NONA EDICAO
7,7,17.477.WiTirrinM
Equacees Diferenciais
Elementares e
Problemas de Valores de
Contorno
William E. Boyce
Proles.sor Lnu ;rito da catedra 1..- dtard P
Richard C. DiPrima
Anteriormente Professor du catedra Eliza Ricketts Foundation do
Departamento de Ciencias Matematicas do
Renssehwr Polytechnic Institute
"Fraduciio e Rev isao "Ucnica
Valeria de Magalhaes hid()
Fundac5o Educacional Serra dos 6rgãos,TeresOpolis
Os autores e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido credit()
a todos os detentores dos direitos autorais de qualqucr material utilizado nests livro,
disponclo-se a possiveis acertos caso, inadvertidamente. a identifieaao de alguin deles
tenha sido omitida.
responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de evcntuais perdas ou
Banos a pessoas ou bens que tenhain origin no use delta publieztao.
ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY VALUE
PROBLEMS, NINTH EDITION
Copyright © 2009 John Wiley & Sons, Inc.
All Rights Reserved. This translation is published under license.
Direitos exclusivos para a lingua portuguesa
Copyright 0 2010 by
LTC -- Livros Tecnicos e Cientificos Editora Ltda.
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Editoraci° EletrOnica: CIANTUARE5
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SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, KJ
B784e
Boyce, William E., 1930Equacties diferenciais elementares e problemas de valores de contorno / William E. Boyce,
Richard C. DiPrima traduao e revisao ValL:ria de Ma1.7.alhiies IOrio. - Rio de Janeiro :
LTC, 2010.
Traduao de: Elementary differential equations and boundary value problems, 9th ed
Ape.ndiees
Inclui exercfcios e respectivas respostas
Inclui
ISBN 978-5-216-1756-3
I. EquagOes diferenciais. 2. Problcmas de valores de contorno. I. DiPrima, Richard C. II.
Titulo.
10-1666.
CDD: 515.35
CDU: 517.9
S U M AR IO
Capitulo 1
Introducäo 1
1.1
1.2
1.3
1.4
S Capitulo 2
EquacOes Diferenciais de Primeira Ordem 23
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Capitulo 3
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Capitulo 4
4.2
4.3
4.4
5.6
5.7
Capitulo 6
"'curia (icral para Equzieties Lineares de Ordern ti 171
Equacties I iomogkl'neas corn Coclicientes Constantes 176
0 1nUtodo dos Coeficientes Indeterminados 183
() ryktodo de Variaeao dos Parametros 186
SolucOes em Serie para Equaciies Lineares de Segunda Ordem 191
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
3
Equacties Ilomogencas corn Coeficientes Constantes 105
Solueties de Equaeties1.inearesIlomogCmcas: 0 \Vronskiano 111
Raizes Complexas da I;quacao Caracteristica 121
Raizes Repetidas: Reducao de Ordem 127
Equaeties Nao I lomoy:meas: Nktodo dos Coeficientes
Indeterminados 134
Variacao dos Parametros 143
Vibraeties Teen p icas e Elt.tricas 148
Vibraeties lorcadas 160
EquacOes Lineares de Ordem Mais Alta 171
4.1
Capitulo 5
Equacties Lineares: Nlaodo dos Fatores Integrantes 23
Equacties Separziveis 31
Modelagem com Equaeties de Primeira Ordem 38
Difereneas entre Equacties Lincares e Nao Lineares 52
Equacties AutOnoinas e Dinamiea Populacional 60
.Equae.ties Exams e Fatores Integrantes 72
Aproximacties Numk:• ricas: o Metodo de Euler 77
0 Teorema de Existacia e Unicidade 85
Equaeties de Diferencas de Primeira Ordem 93
Equaciies Lineares de Segunda Ordem 105
3.1
2
Alguns Modelos Matematicos Basicos; Campos de Direciio 1
Solucties de Algumas Equacties Diferenciais 8
Classificacao de Equaeties Diferenciais 15
Notas HistOricas 20
Revisao de Sc'ries de Pot..ncias 191
Solucties em S&ie Perto de um Porto Ordinario, Parte 1 196
Solueties em Srie Perto de urn Ponto Ordinzirio, Parte 11 204
Equzieties de Euler: Pontos Singulares Regulares 209
Solucties em Sths ie Perto de urn Ponto Singular Regular, Parte 1 217
SolucOes em S&ie Perto de um Polito Singular Regular, Parte II 222
Equaczio de Bessel 228
A Transfonnada de Laplace 239
6.1
6.'
6.3
6.4
6.5
6.6
Definicao da Transformada de Laplace 239
Solueao de Problemas de Valores 1niciais 245
Euncties Degrau 253
Equacties Diferenciais sob a Ac5o de Functies Descontinuas 259
• uncties de Impulso 265
A Convolucao 270
dv Sur4ARIo
Capitulo 7
Sistemas de EquacOes Lineares de Primeira Ordem 277
7.1
7.9
7.3
5
Capitulo 8
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
Metodos Numericos 345
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Capitulo 9
0 Plano de Fase: Sistemas Lineares 377
Sistemas AutOnomos e Estahilidade 386
Sistemas Localmente Lineares 393
Especies cm Competicao 403
Equaccies Predador-Presa 413
0 Segundo Metodo de Liapunov 420
Soluccies PeriOdicas e CIrculos Limites 428
Caos e Atratores Estranhos: as EquacOes de Lorenz 438
Equaciies Diferenciais Parciais e Series de Fourier 447
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
Capitulo 11
0 Metodo de Euler ou Metodo da Reta Tangente 345
Aprimoramentos no Metodo de Euler 353
0 Metodo de Runge-Kutta 358
Metodos de Passoslos 361
Mais sobre Erros: Estahilidade 366
Sistemas de EquagOes de Primeira Ordem 373
Equaciies Diferenciais Ndo Lineares e Estabilidade 377
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
Capitulo 10
Introducäo 277
Revisao do Matrices 283
Sistemas de EquagOes Lineares Algebricas; Independência Linear.
Autovalores, Autovetores 291
Teoria Basica de Sistemas de EquagOes Lineares de Primeira Ordem 299
Sistemas Lineares Homogeneos corn Coeficicntes Constantes 303
Autovalores Complexos 312
Matrizes Fundamentais 322
Autovalores Repetidos 328
Sistemas Lineares Ndo Homogeneos 336
Problemas de Valores de Contorno para Fronteiras corn Dols Pontos 447
Series de Fourier 452
0 Teorema de Convergencia de Fourier 460
RIKOes Pares e lmpares 466
Separacao
Varitiveis; Conductio de Calor em uma Barra 472
Outros Problemas de Conducäo de Calor 478
A Equac5o de Onda: VibracOes de uma Corda Elastica 486
A Equacäo de Laplace 497
Apendice A Deducao da Fquacao de Calor 505
Apendice B Dedu0o da EquacAo de Onda 508
Problemas de Valores de Contorno e Teoria de
Sturm-Liouville 511
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
A Ocorrencia de Problema de Valores de Contorno em Fronteiras
corn Dois Pontos 511
Problemas de Valores de Contorno de Sturm-Lionville 517
Problemas de Valores de Contorno Não Homogeneos 527
Problemas de Sturm-I.iouville Singulares 538
ObservacOes Adicionais sobre o Metodo de Separacao de Variaveis: uma
Expansao em FuncOes de Bessel 543
Series de FuncOes Ortogonais: ConverOnela na Media 548
Respostas dos Problemas 555
Indice 605
CAPITULO
1
Introducao
Neste capitulo vamos dar perspectiva ao nosso estudo de equaceics diferenciais do diversas maneiras diferentes. Primeiro, vamos usar dois problems para ilustrar algumas das ideias basicas a que retornaremos
corn frequencia c que serAo aprofundadas ao long() deste livro. Indicamos. mais adiante, diversos modos
de classiticar cquaciies. corn o objetivo de forneccr uma est rut ura organizacional para o livro. Finalmente.
fazemos um esboco das tendencias principals no descnvolvimento historico Besse campo e mencionamos
alguns dos matematicos ilustres que contribuiram para 0 assunto. 0 estudo das equacOes diferenciais
a trait' a atene50 dos maiores matematicos do munch) durante os tres tiltimos scculos. Apesar disso, continua send() uma area de pesquisa dinâmica hoje em dia. corn muitas questOes interessantes cm aherto.
1.1 Alguns Modelos Matematicos Basicos; Campos de Direcao
Antes etc comecar um estudo scri p de equagOes diferenciais (lendo este livro ou panes suhstanciais dele,
pun exempla), voce deve ter alguma ideia dos beneficios que isso pode the trazer. Para alguns estudantes
0 interesse inn-Insect) do assunto c motiva0° suficiente, mas para a malaria as possiveis aplicacOes importantes em outros campus e que fazem cam que tal estudo valha a pena.
Iq uitos dos prineipios, ou leis, que regem 0 comportamento do mundo fisico sa p proposiOes, ou reenvolvendo a taxa segundo a qual as coisas acontccem. Fxpressas cm I inguagem matematica, as
relaciles sa p equacoes c as taxas s5() derivadas. Equaciies contend() derivadas sal) equacoes diferenciais.
Portant°, para compreender c investigar problemas envolvendo o movimento de fluidos, o flux() de corrente eletrica enr circuitos. a dissipacao de calor cm objetos sOlidos, a propagacao e a deteccao de ondas
sismicas ou 0 ailment° ou a diminuicao de populacOes, entre muitos outros, c necessario saber alguma
coisa sobre equacoes diferenciais.
Uma equacao diferencial que descreve algum process() ffsico 6 chamada, muitas yens, de model() maternatic() do process°, e muitos desses modelos sào discuticios ao longo do texto. Comecamos esta secao corn dois
modelos que nos levam a equagOes faceis de resolver. Vale a pena observar que mesmo as equagOes diferenciais mais simples fornecem modelos titeis de processos ffsicos importantes.
EXEMPLO
1
Urn Objeto
em Queda
Suponha que um objeto esta caindo na atmosfera, perto do nivel do mar. Formule uma equacão diferencial que
descreva o movimento.
Comecamos usando letras para representar as diversas quantidades de interesse nesse problema. 0 movimento ocorre durante urn determinado intervalo de tempo. logo vamos usar t para denotar o tempo. Alern
disso, vamos usar v para representar a velocidade do objeto cm qucda. A velocidade deve variar corn o tempo,
de modo que vamos considerar v como uma funcäo de t: em outras palavras, t é a variavel independente e v é
a varizivel dependents. A escolha de unidades de medida é um tanto arbitraria, e nao tui nada no enunciado
do problema que sugira unidades apropriadas, de modo que estamos livres para escolher unidades que nos
parecam razoaveis. Especificamente, vamos medir o tempo t cm segundos (s) e a velocidade v em metros por
segundo (m/s). Alem disso, vamos supor que a velocidade v é positiva quando o sentido do movimento é para
baixo, isto é, quando o objeto esta caindo.
1
2 CAPiTULO UM
A lei fisica que governa o movimento de objetos 6 a segunda lei de Newton, que diz que a massa do objeto
vezes sua aceleracao 6 igual a forca total atuando sobre o objeto. Em linguagem matermitica, essa lei 6 expressa
pela equacao
F ma.
(1)
onde m 6 a massa do objeto, a sua aceleracao e Fa for-0 total agindo sobre o objeto. Para manter nossas unidades
consistences, mediremos m em quilogramas (kg), a em metros por segundo ao quadrado (m/s-) e F em newtons
(N). E claro que a e v estao relacionadas por a = duhlt, de modo que podemos reescrever a Eq. (1) na forma
F
ni(drldt).
(2)
A seguir, considere as forcas que agem no objeto em queda. A gravidade exerce uma forca igual ao peso
do objeto, ou mg, onde g 6 a aceleracao devida a gravidade. Nas unidades de medida que escolhemos, g foi
determinada experimentalmente como aproximadamente igual a 9,8 m/s 2 prOximo a superficie da Terra. Existe,
tambem, uma for-0 devida a resistencia do ar que a mTriTdificlidemodefir-.Est6115-6-6-O local para uma discussac) aprofundada da for-0 de resistencia do ar: hasta dizer que se supOe. muitas vezes, que a resistencia do ar
proporcional a velocidade, e faremos essa hipOtese aqui. Dessa forma, a forca de resistencia do ar tern magnitude (ou modulo) yr, onde y e uma constante chamada de coeficiente da resistencia do ar. 0 valor numeric°
do coeficiente de resistencia do ar varia muito de urn objeto para outro; objetos corn superficie lisa e formato
aerodincimico tern coeficiente de resistencia do ar muito menor do que objetos corn superficie rugosa e formato
nao aerodinamico. 0 coeficiente y corresponde a massa por unidade de tempo, ou seja, kg/s neste problema; se
essas unidades parecem estranhas, lembre que y v tern que ter unidades de forca, ou seja, kg•m/s2.
Ao escrever uma expressao para a forca total F, precisamos lembrar que a gravidade sempre age para baixo
(no sentido positivo), enquanto a resistencia do ar age para cima (no sentido negativo), como ilustrado na Fig.
1.1.1. Logo,
'r
F= mg - yr
(3)
dr
m — = mg - yr.
(4)
e a Eq. (2) torna-se
1
di
A Eq. (4) 6 urn modelo matemzitico de um objeto caindo na atmosfera, prOximo do nivel do mar. Note que o
modelo content as tres constantes in. g e y. As constantes in e y dependent hastante do objeto particular que
esta caindo, e sera() diferentes, em geral, para objetos diferentes. E comum referir-se a essas constantes como
parametros,.0 que podem tomar um conjunto de valores durance urn experiment°. Por outro lido, o valor de g
6 o mesmo para todos os objetos.
yv
0 in
mg
FIGURA 1.1.1 Diagram de forcas agindo sobre urn objeto em queda livre.
Para resolver a Eq. (4) precisamos encontrar uma funcao v = v(t) que satisfaca a equacao. Isso nao 6
dificil de fazer, e vamos mostrar como na prOxima secao. Agora, no entanto, vamos ver o que podemos descobrir sobre solucOes sem encontrar, de fat°, qualquer uma dela y . Nossa tarcfa pode ser ligeiramente simplificada se atribuirmos valores num6ricos para to e y, mas o procedimento e o mesmo, independentementc
dos valores escolhidos. Vamos supor que m = I() kg e y= 2 kg/s. Entao, a Eq. (4) pode ser escrita como
(Iv
— -_, 9, 8 —
5.
dt
EXEMPLO
2
Um Objeto
em Queda
(continuacao)
(5)
Investigue o comportamento das solucOes da Eq. (5) sem resolver a equacao diferencial.
Vamos proceder analisando a Eq. (5) de urn ponto de vista geometric°. Suponha que a velocidade v tern
urn determinado valor. Entao, calculando a expressào a direita do sinal do igualdade na Eq. (5) encontramos
o valor correspondence de dv/dt. Por exemplo, se v = 40, entao du/di = 1,8. Isso significa que a inclinacao t de
t Isso 6 o coeficiente angular da reta tangente ao grzifico.(N.T.)
I NTRODUCAO
3
uma solucao v = v(t) tern valor 1,8 em qualquer ponto onde a = 40. Podemos apresentar essa informacao graficamente no piano tv desenhando pequenos segmentos do reta corn coeticiente angular 1,8 em diversos pontos
ao longo da reta v = 40. Analogamente, se v = 50, entao dulat = -0, 7 , logo desenhamos segmentos de reta corn
coeficiente angular -0,2 em diversos pontos ao longo da reta v = 50. Procedendo da mesma maneira corn outros
valores de v obtcmos a Fig. 1.1.2, que 6 um exemplo do que e chamado do um campo de direciies.
Lembre-se de que uma solucao da Eq. (5) é uma funcao v = v(t) cujo gratico é uma curva no piano tv. A
importancia da Fig. 1.1.2 6 que cada segmento de reta 6 tangente ao gratico de uma dessas curvas solucao. Assim, mesmo nä° tendo encontrado qualquer solucao e nao aparecendo o grafm) de nenhuma solucao na figura,
podemos fazer deducOes qualitativas sobre o comportamento das solucaes. Por exempt°, se u for menor do que
certo valor critico entao todos os segmentos de reta tern coeficientes angulares positivos e a velocidade do objeto em queda aumenta enquanto ele cai. Por outro lado, see for major do que o valor critico entao os segmentos
de reta tem coeficientes angulares negativos e o objeto em queda vai diminuindo a velocidade a medida que cai.
Qual e esse valor critico de v clue separa os objetos cuia velocidade esta • umentanclo daqueles cuja velocidade
esta diminuinclo? Referindo-nos, novamente, a Eq. (5), perguntamos quais os valores do v que farii° corn que
dui& seja zero. A resposta é v = (5)(9,8) = 49 m/s.
De faro, a funcao constante v = 49 é uma solucao da Eq. (5). Para verificar essa atirmacao. substitua v (t)
49 na Eq. (5) e note que as expressOes dos dois lados do sinal de igualdade sao iguais a zero. Como essa solucao nao varia corn o tempo, v(t) = 49 é chamada de solucao de equilihrio. Essa 6 a solucao que corresponde a
urn equilibrio perfeito entre a gravidade e a resistència du ar. Mostramos, na Fig. 1.1.3, a solucao de equilibrio
superposta no campo de direcOes. Dessa figura podemos chegar a outra conclusao, a saber, que todas as outras
solucOes parecem estar convergindo para a solucao de equilibrio quando t aumenta.
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10
FIGURA 1.1.3 Campo de direcOes e solucão de equilibrio para
a Eq. (5).
A abordagem ilustrada no Exemplo 2 pode ser igualmente aplicada a Eq. (4), mais geral, onde os parametros m e y sao nunieros positivos nao especificados. Os resultados sito essencialmente idënticos aos
do Exemplo 2. A solucao de equilibrio da Eq. (4) 6 u(t) = mgly. SolucOes abaixo da solucao de equilibrio
aumentam de velocidade corn o tempo, solucOes acima diminuem de velocidade e todas as solucOes se
aproximam da solucao de equilibrio quando t Pica muito grande.
Campos de direcOes. Campos de direcifes sdo fcrramentas valiosas no estudo de solucOes de equacOes
diferenciais da forma
•
dy
= (t,y),
dt
(6)
onde f O uma funcao dada de dual variaveis, t e y, algumas vezes chamada de funcao taxa. Um campo de
direcOes para equagOes da forma geral (6) pode ser construfdo calculando-se ` ern cada ponto de uma
malha retan ular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente
angular 6 o valor da funcaof naquele ponto. Dessa forma, cada segmento de reta e tangente ao grafico de
uma solucao contendo aquele ponto. Um campo de direcOes desenhado ern uma malha razoavelmente
fina fornece uma boa ideia do comportamento global das solucOes de uma equagRo diferencial. Basta, em
geral, uma malha contend() algumas centenas de pontos. A construcao de um campo de direcOes c mudas
vezes um prirneiro passo bastante 661 na investigacao de uma equacao diferencial.
4
CAPiTULO UM
Vale a pena fazer duas observacOes. A primeira e que para construir urn campo de direcOes nap precisamos resolver a Eq. (6), apenas calcular a funcao dada f(t, y) muitas vezes. Dessa forma, campos de direcao
podem ser construldos corn facilidade mesmo para equacees muito dificeis de resolver. A segunda e que
fazer cAlculos repetidos de uma funcao dada e uma tarefa para a qual urn computador a particularmente
apropriado, e voce deve em geral usar urn computador para desenhar urn campo de direcOes. Todos os
campos de direcao mostrados neste livro, como o da Fig. 1.1.2, foram gerados ern um computador.
Ratos do Campo e Corujas. Vamos ver, agora, urn exemplo bem diferente. Considere uma populacao de ra-
tos do campo que habitarn certa Area rural. Vamos supor que, na ausencia de predadores, a populacao de
ratos cresce a uma taxa proporcional a populacao atual. Essa hipOtese e uma lei fisica que nao esta muito
bem estabelecida (ao conträrio da lei de Newton para o movimento no Exempt() 1), mas e ulna hipOtese
inicial usual' em urn estudo de crescimento populacional. Se denotarmos o tempo por t e a populacao de
ratos por p(t), entao a hipOtese sobre o crescimento populacional pode ser expressa pela equacao
tip
— = rp,
tit
(7)
onde o fator de proporcionalidade r 6 chamado de taxa constants ou taxa de crescimento. Especificamente, suponhamos que o tempo e medido em meses e que a taxa r tern o valor de 0,5 por m'es. Entao, cada
uma das expressOes na Eq. (7) tern unidades de ratos por mes.
Vamos aumentar o problema supondo que diversas corujas moram na mesma vizinhanca e que elas
matam 15 ratos do campo por dia. Para incorporar essa informacao ao modelo precisamos acrescentar
outro termo a equacao diferencial (7), de modo que ela se transforma em
tip
Tit =0,5p - 450.
(8)
Observe que o termo correspondents a acao do predador e -450 em vez de -15. ja que o tempo esta sendo
medido em meses e o que precisamos 6 a taxa predatOria mensal.
EXEMPLO
3
Investigue graficamente as solucoes da Eq. (8).
A Figura 1.1.4 mostra urn campo de direcaes para a Eq. (8). Pode-se observar da figura, ou mesmo diretamente da Eq. (8), que para valores suficienternente grandes de p,j1klitede modo que a solucao cresce.
Por outro lado, se p 6 pequeno, dp/dt e negativo e a solucao diminui. Novarnente, o valor critic() de p que separa
as solucCies que crescent das que decrescem e o valor de p para o qual dpIdt e igual a zero. Fazendo dpldt igual
a zero na Eq. (8) e resolvendo depois para p encontramos a solucao de equilibrio p(t) = 900, para a qual os
termos para o crescimento e para a aciio predatOria na Eq. (8) estdo perfeitamente equilibrados. A solucao de
equilibrio tamb6m esta ilustrada na Figura 1.1.4.
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3
4
5
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FIGURA 1.1.4 Um campo de direcOes e solucao de equilibrio para a Eq. (8).
'Urn modelo de crescimento populacional melhor E discutido na Seca"o 2.5.
INTRODUCAO 5
Comparando os Exemplos 2 e 3, vemos que em ambos os casos a solucdo de equilibrio separa as
solucOes crescentes das decrescentes. No Exemplo 2 as outras solucOes convergem para a solucäo de
equilfbrio ou sao atrafdas para ela, de modo que depois de o objeto cair pot urn tempo suficiente urn
observador o vera movendo-se perto da velocidade de equilfbrio. Por outro lado, no Exemplo 3 as outras
solucOes divergem da solucão de equilfbrio, ou sao repelidas por ela. As solucOes se comportam de maneiras bem diferentes dependendo se comecam acima ou abaixo da soluc5o de equilfbrio. A medida que
o tempo passa urn observador pode ver populacOes muito maiores ou muito menores do que a populacdo
de equilfbrio, mas a solucao de equilfbrio propriamente dita nunca sera observada na pratica. Em ambos
os problemas, no entanto, a solucão de equilfbrio é muito importante para a compreensäo do comportamento das solucOes da equacao diferencial dada.
Uma versa. ° mais geral da Eq. (8) é
rte
dt
rp — k,
(9)
onde a taxa de crescimento r e a taxa predatOria k não estao especificadas. As solucOes dessa equac5o
mais geral sao muito semelhantes as solucOes da Eq. (8). A solucâo de equilibrio da Eq. (9) é p(t) = klr. As
solucOes acima da solucâo de equilfbrio crescem, enquanto as que estao abaixo decrescem.
Voce deve ter em mente que ambos os modelos discutidos nesta secdo tern suns limitacOes. 0 modelo
(5) do objeto em queda so é valid() enquanto 0 objeto estri em queda livre, sem encontrar obstaculos. 0
modelo populacional (8) preve a existencia, apOs urn longo tempo, de urn numero negativo (se p < 900) ou
de um mimero imenso (se p> 900) de ratos. Essas previscies nrio sao realistas, de modo que esse modelo
torna-se inaceitavel apOs urn period() de tempo razoavelmente curto.
A Construccio de Modelos Matemciticos. Para se usar as equaceles diferenciais nos diversos campos em que
sao titeis e precis°, primeiro, formular a equacao diferencial apropriada que descreve, ou modela, o problem em questäo. Consideramos, nesta secao, dois exemplos desse processo do modelagem, urn vindo
da ffsica e outro da ecologia. Ao construir modelos matemdticos futuros voce deve reconhecer que cada
problema e di fe rente
a arte de modelar não é uma hahilidade que pode ser reduzida a uma lista de
regras. De fato, a construcfio de urn modelo satisfatOrio e algumas vezes a parte mais dificil de um problema. Apesar disso, pode ser util listar alguns passos que fazem muitas vezes parte do processo:
Identitique as variziveis independente e dependence. e atribua letras para representd-las. Nluitas vezes a
varirivel independente é o tempo.
Escolha as unidades de medida de cada varirivel. Essa escolha é, de certa forma, arbitrziria, mas aloumas
escolhas podem ser mais convenientes do que outras. Por exemplo, escolhemos medir o tempo em segundos no caso de um objeto cm queda e em meses no problem populacional.
Use o principio brisico subjacente, ou a lei que rege o problema em investigac5o. Isso pode ser uma lei
fisica amplamente reconhecicla.como a lei do movimento de Newton, ou pode ser uma hipOtese urn tanto
especulativa baseada na sua prOpria experiencia ou cm observacOes. De qualquer modo, d provavel que
essa etapa não seja uma etapa puramente maternatica. mas uma em que sera necessdrio ter familiaridade
corn o campo de aplicacão onde 0 problema se originou.
Expresse o princfpio ou lei do passo 3 em funcrio das variriveis escolhidas no passo 1. Isso pode ser mais
fricil falar do que fazer. Pode exigir constantes fisicas ou parametros (como o coeficiente da resistencia do
ar no Exemplo 1) e a cleterminacao de valores apropriados para eles. Ou pode envolver o use de varidveis
auxiliares, ou intermedidrias, que tern que estar relacionadas corn as varidveis primarias.
Certifique-se de que cada parcela em sua equacrlo esta nas mesmas medidas ffsicas. Se isso não acontecer
sua equacao esta errada e voce deve tentar consertd-la. Se as unidades sao as mesmas, entdo sua equacao
estd pelo menos consistente do porno de vista dimensional, embora possa conter outros erros que esse
teste não revels.
Nos problemas considerados aqui o resultado do passo 4 é. uma Unica equacdo diferencial, que constitui
o modelo matemdtico desejado. Lembre-se, no entanto, de que em problemas mais complexos o modelo
matematico resultante pode ser muito mais complicado, podendo envolver, por exemplo, urn sistema corn
vririas equagOes diferenciais.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problernas de 1 a 6 desenhe urn campo de dirt:0es para a equacao diferencial dada. Baseado
Se esse comportamento depender do
no campo de clirecOes, determine o cornportamento de y quando t
valor inicial de y em t = 0, descreva essa depenclencia.
6 CAPiTULO UM
3 — 2y
64-2, 3. y' = 3 + 2y
y' = 1 + 2y
6i2. 2. y' = 2y — 3
6;2, 4. = —1 — 2y
62
y=y 2
Em cada urn dos Problemas de 7 a 10 escreva uma equacao diferencial da forma dyldt = ay + b cujas solucOes
tern o comportamento descrito quando t cc.
Todas as soluceies tendem a y = 2/3.
7. Todas as solucOes tendem a y = 3.
(11)) 'Iodas as outras solucaes se afastam de y = 1/3.
9. Todas as outras solucOes se afastam de y = 2.
Em cada urn dos Problemas de 11 a 14 desenhe urn campo de clirecties para a equacao diferencial dada. Baseado no campo de direcOes. determine o comportamento de y quando t —> x. Se esse comportamento depender
do valor inicial de y eat t = 0, descreva essa depenclencia. Note que tresses problemas as equacties nao sao da
forma v' = ay + b e o comportamento de suas solucOes e urn pouco mais complicado do que o das solucOes das
equaceles no texto.
11. y' = y(4 — y)
13. y' = y 2
6‘2, 12. y' -= —y(5 — y)
62, 14. y' = y(y — 2)2
Considere a seguinte lista de equactles diferenciais, algumas das quail produziram os campos de direcao ilustrados nas Figuras de 1.1.5 ate 1.1.10. Em cada urn dos Problemas de 15 a 20 identifique a equacao diferencial
que corresponds ao campo de clirecOes dado.
(a) y' = 2y — 1
(b) = 2 + y
(c) y' = y — 2
(d) y' = y(y ± 3)
(f) y' = 1 + 2y
( e ) = AY — 3)
(g) y' = —2 — y
( h ) 37' = Y( 3 — Y)
( i ) )1' = 1
(1) y = 2 —
2Y
0 campo de direceies na Figura 1.1.5.
0 campo de direcOes na Figura 1.1.6.
0 campo de direcOes na Figura 1.1.7.
0 campo de direcOes na Figura 1.1.8.
0 campo de direcOes na Figura 1.1.9.
0 campo de direcoes na Figura 1.1.10.
4 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
---..,-..nnnn •nnnnnnnnnnnnn
///////////////////
iiiiiiiiiiiiiiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiii
/ /////// / / / / / / ///
/
////////////////
//// //////// ////4'
4t
3
2
1
FIGURA 1.1.5 Campo de direcOes para o
Problema 15.
4
3
2
1
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
•nnnnn
-....
nn •nnnnn
.....
////////////////// n
///////////////////
/
/
—4 /
FIGURA 1.1.7 Campo de clireceies para o
Problem 17.
4 / // // // // // // // // //
/ / / / / / / / / / / / / / / / / //
///////////////////
3 ///////////////////
iiiiiiiiiiiiiiiiiii
.......
nnn.-.....--„
nnn •nn• n •n •nnnn
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\ \\\\\\\\ \\\\
1
2
3
4 t
FIGURA 1.1.6 Campo de direceies para o
Problem 16.
1
2
3
4
..... nnnnnnnN. ...... n
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
N.NN NN.N. N N N \N.\ N
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
—\
4
FIGURA 1.1.8 Campo de direcOes para o
Problema 18.
INTRODUCAO
5
4
3
n
n
H n HHH 1 1
n
.....
......
1
/
/ /
////
y
5 --/ i i i f I f f f f f f f f f
4 -I/
/ /1 1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/ //
/
3..........
- * f_
-L• L
//
1
/
/ 7
7
77
7
7
7 7 7 / /
/
./ 7 7 7 7 /
7
7 77777
--- 7 7
--- 7 7 7 7
\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \
\\
N N
N
N
N. N.
N N N
N
NNN NNN‘N‘
N. N. N.
'N
iiiii...li ,;"
••••Z/
/
-1
1
FIGURA 1.1.9 Campo de direcOes para o
Problema 19.
/
/
/
/
/
/ / % % % % % / % %
%
/
FIGURA 1.1.10 Campo de direcOes para
o Problema 20.
21. Urn pequeno lago content. inicialmente. 1.000.000 de galOes (aproximadamente 4.550.000 litros) de agua
e uma quantidade desconhecida de um produto quimico indesejavel. 0 lago recebe agua contendo 0,01
grama dessa substancia por galao a uma taxa de 300 galOes por horn. A mistura sat a mesma taxa, de modo
que a quantidade de agua no lago permanece constante. Suponha que o produto quimico esta distribuido
uniformemente no lago.
Escreva uma equacao diferencial cuja solucao e a quantidade de produto quimico no lago em urn
instante qualquer.
Qual a quantidade do produto quimico que estarzi no lago ap p s um periodo muito longo de tempo?
Essa quantidade-limite depende da quantidade presente inicialmente?
22. Uma gota esferica de ch uva evapora a uma taxa proporcional a sua area de superficie. Escreva uma equacao diferencial pant o volume de uma gota de chuva em funcao do tempo.
A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de urn objeto varia a uma taxa proporcional a
diferenca entre a temperatura do objeto e a de seu meio ambiente (na maioria dos casos, a temperatura do
ar ambiente). Suponha que a temperatura ambiente seja de 70°F (cerca de 21°C) e a taxa de 0,05 (min)*
Escreva tuna equacao diferencial para a temperatura do objeto em qualquer instante de tempo. Note que
a equacao diferencial e a mesma, independentemente de a temperatura do objeto estar acima ou abaixo
da temperatura ambiente.
24. Um determinalo remedio estzi send() injetado na vela de urn paciente de hospital. 0 liquid(). contendo 5
mg/cm' do remedio, entra na corrente sanguinea do paciente a uma taxa de 100 cm'/It. 0 remedio é absorvido pelos tecidos do cog)°, ou deixa a corrente sanguinea de outro modo, a uma taxa proporcional
quantidade presente. com LIII1coeficiente de proporcionalidade igual a 0,4 (h)
(a) Supondo que o remedio estzi sempre sendo distrihuido uniformemente na corrente sanguinea, escreva
ulna equaciio diferencial para a quantidade de remedio presente na corrente sanguinea em qualquer
instante de tempo.
(h) Quanto do remedio continua presente na corrente sanguinea apOs muito tempo?
Para objetos pequenos caindo devagar, a hipOtese feita no texto sobre a resistencia do ar ser proporcional
a velocidade ë boa. Para objetos maiores caindo mais rapidamente, uma hipOtese mais precisa é de que a
resistencia do ar é proporcional ao quadrado da velocidade.'
Escreva uma equacao diferencial para a velocidade de um objeto em queda de massa m supondo que
a resistencia do are proporcional a velocidade.
Determine a velocidade limite apes urn longo period° de tempo.
Se in = 10 kg. encontre o coeficiente da resistencia do ar de modo que a velocidade Hittite seja 49 m/s.
Usando os dados em (c), desenhe um campo de direcOes e compare-o corn a Figura 1.1.3.
Em calla urn dos Problemas de 26 a 33, desenhe um campo de direcOes para a equacao diferencial dada. Baseado no campo de direcOes, determine o comportamento de y quando t x. Sc esse comportamento depender
do valor inicial de y em 1. 0. descreva essa dependencia. Note que a expressiio a direita do sinal de igualdade
nessas equacOes depende de t, alem de y; portanto. suas solucOes podem exibir urn comportamento mais cornplicado do que as do texto.
02, 26. y' = — 2 + r — y
2, 28. y' =e
y
e, 30. y' = 3 sen t + 1 + y
402, 32. y' = —(2t
y) /2y
02
27. y'
te -21 — 2y
02, 29. y' = t + 2y
12, 31. y' = 2t — 1 — y2
02 33. y' = Y3
—
'WO Lyle N. Long e Howard Weiss,""lbe Velocity Dependence of Aerodynamics Drag: A Primer for Mathematicians", Amer.
Math. Monthly 106 (1999), 2, pp.127-135
8 CAPITOL° UM
1.2 Solusiies de Algumas Equasks Diferenciais
Na secäo anterior deduzimos as equacties diferenciais
du
dt = mg — yv
in—
(1)
e
dp
= rp — k.
(It
(2)
A Eq. (1) modela urn objeto em queda, e a Eq. (2) uma populacao de ratos do campo cacados por corujas.
Ambas sao da forma geral
dt
= ay — b
(3)
onde a e b sao constantes dadas. Fomos capazes de descobrir algumas propriedades qualitativas importantes sobre o comportamento de solucOes das Eqs. (1) e (2) analisando o campo de direcOes associado.
Para responder a perguntas de natureza quantitative, no entanto, precisamos encontrar as solucOes propriamente ditas. Vamos ver, agora, como fazer isso.
Considere a equacao
EXEMPLO
dp
dt
1
Ratos do
Campo e
Corujas
(con tinuacao)
0— = .5p - 450,
(4)
que descreve a interacao de determinadas populacoes de ratos do campo e corujas [veja a Eq. (8) da Seca° 1.11.
Encontre as solucOes dessa equacao.
Para resolver a Eq. (4) precisamos encontrar funcOes p(t) que. ao serem substituidas na equacao, transformem-na em uma identidade Obvia. Urn modo de proceder 6 o seguinte: primeiro. coloque a Eq. (4) na forma
dp p - 900
dt
2'
(5)
ou, se p 0 900,
dpidt
_1
p — 900 2
(6)
Pela regra da cadeia, a expressao a esquerda do sinal de igualdade na Eq. (6) 6 a derivada de In 1p - 9001 em
relacao a t, logo ternos
1
— In Ip - 9(XlI = -5 .
(7)
(It
Entao, integrando as expressbes na Eq. (7) obtemos
In 1p - 9001 = - + C,
2
(8)
onde C6 uma constante de integracäo arbitraria. Portant°, aplicando a exponencial a Eq. (8) vemos que
p - 9001 = e( 0 ) -c = e c ,
(9)
p - 900 = ±eceo,
(10)
p = 900 + ce" 2 ,
(11)
ou
c, finalmente,
onde c = ±ec c tambern uma constante (na° nula) arbitraria. Note que a funcao constante p = 900 tambern
solucão da Eq. (5) e esta contida na Eq. (11) se permitirmos que c assuma o valor zero. A Figura 1.2.1 mostra
gralicos da Eq. (11) para diversos valores de c.
I NT RODUCAO
9
p
1200
1100
1000
900
800
700
600
FIGURA 1.2.1 Gralcos da Eq. (11) para diversos valores de c.
Note que o comportamento dessas solucaes é do tipo inferido pelo campo de direcOes na Fi n ura 1.1.4. Por
exemplo,solucOes em qualquer dos lados da soluclio de equilfbrio p = 900 tendem a se afastar dessa solucao.
Encontramos, no Exemplo 1, uma inlinidade de solucOes da equacao diferencial (4), correspondendo
infinidade de valores possiveis que a constante arbitraria c, na Eq. (11). pode assumir. Isso c t (plc° do que
acontece ao se resolver uma equacao diferencial. 0 processo de solucao envolve uma integraci -io,que traz
consigo uma constante arhitrdria, cujos valores possiveis geram uma infinidade de soluc6es.
Corn frequ6ncia queremos focalizar nossa atencdo cm um Unico element() dessa familia intinita de solucOes, especificando o valor da constante arbitrdria. Na maior parte das vezes isso 6 feito indiretamente,
atravOs de urn ponto dado que tern que pertencer ao grafico da solucão. Por exemplo, para determinar
a constante c na Eq. (11) poderiamos dar a quanticlade de elementos na populacäo em um determinado
instante, tal como 850 elementos no instante t = 0. Em outras palavras. o grafico da solucdo tens que conter
o ponto (0, 8.50). Simbolicamente, essa condicao pode ser expressa como
p(0) = 850.
(12)
Substituindo, entdo, os valores t 0 e p = 850 na Eq. (11). obtemos
850 = 900 + c.
I.ogo, c = —50 e, inserindo esse valor na Eq. (11), obtemos a solucao desejada, a saber,
p = 900 — 50et12.
(13)
A condic5o adicional (12) que usamos para determinar c e urn exemplo de uma condicao inicial. A
equaciio diferencial (4) junto corn a condiciio inicial (12) forma urn problema de valor inicial.
Vamos considerar, agora. o problema mail geral que consiste na equacao diferencial (3)
dy
— = av — b
dt
c a condicilo inicial
(14)
Y(0) = Yo,
onde ye 6 urn valor inicial arbitrdrio. Podemos resolver esse problema pelo mesmo metodo que usamos
no Exemplo 1. Se a 0 e y bla,entdo podemos reescrever a Eq. (3) como
dy 1dt
y — (61a)
a
(15)
Integrando essa equacao, obtemos,
In ly — (101)1= at + C,
(16)
onde C 6 arbitrario. Aplicando a exponencial na Eq. (16) e resolvendo para y, vemos que
y
(b /a ) + cc`u
(17)
10 CAPITULO UM
onde c = fe e.
e arbitrario. Note que c = 0 corresponde a solucdo de equilibrio y = bla. Finalmente, a
condicdo inicial (14) implica c = yo - (bla), de modo que a solucao do problema de valor inicial (3), (14) 6
y
(b la) + [yo - (b/a)]eat.
(18)
Para a 0, a Eq. (17) contdm todas as soluOes possiveis da Eq. (3) e 6 chamada de solucao geral.3
A representacao geornetrica da solucao geral (17) 6 uma familia infinita de curvas, chamadas de curvas
integrals. Cada curva integral esta associada a um valor particular de c e e o grafo da solucao correspondente aquele valor de c. Satisfazer Lima condicAo inicial significa identificar a curva integral que conte-m
o ponto inicial dado.
Para relacionar a solucao (18) a Eq. (2), que modela a populacão de ratos do campo, basta substituir a
pela taxa de crescimento r e b pela taxa predatOria k. A solucâo (18) fica. entdo,
p = (k r) + [po - (k/ r)len .
(19)
onde po 6 a populacdo inicial de ratos do campo. A solucao (19) confirma as conclusOes obtidas baseadas
no campo de direcOes c no Exemplo 1. Sc p„ = klr, cntao. segue da Eq. (19) que p = klr para todo t; essa
6 a solucao constante, ou de equilibria Se po klr, então o comportamento da solucäo depende do sinal
do coeficiente po- (klr) na exponential na Eq. (19). Se po > klr, entdo p cresce exponencialmente corn o
tempo t; se p„ < klr, entao p decresce e acaba se tornando nulo, o que corresponde a extinOo dos ratos.
Valores negativos de p, ernbora sejam possiveis na Eq. (19), nao fazem sentido no context() desse problema particular.
Para colocar a Eq. (1), que descreve a queda de urn objeto, na forma (3), precisamos identificar a corn
-ylm e b corn -g. Fazendo essas substituicOes na Eq. (18). obtemos
v = (mg/y) + [vo - (mg/y)]e -mni ,
(20)
onde v„ 6 a velocidade inicial. Mais uma vez, essa solucão confirma as conclusOes a que chegamos na Seca°
1.1 baseados no campo de direcOes. Existe uma solucdo de equilibria ou constante, v = mgly, e todas as
outras solucOes tendcm a essa solucâo do equilfbrio. A velocidade da converOncia para essa solucao de
cquilibrio e determinada pelo expocnte -ylm. Assim, papa urn objeto corn massa m dada a velocidade se
aproxima do valor de equilibrio mail depressa a mcdida que o coeficiente da resistencia do ar y aumenta.
EXEMPLO
2
Um Objeto
em Queda
(continuac5o)
Vamos considerar, como no Exemplo 2 da Secdo 1.1, um objeto em queda corn massa m = 10 kg e coeficiente
da resistencia do ar y= 2 kg/s. A equacao de movimento (1) fica, então,
do
= 9,8 - .
(21)
3
dt
Suponha que esse objeto caia de uma altura de 300 in. Encontre sua velocidade em qualqucr instante t. Quanto
tempo vai levar para elc chegar no cl ..io c qua) rapid() estara se movendo no instante do impacto?
0 primciro passo e enunciar uma condic5o inicial apropriada para a Eq. (21). A palavra "car, no enunciado
do problem, sugere que a velocidade inicial e zero, de modo que usaremos a condicâo inicial
v(0) = 0.
(22)
A soluciio da Eq. (21) pode ser encontrada substituindo-se os valores dos coeficientes na soluciio (20). mas
em vez disco vamos resolver diretamente a Eq. (21). Primeiro, coloque a equacao na forma
dvIdt
1
v - 49
Integrando, obtemos
r
In lv - 491 = -- + C,
5
c a solucao geral da Eq. (21) 6, ent5o,
v = 49 + cc-T/5 ,
( 25)
onde c e arbitrario. Para deterrninar c colocamos os valores na condicao inicial (22), t = 0 e v = 0, na Eq. (25),
obtendo c = --49. Logo, a solucao do problema de valor inicial (21), (22) e
`Se a = 0, a solucilo da Eq. (3) nao e dada pela Eq. (17). Deixamos a seu cargo encontrar a solucilo geral nesse caso.
INTRODUCAO
v = 49(1 —
11
(26)
A Eq. (26) dti a velocidade do objeto em queda em qualquer instante positivo (antes de atingir o char), é claro).
A Figura 1.2.2 mostra graficos da solucao (25) para diversos valores de c, con y a solticiio (26) destacada por
uma linha mail grossa. E evidente que todas as solucaes tendem a solucao de equilibrio v = 49. Isso confirma as
concluseles a que chegamos na Seca() 1.1 atraves da analise dos campus de direcao nas Figuras 1.1.2 e 1.1.3.
FIGURA 1.2.2 Graficos da solucao (25) para diversos valores de c.
Para encontrar a velocidade do objeto quando ele atinge o solo precisamos saber o instante do impacto.
Em out ras palavras,preeisamos saber quanto tempo leva para o objeto cair 300 m. Para isso, observamos que a
dist5ncia percorrida pelo objeto esta relacionada a sua velocidade pela equacao n = Aldt, ou
(ix
= 490 —
(27)
dt
Portanto, integrando a lig. (27) obtemos
= 49/ + 245e-'15 + c,
(28)
onde r 6 uma constants de integracao arbitraria. 0 objeto comeca a cair em t = 0, de modo que sabemos que
.v = 0 quando t = 0. Da liq. (28), segue que c = -245, de modo que a distancia percorrida pelo objeto ate um
instante t e dada pm
x = 491 + 245e-'15 — 245.
(29)
Seja T o instante em que o objeto atinge o solo; entao = 300 quando t = T. Substituindo esses valores na Eq.
(29), obtemos a equacao
49T + 245e - 175 — 545 = 0.
(30)
O valor de T que satisfaz a Eq. (30) pode ser aproximado por um processo numerico' usando-se uma calculadura
ou um computador, com o resultado que T 10,51 s. Nesse instante, a velocidade correspondente v, e encontrada, da Eq. (26), como v 7- 43,01 m/s. 0 ponto (10,51; 43,01) tambern esta marcado
na Figura 1.2.2.
Observacóes Adicionais sobre Modelagem Matemdtica. Ate agora nossa discussão de equagOes diferenciais
esteve restrita a modelos matematicos de um objeto em queda c de uma relacao hipotetica entre ratos do
campo e corujas. A deducão desses modelos pode ter sido plausfvel, ou talvez ate convincente, mas voce
deve lembrar que o teste decisivo de qualquer modelo matematico é se suas previsOes coincidem corn
observacOes ou resultados experimentais. NAo temos nenhuma observacdo da realidade nem resultados
experimentais aqui para comparacao, mas existent diversas fontes de discrepancias possiveis.
No caso de um objeto cm queda, o princfpio ffsico subjacente (a lei do movimento de Newton) esta hem
estabelecido e 6 amplamente apliciivel. No entanto, a hipOtese sobre a resistacia do ar ser proporcional
a velocidade nä° esta tdo comprovada. Mesmo que essa hipOtese esteja correta, a determinacäo do coefi' Um sistema de algebra computacional pode fazer isso; muitas calculadoras tambem ja vent corn rotinas para resolver tail
equagOes.
12 CAFITULO UM
ciente y da resistencia do ar atraves de medidas diretas apresenta dificuldades. De fato, algumas vezes o
coeficiente de resisténcia do are encontrado indiretamente — por exemplo, medindo-se o tempo de queda
de uma determinacla altura e, depois, calculando-se o valor de y que preve esse tempo observado.
0 modelo populacional dos ratos do campo esta sujeito a diversas incertezas. A determinacao da taxa
de crescimento r e da taxa predatOria k depende de observacaes sobre populacOes reais, que podem
sofrer uma variacao consideravel. A hipOtese de que r e k sao constantes tambdm pode ser questionada.
Por exemplo, uma taxa predatOria constante torna-se dificil de sustentar quando a populacao de ratos do
campo torna-se menor. Alem disso, o modelo prevé que uma populacao acima do valor de equilibrio cresce exponencialmente, ficando cada vez maior. Isso nä° parece estar de acordo corn a observacao sobre
populacOes reais; veja a discussao adicional sobre dinamica populacional na Seca° 2.5
Se as diferencas entre observacOes realizadas e as previsOes de urn modelo matematico forem muito
grandes, entao vocé precisa refinar seu modelo, fazer observacOes mais cuidadosas ou ambos. Quase
sempre existe uma troca entre precisdo e simplicidade. Ambas sdo desejaveis, mas em geral um ganho em
uma delas envolve uma perda na outra. No entanto, mesmo se urn modelo matematico for incompleto
ou nao muito preciso ele ainda pode ser util para explicar caracterfsticas qualitativas do problema sob
investigacao. Ele pode, tamb6m, dar resultados satisfatOrios em algumas circunstancias e nä° em outras.
Portanto, voce deve sempre usar seu julgamento e horn senso na construed° de modclos matematicos e
ao u t i I izar suas previsoes.
PROBLEMASI;,1. Resolva cada urn dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os graficos das solucides para diversos
valores de y„. Depois descreva, em poucas palavras, as semelhancas, ou diferencas, entre as solucaes.
(a) clyldt = -y + 5,
y(0) = yo
h) dyldt = -2y + 5,
y(0) = Yo
dyldt = -2y + 10,
y(0) = Yo
40?, 2. iga as instrucOes do Problema 1 para os problemas de valor inicial a seguir:
(a) dy/dt =- y - 5,
y(0) = yo
ly/dt = 2y - 5,
y(0) = Yo
y(0) = yo
(c) dy/dt = 2y - 10,
0
Considere a equacdo diferencial
dy/dt = -or + b,
ondc a c b sdo mlmeros positivos.
(a) Resolva a equacdo diferencial.
(h) Esboce a soluedo para diversas condicOes iniciais diferentes.
(c) Descreva como a solucdo muda sob cada uma das seguintes condicOes:
a aumenta;
b aumenta;
iii. ambos, a e b, aumentam mas a razdo b/a permanece constante.
4. Considere a equacdo diferencial dvldt = ay - b.
Encontre a solucao de equilibrio ye.
Seja Y(t) = y - ye, de modo que Y(t)e o desvio da solucao de equilibrio. Encontre a equacdo diferencial satisfeita por Y(t).
5. Coeficientes a Determinar. Vamos mostrar urn modo diferente de resolver a equacdo
dy/dt = ay - b.
(i)
(a) Resolva a equacdo mais simples
dy/dt = ay.
Chame a solueäo de y,(t).
Observe que a Linica diferenca entre as Eqs. (i) e (ii) e a constante -b na Eq. (i). Parece razoavel, portanto, supor que as soluebes dessas duas equacOes diferem apenas por uma constante. Teste essa hipOtese
tentando encontrar uma constante k tal que y = y,(1)+ k seja uma soluedo da Eq. (i).
Compare sua solucao cm (b) corn a dada no texto pela Eq. (17).
1 NTRODUCAO
13
Obs.: Esse metodo tambem pode ser usado em alguns casos em que a constante b d substitufda por uma
fungdo g(t). Depende se voce 6 capaz de prever a forma geral que a solucdo deve ter. Esse metodo é descrito em dctalhe na Seca() 3.5 em conexdo com equacOes de segunda ordem.
Use o metodo do Problem 5 para resolver a equacdo
dy/dt = -ay + b.
A populacdo de ratos do campo no Exemplo 1 satisfaz a equacdo diferencial
dp/dt = 0,5p - 450.
Encontre o instante em que a populac5o é extinta se p(0) = 850.
Encontre o instante de extingdo se p(0) = p,,onde 0 < p„< 900.
(c) Encontre a populacdo inicial p„ se a populacdo 6 extinta em 1 ano.
8.} Considere uma populacao p de ratos do campo que crescem a uma taxa proporcional a populacao atual,
--- de modo quc ttpldt = rp.
(a) Encontre a taxa de crescimento r se a populacdo dobra em 30 dias.
(h) Encontre r se a populacdo dobra cm N dias.
9. 0 objeto em queda no Exemplo 2 satisfaz o problem de valor inicial
dz . /dr = 9,8 - (t'/5),
v(0) = 0.
Encontre o tempo decorrido quando 0 objeto atinge 98% de sua velocidade limite.
Oual a distancia percorrida pelo objeto ate o instante encontrado no item (a)?
10. Modifique o Exemplo 2 de modo que o objeto em queda ndo sofra resistencia do ar.
(a) Escreva o problema de valor inicial moditicado.
(h) Determine quanto tempo leva para o objeto atingir o solo.
(c) Determine sua velocidade no instante de impact°.
titi? 11. Considere o objeto de massa 10 kg em queda do Exemplo 2, mas suponha agora que o coeficiente de resistacia do ar seja proporcional ao quadrado da velocidade.
Se a velocidade limite e de 49 m/s (a inesma do Exemplo 2), mostre quc a equaciio de movimento
pock ser escrita como
(Writ = 1(49) 2 - v21/245.
Veja tambem o Problema 25 da Secdo 1.1.
Se v(0) = 0, encontre uma expressdo para v(t) em qualquer instante t.
No o grafico da solucao encontrada em (h) e da soluciio (26) do Exemplo 2 no mesmo conjunto de
eixos.
Baseado nos graficos encontrados em (c), compare o efcito de um coeficiente de resistencia do ar
quadratico com urn linear.
Encontre a distancia .v(t) percorrida pelo objeto ate o instante t.
Encontre o tempo T que leva para o objeto cair 300 m.
Urn material raclioativo, tal como urn dos isOtopos de tOrio, o tOrio-234, se desintegra a uma taxa
proporcional a quantidade presente. Se Q(t) é a quantidade presente no instante 1, entdo dQldt = -rQ,
onde r > 0 é a taxa de decaimento.
(a) Se 100 mg de tOrio-234 decitem a 82.04 rug em uma semana, determine a taxa de decaimento r.
(h) Encontre uma expresszio para a quantidade de tOrio-234 presente em qualquer instante t.
(c) Encontre o tempo necessario para que o tOrio-234 decaia a metade da quantidade original.
A meia-vida de urn material radioativo 6 o tempo necessario para que uma quantidade desse material decaia
a metade de sua quantidade original. Mostre que para qualquer material radioativo que decaia de acordo
corn a equacito Q' = -rQ a meia-vida r e a taxa de decaimento r estdo relacionadas pela equacao n = In 2.
14. 0 radio-226 tern uma meia-vida de 1620 anos. Encontre o tempo necessario para que uma determinada
quantidade desse material seja reduzida da quarta parte.
De acordo corn a lei do resfriamento de Newton (veja o Problema 23 da Secao 1.1), a temperatura u(t) de
urn objeto satisfaz a equitcdo diferencial
0
du/dt = -k(u - T),
onde T e a temperatura ambiente constante e k 6 uma constante positiva. Suponha que a temperatura
Uncial do objeto seja u(0) = uo.
14 CANTULO UM
Encontre a temperatura do objeto em qualquer instante.
Seja r o instante no qual a diferenca inicial de temperatura tt„— 7' foi reduzida pela metade. Encontre
a relacão entre k e r.
Suponha que um predio perde calor de acordo com a lei do resfriamento de Newton (veja o Problema
15) e que a taxa k tern valor 0.15 h'. Suponha que a temperatura no interior era de 70°F (cerca de 21°C)
quando ocorreu uma falha no sistema de aquecimento. Se a temperatura externa estava em 10°F (cerca de
—12°C), quanto tempo vai levar para a temperatura no interior chegar a 32°F (0°C)?
Considere urn circuito elOtrico contendo urn capacitor, urn resistor e tuna bateria; veja a Elora 1.2.3. A
carga Q(t) no capacitor satisfaz a equacdos
(IQ Q
R7 + - = V.
It
C
onde R 6 a resistencia, C a capacitância e V a voltagem constante fornecida pela hateria.
Se Q(0) = 0, encontre Q(t) em qualquer instante t e esboce o grAtico de Q ern funcilo de t.
Encontre o valor halite Q, para onde Q(t) tende apOs urn longo period° de tempo.
(c) Suponha que Q(t,) Q, c que, no instante t = t,, a hateria seja removida e o circuito 6 fechado novamente. Encontre Q(t) para t > t, e esboce seu grafico.
R
V C\A'
FIGURA 1.2.3 0 circuito eletrico do Problema 17.
6.2, 18. Um pequeno lago contendo 1.000.000 de galOes (cerca de 4.550.000 litros) de agua nib contem. inicial-
mente, um produto quimico indesejavel (veja o Problema 21 da Secâo 1.1). 0 lago recebe ligua contendo
0,01 g/ga15° de um produto quimico a 1111111 taxa de 300 galOes por horn e a agua sai do lago a mesma taxa.
Suponha que o produto quimico esteja distribuido uniformemente no lago.
Seja Q(t) a quantidade de produto quimico no lago no instante t. Escreva um problema de valor inicial
para Q(t).
Resolva o problema no item (a) para Q(t). Quanto produto quimico o lago tern ao final de 1 ano?
Ao final de I ano, a fonte do procluto quimico despejado no lago c retirada e, a partir dai, o lago recehe
agua pura e a mistura sai A mesma taxa de antes. Escreva o problema de valor inicial que descreve essa
nova sit tracao.
Resolva o problema de valor inicial do item (c). Qual a quantidade de produto quimico que ainda
permanece no lago apOs mais I ano (2 anos apOs o inicio do problema)?
Quanto tempo vai levar para que Q(t) seja igual a 10 g?
Rica o graft° de Q(t) em funcao de t para t ate 3 anos.
Sua piscina, contendo 60.000 galOes (cerca de 273.000 litros) de agua, foi contaminada por 5 kg de uma tinta tido tOxica que deixa a pele de um nadador corn uma cor verde nada atraente. 0 sistema de filtragem da
piscina pode retirar a agua, remover a tinta e devolver a agua para a piscina a uma taxa de 200 gal/min.
Escreva o problema de valor inicial para o processo de tiltragem; seja (1(0 a quantidade de tinta na
piscina em qualquer instante t.
Resolva o problema encontrado em (a).
Voce convidou dtizias de amigos para uma festa ern torno da piscina que esta marcada para comecar
em 4 horas. Voce ja verificou que o efeito da tinta e imperceptivel se a concentracao e menor do que
0,02 g/gal. Scu sistema de tiltragem 6 capaz do reduzir a concentrac5o de tinta a esse nivel dentro de 4
horas?
Encontre o instante T em que a concentracao de tinta alcanca, pela primeira vez, o valor de 0,02
g/gal.
(e) Encontre a taxa do fluxo de agua que c suficiente para ohter a concentracao de 0,02 g/gal dentro de 4
horas.
`Essa equacflo resulta das leis de Kirchhoff, que são discutidas na Secâo 3.7.
INTRODUCAO
15
1.3 Classificacdo de Equacjies Diferenciais
0 objetivo principal deste livro é discutir algumas das propriodades do solucOes de equagOes diferenciais
e descrever alguns dos m6todos que se mostraram eficazes para encontrar solucOes ou, em alguns casos,
aproxima-las. Corn o objetivo de fornecer Lima estrutura organizacional para a nossa apresentacão, vamos
descrever agora diversas maneiras tIteis de se classificar equagOes diferenciais.
Equacdes Diferenciais Ordincirias e Parciais. Uma classiticacilo importante baseia-se em saber se a fundesconliecida depende de uma Unica variavel in dcpendente ou de diversas variaveis independentes.
No primeiro caso aparecem na equagno diferencial apenas derivadas simples, e ela e dita uma equacao
diferencial in-din:ail,. No segundo caso as dcrivadas silo derivadas parciais, e a equagdo e chamada de
equagiio diferencial parcial.
"Judas as equagOes diferenciais discutidas nas duas segOes precedentcs sao equagOes diferenciais ordinarias. Outro exemplo do uma equag5o di fcrencial ordintiria
tIQ(t)
t/2 Q(t)
R
(It-
(It
1
— Q(t) = E(t),
C
(1)
para a carga Q(t) em urn capacitor ern 11111 circuit() com capacitnncia C, resistacia R e indutancia L; essa equac5o é doduzida na Seca° 3.7. Exomplos tipicos do equagOes diferenciais parciais silo a equagno de calor
, a , a(x,r)
a x2
au(v.t)
a2/1CV,
a2a(v,t)
or
(2)
e a equac5o de onda
a-
(3)
at2
axAqui, a' e s5o certas constantes fisicas. Note quo, em ambas as Eqs. (2) e (3), a variavel dependente
depende de duas variaveis independentes, x e t. A equagno do calor doscreve a conducão de calor em
um corpo sOlido, e a equagno de onda aparoce em uma variedade de problemas envolvendo movimento
ondulatOrio em se lidos on
Sistemas de Equacies Diferenciais. Outra classilicaciio de equitcOes diferenciais depende do nUmero de
fungOes dosconhecidas. Se existe ulna Unica funcno a ser determinada, uma equacão e suficiente. Se existent, no entanto, duas ou mais fungOes quo &vein sor determinadas precisamos de um sistema de equacOes. Por exempt(), as equagaes do Lotka-Volterra, on cquacCies predador-presa, sao importantes em modelagom ecolOgica. Elias t6rn a forma
dx/(lt
ax — axy
dy/dt = —cy + yxy,
(4)
undo .v(t) e y(t) silo as populacOos rospoctivas das especies presa c predadora. As constantes a, a, c e y sdo
baseadas em observacOes empiricas e dependem das esp6cies particulares em estudo. Sistemas de equacOes s5o discutidos nos Capitulos 7 e 9; em particular, as equagOes de Lotka-Volterra s5o examinadas na
Sega° 9.5. Nilo e fora do comum, em algumas areas, encontrar sistemas muito grandes contend() centenas
ou ate milhares de equagOes.
Ordem. A ordem do Lima equagiio diferencial 6 a ordem da derivada de maior ordem que aparece na
equagdo. As equagOes nas segOes anteriores sao todas do primeira ordem, enquanto a Eq. (1) 6 uma
equitgao do segunda ordem. As Eqs. (2) e (3) sao equagOes diferenciais parciais de segunda ordem. Mais
geralmente, a equacilo
F[t u(t), u' (t),
, u (n) (t)] = 0
(5)
é uma equac5o diferencial ordinaria de ordem n. A Eq. (5) expressa uma relac5o entre a variavel inde(to). E conveniente e usual
pendente t c os valores da fungi-to u e de suns a primeiras derivadas, u', u",
y("), respectivamente.
u''')(1) por y', y",
em equagOes diferenciais substituir u(t) por y e u' (t), u"(t),
Assim, a Eq. (5) fica
(n)), 0.
F(t,y,y', . , y
(6)
I 6 CAPITULO UM
Por exemplo,
y"' + 2et y'' yy' = t4
(7)
6 uma equacäo diferencial de terceira order)) para y = u(t). Algumas vezes outras letras sera() usadas no
lugar de t e y para as variaveis independentes e dependentes; o significado deve ficar claro pelo contexto.
Vamos supor que 6 sempre possfvel resolver uma equacâo diferencial ordinaria dada para a major
derivada, obtendo
y(n) = f (t y
yff,
y(„-I))
(8)
Estudaremos apenas equacOes da forma (8). A razäo principal disso é evitar ambiguidades que possam
aparecer, ja que uma Unica equacrio da forma (6) pode corresponder a diversas equagOes da forma (8).
Por exemplo, a equacdo
(y')2 + ty' + 4y = 0
leva a duas equagOes,
, — I + N/t2 — 16y
Y =
ou y
—t — ,/t 2 — 16y
,
2
Equacães Lineares e New Lineares. Uma classificacao crucial de equagOes diferenciais 6 se elas sâo lineares
on Mk). A equacilo diferencial ordinriria
F(t,y,y,...,yt1)
) = 0
y("); tuna ch.:11114;R) anriloga se aplica as equadita linear se Fe uma functio linear das varitiveis y, y',
cOes djfercnciais parciais. Assim. a equacrio diferencial ordinriria linear geral de ordem ii e
+ (11(0?-1) +... + a„(t)y = g(t).
(11)
A maioria das equagOes que vocé viu ate agora neste livro d linear; exempk)s sao as equagOes nas SecOes
1.1 e 1.2 que descrevem urn objcto em queda e a poptilacrlo de ratos do campo. Analogamente, nesta
sectio a Eq. (1) 6 uma equacão diferencial ordinriria linear c as Eqs. (2) c (3) sac) equagOes diferenciais
parciais lineares. Uma equrrOo que nao e da forma (11) e uma equacrio nao linear. A Eq. (7) 6 nao linear
devido a expressao yy'. Analogamente. cada equactio no sistema (4) 6 nao linear por causa de expressOes
envolvendo o produto xy.
Um problema ffsico simples que leva a ulna equaciio diferencial nao linear 6 o problema do pendulo.
0 angulo que urn pendulo de comprimento L oscilando fax com a direcR) vertical (veja a Figura 1.3. I )
satisfaz a equacrio
d'e g
sen 0 = 0,
L
i
ts + —
(12)
cuja deducao estri delineada nos Problemas de 29 a 31. A presenca da parcela envolvendo sen 0 faz corn
que a Eq. (12) scja nao linear.
mg
FIGURA 1.3.1 Um pendulo oscilando.
A teoria matemritica c os metodos para resolver equagOes lineares estrio bastante desenvolvidos. Em
contrasts, a teoria para equagOes nao lineares e mais complicada e os metodos de resolucao srio menos satisfatOrios. Em vista disso, 6 auspicioso que muitos problemas signiticativos levem a equagOes diferenciais
ilITROD1200
17
ordindrias lineares ou possam ser aproximados por equacoes lineares. Por exemplo, para o pendulo, se o
Angulo 9 for pequeno entao sen
e a Eq. (12) pode ser aproximada pela equac5o linear
dz 9 g
0 = U.
(13)
L
d t2
Esse processo de aproximar uma equac5o nao linear por uma linear é chamado de linearizacin, e 6 extremamente util para tratar equacOes nao lineares. Apesar disso, existern muitos fenOmenos ffsicos que
nao podem ser representados adequadamente por equacoes lineares. Para estudar esses fenOmenos é
imprescindfvel tratar corn equacoes nao lineares.
Em urn texto elementar é natural enfatizar as partes mais simples e diretas do assunto. Portanto, a maior
parte deste livro trata de equagOes lineares e diversos metodos para resolve-las. No entanto, os Capftulos 8
e 9, assim como partes do Capftulo 2, consideram equacoes nao lineares. Sempre que for apropriado vamos
observar por que as equagOes nao lineares sac), em geral, mais diffceis e por que muitas das tecnicas theis
na resoluc5o de equacOes lineares nao podem ser aplicadas as equagOes nao lineares.
Solucties. Uma soluciio da equacao diferencial ordinaria (8) no intervalo a < t < /36 uma funcão (1) tal que
0' ,
..., (IP) existern e satisfazem
46(n) ( t) = fft.0(t),(fi'm,
en-1)(01
(14)
para todo t ern a < t < /3.A menos que explicitado o contrario.vamos supor que a func5ofna Eq. (8) toma
valores reais e que estamos interessados em encontrar solucties reais y = tk(t).
Lembre-se de que encontramos, na Secäo 1.2, solucOes de determinadas equacoes por um processo de
integraciio direta. For exemplo, vimos que a equaciio
dp
dr
= 0,5p — 450
(15)
900 = CCU .
( 16)
tem solucao
p =
onde c c tuna constante arbitraria. Muitas vezes nao c t5o facil encontrar softly -5es de equacties diferenciais. No entant°, se voce encontrar ulna fun45o que pode ser solucao de urna eqUi100 diferencial dada 6
muito facia, cm geral, verificar se a 1111100 c de fato soluc5o, pois basta substituir a funcao na equacdo. Por
exemplo, dessa mane ira 6 facil most ra r que a func5o y,(t) = cos t 6 uma soluc5o de
y" + y = 0
(17)
pan (0(10 t. Para confirmar isso, note que y,'(1)= -sen t e y"(t) = -cos t: segue entao que y,"(t) + v,(t) = 0.
Da mesma forma, 6 facil mostrar que y,(t) = sen t tamb6m 6 solucão da Eq. (17). E claro que isso nao 6
um modo satisfatOrio de resolver a maioria das equagOes dile renciais, ja que existe urn rilimero grande demais de func-Oes possiveis pan que se tenha alguma chance de encontrar a funcao correta aleatoriamente.
1)e qualquer modo, e importantc comprec nder que 6 possfvel verificar se qualquer solucdo proposta esta
correta substituindo-a na equac 0 diferencial. Essa pode ser uma verificacao titil,e voce deve transformar
essa verificacAo em habit°.
Algumas Questoes Releuantes. Embora tenhamos sido capazes de verificar que determinadas funcOes
simples sao solucOes das Eqs. (15) e (17), nao temos. em geral, tail solucOes disponfveis. Uma questdo
iocht forma (8), sempre tem solucao'?A resposta "n5o".
fundamental, entao, 6 a seguinte: LEEL-rsL
Escrever, simplesmente, uma equacao da forma (8) nao significa necessariamente que existe uma tun
y = 0(0 que a satisfaca. Como podemos saber, entao, se Irma determinada equacao tern solucao? Essa
a quest5o de existencia de solu45o, e e respondida por teoremas que afirmam clue, sob certas condicOes
sobre a func5o f na Eq. (8), a equac5o sempre tern solu45o. Essa nao 6, no entanto, uma preocupacäo puramente matematica por pelo menos duas razors. Se um problema nao tern solu45o,gostarfamos de saber
disso antes de investir tempo e esforco na v5 tentativa de resolve-lo. Alem disso, se urn problema fisico
razoavel esta sendo modelado matematicamente por uma equacdo diferencial, entao a equacao deveria
ter solucao. Se nao fiver, presume-se que ha algo de errado corn a formula45o. Nesse sentido, o engenheiro ou cientista tem um modo de verificar a validade do modelo matematico.
Se supusermos que uma equacao diferencial dada tem pelo menos uma solucao, e natural perguntar
quantas solucaes ela tem e que condicOes adicionais devem ser especificadas para se obter uma Unica
solucao. Essa 6 a questao de
Em g eral,solucees de equacOes diferenciais contem uma ou mais
constantes arhitrarias, coral) a sot
-i-T16) da Eq. (15). A Eq. (16) representa uma infinidade de funceles,
18 CAptruio UM
correspondendo a infinidade de escolhas possiveis para a constants c. Como vimos na Seca° 1.2, se p for
especificado cm um instante t essa condicao determina urn valor para c; mesmo assim, nao descartamos a
possibilidade de que possam existir outras solucOes da Eq. (15) para as quail p tern o valor especificado
no instante t dado. Essa questa() de unicidade tambem tem implicar;Oes praticas. Sc formos suficientemente felizes para encontrar uma solucfro de urn problema dado c se souhermos que o problema tern
uma anica solucao, entao podemos ter certeza de que resolvemos completamente o problema. Se existem
outras solucOes, talvez devamos continuar procurando-as.
Uma terceira questao importante 6: dada uma equacao diferencial da forma (8), podemos determinar
de fato uma soluciio? E se for esse o caso, como? Note que, se encontrarmos uma solucao da equacao dada,
responderemos, ao mesmo tempo, a questa° de cxistencia de solucdo. No entanto, sem conhecer a teoria de
existencia poderiamos, por exemplo, usar um computador para encontrar uma aproximacao numerica para
uma "solucao" que nao existe. Por outro lido, mesmo sahendo que a solucao existe pode nao ser possfvel
expressa-la cm termos das tune 6- es elementares ustrais-func6es polinomiais, trigonomaricas, exponenciais,
logaritmicas e hiperbOlicas.1nfelizmente, essa 6 a situacao para a maioria das equacOes diferenciais. Assim,
discutimos tanto metodos elementares que podem ser usados para se obter solucOes de determinados problemas relativamente simples quanto metodos de natureza mais geral que podem ser aplicados ern problemas mais dificeis.
Uso de Computadores em Equacties Diferenciais. Urn computador pode ser tuna ferramenta extremamente
aid no estudo de equagOes diferenciais. Ha muitos anos os computadores vem sendo utilizados para executar algoritmos, como os descritos no Capitulo S. que constroem aproximacOes numericas para softie-6es
de equacOes diferenciais. Esses algoritmos foram relinados a urn nivel extremamente alto de gencralidade
e eficiencia. Algumas poucas linhas de cOdigo, escritas em uma linguagem de programacao de alto nivel e
executadas (em alguns segundos, frequentemente) em um computador relativamente barato sac) suficientes
para resolver numericamente corn muita precisão um espectro amplo de equacees diferenciais. Rotinas
mais sofisticadas tambem estao disponiveis corn facilidade. Essas rotinas combinam a habilidade de tratar
sistcmas muito grandes e complicados corn diversos caracteristicas de diagnOsticos que alertam o usuario
quanto a problemas possiveis a medida que viio sendo encontrados.
A saida usual de um algoritmo numeric° e uma tahela de nOmeros, listando valores selecionados da variavel independente e os valores correspondents da variavel dependente. Corn programas apropriados
facil mostrar graficamente a solueao de UM equacao diferencial, quer chi tenha sido obtida nurnericamente
ou como resultado de um procedimento analitico do alguma especie.Tais apresentacOes graficas sao, coin
frequencia, mais claras e 'Reis para a compreensão e a interpretaeão da solucäo de uma equacão diferencial
do que uma tahela de nrimeros ou uma fOrmula analitica complicada. Existem diversos pacotes de programas
especiais no mercado, muito hem construiclos c relativamente baratos, para a investigacäo grafica de equagees diferenciais. A ampla disponibilidade de computadores pessoais tornou acessiveis, para os estudantes,
capacidades computacional e gratica poderosas. Voce deve considerar, dependendo de suss circunstancias,
como aproveitar melhor os recursos computacionais disponiveis.VocC. certarnente achara isso instrutivo.
Outro aspect() da utilizac5o de computadores hastante relevante para o estudo de equacOes diferenciais 6 a disponibilidade de pacotes gerais extremamente poderosos que podem efetuar uma gama muito
grande de operacOes matematicas. Entre esses estao o Maple, o Mathematica e o MATLAB, cada um dos
guars pode ser usado em diversos tipos de computadores pessoais ou estacOes de trabalho.Todos esses tres
programas podem executar calculos numericos extensos e tern facilidades graficas versriteis. Alem disso, o
Maple e o Mathematica tambem tern capacidades analiticas muito grandes. Por exemplo, podem executar
passos analiticos necessarios para a resolueiro de muitas equagOes diferenciais, frequentemente em resposta
a um anico comando. Qualquer pessoa que espera tratar equagOes diferenciais de urn modo mais do que
superficial deve se familiarizar corn pelo menos um desses proclutos e explorar como ele pode ser usado.
Para voce, aluno, esses recursos computacionais afetam a maneira de estudar equacties diferenciais.
Para se tornar confiante no use de equagOes diferenciais a essencial compreender como os metodos de
solucao funcionam, a essa compreensão e obtida, em parte, fazendo-se urn namero suficiente de exemplos detalhadamente. No entanto, voce deve planejar, apOs algum treino, delegar tanto quanto possfvel
os detalhes de rotina (muitas vezes repetitivos) a urn computador, enquanto voce presta mais atencao
a formulacão correta do problema e a interpretaciio da solucâo. Nosso ponto de vista e que voce deve
sempre tentar usar os melhores metodos e ferramentas disponiveis para cada tarefa. Em particular, voce
deve tentar combinar metodos numericos, graficos e analiticos de modo a obter a maior compreensdo
possfvel sobre o comportamento da solucao e dos processos subjacentes que o problema moclela. Voce
deve se lembrar, tambem, de que algumas tarefas sac, executadas melhores corn lapis e papel, enquanto
outras necessitam de uma calculadora ou urn computador. Muitas vezes e necessario ter born senso para
selecionar uma combinacão equilibrada.
IffTRODUCAO 19
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 6, determine a ordem da equacao diferencial e diga se ela a linear ou nAo
linear.
t
7 4±2—Y + t (1
1 + 2y. = sen t
dt2dt
0 d4 y d3y ± d2y + dy + _
3
dl lit2
dt
d2y
dt2
dy
dt
2. (1 + y2 ) — + t — + y = er
0 dv
dt
Y
+ ty2 = 0
dy
(13y
h rdt
• d2y
5.
+ sent + y) = sen
6. — + t— + (cos- t)y -= t '
dt2
Em cada urn dos Problemas de 7 a 14, verilique que cada func5 0 dada e uma solucão da equacAo diferencial.
y, — y = 0;
yi(t) =
y2(t) = cosh t
8. y" + 2y' — 3y = 0;
yl (t) = e-31 , y2 (t) = e`
,ma
— y = 12;
y = 3t + t2
0. y"" + 4y'" + 3y = t;
y i (t) = t/3, .v2 (i) = e-' + t /3
2t2y" + 3ty' — y = 0, r > 0;
y i (t) = t 112 , y2 (t) = t-I
t2y" + Sty' + 4y = 0, t >
yi(t) = t -2 , y2 (t) = I -2 In t
y" + y == sect, 0 < t < 7r/2;
y= (cos t) In cost -I- t se n t
y' —2ty = I:
y = t r.
rt
e-s' dr +
Ern cada urn dos Problemas de 15 a 18, determine os valores de r para os quais a equacAo diferencial dada tern
uma solucAo da forma y = e".
16. y" — y = 0
+ 2y = 0
18. y'" — 3y" + 2y' = 0
" + y' — 6y = 0
Em cada um dos Problemas 19 e 20, determine os valores de r para os quais a equacAo diferencial dada tem
uma solucdo da forma y = t' para t > 0.
19. t2y" + 4ty' + 2y = 0
— 4ty' + 4y = 0
Em cada um dos Problems de 21 a 24. determine a ordem da equacao diferencial e diga se ela e linear ou no
linear. 1)erivadas parciais sac) denotadas por indices.
Ou„ + + =0
22. u„ + u„. + tut, + tut, + u = 0
23. u.„ .„ + 2u„,., + tt„„ = 0
+ tut, = 1 +
Em cada um dos Problemas de 25 a 28. verilique que cada funcao dada e uma solucAo da equacdo diferencial.
u„ uyy = 0;
tt i (x, y ) = cos x cosh y. u2 (x,y) = In(.r 2 + y2)
a 2u.„- =
Sen X, 112 (x,t) = e -a2k2i sen kr, A uma constante real
tt i (x,t) =
ulna constante real
u,
t) = sen kr sen Aut. u2 (x,t) = sen (.r— at),
a2 =
crux., =
u = (7/01/2e-`.'"'`, t > 0
29. Siga os passos indicados aqui para deduzir a equacao de movimento de urn penclulo, Eq. (12) no texto.
Suponha que a harra do péndulo seja rigida e sem peso, que a massa seja pontual e que nä° exista atrito
ou resistencia em nenhum porno do sistema.
(a) Suponha que a massa esteja em uma posicAo deslocada arbitraria, indicada pelo Angulo 0. Desenhe
um diagratna mostrando as forcas que agem sobre a massa.
(h) Aplique a lei do movimento de Newton na direcAo tangencial ao arco circular sobre o qual a massa se
move. Erna°, a forma de tensäo sobre a harra nAo aparece na equacAo. Note que é necessario encontrar
a componente da forca gravitacional na direciio tangencial. Note, tambem, que a aceleracao linear
(para diferencizi-la da aceleracâo angular) e L(120/dt2,onde L e o comprimen to da barra.
(c) Simplifique o resultado obtido no item (b) para obter a Eq. (12) do texto.
Outra maneira de deduzir a equacao do pendulo (12) haseia-se no princfpio de conservacAo de energia.
(a) Mostre que a energia cinetica do paclulo em movimento é
2
(
T = 1 nzl.2d6'
tit )
2
(h) Mostre que a energia potencial V do pêndulo relativa a sua posicdo de repouso é
V = utgL(1 — cos 9).
20 CAPiTULO UM
CD
(c) Pelo princfpio de conservacäo de energia, a energia total E = T + V6 constante. Calcule dEldt, iguale
a zero e mostre que a equacao resultante podc ser reduzida a Eq. (12).
Uma terceira deducdo da equacdo do pendulo depende do principio do momento angular: a taxa de vaHack) do moment() angular em torno de qualquer ponto é igual ao momento externo total em torno do
mesmo ponto.
Mostre que o moment() angular Mem torno do porno de suporte 6 dado por M = mL2dOltit.
Iguale dMIdt ao momento da forca gravitational e mostre que a equagfio resultante pode scr reduzida
a Eq. (12). Note que os momentos positivos sac) no sentido trigonometric() (anti-horario).
1.4 Notas HistOricas
Sem saber alguma coisa sobre equagOes diferenciais e metodos para resolve-las, e diffcil apreciar a histOria desse ramo importante da matematica. Alem disso, o desenvolvimento das equagOes diferenciais
estzi intimamente ligado ao desenvolvimento geral da matematica, e nâo pode ser separado delc. Apesar
disso, para fornecer alguma perspectiva histOrica vamos indicar aqui algumas das tendâncias principais
na histOria desse assunto e identificar os matemäticos atuantes no perfodo initial de desenvolvimento que
mais se destacaram. Outras in formacOes histOricas estäo contidas cm notas do rodape ao longo do Iivro e
nas referencias listadas ao final do capftulo.
As equacties diferenciais comecaram corn o estudo de calculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) durante o seculo XVII. Newton cresceu no interior da Inglaterra, foi educado no Trinity College, em Cambridge, e se tornou Professor de Matematica,na cadeira Lucasian, em 1669.
Suas descobertas sobre o calculo e as leis da mecilnica datam de 1665. Elas circularam privadamente, entre seus amigos, mas Newton era muito sensfvel a crft icas e so comecou a publicar seus resultados a partir
de 1687, quando apareceu seu livro mais famoso, Philosophiae Nature,!is Principia Mathematica. Apesar
de Newton ter at uado relativamente pouco na area de equaeftes diferenciais propriamente ditas, seu
desenvolvimento do calculo e a elucidacão dos princfpios basicos da medmica forneceram a base para
a aplicaciio das equacOes diferenciais no seculo XVIII, especialmente por Euler. Newton classificou as
equacties diferenciais de primeira ordem de acordo corn as formas dyldx = fix), dyldx = f(y) e dyldx = f(x,
y). Ele desenvolveu urn rittodo para resolver essa Ultima equacZio no caso em quef (x, y) é um polinemio
em x e y usando series infinitas. Newton parou de fazer pesquisa matematica no infcio da d6cada de 1690,
exceto pela solucao de problemas desafiadores ocasionais e pela reviszio e pulnicacito do resultados obtidos anteriormente. Foi nomeado Warden of the British Mint (responszivel pela Casa da Moeda britanica)
em 1696 e pediu dentiss5o da sua posicdo de professor alguns anos depois. Recebeu o tftulo de cavaleiro
em 1705 e, apOs sua 'none, foi enterrado na capela de Westminster.
Leibniz nasceu cm Leipzig e completou seu doutorado cur filosofia na Universidade de Altdorf quando tinha 20 anos. Ao Longo de sua vida, engajou-se ern atividades acadernicas em diversos campos diferentes. Era basicamente autodidata em matematica, jzi que seu interesse no assunto desenvolveu-se quando
tinha virile e poucos anos. Leibniz chegou aos resultados sobre calculo independentemente, embora um
pouco depois de Newton, mas foi o primeiro a publiczi-los, em 1684. Leibniz compreendia o poder de
Ulna boa notaciio matematica, e a nossa notacito para derivada, dyldx, assim como o sinal de integral, sdo
devidos a ele. Descobriu o metodo de separac5o de variaveis (Seciio 2.2) em 1691, a reduczio de equagOes
homogeneas a equagOes separaveis (Secdo 2.2, Problema 30) em 1691 e o procedimento para resolver
equacties lineares de primeira ordem (Seciio 2.1) em 1694. Passau sua vida como embaixador e conselheiro de diversas fzimilias reais alemzis, o que permitiu que viajasse muito e mantivesse uma correspondencia
extensa corn outros matemziticos, especialmente os irm5os Bernoulli. No decorrer dessa correspondencia
foram resolvidos muitos problemas cur equayfies diferenciais durante a parte final do seculo XVII.
Os irmäos Jakob (1654-1705) c Johann (1667-1748) Bernoulli, de Basel, fizeram muito sobre o desenvolvimento de metodos para resolver equagOes diferenciais e ampliar o campo de suas aplicacCtes. Jakob
tornou-se professor de matematica cm Basel ern 1687 e Johann foi nomeado para a mesma posicao quando seu irrnao faleccu, cm 1705. Ambos cram briguentos, ciumentos c estavam frequentemente envolvidos
em disputas, especialmente entre si. Apesar disso, ambos fizeram contribuicOes significativas em diversas
areas da matematica. Corn a ajuda do calcific), resolveram diversos problemas em meclinica formulandoos como equagOes diferenciais. Por exemplo, Jakob Bernoulli resolveu a equagfio diferencial y' = [(PI
(b 7y
em 1690 e, no mesmo artigo, usou pela primeira vcz a palavra "integral" no sentido moderno.
Em 1694, Johann Bernoulli foi capaz de resolver a equacito dyldx = ylax. Um problema resolvido por
ambos os irmdos e que gerou muito atrito entre eles foi o problema da braquistOcrona (veja o Problema
INTRoDuc.A0 21
32 da Seca° 2.3). 0 problema da braquistOcrona foi resolvido, tamb6m, por Leibniz, por Newton c pelo
Marques de L'Hospital. Diz-se, embora sem comprovacao, que Newton souhe do problema no final da
tarde de urn dia cansativo na Casa da Nloeda e que o resolvcu naquela noite ape's o jantar. Ele puhlicou a
solucao anonimamente. mas, ao ve-la. Johann Bernoulli o hservou:
conheco o lean pela sua pata".
Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Johann, emigrou para Sao Petershurgo na juventude para se incorporar a Academia de Sao Petersburgo, recern-fundada, mas retornou a Basel em 1733 como professor
de botanica e, mais tarde, de ffsica. Scus interesses eram, prin cipalmente, em equagOes diferenciais parciais e suns aplicacOes. Por exemplo, e seu nome que estzi associado a equacao de Bernoull i em mecanica
dos fluidos. Foi, tambem, o primeiro a encontrar as funcôes que seriam conhecidas um seculo mais tarde
como funcOes de Bessel (Seca° 5.7).
0 ma j or matematico do seculo XVIII, Leonhard Euler (1707-1783), cresceu perto de Basel e foi aluno
de Johann Bernoulli. Ele seguiu set, amigo Daniel Bernoulli, indo para Sao Petersburgo em 1727. Durante o rest() de sua vida esteve associado a Academia de Sao Petershurgo (1727-1741 e 1766-1783) e a
Academia de Berlin, (1741-1766). Euler foi o matematico mais prolific° de todos os tempos; suits obras
completes enchem mais de 70 grossos volumes. Seus interesses inclufam todas as areas da matenititica e
muitos campos de aplicacao. Embora tenha licado cego durante os illtimos 17 anos de sua vida, seu trahalho continuou no mesmo ritmo ate o dia de sua more. De interesse especial para nos aqui e sua formulacao maternatica de problems em mecan ica e seu desenvolvimento de metodos para resolve-los. Sobre
o trahalho de Euler em mecanica, Lagrange disse ser "o primciro trabalho importante no qual a andlise
aplicada a ciencia do movimento". Entre outran coisas, Euler identificou a condicao para que equacOes
diferenciais de primeira ordem sejarn exams (Seca° 2.6) em 1734-1735, desenvolveu a teoria de fatores
integrantes (Seca° 2.6) no mesmo artigo e encontrou a solucao geral para equacOes lineares homogeneas
corn coeficientes constantes (SecOes 3.1.3.3,3.4 e 4.2) cm 1743. Estendeu esse ultimo resultado para equacOes nao homogeneas em 1750-1751. Comecando em torno de 1750, Euler usou, corn fre( i ttencia. series de
potencias (Capitulo 5) para resolver equagOes diferenciais. Proptis, tamb(5m, urn procedimento numeric()
(SecOes 2.7 e 8.1) em 1768-1769, fez contribuicOes importantes em equacties diferenciais parciais e deu o
primeiro tratamento sistematico do ctilculo de variagOes.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) tornou-se professor de matermitica em sua cidadc natal, Turim,
corn 19 anos. Sucedeu Euler na cadeira de matennitica na Academia de Berlim em 1766 e foi para a
Academia de Paris cm 1787. Ele 6 mais conhecido polo seu trabalho monumental Mecanique analytique,
publicado em 1788, um tratado elegant e e completo sobre mecanica newtoniana. Em relacao a equacães
diferenciais elementares Lagrange mustrou, no periodo 1762-1765, que a solucao geral de uma equacao
diferencial linear homogenea de ordem n 6 uma corn hinacao linear n solucOes independentes (SecOes 3.2
e 4.1) Mais tarde, em 1774-1775, desenvolveu completamente o metodo de variacao dos parametros (SecOes 3.6 e 4.4). Lagrange tambem 6 conhecido pelo seu trabalho fundamental em equacOes diferenciais
parciais e calculo de variacOes.
Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) viveu na Normandia quando meninx, mas foi para Paris em 1768
e rapidamente deixou sua marca nos meios cientificos,sendo cleito para a Academia de Ciencias em 1773.
Destacou-se no campo da mecanica celeste; set, trahalho mais importante, Trade de mecanique celeste, foi
publicado em cinco volumes entre 1799 e 1825. A equacao de Laplace 6 fundamental em muitos ramos da
ffsica matematica, e Laplace a estudou extensamente em conexao corn a atracao gravitacional. A transformada de Laplace (Capitulo 6) recebeu o nome em sua homenagem, embora sua utilidade na resolucao
de equacOes diferenciais so tenha sido reconhecida muito mais tarde.
No final do seculo XVIII, muitos metodos elementares para resolver equagOes diferenciais ordinarias
j:I tinham sido descohertos. No seculo XIX iniciou-se a investigacao de questOes teOricas de existencia e
unicidade, assirn como o desenvolvimento de metodos menos elementares, como os haseados em expansao em series de potencias (veja o Capitulo 5). Esses metodos encontram seu ambiente natural no piano
complexo. Por causa disso, des se beneficiaram, e, ate certo ponto, estimularam o desenvolvimento mais
ou menos simultaneo da teoria de funcOes analiticas complexes. As equacOes diferenciais parciais comecaram, tambem, a ser estudadas intensamente a medida que se tornava claro seu papel , crucral em ffsica
ma
certas equacties diferenciais ordrras,
comecaram
maternatica. Corn isso, muitas funcOes, solucties
a aparecer repetidamente e foram exaustivamente estudadas. Conhecidas coletivamente como funcOes
transcendentais, muitas delas estao associadas a nomes de matematicos, incluindo Bessel, Legendre, Hermite, Chebyshev e Hankel, entre outros.
As imimeras equacOes diferenciais que resistiram a metodos analiticos levaram a investigacao de metodos de aproximacao numerica (veja o Capitulo 8). Por volta de 1900 ja haviam sido desenvolvidos
metodos efetivos de integracao numerica, mas sua implementacao estava severamente prejudicada pela
necessidade de se executar os calculos a mao ou corn equipamentos computacionais muito primitivos.
Nos tiltimos 60 anos o desenvolvimento de computadores cada vez mais poderosos e versaters aumentou
22 CAPITULO Um
muito a gama de problemas que podem ser investigados, de maneira efetiva, por matodos numericos.
Durante esse mesmo period() foram desenvolvidos integradores numericos extremamente refinados e robustos, facilmente disponfveis. VersOes apropriadas para computadores pessoais tornaram possivel, para
os alunos, a resolucäo de muitos problems sitznificativos.
Outra caracteristica das equacOes diferenciais no seculo XX foi a criacao de metodos geometricos ou
topolOgicos especialmente para equagOes nfio lineares. 0 objetivo e compreender, pelo menos qualitativamente, o comportamento de soluvies de urn ponto de vista geometric°, assim como analftico. Se ha necessidade de mais detalhes, isso pode ser obtido em geral usando-se aproximaciies numericas. 0 Capitulo
9 contem uma introducäo a esses métodos geometricos.
Nos Ultimos anos essas duas tendencias se juntaram. Computadores, e, especialmente, computacâo
grafica trouxeram um novo Impeto ao estudo de sistemas de equagOes diferenciais ndo lineares. Foram
descobertos fenOmenos inesperados (Seca° 9.8), tais como atratores estranhos, caos e fractais, que estdo
sendo intensamente estudados e estfio gerando novas e importantes ideias em diversas aplicacOes diferentes. Embora seja um assunto amigo sobre o qual muito se sa ge, as equacOes diferenciais no seculo XXI
permanecem sendo uma fonte fertil de problemas fascinantes c importantes ainda näo resolvidos.
REFERENClAS Programas de computador para equagOes diferenciais mudam muito rapido para se poder dar boas referacias em um
livro como esse. Uma busca pelo Google sobre Maple, Mathematica ou NAATLAB 6 tuna boa maneira de comecar, se
voce precisa de infornmcOes sobre um desses sistemas de algebra computacional.
Para Icr mais sobre a histOria da matematica, procure livros como os listados a seguir:
Boyer, C. B., and Merzbach,U. C., A History of Mathematics (2nd ed.) (New York: Wiley, 1989).
Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (New York: Oxford University Press. 1972).
Um ap6ndice histOrico 6til sobre o desenvolvimento inicial das equacties diferenciais aparece cm
Ince, E. L., Ordinary Differential Equations (London: Longmans, Green, 1927: New York: Dover, 1956).
Uma fonts cnciclop6dica de informacao sobre vidas e feitos de matematicos do passado 6
Gillespie, C. C., ed., Dictionary of .Scientific Biography (15 vols.) (New York: Scribner's, 1971).
Muita in formacão histOrica pode ser encontrada na Internet. Um site excelente 6
www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biogindex.hunl
criado por John J. O'Connor e Edmund F. Robertson, do Departamento de Matematica e Estatistica da Unix ersidade
St. Andrews, na EscOcia.
_
CAPITULO
11=1111•11=11=1•11111111111111111n11•111=I
2
EquacOes Diferenciais de
Primeira Ordem
Este capitulo trata de equacOes diferenciais do primeira ordem
dv
(It =f(1,0.
(1)
onde f c uma funcao dada de duas variaveis. Oualquer funcao diferenciavel y
que satisfaz essa
equacao para todo t em algum interval() 6 chamada de solucao. Nosso objetivo e determinar se tal funcão
existe c, nesse caso, desenvolver m6todos para encontni-la. Infelizmente, naO existe metodo geral para
resolver a equacao cm termos de funcOes elementares para uma funcao arbitrziria f. Em vez disco, descreveremos diversos m6todos, calla urn deles aplicavel a determinada subclasse de equacOes de primeira
ordem. As mais importantes delas sfio as equacOes lineares (Secao 2.1), as equacOes separaveis (Secao
2.2) e as equagOes exatas (Secão 2.6). Outras secOes deste capftulo descrevem algumas das aplicacOes
importantes de equagOes diferenciais de primeira ordem, introduzem a ideia de aproximar uma solucâo
por calculos num6ricos e discutem algumas questOes teOricas relacionadas a existencia e a unicidade de
solucOes. A Ultima sec5o inclui um exemplo de solucOes caOticas no contexto de equacOes de diferenos
finitas de primeira ordem, que tC..n alguns pontos importantes de semelhanca corn equagOes diferenciais
e sao mais simples de investigar.
2.1 Equaciies Lineares; Metodo dos Fatores Integrantes
Se a funcrrof na Eq. (I) depender linearmente da variavel dependente y, então a Eq. (1) é dita uma equacäo linear de primeira ordem. Nas SecOes 1.1 e 1.2 discutimos urn tipo restrito de equagOes lineares de
primeira ordem. aquelas Com coeficientes constantes. Urn exemplo tipico é
dy
71 = —ay + b,
(2)
onde a e b szio constantes dadas. Lembre-se de que uma equacao dessa forma descreve o movimento de
urn objeto em queda na atmosfera. Vamos considerar agora a equacdo linear de primeira ordem mais
geral, obtida substituindo-se Os coeficientes a e b na Eq. (2) por funcOes arbitrzirias de t. Em geral escreveremos a equacao linear de primeira ordem geral na forma-padrâo
dv
dt
+ p(t)y = g (t),
(3)
onde p e g silo funcOes dadas da variavel independente 1.
A Eq. (2) pode ser resolvida pelo mátodo de integracao introduzido na Secão 1.2. Ou seja, se a 0 e
y bla, podemos escrever a equacilo na forma
23
24 CANTU() DOIS
dyldt
= —a.
y — (b la)
Erna°, integrando, obtemos
In IY — (bla)j= —at + C,
donde segue que a soluc5o geral da Eq. (2) é
y = (b/a) + cc'
onde c é uma constante arbitraria.
