27.28b. Nesta posição, não existe força elétrica resultante sobre o dipolo, assim como também não há torque. Portanto, a Figura 27.28b mostta a posição de
equilíbrio para um dipolo em um campo elétrico uniforme. Observe que a extremidade
positiva do dipolo é puxada no sentido para o qual aponta.
A FIGURA 27.29 apresenta uma amostra de dipolos permanentes, tais como os de moléculas de água em um campo elétrico externo. Todos os dipolos giram até ficarem alinhados com o campo elétrico. Este é o mecanismo pelo qual a amostra se torna polarizada.
Uma vez que os dipolos estejam alinhados, haverá um excesso de carga positiva em uma
das extremidades da amostra e um excesso de carga negativa na outra. Os excessos de
carga nas extremidades da amostra constituem a origem das forças de polarização discutidas na Seção 26.3.
Não é difícil calcular o torque sobre um dipolo. As duas forças sobre o dipolo da FIGURA 27.30 formam o que chamamos, no Capítulo 12, de binário. Lá, você aprendeu que
o torque produzido por um binário é o produto da força F pela distância l entre as linhas de ação das forças exercidas. Você pode verificar que l s sen, onde é o ângulo
que o dipolo faz com o campo elétrico . Portanto, o torque sobre o dipolo é
O campo elétrico exerce
um torque sobre o dipolo.
E
F
F
E
F
F
E
O dipolo encontra-se em equilíbrio.
FIGURA 27.28 Um dipolo em um campo
elétrico uniforme.
Dipolos alinhados com o campo elétrico.
Há um excesso de carga Há um excesso de carnegativa sobre esta
ga positiva sobre esta
superfície.
superfície.
FIGURA 27.29 Uma amostra de dipolos
permanentes é polarizada por um campo
elétrico.
(27.34)
onde p qs é a definição do módulo do momento de dipolo. O torque será nulo quando
o dipolo estiver alinhado com o campo, resultando em 0.
Do Capítulo 12, recorde-se de que o torque pode ser escrito em forma matemática
compacta como o produto vetorial entre os dois vetores. Os termos p e E da Equação
27.34 são os módulos dos vetores correspondentes, e é o ângulo entre eles. Assim, em
notação vetorial, o torque exercido sobre o momento de dipolo por um campo elétrico
é
O torque devido ao binário
sen
é
sen
Em função de vetores,
(27.35)
O torque será máximo quando for perpendicular a , e nulo quando estiver alinhado,
no mesmo sentido ou em sentido oposto, com .
FIGURA 27.30 Torque sobre um dipolo.
840
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESOLUÇÃO O momento de dipolo é p ⫽ qs ⫽ (1,0 ⫻ 10
EXEMPLO 27.10 A aceleração angular de um dipolo em
⫺8
C)⫻(0,020
m) ⫽ 2,0 ⫻ 10 Cm. O torque exercido pelo campo elétrico sobre o
momento de dipolo é
⫺10
forma de haste
Duas esferas com massas de 1,0 g estão conectadas por um bastão
isolante com 2,0 cm de comprimento e massa desprezível. Uma das
esferas tem carga de ⫹10 nC, e a outra, uma carga de ⫺10 nC. O
4
bastão é suspenso em um campo elétrico uniforme de 1,0 ⫻ 10 N/C,
formando um ângulo de 30° em relação ao campo, e, então, é solto.
Qual será sua aceleração angular inicial?
No Capítulo 12, você aprendeu que um torque produz uma aceleração
, onde I é o momento de inércia do corpo. O dipolo
angular
gira em torno do seu centro de massa, localizado no centro do bastão,
portanto o momento de inércia é
MODELO As duas bolas com cargas de sinais contrários formam um
dipolo elétrico. O campo elétrico exerce um torque sobre o dipolo,
produzindo uma aceleração angular.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.31 mostra o dipolo dentro do campo
elétrico.
Assim, a aceleração angular do bastão é
,
,
,
AVALIAÇÃO O valor de ␣ corresponde à aceleração angular inicial,
,
logo que o bastão é solto. O torque e a aceleração angular diminuirão
à medida que o bastão girar para se alinhar com .
FIGURA 27.31 O dipolo do Exemplo 27.10.
Dipolos em um campo não-uniforme
Suponha que um dipolo seja colocado em um campo elétrico não-uniforme, cuja intensidade de campo varia com a posição. Por exemplo, a FIGURA 27.32 mostra um dipolo dentro
de um campo não-uniforme criado por uma carga puntiforme. A resposta imediata do
dipolo é girar até se alinhar com o campo, com a extremidade positiva do dipolo puxada
no mesmo sentido do campo. Entretanto, existe agora uma pequena diferença entre as
forças exercidas sobre as extremidades do dipolo. Essa diferença ocorre porque o campo
elétrico, que depende da distância até a carga puntiforme, é mais forte na extremidade
do dipolo que está mais próxima à carga. Isso faz com que exista uma força resultante
exercida sobre o dipolo.
Para onde essa força aponta? A FIGURA 27.32a mostra uma carga puntiforme positiva.
Uma vez que o dipolo esteja alinhado, a força atrativa para o lado esquerdo, exercida
sobre a extremidade negativa, será um pouco mais intensa do que a força repulsiva orientada para a direita, sobre a extremidade positiva. Isto dá origem a uma força resultante
orientada para a esquerda, em direção à carga puntiforme. Dentro do campo, o dipolo
da FIGURA 27.32b se alinha em sentido oposto ao campo criado por uma carga puntiforme
negativa, mas a força resultante ainda aponta para a esquerda.
Como você pode ver, a força resultante exercida sobre um dipolo tem o mesmo sentido do campo mais intenso. Uma vez que todo objeto carregado de tamanho finito, como
um bastão carregado ou um disco carregado, cria um campo cuja intensidade aumenta à medida que nos aproximamos do objeto, podemos concluir que todo dipolo experimenta uma
força resultante em direção a qualquer objeto carregado posicionado próximo a ele.
res
FIGURA 27.32 Um dipolo alinhado é atraído por uma carga puntiforme.
res
CAPÍTULO 27
EXEMPLO 27.11 Força sobre uma molécula de água
A molécula H2O de água possui um momento de dipolo permanente
com módulo de 6,2 1030 Cm. Em uma solução de água salgada,
uma molécula de água está localizada a 10 nm de um íon Na. Que
força o íon exerce sobre a molécula?
■
O Campo Elétrico
841
que a força dipolo sobre íon tem o mesmo módulo da força íon sobre dipolo pela
qual estamos procurando. Na Seção 27.2 calculamos o campo sobre o
eixo de um dipolo. Um íon de carga q e experimentará uma força
de módulo
quando colocado naquele campo. O
campo elétrico do dipolo, obtido pela Equação 27.11, é
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 27.33 mostra o íon e o dipolo da molécula de
água. As forças constituem um par ação/reação.
dipolo sobre íon
íon Na+
íon sobre dipolo
A força sobre o íon à distância r 1,0 10
mé
Molécula de água
FIGURA 27.33 A interação entre um íon e um dipolo permanente.
Portanto, a força sobre a molécula de água é
1014N.
14
possui uma carga q e. O campo elétrico
criado pelo íon alinha o momento de dipolo da água e exerce uma força resultante sobre ele. Poderíamos calcular a força resultante sobre o
dipolo como a pequena diferença entre a força atrativa, exercida sobre
sua extremidade negativa, e a força repulsiva, exercida sobre a extremidade positiva. Alternativamente, pela terceira lei de Newton sabemos
RESOLUÇÃO Um íon Na
8
AVALIAÇÃO Embora 1,8 10
íon sobre dipolo
1,8 N possa parecer uma força muito pequena, ela é 艐 10 vezes maior do que a intensidade da força gravitacional que a Terra exerce sobre essas partículas atômicas. Forças
como estas fazem com que as moléculas de água se agrupem em torno de quaisquer íons presentes na solução. Esses agrupamentos desempenham um papel importante na física microscópica de soluções
estudadas na química e na bioquímica.
11
842
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESUMO
O objetivo do Capítulo 27 foi aprender como calcular e manipular o campo elétrico.
Princípios gerais
Fontes de
Conseqüências de
Campos elétricos são criados por cargas.
As duas principais ferramentas para calcular
são
O campo elétrico exerce uma força sobre
uma partícula carregada:
• O campo de uma carga puntiforme:
A força causa uma aceleração:
• O princípio da superposição
As trajetórias das partículas carregadas são calculadas com a cinemática.
Múltiplas cargas puntiformes
F
Use superposição:
O campo elétrico exerce um torque sobre um dipolo:
Distribuição contínua de carga
• Divida a carga em segmentos Q para os quais você já conhece
o campo.
F
O torque tende a alinhar os dipolos com o campo.
• Determine o campo criado por um Q.
• Determine
E
somando os campos criados por todos os Q.
A soma normalmente se torna uma integral. Um passo importante é
trocar Q por uma expressão que envolva uma densidade de carga
( ou ) e uma coordenada de integração.
Em um campo elétrico não-uniforme,
um dipolo experimenta uma força resultante orientada no sentido em que
aumenta a intensidade do campo.
Aplicações
Dipolo elétrico
O momento de dipolo elétrico é
negativo para o positivo)
Plano de carga infinito com densidade su-
perficial de carga Capacitor de placas paralelas
O campo elétrico no interior de um capacitor ideal é um campo elétrico uniforme:
(qs, do
Campo sobre o eixo:
Campo no plano bissetor:
Esfera carregada
Linha de carga infinita com densidade linear
O mesmo que uma carga puntiforme Q para
de carga Um capacitor real tem um campo de
margem fraco ao seu redor.
CAPÍTULO 27
■
O Campo Elétrico
843
Termos e notação
momento de dipolo,
linha de campo elétrico
densidade linear de carga, densidade superficial de carga, uniformemente carregado
linha de carga
eletrodo
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
plano de carga
esfera de carga
capacitor de placas paralelas
campo de margem
campo elétrico uniforme
razão carga-massa, q/m
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. Suponha que lhe tenha sido dada como tarefa determinar o módulo e a orientação do campo elétrico em um determinado ponto
no espaço. Descreva passo a passo um procedimento por meio do
qual você faria isso. Liste todos os objetos que você usaria, todas
as medidas que realizaria e quaisquer cálculos que necessitaria fazer. Certifique-se de que suas medidas não perturbarão as cargas
que criam o campo.
2. Copie a FIGURA Q27.2 em uma folha. Em cada item, desenhe um
ponto ou vários pontos sobre a figura a fim de mostrar qualquer
posição ou posições (que não sejam infinitamente distantes) onde
.
sido reduzido a um terço do comprimento original e a intensidade da força sobre o próton antes do segmento ter sido reduzido?
c. Suponha que o comprimento original do segmento de fio seja
aumentado em 10 vezes. Que quantidade de carga deve ser adicionada ao fio para que a densidade linear de carga do mesmo
não seja alterada?
5. Um fio possui densidade linear de carga inicial i. O fio é esticado
em mais 50% de seu comprimento original e um terço de sua carga
é removida. Quanto vale a razão
, onde f é a densidade linear
de carga final?
6. O canudo para tomar refrigerante da FIGURA Q27.6 está uniformemente carregado. Qual é o campo elétrico no centro (dentro) do
tubo? Explique.
Dentro do tubo
FIGURA Q27.6
FIGURA Q27.2
3. Ordene em seqüência decrescente as intensidades de campo elétrico de E1 a E4 nos pontos de 1 a 4 na FIGURA Q27.3. Explique.
FIGURA Q27.3
FIGURA Q27.4
4. O pequeno segmento de fio na FIGURA Q27.4 contém 10 nC de carga.
a. O segmento é reduzido a um terço do comprimento original.
, onde e
são as densidades de carga
Qual é a razão
inicial e final, respectivamente?
b. Um próton está muito afastado do fio. Qual é a razão Ff /Fi entre
a intensidade da força elétrica sobre o próton após o segmento ter
7. Um elétron experimenta uma força de intensidade F a 1 cm de distância de um fio muito comprido e carregado com uma densidade
linear de carga . Se a densidade linear de carga for dobrada, a que
distância do fio um próton experimentará uma força de intensidade
igual a F?
8. A área de forma irregular da FIGURA Q27.8
possui uma densidade superficial de carga
i. Cada dimensão da área (x e y) é reduzida por um fator de 3,163.
a. Qual é o valor da razão f /i, onde f é a
densidade superficial de carga final?
FIGURA Q27.8
b. Um elétron está muito afastado da área.
Qual é a razão Ff /Fi entre a intensidade da força elétrica sobre o
elétron após a redução da área e a intensidade original da força
antes da redução da área?
9. Um disco circular está carregado e sua uma densidade superficial
de carga vale 8 nC/cm2. Qual será a densidade superficial de carga
se o raio do disco for dobrado?
844
Física: Uma Abordagem Estratégica
10. Uma esfera de raio R possui uma carga Q. A intensidade de campo
elétrico a uma distância
é Ei. Qual é a razão Ef /Ei entre as
intensidades de campo final e inicial se (a) Q diminui pela metade,
(b) R diminui pela metade e (c) r diminui pela metade (mas ainda é
R)? Em cada item, apenas uma grandeza sofre variação, as outras
se mantêm em seus valores iniciais.
11. A bola da FIGURA Q27.11 é mantida suspensa por um grande plano
positivo uniformemente carregado. Ela oscila com um período T.
Se a bola for descarregada, o período irá aumentar, diminuir ou permanecerá o mesmo? Explique.
Massa m
Carga q
FIGURA Q27.11
FIGURA Q27.12
12. Ordene em seqüência decrescente as intensidades de campo elétrico
de E1 a E5 nos cinco pontos indicados na FIGURA Q27.12. Explique.
13. Um capacitor de placas paralelas consiste de duas placas quadradas, de tamanho L L, separadas pela distância d. As placas são
carregadas com cargas Q. Qual será o valor da razão Ef/Ei entre a
intensidade do campo elétrico final e a intensidade do campo elétrico inicial se (a) Q for dobrada, (b) L for dobrado e (c) d for dobrada? Em cada item, apenas uma grandeza sofre variação, as outras se
mantêm em seus valores iniciais.
14. Um pequeno objeto é solto no centro do
capacitor da FIGURA Q27.14. Para cada situação descrita nos itens abaixo, o objeto
se moverá para a direita, para a esquerda
ou permanecerá no mesmo lugar? Se ele
se deslocar, terá aceleração ou se moverá
com uma velocidade constante?
a. Um objeto positivo é solto a partir do
repouso.
FIGURA Q27.14
b. Um objeto neutro, mas polarizado, é
solto a partir do repouso.
c. Um objeto negativo é solto a partir do repouso.
15. Um próton e um elétron são soltos a partir do repouso no centro de
um capacitor.
a. A razão entre os módulos das forças envolvidas, Fp/Fe, será maior
do que 1, menor do que 1 ou igual a 1? Explique.
b. A razão entre as acelerações correspondentes, ap/ae, será maior
do que 1, menor do que 1 ou igual a 1? Explique.
16. Três cargas são colocadas nos vértices do
triângulo da FIGURA Q27.16. A quantidade
de carga indicada por é o dobro da
quantidade de carga das duas cargas indicadas por ; a carga resultante é nula.
a. O triângulo encontra-se em equilíbrio? Em caso afirmativo, explique
por quê. Em caso negativo, faça um
desenho da orientação correspondente
FIGURA Q27.16
ao equilíbrio.
b. No equilíbrio, o triângulo se moverá para a direita, para a esquerda ou permanecerá no mesmo lugar? Explique.
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
,
Seção 27.2 Campo elétrico criado por múltiplas cargas
puntiformes
1. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição
indicada pelo ponto na FIGURA EX27.1? Especifique a direção por
meio de um ângulo acima ou abaixo da horizontal.
,
,
,
,
,
FIGURA EX27.1
,
,
FIGURA EX27.2
2. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição
indicada pelo ponto na FIGURA EX27.2? Especifique a direção por
meio de um ângulo acima ou abaixo da horizontal.
3. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição
indicada pelo ponto na FIGURA EX27.3? Especifique a direção por
meio de um ângulo acima ou abaixo da horizontal.
,
,
,
,
FIGURA EX27.3
,
,
,
,
FIGURA EX27.4
4. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição
indicada pelo ponto na FIGURA EX27.4? Especifique a direção por
meio de um ângulo acima ou abaixo da horizontal.
5. || Um dipolo elétrico é formado por cargas de 1,0 nC separadas
por 2,0 mm. O dipolo encontra-se na origem, orientado ao longo
do eixo y. Qual é a intensidade do campo elétrico que ele cria nos
pontos (a) (x, y) (10,0 cm, 0 cm) e (b) (x, y) (0 cm, 10 cm)?
6. || Um dipolo elétrico é formado por duas cargas q espaçadas por
1,0 cm. O dipolo encontra-se na origem, orientado ao longo do eixo
y. A intensidade do campo elétrico que ele cria no ponto (x, y) (0
cm, 10 cm) é de 360 N/C.
a. Qual é o valor da carga q? Expresse sua resposta em nC.
b. Qual é a intensidade do campo elétrico no ponto (x, y) (10 cm,
0 cm)?
CAPÍTULO 27
Seção 27.3 Campo elétrico criado por uma distribuição contínua
de carga
7. | A intensidade do campo elétrico a 5,0 cm de um fio longo e carregado é de 2000 N/C. Qual é a intensidade do campo elétrico a 10
cm do fio?
8. || Um bastão de vidro com 10 cm de comprimento carregado uniformemente com 10 nC e um bastão de plástico com 10 cm de
comprimento carregado uniformemente com 10 nC são colocados lado a lado, afastados um do outro por 4,0 cm. Quais são as
intensidades do campo elétrico de E1 a E3 às distâncias de 1,0 cm,
2,0 cm e 3,0 cm do bastão de vidro, ao longo da reta que passa pelos
pontos centrais dos bastões?
9. || Dois bastões de vidro finos, com 10 cm de comprimento e uniformemente carregados com 10 nC, são colocados lado a lado,
afastados 4,0 cm um do outro. Quais são as intensidades de campo
elétrico de E1 a E3 as distâncias de 1,0 cm, 2,0 cm e 3,0 cm à direita
do bastão da esquerda, ao longo da reta que passa pelos pontos centrais dos bastões?
10. || Um bastão de vidro com 10 cm de comprimento está carregado
uniformemente com 40 nC. Uma pequena conta de vidro, carregada com 6,0 nC, encontra-se a 4,0 cm do centro do bastão. Qual
é a força (módulo e orientação) exercida sobre a conta?
Seção 27.4 Campos elétricos de anéis, discos, planos e esferas
11. | Dois anéis carregados, com 10 cm de diâmetro cada, são colocados frente a frente e afastados por 20 cm. O anel da esquerda está
carregado com 20 nC, e o da direita, com 20 nC.
a. Qual é o campo elétrico , em módulo e orientação, no ponto
eqüidistante aos dois anéis?
b. Qual é a força exercida sobre uma carga de 1,0 nC colocada
no ponto eqüidistante?
12. || Dois anéis com 10 cm de diâmetro estão carregados com 20
nC. Qual é a intensidade do campo elétrico (a) no ponto eqüidistante aos dois anéis e (b) no centro do anel da esquerda?
13. || Dois discos com 10 cm de diâmetro são colocados frente a frente
e afastados por 20 cm. O disco da esquerda é carregado com 50
nC, e o da direita, com 50 nC
a. Qual é o campo elétrico , em módulo e orientação, no ponto
eqüidistante aos dois discos?
b. Qual é a força exercida sobre uma carga de 1,0 nC colocada
no ponto eqüidistante?
14. || Dois discos com 10 cm de diâmetro são colocados frente a frente
e afastados por 20 cm. Ambos os discos estão carregados com 50
nC. Qual é a intensidade de campo elétrico (a) no ponto eqüidistante entre os dois discos e (b) em um ponto sobre o eixo, distante 5,0
cm do disco?
15. || Um eletrodo metálico com dimensões de 20 cm 20 cm está
uniformemente carregado com 80 nC. Qual é a intensidade de
campo elétrico em um ponto 2,0 mm acima do centro do eletrodo?
16. || A intensidade do campo elétrico a 2,0 cm da superfície de uma
esfera metálica com 10 cm de diâmetro é de 50.000 N/C. Qual é a
carga (em nC) da esfera?
■
O Campo Elétrico
845
Seção 27.5 O capacitor de placas paralelas
17. || Um capacitor de placas paralelas é formado por dois eletrodos de
4,0 cm 4,0 cm, afastados por 2,0 mm. A intensidade do campo
elétrico dentro do capacitor é de 1,0 106 N/C. Qual é a carga (em
nC) de cada eletrodo?
18. || Dois discos circulares, espaçados por 0,50 mm, formam um capacitor de placas paralelas. A transferência de 3,0 109 elétrons de
um disco para o outro gera um campo elétrico de intensidade igual
a 2,0 105 N/C. Qual é o diâmetro do disco?
19. || A resistência elétrica do ar é “rompida” quando a intensidade de
campo elétrico atinge 3,0 106 N/C, causando uma descarga. Um
capacitor de placas paralelas é construído com dois discos de 4,0
cm de diâmetro. Quantos elétrons devem ser transferidos de um
disco para o outro a fim de gerar uma descarga entre os discos?
Seção 27.6 Movimento de uma partícula carregada em um campo
elétrico
20. || Uma conta de plástico de 0,10 g foi carregada pela adição de um
excesso de 1,0 1010 elétrons. Que campo elétrico (módulo e
direção) fará com que a conta fique suspensa no ar?
21. || Dois discos com diâmetro 2,0 cm cada estão frente a frente, separados por 1,0 mm. Eles estão carregados com 10 nC.
a. Qual é a força elétrica entre os discos?
b. Um próton é atirado do disco negativo para o disco positivo. Que
velocidade de lançamento deve ter o próton a fim de que apenas
alcance o disco positivo?
22. || Em um campo elétrico uniforme, um elétron aumenta sua velocidade de 2,0 107 m/s para 4,0 107 m/s ao longo de uma distância de
1,2 cm. Qual é a intensidade do campo elétrico existente na região?
23. || Um elétron é solto, em repouso, a 2,0 cm de um plano infinito carregado. Ele acelera em direção ao plano e colide com ele a uma velocidade de 1,0 107 m/s. Quais são (a) a densidade superficial de carga
do plano e (b) o tempo necessário para o elétron percorrer os 2,0 cm?
24. || A densidade superficial de carga em um plano infinito carregado
é de 2,0 106 C/m2. Um próton é arremessado diretamente para
fora do plano com velocidade inicial de 2,0 106 m/s. Que distância o próton percorrerá antes de atingir o ponto de retorno?
Seção 27.7 Movimento de um dipolo em um campo elétrico
25. | O dipolo elétrico permanente de uma molécula de água (H2O)
tem módulo igual a 6,2 1030 Cm. Qual é o torque máximo possível sobre uma molécula de água em presença de um campo elétrico
de 5,0 108 N/C?
26. || Uma carga puntiforme Q encontra-se a uma distância r do centro
de um dipolo formado por cargas q separadas por uma distância
s. A carga está localizada no plano que bissecciona o dipolo. Nesta
situação, quais são (a) a força (módulo e orientação) e (b) o módulo
do torque sobre o dipolo? Considere que r
s.
27. || Uma molécula de amônia (NH3) possui momento de dipolo elétrico permanente com módulo igual a 5,0 1030 Cm. Um próton
encontra-se a 2,0 nm da molécula, no plano que bissecciona o dipolo. Qual é a força elétrica exercida pela molécula sobre o próton?
846
Física: Uma Abordagem Estratégica
Problemas
28. || Quais são a intensidade e a orientação do campo elétrico na posição indicada pelo ponto na FIGURA P27.28? Expresse sua resposta
(a) em função dos componente e (b) em módulo e em ângulo, medido em sentido horário ou sentido anti-horário a partir do semi-eixo
positivo de x.
,
,
b. Verifique se a sua resposta ao item anterior tem o comportamento
esperado quando x é muito pequeno e muito grande.
c. Esboce o gráfico de Ex versus x para
.
36. || A FIGURA P27.36 é uma secção transversal de duas linhas de carga
infinitas que se estendem perpendicularmente para fora da página.
Ambas possuem a mesma densidade linear de carga .
a. Obtenha uma expressão para a intensidade do campo elétrico E a
uma altura y acima do ponto eqüidistante às linhas.
b. Desenhe um gráfico de E versus y.
,
,
,
,
,
FIGURA P27.28
FIGURA P27.29
29. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição indicada pelo ponto da FIGURA P27.29? Dê sua resposta (a) em
forma de componente e (b) em módulo e em ângulo, medido no
sentido horário ou anti-horário a partir do eixo positivo de x.
30. || Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico na posição indicada pelo ponto da FIGURA P27.30? Dê sua resposta (a) em
forma de componente e (b) em módulo e em ângulo, medido no
sentido horário ou anti-horário a partir do eixo positivo de x.
,
,
,
FIGURA P27.30
FIGURA P27.31
31. || A FIGURA P27.31 mostra três cargas nos vértices de um quadrado.
a. Expresse o campo elétrico no ponto P em função dos componentes.
b. Uma partícula de carga positiva q e de massa m é colocada no
ponto P e é solta. Qual é o módulo de sua aceleração inicial?
32. || As cargas q e 2q da FIGURA
P27.32 estão localizadas em x a.
a. Determine o campo elétrico nos
pontos de 1 a 4. Expresse cada
campo em função dos componentes
correspondentes.
b. Reproduza a Figura P27.32 e, depois, represente os quatro vetores
do campo elétrico na figura.
FIGURA P27.32
33. || Duas cargas positivas q estão sobre
o eixo y, separadas por uma distância s.
a. Obtenha uma expressão para a intensidade do campo elétrico a
uma distância x sobre o eixo perpendicular que passa pelo ponto
médio entre as duas cargas.
b. Para q 1,0 nC e s 6,0 mm, calcule E em x 0, 2, 4, 6 e 10
mm.
c. Esboce um gráfico de E versus x para
.
34. || Derive a Equação 27.12 para o campo
no plano que bissecciona um dipolo elétrico.
35. || Três cargas estão sobre o eixo y. As cargas q estão em y d
e a carga q está em y 0.
a. Determine o campo elétrico ao longo do eixo x.
Linhas de carga
saindo da página
Linhas de carga
saindo da página
FIGURA P27.36
FIGURA P27.37
37. || A FIGURA P27.37 mostra uma secção transversal de duas linhas
de carga infinitas que se estendem perpendicularmente para fora da
página. As densidades lineares de carga são .
a. Obtenha uma expressão para a intensidade do campo elétrico E a
uma altura y acima do ponto eqüidistante entre as linhas.
b. Desenhe um gráfico de E versus y.
38. || Duas linhas de carga infinitas, cada qual com uma densidade linear de carga , estão posicionadas ao longo dos eixos x e y, passando ambas pela origem. Qual é a intensidade do campo elétrico
na posição (x, y)?
39. ||| O campo elétrico a 5,0 cm de um fio longo e carregado é (2000
N/C, ao longo do fio). Qual é a carga (em nC) de um segmento do
fio com 1,0 cm de comprimento?
40. ||| Três bastões com 10 cm de comprimento cada formam um triângulo eqüilátero sobre um plano. Dois deles estão carregados com
10 nC, e o terceiro, com 10 nC. Qual é a intensidade do campo
elétrico no centro do triângulo?
41. ||| Um próton está em órbita de um fio longo e carregado e efetua
1,0 107 revoluções por segundo. O raio da órbita é 1,0 cm. Qual é
a densidade linear de carga do fio?
42. || A FIGURA P27.42 mostra um bastão fino, de comprimento L e com
carga total Q.
a. Obtenha uma expressão para a intensidade de campo elétrico sobre o eixo do bastão a uma distância r do centro do mesmo.
b. Verifique se a expressão obtida no item anterior tem o comportamento esperado para r
R. Calcule E em r 3,0 cm se L 5,0
cm e Q 3,0 nC.
FIGURA P27.42
FIGURA P27.43
43. || A FIGURA P27.43 mostra um bastão fino, de comprimento L e
carga total Q. Obtenha uma expressão para o campo elétrico à
distância x da extremidade inferior do bastão. Expresse sua resposta
em função dos componentes.
44. || Mostre que o campo elétrico sobre o eixo de simetria de um anel de
carga tem o comportamento esperado para z
R e para z
R.
CAPÍTULO 27
45. || a. Mostre que a máxima intensidade de campo elétrico sobre o
eixo de simetria de um anel de carga ocorre em
.
b. Qual é a intensidade do campo elétrico neste ponto?
46. || A carga Q está uniformemente distribuída ao longo de um bastão
fino e flexível de comprimento L. O bastão, então, é dobrado para
formar o semicírculo mostrado na figura FIGURA P27.46.
a. Obtenha uma expressão para o campo elétrico no centro do
semicírculo.
Dica: Um pequeno arco de comprimento s está relacionado ao
pequeno ângulo subtendido por ele através de s/R, onde R
é o raio do arco.
b. Calcule a intensidade do campo no centro do círculo se L 10
cm e Q 30 nC.
Centro
FIGURA P27.46
FIGURA P27.47
47. || Um bastão de plástico, com densidade linear de carga , é dobrado de modo a formar um quarto de círculo, como mostrado na
FIGURA P27.47. Desejamos determinar o campo elétrico na origem
do sistema de coordenadas.
a. Escreva uma expressão para os componentes x e y do campo elétrico na origem devido a um pequeno pedaço de carga correspondente ao ângulo .
b. Escreva, mas não calcule, as integrais definidas envolvidas no
cálculo dos componentes x e y do campo elétrico resultante na
origem.
c. Calcule as integrais obtidas e escreva
em função dos componentes.
48. || Suponha que você segure duas
grandes folhas de plástico frente
à frente, espaçadas uma da outra
por d, conforme mostra a FIGURA
P27.48. Atritando uma delas com lã
e a outra com seda, você consegue
obter, sobre a superfície de uma das
folhas, uma densidade superficial
uniforme de carga
, e soFIGURA P27.48
bre a outra, outra densidade superficial uniforme de carga
. Qual é o vetor campo elétrico
nos pontos 1, 2 e 3?
49. ||| A intensidade do campo elétrico a 5,0 cm de um eletrodo extenso
e carregado é de 1000 N/C. Qual é a carga (em nC) sobre um trecho
circular do eletrodo com 1,0 cm de diâmetro?
50. || Duas esferas feitas de material isolante, ambas com 2,0 cm de
diâmetro, estão separadas por 6,0 cm. Uma delas é carregada com
10 nC, e a outra, com 15 nC. Qual é a intensidade do campo
elétrico no ponto eqüidistante às duas esferas?
51. || Duas placas paralelas e espaçadas por 1,0 cm possuem cargas de
mesmo valor absoluto, mas opostas. Um elétron é solto a partir do
repouso exatamente na superfície da placa negativa e, simultaneamente, um próton é solto, também do repouso, na superfície da placa positiva. A que distância da placa negativa o elétron e o próton se
cruzarão?
■
O Campo Elétrico
847
52. || Um próton que se desloca a 1,0 10 m/s entra no espaço entre as
placas de um capacitor de placas paralelas com 2,0 cm de comprimento. As densidades superficiais de carga das placas são 1,0 106 C/
m2. Em que distância o próton terá sido desviado lateralmente quando
chegar à outra extremidade do capacitor? Considere que o campo elétrico seja uniforme dentro do capacitor e nulo fora do mesmo.
53. || Um elétron é lançado segundo um ângulo de
45° e com uma velocidade de 5,0 106 m/s
a partir da placa positiva de um capacitor de
placas paralelas, como mostra a FIGURA P27.53.
O elétron aterrissa 4,0 cm à frente na placa.
,
a. Qual é a intensidade do campo elétrico
dentro do capacitor?
FIGURA P27.53
b. Qual é o mínimo valor possível do espaçamento entre as placas?
54. || Um problema de interesse prático é fazer com que elétrons sofram um desvio
de 90°. Isto pode ser conseguido com
um capacitor de placas paralelas como o
mostrado na FIGURA P27.54. Um elétron
com energia cinética de 3,0 1017 J entra no capacitor através de um pequeno
orifício na placa inferior.
Elétrons
a. Se você deseja que o elétron dobre à
FIGURA P27.54
direita, a placa inferior deve ser carregada positivamente ou negativamente em relação à placa de
cima? Explique.
b. Que intensidade de campo elétrico será necessária se o elétron
emergir de um orifício de saída 1,0 cm à frente do orifício de
entrada, formando um ângulo reto com a direção original de movimento?
Dica: A dificuldade do problema depende de como você escolhe
seu sistema de coordenadas.
c. Qual é a separação mínima possível entre as placas do capacitor?
55. ||| Você conseguiu a posição de monitor, durante o verão, em um
laboratório que utiliza um feixe de prótons de alta velocidade. Os
prótons saem da máquina a uma velocidade de 2,0 106 m/s, e lhe
é pedido que você projete um dispositivo para frear os prótons de
uma forma segura. Você sabe que os prótons ficariam incrustados
em um alvo de metal; todavia, deslocando-se a velocidades acima
de 2,0 105 m/s, emitiriam radiações perigosas, como raios X,
quando colidissem com o alvo. Você decide, então, primeiro diminuir a velocidade dos prótons para um valor aceitável, e, depois,
deixá-los colidir com o alvo. Você consegue duas placas de metal,
posiciona-as paralelamente separadas por 2,0 cm e, então, faz um
pequeno furo no centro de uma das placas, a fim de permitir que o
feixe de prótons penetre na região entre as placas. A placa oposta é
o alvo com o qual os prótons se chocarão.
a. Quais são os valores mínimos de densidade de carga que você
precisa obter em cada placa? Que placa, a positiva ou a negativa,
receberá o feixe de prótons incidente?
b. O que acontecerá se você carregar as placas com 1,0 105 C/
m2? Seu dispositivo ainda funcionará?
56. || Uma esfera de vidro com 2,0 cm de diâmetro tem uma carga de
1,0 nC. De que velocidade um elétron necessita para orbitar essa
esfera a 1,0 mm acima da superfície?
57. ||| Um próton orbita uma esfera de metal com 1,0 cm de diâmetro a
1,0 mm acima da superfície. O período orbital é de 1,0 s. Qual é a
carga da esfera?
58. || No modelo clássico do átomo de hidrogênio, o elétron descreve uma
órbita circular com 0,053 nm de raio em torno do próton. Qual é a freqüência orbital? Devido ao fato de o próton possuir uma massa muito
maior do que a do elétron, pode-se considerar o próton em repouso.
6
848
Física: Uma Abordagem Estratégica
59. || No modelo clássico do átomo de hidrogênio, o elétron descreve
uma órbita circular em torno de um próton estacionário. Qual é o raio
da órbita correspondente a uma freqüência orbital de 1,0 1012 s1?
60. || Um campo elétrico pode induzir um dipolo elétrico em um átomo ou molécula neutra empurrando a carga negativa para um lado
e puxando a positiva para o outro. O momento de dipolo de um
dipolo induzido é diretamente proporcional ao campo elétrico, isto
é,
, onde é chamado de polarizabilidade da molécula.
Um campo mais intenso estica a molécula ainda mais e induz um
momento de dipolo grande.
a. Qual é unidade do SI para ?
b. Um íon com carga q encontra-se a uma distância r de uma molécula de polarizabilidade . Obtenha uma expressão para a força íon sobre o dipolo.
61. || Mostre que uma linha de carga infinita, com densidade linear de
carga , exerce sobre um dipolo elétrico uma força atrativa de intensidade
. Considere que r seja muito maior do
que a separação entre as cargas do dipolo.
Nos Problemas de 62 a 65, uma ou várias equações lhe são fornecidas
para a resolução de um problema. Em cada uma das questões,
a. Elabore um problema realista para o qual o conjunto de equações
fornecido seja adequado.
b. Resolva o problema proposto.
elétrico criado pela esfera seja aproximadamente constante através
do volume inteiro do disco delgado.
a. Quanto vale o módulo e qual é a orientação do campo elétrico
criado pela esfera na posição do disco? Sua resposta deverá ser
uma expressão em função de Q e h.
b. O campo elétrico da esfera polariza o disco. As superfícies do
disco, então, com cargas q e q, se comportam como as placas
de um capacitor de placas paralelas com separação t. Mas o disco
é um condutor em equilíbrio eletrostático, de modo que o campo
elétrico Einterno dentro do mesmo deve ser nulo. A condição Einterno
0 parece ser inconsistente com a consideração feita de que as
superfícies do disco atuam como as placas de um capacitor. Use
palavras e desenhe diagramas para explicar como Einterno 0 embora as superfícies do disco estejam carregadas.
c. Agora, escreva a condição de Einterno 0 como uma sentença matemática e use-a para obter uma expressão para a carga q distribuída na face superior do disco.
d. Suponha que Q 50 nC, R 1,0 mm e t 0,010 mm. Todos
estes valores são típicos. A densidade do alumínio é 2700
kg/m3. A que distância deve estar a bola a fim de erguer o disco?
Esfera
62.
63.
Vista ampliada
FIGURA PD27.67
Disco
64.
65.
Problemas desafiadores
66. Suponha que uma de suas atribuições como físico seja desenvolver
uma maneira de usar a eletricidade para lançar um pequeno bastão de plástico com 6,0 cm de comprimento. Você, então, decide
eletrizar o pequeno bastão friccionando-o com um pano e, depois,
mantê-lo próximo a um fio longo que fora previamente carregado.
Quando você solta o bastão, a força elétrica exercida pelo fio o arremessará para longe. Suponha que você consiga carregar uniformemente o bastão com 10 nC e que a densidade linear de carga do fio
longo seja de 1,0 107 C/m. Qual é a intensidade da força elétrica
sobre bastão de plástico se sua extremidade mais próxima ao fio
está a 2,0 cm de distância?
,
Bastão de plástico
,
,
FIGURA PD27.66
67. Desejamos analisar como um objeto carregado atrai um pedaço
neutro de metal. A FIGURA PD27.67 mostra um pequeno disco circular, confeccionado a partir de uma folha de alumínio, deitado sobre
uma mesa. O disco delgado tem raio R e espessura t. Uma esfera de
vidro com carga positiva Q está fixa a uma altura h da lâmina. Considere que R
h e que t
R. Tais limites implicam que o campo
68. Um bastão de comprimento L está posicionado ao longo do eixo y
com o centro na origem do sistema de coordenadas. O bastão tem
uma densidade linear de carga não-uniforme
, onde a é
uma constante com unidade C/m2.
a. Desenhe um gráfico de versus y englobando todo o comprimento do bastão.
b. Determine a constante a em função de L e da carga total Q do
bastão.
Dica: Isto requer uma integração. Reflita sobre como proceder com
a função |x| na integração.
c. Determine a intensidade do campo elétrico criado pelo bastão a uma distância x sobre o eixo x.
69. a. Uma folha infinitamente longa de carga, com largura L, situa-se
no plano xy entre x L/2 e x L/2. A densidade superficial
de carga é . Derive uma expressão para o campo elétrico a uma
altura z da linha central da folha.
b. Cheque se sua expressão tem o comportamento esperado para z
L e para z
L.
c. Esboce o gráfico da intensidade do campo E versus z.
70. a. Uma folha infinitamente longa de carga, de largura L, situa-se no
plano xy entre x L/2 e x L/2. A densidade superficial de
carga é . Derive uma expressão para o campo elétrico ao longo
do eixo x para pontos fora da folha (x L/2).
b. Cheque se sua expressão tem o comportamento esperado para x
L.
Dica: ln (1 u) 艐 u se u
1.
c. Esboce o gráfico da intensidade do campo E versus x L/2.
71. As duas placas paralelas da FIGURA PD27.71
estão separadas por 2,0 cm, e a intensida,
de do campo elétrico entre elas é 1,0 104
N/C. Um elétron é lançado da placa positiva
segundo um ângulo de 45°. Qual é a veloFIGURA PD27.71
cidade inicial máxima v0 com que o elétron
pode ser lançado sem que chegue a colidir com a placa negativa?
CAPÍTULO 27
72. Um tipo de impressora a jato de tinta, chamada de impressora a
jato de tinta eletrostática, forma as letras através da utilização de
eletrodos defletores que direcionam gotas de tinta eletrizadas para
cima ou para baixo na direção vertical à medida que o jato de tinta
desliza horizontalmente pela página. O jato é formado por gotas
de tinta com 30 m de diâmetro, eletrizando-as pela aspersão de
800.000 elétrons sobre sua superfície e arremessando-as contra a
página a uma velocidade de 20 m/s. Ao longo do caminho, as gotas
passam por entre dois eletrodos paralelos de 6,0 mm de comprimento por 4,0 mm de largura, espaçados por 1,0 mm. A distância
do centro das placas ao papel é de 2,0 cm. Para formar as letras,
que possuem uma altura máxima de 6,0 mm, as gotas precisam ser
desviadas para cima ou para baixo em, no máximo, 3,0 mm. A tinta,
que consiste de partículas de corante suspensas em álcool, tem uma
densidade de 800 kg/m3.
a. Estime a intensidade máxima do campo elétrico necessária na
região entre os eletrodos.
b. Que quantidade de carga é necessária, em cada eletrodo, para
produzir este campo elétrico?
73. O pósitron é uma partícula elementar idêntica ao elétron, exceto por
sua carga, que é e. Um elétron e um pósitron podem girar em torno de seu centro de massa comum como se formassem um haltere
com um bastão de massa desprezível. Qual é a freqüência orbital de
um elétron e de um pósitron separados por 1,0 nm?
■
O Campo Elétrico
849
74. Você conseguiu um emprego em uma companhia que projeta e
constrói nanomáquinas. Um engenheiro da empresa está projetando um oscilador microscópico para ajudar a medir o tempo,
e você foi indicado para ajudá-lo na análise do projeto. O engenheiro pretende colocar uma carga negativa no centro de uma
pequena espiral de metal carregada positivamente. Ele afirma que
a carga negativa descreverá um movimento harmônico simples
cuja freqüência será determinada pela quantidade de carga sobre
a espiral.
a. Considere uma carga negativa próxima ao centro de um anel carregado positivamente. Mostre que existe uma força restauradora
exercida sobre a carga quando ela se move ao longo do eixo z, mas
permanecendo próxima ao centro, ou seja, mostre que existe uma
força que tende a trazer a carga de volta para a posição z 0.
b. Mostre que, para pequenas oscilações de amplitude
R, uma
partícula de massa m e carga q efetuará um movimento harmônico simples com freqüência dada por
onde R e Q são, respectivamente, o raio e a carga do anel.
c. Calcule a freqüência de oscilação para um elétron no centro de
um anel com 2,0 m de diâmetro carregado com 1,0 1013 C.
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 27.1: c. A partir da simetria da distribuição de cargas
sabemos que os campos criados pelas cargas positivas se cancelam. O
campo resultante é criado pela carga negativa, orientado para a mesma.
Pare e Pense 27.2:
.Todas as porções de uma superfície
uniformemente carregada apresentam a mesma densidade superficial de
carga.
Pare e Pense 27.3: b, e e h. As ações b e e aumentarão a densidade
linear de carga .
Pare e Pense 27.4: Ea Eb Ec Ed Ee. A intensidade do campo
criado por um plano carregado é a mesma a qualquer distância do plano.
Um diagrama de campo elétrico para a situação deve representar vetores
do campo elétrico apenas em alguns uns poucos pontos; todavia, o campo existe em todos os pontos.
Pare e Pense 27.5: Fa Fb Fc Fd Fe. A intensidade do campo
no interior de um capacitor é igual em todos os pontos; portanto, a força
exercida sobre uma carga será a mesma em todos os pontos. O campo
elétrico existe em todos os pontos, seja mostrado ou não um vetor naquele ponto.
Pare e Pense 27.6: c. Trajetórias parabólicas requerem acelerações
constantes e, portanto, o campo elétrico deve ser uniforme. O próton
possui um componente inicial da velocidade orientado para a esquerda,
mas ele será empurrado de volta para a direita.
28 Lei de Gauss
A forma aproximadamente esférica da
cabeça da garota determina a forma do
campo elétrico que faz com que seu
cabelo fique eriçado.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 28 é
compreender e aplicar a lei de Gauss.
Neste capítulo, você aprenderá a:
■ Reconhecer e usar as simetrias
para determinar a configuração do
campo elétrico.
■ Calcular o fluxo elétrico através de
uma superfície.
■ Usar a lei de Gauss para calcular o
campo elétrico de distribuições de
carga simétricas.
■ Usar a lei de Gauss para
compreender as propriedades
de condutores em equilíbrio
eletrostático.
Em retrospectiva
Este capítulo trabalha com as idéias
básicas sobre campos elétricos.
Revise:
■ Seção 11.3 Produto escalar de
vetores
■ Seções 26.4 e 26.5 A lei de
Coulomb e o campo elétrico de
uma carga puntiforme
■ Seção 27.2 Vetores do campo
elétrico e linhas de campo elétrico
O campo elétrico desta esfera carregada aponta para fora porque esta é a única direção
de campo compatível com a simetria da esfera. Esferas, cilindros e planos – formas
comuns de eletrodos – têm um alto grau de simetria. Como você verá neste capítulo, as
simetrias determinam a geometria dos campos elétricos.
No Capítulo 27 você aprendeu como calcular campos elétricos a partir da lei de Coulomb para o campo elétrico criado por uma carga puntiforme. Em princípio, esse método
é totalmente confiável; todavia, na prática, ele geralmente requer uma “ginástica” matemática excessiva para efetuar as integrações necessárias. Neste capítulo, você aprenderá
como tipos importantes de campo elétrico, dotados de um alto grau de simetria, podem
ser deduzidos de forma muito simples a partir da distribuição de carga. O princípio no
qual este método se baseia para calcular campos elétricos é chamado de lei de Gauss.
A lei de Gauss e a lei de Coulomb são equivalentes no sentido de que uma pode ser
derivada da outra. Entretanto a lei de Gauss nos fornece uma perspectiva muito diferente acerca do campo elétrico, da mesma forma como os princípios de conservação nos
dão uma perspectiva diferente da mecânica em relação àquela das leis de Newton. Na
prática, a lei de Gauss permite determinar alguns campos elétricos estáticos que seriam
muito difíceis de obter a partir da lei de Coulomb. Finalmente, veremos que a lei de
Gauss é mais geral, uma vez que se aplica não somente à eletrostática, mas também à
eletrodinâmica dos campos variáveis com o tempo.
28.1 Simetria
Suponha que conheçamos apenas dois fatos sobre os campos elétricos:
1. Todo campo elétrico aponta para fora de cargas positivas, e em direção a cargas
negativas.
2. Todo campo elétrico exerce uma força sobre qualquer partícula carregada.
CAPÍTULO 28
A partir dessas informações apenas, o que podemos deduzir acerca do campo elétrico criado
por um cilindro infinitamente longo e carregado como o que é mostrado na FIGURA 28.1?
Não sabemos se o diâmetro do cilindro é grande ou pequeno. Não sabemos se sua
densidade de carga é a mesma, tanto longe das extremidades quanto ao longo do eixo de
simetria do cilindro. Tudo o que sabemos é que sua carga é positiva e que a distribuição
de carga tem uma simetria cilíndrica.
A simetria é uma característica especialmente importante na ciência e na matemática. Dizemos que uma dada distribuição de carga é simétrica se existir um grupo de
transformações geométricas que não causem nenhuma alteração física. Para tornar esta
idéia concreta, suponha que você feche seus olhos enquanto um amigo transforma uma
distribuição de carga por uma das maneiras descritas a seguir. Ela ou ele pode
■
Lei de Gauss
851
Cilindro carregado
infinitamente longo
FIGURA 28.1 Uma distribuição de carga
com simetria cilíndrica.
■ transladar (isto é, deslocar) a carga paralelamente a um eixo,
■ girar a carga em torno de um eixo, ou
■ refletir a carga em um espelho.
Quando você abrir os olhos, conseguirá dizer se a distribuição de carga mudou?
Você poderia tentar, pela observação visual de alguma diferença na distribuição ou os
resultados obtidos em um experimento com partículas carregadas poderiam revelar que
a distribuição sofreu alteração. Se nada do que você possa ver ou fazer revelar qualquer
mudança, então dizemos que a distribuição de carga é simétrica frente àquela transformação particular.
A FIGURA 28.2 mostra que a distribuição de carga da Figura 28.1 é simétrica com relação
a:
Cilindro
original
■ Uma translação paralela ao eixo de simetria do cilindro. Deslocar um cilindro infini-
tamente longo em 1 mm ou 1000 m não ocasiona alterações que possamos perceber
ou medir.
■ Uma rotação em qualquer ângulo em torno do eixo de simetria do cilindro. Girar
o cilindro em torno de seu eixo de simetria em 1° ou 100° não produz mudanças
detectáveis.
■ Reflexões em relação a qualquer plano que contenha o eixo de simetria do cilindro
ou que seja perpendicular ao eixo do cilindro. Trocar a parte inferior pela superior, a
frontal pela traseira ou a esquerda pela direita não ocasionará alterações detectáveis.
Translação
paralela ao
eixo
Rotação
em torno
do eixo
Uma distribuição de carga que seja simétrica frente a esses três grupos de transformações geométricas possui simetria cilíndrica ou axial. Outras distribuições de carga
possuem outros tipos de simetrias. Certas distribuições de carga não possuem simetria
alguma. Nosso interesse nas simetrias pode ser resumido em uma única sentença:
Reflexão
em um plano
que contém o
eixo
A simetria do campo elétrico deve refletir a simetria da distribuição de carga.
Se isso não fosse verdadeiro, você poderia usar o campo elétrico para checar a distribuição de carga e descobrir se ela passou por uma transformação ou não.
Agora estamos prontos para ver o que podemos aprender sobre o campo elétrico da
Figura 28.1. O campo poderia se parecer com o da FIGURA 28.3a? (Imagine esta figura
girada em torno do eixo. Os vetores de campo também sairiam e entrariam na página.)
Ou seja, este campo é possível? Este campo parecerá o mesmo se ele for transladado
paralelamente ao eixo do cilindro ou se sua parte superior e inferior forem trocadas por
uma reflexão do campo em relação a um plano perpendicular à página ou, ainda, se você
girar o cilindro em torno de seu eixo longitudinal.
(a) Seria possível que este fosse o campo elétrico
criado por um cilindro carregado infinitamente
longo? Suponha que a carga e o campo sejam
refletidos em um plano perpendicular ao eixo.
Reflexão
perpendicular
ao eixo
FIGURA 28.2 Transformações que não
alteram um cilindro de carga infinito.
(b) A distribuição de carga não sofre alteração
com a reflexão; todavia, o campo, sim. O campo
representado na figura não se ajusta à simetria
do cilindro, portanto o campo do cilindro não
pode se parecer com este.
Plano de reflexão
Reflexão
FIGURA 28.3 O campo de uma distribuição cilíndrica de carga poderia se parecer com este?
852
Física: Uma Abordagem Estratégica
Vista
transversal
do cilindro
Plano de reflexão
A distribuição de carga
não sofre alteração pela
reflexão em um plano
que contém o eixo.
Reflexão
Este campo sofreu
alteração. Ele não se
ajusta à simetria do
cilindro, portanto o
campo real não pode se
parecer com este.
FIGURA 28.4 Ou o campo criado por uma
distribuição cilíndrica de carga deveria se
parecer com este?
Entretanto o campo proposto na figura falha em um teste. Suponha que refletíssemos
o campo em relação a um plano perpendicular ao eixo longitudinal do cilindro, uma reflexão que troca o lado direito pelo esquerdo e vice-versa. Tal reflexão, que não ocasiona
qualquer alteração na própria distribuição de carga, produziria o campo mostrado na
FIGURA 28.3b. Esta alteração no campo seria detectável, pois uma partícula positivamente
carregada teria agora um componente de movimento para a esquerda, ao invés de para
a direita.
O campo da Figura 28.3a, que permite uma distinção entre esquerda e direita, não é
cilindricamente simétrico e, portanto, não é um campo fisicamente possível. Em geral,
o campo elétrico criado por uma distribuição de carga com simetria cilíndrica não
pode possuir um componente paralelo ao eixo do cilindro.
Bem, então que tal o campo elétrico mostrado na FIGURA 28.4a? Aqui supostamente
estamos olhando o cilindro transversalmente. Os vetores do campo elétrico estão restritos a planos perpendiculares ao cilindro e, portanto, não possuem componentes paralelos
ao eixo do cilindro. Este campo é simétrico frente a rotações em torno do eixo de simetria, mas não é simétrico em relação a uma reflexão em um plano que contenha o eixo.
Após uma reflexão, o campo na FIGURA 28.4b é facilmente distinguível do campo da
Figura 28.4a. Portanto, o campo elétrico criado por uma distribuição de carga com
simetria cilíndrica não pode possuir um componente tangente à secção transversal
circular do cilindro.
A FIGURA 28.5 mostra a única forma possível de campo restante. O campo elétrico é
radial, apontando diretamente para fora do cilindro, como as cerdas de uma escova cilíndrica Esta é a forma do campo elétrico que se ajusta à forma da distribuição de carga.
Vista lateral
Vista transversal
FIGURA 28.5 Esta é a única configuração de campo elétrico que se ajusta à simetria da
distribuição de carga.
Quão boa é a simetria?
Em vista do pouco que assumimos a respeito da Figura 28.1 – que a distribuição de carga
tem simetria cilíndrica e que o campo elétrico aponta para fora de cargas positivas – fomos capazes de chegar a conclusões importantes acerca do campo elétrico. Em particular, deduzimos a forma da configuração que o campo elétrico deve ter.
Entretanto, a forma da configuração não é tudo. Não descobrimos coisa alguma ainda a respeito da intensidade do campo ou sobre como a intensidade varia com a distân2
cia. Será E constante? Será que o campo diminui proporcionalmente a 1/r ou a 1/r ? Não
dispomos ainda de uma descrição completa do campo, todavia conhecer a forma que
este campo deve ter certamente facilitará a tarefa de obter sua intensidade.
Esta é a coisa boa a respeito das simetrias. Argumentos de simetria nos permitem
eliminar possíveis formas de campo simplesmente por causa da incompatibilidade de
tais campos com a simetria da distribuição de carga. Saber o que não acontece, ou o que
não pode acontecer, geralmente é tão útil quanto saber o que pode ocorrer. Pelo processo
de eliminação, somos levados para uma, e possivelmente a única, configuração que o
campo pode assumir. A argumentação baseada em simetrias é, algumas vezes, um tanto
sutil, mas sempre constitui um método poderoso de raciocínio.
As três simetrias fundamentais
Três simetrias fundamentais aparecem com freqüência na eletrostática. A primeira linha
da FIGURA 28.6 mostra a forma mais simples de cada uma dessas simetrias. A segunda
linha ilustra uma situação mais complexa, porém mais realista, com a mesma simetria.
CAPÍTULO 28
■
Lei de Gauss
Podemos não conhecer a intensidade, mas a forma do campo nessas situações mais complexas deve se ajustar à simetria da distribuição de carga.
NOTA As figuras devem ter tamanho finito, mas consideramos os planos e cilindros da Figura 28.6 infinitos. Simetria Planar
Simetria cilíndrica
Simetria Esférica
Simetria
Básica:
O campo é
perpendicular
ao plano.
O campo aponta
radialmente para fora
ou para dentro do eixo.
O campo aponta
radialmente para
fora ou para
dentro do centro.
Exemplo
mais
complexo:
Capacitor de placas paralelas infinitas
Cilindros coaxiais
FIGURA 28.6 As três simetrias fundamentais.
De fato existem objetos que são muito parecidos com esferas perfeitas, mas cilindros
ou planos reais não podem ser de extensão infinita. Mesmo assim, os campos que seriam
criados por planos e cilindros carregados infinitos constituem bons modelos para os
campos criados por cilindros e planos carregados finitos naqueles pontos não tão próximos de uma das extremidades do objeto. Eletrodos planos ou cilíndricos são comuns em
um grande número de dispositivos práticos, portanto os campos que estudaremos neste
capítulo, mesmo que idealizados, possuem aplicações importantes.
PARE E PENSE 28.1 Um bastão uniformemente carregado tem um comprimento finito L. O bastão é simétrico frente a rotações em torno do eixo
e sob reflexão em relação a qualquer plano que contenha o eixo. Ele
não é simétrico frente a translações ou reflexões em relação a um plano
perpendicular ao eixo, a menos que tal plano divida o bastão em duas
partes iguais. Que configuração ou configurações de campo identificam
a simetria do bastão?
Esferas concêntricas
853
854
Física: Uma Abordagem Estratégica
28.2 O conceito de fluxo
A FIGURA 28.7a mostra uma caixa opaca que encerra uma região do espaço. Não podemos
ver o que há dentro da caixa, mas existe um vetor campo elétrico que sai de cada face da
caixa. Você pode adivinhar o que há dentro da caixa?
(b) O campo entra em
cada face da caixa.
Deve haver uma carga
negativa dentro dela.
(a) O campo sai de cada
face da caixa. Deve
haver uma carga
positiva dentro dela.
(c) Um campo que atravesse
toda caixa significa
que não há carga
líquida dentro
dela.
Caixa
opaca
FIGURA 28.7 Embora não possamos ver o interior das caixas, os campos elétricos que
atravessam suas faces nos dizem algo sobre o que elas contêm.
Toda superfície
gaussiana é uma
superfície fechada.
É geralmente mais fácil
de desenhar uma secção
transversal bidimensional de uma superfície
gaussiana esférica.
FIGURA 28.8 Uma superfície gaussiana
envolve uma carga. Geralmente é
fácil desenhar uma secção transversal
bidimensional da mesma.
Claro que pode. Devido ao fato de os campos elétricos apontarem para fora de cargas
positivas e de o campo elétrico sair de cada uma das faces da caixa, parece claro que a
caixa contém carga positiva ou várias cargas positivas. Analogamente, a caixa da FIGURA
28.7b deve conter uma carga negativa.
O que podemos afirmar sobre a caixa da FIGURA 28.7c? O campo elétrico aponta para
dentro da caixa, a partir da esquerda. Um campo elétrico igual aponta para fora, à direita.
Este campo poderia ser o campo elétrico criado por um grande eletrodo positivo posicionado em algum lugar fora do campo de visão, à esquerda, e por um grande eletrodo
negativo, também não visível, à direita. Um campo atravessa a caixa, mas não vemos
evidência de qualquer carga (pelo menos uma carga líquida) dentro dela.
Estes exemplos sugerem que o campo elétrico, quando passa para dentro de uma
caixa, para fora dela ou através da mesma está, de alguma maneira, relacionado à carga
existente dentro da caixa. Entretanto essas simples descrições não nos dizem qual é a
quantidade de carga existente dentro da caixa, ou onde, dentro dela, localiza-se a carga.
Talvez a escolha de uma caixa melhor seja mais informativa.
Suponha que delimitemos uma região do espaço por uma superfície fechada, uma
superfície que divida o espaço em duas regiões distintas, o interior e o exterior. No contexto da eletrostática, uma superfície fechada atravessada por um campo elétrico é chamada de superfície gaussiana, assim denominada em homenagem ao matemático do
século XIX Karl Gauss, que estabeleceu as fundações matemáticas da geometria. Tratase de uma superfície matemática imaginária, e não, de uma superfície material, embora
ela possa, em certas situações, coincidir com uma superfície material. Por exemplo, a
FIGURA 28.8 mostra uma superfície gaussiana esférica que envolve uma carga.
Uma superfície fechada deve, necessariamente, ser uma superfície tridimensional.
Mas figuras tridimensionais são geralmente difíceis de desenhar, portanto nós desenharemos secções transversais bidimensionais de superfícies gaussianas, tal como a mostrada na FIGURA 28.8b. Agora, uma escolha melhor da caixa torna mais claro o que há no
interior. Podemos afirmar, a partir dos vetores campo elétrico que saem da superfície
com simetria esférica, que a carga positiva interna deve ter uma simetria esférica e estar
posicionada no centro de uma esfera. Note duas propriedades que logo serão importantes: o campo elétrico é perpendicular à superfície da esfera em qualquer ponto da mesma
e possui o mesmo módulo em cada ponto da superfície.
A FIGURA 28.9 mostra outro exemplo. Um campo elétrico emerge dos quatro lados do
cubo da FIGURA 28.9a, mas não da face superior nem da inferior. Deveríamos ser capazes
de adivinhar o que existe dentro da caixa, mas não podemos ter certeza. A FIGURA 28.9b
usa uma superfície gaussiana diferente, um cilindro fechado (i.e., paredes cilíndricas e
extremidades “tampas” planas), e a FIGURA 28.9c simplifica o desenho, mostrando uma
visão bidimensional das tampas e da lateral. Agora, com uma escolha melhor da superfície imaginária, podemos dizer que a superfície gaussiana cilíndrica encerra algum tipo
de distribuição de carga cilíndrica, tal como um fio reto carregado. Novamente, o campo
elétrico é perpendicular em qualquer ponto da superfície cilíndrica e tem o mesmo módulo em cada ponto da mesma.
CAPÍTULO 28
Lateral
Superfície gaussiana
cúbica
Superfície gaussiana
cilíndrica
■
Lei de Gauss
855
Superior
Secções transversais bidimensionais
de uma superfície gaussiana
FIGURA 28.9 A superfície gaussiana é mais útil quando se ajusta à forma do campo.
Para contrastar, considere a superfície esférica na FIGURA 28.10a. Esta também é uma
superfície gaussiana, e o campo elétrico projetando-se para fora nos diz que há uma
carga positiva no seu interior. Poderia ser uma carga puntiforme localizada no lado esquerdo, mas realmente não sabemos. Uma superfície gaussiana que não se ajusta à simetria da distribuição de carga não é muito útil.
A superfície aberta da FIGURA 28.10b também não é de grande auxílio. O que parece
ser um campo elétrico uniforme orientado para a direita poderia ter sido criado por uma
grande placa positiva posicionada à esquerda ou por uma grande placa negativa à direita,
ou ambos. Uma superfície aberta não fornece informação suficiente.
Esses exemplos nos levam a duas conclusões:
1. O campo elétrico, de alguma forma, “flui” para fora de uma superfície fechada que delimita uma região do espaço que contém uma carga líquida positiva, e
“flui” para dentro de uma superfície fechada que encerra uma carga líquida negativa. O campo elétrico pode atravessar uma superfície fechada onde não exista
uma carga líquida, mas, neste caso, o fluxo resultante é nulo.
2. A configuração do campo elétrico através de uma superfície é relativamente simples se a superfície fechada se ajusta à simetria da distribuição de carga interior.
O campo elétrico realmente não escoa como um fluido, mas a metáfora é útil. A
palavra em latim para fluir é fluxo, e a quantidade de campo elétrico que atravessa uma
superfície qualquer é denominada fluxo elétrico. Nossa primeira conclusão, obtida em
termos do fluxo elétrico, é
■ Existe um fluxo para fora através de uma superfície fechada em torno de uma carga
líquida positiva.
■ Existe um fluxo para dentro através de uma superfície fechada em torno de uma
carga líquida negativa.
■ Não existe um fluxo resultante através de uma superfície fechada em torno de uma
região do espaço na qual a carga líquida seja nula.
Este capítulo tem sido inteiramente qualitativo até onde estabelecemos descritivamente o que queremos dizer por simetria, a idéia de fluxo e o fato de que o fluxo elétrico
através de uma superfície fechada tem algo a ver com a carga em seu interior. A compreensão dessas idéias qualitativas é essencial; todavia, para irmos além, precisaremos
tornar quantitativas e precisas essas idéias qualitativas. Na próxima seção, você aprenderá como calcular o fluxo elétrico através de uma superfície. Então, na seção seguinte,
estabeleceremos uma relação precisa entre o fluxo total através de uma superfície gaussiana e a carga encerrada por ela. Essa relação, a lei de Gauss, nos permitirá determinar
os campos elétricos criados por algumas distribuições de carga interessantes e úteis.
PARE E PENSE 28.2
Esta caixa
a. Contém uma carga positiva.
b. Contém uma carga negativa.
c. Não contém carga.
d. Contém uma carga líquida positiva.
e. Contém uma carga líquida negativa.
f. Não contém uma carga líquida.
(a)
Uma superfície
gaussiana que não
se ajuste à simetria
do campo elétrico
não é muito útil.
(b)
Uma superfície aberta não
fornece informação suficiente
sobre a carga.
FIGURA 28.10 Nem todas as superfícies são
úteis para conhecermos a carga.
856
Física: Uma Abordagem Estratégica
28.3 O cálculo do fluxo elétrico
11.7
Vamos começar com uma breve visão panorâmica do caminho pelo qual esta seção vai
nos levar. Iniciaremos com uma definição de fluxo que é fácil de compreender e, depois,
transformaremos esta definição simples em uma integral de aparência impressionante.
Precisaremos da integral porque a definição simples se aplica apenas a campos elétricos
uniformes e a superfícies planas. Embora sejam bons pontos de partida, necessitaremos
calcular o fluxo de campos não-uniformes através de superfícies curvas.
Matematicamente, o fluxo de um campo não-uniforme através de uma superfície
curva é descrito por um tipo especial de integral chamada de integral de superfície. É
bem provável que você ainda não tenha se deparado com integrais de superfície no seu
curso de cálculo, e o “fator novidade” contribui para fazer com que essa integral pareça
mais complicada do que ela realmente é. Enfatizaremos cada vez mais que uma integral
é apenas uma maneira cheia de estilo de efetuar uma soma, neste caso a soma de pequenas parcelas de fluxo através de várias pequenas partes de uma superfície.
A boa notícia é que toda a integral de superfície que precisaremos calcular neste capítulo ou que você precisará calcular nos exercícios propostos, ou é nula ou é tão fácil de efetuar que você poderá até fazê-lo de cabeça. Isto pode parecer surpreendente, mas você logo
verificará que é verdadeiro. O segredo é fazer uso efetivo da simetria do campo elétrico.
Agora que você já foi alertado, não há necessidade de pânico ao ver a notação matemática que será introduzida. Avançaremos passo a passo, e você verá que, pelo menos no
que concerne à eletrostática, calcular o fluxo elétrico não é difícil.
Definição básica de fluxo
Imagine-se segurando uma espira retangular de área A em frente a um ventilador. Conforme mostra a FIGURA 28.11, o volume de fluxo de ar que passa através da espira a cada
segundo depende do ângulo entre o plano da espira e a direção do fluxo. O fluxo será
máximo através de uma espira que seja perpendicular ao fluxo de ar; e não passará ar
através da espira se ela estiver com seu plano paralelo ao fluxo.
A espira está inclinada
em um ângulo .
Vetor unitário
normal ao plano
da espira
Espira
Fluxo
de ar
A quantidade de ar que atravessa
a espira é máxima quando
é o componente da velocidade
do ar perpendicular ao plano da espira.
Não há fluxo de ar através
da espira quando
FIGURA 28.11 A quantidade de ar que passa através de uma espira depende do ângulo
formado entre e .
A orientação do fluxo é identificada pelo vetor velocidade . Podemos identificar a
orientação da espira definindo um vetor unitário normal ao plano da espira. O ângulo
␪, então, é o ângulo formado entre e . A espira perpendicular ao fluxo da FIGURA 28.11a
corresponde a ␪ 0°; a espira paralela ao fluxo da FIGURA 28.11b corresponde a ␪ 90°.
Você pode pensar em ␪ como o ângulo pelo qual a espira está desviada em relação à
perpendicular.
NOTA Toda superfície possui dois lados, portanto
dos dois. Escolhemos o lado em que ␪ 90°. pode apontar para qualquer um
Da FIGURA 28.11C você nota que o vetor velocidade pode ser decomposto em um
, perpendicular ao plano da espira, e
, paralela ao
componente
mesmo. Somente o componente perpendicular carrega ar através da espira. Conseqüentemente, o volume de ar que flui através da espira a cada segundo é
Volume de ar por segundo (m /s) 3
(28.1)
CAPÍTULO 28
O valor ␪ 0° corresponde à orientação do fluxo para um fluxo máximo através da espira, como esperado, e não há fluxo de ar através da mesma se ela estiver com inclinação
de ␪ 90°.
Um campo elétrico realmente não flui no sentido literal do termo, entretanto podemos aplicar a mesma idéia para um campo elétrico que atravesse uma superfície. A FIGURA 28.12 mostra uma superfície de área A em um campo elétrico uniforme . O vetor
unitário é normal ao plano da espira e ␪ é o ângulo formado entre e . Somente o
atravessa a superfície.
componente
Com isso em mente, e usando a Equação 28.1 como analogia, definimos o fluxo
elétrico e, como
(28.2)
O fluxo elétrico mede a quantidade de campo elétrico que atravessa uma superfície de área
A quando a normal à superfície está inclinada em relação ao campo em um ângulo ␪.
A Equação 28.2 se parece muito com um produto escalar de dois vetores:
. Para essa idéia funcionar, precisamos definir um vetor área
com a
direção de – ou seja, perpendicular à superfície – e com módulo igual à área A da superfície. A unidade do vetor é o m2. A FIGURA 28.13a mostra dois vetores área.
■
Lei de Gauss
Ecos é o componente
do campo elétrico que atravessa
a superfície.
857
Normal
ao plano
da espira
é o ângulo
formado
entre e .
Superfície
de área A
FIGURA 28.12 Um campo elétrico atravessa
uma superfície.
O vetor área
é perpendicular à
superfície.
O módulo de é
a área A da superfície.
Área A
Área A
O fluxo elétrico
através da superfície
é
FIGURA 28.13 O fluxo elétrico pode ser definido em termos do vetor área
.
A FIGURA 28.13b mostra um campo elétrico que atravessa uma superfície de área A. O
ângulo formado entre os vetores e é o mesmo ângulo usado na Equação 28.2 para
definir o fluxo elétrico, portanto a Equação 28.2 é, de fato, um produto escalar. Podemos
definir o fluxo elétrico mais precisamente como
(fluxo elétrico de um campo elétrico constante (uniforme))
(28.3)
Escrever o fluxo como um produto escalar ajuda a tornar claro como o ângulo ␪ é definido:
␪ é o ângulo entre o campo elétrico e uma linha perpendicular ao plano da superfície.
NOTA A Figura 28.13b mostra uma área circular, mas a forma da superfície não
é relevante. Entretanto, a validade da Equação 28.3 está restrita a campos elétricos
uniformes que atravessem alguma superfície plana. EXEMPLO 28.1 Fluxo elétrico no interior de um capacitor
de placas paralelas
Dois eletrodos paralelos, cada qual com área de 100 cm2, estão espaçados por 2,0 cm. Um deles está carregado com 5,0 nC, e o outro,
com 5,0 nC. A normal a uma superfície de 1,0 cm 1,0 cm, entre
os eletrodos, faz um ângulo de 45° com o campo elétrico. Qual é o
fluxo elétrico através da superfície?
Uma superfície de 1,0 cm 1,0 cm possui área A 1,0 104 m2. O
fluxo elétrico através dessa superfície é
MODELO Considere que a superfície esteja localizada próxima ao cen-
tro do capacitor, onde o campo elétrico é uniforme. O fluxo elétrico
não depende da forma da superfície.
VISUALIZAÇÃO A superfície é quadrada, e não, circular; de outra for-
ma, a situação seria parecida com a da Figura 28.13b.
RESOLUÇÃO No Capítulo 27 aprendemos que o campo elétrico no interior de um capacitor de placas paralelas é dado por
AVALIAÇÃO A unidade de fluxo elétrico é o produto da unidade de
2
campo elétrico pela unidade de área: Nm /C.
858
Física: Uma Abordagem Estratégica
O fluxo elétrico de um campo elétrico não-uniforme
Pedaço
Pedaço A área total A pode ser dividida em vários
pequenos pedaços de área A. O campo E
pode ser diferente em cada pedaço.
FIGURA 28.14 Uma superfície em um
campo elétrico não-uniforme.
Nossa definição inicial de fluxo elétrico está baseada na consideração de que o campo
elétrico seja constante ao longo de uma superfície. Como procederemos para calcular
o fluxo elétrico se varia de ponto a ponto ao longo da superfície? Podemos responder à
questão retomando a analogia do fluxo de ar através de uma espira. Suponha que o fluxo
de ar varie de ponto a ponto. Ainda podemos determinar o volume total de ar que atravessa a espira por segundo dividindo a espira em pequenas áreas, determinando o fluxo
através de cada uma delas e, depois, somando todos eles. Analogamente, o fluxo elétrico
através de uma superfície pode ser calculado como a soma dos fluxos através de
pequenos pedaços da superfície. Devido ao fato de o fluxo ser uma grandeza escalar,
somar fluxos é mais fácil do que somar campos elétricos.
A FIGURA 28.14 mostra uma superfície em um campo elétrico não-uniforme. Imagine
a divisão dessa superfície em um grande número de pequenas partes com área ␦A. Cada
perpendicular ao trecho de área
uma dessas pequenas áreas tem associado um vetor
correspondente. Duas dessas pequenas áreas, indicadas por i e j, são mostradas na figura.
Os fluxos elétricos através dessas duas áreas são diferentes entre si porque os campos
elétricos são diferentes nas mesmas.
Considere a pequena área i, onde o campo elétrico é . O pequeno fluxo elétrico
é
através da área
(28.4)
O fluxo através de cada uma das outras pequenas partes da superfície é determinado da
mesma forma. O fluxo elétrico total através de toda a superfície é igual, portanto, à soma
dos fluxos através de cada uma das pequenas áreas:
(28.5)
Agora tomemos o limite
, ou seja, as pequenas áreas tornam-se de tamanho
infinitesimal, e haverá uma quantidade infinita delas ao longo da superfície total. Dessa
forma, a soma se torna uma integral, e o fluxo do campo elétrico através da superfície
inteira é dado por
(28.6)
A integral da Equação 28.6 é chamada de integral de superfície.
A Equação 28.6 pode parecer assustadora se você ainda não viu outras integrais
de superfície. Apesar da aparência, uma integral de superfície não é mais complicada
do que as outras integrais que você conhece do cálculo. Além disso, o que
realmente significa? Essa expressão é uma forma sintética de expressar o que dizemos
como “divida o eixo x em uma grande quantidade de pequenos segmentos, cada qual de
tamanho ␦x, depois calcule a função f(x) em cada um deles e, então, some os valores de
f(x) ␦x correspondentes a todos os segmentos ao longo da linha”. A integral da Equação
28.6 difere apenas no fato de que dividimos uma superfície em pequenas partes, em vez
de dividir uma linha em pequenos segmentos. Em particular, estamos somando os fluxos
através de um número enorme de partes muito pequenas.
Você pode estar pensando, “OK, eu entendi a idéia, mas eu não sei o que efetuar. Em
. Como eu resolvo
cálculo, eu aprendi fórmulas para resolver integrais tais como
uma integral de superfície?”. Essa é uma boa pergunta. Em breve iremos lidar com a solução, e ela revelará que as integrais de superfície da eletrostática são fáceis de resolver.
Mas não confunda resolver a integral com entender o seu significado. A integral de superfície da Equação 28.6 é, simplesmente, uma notação sintética para o somatório dos fluxos
elétricos através de um número enorme de áreas bem pequenas de uma superfície.
O campo elétrico pode ser diferente em cada ponto da superfície, mas suponha que não
o seja, isto é, suponha que a superfície esteja em um campo elétrico uniforme Um campo
que é igual em cada um dos pontos de uma superfície, no que tange à integração da Equação
28.6 é uma constante, de modo que podemos sacá-lo para fora da integral. Assim sendo,
(28.7)
CAPÍTULO 28
■
Lei de Gauss
859
A integral que resta na Equação 28.7 significa que temos de somar todas as pequenas
áreas nas quais a superfície foi subdividida. Todavia a soma de todas as pequenas áreas
é igual, simplesmente, à área total da superfície:
(28.8)
Esta idéia – de que a integral de superfície de dA é igual à área da superfície – é uma
das que iremos usar para calcular a maioria das integrais da eletrostática. Substituindo
a Equação 28.8 na Equação 28.7, obtemos que o fluxo elétrico de um campo elétrico
. Já sabíamos isso, a partir da Equação 28.2, mas é importante
uniforme é
verificar que a integral de superfície da Equação 28.6 dá o resultado correto para o caso
de um campo elétrico uniforme.
Fluxo através de uma superfície curva
A maioria das superfícies gaussianas consideradas na seção passada eram superfícies
curvas. A FIGURA 28.15 mostra um campo elétrico que atravessa uma superfície curva.
Como obter o fluxo do campo elétrico através dessa superfície? Da mesma forma como
fizemos para o caso de uma superfície plana!
Divida a superfície em várias pequenas partes, cada qual de área ␦A. Para cada uma
perpendicular à superfície naquele ponto. Comparado à
delas, defina um vetor área
Figura 28.14, a única diferença que a curvatura da superfície introduz é que os vetores
não são mais paralelos entre si. Determine o pequeno elemento de fluxo
através de cada pequena área e, então, os some. O resultado, mais uma vez, é
O fluxo através
dessa pequena área
é
Superfície curva
de área total A
FIGURA 28.15 Uma superfície curva em um
campo elétrico.
(28.9)
Ao derivar esta expressão da primeira vez, consideramos que a superfície fosse plana e
fossem mutuamente paralelos. Mas essa suposição não é necessária. O
que todos os
significado da Equação 28.9 – uma soma dos fluxos através de um enorme número de áreas
muito pequenas – não sofrerá alteração se as áreas pertencerem a uma superfície curva.
Parece que está ficando cada vez mais complicado usar integrais de superfície, primeiro
para o caso de campos não-uniformes, e agora, para o de superfícies curvas. Mas considere
as duas situações mostradas na FIGURA 28.16. O campo elétrico da FIGURA 28.16a é tangente,
ou paralelo, à superfície curva em todos os pontos da mesma. Não precisamos conhecer
o módulo de para perceber que
é nulo em qualquer ponto da superfície, pois é
perpendicular a em cada ponto. Portanto, ⌽e ⫽ 0. Um campo elétrico tangente a uma superfície nunca se projeta através dela, de modo que seu fluxo através da superfície é nulo.
O campo elétrico da FIGURA 28.16b é perpendicular à superfície mostrada e tem o mesmo módulo E em cada ponto dela. O campo difere em orientação em diferentes pontos
de uma superfície curva, porém em qualquer ponto da mesma, é sempre paralelo a ,
e
é igual, simplesmente, a EdA. Neste caso,
(28.10)
Ao calcular a integral, o fato de que E tinha o mesmo módulo em qualquer ponto da superfície nos permitiu sacar para fora da integral o valor constante. Usamos, então, o fato
de que a integral de dA sobre a superfície deve ser igual à área A total da superfície.
Podemos resumir essas duas situações em um Box Tático.
BOX TÁTICO
28.1
Resolvendo integrais de superfície
Se o campo elétrico for tangente a uma superfície em todos os pontos da mesma,
o fluxo elétrico através da superfície será ⌽e ⫽ 0.
Se o campo elétrico for perpendicular a uma superfície em qualquer ponto da
mesma e tiver o mesmo módulo E em qualquer ponto, o fluxo elétrico através da
superfície será ⌽e ⫽ EA.
Área A
O campo é
tangente em cada ponto
da superfície. O fluxo
é nulo.
Área A
O campo E é
perpendicular em
cada ponto da superfície
e tem o mesmo módulo em
cada um deles. O fluxo é EA.
FIGURA 28.16 Campos elétricos que são
tangentes ou perpendiculares em cada
ponto de uma superfície curva.
860
Física: Uma Abordagem Estratégica
Os dois resultados serão de valor inestimável para a utilização da lei de Gauss porque todo
o fluxo que precisaremos calcular recairá em uma dessas situações. Essa é a justificativa
para nossa afirmação anterior, de que o cálculo de integrais de superfície não seria difícil.
Fluxo elétrico através de uma superfície fechada
Nosso passo final para calcular o fluxo elétrico através de uma superfície fechada, tal
como uma caixa, um cilindro ou uma esfera, não requer nada de novo. Já aprendemos a
calcular o fluxo elétrico através de superfícies planas e curvas, e uma superfície fechada
nada mais é do que uma superfície inicialmente aberta que foi fechada.
Entretanto, a notação matemática para uma integral de superfície efetuada sobre uma
superfície fechada difere um pouco daquela que acabamos de usar nas ilustrações. É
costume utilizar um pequeno círculo no símbolo da integral para indicar que a integral
de superfície é calculada sobre uma superfície fechada. Com essa notação, o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é
(28.11)
Somente a notação foi alterada. O fluxo elétrico ainda continua sendo a soma dos fluxos
através do número enorme das pequenas áreas das partes que agora cobrem uma superfície fechada.
NOTA Toda superfície fechada possui um lado interior e um lado exterior distintos.
é sempre definido com orientação para o lado de fora de uma superO vetor área
fície fechada. Isto remove uma ambigüidade que estava presente para toda superfície
podia apontar para qualquer lado. aberta, onde
EXEMPLO 28.2 Calculando o fluxo elétrico através de um
cilindro fechado
Uma distribuição de carga cilíndrica criou um campo elétrico
, onde E0 e r0 são constantes, e o vetor unitário
situa-se no plano xy. Calcule o fluxo elétrico através de um cilindro
fechado de comprimento L e raio R, centrado no eixo z.
MODELO O campo elétrico se estende radialmente para fora do eixo
z, com simetria cilíndrica. O componente z do campo é Ez 0. O
cilindro é uma superfície gaussiana.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.17a é uma visão que se tem do campo
elétrico olhado transversalmente ao longo do eixo z. A intensidade
do campo cresce com o aumento da distância radial, e o campo é
simétrico em torno do eixo z. A FIGURA 28.17b é a superfície gaussiana fechada na qual precisamos calcular o fluxo elétrico. Podemos
posicionar o cilindro em qualquer lugar ao longo do eixo z porque o
campo elétrico se estende para sempre naquela direção.
RESOLUÇÃO Para calcular o fluxo, dividimos o cilindro fechado em
três superfícies: o topo, o fundo e a lateral do cilindro. O campo
elétrico é tangente em todos os pontos das superfícies do topo e do
fundo. Neste caso, como indica o passo 1 do Box Tático 28.1, o fluxo através daquelas duas superfícies é nulo. Na lateral do cilindro, o
campo elétrico é perpendicular à superfície em todo ponto da mesma
2
2
e possui um módulo constante E E0(R /r0 ) em qualquer ponto sobre a superfície. Portanto, a partir do passo 2 do Box Tático 28.1,
Somando as três partes, o fluxo resultante através da superfície fechada é
Raio R
Superfície gaussiana
O campo é
perpendicular à
lateral em qualquer
ponto da mesma.
Não existe campo
atravessando o fundo.
Campo elétrico visto ao longo do eixo z
FIGURA 28.17 O campo elétrico e a superfície fechada através da qual iremos calcular o fluxo elétrico.
CAPÍTULO 28
Calculamos a integral de superfície usando os dois passos do Box
Tático 28.1, e não havia nada para tal! Para finalizar, tudo o que precisamos relembrar é que a superfície lateral de um cilindro é igual a
circunferência altura, ou Alateral 2␲RL. Portanto,
3
2
2
AVALIAÇÃO A grandeza LR /r0 tem o m como unidade, uma área,
2
de modo que esta expressão para e tem Nm /C como unidade.
■
Lei de Gauss
861
Esta é a unidade correta do SI para o fluxo elétrico, o que nos dá
confiança em nossa resposta. Note o papel importante desempenhado pela simetria. O campo elétrico é perpendicular à lateral e de
valor constante em qualquer ponto da mesma porque a superfície
gaussiana tem de possuir a mesma simetria que a distribuição de
carga. Não seríamos capazes de calcular a integral de superfície
com facilidade em uma superfície de outra forma qualquer. A simetria é o segredo.
O Exemplo 28.2 ilustrou a abordagem em dois passos para efetuar uma integral de
fluxo sobre uma superfície fechada. Em resumo:
BOX TÁTICO
28.2
Obtendo o fluxo através de uma superfície fechada
Divida a superfície fechada em pequenas partes que sejam tangentes ou perpendiculares ao campo elétrico em qualquer de seus pontos.
Use a Box Tático 28.1 para calcular as integrais de superfície sobre essas superfícies e, então, some os resultados.
Exercício 11
PARE E PENSE 28.3
O fluxo elétrico total através desta
para cima)
caixa é
2
a. 0 Nm /C
2
b. 1 Nm /C
2
c. 2 Nm /C
2
d. 4 Nm /C
2
e. 6 Nm /C
2
f. 8 Nm /C
Plano de carga
Secção transversal
de uma caixa de
para baixo)
28.4 A lei de Gauss
A última seção foi longa, mas é essencial saber calcular o fluxo elétrico através de uma
superfície fechada para que você compreenda o assunto principal do capítulo: a lei de
Gauss. A lei de Gauss é equivalente à lei de Coulomb para cargas estáticas, embora a lei
de Gauss pareça muito diferente.
O propósito, ao aprendermos a lei de Gauss, é duplo:
■ A lei de Gauss permite que campos elétricos de algumas distribuições contínuas de
carga sejam obtidos com mais facilidade do que a partir da lei de Coulomb.
■ A lei de Gauss é válida para cargas em movimento, mas a lei de Coulomb, não (em-
bora seja uma aproximação muito boa para velocidades muito menores do que a da
luz). Portanto, e finalmente, a lei de Gauss é um enunciado sobre campos elétricos
mais fundamental do que a lei de Coulomb.
11.8
862
Física: Uma Abordagem Estratégica
Secção transversal de uma esfera
gaussiana de raio r. Trata-se de uma
superfície matemática, e não, de uma
superfície material.
Carga
puntiforme q
O campo elétrico é perpendicular à
superfície e tem o mesmo módulo
em qualquer ponto da mesma.
FIGURA 28.18 Uma superfície esférica
gaussiana ao redor de uma carga
puntiforme.
Vamos iniciar com a lei de Gauss para o campo elétrico criado por uma carga puntiforme. A FIGURA 28.18 mostra uma superfície esférica gaussiana de raio r, centrada sobre
uma carga positiva q. Não se esqueça de que essa é uma superfície imaginária, uma superfície matemática, e não, uma superfície material. Há um fluxo líquido através dessa
superfície pelo fato de que o campo elétrico aponta para fora em todos os pontos da superfície. Para calcular o fluxo, dado formalmente pela integral de superfície da Equação
28.11, note que o campo elétrico é perpendicular à superfície em qualquer um de seus
pontos e que, da lei de Coulomb, ele tem o mesmo módulo
em qualquer
ponto sobre a superfície. Chegamos a esta situação simples porque a superfície gaussiana escolhida apresenta a mesma simetria do campo elétrico.
Portanto, sem ter que fazer qualquer trabalho árduo, sabemos que a integral de fluxo é
(28.12)
A área superficial de uma esfera de raio r é Aesfera ⫽ 4␲r . Usando esta Expressão para
Aesfera e a expressão da lei de Coulomb na Equação 28.12 para E, obtemos que o fluxo
elétrico através da superfície esférica é
2
(28.13)
Examine a lógica desse cálculo mais atentamente. Nós realmente calculamos a integral
de superfície da Equação 28.11, embora possa parecer, de imediato, que não tenhamos
feito muito. Para enfatizar, reiteramos que a integral foi facilmente calculada porque a
superfície fechada sobre a qual efetuamos a integração tinha a mesma simetria da distribuição de carga. Em tais casos, a integral de superfície para o fluxo é igual, simplesmente, à intensidade de campo multiplicada pela área.
NOTA A Equação 28.13 foi aplicada para uma carga positiva, mas ela se aplica
igualmente bem a cargas negativas. De acordo com a Equação 28.13, ⌽e será negativo se q for negativa. E isso é o que deveríamos esperar a partir da definição básica de
fluxo,
. O campo elétrico de uma carga negativa aponta para dentro da mesma,
enquanto o vetor área de uma superfície fechada aponta para fora dela, o que torna
negativo o produto escalar. O fluxo elétrico é independente da forma da superfície e do raio
Note uma coisa interessante sobre a Equação 28.13. O fluxo elétrico depende da quantidade de carga, mas não depende do raio da esfera. Embora isso possa parecer um
pouco surpreendente, trata-se realmente de uma conseqüência direta do que entendemos por fluxo. Lembre-se da analogia com um fluido com a qual introduzimos o termo
“fluxo”. Se um fluido escoa para fora de um ponto central, todo o fluido que atravessar
uma superfície esférica de raio pequeno, em algum instante posterior, atravessará outra
superfície esférica de raio maior. Não haverá perda de fluido ao longo do caminho, e
também nenhuma quantidade nova de fluido será acrescentada. Analogamente, a carga
puntiforme na FIGURA 28.19 é a única fonte de campo elétrico. Toda linha de campo elétrico que atravessa uma superfície esférica de raio pequeno também passará através de
uma superfície esférica de raio grande. Vemos, assim, que o fluxo elétrico é independente de r.
Toda linha de campo que atravessa uma
pequena esfera também passará através
de uma esfera grande. Aqui, o fluxo
através das duas esferas é o mesmo.
FIGURA 28.19 O fluxo elétrico é o mesmo
através de qualquer esfera centrada em
uma carga puntiforme.
NOTA Este argumento se baseia no fato de que a lei de Coulomb é uma lei de força
inversamente proporcional ao quadrado da distância. A intensidade de campo elétrico, proporcional a 1/r2, diminui com a distância. Mas a área de superfície, que cresce
proporcionalmente a r2, compensa exatamente esse decréscimo. Conseqüentemente,
o fluxo elétrico de uma carga puntiforme através de uma superfície esférica independe do raio da esfera. Essa conclusão sobre o fluxo tem uma generalização importante. A FIGURA 28.20a
mostra uma carga puntiforme e uma superfície gaussiana fechada, com forma e dimen-
CAPÍTULO 28
sões arbitrárias. Tudo o que sabemos a respeito é que a carga encontra-se dentro da superfície. Qual é o fluxo elétrico através da superfície?
Uma maneira de responder à questão é considerar a superfície, aproximadamente,
como uma colcha de retalhos formada por setores radiais e setores esféricos. Os setores
esféricos estão centrados na carga, e as partes radiais situam-se ao longo de linhas retas
que se estendem radialmente para fora da carga. (A Figura 28.20 é um esboço bidimensional, portanto é preciso que você imagine esses arcos como sendo, de fato, cortes
transversais de cascas esféricas.) Para ilustrar essa idéia, a figura mostra corretamente
grandes pedaços que não se ajustam de modo perfeito à superfície real. Entretanto, podemos tornar essa aproximação tão boa quanto queiramos fazendo com que os pedaços se
tornem suficientemente pequenos.
O campo elétrico é tangente em qualquer lugar dos setores radiais. Desta forma, o
fluxo elétrico através dos setores radiais é nulo. Os setores esféricos, embora difiram
entre si quanto à distância em relação à carga, formam uma esfera completa, ou seja,
qualquer linha traçada radialmente para fora da carga atravessará exatamente um pedaço esférico, e toda linha radial atravessa um setor esférico. Você pode imaginar, ainda,
como mostrado na FIGURA 28.20b, que os setores esféricos possam ser deslocados para
dentro ou para fora, sem que seja alterado o ângulo que eles subtendem, até que se ajustem para formar uma esfera completa.
Conseqüentemente, o fluxo elétrico através desses setores esféricos que, quando
montados, formam uma esfera completa, deve ser exatamente igual ao fluxo q/0 através
de uma superfície gaussiana esférica. Em outras palavras, o fluxo através de qualquer
superfície fechada que envolva uma carga puntiforme q é igual a
■
Lei de Gauss
863
Carga puntiforme Os setores esféricos
estão centrados na carga.
Superfície gaussiana Os setores radiais situam-se
de forma arbitrária ao longo de linhas retas que
se estendem radialmente para
fora da carga. Não há fluxo
através de tais setores.
A aproximação por setores radiais e esféricos
pode ser tão boa quanto se deseje, desde que os
setores sejam suficientemente pequenos.
(28.14)
Este resultado surpreendentemente simples é uma conseqüência do fato de que a lei de
Coulomb é uma lei de força do tipo inverso do quadrado da distância. Mesmo assim, a argumentação que nos levou à Equação 28.14 é, de certa forma, sutil, e merece ser revisada.
FIGURA 28.20 Uma superfície gaussiana
Carga fora da superfície
A superfície fechada mostrada na FIGURA 28.21a não contém cargas em seu interior, mas
existe uma carga puntiforme q do lado de fora da mesma. Neste caso, o que podemos
afirmar sobre o fluxo? Aproximando a superfície por setores radiais e esféricos centrados na carga, como fizemos na Figura 28.20, podemos rearranjar a superfície e transformá-la na superfície equivalente mostrada na FIGURA 28.21b. Essa superfície fechada
consiste de secções correspondentes a duas cascas esféricas diferentes e é equivalente no
sentido de que o fluxo elétrico através desta superfície é igual ao fluxo elétrico através da
superfície original da Figura 28.21a.
(a)
Em outros setores da
superfície, o fluxo é
positivo.
Superfície
fechada
arbitrária pode ser aproximadamente
dividida em setores esféricos e radiais.
é paralelo a ,
portanto o fluxo é
positivo.
(b)
Em alguns setores da
superfície, o fluxo
é negativo.
Os setores esféricos podem ser deslocados para
dentro ou para fora a fim de formar uma esfera
completa. Assim, o fluxo através de todos os
setores é igual ao fluxo através de uma esfera
completa.
Secção transversal
bidimensional
Carga puntiforme
fora da superfície
Aproximar esta superfície por setores esféricos
e radiais permite que ela seja reconstruída como
a superfície da direita, que corresponde ao mesmo fluxo.
FIGURA 28.21 Uma carga puntiforme externa a uma superfície gaussiana.
é oposto a ,
portanto o fluxo é
negativo.
Os fluxos através dessas superfícies são
iguais, mas opostos. O fluxo líquido é nulo.
864
Física: Uma Abordagem Estratégica
Se o campo elétrico fosse como um fluido que escoa para fora da carga, todo o fluido
que entrasse na região fechada, através da primeira superfície esférica, teria de sair,
mais tarde, pela segunda. Não há um fluxo líquido para dentro ou para fora da região
fechada. Analogamente, toda a linha de campo elétrico que entre neste volume fechado
por um lado, terá de sair pelo outro.
Matematicamente, os fluxos elétricos através de duas superfícies esféricas têm o
mesmo módulo porque e é independente de r. Mas eles têm sinais opostos porque o
vetor área , apontando para fora, é paralelo a em uma das superfícies e antiparalelo
na outra. A soma dos fluxos através de ambas as superfícies é nula, e somos levados à
conclusão de que é nulo o fluxo elétrico líquido através de uma superfície fechada
que contenha uma carga líquida nula. Cargas externas à superfície não produzem um
fluxo resultante através da mesma.
Isso não significa que o fluxo através de uma parte pequena da superfície seja nulo.
De fato, como mostra a Figura 28.12a, em quase todas as partes da superfície há um
campo elétrico que entra ou que sai da mesma e, portanto, o fluxo não é nulo através daquela parte. Mas alguns destes fluxos parciais são positivos, e outros, negativos. Quando
somados, todos eles, para a superfície inteira, as contribuições positivas e negativas se
cancelam e o fluxo líquido é nulo.
Cargas múltiplas
Os fluxos devidos a cargas fora
da superfície são todos nulos.
Finalmente, considere uma superfície gaussiana arbitrária e um conjunto de cargas q1,
q2, q3,..., tal como aquelas mostradas na FIGURA 28.22. Algumas dessas cargas estão dentro
da superfície; outras, fora. As cargas podem ser tanto negativas quanto positivas. Qual é
o fluxo elétrico através da superfície fechada?
Por definição, o fluxo resultante é
Secção transversal
bidimensional de
uma superfície
gaussiana.
A carga total
dentro é Qint.
Do princípio da superposição, o campo elétrico
onde
são os campos produzidos individualmente pelas cargas envolvidas. Portanto, o fluxo pode ser escrito como
Os fluxos devidos a cargas
internas à superfície se adicionam.
(28.15)
FIGURA 28.22 Cargas, internas e externas,
de uma superfície gaussiana.
onde 1, 2, 3,..., são os fluxos através da superfície gaussiana devidos às correspondentes cargas individuais, ou seja, o fluxo resultante é a soma dos fluxos devidos às
cargas individuais. Mas sabemos quanto estes valem: são nulos quando as cargas estão
do lado de fora, e iguais a q/0 para as que estão dentro. Portanto,
(28.16)
Definimos
para todas as cargas dentro da superfície
(28.17)
como a carga total dentro da superfície fechada. Com esta definição, podemos escrever
nosso resultado para o fluxo elétrico resultante em uma forma bem compacta e ordenada. Para qualquer superfície fechada que encerre uma carga total Qint, o fluxo elétrico
através da superfície é
(28.18)
Este resultado para o fluxo elétrico é conhecido como lei de Gauss.
CAPÍTULO 28
O que a lei de Gauss nos fornece?
Em certo sentido, a lei de Gauss não nos diz nada de novo nem algo que já não soubéssemos a partir da lei de Coulomb. Afinal de contas, derivamos a lei de Gauss a partir da
lei de Coulomb. Mas, em outro sentido, a lei de Gauss é mais importante do que a lei
de Coulomb. A lei de Gauss expressa uma propriedade bem geral dos campos elétricos
– a saber, que as cargas criam campos elétricos de tal forma que o fluxo resultante do
campo é igual através de qualquer superfície que envolva completamente as cargas, sem
importar a forma ou o tamanho que ela tenha. Esse resultado poderia ter sido obtido a
partir da lei de Coulomb, mas de forma alguma ele é óbvio. E a lei de Gauss se mostrará
particularmente útil mais tarde, quando a combinarmos com outras equações do campo
elétrico e do magnético.
A lei de Gauss é o enunciado matemático correspondente às observações que fizemos na Seção 28.2. Lá, notamos um “fluxo” resultante do campo elétrico para fora de
uma superfície fechada que contenha cargas. A lei de Gauss quantifica essa idéia, estabelecendo uma conexão específica entre o “fluxo,” agora chamado de fluxo elétrico, e a
quantidade de carga.
Mas ela é útil? Embora em certo sentido a lei de Gauss seja uma sentença formal
sobre campos elétricos, e não, uma ferramenta para resolver problemas práticos, há exceções: a lei de Gauss nos permitirá determinar os campos elétricos criados por distribuições de cargas muito importantes e de grande utilidade prática de uma forma muito
mais fácil do que se dependêssemos apenas da lei de Coulomb. Consideraremos alguns
exemplos na próxima seção.
PARE E PENSE 28.4 As figuras abaixo mostram secções transversais bidimensionais de esferas fechadas
e de um cubo tridimensionais. Ordene em seqüência decrescente os fluxos elétricos de a até e
através das superfícies de a até e.
28.5 Usando a lei de Gauss
Nesta seção, usaremos a lei de Gauss para determinar campos elétricos criados por diversas distribuições de cargas importantes. Algumas delas você já conhece do Capítulo
27; outras, serão novas. Três observações importantes podem ser feitas sobre a utilização
da lei de Gauss:
1. A lei de Gauss aplica-se apenas a superfícies fechadas, chamadas de superfícies
gaussianas.
2. Uma superfície gaussiana não é uma superfície material. Ela não necessita coincidir com os limites de qualquer objeto físico (embora possa, se o desejarmos).
Trata-se de uma superfície matemática, imaginária, no espaço, que envolve inteiramente uma ou mais cargas.
3. Não podemos determinar o campo elétrico apenas a partir da lei de Gauss. Precisamos aplicar a lei de Gauss a situações onde, a partir da simetria e da superposição, podemos de imediato inferir a configuração do campo.
Essas observações e nossa discussão anterior a respeito de simetrias e do fluxo levam
à seguinte estratégia para resolver problemas sobre campo elétrico usando a lei de
Gauss.
■
Lei de Gauss
865
866
Física: Uma Abordagem Estratégica
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 28.1
A lei de Gauss
MODELO Considere a distribuição de carga como uma distribuição que possui uma
simetria.
VISUALIZAÇÃO Faça um esboço da distribuição de carga.
■ Determine a simetria do campo elétrico criado por ela.
■ Escolha e desenhe uma superfície gaussiana que possua a mesma simetria da
distribuição de carga.
■ Não é necessário envolver todas as cargas pela superfície gaussiana.
■ Certifique-se de que cada parte da superfície gaussiana é tangente ou perpendi-
cular ao campo elétrico.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada na lei de Gauss
Use os Boxes Táticos 28.1 e 28.2 para efetuar a integral de superfície.
AVALIAÇÃO Observe se seu resultado está expresso na unidade correta, se é plausível
e se responde à questão.
EXEMPLO 28.3 Fora de uma esfera carregada
No Capítulo 27, afirmamos, sem provas, que o campo elétrico fora de
uma esfera carregada total Q é igual ao campo criado por uma carga
puntiforme Q posicionada no centro da esfera. Use a lei de Gauss
para provar esse resultado.
Pelo fato de essa superfície cercar toda a esfera carregada, a carga
encerrada por ela é, simplesmente, Qint Q.
RESOLUÇÃO A lei de Gauss é
MODELO A distribuição de carga dentro da esfera não precisa ser uni-
forme (i.e., a densidade de carga pode aumentar ou diminuir com r),
mas, para que possamos usar a lei de Gauss, a distribuição deve possuir simetria esférica. Consideraremos que isso seja verdadeiro.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.23 mostra uma esfera com carga Q e raio
R. Desejamos determinar fora dessa esfera, para distâncias r R.
A simetria esférica da distribuição de carga significa que o campo elétrico deve apontar radialmente para fora da esfera. Embora a lei de
Gauss seja válida para qualquer superfície que envolva inteiramente a
esfera carregada, ela será útil somente se escolhermos uma superfície
gaussiana cuja simetria coincida com a simetria esférica da distribuição de carga e do campo. Assim, uma superfície esférica de raio r R
e concêntrica com a esfera carregada será nossa superfície gaussiana.
Para calcular o fluxo, note que o campo elétrico é perpendicular a
qualquer parte da superfície esférica. Embora não conheçamos o módulo do campo elétrico E, a simetria esférica impõe que ele deve ter
o mesmo valor em todos os pontos eqüidistantes do centro da esfera.
Assim, obtemos o resultado simples de que o fluxo resultante através
de uma superfície gaussiana é
onde usamos o fato de que a área superficial de uma esfera é Aesfera
2
4␲ r . Com esse resultado para o fluxo, a lei de Gauss assume a
forma
Superfície
gaussiana
E é perpendicular
à superfície em
qualquer lugar da
mesma.
Portanto, o campo elétrico à distância r fora de uma esfera carregada
é
Ou, em forma vetorial, fazendo uso do fato de que
mente para fora,
aponta radial-
Esfera com
carga total Q
onde é o vetor unitário da direção radial.
FIGURA 28.23 Uma superfície esférica gaussiana envolve
inteiramente uma esfera carregada.
AVALIAÇÃO O campo é exatamente aquele criado por uma carga punti-
forme Q, o que queríamos demonstrar.
CAPÍTULO 28
■
Lei de Gauss
867
A derivação do campo elétrico criado por uma esfera carregada depende crucialmente de uma escolha adequada da superfície gaussiana a ser usada. Não teríamos
sido capazes de calcular a integral de fluxo de uma forma tão simples para qualquer
outra superfície gaussiana escolhida. De nada adiantaria se o resultado do Exemplo
28.3 pudesse também ser provado pela superposição dos campos de cargas puntiformes se isto exigisse uma integral tridimensional complicada e um extenso cálculo.
Obtivemos a resposta usando a lei de Gauss em somente algumas poucas linhas.
Onde a lei de Gauss funciona, ela funciona extremamente bem! Entretanto, ela serve
para calcular o campo apenas em situações como essa, onde existe um alto grau de
simetria.
EXEMPLO 28.4 Dentro de uma esfera carregada
A carga encerrada em uma esfera de raio r é, portanto,
Qual é o campo elétrico dentro de uma esfera uniformemente carregada?
MODELO Não consideramos ainda uma situação como essa. Para começar, não sabemos se a intensidade do campo aumenta ou diminui
à medida que nos movemos para longe do centro da esfera. Mas o
campo interno deve ter simetria esférica também, ou seja, o campo
deve apontar radialmente para dentro ou para fora e sua intensidade
deve depender apenas de r. Esta informação é suficiente para solucionar o problema porque nos permite escolher uma superfície gaussiana
adequada.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.24 mostra uma superfície esférica gaus-
siana com raio r R, interior e concêntrica à esfera carregada. Essa
superfície se ajusta à simetria da distribuição de cargas, e, neste caso,
é perpendicular a esta superfície e a intensidade do campo E tem o
mesmo valor em todos os pontos da mesma.
Superfície gaussiana
interna à esfera
carregada
Esfera com
carga total Q
A quantidade de carga encerrada aumenta com o cubo da distância r
até o centro e, como deve ser, Qint Q se r R. Com essa expressão
para Qint, a lei de Gauss torna-se
Portanto o campo elétrico interno a uma distância radial r do centro
de uma esfera uniformemente carregada é
A intensidade do campo elétrico interno criado pela esfera cresce linearmente com a distância r a partir do centro.
AVALIAÇÃO O campo interno e o campo externo a uma esfera carrega-
da coincidem na superfície da esfera, r R, onde ambos os resultados fornecem
. Em outras palavras, a intensidade de
campo é contínua através da superfície da esfera. Esses resultados são
ilustrados graficamente na FIGURA 28.25.
FIGURA 28.24 Uma superfície esférica gaussiana interna a uma
esfera carregada uniformemente.
RESOLUÇÃO A integral de fluxo é idêntica àquela do Exemplo 28.3:
Conseqüentemente, a lei de Gauss assume a forma
O campo interno da esfera
aumenta linearmente com a
distância ao centro.
O campo externo da
esfera diminui com 1/r2.
A diferença entre este exemplo e o Exemplo 28.3 é que, agora, Qint
não é a carga total da esfera. Em vez disso, Qint é a quantidade de carga líquida dentro da esfera gaussiana de raio r. Como a distribuição
de carga é uniforme, sua densidade volumétrica de carga é
FIGURA 28.25 A intensidade do campo elétrico criado por uma
esfera uniformemente carregada de raio R.
868
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 28.5 O campo elétrico de um fio longo e
carregado
No Capítulo 27, usamos o princípio da superposição para determinar
o campo elétrico criado por uma linha de carga infinitamente longa
com uma densidade linear de carga ␭ (C/m). Não se tratou de uma
derivação fácil. Obtenha agora o mesmo campo elétrico usando a lei
de Gauss.
MODELO Um fio longo e carregado pode ser considerado como uma
linha de carga infinitamente longa.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.26 mostra uma linha de carga infinitamente longa. Podemos usar a simetria da distribuição para chegar à conclusão de que a única configuração possível para o campo elétrico é
uma orientação que aponte diretamente para fora ou para dentro do
fio, como as cerdas de uma escova de cabelo cilíndrica. A forma do
campo sugere que devemos escolher nossa superfície gaussiana como
um cilindro de raio r e comprimento L, centrado sobre o fio. Como
a lei de Gauss se refere a superfícies fechadas, devemos conceber o
cilindro como dotado de “tampas” nas extremidades, que devem ser
consideradas como parte da superfície gaussiana.
O campo é tangente à
superfície nas extremidades
L
da superfície gaussiana.
O fluxo ali é nulo.
E
Superfície
gaussiana
onde Qint é a carga líquida dentro do cilindro fechado. Temos duas tarefas aqui: calcular a integral do fluxo e determinar que quantidade de
carga líquida encontra-se dentro da superfície fechada. O fio possui
uma densidade linear de carga ␭; assim, a quantidade de carga dentro
de um cilindro de comprimento L é, simplesmente,
Determinar o fluxo resultante, agora, é fácil. Podemos dividir o fluxo através de toda a superfície fechada no fluxo através das extremidades e no fluxo através da lateral do cilindro. O campo elétrico
aponta radialmente para fora do fio e é tangente às extremidades da
superfície gaussiana em cada um de seus pontos. Portanto, o fluxo
através dessas duas superfícies é nulo. Na lateral, é perpendicular à superfície e tem a mesma intensidade E em qualquer ponto da
mesma. Assim,
e tampa frontal tampa posterior lateral 0 0 EAcil 2␲rLE
para a superfície lateral de um cionde usamos a relação
lindro de raio r e comprimento L. Mais uma vez, a escolha apropriada
da superfície gaussiana reduziu a integral de fluxo à mera determinação da área de uma superfície regular. Com essas expressões para Qint
e e, a lei de Gauss torna-se
E
dA
Portanto, o campo elétrico a uma distância r de um fio longo e carregado é
dA
dA
E
O campo é perpendicular à superfície
lateral do cilindro gaussiano.
FIGURA 28.26 Uma superfície gaussiana envolve um fio carregado.
RESOLUÇÃO A lei de Gauss é
AVALIAÇÃO Esta expressão está em inteira concordância com o re-
sultado obtido por meio da derivação mais complexa feita no Capítulo 27. Note que o resultado não depende da escolha de L. Toda
superfície gaussiana é um dispositivo imaginário, e não, um objeto
material. Precisamos de um cilindro de comprimento finito a fim
de efetuar o cálculo do fluxo, todavia o campo elétrico criado por
um fio infinitamente longo não pode depender de um cilindro imaginário.
O Exemplo 28.5 para o campo elétrico criado por um fio longo e carregado contém
uma sutil, mas importante idéia, que sempre surge quando se usa a lei de Gauss. O
cilindro gaussiano de comprimento L encerra tão somente uma parte da carga do fio.
As partes do fio carregado que estão fora do cilindro não estão encerradas por uma
superfície gaussiana e, conseqüentemente, não dão qualquer contribuição para o fluxo
resultante. Mesmo assim, elas são essenciais na utilização da lei de Gauss porque é a
carga inteira do fio que é capaz de criar um campo elétrico com simetria cilíndrica. Em
outras palavras, o fio fora do cilindro pode não contribuir para o fluxo, mas ele afeta a
configuração que o campo elétrico deve ter. A possibilidade de escrevermos e EAcil
depende do conhecimento que temos de que E é de mesmo valor em todos os pontos
da lateral do cilindro. Isso não seria verdadeiro para um fio carregado de comprimento
finito, portanto não podemos utilizar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico de
um fio finito carregado.
CAPÍTULO 28
EXEMPLO 28.6 O campo elétrico criado por um plano de
carga
Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico criado por um
2
plano de carga infinito, com uma densidade de carga (em C/m ) ␩.
MODELO Um eletrodo plano carregado uniformemente pode ser consi-
derado como um plano carregado de extensão infinita.
■
Lei de Gauss
869
RESOLUÇÃO O campo elétrico é perpendicular às tampas do cilindro,
portanto o fluxo total através das mesmas é faces 2EA. (Os fluxos
se adicionam, ao invés de se cancelarem, porque a área do vetor
aponta para fora de cada face.) Não há fluxo através da lateral do
cilindro porque os vetores são tangentes à superfície lateral. Portanto,
o fluxo resultante é, simplesmente,
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 28.27 mostra um plano uniformemente carre-
gado, sendo ␩ a densidade uniforme de carga. Consideraremos que o
plano seja infinitamente longo em todas as direções, embora, obviamente, tenhamos extremidades no desenho. A simetria planar permite
apenas que o campo elétrico aponte perpendicularmente para fora das
duas faces do plano. Tendo isto em mente, escolhemos uma superfície
gaussiana que é um cilindro de comprimento L e área transversal A
cortado ao meio pelo plano de carga. Embora o tenhamos desenhado
como circular, a forma das faces, de fato, não é relevante.
A carga dentro do cilindro é igual à carga contida na área A do plano,
ou seja,
Com estas expressões para Qint e e, a lei de Gauss assume a forma
Assim, o campo elétrico criado por um plano infinitamente carregado é
Plano infinito carregado
Superfície gaussiana
Isto concorda com o resultado obtido no Capítulo 27.
AVALIAÇÃO Este é outro exemplo de uma superfície gaussiana que en-
Área A
cerra somente uma parte da carga total. A maior parte da carga do
plano está fora da superfície gaussiana e não contribui para o fluxo,
mas determina a configuração do campo. Não teríamos simetria planar, com o campo elétrico exatamente perpendicular ao plano, sem o
restante das cargas do mesmo.
FIGURA 28.27 A superfície gaussiana se estende para ambos os
lados do plano de carga.
O plano de carga é um excelente exemplo de quão poderosa pode ser a lei de Gauss. A
determinação do campo elétrico criado por um plano infinito de carga através do princípio
da superposição foi uma tarefa difícil e tediosa. Com a lei de Gauss, uma vez que você sabe
como aplicá-la, o problema é tão simples que você consegue até resolvê-lo de cabeça!
Talvez você deseje saber por que, afinal, nós nos importamos com o emprego do
princípio da superposição. A razão é que a lei de Gauss, embora possa ser poderosa, é
efetivamente útil para o cálculo do campo apenas em um número limitado de situações
em que o campo é altamente simétrico. Já o princípio da superposição funciona sempre,
mesmo que as integrações envolvidas sejam complicadas, pois a superposição baseia-se
diretamente nos campos criados individualmente por cargas puntiformes. É bom usar
a lei de Gauss sempre que possível, mas a superposição geralmente é a única forma de
abordar distribuições de carga reais.
PARE E PENSE 28.5 Qual superfície gaussiana permite que se use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico fora de um cubo uniformemente carregado?
a. Uma esfera cujo centro coincide com o centro do cubo carregado.
b. Um cubo cujo centro coincide com o centro do cubo carregado e que tem faces paralelas.
c. Tanto a quanto b.
d. Nem a nem b.
870
Física: Uma Abordagem Estratégica
28.6 Condutores em equilíbrio eletrostático
O campo elétrico é nulo no
interior do condutor.
Considere um condutor carregado, tal como um eletrodo de metal carregado, em equilíbrio eletrostático, ou seja, não existem correntes através do condutor e as cargas estão,
todas, em repouso. No Capítulo 26, você aprendeu que o campo elétrico é nulo em todos os pontos no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, isto é,
Se isto não fosse verdadeiro, o campo elétrico faria com que as cargas se movimentassem, o que violaria a hipótese inicial de que todas as cargas estejam em repouso. Vamos
empregar a lei de Gauss para ver o que mais podemos aprender.
O fluxo através da superfície gaussiana
é nulo. Não há carga líquida no interior
do condutor. Portanto, todo o excesso de
carga está na superfície.
FIGURA 28.28 Superfície gaussiana próxima
à superfície interna de um condutor que se
encontra em equilíbrio eletrostático.
O campo elétrico na superfície
é perpendicular à mesma.
Carga na superfície
FIGURA 28.29 Campo elétrico na superfície
de um condutor carregado.
Densidade de carga
superficial
O campo elétrico é
perpendicular à
superfície.
Na superfície de um condutor
A FIGURA 28.28 mostra uma superfície gaussiana interna e levemente deslocada em relação à superfície física de um condutor em equilíbrio eletrostático. O campo elétrico é
nulo em todos os pontos internos ao condutor, de modo que o fluxo elétrico e através
dessa superfície gaussiana deve ser nulo. Porém se e 0, a lei de Gauss nos garante
que Qint 0. Isto é, não há uma carga líquida dentro da superfície. Há cargas lá – elétrons e íons positivos –, mas não há uma carga líquida.
Se não há carga líquida no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, então
todo o excesso de carga de um condutor carregado se encontra sobre a sua superfície externa. Qualquer carga que seja adicionada ao condutor rapidamente se espalhará
por toda a superfície até atingir uma configuração de equilíbrio eletrostático, mas não
haverá carga líquida dentro do condutor.
Pode não haver campo elétrico dentro de um condutor carregado, todavia a presença de carga líquida requer a existência de um campo elétrico no espaço externo ao
condutor. A FIGURA 28.29 mostra que o campo elétrico logo acima da superfície do
condutor deve ser perpendicular à superfície em cada ponto. Para verificar que
isso é verdade, suponha que sup possuísse um componente tangente à superfície. Tal
componente de sup exerceria, então, uma força sobre as cargas da superfície, o que
daria origem a uma corrente superficial, contradizendo, portanto, a suposição de que
todas as cargas estejam em repouso. O único campo exterior consistente com o equilíbrio eletrostático é um que seja perpendicular à superfície.
Podemos usar a lei de Gauss para relacionar a intensidade do campo na superfície à
densidade de carga sobre a mesma. A FIGURA 28.30 mostra um pequeno cilindro gaussiano perpendicular com as tampas igualmente afastadas da superfície do condutor carregado, uma dentro e outra fora do mesmo. A carga dentro desse cilindro Gaussiano é ␩A,
onde ␩ é a densidade superficial de carga neste ponto sobre o condutor. Há um fluxo AEsup através da face externa do cilindro; todavia, ao contrário do Exemplo 28.6 para
o plano infinito de carga, não há fluxo através da face interior porque
dentro do
condutor. Alem disso, não há fluxo através da lateral do cilindro porque sup é perpendicular à superfície do condutor. Portanto, o fluxo resultante é e AEsup. A lei de Gauss
é
(28.19)
de onde podemos concluir que o campo elétrico criado por um condutor carregado em
sua própria superfície é
Superfície
gaussiana
FIGURA 28.30 O fluxo não é nulo apenas
na tampa externa da superfície gaussiana
cilíndrica que atravessa a superfície do
condutor.
(28.20)
Em geral, a densidade superficial de carga ␩ não é constante sobre a superfície de um
condutor, mas varia de uma maneira complicada que depende da forma do condutor. Se
pudermos determinar ␩, ou pelo seu cálculo ou pela sua medida, então a Equação 28.20
nos informará o campo elétrico naquele ponto da superfície. Alternativamente, podemos
usar a Equação 28.20 para deduzir a densidade de carga naquele ponto da superfície do
condutor se conhecemos o campo elétrico na vizinhança externa do condutor.
CAPÍTULO 28
Cargas e campos internos a um condutor
A FIGURA 28.31 mostra um condutor carregado com uma cavidade dentro do mesmo. Pode
haver carga sobre a superfície interior da cavidade? Para descobrir, escolhemos uma superfície gaussiana que contorna toda a cavidade a uma distância infinitesimal da superfície da mesma, porém mantendo-se sempre dentro do condutor. O fluxo elétrico e através dessa superfície gaussiana é nulo porque o campo elétrico é nulo em qualquer ponto
dentro do condutor. Assim, concluímos que Qint 0. Não há carga líquida dentro dessa
superfície gaussiana e, portanto, não há carga também na superfície da cavidade. Qualquer excesso de carga do condutor deve residir na superfície externa do condutor, e não,
em qualquer superfície interior existente.
Além disso, devido ao fato de que não há campo elétrico dentro do condutor e de que
não há carga dentro da cavidade, o campo elétrico dentro da cavidade também deve ser
nulo. Esta conclusão tem uma aplicação prática importante. Por exemplo, suponha que
precisemos “blindar” de campos elétricos externos a região delimitada por linhas pontilhadas da FIGURA 28.32a. Podemos fazer isso cercando a região por uma caixa condutora
neutra, como mostrado na FIGURA 28.32b.
Capacitor de placas paralelas
Queremos excluir o
campo elétrico desta região.
■
Lei de Gauss
871
A cavidade
completamente fechada
O fluxo através da superfície gaussiana
é nulo. Não há carga líquida dentro da
superfície gaussiana, portanto não há
carga na superfície da cavidade.
FIGURA 28.31 Uma superfície gaussiana
envolve uma cavidade completamente
fechada dentro de um condutor em
equilíbrio eletrostático.
A caixa condutora foi polarizada e
tem cargas superficiais induzidas.
O campo elétrico é perpendicular a
todas as superfícies condutoras.
FIGURA 28.32 Uma região pode ser “blindada” de campos elétricos externos ao ser envolvida
por uma caixa condutora.
Com isso, esta região do espaço constitui, efetivamente, uma cavidade completamente fechada dentro do condutor, de modo que o campo elétrico interno é nulo. O
uso de uma caixa condutora para blindar de campos elétricos uma região do espaço
é chamado de blindagem. Paredes sólidas de metal são ideais, mas, na prática, são
usadas telas ou redes de arames – às vezes chamadas de gaiolas de Faraday – as
quais fornecem proteção suficiente para a maioria das aplicações de alta sensibilidade. O preço que pagamos é que o campo elétrico exterior torna-se, com isso, muito
complicado.
Finalmente, a FIGURA 28.33 mostra uma carga q dentro de uma cavidade no interior de
um condutor neutro. O campo elétrico dentro do condutor ainda é nulo, pois o fluxo
elétrico através da superfície gaussiana é nulo. Mas e 0 requer Qint 0. Conseqüentemente, a carga dentro da cavidade atrai uma carga igual e oposta, e uma carga q
agora circunda a superfície interna da cavidade.
O condutor, na sua totalidade, continua neutro, portanto mover q para a superfície
da cavidade deve deixar para trás q de carga em algum lugar. Onde? Não pode ser no
interior do condutor, conforme vimos, e isto nos deixa somente com a superfície exterior. Em essência, uma carga interna polariza o condutor da mesma forma que uma carga
externa. A carga líquida q se desloca para o interior do condutor, e a carga líquida q
é deixada para trás, sobre a superfície exterior.
Em resumo, os condutores em equilíbrio eletrostático possuem as propriedades descritas no Box Tático 28.3, a seguir.
O fluxo através da superfície gaussiana é nulo,
e, assim, não há carga líquida dentro dessa
superfície. Deve haver uma carga -q no lado
interno da superfície que contrabalance a carga
puntiforme q.
Condutor
neutro
Carga
puntiforme q
A superfície externa deve conter uma carga +q,
distribuída de forma que o condutor permaneça
neutro.
FIGURA 28.33 A carga dentro da cavidade
induz uma carga líquida na superfície
exterior e na superfície interior.
872
Física: Uma Abordagem Estratégica
BOX TÁTICO
28.3
Determinação do campo elétrico criado por um
condutor em equilíbrio eletrostático
O campo elétrico é nulo em todos os pontos internos do condutor.
Qualquer excesso de carga do condutor deve estar inteiramente na face externa
da superfície do condutor.
O campo elétrico externo na vizinhança da superfície do condutor carregado é
perpendicular a esta superfície e tem módulo igual a ␩/0, onde ␩ é a densidade
de carga superficial naquele ponto.
O campo elétrico é nulo no interior de qualquer cavidade dentro de um condutor, a menos que exista uma carga dentro da cavidade.
Exercícios 20–24
EXEMPLO 28.7 O campo elétrico na superfície de uma
esfera metálica carregada
Da Equação 28.20, sabemos que o campo elétrico na superfície tem
a intensidade
Uma esfera de bronze com 2 cm de diâmetro foi eletrizada com uma
carga de 2,0 nC. Qual é a intensidade do campo elétrico na superfície
da esfera?
MODELO O bronze é um condutor. O excesso de carga se deposita so-
bre a superfície.
VISUALIZAÇÃO A distribuição de carga possui simetria esférica. O
campo elétrico aponta radialmente para fora da superfície.
Alternativamente, poderíamos ter usado o resultado, obtido no início
do capítulo, de que a intensidade do campo elétrico fora de uma esfe2
ra carregada Q é Eext Qint/(4␲0r ). Todavia Qint q e, na superfície,
r R. Portanto
RESOLUÇÃO Podemos resolver esse problema de duas maneiras. Uma
emprega o fato de que a esfera é a forma para a qual qualquer excesso
de carga se espalhará igualmente sobre a superfície, dando origem a
uma densidade de carga superficial uniforme. Portanto,
Como podemos ver, os dois métodos levam ao mesmo resultado.
■
CAPÍTULO 28
Lei de Gauss
873
RESUMO
O objetivo do Capítulo 28 foi compreender e aplicar a lei de Gauss.
Princípios gerais
Lei de Gauss
Simetria
Para qualquer superfície fechada que encerre uma carga Qint, o fluxo elétrico resultante
através da superfície é
A simetria do campo elétrico deve corresponder à simetria da distribuição de carga.
Na prática, e é computável apenas quando a simetria da superfície gaussiana
corresponde à simetria da distribuição de
carga.
O fluxo elétrico e é o mesmo para qualquer superfície fechada que encerre uma carga
Qint.
Conceitos importantes
A carga cria o campo elétrico que é responsável pelo
fluxo elétrico.
Qin é a soma algébrica de todas as
cargas encerradas pela superfície
gaussiana. Esta é a carga líquida que
contribui para o fluxo.
Superfície gaussiana
O fluxo é a quantidade de campo elétrico
que atravessa uma superfície de área A:
onde
As cargas externas à superfície
contribuem para o campo elétrico,
mas não, para o fluxo.
As integrais de superfície fornecem o fluxo por meio do somatório dos fluxos parciais através de várias pequenas áreas da superfície:
é o vetor área.
Para superfícies fechadas:
Um fluxo resultante de fora
para dentro ou de dentro para
fora indica que a superfície encerra uma carga líquida. Linhas
de campo que atravessam uma
superfície, mas sem produzir
fluxo resultante através da
mesma indicam que a superfície não encerra carga líquida.
Duas situações importantes:
Se o campo elétrico é tangente à superfície
em qualquer ponto da mesma, então
Se o campo elétrico é perpendicular à superfície em qualquer ponto da mesma e apresenta a mesma intensidade E em cada um de
seus pontos, então
Aplicações
Condutores em equilíbrio eletrostático
• O campo elétrico é nulo em todos os pontos internos ao condutor.
• Qualquer excesso de carga do condutor se distribui inteiramente sobre a superfície exterior.
• O campo elétrico externo é perpendicular à superfície do condutor e tem módulo igual a ␩/0, onde ␩ é a
densidade de carga da superfície.
• O campo elétrico é nulo dentro de qualquer cavidade fechada no interior de um condutor, a menos que exista
uma carga líquida dentro da cavidade.
Termos e notação
simétrico
superfície gaussiana
fluxo elétrico, e
vetor área,
integral de superfície
lei de Gauss
blindagem
874
Física: Uma Abordagem Estratégica
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Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. Suponha que você disponha do cubo carregado
uniformemente da FIGURA Q28.1. Usando apenas a simetria, você pode deduzir a forma do
campo elétrico criado pelo cubo? Em caso afirmativo, desenhe e descreva a forma do campo.
FIGURA Q28.1
Em caso negativo, por que não?
2. A FIGURA Q28.2 mostra as secções transversais de três superfícies
fechadas tridimensionais. Cada qual possui uma superfície plana
acima e outra abaixo do plano da página. Entretanto, em qualquer
lugar, o campo elétrico é paralelo à página; assim, não há fluxo
através da parte superior ou da parte inferior à página. Sobre cada
face lateral da superfície, o campo elétrico é uniforme. Para cada
um dos itens abaixo, decida se a superfície encerra uma carga líquida positiva, uma carga líquida negativa ou se não existe uma carga
líquida dentro dela. Explique.
4. Na FIGURA Q28.4, ⌽1 é maior, menor ou igual a ⌽2? Explique.
5. Quanto vale o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies da
FIGURA Q28.5? Expresse cada resposta como um múltiplo de q/⑀0.
FIGURA Q28.5
6. Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies mostradas na FIGURA Q28.6? Expresse cada resposta como um múltiplo de
q/⑀0.
FIGURA Q28.2
3. O quadrado e o círculo da FIGURA Q28.3 estão em presença de um
mesmo campo uniforme. O diâmetro do círculo é igual ao comprimento do lado do quadrado. Decida se ⌽quadrado é maior, menor ou
igual a ⌽círculo. Explique.
FIGURA Q28.3
FIGURA Q28.4
FIGURA Q28.6
7. O balão carregado da FIGURA Q28.7
se expande à medida que é soprado,
aumentando de tamanho desde um
diâmetro inicial até um diâmetro
final. A intensidade do campo elétrico nos pontos 1, 2 e 3 aumenta,
diminui ou mantém-se constante?
Explique o seu raciocínio para cada
ponto.
FIGURA Q28.7
CAPÍTULO 28
8. As duas esferas da FIGURA Q28.8 encerram cargas iguais. Três estudantes discutem a situação.
Estudante 1: Os fluxos através das esferas A e B são iguais, pois
elas encerram cargas iguais.
Estudante 2: Mas o campo elétrico sobre a esfera B é mais fraco
do que o campo elétrico sobre a esfera A. O fluxo depende da intensidade do campo, de modo que o fluxo através de A é maior do
que através de B.
Estudante 3: Eu acho que aprendemos que o fluxo é calculado sobre uma área superficial. A esfera B é maior do que a esfera A, então eu acho que o fluxo através de B é maior do que através de A.
Com qual dos estudantes você concorda? Explique.
■
Lei de Gauss
875
Com qual dos estudantes você concorda? Explique.
FIGURA Q28.9
10. Uma pequena esfera de metal está pendurada por uma linha isolante dentro de uma esfera condutora grande e oca, como na FIGURA
Q28.10. Um fio condutor estendido atravessa a pequena esfera e o
pequeno orifício na esfera oca, porém sem tocá-la. Um bastão carregado é usado para transferir carga positiva para o segmento do fio
que está fora da esfera oca. Após o bastão carregado ter tocado o fio
e ter sido removido, as seguintes superfícies carregadas estarão com
carga positiva, carga negativa ou descarregadas? Explique.
a. A pequena esfera.
b. A superfície interna da esfera oca.
c. A superfície externa da esfera oca.
FIGURA Q28.8
9. A esfera e o elipsóide da FIGURA Q28.9 encerram cargas iguais.
Quatro estudantes estão discutindo a situação.
Estudante 1: Os fluxos através de A e B são iguais, pois o raio
médio é o mesmo.
Estudante 2: Eu concordo que os fluxos são iguais, mas isso se
deve ao fato de que eles encerram cargas iguais.
Estudante 3: O campo elétrico não é perpendicular à superfície de
B, e isto faz com que o fluxo através dessa superfície seja menor do
que o fluxo através de A.
Estudante 4: Eu acho que a lei de Gauss não se aplica a uma situação como B, assim não podemos comparar os fluxos através de
A e de B.
Fio
FIGURA Q28.10
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 28.1 Simetria
1. | A FIGURA EX28.1 mostra as secções transversais de dois cilindros
coaxiais infinitamente longos. O cilindro interno possui uma carga
positiva, e o cilindro externo, uma carga negativa de mesmo valor
absoluto. Desenhe esta figura sobre seu papel e depois desenhe sobre ela vetores do campo elétrico que mostrem qual é a forma do
campo elétrico criado.
Vista lateral
2. | A FIGURA EX28.2 mostra as secções transversais de duas esferas concêntricas. A esfera interna possui uma carga negativa. A
esfera exterior possui uma carga positiva de
maior valor absoluto do que o da esfera interior. Desenhe essa figura sobre seu papel
e depois, sobre ela, desenhe os vetores do
FIGURA EX28.2
campo elétrico de modo a esboçar a forma
do campo elétrico.
3. | A FIGURA EX28.3 mostra as secções transversais de dois planos
infinitos carregados e paralelos. Desenhe a figura sobre um pedaço
de papel e, depois, desenhe sobre ela os vetores do campo elétrico
de modo a esboçar a forma do campo elétrico.
Vista transversal
FIGURA EX28.1
FIGURA EX28.3
876
Física: Uma Abordagem Estratégica
Seção 28.2 O conceito de fluxo
Seção 28.3 Calculando o fluxo elétrico
4. | O campo elétrico é constante sobre cada face do cubo mostrado
na FIGURA EX28.4. A caixa contém uma carga positiva, uma carga
negativa ou não contém uma carga líquida? Explique.
9. || Qual é o fluxo elétrico através da superfície mostrada na FIGURA
EX28.9?
Intensidades de
campo em N/C
Intensidades de
campo em N/C
FIGURA EX28.4
FIGURA EX28.9
FIGURA EX28.10
10. || Qual é o fluxo elétrico através da superfície mostrada na FIGURA
EX28.10?
11. || O fluxo elétrico através da superfície mostrada na FIGURA EX28.11
é de 25 Nm2/C. Qual é a intensidade do campo elétrico?
FIGURA EX28.5
5. | O campo elétrico é constante sobre cada face do cubo mostrado
na FIGURA EX28.5. A caixa contém uma carga positiva, uma carga
negativa ou não contém uma carga líquida? Explique.
6. | O cubo da FIGURA EX28.6 contém uma carga negativa. O campo
elétrico é constante em cada face do cubo. O vetor campo elétrico
não-desenhado na face em primeiro plano aponta para dentro ou para
fora do cubo? Qual é a intensidade mínima possível desse vetor?
FIGURA EX28.11
Intensidades de
campo em N/C
Intensidades de
campo em N/C
FIGURA EX28.6
FIGURA EX28.7
7. | O cubo da FIGURA EX28.7 contém uma carga positiva. O campo
elétrico é constante em cada face do cubo. O vetor campo elétrico
não-desenhado na face em primeiro plano aponta para dentro ou
para fora do cubo? Qual é a intensidade mínima possível desse vetor?
8. | O cubo da FIGURA EX28.8 não contém carga líquida. O campo elétrico é constante em cada face do cubo. O vetor campo elétrico nãodesenhado na face em primeiro plano aponta para dentro ou para
fora do cubo? Qual é a intensidade do campo ali?
12. | Um retângulo de 2,0 cm 3,0 cm situa-se no plano xy. Qual será
o valor do fluxo elétrico através do retângulo se
a.
b.
13. | Um retângulo de 2,0 cm 3,0 cm situa-se no plano xz. Qual será
o valor do fluxo elétrico através do retângulo se
a.
b.
14. || Um círculo de 3,0 cm de diâmetro situa-se no plano xy, em uma região onde o campo elétrico é
.
Qual é o fluxo elétrico através do círculo?
15. || Uma caixa de 1,0 cm 1,0 cm 1,0 cm está posicionada entre
as placas de um capacitor de placas paralelas, com duas de suas faces perpendiculares a . A intensidade de campo elétrico é de 1000
N/C. Qual é o fluxo elétrico resultante através da caixa?
16. | Qual é o fluxo elétrico resultante através dos dois cilindros mostrados na FIGURA EX28.16? Expresse sua resposta em função de R e E.
FIGURA EX28.16
Intensidades de
campo em N/C
FIGURA EX28.8
CAPÍTULO 28
Seção 28.4 Lei de Gauss
Seção 28.5 Usando a lei de Gauss
17 | A FIGURA EX28.17 mostra três cargas. Faça desenhos dessas cargas sobre uma folha de papel. Em seguida, desenhe uma secção
transversal bidimensional de uma superfície fechada tridimensional
através da qual o fluxo elétrico seja igual a (a) 2q/0, (b) 3q/0, (c)
zero e (d) q/0.
FIGURA EX28.17
FIGURA EX28.18
18. | A FIGURA EX28.18 mostra três cargas. Faça desenhos das cargas sobre uma folha de papel. Em seguida, desenhe uma secção transversal bidimensional de uma superfície fechada tridimensional através
da qual o fluxo elétrico seja igual a (a) q/0, (b) q/0, (c) 3q/0 e (d)
4q/0.
19. | A FIGURA EX28.19 mostra três superfícies gaussianas e o fluxo elétrico através de cada uma. Quais são os valores das três cargas q1, q2
e q3?
■
Lei de Gauss
877
25. | Ocorrerá uma faísca na ponta de uma agulha de metal se a intensidade do campo elétrico exceder 3,0 106 N/C, o valor da intensidade de campo para a qual o isolamento do ar é rompido. Qual é
a mínima densidade superficial de carga capaz de produzir uma
faísca?
26. | A caixa condutora da FIGURA EX28.26
recebeu um excesso de carga negativa.
A densidade superficial do excesso
de elétrons no centro da face superior
da caixa é de 5,0 1010 elétrons/m2.
FIGURA EX28.26
Quais são as intensidades de campo
elétrico E1, E2 e E3 nos pontos 1, 2 e 3 indicados?
27. | Uma placa fina e horizontal de cobre com 10 cm 10 cm é carregada com um excesso de 1,0 1010 elétrons. Se os elétrons adicionados se distribuírem uniformemente sobre a superfície, quais
serão a intensidade e a orientação do campo elétrico:
a. A 0,1 mm acima do centro da superfície superior da placa?
b. No centro de massa da placa?
c. A 0,1 mm abaixo do centro da superfície inferior da placa?
28. | A FIGURA EX28.28 mostra uma cavidade oca e fechada em um condutor
neutro. Dentro da cavidade existe uma
carga puntiforme Q. Qual é o fluxo
elétrico resultante através da superfície fechada que encerra o condutor na
figura?
Superfície
fechada
FIGURA EX28.28
Problemas
dentro)
FIGURA EX28.19
FIGURA EX28.20
29. || A FIGURA P28.29 mostra quatro faces de um cubo de 3,0 cm 3,0
cm 3,0 cm.
a. Quanto valem os fluxos de 1 até 4 através das faces de 1 a 4?
b. Qual é o fluxo total através dessas quatro faces?
Vista superior de um cubo de
,
,
,
20. || Qual é o fluxo elétrico resultante através do toróide (i.e., a superfície com a forma de um “pneu”) da FIGURA EX28.20?
21. || Qual é o fluxo elétrico resultante através do cilindro da FIGURA
EX28.21?
,
,
FIGURA EX28.21
dentro)
22. || O fluxo elétrico resultante através de uma superfície fechada é
1000 Nm2/C. Que quantidade de carga está encerrada pela superfície?
23. || Um excesso de 55,3 milhões de elétrons encontra-se dentro de
uma superfície fechada. Qual é o fluxo elétrico resultante através da
superfície?
Seção 28.6 Condutores em equilíbrio eletrostático
24. | A intensidade do campo elétrico exatamente acima de uma das
faces de uma moeda de cobre é de 2000 N/C. Qual é a densidade de
carga superficial nessa face da moeda?
FIGURA P28.29
FIGURA P28.30
30. || Determine os fluxos elétricos, de 1 a 5, através das superfícies
enumeradas de 1 a 5 na FIGURA P28.30.
31. || Um tetraedro tem como base um triângulo eqüilátero com 20 cm
de lado e três triângulos eqüiláteros como faces. A base é paralela
ao chão e um campo elétrico uniforme vertical, com intensidade de
200 N/C, atravessa o tetraedro de baixo para cima.
a. Quanto vale o fluxo elétrico através da base?
b. Quanto vale o fluxo elétrico através de cada uma das três faces?
32. || As cargas q1 4Q e q2 2Q estão localizadas em x a e
x a, respectivamente. Qual é o fluxo elétrico resultante através
de uma esfera de raio 2a centrada (a) na origem do sistema de coordenadas e (b) em x 2a?
878
Física: Uma Abordagem Estratégica
33. || Uma carga puntiforme de 10 nC localiza-se no centro de um cubo
com dimensões de 2,0 m 2,0 m 2,0 m. Quanto vale o fluxo
elétrico através da superfície superior do cubo?
34. || O fluxo elétrico através de cada face de um cubo de 2,0 m 2,0
2
m 2,0 m é de 100 Nm /C. Qual é o valor da carga total no interior
do cubo?
35. || Uma distribuição de carga esfericamente simétrica produz o campo elétrico
, onde r está em m.
a. Qual é a intensidade do campo elétrico em r 10 cm?
b. Quanto vale o fluxo elétrico através de uma superfície esférica
com diâmetro de 40 cm e concêntrica à distribuição de carga?
c. Que quantidade de carga existe dentro da superfície esférica de
40 cm de diâmetro?
36. || Uma distribuição de carga esfericamente simétrica produz o campo elétrico
, onde r está em m.
a. Qual é a intensidade de campo elétrico em r 10 cm?
b. Quanto vale o fluxo elétrico através de uma superfície esférica
com diâmetro de 20 cm e concêntrica à distribuição de carga?
c. Que quantidade de carga existe dentro da superfície esférica de
20 cm de diâmetro?
37. || Um condutor inicialmente neutro possui uma cavidade oca na
qual existe uma carga puntiforme de 100 nC. Um bastão carregado cede 50 nC para o condutor. Em seguida, qual é a quantidade
de carga distribuída (a) sobre a parede interior da cavidade e (b)
sobre a superfície exterior do condutor?
38. | Uma bola com 20 cm de raio é uniformemente carregada com 80
nC.
3
a. Qual é a densidade volumétrica de carga (em C/m )?
b. Que quantidade carga é encerrada por esferas de raios 5, 10 e 20
cm e concêntricas à bola?
c. Qual é a intensidade de campo elétrico em pontos a 5, 10 e 20 cm
do centro?
39. || Uma esfera oca de metal tem raio interno a e raio externo b. Ela
contém 2Q de carga. Uma carga puntiforme Q está posicionada
no centro da esfera oca.
a. Determine o campo elétrico nas três regiões r a, a r b e r
b.
b. Que quantidade de carga está distribuída na superfície interior da
esfera oca? E sobre sua superfície exterior?
40. || A FIGURA P28.40 mostra uma esfera metálica e maciça posicionada no centro de uma esfera metálica oca. Qual é a carga total
distribuída (a) na superfície externa da esfera oca, (b) na superfície
interna da esfera oca e (c) na superfície da esfera oca?
Esferas
condutoras
.
.
interior da caixa depois de a mesma, com sua carga fixada, ter sido
removida do capacitor.
Dica: Use o princípio da superposição.
43. || Uma esfera metálica oca tem raio interior de 6 cm e raio exterior
de 10 cm. A densidade superficial de carga na superfície interior é
de 100 nC/m2. A densidade superficial de carga na superfície exterior é de 100 nC/m2. Qual é a intensidade e qual é a orientação
do campo elétrico em pontos situados a 4, 8 e 12 cm do centro?
44. || Uma carga puntiforme positiva q situa-se no centro de uma casca
esférica oca. A casca, com raio R e espessura desprezível, possui
uma carga líquida igual a 2q. Obtenha uma expressão para a intensidade de campo elétrico (a) no interior da esfera, para r R,
e (b) no exterior da mesma, para r R. Qual será a orientação do
campo elétrico em cada caso?
45. || Obtenha o campo elétrico interno e externo de uma bola de plástico com raio R e carga Q uniformemente distribuída sobre sua superfície.
46. || Uma bola uniformemente carregada, de raio a e com uma carga
–Q encontra-se no centro de uma casca metálica oca, com raio interno b e raio externo c. A esfera oca possui uma carga líquida 2Q.
a. Determine a intensidade de campo elétrico nas quatro regiões r
a, a r b, b r c e r c.
b. Desenhe o gráfico de E versus r desde r 0 até r 2c.
47. | Os três planos de carga paralelos mostrados na FIGURA P28.47
possuem, respectivamente, densidades superficiais de carga
1/2␩, ␩ e 1/2␩. Determine os campos elétricos de a nas
regiões de 1 a 4.
FIGURA P28.47
48. || Uma placa infinita, carregada e de espessura 2z0, é posicionada
paralelamente ao plano xy, entre z z0 e z z0. Sua densidade
volumétrica de carga ␳ (em C/m3) é uma constante.
a. Use a lei de Gauss para obter uma expressão para a intensidade
de campo elétrico no interior da placa (z0 z z0).
b. Obtenha uma expressão para a intensidade de campo elétrico acima da placa (z z0).
c. Desenhe o gráfico de E desde z 0 até z 3z0.
49. || A FIGURA P28.49 representa a vista lateral de um condutor infinitamente longo situado a uma distância vertical d de um plano de
carga paralelo, também infinitamente grande e com uma densidade
de carga superficial ␩. Quais são os campos elétricos nas
regiões de 1 a 4?
Condutor
FIGURA 28.49 Densidade de carga superficial
FIGURA P28.40
41. || A Terra cria um campo elétrico vertical à sua superfície, orientado
para baixo e com uma intensidade média de 100 N/C. Este campo é
gerado através de vários processos atmosféricos, incluindo os raios.
Qual é o excesso de carga sobre a superfície da Terra?
42. || A Figura 28.32b mostrou uma caixa condutora posicionada dentro
de um capacitor de placas paralelas. O campo elétrico no interior da
caixa é
. Suponha que a carga superficial da caixa pudesse
ser fixada. Faça um desenho da configuração do campo elétrico no
50. || A FIGURA P28.50 representa a vista lateral de duas enormes placas
de metal que são paralelas entre si e separadas por uma distância l.
Cada placa tem uma área superficial A (área do topo área da base).
A espessura da placa é muito pequena em comparação com suas dimensões laterais, de modo que a área total dos lados é desprezível. O
metal 1 possui carga total Q1 Q, e o metal 2, uma carga total Q2 2Q. Considere que Q seja positiva. Em função de Q e A, determine
a. As intensidades de campo elétrico E1 – E5 nas regiões enumeradas de 1 a 5.
CAPÍTULO 28
b. As densidades de carga superficial ␩a – ␩d nas quatro superfícies
de a a d.
FIGURA P28.50
51. || Um fio reto, longo e fino, com densidade linear de carga ␭, passa
pelo centro de um cilindro metálico fino e oco, de raio R. O cilindro
possui uma densidade de carga linear líquida igual a 2␭. Considere
que ␭ seja positiva. Obtenha expressões para a intensidade de campo elétrico (a) dentro do cilindro, r R, e (b) fora do cilindro, r
R. Qual é a orientação do campo elétrico em cada um dos casos?
52. || Um cilindro carregado muito longo, de raio R, possui uma densidade linear de carga ␭. Determine o campo elétrico criado pelo cilindro (a) fora do mesmo, para r R, e (b) dentro do cilindro, para
r R. (c) Mostre também que suas respostas aos itens anteriores
coincidem na borda do cilindro, correspondente a r R.
53. || Uma casca esférica tem raio interno Rint e raio externo Rext. A casca contém carga total Q, uniformemente distribuída. O interior da
casca não contém carga nem matéria.
a. Determine o campo elétrico fora da casca, r Rext.
b. Determine o campo elétrico no interior da casca, r Rint.
c. Determine o campo elétrico dentro da casca, Rint r Rext.
d. Mostre que suas soluções ajustam-se umas às outras nas bordas
interna e externa da casca.
e. Desenhe o gráfico de E versus r.
54. || Um antigo modelo atômico, proposto por Rutherford logo após
sua descoberta do núcleo atômico, era constituído por uma carga
puntiforme positiva Ze (o núcleo) no centro de uma esfera de raio
R com carga negativa Ze uniformemente distribuída pelo volume
correspondente. A letra Z representa o número atômico, ou seja, o
número de prótons que formam o núcleo ou o número de elétrons
na esfera negativa.
a. Mostre que o campo elétrico interno do átomo, neste modelo, é
dado pela expressão
b. Quanto vale E na superfície desse modelo de átomo? Este valor é
esperado? Explique.
c. O átomo de urânio corresponde a Z 92 e R 0,10 nm neste modelo atômico. Qual é a intensidade de campo elétrico em
?
Problemas desafiadores
55. Todos os exemplos da lei de Gauss usaram superfícies altamente
simétricas através das quais a integral de fluxo é nula ou igual a
EA. Nós também alegamos que o fluxo resultante e Qint/0 é
independente da superfície gaussiana usada. Vale a pena verificar
se isso, de fato, é verdadeiro. A FIGURA PD28.55 apresenta um cubo
com aresta de comprimento L, centrado em um fio fino dotado de
uma densidade linear de carga ␭. O fluxo através de uma face do
cubo não é, simplesmente, igual a EA porque, neste caso, o campo
elétrico varia em intensidade e orientação. Mas você pode calcular
o fluxo efetuando a integral de fluxo.
a. Considere, por exemplo, a face direita do cubo, paralela ao plano
yz. Defina o vetor área
com módulo igual à área de uma faixa
de largura dy e comprimento L e com a mesma orientação do
■
Lei de Gauss
879
eixo x. Uma dessas faixas é mostrada na figura, correspondente
a uma posição y. Use o campo elétrico de um fio, já conhecido, para calcular o fluxo elétrico d através dessa pequena área.
Sua expressão deve ser uma função de y, que é uma variável, e
de várias constantes, e não deverá depender explicitamente de
quaisquer ângulos.
b. Agora integre d para determinar o fluxo total através da face
ilustrada.
c. Finalmente, mostre que o fluxo resultante através do cubo é
.
Densidade de carga
linear
FIGURA PD28.55
56. Um cilindro infinito longo e de raio R apresenta uma densidade
3
linear de carga ␭. A densidade volumétrica de carga (em C/m ) no
interior do cilindro (r R) é dada por ␳(r) r␳0/R, onde ␳0 é uma
constante a ser determinada.
a. Desenhe o gráfico de ␳ versus x considerando que o eixo x cruze
o cilindro pelo centro e seja perpendicular ao eixo do mesmo. O
gráfico deve mostrar x variando desde 2R até 2R.
b. A carga contida em um volume infinitesimal dV é dq ␳dV. A
integral de ␳dV sobre o cilindro de comprimento L é igual à carga
total Q ␭L do cilindro. Use este fato para mostrar que ␳0 2
3␭/2␲R .
Dica: Considere dV como o volume infinitesimal de uma casca cilíndrica de comprimento L, raio r e espessura dr. Qual é o volume
de uma casca como essa?
c. Use a lei de Gauss para obter uma expressão para o campo elétrico E no interior do cilindro, r R.
d. Sua expressão fornece o valor esperado na superfície, r R?
Explique.
57. Uma esfera de raio R possui uma carga total Q. A densidade de
3
carga volumétrica (em C/m ) no interior da esfera é dada por ␳(r) 2
C/r , onde C é uma constante a ser determinada.
a. A carga no interior de um volume infinitesimal dV é dq ␳dV.
A integral de ␳dV sobre o volume inteiro da esfera é igual à sua
carga total Q. Use este fato para determinar a constante C em
função de Q e R.
Dica: Considere dV como o volume infinitesimal de uma casca esférica de raio r e espessura dr. Qual é o volume de uma casca como
essa?
b. Use a lei de Gauss para obter uma expressão para o campo elétrico E no interior da esfera, ou r R.
c. Sua expressão fornece o valor esperado para o campo na superfície, r R? Explique.
58. Uma esfera de raio R possui uma carga total Q. A densidade de
3
carga volumétrica (em C/m ) no interior da esfera é dada por
Essa densidade de carga decresce linearmente desde o valor ␳0 no
centro até zero na borda da esfera.
3
a. Mostre que ␳0 3Q/␲R .
Dica: Você vai precisar resolver uma integral de volume.
880
Física: Uma Abordagem Estratégica
b. Mostre que o campo elétrico dentro da esfera aponta radialmente
para fora da mesma, com módulo dado por
c. Mostre que seu resultado para o item anterior fornece o valor
esperado para o campo em r R.
59. Uma bola esférica carregada tem um raio R e uma carga total Q.
A intensidade do campo elétrico no interior da bola (para r R) é
dada pela expressão E(r) Emax (r4/R4).
a. Qual é o Emax em função de Q e R?
b. Obtenha uma expressão para a densidade de carga volumétrica
␳(r) no interior da bola em função de r.
c. Verifique se sua expressão para a densidade de carga, quando
integrada sobre o volume da bola, resulta na carga total Q.
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 28.1: a e d. A simetria requer que o campo elétrico permaneça inalterado se as partes da frente e de trás forem invertidas, se a
esquerda e a direita forem invertidas ou se o campo for girado em torno
do eixo do fio. Os campos de a até d possuem simetrias próprias. Neste
caso, precisaríamos levar em conta outros fatores para poder determinar
corretamente o campo.
Pare e Pense 28.2: e. O fluxo resultante aponta para dentro da caixa.
Pare e Pense 28.3: c. Não há fluxo resultante através dos quatro lados.
O fluxo é positivo e de valor absoluto de 1 Nm2/C através do topo e da
base, pois e apontam para fora.
Pare e Pense 28.4: b e a c d. O fluxo através de qualquer superfície fechada depende apenas da quantidade de carga líquida
encerrada pela mesma, e não, do tamanho ou da forma da superfície.
Pare e Pense 28.5: d. Um cubo não possui simetria suficiente para
podermos usar a lei de Gauss. O campo elétrico criado por um cubo
carregado não é constante sobre a face de uma superfície cúbica gaussiana, portanto não podemos efetuar facilmente a integral de superfície
do fluxo.
O Potencial Elétrico 29
As luzes das cidades, vistas do espaço,
mostram onde milhões de lâmpadas
estão transformando energia elétrica em
luz e energia térmica.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 29 é calcular
e empregar o potencial elétrico e
a energia potencial elétrica. Neste
capítulo, você aprenderá a:
■ Usar a energia potencial elétrica
As luzes cintilantes das grandes cidades constituem um espetáculo impressionante.
As lâmpadas que as emitem empregam uma enorme quantidade de energia. De onde
vem toda essa energia?
A energia tem sido um tema presente em todo este livro. A energia permite que as
coisas aconteçam. Um sistema que não disponha de uma fonte de energia não é muito
interessante; apenas está lá. Você precisa de lâmpadas para iluminar, de seu computador
para realizar cálculos e de seu aparelho de som para manter os vizinhos acordados. Em
outras palavras, você precisa de dispositivos que usem eletricidade para fazer algo em
troca, e isso consome energia. É tempo de vermos como o conceito de energia pode nos
ajudar a compreender e a analisar um fenômeno elétrico.
No Capítulo 26, introduzimos a idéia de campo elétrico para compreender como um
conjunto de cargas, o das cargas-fontes do campo, exerce forças sobre outras cargas. Agora, para compreender a energia elétrica, apresentaremos um novo conceito denominado potencial elétrico. Neste capítulo, você estudará as propriedades básicas do potencial elétrico
e aprenderá como ele está conectado à energia elétrica. No Capítulo 30 iremos explorar
a relação existente entre o potencial elétrico e o campo elétrico. Esses dois capítulos nos
conduzirão diretamente ao conceito de corrente e aos circuitos elétricos, que constituem
uma aplicação prática das idéias de potencial elétrico e de campo elétrico.
29.1 Energia potencial elétrica
Consumir energia para fazer coisas acontecerem. Isto é verdadeiro tanto na eletricidade
quanto na mecânica. Nosso estudo de energia elétrica tem dois objetivos práticos e
relacionados:
e a conservação da energia para
analisar o movimento de partículas
carregadas.
■ Usar o potencial elétrico para
determinar a energia potencial
elétrica.
■ Calcular o potencial elétrico
gerado por distribuições de carga
importantes e úteis.
■ Representar graficamente o
potencial elétrico.
Em retrospectiva
Este capítulo depende
fundamentalmente dos conceitos de
trabalho, energia e conservação da
energia. Revise:
■ Seções 10.2 – 10.5 Energia
cinética, gravitacional e elástica
■ Seção 10.7 Diagramas de energia
■ Seções 11.2 – 11.5 Trabalho e
energia potencial
■ Seção 27.3 Cálculo do campo
elétrico criado por uma distribuição
contínua de carga
882
Física: Uma Abordagem Estratégica
■ Compreender o movimento de partículas carregadas
■ Compreender as idéias fundamentais sobre circuitos elétricos
Para alcançar estes objetivos, precisamos descobrir como a energia elétrica está relacionada a cargas elétricas, forças e campos.
Energia mecânica
Iniciaremos nossa investigação da energia elétrica explorando a íntima analogia entre
as forças gravitacionais e as forças elétricas. A força gravitacional entre duas massas
depende inversamente do quadrado da distância entre elas, assim como a força elétrica
entre duas cargas puntiformes. Da mesma forma, o campo gravitacional uniforme próximo à superfície da Terra se parece muito com o campo elétrico uniforme no interior de
um capacitor de placas paralelas.
Passaram-se muitos capítulos desde que discutimos os conceitos de trabalho e de
energia potencial. Devido ao fato de eles serem essenciais ao nosso estudo, é especialmente importante que o estudante faça uma revisão das seções citadas no Em Retrospectiva. Você relembrará que a energia mecânica de um sistema, Emec K U, é conservada para partículas que interajam umas com as outras por meio das forças conservativas,
onde K e U são, respectivamente, a energia cinética e a energia potencial, ou seja,
(29.1)
Precisamos ser cuidadosos com a notação porque, agora, estamos usando E para
representar a intensidade de campo elétrico. Para evitar confusão, representaremos
qualquer energia mecânica pela soma explícita K U ou por Emec, usando um subscrito explícito.
NOTA Recorde-se de que, para qualquer grandeza X, a variação de X é X Xfinal
Xinicial. A energia cinética K ΣKi, onde Ki ½mivi2, é a soma das energias cinéticas de
todas as partículas do sistema. A energia potencial U é a energia de interação do sistema. Em particular, definimos a variação da energia potencial em termos do trabalho W
realizado pelas forças de interação à medida que o sistema se move de uma posição ou
configuração inicial i para uma posição ou configuração final f:
U Uf Ui Wforças de interação
Caso geral
O trabalho é realizado pelo
componente de segundo
a direção do movimento.
(posição i → posição f)
(29.2)
Essa definição formal de U é bastante abstrata e fará mais sentido para você quando
abordarmos aplicações específicas.
NOTA A energia potencial é uma energia do sistema, e não, de uma determinada
força constante.
partícula no sistema, ou seja, a familiar Ugrav mgy é a energia do sistema Terra
partícula devido à interação gravitacional entre os dois constituintes do sistema.
Mesmo assim, freqüentemente falamos em energia potencial gravitacional de uma
partícula porque a Terra se mantém praticamente em repouso, enquanto partículas
com massas muito menores do que a Terra se movem. A trajetória é curvilínea.
Uma força constante realiza um trabalho
FIGURA 29.1 Trabalho realizado por uma
(29.3)
sobre uma partícula que descreve um deslocamento linear , onde ␪ é o ângulo entre a
força e o deslocamento . A FIGURA 29.1 serve para lembrá-lo de três casos especiais,
correspondentes a ␪ 0o, ␪ 90o e ␪ 180o. Ela também mostra que, em geral, o trabalho é realizado pelo componente Fr da força, o componente na direção do movimento.
A força não
é constante.
O trabalho realizado durante
este pequeno trecho do
movimento é
FIGURA 29.2 O trabalho realizado ao longo
de uma trajetória curvilínea ou por uma
força variável.
NOTA Trabalho não é igual ao freqüentemente lembrado “força vezes distância”.
Trabalho é igual ao produto da força pela distância apenas em um caso muito especial, aquele em que a força é constante e paralela ao deslocamento. Se a força não é constante ou se o deslocamento não se dá ao longo de uma trajetória
retilínea, podemos calcular o trabalho dividindo a trajetória em numerosos pequenos
segmentos. A FIGURA 29.2 mostra como isto é feito. O trabalho realizado durante o movi-
CAPÍTULO 29
■
O Potencial Elétrico
883
mento da partícula ao longo de uma distância ds é Fsds, onde Fs é o componente da força
que é paralelo ao deslocamento ds (ou seja, o componente na direção do movimento). O
trabalho total realizado sobre a partícula é
(29.4)
,
Na segunda integral, identificamos Fs ds F cos␪ ds como o produto escalar
o que nos possibilita escrever o trabalho em notação vetorial. Como na lei de Gauss, à
primeira vista essa integral parece muito mais complicada do que realmente é. Veremos
exemplos muito em breve.
Finalmente, recorde-se de que uma força conservativa é aquela para a qual o trabalho realizado quando a partícula se move de uma posição i para uma posição f independe
do caminho seguido. Em outras palavras, a integral da Equação 29.4 fornece o mesmo
valor para qualquer trajetória seguida entre os pontos i e f. Afirmaremos agora, e mais
tarde provaremos, que a força elétrica é uma força conservativa.
Um campo uniforme
A gravidade, como a eletricidade, é uma força de ação a distância. Assim como defini, podemos definir um campo gravitacional – o agenmos o campo elétrico
. Mas
te que exerce forças gravitacionais sobre massas – como
(9.80 N/kg, para baixo) é, de fato,
próximo à superfície da Terra; assim, o familiar
o campo gravitacional! Note como escrevemos a unidade de como N/kg, como apro2
priado para um campo. Mas você pode facilmente mostrar que N/kg m/s . O campo
gravitacional próximo à superfície da Terra é um campo uniforme orientado para baixo.
A FIGURA 29.3 mostra uma partícula de massa m em queda no campo gravitacional. A
força gravitacional tem a mesma orientação enquanto a partícula se desloca. Portanto, o
campo gravitacional realiza uma quantidade positiva de trabalho sobre a partícula em queda.
A força gravitacional é constante, daí que o trabalho realizado pela gravidade é dado por
Wgrav FGr cos0o mg |yf – yi| mgyi mgyf
(29.6)
Comparando o termo inicial e o final nos dois lados da equação, vemos que a energia
potencial gravitacional próxima à Terra é a grandeza familiar
Ugrav U0 mgy
0
A força resultante sobre a partícula é
orientada para baixo. A partícula ganha
energia cinética (ou seja, acelera) enquanto
perde energia potencial.
FIGURA 29.3 Energia potencial é
transformada em energia cinética à medida
que uma partícula se move sob ação de
um campo gravitacional.
(29.7)
onde U0 é o valor de Ugrav em y 0. Geralmente escolhemos U0 0, caso em que Ugrav
mgy. Entretanto esta escolha não é obrigatória. A escolha do ponto zero de energia
potencial é arbitrária, pois o que definimos foi U, e não, U.
O campo elétrico uniforme entre as placas paralelas do capacitor da FIGURA 29.4 se
parece muitíssimo com o campo gravitacional uniforme próximo à superfície da Terra. A
única diferença é que sempre aponta para baixo, enquanto o campo elétrico dentro do
capacitor pode apontar em qualquer direção. Para tratar disso, vamos definir um eixo de
coordenada s que aponta da placa negativa, por definição localizada em s 0, para a
placa positiva. O campo elétrico aponta, então, no sentido negativo do eixo s, exatamente como o campo gravitacional aponta no sentido negativo do eixo y. O eixo s,
válido sem que importe como o capacitor esteja orientado, é análogo ao eixo y usado no
caso da energia potencial gravitacional.
Uma carga positiva q no interior do capacitor é acelerada e ganha energia cinética à
medida que “cai” em direção à placa negativa. Será que a perda de energia potencial é
compensada por um ganho de energia cinética? Sim, de fato isso ocorre, e o cálculo para
o caso da energia potencial é exatamente análogo ao cálculo da energia potencial gravitacional. O campo elétrico exerce uma força constante F qE sobre a carga, no sentido
do movimento; logo, o trabalho realizado sobre a carga pelo campo elétrico é
Welet Fr cos0 qE |sf – si| qEsi qEsf
Campo
gravitacional
(29.5)
Temos de tomar cuidado com os sinais algébricos porque r, o módulo do vetor deslocamento, deve ser sempre um número positivo.
Agora podemos verificar como faz sentido a definição de U pela Equação 29.2. A
variação de energia potencial gravitacional é
Ugrav Uf Ui Wgrav(i→f) mgyf mgyi
O campo gravitacional realiza
trabalho sobre a partícula. Podemos
expressar esse trabalho como uma
variação da energia potencial
gravitacional.
(29.8)
O campo elétrico realiza trabalho
sobre a partícula. Podemos expressar
esse trabalho como uma variação da
energia potencial elétrica.
Campo elétrico
A partícula “caindo”
no sentido de
FIGURA 29.4 O campo elétrico realiza
trabalho sobre uma partícula carregada.
884
Física: Uma Abordagem Estratégica
onde, outra vez, temos de ser cuidadosos com os sinais algébricos porque sf si.
O trabalho realizado pelo campo elétrico faz com que a carga sofra uma variação de
energia potencial elétrica dada por
Uelet Uf – Ui Welet(i→f) qEsf qEsi
(29.9)
Comparando os termos iniciais e os finais nos dois lados dessa equação, vemos que a
energia potencial elétrica da carga q em um campo elétrico uniforme é dada por
Uelet U0 qEs
(29.10)
onde s é medido a partir da placa negativa e U0 é a energia potencial na posição da placa
negativa (s 0). Seria muito conveniente escolher U0 0, todavia essa escolha não traz
qualquer conseqüência física por não afetar Uelet, a variação de energia potencial elétrica. Somente a variação é relevante do ponto de vista físico.
A Equação 29.10 foi derivada com a suposição de que q fosse positiva, todavia ela é
válida para qualquer que seja o sinal de q. Um valor negativo de q na Equação 29.10 faz
com que a energia potencial Uelet se torne mais negativa quando s aumenta. Como mostra
a FIGURA 29.5, uma carga negativa acelera e ganha energia cinética à medida que se afasta
da placa negativa do capacitor.
Energia
A energia mecânica é
constante.
Emec
A energia potencial de uma carga
positiva diminui no sentido de A
carga ganha energia cinética enquanto
se aproxima da placa negativa.
A energia potencial de uma carga
negativa diminui no sentido oposto
de E. A carga ganha energia cinética
enquanto se afasta da placa negativa.
FIGURA 29.5 Uma partícula carregada de sinal qualquer ganha energia cinética enquanto se
move no sentido em que se dá a diminuição da energia potencial.
O gráfico da
energia potencial
é uma linha reta.
A energia cinética
e a potencial podem
ser transformadas
uma na outra.
A partícula atinge o
ponto de retorno
quando Uelet Emec.
FIGURA 29.6 O diagrama de energia para
uma partícula positivamente carregada em
um campo elétrico uniforme.
NOTA A Equação 29.10 é lida como “energia potencial elétrica da carga q”, mas,
na realidade, ela é a energia potencial do sistema de carga do capacitor. Dependendo de quão fixas estão as cargas do capacitor, é justificado concebê-la como uma
energia potencial pertencente apenas à carga q. A FIGURA 29.6 é o diagrama de energia para uma partícula positivamente carregada em
presença de um campo elétrico uniforme. Lembramos que o diagrama de energia é uma
representação gráfica de como as energias cinética e a potencial são transformadas enquanto as partículas se movem. A energia potencial, dada pela Equação 29.10, aumenta linearmente com a distância, todavia a energia mecânica total Emec da partícula é fixa. Se uma
partícula carregada positivamente for arremessada em sentido contrário a um campo uniforme, ela desacelerará gradualmente até atingir seu ponto de retorno, onde. Uelet Emec.
EXEMPLO 29.1 Conservação da energia
MODELO A energia mecânica de cada partícula é conservada. Um ca-
Um capacitor de placas paralelas com dimensões de 2,0 cm 2,0 cm
e com 2,0 mm de espaçamento entre as placas é carregado com 1,0
nC. A partir do ponto central do capacitor, parte primeiro um próton
e, depois, um elétron.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 29.7 é uma representação do tipo antes-e-
a. Qual é a variação de energia potencial elétrica de cada partícula
desde sua partida até sua colisão com uma das placas?
b. Com que velocidade cada partícula atinge a placa?
pacitor de placas paralelas produz um campo elétrico uniforme.
após, que você aprendeu a elaborar na Parte II do livro. No caso do
diagrama de energia da Figura 29.6, cada partícula parte do ponto
de retorno (K 0) e se move em direção a regiões de menor energia
potencial. Assim, o próton se move em direção à placa negativa, e o
elétron, em direção à placa positiva.
CAPÍTULO 29
,
,
sf do próton
■
O Potencial Elétrico
885
O elétron se move em direção à placa positiva, no sentido em que
a energia potencial decresce para uma carga negativa. O elétron
corresponde a q e e termina em sf d. Assim,
sf do elétron
,
,
,
As duas partículas sofrem a mesma variação de energia potencial.
O campo elétrico do capacitor é
FIGURA 29.7 Um próton e um elétron em um capacitor.
Usando d 0,0020 m, obtemos
Up Ue 4,5 1017 J
RESOLUÇÃO a. O eixo s foi definido apontando da placa negativa para
a placa positiva do capacitor. Ambas as partículas carregadas partem
onde d 2,0 mm é a separação entre as placas. O próton
de
positivo perde energia potencial e ganha energia cinética enquanto se
move em direção à placa negativa. Para o próton, com q e e sf 0, a variação de energia potencial é
b. O princípio de conservação da energia é K U 0. As duas
. Então,
partículas partem do repouso; logo, K Kf 0 U, ou seja,
onde usamos as massas do próton e do elétron.
onde usamos a expressão da energia potencial elétrica para a carga em um campo elétrico uniforme. Como esperado, Up é negativa. Note que U0 é cancelada durante o cálculo de U.
PARE E PENSE 29.1 Um bastão de vidro é positivamente carregado. A figura mostra
uma vista transversal da extremidade do
bastão. Uma partícula negativamente carregada descreve um arco circular movendo-se ao redor do bastão de vidro. O trabalho realizado sobre a partícula carregada
pelo campo elétrico criado pelo bastão é
positivo, negativo ou nulo?
AVALIAÇÃO Ainda que ambas as partículas tenham sofrido uma mesma
variação de energia potencial U, o elétron atinge uma velocidade
final mais elevada por causa de sua massa, que é muito pequena comparada à do próton.
Movimento da partícula
negativamente carregada
Vista transversal
da extremidade do
bastão carregado
29.2 Energia potencial criada por uma carga
puntiforme
2 sobre 1
Agora que introduzimos a idéia da energia potencial elétrica, vamos olhar para a interação fundamental da eletricidade – a força entre duas cargas puntiformes. Essa força,
dada pela lei de Coulomb, varia com a distância entre as duas cargas; assim, precisamos
usar a expressão integral da Equação 29.4 para calcular o trabalho realizado.
A FIGURA 29.8a mostra duas cargas q1 e q2, os quais consideraremos como cargas que
exercem forças repulsivas uma sobre a outra. A energia potencial devida às suas interações mútuas pode ser determinada a partir do cálculo do trabalho realizado por q1 sobre
q2 enquanto esta segunda carga se move da posição xi até a posição xf. Consideraremos
que q1 tenha sido fixada e não possa se mover, como ilustrado na FIGURA 29.8b.
A força está inteiramente na direção do movimento, de modo que Fs ds F1 sobre 2 dx.
Portanto, o trabalho realizado é
(29.11)
1 sobre 2
Fixa nesta
posição
A força varia
com a distância.
q1 realiza um trabalho sobre
q2 enquanto esta carga se move
de xi para xf.
FIGURA 29.8 A interação entre duas cargas
puntiformes.
886
Física: Uma Abordagem Estratégica
A energia potencial das duas cargas está relacionada ao trabalho realizado por
(29.12)
Comparando o lado esquerdo com o direito da equação, concluímos que a energia potencial do sistema de duas cargas puntiformes é dada por
(29.13)
Poderíamos incluir uma constante U0 para a energia potencial em um campo elétrico
uniforme, como fizemos na Equação 29.10, mas é costume escolher U0 0. O zero da
energia potencial será discutido mais adiante, nesta seção.
Escolhemos integrar ao longo do eixo x por conveniência, todavia o que é realmente
importante é a distância entre as cargas. Assim, uma expressão mais geral para a energia
potencial elétrica é
(duas cargas puntiformes)
(29.14)
Esta é, explicitamente, a energia do sistema, e não, uma energia pertencente somente a
q1 ou a q2.
NOTA A energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes tem uma forma matemática quase idêntica à da força entre as duas mesmas cargas. A diferença está na
2
distância r no denominador da energia potencial em comparação com r na lei de
Coulomb. Certifique-se de que consegue lembrar quem é quem! Dois pontos importantes precisam ser observados:
■ Derivamos a Equação 29.14 para duas cargas de mesmo sinal, mas a expressão é
igualmente válida no caso de duas cargas de sinais opostos. A energia potencial de
duas cargas de mesmo sinal é positiva, e a de duas cargas opostas, negativa.
■ Devido ao campo elétrico no exterior de uma esfera carregada ser igual ao campo
criado por uma carga puntiforme localizada no centro da esfera, a Equação 29.14
fornece também a energia potencial elétrica de duas esferas carregadas. A distância
r, neste caso, é a distância entre os centros das esferas.
Cargas de mesmo sinal
Energia
Distância de aproximação
máxima entre duas cargas
de mesmo sinal e com
energia total Emec.
Uelet
Emec
Cargas de sinais opostos
Emec
Uelet
Energia
Distância de
separação
máxima entre
as duas cargas de
sinais opostos.
FIGURA 29.9 Diagramas de energia
potencial para duas cargas de mesmo sinal
e para duas cargas de sinais opostos.
A FIGURA 29.9 mostra a curva de energia potencial de duas cargas de mesmo sinal e de
duas cargas de sinais opostos em função da distância r entre elas. Ambas as curvas são
hipérboles. A distância deve ser um número positivo, portanto o gráfico corresponde
apenas a r 0.
Vamos considerar que duas cargas de mesmo sinal sejam atiradas, uma em direção
a outra, com energia mecânica total Emec. (Para simplificar, consideraremos que elas
tenham momenta de mesmo módulo, mas de sentidos opostos.) Você pode verificar na
FIGURA 29.9a que a linha da energia total cruza a curva da energia potencial na posição
rmin. Duas cargas de mesmo sinal, atiradas uma contra a outra, gradualmente serão desaceleradas, por causa da força repulsiva entre elas, até que a distância entre elas atinja
o valor rmin. Nesse ponto, a energia cinética será nula e ambas as partículas carregadas
estarão, então, instantaneamente em repouso. A seguir, elas invertem seus sentidos e
passam a se afastar, acelerando enquanto a distância entre elas aumenta. O valor rmin é a
distância de aproximação máxima. Trata-se de um valor determinado pela conservação
da energia, e não, pela análise das forças envolvidas.
Analogamente, você pode verificar na FIGURA 29.9b que duas partículas carregadas
e de sinais opostos, arremessadas para longe uma da outra com momenta de mesmo
módulo, mas de sentidos opostos, desacelerarão, perdendo energia cinética até atingir
a separação máxima rmax. Neste instante, ambas as cargas invertem seus movimentos e,
então, passam a “cair” de volta simultaneamente.
A força elétrica é uma força conservativa
Uma energia potencial só pode ser definida se a força relacionada for conservativa, o
que significa que o trabalho realizado sobre a partícula enquanto ela se move da posição
i à posição f independe da trajetória seguida por ela entre i e f. Nós afirmamos antes que
a força elétrica é uma força conservativa; agora é hora de provar tal afirmação.
CAPÍTULO 29
O cálculo do trabalho da Equação 29.11 foi baseado na Figura 29.8, onde a carga q2
moveu-se diretamente da posição i para a posição f. A FIGURA 29.10 mostra uma trajetória
alternativa entre i e f. Podemos calcular o trabalho realizado pelo campo elétrico enquanto q2 se move ao longo da trajetória curvilínea dividindo o caminho em vários pequenos
trechos que são orientados radialmente para fora de q1 ou que são arcos circulares com
centro comum em q1. A versão mostrada na figura é bastante simples, com somente poucos segmentos, mas é possível imaginar que possamos aproximar arbitrariamente a trajetória real por um número de segmentos que tende ao infinito.
A força elétrica é uma força central, orientada radial e diretamente para fora de
q1. Quando q2 se move ao longo de qualquer arco circular, a força elétrica realiza um
. Durante o
trabalho nulo porque, neste caso, o deslocamento é perpendicular a
movimento inteiro, todo o trabalho é realizado ao longo dos segmentos radiais. O fato
de os segmentos estarem deslocados uns em relação aos outros não afeta a quantidade
de trabalho realizado ao longo de cada segmento. O trabalho total, obtido pela soma dos
trabalhos realizados ao longo de todos os segmentos radiais, é igual ao trabalho total que
calculamos através da Equação 29.11. O trabalho, portanto, é independente do caminho;
assim, a força elétrica é uma força conservativa.
NOTA Duas partículas reais não podem estar infinitamente afastadas uma da outra,
porém uma vez que Uelet diminui com a distância, chega um ponto em que Uelet ⫽ 0
constitui uma excelente aproximação. Quando Uelet ⫽ 0, às vezes as duas partículas
são descritas como “muito afastadas” ou “remotamente distantes”. O Potencial Elétrico
887
Uma trajetória alternativa para q2 se mover
de i até f.
Aproxima-se da trajetória realmente descrita
usando arcos circulares centrados em q1 e
segmentos retos radiais.
Enquanto q2 se move ao longo de um arco
circular, a força elétrica não realiza trabalho
algum, pois ela é perpendicular ao deslocamento.
Todo o trabalho é realizado ao longo
dos segmentos radiais, os quais, todos
juntos, equivalem a um segmento de
linha reta desde i até f.
O zero da energia potencial
A partir da Equação 29.14 para Uelet e também da Figura 29.9 você pode verificar que a
. Uma vez que
energia potencial de duas partículas carregadas tende a zero quando
as duas partículas deixam de interagir somente quando elas estão infinitamente distantes
uma da outra, o zero da energia potencial localizado no infinito nos permite pensar em
Uelet como a “medida da interação”.
Um zero no infinito apresenta uma pequena dificuldade em interpretar energias negativas. Todo o significado de uma energia negativa é que possui menor energia do que
quando as duas partículas estão infinitamente distantes entre si (Uelet ⫽ 0) e em repouso
(K ⫽ 0). A FIGURA 29.11 mostra que um sistema dotado de energia total E1 negativa é um
sistema ligado. As duas partículas carregadas não podem escapar uma da outra. O elétron e o próton de um átomo de hidrogênio constituem um exemplo de sistema ligado.
Duas cargas opostas com energia total E2 ⬎ 0 podem escapar. Elas desacelerarão enquanto se afastam, porém a energia potencial acabará indo a zero e as partículas seguirão
se afastando uniformemente com energia cinética K⬁. A situação limite corresponde a
um sistema para o qual E ⫽ 0. Neste caso, as duas partículas podem escapar, mas isso
durará um tempo infinitamente grande porque suas energias cinéticas tendem a zero
enquanto elas se afastam muito uma da outra. O módulo da velocidade inicial que uma
partícula atinja rf ⫽ ⬁, com vf ⫽ 0, é denominado velocidade de escape.
■
FIGURA 29.10 Calculando o trabalho
realizado enquanto q2 se move ao longo
de uma trajetória curvilínea entre i e f.
Duas partículas com energia total E2 ⬎ 0
podem se afastar indefinidamente. Sua energia
cinética assume o valor K quando r
Energia
Energia potencial
Duas partículas com energia total E1 ⬍ 0 constituem um sistema ligado. Elas não podem estar
afastadas por uma distância maior do que rmax.
FIGURA 29.11 Todo sistema com Emec < 0 é
um sistema ligado.
EXEMPLO 29.2 Aproximando-se de uma esfera carregada
Um próton é disparado de longe em direção a uma esfera de vidro
com 1,0 mm de diâmetro que foi previamente carregada com ⫹100
nC. Que velocidade inicial o próton deve ter para apenas tocar na
superfície de vidro?
MODELO A energia é conservada. A esfera de vidro pode ser considerada
Antes:
ri
, portanto Ui ⫽ 0
Após
como uma partícula carregada, de modo que a energia potencial é como
a de duas cargas puntiformes. O próton inicia afastado da esfera, o que
podemos interpretar como suficientemente distante para que Ui 艑 0.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 29.12 mostra uma representação pictórica do
tipo antes-e-após. A expressão “para apenas tocar na esfera de vidro”
significa que o próton atinge exatamente o repouso, vf ⫽ 0, quando
atinge rf ⫽ 0,50 mm, que é o raio da esfera.
RESOLUÇÃO A conservação de energia Kf ⫹ Uf ⫽ Ki ⫹ Ui assume a
forma
FIGURA 29.12 Um próton se aproxima de uma esfera de vidro.
A carga do próton é qp ⫽ e. Com isso, podemos isolar a velocidade
inicial do próton:
888
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 29.3 Velocidade de escape
RESOLUÇÃO Neste caso é essencial interpretar Uelet como a energia po-
Um tipo de interação entre duas partículas elementares produz um
elétron e um pósitron (um elétron positivo), que são lançados em sentidos opostos com velocidades de mesmo módulo. Que valor mínimo
de velocidade devem ter o elétron e o pósitron, quando separados por
uma distância de 100 fm, para que consigam escapar um do outro?
tencial do sistema elétron pósitron. Analogamente, K é a energia
cinética total do sistema. O elétron e o pósitron, com massas e velocidades iguais, possuem energias cinéticas também iguais. A conservação da energia, Kf Uf Ki Ui, assume, então, a forma
MODELO A energia é conservada. Ao final, as partículas estarão “mui-
to afastadas” uma da outra, o que interpretamos como suficientemente distante para que possamos considerar que Uf 艑 0.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 29.13 mostra uma representação pictórica do
Usando ri 100 fm 1,0 1013 m, podemos calcular a velocidade
inicial mínima como
tipo antes-e-após. A velocidade de escape é o mínimo valor de velocidade que permite às partículas lançadas alcançarem rf com vf 0.
vi
vi
Antes:
AVALIAÇÃO O valor de vi é um pouco menor do que 10% da velocidade
ri = 100 fm
vf = 0
vf = 0
da luz, exatamente em torno do limite até o qual é válido se usar o
cálculo “clássico”. Se vi fosse um pouco maior do que isso, precisaríamos usar a teoria da relatividade.
Após:
rf
, assim Uf = 0
FIGURA 29.13 Um elétron e um pósitron se afastam.
Múltiplas cargas puntiformes
Se mais do que duas cargas estiverem presentes, a energia potencial será igual à soma
das energias potenciais correspondentes a todos os pares de cargas.
(29.15)
onde rij é a distância entre as cargas qi e qj. O somatório contém a restrição i j para
assegurar que cada par de cargas seja levado em conta uma vez apenas.
NOTA Se duas ou mais cargas não se movem, suas energias potenciais não variam
e, neste caso, podem ser consideradas como constantes aditivas sem conseqüências
físicas. Isto é necessário para calcular apenas a energia potencial daqueles pares de
cargas para os quais a distância rij muda. EXEMPLO 29.4 Lançando um elétron
Três elétrons estão separados por 1,0 mm ao longo de uma linha vertical. Os dois elétrons mais externos estão fixos em suas posições.
a. O elétron central encontra-se em um ponto de equilíbrio estável
ou instável?
b. Se o elétron central for deslocado horizontalmente em uma pequena distância, qual será o módulo de sua velocidade quando
estiver muito afastado dos outros?
MODELO A energia é conservada. Os dois elétrons mais externos não
podem se mover, de modo que não precisamos incluir a energia potencial correspondente às suas interações mútuas.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 29.14 ilustra a situação descrita.
Antes:
RESOLUÇÃO a. O elétron central encontra-se em equilíbrio exatamente
no centro porque as duas forças elétricas exercidas sobre ele o mantêm em repouso. Se ele for movido um pouco para a esquerda ou para
a direita, não importa o quão pouco seja, os componentes das forças
exercidas pelos dois elétrons externos empurrarão o elétron central
para mais longe ainda do centro. Trata-se, portanto, de um equilíbrio
instável, como quando se está no topo de um monte.
b. Um pequeno deslocamento fará com que o elétron se afaste mais
ainda. Se o deslocamento for apenas infinitesimal, as condições
iniciais serão expressas como (r12)i (r23)i 1,0 mm e vi 0.
Aqui, interpretamos “afastado” como rf → , onde Uf 艑 0. Existem agora dois termos na energia potencial, e a conservação de
energia, Kf Uf Ki Ui, assume a forma
Após:
,
É fácil isolar vf e obter
,
FIGURA 29.14 Três elétrons.
CAPÍTULO 29
■
O Potencial Elétrico
889
PARE E PENSE 29.2 Ordene em seqüência decrescente as energias potenciais de U até U
a
d
destes quatro pares de cargas. Cada símbolo representa a mesma quantidade de carga.
29.3 Energia potencial de um dipolo
O dipolo elétrico foi nosso modelo para a compreensão de como os objetos carregados
interagem com os objetos neutros. No Capítulo 27, descobrimos que um campo elétrico
exerce um torque sobre um dipolo. Podemos completar o estudo do dipolo com o cálculo
da energia potencial de um dipolo elétrico em presença de um campo elétrico uniforme.
A FIGURA 29.15 representa um dipolo em um campo elétrico . Lembre-se de que o
momento de dipolo é um vetor que aponta de q para q, com módulo p qs. As fore
exercem um torque resultante sobre o dipolo, mas agora estamos interessaças
dos no cálculo do trabalho que essas forças realizam quando o dipolo é girado de um
ângulo ␾i para outro ângulo ␾f de orientação.
Quando o componente da força Fs é exercido ao longo de um pequeno deslocamento
ds, a força correspondentemente realiza um trabalho dW Fs ds. Se explorarmos a analogia do movimento linear rotacional vista no Capítulo 12, em que o torque ␶ é análogo
à força e o deslocamento angular ␾ é análogo ao deslocamento linear, então um torque
exercido durante um pequeno deslocamento angular d␾ realiza um trabalho dW ␶ d␾.
Do Capítulo 27, sabemos que o torque sobre o dipolo da Figura 29.15 é ␶ pE sen␾,
onde o sinal negativo relaciona-se à tendência do torque em gerar uma rotação no sentido horário. Assim, o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre o dipolo, quando este
gira em um pequeno ângulo d␾ é
dWelet pE sen␾ d␾
As forças elétricas exercem um
torque resultante sobre o dipolo.
FIGURA 29.15 O campo elétrico realiza
trabalho enquanto o dipolo gira.
(29.16)
O trabalho total realizado pelo campo elétrico quando o dipolo gira de ␾i para ␾f é
(29.17)
A energia potencial associada a este trabalho sobre o dipolo é
Udipolo Uf Ui Welet (i → f) pE cos␾f pE cos ␾i
(29.18)
Ponto de retorno
Energia
para oscilação com
energia Emec
Equilíbrio
instável a
␾
Comparando o lado esquerdo com o lado direito da Equação 29.18, notamos que a energia potencial de um dipolo em presença de um campo elétrico uniforme é
(29.19)
Emec
A FIGURA 29.16 mostra o diagrama de energia de um dipolo. A energia potencial é
o
mínima em ␾ 0 , quando o dipolo está alinhado com o campo elétrico. Essa é uma
o
situação de equilíbrio estável. Um dipolo exatamente oposto a , em ␾ 180 , está
em uma situação de equilíbrio instável. O mais leve distúrbio o fará girar. Um dipolo livre para girar sem atrito, com energia mecânica constante Emec, oscilará para a frente e
o
para trás entre os pontos de retorno dos dois lados correspondentes a ␾ 0 .
EXEMPLO 29.5 Girando uma molécula
Toda molécula de água possui um dipolo elétrico permanente, com
30
momento de dipolo igual a 6,2 10 Cm. A molécula de água está
7
alinhada em um campo elétrico com intensidade de 1,0 10 N/C.
o
Que quantidade de energia é necessária para girar a molécula em 90 ?
Equilíbrio
estável a
␾
FIGURA 29.16 Energia de um dipolo em
presença de um campo elétrico.
MODELO A molécula encontra-se em uma situação de energia poteno
cial máxima. Ela não irá girar em 90 espontaneamente. Entretanto,
uma força externa que forneça energia, tal como uma colisão com
outra molécula, pode fazer uma molécula de água girar.
Continua
890
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESOLUÇÃO A molécula inicia a ␾i 0
o
e termina a ␾f 90 . O auo
mento da energia potencial é
Udipolo Uf Ui pE cos 90 ( pE cos 0 )
o
23
pE 6,2 10
o
J
AVALIAÇÃO Na temperatura ambiente, Udipolo é significantemente me-
nor do que kBT. Portanto, as colisões com outras moléculas podem,
facilmente, suprir as moléculas da água com energia para girarem,
impedindo-as de manterem um constante alinhamento com o campo
elétrico.
Essa é a energia necessária para girar a molécula em 90o.
29.4 Potencial elétrico
11.11
Introduzimos o conceito de campo elétrico, no Capítulo 26, por causa das forças de ação
a distância, que originaram preocupações e dificuldades conceituais. O campo desempenha o papel de um agente intermediário através do qual duas cargas exercem forças
a distância uma sobre a outra. A carga q1 de algum modo altera o espaço ao redor de si
com a criação de um campo elétrico . A carga q2, então, responde ao campo, experi.
mentando uma força
Enfrentamos o mesmo tipo de dificuldade quando tentamos compreender a energia
potencial elétrica. Para uma massa sobre uma mola, podemos conceber como a energia é
armazenada na mola distendida ou comprimida. Mas quando dizemos que duas partículas carregadas possuem uma energia potencial, uma energia que pode ser convertida em
energia cinética de movimento perceptível, onde se encontra a energia? É incontestável
que duas cargas positivas se afastam quando você as solta, ganhando energia cinética,
mas não há um lugar óbvio no qual a energia esteja armazenada.
Na definição do campo elétrico, fizemos distinção entre as cargas que constituem as
fontes do campo e as cargas que sofrem ação por parte do campo. A força sobre a carga
q está relacionada ao campo elétrico criado pelas cargas-fonte por
força sobre q [carga q] [alteração do espaço produzida pelas cargas-fonte]
Vamos tentar um procedimento similar para o caso da energia potencial elétrica. A energia potencial elétrica deve-se às interações da carga q com outras cargas, portanto vamos
dividir a energia potencial do sistema de modo que
energia potencial de q fontes
[carga q] [potencial de interação das cargas-fonte]
O potencial nesse
ponto é igual a V.
As cargas-fonte alteram o
espaço em volta delas através
da criação de um potencial
elétrico.
Cargas-fonte
Se a carga q encontra-se
sob a ação do potencial, sua
energia potencial elétrica é
igual a Uqfontes qV.
A FIGURA 29.17 mostra essa idéia esquematicamente.
Em analogia com o campo elétrico, definiremos o potencial elétrico V (ou apenas,
para ser breve, o potencial) como
(29.20)
A carga q é usada como carga de prova para determinar o potencial elétrico, mas o valor
de V é independente de q. O potencial elétrico, como o campo elétrico, é uma propriedade das cargas-fonte.
Na prática, geralmente estaremos mais interessados em conhecer a energia potencial
de uma carga q quando ela se encontrar em um ponto do espaço onde o potencial elétrico
das cargas-fonte é V. Invertendo a Equação 29.20, vemos que a energia potencial é
Uqfontes qV
(29.21)
FIGURA 29.17 As cargas-fonte alteram o
espaço ao seu redor através da criação de
um potencial elétrico.
Uma vez que o potencial tenha sido determinado, é muito fácil determinar a energia
potencial correspondente.
A unidade de potencial elétrico é o joule por coulomb, que é chamado de volt, símbolo V:
1 volt 1 V ⬅ 1 J/C
O nome dessa unidade é uma homenagem a Alessandro Volta, que inventou a pilha elétrica no ano de 1800. Microvolts (␮V), milivolts (mV) e quilovolts (kV) são unidades
também comumente usadas, pois os potenciais elétricos usados em aplicações práticas
diferem significantemente em valor.
CAPÍTULO 29
■
O Potencial Elétrico
891
NOTA Mais uma vez, os símbolos comumente usados estão em conflito. O símbolo V é amplamente usado para representar volume e, agora, estamos introduzindo o
mesmo símbolo para representar potencial. Para tornar a coisa mais confusa ainda, V
também é a abreviatura para volts. Em texto impresso, V para potencial está em itálico, e V para volts não está, todavia você não pode fazer tal distinção em trabalhos
escritos à mão. Trata-se de uma situação desconfortável, mas esses são os símbolos
comumente aceitos. Você está incumbido de ficar especialmente alerta para o contexto no qual um determinado símbolo é usado. Para que serve o potencial elétrico?
O potencial elétrico é uma idéia abstrata e demandará alguma prática você entender
exatamente o que ele significa e como ele é útil. Usaremos múltiplas representações –
palavras, desenhos, gráficos e analogias – para explicar e descrever o potencial elétrico.
Começamos com duas idéias essenciais:
Esta bateria está especificada como de
1,5 volt. Como veremos logo adiante, toda
bateria é uma fonte de potencial elétrico.
■ O potencial elétrico depende apenas das cargas-fonte e de sua geometria. O potencial
é a “capacidade” das cargas-fonte em interagir se uma carga q aparecer. Essa capacidade, ou potencial, está presente em todo o espaço independentemente de haver
uma carga q lá, ou não, para experimentá-la.
■ Se conhecermos o potencial elétrico V em qualquer lugar de uma região do espaço, conheceremos imediatamente a energia de interação correspondente U ⫽ qV de
qualquer carga naquela região com as cargas-fonte.
NOTA É uma infelicidade que os termos potencial e energia potencial sejam tão
parecidos. É fácil confundir um com o outro. Apesar dos nomes parecidos, eles são
conceitos muito diferentes e não são intercambiáveis. A Tabela 29.1 o ajudará a distinguir entre os dois. As cargas-fonte exercem influência através do potencial elétrico que elas estabelecem em qualquer ponto do espaço. Uma vez que conheçamos o potencial – e o resto
deste capítulo discute como calcular o potencial –, podemos ignorar as cargas-fonte e
trabalhar apenas com o potencial. As cargas-fonte permanecem nos bastidores.
A energia potencial de uma partícula carregada é determinada pelo potencial elétrico: U ⫽ qV. Conseqüentemente, partículas carregadas aceleram ou desaceleram enquanto se movem através de uma região onde o potencial é variável. A FIGURA 29.18 ilustra
essa idéia. Vale a pena mencionar que a partícula se move através de uma diferença de
potencial, a diferença ⌬V ⫽ Vf ⫺ Vi entre o potencial em um ponto inicial i e em um
ponto final f. A diferença de potencial entre dois pontos normalmente será chamada de
voltagem. Nas ilustrações, a diferença de potencial entre dois pontos será representada
por uma seta azul com duas pontas.
Uma carga positiva acelera à medida
que se move através de uma diferença
de potencial negativa. A energia potencial
é transformada em energia cinética.
Uma carga positiva desacelera
ao se mover através de uma
diferença de potencial positiva.
Sua energia cinética diminui e
é transformada em energia
potencial.
Sentido em que há aumento V
FIGURA 29.18 Uma partícula carregada acelera ou desacelera enquanto se move através de
uma diferença de potencial.
Se uma partícula se move através de uma diferença de potencial ⌬V, sua energia
potencial varia em ⌬U ⫽ q⌬V. Podemos escrever a conservação da energia, em função
do potencial elétrico, na forma ⌬K ⫹ ⌬U ⫽ ⌬K ⫹ q⌬V ⫽ 0 ou, como é geralmente mais
prático, na forma
Kf ⫹ qVf ⫽ Ki ⫹ qVi
(29.22)
A conservação da energia é a base de uma eficiente estratégia para resolução de problemas.
TABELA 29.1 Distinguindo o potencial
elétrico da energia potencial
O potencial elétrico é uma propriedade das
cargas-fonte e, como você logo verá, está
relacionado ao campo elétrico. O potencial
elétrico estará presente havendo ou não uma
carga q em um ponto para experimentá-lo. O
potencial é medido em J/C ou V.
A energia potencial elétrica é a energia de
interação de uma partícula carregada com as
cargas-fonte. A energia potencial é medida
em J.
892
Física: Uma Abordagem Estratégica
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 29.1
Conservação da energia em
interações entre cargas
MODELO Verifique se existem quaisquer forças dissipativas presentes que poderiam
fazer variar a energia mecânica.
VISUALIZAÇÃO Desenhe uma representação pictórica do tipo antes-e-após da situação. Defina os símbolos que serão usados no problema, liste os valores conhecidos
e identifique o que você deve determinar.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada no princípio de conservação da
energia mecânica:
Kf qVf Ki qVi
■ O potencial elétrico é fornecido no enunciado do problema? Se não, você preci-
sará usar um potencial conhecido, como o de uma carga puntiforme, ou calcular
o potencial usando um procedimento que será visto mais tarde, na Estratégia
para Resolução de Problemas 29.2.
■ Ki e Kf representam, respectivamente, a soma das energias cinéticas iniciais e
finais de todas as partículas em movimento.
■ Em alguns problemas, serão necessários princípios de conservação adicionais,
como o de conservação da carga ou o de conservação do momentum.
AVALIAÇÃO Verifique se o seu resultado está expresso nas unidades corretas, se é
plausível e se responde à questão.
EXEMPLO 29.6 Movimento através de uma diferença de
potencial
Um próton com velocidade inicial de 2,0 10 m/s entra em uma
região do espaço onde as cargas-fonte criaram um potencial elétrico.
Qual é o módulo da velocidade do próton após ter se movido através
de uma diferença de potencial de 100 V? Qual será a velocidade final
se o próton for substituído por um elétron?
5
RESOLUÇÃO A energia potencial da carga q é U qV. A conservação
da energia, agora expressa em termos do potencial elétrico V, é Kf qVf Ki qVi, ou
Kf Ki qV
onde V Vf Vi é a diferença de potencial através da qual a partícula se move. Em termos de velocidade, a conservação de energia é
MODELO A energia é conservada. O potencial elétrico determina a
energia potencial.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 29.19 é uma representação do tipo antes-e-
após do movimento de uma partícula carregada através de uma diferença de potencial. Uma carga positiva desacelerará enquanto se
move para dentro de uma região onde o potencial é mais alto (K →
U). Na mesma situação, uma carga negativa acelerará (U → K).
Antes:
Isolando a velocidade final, obtemos:
Para um próton, com q e, a velocidade final é
Após:
Diferença de potencial
FIGURA 29.19 Uma partícula carregada move-se através de uma
diferença de potencial.
De qualquer forma, um elétron com q e e com massa diferente
6
acelera e atinge (vf)e 5,9 10 m/s.
AVALIAÇÃO O potencial elétrico sempre existiu no espaço devido às ou-
tras cargas que não são explicitamente vistas no problema. O elétron e
o próton não estão relacionados à produção do potencial. Ao contrário,
eles respondem ao potencial adquirindo uma energia potencial U qV.
■
CAPÍTULO 29
O Potencial Elétrico
893
PARE E PENSE 29.3 Um próton parte do repouso no ponto B, onde o potencial é de 0 V. Depois disso, o próton
a. Permanece em repouso em B.
b. Move-se em direção a A com velocidade constante.
c. Move-se em direção a A com velocidade crescente.
d. Move-se em direção a C com velocidade constante.
e. Move-se em direção a C com velocidade crescente.
29.5 Potencial elétrico no interior de um
capacitor de placas paralelas
Começamos esse capítulo discutindo a energia potencial de uma carga no interior de um
capacitor de placas paralelas. Agora vamos investigar o potencial elétrico. A FIGURA 29.20
mostra dois eletrodos paralelos, separados por uma distância d, com densidade superficial de carga ␩. Como um exemplo específico, consideraremos que d 3,00 mm e que
9
2
␩ 4,42 10 C/m . O campo elétrico dentro do capacitor, como você aprendeu no
Capítulo 27, é
,
,
(29.23)
Esse campo elétrico é criado pelas cargas-fonte sobre as placas do capacitor.
Na Seção 29.1, encontramos que a energia potencial elétrica da carga q no campo
elétrico uniforme de um capacitor de placas paralelas é
Uelet Uqfontes qEs
FIGURA 29.20 Um capacitor de placas
paralelas.
(29.24)
Escolheremos o termo constante U0 igual a zero. Uelet é a energia de q devida às suas
interações com as cargas-fonte sobre as placas do capacitor.
Nossa nova abordagem da interação é separar o papel desempenhado pela carga q do
papel desempenhado pelas cargas-fonte através da definição do potencial elétrico V Uqfontes /q. Portanto o potencial elétrico dentro do capacitor de placas paralelas é
V Es (potencial elétrico dentro do capacitor de placas paralelas)
(29.25)
onde s é a distância em relação ao eletrodo negativo. O potencial elétrico, como o
campo elétrico, existe em todos os pontos internos ao capacitor. O potencial elétrico é
criado pelas cargas-fonte distribuídas sobre as placas do capacitor e existe quer a carga
q esteja lá ou não.
A FIGURA 29.21 ilustra um aspecto importante: o potencial elétrico aumenta linearmente, da placa negativa, onde V 0, para a placa positiva, onde V Ed. Vamos definir a diferença de potencial VC entre as duas placas do capacitor como
VC V V Ed
(29.26)
Em nosso exemplo específico, VC (500 N/C) (0,0030 m) 1,5 V. A unidade está
correta, pois 1,5 (Nm)/C 1,5 J/C 1,5 V.
NOTA Pessoas que trabalham com circuitos chamariam VC de “a voltagem através do capacitor” ou simplesmente de “a voltagem do capacitor”. A Equação 29.26 tem uma implicação interessante. Até aqui, determinamos o campo
elétrico dentro de um capacitor a partir da especificação da densidade superficial de
carga ␩ sobre as placas.
FIGURA 29.21 O potencial elétrico de um
capacitor de placas paralelas aumenta
linearmente da placa negativa para a placa
positiva.
894
Física: Uma Abordagem Estratégica
Alternativamente, poderíamos especificar a voltagem do capacitor VC (isto é, a diferença de potencial entre suas placas) e, então, determinar a intensidade do campo
elétrico como
(29.27)
De fato, esta é a maneira pela qual o campo E é determinado em aplicações práticas, pois
é fácil medir VC com um voltímetro, mas é difícil, na prática, conhecer o valor de ␩.
A Equação 29.27 implica que a unidade de campo elétrico é o volt por metro, ou
V/m. Estamos usando como unidade de campo elétrico o newton por coulomb. De fato,
você pode mostrar, como tarefa para casa, que essas unidades se equivalem, ou seja,
1 N/C 1 V/m
NOTA O volt por metro é a unidade de campo elétrico usada na prática por cientistas e engenheiros. Vamos adotá-la agora como nossa unidade padrão de campo
elétrico. Retornando ao potencial elétrico, podemos substituir E, da Equação 29.27, por V,
dado pela Equação 29.25. Com isso, o potencial elétrico dentro do capacitor assume a
forma
(29.28)
O potencial aumenta linearmente de V 0 V na placa negativa (s 0) para V VC
na placa positiva (s d).
Vamos explorar o potencial elétrico no interior de um capacitor observando-o por
vários meios diferentes, mas relacionados, através dos quais o potencial pode ser representado graficamente.
Representações gráficas do potencial elétrico dentro de um capacitor
Gráfico do potencial versus s.
Você pode verificar que o
potencial aumenta de 0,0 V na
placa negativa para 1,5 V na
placa positiva.
Vista tridimensional mostrando
as superfícies equipotenciais.
Essas são superfícies matemáticas,
e não, superfícies físicas, em que o
potencial V é igual em todos os
pontos da mesma. No caso de um
capacitor de placas paralelas, as
superfícies equipotenciais são
planos paralelos às placas do
capacitor. As placas do capacitor
também constituem superfícies
equipotenciais.
Gráfico de elevação tridimensional. O potencial é desenhado
verticalmente em função da
coordenada s sobre um eixo de e
uma coordenada yz geral sobre
outro eixo. A vista a partir do
lado direito do gráfico de
elevação fornece o valor do
gráfico do potencial.
Mapa de contorno bidimensional. As placas do capacitor e
as superfícies equipotenciais são
vistas de cima, portanto você
deve imaginá-las estendendo-se
acima e abaixo do plano da
página.
placa
placa
,
,
placa
,
,
,
placa
,
,
,
,
placa
placa
,
,
Gráfico do potencial
Superfícies equipotenciais
,
,
,
,
,
Mapa de contorno
Gráfico de elevação
■
CAPÍTULO 29
Essas quatro representações gráficas mostram a mesma informação sob diferentes
pontos de vista, e as linhas que as conectam mostram como elas se relacionam. Se você
conceber o gráfico de elevação como uma “montanha”, então as linhas de contorno do
mapa de contorno serão como as linhas dos mapas topográficos.
O gráfico do potencial e o mapa de contorno constituem as duas representações mais
amplamente usadas na prática, pois são fáceis de desenhar. Suas limitações se devem ao
fato de que elas transmitem informação tridimensional por meio de uma apresentação bidimensional. Quando você observa gráficos ou mapas de contornos, precisa imaginar as
superfícies equipotenciais ou o gráfico de elevação correspondente em três dimensões.