Infelizmente, esse metodo direto de soluciio nao pode ser usado para resolver a equacdo geral (3), de
modo que precisaremos de urn metodo diferente. Esse metodo e devido a Leibniz; ele envolve a multiplicacäo da equaciio diferencial (3) por uma determinada fungdo p(t) escolhida de modo que a equacilo
resultante seja facilmente intcgravel. A funcAo p(t) é chamada de fator integrante, e a principal dificuldade 6 determiner como encontrii-la.Vamos introduzir esse metodo em urn exempt() simples e mostrar mais
adiante como estende-lo a outras equaceles !Meares de primeira ordem, incluindo a equac5o geral (3).
EXEMPLO
Resolva a equaciio diferencial
(IV
+ ly
dt
2
1
le"3•
2
(6)
Desenhe o grafico de diversas solucees e encontre a solucao particular cujo grifico contém o ponto (0, 1).
0 primeiro passo e multiplicar a Eq. (6) por uma funcao 1 40, ainda a determiner; assim
p(t)
dv
p(t)v = I itMet/3.
2
lit
(7)
Precisamos agora saber se podemos cscolhcr it(t) do tal modo que a expressao A esquerda do sinal de igualdade
na Eq. (7) seja reconhecida como a dcrivada de alguma expressOo particular. Se for possivel. poderemos integrar a Eq. (7) mcsmo sem conhcccr a funcOo y. Para orientar a escolha do fator integrante /1(0, pergunte a si
mesmo onde, cm ealculo, voce ja viu uma expresszio contendo urn termo da forma g(t)dyldt. Voce esta na pista
certa se isso the lembra a regra do produto para a diferencia0o.Vamos tentar, ent5o, determiner p (t) do modo
que a express5o a esquerda do sinal de igualdade na Eq. (7) seja a dcrivada do produto p(t)y. Comparando a
expresso a esquerda do sinal de igualdade na Eq. (7) coin a formula de diferenciacao
dv
p(t)
v,
+ a,
t '
dt
d
It
— lit( t ) y l =
(8)
observamos que serAo iguais se escolhermos ' LW de mod() que
dp (1)
di
— -11(t).
(9)
Portanto, nossa busca por um fator integrante tern sucesso se pudermos encontrar uma solucäo para a Eq. (9).
Talvez voce possa identificar imediatamente uma funcao que satisfaz a Eq. (9): quc funcao bem conhecida no
calculo tem dcrivada igual a metade da funcäo original? Dc maneira mais sistemdtica, podemos reescrever a
Eq. (9) como
d p (t)/ d t
=
,a(t)
quc 6 equivalents a
d
— In I p (t)1 = •
1
Segue enta- o quc
In 111W1 = It + C,
ou
p(t) = ce12.
A Naga° it(t) dada pela Eq. (13) é urn fator integrante para a Eq. (6). Como näo precisamos do fator integrante
mais geral possfvel, cscolheremos c igual a um na Eq. (13) e usaremos p(t) = e112.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEN!
Vamos voltar para a Eq. (6) e nulltiplica la pelo fator integrante
dy, ,
e il- — + e il - v I e50
dt
-
25
para obter
(14)
2
Pela escolha que fizemos do fator integrante, a expressâo a esquerda do sinal de igualdade na Eq. (14) é a derivada de e" 2y, de modo que a Eq. (14) flea
dt
(e' l2 v) = 1,
6.
(15)
lntegrando a Eq. (15), obtemos
6 + c,
e" 2y. =
(16)
onde c é uma constante arbitraria. Finalmente, resolvendo a Eq. (16) para y, obtemos a solucao geral da Eq.
(6), a saber,
+
y=
(17)
Para encontrar a solucao cujo grafico contem o ponto (0, 1). fazemos t = 0 e y = 1 na Eq. (17), obtendo 1 =
(3/5) + c. Logo, c = 2/5 e a solucTio desejada
=
3 ( 3
± 2
r2
(18)
.
A Figura 2.1.1 inclui os graficos da Eq. (17) para diversos valores de c corn urn campo de direcOes ao fundo. A
solucito contendo o ponto (0. 1) esta indicada por uma linha mais grossa.
y
NNNNNN
NN
/ /
3
/ /
/ / /
/ / / /
/ / / / /
/ / / / / /
/ / / / / /
/ / / / / / /
/ / / / / / / /
/ / / / / / / / /
z
/ / / / / /
z
/ / /
2 / / /3/ / / / / / / /
z z / / / / / / / / / / / /
z
/ / / / / / / / / / / / / /
z
/ / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / / / /
ricuRA 2.1.1 Curvas integrais da equaciio + = 1,e(13.
/ 7
Vamos agora estender o metodo dos fatores integrantes a equagOes da forma
dv
at + av = g(1),
(19)
onde a e uma constante dada e g(t) a uma funcao dada. Procedendo como no Exemplo 1, vemos que o
fator integrante p(t) tem que satisfazer
d
=
dt
(20)
em vez da Eq. (9). Logo, o fator integrante é /1(1) = e". Multiplicando a Eq. (19) por (I), obtemos
e „idv + ae al y = ear g(t),
dt
011
(eaty) = ea/gm.
dt
(21)
26 CAPITULO DOTS
Integrando a Eq. (21), encontramos
fy f
g(t) dt + c,
(22)
onde c e uma constante arbitrdria. Para muitas funcOes simples g(t) podemos calcular a integral na Eq.
(22) e expressar solueao y em termos de funcOes elementares, como no Exemplo 1. No entanto, para
tune 6- es g(t) mais complicadas, pods ser necessdrio deixar a solucäo em forma
Nesse caso,
a
integral.
y=
e"s g(s) ds + ce - " t
(23)
fto
Note que denotamos por s a variAvel de integraciio na Eq. (23), para chstingui-la da variavel independente
1, e escolhemos algum valor conveniente t„ para o limits inferior de integracdo.
EXEMPLO
Resolva a equacäo diferencial
2
di - 2y = 4 - t
dt
(24)
e desenhe graficos de diversas solucOes. Discuta o comportamento das solucOes quando r
Multiplicando a equaciio difeA Eq. (24) é da forma (19) corn a = -2; logo, o fator integrante é it(t) =
rencial (24) por p (t), obtemos
e -2'11; - 2e - '`y = 4e -2' - te -2` ,
ou
d
T
( r
,
(e-- ` = 4e -2` -
I ntegrando a equactio diferencial, temos
e -2.t y . = -2e -21
tit.e -2/ +
le-2r
onde usamos integraciio por partes no Ultimo termo da Eq. (26). Logo, a soluedo geral da Eq. (24) e
v = - + t + ce 2 '.
(27)
A Figura 2.1.2 mostra um campo de direcOes e graficos da solucilo (27) para diversos valores de c. 0 cornportamento das solucaes para valores grandes de t é determinado pelo termo ce't . Se c 0. a soluciio cresce
exponencialmente em mOdulo corn o mesmo sinal que c. Portant°, a solucdo diverge quando t se torna muito
grande. A fronteira entre solucOes que clivergem positivamente e que divergem negativamente ocorre quando
c 0. Se escolhermos c = 0 na Eq. (27) e thermos t = 0, vere mos que y = -7/4 é o ponto de separacAo no eixo dos
essa solucao cresce posit ivamente, mas linearmente
y. Note que para esse valor inicial a solugao v = - +
e ndo exponencialmente.
0,5
Y-
1,5
2
/
/ / / / /
/ / / / / /
/
XXXXX XNX
\\NNNNNN \ \ \
NN N N \ \ \ \ \ \ \ \
N N
\ \\\\\\\\\\\\
\\ \\ \\ N\\ \\\ \ \\ \ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\\\\\\ \ \\\\\\\ \ \ \\
-4\- \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
N
NN
FIGURA 2.1.2 Curvas integrals para y' - 2y = 4 - t.
E QUA CO ES D IFERENCIAIS DE P RIMEIRA O RDEM
27
Vamos voltar para a equaci-to linear geral de primeira ordem (3)
dy
—
dt + p(t)y = g(t),
onde p e g sac) funcOes dadas. Para determinar urn fator integrante apropriado, multiplicamos a Eq. (3)
por uma funcão p(t) a ser determinada, obtendo
dv
WO = + p(t)p(t)y = p(t)g(t).
dt
(28)
Seguindo a mesma linha de raciocinio do Exemplo 1, vemos que a expressao a esquerda do sinal de igualdade na Eq. (28) é a derivada de um produto (t)y, desde clue p(t) satisfaca a equagäo
dp(t)
= p(t)p(t).
dt
(29)
Supondo temporariamente que p(t) é positiva, temos
d p(t)/dt
= p(t)•
11(t)
e, cm consequimcia,
In p(t) =
p(t) dt + k.
Escolhendo a constante arbitraria k como zero, obtemos a fungi -to mais simples possfvel para ti, a saber,
it (t) = exp f p(t) (It .
(30)
Note que p(t) é positiva pa pa todo 1, como supusemos. Voltando para a Eq. (28), temos
d
I p(t)y] = p(t)g(t).
(31)
it (1)y = f!t(t)g(t) (It + c,
(32)
(It
Portanto,
onde c c Lima constante arbitriiria. Algumas vexes a integral na Eq. 32) pods ser calculada cm termos de
fungOes elementa res. No en tanto, isso nao possivel. cm geral, de modo que a solucao geral da Eq. (3) é
y = 11(1)[ f it (s)g(s)
+ ci
(33)
onde, mais uma vez,
algum I imi te inferior de integraciio conveniente. Observe que a Eq. (33) envolve
duas integracaes. uma para obter p(t) da Eq. (30) e outra para determinar y da Eq. (33).
EXEMPLO
Resolva o problema de valor inicial
3
ty' + 2v 4/2,
(34)
y(1) = 2.
(35)
Para determinar p(t) c g(t) corretamente,precisamos primeiro colocar a Eq. (34) na forma-padriio (3).Temos
V + (211).). = 41,
de modo que p(t) = 2/t e g(t) = 4t. Para resolver a Eq. (36), primeiro calculamos o fator integrante p.(1):
it (t) =
2
t
exp f _ di = ezin io = 1,2.
Multiplicando a Eq. (36) por //(t) = t= , obtemos
/2y' + 2ty = (12y)' = 4t3,
e, portanto,
(36)
28 CAPITULO DOTS
(2y =
t4
c,
onde c e uma constante arbitraria. Segue que
(37)
y = t 2 + —,c
ta solucao genii da Eq. (34). A Figura 2.1.3 mostra curvas integrals para a Eq. (34) para diversos valores de c.
Para satisfazer a condicäo inicial (35), e necessario escolher c = 1: assim,
,
y = t- +
1
t>0
(38)
a solucâo do problema de valor inicial (34), (35). Essa solucdo corresponde a curva mais grossa na Figura
2.1.3. Note que ela se torna ilimitada e se aproxima assintoticamente do semieixo positivo dos y quando t
0 pela direita. Esse é o efeito da descontinuidade infunta do coeficiente p(t) na origem. A funcao y = t2 + (1le)
para t < 0 na- o é parte da solucao desse problema de valor inicial.
Esse é o primeiro exemplo no qual a solucilo riño existe para alguns valores de t. Novamente, isso c devido
a descontinuidade Infiniti' de p(t) em t = 0, clue restringe a solucao ao intervalo 0 < t < 00.
FIGURA
2.1.3 Curvas integrals para ty' + 2y 4t2.
(aquelas para as quais c > 0) sflo asOlhando novamente para a Figura 2.1.3, vemos que algumas soluc Oes
0 pela direita, enquanto outras soluciies (para as quais c < 0)
sintOticas ao semieixo positivo dos y quando I
sao assintOticas ao semieixo negativo dos y. A soluc5o para a qual c = 0, a saber, y = 12 , permanece limitada e
diferenciavel ate em t = 0. Se generalizarmos a condicao inicial (35) para
Y(l) = Yo.
(39)
1
(40)
então c = yo —1 e a solucäo (38) flea
y
1-
yo
,
t-
,
t > 0 se yo 1.
Como no Exemplo 2, este 6 outro caso particular onde existe um valor inicial critic°, a saber, yo = 1, que separa
soluceies que se comportam de duas mandrils hem diferentes.
EXEMPLO
4
Resolva o problema de valor inicial
2y + ty = 2,
y(0) = 1.
(41)
(42)
Para colocar a equacäo diferencial (41) na forma-padrao (3) precisamos dividir por 2, obtendo
y' + (t /2)y = 1.
Logo, p(t) = t/2 e o fator integrante e p(t) = exp(t 2/4). Entao multiplique a Eq. (43) por it(t), de modo que
etzmy _t2et2 /4y = e,214.
(43)
(44)
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 29
A expressao a esquerda do sinal de igualdade na Eq. (44) é a derivada de e'-1.' y, portant°, integrando a Eq. (44)
obtemos
e1214v = fet2I4 dt + c.
(45)
A integral na Eq. (45) nao pode ser calculada em terms das funcOes elementares usuais, de modo que a delxamos em forma integral. No entanto, escolhendo o limite inferior de inteeracao como o ponto inicial t = 0
—
podemos substituir a Eq. (45) por
e`214y = I cs214 ds + c,
(46)
y = e -(2 /4 f ' e2 /4 ds + cc -12/4 .
(47)
0
onde c 6 uma constante arhitraria. Segue, então. que a solucao geral y da Eq. (41) 6 dada por
r
A condicao inicial (42) requer que c. = 1.
0 principal objetivo deste exemplo e ilustrar que algumas vezes a solucao tern que ser deixada em funcao de
uma inteeral. Em geral, isso é no maxim° ligeiramente inconveniente, e nao um obstaculo seri°. Para urn dado
valor de t. a integral na Eq. (47) e uma integral definida. e pode ser aproximada corn qualquer precisao desejada
usando-se integradores numericos facilmente disponiveis. Repetindo esse processo para muitos valores de t e
colocando os resultados em urn gratico, voce pode obter urn grafico da solucao. De maneira alternativa, voce pode
usar um método numeric() de aproximacao, como os discutidos no Capitulo 8. que partem diretamente da equacao diferencial e nao precisam de uma expressao para a solucao. Pacotes de programas como Maple e Mathematica execuram rapiclamente tars procedimentos e produzem eraficos de solucOes de equacaes diferenciais.
FIGURA 2.1.4 Curvas integrals para 2y' + ty = 2.
A Figura 2.1.4 mostra graficos das soluciies (47) para diversos valores de c. Da figura, parece plausivel conx. 0 limite pode ser encontrado analiticamente
jeturar que todas as solucOes tendem a um limite quando t
(veja o Prohlema 32).
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 12:
(a) Describe urn campo dc direcOes para a equacao diferencial dada.
(h) Baseado em uma andlise do campo de direcOes, descreva o comportamcnto das solucOes para valores
grandes de t.
(c) Encontre a solucao geral da equacao diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das solucOes quando t x.
(7))/+3y=t+e-2`
u./
3. y' + y = te' + 1
5. y' — 2y = 3e
y' — 2y = t2e2'
t>0
E2, 4. y' + (1/t)y = 3 cos 2t,
0
1
>
ty'
+
6.
4g2
2y = sen t,
30 CAPITULO DOTS
402, 7. y' + 2ty + 2/cc'
0.2, 9. 2y' + y = 3(
69, 11. y' + y = 5 sen2t
40-2. 8. ( 1 + t2 )y' + 4ty = (1 + t2)-2
t>0
6'2 10. ty' — y t2 eC2, 12. 2.),' + y = 3t2
Em cada urn dos Problemas de 13 a 20, encontre a solucao do problema de valor inicial dado.
13. y' — y = 2te2' ,
y(0) = 1
y(1) = 0
Oy' + 2y =
t>0
15. ty'+ 2y = t2 — t + 1,
y(1) =
y' + (2/ t)y = (cos t)/t2 ,
y(n) = 0, t > 0
y' — 2y =
y(0) = 2
y(7r/2) = 1, t > 0
ty' + 2y = sent,
y( - 1) = 0, t < 0
t 3 y' + 4t2y =
y(In 2) = 1, t > 0
ty'+(t+ 1)y = t,
Em cada um dos Problemas de 21 a 23:
(a) Desenhe um campo de direciies para a equac5o diferencial dada. Como parece que as solucaes se comportarn quando t assume valores grandes? 0 comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja a„ o
valor de a no qual ocorre a transic5o de urn tipo de comportamento para outro. Estime o valor de a,,.
(h) Resolva o problema de valor inicial e encontre precisamente o valor critico a„.
(c) Descreva o comportamento da solucäo correspondente ao valor inicial a„.
y(0) = a
y' — = 2 cos t,
2y' — y er/3 ,
y(0) = a
02, 23. 3y' — 2y = e-'02 , y(0) = a
Em cada um dos Problemas de 24 a 26:
(a) Desenhe um campo de direcOes para a equaciio diferencial dada. Como parece que as solucOes se comportarn quando t —> 0? 0 comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja o valor de a no qual
ocorre a transictlo de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de a„.
(h) Resolva o problema de valor inicial c encontre precisamente o valor critico aa.
(c) Descreva o comportamento da solucilo correspondente ao valor inicial a„.
e, 24. ty' + (t + 1)y = 2te-
y(1) = a, t > 0
(12, 25. ty' + 2y = (sent)/t,
y(-7r/2) = a, t < 0
6:2, 26. (sent)y + (cos t)y = e'.
y(1) = a. 0 < t < 7r
642,
Considere o problema de valor inicial
y' + Zy = 2 cos t.
y(0) = - I.
Encontre as coordenadas do primeiro ponto de maximo local da solucâo para t > 0.
Considere o problema de valor Uncial
y'
=1—
.)"(0)
yo.
Encontre o valor de y„ para o qual a solucao toca, rnas näo cruza, o eixo dos t.
Considere o problema de valor inicial
y'+ iy= 3 + 2 cos 2t,
y(0)= 0.
(a) Encontre a solu45o deste problema de valor inicial e descreva seu comportamento para valores grandes de t.
(h) Determine o valor de t para o qual a solucilo intersecta pela primeira vez a reta y = 12.
30. Encontre o valor de y„ para o qual a soluc5o do problema de valor Uncial
y' — y = 1 + 3 sent,
Y(0) = yo
permanece finita quando t —> cc.
Considere o problema de valor inicial
, 3
Y — = 3t + 2(),
y(0) = yo.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
31
Encontre o valor de y„ que separa as solucetes que crescem positivamente quando t
das que crescem
em modulo, mas permanecem negativas. Como a soluciio que corresponds a esse valor critic() de y„ se
comporta quando t -0 x?
Mostre que todas as soluceies de 2y' + iy = 2 [veja a Eq. (41) do texto] tendem a urn limite quando t
xe
encontre esse limite.
Sugestao: considere a solucdo geral, Eq. (47), e use a regra de L'Hospital no primeiro termo.
Mostre que, se a c n sdo constantes positivas e se b é urn numero real arbitrario, entdo toda solucdo da
equacão
y' + ay = be-Ai
tern a propriedade de que y 0 quando t -4 x.
Sagest/0: Considere os casos a = A e a * A separadamente.
Em cada urn dos Problemas de 34 a 37, construa uma equacdo diferencial linear de primeira ordem cujas
x . Depois resolva sua equacão e confirme que todas as
soluceies tem o cornportamento descrito quando t
solucöes tem, de fato, a propriedade especificada.
Todas as soluceies tem limite 3 quando t -0 x.
Todas as solucOes sdo assintOticas a reta y = 3 - t quando
x.
x.
Todas as soluciies sac) assintOticas a reta y = 2t - 5 quando
Todas as solucOes se aproximam da curva y = 4 - t- quandot x.
Variaciio dos Pardmetros. Considere o seguinte metodo de resolucdo da equacao linear de primeira ordent geral:
(i)
+ p(t)y = 4'(0•
(a) Se g(t) = 0 para todo t, mostre que a solucdo
y
A exp [- f p(t)(Iti.
(ii)
onde A t:! uma constante.
(h) Se g(t) n3o e identicamente nula, suponha clue a solucdo da Eq. (i) da forma
(iii)
y = A(t) exp [- f p(t)//t1
onde A agora c uma funcao de t. Subst it uindo y na equacdo diferencial por essa expressiio. mostre que A(t)
tem que satisfazer a condicdo
X(t) = g(t)exp
(iv)
pro dd.
(c) Encontre A(t) da Eq. (iv). Depois suhstitua A(t) na Eq. (iii) por essa solucdo para determinar y. Verifique que a solucdo ()Nicht dessa maneira c igual a solucdo da Eq. (33) no texto. Essa tecnica c conhecida como o metodo de variacao dos pardmetros: c discutida ern detalhes na Seca() 3.6 em conexao
corn equagOes !Meares de segunda ordem.
Em cada um dos Prohlemas de 39 a 42, use o metodo do Problema 38 para resolver a equacdo diferencial
dada.
y' - 2y = t2e2'
41. ty + 2y = sent,
>0
40. y' + (1/t)y = 3 cos 2t.
42. 2/ + y = 3t2
t>0
2.2 Equaciies Separiveis
Nas SecOes 1.2 e 2.1 usamos um processo de integracao direta para resolver equagbes lineares de primeira ordem da forma
dy
dt
= ay + b,
(1)
onde a e b sdo constantes. Vamos mostrar agora que esse processo pode ser aplicado, de fato, a uma classe
muito maior de equagOes.
32 CAPITULO DOTS
Vamos usar x, em vez de t, para denotar a variavel independente nesta secao por duns razaes. Em primeiro lugar, tetras diferentes säo utilizadas corn treguacia para as variaveis em uma equacäo diferencial,
e voce n5o deve ficar acostumado a urn Onico par. Em particular, a letra .v é muito usada para a variavel
independente. Alem disso, queremos reservar t para outra coisa mais adiante na sec5o.
A equacão geral de primeira ordem 6
dy
= f (x, y).
dx
Consideramos equagOes lineares na secão precedente, mas se a Eq. (2) não for linear, entao nao existe
tn6todo universalmente aplicdvel.Vamos considerar aqui uma subclasse das equacOes de primeira ordem
que podem ser resolvidas por integrando direta.
Para identificar essa classe de equagOes, vamos primeiro colocar a Eq. (2) na forma
M(x,y)+N(x,y)dx = 0.
Sempre e possfvel fazer isso definindo M(x,y) = —f(x,y) e N(x,v) = L mas tambem existem outran manciras. Se acontecer que M so depende de x e que N so depende de y, entao a Eq. (3) fica
y
M (x) + N (y) — = 0.
dx
(4)
Tal equacilo é dita separlivel porque, se for escrita na forma diferencial
M (x) dx + N (y) dy = 0,
(5)
entao, se voce quiser, as parcelas envolvendo cada variavel podem ser colocadas em lados opostos do
sinal de igualdade. A forma diferencial (5) tambem c mais simetrica e tends a diminuir a diferenca entre
a variavel independente e a dependente.
tJnut equacao separAvel pode ser resolvida integrando-se as funcOes M e N. Vamos ilustrar o processo
em urn exemplo e depois discuti-lo em geral para a Eq. (4).
EXEMPLO
Mostrc que a equac5o
dy
x2
dx — 1 — y.2
é separavel c depois encontre uma equaca° para suas curvas integrais.
Se colocarmos a Eq. (6) na forum
— x 2 + (1 — y 2 ) rli = 0,
ela tern a forma (4) e é, portant°, separavel. Lembre-se do calculo que, se y e uma func5o de x, entao, pela regra
da cadcia,
dy
d
dy
=
f
f(y)
=
ly dx
(r
Por exemplo, se f (y) = y — y 3/3. entao
dx
, dv
— Y /3) = (1
dx
Logo, o segundo termo na Eq. (7) 6 a derivada de y — y 3/3 em relacäo a x e o primeiro 6 a derivada de —x3/3.
Assim, a Eq. (7) pode ser escrita como
I/
dx
(--
3
3
d
+
dx
Li3) = 0,
3
ou
d /
x3
Y3 \
Portanto, integrando, obtemos
— X3 +3y— y = c,
(8)
EQUACOES DIrEKENCIAIS DE PRIMEIRA ORDE.1"1 33
onde c e uma constante arbitrria. A Eq. (8) 6 uma equacào para as curvas integrals da Eq. (6). A Figura 2.2.1
rnostra urn campo de direcoes e diversas curvas integrals. Qualquer funcdo diferencirivel y = 44.0 que satisfaz
a Eq. (8) e uma solucAo da Eq. (6). Uma equacâo para a curva integral que contt3m urn ponto particular (x„,y„)
pode ser encontrada substituindo-se x e y, respectivamente, por xo e y„ na Eq. (8) para determinar o valor correspondente de c.
y,
4
FIGURA 2.2.1 Campo de direcOes e curvas integrals para y' x =/(1 - y2).
Essencialmente o niesmo procedimento pode ser seguido para qualquer equacao separtivel. Voltando
Eq. (4). sejam //. e II : duas primitivas quaisqucr de M e N, respectivamente. Logo
Hi (x)
M(x),
= N(y),
(9)
c a Eq. (4) Ilea
11;(.0+
dy
da
= 0.
(10)
De acordo com as regra da cadeia,
tly
(1 „
,,
dv
r1,(y)' = — /1 2( y ) —
d.v
dy
(1
—11 , (Y)•
d.r -
(11)
Em consequacia, podemos escrever a Eq. (10) como
el
— // 1 (x) + 112(y)] = 0.
(12)
H,(x) + 11 2 (y) = c,
(13)
I ntegrando a Eq. (12), obtemos
onde c e ulna constante arbitraria. Qualquer fungdo diferencitivel y = 4)(x) que satisfaz a Eq. (13) é uma
solu0o da Eq. (4): em outran palavras, a Eq. (13) define a solucao implicitarnente. em vez de explicitamente. Na pratica a Eq. (13) 6 obtida, em geral, da Eq. (5) integrando-se a primeira parcela em relacao a
x e a segunda em relacdo a y.
A equac5o diferencial (4), junto corn uma condicth) inicial
Y(xo) = y o,
(14)
forma urn problema de valor inicial. Para resolver esse problema de valor inicial, precisamos determinar
o valor apropriado da constante c na Eq. (13). Esse valor e obtido fazendo-se = x 0 e y yo na Eq. (13),
resultando em
c = 11 1 (x 0 )+ 112 (y0 )•
Substituindo c na Eq. (13) por esse valor e observando que
(15)
34 CAPrruio Dols
I-12(y) - 11 2(Y0) = f N (s) ds ,
H i (X) — H I ( VO) = f M (s) ds,
xo
obtemos
M (s) ds + f N (s) ds - 0.
(16)
yo
A Eq. (16) é uma representacdo implicita da solucäo da equacao cliferencial (4) que satisfaz a condicäo
inicial (14). Voce deve ter em mente o fato de que, para obter uma formula explicita para a solucdo, é
preciso resolver a Eq. (16) para y como fungdo de x. Infelizmente, muitas vezes isso 6 impossfvel analiticatnente; em tais casos, voce pode apelar para m6todos numericos para encontrar valores aproximados
de y para valores dados de x.
EXEMPLO
2
Resolva o problema de valor inicial
(iv 3x 2 + 4x + 2
2(y — 1)
y(0) = —1,
(17)
e determine o intervalo no qual a soluck) existe.
A equac5o cliferencial pode ser escrita como
2(y — 1) dy = (3x 2 + 4x + 2) dx.
Integrando a expressao a esquerda do sinal de igualdade em relaciio aye a express5o a direita cm relacâo a x,
obtemos
y2 — 2y = .r 3 + 2.v 2 + 2.v + c,
(18)
onde c e uma constante arbitraria. Para determinar a solucao que satisfaz a condicilo Uncial dada, fazemos x = 0
e y = —1 na Eq. ( IS). obtendo c 3. Logo a soluc5o do problema de valor inicial 6 dada implicitamente por
y 2 — 2y = .v 3 + 2x 2 + 2x + 3.
El
(19)
Para obter a solucAo explIcita, precisamos resolver a Eq. ( 19) para y em funcao de x. Isso é facil neste caso,
que a Eq. (19) e do se 9.,Undo emu em y; obtemos ent5o
y= 1 ± Vx 3 -F 2.V 2 + 2.v + 4.
(20)
A Eq. (20) nos fornece dual solucOes da equaciio diferencial, mas apenas uma delas satisfaz a condiciio inicial.
Essa 6 a soluc5o correspondente ao sinal de menos na Eq. (20), de modo que, finalmente, obtemos
y=
= 1—
+ 2.v 2 + 2x + 4
(21)
como soluciio do problema de valor inicial (17). Note que, se o sinal de mais fosse escolindo erradamente na Eq.
(20), obteriamos a soluciio da mesma equacilo diferencial que satisfaz a condicao inicial y(0) = 3. Finalmente,
para determinar o intervalo no qual a soluc5o (21)e valida, precisamos encontrar o interval() no qual a expressao dentro da raiz quadrada e positiva. 0 Lillie() zero real dessa expressäo é x = —2, de modo que o intervalo desejado e x > —2. A solucAo do problema de valor inicial e algumas outras curvas integrais da equacdo diferencial
estao ilustradas na Figura 2.2.2. Observe que a fronteira do intervalo de validade da soluck) (21)6 determinado
pelo ponto (-2.1) no qual a reta tangente e vertical.
FIGURA 2.2.2 Curvas integrais para y' =
(3.C. + 4x + 2)/[2(y — 1)1.
EQUACOES DIFEFtENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 35
EXEMPLO
Resolva a equacâo
dy= 4x - x3
dx
+
3
(22)
e desenhe graticos de diversas curvas integrais. Encontre. tambem, a solucão que contem o ponto (0,1) e determine seu intervalo de validade.
Colocando a Eq. (22) na forma
(4 + y3 ) tly = (4x - x3 ) dx,
integrando, multiplicand° por 4 e arrumando os termos, obtemos
y4 + 16,, + x 4
8x 2
(23)
onde c e uma constante arbitraria. Qualquer funciio diferenciavel y = 0(x) que satisfaz a Eq. (23)6 uma solucdo
da equacâo diferencial (22). A Figura 2.2.3 mostra graficos da Eq. (23) para diversos valores de c.
Para encontrar a solucão particular que contém o ponto (0,1), fazemos x = 0 e y = 1 na Eq. (23), obtendo c = 17. Logo, a solucdo em pauta é dada implicitamente por
16y + x4 - 8x2 = 17.
(24)
Ela corresponde a curva mais grossa na Figura 2.2.3.0 intervalo de validade dessa solucao estende-se dos dois
lados do porno inicial enquanto a funcao permanecer cliferenciavel. Da figura. vemos que o inter valo termina
quando encontramos pontos onde a tangente e vertical. Segue da equacdo diferencial (22) que esses pontos
correspondem a 4 + y' = 0, ou y = (-4) 1.3 -= -1,5874. Da Eq. (24), os valores correspondentes de x sa g x ±
3,3488. Esses pontos est5o marcados na Figura 2.2.3.
+ y 3 ). A curva mais grossa corresponde a soluciio con-
FIGURA 2.2.3 Curvas integrais para y' = (4x
tend° o porno (0, 1).
Now 1: Algumas vezes uma equacao da forma (2),
(Iv
= f(x,y)
tern uma solucão constante y = yo. Em geral, tal solucäo é Neil de encontrar porque, se f (x,y0) = 0 para
algum valor de yo e para todo x, entR) a funciio constante y = yo é soltic5o da eqUacdo diferencial (2). Por
exemplo, a equacäo
dy (y - 3) cosx
dx -
1 + 2y2
(25)
tern a soluc5o constante y = 3. Outras solucaes dessa equacão podem ser obtidas separando-se as variaveis e integrando-se.
36 CAPITULO Dots
Nota 2: A investigagdo de uma equacäo ni-lo linear de primeira ordem pode ser facilitada, algurnas
vezes, considerando-se tanto x quanto y como fungOes de uma terceira varizivel t. Assim,
dy
dy/dt
dx
dx/dt.
dy
F(x•y)
dx
G(x,y)'
(26)
Se a equacdo diferencial é
•
entao, comparando os numeradores e denominadores nas Eqs. (26) c (27) obtemos o sistema
dx/dt = G(x,y),
dy/dt = F(x,y).
A primcira vista pode parecer estranho que urn problema possa ser simplificado substituindo-se uma
Unica cquagao por duas, mas de fato o sistema (28) pode ser mais simples de analisar do que a Eq. (27). 0
Capri:Lilo 9 trata de sistcmas nao lineares da forma (28).
Nota 3: Nâo foi dificil, no Exempt() 2, resolver explicitamente para y cm funcTio de x. No entanto, essa
situacão e excepcional e. muitas vezes, é melhor deixar a soluc5o em forma implicita. como nos Exemplos
1 e 3. Assim, nos problems a seguir e em outras secOes onde aparecem equagOes no lineares as palavras
"resolva a equacdo diferencial a seguir" significam encontrar a solucão explicitamente se for conveniente,
mas, caso contrario, encontrar uma equacäo que defina a solucão implicitamente.
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equacdo diferencial dada.
= X 2 /y(1 + x3)
4. V = (3x2 — 1))(3 + 2y)
y ). 1 /
6. x v =
1. Y = x2 13,
(Py' + y 2 sen x 0
5. y' = (cos2 x)(cos2 2y)
7.
dy x — e-x
dx y + eY
8.
dy
x2
dx
1 + y7
Em cada um dos Problemas de 9 a 20:
Encontre a solucao do problema de valor inicial dado em forma explicita.
Desenhe o grafico da soluc5o.
(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no quill a solucao esta definida.
*4--)
v' = (1 — 2x)/y,
y(I ) = —2
= (1 — 2x)y2 ,
y(0) = —1/6
r(1) = 2
i• 2. dr/dO = r2 /8,
y(0) = 1
(V 11. xdx + ye-`dy = 0,
4'2 14. y' = .9,3 (1 + x2 ) -I12 ,
y(0) = 1
y(0) = —2
42 13. y' 2x/(y + x2y),
y(0) =
/
402, 16. y' = x(x2 1)/4y3 ,
y(2) = 0
4j•?, 15. y' = 2x/(1 + 2y),
y(0) = 1
4g2 17. y' = (3x2 — e')/ (2y — 5),
y(0) 1
42 18. y' = (e' —er)/(3 +4y),
y(yr/2) = 2r/3
2, 19. sen 2x dx + cos 3y dy = 0,
02, 20. y 2 (1 — x2 )' t2 dy = arcsen x dx, y(0) = 1
Alguns dos resultados pedidos nos Problemas de 21 a 28 podem ser obtidos resolvendo-sea equacrio dada analiticamente ou geranclo-se grAficos de aproximacaes numericas das solucaes.Tente formar uma opiniäo sobre
as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
4.'2, 21. Resolva o problema de valor inicial
y'
(1 3x2 )/(3y2 — 6y),
y(0) = 1
e determine o intervalo de validade da solucäo.
Sugestiio: Para encontrar o intervalo de validade, procure pontos onde a curva integral tern uma tangente
vertical.
22. Resolva o problema de valor inicial
— 4),
y(1) =-- 0
y'
EQUACOES DIFEKENCIAIS DE PR1MEIRA ORDEM 37
e determine o intervalo de validade da solucão.
Stigestdo • Para encontrar o intervalo de validade, procure pontos onde a curva integral tem uma tangente
vertical.
0-2, 23. Resolva o problema de valor inicial
= 2y 2 +
xy2,
y(0) = 1
e determine onde a solucäo atinge seu valor minima
Resolva o problema de valor inicial
y' = (2 — e) /o + 2y),
y(0) = 0
e determine onde a solucäo atinge seu valor maxim°.
62 25. Resolva o problema de valor inicial
y" = 2 cos 24(3 + 2y),
y(0) = —1
e determine onde a solucao atinge seu valor maxim°.
Resolva o problema de valor inicial
= 2(1 + x)(1 +y2 ),
y(0) = 0
e determine onde a solucilo atinge seu valor minim°.
4C, 27. Considere o problem de valor inicial
y' = ty(4 — y)/3.
v(0) = yn.
(a) Determine o comportamento da solucno em funcilo do valor inicial y„ quando t aumenta.
b) Suponha que y„ = 0,5. Encontre o instante T no qual a solu45o atinge, pela primeira vez, o valor 3,98.
onsidere o problema de valor inicial
y(0) = yo > 0.
= ty(4 - y)/( 1+
Determine o comportamento da solucao quando t
Sc y„ = 2, encontre o instante T no qual a soluciio atinge, pela primeira vez, o valor 3,99.
(c) Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solu45o fica no intervalo 3,99 < y < 4,01 no
instante t = 2.
29. Resolva a equacao
dv
dx
ay + b
cy+d
onde a, h,c e d sao constantes.
Equaciies Homogeneas. Sea funcãof na equaciio dy/dx = f (x, y) puder ser expressa como uma funcäo
de ylx, entao a equacdo é dita homogenea c .Tais equacOes sempre podem ser transformadas em equagOes
separaveis por uma mudanca da variAvel dependente. 0 Problema 30 ilustra como resolver equagOes homogeneas de primeira ordem.
02 30. Considere a equaciio
dy y — 4x
(i)
dx x — y
Mostre que a Eq. (i) pode ser colocada na forma
(y/x) — 4.
dy
dx — 1 — (y/x)'
logo, a Eq. (i) e homogenea.
Introduza uma nova variavel dependente
funcão de x, v c dv/dx.
de modo que v = y/x, ou y = xv(x). Expresse dy/dx em
'A palavra "homogenea" tem signilicados diferentes em contextos matematicos distintos. As equaciies homogéneas consideradas aqui nao tern nada a ver corn as equacties homogaeas que aparecerao no Capitulo 3 e em outros lugares.
3 8 CAriTuto Dols
(c) Substitua y e dyldx na Eq. (ii) pelas expressOes no item (b) envolvendo v e duldx. Mostre que a equacao diferencial resultante 6
du v — 4
v+x—
dx 1 — v
OH
(I V
V2 — 4
x =
dx
1—u
Note que a Eq. (iii) é separavel.
Resolva a Eq. (iii) obtendo u implicitamente como funcao de x.
Encontre a soluctio da Eq. (i) substituindo u por y/x na solucao encontrada no item (d).
(f) Desenhe urn campo de direcOes e algumas curvas integrais para a Eq. (i). Lembre-se de que a expressac) a direita do sinal de igualdade na Eq. (i) depende, de fato, apenas da razao ylx. Isso significa quc
as curvas integrais tern a mesma inclinacao em todos Os pontos pertencentes a uma mesma reta contendo a origem, embora essa inclinacao varie de uma reta para outra. Portanto, o campo de direcOes
e as curvas integrais sao simetricos em relacao a origem. Essa propriedade de simetria e evidente em
seus gtificos?
0 metodo esbocado no Problema 30 pode ser usado em qualquer equacao homogenea. Isto 6, a substituicao y = xv(x) transforma uma equacao homogenea em uma equacao separiivel. Essa Ultima equacao
pode ser resolvida por integracao direta e depois a subst it uicao de I , por y/x fornece a solucao da equacao
original. Em cada urn dos Problemas de 31 a 38:
(a) Mostre que a equacao dada 6 homogenea.
(h) Resolva a equacao diferencial.
(c) Desenhe urn campo de direcOes e algumas curvas integrais. Elas sao simetricas cm relacao a origem?
dv x2 + .vy + y2
x2
dx
dv 4y — 3x
33.
dx 2x — y
dy x + 3y
35.
( IX
—y
(Iv
v2
37.
+
2.vy
d'x
31.
•
3y2
dr, 32. dy = x2 -I- 3y2
dx
34 dy
dx
2xv
4v + 3y
2x + y
•%2, 36. (x2 + 3.vy + .v) dx — X 2 dX =
e.0-2, 38• dy
dx
3y2 — .v2
2xy
2.3 Modelagem corn Equasiies de Primeira Ordem
Equacoes diferenciais sao de interesse para nao maternaticos, prineipalmente por causa da possibilidade
de serem usadas para investigar uma variedade de problemas nas ciencias ffsicas, biolkicas e sociais.
Uma razAo para isso 6 quc modelos matemthicos e suas solucties levant a equagOes que relacionam as variaveis c os parametros no problem. Essas equacties permitem, muitas vezes, fazer previsOes sobre como
Os processos naturals Sc comportarao em diversas circunstancias. Muitas vezes a facil permitir a variacno
dos parametros no modelo mateMtico em urn amplo intervalo, enquanto isso poderia levar muito tempo
ou ser muito caro, se nab impossfvel, em um ambiente experimental. De qualquer modo, a modelagem
matematica e a experimentacao ou observacao sao criticamente importantes e tern pap6is um tanto cornplementares nas investigacOes eientfficas. Modelos matemilticos sac) validados comparando-se suas previsOes corn resultados experimentais. Por outro lad°, anzilises matematicas podem sugerir as direcOes mais
promissoras para exploracao experimental e podem indicar, corn boa precisao, que dados experimentais
sera() mais
Nas SecOes 1.1 e 1.2 formulamos e investigamos alguns modelos matematicos simples. Vamos comecar
recordando e expandindo algumas das conclusOes a que chegamos naquelas secties. lndependente do
campo especltico de aplicacao, existem tres passos identificaveis que estao sempre presentes na modelagem matematica.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PR1MEIRA ORDEM 39
Construcelo do Modelo. Neste estagio voce traduz a situacdo fisica em expressides matematicas, muitas vezes usando os passos listados no final da Seca° 1.1.Talvez o ponto mais critico neste estagio seja enunciar
claramente o(s) principio(s) ffsico(s) que, acredita-se, governam o processo. Por exemplo, foi observado
em algumas circunstancias que o calor passa de um corpo mais quente para um mais frio a uma taxa
proporcional a diferenca de temperaturas, que objetos se movem de acordo corn a lei do movimento de
Newton e que populaeOes isoladas de insetos crescem a uma taxa proporcional a populacdo atual. Cada
uma dessas afirmacides envolve tuna taxa de variacao (derivada) e, em consequencia, quando expressas
matematicamente levam a uma equacdo diferencial. A equacdo diferencial é um modelo matematico do
processo.
E importance compreender que as equacOes matematicas sao. quase sempre, apenas uma descried°
aproximada do processo real. Por exemplo, corpos movimentando-se a velocidades prOximas a velocidade da luz nao sdo governados pelas leis de Newton, as populacoes de insetos não crescem indefinidamente com p enunciado devido a limitacOes de comida ou de espaco, e a transferencia de calor é afetada por
outras fatores alem da diferenca de temperatura. Assim, voce deve estar sempre atento as limitacties do
modelo, de modo a sO usa-lo quando for razoavel acreditar em sua precisdo. De maneira alternativa, voce
poderia adotar o ponto de vista de que as equaciies matematicas descrevem exatamente as operacoes de urn
modelo fisico simplificado ou ideal, que foi construido (ou imaginado) de maneira a incorporar as caracteristicas mais importantes do processo real. Algumas vezes o processo de modelagem matematica envolve
a substituicao conceitual de um processo discreto por um continuo. Por exemplo, o tinnier° de elementos
em uma popular* do insetos varia em quantidades discretas; no entanto, se a populacdo for muito grande,
pode parecer razoavel considera-la como uma variavel continua e ate falar de sua derivada.
Ancilise do Modelo. Uma vez formulado matematicamente o prohlema, voce encontra, muitas vezes, o
problema de resolver equacOes diferenciais ou. se lido for possivel, descohrir tudo que for possivel sobre
as propriedades da soluedo. Pode acontecer que o prohlema matematico seja muito dificil c. nesse caso,
podem ser necessaries outras aproximacjies neste estagio clue tornem o prohlema trattivel matematicamente. Por exemplo, uma cquacao nao linear pode ser aproximada por 11111a linear. ou urn coeliciente que
varia vagarosamente pode ser substituido por uma constants. E claro clue tais aproximagöcs tamb C m tC2m
que ser exam inadas sob o pont° de vista fisico. para se ter certeza dc que o problema matematico simplificado ainda rellete as caracteristicas esscnciais do process() fisico que esta sendo investigado. Ao mesmo
tempo, um conhecimento profundo da fisica do problema pode sugcrir aproximacôes matematicas razoaveis que tornarao o problema matematico mais suscetivel a aniilises. Esse jog° entre a compreensdo
do fenOmeno fisico e o conhecimento das t6cnietis matematicas c de suas limitacOes c caracteristico da
matematica aplicada em sua inelhor forma c indispensavel na construedo de modelos mate maticos
e de sucesso para processor fisicos complicados.
Comparaccio corn Experimentos ou Observacees. Finalmente, tondo obtido a solucao (ou, pelo menos, alguma intormacao sobre ela) voce precisa interpreter essa informacdo no context() do problema. Em particular, voce sempre deve verificar se a solucao matematica parece ser fisicamente razoavel. Se possivel,
calcule os valores da soluc5o em pontos selecionados e compare-os corn valores observados experimcntalmente. Ou pergunte se o comportamento (la soluc5o depois de urn bongo period° de tempo c consistente corn as observacOes. Ou examine as solucôes correspondentes a determinados valores particulares
dos pardmetros do problema. E claro que o fato de que a solucao matematica parece ser razoavel nä°
garante que esta correta. No entanto, se as previsOes dv modelo matematico estao seriamente inconsistentes corn as ohservacoes do sistema fisico que o model° supostamente deve descrever, isso sugere que
foram cometidos erros na resolucdo do problem matematico, que o modelo matematico propriamente
dito precisa ser refinado ou que as observacOes devem ser feitas corn mais cuidado.
Os exemplos nesta seed° sdo tipicos de aplicaciies nas quaffs aparecem equacOes diferenciais de primeira ordem.
EXEMPLO
Mistura
No instante t = 0 urn tanque contin Q„ libras de sal clissolvidos em 100 ga p es de agua; veja a Figura 2.3.1.
Suponha que esta entrando no tanque, a uma taxa de r galOes por minuto, iigua contend° 'A de libra de sal por
galdo' c que a mistura bem mexida esta saindo do tanque a mesma taxa. Escreva o problema de valor inicial
que descreve esse fluxo. Encontre a quantidade de sal Q(t) no tanque em qualquer instante t e encontre, tam'Lima libra e da ordem de 435,5 gramas e um galäo americano corresponde a 3,785 litros, de modo que essa taxa corresponde
a aproximadamentc 0,3 gIL. (N.T.)
40 CAPITULO Dols
bem, a quantidade limite Q, presente apOs um period() de tempo bem longo. Se r = 3 e Q„ = 2Q,, encontre o
instante T apOs o qual o nfvel de sal esta a 2% de QL . Encontre, tambem, a taxa de fluxo necessaria para que o
valor de T näo seja maior do que 45 minutos.
r gal/min, -17. lb/gal
FIGURA 2.3.1 0 tanque de agua do Exempt() I.
Vamos supor que o sal nao 6 criado nem destruido no tanquc. Portant°, as variacOes na quantidade de sal
sac) devidas somente aos fluxos de entrada e de saida do tanque. Mais precisamente, a taxa de variacao de sal
no tanque, dQ/dt, e igual a taxa segundo a qual o sal esta entrando menos a taxa segundo a qua! etc esta saindo.
Em simholos,
dQ
7 = taxa de entrada - taxa de saida.
11
A taxa de cntrada de sal no tanque e a concentrac5o 3 lb/gal (libra por gal/to) vezes a taxa de fluxo r gal/min
(galoes por minuto), ou (r/4) lb/min. Para eneontrar a taxa segundo a qual o sal deixa o tanque precisamos
mutt iplicar a concentrac5o de sal no tanque pela taxa de Iluxo, r gal/min. Como as taxas de Iluxo de saida e de
entrada s5o iguais, o volume de agua no tanquc permanece constante e igual a 100 gal: como a mistura esta
"hem mexida", a concentrac5o e uniforme no unique, a saber. [Q(t)/100I lb/gal. Portanto. a taxa de saida do sal
no ta nq ue C.! [I-Q(0/100j lb/min. Logo, a equacilo diferencial que governa esse processo
(/(2
r
dt - 4
rQ
100 •
A condic5o inicial
Q( 0 ) = Qu.
(3)
Pensando no prohlema lisicamente, poderiamos antecipar que em alguma hora a mistura original serd essencialmente substitufda pela mistura que esta entrando, cuja concentracilo e i lb/gal. Em consequencia, poderiamos esperar que a quantidade de sal no tanque finalmente devesse ficar hem prOxima de 25 lb. Tambem
podemos encontrar a quantidade limite (2 1. = 25 fazendo dQldt igual a zero na Eq. (2) e resolvendo a equaczio
al g,ebrica resultante para Q.
Para resolver o prohlema de valor inicial (2), (3) analiticamente, note que a Eq. (2) e Canto linear quanto
separavel. Colocando-a na forma-padrao para uma equaciio linear, temos
dQ
dt
rQ
r
100
4
(4)
Assim, o fator integrante é e'""E e a solucfio geral
Q(t) = 25 +ce-rrim°,
(5)
onde c 8 uma constante arbi traria. Para satisfazer a condicâo inicial (3) precisamos escolher c = Q0 -25. Portanto, a solue5o do problema de valor inicial (2), (3) C
nitoo ,(6)
Q(t) = 25 + (Q 0 - 25)eou
Q(t) = 25(1 -
+ Qoe-r""
(7)
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 41
Da Eq. (6) ou da (7) voce pode ver que Q(I) —> 25 (lb) quando
x, de modo que o valor 'Unite Q é 25,
conlirmando nossa intuicao fisica. Alem disso. Q(t) se aproxima desse limite mais rapidamente quando r aumenta. Ao interpretar a solucao (7), note que a segunda parcela a dircita do sinal de igualdade é a porcao do
sal original que permanece no tanque no instante t, enquanto a primeira parcela fornece a quantidade de sal
no tanque devida a acao dos fluxos. Graficos das solucOes para r = 3 c diversos valores de Q„ estao ilustrados
na Figura 2.3.2.
Q
50
40
30
20
10
20
40
60
80
100
FIGURA 2.3.2 SolucOes do problem de valor inicial (2). (3) para r = 3 e diversos valores de Q„.
Suponha agora que r = 3 e Q„ = 2Q1. = 50: entao a Eq. (6) flea
Q(/) = 25 + 25e - ".""
(8)
Como 2% de 25 e 0,5, queremos encontrar o instante T no qual (2(t) tem o valor 25,5. Fazendo t= TeQ= 25,5
tut Eq. (8) e resolvendo para T, obtentos
T = (In 50)/0,03
130.4 (min).
(9)
Para determinar r de modo que 7 = 45. vamos voltar a Eq. (6). fazer t = 45. (),) = 50, Q(t) = 25,5 e resolver
para r. 0 resultado
r = (100/45) In 50 1=_." 8,69 gal/min.
(10)
Como esse exemplo é hipotctico, a validade do modelo nao esta em cliscussao. Se as taxas de fluxo sao como
enunciadas e Sc a concentracao de sal no tanque e uniforme, entao a equacao diferencial (I) 6 uma descricao
precisa do process() de flux(). Embora esse exemplo particular nao tenha signiticado especial, modelos desse
tipo sao usados muitas vezes em problemas envolvendo poluentes cm urn lago ou urn remedio em urn Orgao
do corpo, por exemplo, em vez de um tanque corn aqua salgada. Nesses casos, as taxas de fluxo podem nao ser
faceis de determinar ou podem variar corn o tempo. De maneira semelhante, a concentracao pode estar longe
de ser uniforme em alguns casos. Finalmente, as taxas dc fluxo de entrada e de salda podem ser diferentes. 0 que
significa que a variacao de liquid() no problema tambem tem que ser levada em consideracao.
EXEMPLO
2
Juros
Compostos
Suponha que é depositada uma quantia em dinheiro em um banco que paga juros a uma taxa anual r. 0 valor
S(t) do investimento em qualquer instante t depende tanto da frequencia de capitalizacao dos juros quanto da
taxa de juros. As instituicaes financeiras tern politicas variadas em relaclio a capitalizacao: em algumas a capitalizacao c mensal, em outras é seminal e algumas ate capitalizam diariamente. Se supusermos que a capitalizacao é fcita contimiamente, podemos montar um problema de valor inicial simples que descreve o crescimento
do investimento.
A taxa de variacao do valor do investimento 6 dSldt,e essa quantidade 6 igual a taxa segundo a qual os juros
Entao,
acumulam, que c a taxa de juros r vezes o valor atual do investimento
dS/dt = rS
(11)
t: a equacao diferencial que governa o processo. Suponha que sabemos tambem o valor do investimento em
algum instante particular, digamos
CAPITULO
Dols
(12)
S(0) = So.
Entäo a solucâo do problema de valor inicial (11). (12) fornece o saldo total S(t) na conta em qualquer instante
t. Esse problema de valor inicial pode ser resolvido facilmente, ja que a equacao diferencial (11) a linear e separavel. Logo, resolvendo as Eqs. (11) e (12), encontramos
(13)
S(t) = Soe".
Portanto, uma conta bancaria com juros capitalizados continuamente cresce exponencialmente.
Vamos agora comparar os resultados desse modelo continuo corn a situacdo em que a capitalizacão acontecc cm intervalos linitos de tempo. Se os juros sao capitalizados uma vez por ano, depois de t anos
S(t) = So(1 + r)(
Se os juros sdo capitalizados duns vezes por ano, ao final de seis meses o valor do investimento é S„ [ 1 + (r12)], e
ao final do primeiro ano 6 S41 + (r/2)1 1. Entao, depois de t anos temos
)2,
S(r)
=
So
(1
+
r—
2.
Em geral, se os juros sac) capitalizados nt vezes por ano, ent5o
rn
S(t) So (1 + i—
(14)
A relacao entre as fOrmulas (13) e (14) fica mais clara se lembrarmos do calculo que
) mt
lim So (I + —
= Soe".
in
0 mesmo modelo tainb6m pode ser aplicado a investimentos mais gerais, onde podem ser acumulados dividendos e ganhos de capital. al6m dos juros. Em reconhecimento desse fato, vamos nos referir a r como sendo
a taxa dc retorno.
A Tabela 2.3.1 mostra o efeito da mudanca na frequ6ncia da capitalizacao para uma taxa dc retorno r de 8%.
As segunda e terceira colunas foram calculadas da Eq. (14) para capitalizacdo trimestral e diaria, respectivamente, enquanto a quanta coluna foi calculada da Eq. (13) para capitalizacao continua. Os resultados mostram
que a frequi..'.ncia de capitaliza0o sao 6 tiio importante na maioria dos casos. Por exemplo, durante um period°
de 10 anos a diferenca entre capitaliza00 trimestral e di,iria é de R$17,50 por R$1.000,00 investidos, ou menos de R$2,00 por ano. A diferenca seria um pouco major para taxas de retorno maiores e menor para taxas
menores. Da prirneira linha na tabela, vemos que para um taxa de retorno de 8% o rendimento anual corn
capitalizac5o trimestral 6 de 8,24%, e corn capitalizacão diiiria ou continua 6 de 8,33%.
TABELA 2.3.1 Crescimento de Capital para uma Taxa de
Retomo r = 8% para Diversos Tipos de Capitalizac5o
S(t)IS(to)da Eq. (14)
S(t)/S(to)
Anos
=4
m = 365
da Eq. (13)
I
2
5
10
20
30
40
1,0824
1,1717
1,4859
2,2080
4,8754
10,7652
23,7699
1,0833
1,1735
1,4918
2,2253
4,9522
11,0203
24,5239
1,0833
1,1735
1,4918
2,2255
4,9530
11,0232
24,5325
Retornando ao caso de capitalizacrto continua, vamos supor que podem existir depOsitos ou retiradas, alern
do actimulo de juros, dividendos ou ganhos de capital. Sc supusermos que os depOsitos ou retiradas ocorrem a
uma taxa constante k, entao a Eq. (11) e substituida por
dSldt = rS k,
ou, em forma-padrilo,
dSldt — rS = k,
onde k 6 positivo para depOsitos e negativo para retiradas.
A Eq. (15) 6 linear com fator integrantc e-", de modo que sua solucao geral
(15)
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
S(t) = cen — (k/r),
onde c é uma constante arbitraria. Para satisfazer a condicao inicial (12), precisamos escolher c = So + (k/r).
Logo, a solue5o do problema de valor inicial (15), (12) 6
S(t) = So" + (k1r)(e" — 1).
(16)
A primeira parcela na expressäo (16) é a parte devida a acumulacäo de retornos na quantidade inicial S, e a
segunda parcela é a parte referente a deptisitos ou retiradas a ulna taxa k.
A vantagem de enunciar o problema desse modo geral. sem valores especificos para S„,r ou k, t: a generalidade da formula resultante (16) para S(t). Corn essa fOrmula. podemos imediatamente comparar resultados de
diferentes programas de investimento ou taxas de retorno diferentes.
Por exemplo, suponha que alguem abre uma conta para um piano de previdencia privada (PPP) aos 25
anos corn investimentos anuais de R$2.000.00 continuamente. Supondo uma taxa de retorno de 8%, qual sera
o saldo no PPP aos 65 anos? Temos S„ = 0, r = 0,08, k = RS2.000,00 e queremos determinar S(40). Da Eq. (16),
temos
5(40) = (25.000)(e 3-2 — 1) = R$588.313,00.
(17)
E interessante notar que a quantidade total investida 6 R$80.000,00, de modo que a quantia restante de
R$508.313,00 resulta do retorno acumulado do investimento. 0 saldo depois de 40 anos tambem é bastante
sensfvel a taxa. Por exemplo, S(40) = R$508.948,00 se r = 0,075 e S(40) = R$681.508,00 se r = 0,085.
Vamos examinar as hipOteses que foram usadas no modelo. Primeiro, supusemos que o retorno e capitalizado continuamente e que o capital adicional e invcstido continuamente. Nenhuma dessas hiptiteses é verdadeira
em uma situagOo financeira real. Tambem supusemos que a taxa de retorno r c constante por todo o period()
cnvolvido, quando, de fato, ela provavelmente flutuara bastante. Emhora n5o possamos prever taxas futuras
corn confianca, podemos usar a expressao (16) para determinar o efeito aproximado de projecOes de taxas diferentes. Tambem 6 possfvel considerar r c k na Eq. (15) como funcOes de t, em vez de constantes: nesse caso.
ciaro que a solucao pode ser muito mais complicada do que a Eq. (16).
0 problema de valor inicial (15). (12) e a soluc5o (16) tambem podem ser usadas para analisar diversas
outras situacites financeiras, incluindo financiamentos para a casa pr(Spria, hipotecas c linanciamentos para a
compra de carros.
EXEMPLO
3
Produtos
Oufmicos em
uma Lagoa
Considere tuna lagoa que contemn, inicialmente, 10 'ninnies de galOes de agua fresca. A agua de urn rio contendo
um produto quimico indesejavel Ilui para a lagoa a uma taxa de 5 milhOes de galOes por ano, e a mistura sai
da lagoa atraves de um canal a mesma taxa. A concentracao y(t) do produto quimico na agua que entra varia
periodicamente corn o tempo t de acordo corn a express50 y(t) = 2 + sen(2t) g/gal (grams por galao). Construa
urn model() maternatico desse fluxo e determine a quantidade de produto quimico na lagoa em qualquer instame. Desenhe o graft° da soluca) e descreva em palavras o efeito da variac5o na concentracao da agua que
entra na lagoa.
Como Os fluxos de entrada e de saida de agua sao iguais, a quantidade de agua na lagoa permanece constante, corn 10 - galoes. Vamos denotar o tempo por t. medido em anon, e a massa do produto quimico por Q(t),
medida em gramas. Este exemplo 6 semelhante ao Exemplo 1,e o mesmo principio de entrada/saida pode ser
aplicado. Assim.
dQ
(It
taxa de entrada — taxa de saida,
onde "taxa de entrada" e "taxa de saida" referem-se as taxas segundo as quais o produto quimico flui para dentro e para fora da lagoa, respectivamente. A taxa segundo a qual o produto quimico entra na lagoa é dada por
taxa de entrada = (5 x 10 6 ) gal/ano(2 + sen 21) g/gal.
(18)
A concentracao de produto quimico na lagoa 6 de Q(t)/10' g/gal, de modo que a taxa de saida
taxa de saida = (5 x 106 ) gal/ano fQ(t)/107 ) g/gal = Q(t)/2 g/ano.
(19)
Obtemos, entiio, a equagOo diferencial
(IQ
= (5 x 10 )(2 + sen 2t) —
Q(t)
(20)
onde cada termo tern unidades de g/ano.
Para tornar os coeficicntes mais facilmente administraveis, a conveniente introduzir uma nova variavel dependente delinida por q(t) = Q(t)/10^ ou Q(I) = 106q(t). Isso significa que q(t) 6 medida em millnies de grama,
ou megagramas (toneladas). Se fizermos essa substituicao na Eq. (20), ent5o cada termo content o fator 10P,
quc pode ser cancelado. Se tambem transpusermos o termo envoivendo q(t) para o lado esquerdo do sinal de
CAPITULO Dols
igualdade, temos, finalmente,
(1q
dt
t
2
= 1 0 ± 5 sen 2t.
(21)
Originalmente nao havia produto quimico na lagoa. de modo que a condicao inicial
(22)
q(0) = 0.
A Eq. (21) é linear e, embora a expressao a direita do sinal de igualdade seja uma funcao de t, o coeficiente
de q é constante. Logo, o fator integrante é e' r2. Multiplicando a Eq. (21) por esse fator c integrando a equacao
resultante, obtemos a solucao geral
q(t) 20 - V cos 2t + 4 sen 2t + ce-`12
(23)
A condicao inicial (22) obriga c = -300/17, de modo que a solucao do problema de valor inicial (21). (22) é
q(t) = 20 -
(24)
cos 2t + sen 2t - ,14.° C1/2
A Figura 2.3.3 mostra urn grafico da solucao (24), junto corn a reta q = 20. 0 termo exponencial na solucao
importante para valores pequenos de t, mas diminui rapidamente quanclo t aumenta. Mais tarde, a solucao vai
consistir em uma oscilacao,devido aos termos sen(2t) e cos(2t),em torno do nivel constante q = 20. Note que se
o termo sen(2t) nä° estivesse presente na Eq. (21). entao q = 20 seria a solucao de equilibrio daquela equacao.
q
22
20
18
16
14
12
10
8
4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 t
FIGURA 2.3.3 Solucäo do problema de valor inicial (21), (22).
Vamos considerar, agora, o quao adequado e o modelo matematico para esse problema. 0 modelo baseiase em diversas hipOteses que ainda nao foram enunciadas explicitamente. Em primeiro lugar, a quantidade de
rigua na lagoa é inteiramente controlada pelas taxas de entrada e safda---nada se perde por evaporaciio ou por
absorcao pelo solo, e nada se ganha corn a chuva. 0 mesmo e verdade do produto quimico; ele entr y e sai da
lagoa. mas nada e absorvido por peixes ou outros organismos que vivem na lagoa. Alem disso, supusemos que
a concentracao do produto quimico 6 uniforme em toda a lagoa. Se os resultados obtidos corn esse modelo
precisos ou nab vai depender fortemente da validade dessas hipOteses simpliticadoras.
EXEMPLO
4
Velocidade
de Escape
Um corpo de massa constante nz é projetado da Terra em uma direcao perpendicular a superficie da Terra corn
Supondo que nao ha resistencia do ar, mas levando em consideracao a variacao do
uma velocidade inicial
campo gravitacional da terra corn a distancia, encontre uma expressao para a velocidade durante o movimento
resultante. Encontre, tambat, a velocidade inicial necessaria para levantar 0 corpo ate uma altitude maxima 4
acima da superficie da Terra e encontre a menor velocidade inicial para a qual o corpo nao retornara a superficie; esta Ultima é a velocidade de escape.
Coloquc o semicixo positive dos x apontando para fora do centro da Terra ao longo da linha de movirnento,
corn x 0 correspondcndo a superficie da Terra; veja a Figura 2.3.4. A figura esta desenhada horizontalmente
para lembrar voce de clue a gravidade esta direcionada para o centro da terra, que nao 6 necessariamente para
baixo se olhado de tuna perspectiva de longe da superficie da Terra. A forca gravitacional agindo no corpo (isto
é, seu peso) 6 inversamente proporcional ao quadrado da distancia do centro da Terra e é dada por w(x) = -k/
(.v + R) 2 , onde k e uma constante, R é o raio da Terra e o sinal de menos significa que w(x) esta orientada no
sentido negativo do eixo dos x. Sabemos que na superficie da Terra w(0) 6 dada por -mg, onde g é a aceleracao
devida a gravidade no nivel do mar. Portanto k = IngR2 e
w(x) =
nzgR2
(R + x)2
(25)
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIFtA ORDEM
45
nzgR 2
(R + x)2
In
x
FIGURA 2.3.4 Um corpo no campo gravitacional da Terra.
Como nao ha outras forcas agindo sobre o corpo, a equacao de movimento
dc
nzgR2
—
(R + x)2
dt
e a condicao inicial e
v(0) = v„.
Infelizmente. a Eq. (26) envolve variaveis demais, iii que depende de t, x e v. Para consertar essa situacao
vamos eliminar t da Eq. (26) pensando em .v, em vez de t. como a variavel independente. Entao, podemos expressar duldt cm funcao de (kith pela regra da cadeia; portant°,
dz.
=
(II
dx
(Ix dt
dt(
(Ix
e a Eq. (26) é substitufcla por
dv = gR2
(R + .r1 2 •
dx
A Eq. (28) e separavel, mas nao linear, de modo que, separando as variaveis e integrando, obtemos
i.2
2
R+x
+ c.
Como .v = 0 quando t = 0, a condicao inicial (27) em t = 0 pode ser substituida pela condicao v = v„ quando x =
0. Logo c = (v,i/2)—gR e
2gR2
= fv,, — 2gR +
R+x
.
(30)
Note que a Eq. (30) fornece a velocidade como fun(*) da altitude, em vez do tempo. Deve-se escolher o sinal
de mail se o Corp() esta subindo e o sinal de menus se esta caindo.
Para determinar a altitude maxima que o corpo alcanca, fazemos u = 0 e x = na Eq. (30), e depois resolvemos para obtendo
=
Resolvendo a Eq. (31) para
a saber,
2gR —
,•
(
(31)
encontramos a velocidade inicial necessaria para levantar o corpo ate a altitude
v„ =2gRR +
(32)
A velocidade de escape v,. é encontrada, entao, fazendo --n x. Logo,
=
(33)
0 valor numeric() de v,.t: aproximadamente 6,9 mils (milhas por segundo), ou 11,1 knits.
0 calculo precedente da velocidade de escape nao lev y em consideracao o efeito da resisténcia do ar, de
modo que a velocidade de escape real (incluindo o efeito da resisténcia du ar) é um pouco major. Por outro
lado, a velocidade de escape efetiva pode ser significativamente reduzida se o corpo for transportado a uma
altura considerdvel acima do nivel do mar antes de ser lancado. Ambas as forcas, gravitacional e de atrito, sac)
reduzidas: a resisténcia do ar, em particular, diminui muito rapidamente corn o aumento da altitude. Vocé deve
ter em mente, tambem, que pode muito bem ser impraticavel dar uma velocidade inicial instantaneamente
muito grande; veiculos espaciais, por exemplo, recebem sua aceleracao inicial durante alguns minutos.
.
46 CAPITULO DOTS
Considere um tanque usado em determinados experimentos em hiclrodinamica. Depois de urn experimento, o tanque contem 200 litros de uma solucAo de tinta corn uma concentracao de 1 grama por litro.
Para preparar o tanque para o prOximo experiment°, ele é lavado com agua fresca fluindo a uma taxa de
2 litros por minuto, e a solucão hem misturada flui para fora a mesma taxa. Encontre o tempo gasto ate a
concentracao de tinta no tanque atingir I% de seu valor original.
Um tanque contem inicialmente 120 litros de agua pura. Uma mistura contendo uma concentracao de y
gramas por litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto, e a mistura bem mexida sai do
tanque a mesma taxa. Encontre tuna expressdo para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t
em termos de y. Encontre, tambem, a quantidade limite de sal no tanque quando
x.
Um tanque contem inicialmente 100 galOes de agua fresca.Joga-se,entAo,agua contendo .1. 1ibra de sal por
galao a uma taxa de 2 galOes por minuto e permite-se que a mistura saia do tanque a mesma taxa. ApOs
10 minutos, para-se o processo e joga-se agua fresca no tanque a uma taxa de 2 galOes por minuto, corn a
mistura deixando o tanque, novamente, a mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque ao final de
10 minutos adicionais.
Um tanque, corn capacidade de 500 galoes, content originalmente 200 galoes de agua com uma solucdo
de 100 libras de sal. Esta entrando no tanque, a uma taxa de 3 galOes por minuto, agua contendo 1 libra
de sal por galdo. e permite-se que a mistura saia do tanque a until taxa de 2 galOes por minuto. Encontre
a quantidade de sal no tanque em qualquer instante antes do moment° em que a solucdo comeca a transbordar. Encontre a concentracao de sal (em libras por galdo) no tanque no instante em que vai comecar a
transhordar. Compare essa concentracao corn a concentracao-limite teOrica se o tanque tivesse capacidade
intinita.
•0 5. 1.1m tanque content 100 galOes de agua e 50 micas' de sal. Agua contendo tuna concentracao de sal de (1)
♦
[1 + (;)sent] oncas por galAo entra no tanque a uma taxa de 2 galOes por minuto, e a mistura sai du tanque
a mesma taxa.
Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante.
Desenhe o grafico da solucAo por um period° de tempo longo o suficientc para que voce veja o cornportamento final do grafico.
(c) 0 comportment° da solucdo para periodos longos de tempo ci urna oscilacão em tot-no de urn nivel
constante. Qual t:t esse nivel? E qual e a amplitude da oscilacdo?
Suponha que um tanque contend° um determinado liquiclo tern urna saida pet-to do fundo. Seja 11(1) a
diz que a velocidade
altura da superficie do liquid() acima da saida no instante 1. 0 principio de
v do Iluxo na saida e igual a velocidade de unta particula em queda livre (sem atrito) caindo da altura h.
(a) Mostre que v = 2gh, onde g c a aceleraciio da gravidade.
(h) Igualando a taxa de saida it taxa de variacao de liquido no tanque, mostre que h(t) satisfaz a equacao
dh
A(h), = —aal2g11.
(i)
PROBLEMAS
at
onde A(h) C. a area da seciio reta do tanque na altura heaéa area da saida. A constante a é um coeticiente
de contracdo responsavel pelo fato observado de que a secäo reta do fluxo (suave) de saida e menor do
que a. 0 valor de a para a agua e cerca de 0,6.
(c) Considcre um tanque de agua em forma de urn cilindro circular reto 3 in (metros) acirna da saida. 0
raio do tanque (L. 1 in e o raio da saida circular e 0,1 in. Se o tanque esta inicialmente cheio de agua,
determine quanto tempo vai levar para esvaziar o tanque ate o nivel da saida.
Suponha que determinada quantia S„ esta investida a uma taxa anual de retorno r capitalizada continuamente.
Encontre o tempo T necessario para a soma original dobrar de valor em funcao de r.
Determine T se r = 7%.
(c) Encontre a taxa de retorno que precisa scr alcancada se o investimento inicial deve dobrar em 8
anos.
8. Uma pessoa jovern, sem capital inicial. investe k reais por ano a ulna taxa anual de retorno r. Suponha que
os investimentos sao feitos continuamente e que o retorno e capitalizado continuamente.
(a) Determine a quantia S(t) acumulada em qualquer instante t.
'Uma °riga tern aproximadamente 28 gramas, de modo que 50 micas tern aproximadamente 1417g. (N.T.)
? Evangelista Torricelli (1608-1647), sucessor de Galilcu como matemAtico da cone em Floret-tea, puhlicou esse resultado em
1644. Ele tambem 6 conhecido por ter construldo 0 primeiro barOmetro de merctirio e por contribuicOes importantes em
geometria.
EQUACOES DIFIRENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 47
(h) Se r = 7,5%, determine k de modo que 1 milhao de reais esteja disponfvel para a aposentadoria em 40
anos.
(c) Se k = R$ 2.000,00 por ano, determine qua( deve ser a taxa de retorno r para se ter 1 milhdo de reais
em 40 anos.
Urn determinado universitario pode um emprestimo de R$8.000,00 para comprar urn carro. A financeira
cobra juros de 10% ao ano. Supondo que os juros sao capitalizados continuamente e que os pagamentos
sâo feitos continuamente a uma taxa anual constante k, determine a taxa de pagamento necessaria para
guitar o emprestimo em 3 anos. Determine, tambem,quanto é pago de juros durante esses 3 anos.
0 comprador de uma casa nit. ° pode gastar mais de R$ 800,00 por mes pelo scu financiamento. Suponha
que a taxa de juros e de 9% ao ano e que o financiamento é em 20 anos. Suponha que os juros siio capitalizados continuamente e que os pagamentos [anthem sao feitos continuamente.
Determine a quantia maxima que esse comprador pode financiar.
Determine os juros totals pagos durante o financiamento.
11. Urn recem-formado pegou emprestados R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 9% ao ano para comprar
urn apartamento. Prevendo constantes aumentos de saldrio, ele espera pagar a uma taxa mensal de
800(1 + 1/120), onde t e o n timer() de meses desde o Mick) do emprestimo.
Supondo que o programa de pagamento pode ser mantido. quando o emprestimo estara quitado?
Supondo o mesmo programa de pagamento. qua( deve ser a quantia emprestada para que seja paga
em exatamente 20 anos'?
12. lima ferramenta importante em pesquisa arqueolOgica e a datacao por carhono radioativo, desenvolvida
polo quimico americano Willard F. Libby'. Esse e um mein para determinar a idade de determinados resfduos de madeira e plantas, portanto de ossos de animals ou homens, ou artefatos encontrados enterrados
nos mesmos niveis. A datacao por carbon() radioativo haseia-se no fato de que alguns restos de madeira
ou plantas content quantidades residuals de carbono-14, um isOtopo radioativo do carbono. Esse isOtopo
se acumula durante a vida da planta e comeo a decair na sua morte. Como a mcia-vida do carbono-14
6 longa (aproximadamente 5730 anos'), quantidades mensuraveis de carhono-14 permanecem depois de
muitos milhares de anus. Se mesmo ulna traciio minima da quantidade original de carbono-14 ainda esta
presente. ent5o, atraves de medidas apropriadas em laboratOrio pode-se determinar corn precisiio a propor •ilo da quantidade original de carhono- 14 que permanece. Em outras palavras, se Q(t) é a quantidade
de carbono-14 no instance t e (2„ 6 a quantidade original, entao a razao Q(t)/Q„ pode ser determinada.
pelo menos se essa quantidade nao for pequena demais. Tecnicas atuais de medida permitem o use dense
metodo por periodos de tempo de 50.000 anus ou mais.
(a) Supondo que Q satisfaz a equaciio diferencial Q' = -r(), determine a constante de decaimento r para
o carbono-14.
(h) Encont re uma expressao para Q(t) em qualquer instante t se Q(0) = Q.
(c) Suponha que determinados restos foram descohertos nos quais a quantidade residual atual de carbono-14 e de 20% da quantidadc original. Determine a idade desses restos.
A populacao de mosquitos em determinada area aumenta a uma taxa proporcional a populac:io atual e.
na ausencia de outras fatores, a populacao dobra a cada semana. Inicialmente ha 200.000 mosquitos na
area e predadores (passaros, rnorcegos, etc.) comem 20.000 mosquitos por dia. Determine a populacao de
mosquitos na area em qualquer instante t.
Suponha que determinada populaciio tem uma taxa de crescimento que varia corn o tempo e que essa
populacäo satisfaz a equacao diferencial
tlyldt = (0.5 + sent)v/5.
Se y(0) = 1, encontre (ou estime) o instante r no qua( a populacth) dohrou. Escollia outras condicOes
iniciais e determine se o tempo de duplicacAo r depende da populaca'o inicial.
Suponha que a taxa de crescimento e substituida pelo seu valor medio 1/10. Determine o tempo de
duplicaciio r neste caso.
Suponha que o termo sen t na equac5o diferencial e substituido por sen(27rt); ou seja, a variacdo na
taxa de crescimento tern tuna frequencia substancialmente mais alta. Que efeito isso tern no tempo de
duplicacäo r?
Faca o grafico das solucties obtidas nos itens (a), (b) e (c) em urn Unico conjunct) de cixos.
'Willard F. Libby (1908-1980) nasceu na zona rural do estado de Colorado, nos Estados Unidos, e recebeu sua educacdo na
Universidade da California em Berkeley. Desenvolveu o metodo de datacäo por carbon() radioativo a partir de 1947, quando
estava na Universidade de Chicago. Recebeu o Premio Nobel de quimica em 1960 por esse trabalho.
'McGraw-Hill Encyclopedia of Science and Technology (8th ed.) (New York: McGraw-Hill, 1997), Vol. 5, p. 48.
48 CAPITULO DOTS
42, 15. Suponha quc uma determinada populacäo satisfaz o problem de valor inicial
6
dy/dt = r(t)y – k,
y(0) = yo,
onde a taxa de crescimento r(t) é dada por r(t) = (1 + sent)/5 e k representa a taxa predatOria.
Suponha que k = 1/5. Rica graficos de y em funcao de t para diversos valores de y, entre 1/2 e 1.
Estime a populacäo inicial crftica y, abaixo da qual a populacao sera extinta.
Escolha outros valores de k e encontre a populacilo crftica correspondente y, para cada um deles.
Use os dados encontrados nos itens (b) e (c) para fazer o grafico de y, em funcao de k.
16. A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de urn objeto varia a uma razäo proportional
diferenca entre sua temperatura e a temperatura ambiente. Suponha que a temperatura de uma xlcara
de café obedece a Iei do resfriamento de Newton. Se o café esta a uma temperatura de 200°F quando
colocado na xlcara e 1 minuto depois esfriou e esta a 190°F em uma sala a temperatura de 70°F, determine
quando o café alcanca a temperatura de 150°F.
42, 17. 0 calor transferido de um corpo para seu ambiente por radiacao, baseado na lei de Stefan-Boltzman`,
descrito pela equacao diferencial
du
= –a(114 – 7-4 ).
(i)
(it
onde 0(t) é a temperatura absoluta do corpo no instante 1, Tea temperatura absoluta do ambiente e a é
uma constante que depende dos parAmetros fisicos do corpo. No entanto, se a for muito major do que T,
as soluceies da Eq. (i) podem ser bem aproximadas por soluceies da equacao mais simples
du
= –an
(It
02,
(ii)
Suponha quc urn corpo, a uma temperatura inicial de 2000 K. esta em um rneio a temperatura de 300 K e
que a = 2,0 x 10-12K-3/s.
Determine a temperatura do corpo em urn instante qualquer resolvendo a Eq. (ii).
Faca o grafico de a em funcão de t.
(c) Encontre o instante r no qual u(r) = 600, ou seja. o dobro da temperatura ambiente. Ate esse instante,
o erro ao se usar a Eq. (ii) para aproximar as solucOes da Eq. (i) nao é major do que 1%.
Considere uma caixa isolada termicamente (urn predio. talvez) corn temperatura interim a(t). De acordo
corn a Iei do resfriamento de Newton, a satisfaz a equacao diferencial
du
= –k[tt – T (0].
dr
(i)
onde T(t) é a temperatura do ambiente (externo). Suponha quc T(t) varia como ulna senoide; por exemplo,suponha que T(t) = + T, cos(wt).
(a) Resolva a Eq. (i) e expresse u(t) em termos de t. k. To. T, e w. Observe que parte de sua solucao tends a
zero quando t fica muito grande; essa é chamada de parte transiente. 0 restante da solucao e chamado
de estado estacionario; denote-o por S(t).
(1)) Suponha que t esta medido em horas e que co = 712, correspondendo a um period° de 24 horas para
T(t). Alem disso, sejam = 60°F, T1 = 15°F e k = 0.2/h. Desenhe graficos de S(t) e de T(t) e m funcão de
t nos mesmos eixos. A partir de seu grafico, estime a amplitude R da parte oscilatOria de S(t). Estime.
tambem. a diferenca de tempo r entre os maximos correspondentes de T(t) e de S(t).
(c) Sejam k, To, 7', e w nao especificados. Escreva a parte oscilatOria de S(t) na forma R cos[w(t – r)]. Use
identidades trigonometricas para encontrar expressOes para R e r. Suponha que T, e cu tern os valores
dados no item (b) e desenhc graficos de R e r em fun(*) de k.
Considere urn lago de volume constante V contendo. no instante t, ulna quantidade Q(t) de poluentes
distribuidos uniformemente em todo o lago coin uma concentracao c(t), onde c(t) = Q(t)/V. Suponha que
esta entrando no lago agua contendo uma concentracao k de poluentes a uma taxa r e que esta saindo agua
do lago a mesma taxa. Suponha tamb6m que sac) adicionados poluentes diretamente no lago a uma taxa
constante P. Note que as hipOteses feitas nao consideram uma serie de fatores que podem ser importantes
em alguns casos—por exemplo, a agua que e adicionada ou perdida devido a precipitacao, a absorcao ou
a evaporacao; a estratificacão em consequacia das cliferencas de temperatura em UM lago profundo; a
produca° de ()alas protegidas, por causa de irregularidades na borda; e o fato de que os poluentes nao
'A fOrmula para eonverszio de Fahrenheit para Celsius e (F – 34'9 = C/5. Ent5o 200°F 6, aproximadamente, 93°C. (RT.)
siozef Stefan (1835-1893), professor dc fisica em Viena, enunciou a lei de radiac5o empiricamente em 1879. Seu aluno Ludwig
Boltzman (1844-1906) deduziu-a teoricamente dos principios da termodinamica em 1884. Boltzman 6 mais conhecido por seu
trabalho pioneiro em meclinica estatistica.
0
EQUACOES DIFERENCLAIS DE PRIMEIRA ORDEM
49
sao depositados uniformemente em todo o lago (em geral), mas em pontos isolados em sua periferia. Os
resultados a seguir tern que ser interpretados levando em consideracao que nao foram contemplados esses
fatores.
Se a concentracao de poluentes no instante t = 0 e C. encontre uma expressao para a concentracao c(t)
em qualquer instante t. Qual a concentracao limite quando t
Se a adigao de poluentes no lago termina (k = 0 e P = 0 para t > 0). determine o intervalo de tempo T
necessario para que a concentracao de poluentes seja reduzida a 50% de seu valor original: e a 10%
de seu valor original.
(c) A Tabela 2.3.2 content dados 6 para os Grandes La g os'. Usando esses dados. determine a partir do item
(b) o tempo Tnecessario para reduzir a contaminacao desses lagos a 10% de seu valor original.
TABELA 2.3.2 Dados sobre Volume e Fluxo dos Grandes
Lagos
Lago
V (km' x 10)
r (km'/ano)
Superior
Michigan
Erie
Ontario
12,2
4,9
0,46
1,6
65.2
158
175
209
20. Uma bola corn a massa de 0,15 kg e jogada para cima corn velocidade inicial de 20 m/s do teto de urn predio
corn 30 m de altura. Nat) leve em consideragao a resistencia do ar.
Encontre a altura maxima acima do solo alcangada pela bola.
Supondo que a bola nao atinge o predio quando desee, encontre o instante em que ela bate no chilo.
(c) Desenhe Os graficos da velocidade e da posicao em fungi -to do tempo.
21. Suponha que as condiciies sao com p no Problema 20, exceto que existe uma forca devido a resistencia do
ar de 11)I/30, onde u e medida em m/s.
Encontre a altura maxima acima do solo alcancada pela bola.
Encontre o instante en) que cla hate no chao.
(c) Desenhe os graficos da velocidade e (1;1 posicao cm funcao do tempo. Compare esses graficos corn os
graficos correspondentes no Problema 20.
Suponha (Inc as condigOes silo com p no Proble ma 20, exceto que existe uma forca devido a resistencia do
ar de 01325, onde u c medida cm m/s.
(a) Encontre a altura maxima acima do solo alcangada pela bola.
(h) Encontre o instante em que Oa bate no Chao.
(c) Desenhe os graficos da velocidade e da posigao em fungao do tempo. Compare esses graficos corn os
graficos correspondentes nos Prohlemas 20 e 21.
Um paraquedista pesando 180 lb (incluindo 0 equipamento) cal erticalmente de uma altura de 5000 pes"
e abre o paraquedas depois de 10 s de queda livre. Suponha que a forca de resistencia do arc de 0,7510
quando o paraquedas esta fechado e de 1211)1 quando esta aberto. onde a velocidade t , esta em pes/s.
Encontre a velocidade do paraquedista quando o paraquedas abre.
Encontre a distancia percorrida ate o paraquedas abrir.
Qual a velocidade limiteL' L depois que o paraquedas abre?
Determine quarto tempo o paraquedista (lea no ar depois que o paraquedas abre.
(c) Desenhe o grafico da velocidade em funcao do tempo desde o in(cio da queda ate o paraquedista
atingir o solo.
24. Um trenO-foguete, corn velocidade inicial de 150 milhasih, a freado por um canal de agua. Suponha que,
onde v é a velocidade e 6
enquanto esta sendo freado, a aceleragao a do trend é dada por a(r) =
uma constante.
(a) Como no Exemplo 4 do texto, use a relacao dvldt = r(du/dx) para escrever a equacao de movimento
em termos de v e de x.
'Esse problema baseia-se no artigo "Natural Displacement of Pollution from the Great Lakes",de R. 11. Rainey,publicado em
Science /55(1967), pp.1242-1243; a informaciio na tabela foi tirada dessa fonte.
'Esses lagos ficam na fronteira entre os Estados Unidos e o Canada. (NJ.)
"Urn p6 6 da ordem de 30,5 centimetros, de modo que 5000 pes a aproximadamente 1524 m. (NJ.)
50 CAPITULO DOTS
Se for necessaria uma distancia de 2000 Os para diminuir a velocidade do trend para 15 milhas/h,
determine o valor dc it.
Encontre o tempo r necessario para diminuir a velocidade do trend para 15 milhas/h.
25. Um corpo de massa m é projetado verticalmente para cima corn uma velocidade inicial v,, em urn meio que
oferece uma resistencia klvl, onde k é constante. Nab love em consideracao variacdes na for-0 gravitacional.
Encontre a altura maxima x,,, alcancada pelo corpo e o instante t„, no qual essa altura maxima é atingida.
Mostre que, se kv,img < 1, entäo t,,, e x„, podem ser expressos come
1 (k vv 2
vo
1 kvo
±_
_.. _ ...
= _1_
g
2 mg 3 mg)
Xm =
v' [ _ __.2 kvo + 1 (kvoy — ...
3 mg 2 mg
2g
(c) Mostre que a quantidade kv„Img é -1dintensional.
26. Um corpo de massa m 6 projetado verticalmente pant cima corn uma velocidade inicial v,, em um meio que
oferece uma resistencia klvl,onde k e constante. Suponha que a atracão gravitacional da Terra 6 constante.
Encontre a velocidade v(t) do corpo cm qualquer instante t.
Use o resultado do item (a) para calcular o limite de v(t) quando k --+ 0, ou seja, quando a resistencia
tende a zero. Esse resultado é igual a velocidade de uma massa m projetada para cima corn uma velocidade inicial v„ no vacuo'?
(c) Use o resultado do item (a) para calcular o limite de v(t) quando m —> 0, isso é, quando a massa se
aproxima de zero.
27. Um corpo caindo em urn Iluido relativamente denso, Oleo, por exemplo, esta sob a acao de tres for-gas (veja
a Figura 2.3.5): uma forca de resistencia R, um empuxo B e seu peso tv devido a gravidade. 0 empuxo é
igual ao peso do fluid() deslocado pelo objeto. Para um corpo esferico de raio a se movimentando lentamente, a forca de resistencia é dada pela lei de Stokes, R = 67ricalvl, onde v é a velocidade do corpo e ti é o
coeficiente de viscosidade do fluido7.
FIGURA 2.3.5 Um corpo caindo em urn fluid() denso.
Encontre a velocidade limite de uma esfera sOlida de raio a e densidade p caindo livremente em urn
meio de densidade p' e coeficiente de viscosidade
Em 1910, R. A. Millikan" estudou o movirnento de goticulas de Oleo caindo ern um campo elarico.
Urn campo de intensidade E exerce uma forca Ee em uma goticula corn carga e. Suponha que E foi
ajustado dc modo que a goticula e mantida estacionaria (u = 0) e que w e B sao dados come acima.
Encontre uma expressao para e. Nlillikan repetiu esse experimento muitas vezes e, a partir dos dados
coletados, deduziu a carga de um eletron.
'George Gabriel Stokes (1819-1903), professor em Cambridge, foi um dos primeiros matematicos aplicados do seculo XIX.
As equagOes basicas da mecilnica dos fluidos (equactles de Navier-Stokes) sao nomeadas em parte em sua homenagem, e
urn dos teoremas fundamentals do calculo vetorial leva seu norne. Ele tambern foi um dos pioneiros na utilizacâo de series
divergentes (assintOticas), um assunto de grande interesse e importiincia hoje em dia.
"Robert A. Millikan (1868-1953) estudou na Faculdade de Oberlin e na Universidade de Columbia. Mais tarde foi professor na Universidade de Chicago e no Institute de Tecnologia da CalifOrnia. Publicou em 1910 um trabatho contendo a
determinaciio da carga do eletron. Recebeu o Prêmio Nobel em 1923 por esse trahalho e por outros estudos sobre o efeito
fotoeletrico.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
•'2, 28. Uma massa de 0,25 kg cai a partir do repouso em urn meio que oferece uma resistencia de 0,21u1, onde v
esta em m/s.
(a) Se a massa cai dc uma altura de 30 in. encontre sua velocidade ao atingir o solo.
(h) Se a massa nao pode atingir uma velocidade major do que 10 m/s, encontre a altura maxima da qual
ela pode ser largada.
(c) Suponha que a forca de resistencia é kid, onde v esta em m/s e k é constants. Se a massa cai dc uma
altura de 30 m e tern que atingir o solo corn uma velocidade menor ou igual a 10 m/s, determine o
coeficiente de resistencia k necessario.
29. Suponha que urn foguete é lancado verticalmente a partir da superficie da Terra corn velocidade inicial
vo = V2gR, onde R é o raio da Terra. Nao considers a resistencia do ar.
Encontre uma expressao para a velocidade a em funcao da distancia x da superficie da Terra.
Encontre o tempo necessario para o foguete atingir 240.000 milhas (a distancia aproximada da Terra
a Lua). Suponha que R = 4000 milhas.
02, 30. Sejam v(t) e w(t) as componentes horizontal e vertical. respectivamente. da velocidade de uma bola de
beisebol rchatida (ou lancada). Na ausencia de resistencia do ar, v e w satisfazem as equagOes
= 0,
du, Idt = —g.
Mostre que
= u cos A,
w = —gt usen A,
onde u e a velocidade escalar inicial da bola e A do angulo inicial de elevacao.
Sejam x(r) e y(t), respectivamente, as coordenadas horizontal e vertical da bola no instante 1. Se x(0)
= 0 e y(0) = h, encontre x(t) e v(t) em qualquer instante t.
Sejam g = 32 pes/s2 , u = 125 pes/s e Jr = 3 pes. Desenhe a trajelOria da bola para diversos valores do
angulo A. ou seja, faca os graticos de x(t) e y(t) parametricamente.
Suponha que o muro que delimita o campo esta a uma distancia I. e tem altura H. Encontre uma
relacno entre u e A que tern que ser satisfeita se a bola passa por cima do muro.
Suponha que L = 350 pes e H = pi!.s. Usando a relacao no item (d), encontre (ou estime a partir de
urn gratico) o intervalo de valores de A que correspondem a uma velocidade escalar inicial tt = 110
pes/s.
Para I. = 350 e Ii = 10, encontre a velocidade escalar minima u e o angulo otimo correspondente A
para o qual a bola passa por cima do mum.
31. Um modelo mais realism (do que o no Problema 30) para a trajetOria de uma bola de beisebol inclui 0
efeito da resistencia do ar. Nesse caso as equagOes de movimento sao
= —ru,
dwIdt = —g — rw,
onde r r o coeficiente de resistencia.
(a) Determine v(t) e u..(t)em terms da velocidade escalar inicial u e do angulo inicial de elevacao A.
(h) Encontre x(t) e y(t) se x(0) = 0 e y.(0) = Jr.
Desenhe as trajetOrias da bola para r 1/5, a = 125, h = 3 e para diversos valores de A. Como essas
trajetOrias diferem das do Problema 31 corn r = 0?
Supondo r = 1/5 c Jr 3, encontre a velocidade inicial minima u e o angulo Otimo correspondente A
para o qual a bola passa por cima de um muro a Unlit distancia de 350 pes corn 10 pes de altura. Compare esse resultado corn o do Problema 30(f).
32. 0 p roblema da BraquistOcrona. Urn dos problemas famosos na histOria da matematica é o problema
da braquistOcrona": encontrar tuna curva ao Longo da qual uma particula desliza sem atrito em urn tempo
minimo de urn ponto dado P ate outro ponto Q, onde o segundo ponto esta mais baixo do que o primeiro,
mas nao diretamente dehaixo (veja a Figura 2.3.6). Este problema foi proposto por Johann Bernoulli em
1696 como urn desafio para os matematicos da 6poca. Johann Bernoulli e scu irmao Jakob Bernoulli, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e o Marques de L'Elospital encontraram solucOes corretas. 0 problema da
braquistOcrona é importante no desenvolvirnento da matematica como urn dos precursores do calculo das
variacOes.
Ao resolver este problem, e conveniente colocar a origem no ponto superior P e orientar os eixos conforme ilustrado na Figura 2.3.6. 0 ponto mais baixo Q tem coordenadas (x0,0. E possfvel mostrar, entao,
que a curva de tempo minimo 6 dada por uma funcao y (1)(x) que satisfaz a equacao diferencial
9A palavra "braquistOcrona" vem das patavras gregas brachisto, que signitica a mais curta, e chronos, que signitica tempo.
52 CAPiTULO Dols
(1
+ y 2)y =
k2,
(i)
onde k2 é uma certa constante positiva a ser determinada mais tarde.
y
FIGURA 2.3.6 A braquistOcrona.
Resolva a Eq. (i) para y'. Por que é necesszirio escolher a raiz quadrada positiva?
Introduza uma nova variavel t pela relacfio
y = k 2 sent I.
Mostre que a equaciio encontrada no item (a) fica, ent5o. na forma
2k2 sent t dt = ( IL
Fazendo 0 = 2t. mostre que a soluc5o da 1:q. (iii) para a qual = 0 quando y = 0 e dada por
x = k 2 (0 — sen0)/2,
y = k 2 ( 1 — cos 0)/2.
(iv)
As EquagOes (iv) s5o equacôes param6tricas da solucâo da Eq. (i). que contem o ponto (0,0). 0 grzifico das
Eq. (iv) e chamado do cicloide.
Se fizermos ulna escolha apropriada da constante k, entdo a cicloide tambem content o ponto (x„, y„)
c 6 a soluciio do problema da braquistOcrona. Fncontre k se = 1 e y„ = 2.
2.4 Diferencas entre Equasiies Lineares e Nao Lineares
At6 agora estivemos basicamente interessados em mostrar que equagOes de primeira ordem podem ser
usadas para investigar nmitos Opus difcrentes do problemas nas ciencias naturals e em apresentar m6todos para resolver tail equacOes se forem I ineares ou separAveis. Agora estzi na hora de considerar algumas
questOes mais gerais de equagOes cliferenciais e explorar corn mais detalhes algumas diferencas importantes entre equagOes lineares e nao lineares.
Existencia e Unicidade de Solucoes. Ate agora discutimos ulna s6rie de problems de valor inicial, cada
um dos quais tinha uma soluc5o e, aparentemente, apenas ulna. Isso levanta a quest5o sobre se isso
verdade para todos Os problemas de valor inicial para equagOes de primeira ordem. Em outras palavras,
todo problema de valor inicial tem exatamente uma solu45o? Esse 6 um ponto importante ate para naomatematicos. Sc voce encontrar um problema de valor inicial ao investigar algum problema fisico, voce
pode querer saber se ele tern soluc5o antes de gastar muito tempo e esforco tentando resolve-lo. Alen
disso, se voce encontrar uma soluc5o voce pode estar interessado em saber se deve continuar a husca
por outras soluc(ies possfveis ou se pode ter certeza de que nao existent outras soluOes. Para equagOes
lineares, as respostas para essas questOes säo dadas pelo teorema fundamental a seguir.