Não há nada de especial em mostrar superfícies equipotenciais ou linhas de contorno
a intervalos de 0,5 V. Escolhemos tais intervalos porque eles eram convenientes. Como
uma alternativa, a FIGURA 29.22 mostra como o mapa de contorno parecerá se as linhas de
contorno estiverem espaçadas a cada 0,3 V. As linhas de contorno e as superfícies equipotenciais são linhas e superfícies imaginárias, desenhadas para nos ajudar a visualizar
como varia o potencial através do espaço. Desenhar o mapa de mais de uma maneira
reforça a idéia de que existe um valor de potencial elétrico em cada ponto dentro do capacitor, e não, apenas nos pontos pertencentes a uma linha de contorno ou a uma superfície equipotencial que foram escolhidos arbitrariamente por nós.
A Figura 29.22 também representa alguns vetores do campo elétrico. Note que
O Potencial Elétrico
placa negativa
placa positiva
,
,
,
,
,
,
,
895
,
,
,
,
,
FIGURA 29.22 Linhas de contorno do
potencial elétrico e vetores do campo
elétrico no interior de um capacitor de
placas paralelas.
,
■ Os vetores do campo elétrico são, todos, perpendiculares às superfícies equipotenciais.
■ O potencial decresce ao longo do sentido em que o campo elétrico aponta. Em outras
palavras, em um gráfico ou em um mapa do potencial elétrico, o campo elétrico
aponta no sentido da “descida do morro”.
O Capítulo 30 apresentará uma exploração mais profunda da relação existente entre o campo elétrico e o potencial elétrico. Lá, você descobrirá que as observações feitas são sempre
verdadeiras. Elas não são válidas apenas no caso de um capacitor de placas paralelas.
Finalmente, talvez você esteja pensando em como arranjamos um capacitor com
9
2
uma densidade superficial de carga precisamente igual a 4,42 20 C/m . Muito simples! Como mostra a FIGURA 29.23, usamos fios para ligar as placas do capacitor a uma
bateria de 1,5 V. Esse é outro tópico que exploraremos no Capítulo 30, mas não é importante agora que a fonte do potencial seja uma bateria. É por isso que as especificações
das baterias são em volts, e esta é a principal razão para que tenhamos de compreender
com precisão o conceito de potencial.
,
A bateria é a fonte
de potencial.
FIGURA 29.23 Usando uma bateria para
carregar um capacitor até um valor preciso
de VC.
EXEMPLO 29.7 Um próton em um capacitor
Um capacitor de placas paralelas é construído com dois discos de 2,0
cm de diâmetro espaçados por 2,0 mm de distância. Ele é carregado
sob uma diferença de potencial de 500 V.
a. Qual é a intensidade do campo elétrico no interior do capacitor?
b. Que quantidade de carga existe sobre cada placa?
c. Um próton é arremessado através de um pequeno orifício existen5
te na placa negativa com uma velocidade de 2,0 10 m/s. Ele
alcançará a outra placa? Em caso negativo, onde será o ponto de
retorno?
MODELO A energia é conservada. A energia potencial do próton den-
tro do capacitor pode ser determinada a partir do potencial elétrico
do capacitor.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 29.24 é uma representação do tipo antes-eapós do próton no interior do capacitor. Note os símbolos para os
terminais onde o potencial é aplicado às placas do capacitor.
RESOLUÇÃO a. A intensidade do campo elétrico dentro do capacitor é
b. Uma vez que E ␩/ 0 para um capacitor de placas paralelas,
2
com ␩ Q/A Q/␲R , obtemos
Q ␲R2 0E 7,0 1010 C 0,70 nC
,
de diâmetro
,
,
FIGURA 29.24 Um próton se move no interior de um capacitor.
c. O próton tem carga q e, e no ponto onde o potencial do capacitor é igual a V, sua energia potencial é dada por U eV. Ele
ganhará uma energia potencial U eVC se ele se mover ao
longo da distância inteira entre as placas do capacitor. O aumento
de energia potencial provém da diminuição da energia cinética,
portanto o próton terá energia cinética suficiente para fazer todo o
caminho apenas se
Ki
eVC
Continua
896
Física: Uma Abordagem Estratégica
Podemos calcular a energia cinética inicial obtendo Ki 3,3 17
17
10 J e, portanto, eVC 8,0 10 J. O próton não possui
17
energia cinética inicial suficiente para poder ganhar 8,0 10
J de energia potencial; logo, ele não completará a travessia. Em
vez disso, o próton alcançará um ponto de retorno e inverterá o
sentido de movimento.
O próton inicia na placa negativa, onde si 0 mm. Consideremos que o ponto de retorno corresponda a sf. O potencial dentro
do capacitor é dado por V (s/d) VC, com d 0,0020 m e VC
500 V. A conservação da energia requer que Kf eVf Ki eVi., ou seja,
onde usamos Vi 0 para a placa negativa. A solução para o ponto
de retorno é
O próton percorrerá menos da metade do caminho antes de retornar.
AVALIAÇÃO Conseguimos usar o potencial elétrico no interior do capa-
citor para determinar a energia potencial do próton. Note que empregamos V/m como unidade de campo elétrico.
Consideramos que V 0 V na placa negativa, todavia esta não é a única escolha
possível. A FIGURA 29.25 mostra três vistas de um capacitor de placas paralelas a uma
diferença de potencial VC 100 V. A figura mostra linhas de contorno que representam
cortes transversais nas superfícies equipotenciais correspondentes. Escolhemos V 0
V, no primeiro caso; V 100 V, no segundo; e V 50 V, no terceiro.
A diferença de potencial entre dois
pontos é a mesma nos três casos.
O campo elétrico interior é o
mesmo em todos os casos.
FIGURA 29.25 Essas três escolhas para V 0 representam a mesma situação física.
O aspecto importante a ser considerado aqui é que os três mapas de contorno da
Figura 29.25 representam a mesma situação física. A diferença de potencial entre quaisquer dois pontos é a mesma para os três mapas, assim como o campo elétrico. Apenas
a diferença de potencial VC é que importa. Podemos preferir uma dessas figuras em
relação às outras, mas não há diferença física mensurável entre elas.
PARE E PENSE 29.4 Ordene em seqüência decrescente os valores
dos potenciais de Va até Ve nos pontos enumerados de a até e.
CAPÍTULO 29
■
O Potencial Elétrico
897
29.6 Potencial elétrico criado por uma carga
puntiforme
Outro caso importante de potencial elétrico é aquele criado por uma carga puntiforme.
Na FIGURA 29.26, seja q a carga-fonte, e q’ a carga de prova do potencial elétrico em um
determinado ponto do espaço onde q se encontre. A energia potencial das duas cargas
puntiformes é
Para determinar o potencial
de q neste ponto . . .
(29.29)
Assim, por definição, o potencial elétrico da carga q é
(potencial elétrico criado por uma carga puntiforme)
(29.30)
O potencial da Equação 29.30 se estende através de todo o espaço, representando
a influência da carga q, mas diminui com a distância proporcionalmente a 1/r. Essa
expressão para V é válida sob a hipótese de que tenhamos escolhido V 0 V em r .
Essa é a escolha mais lógica para o caso de uma carga puntiforme porque a influência da
carga q só é nula no infinito.
A expressão para o potencial elétrico de uma carga puntiforme q é semelhante àquela
para o campo elétrico criado pela carga q. A diferença que se percebe de imediato é que
2
V depende de 1/r, enquanto depende de 1/r . Mas também é importante notar que o
potencial é uma grandeza escalar, enquanto o campo é uma grandeza vetorial. Por
isso a matemática requerida para o cálculo do potencial é muito mais simples do que a
requerida no caso da determinação do campo elétrico.
EXEMPLO 29.8 Calculando o potencial criado por uma
carga puntiforme
Qual é o potencial elétrico à distância de 1,0 cm de uma carga de
1,0 nC? Qual é a diferença de potencial entre um ponto, a 1,0 cm de
distância, e um segundo ponto, a 3,0 cm de distância dessa carga?
RESOLUÇÃO O potencial em r 1,0 cm é
. . . posicione a carga qⴕ no
ponto, como prova, e meça a
energia potencial Uqⴕ+q.
FIGURA 29.26 Medindo o potencial elétrico
da carga q.
De maneira análoga, podemos calcular V3 cm 300 V. Assim, a diferença de potencial entre os pontos é V V1 cm V3 cm 600 V.
AVALIAÇÃO O valor de 1 nC é típico de uma carga eletrostática produ-
zida por fricção, e você pode verificar que uma carga como essa cria
um potencial razoavelmente grande em sua vizinhança. Por que não
levamos um choque e não ficamos feridos com tais cargas quando
trabalhamos com “altas voltagens”? A sensação de levar um choque
é um efeito produzido pela corrente, e não, pelo potencial. Algumas
fontes com altos potenciais simplesmente não podem gerar muita corrente. Veremos este assunto no Capítulo 32.
Visualizando o potencial criado por uma carga puntiforme
A FIGURA 29.27 mostra quatro representações do potencial elétrico criado por uma carga
puntiforme. Elas correspondem às quatro representações do potencial elétrico no interior
de um capacitor, e vale à pena comparar esses dois casos. Na figura é considerado que
a carga puntiforme q seja positiva; talvez você queira refletir a respeito de como essas
representações mudariam se q fosse negativa.
Gráfico do potencial
Superfícies equipotenciais
Mapa de contorno
FIGURA 29.27 Quatro representações gráficas do potencial elétrico criado por uma carga
puntiforme.
Gráfico de elevação
898
Física: Uma Abordagem Estratégica
PARE E PENSE 29.5 Ordene em seqüência decrescente os valores
das diferenças de potenciais ⌬Vab, ⌬Vac e ⌬Vbc entre os pontos
a e b, a e c e b e c.
Potencial elétrico criado por uma esfera carregada
Na prática, você está mais acostumado a trabalhar com uma esfera carregada de raio R e
carga total Q do que com uma carga puntiforme. Fora de uma esfera uniformemente
carregada, o potencial elétrico é idêntico àquele criado por uma carga puntiforme de
valor Q posicionada no centro, ou seja,
(esfera carregada, r ⱖ R)
Uma bola de plasma consiste de uma
pequena bola, carregada a um potencial
próximo de 2000 V, no interior de uma
esfera oca feita de vidro. A esfera de vidro
está cheia com um gás – geralmente
neônio ou argônio por causa das cores
que produzem – a uma pressão próxima
de 0,01 atm. O campo elétrico criado pela
bola de alta voltagem é suficiente para
causar a ruptura dielétrica do gás a esta
pressão, produzindo “raios” entre a bola e
a esfera metálica.
(29.31)
Podemos obter este resultado de uma forma mais prática. É costume se falar no
processo de carregamento de um eletrodo, tal qual no de uma esfera, “até” um determinado valor de potencial, como na frase “Bob carregou a esfera até um potencial de 3000
volts”. Esse potencial, que denotaremos por V0, é o potencial exatamente na superfície
da esfera. Da Equação 29.31, podemos ver que
(29.32)
Conseqüentemente, uma esfera de raio R que seja carregada até seu potencial atingir um
valor V0 possuirá uma carga total
Q ⫽ 4␲⑀0RV0
(29.33)
Substituindo essa expressão para Q na Equação 29.31, podemos escrever o potencial no
interior da esfera, que se encontra carregada a um potencial superficial V0, como
(esfera carregada até o potencial superficial V0)
(29.34)
A Equação 29.34 significa que o potencial na superfície de uma esfera é V0 e decresce de
maneira inversamente proporcional à distância. O potencial em r ⫽ 3R é igual a
EXEMPLO 29.9 Um próton e uma esfera carregada
Um próton parte do repouso da superfície de uma esfera de 1,0 cm de
diâmetro que foi carregada até ⫹1000 V.
a. Qual é a carga da esfera?
b. Qual é a velocidade do próton a 1,0 cm da esfera?
MODELO A energia é conservada. O potencial fora da esfera carregada
RESOLUÇÃO a. A carga da esfera é
Q ⫽ 4␲⑀0RV0 ⫽ 0,56 ⫻ 10⫺9 C ⫽ 0,56 nC
b. A esfera carregada até V0 ⫽ ⫹1000 V está positivamente carregada. O próton, portanto, será repelido por ela e se afastará da esfera.
A equação da conservação de energia, Kf ⫹ eVf ⫽ Ki ⫹ eVi, com a
Equação 29.34 para o potencial de uma esfera, torna-se
é igual ao potencial produzido por uma carga puntiforme posicionada
no centro.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 29.28 representa a situação.
Antes:
Após:
O próton parte da superfície da esfera, ri ⫽ R, e com vi ⫽ 0.
Quando o próton se encontra a 1,0 cm da superfície da esfera, ele
dista rf ⫽ 1,0 cm ⫹ R ⫽ 1,5 cm do centro. Usando este resultado,
podemos determinar vf:
,
AVALIAÇÃO Esse exemplo ilustra como as idéias de potencial elétrico
FIGURA 29.28 Uma esfera e um próton.
e de energia potencial operam conjuntamente, ainda que não sejam a
mesma coisa.
CAPÍTULO 29
■
O Potencial Elétrico
899
29.7 Potencial elétrico criado por várias cargas
puntiformes
Suponha que existam muitas cargas-fonte q1, q2,.... O potencial elétrico V em um ponto
qualquer do espaço é a soma dos potenciais produzidos individualmente por cada carga:
(29.35)
onde ri é a distância da carga qi ao ponto do espaço onde o potencial é calculado. Em
outras palavras, o potencial elétrico, como o campo elétrico, obedece ao princípio da
superposição.
Como um exemplo, o mapa de contorno e o gráfico de elevação da FIGURA 29.29
mostram que o potencial de um dipolo elétrico é a soma dos potenciais criados pelas
cargas-fonte positivas e negativas. Potenciais como estes têm muitas aplicações práticas.
Por exemplo, a atividade elétrica no interior de um corpo humano pode ser monitorada
através da determinação das linhas equipotenciais sobre a pele. A FIGURA 29.29c mostra
que as equipotenciais próximas ao coração são parecidas com as geradas por um dipolo
elétrico ligeiramente deformado, mas ainda reconhecível como tal.
Gráfico de elevação
Mapa de contorno
Superfícies equipotenciais
Sobre o tórax de uma pessoa, as equipotenciais
são parecidas com as criadas por um dipolo
elétrico ligeiramente deformado.
FIGURA 29.29 Potencial elétrico criado por um dipolo elétrico.
EXEMPLO 29.10 O potencial criado por duas cargas
puntiformes
Qual é o potencial elétrico no ponto indicado na FIGURA 29.30?
MODELO O potencial é a soma dos potenciais criados individualmente
por cada carga.
RESOLUÇÃO O potencial no ponto indicado é
,
,
AVALIAÇÃO O potencial é uma grandeza escalar, portanto determi-
,
,
,
namos o potencial resultante através da soma de dois números. Não
precisamos de quaisquer ângulos ou componentes para calcular o potencial.
FIGURA 29.30 Determinação do potencial criado por duas cargas
puntiformes.
Uma distribuição contínua de carga
A Equação 29.35 é a base para se determinar o potencial criado por uma distribuição
contínua de carga, tal como um bastão carregado ou um disco carregado. O procedimento é muito parecido com aquele que você aprendeu no Capítulo 27 para calcular o campo
900
Física: Uma Abordagem Estratégica
elétrico criado por uma distribuição contínua de carga, entretanto no caso do potencial é
mais fácil porque se trata de uma grandeza escalar. Continuaremos considerando que o
objeto esteja uniformemente carregado, o que significa que as cargas estão igualmente
espaçadas no objeto.
Antes de olharmos os exemplos, vamos detalhar os passos de uma estratégia para resolução de problemas. O objetivo da estratégia é dividir o problema em pequenas etapas
que sejam manipuláveis separadamente.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 29.2
O potencial elétrico criado por uma
distribuição contínua de carga
MODELO Considere que as cargas estejam distribuídas em um objeto com forma sim-
ples, tal como uma linha ou um disco. Considere que a carga esteja uniformemente
distribuída.
VISUALIZAÇÃO Para a representação pictórica:
Desenhe a figura e defina o sistema de coordenadas a ser usado.
Identifique o ponto P no qual você deseja calcular o potencial elétrico.
Divida a carga total Q em pequenas porções de carga Q usando formas para as
quais você já sabe como determinar V. Essa divisão é feita, muitas vezes, mas
nem sempre, em cargas puntiformes.
Identifique distâncias que precisam ser determinadas.
RESOLUÇÃO A representação matemática é V ΣVi.
■ Use o princípio da superposição para obter uma expressão algébrica para o po-
tencial em P.
■ Considere as coordenadas (x, y, z) do ponto como variáveis.
■ Substitua a pequena carga Q por uma expressão equivalente em função da
densidade de carga e de uma coordenada, tal como dx, que descreva a forma da
carga Q. Esse é o passo fundamental na tarefa de transformação de uma
soma em uma integral, pois você precisa de uma coordenada que sirva como
variável de integração.
■ Todas as distâncias devem ser expressas em função das coordenadas.
■ Faça a soma tornar-se uma integral. A integração se dará sobre a coordenada
variável que está relacionada a Q. Os limites de integração para essa variável
dependerão do sistema de coordenadas que você escolheu usar. Efetue a integração e simplifique o resultado obtido.
AVALIAÇÃO Verifique se seu resultado é consistente com quaisquer limites para os
quais você saiba qual deve ser o potencial.
EXEMPLO 29.11 Potencial criado por um anel de carga
Um anel fino, uniformemente carregado e de raio R, possui uma carga total Q. Determine o potencial a uma distância z sobre o eixo do
anel.
Escolha um sistema de coordenadas.
Segmento i
com carga
Q
Divida o anel
em segmentos.
MODELO Uma vez que o anel é fino, consideraremos que a carga se
situa ao longo de um círculo de raio R.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 29.31 ilustra os quatro passos da estratégia
para resolução de problemas. Escolhemos um sistema de coordenadas
no qual o anel está no plano xy, e o ponto P, sobre o eixo z. Então,
dividimos o anel em N pequenos segmentos de carga Q, cada qual
podendo ser considerado como uma carga puntiforme. A distância ri
entre o segmento i e o ponto P é
Identifique o ponto
no qual o potencial
será calculado.
Identifique as distâncias que
precisam ser determinadas.
Note que ri é uma distância constante, de igual valor para cada segmento de carga.
FIGURA 29.31 Encontrando o potencial criado por um anel de carga.
CAPÍTULO 29
■
O Potencial Elétrico
901
RESOLUÇÃO O potencial V no ponto P é a soma dos potenciais criados
ali por cada segmento de carga:
de carga existente no anel, Σ(Q) Q; portanto, o potencial sobre o
eixo de um anel carregado é
Pudemos sacar para fora da integral todos os termos envolvendo z
porque esta coordenada é constante enquanto o somatório é calculado. Surpreendentemente, neste caso não precisamos converter a
soma em uma integral para completar o cálculo. A soma de todos
os segmentos de carga Q ao longo do anel é, simplesmente, o total
AVALIAÇÃO De longe, o anel parece uma carga puntiforme Q. Assim,
quando z
R, esperamos que o potencial do anel seja igual àquele
criado por uma carga puntiforme. Você pode verificar que Vanel 艑 Q
/ 4␲ 0z quando z
R, que é, de fato, o potencial de uma carga puntiforme Q.
EXEMPLO 29.12 Potencial de um disco carregado
O passo fundamental é relacionar Qi com uma coordenada. Por se
tratar agora de uma superfície, em vez de uma linha, a carga no anel i
vale Qi ␩Ai, onde Ai é a área do anel i. Podemos determinar Ai,
como você aprendeu a fazer em cálculo, abrindo o anel para formar
uma tira retangular e estreita, de comprimento 2␲ri e altura r. Assim, a área do anel i é Ai 2␲rir, e sua carga é
Um disco delgado, uniformemente carregado e de raio R, possui uma
carga total Q. Encontre o potencial que ele cria a uma distância z
sobre o eixo do disco.
MODELO O disco tem densidade superficial de carga uniforme ␩ 2
Q/A Q/␲R . Podemos tirar vantagem disso, agora que conhecemos
o potencial criado por um anel carregado sobre um ponto de seu eixo
de simetria.
VISUALIZAÇÃO Posicione o disco no plano xy, como mostra a FIGURA
29.32, com o ponto P a uma distância z do disco. Depois, divida o dis-
Com essa substituição, o potencial em P é dado por
co em anéis de igual largura r. O anel i tem raio ri e carga Qi.
Disco com
raio R e
carga Q
r
ri
Anel i com carga Qi
z
P
onde, no último passo, fizemos N → e a soma tornou-se uma integral. Essa integral pode ser obtida no Apêndice A, mas não é difícil de
efetuá-la por meio de uma troca de variáveis. Defina uma nova variá2
2
A troca de variáveis requer que
vel u r z , com o quê
troquemos também os limites de integração. Você pode verificar que
2
2
2
u z quando r 0 e que u R z quando r R. Com essas trocas, o potencial sobre o eixo de um disco carregado assume a forma
R
O potencial neste ponto é a soma
dos potenciais criados por todos
os anéis finos do disco.
FIGURA 29.32 Determinando o potencial criado por um disco
carregado.
RESOLUÇÃO Podemos usar o resultado do Exemplo 29.11 para escre-
ver o potencial a uma distância z do anel i como
O valor absoluto posterior à raiz quadrada significa que o resultado é
válido tanto para z positivo quanto para z negativo.
AVALIAÇÃO Embora tenhamos de efetuar uma série de etapas, esse
procedimento é mais fácil do que a determinação do campo elétrico
porque não temos de nos preocupar com componentes de vetores.
O potencial criado em P por todos os anéis é a soma
Podemos determinar o potencial V0 do próprio disco fazendo z 0, do que resulta V0
Q/2␲ 0R. Em outras palavras, colocar a carga Q sobre o disco de raio R o elevará ao
potencial V0. O potencial sobre o eixo do disco pode ser escrito em função de V0 como
(29.36)
902
Física: Uma Abordagem Estratégica
O disco carregado se parece
com uma carga puntiforme
a distâncias z
R.
Carga puntiforme
A FIGURA 29.33 mostra um gráfico de Vno eixo do disco em função da distância z ao longo do
eixo. O potencial criado por uma carga puntiforme Q é também mostrado para comparação. Veja que o disco carregado começa a se parecer com uma carga puntiforme para z
R, mas difere significativamente de uma carga puntiforme para z R.
Disco carregado
EXEMPLO 29.13 Potencial criado por uma moeda
Uma moeda de 17,5 mm de diâmetro é carregada com 5,00 nC.
FIGURA 29.33 O potencial criado por
um disco carregado e por uma carga
puntiforme com o mesmo valor de Q.
a. Qual é o potencial sobre a moeda?
b. Qual é a energia potencial de um elétron posicionado 1,00 cm acima da moeda?
MODEL A moeda é um disco fino e carregado.
RESOLUÇÃO a. O potencial sobre a moeda é o potencial criado por um disco em z 0:
b. Para calcular a energia potencial U qV da carga q, precisamos primeiro determinar
o potencial criado pelo disco em z 1,0 cm. Usando a Equação 29.36 para o potencial
sobre o eixo da moeda, obtemos
19
A carga do elétron é q e 1,60 10
16
1,0 cm vale U 6,19 10 J.
C, portanto sua energia potencial em z CAPÍTULO 29
■
O Potencial Elétrico
903
RESUMO
O objetivo do Capítulo 29 foi calcular e usar o potencial elétrico e a energia potencial elétrica.
Princípios gerais
Fontes de V
Conseqüências de V
O potencial elétrico, como o campo elétrico, é criado por cargas.
As duas maiores ferramentas para o cálculo de V são
Uma partícula carregada possui energia potencial
• O potencial criado por uma carga puntiforme
U qV
em um ponto em que as cargas-fonte criam um potencial elétrico V.
A força elétrica é uma força conservativa, portanto a energia mecânica é conservada para uma partícula carregada em presença de um
potencial elétrico:
• O princípio da superposição
Múltiplas cargas puntiformes
Use o princípio da superposição: V V1 V2 V3 ...
Kf Uf Ki Ui
Distribuição contínua de carga
• Divida a carga em partes parecidas com pontos, cada qual com
uma carga Q.
A energia potencial de duas cargas puntiformes separadas por
uma distância r é dada por
• Determine o potencial criado por cada Q.
• Encontre V através do somatório dos potenciais criados por todos
Q.
O somatório geralmente se torna uma integral. O passo fundamental é substituir Q por uma expressão equivalente que envolva a
densidade de carga e uma coordenada de integração. O cálculo de
V é geralmente mais fácil de efetuar do que o cálculo de , pois o
potencial é uma grandeza escalar.
O ponto zero do potencial e da energia potencial é escolhido de
modo a ser conveniente. Para cargas puntiformes, consideramos
que U 0 quando r → .
A energia potencial de um dipolo elétrico, com momento de dipolo
, em presença de um campo elétrico é
Aplicações
Esfera de carga Q
Representações gráficas do potencial
Cria o mesmo potencial que uma carga puntiforme em
r R
Capacitor de placas paralelas
V Es, onde s é medido a partir da placa negativa. O
campo elétrico no interior é dado por
Gráfico do potencial Superfícies equipotenciais
Mapa de contorno
Gráfico de elevação
Unidades
Potencial elétrico: 1 V 1 J/C
Campo elétrico: 1 V/m 1 N/C
Termos e notação
energia potencial elétrica, U
velocidade de escape
potencial elétrico, V
volt, V
diferença de potencial, V
voltagem, V
superfície equipotencial
mapa de contorno
gráfico de elevação
904
Física: Uma Abordagem Estratégica
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. a. A carga q1 está a uma distância r de uma carga puntiforme positiva Q. A carga q2 q1/3 está a uma distância 2r de Q. Qual é a
razão U1/U2 entre suas energias potenciais devida às suas interações com Q?
b. A carga q1 está a uma distância d da placa negativa de um capacitor de placas paralelas. A carga q2 q1/3 está a uma distância
2d da placa negativa. Qual é a razão U1/U2 entre suas energias
potenciais?
2. Por que a energia potencial de duas cargas opostas é um número
negativo? (Dizer que a fórmula fornece um número negativo não
constitui uma explicação.)
3. A FIGURA Q29.3 representa a energia potencial de um próton (q e) e de um núcleo de chumbo (q 82e). A escala horizontal
está em femtômetros, onde 1 fm 1015 m.
a. Um próton é arremessado de muito longe em direção a um núcleo de chumbo. Que quantidade de energia cinética inicial o
próton deve possuir a fim de atingir um ponto de retorno a 10 fm
do núcleo? Explique.
b. Que valor de energia cinética possui o próton quando se encontra
a 20 fm do núcleo, movendo-se em direção ao mesmo, antes da
colisão?
c. Que valor de energia cinética possui o próton quando se encontra
a 20 fm do núcleo, afastando-se do mesmo, após a colisão?
FIGURA Q29.3
FIGURA Q29.4
4. Um elétron se move ao longo da trajetória mostrada na FIGURA
Q29.4, desde i até f.
a. A energia potencial do elétron aumenta, diminui ou permanece
constante? Explique.
b. A velocidade do elétron em f é maior, menor ou igual à velocidade em i? Explique.
5. Dois prótons são lançados com uma mesma velocidade do ponto
1, no interior do capacitor de placas paralelas da FIGURA Q29.5. Os
pontos 2 e 3 estão à mesma distância da placa negativa.
a. A variação de energia potencial U1→2 ao longo do caminho 1 →
2 é maior, menor ou igual a U1→3?
b. A velocidade v2 do próton no ponto 2 é maior, menor ou igual a
v3? Explique.
FIGURA Q29.5
6. Ordene em seqüência, da mais positiva para a mais negativa, as
energias potenciais de Ua a Uf dos seis dipolos elétricos no interior
do campo elétrico uniforme da FIGURA Q29.6. Explique.
FIGURA Q29.6
7. A FIGURA Q29.7 representa o
potencial elétrico ao longo do
eixo x.
a. Desenhe o gráfico da energia
potencial de uma partícula
carregada com 0,1 C nessa
região do espaço. Indique a
FIGURA Q29.7
escala de cada eixo.
b. Se a partícula carregada for arremessada para a direita, a partir de
x 1 m, com 1,0 J de energia cinética, onde estará o seu ponto
de retorno? Use seu gráfico para explicar.
c. A partícula carregada conseguirá atingir a posição x 0? Em
caso afirmativo, que quantidade de energia cinética ela terá neste
ponto? Em caso negativo, por que não?
8. Um capacitor com placas paralelas separadas por uma distância d é
carregado até atingir uma diferença de potencial VC. Todos os fios
e baterias são desconectados e, então, as duas placas são afastadas
(com as mãos isoladas) até ficarem a uma nova distância 2d.
a. A carga Q do capacitor varia enquanto a separação aumenta? Em
caso afirmativo, por qual fator? Em caso negativo, por que não?
b. A intensidade de campo elétrico E varia enquanto a separação
aumenta? Em caso afirmativo, por qual fator? Em caso negativo,
por que não?
c. A diferença de potencial VC varia enquanto a separação aumenta? Em caso afirmativo, por qual fator? Em caso negativo, por
que não?
9. Ordene em seqüência decrescente os potenciais elétricos de Va a
Ve nos pontos enumerados de a até e na FIGURA Q29.9. Explique o
ordenamento realizado.
FIGURA Q29.9
FIGURA Q29.10
CAPÍTULO 29
10. A FIGURA Q29.10 mostra dois pontos interiores a um capacitor.
Considere V 0 na placa negativa.
a. Qual é a razão V2/V1 entre os potenciais elétricos nesses dois pontos? Explique.
b. Qual é a razão E2/E1 entre as intensidades de campo elétrico nesses dois pontos? Explique.
11. Ordene em seqüência decrescente os potenciais elétricos de Va a
Ve nos pontos enumerados de a até e na FIGURA Q29.11. Explique o
ordenamento realizado.
■
O Potencial Elétrico
905
a. Qual é a razão V2/V1 entre os potenciais elétricos nesses dois pontos? Explique.
b. Qual é a razão E2/E1 entre as intensidades de campo elétrico nesses dois pontos? Explique.
13. A FIGURA Q29.13 mostra três pontos nas proximidades de duas cargas puntiformes. As cargas possuem módulos iguais. Ordene em
seqüência, do mais positivo para o mais negativo, os potenciais de
Va a Vc.
FIGURA Q29.13
14. Reproduza a FIGURA Q29.14 sobre uma folha de papel. Depois desenhe um ponto (ou vários pontos) sobre a figura para indicar a
posição (ou posições) em que o potencial elétrico é nulo.
FIGURA Q29.11
FIGURA Q29.12
12. A FIGURA Q29.12 mostra dois pontos próximos a uma carga puntiforme positiva.
FIGURA Q29.14
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
,
,
1. | A intensidade de campo elétrico é igual a 50.000 N/C dentro de
um capacitor com 2,0 mm de espaçamento entre as placas paralelas. Um próton parte do repouso da placa positiva. Qual será sua
velocidade ao atingir a placa negativa?
2. || A intensidade de campo elétrico é de 20.000 N/C no interior de
um capacitor com 1,0 mm de espaçamento entre as placas paralelas. Um elétron parte do repouso da placa negativa. Qual será a
velocidade do próton ao atingir a placa positiva?
3. || Um próton parte do repouso da placa positiva de um capacitor
de placas paralelas. Ele cruza o capacitor e chega à placa negativa
com uma velocidade de 50.000 m/s. Qual será a velocidade final do
próton se o experimento for repetido com o dobro da quantidade de
carga original em cada placa do capacitor?
4. || Um próton parte do repouso da placa positiva de um capacitor
de placas paralelas. Ele cruza o capacitor e chega à placa negativa
com uma velocidade de 50.000 m/s. O experimento é repetido com
um íon de He (carga e, massa 4u). Qual é a velocidade do íon ao
chegar à placa negativa?
Seção 29.2 Energia potencial criada por uma carga puntiforme
5. || Qual é a energia potencial elétrica do elétron da FIGURA EX29.5?
Os prótons estão fixos e não podem se mover.
Elétron
,
Prótons
,
,
Seção 29.1 Energia potencial elétrica
,
,
,
,
,
,
FIGURA EX29.6
,
FIGURA EX29.7
7. || Qual é a energia potencial elétrica do grupo de cargas da FIGURA
EX29.7?
Seção 29.3 Energia potencial de um dipolo
8. | Uma molécula de água, perpendicular a um campo elétrico, possui 1,0 1021 J a mais de energia potencial do que uma molécula
de água que esteja alinhada com o campo. O momento de dipolo da
molécula da água é de 6,2 1030 Cm. Qual é a intensidade do
campo elétrico?
9. | O gráfico representa a energia
potencial de um dipolo elétrico.
Considere um dipolo que oscile
entre 60o.
a. Qual é a energia mecânica do
dipolo?
b. Qual é a energia cinética do dipolo quando ele está alinhado
ao campo elétrico?
FIGURA EX29.9
,
,
FIGURA EX29.5
6. || Qual é a energia potencial elétrica do grupo de cargas da FIGURA
EX29.6?
Seção 29.4 Potencial elétrico
10. | Qual é a velocidade de um elétron que foi acelerado a partir do
repouso através de uma diferença de potencial de 1000 V?
11. | Qual é a velocidade de um próton que foi acelerado a partir do
repouso através de uma diferença de potencial de 1000 V?
906
Física: Uma Abordagem Estratégica
12. || Que diferença de potencial é necessária para acelerar um íon He
6
(carga e, massa 4u) do repouso até uma velocidade de 2,0 10
m/s?
13. | Que diferença de potencial é necessária para acelerar um elétron
do repouso até uma velocidade de 2,0 106 m/s?
14. | Um elétron com uma velocidade inicial de 500.000 m/s é levado
ao repouso por um campo elétrico.
a. O próton se moveu para uma região de potencial mais alto ou
mais baixo?
b. Quanto vale a diferença de potencial que deteve o elétron?
15. | Um próton com velocidade inicial de 800.000 m/s é levado ao
repouso por um campo elétrico.
a. O próton se moveu para uma região de potencial mais alto ou
mais baixo?
b. Quanto vale a diferença de potencial que deteve o próton?
16. | Qual é a razão Vp/Ve entre as diferenças de potencial que aceleram um próton e um elétron do repouso (a) até uma mesma velocidade final e (b) até um mesmo valor de energia cinética final?
24. || Uma esfera de rolamento com diâmetro 1,0 mm tem um excesso
de 2,0 109 elétrons. Qual é o potencial da esfera?
25. | Em um modelo semiclássico do átomo de hidrogênio, o elétron
orbita o próton a uma distância de 0,053 nm.
a. Qual é o potencial elétrico criado pelo próton na posição do elétron?
b. Qual é a energia potencial do elétron?
Seção 29.7 Potencial elétrico criado por várias cargas puntiformes
26. | Qual é o potencial elétrico no local indicado pelo ponto na FIGURA
EX29.26?
,
,
,
,
,
,
,
Seção 29.5 Potencial elétrico no interior de um capacitor de placas
paralelas
,
,
,
17. | Mostre que 1 V/m 1 N/C.
18. | a. Qual é a voltagem de uma pilha comum AA ou AAA? (Se você
está em dúvida, pegue uma pilha e examine o rótulo.)
b. Uma pilha AA está conectada a um capacitor de placas paralelas
com placas de 4,0 cm de diâmetro, espaçadas em 2,0 mm. Com
que quantidade de carga a pilha eletriza cada placa?
19. | Um capacitor de placas paralelas com placas de 2,0 cm 2,0 cm
espaçadas em 2,0 mm tem uma intensidade de campo elétrico interno de 10 105 V/m.
a. Qual é a diferença de potencial através do capacitor?
b. Que quantidade de carga encontra-se distribuída em cada placa?
20. | Duas placas de 2,00 cm 2,00 cm constituem um capacitor de
placas paralelas e estão carregadas com 0,708 nC. Qual é a intensidade de campo elétrico e qual é a diferença de potencial através
do capacitor se o espaçamento entre as placas for (a) de 1,00 mm e
(b) de 2,00 mm?
21. || Dois discos com diâmetro de 2,0 cm, espaçados em 2,0 mm,
constituem um capacitor de placas paralelas. O campo elétrico entre os discos tem intensidade de 5,0 105 V/m.
a. Qual é a voltagem através do capacitor?
b. Que quantidade de carga está distribuída em cada disco?
c. Um elétron é lançado da placa negativa. Ele bate na placa positiva com uma velocidade de 2,0 107 m/s. Qual era a velocidade
do elétron ao deixar a placa negativa?
Seção 29.6 Potencial elétrico criado por uma carga puntiforme
22. | Uma carga de 25 nC encontra-se na origem de um sistema de
coordenadas.
a. Quais são os raios das superfícies equipotenciais correspondentes a 1000 V, 2000 V, 3000 V e 4000 V?
b. Desenhe um mapa de contorno no plano xy que mostre a carga e
essas quatro superfícies equipotenciais.
23. | a. Quanto vale o potencial elétrico nos
pontos A, B e C da FIGURA EX29.23?
,
b. Quanto valem as diferenças de poten,
cial VAB e VBC?
,
FIGURA EX29.23
FIGURA EX29.26
,
FIGURA EX29.27
27. | Qual é o potencial elétrico no local indicado pelo ponto na FIGURA
EX29.27?
28. || O potencial elétrico no ponto indicado na FIGURA EX29.28 é de
3140 V. Qual é o valor da carga q?
,
,
,
FIGURA EX29.28
,
29. || Uma carga de 3,0 nC encontra-se em x 0 cm, e outra, de
1,0 nC, encontra-se em x 4 cm. Em que ponto, ou pontos, sobre
o eixo x o potencial elétrico é nulo?
30. || Uma carga de 3,0 nC encontra-se sobre o eixo x em x 9
cm, e outra, de 4 nC, também no eixo x, encontra-se em x 16
cm. Em qual ponto, ou pontos, sobre o eixo y o potencial elétrico é
nulo?
31. || Duas cargas puntiformes qa e qb
estão localizadas sobre o eixo x em
x a e x b, respectivamente. A
FIGURA EX29.31 é o gráfico de Ex, o
componente x do campo elétrico.
a. Quais são os sinais de qa e qb?
b. Qual é a razão ⎪qa/ qb⎪?
c. Desenhe o gráfico de V, o potencial elétrico, em função de x.
FIGURA EX29.31
32. || Duas cargas puntiformes qa e qb
estão localizadas sobre o eixo x em x a e x b, respectivamente.
A FIGURA EX29.32 é o gráfico de V, o potencial elétrico, em função
de x.
a. Quais são os sinais de qa e qb?
b. Qual é a razão ⎪qa/ qb⎪?
CAPÍTULO 29
c. Desenhe o gráfico de Ex, o componente x do campo elétrico, em
função de x.
■
O Potencial Elétrico
907
,
,
FIGURA EX29.32
FIGURA EX29.33
FIGURA P29.41
33. | As duas metades do bastão da FIGURA EX29.33 estão uniformemente carregadas com Q. Qual é o potencial elétrico no ponto
indicado a uma distância d do bastão?
Problemas
34. || Duas cargas puntiformes, afastadas por 2,0 cm, possuem uma
energia potencial elétrica de 180 ␮J. A carga total das duas é de
30 nC. Quanto valem as cargas?
35. || Duas cargas puntiformes positivas estão separadas por 5,0 cm. Se
sua energia potencial elétrica é de 72 ␮J, qual é o módulo da força
que uma carga exerce sobre a outra?
36. || Uma carga de 2,0 nC, e outra, de 2,0 nC estão localizadas
sobre o eixo x em x 1,0 cm e x 1,0 cm, respectivamente.
a. Em qual posição, ou posições, sobre o eixo x o campo elétrico é
nulo?
b. Em qual posição, ou posições, sobre o eixo x o potencial elétrico
é nulo?
c. Desenhe o gráfico da intensidade de campo elétrico e do potencial elétrico em função de x.
37. || Uma carga puntiforme de 10,0 nC, e outra, de 20,0 nC, estão
separadas por 15,0 cm sobre o eixo x.
a. Qual é o potencial elétrico no ponto sobre o eixo x onde o campo
elétrico é nulo?
b. Qual é o módulo do campo elétrico no ponto do eixo x, entre as
cargas, onde o potencial elétrico é nulo?
38. || Duas contas de 1,0 g cada uma, cada qual carregada com 5,0
nC, estão separadas por 2,0 cm. Uma conta de 2,0 g, carregada com
1,0 nC, encontra-se exatamente a meia distância entre as duas
primeiras contas. As contas partem do repouso. Quais serão os módulos das velocidade das contas positivas, em cm/s, quando elas
estiverem muito afastadas?
39. || Uma conta A tem massa de 15 g e carga de 5,0 nC. Uma conta
B tem massa de 25 g e carga de 10,0 nC. As contas são mantidas
afastadas por 12 cm (medidos entre seus centros) e soltas. Qual é o
valor da velocidade máxima alcançada por cada conta?
DICA: Há duas grandezas que são conservadas. Faça uso de ambas.
40. || Duas pequenas esferas metálicas, com massas 2,0 g e 4,0 g, são
amarradas às extremidades de uma corda de massa desprezível
com 5,0 cm de comprimento e encontram-se em repouso sobre
uma superfície desprovida de atrito. Cada uma possui carga de
2,0 ␮C.
a. Qual é a energia desse sistema?
b. Qual é a tensão na corda?
c. A corda é cortada. Qual será velocidade de cada esfera quando
elas estiverem muito afastadas?
DICA: Há duas grandezas que são conservadas. Faça uso de ambas.
41. || As quatro esferas de 1,0 g mostradas na FIGURA P29.41 são soltas
simultaneamente e podem se afastar uma da outra. Qual será a velocidade de cada esfera quando elas estiverem muito afastadas?
FIGURA P29.42
42. || A velocidade de um próton ao passar pelo ponto A da FIGURA
P29.42 é de 50.000 m/s. Ele descreve a trajetória mostrada na figura. Qual é a velocidade do próton no ponto B?
43. || Um arranjo de cargas-fonte produz um potencial elétrico dado
por V 5000 x2 ao longo do eixo x, onde V está em volts, e x, em
metros.
a. Desenhe o gráfico do potencial entre x 10 cm é x 10 cm.
b. Descreva o movimento de uma partícula positivamente carregada
nesse potencial.
c. Qual é a energia mecânica de uma partícula de 1,0 g se os seus
pontos de retorno estão em 8,0 cm?
d. Qual é a velocidade máxima atingida pela partícula?
44. || Um próton se move ao longo do eixo x, onde um arranjo de cargas-fonte criou o potencial elétrico dado por V 6000 x2, sendo
que V está em volts, e x, em metros.
a. Desenhe o gráfico do potencial entre x 5,0 cm e x 5,0 cm.
b. Descreva o movimento do próton.
c. Explorando a analogia com a energia potencial de uma massa
sobre uma mola, determine a “constante efetiva de mola” correspondente ao potencial elétrico.
d. Qual é a freqüência de oscilação do próton (em Hz)?
45. || Na FIGURA P29.45, um próton é lançado com uma velocidade de 200.000
m/s a partir do ponto central de um
capacitor de placas paralelas em direção à placa positiva.
a. Mostre que essa velocidade é insu.
ficiente para que o próton alcance a
placa positiva.
b. Qual é a velocidade do próton ao
FIGURA P29.45
colidir com a placa negativa?
46. || O canhão de elétrons do tubo de imagem de uma TV acelera os
elétrons entre duas placas paralelas, afastadas em 1,2 cm e com 25
kV de diferença de potencial entre elas. Os elétrons entram através
de um pequeno orifício na placa negativa, aceleram e, então, saem
através de um pequeno orifício na placa positiva. Assuma que os
orifícios sejam suficientemente pequenos para não afetar o campo
elétrico ou o potencial.
a. Qual é a intensidade do campo elétrico entre as placas?
b. Com que velocidade o elétron sai do canhão se sua velocidade de
entrada é próxima a zero?
NOTA A velocidade de saída é tão grande que, de fato, precisamos usar a teoria da relatividade para calcular um valor preciso.
Sua resposta ao item b está na faixa correta, mas é um pouco grande
demais. 47. || Uma sala cujo teto está a 3,0 m de altura tem uma placa de metal,
com V 0 V sobre o piso e uma placa metálica separada no teto.
Uma bola de vidro de 1,0 g, carregada com 4,9 nC, é lançada
verticalmente para cima a 5,0 m/s. Que altura a bola atingirá se a
voltagem do teto for de (a) 3,0 106 V e (b) 3,0 106 V?
908
Física: Uma Abordagem Estratégica
48. || O íon do hidrogênio molecular H 2 , com um elétron e dois prótons, é a molécula mais simples. O espaçamento de equilíbrio entre
os prótons é de 0,11 nm. Suponha que o elétron se encontre no
6
ponto médio entre os prótons, movendo-se a 1,5 10 m/s em uma
direção perpendicular à linha que passa pelos prótons. Ao longo de
que distância (em nm) o elétron se move antes de atingir o ponto de
retorno? Devido às suas massas relativamente grandes, os prótons
permanecem fixos durante este intervalo de tempo.
NOTA Uma descrição precisa do H 2 requer a mecânica quântica.
Mesmo assim, um cálculo clássico como esse fornece uma idéia do
interior da molécula. 49. || Qual é a velocidade de escape de um elétron lançado a partir da
superfície de uma esfera de vidro com 1,0 cm de diâmetro previamente carregada com 10 nC?
50. || Sua tarefa de laboratório é usar uma carga Q positiva para lançar
um próton, inicialmente em repouso, de modo que ele adquira a
máxima velocidade possível. Você pode lançar o próton a partir da
superfície de uma esfera com carga positiva Q e de raio R ou do
centro de um anel com carga Q e raio R ou, ainda, do centro de um
disco com carga Q e raio R. Qual deles você escolherá?
51. || Um dipolo elétrico consiste de duas esferas de 1,0 g, carregadas com
2,0 nC, fixas às extremidades de um bastão com 10 cm de comprimento e de massa desprezível. O dipolo gira, praticamente sem atrito,
sobre um pivô localizado no centro do bastão. O dipolo é mantido perpendicularmente a um campo elétrico uniforme com intensidade de
1000 V/m e, depois, é solto. Qual será a velocidade angular do dipolo
no instante em que ele está alinhado com o campo elétrico?
52. ||| Três elétrons formam um triângulo eqüilátero com 1,0 nm de
lado. Um próton encontra-se no centro do triângulo. Qual é a energia potencial desse grupo de cargas?
53. ||| Uma conta de vidro de 2,0 mm de diâmetro está carregada positivamente. A diferença de potencial entre um ponto situado a 2,0
mm da conta e outro ponto, a 4,0 mm da conta, é de 500 V. Qual é a
carga da conta?
54. ||| Um próton é lançado, de longe, em direção ao núcleo de um átomo de ferro. O ferro é o elemento de número atômico 26 e o diâmetro de seu núcleo é de 9,0 fm. Qual deve ser a velocidade inicial do
próton para que ele apenas consiga alcançar a superfície do núcleo?
Considere que o núcleo permanece em repouso durante a aproximação do próton.
55. || Um próton é lançado, de longe, em direção ao núcleo de um átomo de mercúrio. O mercúrio é o elemento de número atômico 80
e o diâmetro doe seu núcleo é de 14,0 fm. Se o próton for lançado
7
a uma velocidade de 4,0 10 m/s, qual será a sua distância mais
próxima da superfície do núcleo? Considere que o núcleo permanece em repouso durante a aproximação do próton.
56. || Na forma de decaimento radioativo conhecida como decaimento
alfa, um núcleo instável emite um núcleo de átomo de hélio, chamado de partícula alfa. Uma partícula alfa contém dois prótons e
dois nêutrons, tendo, portanto, uma massa m 4u e uma carga q
2e. Suponha que um núcleo de urânio, com 92 prótons, decaia
transformando-se em um núcleo de tório, com 90 prótons, e em
uma partícula alfa. A partícula alfa está inicialmente em repouso
na superfície do núcleo de tório, cujo diâmetro é de 25 fm. Qual é a
velocidade da partícula alfa quando ela é detectada no laboratório?
Considere que o núcleo de tório permanece em repouso durante o
afastamento da partícula alfa.
57. || Uma forma de radiação nuclear, o decaimento beta, ocorre quando
um nêutron se transforma em um próton, um elétron e uma partícula
neutra chamada neutrino: n → p e ␯, onde ␯ é o símbolo do
neutrino. Quando essa transformação acontece para um nêutron no
interior do núcleo de um átomo, o próton permanece agregado ao
núcleo, enquanto o elétron e o neutrino são ejetados do mesmo. O
elétron ejetado é chamado de partícula beta. Um núcleo que exibe o
decaimento beta é o isótopo do hidrogênio 3H, chamado trítio, cujo
núcleo consiste de um próton (o que o faz ser hidrogênio) e dois
nêutrons (dando ao trítio uma massa m 3u). O trítio é radioativo e
decai para hélio através da reação 3H → 3He e ␯.
a. A carga é conservada no processo de decaimento beta? Explique.
b. Por que o produto final é um átomo de hélio? Explique.
c. Os núcleos 3H e 3He possuem um raio de 1,5 1015 m. Com que
velocidade mínima o elétron deve ser ejetado a fim de escapar do
núcleo e não voltar mais para ele?
58. || O Sol funciona pelo processo de fusão, em que quatro prótons se
fundem para formar um núcleo de hélio (dois dos prótons envolvidos se transformam em nêutrons), liberando no processo uma grande quantidade de energia térmica. O processo acontece em diversas
etapas, e não de uma só vez. Em uma das etapas, dois prótons se
fundem a um próton, com um deles se tornando um nêutron, para
formar o isótopo “hidrogênio pesado”, o deutério (2H). Basicamente, um próton é uma esfera carregada com diâmetro de 2,4 fm, e
a fusão somente ocorrerá se os dois prótons entrarem em contato.
Isso requer temperaturas extraordinariamente altas por causa da
forte repulsão entre os prótons. Lembre-se de que a energia cinética
média de uma partícula de um gás vale
a. Suponha que dois prótons, cada qual com energia cinética exatamente igual à média, sofram uma colisão direta um com o outro.
Qual deve ser a temperatura mínima?
b. Sua resposta ao item a é muito maior do que 15 milhões de graus
kelvin (K), a temperatura do centro do Sol. Se a temperatura
fosse tão alta quanto você calculou, cada próton do Sol fundiria
sempre quase que instantaneamente, e o Sol explodiria. Para o
Sol, nos últimos bilhões de anos, a fusão ocorreu apenas por colisões entre dois prótons com energia cinética muito mais alta do
que a média. Somente uma diminuta fração dos prótons possui
energia cinética suficiente para a fusão, ao colidirem, entretanto
essa fração é suficiente para manter o Sol funcionando. Suponha
que dois prótons com a mesma energia cinética colidam frontalmente e que apenas raramente consigam fundir-se. Em que fator
a energia de cada próton excede a energia cinética média correspondente a 15 milhões de graus kelvin?
59. || Dois eletrodos circulares com 10 cm de diâmetro, separados por
0,50 cm de distância, formam um capacitor de placas paralelas. Os
eletrodos estão presos por fios de metal aos terminais de uma bateria de 15 V. Depois de um longo tempo, o capacitor é desconectado
da bateria, mas não é descarregado. Quais serão as cargas sobre
cada eletrodo, a intensidade do campo elétrico no interior do capacitor e a diferença de potencial entre os eletrodos:
a. Exatamente após a bateria ter sido desconectada?
b. Após os eletrodos terem sido afastados um do outro, com as
mãos isoladas, até ficarem separados por 1,0 cm?
c. Após os eletrodos originais (não os eletrodos modificados do item
b) serem expandidos até ficarem com o diâmetro de 20 cm?
60. || Dois eletrodos circulares com 10 cm de diâmetro, separados por
0,50 cm de distância, formam um capacitor de placas paralelas. Os
eletrodos estão presos por fios de metal aos terminais de uma bateria de 15 V. Quais serão as cargas sobre cada eletrodo, a intensidade
do campo elétrico no interior do capacitor e a diferença de potencial
entre os eletrodos:
a. Enquanto o capacitor estiver conectado à bateria?
b. Após os eletrodos terem sido afastados um do outro, com as
mãos isoladas, até ficarem separados por 1,0 cm? Os eletrodos
permanecem conectados à bateria durante o processo.
c. Após os eletrodos originais (não os eletrodos modificados do
item b) serem expandidos até ficarem com o diâmetro de 20 cm,
enquanto permanecem conectados à bateria?
CAPÍTULO 29
61. || a. Encontre uma expressão algébrica em função do potencial V0 e
do raio R da esfera para a intensidade E0 do campo elétrico na
superfície de uma esfera carregada.
b. Qual é a intensidade de campo elétrico na superfície de uma
bola de gude de 1,0 cm de diâmetro, carregada e com uma
diferença de potencial de 500 V entre as placas?
62. || Duas gotas esféricas de mercúrio são, cada uma, dotadas de uma
carga de 0,10 nC e de um potencial de 300 V. As duas gotas se fundem formando uma única gota. Qual é o potencial na superfície da
nova gota?
63. || O gerador de Van de Graaf é um dispositivo para geração de um
grande potencial elétrico através da acumulação de carga sobre uma
esfera oca metálica. Um típico modelo para demonstrações em sala
de aula tem um diâmetro de 30 cm.
a. O gerador é carregado pela deposição de carga sobre a superfície
interior da esfera de metal. O que acontece com a carga após ela
ter sido posta ali?
b. Que quantidade de carga é necessária sobre a esfera para que seu
potencial seja de 500.000 V?
c. Qual é a intensidade do campo elétrico no interior e no exterior
da superfície da esfera quando ela se encontra carregada sob uma
voltagem de 500.000 V?
64. || Uma casca esférica fina de raio R possui uma carga total Q. Qual
é o potencial elétrico no centro da casca?
65. || A FIGURA P29.65 mostra duas
esferas uniformemente carregadas.
Qual é a diferença de potencial entre os pontos a e b? Que ponto se
encontra a um potencial mais alto?
Dica: Em qualquer ponto, o poFIGURA P29.65
tencial é a soma dos potenciais
devido a todas as cargas.
66. || Um dipolo elétrico com momento de dipolo p está orientado ao
longo do eixo y.
a. Encontre uma expressão para o potencial elétrico criado sobre o
eixo y em um ponto onde y é muito maior do que o espaçamento
s entre as cargas do dipolo.
b. O momento de dipolo de uma molécula da água é de 6,2 1030
Cm. Qual é o potencial elétrico a 1,0 nm da molécula de água, ao
longo do eixo de seu dipolo?
67. || Duas cargas puntiformes positivas q estão localizadas sobre o
eixo y em
a. Obtenha uma expressão para o potencial criado pelas cargas ao
longo do eixo x.
b. Desenhe o gráfico de V versus x para a região x . Para
comparação, trace uma linha pontilhada para indicar o potencial
criado uma carga puntiforme 2q posicionada na origem do sistema de coordenadas.
68. || O arranjo de cargas mostrado na FIGURA P29.68 é chamado de
quadripolo elétrico linear. As cargas positivas estão localizadas em
y s. Note que a carga total do quadripolo é nula. Obtenha uma
expressão para o potencial elétrico criado pelo quadripolo sobre o
eixo y a distâncias y
s.
Ponto sobre a linha de
bissecção
Carga Q
FIGURA P29.69
O Potencial Elétrico
909
69. || A FIGURA P29.69 mostra um bastão fino de comprimento L e com
uma carga Q. Encontre uma expressão para o potencial elétrico
criado por ele a uma distância x do centro do bastão em um ponto
do eixo x.
70. || A FIGURA P29.69 mostra um bastão fino de comprimento L dotado
de uma carga Q. Obtenha uma expressão para o potencial elétrico
criado pelo bastão a uma distância z do centro do mesmo sobre a
linha de bissecção.
71. || A FIGURA P29.71 mostra um bastão fino,
dotado de uma carga Q, que foi curvado
para se transformar em um semicírculo
de raio R. Obtenha uma expressão para
Centro
o potencial elétrico criado por ele em seu
próprio centro.
Carga Q
FIGURA P29.71
72. || Um disco dotado de um orifício tem um raio interior R
int e um raio
exterior Rext. O disco é uniformemente carregado com uma carga total Q. Obtenha uma expressão para o potencial elétrico criado sobre
o eixo de simetria do disco a uma distância z de seu centro. Verifique se sua expressão apresenta o comportamento correto quando
Rint → 0.
Nos Problemas de 73 a 75 é fornecida uma equação para ser usada na
resolução de um problema. Para cada uma delas:
a. Redija um problema realista para o qual essa a equação seja correta.
b. Obtenha a solução do problema proposto.
73.
74.
75.
Problemas desafiadores
76. Uma carga de 1,0 nC encontra-se na origem de um sistema de
coordenadas. Uma carga de 3,0 nC encontra-se sobre o eixo x
em x 4,0 cm. Encontre todos os pontos do plano xy nos quais o
potencial é nulo. Expresse sua resposta na forma de um mapa de
contorno, mostrando a linha equipotencial correspondente a V 0 V.
77. Um próton e uma partícula alfa (q 2e, m 4u) são disparados,
de longe, um em direção ao outro, cada qual com uma velocidade
inicial de 0,010c. Qual é a distância de máxima aproximação entre
eles, medida entre seus centros?
78. As esferas da FIGURA PD29.78, com 2,0 mm de diâmetro, partem
do repouso. Quais serão as velocidades vA e vB quando as esferas
estiverem muito afastadas?
,
,
Ponto sobre o eixo
,
,
FIGURA P29.68
■
,
,
FIGURA PD29.78
FIGURA PD29.79
,
,
910
Física: Uma Abordagem Estratégica
79. As esferas da FIGURA PD29.79, com 2,0 mm de diâmetro, partem do
repouso. Quais serão as velocidades vC e vD no instante em que elas
colidem?
80. Um dipolo elétrico possui momento de dipolo p. Para r
s, onde
s é a separação entre as cargas, mostre que o potencial elétrico do
dipolo pode ser escrito como
onde r é a distância em relação ao centro do dipolo e ␪ é o ângulo
em relação ao eixo do dipolo.
81. Dois eletrodos de área A estão separados um do outro por uma distância d, formando um capacitor de placas paralelas. Os eletrodos
estão carregados com q.
a. Qual será o aumento infinitesimal dU de energia potencial elétrica se uma quantidade infinitesimal dQ de carga for transferida do
eletrodo negativo para o eletrodo positivo?
b. Um capacitor descarregado pode ser carregado com Q por
meio da transferência repetida de cargas infinitesimais de valor
dq. Use sua resposta ao item anterior para mostrar que a energia
potencial de um capacitor carregado com Q é dada por Ucap QVC.
82. Uma esfera de raio R possui uma carga q.
a. Qual será o aumento infinitesimal dU de potencial elétrico se
uma quantidade infinitesimal dq de carga for trazida do infinito
até a superfície da esfera?
b. Uma esfera descarregada pode adquirir carga total Q por meio da
transferência repetida de cargas infinitesimais dq. Use sua resposta ao item anterior para obter uma expressão para a energia
potencial de uma esfera de raio R dotada de uma carga total Q.
c. Sua resposta ao item b é a quantidade de energia necessária
para carregar uma esfera carregada. Ela é geralmente chamada
de auto-energia da esfera. Qual é a auto-energia de um próton,
considerando-o como uma esfera carregada com um diâmetro de
1,0 1015 m?
83. O fio da FIGURA PD29.83 tem uma densidade de carga linear ␭. Qual
é o potencial elétrico criado por ele no centro do semicírculo?
FIGURA PD29.83
84. Um disco circular de raio R, dotado de uma carga total Q, tem sua
carga distribuída de maneira a resultar em uma densidade linear de
carga dada pela função ␩ cr, onde c é uma constante. Obtenha
uma expressão para o potencial elétrico criado a uma distância z
sobre o eixo de simetria do disco. Sua expressão deve incluir R e Q,
mas não c.
85. Uma casca cilíndrica oca, de comprimento L e raio R, possui uma
carga Q uniformemente distribuída ao longo do comprimento. Qual
é o potencial elétrico no centro do cilindro?
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 29.1: Nulo. O movimento é sempre perpendicular à força
elétrica.
Pare e Pense 29.2: Ub Ud Ua Uc. A energia potencial é inversamente proporcional a r. Os efeitos da duplicação da carga e da duplicação da distância se cancelam mutuamente.
Pare e Pense 29.3: c. O próton adquire velocidade à custa da perda de
energia potencial. Ele perde energia potencial quando se move no sentido em que diminui o potencial elétrico.
Pare e Pense 29.4: Va Vb Vc Vd Ve. O potencial decresce
constantemente da placa positiva para a placa negativa. Ele depende
apenas da distância até a placa positiva.
Pare e Pense 29.5: Vac Vbc Vab. O potencial depende apenas
da distância até a carga-fonte, e não, da orientação. Vab 0 porque
estes pontos estão a uma mesma distância.
Potencial e Campo 30
Estas células solares são células
fotovoltaicas, o que significa que a luz
(foto) cria uma voltagem – ou seja, uma
diferença de potencial.
Olhando adiante
As células solares, como as baterias, “geram eletricidade”. Mas o que isso significa?
O objetivo do Capítulo 30 é
compreender como o potencial
elétrico se relaciona com o campo
elétrico. Neste capítulo, você
aprenderá a:
O que realmente faz uma bateria?
As baterias são apenas um dos vários tópicos que exploraremos à medida que continuarmos nossa investigação do potencial elétrico. O assunto mais extenso que devemos
analisar primeiro é o da conexão entre o potencial elétrico e o campo elétrico. O potencial e o campo não são duas idéias independentes, mas simplesmente duas perspecitvas
diferentes sobre como as cargas-fonte alteram o espaço ao seu redor. Explorando a
conexão entre o potencial e o campo, reforçaremos nossa compreensão de ambos.
Nossa discusão do potencial elétrico vai nos orientar, naturalmente, para importantes aplicações que incluem baterias, capacitores e, nos próximos dois capítulos, correntes e circuitos elétricos.
■ Calcular o potencial elétrico a partir
30.1 Relacionando o potencial e o campo
Este capítulo continua nossa
exploração dos tópicos apresentados
nos Capítulos 27 e 29. Revise:
do campo elétrico.
■ Calcular o campo elétrico a partir
do potencial elétrico.
■ Comprender a geometria do
potencial e do campo.
■ Compreender e usar as fontes de
potencial elétrico.
■ Compreender e usar os
capacitores.
Em retrospectiva
O Capítulo 29 introduziu o conceito de potencial elétrico. Para continuar nossa investigação desse assunto importante, a FIGURA 30.1, na página seguinte, mostra esquematicamente as quatro idéais-chave de força, campo, energia potencial e potencial. Nos
Capítulos 10 e 11, exploramos a conexão entre a força exercida sobre uma partícula e
a energia potencial da mesma. No Capítulo 26, lidamos com a natureza de ação a distância da força elétrica, generalizando a idéia de uma força à de um campo elétrico, e
baseamos a idéia de potencial elétrico na de energia potencial.
O “elo que falta” é a relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico, que é o
foco deste capítulo. O potencial elétrico e o campo elétrico não são duas entidades
■ Seção 26.7 Dipolos em um campo
elétrico
■ Seção 27.5 Capacitor de placas
paralelas
■ Seções 29.4 – 29.6 O potencial
elétrico e suas representações
gráficas
912
Física: Uma Abordagem Estratégica
sem qualquer relação uma com a outra, mas, ao contrário, são duas perspectivas
diferentes ou duas representações matemáticas diferentes da maneira como as cargas-fonte alteram o espaço ao seu redor.
Determinando o potencial a partir do campo elétrico
Conceito
de força
Conceito
de energia
Atuação
local
Em todo
o espaço
Suponha que conheçamos o campo elétrico em alguma região do espaço. Se o potencial
e o campo são realmente a mesma coisa vista de duas perspectivas diferentes, deveríamos ser capazes de determinar o potencial elétrico a partir do campo elétrico. O Capítulo 29 introduziu todas as peças para efetuarmos isso, apenas precisamos juntá-las em um
enunciado geral.
Usamos a energia potencial da carga q e as cargas-fonte para definir o potencial
elétrico como
FIGURA 30.1 As quatro idéias-chave.
(30.1)
A energia potencial é definida em termos do trabalho realizado por uma força sobre a
carga q enquanto ela se move de uma posição inicial i para uma posição final f:
(30.2)
Todavia a força exercida sobre a carga q pelo campo elétrico é
. Juntando essas
três partes, você pode verificar que a carga q é cancelada durante o cálculo e que a diferença de potencial entre os dois pontos i e f do espaço é
(30.3)
onde s é a posição ao longo da linha que vai do ponto i ao ponto f, ou seja, podemos determinar a diferença de potencial entre dois pontos se conhecermos o campo elétrico.
Podemos pensar em uma integral como igual à área sob uma curva. Assim, a interpretação gráfica para a Equação 30.3 é
Vf Vi (área sob a curva de Es versus s, entre si e sf)
(30.4)
Note que, devido ao sinal negativo da Equação 30.3, a área é subtraída de Vi, e não,
adicionada a ele. As técnicas gráficas que você aprendeu no Capítulo 2 para relacionar
velocidade e aceleração também serão úteis aqui para relacionar o potencial e o campo.
EXEMPLO 30.1 Determinando o potencial
A FIGURA 30.2 é o gráfico de Ex, o componente x do campo elétrico,
versus a posição ao longo do eixo x. Determine V(x) e trace o gráfico
correspondente. Considere que V 0 em x 0 m.
de Ex. Podemos verificar que Ex 1000x V/m, onde x está em m.
Assim,
Vf V(x) 0 (área sob a curva Ex)
2
base altura (x)(1000x) 500 x V
A FIGURA 30.3 mostra que o potencial elétrico nessa região do espaço
corresponde a um gráfico parabólico que decresce desde 0 V, em x 0 m, até 2000 V, em x 2 m.
área
FIGURA 30.2 Gráfico de Ex versus x.
MODELO A diferença de potencial é o negativo da área sob a curva.
VISUALIZAÇÃO O campo Ex é positivo em toda essa região do espaço, o
que significa que
aponta no sentido positivo de x.
RESOLUÇÃO Se integrarmos desde x 0, então Vi V(x 0) 0.
Para x 0, o potencial é o negativo da área triangular sob a curva
FIGURA 30.3 Gráfico de V versus x.
AVALIAÇÃO O campo elétrico aponta no sentido em que V diminui.
Logo veremos que isso constitui uma regra geral.
CAPÍTULO 30
■
Potencial e Campo
913
A Equação 30.3 determina apenas a diferença de potencial V. Se você deseja assinalar um valor específico de V para um determinado ponto do espaço, deve escolher
primeiro o ponto zero do potencial.
BOX TÁTICO
30.1
Determinação do potencial a partir do campo
elétrico
Desenhe uma figura e identifique o ponto no qual você deseja determinar o potencial. Chame essa posição de i.
Escolha o ponto zero do potencial, freqüentemente a uma distância infinita.
Chame essa posição de f.
Defina um eixo de coordenadas desde i até f ao longo do qual você já conhece
ou pode facilmente determinar o componete Es do campo elétrico.
Efetue a integração da Equação 30.3 e determine o potencial.
Para entender como isso funciona, vamos usar o campo elétrico criado por uma carga
puntiforme para determinar o potencial elétrico correspondente. A FIGURA 30.4 identifica
um ponto P em si r no qual desejamos conhecer o potencial, e denotamos essa posição
por i. Escolhemos a posição f em sf e a identificamos como o ponto zero do potencial. A integração da Equação 30.3 se dá diretamente para fora da carga, ao longo da linha radial que vai de i a f:
Identifique o ponto no qual
deseja determinar o potencial. Esta é a posição i,
correspondente a si r.
Defina um eixo de coordenadas ao longo do qual
seja conhecido.
(30.5)
O campo elétrico tem direção radial e aponta para fora da carga. Seu componente s é
até
Escolha um ponto zero
para o potencial. Nesse
caso, a posição f correspondente a sf .
Integre ao longo do eixo s.
Assim, o potencial à distância r de uma carga puntiforme q é
FIGURA 30.4 Determinando o potencial
(30.6)
criado por uma carga puntiforme.
Reencontramos o potencial criado por uma carga puntiforme que você aprendeu no Capítulo 29:
(30.7)
EXEMPLO 30.2 O potencial criado por um capacitor de
Determine o potencial aqui.
placas paralelas
No Capítulo 27, determinamos o campo elétrico no interior de um
capacitor como
Determine o potencial elétrico no interior do capacitor. Considere V
0 na placa negativa.
aponta no sentido
negativo do eixo s.
MODELO O campo elétrico no interior do capacitor é um campo uni-
forme.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 30.5 mostra uma vista lateral do capacitor e
indica o ponto P onde desejamos determinar o potencial. Escolhemos
um eixo s com origem na placa negativa, a qual é definida como o
ponto zero do potencial.
Escolha o ponto
zero do potencial.
Estabeleça um eixo
de coordenadas.
FIGURA 30.5 Determinando o potencial no interior de um
capacitor.
Continua
914
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESOLUÇÃO Integraremos ao longo do eixo s, desde si s até sf 0
(onde Vf 0 V). Note que tem o sentido negativo do eixo s, portanto Es Q/0A. A grandeza Q/0A é uma constante. Assim,
A carga é separada pela
transferência de elétrons
de um eletrodo para o outro.
A separação de cargas cria
um campo elétrico orientado
do objeto positivamente
carregado para o objeto
negativamente carregado.
Devido ao campo elétrico, existe uma
diferença de potencial entre os eletrodos.
FIGURA 30.6 Uma separação de cargas cria
uma diferença de potencial.
AVALIAÇÃO V Es é o potencial do capacitor, deduzido no Capítulo
29 diretamente da energia potencial. O potencial aumenta linearmente de V 0, na placa negativa, até V Ed, na placa positiva.
Assim, neste caso, obtivemos o potencial a partir de sua relação com
o campo.
30.2 Fontes de potencial elétrico
A separação de cargas cria uma diferença de potencial elétrico. Arrastar os pés sobre o
tapete transfere elétrons do tapete para você, criando uma diferença de potencial entre
você e a maçaneta da porta, o que causará uma centelha e um choque se você a tocar.
Carregar um capacitor por meio da transferência de elétrons de uma placa para outra
produz uma diferença de potencial através do capacitor.
De fato, como mostra a FIGURA 30.6, qualquer separação de cargas dá origem a uma
diferença de potencial. A separação de cargas entre dois eletrodos cria um campo elétrico que aponta do eletrodo positivo para o negativo. Como conseqüêcia, existe uma
diferença de potencial entre os eletrodos, dada por
onde a integral se estende de um ponto qualquer sobre o eletrodo negativo a um ponto
qualquer do eletrodo positivo. A idéia-chave é que podemos criar uma diferença de
potencial por meio de uma separação de cargas.
O gerador de Van de Graaff mostrado na FIGURA 30.7a é um separador de cargas mecânico – essencialmente, um sofisticado “arrastador de pés”. Uma correia em movimento, feita de plástico ou couro, é carregada. Então, a carga é transportada mecanicamente
pela correia transportadora até o eletrodo esférico posicionado no topo de uma coluna
feita de material isolante. O carregamento da correia poderia ser feito por fricção, mas,
na prática, uma descarga corona, criada por um forte campo elétrico na ponta de uma
agulha, é mais eficiente e confiável.
Esfera oca de metal
A correia, de plástico
ou de couro, é uma
correia transportadora
que leva mecanicamente
as cargas para o topo.
Tubo plástico isolante
A ponta de um fio extrai
as cargas da correia e com
elas carrega a esfera.
A descarga corona
carrega a correia
positivamente.
Motor elétrico
FIGURA 30.7 O gerador de Van de Graaff.
O gerador de Van de Graaff tem duas características notáveis:
■ As cargas são transportadas mecanicamente do lado negativo para o lado positivo.
Essa separação de cargas dá origem a uma diferença de potencial entre o eletrodo
esférico e a sua vizinhança.
CAPÍTULO 30
■
Potencial e Campo
915
■ O campo elétrico criado pelo eletrodo esférico exerce uma força orientada para baixo
sobre as cargas positivas que se movem, junto com a correia, para cima. Conseqüentemente, deve ser realizado trabalho para “levantar” as cargas positivas. Tal trabalho
é realizado pelo motor elétrico, que movimenta a correia.
Uma demonstração em sala de aula com um gerador de Van de Graaff, como aquela
mostrada na FIGURA 30.7b, cria uma diferença de potencial de várias centenas de milhares de
volts entre a esfera superior e sua vizinhança. O potencial máximo é atingido quando o campo elétrico próximo à esfera torna-se suficientemente grande para causar uma ruptura dielétrica do ar. Isso produz uma centelha e descarrega temporariamente a esfera. Um gerador de
Van de Graaff de grande porte, cercado por vácuo, pode atingir um potencial de 20 MV ou
mais. Esses geradores são usados para acelerar prótons em experimentos de física nuclear.
Para nós, o gerador de Van de Graaff é importante porque mostra que uma diferença
de potencial pode ser criada e mantida por um dispositivo que produz uma separação de
cargas.
Baterias e fem
Terminal positivo
Aumentando U
A fonte mais comum de potencial eletrico é a bateria. Toda bateria consiste de elementos químicos, denominados eletrólitos, encaixados entre dois eletrodos feitos de materiais diferentes. As reações químicas que ocorrem nos eletrólitos separam as cargas pelo
movimento dos íons positivos para um eletrodo, e dos íons negativos para outro eletrodo.
Em outras palavras, em lugar de uma correia transportadora mecânica, são as reações
químicas que transferem cargas de um eletrodo para o outro. O procedimento é diferente, mas o resultado é o mesmo: a criação de uma diferença de potencial.
Podemos deixar de lado os detalhes químicos, apresentando o modelo de escada rolante de carga para uma bateria, mostrado na FIGURA 30.8. A escada rolante separa as cargas, “elevando” as cargas positivas do terminal negativo para o terminal positivo. A elevação de cargas positivas para um terminal positivo requer a realização de trabalho, e as
reações químicas no interior da bateria fornecem a energia requerida para esse trabalho.
Quando os elementos químicos se esgotam, cessam as reações e a bateria torna-se inativa.
Por meio da separação de cargas, a escada rolante de cargas estabelece uma diferença de potencial Vbat entre os terminais. O valor de Vbat é determinado pelas reações
químicas específicas que ocorrem na bateria. Para compreender como, suponha que as
reações químicas realizem um trabalho Wquim para transferir uma carga q do terminal
negativo para o positivo. Em uma bateria ideal, na qual não ocorre perda interna de
energia, a carga ganha uma energia potencial elétrica U Wquim. Isso é análogo a um
livro que ganha energia potencial gravitacional à medida que você realiza trabalho para
erguê-lo do chão até a prateleira.
A grandeza Wquim/q, que é o trabalho realizado por carga pela escada rolante de carga,
é chamada de fem de uma bateria, pronunciado como uma seqüência de letras, “f-e-m”. O
símbolo geralmente usado para fem é , a letra E cursiva, e sua unidade é a mesma do potencial elétrico: joule por coulomb ou volt. A especificação de uma bateria, como 1,5 V ou
9 V, representa a fem da bateria. Originalmente, o termo fem era uma abreviação de “força
eletromotriz”. Trata-se de um termo obsoleto (trabalho por carga não é força!), de modo
que, hoje em dia, a chamamos apenas de fem, que não é abreviação de coisa alguma.
Fluxo
de íons
Terminal negativo
A escada rolante de cargas as “eleva” do
terminal negativo para o positivo. A carga
q adquire energia U qVbat.
FIGURA 30.8 O modelo de escada rolante
de cargas para uma bateria.
NOTA O termo fem, freqüentemente grafado com letras maiúsculas, FEM, é am-
plamente usado em artigos de divulgação científica em jornais e revistas com o significado de “electromagnetic field” (campo eletromagnético). Você provavelmente já
se deparou com o termo FEM se tiver acompanhado o debate sobre a possibilidade
de linhas de transmissão elétrica, que geram campos eletromagnéticos, serem perigosas para a saúde. Este não é a maneira como empregaremos o termo fem. Pela definição, o potencial elétrico está relacionado à energia potencial elétrica da
carga q através de V U/q. Todavia para as cargas em uma bateria U Wquim, de
modo que a diferença de potencial entre os terminais de uma bateria ideal é
(bateria ou pilha ideal)
(30.8)
Em outras palavras, uma bateria construída para ter uma fem de 1,5 V (isto é, em que
as reações químicas realizam 1,5 J de trabalho para separar 1 C de carga) dá origem a
As pilhas dessa lanterna estão dispostas
em série a fim de gerar o dobro da
diferença de potencial de uma pilha
apenas.
916
Física: Uma Abordagem Estratégica
uma diferença de potencial de 1,5 V entre os terminais positivo e negativo. Na prática, a
diferença de potencial Vbat medida entre os terminais de uma bateria real, chamada de
voltagem terminal, é geralmente um pouco menor do que . Você compreenderá a razão
para isso no Capítulo 32.
Muitos dispositivos elétricos domésticos, desde lâmpadas de flash até câmeras digitais,
funcionam com mais do que uma pilha. Por quê? Um tipo particular de pilha, como as do
tipo AA ou AAA, produz uma fem fixa, determinada pelas reações químicas que ocorrem
internamente. A fem de uma pilha, geralmente de 1,5 V, não é suficiente para acender uma
lâmpada ou ligar uma câmera. Mas, da mesma maneira que você pode alcançar o terceiro
andar de um prédio tomando três escadas rolantes em seqüência, podemos produzir uma
grande diferença de potencial posicionando duas ou mais pilhas em série. A FIGURA 30.9
mostra duas pilhas em que o terminal positivo de uma encosta, literalmente, no terminal
negativo da próxima. As pilhas de uma lanterna geralmente são dispostas assim. Outros
dispositivos, como as câmeras fotográficas, obtêm o mesmo efeito usando fios condutores
de metal ligando uma pilha à seguinte. De qualquer maneira, a diferença de potencial total
de pilhas em série é, simplesmente, a soma de suas voltagens terminais individuais:
série
Vsérie V1
FIGURA 30.9 Baterias em série.
V2 ... (baterias em série)
(30.9)
Geradores elétricos, fotocélulas e outras fontes de diferença de potencial usam diferentes meios para obter a separação de cargas, mas, por outro lado, estes dispositivos
têm a mesma função de uma pilha. A característica comum a todos esses dispositivos
é que eles empregam processos não-elétricos para separar a carga e, assim, criar uma
diferença de potencial. A fem de qualquer dispositivo deste tipo é o trabalho realizado
por unidade de carga para obter a separação de cargas.
PARE E PENSE 30.1
Qual é a diferença de potencial total criada por essas três baterias?
,
,
,
30.3 Determinando o campo elétrico a partir
do potencial
Um deslocamento muito
pequeno da
carga q
Es, o componente de na
direção do movimento, é
praticamente constante ao
longo da pequena distância s.
A FIGURA 30.10 mostra dois pontos i e f separados por uma distância s muito pequena,
tão pequena que o campo elétrico é praticamente constante ao longo dessa curtíssima
distância. O trabalho realizado pelo campo elétrico enquanto uma carga q se move através dessa pequena distância é W Fs s qEs s. Conseqüentemente, a diferença de
potencial entre os pontos é
(30.10)
FIGURA 30.10 O campo elétrico realiza
trabalho sobre a carga q.
Em termos do potencial, o componente do campo elétrico na direção s é Es V/s. No limite s → 0,
(30.11)
11.12, 11.13
Agora que invertemos a Equação 30.3, dispomos de uma maneira para encontrar o campo elétrico a partir do potencial. Começaremos com exemplos onde o campo elétrico
seja paralelo a um eixo de coordenada. Depois, vamos ver o que a Equação 30.11 nos
revela acerca da geometria do campo e do potencial.
Campo paralelo a um eixo de coordenadas
A derivada no lado direito da Equação 30.11 fornece Es, o componente de campo elétrico
que é paralelo ao deslocamento . Ela nada nos revela acerca do componente de campo
elétrico que é perpendicular a . Portanto, a Equação 30.11 será mais útil quando puder-
CAPÍTULO 30
■
Potencial e Campo
917
mos usar a simetria para escolher um eixo de coordenadas que seja paralelo a , ao longo
do qual o componente perpendicular de seja sabidamente zero.
Por exemplo: suponha que conheçamos o potencial V q/4␲0r criado por uma
carga puntiforme, mas não lembremos do campo elétrico. A simetria requer que o campo
aponte diretamente para fora da carga com somente um componente não-nulo, o componente radial Er. Se escolhermos o eixo s na direção radial, paralelo a , poderemos usar
a Equação 30.11 para determinar
(30.12)
E este é, de fato, o bem-conhecido campo elétrico produzido por uma carga puntiforme.
A Equação 30.11 é especialmente útil para uma distribuição contínua de carga porque o cálculo de V, que é um escalar, geralmente é mais fácil do que o cálculo do vetor
diretamente a partir da distribuição de carga. Uma vez que V seja conhecido, é obtido,
simplesmente, por derivação de V.
EXEMPLO 30.3 O campo elétrico criado por um anel de carga
No Capítulo 29, determinamos o potencial criado sobre o eixo de simetria de um anel de raio
R, dotado de uma carga Q, como
Determine o campo elétrico sobre o eixo de simetria de um anel de carga.
RESOLUÇÃO A simetria requer que o campo elétrico, ao longo do eixo, aponte perpendicular-
mente para fora do anel com somente um componente não-nulo, o componente z, Ez. O campo
elétrico na posição z é
AVALIAÇÃO Este resultado está em perfeita concordância com o campo elétrico que determina-
mos no Capítulo 27, todavia o presente cálculo foi bem mais fácil de efetuar porque, diferentemente do cálculo feito no Capítulo 27, não tivemos que lidar com ângulos.
A interpretação geométrica da Equação 30.11 é que o campo elétrico é o negativo
da declividade do gráfico de V versus s. Essa interpretação deveria lhe ser familiar. Você
aprendeu no Capítulo 11 que a força exercida sobre uma partícula é o negativo da declividade do gráfico da energia potencial: F dU/ds. De fato, a Equação 30.11 é, simplesmente, F dU/ds, com ambos os lados divididos por q para fornecer E e V. Essa
interpretação geométrica é um aspecto importante no desenvolvimento da compreensão
do potencial.
EXEMPLO 30.4 Determinando E a partir da declividade de V
MODELO O próton acelerará se existir um campo elétrico em x 6
A FIGURA 30.11 é o gráfico do potencial elétrico em uma região do
espaço onde é paralelo ao eixo x. (a) Um próton é solto, em repouso, na posição x 6 cm. Ele se moverá? Em caso afirmativo, de que
maneira? (b) Desenhe o gráfico de Ex versus x.
cm. O campo elétrico é o negativo da declividade do gráfico do potencial.
FIGURA 30.11 Gráfico de V versus posição x.
RESOLUÇÃO a. O próton entrará em movimento se uma força for exercida sobre ele. Haverá uma força se existir um campo elétrico, e existirá um campo elétrico se o potencial for variável em posição – o
que ocorre neste caso. O gráfico do potencial possui uma declividade
negativa em x 6 cm (o fato de que V 0 não é relevante). O componente Ex do campo elétrico é o negativo da declividade; logo, Ex têm o sentido positivo do eixo x, movi0. Sendo assim, e
mentando o próton para a direita. Alternativamente, você aprendeu no
Capítulo 29 que uma partícula de carga negativa se move no sentido
em que potencial diminui – para direita em x 6 cm – enquanto sua
energia potencial elétrica é convertida em energia cinética.
Continua
918
Física: Uma Abordagem Estratégica
b. Existem três regiões de declividades diferentes:
O valor de Ex é o negativo da
declividade do gráfico do potencial.
Os resultados são mostrados na FIGURA 30.12.
AVALIAÇÃO O campo elétrico
aponta para a esquerda (Ex é negativo)
na região 0 x 2 cm, e para a direita (Ex é positivo) na região 4 x
8 cm. Note que o campo elétrico é nulo na região do espaço onde
o potencial não varia.
FIGURA 30.12 Gráfico de Ex versus posição x.
PARE E PENSE 30.2 Qual dos gráficos de potencial mostrados abaixo descreve o campo elétrico representado à esquerda?
A geometria do potencial e do campo
A Equação 30.3 para V em função de Es, e a 30.11, para Es em função de V, têm profundas implicações para a geometria do potencial e do campo. A FIGURA 30.13 mostra duas
superfícies equipotenciais de V positivo em relação a V. Para investigar o campo elétrico em um ponto P, faça uma carga se mover em dois diferentes descolamentos:
. O deslocamento
é tangente à superfície equipotencial, de modo que a carga
e
se move nessa direção sem experimentar uma variação de potencial. De acordo com a
Equação 30.11, o componente de campo elétrico ao longo da direção de potencial constante é Es dV/ds 0. Em outras palavras, o componente do campo elétrico tangente
à equipotencial é E⎜⎜ 0.
Sentido
em que o
potencial
diminui
Sem variação
de potencial.
Superfícies
equipotenciais
Variação máxima
de potencial.
FIGURA 30.13 O campo elétrico em P tem relação com a forma das superfícies equipotenciais.
CAPÍTULO 30
O deslocamento
tencial ao longo de
■
Potencial e Campo
919
é perpendicular à superfície equipotencial. Há variação de po, portanto o componente do campo elétrico correspondente é
Como você pode ver, o campo elétrico é inversamente proporcional a
, o espaçamento entre as superfícies equipotenciais. Além disso, devido a (V V) 0, o sinal
. Em outras palavras,
negativo nos diz que o campo elétrico tem sentido oposto ao de
é perpendicular às superfícies equipotenciais e aponta no sentido em que o potencial diminui.
Essas idéias importantes sobre a geometria do potencial e do campo estão resumidas
na FIGURA 30.14.
1.
2.
é perpendicular às
superfícies equipotenciais em qualquer ponto
das mesmas.
4. As superfícies equipotenciais têm diferenças de
potenciais iguais entre si.
aponta no sentido
em que V diminui.
Sentido
em que o
potencial
diminui
A intensidade de campo é
inversamente proporcional
ao espaçamento s entre as
superfícies equipotenciais.
FIGURA 30.14 Geometria do potencial e do campo.
Matematicamente, podemos calcular o componente individual de
ponto do espaço generalizando a Equação 30.11 para três dimensões:
em qualquer
(30.13)
onde ⭸V/⭸x é a derivada parcial de V em relação a x enquanto y e z são mantidas constantes. Você pode reconhecer, a partir de cursos de cálculo, que a expressão entre parên. Abordagens mais
teses é o gradiente de V, denotado como ∇V. Portanto,
avançadas do campo elétrico usam extensivamente essas relações matemáticas, mas na
maior parte do capítulo iremos nos limitar a explorar aquelas que podemos analisar graficamente.
EXEMPLO 30.5 Determinando o campo elétrico a partir
das superfícies equipotenciais
Na FIGURA 30.15, uma grade de 1 cm 1 cm está sobreposta a um
mapa de contorno de um potencial. Estime a intensidade e a direção
do campo elétrico correspondente nos pontos 1, 2 e 3. Represente
seus resultados graficamente, desenhando vetores de campo elétrico
no mapa de contorno.
MODELO O campo elétrico é perpendicular às linhas equipotenciais,
apontando no sentido decrescente das mesmas, e depende da declividade da “rampa” de potencial.
VISUALIZAÇÃO O potencial fica maior para baixo e para a direita. O
gráfico de elevação do potencial se parece com a quarta parte mais
baixa direita de uma tigela ou com o perfil da arquibancada de um
estádio de futebol.
RESOLUÇÃO Algumas cargas-fonte, distantes e invisíveis na figu-
ra, criaram o campo elétrico e o potencial. Todavia não precisamos
enxergá-las para relacionar o campo ao potencial. Devido a E 艐
V/s, o campo elétrico é mais forte onde as linhas equipotenciais
estão mais próximas umas das outras, e mais fraco onde estão mais
afastadas. Se a Figura 30.15 fosse um mapa topográfico, você poderia
interpretar as linhas de contorno menos espaçadas, na base da figura,
como uma declividade íngreme.
FIGURA 30.15 Linhas equipotenciais.
Continua
920
Física: Uma Abordagem Estratégica
A FIGURA 30.16 mostra como as medições de s na grade são combinadas com os valores de V a fim de determinar . O ponto 3
requer uma estimativa do espaçamento entre as superfícies 0 V e
100 V. Note que estamos usando as superfícies equipotenciais 0
V e 100 V para determinar em um ponto sobre a equipotencial
de 50 V.
E,
5000 V/m
E3
4000 V/m
E2
A variação de
100 V ao longo
de 4 cm resulta
em 2500 V/m.
2500 V/m
AVALIAÇÃO Os sentidos de
são encontrados desenhando-se vetores
perpendiculares às equipotenciais nos sentidos em que elas decrescem em potencial. Para determinar as intensidades de campo são necessárias as distâncias entre as superfícies equipotenciais.
A variação de
100 V ao longo
de 2 cm resulta
em 5000 V/m.
A variação de
100 V ao longo de
2,5 cm resulta em
4000 V/m.
FIGURA 30.16 O campo elétrico nos pontos 1, 2 e 3.
A lei de Kirchhoff das malhas
A diferença de potencial ao longo do caminho
1-a-b-c-2 é V 0 V 10 V 0 V 10 V
20 V.
A diferença de potencial ao longo do
caminho 1-d-2 é V 20 V + 0 V 20 V.
FIGURA 30.17 A diferença de potencial
entre os pontos 1 e 2 é a mesma ao longo
dos dois caminhos.
A FIGURA 30.17 mostra dois pontos 1 e 2 de uma região onde existe um campo elétrico e
um potencial correspondente. Você aprendeu no Capítulo 29 que o trabalho realizado
para mover uma carga entre os pontos 1 e 2 é independente do caminho. Conseqüentemente, a diferença de potencial entre os pontos 1 e 2 ao longo de quaisquer dois caminhos que os unam é V 20 V. Isso deve ser verdadeiro para que a idéia de superfícies
equipotenciais faça sentido.
Agora consideremos o caminho 1-a-b-c-2-d-1, que termina onde começa. Qual é a
diferença de potencial “ao longo” desse caminho fechado? O potencial aumenta em 20
V quando nos movemos de 1 até 2, mas, depois, diminui em 20 V quando nos movemos
de volta de 2 para 1. Portanto, V 0 V ao redor do caminho fechado.
Os números são específicos para esse exemplo, mas a idéia se aplica a qualquer
malha (isto é, um caminho fechado) em presença de um campo elétrico. A situação é
análoga a uma caminhada pelos lados de uma montanha. Você pode subir durante uma
parte da caminhada e descer durante outra parte, mas se retornar ao seu ponto de partida,
sua variação de elevação resultante será nula. Então, para qualquer caminho que inicie e
termine no mesmo ponto, podemos concluir que
(30.14)
Dito em palavras, a soma de todas as diferenças de potencial encontradas enquanto
andamos ao longo de qualquer malha ou caminho fechado é sempre nula. Esta afirmação é conhecida como lei de Kirchhoff das malhas.
A lei de Kirchhoff das malhas é uma manifestação da conservação da energia, pois
quando uma carga se move ao redor de uma malha e retorna ao ponto de partida, sua
energia potencial elétrica sofre uma variação U qV 0. A lei de Kirchhoff das
malhas e uma segunda lei de Kirchhoff, que você encontrará no próximo capítulo, mostrarão ser os dois princípios fundamentais para a análise de circuitos.
PARE E PENSE 30.3
Qual é o conjunto de superfícies equipotenciais compatíveis com este
campo elétrico?
CAPÍTULO 30
■
Potencial e Campo
921
30.4 Condutor em equilíbrio eletrostático
A relação básica entre o potencial e o campo nos permite extrair algumas conclusões
interessantes e importantes acerca dos condutores. Considere um condutor, tal como um
pedaço de metal, que se encontre em equilíbrio eletrostático. O condutor pode estar carregado, todavia todas as cargas estarão em repouso.
No Capítulo 26, você aprendeu que qualquer excesso de carga em um condutor em
equilíbrio eletrostático está sempre localizado sobre a superfície do condutor. Usando
um raciocínio similar, podemos concluir que o campo elétrico é nulo em qualquer
ponto interior a um condutor em equilíbrio eletrostático. Por quê? Se o campo fosse
outro, diferente de zero, então deveria existir uma força
sobre os portadores de
carga, e eles deveriam então se mover, formando uma corrente. Mas não existem correntes em um condutor em equilíbrio eletrostático, de modo que isso implica que
em
todos os pontos interiores.
Os dois pontos no interior do condutor da FIGURA 30.18 estão conectados por uma linha que se mantém inteiramente dentro do condutor. Podemos determinar a diferença de
potencial V V2 V1 entre esses pontos usando a Equação 30.3 e integrando Es ao
longo da linha que vai de 1 até 2. Mas Es 0 em todos os pontos ao longo dessa linha
porque
; assim, o valor da integral é nulo e V 0. Em outras palavras, quaisquer dois pontos no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático encontramse no mesmo potencial.
Quando um condutor encontra-se em equilíbrio eletrostático, o condutor inteiro está
no mesmo potencial. Se carregarmos uma esfera de metal, a esfera inteira estará em um
mesmo potencial. Analogamente, um bastão ou fio carregado estará em um mesmo potencial se ele estiver em equilíbrio eletrostático.
Se
no interior de um codutor, mas
no exterior, o que acontece exatamente na superfície? Se o condutor inteiro está no mesmo potencial, sua superfície, então, será
uma superfície equipotencial. Você aprendeu que o campo elétrico é sempre perpendicular
a qualquer superfície equipotencial, portanto o campo elétrico exterior criado por um
condutor carregado em equilíbrio eletrostático é perpendicular à sua superfície.
1.Todo o excesso de carga
está sobre a superfície.
Uma descarga corona, junto com ruídos
crepitantes e cintilações luminosas, ocorre
em uma ponta metálica onde o campo
elétrico pode ser muito intenso.
Condutor
FIGURA 30.18 Todos os pontos no interior
de um condutor em equilíbrio eletrostático
encontram-se no mesmo potencial.
5. O campo elétrico externo é
perpendicular à superfície.
2. A superfície é
uma equipotencial.
3. O campo elétrico
interno é nulo.
4. O interior está todo
no mesmo potencial.
6. A densidade superficial de carga
e a intensidade de campo elétrico
na superfície são maiores em
extremidades pontiagudas.
As linhas de campo são perpendiculares
às superfícies equipotenciais.
FIGURA 30.19 Propriedades elétricas de um condutor em equilíbrio eletrostático.
A FIGURA 30.19 resume o que sabemos sobre condutores em equilíbrio eletrostático.
O item 6, aquele em que a densidade superficial de carga e, portanto, a intensidade
de campo elétrico são maiores “nas extremidades pontiagudas”, nós enunciamos sem
prová-lo. Estas são conclusões importantes e de valor prático, pois os condutores são os
componentes primários de dispositivos elétricos.
Podemos empregar um raciocínio análogo para estimar o campo elétrico e o potencial entre dois condutores carregados. Como um exemplo, a FIGURA 30.20 mostra uma
esfera de metal negativamente carregada próxima a uma placa de metal plana. As superfícies da esfera e da placa plana são equipotenciais; portanto, o campo elétrico deve ser
perpendicular a ambas. Próximo à superfície, o campo elétrico ainda é quase perpendicular. Conseqüentemente, uma superfície equipotencial próxima a um eletrodo deve
ter, aproximadamente, a forma do eletrodo.
Próximo à parte central, as superfícies equipotenciais gradualmente mudam à medida que “se transformam” da forma de um dos eletrodos para a do outra. Não é difícil
As superfícies equipotenciais gradualmente
mudam da forma de um eletrodo para a
do outro.
FIGURA 30.20 Estimando o campo e o
potencial entre dois condutores carregados.
922
Física: Uma Abordagem Estratégica
esboçar um mapa de contorno que mostre um conjunto plausível de superfícies equipotenciais. Você pode, então, desenhar linhas de campo elétrico (linhas de campo são mais
fáceis de desenhar do que vetores de campo) que sejam perpendiculares às equipotenciais, que apontem no sentido em que as equipotenciais decrescem e que estejam mais
próximas umas das outras onde o espaçamento entre as linhas de contorno for menor.
PARE E PENSE 30.4 Três esferas de metal carregadas, com raios diferentes, estão conectadas por
um fio fino metálico. O potencial elétrico e o correspondente campo elétrico na superfície de
cada esfera são, respectivamente, V e E. Qual das seguinrtes alternativas é verdadeira?
a. V1 V2 V3 e E1 E2 E3
c. V1 V2 V3 e E1 E2 E3
e. V3 V2 V1 e E3 E2 E1
b. V1 V2 V3 e E1 E2 E3
d. V1 V2 V3 e E1 E2 E3
f. V3 V2 V1 e E3 E2 E1
Fio
30.5 Capacitância e capacitores
Capacitores são elementos importantes de
circuitos elétricos. Eles se apresentam em
uma variedade de tamanhos e formas.
Introduzimos o capacitor de placas parelelas no Capítulo 27 e fizemos uso freqüente
dele desde então. Assumimos que o capacitor estivesse carregado, mas não abordamos
como ele é carregado. A Figura 30.21 mostra as duas placas de um capacitor conectadas
por fios condutores aos dois terminais de uma bateria. O que acontece? E como a diferença de potencial VC, através do capacitor, está relacionada à diferença de potencial
Vbat da bateria?
A FIGURA 30.21a mostra a situação imediatamente após o capacitor ter sido conectado
à bateria e antes dele estar completamente carregado. A escada rolante de carga, que é a
bateria, transfere cargas de uma placa do capacitor para a outra, e esse é o trabalho que a
bateria realiza durante o carregamento do capacitor. (Os fios conectores são condutores,
e você aprendeu no Capítulo 26 que as cargas podem se mover através de condutores,
formando uma corrente.) A voltagem do capacitor VC aumenta constantemente à medida que a separação de cargas segue crescendo.
Corrente
Fluxo
de íons
Os
íons não
se movem
Corrente
A escada rolante de carga transfere cargas
de uma placa para a outra. A voltagem VC
aumenta conforme a separação de cargas cresce.
Quando VC Vbat, a corrente cessa,
e o capacitor está completamente
carregado.
FIGURA 30.21 Um capacitor de placas paralelas é carregado por uma bateria.
Mas esse processo não pode continuar indefinidamente. A carga positiva cada vez
maior na placa superior do capacitor exerce uma força repulsiva sobre as novas cargas
trazidas pela escada rolante, e, em algum momento, a carga do capacitor ficará tão grande que novas cargas não poderão mais entrar na placa. O capacitor da FIGURA 30.21b está,
agora, completamente carregado. No Capítulo 32, analisaremos quanto tempo o processo requer, mas o tempo é tipicamente menor do que um nanosegundo para um capacitor
conectado diretamente a uma bateria por fios de cobre.
Uma vez que o capacitor esteja completamente carregado, com as cargas sem estar
mais em movimento, a placa positiva do capacitor, o fio superior e o terminal positivo da
bateria formam um único condutor em equilíbrio eletrostático. Essa é uma idéia importante e que não era verdadeira enquanto o capacitor estava sendo carregado. Como você
CAPÍTULO 30
■
Potencial e Campo
923
acabou de aprender, quaisquer dois pontos de um condutor em equilíbrio eletrostático
estão a um mesmo potencial. Assim, a placa positiva de um capacitor completamene
carregado está no mesmo potencial, como o terminal positivo da bateria.
Analogamente, a placa negativa de um capacitor completamente carregado encontrase no mesmo potencial que o terminal negativo da bateria. Conseqüentemente, a diferença de potencial VC entre as placas do capacitor corresponde exatamente à diferença de
potencial Vbat entre os terminais da bateria. Um capacitor ligado a uma bateria será
carregado até que VC Vbat. Uma vez que o capacitor esteja carregado, você pode
desconectá-lo da bateria; ele manterá sua carga e a diferença de potencial até que, e a
menos que algo – uma corrente – permita que as cargas positivas se movam de volta para
a placa negativa. Um capacitor no vácuo ideal permaneceria carregado para sempre.
Você aprendeu no Capítulo 29 que a diferença de potencial de um capacitor de placas
paralelas está relacionada ao campo elétrico em seu interior pela equação VC Ed,
onde d é a separação entre as placas. Como você sabe do Capítulo 27, o campo elétrico
no interior do capacitor é
(30.15)
onde A é a área superficial das placas. Combinando essas relações, obtemos
(30.16)
Em outras palavras, a carga sobre as placas de um capacitor é diretamente proporcional à diferença de potencial entre as placas.
A razão da carga Q para a diferença de potencial VC é chamada de capacitância C:
(capacitor de placas paralelas)
(30.17)
A capacitância é uma propriedade puramente geométrica de dois eletrodos porque ela
depende tão somente de sua área superficial e do espaçamento entre suas placas. A unidade do SI para a capacitância é o farad, em homenagem a Michael Faraday. Um farad
é definido como
1 farad 1 F ⬅ 1 C/V
Um farad vem a ser um valor enorme de capacitância. Capacitâncias de capacitores prá12
ticos são normalmente medidas em microfarads (␮F) ou picofarads (1 pF 10 F).
Com essa definição de capacitância, a Equação 30.17 pode ser escrita como
Q CVC
(carga de um capacitor)
(30.18)
A carga de um capacitor é determinada conjuntamente pela diferença de potencial suprida por uma bateria e por uma propriedade dos eletrodos chamada capacitância.
EXEMPLO 30.6 Carregando um capacitor
O espaçamento entre as placas de um capacitor de 1,0 ␮F é de 0,050 mm.
a. Qual é a área superficial das placas?
b. Que quantidade de carga encontra-se sobre as placas se o capacitor está acoplado a uma
bateria de 1,5 V?
MODELO Considere que a bateria seja ideal e que suas placas sejam paralelas.
RESOLUÇÃO a. A partir da definição de capacitância,
b. A carga é Q CVC 1,5 106 C 1,5 ␮C.
AVALIAÇÃO A área superficial necessária para construir um capacitor de 1,0 ␮F (um valor
típico bastante comum) é enorme. Veremos na Seção 30.7 como a área pode ser reduzida pela
inserção de um isolante entre as placas de um capacitor.
As teclas da maioria dos teclados de
computador são chaves feitas com
capacitores. Ao ser pressionar uma tecla,
empurra-se as duas placas de um capacitor
uma para perto da outra, o que aumenta
sua capacitância. Um capacitor maior
pode reter mais carga, então uma corrente
momentânea leva carga da bateria (ou
de uma fonte de alimentação) para o
capacitor. Essa corrente é sentida, e o
teclar é, então, registrado. Capacitores que
funcionam como chaves são muito mais
confiáveis do que as chaves de contado do
tipo “liga-desliga”.
924
Física: Uma Abordagem Estratégica
Confeccionando um capacitor
O capacitor de placas paralelas é importante porque é fácil para analisar e porque produz um campo elétrico uniforme. Mas capacitores e capacitância não estão limitados a
eletrodos planos e paralelos. Quaisquer dois eletrodos, sem que importe suas formas,
formam um capacitor.
A FIGURA 30.22 mostra dois eletrodos de formas arbitrárias carregados com Q. A
carga total, como no caso do capacitor de placas paralelas, é nula. Pela definição, a capacitância dos dois eletrodos é
Carga
total nula
(30.19)
Diferença de potencial VC
Capacitância C Q/VC
FIGURA 30.22 Dois eletrodos quaisquer
formam um capacitor.
onde VC é a diferença de potencial entre os eletrodos positivo e negativo. Pode parecer
que a capacitância depende de uma quantidade de carga, todavia a diferença de potencial
é proporcianal a Q. Conseqüentemente, a capacitância depende apenas da geometria
dos eletrodos.
Para fazermos uso da Equação 30.19, devemos ser capazes de determinar a diferença
de potencial entre os dois eletrodos quando se encontram carregados com Q. O exemplo seguinte mostra como isso é feito.
EXEMPLO 30.7 Um capacitor esférico
Uma esfera metálica de raio R1 está dentro de uma esfera oca e metálica de raio R2, sendo ambas concêntricas. Qual é a capacitância desse
capacitor esférico?
potencial de uma esfera carregada isolada. Para determinar a diferença de potencial entre duas esferas, precisamos usar a Equação 30.3:
MODELO Considere que a esfera interna seja negativa, e a externa, po-
sitiva.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 30.23 mostra as duas esferas
Carga Q
Raio R1
Carga Q
Raio R2
O campo elétrico aponta da
esfera positiva externa para
a esfera negativa interna.
FIGURA 30.23 Um capacitor esférico.
O campo elétrico entre as esferas é a superposição dos campos criados pela esfera interna e pela esfera externa. O campo produzido pela
esfera interna é igual ao gerado por uma carga puntiforme Q, enquanto, pela lei de Gauss, o campo no interior da esfera exterior é
nulo. Integraremos ao longo de uma linha radial que vai de si R1,
sobre a esfera interior, até sf R2, sobre a esfera exterior. O componente Es do campo é negativo porque o campo aponta para dentro.
Assim, a diferença de potencial é
Então, a partir da definição de capacitância,
AVALIAÇÃO Como esperado, a capacitância depende da geometria,
RESOLUÇÃO Talvez você esteja pensndo que poderíamos determinar a
diferença de potencial entre as esferas usando o resultado do Capítulo
29 para o potencial de uma esfera carregada. Entretanto, aquele era o
mas não, da carga Q. Note que não precisamos considerar uma esfera
interior negativa, mas uma esfera interior positiva teria exigido uma
integração em direção ao interior, desde R2 até R1, para que ficássemos com VC positivo.
Associação de capacitores
Na prática, às vezes dois ou mais capacitores são ligados juntos. A FIGURA 30.24 ilustra as
duas combinações básicas: capacitores em paralelo e capacitores em série. Note que
todo capacitor, sem que importe a sua forma geométrica real, é representado em diagramas de circuito por duas linhas paralelas.
NOTA Os termos “capacitores em paralelo” e “capacitor de placas paralelas” não
descrevem a mesma coisa. O primeiro termo descreve como dois ou mais capacitores
estão ligados uns aos outros. O segundo termo descreve como um capacitor específico é construído. CAPÍTULO 30
■
Potencial e Campo
925
Em circuitos, o símbolo para um
capacitor são duas linhas paralelas.
Capacitores em série
são ligados pelas extremidades, formando
uma fileira.
Capacitores em paralelo são ligados
por suas partes superiores e inferiores.
FIGURA 30.24 Capacitores em paralelo e em série.
Como mostraremos mais adiante, capacitores em parelelo ou em série podem ser representados por uma única capacitância equivalente. Demostraremos isso primeiro para
os dois capacitores em paralelo C1 e C2 da FIGURA 30.25a. Devido ao fato de as placas superiores dos dois capacitores estarem conectadas por um fio condutor, eles formam um
único condutor em equilíbrio eletrostático. Assim, as duas placas superiores estão em um
mesmo potencial. Conseqüentemente, dois (ou mais) capacitores em paralelo mantêm,
individualmente, uma mesma diferença de potencial VC entre suas duas placas.
As cargas dos capacitores são Q1 C1VC e Q2 C2VC. No total, a escada rolante
de cargas da bateria transferiu uma carga total Q Q1 Q2 dos eletrodos negativos para
os eletrodos positivos. Suponha, como na FIGURA 30.25b, que substituamos os dois capacitores por um único capacitor com carga Q Q1 Q2 e diferença de potencial VC.
Esse capacitor é equivalente aos dois originais no sentido de que a bateria não pode distinguir a diferença. Em ambos os casos, a bateria tem de estabelecer a mesma diferença
de potencial e transferir a mesma quantidade de carga.
Por definição, a capacitância desse capacitor equivalente é
Os capacitores em paralelo
têm a mesma VC.
Mesma VC, como em C1 e C2
(30.20)
Mesma carga total, como em C1 e C2
Essa análise depende do fato de que cada capacitor em paralelo possui a mesma diferença de potencial VC. Poderíamos facilmente estender essa análise para mais do
que dois capacitores. Se os capacitores C1, C2, C3,... estão em paralelo, sua capacitância
equivalente é
Ceq C1
C2
C3
...
(capacitores em paralelo)
FIGURA 30.25 Substituindo dois capacitores
em paralelo por um capacitor equivalente.
(30.21)
Nem a bateria nem qualquer outra parte de um circuito pode distinguir se os capacitores ligados em paralelo foram substituídos por um único capacitor de capacitância
igual a Ceq.
Agora consideremos os dois capacitores ligados em série da FIGURA 30.26a. A seção
central, consistindo da placa inferior de C1 e da placa superior de C2, conectadas por um
fio, está eletricamente isolada. A bateria não pode remover ou adicionar carga a essa seção. Se ela inicia sem uma carga resultante, deve terminar também sem uma carga resultante. Em conseqüência, os dois capacitores em série têm cargas iguais Q. A bateria
transfere Q da placa inferior de C2 para a placa superior de C1. Essa transferência polariza a seção central, como mostrado, mas ela ainda possui Qres 0.
As diferenças de potencial através dos dois capacitores são V1 Q/C1 e V2 Q/C2. A diferença de potencial total através dos dois capacitores é VC V1 V2.
Suponha que, como na FIGURA 30.26b, substituamos os dois capacitores por um único
capacitor com carga Q e diferença de potencial VC V1 V2. Esse capacitor é
equivalente aos dois originais porque a bateria tem de estabelecer a mesma diferença de
potencial e transferir a mesma quantidade de carga nos dois casos.
Por definição, a capacitância desse capacitor equivalente é Ceq Q/VC. O inverso
da capacitância equivalente é, portanto,
(30.22)
Capacitores em série possuem a mesma Q.
Não há carga
resultante neste
segmento isolado
A mesma Q existente em C1 e C2
Mesma diferença de potencial total em C1 e C2
FIGURA 30.26 Substituindo dois capacitores
em série por um capacitor equivalente.
926
Física: Uma Abordagem Estratégica
Essa análise depende do fato de que cada capacitor em série possui a mesma carga
Q. Poderíamos estender facilmente essa análise para mais do que dois capacitores. Se os
capacitores C1, C2, C3,... estão ligados em série, sua capacitância equivalente é
(capacitores em série)
(30.23)
NOTA Tenha o cuidado de evitar o erro comum que consiste em adicionar os inversos e esquecer de inverter a soma. Vamos resumir os fatos-chave antes de resolvermos um exemplo numérico:
■ Todos os capacitores ligados em paralelo estão submetidos à mesma diferença de
potencial VC. Todos os capacitores ligados em série possuem a mesma quantidade
de carga Q.
■ A capacitância equivalente de uma combinação em paralelo de capacitores é maior
do que a capacitância de qualquer capacitor individual da combinação. A capacitância equivalente de uma combinação em série de capacitores é menor do que a
capacitância individual de qualquer capacitor do arranjo.
EXEMPLO 30.8 Um circuito com capacitor
Determine a carga e a diferença de potencial através de cada um dos
três capacitores da FIGURA 30.27.
MODELO Considere que a bateria seja ideal, com Vbat 12 V. Use
os resultados obtidos para capacitores ligados em parelelo e em série.
RESOLUÇÃO Os três capacitores não estão em paralelo e nem em sé-
rie. Mas podemos analisá-los a partir dos pequenos arranjos em que
se encontram. Um método útil de análise de circuitos é, primeiro,
combinar os elementes até chegar a um único elemento equivalente e,
então, reverter o processo e calcular os valores para cada elemento. A
FIGURA 30.28 mostra a análise desse circuito. Note que redesenhamos
o circuito após cada passo. A capacitância equivalente dos capacitores
em série de 3 ␮F e de 6 ␮F é determinada por
FIGURA 30.27 Um circuito com capacitor.
Capacitância
equivalente
Em paralelo
Em série
Verificação:
Verificação:
FIGURA 30.28 Analisando o circuito capacitor.
Uma vez que tenhamos determinado a capacitância equivalente correspondente, obtemos VC Vbat 12 V e Q CVC 24 ␮C. Agora,
podemos inverter o sentido. Todos os capacitores em série têm a mesma
carga, portanto a carga de C1 e a de C2 3 é 24 ␮C. Isso é suficiente para
determinarmos que V1 8 V e V2 3 4 V. Todos os capacitores em
paralelo se encontram sob a mesma diferença de potencial; logo, V2 V3 4 V. Isso é o bastante para determinarmos que Q2 20 ␮C e Q3
4 ␮C. A carga e a diferença de potencial, através de cada um dos três
capacitores são mostradas no passo final da Figura 30.28.
AVALIAÇÃO Note que tivemos de efetuar duas importantes verificações
de consistência interna. V1 V2 3 8 V 4 V, constituindo os 12
V que determinamos para o capacitor equivalente de 2 ␮F. Então, Q2
Q3 20 ␮C 4 ␮C, constituindo os 24 ␮C que encontramos para
o capacitor equivalente de 6 ␮F. Faremos muito mais análises desse
tipo de circuito no próximo capítulo, todavia é importante observar,
agora, que a análise de circuito se torna quase infalível se você efetuar
essas verificações de consistência interna.
CAPÍTULO 30
■
Potencial e Campo
927
PARE E PENSE 30.5 Ordene em seqüência descrescente as capacitâncias equivalentes de (C )
eq a
até (Ceq)d dos circuitos enumerados de a até d.
30.6 Energia armazenada em um capacitor
Os capacitores são elementos importantes em circuitos elétricos por causa de sua capacidade de armazenar energia. A FIGURA 30.29 mostra um capacitor sendo carregado. O
valor instantâneo da carga nas duas placas é q, e essa separação de cargas cria uma
diferença de potencial V q/C entre as duas placas.
No processo, uma carga adicional dq está sendo transferida da placa negativa para
a positiva. A escada rolante de cargas da bateria deve realizar trabalho para elevar o potencial da carga dq. Conseqüentemente, a energia potencial do sistema formado por dq
capacitor aumenta em
A carga instantânea
das placas é q.
(30.24)
NOTA A energia deve ser conservada. Esse aumento na energia potencial do capacitor é realizado pela bateria. A energia total transferida da bateria para o capacitor é determinada pela integração da
Equação 30.24 desde o início do carregamente, quando q 0, até o final, quando q Q.
Desse modo, obtemos a energia armazenada em um capacitor carregado como igual a
(30.25)
A escada rolante de cargas realiza
trabalho igual a dqV para transferir a
carga dq da placa negativa para a positiva.
FIGURA 30.29 A escada rolante de cargas
realiza trabalho sobre a carga dq enquanto
o capacitor está sendo carregado.
Na prática, geralmente é mais fácil escrever a energia armazenada em função da diferença de potencial do capacitor, VC Q/C, ou seja,
(30.26)
A energia potencial armazenada em um capacitor depende do quadrado da diferença
de potencial através do mesmo. Esse resultado se parece com a energia potencial U (x)2 armazenada em uma mola, e um capacitor carregado, de fato, é análogo a uma
mola esticada. Uma mola esticada retém sua energia até ser solta. Quando isso ocorre,
a energia potencial armazenada é transformada em energia cinética. Da mesma forma,
um capacitor carregado mantém sua energia até que nós o descarreguemos. Quando isso
ocorre, sua energia potencial elétrica é transformada em energia cinética de movimento
de cargas (a corrente).
EXEMPLO 30.9 Armazenando energia em um capacitor
Que quantidade de energia é armazenada em um capaciotor de 2,0 ␮F
que foi carregado a 5000 V? Qual é a potência média de dissipação se
esse capacitor for descarregado em 10 ␮s?
Se essa energia for liberada em 10 ␮s, a potência média de dissipação
será igual a
RESOLUÇÃO A energia armazenada no capacitor carregado é
AVALIAÇÃO A energia armazenada equivale à elevação de 1 kg de massa em 2,5 m de altura. Essa é uma quantidade de energia relativamente grande, que você pode avaliar imaginando o dano que 1 kg de
massa poderia causar após ter caído em 2,5 m. Quando essa energia é
liberada muito rapidamente, o que é possível em um circuito elétrico,
ela fornece uma enorme quantidade de potência.
928
Física: Uma Abordagem Estratégica
Um desfibrilador, capaz de restaurar o
batimento cardíaco normal, descarrega um
capacitor através do tórax do paciente.
A utilidade de um capacitor deriva do fato de que ele pode ser carregado vagarosamente (a taxa de carregamento é geralmente limitada pela capacidade da bateria em
transferir carga), mas, em seguida, pode liberar essa energia muito rapidamente. Uma
analogia mecânica seria usar uma manivela para, vagarosamente, esticar a mola de uma
catapulta e, depois, rapidamente liberar a energia para lançar uma pedra maciça.
O capacitor descrito no Exemplo 30.9 é um típico capacitor usado em lasers pulsados de alta potência. O capacitor é carregado relativamente devagar, durante aproximadamente 0,1 s. Depois, é rapidamente descarregado para dentro do tubo do laser,
gerando um pulso de laser de alta potência. Exatamente a mesma coisa ocorre, mas em
pequena escala, na unidade de “flash” de uma câmera fotográfica. A bateria da câmera
carrega um capacitor e, em seguida, a energia armazenada no mesmo é rapidamente descarregada em uma lâmpada de flash. O processo de carregamento em uma câmera dura
vários segundos, razão pela qual você não pode disparar o flash da câmera duas vezes
em rápida sucessão.
Uma aplicação médica importante dos capacitores é o desfibrilador. Um ataque cardíaco ou um sério ferimento podem fazer com que coração entre em um estado conhecido como fibrilação, no qual os músculos cardíacos contraem-se aleatoriamente e não
conseguem mais bombear o sangue. Um choque elétrico intenso através do tórax pára
completamente o coração, dando às células que controlam o seu ritmo a oportunidade de
restaurar o batimento cardíaco apropriado. Todo desfibrilador possui um grande capacitor capaz de armazenar acima de 360 J de energia. Essa energia é liberada em aproximadamente 2 ms através de dois “eletrodos” pressionados contra o tórax do paciente. Vários
segundos decorrem até que o capacitor fique carregado, razão pela qual, nos programas
médicos da televisão, você ouve o médico ou a enfermeira na sala de emergência gritar
“Carregando!”.
A energia do campo elétrico
Placa de área A do capacitor
Podemos “ver” a energia potencial de uma mola esticada na tensão de suas espiras. Se
um capacitor carregado é análogo a uma mola esticada, onde está armazenada sua energia? Ela se encontra no campo elétrico!
A FIGURA 30.30 mostra um capacitor de placas paralelas em que as placas têm área A
e estão separadas pela distância d. A diferença de potencial através do capacitor está relacionada ao campo elétrico no interior do mesmo através da relação VC Ed. A capacitância, que obtivemos na Equação 30.17, é C 0A/d. Substituindo esta relação na
Equação 30.26, obtemos a energia armazenada no capacitor como
(30.27)
A energia do capacitor é armazenada no campo
elétrico existente no volume Ad entre as placas.
FIGURA 30.30 A energia do capacitor é
armazenada no campo elétrico.
A grandeza Ad é o volume interno do capacitor, o volume da região na qual existe
o campo elétrico criado pelo capacitor. (Lembremo-nos de que um capacitor ideal tem
em qualquer lugar, exceto entre suas placas.) Embora falemos sobre “a energia
armazenada no capacitor”, a Equação 30.27 sugere que, estritamente falando, a energia
é armazenada no campo elétrico do capacitor.
Devido ao fato de Ad ser o volume no qual a energia está armazenada, podemos definir uma densidade de energia uE do campo elétrico:
(30.28)
A densidade de energia tem por unidade o J/m3. Derivamos a Equação 30.28 para um
capacitor de placas paralelas, mas esta é, de fato, a expressão correta para qualquer
campo elétrico.
Sob essa perspectiva, carregar um capacitor armazena energia no campo elétrico
criado pelo capacitor à medida que a intensidade do campo cresce. Mais tarde, quando o
capacitor for descarregado, a energia será liberada enquanto o campo se reduz a zero.
Primeiro introduzimos o campo elétrico como um meio para visualizar como opera
uma força de ação a distância. Mas se o campo pode armazenar energia, ele deve ser
real, e não uma mera representação pictórica. Exploraremos essa idéia mais adiante, no
Capítulo 35, onde veremos que a energia transportada por uma onda luminosa – a energia sensível de um morno pôr-do-sol – é a energia de seus campos elétrico e magnético.
CAPÍTULO 30
EXEMPLO 30.10 A densidade de energia do campo elétrico
Potencial e Campo
Conseqüentemente, a densidade de energia no campo elétrico é
As placas de um capacitor de placas paralelas estão separadas por 1,0
mm. Qual é a densidade de energia no campo elétrico do capacitor se
o capacitor está carregado em 500 V?
RESOLUÇÃO O campo elétrico dentro do capacitor é
30.7 Dielétricos
A FIGURA 30.31a mostra um capacitor de placas paralelas com as placas separadas por vácuo, o isolante perfeito. Suponha que o capacitor seja carregado até uma voltagem (VC)0
e, então, seja desligado da bateria. A carga nas placas é Q0, onde Q0 C0(VC)0. Nesta
seção, usaremos o subscrito 0 para nos referir a um capacitor isolado a vácuo.
Dielétrico
Capacitância C0 a vácuo
■
Capacitância C C0
FIGURA 30.31 Um capacitor isolado a vácuo e outro, preenchido com um dielétrico.
Agora suponha, como na FIGURA 30.31b, que um material isolante, tal como óleo,
vidro ou plástico, seja introduzido entre as placas do capacitor. Por ora, consideraremos
que o isolante tenha uma espessura d e que preencha completamente o espaço entre as
placas. Todo isolante em presença de um campo elétrico é chamado de dielétrico por razões que logo se tornarão claras, de modo que chamaremos este dispositivo de capacitor
preenchido por dielétrico. Em que um capacitor preenchido com um dielétrico difere de
um capacitor isolado a vácuo?
A carga nas placas do capacitor não sofre alteração. O isolante não permite que a
carga se mova de uma placa para a outra, e o capacitor foi desconectado da bateria. Assim, nenhuma carga pode ser adicionada ou removida de uma ou de outra placa, ou seja,
Q Q0. Apesar disso, medições da voltagem através do capacitor, com um voltímetro,
revelariam uma diminuição: VC (VC)0. Conseqüentemente, com base na definição
de capacitância, isso significa que a capacitância aumentou:
No Exemplo 30.6 concluímos que o tamanho de placa necessário para se confeccionar
um capacitor de 1 ␮F é excessivamente grande. Parece que podemos obtrer uma capacitância maior usando as mesmas placas, mas preenchendo o capacitor com um isolante.
Podemos usar duas ferramentas apresentadas a você no Capítulo 27, o princípio da
superposiçao e a polarização de um meio materail, para entender as propriedades dos
capacitores preenchidos com dielétricos. A Figura 27.30 mostrou como um material isolante se torna polarizado em presença de um campo elétrico externo. (Lembre-se de que
a polarizção explica como objetos carregados atraem objetos neutros.) A FIGURA 30.32a, a
seguir, reproduz as idéias básicas daquela figura anterior. Os dipolos elétricos da Figura
30.32a poderiam ser dipolos permanentes, como os das moléculas da água, ou, simples-
929
930
Física: Uma Abordagem Estratégica
O isolante está polarizado.
Excesso de carga
Excesso de carga
positiva sobre essa
negativa sobre essa
superfície
superfície
mente, dipolos induzidos devido a uma ligeira separação de cargas criada nos átomos.
Porém, por causa de seus alinhamentos com o campo elétrico – a polarização do material –, os dipolos dão origem a um excesso de carga positiva em uma superfície e a um
excesso de carga negativa na outra. O isolante, como um todo, ainda é neutro, todavia o
campo elétrico exterior separa cargas positivas e negativas.
A FIGURA 30.32b representa um isolante polarizado como se fosse duas lâminas de
carga com desidades de carga superficial ␩induzida. O valor de ␩induzida depende da intensidade do campo elétrico e das propriedades do isolante. Essas duas lâminas de carga
criam um campo elétrico – uma situação que foi analisada no Capítulo 27. Em essência,
as duas lâminas de carga induzida se comportam exatamente como as duas placas carregadas de um capacitor de placas paralelas. O campo elétrico induzido (tenha em mente
que esse campo se deve ao isolante respondendo ao campo elétrico externo) é
O isolante polarizado – um dielétrico – pode
ser representado como duas lâminas de carga
superficial.
induzida
induzida
induzida
FIGURA 30.32 Um isolante em um campo
elétrico externo.
(30.29)
É porque um isolante, em presença de um campo elétrico, possui duas lâminas de carga
elétrica induzida que o chamamos de dielétrico, com o prefixo di significando duas,
como em “diatômico” e “dipolo”.
A FIGURA 30.33 mostra o que acontece quando você insere um dielétrico em um capacitor. As placas do capacitor têm suas próprias densidades de carga superficial ␩0 Q0/A. Isso cria o campo elétrico (␩0/0, da placa positiva para a negativa) no qual
o dielétrico está imerso. O dielétrico responde com uma densidade de carga superficial
induzida ␩induzida e com o campo elétrico induzido correspondente induzido. Note que indu. Pelo princípio da superposição, outra importante
zido aponta em sentido oposto ao de
lição do Capítulo 27, o campo elétrico resultante entre as placas do capacitor é o vetor
soma desses dois campos:
induzido
(
, do lado positivo para o negativo)
induzido
(30.30)
A presença do dielétrico enfraquece o campo elétrico de E0 para E0 Einduzido, todavia
o campo ainda aponta da placa positiva do capacitor para a negativa. O campo foi enfraquecido porque a carga superficial induzida no dielétrico atua no sentido de diminuir o
campo elétrico entre as placas do capacitor.
induzido
induzido
A densidade de carga
superficial ␩0 nas
placas do capacitor
O dielétrico polarizado possui
uma densidade de carga superficial
␩induzida. induzido é oposto a .
O campo elétrico resultante
é a superposição
.
induzido
Ele ainda aponta da placa
positiva para a negativa, porém
é mais fraco do que
FIGURA 30.33 As conseqüências do preenchimento de um capacitor com um dielétrico.
Vamos definir a constante dielétrica ␬ (letra grega kapa) como
(30.31)
De maneira equivalente, a intesidade de campo no interior de um dielétrico em presença
de um campo externo é E E0/␬. A constante dielétrica é o fator pelo qual um dielétrico
CAPÍTULO 30
enfraquece um campo elétrico, de modo que ␬ 1. Da definição, você pode verificar
que ␬ é um número puro, sem unidade.
A constante dielétrica, como a densidade ou o calor específico, é uma propriedade do
material. Materiais facilmente polarizáveis possuem constantes dielétricas maiores do
que as de materiais mais difícieis de polarizar. O vácuo corresponde exatamente a ␬ 1,
e gases a baixas pressões correspondem a ␬ 艐 1. (O ar possui ␬ar 1,00 com três algarismos significativos, de modo que não nos preocuparemos com o efeito muito pequeno
do ar sobre os capacitores.) A Tabela 30.1 lista as constantes dielétricas de diferentes
materiais isolantes.
O campo elétrico no interior do capacitor, embora enfraquecido, ainda é uniforme.
Conseqüentemente, a diferença de potencial através do capacitor é
(30.32)
onde (VC)0 E0d era a voltagem do capacitor isolado a vácuo. A presença de um
dielétrico reduz a voltagem do capacitor, observação com a qual iniciamos esta seção.
Agora podemos entender por que: devido à polarização do material. Além disso, a nova
capacitância é dada por
(30.33)
O preenchimento de um capacitor com um dielétrico aumenta sua capacitância
por um fator igual à constante dielétrica do isolante. Isso varia desde praticamente
nenhum aumento, para um capacitor preenchido com ar, até uma capacitância 300 vezes
maior, se o capacitor for preenchido com titanato de estrôncio.
Deixaremos como uma tarefa para casa mostrar que a densidade de carga superficial
induzida é
■
Potencial e Campo
931
TABELA 30.1 Propriedades dos dielétricos
Constante
dielétrica ␬
Rigidez
dielétrica
6
Emax (10
V/m)
Vácuo
1,0
Ar (1 atm)
1,0006
3
Teflon
2,1
60
Plástico
poliestireno
2,6
24
Mylar
(filme fino de
poliéster)
3,1
7
Material
Papel
3,7
16
Vidro pirex
4,7
14
Água pura (a
200C)
80
Dióxido de
titânio (TiO2)
110
6
Titanato de
estrôncio
(SrTiO3)
300
8
(30.34)
A densidade de carga superficial ␩induzida tem valores que vão desde, aproximadamente,
1.
zero, quando ␬ 艐 1, até 艐␩0, quando ␬
NOTA Consideramos que o capacitor tivesse sido desligado da bateria após ser
carregado, de modo que Q não poderia variar. Se você insere um dielétrico enquanto
o capacitor está acoplado à bateria, então sua voltagem será VC, fixa à voltagem da
bateria, que não pode variar. Neste caso, mais carga fluirá da bateria, até Q ␬Q0.
Em ambos os casos, a capacitância aumenta para C ␬C0. EXEMPLO 30.11 Um capacitor preenchido com água
Um capacitor de placas paralelas de 5,0 nF é carregado sob 160 V.
Então, ele é desconectado da bateria e imerso em água destilada.
Quais são (a) a capacitância e a voltagem do capacitor preenchido
com água e (b) a energia armazenada no capacitor, antes e depois
da imersão?
b. A presença de um dielétrico não altera a derivação efetuada para
se obter a Equação 30.26 para a energia armazenada em um capacitor. Logo, após ter sido desconectado da bateria, a energia
armazenada era
MODELO A água destilada pura é um bom isolante. (A condutividade
da água de uma torneira deve-se aos íons nela dissolvidos.) Assim, o
capacitor imerso contém um dielétrico entre as placas.
RESOLUÇÃO a. Da Tabela 30.1, a constante dielétrica da água é ␬ 80.
Após a imersão na água, a energia armazenada torna-se
A presença do dielétrico aumenta a capacitância para
Ao mesmo tempo, a voltagem diminui para
AVALIAÇÃO A água, com sua grande constante dielétrica, tem um
grande efeito sobre o capacitor. Mas para onde foi a energia?
No Capítulo 27, aprendemos que todo dipolo é atraído para uma região onde o campo elétrico é mais intenso. O campo elétrico dentro de um capacitor é muito mais forte
do que fora do mesmo, então o dielétrico polarizado é, na verdade, puxado para dentro
932
Física: Uma Abordagem Estratégica
Folha de metal
Dielétrico
Muitos capacitores reais são “sanduíches”
enrolados de folhas metálicas com finos
dielétricos isolantes entre elas.
FIGURA 30.34 Um capacitor prático.
do capacitor. A energia “perdida” é o trabalho que o campo elétrico do capacitor realizou
puxando o dielétrico. Se as placas do capacitor fossem desprovidas de atrito, um dielétrico sólido aceleraria e ganharia energia cinética; assim, a energia potencial armazenada
no campo elétrico do capacitor se transformaria em energia cinética do dielétrico. No
caso da água ou de qualquer capacitor real com atrito nas placas, a energia armazenada
é transformada em energia térmica, a qual aumenta.
Dielétricos sólidos ou líquidos permitem que um arranjo de placas tenha mais capacitância do que teria se fosse preenchido com ar. Conforme deveríamos esperar, como
mostra a FIGURA 30.34, isso é importante na produção de capacitores práticos. Além disso, dielétricos permitem que capacitores sejam carregados até altas voltagens. Para todos os materiais existe um campo elétrico máximo que eles podem criar sem entrar em
ruptura dielétrica – a produção de uma faísca. Como observado anteriormente, a ruptura do ar pelo campo elétrico ocorre quando a intensidade de campo é de, aproximada6
mente, 3 10 V/m. Em geral, o campo elétrico máximo sustentável por um material é
chamado de rigidez dielétrica. A Tabela 30.1 inclui valores de rigidez dielétrica para o
ar e para alguns dielétricos sólidos. (A ruptura dielétrica da água é extremamente sensível à presença de íons e impurezas, de modo que a água não possui uma rigidez dielétrica bem-definida.)
Muitos materiais possuem rigidez dielétrica muito maior do que a do ar. O teflon,
por exemplo, apresenta uma rigidez dielétrica 20 vezes maior. Conseqüentemente, um
capacitor preenchido com Teflon pode ser carregado com segurança até uma voltagem
20 vezes maior do que um capacitor preenchido com ar, com a mesma separação de
placas. Um capacitor preenchido com ar, com separação de placas de 0,2 mm, pode ser
carregado somente até 600 V, mas um capacitor com uma lâmina de Teflon de 0,2 mm de
espessura poderia ser carregado até 12.000 V.
CAPÍTULO 30
■
Potencial e Campo
933
RESUMO
O objetivo do Capítulo 30 foi compreender como o potencial elétrico se relaciona com o campo elétrico.
Princípios gerais
Relacionando V e
Geometria do potencial e do campo
O potencial elétrico e o campo elétrico são duas perspectivas diferentes de como as carga-fontes alteram o espaço ao redor de si. V
e estão relacionados por
O campo elétrico:
• É perpendicular às superfícies
equipotenciais.
• Aponta no sentido em que V
diminui.
onde s é medido do ponto i ao ponto f e Es é o componente de
paralelo ao caminho de integração.
Graficamente,
V negativo da área sob o gráfico de Es, e
negativo da declividade do gráfico do potencial
• É inversamente proporcional ao
espaçamento s entre as superfícies equipotenciais.
Conservação da energia
A soma de todas as diferenças de potencial ao longo de um caminho fechado é sempre zero.
∑(V)i 0.
Conceitos importantes
Toda bateria é uma fonte de potencial.
A “escada rolante de cargas” de uma
bateria emprega reações químicas para
transferir cargas do terminal negativo
para o terminal positivo:
Vbat onde a fem é o trabalho realizado pela
escada rolante de cargas por unidade de
carga transferida.
Para um condutor em equilíbrio eletrostático:
• O campo elétrico interno é
nulo.
• O campo elétrico externo é
perpendicular à superfície do
condutor.
• A superfície do condutor é uma
equipotencial.
• O interior está no mesmo potencial da superfície.
Aplicações
Capacitores
Combinação de capacitores
A capacitância de dois condutores
isolados carregados com Q é
Capacitores em série
Um capacitor de placas paralelas possui
Capacitores em paralelo
Preencher o espaço entre as placas de um capacitor com um dielétrico de constante dielétrica ␬ aumenta sua capacitância para C
␬ C0
A energia armazenada em um capacitor é
Essa energia é armazenada no campo elétrico com uma densidade
.
Decréscimo
934
Física: Uma Abordagem Estratégica
Termos e notação
gerador de Van de Graaff
bateria
modelo de escada rolante de
cargas
bateria ideal
fem,
voltagem entre os terminais,
Vbat
lei de Kirchhoff das malhas
farad, F
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
capacitores em paralelo
capacitores em série
capacitância equivalente, Ceq
densidade de energia, uE
dielétrico
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
campo elétrico induzido
constante dielétrica, ␬
rigidez dielétrica
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. A FIGURA Q30.1 mostra o componente x de em função de x.
Desenhe o gráfico de V versus x para a mesma região do espaço.
Considere que V 0 V em x 0 m e escolha uma escala vertical
apropriada para cada eixo.
FIGURA Q30.1
FIGURA Q30.2
2. A FIGURA Q30.2 mostra o potencial elétrico em função de x. Desenhe o gráfico de Ex versus x para a mesma região do espaço.
em toda uma região do espaço. Você
3. a. Suponha que
pode concluir que V 0 V nesta região? Explique.
b. Suponha V 0 V em toda uma região do espaço. Você pode concluir que
nesta região do espaço? Explique.
4. Para cada mapa de contorno da FIGURA Q30.4, estime os campos
elétricos e nos pontos 1 e 2. Não se esqueça de que é uma
grandeza vetorial.
5. Um elétron parte do repouso em x 2 m em presença do potencial
representado na FIGURA Q30.5 Ele se moverá? Em caso afirmativo,
para o lado esquerdo ou para o direito? Explique.
FIGURA Q30.5
FIGURA Q30.6
6. Ordene em seqüência decrescente as intensidades de campo elétrico de Ea até Ed nos quatro pontos assinalados na FIGURA Q30.6.
Explique.
7. A FIGURA Q30.7 mostra um diagrama de campo elétrico. As linhas
tracejadas 1 e 2 são duas superfícies imaginárias no espaço, e não,
objetos materiais.
a. O potencial elétrico no ponto a é maior, menor ou igual ao potencial elétrico no ponto b? Explique.
b. Ordene em seqüência decrescente as diferenças de potencial
Vab, Vcd e Vef.
c. A superfície 1 é uma superfície equipotencial? E quanto à superfície 2? Explique por que sim ou por que não.
Folha
Haste
FIGURA Q30.7
FIGURA Q30.4
FIGURA Q30.8
8. A FIGURA Q30.8 mostra um eletroscópio carregado negativamente.
A folha de ouro permanece afastada da haste metálica rígida. O
potencial elétrico da folha é maior, menor ou igual ao potencial da
haste? Explique.
CAPÍTULO 30
9. As duas esferas metálicas da FIGURA Q30.9 estão conectadas por um
fio de metal com um interruptor no meio. Inicialmente, o interruptor
está aberto. Para a esfera 1, com um raio grande, é dada uma carga
positiva. A esfera 2, de raio menor, é neutra. Então, o interruptor é
fechado. Após isso, a esfera 1 possui uma carga Q1, encontra-se no
potencial V1 e a intensidade de campo elétrico em sua superfície é
E1. Os valores correspondentes para a esfera 2 são Q2, V2 e E2.
a. V1 é maior, menor ou igual a V2? Explique.
b. Q1 é maior, menor ou igual a Q2? Explique.
c. E1 é maior, menor ou igual a E2? Explique.
Esfera 1
Esfera 2
FIGURA Q30.9
Potencial e Campo
935
11. O capacitor de placas paralelas da FIGURA Q30.11 está conectado a
uma bateria cuja diferença de potencial é Vbat. Sem interromper as
conexões, mãos isoladas afastam as placas para 2d.
a. A diferença de potencial VC varia enquanto a separação aumenta? Em caso afirmativo, por qual fator? Em caso negativo, por
que não?
b. A capacitância sofre alteração? Em caso afirmativo, por qual fator? Em caso negativo, por que não?
c. A carga Q do capacitor sofre alteração? Em caso afirmativo, por
qual fator? Em caso negativo, por que não?
12. Ordene em sequência decrescente as diferenças de potencial de (VC)1
a (VC)4 dos quatros capacitores da FIGURA Q30.12. Explique.
Interruptor
10. A FIGURA Q30.10 mostra uma bateria de 3 V com um fio de metal
fixo a cada extremidade. Quanto valem as diferenças de potencial
V12, V23, V34 e V14?
FIGURA Q30.10
■
FIGURA Q30.11
FIGURA Q30.12
13. Ordene em sequência decrescente as energias de (UC)1 a (UC)4, armazenadas nos quatro capacitores da FIGURA Q30.13. Explique.
FIGURA Q30.13
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 30.1 Relacionando o potencial e o campo
1. || Qual é a diferença de potencial entre xi 10 cm e xf 30 cm em
um campo elétrico uniforme Ex 1000 V/m?
2. || Qual é a diferença de potencial entre yi 10 cm e yf 30 cm em
um campo elétrico uniforme
?
3. || A FIGURA EX30.3 é o gráfico de Ex. Qual é a diferença de potencial entre xi 1,0 m e xf 3,0 m?
FIGURA EX30.3
4. || A FIGURA EX30.4 é o gráfico de Ex. O potencial na origem é de
50 V. Qual é o potencial em x 3,0 m?
FIGURA EX30.4
Seção 30.2 Fontes de potencial elétrico
5. | Quanto trabalho a escada rolante de cargas realiza para transferir
1,0 ␮C de carga do terminal negativo para o terminal positivo de
uma bateria de 1,5 V?
6. || Quanto trabalho o motor elétrico de um gerador de Van de Graaff
realiza para elevar a energia potencial de um íon positivo (q e) se
o potencial do eletrodo esférico é de 1,0 MV?
7. | Qual é a fem de uma bateria que realiza 0,60 J de trabalho para
transferir 0,050 C de carga do terminal negativo para o positivo?
8. | A luz do Sol permite que uma célula solar transfira elétrons do
terminal positivo para o negativo realizando 2,4 1019 J de trabalho por elétron. Qual é a fem dessa célula solar?
936
Física: Uma Abordagem Estratégica
Seção 30.3 Determinando o campo elétrico a partir do potencial
9. | Qual é o módulo e qual é a orientação do campo elétrico no ponto
da FIGURA EX30.9?
FIGURA EX30.9
FIGURA EX30.10
10. | Qual é o módulo e qual é a orientação do campo elétrico no ponto
da FIGURA EX30.10?
11. || A FIGURA EX30.11 é o gráfico de V versus x. Desenhe o gráfico
correspondende de Ex versus x.
FIGURA EX30.11
19. | O interruptor que conecta uma bateria a um capacitor de 10 ␮F é
fechado. Vários segundos mais tarde, você descobre que as placas
do capacitor estão carregadas com 30 ␮C. Qual é a fem da bateria
usada?
20. | Qual é a fem de uma bateria que carrega um capacitor de 2,0 ␮F
com 48 ␮C?
21. | Duas placas conectadas a uma bateria de 9,0 V estão carregadas
com 45 nC. Qual é a capacitância das placas?
22. | Um capacitor de 6 ␮F, outro de 10 ␮F e um terceiro de 16 ␮F
estão conectados em paralelo. Qual é a capacitância equivalente dos
três?
23. | Um capacitor de 6 ␮F, outro de 10 ␮F e um terceiro de 16 ␮F
estão conectados em série. Qual é a capacitância equivalente dos
três?
24. | Você precisa de uma capacitância de 50 ␮F, mas não dispõe de
um capacitor de 50 ␮F. Você possui um capacitor de 30 ␮F. De
que capacitor adicional você precisa para produzir a capacitância
total de 50 ␮F? Você ligaria os dois capacitores em paralelo ou
em série?
25. | Você precisa de uma capacitância de 50 ␮F, mas não dispõe de um
capacitor de 50 ␮F. Você possui um capacitor de 75 ␮F. De que capacitor adicional você precisa para produzir a capacitância total de
50 ␮F? Você ligaria os dois capacitores em paralelo ou em série?
26. | Qual é a capacitância das duas esferas metálicas mostradas na
FIGURA EX30.26?
Interruptor
FIGURA EX30.12
12. || A FIGURA EX30.12 é o gráfico de V versus x. Desenhe o gráfico
correspondende de Ex versus x.
13. || Em uma região de campo elétrico uniforme, o potencial é de
1000 V em x 1,0 m e de 1000 V em x 1,0 m. Qual é o
campo correspondente Ex?
14. || O potencial elétrico ao longo do eixo x é dado por V 100 x2 V,
onde x está em metros. Qual é o campo correspondente Ex em (a) x
0 m e em (b) x 1 m?
15. || O potencial elétrico ao longo do eixo x é dado por V 50 x 100/x V, onde x está em metros. Qual é o campo correspondente Ex
em (a) x 1,0 m e em (b) x 2,0 m?
16. | Qual é a diferença de potencial V34 na FIGURA EX30.16?
,
FIGURA EX30.26
FIGURA EX30.27
27. | Inicialmente, o interruptor da FIGURA EX30.27 está aberto, e o capacitor, descarregado. Que quantidade de carga fluirá através do
interruptor após ele ser fechado?
Seção 30.6 Energia armazenada em um capacitor
28. | Até que potencial você deveria carregar um capacitor de 1,0 ␮F a
fim de armazenar 1,0 J de energia?
29. || A FIGURA EX30.29 mostra o gráfico de Q versus t para um capacitor de 2,0 ␮F. Desenhe um gráfico que represente UC versus t.
FIGURA EX30.16
Seção 30.5 Capacitância e capacitores
17. | Dois eletrodos quadrados de alumínio, de 2,0 cm 2,0 cm, estão
espaçados por 0,50 mm. Os eletrodos estão conectados a uma bateria de 100 V.
a. Qual é a capacitância correspondente?
b. Quanto vale a carga em cada eletrodo?
18. | Você precisa construir um capacitor de 100 pF para um projeto
de ciências. Seu plano é cortar dois quadrados de metal com dimensões L L e inserir um separador entre eles. O separador mais
delgado de que você dispõe tem 0,20 mm de espessura. Qual é o
valor adequado de L?
FIGURA EX30.29
30. || Um determinado capacitor 2 tem a metade da capacitância e duas
vezes a diferença de potencial de um capacitor 1. Quanto vale a
razão UC1/ UC2?
31. || Uma quantidade de 50 pJ de energia é armazenada em uma região com dimensões 2,0 cm 2,0 cm 2,0 cm onde existe um
campo elétrico uniforme. Qual é a intensidade do campo elétrico?
32. || Um capacitor de placas paralelas circulares com 2,0 cm de diâmetro, separadas por 0,50 mm, está carregado a 200 V. Quanto valem (a) a energia total armazenada no campo elétrico e (b) a densidade de energia correspondente?
CAPÍTULO 30
Seção 30.7 Dielétricos
33. | Dois discos metálicos com diâmetros de 5,0 cm estão separados
por um pedaço de papel de 0,20 mm de espessura.
a. Qual é a capacitância?
b. Qual é a diferença de potencial máxima entre os discos?
34. || Dois eletrodos de 5,0 mm 5,0 mm, com uma lâmina de Mylar
de 0,10mm de espessura entre eles, estão ligados a uma bateria de
9,0 V. Sem os desconectar da bateria, o Mylar é retirado. (Espaçadores muito pequenos mantêm inalterada a separação entre os
eletrodos.) Quais são a carga, a diferença de potencial e o campo
elétrico (a) antes e (b) após o Mylar ser retirado?
35. || Dois discos metálicos de 5,0 cm de diâmetro, separados por um
pedaço de vidro Pirex com 0,50 mm de espessura, estão carregados
com uma diferença de potencial de 1000 V. Quanto valem (a) a densidade de carga superficial dos discos e (b) a densidade superficial
de carga do vidro?
Problemas
36. || Na FIGURA P30.36,
a. Em qual ponto, A ou B, o potencial elétrico é maior?
b. Qual é a diferença de potencial entre A e B?
Cada um dos três
tem uma secção
transversal de 2,0
cm 2,0 cm.
FIGURA P30.41
Potencial e Campo
937
42. || A FIGURA P30.42 mostra o gráfico de V versus x em uma determinada região do espaço. O potencial é independente de y e z.
a. Desenhe o correspondente gráfico de Ex versus x.
b. Desenhe um mapa de contorno do potencial, no plano xy, para a
região quadrada 3 m x 3 m e 3 m y 3 m. Represente e assinale as superfícies equipotenciais correspondentes a 10
V, 5 V, 0 V, 5 V e 10 V.
c. Desenhe os vetores de campo elétrico sobre seu mapa de contorno do item anterior.
FIGURA P30.42
43. || Use a expressão para o potencial sobre o eixo de simetria de um
disco carregado, obtida no Capítulo 29, para determinar o campo
elétrico sobre o eixo de um disco carregado.
44. || a. Use os métodos do Capítulo 29 para determinar o potencial a
uma distância x sobre o eixo perpendicular ao bastão carregado da FIGURA P30.44.
b. Use o resultado do item anterior para determinar o campo elétrico a uma distância x sobre o eixo do bastão.
FIGURA P30.36
37. || O campo elétrico em uma região do espaço é dado por Ex 1000x V/m, onde x está em metros.
a. Desenhe o gráfico de Ex versus x para a região 1 m x 1m.
b. Qual é a diferença de potencial entre xi 20 cm e xf 30 cm?
38. || O campo elétrico em uma região do espaço é dado por Ex 5000x V/m, onde x está em metros.
a. Desenhe o gráfico de Ex versus x sobre a região 1 m x
1m.
b. Encontre uma expressão para o potencial V na posição x. Como
uma referência, faça V 0 V na origem.
c. Desenhe o gráfico V versus x sobre a região 1 m x 1m.
39. || Um cilindro infinitamente longo de raio R tem densidade linear
de carga ␭. O potencial sobre a superfície do cilindro é V0 e o campo elétrico fora do cilindro é Er ␭/2␲0r. Encontre o potencial
relativo à superfície em um ponto que está distante r do eixo, assumindo que r R.
40. || A FIGURA P30.40 mostra Ex, o
componente x do campo elétrico, como uma função da posição ao longo do eixo x. Determine e desenhe o gráfico de V
versus x para a região 0 cm x
3 cm. Como referência, conFIGURA P30.40
sidere V 0 V em x 3 cm.
41. || A FIGURA P30.41 mostra a vista lateral de três eletrodos metálicos
carregados. Desenhe o gráfico (a) de Ex versus x e (b) de V versus x
para a região 0 cm x 3 cm.
■
Carga Q
FIGURA P30.44
45. || Determine o módulo e a orientação do campo elétrico nos pontos
1 e 2 da FIGURA P30.45.
Escala
FIGURA P30.45
FIGURA P30.46
46. || A FIGURA P30.46 mostra um conjunto de linhas equipotenciais e
cinco pontos assinalados.
a. Das medições feitas com uma régua sobre essa figura, usando a
escala mostrada na mesma, estime a intensidade do campo elétrico E nos cinco pontos indicados.
b. Trace a figura sobre uma folha de papel e, depois, represente os
vetores do campo elétrico nos cinco pontos.
47. || O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V (150 x2 200 y2) V, onde x e y estão em metros. Qual é a intensidade e qual é a orientação do campo elétrico em (x,y) (2,0 m, 1,0
m)? Expresse a orientação por um ângulo medido em sentido horário ou anti-horário (especifique qual) a partir do semi-eixo positivo
de x.
48. || O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
, onde x e y estão em metros. Qual é a intensidade e a qual
é orientação do campo elétrico em (x,y) (2,0 m, 1,0 m)? Expresse a orientação por um ângulo medido em sentido horário ou antihorário (especifique qual) a partir do semi-eixo positivo de x.
938
Física: Uma Abordagem Estratégica
49. || A FIGURA P30.49 mostra o potencial elétrico nos pontos sobre uma
grade de 5,0 cm 5,0 cm.
a. Reproduza essa figura em uma
folha de papel e depois desenhe
as superfícies equipotenciais
correspondentes a 50 V, 75 V e
100 V.
b. Estime o campo elétrico (intensidade e orientação) nos pontos
Potencial em V
A, B, C e D.
FIGURA P30.49
c. Desenhe os vetores do campo
elétrico nos pontos A, B, C e D em seu diagrama.
50. | Uma esfera metálica 1 possui uma carga positiva de 6,0 nC. Outra
esfera metálica 2, com diâmetro duas vezes maior do que o da esfera 1, está inicialmente descarregada. As esferas são, então, conectadas por um fio metálico fino e longo. Quais são as cargas finais em
cada esfera?
51. || As esferas metálicas da FIGURA P30.51 estão carregadas a 300
V. Copie a figura para uma folha de papel e depois desenhe um
mapa de contorno plausível do potencial que mostre e assinale as
superfícies equipotenciais correspondentes a 300 V, 200 V,
100 V,...., 300 V.
FIGURA P30.58
FIGURA P30.59
59. | Qual é a capacitância equivalente dos três capacitores da FIGURA
P30.59?
60. | Qual é a carga e qual é a diferença de potencial através de cada
capacitor da FIGURA P30.60?
FIGURA P30.60
FIGURA P30.61
61. || Qual é a carga e qual é a diferença de potencial através de cada
capacitor da FIGURA P30.61?
62. || Qual é a carga e qual é a diferença de potencial através de cada
capacitor da FIGURA P30.62?
FIGURA P30.51
52. || O potencial no centro de uma esfera de cobre de 4,0 cm de diâmetro é 500 V em relação a V 0 V no infinito. Que excesso de
carga encontra-se sobre a esfera?
53. || Para entender por que a densidade de carga e o campo elétrico
são maiores nas extremidades pontiagudas de um condutor, considere duas esferas de metal com raios r1 R e r2 2R, ambas
carregadas com o mesmo potencial V0.
a. Qual é a razão ␩1/␩2 entre suas densidades de carga superficial?
b. Qual é a razão E1/E2 entre as intensidades de campo elétrico em
suas superfícies?
54. | Dois eletrodos metálicos de 2,0 cm 2,0 cm estão espaçados por
1,0 mm e conectados por fios aos terminais de uma bateria de 9,0 V.
a. Qual é a carga de cada eletrodo e qual é a diferença de potencial
entre eles?
Os fios são desconectados, e mãos isoladas puxam as placas até
que fiquem afastadas por 2,0 mm.
b. Qual é a carga sobre cada eletrodo e qual é a diferença de potencial entre eles?
55. | Dois eletrodos metálicos de 2,0 cm 2,0 cm estão espaçados
por 1,0 mm e conectados por fios aos terminais de uma bateria de
9,0 V.
a. Qual é a carga de cada eletrodo e qual é a diferença de potencial
entre eles?
Com as placas ainda conectadas à bateria, mãos isoladas puxam
as placas até que fiquem separadas por 2,0 mm.
b. Qual é a carga sobre cada eletrodo e qual é a diferença de potencial entre eles?
56. || Um capacitor esférico, com um espaço de 1,0 mm entre as esferas, tem capacitância igual a 100 pF. Quanto valem os diâmetros
das esferas?
57. | Obtenha uma expressão para a capacitância equivalente (a) de N
capacitores C idênticos ligados em paralelo e (b) de N capacitores
C idênticos ligados em série.
58. | Qual é a capacitância equivalente dos três capacitores da FIGURA
P30.58?
FIGURA P30.62
63. | Você dispõe de três capacitores de 12 ␮F cada um. Desenhe diagramas que mostrem como você poderia arranjar todos os três de
modo que sua capacitância equivalente fosse igual a (a) 4,0 ␮F, (b)
8,0 ␮F, (c) 18 ␮F e (d) 36 ␮F.
64. || Qual é a capacitância das três cascas esféricas metálicas concêntricas da FIGURA P30.64?
DICA: Você consegue conceber isso como uma combinação de
capacitores?
,
,
,
FIGURA P30.64
FIGURA P30.65
65. | Seis capacitores idênticos de capacitância C cada um estão conectados como mostra a FIGURA P30.65.
a. Qual é a capacitância equivalente dos seis capacitores?
b. Qual é a diferença de potencial entre os pontos a e b?
66. || Qual é a capacitância dos dois eletrodos da FIGURA P30.66?
DICA: Você consegue conceber isso como uma combinação de
capacitores?
Os eletrodos se estendem 1,0 cm
para dentro da página.
,
FIGURA P30.66
,
,
,
CAPÍTULO 30
67. || Inicialmente, o interruptor da FIGURA P30.67 está na posição A, e
os capacitores C2 e C3, descarregados. Então, o interruptor é movido para a posição B. Logo após, qual é a carga e qual é a diferença
de potencial através de cada capacitor?
Interruptor
FIGURA P30.67
FIGURA P30.68
68. || Uma bateria com fem de 60 V é conectada aos dois capacitores
mostrados na FIGURA P30.68. Logo após, a carga do capacitor 2 é de
450 ␮C. Quanto vale a capacitância do capacitor 2?
69. || Dois capacitores C1 10 ␮F e C2 20 ␮F são carregados até
10 V e, depois, desconectados da bateria sem que ocorra variação
de carga nas placas dos capacitores. Os dois capacitores são, então,
conectados em paralelo um com o outro, com a placa positiva de
C1 conectada à placa negativa de C2 e vice-versa. Logo em seguida,
qual é a carga e qual é a diferença de potencial através de cada capacitor?
70. || Um capacitor de placas paralelas isolado de 5,0 ␮F possui 4,0
mC de carga. Uma força externa altera a distância entre suas placas
até que a capacitância seja de 2,0 ␮F. Que quantidade de trabalho é
realizada pela força externa?
71. || Um capacitor de placas paralelas é construído com dois eletrodos
de 10 cm 10 cm espaçados por 1,0 mm. As placas do capacitor
são carregadas até 10 nC e, então, o capacitor é desconectado da
bateria.
a. Que valor de energia está armazenado no capacitor?
b. Mãos isoladas puxam as placas até que a distância entre as placas
seja de 2,0 mm. Agora, que quantidade de energia está armazenada no capacitor?
c. A energia deve ser conservada. Como você justifica a diferença
obtida entre os itens a e b?
72. || Qual é a densidade de energia do campo elétrico na superfície de
uma esfera com 1,0 cm de diâmetro carregada a um potencial de
1000 V?
73. || A unidade de flash de uma câmera fotográfica emprega uma bateria de 3,0 V para carregar um capacitor. O capacitor é descarregado
através da lâmpada do flash. A descarga dura 10 ␮s, e a potência
média dissipada na lâmpada do flash é de 10 W. Qual é a capacitância do capacitor?
74. || Você precisa derreter rapidamente um bloco de gelo de 0,50 kg
que se encontra a 100C. O fogão não está funcionando, entretanto
você dispõe de uma bateria de 50 V. Ocorre-lhe, então, que você
poderia construir um capacitor com um par de pedaços de folhas
de metal que estão por perto, carregar o capacitor com a bateria e,
depois, descarregá-lo através do bloco de gelo. Se você usar folhas
quadradas e espaçadas por 2,0 mm, quais devem ser as dimensões
das folhas para ter sucesso em seu objetivo? Isso é possível?
75. || Derive a Equação 30.34 para a densidade de carga superficial
induzida sobre o dielétrico de um capacitor.
76. || Um detector de radiação conhecido como contador Geiger emprega um tubo cilíndrico fechado e oco com um fio isolante ao
longo de seu eixo longitudinal. Suponha que um tubo de Geiger,
como é chamado, contenha um fio de 1,0 mm de diâmetro em seu
interior e tenha um diâmetro interno de 25 mm. O tubo é preenchido com um gás a baixa pressão com rigidez dielétrica de 1,0 10 6 V/m. Qual é a diferença de potencial máxima possível entre o
tubo e o fio?
■
Potencial e Campo
939
77. || Um capacitor de placas paralelas isolado a vácuo, com separação
de placas d, tem uma capacitância C0. Qual será sua capacitância se
um isolante de constante dielétrica ␬ e espessura d/2 for introduzido entre os eletrodos?
Nos Problemas de 78 a 80 lhe é fornecida uma ou mais equações para
serem usadas na resolução de um problema. Para cada um dos casos,
você deve
a. Redigir um problema realista para o qual essa ou essas equações
sejam corretas.
b. Resolver o problema proposto.
78.
79.
80.
Problemas desafiadores
81. O potencial elétrico em uma região do espaçao é dado por V 100
2
2
(x y ) V, onde x e y estão em metros.
a. Desenhe um mapa de contorno do potencial que mostre e assinale as superfícies equipotenciais correspondentes a 400 V, 100
V, 0 V, 100 V e 400 V.
b. Obtenha uma expressão para o campo elétrico na posição
(x,y).
c. Desenhe as linhas de campo elétrico sobre seu diagrama do item a.
82. Um dipolo elétrico posicionado na origem de um sistema de coordenadas consiste de duas cargas q separadas por uma distância s
ao longo do eixo y.
a. Obtenha uma expressão para o potencial V(x,y) em um ponto qualquer do plano xy. Sua resposta deve ser uma função de q, s, x e y.
b. Use a aproximação binomial para simplificar seu resultado do
item a quando s
x e quando s
y.
xes
y, obtenha expressões para Ex e
c. Considerando que s
Ey, os componentes do criado por um dipolo.
d. Quanto vale a projeção de sobre o eixo s? Seu resultado está
em concordância com a Equação 27.11?
e. Quanto vale a projeção de sobre o eixo bissetor? Seu resultado
está em concordância com a Equação 27.12?
83. A carga está uniformemente distribuída, com densidade de carga ␳,
em um cilindro muito comprido e de raio R. Encontre a diferença
de potencial entre a superfície e o eixo do cilindro.
84. Considere uma esfera carregada uniformemente de raio R e com
R)
uma carga total Q. O campo elétrico Eext fora da esfera (r
é simplemente o mesmo criado por uma carga puntiforme Q. No
Capítulo 28, usamos a lei de Gauss para determinar que o campo
elético Eint dentro da esfera (r R) aponta radialmente para fora do
centro com uma intensidade de campo dada por
a. Desenhe o gráfico de E versus r na região 0 r 3R.
b. O potencial elétrico Vext fora da esfera é o mesmo criado por uma
carga puntiforme Q. Obtenha uma expressão para o potencial
elétrico Vint em uma posição r dentro da esfera. Como referência,
considere que Vint Vext na superfície da esfera.
c. Qual é a razão Vcentro/Vsuperfície?
d. Desenhe o gráfico de V versus r na região 0 r 3R.
940
Física: Uma Abordagem Estratégica
85. Sinais de alta freqüência geralmente são
Cabo coaxial
transmitidos ao longo de cabos coaxiais,
tal como o que é mostrado na FIGURA
PD30.85. Por exemplo, o cabo ao qual
está conectada a sua TV por assinatura é
um cabo coaxial. O sinal é conduzido
sobre um fio de raio R1, enquanto o condutor externo, de raio R2, está aterrado
FIGURA PD30.85
(ou seja, com V 0 V). Um material
isolante preenche o espaço entre os dois condutores, e um isolante
plástico recobre totalmente o exterior do cabo.
a. Obtenha uma expressão para a capacitância por metro do cabo coaxial. Considere que o material isolante entre os cilindros seja o ar.
b. Determine o valor da capacitância por metro do cabo se R1 0,50 mm e R2 3,0 mm.
86. Cada capacitor da FIGURA PD30.86 tem uma mesma capacitância C.
Qual é a capacitância equivalente entre os pontos a e b?
FIGURA PD30.86
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 30.1: 5,0 V. As voltagens individuais das pilhas se adicionam, porém V2 1,0 V porque a escada rolante de cargas baixa
1,0 V.
Pare e Pense 30.2: c. Ey é o negativo da declividade do gráfico de V
versus y. O campo Ey é positivo, pois aponta para cima. Assim, o gráfico tem uma declividade negativa. O campo Ey tem módulo constante,
portanto a declividade também tem um valor constante.
Pare e Pense 30.3: c. aponta no sentido em que V diminui, portanto
V deve diminuir da direita para a esquerda. O módulo E é maior na esquerda, em relação à direita, de modo que as linhas de contorno devem
ser mais próximas no lado esquerdo.
Pare e Pense 30.4: b. Por causa dos fios conectores, as três esferas
formam um único condutor em equilíbiro eletrostático. Assim, todos os
pontos se encontram a um mesmo potencial. O campo elétrico criado
pela esfera está relacionado ao potencial gerado por ela através da relação E V/R, portanto a esfera de raio menor cria um E mais intenso.
Pare e Pense 30.5: (Ceq)b (Ceq)a (Ceq)d (Ceq)c. (Ceq)b 3 ␮F
3 ␮F 6 ␮F. A capacitância equivalente dos capacitores em série é
menor do que a de qualquer capacitor do arranjo, portanto (Ceq)c 3
␮F. Somente d requer realmente algum cálculo. Os dois capacitores de
4 ␮F estão em série e são equivalentes a um único capacitor de 2 ␮F.
O capacitor equivalente de 2 ␮F está em paralelo com o de 3 ␮F; logo,
(Ceq)d 5 ␮F.
Corrente e Resistência 31
O filamento de uma lâmpada é um
fio de tungstênio muito fino – um dos
poucos materiais que não se fundem na
alta temperatura necessária – aquecido
pela passagem de corrente através do
mesmo. O filamento precisa ter uma
grande resistência, mas o tungstênio
apresenta uma baixa resistividade.
Conseqüentemente, o filamento é
enrolado e enrolado novamente,
formando uma espiral, o que permite a
um grande comprimento de fio muito
fino ocupar um espaço pequeno.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 31 é aprender
como e por que as cargas se movem
através de um condutor, formando
aquilo que chamamos de corrente.
Neste capítulo, você aprenderá a:
■ Compreender como a carga se
move através de um condutor.
■ Usar um modelo microscópico de
condução.
■ Usar a lei de conservação da
corrente.
■ Relacionar a corrente em um fio
Luminárias, sistemas de som, aparelhos de microondas e computadores são partes
importantes do nosso dia a dia. Esses dispositivos são conectados por fios a uma bateria ou
a uma rede elétrica. O que acontece dentro do fio que faz com que a luz apareça ou que um
CD funcione? E por que isso ocorre? Dizemos que “a eletricidade flui através do fio”, mas
o que tal afirmação significa exatamente? E, igualmente importante, como nós sabemos o
que ocorre? Simplesmente olhar para um fio ligado entre uma bateria e uma lâmpada de
filamento não nos diz se alguma coisa se move ou flui. Tanto quanto podemos observar
visualmente, o fio tem a mesma aparência esteja ele “conduzindo eletricidade” ou não.
O objetivo do capítulo é aprender acerca da corrente elétrica. Queremos entender o
que é que se move através de um fio portador de corrente, e por quê. Também precisamos estabelecer uma relação entre a corrente elétrica e os processos eletrostáticos que
estudamos nos últimos cinco capítulos.
com a condutividade do metal do
qual o fio é feito.
■ Usar a lei de Ohm para determinar
a corrente através de um condutor.
Em retrospectiva
Este capítulo depende das
propriedades de carga, campo elétrico,
potencial elétrico e da teoria do
capacitor de placas paralelas. Revise:
■ Seções 26.2 e 26.3 Cargas e
condutores
■ Seção 27.5 Capacitor de placas
paralelas
31.1 A corrente de elétrons
■ Seção 27.6 Movimento de uma
Até agora temos examinado situações em que as cargas encontram-se em equilíbrio
estático. Agora é hora de explorar o movimento controlado de cargas – as correntes.
■ Seção 30.2 Fontes de potencial
carga em um campo elétrico
elétrico
942
Física: Uma Abordagem Estratégica
Vamos iniciar com uma questão simples: como um capacitor é descarregado? A FIGURA
31.1 a seguir mostra um capacitor carregado. Se conectarmos as duas placas do capacitor
por um fio metálico condutor, as placas rapidamente ficarão neutras, ou seja, o capacitor
será descarregado. A carga, de alguma forma, moveu-se de uma placa à outra.
A carga resultante
em cada placa está
diminuindo.
Placas isoladas permanecem
carregadas indefinidamente.
Todavia o capacitor é rapidamente descarregado
se conectarmos as placas por um fio condutor.
FIGURA 31.1 Um capacitor é descarregado por um fio metálico.
O fio conector se aquece.
No Capítulo 26, definimos a corrente como um movimento de cargas. Podemos ver
que o capacitor é descarregado por uma corrente no fio conector. Vejamos o que mais
podemos observar. A FIGURA 31.2 mostra que todo fio conector esquenta. Se o fio é muito
fino em alguma parte, tal como no filamento de uma lâmpada, ele aquece a ponto de
brilhar. O fio que conduz a corrente também desviará a agulha de uma bússola posicionada próxima. Exploraremos a conexão entre correntes e magnetismo no Capítulo 33.
Por ora, utilizaremos as expressões “aquece o fio” e “desvia a agulha de uma bússola”
como indicadoras de que uma corrente está presente em um fio.
Mas simplesmente dizer que existe uma corrente não ajuda muito. Entre as questões
que gostaríamos de responder estão:
■
■
■
■
O que é isso que se move através do fio?
O que o põe em movimento?
Com que velocidade se move?
O que controla seu movimento?
O objetivo do Capítulo 31 é exatamente responder a estas questões.
Portadores de corrente
Uma lâmpada brilha. O filamento da
lâmpada é parte do fio conector.
A agulha de uma bússola é desviada.
FIGURA 31.2 Propriedades de uma
corrente.
Um fio conector descarrega o capacitor fornecendo um caminho para a carga se mover
de uma placa do capacitor para a outra. Entretanto, é a carga positiva que se move para
a placa negativa ou é o contrário? Ambos os movimentos explicariam as observações
feitas anteriormente.
As cargas que, de fato, se movem em um condutor são chamadas de portadores de
carga. No Capítulo 26 afirmamos, simplesmente, que os portadores de carga em um metal são os elétrons, mas como sabemos isso? Um dos primeiros indícios nesse sentido foi
desvendado por J. J. Thompson, o descobridor do elétron. Em 1890, Thompson notou
que metais quentes e brilhantes emitiam elétrons. (Essa emissão térmica pelo filamento
de tungstênio incandescente é, hoje em dia, a fonte dos elétrons nos tubos de raios catódicos usados em televisores e monitores de computador.) A observação de Thompson
sugeria que os elétrons se movem próximos à superfície de um metal e podem escapar se
possuírem energia térmica suficiente.
Entretanto a primeira prova real de que os elétrons são os portadores de carga nos
metais foi um experimento realizado por Tolman-Stewart em 1916. Tolman e Stewart
imprimiram uma rápida aceleração a um bastão metálico. Como ilustrado na FIGURA 31.3,
a inércia dos portadores de carga no interior do metal (e a primeira lei de Newton) faz
com que eles sejam “arremessados” para trás da superfície do metal à medida que aceleram. Se os portadores de carga fossem positivos, seu deslocamento em relação ao metal
deveria fazer com que a superfície traseira do mesmo ficasse positivamente carregada,
deixando a superfície frontal negativamente carregada, uma situação parecida com a da
polarização de um metal por um campo elétrico. Se os portadores de carga fossem negativos, a superfície traseira deveria ficar com carga negativa, e a dianteira, com positiva.
CAPÍTULO 31
■
Corrente e Resistência
943
Quando uma barra de metal acelera para a direita, a inércia faz com que os portadores de carga
sejam deslocados para a parte traseira da barra. A superfície frontal fica carregada com a carga oposta.
“Mar”de portadores de cargas positivas
“Mar“ de portadores de cargas negativas
FIGURA 31.3 O experimento de Tolman-Stewart* para determinar o sinal dos portadores de
carga em um metal.
Tolman e Stewart constataram que a superfície posterior do bastão metálico sempre se
tornava negativamente carregada quando ele acelerava. As únicas partículas carregadas
possíveis seriam os elétrons; assim, a evidência experimental nos diz que os portadores
de carga nos metais são os elétrons. Observamos no Capítulo 26 que os elétrons se comportam como um gás ou um líquido negativamente carregado movendo-se entre os átomos da rede do material. Tal modelo, chamado de mar de elétrons, é revisado na FIGURA
31.4. Não se trata de um modelo perfeito porque são desprezados alguns efeitos quânticos,
mas ele constitui a base para descrições razoavelmente boas de correntes em metais. Note
que os elétrons de condução não estão presos a qualquer átomo particular do metal.
NOTA Os elétrons são os portadores de carga em metais. Outros condutores, tcomo
Os íons (átomos metálicos menos um dos
elétrons de valência) ocupam posições
fixas da rede.
O metal
como um
todo é eletricamente
neutro.
soluções iônicas ou semicondutores, possuem portadores de carga diferentes. Iremos
nos concentrar nos metais por causa de sua importância em circuitos, mas não pense
que os elétrons sejam os únicos portadores de carga. Os elétrons de condução em um metal, como as moléculas de um gás, descrevem
movimentos térmicos aleatórios, todavia sem haver um movimento resultante. Podemos
alterar isso se empurrarmos o mar de elétrons por meio de um campo elétrico, fazendo
todo o “mar” se mover em uma direção e sentido como um gás ou um líquido que flui
através de uma tubulação. Este movimento global, que ocorre no que chamamos de velocidade de deriva vd, é superposto ao movimento térmico aleatório de cada elétron do
4
metal. A velocidade de deriva é bem pequena. Como determinaremos mais tarde, 10
m/s é um valor razoavelmente típico de vd.
Como ilustra a FIGURA 31.5, todo o mar de elétrons se move da esquerda para a direita
com uma velocidade de deriva. Suponha que um observador pudesse contar os elétrons
enquanto eles passam através desta secção transversal do fio. Vamos definir a corrente
de elétrons ie como sendo o número de elétrons que atravessam a secção transversal do
1
fio ou de outro condutor por segundo. A unidade de corrente de elétrons é o s . Colocando de outra forma, o número Ne de elétrons que passam através da secção transversal
durante o intervalo de tempo t é
(31.1)
A corrente de elétrons está relacionada à velocidade de deriva. Portanto, aumentar a
velocidade de deriva significará um aumento no número de elétrons que atravessam o fio
a cada segundo. Para tornar quantitativa essa idéia, a FIGURA 31.6 mostra o mar de elétrons
movendo-se através do fio com uma velocidade de deriva vd. Os elétrons que atravessam
uma secção transversal particular do fio durante um intervalo t estão marcados. Quantos deles existem ali?
Fio no instante t
Existem ne elétrons por
metro cúbico de fio.
Uma secção
transversal do fio.
Fio no instante t t
O mar de elétrons se
move para a direita com
velocidade de deriva vd.
Secção transversal de
área A
O mar de elétrons se moveu para a
frente pela distância x vd t.
O volume delimitado é V A x.
FIGURA 31.6 O mar de elétrons se move para a direita com velocidade de deriva vd.
* N. de T. A descrição utilizada pelo autor para o experimento de Tolman e Stewart é de perfil apenas
didático, uma vez que, de fato, o experimento não foi realizado com uma barra, e sim, com um anel
em rotação. Em um certo instante, o anel era freado “instantaneamente”, registrando-se uma minúscula corrente inercial de elétrons: R. C. Tolman e T. D. Stewart, Phys. Rev. 8 (1916) 97{116.}.
Os elétrons de condução (um por átomo) são
livres para se moverem na vizinhança. Eles
estão ligados ao sólido como um todo, e não,
a um átomo em particular.
FIGURA 31.4 O mar de elétrons é um
modelo para o comportamento de elétrons
de condução em metais.
O mar de elétrons flui através de um fio com
uma velocidade de deriva vd parecida com a
de um líquido escoando por uma tubulação.
Elétrons
Fio
A corrente de elétrons ie é o número de
elétrons que atravessa esta secção transversal
do fio a cada segundo.
FIGURA 31.5 A corrente de elétrons.
944
Física: Uma Abordagem Estratégica
Cada elétron percorre uma distância x vdt para a direita durante um intervalo
t, e sua totalidade está contida em um cilindro de carga com volume dado por V Ax. Se a densidade numérica de elétrons de condução é ne elétrons por metro cúbico,
então o número total de elétrons no cilindro é
(31.2)
Comparando a Equação 31.2 com a Equação 31.1, você pode verificar que a corrente de
elétrons no fio é
(31.3)
TABELA 31.1 Densidade de elétrons de
condução nos metais
Metal
Densidade
eletrônica (m3)
Alumínio
6,0 1028
Cobre
8,5 10
28
Ferro
8,5 10
28
Ouro
5,9 1028
Prata
5,8 1028
Você pode aumentar a corrente de elétrons – o número de elétrons que passam através do
fio por segundo – fazendo-os se moverem mais rápido, aumentando o seu número por
metro cúbico ou aumentando o diâmetro do fio pelo qual estão passando. Tudo isso é
plausível.
Na maioria dos metais, cada átomo contribui com um elétron de valência para
o mar de elétrons. Assim, o número de elétrons de condução por metro cúbico é
o mesmo que o número de átomos por metro cúbico, uma grandeza que pode ser
determinada a partir da massa específica do metal. A Tabela 31.1 fornece valores da
densidade de elétrons de condução ne para diversos metais comuns. Note que não há
grandes variações.
EXEMPLO 31.1 A intensidade da corrente de elétrons
Qual será a corrente de elétrons em um fio de cobre de 2,0 mm de diâ4
metro se a velocidade de deriva dos elétrons for de 1,0 10 m/s?
RESOLUÇÃO A área da secção transversal do fio é A ␲ r
2
3,14 6
2
10 m . A Tabela 31.1 fornece a densidade eletrônica do cobre como
28
3
8,5 10 m . Usando ie neAvd, podemos calcular
AVALIAÇÃO Trata-se de um número enorme de elétrons que atravessam
uma seção do fio a cada segundo. O número é grande não porque o
número de elétrons se move rapidamente – de fato, eles se movem
literalmente a um ritmo de tartaruga –, mas por ser gigantesca a densidade de elétrons. Este é um valor ou intensidade típica de corrente
de elétrons.
A densidade de elétrons ne e a secção de área A são propriedades do fio; não podemos alterá-las. Uma vez escolhido um tipo particular de fio, o único parâmetro que
podemos variar a fim de controlar a intensidade da corrente é a velocidade de deriva vd.
Como você verá, a velocidade de deriva é determinada pelo campo elétrico existente no
interior do fio.
PARE E PENSE 31.1
Estes quatro fios são feitos do mesmo metal. Ordene em seqüência decrescente as correntes elétricas enumeradas de ia a id.
Descarregando um capacitor
A FIGURA 31.7 mostra um capacitor carregado com 16 nC enquanto está sendo descarregado por um fio de cobre de 2,0 mm de diâmetro e 20 cm de comprimento. Quanto
tempo leva para descarregar inteiramente o capacitor? Notamos que um valor típico e
4
plausível de velocidade de deriva em correntes de elétrons é de 10 m/s. A tal taxa, levaria 2000 s, ou em torno de meia hora, para um elétron percorrer 20 cm. Teríamos tempo
para um cafezinho enquanto estivéssemos esperando que ocorresse a descarga!
CAPÍTULO 31
Mas não é isso que ocorre. Até onde nossa experiência demonstra, a descarga do
capacitor pelo fio de cobre é praticamente instantânea. Mas, então, o que há de errado
com nossos cálculos?
O fato importante que não levamos em conta é que o fio já está cheio de elétrons.
Como analogia, pense na água em uma mangueira. Se a mangueira já estiver cheia de
água, adicionar uma gota em uma de suas extremidades imediatamente (ou muito próximo disso) empurrará outra gota para fora na outra extremidade. Algo análogo ocorre no
fio. Assim que o excesso de elétrons sai da placa negativa do capacitor para o fio, eles
imediatamente (ou muito próximo disso) empurram um número igual de elétrons pelo
outro lado do fio, sobre a placa positiva, neutralizando-a. Não temos de esperar para que
os elétrons se movam por todo o caminho através do fio, de uma placa para a outra. Em
vez disso, precisamos apenas produzir um ligeiro rearranjo das cargas sobre as placas e
dentro do fio.
Vamos fazer uma estimativa grosseira da quantidade de rearranjos necessários e de
quanto tempo demora a descarga. Usando a densidade de elétrons do cobre da Tabela
22
31.1, podemos calcular que existem 5 10 elétrons de condução no fio. A placa nega11
tiva da FIGURA 31.8, com Q 16 nC, possui 10 elétrons em excesso, bem menos do
11
que o fio. De fato, o comprimento do fio de cobre necessário para armazenar 10 elétrons
13
é de apenas 4 10 m, correspondente a cerca de 1% do diâmetro de um átomo.
No instante em que o fio conecta as placas do capacitor, as forças repulsivas entre os
11
10 elétrons excedentes na placa negativa fazem com que se empurrem para o fio. Com
11
13
isso, 10 elétrons se empurram na parte final do fio com 4 10 m de comprimento
em direção à placa positiva. Se todos os elétrons se movem juntos e se eles se movem
4
com uma velocidade de deriva típica de 10 m/s – ambas as suposições são imperfeitas,
9
porém suficientes para uma estimativa – , irá demorar 4 10 s, ou 4 ns, para eles per13
correrem 4 10 m e descarregarem, assim, o capacitor. E, de fato, essa é a ordem de
grandeza dos tempos que os elétrons demoram para se reagrupar de forma que as placas
do capacitor tornem-se neutras.
■
Corrente e Resistência
945
Faltam 1011
elétrons
Corrente
de
elétrons
Excesso de 1011 elétrons
Fio de cobre com 20 cm de comprimento
FIGURA 31.7 Quanto tempo leva para
descarregar um capacitor?
1. Os 1011 elétrons em excesso na placa
negativa se movem para o fio. O
comprimento de fio necessário para
acomodar esses elétrons é de
apenas 4 1013 m.
3. Outros 1011 elétrons são empurrados
para fora do fio sobre a placa positiva.
A placa agora está neutra.
Fio de 2,0 mm de diâmetro
PARE E PENSE 31.2 Por que a lâmpada de uma sala acende instantaneamente quando você
liga um interruptor que está a vários metros de distância?
31.2 Criando uma corrente
Suponha que você deseje fazer um livro deslizar sobre uma mesa até um colega próximo.
Para que o livro inicie o movimento, você exerce sobre ele um rápido empurrão. Mas o
livro começa a desacelerar, devido ao atrito, assim que você o solta. A energia cinética
do livro é transformada em energia térmica, deixando o livro e a mesa ligeiramente mais
quentes. A única maneira de manter o livro em movimento a uma velocidade constante
é continuar a empurrá-lo.
Conforme mostra a FIGURA 31.9, o mar de elétrons é análogo ao livro. Se você empurrar o mar de elétrons, você criará uma corrente de elétrons que se movem através do
condutor. Todavia os elétrons não se movem no vácuo. As colisões entre os elétrons e os
átomos do metal transformam a energia cinética dos elétrons em energia térmica do
metal, fazendo o material aquecer. (Lembre-se de que “aquecer o fio” era um de nossos
indicadores de corrente.) Conseqüentemente, o mar de elétrons irá desacelerar rapidamente e parar, a menos que você continue empurrando. E como você pode empurrar
elétrons? Com um campo elétrico!
Uma das conclusões importantes do Capítulo 26 era que, no interior de um condutor
. Entretanto um condutor com elétrons em movimento
em equilíbrio eletrostático,
em seu interior não está em equilíbrio eletrostático. Toda corrente de elétrons é um
movimento de cargas não-equilibradas mantido por um campo elétrico interno.
Portanto, a resposta rápida para a questão “o que cria uma corrente?” é: “um campo
elétrico”. Mas por que existe um campo elétrico em um fio cheio de portadores de corrente? Como ela foi estabelecida? Qual é a relação entre a intensidade do campo elétrico
e a intensidade da corrente de elétrons? Tratam-se de questões às quais precisamos responder.
O mar de 5 1022 elétrons no fio é empurrado
lateralmente. Ele se move apenas 4 1013 m
em um tempo quase desprezível.
FIGURA 31.8 O mar de elétrons necessita
de um minúsculo rearranjo para
descarregar o capacitor.
Devido ao atrito, uma força constante é necessária
para mover o livro com velocidade constante.
empurrão
c
Campo elétrico no interior do fio
empurrão
Força retardadora
devido às colisões
Mar de
elétrons
Devido às colisões com os átomos, uma força
constante é necessária para manter o mar de
elétrons movendo-se a uma velocidade constante.
Uma vez que elétrons são negativos,
Fempurrão é oposta a E.
FIGURA 31.9 Uma corrente de elétrons é
mantida empurrando-se o mar de elétrons
por meio de um campo elétrico.
946
Física: Uma Abordagem Estratégica
Estabelecendo um campo elétrico em um fio
A FIGURA 31.10a mostra dois fios metálicos conectados às placas de um capacitor carregado. Os fios são condutores; assim, algumas das cargas sobre o capacitor irão se espalhar
ao longo da superfície do fio. (Lembre-se de que toda carga em excesso em um condutor
está localizada sobre sua superfície.)
Essa é uma situação eletrostática, na ausência de correntes e de cargas em movimento. Conseqüentemente – o que é sempre verdadeiro em situações de equilíbrio eletrostático – o campo elétrico é nulo no interior do fio. A simetria requer que as quantidades de
naquele ponto;
carga em ambos os lados dos pontos sejam iguais, de forma que
aqui, a densidade superficial de carga deve ser uniforme ao longo de cada fio, exceto
próximo às extremidades (onde não precisamos nos preocupar com os detalhes). Essa
densidade uniforme de carga, mostrada na Figura 31.10a é indicada pelos símbolos e
igualmente espaçados desenhados ao longo do fio. Lembre-se de que uma superfície
positivamente carregada é uma superfície que perdeu elétrons.
Agora, liguemos as extremidades livres dos fios. O que acontecerá? O excesso de elétrons no fio negativo, de repente, tem uma oportunidade de se mover para o fio positivo que
9
perdeu elétrons. Em um intervalo de tempo muito curto (艐 10 s), o mar de elétrons se desloca levemente e a carga superficial se rearranja em uma distribuição não-uniforme como
aquela mostrada na FIGURA 31.10b. A carga superficial próxima às placas positiva e negativa
permanece fortemente positiva e negativa por causa da grande quantidade de carga sobre as
placas do capacitor, mas o ponto intermediário do fio, a meio caminho entre a placa positiva
e a negativa, agora se encontra eletricamente neutro. A nova densidade superficial de carga
sobre o fio varia desde positiva, na placa positiva do capacitor, passando por zero, no ponto
eqüidistante, e tornando-se gradualmente mais negativa até chegar na placa negativa.
Placa positiva
Placa negativa
A densidade de carga superficial nãouniforme cria um campo elétrico no
interior do fio.
Densidade de carga
superficial uniforme
Não existe corrente
E 0 em todos os
porque os elétrons
pontos interiores ao fio.
não podem se mover
através do espaço aberto.
A densidade de carga
superficial agora é
variável ao longo do fio.
O fio é neutro no ponto
intermediário entre as
placas do capacitor.
FIGURA 31.10 A carga superficial nos fios, antes e depois de eles serem conectados.
Essa distribuição superficial de carga não-uniforme tem uma conseqüência extremamente importante. A FIGURA 31.11 mostra uma secção de um fio cuja densidade superficial de carga torna-se mais positiva à esquerda e mais negativa à direita. Calcular o
campo elétrico exato é complicado, mas podemos entender a idéia básica se modelarmos
esta secção do fio como quatro anéis de carga.
EA aponta para fora de A, e EB,
para fora de B, entretanto A contém mais
carga, de modo que o campo resultante
aponta para a direita.
Os quatro anéis, de A a D, dão
origem à não-uniformidade da
distribuição de carga sobre o fio.
res
Mais positivo
A distribuição de carga não-uniforme cria
um campo elétrico resultante orientado para
a direita em todos os pontos internos ao fio.
res
res
Mais negativo
FIGURA 31.11 Uma densidade superficial de cargas que varia cria um campo elétrico no
interior do fio.
CAPÍTULO 31
■
Corrente e Resistência
947
No Capítulo 27, encontramos que o campo sobre o eixo de um anel de carga
■ Aponta para fora de um anel positivo e para dentro de um anel negativo;
■ É proporcional à quantidade de carga sobre o anel; e
■ Diminui com a distância até o anel.
Devido ao fato de a intensidade de campo diminuir com a distância ao anel, o campo no
.O
ponto intermediário entre os anéis A e B pode ser aproximado como
anel A possui mais carga do que o anel B, portanto
aponta de A para B.
A análise da Figura 31.11 nos leva a uma conclusão muito importante:
Uma distribuição de carga superficial não-uniforme ao longo de um fio cria um
campo elétrico resultante no interior do fio, orientada do lado mais positivo do
fio para o lado mais negativo do mesmo. Este é o campo elétrico interno que
empurra a corrente de elétrons através do fio.
Note que as cargas superficiais não são as cargas que formam a corrente. Além disso, a
corrente – as cargas em movimento – encontra-se dentro do fio, e não, em sua superfície.
De fato, como mostra o próximo exemplo, um campo elétrico pode ser estabelecido no
interior de um fio que conduz uma corrente por meio de uma quantidade extremamente
pequena de carga na superfície.
EXEMPLO 31.2 A carga superficial sobre um fio que
conduz uma corrente
A Tabela 27.1 do Capítulo 27 fornece uma intensidade típica de
campo elétrico em um fio que conduz uma corrente de 0,01 N/C ou,
como deveríamos dizer agora, 0,01 V/m. (Verificaremos esse valor
mais adiante, nesse capítulo.) Dois anéis de 2,0 mm de diâmetro estão
afastados por 2,0 mm. Eles estão carregados com Q. Que valor de
Q fará com que o campo elétrico no ponto intermediário seja de 0,010
V/m?
RESOLUÇÃO O Capítulo 27 fornece o campo elétrico sobre o eixo de
um anel de carga Q como sendo
Assim, a carga necessária para produzir o campo desejado é
MODELO Use o campo criado por um anel de carga sobre seu eixo,
obtido no Capítulo 27.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 31.12 mostra os dois anéis. Ambos contri-
buem igualmente para a intensidade do campo, assim a intensidade
do campo elétrico do anel positivo é E 0,0050 V/m. A distância z
1,0 mm é a metade da distância entre os anéis.
,
res
AVALIAÇÃO O campo elétrico de um anel de carga é maior em z 艐 R,
portanto esses dois anéis são um modelo simples, mas razoável para
estimarmos o campo elétrico no interior de um fio com 2,0 mm de
diâmetro. Concluímos que a carga superficial necessária para estabelecer o campo elétrico é muito pequena. Meros 10 elétrons devem ser
removidos de um anel para outro a fim de carregá-los com 1,6 18
10 C. O campo elétrico resultante é suficiente para produzir uma
corrente de elétrons perceptível através do fio.
,
,
FIGURA 31.12 O campo elétrico criado por dois anéis carregados.
PARE E PENSE 31.3 Os dois anéis carregados são um modelo de distribuição de carga superficial ao longo de um fio. Ordene em seqüência decrescente as intensidades dos campos elétricos de Ea a Ee no ponto intermediário entre os anéis.
948
Física: Uma Abordagem Estratégica
Um modelo para a condução
Sem campo elétrico
Íons da rede
metálica
Elétron
O elétron sofre freqüentes colisões com os
íons, mas seu deslocamento resultante é nulo.
Com campo elétrico Trajetórias parabólicas
no campo elétrico
Os elétrons não se movem magicamente através de um fio. Eles o fazem porque existe
um campo elétrico dentro do fio – um campo criado por uma distribuição de carga superficial não-uniforme sobre o fio – que empurra o mar de elétrons e cria uma corrente
de elétrons. Este é o mecanismo que faz com que uma corrente flua. O campo tem de
continuar empurrando porque os elétrons perdem energia continuamente em colisões
com os íons positivos que formam a estrutura do sólido. Essas colisões ocasionam uma
força de arraste, parecida com o atrito.
Os elétrons de condução se parecem com as moléculas de um gás. Caracterizamos
os gases pelos seus parâmetros macroscópicos temperatura e pressão, mas necessitamos
de uma perspectiva em nível atômico das colisões entre moléculas a fim de compreender
o que realmente são a temperatura e a pressão. O resultado é a teoria cinética dos gases.
A conexão micro/macro análoga nos ajudará a entender como os metais conduzem eletricidade.
Trataremos os elétrons de condução – aqueles elétrons que fazem parte do mar de
elétrons – como partículas livres que se movem através da rede metálica. Na ausência de
um campo elétrico, os elétrons, como as moléculas de um gás, movem-se aleatoriamente
em todas as direções e sentidos com uma determinada distribuição de velocidades. Se
considerarmos que a energia térmica média dos elétrons é dada pelo mesmo valor
que se aplica a um gás ideal, poderemos determinar que a velocidade eletrônica média à
5
temperatura ambiente é 艐 10 m/s. Por razões oriundas da física quântica, essa estimativa se mostra incorreta, mas indica acertadamente que os elétrons de condução se movem
muito rapidamente.
Entretanto, um elétron individual não se desloca muito sem colidir com um íon e ser
espalhado em uma nova direção. A FIGURA 31.13a mostra que um elétron salta para a frente e para trás entre as colisões, mas sua velocidade média é nula, o mesmo também
ocorrendo com seu deslocamento resultante. Isto é semelhante às moléculas de um gás
em um recipiente.
Suponha agora que “liguemos” um campo elétrico. A FIGURA 31.13b mostra que uma
força elétrica constante faz com que os elétrons se movam ao longo de trajetórias parabólicas entre duas colisões sucessivas. Devido à curvatura das trajetórias, os elétrons negativamente carregados começam a se movimentar lentamente em sentido oposto ao do
campo elétrico. O movimento é parecido com aquele de uma bola num jogo de pinball,
com uma leve inclinação para baixo. Cada elétron individual continua a ricochetear de
um lado para o outro entre os íons a uma taxa muito alta, todavia existe agora um pequeno movimento resultante na direção “descendente”. Além disso, este efeito resultante
é um efeito muito pequeno superposto ao movimento térmico, muito maior. A Figura
31.13b amplia exageradamente a taxa segundo a qual ocorre o movimento.
Considere um elétron imediatamente após a colisão com um íon em que foi espalhado com uma velocidade . A aceleração do elétron entre as colisões é
(31.4)
onde E é a intensidade do campo elétrico no interior do fio e m é a massa do elétron.
(Consideramos que tem o sentido contrário ao do eixo x.) O campo faz com que o
componente x da velocidade do elétron aumente linearmente com o tempo:
(31.5)
Deslocamento resultante
O deslocamento resultante na direção
oposta a E é superposto ao movimento
térmico aleatório.
FIGURA 31.13 Visão microscópica de um
elétron de condução que se move através
de um metal.
O elétron acelera, aumentando sua energia cinética, até sua próxima colisão com um
íon. A colisão transfere uma parcela significativa da energia cinética do elétron para o
íon e, portanto, para a energia térmica do metal. Essa transferência de energia corresponde ao “atrito” que eleva a temperatura do fio. O elétron, então, é espalhado aleatoriamente em alguma nova direção, com uma nova velocidade inicial , e o processo
recomeça.
CAPÍTULO 31
A FIGURA 31.14a mostra como a velocidade muda abruptamente devido a uma colisão.
Note que a aceleração (inclinação da reta) é a mesma antes e após a colisão. A FIGURA
31.14b acompanha um elétron em uma série de colisões. Você pode verificar que cada
colisão “reinicia” a velocidade. A observação preliminar que podemos fazer acerca da
Figura 31.14b é que esse processo repetido de colidir e acelerar imprime ao elétron uma
velocidade média diferente de zero. Essa velocidade média, que se deve ao campo
elétrico, é a velocidade de deriva vd do elétron.
Entre as colisões, a aceleração
(declividade da reta) é a eE/m.
Devido ao fato de a aceleração
ter sempre a mesma orientação,
a velocidade média não é nula.
A velocidade do elétron
quando ele colide com um íon
Colisão
Após a colisão, a
aceleração novamente
é a eE/m.
O elétron ricocheteia
com velocidade v0x.
O tempo médio
entre colisões
é .
A velocidade de
ricocheteio média
é nula.
FIGURA 31.14 A velocidade do elétron em função do tempo.
Se observarmos todos os elétrons do metal em um instante de tempo, sua velocidade
média será
(31.6)
onde uma barra sobre uma grandeza indica seu valor médio. O valor médio de v0x, a
velocidade com a qual um elétron é espalhado após uma colisão, é nulo. Sabemos disso
porque, na ausência de um campo elétrico, o mar de elétrons não se move para a esquerda nem para a direita.
Em qualquer instante de tempo, alguns elétrons terão acabado de colidir e seu tempo
de aceleração t será menor do que a média. Outros elétrons se “atrasarão” até uma
próxima colisão e terão um t maior do que a média. Quando tomado como uma média
sobre todos os elétrons, o valor médio de t será o tempo médio entre colisões, que
denotaremos por ␶. O tempo médio entre colisões, análogo ao livre caminho médio entre colisões na teoria cinética dos gases, depende da temperatura do metal, mas não da
intensidade do campo elétrico, pelo fato de os elétrons já estarem em movimento muito
rápido. Nas equações que seguem, ele pode ser considerado uma constante.
Portanto a velocidade média com a qual os elétrons são empurrados pelo campo
elétrico ao longo do caminho é
(31.7)
Podemos completar nosso modelo da condução elétrica com a utilização da Equação
31.7 para vd junto à equação da corrente de elétrons ie neAvd. Ao fazermos isto, obtemos que uma intensidade de campo elétrico E, em um fio com secção transversal de área
A, cria uma corrente elétrica
(31.8)
A densidade eletrônica, ne, e o tempo médio entre colisões, ␶, são propriedades do metal.
A Equação 31.8 é o principal resultado deste modelo da condução. Concluímos que
a corrente de elétrons é diretamente proporcional à intensidade de campo elétrico.
Um aumento de intensidade do campo elétrico empurrará os elétrons mais rapidamente
e, portanto, causará um aumento na intensidade de corrente elétrica.
■
Corrente e Resistência
949
950
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 31.3 Corrente de elétrons em um fio de cobre
O tempo médio entre colisões sucessivas para elétrons à temperatura
14
ambiente é da ordem de 2,5 10 s. Qual será a corrente de elétrons em um fio de cobre de 2,0 mm de diâmetro quando a intensidade do campo elétrico interno for de 0,010 V/m?
deriva à intensidade de campo.
O cobre tem uma densidade de elétrons ne 8,5 1028 m3, e um fio
de cobre com 2,0 mm de diâmetro tem uma secção transversal de área
. Portanto, a corrente de elétrons é
RESOLUÇÃO A corrente de elétrons é
. A velocidade de deriva em um campo elétrico de 0,010 V/m pode ser obtida da Equação 31.7:
AVALIAÇÃO Uma quantidade enorme de elétrons passa a cada segundo.
MODELO Use o modelo da condução para relacionar a velocidade de
31.3 Corrente e densidade de corrente
Desenvolvemos a idéia de corrente como o movimento de elétrons através de um metal.
Todavia as propriedades das correntes já eram conhecidas e utilizadas mais de um século
antes da descoberta de que os elétrons são os portadores de carga nos metais. Precisamos
relacionar as nossas idéias sobre a corrente de elétrons com a definição convencional de
corrente.
Devido ao fato de o coulomb ser a unidade de carga e de que toda corrente é formada
por cargas em movimento, pareceu completamente natural no século XIX definir corrente como a taxa, em coulombs por segundo, segundo a qual fluem as cargas em um fio. Se
Q for a quantidade total de carga que se move através de uma secção transversal do fio,
definimos a corrente I no fio como a taxa segundo a qual flui a carga:
corrente é a taxa com que a carga flui
(31.9)
Para uma corrente constante, que enfocaremos inicialmente, a quantidade de carga
transportada pela corrente I durante um intervalo de tempo t é
(31.10)
A unidade SI de corrente é o coulomb por segundo, denominado ampère (A):
1 ampère 1 A ⬅ 1 coulomb por segundo 1 C/s
Essa unidade de corrente foi adotada em homenagem ao cientista francês André Marie
Ampère, que fez contribuições relevantes para o estudo da eletricidade e do magnetismo
no início do século XIX. Usa-se, às vezes, o amp como abreviatura informal do ampère.
Correntes domésticas são tipicamente 艐 1 A. Por exemplo, a corrente que flui pelo filamento de uma lâmpada é de 0,85 A, o que significa que 0,85 C de carga flui através do
bulbo a cada segundo. A corrente em um secador de cabelo elétrico é 艐 10 A. A corrente
em aparelhos eletrônicos domésticos, tais como microsystems e computadores pessoais,
3
são muito menores. Elas são medidas, tipicamente, em miliampères (1 mA 10 A) ou
6
microampères (1 ␮A 10 A).
A Equação 31.10 possui uma relação próxima com a Equação 31.1, que nos fornece
o número de elétrons transportados durante um intervalo de tempo t como Ne iet.
Cada elétron tem uma carga de valor absoluto e; portanto, a carga total de Ne elétrons é
Q eNe. Conseqüentemente, a corrente convencional I e a corrente de elétrons ie estão
relacionadas por
(31.11)
Como os elétrons são os portadores de carga, a taxa na qual a carga se move é o valor e
multiplicado pela taxa na qual os elétrons se movem.
CAPÍTULO 31
■
Corrente e Resistência
EXEMPLO 31.4 Corrente em um fio de cobre
RESOLUÇÃO A corrente no fio é
A corrente de elétrons no fio de cobre do Exemplo 31.3 é formada
19
por 1,2 10 elétrons/s. Quanto vale a correspondente intensidade
de corrente I? Que quantidade de carga flui através de uma secção
transversal do fio a cada hora?
A quantidade de carga que atravessa o fio em 1 h 3600 s é
951
De certa forma, a corrente I e a corrente de elétrons ie diferem entre si apenas por
um fator de escala. A corrente de elétrons ie, a taxa segundo a qual os elétrons se movem através de um fio, é mais fundamental porque ela se relaciona diretamente aos
portadores de carga. A corrente I, a taxa segundo a qual a carga dos elétrons se move
através do fio, é mais prática porque podemos medir carga mais facilmente do que
podemos contar elétrons.
Apesar da similaridade entre ie e I, existe uma distinção extremamente importante.
Como as correntes foram conhecidas e estudadas antes de sabermos quais eram os verdadeiros portadores de carga, o sentido da corrente é definido como aquele no qual
as cargas positivas parecem se mover. Portanto, o sentido da corrente I é o mesmo
do campo elétrico interno . Todavia, como os portadores de carga são negativos, pelo
menos nos metais, o sentido da corrente I em um metal é oposto ao sentido de movimento dos elétrons.
A situação ilustrada na FIGURA 31.15 pode parecer perturbadora, mas ela não produz
nenhuma diferença real. Um capacitor é descarregado sem que interesse se são as cargas positivas que se movem para a placa negativa ou se são as cargas negativas que se
movem em sentido contrário. A principal aplicação da corrente é a análise de circuitos,
e em um circuito – que é um dispositivo macroscópico – simplesmente não sabemos
dizer o que se move no interior dos fios. Todos nossos cálculos estarão corretos e todos
os nossos circuitos funcionarão perfeitamente bem se resolvermos conceber a corrente
como um fluxo de cargas positivas. A distinção é importante apenas em nível microscópico.
A densidade de corrente em um fio
Determinamos a corrente de elétrons em um fio com secção transversal de área A como
ie neAvd. Portanto, a corrente I é
A corrente I tem o sentido
de movimento que as cargas
positivas teriam . Ela tem o
mesmo sentido de E.
(31.12)
A grandeza neevd depende dos portadores de carga e do campo elétrico interno que determina a velocidade de deriva, onde A é, simplesmente, uma dimensão física do fio. Será
útil separar essas quantidades por meio da definição da densidade de corrente J em um
fio como a corrente por metro quadrado de secção de área transversal:
J densidade de corrente
(31.13)
A densidade de corrente tem por unidade o A/m2.
Você aprendeu anteriormente que a densidade de massa ␳ caracteriza todas as partes de um material particular, tal como o chumbo. Um pedaço específico do material,
com dimensões conhecidas, é, então, caracterizado por sua massa m ␳V. Analogamente, a densidade de corrente J descreve como a carga flui através de qualquer
pedaço de um tipo particular de metal em resposta a um campo elétrico. Um pedaço
de metal específico, transformado em um fio com secção de área A, conduzirá, então,
a corrente
(31.14)
A corrente de elétrons iecorresponde ao movimentoreal dos
portadores de carga. Ela tem
sentido oposto ao de E e I.
FIGURA 31.15 A corrente I tem sentido
oposto ao do movimento dos elétrons em
um metal.
952
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 31.5 Obtendo a velocidade de deriva do elétron
A velocidade de deriva do elétron é, portanto,
Uma corrente de 1,0 A passa através de um fio de alumínio de 1,0 mm
de diâmetro. Qual é a velocidade de deriva dos elétrons no fio?
RESOLUÇÃO Podemos determinar a velocidade de deriva a partir da
densidade de corrente. A densidade de corrente é
onde a densidade de elétrons de condução do alumínio foi obtida na
Tabela 31.1.