Teorema 2.4.1
Se as funcOes p c q säo continual em um intervalo aberto 1: a < t < 13 contendo o ponto t = to, ent5o
que satisfaz a equacäo diferencial
existe uma (mica func5o y
y' +p(t)y = g(t)
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
53
para cada t em e que tambem satisfaz a condicäo inicial
y(to) = y o,
(2)
onde yo e um valor inicial arbitrario dado.
Observe que o Teorema 2.4.1 diz que o problema de valor inicial dado tem uma solucão e tambem
que o problem tem apenas tuna soltic5o. Em outras palavras, o teorema afirma tanto a existencia quanto
a unicidade da soluefio do problema de valor inicial (1), (2). Alem disso, ele diz que a solucao existe em
qualquer intervalo I contendo o ponto inicial t„ e no qual os coeficientes p e q sdo continuos. Isto e, a solucao pode ser descontinua ou deixar de existir apenas em pontos onde pelo menos uma das funcOesp ou
q e descontfnua. Frequentemente tais pontos podcm ser identificados de modo
A demonstracTto desse teorema esta parcialmente contida na discussäo na SecTto 2.1 que nos levou
formula [Eq. (32) na Seca° 2.1]
I1(t)y= I p(t)g(t)dt + c,
(3)
p(t) = exp f p(t)dt.
(4)
onde [Eq. (30) na Secito 2.11
A deduc5o dessas fOrmulas na Seca° 2.1 mostra que se a Eq. (1) tern soluc5o, entäo ela tem que ser dada
pela Eq. (3). Analisando urn pouc° melhor aquela deduc5o, tambem podemos concluir que a eqUi100
diferencial ( I ) tem que ter, de fat°. uma soluciio. Como p C.! continua para a < t < P, segue que it estti delinicla nesse interval() e e uma funcao diferencilivel que nunca se anula. NIultiplicando a Eq. (1) por p(t),
ohtemos
Ip(t)yr = /1(t)g(t).
(5)
Como tr e g sao continuas, a funciio pg e integravel e a Eq. (3) segue da Eq. (5). Alern disso, a integral de
e diferencizivel, de mod() que y dad() pela Eq. (3) existe e é diferenciavel no interval() a < t < 13. Substituindo a expressAo para v da Eq. (3) na Eq. (1) ou (5). voce pode verificar que essa expressao satisfaz a
equacCio diferencial no interval() a < t < jt. Finalmente, a condicâo inicial (2) determina a constante c unicamente, de mod() c l ue o prohlema de valor inicial sO tem uma solucao, o que completa a demonstracao.
A Eq. (4) determina o fator integrante p(t) a menos de urn fator multiplicativo clue depende do limite
inferior de integra45°. Se escolhermos esse limite como send() to, entao
p(t) = exp f p(s) ds,
(6)
e segue que /1(0 = 1. Usando o fator integrante dado pela Eq. (6) e escolhendo tambem como o limite
inferior de integracao na Eq. (3), obtemos a solucäo geral da Eq. (I) na forma
y=
1
it
(t) Cf, p(s)g(s)ds + c .
(7)
Para satisfazer a condicao inicial (2), precisamos escolher c = yo. Portant°, a solugao do problema de valor
Uncial (1),(2)
y = it(t) [fi,,
it(s)g(s) ds yo]
(8)
onde Ft(t) é dado pela Eq. (6).
Voltando nossa atencilo para equacOes diferenciais nä° lineares, precisamos substituir o Teorema 2.4.1
por um teorema mais geral, como a seguir.
Teorema 2.4.2
Suponha que as funcOes f e *ay säo continuas em algum retangulo a < t < 13, y < y < S contendo o
ponto (to,yo). Entâo, em algum intervalo to — h < t < to + h contido em a <1 < 13 existe uma Unica solucao
do problema de valor inicial
= f(f, y),
y(to)
Yo .(9)
54 C.ArtruLo Dols
Observe que as hipOteses no Teorema 2.4.2 se reduzem as do Teorema 2.4.1 se a equacão diferencial
for linear. De fato,f (t,y) = -p(t)y + g(t) e af lay = -p(t), de modo que a continuidade de f e dc of /ay é
equivalente a continuidade de p e de g nesse caso. A demonstracdo do Teorema 2.4.1 foi relativamente
simples porque se baseou na express d- o (3). que fornece a soloed° de uma equacäo linear arbitraria. Ndo
existe express d- o correspondente para a solucão da equacao diferencial em (9), de modo que a demonstractio do Teorema 2.4.2 é muito mais dificil. Ela e discuticla ate certo ponto na Seed° 2.8 e, em mais profundidade, em livros mais avancados de equagOes diferenciais.
Observamos aqui que as condicties enunciadas no Teorema 2.4.2 são suficientes para garantir a existencia de uma Unica soloed° do problema de valor inicial (9) em algum intervalo t - < t < t„+ Ir, mas elas
nä° são necessarias. Em outras palavras, a conclusão permanece verdadeira sob hipOteses ligeiramente
mais fracas sobre a funeãof. Dc fato, a existancia de uma soloed() (mas nä() sua unicidade) pode ser estabelecida supondo-se apenas a continuidade de f.
Uma consequencia geometrica importante da unicidade nos Teoremas 2.4.1 e 2.4.2 é que os grtificos de
duas solucOes nä° podem se intersectar. Caso contrario, existiriam duas softie d- es satisfazendo a condicao
inicial correspondente no ponto de intersecão, em violacão do Teorema 2.4.1 ou 2.4.2.
Vamos ver alguns exemplos.
o
EXEMPLO
Use oTeorema 2.4.1 para encontrar um intervalo no qual o problema de valor inicial
1
ty' + 2y = 4t2,
(10)
y(1) = 2
(11)
tem uma (mica soloed-0.
Colocando a Eq. (10) na forma-padrao (1), temos
y' + (2/t)y = 4t,
de modo que p(t) = 2/t e g(t) = 41. Logo, para essa equagdo g 6 continua para todo 1, enquanto p so e continua
para t < 0 ou t > 0. 0 intervalo t > 0 cont6m o ponto inicial; portanto. o Teorema 2.4.1 garante que o problema
o 0 < t < x . No.Exemplo 3 da Sec5o 2.1, vimos que a solueiio desse
(10), (11) tem uma Unica solo ão no into
pro 'Ma e valor inicial
,
t > 0.
y = t- + 7,
(12)
tSuponha agora que mudamos a condicão inicial (11) para y(-1 ) = 2. Enta- 0 o Teorema 2.4.1 afirma que existe
Unlit Unica solucao para t < 0. Como voce pode veriticar facilmente, a soluc5° 6 dada, de novo pela Eq. (12), so
que agora no intervalo -x < t < 0.
EXEMPLO
2
Aplique o Teorema 2.4.2 ao problema de valor inicial
tly 3x7 + 4x + 2
,
y(0) = -1.
(13)
2(y - 1)
Note que o Teorema 2.4.1 nao e aplicavel neste caso, ja que a equacflo diferencial nao é linear. Para aplicar o
Teorema 2.4.2, observe clue
3x2 +
2
of
3x2 + 4x + 2
f (x „v) =
(x,y) =
ay
2(y - 1) 2 •
Assim, cada uma dessas fungal- es 6 continua em toda parte, exceto na reta y = 1. Logo, podemos desenhar um
retangulo em torn() do ponto inicial (0,-1) no qual as funcOes f e of
são continuas. Portanto, o Teorema
2.4.2 garante que o problema de valor inicial tem uma Unica solucao em algum intervalo em torn() de x = 0. No
entanto, embora o retangulo possa ser esticado indefinidamentc para x positivo e negativo isso nao significa,
necessariamente, que a solucâo existe para todo x. De fato, o problema de valor inicial (13) foi resolvido no
Exemplo 2 da Seek) 2.2, e a solucäo so existe para x > -2.
Suponha que mudamos a condicão inicial para y .(0) = 1. 0 ponto inicial agora esta na reta y = 1, de modo
que nao podemos desenhar nenh urn retangulo em torn() dole no qual f e of /ay sejam continuas. Entiio o Teorema 2.4.2 nao diz nada sobre solucaes possiveis para esse problema modificado. No entanto, se separarmos as
varitiveis e integrarmos, como na Seed° 2.2, veremos que
4x
2(y - 1)
y2 2y ,= x 3 + t.2
Z. + 2x + c.
Al6m disso, se x = 0 e y = 1, entâo c = -1. Finalmente, resolvendo para y, obtemos
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
y = 1 ± VX 3
55
(14)
1r 2 + 2x.
A Eq. (14) nos da duas fur-10es que satisfazem a equagdo diferencial para x > 0 e tambem satisfazem a condicao
inicial y(0) = 1.
EXEMPLO
Considere o problema de valor inicial
= y I/3 ,
3
y(0) = 0
(15)
para t > 0. Aplique o Tcorema 2.4.2 a este problema de valor inicial e depois resolva o problema.
A fungdo f (t, y) = y" é continua em Coda a parte. mas lay nao existe quando y = 0, logo nao e continua af.
Assim, o Teorema 2.4.2 nä° pode ser aplicado a este problcma,e nao podemos tirar nenhuma conclusdo a partir
dele. No entanto, pela observagdo apOs o Teorema 2.4.2 a continuidade de f garante a existencia de solucOes,
mas nao sua unicidade.
Para compreender melhor a situagdo, vamos resolver o problema, o que é facil,ja que a equagdo é separavel.
Temos
1.-1/3dy = dt,
de modo que
C
412/3 =
y = [i(t + ()1
112
A condicdo inicial é satisfeita se c = 0. logo
y = 0 1 (1)
(it) 3t>0
(16)
satisfaz ambas as Eqs. (15). Por (itro 'ado. a fungdo
,
y = 02(t) = - ty)
2
>0
(17)
tambem e solugao do problema de valor Uncial. Alem disso, a fungdo
r>0
y = 1,/,(r)= 0,
(18)
e mais tuna solucdo. De fato, para qualquer positivo, as funcOes
{0,
y =i(l) =
se () < t < t.
,3 2
± Li ft — 1,)) .1
se t > to
(19)
sdo continual, diferenciaveis (em particular cm t = to) e sao solucOes do problema de valor inicial (15). Portant°, este problema tem uma familia intinita de solucOes: veja a Figura 2.4.1. onde estdo ilustradas algumas
dessas solucOes.
FIGURA 2.4.1 Diversas solucOes do problema de valor inicial y' y", y(0) = 0.
Como ja observamos, a falta de unicidade de solucaes do problema (15) nao contradiz o teorema de existéncia c unicidade, ja que elc nao e aplicavel se o ponto inicial pertencer ao eixo dos t. Se (ta, yo) é qualquer
ponto que nao pertence ao eixo dos t, no entanto, o teorema garante que existe uma Unica solucdo da equacdo
diferencial y' = y" que contem o ponto (to, yo).
56 CANTULO DOTS
intervalo de Definiccio. De acordo corn o Teorenia 2.4.1, a solucao de Ulna equacao linear (1)
+ P( t ) y = g(t),
sujeita a condicao inicial y(t„) yo.existe em qualquer intervalo em torno de t„ no qual as funcOesp e q sac)
contfnuas. Assim, assintotas verticais ou outras descontinuidades da solucao s6 podem ocorrer em pontos
de
descontinuidade de p ou de q. For exemplo, as solucOes no Exempt() 1 (corn uma excecao) sao assintO.
ticas ao eixo dos y, correspondendo a descontinuidade em t = 0 do coeficiente p(t) = 2/t, mas nenhuma das
solucOes tern outro ponto onde eta nao existe ou nao é diferenciavel. A solucao exceptional mostra clue as
solucOes podem permanecer continues, as vezes, mesmo em pontos de descontinuidade dos coeficientes.
Por outro lado, para urn problema de valor inicial nao linear satisfazendo as hipOteses do Teorema
2.4.2, o intervalo onde a solucao existe pode ser di fled do determinar. A solucao y = 0(t) certamente existe
enquanto o ponto [LOW] permanece em uma regiao na qual as hipOteses do Teorema 2.4.2 sao satisfeitas.
Isso e o que determina o valor de It no teorema. No entanto, como 0(t) nao é conhecida em geral, pode ser
impossfvel localizar o ponto [t,OW] em relacao a essa regiao. De qualquer modo, o intervalo de existéncia
da solucao pode nä° ter uma relacäo simples corn a funcao f na equacao diferencial y' = f(t, y). Isso esta
ilustrado no prOximo exemplo.
EXEMPLO
Resolva o problema de valor inicial
y(0) =1 .
4
(20)
e determine o intervalo no qual a solueao existe. Y2'
0 Teorema 2.4.2 garante que este problema tern uma Unica solucao, ja quef (t, v) = y2 e of /ay = 2v sao continues em toda parte. Para encontrar a solucao. separarnos as variaveis e in tegramos, corn o resultado que
y
-2 dy = dr
-1
(21)
= t + c.
Etna°, resolvendo para y, temos
Y = t+c
(22)
Para sat isfazer a condi(*) inicial. precisamos escolher c = -1, de modo que
Y= 1-t
(23)
1; portanto,
é a solucao do problema de valor inicial dado. E claro que a solucao torna-se ilimitada quando t
< r < 1. Nao h5 nenhuma indieacao na equacao diferencial propriamente
a solucao so existe no intervalo
dita, entretanto, que mostre que o ponto t = 1 é diferente de algunIzt maneira. Alem clisso, se a condicao inicial
for substituida por
Y(0) = yo,
(24)
entao a constante c na Eq. (22) tern que ser igual a c = -I/y, e segue que
Yo
(25)
vat
é a solucao do problema de valor inicial corn condicao inicial (24). Observe que a solucao (25) torna-se ilimi1/y0.de modo que o intervalo de existencia da solucao é
< t < 1/y0 se Yu > 0 e e 1/y, < t < sc
tada quando t
se yo < 0. Este exemplo ilustra outra caracterfstica de problemas de valor inicial para equagOes nä° lineares, a
saber, que as singularidades da solucao podem depender, de maneira essential, tanto da condi(*) inicial quanto
da equacilo diferencial.
Y-1
Outro aspecto no qual as equacties lineares e nao lineares diferem esta relacionado ao
conceit° de solucão geral. Para uma equacao linear de primeira ordem e possfvel obter uma solucao
contendo uma constante arbitraria, de onde podem ser obtidas todas as solucOes possfveis atribuindose valores a essa constante. Isso pode nao ocorrer para equagOes nao lineares; mesmo que seja possivel
encontrar uma solucao contendo uma constante arbitrAria, podem existir outras solucOes que nao podem
ser obtidas atribuindo-se valores a essa constante. Por exemplo, para a equacao diferencial y' = y2 no
Exempt() 4, a expressao na Eq. (22) cont6m uma constante arbitrAria, mas nao inclui todas as solucOes da
Solucao Gera!.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
57
equacao diferencial. Para mostrar isso, observe que a funcao y = 0 para todo t é, certamente, uma solucao
da equacao diferencial, mas nao pode ser obtida da Eq. (22) atrihuindo-se um valor para c. Poderfamos
prever, nesse exemplo, que algo desse tipo poderia ocorrer porque, para colocar a equacao diferencial
original na forma (21), tivemos que supor que y nao se anula. Entretanto, a existencia de solucOes -adicionais" nao é incomum para equagOes nao lineares; um excmplo menos Obvio e dado no Problema 22.
Assim, so usaremos a expressao "solucäo geral" quando discutirmos equacOes lineares.
Solucoes Implicitas. Lembre-se novamente de que, para urn problema de valor inicial para uma equacao
linear de primeira ordem, a Eq. (8) forncce uma fOrmula explicita para a solucao y = 0(0. Desde que seja
possivel encontrar as primitivas necessarias, o valor da solucao em qualquer ponto pode ser determinado
substituindo-se simplesmente o valor apropriado de t na equacao. A situacao para equacOes nao lineares é
Inuit° menos satisfatOria. Em geral, o melhor que podemos esperar é encontrar uma equacao da forma
F(t, y ) = 0
(26)
envolvendo t e y que e satisfeita pela solucao v = OW. Mesmo ism) s6 pode ser feito para equagOes de
certos tipos particulares, entre as quais as equacöes separavcis sao as mais importantes. A Eq. (26) é
chamada uma integral, ou primeira integral, da equacao diferencial, e (como ja observamos) seu graft() e uma curva integral ou. talvez, ulna familia de curvas integrais. A Eq. (26), supondo que possa ser
encontrada, define a solucao implicitamente; isto 6, para cada valor de t, precisamos resolver a Eq. (26)
para encontrar o valor correspondente de y. Se a Eq. (26) for suficientemente simples, pode ser possivel
resolve-la analiticamente para y, obtendo assim uma fOrmula explicita para a solucao. No entanto, corn
major frequencia isso nao sera possivel, e voce tern que recorrer a calculos numericos para determinar
o valor (aproximado) de y para urn valor dado de t. Cma vex calculados diversos pares de valores de t e
de v. muitas vexes 6 60 colocti-los em urn grtifico e depois esbocar a curva integral que os contem. Voce
deveria usar um computador para isso, se possivel.
Os Exemplos 2, 3 e 4 sao problemas nao lineares nos quail e fzicil encontrar uma formula explicita
para a solucao y = OW. Pot outro lado, os Exemplos I e 3 na Seca° 2.2 sao casos nos quais e melhor deixar a soluctio em forma implicita e usar metodos numericos para calculi-la para valores particulares da
variavel independents. Essa Ultima sit uzicao e mais tipica: a menos que a relacao implicita seja quadratics
em v ou tenha alguma outra forma particularmente simples, provavelmente nao sera possivel resolve-la
exatamente por metodos analiticos. De fato, corn frequCmcia é impossfvel ate encontrar uma expressäo
implicita para a solucOo de uma equacao nao linear de primeira ordem.
Construccio Grcifica ou Numerica de Curoas Integrais. Devido a diliculdade em obter solucOes analiticas
exatas de equacOes nao lineares, metodos que geram solucOes aproximadas ou outras informagOes qualitativas sobre as solucOes acaham tendo Lima importancia major. Jti descrevemos. na Seca° 1.1, como o
campo de direcOes de uma equacao diferencial pode set construido. 0 campo de direcOes pode mostrar,
muitas vexes, a forma qualitativa das solucOes. e tamb6m pode ser tail na identificacao das regiOes no
piano tY onde as solucOes exibem propriedades interessantes, que merecem uma investigacao mais detalhada, analitica ou numerica. Metodos graticos para equacties de primeira ordem sao mais discutidos
na Secao 2.5. Uma introducao a metodos de aproximactio numerica para equacees de primeira ordem é
dada na Seca° 2.7, e uma discussao mats sistemzitica de metodos numericos aparece no Capitalo 8. Entretanto, nao e necessario estudar Os algoritmos numericos propriamente ditos para usar eficazmente um
dos muitas pacotes de programas que geram e fazem graficos de aproximacOes numericas de solucties de
problemas de valor inicial.
Sumcirio. A equacao linear y' + p(t)y = g(t) tem diversas propriedades boas que podem ser resumidas
nas afirmacOes a seguir:
Supondo que os coeficientes sao continuos, existe uma solucdo geral, contendo uma constante arbitraria,
que inclui codas as solucaes da equacao diferencial. Uma solucao particular que satisfaz uma condicao
inicial dada pode ser encontrada escolhendo-se o valor apropriado para a constante
Existe uma expressao para a soluc5o, a saber, Eq. (7) ou (8). Mem disco, embora envolva dual integracOes,
em vez de implicita.
a expressäo fornece uma solucOo explicita para a solucOoy =
3. Os possiveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da solucão podem ser identificados (sem resolver o problema) simplesmente encontrando os pontos de descontinuidade dos coeficientes. Assim, se Os
coeficientes forem continuos para todo t, a solucao tambem existe e e continua para todo t.
Nenhuma das afirmacOes acima é verdadeira,em geral, para equagOes nao lineares. Embora uma equacao
nao linear possa ter uma solucão envolvendo uma constante arbitraria, tambem podem existir outras
58 CAPITULO DOTS
solucties. Nao existe fOrmula geral para soluciies de equacOes nao lineares. Se voce for capaz de integrar
uma equacao nao linear, provavelmente vai obter tuna equacao definindo soluceies implicitamente, em
vez de explicitamente. Finalmcnte, as singularidades das solucaes de equagOes nao lineares so podem ser
encontradas, em geral, resolvendo-se a equacao e examinando-se a solucao. E provavel que as singularidades dependam tanto da condicao inicial quanto da equacao diferencial.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solucäo do
problema de valor inicial dado certamente existe.
1. (t — 3)y' + (In t)y = 2t,
y(1) = 2
y(2) = 1
Cpt(t — 4)y' + y = 0,
y(7) = 0
'3 ' + (tan t)y = sent,
y.(1) = —3
— t2 )yr + 2ty = 312 ,
4. (4 — t 2 )n . "+ 2ty = 3t2 ,
6. (In Oy' y = cot t,
y( —3) = 1
y(2) = 3
Em cada urn dos Problemas de 7 a 12, diga onde, no piano ty, as hipOteses do Teorema 2.4.2 silo satisfeitas.
t—y
y = 2t + 5y
,
In Ityl
9. Y = 1 — 1 2 + y2
dy
I + t2
8. y
7.
11.
(It
—
, =.. (1 _ t 2
= ( t 2 + y2)312
10.
dv
- — (cot ny
12.
3y — y2
y2)I/2
dr
I+y
Em cada uin dos Problemas de 13 a 16, resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo
no qual a solucao existe depende do valor inicial y„.
13.
y —4t/y,
'
+
y3 = 0,
= 2tv=
Y(0) = ye
y(0) = yo
Y(0) = yo
16. V =t 2 /.1 . (1 + t 3 ),
y(0) = yo
Fm cada um dos Problemas de 17 a 20, desenhc urn campo de direcOes e desenhe (ou esboce) o graft() de
diversas soluciaes da equacao diferencial dada. Descreva como as solucaes parecem se comportar quando t
aumenta c como seus comportamentos dependem do valor inicial y„ quando t = 0.
18. y' = y(3 — ty)
402 17. y' = ty(3 — y)
•
6
I), 20. y = 1- 1 — y2
2 19. y' = —y(3 — ty)
21. Considere o problema de valor inicial V = y . ' y(0) = 0. do Exemplo 3 no texto.
Existe uma solucao que contem o ponto (1,1)? Se existe, encontre-a.
Existe uma solucao que contem o ponto (2,1)? Se existe, encontre-a.
(c) Considere todas as solucC.)es possiveis do problema de valor inicial dado. Determine o conjunto de
valores quc essas solucaes tern em t = 2.
- es do problema de valor inicial
22. (a) Veritique que ambas as funcOes y,(t) = 1 — t e y2(t) = —12/4 sao soluc O
=
--t
(1 2 + 4y)1/2
2
y(2) = —1.
Onde essas solucOes sao validas?
Explique por que a existacia de duas soluciaes para o problema dado nao contradiz a unicidade no
Teore ma 2.4.2.
Mostre que y = ct + C2. onde c e uma constante arbitrAria, satisfaz a equacao diferencial no item (a)
para t > —2c. Se c = —I, a condicão inicial tamb6m 6 satisfeita c obtemos a solucao y = y,(t). Mostre que
nao existe escolha de c que fornece a segunda solucao y = y2(t).
(a) Mostre quc 0(0 = e2`6 uma solucao de y' — 2y. = 0 c que y = 040 tambem e solucao dessa equacao para
qualquer valor da constante c.
(b) Mostre que
= lit e uma solucao de y' + y2 = 0 para t > 0, mas que y = c0(1) nth) é solucao dessa
equacao, a menos que c = 0 ou c = 1. Note que a equacao no item (h) e nao linear, enquanto a no item
(a) é linear.
Mostre quc se y =
6 uma solucao de y' + p(t)y = 0, entao y = cO(t) tambem 6 solucao para qualquer
valor da constante c.
25. Seja y = y,(t) uma solucao de
y' + p(t)y + 0,
(i)
EQUACOES DIFERENCIAIS IX PRIMEIRA ORDEM 59
e seja y = y2(t) uma solucao de
+ p(t)y = g (t)•
(ii)
Mostrc que y = y,(t) + y2 (1) tambem a solucao da Eq. (ii).
26. (a) Mostre que a solucão (7) da equac5o linear geral (1) pode ser colocada na forma
Y = cYr(t) + Y2(1),
(i)
onde c é uma constante arbitniria. Identifique as funcOes y, e y,.
Mostre que y, é uma solucao da equacdo diferencial
(ii)
P(t)y = 0,
correspondente a g(t) = 0.
Mostre que y2 6 solucao da equac5o linear geral (1). Veremos mais tarde (por exemplo, na Secao 3.5)
que solucties de equacOes lineares de ordem mais alta tem um padrao semelhante ao da Eq. (i).
Equaciies de Bernoulli. Algumas vezes e possivel resolver uma equacAo rtho linear fazendo uma mudanca da
var4ivel dependente que a transforma em uma equacao linear. 0 exemplo mais importante de tal equac5o é
da forma
p(l)), = 9(t)y",
e c chamada de equacao de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. Os Problems de 27 a 31 tratam de equagOes
desse tipo.
27. (a) Resolva a equac5o de Bernoulli quando n = 0 e n = 1.
(h) Mostre que, se ti 0 e it I ent5o a subst it uic5o t = y'-" reduz a equaciio de Bernoulli a uma equacdo
linear. Esse mOtodo de solucao foi encontrado por Leihniz em 1696.
Em cada urn dos Problcmas de 28 a 31 6 dada uma equacio de Bernoulli. Em cada caso, resolva-a usando a
substituicao mencionada no Problema 27(b).
t'y' + 2ty —
=0,
t>0
y' = ry — ky = ,r > 0 e k > 0. Esta equac5o e importante em dinfunica populacional, e 6 discut Ida em detalhes
na Seca° 2.5.
y' = ry — ay', E > 0 e a > 0. Esta equacao aparece no estudo da estahilidade do fluxo de fluidos.
dyldt = (F cost + 1)y — onde e são constantes. Esta equacao tamb6m aparece no estudo da estahili(lade do Iluxo de tluidos.
Coelicientes Descontinuos. Algumas vexes ocorrem equagOes diferenciais lincares corn uma ou ambas as funciies p e g tondo descontinuidades do tipo salto. Se to 6 tal ponto de descontinuidade, é necessario resolver a
equactio separadamente para t < t„ e para t > t„. Depois. junta-se as duas soluvies de modo que y seja continua
em t„. Isso e feito por uma escolha apropriada das constantes arbitrtirias. Os dois problemas a seguir ilustram
• essa situa45o. Note cm cada caso que 6 impossivel fazer y' continua em to.
32. Resolva o problema de valor inicial
y' + 2y = g(t).
onde
y(0)
0.
1, 0 < t < 1,
g(t) =
1 0.
t>1
33. Resolva o problem de valor inicial
+ p(t)y = 0,
y(0) = 1.
onde
P(t)
2, 0 < t < 1,
t 7 1.
1 1.
60 CAPiTULO DOTS
2.5 Equacks Autanomas e Dinamica Populacional
Uma classe importante de equagOes de primeira ordem consiste naquelas nas quais a variavel independente näo aparece explicitamente.Tais equagOes s5o ditas autiinomas, e tem a forma
dy/dt f(y).
(1)
Vamos discutir essas equagOes no contexto de crescimento ou declinio populacional de uma espacie dada,
um assunto importante em campos que Vac) da medicina a ecologia, passando pela economia global. Algumas outras aplicacOes säo mencionadas em alguns dos problemas. Lembre-se de que consideramos, nas
Secties 1.1 e 1.2, o caso especial da Eq. (1) no qualf(y) = ay + b.
A Eq. (1) é separavel, de modo que podemos aplicar a discussao feita na Secão 2.2, mas o objetivo
principal desta secao é mostrar como matodos geomatricos podem ser usados para se obter informacao
qualitativa importante sobre as solucOes diretamente da equacao diferencial sem resolve-la. Os conceitos de estahilidade e instabilidade de solucoes de equacOes diferenciais sac) fundamentals nesse esforco.
Essas ideias foram introduzidas informalmente no Capitulo 1, mas sem usar essa terminologia. Vamos
discuti-las mais aqui, e examinzi-las cm maior profundidale e em um contexto mais geral no Capitulo 9.
Crescimento Exponential. Seja y = 0(0 a populacao de uma determinada espacie no instante t. A hipOtese
mais simples cm relacäo a variacrio de populacao é que a taxa de variac5o de y é proporcional m ao valor
atual de y; ou seja,
dy/dt = ry,
(2)
(rode a constante de proporcionalidade r e chamada de taxa de crescimento ou declinio, dependendo se
positiva ou negativa. Vamos supor aqui que r > 0. de modo que a populacao esta. crescendo.
Resolvendo a Eq. (2) sujeita a condicão inicial
y(0) = y o,
(3)
y = yoe".
(4)
obtemos
Assim, o modelo matemzitico que consiste no problema de valor inicial (2), (3) com r > 0 prev8 que a
populacão vai crescer exponencialmente todo 0 tempo, como mostra a Figura 2.5.1 para diversos valores
de yu. Sob condicOes ideals, observou-se que a Eq. (4) a razoavelmente precisa para muitas populacOes,
pelo menos por periodos limitados de tempo. Entretanto, é claro que tail condicires ideals não podem
continuar indelinidamente; al ,gurna hora urn fator como limitacOes de espaco, suprimento de comida ou
de outros recursos reduzira a taxa de crescimento e terminarri com o crescimento exponencial ilimitado.
llr
1
1
I
2/r
3/r
4/r t
,
FIGURA 2.5.1 Crescimento exponencial: y em fungdo de t para dy/dt = ry.
Crescimento Logistico. Para levar em consideracão o fato de que a taxa de crescimento da populacão
depende, de fato, da populaciio, substituimos a constante r na Eq. (2) por uma func5o h(y) e obtivemos,
ent5o, a equacdo modificada
n'Aparentemente, foi o economista ingles Thomas Malthus (1766-1834) quem observou primeiro que muitas populacOes biolOgicas aumentam a uma taxa proportional a populaciio. Seu primeiro artigo sobre populacdes apareceu em 1798.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
dy/dt h(y)y.
61
(5)
Agora queremos escolher h(y) tal que It(y)=-• r> 0 quando y e pequeno,h(y) di m i nui quando y aumenta e h(y) < () quando y e suficientemente grande. A funcao mais simples que tern essas propriedades é
11(y) = r - ay, onde a tambem a uma constante positiva. Usando essa funcao na Eq. (5), obtemos
dy/dt = (r - ay)y.
(6)
A Eq. (6) 6 conhecida como a equacao de Verhulst" ou equactio logistica. E muitas vezes convenicnte
escrever a equacäo logistica na forma equivalents
dv
dt
= r (1 - —
y y,
(7)
onde K = Ha. A constante r é chamada de taxa de crescimento intrinseca, isto 6, a taxa de crescimento na
ausOncia de qualquer fator limitador. A interpretacão de K ficara clara em breve.
Iremos investigar as solucOes da Eq. (7) ern detalhe mais tarde nesta secao. Antes disso, no entanto,
vamos mostrar como voce pode desenhar facilmente urn esboco qualitativamente correto das solucOes. Os
mcsmos metodos tambem se aplicam a equacao mais geral (1).
Vamos primeiro procurar solucaes da Eq. (7) do tipo mais simples possfvel, ou seja, fungi:5es constantes. Para tal solu4ito, dyldt = 0 para todo t, de modo que qualquer solucao constante da Eq. (7) tern que
satisfazer a equacao algebrica
r(1 - y/ K)y = 0.
Logo, as solucties constantes sao y = OM) = 0 e y = 0,(t) = K. Essas solucOes stio chamadas de soluciies
de equilihrio da Eq. (7), ja que nao ha variacAo ou mudanca no valor de v quando t aumenta. Da mesma
forma, solucOes de equilihrio da equacao mais geral (1) podem ser encontradas localizando-se as rafzes
de f (y) = 0. Os zeros de f (y) tamb6m sao chamados de pontos criticos.
Para visualizar out ras solucOes da Eq. (7) e esbocar seus gralicos rapidamente podetnos comecar desenhando o grafico de J(y) em functlo de y. No caso da Eq. (7),f (y) = r( 1 - y/K)y, logo o graft° 6 a parabola ilustrada na Figura 2.5.2. As intersecOes corn os eixos s5() (0,0) e (K, 0), correspondendo aos pontos
criticos da Eq. (7), e o vertice da parabola esta em (K/2, rK/4). Note que dyldt > 0 para 0 < y < K; portant°
y e uma funcao crescente de t quando v esta nesse interval(); isso esta indicado na Figura 2.5.2 pelas setas
prOximas ao eixo dos y apontando pa ra a d i re i ta. An alogamente, se y> K, en tAo dyldt < 0, logo y e decrescente, como indicado pela seta apontando para a esquerda na Figura 2.5.2.
FIGURA 2.5.2 fly) em funcao de y para dyldt = r(1 - yIK)y.
Nesse context°, o eixo dos y e chamado muitas vezes de reta de fuse e esta reproduzido em sua orientacao vertical usual na Figura 2.5.3a. Os pontos em y = 0 e y = K sao os pontos criticos, ou solucties de
equilihrio. As setas indicam novamente que y e crescente sempre que 0 < y < K e que y e decrescente
quando y > K.
P. F. Verhulst (1804 - 1849) foi urn matemltico belga que introduziu a Eq. (6) como um modelo para o crescimento populacional cm 1838. Ele referiu-se a etc como crescimento logistico; por isso a Eq. (6) 6 chamada muitas vezes de equacAo logistica.
Ele nao foi capaz de testar a precisâo de seu modelo devido a dados inadequados de censo e nAo recebcu muita atencAo
ate muitos anos depois. R. Pearl (1930) demonstrou concordância razoavel corn dados experimentais para populacOes de
drosophila rnelanogaster (mosca da fruta), e G. E Gause (1935) fez o mesmo para populacOes de paramecium e dc tribolium
(besouro castanho).
62 CAPITULO DOTS
Alem disco, da Figura 2.5.2 note que se y estzi prOximo de zero ou de K, entdo a inclinac5of (y) esta
prOxima de zero, de modo que as curvas-soluclio tern tangentes prOximas da horizontal. Elas se tornam
mais inclinadas quando o valor de y fica mais longe de zero ou de K.
Para esbocar os grdficos das solucOes da Eq. (7) no piano ty, comecamos corn as solucOes de equilibrio y = 0 e y = K; depois desenhamos outras curvas que sao crescentes quando 0 < y < K, decrescentes
quando y > K e cujas tangentes se aproximam da horizontal quando y se aproxima de 0 ou de K. Logo, os
grdficos das solucoes da Eq. (7) devem ter a forma geral ilustrada na Figura 2.5.5b, independentemente
dos valores de r e de K.
V4
02(0= K
K
K/2
0
(h)
(a)
FIGURA 2.5.3 Crescimento logistico:dyldt = r(1 — y/K)y. (a) A reta de fase. (b) Graficos de y cm funclio de t.
A Figura 2.5.3b parece mostrar que outras solucoes intersectam a solucao de equilibrio y = K, mas isso
é possfvel? Nao, a parte de unicidade do Teorema 2.4.2,0 teorema fundamental de existencia e unicidade,
diz que apenas uma solucao pode confer um ponto dado no piano ty. Assim, embora outras solucOes possam ser assintOticas a soluc5o de equilibrio quando t --0 J , elas nao podem intersects-la em tempo finito.
Para it urn pouco mais fund() na investigacao.podemos determinar a concavidade das curvas-solucao
e a localizacao dos pontos de inflex5o calculando d'yldt =. Da equaclio diferencial (1), obtemos (usando
a regra da cadeia)
d2 y d dy d
th 2 = tit dt =
-f(y)
(Y) =
(-V)
= f (Y)f (Y).
(8)
O gratico de y em funcao de t e convexo quando y" > 0, isto c, quandof e f tern o mesmo sinal, e é cOncavo
quando y" < 0,0 que ocorre quandof e f tern sinais contraries. Os sinais de f e de f' podcm ser identificados facilmentc do grzifico do f (y) em funcao de v. Podem ocorrer pontos de intlexao quandof '(y) = 0.
No caso da Eq. (7), as solucOes sao convexas para 0 < y < K/2, onde f e positiva e crescents (veja a
Figura 2.5.2), de modo que f e f sao positivas. As solucOes tambem sac, convexas para y > K, onde f
negativa e decrescente (f e f sao negativas). Para K/2 < y < K, as solucOes sao ctincavas, ja quef 6 positiva
e decrescente. de modo que f e positiva ef ' é negativa.Toda vez que o gratico de y em funcao de t cruza a
reta y = K/2, al ha um ponto de intlexao. Os grAficos na Figura 2.5.3b exibem essas propriedades.
Finalmente, note que K é a cota superior que e aproximada, mas nunca excedida, por populacOes
crescentes comecanclo abaixo dense valor. Então, 6 natural nos referirmos a K como sendo o nivel de
saturaciM, ou capacidade de sustentaciio ambiental, para a especie em questao.
thha comparaclio entre as Figuras 2.5.1 e 2.5.36 revela que solucOes da equacäo nao linear (7) sat)
muito diferentes das solucoes da equacao linear (1). pelo menos para valores grandes de t. Independentemente do valor de K, isto e, nao importa quao pequeno seja o termo nao linear na Eq. (7), as solucOes
enquanto as solucOes da Eq. (1) crescem (exdessa equacao tendem a um valor linito quando t
Assim, mesmo um termo nao linear mintisculo na equacao
ponencialmente) scm limite quando t
diferencial (7) tens um efeito decisivo na solucao para valores grandes de t.
Em muitas situziOes, Basta obter a informacäo qualitativa ilustrada na Figura 2.5.36 sobre uma soluda Eq. (7). Essa informacao foi inteiramente obtida a partir do grafico de f (y) como funclio
cao y =
de y, sem resolver a equacao diferencial (7). Ent retanto, se quisermos ter uma descricäo mais de talhada
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PFUMEIRA ORDEM
63
do crescimento logistico - por exemplo, se quisermos saber o nOrnero de elementos na populacao em urn
instante particular - entao precisaremos resolver a Eq. (7) sujeita a condicao inicial (3). Se y 0 e y
K,
podemos escrever (7) na forma
dy
(1 - y/K)y
r di.
Usando uma expansao em fracOes parciais na expressao a esquerda do sinal de igualdade, obtemos
1/K
1
(y
1 - y/K
ln
- In 1 - — -= rt + c,
= r dt.
Integrando, temos
y
(9)
uma
constante
at-hitt-aria
de
integracao
a
ser
determinada
da
condicao
inicial
y(0)
=
onde c é
yo. Ja observamos que, se 0 < yo < K, entao y permanece nesse intervalo para todo o tempo. Entao, nesse caso,
podemos remover as barras de modulo na Eq. (9) e, calculando a exponencial de todos os termos na Eq.
(9), vemos que
1 - (y/K)
=-- Ce",
(10)
onde C =
Para que a condicao inicial y(0) y„ seja satiNfeita, precisamos escolher C = yd[1 - (y„/K)].
Usando esse valor de C na Eq. (10) e resolvendo para y, obtemos
V=
voK
yo + (K - yo)e-ri •
(11)
Dedutimos a solucao (11) sob a hipOtese de que 0 < y„< K. Se y„> K, os detalhes ao tratar corn a Eq.
(9) 'learn ligeiramente diferentes, c deixamos a cargo do leitor mostrar que a Eq. (1 1 ) tambem c valida
nesse caso. Finalmente, note quc a Eq. (1 I ) tainbt":m conteni as solucOes de equilibrio y = OM) = 0 e y =
cp,(t) = K correspondendo as condicOes iniciais yo = 0 e y„ = K, respeetivamente.
Midas as conclusOes qualitativas a que chegamos anteriormente por raciocinios geometricos podem
ser conlirmadas examinando-se a solucao (11). Em particular, se y„ = 0, entao a Eq. (11) confirma que
x na Eq. (11), obteremos
y(t) = 0 para todo t. Se y„ > 0 e se fizermos t
lira v(t) = yoK /y0 = K.
Assim, para cada y„ > 0 a solucao tende a solucao de equilibrio y = 0,(t) = K assintoticamente quando
Portant°, a solucao constante Or) = K e dita uma solucao assintoticamente esttivel da Eq. (7), ou
o ponto y K e dito um ponto de equilibria ou ponto critic°, assintoticamente estavel. Depois de muito
tempo a populacao esta prOxima de stilt nivel de saturacao K. independentemente do tamanho inicial da
populacao, desde quc seja positivo. Outras solucaes tendem a solucão de equilibrio trials rapidamente
quando r aumenta.
Por outro lado, a situacao para a soluciio de equilihrio y = 0,(t) = 0 e been diferente. Mesmo soluciies
quc comecam muito prOximas de zero crescent quanto t aumenta e,como vemos, tendem a K quando t
x . Dizemos que Mt) = 0 e uma soluciio de equilibrio instivel ou que y = 0 é um ponto de equilibria, ou
ponto critic°, instavel. Isso significa que a Unica maneira de garantir que a solucao permaneca prOxima de
zero é fazer corn que seu valor inicial seja exntamente igual a zero.
t
EXEMPLO
1
0 modulo logistic° tern sido aplicado ao crescimento natural da populacao de linguados gigantes em determinadas areas do Oceano Pacifico.' Seja y, medido em quilogramas, a massa total, ou biomassa, da populacao de
linguado gigante no instante t. Estima-se que os parametros na equa(ao logistica tenham os valores r = 0,71
por ano e K = 80,5 x 106 kg. Se a biomassa inicial e yo= 0.25K, encontre a biomassa dois anos depois. Encontre,
tambem, o instante r para o qual y(r) = 0,75K.
' 2 Uma boa fonts de informacao sobre dinfUnica populacional e economic envolvidas no use eficiente de urn recurso renovavel, corn afase em pesca, o livro de Clark listado nas referimcias ao final deste capitulo. Os valores dos parâmetros usados
aqui estâo na pagina 53 daquele livro e foram obtidos de um estudo de H. S. Mohring.
64 CAPITULO Dols
E conveniente mudar a escala da solucdo (11), dividindo-a pela capacidade de sustentacdo K; assim, colocamos a Eq. (II) na forma
_
K
Usando os dados do problema, encontramos
y(2)
K
Yo/K
(ye/ K ) + [1 - (yo/K)1e- ri •
0.25
0.25 + 0,75e-i A2
(12)
0.5797.
Em consequencia, y(2) -24 46,7 x 10' kg.
Para encontrar r, resolvemos primeiro a Eq. (12) para t. Obtemos
e -"-
(Yo/ 10[ 1 - (y/K)1
01 101 1 - (yo/ K1
logo,
r=
1
r
In
(yo/ K111 - (y1101
(y/K)11 - (yo/K)I
(13)
Usando os valores dados para r e y,,IK e fazendo ylK = 0.75, encontramos
1
(0,25)(0,25)
1
= — In 9 3,095 anos.
=
In
0,71
r
(0,75)(0,75)
0.71
A Figura 2.5.4 mostra os graticos de y/K cm func d- o de t para os valores dados dos parametros e diversas
condicOes iniciais.
y/K
1,75
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0,25
FIGURA 2.5.4 ylK ern fun4t10 de t para o modelo populacional de linguados gigantes no Oceano Pacifico.
Um Limiar Critic° . Vamos considerar agora a equac5o
dy
dt
v
(14)
onde r c T sào constantes positives dadas. Observe quc (exceto pela subst wick) de K por 7') essa cquacâo so difere da equact-lo logistica (7) pela presenca do sinal de memos na expressao a dircita do sinal de
igualdade. No entanto, como veremos, o comportamento das solucães da Eq. (14) é muito diferente do
das solucOes da Eq. (7).
Para a Eq. (14) o grdfico de f (y) em functio de y 6 a parabola ilustrada na Figura 2.5.5. As intersecOes
corn o eixo dos y sdo os pontos criticos y = 0 e y = T, correspondendo as solucaes de equilfbrio (t) = 0 e
02 (t) = 7'. Se 0 < y < T, ent5o dvIdt < 0 e y c decrescente como functio de t. Por outro lado, se y > T, ent5o
dyldt > 0 e y e crescente como funcao de t. Assim, 0, (t) = 0 6 uma solucfio de equilfbrio assintoticamente
estavel e (Mt) T 6 instill/el. Al6m disco, f '(y) c ncgativa para 0 < y < 772 e positiva para T/2 < y < T, de
modo que o grtifico de y em functio de t 6, respect ivamente, convex() e cOncavo nesses intervalos. Temos
clue f '(y) e positiva para y > T, de modo que o grafico de y em func5o de t tambem e convexo aqui.
A Figura 2.5.6a mostra a reta de fase (o eixo dos y) para a Eq. (14). Os pontos em y = 0 e y T sao os
pontos crfticos, ou solucties de equilfbrio, e as setas indicam onde as solucOes sdo crescentes ou decrescentes.
As curvas-soluctio da Eq. (14) agora podem ser esbocadas rapidamente. Primeiro desenhe as solucdes
de equilfbrio y = 0 c y = T. Depois esboce curvas na faixa 0 < y < T decrescentes e mude a concavidade
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 65
FIGURA 2.5.5 f (y) em rungdo de v para dyldt = -r(1 - y/T)y.
quando y cruza a reta y = T/2. A seguir, desenhe curvas acima de y = T que aumentam cada vez mais
rapidamente quando y e t aumentam. Certifique-se de que todas as curvas tat tangentes prOximas da
horizontal quando t esta prOximo de zero ou de T. 0 resultado e a Figura 2.5.6b, que é um esboco qualitativamente precis() de solucOes da Eq. (14) para quaisquer valores de r e T. Dessa figura, parece que
quando t aumenta y tende a zero ou cresce sem limite, dependendo se o valor inicial y„ é menor ou major
do que T. Assiut, T L: um limiar, ahaixo do qual ndo ha crescirnento.
7):f
(b)
(a)
FIGURA 2.5.6 Crescimento corn um Iimiar: dy/dr = -r(1 - y 7)y. (a) A reta de fase.(b) Graficos de y em fungdo
de t.
Podemos confirmar as conclusaes a que chegamos por meios geomaricos resolvendo a equacdo diferencial (14). Isso pode ser feito por separactio de varitiveis e integracdo, exatamente como fizemos para a
Eq. (7). Entretanto, se notarmos que a Eq. (14) pode ser obtida da Eq. (7) substituindo-se K por T e r por
-r, podemos fazer as mesmas subst it uicOes na solucdo (11) para obter
y—
yo
v, ( 7' _ yowl
(15)
"'
que e a solucdo da Eq. (14) sujeita a condicdo inicial y(0) = yo.
Se 0 < y„ < 7', segue da Eq. (15) que y -+ 0 quando t x . Isso estA de acordo corn nossa analise geornëtrica qualitativa. Se yo > T, entdo o denominador na expressdo a direita do sinal de igualdade da Eq. (15)
se anula para um determinado valor finito de t. Vamos denotar esse valor por t* e calculi-lo da formula
yo — (yo — T)en. = 0,
que nos dri
t*
- In Yo
r yo — T
(16)
66 CAPiTULO DOTS
Assim, se a populacao inicial yo esta acima do limiar T, o modelo corn limiar prevé que o grafico de y em
funcao de t tem uma assIntota vertical em t = t*. Em outras palavras, a populacao torna-se ilimitada em
urn tempo finito que depende de yo, T e r. A existéncia e a localizacao dessa assintota nao apareceram na
nossa analise geometrica, de modo que nesse caso a solucao explicita forneceu uma informacao importante qualitativa, e nao so quantitativa.
A populacao de algumas especies exibe o fenOmeno de existacia de limiar. Se estiverem presentes
niuito poucos,entao a espêcie nao pode se propagar corn sucesso e a populacäo é extinta. No entanto, se
uma populacao é maior do que o limiar, ela cresce ainda mais. E claro que a populacao nä° pode ficar
ilimitada, de modo que alguma hora a Eq. (14) tem clue ser modificada para levar isso em consideracao.
Limiares criticos tambëm ocorrem em outras circunstancias. Por exemplo, em mecanica dos fluidos as
equacOes da forma (7) ou (14) muitas vezes governam pequenos distfirbios y em urn fluxo laminar (ou
suave). Por exemplo, se a Eq. (14) é valida e y < T,entao o distfirbio é amortecido e o fluxo laminar persiste. No entanto, se y > T, entao o disttirbio aumenta e o fluxo laminar torna-se turbulento. Nesse caso, T
chamado de amplitude critica. Pesquisadores falam em mintier o 111VCI de distarbio em um timel de vento
suficientemente baixo para que possam estudar o fluxo laminar em um aerofOlio, por exemplo.
Crescimento Logistico coot Limiar. Como mencionamos na Ultima subsecao, o modelo com limiar (14)
pode precisar ser modilicado de modo a evitar crescimento ilimitado quando y esta acima do limiar T.
A maneira mais simples de fazer isso é introduzir outro fator que tornara dyldt negativo para y grande.
Vamos considerar, Ltta°,
dy
dt =
(1
Y)
\
(17)
K )y.
onde r > 0 c 0 < T < K.
A Figura 2.5.7 mostra o grafico de f(y) em funcao de y. Neste problem existent trés pontos criticos, y =
0, y=Tey= K, correspondendo as solucifies de equi I ibrio 0,(1) = 0, 0 2 (0 = T e (Mt) K, respectivamente.
E claro da Figura 2.5.7 que dyldt > 0 para < v < K e. portant°, y e crescente af.Temos dyldt < 0 para y <
T e para y > K, logo y e clecrescente nesses intervalos. Em consequncia, as solucOes de equilibrio 4),(t)e
03 (t)sao assintoticamente estaveis,enquanto que a solucii° 0 2 (06 instavel.
A reta de lase para a Eq. (17) esta ilustrada mt Figura 2.5.8a, e os graficos de algumas solucOes estao
esbocados na Figura 2.5.8b. Vocé deve se certificar de que compreende a relacao entre essa y duas figuras,
assim como a relacao entre as Figuras 2.5.7 e 2.5.8a. Da Figura 2.5.8b vemos que se y comeca ahaixo do
limiar T, entao y dcclina ate a extincao. Por outro !ado, se y comeca acima de T, entao y acaba, fmalmente,
se aproximando da capacidade de sustentacao K. Os pontos de inflexao nos graficos de y em funcao de t
na Figura 2.5.8b correspondent aos pontos de maxim° e minim() relativos, y, e y2 , respectivamente. no grafico de f(y)em funcao de v na Figura 2.5.7. Esses valores podern ser obtidos diferenciando-se a expres<io
a direita do sinal de ii2ualdade na Eq. (17) em relacao a y, igualando o resultado a zero e resolvendo para
y. Obtemos
03(0/ = K
K
Yi
p2 (t) T
7.
Y2
(a)
FIGURA 2.5.7 f (y) em fungdo de y para
dyldt = -r( I - ylT)(1 - yl K)y.
01 ( 0 = 0
(b)
dyldt = -r(1 ylT)(1 - yl K)
FIGURA 2.5.8 Crescimento logistico cons
y. (a) A reta de fase. (b) Graticos de y cm fungi-to de t.
EQ UA CO ES D IFERENCIAIS DE PKIMEIRA O RDEM 67
y 1.2 = ( K + T f /K 2 — KT + T 2 )/3,
(18)
onde o sinal de mats corresponde a y, e o de menos a
Aparentemente, um modelo desse tipo descreve a populacao dos pombos viajantes," presentes nos
Estados Unidos em vastas quantidades at o final do seculo XIX. Foram muito cacados para comida e
como esporte e, em consequencia, por volta de 1880 seu miniero estava drasticamente reduzido. Parece
que infelizmente os pombos viajantes so podiam se reproduzir (panda presentes em uma grande colleentracâo, correspondendo a urn limiar relativamente alto T. Embora ainda existisse um flamer° razoavelmente grande de pAssaros no final da (16cadit de 1880, nao havia uma quantidade suficientc cm urn tinico
lugar para permitir a reproducdo, e a populaciio declinou rapidamente ate a extingdo. 0 Ultimo sobrevivente morreu em 1914. 0 declInio precipitado na populaci-to de pombos viajantes
ntimeros enormes
ate a extincao em poucas de.cadas foi urn dos fatores iniciais que contribuiram para a preocupacdo corn
a conservacao naquele pals.
Os Problems de I a 6 envolvem equagOes da forma dyldt f (y). Em cada problema, esboce o grtifico de f (y)
em fungdo de y, determine os pontos criticos (de equilibria) c classifique cada um coma send() assintoticamente
estdvel ou instilvel. Describe a reta de lase e esboce diversos graficas de solucOes no piano tv.
I. dy/dt = ay + by 2
a > 0, b > 0, yo > 0
dy/dt ay + by 2 ,
a > 0, b > 0, — oo < yo < cx)
dy/dt = y(y — 1)(y -- 2).
yo > 0
dy/dt eY I,
< yo <
dy/dt = e -Y — 1,
< yo <
dy/dt = —2 (aretan v)/( + y2 ).
—(X) < yaa
<
Soluci► es de Equilibrio Semiestivel. Algumas vczes ulna solucao de equilibrio constante tern a propriedade de que solucOes de um lado da solucao dc equilibria tendem a se aproximar dela, enquanto soluceies do
outro lado tendem a se afastar (veja a Figura 2.5.9). Nesse cam). a solucao de equilibria a dita seiniestiivel.
(al
FIGURA 2.5.9 Em ambos os casos a solucao de equilibrio
(6)
= k e semiestdvel. (a) dy/dt < 0; (b) dyldt > 0.
Considere a equacdo
dy/dt = k(1 — y)2.
(i)
onde k e uma constante positiva. Mostre que y = 1 e o tinico porno critic°, correspondendo a solucao
de equilibrio
= 1.
Esboce o grafico de f(y) em f wick) de y. Mostrc que y é uma functio crescente de t para y < 1 e para y
> 1.A reta de Ease tern setas apontanclo tanto acima quanta abaixo de y = 1. Assim.solucOes abaixo da
solucilo de equilibria aproximam-se dela, enquanto as solucOes acima se afastam dela. Portanto, 0(0
= 1 6 semiestiivel.
(c) Resolva a Eq. (i) sujcita a condica'a inicial y(0) = Yu e confirme as conclusOes do item (b).
Os Problemas de 8 a 13 envolvem equacOes da forma dyldt = f (y)• Em cada problema. esboce o grafieo dc
f (y) em funcao de y. determine os pontos criticos (de equilibrio) e classifique cada urn coma sendo assintoti"Veja, por exe rnplo, Oliver L. Austin Jr., Birds of the World (New York: Golden Press, 1983), pp. 143-145.
68 CAPiTULO DOTS
camente estavel, instavel ou semiestavel (veja o Problem 7). Desenhe a reta de face e esboce diversos graficos
de solucaes no piano ty.
k > 0, —Do < yo < cc
dy I dt = —k(y — 1) 2 ,
—oo < yo < oc
dyldt = y 2 (y 2 — 1),
-DC < yo < 00
10. dy/dt = y(1 — y 2 ),
II. dy/dt = ay — b19,
a > 0, b > 0, yo 0
—oo < yo < 00
dy/dt = y 2 (4 — y2 ),
dyldt = y 2 (1 — y) 2 ,
— oo < yo < 00
Considere a equacdo dyldt = f(y)e suponha que y, é um ponto critic°, isto d,f (y,) = 0. Mostre que a solucao
de equilibrio 0(t) = y, e assintoticamente estavel se f . (y,) < 0 e é assintoticamente instavel se f
> 0.
Suponha que determinada populacao obedece equacao logistica clyldt = ry[l — (yIK)].
Se yo = K/3, encontre o instante r no qual a populacdo inicial dobrou. Encontre o valor de r para r =
0,025 por ano.
Se yd K = a, encontre o instante T no qual y(T)/K = 13, onde 0 < a, 6 < 1. Observe que T
quando
1. Encontre o valor de T para r = 0.025 por ano, a = 0,1 e = 0,9.
a —4. 0 ou
16. Outra equacao usada para modelar o crescimento populacional é a equac5o de Gompertz"
dyldt = ryln(K/y),
onde r e K sflo constantes positivas.
Esboce o ?sane° de f (y) em funciio de y, encontre os pontos criticos e determine se cada um deles
assintoticamente estavel ou instavel.
Para 0 < y < K, determine onde o grafico de y cm funcAo de t é convexo e onde c cOncavo.
(c) Para cada y tai que 0 < y < K, mostre que dyldt,como dado pela equaciio de Gompertz, nunca é menor
do que dyldt, como dado pela equac5o logistica.
17. (a) Resolva a equacao de Gompertz
dy/dt = IMK /y),
sujeita it condicao inicial v(0) = y,,
Sugesttio: voce pode querer delinir rr = In(y/K).
Para os dados no Exemplo 1 do texto (r = 0,71 por ano, K = 80,5 x 106 kg, K = 0,25), use o modelo
de Gompertz para encontrar o valor previsto de y(2).
Para os mesmo dados do item (b), use o modelo de Gompertz para encontrar o instante r no qual
y(r) = 0.75K.
Um lago é formado quando a agua se acumula cm uma depressao et-mica de raio a e profundidade h. Suponha que a agua flui para dentro a uma taxa constante k e é perdida por evaporacao a uma taxa proporcional a area de superficie.
(a) Mostre que o volume V(t) de agua no lago cm qualquer instante t satisfaz a equacâo diferencial
(11/ I dt
k — a7(3a /71) 213 V213,
onde a c o coeficiente de evaporacao.
(h) Encontre a profundidade de equilfbrio de agua no lago. Esse equilibrio é assintoticamente estavel?
(c) Encontre uma condicao que tem que ser satisfeita para o lago nao transbordar.
Considere um tanque de agua cilIndrico de secilo reta constante A. ;kgua é bombeada para o tanque a uma
taxa constante k e sai atraves de urn pequeno furo de area a no (undo do tanque. Do principio de Torricelli
em hidrodinamica (veja o Problem 6 na Seca° 2.3), segue que a taxa de fluxo da agua através do furo
as 2gh, onde h é a profundidade atual da agua,g é a aceleracao devido a gravidade e a é um coeficiente
de contragfio que satisfaz 0,5 < a < 1,0.
Mostre que a profundidade de agua no tanque em qualquer instante satisfaz a equacao
dh/dt = (k — as 2gh)/A.
Determine a profundidade de equitibrio h, da agua e mostre que ela é assintoticamente estavel. Observe que h, nä° dcpende de A.
"Benjamin Gompertz (1779-1865) foi urn atuario ingles. Ele desenvolveu set, modelo de crescimento populacional, publicado cm 1825, durante a construc5o de tabelas de mortalidade para sua companhia de seguros.
EQUACOES DIFERENCIAIS DC PRIMEIRA ORDEM
69
Administrando urn Recurs° Renovivel. Suponha que a populacao y de determinada especie de peixe (por
exemplo, atum ou Iinguado gigante) em certa area do oceano e descrita pela equacao logistica
dy/dr = r(1 — y/K)y.
Embora seja desejavel utilizar essa fonte de alimento, intuitivamente e claro que a populacao de peixes pode
ser reduzida a um nivel abaixo do Cull, se forem pescados peixes denials, podendo ate ser levada a extincao. Os
Problemas 20 e 21 exploram algumas das questOes envolvidas na formulacao de uma estrategia racional para
administrar a pescaria."
20. Para determinado nivel de empenho, a razoavel supor que a taxa segundo a qual sac) pegos os peixes depende da populacao y:quanto mais peixes existirem. mais facil sera pegs-los.Vamos supor entao que a taxa
segundo a qual os peixes sao pegos é dada por E y , onde E e Lima constante positiva. corn unidades iguais
ao inverso do tempo. que mede o empenho total feito para administrar a especie de peixe em consideracao.
Para incluir esse efeito, a equacao logistica e substituida por
dr/dr = r(1 — y/ K)y — Ey.
(i)
Essa equacao e conhecida como model° de Schaefer, em honra ao biologista M. B. Schaefer. que a aplicou
a populaciks de peixes.
Mostre que, se E < r, entao existem dois pontos de equilibrio, y, = 0 e y2 = K(1 — DO> 0.
Mostre que v = v, e instavel e que y = y, e assintoticamente estavel.
Uma proclucao sustentavel Y de pescaria 6 uma taxa segundo a qual os peixes podem ser pescados
indefinidamente. E o produto do empenho F Com a populacao assintoticamente estavel y 2 . Encontre
Y em fl11100 do esforco E; o grafico desta funcao e conhecido como a curva producao-empenho.
Determine F de modo a maximizer Y encontrando, assim. a producao maxima sustentavel Y„,.
21. Neste problema vamos supor que Os peixes sao pegos a Unlit taxa constante inclependen temente do tamanho da populacao. Entao v sat isfaz
dyldt = r(I — y/K )y —
(i)
A hipOtese de que a taxa de pesca h e constante pode ser razoavel quando y e Inuit() grande, mas torna-se
menos razoavel quando y 6 pequeno.
(a) Se h < rKI4, mostre que a Eq. (i) tem dois pontos de equilibrio y, e y: Corn y, < y,: determine esses
pontos.
(h) Most re que y, 6 instavel e que y, e assintoticamente estavel.
Analisando o gratico de f (y) em funcao de y, most re que se a populacao Uncial y , > y,, entao y —0 y2
quando t —+ x. mas se y„ < y, entao y diminui quando t aumenta. Note que y = 0 nao 6 um ponto de
equilibrio, de modo que Sc y„< y, a populacao sera extinta em um tempo finito.
Sc h > rK/4, mostre que y diminui ate zero quando r aumenta, independentemente do valor de y„.
(e) Sc h =
mostre que existe um Unico ponto de equilibrio v = K/2 c que este ponto e semiestavel
(veja o Prohlema 7). Logo, a producao maxima sustentavel e h„,= rK/4, correspondendo ao valor de
equilibrio y = K/2. Note que h„, tem o mesmo valor que Y,,, no Problem 20(d). A pescaria c considerada superexplorada se y se reduzir a um nivel abaixo de K/2.
Epidemias. A utilizacao de metodos matennit icos para estudar a disseminacao de doencas contagiosas vein
desde a decada de 1760, pelo menos, quando Daniel Bernoulli fez um trabalho relativo a variola. Em anon
mais recentes, muitos modelos matematicos foram propostos e estudados para diversas doencas diferentes.'''
Os Problemas de 22 a 24 tratam alguns dos modelos mais simples, e as conclusOes que podem set tiradas
deles. Modelos semelhantes tambem tern sido usados para descrever a disseminacao de hoatos e produtos
de consumo.
22. Suponha que uma dada populacao pode ser dividida em duns partes:os que tem ulna determinada doenca
e podem infectar outros, e os que nao tern, mas sao suscetiveis. Seja x a proporcao de individuos suscetiveis
e y a proporcao de individuos infectados;entaox + y 1. Suponha que a doenca se espalha através do contato entre os elementos doentes da populacao e os saos, e que a taxa de disseminacao dvIdt e proporcional
ao rnner° de tais contatos. Alem disco, suponha que os elementos de ambos os grupos movem-se livre-
"Urn excelcnte tratamento desse tipo de problema, que vai muito mais longe do esbocado aqui, pode ser encontrado no
Iivro de Clark mencionado anteriormente, cm especial nos dois primeiros capitulos. Diversas referèncias adicionais sao
citadas all.
fonte-padrilo e o Iivro de autoria de Bailey, listado nas referências. Os modelos nos Problemas de 22 a 24 est a- o discutidos neste Iivro nos Capitulos 5, 10 e 20, respectivamente.
7 0 CANTULO Dols
mente, de modo que o minter° de contatos e proporcional ao produto de x e y. Como x = 1 — y, obtemos o
problema de valor inicial
dy
y(0) = yo,
= ay(1 — y).
(i)
onde a 6 um fator de proporcionalidade positivo e y0 6 a proporcao inicial de individuos infectados.
Encontre os pontos de equilihrio para a equacao diferencial (i) e determine se cada urn deles é assintoticamente estavel,semiesta vel ou instavel.
Resolva o problema de valor inicial (i) e verifique que as conclusOes a que voce chegou no item (a)
quando t x , o que significa que, finahnente, a populacao inteira
estao corretas. Mostre que .,v(t)
ficara doente.
23. Algumas doencas (com p tifo) sao disseminadas por portadores, individuos que podem transmitir a doenca,
mas que nä° exibem sintomas aparentes. Sejam x e y. respectivamente. as proporcOes de suscetiveis e portadores na populacaaSuponha que os portadores sat) identificados c removidos da populacao a uma taxa
/3, de modo que
dy /dt = —13y.
Suponha. tambem. que a doenca se espalha a uma taxa proporcional an produto de x e v: logo,
(ii)
dx/dt = —axy.
Determine y cm qualquer instante de tempo t resolvendo a Eq. (i) sujeita a condicäo inicial y(0) = yo.
Use o resultado do item (a) para encontrar x em qualquer instante t resolvendo a Eq. (ii) sujeita
condicao inicial .v(0) = x„.
(c) Encontre a proporcao da populacao que escapa da epidemia encontrando o valor-limite de x quando
24. 0 trabalho de Daniel Bernoulli cm 1760 tinha como objetivo avaliar o qua. ° efetivo estava sendo urn programa controverso de inoculacao contra a variola, que era urn grande problema de sail& pablica na epoca. Seu modelo se aplica igualmente hem a qualquer outra doenca que, uma vez adquirida, se o paciente
sobreviver ganha imunidade para o resto da vida.
o ntimero desses indiviConsiders o conjunto de individuos nascidos cm um dado ano (t = 0) e seja
o
ntimero
de
elementos
desse
conjunto
que ainda nao tiveram
x(t)
t
anos
depois.
Seja
duos que sobrevivem
variola ate o ano t e que sac), portanto, suscetiveis. Seja /3a taxa segundo a qual individuos suscetiveis contraem varfola e seja v a taxa segundo a qual pessoas que contraem variola morrem da doenca. Finalmente,
seja (t) a taxa de morte por qualquer outro motivo diferente da varfola. Entao dxldt, a taxa segundo a
qual 0 minter° de individuos suscetiveis varia, c dada por
dx/dt
— I/3 +
lx•
(i)
0 primeiro termo na expressao a direita do sinal de igualdade na Eq. (i) e a taxa segundo a qual os individuos suscetiveis contraem a doenca, c o segundo termo é a taxa segundo a qual eles morrem de outras
causas. Temos tambem
dal& = — vfix
it(t)n,
(ii)
onde thildt é a taxa de mortandade do conjunto inteiro e os dois termos a direita do sinal de igualdade sac,
devidos a varfola e as outras causas, respectivamente..
Seja z = xln. e mostre que z satisfaz o problema de valor inicial
dz/dt = —I3z(1 — vz),
z(0) = 1.
(iii)
Observe que o problema de valor inicial (iii) nao depende de it (t).
Encontre z(t) resolvendo a Eq. (iii).
(c) Bernoulli estimou que v = /3 = 1/8. Usando esses valores, determine a proporcao de individuos corn 20
anos que ainda nao tiveram varfola.
Nota: haseado no modelo que acabamos de descrever c nos mclhores dados de mortalidade disponiveis
na epoca. Bernoulli calculou que se as mortes devidas a varfola pudessem ser eliminadas (v = 0), cilia° se
poderia adicionar aproximadamente 3 anos a expectativa media de vida (em 1760) de 26 anos e 7 meses.
Portanto, ele apoiou o programa de inoculacao.
Kontos de Bifurcacao. Para uma equacao da forma
dy/dt = f(a,y),
(i)
EQUACOES DIEERENCLkIS DE PRIMER\ ORDER
71
onde a é um parametro real, Os pontos criticos (solucOes de equilibrio) dependent. em geral, do valor de a.
()undo a aumenta ou diminui constantemente, acontece muitas vezes que para urn determinado valor de a,
chamado de ponto de bifurcacao, os pontos criticos se juntam ou se scparam, e solucOes de equilibrio podem
ser perdidas ou podem aparecer. Pontos de bifurcacao sac) de grande interesse em muitas aplicacOes porque,
perto deles, a natureza das solucOes da equacâo diferencial subjacente muda bruscamentc. Por exempla em
mecanica dos fluidos um fluxo suave (laminar) pode se dispersar c se tornar turbulento. Ou uma coluna corn
carga axial pode empenar, subitamente, e exihir urn grande deslocamento lateral. Ou. quando a quantidade de
urn dos produtos qufmicos em LIM mistura aumentar, podem aparecer suhitamente padrbes de diversas cores
em ondas espirais em um fluid() originalmente quiet(). Os Problemas de 25 a 27 descrevem tres tipos de bifurcacao que podem ocorrer ern equacOes simples da forma (i).
25. Considere a equacão
dy/dt = a - y2 .
( ii)
Encontre todos os pontos criticos da Eq. (ii). Note que nao existent pontos criticos se a < 0. existe um
ponto critic() se a = 0 e existent dois pontos criticos se a > 0.
Desenhe a reta de fase cm cada caso e determine se cada ponto crftico é assintoticamente estavel,
semiestavel ou instavel.
Ern cada caso, desenhe diversas solucOes da Eq. (ii) no piano ty.
Se fizermos o grafico da localizacao dos pontos criticos em funcao de a no piano ay, obteremos a
Figura 2.5.10, chamada de diagrama de bifurcacäo para a Eq. (ii). A hifurcacao em a = 0 e chamada de
bifurcacao no de sela. Esse nome r mail natural no context() de sistemas de segunda ordem. que serao
discutidos no Capitulo 9.
y
2
1
Assintoticamente
estavel
I
-2
1
-1
2
3
4a
Instävel
-2
FIGURA 2.5.10 Diagrama de bifurcacao para y'= a 26. Considere a equacao
dvIdt = ay - y 3 = pa - y2).
Considere, novamente, os casos a < 0, u = 0 e a > 0. Em cada caso, encontre os pontos crfticos, desenhe
a reta do fase c determine se cada ponto critic() 6 assintoticamente estavel, semiestavel ou instavel.
Em cada caso, esboce diversas solucOes da Eq. (iii) no piano ty.
(c) Desenhe o diagrama de bifurcaciio para a Eq. (iii), isto 6, faca o graft() da localizacäo dos pontos criticos em (mica° de a. Para a Eq. (iii), o ponto de bifurcacao em a = 0 é chamado de bifurcacao tridente:
seu diagrama pode sugerir porque este nome (3. apropriado.
27. Considere a equacao
dy/dt = ay - y2 = y(a - y).
(iv)
Considere, novamente, os casos a < 0, a = 0 e a> 0. Em cada caso, encontre os pontos criticos, desenhe
a reta de fase e determine se cada ponto critic° é assintoticamente estavel, semiestavel ou instavel.
Em cada caso, esboce diversas soluceles da Eq. (iv) no piano ty.
(c) Desenhe o diagrama de bifurcacao pant a Eq. (iv). Note que, para a Eq. (iv), o ntImero de pontos
criticos e o mesmo para a < 0 e para a > 0, mas mudou a estabilidade deles. Para a < 0, a solucao de
equilibrio y = 0 e assintoticamente estavel e y = a é instävel,enquanto para a > 0 a situacao se inverte.
72 CAPITULO Dols
Logo, ha uma miulanca (le estahilidade quando a passa pelo ponto de bifurcacâo a = 0. Esse tipo de
bifurcacão d chamado de hifurcacäo transcritica.
28. Reaciies Quimicas. Uma reagao quimica de segunda ordem envolve a interacäo (colis5o) de uma molecula de uma substancia P corn uma molecula de uma substancia Q para produzir uma molecula de uma nova
substancia X; isso e denotado por P + Q —> X. Suponha que p e q, onde p q, são as concentragOes iniciais
de P e de Q, respectivamente, e seja x(t) a concentracao de X no instante t. Ent5o,p — x(t) e q — x(t) são as
concentracOes de P e de Q no instante t, e a taxa segundo a qual a reacäo ocorre 6 dada pela equac5o
dx I dt a(p — x)(q — x),
(i)
onde a e uma constante positiva.
Se x(0) = 0, determine o valor limite de x(t) quando t co sem resolver a equagão diferencial. Depois
resolva o problema de valor inicial e encontre x(t) para qualquer t.
Se as substancias P e Q são identicas, entTto p = q e a Eq. (i) e substitufda por
dx/dt = a(p — x) 2(ii)
Se x(0) = 0, determine o valor-limite de x(t) quando t —> co sem resolver a equacdo diferencial. Depois
resolva o problema de valor inicial e encontre x(r) para qualquer t.
2.6 Equaciies Exatas e Fatores Integrantes
Para equagOes de primeira ordem existent diversos metodos de integracao aplicaveis a vzirias classes de
problemas. As mais importantes são as equagOes lincares e as separaveis, que discutimos anteriormente.
Vamos considerar aqui unlit classe de equagOes, conhecidas como equagOes exatas, para as quais tambem
existe um metodo bent delinido de soluciio. Lembre-se, no entanto, de que essas equagOes de primeira
ordcm que podem ser resolvidas por metodos de in tegracao elementares sat) bastante especiais: a maioria
das equagOes de primeira ordcm nä° pode ser resolvida dessa ma neira.
EXEMPLO
Resolva a equacäo diferencial
2x + y 2 +
1
0.
(1)
A equacao nao e linear nem separzivel, de modo que nao podemos aplicar aqui os metodos adequados para
essas tipos de equagOes. En t retain°, note que a funci-io 1,11(x.y) = x 2 + xy 2 tern a propriedade que
a ip
2xy =
2.x, y- = a VI
(2)
ax
ay
Portanto, a equagab diferencial pode ser escrita como
Vi
avi dy
ax + ay
=
(3)
Supondo que y e uma fungdo de x e usando a regra da cadeia, podemos escrever a Eq. (3) na forma equivalente
dx
d 2
(-V
dx
xy2 ) = 0.
(4)
Portanto,
vi. ( x,y) = x2 + xy 2 =
(5)
onde c é uma constants arbitraria, e uma equacao que define as solucOes da Eq. (1) implicitamente.
Ao resolver a Eq. (1), o passo-chave foi o reconhecimento de que existe uma funcao iji que satisfaz a
Eq. (2). Mais geralmente; considers a equacilo diferencial
M (x,y)
N(x,y)y' = 0.
(6)
Suponha que podemos identificar uma funcão 1,11 tal que
alp
—
ax (x, y)= M(x,y),
ay.
(x, y) = N(x,y),
ay
(7)
EQUACOES DIrERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
e tal que 1A(x,y). c define y
73
implicitamente com p = it funcao diferenciavel de x. Entao
M(x,
,
N (x,y)y =
dy d
+— —
— lx , 0(x)]
ay dr dx
e a equacilo diferencial (6) fica
—dxfl x .4641
-0 = 0.
(8)
Nesse caso, a Eq. (6) é dita uma equacao diferencial exata. SolucOes da Eq. (6), ou da equacao equivalente
(8), sao dadas implicitamente por
Ilf(x,y)= C,
(9)
onde c 6 uma constante arbitraria.
No Exemplo 1 foi relativamente fOcil ver que a equacao diferencial era exata e. de fato, foi bell encontrar sua solucao reconhecendo-se a funcao desejada IA. Para equac O
- es mais complicadas pode nao ser
possivel fazer isso tao facilmente. 0 teorema a seguir nos fornece urn modo sistematico de determiner se
uma deterrninacla equacao diferencial e exata.
Teorema 2.6.1
Suponha clue as funcOes M,N,M,e N,, onde os indices denotam derivadas parciais, sao continuas em
uma regiao retangular u R: a < x < f3, y< y < S. Entao a Eq. (6)
M(x,y) N(x,y)y i = 0
uma equacao diferencial exata em R se, e somente se,
(10)
My(x.Y) = Nx( x ,Y)
em cada ponto de R. Isto e, existe uma funcao 1// satisfazendo as Eqs. (7),
1,fr.c( x4) = Alf (x 0; ),
zfr,.(x,y) = N(x, y),
se, e somente se, M e N satisfazem a Eq. (10).
A demonstracao dense teorema tem duas partes. Primeiro, vamos mostrar clue. se existe uma funcao0 tal
que as Eqs. (7) sao verdadeiras, entao a Eq. (10) é satisfeita. Calculando M,. e N, this Eqs. (7), obtemos
M,.(x,y ) = lifxv (x y),
Nx( x ,Y) = lifyx( x, y) .
(11)
tombal silo. Isso garante a igualdade dessas funcOes, e
e
Como M, e N, sao continuas, segue que
a Eq. (10) segue.
Vamos mostrar agora que se M e N satisfazem a Eq. (10), entao a Eq. (6) e exata. A demonstracao
envolve a construcao de uma funcao 1// satisfazendo as Eqs. (7)
?frx(x , y) = M(x, y).
1Ps(x,Y) =
Y)•
Comecamos in tegrando a primeira das Eqs. (7) em relacao a x, mantendo y constante. Obtemos
Nx,Y) = Q(x. v) + g(y),
(12)
onde Q(x, y) é qualquer funcao diferenciavel tal que ilQ(x, y)/dx M(x, y). Por exemplo, poderfamos
escolher
Q(x,y) = f M(s,y) ds,
(13)
onde xo e alguma constante especificada corn a < < /3. A funcao g na Eq. (12) é uma funcao diferencidvel arbitraria de y, fazendo o papel da constante de integracno. Agora precisamos mostrar que sempre
u Nao e essential que a regitio seja retangular, sti que seja simplesmente conexa. Em duas dimensOes isso signitica que nä°
ha buracos em scu interior. Assim, por exemplo, regioes circulares ou retangulares sao simplesmente conexas, mas regiOes
anulares nao. Maiorcs detalhes podem ser encontrados na maioria dos livros de calculo avancado.
74 CAPiTULO Dots
é possivel escolher g(y) de modo que a segunda das equacOes cm (7) seja satisfeita, isto e, quc
Derivando a Eq. (12) em relacao a y c igualando o resultado a N(x,y), obtcmos
t y (x,y) =
Q
= N.
(x,y) + g'(y) = N(x,y)•
Entao, resolvendo para g'(y), temos
g'(y) = N (x, y) — ay (x,y ) .
(14)
Para que possamos determinar g(y) da Eq. (14), a expressao a direita do sinal de igualdade na Eq.
(14), apesar do sua apan:.'ncia, tern que ser uma funcao so de y. Para verificar que isso é verdade, podemos
derivar a quantidade em questao em relacao a x, obtendo
aN
ax
Y) —
aaQ
x ' Y) •
ax ay (
(15)
Trocando a ordem das derivadas na segunda parcela da Eq. (15), temos
aN
ax
a aQ
ay ax
Y),
ou, como aQ/ax m,
am
aN
(x,y)
— x , y) —
ax (
,ay
que é zero devido a Eq. (10). Logo, apesar de sua forma aparente, a expressao a direita da Eq. (14) nao
depende, de fato, de x. Assim, encontramos g(y) integrando a Eq. (14): substituindo essa funciio na Eq.
(12), obtemos a funcao desejada 1P(x,y). Isso completa a demonstracao do Teorema 2.6.1.
E possivel obter uma expressiio explfcita para 1//(x, y) em termos de integrals (veja o Problema 17),
mas ao resolver equagOes exatas especflicas em geral ("; mais simples e facil repetir o procedimento usado
na clemonstracao precedente. Ou seja, integra mos lif„ M cm relacao a x, incluimos uma funcao arbitraria
g(y) em vez de uma constante arbitraria, depois di ferenciamos o resultado em relacäo aye o igualamos
a N. Finalmente, usamos essa Ultima equacao para resolver para g(y). 0 prOximo exemplo ilustra esse
procedimento.
EXEMPLO
Resolva a equacao diferencial
( v cos x + 2xeY ) + (senx -F x2 eY — 1)y' = 0.
2
Calculando
My
(16)
c N,, vemos quc
, = cosx + 2xeY = N., (x, y),
de modo quc a equacao dada é exata. Entao existe uma ;1f(x, y) tal que
(x, = y cos x
= senx + x2e! — 1.
Integrando a primeira dessas equacOes em relacao a x, obtcmos
(x ,y) = y sen x + x2 eY + g(y).
Fazendo
(17)
N, temos
Vfy (x. y) = sen x + x2 e'' + h'(y) = sen x x2eY — 1.
Assim, g'(y) = — 1 e g(y) = —y. A constante de integracao pode ser omitida, ja que qualquer solucäo da equacilo
diferencial precedente é satisfatOria; nao queremos a mais geral possivel. Substituindo gCv) na Eq. (17), obtemos
(x, y) = y sen x + x2 eY — y.
Portant°, as solucaes da Eq. (16) sao dadas implicitamente por
y sen x + x2 eY — y = c.
(18)
EQUACOES DIFERENCIAIS DE FIUMEIRN OFUDEM 75
EXEMPLO
Resolva a equacdo diferencial
(3xy + y 2 ) + (x2 + xy)/ = 0.
3
(19)
Te mos
My(x,y)= 3x + 2y,
Nx (x,y)= 2x + y;
ja que My. N„ a equacäo dada nä° a exata. Para ver que ela nAo pode ser resolvida pelo procedimento descrito
aqui, vamos procurar uma funcao tal que
>1' (x, = 3xy + y 2 ,
Integrando a primeira das Eqs. (20) obtemos
(20)
Ifry(x,y) = x 2 +xy.
0(x,y) = ;x 2y + xy2 + g(y),
(21)
onde g e uma lungdo arbitraria que so depende de y. Para tentar satisfazer a segunda das Eqs. (20), calculamos
da Eq. (21) e a igualamos a N, obtendo
+ 2xv + g'(y) =
xy
ou
g'(y) =
x2 — xy.
(22)
Como a expressao a direita do sinol de igualdade na Eq. (22) depende tanto de x quanto de y, a impossivel
resolver a Eq. (22) para g(y). Logo, nao ha funcao Cx.y) que satisfaca ambas as Eqs. (20).
Fatores Integrantes. Algumas vezes c possivel converter uma equacao diferencial que nao c exata em
uma exata multiplicando-se a equacilo por um fator integrante apropriado. Lembre-se de que esse foi o
procedimento que usamos para resolver equagOes lineares na Seci -to 2.1. Para investigar a possibilidade
de usar essa ideia em um context() mais geral. vamos multipliear a equacao
M(x, v) dx + N(.v,y)dy = 0
(23)
por ulna funcAo p c dcpois tentar escolher p de modo clue a equaciio resultants
it (x, y)M (x, v) dx + p(x,y)N(.v,y)dy = 0
(24)
seja exata. Pt:10 Teorema 2.6.1, a Eq. (24) 6 exata se e somente Sc
(p114),_
(pN)x.
(25)
Como Ill e N silo funcOes dadas, a Eq. (25) diz que o fator integrante p tem que satisfazer a equac5o diferencial parcial de primeira ordem
Mp,:—
+
(26)
= 0.
—
Se pudermos encontrar uma fur-10o p satisfazendo a Eq. (26), entäo a Eq. (24) sera exata. A solucao da
Eq. (24) pode ser obtida, ent5o, pelo mthodo descrito na primeira parte desta se.c5o:_A solucao encontrada desse modo tamb6m satisfaz a E . (23 'zi uc ()demos dividir a E
24 elo fator int - 'inns
ma equzi0o diferencial parent! da forma (26) pode ter mats de uma soluc5o. Nesse caso, qualquer
ulna delas pode ser usada coma um fator integrante para a Eq. (23). Essa possibilidade de nzio unicidade
do fator integrante esta ilustrada no Exemplo 4.
Infelizmente, a Eq. (26) que determina o fator integrante p é, em muitos casos, pelo menos tao diffcil
de resolver quanto a equacao original (23). Portztnto, embora em prinefpio o m6todo de fatores integrantes seja uma ferramenta poderosa para resolver equagOes diferenciais, na pratica s6 pode ser usado em
casos especiais. As situagOes mais importantes nas quail fatores integrantes simples podem ser encontrados ocorrem quando
uma funcao de so uma das variaveis x ou y, em vez de ambas. Vamos determinar
condicOes necessarias sobre M e N para que a Eq. (23) tenha urn fator integrante que so depende de x.
Supondo que p é ulna funczio so de x, temos
(uM)y
uNl y ,
= pNx + N
du
.
Assim, se (AM) y é igual a (AN) r, é necessärio que
du ,
dx
—
•
u.
(27)
76 CAPITULO DOTS
Nj/N é uma fungdo so de x, entao existe urn fator integrante it que tamb6m s6 depende de x.
Sc
Alem disco, pock ser encontrado resolvendo-se a Eq. (27), que c linear c
Urn procedimento semelhante pode ser usado para se determinar uma condictio sob a qual a Eq. (23)
tenha urn fator integrante que depende sO de y; veja o Problema 23.
(My
EXEMPLO
Encontre urn fator integrante para a equacao
(3xy + y2 ) + (x2 + xy)y' = 0
4
(19)
e depois resolva a equacao.
Mostramos, no Exemplo 3, que esta equacao nä° é exata. Vamos determinar se ela tem urn fator integrante
vemos que
que sO depende de x. Calculando (M,—
My(x,y) — N.,(x,y)
N(x, y)
3x + 2y — (2x + y)
1
=
x2 + Ay
Logo, existe urn fator integrante l2 que sO depends; de x e satisfaz a equacao diferencial
Entao
P = x.
Multiplicando a Eq. (19) por esse fator integrante, obtemos
(3x2y + xy') + (x3 + x2y)y' = 0.
Essa Ultima equacão c exata, e é facil mostrar que suas soluciies s5o dadas implicitamente por
1 .2 2
-
y = c.
X y
(32)
SolucOes explicitas tambern podem ser encontradas prontamentc, ja que a Eq. (32) é quadratica em y.
Voce pode verificar, tambal, que urn segundo fator integrante para a Eq. (19) é
it(x,
=
1
xy(2x y)'
e que a rnesma solucao é (Ankh', embora corn mais dificuldade, se este fator integrante for usado (veja o l'robierna 32).
PROBLEMAS Para cada equacao nos Problemas de 1 a 12. determine se é ela exata. Se for, encontre a solucdo.
(11: + 4y) + (2x — 2y)y' = 0
(2x + 3) + (2y — 2)y' = 0
(3x2 — 2xy + 2) dx + (6y2 — ± 3) dy = 0
(2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y' = 0
dv
ax — by
di
bx — cy
7. (e' seny — 2y sen dx + (ex cosy + 2 cos x) dy = 0 •
0(e seny + 3y) dx — (3x — seny)dy 0
(ye cos 2x — 2ev seri 2x + 2x)
+ (xe'Y cos 2x — dy = 0
x>0
(y/x + 6x) dx + (In x — dy = 0,
11. (x In y + xy)dx +(y In x + xy)dy = 0;
x > 0. y > 0
ydy
xdx
12. (r2 + y2)312
(x2. +y2)312 — 0
5.
try
dx
—
ax + by
bx f . cy
6.
Em cada urn dos Problemas 13 e 14, resolva o problem de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solucão é
(2x — y)dx + (2y — x)dy = 0,
y(1) = 3
(9x2 + y — 1) dx — (4y — x)dy = 0,
y(1) = 0
Em cada urn dos Problemas 15 e 16, encontre o valor de h para o qual a equacao dada é exata e depois a resolva
usando este valor de b.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PFUMEIRA ORDEM 77
15. (972 + bx 2 y) dx + (x + y)x 2 dy = 0
ye 2xY + x) dx + bxe l 'Y dy = 0
Suponha que a Eq. (6) satisfaz as condicaes do Teorema 2.6.1 em urn retangulo R e é. portanto, exata.
Mostre quc uma funcao Ilf(x,y) possivel e
y) = / M(s,yo)ds +
xo
N (x, d ,
Yo
onde (x0,y0) é um ponto em R.
Mostre que qualquer equacao separavel
(x) + N(y)y' = 0
tamb6m é exata.
Em cada um dos Problemas de 19 ate 22, mostre que a equacao dada nao e exata, mas torna-se exata quando
multiplicada por urn fator integrante. Depois resolva a equacao.
x2y3 + x(1 + y2 )yi = 0,
sen t'
2e sen .t dx +
y
p.(x,y)
1/xy3
(cos y + 2e' cos x dy 0,
y dx + (2x - yeY )dy = 0,
A Cr,
= ye
(x, y) = y
i(x,y)
(x + 2)seny dx + x cos y dy = 0,
Mostre quc, se (N, - My)/111 Q, onde Q é uma funcao so de y, entao a equaciio diferencial
M+
=0
tem um fator integrante da forma
p(y) = exp f Q(y)dy.
Mostre que, se (N,- tV1,)/(x
- yN) = R, onde R so depende do produto xy, entao a equacao diferencial
M + Ny' = 0
tem um fator integrante da forma si(xy). Encontre uma fOrmula geral para este fator integrante.
Em cada um dos Problemas de 25 a 31, cncontre um fator integrante e resolva a equacao.
+y-1
25. (3x2 y + 2xy + y3 ) dx + (V 2 + y2 ) dy = 0 26. y' =
28. y dx + (2xy - e -2Y )dy = 0
27. d.v + (x/y - seny)dy = 0
e dx + (ex cot y + 2y csc y) dy = 0
[4(x3 /y2 ) (3/y)1 dx +13(x/y 2 ) + 4y1 dy = 0
=0
ax
Sugesttio: veja o Prohlerna 24.
Resolva a equacao diferencial
(3.r + 6 +
Y
Y
+
(3xy + y2 ) + (x + xy)y' = 0
usando o fator integrante it(x, y) = [xy(2x + y)]-'. Veritique que a solucao e a mesma obtida no Exemplo 4
corn um fator integrante diferente.
2.7 Aproximaciies Numericas: o Metodo de Euler
Lembre dois fatos importantes sobre o problema de valor inicial de primeira ordem
dy
—
dt
f( t , y),
y(to) = Yo .(1)
Primeiro, se f e Of /ay sao continual, entao o problema de valor inicial (1) tem uma Unica solucäo y
em algum intervalo contendo o ponto inicial t = to. Segundo, nao 6 poss1vel, em geral, encontrar a solucao
•
78 CAPITULO Dots
por manipulacOes simbOlicas da equacdo diferencial. Consideramos, ate agora, as principais excecOes
a essa Ultima afirmacAo: equace•es diferenciais que s'ao lineares, separaveis ou exatas, ou que podem ser
transformadas em urn desses tipos. Apesar disso, ainda e verdade que solucifies da grande maioria de
problcmas de valor inicial de primeira ordem nao podem ser encontradas por metodos analfticos como
os considerados na primeira parte deste capftulo.
E importante, portanto, ser capaz de abordar o problema de outras maneiras. Como jA vimos, uma
dessas maneiras é desenhar o campo de dirccOes para a equacao diferencial (o que não envolve resolver
a equac5o) e dcpois visualizar o comportamento das solucOes a partir do campo de direcOes. Esse metodo
tern a vantagem de ser relativamente simples, mesmo para equacties diferenciais complicadas. No entanto, niio serve para calculos quantitativos ou comparacOes, o que é, muitos vezes, uma deficiencia crftica.
Por exemplo, a Figura 2.7.1 mostra urn campo de direcOes para a equacdo diferencial
dy
dt
= 3 — 2t —
(2)
Do campo de dire:0es voce pode visualizar o comportamento de solugOes no retangulo ilustrado na figura. Uma solucao comecando em um ponto no eixo dos y inicialmente aumenta corn t, mas logo atinge urn
valor maximo e comeca a diminuir enquanto t continua aumentando.
Voce tambem pode observar na Figura 2.7.1 que muitos segmentos de retas tangentes em valores
sucessivos de t quase se tocam. Basta so urn pouco de imaginacao para, comecando em um ponto no eixo
dos y e unindo os segmentos para valores sucessivos de t na malha, produzir urn grafico linear por partes.
Tal grafico seria aparentemente uma aproximacäo de uma solucäo da equaczio diferencial. Para transformar essa ideia em um metodo Litil de geracio de solucOes aproximadas precisamos responder a diversas
perguntas, inclusive as seguintes:
Podemos efetuar essa uniiio de segmentos de retas tangentes de modo sistematico e direto?
Em caso afirmativo, a funciio linear por partes resultante fornece uma aproximaciio para a solucao de fato
cla equac1io diferencial'?
3. Em caso afirmativo, podemos descobrir a preciszio da aproximaciio? Ou seja, podemos estimar o quo
longe a aproximacao estri da solucilo'?
Ocorre que a resposta a cada uma dessas perguntas é afirmativa. 0 metodo resultante foi desenvolvido
por Euler em torno de 1768, c e conhecido como o metodo da reta tangente, ou metodo de Euler. Vamos
tratar as duns primeiras perguntas nesta sec5o, mas adiaremos uma discussdo sistematica da terceira pergunta ate o Capitulo 8.
Para ver como o metodo de Euler funciona, vamos considerar como poderfamos usar retas tangentes
das Eqs. (1) perto do t = to. Sahemos que a solucAo contem o ponto
para aproximar a solucao y =
inicial (to, y„), e da equaciio diferencial tambem sabemos que a inclinacâo nesse ponto e f (to,y,)). Podemos
entäo escrever uma equaciio para a reta tangente a curva-solucäo cm (GA), a saber,
y
....,////
'7,-,-,--
---.--..--..."..\ \ \ \ \ \ \ \ \ \
----- ---..-..N \ \ \ \ \ \ \ \ \
-----....-n\ \ \ \ \ \ \ \ \
rz......-,----...---\
\ \\ \ \ \ \ \
/r......-...-----------..--,
\\\\\\\\\
/r./...------------------,-.N\
/r,....--....----------...-....-.
n \ \\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\
//,.......--/---------,-,,'.\\
/,../...../..---2 / / / / ,- ,...-_--------,......,..., ., \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ \\ \\ \\ \\
------..-.\\\\\\\
/////..--------////,..,,,,,--_—_-----_,-,-,
n,\\\\\ \ \ \\ \\ \\ \\ \\ \\
/ //.r.-----.------------------,-...,,,\,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
.,-.....-----\\\\\\\\\\\\
///r./..-----,_
..--.\\\\\\\\\\\\
////,-----..---------_,n
1 //////,-,-,----,
////
----------\
\
/ / / / . / ..--. ------ --------------..-... •., \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
/////--------------.:\MM
//////r
.-- ----,_
----...-N\\\
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--:::-...:
...
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...-...+...--------------..>„-.N
,..-1,...-----////////,......./...--------,,,,„.„.„\\"\\\
/////////,,,,,,,_—_---,,,,,N\\\\\\\
// // ///// // // // //,,,-_-_-_—_--------,,,,x,\
////----------------N \ \ \\ \\ \\ \\
\
---,..„.„..,..„\\.\\\\
/////////,....-------/,////////,v,------.---..........„...„NN\\\\\
////////,,,,...„...., —..-----..--.,..N\.\\\\\
FIGURA 2.7.1 Um campo de direcOes para a Eq. (2).
EQ UA CO ES D IFERENCIAIS DE P RIMEIM O RDEM
79
y = y e + f(te,y0 )(t — to).
(3)
A reta tangente é uma boa aproximacao da curva-solucao em urn intervalo suficientemente pequeno, de
modo que a inclinacao da solucao nao vane apreciavelmente de seu valor no ponto inicial; veja a Figura
2.7.2. Ou seja, se t, esta suficientemente pr6ximo de t„, podemos aproximar 0(0 pelo valor y, determinado substituindo-se t = t, na aproximacao pela reta tangente em t t o; assim,
(4)
y i = yo +f ( to,Yo)(ti - to).
y
Reta tangente
y y 0 + f(to, yo) (t - to)
Y1
Solucão
y =0(t)
0(t1)
yo
to
t
ti
FIGURA 2.7.2 Aproximactio pela reta tangente.
Para prosseguir, vamos tentar repetir o processo. Intelizmente nao sabemos o valor 0(t,) da solucao
em 1,. 0 melhor que podemos fazer e usar o valor aproximado y,. Assim, construlmos a reta que contem
(t,„v,) corn coeficiente angular f (thy,),
— 11).
y = yt + f
(5)
Para aproximar o valor de OW em um ponto prOximo t 2, usamos a Eq. (5), obtendo
y2 =
+ f(t i ,y 1 )(12 -
(6)
Continuando dessa maneira, usamos o valor de y calculado em cada passo para determinar o coeficiente angular para o prOximo passo. A expressao geral para a reta tangente comecando em (t„, y„) é
y = yn + f y ou — tn);
portant°, o valor aproximado
em t„,, em termos de t„,
e y„ é
n = 0, 1 2
y„ +1 = y„ + f(t„,y„)(t„.f., - t„),
Sc introduzirmos a notac5of,
(7)
(8)
(t„, y„), podemos escrever a Eq. (8) como
Yn+i = yn + fn ' ( I n+1
11 -=
tn),
0, 1, 2, ....