4
AVALIAÇÃO Anteriormente usamos 1,0 10
m/s como um valor típico
de velocidade de deriva. Este exemplo mostra de onde veio tal valor.
Conservação da corrente
.
FIGURA 31.16 Como o brilho da lâmpada A
se compara ao brilho da lâmpada B?
Turbina
Se a água flui para
dentro da turbina
a 2,0 kg/s...
... ela também deve
fluir para fora
a 2,0 kg/s.
FIGURA 31.17 A água flui através de um
cano.
A FIGURA 31.16 mostra duas lâmpadas incandescentes ligadas por fios às placas carregadas de um capacitor. As duas lâmpadas brilham enquanto o capacitor é descarregado. O
que podemos esperar acerca do brilho da lâmpada A em relação ao brilho da lâmpada B?
Será que o brilho de uma é mais intenso do que o brilho da outra? Ou eles terão a mesma
intensidade? Pense sobre isso antes de prosseguir.
Talvez você tenha achado que B brilha mais do que A porque a corrente I, que transporta cargas positivas da placa positiva para a negativa, alcança B primeiro. Para brilhar,
B deve utilizar uma parte da corrente, sobrando menos corrente para A. Ou talvez você
tenha pensado que os verdadeiros portadores de cargas são os elétrons, que se movem
da placa negativa para a positiva. A corrente convencional I pode ser matematicamente
equivalente, mas, do ponto de vista físico, são os elétrons negativos, em vez das cargas
positivas, que de fato se movem. Como a corrente de elétrons chega primeiro em A, você
talvez tenha pensado que A brilha mais do que B.
Na verdade, ambas as lâmpadas brilham com a mesma intensidade. Essa é uma observação importante, do tipo que precisa de uma explicação. Afinal de contas, “alguma coisa”
foi usada para fazer a lâmpada brilhar, portanto por que não observamos uma diminuição
na corrente? A corrente é a quantidade de carga que se move através do fio por segundo. Há
somente duas maneiras de diminuir I: ou diminuímos a quantidade de carga, ou diminuímos
a velocidade de deriva das cargas através do fio. Os elétrons, os portadores de carga, são partículas carregadas. O filamento da lâmpada não pode destruir elétrons sem violar o princípio
de conservação da massa e o princípio de conservação da carga. Assim, a quantidade de
carga (i.e., o número de elétrons) não pode ser alterada por uma lâmpada de filamento.
As cargas irão frear ao passar pelo filamento? Trata-se de uma questão um pouco
mais complicada; assim, considere a analogia com um líquido, mostrada na FIGURA 31.17.
Suponha que a água entre por um lado a uma taxa de 2,0 kg/s. É possível que a água,
após ter girado uma turbina, saia pelo outro lado a uma taxa de apenas 1,5 kg/s? Ou seja,
girar as pás da turbina fará com que a corrente de água diminua?
Não podemos destruir as moléculas da água da mesma forma como não podemos
destruir elétrons; não podemos, nesse caso, aumentar a densidade da água empurrando
as moléculas para próximo umas das outras, e não há nenhum lugar para armazenar água
extra dentro do cano. Cada gota de água que entra pelo lado esquerdo empurra uma gota
para fora pelo lado direito; aqui, a água escoa para fora exatamente à mesma taxa com
que flui para dentro.
O mesmo também se aplica para os elétrons em um fio. A taxa com que os elétrons
saem de uma lâmpada (ou de qualquer outro dispositivo) é exatamente a mesma com
que os elétrons entram na lâmpada. A corrente não muda. Uma lâmpada não “consome corrente”, mas, de fato – como as pás da turbina na analogia do fluido –, o que ela usa
é energia. A energia cinética dos elétrons é dissipada através de colisões com os íons da
rede metálica (atrito em nível atômico) enquanto o elétron se move através dos átomos,
aquecendo o fio até que, no caso de uma lâmpada de filamento, ele brilhe. A lâmpada afeta
a intensidade de corrente em qualquer lugar do fio, um processo que examinaremos mais
adiante neste capítulo, entretanto a corrente não sofre alteração ao atravessar o filamento.
Existem muitos tópicos que precisamos analisar antes de podermos dizer que compreendemos como funciona a corrente, e veremos um de cada vez. Por ora, tiramos uma
primeira e importante conclusão:
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA CORRENTE A corrente é igual em todos os pontos de um
fio que conduz uma corrente.
CAPÍTULO 31
O princípio de conservação da corrente, na verdade, é uma aplicação prática do princípio
de conservação da carga.
Junção
A corrente em um fio é a
mesma em todos os pontos.
Correntes de entrada
Correntes de saída
I constante
entrada
saída
FIGURA 31.18 A soma das correntes entrando em uma junção deve ser igual à soma das
correntes saindo da junção.
A FIGURA 31.18a resume o princípio de conservação em um fio único. Mas e na FIGURA
31.18b, onde um fio se bifurca em dois e dois fios se fundem em um único? O ponto onde
o fio se ramifica é chamado de nó. A presença de um nó não muda a nossa conclusão
básica. Não podemos criar ou destruir elétrons no fio, tampouco armazená-los em um
nó. A taxa com que os elétrons fluem para dentro de um ou mais fios deve ser contrabalançada exatamente pela taxa segundo a qual eles fluem para fora dos outros. Para um
nó, o princípio de conservação da carga requer que
(31.15)
onde, como de costume, o símbolo Σ significa somatório.
Essa relação básica de conservação – de que a soma das correntes que entram em
um nó deve ser igual à soma das correntes que saem do mesmo nó – é chamada de lei
de Kirchhoff dos nós. A lei dos nós, juntamente com a lei de Kirchhoff das malhas que
você viu no Capítulo 30, desempenhará um papel importante na análise de circuitos no
próximo capítulo.
PARE E PENSE 31.4
Quais são a intensidade e a orientação da corrente no quinto fio?
■
Corrente e Resistência
953
954
Física: Uma Abordagem Estratégica
31.4 Condutividade e resistividade
A densidade de corrente J neevd é diretamente proporcional à velocidade de deriva vd
dos elétrons. Anteriormente, usamos o modelo microscópico da condução elétrica para
determinar que a velocidade de deriva é dada por vd e␶E/m, onde ␶ é o tempo médio
entre as colisões e m é a massa de um elétron. Combinando isto, obtemos a densidade
de corrente dada por
(31.16)
A grandeza nee2␶/m depende apenas do material condutor. De acordo com a Equação
31.16, uma determinada intensidade de campo elétrico dará origem a uma densidade de
corrente maior em um material que possua uma grande densidade de elétrons ne ou em
materiais para os quais os tempos de colisão ␶ são mais longos do que em materiais com
valores menores. Em outras palavras, tal material é um melhor condutor de corrente.
Faz sentido, então, definir a condutividade ␴ de um material como
(31.17)
A condutividade, como a densidade, caracteriza qualquer material como um todo. Todos
os pedaços feitos de cobre (a uma mesma temperatura) possuem o mesmo valor de ␴,
mas a condutividade do cobre é diferente da do alumínio. Note que o tempo médio entre
colisões ␶ pode ser inferido dos valores medidos da condutividade.
Com essa definição de condutividade, a Equação 31.16 assume a forma
(31.18)
Este é um resultado de importância fundamental. A Equação 31.18 nos informa três
coisas:
1. Toda corrente é causada por um campo elétrico que exerce forças sobre os portadores de carga.
2. A densidade de corrente, e aqui a corrente I JA, depende linearmente da intensidade do campo elétrico. Para dobrar a intensidade de corrente, devemos dobrar
a intensidade do campo elétrico que empurra as cargas.
3. A densidade de corrente também depende da condutividade do material. Materiais condutores diferentes possuem diferentes condutividades porque possuem
valores distintos de densidade eletrônica e, especialmente, de tempo médio entre
colisões sucessivas de elétrons com os átomos da rede.
O valor da condutividade é afetado pela estrutura cristalina do metal, por impurezas
presentes e pela temperatura. À medida que a temperatura aumenta, também aumentam
as vibrações térmicas dos átomos da rede. Isto faz com que os átomos se tornem “alvos
maiores”, ocasionando colisões mais freqüentes, diminuindo, assim, o valor de ␶ e, conseqüentemente, o da condutividade. Os metais conduzem melhor a eletricidade a baixas
temperaturas do que a altas temperaturas.
Em muitas aplicações práticas da corrente, será conveniente utilizar o inverso da
condutividade, que é denominado resistividade:
(31.19)
Esta mulher mede a porcentagem
de gordura do corpo segurando um
dispositivo que envia uma pequena
corrente elétrica através do seu corpo.
Como o tecido muscular e o tecido
adiposo têm resistividades diferentes,
a intensidade de corrente permite
determinar a razão gordura-músculo.
A resistividade de um material nos diz como, relutantemente, os elétrons se movem em
resposta a um campo elétrico. A Tabela 31.2 fornece valores medidos de resistividade
e de condutividade para diversos metais e para o carbono. Note como eles variam bem
pouco entre si, com o cobre e a prata sendo os dois melhores condutores.
A unidade de condutividade, a partir da Equação 31.18, é a mesma de J/E, nominal2
mente, AC/Nm . Elas não são de uso prático. Nas próximas seções introduziremos uma
nova unidade denominada ohm, e simbolizada por (a letra grega maiúscula ômega).
1 1
m .
Veremos que a resistividade tem como unidade o m, e a condutividade, o
CAPÍTULO 31
EXEMPLO 31.6 Campo elétrico em um fio
Um fio de alumínio com 2,0 mm de diâmetro conduz uma corrente
de 800 mA. Qual é a intensidade do campo elétrico no fio?
RESOLUÇÃO A intensidade de campo elétrico é
Material
Resistividade
( m)
955
Condutividade
(
1
m1)
2,8 108
3,5 107
1,7 10
8
6,0 107
2,4 10
8
4,1 10
7
Ferro
9,7 10
8
1,0 10
7
Prata
1,6 108
6,2 107
5,6 10
8
1,8 107
1,5 10
6
6,7 10
3,5 10
5
2,9 104
Alumínio
Ouro
AVALIAÇÃO Trata-se de um campo muito fraco comparado com os
Corrente e Resistência
TABELA 31.2 Resistividade e condutividade de materiais condutores
Cobre
onde a condutividade do alumínio foi obtida da Tabela 31.2.
■
Tungstênio
5
que calculamos nos Capítulos 26 e 27 para cargas puntiformes e
objetos carregados. Este cálculo justifica a afirmação vista na Tabela 27.1 de que uma intensidade típica de campo elétrico no interior de um fio que conduz uma corrente é 艐 0,01 V/m.
Nicromo*
EXEMPLO 31.7 Tempo médio entre colisões
A densidade eletrônica do cobre se encontra na Tabela 31.1 e a condutividade medida é encontrada na Tabela 31.2. Com essas informações,
Qual é o tempo médio entre colisões sucessivas de elétrons no cobre?
Carbono
*Liga de níquel-cromo usada para fabricar fios de resistência elétrica elevada e
que suportam temperaturas elevadas.
RESOLUÇÃO O tempo médio entre colisões está relacionado à condutividade do material por
Este foi o valor de ␶ utilizado no Exemplo 31.3.
A intensidade de campo elétrico determinada no Exemplo 31.6 é, aproximadamente,
igual à intensidade de campo elétrico a 1,0 mm de um único elétron. A lição a ser aprendida deste exemplo é de que são necessárias poucas cargas superficiais sobre um fio
para criar o campo elétrico interno necessário para empurrar uma corrente considerável
através do fio. Somente alguns poucos elétrons em excesso em cada centímetro do fio
são suficientes. A razão, mais uma vez, é o enorme valor da densidade de portadores de
carga ne. Embora o campo elétrico seja muito pequeno, e a velocidade de deriva, agonizantemente lenta, um fio pode conduzir uma corrente substancial devido ao enorme
número de portadores de carga capazes de se mover.
Supercondutividade
Em 1911, o físico holandês Kamerlingh Onnes estava estudando a condutividade dos
metais a temperaturas muito baixas. Os cientistas tinham descoberto recentemente
como liquefazer o hélio, e isso abriu todo um novo campo, o da física de baixas temperaturas. Como já observamos, os metais se tornam melhores condutores a temperaturas mais baixas (i.e., apresentam condutividade mais alta e resistividade mais baixa).
Mas o efeito normalmente é gradual. Onnes, entretanto, descobriu que o mercúrio
perde toda a resistência à corrente de forma súbita e drástica ao ser resfriado abaixo de
4,2 K. Tal perda completa da resistência a baixas temperaturas é chamada de supercondutividade.
Experimentos posteriores estabeleceram que a resistividade de um metal supercondutor não apenas é pequena, mas é realmente nula. Os elétrons se movem em um ambiente sem atrito, e a carga continuará se movendo através de um supercondutor sem a
presença de um campo elétrico. O fenômeno da supercondutividade não foi compreendido até 1950, quando foi explicado como um efeito inteiramente quântico.
Fios supercondutores podem conduzir correntes enormes por não sofrerem aquecimento devido às colisões entre os elétrons e os átomos. Pode-se criar campos magnéticos
muito intensos por meio de eletroímãs supercondutores, mas as aplicações permaneceram limitadas por muitas décadas porque todos os supercondutores conhecidos necessitavam de temperaturas inferiores a 20 K. A situação mudou drasticamente em 1986, com
a descoberta dos supercondutores de altas temperaturas. Esses materiais cerâmicos são
supercondutores a temperaturas tão “altas” quanto 125 K. Embora 150 °C possa não
Os supercondutores possuem
propriedades magnéticas incomuns. Aqui,
um pequeno ímã permanente flutua
sobre um disco feito com o material
supercondutor de alta-temperatura
YBa2Cu3O7, que foi resfriado até a
temperatura do nitrogênio líquido.
956
Física: Uma Abordagem Estratégica
lhe parecer uma temperatura alta, a tecnologia para obter tais temperaturas é simples e
de custo acessível. Portanto, muitas aplicações da supercondutividade estão por vir nos
próximos anos.
PARE E PENSE 31.5
Ordene em seqüência decrescente as densidades de corrente de Ja a Jd
nestes quatro fios.
31.5 Resistência e lei de Ohm
A diferença de potencial cria
um campo elétrico dentro do
condutor e faz com que as
cargas fluam através do mesmo.
Área A
As superfícies equipotenciais
são perpendiculares ao
campo elétrico.
FIGURA 31.19 A corrente I está relacionada
à diferença de potencial V.
Vimos que uma corrente é criada por um campo elétrico no interior de um fio ou de um
condutor. Por exemplo, a FIGURA 31.19 mostra uma secção transversal de um condutor no
qual um campo elétrico produz uma corrente I ao empurrar os portadores de carga. No
Capítulo 30, vimos que um campo elétrico está relacionado a uma diferença de potencial. Além disso, o campo elétrico aponta no sentido em que diminui o potencial e é
perpendicular às superfícies equipotenciais. Portanto não deveria ser surpresa que a corrente esteja relacionada a uma diferença de potencial.
Lembre-se de que o componente Es do campo elétrico está relacionado ao potencial por Es – dV/ds. Estamos interessados apenas na intensidade de campo elétrico
, de modo que o sinal negativo é irrelevante. A intensidade do campo é constante no interior de um condutor cujo diâmetro é constante (uma conseqüência da conservação de corrente); portanto,
(31.20)
onde
é a diferença de potencial entre as extremidades de um condutor
de comprimento L. A Equação 31.20 constitui um resultado importante: a intensidade
do campo elétrico no interior de um condutor de diâmetro constante – o campo que
impulsiona a corrente para adiante – é, simplesmente, a diferença de potencial entre as
extremidades do condutor dividida pelo comprimento do mesmo.
Agora podemos usar E para obter a corrente I no condutor. Provamos anteriormente
e que a corrente em um fio de secção
que a densidade de corrente é dada por
transversal de área A está relacionada à densidade de corrente por I JÁ. Portanto,
(31.21)
onde
é a resistividade.
Combinando as Equações 31.20 e 31.21, concluímos que a corrente é dada por
(31.22)
Ou seja, a corrente é proporcional à diferença de potencial entre as extremidades de
um condutor. Podemos reescrever a Equação 31.22 em uma forma mais útil se definirmos a resistência de um condutor como
(31.23)
CAPÍTULO 31
■
Corrente e Resistência
957
A resistência é uma propriedade particular de cada condutor, pois ela depende do comprimento e do diâmetro do condutor, bem como da resistividade do material do qual ele
é feito.
A unidade SI de resistência é o ohm, definido como
onde é a letra grega maiúscula ômega. O ohm é a unidade básica de resistência, em3
6
bora o quilo-ohm (1 k 10 ) e o mega-ohm (1 M 10 ) sejam também amplamente usados. Você pode observar agora, a partir da Equação 31.23, a razão pela
qual a resistividade ␳ tem por unidade o m, enquanto a unidade de condutividade ␴ é
1 1
m .
o
A resistência de um fio ou de um condutor aumenta à medida que seu comprimento
aumenta. Isto parece plausível, pois deve ser mais difícil empurrar elétrons através de
um fio longo do que através de um fio mais curto. Diminuir a área da secção transversal
também aumenta a resistência. De novo, isso parece plausível porque o mesmo campo
elétrico pode empurrar mais elétrons em um fio largo do que em um fio fino.
NOTA É importante saber distinguir entre resistividade e resistência. A resistividade descreve apenas o material, e não, qualquer pedaço particular do mesmo. A
resistência caracteriza um pedaço específico do condutor, dotada de uma geometria
específica. A relação entre a resistividade e a resistência é análoga àquela entre a
densidade e a massa. A definição de resistência nos permite escrever a corrente através de um condutor
na forma
(lei de Ohm)
(31.24)
Em outras palavras, estabelecer uma diferença de potencial V entre as extremidades
de um condutor com resistência R cria um campo elétrico que, por sua vez, produz uma
corrente I V R através do condutor. Quanto menor for a resistência, maior será a
corrente. Essa relação simples entre a diferença de potencial e a corrente é conhecida
como lei de Ohm.
EXEMPLO 31.8 A corrente em um fio de nicromo
Uma diferença de potencial de 1,5 V é estabelecida através de um fio
de nicromo de 200 cm de comprimento e 1,0 mm de diâmetro quando
o mesmo é conectado aos terminais de uma bateria de 1,5 V. Quais
são o campo elétrico e a corrente no fio?
MODELO A diferença de potencial cria um campo elétrico dentro do
A resistência do fio é
onde usamos a Tabela 31.2 para obter ␳ 1,5 10–6
mo. Portanto, a corrente no fio é
fio.
RESOLUÇÃO Conectar o fio à bateria faz com que Vfio Vbat. O
campo elétrico no interior do fio é
Baterias e corrente
Nosso estudo da corrente centrou-se na descarga de um capacitor porque assim podíamos compreender onde se encontravam todas as cargas e de que modo elas se moviam.
Em contraste, não podemos ver tão facilmente o que ocorre com as cargas no interior de
uma bateria. Todavia, como sugere o Exemplo 31.8, a corrente na maioria dos circuitos
“reais” é gerada por uma bateria em vez de por um capacitor. Da mesma forma que um
fio descarrega um capacitor, um fio que conecte dois terminais de uma bateria sofrerá
aquecimento, desviará a agulha de uma bússola posicionada próxima e fará com que brilhe o filamento de uma lâmpada. Esses indicadores nos dizem que cargas fluem, através
do fio, de um terminal ao outro. Tudo o que você aprendeu até agora sobre correntes se
para o nicro-
958
Física: Uma Abordagem Estratégica
A carga “desce a rampa de potencial”
ao longo do fio, mas a corrente pode
ser mantida por meio da
escada rolante de cargas.
Corrente I
Diminuição de U
U aumenta
Terminal positivo
Fluxo
de íons
Terminal negativo
A escada rolante “ergue” a carga do terminal
negativo para o positivo. A carga q ganha uma
energia U qVbat.
FIGURA 31.20 A bateria se comporta como
uma escada rolante de cargas e mantém a
corrente circulando em um fio.
A escada rolante de
cargas mantém a diferença
de potencial da bateria.
fio
A diferença de potencial nas
extremidades do fio é igual à
diferença de potencial
da bateria.
A diferença de potencial entre as
extremidades do fio estabelece um
campo elétrico dentro do fio. Este
campo elétrico faz a corrente fluir
através do fio.
FIGURA 31.21 O campo elétrico no interior
e a diferença de potencial através de um
fio condutor de corrente.
aplica igualmente bem a correntes fornecidas por baterias – com uma diferença importante apenas.
A diferença está na duração da corrente. A corrente de descarga de um capacitor é
transitória. Ela cessa de fluir assim que o excesso de cargas das placas do capacitor é
removido; a lâmpada se apaga e a agulha da bússola retorna à sua posição inicial. Entretanto, um fio que conecte os terminais de uma bateria continuará a desviar a agulha
da bússola e a lâmpada continuará brilhando. A corrente elétrica é mantida no fio – um
movimento sustentado de cargas – enquanto ele estiver conectado à bateria. O capacitor
perde rapidamente o excesso de carga, enquanto a bateria mantém a corrente circulando.
Podemos usar o modelo de escada rolante de cargas de uma bateria para compreender a razão. A FIGURA 31.20 mostra uma escada rolante que separa a carga, criando uma
diferença de potencial Vbat ao erguer as cargas positivas desde o terminal negativo até o
terminal positivo. Quando chegam ao terminal positivo, as cargas positivas podem se
mover através do fio na forma de uma corrente I. Em essência, as cargas estão “descendo
uma rampa de potencial” ao longo do fio, perdendo a energia que ganharam ao subirem
a escada rolante. É essa energia transferida para o fio que o aquece.
As cargas acabam retornando ao terminal negativo da bateria, onde podem “escalar”
pela escada rolante e repetir a jornada. Diferentemente de um capacitor carregado, uma
bateria possui uma fonte interna de energia (as reações químicas) que mantém a escada
rolante em funcionamento. É a escada rolante de cargas que mantém a corrente no fio,
provendo um suprimento renovado de cargas para os terminais da bateria.
Uma conseqüência importante do modelo de escada rolante de cargas, que você
aprendeu no capítulo anterior, é que toda bateria constitui uma fonte de diferença de
potencial. É verdade que as cargas fluem através de um fio que conecta os terminais de
uma bateria, mas a corrente é uma conseqüência da diferença de potencial mantida pela
bateria. A fem da bateria é a causa; corrente, luz, calor, som e outros são, todos, efeitos
que ocorrem quando a bateria é usada de certas formas. Saber discernir entre causa e
efeito é de vital importância na compreensão de como uma bateria funciona em um
circuito.
Para determinar a relação entre o potencial e a corrente, a FIGURA 31.21 destaca um fio
de resistência R que liga os dois terminais de uma bateria. Podemos fazer duas observaporque, como você aprendeu no Capítulo
ções importantes aqui. Primeiro,
30, a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer é independente do caminho seguido entre os pontos. Em outras palavras, a bateria é a fonte da diferença de potencial existente entre as extremidades do fio. Segundo, qualquer carga proveniente da
bateria se espalha ao longo da superfície do fio – como na Figura 31.10b, no caso de um
capacitor – e cria um campo elétrico no interior do mesmo. Este é o campo elétrico que
através do fio. Note que a corrente está orientada no
produz a corrente
sentido em que o potencial diminui.
A seqüência de causa e efeito é a idéia principal:
1. Uma bateria é uma fonte de diferença de potencial Vbat. Uma bateria ideal fornece Vbat .
entre as extremidades de
2. A bateria cria uma diferença de potencial
um fio.
no fio.
3. A diferença de potencial Vfio produz um campo elétrico
no fio.
4. O campo elétrico estabelece uma corrente
5. A intensidade da corrente é determinada conjuntamente pela bateria e pela resis.
tência R do fio como sendo
Mais sobre a Lei de Ohm
Os livros didáticos sobre circuitos elétricos geralmente escrevem a lei de Ohm como V
IR, em vez de I V/R. Isso pode induzi-lo ao erro até que você tenha experiência
suficiente em análise de circuitos. Primeiro, a lei de Ohm relaciona a corrente à diferença de potencial entre os terminais do condutor. Engenheiros e projetistas de circuitos
subentendem uma “diferença de potencial” quando usam o símbolo V, mas o uso do
símbolo é facilmente negligenciado por novatos que pensam que ele significa “o potencial”. Segundo, a relação V IR, ou mesmo V IR, sugere que uma corrente I causa
uma diferença de potencial V. Como você viu, a corrente é que é a conseqüência de
CAPÍTULO 31
■
Corrente e Resistência
959
uma diferença de potencial; por isso a relação I V/R constitui uma descrição melhor
de causa e efeito.
A despeito do seu nome, a lei de Ohm não é uma lei da natureza. Sua validade é
limitada aos materiais cuja resistência R permanece constante – ou muito próximo disso
– durante o uso. Materiais para os quais a lei de Ohm é válida são chamados de ôhmicos. A FIGURA 31.22a mostra que a corrente através de um material ôhmico é diretamente
proporcional à diferença de potencial aplicada. Dobrar a diferença de potencial dobrará
a corrente. Metais e outros condutores são materiais ôhmicos.
Materiais não-ôhmicos
Material ôhmico.
A corrente é diretamente
proporcional à diferença
de potencial.
Diodo
Esta curva não é linear
e não possui uma
declividade constante.
A resistência é
declividade
FIGURA 31.22 Gráfico corrente versus diferença de potencial para materiais ôhmicos e não-
ôhmicos.
Devido ao fato de a resistência dos metais ser pequena, um circuito feito exclusivamente com fios metálicos poderia conduzir correntes enormes e rapidamente esgotaria a
bateria. É útil limitar a corrente em um circuito por meio de dispositivos ôhmicos, chamados de resistores, cuja resistência é significativamente maior do que a dos fios metálicos. Os resistores são feitos de material de baixa condutividade, tal como o carbono, ou
pela deposição de filmes metálicos muito finos e isolados sobre um substrato.
Alguns materiais e dispositivos são não-ôhmicos, o que significa que a corrente através do mesmo não é diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada. Por
exemplo, a FIGURA 31.22b mostra o gráfico I versus V para um dispositivo semicondutor
comumente usado chamado de diodo. Os diodos não possuem uma resistência constante.
As baterias, onde V é determinado por reações químicas, e os capacitores, onde a
relação entre I e V difere daquela de um resistor, também são dispositivos não-ôhmicos
importantes.
Podemos identificar três classes importantes de materiais ôhmicos usados em circuitos:
1. Os fios que são metálicos, com resistividades ␳ muito pequenas e, portanto, que
1 ). Um fio ideal teria R 0 ;
apresentam resistências muito pequenas (R
neste caso, a diferença de potencial entre as extremidades de um fio ideal seria V
0 V mesmo que houvesse uma corrente circulando nele. Adotaremos o modelo
de fio ideal considerando que quaisquer fios conectores em um circuito sejam
ideais.
1
6
2. Os resistores, que são maus condutores, com resistências na faixa de 10 a 10
. Eles são utilizados para controlar a corrente em circuitos. Muitos resistores
usados em circuitos têm um valor específico de R, tal como 500 . O filamento de uma lâmpada (um fio de tungstênio com uma alta resistência por ter uma
secção transversal de área A extremamente pequena) funciona como um resistor
enquanto estiver brilhando, mas ele não é perfeitamente ôhmico porque o seu valor de resistência, quando aquecido, é bem maior do que seu valor à temperatura
ambiente.
3. Os isolantes, que são materiais tais como vidro, plástico ou ar. Um isolante ideal
teria R ; neste caso, não haveria corrente em um isolante mesmo que existisse uma diferença de potencial através dele (I V/R 0A). Por esse motivo,
os isolantes podem ser usados para manter separados dois condutores a potenciais
109 e podem ser considediferentes. Todos os isolantes práticos possuem R
rados, para nossas finalidades, como ideais.
NOTA A lei de Ohm será uma parte importante da análise de circuitos, no próximo
capítulo, porque os resistores são componentes essenciais em praticamente qualquer
Os resistores usados em circuitos possuem
resistências que variam de alguns poucos
ohms até milhões de ohms.
960
Física: Uma Abordagem Estratégica
circuito. Entretanto, é importante que você aplique a lei de Ohm somente aos resistores e a nada mais. Fio
Resistor
Rresistor
Rfio
A corrente é constante ao longo
da combinação fio-resistor-fio.
A queda de voltagem ao longo dos fios é
muito menor do que no resistor porque os
fios têm resistências muito menores.
⌬Vresistor
Fio
Resistor
A FIGURA 31.23a mostra um resistor conectado a uma bateria através de fios condutores de corrente. Deve haver conservação da corrente; neste caso, a corrente I através do
resistor é a mesma corrente que atravessa cada fio. Devido ao fato de a resistência dos
Rresistor, a diferença de potencial ⌬Vfio ⫽
fios ser muito menor do que a do resistor, Rfio
IRfio entre as extremidades de cada fio é muito menor do que a diferença de potencial
⌬Vresistor ⫽ IRresistor através do resistor. A FIGURA 31.23b mostra o potencial ao longo da
combinação fio-resistor-fio. Você pode notar a grande queda de voltagem, ou diferença
de potencial, através do resistor. Já a queda de voltagem através dos dois fios é muito
menor.
Se assumirmos que os fios são ideais, com Rfio ⫽ 0 ⍀, então ⌬Vfio ⫽ 0 V e toda a
queda de voltagem ocorrerá no resistor. Neste modelo de fios ideais, mostrado na FIGURA
31.23c, os segmentos do gráfico correspondentes aos fios são horizontais. Quando iniciarmos a análise de circuitos, no próximo capítulo, consideraremos sempre que os fios
sejam ideais, a menos que o contrário seja explicitamente mencionado. Portanto, nossa
análise estará centrada nos resistores.
EXEMPLO 31.9 Uma bateria e um resistor
Fio
Que valor de resistência deve ter um resistor ligado em uma bateria de 9,0 V para o qual a
corrente no circuito seja de 15 mA?
MODELO Considere que o resistor está ligado à bateria através de fios ideais.
No modelo de fio ideal, com Rfio ⫽ 0 ⍀,
não existe queda de voltagem ao longo dos
fios. Toda queda de tensão ocorre no
resistor; portanto, ⌬Vresistor ⫽ ⌬Vbat.
RESOLUÇÃO O resistor conectado à bateria por meios de fios ideais faz com que ⌬Vresistor ⫽
⌬Vbateria ⫽ 9,0 V. A partir da lei de Ohm, a resistência correta para manter 15 mA de corrente
é
PARE E PENSE 31.9
Fio
Resistor
Fio
FIGURA 31.23 Potencial ao longo de uma
combinação fio-resistor-fio.
Um fio liga os terminais positivo e negativo de uma bateria. Dois fios
idênticos ligam os terminais positivo e negativo de outra bateria, idêntica à primeira.
Ordene em seqüência decrescente as intensidades de correntes de Ia até Id nos pontos
enumerados de a até d.
Baterias idênticas
Fios idênticos
CAPÍTULO 31
■
Corrente e Resistência
961
RESUMO
O objetivo no Capítulo 31 foi compreender como e por que a carga
se move através de um condutor como uma corrente.
Princípios gerais
Conservação da corrente
A corrente é um movimento de cargas não-equilibradas mantido por meio de um campo elétrico. A carga superficial não-uniforme cria um
campo elétrico no interior do fio. O campo elétrico empurra a corrente de elétrons ie em sentido
oposto ao de . A corrente convencional I tem o
sentido em que as cargas positivas parecem se
mover.
A corrente é a mesma em quaisquer dois pontos de um fio.
Em um nó,
Mesma I
Isaída
Ientrada
Esta é a lei de Kirchhoff dos
nós.
Corrente de elétrons
Corrente convencional
Densidade de corrente
Ie taxa de fluxo de elétrons
Ne iet
I taxa com que flui a carga eie
Q It
J I/A
Conceitos importantes
Mar de elétrons
A velocidade de deriva é
Os elétrons de condução se movem
livremente por entre os íons positivos
que formam a rede atômica.
duas colisões sucessivas, e vd está relacionada à corrente de elétrons
por
Condução
em que ne é a densidade de elétrons.
Um campo elétrico dá origem a uma
pequena velocidade de deriva vd superposta ao rápido e aleatório movimento
térmico dos elétrons.
, onde ␶ é o tempo médio entre
Um campo elétrico E presente no interior de um condutor dá origem
, onde a condutivia uma densidade de corrente
dade é
As colisões entre os elétrons e os íons transferem energia para os
átomos. Isto aquece o fio e faz com que a lâmpada brilhe. Um número maior de colisões significa uma resistividade ␳ maior e uma
correspondente condutividade ␴ menor.
A resistividade é
.
Resistores
O campo elétrico causa uma corrente
Uma diferença de potencial Vfio entre as extremidades
de um fio cria um campo elétrico no interior do mesmo
dado por
fio
onde
é a resistência do fio.
Esta é a lei de Ohm.
Termos e notação
corrente, I
velocidade de deriva, vd
corrente de elétrons, ie
tempo médio entre colisões sucessivas, ␶
ampère, A
densidade de corrente, J
princípio de conservação da
corrente
nós
lei de Kirchhoff dos nós
condutividade, ␴
resistividade, ␳
supercondutividade
resistência, R
ohm,
lei de Ohm
resistor
fio ideal
isolante ideal
Diminuição de V
Aplicações
962
Física: Uma Abordagem Estratégica
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Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. Suponha que uma máquina do tempo o tenha transportado para
o ano de 1750 (pós-Newton, mas pré-eletricidade) e que você tenha visto a demonstração da lâmpada elétrica mostrada na FIGURA
Q31.1. As observações ou simplesmente as medições que você poderia efetuar – as quais devem ser plausíveis com o conhecimento
de que poderia dispor em 1700 – provariam que alguma coisa flui
através do fio? Ou você deveria propor uma hipótese alternativa da
razão por que a lâmpada brilha? Se a sua resposta para a primeira
questão for afirmativa, descreva que observações e/ou medições seriam relevantes e o raciocínio a partir do qual você poderia inferir
que alguma coisa deve estar fluindo. Caso contrário, você poderia
apresentar uma hipótese alternativa sobre a razão por que a lâmpada brilha no experimento?
FIGURA Q31.6
7. Qual é a diferença entre a corrente e a densidade de corrente?
8. Todos os fios mostrados na FIGURA Q31.8 são feitos do mesmo material e têm o mesmo diâmetro. Ordene em seqüência decrescente
as correntes de Ia a Id. Explique.
FIGURA Q31.8
FIGURA Q31.1
2. Considere um circuito dotado de uma lâmpada como o da FIGURA
Q31.1.
a. A partir de observações e medições simples que você possa
efetuar neste circuito, você conseguiria distinguir uma corrente composta por portadores de carga positiva de uma corrente
composta por portadores de carga negativa? Em caso afirmativo,
descreva como você poderia saber de que tipo é a corrente. Em
caso negativo, por que não?
b. Um possível modelo para a corrente é o de um movimento de
partículas discretas dotadas de cargas elétricas. Outro modelo é
aquele em que a corrente consiste do escoamento de um fluido
contínuo e eletricamente carregado. Observações e medidas simples efetuadas nesse circuito forneceriam evidência em favor de
algum desses modelos? Em caso afirmativo, descreva como.
3. Os portadores de carga são sempre os elétrons? Em caso afirmativo,
por qual razão? Caso contrário, descreva uma situação em que a
corrente seja formada por algum outro portador de carga.
4. O que faz com que os elétrons se movam em um fio, formando uma
corrente?
5. A velocidade de deriva em um fio é extremamente pequena – tipicamente apenas uma fração de milímetro por segundo. Mesmo assim,
quando você liga um interruptor, a luz surge quase que instantaneamente. Resolva esse aparente paradoxo.
6. A FIGURA Q31.6 representa uma distribuição de carga superficial
possível em um fio que conduz uma corrente? Em caso afirmativo,
qual é o sentido da corrente? Caso contrário, por que não?
9. As duas baterias mostradas na FIGURA Q31.9 são idênticas, e todas
as lâmpadas, iguais. Ordene em seqüência decrescente as intensidades de brilho das lâmpadas de a até c. Explique.
FIGURA Q31.9
10. As duas baterias mostradas na FIGURA Q31.10 são idênticas, e todas
as lâmpadas, iguais. Ordene em seqüência decrescente as intensidades de brilho das lâmpadas de a até c. Explique.
FIGURA Q31.10
CAPÍTULO 31
11. O fio mostrado na FIGURA Q31.11
consiste de dois segmentos com diâmetros diferentes, mas feitos do
mesmo metal. A corrente no segmenFIGURA Q31.11
to 1 é I1.
a. Compare as correntes nos dois segmentos, ou seja, I2 é maior,
menor ou igual a I1? Explique.
b. Compare as densidades de corrente J1 e J2 nos dois segmentos.
c. Compare as intensidades de campo elétrico E1 e E2 nos dois segmentos.
d. Compare as velocidades de deriva (vd)1 e (vd)2 nos dois segmentos.
12. A intensidade de corrente em um fio é dobrada. O que ocorre com
(a) a densidade de corrente, (b) a densidade de elétrons de condução, (c) o tempo médio entre colisões sucessivas e (d) a velocidade
de deriva dos elétrons? Cada uma dessas grandezas é dobrada, reduzida à metade ou se mantém inalterada? Explique.
13. A intensidade de campo elétrico no interior de um fio é dobrada. O
que ocorre com (a) a corrente, (b) a densidade de elétrons conduto-
■
Corrente e Resistência
963
res, (c) o tempo médio entre colisões sucessivas e (d) a velocidade
de deriva dos elétrons? Cada uma dessas grandezas é dobrada, reduzida à metade ou se mantém inalterada? Explique.
14. Os fios mostrados na FIGURA Q31.14 são feitos do mesmo material.
Ordene em seqüência decrescente as resistências de Ra a Re dos fios.
Explique.
FIGURA Q31.14
15. Quais destas afirmações são verdadeiras (se é que alguma é, de
fato)? Mais de uma afirmação pode ser verdadeira. Explique.
a. Toda bateria fornece energia para um circuito.
b. Toda bateria é uma fonte de diferença de potencial; a diferença
de potencial entre os terminais da bateria é sempre a mesma.
c. Toda bateria é uma fonte de corrente; a corrente que sai da bateria é sempre a mesma.
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 31.3 Corrente e densidade de corrente
Seção 31.1 A Corrente de elétrons
11. | Fios com diâmetros de 1,5 mm conectam a entrada e a saída de
uma lâmpada cujo filamento tem 0,12 mm de diâmetro. O fio conduz corrente para o filamento da lâmpada com uma densidade de
corrente no valor de 4,5 105 A/m2. Quais são (a) a corrente e (b) a
densidade de corrente no filamento?
12. | A corrente em uma lâmpada de 100 watts vale 0,85 A. O filamento dentro do bulbo tem 0,25 mm de diâmetro.
a. Qual é a densidade de corrente no filamento?
b. Qual é a corrente de elétrons no filamento?
13. | A velocidade de deriva em um fio de ouro é de 3,0 104 m/s.
a. Qual é a densidade de corrente no filamento?
b. Qual é a corrente se o fio tem diâmetro de 0,50 mm?
14. | Em um circuito integrado, em um filme de ouro com 2,5 ␮m de
espessura e largura de 75 ␮m a densidade de corrente vale 7,5 105 A/m2. Qual é a corrente no filme?
15. || A corrente de um secador de cabelo vale 10 A. Que quantidade de
carga e quantos elétrons fluem através do secador de cabelo durante
5,0 min?
16. || Em um transistor, 2,0 1013 elétrons fluem durante 1,0 ms. Qual
é a corrente no transistor?
17. || Em uma solução iônica, 5,0 1015 íons positivos, com carga
individual 2e, se dirigem para a direita a cada segundo, enquanto
6,0 1015 íons negativos, com carga individual e, se movem em
sentido contrário. Qual é a corrente na solução?
18. || Em um fio quadrado de alumínio com dimensões 2,0 mm 2,0
mm, a corrente é de 2,5 A. Quais são (a) a densidade de corrente e
(b) a velocidade de deriva dos elétrons?
19. || Um fio de cobre oco, com diâmetro interno de 1,0 mm e externo
de 2,0 mm, conduz uma corrente de 10 A. Qual é a densidade de
corrente no fio?
1. || Através da secção transversal de um fio de ferro com 2,0 mm de
diâmetro passam 1,0 1020 elétrons. Qual é a velocidade de deriva
desses elétrons?
2. || A velocidade de deriva em um fio de ouro com 1,0 mm de diâmetro é de 5,0 105 m/s. Quanto tempo decorre para que 1 mol de
elétrons atravesse uma secção transversal do fio?
3. || Através da secção transversal de um fio de prata passam 1,0 1016 elétrons em 320 ␮s, com uma velocidade de deriva igual a 8,0
104 m/s. Qual é o diâmetro do fio?
4. || Através da secção transversal de um fio de alumínio com 1,6 mm
de diâmetro fluem elétrons a 2,0 104 m/s. Quantos elétrons atravessam a secção transversal do fio durante um dia?
5. || Através da secção transversal de um fio quadrado com dimensões
2,0 mm 2,0 mm passam 1,44 1014 elétrons durante 3,0 ␮s. A
velocidade de deriva dos elétrons é de 2,0 104 m/s. De que metal
é feito o fio?
Seção 31.2 Criando uma corrente
6. | A velocidade de deriva é de 2,0 104 m/s em um metal cujo
tempo médio entre colisões sucessivas é de 5,0 1014 s. Qual é a
intensidade do campo elétrico?
7. || Um fio com diâmetro 1,0 mm contém um excesso de 1000 elétrons por centímetro de comprimento. Qual é a densidade de carga
superficial?
8. || a. Quantos elétrons de condução existem em um fio de ouro com
1,0 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento?
b. Que deslocamento deve efetuar o mar de elétrons em um fio a
fim de que 32 nC de carga seja transferida para um eletrodo?
15
9. || O tempo médio entre colisões sucessivas no ferro é 4,2 10
s. Que intensidade de campo elétrico causará uma corrente de elétrons no valor de 5,0 1019 s1 em um fio de ferro com 1,8 mm de
diâmetro?
10. || Um campo elétrico de 2,0 103 V/m cria uma corrente de 3,5
1017 elétrons/s em um fio de alumínio com diâmetro de 1,0 mm.
Quais são (a) a velocidade de deriva e (b) o tempo médio entre colisões sucessivas para os elétrons neste fio?
Seção 31.4 Condutividade e resistividade
20. | Qual é o tempo médio entre colisões sucessivas para elétrons em
um fio de alumínio e em um fio de ferro?
21. | Qual é o tempo médio entre colisões sucessivas para elétrons na
prata e no ouro?
22. || O campo elétrico em um fio quadrado de alumínio com dimensões 2,0 mm 2,0 mm é de 0,012 V/m. Qual é a corrente no fio?
964
Física: Uma Abordagem Estratégica
23. | Que intensidade de campo elétrico é necessária para criar uma
corrente de 5,0 A em um fio de ferro com 2,0 mm de diâmetro?
24. || Um fio com 3,0 mm de diâmetro conduz uma corrente de 12 A
quando o campo elétrico interior é de 0,085 V/m. Qual é a resistividade do material do fio?
25. | Um campo elétrico de 0,0075 V/m cria uma corrente de 3,9 mA
em um fio de 1,0 mm de diâmetro. De que material é feito o fio?
26. || Um fio de prata com 0,5 mm de diâmetro conduz uma corrente
de 20 mA. Quais são (a) o campo elétrico e (b) a velocidade de deriva no fio?
27. | Os dois segmentos do fio mostrados na FIGURA EX31.27 têm diâmeFIGURA EX31.27
tros iguais, mas apresentam condutividades ␴1 e ␴2 diferentes. A corrente I passa através do fio. Se as
condutividades estão na razão ␴2/␴1 2, qual é a razão E2/E1 entre
as intensidades de campo elétrico nos dois segmentos do fio?
28. | Um cubo de metal com 1 cm em cada lado é inserido entre dois
eletrodos. Os eletrodos geram um campo elétrico de 0,0050 V/m no
interior do cubo. Uma corrente de 9,0 A atravessa o cubo, indo do
eletrodo positivo para o negativo. Identifique o metal do cubo.
Seção 31.5 Resistência e lei de Ohm
29. | Uma bateria de 1,5 V fornece 0,50 A de corrente.
a. A que taxa (C/s) a carga é erguida pela “escada rolante de cargas” da bateria?
b. Qual é o trabalho feito pela escada rolante para erguer 1,0 C de
carga?
30. | Dois fios, 1 e 2, são feitos do mesmo metal. O fio 2 tem o dobro
do diâmetro e do comprimento do fio 1. Quais são as razões (a) ␳1/␳2
entre as resistividades e (b) R2/R1 entre as resistências dos dois fios?
31. | Qual é a resistência de
a. Um fio de cobre com 1,0 m de comprimento e 0,50 mm de diâmetro?
b. Uma peça de carbono de 10 cm de comprimento, com uma secção quadrada de 1,0 mm 1,0 mm?
32. || Um fio de 10 m de comprimento com um diâmetro de 0,80 mm
possui uma resistência de 1,1 . De que material é feito o fio?
33. || O campo elétrico no interior de um fio de cobre com 30 cm de
comprimento é de 5,0 mV/m. Qual é a diferença de potencial entre
as extremidades do fio?
34. || a. Que comprimento deve ter um fio de alumínio com 0,60 mm de
diâmetro para que seja atravessado por uma corrente de 0,5 A
quando ligado aos terminais de uma pilha de lanterna de 1,5 V?
b. Qual será a corrente se o fio tiver a metade desse comprimento?
35. || Os terminais de uma pilha de relógio de 0,70 V são ligados por
meio de um fio com 100 m de comprimento e 0,10 mm de diâmetro. Qual é a corrente no fio?
36. | O grafite do lápis é feito de carbono. Qual é a resistência de um
pedaço de grafite para lapiseira com 6,0 cm de comprimento e 0,70
mm de diâmetro?
37. || A resistência de um fio fino de alumínio, com secção quadrada de
10 ␮m 10 ␮m, vale 1000 .
a. Qual é o comprimento do fio?
b. Um resistor de 1000 é feito enrolando-se esse fio, em forma de
espiral, ao redor de um núcleo de vidro com 3,0 cm de diâmetro.
Quantas espiras de fio são necessárias?
38. | A FIGURA EX31.38 é um gráfico corrente versus diferença de potencial
para um material. Qual é a resistência
do material?
FIGURA EX31.38
39. || Um circuito demanda um fio de cobre de 0,50 mm de diâmetro
esticado entre dois pontos. Você não dispõe de nenhum pedaço de
fio de cobre, mas tem pedaços de fios de alumínio com uma variedade de diâmetros. Que diâmetro deve ter o fio de alumínio para
apresentar a mesma resistência?
Problemas
40. || Para que intensidade de campo elétrico a corrente em um fio de
nicromo com 2,0 mm de diâmetro deve ser a mesma que em um fio
de alumínio com 1,0 mm de diâmetro sujeito a uma intensidade de
campo elétrico de 0,0080 V/m?
41. || A massa específica do alumínio é de 2700 kg/m3. Verifique na Tabela 31.1 qual é a densidade de elétrons de condução no alumínio.
A massa do átomo de alumínio é de 27 u.
42. || O feixe de elétrons no interior de um tubo de imagem de televisão tem 0,40 mm de diâmetro e conduz uma corrente de 0,50 ␮A. O
feixe de elétrons atinge o lado interno da tela do tubo de imagem.
a. Quantos elétrons colidem com a tela a cada segundo?
b. Qual é a densidade de corrente no feixe de elétrons?
c. Os elétrons se movem com uma velocidade de 4,0 107 m/s.
Que intensidade de campo elétrico é necessária para acelerar os
elétrons desde o repouso até essa velocidade ao longo de uma
distância de 5,0 mm?
d. Cada elétron transfere energia cinética para a tela do tubo de
imagem no impacto. Qual é a potência dissipada na tela pelo feixe de elétrons?
43. || A FIGURA P31.43 mostra um pedaço
,
de plástico com 4,0 cm de largura sendo enrolado em um tubo de 2,0 cm de
diâmetro que gira a 90 rpm. O plástico
,
tem uma densidade de carga superfi2
FIGURA P31.43
cial uniforme de 2,0 nC/cm .
a. Qual é a corrente do filme em movimento?
b. Quanto tempo decorre para que o rolo acumule uma carga de
10 ␮C?
44. || No modelo clássico do átomo de hidrogênio, o elétron se move
ao redor do próton em uma órbita circular com raio de 0,053 nm.
a. Qual é a freqüência orbital do elétron?
b. Qual é a intensidade de corrente efetiva correspondente ao elétron em movimento?
45. || Um escultor lhe pediu para ajudá-lo a fazer uma galvanização por
eletrodeposição de ouro sobre uma estátua de bronze. Você sabe que
os portadores de carga da solução iônica são íons de ouro e calcula
que seria necessário depositar 0,50 g de ouro para obter a espessura
necessária. De que intensidade de corrente você necessita, em mA,
a fim de galvanizar a estátua em 3,0 horas?
46. || A bioquímica que ocorre dentro das células depende da presença de vários elementos, tais como sódio, potássio e cálcio, que se
encontram dissolvidos na água como íons. Estes íons entram nas
células através de poros estreitos na membrana celular conhecidos
como canais de íons. Cada canal de íon, que é formado por uma
molécula de proteína especializada, é seletivo com relação a um
tipo particular de íon. Medidas efetuadas com microeletrodos mostraram que um canal de íons de potássio (K), com 0,30 nm de
diâmetro, conduz uma corrente de 1,8 pA.
a. Quantos íons de potássio atravessarão o canal de íon se ele ficar
aberto por 1,0 ms?
b. Qual é a densidade de corrente no canal iônico?
47. || O motor de arranque de um carro drena uma corrente de 150 A da
bateria. O fio de cobre do motor tem 5,0 mm de diâmetro e 1,2 m de
comprimento. O motor de arranque funciona durante 0,80 s, até o
motor do carro entrar em funcionamento.
■
CAPÍTULO 31
a. Que quantidade de carga atravessa o motor de arranque?
b. Qual é a distância percorrida por um elétron no fio enquanto o
motor de arranque estiver funcionando?
48. | Uma bateria de automóvel é especificada como de 90 Ah, o que
significa que ela pode fornecer 90 A de corrente durante 1 h antes
de ficar completamente descarregada. Se você deixar os faróis ligados até que a bateria esteja completamente morta, que quantidade
de carga terá deixado a bateria?
49. || Que fração de corrente em um fio de raio R flui na parte em que
?
50. || Você precisa projetar um fusível de 1,0 A que se “rompa” se a
corrente exceder 1,0 A. O material do fusível em seu estoque se
funde quando a densidade de corrente atinge o valor de 500 A/cm2.
Que diâmetro de fio deste material fará o serviço?
51. || Um cilindro de metal oco tem um raio interno a, um raio externo
b, comprimento L e condutividade ␴. A corrente I é radial e aponta
para fora, da superfície interna para a externa.
a. Obtenha uma expressão para a intensidade de campo elétrico no
interior do metal em função do raio r medido a partir do eixo do
cilindro.
b. Calcule a intensidade do campo elétrico nas superfícies interna e
externa de um cilindro de ferro se a ⫽ 1,0 cm, b ⫽ 2,5 cm, L ⫽
10 cm e I ⫽ 25 A.
52. || Uma esfera de metal oca tem um raio interno a, um raio externo
b, um comprimento L e é feita de um material cuja condutividade é
␴. A corrente I é radial e direcionada para fora, partindo da superfície interna para a externa.
a. Obtenha uma expressão para a intensidade de campo elétrico no
interior do metal em função do raio r medido a partir do centro.
b. Calcule a intensidade de campo elétrico nas superfícies interna e
externa de uma esfera de cobre se a ⫽ 1,0 cm, b ⫽ 2,5 cm e I ⫽
25 A.
53. || A quantidade total de carga, em coulombs, que penetra em um fio
durante um tempo t é dada pela expressão Q ⫽ 4t ⫺ t2, onde t está
em segundos e t ⱖ 0.
a. Desenhe o gráfico Q versus t correspondente ao intervalo 0 ⱕ t
ⱕ 4 s.
b. Obtenha uma expressão para a corrente no fio no instante t.
c. Faça o gráfico I versus t correspondente ao intervalo 0 ⱕ t ⱕ 4 s.
d. Explique por que I tem o valor que você observa em t ⫽ 2 s.
54. || A quantidade total de carga, em coulombs, que penetra em um fio
durante um tempo t é dada pela expressão
onde t está em segundos e t ⱖ 0.
a. Desenhe o gráfico Q versus t correspondente ao intervalo 0 ⱕ t
ⱕ 10 s.
b. Obtenha uma expressão para a corrente no fio no instante t.
c. Qual é o valor máximo da corrente?
d. Desenhe o gráfico I versus t correspondente ao intervalo 0 ⱕ t ⱕ
10 s.
55. || A corrente em um fio no instante t é dada pela expressão
, onde t está em micros segundos e t ⱖ 0.
a. Desenhe o gráfico I versus t correspondente ao intervalo 0 ⱕ t ⱕ
10 ␮s.
b. Obtenha uma expressão para a quantidade total de carga (em
coulombs) que entra no fio durante o tempo t. A condições inicial
é Q ⫽ 0 C em t ⫽ 0 ␮s.
c. Desenhe o gráfico Q versus t correspondente ao intervalo 0 ⱕ t
ⱕ 10 ␮s.
56. || O campo elétrico em um fio condutor de corrente pode ser modelado como o campo elétrico no ponto intermediário entre dois
anéis de carga. Modele um fio de alumínio com 3,0 mm de diâmetro como sendo formado por dois anéis com 3,0 mm de diâmetro
Corrente e Resistência
965
afastados por 2,0 mm. Qual é a corrente no fio após 20 elétrons
terem sido transferidos de um anel para o outro?
57. || Os dois fios mostrados na FIGURA P31.57 são feitos do mesmo
material. Quais são a corrente e a velocidade de deriva no segmento
de fio com 2,0 mm de diâmetro?
,
,
,
,
FIGURA P31.57
58. || Qual é a velocidade de deriva na extremidade esquerda do fio
com 3,0 mm de diâmetro mostrado na FIGURA P31.58?
Nicromo
,
,
,
FIGURA P31.58
Alumínio, com
1,0 mm de diâmetro
FIGURA P31.59
59. || Que diâmetro deve ter o fio de nicromo mostrado na FIGURA
P31.59 a fim de que a intensidade de campo elétrico seja a mesma
em ambos os fios?
60. || Um fio de alumínio consiste de três segmentos, como mostrado na FIGURA P31.60. A
corrente no segmento superior é de 10 A. Em
,
cada um dos segmentos, determine
a. A corrente I.
,
b. A densidade de corrente J.
c. A intensidade do campo elétrico E.
,
d. A velocidade de deriva vd.
e. O tempo médio entre colisões sucessivas ␶.
FIGURA P31.60
f. A corrente de elétrons i.
Disponha seus resultados em uma tabela para melhor visualização.
61. || Um fio de nicromo com 15 cm de comprimento está ligado aos
terminais de uma bateria de 1,5 V.
a. Qual é o campo elétrico no interior do fio?
b. Qual é a densidade de corrente no interior do fio?
c. Se a corrente no fio for de 2,0 A, qual é o diâmetro do mesmo?
62. || Um tubo oco de nicromo com 20 cm de comprimento, diâmetro
interno de 2,8 mm e externo de 3,0 mm está ligado a uma bateria de
3,0 V. Qual é a corrente no tubo?
63. || Uma pilha de lanterna de 1,5 V está ligada a um fio de resistência
3,0 ⍀. A FIGURA P31.63 mostra a diferença de potencial da bateria
em função do tempo. Qual é a carga total erguida pela escada rolante de cargas?
,
FIGURA P31.63
64. || Duas placas metálicas circulares com 10 cm de diâmetro encontram-se afastadas por 1,0 cm uma da outra. Elas estão carregadas
com ⫾12,5 nC. Repentinamente, as placas são conectadas uma à
outra por meio de um fio de cobre com 0,224 mm de diâmetro,
tensionado entre o centro de uma placa e o da outra.
966
Física: Uma Abordagem Estratégica
a. Qual é a corrente máxima no fio?
b. Qual é o máximo campo elétrico no fio?
c. A corrente aumenta com o tempo ou mantém-se constante? Explique.
d. Qual é a quantidade total de energia dissipada no fio?
65. || Um fio cilíndrico e longo tem uma resistência R. Qual será a nova
resistência do fio se você esticá-lo de forma a dobrar seu comprimento inicial?
66. || A FIGURA P31.66 mostra o potencial ao longo de um fio de tungstênio. Qual é a densidade de corrente no fio?
,
FIGURA P31.66
67. || Os fios de uma residência normalmente são feitos de cobre e têm
2,0 mm de diâmetro. Eles podem ser muito compridos, pois contornam as paredes de sua casa, indo desde a caixa de disjuntores até os
cantos mais remotos dos cômodos. Qual é a diferença de potencial
através de um fio de cobre com 20 m de comprimento e diâmetro de
2,0 mm que conduz uma corrente de 8,0 A?
68. || Você decide proteger sua casa instalando, próximo à residência,
um poste de ferro com 5,0 m de altura. A extremidade superior do
poste é uma ponta, e a inferior está firmemente em contato com o
solo. Pesquisando, você descobriu que um relâmpago pode conduzir até 50 kA de corrente e durar até 50 ␮s.
a. Que quantidade de carga é conduzida por um pára-raios com tais
parâmetros?
b. Você deseja que a diferença de potencial entre as extremidades
do poste nunca exceda 100 V. Que diâmetro mínimo, em cm, o
poste deve ter?
Problemas desafiadores
69. Um cilindro de cobre oco, de 62 g e comprimento de 10 cm, tem
um diâmetro interno de 1,0 cm. A densidade de corrente ao longo
do comprimento do cilindro é de 150.000 A/m2. Qual é a corrente
no cilindro?
70. A corrente fornecida por uma bateria diminui lentamente à medida
que ela se esgota. Suponha que a corrente seja dada, em função do
tempo, pela função I ⫽ (0,75 A) e-t/(6 h). Qual é o número total de
elétrons transportados do eletrodo positivo para o eletrodo negativo
pela escada rolante de cargas desde a primeira vez em que a bateria
é usada até ela estar completamente morta?
71. Considere que os elétrons de condução de um metal possam ser
tratados como as partículas clássicas de um gás ideal.
a. Qual é a velocidade quadrática média dos elétrons do cobre à
temperatura ambiente?
b. Que distância um elétron percorre, em média, entre duas colisões
sucessivas?
72. Um feixe de prótons com 5,0 mm de diâmetro constitui uma corrente total de 1,5 mA. A densidade de corrente no feixe de prótons,
que aumenta com a distância r até o centro do feixe, é dada por J ⫽
Jborda (r /R), onde R é o raio do feixe e Jborda é o valor da densidade de
corrente na borda do feixe.
a. Quantos prótons por segundo são transportados por este feixe de
prótons?
b. Determine o valor de Jborda.
73. Um fio de metal que conecta os terminais de uma bateria com diferença de potencial ⌬Vbat se aquece enquanto conduz a corrente I.
a. Quanto vale ⌬U, a variação de energia potencial da carga Q, à
medida que ela atravessa o fio?
b. Para onde vai essa energia?
c. Potência é a taxa de transferência
de energia. Baseado na sua resDensidade de carga superficial ␩
posta ao item anterior, obtenha
uma expressão para a potência
FIGURA PD31.74
fornecida pela bateria para aquecer o fio.
d. Qual é a potência fornecida por uma bateria de 1,5 V a um fio
que conduz uma corrente de1,2 A?
74. A FIGURA PD31.74 mostra um fio composto de dois segmentos de
mesmo diâmetro, mas feitos com materiais de condutividades ␴1 e
␴2. Quando a corrente I passa pelo fio, uma fina camada de carga
acumula-se no limite entre os segmentos.
a. Obtenha uma expressão para a densidade de carga superficial ␩
no limite. Expresse seu resultado em função de I, ␴1, ␴2 e da área
A da secção transversal do fio.
b. Um fio com 1,0 mm de diâmetro, composto por segmentos de
cobre e de ferro, conduz uma corrente de 5,0 A. Que quantidade
de carga se acumula no limite entre os segmentos?
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 31.1: ic ⬎ ib ⬎ ia ⬎ id. A corrente de elétrons é proporcional a r2vd. Alterar r por um fator de 2 tem mais influência do que
aumentar vd pelo mesmo fator.
Pare e Pense 31.2: O elétron não precisa se mover do interruptor
até a lâmpada, o que levaria horas. Devido ao fato de o fio, entre o
interruptor e a lâmpada, já estar cheio de elétrons, um fluxo de elétrons
do interruptor para o fio adjacente faz com que outros elétrons fluam da
extremidade imediatamente adjacente à lâmpada para o seu filamento.
Pare e Pense 31.3: Ed ⬎ Eb ⬎ Ee ⬎ Ea ⫽ Ec. A intensidade do campo
elétrico depende da diferença de carga nos dois fios. Os campos elétricos criados pelos anéis a e c são opostos um ao outro, de modo que o
campo resultante é nulo. Os anéis em d têm a maior diferença de carga
Pare e Pense 31.4: Corrente de 1 A no nó. A corrente total que entra
na junção deve ser igual à corrente total que sai da mesma.
Pare e Pense 31.5: Jb ⬎ Ja ⫽ Jd ⬎ Jc. A densidade de corrente
independe da condutividade ␴, portanto Ja e Jd são iguais.
Alterar r por um fator de 2 tem maior influência do que alterar I pelo
mesmo fator.
Pare e Pense 31.6: Ia ⫽ Ib ⫽ Ic ⫽ Id. A conservação da corrente implica
que Ia ⫽ Ib. A corrente em cada fio é I ⫽ ⌬Vfio/R. Todos os fios têm a
mesma resistência, pois são idênticos, e todos estão submetidos à mesma diferença de potencial por estarem ligados diretamente à bateria,
que constitui uma fonte de potencial.
Fundamentos de 32
Circuitos
Este microprocessador, o coração
de um computador, é um circuito
elétrico extraordinário e complexo.
Mesmo assim, sua operação pode ser
compreendida com base em poucos
princípios fundamentais da física.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 32 é
compreender os princípios físicos
fundamentais que governam o
funcionamento dos circuitos elétricos.
Neste capítulo, você aprenderá a:
Um computador é um aparelho incrível. Por mais surpreendente que possa parecer, o
poder de um computador é obtido simplesmente pelo controle do fluxo de cargas através de fios e elementos de circuitos minúsculos. O mais poderoso supercomputador é
um descendente direto do bastão carregado com o qual começamos a Parte VI.
Esse capítulo agregará muitas idéias que você aprendeu sobre campo elétrico e potencial, e elas serão usadas na análise de circuitos elétricos. Esse único capítulo não
pretende ser um curso completo sobre análise de circuitos. Ao contrário, como indica o
título, nosso objetivo aqui, mais modesto, é descrever os princípios físicos fundamentais
segundo os quais os circuitos funcionam. Uma compreensão desses princípios básicos o
preparará para seguir, posteriormente, um curso mais completo de análise de circuitos.
Nosso interesse primário é em circuitos nos quais a diferença de potencial da bateria
é invariável e todas as correntes do circuito são constantes. Estes são os chamados circuitos de corrente contínua, ou circuitos CC. No Capítulo 36, discutiremos os circuitos
de corrente alternada, ou circuitos CA, nos quais a diferença de potencial oscila de
forma senoidal.
32.1 Elementos e diagramas de circuitos
A FIGURA 32.1, a seguir, mostra um circuito elétrico em que um resistor e um capacitor
estão conectados por fios a uma bateria. Para compreender o funcionamento do circuito,
■ Compreender os materiais
condutores e isolantes usados em
circuitos.
■ Desenhar e usar diagramas básicos
de circuitos.
■ Analisar circuitos que contenham
resistores em série e em paralelo
■ Calcular a potência dissipada nos
elementos do circuito.
■ Compreender o aumento e
a diminuição de corrente em
circuitos RC.
Em retrospectiva
Este capítulo é baseado em nosso
desenvolvimento anterior das idéias
de corrente e potencial. Revise:
■ Seção 30.2 Fontes de potencial
■ Seção 30.5 Capacitores
■ Seções 31.3 – 31.5 Corrente,
resistência e lei de Ohm
968
Física: Uma Abordagem Estratégica
Resistor
Capacitor
FIGURA 32.1 Um circuito elétrico.
Bateria
não precisamos saber se os fios estão tortos ou retos, ou se a bateria está à direita ou à
esquerda do resistor. O desenho realista da Figura 32.1 fornece muitos detalhes irrelevantes. Quando descrevemos ou analisamos circuitos, é costumeiro desenhar uma figura
mais abstrata denominada diagrama de circuito. Trata-se de uma figura lógica do que
está conectado com o quê. O circuito real, uma vez que esteja construído, pode parecer
bastante diferente do diagrama de circuito, mas terá a mesma lógica e conexões.
Um diagrama de circuito também substitui as figuras dos elementos de circuitos por
símbolos. A FIGURA 32.2 mostra os símbolos básicos de que iremos precisar. Note que a
linha mais longa em umas das extermidades do símbolo da bateria representa o seu terminal positivo.
Resistor
Fio
Lâmpada
Nó
Capacitor
Interruptor
FIGURA 32.2 Listagem de símbolos básicos usados em desenhos de circuitos elétricos.
FIGURA 32.3 Diagrama de circuito
correspondente ao circuito da Figura 32.1.
Filamento
Bulbo de vidro
preenchido com um
gás inerte
Fios conectores
Metal
Isolante
FIGURA 32.4 A anatomia de uma lâmpada.
PARE E PENSE 32.1
A FIGURA 32.3 é o diagrama de circuito correspondente ao circuito mostrado na Figura 32.1. Note como os elementos do circuito são legendados. A fem da bateria é mostrada ao lado da bateria, e os símbolos e , mesmo que um tanto redundantes, são
mostrados ao lado dos terminais. A resistência R do resistor e a capacitância C do capacitor são escritas ao lado dos correspondentes elementos. Poderíamos usar valores numéricos para e R, se os conhecêssemos. Os fios, que na prática podem ser inclinados e
curvados, são mostrados como conexões em linha reta entre os elementos do circuito.
Você deve se acostumar a desenhar seus próprios diagramas de circuito de uma forma
similar.
Lâmpadas são importantes elementos de circuito, e a FIGURA 32.4 nos fornece mais
informação sobre a anatomia de uma lâmpada. Como qualquer fio ou resistor, toda lâmpada tem duas “extremidades”, e a corrente atravessa a lâmpada. Geralmente é útil conceber uma lâmpada como um resistor que emite luz quando uma corrente está presente.
O filamento de uma lâmpada não é feito de um material perfeitamente ôhmico, embora
a resistência de uma lâmpada incandescente permaneça razoavelmente constante se você
não alterar muito a tensão V aplicada. A resistência de uma lâmpada situa-se, tipicamente, na faixa de 10 a 500 .
Quais dos diagramas abaixo representam o mesmo circuito?
32.2 Leis de Kirchhoff e o circuito básico
Agora estamos prontos para começar a análise de circuirtos. Analisar um circuito significa determinar:
1. A diferença de potencial através de cada componente do circuito.
2. A corrente em cada componente do circuito.
A análise de circuitos é baseada nas leis de Kirchhoff, introduzidas nos Capítulos 30 e 31.
CAPÍTULO 32
■
Fundamentos de Circuitos
No Capítulo 31 você aprendeu que a carga e a corrente são grandezas conservadas.
Conseqüentemente, a corrente total que chega ao nó mostrado na FIGURA 32.5a deve ser
igual à corrente total que sai do mesmo nó, ou seja,
Nó
Isai
(32.1)
Tal enunciado é a lei de Kirchhoff dos nós.
Uma propriedade importante do potencial elétrico é que a soma das diferenças de
potencial ao longo de uma malha ou caminho fechado qualquer é sempre igual a zero.
Esse enunciado é uma manifestação da conservação da energia, pois toda carga que se
move ao longo de um caminho fechado e retorna ao seu ponto de partida sofre uma variação de energia potencial elétrica U 0. Apliquemos essa idéia ao circuito da FIGURA
32.5b somando todas as diferenças de potencial ao redor da malha formada pelo circuito.
Com isso, obtemos
(32.2)
onde (V)i é a diferença de potencial através do i-ésimo componente presente na malha.
Este enunciado é a lei de Kirchhoff das malhas.
A lei de Kirchhoff das malhas só poderá ser verdadeira se pelo menos um dos (V)i for
negativo. Para aplicar a lei das malhas, precisamos identificar explicitamente quais diferenças de potencial são positivas e quais são negativas.
BOX TÁTICO
32.1
Ientra
Lei dos nós:
Inicia e
termina
aqui.
Lei das malhas:
FIGURA 32.5 A lei de Kirchhoff aplicada a
nós e malhas.
Desenhe o diagrama de circuito correspondente. Denote todas as grandezas, tanto as conhecidas como as desconhecidas.
Atribua um sentido qualquer para a corrente. Desenhe e denote a seta que representa a
corrente I para indicar qual foi a sua escolha.
■ Se você conhece a direção real da corrente, escolha essa direção.
■ Se você não conhece a direção real da corrente, faça uma escolha arbitrária. O máximo que
pode acontecer se você tiver escolhido errado é que o valor obtido para I no final acabará
sendo negativo.
“Percorra” o caminho ao longo da malha. Inicie em qualquer ponto da malha. Siga, então, ao
longo de todo o caminho da malha, no sentido que você atribuiu à corrente no passo 2. Quando
você atravessa cada elemento do cuicuito, o correspondente V é interpretado com o significado
■ Para uma bateria ideal percorrida no sentido que vai do terminal
negativo para o positivo:
Percurso
O potencial aumenta
Percurso
■ Para uma bateria ideal percorrida no sentido que vai do terminal
positivo para o negativo:
O potencial diminui
■ Para um resistor:
O potencial diminui
Aplique a lei das malhas:
NOTA Para um resistor, a variação VR parece ser oposta à lei de Ohm, mas esta lei
diz respeito apenas ao módulo da diferença de potencial. A lei de Kirchhoff requer
que reconheçamos que o campo elétrico dentro do resistor diminui no sentido da
corrente. Assim, V Va favor Vcontra. Malha
Adiciona as
diferenças de
potencial encontradas
ao longo da malha.
Usando a lei de Kirchhoff das malhas
V Va favor Vcontra
969
Exercícios 4–7
970
Física: Uma Abordagem Estratégica
O circuito básico
Fonte
Carga
FIGURA 32.6 O circuito básico formado por
um resistor conectado a uma bateria.
Desenhe o diagrama de
circuito correspondente.
A orientação da bateria indica uma
corrente no sentido horário, então
atribua o sentido horário para I.
O circuito elétrico mais básico é aquele formado por um único resistor conectado aos
dois terminais de uma bateria. A FIGURA 32.6a mostra um desenho realista dos elementos
do circuito e dos fios de conexão; a FIGURA 32.6b é o diagrama do circuito correspondente. Note que esse é um circuito completo, formando um caminho contínuo entre os
terminais da bateria.
O resistor deve ser conhecido, tal como “um resistor de 10 ”, ou deve ser algum outro dispositico resistor, como uma lâmpada. Independentemente do que seja um resistor,
ele costuma ser chamado de carga. Já uma bateria é chamada de fonte.
A FIGURA 32.7 mostra o uso da lei de Kirchhoff das malhas para analisar esse circuito.
Duas coisas são dignas de nota:
1. Esse circuito não tem nós, de modo que a corrente I é a mesma em todos os quatro
lados que formam o circuito. Neste caso, portanto, não precisamos aplicar a lei de
Kirchhoff dos nós.
2. Consideramos um modelo de fio ideal, no qual não ocorrem diferenças de potencial ao longo dos fios de conexão.
A lei de Kirchhoff das malhas para dois elementos de circuito é
(32.3)
Vamos examinar cada um dos dois termos da Equação 32.3:
1. O potencial aumenta quando atravessamos a bateria em nosso percurso no sentido
horário ao longo da malha. Entramos pelo terminal negativo e, a favor da corrente, saímos pelo terminal positivo, do outro lado, após termos sofrido um aumento
de potencial . Assim,
Determine V em cada elemento do circuito.
FIGURA 32.7 Análise do circuito básico
usando a lei de Kirchhoff das malhas.
2. O valor absoluto da diferença de potencial através do resistor é
porém
a lei de Ohm não nos informa se esta variação é positiva ou negativa – e a diferença é crucial para o cálculo. Em um condutor, o potencial diminui no sentido da
corrente, o que indicamos pelos sinais e assinalados, como na Figura 32.7.
Deste modo,
NOTA A determinação de quais diferenças de potencial são positivas e quais são
negativas talvez seja a etapa mais importante da análise de circuitos. Com essa informação sobre Vbat e VR, a equação da malha assume a forma
(32.4)
Podemos resolver a equação da malha para determinar a corrente do circuito como
(32.5)
Depois, podemos usar a corrente encontrada para obter a diferença de potencial através
do resistor,
(32.6)
Tal resultado não deveria constituir uma surpresa. A energia potencial que as cargas
ganham na bateria é subseqüentemente perdida à medida que ela “cai” através do
resistor.
NOTA A corrente depende do valor da resistência. A fem de uma bateria é uma
grandeza fixa; a corrente que a bateria fornece depende conjuntamente da fem e da
carga. CAPÍTULO 32
EXEMPLO 32.1 Um circuito com um único resistor
Um resitor de 15 ⍀ está conectado aos terminais de uma bateria de
1,5 V.
a. Qual é a corrente no circuito?
b. Desenhe um gráfico que represente o potencial em função da distância percorrida através do circuito, iniciando com V ⫽ 0 V no
terminal negativo da bateria.
■
Fundamentos de Circuitos
b. A diferença de potencial da bateria é ⌬Vbat ⫽ ⫽ 1,5 V. A diferença de potencial no resistor é ⌬VR ⫽ ⫺ ⫽ ⫺1,5 V. Com base
neste fato, a FIGURA 32.9 representa o potencial experimentado
pelas cargas quando fluem ao longo do cicuito. A distância s é
medida a partir do terminal negativo da bateria, e escolhemos
considerar V ⫽ 0 V neste ponto. O potencial termina no mesmo
valor com o qual iniciou.
MODELO Suponha que os fios conectores sejam ideais, o mesmo ocor-
O potencial aumenta em
1,5 V através da bateria.
rendo com a bateria, de modo que ⌬Vbat ⫽ .
Não ocorre queda do
potencial ao longo de
um fio ideal.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 32.8 representa o circuito. Escolheremos o
sentido horário para I.
971
,
O potencial diminui em
1,5 V através do resistor.
s mede a distância
“ao longo” da malha.
,
Bateria
FIGURA 32.8 O circuito do Exemplo 32.1.
Fio horizontal Resistor Fio horizontal
inferior
superior
FIGURA 32.9 Representação gráfica de como o potencial varia ao
RESOLUÇÃO a. Trata-se de um circuito básico com um único resistor
longo da malha do circuito da Figura 32.8.
conectado a uma só bateria. A corrente é dada pela Equação 32.5:
AVALIAÇÃO O valor de I é positivo. Isso significa que o sentido real da
corrente é o sentido horário.
EXEMPLO 32.2 Um circuito mais complexo
RI = 4
Analise o circuito mostrado na FIGURA 32.10.
a. Determine a corrente que atravessa cada resistor e a diferença de
potencial através do mesmo.
b. Desenhe um gráfico que mostre como o potencial varia ao longo
do circuito, iniciando com V ⫽ 0 V no terminal negativo da bateria de 6 V.
+
+
Vbat 1
= 6v
1
-
VRI -
I
I
Vbat 2
-
VR2
+
-
2
= 9v
+
R2 = 2
FIGURA 32.11 Analisando o circuito.
RESOLUÇÃO a. Como lidamos com duas baterias? A carga pode fluir
FIGURA 32.10 Circuito do Exemplo 32.2.
MODELO Suponha que os fios sejam ideais, o mesmo valendo para a
bateria, de modo que ⌬Vbat ⫽ .
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 32.11 apresenta o circuito redesenhado; 1,
2, R1 e R2 foram definidos, e foi escolhido o sentido horário para a
corrente. Trata-se de uma escolha arbitrária de sentido, uma vez que,
com duas baterias presentes, não podemos inicialmente ter certeza
acerca do sentido verdadeiro da corrente.
em sentido contrário através de uma batreria, indo de seu terminal
positivo para o negativo? Considere a analogia com a escada rolante
de cargas. Deixada por si mesma, a escada rolante eleva cargas de um
potencial mais baixo para um potencial mais alto. Mas é possível descer uma escada rolante que esteja subindo, como provavelmente você
já fez muitas vezes. Se duas escadas rolantes estão dispostas “cabeça
a cabeça”, a que for mais potente poderá, na verdade, forçar a carga
a descer a escada rolante que sobe a partir da outra bateria. Em uma
bateria, a corrente pode fluir do terminal positivo para o negativo se
for forçada nesse sentido pela fem maior de uma segunda bateria. De
fato, é assim que as baterias recarregáveis são recarregadas.
Devido a não existirem nós, a corrente será a mesma através de
cada componente do circuito. Com um pouco de raciocínio, poderíamos
descobrir se a corrente tem, de fato, sentido horário ou anti-horário, entretanto não é preciso que isso seja determinado já no início da análise.
Continua
972
Física: Uma Abordagem Estratégica
Escolheremos simplesmente o sentido horário para a corrente e isolaremos o valor de I. Se nosso resultado for positivo, então a corrente
tem realmente o sentido horário. Se o resultado for negativo, saberemos que o verdadeiro sentido da corrente é o anti-horário. A lei de
Kirchhoff das malhas, aplicada em sentido horário a partir do terminal negativo da bateria 1, assume a forma
Todos os sinais são positivos porque isso corresponde ao enunciado
formal da lei, que menciona a soma das diferenças de potencial ao
longo da malha. A seguir, podemos avaliar cada V. Como vamos
em sentido horário, as cargas ganham potencial ao atravessarem a
bateria 1, mas perdem potencial ao atravessarem a bateria 2. Assim,
e
Há uma perda de potencial no deslocamento através de cada resistor porque estamos percorrendo-os na
direção que atribuímos para a corrente. Então, VR1 IR1 e VR2
IR2. Com isso, a lei de Kirchhoff das malhas torna-se
b. A diferença de potencial através do resistor de 4 é
Uma vez que o sentido verdadeiro da corrente é anti-horário, o potencial do resistor aumenta no sentido horário de nosso percurso ao
longo da malha. Analogamente, a diferença de potencial através do
resistor de 2 é VR2 1.0 V. A FIGURA 32.12 é o gráfico potencial
versus posição correspondente à malha percorrida em sentido horário, iniciando com V 0 V no terminal negativo da bateria de 6 V.
Ganha 2 V através do
resistor de
4 .
Perde 9 V
através da
bateria 2.
Ganha 6 V através
da bateria 1.
Podemos resolver essa equação e determinar a corrente na malha:
Ganha 1 V através do
resistor de 2 .
FIGURA 32.12 Representação gráfica da variação de potencial ao
longo da malha.
O valor obtido para I é negativo; portanto, a corrente real nesse circuito é de 0,50 A em sentido anti-horário. Talvez você tenha antecipado
isso a partir da orientação da voltagem de 9 V da bateria maior.
AVALIAÇÃO Note como o potencial cai em 9 V ao atravessar a bateria
2, em sentido horário. Logo, ganha-se 2 V ao atravessar R2 e terminase com o valor inicial do potencial.
PARE E PENSE 32.2 Qual é a variação V através do
elemento de circuito desconhecido da figura? O
potencial aumenta ou diminui quando esse elemento é percorrido no sentido atribuído a I?
32.3 Energia e potência
Lâmpadas
idênticas
FIGURA 32.13 Qual das lâmpadas é a mais
brilhante?
O circuito da FIGURA 32.13 contém duas lâmpadas, A e B. Qual delas é a mais brilhante?
Ou elas brilham igualmente? Pense sobre isso antes de prosseguir.
Talvez você tenha sido tentado a responder que A é a mais brilhante. Afinal, a corrente chega a A primeiro, de modo que esta lâmpada talvez “consumisse” parte da corrente,
deixando uma parte menor dela para B. Mas isso violaria os princípios de conservação
da carga e da corrente. Não existem nós entre A e B, portanto a corrente através das duas
lâmpadas deve ser a mesma. Assim, as lâmpadas brilham igualmente.
Não é corrente o que as lâmpadas consomem, é energia. Uma vez que a bateria
mantém uma diferença de potencial entre seus terminais, ela também fornece energia ao
circuito. A escada rolante de cargas corresponde a um processo de transferência de energia, que transfere energia química Equi armazenada na bateria para as cargas, na forma de
energia potencial U. Essa energia, então, é dissipada à medida que as cargas atravessam
os fios e os resistores presentes em uma malha, aumentando a energia térmica dos mesmos até, no caso de lâmpadas de filamento, eles brilharem.
Quando uma carga “sobe” pela escada rolante de cargas da bateria, ela ganha uma
energia potencial
. No caso de uma bateria ideal, para a qual
, ela
CAPÍTULO 32
■
Fundamentos de Circuitos
973
fornece à carga q uma energia
quando a carga é levada do terminal negativo
para o positivo.
É útil conhecer a taxa segundo a qual a bateria fornece energia às cargas. Do Capítulo
11, recorde-se de que a taxa segundo a qual energia é transferida é a potência, medida em
é transferida para uma carga q, então a
joules por segundo ou watts. Se a energia
taxa segundo a qual ela é transferida da bateria para as cargas em movimento é dada por
taxa de transferência de energia
(32.7)
Mas dq/dt, a taxa segundo a qual a carga se move através da bateria, é justamente a
corrente I. Portanto, a potência suprida por uma bateria, ou a taxa segundo a qual ela
transfere energia para as cargas que a atravessam, é
potência transferida por uma fem
A grandeza
(32.8)
tem como unidade o J/s, ou W.
EXEMPLO 32.3 Fornecendo potência
Uma “carga” (resistor) de 90 está conectada a uma bateria de 120
V. Qual é a potência fornecida pela bateria?
RESOLUÇÃO Esse é o circuito básico bateria-resistor que analisamos
Assim, a potência transferida pela bateria é
anteriormente. Neste caso,
A grandeza Pbat é a energia transferida por segundo do estoque de elementos químicos da bateria para as cargas em movimento que formam a corrente. Mas o que acontece a essa energia? Onde ela acaba? A FIGURA 32.14, representando uma secção transversal de um resistor condutor de corrente, serve para lembrá-lo do nosso modelo
microscópico de condução. Os elétrons aceleram no campo elétrico, depois colidem
com os átomos da rede. A etapa de aceleração corresponde a uma transformação de
energia potencial em cinética. As colisões, então, transformam a energia cinética dos
elétrons em energia térmica da rede. A energia potencial foi adquirida na bateria a partir
da conversão de energia química, de modo que o processo inteiro de transferência de
energia se parece com
Equi → U → K → Eterm
O resultado global é que a energia química da bateria é transformada na energia
térmica dos resistores, o que eleva suas temperaturas.
Suponha que a distância média entre duas colisões sucessivas seja d. A força elétrica
exercida sobre a carga q realiza um trabalho quando empurra a carga ao longo
da distância d. Uma vez que o campo é constante no interior do resistor, o trabalho é,
simplesmente,
(32.9)
De acordo com o teorema trabalho-energia cinética, esse trabalho aumenta a energia ciEssa energia cinética é transferida para a rede quannética da carga q em
do a carga q colide com um átomo da rede, causando um aumento na energia da rede de
As colisões ocorrem com freqüência enquanto as cargas descrevem seus caminhos
através de um resistor de comprimento L. A energia total que a carga q transfere enquanto percorre a distância L, o comprimento do resistor, é
(32.10)
A grandeza EL é a diferença de potencial VR entre as extremidades do resistor. Portanto, ao percorrer o comprimento do resistor, cada carga q transfere uma quantidade de
energia para a rede atômica igual a
(32.11)
O campo elétrico acelera os elétrons.
A transformação de energia é U → K.
Corrente
Átomos
de elétrons
da rede
Corrente
As colisões transferem energia para a rede.
A transformação de energia é K → Eterm.
FIGURA 32.14 Um resistor por onde flui
uma corrente dissipa energia por causa
da força elétrica realiza trabalho sobre as
cargas.
974
Física: Uma Abordagem Estratégica
A taxa segundo a qual essa energia é transferida da corrente para o resistor é igual a
(32.12)
Dizemos que essa potência – certo número de joules por segundo – é dissipada pelo
resistor enquanto a carga flui através do mesmo. O resistor, por sua vez, transfere essa
energia para o ar circundante e para a placa do circuito sobre a qual está montado, aquecedo o circuito e a vizinhança.
A partir de nossa análise do circuito básico, em que um único resistor está conectado a
, ou seja, a diferença de potencial através do resisuma bateria, aprendemos que
tor é exatamente igual à fem mantida pela bateria. Sendo assim, as Equações 32.8 e 32.12,
para Pbat e PR, respecivamente, são numericamente iguais, e assim descobrimos que
(32.13)
A resposta para a questão “o que acontece à energia suprida pela bateria?” é: “a energia química da bateria é transformada em energia térmica do resistor”. A taxa segundo a
qual a bateria fornece energia é exatamente igual à taxa segundo a qual o resistor dissipa
energia. É claro, isto é precisamente o que deveríamos esperar a partir da conservação
da energia.
EXEMPLO 32.4 A potência luminosa
Que intensidade de corrente é “tirada” de uma tomada de 120 V por
uma lâmpada de 100 W?
MODELO Muitos dispositivos domésticos, tais como uma lâmpada de
100 W ou um secador de cabelo de 1500 W, têm potências nominais
(também chamada de “potência de saída”). O termo nominal não significa que esses dispositivos sempre dissipem essas grandes potências.
Os aparelhos são projetados para serem usados à voltagem doméstica
padrão de 120 V, e suas potências nominais são as potências que eles
dissiparão se funcionarem sob uma diferença de potencial de 120 V.
Se eles forem operados sob qualquer outra diferença de potencial,
seus consumos de potência diferirão da potência nominal.
RESOLUÇÃO Devido à lâmpada estar operando sob condições para as
quais foi projetada, ela dissipará 100 W de potência. Assim,
AVALIAÇÃO A corrente de 0,833 A na lâmpada transfere 100 J/s para
a energia térmica do filamento, o qual, por sua vez, dissipa 100 J/s
como calor e luz para a vizinhaça.
Um resistor obedece à lei de Ohm,
. (Lembre-se de que a lei de Ohm
fornece somente o módulo de VR.) Isso nos dá duas maneiras alternativas de escrever
a potência dissipada por um resistor. Podemos substituir IR por VR, ou VR/R por I.
Dessa maneira,
(potência dissipada por um resistor)
(32.14)
Se a mesma corrente I atravessa diversos resistores em série, então PR I R nos informa
que a maior potência será dissipada na resistência maior. Essa é razão por que o filamento
de uma lâmpada brilha, mas não, os fios conectores. Essencialmente, quase toda a potência
suprida pela bateria é dissipada na alta resistência do filamento da lâmpada, e quase nenhuma, nos fios de baixa resistência. O filamento fica muito quente, mas os fios, não.
2
EXEMPLO 32.5 A potência do som
Muitos alto-falantes são projetados para ter uma resistência de 8 .
Se um alto-falante de 8 for conectado a um amplificador estéreo
com uma potência nominal de 100 W, qual será a máxima corrente
possível no alto-falante?
MODELO A potência nominal de um amplificador é a potência máxima que ele pode fornecer. Na maior parte do tempo ele fornece uma
potência muito menor, mas a máxima pode ser atingida durante um
som intenso e breve, como o som metálico de um címbalo (prato de
metal).
RESOLUÇÃO O alto-falante é uma carga resistiva. A corrente máxima
ocorre quando o amplificador transfere a potência máxima, de modo
. Assim,
que
CAPÍTULO 32
■
Fundamentos de Circuitos
975
A energia química armazenada na bateria é consumida por uma lâmpada. Primeiro, a
energia é convertida em energia das cargas; depois, em energia térmica do filamento, aquecendo-o, e, ao final, em calor e luz que sentimos e vemos vindos da lâmpada. A conservação da energia é de fundamental importância para a compreensão dos circuitos elétricos.
Quilowatt-hora
A energia dissipada (isto é, transformada em energia térmica) por um resistor durante
um tempo t é Eterm PR t. O produto do watt pelo segundo é igual ao joule, a unidade
do SI para energia. Entretanto, sua companhia elétrica local prefere usar uma unidade
diferente, chamada quilowatt-hora, para medir a energia que você usa a cada mês.
Uma carga que consome PR kW de eletricidade em t horas usa PRt quilowatthora de energia, abreviado como kWh. Por exemplo, um aquecedor de água elétrico de
4000 W usa 40 kWh de energia em 10 horas. Um secador de cabelos de 1500 W usa 0,25
kWh de energia em 10 minutos. Apesar do nome um tanto incomum, o quilowatt-hora é
uma unidade de energia. Como um problema para casa, tente obter o fator de conversão
de quilowatt-hora para joules.
Sua conta mensal de eletricidade especifica o número de quilowatts-hora que você
usou no último mês. Essa é a quantidade de energia que a companhia de eletricidade lhe
enviou, através de uma corrente elétrica, e que foi transformada em luz e energia térmica
em sua casa. O custo da eletricidade varia em todos os países, mas o custo médio da
eletricidade nos Estados Unidos é de 10 centavos de dólar por kWh (US$ 0,10/kWh).
Assim, custa cerca de US$ 4,00 para fazer funcionar seu aquecedor de água por 10 horas
e cerca de US$ 2,50 para secar seu cabelo.
O medidor elétrico ao lado de sua casa ou
apartamento registra os quilowatts-hora de
energia elétrica que você usa.
PARE E PENSE 32.3 Ordene em seqüência decrescente as potências de P a P dissipadas nos
a
d
resistores de a até d.
32.4 Resistores em série
Muitos circuitos contêm dois ou mais resistores conectados entre si de várias maneiras.
Assim, boa parte da análise de circuitos consiste da análise de diferentes combinações de
resistores. Como um exemplo, considere as três lâmpadas da FIGURA 32.15. As baterias
são idênticas, e as lâmpadas, também. Na seção anterior, você aprendeu que B e C brilham igualmente, devido à conservação de corrente, mas como o brilho de B se compara
ao de A? Pense sobre isso antes de prosseguir.
A FIGURA 32.16a mostra dois resistores ligados extremidade a extremidade entre dois
pontos a e b. Os resistores que estão alinhados dessa forma, sem haver nós entre eles, são
chamados de resistores em série. Devido à inexistência de nós e ao fato da corrente ser
conservada, a corrente I deve ser a mesma através de cada um desses resistores, ou seja,
a corrente que sai do último resistor da série é igual à corrente que entra no primeiro
resistor da mesma.
Dois resistores em série
Um resistor equivalente
Mesma corrente
Mesma diferença de potencial
FIGURA 32.16 Substituindo dois resistores em série por um resistor equivalente.
Bateria
idênticas
Lâmpadas
idênticas
FIGURA 32.15 Como o brilho da lâmpada B
se compara ao da lâmpada A?
976
Física: Uma Abordagem Estratégica
As diferenças de potencial através dos dois resistores são V1 IR1 e V2 IR2. A
diferença de potencial total Vab entre os pontos a e b é a soma das diferenças de potencial individuais:
(32.15)
Como na FIGURA 32.16b, suponha que substituamos os dois resistores por um único resistor por onde passa uma corrente I sob a diferença de potencial Vab V1 V2.
Podemos, então, usar a lei de Ohm para determinar que a resistência Rab entre os pontos
aebé
(32.16)
Em razão de a bateria estabelecer a mesma diferença de potencial e prover a mesma
corrente nos dois casos, os dois resistores, R1 e R2, agem exatamente da mesma maneira,
como se constituíssem um único resistor com resistência igual a R1 R2. Podemos dizer,
portanto, que o resistor único Rab é equivalente aos dois resistores em série.
Não há nada de especial em ter somente dois resistores. Se tivermos N resistores em
série, sua resistência equivalente será
Req R1 R2 R3 .... RN
(resistores em série)
(32.17)
O comportamento do circuito ficará inalterado se N resitores em série forem substituídos
por um único resistor Req. A idéia-chave nessa análise é o fato de que uma mesma corrente passa por todos os resistores ligados em série.
EXEMPLO 32.6 Um circuito com resistores em série
a. Qual é a corrente do circuito da FIGURA 32.17a?
b. Desenhe o gráfico potencial versus posição no circuito, indo em
sentido horário desde V 0 V, no terminal negativo da bateria.
Isso é mostrado como um circuito equivalente na FIGURA 32.17B.
Agora temos um circuito com uma única bateria e um único resistor, para o qual sabemos que a corrente é dada por
MODELO Os três resistores estão ligados extremidade a extremidade,
sem haver nós entre eles, e, portanto, estão em série. Considere que os
fios conectores e a bateria sejam ideais.
RESOLUÇÃO a. Nada mudará no comportamento do circuito se substituirmos os três resistores por sua resistência equivalente
Req 15 4 8 27 b. I 0,333 A é a corrente em cada um dos três resistores do circuito original. Assim, as diferenças de potencial através dos resistores são VR1 IR1 5,0 V; VR2 IR2 1,3 V; e VR3
IR3 2,7 V, para os resistores de 15 , 4 e 8 , respectivamente. A FIGURA 32.17c mostra que o potencial aumenta em 9
V devido à fem da bateria e, depois, decresce 9 V em três etapas.
Bateria
FIGURA 32.17 Analisando um circuito com resistores em série.
Agora podemos responder à questão da lâmpada, proposta no início desta seção. Suponha que a resistência de cada lâmpada seja R. A bateria envia uma corrente IA /R
através da lâmpada A. As lâmpadas B e C estão em série, com uma resistência equivalente Req 2R, mas a bateria tem a mesma fem . Assim, a corrente através das lâmpadas B
CAPÍTULO 32
■
Fundamentos de Circuitos
e C é IBC /Req /2R IA. A corrente na lâmpada B é igual apenas à metade da
corrente na lâmpada A; logo, a lâmpada B brilha menos.
Muitas pessoas responderiam que A e B devem brilhar igualmente. É a mesma bateria, então ela não deveria prover a mesma corrente para ambos os circuitos? Não! Uma
bateria é uma fonte de fem, e não, uma fonte de corrente. Em outras palavras, a fem
da bateria é a mesma, não importa como a bateria é usada. Quando você compra uma
bateria de 1,5 V, está comprando um dispositivo que fornece um valor específico de diferença de potencial, e não, um valor específico de corrente. A bateria fornece a corrente
ao circuito, mas a quantidade de corrente depende da resistência de carga. Sua bateria de
1,5 V fornece 1 A para atravessar uma carga de 1,5 , mas apenas 0,1 A para atravessar
a carga de 15 . Como analogia, pense em uma torneira de água. A pressão no duto
principal, debaixo da rua, é uma quantidade fixa e invariável, mantida pela companhia de
água. Contudo, a quantidade de água que sai da torneira depende de quanto você a abre.
Se uma torneira está apenas um pouco aberta, ela apresenta uma “alta resistência” e por
isso flui pouca água. Já uma torneira muito aberta apresenta uma “resistência baixa”, e
o fluxo de água é grande.
Dispendemos muito tempo com essa propriedade da bateria porque se trata de uma
idéia crucial para a compreensão de circuitos. Em resumo, a bateria mantém uma fem
fixa e invariável (uma diferença de potencial). Ela não fornece uma corrente fixa e
invariável. A intensidade de corrente depende, conjuntamente, da fem da bateria e
da resistência do circuito que está ligado a ela.
Amperímetros
Todo dispositivo que mede a corrente em um elemento de circuito é chamado de amperímetro. Uma vez que a carga flui através dos elementos do circuito, o amperímetro deve
ser ligado em série com os elementos do circuito cuja corrente deve ser medida.
,
Amperímetro
A corrente medida
deve atravessar o
amperímetro.
FIGURA 32.18 Um amperímetro mede a corrente em um elemento de circuito.
A FIGURA 32.18a mostra um circuito simples com um resistor e uma fem conhecida
. Podemos medir a corrente no circuito inserindo um amperímetro como mostrado na
FIGURA 32.18b. Note que temos de romper a conexão entre a bateria e o resistor para que
o amperímetro seja inserido. Com isso, a corrente que atravessa o resistor passa primeiro
pelo amperímetro.
Como o amperímetro está agora em série com o resistor, a resistência total experimentada pela bateria é Req 6 Ramperímetro. A fim de que o amperímetro meça a
corrente sem alterá-la, sua resistência deve ser, neste caso, muito menor do que 6 . De
fato, um amperímetro ideal teria Ramperímetro 0 e, assim, não afetaria a corrente. Os
amperímetros reais se aproximam muito desse ideal.
O amperímetro da Figura 32.18b marca 0,50 A, indicando que a corrente no resistor
de 6 é I 0,50 A. Portanto a diferença de potencial do resistor é VR IR 3,0
V. Se o amperímetro for ideal, como supomos, então, da lei de Kirchhoff das malhas, a
fem da bateria é VR 3,0 V.
PARE E PENSE 32.4
Quais são a corrente e o potencial nos pontos de a até e?
12.1
977
978
Física: Uma Abordagem Estratégica
32.5 Baterias reais
Bateria ideal
Resistência
interna
Vejamos como uma bateria real difere da bateria ideal que supomos até o momento. As
baterias reais, como as ideais, separam cargas e criam uma diferença de potencial. Entretanto, as baterias reais também oferecem uma pequena resistência ao movimento das
cargas na escada rolante de cargas. Elas apresentam o que se chama de resistência interna, simbolizada por r. A FIGURA 32.19 mostra uma bateria ideal e uma bateria real. De
nosso ponto de vista, no lado exterior de uma bateria, não podemos separar de r. Para
o usuário, a bateria provê uma diferença de potencial Vbat, chamada de voltagem nos
terminais. No caso de uma bateria ideal, Vbat , mas a presença de uma resistência
interna na bateria real afeta Vbat. Suponha que a corrente da bateria seja I. Uma vez que
as cargas se movimentam do terminal negativo para o positivo, elas adquirem enquanto perdem potencial Vint Ir por causa da resistência interna. Assim, a voltagem nos
terminais da bateria é
Vbat Ir (32.18)
Apenas quando I 0, o que significa que a bateria não está sendo usada, é que Vbat .
A FIGURA 32.20 mostra um único resistor R conectado aos terminais de uma bateria de
fem e resistência interna r. As resistências R e r estão em série, de modo que podemos
substituí-las, para o propósito da análise do circuito, por um único resistor equivalente
Req R r. Portanto, a corrente no circuito é
(32.19)
Bateria real
FIGURA 32.19 Uma bateria ideal e uma
Se r
R, a resistência interna da bateria é desprezível e I 艐 /R, exatamente o resultado que obtivemos antes. Entretanto a corrente decresce significativamente quando r
aumenta.
bateria real.
Embora fisicamente separada, a resistência
interna r está eletricamente em série com R.
Isso significa que os dois circuitos são equivalentes.
FIGURA 32.20 Um único resistor conectado a uma bateria real está em série com a resistência
interna da mesma, resultando em Req R r.
Podemos usar a lei de Ohm para mostrar que a diferença de potencial através da
carga resistora R é
(32.20)
Similarmente, a diferença de potencial através dos terminais da bateria é
(32.21)
A diferença de potencial através do resistor é igual à diferença de potencial entre os
terminais da bateria à qual o resistor está ligado, e não, igual à fem da bateria. Note que
Vbat apenas se r 0 (uma bateria ideal sem resistência interna), e que Vbat diminui à medida que r aumenta.
CAPÍTULO 32
EXEMPLO 32.7 Acendendo uma lanterna
A lâmpada de uma lanterna, de 6 , é alimentada por uma pilha de 3
V que tem uma resistência interna de 1 . Qual é a potência dissipada
na lâmpada e qual é a voltagem nos terminais da pilha?
MODELO Suponha que os fios condutores sejam ideais e que a pilha
não seja ideal.
■
Fundamentos de Circuitos
979
Isso corresponde a 15% menos do que os 0,5 A que uma pilha ideal de
mesma fem poderia suprir. A diferença de potencial através do resistor é VR IR 2,6 V; logo, a potência dissipada é
A voltagem nos terminais da bateria é
VISUALIZAÇÃO O diagrama do circuito se parece com o da Figura
32.20. R é a resistência do filamento da lâmpada.
RESOLUÇÃO A Equação 32.19 nos fornece a corrente:
AVALIAÇÃO O valor de 1 é típico para a resistência interna de uma
pilha de lanterna. A resistência interna faz com que a voltagem nos
terminais da pilha seja 0,4 V menor do que sua fem neste circuito.
Curto-circuito
Na FIGURA 32.21, substituímos o resistor por um fio ideal com Rfio 0 . Quando uma
conexão de resistência muito baixa, ou nula, é feita entre dois pontos do circuito que são
normalmente separados por uma resistência maior, temos o que se chama de curto-circuito. O fio da Figura 32.21 está em curto com a bateria.
Se a bateria fosse ideal, colocá-la em curto por meio de um fio ideal (R 0 ) poderia resultar em I /0 . A corrente, é claro, não pode realmente tornar-se infinita.
Em vez disso, a resistência interna r da bateria torna-se a única resistência do circuito. Se
usarmos R 0 na Equação 32.19, encontraremos que a corrente de curto-circuito é
Este fio está em curto
com a bateria.
Icurto
(32.22)
Uma bateria de 3 V com resistência interna de 1 gera uma corrente de curto-circuito
de 3 A. Essa é a máxima corrente possível que essa bateria pode produzir. Adicionando
qualquer resistência externa R, a corrente diminuirá para um valor menor do que 3 A.