Finalmente, se supusermos que o tamanho do passo h c constante entre os pontos to, t,, t2,...,entao
(9)
= 1,,
+ 11 para cada n e obteriamos a formula de Euler na forma
y,,
+ fnh.
n = 0, I, 2, ....
(10)
Para usar o metodo de Euler, simplesmente calcule a Eq. (10) ou a Eq. (9) repetidamente, dependendo
se o tamanho do passo é constante ou nao, usando o resultado de cada passo para executar o prOximo
passo. Desse modo, voce gera uma sequencia de valores y,, v', y3, ... que aproximam os valores da soluSc voce precisa de uma funcao, em vez de uma sequencia de pontos, para
cao OW nos pontos t,, 1,, is,
voce pode usar a funcao linear por partes construida da colccao de segmentos
aproximar a solucao
de retas tangentes. Ou seja, y é dada no intervalo lto.t,1 pela Eq. (7) com 11= 0,y é dada no intervalo [11,121
pela Eq. (7) corn n i.e assim por diante.
EXEMPLO
1
Considere o problem de valor inicial
tly,
= 3 - z.1 - ZY,
dt
y(0)
1.
(11)
80 CAPiTULO DOTS
Use o metodo de Euler corn passos de tamanho h = 0,02 para encontrar valores aproximados da solucdo das
Eqs. (11) em t = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 e 1. Compare-os corn os valores correspondentes da solucao exata do problema
de valor inicial.
Note que a equacdo diferencial no problema de valor inicial dado é a que esta na Eq. (2). Essa equacdo
linear, de modo que pode ser resolvida, como na Secao 2.1, usando o fator integrante 2. A solucdo resultante
do problema de valor inicial (11)
= 14 - 4t - 13e-(12 .
y=
(12)
Para aproximar essa solucdo pelo metodo de Euler. note que f (t.y) = 3 - 2t - y12 nesse caso. Usando os valores
iniciais = 0 e yo = 1, encontramos
fo = f (to, yo)
f(), 1) = 3 - 0 - 0,5 = 2,5
e entdo, da Eq. (3), a aproximacdo pela rota tangente perto de t = 0 e
1 + 2.5(t - 0) =1 + 2.5t.
y
(13)
Fazendo t = 0.2 na Eq. (13), encontramos o valor aproximado y, da solucão em t = 0,2, a saber,
y i = 1 + (2,5)(0.2) = 1.5.
No prOximo passo, temos
= f(0,2; 1,5) = 3 - 2(0,2) - (0,5)(1,5) = 3 - 0.4 - 0,75 = 1,85.
Entdo a aproximacao pela reta tangente perto de t = 0,2
y= 1.5 + 1,85( 1- 0,2)= 1,13+ 1 ,851.
(14)
Calculando a expressdo na Eq. (14) para t = 0,4, obtemos
y2 = 1.13 ± 1,85(0.4) = 1.87.
Repetindo esse procedimento mais trés vezes, obtemos os resultados na Tabela 2.7.1.
A prilneira coluna content Os valores de t que aumentam conform o tamanho do passo h = 0,2. A terceira
coluna mostra os valores correspondentes de y, calculados pela fOrmula de Euler (10). Na quarta coluna estdo
as aproximacOes pela reta tangente dadas pela Eq. (7). A segunda coluna content os valores da solucao (12)
do problema de valor inicial ( 1 I ), correta ate cinco casas decimals. A solucao (12) e a aproximaciio pela reta
tangente tambem estdo desenhadas na Figura 2.7.3.
Da Tahcla 2.7.1 e da Figura 2.7.3, vemos que as aproximacOes dadas pelo metodo de Euler para este problema sao maiores do que os valores correspondentes da solucao de fato. Isso ocorre porquc o graft() da solucdo
6 cOncavo e, portanto, a aproximacao pela reta tangente flea acima do grzifico.
TABELA 2.7.1 Resultados do Metodo de Euler com h = 0,2 para
y' = 3 - 2t - zy, y(0) = 1
Exata
0,0 1,0000(1
.
1,43711
0,2
1,75650
0,4
0,6
1,96936
2,08584
0,8
2,11510
1,0
Euler
corn It = 0,2
1,00000
1,50000
1,87000
2,12300
2,27070
2,32363
Reta Tangente
y = 1 + 2,5t
y = 1,13 + 1,851
y = 1,364 + 1,265t
y = 1,6799 + 0,7385t
y = 2.05898 + 0,26465t
A precisào das aproximacOes neste exempt() ndo é boa o suficiente para ser satisfat6ria em uma aplicacdo cientitica ou de engenharia tipica. Por exemplo, em t = 1 o erro na aproximacdo 6 2,32363 - 2,11510 =
0,20853, quo 6 urn erro percentual em torno de 9,86% cm relacdo a solucao exata. Urn modo de obter resultados mais precisos é usar urn tamanho de passo menor, corn urn aumento correspondents no nUrnero
de passos a serem calculados. Exploraremos essa possihilidade no prOximo exemplo.
TE
EQ UA CO ES D IEERENCIAIS DE P RIMEIRA O RDEM 81
y
2,4
Reta tangente
fte
2
Solucäo
1.6
1,2
1 t
0,6
0,8
0.4
0.2
FIGURA 2.7.3 G Oleos da solucao c da aproximaciio pela reta tangente para o problema de valor inicial ( I 1).
E clan) que calculos como os do Exemplo 1 e dos out ros exemplos nesta seciio sâo feitos, em geral, em
urn computador. Alguns pacotes incluem cOdigo para o metodo de Euler, outros niio. Dc qualquer jeito,
pode-se escrever facilmentc um programa de computador que Lica os calculos necessarios para produzir
resultados como os da Tahela 2.7.1. Basicamente, o que precisamos é de urn lac° que calcule a Eq. (10)
repetidamente, junto corn instrucOes adequadas para entrada e saida. A saida pode ser until lista de ntimeros, como na Tahela 2.7.1, ou um grafico, como na Figura 2.7.3. As instructies especilicas pociem ser
escritas ern qualq ue r linguagem de programaciio de alto nivel que voce conheca.
EXEMPLO
2
Considere novamente o problem de valor inicial ( II)
- 2t y(0) = 1.
dt
Use o metodo de Euler corn diversos tamanhos de passos para calcular valores aproximados da soluciio para 0
< t < 5. Compare os resultados calculados corn os valores correspondentes da solucao exata (12)
y = 0(0= 14 - 41 - 13e'2.
Usamos passos de tamanho It = 0,1: 0,05: 0,025 e 0,01, correspondendo, respectivamente, a 50, 100, 200 e 500
passos para it de t = 0 at t = 5. Os resultados desses calculos estäo apresentados na Tahela 2.7.2, junto corn os
valores da soluc5o exata. Todos os elementos foram arredondados para quatro casas decimals, embora tenham
sido utilizadas mais casas decimals nos calculos intermediarios.
TABELA 2.7.2 Comparaciio entre a So!Kat) Exata c Os Resultados do Metodo de
Euler para Diversos Tamanhos de Passos h para y' = 3 - 2t - Zy, y(0) = 1
0.0
1,0
2,0
3.0
4.0
5,0
Exata
h = 0,1
It = 0,05
It = 0,025
h = 0,01
1,0000
2,1151
1,2176
-0.9007
-3,7594
-7,0671
1,0000
2,2164
1,3397
-0,7903
-3,6707
-7,0003
1.0000
2,1651
1.2780
-0,8459
-3.7152
-7,0337
1,0000
2,1399
1,2476
-0,8734
-3,7373
-7,0504
2,1250
1,2295
-0,8898
-3,7506
-7,0604
1,0000
Que conclusOes podemos tirar dos dados na Tabela 2.7.2? A observacao mais importante é que para urn valor fixo de t os valores aproximados tornam-se mais precisos quando o tamanho do pass) Ir diminui. Voce pode
82 CAPiTULO Dols
ver isso lendo uma determinada linha na tabela da esquerda para a direita. E claro que isso é o que esperavamos, mas é encorajador que os dados confirmem nossa expectativa. Por exemplo, para t = 2 o valor aproximado
com h = 0,1 é major por 0,1221 (em torno de 10%), enquanto o valor com It = 0,01 é major por apenas 0,0119
(cerca de 1%). Nesse caso, dividir o tamanho do passo por 10 (executando 10 vezes mais calculos) tambem
divide o erro por cerca de 10. Comparando os erros para outros pares de valores na tabela, voce pode verificar
que essa relacdo entre tamanho do passo e erro tambem e valida para eles: dividir o tamanho do passo por urn
mimero tambem divide o erro por aproximadamente o mesmo ntimero. Isso significa que, para o metodo de
Euler, o erro é aproximadamente proporcional ao tamanho do passo? E claro que urn excmplo nao estabelece
tal resultado geral, mas é uma conjectura interessante, pelo menos.'s
Uma segunda observacao que podemos fazer a partir da Tabela 2.7.2 é que, para urn tamanho de passo
dado h, as aproximacOes tornam-se mais precisas quando t aumenta, pelo menos para t > 2. Por exemplo,
para h = 0,1, o erro em t = 5 e so de 0,0668, pouco mais de metade do erro em t = 2. Voltaremos a esse
assunto mais tarde, nesta secao.
0 metodo de Euler parece funcionar bem para este problema. S5o obtidos resultados razoavelmente
bons mesmo para urn tamanho de passo moderadamente grande h = 0,1, e a aproximacao pode ser melhorada diminuindo-se It.
Vamos ver outro exemplo.
EXEMPLO
Considere o problema de valor inicial
dy
= 4 - t + 2y,
dt
3
y(0) = 1.
(15)
A solucao geral desta equacao diferencial foi encontrada no Exemplo 2 da Secäo 2.1, e a solucAo do problema
de valor inicial (15) é
(16)
Use o metodo de Euler corn diversos tamanhos de passos para encontrar valores aproximados da solucao no
intervalo 0 < t < 5. Compare os resultados corn os valores correspondentes da soluclIo (16).
Usando os mesmos tarnanhos de passos que no Exemplo 2, obtemos os resultados apresentados na Tabela
2.7.3.
TABELA 2.7.3 Comparacao entre a Solucao Exata e os Resultados do Metodo de Euler
para Diversos Tamanhos de Passos h para y' =4 -I +2y, y(0) =I
0.0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
Exata
h = 0.1
h = 0.05
h = 0.025
1,000000
19,06990
149,3949
1109,179
8197,884
60573,53
1,000000
15,77728
104,6784
652,5349
4042,122
25026,95
1,000000
17,25062
123.7130
837,0745
5633.351
37897,43
18,10997
135,5440
959,2580
6755,175
47555,35
1,000000
h = 0,01
1,000000
18,67278
143,5835
1045,395
7575,577
54881,32
Os dados na Tabela 2.7.3 confirmam, novamente, nossa expectativa de que para um valor dado de t a preaumenta quando o tamanho do passo é reduzido. Por exemplo, para t = 1 o erro percentual diminui de
17,3% quando h = 0,1 para 2,1% quando h = 0,01. Entretanto, o erro aumenta razoavelmente rapido quando t
aumenta para um /z fixo. Mesmo para h = 0,01,o erro em t = 5 é de 9,4% e é muito major para tamanhos de passos maiores. E claro que a precisao necessaria depende dos objetivos, mas os erros na Tabela 2.7.3 sao grander
demais para a maioria das aplicacOes em ciéncias ou engenharia. Para melhorar a situactlo, poder-se-ia tentar
passos menores ou restringir os calculos a um intervalo bem curto contendo o ponto inicial. Apesar disso, é
claro que o metodo de Euler é muito menos eficaz neste exemplo do que no Exemplo 2.
Para entender melhor o que esta acontecendo nesses exemplos, vamos considerar de novo o metodo
de Euler para o problema de valor inicial geral (1)
dy
dt
f(t, y),
y(to) = yo,
'811ma discussao mais detalhada dos erros ao se utilizar o metodo de Euler aparece no Capitulo 8.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
83
cuja solucão denotaremos por 4(t). Lembre-se de que uma equacão diferencial de primeira ordem tern
uma familia infinita de solucOes, indexada por uma constants arhitrziria c, e quo a condicäo inicial seleciona urn elemento dessa familia, determinando o valor de c. Assim, na familia infinita de solucOes, OW é a
que satisfaz a condicdo inicial 0(t„) = yo.
No primeiro passo, o metodo de Euler usa a aproximacAo pela reta tangente ao grtifico de y =
que
contdm o ponto inicial (te , yo), e isso produz o valor aproximado y i em t,. Em geral, y, ck(t,), de modo
que, no segundo passo, o metodo de Euler näo usa a reta tangente a solucdo y = 0(t), usa a reta tangente a
uma solucão prOxima y = 0,(f) que contem o ponto (t 1 , y 1 ). E isso acontece nos passos se guintes. 0 metodo
de Euler usa uma sucess d- o de aproximacOes pelas retas tangentes a uma sequencia de solucOes diferentes 0(t), 0,(t). 0 2 (t). da equacao diferencial. Em cada passo constrOi-se a reta tangente a uma solucäo
contendo o ponto determinado polo resultado do passo precedents, como ilustrado na Figura 2.7.4. A
qualidade da aproximacäo depois de muitos passos depende fortemente do comportamento do conjunto
de solucOes contendo os pontos (t„, y„) para n = 1, 2,3, ....
y
Y 02(t)
(t2 , y2)
(13, y3)
(ti, y1)
y— 0 (1)
= 01(t)
yo
to
t2
1
t3
FIGURA 2.7.4 0 metodo de Euler.
No Exemplo 2 a soluc5o geral da equacão cliferencial era
y = 14 - 4t + ce -`12
(17)
e a solucao do problema de valor inicial (11) correspondia a c = -13. A familia de solucaes (17) é uma
familia convergente, jä quo o termo envolvendo a constants arbitrtiria tende a zero quando t
oc. Nao
faz muita diferenca quais solucOes estdo sendo usadas para o czilculo das retas tangentes no metodo de
Euler, jzi quo todas as solucOes est5o ficando cada vez mais prOximas quando t aumenta.
For outro lado, no Exemplo 3 a solucao geral da equacao cliferencial era
y=
F + ce2` ,
( 18)
e essa e uma familia divergente. Note que as solucOes correspondendo a dois valores prOximos de c
tornam-se arbitrariamente longe uma da outra quando t aumenta. Tentamos seguir a solucäo para c =
11/4 no Exemplo 3, mas ao usar o metodo de Euler em cada passo estdvamos seguindo outra solucdo que
se afastava da soluc5o desejada cada vez mais rapidamente corn o aumento de t. Isso explica por que os
erros no Exemplo 3 s5o tdo maiores que os existentes no Exemplo 2.
Ao usar urn procedimento numeric° Como o metodo de Euler, voce tern que sempre ter em mente o
problema da precisäo da aproximacdo, se cla é suficientemente boa para ser dtil. Nos exemplos precedentes, a precisdo do metodo numeric° Ode ser determinada diretamente por comparactio corn a solucão
obtida analiticamente. E claro que, ern geral, nä° existe uma solucäo analitica disponivel quando se usa
urn metodo numeric°, de modo que a necessdrio obter cotas, ou, polo menos, estimativas para o erro que
não dependam do conhecimento da solucdo exata. Voce tambem deve se lembrar de que o melhor que
podemos esperar de uma aproximacäo numerica é que ela reflita o comportamento da solucao. Assim,
um elemento do uma familia divergente de solucOes sera sempre mais dificil de ser aproximado de que
um elemento do uma familia convergente.
Se quiser saber mais sobre aproximacOes numericas de solucOes de problemas de valor inicial, voce
pode it diretamente para o Capitulo 8. Apresentamos ali alguma informacäo sobre a andlise de erros e
discutimos, tambem, diversos algoritmos muito mais eficientes computacionalmente do que o metodo de
Euler.
84 CAPITULO DOTS
PROBLEMAS
Muitos dos problemas nesta secäo requerem calculos numéricos bastante extensos. A quantidade de calculos
razoavel para voce depende fortemcnte do tipo de equipamento computational que tern. Alguns poucos passos
dos calculos necessarios podem ser fcitos cm praticamente todas as calculadoras — ou ate a mao, se necessario.
Para fazer mais, sera desejavel pelo menos uma calculadora programavel. E para alguns problemas pode ser
necessaria a utilizaciio de um computador.
Lembre-se tambem do que resultados numericos podem variar urn pouco, dependendo de como seu programa
foi desenvolvido e de como scu computador calcula as operacOes aritmeticas, os arredondamentos, etc. Pequenas variacOes na Ultima casa decimal podem aparecer por essas causas, e nä° inclicam que alguma coisa esta
necessariamente crrada. As respostas ao final do livro sao dadas corn seis casas decimais na maioria dos casos,
embora os calculos intermediarios tenham sido feitos corn mais casas clecimais.
Em cada um dos Problemas de 1 a 4:
Encontre valores aproximados da solucdo do problema de valor inicial dado cm t = 0,1; 0,2;0,3 e 0,4 usando
o metodo de Euler corn It = 0,1.
Repita o item (a) corn It = 0,05. Compare os resultados corn os encontrados no item (a).
Repita o item (a) corn It = 0,025. Compare os resultados corn os encontrados nos itens (a) e (b).
em t = 0,1; 0.2:0,3 e 0,4. Compare esses valores
Encontre a soluciioy = q5(t) do problema dado e calcule
corn os resultados de (a), (b) e (c).
y(0) = 1
02 2. y' = 2y — 1,
y.(0) = 1
1. y' = 3 + t — y,
2y,
4.
y'
=
3
cos
t
—
3. y' = 0,5 — t + 2y,
y(0) = 1
y(0) = 0
02
Em cada um dos Problemas de 5 a 10, desenhe um campo de direcOes para a equaciio diferencial dada e diva
se as solucOes estiio convergindo ou divergindo.
5. y' = 5 — 3,g
7. y' = (4 — ty)/(1 + y2)
2,
6. y' = y(3 — ty)
4•2, 8. y' = —ty + 0,1y'
9. y' = t 2 + y2
Io. y' = (y2 + 2ty)/(3 + t2)
Em cada um dos Problemas de 11 a 14, use o metodo de Euler para encontrar valores aproximados da solucao
do problema de valor inicial cm t = 0,5; 1; 1,5;2;2,5 e 3.
(a) Com h = 0,1.
(b) Com h = 0.05.
(c) Corn It = 0,025.
(d) Com h = 0,01.
402
1
y' = 5 — 3,g,
y(0) = 2
02
y' = y(3 — ty),
y(0) = 0.5
y' = (4 — ty)/(1 + y2 ),
y(0) = —2
402,
492 14. y' —ty + 0,1y3 ,
y(0) = 1
e, 15. Considere o problema de valor inicial
y' = 3t 2 /(3y2 — 4),
y(1) = 0
Use o metodo de Euler corn It = 0,1 pars obter valores aproximados da soluc.fio cm t = 1,2; 1,4; 1,6 e 1,8.
Repita o item (a) corn It = 0,05.
(c) Compare Os resultados dos itens (a) e (b). Note que des estão razoavelmente prOximos para t = 1,2;
1,4 e 1,6, mas sao muito diferentes para t = 1,8. Note tambem (da equac5o diferencial) que a reta
tangente a solucao e paralela ao eixo dos y quando y = ±2/0 ti ±1,155. Explique como isso pode
acarretar tal diferenca nos valores calculados.
02 16. Considere o problem de valor inicial
y = ( 2. + y 2 ,
y(0) = 1.
Use o metodo de Euler corn it = 0,1; 0,05; 0,025 c 0,01 para explorar a soluc a- o deste problema para 0 <
t < 1. Qual sua melhor estimativa para o valor da solucão em t = 0,8? E em t = 1? Seus resultados estao
consistentes corn o campo de clireceics no Problem 9?
02, 17. Considere o problema de valor inicial
y = (y 2 2ty)/(3 + t2 ),
y(1) = 2.
Use o metodo de Euler corn h = 0,1; 0,05; 0,025 e 0,01 para explorar a solucäo deste problema para 1 <
t < 3. Qual sua melhor estimativa para o valor da solucao em t = 2,5? E em t = 3? Seus resultados estäo
consistentes corn o campo de direcOes no Problema 10?
02 18. Considers o problema dc valor inicial
EQUACOES DIEERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
85
Y = -ty + 0,1y 3 •y(0) =
onde a 6 urn nOrnero dado.
(a) Desenhe um campo de clirecOes para a equac5o diferencial (ou examine de novo o campo no Problema 8). Observe que existe urn valor critico de a no intervalo 2 < a < 3 que separa as solucaes convergentes das divergentes. Chame esse valor critico de a„.
(h) Use o metodo de Euler corn h = 0,01 para estimar ao. Faca isso restringindo a, a urn intcrvalo [a, b]
onde b - a = 0,01.
•4?, 19. Considere o problerna de valor inicial
= y2
t2,
y(0) = a,
onde a é um nnmero dado.
Desenhe urn campo de direceles para a equacao diferencial. Observe que existe um valor critico de a
no intervalo 0 < a < 1 que separa as solticOes convergentes das divergentes. Chame esse valor critico
de a„.
Use o metodo de Euler corn h = 0,01 para estimar a„. Faca isso restringindo at, a um intervalo [a, b]
onde b - a = 0,01.
20. Convergèneia do IVIêtodo de Euler. Pode-se mostrar que, sob condicOes adequadas para f, a aproximacao
numerica gerada pelo metodo de Euler para o prohlema de valor inicial v' = (t.y),y(t„) = y„ converge para
a soluciio exata quando o tamanho h do passo diminui. Isso esta ilustrado no exemplo a seguir. Considere
o problerna de valor inicial
y' = 1 - t + y. y(to) =
(a) Mostre quc a solucdo exata e v =
= (y„ - t„ )e` + t.
(h) Usando a fOrmula de Euler, mostre que
+h - Inkk = 1, 2
,vk = (1 +
Observando que y, = (1 + h)(y„ - t„) + 1,, mostre por induciio quc
y,, = (I + 11)"(yo — to) + r„
(I)
para cada inteiro positivo n.
Considere um ponto fixo t > e, para a dado, escolha h = (t - k)'a. EnGio t„ = t para todo a. Note
x. Substituindo h na Eq. (i) e fazendo n
tambem que h -4 0 quando n
x, mostre clue y„ 0(t)
quando n -+
Sugesaio: lim (1 + a/a)" =
Em cada urn dos Prohlemas de 21 a 23, use a tecnica discutida no Problem 20 para mostrar que a aproximacäo
obtida pelo metodo de Euler converge para a solu45o exata em qualquer ponto fix° quando h
0.
21. y' = y,
y(0) =1
y = 2y - I,
y' = - t + 2y,
y(0) = 1
Sugesaio:
y(0) = 1
= (1 + 21)/2 + 1/2
Sugesulo: yr = (1 + 2h) +
2.8 0 Teorema de Existencia e Unicidade
Vamos discutir, nesta secäo, a demonstracâo do Teorema 2.4.2, o teorema fundamental de existëncia e
unicidade para problemas de valor inicial de primeira ordem. Este teorema diz que, sob certas condicOes
sobre f (t, y), o problem de valor inicial
Y = f (t, y),y ( to) = yo
(1)
tern uma Unica solucäo em algum intervalo contendo o ponto t„.
Em alguns casos (por exemplo, se a equacäo diferencial for linear), a existéncia de uma solucäo para
o problema de valor inicial (1) pode ser estabelecida diretamente resolvendo-se o problema e exihindose uma formula para a solucào. No entanto, essa ahordagem nä° a factivel em geral, pois ndo existe um
metodo de resolucäo de equagOes diferenciais que se apliquc a todos os casos. Portanto, para o caso geral
86 CAPITULO DOTS
é necessririo adotar ulna abordagem indireta que demonstre a existacia de uma solucao para as Eq. (I),
mas que, normalmente, nao fornece um modo pratico para encontra-la. 0 ponto crucial desse metodo é
a construcrio de uma sequéncia de fungOes que converge a uma funcrio limite satisfazendo o problema
de valor inicial, embora os elcmentos individuais da sequéncia nao o satisfacam. Como regra geral, a impossivel calcular explicitamente mais do que alguns poucos elementos da sequ'Oncia; portanto, a fungao
limite so pode ser determinada em casos raros. Apesar disso, sob as restricOes sobre f (t, y) enunciadas
no Teorema 2.4.2 é possivel mostrar que a sequncia em questa° converge e que a funcäo limite tern as
propriedades desejadas. 0 argumento é razoavelmente complicado e depende, em parte, de tecnicas e resultados normalmente encontrados pela primeira vez em cursos dc calculo avangado. Em conseque'ncia,
nab entraremos em todos os detalhes • da demonstragao aqui; indicaremos, no entanto, suas caracterfsticas
principais c apontaremos algumas das dificuldades envolvidas.
Em primeiro lugar, note que e suficiente considerar o problem no qual o ponto inicial (to , yo) é a origem; ou seja, vamos considerar o problema
y' = f (t, y),
y(0) = 1).
(2)
Se for dado algum outro ponto inicial, entao sempre podemos fazer uma mudanga de variaveis preliminar, correspondendo a translacao dos eixos coordenados, que lev y o ponto dado (GM para a origem. 0
teorema de existencia e unicidade pode ser enunciado agora da seguinte forma.
Teorema 2.8.1
Se f e of /ay sao continual cm urn retangulo R: Iti < a, lyl < b, entao existe algum intervalo Itl < h < a
no qual existe uma Unica solugao y = q5 (t) do problem de valor inicial (2).
Para provar esse teorema, c necessario colocar o problem de valor inicial (2) em uma forma mais
convenientc. Se supuscrmos, temporariamente, que existe uma funcao y = (t) que satisfaz o problema
de valor inicial, entaof [t. (0] e uma fungrio continua que so depende de t. Logo, podemos integrar y' =
f (t, y) do ponto inicial t = U ate um valor arbitnirio de t, obtendo
OM= f f Es, 0(s)1 ds,
(3)
onde usamos a condicao inicial ch (0) = 0. Usarnos tamb6m s para denotar a varizivel de integracao.
Como a Eq. (3) contém uma integral da fungao desconhecida (/), ela c chamada de equagao integral.
Essa equacao integral nao 6 uma fOrmula para a solugao do problema de valor inicial, mas fornece outra
relagrio que e satisfeita por qualquer solucao das Eq. (2). Reciprocamente, suponha que existe uma funcao continua y = 0 (t) que satisfaz a equacao integral (3); entao essa funcao tamb6m satisfaz o problema
de valor inicial (2). Para mostrar isso, substituimos, primeiro, t por zero na Eq. (3), o que mostra que a
condicao inicial é satisfeita. Al6m disso, como o integrando na Eq. (3) 6 continuo, segue do teorema fundamental do crilculo que 0 é diferencirivel c (1) ' (t) = f [t, 0 (t)]. Portanto, o problema de valor inicial e a
equacao integral sac) equivalentes, no sentido de que qualquer solucao de um desses problemas tambem
6 solugao do outro. E mais conveniente mostrar que existe uma Unica solucao da equagao integral cm
algum intervalo Itl < h. A mesma conclusäo sera válida, entao, para o problem de valor inicial.
Um m6todo para mostrar que a equacao integral (3) tem uma Unica solucao e conhecido como meludo das aproximagiies sucessivas on me:0d° de iteragao de Picard.'' Ao usar esse metodo, comegamos
escollienclo uma funcao inicial 0„, arbitrriria ou que aproxima, de alguma forma, a solugao do problema
de valor inicial. A escolha mais simples 6
Oaf) = 0;
(4)
entao 0,) pelo menos satisfaz a condicao inicial nas Eqs. (2), embora, presume-se, nä° satisfaca a equacao
diferencial. A prOxima aproximagao, O h e obtida substituindo-se 00(s) por 0(s) na integral na Eq. (3) e
chamando o resultado dessa operacao 01 (t). Assim,
(PIM =ff
00 (01 dS.
(5)
"Charles-Emile Picard (1856-1914), talvez o matemzitico francés mais importante de sua geracao, depois de Henri Poincare,
foi professor da Sorbonne antes dos 30 anos. E conhecido por teoremas importantes em variaveis complexas e geometria
algebrica, alem de equaciies diferenciais. Um caso particular do metodo de aproximacdes sucessivas foi publicado primeiro
por Liouville cm 1838. No entanto, o el-Mit° do metodo c dado em geral a Picard, que o estabeleceu em generalidade e de
forma amplamente aplicavel em uma serie de artigos comccando em 1890.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE FRIMEIRA ORDEM 87
Analogamente, 0, e obtida de 0,:
f is , 0 1 (s)] ds,
02( 1 )
e, em geral,
f
0„ ÷ i (t) = f f [s, 4)„(s)] ds
Desse modo gerarnos a sequencia de funcOes {¢)„) = 0„, 0,, ..., 0 „, .... Cada elemento da sequencia satisfaz
a condic5o inicial, mas cm geral nenhum doles satisfaz a equaciio diferencial. No entanto, se em algum
estagio, por exemplo, para n = k, encontrarmos que 0,,(t) = 0(t), entao segue que 4), é uma solugdo da
equacão integral (3). Portanto, 0, tambem e solucao do problema de valor inicial (2) e a sequencia para
nesse ponto. Isso não acontece cm feral, e é necessario considerar toda a sequencia infinita.
Para estabelecer o Teorema 2.8.1, temos que responder a quatro perguntas importantes:
Existem todos os elementos da sequencia {0,,}. ou o processo pode ter que ser interrompido em algum
estaglo?
A sequencia converge?
Quais sao as propriedades da fungi:10 limite? Em particular, eta satisfaz a equacao integral (3) c, portanto,
o problema de valor inicial (2)?
Essa é. a Unica solucilo ou podem existir outras?
Vamos mostrar primeiro como essas perguntas podem ser respondidas em um exemplo especIfico relativamente simples e comentar. depois. algumas dificuldades que podem ser encontradas no caso geral.
EXEMPLO
Resolva o problema de valor inicial
v(0) = 0
= 2/(1 + y),
1
(8)
pelo mt3todo de aproximaceies sucessivas.
Note primeiro que se y = 0(t), a equac5o integral correspondents é
= f 2st 1 + 0(s)I
(9)
Sc a aproximac5o inicial for jr) = 0. temos que
0; ) = f 2st I + Ou(s)Ids = f 2s ds = t 2
0
(10)
Analogamente.
02 (t) = f 241 -1- 01 (s)] ds = f 241 + 5 2 1 ds = + —
(11)
2
0
r
0 3 (t) = f 15[1 + 0 2 (s)] ds = f 2s [I + S 2 ±
0
0
2
6
t
d,.= t2 + 4
.
I2 + 2 •
As Eqs. (10), (11) e (12) sugerem que
i4
(P„(t) =
(6
t2rt
+•••+—
— +—
3!
n!
2!
para cada n > 1,e esse resultado pode ser estabelecido por inducao matematica da seguinte maneira. A Eq. (13)
é certamentc verdadcira para n 1; veja a Eq. (10). Precisamos mostrar que, se ela for valida para n = k, entao
tambern sera valida para n = k + 1.Temos
(Pk ;AO = f 2s[ 1 + (kW] ds
0
s4
2s
=
s 2k
+ s •2 + — + • • +
2! k! ds
1 2k+2
6
4
, (
(
= + — + — + • • • + (k + 1)!
2! 3!
e a demonstracdo por inducao esta completa.
J
0
(14)
88 CAPITULO Dols
03(t)estdo ilustrados na Figura 2.8.1. Quando k aumenta,
Os graficos dos quatro primeiros iterados (Mt),
os iterados parecem permanecer prOximos em um intervalo gradualmente crescente, sugerindo convergencia
para uma func a- o litnite.
0,5
1
1,5
-1
-0,5
-1,5
FIGURA 2.8.1 Graficos de 0,(t). ...,C(t) para o Exemplo I .
Segue da Eq. (13) que 0„(t) é a n-esima soma parcial da serie
(15)
k=1
logo, lim
n-•cc
(1) existe se e somente se a serie (15) converge. Aplicando o teste da razilo.%ernos que, para cada I,
(2k+2
(k + 1)! (2h
tk+I
0 quando k
oc.
(16)
Logo a serie (15) converge par todo i.e sua soma 0(t) é o limite da sequencia fc.5„(01.Alein disco, como a serie
(15) c uma serie de Taylor, ela pode ser diferenciada ou integrada termo a termo desde que t permaneca no
intervalo de convergencia que, nesse caso, é todo o eixo dos t. Portant°, podemos verificar por calculos diretos
que 0(t)
E t2k I k! e solticiio da equacao integral (9). De outro modo, substituindo y por 0(t) nas Eqs. (8)
k=1
podemos verificar que essa funcao satisfaz o problema de valor inicial. Nesse exemplo tambem é possivel, a
partir da serie (15). identificar em termos de funciies elementares, a saber, 0(t) = et: - I. No entanto, isso não
necessario para a discussäo de existencia e unicidade.
0 conhecimento explicit° de 0(t) no torna possfvel visualizar a convergencia da sequencia de iterados mail claramente do que fazendo o grafico de 0(t) - 0k (t) para diversos valores de k. A Figura 2.8.2
mostra essa diferenca para k = 1, ..., 4. Essa figura mostra claramente o intervalo gradualmente crescente
sobre o qual aproximacOes sucessivas fornecem uma boa aproximacdo da solucdo do problem de valor
inicial.
YL
k=2
1
k=3
0,8 -
k=1
0,6 0,4 0,2 -
k=4
-0,5
1,5 t
-1
0,5
1
-1,5
FIGURA 2.8.2 Graficos de 0(t) - (Mt) para o Exemplo 1 corn k = 1, ..., 4.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE ?KIMURA ORDEM
89
Finalmente, para tratar a questa° de unicidade, vamos supor que o problema de valor inicial tenha duas
solucaes, e 0. Como ambas, e ifr.satisfazem a equacao integral (9), subtraindo, obtemos
0(t) - VIM
f 2s [0(s ) - (s)] cis.
0
Tomando valores absolutos, temos, se t > 0.
10( t ) - 0(01 =ff 2445 (s) - (s)] ds < f 2s10(s) - Vz(s)lds.
Restringindo t ao intervalo 0 < t < Al2, onde A é arbitrario.ternos 2t < A e
IO(t) - i(01
/1 f I0(s) - 1,&(s)Ids.
(17)
Agora é conveniente definir a funcao U por
U(t) f 10( s) - 0(0 ds.
(18)
U(0) = O.
U(t) > 0, para r > 0.
(19)
Entao, segue imediatamente que
Akm disso, U c diferenciavel e
(20)
=10(0 - ifr(t)I. Portant°, pela Eq. (17),
U'(t) - AU (t) < 0.
A multiplicaciio da Eq. (21) pela quantidade positiva c.-`u fornece
(21)
< 0.
(22)
Entao, in tegrando a Eq. (22) de zero a t e usando a Eq. (19), obtemos
e - "U(t) < 0 para t > 0.
Portant°. U(t) < 0 para t > 0 c. juntando com a Eq. (20), isso implica que U(t) = 0 para todo t > 0. Assim, U'(t)
- - - (1 c, entao, tfr(t) cp(t), o que cont radii. a hipOtese original. Em consequencia, nao pode haver duas solucOes
di fercntes do problema de valor initial para t > 0. Ulna ligeira moclifieacOo dense argument° leva a mesma
conclusao para t < 0.
Vol tando ao problema geral de resolucao da equacao integral (3), vamos considerar rapidamente cada
Lima das questOes levantadas anteriormente:
1. Existent todos os elementos da sequimcia (0„1? No exemplo,f e af lily cram continuas em todo o piano ty
e cada elemento da sequencia podia ser calculado explicitamente. Em contrasts, no caso geral supusemos
que f e
eram continuas apenas em um retangulo R:Itl < a, lyl < b (veja a Figura 2.8.3). Alërn disso,
os elementos da sequencia nao podem. normalmente, ser calculados de modo explicit°. 0 perigo e que em
alguma etapa, por exemplo. n = k. o graft° de v = 0,(t) contenha pontos fora do retângulo R. Portanto,
no prOximo passo - no calculo de 04,1(0 seria necessario calcular a funcao f (t, y) em pontos onde nao
sahemos se ela é continua, ou mesmo se existe. Assim, o calculo de 0,,(t) poderia ser impossivel.
Para evitar esse perigo, pode ser necessario restringir t a um intervalo menor do que Iti < a. Para encontrar tal intervalo, usamos o fato de que until funcao continua em ulna regiao fechada limitada c limitada.
Portant°, R: limitada em R ., logo, existe urn minter() positivo M tal que
If(t,y)I < M
(t,y) em R.
b)
(a, b)
R
t
(a, -b)
(-a, -b)
FIGURA 2.8.3 Regiao de definicao para o Teorema 2.8.1.
(23)
90 CAPITULO Dols
Mencionamos anteriormente que
d),, (0) == 0
para cada n. Como f [t. 0,(1)] e igual a 0' ,,,(t), o coeficiente angular mOximo, em valor absoluto. para as
retas tangentes ao grdfico da fungal:, y = 0,,,(1) e M. Como esse grafico contem (0. 0), ele tern que estar
contido nas regioes triangulares sombreadas na Figura 2.8.4. Portanto, o ponto Ok.1(t)] permanece cm
R, pelo menos enquanto R contiver as regiOes triangulares, o que ocorre se Itl < bIM. Daqui para a frente,
vamos considerar apenas o retiingulo D: Itl < h, lyl < b, onde h é igual ao menor dos ninneros a ou bIM.
Corn essa restricao, todos os elementos da sequencia [(„W) existem. Note que, sempre quc bIM < a, voce
pode tentar obter urn valor maior para h encontrando uma cota melhor (isto e, menor) M para If (t,y)1, se
possivel.
y = 0,2 (0 ),
y-b
t
-b
t = -a t=- tit
t = tit
=a
(a)
(b)
FIGURA 2.8.4 Regido na qual estäo iterados sucessivos. (a) blM < a: (b) bl M > a.
A sequencia (0„) converge? Como no exemplo, podemos identificar 0„(t) = 0,(t) + [ (Mt) - 0,(t)] +
IC(t) - o n _joi como a n-esima soma parcial da serie
(PIM +
+
E kbk+,(t) — Ok( )I (24)
t .
A convergencia da sequcncia (0„(t)) é estabelecida mostrando-se que a serie (24) converge. Para isso, é
necessOrio estimar o mOdulo10,,(t)- 0,(t)I do termo geral. 0 argument° usado para isso estO indicado nos
Problemas de 15 a 18 e sera omitido aqui. Supondo que a sequencia converge. denotamos a func50-limite
por 0. do modo quc
0(t) = lim 4,( t ) .(
25)
Quais as propriedades da funciio limite 0? Em primeiro lugar, gostariamos de saber que (/) é continua. Isso
ntlo é, no entanto, uma consequencia necessaria da convergencia da sequencia (0„(r)1, mesmo que cada
membro da sequencia seja continuo. Algumas vezes uma sequencia de funcOes continuas converge a uma
funcii° descontinua. Urn exemplo simples Besse fenOmeno e dado no Problema 13. Urn modo de provar
que 0 é continua é mostrar nao so que a sequencia 10„} converge, mas quc ela converge de certo modo
especifico, conhecido como convergencia uniforme. N5o vamos discutir essa quest5o aqui; observamos,
apenas, que o argumento a que nos referimos no paragrafo 2 é suticiente para estabelecer a convergencia
uniforme da sequencia (0„) e. portant°, a continuidade da funcflo limite 0 no intervalo It1 < h.
Vamos voltar a Eq. (7)
0.+1(t) = fffts,O,(s)1 ds.
Fazendo n tender a x , obtemos
lim
fis,Ø,,(s)] ds.
''-*x
(26)
Gostariamos de trocar a ordem da integral e do limite na expressito a direita do sinal de igualdade na Eq.
(26), de modo a obter
0(t)
lira f[s,q5„(s)] ds.
f0 n-4
(27)
Tal troca nä° é permitida, em geral (veja o Problema 14, por exemplo), mas, mais uma vez, o fato de que a
sequencia (0„(t)) converge uniformemente é suficiente para nos permitir colocar o limite dentro do sinal
de integral. A seguir, gostariamos de colocar o limite dentro da fungdof, o que nos daria
0(t) = f f Is, lim c6„ (s) I ds
0
(28)
EQUAOES DIFERENCIAIS DE. PRIMEIRA °RUM 91
e, porta n to,
0(1)
f f is , q5(s)] (is.
(29)
A afirmacilo
lim f fs.4)„(s)1 = f is lim (15„(s)]
4
- -‹
n
é equivalente ao fato de que f e continua em sua segunda variavel,o que e conhecido por hipOtese. Logo,
a Eq. (29) é valida e a fungdo satisfaz a equacao integral (3). Portant°, tambem e solucdo do problema
de valor inicial (2).
4. Existem outras solucOes da equacdo integral (3) alem de y 0(t)? Para mostrar a unicidade da solucdo
v 0(t), vamos proceder de maneira semelhante a do cxemplo. Primeiro, suponha a existância de outra
solucao y = tfr(t). Entdo, e possfvel mostrar (veja o Prohlema 19) que a diferenca 0(t) — V (t) satisfaz a desigualdade
195 (1) — (t)1
A f 0(s) — (s)I ds
(30)
para 0 < t < h e urn ntimero positivo apropriado A. A partir desse ponto o argumento e identico ao dado
no exempt°, e concluimos que tido existe outra solucdo do problem de valor inicial (2) aldm da gerada
pelo metodo de aproximacOes sucessivas.
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas 1 e 2, transforme 0 problema de valor inicial dado em um problema equivalente
com ponto inicial na origem.
I. dy/dt = t 2 + y 2 ,
2. dy/dt = — v3 ,
y(I) = 2
y(— 1) = 3
Em cada urn dos Problemas de 3 a 6, &firm (1)„(t) = 0 e use o metodo das aproximacOes sucessivas para resolver
o problema de valor inicial dado.
(a) Determine 0„(t) para um valor arhitrario de n.
(h) Faca o grafico de c(t) para n = 1, ..., 4. Observe se os iterados parecem estar convergindo.
Expresse lirn„..4„(t). c0(t) em termos de fit
element arcs. isto e, resolva o problema de valor inicial
dado.
Rica o grafico de IOW — 0„(t)I para n = 1, ....4. Para 0,(1).
estime o intervalo onde cada uma dessas
funcOes c uma aproximacdo razoavelmente boa para a solucdo exata.
442, 3. y' = 2(y 4 1),
y(0) = 0
4.2 4. y' = —y — 1,
y(0) = 0
.? 5. y' = —y/2 + t,
y(0) = 0
4n2, 6. y' = y + 1 — t,
y(0) = 0
Em cada um dos Problemas 7 e 8. delina (Mt) = 0 e use o metodo das aproximacOes sucessivas para resolver o
problema de valor inicial dado.
Determine 0„(t) para um valor arbitrario n.
Faca grafico de &(t) para n =
4. Observe se os iterados parecem estar convergindo.
I
4g2, 7. y' ty + 1,
y(0) =
0
t2, S. y' = t2y — t,
y(0) = 0
Em cada um dos Problemas 9 e 10, defina 4(0 = 0 c use o metodo das aproximacaes sucessivas para aproximar
a solucdo do problema do valor inicial dado.
Calcule 0,(t),O,(°.
Faca o grafico de 0,(t),
cb,(1) e observe se os iterados parecem estar convergindo.
402, 9. y = t2 + y2 ,
y(0) = 0
402, 10. y = I — y3 ,
y.(0) -= 0
Em cada um dos Problemas 11 e 12, derma C(1) = 0 e use o metodo das aproximacaes sucessivas para aproximar a solucdo do problema de valor inicial dado.
(a) Calcule 0(t),
0,W ou (se necessario) aproximacOes de Taylor desses iterados. Mantenha termos ate a
sexta ordem.
(h) Faca o grafico das funcOes encontradas em (a) e observe se etas parecem estar convergindo.
4f2/
11. y' = — sen y + 1,
y(0) = 0
4'2 12. y' = (3t2 + 4t + 2)/2(y — 1),
13. Seja q5„(x) = x” para 0 < x < 1 e mostre que
y(0) = 0
92 CAPiTULO Dots
0, 0 < x < 1,
1,
x= 1.
hm ct.„(v) =
Este exernplo mostra que tuna sequencia de funcOes continuos pode convergir a uma funcao limite que
descontinua.
14. Considere a sequencia &(x) = 2n.re-"' 2 , 0 < x < 1.
Mostre gut: lim 0,,(x) = 0 para 0 < x < 1; logo,
ft
lim (/),(x) dx = 0.
n.--%
entao,
= 1—
Mostre que f 2nxe - "`.2
lim f q5„ (x) (Ix = I.
—* NZ. ,s
"
V
Assim, nesse exemplo,
f
CO
a
embora lim Ø„(x) exista e seja continuo.
Nos Problemas de 15 a 18, indicamos como provar que a sequencia (0„(t)), definida pelas equagOes de (4) a (7),
converge.
Se of /ay é continua no retAngulo D. mostre que existe uma constante positiva K tal que
if ((41) — f( 1 ,Y2)1
— y21,
(t)
onde (t,y,) e (t, y 2 ) säo Bois pontos em D corn a mesma coordenada t. Essa desigualdade 6 conhecida como
condicäo de Lipschitz."
Sugesttio: mantenha t fixo e use o teorenta do valor inedio einf como funcäo so de y. Escolha K como sendo
o valor maxim° de of /ay! em D.
Se cb„.,(t) e 0„(t)sdo elementos da sequencia (&(t)}, use o resultado do Problema 15 para mostrar que
0 1 4001 — ,f1 f .0„-1(011
K I(6„(1 ) — O„-t(t)I.
(a) Mostre que, se In < enttio
101(1)1 •►11(1.
onde M 6 escolhido de modo que If (t, y)1 < M para (t, y) em 1).
(h) Use os resultados do Problema 16 e o item (a) deste problema para mostrar que
102(0 — (Pt (01
M K1(12
'
(c) Mostre, por induca- o matematica, clue
10„(t) — 0„_1(1)1
MK”' V MK"-I
II!
Note que
0,,(0 =
(t) + 102(1) —01 coi + • • • + 10„(t) —
(1)1.
Mostre que
10n( t ) 1
101(01 + 102(0 — (Pi
+ • • + 14 n(t) —
101•
Use os resultados do Probletna 17 para mostrar que
M [..
Kit
10n( t )1
—
K
(K11) 2 +
(Kh)"1
2!
!
(c) Mostre que a soma no item (h) converge quando 11 —4 x e, portanto, a soma no item (a) tambem converge quando n --+ cc. Conclua, entao, que a sequencia (0„(01 converge, ja que 6 a sequencia das somas
parciais de uma serie convergente infinita.
20 Rudolf Lipschitz (1832-1903), professor da Universidade de Bonn por muitos anos, trabalhou em diversas areas da mate-
matica. A desigualdade (i) pode substituir a hipOtese de continuidade de af Id), no Teorema 2.8.1; isso resulta em um teorema
ligeiramente mais forte.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEINA ORDEN 93
19. Vamos tratar, neste problema, a questao de unicidade de solucao para a equacao integral (3)
0( 1 ) = f fls,Cs)lds.
0
Suponha que e sao duas solucOes da Eq. (3). Mostre que, para t > 0,
0(t) - 0(0 = f tf[s.0(s)I - f Is, 0(s)1} ds.
Mostre que
10(0 - 0(01 <
if Is, (s)1 - f [s, (s)11 ds.
(c) Use o resultado do Problema 15 para mostrar que
10 (t) - 0(01
onde K é uma cota superior para laf
pode ser feita como indicado no texto.
K f I0(s) - (s)I ds.
em D. Essa equacao é igual a Eq. (30), e o resto da demonstracao
2.9 Equaciies de Diferencas de Primeira Ordem
Enquanto um modelo continuo que lev y a tuna equaciio diferencial é razoavel e atraente para muitos
problemas, existem alguns casos em que urn modelo discreto pode ser mais natural. Por exemplo, o model() continuo para juros compostos usado na Seca° 2.3 6 apenas uma aproximacao do process° real, que
discreto. Analogamente, algumas vezes o crescimento populacional pode ser descrito de modo mais
precis° por um modelo discreto, em vez de continuo. Isso e verdade, por exemplo, para especies cujas
geracOes nao se sobreptiem c que se propagam a intervalos re g,ulares, tail como cm epocas especIlicas do
ano. Entao a populacao
da especie no ano n + 1 e uma funcao de n e da populacao y„ do ano anterior,
ou seja.
yn-Fi = f tn. Yn),
n = 0,1 2
(1)
A Eq. (1) 6 chamada de equacao de diferencas de primeira ordem. Ela d dc primeira ordem porque o
valor de y„,, depende do valor de y,,. mas nao de valores anteriores, como
y„_2, e assim por diante.
Como para as equacOes diferenciais, a equacäo de diferencas (1) 6 linear se f for uma funcao linear de y„;
caso contrario, ela c nao linear. Uma solucfio da equacao de diferencas (1) 6 uma sequencia de mimeros
yi ,. y i , y2 .... que satisfazem a equacao para cada n. Albin da equacao de diferencas, pode tambem haver
Lima condicao inicial
yo = a
(2)
que fornece o valor do primeiro elemento da sequencia solucao.
Vamos supor, temporariamente, que a funcaof na Eq. (1) depende apenas de y„, mas nao de n. Nesse
caso,
y„4-1 = f (y,,),
n = 0, 1,2 ,
(3)
Se y0 for dado, entao os elementos sucessivos da solucao podem ser encontrados pela Eq. (3). Assim,
Yt = f (Yo),
e
Y2 = f
= f (y0)1.
A quantidade f [f (y,)] e chamada de segunda iterada da equacao de diferencas e 6, algumas vezes, denotada por f2(y0). Analogamente, o terceiro iterado y3 é dado por
Y3 =
f (y 2) f if if(Yo)]} = f3(y0),
e assim por diante. Em geral, o n-esimo iterado y„ é
Yr! = f (Yn-i) = f"(y0)•
94 CAPITULO DOTS
Referimo-nos a esse procedimento como a iteracao da equacao de diferencas. E muitas vezes de interesse
sc; em particular, saber se y„ tende a urn limite
primordial determinar o comportamento de y„ quando n
e, se for o caso, encontrd-lo.
SolucOes para as quaffs y„ tern o mesmo valor para todo n sac) chamadas de solucbes de equilibrio. Elas
tem, corn frequencia, importancia especial, como no estudo de equity:7)es diferenciais. Se existirem soluigual a y„ na Eq. (3) e resolvendo a equacao resultante
cOes de equilibrio podemos achd-las fazendo
= f n)
(4)
para y,,.
Equagies Lineares. Suponha que a populacao de determinada especie em uma dada regiao no ano n + 1.
denotada por y„.,, 6 um milltiplo positivo p„ da populacao y„ no ano n, ou seja,
0, 1 2
n
yn+ 1 = Pn.Yn •
(5)
Note que a taxa de reproducao p,, pode variar de ano para ano. A equacao de diferencas (5) é linear e
pode ser facilmente resolvida por iteracao. Obtemos
yi = PoYo,
Y2 = PiY1 = PiPoY0,
e, cm geral,
n = 1,2, ....
.Yn = P -1 • • • PoYo,
(6)
Assim, se a populacao inicial y„ é dada, entao a populacao de cada geracao subsequente e determinada pela
Eq. (6). Embora, para um problema populacional. p„ seja intrinsecamente positivo, a solucao (6) tambem
välida se p„ for negativo para alguns ou todos os valores de n. Note, no entanto, que se p„ for zero para alaim
em outras palavras, a especie torna-se extinta.
n, entao y„,., e todos os valores a seguir de y sac)
Se a taxa de reproducäo p„ fiver o mesmo valor p para todo n, entao a equacao de diferencas (5) Ilea
e sua solucao é
A Eq. (7) tambem tem uma solucao de equilibria a saber, y„ = 0 para todo n, correspondendo ao valor
inicial yo= 0. 0 comportamento limite de y„ c Neil de determinar da Eq. (8). De fato,
se Ipl < I:
I
0,
lim y„ = yo.se
nao existe,
p = 1;
(9)
caso contrario
Em outras palavras, a solucao de equilibrio y„= 0 e assintoticamente estdvel se Ipl < 1 e instdvel se Ipl > 1.
Vamos modillcar, agora, o modelo populacional representado pela Eq. (5) para incluir o efeito de
imigracao ou emie,racao. Sc b„ e o aumento total da populacao no anti n devido a imigracao, entao a populacao no ano n + 1 é a soma dos aumentos devidos a reproducao natural c a imigracao. Assim,
Yn+IPYn
n
bn,
0, 1,2, ... ,
(10)
onde estamos supondo, agora, que a taxa de reproducao p e constante. Podemos resolver a Eq. (10) iterando como antes. Temos
Yi = pyo +1)0,
Y2 = P(PYo + 1)0) + b, = p2 yo + pbo + bi,
Y3 -= p (p2y0 + pbo + b i ) + b2 = P 3 Yo + P 2 h o + pbi +b2,
e assim por diante. Em geral, obtemos
E
„--1
yn = pn yo+ Pn-lb o+ • • • + pb,,-2
bn-1 = P n Yo +
(
11)
j=c1
Note que a primeira parcela na Eq. (11) representa os descendentes da populacao original, enquanto as
outras parcelas representam a populacao no ano n resultante da imigracao em todos os anos precedentes.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 95
No caso especial em que b„ = h 0 para todo n, a equacao de diferencas é
y n+1 = PYn + b,
(12)
cuja soluc5o,pela Eq. (11), é
Yn = I)" + ( 1 P + P 2 + • • • +
(13)
Se p I . podemos escrever essa solucao na forma mais compacta
Yn = P n .Y0 +
1—"
—p b
1
p
(14)
onde, novamente, as duas parcelas na expressdo a direita do sinal de igualdade representam os efeitos da
populacäo ori ginal e da imigracao, respectivamente. Reescrevendo a Eq. (14) na forma
,vn = P n ()'0
1 — p) 1 — p
(15)
fica mais evidente o comportamento de y„ a longo prazo. Segue da Eq. (15) que y„
bl(1 — p) se Ipl < 1.
Se Ipl > 1 ou se p = —1, entao y„ nä° tern limite a menos que = h/(1 — p). A quantidade bl(1 — p),para p
- I, é uma solucdo de equilibrio da Eq. (12), como pode ser visto diretamente daquela equacdo. E claro
que a Eq. (14) nao e valida para p = 1. Para tratar esse caso, precisamos voltar a Eq. (13) e fazer p = 1 al.
Segue que
(16)
.vn = Yo
de modo que, nesse caso, v„ torna-se i I imitada quando n —* sc.
0 tnesmo modelo fornece, tambem, urn arcabougo para resolver rnuitos problemas de natureza financeira. Em tais problemas, y„ c o saldo na conta no n-ésimo period() de tempo, p„= 1 + r„, onde r„ é a taxa
de juros para aquele periodo, e h„ e a quantia depositada ou retirada. 0 exempt() a seguir é tipico.
EXEMPLO
1
Um recem-graduado da faculdade faz um emprestimo de RS10.000 para comprar um carro. Sea taxa de juros é
de 12% ao ano, quail os pag,amentos mensais necessarios para ele pagar o emprestimo em 4 anos?
A equacao de diferencas relevante e a Eq. (12). onde y„ e o saldo do emprestimo no n-esimo Ines, p = 1 +
r, onde r é a taxa de juros mensal e b e o efeito do pagamento mensal. Note que p = 1,01, correspondendo a
uma taxa de juros de 1% ao mi"s. Como pagamentos reduzem o saldo do emprestimo, b tern que ser negativo;
o pagamento de fato e Ibl.
A soluciio da equaciio de diferenos (12) corn esse valor de pe a condicao inicial yo = 10.000 é dada pela Eq.
(15), ou seja.
y„ = (1,0 I )" ( 10.0(X) + 1006) — 1006.
(17)
0 pagamento h necessario para que o emprestimo seja pago em 4 anos é encontrado fazendo-se y,= 0 e resolvendo para b. Isso nos da
(0)4'
= —263,34.
(18)
h = —100
(1,01)48 — I
0 pagamento total do emprestimo e 48 vezes Ibl, ou RS12.640,32. Desse total. R$10.000 säo o pagamento do
principal e os RS2.640,32 restantes correspondem aos juros.
Equacdes Nilo Lineares. EquagOes de diferencas nao lineares säo muito mais complicadas e tern solucOes
muito mais variadas do que as equacOes lineares. Vamos restringir nossa atencäo a uma Unica equacao, a
equaciio de diferencas logistica
yn
yn+1 = PYn (i —
k
que é analogy a equac5o di ferencial logistica
dy
ry —
y
K
discutida na Seca° 2.5. Note que se a derivada dyldt na Eq. (20) for substitufda pela diferenca (y, " — y„)Ih,
entdo a Eq. (20) se reduz a Eq. (19) corn p= 1 + hr e k = (1 + hr)K/hr. Para simplificar a Eq. (19) um pouco
96 CAPITULO DOTS
mais, podemos fazer uma mudanca de escala na variavel y„ definindo uma nova variavel u„ = y„/k. Entao
a Eq. (19) fica
11„+1 = pu„( 1 — u„),
(21)
onde p e urn parametro positivo.
Comecamos nossa investigacao da Eq. (21) procurando as solucOes de equilibria ou constantes. Elas
podem ser encontradas igualando-se un ,., a u„ na Eq. (21), o que corrcsponde a fazer dyldt igual a zero na
Eq. (20). A equacao resultante é
u„ = pu„ — ptc,,
de modo que as solugfies de equilibrio da Eq. (21) sao
u„ = 0,
u„ = p — 1
p
A prOxima pergunta é se as solucOes de equilibrio sae, assintoticamente estaveis ou instaveis. Ou seja,
para uma condicao inicial prOxima a lima das solucaes de equilibria a sequacia solucao resultante se
aproxima ou se afasta da solucao de equilibrio? Um modo de examinar essa questa° e aproximar a Eq.
(21) por uma equacao linear na vizinhanca de uma solucao de equilibrio. Por exemplo, prOximo a solucao de equilibrio u„ = 0 a quantidade u„ 2 6 pequena, comparada a u„, logo podemos supor desprezivel a
parcela quadratica na Eq. (21) em comparacao corn as parcelas lineares. Isso nos deixa corn uma equacao
de diferencas linear
11 n+1 = P un.
(24)
que é, presume-se. ulna boa aproximacao para a Eq. (21) para u„ suficientemente prOximo de zero. No
00 se e somcnte
entanto, a Eq. (24) é igual a Eq. (7) e ja conclufmos, na Eq. (9). quc u„ —0 0 quando n
se Ipl < 1 ou (como p tem que ser positivo) se 0 < p < 1. Assim, a solucao de equilibrio u„ = 0 é assintoticamente estavel para a aproximacao linear (24) para esse conjunto de valores de p, logo concluimos que
tambem, assintoticamente estavel para a equacao niio linear completa (21). Essa conclusao esta correta,
embora nosso argumento nao esteja completo. 0 quc esta faltando é urn teorema que diz quc as solucCies
da equacao niio linear (21) se parecem corn as da equacao linear (24) prOximas a solucao de equilibrio
u„ = 0. Nao vamos discutir essa questao aqui: a mesma questa() tratada, para equacOes diferenciais, na
Seca° 9.3.
— 1)1 p. Para estudar solucOes cm uma
Vamos considerar agora a outra solucao de equilibrio u„ =
vizinhanca desse ponto, escrevemos
lin =
P—1
v,i,
(25)
onde supomos que 14,6 pequeno. Substituindo a Eq. (25) na Eq. (21) e simplilicando a equacao resultante,
obtemos, ao final,
v,:+1 = (2 — p)v, —
(26)
Como v„ é pequeno, desprezamos novamente o termo quadratico em comparacao corn os lineares e obtemos, assim, a equacao linear
v„+1 = (2 — p)v„•
(27)
para 12 — pl < 1, isso é, 1 < p <
Referindo-nos, mais uma vez, a Eq. (9), vemos que v„ —> 0 quando n
3. Portanto, concluimos que, para esse conjunto de valores de p, a solucao de equilibrio u„= (p — 1)/ p
assintoticamente estavel.
A Figura 2.9.1 conte.m os graficos das solucfies da Eq. (21) para p = 0,8, p = 1,5 e p = 2,8, respectivamente. Observe que a solucao converge para zero quando p= 0,8 e converge para a solucao de equilibrio
difercnte de zero quando p= 1,5 e p = 2,8. A convergencia a monOtona para p = 0,8 e p = 1,5, e é oscilatOria para p = 2,8. Embora estejam ilustrados os graficos para condicaes iniciais particulares, os graficos
para outran condicOes iniciais sac) semelhantes.
Outra maneira do apresentar a solucao de uma equacao de diferencas esta ilustrada na Fig. 2.9.2. Em
cada parte dessa figura aparecem os graficos da parabola y = px( 1 —x) e da reta y = x. As solucaes de equil ►brio correspondem aos pontos de intersecao dessas duas curvas. 0 gralico linear por partes, consistindo
em segmentos de retas verticais e horizontais sucessivos, e chamado algumas vezcs de diagrama-escada,
e representa a sequacia solucao. A scquencia comeca no ponto u 0 no eixo dos x. 0 segmento de reta
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 97
un
U,,
un
0,8
0.8
0,8
0,6
0,6
0.6
0,4
0,4
04
0,2
0,2
0,2
4
6
2
8 n
4
6
8 n
4
(b)
(a)
(c)
FIGURA 2.9.1 SolucOes de a„.,= pu„(1— u„): (a) p = 0,8; (b) p = 1.5; (c) p = 2,8.
vertical desenhado em tr„ ate a parabola corresponde ao calculo de pa0(1 — a 0 ). a,. Esse valor é transferido, ent5o, do eixo dos y para o eixo dos x; esse passo é representado pelo segmento de reta horizontal
da parabola a reta y = x. 0 processo 6, entao, repetido indefinidamente. E claro que a sequencia converge
para a origem na Figura 2.9.2a e para a solucäo de equilibrio n5o nula nos dois outros casos.
0.8
0,6
0.4
0,2
0,2
0,4
0.6
0,8
1x
0,2
0.4
0.6
(a)
0.8
1
(b)
y=x
0,8
y = px (1 — x)
(0,6429...; 0,6429... )
0,6
0,4
0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x
(c)
FIGURA 2.9.2 Iterados de a„,,= pu„(1— a„). (a) p = 0,8; (b) p = 1,5; (c) p= 2,8.
Para resumir nossos resultados ate agora: a equacao de diferencas (21) tern duas solucaes de equilibrio,
1 e a segunda é assintoticamente
a„= 0 e = (p — 1)/p; a primeira e assintoticamente estavel para 0
estavel para 1 < p < 3. Quando p = 1, as duas solucOes de equilibrio coincidem em a = 0; pode-se mostrar
que essa soluctio a assintoticamente estavel. 0 parametro p na Figura 2.9.3 estti no eixo horizontal e a no
eixo vertical. Esttio ilustradas as solucaes de equilibrio u = 0 e a = (p — 1)/p. Os intervalos em que cada
98 CAPITULO Dols
uma delas é estavel estdo indicados pelas partes sOlidas das curvas. HA uma mudanca de estabilidade de
uma solucao de equilibrio para a outra.
1
--------
u = (p - 1)1p
0,5
Assintoticamente estavel
u=0
J
L
2
3
p
Instävel
0,5
F1 Gt I R A 2.9.3 Mudanca de estabilidade para u,.
pu„(1 - u„).
Para p> 3, nenliuma das soluciies de equilibrio é estavel, e as solucOes da Eq. (21) exibem complexidade cada vez major quando p aumenta. Para p urn pouco major do que 3, a sequacia aproxima-se
rapidamente de uma oscilacao estacionAria de period° 2, isso é, u„ oscila entre dois valores distintos. A
Fig. 2.9.4 mostra a solucao para p= 3,2. Para 11 maior do que cerca de 20 Os valores da solucao se alternam
an
0,8
0,6
0,4
0,2
10
20
30
40 a
(a)
(b)
FIGURA 2.9.4 Uma solucao de u„,, = pu„( 1 - u„) para p = 3,2; period() 2. (a) u„ em fungdo de n; (b) um ciclo
de period() 2.
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 99
entre 0,5130 e 0,7995. 0 grafico foi feito para a condicao inicial particular = 0,3, mas é semelhante para
todos os outros valores iniciais entre 0 e 1. A Figura 2.9.4b tambem mostra a mesma oscilac5o estacionaria como urn caminho retangular percorrido repetidamente no sentido horArio.
Para p aproximadamente igual a 3,449, cada estado na oscilacdo de period() 2 se divide em dois estados
distintos e a solucao torna-se periOdica corn period° 4; veja a Fig. 2.9.5. que mostra uma soluc5o de period° quatro para p = 3,5. Quando p continua crescendo, aparecem solucOes periOdicas corn periodos 8,16,
... A aparicao de uma nova solucäo cm urn determinado valor do parãmetro c chamada de bifurcacao.
Os valores de p nos quais ocorrem as sucessivas duplicaceles de period° tendem a urn limite que
aproximadamente igual a 3,57. Para p > 3,57, as solucties possuem alguma regularidade mas ndo chi para
disccrnir um padrâo detalhado para a maioria dos valores de p. Por exemplo, a Fig. 2.9.6 mostra uma solucdo para p = 3,65. Ela oscila entre 0,3 c 0,9 aproximadamente, mas sua estrutura mais fina é imprevisivel.
A expressdo caOtica c usada para descrever essa situacao. Uma das caracterIsticas de solucOes caOticas
é sua extrema sensibilidade as condiciies iniciais. Isso estii ilustrado na Fig. 2.9.7, onde aparecem duas
solucOes da Eq. (21) para p = 3,65. Uma soluciio é a mesma que aparece na Fig. 2.9.6 e tern valor inicial
u„ = 0,3, enquanto a outra solucao tern valor inicial uo = 0,305. Por aproximadamente 15 iteracOes as duas
soluciics permanecem prOximas e sao dificeis do distinguir uma da outra na figura. Depois disco, embora
elas continuem circulando aproximadamente no mesmo conjunto de valores, seus gräficos sao bem diferentes. Certamente nao seria possIvel usar uma dessas solucOes para estimar o valor da outra para valores
de n maiores do que cerca de 15.
U
0,8
OA
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 a
0,5
X
FIGURA 2.9.5 Uma solucao de a„,, = pu„( — u„) para p = 3,5; period° 4. (a) u„ em func5o de n; (b) urn ciclo
de periodo 4.
Apenas nos Ultimos anos a que as solucOes caOticas de equacoes de diferencas e diferenciais tornaramse amplamente conhecidas. A Eq. (20) foi um dos primeiros exemplos de caos matemdtico a ser encontrado e estudado cm dctalhe, por Robert May = ' em 1974. Baseado em sua analise dessa equacäo como urn
''R. M. May, "Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos”, Science
186(1974) pp. 645-647; "Biological Populations Obeying Difference Equations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos",
Journal of Theoretical Biology 51 (1975) pp. 511-524.
100 CAPiTULO DOTS
model° para a populacão de determinada especie de inseto, May sugeriu que, se a taxa de crescimento p é
grande demais, sera impossfvel fazer previsOes efetivas cm lungo prazo sobre essas populacOes de insetos.
A ocorrencia de solucOes catiticas em problemas simples estimulou uma enorme quantidade de pesquisa
em anos recentes, mas muitas perguntas permanecem sem rcsposta. E cada vez mais claro, no entanto,
que solucOes cacnicas sac) multi) mais comuns do que se suspeitava inicialmente, e podem fazer parte da
investigacdo de um amplo leque de fenOmenos.
ti „
0.9
0,8
0,7
;I\
0,6
0,5
0,4
0,3
10
20
30
40
50
60 n
FIGURA 2.9.6 Uma soluciio de u„. 1 = pu„(1 — u„) para p
= 3,65; ulna sulu4ao caOtica.
PROBLEMAS
10
20
30
40
50
60 II
FIGURA 2.9.7 Duas solucaes de u„..,= pu„( I — u„) para p= 3,65; u„
= 0,3 e u„. 0,305.
Em cada um dos problemas de I a 6. resolva a equacao de diferencas dada cm fungi -lc) do valor inicial v„. Descreva o comportamento da solu0o quando n
a+ 1
1. y„.., = —0.9v,,
2.
= n 2 Yn
3.
5.
In + 3
„
tz + 1Y
4. Y„÷i = (-1)"+iy„
= 0,5y„ + 6
6. y„,, = —0.5y„ + 6
=
Encontre o rendimento efetivo anual de um conta bancaria quc paga juros a uma taxa de 7% ao ano composta diariamente, isto é. encontre a raziio da diferenca entre os saldos final c inicial dividida pelo saldo
inicial.
Um investidor deposita R$1.000.00 em uma conta que rende juros de 8% ao ano compostos mensalmente
e faz, tambem, depOsitos adicionais de R$25,00 por mss. Encontre o saldo na conta ap ps 3 anos.
Um recem-formado faz urn emprestimo de R$8.000,00 para comprar urn carro. 0 emprestimo é feito corn
juros anuais de 10%. Que taxa de pagamento mensal c necessaria para liquidar o emprestimo em 3 anos?
Compare seu resultado corn 0 do Problema 9 da Secilo 2.3.
Uma pessoa deseja comprar urn in -wet corn financiamento de R$100.000,00 para ser pago em 30 anos.
Oual o pagamento mensal necessario se a taxa de juros anual é (a) 9%, (h) 10%, (c) 12%?
I I. Uma pessoa recehe um financiamento de R$100.000,00 para comprar urn imOvel corn taxa de juros anuais
de 9%. Qual o pagamento mensal necessario para guitar o emprestimo em 30 anos? E em 20 anos? Qual
a quantia total paga em cada urn desses casos?
Se a taxa de juros, em urn financiamento de 20 anos, permanece fixa em 10% e se urn pagamento mensal de
R$1.000,00 é o maxim() que o comprador pode pagar, qual o emprestimo maxim° que pode ser feito sob
essas condicaes?
Uma pessoa gostaria de comprar um imOvel corn financiamento de R$95.000,00 pagavel em 20 anos.
Qual a major taxa de juros que o comprador pode pagar se Os pagamentos mensais Mio podem exceder
R$900,00?
EQUACOCS DIFEACNCIAIS DC PRIMEIRA ORDEN 101
A Equaciio de Diferencas Logistica. Os Problemas de 14 a 19 tratam da equacäo de diferenos (21), u,,, 1 =
pu„(1- u„).
Filo os detalhes para a amilise de estabilidade linear da solucao de equilibrio u„ = (p - 1)/ p, into e, deduza
a equacao de diferencas (26) no texto para a perturbacao v„.
(a) Para p= 3,2, faca o gratico ou calcule a solucao da equacao logistica (21) para diversas com'ice)es iniciais, por exemplo. u„ = 0,2; 0.4: 0.6 e 0,8. Observe que em cada caso a solucäo se aproxima de uma
oscilacilo estacionaria entre os mesmos dois valores. Isso ilustra que o comportamento em longo prazo da solucão e independente do valor inicial.
(h) Faca calculos semelhantes e verilique que a natureza da solucão para n grandee independente da
condicdo inicial para outros valores de p, como 2,6; 2,8 e 3,4.
16. Suponha que p> I na Eq. (21).
Desenhe um diagrama-escada qualitativamente correto mostrando, assim, que se it o < 0, entäo
-0c quando n
Dc maneira análoga. determine o que acontece quando n -> oc se it,,> 1.
17. As solucaes da Eq. (21) mudam de sequencias convergentes para oscilacaes periOdicas de period() dois
quando o parAmetro p passa pelo valor 3. Para ver mail claramente como isso ocorre, efetue os
indicados a seguir.
e 2,99, respectivamente, usando um %alor
Rica o gralco ou calcule a solucao para p =
u,, de sua escolha no intervalo (0, 1). Estime, em cada caso, quantas iterace)es sdo necessarias para a
solucao tornar-se "muito prOxima - do valor limite. Use qualquer interpretacao conveniente para o
significado de "muito prOxima - na frase anterior.
Faca o gratico ou calcule a soluczio para p 3.01; 3,05 e 3,1, respeetivamente. usando a mesma condicao inicial do item (a). Estime, em cada caso, quantas iteracties sao necessarias para se atingir uma
solucao estado estaciondrio. Encontre ou estime, tanthc nt, os dois valores na oscilaciio email() estacionario.
Calculando ou fazendo o gritico da solucao da Eq. (21) para valores diferentes do p. estime o valor de p
para o qual a solucao muda de uma oscilaciio de period() dois para uma de periodo quatro. De modo analogo, estime o valor de p para o qual a solu45() muda de period() quatro para period() oito.
Seja p, o valor de p para o qual a soluc:to da Eq. (21) inuda do periodo 2" para o period° 2'. Entao,como
3.544.
3,449 e
observado no texto, p, = 3,
p,.0110S que VOCe encontrou no Problema 18, calcule ( p . - p i )1(p3 - p.).
(a) [Nand() esses valores para
x, onde S ai
(h) Seja 3„ (p„ - p„ ,)/(p„ . p„). Foi demonstrado que 8„ tende a um limite S quando n
4.6692 e conhecido como minter° de Feigenbaum." D_e.ermine a diferenca percentual entre o valor
limite 6 e 6,, como calculado no item (a).
Suponha que (8, tS e use essa relaciio para estimar p,, o valor de p para o qual aparceem solucOes de
period() 16.
Fazendo o eralico ou calculando soluoies prOximas para o valor de p, encontrado no item (c), tente
detectar a apari0() de uma solucao de period() 16.
(e) Observe que
p„ = p i + tpz
+ (p3 - p2) + • • • + (Ai - Pn-1).
Supondo que ( p, - p,) (p.,1.(p;- p,) = ( p4 - P2 )3 e assim por (haute. expresse p„ como uma soma
isso e Ulna estimativa do valor de p no qual
geometrica. Depois encontre o limite de p„ quando a ->
comeca a aparecer um comportamento caotico na soluc5o da equacao logistica (21).
--Problemas Variados. Uma das diliculdades em resolver equacbes de primeira ordem é que existem diversos
metodos de resolucAo,cada urn dos quais podendo ser usado em certos tipos de equaceies. Pode-se levar algum
tempo para se adquirir experiencia cut escollier o metodo melhor para uma equagdo. Os 32 primeiros proble-
"Esse resultado para a equavio de diferencas logistica foi descoberto por Mitchell Feigenbaum (1944- ) em agosto de 1975,
enquanto trabalhava no 1.aboratOrio Nacional de Los Alamos. Em um espaco de algumas poucas semanas ele estabeleceu
que o mesmo valor !Unite aparece tambem em uln a grande classe de equagOes de diferencas corn cluplicacão de periodos.
Feigenbaum, que tem doutorado em fisica pelo
(Instituto de Tecnologia de Massachussets). trabalha atualmente na
Universidade Rockefeller.
102 CAPITULO DOIS
mas a seguir säo apresentados de modo que voce obtenha alguma prEitica na identificacâo do metodo ou m6todos aplicziveis a uma equacao dada. Os problemas restantes envolvem certos tipos de equacaes que podem ser
resolvidos por metodos especializados.
Em cada urn dos Problemas de 1 a 32, resolva a equacao diferencial. Se for dada uma condicâo inicial, encontre,
tambem, a soluciio clue a satisfaz.
dy _ 1 + cosx
dx 2 - seny
dy
dx
.13 - 2y
3.
dy
dx
2x + y
3 + 3y 2 - x
5.
dy
dx
7.
4.r3 + 1
dy
dx y(2 + 3y)
8. x + 2y =
dy
dx
10. (x 2 y. + xy -
2.
x
4.
y(0) = 0
2xy + y 2 + 1
dx
= 3 - 6x
y - Ivy
dy
6. x + xy = 1 - y,
x2 + zry
2xy + 1
x2 + 2v
dy
senx
dx
x
dy
= 1 + 2x + y 2 + 2xy2
(ix
14. (x + y)dx + (x + 2y) dy = 0,
dy
dx '
dy
2.,
17.dx
- = e + 3y
18. - + 2y = e-x2-1' ,
dy
dx
19.
dy _ 3x 2 2y
- - y3
dx - 2x + 3xy2
20. y' = er+Y
21.
dy
2y2 + 6xy - 4
+
+0
dx
3x2 + 4.vy + 3y2
.v 2 - 1
dv
21." =
d.v y 2 +1'
dv
x
dx + ( x2 + y2
y(-1) = 1
x2 )
y2
dy = 0
27.
26. xy' = y + xeY1'
29.
28. (2y + 3x) dx = -x dy
dx
dy
x
, Sugeskio: De fina u
= ,
dr
x -y
+ y-'
dy
dy
30. (3y 2 + 2xy) dx - (2xy + x 2 ) dy = 0
xy' + y - y2 e2x = 0,
y. (0) = 3
24. 2 sen ysen x cos x dx + cos ysen 2 x dy = 0
23. r dr + (r + 1)y = e2'
( X
y(2) =3
dy
cx cos y- e 2Y cos x
=
dx
-e-x seny + 2e .2 senx
16.
2 y x2 + y2
=1
dx (x 2 y - 2x 2 ) dy = 0
15. (ex + 1)- = - ye
25.
=0
dy
1
12. - +y =
dx
1 + er
11. (x2 + y)dx +(.r+ eY )dy = 0
13.
dy
31.
x+y
x-y
ey + y2'
....
dx -
l
2x3 + 3xy
y(1) = -2
y(1) = 2
Equaciles de Riccati. A equacão
rly
dt =
q i (I) + q2(t)y + g3(t)y2
6 conhecida como equacilo de Riccati." Suponha que é conhecida alguma solucdo particular y, delta equac5o. Uma solucilo mais geral contendo uma constante arbitraria pode ser obtida pela substitui45o
1
y = y i(t) + - •
v(t)
nome equaciies de Riccati 6 em homenagem a Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), urn nobre de Veneza que rejeitou
propostas de universidades na Italia, na Austria e na Russia para fazer seus estudos matemziticos corn privacidade em casa.
Riccati estudou extensivamente essas equacbes; no cntanto, o resultado enunciado neste problema foi descoberto por Euler
(cm 1760).
EQUACOES DIFERENCIAIS DE PRE1EIRA ORDEM 103
Mostre que v(t) satisfaz a equacdo linear de primeira ordem
du
di = —( q 2 2q3y, )v — ch.
Note que v(t) vai conter uma Onica constante arbitraria.
Usando o metodo do Problema 33 e a solucdo particular dada, resolva cada tuna das equacôes de Riccati
a seguir:
(t) = t
(a) y' = 1 + t2 — 2ty + y2 ;
y
1
+ y2;
(h) Y = 7
tI
dy
2 cos2 t — sen2 t + y1t)
2( . = 7
yi(t) = sen t
(c)
dt
2 cos t
A propagacao de uma Unica nil() em uma populacdo grande (por exempt°, motoristas ligando os far6is ao
pOr do sol) muitas vezes depende parcialmente de circunstancias externas (o escurecer) e parcialmente de
uma tendencia do imitar os outros que ja executaram a nä° em questao. Nesse caso, a proporcdo y(t) de
pessoas que jzi executaram a acao pode ser descrita" pela equacdo
dy/dt = (1 — y)1.v(t) + by],
(i)
onde x(t) mede o estfinulo externo ebdo coeficiente de imitacdo.
(a) Note que a Eq. (i) e uma equacdo de Riccati e que y,(t) = 1 é uma solucdo. Use a transformacdo sugerida no Problema 33 e encontre a equacdo linear satisfeita por v(t).
(h) Encontre e(t) no caso em que x(t) = at. onde a é constante. Deixe sua resposta em forma integral.
Alguntas Equaciies de Segunda Ordeal Especiais. EquacOes de segunda ordem envolvem a derivada segunda
de ulna funcdo desconhecida e u"..'m a forma geral y" = f (t, y, y'). Em geral tais equagOes nao podem ser resolvi-
das por inetodos projetados para equacOes de primeira ordem. No entanto, existem dois tipos de equagOes de
segunda ordem que podem ser transformados em equagOes de primeira ordem por uma mudanca de variavel
apropriada. As equacOes resultantes podem ser resolvidas, algumas vexes, pelos metodos apresentados neste
capitulo. Os Problemas de 36 a 51 tratam desses tipos de equagOes.
EquacOes sem a Variavel Dependente. Para uma equacdo diferencial de segunda ordem da forma y" = f (I, y'),
a substituicdo u = y', v' = y" leva a tuna equacao de primeira ordem da forma ty' = f (t, v). Se essa equacdo puder
ser resolvida para v, entdo y pode ser obtida integrando-se dyldt = v. Ao resolver a equacdo de primeira ordem
para r obtem-se uma constante arbitraria, e uma segunda constante é obtida na integracao para encontrar y.
Ent cada urn dos Problemas de 36 a 41, use essa substitui45o para resolver a equacdo dada.
36. 1 2y" + 2ty,' — 1 = 0,
38. y" + t(y') 2 = 0
40. y" + y' e-'
t>0
37. ty" + y' = 1,
t>0
39. 2i2y" + (y') 3 = 2ty',
t >0
41. 1 2 y" = (y')2 ,
t>0
Equaciies sent a Varkivel independente. Considere equagOes diferenciais de segunda ordem da forma y" f
(y, y'), na qual a variavel independente t niio aparece explicitamente. Se definirmos v = y', obtemos duldt = f
(y, v). Como a expressao it direita do sinal de igualdade depende de y e v. em vex de t e v. essa equacdo content
variaveis demais. No entanto, se pensarmos em y como sendo a variavel independente, pela regra da cadeia
temos d •ldt = (rIvIdy)(dyldt) = r(dr/dy). Portant°, a equacdo diferencial original pode ser escrita como v(d ddy) =
f (y, v). Sc essa equacdo de primeira ordem puder ser resolvida, obtemos v como funcao de y. Entao podemos
obter uma relacdo entre y e t resolvendo dyldt = v(v), que é uma equaciio separavel. Novamente, o resultado
final contem duas constantes arbitrarias. Em cada urn dos Problemas de 42 a 47, use esse maodo para resolver
a equacdo diferencial dada.
42. yy" + (y') 2 = 0
y.
44. + AY') 3 = 0
46. yy" — (y' ) 3 = 0
43. y" + y = 0
45. 2y2-y" + 2y(y') 2 = 1
47. y" + (y')2 = 2e-Y
Sugesulo: no Problem 47 a equacao transformada é uma equacao de Bernoulli. Veja o Problem 27 na Secao
2.4.
"Veja Anatol Rapoport, "Contribution of the Mathematical Theory of Mass Behavior: I. The Propagation of Single Acts",
Bulletin of Mathematical Biophysics 14(1952)159-169 e John Z.11earon,"Note on the Theory of Mass Behavior', Bulletin of
Mathematical Biophysics 17(1955)7-13.
104 CAPiTULO DOTS
Em cada urn dos Problemas de 48 ate 51, resolva o problema de valor inicial dado usando os m6todos dos
Problemas de 36 a 47.
y'y" = 2,
y(0) = 1, y'(0) = 2
y" — 3y2 = 0,
y(0) = 2, y'(0) = 4
(1 + t2 )y" 2ty' 3F2 = 0,
y(1) = 2, y'(1) -= —1
y'y" — t = 0,
y(1) = 2, y'(1) = 1
REFERÈNCIAS Os livros mencionados na Seclio 2.5 sdo
Bailey, N.T. J.,T he Mathematical Theory of Infectious Diseases and Its Applications (2nd ed.) (NewYork: Hafner Press,
1975).
Clark, ColinW., Mathematical Bioeconomics (2nd ed.) (New York: Wiley-Interscience, 1990).
Uma boa introducäo geral a dinrimica populational é
Frauenthal, J. C., Introduction to Population Modeling (Boston: Birkhauser, 1980).
Uma discuss5o mais completa da demonstracão do teorema fundamental de existencia e unicidade pode ser encontrada em livros mais aN,:ancados sobre equagOes diferenciais. Dois que sao razoavelmente acessiveis para leitores
sem muita bagagem matematica
Coddington, E. A., An Introduction to Ordinary Differential Equations (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1961;
New York: Dover, 1989).
Brauer, E. and Nohel, J., The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations (NewYork: Benjamin, 1969; New
York: Dover, 1989).
IJm compéndio valioso de metodos de resolucao de equacaes diferenciais
Zwillinger, D., Handbook of Differential Equations (3rd ed.) (San Diego: Academic Press, 1998).
Para mais discuss O
- es e exemplos de fenOmenos n5o lineares, incluindo bilurcacties e caos, veja
Strogatz, Steven 11., Nonlinear Dynamics and Chaos (Reading, MA: Addison-Wesley, 1994).
Uma referencia geral sobre equacOes de di ferencas
Mickens, R. E., Difference Equations, Theory and Applications (2nd ed.) (New York: Van Nostrand Reinhold. 1990).
Urn iratamento elemen tar de solucOes caOtieas de equacOes de diferencas pode ser encontrado em
Devaney, R. L., Chaos, Fractals, and Dynamics (Reading, MA: Addison-Wesley, 1990).
CAPITULO
3
EquacOes Lineares de
Segunda Ordem
EquagOes lineares de segunda ordem tern uma importancia crucial no estudo de equagOes diferenciais
por duas razOes principals. A primeira 6 que equacOes lincares tens Lima estrutura teorica rica, subjacente
a diversos m6todos sistematicos de resolucao. Al6m disco. uma parte substancial dessa estrutura e desses
metodos e compreensfvel em um nivel matematico rclativarnente elementar. Para apresentar as ideias
fundamentals cm um context° o mail simples possivel vamos descrev6-las neste capitulo para equaciies
de segunda ordem. Outra razdo para estudar equacOcs lineares de segunda ordem c que elas sao essendials para qualquer investigacao s6ria das areas classicas da fisica matemiitica. Ndo se pode progredir
muito no estudo de ineeanica dos fluidos, conclucdo de calor, movimento ondulatOrio ou fenOmenos etctroma$tn6ticos sem esbarrar na necessidade de resolver equagOes diferenciais lineares de segunda ordem.
Como exempt°, vamos discutir oscilacaes de alguns sistemas mecanicos e el6tricos basicos no final deste
capitulo.
3.1 Equasiies Homogeneas com Coeficientes Constantes
Uma equac5o diferencial de scgunda ordem tern a forma
d= v = f
dt-
dv
•
' at
r v
(1)
onde f c alguma functio dada. Em geral, denotaremos a variavel independente por Ljzi que o tempo 6, corn
frequacia, a variavel independente em fenOmenos fisicos, mas, algumas vezes, usaremos x em seu lugar.
Usaremos y ou, ocasionalmente, outra tetra para denotar a variavel dependents. A Eq. (1) é dita linear
se a fungdo f tern a forma
dv
g(t) — p(t) =.
(2)
t
di —q ( )y,
ou seja, se f 6 linear em y e dyldt. Na Eq. (2).g, p e q sâo funcOes especiticadas da variavel independente
t, mas näo dependem de y. Nesse caso, reescrevemos a Eq. (1), em geral, como
f (t. V.
dv
dt
=
y" + p(t)y' + q (t ) y = g(t),
(3)
onde a Intim denota diferenciacâo em relaciio a t. No lugar da Eq. (3) encontramos, corn frequéncia, a
equacAo
E claro que, se P(t)
P(t)y" + Q(t)y' + R(t)y = G(t).
(4)
0, podemos dividir a Eq. (4) por P(t), obtendo, assim, a Eq. (3) corn
Q(t)
p(t) = pm ,
g(t) =
R(t)
P(t)
,
G(t)
g(t) = p(t) .
(5)
105
106 CAPiTULO TFIS
Ao discutir a Eq. (3) e tentar resolve-la, vamos nos restringir a intervalos nos quais as funcOes p, q e g
sejam continuas.'
Se a Eq. (1) nao for da forma (3) ou (4), entao ela a dita nao linear. InvestigagOes analfticas de equaca- es nao lineares sao relativamente diffceis, de modo que teremos pouco a dizer sobre elas neste livro.
Abordagens numericas on geometricas sao, frequentemente, mais apropriadas, e sao discutidas nos Capftulos 8 e 9.
Um problema de valor inicial consiste em uma equacao diferencial, como a Eq. (1), (3) ou (4). junto
corn um par de condicOes iniciais
y(to) = yo,
y (to) = yo,
(6)
onde yo e yo sac) mimeros dados que descrevem os valores de y e de y' no ponto inicial t„. Note que as condicijes iniciais para uma equacao de segunda ordem nao inclicam, apenas, urn ponto particular (to, yo) que
tem que pertencer ao grafico da solucao, mas, tambem, o coeficiente angular y da reta tangente ao grafico
naquele ponto. E razoavel esperar que sejam necessarias duas condivies iniciais para uma equacao de
segunda ordem, ja que, grosso modo. precisa-se de duas integracOes para se encontrar a solucao, e cads
integracao introduz uma constante arbitraria. Presume-se que duas condiciies iniciais sera() suficientes
para a determinacao dos valores dessas duas constantes.
Uma equacao linear de segunda ordem é dita homogenea se a funcao g(t) na Eq. (3), ou G(t) na Eq.
(4), for igual a zero para todo t. Caso contrario, a equacao é dita nao homogenea. Em consequencia, a
funcao g(t), ou G(t), é chamada, muitas vezes, de termo nao homogeneo. Vamos comecar nossa discussao
corn equaceles homogeneas, que escreveremos na forma
P(t)y" + Q(t)y' + R(t)y = 0.
(7)
Mais tarde, nas Secifies 3.5 e 3.6, mostraremos que uma vez resolvida a equacao homogenea sempre é
possfvel resolver a equacao nao homogenea correspondcnte (4) on. pelo menos. expressar sua solucao em
funcao de uma integral. Assim, o problema de resolver a equacao homogenea é o mais fundamental.
Vamos concentrar nossa atencao, neste capftulo, a equacites nas quais as funcOes P, Q e R sac) constantes. Nesse caso, a Eq. (7) torna-se
ay" + by' + cy = 0,
(8)
onde a, b e c sao constantes dadas. Acontece que a Eq. (8) sempre pode ser facilmente resolvida em termos das fungC.)es elementares do Calculo. Por outro ludo, e muito mais dificil, em geral, resolver a Eq. (7)
se os coacientes nao forem constantes, e vamos adiar um tratamento desse caso ate o Capitulo 5. Antes
de atacar a Eq. (8), vamos adquirir alguma experiencia analisando tim exempt() simples, mas, de certa
forma, t fpico.
EXEMPLO
Resolva a equacao
y" — y -=. 0,
1
c encontre. tambem. a solucao que satisfaz as conclicOes iniciais
y(0) = 2, y'(0) = — I.
Note que a Eq. (9) 6 simplesmente a Eq. (8) corn a = 1. b = 0 c c = —1. Em outras palavras, a Eq. (9) diz que
procuramos uma funcao corn a propriedade de que a derivada segunda da fungi:10 e igual a ela mesma. Alguma
das funcOes que voce estudou em Calculo tern essa propriedade? Urn pouco de reflexao produzira, provavelmente, pelo menos uma dessas functies, a saber, a functio exponencial y,(t) = e'. Urn pouco mais de reflexao poderia
produzir, tambërn, uma segunda funcão,y,(t) = c-'. Urn pouco de experimentacao revela que mtiltiplos constantes
dessas duas solucôes tambem sao solucOes. Pot -exempla as funcOes 2e e Sc tambem satisfazem a equacao diferencial (9), corno voce pode verificar calculando suits derivadas segundas. Da mesma forma, as funcOes c,y,(t) =
c,e e c2y2(t) c2e - ‘ satisfazem a equacao diferencial (9) para todos os valores das constantes c, e c2.
A seguir, é fundamental que se note que a soma de duas soluOes quaisquer da Eq. (9) tambem é uma solucao. Em particular, como c,v,(t)e c2y 2 (t) sao soluciies da Eq. (9), a funcdo
Y
ciy,(t) -1-c2y2 (t)
c l ef + c2e.'
(11)
'1-la um tratamento correspondente para equacties lineares de ordem mais alta no Capitulo 4. Se quiser, voce pode ler as
partes apropriadas do Capitulo 4 em paralelo corn o Capitulo 3.
EQ UACO ES L INEARES DE S EGUNDA O RDEM 107
tambem é solucdo,quaisquer que sejam os valores de c i e c,. Mais uma vez, isso pode ser verificado calculandose a derivada segunda y" a partir da Eq. (11). Temos y' = c,e' - c 2 e- 1 e y" = c i et + c,e-`: logo, y" e igual ay e a Eq.
(9) é satisfeita.
Vamos resumir o que fizemos ate agora neste exemplo. Uma vez observado que as funccies y,(t) = e' e
y,(t) = e -' säo solucaes da Eq. (9), segue que a combinacäo linear geral (11) dessas funcOes tambem é solucão.
Como os coeficientes c, e c, na Eq. (11) silo arbitrarios, essa expressOo representa uma famflia infinita de solucOes da equacdo diferencial (9).
Vamos considerar, agora, como escolher urn element° particular dessa familia infinita de solucOes que satisfaca, tambem, o conjunto dado de condiceies iniciais (10). Em outras palavras, procuramos uma solucäo cujo
grafico contenha o ponto (0,2)e tenha reta tangente nesse ponto corn coeficiente angular-1. Primeiro, fazemos
t = 0 c y = 2 na Eq. (11),o que nos (la a equacâo
+ c2 = 2.
(12)
A seguir, diferenciamos a Eq. (11), o que resulta em
= c l ei - c2e-c.
Depois, fazendo t = 0 e y' = -1, obtemos
ci - c2 = -1.
Resolvendo simultaneamente as Eqs. (12) e (13) para c, e c,. encontramos
=
C2 =
3
Finalmente, inserindo essas valores na Eq. (11), obtemos
I I
Y = 3e
.%
1
ce •
a soluciio do proble ma de valor inicial que consiste na equacao diferencial (9) e nas condicOes iniciais (10).
que podemos concluir do exemplo precedente que vai nos ajudar a tratar a equacao mais geral (8),
ay" + by' + cy -= 0,
cujos coeficientes a, b e c sao constantes (reais) arbitrarias? Em primeiro lugar, as solucOes no exemplo
cram funcOes exponenciais. Ale in disco, quando identificarnos duas solucOes fomos capazes de usar uma
combinaciio linear delas para satisfazer as condicOes iniciais &alas, ale m da equaciio diferencial propriamente dita.
Explorando essas duas ideias, podemos resolver a Eq. (8) para quaisquer valores de seus coeficientes
e satisfazer, tambem, qualquer conjunto de condicOes iniciais dado para y e y'. Comecamos procurando
solucties exponenciais da forma y = e", onde r e um parántetro a ser determinado. Segue que y' = re" e
y"= r2 e". Substituindo essas expressaes para y, y' e y" na Eq. (8), obtemos
(ar2 + br + c)e" = 0,
ou, como e" 0,
(16)
are+or+c= 0.
A Eq. (16) é chamada de equaciio caracteristica da equacao diferencial (8). Seu signiticado reside no fato
de que, se r e uma raiz da equacao polinomial (16), entao y = e" c solucao da equacao diferencial (8).
Como a Eq. (16) e uma equacao de segundo grau corn coeficientes reais, ela tern duas raizes que podem
ser reais e distintas, reais e iguais, ou complexas conjugadas. Vamos considerar o primeiro caso aqui e os
dois tiltimos nas Secties 3.3 e 3.4.
Supondo que as rafzes da equacdo caracteristica (16) silo reais e distintas, vamos denota-las por r, e r2,
onde r, r„. Então y,(t) = e' . ' e y 2 (t) = etsâo duas solucOes da Eq. (8). Como no Exemplo 1, segue que
y = ci y, (t) + c2y2(t)
clew
+ c 2 er2f
(17)
tambem e uma solucdo de (8). Para verificar se isso é verdade, podemos diferenciar a expressdo na Eq.