EXEMPLO 32.8 Uma bateria em curto-circuito
Qual é a corrente de curto-circuito de uma bateria de carro de 12 V com resistência interna de
0,020 ? O que acontece à potência suprida pela bateria?
RESOLUÇÃO A corrente de curto-circuito é
A potência é gerada pelas reações químicas na bateria e é dissipada na carga resistora. Todavia, com uma bateria em curto-circuito a carga resistora encontra-se dentro da bateria! A
2
bateria em “curto” tem de dissipar internamente a potência P I r 7200 W..
AVALIAÇÃO Trata-se de um valor realista. As baterias de carro são projetadas para fazer
funcionar o motor de arranque, o qual apresenta uma pequena resistência e pode extrair
uma corrente de algumas centenas de amperes. Essa é a razão pela qual os cabos da bateria são grossos. Uma bateria de carro em curto pode produzir uma quantidade enorme de
corrente. A resposta normal de uma bateria de carro em curto é explodir; ela simplesmente
não pode dissipar essa grande potência. Uma bateria de lanterna em curto pode ficar bastante quente, todavia sua vida útil não está em perigo. Embora a voltagem de uma bateria
de carro seja relativamente pequena, ela pode ser perigosa e deveria ser tratada com grande consideração.
Na maior parte do tempo, uma bateria é usada sob condições nas quais r
Rea
resistência interna é desprezível. O modelo de bateria ideal é completamente justificável
neste caso. Assim, consideraremos que as baterias sejam sempre ideais, salvo uma indicação em contrário. Porém mantenha em mente que as baterias (e outras fontes de fem)
possuem uma resistência interna que limita a corrente da bateria.
FIGURA 32.21 Corrente de curto-circuito de
uma bateria.
980
Física: Uma Abordagem Estratégica
32.6 Resistores em paralelo
Lâmpadas idênticas
FIGURA 32.22 O que acontecerá ao brilho
das lâmpadas quando o interruptor for
fechado?
A FIGURA 32.22 é outro quebra-cabeça com lâmpadas. Inicialmente o interruptor está
aberto. Devido à conservação de corrente, a corrente é a mesma através das lâmpadas A
e B, e ambas brilham igualmente. A lâmpada C não está incandescente. O que acontecerá aos brilhos de A e B quando o interruptor for fechado? E como, então, o brilho de C
se comparará ao de A e B? Pense sobre isso antes de seguir.
A FIGURA 32.23a mostra dois resistores ligados lado a lado, com suas extremidades
conectadas aos pontos c e d. Os resistores conectados por ambas as extremidades são
chamados de resistores em paralelo. As extremidades esquerdas dos dois estão no mesmo potencial Vc. Do mesmo modo, as extremidades direitas estão no mesmo potencial
Vd. Assim, as diferenças de potencial V1 e V2 são iguais, simplesmente, a Vcd.
A lei de Kirchhoff dos nós se aplica aos dois nós deste caso. A corrente de entrada I
divide-se em I1 e I2 no nó esquerdo. No direito, as duas correntes são recombinadas na
corrente I. De acordo com a lei dos nós,
I I1 I2
Dois resistores em paralelo
(32.23)
Podemos aplicar a lei de Ohm a cada resistor, usando V1 V2 Vcd, e mostrar que
a corrente é
(32.24)
Mesma
corrente
Mesma
diferença
de potencial
Suponha, como na FIGURA 32.23b, que substituamos os dois resistores por um único
resistor que conduz a corrente I sob a diferença de potencial Vcd. Esse resistor equivale
aos dois originais, pois a bateria tem de manter a mesma diferença de potencial e prover
a mesma corrente em qualquer dos dois casos. Uma segunda aplicação da lei de Ohm
mostra que a resistência entre os pontos c e d é
(32.25)
Um resistor equivalente
FIGURA 32.23 Substituindo dois resistores
em paralelo por um resistor equivalente.
Os dois resistores, R1 e R2, agem exatamente do mesmo modo como se fossem o resistor
único Rcd. Dizemos que o resistor Rcd é equivalente aos dois resistores em paralelo.
Não existe nada de especial em escolher dois resistores ligados em parelelo. Se tivermos N resistores ligados em paralelo, a resistência equivalente será
(resistores em paralelo)
12.2
(32.26)
O comportamento do circuito permanecerá inalterado se os N resistores em paralelo
forem substituídos pelo único resistor Req. A idéia-chave dessa análise é que todos os
resistores ligados em paralelo estão submetidos à mesma diferença de potencial.
NOTA Após ter adicionado os inversos de todas as resistências, não se esqueça de
tomar o inverso – representado pelo expoente 1 na Equação 32.26. Os dois resultados úteis de nossa análise são as resistências equivalentes de dois resistores idênticos, R1 R2 R, ligados em série e em paralelo um com o outro:
(32.27)
CAPÍTULO 32
EXEMPLO 32.9 Um circuito com resistores em paralelo
Os três resistores da FIGURA 32.24 estão conectados a uma bateria de 9 V.
Determine a diferença de potencial e a corrente através de cada resistor.
■
Fundamentos de Circuitos
981
O circuito equivalente é mostrado na FIGURA 32.25a, de onde obtemos
a corrente
A diferença de potencial através de Req é Veq 9 V. Agora
temos de ser cuidadosos. A corrente I se divide, no nó, em correntes
menores I1, I2 e I3, mostradas na FIGURA 32.25b. Contudo, a divisão
não se dá em três correntes iguais. De acordo com a lei de Ohm, o
resistor i conduz uma corrente Ii Vi / Ri. Em razão dos resistores
estarem em paralelo, suas diferenças de potencial são iguais:
FIGURA 32.24 Circuito com resistores em paralelo do Exemplo 32.9.
Assim, as correntes são
MODELO Os resistores estão em paralelo. Considere que a bateria e os
fios conectores sejam ideais.
RESOLUÇÃO Os três resistores em paralelo podem ser substituídos por
um único resistor equivalente.
VISUALIZAÇÃO A soma das três correntes é 3,98 A, como requerido
pela lei de Kirchhoff dos nós.
,
,
,
FIGURA 32.25 Os resistores em paralelo podem ser substituídos por um único resistor equivalente.
O resultado do Exemplo 32.9 parece surpreendente. O equivalente de uma combinação em paralelo de 15 , 4 e 8 foi determinado como sendo um resistor de 2,26 .
Como pode a resistência equivalente de um grupo de resistores ser menor do que cada
uma das resistências do grupo? Se o número de resistores ligados aumentar, a resistência
equivalente não deveria aumentar também? A resposta é afirmativa para resistores em
série, mas negativa para resistores em paralelo. Mesmo que todo resistor constitua um
obstáculo ao fluxo de cargas, vários resistores em paralelo constituem mais caminhos
alternativos para as cargas tomarem. Conseqüentemente, o equivalente de um conjunto
de vários resistores em paralelo é sempre um único resistor de resistência menor do que
a de qualquer dos resistores do conjunto.
Resumo dos resistores em série e em paralelo
I
V
Em série
A mesma
Se somam
Em paralelo
Se somam
A mesma
982
Física: Uma Abordagem Estratégica
Combinações complexas de resistores geralmente podem ser reduzidas a uma única
resistência equivalente através da aplicação, passo a passo, das regras para resitores em
série e em paralelo. O exemplo final desta seção ilustra essa idéia.
EXEMPLO 32.10 Uma associação de resistores
Qual é a resistência equivalente da associação de resistores mostrada
na FIGURA 32.26?
32.27. Note que os resistores de 10 e de 25 não estão em paralelo. Eles estão conectados pelas suas extremidades superiores, mas
não, pelas inferiores. Para estar verdadeiramente em paralelo, os
resistores devem estar ligados por ambas as extremidades. Analogamente, os resistores de 10 e de 45 não estão em série por causa
do nó existente entre eles. Se o grupo original de quatro resistores
fosse parte de um circuito maior, eles poderiam ser substituídos por
um único resistor de 15 sem qualquer efeito sobre o restante do
circuito.
,
FIGURA 32.26 Uma associação de resistores.
MODELO Este circuito contém resistores ligados tanto em série quanto
em paralelo.
RESOLUÇÃO A redução a um único resistor equivalente é melhor rea-
lizada através de uma série de etapas, com o circuito sendo redesenhado após cada uma delas. O procedimento é ilustrado na FIGURA
FIGURA 32.27 A associação é reduzida a um único resistor
equivalente.
Retornando à questão da lâmpada, no início desta seção, suponha que a resistência
de cada lâmpada da Figura 32.22 seja R. Inicialmente, antes do interruptor ser fechado, as lâmpadas A e B estão em série com a resistência equivalente 2R. A corrente da
bateria é
Esta é a corrente nas duas lâmpadas.
O fechamento do interruptor coloca as lâmpadas B e C em paralelo. A resistência
equivalente de dois resistores idênticos em paralelo é Req R. Essa resistência equivalente de B e C está em série com a resistência da lâmpada A; portanto, a resistência total
do circuito é 3/2 R e a corrente fornecida pela bateria é
O fechamento do interruptor faz com que a resistência do circuito diminua e, assim, a
corrente que sai da bateria aumenta.
Todas as cargas fluem através de A, então A aumenta seu brilho quando o interruptor está fechado. A corrente Iantes, então, se divide na junção. As lâmpadas B e C têm
resistências iguais, então a corrente se divide igualmente. A corrente em B é 1/3(/R), a
qual é menor do que Iantes. Desse modo, B diminui seu brilho quando o interruptor está
fechado. A lâmpada C tem o mesmo brilho de B.
Voltímetros
Todo dispositivo que mede a diferença de potencial através de um elemento de circuito
é chamado de voltímetro. Uma vez que a diferença de potencial é medida através de um
elemento de circuito, de um lado a outro do mesmo, o voltímetro é colocado em paralelo
com o elemento de circuito através do qual a diferença de potencial deve ser medida.
CAPÍTULO 32
■
Fundamentos de Circuitos
A FIGURA 32.28a mostra um circuito simples em que um resistor de 17 está conectado a uma bateria de 9 V de resistência interna desconhecida. Conectando-se um voltímetro ao lado do resistor, como mostrado na FIGURA 32.28b, pode-se medir a diferença de
potencial através do resistor. Diferentemente de um amperímetro, o uso de um voltímetro não requer que quebremos as conexões.
Devido ao fato de o voltímetro estar, agora, em paralelo com o resistor, a resistência
1
total experimentada pela bateria é Req (1/17 1/Rvoltímetro) . Portanto, a fim de que
o voltímetro meça a voltagem sem alterá-la, neste caso a resistência do voltímetro deve
ser muito maior do que 17 , ou seja, um voltímetro ideal teria Rvoltímetro e, assim,
não afetaria a voltagem. Os voltímetros reais aproximam-se muito desse ideal, e em
geral presumiremos que sim.
O voltímetro da Figura 32.28b marca 8,5 V. Isto é menor do que por causa da resistência interna da bateria. A Equação 32.20 fornece uma expressão para a diferença de potencial
VR do resistor. A resistência interna r pode ser facilmente isolada a partir dessa equação:
983
Voltímetro
,
Aqui a marcação do voltímetro é o único dado experimental de que precisamos para
determinar a resistência interna da bateria.
FIGURA 32.28 Um voltímetro mede a
PARE E PENSE 32.5
Ordene em seqüência decrescente o brilho das lâmpadas idênticas de A a
D.
diferença de potencial através de um
elemento.
32.7 Circuitos resistivos
Podemos usar a informação apresentada neste capítulo para analisar uma variedade mais
complexa, contudo mais realista, de circuitos. Teremos, assim, a chance de reunir as
várias idéias deste capítulo para compreender como elas são usados na prática.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 32.1
Circuitos resistivos
MODELO Considere que os fios de conexão sejam ideais onde for apropriado, e que
as baterias também sejam ideais.
VISUALIZAÇÃO Desenhe um diagrama do circuito. Denote todas as grandezas conhecidas e desconhecidas envolvidas.
RESOLUÇÃO Baseie sua análise matemática nas leis de Kirchhoff e nas regras dos
resistores ligados em paralelo e em série.
■ Passo a passo, reduza o circuito ao menor número possível de resistores equi-
valentes.
■ Escreva a lei de Kirchhoff das malhas para cada malha independente do circuito.
■ Determine a corrente e a diferença de potencial em todos os resistores equi-
valentes.
■ Reconstrua o circuito usando o fato de que a corrente é a mesma através de
todos os resistores ligados em série e de que a diferença de potencial é a mesma
através de todos os resistores em paralelo.
AVALIAÇÃO Faça duas verificações importantes à medida que você reconstrói o circuito.
■ Verifique se a soma das diferenças de potencial através dos resistores em série
corresponde à V através do resistor equivalente.
■ Verifique se a soma das correntes nos resistores ligados em paralelo corresponde
à corrente I no resistor equivalente.
12.3–12.5
984
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 32.11 Analisando um circuito complexo
Determine a corrente e a diferença de potencial através de cada um
dos quatro resistores do circuito mostrado na FIGURA 32.29.
FIGURA 32.29 Um circuito resistor complexo.
MODELO Considere que a bateria seja ideal, sem resistência interna, e
que os fios conectores também sejam ideais.
VISUALIZAÇÃO A Figura 32.29 mostra o diagrama do circuito. Vamos
redesenhar o circuito à medida que o formos analisando.
RESOLUÇÃO Primeiro reduzimos o circuito, passo a passo, até um único resistor. A FIGURA 32.30a mostra essa redução em três etapas. O
circuito final, constituído pela bateria e por um resistor, é o nosso
circuito básico, conduzindo a corrente
A diferença de potencial através do resistor de 400 é V400 Vbat
12 V.
Em segundo lugar, reconstruímos o circuito, passo a passo, determinando a corrente e a diferença de potencial a cada etapa. A FIGURA
32.30b repete exatamente as etapas ilustradas na Figura 32.30a, mas
em ordem inversa. O resistor de 400 proveio de dois resistores de
800 em paralelo. Uma vez que V400 12 V, deve ser verdade que
cada V800 12 V. A corrente através de cada resistor de 800 é,
portanto, I V/R 15 mA. A verificação aqui consiste em notar
que 15 mA 15 mA 30 mA.
O resistor de 800 , à direita, foi formado por um de 240 e
outro de 560 , ligados em série. Uma vez que I800 15 mA, deve ser
verdade que I240 I560 15 mA. A diferença de potencial através de
cada um dos resistores é V IR, portanto V240 3,6 V e V560 8,4 V. Aqui, a verificação consiste em notar que 3,6 V 8,4 V 12
V V800, de modo que as diferenças de potencial se somam, resultando na voltagem total, como deve ser.
Finalmente, o resistor de 240 proveio dos resistores de 600 e 400 ligados em paralelo; deste modo, cada um deles deve estar
sob uma diferença de potencial de 3,6 V, assim como seus 240 equivalentes. As correntes são I600 6 mA e I400 9 mA. Note que 6
mA 9 mA 15 mA, nossa terceira verificação. Sabemos, agora,
todas as intensidades de corrente e as diferenças de potencial através
do circuito.
AVALIAÇÃO Verificamos nosso trabalho, em cada etapa do processo de
reconstrução, checando o valor da soma das correntes somadas nos
nós e da soma das diferenças de potencial ao longo de uma série de
resistores. Esse procedimento – “cheque à medida que avança” – é
extremamente importante. A uma pessoa que está resolvendo um problema, tal procedimento é um método de descobrir erros que imediatamente a informará de que um equívoco foi cometido.
Decomponha o circuito.
Resistor
equivalente
Reduza a combinação
em paralelo.
Reduza a combinação
em série.
Reduza a combinação
em paralelo.
Reconstrua o circuito.
Resistores em paralelo estão sob a
mesma diferença de potencial.
,
Resistores em série
conduzem a mesma
corrente.
Resistores em paralelo estão sob a
mesma diferença de potencial.
,
,
,
,
FIGURA 32.30 As etapas de uma análise de circuito.
,
,
CAPÍTULO 32
EXEMPLO 32.12 Analisando um circuito com duas malhas
Determine a corrente e a diferença de potencial do resistor de 100 no circuito da FIGURA 32.31.
FIGURA 32.31 Um circuito com duas malhas.
MODELO Considere que a bateria e os fios conectores sejam ideais.
VISUALIZAÇÃO A Figura 32.31 mostra o diagrama do circuito. Nenhum
dos resistores está conectado em série ou em paralelo, de modo que
este circuito não pode ser reduzido a um circuito mais simples. Em
vez disso, trata-se de um circuito com duas malhas independentes.
RESOLUÇÃO A lei de Kirchhoff das malhas se aplica a qualquer ma-
lha. Para analisar um circuito multimalhas, precisamos escrever uma
equação proveniente da lei das malhas para cada malha do circuito. A
FIGURA 32.32 mostra o circuito redesenhado e a definição, em sentido
horário, da corrente I1, na malha à esquerda, e de I2, na malha à direita. Mas e quanto ao ramo do meio? Vamos atribuir o sentido para baixo para a corrente I3 neste ramo. Se aplicarmos a lei de Kirchhoff dos
A lei de Kirchhoff dos nós
requer que I1 I2 I3.
FIGURA 32.32 Aplicando as leis de Kirchhoff.
■
Fundamentos de Circuitos
985
nós, ∑Ientra ∑Isai, para o nó acima do resistor de 100 mostrado no
detalhe ampliado da Figura 32.32, veremos que I1 I2 I3 e, portanto, que I3 I1 I2. Se I3 for um número positivo, então o sentido
da corrente é realmente para baixo no ramo central. Uma corrente I3
de valor negativo significa que o verdadeiro sentido da corrente é de
baixo para cima.
A lei de Kirchhoff das malhas para a malha à esquerda, percorrendo-a em sentido horário a partir do canto inferior esquerdo, é
Através do resistor de 100 , percorremos a malha no sentido de I3,
de modo que o potencial diminui. A polaridade da bateria de 12 V
está invertida, sendo percorrida do terminal positivo ao negativo; portanto, temos V 12 V. No caso da malha direita, percorremos o caminho em sentido oposto ao de I3, através do resistor de 100
, adquirindo, portanto, potencial. Assim, a lei das malhas aplicada à
malha direita assume a forma
Substituindo I3 I1 I2 e rearranjando os termos das equações, as
duas malhas independentes nos fornecem duas equações simultâneas
com duas correntes desconhecidas, I1 e I2:
Podemos eliminar I2 multiplicando a primeira equação por 3, adicionando em seguida as duas equações obtidas. Isso resulta em 1100I1 33, de onde obtemos I1 0,030 A 30 mA. Usando este valor em
qualquer uma das duas equações das malhas, obtemos I2 0,050 A
50 mA. Devido ao fato de I2 I1, a corrente no resistor de 100 é I3 I1 I2 20 mA, ou seja, em virtude do sinal negativo, 20
mA no sentido de baixo para cima. A diferença de potencial através
do resistor de 100 é V100 I3R 2,0 V, com sua extremidade
inferior mais positiva.
AVALIAÇÃO As três “pernas” do circuito estão em paralelo, então devem estar sob a mesma diferença de potencial. A perna esquerda está
sob V 19 V (0,030 A)(300 ) 10 V; a perna central, sob
V 12 V (0,020 A)(100 ) 10 V; e a perna direita, sob V
(0,050 A)(200 ) 10 V. Verificações de consistência, tais como
estas, são muito importantes. Se tivéssemos cometido um erro numérico durante a análise do circuito, poderíamos tê-lo descoberto neste
ponto.
32.8 Aterramento
As pessoas que trabalham com aparelhos eletrônicos freqüentemente falam sobre dispositivos “aterrados”. Isso sempre soa como algo realmente sério, talvez um pouco misterioso. O que sinifica esssa expressão? Por que fazer isso?
Os procedimentos de análise de circuitos que discutimos até agora lidam somente
com diferenças de potencial. Ainda que sejamos livres para escolher o ponto zero do
potencial em qualquer lugar que nos seja conveniente, nossa análise dos circuitos não
revelou qualquer necessidade de estabelecer um ponto zero. Diferenças de potencial são
tudo de que precisamos.
Entretanto podem começar a surgir dificuldades se você quiser conectar dois circuitos diferentes. Talvez você queira conectar seu CD player ao seu amplificador, ou o
monitor de computador ao próprio computador. Nestes casos, podem aparecer incompatibilidades, a menos que todos os circuitos conectados tenham um ponto de referência
comum para o potencial
O pino circular de uma tomada de três
pinos é a conexão de aterramento.
986
Física: Uma Abordagem Estratégica
,
Diferenças
de potencial
Símbolo de aterramento
O circuito está aterrado
neste ponto.
O potencial no ponto
é de 10 V.
,
Não há corrente
no fio terra.
FIGURA 32.33 Um circuito que está aterrado
em um ponto.
Você aprendeu anteriormente que a própria Terra é um condutor. Suponha que tenhamos dois circuitos. Se conectarmos um ponto de cada circuito à Terra por um fio ideal, e
se também concordarmos em chamar o potencial da Terra de VTerra 0 V, então os dois
circuitos terão um ponto de referência comum. Mas note algo muito importante: um fio
conecta os dois circuitos à Terra, todavia não existe um segundo fio retornando ao circuito. Isto é, o fio que conecta o circuito à Terra não faz parte de um circuito completo, de
modo que não existe corrente nesse fio! Devido ao fio ser uma equipotencial, ele fornece
um ponto do circuito com o mesmo potencial da Terra, mas ele não altera em nada as
funções do circuito. Um circuito conectado à Terra dessa maneira é dito estar aterrado,
e o fio de ligação é chamado de fio terra.
A FIGURA 32.33a mostra um circuito razoavelmente simples, com uma bateria de 10 V
e dois resistores ligados em série. O símbolo abaixo do circuito é o símbolo de aterramento. Neste circuito, o símbolo indica que um fio foi conectado entre o terminal negativo da bateria e a Terra. Este fio terra não forma um circuito completo, portanto não
existe corrente fluindo no mesmo. Conseqüentemente, a presença do fio terra não afeta
o comportamento do circuito. A resistência total é 8 12 20 , de modo que a
corrente na malha é I (10 V)/(20 ) 0,50 A. As diferenças de potencial através dos
dois resistores, encontradas usando-se a lei de Ohm, valem V8 4 V e V12 6 V.
Esses são os mesmos valores de corrente e de diferença de potencial que obteríamos se
o fio terra não estivesse presente. Então, o que fez o aterramento do circuito?
A FIGURA 32.33b mostra o potencial real em vários pontos do circuito. Por definição,
VTerra 0 V. O terminal negativo da bateria e a parte inferior do resistor de 12 estão
conectados à Terra por um fio ideal, portanto o potencial nesses dois pontos também
devem ser nulos. O terminal positivo da bateria é 10 V mais positivo do que o terminal
negativo; dessa maneira, Vneg 0 V implica que Vpos 10 V. Analogamente, o fato de
que o potencial decresce 6 V quando as cargas fluem através do resistor de 12 agora
implica que o potencial no nó dos resistores deve ser 6 V. A diferença de potencial
sobre o resistor de 8 é de 4 V; logo, a parte superior tem de estar a 10 V. Isso está em
concordância com o potencial do terminal positivo da bateria, como esperado, pois esses
dois pontos estão conectados por um fio ideal.
O aterramento do circuito não altera a corrente ou quaisquer das diferenças de potencial. Tudo que o aterramento do circuito faz é nos permitir ter valores específicos
para o potencial em cada ponto no circuito. Agora podemos dizer que “a voltagem no nó
do resistor é 6 V”, ao passo que, anteriormente, tudo o que podíamos dizer era “há uma
diferença de potencial de 6 V através do resistor de 12 ”.
Há uma importante lição a tirar deste fato: nada ocorre no circuito “porque” ele está
aterrado. Você não pode usar o fato de que “ele está aterrado” para explicar qualquer
coisa sobre o comportamento do circuito. Sob condições normais, o aterramento não
afeta o comportamento do circuito.
Acrescentamos a expressão “sob condições normais” porque existe uma exceção.
Muitos circuitos são encerrados em algum tipo de caixa mantida eletricamente separada
do circuito por isolantes. Às vezes um circuito quebra ou falha de tal maneira que a caixa
entra em contato elétrico com o circuito. Se o circuito usa voltagens altas, ou mesmo
uma voltagem doméstica comum de 120 V, qualquer um que toque a caixa pode ficar ferido ou morrer eletrecutado. Para prevenir isso, muitos utensílios ou instrumentos elétricos têm a própria caixa aterrada. O aterramento garante que o potencial da caixa sempre
permaneça em 0 V e seja seguro. Se ocorrer uma falha que conecte a caixa ao circuito,
uma grande corrente passará através do fio terra, em direção ao solo, e causará a explosão de um fusível ali instalado. Essa é a única situação em que o fio terra conduziria uma
corrente durante algum tempo, o que não corresponde à operação normal do circuito.
Assim, o aterramento de um circuito desempenha duas funções. A primeira: ele provê um potencial comum de referência, de maneira que diferentes circuitos ou instrumentos possam ser adeqüadamente interconectados. A segunda: ele constitui um importante
quesito de segurança para previnir ferimentos ou a morte em conseqüência de um defeito
em um circuito. Por essa razão, você nunca deve mexer ou tentar anular a conexão terra (o terceiro pino) em uma tomada de um instrumento elétrico. Se ele dispõe de uma
conexão terra é porque ele deve operar com uma conexão terra, e você não deve ligá-lo
em uma tomada não-aterrada. Aterrar o instrumento não afetará sua operação sob condições normais, todavia situações anormais e inesperadas sempre surgem. Trabalhe com
segurança.
CAPÍTULO 32
EXEMPLO 32.13 Um circuito aterrado
Suponha que o circuito da Figura 32.33 seja aterrado no nó entre os
dois resistores em vez de na base. Encontre o potencial em cada canto
do circuito.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 32.34 mostra o novo circuito. (É costumeiro desenhar o símbolo terra de modo que ele “aponte” sempre para baixo.)
,
■
Fundamentos de Circuitos
987
RESOLUÇÃO Trocar o ponto de aterramento não afetará o comportamento do circuito. A corrente será ainda 0,50 A, e as diferenças de
potencial sobre os dois resistores, 4 V e 6 V. Tudo o que aconteceu
foi que movemos o ponto de referência correspondente a V 0 V.
Devido à Terra corresponder a VTerra 0 V, o próprio nó encontra-se
no potencial de 0 V. O potencial diminui em 4 V enquanto as cargas
fluem através do resistor de 8 . Uma vez que ele termina em 0 V, o
potencial acima do resistor de 8 deve ser de 4 V. Analogamente,
o potencial diminui em 6 V através do resistor de 12 . Uma vez
que ele inicia em 0 V, o potencial abaixo do resistor de 12 deve
ser de 6 V. O terminal negativo da bateria encontra-se no mesmo
potencial que o abaixo do resistor de 12 , pois eles estão conectados
por um fio. Logo, Vneg 6 V. Finalmente, o potencial aumenta em
10 V quando que as cargas fluem através da bateria, portanto Vpos 4 V, em concordância, como deveria ser, com o potencial acima do
resistor de 8 .
FIGURA 32.34 Circuito da Figura 32.33 aterrado no nó entre os
resistores.
Talvez você queira saber a respeito de voltagens negativas. Uma voltagem negativa
significa apenas que o potencial naquele ponto é menor do que o potencial em algum
outro ponto que escolhemos como correspondente a V 0 V. Somente diferenças de
potencial são fisicamente significativas, e apenas diferenças de potencial entram na lei
de Ohm: I V/R. A diferença de potencial através do resistor de 12 deste exemplo
é de 6 V, diminuido do topo à base, independentemente de qual ponto escolhamos como
correspondente a V 0 V.
32.9 Circuitos RC
Até agora temos considerado somente os circuitos nos quais a corrente é estável e contínua. Existem muitos circuitos nos quais a dependência da corrente com o tempo é uma
característica crucial. O carregamento e o descarregamento de um capacitor constitui um
exemplo importante.
A FIGURA 32.35a mostra um capacitor carregado, um interruptor e um resistor. O capacitor possui uma carga Q0 e está sob uma diferença de potencial VC Q0/C. Não há
corrente, assim a diferença de potencial sobre o resistor é zero. Então, em t 0, o interruptor é fechado e o capacitor começa a descarregar através do resistor. Um circuito
desse tipo, com resistores e capacitores, é chamado de circuito RC.
Quanto tempo leva o capacitor para descarregar? Como a corrente através do resistor
varia em função do tempo? Para responder a essas questões, a FIGURA 32.35b mostra o
circuito depois que o interruptor foi fechado. Agora, a diferença de potencial através do
resistor é VC IR, onde I é a corrente de descarga do capacitor.
A lei de Kirchhoff das malhas é válida para qualquer circuito, e não, apenas para
circuitos com baterias. A lei das malhas, aplicada ao circuito da Figura 32.25b, percorrendo-se a malha em sentido horário, é
12.6–12.8
Antes do interruptor ser fechado
O interruptor é
fechado em t 0.
Carga Q0
Após o interruptor ter sido fechado
(32.28)
Nesta equação, Q e I são, respectivamente, os valores instantâneos da carga do capacitor
e da corrente do resistor.
A corrente I é a taxa segundo a qual as cargas fluem através do resistor: I dq/dt.
Mas as cargas que fluem pelo resistor são aquelas que foram removidas do capacitor,
ou seja, uma carga infinitesimal dq flui através do resistor quando a carga do capacitor
diminui em dQ. Portanto, dq dQ, e a corrente no resistor está relacionada à carga
instantânea do capacitor por
(32.29)
Carga Q
A corrente reduz a
carga do capacitor.
FIGURA 32.35 Um circuito RC.
988
Física: Uma Abordagem Estratégica
Agora, I é positivo quando Q está diminuindo, como se espera. O raciocínio que levou à
Equação 32.29 é bastante sutil, mas muito importante. Mais tarde, você o verá sendo
usado em outros contextos.
Substituindo a Equação 32.29 na Equação 32.28 e, depois, dividindo o resultado por
R, a lei das malhas para o circuito RC assume a forma
(32.30)
O pisca-pisca traseiro de um capacete de
ciclista liga e desliga intermitantemente. O
sincronismo é controlado por um circuito RC.
A Equação 32.30 é uma equação diferencial de primeira ordem para a carga Q do capacitor, mas uma das que podemos resolver por integração direta. Primeiro rearranjamos
a Equação 32.20 para que todos os termos que contenham a carga fiquem de um mesmo
lado da equação:
O produto RC é uma constante para qualquer circuito particular.
A carga do capacitor era Q0 em t 0, quando o interruptor foi fechado. Desejamos
integrar desta condição inicial até uma carga Q em um instante t posterior, ou seja,
(32.31)
Ambas são integrais bem-conhecidas, resultando em
Podemos isolar a carga Q do capacitor obtendo a função exponencial de cada lado da
equação e, depois, multiplicando a equação obtida por Q0. Ao final, obtemos
(32.32)
Carga Q
Curva de decaimento
exponencial
Em t , a carga
decresceu para 37%
do seu valor inicial.
Note que Q Q0 em t 0, como deve ser.
O argumento de uma função exponencial deve ser adimensional; assim, a grandeza
RC deve ter dimensões de tempo. É útil difinir a constante de tempo de um circuito
RC como
(32.33)
Podemos, então, escrever a Equação 32.32 na forma
Em t 2 , a carga
decresceu para 13%
do seu valor inicial.
,
,
(32.34)
O significado da Equação 32.34 é mais fácil de compreender quando se representa a
equação graficamente. A FIGURA 32.36a mostra a carga do capacitor em função do tempo.
A carga decai exponencialmente, iniciando com Q0, em t 0, e se aproximando assintoticamente de zero quando t → . A constante de tempo é o tempo decorrido para que o
1
valor da carga decresça para e (cerca de 37%) de seu valor inicial. No tempo t 2, a
2
carga decrescerá para e (cerca de 13%) de seu valor inicial.
Corrente I
Em t , a corrente decresceu
para 37% de seu valor inicial.
,
NOTA A forma do gráfico de Q é sempre a mesma, independentemente do valor
específico da constante de tempo t. Obtemos a corrente do resistor usando a Equação 32.29:
(32.35)
FIGURA 32.36 A curva de decaimento
da carga do capacitor e da corrente no
resistor.
onde I0 Q0/ é a corrente inicial, imediatamente após o interruptor ter sido fechado.
A FIGURA 32.36b é o gráfico da corrente do resistor versus t. Você pode ver que a corrente
sofre o mesmo decaimento que a carga do capacitor, com a mesma constante de tempo.
CAPÍTULO 32
■
Fundamentos de Circuitos
989
NOTA Não existe um valor bem-definido de tempo decorrido no qual o capacitor
se descarregue completamente, pois Q se aproxima de zero assintoticamente, todavia
em t 5 a carga e a corrente caíram para menos de 1% de seus valores iniciais. Assim, 5 constitui uma resposta prática razoável para a questão “quanto tempo decorre
para o capacitor descarregar?” EXEMPLO 32.14 Decaimento exponencial em um circuito RC
O interruptor da FIGURA 32.37 encontra-se na posição a há um longo
tempo. Em t 0 s, ele é trocado para a posição b. Qual será a carga
do capacitor e a corrente através do resistor em t 5,0 s?
RESOLUÇÃO A constante de tempo do circuito RC é
O capacitor está inicialmente carregado a 9,0 V, portanto Q0 CVC
9,0 C. Em t 5,0 s, a carga do capacitor é
A corrente inicial, imediatamente após o interruptor ser fechado, é I0
Q0/ 0,90 A. Em t 5,0 s, a corrente no resistor é
FIGURA 32.37 Um circuito RC.
MODELO A bateria carrega o capacitor a 9,0 V. Então, quando o inter-
ruptor é trocado para a posição b, o capacitor se descarrega através do
resistor de 10 . Considere os fios como ideais.
AVALIAÇÃO Esse capacitor estará quase inteiramente descarregado em
5 50 s após o interruptor ter sido fechado.
Carregando um capacitor
A FIGURA 32.38a mostra um circuito para carregar um capacitor. Depois que o interruptor
é fechado, a escada rolante de carga da bateria move as cargas da placa inferior do capacitor para sua placa superior. Pela limitação à corrente que o resistor produz, ele atrasa o
processo, mas não o detém. O capacitor carrega até que VC ; e então a corrente de
carregamento cessa. A carga completa do capacitor é Qmax C(VC)max C.
O interruptor fecha em t 0 s.
Carga Q
FIGURA 32.38 Um circuito para carregar um capacitor.
Como tema para casa, você pode mostrar que a carga do capacitor, no instante t, é
dada por
(32.36)
onde, outra vez, RC. Este “decaimento invertido” para Qmax é mostrado graficamente na FIGURA 32.38b. Circuitos RC que, alternadamente, carregam e descarregam um
capacitor estão no cerne dos circuitos de registro de tempo em computadores e diversos
aparelhos eletrônicos digitais.
PARE E PENSE 32.6
A constante de tempo do descargamento deste capacitor é
a. 5 s
b. 4 s
c. 2 s
d. 1 s
e. O capacitor não descarrega, pois os
resitores se cancelam.
990
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESUMO
O objetivo do Capítulo 32 foi compreender os princípios físicos
fundamentais que governam os circuitos elétricos.
Estratégia geral
MODELO Considere que os fios e, quando for o caso, que a bateria sejam
ideais.
Lei de Kirchhoff das malhas
Para uma malha fechada:
VISUALIZAÇÃO Desenhe um diagrama de circuito. Represente todas as
grandezas conhecidas e desconhecidas.
RESOLUÇÃO Baseie sua solução nas leis de Kirchhoff.
• Reduza o circuito ao menor número possível de resistores equivalentes.
• Escolha um sentido para a
corrente I.
• ∑ (V)i 0
i
• Escreva uma equação de malha para cada malha independente.
• Determine a corrente e a diferença de potencial.
• Reconstrua o circuito para encontrar I e V em cada resistor.
AVALIAÇÃO Verifique se
Lei de Kirchhoff dos nós
• A soma das diferenças de potencial através dos resistores em série corresponde à V do resistor equivalente da série.
Para um nó:
• A soma das correntes através dos resistores em paralelo corresponde à
corrente I do resistor equivalente.
Isai
• ∑Ientra ∑Isai
Ientra
Conceitos importantes
Lei de Ohm
Uma diferença de potencial V entre as extremidades de um condutor de resistência R cria uma corrente
A energia usada por um circuito é suprida pela bateria de fem através de transformações de energia do tipo
Equi → U → K → Eterm
A bateria fornece energia a uma taxa
Pbat I
Os resistores dissipam energia a uma taxa de
Sinais de V
Percurso
Percurso
Aplicações
Resistores em série
Circuitos RC
Req R1 R2 R2 ...
O descargamento de um capacitor
através de um resistor satisfaz:
Resistores em paralelo
onde RC é a constante de tempo.
CAPÍTULO 32
■
Fundamentos de Circuitos
991
Termos e notação
corrente contínua
diagrama de circuito
lei de Kirchhoff dos nós
lei de Kirchhoff das malhas
circuito completo
carga
fonte
quilowatt-hora, kWh
resistores em série
resistência equivalente, Req
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
amperímetro
resistência interna, r
voltagem nos terminais, Vbat
curto-circuito
resistores em paralelo
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
voltímetro
aterramento
circuito RC
constante de tempo, integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. Ordene em seqüência decrescente as intensidades de correntes de Ia
a Id, através dos quatro resistores da FIGURA Q32.1
temente grande para fazer brilhar ambas as lâmpadas. Qual delas
apresenta o maior brilho? Explique.
FIGURA Q32.1
2. A extremidade inferior da lâmpada de uma lanterna toca o terminal
superior da bateria de 3 V da FIGURA Q32.2. A lâmpada está ligada?
Explique, em caso afirmativo ou negativo.
FIGURA Q32.6
FIGURA Q32.7
7. Os dois condutores da FIGURA Q32.7 são do mesmo comprimento
e feitos do mesmo metal. Qual dos dois dissipa uma quantidade
maior de potência? Explique.
8. Ordene em seqüência decrescente as potências de Pa a Pd dissipadas
pelos quatro resistores da FIGURA Q32.8.
FIGURA Q32.2
FIGURA Q32.3
3. No lado direito do circuito da FIGURA Q32.3, o fio está rompido. Qual
é a diferença de potencial V12 entre os pontos 1 e 2? Explique.
4. O circuito da FIGURA Q32.4 tem dois resistores, sendo R1 R2. Qual
dos resistores dissipa a maior quantidade de potência? Explique.
FIGURA Q32.4
FIGURA Q32.8
9. Uma bateria de resistência interna r está conectada a uma resistência
de carga R. Se o valor de R for aumentado, a voltagem terminal da
bateria aumentará, diminuirá ou permanecerá inalterada? Explique.
10. Inicialmente, as lâmpadas A e B da FIGURA Q32.10 estão brilhando.
O que ocorrerá em cada lâmpada se o interruptor for fechado? Elas
se tornarão mais brilhantes, permanecerão iguais, se tornarão menos brilhantes ou apagarão?
FIGURA Q32.5
5. O circuito da FIGURA Q32.5 possui dois resistores, sendo R1 R2.
Qual dos resitores dissipa a maior quantidade de potência? Explique.
6. Uma lâmpada de 60 W e outra, de 100 W, estão ligadas uma após
a outra no circuito da FIGURA Q32.6. A fem da bateria é suficien-
FIGURA Q32.10
992
Física: Uma Abordagem Estratégica
11. As lâmpadas A, B e C da FIGURA Q32.11 são idênticas e todas brilham.
a. Ordene em seqüência decrescente os brilhos das três lâmpadas.
Explique.
b. Suponha que um fio seja conectado entre os pontos 1 e 2. O que
acontecerá com cada lâmpada? Elas brilharão mais, brilharão
igualmente, brilharão menos ou apagarão?
13. As lâmpadas A e B da FIGURA Q32.13 são idênticas e ambas brilham. A lâmpada B é removida de seu soquete. A diferença de potencial ⌬V12 entre os pontos 1 e 2 aumenta, permance a mesma,
diminui ou torna-se nula? Explique.
FIGURA Q32.13
FIGURA Q32.11
FIGURA Q32.12
12. As lâmpadas A e B da FIGURA Q32.12 são idênticas e ambas brilham.
a. A lâmpada A é removida de seu soquete. A lâmpada B fica mais
brilhante, permanece igual, fica menos brilhante ou apaga? Explique.
b. A lâmpada A é recolocada no circuito; depois, a lâmpada B é
removida de seu soquete. A lâmpada A fica mais brilhante, permanece igual, fica menos brilhante ou apaga? Explique.
c. O circuito é restaurado à sua condição inicial e, então, um fio
é conectado entre os pontos 1 e 2. O que acontece ao brilho de
cada lâmpada?
FIGURA Q32.14
14. As lâmpadas A e B da FIGURA Q32.14 são idênticas e ambas brilham. O que ocorre a cada lâmpada quando o interruptor é fechado?
Seus brilhos aumentam, permanecem os mesmos, diminuem ou as
lâmpadas apagam? Explique.
15. A FIGURA Q32.15 mostra a voltagem em função do tempo de um
capacitor enquanto ele é descarregado (separadamente) através de
três diferentes resistores. Ordene
em seqüência decrescente os valores das resistências de R1 a R2.
FIGURA Q32.15
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 32.1 Elementos e diagramas de circuitos
1. | Desenhe um diagrama para o circuito da FIGURA EX32.1.
FIGURA EX32.1
2. |
FIGURA EX32.2
Desenhe um diagrama para o circuito da FIGURA EX32.2.
4. | a. Quais são a intensidade e o sentido da corrente no resistor de
30 ⍀ da FIGURA EX32.4?
b. Desenhe o gráfico do potencial em função da distância percorrida ao longo do circuito, em sentido horário, desde V ⫽ 0 V
no canto inferior esquerdo.
5. | a. Quais são a intensidade e o sentido da corrente no resistor de
18 ⍀ da FIGURA EX32.5?
b. Desenhe o gráfico do potencial em função da distância percorrida ao longo do circuito, em sentido horário, desde V ⫽ 0 V
no canto inferior esquerdo.
6. | a. Qual é a diferença de potencial através cada resistor da FIGURA
EX32.4?
b. Desenhe o gráfico do potencial em função da distância percorrida ao longo do circuito, em sentido horário, desde V ⫽ 0 V
no canto inferior esquerdo.
Seção 32.2 Leis de Kirchhoff e o circuito básico
3. | Na FIGURA EX32.3, qual é a corrente no fio acima do nó? A carga
flui em direção ao nó ou para longe do mesmo?
FIGURA EX32.5
FIGURA EX32.6
Seção 32.3 Energia e potência
FIGURA EX32.3
FIGURA EX32.4
7. | Qual é a resistência de um secador de cabelo de 1500 W (120 V)?
Qual é a corrente no secador de cabelo quando ele é usado?
CAPÍTULO 32
8. | Que valor de potência é dissipado no resistor da FIGURA EX32.8?
■
Fundamentos de Circuitos
993
19. || A voltagem real entre os terminais de uma bateria de 9,0 V vale
8,5 V quando ela está conectada a uma carga de 20 . Qual é a
resistência interna da bateria?
Seção 32.6 Resistores em paralelo
FIGURA EX32.8
9. || Uma lâmpada padrão de 100 W (120 V) contém um filamento de
tungstênio com 7,0 cm de comprimento. A resistividade do tungstênio a altas temperaturas é 9,0 107 m. Quanto vale o diâmetro
do filamento?
10. | A quantos joules equivale a 1 kWh?
11. || Uma típica família norte-americana usa 1000 kWh de eletricidade por mês.
a. Qual é a corrente média na linha de força de 120 V da casa?
b. Em média, qual é a resistência doméstica?
12. | Um aquecedor usa 450 W de potência. Ele está ligado 35% do
tempo e desligado 65%. Qual é o custo de eletricidade gasta anualmente se o preço cobrado pela companhia de geraçã elétrica é de
US$ 0,11/kWh?
20. | Um fio metálico de resistência R é cortado em duas partes de mesmo tamanho. As duas partes, então, são ligadas lado a lado. Qual é
a resistência total dos dois fios ligados?
21. | Dois dos três resistores da FIGURA EX32.21 são desconhecidos, porém iguais. A resistência total entre os pontos a e b é de 75 . Qual
é o valor de R?
FIGURA EX32.21
Seção 32.4 Resistores em série
13. | Dois dos três resistores da FIGURA EX32.13 têm resistências desconhecidas, porém iguais. A resistência total entre os pontos a e b é
menor, maior ou igual a 50 ? Explique.
FIGURA EX32.22
22. | Qual é o valor do resistor R da FIGURA EX32.22?
23. | Qual é a resistência equivalente entre os pontos a e b da FIGURA
EX32.23?
,
FIGURA EX32.13
FIGURA EX32.14
14. | Qual é o valor do resistor R da FIGURA EX32.14?
15. | Duas lâmpadas de 75 W estão ligadas em série. A combinação,
então, é conectada a uma fonte de 120 V. Que valor de potência é
dissipado em cada lâmpada?
16. || O eletrodo corroído de um soquete de lâmpada apresenta uma
resistência de 5,0 . Que valor de potência real é dissipado em uma
lâmpada de 100 W (120 V) atarraxada nesse soquete?
Seção 32.5 Baterias reais
17. | Qual é a resistência interna da bateria da FIGURA EX32.17? Que
valor de potência é dissipado internamente à mesma?
FIGURA EX32.23
FIGURA EX32.24
24. | Qual é a resistência equivalente entre os pontos a e b da FIGURA
EX32.24?
25. | Qual é a resistência equivalente entre os pontos a e b da FIGURA
EX32.25?
,
,
FIGURA EX32.25
FIGURA EX32.17
FIGURA EX32.18
18. || Em relação a uma bateria ideal, em que porcentagem a resistência interna da bateria reduz a diferença de potencial sobre o resistor
de 20 da FIGURA EX32.18?
FIGURA EX32.26
26. | Qual é a resistência equivalente entre os pontos a e b da FIGURA
EX32.26?
994
Física: Uma Abordagem Estratégica
Seção 32.8 Aterramento
27. || Determine o valor do potencial nos pontos de a até d na FIGURA
EX32.27.
FIGURA EX32.27
FIGURA EX32.28
28. || Determine o valor do potencial nos pontos de a até d na FIGURA
EX32.28.
Seção 32.9 Circuitos RC
29. | Mostre que o produto RC tem por unidade o segundo.
30. | Qual é a constante de tempo para a descarga dos capacitores da
FIGURA EX32.30?
FIGURA EX32.30
FIGURA EX32.31
31. | Qual é a constante de tempo para a descarga dos capacitores da
FIGURA EX32.31?
32. || Um capacitor de 10 F, inicialmente carregado com 20 F, é
descarregado através de um resistor de 1,0 k. Quanto tempo decorre para que a carga do capacitor se reduza para 10 F?
33. | O interruptor da FIGURA EX32.33 está
na posição mostrada por um longo
tempo. No inntante t 0 s ele é trocado para a posição b. Quais são a carga
sobre o capacitor e a corrente I através
FIGURA EX32.33
do resistor: (a) imediatamente após o
interruptor ser fechado?; (b) em t 50 s?; (c) em t 200 s?
34. || Que valor de resistência descarregará um capacitor de 1,0 F de
modo que sua carga atinja 10% do valor inicial em 2,0 ms?
35. | Um capacitor é descarregado através de um resistor de 100 . A
corrente de descarga diminui para 25% de seu valor inicial em 2,5
ms. Qual é o valor da capacitância do capacitor?
FIGURA P32.43
FIGURA P32.42
43. | O circuito da FIGURA P32.43 conduz uma corrente de 0,25 A.
a. Qual é o sentido da corrente? Explique.
b. Qual é o valor da resistência R?
c. Qual é a potência dissipada por R?
d. Trace o gráfico potencial versus posição, iniciando em V 0 V
no canto inferior esquerdo e prosseguindo em sentido horário.
44. || Um resistor variável R está conectado aos terminais de uma bateria. A FIGURA P32.44 mostra a corrente no circuito enquanto R é
variado. Quais são a fem e a resistência interna da bateria?
FIGURA P32.44
FIGURA P32.45
45. || O resistor de 10 da FIGURA P32.45 dissipa 40 W de potência.
Que valor de potência os outros dois resistores estão dissipando?
46. || Quais são a fem e a resistência interna da bateria da FIGURA
P32.46?
Problemas
36. || A FIGURA P32.36 mostra cinco
lâmpadas idênticas ligadas a uma
bateria ideal. Todas as lâmpadas estão brilhando. Ordene em seqüência decrescente as intensidades
luminosas das lâmpadas de A a E.
Explique.
37. || A FIGURA P32.37 mostra seis
lâmpadas idênticas conectadas a
uma bateria ideal. Todas as lâmpadas estão brilhando. Ordene em
seqüência decrescente as intensidades luminosas das lâmpadas de
A a F. Explique.
38. || Você conseguiu chegar às finais das Olimpíadas de Ciências!
Como uma das tarefas, lhe é fornecido 1,0 g de alumínio com o
qual você deve fazer um fio, usando todo o metal, que dissipe 7,5 W
quando conectado a uma bateria de 1,5 V. Qual será o tamanho e o
diâmetro de seu fio?
39. || Um fio de 80 cm de comprimento é feito soldando-se um fio de
cobre, com 20 cm de comprimento e 1,0 mm de diâmetro, a um fio
de ferro, com 60 cm de comprimento e 1,0 mm de diâmetro. Qual é
a resistência do fio composto?
40. || Você dispõe de um resitor de 2,0 , um segundo de 3,0 e outro de 6,0 , mais uma bateria de 6,0 V. Desenhe um diagrama de
circuito em que todos os três resistores sejam usados e a bateria
forneça 9,0 W de potência.
41. | Você dispõe de três resistores de 12 . Desenhe alguns diagramas
que mostrem como você poderia associar todos os três de modo que
a resistência equivalente fosse de (a) 4,0 , (b) 8,0 , (c) 18 e (d)
36 .
42. || Qual é a resistência equivalente entre os pontos a e b da FIGURA
P32.42?
,
,
,
FIGURA EX32.36
,
FIGURA P32.46
FIGURA P32.37
,
,
FIGURA P32.47
47. | Quais são a resistência R e a fem da bateria da FIGURA P32.47?
48. || Uma bateria de 2,5 V e outra, de 1,5 V, cada qual com resistência
interna de 1,0 , são ligadas em paralelo, ou seja, seus terminais positivos estão conectados por um fio, e os terminais negativos, por outro
fio. Qual é a voltagem terminal de cada bateria nessa configuração?
CAPÍTULO 32
49. || a. Uma carga resistiva R é ligada a uma bateria de fem e resistência interna r. Em função de e r, para que valor da resistência R
será máxima a potência dissipada pela carga resistora?
b. Qual é a potência máxima que a carga pode dissipar se a bateria
tiver ⫽ 9,0 V e r ⫽ 1,0 ⍀?
c. Por que a potência dissipada pela carga deveria ter um valor máximo? Explique.
Dica: Em qualquer ponto, o potencial é a soma dos potenciais devido a todas as cargas.
50. || O amperímetro da FIGURA P32.50 marca 3,0 A. Determine I1, I2 e .
■
Fundamentos de Circuitos
995
enfraquece apenas um pouco quando o interruptor é fechado. Para
entender a razão disso, considere que a bateria de 1,50 V tenha uma
resistência interna r ⫽ 0,50 ⍀ e que a resistência de uma lâmpada
incandescente seja de 6,00 ⍀.
a. Qual é a corrente através da lâmpada A quando o interruptor está
aberto?
b. Qual é a corrente através da lâmpada A após o interruptor ter sido
fechado?
c. Em que porcentagem a corrente através de A muda quando o interruptor é fechado?
,
,
,
,
FIGURA P32.50
51. || a. Suponha que o circuito da FIGURA P32.51 esteja aterrado no
ponto d. Encontre o potencial em cada um dos quatro pontos
a, b, c e d.
b. Desenhe o gráfico potencial versus posição, iniciando no ponto d e prosseguindo em sentido horário.
c. Repita os itens a e b para o mesmo circuito, agora aterrado no
ponto a em vez de no ponto d.
FIGURA P32.55
FIGURA P32.56
d. Se r ⫽ 0 ⍀, a corrente através da lâmpada A mudaria ao se fechar
o interruptor?
56. || Quais são a corrente Ibat da bateria e a diferença de potencial ⌬Vab
entre os pontos a e b quando o interruptor da FIGURA P32.56 está (a)
aberto e (b) fechado?
57. || O circuito da FIGURA P32.57 é chamado de divisor de voltagem.
Que valor de R fará com que Vsaída ⫽ Ventrada/10?
Seu amperímetro
Amperímetro de 500 µA
entrada
FIGURA P32.51
saída
FIGURA P32.52
52. || Qual é a corrente no resistor de 2,0 ⍀ da FIGURA P32.52?
53. || Especialistas em energia nos dizem para substituir as habituais
lâmpadas incandescentes por lâmpadas fluorescentes compactas,
mas parece difícil justificar um gasto de US$ 15 em uma lâmpada. Uma lâmpada incandescente de 60 W custa US$ 0,50 e tem
um tempo médio de duração de 1000 horas. Uma lâmpada fluorescente compacta de 15 W produz a mesma quantidade de luz que a
lâmpada incandescente de 60 W e é indicada como substituta. Ela
custa US$ 15 e tem um tempo médio de duração de 10.000 horas.
Compare os custos durante o ciclo da lâmpada incadescente de 60
W com o da lâmpada fluorescente compacta de 15 W. Para um objeto, tal custo é igual ao valor gasto na compra mais o custo para
abastecê-lo e mantê-lo em funcionamento durante sua vida útil.
Qual é a fonte mais barata de luz e qual é a mais cara? Suponha que
a eletricidade custe US$ 0,10/kWh.
Dica: Tenha certeza de comparar as lâmpadas em períodos de tempo iguais.
54. || Um refrigerador tem um compressor de 1000 W, mas ele funciona somente durante 20% do tempo.
a. Se a eletricidade custa US$ 0,10/kWh, qual é o custo mensal (30
dias) de funcionamento do refrigerador?
b. Um refrigerador de 800 W, com maior rendimento energético,
custa US$ 100 a mais. Se você comprar o refrigerador mais caro,
quantos meses serão necessários para você recuperar o custo adicional?
55. || Para uma bateria ideal (r ⫽ 0 ⍀), fechar o interruptor da FIGURA
P32.55 não afeta o brilho da lâmpada A. Na prática, a lâmpada A
FIGURA P32.57
FIGURA P32.58
58. || O circuito que você está construindo precisa de um amperímetro que tenha uma escala de leitura que vá de 0 mA até um máximo de 50 mA. Infelizmente, o único amperímetro existente no
almoxarifado da escola tem uma escala que vai desde 0 ␮A até um
máximo de 500 ␮A. Felizmente, porém, você acabou de assistir a
uma aula de física e compreende que pode fazer esse amperímetro funcionar se ligar um resistor em paralelo com o instrumento,
como mostrado na FIGURA P32.58. Você mede a resistência do amperímetro e obtém o valor de 50,0 ⍀, e não 0 ⍀, como para um
amperímetro ideal.
a. Que valor de R você deve usar para que o medidor atinja o fundo
da escala quando a corrente I for de 50 mA?
b. Qual é a resistência efetiva de seu amperímetro?
59. || Um circuito que você está construindo precisa de um voltímetro
cuja escala vá desde 0 V até um máximo de fundo de escala igual
a 5,0 V. Infelizmente, o único medidor existente no depósito é um
amperímetro que marca desde 0 ␮A até o máximo de 500 ␮A.
Felizmente, porém, voce acabou de assistir a uma aula de física e
compreende que pode converter este medidor em um voltímetro
se colocar um resistor em série com o instrumento, como mostrado na FIGURA P32.59. Você mede a resistência do amperímetro e
obtém o valor de 50,0 ⍀, e não 0 ⍀, como em um amperímetro
ideal. Que valor de R você deve usar para que o medidor atinja o
fundo da escala quando a diferença de potencial medida no objeto
for de 5,0 V?
996
Física: Uma Abordagem Estratégica
Seu amperímetro
Amperímetro de 500 µA
FIGURA P32.59
FIGURA P32.60
60. ||
Para o circuito mostrado na FIGURA P32.60, determine a corrente
e a diferença de potencial em cada resistor. Para facilitar a leitura,
apresente seus resultados em uma tabela.
61. || Para o circuito mostrado na FIGURA P32.61, determine a corrente
e a diferença de potencial em cada resistor. Para facilitar a leitura,
apresente seus resultados em uma tabela.
FIGURA P32.61
68. || Uma bateria de 12 V de
,
,
automóvel não “morre” tanto
Cabos de
,
ligação em
por queda de voltagem terponte
minal, mas por causa de reações químicas que aumentam
Bateria
Motor de
Boa
a sua resistência interna. Oumorta
arranque
bateria
tra bateria, boa, conectada
FIGURA P32.68
por cabos de conexão externa em ponte, pode dar partida no motor e, assim, recarregar a bateria morta. Considere o circuito automotivo da FIGURA P32.68.
a. Que intensiade de corrente poderia uma bateria boa, sozinha, fornecer ao motor de arranque?
b. Que intensidade de corrente a bateria morta, sozinha, é capaz de
fornecer ao motor de arranque?
c. Com os cabos de ligação conectados em ponte, que intensidade
de corrente passará pelo motor de arranque?
d. Com os cabos de ligação conectados em ponte, que intensidade
de corrente passará pela bateria morta, e em que sentido?
69. || Que intensidade de corrente flui através do fio inferior
da FIGURA P32.69, e em que
sentido?
FIGURA P32.62
62. ||
Para o circuito mostrado na FIGURA P32.62, determine a corrente
e a diferença de potencial em cada resistor. Para facilitar a leitura,
apresente seus resultados em uma tabela.
63. || Para o circuito mostrado na FIGURA P32.63, determine a corrente
e a diferença de potencial em cada resistor. Para facilitar a leitura,
apresente seus resultados em uma tabela.
Fio inferior
FIGURA P32.69
70. || O capacitor de um circuito RC é descarregado com uma constante de tempo de 10 ms. Em que momento, após a descarga começar:
(a) a carga do capacitor é reduzida à metade de seu valor inicial; (b)
a energia armazenada no capacitor é reduzida à metade de seu valor
inicial?
71. || Um capacitor de F, previamente carregado a 30 V, é descarregado
através de um resistor. A FIGURA
P32.71 representa a voltagem do
capacitor em função do tempo.
Qual é o valor da resistência?
FIGURA P32.71
FIGURA P32.63
FIGURA P32.64
64. || Para o circuito da FIGURA P32.64, quanto valem (a) a corrente
através do resistor de 2 , (b) a potência dissipada no resistor de 2
e (c) o potencial no ponto a?
65. || Qual é a corrente através do resistor de 10 da FIGURA P32.65?
A corrente flui da esquerda para a direita ou em sentido contrário?
72. || Um capacitor de 0,25 F é carregado a 50 V. Ele, então, é ligado
em série com um resistor de 25 e com outro, de 100 , o que permite seu completo descargamento. Que valor de energia é dissipado
pelo resistor de 25 ?
73. || O capacitor da FIGURA P32.73 começa a carregar após o interruptor ser fechado em t 0 s.
a. Qual é o valor de VC decorrido um tempo longo após o interruptor ter sido fechado?
b. Qual é a Qmax em função de , R e C?
c. Neste circuito, I dQ/dt ou I dQ/dt? Explique.
d. Obtenhe uma expressão para a corrente I no instante t. Desenhe o
gráfico de I, desde t 0 até t 5.
Fechada em t 0 s
FIGURA P32.65
Aberta em t 0 s
FIGURA P32.66
66. || Que potência é dissipada pelo resistor de 2 da FIGURA P32.66?
67. || Existe alguma bateria para a
qual o resistor de 200 da FIGURA
P32.67 não dissipe potência? Em
caso afirmativo, quais são sua fem e
sua polaridade? Ou seja, o terminal
FIGURA P32.67
negativo está em cima ou em baixo?
,
FIGURA P32.73
FIGURA P32.74
CAPÍTULO 32
74. || O interruptor da FIGURA P32.74 esteve fechado por um longo
tempo.
a. Qual é a carga no capacitor?
b. O interruptor é aberto em t 0 s. Em que momento a carga no
capacitor diminuirá para 10% de seu valor inicial?
Problemas desafiadores
75. O interruptor da FIGURA PD32.75
esteve na posição a por um tempo
muito longo. Ele é movido repentinamente para a posição b e lá
permanece durante 1,25 ms, voltando, então, para posição a. Que
FIGURA PD32.75
valor de energia foi dissipado pelo
resistor de 50 ?
76. Os capacitores da FIGURA PD32.76 estão carregados, e o interruptor
fecha em t 0 s. Em que instante a corrente do resistor de 8 decai para a metade do valor que tinha imediatamente após o interruptor ter sido fechado?
■
Fundamentos de Circuitos
997
de gás neônio a um circuito RC, como mostrado na FIGURA PD32.79.
Normalmente, o gás é um bom isolante, e a resistência do tubo de
gás é praticamente infinita quando a luz está desligada. Isso permite
que o capacitor se carregue. Quando a voltagem do capacitor atingir
um valor Vligado, o campo elétrico no interior do tubo será suficientemente intenso para ionizar o gás neônio. Visualmente, o tubo emitirá
um brilho alaranjado. Do ponto de vista elétrico, a ionização do gás
aferece um caminho de resistência muito baixa através do tubo. O
capacitor, então, descarrega muito rapidamente (podemos considerar que instantaneamente) através do tubo e sua voltagem cai. Quando a voltagem do capacitor tiver caído para um determinado valor
Vdesligado, o campo elétrico no interior do tubo será pouco intenso para
sustentar a ionização, e o néon deixará de brilhar. Neste momento, o
capacitor começa novamente a se carregar. Dessa maneira, a voltagem do capacitor oscila entre Vdesligado, quando ele começa a carregar,
e Vligado, quando a lâmpada começa a descaregá-lo.
a. Mostre que o período de oscilação é dado por
b. Um tubo de gás neônio apresenta Vligado 80 V e Vdesligado 20
V. Que valor de resistor você escolheria para, junto com um capacitor de 10 F e uma bateria de 90 V, obter uma oscilação de
10 Hz?
Tubo de
gás neônio
FIGURA PD32.76
77. O capacitor da Figura 7.38a começa a carregar após o interruptor
fechar, no instante t 0 s. Analise o circuito e mostre que Q Qmax(1 et/), onde Qmax C.
78. O interruptor da Figura 32.38a é fechado em t 0 s e, após decorrido tempo muito longo, o capacitor está totalmente carregado.
Obtenha expressões para: (a) a energia total suprida pela bateria
durante o carregamento do capacitor; (b) a energia total dissipada
pelo resistor durante o carregamento do capacitor; e (c) a energia
armazenada no capacitor quando ele está totalmente carregado. As
expressões devem ser funções de , R e C. (d) Seus resultados nos
três itens anteriores revelam que a energia é conservada? Explique.
79. Um circuito oscilador é importante em muitas aplicações. Um circuito oscilador simples pode ser construído pela adição de um tubo
Vligado
Vdesligado
FIGURA PD32.79
80. Um fio feito com metal de resistividade é esticado ao longo do
eixo x, entre x 0 e x L. Em uma posição qualquer x, o raio do
x/l
fio é dado por r r0 .
a. Obtenha uma expressão para a resistência R do fio.
b. Para que valor de l o fio terá raio constante?
c. Expanda sua expressão para R em uma série de Taylor e mostre
que ela fornece o resultado esperado quando l tem o valor obtido
no item anterior.
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 32.1: a, b e d. Os três são um mesmo circuito porque a
lógica de conexão é a mesma. Em c, o funcionamento do circuito é alterado por um fio extra que conecta as duas placas do capacitor.
Pare e Pense 32.2: V aumenta em 2 V no sentido de I. Iniciando
pelo terminal esquerdo da bateria, a lei de Kirchhoff das malhas é, portanto, 12 V 2 V 8 V 6 V 0 V.
Pare e Pense 32.3: Pb Pd Pa Pc. A potência dissipada por um
resistor é dada por PR (VR)2/R. Aumentar R diminuirá PR; aumentar
VR aumentará PR. Todavia o potencial tem um efeito maior, pois PR
depende do quadrado de VR.
Pare e Pense 32.4: I 2 A em todos. Va 20 V, Vb 16 V, Vc 10
V, Vd 8 V e Ve 0 V. A corrente é conservada. O pontencial vale 0
V na direita e aumenta em IR em cada resistor quando se vai para a
esquerda.
Pare e Pense 32.5: A B C D. A corrente da bateria passa inteira
através da lâmpada A, portanto ela é a mais brilhante. A corrente se
divide no nó, mas não, em duas partes iguais. Uma vez que B está em
paralelo com C D e tem a metade da resistência das outras duas lâmpadas, passará por B uma corrente duas vezes mais intensa do que a que
passa por C D. Assim, B brilha menos do que A, porém mais do que
C e D. As lâmpadas C e D brilham igualmente por causa da conservação
de corrente.
Pare e Pense 32.6: b. Os dois resistores de 2 estão em série e equivalem a um resistor de 4 . Assim, RC 4 s.
33 O Campo Magnético
Informação digital – 0s e 1s – é
armazenada sobre um disco rígido em
trilhas de segmentos magnetizados a
favor ou contra o sentido de movimento
do disco.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 33 é aprender
a calcular e a manipular o campo
magnético. Neste capítulo, você
aprenderá a:
■ Reconhecer os fenômenos
magnéticos básicos.
■ Calcular o campo magnético
produzido por partículas carregadas
e correntes.
■ Empregar a regra da mão
direita para determinar campos
magnéticos e forças.
■ Compreender o movimento de
uma partícula carregada em um
campo magnético.
■ Calcular forças magnéticas e
torques sobre correntes.
■ Compreender as propriedades
magnéticas dos materiais.
Em retrospectiva
Este capítulo usa o que você
aprendeu sobre movimento circular,
rotação e dipolos para entender o
movimento em um campo magnético.
Revise:
■ Seções 8.2 e 8.3 Movimento
Assim como a eletricidade, o magnetismo é conhecido desde a Antiguidade. Os antigos
gregos sabiam que certo mineral, chamado de magnetita, podia atrair objetos de ferro.
Os navegadores chineses já usavam bússolas magnéticas por volta do ano 1000, mas as
bússolas só se tornaram conhecidas no Ocidente em cerca de 1200. Mais tarde, por volta
de 1600, William Gilbert percebeu que as bússolas funcionam porque a própria Terra é
um ímã. A mesma força que alinha as agulhas das bússolas também é responsável pelas
auroras.
Nossa tarefa neste capítulo será estudar os ímãs e o magnetismo. Os ímãs estão
sempre à sua volta. Além de servir para prender listas de compras e cartões na geladeira, os ímãs permitem o funcionamento de motores elétricos, produzem imagens na
tela de sua televisão, armazenam informação nos discos dos computadores, cozinham
comida em um forno de microondas e emitem sons musicais em alto-falantes. Os ímãs
são usados para produzir imagens do interior do corpo humano através da Imagem por
Ressonância Magnética (IRM), em experimentos físicos de alta energia para identificar
partículas subatômicas e na levitação magnética de trens.
Mas o que é o magnetismo? Como são criados os campos magnéticos? Quais são suas
propriedades? Como eles são utilizados? Estas são as questões que agora analisaremos.
circular uniforme
■ Seções 12.5 e 12.10 Torque e
produto vetorial de dois vetores
■ Seção 26.5 As propriedades
básicas dos campos
■ Seções 27.2 e 27.7 As
propriedades de um dipolo elétrico
33.1 Magnetismo
No Capítulo 26, iniciamos nosso estudo da eletricidade pela observação dos resultados
obtidos em experimentos simples com bastões carregados. Vamos tentar uma aproximação similar com o magnetismo.
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
999
Descobrindo o magnetismo
Experimento 1
Se um ímã em barra for fixado
a uma rolha flutuante sobre a
água contida em um recipiente
circular, ele sempre girará no
sentido de se alinhar com a
direção norte-sul. A extremidade Sul
do ímã que aponta para o norte
é chamada de indicador do
sentido norte ou, simplesmente,
pólo norte. A outra extremidade
é o pólo sul.
Experimento 2
Experimento 4
Norte
A agulha de
uma bússola é
um pequeno ímã.
Se o pólo norte de um ímã for aproximado do pólo norte de outro
ímã, eles se repelirão. Dois pólos do tipo sul também se repelem
mutuamente, todavia o pólo norte de um ímã exerce uma força
atrativa sobre o pólo sul de outro ímã.
Experimento 3
O pólo norte de uma barra imantada atrai
uma das extremidades de uma bússola,
repelindo a outra. Aparentemente, a própria
agulha da bússola é uma pequena barra
imantada com pólos sul e norte.
Cortar um ímã (barra imantada) ao meio produzirá outros dois ímãs,
mais fracos do que o original, mas ainda completos, dotados de um
pólo norte e de um pólo sul. Não importa quão pequenos sejam os ím
obtidos por sucessivos cortes de ímãs maiores: mesmo em escala
microscópica, cada nova parte permanecerá um ímã completo com
dois pólos.
Experimento 5
Os ímãs podem atrair certos objetos, como
clipes de papel, mas não todos. Se um objeto
for atraído por uma das extremidades de um
ímã, ele será atraído também pela outra. Muitos
materiais, incluindo o cobre (moedinhas), o alumínio, o vidro e os plásticos não experimentam
força alguma por parte de um ímã.
Experimento 6
Nenhum ímã afeta um eletroscópio. Um
bastão carregado exercerá uma força atrativa
fraca em ambas as extremidades de um ímã.
Sem efeito
Entretanto, essa força será igual àquela exercida
pelo bastão sobre uma barra metálica não-magnetizada;
isto é, será simplesmente uma força elétrica devida à
polarização, como aquela que estudamos no Capítulo 26.
A não ser pelas forças de polarização, as cargas elétricas
não têm efeito sobre os ímãs.
O que estes experimentos nos dizem?
1. Primeiro, que magnetismo é diferente de eletricidade. Pólos magnéticos e cargas elétricas compartilham algum comportamento análogo, mas não são iguais. A
força magnética é uma força da natureza com que não nos deparamos ainda.
2. O magnetismo é uma força de ação a distância. Clipes de papel são erguidos para
um ímã. Você pode sentir o puxão quando aproxima um ímã de uma geladeira.
3. Os ímãs possuem dois pólos, chamados de norte e sul. Os nomes são meramente
descritivos; eles não nos indicam como o magnetismo funciona. Dois pólos iguais
exercem forças de repulsão mútua; dois pólos opostos exercem forças atrativas
um sobre o outro. O comportamento é análogo ao das cargas elétricas, mas, como
vimos, pólos magnéticos e cargas elétricas não são a mesma coisa.
4. Pode-se identificar os pólos de uma barra imantada usando a mesma como bússola. Outros ímãs, tais como aqueles achatados para fixar em geladeiras ou aqueles em forma de ferradura, não são tão fáceis de usar como bússola, mas seus
pólos podem ser identificados testando-os com uma barra magnetizada. Um pólo
que atrai o pólo norte conhecido e repele o também conhecido pólo sul deve ser
um pólo sul magnético.
5. Materiais que são atraídos por um ímã ou aqueles em que o ímã se gruda são denominados materiais magnéticos. O material magnético mais comum é o ferro.
Outros são o níquel e o cobalto. Os materiais magnéticos são atraídos por ambos
os pólos de um ímã. Esta atração é análoga àquela em que objetos neutros são
atraídos, através da força de polarização, por bastões eletricamente carregados,
positiva e negativamente. A diferença é que todos os objetos neutros são atraídos
por um bastão carregado, enquanto apenas alguns poucos materiais são atraídos
por um ímã.
Nosso objetivo é desenvolver uma teoria do magnetismo que explique essas observações.
1000
Física: Uma Abordagem Estratégica
Monopolos e dipolos
É um fenômeno estranho que, cortando-se um ímã pela metade, fiquemos com dois
ímãs mais fracos, porém completos, cada qual dotado de um pólo norte e de um pólo
sul. Todos os ímãs já observados possuem tanto o pólo norte como o pólo sul, formando, portanto, um dipolo magnético permanente. Todo dipolo magnético é análogo a
um dipolo elétrico, mas as duas cargas de um dipolo elétrico podem ser separadas e
manipuladas individualmente. Isso parece não ser verdadeiro no caso de um dipolo
magnético.
Um pólo magnético isolado, como um pólo norte na ausência de um pólo sul, seria
chamado de monopolo magnético. Ninguém jamais observou um monopolo magnético. Por outro lado, ninguém ainda forneceu uma razão convincente para que monopolos magnéticos isolados não possam existir, e algumas teorias de partículas subatômicas prevêem que eles deveriam existir. Se os monopolos magnéticos existem ou
não na natureza permanece uma questão aberta em um dos níveis mais fundamentais
da física.
Bússolas e geomagnetismo
Pólo sul
magnético
Pólo norte
geográfico
Equador
Pólo norte
magnético
FIGURA 33.1 A Terra é um grande ímã.
O pólo norte da agulha de uma bússola é atraído para o pólo norte geográfico da Terra e
repelido pelo pólo sul geográfico do planeta. Aparentemente, a Terra, ela mesma, é um
grande ímã, como mostrado na FIGURA 33.1. As razões para a existência do magnetismo
terrestre são complexas, mas os geofísicos geralmente concordam que os pólos magnéticos terrestres se originam de correntes existentes no núcleo de ferro fundido do planeta. Dois fatos interessantes acerca do campo magnético terrestre são: primeiro, os pólos
magnéticos são ligeiramente deslocados dos pólos geográficos correspondentes ao eixo
de rotação terrestre; segundo, o pólo norte geográfico é, de fato, o pólo sul magnético!
Você deveria ser capaz de usar o que aprendeu até aqui para convencer-se deste fato.
PARE E PENSE 33.1 A agulha da bússola girará em
sentido horário ou anti-horário, ou não entrará em
rotação de modo algum?
Bastão
positivo
Eixo
33.2 A descoberta do campo magnético
À medida que a eletricidade começou a ser estudada seriamente no século XVIII,
alguns cientistas começaram a especular se não haveria uma conexão entre a eletricidade e o magnetismo. Surpreendentemente, a ligação entre eletricidade e magnetismo foi descoberta durante uma aula de demonstração experimental, em 1819, pelo
cientista dinamarquês Hans Christian Oersted. Oersted estava usando uma bateria
para produzir uma grande corrente em um fio. Por acaso, uma bússola estava localizada próxima ao fio, e Oersted notou que a corrente fazia a agulha da bússola girar.
Em outras palavras, a bússola respondia como se um ímã estivesse colocado próximo
dela.
Há muito tempo Oersted suspeitava de uma ligação entre a eletricidade e o magnetismo, de modo que a relevância dessa observação afortunada tornou-se imediatamente clara para ele. A descoberta de Oersted, de que o magnetismo é causado por
uma corrente elétrica, será o nosso ponto de partida para desenvolver uma teoria do
magnetismo.
O efeito de uma corrente sobre uma bússola
Vamos usar bússolas para sondar o magnetismo criado quando uma corrente flui em um
fio longo esticado. Na FIGURA 33.2a, antes de a corrente ser ligada, as bússolas estão alinhadas ao longo da direção norte-sul. Você pode verificar na FIGURA 33.2b que uma cor-
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
1001
rente intensa no fio faz com que as agulhas das bússolas girem até que fiquem tangentes
a um círculo que tem o fio como centro. A FIGURA 33.2c ilustra a regra da mão direita,
que relaciona a orientação das agulhas das bússolas ao sentido da corrente.
Fio conduzindo uma
corrente
Sem
corrente
Norte
Sul
As agulhas das bússolas
posicionam-se tangencialmente ao círculo, com
o pólo norte no mesmo
sentido dos seus dedos.
O polegar da mão
direita aponta no
sentido da corrente.
As agulhas das bússolas
posicionam-se tangencialmente a um círculo tendo
o fio como centro.
FIGURA 33.2 Resposta das agulhas das bússulas a uma corrente em um fio reto.
No magnetismo temos uma necessidade maior do que na eletricidade de desenhos
tridimensionais do tipo mostrado na Figura 33.2. Entretanto, como as figuras bidimensionais são mais fáceis de desenhar, faremos uso delas sempre que possível. Dessa forma, precisaremos indicar os vetores do campo ou as correntes que sejam perpendiculares
à página. A FIGURA 33.3a mostra a notação que utilizaremos. A FIGURA 33.3b ilustra essa
notação mostrando as bússolas em torno de uma corrente que é dirigida para dentro da
página. Para aplicar a regra da mão direita a esse desenho, aponte seu polegar para dentro da página. Seus dedos devem, então, ser girados no sentido horário, e este é o sentido
indicado pelos pólos norte das agulhas das bússolas usadas.
Vetores entrando
na página
Corrente entrando
na página
Vetores saindo
da página
Corrente saindo
da página
O campo magnético
Introduzimos a idéia de campo como uma maneira de compreendermos a interação de
ação a distância da força elétrica. Toda carga altera o espaço à sua volta, criando um
campo elétrico. Uma segunda carga, então, experimenta uma força devido à presença
do campo elétrico onde ela se encontra. O campo elétrico é o meio pelo qual as cargas
interagem uma com a outra. Embora essa descrição pareça um tanto vaga, ela se mostra
muito útil. Necessitamos, agora, de uma idéia análoga para compreender a força de ação
a distância exercida por uma corrente sobre a agulha de uma bússola.
Vamos definir o campo magnético com as seguintes propriedades:
1. Toda corrente que flui em um fio cria um campo magnético em todos os pontos do
espaço ao seu redor.
2. Em cada ponto do espaço, o campo magnético é um vetor. Ele possui tanto um
módulo, que chamamos de intensidade de campo magnético B, quanto uma orientação (direção e sentido).
3. O campo magnético exerce forças sobre os pólos magnéticos. A força exercida sobre um pólo norte é paralela a , e a força exercida sobre o pólo sul é oposta a .
A FIGURA 33.4 mostra a agulha de uma bússola em presença de um campo magnético.
Os vetores do campo são mostrados em diversos pontos, mas tenha em mente que o
campo está presente em todos os pontos do espaço. Uma força magnética é exercida
sobre cada um dos dois pólos de uma bússola, paralelamente a sobre o pólo norte e
oposta a sobre o pólo sul. Esse par de forças opostas exerce um torque sobre a agulha,
girando-a até que ela fique paralela ao campo magnético naquele ponto.
Note que o pólo norte da agulha da bússola, ao atingir a posição de equilíbrio, está
orientado no sentido do campo magnético. Portanto, uma agulha de bússola pode ser
usada como sonda do campo magnético, assim como uma carga de prova era utilizada
como sonda do campo elétrico. Forças magnéticas fazem com que a agulha de uma
bússola fique alinhada paralelamente a um campo magnético, com o pólo norte da
bússola indicando a orientação (direção e sentido) do campo magnético naquele
ponto.
Corrente entrando
na página
FIGURA 33.3 Notação para vetores e
correntes perpendiculares à página.
A força magnética sobre o pólo
norte é paralela ao campo magnético.
Forças exercidas sobre
os pólos magnéticos
Eixo
Campo magnético
FIGURA 33.4 O campo magnético exerce
forças sobre os pólos de uma bússola
fazendo com que ela se alinhe com o
campo.
1002
Física: Uma Abordagem Estratégica
Os vetores do campo magnético são
tangentes aos círculos em torno do fio,
com o sentido dado pela regra da mão
direita. O campo enfraquece quando nos
afastamos do fio.
Observe novamente as bússolas alinhadas em torno de um fio por onde flui uma
corrente na Figura 33.3b. Devido ao fato de as agulhas das bússolas se alinharem com o
campo magnético, este deve ser tangente a qualquer círculo tendo como centro um ponto
qualquer do fio. A FIGURA 33.5a representa o campo magnético através do desenho de
vetores do campo. Note que o campo torna-se mais fraco (vetores menores) à medida
que nos afastamos do fio.
Outra forma de descrever o campo é através do uso das linhas de campo magnético.
Trata-se de linhas imaginárias desenhadas em uma região do espaço de modo que
■ Toda tangente a uma linha de campo esteja orientada no sentido do campo magné-
tico, e
Fio conduzindo
corrente
As linhas do campo magnético são circulares.
■ As linhas de campo sejam mais próximas umas das outras onde a intensidade do
campo for maior.
A FIGURA 33.5b mostra as linhas de campo magnético em torno de um fio que conduz uma
corrente. Note que as linhas de campo magnético formam círculos, sem início ou fim.
Isso contrasta com as linhas de campo elétrico, as quais iniciam em cargas e terminam
também em cargas. Vemos as mesmas figuras circulares na foto da FIGURA 33.5C.
BOX TÁTICO
33.1
A regra da mão direita para campos
Oriente seu polegar direito
no sentido da corrente.
Curve os dedos da mão direita
em torno do fio, formando um
círculo.
A orientação dos seus dedos
indicará a orientação das
linhas de campo magnético
em torno do fio.
O campo magnético é revelado pela
deposição de limalha de ferro em torno
de um fio no qual flui uma corrente.
Exercícios 6–8
FIGURA 33.5 O campo magnético em torno
de um fio que conduz uma corrente.
NOTA O campo magnético produzido por um fio que conduz uma corrente é muito
diferente do campo elétrico criado por um fio carregado. O campo elétrico de um fio
carregado aponta radialmente para fora (fio positivo) ou para dentro (fio negativo)
do fio. Dois tipos de magnetismo?
Talvez você esteja preocupado com o fato de termos introduzido dois tipos de magnetismo. Iniciamos o capítulo discutindo os ímãs permanentes e as forças que eles exercem.
Depois, sem aviso, passamos para forças magnéticas causadas por correntes. Não é de
todo óbvio que essas forças correspondam ao mesmo tipo de magnetismo que aquelas
exercidas por pedaços de metal em repouso denominados “ímãs”. Talvez existam dois
tipos diferentes de forças magnéticas, um originado de correntes, e outro, de ímãs permanentes. Um dos objetivos principais de nosso estudo do magnetismo é verificar que
essas duas maneiras distintas de produzir efeitos magnéticos constituem, de fato, apenas
dois aspectos diferentes de uma única força magnética.
PARE E PENSE 33.2
O campo magnético na posição P aponta
a. Para cima
c. Para dentro da página
b. Para baixo
d. Para fora da página
CAPÍTULO 33
33.3 As fontes do campo magnético: cargas
em movimento
A Figura 33.5 constitui uma descrição qualitativa do campo magnético gerado por um
fio. Nossa primeira tarefa é transformar essa figura em uma descrição quantitativa. Uma
vez que uma corrente em um fio gera um campo magnético e que uma corrente é uma
coleção de cargas em movimento, naturalmente desejamos saber se qualquer carga em
movimento se comportará da mesma maneira. A descoberta de Oersted encorajou a suposição, entre os cientistas, de que esse fosse o caso, embora a confirmação só tenha vindo 55 anos depois, em 1875, quando foi comprovado que um disco carregado em rotação
produz os mesmo efeitos magnéticos que uma corrente em um fio circular.
Assim, nosso ponto de partida é a idéia de que cargas em movimento constituem
fontes de campo magnético. A FIGURA 33.6 mostra uma partícula carregada q que se move
com velocidade . O campo magnético gerado pela carga em movimento é dado por
■
O Campo Magnético
Este é o ponto em
que desejamos
conhecer E.
1003
Campo magnético
criado por uma
carga puntiforme
em movimento
Carga
puntiforme q
Velocidade da
partícula carregada
FIGURA 33.6 Campo magnético criado por
uma carga puntiforme em movimento.
(33.1)
onde r é a distância a partir da carga e ␪ é o ângulo formado entre e .
A Equação 33.1 é chamada de lei de Biot-Savart para uma carga puntiforme, uma
homenagem aos dois cientistas franceses cujas investigações foram motivadas pelas observações de Oersted. Ela é análoga à lei de Coulomb para o campo elétrico gerado por
uma carga puntiforme. Note que a lei de Biot-Savart, como a lei de Coulomb, é uma lei
dependente do inverso do quadrado. Entretanto, a lei de Biot-Savart é um pouco mais
complexa do que a lei de Coulomb porque o campo magnético depende do ângulo ␪
entre a velocidade da carga e a linha que vai até o ponto onde o campo é medido.
NOTA O campo magnético criado por uma carga em movimento é adicionado ao
campo elétrico da carga. A carga sempre produz um campo elétrico, esteja ela em
movimento ou não. TABELA 33.1 Intensidades típicas de
campos magnéticos
Localização do campo
Intensidade do
campo (T)
Superfície da Terra
5 105
Ímã de refrigerador
5 10
Ímã de laboratório
0,1 a 1
Ímã supercondutor
10
3
A unidade do SI para a intensidade do campo magnético de uma carga em movimento é o tesla, abreviado como T. O tesla é definido como
1 tesla 1 T 1 NA m
Mais adiante nesse capítulo, veremos que essa definição é baseada na força magnética
exercida sobre um fio por onde flui uma corrente. Um tesla é um campo muito intenso. A
Tabela 33.1 mostra alguns valores típicos de intensidades de campo magnético. A maioria dos campos magnéticos corresponde apenas a uma pequena fração de tesla.
A constante ␮0 na Equação 33.1 é chamada de constante de permeabilidade. Seu
valor é
7
␮0 4␲ 10
TmA 1,257 106 TmA
Essa constante desempenha um papel no magnetismo análogo àquele desempenhado, na
eletricidade, pela constante de permissividade 0.
A regra da mão direita para a determinação da orientação (direção e sentido) de é
parecida com a regra utilizada para um fio conduzindo uma corrente: oriente seu polegar
no sentido de . O vetor campo magnético será perpendicular ao plano de e , apontando no sentido em que seus dedos se curvam. Em outras palavras, os vetores são tangentes aos círculos desenhados em torno da linha de movimento da carga, tendo um de seus
pontos como centro. A FIGURA 33.7 mostra uma vista em perspectiva mais completa de um
campo magnético criado por uma carga positiva em movimento. Note que é nulo ao
o
o
longo da trajetória, caso em que ␪ 0 ou 180 , devido ao termo sen␪ na Equação 33.1
NOTA Para uma carga negativa, as setas vetoriais da Figura 33.7 têm os mesmos
comprimentos, mas sentidos contrários. A exigência de que uma carga em movimento gere um campo magnético está explícita na Equação 33.1. Se a velocidade v da partícula for nula, o campo magnético (mas
não o campo elétrico!) será nulo. Isso ajuda a enfatizar uma diferença fundamental entre
campos elétricos e magnéticos: cargas criam campos elétricos, mas somente cargas
em movimento criam campos magnéticos.
Trajetória do
movimento
Entrando na
página
FIGURA 33.7 Duas vistas em perspectiva do
campo magnético criado por uma carga
positiva em movimento.
1004
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 33.1 O campo magnético criado por um próton
RESOLUÇÃO A posição 1, ao longo da trajetória do movimento, cor-
Um próton se move ao longo do eixo x com velocidade vx 1,0 107
ms. Enquanto ele passa próximo da origem, qual é o campo magnético nas posições (x, y, z) (1 mm, 0 mm, 0mm), (0 mm, 1 mm, 0 mm)
e (1 mm, 1 mm, 0 mm)?
. A posição 2, em (0 mm, 1 mm, 0
responde a ␪1 0. Assim,
mm), encontra-se à distância r2 1 mm 0,001 m. A Equação 33.1,
a lei de Biot-Savart, nos fornece a intensidade de campo magnético
nesse ponto, dada por
MODELO O campo magnético é o campo criado por uma partícula car-
regada em movimento.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 33.8 mostra a geometria da situação. O pri-
meiro ponto está sobre o eixo x, diretamente à frente do próton, correspondente a ␪1 0. O segundo ponto está sobre o eixo y, correspondente a ␪2 90, e o terceiro está sobre o plano xy.
De acordo com a regra da mão direita, o campo está orientado no
sentido positivo de z. Assim,
Posição 3
Posição 2
onde é o vetor unitário do eixo z. Na posição 3, em (1 mm, 1 mm, 0
mm), o campo também aponta no sentido positivo de z, todavia é menos intenso do que na posição 2, onde r é maior, e ␪, menor. Usando
a geometria, obtemos r3 0,00141 m e ␪3 45. Outro
cálculo, usando a Equação 33.1, fornece
Posição 1
AVALIAÇÃO O campo magnético criado por uma única carga em movi-
FIGURA 33.8 O campo magnético do Exemplo 33.1.
mento é muito pouco intenso.
Superposição
A lei de Biot-Savart constitui o ponto de partida para a obtenção de todos os tipos de
campo magnético, assim como nossa expressão anterior para o campo elétrico gerado
por uma carga puntiforme constituiu o ponto de partida para o cálculo de todos os tipos
de campo elétrico. Resultados experimentais têm mostrado que os campos magnéticos,
assim como os elétricos, obedecem ao princípio da superposição. Se existem n cargas
puntiformes em movimento, o campo magnético resultante é dado pela soma vetorial
(33.2)
onde cada campo individual é calculado pela Equação 33.1. O princípio de superposição será a base para o cálculo de campos magnéticos gerados por diversas distribuições
de correntes importantes.
O produto vetorial
No Capítulo 26, concluímos que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme
pode ser escrito de forma precisa e acurada como
O produto vetorial é
perpendicular ao plano.
Sua intensidade é CD sen
Plano contendo C e D.
FIGURA 33.9 O produto vetorial
é um vetor perpendicular ao plano que
contém os vetores e .
onde é o vetor unitário que aponta da carga para o ponto no qual desejamos calcular o
campo. O vetor unitário expressa a mesma idéia descrita pela expressão “saindo de q”.
O vetor unitário também nos permite escrever a lei de Biot-Savart de forma mais
precisa e acurada, entretanto necessitaremos usar uma forma de multiplicação de vetores denominada produto vetorial. Para relembrá-lo, a FIGURA 33.9 mostra dois vetores, e , formando um ângulo ␣ entre si. O produto vetorial de e é definido
como o vetor
(CD sen␣, direção e sentido dados pela regra da mão direita)
(33.3)
O símbolo entre os vetores é necessário para indicar que se trata de um produto
vetorial.
CAPÍTULO 33
NOTA O produto vetorial de dois vetores e a regra da mão direita, usada para determinar a orientação do produto vetorial, foram introduzidos na Seção 12.10 para
descrever o torque e o momento angular. Se você omitiu esta seção, volte agora a sua
atenção para ela a fim de poder entender o produto vetorial. Uma revisão será importante mesmo que você tenha aprendido o produto vetorial anteriormente. A lei de Biot-Savart, Equação 33.1 pode ser escrita em termos do produto vetorial
como
(campo magnético de uma carga puntiforme)
(33.4)
onde o vetor unitário , mostrado na FIGURA 33.10, aponta da carga q para o ponto no qual
desejamos calcular o campo. Essa expressão para o campo magnético tem módulo
(pois o módulo de é 1) e aponta no sentido correto (dado pela regra
da mão direita), portanto ela concorda inteiramente com a Equação 33.1.
■
O Campo Magnético
Ponto no qual o campo
é calculado
1005
B tem a mesma
orientação de
Vetor unitário
Velocidade da
partícula carregada
FIGURA 33.10 O vetor unitário
define
a orientação do ponto onde desejamos
calcular o campo magnético em relação à
carga em movimento.
EXEMPLO 33.2 A orientação do campo magnético criado
VISUALIZAÇÃO Sendo a carga negativa, o campo magnético aponta para
por um elétron em movimento
, ou seja, no sentido oposto ao de
. O vetor unitário
aponta da carga para o ponto. Usando a regra da mão direita, determiaponta para dentro da (entra na) página. Portanto,
namos que
o campo magnético do elétron no ponto desejado aponta para fora da
(sai da) página.
O elétron da FIGURA 33.11 move-se para
a direita. Qual é a orientação do campo
magnético do elétron na posição indicada
pelo ponto?
FIGURA 33.11 Elétron
em movimento.
PARE E PENSE 33.3 A carga positiva move-se diretamente
para fora da página. Qual é a orientação do campo
magnético na posição do ponto?
a. Para cima
b. Para baixo
c. Para a esquerda
v para fora da página
d. Para a direita
33.4 O campo magnético produzido por uma
corrente
Na prática, estamos mais interessados no campo magnético originado por uma corrente
– uma coleção de cargas em movimento – do que no campo magnético, extremamente
pequeno, criado por cargas individuais. A lei de Biot-Savart e o princípio de superposição serão nossas ferramentas fundamentais para calcular campos magnéticos. Primeiro,
entretanto, será útil reescrever a lei de Biot-Savart em função da corrente.
A FIGURA 33.12a mostra um fio que conduz uma corrente. Como um todo, o fio é eletricamente neutro, todavia a corrente I representa o movimento de cargas positivas ao
longo do fio. Suponha que uma pequena quantidade de carga Q em movimento ocupe
, onde o vetor , paralelo a
o pequeno segmento s. A carga tem velocidade
, é o vetor deslocamento da carga. Se Q for suficientemente pequeno para poder ser
tratado como uma carga puntiforme, o campo magnético que ele cria em um ponto do
espaço será proporcional a (Q) . Podemos escrever (Q) em função da corrente do
fio I como
(33.5)
onde usamos a definição de corrente, I Qt.
A carga Q em um pequeno segmento
de comprimento s de um fio que
conduz uma corrente.
O campo magnético do
pequeno elemento de corrente
tem a orientação de s r.
FIGURA 33.12 Relacionando a velocidade
da carga v e a corrente I.
1006
Física: Uma Abordagem Estratégica
13.1
Se trocarmos na lei de Biot-Savart por
, obteremos o campo magnético criado
por um segmento extremamente curto de um fio que conduz uma corrente I, ou elemento
de corrente, dado por
(33.6)
(campo magnético criado por um elemento de corrente muito pequeno)
A Equação 33.6 ainda é a lei de Biot-Savart, só que agora escrita em função da corrente em
vez do movimento das cargas individuais. A FIGURA 33.12b mostra a orientação do campo
magnético gerado pelo elemento de corrente como determinado pela regra da mão direita.
A Equação 33.6 constitui a base de uma estratégia para o cálculo do campo magnético produzido por um fio pelo qual flui uma corrente. Lembre-se de que esta estratégia
é análoga à estratégia básica que você aprendeu para o cálculo do campo elétrico gerado
por uma distribuição de carga contínua. O objetivo é dividir o problema em etapas menores que sejam tratáveis separadamente.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 33.1
O campo magnético criado por uma
corrente
MODELO Considere que o fio tenha uma forma simples, como uma reta ou uma espira.
VISUALIZAÇÃO Para a representação pictórica:
Desenhe uma figura e escolha um sistema de coordenadas.
Identifique o ponto P no qual você deseja calcular o campo magnético.
Divida o fio portador de corrente em segmentos para os quais você já sabe como
determinar . Geralmente, mas nem sempre, isso significará a divisão em pedaços de comprimento s muito pequenos.
Desenhe o vetor campo magnético criado por um ou dois segmentos. Isso o
ajudará a identificar distâncias e ângulos que precisam ser calculados.
Procure por simetrias que simplifiquem a forma do campo. Você poderá concluir que alguns dos componentes de são nulos.
RESOLUÇÃO A representação matemática é
.
■ Use a superposição para formar uma expressão algébrica para cada um dos três
componentes de (a menos que você tenha certeza de que um ou mais são nulos) no ponto P.
■ Condidere as coordenadas (x, y, z) do ponto como variáveis.
■ Expresse todos os ângulos e distâncias em função das coordenadas.
■ Faça s → ds, e a soma se tornará uma integral. Observe cuidadosamente os
limites de integração desta variável; eles dependerão das condições de contorno
do fio e também do sistema de coordenadas escolhido. Efetue a integração e
simplifique os resultados o máximo que puder.
AVALIAÇÃO Verifique se seu resultado é consistente com quaisquer limites para os
quais você saiba como o campo deve ser.
EXEMPLO 33.3 O campo magnético criado por um fio
longo e reto
Um fio longo e reto conduz uma corrente I orientada no sentido positivo do eixo x. Determine o campo magnético em um ponto a uma
distância d do fio.
MODELO Como o fio é “longo”, vamos considerá-lo como infinita-
mente longo.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 33.13 ilustra as etapas da estratégia de resolução do problema. Escolhemos um sistema de coordenadas com o pon-
to P sobre o eixo y. Depois dividimos o fio em pequenos segmentos,
cada qual contendo uma pequena quantidade de carga Q em movimento. O vetor unitário e o ângulo ␪k são mostrados para o segmento
k. Você pode usar a regra da mão direita para se convencer de que
aponta para fora da página, no sentido positivo do eixo z. Esta é a
orientação, não importa onde o segmento possa estar ao longo do eixo
x. Conseqüentemente, (o componente de paralelo ao fio) e (o
componente de ortogonal ao fio) são nulos. O único componente de
que precidamos calcular é , o componente tangente a um círculo
com centro no fio.
CAPÍTULO 33
Identifique o ponto onde será calculado o campo.
, devido ao segmento k, está
para fora da página no ponto P.
Segmento k
carga Q
Escolha um sistema de
coordenadas.
Divida o fio em segmentos.
FIGURA 33.13 Calculando o campo magnético gerado por um fio
longo e reto que conduz uma corrente I.
RESOLUÇÃO Podemos usar a lei de Biot-Savart para determinar o cam-
criado pelo segmento i. O produto vetorial
po
, portanto
dulo igual a
tem mó-
■
O Campo Magnético
1007
Somente no último passo é que convertemos a soma em uma integral.
Logo, nosso modelo de fio infinitamente longo determina os limites
de integração como
. Esta é uma integral trivial que pode ser encontrada no Apêndice A ou em outra tabela de integrais. O cálculo
fornece
Esta é a intensidade do campo. A orientação do mesmo é determinada
pela regra da mão direita. Podemos combinar essas duas informações
escrevendo
AVALIAÇÃO A FIGURA 33.14 mostra o campo magnético gerado por um
fio por onde flui uma corrente. Compare esta figura com a Figura 33.2
e verifique que a direção e o sentido mostrados estão em concordância com a regra da mão direita.
onde escrevemos a distância rk em função de xk e d. Também precisamos expressar ␪k em função de xk e d. Como sen(180␪) sen␪,
obtemos
Com esta expressão para sen␪k, o campo magnético do segmento k é
dado por
Agora estamos prontos para somar os campos magnéticos criados
por todos os segmentos. A superposição é um vetor soma, todavia,
neste caso, apenas o componente z não será nulo. Somando todos os
, obtemos
FIGURA 33.14 Campo magnético criado por um fio longo e reto
por onde flui uma corrente I.
NOTA A maior dificuldade apresentada no cálculo do campo magnético não é efetuar a integração, a última etapa do processo, e sim, analisar o problema para saber
o que integrar. O objetivo da estratégia para resolução de problemas é orientá-lo ao
longo do processo de obtenção da integral. EXEMPLO 33.4 A intensidade de campo magnético
próximo ao fio de um aquecedor
O fio de nicromo de um aquecedor, com 1,0 m de comprimento e 1,0
mm de diâmetro, está ligado a uma bateria de 12 V. Qual é a intensidade do campo magnético a 1,0 cm de distância do fio?
A resistividade do nicromo, ␳ 1,50 106 m, foi obtida da Tabela 31.2. Assim, a corrente é I (12 V)(1,91 ) 6,28 A. A intensidade do campo magnético a uma distância d 1,0 cm 0,010
m do fio é
MODELO Um centímetro é muito menor do que o comprimento de 1 m
do fio, portanto considere o fio como infinitamente longo.
RESOLUÇÃO A corrente que flui no fio é I VbatR, onde a resistência
do fio R é
AVALIAÇÃO O campo magnético gerado pelo fio a essa distância tem
intensidade um pouco maior do que o dobro da intensidade do campo
magnético da Terra.
Motores, alto-falantes, detectores de metal e muitos outros dispositivos geram campos magnéticos por meio de bobinas de fios. A bobina mais simples que existe é uma
única espira circular de fio. Uma espira circular de fio que conduz uma corrente é chamada de espira de corrente.
13.2
1008
Física: Uma Abordagem Estratégica
EXEMPLO 33.5 O campo magnético criado por uma espira
de corrente
A FIGURA 33.15a mostra uma espira de corrente, uma espira circular
de fio com raio R na qual flui uma corrente I. Determine o campo
magnético gerado pela espira de corrente a uma distância z sobre o
eixo de simetria da mesma.
Uma espira de corrente real.
Uma espira de corrente ideal.
A orientação de , o campo magnético devido à corrente no segmendeve ser perpendicular
to k, é dada pelo produto vetorial
a
e também a . Comprove que na Figura 33.16 está orientado
corretamente. Note que o componente y de é cancelado pelo componente y do campo magnético devido ao segmento de corrente
na base da espira, com orientação de 180. De fato, cada segmento
de corrente da espira tem um par localizado a 180 no lado diametralmente oposto da espira, de modo que os componentes x e y de
são nulos, e os componentes de paralelos ao eixo z se somam. Em
outras palavras, a simetria da espira de corrente requer que o campo
magnético sobre o eixo esteja ao longo do eixo z. Saber que precisamos somar apenas o componente do campo total ao longo do eixo z
simplificará bastante nossos cálculos.
RESOLUÇÃO Podemos usar a lei de Biot-Savart para determinar o com-
ponente z
produto vetorial
portanto
FIGURA 33.15 Espira de corrente.