(17); portanto,
y' = c i r i er' t + c,r 2 er"
( 18)
)1" = ci rerit + cgier2f .
( 19)
e
108 CAriTULO TRtS
Substituindo y, y' e y" na Eq. (8) por essas express 6- es e rearrumando os termos, obtemos
ay" + by' + cy = (ar? + br + c)e r ' t + c2 (at2 + br 2 + c)er2`
(20)
As quantidades entre parenteses a direita do sinal de igualdade na Eq. (20) sao nulas, pois r, e r, sac) rafzes
da Eq. (16); logo, y dado pcla Eq. (17) é, de fato. uma soluciio da Eq. (8), como querfamos verificar.
Vamos supor agora que queremos encontrar o elemento particular da familia de solucOes (17) que
satisfaz as condicoes iniciais (6)
Y(to) = yo,
.)/ ( t0) =
Fazendo t = to e y = yo na Eq. (17), obtemos
c l e f" + c2 er2`" = Yo .(21)
Analogamente, fazendo t = toe y' = yo na Eq. (18), temos
(22)
+ c,r,er"° = y'o.
Resolvendo simultaneamente as Eqs. (21) e (22) para c, e c,,encontramos
ct
=
y — YO r2 -r i to
e
r i - r2-
=
Yort
Y() e-rzt.,
(23)
r-)
Lembre-se de que r, - r, 0. de modo que as expressOes na Eq. (23) sempre fazem sentido. Assim,
importa que condicOes iniciais sejam dadas - ou seja. independentemcnte dos valores de t„,, yo e
nas
Eqs. (6) - sempre e possivel determinar c, e c, de modo que as condicoes iniciais sejam satisfeitas. Alen)
disso, existe apenas uma escolha possivel de c, e c2 para cada conjunto clado de condicOes iniciais. Corn os
valores de c, e c2 dadas pela Eq. (23), a expressäo (17) é a soluctio do problema de valor inicial
ay" + by' + cy = 0,
y(to) = yo,
(to) = yo
•
(24)
E possivel mostrar, baseado no teorema fundamental citado na prOxima secao, que todas as solucOes
da Eq. (8) estao incluidas na expressOo (17). pelo menos no caso cm que as raizes da Eq. (16) sac) reais c
distintas. Portanto, chamamos a Eq. (17) de solucao geral da Eq. (8). 0 fato de que quaisquer condicOes
iniciais possfveis podem ser satisfeitas pela cscolha adequada das constantes na Eq. (17) torna mais plau- es da Eq. (8).
sivel a ideia de que essa expressao inclui, de fato, todas as soluc O
Vamos considerar mais al guns exemplos.
EXEMPLO
2
Encontre a soluciiio geral de
y" + 5y' + 6y = 0.
(25)
Supondo que y = e", segue que r tern gm; ser raiz da equacão caracteristica
r2 + 5r + 6 = (r + 2)(r + 3) = 0.
Assim, os valores possIveis de r st"--to r, = -2 e r, = -3; a soluctio geral da Eq. (25) é
y
• EXEMPLO
3
+ c2e-3(
(26)
y(0) = 2, y'(0) = 3.
(27)
Encontre a solucOo do problema de valor inicial
y" + 5y' + 6y = 0,
A soluct-io geral da equaciio diferencial foi encontrada no Exempt() 2 c é dada pela Eq. (26). Para satisfazer
a primeira condiciio inicial, fazemos t = 0 c y = 2 na Eq. (26); assim, c, e c2 tem que satisfazer
C1 ± C2 =
2.
(28)
Para usar a segunda condictlo inicial, primeiro precisamos difercnciar a Eq. (26). Isso nos (Id y' = -2c,e-2' - 3c2e-3`.
Fazendo, agora, t = 0 e y' = 3, obtemos
-2c1 - 3c2 = 3.
(29)
Resolvendo as Eqs. (28) e (29). Yemos que c, = 9 e c2 = -7. Usando esses valores na express :do (26), obtemos a
soluciio
EQUACOES LIMEARES DE SEGUNDA ORDEM
y = 9
e -2t
7e-3r
109
(30)
do problema de valor inicial (27). A Figura 3.1.1 mostra o grafico da solucäo.
y
y = 9
e -2t _ 7e-3t
1
0,5
1,5
1
2
FIGURA 3.1.1 Soluck) de y" + 5y' + 6y = 0, y(0) = 2,y'(0) = 3.
EXEMPLO
Encontre a solucAo do problema de valor inicial
4
4y" —
+ 3.y = 0,
y(0) = 2. y'(0) = .
(31)
Se y= e", entao a equaciio caracteristica é
4r2 — 8r + 3 = 0
e suas raizes s5o r = 3/2 e r = 1/2. Portanto, a solucao geral da equa45o di ferencial é
y = e31 12 +
c:rev2.
(32)
Usando as condicOes iniciais, ()Memos as duas equagOes selzuintes para e c2:
A solucao dessas equacOes é c 1 =
c, =
3
I I
+ 2
=
2
-2 .
modo que a soluc5o do problema de valor inicial (31) é
+ C2 =
5
.1v2
y = —e + 3e
(33)
A Figura 3.1.2 mostra o graft() da solucilo.
FIGURA 3.1.2
EXEMPLO
5
Solucão de 4y" — 8y' + 3y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0,5.
A solucdo (30) do problema de valor inicial (27) comeca crescendo (ja que o coeficiente angular da reta tangente a seu grafico é positivo, inicialmente), mas acaba tendendo a zero (pois ambas as parcelas contèm exponenciais corn expoentes negativos). Portanto, a solu(do tem que atingir urn maxim°, e o grafico na Figura 3.1.1
confirm isso. Determine a localizacao desse ponto de maxima
Pode-se estimar as coordenadas do ponto de maximo atraves do grafico, mas para encontra-las precisamente
procuramos o ponto onde o grafico da solucäo tern reta tangente horizontal. Diferenciando a solucdo (30), y
9e — 7e-3t , em relacäo a t, obtemos
110 CAPiTULO TRES
y'
-18e -2- ` +
(34)
Igualando y' a zero e multiplicando por e 3', encontramos o valor critico t„, que satisfaz e' = 7/6; logo
1„,
In(7/6) 2-=' 0,15415.
(35)
0 valor maxim° correspondente, y„„ é dado por
108
(36)
49
Neste exemplo o coeficiente angular inicial é 3, mas a soluc5o da equacao diferencial dada se comporta de
maneira semclhante para qualquer coeficiente angular inicial positivo. 0 Problema 26 pede que voce determine como as coordenadas do ponto de mAximo dependem do coeficiente angular inicial.
— L' 2,20408.
y,,, = 9e -21- - 7e -3 ""
Voltando para a equacao ay" + by' + cy = 0 corn coeficientes arbitrarios, lembre-se de que, quando
- es exponenciais. Portanto, a solucão tern urn cornr,, sua solucdo geral (17) é a soma de duas func O
portamento geometrico relativamente simples: quando t aumenta, a solucao, em rnOdulo, ou tende a zero
(quando ambos os expoentes forem negatix os), ou cresce rapidamente (quando pelo menos um dos expoentes for positivo). Esses doffs casos aparecem nos Exemplos 3 e 4, ilustrados nas Figuras 3.1.1 e 3.1.2,
respectivamente. Existe um terceiro caso menos frequente: a solucao tende a uma constants se um dos
expoentes for nulo e o outro for negativo.
Nas Sectles 3.3 e 3.4 voltaremos ao problema de resolver a equac5o ay" + by' + cy = 0 quando as rafzes
da equacIlo caracterfstica forem, respectivamente, complexas conjugadas ou rears e iguais. Enquanto isso,
na Seca() 3.2, fornecemos uma discussdo sistermitica da estrutura matemiitica das solucOes de todas as
equacoes lineares homogeneas de segunda orders.
r,
PROBLEMAS Em cada urn dos Problcmas de 1 a 8, encontre a soluclio geral da equacrio diferencial dada.
2. y"+ 3y'+2y=0
y" + 2y' - 3y = 0
3. 6y" - y -y=0
2y" - 3 y' + y =
5. y" + 5y' = 0
y" - 9y =
7. y" - 9y+ 9y = 0
S. y" - 2y' - 2y = 0
Em cada urn dos Problemas de 9 a 16. encontre a solucao do problema de valor inicial dado. Esboce o grafico
da solucäo e descreva seu comportamento quando t aumenta.
y(0) = 1, y(0) = 1
y" + y' - 2y = 0,
1(1. y" 4y' + 3y = 0,
y(0) = 2, y(0) =
6y" - 5y' +
y(0) = 4, y'(0) = 0
0,
y" + 3y' = 0,
y(0) = -2, y'(0) = 3
y(0) = 1, y(0) = 0
y" + Sy' + 3y = 0,
14 2y" + y' - 4y = 0,
y(0) = 0, y'(0) = I
y" + 8y' - 9y 0,
y(1) -= 1, y'(1) = 0
y(-2) = 1, y'(-2) = -1
4y" - y 0,
24
•
Encontre uma equacão diferencial cuja solucao geral é y = cit." + c2e.3r.
Encontre uma equacão diferencial cuja solucdo geral é y = c l e-a2 + c2e.2'.
402 19. Encontre a solucão do problema de valor inicial
y" - y = 0,
?0
y(0) =
y'(0) =
Rica o grAfico da solucdo para 0 < t < 2 c determine seu valor minimo.
a solucdo do problema de valor inicial
2y" - 3y' + y = 0,
y(0) = 2, y'(0) =
Depois determine o valor maxim° da soluc5o e encontre, tambam,o ponto onde a solucao se anula.
Resolva o problema de valor inicial y" - y' - 2y = 0, y(0) = a, y'(0) = 2. Depois encontre a de modo que a
solucäo tenda a zero quando t
Resolva o problema de valor inicial 4y" -y 0,y(0) = 2, y'(0) = 13. Depois encontre $ de modo que a solucäo tenda a zero quando t
EQUAOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 111
Em cada urn dos Problemas 23 c 24, determine os valores de a, se existirem, para os quais todas as solucOes
tendem a zero quando t x; determine, tambern,os valores de a, se existirem, para os quais todas as solucaes
(nâo nulas) tornam-se ilirnitadas quando t --+
y" - (2a - 1)y' + a(a - 1)y = 0
y" (3 - a)/ - 2(a - 1)y = 0
Considere o problema de valor inicial
2y" + 3y' - 2y = 0,
y(0) = I, y'(0) =
onde /3> 0.
Resolva o problema de valor Uncial.
Faca o graft() da solucao quando 13= 1. Encontre as coordenadas (to, y„) do ponto de mInimo da soluc5o neste caso.
(c) Encontre o menor valor de ft para o qual a solucdo nä° tem ponto de minim°.
0-2. 26. Considere o problema de valor inicial (veja o Exemplo 5)
y" + 5y' + 6y = 0,
v(0) =2, /(0) = 13.
onde f3 > 0.
(a) Resolva o problerna de valor inicial.
(h) Determine as coordenadas e y„, do ponto de maximo da solucao como funcôes de /3.
Determine o menor valor de 13 para o qual y„, > 4.
Determine o comportamento de t,,, e y,„ quando /3-3 oc.
Considere a equac5o ay" + by' + cy = d, onde a, b,c e d s5o constantes.
(a) Encontre todas as solucOes de equilibria, ou constantes, dessa equac5o diferencial.
(h) Denote por v, uma solucao de equilibrio e seja = y - y,.. Ent5o Y e o desvio de uma solucao v da
soluc5o de equilibrio. Encontre a equa45o diferencial satisfeita por Y.
Considere a equa45o ay" + by' +
= 0, onde a, b e c sac) constantes corn a > 0. Encontre condicOes sobre
a, b e c para que as razes da equacao caracteristica sejam:
(a) reins, diferentes e negatives;
(h) reais com sinais opostos:
(c) reais, diferentes e positivas.
3.2 Soluciies de Equaciies Lineares Homogeneas; o Wronskiano
Na seciio precedente, mostramos como resolver algumas equagOes diferenciais da forma
ay" + by' + cy = 0,
onde a, b e c sao constantes. A partir dosses resultados. vamos obter tuna visao mais clara da estrutura
das solucOes de todas as equagOes lineares homogi.'neas de segunda order. Essa compreens5o ire nos
auxiliar, por sue vez, a resolver outros problemas que encontraremos mais tarde.
Ao discutir propriedades gerais das equacOes diferenciais lineares c conveniente usar a notacao de
operador diferencial. Sejam p e q funcOes continuos em um intervalo aherto 1, isso c, para a < t < 13. Os
ou ambos, estio incluldos. Ent5o, para qualquer func5o (/)dual vezes diferenciavel
casos a = - x ou f3
em 1 definimos o operador diferencial 1. pela fOrmula
/-10 = 0 " + PO ' + (/0.
Note que L[0]6 urea funcao em 1.0 valor de L[0] em urn ponto t 6
L[01(1) = 43"(t) + p(t)(0' (t) + (1(00M.
Por excmplo, se p(t) = 12 , q(t) = 1 + t e (t) = sen 3t, entdo
I,[0]( t ) = (sen 3t)" + t 2 (sen
+ (1 + t) sen 3t
= -9 sen 3t + 3t2 cos 3t + (1 + t) sen 3 t.
d,
muitas
vezes,
escrito
na forma L = D 2 + pD + q, onde D é o operador derivada.
L
0 operador
(1)
112 CANTULO TRES
Vamos estudar, nesta seek), a equacao linear homogenea de segunda ordem L[0](t) = 0. Como é costume usar o sfmbolo y para denotar (t), escreveremos, normalmente, esta equacdo na forma
L[y1 y" + p(t)y' + q(t)y = 0.
(2)
Associamos a Eq. (2) urn conj WI to de condicOes Uncials,
Y( to) = Yo,
Y'(t0) = A,
(3)
onde to é qualquer ponto no intervalo / e Yo, y'o sac) nameros reais dados. Gostarfamos de saber se o
problema de valor inicial (2). (3) sempre tern solucao e se pode ter mais de tuna solucao. Gostarfamos,
tambem, de saber se e possfvel dizer alguma coisa sobre a forma e a estrutura das solucides que possam
ajudar a encontrar solucOes de problemas particulares. As respostas a essas questOes estao contidas nos
teoremas desta seed°.
0 resultado teOrico fundamental para problemas de valor inicial para equacoes lineares de segunda
ordem esta enunciado no Teorema 3.2.1, que é analog() ao Teorema 2.4.1 para equagOes lineares de primeira ordem. Como o resultado tambem pode ser aplicado a equacães nao homogeneas, o teorema esta
enunciado nessa forma mais geral.
Teorema 3.2.1
(Teorema de Existencia e Unicidade)
Considers o problema de valor inicial
(4)
= Yo'
onde p, q e g sao contfnuas em um intervalo aberto / que contêm o ponto to. Entao, existe exatamente
uma solucao y = (t) deste problema e a solucao existe em todo o intervalo I.
y" + p(t)yi + q(t)y = g(t),
Y(4)) = Yo,
y(to)
Enfatizamos que o teorema diz tres coisas:
I. 0 problema de valor inicial tem uma sOluedo;em outras palavras, existe uma solucao.
0 problema de valor inicial tem apenas uma solucao; ou seja, a solueao
A soloed° esta definida em (0(10 o intervalo I. onde os coeficientes sao continuos, e é, polo menos, duas
vezes diferenciavel ali.
Para alguns problemas, algumas dessas afirmacOes sao faceis de provar. Por exemplo, vimos no Exempla 1 da Seca) 3.1 que o problema de valor inicial
y" — y = 0.
y(0) = 2, y'(0 ) = —1
(5)
tern a solucao
-2 et + 23 —t •
(6)
Y
O fato de que encontramos uma solucao certamente estahelece que existe uma solucao para esse problema de valor inicial. Alen) disso, a solucao (6) e duas vezes diferenciavel, de fato, diferenciavel urn inlmero
qualquer de vezes, em todo o intervalo (-- x , x ), onde os coeficientes da equacao diferencial sao continuos.
Por outro lado, nao é Obvio, e e mais diffcil provar, que o problema de valor inicial (5) nao tem outras
solucOes alem da dada pela Eq. (6). Nao obstante, o Teorema 3.2.1 afirma que essa solucao é, de fato, a
tinica soloed° do problema de valor inicial (5).
Para a maioria dos problemas da forma (4) nao é possfvel escrever uma expressao Util para a solucao.
Essa é uma grande diferenca entre equacOes lineares de primeira e de segunda ordens. Portanto, todas
as partes do teorema tern que ser demonstradas por metodos gerais, que nä° envolvem a obtencao de tal
expressaa A demonstracao do Teorema 3.2.1 é razoavelmente diffcil e nao sera discutida aqui. = Aceitaremos, entretanto, o Teorema 3.2.1 coma verdadeiro e o utilizaremos sempre que necessario.
EXEMPLO
Encontre o maior intervalo no qual a solucao do problem de valor inicial
(l 2 —
1
3t)y" + ty' — (t + 3)y = 0,
y(1) = 2, y'(1)
1
existe corn certeza.
2 Uma dernonstracao do Teorcma 3.2.1 pode ser encontrada, por exemplo, no Capitulo 6, Secdo 8, do livro do autoria de
Coddington, listado nas refcrencias no final destc capitulo.
EQUACOES LINEARES DE SEOUNDA ORDEM 113
Se a equacão diferencial dada for colocada na forma da Eq. (4), entäo p(t) = 1/(t — 3), q(t) = —(t + 3 )tt( t — 3 ) e
g(t) = 0.0s tinicos pontos de descontinuidade dos coeficientessfro t = 0 e r = 3.Logo,o major interval° contend°
o ponto inicial t = 1 no qual todos os coelicientes sAo continuos é 0 < t < 3. Portanto, esse d o major intervalo no
qual o Teorema 3.2.1 garantc que a solucao existe.
EXEMPLO
2
Encontre a Unica soluc5o do problem de valor inicial
y" = p(t)y + q(t)y 0.
y(to) = 0, y'((o) = 0,
onde p e q säo continuas em urn interval° aherto I contendo t,,.
A funcao y = (/)(t)= 0 para todo t em I certamente satisfaz a equacao diferencial e as condOes iniciais. Pela
parte referente a unicidade no Teorema 3.2.1. essa é a tinica solticäo do problema dado.
Vamos supor, agora, quc y, e y, siao duas solucOes da Eq. (2); cm outras palavras,
qyi = 0,
Liy i =
e analogamente para y2 . Entao, como nos exemplos na Seciio 3.1 podemos gerar mars solucOes formando
as combinaciies lineares de y, e y,. Enunciarnos esse resultado como um teorema.
Teorema 3.2.2
(Prineipio da Superposic5o)
Se y, e y, sao solucOes da equacao diferencial (2),
L[yl = y" + p(t)y' + q(t)y = 0,
entdo a combinaciio linear c,y, + c-,y2 tambdm e solucao, quaisqucr que sejam os valores das constantes
c, c c2.
Urn caso particular do Teorema 3.2.2 ocorre se c, ou c2 for zero. Podemos concluir, entao, que qualquer
multiplo constants do uma soluciio da Eq. (2) tainbdm c solucao.
Para provar o Teorema 3.2.2, precisamos apenas substituir y na Eq. (2) pela expressäo
v=
(1) + c2p(t).
•
Calculando as derivadas indicadas e rearrumando os termos, obtemos
(7)
L[c i y i + C2y 21 = My' + e 2 y 21" +Pl c i y i + c2y21" + q[ciyi + c2Y21
= 1)/1' + c 2Y f; + P.Y; + c2P32 + ct gyl + c2t/Y2
1.q + PY; + 11 + c2 + PY2 + qY21
c i Lly 1.1 + c2LIy21.
Como L[y,] = 0 e L[y 2 ] = 0, segue que 1,[ciy, + c,v,J = 0. Portant°, independente dos valores de c, e c2 , y
dado pela Eq. (7) satisfaz a equacao diferencial (2).e a demonstracao do Teorema 3.2.2 esta completa.
0 Teorema 3.2.2 diz quc, comecando corn apenas duas solucOes da Eq. (2), podemos construir uma
familia infinita do solucOcs atra y s da Eq. (7). A prOxima pergunta e se todos as solucOes da Eq. (2) estão
incluidas na Eq. (7) ou se podem existir solucaes corn formas diferentes.Comecamos a estudar essa quesao examinan«) se as constantes c, e c 2 na Eq. (7) podem ser escolEiTiTde modo que a solucâo satisfaca
as condicCies iniciais (3). Essas condicOes iniciais obrigam c, e c2 a satisfazerem as equaceles
e lYi ( t o) + c2Y2( to) = Yo,
c l y; (to) + c2 A(to) = A.
0 determinante dos coeficientes do sistema (8) é
w=
y (to)
y, (to)
Yi (to)
v'-,(to)
=
( t o).Y % ( t o) —
( to)Y2 (to) .
114 CAPITULO TRES
Se W 0 0, as Eqs. (8) Cent uma (mica solucäo (c 1 , c2), nao importa quais sejam os valores de yo e de yo'.Esta
solucäo 6 dada por
Cl
—yoy; (to) + y'oyt (to)
YoY12(to) — Y'0Y2(to)
y l(to)Y 2 (to) —
(to)y2 (to)
Yi(to)) 2 (to) —
(to)y2 (to)
(10)
ou, em termos de determinantes,
y,0
=
Y2(to)
yt ( t o)
y2 (to)
yi (to)
C2 =
Yo
/0
y l ( to)
)12(to)
y i (to)
y2(to)
(to)
y12(to)
y i (to)
y'2 (to)
(11)
Corn esses valores para c, e c,, a expressão (7) satisfaz as condicOes iniciais (3), assim como a equacao
diferencial (2).
Por outro lado, se W = 0, as Eqs. (8) nao tent solucdo, a menos que )1, e yo satisfacam uma determinada
crs
t di rto adicional: nesse caso, existe uma infinidade de solucOes.
0 determinants W é chamado o determinants wronskiano,' ou, simplesmente, wronskiano, das soluc(ies y, e y,. Usamos, algumas vezes, a notacao completa VV(y,, y 2 )(t„) para denotar a expresso mais
direita na Eq. (9) enfatizando, desse modo, o fato de que o wronskiano depende das funcOes y i e y 2 e que
é calculado no ponto to. 0 arg,umento precedente é suficicnte para cstabelecer o seguinte resultado.
Teorema 3.2.3
Sejam y, e Y2 duas soluceies da Eq. (2),
L[y] = y" + p(t)y' + ci(t)y = 0,
e suponha que as condictles iniciais (3)
Y(to) = yo,
Y (to) = y'o
sejam atribufdas. Entao, sempre 6 possfvel escolher constantes c,, c2 tais que
c i yi (t)
y
c2y2(t)
satisfaca a equacão diferencial (2) e as condicties iniciais (3) se, e somcnte se, o wronskiano
W = YtY12 — YilY2
nao se anula em t„.
EXEMPLO
No Exemplo 2 da Sec5o 3.1 vimos que y,(t) = e-"e y 2 (t) = e-3' sac, solucOes da equacao diferencial
y" + 5y' + 6y = 0.
3
Encontre o wronskiano de y, e y2.
0 wronskiano dessas duas funcOes
w=
e
e- 3r
—2e -2' —3e-2'
= —e-5`
Como W é diferente de zero para todos os valores de t, as funcOes y, e y, podem ser usadas para Sc constantsolucaes da equacao diferencial dada junto corn quaisquer conclicaes iniciais prescritas para qualquer valor de
t. Urn dosses problemas de valor inicial foi resolvido no Exemplo 3 da Secao 3.1.
O prOximo teorema justifica a expressao "soluc5o geral" introduzida na Seca° 3.1 para a combinac5o
linear co!, + c2y2.
'Os determinantes wronskianos reccbcm csse none por causa de Josef Maria Hoem3-Wronski (1776-1853), que nasceu na
PolOnia mas vivcu a major parte da sua vida na Franca. Wronski era um homem talcums°, mas complicado, e sua vida foi
marcada por disputas acaloradas frequentes con outros individuos e instituicOes.
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA OFtDEM
115
Teorema 3.2.4 Suponha que y, e y2 sac) duas solucOes da equacäo diferencial (2),
L[y] = y" + p(t)y' + q (t )y = 0.
Entao, a familia de solucaes
y = c i yi (t) + c2y2(t)
corn coeficientes arbitrarios c, e c2 inclui todas as solucOes da Eq. (2) se, e somente se, existe um ponto
to onde o wronskiano de y, e y2 nä° é nulo.
Seja uma soluciio qualquer da Eq. (2). Para provar o Teorema 3.2.4 precisamos determinar se esta
incluida no conjunto de combinacOes lineares c,y,+ c,y2. Ou seja, precisamos determinar se existem valores
das constantes c, e c, que tornam a combinacäo linear igual a 0. Seja to um ponto onde o wronskiano de y, e
' , respectivamente; assim,
y 2 é diferente de zero. Calcule c6 e 46' nesse ponto e chame esses valores de yo e y o
y o = O(to).
4i(to).
A seguir, considers o problem de valor inicial
y" + p(t)y' + g(t)y = 0.
y(to) = yo, y'(to) = A.
(12)
A funcao 4) e, certamente, solucao desse problema de valor inicial. Alem disco, como estamos supondo
que 11/(y,, y2 )(t„) é diferentc de zero, entao e possivel (pelo Teorema 3.2.3) escolher c, e c, tail que y =
c,y,(t) + c2y,(t) tambem e solucao do problema de valor inicial (12).13e fato, os valores apropriados de c,
e c2 sao dados pela Eq. (10) on (11). A parte relativa a unicidade no Teorema 3.2.1 garante que essas duas
solucOes do mesmo problema de valor inicial sao iguais; assim, para uma escolha apropriada de c, e c2,
= (. 0 . 1(0 + c2y2(t),
(13)
e, portanto, 4, esta incluida na familia de funcOes c,y, + c2y2 . Finalmente, como e uma solucao arbitraria
da Eq. (2), segue que toda solucao dcsta equaciio esta incluida nessa familia.
Suponha, agora, que nao existe ponto onde o wronskiano nao seja nulo. Logo VV(y,, y2 )(t„) = 0 qualquer que seja o ponto sclecionado. Entao (pelo Teorema 3.2.3) existent valores de y„ e para Os quaffs
o sistema (8) nao tern solucao para c, e c2 . Selecione tal par de valores c escolha a solucao 0 (1) da Eq. (2)
que satisfaz as condicOes in iciais (3). Note que o Teorema 3.2.1 garante a existencia de tal solucao. Entretanto, esta solucao nao esta incluida na familia y = c,y, + c,v 2. Assim, essa combinacao linear nao inclui
todas as solucaes da Eq. (2) se W(y,, y„) = 0. lsso completa a demonstracao do Teorema 3.2.4.
0 Teorema 3.2.4 diz que a combinacao linear c,y, + c 2y, contem todas as solucOes da Eq. (2) se, e somente se, o wronskiano de y, e y2 nao é identicamente nulo. E, portanto, natural (c ja o fizemos na secao
precedente) charnar a expressa°
V
= c l y i (t) + c2y,(t)
corn coeficientes constantes arbitrarios de solucao geral da Eq. (2). Dizemos que as solucOes y, e y2 formam
urn conjunto fundamental de solucks da Eq. (2) se. e somente se, seu wronskiano é diferente de zero.
Podemos colocar o resultado do Teorema 3.2.4 em linguagem ligeiramente diferente: para encontrar a
solucao geral e, portanto, todas as solucOes de ulna equacao da forma (2), precisamos, apenas, achar duas
solucnes da equacdo dada cujo wronskiano seja diferente de zero. Fizernos precisamente isso em diversos
exemplos na Seca° 3.1, embora nao tenhamos calculado ali os wronskianos. Voce deveria voltar e fazer
isso, verificando, assim, que todas as solucaes que chamamos de "solucao geral" na Seca° 3.1 satisfazem,
de fato, a condicao necessaria sobre o wronskiano. De outro modo, Os exemplos a seguir incluem todos os
mencionados na Seca° 3.1, assim como muitos outros problemas semelhantes.
EXEMPLO
4
Suponha que y,(t) = e" e y,(t) = e sao duas solucOes de uma equacao da forma (2). Mostre que etas formam
urn conjunto fundamental de solucOes Sc r r2.
Vamos calcular o wronskiano de y, e y2:
e'2'
eri r
= (r2 - ri )expl(ri + r2)ti.
W=
r i e'i r r2e'2
Como a funcäo exponencial nunca se anula e como estamos supondo que r 2 - r, 0 0, segue que W é diferente
de zero para todo valor de t. Em consequencia,y, e y, formam um conjunto fundamental de soluceles.
116 CAPiTULO TRtS
EXEMPLO
Mostre que y,(t) = e y2(t) = t' formam urn conjunto fundamental de solucOes da equacao
t > O.
2t 2 y" + 3ty' - Y = o,
5
(14)
Mostraremos como resolver a Eq. (14) mais tarde (veja o Problema 34 na Seciio 3.3). No entanto, neste
estdgio poclemos verificar por substituicao direta que y, e y, sao solucOes da equacäo diferencial. Como (t) =
2 t-' 12 e yi"(t) = i
4 t- 312 temos
+3
1.1 2 =
1 1 2( ._ t -3/2 )3 t( i4 -1/2)
1)II/2 = O.
Analogamente, y; (t) = -r2 e yat) = 2r 3 , logo
21 2 (2t -3 ) + 3t( -t -2 ) - t = (4 - 3 - 1)t -1 = 0.
A seguir, vamos calcular o wronskiano W de y, e y2:
1/2
w= i t 1/2
-2 1 -—t
= — 3 -3/2
(15)
Como W 0 para t > 0, concluimos que v, e y, formam urn conjunto fundamental de solucOes ali.
Fomos capazes de encontrar. em diversos casos, urn conjunto fundamental de solucOes e, portanto, a
solucäo geral de uma equacao diferencial dada. No entanto, muitas vezes isso e uma tarefa dificil, e uma
pergunta natural é se uma equacao diferencial da forma (2) sempre tem um conjunto fundamental de
solucaes. 0 teorema a seguir nos cid uma resposta afirmativa a essa pergunta.
Teorema 3.2.5 Considere a equacao diferencial (2)
L[y = y" p(t)yi q(t)y = 0,
cujos coeficientes p e q sac) continuos em algum intervalo aberto 1. Escolha algum ponto to em I. Seja y,
a solucâo da Eq. (2), que tambem satisfaz as condicOes iniciais
Y( t0) = 1 ,
./(to) = 0,
e seja y2 a solucdo da Eq. (2) que satisfaz as condicOes iniciais
y (to) = 0,
Y (to) = 1.
Então y, e y, formam urn conjunto fundamental de solucOes da Eq. (2).
Observe, cm primciro lugar, que a existencia das funcOes y, c y2 é garantida polo Teorema 3.2.1. Para
mostrar que elas formam urn conjunto fundamental de solucOes, so precisamos calcular seu wronskiano
cm to:
W(Y1,Y2)(to) =
(t())
Y2 (t())
V1 00)
Y;(to)
1
= 1.
01
Como seu wronskiano não se anula no ponto tu, as funcOes y, e y2 formam, de fato, um conj unto fundamental de solucOes, completando, assim, a demonstracdo do Teorema 3.2.5.
Note que a parte dificil dessa demonstracào, mostrar a existi..'ncia de urn par de solucties, é obtida
invocanclo-se o Teorema 3.2.1. Note, tambem, que o Teorema 3.2.5 ndo fala nada sobre como encontrar
as solucOes y, e y2 resolvendo os problemas de valor inicial especificados. Nao obstante, pode ser confortador saber que sempre existe urn conjunto fundamental de solucOes.
EXEMPLO
6
Encontre o conjunto fundamental de solucaes especificado polo Teorema 3.2.5 para a equacao diferencial
y'-y= 0,
(16)
usando o ponto inicial = 0.
Vimos, na Secâo 3.1, que duas solucOes da Eq. (16) são y,(t) = e' e y2 (t) =
0 wronskiano dessas solucOes
W(y,, y2)(1) -2 0, logo elas formam um conjunto fundamental de solucOes. No entanto, ndo formam o
conjunto fundamental de solucOes indicado no Teorema 3.2.5, ja que nao satisfazcm as condicOes iniciais mencionadas nesse teorema no ponto t = 0.
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
117
Para encontrar o conjunto fundamental de solucOes especificado no teorema, precisamos encontrar as solucOes que satisfazem as condicaes iniciais apropriadas.Vamos denotar por y,(t) a solucab da Eq. (16) que satisfaz
as condicaes iniciais
y(0) = 1,
y'(0) = 0.
(17)
A solucao geral da Eq. (16) 6
y = c l ei + c 2 c -1 .
(18)
e as condicOes iniciais (17) sao satisfeitas se c, 1/2 e c: = 1/2. Assim,
3
y (t) = 1,e ` +
= cosh t.
Analogamente, se y 4 (t) satisfaz as condicOes iniciais
y(0) = 0,
y'(0) =1 ,
(19)
entao
.Y.t(t) =
—
= senh t
Como o wronskiano de y, e Y1
(y3,y,,l(t) = cosh 2 t — senh2 r
1.
essas funcOes tambem formam urn conjunto fundamental de solucaes, como enunciado no Teorema 3.2.5. Portant°, a soluc5o geral da Eq. (16) pode ser escrita como
y k, cosh r + k2 senh
(20)
assim como na forma (18). Usamos k, e k. para as constantes arhit rarias na Eq. (20) porque nä° sao as mesmas
constantes c, e c: na Eq. (18). Um dos objetivos desk: exempt() c tornar claro que uma equacao diferencial
dada tern mais de urn conjunto fundamental de solucOes; de fato, tem uma intinidade deles; veja o Prohlema 21.
Como regra. voce dove escolhcr o conjunto mais conveniente.
Vamos exam inar melhor as propriedades do wronskiano de duas solucOes do uma equacao diferencial
linear homotzaett de segunda ordem. 0 teorema a seguir, talvez de forma surpreendente, fornece uma
formula explicita simples para o wronskiano de duas solucOes quaisquer de tat equacao arbitraria, mesmo
que as solucOes propriamente ditas nao sejam conhecidas.
Teorema 3.2.6
(Teorema de Abel)'
Se yi e y 2 sao solucOes da equacão diferencial
L[y] = y" + p(t)y' + q(t)y = 0,
onde
p e q sao continuas em urn intervalo aberto I, entao o wronskiano 11/(y,, y2 )(t) 6 dado por
W(y i ,y 2 )(t) = c exp [— f p(t) dt] ,
(21)
(22)
onde c é uma certa constante que s6 depende de y, e y 2 , mas ndo de 1. Alern disso, W(y,, y2)(t) ou 6 nulo
para todo t em (se c 0) ou nunca se anula em I (se c 0).
I
Para provar o teorema de Abel, comecamos observando que y, e y2 satisfazem
Yi + P(O.Yi + q (Oy i = 0,
(23)
P(t )y ; + g(t)y2 = 0.
4 0 resultado no Teorema 3.2.6 foi deduzido pelo maternatico noruegués Niels Henrik Abel (1802-1829) em 1827, e E conhecido como fOrmula de Abel. Etc tambem mostrou que nao existe fOrmula geral para resolver uma equacdo polinomial de
(pinto grau usando apenas operacOes algabricas explicitas sobre os coeficientes, resolvcndo, desse modo, uma questdo em
aberto desde o seculo XVI. Suas maiores contribuicOes, no entanto, foram em analise, especialmente no estudo de funcOes
eliticas. Infelizmente, seu trabalho s6 foi amplamente conhecidodepois de sua morte. 0 eminente matematico francés Legendre chamou seu trabalho de um "monumento mais duradouro do que bronze".
118 C./viral.° TRts
Se multiplicarmos a primeira equacão por -y2, multiplicarmos a segunda por y, e somarmos as equacoes
resultantes, obteremos
YiY2) +P( f )(YIY2 .riY2) = 0.
(24)
A seguir, seja W(t) = W(y,, y2)(t) e note que
(25)
W ' = yiy 1-; —
Podemos entao escrever a Eq. (24) na forma
W' p(t)1V = 0.
(26)
A Eq. (26) pode ser resolvida imediatamente, ja que e tanto uma equacäo linear de primeira ordem (Seca() 2.1) quanto uma equacao separdvel (Seca° 2.2). Logo,
W(t) = c exp [- f p(t) (It],
(27)
onde c e uma constants. 0 valor de c depende do par de solucOes da Eq. (21) envolvido. No entanto. como
a funcão exponencial nunca se anula, W(t) nao é zero a menos que c = 0 e, neste caso, W(t) e igual a zero
para todo t, o que completa a demonstracao do Teorema 3.2.6.
Note que os wronskianos de dois conjuntos fundamentals de solucOes quaisquer da mesma equacao
diferencial so podem diferir por uma constante multiplicativa e que o wronskiano de qualquer conjunto
fundamental de solucOes pode ser determinado, a menos de uma constante multiplicativa, sem resolver
a equacao diferencial. Alen' disso, como, sob as condicOes do Teorema 3.2.6, o wronskiano W e sempre
zero ou nunca e zero, voce pode determinar qual o caso que ocorre de fato calculando W para um tinico
valor convcniente de t.
EXEM PLO
No Exemplo 5, veriticamos que yi(t)= t" e y,(t) = r' sao solucOes da equacao
2t 2 y" + 3ty' - y = 0,
7
t > 0.
(28)
Verifique que o wronskiano de y, e y 2 6 dado pela Eq. (22).
Do exemplo citado, sabemos que W(y,,y2)(t) = -(3/2)r'''. Para usar a Eq. (22), precisamos escrever a equacao diferencial (28) na forma-padrao, corn o coeficiente de y" igual a 1. Obtemos, entao,
,
,
1
y' + - v -
= 0.
de modo que p(t) = 3/2t. Portanto,
W(yi,y2)(1) = c exp [-3f - (It] = c exp (- 2-3 In t)
2t
= CI
-3/2
(29)
.
A Eq. (29) fornece o wronskiano de qualquer par de solucOes da Eq. (28). Para as soluceles particulares dadas
neste exemplo, precisamos escolher c = -3/2.
Sumcirio. Podemos resumir a discuss5o desta secao da seguinte maneira: para encontrar a solucâo geral
da equaciio diferencial
y'+ p(t)y' + g(t)y = 0,
a<t<
precisamos, primeiro, encontrar duas solucOes y, e y, que satisfazem a equacao diferencial em a < t < /3.
Depois precisamos nos certificar de que existe urn ponto no interval° onde o wronskiano W de y, c y. nao
se anula. Nessas circunstancias,y, e y 2 formam urn conjunto fundamental de solucOes, e a solucao geral 6
y = c l y i (t) + c2y2(t),
onde c, c c, sao constantes arbitrzirias. Se as condicOes iniciais sao dadas em um ponto cm a < t < 13, entao
c, e c2 podem ser escolhidos de modo a satisfazer essas condicOes.
EQUACOES LINEARES DC SEGUNDA ORDEM
119
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 6. encontre o wronskiano do par de funcoes dada
e2'
e-302
2. cos t, sen r
3. e-2r 1e-2/
4. x, xe'
9. 1 + cos 20
IQer sen t, el cos t
6. os2
Em cada um dos Problemas de 7 a 12, determine o major intervalo no qual o problema de valor inicial dado
certamente tem uma Unica solucno duas vezes diferenciavel. I\15o tente encontrar a soluc5o.
ty" + 3y = t,
y(1) = I, y'(1) = 2
y( -2) = 2, y'( -2) = 1
(1 - 1)y" - 3ty' + 4y = sen t,
t (r - 4)y" + 3ty' + 4y = 2,
y(3) = 0, y'(3) = -1
y(2) = 3, y'(2) = 1
y(1) = 0, y'(1) = 1
(x - 3)y" + xy' + (In Ixpy = 0,
y(3) = 1, y'(3) = 2
(x - 2)y" + y' + (x - 2)(tanx)y = 0,
Verifique que Mt) = t'e y 2 (1) = r' sac) duas solucaes da equacäo diferencial t'y" - 2y = 0 para t > 0. Depois
mostre que c,t2 + c,r' tambem é soluc5o dessa equacão quaisquer que sejam c, e c2.
Verifique que .y,(t) = 1 e y,(t) = ty= srto solucOes da equacäo diferencial yy" + (y') 2 = 0 para t > 0. Depois
niio é, em geral, soluc5o dessa equacao. Explique por que este resultado nao conmostre que y = c, +
tradiz o Teorema 3.2.2.
Mostre que, se y = 0 (t) é ma solucAo da equacâo diferencial y" + p(t)y' + q(t)y = g(t), onde g(t) não é
identicamente nula, ent5o y = c4 (t). onde c e qualquer constants diferente de 1, n5o é solucdo. Explique
por que este resultado n5o contradiz a observacao apOs o Teorema 3.2.2.
A funcão y = sen(t2 ) pode ser soluc5o, em urn intervalo contendo t = 0, de uma equaciio da forma y" +
p(r)y' + q(t) y = 0 corn coeficientes continuos? Explique sua resposta.
Se o wronskiano W do fe g c 3e-s' e se J(t) = c'', encontre g(t).
Se o wronskiano 11/ de f e g 6 t'c' e se f(t) = t, encontre g(t).
Se W(f. g) c o wronskiano de fege se a = 2f - g, v = f+ 2g, encontre o Wronskiano W(u, (,) de a e v em
func5o de W(f,g).
20. Se o wronskiano de fegét cos t- sen t e se a=f+ 3g. r =f-g. encontre o wronskiano do ire v.
Suponha que y, e y2 formam urn conjunto fundamental de soluciies de y" + p(t)y' + a(r)y = 0 c sejam y3=
a,y, + n. y2 , y, = b,y, + b 2y2 , onde a,,a,,b, c b, s5o constantes arbitriirias. Mostre que
y" + (cos tly' + 3(In Itl)y = 0,
W(y3,y4) = (a,b2 - a2b1)W(y,,y2).
y, tambC:in formam um conjunto fundamental de solucOes. Por qui!?
Em cada um dos Problems 22 c 23, encontre o conjunto fundamental de solucOes especificado pelo Teorema
3.2.5 para a equacao diferencial e o ponto inicial dados.
y" + y' - 2y = 0.
t„=0
y” + 4y' + 3y = 0.
t„ = 1
Em cada urn dos Problemas de 24 a 27, verifique que as funOesy, ey 2 s5o solucOes da equac5odiferencial dada.
Elas constituem um conjunto fundamental de solucOes?
ai
•
v" + 4y =
yi (t) = cos 2t, y2 (t ) = sen 2 t
yi (t) = ei , y2 (t) te`
v" - 2y' + y = 0;
x2y" - x(x + 2)/ + (x + 2)y = 0, x > 0:
yi(x) = x. y2(x) = xex
= senx
(1 - x cot x)y" - xy' + y = 0, 0 < x < 7r;
yi(x) = x. y2
Considere a equacão y" - y' - 2y = 0.
(a) Mostre que y,(t) = e y2 (t) = e2r formam urn conjunto fundamental de solucOes.
(h) Sejam y,(t) = -2e", y,(t) = y,(t) + 2y2(t) c y,(t) = 2y,(1) - 43(0. y,(t), y,(t) c y,(t) tambem sa- o solucOes
da equacao diferencial dada?
(c) Determine se cada par a seguir forma urn conjunto fundamental de solucOes: [y,(t),y,(t)];[y2(t),y,(01:
LYI( t), Y4(01: Lv4(t): Y5(1)1-
Em cada um dos Problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas solucaes da equac5o diferencial dada
sem resolver a equacao.
- ty 0
t2 y" - t(t + 2)y' + (t + 2)y = 0
30 (cos fly" + (sen
x2y" + xy' + (x2 - v2 )y = 0,
equac5o de Besse!
120 C-APITULO TRts
equacao de Legendre
(1 — x2)y" — 2xy' + a(a + 1)y = 0,
Mostre que, se p é diferenciavel e p(t) > 0, entao o wronskiano W(t) de duas solucOes de [p(t)y']' + q(t) y = 0
é W(t) = clp(t), onde c e uma constante.
Se y, e y2 formam urn conjunto fundamental de solucOes de ty" + 2y' + ter), = 0 e se W(y,,y2)(1) = 2, encontre
o valor de W(y,, y2)(5).
35. Se y, e Y2 formam urn conjunto fundamental de solucties de t2y" — 2y' + (3 +t)y = 0 e se My,, y,)(2) = 3,
encontrc o valor de 1,11(y,, y2)(4).
33 Se o wronskiano de duas solucees quaisquer de y" + p(t)y' + q(t) = 0 6 constante, o que isso implica sobre
os coeficientes p e q?
Se f, g e h sdo funcOes cIiferenciaveis, mostre que 117(fg, fh) = PW(g, h).
Nos Problemas de 38 a 40. suponha que p e q sao continuas e que as funceies y, e y2 säo solucOes da equac5o
diferencial y" + p(t)y' + (1(0= 0 cm urn intervalo aberto I.
Prove que, se y, e y2 se anulem em um mesmo panto em I, entao nab podem formar urn conjunto fundamental de solucOes nesse intervalo.
Prove que, se y, e Y2 atingem urn maxima ou minima cm urn mesmo ponto em I, entao nao podem formar
urn conjunto fundamental de solucOes nesse intervalo.
Prove que, se y, e y, tem um ponto de inflexao em comum em t„ em I, entao nao podem formar um conjunto
fundamental de solucaes nesse intervalo a menos que, p c q se anulem em
Equaciies Exatas. A equacao P(x)y" + Q(x)y' + R(x)y = 0 e dita exata se puder ser escrita na forma
[P(x)y']' + [f(x)y]' = 0, onde f (x) pode ser determinada em funcao de P(x), Q(x) e R(x). Esta Ultima equacdo pode ser integrada ulna vez imediatamente, resultando em uma equac a- o de primeira ordem para y que
pode ser resolvida como na Secdo 2.1. Igualando os coeficientes das equacetes precedences e eliminando
f (x), mostre que uma condiciio necessaria para quc a equacAo seja exata 6 que P'(x) — Q'(x) + R(x) = 0.
Pode-se mostrar que essa condiczio tambem 6 suficiente.
Em cada um dos Problems de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equacäo dada 6
exata. Se for, resolva-a.
y" + xy' + y = 0
44. xy" — (cosx)y' + (senx)y = 0, x > 0
43. y" + 3x2y' + xy 0
45. x2y" + xy' — y = 0, x > 0
46. A Equaciio Adjunta. Se uma equacao linear hoinogenea de segunda ordem nao for exata, ela pode ser tornada exata multiplicando-se por urn fator integrante apropriado to (x). Precisamos,entäo,que p (x) seja tal que
p (x)P(x)y"
(x)Q(x)y' + p (x)R(x)v = 0 possa ser escrita na forma [p (x)P(x)y']' + [f(x)y]' = 0. Igualando
os coeficientes nessas duas equagOes e eliminando f(x), mostre que a funcao p precisa satisfazer
Pp" + (2P' — Q)p' + (P" — Q' + 1?)p =0.
Essa equaciio 6 conhecida como a adjunta da equaciio original c e importante na teoria avancada de equacaes diferenciais. Em geral, o problema de resolver a equacâo diferencial adjunta e tao dificil quanto o de
resolver a equacão original, de modo que so 6 possivel encontrar urn fator integrante para uma equacao
de segunda ordem ocasionalmente.
Em cada urn dos Problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para cncontrar a adjunta da equacilo
diferencial dada.
47. x2y" + xy' + (x2 — v2 )y = 0,
equacäo de Bessel
(1 — x2 )y" — 2xy' + (a + 1)y = 0,
equacäo de Legendre
equacão de Airy
y" — xy = 0,
Para a equacao linear de segunda ordem P(x)y" + Q(x)y' + R(x)y = 0, mostre que a adjunta da equacdo
adjunta é a equaciio original.
Lima equacao linear de segunda order)) P(x)y" + Q(x)y' + R(x)y = 0 6 dita autoadjunta se sua adjunta for
igual equacilo original. Mostre que uma condi(*) necessaria para esta equacao ser autoadjunta c que
P'(x) = Q(x). Determine se cada uma das equagOes nos Problemas de 47 a 49 6 autoadjunta.
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 121
3.3 Raizes Complexas da Equasio Caracteristica
Vamos continuar nossa discussao da equacâo
ay" + by' + cy = 0,
(1)
onde a, b e c säo nameros reais dados. Vimos, na Secäo 3.1, que, se procurarmos solucOes da forma y = en,
entdo r tem que ser raiz da equactio caracteristica
ar2 + br + c = 0.
(2)
Se as rafzes r, e r2 sao reais e distintas, o que ocorre sempre clue o discriminante h 2 — 4ac for positivo,entdo
a solucão geral da Eq. (1) é
y (- l e t + c2e"t
(3)
Suponha, agora, que b2 —4ac a negativo. Entflo as rafzes da Eq. (2) sào ntimeros complexos corn ugados;
vamos denota-los por
r =
+
r2 = A —
(4)
onde c to sao reais. As expressOcs correspondentes para y s5o
y i (t) = exp[(A
in)t],
y2(t) = expl (A — iki)t J.
(5)
Nossa primeira tarefa e explorar o si p,nificado dessas expressOes, o que envolve o calculo de uma funcäo
exponencial corn expoente complexo. Por exemplo, se = —1, it = 2 e t = 3, entäo,da Eq. (5),
yt (3) =
(6)
0 que signilica elevar o minter° e a uma potencia complexa? A resposta é dada por uma relacâo importante conhecida como formula de Euler.
Formula de Euler. Para at ribuir signiticado as expressOes nas Eqs. (5), precisamos delinir a func5o expo-
nencial complexa. E claro que queremos que a definicao se reduza a func50 exponencial real habitual
(tumid() 0 expoente for real. Existent varias maneiras de descobrir wino essa extensao da functio exponencial deveria ser tletinida.Vamos usar aqui um metodo haseado em series in li nitas; um metodo alternativo estit esquematizado no Problema 28.
Lembre-se do Caleulo que a serie de Taylor para e em torso de t = 0 e
=
t"
E n! •
< t < oo.
(7)
"=0
Se supusermos que poclemos substituir t por it na Eq. (7), teremos
.
ell
E
ii!
tr=0
(•_
( —1)" t2"
n=o
(2 11)!
n=i
- I 1.2n - I
(2n — 1)!
'
(8)
onde separamos a soma ern suas partes real e imagintiria, usando o fato de que = —1, i3 —i, i4 = 1,e assim
por diante. A primeira serie na Eq. (8) e precisamente a serie de Taylor para cos t em torso de t 0 e a
segunda c a serie de Taylor para sen t em torso de t 0. Temos, entAo,
= cos t + isen
(9)
A Eq. (9) é conhecida como fOrmula de Euler, e é uma relacäo maternatica extremamente importante.
Embora nossa deducao da Eq. (9) esteja baseada na hipOtese nao verificada de que a serie (7) pode ser
usada para nfimeros complexos da mesma forma que para nfirneros reais da variavel independente, nossa
intencao e usar essa deducao apenas para tornar a Eq. (9) mail plausivel. Vamos colocar as coisas em uma
fundacäo seilida agora, adotando a Eq. (9) como defitticiio de e". Em outras palavras, sempre que escrevermos en, queremos dizer a expressito a direita do sinal de igualdade na Eq. (9).
Existem alguns variantcs da fOrmula de Euler que vale a pena notar. Substituindo t por —t na Eq. (9) e
lembrando que cos(—t) = cost e sen(—t) = —sent, temos
122 CAPiTULO TRES
= cos t - i sen t
(10)
Alcor disso, se t for substitufdo por ,u t na Eq. (9), entito obtemos uma versdo generalizada da formula de
Euler, a saber,
=. cos ,u t + i sen it( .
(11)
A seguir, queremos estender a definicao de exponencial complexa para expoentes complexos arbitrarios
da forma (X + ig)t. Como queremos que as propriedades usuais da funciio exponencial continuem vtilidas
para expoentes complcxos, queremos, certamente, que exp[(X +
satisfaca
e(?- +i" = e)1 ei" t
(12)
Usando, enttio, a Eq. (11), obtemos
e(;' +ilt = eit (cos It/ + i sen At)
= eAt cost +
(13)
sen
Tomamos agora a Eq. (13) como a definica'o de exp[(X + iit )t]. 0 valor da funcao exponencial corn coeficiente complexo é um riment) complexo cujas partes real c imagintiria säo dadas pelas expressOes a clireita do sinal de igualdade na Eq. (13). Note que as partes real e imagintiria de expRX + itt)ti estzio expressas
inteiramente em termos de fungi:5es elementares reais. Por exempla, a quantidade na Eq. (6) tem o valor
e -3+61 = e -3 cos 6 + ie sen 6 0.0478041 - 0,0139113i.
Corn as definicOes (9) e (13), é Neil mostrar que as regras usuais de exponenciactlo sâo validas para
functlo exponencial complexa. Voce tamb6m pode usar a Eq. (13) para verificar que a fOrmula de (liferenciacrio
d
dt
(en) = re"
é valida para valores complexos de r.
EXEMPLO
Encontre a soluctio geral da equacâo diferencial
y" + y' + 9.25y = 0,
1
Encontre, tambt:n, a solucäo que satisfaz as condicOes iniciais
y(0) = 2,
y'(0) = 8,
(16)
e desenhe sett graft°.
A equacao caracterfstica para a Eq. (15) é
r+r+ 9.25 = 0
de modo que suas rafzes skt
=
+3i,
r2 = — — 3i.
Portanto, duas solucOes da Eq. (15) sac)
y l (t) = exp [(- z + 3i)t I = -`t'` (cos 3t jam 3 t)
(17)
y2 (t) = exp[(- - 3i)t] = e -`''`(cos 3t - isen 3t).
(18)
e
Vocé pode verificar que o wronskiano é 1V(y,,y2)(t) = -6ie-',que nunca se anula, logo a solucäo geral da Eq. (15)
pode ser expressa como uma combinacAo linear de y,(t) e y2 (t) Corn coeficientes arbitrarios.
Entretanto, em vez de usar solucaes complexas y,(t) e y 2(t), vamos procurar urn conjunto fundamental de
solucOes reais para a Eq. (15). Do lborema 3.2.2, sabemos que qualquer combinacito linear de duas solucOes
tambi.c m c uma solucao, logo varnos fortnar as combinacOes lineares y,(1) + y2 (t) e y,(t) - y2 (t). Dessa forma,
obtemos das Eqs. (17) e (18) as solucOes
yi
+ y2(t) = 2e- 0 cos 3t, yi (t) - y2 (t)
2ie-z/2 sen 3 t .
Retirando as constantes 2 e 2i por conveniencia, ficamos corn
u(t) = e -'I2 cos 3t,
u(t) = C` i2 sen 3 t(19)
EQUACOE5 LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 123
2—
10 t
FIGURA 3.3.1 So luck) do problem de valor inicial y" + y' + 925y = 0,y(0) = 2,y'(0) = 8
como solucaes rcais da Eq. (15). [Se voce nao tiver certeza absoluta de que u(t) e u(t) sao solucaes da equacao
diferencial dada, substitua essas funcOes na Eq. (15) e confirme que elas satisfazem a equaciiol Calculando o
wronskiano de u(t) e u(t). obtemos W(tt, u(t) = 3e-': logo u(t) c u(t) formam um conjunto fundamental de solucOes, e a solucao geral da Eq. (15) pode ser escrita como
v=
+ c2r(r) = e -12 (c, cos 3t + sen 31),
(20)
onde c, e c, sao constantes arbitrarias.
Para satisfazer as condiceles iniciais (16), primeiro substituimos t = 0 e y = 2 na Eq. (20), corn o resultado
que c, = 2. Erna°, diferenciando a Eq. (20), fazendo t = 0 e y' 8, obtemos
+ 3c, = 8. de modo que c2 = 3.
Portanto, a solucao do problem de valor inicial (15), (16) d
y = e -'12 (2 cos 3t + 3 sen 3 t).
(21)
A Figura 3.3.1 mostra o grafico desta soluciio.
Vemos, do grafico, quc a solucao deste problema c uma oscilacao decaindo. 0 fator contendo seno c cosseno
controla a natureza oscilatOria da solucao. enquanto quc o fator exponencial corn expoente negativo faz corn
que as amplitudes das oscilacocs diminuam quando o tempo aumenta.
0 Caso Gera!. As funcOes y,(t) e y2(t),dadas pelas Eqs. (5) e corn o significado expresso pela
Eq. (13), sao solucOes da Eq. (I) quando as rafzes da equacao caracteristica (2) sao nnmeros complexos
I nfelizmente, as solucOes y, e y2 sac) funcOes que tem valores complexos, ao passo que, em geral, preferirfamos
ter solucaes reins, se possfvel.jd que a pre pri g equacao diferencial so tern coeficientes reais. Podemos proceder
como no Exemplo 1 para encontrar urn conjunto fundamental de solucOes reais. Em particular, vamos formar
a soma e a diferenca de y, e y2.Temos
Raines Complexas;
.Y1( t ) + y2(1) = e )a (cos ta
i sen tit)
ext (cos Ftt — i sen tat)
= 2e At cos au(
y i (t) — y2 (t) = ext (cos
i sen ttt) — e;d (cos it — isen lit)
= 2ie X t sen itt.
Logo, desprezando os fatores constantes 2 e 2i, respectivamente, obtivemos urn par de solucaes reais,
u(t) = e At cos jtt,
v(t) = e At sen Fit.
(22)
Note que u e v sao, simplesmente, as partes real e imaginaria, respectivamente, de yl.
Por um calculo direto, voce pode mostrar que o wronskiano de u e v é
W (tt,v)(t)
t1e2A`
(23)
Portanto, desde que 0, o wronskiano W nao 6 nulo, de modo que u e v formam urn conjunto fundamental dc soluceies. (E claro que, se tt = 0, entäo as raizes sao reais e a discuss5o nesta secao nao se aptica.)
124 CAPITULO TRtS
Em consequencia, se as rafzes da equacdo caracteristica sdo ntimeros complexos A ± ip,com p 0, então
a solucito geral da Eq. (1) 6
y = eAt cos pt + c2 e'd sen pt,
(24)
onde c, e c2 sâo constantes arbitrarias. Note que a solucdo (24) pode ser escrita tao logo sejam conhecidos
os valores de e p. Vamos considerar mats alguns exemplos.
EXEMPLO
2
Encontre a solucão do problema de valor inicial
16y" - 8y' + 145y = 0.
y(0) = -2, y(0) = 1.
(25)
A equacilo caracteristica e 16r2 - 8r + 145 = 0, e suas rafzes sâo r = ± 3i. Logo, a solucao geral da equacâo
diferencial
y = c l et14 cos 3t + c2 et sen 31.
(26)
Para aplicar a primeira condicno inicial, fazemos t 0 na Eq. (26): isso da
y(0) = c, = -2.
Para a segunda condicao inicial, precisamos diferenciar a Eq. (26) e depots fazer r = 0. Desse modo, ventos que
y'(0) = le t3c2 = 1,
de onde temos que c2 = 1/2. Usando esses valores de c, e c,, obtemos
y = -2e." cos 3t + e`14 sen 3t
(27)
como solucäo do problema de valor inicial (25).0 grafico desta solu45o esui ilustrado na Figura 3.3.2.
Neste caso observamos que a solucäo 6 tuna oscilacdo aumentando. Novamente, os fatores trigonom6tricos na Eq. (27) determinam a parte oscilatOria da soluciio,enquanto o fator exponencial (corn expoente
positivo) faz corn que a amplitude da oscilacao aumente com o tempo.
y
10
y = -2e"4 cos 3t + 2e"4 sen 3t
5
-5 -10
FIGURA 3.3.2 Soluciio de 16,"- 8y' + 145y = 0,y(0) = - 2.y'(0) = 1.
EXEMPLO
3
Encontre a soluc5o geral de
y" + 9y = 0.
(28)
A equacão caracteristica 6 r2 + 9 = 0, com razes r = ±3i; logo, A = 0 e p = 3. A solucäo geral 6
y = c l cos 3t + e2 sen 3t;
(29)
note que se a parte real das rafzes 6 zero, como neste exemplo, entao a solucäo nä° tem fator exponencial.
A Figura 3.3.3 mostra o grafico de dual solucOes tipicas da Eq. (28). Em cada caso a soluciio 6 uma oseilacao
pura cuja amplitude 6 determinada pelas condicOes iniciais. Como a soluciio (29) nflo tem fator exponencial, a
amplitude de cada oscila45o permanece constants no tempo.
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
125
FIGURA 3.3.3 Duas solucOes tipicas de y" = 9y = 0.
PROBLEMAS
Em cada urn dos Problemas de 1 a 6, use a formula de Euler para escrever a expresstio dada na forma a + ib.
I. exp(l + 2i)
exp(2 — 3i)
e2-(...,/2)i
5. lt
6. 7-1'2'
Ern cada um dos Problemas de 7 a 16. encontre a solucao genii da equa45o diferencial dada.
7. y" — 2y' + 2y = 0
v" + 2y' — = 0
11. y" + 6y' + 13y = 0
13. y" + 2,V + I.25y = 0
y" + y' + 1.25y = 0
— 2y' + 6y = 0
v"+2y'+2y=0
12. 4y" + 9y = 0
14. 9v" + 9v' — 4y = 0
16. y" + 4y' + 6.25y = 0
Em cada um dos Prohlemas de 17 a 22. encontre a solucth) do problem de valor inicial dado. Eshoce o gralico
da soluct-to e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t.
y(0) = 0, y'(0) = 1
Cat° y" + 4y = 0.
y" + 4y' + 5y = 0,
y(0) = 1. y'(0) 0
y" — 2y' + 5y = 0.
y(7r/2) = 0, y(7/2) = 2
y'' + y 0.
y(x/3) = 2. y'(:7/3) = —4
y" + y' + 1.25v = 0,
y(0) = 3, y'(0) = 1
y" + 2y' + 2y = 0,
y(7/4) = 2. y/(7/14) = —2
62 23. Considere o problema de valor inicial
3u" — u' + 2n = 0,
1(0) = 2, //(0) = 0.
Encontre a solucâo u(t) deste problema.
Para t > 0, encontre o primeiro instante no qual Itt(t)I = 10.
Considere o problema de valor inicial
5u" + 2u' + 7u = 0,
u(0) = 2. u"(0)= 1.
Encontre a solu0o 0(t) deste problema.
Encontre o menor T para o qua! WWI < 0,1 para todo t > T.
dp?, 25. Considere o problema de valor inicial
y" + 2y' + 6y = 0,
(a) Encontre a solucäo y(t) deste problema.
y(0) = 2, y'(0) = a 0.
126 CAPITULO TRES
Encontre a tal que y = 0 quando t = 1.
Encontre o menor valor positivo de t, em fungdo de a, para o qual y = 0.
(d) Determine o limite da expressao encontrada no item (c) quando a —>
6.2 26. Considere o problema de valor inicial
y" 2ay' + (a2 + 1)y = 0,
y(0) = 1, y'(0) = 0.
Encontre a solucdo y(t) deste problema.
Para a = 1, encontre o menor T para o qually(t)1 < 0,1 para t > T.
Repita o item (b) para a = 1/4, 1/2 e 2.
Usando os resultados dos itens (b) e (c), coloque em urn grzifico os valores de T em funcdo de a e
descreva a NIKO° entre T e a.
= e2,‘,.
0 Mostre que W(eAt cos at, sen ,ut)it
28. Neste problema, esquematizamos um modo diferente de obter a fOrmula de Euler.
Mostre que y,(t) = cos t e y,(t) = sen t formam um conjunto fundamental de solucaes de y" + y = 0; ou
seja, mostre que sao solucOes e que seu wronskiano näo se anula.
Mostre (formalmente) que y = tamb6m 6 solucao de y" + y = 0. Portanto,
ell = c i cos t + c2 sent
(i)
para constantes c, e c2 apropriadas. Por que isso ocorre?
Faca t = 0 na Eq. (i) para mostrar que c, = 1.
Supondo que a Eq. (14) 6 viilida,diferencie a Eq. (i) e depois faca t = 0 para concluir que c 2 = i. Use os
valores de c, e c, na Eq. (i) para chegar a formula da Euler.
29. Usando a formula de Euler, mostre que
cost = (e rr
sent =
c-i1)/2,
—
)/2i.
Se e" e dado pela Eq. (13), mostre que e fri + '2 )' = erl'e':' quaisquer que sejam os mimeros complexos r, c r,.
Se e" e dado pela Eq. (13), mostre que
err
at
re"
para quatquer numero complexo r.
Suponha que as funcacs rcaisp e q sao continuas cm um intervalo aberto I e seja y = p (t) = ii(t) + iv(t) ulna
soluciio complexa de
y" + p(t)y + q(t)y = 0,
(i)
onde it e v sac) fungi:5es reais. Mostre que u e v tambem são solucaes da Eq. (1).
Sugestlio: substitua y = cp (t) na Eq. (i) e separe em partes real e imaginiiria.
Se as functies y, e y, formain um conjunto fundamental de solucOes de y" + p(t)y' + q(t)y = 0, mostre que
entre dois zeros consecutivos de y, existe um, e apenas urn, zero de y 2 . Note que esse comportamento 6
ilustrado pelas solucOes y i = cos t e y2 = sen t da equagOo y" + y = 0.
Sugestiio: suponha que t, e t, são dois zeros de y, entre os quais nao existe zero de y,. Aplique o teorema de
Rolle a y,ly, para chegar a uma contradicdo.
:%111darica de Varkiveis. Algumas vezes, uma equacao diferencial corn coeficientes variaveis
y" + p(t)y' + q(t)y 0,
(I)
pode ser colocada em uma forma mais adequada para que se possa resolve-la atraves de uma mudanca da
variavel independente. Vamos explorar essas ideias nos Problemas de 34 a 42. Em particular, no Problema 34
most rams que as equagOes conhecidas como equagOes de Euler podem ser transformadas em equagOes corn
coeficientes constantes por Irma mudanca simples da varidvel independente. Os Problemas de 35 a 42 contem
exemplos desse tipo de equacão. 0 Problema 43 determina condicOes sob as quais a equacao mais geral Eq.
(i) pode ser transformada em uma equagOo diferencial corn coeficientes constantes. Os Problemas de 44 a 46
fornecem aplicacOes especificas deste procedimento.
34. Equaciies de Euler. Uma equacdo da forma
d2 y
dy
t- — + al — + pv = 0,
(ii)
t > 0,
dt 2dt
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
127
onde a e # são constantes reais, é chamada de equacao de Euler.
Seja x =1n t e calcule dyldt e dyldt'em termos de dy/dx c
Use os resultados do item (a) para transformar a Eq. (ii) em
dy
try
+ (a – I ) — + fiy = O.
dx Ix
Note que a Eq. (iii) tern coeficientes constantes. Se y,(x) e y2 (x) formam urn conjunto fundamental de
solucOes da Eq. (iii), entdo y i (In t) e y 2 (In t) formam um conjunto fundamental de solucOes da Eq. (ii).
Em cada urn dos Problemas de 35 a 42, use o metodo do Problema 34 para resolver a equacao dada p ara t > 0.
35. t2y"+ty'+y=0
37. t 2 y" + 3ty' + 1,25y = 0
39. t 2 y" – 4ty' + 6y -= 0
41. t 2 y" + 3ty' – 3y = 0
36. t2y" + 4ty' + 2y = 0
38. t 2 y" – 4ty' – 6y = 0
40. t 2 y" – ty' + 5y = 0
42. t 2 y" + 7ty' + lOy = 0
43. Neste problema vamos determinar condicOes sobrep e q de modo que a Eq. (i) possa ser transformada em
uma equacdo corn coeficientes constantes atravês de uma mudanca da varidvel independente. Seja x = u(t)
a nova varizivel independente, corn a relaciio entre x e t a ser especificada mais tarde.
(a) Mostre que
(d.v) 2 d 2y
d2y
d 2 .v dy
dy_
+——•
—=
dt-'dt
dx 2
dt- (Ix
dt
(h) Mostre que a equacilo diferencial (i) torna-se
(thc
dt
dx)dy
y
( ( PA+p(t)- -7
(Lt.
(/. 0dt-
q(t)y O.
(iv)
Para que a Eq. (iv) tenha coeficientes constantes, c precis() que Os coeficientes de d'yldx = e de y sejam
proporcionais. Se q(t)> 0. entk) podemos escolher a constante de proporcionalidade como I:logo,
x = u( t) =
f lq(t )1 1 ' 2 dt.
(v)
Com .v escolhiclo como no item (c), mostre que o coeficiente de dy/dx na Eq. (iv) tamhem e constante,
desde que a expressiio
q'
+2p(t)q0)
(vi)
21g(t)I`-2
seja constante. Assim, a Eq. (i) pode ser transformada cm uma equack) corn coeficientes constantes
knives de uma mudanca da variavel independente, desde que a funcao (q' + 2pq)/(/' : seja constante.
Como esse resultado pode ser modificado se g(t)< 0?
Em cada urn dos Problemas de 44 a 46, tente transformar a equaciio dada em uma corn coeficientes constantes
pelo metodo do Problema 43. Se isso for possivel, encontre a soluck) geral da equaciio dada.
44. y"+ ly + e -12 y = 0,
–oo < t < oo
y"+ 3ty' + t 2 y = 0,
-CC < < oo
ty" +(t'-- 1)y' + t 3 y = 0,
0 < t < oo
3.4 Rafzes Repetidas; Reducao de Ordem
Em secOes anteriores, mostramos como resolver a equacão
ay" + by' + cy = 0
(1)
ar2 + br + c = 0
(2)
quando as rafzes da equacâo caracterfstica
sat) reais e distintas ou complexas conjugadas. Vamos considerar agora a terceira possibilidade, a saber,
quando as duas rafzes r, e r, sao iguais. Esse caso faz a transick) entre os outros Bois, e ocorre quando o
discriminante b2 – 4ac é zero. Segue da formula para a equacào do segundo grau que
128 CANTULO Tilts
rt = r 2 = - b/2a.
A dilIculdade c imediatamente aparente: ambas as rafzes geram a mesma solucao
e-bi I2a
yi
da equacào diferencial (1), e nao ë nada Obvio como encontrar uma segunda
EXEMPLO
Resolva a equacAo diferencial
y" + 4y' + 4y = O.
1
(5)
A equac5o caracteristica
r 2 + 4r + 4 = (r + 2) 2 = 0,
de modo que r, r,= -2. Portanto, uma soluczio da Eq. (5) é y,(t) = e-2'. Para encontrar a solucao geral da Eq. (5),
precisamos de uma segunda solucao que nao seja mtiltiplo de y,. Essa segunda solucao pode ser encontrada de
diversas maneiras (veja os Problemas de 20 a 22); usaremos aqui urn mato& descoberto por D'Alembert' no
uma soluciio da Eq. (I), cy (t) tat/11)6m o e para qualquer constants c. A
seculo XVIII. Lembre que. como y
ideia basica c generalizar essa observacao substituindo-se c por uma fun450 r(t) e depois tentando determinar
v(t) de modo que o produto v(t)y,(t) seja soluc5o da Eq. (1).
Para seguir esse programa, vamos substituir y = r(t)y,(t) na Eq. (5) e usar a equacAo resultante para encontrar v( t). Comecando corn
i
y = v( t )Y1( t ) = v(t)e -2`
(6)
= v'(t)e -2` - 2v(t)e -2:
(7)
v" = r"(t)e -21 - 4r' (t)c -2( + 4 v(t)e-2'
(8)
temos
Substituindo as expressties nas Eqs. (6), (7) e (8) na Eq. (5) e juntando os termos, obtemos
[C(t) - 4r/(t) + -Ir(t) + 41/(t) - 8v(t) + 4v(t)le -2( = 0,
que pode ser simpliticada para
v"(t) = 0.
(9)
Logo,
v' (t) = c
e
v(t) = c i f + c2 ,
( 10)
onde c, e c, sao constantes arbitrarias. Finalmente,substituindo v(t) na Eq. (6). obtemos
y = 1 te
-2/
c2e-2t
A segunda parcela it direita do sinal de igualdade na Eq. (11) corresponde a solucão original y,(t) = exp(-21),
mas a primeira parcela corresponde a uma segunda solucao, a saber, y,(t) = t exp(-2t). Essas duas solucOes
nao sao proporcionais, obviamente. mas podemos verificar que formam um conjunto fundamental de solucOes
calculando seu wronskiano:
to -2'
W(Yi•.Y2)(t) = -2e -2' (1 - 21)c-2`
=
- 2te -4` + 2te --4` = c -4( 0.
'Jean d'Alembert (1717-1783). matematico (ranee's, foi contemporiineo de Euler e Daniel Bernoulli, c e conhecido, principalmente, por seu trabalho em mecAnica e equaciies diferenciais. 0 principio de d'Alembert em meciinica e o paradoxo de
d'Alembert cm hidrodinärnica rcceberam esse nome cm sua homenagem, e a equaciio de onda apareceu pela primcira vez
em seu artigo sobre cordas vibrantes em 1747. Em seus Ultimos anos, devotou-se principalmente a filosofia e As suas tarefas
como editor de ci(Mcia da Enciclop6.dia de Diderot.
EQUAC6ES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 129
Portanto,
yi(t) =
y 2 (1) = te-2'
(12)
formam urn conjunto fundamental de solucOes da Eq. (5). e a solucäo geral clesta equacao e dada pela Eq. (11).
Note que ambas as funcOes, y i (t) e yz(t), tendem a zero quando t
x; em consequencia, todas as solucOes da
Eq. (5) se comportam desse modo. A Figura 3.4.1 mostra o gratico de uma solu45o tfpica.
y
2
FIGURA 3.4.1 Lima soluca° tipica do y" + 4y' + 4y = 0.
0 proceclimento usado no Exemplo 1 pode sear cstendido a UM a equac5o geral cuja equacao caracterfst Ica tenha rafzcs repetidas. Ou seja, supomos que Os coehcientes na Eq. (1) satisfazem b 2 - 4ac = 0, caso
CM qUe
yi(1) e-ht/2a
Lima soluciio. Para eneontrar uma segunda solu45o. supomos que
C = p (t)v i (t) = u(t)e ni2a
c substitulinos na Eq. (I) pa ra determinar 110. Temos
(t)e-btlit
t•'(t)e-14,2" _
y
y
=
_v
tr
( . ) ,-bt/2a
_
t ) —ht /2a
1)2
(0e-hu2a
4a-
a
Entao, substituindo na Eq. (1), obtemos
b2
b ,
001 + b[1 . "(t) - —1,, (1)1 + cum} e -1" / 2" = 0.
[I , "(t) — —1) (t) +
4a2a
a
Cancelando o fator exp(-btl2a), que Liao Sc anula, e rearrumando Os termos restantes, encontramos
au" (t) + (-h +
b 2b2
4a
2a
(t) + ( — - — + c) u(t) = 0.
(17)
A parcela envolvendo v'(t) c obviamente nula. Mat disso, 0 coeficiente de v(t) c c - (13 214a). que também
é zero, pois h 2 - 4a • = 0 no problema cm consideracAo. Assim, como no Exemplo 1, a Eq. (17) se reduz a
t . "(t) = 0;
logo,
v(t) = C t +
Portanto, da Eq. (13), temos
= c l e-N/2" + ote-1"/2".
Então, y é uma combinacao linear das duns solucties
y i (t) = C bt/2",
y2(t) = to
-b112a
(18)
130 C.AFtrut.o TRfs
0 wronskiano dessas duas solucOes é
W(yi,y2)(t)
e —btf2a
to—ht/2a
— —e—btl2a
1 - — ) e—b1/2a
2a
bt
(20)
2a
Como W(y,,y2)(t) nunca se anula, as solucaes y, e y, dadas pela Eq. (19) formam urn conjunto fundamental de solucaes. Alem disso, a Eq. (18) e a solucdo geral da Eq. (1) quando as rafzes da equacdo caracterfstica sao iguais. Em outras palavras, neste caso existe uma solucäo exponencial correspondente a raiz
repetida, enquanto uma segunda solucào e obtida multiplicando-se a solucäo exponencial por t.
EXEMPLO
Encontre a solucao do problem de valor inicial
y" – y' + 0,25y = 0.
2
y(0) = 2, y'(0) =
(21)
A equacdo caracteristica é
r2 – r + 0,25 = 0,
de modo que as rafzes sdo r, = r,= 1/2. Lo go, a solucdo geral da equaczio diferencial 6
y = c l e`12 + c2ter12.
(22)
A primeira condicdo inicial requer quc
y.(0) = c, = 2.
Para satisfazer a segunda condicii° inicial, primciro cliferenciamos a Eq. (22) e depois fazemos t = 0. Isso nos dzi
y'(0) = c i + c2
de modo que c2 = –2/3. Portanto, a solucdo do problema de valor inicial
y = 2e"2 – te"2 .
(23)
A Figura 3.4.2 mostra o grafico desta solucao.
FIGURA 3.4.2 SolucOes de y" – y' + 0,25y = 0, y(0) = 2, corn y'(0) = 1/3 e y'(0) = 2, respectivamente.
Vamos rnoditicar, agora, o problema de valor inicial (21) mudando o coeficiente angular inicial; especificamente, vamos trocar a segunda conclictio inicial por y'(0) = 2.A solucao deste problema modificado é
y = 2e/2 + feta .
e scu grafico tambem aparece na Figura 3.4.2. Os graficos mostrados nessa figura sugerem a existencia de um
coeficiente angular inicial critic°, corn valor entre I e 2, que separa as solucOes que crescem positivamente das
quc crescem cm modulo, mas tornam-se negativas. 0 Problema 16 pece que voce determine este coeficiente
angular critico.
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
131
O comportamento geometric° de solucOes é semelhante, nesse caso, a quando as rafzes säo reais e
distintas. Se os expoentes sac) positivos ou negativos, entdo a solucdo, em modulo, aumenta ou diminui
de acordo; o fator linear t tem pouca influencia. A Figura 3.4.1 mostra uma solucão decaindo e a Figura
3.4.2 mostra duns solucOes crescendo em modulo. No entanto, se a raiz repetida e nula, entäo a equacao
diferencial é y" = 0 e a solucâo geral é uma fungdo linear de t.
Resumo. Podemos resumir, agora, os resultados obtidos para equagOes lineares homogeneas de segunda
ordem corn coeficientes constantes
ay" + by' + cy = O.
(1)
Sejam r, e r, as rafzes do polinômio caracteristico correspondente
,
ar- + or + c = 0.
(2)
Se r, e s5o reais e distintos, entdo a solucão geral da equacdo diferencial (1) é
y = c i e s + e2e"i
Se r, e r, sao complexos conjugados A ± iEr, entao a solucäo geral é
y = c i e ?a cos /it + c2 e;.1 sen
Se r, = r„, entdo a solucilo geral 6
y = c i er I I
c2 te r ''
(26)
Reduciio de Ordem. Vale a pena observar que o procedimento usado anteriormente nesta seciio para
equacOes com coeficientes constantes c aplicavel mais geralmente. Suponha que conhecemos uma solticao y,(t), n5o identicamente nub, de
y" + p(t)y' + q(t)y = 0.
Para encontrar uma segunda solucao, seja
v = v(i)yi(t);
en t5o,
= (.."(t)yi(t) + v(t)y',(t)
y" = v"(t)y i (t) + 21/(t)y;(t) + v(t).q(t).
Substituindo essas expressOes para y, y ' c y" na Eq. (27) e juntando os termos, encontramos
y iv n + ( 2y; + py 1 (t7' + ) y; + py; + gy i )v = 0.
(29)
Como y, e uma soltic5o da Eq. (27), o coeficiente de r na Eq. (29) é zero, de modo que a Eq. (29) flea
y i V" + (4 '1 p y i )
= 0.
(30)
Apesar de sua aparencia, a Eq. (30) e, de fato, uma equac5o de primeira ordem para a funcão v' e pode ser
resolvida como uma equacao de primeira ordem ou como Lima equacao sepanivel. Uma vez encontrada v',
r e obtida por integrac5o. Finalmente, a soluc5o y ei determinada da Eq. (28). Este procedimento e chamado
de metodo de reducAo de ordem, ja que o passo crucial 6 a resolucão de uma equacao diferencial de primeira ordem para v', em vez da equacao de segunda ordem original para y. Embora seja possfvel escrever uma
fOrmula para v(t), vamos, em vez disso, ilustrar como o método funciona atraves de urn exemplo.
EXEMPLO
3
Dado que y,(1) = r' e uma soluc5o de
2t 2 y" + 3ty' — y = 0,
t > 0,
encontre um conjunto fundamental de solucOes.
Vamos fazer y = v(t)r';ent5o
y' =
— vt -2 ,
y" = t." C l —2v't
Substituindo y, y' e y" na Eq. (31) e juntando os termos, obtemos
- 2 + 2v1 - 3.
(31)
132 CAPITULO TlItS
vt-2) —
2t2 (v"r 1 — 2v'r 2 + 2vr3 ) +3t(v't2tv" + (-4 + 3)u' + (4t -1. — 3r' — rl)v
= 21 v" — v' = 0.
(32)
Note que o coeficiente de v é nulo, como deveria: isso nos da urn ponto Call de verificacdo dos nossos calculos.
Separando as variaveis na Eq. (32) e resolvendo para v'(t), encontramos
v'(t) = ct1/2;
entdo,
v(t) = ict 312 + k.
Segue que
v=
2 + kt -1 ,
(33)
onde c e k sdo constantes arbiträrias. A segunda parcela na Eq. (33) 6 um mUltiplo do y, e pode ser retirada, mas
a primeira parcela nos da uma solucao nova y2 (0= t' 12 . Voce pode verificar que o wronskiano de y, e y26
14/ (y i .y2)(t) = ;t -3/2 ,
t > 0.
(34)
Em consequencia,y, e y, formam um conjunto fundamental de solucOes.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 10, encontre a solucao geral da equaciio diferencial dada.
O9y"+6y' +y= 0
1. y" — 2y' + y = 0
4. 4y" + 12y' + 9y = 0
CD 4y" — 4y' — 3y = 0
5. y" — 2y' + lOy = 0
y" — 6y + 9y = 0
8. 16y" + 24y' + 9y = 0
'04y" + 17y' 4- 4y = 0
9. 25y" — 20y + 4y = 0
10. 2y" + 2y' + y = 0
Em cada urn dos Problemas de 11 a 14, resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o grafico da solucdo e
descreva seu comportarnento quando t cresce.
y(0) = 2, y'(0) = —1
9y" — 12y' + 4y = 0,
-- 6y' + 9y = 0,
y(0) = 0, y'(0) = 2
y" + 6y' + 82y = 0,
y(0) = —1, y'(0) = 2
y" + 4y' + 4y = 0,
y(-1) = 2, y'(-1) =_
Considere o problema de valor inicial
402,
4y" + 12y + 9y = 0,
v(0) = 1, y'(0) = —4.
Resolva o problema de valor inicial e faca o grafico de sua solucäo para 0 < t < 5.
Determine onde a solucâo tern valor zero.
Determine as coordenadas (to, yo) do ponto de minima
Mude a segunda condicão inicial para y'(0) = b e encontre a solucão como funcdo de b. Depois encontre o valor critic° de b que separa as solucOes que permanccem positivas das que acabam se tornando
negativas.
Considere a seguinte modificacâo do problema de valor inicial no Exemplo 2:
y" — y' + 0,25y, = 0,
y(0) = 2, y'(0) = b.
Encontre a solucäo em funcao de h e depois determine o valor critico de h que separa as solucOes que
crescem positivamentc das quc acabam crescendo em modulo, mas corn valores negativos.
4/./2, 17. Considere o problema de valor inicial
4y" + 4y' + y = 0,
y(0) = 1, y'(0) =- 2.
Resolva o problema de valor inicial c faca o grafico da solucão.
Determine as coordcnadas (tm, y„) do ponto de maxim.
Mude a segunda condic5o inicial para y'(0) = b > 0 c encontre a soluc5o como funcao de b.
Encontre as coordenadas do ponto de maxim() (t„, y„) em funciio de b. Descreva a dependencia em b
de t, e de y, quando b aumenta.
EQUACOES IMAMS DE SEGUNDA ORDEM
133
Considere o problema de valor inicial
9y" + 12y' + 4y = 0.
Y(0) = a > 0, y'(0) = -1.
Resolva o problema de valor inicial.
Encontre o valor crftico de a que separa as solucOes que se tornam negativas das que permanecem
positivas.
19. Se as rafzes da equacao caracterfstica sat) reais. mostre que uma solucäo de ay" + by' + cy 0 e identicamente nula ou pode assumir o valor zero no maxim° uma vez.
Os Problemas de 20 a 22 indicarn outran maneiras de se encontrar uma segunda solucao quando a equacao
caracterfstica tem rafzes repetidas.
Considere a equacão y" + 2ay' + a 2y = 0. Mostre que as rafzes da equacao caracterfstica sac) r, = r2 = -a,
de modo que uma solucão da equacäo é
Use a fOrmula de Abel [Eq. (22) da Seca° 3.2] para mostrar que o wronskiano de duas solucOes quaisquer da equacao dada 6
11/ (t) = y i (t)y:(t) - y'l (t)y2(t) =
onde c, é constante.
(c) Seja y,(t) e-"r e use o resultado do item (b) para obter uma equacao diferencial satisfeita por uma
segunda solucão y,(t). Resolvendo essa equacao, mostre que y2(t) = to-at.
Suponha que r, e r2 sao rafzes de ar'- + hr + c = 0 e que r. = r,;entao,exp(r,t) e exp(r,t) sat) solucOes da equacao diferencial ay" + by' + cy = 0. Mostre que (t;r,,r2 ) = [exp(r,t)- exp(r,t)11(r2 - r1 ) tambem é solucão da
equacao para r, * r,. Depois, pease em r, como fixo e use a regra de L'Hospital para calcular o limite de 0
(I; r,, r,) quando r,
r, obtendo, assim, a segunda solucao no caso de raizes iguais.
(a) Se ar2 + hr + c = 0 tern rafzes iguais ronostre que
Lk" = W e" + !m e"
+ cen = a(r - r1)2e"
(i)
Como a Ultima expressiio a direita na Eq. (i) e nula quando r = 1. 1 , segue que exp(r,t) e uma solucdo de
L[y] = ay" + by' + cy = 0.
(b) Diferencie a Eq. (i) em relaciio a r e mule as ordens das derivadas em relacão area t, mostrando,
assim, que
— Lk") = L[— rt i = L(te" = atert (r - r1 ) 2 + 2ae"(r - ri).
ar e
ar
(ii)
Como a Ultima expressiio a direita na Eq. (ii) 6 zero quando r = rh conclua que t exp(r,t) tambem e solucAo
de L[y] = 0.
Ern cada urn dos Problemas de 23 a 30, use o metodo de reducilo de ordem para encontrar uma segunda solucAo da equacao diferencial dada.
yi(t) = 12
2 y" - 4ty' + 6y 0, t > 0;
yi(t) = t
t 2 y" + 2ty' - 2y = 0, t > 0;
yi (t) = t
t2 y" + 3ty' + y = 0, t > 0;
t2y" - t(t + 2)y' + (t + 2)y = 0, t > 0;
yi (x) = senx
Y1(21) = 1
xy" - y' + 4x 3 y = 0, x > 0;
(x - 1)y" - xy + y = 0, x> 1;
yi(x) =
(x) = .r1.4e21`
2 y" - (x - 0,1875)y = 0,
> 0;
Ox
y, (x) = x -112 sen
x 2 y" + xy' + (x2 - 0,25)y = 0, x > 0;
A equacdo diferencial
.ry'' - (x + N)y' + Ny = 0,
onde N e um inteiro näo negativo, foi discutida por diversos autores. 6 Uma razäo para esse interesse 6 que
ela tem uma solucao exponencial e uma solucao polinomial.
Verifique que uma solucao e y,(x) = e'
Mostre que uma segunda solucao tern a forma y 2(x) = c e' f x" e `dx. Calcule y2(x) para N = 1 e N =
2; convenca-se de que, corn c = -1/N!,
"T. A. Newton, "On Using a Differential Equation to Generate Polynomia ls ", American Mathematical Monthly 81(1974), pp.
592-601. Veja, tambem, as referencias cicadas ali.
134 CAPiTULO Tans
x2
x
Y2( x ) = 1 +
9
1!
+
2!
+•••+
xN
N! •
Note que y2(x) é precisamente a soma das N + 1 primeiras parcelas da serie de Thylor para e' em torno de
x 0, ou seja, da serie de Taylor para y,(x).
A equac5o diferencial
y" + (xy + y) = 0
aparece no estudo da turbulencia cm um fluxo uniforme ao passar por um cilindro circular. Verifique que
y,(x) = exp(-8.02) e uma solucao, c depois encontrc a solucao geral na forma de uma integral.
0 metodo do Problem 20 pods ser estendido para equagOes de segunda ordem corn coeficientes variaveis. Se y i é uma solucao conhecida de y" + p(x)y' + q(x)y = 0 que não se anula, mostre que uma segunda
solucão y 2 satisfaz (y,ly,)' 11/(y,, y 2 )/y, 2 , onde
y2) é o wronskiano de y, e y 2 . Depois use a formula de
Abel [Eq. (22) da Secao 3.2] para determinar y2.
Em cada um dos Problemas de 34 a 37, use o metodo do Problema 33 para encontrar tuna segunda solucilo
independente da equacao dada.
t2y" + 3ty' + y 0, t > 0;
YE(1) = t
ty" - y' + 41 3y = 0, t > 0;
yi(t) = sen (t2)
(x - 1)y" - xy + y = 0, x > 1;
y (x) = e`
x2 y" + xy' + (X 2 — 0.25)y = 0, x > 0;
y, (x) = x -I/2 sen x
Comportamento de SolucOes (wand() t
x. Os Problemas de 38 a 40 tratam do comportamento do solucaes
no limite quando t -> cz.
Se a, b e c são constantes positivas, mostre que todas as solucOes de ay" + by' + cy = 0 tendem a zero quando
(a) Se a > 0 e c > 0, mas b = 0, mostre que o resultado do Problema 38 não continua %/Ando, mas que todas
x.
as solucCies permanecem limitadas quando t
(b) Se a > 0 e h > 0, mas c 0, mostre que o resultado do Problema 38 não continua valido, mas que todas
as solucaes tendem a uma constante, que depende da condiciio initial• quando t -> x . Determine essa
constante para as conclicOes iniciais y(0) = yo, y(0) = y'„.
Mostre que y = sen t é uma solucAo de
y" + (k sen2 t)y' + (1 - k cos t sent)y = 0
para qualquer valor da constante k. Se 0 < k < 2, mostre que 1 - k cos t sen t > 0 c k sen't > 0. Observe entao
que, embora os coeficientes dessa equacao diferencial corn coeficientes variaveis sejam não negativos (e
o coeficicnte de y' se anulc apenas nos pontos t =
...), cla tem uma soluc5o que n5o tends a zero
quando t -> x. Compare essa situacäo corn o resultado do Problema 38. Observamos, assim, uma situacao
que nab é incomum na teoria de equagOes diferenciais: equagOes aparentementc bastante semelhantes
podem ter propriedades muito diferentes.
Equaciles de Ruler. Em cada urn dos Problemas 41 e 42, use a substituicao introduzida no Problema 34 da
Seca() 3.3 para resolver a equac5o diferencial dada.
t> 0
t2y" - 3ty' + 4y = 0,
t>0
t2 y" + 2ty' + 0,25y = 0,
t>0
2t2y" - 5ty' + 5y = 0,
t>0
t2 y" + 3ty' + y = 0,
t>0
4t 2 y" - 8ty' + 9y = 0,
t>0
t2 y" + 5ty' + 13y = 0,
3.5 Equasiies Nao Homogeneas; Metodo dos Coeficientes Indeterminados
Vamos retornar a equacao nab homogenea
L[y] y" + p(t)y' + q(t)y = g(t),
(1)
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
135
onde p, q e g szio fungi:5es (continues) dadas em urn intervalo aberto I. A equacao
11y] = y" p(t))/ + q(t)y =- 0,
(2)
na qual g(t) = 0 e p e q sào as mestnas que na Eq. (1). 6 chamada de equacão homogenea associada
Eq. (1). Os dois resultados a seguir descrevem a estrutura de solucOes da equacao nä° homogenea (1) e
fornecem uma base para a construcao de sua solucâo geral.
Teorema 3.5.1 Se Y, c Y 2 são duas solucOes da equacao nZ-to homogenea (1), entao sua diferenca Y, - Y 2 e uma solucao
da equacao homogenea associada (2). Se, alem disso, y, e y, formam urn conjunto fundamental de solu95es para a Eq. (2), entao
Yt(t) - Y2(t) = ctYr(t) + c2Y2(t),
(3)
onde c, e c2 sdo constantes determinadas.
Para provar esse resultado, note quc Y, e Y. satisfazem as equagOes
L[Y,j(t) = g(t),
(4)
L[Y2J(t) = g(t).
Subtraindo a segunda da primeira dessas equagOes, temos
1.11/ 1 1(t) - L[Y21(I) = g(t) - g(t) = 0.
(5)
No entanto,
Li
— i.[ Y 2 1 = 1.1 Y 1 — Y2 1.
de mod° que a Eq. (5) Ilea
.[Y - Ys]it) = 0.
(6)
A Eq. (6) diz que Y, - Y, e uma solucilo da Eq. (2). Finalmente. como todas as solucOes da Eq. (2) podem
ser expressas como uma combinaczio linear das funcOes em um conjunto fundamental de solucOes pelo
Teorema 3.2.4, segue que a soluc5o Y, - Y, tamb6m pode ser expressa nessa forma. Logo, a Eq. (3) 6 valida e a demonstracao esta completa.
Teorema 3.5.2
A solucZio geral da equac5o niio homogenea (1) pode ser escrita na forma
= 0(t ) = c1)7 1 (t) + c2Y2(t) + Y(1),
(7)
onde y, e y2 formam um conjunto fundamental de soluceles da equacao homogenea associada (2), c, e
sTio constantes arbitrarias e Y 6 algutna solucao especffica da equacao ndo homogenea (1).
A demonstraciio do Teorema 3.5.2 segue rapidamente do teorema precedente. Note quc a Eq. (3) é
valida se identilicarmos Y, com ulna solu45o arbitraria yh da Eq. (1) e Y, corn a solucao especffica Y. Da
Eq. (3) obtemos, assim,
0(t) - Y ( t ) = c i v i( r ) + c2y2 (t),
(8)
que 6 equivalente a Eq. (7). Como 0 é ma solucao arbitrziria da Eq. (1), a expressao a direita do sinal de
igualdade na Eq. (7) inclui todas as solucOes da Eq. (1): é natural, portanto, chamzi-la de solucZio geral da
Eq. (1).
Colocando de maneira um pouco tliferente, o Teorerna 3.5.2 diz que, para resolver a equacäo nä° homogenea (1), precisamos fazer trés coisas:
Encontrar a soluczio geral c,y,(t) + c2y2(t) da equacao homogenea associada. Essa soluc5o e chamada, muitas vezes, de soluciio complementar e pode ser denotada por y,(t).
Encontrar uma dnica solucao Y(t) da equacao nil() homogaea.Referimo-nos a essa solucao, muitas vezes,
como uma soluclio particular.
3. Somar as duas lung 6- es encontradas nas duas etapas precedentes.
136 CAPiTULO TRES
Já discutimos como encontrar MO, pelo menos quando a equacdo homogenea (2) tern coeficientes constantes. Portanto, no restante desta secäo e na prOxima focalizaremos nossa atencao em encontrar uma solucao particular Y(t) da equacao nao homogenca (1). Existem dois metodos que gostarfamos de discutir. Eles
sac) conhecidos como o metodo dos coeficientes indeterminados (discutido aqui) e o metodo de variacäo
dos parâmetros (veja a Seca° 3.6), respectivamente. Cada urn tern vantagens e desvantagens.
0 Mitodo dos Coeficientes Indeterminados. 0 metodo dos coeficientes indeterminados (ou a determinar)
requer uma hinOtese inicial sobre a forma da solucao particular Y(t), mas corn Os coeficientes nao especificados. Substituimos, entao, a expressao hipot6tica na Eq. ( 1 ) e tent mos determinar os coeficientes de
modo que a equacäo seja satisfeita. Se tivermos sucesso, teremos encontrado uma solucao da equacao
como a solucão particular Y(t). Se nao pudermos determinar os coefidiferencial (1) e podemos
cientes, isso significa que nao existe solucäo da forma que supusemos. Nesse caso, temos que modificar a
hipOtese inicial e tentar de novo.
A maior vantagem do metodo dos coeficientes indeterminados c que ele e Neil de executar, uma vez
feita a hip6tese sobre a forma de Y(t). Sua major limitacdo é que 6 titil principalmente para equagOes para
as quais é bell escrever a forma correta da solucao particular antecipadamente. Por essa razao, este metodo
si5 e usado, em geral, para problemas nos quais a equacao homo g..ënea tern coeficientes constantes e o termo
nao homogéneo pertence a uma classe relativamente pequena de funcOes. Em particular, consideramos
apenas termos homogéneos consistindo em polinOmios, lung 0- es exponenciais, senos c cossenos. Apesar
dessa limitaciio, o metodo dos coeficientes indeterminados é util para resolver muitos problemas que tem
aplicacOes importantes. No entanto, os detalhes dos calculos podem ser bastante tediosos, e urn sistema de
Algebra computational pode ser muito litil nas aplicacOes praticas. Ilustraremos o metodo dos coeficientes
indeterminados atraves de divcrsos exemplos c depois resumiremos alg.umas regras para
EXEMPLO
Encontre uma soluck) particular de
y" - 3y' - 4y = 3e=`.
1
(9)
Procuramos uma funcão Y tal que 1'W- 3 Y'(t) - 4 Y(t) seja igual a 3e". Como Lima funcao exponencial se
reproduz pela diferenciacao, a maneira mais plausfvel de obter o resultado desejado 6 supor que Y(t) e algum
mdltiplo de e", ou seja,
Y(t) = Ae21,
onde o coeticiente A ainda precisa ser determinado. Para encontrar A, vamos calcular
Y'(t) = 2/4,2' ,
= -1/1e21,
e substituir na Eq. (9). Obtemos
(4A - 6A - 4/1)e21 = 3e''`.
Portant°, -6Ae" tern que ser igual a 3e", logo A = -1/2. Assini. uma solucao particular 6
Y(t)
EXEMPLO
-
(10)
Encontre uma soluciio particular de
2
y" - 3y' -4y= 2 sent
(11)
Por analogia corn o Exemplo 1, vamos supor primeiro que Y(t) = A sen r, onde A é uma constante a ser
determinada. Substituindo na Eq. (11) e rearrumando os termos, obtemos
-5A sent - 3A cos t = 2 sent.
ou
(2 ± 5A) sent + 3,1 cos t = 0.
(12)
Queremos que a Eq. (12) seja valida para todo t. Entäo ela tern que ser valida em dois pontos especificos,
como t = 0 e t = 7r/2. Nesses pontos, a Eq. (12) se reduz a 3A = 0 e 2 + 5A = 0, respectivamente. Essas condiceies
contraditOrias significam que nao existe escolha da constante A que torne a Eq. (12) vAlida para t = 0 e t = 7r/2,
muito menos para todo t. Podemos concluir, entao, que nossa hipOtese sobre Y(t) nao foi adequada. A aparicilo
de um termo em cosseno na Eq. (12) sugere que modifiquemos nossa hipOtese original, incluindo um termo em
EQL:ACO ES L INEARES DE SCOUNDA O RDEM
137
cosseno em Y(t), ou seja,
Y (t) = A sent + B cos t,
onde A e B são constantes a serem determinadas. Logo,
Y'(t) = A cost — B sent
Y"(t) = —A sent — B cos t.
Substituindo na Eq. (11) e juntando os termos, obtemos
(—A + 38 — 4A) sent + (—B — 3A — 4B) cos t = 2 sen t.(13)
Para satisfazer a Eq. (13), precisamos igualar os coeficientes de sen r e de cos t nos dois lados da equacdo; assim.
A e B tem que satisfazer as equagOes
—5A +3B = 2,
—3A — 5B = 0.
Portant°, A = —5/17 c B = 3/17, de modo que uma solugao particular da Eq. (11) e
Y(t) = — 4 sent + cos t.
O metodo ilustrado nos exemplos precedentes tamb6m pode ser usado quando a expressao a direita
do sinal de igualdadc é urn polinOmio. Assim, pars encontrar uma solucao particular de
y" — 3y' — 4y = 4t 2 — 1,
(14)
supomos, inicialmente, que Y(t) 6 um polinOmio de mesmo grau que o termo nit° homogeneo, ou scja,
Y(t)= At= + Bt + C.
Para resumir nossas conclusOes at agora: se o termo ndo homo gaeo g(t) na Eq. (1) for uma fungi-to
exponencial e'", suponha que Y(t) ci proporcional a essa mesma funcilo exponencial; se g(t) for igual a
sen ou a cos fit, suponha que Y 6 ulna combinac5o linear de sen fit e cos fit: se g(t) for urn poliamio,
suponha que Y(t) c um polinOntio de mesmo grau. 0 mesmo principio se estende ao caso em que g(t)
um produto do quaisquer dois ou tr6s desses tipos de funcOes, com p mostra . 0 prOximo exemplo.
EXEMPLO
Encontre uma solucäo particular de
y" — 3y' — 4y = —Sc' cos 2t.
3
(15)
Neste caso, SUNMOS que Y(t) 6 o produto de e' com unlit combinacilo linear de cos 21 e sen 2t, ou seja,
Y(t) = Ac ' cos 2t + Be' sen 2t.
Os calculos algebricos silo mais tediosos neste exemplo, mas segue que
Y'(t) = (A + 2B)c' cos 2t + (-2A + 8)c) sen 2t
Y"(t) = (-3A + Mel cos 2t + (-4A — 3Thet sen 2 t .
Substituindo essas expressOes na Eq. (15), encontramos que A e B tem que satisfazer
10A + 28 = 8,
2A — 108 = 0.
Portant°, A = 10/13 e B = 2/13; logo, uma soluczlo particular da Eq. (15) 6
Y(t) = e' cos 2t + fli et sen 2t.
Suponha, agora, que g(t) a uma soma de dois termos, g(t) = g,(t) + g,(t), e suponha que Y, e Y2 Sao;
solucOes das equagOes
ay" + by' + cy = g i (t)
(16)
ay" + by' + cy = $z(t),
(17)
e
respectivamente. Entdo, Y, + Y2 e uma solugdo da equacao
138
CAPITULO TRtS
ay" + b y ' + cv = g(t).
(18)
Para provar esta afirmacrio,substitua y na Eq. (18) por Y t (t) + Y2 (t) e use as Eqs. (16) e (17). Uma conclusdo semelhante é valida se g(t) 6 uma soma de urn n6mero finito de parcelas. 0 significado pratico deste
resultado é que, para resolver uma equacao cuja funcrio nao homogénea g(t) pode ser expressa como uma
soma, pode-se resolver diversas equagOes mais simples e depois somar os resultados. 0 exemplo a seguir
ilustra esse procedimento.
EXEMPLO
4
Encontre uma solucao particular de
y" — 3y' — 4y = 3e2 ' + 2 sent — 8e' cos 2t.
(19)
Separando a expressäo a direita do sinal de igualdade. obtemos tres equacOes:
y" — 3y' — 4y = 3e2`,
y" — 3Y — 4y = 2 sent,
y" — 3y' — 4y = —8e' cos 2t.
Foram encontradas solucOes dessas tres equagOes nos Exemplos 1, 2 e 3, respectivamente. Portanto. uma solucao particular da Eq. (9) 6 sua soma, ou seja,
Y (t) = le 2(
COS
—
sen t + Vel cos 2t + -1;3-' es sell 2 t.
0 procedimento ilustrado nesses exemplos nos permite resolver tuna classe gran ge de problemas de
urn modo razoavelmente eficiente. No entanto, existe uma diticuldade que ocorre as vezes. 0 prOximo
exemplo mostra como isso acontece.
EXEMPLO
5
Encontre tuna solucao particular de
— 3y' — 4y = 2e-`.
(20)
Procedendo como no Exemplo 1, vamos supor que Y(t) = Ae'. Substit Mild° na Eq. (20), obtemos
(A+3A-4A)e' = 2c'.
(21)
Como a expressA° a esquerda do sinal de igualdade na Eq. (21) 6 zero, nao existe escolha de A que satisfaca
esta equacao. Portanto, nao existe solucao particular da Eq. (20) que tenha a forma suposta. A razao para esse
resultado, possivelmente inesperado, torna-se clara se resolvermos a equacao homogenea
v" — 3y' — 4y = 0
(22)
associada a Eq. (20). Urn conju to fundamental de solucOes para a Eq. (22) 6 formado por y,(t) = e-' e y2 (t) = e4'.
Assim, a forma suposta da solucrio particular para a Eq. (20) era. de fato, solucao da equacao homogenea (22);
em consequencia, nao pode ser solucilo da equacao nao homogenea (20). Para encontrar uma soluclio da Eq.
(20), precisamos considcrar entao funcOes de uma forma urn potter) diferente.
Neste ponto temos diversas alternativas possiveis. Uma r te n tar simplesmente aclivinhar a forma apropriada
da solucao particular da Eq. (20). Outra é resolver esta equacao de outra maneira e depois usar o resultado
para orientar nossas hipOteses se essa situactlo aparecer novamente no futuro; veja os Problemas 27 e 33 para
outros metodos de solucao. Outra ossibilidade é huscar uma eq uacao mais simples onde essa diliculdade
ocorre e usar sua solucao para sugerir como proceder com a Eq. (20). Adotando esta Ultima abordagem, VilMOS
procurar ulna cquac5o do primeira ordem analoga a Eq. (20). Ulna possihilidade é a equacito linear
y' + y = 2e-t .
(23)
Sc tentarmos encontrar uma soluc5o particular da Eq. (23) da forma Ae-' nao conseguiremos, pois e' é uma
solucao da equacao homogenea associada y' + y = 0. No entanto, j6 vimos na SecTto 2.1 como resolver a Eq. (23).
Um fator integrante é p(t) er; multiplicando a equaciio por it(t) e integrando, obtemos a solucao
y = 2te' +
(24)
A segunda parcela a direita na Eq. (24) e a solucAo geral da equacito homogenea y' + y = 0, mas a primeira é
uma solucão da equa0o nä° homogenea completa (23). Observe que a solucao envolve um fator exponencial
e' multiplicado por urn fator t. Essa c a pista que estavamos procurando.
EQuAc O rs L INEARES DE S EGUNDA O RDEM
139
Vamos agora voltar para a Eq. (20) e supor uma solucao particular da forma Y(t) Ate. Entäo
Yu) = Ae" — Ate' ,
Y"(t) — 2Ae' + Ate' .
(25)
Substituindo y, y' e v" na Eq. (20) por essas expressOes. obtemos
(-2A — 3A)e' = (A + 3A — 4.4)te" =
Portanto, —5A = 2, de modo que A = —2/5. Logo, uma solucao particular da Eq. (20) 6
Y(t) =
(26)
O resultado do Exemplo 5 sugcrc uma modificacâo do princfpio enunciado anteriormente: se a forma suposta da soluczio particular duplica uma solucao da equacao homogenea associacla, modifique sua
hipOtese multiplicando a suposta solucao particular por t. De vez em quando essa moditicacao nao sera
suficiente para remover todas as duplicacOes corn as solucoes da equaciio homogénea, caso em que 6 necessario multiplicar port uma segunda vez. Para uma equacao de segunda ordem, nunca sera necessario
continuar esse processo.
Resumo. Vamos resumir as etapas envolvidas cm encontrar a solucao de um problem de valor inicial
consist indo em uma equacao nao homogenea da forma
ay" + by' — cy -= ,e(t ),
(27)
nude os coeficientes a, b e c sao constantes, junto coin um par de condicOes iniciais dado:
Encontre a solucCio geral da equaciio homogenea associada.
Certilique-se de que a funcdo g(t) na Eq. (27) pertence i1 classe de funcOes discutidas nesta sec5o, ou seja,
nao envolve outran funcOes alem de exponenciais,senos,cossenos, polinOmios ou somas ou produtos de tail
funcOes. Sc nao for esse o caso. use o metodo de variacao dos parametros (discutido na prOxima secao).
Se g(t) = g,(t) +
g„(t), isso 6, se g(t) e uma soma de n parcelas. entao forme n subproblernas, cada um
dos quail contend() apenas uma das parcelas g,(1). „c„(t). 0 i-6sitno subproblenia consiste na equaciio
ay" + by' + Cy = ,or ).
nude i varia de I a
7.
Para o i-esimo subproblem." suponlia tuna soluciio particular Y(t) consistindo na func5o apropriada, seja
ela exponencial, send. cosseno. pohnomial ou tuna conthinacao dessas. Se existir qualquer duplicaciio na
forma suposta de 11(t) corn as solucties da equacao homogenea (encontrada na etapa I ). entao multiplique
Y(t) por t ou (se necessario) por 1 : , de modo a remover a duplicac5o. Veja a Tabelit 3.5.1.
+ Y „(t) 6
Encontre uma soluc5o particular Y,(t) para cada um dos suhprohlcmas. Entao a soma Y,(t) +
uma soluciio particular da equacao nao homogenea completa (27).
Forme a soma da solucao geral da equaciio homogenea (etapa 1) corn a solucao particular da equaciio min
homogenea (etapa 5). Essa 6 a solucao geral da equaciio nao homogenea.
Use as condicOes iniciais para determinar os valores das constantes arbitrarias na soluc5o geral.
Para alguns prohlemas todo esse procedimento e facil de ser feito a mao, mas em muitos casos necessita de uma quantidade consideravel de calculos algebricos. Uma vez que voce tenha compreendido
claramentc como o metodo funciona, out sistema de algebra computacional rode ser de grande auxflio
para executar os detalhes.
TABELA 3.5.1 A solucAo particular de ay" + by' + cy = Of)
g,(t)
P„(t) = not" -I- a t" I + • • • + a„
Y,(t)
(Aut" + A l tn-1 + • • • + A„)
P„(t)edt` (Aot" + A l t"' + • • + A„)ew
Pn Wet
sen 13t
cos Pt
I
ts((Aot" + At
+ • • • + A„)eur cos fit
+ (Bat' + B i t" + • • • + B„)ea' sentit]
Notas. Aqui s é o menor inteiro nao negativo (s = 0, 1 ou 2) que garantirii que nenhuma parcela
de Y,(t)e solucão da equacão homogenea associada. Equivalentemente, para os trës casos s 6 0
namero de vezes que 0 6 uma raiz da equaciio caracteristica, a e uma raiz da equacito caracteristica e a + it3e uma raiz da equacao caracteristica,respectivamente.
140 CAPITULO TRES
O metodo dos coeficientes indeterminados corrige a si mesmo no sentido de que se voce supuser
muito pouco sobre Y(t) chegara logo a uma contradicdo que, em geral, vai apontar o caminho para a mo-
dificacao necessaria na forma suposta. For outro lado, se voce supuser termos demais vai ter urn trabalho
desnecessario e alguns coeficientes ficardo iguais a zero, mas, polo menos, chegara a resposta correta.
Demonstractio do Metodo dos coeficientes lndeterminados. Na discussdo precedente, descrevemos o me-
todo dos coeficientes indeterminados baseados em diversos exemplos. Para provar que o procedimento
sempre funciona como enunciado, vamos dar urn argumento geral, onde consideramos diversos casos
correspondendo a formas diferentes do termo nao homogeneo g(t).
g(t) = Pn (t)= a o r+ a i r-1 +
+ a,,. Neste caso a Eq. (27) fica
ay" + by' + cy = aot" + a tn-/ + • • + a„.
(28)
Para obter uma solucdo particular, supomos que
Y (t) = Apt' + A i tn-1 + • • • + An_ 2 t 2
An_ i t + A„.
(29)
Substituindo na Eq. (28), obtemos
a[n(n — 1)Aot" -2 + • • + 2A ri-21 + b(t7Aot n-1 + • • • + 11,1-1
+ c(Aot" + A t" + • • • + A„)= clot' + • • • +
(30)
Igualando os coeficientes das potencias iguais de t nos da
cAo = ao,
cA 1 + nbAo = al,
cA„ + bA„_ i + 2aAn_2 = a,,.
A„ sucesSc c # 0, a solucao da primeira equacdo é A 0 = adc e as equagOes restantes determinam A 1 ,
sivamente. Se c = 0, mas b # 0, entao o polinOmio a esquerda do sinal de igualdade na Eq. (30) tern grau
n - 1 e a Eq. (30) ndo pode ser satisfeita. Para garantir que aY"(t) + bY'(t) c urn polinOmio de grau n,
precisamos escolher Y(t) como urn polinOmio de grau n + 1. Supomos, entao, que
Y (t) = t(Aot n + • • • + A„).
Nao existe parcela constants nessa expressao para Y(t), mas nao ha necessidade de incluir tan parcela, ja
que constantes sac) solucOes da equacdo homogenea quando c = 0. Como b 0, temos Ao= aolb(n + 1) e
os outros coeficientes A,, ...,A„ podem ser determinados analogamente. Se c e b sao iguais a zero, vamos
supor que
Y(t) = t 2 (Aot n + • • • + A,,).
O termo ar(t) c urn polinOmio de grau n, e podemos proceder como anteriormente. Novamente, as
parcelas constants e linear em Y(t) sac) ornitidas, ja que, nesse caso, ambas sdo soluceies da equacdo ho-
mogenea.
g(t)=e"Pn(t). 0 problema de determinar uma solucao particular de
ay" + by' + cy e' P„(t)
(31)
pode ser reduzido ao caso precedente an-a yes de uma substituicão. Seja
Y(t) e cn WO;
entao
r (t) = enti' (t) + au(t)]
e
Y"(t) = e'[u"(t) + 2au'(t) + a211(t)].
Substituindo y, y' c y" na Eq. (31), cancelando o fator e' e juntando os termos semelhantes, obtemos
au"(t) + (2aa + b)u'(t) + (aa 2 + ba + c)u(t) = P„(t).
(32)
.
EQUACOES Lire EARES DE SEGUNDA ORDEM
141
A determinacao de uma solucäo particular da Eq. (32) é precisamente o mesmo problema, exceto pelo
nome das constantes, que resolver a Eq. (28). Portanto, se act' + ha + c nao for zero, supomos que u(t) =
Ad" +
+ A„; logo, uma solucdo particular da Eq. (31) 6 da forma
Y(t) = et (Aotn
+ • • • + An).
(33)
Por outro lado, se aa2 + ha + c for zero, mas 2aa + b nä° for, precisamos tomar 1(t) da forma t(A,,t" +
+
A „). A forma correspondente para Y(t) é t vezes a expressâo a direita do sinal de igualdade na Eq. (33).
Note que, se aa 2 + ha + c for zero, entao e é uma soluczlo da equacao homogenea. Sc ambos, aa 2 +
ha + c e 2aa + b, forem nulos (e isso implica que tanto eca quanto tee' sdo solucoes da equagOo homogenea),
+ A„). Portanto, Y(t) e t2 vezes a expressào a direita do sinal
entdo a forma correta para 0(t) é t2 (A or +
de igualdade na Eq. (33).
g(t) = eaP„(t)cosfit ou e"Pn (t)senfit. Estes dois casos säo semelhantes, logo consideraremos apenas
o ultimo. Podemos reduzir este problema ao precedente notando que, em consequencia da formula de
Euler, stn ,8t = (e0 - e-0112i. Portanto, g(t) é da forma
e(a+imt - et"—i/i)t
g(t) = P„(t)
2i
e devemos escolher
Y(t) = e(a+i13)1 (Aot"
• • • + A,,) + e ta-i13)( (Botn + • • + B„),
ou, equivale nte men te,
Y(t) = eat (Aot" + • • • + A„)cos fit + e at (Botn + • • • + B„)senfit.
Em genii, prefere-se esta Ultima forma. Se a f i fi satisfazem a equacão caracterfstica correspondente a
equaciio homogenea, temos, e claro, que multiplicar cada um dos polinOmios por t para aumentar o grau
de um..
Se a funcOo nao homogenea envolve cos/it e senflt, é conveniente, em geral, tratar esses termos em
conjunto, ja que cada urn, individualmente, pode gerar a mesma forma de solucao particular. For exemplo,
se g(t) = tsent + 2cost, a forma de Y(t) stria
Y(t) = (Aot + A 1 ) sent + (Bot + B 1 ) cos t,
desde que sen t e cos t nao sejam solucties da equacão homogenea.
PROBLEMAS
Em cada um dos Problemas de 1 a 12, encontre a solucdo geral da equagOo diferencial dada.
3
y" + 2y' + 5y = 3 sen2 t
" - 2y' - 3y = 3e2'
y" + 2y' = 3 + 4 sen 2t
4.
y" - 2y' - 3y = -3te-'
6. y" + 2y' + y = 2e'
y" + 9y• = t2 e3' + 6
8. y" + y = 3 sen 2t + t cos 21
7. 2y" + 3y' + y = t 2 + 3 sen t
10. It" + 411 = cos tout
9. zi" + (41i = cos wt,
0.12 7 0 02
Stigestrio: senh t = (e' - e-`)/2
y" + y' + 4y = 2 senht
Stigestao: cosh t = (e' + e")12
y" - y' - 2y = cosh 2t
Em cada urn dos Problemas de 13 a 18, encontre a solucdo do problema de valor inicial dado.
y(0) = 0, y'(0) = 1
3. y' + y' - 2y = 2t,
yr" + 4y = t 2 + 3e`,
y(0) = 0, y'(0) = 2
y(0) = 1, y'(0) = 1
. y" - 2y + y = ter + 4,
y(0) = 1, y'(0) = 0
16. y" - 2y' - 3y = 3te21 ,
y(0) = 2, y(0) = -1
Q. yn + 4y = 3 sen 2 t
y(0) = 1, y'(0) = 0
18. y" + 2y' + 5y = 4e - ' cos 2t,
a
Em cada urn dos Problemas de 19 a 26:
Determine uma forma adequada para Y(t) para se usar o metodo dos coeficientes indeterminados.
Use urn sisterna de algebra computacional para encontrar uma solucäo particular da equacao dada.
142 CAPITULO TRES
6•2, 19. y" + 3y' = 2t 4 +1 2 e -3' + sen 3t
12;
y" + y = t(1 + sent)
y" - 5y' + 6y = e` cos 2t + e 2 '(3t + 4) sen
-2, 22. y" + 2y' + 2y =
t
0
= 2c 1 cos t + 4e - 't 2 sent
y" - 4y' + 4y = 2t 2 4te 2 ' + t sen 2t
402, 4. y" + 4y = t 2 sen 2 t + (6t + 7) cos 2t
02,0 y" + 3y' + 2y = e` (t2 + 1) sen 2 t + 3e' cos t + 4e
02 26. y" + 2y' + 5y = 3ie -' cos 2t 2te -2 ' cos t
27. Considere a equaciio
y" - 3y' - 4y = 2e'
(i)
s5o solucOes da equaciio homogenea associada.
do Exemplo 5. Lembre-se de que y,(1) = e-' e y2(t) =
Adaptando o metodo de reduc5o de ordem (Sec5o 3.4), busque uma soluc5o da equac5o n5o homogenea
da forma Y(t) = v(t)y,(t)= v(t)e-', onde v(1) devera ser determinado.
Suhstitua Y(t), Y'(t) e r(t) na Eq. (i) e mostre que v(t) tern que satisfazer - 5v' = 2.
Seja w(t) = u'(t) e mostre que w(t) tem clue satisfazer - 5w = 2. Resolva esta equacao para w(t).
(c) Integre w(t) para encontrar v(t) e depots mostre que
+
Y(t) =
+ c2e-i
A primeira parcela é a solucilo particular desejada da equac5o n5o homogenea. Note que 6 urn produto de
t e de e'.
Determine a soluc5o geral de
y" + Â 2 y =
E a„, sen
1117 t,
m=1
onde > 0 e # nur para m = 1,
N.
02 29. Em muitos problemas fisicos o termo nfro homogeneo pode ser especificado por formulas diferentes em
periodos de tempo diferentes. Como exemplo. determine a solucao y = CO de
y" + y = t'
ge
Tr
0 < t < 7r,
t>7
satisfazendo as condicOes iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1. Supon ha, ta m /N". rn, que y e y' sAo con tinuas cm t
Rica o gratico do termo não homogeneo e da soluc5o em func5o do tempo.
Sugestrio: primeiro resolva o problema de valor inicial para r < 7r, depois resolva para t > 7, &term inando
as constantes nesta Ultima solucdo a partir das condicaes de continuidade em t =- r.
02, 30. Siga as instrucaes no p roblema 29 para resolver a equaVio diferencial
y" + 2y' + 5y =
1, 0 <t < 702,
0,
r > n.)2
corn condicOes iniciais y(0) = 0 c y'(0) = 0.
co. Nos Problemas 31 e 32 continuamos a discussao iniciada nos
Comportamento de Soluciies quando t
Problemas de 38 a 40 da Sec5o 3.4. Considere a equacAo diferencial
ay" + by' + cy = g(t),
(i)
onde a, h e c são constantes positives.
Se Y, (t) e Y2, (t)sao solucOes da Eq. (i), mostre que Y,(t) - Y -> 0 quando t -> x . Este resultaclo é verdadeiro se b 0?
Se g(t) = d, uma constante, mostre que toda soluciio da Eq. (i) tende a die quando t -> x. O que acontece
se c = 0? E se h tambem for nulo?
33. Indicamos, nests problema, urn proceclimento' diferentc para resolver a equacão diferencial
Approach to a Standard Differential Equation". Two Year College Mathematics Journal 10 (1979), pp.
,
'R. S. Luthar,"Another
200-201; veja tarnbem D. C. Sandell c F. NI. Stein, "Factorization of Operators of Second Order Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations", Two Year College Mathematics Journal 8 (1977), pp. 132-1 .11, para uma discussao mais geral de
operadores que fatoram.
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 143
y" + b y' + cy (D 2 + bD + c)y = g(t),
(i)
onde b e c sao constantes e D denota diferenciacao em relacao a t. Sejam r, e r, os zeros do polinCirnio
caracterfstico da equacao homogenea associada. Essas raizes podem ser reais e distintas, reais e iguais ou
ntimeros complexos conjugados.
Verifique que a Eq. (i) pode ser escrita na forma fatorada
tD — ri )(D — r2 )y = g(t),
onde r, + = —b e r,r, = c.
Seja it = (D — r,)y. Mostre que a solucao da Eq. (i) pode ser encontrada resolvendo-se as duas equacOes de primeira ordem a seguir:
(D — r; )u = g(t),
(D — r2 )y = l(t).
Em cada urn dos Problemas de 34 a 37, use o metodo do Problema 33 para resolver a equacao diferencial
dada.
y" — 3y' — 4y = 3e2'
( veja o Exemplo 1)
2y" + 3y' + y = = 3 sent
(veja o Problcma 7)
y" + 2y' + y = 2e'
(veja o Prohlema 6)
y" + 2y' 3 + 4 sen 2t
(veja o Problema 4)
3.6 Variasao dos Parametros
Vam ps descrever, nesta secao, outro metodo para encontrar uma solucao particular de uma equacao nao
homogenea. Este metodo. con heciclo conic) variacao dos parametros, é devido a Lagrange e complementa
muito bent o metodo dos coeficientes indeterminados. A principal vantagem do metodo de ariacao dos
parametros c que 6 um tliClodo gent!: pelo menos cm princfpiopode ser aplicado a qualqucr equacao, e nao
precisa de hipOteses dctalhadas sohre a forma da solucao. De fato, usaremos este metodo mais tarde nesta
sect-to para deduzir ulna fOrmula para uma solucao particular de uma equacao diferencial linear nä° homogi.'nea de seguncla ordern arbitraria. Por outro lado, o metodo de variacao dos parametros sempre precisa do
catcall° de determinants integrals envolvendo o termo nao homogéneo da equacao diferencial, o que pode
apresentar diticuldades. Antes de olhar 0 metodo no caso geral, vamos ilustrar scu use cm um exemplo.
EXEMPLO
Encontre UMW soluciio particular de
y" + 4y = 3 csc t.
1
(1)
Observe que este problcma nao 6 um horn candidato para o metodo de coeficientes indeterminados como
descrito na Seca() 3.5,0 que o termo nao homoganeo,g(t) = 3csc t, envolve um quociente (cm vez de uma soma
ou produto) de sen t ou cos t. Precisamos, portant°, de uma abordagem diferentc. Note, tamb6m,que a equacao
homogenea associada a Eq. (1) 6
y" 4y = O.
(2)
ye (t) = e l cos 2t + c 2 sen 2i.
(3)
e que a solucao geral da Eq. (2) 6
A ideia basica no metodo de variacao dos parametros e substituir as constantes c, e c, na Eq. (3) por funcOes
11,(1) e it,(t), respectivamente. e depois determinar essas funcOes de modo que a expressAo resultante
u, (t) cos 2t + tt 2 (t)sen 2t
(4)
seja solucao da equacao nao homognea (1).
Para determinar u, c u,, precisamos substituir y na Eq. (1) pela Eq. (4). No entanto, mesmo sem fazer essa
substituicao podemos antecipar que o resultado sera uma tinica equacao envolvendo alguma combinacao de
u2 e suas duas primeiras derivadas. Como temos apenas uma equacao e duas funcOes desconhecidas, esperamos que existam muitas escolhas possfveis para u, e u, que satisfacam nossas necessidades. De outra forma,
podemos ser capazes de impor uma segunda condicão de nossa escolha, obtendo, assirn, duas equacCies para as
144 CAPiTULO TRES
duas funcOes desconhecidas it, e u,. Vamos mostrar cm breve (seguindo Lagrange) que é possfvel escolher essa
segunda condicdo de maneira a tornar os calculos muito mais eficientes.
Voltando a Eq. (4), diferenciando-a e rearrumando os termos, obtemos
y' = —2u 1 (t) sen 2t + 211 2 (1) cos 2t + 11',(t) cos 2t + 14(0 sen 2t.
Mantendo em mente a possibilidade de escolher uma segunda condicdo sobre tt, e tt 2 , vamos exigir que a soma
das duas Oltimas parcelas na Eq. (5) seja nula; ou seja, vamos exigir que
11'1 (0 cos 2t + 114(t) sen 2t = 0.
(6)
Segue entao da Eq. (5) que
y' = —211,(t)sen 2t + 2u2 (t) cos 2t.
Embora o efeito, em Ultima analise, da condicOo (6) ainda nao esteja claro, pelo menos simplificou a expressäo
para y'. Continuando, difcrenciando a Eq. (7), obtemos
y" = —4u 1 (t) cos 2t — 4:17(0 sen 21 — 211,(t) sen 2t + 2u; (t) cos 2t.
(8)
Entdo, substituindo y e y" na Eq. (1) pelas Eqs. (4) e (8), respectivamente, vemos que a, e a 2 tern que satisfazer
—14(t)sen 2t + 214(1) cos 2t = 3 csc t.
Resumindo nossos resultados ate agora, queremos escolher a, e it 2 de modo a satisfazer as Eqs. (6) e (9).
Essas equacoes podem ser consideradas como um par de equacOes lineares algebricas para as quantidades desconhecidas a',(t) e it;(t). As Eqs. (6) e (9) podem ser resolvidas de diversas maneiras. Por exemplo, resolvendo
a Eq. (6) para u',(t), temos
cos 2r
tr'2(t) =
(10)
sen 2t
Substituindo u'2(t) na Eq. (9) por essa expressdo c simplilicando,obtemos
3 csc t sen 2t
= —3 cos t.
(11)
2
Agora, substituindo essa expressao para ttl(t) de volta na Eq. (10) e usando as formulas para o Angulo duplo,
vemos que
3
3 cos t cos 2t3(1 — 2 sen2 t)
— csct — 3 sent.
a',(1) =
2
sent
sen 2t
(t) =
Tendo obtido 10) e 11'2 (0, o prOximo passo e integrar, de modo a obter 11, (1) e 11 .40. 0 resultado
u l (t) = —3 sent + c,
(13)
e
11 2 (1) = 4 In I csc t — cot tl + 3 cos t + c2.
Substituindo essas expressOes na Eq. (4), ternos
y = —3 sent cos 2t + In I csc t — cot tl sett 2t + 3 cos t sen 2/
+ c, cos 2t + c2 sen 2t.
Final mente, usando as fOrmulas para o Angulo duplo mais uma vez, obtemos
y = 3 sent + In I csc t — cot tI sen 2t + c, cos 2t + c 2 sen 2 t.
As parcelas na Eq. (15) envolvendo as constantes arbitrarias c, e c2 correspondent a soluciio geral da equacdo
homogenea associada, enquanto a soma restante forma uma soluciio particular da equaci-to não homogenea (1).
Portant°, a Eq. (15) é a soluciio geral da Eq. (1).
No exemplo precedente, o metodo de variacdo dos parAmetros funcionou hem para determiner uma
solucdo particular e, portanto, a solucdo geral da Eq. (1). A prOxima pergunta a se esse metodo pode ser
aplicado efetivamente a uma equacäo arbitraria. Vamos considerar, entdo,
y" + p(t)y' + q(t)y = g(t),
(16)
onde p, q e g sdo funks contfnuas dadas. Como ponto de partida, vamos supor que conhecemos a solucdo geral
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
145
Y c( t ) = c1)/1(t ) + c2Y2(t)
(17)
y" + p(t)y/ + q(t)y = 0.
(18)
da equacao homogenea associada
Essa é uma hipOtese importante, ja que, ate agora, so mostramos como resolver a Eq. (18) se ela tiver
coeficientes constantes. Se a Eq. (18) tiver coeficientes quc dependem de t, entao, em geral, os metodos
descritos no Capitulo 5 tern que ser usados para se obter yc(t).
A idcia crucial, como ilustrado no Exemplo i.e substituir as constantes c, e c, na Eq. (17) por funceles
ti,(t) e u2 (t), respectivamente; isso nos dä
y
it i (t)y,(t) + tt2(t)y2(t)•
(19)
Podemos, entao, tentar determinar tt,(t)c 11 2 (t) de modo que a expressao na Eq. (19) seja solucao da equaciio nao homogênea (16), cm vez da equacao homogénea (18). Diferenciando a Eq. (19), obtemos
11;(t)y,(t) + 11 1 (t)y'l (t) + 14(0y2 (t) + it2(4/2 (t)•
y
(20)
Como no Exempt() 1, vamos igualar a zero a soma das parcelas envolvendo ti;(t) e tt',(t) na Eq. (20); ou
seja, vamos exisir que
u'1 (t)Y1( r ) + u 2(t)Y2( t ) = 0.
(21)
Entao, da Eq. (20), temos
(t)yil (t) + 112(4)/2 (t).
(22)
(0y1,(t) + 1(t)y/,'(t) + it,(t))/2(t) + tt 2 (t)y12' (t).
(23)
=
Di ferenciando novamcnte, obtemos
y" =
Agora, vamos substituir y , v' e y" na Eq. (16) pelas expressOes nas Eqs. (19), (22) e (23), respectivamente. Apps rearrumar os termos na equacao resultants, vamos quc
tt i (t)ly;'(t) + p(t)Yi (f) + q(t)y,(t)1
+ It 2 (t)[yi(t) + p(t).)/2(t) + q(t)y2(t)]
+ u'i(t))/,(t) + 14(t)./2(t) = g(t).
(24)
Cada uma das expressiies entre colchetes na Eq. (24) e nula, pois ambas as funciies y, e y, sac) solucOes da
equacao homogênea (18). Portant°, a Eq. (24) se reduz a
u'l(t)y'l(t) + tt'2 (t)y'2 (t)
(25)
g(t).
As Eqs. (21) c (25) formam um sistema de duas equacOes lincares algthricas para as derivadas it',(t) e
ti'„(t) das funcOes desconhecidas. Elas correspondem, exatamente, as Eqs. (6) e (9) no Exemplo 1.
Resolvendo o sistema (21), (25), obtemos
y2
(t)g(t)yl(t)g(t)
u'2 (t)
W (Y1,Y2)( t )
(26)
W(Yi,Y2)(t)
onde W(y,, y2 ) é. o wronskiano de y i e y2 . Note que a divisao por W e permitida, ja que y, e y, formam
urn conjunto fundamental de solucOcs e, portanto, seu wronskiano nao se anula. Integrando as Eqs. (26),
encontramos as funcOes desejadas tt,(t) e 0 2 (1), a saber,
Y2(t)g(t) dt + ,
„Jo._ J W(Y1,y2)(t)
f
u2(t) =
J
Y1
(t)g(t)
" (Yt,Y2)(t)
dt + c2.
(27)
Se as integrals nas Eq. (27) puderem ser calculadas corno funcOes elementares, substituimos os resultados
na Eq. (19), obtendo assim a solucao geral da Eq. (16). Mais geralmente, a solucao sempre pode ser expressa como integrais, conforme enunciado no teorema a seguir.
e se as funcOes y, e y2 formarem urn conjunto fundamental de solucOes da equacao homogénea (18) associada a equacao nao homogénea (16)
Teorema 3.6.1 Se as funcOes p, q e g forem continues em urn intervalo aberto I
y" + p(t)y / + q(t)y = g(t),
146 CAPiTULO TRts
entiio uma solucão particular da Eq. (16) ë
Y2 (s)g(s)
Y(t) —Y1(t) Ito M_Yh y 2)( s )
+ y2(t)
to
(28)
WY(Iy(si,))g'2(s)(s)
onde to é qualquer ponto escolhido convenientemente em I. A solucâo geral é
y=
(t) c2Y2(t)
Y(t),
(29)
como enunciado no Teorema 3.5.2.
Examinando a expressdo (28) e revendo o processo segundo o qual a deduzimos, vemos que podem
existir duas grandes dificuldades na utilizacdo do metodo de variacäo dos parametros. Como mencionamos anteriormente, uma é a determinac5o de y,(t) e y2 (t), ou seja, a determinacäo de um conjunto fundamental de solucbes da equacâo homogenea (18), quando os coeficientes da equacilo nao sac) constantes.
Outra diliculdade possivel é o cAlculo das integrais que aparecem na Eq. (28). lsso depende inteiramente
da natureza das funcifies y,, e g. Ao usar a Eq. (28), certifique-se de que a equacdo diferencial é exatamente da forma (16): caso contrario, o termo rffio homogeneo g(t) não sera identificado corretamente.
Uma grande vantagem do metodo de variacao dos parAmetros a que a Eq. (28) fornece uma expressão
para a solucao particular Y(t) em termos de ulna funcao nao homogénea arbitraria g(t). Essa expressao é
um horn ponto de partida se voce quiser investigar o efeito de variacOes no termo nä° homogeneo, ou se
quiser analisar a resposta de urn sistema sujeito a um niimero de forcas externas diferentes.
PROBLEMAS
Em cada um dos Problemas de 1 a 4. use o metodo de variaciio dos parilmetros para encontrar uma solucäo
particular chi equacao diferencial dada. Depois verifique sua resposta usando o metodo dos coeficientes ladete rminados.
2. y" — y' — 2y = 2e-'
Sy' + 6y = 2e'
4. 4y" — 4y' + y = 16e1/2
y" + 2y' + y = 3e -'
8.
Em cada um dos Problems de 5 a 12, encontre a soluc5o geral da equacao diferencial dada. Nos Problemas I I
e 12,g é uma funezio continua arbitraria.
0 < t < 7/6
v" + 9y = 9 sect 3t,
0 < t < 7r/2
5. y'' + y = tall t,
0
< t < 7r /2
4y
=
3
csc
2t,
8. y" +
t>0
ay" + 4y' + 4y = t -2 e -2` ,
10. y" — 2y' + y = e` / (1 + t2)
—7 < t < 7r
-1y" + y = 2 sec(t/2),
12. y" + 4y. = g(t)
11. y" — 5y' + 6y = g(t)
Em cada um dos Problemas de 13 a 20, verifique que as funcaes dadas y, e y, satisfazem a equaciio homogénea
associada: depois encontre uma soluciio particular da equacilo n;-io homogenea dada. Nos Problemas 19 e 20,g
é)
ma funcao continua arbitraria.
I t 2 y" — 2y = 312 — 1, t > 0;
y i (t) = t 7 , Y2(t) -= t-I
yi (t) = 1, y2 (t) = ter
14. t 2 y" — t(t + 2)y' + (t + 2)y. = 21 3 , t > 0:
.
.
.
y
i
=
1 + t. y 2 (t) = et
(t)
t
>
0
e2',
ty" — (1+ t)y' + y = t2
y i (t) = ci , y2 (1) = t
(1 — Oy" + ty' — y = 2(t — 1)2e-', 0 < t < 1;
yi (x) = x2 , y2 (x) = x2 In .v
x2y" — 3xy' + 4y = x 2 In .v, x > 0;
x2y" + xy' + (x2 — 0,25)y = 3x3/2 sen x, x > 0; y1 (x) = X -1/2 sen .v, v2 (x) = x- 1/2 cos .v
yi (x) = e, y 2 (x) = A:
19. (1 — x)y" + xy' — y = g(x), 0 < x < 1;
y i (x) = x- I /2 sen x, y2 (x) = .1-' 12 cos x
x2y" + xy' + (x2 — 0,25)y = g(x), x > 0:
21. Mostre que a solucão do problema de valor inicial
Lb] = y" + p(t)y' + q(t)y = g(t),
y(to) = yo, .)/(to) = y'o
(1)
pode ser escrita como y = u(t) + v(t), onde u c v sdo solucOes dos dois problemas de valor inicial
1,[ul = 0,
L [v] = g(t),
WO = yo, 11'(to) = .Vo,
v(to) = 0, v' (to) = 0,
(ii)
(iii)
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEr'I 147
respectivamente. Em outras palavras, as partes não homogeneas na equacdo diferencial e nas condicOes
iniciais podem ser tratadas separadamente. Note que u c Neil de achar, se for conhecido um conjunto fundamental de solucöes para
= 0.
Escolhendo o limite inferior de interarac5o na Eq. (28) no text° como o ponto inicial t„, mostre que Y(t) se
torna
Yr (s).Yz( t ) — Yi
Y(t) =
(t)Y2(s)
ft. Yi(s).)1'2(s) — y;(s)y2(s)
g(s)ds
Mostre que Y(t) é uma solucdo do problema de valor inicial
Lly1 = g(t),
y(to) = 0, y'(to) = 0.
Assim, Y pode ser identificado corn v no Prohlema 21.
(a) Use o resultado do Prohlema 22 para mostrar que a solucao do problema de valor inicial
y" y = g(t),
y(to) = 0, y'(to) = 0
e
y = f sen(t — s)g(s) ds.
(b) Use o resultado do Prohlema 21 para encontrar a solucào do problema de valor inicial
Y" + y = g(t).
y(0) = Yo. Y'(0) = Yo-
/4. Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solucii° do problema de valor inicial
Llyl = (D — 0)(1) — b)y = g(t)•
y(to) = 0, y'(to) = 0,
onde a e b sao ntimeros reais corn a b.
Use o resultado do Problem 22 para encontrar a solucAo do problema de valor inicial
Lk] = ID' — 2:t.D + (A.2 + it 2 )1Y = g (t),
y(to) = 0, y'(to) = 0.
Note que as raizes da equacao caracterfstica Sao A f 41_
Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solucäo do problema de valor inicial
Qv! = (D — a) 2y = g(t),
y(to) = 0, y'(to) = 0.
onde a e um tinnier() real arbitrario.
Combinando os resultados dos Problemas de 24 a 26. mostre que a soluctio do problema de valor inicial
L[y] = (D 2 + hi) + c.)1. = g(t),
Y(to) = 0, Y (to) = 0,
onde b e c sio constantes, tern a forma
y=
= f K(t — s)g(s) ds.
(i)
A funcao K depende apenas das solucOes y 1 e y2 da equacäo homogenea associada e 6 independente do
termo nao homogeneo.Uma vez determinado K, todos os problemas n5o homogeneos envolvendo o mesmo
operador diferencial 1. ficam reduzidos ao calculo de uma integral. Note tamb6m que, embora K dependa de
t e s, so aparece a combinac5o t — s, de modo que K e. de foto, uma funcão de uma Unica varirivel. Pensando
em g(t) como nos dados de entrada (input) do problema e em 0(0 como os dados de safda (output), segue
da Eq. (i) que os dados de saida dependem dos dados de entrada em todo o intervalo, do ponto inicial ao
ponto atual t. A integral na Eq. (i) 6 a convolucao de K e g, e referimo-nos a K como o tinkle°.
0 metodo de reduc5o de ordem (Sec5o 3.4) tambem pode ser usado para a equacao n5o homogenea
y" + p(t)yi + ti(t)y = g(t),
(i)
desde que se conheca uma soluc5o v, da equactio homogenea associada. Seja y = v(t)y,(t) e mostre que y
satisfaz a Eq. (i) se v for soluctio de
' = g(t).
(ii)
Yi(i ) v" +14'1 (0 + p(t)y i(Ol v
A Eq. (ii) e uma equacao linear de primeira ordem em v'. Resolvendo essa equacao, integrando o resultado e depois multiplicando por y,(t), obtemos a solucao geral da Eq. (i).
148 CAPITULOIttS
Ern cada um dos Problemas de 29 a 32, use o metodo esquematizado no Problema 28 para resolver a equacA0
diferencial dada.
t2 y" -2ty' + 2y = 4t 2 , t > 0;
Y1( t ) = t
t2y" + 7ty' + 5y = t, t > 0;
t 0;Y(1)
1 =yi t(-1 )1 = 1 + t
(veja o Problema 15)
t 2 e 2 ',
ty" - (1
y l (t) = et
(veja o Problema 16)
(1 - t)y" + ty' - y = 2(t - 1)2e-`, 0 < t < 1;
+ y
3.7 VibracOes Mecanicas e Eletricas
Uma das razOes por que vale a pena estudar equacOes lineares de segunda ordem corn coeficientes constantes e que elas servem como modelos matemAticos de alguns processos ffsicos importantes. Duas Areas
importantes de aplicagfies SAO os campos de vibraci5es mecanicas e el6tricas. Por exemplo, o movimento
de uma massa presa em uma mola, as torcOes de uma haste com um volante, o fluxo de corrente eletrica
em um circuito simples cm s6rie c muitos outros problemas ffsicos sao bem descritos pela solucAo de urn
problema de valor inicial da forma
ay" + by' + cy = g(t),
y(0) = yo, y'(0) =
(1)
Isso ilustra uma relacao fundamental entre a matemätica e a ffsica: muitos problemas fisicos tern o
mesmo modelo matematico. Assim, quando sabemos resolver o problema de valor inicial (1), basta interpretar apropriadamente as constantes a, b e c, e as funcOes y e g para obter solucOes de problemas ffsicos
diferentes.
Estudaremos o movimento de uma massa presa a uma mola porque uma compreensao do comportamento desse sistema simples e o primeiro passo na investigacao de sistemas vibratOrios mais complexos.
Alem disso, os princfpios envolvidos Sao os mesmos para muitos problemas. Considere uma massa m
pendurada cm uma das extremidades de uma mola vertical corn comprimento original I, como mostra a
Figura 3.7.1. A massa causa urn alongamento L da mola para baixo (no scntido positivo). Existem duas
forcas agindo sobre o ponto onde a massa est:i presa a mola; veja a Figura 3.7.2. A for-0 gravitacional,
ou peso da massa, puxa para baixo e tem modulo igual a rug, onde g é a aceleracao da gravidade. Exists
tamb6m uma for-0, F„,, devido a mola, que puxa para cima. Se supusermos que o alongamento L da mola
pequeno, a forca da mola flea muito prOxima de ser proportional a L; isso c conhecido como a lei de
= -kL, onde a constante de proporcionalidade k 6 chamada de constante
Hooke' Assim. escrevemos
da mola e o sinal de menos c devido ao fato de que a forca da mola puxa para cima (no sentido negativo).
Como a massa estd em equilfbrio, as duas forcas estao balanceadas, o que significa que
mg - kL = 0.
(2)
Para urn dado peso w = mg, pode-se medir L c depois usar a Eq. (2) para detcrminar k. Note que k tem
unidades de forca/comprimento.
nt
FIGURA 3.7.1 Um sistema mola - massa.
"Robert / looke (1635-1703) foi um cientista ingles corn interesses variados. Seu Iivro mais importante, Microgruphia, foi
publicado em 1665 e descreve uma variedade de observacties microscOpicas. Hooke publicou sua lei sobre o comportamento
elastic° pela primeira vez em 1676 como urn anagrama: ceiiinosssituv; em 1678 ele deu a solucito como ut tensio sic vis, o que
significa, grosso mode, "como a forca, assim c o deslocamento".
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
149
No problema dinamico correspondente, estamos interessados em estudar o movimento da massa,seja na
presenca de uma for-0 externa ou sob urn deslocamento inicial. Denote por s(t), medido positivamente no
sentido para baixo,o deslocamento da massa a partir de sua posicao de equilfbrio no instante t; veja a Figura
3.7.1. Entao s(t) esta relacionado as forcas que agem sobre a massa pela lei do movimento de Newton,
ms"(t) = f (t),
(3)
F,= -kL
i
I
u, = mg
FIGURA 3.7.2 Diagrama de forcas para urn sistema mola-massa.
onde s" é a aceleracao da massa e f e a forca total agindo sobre a massa. Note que tanto s quanto f sac,
funcOes do tempo. Existem quatro for-gas separadas que tern que ser consideradas para se determiner f.
0 peso w = mg da massa sempre age para baixo.
A for-0 da mola IC, e tida como proporcional ao alongamento total L + s da mola e sempre age para
restaurar a mola a sua posicao natural. Se L + s > 0, entao a mola esta distendida e a forca da mola esta
direcionada para cima. Neste caso,
F„,. -k(L + s).
(4)
Por outro l ado, se L + s < 0, entao a mola esta comprimida de uma distancia IL + sl e a forca da mola, agora
direcionada para baixo, 6 dada por F„,= k IL + sl. No entanto. quando L + s < 0, segue que IL + sl = - (L + s),
de modo quc F,„ 6 dada, novamente, pela Eq. (4). Assim, independentemente da posicao da massa, a forca
exercida pela mola scmpre é dada pela Eq. (4).
3. A forea de amortecimento, ou resistencia Fd, sempre age no sentido oposto ao sentido de movimento da
massa. Essa forca pode aparecer de diversas fontes: resistencia do ar ou de outro meio onde a massa se
movimenta, dissipacao de energia interna devido a extensao ou compressao da mola, atrito entre a massa e qualquer guia (se existir) que limite scu movimento a uma dimensào, ou urn dispositivo mecanico
(amortecedor) que gere uma forea de resistencia ao movimento da massa. Em qualquer caso, supomos quc
essa forca de resistencia é proporcional a velocidade escalar Idsldt1 da massa; em geral, isso é chamado de
amortecimento viscoso. Se dsldt > 0, u esta aumentando, de modo que a massa esta se movendo para baixo.
Entao F,, aponta para cima e 6 dada por
Fd (t) = -ys'(t),
(5)
onde y e uma constante positiva de proporcionalidade conhecida como a constante de amortecimento.
Por outro lado, se dsldt < 0, entao s esta diminuindo, de modo que a massa esta se movendo para cima e
= -s' (I), segue que a forea F,, 6 dada, novamente,
Fd aponta para baixo. Nesse caso, Fd = yls'(t)I; como Is'
pela Eq. (5). Assim, independentemente do sentido de movimento da massa, a forea de amortecimento
sempre e dada pela Eq. (5).
A for-0 de amortecimento pode ser bastante complicada, e a hipthese de que ela e modelada adequadamente pela Eq. (5) e discutivel. Alguns amortecedores funcionam como a Eq. (5) descreve, e se as
outras fontes de dissipacao forem pequenas pode ser possfvel ignore-las codas, ou ajustar a constante de
amortecimento y de modo a aproxima-las. Urn grande beneficio da hipOtese (5) 6 que ela nos leva a uma
equacao diferencial linear (cm vez de nao linear). Isso, por sua vez, significa que pode ser feita uma analise
completa do sistema diretamente, como mostraremos nesta e na prOxima secao.
4. Pode ser aplicada uma forca externa F(t) apontando para baixo ou para cima, dependendo se F(t) e positiva ou negativa. Isso poderia ser uma forca devida ao movimento da estrutura onde esta presa a mola, ou
poderia ser uma for-ea aplicada diretamente na massa. Muitas vezes a forca externa e pericklica.
Levando em consideracao essas forcas, podemos reescrever a lei de Newton (3) como
ms "(t) = mg + F (t) + Fd (t) + F(t)
= mg - m[L + s (t)] - y (t) + F(t).
(6)
150 CAPITULO TRES
Como mg - kL = 0 pela Eq. (2), segue que a equacao de movimento da massa é
MS "(t) + ys'(t) + ks (t) = F(t),
(7)
onde as constantes m, y e k sao positives. Note que a Eq. (7) tern a mesma forma que a Eq. (1).
E importante compreender que a Eq. (7) é apenas uma equacao aproximada para o deslocamento s(t).
Em particular, as Eqs. (4) e (5) devem ser vistas com p aproximacCres para a forca da mola e a forca de
amortecimento, respectivamente. Tarnb6m nä° levamos em consideracao na nossa deducao a massa da
mola, supondo-a desprezfvel perto da massa do corpo preso a ela.
A formulacao completa do problema de vibracao requer que especitiquemos duas condicaes iniciais,
a saber, a posicao inicial s, e a velocidade inicial v,, da massa:
s (0) = s o,
s (0) = vo.
(8)
Segue do Teorema 3.2.1 que essas condicOes fazem corn que o problema matematico tenha uma Unica
solucao. Isso é consistente corn nossa intuicão ffsica de que, se a massa e colocada em movimento corn
deslocamento e velocidade iniciais, entao sua posicdo estard unicamente determinada em todos os instantes futuros. A posicao da massa é dada (aproximadamente) pela solucão da Eq. (7), sujeita as condicOes
iniciais dadas (8).
EXEMPLO
1
Uma massa pesando 4 libras (cerca de 1,8 kg) estica tuna mola de 2 in (cerca de 5 cm). Suponha que a massa
é deslocada 6 in adicionais no sentido positivo e depois é solta. A massa esta em um meio que exerce uma
resistes ncia viscosa de 6 lb quando a massa estd a uma velocidade de 3 ft/s (cerca de 91 cm/s). Sob as hipOteses
discutidas nesta secao, formule o problema de valor inicial que governa o movimento da massa.
0 problema de valor inicial pedido consiste na equacao diferencial (7) coin condicifies iniciais (8), de modo
que nossa tarefa é determinar as diversas constantes que aparecem nessas equaceies. 0 primeiro pass° é escollier as unidades de medida. Da forma como foi enunciado o problem, é natural usar as medidas inglesas
no lugar do sistema metric° de unidades. A Unica unidade de tempo mencionada e o segundo, de modo que
mcdiremos t em scgundos. Por outro lado, o enunciado contem tanto pes quanto polegadas como unidades de
comprimento. Nä° importa qual a medida a ser usada, mas. uma vez escolhida a medida, é importante que se
seja consistente. Para definir. vamos medir o deslocamento em pes (urn pe tern 12 in).
Como nada foi dito no enunciado do problema sobre uma forca externa, vamos supor que F(t) = 0. Para
determinar in, note que
41b
1 I b-s2
M = — =
, •
32 pe/s-- = 8 pe
g
0 coeficiente de amortecimento ye determinado pela afirmacdo de que ys' é igual a 6 lb quando s' tem o valor
de 3 ft/s. Logo,
6 lb
lb•s
= 3 ft/s = pe •
A constante da mola k e encontrada a partir da afirmacao de que a massa estica a mola por 2 in, ou 1/6 ft.
Portant°,
41b
lb
= "7 4 —.
=
1/6 ft
Pe
Em consequacia, a Eq. (7) fica
+2s' + 24s = 0,
ou
s" 16s" + 192s = 0.
As condicCres iniciais sâo
s(0) =
s'(0) = 0.
A segunda condicâo inicial e implicada pela palavra "solta - no enunciado do problema, que interpretamos
como a massa sendo colocada em movimento sem velocidade inicial.
Vibracães Limes New Amortecidas. Se nä° existe for-0 externa, entäo F(t) = 0 na Eq. (7). Vamos supor,
tamb6m, que niio ha amortecimento, de modo que y = 0; essa ulna configuracão idealizada do sistema,
1
ti
4
EQUACOES LINEARES DE SEGLEIDA OFtDEM 151
que dificilmente (se alguma vez) acontece na pratica. No entanto, se o amortecimento for muito pequeno,
a hipOtese de que nä° ha amortecimento pode dar resultados satisfatOrios em intervalos de tempo pequenos ou ate modcrados. Nesse caso, a equacao de movimcnto (7) se reduz a
ms" ks =0.
(11)
s = A cos wot + B sen wot ,
(12)
co(2) = k/m.
(13)
A solucao geral da Eq. ( It) é
ondc
As constantes arbitrririas A e B podem ser determinadas se forem dadas condicOes iniciais da forma (8).
Ao discutir a solucao da Eq. (11), C conveniente escrever a Eq. (12) na forma
s = R cos(wot — 6),
(14)
s = R cos 6 cos wot + R sen 6 sen coot .
(IS)
ou
Comparando as Eqs. (15) e (12), vemos que as constantes A, B, R e S estao relacionadas penis equagOes
A = R cos .5,
B = R sen 6 .
(16)
tan 6 = B / A .
(17)
Assim,
R = N/A 2 + B2 ,
Ao calcular 6 6 preciso tomar cuidado para se escolher o quadrants correto; isso pode ser feito verificando-se os sinais de cos 6 e sen S nas Eqs. (16).
0 graft° da funcao na Eq. (14), ou na equacao equivalente (12), para urn conjunto tipico de condicOes
'friends aparece na Figura 3.7.3. 0 grafico c uma onda senoidal deslocada que descreve urn movimento
periOdico, ou h,lrmirnico simples, da massa. 0 period() do movimento
ni )1;2
n
T=2 =
(—(18)
coo
k
A frequencia circular wo = ik/m, medida em radianos por unidade de tempo, 6. chrunada de frequencia natural da vibracno. 0 deslocamento maxim() R da massa a partir de sua posicao de equilibrio c a
amplitude do movimento. 0 parametro adimensional 8 6 chamado de fase, ou angulo de fase, e merle o
deslocamento da onda a partir de sua posicao normal correspondente a 6 = 0.
FIGURA 3.7.3 Movimento harmOnico simples; s = R cos(a)," — 6).
Note que o movimento descrito pent Eq. (14) tern amplitude constante, que nao diminui corn o tempo.
Isso reflete o fat() de que, na ausencia de amortecimento, o sistema nao tern como dissipar a energia dada
pelo deslocamento e pela velocidade iniciais. AlOm disso, para urna massa m e uma constante de mola k
dadas, o sistema sempre vibra a mesma frequencia co, independente das condicoes iniciais. No entanto, as
condicoes iniciais ajudam a deterrninar a amplitude do movimento. Finalmente, note que, pela Eq. (18),
T aumenta quando m aumenta, de modo que massas maiores vibram mais lentamente. Por outro lado,
T diminui quando k aumenta, 0 que si o nifica que molas mais duras fazem corn que o sistema vibre mais
rapidamente.
152 CAPiTULO TRtS
EXEMPLO
2
Suponha que uma massa pesando 10 lb (cerca de 4,5 kg) estique uma mola de 2 in (cerca de 5 cm). Se a massa
for deslocada 2 in a mail e depois colocada em movimento corn urna velocidade inicial apontando para circa de
1 ft/s (cerca de 30 cm/s), determine a posicào da massa em qualquer instante posterior. Determine, tambem, o
periodo, a amplitude e a fase do movimento.
A constante da mola e k = 10 lb/2 in = 60 lb/ft e a massa c m = w/g = 10/32 lb • Oft*. Logo, a equacdo de
movimento se reduz a
s" + 192s
(19)
0,
e a solucäo geral é
s = A cos(8.Jt) + Bsen(8i3-0.
A solucao que satisfaz as condicOes iniciais s(0) = 1/6 ft e s'(0) = -1 ft/s
1
s = cos(80t) - — sen (S./JO
(20)
A frequencia natural 6 w 0 = 192 -LI, 13,856 rad/s, de modo que o period° e T = 27r/oA, 0,45345 s. A amplitude
R e a fase S s a- o dadas pelas Eqs. (17).Temos
19
1
1
,
0,18162 ft.
R+—=
576 logo R
36 192
A segunda das Eqs. (17) nos dd tan 5= -0/ 4. Existem duas solucaes desta equac5o,uma no segundo quadrante e outra no quarto. No problema atual. cos 8> 0 e sen S < 0, logo S esta no quarto quadrante e temos
S = -arctan(./374)
-0,40864 rad.
0 graft° da soluciio (20) esta ilustrado na Figura 3.7.4.
s= 0,182 cos(8n1-3t + 0,409)
R= 0,182
FIGURA 3.7.4 Lima vibraciio livre n5o amortecida;s" 192s = 0, s(0) = 1/6,s'(0) = -1.
Vibracies Livres Amortecidas. Se incluirmos o efeito do amortecimento, a equacilo diferencial que gover-
na o movimento da massa
tits" + ys + ks = 0.
(21)
Estamos especialmente interessados em examinar o efeito da variacao na constante de amortecimento y
para valores dados da massa m e da constante da mola k. As mixes da equa0o caracterfstica correspondente slio
ri, r
2 = -y ± Vy 2 - 4km
2m
y (
4km
1 ± 1 - y2 ) •
2m
(22)
Dependendo do sinal de y 2 - 4km, a solucao s tem urna das seguintes formas:
y 2 — 4km > 0,
s = Aer '' + Ber2t ;
(23)
y 2 - 4km = 0,
s = (A + Bt)e -}412m ;
(24)
y2 - 4km < 0, s = e-rr/2m (A cos IV + BSCIlia), ii, =
2m
• A aceleracdo da gravidade nas medidas inglesas é de 32 ft/s 2 . (N.T.)
(4km - y2)112
> 0.
(25)
E QUA CO ES L INEARES DE S r.OUNDA O RDEN 153
Como rn, y e k sac, positivos, y = - 4km e sempre menor do que y 2. Entao, se y = - 4km > 0, os valores de r,
e r2 dados pela Eq. (22) sao negatives. Se y 2 - 4km < 0, entdo os valores de r, e r, sac) complexes, mas corn
parte real negativa. Assim, em todos os casos a solucao s tende a zero quando t -> x ; isso ocorre independentemente dos valores das constantes arbitrarias A e B, ou seja, independentemente das condicaes
iniciais. Isso confirma nossa expectativa intuit iva, a saber, que o amortecimento dissipa, gradualmente, a
energia do sistema e, cm consequencia, o movimento vai parando corn o passar do tempo.
0 caso.mais importante e o terceiro, que ocorre quando o amortecimento e pequeno. Fazendo A = R
cos 6 e B = R sen 8 na Eq. (25), obtcmos
s = Re -Yil2m cos(pt - (5).
(26)
0 deslocamento s fica entre as curvas s = -±Re-Ye2m ; logo, parece-se corn uma onda senoidal cuja amplitude
diminui quando t aumenta. Um exemplo tipico estd esbocado na Figura 3.7.5. 0 movimento e chamado
de oscilactio amortecida, ou vibracao amortecida. 0 fator R na amplitude depende de in, y. k c dos condici5es iniciais.
FIGURA 3.7.5 Vibracao amortecida; s = Re-it?'" cos(pr - 8).
Embora o movimento nao seja pericidico, o parametro p determina a frequencia segundo a qual a
massa oscila para cima e para baixo; cm consequencia, p e chamada de quase frequencia. Comparando
com a frequencia w„ do movimento sem amortecimento, vemos que
(4km - y2)1/2/1111
coo
1/2
=
‘,/k Int
—
2
-,1" 1 - Y
8km
4knt
(27)
A Ultimo aproximactio
quando y 214km é pequeno; referimo-nos a essa situacao como "pouco
amortecida" ou corn "amortecimento pequeno". Assim, o efeito de urn amortecimento pequeno 6 reduzir, ligeiramente, a frequencia da oscilticao. Por analogia corn a Eq. (18), a quantidade T, = 270 p a chamada de quase period°. E o tempo entre dois maximos ou dois minimos sucessivos da posicao da massa,
nu entre passagens sucessivas da massa por sua posicao de equilibrio indo no mesmo sentido. A relocao
entre T,,e T 6 dada por
Tdy2 ) - 1 / 2
(28)
(
y2
T
=
=
I +
4km
8km)
onde, novamente, a Ultimo aproximaciio é vtilida quando y 214km a pequeno. Assim, um amortecimento
pequeno aumenta o quase period°.
As Eqs. (27) e (28) reforcom o signiticado da razão adimensional y 214km. Ntlo é apenas o tamanho de
y que determina se o movimento é pouco ou muito amortecido, mas o tamanho de y 2 comparado corn
4km. Quando y 2/4km e pequeno, o amortecimento afeta pouco a quase frequencia e o quase period() do
movimento. Por outro lado, se quisermos estudar o movimento detalhado da massa em todos os instantes,
entao tzunca podemos desprezar a forgo de amortecimento, nao importa o qua° pequena.
Quando y =l4km aumenta, a quase frequencia p diminui e o quase periodo T,, aumenta. De foto, p —
e T, -> x quando y -> 2 I./ t. Como indicado pelas Eq. (23), (24) e (25), a natureza da solucão muda
quando y passa pelo valor 2 3km. Esse valor é conhecido como amortecimento critico, enquanto para
valores maiores de y o movimento é dito superamortecid o. Nesses casos, dodos pelas Eqs. (24) e (23),
respectivamente, a massa volta a sua posicão de equilibrio mas nao oscila em tomb dela, como para y
pequeno. A Figura 3.7.6 mostra dois exemplos tipicos de movimento corn amortecimento critico, e a situacao a mais discutida nos Problemas 21 e 22.
154 CAPITULO TRES
FIGURA 3.7.6 Movimentos criticamente amortecidos: s" + s' + 0,25s = 0;s = ( A + Bt)e-4'2.
EXEMPLO
O movimento de determinado sistema mola-massa e governado pela equacdo diferencial
s" + 0,125s' + s = 0,
3
(29)
onde s esta medido em pes e t em segundos. Se s(0) = 2 e s'(0) = 0, determine a posicão da massa em qualqucr
instante. Encontre a quase frequencia e o quase period°, assim como o instante no qual a massa passa pela primeira vez pela sua posiczlo de equilibrio. Encontre, tambem, o instante r tal que Is(t)l< 0,1 para todo t > r.
A soluciio da Eq. (29) 6
s = e. - ` /16 A cos \2 t + B sen
16
16
logo, a soluc5o do problema de
Para satisfazer as condiciies iniciais, precisamos escolher A = 2 e B 2/..
valor inicial é
2
,fiST5 )
/255
I
12 cos
t+
s = e-1/16(
16
i2-5-5- scn 16
6)
32 e -016 cos ( N/Y3(30)
./255
0,06254. A Figura 3.7.7 mostra o deslocamento da massa em funcao do
onde tan S = 1/455, de modo que
tempo. Para efeitos de comparaczio, mostramos, tambem, o movimento no caso em que o amortecimento
desprezado.
= 271 it 6.295 s. Esses valores diferem
A quase frequC.'ncia é p = ../2/16 0,998 e o quase periodo
apenas ligeiramente dos valores correspondentes (1 e 27r, respectivamente) para a oscilacao sem amortccimen-
16
,
l‘
1 1
I ,
if
1
1 ,
t 1
I
I
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I I
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.....
I
I
40
30
1.6... 50
1
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1 s
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I 1
II /
t
1 I
I
t
1../
‘,i
n/
\/
lir
FIGURA 3.7.7 Vibracäo com pouco amortecimento (curva sOlida) e sem amortecimento (curva tracejada).
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 155
to. Isso tambern é evidente dos gräficos na Figura 3.7.7, que sobem e descem prat icamente juntos. 0 coeficiente
de amortecimento é pequeno neste exempla apenas urn dezesseis avos do valor critic°, de fato.hhio obstante,
a amplitude da oscilacâo a rapidamente reduzida. A Figura 3.7.8 mostra o grafico da solucao para 40 < t < 60,
junto corn os graficos de s = ±0,1. Pelo grAtico, r parece estar em torno de 47,5, e urn caiculo mais preciso mostra
quc r 47.5149 s.
FIGURA 3.7.8 Solucäo do Exemplo 3; determinacao de r.
Para encontrar o instante no qual a massa passa, pela prirneira vez, pela sua posicäo de equilibria, referinionos a Eq. (30) c igualamos ,./2- 3t/16 - S a 7/2, o menor zero positivo da funcao cosseno. Entao, resolvendo para
t, obtemos
16
r
c2
+
1.637 s.
Circuitos Eletricos. Urn segundo exemplo da ocorrencia de equagOes diferenciais lineares com coeficientcs
constantes c como modelo do fluxo de corrente eletrica no circuito simples ilustrado na Figura 3.7.9. A
corrente /, medida em amperes (A), e uma func.äo do tempo t. A resisténcia R em ohms (a), a capacitancia C em farads (F) e a indutAncia L em henrys (H) sao toda y constantes positivas que supomos conhecidas. A tensao aplicada E em volts (V) c uma fungi -to do tempo dada. Outra quantidade fisica quc entra
na discuss5o é a carga total Q em coulombs (C) no capacitor no instante t. A rclacao entre a carga Q e a
corrente / é
(31)
I -= dQ/dt.
Resistência R Ca pacitància C
Indutäncia L
Tensäo aplicada E(t)
FIGURA 3.7.9 Urn circuito eletrico simples.
O fluxo de corrente no circuito é governado pela segunda lei de Kirchhoff': Em um circuito fechado, a
tensiio aplicada e igual a soma das quedas de teasel° no resto do circuito.
'Gustav Kirchhoff (1824-1887), professor em Breslau, Heidelberg e Berlirn, foi urn dos fisicos mais importantes do seculo
XIX. Ele descobriu as leis basicas dos circuitos eldtricos em torno de 1845, enquanto estudante em KOnigsberg. E, também,
famoso por scu trabalho fundamental em absorciio e ernissäo eletromagn êticas, c foi urn dos fundadores da espectroscopia.
156 CAPiTULO
De acordo corn as leis elementares da eletricidade, sabemos quc
A queda de tensao no resistor 6 IR.
A queda de tensdo no capacitor é QIC.
A queda de tensdo no indutor e Ldl1dt.
Portanto, pela lei de Kirchhoff,
1
dl
L— + RI + —Q = E(t).
dr
(32)
As unidades foram escolliidas de modo que 1 volt = 1 ohm • 1 ampere = 1 coulomb/1 farad = 1 henry • I
ampere/1 segundo.
Substituindo 1 pela expressao na Eq. (31), obternos a equacao diferencial
1
LQ" + RQ' + — Q = E(t)
(33)
para a carga Q. As condicOes iniciais sao
Q(to) = Q0 ,
a (to) = 1(0 = lo.
(34)
Logo, precisamos saber a carga no capacitor e a corrente no circuito em algum instante inicial t„.
De outro modo, podemos obter uma equacdo diferencial para a corrente / diferenciando a Eq. (33) em
relacao a t e depois usando a Eq. (31) para substituir dQldt. 0 resultado
1
LI" + RI' + — I = E'(t),
(35)
1'(10) = /(').
(36)
corn as condiciies iniciais
1(10) = 10,
Da Eq. (32), segue que
4
E(to) — R10 — (1/ C)Q0
(37)
Portanto, 1,; tainban 6 determinado pela carga e pela corrente iniciais, que sac) quantidades fisicamente mensuraveis.
A conclusão mais importante dessa discussilo C que o flux() de corrente no circuit() 6 descrito por urn
problema de valor inicial quc tem precisamente a mesma forma que aqucle que descreve o movimento
de um sistema mola-massa. Este é um horn exemplo do papel unilicador da matematica: uma vez que
voce sabe como resolver equagOes lineares de segunda ordem corn coeficientes constantes, voce pode interpretar os resultados em termos de vibracOes mecanicas, circuitos eletricos ou qualquer outra situacão
ffsica que leve ao mesmo problema.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 4, determine 0.)„. R e S de modo a escrever a expressâo dada na forma s =
R cos(w„t — 8).
2. s = — cost + .ijsent
1. s = 3 cos 2t 4sen2t
4. s —2 cos:rt — 3senirt
3. s = 4 cos 3t — 2 sen 3t
02 5. Uma massa pesando 2 lb (cerca de 900 g) estica uma mola de 6 in (cerca de 15 cm). Se a massa 6 puxada 3 in
adicionais para baixo e depois c solta, e se nao ha amortecimento, determine a posicao s da massa em qualquer
instante t. Rica o gratico des em funciio de t. Encontre a frequencia, o period° e a amplitude do movimento.
Uma massa de 100 g estica uma mola de 5 cm. Se a massa e colocada em movimento a partir de sua posicao
de equilibrio corn uma velocidade apontando para haixo de 10 cm/s e se näo ha amortecimento, determine
a posicao u da massa em qualquer instante t. Quando a massa retorna pela primeira vez a sua posicao de
equilibrio?
Uma massa pesando 3 lb (cerca de 1,36 kg) estica uma mola de 3 in (cerca de 7,6 cm). Se a massa e empurrada para cima, contraindo a mola de I in, e depois colocada em movimento corn uma velocidade para
haixo de 2 ft*/s (cerca de 61 cm/s), e se não hA amortecimento, encontre a posicdo s da massa em qualquer
instante t. Determine a frequ6ncia,o perfodo, a amplitude e a fase do movimento.
*1 ft = 12 in. (N.T.)
EQUACOES LINEARES DE SECiUNDA ORDEM
157
8. Urn circuito em serie tern um capacitor de 0,25 x 10- 6 F e um indutor de 1 H. Sc a carga inicial no capacitor
é de 10-6 C e não ha corrente inicial, encontre a carga Q no capacitor em qualquer instante
9.
Uma
massa de 20 g estica uma mola de 5 cm. Suponha que a massa tambemesta presa a urn amortecedor
402,
viscoso corn uma constante de amortecimento de 400 (Jinn • s/cm. Se a massa a puxada para haixo mais 2
cm c depois solta, encontre sua posicão s em qualquer instante t. Rica o grille° de s em flll100 de 1. Determine a quase frequéncia e o quase periodo. Determine a raz5o entre o quase periodo e o periodo do
movimento correspondente sem amortecimento. Encontre. tambem. o instante r tal que Is(t) T < 0,05 cm
para todo t > r.
Uma massa pesando 16 lb (cerca de 7 kg) estica uma mola de 3 polegadas (cerca de 7.5 cm). A massa esta
presa a urn amortecedor viscoso corn constante de amortecimento de 2 lb • sift. Se a massa e colocada cm
movimento a partir de sua posicäo de equilibrio corn uma velocidade para baixo de 3 in/s, encontre sua
posicão it em qualquer instante t. Faca o grafico de s cm func5o de t. Determine quando a massa retorna
pela primeira vez a sua posicao de equilfbrio. Encontre, tambem, o instante r tal que !MI < 0.01 in para
todo t > r.
Uma mola 6 esticada 10 cm por uma forea de 3 N. Uma massa de 2 kg 6 pendurada da mola e presa a um
amortecedor viscoso que exerce uma forca de 3 N quando a velocidade da massa a de 5 m/s. Sc a massa
e puxada 5 cm ahaixo de sua posicao de equilibrio e recebe uma velocidade inicial para baixo de I() cm/s.
determine sua posicäo s em qualquer instante t. Encontre a quase frequencia j t e a raz50 entre h e a fre quéncia natural do movimento correspondente sem amortecimento.
Urn circuito em s6rie tem um capacitor de 10 -5 F, urn resistor de 3 x
SI e urn indutor de 0.2 i I. A carga inicial
no capacitor 6 10"C e não ha corrente inicial. Encontre a carga Q no capacitor cm qualquer instante t.
Certo sistema vibrando satisfaz a equacdos"+ ys' + s = 0. Encontre o valor do coeficiente de amortecimento ypara o qual o quase period() do movimento amortccido 6 50% major do que o period() du movimento
correspondente sem amortecimento.
Mostre que o period() do movimento de uma vibracao nao amortecida de uma massa pendurada em uma
o alongamento da mola devido a massa e g e a aceleracao da gravidamola vertical 6 27r „/L/g, onde
de.
Mostre que a soluciio do problem de valor inicial
ms" + ys' + ks = 0,
s(to) = so, s'(to) = so
pode ser expressa como a soma s = v + co, onde t' satisfaz as condicaes iniciais v(t„) = s„, C(t„) = 0, 0, satisfaz
as concliOes iniciais (0(t„) = 0.(0 . (t„) = s'o c ambas as funcOes v e w satisfazem a mesma equacii° diferencial
que s. Esse 6 outro exemplo de superposicao de solucties de problemas mais simples para se obter a soluciio de urn prohlema mais geral.
Mostre que A cos cad + B sen to„t pode ser escrito na forma r sen(w„t — 8). Determine r e 0 em funcao de A
e B. Sc I? cos((aot — 6) = r sen(faot — 0), determine a relacäo entre R, r, S e O.
Uma massa pesando 8 lb (cerca de 3,6 kg) estica uma mola de 1 polegada e meia (cerca de 3,8 cm). A massa tambem esta presa a um amortecedor corn coeficiente y. Determine o valor de y para o qual o sistema
tenha amortecimento critic(); certifique-se de colocar as unidades de y.
Sc um circuito cm s6rie tern urn capacitor de C = 0.8 x 10- 6 F e um indutor de L = 0.2 II, encontre a resistencia R para que o circuito tenha amortecimento critic°.
Suponha que o sistema descrito pela equacão ms" + ys' + ks = 0 tem amortecimento crftico ou esta superamortecido. Mostre que a massa pode passar por sua posicao de equilfbrio no maxim() uma vez, independentemente das condicOes iniciais.
Stigestiio: Determine todos os valores possfveis de t para os qua ys s = 0.
Suponha que o sistema descrito pela equacdo ms" + ys' + ks = 0 tern amortecimento critico e que as condi0 quando t —+ x , mas que s nunca se anula.
cOes iniciais são s(0) = s„, s'(0) = vo. Se vo = 0, mostre que s
Se s„ for positivo, determine uma condicao sobre que garanta que a massa vai passar pela sua posicao de
equilfbrio apOs o instante inicial.
Decremento Logaritmico. (a) Para a oscilacao amortccida descrita pela Eq. (26), mostre que o intervalo
de tempo entre os maximos sucessivos é de T,, = 27r/ft.
Mostre que a razao entre os deslocamentos em dois maximos sucessivos é dada por exp(/Td/2m).
Note que essa raz5o não depende do par de maximos sucessivos escolhido. 0 logaritmo neperiano
dessa razz-to e chamado de decremento logarftmico e denotado por A.
e A s5o quantidade s facilmente mensuraveis em urn sistema
Mostre que A = nylmtt. Como
mecânico, esse resultado fornece um m6todo conveniente e prtitiw para determinar a constante de
amortecimento do sistema, que e mais diffcil de medir diretamente. Em particular, para o movimento
de uma massa vibrando em urn fluido viscoso a constante de amortecimento depende da viscosidade
158 CAPITULO TRts
do fluido; para formas geometricas simples, a forma dessa dependencia é conhecida e a relacdo precedente permite a determinacao da viscosidade experimentalmente. Essa a uma das maneiras mais
precisas de se determinar a viscosidade de urn gas a altas pressoes.
Tendo em vista o Problema 21, encontre o decremento logarftmico do sistema no Problema 10.
Para o sistema no Problema 17, suponha que A = 3 e Td = 0,3 s. Tendo em vista o Problema 21, determine
o valor do coeficiente de amortecimento y.
24. A posicao de um determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial
is" ks = 0,
s (0) = 2, 51 (0) = v.
Se é observado que o period() e a amplitude do movimento resultante sao7r e 3, respectivamente, determine os valores de k e v.
401 25. Considere o problema de valor inicial
s" y
s = 0,
s(0) = 2, s'(0) =0.
Queremos explorar o quao longo e o intervalo de tempo necessario para que a solucao se torne "desprezivel" e como esse intervalo depende do coeficiente de amortecimento y. Mais precisamente, vamos procurar o instante r tai que Is(1)1 < 0,01 para todo t > r. Note que o amortecimento critic° para este problema
ocorre quando y = 2.
Seja y = 0,25 e determine r ou, pelo menos, estime-o de forma razoavelmente precisa a partir de urn
grafico da solucão.
Repita o item (a) para diversos outros valores de y no intervalo 0 < y < 1,5. Note que r sempre decrescc quando y cresce, para y nesse intervalo.
Obtenha urn grafico de r em funcao de ycolocando os pares de valores encontrados nos itens (a) e (b).
0 grafico parece ser uma curva suave?
Repita o item (b) para valores de y entre 1,5 e 2. Mostre que r continua a diminuir ate que y atinja urn
determinado valor critico y„, apps o qual r aumenta. Encontre e o valor minimo correspondente de
r com duns casas decimals.
(e) Outra maneira de proceder e escrever a solucao do problema de valor inicial na forma (26). Despreze o fator cosseno e considers, apenas, o fator exponencial e a amplitude R. Depois, encontre uma
expressao para r em func5o de y. Compare os resultados aproximados obtidos desse modo com os
valores determinados nos itens (a), (b) e (d).
26. Considere o problema de valor inicial
Ins" + ys' + ks = 0,
s (0) = s„, s'(0) = vo.
Suponha que y 2 < 4km.
Resolva o problema de valor inicial.
Escreva a solucao na forma s(t) = R exp(—yll2m) cos(ut — 3). Determine R cm funcào de in, y, k, u„ e
vo.
(c) Investigue a dependencia de R no coeficiente de amortecimento y para valores fixos dos outros
metros.
27. Urn bloco cilbico de lado 1 e densidade de massa p por unidade de volume esta flutuando ern urn fluido corn
densidade de massa por unidade de volume, ondc p„> p. Se o bloco 6 mergulhado ligeiramente e depois
solto,ele oscila na posicao vertical. Supondo que e possivel desprezar o amortecimento viscoso do fluido c
a resisténcia do ar, deduza a equacdo diferencial do movimento e determine o period() do movimento.
Sugestlio: use o princfpio de Arquimedes. Urn ohjeto completa ou parcialmente submerso em um fluido
sofre a acao de ulna forca empurrando-o para cima (o empuxo) de modulo igual ao peso do fluido deslocado.
28. A posicao de urn determinado sistema mola-massa satisfaz o problem de valor inicial
s" + 2s = 0,
s(0) = 0, s'(0) = 2.
Encontre a solucäo desse problema de valor inicial.
Rica os graficos de s e de s' em funcao de t no mesmo par de cixos.
(c) Faca o grafico corn s' em um dos cixos e s no outro; isto 6, faca o grafico param6trico de s(t) c s'(t)
usando t como parametro. Esse tipo de grafico 6 conhecido como urn retrato de fase, e o piano ss' é
chamado de piano de fase. Note que uma curva fechada no piano de fase corresponde a uma solucao
periOdica s(t). Qual o sentido do movimento (trigonom6trico ou horario) no retrato de fase quando t
aumenta?
EQUACOES LINE ES DE SEGUNDA OFtDEM 159
442, 29. A posicao de determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial
s" + s' +2s = 0,
s(0) = 0, s'(0) = 2.
Encontre a solucao deste problema de valor inicial.
Faca os graficos de s e de s' em funcâo de t no mesmo par de eixos.
(c) Faca o grafico de s' em funcão de s no piano de fase (veja o Problema 28). Identitique diversos pontos
correspondentes nas curvas dos itens (b) e (c). Qual o sentido do movimento no piano de lase quando
t aurnenta?
30. Na ausacia de amortecimento, o movimento de um sistema mola-massa satisfaz o problema de valor
inicial
ms" + ks = 0,
s (0) = a, s'(0) = b.
Mostre que a energia cinetica dada inicialmente a massa é mb"12 e que a energia potencial armazenada inicialmente na mola é ka'12, de modo que a energia total inicial do sistema é (ka' + mb=)12.
Resolva o problema de valor inicial dado.
(c) Usando a solucão no item (b), determine a energia total no sistema em qualquer instante t. Scu resultado deve confirmar o principio de conservacão de energia para este sistema.
31. Suponha que uma massa m desliza sem atrito em uma superficie horizontal. A massa esta presa a 11111a
mola corn constante k, como ilustrado na Figura 3.7.10, e esta sujeita, tambem, a resistacizi viscosa do ar
corn coeficiente y. Mostre que o deslocamento s(t) da massa a partir de sua posicäo de equilibrio satisfaz a
Eq. (21). Como a deducdo da equacão de movimento neste caso di fere da deducao dada no texto?
FIGURA 3.7.19 Urn sistema mola-massa.
4•),, 32. No sistema mola-massa do Problema 31, suponha que a forca exercida pela mola nzlo e dada pela lei de
Hooke, mas, cm vez disso, satisfaz a relacao
Fm = —(ks + cs3),
onde k>0eed pequeno em modulo, mas pode ter qualquer sinal. A mola é considerada "dura" se e > 0 c
"mole" se E < 0. Por que esses terms sâo apropriados?
Mostre que o deslocamento s(t) da massa a partir de sua posicao de equilibrio satisfaz a equacao diferencial
ms" + ys' + ks + cs 3 = 0.
Suponha que as condicties iniciais sao
s(0) = 0, s'(0) = 1.
No restante deste problema, suponha que m = 1, k = 1 e y 0.
Encontre s(t) quando E = 0 e determine, tambem, a amplitude e o period° do movimento.
Seja E = 0,1. Rica o grafico de urna aproximacdo numerica da solucTio. Esse movimento parece ser
periOdico? Se for, estime a amplitude e o period°.
Repita o item (c) para E = 0,2 e E = 0,3.
Coloque em um grafico os valores estimados da amplitude A c do period() T ern funcdo de E. Descreva
a maneira segundo a qual A e T, respectivamente, dependem de E.
Repita os itens (c), (c1) c (c) para valores negativos de E.
160 CAPiTULO TRES
3.8 Vibrasiies Forsadas
I nvestigaremos agora a situacao em quc uma for-0 externa periOdica é aplicada a urn sistema molamassa. 0 comportamento desse sistema simples modcla o de muitos sistemas oscilatOrios sob a acao de
uma forca externa, devido, por exemplo, a urn motor preso ao sistema. Consideraremos primeiro o caso
cm que ha amortecimento e consideraremos mais tarde o caso particular ideal onde se supOe que nao ha
amortccimento.
Vibraciies For-codas corn Amortecimento. Os calculos algebricos podcm ser bem complicados nesse tipo de
problema, de modo que comecare mos corn um exemplo relativamente simples.
Suponha que o movimento de determinado sistema mola-massa satisfaz a equacao diferencial
EXEMPLO
1
s" + + 1,25s = 3 cos t
(1)
s'(0) = 3.
(2)
e as condicOes iniciais
s(0) = 2,
Encontre a solucao deste problema de valor inicial e descreva o comportamento da solucao para valores grandes de t.
A equacao homogenea associada a Eq. (1) tern equacao caracteristica r2 + r + 1,25 = 0 corn rafzes r = -0,5 ±
i. Assim, a solucao geral s,.(t) desta equacao homogenea é
sc (t) = c,e-" 2 cost + c2e -"2 sen t.
(3)
Uma solucao particular da Eq. (1) tem a forma S(t) A cos t + B sent,onde A e B sao encontrados substituindose s na Eq. (1) por S(t). Temos S' (t) = - A sent + B cos t e S"(t) = - A cos t - B sen t. Logo, da Eq. (1), obtemos
(0,25A + B) cos t + (-A + 0,25B) sen t = 3 cos t.
Em consequencia, A e B tem que satisfazer as equacöes
0.25A + B
3,
-A + 0.25B = 0,
corn o resultado que A = 12/17 e B = 4S`17. Portanto, a solucao particular
S (t) =
cost + ‘.FL; sent,
(4)
e a solucao geral da Eq. (1)
s = s,.(t) + S (t) = c l e -t 2 cos t + c2e-1/2 sent +
cos t + '14 sen t.(5)
As constantes restantes c, e c, siio determinadas pelas condicOes iniciais (2). Da Eq. (5), temos
s (0) = + = 2,
s"(0) =
+ cz + = 3,
de modo que c, = 22/17 e c2 = 14/17. Assim, obtemos finalmente a solucao do problema de valor inicial clad°, a
saber,
14 -I/2
-02
sen t +12 cos t + 48
s = 22
cos t + 17 e
17 sent.
17 e
(6)
O grafico da solucao (6) estzi ilustrado pela curva ern preto na Figura 3.8.1.
E importante notar que a solucao tern duas partes distintas. As duas primeiras parcelas contern o fator
exponential e rf2 ; o resultado é que elas se aproximam rapidamente de zero. Costuma-se chamar essa parte de
transiente. As parcelas restantes na Eq. (6) so envolvcm senos c cossenos e, portanto, representam uma oscilacao que continua para sempre. Referirno-nos a elas como estado estacionario. As curvas azuis na Figura 3.8.1,
a sOlida e a tracejada, representam as partes transiente e estado estacionario, respectivamente, da solucão. A
parte transiente vem da solucao da equacao homogenea associada a Eq. (1) e é necessaria para satisfazer as
condicOes iniciais. 0 estado estacionario e a solucao particular da equacilo nao homogenea completa. Depois
de um tempo razoavelmente curto a parte transiente fica muito pequena, quase desaparecendo • e a solucao fica
essencialmente inclistinguivel do estado estacionario.
EQUACOES Li TARES DC SEGUNDA ORDEM 161
solucâo completa
estado
estacionàrio
2
transiente
1
A
.1
16
FIGURA 3.8.1 Solucao do problema de valor inicial (1), (2).
A equacao de movimento de um sistema mola-massa geral sujeito a uma forca externa F(t) c (Eq. (7)
da Secao 3.7]
ms"(t) + y s' (t) + ks (t)
F(t),
(7)
onde m,ye k sao, respectivamente, a massa. o coeficiente de amortecimento c a constante (la mola do
sistema mola-massa. Suponha agora que a forca externa e dada por F cos cot, onde Fo e co
constantes
positivas representando a amplitude e a frequacia, respectivamente, da forca. A Eq. (7) lieu, entao,
ms" + y + ks = Fo cos wt.
(8)
As solucaes da Eq. (8) se comportam de maneira m uito semelhante a solucao do exemplo precedente.
A solucão geral da Eq. (8) tern a forma
s e l s, (t) + c2 s , (t) + A cos wt + Bsen wt = s At) + S (t).
(9)
As duas primeiras parcelas na Eq. (9) formam a solucao geral s,.(t) da equacao homogaea associada
Eq. (8), enquanto as duas ul t imas parcelas formam uma solucâo particular S(t) da equacao nao homo oenea completa. Os coeficientes A e B podem ser encontrados, como de habit°, substituindo essas parcelas
na equacao diferencial (8), enquanto as constantes arbitrarias c, e c, estao disponfveis para satisfazer as
condicCtes iniciais, se houver. As solucaes s,(t) e .52(0 da equacao homog8nea dependem das rafzes r, e r,
da equacao caracterfstica mr2 + yr + k 0. Como m, y e k sao constantes positivas, segue que r, e r, sao
rafzes reais e negatives ou sac, complexas conjutzadas corn parte real negativa. Em qualquer dos casos,
s,(t) e s,(t) tendem a zero quando t —* x. Como s,(t) vai desaparecendo quando t aumenta, ela é chamada
ela tem pouca importancia, e (dependendo do valor de y)
de soluciio transience. Em muitas aplicac Oes
pode ser praticamente indetectdvel depois de apenas alguns segundos.
As parcelas restantes na Eq. (9), a saber, S(t) = A cos cot + B sen cot, não desaparecem quando t aumenta, mas persistem indefinidamente ou enquanto a forca externa estiver sendo aplicada. Elas representam
until oscilaciio estacionaria na mesma frequimcia da forca externa e sao chamadas de solucao estado estacionArio ou resposta forcada. A solucao transiente nos permite satisfazer quaisquer condicaes iniciais que
sejam impostas; quando o tempo vai passando, a energia colocada no sistema pelo deslocamento e pela
velocidade iniciais é dissipada pela forca de amortecimento, e 0 movimento torna-se, entao, a resposta do
sistema a forca externa. Sem amortecimento, o efeito das condicOes iniciais persistiria para sempre.
E conveniente expressar S(t) como uma dnica funcao trigonomatrica,em vez de uma soma. Lembre-se
de que fizemos isso para outras expressoes semelhantes na Seca° 3.7. Escrevemos, entao,
(10)
S (t) = R cos(wt — 3).
A amplitude R e a fase 8 dependem diretamente de A e de B e indiretamente dos parametros na equacao
diferencial (8). E possfvel mostrar, por cAlculos diretos, porem urn tanto longos, que
Fo
R= —
cos 8 —
m(w(— (02)
A
(-0
sen3 — ,
YA
162 CAPITULO
'flits
onde
A = im2(4 — 0)2)2 + y2w2
e
wo2
klm.
(12)
Lembre-se de que 46 a frequëncia natural do sistema sem forca externa e sem amortecimento.
Vamos investigar agora como a amplitude R da oscilacão estado estacionario depende da frequacia
w da forca externa. Substituindo a Eq. (12) na expressao para R na Eq. (11) e fazendo algumas manipulacOes algebricas, encontramos
(02 ) 2
0)2 1/2
Rk
=
[(1 — —
r
(13)
onde r = y 21mk. Note que a quantidade Rk1F„ e a razdo entre a amplitude R da resposta forcada e o deslocamcnto estätico da mola Folk produzido por uma forca Fo.
Para excitacOes de baixa frequacia, ou seja, quando w -+ 0, segue da Eq. (13) que Rk1F,
1
ou R
Folk. No outro extremo, para excitacOes de frequi:ncia muito alta, a Eq. (13) implica que R —> 0
Em algum valor intermediario de w, a amplitude poce atingir um maxima Para encontrar
quando w
esse ponto de maximo, podemos diferenciar 1? ern relacão a w e igualar o resultado a zero. Dessa maneira
vemos que a amplitude maxima ocorre quando co= com„. onde
y2
,2
,
2
w.»:;. =
Ww.»:;.
r
2
WO — 2—
m2 =
?nk •
Note que w„,„<w„ e que w,„„ esta prOximo de w„ quando y e pequeno. 0 valor maximo de R
Fo
Rmax
ywoll —(y 2 /4ink)
y2
F0 I +
ywo
8111/,-).
dado pela Eq. (14)
onde a tiltima expressao c ulna aproximactio para y pequeno. Se y'lmk > 2, entao
imaginario; nesse caso, o valor maximo de R ocorre para w= 0 e R c ulna funcdo monOtona decrescente
de w. Lembre-se de que o amortecimento critic() ocorre quando y'lmk = 4.
Para y pequeno, segue da Eq. (15) que 1?„,"=. Fdyw„. Assim, para sistemas levemente amortecidos, a
amplitude R da resposta forcada quando w esta prOximo de w„ é hem granite, mesmo para forcas externas
relativamente pequenas, e quanto menor for o valor de y. mail pronunciado sera esse efeito. Esse fenOmeno é conhecido como ressonancia e e frequentemente um ponto importante a considerar em um projeto.
A ressonancia pode ser boa ou ruint. dependendo das circunstancias. Ela tent que ser levada seriamente
cm consideracao no projeto de estruturas, como edificios e pontes, onde pode produzir instabilidade
levando, possivelmente, a falhas catastrOlicas da estrutura. Por outro lido, a ressonancia pode ser Uhl no
projeto de instrumentos, como o sismOgrafo, feito para detectar sinais periOdicos fracos.
A Figura 3.8.2 cont6m alguns graficos representativos de Rk1F0 em funcäo de wlw„ para diversos valores de F = y'lmk. 0 gratico correspondente a r = 0,015625 esta incluido porque este é o valor de F que
ocorre no Exemplo 2 abaixo. Observe especialmente o pico pontudo na curva correspondente a
1
1,2 1,4 1,6 1,8 2 who°
0,2 0,4 0,6 0,8
FIGURA 3.8.2 Vibraczlo forcada com amortecimento: amplitude da resposta estado estacionario em funcão
da forca externa; F = y'1mk.