MODELO Bobinas reais precisam de fios para fazer circular uma corrente para dentro e para fora, mas iremos considerar a bobina como se
fosse uma corrente em torno do círculo completo mostrado na FIGURA
33.15b.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 33.16 mostra uma espira para a qual consideramos que a corrente circula no sentido anti-horário. Escolhemos
um sistema de coordenadas em que a espira encontra-se em z 0, no
plano xy. Seja k o segmento do topo da espira. O vetor
é paralelo
ao eixo x e o vetor unitário está no plano xy, portanto o ângulo ␪k,
entre
e , é 90.
do segmento k do campo magnético. O
tem módulo igual a (s)(1) sen 90 s,
onde usamos a relação
. Uma vez que ␾ ␥ 90,
você pode mostrar que ␾ também é o ângulo formado entre e o raio
da espira. Aqui, cos ␾ Rr, e
A etapa final consiste em somar os campos magnéticos devidos a todos os segmentos:
Segmento k, comprimento s
Neste caso, ao contrário do caso do fio reto, nenhum dos termos que
multiplicam s depende da posição do segmento k; logo, todos esses
termos podem ser colocados para fora do somatório. Ao final, obtemos um somatório que somente adiciona os comprimentos de todos
os pequenos segmentos. Mas isto nada mais é do que o comprimento
total do fio, igual à circunferência 2␲R. Portanto, o campo magnético
sobre o eixo de uma espira de corrente é dado por
Segmento j
FIGURA 33.16 Calculando o campo magnético criado por uma
espira de corrente.
Na prática, uma bobina geralmente tem N espiras de fio. Se todas as espiras são muito próximas umas das outras, então o campo magnético de cada espira é praticamente o
mesmo, e o campo magnético dessa bobina será N vezes o campo magnético de uma única
espira de corrente. O campo magnético no centro (z 0) de uma bobina com N-espiras é
(33.7)
EXEMPLO 33.6 Simulando o campo magnético terrestre
Que corrente é necessária em uma bobina com 5 espiras de 10 cm de diâmetro para cancelar o campo magnético terrestre no centro da bobina?
MODELO Uma maneira de criar uma região do espaço onde o campo
magnético é nulo é gerar um campo magnético de mesmo módulo que
o do campo magnético da Terra, mas em sentido oposto. A soma dos
dois vetores se anula.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 33.17 mostra uma bobina com cinco espiras.
O campo magnético é cinco vezes maior do que aquele criado por
uma única espira de corrente.
FIGURA 33.17 Uma bobina de fio.
CAPÍTULO 33
RESOLUÇÃO Da Tabela 33.1, obtemos que o campo magnético terrestre
5
é 5 10 T. Podemos usar a Equação 33.7 para determinar a corrente necessária para gerar um campo de 5 105 T,
■
O Campo Magnético
AVALIAÇÃO É fácil produzir uma corrente de 0,8 A. Embora existam
maneiras melhores de cancelar o campo magnético terrestre do que
simplesmente usar a corrente em uma bobina, este exemplo serve
para ilustrar a idéia.
33.5 Dipolos magnéticos
Estamos prontos para calcular o campo magnético sobre o eixo de uma espira de corrente, mas determinar o campo fora do eixo requer outras integrações numéricas ou um
mapeamento experimental do campo. A Figura 33.18 representa o campo magnético
completo de uma espira de corrente. Trata-se de um campo com simetria rotacional;
assim, para desenhar a figura tridimensional completa do campo, imagine a FIGURA 33.18a
girada em torno do eixo da espira. A FIGURA 33.18b mostra o campo magnético no plano
da espira visto a partir da direita. Fica claro que o campo magnético sai da espira por um
lado, “fluindo” para o outro lado, e, então, retorna para dentro da espira.
Secção transversal da espira de corrente
A espira de corrente vista a partir da direita
Uma foto com limalha de ferro
O campo emerge do
centro da espira.
O campo retorna
pelo lado externo da espira.
FIGURA 33.18 Campo magnético criado por uma espira de corrente.
Há duas versões da regra da mão direita que você pode utilizar para determinar o sentido do campo da espira. Experimente-as com base na Figura 33.18. Ser capaz de checar rapidamente a orientação do campo de uma espira de corrente é uma habilidade importante.
BOX TÁTICO
33.2
1009
Determinando a orientação do campo magnético
de uma espira de corrente
Use qualquer um dos dois métodos para determinar a orientação do campo magnético:
Oriente seu dedo polegar no mesmo sentido da corrente, em um ponto qualquer
da espira, e curve os outros dedos da mão ao redor da espira. Seus dedos, então,
apontarão na direção e sentido em que sai da espira.
Curve os dedos da sua mão direita em torno da espira na direção e sentido da
corrente. Seu polegar, então, apontará no sentido em que sai da espira.
Exercícios 18–20
Toda espira de corrente constitui um dipolo magnético
Toda espira de corrente tem dois lados distintos. Os ímãs em forma de barra e os ímãs
achatados de refrigerador também têm dois lados ou extremidades distintas, de modo
que você pode desejar saber se espiras de corrente estão relacionadas a tais dipolos magnéticos permanentes. Considere os seguintes experimentos com uma espira de corrente.
Note que estamos usando uma figura simplificada que representa o campo magnético
apenas no plano da espira.
1010
Física: Uma Abordagem Estratégica
Estudando espiras de corrente
Fio
Sul
Norte
Alinhamento
Uma espira de corrente, pendurada por
um fio, alinha-se com o campo magnético
que aponta para o norte.
Repele
Atrai
O pólo norte de todo ímã permanente repelirá o lado de
uma espira de corrente a partir do qual o campo
magnético emerge.
O pólo sul de todo ímã permanente atrairá o
lado de uma espira de corrente a partir do qual
o campo magnético emerge.
Este estudo mostra que uma espira de corrente equivale a um ímã, como um ímã
permanente. Um ímã criado por uma bobina de fios é chamado de eletroímã. Todo
eletroímã atrai pequenos pedaços de ferro, influencia a agulha de uma bússola e se comporta, em todos os sentidos, como um ímã permanente.
De fato, a FIGURA 33.19 mostra que um ímã permanente achatado e uma espira de
corrente geram o mesmo campo magnético – o campo de um dipolo magnético. Para
ambos, você pode identificar o pólo norte como aquela região a partir da qual emerge
o campo magnético. Os campos magnéticos gerados pelos dois objetos apontam para o
pólo sul.
Espira de corrente
Ímã permanente
Tanto faz se for uma espira de corrente ou um ímã
permanente, o campo magnético emerge do pólo norte.
FIGURA 33.19 Uma espira de corrente tem pólos magnéticos e gera o mesmo campo
magnético que um ímã permanente achatado.
NOTA O campo magnético dentro de um ímã permanente é diferente do campo
magnético no centro de uma espira de corrente. Somente o campo magnético externo
de um ímã permanente coincide com o campo magnético externo de uma espira de
corrente. Um dos objetivos do capítulo é mostrar que as forças magnéticas exercidas por correntes e que as forças magnéticas exercidas por ímãs permanentes são apenas dois aspectos de
um mesmo magnetismo. Descobrimos, agora, uma íntima conexão entre os ímãs permanentes e as espiras de corrente, e ela acabará por se tornar a peça-chave desse quebra-cabeça.
O momento de dipolo magnético
A expressão para o campo elétrico de um dipolo elétrico foi consideravelmente simplificada quando consideramos o campo a distâncias significativamente maiores do que
a separação s entre as cargas. O campo criado por um dipolo elétrico sobre seu eixo
sé
quando z
onde o momento de dipolo elétrico
(qs, da carga negativa para a positiva).
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
1011
O campo magnético sobre o eixo de uma espira de corrente, calculado no Exemplo
33.5, é
Se z for muito maior do que o diâmetro da espira de corrente, z
R, poderemos utilizar
. Assim, neste caso, o campo da espira é
a aproximação
(33.8)
onde A ␲R é a área da espira.
Uma abordagem mais avançada sobre espiras de corrente mostra que, se z for muito
maior do que o tamanho do anel que forma a espira, a Equação 33.8 fornecerá o campo
magnético sobre o eixo de simetria produzido por uma espira de corrente de qualquer
forma, e não somente por uma espira circular. A forma da espira afeta o campo nas vizinhanças, mas o campo em pontos afastados da espira depende apenas da corrente I e da
área A encerrada pela espira. Com isso em mente, vamos definir o momento de dipolo
magnético de uma espira de corrente que encerra uma área A como
2
A unidade do SI para o momento de dipolo magnético é o Am2.
NOTA Não confunda o momento de dipolo magnético
de Biot-Savart. com a constante ␮0 da lei
O momento de dipolo magnético, assim como o momento de dipolo elétrico, é um vetor. Ele tem a mesma orientação do campo magnético sobre o eixo. Assim, a regra da mão
direita para a orientação de também determina a orientação de . A FIGURA 33.20 representa o momento de dipolo magnético produzido por uma espira de corrente circular.
Uma vez que o campo magnético sobre o eixo de uma espira de corrente tem a mesma orientação que , podemos combinar a Equação 33.8 e a definição de para escrever
o campo sobre o eixo de um dipolo magnético na forma
(sobre o eixo do dipolo magnético)
(33.9)
Se você comparar
com
, notará que o campo magnético associado a um dipolo
magnético tem a mesma forma básica do campo elétrico associado a um dipolo elétrico.
Todo ímã permanente também possui um momento de dipolo magnético, e seu campo
magnético sobre o eixo é dado pela Equação 33.9 quando z for muito maior do que o tamanho do ímã. A Equação 33.9 e medidas do campo magnético sobre o eixo feitas em laboratório podem ser usadas para determinar o momento de dipolo permanente de um ímã.
EXEMPLO 33.7 O campo de um dipolo magnético
a. O campo magnético sobre o eixo de um dipolo magnético, a 10
5
cm de distância do mesmo, é 1,0 10 T. Qual é a intensidade
do momento de dipolo magnético?
b. Se um dipolo magnético é criado por uma espira de corrente com
4,0 cm de diâmetro, qual é o valor da corrente?
MODELO Suponha que 10 cm de distância seja muito maior do que o
comprimento do dipolo.
RESOLUÇÃO a. Se z
nético será
R, a intensidade do momento de dipolo mag-
O momento de dipolo magnético é perpendicular
à espira, orientado de acordo com a regra da mão
direita. O módulo de
é AI.
Espira de área A
FIGURA 33.20 Momento de dipolo
magnético de uma espira de corrente
circular.
b. O momento de dipolo magnético de uma espira de corrente é ␮ AI, portanto a corrente necessária é
AVALIAÇÃO Somente uma espira supercondutora poderia conduzir
uma corrente de 4000 A, de modo que produzir um campo magnético
dessa intensidade com uma única espira de corrente não é factível.
2
Todavia 0,050 Am é um momento de dipolo modesto para um ímã;
logo, esse campo pode ser produzido com um ímã permanente.
1012
Física: Uma Abordagem Estratégica
PARE E PENSE 33.4 Qual é a orientação da corrente nesta espira?
De que lado da espira fica o pólo norte?
a. Corrente em sentido horário; pólo norte acima.
b. Corrente em sentido horário; pólo norte abaixo.
c. Corrente em sentido anti-horário; pólo norte acima.
d. Corrente em sentido anti-horário; pólo norte abaixo.
33.6 A lei de Ampère e os solenóides
Uma linha de i até f
Em princípio, a lei de Biot-Savart pode ser usada para calcular o campo magnético produzido por qualquer distribuição de corrente. Na prática, as integrais são difíceis de
calcular em casos que não sejam arranjos bem simples. Deparamo-nos com situação
semelhante no cálculo de campos elétricos, mas descobrimos, então, um método alternativo – a lei de Gauss – para calcular o campo elétrico gerado por distribuições de carga
com alto grau de simetria.
Analogamente, existe um método alternativo, chamado de lei de Ampère, para calcular os campos magnéticos criados por distribuições de corrente com alto grau de simetria. A lei de Ampère, como a lei de Gauss, não é prática para todas as situações, mas
é simples e precisa onde é prática. Da mesma forma que a lei de Gauss foi escrita em
termos de uma integral de superfície, a lei de Ampère é baseada em um procedimento
matemático chamado de integral de linha.
Integrais de linha
A linha pode ser dividida em vários pequenos
segmentos. A soma de todos os segmentos
⌬s é o comprimento total l da linha.
FIGURA 33.21 Integração ao longo de uma
linha, desde i até f.
Flertamos com a idéia de integral de linha desde que introduzimos o conceito de trabalho, no Capítulo 11, entretanto agora é preciso um enfoque mais sério do que uma integral de linha representa e de como ela é usada. A FIGURA 33.21a mostra uma linha curva
que vai de um ponto inicial i até um ponto final f.
Suponha que, como mostrado na FIGURA 33.21b, dividamos a linha em pequenos segmentos de comprimento ⌬s. O primeiro segmento é ⌬s1, o segundo ⌬s2 e assim por
diante. A soma de todos esses pequenos comprimentos é o comprimento l da linha entre
i e f. Podemos expressar isto matematicamente na forma
(33.10)
A linha atravessa um campo magnético.
Campo magnético no segmento k
Deslocamento correspondente
ao segmento k
FIGURA 33.22 Integrando
linha de i até f.
onde, no último passo, fizemos ⌬s → ds e a soma se tornar uma integral.
Esta integral é denominada integral de linha. Tudo o que fizemos foi subdividir a
linha em um número infinito de pedaços infinitesimalmente pequenos e, depois, somar
uns com os outros. É exatamente isso que você faz, no cálculo, quando resolve uma in. De fato, uma integração ao longo do eixo x é também uma integral
tegral tal como
de linha, que se dá ao longo de uma linha reta. A Figura 33.21 difere dela somente no
fato de que a linha agora está encurvada. A idéia subjacente, em ambos os casos, é que
uma integral constitui apenas uma maneira extravagante de efetuar uma soma.
A integral de linha da Equação 33.10 não é muito estimulante. A FIGURA 33.22a torna
as coisas mais interessantes ao supor que a linha atravessa um campo magnético. A FIGURA
33.22b divide novamente a linha em pequenos segmentos, mas, desta vez,
é o vetor deslocamento correspondente ao segmento k. O campo magnético neste ponto do espaço é .
Suponha que calculemos o produto escalar
em cada segmento, e, então, sodevidos aos segmentos. Fazendo isso, e novamente tomanmemos os valores de
do o limite em que a soma se torna uma integral, obtemos
integral de linha de
de i até f
ao longo da
Novamente, a integral é apenas uma maneira sintética de expressar o que dizemos com
criado por
“Divida a linha em uma infinidade de pequenos segmentos, calcule
cada segmento, e, depois, adicione-os”.
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
1013
Embora este processo de cálculo de uma integral possa parecer difícil, as únicas integrais de linha com as quais precisaremos lidar serão de dois tipos simples. Se o campo
em
magnético for perpendicular à linha em qualquer lugar da mesma, então
qualquer ponto ao longo da linha, e a integral será nula. Se o campo magnético for tangente à linha em qualquer lugar da mesma e tiver a mesma intensidade B em qualquer
em qualquer ponto, e
ponto da mesma, então
(33.11)
Usamos a Equação 33.10, no último passo, para integrar ds ao longo da linha.
O Box Tático 33.3 resume essas duas situações.
BOX TÁTICO
33.3
Calculando integrais de linha
Se for perpendicular à linha em qualquer
lugar da mesma, então a integral de linha de
é dada por
Se for tangente à linha de comprimento l
em qualquer lugar da mesma e tiver a mesma
intensidade B em qualquer de seus pontos,
então
Exercícios 23–24
A lei de Ampère
A FIGURA 33.23 mostra um fio conduzindo uma corrente I que entra na página e o campo
magnético produzido a uma distância d. O campo magnético de um fio conduzindo uma
corrente é tangente a um círculo tendo um ponto qualquer do fio como centro e tem inem todos os pontos do círculo. De acordo com o Box Tático 33.3,
tensidade
essas condições nos permitem calcular facilmente a integral de linha de ao longo de
um caminho circular em torno do fio. Suponha que integremos o campo magnético ao
longo do caminho inteiro que é o círculo, ou seja, o ponto inicial i do caminho de integração e o ponto final f são o mesmo ponto. Trata-se de uma integral de linha ao longo
de um caminho fechado, o que é denotado por
O pequeno círculo sobre o símbolo de integral indica que a integração é feita ao longo de
uma curva fechada. A notação mudou, mas o significado, não.
Devido ao fato de ser tangente ao círculo e ter módulo constante (intensidade
constante) em qualquer ponto do mesmo, podemos usar a Opção 2 do Box Tático 33.3
para escrever
O caminho de integração é um círculo
de raio d.
A integração começa e
termina no mesmo
ponto.
é tangente em qualquer lugar do caminho
de integração e tem módulo constante.
FIGURA 33.23 Integrando o campo
magnético ao redor de um fio.
(33.12)
onde, neste caso, o comprimento do caminho l é a circunferência 2␲d do círculo. A
,
intensidade do campo magnético de um fio que conduz uma corrente é
portanto,
(33.13)
1014
Física: Uma Abordagem Estratégica
O resultado interessante é que a integral de linha de ao redor do fio conduzindo
uma corrente independe do raio do círculo. Qualquer círculo, desde um que apenas toque
o fio, até o mais distante possível do mesmo, fornecerá o mesmo resultado. A integral
depende somente da quantidade de corrente que atravessa o círculo que integramos.
Isto é remanescente da lei de Gauss. Em nosso estudo da lei de Gauss, iniciamos
com a observação de que o fluxo elétrico ␾e através de uma esfera que envolva uma
carga depende apenas da quantidade de carga no interior, e não, do raio da esfera. Após
examinar diversos casos, concluímos que a forma da superfície não é relevante. O fluxo
elétrico através de qualquer superfície fechada que encerre uma carga total Qint resultou,
então, em e Qint⑀0.
Embora omitamos os detalhes, o mesmo tipo de raciocínio empregado para provar a
lei de Gauss mostra que o resultado da Equação 33.13:
■ Independe da forma do caminho em torno da corrente.
■ Independe do lugar exato por onde a corrente atravessa o caminho fechado.
■ Depende apenas da quantidade total de corrente através da área delimitada pelo ca-
minho fechado de integração.
Assim, sempre que a corrente total Itotal atravessar uma área delimitada por uma curva
fechada, a integral de linha do campo magnético em torno dessa curva será
(33.14)
I1 não atravessa a
área fechada.
O caminho de
integração é uma
curva fechada.
Este resultado para o campo magnético é conhecido como lei de Ampère, embora tenha
sido postulado por Maxwell muito após a morte de Ampère. Não é claro como ele foi
associada ao nome de Ampère.
Para fazer uso prático da lei de Ampère, precisamos determinar quais correntes são
positivas e quais são negativas. A regra da mão direita é, novamente, a ferramenta adequada. Se você curvar os dedos de sua mão direita ao longo do caminho fechado no
sentido em que você vai integrar, então qualquer corrente que atravesse a área delimitada
e que estiver orientada como o seu polegar será uma corrente positiva. E qualquer corrente orientada em sentido oposto será uma corrente negativa. Na FIGURA 33.24, por exemplo, as correntes I2 e I4 são positivas e I3 é negativa. Assim,
NOTA O caminho de integração da lei de Ampère é uma curva matemática no es-
paço. Ele não precisar coincidir com algum limite ou alguma superfície material,
embora possa, dependendo de nossa escolha. Estas correntes atravessam a
área delimitada.
FIGURA 33.24 Usando a lei de Ampère.
De certa forma, a lei de Ampère não nos diz nada de novo. Afinal, derivamos a lei
de Ampère a partir da lei de Biot-Savart para o campo magnético de uma corrente. Mas,
em outro sentido, a lei de Ampère é mais importante do que a lei de Biot-Savart por
estabelecer uma propriedade geral sobre campos magnéticos. A lei de Ampère se mostrará especialmente útil no Capítulo 35, quando a combinarmos com outras equações
elétricas e magnéticas para formar o conjunto das equações de Maxwell para o campo
eletromagnético. Por ora, a lei de Ampère nos permitirá determinar os campos magnéticos criados por algumas importantes distribuições de corrente que possuem alto grau
de simetria.
EXEMPLO 33.8 O campo magnético no interior de um fio
que conduz uma corrente
Um fio de raio R conduz uma corrente I. Determine o campo magnético no interior do fio, a uma distância r R de seu eixo.
MODELO Considere que a densidade de corrente seja uniforme ao lon-
go de cada secção transversal do fio.
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 33.25 mostra uma secção transversal do fio.
Ele tem simetria cilíndrica, com todas as cargas movendo-se paralelamente ao fio, portanto o campo magnético deve ser tangente a círculos concêntricos ao fio. Não sabemos como a intensidade de campo
magnético depende da distância em relação ao centro – é isto o que
devemos determinar –, mas a simetria da situação impõe uma forma
obrigatória ao campo magnético.
CAPÍTULO 33
O Campo Magnético
1015
seus pontos. Conseqüentemente, a integral de linha de ao longo do
círculo pode ser calculada usando-se a Opção 2 do Box Tático 33.3:
Por simetria, o campo magnético
deve ser tangente ao círculo.
Caminho
fechado de
integração
■
Fio de raio R
conduzindo uma
corrente
Iatravés é a corrente interior ao raio r.
onde l 2␲r é o comprimento do caminho. Substituindo esta expressão na lei de Ampère, obtemos
Isolando B, encontramos que a intensidade de campo magnético ao longo de um círculo de r no interior de um fio conduzindo uma corrente é
FIGURA 33.25 Usando a lei de Ampère no interior de um fio que
conduz uma corrente.
RESOLUÇÃO Para determinar a intensidade do campo a distância do
raio r, desenhamos um círculo com este raio. A quantidade de corrente que atravessa o círculo é
onde J é a densidade de corrente. Nossa suposição de uma densidade
de corrente uniforme nos permite usar toda a corrente I passando através do fio de raio R, obtendo
Assim, a corrente através do círculo de raio r é
AVALIAÇÃO A intensidade de campo magnético aumenta linearmente
com a distância em relação ao centro do fio até que, na superfície do
mesmo,
coincide com nossa solução anterior para o
campo magnético no exterior de um fio que conduz uma corrente.
Tal concordância em r R nos dá confiança em nosso resultado. A
intensidade de campo magnético em ambos os casos, dentro e fora do
fio, é representada graficamente na FIGURA 33.26.
Dentro do fio, o campo magnético aumenta
linearmente com a distância a partir do centro ...
máx
... e, fora do fio, inversamente
com aquela distância.
máx
Vamos integrar ao longo da circunferência deste círculo. De acordo
com a lei de Ampère,
A partir da simetria do fio, sabemos que é tangente ao círculo em
qualquer ponto do mesmo e que tem o mesmo módulo em todos os
FIGURA 33.26 Representação gráfica do campo magnético de um
fio que conduz uma corrente.
O campo magnético criado por um solenóide
Em nosso estudo da eletricidade, fizemos uso extensivo da idéia de campo elétrico uniforme: um campo que é o mesmo em todos os pontos do espaço. Concluímos que duas
placas paralelas próximas uma da outra geram um campo elétrico uniforme entre elas, e
este campo uniforme foi uma das razões para termos dado tanta atenção à compreensão
do capacitor de placas paralelas.
Analogamente, existem muitas aplicações do magnetismo para as quais gostaríamos
de gerar um campo magnético uniforme, um campo com o mesmo módulo e a mesma
orientação em qualquer ponto de uma região do espaço. Nenhuma das fontes que estivemos analisando até agora produz um campo magnético desse tipo.
Na prática, um campo magnético uniforme é gerado com um solenóide. Como mostrado na FIGURA 33.27, um solenóide é uma bobina helicoidal de fio com a mesma corrente I passando em cada espira do enrolamento. Solenóides podem ter centenas ou milhares de espiras, popularmente chamadas de voltas, algumas vezes em diversas camadas
sobrepostas.
13.3
FIGURA 33.27 Um solenóide.
1016
Física: Uma Abordagem Estratégica
Uma única espira
Um grupo de três espiras
Os campos das três espiras
praticamente se
cancelam aqui.
Os campos se reforçam aqui.
FIGURA 33.28 Usando a superposição para encontrar o campo magnético de um grupo de
espiras de corrente.
Um solenóide curto
O campo magnético é uniforme dentro desta
secção de um solenóide ideal infinitamente longo.
O campo magnético fora do solenóide é nulo.
FIGURA 33.29 O campo magnético de um
solenóide.
Este é o caminho de integração
para a lei de Ampère. Há N
voltas dentro.
é tangente ao lado inferior
do caminho de integração.
Podemos compreender como funciona um solenóide concebendo-o como um agrupamento de espiras de corrente. A FIGURA 33.28a mostra o campo magnético criado por
uma única espira de corrente em três pontos sobre o eixo, e em três pontos eqüidistantes
do mesmo. O campo diretamente acima da espira é oposto ao campo dentro da espira.
Já a FIGURA 33.28b mostra três espiras paralelas. Podemos usar a informação da Figura
33.28a para desenhar os campos magnéticos criados pelas três espiras no centro da espira 2 e em um ponto acima da espira 2.
A superposição dos campos no centro da espira 2 produz um campo mais intenso do
que o criado pela espira 2 isoladadamente. Mas os campos acima da espira 2 tendem a se
cancelar, produzindo um campo magnético resultante que é nulo ou muito menos intenso do que o campo no centro da espira. Usamos somente 3 espiras de corrente para ilustrar essa idéia, mas estas tendências são reforçadas pela inclusão de um número maior
de espiras. Com um grande número de espiras de corrente ao longo do mesmo eixo, o
campo no centro é forte e aproximadamente paralelo ao eixo, enquanto do lado de
fora das espiras ele é muito fraco.
A FIGURA 33.29a é uma foto do campo magnético gerado por um pequeno solenóide.
Você pode verificar que o campo magnético interno às espiras é praticamente uniforme
(isto é, as linhas de campo são aproximadamente paralelas) e que o campo externo é
muito fraco. Nosso objetivo de produzir um campo magnético uniforme pode ser atingido aumentando-se o número de espiras até obtermos um solenóide ideal que seja infinitamente longo e no qual as espiras estejam o mais próximo possível umas das outras.
Conforme mostra a FIGURA 33.29B, o campo magnético dentro de um solenóide ideal é
uniforme e paralelo ao eixo; e o campo magnético externo é nulo. Nenhum solenóide
real é ideal, mas um campo magnético praticamente uniforme pode ser produzido próximo ao centro de um solenóide firmemente enrolado cujo comprimento seja muito maior
do que o seu diâmetro.
Podemos usar a lei de Ampère para calcular o campo gerado por um solenóide ideal. A
FIGURA 33.30 mostra uma secção transversal de um solenóide infinitamente longo. O caminho de integração que usaremos é um retângulo de comprimento l que encerra N espiras do
solenóide. Por tratar-se de uma curva matemática, e não, de um limite físico, não há dificuldade em projetá-la através das paredes do solenóide da forma que quisermos. A orientação
do campo magnético do solenóide, dada pela regra da mão direita, é da esquerda para a
direita, de modo que integraremos em torno deste caminho no sentido anti-horário.
Cada uma das N espiras encerrados pelo caminho de integração conduzem uma corrente I; assim, a corrente total através do retângulo é Iatravés NI. A lei de Ampère, então,
assume a forma
(33.15)
FIGURA 33.30 Um caminho fechado dentro
e fora de um solenóide ideal.
A integral de linha ao longo desse caminho é a soma das integrais de linha ao longo de
e de módulo constante B, a integral
cada lado. No lado inferior, onde é paralelo a
é, simplesmente, Bl. Na parte superior, a integral é nula porque o campo externo de um
solenóide ideal é nulo.
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
1017
Os lados esquerdo e direito fornecem uma amostra do campo magnético em ambos
os lados, interno e externo, ao solenóide. O campo magnético externo é nulo, e o campo
interno é perpendicular à linha de integração em qualquer ponto da mesma. Conseqüentemente, como visto na Opção 1 do Box Tático 33.3, a integral de linha é nula.
Somente a integral ao longo do caminho inferior não é nula, levando a
Assim, a intensidade do campo magnético uniforme no interior do solenóide é
(33.16)
onde n Nl é o número de espiras por unidade de comprimento.
Objetos inseridos no centro de um solenóide encontram-se em um campo magnético
uniforme. Medições que necessitem de um campo magnético uniforme são freqüentemente efetuadas no interior de um solenóide, que pode ser muito comprido. O cilindro
que envolve um paciente que se submete a um exame de ressonância magnética contém
um grande solenóide feito de fios supercondutores, o que o permite conduzir correntes
muito grandes a fim de gerar campos magnéticos uniformes muito intensos.
EXEMPLO 33.9 Gerando um campo magnético uniforme
Desejamos produzir um campo magnético uniforme de 0,10 T próximo ao centro de um solenóide de 10 cm de comprimento. Que número de espiras será necessário se o fio puder conduzir uma corrente
máxima de 10 A?
Este paciente submete-se a um exame de
ressonância magnética. O grande cilindro
ao redor dele contém um solenóide que
gera um campo magnético uniforme.
cidas em função da área da secção transversal do fio. Para um fio que
pode conduzir 10 A, podemos usar a Equação 33.16 para encontrar o
número requerido de espiras:
MODELO Suponha que o solenóide seja ideal.
RESOLUÇÃO Ao gerar um campo magnético com um solenóide, existe
um compromisso entre a intensidade da corrente e o número de espiras. Uma corrente maior exigirá poucas espiras. Entretanto os fios
têm resistência, e correntes muito grandes poderão superaquecer o
solenóide. As intensidades máximas de corrente seguras são estabele-
AVALIAÇÃO Um fio que pode conduzir 10 A, sem superaquecer, tem
cerca de 1 mm de diâmetro e, deste modo, somente 100 espiras podem caber em um comprimento de 10 cm. Logo, temos de ter oito
camadas para atingir o número requerido de voltas.
O campo magnético de um solenóide de tamanho finito é aproximadamente uniforme no interior do mesmo; e fraco, mas não nulo, fora. Como mostra a FIGURA 33.31, o
campo magnético no lado de fora do solenóide se parece com o de um ímã. Portanto, um
solenóide constitui um eletroímã, e você pode empregar a regra da mão direita para identificar seu pólo norte. Um solenóide com muitas espiras, pelas quais passe uma corrente
grande, pode ser um ímã muito poderoso.
Solenóide
Ímã em barra
FIGURA 33.31 O campo magnético de um solenóide de tamanho finito e de um ímã em barra.
1018
Física: Uma Abordagem Estratégica
33.7 Força magnética sobre uma carga em
movimento
Correntes de mesmo sentido se atraem
Correntes de sentidos opostos se repelem
FIGURA 33.32 O experimento de
Ampère para estudar as forças entre fios
condutores de corrente.
13.4
É hora de mudarmos nosso foco de como os campos magnéticos são gerados para como
os campos magnéticos exercem forças e torques. Oersted descobriu que uma corrente
em um fio causa um torque magnético exercido sobre uma agulha de bússola posicionada próxima. Tendo ouvido sobre a descoberta de Oersted, Andrè-Marie Ampère, de
quem é tirado o nome da unidade de corrente do SI, argumentou que a corrente atuava
como um ímã. Se isso fosse verdadeiro, os dois fios condutores de corrente deveriam
exercer forças magnéticas um sobre o outro.
Para descobrir a verdade, Ampère confeccionou dois fios paralelos que podiam conduzir grandes correntes, no mesmo sentido ou em sentidos opostos (“correntes antiparalelas”). A FIGURA 33.32 mostra o resultado de seu experimento. Note que as correntes
“iguais” atraem os fios, e as “opostas”, os repelem. Isto corresponde ao oposto do que
esperávamos de dois fios eletricamente carregados quanto a exercerem forças magnéticas um sobre o outro. O experimento de Ampère mostrou que todo campo magnético
exerce força sobre uma corrente.
Força magnética
Toda corrente consiste de cargas em movimento. O experimento de Ampère implica que
um campo magnético exerce força sobre uma carga em movimento. Isto é verdadeiro,
embora a forma exata da lei de força não fosse descoberta até fins do século XIX. A força magnética revela-se dependente não apenas das cargas envolvidas e de suas velcidades, mas também da orientação do vetor velocidade em relação ao campo magnético. A
FIGURA 33.33 mostra o resultado de três experimentos para observar a força magnética.
Não há força sobre uma
carga que se move
paralelamente a
A força magnética é
perpendicular a e
Seu módulo é qvBsen␣.
A força magnética é máxima
quando a carga se move
perpendicularmente a
Plano que
contém
e
FIGURA 33.33 A relação entre
,
e .
Se você comparar o experimento da direita na Figura 33.33 com o da Figura 33.9,
verá que a relação entre , e é exatamente a mesma relação geométrica entre ,
. A força magnética sobre uma carga q enquanto ela se move através do campo
e
magnético com uma velocidade depende do produto vetorial entre e . A força
magnética sobre uma partícula carregada em movimento pode ser escrita
(qvBsen␣, orientação dada pela regra da mão direita)
(33.17)
onde ␣ é o ângulo formado entre e .
A regra da mão direita é a do produto vetorial, ilustrada na FIGURA 33.34. Note que a
força magnética sobre uma partícula carregada em movimento é simultaneamente
perpendicular a e a .
A força magnética possui diversas propriedades importantes:
FIGURA 33.34 A regra da mão direita para
forças magnéticas.
1. Somente uma carga em movimento experimenta uma força magnética. Não existe
força magnética exercida sobre cargas em repouso (v 0) na presença de um
campo magnético.
2. Não há força sobre uma carga em movimento paralelo (␣ 0) ou antiparalelo (␣
180) a um campo magnético.
3. Quando existir uma força, ela será perpendicular a e simultaneamente.
.
4. A força exercida sobre uma carga negativa tem sentido oposto ao de
5. Para uma carga em movimento perpendicular a (␣ 90), o módulo da força
magnética é F |q|vB.
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
1019
A FIGURA 33.35 mostra a relação entre , e para cinco cargas em movimento. (A
fonte do campo magnético não é mostrada na figura, somente o próprio campo.) Você
pode verificar a inerente tridimensionalidade do magnetismo, com a força perpendicular
a e simultaneamente. A força magnética é muito diferente da força elétrica, que é
sempre paralela ao campo elétrico.
aponta para dentro da página
FIGURA 33.35 Forças magnéticas sobre cargas em movimento.
EXEMPLO 33.10 A força magnética sobre um elétron
Um fio longo conduz uma corrente de 10 A no sentido da esquerda
para a direita. Um elétron desloca-se para a direita 1,0 cm acima do
7
fio, com velocidade de 1,0 ⫻ 10 mⲐs. Quais são o módulo, a direção
e o sentido da força magnética exercida sobre o elétron?
MODELO O campo magnético é o gerado por um fio longo e reto.
Elétron
F
-
Campo magnético
criado pela corrente I
v
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 33.36 mostra a corrente e um elétron que se
move para a direita. A regra da mão direita nos diz que o campo magnético criado pelo fio está orientado para fora da página e, portanto, o
elétron está se movendo perpendicularmente ao campo.
RESOLUÇÃO A carga do elétron é negativa; assim, a direção da força é
. A regra da mão direita mostra que
aponta para
oposta a
baixo, em direção ao fio e, assim, aponta para cima, para longe do
fio. O módulo da força é |q|vB ⫽ evB. O campo é o de um fio longo
e reto:
B
Assim, o módulo da força exercida sobre o elétron é
I
B
⫽ (3,2 ⫻ 10⫺16 N, para cima)
FIGURA 33.36 Um elétron em movimento paralelo a um fio
A força sobre o elétron é
condutor de corrente.
AVALIAÇÃO Esta força desviará o elétron para longe do fio.
Neste ponto, podemos chegar a uma interessante e importante conclusão. Você viu
que o campo magnético é criado por cargas em movimento. Agora você também sabe
que as forças magnéticas são exercidas sobre cargas em movimento. Assim, parece que
o magnetismo é uma interação entre cargas em movimento. Quaisquer duas cargas,
em movimento ou estacionárias, interagem uma com a outra através do campo elétrico.
Além disso, duas cargas em movimento também interagem entre si através do campo
magnético. Esta observação fundamental é facilmente esquecida à medida que falamos
sobre correntes, ímãs, torques e outros fenômenos do magnetismo. Mas a característica
mais básica subjacente a todos estes fenômenos é que eles envolvem uma interação entre
as cargas em movimento.
Movimento ciclotron
Muitas aplicações importantes do magnetismo envolvem o movimento de partículas carregadas em um campo magnético. Todo tubo de imagem de televisão funciona através do
emprego de campos magnéticos para direcionar os elétrons enquanto eles se movem através do vácuo, dentro do canhão de elétrons, até chegar à tela. Geradores de microondas,
usados em aplicações que vão desde fornos a radares, empregam um dispositivo denominado magnetron, no qual elétrons oscilam rapidamente em um campo magnético.
Você acabou de ver que não existe força exercida sobre uma partícula que tenha velocidade paralela ou antiparelela a um campo magnético. Conseqüentemente, nenhum
campo magnético tem efeito sobre uma carga que se movimente paralela ou antiparalelamente ao campo. Para compreender o movimento de partículas carregadas na
presença de campos magnéticos, basta considerar apenas seu movimento perpendicular
ao campo.
Um feixe de elétrons descreve um
movimento circular na presença de um
campo magnético.
1020
Física: Uma Abordagem Estratégica
A FIGURA 33.37 mostra uma carga positiva q movendo-se com velocidade em um
plano perpendicular a um campo magnético uniforme . De acordo com a regra da mão
direita, a força magnética sobre essa partícula é perpendicular à sua velocidade . Uma
força que é sempre perpendicular a faz variar a orientação de movimento, desviando a
partícula lateralmente, mas não é capaz de fazer variar a velocidade da partícula. Assim,
toda partícula em movimento perpendicular a um campo magnético uniforme descreve a um movimento circular uniforme. Esse movimento é chamado de movimento
ciclotron da partícula carregada em um campo magnético.
é perpendicular a
entra na página
NOTA Se a carga for negativa, ela orbitará em sentido oposto àquele mostrado na
Figura 33.37 para o caso de uma carga positiva. A força magnética é sempre perpendicular
a v, fazendo com que a partícula se
mova em um círculo.
FIGURA 33.37 O movimento ciclotron de
uma partícula carregada em um campo
magnético.
Você já viu muitas analogias para o movimento ciclotron neste texto. Para uma massa em movimento na extremidade de uma corda, a tensão é sempre perpendicular a .
Para um satélite em uma órbita circular, a força gravitacional é sempre perpendicular a
. Agora, para uma partícula carregada se movendo em um campo magnético, é a força
magnética de intensidade F qvB que aponta em direção ao centro do círculo e faz com
que a partícula tenha uma aceleração centrípeta.
A segunda lei de Newton para o movimento circular, que você aprendeu no Capítulo 8, é
(33.18)
Assim, o raio da órbita ciclotron é
(33.19)
13.7, 13.8
A dependência inversamente proporcional a B indica que o tamanho da órbita pode ser
diminuído por meio do aumento da intensidade do campo magnético.
Podemos também determinar a freqüência do movimento ciclotron. De seu recente
estudo sobre o movimento circular, lembre-se de que a freqüência de revolução f está
relacionada à velocidade e ao raio por f v2␲r. Um rearranjo da Equação 33.19 nos
fornece a freqüência ciclotron:
(33.20)
onde a razão qm é a razão carga-massa da partícula. Note que a freqüência ciclotron
depende da razão carga-massa e da intensidade do campo magnético, mas não, da velocidade da carga.
EXEMPLO 33.11 O raio do movimento ciclotron
MODELO A energia é conservada enquanto o elétron é acelerado
Na FIGURA 33.38, um elétron é acelerado, desde o repouso, por meio de
uma diferença de potencial de 500 V e, a seguir, é injetado em um campo magnético uniforme. Uma vez na presença do campo magnético, ele
completa meia revolução em 2,0 ns. Qual é o raio de sua órbita?
pela diferença de potencial. Na presença do campo magnético, o
elétron, então, passa a descrever o movimento ciclotron, embora
complete apenas meia revolução até colidir com o eletrodo de aceleração.
RESOLUÇÃO O elétron acelera desde o repouso (vi 0 ms), onde Vi 0 V, para vf, onde Vf 500 V. Podemos usar a conservação da energia,
Kf qVf Ki qVi, para determinar a velocidade vf com a qual ele
entra no campo magnético:
FIGURA 33.38 Um elétron é acelerado e, depois, é injetado em um
campo magnético.
CAPÍTULO 33
O raio ciclotron no campo magnético é rcic ⫽ mvⲐeB, mas primeiro
precisamos determinar a intensidade do campo. Se não fosse o eletrodo, o elétron completaria o movimento circular com período T ⫽
8
4,0 ns. Portanto, a freqüência ciclotron é f ⫽ 1ⲐT ⫽ 2,5 ⫻ 10 Hz.
Podemos usar a freqüência ciclotron para determinar a intensidade do
campo magnético como
■
O Campo Magnético
1021
Assim, o raio da órbita do elétron é
A FIGURA 33.39a mostra uma situação mais geral, em que a velocidade da partícula
carregada não é paralela nem perpendicular a . O componente de paralelo a não
é afetada pelo campo, portanto a partícula carregada gira ao redor das linhas de campo
magnético em uma trajetória helicoidal. O raio da hélice é determinado por , o componente de perpendicular a .
As partículas carregadas
espiralam ao redor das
linhas de campo magnético.
Próximo aos pólos, o campo magnético
da Terra conduz as partículas para dentro
da atmosfera, produzindo a aurora.
A aurora vista do espaço
FIGURA 33.39 Em geral, partículas carregadas giram em trajetórias helicoidais ao redor das
linhas de campo magnético. Este movimento é responsável pela aurora da Terra.
O movimento de partículas carregadas em um campo magnético é responsável
pela aurora da Terra. Partículas de alta energia e radiação que jorram para fora do Sol,
formando o que se chama de vento solar, criam íons e elétrons ao se chocarem com
as moléculas da alta atmosfera. Algumas dessas partículas carregadas ficam presas no
campo magnético da Terra, criando o que é conhecido como o cinturão de radiação
de Van Allen.
Como mostra a FIGURA 33.39b, os elétrons giram ao longo das linhas do campo magnético até que o campo os conduza para dentro da atmosfera. A forma do campo magnético da Terra é tal que a maioria dos elétrons adentra na atmosfera em uma região circular ao redor do pólo norte magnético e em outra equivalente, ao redor do pólo sul
magnético. Lá, eles colidem com os átomos de oxigênio e nitrogênio, excitando-os e
fazendo com que emitam a luz da aurora. A FIGURA 33.39c mostra uma imagem obtida do
espaço, em cores falsas, da luz ultravioleta emitida pela aurora.
PARE E PENSE 33.5
Um elétron se move perpendicularmente a um
campo magnético. Qual é o sentido de ?
a. Para a esquerda b. Para cima c. Para dentro da página
d. Para a direita e. Para baixo f. Para fora da página
A bonita aurora boreal, ou luzes do norte,
deve-se ao campo magnético da Terra.
1022
Física: Uma Abordagem Estratégica
O ciclotron
O potencial V oscila com a
freqüência fcic do ciclotron.
Fonte de prótons
Dês
Os
prótons
saem por
aqui
Ímã
da base
FIGURA 33.40 Um ciclotron.
FIGURA 33.41 Um elétron e um pósitron
se movem em uma câmara de bolhas. O
campo magnético é perpendicular à página.
Ao estudar a estrutura do núcleo atômico e as partículas elementares, os físicos geralmente usam um dispositivo chamado de acelerador de partículas. As partículas carregadas, geralmente prótons ou elétrons, são aceleradas até velocidades muito altas, próximas da velocidade da luz, e, depois, colidem com um alvo. As energias de impacto são
suficientemente grandes para vencerem as forças nucleares, ejetando partículas elementares que podem ser rastreadas e estudadas. O primeiro acelerador de partículas prático,
inventado nos anos de 1930, foi o ciclotron. Os ciclotrons permanecem importantes em
muitas aplicações da física nuclear, como a criação de radioisótopos para a medicina,
por exemplo.
O ciclotron, mostrado na FIGURA 33.40, consiste de uma câmara a vácuo no interior de
um grande campo magnético uniforme. Dentro da câmara estão dois condutores ocos,
com a forma da letra D, por isso chamados de “dês”. Os dês são feitos de cobre, que não
afeta o campo magnético; abertos ao longo dos lados retos; e separados por uma pequena fenda. Uma partícula carregada, geralmente um próton, é injetada no campo magnético, proveniente de uma fonte próxima ao centro do ciclotron, e começa a mover-se para
dentro e para fora dos dês em uma órbita circular dentro do ciclotron.
O ciclotron opera tirando vantagem do fato de que a freqüência ciclotron fcic de uma
partícula carregada é independente da velocidade da partícula. Uma diferença de potencial oscilante V é aplicada através dos dês e ajustada até que sua freqüência seja exatamente igual à freqüência ciclotron. Quase não existe campo elétrico dentro dos dês (você
aprendeu, no Capítulo 28, que o campo elétrico dentro de um condutor oco é zero), mas
um forte campo elétrico aponta do dê positivo para o dê negativo na fenda entre os dois.
Suponha que o próton saia da fenda do dê positivo. O campo elétrico da fenda o acelera através do espaçamento, para dentro do dê negativo, com o próton ganhando uma
energia cinética eV. Meio ciclo mais tarde, quando ele emerge novamente da fenda, o
potencial dos dês (cuja diferença de potencial oscila com fcic) terá trocado de sinal. O
próton, outra vez, estará emergindo do dê positivo e, novamente, será acelerado através
da fenda, adquirindo energia cinética eV.
Como o potencial dos dês varia no tempo com a órbita do próton e a freqüência ciclotron do próton não varia enquanto sua velocidade aumenta, este padrão continuará órbita
após órbita. A energia cinética do próton aumenta em 2eV a cada órbita e, portanto, depois de completadas N órbitas, sua energia cinética será K 2NeV (assumindo que sua
energia cinética inicial era próxima de zero). O raio de sua órbita aumenta à medida que
sua velocidade cresce; portanto, o próton segue o caminho em espiral mostrado na Figura
33.40 até que finalmente alcance o borda externa do dê. Então, ele é direcionado para fora
do ciclotron e atinge o alvo. Embora V seja modesto, geralmente de algumas poucas
centenas de volts, o fato de que o próton possa descrever muitos milhares de órbitas antes
de alcançar a borda externa permite que ele adquira uma energia cinética muito grande.
Campos magnéticos são importantes também na análise das partículas elementares
produzidas nestas colisões de alta energia. Note que a Equação 33.19 para rcic pode ser
escrita como mv p rcicqB. Em outras palavras, o momentum de uma partícula carregada pode ser determinado medindo-se o raio de sua órbita em um campo magnético
conhecido. Isso é feito no interior de um dispositivo denominado câmara de bolha, onde
as partículas deixam um rastro de suas trajetórias em forma de uma linha de minúsculas
bolhas em hidrogênio líquido. Este padrão de bolhas é fotografado, e o raio da órbita da
partícula é medido na fotografia. A FIGURA 33.41 é uma fotografia de uma colisão em que
um elétron e um pósitron (um antielétron, tendo a massa do elétron, mas carga e) foram criados. Note que suas espirais têm sentidos opostos porque suas cargas são de sinais contrários, com seus raios lentamente diminuindo à medida que perdem energia nas
colisões com os átomos de hidrogênio.
O efeito Hall
Uma partícula carregada que se move através do vácuo é defletida lateralmente, perpendicularmente a , por um campo magnético. Em 1879, um estudante de graduação
chamado Edwin Hall mostrou que o mesmo é verdadeiro para cargas que se movem
em um condutor, tomando parte de uma corrente. Este fenômeno – agora conhecido
como efeito Hall – é usado para obter informações sobre os portadores de cargas em um
condutor. Ele é, também, a base de uma técnica extensamente usada para a medição de
intensidades de campos magnéticos.
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
1023
A FIGURA 33.42a mostra um campo magnético perpendicular a uma superfície condutora por onde flui uma corrente. Você aprendeu no Capítulo 31 que os portadores
de corrente se movem através de um condutor com uma velocidade de deriva vd. Seu
movimenteo é perpendicular a , então cada portador de carga experimenta uma força
magnética Fm evdB simultaneamente perpendicular a e a I. Entretanto, pela primeira
vez temos uma situação em que o sinal dos portadores de carga é importante.
Os portadores de carga
são desviados para uma
das superfícies.
A superfície
superior é negativa.
Corrente convencional
de portadores de carga
positivos
Área
Campo elétrico devido
à separação de carga
FIGURA 33.42 Os portadores de carga de uma corrente são desviados para uma das
superfícies de um condutor, criando a voltagem Hall VH.
A FIGURA 33.42b, em que o campo está orientado para fora da página, mostra que os portadores de carga positivos que se movem no sentido de I são empurrados em direção à superfície inferior do condutor. Isto cria um excesso de carga positiva naquela superfície e um
excesso de carga negativa na superfície superior. A FIGURA 33.42c, onde os elétrons, em uma
corrente de elétrons i, se movem em sentido oposto ao de I, mostra que os elétrons seriam
empurrados em direção à superfície inferior. (Certifique-se de usar a regra da mão direita e
o sinal da carga do elétron para confirmar os desvios mostrados na figura.) Assim, o sinal do
excesso de carga na superfície inferior é o mesmo sinal dos portadores de carga. Experimentalmente, constata-se que a superfície inferior é negativa quando o condutor é um metal, e
esta é mais uma evidência de que os portadores de carga nos metais são os elétrons.
Uma vez que a corrente comece a fluir, os elétrons são desviados em direção à superfície inferior, mas o processo não pode prosseguir assim indefinidamente. Os excessos
de cargas sobre as superfícies, como as cargas nas placas de um capacitor, criam uma
diferença de potencial V entre as duas superfícies e um campo elétrico E Vw dentro do condutor. A carga se estabelece sobre a superfície até que a força elétrica sobre
os portadores de carga, orientada para cima, equilibre exatamente a força magnética
orientada para baixo. Uma vez que as forças se equilibrem, é atingido um estado estável
em que os portadores de carga se movem na direção da corrente e nenhuma carga adicional é desviada para a superfície.
A condição para o estado estável, no qual Fm Fe, é
(33.21)
Assim, a diferença de potencidal no estado estável, entre as duas superfícies do condutor, denominada voltagem Hall VH, é
(33.22)
No Capítulo 31, você aprendeu que a velocidade de deriva está relacionada à densidade
de corrente J por J nevd, onde n é a densidade de portadores de carga (número de por3
tadores de carga por m ). Assim,
(33.23)
onde A wt é a área da secção transversal do condutor. Usando esta expressão para vd
na Equação 33.22, encontramos que a voltagem Hall é
(33.24)
A voltagem Hall é muito pequena para metais na presença de campos magnéticos
gerados em laboratórios, tipicamente na faixa dos microvolts. Mesmo assim, medições
da voltagen Hall em campos magnéticos conhecidos são usadas para determinar a densidade n de portadores de carga. É interessante notar que a voltagem Hall é maior para
Corrente
de elétrons
A superfície
superior é positiva.
1024
Física: Uma Abordagem Estratégica
condutores pobres, com menores densidades de portadores de carga. Um teste de laboratório para medição de intensidades de campo magnético, chamado de teste Hall, mede
VH para um condutor pobre cuja densidade de portadores de carga seja conhecida. O
campo magnético, então, é determinado a partir da Equação 33.24.
EXEMPLO 33.12 Medindo o campo magnético
Um teste Hall é realizado com uma tira do metal bismuto com espessura de 0,15 mm e largura de 5,0 mm. O bismuto é um condutor
25
3
pobre, com densidade de portadores de carga de 1,35 10 m .
A voltagem Hall no teste é de 2,5 mV quando a corrente através da
amostra é de 1,5 A. Qual é a intensidade do campo magnético e qual é
a intensidade do campo elétrico no interior do bismuto?
VISUALIZAÇÃO A tira de bismuto se parece com a da Figura 33.42a. A
4
espessura é t 1,5 10
3
m e a largura é w 5,0 10
m.
O campo elétrico criado no interior do bismuto pelo excesso de carga
sobre sua superfície é
RESOLUÇÃO A Equação 33.24 fornece a voltagem Hall. Rearranjando
a equação, obtemos que o campo magnético é
AVALIAÇÃO Uma intensidade de 0,54 T é típica de um ímã de labora-
tório.
33.8 Forças magnéticas sobre fios condutores
de corrente
Não existe força
sobre uma corrente
paralela ao campo
magnético.
Uma corrente perpendicular ao campo experimenta uma força com a
orientação dada pela
regra da mão direita.
A observação de Ampère sobre as forças magnéticas entre fios condutores de corrente
motivou-nos a examinar as forças sobre cargas em movimento. Agora estamos prontos
para aplicar este conhecimento ao experimento de Ampère. Como primeiro passo, vamos encontrar a força exercida por um campo magnético uniforme sobre um longo fio
reto pelo qual flui uma corrente I em presença do campo. Como mostra a FIGURA 33.43a,
não existe força sobre um fio condutor de corrente paralelo ao campo magnético. Isso
não deveria constituir uma surpresa, pois vem do fato de que não existe força sobre uma
partícula carregada que se move paralelamente a .
A FIGURA 33.43b mostra um fio perpendicular ao campo magnético. Pela regra da mão
direita, cada carga da corrente experimenta uma força de módulo igual a qvB, direcionada para a esquerda. Conseqüentemente, todo o comprimento do fio no interior do campo
magnético experimenta uma força orientada para a esquerda que é simultaneamente perpendicular à direção da corrente e à direção do campo.
Para determinar o módulo da força, devemos relacionar a corrente I no fio à carga q
que se move pelo mesmo. A FIGURA 33.44 mostra um segmento de um fio, de comprimento l, que conduz uma corrente I. Esta corrente, por definição, é a quantidade de carga q
em movimento neste segmento dividida pelo tempo t decorrido para que ela flua através do segmento: I qt. O tempo requerido é t lv, resultando em
FIGURA 33.43 Força magnética sobre um fio
condutor de corrente.
Assim, Il qv. Se definirmos o vetor com módulo igual a l e com a orientação de , a da
. Substituindo isto por na equação da força
,
corrente, temos então
obtemos que a força magnética sobre um fio condutor de corrente é dada por
(IlBsen␣, orientação dada pela regra da mão direita)
Carga q
Uma corrente é formada por portadores
de carga q que se movem com velocidade v.
FIGURA 33.44 Duas maneiras de conceber
uma corrente.
(33.25)
onde ␣ é o ângulo formado entre (com a orientação da corrente) e . Como aparte,
você pode verificar na Equação 33.25 que o campo magnético B deve ter como unidade
o NA. Isto se deve ao que definimos na Seção 33.3, ou seja, 1 T 1 NA.
NOTA A familiar regra da mão direita se aplica ao fio condutor de corrente. Oriente seu polegar na direção e sentido da corrente (paralelo a ) e seu dedo indicador
na direção de . Seu dedo médio, então, apontará na direção e no sentido da força
exercida sobre o fio. CAPÍTULO 33
EXEMPLO 33.13 Levitação magnética
O campo magnético uniforme de 0,10 T da FIGURA 33.45 é horizontal,
paralelo ao chão. Um segmento reto de fio de cobre, com diâmetro de
1,0 mm e também paralelo ao chão, é perpendicular ao campo magnético. Que corrente fluindo através do fio, e em que sentido, fará o
mesmo “flutuar” no campo magnético?
■
O Campo Magnético
1025
RESOLUÇÃO Podemos usar a regra da mão direita para determinar qual
orientação da corrente resultará em uma força orientada para cima.
Com apontando para longe de nós, o sentido da corrente deve ser da
esquerda para a direita. As forças se equilibrarão quando
onde ␳ 8.920 kgm é a densidade do cobre. O comprimento l do fio
é simplificado, levando-nos a
3
Uma corrente de 0,69 A orientada da esquerda para a direita levitará
o fio no campo magnético.
AVALIAÇÃO Uma corrente de 0,69 A é bastante plausível, mas esta
FIGURA 33.45 Levitação magnética.
MODELO O fio flutuará no campo magnético se a força magnética
exercida sobre o fio apontar para cima e tiver módulo igual a mg,
permitindo-lhe equilibrar a força gravitacional orientada para baixo.
idéia será útil apenas se pudermos ter a corrente dentro e fora deste
segmento de fio. Na prática, o faríamos com fios que viessem por
baixo da página. Os fios de entrada e de saída seriam paralelos a
e não experimentariam uma força magnética. Embora este exemplo
seja muito simples, ele constitui a base para aplicações como a levitação magnética de trens.
Força entre dois fios paralelos
Agora consideremos o arranjo experimental de Ampère, com dois fios paralelos de comprimento l distanciados por d. A FIGURA 33.46a mostra as correntes I1 e I2 no mesmo sentido; a FIGURA 33.46b mostra as correntes em sentidos opostos. Assumiremos que os fios
sejam suficientemente longos para nos permitir o uso do resultado anterior para o campo
magnético criado por um longo fio reto: B ␮0I2␲d.
Correntes no mesmo sentido
Correntes em sentidos opostos
Campo magnético B2 criado pela corrente I2
2 sobre 1
2 sobre 1
1 sobre 2
1 sobre 2
Campo magnético B1 criado pela corrente I1
2 sobre 1
2 sobre 1
1 sobre 2
1 sobre 2
FIGURA 33.46 Forças magnéticas entre fios condutores de corrente paralelos.
Como mostra a Figura 33.46a, a corrente I2 no fio inferior cria um campo magnético
na posição do fio superior. O campo
aponta para fora da página, perpendicularmente à corrente I1. É o campo , criado pelo fio inferior, que exerce uma força
magnética sobre o fio superior.
Usando a regra da mão direita, você pode verificar que a força exercida sobre o fio
superior está orientada para baixo, atraindo-o, deste modo, em direção ao fio inferior. O
campo criado pela corrente inferior não é uniforme, mas é igual em todos os pontos ao
longo do fio superior, pois entre si os dois fios são paralelos. Conseqüentemente, podemos usar o campo criado por um fio longo e reto para determinar a força magnética exercida pelo fio inferior sobre o superior quando eles estão separados por uma distância d:
(força entre dois fios paralelos)
(33.26)
13.5
1026
Física: Uma Abordagem Estratégica
Como exercício, tente convencer-se de que a corrente no fio superior exerce uma
força magnética orientada para cima sobre o fio inferior, com exatamente o mesmo módulo. Você pode também convencer-se, por meio do uso da regra da mão direita, de que
as forças são repulsivas e tendem a afastar os fios um do outro quando as duas correntes
tiverem sentidos opostos.
Assim, dois fios paralelos exercem forças de mesma intensidade e opostas, um sobre
o outro, como requerido pela terceira lei de Newton. Fios paralelos que conduzem
correntes no mesmo sentido se atraem; fios paralelos conduzindo correntes em sentidos opostos se repelem.
EXEMPLO 33.14 Uma balança de corrente
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 33.47 mostra o “circuito”. As molas são condu-
Dois fios rígidos e paralelos, com 50 cm de comprimento cada, estão conectados a molas em suas extremidades. Cada mola tem 5,0 cm de comprimento, quando não estão esticadas, e uma constante de mola igual a
0,025 Nm. Os fios se empurram para longe um do outro quando uma
corrente flui ao longo do caminho fechado. Que intensidade de corrente
será necessária para esticar as molas até um comprimento de 6,0 cm?
toras, permitindo que uma corrente flua ao longo do caminho fechado.
Em equilíbrio, as forças magnéticas repulsivas entre os fios são compensadas pelas forças restauradoras Fmola ky exercidas pelas molas.
Fsp
onde k é a constante da mola e y 1,0 cm é a quantidade pela qual
cada mola é esticada. Isolando a corrente, obtemos
Fsp
I
RESOLUÇÃO A Figura 33.47 representa as forças exercidas sobre o fio
inferior. A força resultante é nula, portanto Fm 2Fmola. A força repulsiva entre os fios é dada pela Equação 33.26, com I1 I2 I:
Fmola
AVALIAÇÃO Dispositivos em que uma força magnética equilibra uma
FIGURA 33.47 Os fios condutores de corrente do Exemplo 33.14.
força mecânica são chamados de balanças de corrente. Eles podem
ser usados para medir correntes com muita precisão.
33.9 Forças e torques sobre espiras de corrente
13.6
Você já viu que uma espira de corrente possui um dipolo associado, assim como um ímã
permanente. Examinemos agora algumas características importantes da maneira como
as espiras de corrente se comportam em presença de campos magnéticos. A discussão
será amplamente qualitativa, mas realçará algumas das importantes propriedades dos
ímãs e dos campos magnéticos. Na próxima seção usaremos essas idéias para fazer a
conexão entre eletroímãs e ímãs permanentes.
A FIGURA 33.48a mostra duas espiras de corrente. Usando o que aprendemos sobre
forças entre correntes paralelas ou antiparalelas, você pode notar que espiras paralelas
exercem forças magnéticas atrativas entre si, se as correntes circularem no mesmo
sentido, e forças repulsivas, se as correntes forem antiparalelas.
Correntes paralelas se atraem,
correntes antiparalelas se repelem.
Pólos opostos se atraem,
pólos iguais se repelem.
FIGURA 33.48 Duas maneiras alternativas, mas equivalentes, de considerar as forças
magnéticas.
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
1027
É conveniente refletir sobre essas forças em termos de pólos magnéticos. A FIGURA
33.48b mostra os pólos magnéticos norte e sul de uma espira de corrente. Se as correntes
circularem no mesmo sentido, um pólo norte e outro pólo sul, face a face, exercerão
forças atrativas entre si. Se as correntes circularem em sentidos opostos, os dois pólos
iguais se repelirão.
Aqui, afinal, temos a conexão real sobre o comportamento dos ímãs que abriu
nossa discussão sobre o magnetismo – a saber, que pólos iguais se repelem e pólos
opostos se atraem. Agora dispomos de uma explicação para tal comportamento, ao
menos no caso dos eletroímãs. Pólos magnéticos se atraem ou se repelem devido
ao movimento de cargas em correntes, que exercem forças magnéticas atrativas
ou repulsivas sobre as cargas em movimento de outra corrente. Nosso caminho
através da interação das cargas em movimento está finalmente começando a revelar
alguns resultados práticos!
Agora consideremos as forças sobre uma espira de corrente em presença de um campo magnético uniforme. A FIGURA 33.49 mostra uma espira de corrente quadrada em um
campo magnético uniforme. A corrente em cada um dos quatro lados experimenta uma
força magnética exercida pelo campo . As forças frontal e posterior são opostas uma à
outra e se anulam. As forças topo e base também se adicionam, dando uma força resultante nula, mas, visto que não atuam ao longo da mesma linha, elas farão a espira girar
por exercerem um torque sobre ela.
As forças exercidas sobre os segmentos do topo e da base formam o que chamamos,
no Capítulo 12, de um binário. O torque devido ao binário é igual ao módulo da força
multiplicado pela distância d entre as linhas de ação das duas forças. Note que d ⫽ l
sen␪; portanto, o torque sobre a espira – exercido pelo campo magnético – é
Ftopo e Fbase exercem um torque que
faz a espira girar em torno do eixo x.
topo
posterior
(33.27)
onde ␮ ⫽ Il ⫽ IA é o módulo do momento de dipolo magnético da espira.
Embora tenhamos derivado a Equação 33.27 para o caso de uma espira quadrada,
o resultado obtido é válido para uma espira de corrente com qualquer formato. Note
que a Equação 33.27 se parece com outro exemplo de produto vetorial. Anteriormente,
definimos o vetor momento de dipolo magnético como um vetor perpendicular à
espira de corrente com sentido determinado pela regra da mão direita. A Figura 33.49
mostra que ␪ é o ângulo formado entre e ; portanto, o torque exercido sobre o dipolo
magnético é
2
(33.28)
O torque é nulo quando o momento de dipolo magnético é paralelo ou antiparalelo
ao campo magnético e é máximo quando é perpendicular ao campo. Este é o torque
magnético que causa a rotação da agulha de uma bússola – que constitui um momento
magnético – até que ela se alinhe com o campo magnético.
Um motor elétrico
O torque exercido sobre uma espira de corrente ao redor de um campo magnético constitui o príncípio de funcionamento de um motor elétrico. Como mostra a FIGURA 33.50,
a armadura do motor é uma bobina de fio enrolada em torno de um eixo. Quando uma
corrente flui pela bobina, o campo magnético exerce um torque sobre a armadura e a faz
girar. Se a corrente fosse estável, a armadura oscilaria para trás e para a frente, em torno
de sua posição de equilíbrio, até (supondo que exista algum atrito ou amortecimento)
parar por completo, com o plano da bobina perpendicular ao campo. A fim de manter o
motor em rotação, um dispositivo chamado comutador inverte o sentido da corrente na
bobina a cada 180⬚ de giro da mesma. (Note que o comutador é dividido em duas partes,
de modo que o terminal positivo da bateria envia uma corrente para qualquer fio que
toque a metade direita do comutador.) A corrente invertida impede que a armadura atinja
a posição de equilíbrio, e assim o torque magnético mantém o motor girando enquanto
houver uma corrente.
frontal
base
Linhas
de ação
sen
FIGURA 33.49 Um campo magnético
uniforme exerce um torque sobre uma
espira de corrente.
1028
Física: Uma Abordagem Estratégica
Ímã
Rotação
Força magnética orientada
para cima, sobre o lado
esquerdo da espira
Armadura
Força magnética orientada para baixo,
sobre o lado direito da espira
O comutador inverte a corrente na espira a cada meio ciclo, de modo
que a força está sempre orientada para cima sobre o lado esquerdo da espira.
FIGURA 33.50 Um motor elétrico simples.
PARE E PENSE 33.6
Qual é o sentido da corrente na espira?
a. Para fora da página no topo da espira, para dentro da
página na base.
b. Para fora da página na base da espira, para dentro da
página no topo.
Repulsão
33.10 Propriedades magnéticas da matéria
Nossa teoria concentrou-se, principalmente, nas propriedades magnéticas das correntes, ainda que nossa experiência diária seja, em grande parte, com ímãs permanentes.
Vimos que as espiras de corrente e os solenóides possuem pólos magnéticos e exibem
comportamentos parecidos com o de ímãs permanentes, todavia ainda falta uma conexão
específica entre eletroímãs e ímãs permanentes. A meta desta seção é completar nossa
compreensão por meio de desenvolvimento de uma perspectiva em nivel atômico das
propriedades magnéticas da matéria.
Ímãs atômicos
O momento magnético deve-se
ao movimento orbital dos elétrons
Núcleo
Elétron
FIGURA 33.51 Um elétron clássico em
órbita constitui um minúsculo dipolo
magnético.
Uma explicação plausível para as propriedades magnéticas exibidas pelos materiais é
baseada no movimento orbital dos elétrons atômicos. A FIGURA 33.51 mostra um modelo
atômico clássico simples em que um elétron negativamente carregado orbita um núcleo
positivamente carregado. Nesta figura do átomo, o movimento do elétron equivale a uma
espira de corrente! Trata-se de uma espira de corrente microscópica, com certeza, mas
uma espira de corrente, mesmo assim. Conseqüentemente, um elétron em órbita se comporta como um minúsculo dipolo magnético, dotado de um pólo norte e de um pólo sul.
Você pode imaginar o dipolo magnético como um ímã do tamanho característico de um
átomo. Experimentos realizados com átomos individuais de hidrogênio mostram que
eles são, realmente, minúsculos ímãs.
Entretanto, os átomos da maioria dos elementos contêm muitos elétrons. Diferentemente do Sistema Solar, em que todos os planetas orbitam em um mesmo sentido, as
órbitas dos elétrons estão arranjadas de modo a se oporem umas às outras: para cada
elétron que se move em sentido anti-horário existe outro elétron que se move em sentido
horário. Dessa maneira os momentos magnéticos das órbitas individuais tendem a se
cancelar, e o momento magnético resultante é nulo ou muito pequeno.
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
1029
O cancelamento prossegue à medida que os átomos são unidos para formar moléculas, e as moléculas, para formar sólidos. Em última análise, o momento magnético resultante em qualquer volume de matéria, devido aos elétrons em órbita, é tão pequeno que
pode ser desprezado. Existem vários efeitos magnéticos sutis que podem ser observados
sob condições de laboratório, mas os elétrons em órbita não podem explicar os efeitos
magnéticos muito fortes observados em um pedaço de ferro.
O spin do elétron
A chave para o entendimento do magnetismo atômico foi a descoberta, feita em 1922,
de que os elétrons possuem um momento magnético intrínseco. Talvez isto não devesse
constituir surpresa. Todo elétron tem uma massa, o que lhe permite interagir com campos gravitacionais, e uma carga, que permite interagir com campos elétricos. Não há
razão para que um elétron não possa interagir também com campos magnéticos, e, para
fazê-lo, ele deve possuir um momento magnético.
O momento magnético intrínseco do elétron é freqüentemente chamado de spin porque, em uma visualização clássica, uma esfera carregada que gira possui um momento
magnético. Esta visão clássica não é um retrato fiel do comportamento real de elétron,
mas seu momento magnético intrínseco faz com que pareça como se girasse. Embora
ele possa não estar girando no sentido literal, todo elétron realmente constitui um ímã
microscópico.
Devemos apelar para os resultados da física quântica a fim de descobrir o que ocorre
em um átomo com muitos elétrons. Os momentos magnéticos de spin, como os momentos magnéticos orbitais, tendem a se opor uns aos outros à medida que os elétrons são
postos em camadas, fazendo com que o momento magnético de uma camada completa
seja nulo. Entretanto os átomos que contêm um número ímpar de elétrons devem, ao
menos, ter um elétron de valência com um spin também ímpar. Tais átomos possuem um
momento magnético devido ao spin dos elétrons.
Porém átomos dotados de momento magnético não formam necessariamente um
sólido com propriedades magnéticas. Para a maioria dos elementos, os momentos magnéticos dos átomos ficam aleatoriamente arranjados ao se juntarem para formar um sólido. Como mostra a FIGURA 33.52, este arranjo aleatório produz um sólido cujo momento
magnético resultante é muito próximo de zero. Isso concorda com nossa experiência
cotidiana de que a maioria dos materiais não é magnética; você não pode erguê-los com
um ímã ou usá-los para confeccionar um ímã. Por outro lado, existem alguns materiais,
como o ferro, que exibem fortes propriedades magnéticas, e precisamos descobrir por
que esses materiais magnéticos são diferentes dos demais.
Ferromagnetismo
Parece que no ferro, e em algumas outras poucas substâncias, os spins interagem uns
com os outros de maneira que todos os momentos magnéticos atômicos tendem a se
alinhar em uma mesma direção e sentido. Os materiais que se comportam dessa forma
são denominados ferromagnéticos, com o prefixo ferro significando “parecido com o
ferro”. A FIGURA 33.53 mostra como os momentos magnéticos de spin estão alinhados
para que os átomos constituam um sólido ferromagnético.
Os momentos magnéticos atômicos
estão alinhados. A amostra possui um
pólo norte e um pólo sul magnético.
FIGURA 33.53 Os momentos magnéticos atômicos alinhados em um material ferromagnético
criam um dipolo magnético microscópico.
Os momentos magnéticos atômicos se
devem a um número ímpar de spins
orientados aleatoriamente. A amostra não
possui momento magnético resultante.
FIGURA 33.52 Os momentos magnéticos
aleatoriamente orientados dos átomos
de um sólido comum não produzem um
momento magnético resultante.
1030
Física: Uma Abordagem Estratégica
Domínios magnéticos
Em materiais ferromagnéticos, os momentos magnéticos individuais se somam de
maneira a criar um dipolo magnético macroscópico. Uma amostra do material contém
um pólo norte e um pólo sul magnéticos, que geram um campo magnético e se alinham
paralelamente a um campo magnético externo. Em outras palavras, trata-se de um ímã!
Embora o ferro seja um material magnético, um pedaço comum de ferro não é um
ímã permanente forte. Você não precisa se preocupar com que aquele prego de aço, que
na maior parte é ferro e que é facilmente atraído por um ímã, salte de sua mão e se prenda ao martelo por causa de seu magnetismo próprio. Como mostrado na FIGURA 33.54,
isso revela que uma peça de ferro é dividida em pequenas regiões chamadas de domínios magnéticos. Cada domínio típico é pequeno – 0,1 mm ou menos é um tamanho
característico –, mas não exageradamente. Os momentos magnéticos de todos os átomos
de ferro pertencentes a cada domínio estão perfeitamente alinhados, e cada domínio individual, como na Figura 33.53, constitui um ímã forte.
Contudo, os inúmeros domínios magnéticos que formam um sólido maior, tal como
os que você pode segurar em sua mão, estão orientados aleatoriamente. Seus dipolos
magnéticos se cancelam em grande parte, assim como o que ocorre em escala atômica
no caso de substâncias não-ferromagnéticas, e o sólido, como um todo, possui apenas
um pequeno momento magnético. Essa é a razão por que um prego comum não é um
ímã permanente forte.
Momento magnético do domínio
FIGURA 33.54 Domínios magnéticos em
um material ferromagnético. O dipolo
magnético resultante é aproximadamente
nulo.
Os domínios magnéticos se alinham
com o campo magnético do solenóide.
Material ferromagnético
O dipolo magnético induzido tem
um pólo norte e um pólo sul magnéticos.
Dipolos magnéticos induzidos
Se uma substância ferromagnética for exposta a um campo magnético externo, este
exercerá um torque sobre o dipolo magnético de cada domínio. O torque causará muitas rotações dentro do domínio, que se alinha com o campo externo da mesma forma
como a agulha de uma bússola se alinha com um campo magnético, embora as forças
internas entre os domínios geralmente impeçam o alinhamento perfeito. Além disso, as
forças em nível atômico entre os spins podem fazer com que as fronteiras do domínio se
movimentem. Aqueles domínios que já estão alinhados ao longo de um campo externo
tornam-se maiores à custa de outros domínios orientados contrariamente ao campo.
Estas variações no tamanho e na orientação dos domínios fazem com que o material
apresente um dipolo magnético resultante alinhado com o campo externo. Como tal
dipolo magnético foi induzido pelo campo externo, o chamamos, então, de dipolo magnético induzido.
NOTA O dipolo magnético induzido é análogo às forças de polarização e aos dipolos elétricos induzidos que você estudou no Capítulo 27. A FIGURA 33.55 mostra um material ferromagnético próximo a uma extremidade de
um solenóide. Os momentos magnéticos dos domínios se alinham com o campo do solenóide, criando um dipolo magnético induzido cujo pólo sul está frente a frente com o
pólo norte do solenóide. Conseqüentemente, a força magnética entre os pólos atrai o
objeto ferromagnético para o eletroímã.
O fato de que um ímã atrai e prende objetos ferromagnéticos foi uma das observações básicas sobre magnetismo com que iniciamos o capítulo. Agora dispomos de uma
explicação sobre como isso ocorre, baseada em três idéias:
1. Por causa de seus spins, os elétrons são ímãs microscópicos.
2. Um material ferromagnético em que os spins estejam alinhados está estruturado
em domínios magnéticos.
3. Os domínios individuais se alinham com um campo magnético externo para produzir um momento de dipolo magnético induzido no objeto inteiro.
A força atrativa entre os pólos opostos
atrai o material ferromagnético em
direção ao solenóide.
FIGURA 33.55 O campo magnético do
solenóide cria um dipolo magnético
induzido no ferro.
O dipolo magnético do objeto pode não voltar a ser nulo quando o campo externo for
removido, pois alguns domínios permanecem “congelados” no alinhamento que tiveram
com o campo externo. Assim, um objeto ferromagnético que esteve em presença de um
campo externo pode possuir um momento de dipolo magnético resultante mesmo após o
campo ter sido removido. Em outras palavras, o objeto tornou-se um ímã permanente.
Todo ímã permanente é, simplesmente, um material ferromagnético cuja maior parte
dos domínios magnéticos está alinhada em uma direção comum de modo a produzir um
momento de dipolo magnético resultante.
CAPÍTULO 33
Se um material ferromagnético pode ou não ser transformado em ímã permanente
dependerá da estrutura cristalina interna do material. O aço é uma liga de ferro com outros elementos. Uma liga com predomínio do ferro e com porcentagens certas de cromo
e níquel produz o chamado aço inoxidável, que praticamente não possui qualquer propriedade magnética porque sua estrutura cristalina não contribui para a formação de
domínios. Outra liga de aço muito diferente, chamada Alnico V, é feita com 51% de
ferro, 24% de cobalto, 14% de níquel, 8% de alumínio e 3% de cobre. Ela tem propriedades magnéticas extremamente proeminentes e é usada para fabricar ímãs permanentes
de alta qualidade. A partir da fórmula complicada da liga, você pode ver que o desenvolvimento de bons materiais magnéticos requer muita habilidade em engenharia, assim
como muita paciência!
Assim completamos o círculo. Uma de nossas observações iniciais sobre magnetismo foi a de que todo ímã permanente pode exercer forças sobre certos materiais, mas
não sobre outros. A teoria do magnetismo que, então, prosseguimos desenvolvendo foi
acerca das interações entre cargas em movimento. Não era óbvio que cargas em movimento tivessem a ver com ímãs permanentes. Mas, finalmente, ao considerar os efeitos
magnéticos em nível atômico, concluímos que as propriedades dos ímãs permanentes e
dos materiais magnéticos podem ser atribuídas às interações do imenso número de spins
eletrônicos.
PARE E PENSE 33.7
Qual(ou quais) do(s) ímã(s) induz este dipolo magnético?
■
O Campo Magnético
1031
O imageamento por resonância magnética,
ou IRM, emprega as propriedades
magnéticas dos átomos como uma sonda
não-invasiva do corpo humano.
1032
Física: Uma Abordagem Estratégica
RESUMO
O objetivo do Capítulo 33 foi aprender como calcular e manipular o campo magnético.
Princípios gerais
Em nível mais fundamental, o magnetismo é uma interação entre
cargas em movimento. O campo magnético criado por uma carga em
movimento exerce uma força sobre outra carga que também esteja em
movimento.
2 sobre 1
Campo B1 devido a q1
Campo B2 devido a q2
1 sobre 2
Campos magnéticos
Forças magnéticas
A lei de Biot-Savart:
A força magnética exercida sobre uma carga
em movimento é
• Uma carga puntiforme gera
• Um elemento de corrente curto gera
Para determinar o campo magnético criado por uma corrente:
A força é simultaneamente perpendicular a
e .
A força magnética exercida sobre um fio condutor de corrente é
• Divida o fio em muitos segmentos curtos.
• Determine o campo criado por cada segmento s.
• Obtenha por meio da soma dos campos criados por todos os s,
em geral uma integral.
para uma carga ou corrente que se
mova paralelamente a .
Um método alternativo para campos com alto grau de simetria é a
lei de Ampère:
O torque magnético sobre um dipolo magnético é
onde Iatravés é a corrente que atravessa a área delimitada pelo caminho de integração.
Aplicações
Fio
Espira
Movimento de partículas carregadas
Não existe força se é paralelo a .
Movimento circular com freqüência ciclotron fcic qB2␲m se for perpendicular
a .
Solenóide
Ímã achatado
Fios paralelos e espiras de corrente
Correntes paralelas se atraem.
Correntes antiparalelas se repelem.
Regra da mão direita
Oriente seu dedo polegar direito com I. Dobre seus dedos em torno
de . Para um dipolo, emerge pelo lado que é o pólo norte.
CAPÍTULO 33
■
O Campo Magnético
1033
Termos e notação
pólo norte
pólo sul
material magnético
dipolo magnético
monopolo magnético
regra da mão direita
campo magnético,
linhas de campo magnético
lei de Biot-Savart
tesla, T
constante de permeabilidade
magnética, ␮0
produto vetorial
espira de corrente
eletroímã
momento de dipolo magnético,
Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics,
acessar www.masteringphysics.com
integral de linha
lei de Ampère
campo magnético uniforme
solenóide
movimento ciclotron
freqüência ciclotron, fcic
ciclotron
efeito Hall
voltagem Hall, VH
ferromagnético
domínio magnético
dipolo magnético induzido
ímã permanente
Problemas indicados pelo ícone
relevante de capítulos anteriores.
integram o material
A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão
de | (fácil) a ||| (desafiador).
Q U E S T Õ E S C O N C E I T UA I S
1. A esfera leve feita de vidro mostrada na FIGURA Q33.1 está suspensa por um fio. O pólo norte de
um ímã é aproximado da esfera.
a. Suponha que a esfera seja
Vidro
eletricamente neutra. Ela será
atraída, repelida ou não será
FIGURA Q33.1
afetada pelo ímã?
b. Responda à mesma questão para o caso de uma esfera positivamente carregada.
2. A esfera de metal na FIGURA Q33.2
está suspensa por um fio. Quando
o pólo norte de um ímã é aproximado, a esfera é fortemente atraída
pelo ímã. Depois, o ímã é invertido e
FIGURA Q33.2
seu pólo sul é aproximado da esfera.
Como a esfera responde a essa segunda aproximação? Explique.
3. Você dispõe de dois cilindros eletricamente neutros que exercem
forças atrativas fortes e não possui outro objeto de metal. Você pode
determinar se os dois cilindros são ímãs, ou se um é um ímã e outro
é apenas uma peça de ferro? Em caso afiemativo, como? Em caso
negativo, por que não?
4. Qual é o sentido da corrente no fio da FIGURA Q33.4? Explique.
6. Qual é o sentido inicial de desvio das partículas carregadas que
entram nos campos magnéticos da FIGURA Q33.6?
FIGURA Q33.6
7. Qual é o sentido inicial de desvio das partículas carregadas que
entram nos campos magnéticos mostrados na FIGURA Q33.7?
FIGURA Q33.7
8. Determine a orientação do campo magnético que faz com que as
partículas carregadas da FIGURA Q33.8 experimentem a força magnética indicada.
entra na página
FIGURA Q33.8
9. Determine a orientação do campo magnético que faz com que as
partículas carregadas da FIGURA Q33.9 experimentem a força magnética indicada.
FIGURA Q33.4
FIGURA Q33.5
saindo da página
5. Qual é o sentido da corrente no fio da FIGURA Q33.5? Explique.
FIGURA Q33.9
entrando na página
1034
Física: Uma Abordagem Estratégica
10. Quais são os sinais das cargas que se movem nos campos magnéticos da FIGURA Q33.10?
12. A FIGURA Q33.12 mostra dois fios portadores de correntes que passam entre dois ímãs. Há uma força exercida sobre cada um dos fios?
Em caso afirmativo, qual é a orientação? Em caso negativo, por que
não?
entrando na página
entrando na página
FIGURA Q33.12
FIGURA Q33.10
11. Você possui um tubo de raios catódicos (TRC) para o qual os
controles foram ajustados de forma que o feixe de elétrons deveria produzir um único ponto de luz exatamente no centro da
tela. Você observa, entretanto, que o ponto está desviado para a
direita. É possível que o TRC esteja quebrado. Mas, como um
cientista inteligente, você percebe que seu laboratório deve estar
em presença de um campo elétrico ou de um campo magnético.
Supondo que você não disponha de uma bússola nem de qualquer
ímã ou bastão carregado, como poderia usar o próprio TRC para
determinar se ele está quebrado ou se está em presença de um
campo elétrico ou de um campo magnético? Você não pode tirar
o TRC da sala.
13. O pólo sul de um ímã é trazido para perto da espira de corrente da
FIGURA Q33.13. O ímã atrai, repele ou não tem qualquer efeito sobre
a espira? Explique.
FIGURA Q33.13
14. Um ímã permanente pode erguer uma peça não-magnetizada de ferro. Dê uma descrição, passo a passo, usando palavras e figuras, de
como a força magnética sobre o ferro resulta da interação entre os
spins de seus elétrons.
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
Exercícios
Seção 33.3 A fonte de campo magnético: movendo cargas
1. | Os pontos 1 e 2 da FIGURA EX33.1 estão à mesma distância dos
fios, como o ponto onde B ⫽ 2,0 mT. Quais são a intensidade e a
orientação de nos pontos 1 e 2?
,
Próton
,
,
,
FIGURA EX33.5
,
sai da página
FIGURA EX33.1
FIGURA EX33.2
2. | Qual é a intensidade do campo magnético nos pontos enumerados
de 2 a 4 na FIGURA EX33.2? Suponha que os fios se sobreponham
guardando uma pequena distância entre si e que os pontos de 1 até
4 estejam igualmente espaçados dos fios.
3. | Um próton se move ao longo do eixo y com vy ⫽ ⫺1,0 ⫻ 107 mⲐs.
Quando ele passa a origem, quais são a intensidade e a orientação
do campo magnético nas posições (x, y, z) cujas coordenadas são
(a) (1 cm, 0 cm, 0 cm), (b) (0 cm, 1 cm, 0 cm) e (c) (0 cm, ⫺2 cm,
0 cm)?
4. | Um próton se move ao longo do eixo z com vz ⫽ ⫺1,0 ⫻ 107 mⲐs.
Quando ele passa a origem, quais são a intensidade e a orientaçãoção do campo magnético nas posições (x, y, z) cujas coordenadas
são (a) (1 cm, 0 cm, 0 cm), (b) (0 cm, 0 cm, 1 cm) e (c) (0 cm, 1 cm,
1 cm)?
5. || Quais são a intensidade e a orientação do campo magnético no
ponto da FIGURA EX33.5?
Próton
FIGURA EX33.6
6. || Quais são a intensidade e a orientação do campo magnético no
ponto da FIGURA EX33.6?
7. || Um próton está passando pela origem. A intensidade do campo
magnético na posição (x, y, z) cujas coordenadas são (1 mm, 0 mm,
0 mm) é de 1,0 ⫻ 10⫺13 T. Em (0 mm, 1 mm, 0 mm), o campo tem
intensidade de 1,0 ⫻ 10⫺13 T. Quais são a velocidade e a orientação do movimento do próton?
Seção 33.4 O campo magnético criado por uma corrente
8. | Que intensidades de corrente são necessárias para gerar as intensidades de campo magnético da Tabela 33.1 em um ponto a 1,0 cm
de um fio longo e reto?
9. | A que distâncias de um fio fino e reto, pelo qual flui uma corrente
de 10 A, as intensidades de campo magnético são iguais às da Tabela 33.1?
10. || A que distância sobre o eixo de uma espira de corrente o campo
magnético tem a metade da intensidade de campo no centro da espira? Expresse sua resposta como um múltiplo de R.
CAPÍTULO 33
11. || O campo magnético no centro de uma espira com diâmetro de 1,0
cm vale 2,5 mT.
a. Qual é a corrente na espira?
b. Um longo fio reto conduz a mesma corrente que você determinou no item a. A que distância do fio o campo magnético tem
uma intensidade de 2,5 mT?
12. | Um fio conduz uma corrente I em direção ao nó da FIGURA
EX33.12. Qual é o campo magnético no ponto indicado?
■
O Campo Magnético
Caminho de
integração
Caminho de
integração
,
,
FIGURA EX33.19
Fios
idênticos
FIGURA EX33.12
fios longos
1035
FIGURA EX33.20
20. | Qual é a intergral de linha de entre os pontos i e f da FIGURA
EX33.20?
21. || O valor da integral de linha de
B ao longo do caminho fechado
,
da FIGURA EX33.21 é de 3,77 106 Tm. Quanto vale I3?
FIGURA EX33.13
,
FIGURA EX33.21
13. || Qual o campo magnético nos pontos de a até c na FIGURA
EX33.13?
14. || Quais são a intensidade e a orientação do campo magnético nos
pontos de a até c da FIGURA EX33.14?
22. || O valor da integral de linha ao longo do caminho fechado da FI5
GURA EX33.22 é de 1,38 10 Tm. Quais são o sentido (para dentro ou para fora da página) e o módulo de I3?
,
,
,
,
,
FIGURA EX33.14
,
FIGURA EX33.22
,
Seção 35.5 Dipolos magnéticos
15. | A intensidade do campo magnético sobre o eixo de um pequeno
ímã, a 10 cm do mesmo, é de 5,0 ␮T.
a. Qual é o momento de dipolo magnético do ímã?
b. Qual é a intensidade do campo sobre o eixo a 15 cm do ímã?
16. || Uma corrente de 100 A circula em uma espira supercondutora
com 2,0 mm de diâmetro.
a. Qual é o momento de dipolo magnético do espira?
b. Qual é a intensidade do campo sobre o eixo da espira a 5,0 cm da
mesma?
17. || Uma pequena espira de corrente com a forma de um triângulo
eqüilátero conduz uma corrente de 25 A. A intensidade do campo
magnético sobre o eixo, a 50 cm da espira, é de 7,5 nT. Qual é o
comprimento de cada lado do triângulo?
18. || O momento de dipolo magnético da Terra tem módulo de 8,0 1022 Am2.
a. Qual a intensidade de campo magnético sobre a superfície da
Terra, no pólo norte magnético? Como este valor se compara ao
valor encontrado na Tabela 33.1? Você pode supor que a espira
de corrente esteja dentro da Terra.
b. Os astronautas descobrem um planeta parecido com a Terra e
desprovido de um campo magnético. Para criar um campo magnético, de modo que uma bússola funcione, eles propõem fazer
fluir uma corrente em um fio ao longo do equador. Que intensidade de corrente seria necessária?
23. || Qual é a integral de linha de
entre os pontos i e f da FIGURA
EX33.23?
FIGURA EX33.23
,
,
24. || Um solenóide de 2,0 cm de diâmetro e 15 cm de comprimento
foi construído com um fio com diâmetro de 1,0 mm enrolado firmemente. Que intensidade de corrente é necessária para produzir um
campo de 3,0 mT no interior do solenóide?
25. || As imagens obtidas por ressonância magnética requerem uma intensidade de campo magnético de 1,5 T. O solenóide tem 1,8 m de
comprimento e 77 cm de diâmetro, e suas espiras estão firmemente
enroladas em uma única camada de fio supercondutor com diâmetro 2,0 mm. Que intensidade de corrente é necessária?
Seção 33.7 A força magnética sobre uma carga em movimento
26. || Um próton move-se em um campo magnético
,
com velocidade de 1,0 107 ms, na direção e no sentido mostrados na FIGURA EX33.26. Qual é a força magnética sobre o
próton, em cada figura? Expresse sua resposta em função de
componentes.
Seção 33.6 Lei de ampère e os solenóides
19. | Qual é a integral de linha de
EX33.19?
Caminho de
integração
entre os pontos i e f da FIGURA
FIGURA EX33.26
1036
Física: Uma Abordagem Estratégica
27. || Um elétron move-se em um campo magnético
com
velocidade de 1,0 107 ms na direção e no sentido mostrados na
FIGURA EX33.27. Qual é a força magnética
sobre o elétron, em
cada figura? Expresse sua resposta em função de componentes.
35. | A borda direita do circuito da
FIGURA EX33.35 estende-se para
dentro de um campo magnético
uniforme de 50 mT. Quais são o
módulo e a orientação da força
resultante sobre o circuito?
FIGURA EX33.35
36. | Qual é a força resultante (módulo e orientação) em cada um
dos fios da FIGURA EX33.36?
,
,
FIGURA EX33.36
FIGURA EX33.27
28. || Qual é a freqüência cíclotron, em um campo magnético de 3,00
T dos íons (a) N2 , (b) O2 e (c) CO ? Expresse suas respostas em
MHz. As massas dos átomos são mostradas na tabela. A precisão de
suas respostas deve refletir a precisão dos dados. (Neste problema,
considere que todos os dados de que você precisa tenham precisão
de até seis algarismos significativos. Embora N2 e CO tenham uma
massa molecular nominal de 28, eles são facilmente distinguidos em
virtude de suas diferentes freqüências de ressonância ciclotron.)
Massas atômicas
12
12,0000 u
14
14,0031 u
16
15,9949 u
C
N
O
29. || Radioastrônomos detectam radiação eletromagnética a 45 MHz
proveniente de uma nuvem de gás interestelar. Eles suspeitam de
que a radiação seja emitida por elétrons em movimento espiralado
em presença de um campo magnético. Qual é a intensidade do campo magnético no interior da nuvem de gás?
30. | A aurora acontece quando elétrons e prótons de aproximadamente
5 105 T, movendo-se em presença do campo magnético da Terra, colidem com moléculas da atmosfera e as fazem brilhar. Qual é
o raio da órbita ciclotron para
a. Um elétron com velocidade de 1,0 106 ms?
b. Um próton com velocidade de 5,0 104 ms?
31. | Como trabalho de graduação, você deseja construir um ciclotron
que acelere prótons até 10% da velocidade da luz. A maior câmara de vácuo que você consegue encontrar tem 50 cm de diâmetro.
Qual é a intensidade de campo magnético de que você precisa?
32. || A voltagem Hall através de um condutor em presença de um
campo magnético de 55 mT é de 1,9 ␮V. Quando usada com a mesma corrente em presença de outro campo magnético diferente, a
voltagem através do condutor é de 2,8 ␮V. Qual é a intensidade do
segundo campo?
33. || A voltagem Hall através de um condutor com 1,0 mm de espessura em presença de um campo magnético de 1,0 T é de 3,2 ␮V
quando a corrente é 15 A. Qual é a densidade de portadores de carga neste condutor?
Seção 33.8 Forças magnéticas sobre fios portadores de corrente
34. | Que intensidade e que orientação de campo magnético farão levitar o fio de 2,0 g da FIGURA EX33.34?
,
Região de
campo B
FIGURA EX33.34
37. || Os dois fios paralelos mostrados na FIGURA EX33.37, ambos de
1,0 cm de comprimento, estão separados por 5,0 mm. Para que valor de resistência R do resistor a força entre os dois fios será de 5,4
105 N?
,
FIGURA EX33.37
Seção 33.9 Forças e torques sobre espiras de corrente
38. || A FIGURA EX33.38 mostra duas espiras de corrente quadradas. As
espiras estão bastante afastadas e não interagem uma com a outra.
a. Use um diagrama de forças para mostrar quais espiras estão em
equilíbrio, sem experimentar uma força resultante nem um torque resultante.
b. Uma das posições da espira é estável, ou seja, as forças a trarão
de volta para a posição de equilíbrio se ela for girada ligeiramente. A outra posição de equilíbrio é instável, como um pêndulo
virado de cabeça para baixo. Qual é qual? Explique.
Espira 1
Espira 2
FIGURA EX33.38
39. || Uma espira de corrente quadrada, com 5,0 cm de lado, conduz
uma corrente de 500 mA. A espira está em presença de um campo
magnético uniforme de 1,2 T. O eixo da espira, perpendicular ao
seu plano, está 30 afastado da direção do campo. Qual é o módulo
do torque exercido sobre a espira de corrente?
40. | Um pequeno ímã experimenta um torque de 0,020 Nm quando
seu eixo encontra-se a 45 de um campo magnético de 0,10 T. Qual
é o módulo de seu momento de dipolo magnético?
,
41. || Com base na FIGURA EX33.41,
responda:
,
Fio
a. Qual é o módulo do torque
,
,
exercido sobre a espira de
corrente?
FIGURA EX33.41
b. Qual é a orientação de equilíbrio da espira?
Fio de
2,0 g
Problemas
42. || Um longo fio que conduz uma corrente de 5,0 A, perpendicular
ao plano xy, cruza o eixo x em x 2,0 cm. Um segundo fio, paralelo ao primeiro, pelo qual flui uma corrente de 3,0 A, cruza o eixo
CAPÍTULO 33
x em x 2,0 cm. Em que ponto, ou pontos, do eixo x o campo
magnético será nulo se (a) as duas correntes tiverem o mesmo sentido e se (b) as duas correntes tiverem sentidos opostos?
43. || Os dois fios isolados mostrados na FIGURA P33.43 cruzam-se em
um ângulo de 30, todavia não têm contato elétrico um com o outro.
Cada fio conduz uma corrente de 5.0 A. Os pontos 1 e 2 situam-se a
4,0 cm da intersecção e são igualmente distantes dos fios. Quais são
o módulo e a orientação do campo magnético nos pontos 1 e 2?
,
,
,
FIGURA P33.43
FIGURA P33.44
44. || O capacitor na FIGURA P33.44 está carregado a 50 V. O interruptor é fechado em t 0 s. Desenhe um gráfico que represente a
intensidade do campo magnético em função do tempo na posição
indicada pelo ponto. No gráfico, indique a intensidade máxima do
campo e uma escala numérica apropriada para o eixo horizontal.
45. || O elemento nióbio, um metal, é um supercondutor (isto é, não
apresenta resistência elétrica) em temperaturas abaixo de 9 K. Todavia a supercondutividade desaparecerá se o campo magnético na
superfície do metal exceder a 0,10 T. Qual é a máxima corrente
possível em um fio supercondutor reto, feito de nióbio, com 3,0 mm
de diâmetro?
46. || a. Obtenha uma expressão para o campo magnético no centro
(ponto P) do arco circular da FIGURA P33.46.
b. Seu resultado está em concordância com o campo magnético
criado por uma espira de corrente quando ␪ 2␲?
■
O Campo Magnético
1037
50. || A intensidade do campo magnético no pólo norte de um ímã
de Alnico [sigla da liga composta de alumínio (Al), níquel (Ni)
e cobalto (Co)],com 2,0 cm de diâmetro e 8 cm de comprimento,
é de 0,10 T. Para produzir o mesmo campo com um solenóide de
mesmo tamanho que conduza uma corrente de 2,0 A, de quantas
voltas de fio você precisaria? Isso parece viável? (Veja o Problema
49 para informar-se sobre tamanhos de fio e correntes máximas
indicadas.)
51. || O campo magnético da Terra, com um momento de dipolo magnéti22
2
co de 8,0 10 Am , é gerado por correntes no interior do ferro fundido do núcleo externo da Terra (o núcleo interno é de ferro sólido).
Como um modelo simples, considere uma espira de corrente feita com
um “fio” de ferro derretido com 1.000 km de diâmetro. O diâmetro da
espira, medido entre os centros dos “fios”, é de 3.000 km.
a. Qual é a a intensidade de corrente na espira?
b. Qual é a densidade de corrente J na espira?
c. Para decidir se esta é uma densidade de corrente grande ou pequena, compare-a à densidade de corrente correspondente a uma
corrente de 1,0 A em um fio com 1,0 mm de diâmetro.
52. || Duas bobinas idênticas são mutuamente paralelas e montadas sobre o mesmo eixo. Elas estão separadas por uma distância igual aos
seus raios. Cada qual possui N espiras e conduz uma corrente I de
mesma intensiade e sentido que a outra.
a. Obtenha uma expressão para a densidade do campo magnético
no ponto médio entre as espiras.
b. Calcule a intensidade do campo para espiras com 10 cm de diâmetro e 10 espiras conduzindo correntes de 1,0 A.
53. || Use a lei de Biot-Savart para determinar a intensidade do campo
magnético no centro do semicírculo da FIGURA P33.53.
N espiras
,
,
,
FIGURA P33.46
FIGURA P33.47
47. || Quais são a intensidade e a orientação do campo magnético no
ponto P da FIGURA P33.47?
48. || Qual é o campo magnético no centro da espira da FIGURA
P33.48?
,
FIGURA P33.48
,
49. || Seu patrão lhe pede para construir um solenóide de 20 cm de comprimento que produza um campo de 5,0 mT em seu interior. As especificações solicitam uma única camada de fio, enrolado em espiras
tão próximas quanto possível umas das outras. Você dispõe de dois
0
carretéis de fio. O fio do carretel de referência n . 18 tem um diâmetro de 1,02 mm e um valor máximo de 6 A indicado para a corrente.
0
Outro carretel, de referência n . 26, contém fio com 0,41 mm de diâmetro capaz de conduzir uma corrente de até 1 A. Qual dos fios você
usaria e de que intensidade de corrente você precisaria?
FIGURA P33.53
FIGURA P33.54
54. || O toróide, mostrado na FIGURA P33.54, é uma bobina de fio enrolado ao redor de um anel em forma de “rosca” (um toróide) e feito de
material não-condutor. Campos magnéticos gerados por toróides são
usados para confinar o plasma em reações de fusão termonuclear.
a. Por simetria, qual deve ser a forma do campo magnético gerado
por um toróide? Explique.
b. Use a lei de Ampère para obter uma expressão para a intensidade
do campo magnético a uma distância r do eixo de um toróide, com
N espiras bem próximas, cada qual conduzindo uma corrente I.
55. || Um fio longo e oco tem um raio interno R1 e um raio externo R2.
O fio conduz uma corrente I uniformemente distribuída através de
sua secção transversal. Use a lei de Ampère para obter uma expressão para a intensidade do campo magnético em três regiões: 0 r
R1, R1 r R2 e R2 r.
56. || Em presença de um campo de 5,0 mT, um elétron orbita com mo26
2
mento angular de 8,0 10 kgm s. Qual é o diâmetro da órbita?
||
57. Um próton se move em um campo magnético uniforme com 1,00 106 ms e experimenta uma força 1,20 1016 N.
6
Um segundo próton, com 2,00 10 ms, experimenta uma
16
força 4,16 10
N em presença do mesmo campo. Qual
é o ? Expresse sua resposta em módulo e orientação (ângulo), medidos em sentido anti-horário em relação ao semi-eixo positivo de x.
1038
Física: Uma Abordagem Estratégica
58. || Um elétron move-se com 1,0 10 ms de velocidade entre as
duas placas paralelas e carregadas mostradas na FIGURA P33.58. As
placas estão separadas por 1,0 cm e foram carregadas por uma bateria de 200 V. Que intensidade de campo magnético e que orientação do mesmo permitirá ao elétron passar entre as placas sem ser
desviado?
7
,
,
FIGURA P33.58
FIGURA P33.59
59. || Em um tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado ao longo
de uma diferença de potencial de 10 kV e, depois, aravessa uma
região de campo magnético uniforme com 2,0 cm de largura, como
mostrado na FIGURA P33.59. Que intensidade de campo desviará o
elétron em 10?
60. || As microondas de um forno de microondas são geradas em um
tubo especial chamado de magnetron. Nele, os elétrons orbitam um
campo magnético de 2,4 GHz e, enquanto o fazem, emitem ondas
eletromagnéticas de 2,4 GHz.
a. Qual é a intensidade do campo magnético?
b. Se o diâmetro máximo da órbita do elétron, antes de colidir com
a parede do tubo, for de 2,5 cm, qual será a energia cinética máxima do elétron?