EQUACOES ',MEARES DE SEGUNDA ORDEN 163
SA
4
=
<1•n••n•nn
3
F = 0,015625
= 0,1
2
r =2
= 0,5
1
0
1
2
3
4 w/o„
FIGURA 3.8.3 Vibracâo forcada corn amortecimento: fase da resposta estado estacionario ern funcao da
frequencia da forca externa: r = Oink.
F = 0,015625 perto de who, = 1.0 caso-limite quando r
0 tambem é mostrado. Segue da Eq. (13). ou
das Eqs. (11) e (12), que R —> FulmIcou= — w= lquando y —* 0 e, portanto. Rid F, z assintOtico a reta vertical
w = wu . com p mostra a figura. Quando o amortecimento no sistema aumenta. o pico na resposta
gradativamente.
A Figura 3.8.2 lambent ilustra a utilidade de variaveis adimensionais. Voce pode verificar facilmente
que cada tuna das quantidades Rk11:0 ,colco„ e F e adimensional. A importancia desta observacao c que o
ntimero de parilmetros significativos no problem foi reduzido a tres, em vez dos cinco quc aparecem na
Eq. (8). Assiut, pasta uma familia de curvas, algumas delay ilustradas na Figura 3.8.2, para descrever o
comportamento da resposta em funclio da frequCmcia de todos os sistemas governados pela Eq. (8).
0 angulo de fase 6 tambem depende de w de maneira interessante. Para w prOximo de zero. segue das
Eqs. (11) c (12) que cos 6 1 e sen S -"=- 0. Logo, 6
e a resposta esta quase em fase corn a excitacdo, 0
que significa quc sobem e descent juntas e. em particular, atingem seus respectivos maximos e minimos
prat icamen te ao mesmo tempo. Para w = w„, vemos que cos 8 = 0 e sen S = 1, de modo que S = 7/2. Nesse
caso, a resposta fica atrasada, em relacao a excitacao, de 712; ou seja, os picos da resposta ocorrem 7/2
mail tarde do que os (fa excitacdo, e analogamente para Os vales. Finalmente, para w muito grande temos
cos 6 ==--- —1 e sen 6 0. Logo, .5 .= 7I, de modo que a resposta esta quase quc completamente defasada em
relacäo a excitacdo; isso significa que a resposta é minima quando a excitacâo é maxima, e vice-versa. A
Figura 3.8.3 mostra os graficos de S cm firm* de coltou para diversos valores de r. Para pouco amortecimento, a transictio de fase de perto de 6 = 0 pant perto de S = n ocorre de maneira urn tanto abrupta. enquanto para valores grandes do parametro de amortecimento a transicao se chi de forma mats gradual.
EXEMPLO
2
Considere o problema de valor inicial
s" + 0,125s' + s = 3 cos wt,
s (0) = 2, s'(0) = 0.
(16)
Mostre graficos da solucao para valores diferentes da frequencia da forca externa w e compare-os corn os eraficos correspondentes da forca externa.
Para este sistema, temos coo = 1 e r = 1/64 = 0,015625. Seu movimento sem forca externa foi discutido no
Exemplo 3 da Secão 3.7, e a Figura 3.7.7 mostra o grafico da solucdo do problema na ausencia de forca. As
Figuras 3.8.4, 3.4.5 e 3.8.6 mostram a solucão do problem corn forca externa (16) para w = 0,3, w = 1 e w
2, respectivamente. Cada figura mostra, tambem, o grafico da forca externa. Neste exemplo, o deslocamento
estatico Folk é igual a 3.
A Figura 3.8.4 mostra o caso de baixa frequencia,w/wo = 0,3. Depois de a resposta inicial transience ser amortecida substancialmente, a resposta estado estacionario restante esta essencialmente em fase corn a excitacão,
e a amplitude da resposta e urn pouco maior do que o deslocamento estatico. Epe -cificamente, R = 3,2939 e
S 0,041185.
0 caso ressonante, co/wo= 1, esta ilustrado na Figura 3.8.5. Aqui a amplitude da resposta estado estacionario
é oito vezes o deslocamento estatico e a figura tambëm mostra o atraso da fase previsto de 7/2 em relacdo
forca externa.
164 CANTULO TRIS
Forca externa
Solucdo
FIGURA 3.8.4 lima vibracäo forcada com amortecimento:solucão de s" + 0,125s' + s = 3 cos 0,3t,s(0) = 2,
s'(0) = O.
O caso da frequencia de excitacAo razoavelmente alta esta ilustrado na Figura 3.8.6. Note que a amplitude da resposta estado estacionzirio é aproximadamente urn terco do deslocamento estatico e que a
diferenca de fase entre a excitacao e a resposta e aproximadamente JT. Mais precisamente, temos que
R 0,99655 e S 3,0585.
SA
20
10
/1\
\
rf
30 ‘,
20
'10
/
40' I \ '50 \
/
1
60 t
10
20
Solucao
Fero externa
FIGURA 3.8.5 Uma vibracao forcada corn amortecimento:soluc5o de s" 0,125s' + s = 3 cos t,s(0) = 2,s'(0) = 0.
i1
,
A
0
it
,1
A
I I
Il
11
I
1
11 \ 1 1
It
I I
1.
Hi
11
i
I .1\10ti 1
I
I I
I
I
1
V,
l,
11
it
I 'I,
l
IIi
4
11
I1
II
1
1
A
11
IIt
'
II
1I
I
I
10 I
120
i ii \i 1
1
I1
1 :
V
I li ; i i II
I I II
I
I I I I II 1,
II
if
1I II
Ii
I,i 1j
Ill1;#1 V
II , I
1
Forca externa
Solucao
FIGURA 3.8.6 Uma vibracAo forcada com amortecimento:solucao de s" + 0,125s' + s = 3 cos 2t,s(0) = 2,s'(0) = 0.
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEN
165
Vibracaes Forcadas sem Amortecimento. Vamos supor agora que y 0 na Eq. (8), obtcndo assim a equacdo
de movimento de urn oscilador forcado sem amortccimento
(17)
ms" + ks Fo cos wt.
A forma da solucdo geral da Eq. (17) é diferente. dependendo de se a frequacia cv da forca externa é
difcrente ou é igual a frequencia natural coo = Vkim do sistema sem forca externa. Considere primeiro
o caso co 0 co0; entao, a solucdo geral da Eq. (17) 6
s = c i cos coot + c2 sencoot ±
Fo
m(4) — w2)
cos wt.
(18)
As constantes c, e c2 sao determinadas pelas condicOes iniciais. 0 movimento resultante 6, em geral, a soma
de dois movimentos periOdicos corn frequencias diferentes (woe co) c amplitudes diferentes tambem.
E particularmente interessante supor que a massa esta inicialmente em repouso, de modo que as
condicOes iniciais sdo s(0) = 0 e s' (0) = 0. Entdo a energia impulsionando 0 sistema vein inteiramente da
forca externa, sem contribuicäo das condicOes iniciais. Nesse caso as constitutes c, c c, na Eq. (18) sdo
dadas por
c, =
F0
m (co(.) — w2)'
c2 = 0,
(19)
(cos cur — cos co0t).
(20)
e a solucdo da Eq. (17) Pica
s=
F0
m(4, — co-)
Essa é a soma de duns funcOes periOdicas corn periodos diferentes, mas coin mesma amplitude. Usando
as identidades trigonometricas para cos(A ±13) corn A = (wo + w)tI2 e B = (w„ (0)02, poclemos escrever
a Eq. (20) na forma
s=
2Fo(wo — w)t(wo + w)t
sen
w2) sen
2
2
ltiz(ar0 _
l
(21)
Se Iwo — wl é pequcno, entao
+ w e muito major do que Icon — col. Em consequencia, sen(ro„ + (0)//2 e uma
fungdo oscilando rapidarnente, se comparada corn sen(co, — w)t!2. Entdo o movimento 6 uma oscilacdo
rapida corn frequencia (coo + w)12, mas corn uma amplitude senoidal variando lentamente
2F0
m ' cob.
Sell
(coo — w)t
co2 I
Esse tipo de movimento, corn uma variacdo periOdica da amplitude, exibe o que e chamado de um batimento. Por exemplo, tal fcnOmeno ocorre em actIstica quando dois diapasOes de frequencia praticamente
iguais sdo usados simultaneamente. Nesse caso, a variacdo periOdica da amplitude pode ser notada corn
facilidade pelo ouvido sem recursos extras. Em eletrOnica, a variacdo da amplitude e m relacao ao tempo
chamada de modulacao da amplitude.
EXEMPLO
3
Resolva o problema de valor inicial
s" + s = 0,5 cos 0.8r,
s(0) = 0, s'(0) = 0,
(22)
c faca o grafico da solucdo
Nesse caso 0)0 = 1, w 0,8 e F„ = 0,5, de modo que, pela Eq. (21), a solucdo do problema dado
s = 2.77778(sen 0,10(sen 0,90.
(23)
A Figura 3.8.7 mostra urn grafico desta solucao. A variacdo de amplitude tem uma frequencia baixa de 0,1 e
urn periodo lento correspondente de 207. Note que urn meio period() de 107 corresponde a urn tinier) ciclo de
amplitude crescente e depois decrescente. 0 deslocamento do sistema mola-massa oscila corn uma frequencia
relativamente rapida de 0,9, que s6 e ligeiramente menor do que a frequencia natural coo.
Imagine agora que a frequencia w da forca externa e ainda mais aumentada, digamos para w = 0,9. Entao
a frequencia baixa e cortada pela metade para 0,05 e o meio period° lento correspondente dobra para 207.0
multiplicador 2,7778 tambem aumenta substancialmente para 5,2632. No entanto, a frequ'encia rapida aumenta
pouco, para 0,95. Voce pode visualizar o que acontece quando w vai assummdo valores cada vez mais prOximos
da frequencia natural coo = 1?
166 CAPiTULO TittS
s = 2,77778 sen 0,1t
s = 2,77778 sen 0,1t sen0.9t
3
2
1
10
20
-2
%.1///
s = -2,77778 sen0,1t,__.
-3
FIGURA 3.8.7 Um batimento;solucao de s" + s = 0,5 cos 0.8t, s(0) = 0. s'(0) = 0; s = 2,77778(sen 0.1 t)(sen 0,9t).
FIGURA 3.8.8 Ressonancia;solucao de s" + s = 0,5 cos t.s(0) = 0, s' (0) = 0;s = 0,25t sen t.
Vamos voltar para a Eq. (17) e consiclerar o caso da ressonancia, onde w = coo, ou seja, a frequéncia da
fungi-10 externa c igual a frequencia natural do sistema. EntAo o termo nab homogeneo F„ cos cot e uma
solucilo da equacilo homogenea associada. Nesse caso, a solucäo da Eq. (17) é
F0
s = ci cos coot + e2 sen coot + 2nico0 t sen coot.
(24)
Por causa do termo t sen coot, a solucdo (24) preve que o movimento ficara ilimitado quando t --> cc, independentemente dos valores de c, e c2 ; veja a Figura 3.8.8 para um exemplo tipico. E claro que oscilacOes
ilimitadas nao ocorrem na villa real. Quando s fica grande, o modelo matemAtico no qual a Eq. (17) se
baseia nao e mais valid°, ja que a hipOtese de que a forca da mola depende linearmente do deslocamento
requer que s seja pequeno. Como vimos, se o amortecimento c incluido no modelo, o movimento previsto
permanece limitado; no entanto, a resposta a funcao de entrada F, cos cut pode ser muito grande se o
amortecimento é pequeno e w estii prOximo de co,.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 4, escreva a expressao dada como um produto de duas funcOes trigonometricas com frequacias diferentes.
EQUACOES LINEARES DE SEDUNDA ()MEM 167
1. cos 9t — cos 7t
2 sen 7t — sen 6t
2.
3. cos 7rt ± cos 2:r t
4. sen 3tsen4t
Uma massa pesando 4 lb (cerca de 1,8 kg) estica uma mola de 1,5 in (cerca de 5 cm). A massa e deslocada
2 in no sentido positivo a partir de sua posicao de equilibrio e solta sem velocidade initial. Supondo que
nao ha amortecimento e quo a massa sofre a acao de uma forca externa dc 2 cost lb, formule o problema
dc valor inicial que descreve o movimento dessa massa.
Uma massa de 5 kg estica uma mola de 10 cm. A massa sofre a acao de uma forca externa de 10 sen(t/2)
N (newtons) e se move em urn mein que amortece o movimento corn uma forca viscosa dc 2 N quando a
velocidade da massa a de 4 cm/s. Se a massa e colocada cm movimento a partir do sua posicao de equilfbrio
corn uma velocidade inicial de 3 cm/s, formule o problema de valor inicial que descreve o movimento da
massa.
402 7. (a) Encontre a solucao do Problema 5.
Rica o graft() da solucao.
Se a forca externa dada for substituida por uma forca 4 sen cot corn a mesma freq 11:11c.ir w, encont re
valor de w para o qual ocorre ressonancia.
402 8. (a) Encontre a solucao do problema de valor inicial no Problema 6.
Identifique as partes transiente e estado estacionario da solucao.
Faca o gralico da solucao estado estacionario.
(d) Sc a forca externa dada for substitufda por uma forca 2 cos cut corn frequencia w,encontre a valor de
para o qual a amplitude da resposta forcada e maxima.
Se um sistcma mola-massa nao amortecido corn uma massa pesando 6 lb (cerca de 2,7 kg) c uma constante da
mola de 1 lb/in é colocado em movimento de repente. no instante t = 0, por uma forca externa de 4 cos 7t lb,
determine a posicao da massa ern qualquer instante e desenhe o grafico de seu deslocamento cm funcao de t.
Uma massa pesando 8 lb (cerca de 3,6 kg) estica uma mola de 6 in (cerca de 15 cm). Until forca externa de
8 sen 81 lb age sobre o sistema. Se a massa c. puxada 3 in para baixo e depois solta. determine a puska° da
massa em qualquer instante de tempo. Determine os quatro primciros instantcs cm que a veloerdade da
massa e nula.
11. Uma mola é esticada 6 in (cerca de 15 cm) par uma massa pesando 8 lb (cerca de 3.6 kg). A massa esta
presa a urn mecanismo amortecedor que tem uma constante de amortecimento de 0,25 lb sift e esta sob a
acao de Lima forca externa igual a 4 cos 2t lb.
Determine a resposta estado estacionario desse sistema.
Se a massa dada (: suhstitufda por uma massa in. determine o valor de in para o qual a amplitude da
resposta estado estacionario é maxima.
P. A mola do am sistcma mola-massa tem constante de 3 N/m. E presa uma massa de 2 kg 11;1 mola e o
movimento se da cm um fluid° viscoso que oferece uma resistencia numcricamcnte igual ao rmidulo da
velocidade instantanea. Se o sistema sofre a acao de uma forca externa de (3 cos 31— 2 sen 3t) N, determine
a resposta estado estacionario. Expresse sua resposta na forma R cos(wt — 8).
13. Neste problema, pedimos que voce forneca alguns dos detalhes na analise de urn oscilador forcacio corn
amortecimento.
Deduza as Eqs. (10), (11) c (12) para a solucao estado estacionario da Eq. (8).
Deduza a expressao na Eq. (13) para Rk1F„.
(c) Mostre que
e R,„.„ sao dados pelas Eqs. (14) e (15), respectivamente.
14. Encontre a velocidade da resposta estado estacionario dada pcla Eq. (10). Depois mostre quo a velocidade
é maxima quando w = Con.
Encontre a solucao do problema de valor inicial
s"
s = F(t),
s(0) = 0,
s'(0) = 0,
onde
rot,
F(t) =
1n)(27r — 0.
0,
< t < 7r ,
jr < t < 27r,
27r < t.
Sugestao: Trate separadamente cada intervalo de tempo e iguale as solucOes nos intervalos diferentes supondo que s e s' sao funcOes contfnuas de I.
Urn circuito em serie tem um capacitor de 0,25 x 10- s F, um resistor de 5 x 103 S2 e urn indutor de 1 H. A
carga inicial no capacitor é zero. Se uma bateria de 12 volts e conectada ao circuito e o circuito é fechado
168 CAPiTULO TI Ls
em t = 0, determine a carga no capacitor em r = 0,001 s, em t = 0,01 s e em qualquer instante t. Determine,
tamb6m, a carga limite quando t —+ oc.
17. Considere urn sistema vibratOrio descrito pelo problema de valor inicial
s" + a s' + 2s = 2 cos wt,
s (0) = 0, s'(0) = 2.
Determine a parte estado estacionario da solucao deste problem.
Encontre a amplitude A da solucdo estado estacionario cm funcâo de w.
Faca o grafico de A em funcao de w.
Encontre o valor maxim() de A e a frequéncia w onde ele ocorre.
42, 18. Considere o sistema forcado, mas nao amortecido, descrito pelo problema de valor inicial
s" +s = 3 cos wt,
s (0) = 0, s'(0) = 0.
Encontre a solucao s(t) para w 1.
Faca o grafico da solucäo s(t) em fungfto de t para w = 0,7, w = 0.8 e w = 0,9. Descreva como a resposta
s(t) muda quando w varia nesse intervalo. 0 que acontece se w assume valores cada vez mais prOximos
de 1? Note que a frequéncia natural do sistema sem a forca externa 6 0)0 = 1.
42, 19. Considere o sistema vibratOrio descrito pclo problema de valor inicial
s" + s = 3 cos wt,
s (0) = 1, s'(0) = 1.
Encontre a solucäo para w 1.
Faca o grafico da solucao s(1) em funcäo de t para w = 0,7, w= 0,8 e w= 0,9. Compare os resultados corn
os do Problcma 18, ou seja, descreva o efeito das condicaes iniciais nao nulas.
20. Para o problema de valor inicial no Problema 18, faca o grafico de s' em fur-10o de s para w = 0,7. w = 0,8
e w = 0,9. Tal grafico e chamado de retrato (lc fase. Use urn intervalo de tempo suficientemente longo para
que o retrato de fase apareca como uma curva fechada. Coloque setas na sua curva indicando o sent ido de
percurso quando t aumenta.
Os Problemas de 21 a 23 tratam do problema de valor inicial
s" + 0.125s' + 4s = F(t),
s(0) = 2, s'(0) = 0.
Em cada um desses problems:
(a) Faca os graficos da funcäo externa F(t) c da solucäo 0(1) cm funcdo de t usando o mesmo conjunto de eixos.
Use um intervalo de tempo suficicntemente longo para que a soluc'do transiente seja substancialmente
reduzida. Observe a relacão entre a amplitude e a fase da forca externa e a amplitude e a fase da
Note que 0)„ = 071711 = 2.
(h) Faca o retrato de fase da solucäo, ou seja, o grafico de s' em func5o de s.
dp221. F(t) = 3 cost/4)
22. F(t) = 3 cos 2t
402, 23. F(t) = 3 cos 6t
4 • 2, 24. Urn sistema mola-massa com ulna mola dura (Problema 32 da Seca° 3.7) sofre a Kilo de uma forca externa
periOdica. Na auséncia de amortecimento, suponha que o deslocamento da massa satisfaz o problema de
valor inicial
62
s" + s+is 3
cosca„c(0) = 0, s' ( 0 ) . 0.
Seja w= 1 e gere, em um computador, a solucão do problema dado. 0 sistema exibe batimento?
Rica o grafico da solucao para diversos valores de w entre 1/2 e 2. Descreva como a solucão varia
quando w aumenta.
42 25. Suponha que o sistema do Problema 24 6 modificado para incluir amortecimento e que o problema de
valor inicial resultante
s" + s s' + s + -31 s3 = cos wt,
s(0) =
0, s'(0) = 0.
Gem!, em urn computador, o grafico da soluciio do problema dado para diversos valores de w entre 1/2
e 2 e estime a amplitude R da resposta estado estacionario em cada caso.
Usando os dados encontrados em (a), faca o grafico de R em funcao de w. Para que frequacia w a
amplitude 6 maxima?
(c) Compare os resultados dos items (a) c (b) corn os resultados correspondentes para a mola linear.
EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 169
REFEREN CIAS Coddington, E. A., An Introduction to Ordinary Differential Equations (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1961:
New York: Dover, 1989).
Existem muitos livros sobre vibracOes mecilnicas e circuitos eldtricos. Um clue trata de ambos
Close, C. M.. and Frederick,D. K., Modeling andAnalysis of Dynamic Systems (3rd ed.) (NewYork: Wiley, 2001).
Urn livro chissico sobre vibracaes mecanicas
Den Hartog, J. P., Mechanical Vibrations (4th ed.) (New York: McGraw-Hill, 1956; New York: Dover, 1985).
Um livro de nivel intermediario mail recente é
Thomson, W. T. , Theory of Vibrations with Applications (5th ed.) (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-11.111, 1997).
Urn livro elementar sobre circuitos eletricos
Bobrow, L. S., Elementary Linear Circuit Analysis (New York: Oxford University Press, 1996).
CAPiTULO
4
Equacôes Lineares de
Ordem Mais Alta
A estrutura teOrica e os metodos de resolucäo desenvolvidos no capftulo precedente para equocais lineares de segunda ordem podem ser estendidos, cliretamente, para equacOes lineares de terceira ordem e
de ordem mais alta. Neste capitulo, vainos revel- rapidamente essa generalizacao. apontando. em especial,
Os casos particulares em que aparecem fenamenos novos devido a grande variedade de situacoes que
podem ocorrer para equacöes de ordem mais alta.
4.1 Teoria Geral para Equacks Lineares de Ordem n
n
-__ • ___
lima equacilo diferencial linear de ordem it c Lima equacao da forma
(1"y
Po(t)dt"
— + Pl(t)
dt"- I
+
+ P„_ 1 (t)
+ P„(t)y
G(t).
(1)
Supomos que as func Oes
- Po ,
P„ e G siio fungfies reais e con t inuas detinidas em algum intervalo I: a <
< li, e que P„ nunca se anula nesse intervalo. Ent5o. dividindo a Eq. (1) por P„(t), obtemos
cl" y(I"-- I y
(2)
p,,_ (1)— + p,,(t)y = g(t).
/ AA = — + 1)1 (t)
dtn
det-1 • • • +
t
0 operador diferencial linear 1, de ordem n deliniclo pela Eq. (2) é semelhante ao operador de segunda
ordem definiclo no Capitulo 3. A (curia matematica associada a Eq. (2) e inteiramente amiloga a teoria
para equacOes lineares de segunda ordem: por essa razao, apenas enunciaremos os resultados para o
problema de ordem n. As dernonstracOes da maioria dos resultados tambem sac) semelhantes as demonstracOes para as equacOes de segunda ordem e s5o, em geral, deixadas como exercicio.
Como a Eq. (2) envolve a ti-esima derivada de y em relacão a t, serilo necessarias, gross° modo, n integraVies para se resolver a Eq. (2). Cada Lima dessas integracfies vai gerar uma constante arbitraria. Podemos esperar, portanto, que para obter uma Unica solu0o sera preciso especificar n condiceiles iniciais
Y( tO) = yo.
Y(to) = Yo,
yl"
(n-1)
(t„) = yo,
(3)
onde to pode ser qualquer ponto no intervalo 1e y,, ,
y„'^-' e qualquer conjunto dado de constantes
reais. 0 teorema a seguir, semelhante ao Teorema 3.2.1, garante que o problema de valor inicial (2), (3)
tern solucao e que ela e finica.
Teorema 4.1.1
Se as funcOes p,, P2,
p„ e g sdo continuos em um intervalo aberto I, entdo existe exatamente uma
soluciio y = (t) da equaciio diferencial (2) que tambem satisfaz as condicOes iniciais (3). Essa solucdo
existe em todo o intervalo I.
171
172 CAPITULO QUATRO
p„ forem constantes,
Nao demonstraremos esse teorema aqui. No entanto, se os coeficientes p i ,
entao podemos construir a solucao do problema de valor inicial (2), (3) de modo semelhante ao que
fizemos no Capfullo 3: veja as Seciies de 4.2 a 4.4. Embora possamos encontrar a solucao nesse caso, nao
saberemos se ela é Unica se nao usarmos o Teorema 4.1.1. Uma demonstracao desse teorema pode ser
encontrada nos livros de Ince (Seca° 3.32) e de Coddington (Capfullo 6).
A Equacdo Homogenea. Como no problema correspondente de segunda ordem, vamos discutir primeiro
a equacao homogénea
L[y] = y ` " ) + p 1 (t)y(" 1 ) + • + p „ - 1(0.Y' + Pn(r)y = 0.
Se as funcOes y i , y2 ,
(4)
y„ sao solucitles da Eq. (4), segue, por calculo direto, que a combinacao linear
y = ciyi (t) + c 2 y 2 (t) + •
(5)
• + c„y„(t),
sao constantes arbitrarias, e tambem solucao da Eq. (4). E natural, entao, perguntar se todas
onde c1 ,
y„. Isso sera verdade,
as solucEies da Eq. (4) podem ser expressas como uma combinacao linear de y 1 ,
independentemente das condicOes iniciais (3) dadas, se for possivel escolher as constantes
c„ de
modo quc a combinacao linear (5) satisfaca as condicaes iniciais. Especificamente, para qualquer escolha
precisamos ser capazes de determiner c,,
do ponto 1„ em / e para qualquer escolha de yo, yo ',
c„ de modo que as equticaes
ciyi (4))
••
cnyn(to) =
ciy; (to) + • • • + cn.Y;, (to) = A
ClY
( n —1)
(n—h„
( 0)± • • • + cny„
( o) =
t
t
(6)
(11-11
.i
sejam satisfeitas. As Eqs. (6) podem ser resolvidas de mancira Unica para as constantes c 1 ,
c„ desde que
o determinante dos coeficientes nao seja nulo. Por outro lado, se o determinante dos coeficientes for nulo
entao sempre é possfvel escolher valores de yo, yo', ...,y;,"".° de modo que as Eqs. (6) nao tenham solucao.
Portanto, uma conclicao necessaria e suficiente para a existência de uma solucao para as Eqs. (6), para
valores arbitriirios do y„, yo' ,
y;)" .1) . e que o wronskiano
Y1
Y2
'
.)/2
Yt
Yn
(7)
W (Y1 ..... yn) =
(n-1)
-v
(n-1)
Y2
nao se anule em t = t„. Como to pode ser qua quer ponto do intervalo I, a necessario e suficiente quc W(y,,
y 2, ...,y,,) nao se anule em nenhum ponto do intervalo. Do mesmo modo que para equacaes de segunda
y„) ou 6 zero para
y„ sao solucaes da Eq. (4), entao 14/(y,, y2 ,
ordem, pode-se mostrar que, se y 1 , y2 ,
todo t no intervalo I, ou nunca se anula al; veja o Problema 20. Temos, portanto, o seguinte teorema:
Teorema 4.1.2
y„ sao solucOes
Se as funcOes .D D •••,Pn sao contfnuas no intervalo aberto I, se as funcOes y,, y2,
da Eq. (4) e se My l , y2, ..., y„)(t) 0 para, pelo menos, urn ponto t cm 1, entao toda solucao da Eq. (4)
y„.
pode ser expressa como uma combinacao linear das solucOes y,, y2,
Urn conjunto de solucOes V y 2, •••, y„ da Eq. (4) cujo wronskiano nao se anula 6 chamado de conjunto
fundamental de soluciies. A existencia de um conjunto fundamental de solucOes pode ser demonstrada
exatamente da mesma forma que para equacoes 'Meares de segunda ordem (veja oTeorema 3.2.5). Como
todas as soluc O
- es da Eq. (4) sao da forma (5), usamos o termo solucao geral para nos referir a uma combinacao linear arbitraria de qualquer conjunto fundamental de solucties da Eq. (4).
Dependencia e Independencia Lineares. Vamos explorar agora a relacao entre conjuntos fundamentais de
solucnes e o conceito de indepen&ncia linear, uma ideia central no estudo de algebra linear. As fur-10es
EQUACOES LINEARES ut ORL)EM MATS ALTA
173
sac, ditas linearmente dependentes em urn intervalo I se exists urn conjunto de constantes Ic1,
k2 ,
k„, nem todas nulas, tal que
kin(f) + kil2 (t) + • + k nfn( t) —0
para todo t ent I. As fungi:5es
dependentes a(.
EXEMPLO
1
(8)
sac) ditas linearmente independentes em 1 se nao forem linearmente
Determine se as funcOesf,(r) = 1, f2 (t) = t e Pt) = t- sao linearmente independentes ou linearmente dependentes
no intervalo I: —x < t < x.
Forme a combinacao linear
141(1) + k 2.12 (t) + k 3f3 (t) = k, + k 2 t + k3t2
e a iguale a zero para obter
k + k,t + k 3 1 2 = 0.
(9)
Se a Eq. (9) for valida para todo t em I, entao ela certamente sera valida em tres pontos distintos em I. Quaisquer tres pontos servirao para nosso propOsito, mas e conveniente escolher t = 0, t = 1 e t = —I. Calculando a Eq.
(9) em cada um desses pontos, obtemos o sistema de equagOes
= 0,
k i + k 2 + k 3 = 0,
k, — k, + k 3 = 0.
k,
(10)
Da primeira das Eqs. (10) observamos que k, = 0; dais outras duas equagOes segue que k, = k, = 0 tambem.
Entao nao existe conjunto do constantes k,, k,, nem todas nulas, para as quaffs a Eq. (9) seja valida em tres
pontos cscolhidos, muito menos em todo I. Logo as funcOes dadas nao sao linearmente dependentes CM I c,
portanto, tern que ser linearmente independentes. De fato. elas sao linearmente independentes em qualquer
intervalo. Isso pode ser estabelecido como acabamos de fazer, possivelmente usando urn conjunto difcrcnte de
tres pontos.
EXEMPLO
2
Determine se as funcOes f,(t) = 1, f2 (t) = 2 + t, f,(t) = 3 — t= e f,(t) = 4t + t = sao linearmente independentes ou
linearmente dependentes em qualquer intcrvalo /.
Forme a combinacao linear
k, ji(t) + k 2f2 (1) + k 3 f3 (t) + k4f4 (t) = k, + k 2 (2 + t) + k 3 (3 t2 ) + k 4 (41t + (2)
= (k, + 2k 2 + 3k 3 ) + (k, + 41( 4 )t + ( — k 3 + k4)t2.
Essa expressao e nula em todo um intervalo desde que
k, + 2k, + 3k 3 = 0, k 2 + 4k 4 = 0, —k 3 + k 4 = 0.
Essas ties equagOes corn quatro incOgnitas tem muitas solucees. Por exemplo, se k 4 = 1, entao k 3 = 1, k 2 = —4 e
k, = 5. Logo, as funcbes dadas sao linearmente dependentes em qualquer intervalo.
0 conceito de independencia linear fornece uma caracterizacao alternativa do conjunto fundamental
y, sao solucOes da Eq. (4) em urn
de solucOes da equacao homogOnea (4). Suponha que as funcOes y i ,
intervalo I e considere a equacao
k iY (t) + • • • + k„y„(t) = 0.
(12)
Diferenciando repetidamente a Eq. (12), obtemos as n — 1 equacaes
k l y'l (t) + • • • + k„y;,(t) = 0.
(13)
kl
yr i) (t) + • • • + knyLn-1) (t) = 0.
0 sistema consistindo nas Eqs. (12) e (13) é urn sistema de n equagOes algebricas lineares para as n incOgy„.
nitas k l , ..., k n . 0 determinante dos coeficientes desse sistema é o wronskiano W(y,....,y„)(t) de y i ,
Isso nos leva ao teorema a seguir.
174 CAPITULO QUATRO
Teorema 4.1.3
Se y,(t),y,,(t) formam urn conjunto fundamental de soluceoes da Eq. (4)
L[y] = y(" ) + p i (t)y° -1) +
+ p„-t(t )y / + p„(t)y = 0
em urn intervalo I, entao y l (t),
y„(t) sao linearmente independentes em I. Reciprocamente, se y,(t),
y„(t) sac) soluceies da Eq. (4) lincarmente independentes em I, entao elas formam um conjunto fundamental de soluceles em I.
y„(t) seja urn conjunto fundamental de
Para demonstrar esse teorema. suponha primeiro quc y i (t),
y„(t) nä°
solucties da Eq. (4) em I. Entao o wronskiano 11/(y,, ...,y„)(t) r 0 para todo t cm I. Logo y i (t),
•
podem ser lincarmente dependentes cm I e, portanto, tern quc ser linearmente independentes ali.
Para demonstrar a recfproca. scjam y,(t), y„(t) linearmente independentes em I. Para mostrar que
elas formam urn conjunto fundamental de solucOes, precisamos mostrar que seu wronskiano nunca se
anula em I. Suponha que isso nao seja verdade; entao existe pelo menos urn ponto to onde o wronskiano
e nulo. Nesse ponto o sistema (12), (13) tem uma solucao nao nula; vamos denotzi-la por k;,..., k,',. Forme
a combinacao linear
(14)
IcLvi (t) + • • • + k;;y„(t)•
Entao
satisfaz o problema de valor inicial
L[v]
0.
y(to) = 0, y' (to) = 0.
,
y(n-I) (to) = 0.
(15)
A funciio satisfaz a equacilo diferencial porque 6 ulna combinacao linear de solucties; ela satisfaz as
condicepes iniciais porque estas sac) simplesmente as equagOes no sistema (12), (13) calculadas em to. No
entanto, a funcao y(t) = 0 para todo t cm I tambem satisfaz este problema de valor inicial e, pclo Teorema
4.1.1, a solucao 6 Unica. Logo OW = 0 para todo t em I. Em consequencia. y,(t), ...,y„(t) sao linearmente
independentes em I, uma contradicao. Entao a hipOtese de que existe urn ponto onde o wronskiano sc
anula nao a sustenttivel. Portanto, o wronskiano nunca se anula em I, como querfamos demonstrar.
f„ que nao sac) solucaes da Eq. (4), a recfproca no TeoreNote que para um conjunto de funciies f,,
ma 4.1.3 nao é necessariamcntc vercladeira. Elas podem ser linearmente independentes cm I mcsmo que
seu wronskiano sc anule em ikum ponto, ou ate em todos os pontos, mas corn conjuntos diferentes de
constitutes k,,
k„ em pontos diferentes. Veja o Problema 25 para urn exempt°.
A Equaccio Ndo Homogkeo. Considere, agora, a equacao nao homogenca (2)
L[ .v] = y” + p i (t)y°1-1) + • • + p„(t)y = g(t).
Sc Y, e Y, sao duas solucOes quaisquer da Eq. (2), segue imediatamcnte da linearidade do operador L
que
L[Y1 - Yll(t) = L[Y1 1(1) - LEY2 1(t) = g(t) - g(t) = 0.
Portanto, a diferenca entre duas solucOes quaisquer da equacao nao homogenea (2) 6 uma solucao da
equacao homogenea (4). Como qualquer solucao da equacao homogenea pode ser expressa como uma
y„, segue quc qualqucr solucao da
combinacao linear de urn conjunto fundamental de softy-3es y,,
Eq. (2) pode ser escrita nit forma
y = ci y i (I) + cz y 2( t ) + • • • + cn y n(t) + Y(t ),
(16)
onde Ye alguma solucao particular da equacao nä° homogenea (2). A combinacao linear (16) 6 chamada
de solucao geral da equacao nao homogenea (2).
y„ da equacao
Assim, o problem basic() é determinar um conjunto fundamental de solucOes y,, y2,
homogenea (4). Se os coeficientes forem constantes, esse 6 urn problema relativamente simples. Se os
coeficientes nao forem constantes, e nccessario,em geral, usar metodos numericos como os do Capftulo 8
ou metodos de expansao em serie semclhantes aos do Capftulo 5. Esses Illtimos tendem a ficar cada vez
mais complicados quando a ordem da equacao aumenta.
0 metodo de reducao de ordem (Seca° 3.4) tambem se aplica a equitcOes lineares de ordem n. Se
y, 6 uma solucao da Eq. (4), entao a substituicao y = v(t)y,(t) levy a uma equacao diferencial linear de
ordem n - 1 para v' (veja o Problema 26 para o caso n = 3). No entanto, se n > 3, a equacao reduzida 6,
pelo menos, de segunda ordem. e apenas cm casos raros vai ser significativamcnte mais simples do que a
equacao original. Dessa forma, na przitica a reducao de ordem e raramente 661 para equacOes de ordem
maior do que dois.
EQUAC&S LINEARES DE ORDEM MATS ALTA 175
PROBLEMAS
Em cada urn dos Problemas de 1 a 6 determine os intervalos nos quais existem, corn certeza,solucOes.
1. y(4) + 4y"' + 3y = 1
3. 1 ( 1 - 1)y(4) + et)," + 4t2 y = 0
5. (x - 1)y(4) + ( x + 1)y" + (tan x)y = 0
2. ty"' + (sen t)y" + 3y = cos t
4. y" + ty" + t 2 y' + t3y = In t
6. (x2 - 4)y(6> + y"' + 9y + 0
Em cada um dos Problemas de 7 a 10 determine se o conjunto de fungi:5es dado c linearmente dependente ou
linearmente independente. Se for linearmente dependente, encontre uma relacab linear entre os elementos do
conjunto.
fi (t) = 2t 3, f2 (t) = 1 2 +1, f3( t ) = 2r 2 fl (t) = 2t - 3, h(t) = 21 2 + 1, f3( i ) = 3 2 t + t
fl(t) = 2t - 3, f2 (1)= r 2 +1, f3(() = 22 - t, ft(t) = 1 2 r +1
fl (t) = 2t - 3, f2(1) = r 3 + 1. f3 (t) = 2t 2 - r, f4(1) = r 2 + r +
Em cada urn dos Problemas de 11 a 16 verifique que as funcOes dadas sâo soluceles da equacäo diferencial e
determine seu wronskiano.
1, cos t, sen t
y"' + y' = 0:
y"' + y" = 0;
1. t, cos t, sen t
et: e_-1
e -2r
y" + 2y" - y' - 2y = 0:
yo' + 2y". + y" = 0:
to-1
1, t
xy"' - y" = 0;
1. x, .v3
x3 y"' + x2 y" - 2xy' + 2y = 0;
x. x2 , 1/x
Most re que W(5, se& t, cos 2t) = 0 para todo t. Voce pode obter esse resultado sem calcular diretamente o
wronskiano?
Verifique que o operador diferencial definido por
p
LI). 1 = y01) ± (0?
y
é um operador diferencial linear. Ou seja, mostre que
Lic l y, + c 2Y2I = c i LIYI I + c2LlY2I,
onde y, e y, sao funcOes n vexes diferenciaveis e c,, c, silo constantes arbitrarias. Portanto. mostre que se y,,y2,
+ cj„ tambem c solucão dc L[y] = 0.
y„ säo soluccies de L[y] = 0. entao a combinacao linear c,y, +
Seja L o operador diferencial linear definido por
= any"+ a l
+ • • + a„y,
onde a,,, a,, ..., a „ sac) constantes reais.
(a) Encontre L[r].
(h) Encontre L[e].
(c) Determine quatro solucbes da equacäo yo) - 5y" + 4y = 0. Voce acha que essas quatro solucães formam
um conjunto fundamental de solucties? Por que?
Neste problema, mostramos como generalizar o Teorema 3.2.6 (teorema de Abel) para equagOes de ordem
maior. Vamos, primeiro, esbocar o procedimento para a equacao de terceira ordem
+ P MY" +p2(t)y' + p 3 (t)y = 0.
Sejam y„ y, y, solucties dessa equaciio em um intervalo I.
Se W W(y,, y,, y,),mostre que
yt
Y2
Y3
W' = Yi
Y2
Y3
Sugestiio: A derivada de urn determinante 3 x 3 e a soma de tres determinantes 3 x 3 obtidos derivando-se
a primeira, a segunda e a terceira linha, respectivamente.
Substitua yr,
e yr a partir da equacão diferencial; multiplique a primeira linha por p 3 , a segunda
por p2 e some a ultima linha para obter
= -pr(t)W.
176 CAIITULO QUATRO
Mostre que
W(Y1,Y2,Y3)(t) = c exp [-
f (Odd .
pi
Logo, W ou é sempre igual a zero ou nunca é nulo em I.
Generalize esse argumento para a equacão de ordcm n
y(n) + p l (t)y(n-1 ) + • • • + p„ (t)y = 0
y,. Ou seja, estabeleca a formula de Abel
corn solucries y,,
W (Yr, • •
.,y,,)(t) = cexp
[- f p i ( t) dt]
para esse caso.
Para cada urn dos Problemas de 21 a 24 use a fOrmula de Abel (Problema 20) para encontrar o wronskiano de
um conjunto fundamental de solucOes para a equacao diferencial dada.
22. y (4) + y = 0
24. t 2 y (4) + ty"' + y" - 4y = 0
21. y"' + 2y" - y' - 3y = 0
23. ty"' + 2y" - y' + ty = 0
25. (a) Mostre que as funcOesf(t) = t'Itle g(t) = t3 sdolinearmente dependentes em 0 < t < 1 e em -1 < t < 0.
Mostre que f(t) e g(t) sâo lincarmente independentes em -1 < t < 1.
Mostre que W(f, g)(t) e zero para todo t ern -1 < t < 1.
26. Mostre que se y, e uma soluy.lo de
y- + pl(t)y" + p 2( t )y + p3(1)y = 0,
entäo a substituicao y = y,(t)u(t) nos leva a seguinte equacilo de segunda ordem para v':
y i v"' + (3y', + p ( y i )v" +( 3Yi + 2p l y', P2Y1) v ' = 0.
Nos Problemas 27 e 28 use o mOtodo de reducäo de ordem (Problema 26) para resolver a equacao diferencial
dada.
Y, (t) = cr
(2 - t)y"' + (2t - 3)y" - ty' + y = 0, t < 2;
y2 (t) =
(2 (1 + 3)y"' - 3t(t + 2)y" + 6(1 + t)y' - 6y = 0, t > 0;
MO= t2 ,
4.2 Equaciies Homogeneas corn Coeficientes Constantes
Considere a equacäo diferencial linear homogenea de ordem n
L[y]
aoy( " ) + aty(n-1) + • • • +
+ any = 0,
(1)
onde a0. a,, ..., a „ säo constantes reais. Do que sabemos sobre equagOes lineares de segunda ordem corn
coeficientes constantes, é natural esperar que y = e" seja solucão da Eq. (1) para valores apropriados de
r. De fato,
L[ert] = e"(aorn + a i r" -1 + • • • + a„_ i r +a„) = en Z(r)
(2)
Z(r) = aorn + a r" -1 + • • • + a„_ i r + a „.
(3)
para todo r, onde
Para os valores de r tars que Z(r) = 0, segue que L[e] = 0 e y = e" é uma solucao da Eq. (1). 0 polinOmio
Z(r) é chamado de polinOmio caracteristico, e a equacao Z(r) = 0 é a equacao caracteristica da equacao
r„, alguns dos quais podem ser
diferencial (1). Um polinOrnio de grau n tern n zeros,' digamos r,, r2 ,
iguais; podemos, portanto, escrever a equacilo caracteristica na forma
'Uma pergunta que foi importante em matematica durante mais de 200 anos era se toda equacao polinomial tinha pelo
menos uma raiz. A resposta afirmativa a essa pergunta, que é o teorema fundamental da algebra, foi dada por Carl Friedrich
Gauss (1777-1855) em sua dissertacdo de doutorado em 1799, embora sua demonstracao nä° seja rigorosa o suficiente para
os padthes atuais. Diversas outras demonstracaes foram encontradas desde entao, incluindo tres pelo prOprio Gauss. Hoje
em dia, os alunos encontram o teorema fundamental da algebra, muitas vezes, em um primeiro curso de variaveis complexas,
onde pode ser demonstrado como consequencia de algumas propriedades basicas de functies analiticas.
EQUACOES LINE-ARES DE ORDEM MAIS ALTA 177
Z(r) = ao( r — ri)(r — r2) • • (r — r„).
(4)
Raizes Reais e Distintas. Se as raizes da equacäo caracteristica são reais e todas srlo diferentes, entäo
temos n solucOes distintas
er”,
er"' da Eq. (1). Se essas funcOes forem linearmente independentes,
entâo a solucão geral da Eq. (1) é
y
c, er' t +
+ • • • + cn e."` .
Urn modo de estabelecer a independencia linear de e'' `, er",
neira esta esquematizada no Problema 40.
EXEMPLO
(5)
e`^t é calcular seu wronskiano. Outra ma-
Encontre a solucäo geral de
y(4) + _
_ y + 6y = 0.
1
Encontre, tambem, a solucdo que satisfaz as condicOes iniciais
y(0) = 1.
y'(0) = 0,
y"(0) = —2,
y'"(0) = —1
e desenhe seu grafico.
Supondo que y = e", precisamos determinar r resolvendo a equacao polinomial
r4 + r3 — 7 r2 — r + 6 = 0.
As rafzes dessa equacão säo r, = 1,r. = —1, r, = 2 e r, = —3. Portanto, a solucäo geral da Eq. (6) é
y = c l et + c2e' + c3 e2( + c4e-31
As condiciies iniciais (7) exigem que c,,
c, satisfacam as quatro equaceles
CI + c2 ± C3 + Cy = 1,
Ci — C2 + 2C3 —
3C4 = 0,
CI ± C2 + 4C3
9C4 = —2,
(10)
c i — c2— 27c4 = —1.
Resolvendo esse sistema de quatro equacijes algebricas lineares, encontramos
CI = g11 ,
C2 =
5
= 4,
+
— ie2r —
Cy = —
Logo, a solucao do problema de valor inicial e
y=
3
0 grafico da solucão esta ilustrado na Figura 4.2.1.
FIGURA 4.2.1 Solucäo do problema de valor inicial do Exemplo 1.
Como o Exemplo 1 ilustra, o procedimento para resolver uma equacäo diferencial linear de ordem
n corn coeficientes constantes depende da obtencäo das rafzes de uma equacdo polinomial de
ordem n associada. Se forem dadas condicties iniciais, torna-se necessario resolver urn sistema de n equa-
L
cOes algabricas lineares para se determinar os valores apropriados das constantes c,,
Embora cada
178 CAPfTULO QUATRO
uma dessas tarefas se tome calla vez mais complicada a medida que n cresce, elas podem ser feitas, em
geral, sem dificuldades corn uma calculadora ou urn computador.
Para polinOmios de terceiro e quarto graus existem fOrmulas,' analogas a fOrmula para a equacão de
segundo grau, s6 que mais complicadas, que fornecem expressOes exatas para as raizes. Algoritmos para
encontrar raizes estao disponfveis em calculadores cientfficas e computadores. Algumas vezes eles estao
incluldos no programa que resolve equagOes diferenciais, de modo que o processo de fatorar o polinOmio
caracteristico fica escondido e a solucäo da equacdo diferencial e produzida automaticamente.
Se voce tiver que fatorar o polinOmio caracteristico manualmente, eis urn resultado que ajuda as vezes.
Suponha que o polinOmio
(tor" +
+... + a„_ i r + a,, = 0
(12)
tem coeficientes inteiros. Sc r = plq é uma raiz racional. onde p e q nao tern fatores comuns, entao p tem
que ser um fator de a„ e q tern que ser um fator de a„. Por exemplo. na Eq. (8). os fatores de a„ sac) ±1 e
os de a„ sao ±1, ±2, ±3 e ±6. Dessa forma, as Onicas raizes racionais possiveis para essa equacao sac) ±1,
±2, ±3 e ±6. Testando essas raizes possfveis, encontramos que 1, -1, 2 e -3 são raizes de fato. Nesse caso
nao existem outras raizes, ja que o polinOmio tern grau quatro. Se algumas raizes forem irracionais ou
complexes, como é o caso em geral, ent5o esse processo nao vai encontralas, mas pelo menos o grau do
polinOmio pode ser reduzido dividindo-o pclos fatores correspondentes as raizes racionais.
Se as raizes da equacao caracteristica forem reais e distintas, vimos que a solucao geral (5) e, simplesmentc, uma soma de funcOcs exponcnciais. Para valores grandes de t a solucao sera dominada pela
parcela correspondcnte a raiz algebricamente major. Se essa raiz for positiva, as solucOes se tornarao
exponencialmentc ilimitadas, enquanto se a raiz for negativa as solucOes tenderao exponencialmente a
zero. Finalmente, se a major raiz for nula, as solucOes tendert-1"o a uma constante nä° nula quando t se tornar muito grande. E claro que para determinadas condicOcs iniciais os coeficientes da parcela que seria a
dominante podem ser nulos; nesse caso a natureza (la solucao para valores grandes de t sera determinada
pela major raiz presentc na solucAo.
Raizes Complexas. Se a equacao caracteristica liver rains complexes, elas tem que aparecer em pares
a„ sao reais. Desde quc nenhuma raiz se repita, a solucao
conjugados,?, f i1t. ja que os coeficientes au,
geral da Eq. (1) ainda e da forma (4). No entan to, da mesma forma que para equagOes de segunda ordem
e
pela solucOes reais
(Secao 3.3), podemos substituir as solucOes complexas
eA cos pi,
(13)
e sen tit
Dessa forma. mesmo que algumas das raizes da equaobtidas com p as partes real e imaginfiria de
gão caracteristica sejam complexas, ainda é possfvel expressar a soluc5o geral da Eq. (1) como combinacAo linear de solucOes reais.
EXEMPLO
Encontre a solucao geral de
y (41 - v,
2
(14)
0.
Encontre, tambern, a solucão que satisfaz as condicOes iniciais
y(0) = 7/2,
y'(0) = -4,
y"(0) = 5/2,
e desenhe seu grafico.
Substituindo y por e", vemos que a equacao caracteristica é
2 _ 1)(r 1)
r4 _ 1 =
(r
y- (0) = — 2
(15)
0.
Logo, as raizes sac) r = 1,r = - 1,r=ier= -i,e a solucAo geral da Eq. (14)
y = c l e' + c 2e-` + c3 cos t + c4 sen t
'0 metodo para resolver equaceies de terceiro grau foi descoberto, aparentemente, por Scipione dal Ferro (1465-1526) em
torno de 1500, embora tenha sido publicado primeiro cm 1545 por Girolamo Cardano (1501-1576) cm sua obra Ars Magna.
Este livro content. tambem, urn metodo para resolver equagOes de quarta ordem, cuja autoria é atribuida, por Cardano, a seu
aluno Ludovico Ferrari (1522-1565). 0 problema de existencia de formulas anilogas para as raizes de equagOes de ordem
mais alta permaneceu em aberto por mais de dois seculos, ate 1826,quando Niels Abel mostrou que nao podem existir formulas para a soluciio geral de equagOes polinomiais de grau cinco ou major. Uma teoria mais geral foi desenvolvida por Evariste
Galois (1811-1832) em 1831, mas, infelizmente, nao se tornou amplamente conhecida por muitas decadas.
•
EQUACOES LINEAFLES DE ORDEM MATS ALTA 179
Se impusermos as condicaes iniciais (15), encontraremos
c, = 0,
c2 = 3,
c3
= 1/2,
C4 = -1;
assim, a solucilo do problema de valor initial dado é
y=
+ 1 cost - sent.
(16)
O grafico desta solucäo esta ilustrado na Figura 4.2.2.
Observe que as condicOes iniciais (15) fazem corn que o coeficiente c, da parcela exponencial crescente
na solucäo geral seja zero. Essa parcela, portanto, esta ausente na solucäo (16), que descreve urn decaimento
exponencial para uma oscilacäo estacionaria, como mostra a Figura 4.2.2. No entanto, se as condicOes iniciais
forem ligeiramente alteradas ent5o c, não sera, provavelmente, nulo, e a natureza da solucäo vai mudar tremendamente. Por exemplo, se as tres primeiras condicOes iniciais permanecem iguais, mas o valor de y"'(0) muda de
-2 para -15/8, ent5o a solucao do problema de valor Uncial se torna
+ ;cost - ib sent.
+
v=
(17)
Os coeficientes na Eq. (17) diferem pouco dos da Eq. (16). mas a parcela que cresce exponencialmente, mesmo
corn o coeficiente relativamente pequeno 1/32, domina por completo a solucão quando t se torna maior do que,
ou em torno de, 4 ou 5. Isso pode ser visto claramente na Figura 4.2.3, que mostra o grafico das duas solucOes
(16) e (17).
FIGURA 4.2.3 Graficos das soluciies (16)
(curva mais fina) e (17) (curva mais grossa).
FIGURA 4.2.2 Um grafico da solucao
(16).
Raizes Repetidas. Se as rafzes da equacito caracteristica näo forem distintas — ou seja, se algumas das
raizes forem repetidas — ent5o a soluc5o (5) n5o é, obv riamente, a solucao geral da Eq. (1). Lembre-se de
que se r, for uma raiz repetida para a equacao linear de segunda ordem auy" + a,y' + troy = 0, ent5o as duas
solucaes I nearmen te independentes silo e'" e te'''. Para uma equacao de ordem n, se uma raiz de Z(r) = 0,
digamos r = r 1 , tem in tilt iplicidade s (onde s < n), ent5o
t`- ent
eri t , teri t , tzetir,
(18)
sfio as solucOes correspondentes da Eq. (1); veja o Problema 41 para ulna demonstracdo desta afirmacdo.
Se uma raiz complexa + ip aparece repetida s vezes, a raiz complexa conjugada X - ip tambdm
aparece s vezes. Correspondendo a essas 2s solucOes complexas, podemos encontrar 2s solucOes reais
observando que as partes real c ima g_inaria de ei"'",teR'i")1, ...,t`-'e()."'"tamb6m s5o solucOes linearmente
independentes:
e't cos l it,
te" cos p1, text se n it
e" cos pt, i s-l eAt sen t
e'ti senp t,
.. . ,
Portanto, a solucäo geral da Eq. ( 1 ) sempre pode ser expressa como uma combinacäo linear de n solucOes
reais. Considere o exemplo a seguir.
EXEMPLO
Encont re a solucao geral de
y(4) + 2y" + y = O.
3
A equacao caracteristica
r4 + 2r2+
1 = (r2 + 1 )(r2 + 1) = 0.
(19)
9.
180 CAPITULO QUATRO
As raizes säo r = i,i,-i,-i,e a solucAo geral da Eq. (19) 6
y= c, cos t c 2 sent+ c3t cost+c4t sent.
Na determinacAo das raizes de uma equacäo caracteristica pode ser necessario calcular raizes ctibicas,
ou quartas, ou ate mesmo raizes de ordem maior de urn mimero (que pode ser complexo). Em geral, a maneira mais conveniente de fazer isso a usando a fOrmula de Euler e" = cos t + i sen t e as regras algebricas
dadas na Secäo 3.3. Isso esta ilustrado no exemplo a seguir.
EXEM PLO
Encontre a solucäo geral de
y(4)
4
+ y = 0.
A equacdo caracterfstica é
r4= 0.
Para resolver a equacao precisamos encontrar as raizes quartas de -I. Mas, considerado como urn ntImero
complexo,-1 é -1 + Oi.Tem modulo 1 e Angulo polar 7r. EntAo,
-1 = cos 7r + i sen = ea" .
Alem disso, o Angulo esta determinado a menos de urn nniltiplo de 27r. Assim,
-1 = cos(7r + 2m7r) + i sen (n. + 2nur) =
onde m é zero ou qualquer inteiro positivo ou negativo. Logo,
Tr
7r nut
\
1) 1 / 4 = eilnpli-m7/2) = cos (—
—) sen( +
2
2
4
4)
As raizes quartas de -1 sAo obtidas fazcndo-se m = 0, 1, 2 e 3; elas sâo
-1 - i
1-i
1+i
-1 +i
'
4
'
f
•
E fAcil verificar que para qualquer outro valor de in obtemos uma dessas quatro raizes. For exemplo, correspondendo a in 4, obtemos (1 + 0/4. A solucao geral da Eq. (20) é
t
t
t
../2
+ c4sen--t-,.,1
(c1 cos —,„. + sen— + e -114 (c 3 cos
y =
si 2
N/2
Para concluir, observamos que o problema de encontrar todas as raizes de uma equacAo polinomial
pode nä° ser inteiramente filed, mesmo corn a ajuda de urn computador. Por exemplo, pode ser dificil de- t), simplesmente, muito prOximas. Lembre-se de que a forma
terminar se duas raizes sdo iguais ou se est A
da solucAo geral e diferente nesses dois casos.
Se as constantes ao,a,,
a„ na Eq. (1) forem mimeros complexos, a solucdo da Eq. (1) ainda é da forma (4). Nesse caso, no entanto, as raizes da equacäo caracteristica sdo em geral complexas e nä° 6 mais
verdade que o complexo conjugado de uma raiz é tambern raiz. As solucOes correspondences tomarn
valores complexos.
PROBLEMAS
Em cada urn dos Problemas de 1 a 6 expresse o mimero complexo dado na forma R(cos 9 + i sen 9) = Rem.
1. 1 + i
3. -3
5. f —
2. -1 +
4. - i
6. -1 - i
Em cada um dos Problemas de 7 a 10 siga o procedimento ilustrado no Exemplo 4 para determinar as raizes
indicadas do nirmero complexo dado.
(1
01)2
7. 1 08.
10. [2(cos7r/3 + isen 7r/3)] 1/2
11/4
EQUACOES LINEARES DE ORDEN MAIS ALTA 181
Em cada um dos Problemas de 11 a 28 encontre a solucao geral da equacäo diferencial dada.
12. y"' — 3y" + 3y' — y = 0
11. y"' — y" — y' + y = 0
14. y (4) - 4y"' + 4y" = 0
13. 2y"' — 4y" — 2y' + 4y = 0
16. y(4) — 5y" + 4y = 0
15. y(6) + y = 0
),(4)
_
3
)
3/'
—
/6
y
=
0
17.
18. y(6) — y" = 0
20. y(4) - 8y' = 0
19. y (5) — 3/4) + 3y"' — 3y" + 2y' = 0
22. y(4) + 2y" + y = 0
21. y(8) + 8/4) + 16y = 0
23. yy" — 5y" + + y = 0
24. y"' + 5y" + 6y' + 2y = 0
1,), 26. y(4) — 7y"' + 6y" + 30y' — 36y = 0
02, 25. 18y"' + 21y" + 14y' + 4y = 0
4P, 27. 12y4)+ 31y"'+ 75y"+ 37y'+ 5y = 0 442, 28. y(4) + 6/" + 17y" + 22y' + 14y = 0
Em cada um dos Problemas de 29 a 36 encontre a solucäo do problema de valor inicial dado e faca seu grafico.
Como a solucdo se comporta quando t
cc?
2,
0 29. y'" + y 0;
y(0) = 0, /(0) = 1, y"(0) = 2
0.2,30. y(4) + y = 0;
y(0) = 0, y'(0) = 0, y"(0) = —1, y"'(0) = 0
y(1) = —1, y'(1) = 2, y"(1) = 0, y"'(1) = 0
0 31. y(4) — 4y"' + 4y" = 0;
y(0) = 2, y'(0) = —1, y"(0) = —2
02, 32. y"' — y" + y — y = 0;
412, 33. 2/4) — y" — 9y" + 4/ + 4y = 0;
y(0) = —2, y'(0) = 0, y"(0) = —2, y"(o) = 0
•;)34. 4/" + y' + 5y = 0;
y(0) = 2, y'(0) = 1, y"(0) = —1
0,
02, 35. 6y"' + 5/' + y' = 0;
y(0) = —2, y'(0) = 2, y"(0) = 0
y.(0) = 1, y'(0) = —2, y"(0) = 0, y"'(0) = 3
02, 36. /4) + 6y" + 17y" + 22y' + 14y =
2,
Mostre que a solucao geral de / 4 )— y = 0 pode ser escrita como
y=c1 COS! 4- C2 sen t + c3 cosh t + c4 senh t.
Determine a soluczio que satisfaca as condicties iniciais y(0) = 0, y'(0) = 0, y"(0) = 1, y-(0) = 1. Por que
conveniente usar as soluciies cosh t e senh t, em vez de e' e e-s?
Considere a equacTto / 4 ' — y = 0.
Use a formula de Abel [Problema 20(d) da Segfio 4.1] para encontrar o wronskiano de um conjunto
fundamental de solucaes da equacilo dada.
cos t e sen 1.
Determine o wronskiano das solucOes
(c) Determine o wronskiano das solucOes cosh t, senh t, cos t e sen t.
39. Considere o sistema mola-massa ilustrado na Figura 4.2.4, consistindo em duas massas unitarias suspensas
de molas corn constantes 3 e 2, respectivamente. Suponha que nao haja amortecimento no sistema.
(a) Mostre que os deslocamentos u, e u, das massas a partir de suas respectivas posicOes de equilibrio
satisfazem as equacOes
u" + 50 1 = 202,
+ 202 = 2u1.
UT
(i)
FIGURA 4.2.4 Urn sistema corn duas
molas e duas massas.
(b) Resolva a primeira das Eqs. (i) para u, e substitua o resultado na segunda equacdo, obtendo, assim, a
seguinte equacdo de quarta ordem para
144) + 7u' + 6u 1 = 0.
(ii)
182 CAPITULO QUATRO
Encontre a solucao geral da Eq. (ii).
Suponha que as condicOes iniciais sejam
u l (0) = 1,
112(0) = 2,
u1(0) = 0,
u'2(0) = 0.
(iii)
Use a primeira das Eqs. (i) e as conclicOes iniciais (iii) para obter os valores de i1l'(0) e de it,'(0). Depois
mostre que a solucdo da Eq. (ii) que satisfaz as quatro condicOes iniciais em u, é 11 1 (t) = cos t. Mostre que
a solucao correspondente u 2 a u 2 (t) = 2 cos t.
Suponha, agora, que as condicries iniciais sejam
it ) (0) = -2,
112(0) = 1,
it, (0) = 0,
t4(0) = 0.
(iv)
Proceda como no item (c) para mostrar que as solucties correspondentes sac) 11,(t) = -2 cos ../6 t e u2 (t) = cos ,./T)t.
(e) Observe que as solucOes obtidas nos itens (c) e (d) descrevem dois modos de vibracao distintos. No
primeiro, a frequéncia do movimento 6 1 e as duas massas movem-se cm fase, ambas se movendo para
cima ou para baixo. juntas; a segunda massa se move duas vezes mais rdpido do que a primeira. 0 segundo movimento tern frequ'encia f e as massas se movem fora de fase, uma em relacäo a outra, uma
movendo-se para baixo enquanto a outra se move para cima e vice-versa. Nesse modo, a primeira massa
se move duas vezes mais rapid° do que a segunda. Para outras condicaes iniciais que näo säo proporcionais A Eq. (iii) nem a (iv), o movimento das massas e urna combinacao desses dois modos de vibrac5o.
r„ sao reais e distintos, então e'
40. Esquematizamos, neste problema, urn modo de mostrar que, se r,,
e" são linearmente independentes em -x < r < r. Para fazer isso, vamos considerar a relacão linear
c i e r '' + • • • +
= 0,
-oc <t < oo
(i)
e mostrar que todas as constantes sdo nulas.
Multiplique a Eq. (i) pore'' e derive em relac5o a t obtendo, assim.
c2 (r2 -
+ • • • + c„(r„ -
Multiplique o resultado do item (a) por
= 0.
e derive em relac5o a t para obter
c3(r3 - r2 )(r3 - r 1 ( e(r3- " + • • • + c„(r„ - r,)(r„ - rl)e(r"-':" = 0.
Continue o procedimento iniciado nos liens (a) e (b) obtendo, finalmente.
c„(r„ - rn- 1) • • • ( rn - ri)e(r"-r--0 = 0.
Logo, c„ = 0 c, portanto.
c i en' t + • + c„_ I er"-'' = 0.
=
=
Repita o argumento precedente para mostrar que c„., = 0. De maneira andloga, segue que
e"' sac) linearmente independentes.
41. Neste problem indicamos urn modo de mostrar que se r = r, é uma raiz de multiplicidade s do polinOmio
sit° solucOes da Eq. (1). Este problema estende para equagOes de
caracterfstico Z(r), entao
ordem n o metodo para equaceies de segunda ordem dado no Problema 22 da Secäo 3.4. Comecamos da
Eq. (2) no texto
c, = 0. Portanto, as fungi:5es
L[e"I = er: Z(r)
(r)
e diferenciamos repetidas vezes em relacao a r, fazendo r = r, depois de cada diferenciac5o.
Note que se r, e uma raiz de multiplicidade s ent5o Z(r) = (r - r,)'q(r), onde q(r) 6 urn polinOrnio de
Z('-')(r,) s5o todos nulos, mas Z'(r,) * 0.
grau n - s e q(r,) * 0. Mostre que Z(r,), Z' (r,),
Diferenciando a Eq. (i) diversas vezes em relacäo a r, mostre que
— Lie"' = 1
r
e"] = L[terl,
r
as- 1
r s- 1
(c) Mostre que e'", ten'
L[enLie -I err I.
e-1 er" sao solucOes da Eq. (1).
EQUA COES LINEARES DE ORDEM MAIS ALTA
183
4.3 0 Metodo dos Coeficientes Indeterminados
Uma soluc5o particular Y da equacäo linear nao homogenea de ordem n corn coeficientes constantes
L[yl = no? ) + aly ( " -1 ) + • • • + an-tY' + anY g(t)
(1)
pode ser obtida pelo metodo dos coeficientes indeterminados*, desde que g(t) tenha uma forma apropriada. Embora o metodo dos coeficientes indeterminados n5o seja tao geral quanto o metodo de variacão
dos parametros descrito na prOxima seek), e muito mais ficil de usar, em geral, quando aplicavel.
Como no caso de equacOes lineares de segunda ordem, quando o operador diferencial linear corn coeficientes constantes L e aplicado a um polinOmio /1„t"' + A,t"'-' +
+ A„„ a uma func5o exponential
a uma funcao seno sen 8t ou a uma func5o cosseno cos pt. o resultado e urn polinOrnio, uma func5o exPonencial ou uma combinac5o linear de tune 6- es seno e cosseno, respectivamente. Logo, quando g(t) é uma
soma de pohnOrnios, exponenciais, senos e cossenos ou urn produto de tais funcOes, esperamos que seja
possivel encontrar Y(t) atraves de uma escolha conveniente de combinacOes de polinOrnios, exponenciais
etc. multiplicadas por um mimero de constantes indeterminadas. As constantes sao, entao, determinadas
de modo que a Eq. (1) seja satisfeita.
A diferenca principal em utilizar este metodo para equagOes de ordem mais alta vem do fato de que as
rafzes da equacâo polinomial caracteristica podem ter multiplicidade major do que 2. Em consequencia,
pode ser necessario multiplicar as parcelas propostas para a parte näo homogenea da soluedo por potencias mais altas de t de modo a obter funcOes diferentes das correspondentes a solucäo da equacrio homogenea associada. Os prOximos exemplos ilustram isso. Nesses exemplos omitimos muitos passos algebricos diretos. pois nosso objetivo principal t: mostrar como chegar A forma correta da pretensa soluc5o.
EXEMPLO
Encontre a solucäo geral de
y'" - 3y - + 3y' - y = 4e`
1
(2)
0 polinOmio caracterfstico para a equacAo homogenea associada a Eq. (2) e
r 3 - 3r 2 + 3r - 1 = (r - 1)3,
de modo que a soluciio geral da equaeäo homogenea
.Yc( t ) = e' + c2 te` + c3t2e`
(3)
Para encontrar Unlit solucao particular Y(t) da Eq. (2). comecamos supondo que Y(t) = Ae'. No entanto,como
e', ter e l'c' s5o todas solucOes da equac5o homogenea, precisamos multiplicar nossa escolha inicial por t 3. Assim,
nossa hipOtese finale supor que Y(t) = At'e', onde A 6 um coeficiente indeterminado. Para encontrar o valor
correto de A, diferenciamos Y(t) tres vezes, usamos esses resultados para substituir y e suas derivadas na Eq.
(2) e juntamos os termos correspondentes na equaciio resultante. Dessa mancira, obtemos
6tiet =
Portanto,A=iea solucao particular 6
Y(t) = it3e`.
(4)
A soluciio geral da Eq. (2)6 a soma de y,.(t) da Eq. (3) e Y(t) da Eq. (4), ou seja
y = c l ef + c•te`
EXEMPLO
2
c3 t2 e' + 3t3et.
Encontre uma solucao particular da equaciio
y tal + 2y” + y = 3 sen t - 5 cos t.
Vimos, no Exemplo 3 da So
4.2, que a solucao geral da equacäo homogenea é
t:0
Yr(t) = c i cos t + sen t + c3 t cos t + c4 t sent,
correspondendo as rafzes r = i,i,-i,-i da equacäo caracteristica. Nossa hipOtese inicial para uma solucào particular é Y(t) = A sen t + B cos t, mas precisamos multiplicar essa escolha por t2 para torna-la diferente de todas
*Tambem conhecido como metodo dos coeficientes a determinar. (RT.)
184 CAPITULO QUATRO
as solucaes da equacao homogenea. Nossa hipOtese final 6, entao,
Y(t) = A t2 sen t + Bt2 cos t.
A seguir, diferenciamos Y(t) quatro vezes, substituimos na equacao diferencial (4) e juntamos os termos correspondentes, obtendo, finalmente,
Assim, A =
-8A sen t - 8B cos t = 3 sen t - 5 cos t.
= e a solucao particular da Eq. (4) 6
Y(t) = 4 2 sen t + 8
cos t.
(7)
Se g(t) for uma soma de diversas parcelas, 6 mais facil, muitas vezes, calcular separadamente a solucao
particular correspondente a cada parcela que comp& g(t). Como para equagOes de segunda ordem, a
solucao particular do problema completo 6 a soma das solucOes particulares dos problemas componentes.
Isso esta ilustrado no exemplo a seguir.
EXEMPLO
Encontre uma solucao particular de
3
y"' -4y' = t + 3 cos t + e -2`.
(8)
Vamos resolver primciro a equacao homoOnea. A equacao caracteristica e r3 - 4r = 0 e as rafzes sac) 0. ±2;
portanto,
2
Mt) = C1 + c2 e ' + c 3 ePodemos escrever uma solucao particular da Eq. (8) como uma soma das solucaes particulares das equagOes
diferenciais
y'''
= e-2i.
y"' - 4y' = 3cos t,
y'" - 4y' = t,
Nossa escolha inicial para uma solucao particular Y ,(t) da primeira equacao é Ad + A 1 , mas como uma constante e solucao da equacao homogénea, multiplicamos por t. Assim,
Y1(t) = t(Aot + A1).
Para a segunda equacao cscolhemos
2( t ) = B cost + C sen t,
Y
e nao ha necessidade de modificar essa escolha inicial, ja que cos t e sen t nao sac) soluciies da equacao homoganea. Finalmente, para a terceira equacao, como e-"6 uma solucao da equacao homogénea, supomos que
Y3( t )
= Ere-2'
As constantes sao determinadas substituindo-se as escolhas nas equagOes diferenciais individuals; elas sao A, =
- g.1 , A, = 0, B = 0, C = - s e E = 8. Portanto, uma solucao particular da Eq. (8) 6
Y(t) = At2 - S sen t +
.
(9)
Voce deve ter em mente que a quantidade de algebra necessaria para se calcular os coeficientes pode
ser bem grande para equagOes de ordem mais alta, especialmente se o termo nao homogéneo for complicado, ainda que moderadamente. Um sistema de algebra computational pode ser extremamente titil na
execucao desses calculos algthricos.
0 metodo de coeficientes indeterminados pode ser usado sempre que for possivel inferir a forma
correta de Y(t). No entanto, isso a impossivel, em geral, para equagOes diferenciais que nao tern coeficientes constantes ou que contOm termos nao homogeneos diferentes dos descritos anteriormente. Para
problemas mais complicados podemos usar o mOtodo de variacao dos parametros, que sera discutido na
prOxima secao.
EQUACOES LINEARES DE ORDEM MAIS ALTA
PROBLEMAS
185
Em cada um dos Problemas de 1 a 8 determine a solucao geral da equaciio diferencial dada.
1. y" - y" -y'+y= 2e'+3
2. y (4) - y = 3t + cost
4. y"' - y' =2sent
6. y (4) + 2y" + y = 3 + cos 2t
8. y (4) + y" = sen 2t
3. Y" +y"+y' +y=e-'+4t
5. y(4) - 4y" = +
7. y(6) ±
= I
Em cada urn dos Problemas de 9 a 12 encontre a solucao do problema de valor inicial dado. Depois faca um
grafico da
402, 9. y"' + 4y' = t;
y(0) = y'(0) = 0, y"(0) = 1
402, 10. y(4) + 2y" + y = 3t + 4;
y(0) = y'(0) = 0, y"(0) = ym (0) = 1
40?, 11. y" - 3y" + 2y' t + e';
y"(0) = -;
y(0) = 1, y'(0) =
t 12. y (4) + 2y"' + y" + 8y' - 12y = 12 sent - e";
y(0) = 3, y'(0) = 0, y"(0) = -1, y"'(0) = 2
'2
Em cada um dos Problemas de 13 a 18 determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o metodo dos
coeficientes indeterminados. Nao calcule as constantes.
13. y"' - 2y" + y' = t 3 +2e'
15. y(4) - 2y" + y = el + sen t
17. y o) y
y + y=t2 +4+tsent
14. y"' - = te" + 2 cost
16. y(4) + 4y" = sen 2t + + 4
18. y(4) + 2y"' + 2y" =
+ 2te" +
sen t
Considere a equacdo diferencial linear nao homogenea de ordem n
aoy ( " ) +
onde
+ • • • + a„y = g(t),
(i)
...,a„ sac, constantes. Veritique que se g(t) ti n er a forma
e' s (bot"' + • • • + b„,),
então a substituicao y = eq. (t) reduz a Eq. (i) A forma
kol." + k i v ("-1) + • • • + k„ V = bot"' + • • • + b„,,
onde
sac constantes. Determine k„ e k„ em funcAo dos a, e de a. Assim, o problema de determinar
uma solucao particular da equacrlo original é reduzido ao problema mail simples de determinar uma so[KO° particular de uma equagOo corn coeficientes constantes e contendo um polinamio como termo nao
homogeneo.
0 Metodo dos Aniquiladores. Nos Problemas de 20 a 22 consideramos outra maneira de chegar a uma forma
adequada para Y(t) para usar no mótodo dos coeficientes indeterminados. 0 procedimento baseia-se na observacrio de que as funcOes exponenciais, polinomiais ou senoidais (ou somas e produtos de tais funcOes) podem
ser consideradas como solucOes de certas equagOes diferenciais lineares homogeneas corn coeficientes constantes. E conveniente usar o simbolo D para d/dt. EntAo, por exemplo, e" é uma solucão de (D + 1)y = 0: diz-se
que o operador diferencial D 1 aniquila, ou c urn aniquilador de, e-'. Analogamente, D 2 + 4 é urn aniquilador
de sen 2t ou cos 2t, (D - 3)2 = D 2 - 6D + 9 é um aniquilador de e" ou te", e assim por diante.
Mostre que os operadores diferenciais lineares corn coeficientes constantes comutam. Ou seja, mostre
que
(D - a)(D - b)f = (D - b)(D - a)f
quaisquer que sejam a funcâo duas vezes diferenciavel f e as constantes a e b. 0 resultado pode ser imediatamente estendido a qualquer namero finito de fatores.
21. Considere o problema de encontrar a forma da solucao particular Y(t) de
(D - 2)3 (D + 1)Y = 3e2' - to -`,
(i)
onde a expressno a esquerda do sinal de igualdade na equacdo esta escrita de uma forma que corresponde
A fatoracdo do poliaimio caracteristico.
Mostre que D - 2 e (D + 1)2 sao aniquiladores, respectivamente, das parcelas a direita do sinal de
igualdade na Eq. (i) e que o operador composto (D - 2)(D + 1)2 aniquila ambas as parcelas simultaneamente.
Aplique o operador (D - 2)(D + 1)2 a Eq. (i) e use o resultado do Problema 20 para obter
(D - 2)4 (D + 1)3 Y = 0.
(ii)
186 CAPITULO QUATRO
Logo, Y e uma solucao da equacao homog8nea (ii). Resolvendo a Eq. (ii), mostre que
Y(t) = cle.21 + c 2te" + c3t2+ c4t3e" + cse' + c6te-` + c7 t2e-' ,
constantes. ainda indeterminadas.
onde c 1 ,
(c) Note que
te' [2e-21 e sao solucOes da equacao homogOnea associada a Eq. (i): portanto, essas expressaes nao servem para resolver a equacao nao homogaea.Escolha, entao, c,, c2, c3 e cc como zero
na Eq. (iii), de modo que
Y(t)
c4t3
+ c6te-1 + c712e `.
(iv)
Essa é a forma da solucao particular Y da Eq. (i). Os valores dos coeficientes c,, c, e c 7 podem ser encontrados usando-se a Eq. (iv) na (Num* diferencial (i).
Resumo. Suponha que
L(D)y = g(t),
(v)
onde L(D) 6 urn operador diferencial linear corn coeficientes constantes e g(t) e uma soma ou produto de
funcOes exponenciais. polinomiais ou scnoidais. Para encontrar a forma da solucao particular da Eq. (v), voce
pode proceder da seguinte maneira:
Encontre urn operador diferencial ](D) corn coeficientes constantes que aniquila g(t), ou seja, urn operador tal que H(D)g(t) = 0.
Aplique H(D) a Eq. (v), obtendo
H (D)L(D)y = 0,
(vi)
que 6 uma equacao homogenea de ordem maior.
Resolva a Eq. (vi).
Elimine da solucao encontrada em (c) os termos que tambem apareccm na solucao de L(D)y = 0. Os termos restantes constituem a forma correta da solucao particular para a Eq. (v).
22. Use o metodo dos aniquiladores para encontrar a forma de uma solucao particular Y(t) para cada uma das
equagOes nos Problemas de 13 a 18. Nao calcule os coeficientes.
4.4 0 Metodo de Variasao dos Parametros
O metodo de variacao dos parametros para determinar uma solucao particular de uma equacao diferencial linear nao homoOnea de ordem n
Lb') = y (n) + p i(t)y(n-1) +... + p (1)y‘ + p„(1)y g(t)
(1)
6 tuna extensao direta do metodo para equacaes diferenciais de segunda ordem (veja a Seca° 3.6). Como
antes, para se usar o metodo de variacao de parametros a necessario, primeiro, resolver a equacao diferencial homogénea associada. Isso pode ser diffcil, em geral, a menos que os coeficientes sejam constantes. No entanto, o metodo de variacao dos parametros e mais geral do que o metodo de coeficientes
indeterminados, pois nos leva a ulna expressao para a solucao particular para qualquer funcao continua
g, enquanto o metodo dos coeficientes indeterminados fica restrito, na pratica, a uma classe limitada de
funcoes g.
Suponha,entao,que conhecemos um conjunto fundamental de solucOesh,y,,...,y„ da equac5o homogénea. Entao, a solucao geral da equacao homogOnea 6
Yc(t ) = clYi (t) + czYz( t ) + • • • + cnY„(t)•
(2)
0 metodo de variacao dos parâmetros para determinar uma solucao particular da Eq. (1) depende da
II„ tais que Y(t) seja da forma
possibilidade de se determinar n funcOes tr,, 11 2 ,
Y (t ) = u i (t)y (1) + 11 2 (t)y2 (1) + • • + u„(t)y„(1).
(3)
Como precisamos determinar n funcOes, teremos que especificar n condicOes. E claro que uma dessas
que Y satisfaca a Eq. (1). As outras n - 1 condicOes sac) escolltidas de modo a tornar os calculos os mais
simples possfvel. Como nao podemos esperar uma simplificacao na determinacao de Y se tivermos que
resolver equagOes diferenciais de ordem alta para 11,, ..., a„„, 6 natural impor condicties que suprimam as
u„. Da Eq. (3), obtemos
parcelas contendo as derivadas de ordem mais alta de u,,
EQUACOES LINEARES DE ORDEM MAIS ALTA
=
+ /1 2.112' + • • +
+ ( 14'01 1 +
11 2' Y2 + • • +
187
(4)
onde omitimos a variavel independente t, da qual dependem todas as funcOes na Eq. (4). Entao, a primeira condicao que impomos e que
ttlYl + 14y2 + • • • + yi, = 0.
(5)
Continuando esse processo de maneira semelhante ate a derivada n - 1 de Y, obtemos
Y(m) = Ul Yr )
Ii2Y(2m)
m = 0, 1, 2, ... ,n - 1,
linY n(m)
e as n - 1 condicaes seguintes sobre as funcOes it,,
(6)
u„:
di y(i m-1) + u'2.),(27-1) + • • • +
= 0,
m = 1, 2, ... n - 1.
n(7)
A n-esima derivada de Y 6
y(n)
i
(II y ( n)
uny,(In)) + Oily (in-1) +
u/ny,(:1-1)).
(8)
Finalmente, impomos a condicAo que Y tern que ser solucäo da Eq. (1). Usando as derivadas de Y
dadas pelas Eqs. (6) e (8), juntanclo termos semelhantes e usando o fato de quc L[y ; ] = 0 para i = 1, 2, ...,
n, obtemos
(n-1)
11 1Y1
/ (n-1)
+112Y2
(n-1)
• • + U „Y„
= g.
(9)
A Eq. (9), junto corn as n - 1 Eqs. (7), nos da n equagOes al g.,6bricas lineares näo homogeneas simultâneas
para et,, u;,
Y1 111 + Y2 1
6+
• • • + )1„ 11 ;,
y'2 u; + •
+
=
0,
= 0,
+ • • - y;;It„ = 0,
(n-1)
(10)
it i + • • + yǹ" -1) 11'n = g.
0 sistema (10) 6 um sistema algébrico linear para as quantidades desconhecidas u,' ,
u„' . Resolvendo esse sistema e integrando as expressOes resultantes, voce pode obter os coeficientes 1.1 1 ,
u„. Uma
condicäo suficiente para a existacia de uma soluc5o do sistema de Eqs. (10) 6 que o determinante dos
coeficientes nil() seja nulo para cada valor de t. No entanto. o determinante dos coeficientes a exatamente
14/(y,, y2 ,
y„), que nunca se anula, ja que y,,
y„ formam urn conjunto fundamental de soluce5es da
equaciio homogenea. Portanto, 6 possivel determinar 11 1'.
u,;. Usando a regra de Cramer', podemos
escrever a solucao do sistema de Eqs. (10) na forma
,g(t)Wm(t)
w(t)
m = 1,2, ... , n.
( 1 1)
Aqui, W(t) = W(y,, y 2 , ...,y„)(t) e W„, é o determinante obtido de W substituindo-se a nr-esima coluna pela
coluna (0, 0, ..., 0, 1). Corn essa notacdo, uma solucilo particular da Eq. (1) é dada por
y,,(() J r
Y (t) =
m=i
g(s)Wm(s) ds,
W (s)
(12)
onde t„ e arbitririo. Embora o procedimento seja bastante direto, os calculos envolvidos na determinacäo
de Y(t) pela Eq. (12) se tornam cada vez mais complicados quando n aumenta. Em alguns casos, os calculos podem ser urn pouco simplificados usando-se a identidade de Abel (Problema 20 da Secäo 4.1)
W (t) = W (y i ,
, y„)(t)
c exp [- f p i ( t) dd.
A constante c pode ser determinada calculando-se 14/ ern algum ponto conveniente.
3 0 credit° da regra de Cramer e dado a Gabriel Cramer (1704-1752). professor na Academia de Calvin em Genebra, que
publicou a regra em uma forma geral (mas sem demonstracao) em 1750. Para sistemas pequenos, o resultado já era conhecido
antes.
188 CANTULO QUATRO
EXEMPLO
Sabendo que y,(t) = e', y2(t) = e y3(t) = e-' sdo solucties da equacao homogenea associada a
+
y = g
1
determine uma solucao particular da Eq. (13) como uma integral.
Usaremos a Eq. (12). Ern primeiro lugar, temos
te`
W (t) = W (e` , ,e-1 )(1) = e` (t + 1)e' —
e` (t + 2)e'
Fatorando e' das dual primeiras colunas e e-' da terceira coluna, obtemos
1
1
t
W (t) = e` 1
t+1
—1
t+2
1
Subtraindo, entao, a primeira linha da segunda e da terceira, temos
t
1
1
1 —2
W (t) = e` 0
2
0
0
Finalmente, calculando este ultimo determinante expindindo em relacâo a primeira coluna, vemos que
1
W (t) = 4e`.
A seguir,
W1 (t) =
re'
(t + 1)e'
(t + 2)e'
0
1
Expandindo cm relacdo a primeira coluna, obtemos
te!
(t + 1)e'
W, (t)
= —2t — 1.
De maneira andloga,
0
0
1
e-
ter
(t
1)e'
+ 2)e'
0
e'
W2(t) = a!
e`
a'
W3(t) =
e`
= —
e`
e`
a'
e`
0
1
e-t
—
= 2,
te'
= e21 .
(t + 1)e'
Substituindo esses resultados na Eq. (12), temos
Y (t) = a`
fp, g(s)( —1 — 2s)
4e
cis + fr.'
i ' g(s) (2)
.1,0
4e'
ds + e-'
g(s)e2s
ds
fl: 4es
= -I- f1 le's [-1 + 2(t — s)] + e-('-') } g(s) ds .
4 4)
PROBLEMAS
Em cada um dos Problemas de 1 a 6 use o mOtodo de variacào dos pardmetros para determinar a solucão geral
da equacAo diferencial dada.
2. y"' — y' = t
—n/2 <t < 7r/2
4. y"' + y' = sec t,
sen
t
+
2y"
+
y
=
t
6.
y(4)
5. y"' — y" + y' — y = ` sen
1. yy" + y' = tan t ,
0< t <
3.
2y, y 4. 2y el/
y
EQUACOES LINEARES DE ORDEM MAIS ALTA
189
Em cada urn dos Problemas 7 e 8 encontre a solucao geral da equacào diferencial dada. Deixe sua resposta em
funcao de uma ou mais integrais.
—7/2 <t < 7r/2
y" — y" + y' — y = sec t,
y" — y' = csc t,
0 < t < 7r
Em cada um dos Problemas de 9 a 12 encontre a solucao do problema de valor inicial dado. Depois fa4a urn
grafico da solucao.
y(0) = 2, y'(0) = 1, y"(0) = — 2
9. y"'" + y' = sect;
0-2, 10. y(4) + 2y" + y sen t;
y(0) = 2, Y(0) = 0, Y'(0) = — 1. y'"(0) = 1
?, 11. y" . — y" + y' — y = sec t;
r, 12. y— — y = csc t;
d
y.(0) = 2, y'(0) = —1, y"(0) = 1
y(7/2) = 2, y'(r/2) = 1, y"(rr/2) = —1
Dado que x, x 2 e 1/x sao solucães da equacâo homogaea associada a
x3y", + x 2y" — 2ry' + 2y = 2.v 4 .
x > 0,
determine uma solucäo particular.
Encontre uma formula envolvendo integrals para uma solucäo particular da equaciio diferencial
y ." — y" + — y = g(t).
Encontre uma formula envolvendo integrais para uma solucao particular da equacao diferencial
y14)
y = g (f ).
Sttgestän: as funcOes sen t, cos I. senh t e cosh t formam urn conjunto funda mental de solucties para a equacao homogénea.
Encontre uma fOrmula envolvendo integrais para uma solucao particular da equacao diferencial
— 3y" + 3y' — y = g(t).
Se g(t) r'-e', determine Y(t).
17. Encontrc uma fOrmula envolvendo integrais para uma solucao particular da equacao diferencial
x3y"' - 3x2 " + 6xy' — 6y = g(x),
x > 0.
Sugestuo: verifique que .r, x' e x3 sao solucaes da equa45o homogenea.
REFER È. NCIAS Coddington, E. A., An Introduction to Ordinary Differential Equations (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. 1961;
New York: Dover, 1989).
Ince. E. L., Ordinary Differential Equations (London: Longmans. Green, 1927: NewYork: Dover, 1953).
CANTULO
-.
312==—/r^^-,n-
5
SolucOes em Serie para
EquacOes Lineares de
Segunda Ordem
Encontrar a solucao geral de uma equaciio diferencial linear depende da determinaciio de um conjunto
fundamental de solucOes da equac5o homogenea. Ate agora so vimos um procedimento sistematico para
a construc5o de solucOes fundamentals no caso de coeficientes constantes. Para tratar a classe muito
major de equac Oes
com coeficientes variziveis é necessario estender nossa procura de solucOes alem das
funciies elementares usuais do Calculo. A ferramenta principal de que precisamos é a representacao de
uma Iuncao dada em serie de potencias. A ideia basica e semelhante ao metodo dos coeficientes indeterminados: supomos que a solucäo de uma equacäo diferencial dada tem'expansäo em set-ie de potencias e,
depois, tentamos determinar os coeficientes de modo a satisfazer a equacdo diferencial.
5.1 Revisdo de Series de Potencias
Neste capitulo vamos discutir a utilizaciio de series de poténcias para construir conjuntos fundamentals
de solucOes para equaeties diferenciais lineares de segunda ordem cujos coeficientes sao tune 6- es da
independente. Comecamos resumindo, muito rapidamente, os resultados pertinentes sobre series
de potencias que precisaremos. Os leitores familiarizados corn series de potencias podem it diretamente
para a Se:0o 5.2. Os que precisarem de mais detalhes do que os contidos aqui devem consultar um livro
de Calculo.
Uma serie de potencias
E a„(x — x0 )" converge em um ponto x se
n=0
lim Ea,,(x — xor
"—X
n=0
existe para esse x. A serie certamente converge cm x = x 0 ; pode convergir em todox ou pode convergir para
alguns valores de x e nao convergir para outros.
A serie a„(x — x0 )" converge absolutamente em urn ponto x se a serie
E
n=0
00
Ei a„(x — xo)"I = E Ian lix —
n=0
X0In
n=0
converge. Pode-se mostrar que se a serie converge absolutamente, entao cla converge; no entanto, a reelproca n5- o 6 necessariamente verdadeira.
3. Um dos testes mais titeis para a convergencia absoluta de uma serie de potencias e o teste da raz5o. Se a„
# 0 e se, para urn valor fixo de x,
191
192 CAPITULO CINCO
lim
an+1 (x - xo)n +l
a„+1
=Ix-x0l lrm
a,,(x - x0)"
11—•
an
= Ix - xolL,
entäo a serie de potencias converge abso utamente naquele valor de x se lx - x,,IL < 1 e diverge se
Ix - xolL > 1. Se Ix -.inl = 1/L, o teste nao 6 conclusivo.
Para quais valores de x a serie de potencias
EXEMPLO
00
E(-1)n+I n(x - 2)"
1
n=1
converge?
Vamos usar o teste da razdo para testar a convergencia. Temos
(-1)"+2 (n + 1)(x - 2)n +1
=
n—• 00
(-1r I n(r - 2)"
2111—.0C
lim
lim
n+1
n
= Ix -
De acordo corn o item 3, a serie converge absolutamente para Ix - 21 < 1, ou 1 < x < 3. e diverge para Ix - 21 > 1.
Os valores de x para os quais lx - 21 = 1 sit° x 1 e .v = 3. A serie diverge para cada um desses valores de x, ja
que o n-esimo termo da serie nao tende a zero quando n ->
Se a serie de potencias E €7,,(x - x0)" converge em x = x,. entiio ela converge absolutamente para Ix -x„1 <
n=0
t -x„1; e se cla diverge em x = x,, entao diverge para Ix - x„I > Ix, Existe um mimero nao negativo p, chamado de raio de convergencia, tal que E a,,(x - x0 )” converge abson-,0
lutamente para Ix - x„I < p e diverge para Ix - x„I > p. Para uma serie que converge apenas em x,,,definimos
p como zero: para urna serie que converge em todo x, dizemos que p e intinito. Se p> 0,o intervalo lx -x„1 <
p 6 chamado de interval() de convergencia:e indicado pelo trecho hachurado na Figura 5.1.1. A serie pode
convergir ou divergir quando
= p.
Ix
A serie
diverge
A serie
converge
absolutamente
I
X0 —
A serie
diverge
Xo + p
xo
p
x
/
A serie pode
convergir ou divergir
FIGURA 5.1.1 0 intervalo de convergencia de tuna serie de potencias.
EXEMPLO
Determine o raio de convergencia da serie de potencias
2
E
(x+1)n
n2”
n-1
Vamos aplicar o teste da razzio:
lirn
/I
(x + 1)" 4-1n2”
1)24+1 (x + 1)"
Ix +
2
(n
lim -n
/1—.0c
n
1
Ix + 11
2
Assim, a serie converge absolutamente para Ix + 1I < 2, ou -3 <x < 1, e diverge para Ix + 11 > 2. 0 raio de convergencia da serie de potencias e p = 2. Finalmente, vamos verificar os extremos do intervalo de convergencia.
Em x = 1, a serie 6 a serie harmtinica
,
1
n=1
que diverge. Em x = -3, temos
(—on
(-3 + 1)" =
n=1
n2"
n=1
SOLUCOES EM SERIE. PARA EQUACOES LIM:ARES DE SEGUNDA °RUM 193
que converge, mas nä° converge absolutamente. Dizemos que a set-le converge condicionalmente em x = -3.
Para resumir, a serie de potencias dada converge para -3 < x < 1 e diverge caso contrario. Ela converge absolutamente em -3 < x < 1 e tern raio de convergencia 2.
DO
Suponha que E a „(x - x0)" e E bn(x — xo)" convergem para f(x) e g(x), respectivamcnte, para Ix
n=0
-x01 < p, p > 0. n=°
As series podem ser somadas ou subtraidas termo a termo c
00
f (x) ± g(x) = Dan bn)(x - xOn;
r1=0
a serie resultante converge pelo menos para Ix -x„1 < p.
As series podem ser multiplicadas formalmente e
[
f (x)g(x) = E a„(r - x0)"
b„(x - A- 0 )"1 = E c„Cr - x0)",
n-0
n=0
onde c„ = a„b„ + a,b,, , +
+ (1,,b„. A serie resultante converge para pelo menos Lr -s„1 < p. Alem disso, s‘:
g(x„) * 0, as series podem ser formalmente divididas e
f (x)
.E d„(x - x0)".
g(x) n=o
Na maioria dos casos, os coeticientes d„ podem ser obtidos mais facilmcnte igualando-se os coelicientes
correspondentes na relacäo equivalente
11„(X — x0)" = f E dn (x-x0 )" 1
E bn(x - x())"
E
n=0
n=0
n=0
kbn-k
=
— X0 r •
n=0 k=0
No caso da divisAo,o raio de convergencia da serie de potencias resultante pode ser menor do que p.
A funcaofe continua e tern derivadas de todas as ordens para lx - x ol < p. Alem disso,f ',f".... podem ser
calculadas derivando-se a serie termo a termo, ou seja,
f
al + 2a2 (x - x0) + • • • + na„(x - xo)" + • • •
= E na,,(x - xo)n-1,
f (X )
= 2a2 + 6a3 (x - xo) + • • + n(n - 1)an(x - x 0 ) n-2 + • • •
= E n(n - 1)agx - X0)"
n=2
e assim por diante, e cada uma dessas series converge absolutamente no intervalo Lv - x 0I < p.
0 valor de a" e dado por
a„ -
f() (x0)
n!
A serie e chamada de serie de Taylor' para a func5o f ern torno de x = xo.
> a„(x - xo)" = n=0
E bn(x - x0 )" para todo x em algum intervalo centrado em x o, entdo
n=0
- a, 0, 1,2,3, ... Em particular, se E an (x - x0 )" = 0 para todo x, entdo a„ - a, n=0
x
10. Sc
00
a, = b„ para n =
0.
'Brook Taylor (1685-1731) foi o matematico inglês mais importante da geracao seguinte a de Newton. Em 1715, publicou
uma verso geral do teorema de expansao que leva scu nome, urn resultado fundamental em todos os ramos da analise. Foi,
tambem, um dos fundadores do calculo de diferencas tinitas e o primeiro a recorthecer a existéncia de solucees singulares de
equacOes diferenciais.