61. || Um antipróton (com as mesmas propriedades de um próton, exceto por q e) move-se em uma combinação de um campo elétrico com outro magnético, como mostrado na FIGURA P33.61.
a. Quais são o módulo e a orientação da aceleração dos antiprótons
neste instante?
b. Quais seriam o módulo e a orientação da aceleração se fosse
invertida?
campo faz com que os íons sejam
desviados e passem a descrever trajetórias circulares, todavia exatamente
após metade da trajetória eles colidem com uma parede ou atravessam
uma pequena abertura em direção a
um detector. À medida que a voltagem de aceleração é vagarosamente
aumentada, diferentes íons alcançam
o detector e são medidos. ValoresFIGURA P33.64
padrão típicos são, B 0,200 T para
o campo magnético, e d 8,00 cm para a distância entre os orifícios
de entrada e de saída. Que diferença de potencial V de aceleração
é necessária para detectar íons de (a) N2 , (b) O2 e (c) CO ? Consulte o Exercício 28 para obter dados atômicos e verifique o comentário sobre a precisão em termos de algarismos significantes.
65. || Uma sonda baseada no efeito Hall para medir as intensidades de
campo magnético precisa ser calibrada em um campo magnético conhecido. Embora isto não seja fácil de realizar, os campos magnéticos
podem ser medidos com precisão por meio da determinação da freqüência ciclotron dos prótons. Em um laboratório de testes, a intensidade do campo magnético é ajustada até que a freqüência ciclotron
dos prótons seja de 10,0 MHz. Para esta intensidade de campo, a voltagem Hall através da sonda é de 0,543 mV quando a corrente através
da mesma é de 0,150 mA. Mais tarde, quando um campo magnético desconhecido é medido, a voltagem Hall, à mesma corrente, é de
1,735 mV. Qual é a intensidade do campo magnético usado?
66. A bobina quadrada com 10 espiras mostrada na FIGURA P33.66
encontra-se em um plano horizontal, paralelo ao campo magnético
uniforme horizontal, e conduz uma corrente de 2,0 A. A espira é
livre para girar em torno de um eixo não-magnético que passa por
seu centro. Uma massa de 50 g está suspensa por uma das bordas da
espira. Que intensidade de campo magnético impedirá a espira de
girar em torno do eixo?
10 espiras
,
,
,
,
eixo
FIGURA P33.66
FIGURA P33.61
FIGURA P33.62
62. || O campo magnético uniforme de 30 mT representado na FIGURA P33.62 aponta no sentido positivo de z. Um elétron penetra na
região de campo magnético com velocidade de 5,0 106 ms, formando um ângulo de 30 acima do plano xy. Encontre o raio r e o
passo p da trajetória helicoidal do elétron.
63. ||| a. Um ciclotron de 65 cm de diâmetro emprega uma diferença
de potencial oscilante de 500 V entre os Ds. Qual é a energia
cinética máxima do próton se a intensidade do campo magnético é 0,75 T?
b. Quantas revoluções o próton faz antes de deixar o ciclotron?
64. || A FIGURA P33.64 mostra o esquema de um espectômetro de massa, um instrumento analítico usado para identificar várias moléculas
em uma amostra através da medição de sua razão carga-massa em.
A amostra é ionizada, os íons positivos são acelerados (a partir do
repouso) ao longo de uma diferença de potencial V e, depois, entram em uma região onde existe um campo magnético uniforme. O
FIGURA P33.67
67. || As duas molas mostradas na FIGURA P33.67 têm constantes elásticas iguais de 10 Nm. Quando uma corrente passa através do fio,
elas são esticadas em 1,0 cm,. Qual é a intensidade da corrente?
68. || Uma barra condutora de
comprimento l e massa m repousa sobre as extremidades
esquerdas de dois trilhos de
comprimento d, sem haver
atrito, como mostrado na
FIGURA P33.68. Um campo
magnético uniforme de intensidade B aponta para cima.
FIGURA P33.68
a. Em que orientação, para
dentro ou para fora da página, uma corrente que atravesse a barra
condutora a fará experimentar uma força orientada para a direita?
b. Obtenha uma expressão para a velocidade da barra quando ela
chega ao final dos trilhos, pela direita.
69. || Um fio longo, reto e com uma densidade linear de massa de 50 gm
está suspenso por barbantes, como mostrado na FIGURA P33.69. No
CAPÍTULO 33
fio flui uma corrente de 10 A, em presença de um campo magnético
horizontal que o desvia em 10 com relação a sua posição de equilíbrio. Quais são a intensidade e a orientação do campo magnético ?
,
FIGURA P33.69
FIGURA P33.70
70. ||| A FIGURA P33.70 mostra as secções transversais de três fios longos, cada qual com densidade linear de massa de 50 gm. Cada fio
conduz uma mesma intensidade de corrente, com o sentido indicado na figura. Os dois fios inferiores, distantes 4,0 cm um do outro,
estão fixados a uma mesa. Que corrente I permitirá ao fio superior
“flutuar” formando um triângulo equilátero com os fios inferiores?
71. || Um cilindro de vidro de raio R, comprimento l e densidade ␳
tem uma bobina com 10 espiras enroladas ao longo de seu comprimento, como mostrado na FIGURA P33.71. O cilindro é colocado em
uma rampa. O campo magnético B é uniforme e aponta para cima.
a. Para que intensidade de corrente I em cada espira o cilindro repousará sobre a rampa em equilíbrio estático? Suponha que o
atrito estático seja grande o suficiente para manter o cilindro simplesmente escorregando, sem girar.
b. Isto é factível? Para descobrir, calcule I para um cilindro com 10
cm de comprimento, 5,0 cm de diâmetro e densidade de 2.500
kgm3 sobre uma rampa com inclinação de 10 e em presença de
um campo magnético de 0,25 T.
FIGURA P33.71
72. || Um ímã experimenta um torque de módulo 0,075 Nm quando
está posicionado perpendicularmente a um campo magnético externo de 0,50 T. Qual é a intensidade do campo magnético sobre o eixo
do ímã em um ponto a 20 cm de seu centro?
73. || No modelo semiclássico de Bohr para o átomo de hidrogênio,
um elétron descreve uma órbita circular com raio de 5,3 1011
m, mantendo uma velocidade de 2,2 106 ms. De acordo com o
modelo, qual é a intensidade de campo magnético no centro de um
átomo de hidrogênio?
Dica: Determine a corrente média do elétron orbitante.
74. || Um fio esticado ao longo do eixo x conduz uma corrente I no sentido negativo de x em presença de um campo magnético dado por
■
O Campo Magnético
75. || O disco rígido de um computador consiste de um prato de alumínio coberto por uma fina camada de uma liga magnética de cobalto. Um simples domínio magnético desta camada pode ter seu
momento magnético orientado paralela ou antiparalelamente ao
sentido de rotação, e essas duas orientações podem ser interpretadas como um número binário 0 ou 1. Cada 0 ou 1 é chamado de bit
de informação. A capacidade de armazenamento dos discos rígidos aumenta à medida que diminui o tamanho físico dos domínios
magnéticos. Na época em que este livro foi impresso, os discos
rígidos de computadores pessoais podiam armazenar 250 gigabytes (GB) de dados, onde cada byte é fomado por 8 bits. Um
prato de disco rígido comum tem 9,5 cm de diâmetro e um furo de
2,5 cm de diâmetro no centro, para que seja montado sobre a unidade de disco. Estime o comprimento da borda de um domínio
magnético em um disco rígido de computador considerando que
ele seja quadrado.
76. || Um campo magnético não-uniforme exerce uma força resultante
sobre uma espira de corrente de
res
raio R. A FIGURA P33.76 mostra
um campo magnético que diverge
a partir da extremidade de um ímã.
Na posição da espira de corrente, o
canpo magnético faz um ângulo ␪
com relação à vertical.
FIGURA P33.76
a. Obtenha uma expressão para a
força magnética resultante sobre a espira de corrente.
b. Calcule a força para o caso em que R 20 cm, I 0,50 A, B 200 mT e ␪ 20.
Problemas desafiadores
77. Você dispõe de um fio de cobre de 1,0 cm de comprimento. Você
deseja confeccionar uma bobina com N espiras que produza um
campo magnético de 1,0 mT em seu centro quando a corrente em
cada espira for de 1,0 A. Todo o fio deve usado. Qual será o diâmetro de sua bobina?
78 a. Derive uma expressão para a intensidade do campo magnético a
uma distância d do centro de um fio reto de comprimento finito l
que conduz uma corrente I.
b. Determine a intensidade do campo no centro de uma espira quadrada que conduz uma corrente, com lados de comprimento
igual a 2R.
c. Compare sua resposta ao item anterior com o campo no centro de
uma espira circular de diâmetro 2R. Faça-o calculando a razão
BquadradoBcírculo.
79. Um disco plano e circular de raio R está uniformemente carregado
com uma carga total Q. O disco gira com velocidade angular ␻ em
torno de um eixo que passa por seu centro. Qual é a intensidade do
campo magnético no centro do disco?
80. Uma das extremidades de um fio de 5,0 cm de comprimento encontra-se 1,0 cm acima de outro fio longo e perpendicular à página,
o qual conduz uma corrente de 1,0 A para fora da página, como
mostrado na FIGURA PD33.80. O fio de 5,0 cm de comprimento conduz uma corrente de 5,0 A. (Os fios de conexão, perpendiculares à
página, não são mostrados.) Qual é o módulo da força resultante
exercida sobre o fio de 5,0 cm de comprimento?
,
a. Desenhe o gráfico B versus x para o intervalo
.
b. Obtenha uma expressão para a força resultante res sobre o fio.
c. Obtenha uma expressão para o torque resultante sobre o fio no
ponto x 0.
1039
,
FIGURA PD33.80
,
1040
Física: Uma Abordagem Estratégica
81. Um fio condutor longo, reto e de raio R conduz uma densidade de
corrente não-uniforme cujo módulo é dado por J J0rR, onde J0 é
uma constante. A corrente total conduzida pelo fio é I.
a. Obtenha uma expressão para J0 em função de I e R.
b. Obtenha uma expressão para a intensidade do campo magnético
no interior do fio a uma distância r do centro do mesmo.
c. Na borda do fio, r R, sua solução é igual ao campo conhecido criado por um fio condutor de corrente longo e reto em seu
exterior?
82. O cabo coaxial mostrado na FIGURA
PD33.82 consiste de um condutor interno
e sólido de raio R1 envolto por um condutor externo oco, muito fino e de raio R2.
Os dois conduzem correntes de mesma
intensidade I, mas de sentidos opostos. A
densidade de corrente é uniforme em cada
condutor.
FIGURA PD33.82
a. Obtenha expressões para o campo magnético nas seguintes três regiões: no interior do condutor interno,
entre os dois condutores e fora do condutor externo.
b. Desenhe o gráfico B versus r desde r 0 até r 2R2 correspondente ao caso em que
.
83. Uma folha eletrizada, plana e infinitamente extensa movimenta-se
para fora da página, como mostrado na FIGURA PD33.83. A corrente
por unidade de largura da folha (ampères por metro) é dada pela
densidade linear de corrente Js.
a. Qual é a forma do campo magnético gerado? Para responder, talvez lhe seja útil aproximar a distribuição de corrente em forma
de folha, tanto quanto possível, de um conjunto de fios portadores de corrente mutuamente paralelos e muito próximos um do
outro. Expresse sua resposta desenhando uma figura que mostre
alguns vetores do campo magnético.
b. Determine a intensidade do campo magnético a uma distância d
acima ou abaixo da distribuição de corrente em forma de folha.
Estende-se
ao
Distribuição de corrente em forma de folha
Estende-se
ao
Densidade de corrente linear Js
FIGURA PD33.83
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE
Pare e Pense 33.1: De modo algum. A carga exerce forças de polarização
atrativas e fracas sobre as duas extremidades da agulha da bússola, porém,
nesta configuração, elas se equilibram e não têm um efeito resultante.
Pare e Pense 33.5: c. Para o campo orientado para dentro da página,
está para a direita. Entretanto o elétron é negativamente carrega.
do, de modo que a força tem a orientação
Pare e Pense 33.2: d. Oriente seu polegar direito no sentido da corrente
e dobre os dedos da mão ao redor do fio.
Pare e Pense 33.6: b. A repulsão indica que o pólo sul da espira está
sobre a direita, voltando-se ao ímã; o pólo norte está sobre a esquerda.
Depois, a regra da mão direita dá a direção da corrente.
Pare e Pense 33.3: b. Oriente seu polegar direito para fora da página,
no sentido de . Ao fazer isso, seus dedos apontarão para baixo ao se
curvarem do lado esquerdo.
Pare e Pense 33.4: b. A regra da mão direita indica um para baixo
produzido por uma corrente em sentido horário. O pólo norte está no
lado de onde o campo emerge.
Pare e Pense 33.7: a ou c. Qualquer campo magnético para baixo alinhará os domínios magnéticos como mostrado.
Indução Eletromagnética 34
A indução eletromagnética é o princípio
científico em que se baseiam muitas
aplicações tecnológicas modernas,
desde o gerador de eletricidade às
comunicações e ao armazenamento de
dados.
Olhando adiante
O objetivo do Capítulo 34 é
compreender e aplicar a indução
eletromagnética. Neste capítulo, você
aprenderá a:
O que os cata-ventos, os detectores de metal, os gravadores de vídeo, os discos
rígidos de computador e os telefones celulares têm em comum? Surpreendentemente,
todas essas diferentes tecnologias provêm de um único princípio científico: a indução
eletromagnética. A indução eletromagnética é o processo de geração de uma corrente
elétrica por meio da variação do campo magnético que atravessa um circuito.
As muitas aplicações da indução eletromagnética fazem dela um importante tópico
de estudo. Mais fundamentalmente, a indução eletromagnética estabelece um vínculo
importante entre a eletricidade e o magnetismo, uma ligação com implicações importantes para a compreensão da luz como onda eletromagnética.
A indução eletromagnética é um tópico sofisticado, de modo que vamos desenvolvêlo gradualmente. Primeiro, examinaremos os diferentes aspectos da indução e nos familiarizaremos com suas características básicas. Na Seção 34.5, então, introduziremos
a lei de Faraday, uma nova lei da física não-derivável de quaisquer das leis que você
estudou anteriormente. O restante do capítulo explorará suas implicações e aplicações.
■ Calcular a corrente induzida.
■ Calcular o fluxo magnético.
■ Empregar a lei de Lenz e a lei de
Faraday para determinar o sentido
e a intensidade de correntes
induzidas.
■ Compreender como campos
elétricos e magnéticos induzidos
levam às ondas eletromagnéticas.
■ Analisar circuitos contendo
indutores.
Em retrospectiva
Este capítulo unirá as idéias sobre
o campo magnético e o potencial
elétrico. Revise:
34.1 Correntes induzidas
■ Seção 11.3 Produto escalar de
A descoberta de Oersted em 1820, de que uma corrente cria um campo magnético, gerou
uma enorme excitação. Dúzias de cientistas imediatamente começaram a explorar as implicações dessa descoberta. Uma questão que eles esperavam responder era se o inverso da
descoberta de Oersted era verdadeiro, ou seja, um ímã pode ser usado para criar uma cor-
■ Seção 30.2 Fontes de potencial
vetores
elétrico
■ Seções 33.4-33.8 Campos
magnéticos e forças magnéticas
1042
Física: Uma Abordagem Estratégica
rente? Muitas experiências neste sentido foram relatadas, e nelas, fios e bobinas foram colocados dentro de imãs ou em volta deles, mas nenhuma foi capaz de gerar uma corrente.
O avanço veio em 1831. Na América, o professor de ciências Joseph Henry foi o
primeiro a descobrir como produzir uma corrente a partir do magnetismo, um processo
que agora chamamos de indução eletromagnética. Mas Henry não dispunha de tempo
para acompanhar as pesquisas que estavam sendo feitas e não conseguiu publicar sua
descoberta nem mesmo mais tarde. Aproximadamente na mesma época, na Inglaterra,
Michael Faraday fez a mesma descoberta e imediatamente publicou suas conclusões.
Você encontrou Faraday no Capítulo 26, como o inventor do conceito de campo.
Em ciência, o crédito geralmente é dado ao primeiro que publica, portanto hoje estudamos a lei de Faraday em vez da lei de Henry. A situação não é inteiramente injusta. Mesmo
que Faraday não tivesse a prioridade da descoberta, foi ele quem estabeleceu as propriedades da indução eletromagnética e percebeu que havia descoberto uma nova lei da natureza.
produz uma corrente
Fechar o interruptor
do circuito esquerdo... momentânea no
circuito direito.
Medidor
de corrente
Interruptor
Anel de ferro
Não flui corrente alguma enquanto
o interruptor permanece fechado.
Interruptor
Abrir o interruptor
do circuito esquerdo ...
produz uma corrente
momentânea em sentido
oposto.
FIGURA 34.1 A descoberta de Faraday da
indução magnética.
A descoberta de Faraday
A descoberta de Faraday em 1831, como a de Oersted, foi uma feliz combinação de um
evento não-planejado com uma mente que estava pronta para reconhecer sua relevância.
Faraday realizou experimentos com duas bobinas de fios enrolados em volta de um anel
de ferro, como mostrado na FIGURA 34.1. Ele esperava que o campo magnético gerado pela
bobina esquerda induzisse um campo magnético no ferro e que o campo magnético no
interior do ferro pudesse, então, de algum modo, criar uma corrente no circuito direito.
Como em todas as suas tentativas anteriores, essa técnica para gerar uma corrente
não produziu resultados. Todavia, casualmente Faraday notou que a agulha do medidor
de corrente saltava ligeiramente no instante em que ele fechava o interruptor do circuito
à esquerda. Depois que o interruptor era fechado, a agulha imediatamente retornava
a zero. A agulha saltou outra vez quando, mais tarde, Faraday abriu o interruptor, porém desta vez deslocou-se em sentido contrário. Faraday concluiu que o movimento da
agulha indicava uma corrente muito pequena no circuito à direita. Mas o efeito durava
apenas um intervalo muito pequeno, enquanto a corrente à esquerda estava iniciando ou
cessando, e não, enquanto estava estável.
Faraday aplicou sua figura mental de linhas de campo para essa descoberta. Primeiro
a corrente da esquerda magnetiza o anel de ferro, depois o campo gerado pelo anel de
ferro passa através da bobina à direita. A observação de Faraday de que a agulha do
medidor de corrente saltava apenas quando o interruptor era aberto e fechado sugeriulhe que a corrente era gerada somente enquanto o campo magnético estava variando
ao atravessar a bobina. Isso explicaria por que foram mal-sucedidas todas as tentativas
anteriores de gerar uma corrente a partir do magnetismo: nelas, foram usados apenas
campos magnéticos estáticos e imutáveis.
Faraday se preparou para testar sua hipótese. Se o aspecto crucial era a existência
de variação do campo magnético que atravessa a bobina, então o anel de ferro não mais
seria necessário, ou seja, qualquer método de produzir uma variação do campo magnético funcionaria. Faraday começou a realizar uma série de experimentos para descobrir
se isso era verdadeiro.
Faraday investiga a indução eletromagnética
Faraday pôs uma bobina diretamente acima de
outra, sem o anel de ferro. Não fluiu corrente
no circuito inferior enquanto o interruptor era
mantido fechado, entretanto aparecia uma
corrente momentânea toda vez que o
interruptor era aberto ou fechado.
Faraday empurrou um ímã para dentro de uma
bobina. Essa ação causou uma deflexão da
agulha do medidor de corrente, embora manter
o ímã dentro da bobina não surtisse qualquer
efeito. Uma retirada rápida do ímã desviava a
agulha em sentido contrário.
S
0
Empurra ou puxa o ímã.
É preciso mover o ímã? Faraday conseguiu criar
uma corrente momentânea puxando rapidamente
uma bobina de fio para fora de um campo magnético.
Empurrar a bobina para dentro do ímã causará uma
deflexão da agulha em sentido oposto.
Empurra ou puxa a bobin
0
0
N
N
Abre ou fecha
o interruptor.
Abrir ou fechar o interruptor cria uma
corrente momentânea.
S
Empurrar o ímã para dentro da bobina ou puxá-lo
para fora da mesma cria uma corrente momentânea.
Empurrar a bobina para dentro do ímã ou puxá-la
para fora criará uma corrente momentânea.
CAPÍTULO 34
■
Indução Eletromagnética
1043
Em resumo,
Faraday descobriu que existe uma corrente na bobina se, e somente se, o campo
magnético que a atravessa estiver variando. Este é um enunciado informal do
que logo denominaremos lei de Faraday.
Não faz diferença o que causa a variação do campo magnético: se é uma corrente
cessando ou iniciando em um circuito posicionado próximo, se é a movimentação de um
ímã dentro de uma bobina ou se é o movimento de uma bobina de um lado para o outro
em torno de um ímã. O efeito será o mesmo em todos os casos. Não existirá uma corrente se o campo que atravessa a bobina não variar, portanto não é o campo magnético em si
o responsável pela corrente, mas, de fato, a variação desse campo magnético.
A corrente em um circuito produzida pela variação do campo magnético é denominada
corrente induzida. A abertura do interruptor ou a movimentação do ímã induzirá uma corrente em um circuito posicionado próximo. A corrente induzida não se deve a uma bateria.
Trata-se de uma maneira inteiramente nova de gerar uma corrente, e teremos de descobrir
em que ela é semelhante ou diferente das correntes que estudamos anteriormente.
34.2 Fem de movimento
Pode-se gerar uma corrente induzida de duas maneiras diferentes:
1. Por meio da variação do tamanho ou da orientação de um circuito em um campo
magnético estacionário, ou
2. Por meio da variação de um campo magnético que atravessa um circuito estacionário.
Embora os efeitos sejam os mesmos em ambos os casos, as causas se revelam diferentes.
Iniciaremos nosso estudo da indução eletromagnética com um exame das situações em
que o campo magnético é fixo, enquanto o circuito se move ou varia.
Considere inicialmente um condutor de comprimento l que se move com velocidade
em presença de um campo magnético uniforme , como mostrado na FIGURA 34.2. Os
portadores de carga dentro do fio também se movem com velocidade , portanto cada
. Para simplificar, assumireum deles experimenta uma força magnética
. Essa
mos que seja perpendicular a , de modo que o módulo da força é
força movimenta os portadores de carga, separando cargas positivas de negativas. A separação de cargas, então, cria um campo elétrico no interior do condutor.
O armazenamento magnético de dados,
seja na tarja magnética em um cartão
de crédito ou em um disco rígido de
20 GB, codifica a informação por meio
de um padrão alternado de campos
magnéticos. Quando esses campos são
movimentados dentro de uma pequena
bobina captadora, a variação do campo
magnético cria uma corrente induzida na
bobina. A corrente, então, é amplificada
em uma seqüência de pulsos de voltagens
que representam os 0s e os 1s dos dados
digitais. O armazenamento magnético
de dados é apenas uma das incontáveis
aplicações da indução eletromagnética.
entrando na página
Os portadores de carga do fio são puxados para cima
A separação de cargas cria um campo elétrico
com uma força de módulo FB ⫽ qvB. Sendo livres
interno ao condutor. O campo aumenta
para se movimentar, cargas positivas fluem para cima
enquanto mais cargas fluem.
(ou, se você prefere, cargas negativas fluem para baixo).
As cargas fluem continuamente até que a força
elétrica E para baixo seja suficientemente grande
para equilibrar a força magnética B orientada
para cima. Então, a força resultante sobre as cargas
torna-se nula e cessa a corrente.
FIGURA 34.2 A força magnética sobre os portadores de carga de um condutor em movimento
cria um campo elétrico dentro do condutor.
Os portadores de carga continuam em movimento até que a força elétrica
. Esse equilíbrio ocorre quando a inequilibre exatamente a força magnética
tensidade do campo elétrico é
(34.1)
1044
Física: Uma Abordagem Estratégica
As forças magnéticas separam as cargas,
produzindo uma diferença de potencial
entre as extremidades. Trata-se de uma
fem de movimento.
Em outras palavras, a força magnética sobre os portadores de carga de um condutor
em movimento cria um campo elétrico E ⫽ vB dentro do condutor.
O campo elétrico, por sua vez, dá origem a uma diferença de potencial elétrico entre
as duas extremidades do condutor em movimento. A FIGURA 34.4a define um sistema co. Usando a conexão entre o campo elétrico e o potencial
ordenado em que
elétrico que obtivemos no Capítulo 30,
(34.2)
Campo elétrico
dentro do condutor
em movimento
As reações químicas separam as cargas,
produzindo uma diferença de potencial
entre as extremidades. Trata-se de uma
fem química.
Assim, a movimentação de um fio em presença de um campo magnético induz uma
diferença de potencial vlB entre as extremidades do condutor. A diferença de potencial
depende da intensidade do campo magnético e da velocidade do fio em relação ao campo.
Existe uma analogia importante entre essa diferença de potencial e a diferença de
potencial de uma bateria. A FIGURA 34.4b serve para relembrá-lo de que uma bateria emprega uma força não-elétrica – a “escada rolante de cargas” – para separar cargas positivas de negativas. A fem da bateria foi definida como o trabalho realizado por unidade
de carga (WⲐq) para separar cargas. Uma bateria isolada, sem corrente, mantém uma
diferença de potencial ⌬Vbat ⫽ . Poderíamos nos referir a uma bateria, onde cargas são
separadas por reações químicas, como uma fonte de fem química.
O condutor em movimento produz uma diferença de potencial devido ao trabalho realizado pelas forças magnéticas para separar cargas. Você pode pensar no condutor em movimento como uma “bateria” que se mantém carregada enquanto estiver em movimento, mas
que “se descarrega” instantaneamente se parar. A fem do condutor deve-se ao seu movimento, em vez de a reações químicas internas, de modo que podemos definir fem de movimento de um condutor em movimento com velocidade perpendicular ao campo magnético
como
(34.3)
Campo elétrico
dentro da bateria
PARE E PENSE 34.1 Uma espira condutora quadrada move-se em presença de um campo
magnético uniforme. Qual das figuras abaixo ilustra corretamente a distribuição de cargas no condutor?
FIGURA 34.3 Duas maneiras diferentes de
gerar uma fem.
saindo da página
EXEMPLO 34.1 Medindo o campo magnético da Terra
É sabido que o campo magnético da Terra no norte do Canadá aponta
diretamente para baixo. A tripulação de um avião Boeing 747, voando a 260 mⲐs sobre essa região do Canadá, descobre que existe uma
diferença de potencial de 0,95 V entre as pontas das asas de seu avião.
A extensão da asa de um Boeing 747 é de 65 m. Qual é a intensidade
do campo magnético lá?
MODELO A asa é um condutor em movimento através de um campo
magnético, de modo que existe uma fem de movimento.
RESOLUÇÃO O campo magnético é perpendicular à velocidade; logo,
podemos usar a Equação 34.4 para obter
AVALIAÇÃO No Capítulo 33, observamos que o campo magnético da
Terra é de aproximadamente 5 ⫻ 10⫺5 T. Ele é um pouco mais intenso
do que este valor perto dos pólos magnéticos e um pouco mais fraco
próximo ao equador.
CAPÍTULO 34
EXEMPLO 34.2 Diferença de potencial ao longo de uma
haste em rotação
Uma haste metálica de comprimento l gira com uma velocidade angular ␻ em torno de um eixo que passa por uma das extremidades da
haste. Um campo magnético uniforme é perpendicular ao plano de
rotação da haste. Qual é a diferença de potencial entre as extremidades da haste?
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 34.4 ilustra a haste. As forças magnéticas so-
bre os portadores de carga fazem com que a extremidade mais afastada do eixo torne-se positivamente carregada.
A intensidade do campo elétrico
aumenta com r.
■
Indução Eletromagnética
1045
RESOLUÇÃO Mesmo no caso da haste em rotação, em vez de em movimento retilíneo, a velocidade de cada portador de carga é perpendicular a . Conseqüentemente, o campo elétrico criado no interior
da barra é exatamente aquele dado pela Equação 34.1, E ⫽ vB. Entretanto, v, a velocidade de um portador de carga, agora depende de
sua distância ao eixo. Lembre-se de que, no movimento de rotação,
a velocidade tangencial a uma trajetória circular de raio r é v ⫽ ␻r.
Assim, o campo elétrico à distância r do eixo é E ⫽ ␻rB, ou seja, sua
intensidade aumenta à medida que você se afasta do centro, ao longo
da barra.
O campo elétrico aponta para o eixo, portanto seu componente
radial é Er ⫽ ⫺␻rB. Integrando do centro para fora, obtemos a diferença de potencial entre as extremidades da barra dada por
Velocidade angular ␻
Eixo
A uma distância r, a velocidade vale v ⫽ ␻r.
AVALIAÇÃO A velocidade de
corresponde ao ponto médio da barra.
Assim, ⌬V é igual a vmedlB, o que parece plausível.
FIGURA 34.4 Ilustração de uma haste de metal em rotação na
presença de um campo magnético.
Corrente induzida em um circuito
O condutor em movimento da Figura 34.2 apresenta uma fem, mas ele não poderia conduzir uma corrente porque as cargas não têm um lugar para onde ir. É como uma bateria
que está desconectada de um circuito. Podemos mudar isso ligando o condutor em movimento a um circuito.
A FIGURA 34.5 mostra um fio condutor deslizando com velocidade v ao longo de um
trilho condutor em forma de U. Consideraremos que o trilho esteja fixado a uma mesa e
não possa se mover. O fio e o trilho formam, juntos, uma única espira condutora fechada
– um circuito.
Suponha também que exista um campo magnético perpendicular ao plano do circuito. As cargas do fio em movimento serão empurradas para as extremidades do fio pela
força magnética, justamente como na Figura 34.2, só que agora elas podem continuar
a fluir ao redor do circuito, ou seja, o fio em movimento atua como uma bateria em um
circuito.
A corrente no circuito é uma corrente induzida. Nesse exemplo, a corrente induzida
tem sentido anti-horário. Se a resistência total do circuito for R, a corrente induzida será
dada pela lei de Ohm como
(34.4)
Nesta situação, a corrente induzida deve-se às forças magnéticas exercidas sobre as cargas em movimento.
Os portadores de carga do fio
são empurrados para cima Extremidade
pela força magnética.
positiva do fio
Fio em
movimento
Trilho condutor.
Fixado à mesa e imóvel.
Extremidade
negativa do fio
Os portadores de carga fluem
ao longo da espira condutora
formando uma corrente induzida.
FIGURA 34.5 Uma corrente é induzida
PARE E PENSE 34.2
seu sentido?
Existe uma corrente induzida no circuito? Em caso afirmativo, qual é o
no circuito enquanto o fio se move em
presença de um campo magnético.
1046
Física: Uma Abordagem Estratégica
A corrente induzida flui
pelo fio em movimento.
puxa
A força magnética sobre
o fio condutor de corrente
opõe-se ao movimento.
Uma força que puxe para a direita
deve equilibrar a força magnética a
fim de manter o fio em movimento
com velocidade constante. Essa força
realiza trabalho sobre o fio.
FIGURA 34.6 É necessário haver uma força
que o puxe a fim de manter o fio em
movimento para a direita.
Consideremos que o fio esteja se movendo ao longo do trilho com velocidade constante. Isso revela que devemos exercer uma força constante que puxe, puxa, para conseguir
que isso ocorra. A FIGURA 34.6 mostra por quê. O fio em movimento, que agora conduz a
corrente induzida I, está em presença de um campo magnético. Você aprendeu no Capítulo
33 que um campo magnético exerce uma força sobre um fio portador de corrente. De acordo com a regra da mão direita, a força magnética mag, exercida sobre o fio em movimento,
aponta para a esquerda. Essa “força de arrasto magnética” produzirá uma desaceleração e
a parada final do fio, a menos que exerçamos constantemente sobre ele uma força que o
puxe, puxa, de mesmo módulo, mas oposta, a fim de mantê-lo em movimento.
NOTA Reflita cuidadosamente sobre isso. À medida que o fio se move para a direita, a força magnética B empurra os portadores de carga paralelamente ao fio.
Seus movimentos, enquanto se movem em volta do circuito, formam a corrente
induzida I. Agora, em virtude da existência de uma corrente, uma segunda força
magnética, mag, entra na figura. Essa força sobre a corrente é perpendicular ao fio
e desacelera o fio em movimento. O módulo da força magnética sobre o fio portador de corrente foi obtido, no Capítulo 33, como Fmag ⫽ IlB. Usando este resultado juntamente com a Equação 34.4 para
a corrente induzida, obtemos que a força requerida para tracionar o fio mantendo uma
velocidade constante v é
(34.5)
Considerações sobre a energia
A vizinhança deve realizar trabalho sobre o fio ao tracioná-lo. O que acontece à energia
transferida para o fio por esse trabalho? Ela será conservada enquanto o fio se move ao
longo do trilho? Será mais fácil responder a essa questão se pensarmos em potência no
lugar de trabalho. Potência é a taxa segundo a qual o trabalho é realizado sobre o fio. No
Capítulo 11, você aprendeu que a potência desenvolvida por uma força que empurre ou
puxe um objeto com velocidade v é P ⫽ Fv. A potência fornecida ao circuito pela força
que puxa o fio é, portanto,
(34.6)
Essa é a taxa segundo a qual energia é adicionada ao circuito pela força que o puxa.
Entretanto o circuito também dissipa energia através da transformação de energia
elétrica em energia térmica nos fios e componentes, que se aquecem. Como descobrimos
no Capítulo 32, a potência dissipada por uma corrente I ao atravessar uma resistência R
2
é P ⫽ I R. A Equação 34.4 para a corrente induzida I nos fornece a potência dissipada
pelo circuito de Figura 34.5:
(34.7)
A força magnética sobre os portadores
de carga aponta para baixo; logo, a
corrente induzida flui em sentido horário.
empurra
A força magnética sobre
o fio condutor de corrente
aponta para a direita.
Você pode verificar que as Equações 34.6 e 34.7 são idênticas. A taxa segundo a qual
o trabalho é realizado no circuito equilibra exatamente a taxa na qual a energia é
dissipada. Desse modo, a energia é conservada.
Se você tem de puxar o fio a fim de mantê-lo em movimento para a direita, você
pode estar pensando que ele deva voltar para trás, para a esquerda, se deixado por sua
própria conta. A FIGURA 34.7 mostra o mesmo circuito com o fio em movimento para a
esquerda. Neste caso, você deve empurrar o fio para a esquerda a fim de mantê-lo em
movimento. A força magnética é sempre oposta ao movimento do fio.
Na Figura 34.6, onde o fio é puxado, e na Figura 34.7, onde ele é empurrado, uma
força mecânica é usada para criar uma corrente. Em outras palavras, temos uma transformação de energia mecânica em energia elétrica. Um dispositivo que converta energia
mecânica em energia elétrica é chamado de gerador. Os circuitos com fios que deslizam
mostrados nas Figuras 34.6 e 34.7 constituem exemplos simples de geradores. Mais tarde, neste capítulo, vamos examinar exemplos mais práticos de geradores.
Podemos resumir nossa análise como segue:
FIGURA 34.7 Uma força que empurre
é necessária para manter o fio em
movimento para a esquerda.
1. Puxar ou empurrar o fio em presença do campo magnético com velocidade v criará
no circuito.
uma fem de movimento no fio e induzirá uma corrente
■
CAPÍTULO 34
Indução Eletromagnética
1047
2. Para manter o fio em movimento com velocidade constante, uma força exercida
que o puxe ou o empurre deve equilibrar a força magnética sobre o fio. Aquela
força realiza trabalho sobre o circuito.
3. O trabalho realizado pela força que puxa ou empurra repõe exatamente a energia
que é dissipada pela corrente ao atravessar a resistência do circuito.
EXEMPLO 34.3 Ligando uma lâmpada
A FIGURA 34.8 mostra um circuito que consiste de uma lâmpada de
lanterna, de 3,0 V Ⲑ 1,5 W, e de fios ideais sem resistência. O fio à
direita do circuito, com 10 cm de comprimento, é puxado com velocidade constante v em presença de um campo magnético perpendicular
de intensidade igual a 0,10 T.
a. Que velocidade deve ter o fio para conseguir ligar a lâmpada e
fazê-la brilhar inteiramente?
b. Que força é necessária para manter o fio em movimento?
gem e à corrente pela relação
total tem intensidade
, a corrente que causa o brilho
A resistência da lâmpada – que é a resistência total do circuito – é
A Equação 34.4 fornece a velocidade necessária para induzir tal corrente:
,
,
,
Usando a Equação 34.6, você pode verificar que a potência de entrada, a essa velocidade, é 1,5 W.
b. Da Equação 34.5, a força que puxa o fio deve ser
FIGURA 34.8 Circuito do Exemplo 34.2.
MODELO Considere o fio em movimento como uma fonte de fem.
VISUALIZAÇÃO O sentido da força magnética sobre os portadores de
carga,
horário.
, produz uma corrente induzida em sentido anti-
RESOLUÇÃO a. As especificações da lâmpada, 3,0 V Ⲑ 1,5 W, significam
que, brilhando inteiramente, ela dissipará 1,5 W sob uma diferença de
potencial de 3,0 V. Uma vez que a potência está relacionada à volta-
Você também pode obter esse resultado a partir de Fpuxa ⫽ PⲐv.
AVALIAÇÃO O Exemplo 34.1 mostrou que altas velocidades são necessá-
rias para produzir uma diferença de potencial significativa. Assim, 300
mⲐs não é uma velocidade surpreendentemente grande. A força que puxa
o fio não é muito grande, porém mesmo uma força pequena pode corresponder a grandes valores de potência P ⫽ Fv, desde que v seja grande.
Correntes de Foucault
A FIGURA 34.9 mostra uma espira quadrada e rígida posicionada entre os pólos de um
ímã. O campo magnético aponta para baixo e está confinado à região entre os pólos. O
campo magnético da Figura 34.9a atravessa a espira, mas os fios não estão em presença do campo. Nenhum dos portadores de carga do fio experimenta uma força magnética, de modo que não existe uma corrente induzida nem uma força que puxe a espira
para a direita.
Mas quando a borda esquerda da espira entra na região de campo, como mostrado
na Figura 34.9b, a força magnética sobre os portadores de carga induz uma corrente na
espira. O campo magnético, então, exerce uma força magnética desaceleradora sobre a
corrente, portanto deve ser exercida sobre a espira uma força que a puxe para fora
do campo magnético. Note que o fio, normalmente feito de cobre, não é um material
magnético. Um pedaço do fio mantido próximo ao ímã não experimenta uma força.
Tampouco seria necessária uma força para puxar o fio para fora se houvesse um vão na
espira, interrompendo o circuito e impedindo a corrente. É a corrente induzida na espira
completa que faz o fio experimentar uma força de retardo.
Essas idéias têm interessantes implicações. Considere uma folha metálica puxada
em presença de um campo magnético, como mostrado na FIGURA 34.10a. Vamos considerar que o metal usado não seja magnético, de modo que não experimenta uma força
magnética quando se encontra em repouso. Os portadores de carga do metal experimentarão uma força magnética quando a folha for movimentada entre os pólos do ímã. Uma
corrente será induzida exatamente como na espira, mas, aqui, as correntes não têm fios
que sirvam de caminhos. Em conseqüência, dois “redemoinhos” de corrente começarão
a circular no metal. Esses redemoinhos de corrente que se espalham pelo metal sólido
são chamados de correntes de Foucault.
Espira
Não é necessária
força alguma para
puxar a espira quando
os fios estão fora do
campo magnético.
Corrente induzida
puxão
É necessária uma
força que puxe a fim
de equilibrar a força
magnética sobre a
corrente induzida.
FIGURA 34.9 Puxando uma espira para fora
de um campo magnético.
1048
Física: Uma Abordagem Estratégica
As correntes de Foucault são induzidas
quando uma folha de metal é movimentada
em presença de um campo magnético.
puxa
A força magnética sobre as correntes
de Foucault tem sentido oposto ao de
puxa
Folha
de metal
FIGURA 34.10 Correntes de Foucault.
Os eletroímãs são parte do vagão.
A corrente é como mostrada.
freio
freio
Trilho
Correntes de Foucault são
induzidas no trilho. As forças
magnéticas entre elas e os
eletroímãs retardam o trem.
FIGURA 34.11 Os sistemas magnéticos de
frenagem são uma aplicação das correntes
de Foucault.
A FIGURA 34.10b mostra a força magnética sobre as correntes de Foucault enquanto
elas passam através dos pólos. Essa força é orientada para a esquerda, como uma força
de retardo. Assim, é necessário exercer uma força externa para puxar um pedaço de
metal para fora de um campo magnético. Se a força que o puxa cessar, a força magnética rapidamente desacelerará o pedaço de metal até pará-lo. Analogamente, uma força
será requerida para empurrar a folha de metal para dentro de um campo magnético.
As correntes de Foucault geralmente são indesejáveis. A potência dissipada por elas
pode causar um aquecimento imprevisto, e as forças magnéticas sobre as correntes de
Foucault indicam que energia extra deve ser gasta para mover metais em presença de
campos magnéticos. Mas as correntes de Foucault também têm aplicações importantes
e úteis. Um bom exemplo é o da frenagem magnética, procedimento usado em trens e
sistemas de veículos de transporte.
Um vagão de trem possui um eletroímã que é cercado pelo trilho, como mostrado na
FIGURA 34.11. Durante a viagem normal, não há corrente através do eletroímã nem campo
magnético. Para parar o vagão, uma corrente é enviada ao eletroímã. A corrente cria um
forte campo magnético que passa através do trilho, e o movimento do trilho em relação
ao ímã induz correntes de Foucault no trilho. A força magnética entre o eletroímã e as
correntes de Foucault atua como uma força de frenagem sobre o ímã e, desse modo, sobre o vagão. Os sistemas magnéticos de frenagem são muito eficientes e possuem a
vantagem adicional de aquecer o trilho, e não, os freios.
PARE E PENSE 34.3 Uma espira quadrada feita de fio de cobre é puxada em uma região onde
existe um campo magnético. Ordene em seqüência decrescente os módulos das forças
a, b, c e d que puxam e que devem ser exercidas a fim de manter a espira em movimento com velocidade constante.
34.3 O fluxo magnético
Faraday descobriu que uma corrente é induzida quando ocorre variação na quantidade
de campo magnético que atravessa uma bobina. E isso é exatamente o que acontece
enquanto o fio da Figura 34.5 desliza sobre o trilho! Como o circuito torna-se cada vez
maior, mais campo magnético o atravessa. É hora de definirmos mais claramente o que
queremos dizer com “a quantidade de campo que atravessa uma espira”.
Imagine-se segurando uma espira retangular à frente de um ventilador, como mostrado na FIGURA 34.12. A quantidade de ar que flui através da espira depende da área efetiva
CAPÍTULO 34
■
Indução Eletromagnética
da própria espira, como vista ao longo da direção do fluxo. Pela figura, você pode verificar que a área efetiva (isto é, como ela é vista do “ponto de vista” do ventilador) é
(34.8)
onde A ⫽ ab é a área da espira e ␪ é o ângulo de inclinação da mesma. Uma espira per0
pendicular ao fluxo, correspondente a ␪ ⫽ 0 , possui Aef ⫽ A, a área inteira da espira.
0
Nenhum ar fluirá através da espira se ela estiver inclinada em 90 , e você pode ver que,
neste caso, Aef ⫽ 0.
Sentido do fluxo de ar
Espira vista de lado
Ângulo de inclinação
Ângulo ␪ de inclinação
Espira vista de frente
para o ventilador
Ventilador
Estes comprimentos
são iguais.
Imagine-se segurando uma espira à frente de um
ventilador. Inicie com a espira vertical ao fluxo de
ar, depois vá inclinando a espira, como mostrado,
até que ela fique na horizontal.
Aef
Aef
FIGURA 34.12 A quantidade de ar que atravessa uma espira depende da área efetiva da
própria espira.
Podemos aplicar essa idéia a um campo magnético que atravessa uma espira. A FI-
GURA 34.13 mostra uma espira de área A ⫽ ab em presença de um campo magnético uni-
forme. Pense nos vetores de campo, vistos por trás, como se fossem setas atiradas para
2
dentro da página. A densidade de setas (setas por m ) é proporcional à intensidade B do
campo magnético; um campo mais forte é representado por setas menos espaçadas umas
das outras. O número de setas que atravessa uma espira depende de dois fatores:
1. A densidade de setas, que é proporcional a B, e
2. A área efetiva Aef ⫽ A cos ␪ da espira.
Eixo da espira
Espira vista
de lado:
Estes comprimentos
são iguais.
Vista segundo a direção
do campo magnético:
A espira é perpendicular ao
campo; logo o número de setas
que a atravessa é máximo.
Girar a espira em um ângulo ␪
fará com que muito menos
setas a atravessem.
FIGURA 34.13 O campo magnético através de uma espira inclinada em vários ângulos.
Girada em 90o, nenhuma seta
atravessa a espira.
Aef
1049
1050
Espira de
área A
Física: Uma Abordagem Estratégica
O vetor área é
perpendicular à espira.
Seu módulo é igual
à área da espira.
O ângulo ␪ é formado entre o campo magnético e o eixo da espira. O número de setas
que atravessa a espira atinge um máximo quando ela é perpendicular ao campo magnéti0
0
co (␪ ⫽ 0 ). E nenhuma seta atravessa a espira quando ela estiver inclinada em 90 .
Com isso em mente, vamos definir o fluxo magnético ⌽m como
(34.9)
O fluxo magnético mede a quantidade de campo magnético que atravessa uma espira de
área A quando ela está inclinada em um ângulo ␪ com relação ao campo. A unidade do
SI para o fluxo magnético é o weber. Da Equação 34.9, você pode ver que
O fluxo
magnético
através da
espira é
O ângulo ␪ entre e
é o ângulo de
inclinação da espira.
FIGURA 34.14 O fluxo magnético pode ser
definido em função de um vetor área .
1 weber ⫽ 1 Wb ⫽ 1 Tm2
A Equação 34.9 lembra um produto escalar de vetores:
. A partir
disso, vamos definir o vetor área como sendo um vetor perpendicular à espira com
2
módulo igual à área A da mesma. O vetor tem por unidade o m . A FIGURA 34.14a mostra
o vetor área para uma espira circular de área A.
A FIGURA 34.14b mostra um campo magnético que atravessa uma espira. O ângulo
entre os vetores e é o mesmo ângulo usado nas Equações 34.8 e 34.9 para definir a
área efetiva e o fluxo magnético. Logo, a Equação 34.9 é, de fato, um produto escalar, e
podemos definir o fluxo magnético mais concisamente como
(34.10)
Escrever o fluxo como um produto escalar ajuda a deixar mais claro como o ângulo ␪ é
definido: trata-se do ângulo formado entre o campo magnético e o eixo da espira.
EXEMPLO 34.4 Uma espira circular em um campo magnético
A FIGURA 34.15 é a vista lateral de uma espira circular de 10 cm de
diâmetro em presença de um campo magnético uniforme de 0,050 T.
Qual é o fluxo magnético através da espira?
RESOLUÇÃO O ângulo ␪ é formado entre o vetor área
da espira, perpendicular ao plano da espira, e o campo magnético . Neste caso, ␪
0
0
⫽ 60 , e não 30 , o ângulo mostrado na figura. O vetor tem módulo
2
⫺3
2
A ⫽ ␲ r ⫽ 7,85 ⫻ 10 m . Assim, o fluxo magnético é
Espira circular
FIGURA 34.15 Espira circular em presença de um campo
magnético.
Fluxo magnético em um campo não-uniforme
A Equação 34.10 para o fluxo magnético pressupõe que o campo seja uniforme ao longo
da área da espira. Podemos calcular o fluxo em um campo não-uniforme, onde a intensidade do campo varia de uma borda da espira a outra, mas para isso precisamos usar o
cálculo.
A FIGURA 34.16 mostra uma espira em presença de um campo magnético não-uniforme. Imagine-se dividindo a espira em pequenos pedaços de área dA. O fluxo infinitesimal d␾m através de uma dessas áreas, onde o campo magnético é , é
Espira
Pequena área dA.
O fluxo através
dessa pequena área
é
Aumentando a intensidade de campo
(34.11)
O fluxo magnético total através da espira é a soma dos fluxos através de cada uma
das pequenas áreas. Calcula-se esta soma por integração. Assim, o fluxo magnético total
através da espira é
(34.12)
FIGURA 34.16 Espira em um campo
magnético não-uniforme.
A Equação 34.12 é uma definição mais geral do fluxo magnético e pode parecer bastante
difícil, então ilustraremos seu uso por meio de um exemplo.
CAPÍTULO 34
EXEMPLO 34.5 O fluxo magnético de uma corrente ao
longo de um fio reto
A espira retangular com dimensões 1,0 cm ⫻ 4,0 cm, mostrada na
FIGURA 34.17, está 1,0 cm afastada de um longo fio reto. O fio conduz
uma corrente de 1,0 A. Qual é o fluxo magnético através da espira?
Espira
Fio longo e reto
,
,
,
FIGURA 34.17 Espira próxima a um fio condutor de corrente.
MODELO Consideraremos o fio como infinitamente longo. A intensidade do campo magnético produzido por um fio diminui com a distância em relação a ele; logo, o campo não é uniforme ao longo da
área da espira.
y
B decrescente
Uma faixa de área
dA = b dx na posição x.
O fluxo magnético
através dessa faixa
é d⌽m = B dA.
B
dx
■
Indução Eletromagnética
1051
VISUALIZAÇÃO Usando a regra da mão direita vemos que, ao longo do
fio, o campo é perpendicular ao plano da espira. A FIGURA 34.18 mostra novamente a espira com o campo saindo da página e estabelece
um sistema de coordenadas.
RESOLUÇÃO Consideremos que a espira tenha dimensões a e b, como
mostrado na figura, com a borda mais próxima ao fio a uma distância
c do mesmo. O campo magnético varia com a distância x em relação
ao fio, mas é constante ao longo de uma linha paralela ao fio. Isso
sugere que devemos dividir a espira em muitas faixas retangulares
estreitas de comprimento b e largura dx, cada qual delimitando uma
pequena área dA ⫽ bdx. O campo magnético tem a mesma intensidade em todos os pontos dessa pequena área. Uma dessas faixas é
mostrada na figura, na posição x.
é perpendicular à faixa (ele sai da página), o que
O vetor área
0
significa que ele é paralelo a (␪ ⫽ 0 ). Assim, o fluxo infinitesimal
através dessa pequena área é
onde usamos a relação B ⫽ ␮0IⲐ2␲x, do Capítulo 33, para a intensidade do campo magnético a uma distância x de um longo fio reto.
Integrar “sobre a área da espira” significa integrar desde a borda da
espira mais próxima ao fio, em x ⫽ c, até a borda mais distante em
relação ao fio, em x ⫽ c ⫹ a. Assim,
Para a ⫽ c ⫽ 0,010 m, b ⫽ 0,040 m e I ⫽ 1,0 A, temos
⌽m ⫽ 5,5 ⫻ 10
b
⫺9
Wb
AVALIAÇÃO O fluxo mede a quantidade de campo magnético produzi-
c
O vetor sai
da página.
a
x
x
do pelo fio que atravessa a espira, mas tivemos de integrar, em vez de
simplesmente usar a Equação 34.10, porque o campo é mais forte na
borda da espira mais próxima ao fio do que na borda menos próxima
dele.
I
FIGURA 34.18 Calculando o fluxo magnético através de uma espira.
34.4 A lei de Lenz
Iniciamos nosso estudo com a observação de uma situação em que o movimento de um
fio causa a expansão da área delimitada por uma espira em presença de um campo magnético. Essa é uma maneira de variar o fluxo magnético através da espira. Mas Faraday
descobriu que a corrente pode ser induzida por qualquer que seja a variação do fluxo
magnético, sem interessar a maneira como isso é feito.
Por exemplo, uma corrente momentânea é induzida na espira da FIGURA 34.19 enquanto o ímã for empurrado em direção à espira, o que aumenta o fluxo através da mesma.
Puxar o ímã de volta, para fora da espira, defletirá o medidor de corrente em sentido
oposto. Uma vez que fios condutores não estão em movimento, esta não é uma fem de
movimento. Apesar disso, a corrente induzida é muito real.
O físico alemão Heirich Lenz começou a estudar a indução eletromagnética após ter
sabido da descoberta de Faraday. Três anos mais tarde, em 1834, Lenz enunciou uma
regra para determinar o sentido da corrente induzida. Atualmente essa regra é conhecida
como lei de Lenz, e pode ser expressa da seguinte maneira:
Empurrar um ímã em barra para dentro de
uma espira aumenta o fluxo através da
mesma, o que induz uma corrente na espira.
Medidor
de corrente
Entrando
A corrente induzida flui em
sentido horário ou anti-horário?
FIGURA 34.19 Empurrar um ímã em barra
em direção à espira induz uma corrente na
mesma.
1052
Física: Uma Abordagem Estratégica
LEI DE LENZ Existirá uma corrente induzida em uma espira condutora fechada se, e
somente se, o fluxo magnético através da mesma estiver variando. O sentido da corrente induzida é tal que o campo magnético induzido se opõe à variação do fluxo.
A lei de Lenz é bastante sutil e requer alguma prática para saber como aplicá-la.
NOTA Uma dificuldade com a lei de Lenz é o termo fluxo. Na linguagem habitual,
a palavra fluxo sempre implica que algo sofra variação. Pense na expressão “a situação está fluindo”. Já na física, fluxo implica “atravessar algo”. Um campo magnético
estático através de uma espira cria um um fluxo magnético constante. A lei de Lenz nos diz para procurarmos situações em que o fluxo esteja variando.
Isso pode ocorrer de três maneiras:
1. O campo magnético através da espira varia (aumenta ou diminui),
2. A espira varia em área ou em ângulo de inclinação, ou
3. A espira se move para dentro ou para fora de um campo magnético.
A espira precisa gerar
um campo magnético
que aponte para cima
a fim de se opor à
variação do fluxo.
Medidor
de corrente
induzido
Corrente
induzida
À medida que o ímã
se aproxima, o fluxo
através da espira
aumenta no sentido
descendente.
Pela regra da mão direita,
é necessário que flua uma
corrente em sentido antihorário para induzir um
campo magnético que
aponte para cima.
FIGURA 34.20 A corrente induzida tem o
A lei de Lenz depende de uma idéia que aventamos em nossa discussão sobre as
correntes de Foucault. Se uma corrente é induzida em uma espira, ela gera seu próprio
campo magnético induzido. Trata-se do campo magnético induzido mencionado na lei de
Lenz. No Capítulo 33 você aprendeu como usar a regra da mão direita para determinar o
sentido de um campo magnético induzido.
Na Figura 34.19, empurrar o ímã para dentro da espira causa um aumento do campo
magnético em sentido descendente. Para se opor à variação do fluxo, que é o que a lei de
Lenz requer, a espira precisa gerar seu próprio campo magnético orientado para cima,
como na FIGURA 34.20. O campo magnético induzido no centro da espira apontará para
cima se a corrente tiver o sentido anti-horário. Assim, empurrar a extremidade norte do
ímã em direção à espira induzirá uma corrente em sentido anti-horário na espira. A corrente induzida cessará tão logo cesse o movimento do ímã.
Suponha, agora, que o ímã seja puxado de volta, para longe da espira, como mostrado na FIGURA 34.21a. Haverá, então, um fluxo magnético descendente através da espira,
mas que diminui à medida que o ímã é afastado. De acordo com a lei de Lenz, o campo
magnético induzido da espira deve se opor a essa diminuição. Para tal, o campo induzido precisa apontar no sentido descendente, como mostrado na FIGURA 34.21b. Portanto,
enquanto o imã é retirado, a corrente induzida terá o sentido horário, opondo-se à corrente induzida da Figura 34.20.
O ímã em barra é
afastado da espira.
Medidor
de corrente
É necessário haver outro campo,
orientado para baixo, que se
oponha à variação. Medidor
de corrente
Para fora
sentido anti-horário.
induzido
Corrente
induzida
O fluxo descendente
está diminuindo.
Um campo orientado para baixo é induzido
por uma corrente que flui em sentido horário.
FIGURA 34.21 Puxar o ímã para longe induz uma corrente no sentido horário.
NOTA Note que o campo magnético do ímã aponta para baixo nas Figuras 34.20 e
34.21. A corrente induzida se opõe ao fluxo não devido ao ímã, mas devido à sua variação. Essa é uma distinção sutil, porém crucial. Se a corrente induzida se opusesse
apenas ao fluxo, a corrente mostrada nas Figuras 34.20 e 34.21 deveria ter o sentido
anti-horário, a fim de gerar um campo magnético orientado para cima. Mas não é o
CAPÍTULO 34
■
que ocorre. Quando o campo do ímã aponta para baixo e está aumentando, a corrente
induzida se opõe a este aumento, gerando um campo orientado para cima. Quando o
campo do ímã aponta para baixo, mas está decrescendo, a corrente induzida se opõe
a esta diminuição, gerando um campo orientado para baixo. A FIGURA 34.22 apresenta seis situações básicas. O campo magnético pode apontar
para cima ou para baixo dentro da espira. E para cada uma das situações, a intensidade
do fluxo pode aumentar, manter-se estável ou diminuir. Essas observações constituem a
base para uma série de regras para usar a lei de Lenz.
induzido
induzido
para cima e constante
Sem variação do fluxo
Sem campo induzido
Sem corrente induzida
para cima e aumentando
Variação no fluxo ↑
Campo induzido ↓
Corrente induzida
em sentido horário
induzido
Sem corrente
induzida
para baixo e constante
Sem variação do fluxo
Sem campo induzido
Sem corrente induzida
Corrente
induzida
Corrente
induzida
Sem corrente
induzida
para cima e diminuindo
Variação no fluxo ↓
Campo induzido ↑
Corrente induzida em
sentido anti-horário
induzido
Corrente
induzida
Corrente
induzida
para baixo e aumentando
Variação no fluxo ↓
Campo induzido ↑
Corrente induzida em
sentido anti-horário
para baixo e diminuindo
Variação no fluxo ↑
Campo induzido ↓
Corrente induzida
em sentido horário
FIGURA 34.22 A corrente induzida para seis diferentes situações.
BOX TÁTICO
34.1
Usando a lei de Lenz
Determine a orientação do campo magnético aplicado. Ele deve atravessar a
espira.
Determine como o fluxo varia. Está aumentando, diminuindo ou se mantém
constante?
Determine a orientação de um campo magnético induzido que se oponha à
essa variação do fluxo.
■ Fluxo aumentando: o campo magnético induzido se opõe ao campo magné-
tico aplicado.
■ Fluxo diminuindo: o campo magnético induzido tem o mesmo sentido do
campo magnético aplicado.
■ Fluxo estável: não há campo magnético induzido.
Determine o sentido da corrente induzida. Use a regra da mão direita para determinar o sentido da corrente na espira que gera o campo magnético induzido
determinado na Etapa 3.
Exercícios 10–14
Indução Eletromagnética
1053
1054
Física: Uma Abordagem Estratégica
Vamos examinar alguns exemplos.
EXEMPLO 34.6 Lei de Lenz 1
RESOLUÇÃO A FIGURA 34.24 ilustra as quatro etapas para o emprego
O interruptor do circuito da FIGURA 34.23 está fechado há um longo da lei de Lenz. A abertura do interruptor induz uma corrente em sentempo. O que ocorrerá na espira inferior quando o interruptor for tido anti-horário na espira inferior. Trata-se de uma corrente momentânea, que dura somente até o campo magnético da espira superior
aberto?
cair a zero.
MODELO Usaremos a regra da mão direita para determinar os campos
AVALIAÇÃO A conclusão é consistente com a Figura 34.22.
magnéticos gerados pelas espiras de corrente.
O campo magnético da espira
superior aponta para cima, porém
está diminuindo enquanto a corrente
no circuito rapidamente decresce.
O interruptor é aberto.
B
0
O fluxo através da espira é de
baixo para cima e decrescente.
-
Corrente induzida
Uma corrente induzida em sentido antihorário produz um campo magnético
orientado para cima.
A fim de se opor à variação do fluxo,
o campo induzido deve apontar para cima. Binduzido
FIGURA 34.23 Circuitos do Exemplo 34.6.
+
FIGURA 34.34 Aplicando a lei de Lenz.
EXEMPLO 34.7 Lei de Lenz 2
RESOLUÇÃO A FIGURA 34.26 mostra as quatro etapas para o emprego
A FIGURA 34.25 mostra dois solenóides posicionados um de frente
para o outro. Quando o interruptor do solenóide 1 for fechado, a
corrente induzida no solenóide 2 fluirá da direita para a esquerda ou
da esquerda para a direita, através do medidor de corrente?
da lei de Lenz. O fechamento do interruptor induz uma corrente que
flui da direita para a esquerda através do medidor de corrente. A corrente induzida é momentânea. Ela dura somente até que o campo do
solenóide 1 atinja a intensidade total e deixe de variar.
MODELO Usaremos a regra da mão direita para determinar os campos
AVALIAÇÃO A conclusão é consistente com a Figura 34.22.
magnéticos gerados pelos solenóides.
VISUALIZAÇÃO É muito importante descobrir o sentido em que as es-
piras do solenóide foram enroladas em volta do cilindro. Note que
as espiras dos dois solenóides da Figura 34.25 foram enroladas em
sentidos opostos.
O campo magnético
do solenóide aponta
para a esquerda.
Bobina 2
Bobina 1
O fluxo através da bobina
é da direita para a esquerda
e está aumentando.
O campo induzido deve
apontar para a direita a
fim de se opor à
variação do fluxo.
Binduzido
B
0
I
O interruptor
é fechado.
-
+
Sentido de corrente
que induz um
campo orientado
para a direita.
Corrente induzida
FIGURA 34.25 Os dois solenóides do Exemplo 34.7.
FIGURA 34.26 Aplicando a lei de Lenz.
PARE E PENSE 34.4 Um fio condutor de corrente
é afastado de uma espira condutora como
mostrado na figura. Enquanto o fio estiver
em movimento, existirá uma corrente induzida em sentido horário ao redor da espira, uma
corrente induzida em sentido anti-horário ou
não fluirá qualquer corrente induzida?
CAPÍTULO 34
■
Indução Eletromagnética
1055
34.5 A lei de Faraday
Faraday descobriu que uma corrente será induzida em uma espira condutora sempre que
o fluxo magnético através da mesma variar. A lei de Lenz permite-nos determinar o sentido da corrente induzida. Para usar a indução magnética na prática, precisamos também
conhecer a intensidade da corrente induzida.
As cargas não entram em movimento espontaneamente. A existência de uma corrente requer uma fem que forneça a energia. Iniciamos nossa análise das correntes induzidas com circuitos nos quais uma fem de movimento podia ser entendida em termos de
forças magnéticas sobre cargas em movimento. Todavia também vimos que se pode induzir uma corrente por meio da variação de um campo magnético através de um circuito
estacionário, que não se encontra em movimento. Deve existir uma fem neste circuito,
mesmo que o mecanismo que gere tal fem ainda não nos seja claro.
A fem associada à variação do fluxo magnético, independentemente do que cause
a variação, é chamada de fem induzida . Então, se houver um circuito completo com
resitência R, se estabelecerá uma corrente
(34.13)
no fio em conseqüência da fem induzida. O sentido da corrente é dado pela lei de Lenz.
A última informação de que precisamos é o valor da fem induzida .
A pesquisa de Faraday e de outros cientistas acabou levando à descoberta da lei
básica da indução eletromagnética, que hoje denominamos lei de Faraday. Trata-se de
uma nova lei da física, não-derivável a partir de qualquer das leis que você estudou anteriormente. Ela estabelece:
LEI DE FARADAY Uma fem será induzida ao longo de uma espira fechada se o fluxo
magnético através da mesma sofrer variação. O módulo da fem é dado por
(34.14)
e seu sentido é tal que produza uma corrente induzida no sentido dado pela lei de
Lenz.
Em outras palavras, a fem induzida é a taxa de variação do fluxo magnético através da
espira.
Como corolário da lei de Faraday, uma bobina com N espiras em presença de um
campo magnético variável se comporta como N baterias ligadas em série. A fem induzida de cada uma das espiras é somada, de modo que a fem induzida na bobina inteira é
(Lei de Faraday para uma bobina com N espiras) (34.15)
Como um primeiro exemplo do uso da lei de Faraday, voltemos à situação da Figura
34.5, em que um fio é movimentado através de um campo magnético deslizando sobre
um trilho condutor em forma de U. A FIGURA 34.27 mostra o circuito novamente. O campo
0
magnético é perpendicular ao plano da espira condutora, portanto ␪ ⫽ 0 , e o fluxo
magnético é ␾ ⫽ AB, onde A é a área da espira. Se o fio deslizante está a uma distância
x da extremidade, a área é A ⫽ xl, e o fluxo naquele instante de tempo é
Fluxo magnético
(34.16)
O fluxo através da espira aumenta à medida que o fio se move. De acordo com a lei
de Faraday, a fem induzida é
(34.17)
onde a velocidade do fio é v ⫽ dxⲐdt. Podemos, agora, usar a Equação 34.13 para determinar a corrente induzida como
(34.18)
Corrente induzida
FIGURA 34.27 O fluxo magnético através
da espira aumenta à medida que o fio se
move.
1056
Física: Uma Abordagem Estratégica
O fluxo está aumentando na espira, portanto o campo magnético induzido deve se
opor a esse aumento, apontando para fora da espira. Isso requer que a corrente induzida na espira tenha o sentido anti-horário. A lei de Faraday nos leva à conclusão de
que a espira conduzirá uma corrente induzida I ⫽ vlBⲐR em sentido anti-horário. Essa
é exatamente a conclusão que obtivemos na Seção 34.2, quando analisamos a mesma
situação do ponto de vista das forças magnéticas exercidas sobre portadores de carga
em movimento. A lei de Faraday confirma o que já sabíamos, ao menos neste caso, não
parecendo oferecer qualquer novidade.
Usando a lei de Faraday
Muitos problemas sobre indução eletromagnética podem ser resolvidos através de uma
estratégia de quatro etapas.
ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS 34.1
Indução eletromagnética
MODELO Proponha hipóteses simplificadas acerca de fios e campos magnéticos.
VISUALIZAÇÃO Desenhe uma figura ou um diagrama de circuito. Use a lei de Lenz
para determinar o sentido da corrente induzida.
RESOLUÇÃO A representação matemática é baseada na lei de Faraday,
Para uma bobina com N espiras, multiplique por N. A intensidade da corrente indu.
zida é
AVALIAÇÃO Verifique se seu resultado está expresso na unidade correta, se é plausível
e se responde à questão.
EXEMPLO 34.8 Indução eletromagnética em uma espira
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 34.28 mostra o bracelete e o campo apli-
Um paciente possui um bracelete de cobre e, ao fazer um exame com
um aparelho de imageamento por ressonância magnética (MRI, sigla
para a expressão inglesa Magnetic Resonance Imaging), esqueceu-se
de retirá-lo do braço. O bracelete tem 6,0 cm de diâmetro e resistência
de 0,010 ⍀. O campo magnético produz\ido pelo solenóide do MRI
está orientado ao longo do corpo da pessoa, da cabeça para os pés; o
bracelete, portanto, é perpendicular a . Enquanto a varredura é feita
no corpo da pessoa, o campo magnético do solenóide diminui de 1,00
T para 0,40 T em 1,2 s. Quanto valem a intensidade e o sentido da
corrente induzida no bracelete?
cado orientado para baixo, ao longo do corpo do paciente. Como o
campo aplicado diminui de valor, o fluxo na espira decresce. Para
se opor ao decréscimo do fluxo, o campo produzido pela corrente
induzida deve ter o mesmo sentido do campo aplicado. Assim, pela
regra da mão direita, a corrente induzida no bracelete deve ter o sentido horário.
RESOLUÇÃO O campo magnético é perpendicular ao plano da espira,
logo ␪ ⫽ 0 , e o fluxo magnético é ␾m ⫽ AB ⫽ ␲r B. O raio da espira
não varia com o tempo, mas B, sim. De acordo com a lei de Faraday,
o módulo da fem induzida é
0
2
MODELO Suponha que B decresça linearmente com o tempo.
,
A taxa segundo a qual o campo magnético varia é
B decresce
de 1,00 T
para 0,40 T,
em 1,2 s.
,
FIGURA 34.28 Uma espira condutora circular em presença de um
campo magnético decrescente.
A grandeza dBⲐdt é negativa, pois o campo está decrescendo, mas
tudo de que precisamos para a lei de Faraday é o valor absoluto. Assim,
CAPÍTULO 34
A corrente produzida pela fem induzida é
■
Indução Eletromagnética
1057
AVALIAÇÃO Trata-se de uma fem bastante pequena, mas, devido à resis-
O campo magnético decrescente gera uma corrente de 0,14 V em sentido horário com duração de 1,2 s
tência de um bracelete de metal também ser muito pequena, a corrente
é respeitável. Sabemos que a indução magnética produz correntes suficientemente intensas para aplicações práticas; logo, esse resultado
parece plausível. O campo magnético gerado pela corrente induzida
poderia facilmente distorcer as leituras do aparelho de MRI. Conseqüentemente, os operadores têm o cuidado de remover todos os metais
dos pacientes antes de iniciar o exame com o aparelho de MRI.
EXEMPLO 34.9 Indução eletromagnética em um solenóide
RESOLUÇÃO Agora estamos prontos para usar a lei de Faraday na de-
Uma espira de 2,0 cm de diâmetro e resistência de 0,010 ⍀ é colocada no centro do solenóide visto na FIGURA 34.29a. O solenóide tem
diâmetro de 4,0 cm, comprimento de 20 cm e o fio está enrolado em
1.000 voltas. A FIGURA 34.29b mostra a corrente através do solenóide
como uma função do tempo enquanto o solenóide é “alimentado”.
Uma corrente é definida como positiva se flui em sentido horário
quando vista a partir da esquerda. Determine a corrente na espira em
função do tempo e mostre o resultado graficamente.
terminação da intensidade de corrente. Como o campo é uniforme
0
dentro do solenóide e perpendicular à espira (␪ ⫽ 0 ), o fluxo é ␾m
2
⫺4
2
⫽ AB, onde A ⫽ ␲r ⫽ 3,14 ⫻ 10 m é a área da espira (e não a
área do solenóide). O campo produzido por um longo solenóide, de
comprimento l, foi obtido no Capítulo 33 como
Quando a corrente do solenóide é Isolenóide, o fluxo é
20 cm, 1.000 voltas
Corrente
positiva
,
Espira de 2,0 cm de diâmetro
A variação do fluxo cria uma fem induzida
Faraday:
que é dada pela lei de
Da declividade do gráfico, obtemos
Corrente no solenóide
Assim, a fem induzida é
Finalmente, a corrente induzida na espira é
FIGURA 34.29 Uma espira no interior de um solenóide.
MODELO O comprimento do solenóide é muito maior do que o seu
diâmetro, então o campo próximo ao centro deve ser aproximadamente uniforme.
VISUALIZAÇÃO O campo magnético do solenóide cria um fluxo mag-
nético através da espira. Vista a partir da esquerda, a corrente do solenóide é sempre positiva, o que significa que ela tem sempre o sentido horário. Conseqüentemente, pela regra da mão direita, o campo
magnético dentro do solenóide sempre aponta para a direita. Durante
o primeiro segundo, enquanto a corrente do solenóide está aumentando, o fluxo através da espira está para a direita e aumentando. Para se
opor à variação do fluxo, o campo magnético induzido da espira deve
apontar para a esquerda. Assim, usando novamente a regra da mão
direita, a corrente induzida deve fluir no sentido anti-horário quando
vista da esquerda. Trata-se, então, de uma corrente negativa. Não há
variação no fluxo para t ⬎ 1 s; logo, a corrente induzida é nula.
onde o sinal negativo vem da lei de Lenz. O resultado é mostrado na
FIGURA 34.30.
espira
O solenóide conduz uma corrente,
mas ela não varia. Portanto, nenhuma
corrente é induzida na espira.
Haverá uma corrente induzida
enquanto o fluxo variar.
FIGURA 34.30 A corrente induzida na espira.
1058
Física: Uma Abordagem Estratégica
O que nos diz a lei de Faraday?
A corrente induzida no circuito com o fio deslizante da Figura 34.27 pode ser atribuída
a uma fem de movimento devido às forças magnéticas exercidas sobre as cargas em
movimento. Não havíamos antecipado esse tipo de corrente no Capítulo 33, mas não foi
necessária uma nova lei da física para podermos compreendê-la.
As correntes induzidas dos Exemplos 34.8 e 34.9 são diferentes. Não podemos explicar ou prever essas correntes induzidas baseados nas leis ou princípios anteriores.
Trata-se de uma nova lei da física.
Faraday percebeu que todas as correntes induzidas estão associadas a variações do
fluxo magnético. Há duas maneiras diferentes e fundamentais de se variar o fluxo magnético através de uma espira condutora:
1. A espira pode se mover, se expandir ou girar, criando uma fem de movimento.
2. O campo magnético pode variar.
Podemos entender ambas se escrevermos a lei de Faraday como
(34.19)
O primeiro termo do lado direito representa a fem de movimento. O fluxo magnético
varia porque a posição da própria espira está variando. Esse termo inclui não somente
situações como a do circuito com um fio deslizante, onde a área A varia, mas também o
caso de espiras que giram em presença de um campo magnético. A área física de uma espira que gira não varia, mas o vetor , sim. O movimento da espira faz como que forças
magnéticas sejam exercidas sobre os portadores de carga da espira.
O segundo termo do lado direito representa o conteúdo novo de física da lei de Faraday.
Ela afirma que uma fem pode também ser criada pela simples variação de um campo magnético, mesmo que nada esteja em movimento. Esse é o caso dos Exemplos 34.8 e 34.9.
A lei de Faraday nos diz que uma fem induzida é, simplesmente, a taxa de variação
do fluxo magnético através da espira, independentemente do que cause a variação no
fluxo. A “velha física” da fem de movimento está incluída dentro da lei de Faraday como
uma maneira de variar o fluxo, mas a lei, então, continua a nos dizer que qualquer outra
maneira de variar o fluxo terá o mesmo resultado.
Uma questão não-respondida
Corrente induzida
aumentando.
Solenóide
FIGURA 34.31 Uma corrente que varia no
solenóide induz uma corrente na espira.
Como um exemplo final para esta seção, considere a espira mostrada na FIGURA 34.31.
Um solenóide longo e com espiras de raio r1 firmemente enroladas passa através do centro de uma espira condutora com um raio maior r2. Mesmo que a espira esteja completamente fora do campo magnético do solenóide, uma variação da corrente do solenóide
causará uma corrente induzida na espira.
Como é possível que os portadores de carga da espira condutora saibam que o campo
magnético dentro do solenóide está variando? Como eles sabem de que maneira devem
se mover? No caso da fem de movimento, o mecanismo que dá origem a uma corrente
induzida é a força magnética exercida sobre as cargas em movimento. Mas aqui, onde
não há movimento algum, que mecanismo cria a corrente quando o fluxo magnético
varia? Essa é uma questão importante que responderemos na próxima seção.
PARE E PENSE 34.5 Uma espira condutora encontra-se no meio do
caminho dentro de uma região quadrada onde existe um campo
magnético uniforme. Suponha que o campo magnético comece a
aumentar rapidamente em intensidade. O que acontecerá à espira?
a. A espira será empurrada para cima, em direção ao topo da
página.
b. A espira será empurrada para baixo, em direção à base da
página.
c. A espira será puxada para a esquerda, para dentro do campo
magnético.
d. A espira será puxada para a direita, para fora do campo magnético.
e. A tensão nos fios aumentará, mas a espira não entrará em
movimento.
CAPÍTULO 34
■
Indução Eletromagnética
1059
34.6 Campos induzidos
A lei de Faraday constitui uma ferramenta para calcularmos a intensidade de uma corrente induzida, todavia uma peça importante do quebra-cabeça ainda está faltando. O
que causa a corrente? Ou seja, o que força as cargas ao longo da espira a se moverem,
contra as forças resistivas do metal? Os agentes que exercem as forças sobre as cargas
são os campos magnéticos e elétricos. As forças magnéticas são responsáveis pelas fems
de movimento, mas elas não podem explicar a corrente induzida em uma espira estacionária por uma variação de campo magnético.
A FIGURA 34.32a mostra uma espira condutora em um campo magnético cuja intensidade está aumentando. De acordo com a lei de Lenz, existe uma corrente induzida em sentido anti-horário. Algo tem de agir sobre os portadores de carga a fim de pô-los em movimento, então inferimos que deve existir um campo elétrico tangente à espira em todos os
seus pontos. Tal campo elétrico é causado pelo campo magnético variável e é denominado
campo elétrico induzido. É o campo elétrico induzido o mecanismo que cria a corrente
dentro da espira estacionária quando ocorre uma variação do campo magnético.
A presença da espira condutora não é necessária. O espaço no qual o campo magnético varia é preenchido com o padrão de campos elétricos induzidos em forma de catavento mostrado na FIGURA 34.32b. As cargas entrarão em movimento se um caminho de
condução estiver disponível, todavia o campo elétrico induzido está lá, mesmo que não
exista corrente, como uma conseqüência direta da variação do campo magnético.
Mas trata-se de um campo elétrico bastante peculiar. Todos os campos elétricos que
examinamos até agora foram criados por cargas. Nestes casos, os vetores do campo
elétrico apontam para longe das cargas positivas e em direção às cargas negativas. Um
campo elétrico criado por cargas é chamado de campo elétrico coulombiano. O campo
elétrico induzido da Figura 34.32b é criado não por cargas, e sim, por uma variação do
campo magnético. Ele é chamado de campo elétrico não-coulombiano.
Então parece que existem duas diferentes maneiras de criar um campo elétrico:
Corrente
induzida
Espira condutora
Região onde
está aumentando
Campo elétrico induzido
Região onde
está aumentando
FIGURA 34.32 Um campo elétrico induzido
cria uma corrente na espira.
1. Um campo elétrico coulombiano é criado por cargas positivas e negativas.
2. Um campo elétrico não-coulombiano é criado por uma variação no campo
magnético.
Ambos exercem uma força
sobre uma carga e ambos criam uma corrente em um
condutor. Entretanto, as origens desses campos são muito diferentes. A FIGURA 34.33 é um
rápido resumo das duas maneiras de criar um campo elétrico.
Primeiro introduzimos a idéia de um campo como um meio de pensar sobre como
duas cargas exercem forças de ação a distância uma sobre a outra através do espaço vazio. O campo pode ter parecido uma útil representação gráfica das interações de cargas,
mas tínhamos poucas evidências de que os campos fossem reais, de que eles realmente
existissem. Agora as temos. O campo elétrico apareceu em um contexto completamente
diferente, independentemente de cargas, como a explicação para a existência real de
correntes induzidas.
O campo elétrico não é apenas uma representação gráfica; ele é real.
Calculando o campo induzido
O campo elétrico induzido tem outra peculiaridade: ele não é conservativo. Lembre-se
de que uma força é conservativa se ela não realiza trabalho resultante sobre uma partícula que descreve uma trajetória fechada. “Subidas” são compensadas por “descidas”.
Podemos associar uma energia potencial a uma força conservativa, por isso temos energia potencial gravitacional para a força gravitacional conservativa, e energia potencial
elétrica para a força elétrica conservativa produzida por cargas (correspondente a um
campo elétrico coulombiano).
Todavia uma carga que descreve uma trajetória fechada em presença de um campo
elétrico induzido, como na Figura 34.32, está sempre sendo empurrada na mesma dire. Nunca há a realização de qualquer trabalho
ção e sentido pela força elétrica
negativo que compense o trabalho positivo, portanto o trabalho total realizado, ao completar um caminho fechado, não é nulo. Por não ser conservativo, não podemos associar
um potencial elétrico a um campo elétrico induzido. Somente um campo coulombiano
produzido por cargas tem associado um potencial elétrico.
Um campo elétrico coulombiano
é criado por cargas.
aumentando ou diminuindo
Um campo elétrico nãocoulombiano é criado por uma
variação do campo magnético.
FIGURA 34.33 Duas maneiras de criar um
campo elétrico.
1060
Física: Uma Abordagem Estratégica
Contudo, podemos associar o campo induzido à fem da lei de Faraday. A fem foi definida como o trabalho requerido por unidade de carga para separar as cargas, ou seja,
(34.20)
Em baterias, fontes familiares de fem, esse trabalho é realizado por forças químicas. Mas
a fem que aparece na lei de Faraday tem origem no trabalho realizado pela força exercida por um campo elétrico induzido.
Se uma carga q descreve um pequeno deslocamento , a pequena quantidade de
. A fem
trabalho correspondente realizado pelo campo elétrico é
da lei de Faraday é uma fem ao longo de uma curva fechada através da qual o fluxo
magnético ⌽m varia. O trabalho realizado pelo campo elétrico induzido enquanto a carga
q descreve uma curva fechada é
(34.21)
onde o símbolo de integração com o círculo superposto denota o mesmo tipo de integral
que vimos na lei de Ampère, indicando uma integral ao longo de uma curva fechada,
Substituindo esse trabalho na Equação 34.20, obtemos a fem ao redor de uma espira
fechada dada por
(34.22)
Se nos restringirmos às situações tais como a da Figura 34.32, onde a espira é perpendicular ao campo magnético e somente este varia, podemos escrever a lei de Faraday
. Conseqüentemente
como
(34.23)
A Equação 34.23 é um enunciado alternativo da lei de Faraday que relaciona o campo
elétrico induzido ao campo magnético variável.
O solenóide na FIGURA 34.34a fornece um bom exemplo da conexão entre e . Se
houvesse uma espira condutora no interior do solenóide, poderíamos usar a lei de Lenz
para determinar que o sentido da corrente induzida seria horário. Mas a lei de Faraday,
na forma da Equação 34.23, nos diz que um campo elétrico induzido estará presente
haja ou não uma espira condutora ali posicionada. O campo elétrico é induzido simplesmente pelo fato de estar variando.
A corrente através do
solenóide está aumentando.
O campo elétrico induzido é
circular ao redor das linhas
de campo magnético.
aumentando
Corrente
aumentando
Vista superior do solenóide.
sai da página.
Curva de
integração
induzido
induzido
aumentando
FIGURA 34.34 O campo elétrico induzido circula em torno do campo magnético dentro do
solenóide.
A forma e a orientação do campo elétrico induzido devem ser tais que poderíamos
ter uma corrente fluindo em uma espira condutora se a mesma estivesse presente e têm
de ser consistentes com a simetria cilíndrica do solenóide. A única escolha possível,
mostrada na FIGURA 34.34b, é a de um campo elétrico circular e orientado em sentido
horário ao redor das linhas de campo magnético.
CAPÍTULO 34
■
Indução Eletromagnética
1061
NOTA Linhas de campo elétrico circulares violam uma regra que vimos no Capítulo
27, segundo a qual as linhas de campo elétrico têm de iniciar e terminar em cargas.
Entretanto aquela regra é aplicável apenas a campos coulombianos criados por cargasfonte. Todo campo elétrico induzido é um campo não-coulombiano, pois é criado não
por cargas-fonte, mas por um campo magnético variável. Sem a presença de cargasfonte, as linhas de campo elétrico induzido devem formar espiras fechadas. Para usar a lei de Faraday, escolha um círculo de raio r e orientado em sentido horário, como uma curva fechada, a fim de calcular a integral. A FIGURA 34.34c mostra que os
vetores do campo elétrico, em todos os lugares, são tangentes à curva, de maneira que a
integral de linha de é
(34.24)
onde l ⫽ 2␲r é o comprimento da curva fechada. Essa integral é exatamente igual às que
calculamos no caso da lei de Ampère, no Capítulo 33.
2
Se nos mantivermos dentro do solenóide (r ⬍ R), o fluxo atravessará a área A ⫽ ␲r
e a Equação 34.23 assumirá a forma
(34.25)
Assim, a intensidade do campo elétrico induzido dentro do solenóide é
(34.26)
Esse resultado mostra diretamente que o campo elétrico induzido é criado por um campo
magnético que varia. Um campo constante, com dBⲐdt ⫽ 0, resulta em E ⫽ 0.
EXEMPLO 34.10 Um campo elétrico induzido
Um solenóide com diâmetro de 4,0 cm foi enrolado com 2.000 espiras
por metro. A corrente através do solenóide oscila a 60 Hz com uma
amplitude de 2,0 A. Qual é a intensidade máxima do campo elétrico
induzido dentro do solenóide?
MODELO Considere que o campo magnético dentro do solenóide seja
uniforme.
⫽ 377 radⲐs. Assim, a intensidade do campo elétrico induzido no
raio r é
A intensidade do campo é máxima no raio mínimo (r ⫽ R) e no instante em que cos ␻t ⫽ 1, ou seja,
VISUALIZAÇÃO As linhas do campo elétrico são círculos concêntricos
ao redor das linhas de campo magnético, como ilustrado na Figura
34.34b. Elas invertem o sentido duas vezes a cada período enquanto
a corrente oscila.
RESOLUÇÃO Você aprendeu no Capítulo 33 que a intensidade do
campo magnético no interior de um solenóide com n espiras por
metro é B ⫽ ␮0nI. Nesse caso, a corrente através do solenóide é I
⫽ I0 sen ␻t, onde I0 ⫽ 2,0 A é a corrente de pico e ␻ ⫽ 2␲ (60 Hz)
AVALIAÇÃO Essa intensidade de campo, embora pequena, é semelhante
à intensidade de campo que a fem de uma bateria cria em um fio. Portanto, esse campo elétrico induzido pode gerar uma corrente induzida
substancial através de uma espira condutora se ela estiver presente.
Mas o campo elétrico induzido existe dentro do solenóide havendo ou
não uma espira condutora.
Ocasionalmente, é útil ter uma versão da lei de Faraday sem os valores absolutos dos
sinais. A essência da lei de Lenz é que a fem se opõe à variação de ⌽m. Matematicamente, isso significa que deve ter o sinal oposto ao de dBⲐdt. Sendo assim, podemos
escrever a lei de Faraday como
(34.27)
Em aplicações práticas, é sempre mais fácil calcular apenas o módulo da fem através
da lei de Faraday e usar a lei de Lenz para determinar o sentido da fem ou da corrente
induzida. Entretanto, a versão matematicamente rigorosa da lei de Faraday dada pela
Equação 34.27 se provará útil quando, no Capítulo 35, a combinarmos com outras equações para prever a existência de ondas eletromagnéticas.
1062
Física: Uma Abordagem Estratégica
Um campo magnético variável cria
um campo elétrico induzido.
Região de
aumento de
Campo elétrico
induzido
Um campo elétrico variável cria
um campo magnético induzido.
Região de
aumento de
Campo elétrico
induzido
FIGURA 34.35 Maxwell formulou a hipótese
da existência do campo magnético
induzido.
Direção de propagação
com a velocidade vonda EM
FIGURA 34.36 Uma onda eletromagnética
auto-sustentada.
“A velocidade das ondulações transversais
em nosso hipotético meio, calculada a partir
dos experimentos eletromagnéticos de Kohlrausch e Weber [que mediram ⑀0 e ␮0], concorda tão exatamente com a velocidade da
luz obtida dos experimentos óticos de Fizeau,
que mal podemos evitar a inferência de que
a luz consiste de uma ondulação transversal
do mesmo meio, que é a causa dos fenômenos
elétrico e magnético.”
James Clerk Maxwell
A teoria das ondas eletromagnéticas de Maxwell
Em 1855, menos de dois anos após terminar sua graduação, o físico escocês James Clerk
Maxwell apresentou um trabalho intitulado “Sobre as Linhas de Força de Faraday”. Neste
trabalho, Maxwell começou a esboçar como as idéias pictóricas de Faraday sobre os campos poderiam ser assentadas em rigorosa base matemática. Maxwell estava preocupado
com uma falta de simetria. Faraday havia descoberto que uma variação do campo magnético cria um campo elétrico induzido, um campo elétrico não-coulombiano não-criado por
cargas. Mas Maxwell começou a se indagar: e quanto à variação de um campo elétrico?
Para completar a simetria, Maxwell propôs que a variação de um campo elétrico cria
um campo magnético induzido, um novo tipo de campo magnético que não se deve à
existência de correntes. A FIGURA 34.35 mostra uma região do espaço onde o campo elétrico está aumentando. Essa região do espaço, de acordo com Maxwell, está preenchida
por um padrão de vetores de campo magnético induzido semelhante a um cata-vento. O
campo magnético induzido tem uma configuração semelhante à de um campo elétrico
induzido, com e intercambiados, exceto pelo fato de que – por razões técnicas que
exploraremos no próximo capítulo – o campo induzido aponta em sentido oposto ao
do campo induzido . Embora não houvesse evidência da existência de um campo magnético induzido, Maxwell foi em frente e incluiu-os em sua teoria do campo eletromagnético. Tratou-se de um pressentimento inspirado, prontamente justificado.
Maxwell cedo percebeu que poderia ser possível gerar campos elétricos e magnéticos auto-sustentados que fossem inteiramente independentes de quaisquer cargas ou
correntes, ou seja, que uma variação de um campo elétrico cria um campo magnético
, o qual, por sua vez, varia exatamente da mesma maneira e recria o campo elétrico
que, então, varia da mesma maneira e novamente recria o campo magnético e assim por
diante. Os campos são recriados continuamente através da indução eletromagnética sem
qualquer dependência com cargas ou correntes.
Maxwell foi capaz de prever que os campos elétricos e magnéticos poderiam sustentar a si mesmos, livres de cargas e de correntes, se constituíssem uma onda eletromagnética. Tal onda deveria ter uma geometria muito especial, mostrada na FIGURA 34.36, em
que e são perpendiculares entre si, bem como à direção de propagação, ou seja, a
onda eletromagnética deveria ser uma onda transversal.
Além disso, a teoria de Maxwell previa que a onda teria uma velocidade de valor
dado por
onde é a constante de permissividade da lei de Coulomb e ␮0 é a constante de permeabilidade da lei de Biot-Savart. Maxwell calculou que uma onda eletromagnética, se
8
existisse, se propagaria com velocidade vonda EM ⫽ 3,00 ⫻ 10 mⲐs.
Não sabemos a reação imediata de Maxwell ao completar este cálculo, mas deve ter
sido de choque e excitação. Ele previu a velocidade para as ondas eletromagnéticas, uma
previsão obtida diretamente de sua teoria, e o que obteve foi nada mais do que a velocidade da luz! Tal concordância poderia ser apenas uma coincidência, entretanto não foi
assim que Maxwell pensou. Com um audacioso lance de imaginação, ele concluiu que a
luz é uma onda eletromagnética.
Passaram-se 25 anos até que as previsões de Maxwell fossem testadas. Em 1886,
o físico alemão Heinrich Hertz descobriu como gerar e transmitir ondas de rádio. Dois
anos depois, em 1888, ele conseguiu mostrar que as ondas de rádio se propagam com a
velocidade da luz. Infelizmente Maxwell não viveu para assistir ao seu triunfo. Ele havia
morrido em 1879, aos 48 anos.
No Capítulo 35 desenvolveremos alguns detalhes matemáticos da teoria de Maxwell
e mostraremos como as idéias contidas na lei de Faraday o orientaram até a descoberta
das ondas eletromagnéticas.
34.7 Correntes induzidas: três aplicações
Há muitas aplicações da lei de Faraday e das correntes induzidas na tecnologia moderna.
Nesta seção veremos três delas: o gerador, o transformador e o detector de metal.
CAPÍTULO 34
■
Indução Eletromagnética
1063
Geradores
Na Seção 34.2, observamos que um fio deslizante, puxado sobre um trilho em forma de
U na presença de um campo magnético, constitui um tipo simples de gerador porque
transforma energia mecânica em energia elétrica. A FIGURA 34.37 mostra um tipo de gerador mais prático. Aqui, uma bobina, talvez acionada por um cata-vento, gira em presença
de um campo magnético. O campo e a área da espira são constantes, mas o fluxo magnético através da espira varia continuamente à medida que a espira gira. A corrente induzida é retirada da espira girante por meio de escovas pressionadas contra anéis deslizantes,
que também giram.
O fluxo através da bobina é
(34.28)
onde ␻ é a freqüência angular (␻ ⫽ 2␲f) com a qual a bobina gira. A fem induzida é
dada pela lei de Faraday,
(34.29)
O gerador de uma usina hidroelétrica usa a
indução eletromagnética para converter a
energia mecânica de uma turbina giratória
em energia elétrica.
onde N é o número de espiras da bobina. Neste caso, é melhor usar a versão da lei de
Faraday com o sinal negativo, Equação 34.27, para compreender como o sinal da bobina
alterna entre positivo e negativo.
Uma vez que o sinal da fem é alternado, a corrente através do resistor R também tem
seu sentido alternado para trás e para a frente. Portanto, o gerador da Figura 34.37 é um
gerador de corrente alternada, produzindo o que chamamos de voltagem CA.
Ímãs
permanentes
Anéis
deslizantes
A fem induzida em
função do tempo
Escovas
FIGURA 34.37 Gerador de corrente alternada.
EXEMPLO 34.11 Um gerador CA
AVALIAÇÃO Um campo de 0,010 T é modesto, portanto você pode ver
Uma bobina com 2,0 m2 de área gira em presença de um campo magnético de 0,010 T com a freqüência de 60 Hz. Quantas espiras são
necessárias para gerar um pico de voltagem de 160 V?
que a geração de grandes voltagens não é difícil usando-se bobinas
2
grandes (2,0 m ). Geradores comerciais empregam a água que flui de
uma represa ou pás de cata-vento ou turbinas que giram por meio da
expansão de vapor para girar a bobina do gerador. É necessário trabalho para girar a bobina, da mesma forma como foi necessário trabalho
para puxar o fio deslizante na Seção 34.2, pois o campo magnético
exerce forças que freiam as correntes da bobina. Assim, o gerador
é um dispositivo que transforma movimento (energia mecânica) em
corrente (energia elétrica). O gerador é o oposto do motor, transformando corrente elétrica em movimento.
RESOLUÇÃO A voltagem máxima da bobina é obtida pela Equação
34.29:
O número de espiras necessárias para gerar
max
⫽ 160 V é
1064
Física: Uma Abordagem Estratégica
Bobina primária
com N1 espiras
Transformadores
Núcleo
de ferro
Bobina primária
com N2 espiras
Carga
O campo magnético se
espalha pelo núcleo de ferro.
FIGURA 34.38 Um transformador.
A FIGURA 34.38 mostras duas bobinas enroladas em um mesmo núcleo de ferro. A bobina
da esquerda é chamada de bobina primária. Ela tem N1 espiras e é alimentada por uma
voltagem oscilatória V1 cos ␻t. O campo magnético da bobina primária se espalha pelo
núcleo de ferro e atravessa a bobina da direita, que possui N2 espiras e é chamada de
bobina secundária. A corrente alternada através da bobina primária causa uma oscilação do fluxo magnético na bobina secundária e, daí, uma fem nela induzida. A fem induzida na bobina secundária é transferida para a resistência de carga como a voltagem oscilatória V2 cos ␻t.
A variação do campo magnético dentro do núcleo de ferro é inversamente proporcional ao número de voltas da bobina primária: B ⬀ 1ⲐN1. (Essa relação é uma conseqüência
da indutância da bobina, uma idéia que discutiremos na próxima seção.) De acordo com a
lei de Faraday, a fem induzida na bobina secundária é diretamente proporcional ao seu número de espiras: sec ⬀ N2. Combinando essas duas proporcionalidades, concluímos que a
voltagem secundária de um transformador ideal está relacionada à voltagem primária por
(34.30)
Dependendo da razão N2ⲐN1, a voltagem V2 através da carga pode ser transformada em uma voltagem mais alta ou mais baixa do que V1. Por isso o dispositivo é chamado de transformador. Os transformadores são amplamente usados na geração e na
transmissão comercial de eletricidade. Um transformador elevador de tensão, com N2
N1, eleva a voltagem de um gerador até várias centenas de milhares de volts. Fornecer potência com pequenas correntes e altas voltagens reduz as perdas devido à resistência dos fios. As linhas de transmissão de altas voltagens transmitem potência
N 1)
elétrica para áreas urbanas, onde transformadores redutores de tensão (N2
baixam a voltagem para 120V.
Detectores de metal
Os transformadores são essenciais para a
transmissão de energia elétrica desde as
usinas até as cidades e residências.
Corrente induzida pelas
correntes de Foucault
Bobina receptora
Corrente induzida
devido à bobina
transmissora
Bobina transmissora
Correntes de Foucault no
metal reduzem a corrente
induzida da bobina receptora.
FIGURA 34.39 Um detector de metal.
Os detectores de metal, como os usados nos aeroportos por razões de segurança, parecem bastante misteriosos. Como eles podem detectar a presença de qualquer metal – e
não apenas de materiais magnéticos, como ferro –, mas não de plásticos e de outros materiais? Os detectores de metal funcionam por causa das correntes induzidas.
Um detector de metal, mostrado na FIGURA 34.39, consiste de duas bobinas: uma bobina transmissora e outra, receptora. Uma corrente alternada de alta freqüência que flui
na bobina transmissora gera um campo magnético alternado ao longo do eixo dessa bobina. Esse campo magnético cria uma variação no fluxo através da bobina receptora e
induz nela uma corrente alternada. A bobina transmissora e a receptora formam um dispositivo parecido com um transformador.
Suponha que uma peça metálica seja colocada entre a bobina transmissora e a receptora. O campo magnético alternado, no interior do metal, induz correntes de Foucault em um
plano paralelo à bobina transmissora e à receptora. A bobina receptora responde, então,
à superposição do campo magnético da bobina transmissora com o campo magnético
produzido pelas correntes de Foucault. Uma vez que estas tendem a impedir a variação de
fluxo, de acordo com a lei de Lenz o campo resultante na bobina receptora diminui quando
uma peça de metal é inserida entre as bobinas. Circuitos eletrônicos detectam a diminuição da corrente na bobina receptora e disparam um alarme. As correntes de Foucault, todavia, não podem fluir em um isolante, de modo que esse dispositivo detecta apenas metais.
34.8 Indutores
Os capacitores foram inicialmente introduzidos como dispositivos que produzem um
campo elétrico uniforme. A capacitância (isto é, a capacidade de armazenamento de
carga) foi definida como a razão carga-voltagem: C ⫽ QⲐ⌬V. Mais tarde, vimos que
2
um capacitor armazena energia potencial UC ⫽ C(⌬V) , e que essa energia é liberada
quando ele é descarregado.
Uma bobina em forma de solenóide é um dispositivo que produz um campo magnético uniforme. Em circuitos, os solenóides têm aplicações práticas como os capacitores?
CAPÍTULO 34
■
Indução Eletromagnética
1065
Como ponto de partida para responder a essa questão, observe que a carga do capacitor é
análoga ao fluxo magnético através de um solenóide, ou seja, um capacitor com placa de
diâmetro maior contém mais carga, analogamente a um solenóide com diâmetro maior
que contém um fluxo maior. Usando a definição de capacitância C ⫽ QⲐ⌬V como um
análogo, vamos definir a indutância L de um solenóide como sua razão fluxo-corrente
(34.31)
Estritamente falando, essa é chamada de auto-indutância, pois o fluxo aqui considerado é o fluxo magnético que o solenóide cria através de si mesmo quando conduz uma
corrente.
2
A unidade de indutância é o WbⲐA. Lembrando que 1 Wb ⫽ 1 Tm , temos a equiva2
lência Tm ⲐA. Essa unidade de indutância do SI foi denominada henry em homenagem
a Joseph Henry, ou seja,
1 henry ⫽ 1 H ⬅ 1 Tm2ⲐA
Indutâncias práticas geralmente possuem valores da ordem de milihenries (mH) ou microhenries (␮H).
Uma bobina usada em um circuito com o propósito de prover indutância é chamada
de indutor. Um indutor ideal é aquele em que os fios que formam a bobina não apresen.
tam resistência elétrica. O símbolo para um indutor em um circuito é
Não é difícil determinar a indutância de um solenóide. No Capítulo 33, determinamos que o campo magnético dentro de um solenóide com N espiras e comprimento l é
dado por
O fluxo magnético através de cada espira é ⌽por espira ⫽ AB, onde A é a área da secção
transversal do solenóide. O fluxo total através de todas as N espiras é
(34.32)
Assim, usando a definição da Equação 34.31, a indutância do solenóide, é
(34.33)
A indutância de um solenóide depende apenas de sua geometria, e de modo algum da
corrente. Lembre-se de que a capacitância de duas placas paralelas também depende
apenas de sua geometria, e de modo algum da diferença de potencial entre elas.
O comprimento necessário para a indutância L ⫽ 1,0 ⫻ 10
EXEMPLO 34.12 O comprimento de um indutor
Um indutor é feito com um fio de 0,30 mm de diâmetro firmemente
enrolado sobre um cilindro com 4,0 mm de diâmetro. Qual deve ser
o comprimento do cilindro para que a indutância do solenóide seja
de 10 ␮H?
RESOLUÇÃO A área da secção transversal do solenóide é A ⫽ ␲r . Se
2
o diâmetro do fio é d, o número de espiras do fio ao longo do comprimento l do cilindro é N ⫽ lⲐd. Assim, a indutância é
A diferença de potencial através de um indutor
Um indutor não tem muito interesse quando a corrente que flui nele é constante. Se o indutor
é ideal, com R ⫽ 0 ⍀, a diferença de potencial devida a uma corrente constante é nula. Os
indutores tornam-se importantes elementos de circuito quando as correntes são variáveis.
⫺5
Hé
1066
Física: Uma Abordagem Estratégica
Bobina indutora
Campo
magnético
do
solenóide
Corrente
A corre