194 CAPITULO CINCO
Uma funcdof que tern uma expansito em serie de Taylor em torno de x = xo
f (x) =
f (n) (4) (x - xo)"
it=o
com raio de convergencia p> 0 c dita analitica em x = x o .Todas as funcOes usuais do Cdlculo sato analfticas,
talvez corn a excecdo de alguns pontos facilmente reconhecfveis. For exemplo, sen x e e' sao analfticas em
todos os pontos, 1/x é analftica exceto em x 0 e tan x e analitica exceto em mdltiplos Impares de rri2. De
acordo corn as afirmacOes 6 e 7, se f e g forem analfticas em .v o , entâo f g, f • g e fig [desde que g(x0)
0] tambem serdo analfticas em = .vo.
Deslocamento do indice de SomatOrio. 0 Indice de somatOrio em uma serie infinita a uma variavel muda,
da mesma forma que a variavel de integracOo cm uma integral definida é uma variavel muda. Logo, nOo
importa a letra usada para o Indice de urn somatOrio. For exemplo,
•
•
21x/
2"x"
=E
E
j=0
n=0
Da mesma forma que podemos mudar a variavel de integracao em uma integral definida,e convcniente fazer mudancas no fndice de somatOrio ao se calcular solucaes em serie para equagOes diferenciais.
Vamos ilustrar atraves de diversos exemplos como mudar o indice de somatOrio.
EXEMPLO
Escreva E anx" como uma serie cujo primeiro termo corresponde a n = 0, em vez de n = 2.
n=2
3
Seja in = n - 2; então n = in + 2 e n = 2 corresponde a = 0. Logo.
(1)
E a n xn = E a,„
m
n=2
Escrevendo alguns termos iniciais de cada uma dessas series pode-se veriticar que elas content precisamcnte
os mesmos termos. Finalmente, na serie a direita do sinal de igualdade na Eq. (1) podemos substituir a variavel
muda in por n, obtendo
E anx„E
f2f+2.
(2)
n=0
n=2
De fato, deslocamos o indice de 2 para cima e compensamos comecando a contar 2 nfveis mais baixos do que
originalmente.
EXEMPLO
Escreva a serie
+ 2)(n + pa„(x - xo)" 2
4
(3)
n=2
como uma serie cujo termo geral envolve (x - x„)", em vez de (.v - x„)"-2.
Novamente, deslocamos o fndice de somatOrio por 2. de modo que n c substituldo por + 2 e comecamos a
contar de 2 unidades abaixo. Obtemos
(n + 4)(n + 3)a ,i+2(x - xo)".
(4)
Voce pode verificar facilmente que os termos nas series (3) e (4) sat, exatamente os mesmos.
EXEMPLO
5
Escreva a expressfio
x2 E (r + n)a,,,e+n-1
(5)
n.0
como uma serie cujo termo geral envolve x'*".
Coloque, primeiro, x' dentro do somatOrio, obtendo
00
E(r n)aax""1-1.
n=0
(6)
SowcOes EM SERIE PAM EQuAcOrs LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 195
A seguir, mude o Indite do somatOrio por 1 e comece a contar 1 acima. Assim,
E(r + n)a„xr±n+1 =
(r + n — 1 ) ar 'n •
n=0
(7)
n.1
Novamente, voce pode verificar que as duas series na Eq. (7) sac) idE. 'nticas e que ambas sao exatamente iguais
a expressao em (5).
EXEMPLO
Suponha que
6
Enanx"-I =
E
a ,x"
(8)
n=0
n=1
para todo x, e determine o clue isso implica sobre os coeficientes a,,.
Queremos usar a afirmacâo 10 para igualar os coeficientes correspondentes nas duas series. Para lazer isso
precisamos, primciro. escrever a Eq. (8) de modo que as duas series tenham a mesma potencia de .r cm sews
termos gerais. Por exemplo, podemos substituir n por n + 1 na serie a esquerda do sinal do io.ualdade na Eq. (8)
e comecar a contar de 1 a menos. Assim, a Eq. (8) fica
E
(n + 1)an+
=
En •
(9)
a xn
n=0
n=0
De acordo coin a afirmacao 10, podemos concluir que
n = 0. 1. 2, 3, ...
(n + 1 )a„,. 1 = a„,
OU
a„
an+1 —n +
(10)
n = 0,1,2,3
1'
Logo, escolhendo valores sucessivos de n na Eq. (10), temos
ao
C(1
a• = — =
a 1 = (10,
2
2
e assim por diante. Em geral.
ao
a3
a2
3
=
a0
3!
(11)
n = 1,2,3
a„ = —j
n!
a relacao (8) determina todos os coeficientes a seguir em funcao de ao. Finalmente, usando os coeftcientes dados pela Eq. (11), ohtemos
E
an.v" = ao
n
E
n=o
x'
n!
aoe',
onde seguimos a convencao usual dc clue 0! = 1.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de I a 8, determine o raio de convergéncia da serie de potencias dada.
,.:
'x'. n
2. E
E(v— 3)"
x''
=0
n=0 2"
=x2"
E ___
,
E 2"x"
n.0 n!
n=0
= (2x 4- I)"
5. n_
E.
n2
7. E
— O n /1 2 (X + 2)"
n=1
3n
r.50
6.
(x —
n
n=1
8. E
zo)11
n!x"
n=1
n
Fm cada um dos Problemas de 9 a 16, determine a serie de Taylor da funcao dada em torno do ponto x„. Determine, tambem, o raio de convergéncia da serie.
X0 = 0
9. senx,
X0 = 0
x0 = —1
x,
=I
13. 111x,
xo = 1
8 x xo = 0
1
xo = 0
x0= 2
196 CAPITULO CINCO
00
calcule v' e ) e escreva os quatro priineiros telanos de cada uma das series, assim
E
Dado que y
como o coeficiente de x" no termo geral.
Dado que y = E a„x", calcule v' e y" e escreva os quatro primeiros terms de cada uma das series, assim
n=0
como o coeficiente de x" no termo geral. Mostre que se y" = y, entao os coeficientes a„ e a, silo arbitrzirios;
determine a, e a, em funk* de a„ e a,. Mostre que a„,, = a„l(n + 2)(n + I), n = 0.1,2,3, ....
Em cada um dos Problemas 19 e 20. veritique a equacao dada.
CO
OC
n=0
n=1
E a„(x — 1)" +1 = E a„_ 1 (x — 1)"
E ak+ ,? + E akxk ' l = a l + E(ak.,1 + ak-Oxk
k=o
k
1(.0
Em cada um dos Problemas de 21 a 27, escreva a expresso dada coma uma serie cujo termo geral envolve x".
00
gE a„x"' 2
E n(n — 1)a„.r" 2
n -0
co
0 (1 — .v 2 ) E n(n — 1)a„x"-2
,i.2
oc
23. x E na„x"-- I + E akx'
k=0
x
00
00
m=2
00
26. E 110 „X" -I +x E anxn
25. E mon — i )a,„x"' -2 +x E kak xk - 1
n=0
n=1
A =:
Ca;
— 1)a„x" -2E a„x"
n-O
28. Determine a,, de mod() que a equacao
E
n.2
Ena„x" -I 4- 2
E a„x" = 0
li=0
seja satisleitit.Tente identiticar a Itincilo representada pela sem E a„.v".
n
5.2 Soluciies em Serie Perto de um Ponto Ordinario, Parte I
•
No Capit Lilo 3 descrevemos maodos para resolver equagOes diferenciais lineares de segunda ordem corn
coeficientes constantes. Vamos considerar, agora, m6tados para resolver equagOes lineares de segunda ordem quando as coeficientes saolunciies da variavel inclependente. Neste capitulo denotaremos a variavel
indepenclente par .v. Basta considerar a equacao homogenea
P(x)
dX2
+ Q(x)
dy
(Ix
+ R(x)y 0,
(1)
ja que o procedimento para a equacao mu) hamogenea associada e semelhante.
Nluitos problem as em fisica matematica levam a equaciies da forma (1) corn coeficientes polinomiais;
exemplos incluem a equac5° de Besse'
x 2 y, Ay, + ( x 2 —v2)y = 0 ,
onde v 6 uma constante, e a equac5o de Legendre,
(1 — x2 )y" — 2.ry' a(a + 1)y = 0,
onde a 6 constante. Por essa raz5o. assim como para simplificar os calculos algebricos, vamos considerar
principalmente o caso em que as funcaes P, Q e R s5o palinOmios. No entanto, como veremos, o mdtodo
de solucii° tambem 6 apliezivel quando P, Q e R sat.) funcOes analiticas genericas.
Por cnquanto, entdo, vamos super que I', Q e R sao polinOmias e que nao tem fatores comuns.Suponha. tain1)6m, que queremos resolver a Eq. (1) em uma vizinlianca de um ponto x„. A solucao da Eq. (I)
em urn intervalo contendo x„ esta intimamente associada ao comportamento de P nesse intervalo.
Um ponto x0 no qual P(x„) * 0 6 chamado de ponto ordimirio. Como P é continuo, segue que existe
um interval() em torso de x 0 no qual P(x) nunca se anula. Nesse intervalo, podemos dividir a Eq. (I) por
ITO para obtcr
S O LLI COES EM SERIE PAM EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 197
(2)
y" P(x)Y1 + q (x)y 0,
onde p(x) Q(x)I P(x) e q(x) = R(x)/P(x) sac) func O
- es continual. Logo, pelo Teorema 3.2.1 de existencia
e unicidade existe uma tinica solucao da Eq. (1) nesse interval° que tamhem satisfaz as condicaes iniciais
Y(-vo) = Yo,Y( x0) = y,' para valores arbitrdrios de yo e Nesta e na prOxima seciio vamos discutir solucOes
da Eq. ( 1 ) na vizinhanca de um ponto ordinario.
Por outro lado, se P(.v,,) = 0, enta° (5. chamado de ponto singular da Eq. (1 ). Nesse caso, pelo menos
um entre Q(.v„) e R(x„) é diferente de zero. Em consequencia, pelo menos urn dos coeficientes p e q na Eq.
(2) torna-se ilimitado quando x —> x, e, portant°. o Teorema 3.2.1 nao se aplica nesse caso. As Secties de
5.4 a 5.7 tratam do problema de encontrar solucOes da Eq. (1) na vizinhanca de trio ponto singular.
Vamos comecar o prohletna de resolver a Eq. (1) em uma vizinhanca de um ponto ordindrio x„. Procuramos solucOes da forma
y au a i (x — xu) + • • + an
— xor ± • • • = E a„(x— xo)n
(3)
c supomos que a serie converge no intervalo Ix —
< p para alpm p > 0. Enquanto, a primeira vista,
pode nao parecer atraente procurar uma solucão em forma de serie de potencias. essa e. de fato, uma
forma conveniente e titil para uma solucao. Dentro de scu intervalo de convergencia, series de potencias
se comportam de maneira muito semelhante a polinOmios e silo facets de manipular tanto analitica quarto numericamente. De fato, mesmo se obtivermos uma solucao em termos de fur-10es elementares, tais
como funcOes exponenciais on trigonomëtricas, precisaremos, provavelmente. dc uma serie de potencias
ou expressao equivalente se quisermos calculi-la numericamente ou desenhar sett gi
0 modo mars prAtico do determinar os coeficientes a„ e substituir a serie (3) e suns dcrivadas por y, y'
e y" na Eq. ( I). Os exeinplos a seguir ilustram esse processo. As operaceies envolvidas nos procedimentos,
com p a diferenciac5o, s5o just ificaveis desde que permanecamos no intervalo de convergencia. As equacOes di fe renciais nesses exemplos tambem tem tuna importancia consideravel por si mesmas.
EXEMPLO
Encont re uma soluciio cm serie para a equac5o
y" + y =
1
0,
(4)
—00 < X < 00.
Como sabemos, um conjunto fundamental de solucOes para essa equacdo C. compost° por sen .v e cos v. de modo
que os metodos de expansAo em serie nao sao necessarios para resolver essa equacao. No entanto.esse exemplo
ilustra o use de series de potencias em urn caso relativamente simples. Para a Eq. (4). Po ) = 1. Q(x) = 0 c
R(x) = I, logo todo ponto c um ponto ordinario.
Vamos procurar tuna solucao em forma de serie de potencias em torno de x o = 0
y ao + a l x + a 2 .v2 + • • + anx" + • • • = E a n X"
(5)
e supor que a serie converge em algum intervalo tvl < p. Diferenciando a Eq. (5) termo a termo, °Memos
= a I + 2a 2 x + • • • + na„x" e + • • = E na„x'",
(6)
n=1
nc
y" = 2a2 + • • • + (11 — 1 )00'2 + • • • = E n(n — 1 )a„x" .
(7)
n=2
Substituindo y e y" pclas series (5) e (7) na Eq. (4) fornece
a„„n = 0.
E n(n — 1 )anx" 2 E
n =„
+
Para combinar as duas series precisamos reescrever pelo menos uma delas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral. Assim. mudamos o Indice do somatOrio na primeira serie subst it tiindo n por n + 2 e cornecando
a soma em 0 em vez de 2. Obtemos
>(n + 2)(n + 1) an+2 xn +
E a•:" = 0
n =0
n=0
ou
E [(n +2)(n + 1)ani.2
n=0
+
x" = 0.
198 CAPITULO CINCO
Para que essa equacao seja satisfeita para todo x e preciso que o coeficiente de cada potencia de seja nulo;
logo. podemos concluir que
n = 0,1,2,3 .....
a„ = 0.
(n + 2)(n + 1)a„, 2
(8)
A Eq. (8) e conhecida como uma relac5o de recurrencia. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados
um a um escrevendo-se a relaciio de recorrencia primeiro para n = 0, depois para n = 1 e assim por diante.
Neste exemplo, a Eq. (8) relaciona cada coeficiente corn o que esta dois antes dole. Assim, os coeficientes corn
indices pares (a„, a„ a,, ...) e os corn indices impares (a 1 , a,, a5, ...) são determinados separadamente. Para os
pares, temos
a2
a0
aoao
ao
=
,a4 = —
= +- ,
a6= - 6
-5 = 6!
a2 = —
4!
4 • 3
2!
2•1
Esses resultados sugerem que. em geral, se n = 2k, ent5o
(-1)k
k = 1,2,3 .....
ao,
(9)
a„ = azk =
(2k)!
Podemos provar a Eq. (9) por inducäo maternatica. Observe, primeiro, que ela é valida para k = 1. A seguir,
suponha que e valida para urn valor arbitrario de k e considere o caso k + 1. Temos
a
2k+2 — —
(_1)k+1
k
a2k
(-1)
2k + 2)(2k + 1)
(2k + 2)(2k + 1)(2k)!
no —
(2k + 2)! au.
Portanto, a Eq. (9) tambem é verdadeira para k + 1 e, em consequencia, d verdadeira para todos Os inteiros
positivos k.
Analogamente, para os coeficientes con) indices impares.
a,
( _ 1) k
a„ = a2k+I
(2k + 1)!
Substituindo esses coeficientes na Eq. (5). temos
a0 ,a,
—
v = a0 + n i x —
•
!3!
±•
+
(2n)!
X
2!
2
= ao [1 — — +
[x
+
3!
X4
4!
x
1
+
7!
(10)
aoaSrls
x.
A" +
!
iral x n i-I -1- • • •
(2n + 1)!
+
X5
X3
k= 1,2 3
al,
2„
+
7•6
5!
5•4
3!
2•3
e, em geral, se n = 2k I . ent5o:
al
a5
a7 = — — = — --
a3
at
a5 = — — = + — ,
at
(-1)!n X 2n + • • •1
(2n)
(-1)" x.2„+ I ±
(2n + 1)!
5!
oo
x2,1
=
Y
1—•
=0 ((-2n1)Y;
+
N1‘-'
' )
(— O n
2r
(2n + 1)!x
n0
Agora que obtivemos formalmente as duas solucaes em serie da Eq. (4), podemos testa-las quanto a convergencia. Usando o teste da ra75o, é facil mostrar que cada uma das series na Eq. (11) converge pant todo x, e
isso justified, de forma re t roa iva, todos Os passos usados para se ohter as soltiOes. De fato, reconhecemos que a
primeira serie na Eq. (11) 6 exatamente a serie de Taylor para cos x em torno de .v = 0 e que a segunda é a serie
de Taylor para sen x em torno de x = 0. Assim, como esperado, obtivemos a solucrio y = a„ cos x + a, sen x.
Note que näo foram impostas condicOes sobre a„ e a,: portant°. etas s5o constantes arbitrarias. Das Eqs. (5) e
(6) vemos que y e y' calculadas em x = 0 tomam os valores a„ e a,, respectivamente. Como as condicries iniciais
y(0) e y'(0) podem ser escolhidas arbitrariamente, segue que a, e a, devem ser arbitrarias ate que sejam dadas
condicOes iniciais especificas.
As Figuras 5.2.1 e 5.2.2 mostram como as somas parciais das series na Eq. (11) aproximam cos x e sen x.
A medida que cresce o mimero de termos, o intervalo no qual a aproximacäo a satisfatOria torna-se maior e,
para cada x nesse intervalo, a precis5o da aproximacäo melhora. No entanto, voce sempre deve se lembrar de
resultado dado na Eq. (10) e outras formulas antilogas neste capitulo podem ser provadas por um argument° de induct-10
semelhante ao que acabamos de dar para a Eq. (9). Supomos que esses resultados sao plausiveis c omitimos o argument° de
inductio daqui para a frente.
1
4
SOLUCOES EM SEFUE PARA EQUACOLS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
199
que uma serie de potencias truncada fornece apenas uma aproximacao local da soluciio cm uma vizinhanca do
ponto inicial x = 0: ela nao pode representar adequadamente a solucao para valores grandes de Ix!.
n = 4 n = 8 n = 12 n = 16 n = 20
n = 5 n = 9 n = 13 n = 17 n = 21
10
y = cos x
y =se.nx
n = 2 n = 6 n = 10 n = 14 n . = 18
n = 3 n '= 7 n = 11 n = 15 n = 19
FIGURA 5.2.1 AproximacOes polinomiais de cos x. 0
valor de n é o grau do polinomio na aproximacao.
FIGURA 5.2.2 AproximacOes polinomiais de sen .v. 0
valor de n é o grau do polinOnno na aproximacao.
No Exempt() I sabiamos desde o inicio que senx e cos x formavam urn conjunto fundamental de solucOes eta Eq. (4). No entanto, se nao soubessemos disso e tivessemos ten tado simplesmente resolver a Eq.
(4) usando expansao em serie ainda assim teriamos obtido a solucao (11). Em reconhecimento do fato
de que a Eq. (4) ocorre corn frequencia em aplicacOes, poderiamos decidir dar names especiais as duas
solugöcs da Eq. (11). talvez
C(x) =
E
n=0
(_1)" ,
(2,0!
S(x) =
E
n=0
„
(2n + 1)!
x
.
(12)
Poderiamos,entao, perguntar quids as propriedades dessas funcOes. Por exemplo, podemos ter certeza de
que C(x) e S(x) formam urn conjunto fundamental de solucOes? Segue imediatamente da expansao em
serie que C(0) = 1 e S(0) = O. Di ferenciando as series para C(x) e S(x) termo a termo, vemos que
S'(x)C(x),
C'(x) = —S(x).
(13)
Assim, em x = 0 temos que S'(0) = 1 e (0) = 0. Em consequencia, o wronskiano de C e S em .v = 0 6
I 0
W(C, S)(0) =0 1 = 1,
(14)
de modo que essas funcOes formam, de fato, urn conjunto fundamental de solucaes.Substituindo x por —x
em calla uma das Eqs. (12), vemos que C(—x) = C(x) e que S(—x) = —S(x). Alem disso, calculando a serie
infinita 2 podemos mostrar que as funcOes C(x) e S(x) tem todas as propriedades analiticas e algebricas
das funcOes cosseno c seno, respectivamente.
Embora voce tenha visto, provavelmente, as funcOes seno e cosseno pela primeira vez de urn modo
mais elementar em termos de triangulos retangulos, a interessante que essas funcOes podem ser definidas coma solucOes de certas equagOes diferenciais lineares de segunda ordem simples. Para ser preciso,
a fungi-to sen x pode ser definida coma a Unica solucao do problema de valor inicial y" + v = 0.v(0) = 0,
C(0) = 1: analo amente, cos .v .ode ser definido como a Unica solu .ao do roblema de valor inicial v" + y
0,y(0) = 1,y'(0) = 0. Muitas outras functies importantes em fisica matematica tambem sac) definidas como
soluciies de determinados problemas de valor inicial. Para a maioria dessas funcOes nao existe maneira
mais simples ou mais elementar de se estudri-las.
EXEMPLO
2
Encontre uma solucao em serie de potencias de x para a equacao de Airy'
y" — xy = 0,
—CO < X < 00.
(15)
3Tal analise feita na Se:0o 24 do livro de K. Knopp. Theory and Applications of Infinite Series (Nova York: Hafner, 1951).
'Sir George Biddell Airy (1801-1892), astrOnomo e matematico ingles, foi diretor do ObservatOrio de Greenwich de 1835 a
1881. Uma das razOes pelas quaffs a equacäo de Airy é interessante a que as solucoes sao oscilatOrias para x negativo, semeIhante as funcOes trigonometrical, e monOtonas para x positivo, semelhante as funcOes hiperbOlicas.Vocé pode explicar por
que e razoavel esperar um tal comportamento?
•
200 CANTUI.0 CINCO
Para essa equacão, P(x) = 1, Q(x) = 0 e R(x) = –x, logo todo ponto e um ponto ordindrio. Vamos supor que
Y=
E
(16)
(1,,X4
n=0
e quc a set-le converge em algum intervalo !xi < p. A set-le para y" é dada pela Eq. (7); como explicado no exemplo precedente, podemos reescreve-la como
Y " = E( n + 2)(n + 1)a„+ 2x".
(17)
n.0
Substituindo y e y" na Eq. (15) pelas series (16) e (17), obtemos
E (n + 2)(n + 1)a„.+.2x" x E aux" = E a„x11+1
n.0
n=0
(18)
n=0
A seguir, mudamos o indice da Ultima serie a direita na Eq. (18) substituindo n por n – 1 e comecando a somar
a partir de 1 em vez de zero.Temos, ent5o.
2 . lag + E(n +2)(n +1)an + 2x" = E
n.I
n=1
Novamente, para que essa equacao seja satisfeita para todo x é preciso quc os coeficientes das potencias iguais
de x sejam iguais; portanto, a 2 = 0, e obtemos a relacao de recorrencia
(n +2)(n + 1 )n„,2 = a,_ 1
para
n = 1, 2, 3, .
(19)
Como a„. 2 d dado em funcäo de a„. 1 . os coeficientes s5o determinados de tres em tres. Assim. a„ determina a,.
que por sua vez determina a6 , ...; a, determina a,. que determina a,, ...; e a 2 determina a,. que determina a 5 , ...
Como a, = 0, concluimos imediatamente que a, = a ,, = a„ = = 0.
fazemos n = 1, 4.7. 10, ... na relacao de recorrencia:
Para a sequencia a,,, as, a n , a„,
ao
a6
a3
no
no
a9 =
at,–
a 3 = 2. 3 ,
8•9 - 2•3•5•6•8.9'
5 . 6 2 . 3 • 5 • 6'
Esses resultados sugerem a fOrmula geral
no
2 • 3 • 5 • 6... (3n – 1)(3,)'
n > 4.
a3„ =
Para a sequencia a,,a,,a,,a,,,,..., fazemos n = 2, 5,S. It, na relacdo de recorrencia:
(17
(11
al
al
(14
_–
a7 =6
a4 =
a lo =
9 • 10
3 . 4 • 6 • 7 • 9 • 10
7- 3 4•
• 6 • 7'
3•4'
Em geral, temos
al
a3n 1 —
n > 4.
3 . 4 . 6 . 7 . -- (311)(3n + 1)'
Assim, a solucdo geral da equacao de Airy 6
r
= (1()
X3n
X6
X3
2—. 3 + 2 • 3 5 • 6 ± . 1- 2.3••• (3,:- 1)(3n) 4x
+ a [X +
4
x
7
3•4 + 3.4•6•7
+
x 3/14-1
3 • 4 . • • (3n)(3n +1)
(20)
Tendo obtido essas duas so urines em serie, podemos investigar agora sua convergencia. Devido ao crescimento rapid° dos denominadores dos termos na serie (20), poderiamos esperar que essas series tivessem um
raio de convergencia grande. De fato, e fãcil usar o teste da razão para mostrar que ambas as series convergem
para todo x; veja o Problema 20.
Suponclo, por um instante, quc as series convergent para todo x, sejam y, e y2 as funcOes definidas pelas expressaes no primeiro e no segundo par de colchetes, respectivamente, na Eq. (20). Entäo, escolhendo primeiro a„ = 1,
a, = 0 e depois a„ = 0, a, = 1, segue que y, c y, sdo soluciies da Eq. (15). Note que y, satisfaz as condOes iniciais
= 1,y;(0) = 0, e que y, satisfaz as condicOes iniciais y 2 (0) = 0, AO) = 1. Portanto, 1,17(y i , y 2 )(0) = 1 0 e, em
consequencia, y, e y, formam urn conjunto fundamental de solucOes. Logo, a soluc'do geral da equacao de Airy é
y = no,vt (x) + ni.v2(x),
–00 < x < 00.
As Figuras 5.2.3 e 5.2.4 mostram os graficos das soluceies y, e y2, respectivamente, da equacao de Airy, assim
como os grdficos de diversas somas parciais das duas series na Eq. (20). Novamente, as somas parciais forne-
SOIXOES EM SERIF. RAM EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 201
cem aproximacOes locais para as solucOes em uma vizinhanca da origem. Embora a qualidade da aproximacdo
melhore a medida que aumenta o numero de termos, nenhum polinOmio rode representar de modo adequado
y i e y2 para valores grandes de Ixl. Um modo pratico de estimar o interval() no qual uma soma parcial dada 6
razoavelmente precisa e comparar os graficos daquela soma parcial e da prOxima.obticla incluindo-se mais urn
termo. Assim que se puder notar a separacão dos graficos, pode-se ter certeza de que a soma parcial original
nao 6 precisa. Por exemplo, na Figura 5.2.3 Os gracos para n 24 e n = 27 comegain a se separar em torno de
x = —9/2. Portanto. alzm desse ponto a soma parcial de grau 24 n5o serve cones ulna aproximacao da
Observe que ambas as funcOes y, e yz sac) nionOtonas para x > 0 e oscilatorias para .v < 0. Voci; tamb6m pode
ver das figuras que as oscilacOes n5 0 stio uniformes, mas decaem em amplitude c aumentain ent frequacia
quando aumenta a distlincia da origem. Em contraste corn o Exemplo I, as solticOes y, c y, da equacao de Airy
rulo sao funcOes elementares que voce ja encontrou em Calculo. No entanto, pela sua importancia cm algumas
aplicacaes %leas essas funcOes tern silo estudadas extensamente, e suns propriedades
bein conhecidas
entre matematicos aplicados e cientistas.
n=3
24\y121.
`
n = 48\ bd
1
i i
4Z 1301 18 i, 6
A
y = yi(x)
—10
A,
I —4
A AI.
V
;
2
r
11Ii
1&
1391 1271
11
1
21
n = 45I1 .33
1
I
I
9
1.
31
FIGURA 5.2.3 AproxiniacOes polinomiais da solucilo y i (x) da equacao de Airy. 0 valor de n e 0 grau do
polinOmio na aproximac5o.
n = 46 1 34
11
11
40
110
122
28,
4
16
Y = Y2(x)
n=
25
13
31
1131
191
I7
2
FIGURA 5.2.4 AproximacOes polinomiais da solucdo y2(x) da equaciio de Airy. 0 valor de n é o grau do
polinOmio na aproximaciio.
EXEM PLO
3
Encontre uma solucao da equacCio de Airy em poténcias de x — 1.
0 porno x = 1 6 um ponto ordinario da Eq. (15) e, portant°, procuramos por uma soluca- o da forma
y =Ea,,(x - i)n,
n=0
onde supomos que a sdrie converge em algum intervalo Ix — Il< p. Ent5o
202 CAPITULO CINCO
y' = E na„(x — 1)" -1
E(n + 1)a,". 1 (x — 1)"
n=1
n=0
y" = E n(n — 1)a„(x — 1) n =
(n + 2)(n + 1)an÷2( x — 1)".
n=0
n=2
Substituindo y e y" na Eq. (15), obtemos
E(n + 2)(n + 1 ) (1n1-2(X — 1)" = x
a„(x — 1)".
(21)
n=0
n=0
Para igualar os coeficientes das potencies iguais de (x — 1) precisamos escrever x, o coeficiente de y na Eq. (15),
em potencias de (x — 1); ou seja, escrevemos x = 1 + (x — 1). Note que essa é precisamente a serie de Taylor de
x em torno de x = 1. Enta'o, a Eq. (21) fica
E(n + 2)(n + 1)a„4. 2 (x — 1) n = [ 1 + (x — 1)]E a„(x —
n=o
Ea„(x-
=E a„(x —
n=0
n-- 11
Mudando o Indice da Ultima serie a direita. obtemos
E(a + 2)(n + 1)an+2(x — 1)" = E a„(x — 1)" +
n=0
a,_ 1 (x — 1)".
n=1
n=0
Igualanclo os coeficientes das potencias iguais de x — 1. encontramos
2a2 = au,
(3 • 2)a3 = a 1 + au.
(4 . 3)a4 = (12 + al,
(5 • 4)a3 = a 3 +
•
A relacilo de recorrencia geral e
para n > 1.
(n + 2)(n + 1)a„ 4., = a„ +
Resolvendo para os primeiros coeficientes em funcAo de a„ e a,. vemos que
al
a,
a lao
a0
+
— , a3 = — + —
+
12
ac
12
12 24
6
6
2
Portanto,
y = no[l +
(x — 1) 3
6
30
24
6
+a1 [
(x — 1) F
a3
a,
a0al
— + = +
20 20
30 120
— 1) 4— 1)5
— 1) 2—
2
(22)
(x — 1) 4— 1)5
12
120
(23)
Em geral, quando a relacäo do recorrencia tem mais de dois termos, como na Eq. (22), a determinacao de
uma formula para a„ em funcao de a„ e a, e bent complicada, se ndo impossfvel. Neste exemplo, tal fOrmula não
parece ser Neil. Sem tal formula nao podemos testar a convergencia das duas series na Eq. (23) por metodos
diretos, como o teste da razao. No entanto, mesmo sem ter LIMN fOrmula para a„ vamos ver na Sec5o 5.3 que é
possivel mostrar que as duas series na Eq. (23) convergent para todo x. Alcor disso, elas definem functies y 3 e y4
que formam um conjunto fundamental de solucOes da equacão de Airy (15). Assim,
y = aoy3 (x) + a (x)
é a solucilo geral da equacdo de Airy para —oo < x < oo.
Vale a pena enfatizar que,como vimos no Exemplo 3, se procurarmos uma solticdo da Eq. (1) da forma
oc
a„(x — xo) n , teremos, tambem, que expressar os coeficientes P(x), Q(x) e R(x) em potencias de
y=
- n=0
SOLUCOES EM SERIE PARA EQUACCES LINEARES DE SECiUNDA ORDEM 203
(x - x„). De outro modo, podemos fazer uma mudanca de variavel x - x„ t, obtendo ulna nova equacão
cc
diferencial para y em funcão de t e depois procurar solucOes desta nova equacao da forma E a„t n • Ao
n=o
terminar os calculos, substitulmos t por - x, (veja o Problem 19).
Nos Exemplos 2 e 3 encontramos dois conjuntos de solucöes da equagno de Airy. As funcOes y, e y2
definidas pelas series na Eq. (20) formam urn conjunto fundamental de solucfies para a Eq. (15) para todo
x, o que tambern é verdade para as funcees y 3 e y, definidas petits series na Eq. (23). De acordo corn a
teoria geral de equacbes lineares de segunda ordem, cada uma entre as duas primeiros funcOes pode ser
expressa como comhinac5o linear das duas tiltimas funcOes e vice-versa — urn resultado que,certamente.
nao e Obvio examinando-se apenas as series.
Finalmente, enfatizamos que nao e terrivelmente importante se n50 forums capazes de determinar o
coeficiente genii a„ em funcäo de a„ e a,, coma no Exemplo 3.0 essencial e podermos determinar quantos
coeficientes quisermos. Assim, poclemos encontrar quantos termos quisermos nits dims soltiOes cm serie,
mesmo sem conhecer o termo geral. Embora a tarefa de calcular diversos coeficiciites cm uma soluciio
em serie de potencias nao seja dificil, pode ser tediosa. Um pacote de manipulacao simhiilira pode aiudar
aqui; alguns s5o capazes de encontrar urn ntimero de termos especificado cm unia solucilo cm serie de potencias em resposta a um nnico comando. Com um pacote grafico apropriado pods-se, tam hem. produzir
gnificos como os que aparecem nas figural desta sec5o.
PROBLEMAS
Em cada urn dos Problems de 1 a 14:
(a) Procure solucees em series de potencias da equaciio diferencial dada cm torn() do ponto dado x„:encontre
a relacAo de recorrencia.
(11) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas solacees y, e y, (a menus que a serie tcrmine
antes).
C7.alculando o wronskiano W(y,, y2 )(x„). mostre que y, e y, formam urn conjunto fundamental de solucOes.
Se possivel, encontre o termo geral em cada solucäo.
r•-• „
(.1y - y = 0,
xo = 0
3. y" - xy - y = 0,
xo =1
5. (1 - x)y" + y 0,
xo = 0
y" + xy' + 2y = 0,
.vo = 0
9. (1 + x2 )y" - 4xy' + 6y = 0,
xo = 0
xo = 0
11. (3 - x2 )y" - 3xy - y 0,
13. 2y" + xy' + 3y = 0,
xo = 0
2.y" - xy' -y=0,
x-0=0
4. y" + k2x2y = 0,
x0 = 0, k constitute
xo = 0
(2
+
x2
)y" - xy' + 4y = 0.
g
x„ = 1
8. '"+y'+xy= 0,
xo = 0
(4 - x2 )y" + 2y = 0,
xo =0
2. (1 - x)y" + xy' - y = 0,
xo = 2
14. 2y" + (x + 1)y' + 3y = 0,
Em cada urn dos Problemas de 15 a 18:
(a) Encontrc Os cinco primeiros termos nao nulos na soluc5o do prohlema de valor Uncial dado.
(h) Rica graficos das aproximacOes da soluc5o corn quatro e cinco termos no mesmo conjunto de eixos.
(c) Estime, a partir dos graficos no item (h), o intervalo no qual a aproximacao corn quatro termos e razoavelmente precisa.
y(0) = 2, y'(0) = 1; Veja o Problema 2
y" - xy' - y = 0,
y(0) = -1. y'(0) = 3; Veja o Problema 6
16. (2 + x2 )y" - xy' + 4y = 0,
y(0) = 4, y'(0) = -1; Veja o Problema 7
y" + xy' + 2y = 0,
y(0) = -3, y'(0) = 2; Veja o Problem 12
(1 - x)y" xy' - y 0,
(a) Fazendo a mudanca de variiivel x - x„ = t e supondo que y tern uma serie de Taylor em potencias de t,
encont re duas solucOes de
y" + (x - 1)2
+ ( X2 - 1)y = 0
em series de potencias de x - 1.
(b) Mostre que voce obtem o mesmo resultado diretament e supondo que y e dado por uma serie de Taylor
em potencias de x - 1 e expressando o coeficiente x 2 -1 ern potencias de x - 1.
Mostre diretamente, usando o teste da raz5o, que as duas solucees em serie em torno do ponto x 0 da
equacao de Airy convergem para todo x; veja a Eq. (20) do texto.
21. A Equacao de 'termite. A equacão
-00 < X < CO,
y" - Zry' + Ay = 0,
204
CAPiTUI.0
C► NCO
constante, e conhecida como a equa0o de Hermite.' Esta é uma cquacao importantc na fisica
onde
matenitica.
de duas solucOes linearmente independentes em
Encontre os quatro primeiros termos em cada
torno de x = 0.
Note que se for um inteiro par nAo negativo, ennio uma ou outra das solucOes em serie termina
e torna-se urn polinômio. Encontre as solucOes polinomiais para = 0, 2, 4. 6. 8 e 10. Note que cada
polininnio é determinado a menos de uma constante nwltiplicativa.
(c) 0 polinOmio de I lermite 11„(x) é definido como a solt100 polino ► ial da cquacäo de Hermite corn A
= 2,/ para a qual o coeliciente de x" é 2". Encontre 1.1„(x),H,(x).
- y2 . y(0) = 0.
22. Considers o problema de valor inicial y' =
Mostre que y = sett x 6 a soltt45o dcste problem de valor inicial.
Procure uma soluciio do problema de valor inicial em forum de serie de potencias em torno de x = 0.
Encontre os coeficientes dessa serie ate o termo contendo x'.
11111Z1
Em cada um dos Problemas de 23 a 28, faca o grafico de diversas somas parciais da solucAo cm serie do problema de valor inicial dado cm torno de x = 0, obtendo. assim, graficos analogos aos ilustrados nas Figuras 5.2.1
ate 5.2.4.
y(0) = 1, y . ( o ) = 0: Veja o Problema 2
— y 0,
23. y" —
y(0) = 1, y'(0) = 0: Veja o Problema 6
24. (2 + i2 )y" — xy' + 4y = 0,
y(0) = 0, y'(0) = Veja o Problema 7
y" + xy' + 2y = 0,
y(0) = 0, y'(0) = 1: Veja o Problema10
(4 —
+ 2y 0.
y(0) = 1, y'(0) = 0; Veja o Problema 4
y" + x2y = 0,
y(0) = 0, y'(0) = 1
(1 — x)y"+ xy' — 2y = 0,
5.3 Soluciies em Serie Perto de um Ponto Ordinario, Parte II
Consideramos, na sey;io precedente. o problema de encontrar solucOes de
P(x)y' Q(x)y' + R(.0y = 0,
(1)
onde P, Q e R Sao polinOmios, na vizinhanca de mn ponto ordimirio xo.Supondo que a Eq. (1) tem, de fat°,
uma
y = c>5(x) c que tem unta serie de Taylor
(2)
A-0",
n=o
que converge para Ix —xol< p. onde p > 0, n imos que a„ pode ser determinado substituindo-se, diretamente, y na Eq. (1) pela serie (2).
Vamos considerar, agora. comb justificar a alirmacAo de que se .t .0 6 um ponto ordimirio da Eq. (1),
entAo existent solucOes da forma (2). Vamos considerar, tambem, a questao do raio de convergencia de tal
serie. ,\„ fazer isso, seremos levados a uma generalizacilo da definicao de ponto ordindrio.
Suponha, ent5o, que exists uma soluciio da Eq. (1) da forma (2). Diferenciando a Eq. (2) la vezes e
fazendo x igual a x0, segue que
y = (x) =
m!a„, = 0") (r0).
Logo, para calcular a„ na serie (2) precisamos mostrar que podemos determinar 0"(x„) para n = 0, I, 2, ...
a partir da equacao di ferencial (1).
Suponha que y 0(x) e ulna soluc5o da Eq. (1) satisfazendo as condicOes iniciais y(x„) = y„, y'(ro) =
a,. y„ e a, y,',. Se estivermos in teressados apenas em encontrar uma sol tick) da Eq. (1) sem especifit:ar condicaes iniciais, entiio a„ e a, permanece ► arbitrarios. Para detcrminar 0"(x„) e os coeficientes
correspondcntes a„ para a = 2, 3, ..., voltamos para a Eq. (1 ). Como 6 uma solu0o da Eq. (1). temos
`Charles Her mite (1822-1901) foi urn analista e algebrista francês intiucnte. Introduziu as funt;Oes de Hermite em 1864 e
mostroti,em 1873, que e e um ntimero transcendental (ou seja, e n5o 6 raiz de nenimma equactio polinomial com coeficientes
racionais). Seu nome tainhin ► out associado As matrizes hermitianas (veja a Secrto 7.3), algumas de cujas propriedades
descobriu.
SOLUCOES EM SERIE PAM EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 205
P(x)(r(x) + Q(x)cp'(x) R(x)0(x) 0.
No interval° cm torn() de x0 onde P nunca se anula. podcmos escrever essa equacao na forma
0 " (x ) = — P( x )0 ' ( x)
g(x)95(x),
onde p(x) = Q(x)/P(x) e q(x) = R(x)1P(x). Fazendo x igual a x„ na Eq. (3). tem°,
(3)
0"(xo) = — P(xo).(b'(x0) — g(xo)(15(xo).
Portant°, a, ë dado por
2!a2 = 0 " ( x 0) = —P(xo)ai — q(xo)an.
Para determinar
(4)
diferenciamos a Eq. (3) e depois fazemos x igual a x o, ()blend()
3!a3
r(xo) —[p0" + (p' + q)4;
.1
—2!p(xo)a 2 — IP'(x0 ) q(x 0 )1a — Oxo)al.
(5)
A substituicao de a 2 pela expressao obtida da Eq. (4) fornece a, em termos de a, e a„. Com() P,Q c R sao
polinOmios c P(x„) 0 0, toda y as derivadas de p e q existem em X. Logo. podemos continual- a diferenciar
a Eq. (3) indetinidamente, determinando, apOs cada diferenciacao. os coeficientes sucessivos a,. a.....
fazendo x igual a x„.
Note que a propriedade importante que usamos na determinacao de a„ e que podemos calcular uma
inlinidade de derivadas das funcOes p e q. Pode parecer razolivel relaxar nossa hip(itese cie que as funcOes p e q sao quocientes de polinOmios c supor, simplesmdite, que sejain inlinitamente diferenciaveis
em uma vizinhano de x„. Infelizmente, essa condicao e muito fraca para garantir que podemos provar a
convergencia da expansao em serie resultante para y = (,6(.v). E necessario supor que as funcOes p c q sao
analaicas cm x,: ou seja, que clas tetra expansbes em serie de Taylor que convergem cm arum interval()
en) torno do ponto .v„:
P( x ) = po + pi(x — .V0) + • • • + P„
g (x ) = go +
XOn • ' •
=Ep,,(A----.")",
„=0
— xo) + • • • + q,;(x — x ) 1' 1 + • =
qn(x —
X 0 )" .
(6)
(7)
n=0
'
essa ideia cm mente, podemos generalizar as deflnic.6.:s de porno ordinario e pont 0 singular da Eq.
( I ) da seguinte mandril: se as funi;Oes p =Q/P e q = RIP ford)) analiticas em x,,, entao 0 ponto x„ c dito
um port() ordinario da equacilo diferencial ( I ):caso contrario, e um pont() singular.
Vamos agora considerar 0 problema do interval° de convergencia da solucao em serie. Lima possibili(lade e calcular, explicitamente, a sot Lica() cm s.iric para cada problem,' c usar um dos testes de convergencia de unia serie inlinita para determinar sett raio de convergencia. Infelizmente, esses testes requerem
que obtenhamos unia expressao para o coeficiente geral a,, em funciio de a, uma tarcfa muito dificil, se
nao impossfvel, coin frequencia: lembre o Exempt() 3 na Seca° 5.2. No entanto, essa questa() pode ser
respondida imediatamente para uma classc a mpla de problemas pelt) teorema a seguir.
( om
Teorema 5.3.1
Se x„ for um port() ordinario da equacao diferencial (1)
P(x)yY " + Q(x)y i + R(x)y = 0,
ou seja, se p = QIP e q = RIP forem analfticas em x 0 , entao a solucao geral da Eq. (1) sera
oc
y = E 11,1 (X — xO)" = aoYi (x) + alY2(x),
(8)
n=r)
onde a, e a, sac) arbitrarios, e y, e y2 sao duas solucOes em series de Macias que sao analfticas em xo.
As soluce)es y, e y2 formam urn conjunto fundamental de solucaes. Alem disso, o raio de convergencia
de cada uma das solucOes em serie y, e y, e pelo menos tao grande quanto o minim° dos raios de convergencia das series para p e q.
206 CAPITU1.0 C I NCO
Para ver que y, e y2 formam um conjunto fundamental de solucties, note que eles tern a forma y,(x) = 1
onde h, + c2 = a,. Logo, y, satisfaz as condicOes iniciais
+ 1)2 (x - .0 2 + e y 2 (x) (x - x o ) + c2 (.k. - x„) 2 +
satisfaz
as
condicOes
iniciais
y 2 (x0 ) = 0, y,'(-r o ) = 1. Logo, W(y,,y,)(x„) = 1.
2
0
e
y
y;(x„)
=
y,(x„) = 1,
Note tambern que embora o calculo dos coeficientes atraves de diferenciacOes sucessivas da equacao
diferencial seja excelente do ponto de vista teOrico, nao e, em geral, urn procedimento computacional
pratica Em vez disso, é melhor substituir y na Eq. (1) pela serie (2) e determinar os coeficientes de modo
que a equacao diferencial seja satisfeita, como nos exemplos da secao precedente.
Nao demonstraremos esse teorema que, em uma forma ligeiramente mais geral, e devido a Fuchs.' 0
que importa para nossos propOsitos e que existe uma solucao em serie da forma (2) e que o raio de convergencia dessa solucao em serie nao pode ser menor do que o menor entre os raios de convergencia das
series para p e q; logo, precisamos apenas determinar esses raios.
Isso pock ser feito de duas maneiras. Novamente, uma possibilidade 6 calcular as series de potencias
para p e q e depois determinar seus raios de convergencia usando um dos testes de convergencia para
series infinitas. No entanto, existe urn modo mais fácil quando P, Q e R sac) polinOmios. Na teoria de
funcOes de uma variavel complexa mostra-se que a razao de dois polinOmios, digamos QIP, tern uma
expansfio cm serie de potencias que converge em tomb de um ponto x„ se P(x„) # 0. Alcor disso, supondo
que todos os fatores comuns entre Q e P foram cancelados, o raio de convergencia da serie de potencias
para QIP cm torno do ponto x, c exatamente a distancia de x0 a raiz mais prOxima de P. Ao determinar
cssa distancia, precisamos lembrar que P(x) = 0 pode ter raizes complexas, e elas tambem tern que ser
levadas em consideraciio.
em tomb de x = 0?
Qua! 6 o raio
de convergéncia da serie de Taylor para (1 +
EXEMPLO
Urn modo de proceder e encontrar a serie de Taylor em questiio. a saber.
1
EXEMPLO
(— )"x2n
= _ x 2 ± x4 x6 ±
1 + .V2
Pode-se verificar, entao, pelo teste da razao, que p = I. Outra abordagem notar que os zeros de 1 + .v = sao x =
±i. Como a distancia de 0 a i ou a -i no piano complexo a 1. o raio de convergencia da serie de potencias em
torno de = 0 é 1.
Qua! 6 o raio de convergencia da serie de Taylor para (x = - 2 r + 2) ' cm torno de x = 0? E em torn() de x = 1?
Em primeiro lugar, note que
2
.V2 —
2x + 2 = 0
tern solucOes x = 1 f i. A distfincia de x 0 a x = I +i on a x = I - i no piano complexo 6 4, logo, o raio de
convergéncia da expansao em serie de Taylor E a„x" em tomb de x = 0 e
n=0
4.
A distancia no piano complexo de x= 1 ax=1+i ou ax=1-ié 1; logo o raio de convergincia da expansão
em serie de Taylor E 13„(x - 1)" em torno de x = 1 e 1.
n=0
De acordo corn o Teorema 5.3.1, as solucaes em serie da equacao de Airy nos Exemplos 2 e 3 da secao
precedente convergem para todos os valores de x, ja que, em cada um dos problems, P(x) = 1 e, portanto,
nunca se anula.
Uma solucao em serie pode convergir para outros valores de x, alem dos indicados no Teorema 5.3.1,
de modo que o teorema fornece, de fato, apenas uma cota inferior para o raio de convergencia da solucao
em serie. Isso e ilustrado pelos polinOmios de Legendre. que satisfazem a equacao de Legendre dada no
prOximo exemplo.
EXEMPLO
Determine uma cota inferior para o raio de convergéncia das solucOes em serie em torn() de x = 0 da equacao
de Legendre
3
"Immanuel Lazarus Fuchs (1833-1902) foi estudante e, mais tarde. professor na University of Berlim. Provou o resultado
do Teorema 5.3.1 em 1866. Sua pesquisa mais importante foi sobre pontos singulares de equagOes difcrenciais lineares. Ele
reconheceu a importância dos pontos singulares regulares (Seca() 5.4),e as equacties cujas dnicas singularidades, incluindo o
ponto no infinito,sâo pontos singulares regulares; sâo conhecidas como equaciies de Fuchs.
SOLUOES EM SERIE PAM EQUACDES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
207
(1 — x2 )y" — 2xy' + a(a + 1)y ----- 0,
onde a é constante.
Note quc P(x) = 1 — x', Q(x) =
e R(x) = a(a + I) sac, polinOmios e quc os zeros de P. a saber, x = ± I,
distam 1 de x = 0. Logo, uma solucao em serie da forma E a„x" converge pet() menos para I.vl < 1 c,
mente, para valores maiores de x. De fato. pode-se mostrar que se a e urn inteiro positivo, uma das solucCies
em serie termina ape' s urn runner° finito de termos e, portanto, converge para todo x e nao apenas para 1.vl< I.
For exemplo, se a = 1.a solucao polinomial é y = x. Veja os Problemas 22 ate 29, ao final desta se45o. para uma
discussao ma's completa da equa45o de Legendre.
EXEMPLO
Determine uma cota inferior para o raio de convergencia da solucao em serie da equac5o
(I + x2 )y" + 2xy' + 4x2y = 0
4
(9)
em torno do ponto x = 0 e ern torn° do pont() x —i.
Novamente. Q, P e R s5o polinOmios e P tern rains x= ±i. A distância no piano complex° de 0 a ti e lea
0,)
distAncia de —1 a fie 1.11 + a= VS/2.Assim, no primeiro caso, a serie E a,,x" converge pelt) menos para 1.vl<
I c, no segundo caso, a serie E b„ + 1,)" converge pelo menos para ix + i I < iS/2.
n=r)
Uma observac5o interessante que podemos fazer sobre a Eq. (9) segue dos leoremas 3.2.1 c 5.3.1. Suponha
que s5o dadas as condicOes iniciais y(0) = y„ e y'(0) = y,'„ Como I +.1c 2 # 0 para todo .v. sabemos, do "leorema
3.2.1, que o problema de valor inicial tem uma Unica solucao em —cc < x <
Por outro lido, o Teorema 5.3.1
garante apenas uma solucao em serie da forma E a„x" (corn a„ = y,, a, = y,',) para —I <.v < 1.A soluc5o Unica no
n=o
interval() —cc < x < 1 pocle n10 ter uma expansao em serie de potencias em torno do .v = 0 quc convirja para
tuc) x.
EXEMPLO
5
Podemos determinar uma solucao em serie em torno de x 0 para a equac5o diferencial
y" + (senx)y' + (1 +x 2 )y = 0,
e, se for o caso, qual o raio de convergencia?
Para esta equacao diferencial,p(x) = sen x e q(x) = 1 + x2 . Lembre-se do Calculo clue sen .v tem uma expans5o em serie de Taylor cm tomb de .v = 0 que converge para todo x. Alem disco, q tambem tem uma expansdo
em serie de Ta y lor cm torno de .v = 0, a saber, q(x) = 1 + x= . que converge para todo x. Portant°, a equaciio tern
cc
Until solucao em serie da forma y = E a„x", corn 0,, e a, arbitrarios,e a serie converge para todo x.
n.0
PROBLEMAS
Em cada urn dos Problemas de 1 a 4, determine q5"(x„),Ø"'(x„)e 0")(x 0) para o ponto dado x„, se y = ¢(x„) é uma
solucao do problema de valor inicial dado.
y(0) = 1, y'(0) = 0
1. y" + xy' + y = 0;
y(0) = 0, y'(0) = 1
y" + (senx)y' + (cos x)y = 0:
y(1) = 2, y'(1) = 0
.v2 y" + ( 1 + x)y' + 3(In x)y = 0;
y(0) = ao, y'(0) = al
4. y" + x2 y' + (senx)y = 0;
8
Em cada urn dos Problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergencia da solucão em
serie da equac5o diferencial dada em torno de cada ponto x,,dado.
x0 = 0, x0 = 4
x0 = 4, x0
x0 = 0, xo = 2
(1 + x3)y" + 4xy' +y = 0;
y" + 4.)/ + 6xy = 0;
6. (x2 — 2x — 3)y" + xy' + 4y = 0;
0
xy" + y = 0;
—4, xo= 0
x0 = 1
Determine uma cota inferior para o raio de convergencia da solucäo em serie em torno de x 0 dado para
cada uma das equagOes diferenciais dadas nos Problema s de 1 a 14 da Seca° 5.2.
208 CAPITULO Cirico
10. A Equacao de Chebyshev. A equacao diferencial de Chebyshev e
(1 — x2 )y" — xy' + a y = 0,
7
2
onde a é constants.
Determine duas soluckies em series de potencias de x para Ix' < 1 e mostre que etas formam urn conjunto fundamental de soluceies.
Mostre que, se a for um inteiro nao negativo n. entao existe uma solucao polinomial de grau n. Esses
polinOrnios, quando normalizados adequadamente. sao chamados de polinOmios de Chebyshev. Eles
sao muito titeis em problemas que necessitam de uma aproximacao polinomial pant uma funcao
nida em —1 < x < 1.
(c) Encontre uma solucao polinomial para cada um dos casos a = n = 0,1,2 c 3.
Para cada uma das equacOes diferenciais nos Problems de 11 a 14, encontre os quatro primciros termos nao
nulos em cada uma de duas solucOes em serie em torno da origem. Qual o valor que voce espera que tenha o
raio de convergencia de cada solucao?
12. e y" + .ry = 0
11. y" + (senx)y = 0
14. e'y" + ln(1 + x)y' — xy = 0
13. (cos x)y" + xy' — 2y = 0
Sejarn x e x solucOes da equacao diferencial P(x)y' — Q(x)y' + R(x)y = 0. Voce pode dizer se o ponto x =
0 é urn ponto ordinario ou singular? Prove sua resposta.
2
Equacees tie Primeira Ordem. Os metodos de expansao em series discutidos nesta secao sao diretamente
aplicaveis a equacao diferencial linear de primeira ordem P(x)y' + Q(x)y = 0 em urn ponto x„, se a funcao p
QIP tiver uma expansao em serie de Taylor em torno desse porno. Tal porno e chamado de ponto ordimirio e,
alem disso, o raio de convergencia da set-le y = E a„(x — xo)" e pelo menos tat) grande quanto o raio de conn=0
vergencia da serie para QIP. Em cada urn dos Problems de 16 a 21, resolva a equacao diferencial dada por uma
serie de potencias em x e verifique que a„ é arbitrario em cada caso. Os Problemas 20 e 21 envolvem equagOes
diferenciais nao homogeneas para as quais os metodos de expansao em series podem ser estendidos facdniente.
Sempre que possivel, compare a solucao em serie corn a obtida pelos metodos do Capitulo 2.
17. y' — xy = 0
16. y' — y = 0
18. y' = y,
so tres termos
19. (1 —x)y' = y
20. y' — y = x 21.
y' + xy = 1 + .r
2
A Equacao de Legendre. Os Problemas de 22 a 29 tratam da equacao de Legendre`
(1 — x )y" — 2.ry" + a (a + 1 )y = O.
2
Como indicado no Exemplo 3, 0 ponto x = 0 c um porno ordinario dessa equacao, e a distancia da origem ao
zero mais prOximo de P(x) = 1 — x e 1. Logo, o raio de convenzencia da solucao em serie em torn() de x = 0
pelo menos 1. Note, tambem,que Basta considerar a > —1. pois, se a < — 1, entao a substituicao a = —(I + y), onde
y 0,1eva a equacao de Legendre (1 — x )y" — 2.vy + y(y + 1)y = 0.
22. Mostre que duas solucOes da equacao de Legendre para Ix' < 1 sao
2
2
y i (x) = 1
a(a + I) , a (a — 2)(a ± 1)(or + 3)
x- +
2
CC
E(_i )1,1
X
4
4
a — 2m + 2)(a + 1) • • • (a + 2m — 1) 2n,
X
(2m)!
ni=3
Y2 ( X )
.
(a — 1)(a + 2)x ± (a — 1)(a — 3)(a + 2)(a + 4)x-5
5!
3!
— 1) • • • (a — 2m + 1)(a + 2) • • • (a + 2m)
20,+1
X
(2n1
1)!
M=3
Pafnuty L. Chebyshev (1821-1894), professor da Petersburg University durante 35 arms e o matematico russo mais influence
do sëculo XIX, fundou a chamada escola de Sao Petersburgo, que produziu uma longa linhagem de matematicos importantes.
Seus estudos sobre os polinömios de Chebyshev comecaram em torno de 1854, como parte de uma investigacao de aproximacao de fungi:5es por polinOmios. Chebyshev tanibt3m e conhecido por seu trabalho em teoria dos mimeros e prohahilidade.
'Adrien-Marie Legendre (1752-1833) teve varias posicties na Academie des Sciences francesa a partir de 1783. Seus trahalhos
principals foram nos campos de functies eliticas e teoria dos nUmeros. As funcees de Legendre, solucties da equacao de Legendre, apareceram pela primeira vez em 1784 em seu estudo sobre a atracao de esferoides.
7
SOLUCOEs EM SERIE PAM EQUACÓES LINEARES DE SEGUNDA ORDEN
209
23. Mostre que se a for zero ou urn inteiro positivo par 211, a solticao em serie y, se rcduz a urn polinOmio
de grau 2n contendo apenas potencias pares de x. Encontre os polinômios correspondentes a a = 0, 2 e 4.
Mostre que, se a for um inteiro positivo Impar 2n + 1, entao a solucii° cm serie y 2 se rcduz a urn polinOinio
de grau 21i + 1 contendo apenas potencias impares de x. Encontre os polinOmios correspondentes a a = I,
3 e 5.
4V, 24. 0 polinOmio de Legendre P „(.r) é dermido como a solucáo polinomial da equacAo de Legendre coin = 0
que satisfaz, tamNim, a condic,io P „( 1) = I.
Usando os resultados do Problema 23, encontre os polinOmios de Legendre P„(x),..., P,(x).
Faca os graticos de P„(x), P 5(x) para -1 < < 1.
(c) Encontre os zeros de Po(x), P;(x).
Pode-se mostrar que a fOrmula geral para P„(x)
`"121
1(-1)k (21t - 2k)!
P,i(x) —
-2k
2" k=0 k!(,1 - k)!(it - 2k)!„,.
onde
denota o major inteiro menor ou igual a 1112. Observando a forma de P „(x) para it par e impar,
mostre que P„(A) = (-1)".
Os polinOmios de Legendre tens um papel importante em fisica mateinntien. Por exemplo, no se resolver a
equacao de Laplace (equacdo do potencial) em coordenadas esfericas,encontrnmos a equacao
d 2 F (co)
+cot cp
d F (co)
((cc
+ It(n + 1)F ( 4;) = 0.
0 < co <
onde n 6 um inteiro positivo. tvlostre que a mudanca de variavel x = cos cp leva a ulna equacao de Legend re
coin a = n para r = fix) = Rarceos x).
1_21
Mostre que, para n = 0,1,2, 3, o polinOrnio de Legendre correspondente e dado por
1 d"
P„(x) = —
(x- - 1)".
2"n! fix"
Esta fOrmula, conhecida como fOrmula de Rodrigues , 9 6 vAlida para todos os inteiros positivos it.
Mostre que a equacao de Legendre tambem pode ser escrita como
1(1 - .v2 ) .y7 = - a (a + 1)y.
Segue. ent5o, que
[(1 - x-2)P;„(x)I = 'Witt + 1)P„,(x).
e
1(1 - x2 )P„(x)1" = -n(n + 1)1),(x)
Niultiplicando a primeira equacao por P„,(x), a segunda por P „(x). integrando por partes e depots subtraindo ulna equacao da outra, mostre que
P„(x)P,„(x) fix = 0 se n ni
Esta propriedade dos polinOmios de Legendre e conhecida como a propriedade de ortogonalidade. Se
pode-se mostrar que o valor fiesta integral é 21(2n + 1).
Dado um polinOmiof de grau n, possIvel expressarf como ulna combinacao linear de P. P I , P2 , P„:
nt = n,
r.
= EakPk(x).
f
k =0
Usando o resultado do Problema 28, mostre que
ak =
2k + 1
2
f (x)Pk (x) fix.
_1
5.4 Equaciies de Euler; Pontos Singulares Regulares
Nesta secdo vamos comecar considcrando como resolver equagOes da forma
P(x)y" + Q(x)y' + R(x)y = 0
(1)
'Olin& Rodrigues (1794-1851) puhlicou este resultado como parte de sua tese de doutorado na teole Norntale em Paris em
1816. Mais tarde tornou-se banqueiro e reformador social.
210 CAPITULO CINCO
na vizinhanca de urn ponto singular x 0 . Lembre-se de que se as funceies P, Q e R sac) polinOrnios sem fatores comuns. os pontos singulares da Eq. (1) s5o os pontos nos quais P(x) = 0.
EquagOes de Euler. Uma equacao diferencial relativamente simples que tern um ponto singular 6 a equa-
c5o de Euler"
L[y] = x 2 y" + cacy' + ty =0,
(2)
onde a e beta sao constantes reais. Neste caso P(x) = x2, de modo que x = 0 6 o nine° ponto singular regular da Eq. (2); todos os outros s5o pontos ordiniirios. Por conveniencia, vamos considerar, primeiro, o
intervalo x > mais tarde estenderemos nossos resultados para o intervalo x < 0.
Note que (x')' = rx'-' e (x')" = r(r — 1)x- 2 . Logo, se supusermos que a Eq. (2) tern uma solucao da forma
y = xr,
(3)
obtemos
L[xr]
= x 2 (x r ) l + ax (xr )' Art
= x r [r(r — 1) +ar + /3].
Sc r 6 raiz da equacao de segundo grau
F(r) = r(r — 1) + ar + /3 = 0,
então L[xle zero e y = x" é uma solucao da Eq. (2). As rafzes da Eq. (5) silo
r , r2 =
—(a — 1) ± (a — 1) 2 — t3
(6)
2
e F(r) = (r — r,)(r — r,). Como para equagOes diferenciais lineares de segunda ordem corn coeficientes
constantes, a necessario considerar separadamente os casos nos quais as rafzes s5o reais e diferentes. reais
e iguais, e complexas conjugadas. De fato, a discussao inteira sobre equagOes de Euler é semelhante ao
tratamento de equagOes diferenciais lineares de segunda ordem corn coeficientes constantes no Capitulo
3, corn e" substituido por x'.
Raizes Reais e Distintas. Se F(r) = 0 tem rafzes reais r, e r, Com r,
solucOes da Eq. (2). Como
.r -1-r2 W(xr1 , xr2 ) = (r 2 —).0
nao se anula se r,
r,. entao y,(x) =
e y 2 (x) = x' : são
e x > 0. segue que a solucao geral da Eq. (2) 6
y = Ct Yrr + c2xr2 ,
x > 0.
Note que, se r näo for racional. cntao x' 6 definida por x' =
EXEMPLO
Resolva
2x2y" + 3xy' — y 0.
1
x > 0.
Substituindo y = x' na Eq. (8). obtemos
x' [2r(r — 1) + 3r — 1] = x'(2r2 + r — 1) = x' (2r — 1 )( r + 1)
0.
Logo r, = i e r2 = —1, de modo que a solucao geral da Eq. (8) 6
y = cix 1/2
c2x.-
> 0.
(9)
Razes Iguais. Se as raizes r, e r, sao iguais, obtemos apenas uma solucäo y,(x) = xr, da forma proposta.
Pode-se obter uma segunda solucao pelo metodo de reducao de ordem, mas vamos considerar, para nossa
discussäo futura, um mátodo alternativo. Como r, = r,, F(r) = (r — r1 ) 2 . Assim, nesse caso, alem de F(r,) =
l 'Esta equacao e chamada algumas vezes de equacilo de Cauchy-Euler ou equac5o equidimensional. Ela foi estudada por
Euler em cerca de 1740, mas sua solucdo jA era conhecida por Johann Bernoulli antes de 1700.
—
—
----
SOLUCOES EM SERIE PAM EQUACOES LINE ►RES DE SEGUNDA ORDEM
211
0, temos, tambem, F'(r,) = 0. Isso sugere a di ferenciacdo da Eq. (4) cm relacao a r e, depots, a atribuicdo r
igual a r,. Diferenciando a Eq. (4) cm relacdo a r, temos
a
a
— L[xr ] =[xrF(r)].
Substituindo F(r), trocando as ordcns de integracdo em relacdo a x e em relacdo a r, c notando que
a(Allar = x' In r, obtemos
L[x' In = (r - ri ) 2xr In x + 2(r - ri )xr
(10)
A crpressdo a direita do sinal de igualdade na Eq. (10) 6 0 para r = r,: portant:),
Y2( x ) = xri In x,
x>0
uma segunda solucdo da Eq. (2). Calculando o wronskiano, vemos que
W (xr' x r ' In x) = x 2r i - 1.
Logo, x" , e xr, In x formam urn conjunto fundamental de solucOes para .r > 0, c a solucdo geral da Eq. (2)
6
EXEMPLO
v = ( c 1 + C 2 In -0x'',
x > 0.
(12)
x2 y” + 5xy' + 4y = 0,
x > 0.
(13)
Resolva
2
Substituindo y = x' na Eq. (13). obtemos
xr [r(r - 1) + 5r + 41 = xr (r2 + 4r + 4) = 0.
Portanto, r, = r2 = -2 c
y=
+ c 2 In x),
x>0
(14)
6 a solucdo geral da Eq. (13).
Raizes Complexes. Fi nal men te, suponha que as raizes r, e r2 sac) complexas conju gadas. digamos, r, = + e
r, = A - iu, Corn p 0. Precisamos explicar agora o significado dc x' quando r é complexo. Lembrando que
x r = e r Irv(
(15)
quando x>0er e real, podemos usar essa equacao para definir x' quando r 6 complex°. Entdo, usando a
formula de Euler para
obtemos
e o,.+01n.t. = e A In x eitt Inx = xA eitt In x
= x;'I'cos(p, In x) + isen(p. In x)),
x > 0.
(16)
Corn essa definicao de x' para valores complexos de r, pode-se verificar que as regras usuais da Algebra e
o calculo difcrencial continuam vdlidos, logo x r, e x' sdo, de fato, solucOes da Eq. (2). A solucdo geral da
Eq. (2) 6
y c i x A+4` + c2xA'"
(17)
A desvantagem clessa expressdo e que as fur-10es x""" e x"" tomam valores complexos. Lembre-se de
que tivemos uma situacdo semelhante no estudo de equagOes diferenciais lineares de segunda ordem corn
coeficientes constantes quando as raizes eram complexas. Da mesma forma que fizemos anteriormente,
a saber,
podcmos observar que as partes real c imaginaria de
xA cos(p. In x)
e
sen(kt In x)
(18)
tamb:3rn sdo solucC)es da Eq. (2). Um calculo direto mostra que
W[xA cos(kt In x),
sen(it In x)] = itx2A-1.
Portanto, essas solucOes formam um conjunto fundamental de solucOes para x > 0, e a solucdo geral da
Eq. (2) é
x > 0.
(19)
y = ci xA cos(u In x) + c2 xA sen(it In x),
212 CAPiTU1.0 CINCO
EXEMPLO
3
Resolva
x2y" +
(20)
+ y = 0.
Substituindo y = na Eq. (20), obtemos
x1r(r — 1) + r + 1] = x' (r2 ± 1) 0.
Logo, r = ±i e a solucao geral e
y = c 1 cos(In x) + c2 sen (In x),
x > 0.
(21)
0 fator x' nao parece explicitamente na Eq. (21) porque, neste exemplo, i. = 0 e = 1.
Vamos considerar, agora, o comportamento qualitativo das soluceics da Eq. (2) perto do ponto singular x 0. Isso depende inteiramente da natureza dos expoentes r, e r,. Em primeiro Lugar, se r for real c
p Jaslalores positivos. Por outro !ado. se r for real e
positivo, x' —> 0 quando tende a zero assumindo aet
negativo, entdo tornar-se-a ilimitado. Finalmente, se r = 0, xr = I. Essas possihilidades estäo ilustradas
na Figura 5.4.1 para cliversos valores de r. Se r for comP1exo, uma solucao tipica sera cos(// In .v). Essa
funcilo torna-se ilimitada ou tende a zero se ?. for, respect vamen te, negat Ivo ou positivo, e, tambem, °sell
0. Esses comportamentos estao 1 ustrac os nas Figuras 5.4.2 e
la cada vez mats rapidamente Yuan o .v
5.4.3 para valores selecionados de ti e de jt.. Se A = 0. a oscila0o tern amplitude constante. Finalmente, se
as raizes sao repetidas, entao uma das solucOes tem a forma .v' In .v. q tie tende a zero se r > 0 e e ilimitada
se r < 0. Um exemplo de cada caso aparece na Figura 5.4.1.
y
2
1
y = x312
I
I
I
I
2 x
1.5
0,5
1
FIGURA 5.4.1 Solticaes de lima equacao de Euler: raizes reais.
FIGURA 5.4.3 Solucao de uma equacao
de Euler; raizes complexas corn parte real
positiva.
FIGURA 5.4.2 Solucao de uma equacao de
Euler: raizes complexas corn parte real negativa.
FIGURA 5.4.4 Segundas solucOes tfpicas
de uma equacao de Euler corn raizes
iguais.
A extensao das solucOes da Eq. (2) para o interval() x < 0 pode ser feit a de modo relativamente direto.
A dificuldade esta em compreender o signilicado de xr quando re negativo e nao c inteiro; analogamente,
In .v nao esta definido para .r < 0. As solucôes da equacao de Euler que encontramos para > 0 sao validas
' para x < 0 mas sao, em geral, complexas. Assim, no Exempt() 1, a solucao x 1.:= e imaginaria para x < 0.
Sempre e possfvel obter solucnes reais da equacao de Euler (2) no intervalo x < 0 fazendo a mudanca
onde > 0, e seja y = ti(0. Temos, en tact,
de variavel a seguir. Seja .v =
SowSoes ettl Stir PAM EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 213
dv
A
du
—
d2 y
(111)A = d2u
d
•
dr 2(-17
dx A dx
(22)
Assim, para x < 0, a Eq. (2) Pica na forma
2 d2 u
(42 ± a
du
+ #11 = o,
> 0.
alas, exceto pelos nomes das varitiveis. esta é exatamente igual 5 Eq. (2), das Eqs. (7), (12) c (19) temos .
c iE rl + c2V''
u() = {(c 1 + c 2 In )V./
(.. 1 ;. cos(i.t. In ) + c 2 ). sen(i( In ),
dependendo de os zeros de 1(r) = r(r - 1) + ar + 13 serem reais e cliferentes, reais c iguais ou complexos
conjugados. Para otter u em funcao de x, substitufmos por -x nas Ems. (24).
Podemos combinar os resultados para x > 0 e .v < 0 lembrando que Ix! = x quando x > 0 e Ix I = -,: quando
x < 0. Logo, precisamos apenas substituir x por lxl nas Eqs. (7), (12) e (19) para ohter solucties reins validas
ern q wilq tier interval° que nao content a origem.
Portant°, a solu450 geral da equacao de Euler (2)
x-y + cay' + f3y = 0
eni qua lquer interval() que nao content a origem 6 determinada pelos rafzes r e r, da cquaca°
I • (r) = r(r - 1) + ar + 13 = 0
coin() segue. Sc as rafies forem reais e diferentes,então
y = nix I t' + c 2ki r2.
(25)
y = (C 1 + c2 In Ixp lx 1 r1.
(26)
Y = I x i ` [ c 1 cos(u In Ixl) + c2 sen(i.t In lx1)) .
( 27)
Se as raizes forem iguais, ent5o
Se as ran/es ['mein complexas. ent5o
onde
.
As soluciies de It ma equacrio de Euler da forma
xo) 2 Y " + a
=0
(28)
sfio semelhantes. Sc procurarmos solucires da forma y = (x - xo)r,ent5o a solucao geral e dada por uma das
Eqs. (25), (26) ou (27) corn (x -xo) no lugar de .v. De outro modo, podemos reduzir a Eq. (28) a forma da
Eq. (2) fazendo unia mudanca da variavel independente t = x Pontos Singulares Regulares. Agora vamos voltar a considerar a equaczio gent!
P(x)y" + Q(x)y' + R(x)y = 0
onde x„ é um ponto singular. Isso significa que P(x„) = 0 e que pelo menos um entre Q e I? nao se anula
cm
Infelizmente, se tentarmos usar os metodos das duns secOes precedentes para resolver a Eq. (1) na
∎ izinhanca de urn ponto sin g ular x„, descobriremos que esses mdtodos nao funcionam. 1sso se deve ao
fat() de que frequentemente as solucires da Eq. (1) nao sao analiticas em x„ e, portant°, nao podem ser
representadas por tuna serie de Taylor em potencias de x -x„. Os Exemplos 1, 2 e 3 anteriores ilustram
esse fah): em cada urn desses exemplos a solti45() nao tern Lima expansão em series de potencias em torn()
do onto singular .v = O. Portanto, para ter alguma chance de resolver a Eq. (1) na vizinhanca de urn ponto
singular precisamos usar um tip() de expansäo em serie mais geral.
Como uma equa45o diferencial tern, em geral, poucos pontos singulares, poderfamos especular se eles
nao poderiam ser simplesmente ignorados, uma vez que ja sabemos como construir solucOes em torn() de
pontos ordinzirios. No entanto, isso nao c possfvel porque os pontos singulares determinam as caracteristicas principals das sollicaes de forma 'mato mats profunda do que poderfamos suspeitar primeira vista.
Ent unta vizinhanya de um ponto singular a solucäo torna-se, muitas vczcs, muito grandc em modulo ou
experinienta mudancas rapidas em sen modulo. .Assim, o comportamento de urn sistema ffsico modela-
214 CAPITULO CINCO
do por uma equacao diferencial 6, corn frequencia, mais interessante cm uma vizinhanca de urn ponto
singular. Muitas vezes, singularidades geometrical em urn problem fisico, como bicos ou arestas, geram
pontos singulares na equacao diferencial correspondente. Entao, embora queiramos inicialmente evitar
os poucos pontos onde uma equacao diferencial e singular, e precisamente nesses pontos que a necessario
est udar a equagao corn mais cuidado.
Como alternativa aos metodos analfticos poderia ser considerada a utilizacdo de metodos numericos,
que serao discutidos no Capitulo 8. Ent retanto, esses metodos nao sao adequados para o estudo de solugoes na proximidade de urn ponto singular. Dessa forma, mesmo adotando uma abordagem nunne'rica e
vantajoso combin g -la corn os metodos analfticos deste capitulo para que se possa exam inar o comportamento das solugOes na proximidade de urn ponto singular.
Sem c ualquer informagao adicional sobre o comportamento de QIP e RIP na vizinhanca do ponto singular 6 impossfvel descrever o comportamento a as so ucoes a • q. ( ) perto e x = x„. Pode acontecer de
existirem duas solucOes distintas da Eq. (T) que permanecem limitadas quando x --x 0 (como no Exemplo
3); ou uma delas pode permanecer limitada enquanto a outra se torna ilimitada quando x ->
(como
no Exempt() 1); ou ambas podem tornar-se ilimitadas quando .v -> x„ (como no Exempla 2). Se a Eq. (1)
tern solugOes que se tornam ilimitadas quando x -.> x o , muitas vezes é importante determinar como essas
oc do mesmo modo que (x -x 0 )- 1 , ou como (x
solucaes se comportam quando .v -> x„. Por exemplo, y
- x0) ou de alguma outra maneira?
Nosso objetivo e estender o ni6todo ja desenvolvido para resolver a Eq. (1) perto de urn porno ordinario de modo que elc possa tambem scr aplicado na vizinhanga de um ponto singular x„. I Yara fazer isso de
mo
c sin-1p es e necessario nos restringirmos a casos one e as siriti andades das funcOes
QIP e RIP em x = .v„ nao sao muito severas - ou seja, o que poderiamos chamar de "singularidades fracas".
Neste porno nao é claro o que seria exatamente Luna singularidade aceitavel. No entanto, ao desenvolvermos o metodo de solugao voce very que as condigOes apropriadas (veja tambem o Problem 21 na Segao
5.6) para distinguirmos "singularidades fracas" sac)
lim (x XO)
x—x„
Q.(x)
finito
P(x)
e
R(x)
2 finito.
- x 0 )e
lim
P(x)
Isso signilica que a singularidade em Q/Pnao pode ser pier do que (.v - x 0 )- 1 e a singularidade em RIP nao
pode ser pair do que - x0 ) 'Jai porno e chamado de ponto singular regular da Eq. (1). Para equagOes
corn coeficientes mais gerais do que polinOmios,x„ 6 urn porno singular regular da Eq. (1) se for urn ponto
singular e Sc ambas as fur-10es"
x0)2 Rp((:))
Q(x) e
(31)
Cr
P(x)
tiverem series de Taylor convergentes em torno de x„ - ou seja, se as fungOes na Eq. (31) forem analfticas em x x„. As Eqs. (29) e (30) implicam que isso sera verdade quando P,Q c I? forem polinomios.
Oualquer ponto singular da Eq. (1) que nao seja urn ponto singular regular e chamado de ponto singular
irregular da Eq. (1).
Note que as condicOes nas Eqs. (29) e (30) sao satisfeitas pela equacao de Euler (28). Logo, a singularidade em uma equacao de Euler 6 urn ponto singular regular. De fato, veremos que todas as equagOes da
forma (1) se comportam de modo muito parecido corn as equagOes de Euler perto de urn ponto singular
regular. Ou seja, solugOes perto de urn panto singular regular podem incluir potencias de .v corn expoentes
negativos ou que nao sejam inteiros, logari tmos ou senos ou cossenos corn argumentos logarftmicos.
Nas segOes a seguir discutiremos como resolver a Eq. (1) na vizinhanca de um ponto singular regular.
Uma discussao de solucOes de equagOes diferenciais na vizinhanca de pontos singulares irregulares e mais
complicada e pode ser encontrada em livros mais avangados.
EXEMPLO
4
Determine os pontos singulares da equacao de Legendre
(1 - x2 )y" - 2xy' + a(a 1)y = 0
(32)
e determine se eles sao regulares ou irregulares.
"As funcOes dadas na Eq. (31) podem ntho estar definidas em x 0; nesse caso, sao atribufdos setts valores em x, como seus
limites quando x —n x„.
SotucOes em SERIF, PARA EQUACOES LINEARES DE SEOUNDA ORDEM 215
Neste caso P(x) =1 –x2 , de modo que os pontos singulares sZio x = 1 e x = –1. Observe que quando dividimos
a Eq. (32) por 1 – x 2 os coeficientes de y' e de y ficam iguais a –2x1(1 – x 2 ) c a(a + 1)/(1 – x 2 ), respectivamente.
Vamos considerar primeiro o ponto x 1. EntAo,das Eqs. (29) e (30) calculamos
lirn(x
X
1)
–2x
– lim
1 –X`
(x – 1)(-2x) = lim 2x
—
(1 – x)(1 + x)
x- I +.Y
1
e
a a + 1) – . (x – 1) 2 a(ce + 1)
lim(x – 1)2 .(
lun
x- 1
1 – x-
x--. 1 (1 – x)(1 + x)
= lint(x – 1)( – a)(a ± 1) _ 0.
A -41
1 + X
Como esses limites sdo finitos, o ponto x = 1 é urn ponto singular regular. Pode-se mostrar, de maneira semelhante, que x = –1 tamb6m 6 urn ponto singular regular.
EXEM PLO
Determine os pontos singulares da equacdo diferencial
2x(x – 2)2y" + 3xy' + (x – 2)y = 0
5
e classitique-os como regulares ou irregulares.
Diviclindo a equacao diferencial por 2x(x – 2) 2, temos
y+
3
2(x – 2)
1
2y' +
2x(x – 2)Y
= 0,
de modo que p(x) = Q(x)1P(x) = 3/2(x – 2) 2 e q(x) = R(x)1P(x) = 112x(x – 2). Os pontos singulares sao x = 0 c
.v = 2. Considers .v = 0.Temos
3
urn xp(v) = urn x
•0
x--.0 2(x – 2) 2 =
1
– 0.
Iim x-q(x) = lim x 2
x•O 2x(x – 2)
Como esses lim nes s5o finitos.x = 0 6 um ponto singular regular. Para x = 2, temos
Iim(x – 2)p(x) = lim(x 2)
x-2
3
3
= li m
2(x – 2)2 x – 2 2(x – 2)
de modo que o limits nao existe: portanto„v = 2 6 um ponto singular irregular.
EXEM PLO
Determine os pontos singulares de
\2
(x— 2) y" + (cos x)y' + (senx)y = 0
6
e classilique-os como regulares ou irregulares.
0 unico ponto singular 6 .v = 7r/2. Para estuda-lo, vamos considerar as funcaes
\ Q(x) = cos X
/
/
Jr \
x – 7/2
p(x) =
2
(1. 7r ) q(X)
= ( X-
= senx.
R;(:))
A partir da serie de Taylor para cos x em torno de x 7r/2 encontramos
(x – 7r/2)4
(x — 7r/2) 2
COS .V
.= –1 + —
5!
3!
x – 7/2
que converge para todo x. Analogamente, sen x e analitica em x = 7r/2. Portanto, concluimos que 7r12 6 urn ponto
singular regular para esta equacdo.
216 CAPITULO CINCO
PROBLEMAS
Em cada urn dos Problemas de 1 a 12, determine a soluezio geral da equacao diferencial dada, valida em qual- •
quer intervalo que nao inclui o ponto singular.
2. (x + 1)2y"+ 3(x + 1)y'+ 0,75y = 0
4. x2y" + 3xy' + 5y = 0
0 (x - 1) 2y" + 8(x - 1)y' + 12y = 0
8. 2x2y" - 4xy' + 6y = 0
10. (x - 2)2y" + 5(x - 2)y' + 8y = 0
1 x2y" - 4xy' + 4y = 0
12.
.v2y" + 4xy' + 2y = 0
x2y." - 3xy' + 4y = 0
x2y" - xy' + y = 0
x2y., 6xy' - y = 0
9. x2y" - Sxy' + 9y = 0
11. x2 y" + 2xy' + 4y = 0
Em cada urn dos Problemas de 13 a 16. encontre a solucão do problema de valor inicial dado. Rica o grafico da
solu45o c descreva como ela se comporta quando x --> 0.
69., 13. 2x2 y"+xy' - 3y = 0,
4x2y" + 8xy' + 17y = 0,
x2y" - 3.vy' + 4y = 0,
$•?., 16. x2 y" + 3xy' + 5y = O.
y(1) = 1, y(1) = 4
y(1) = 2, y'(1) = -3
y(-1) = 2, y'(-1) = 3
y(1) = 1, y'(1)= -1
Em cada urn dos Problemas de 17 a 34. encontre todos os pontos singulares da equacao dada e determine se
cada urn deles é regular ou irregular.
g .v2 (1 - x) 2y" + 2xy' + 4y = 0
17. xy" + (1 - x)y' + xy = 0
20. x2 (1 - x2 )y" + (2/x)y' + 4y = 0
2)y'
3xy
=
0
x)y"
+
(x
x2 (1 21. (1 - x2 )2y" + x(1 - x)y.' + (1+ x)y = 0
equacao de Bessel
x2y" + xy' + (x2 - v'-)y = 0,
+ 3)yv' - 2xy' + (1 -x2 )y = 0
x(1 - x2 )3y" + (1 - x2 ) 2y + 2(1 + .v)y = 0
(x + 2)2 (x - 1)y." + 3(x - 1)y' - 2(x + 2)y = 0
x(3 - x)y" + (x + 1)y' - 2y = 0
(r2 + x - 2)y" + (x + 1)y' + 2y = 0
29. y" -I- ( In lx 1)y + 3xy = 0
0)) x2 y" - 3(senx)y' + (1 + x 2 )y = 0
33. (senxly" + xy' + 4y = 0
28. xy" +
+ (3 cos x)y = 0
30. x2y" + 2(er - 1)y' + (e' cosx)y = 0
32. .vv" + y' + (cot x)y = 0
34. (.vsenx)y" + 3y' + xy = 0
35. Encontre todos os valores de a pa ra os quais todas as solucOes de x 2y" + axy' + ( 5/2)y = 0 tendem a zero
quando x -> 0.
Encontre todos os valores de fi para os quais todas as solucOes de x2y" + fly = 0 tendem a zero quando x 0.
Encontre y de modo que a soluc5o do problema de valor inicial x2y"- 2y = 0, y(1) = 1, y' (1) = y permaneca
limitada quando x -> 0.
Encontre todos os valores de a para os quais todas as soluciies de x 2y" + axy' + ( 5/2)y = 0 tendem a zero
00.
quando.v
39. Considcrc a equacão de Euler x2y" + axy' + fly = 0. Encontre condici.ies sobre a e fi para que:
Todas as solucOes tendam a zero quanclo x -> 0.
Todas as solucOes permanecam limitadas quando x -> 0.
Todas as solucOes tendam a zero quando x
cc.
Todas as solucOes permanecam limitadas quando x ->
oo.
(e) Todas as solucaes permanecam limitadas quando x -> 0 e quando .v
40. Usando o metodo de reduc5o de ordem, mostrc que se r, é um raiz repetida de
r(r - 1) + ar
entao
= 0,
e x'l In x sat solucOes de x2 v" + axy' + fly = 0 para .r > 0.
Em cada urn dos Problemas 41 e 42, mostre que o ponto x = 0 é um ponto singular regular. Tente, em cada
problema, encontrar solucOes da forma E a„x''. Mostre que (exceto por nuiltiplos constantes) existe apenas
n.o
uma soluciio nä° nula dessa forma para o Problema 41 e que Mio existem solucaes n5o Hulas dessa forma para
-Ct
SOLLICOES EM SERIE PAM NI/AC(5ES LINEARES
oe SEGLINDA ORDEN
217
o Problema 42. Assim, em nenhum dos casos a soluc5o geral pode ser encontrada desse modo. Isso e tfpico de
equagOes corn pontos singulares.
41. 2xy" + 3y + xy = 0
2x 2 y" + 3xy' — (1 + x)y = 0
43. Singularidades no Infiniti). As detinicOes de ponto ordinario c ponto singular regular dadas nas secOes
precedentes SO se aplicam se o ponto .v„ e finito. Em trabalhos mail avancados de equacOes diferenciais e
necessario, muitas vezes, discutir o ponto no infinito. Isso é kilo atraves da inudanca dc
el
lix e
estudando-se a equacao resultante em = 0. Mostre que, para a equack) direrencial
V;Iri:o.
P(x)Y" + Q(x))/' + R(x)y = 0,
o ponto no inlinito é um ponto ordinario se
I
2P(1/4) Q(1/)1
R(1/0
P(1/0 I_ 4
tern expansOes em serie de Taylor em torno de = 0. Isilostre,tambem, que o panto no inlinito um ponto
singular regular se pelo menos uma dessas fungi -5es nil() tern expansao cm serie de Thylor. was ambas as
funcOes
013(1/0
1-2P(1/)
Q(1/01
ROA)
c
el3(1/)
P(1/)
tern tais expansOes.
Em cada um dos Problems de 44 a 49, use os resultados do Problema 43 para determinar se 0 pontes no inlinito
e urn porno ordinario. singular regular ou singular irregular da
clifercncial dada.
y" + y = 0
CqUaga0
x 2 y"+ xy' — 4y = 0
(1 — x'-)y" — 2xy' +
+ 1)y = 0, Equacão de Legendre
47. x 2 ).- xy' + (x2 — v2 )Y = 0. Equacâo de Besse!
CY
62
9 y" — 2xy' + by = 0, Equacão do Hermite
49. y" — xy 0, Equaciio de Airy
5.5 Solusiies em Serie Perto de um Ponto Singular Regular, Parte I
Vamos considerar, agora, o prohlcma de resolver a equacäo geral linear de segunda ordem
P(x)y" + Q(x)y' + R(x)y = 0
(1)
em uma vizinhanca de um ponto singular regular x = x„.Vamos supor, por conveniencia, que x„ = 0. Se xo
0, podemos transformer a equac5o,em uma equac5o para a qual o ponto singular regular esta na origem
igualando x —x„ a 1.
0 fato de que x = 0 6 um ponto singular regular da Eq. (1) significa que xQ(x)/P(x) = xp(x) e x'R(x)/
0 e sao analfticas em x = 0. Logo, tem expansao em series de
P(x) = .v2q(x) tem limites finitos quando.v
potencias convergentes da forma
00
xp(x) = Ep,ix",
X 2 q(x) -=
,i=0
(2)
em algum intervalo lx1 < p em torno da origem, onde p> O. Para fazer corn que as funcOes xp(x) e x2q(x)
aparecam na Eq. (1), e conveniente dividi-la por P(x) e depois multiplicA-la por x 2 , obtendo
2
x2 y" + x[xp(x)ly' + Ex q(X)1Y = 0 ,
(3)
OU
x 2 y" + x(po + p i x + • • • +Pn-el + • ')Y
+ (go + i x + • • • + q„-x n + -)y = 0.
Se todos os coeticientes e q, forem nulos, corn a possivel excecao de
(4)
218 CAPITUI.0 CINCO
x-40
(x)
=Jim
go = lim
Po =
P(x)
x2 R(x)
P(.x) '
entdo a Eq. (4) se reduz a equacAo de Euler
x2Y + PoxY + goy = 0,
que foi discutida na secdo precedents. E claro que, em geral, alguns dos pn e q„, n > 1 nao sao nulos. Ent retanto, o caräter essencial das solucoes da Eq. (4) c identico ao das solucbes da equacâo de Euler (6YA:
+ q„x" +
+ Art." +
e q ,x +
presenca dos termos p +
s6 complica os calculos. •
Vamos restringir nossa discussilo principalmente ao intervalo x > 0.0 intervalo x < 0 pode ser tratado,
como para a equac5o de Euler, pela mudanca de variAvel x = 4 e posterior resolucao da equacao resultante para > 0.
Como os coeficientes da Eq. (4) sao "coeficientes de Euler' . multiplicados por serie de potencias,
natural procurar solucOes da forma "solticOes de Euler" multiplicadas por serie de potencias. Supomos,
entdo, que
E
y= x r (ao + n i x + • • • + anx n + • • -) = xr
E
oc
anx n =
n=0
a„x r— " ,
( 7)
n0
onde a„ 0. Em out ras palavras, r 6 o expoente do primeiro termo da serie e n„ é seu coeficiente. Como
parte da solucdo, temos que determinar:
Os valores de r para os quais a Eq. (1) tern uma soluciio da forma (7).
A relacdo de recorrencia para os coeficientes a „.
3. 0 raio de convergencia da serie E a„.v"
n=„
A teoria geral é devida a Frobenius,'' e é razoavelmente complicada. Em vez de ten tar zipresen tar essa
teoria vamos supor,simplesmente,nesta e nas duas prOximas secOes, que existe uma solucao da forma especilicada. Em particular. vamos supor que qualquer serie de potencias em uma express5o para a solucäo
tent raio de convergencia Mio nulo e vamos nos concentrar em mostrar C01110 determinar os coeficientes
em tal serie. Para ilustrar o metodo de Frobenius, vamos considerar primeiro um exemplo.
EXEMPLO
Resolva a equaciio diferencial
2x2y" —xy' + (1 + x)y = O.
1
(8)
E Neil most ra r que x = 0 um onto singular regular da Eq. (8). Alen) disso, xp(x) —1/2 e x=q(x) = (1 + x)/2.
todos os outros coeficientes p n c (i„ sao nulos. Entao. da Eq. (6), a equaciio
Assim,p„ = —1/2, „ = 1/2.
de Euler correspondente
C l . ( 8)
2x2y" — xy' + y = 0.
Para resolver a Eq. (8), vamos supor que existe uma soluc5o da forma (7). Logo. y' e y" silo dados por
ro
y=
E an ( r + t)xr+"--1
n=0
e
a„(r 12)(rt
+ — 1 )1J-4-I1-2
y' =
n=0
Substituindo as expressOes para y, y' e y" na Eq. (8), obtemos
eo
2x2y" — xy' + (1 + x)y = E2a„(r + n)(r + n — 1).v r+" — Et o xr+n
n.0
n=0
co
E a,,xr+nE anxr+n+I
n=0
00
O Ultimo termo na Eq. (12) pode ser escrito como E
/I=I
(12). obtemos
(12)
n=o
=o
de modo que, combinando os termos na Eq.
2x2y" — xy' + (1 + x)y = ao[2r(r — 1) — r + 1J.0
00
1[2(r + n)(r + n — 1) — (r + n) + 11 an + a „_ i l
" = 0.
(13)
n=1
°Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) foi (como Fuchs) estudante e depois professor na University of Berlim. Mostrou
como construir solucOes em serie cm torno de pontos singulares regulares cm 1874. Seu trabalho mais importante, no entanto,
foi em algebra, onde foi urn dos expoentes entre os primeiros a desenvolver a teoria dos grupos.
SOLUCOES EM SERIE PAM EQUACOES LINEARES DE Sr.OUNDA ORDEM 219
Como a Eq. (13) tern que ser satisfeita para todo x, o coeficiente de cada potencia de .v na Eq. (13) tem que ser
zero. Como a„ 0, obtemos do coeficiente de x'
2r(r — 1) — r + 1 = 2r 2 — 3r + 1 = (r — 1)(2r — 1) = 0.
(14)
A Eq. (14) 6 chamada de equaciio indicial para a Eq. (8). Note que ela é exatamente a equacao polinomial que
obterfamos para a equacäo de Euler (9) associada a Eq. (8). As raizes da equac5o indicial s5o
r l = 1,
r2 = 1/2.
(15)
Esses valores de r s5o chamaclos de expoentes na singularidade para o pont° singular regular .v = 0. Eles determinam o comportamento qualitativo da solucao (7) na vizinhanca do ponto singular.
Vamos voltar, agora, para a Eq. (13) e igualar o coeficiente de x"" a zero. Isso nos fornece a relaczio
[2(r + n)(r + n — 1) — (r + n) + 11 a „ + a„_ 1 = 0,
n > 1.
(16)
ou
a„ —
an -1
2(r + n) 2 — 3(r + n) + 1
a„_1
[(r + n) — 1][2(r + n) — 1]'
n > 1.
(17)
Para cada raiz r, e r, da equac5o indicial, usamos a relac5o de recorrencia (17) para determinar um conjunto de
coeficientes a,, a 2. .. Para r = r, = I, a Eq. (17) fica
an_i
n > 1.
a„ —
(2n + 1)11
Logo,
=—
ao
3•1
no
al
a2 — 5 • 2 — (3 • 5)(1 2)'
e
a
2
a3-- 7 • 3
ao
(3 5 • 7)(1 • 2 • 3•
Ern geral, temos
(-1)"
(13)
n > 4.
= 13 • 5 • 7 • • • (2n + 1)1/i!a°'
Multiplicand° o numerador e o denominador da expressào a direita do sinal de igualdade na Eq. (18) por 2 •4
• 6 ... 2n = 2",z!, podemos reescrever a„ comp
(-1)^2" a
n > 1.
an — (2n + 1)!
Portanto, se omitirmos a constants multiplicativa a,1. uma solucäo da Eq. (8) é
a
(x) = x [1 +
(-1)"2n
Xn
(2,1
+ 1)!
n=1
•
x > 0.
Para determinar o raio de convergencia da serie na Eq. (19). usamos o teste da razao:
lira
an+ixn+1
anx"
lim
2Ixl
(2n + 2)(2n + 3)
=0
para todo .v. Logo, a serie converge para todo x.
Vamos proceder de modo analog() para a segunda raiz r = r, = Z. Da Eq. (17), temos
an -1
n > 1.
a„ —
n(2n — 1)'
2n (n —
Portanto,
ao
at =
no
a1
a2 = 2 • 3 — (1 2)(1 3)'
a()
a2
= (1 • 2 3)(1 •3 • 5)'
a3 =
(19)
220 CAPITOL° CINCO
e, em geral.
/1 > 4.
ao,
(20)
3 • 5 • • (2n — 1)]
Como no caso da primeira raiz r 1 , multiplicamos o numerador e o denominaclor por 2 • 4 • 6... 2n = 2"n!. Tem
entiio,
(-1)"2"
n> 1.
=
at),
(2n)!
Omitindo novamente a constante multiplicativa a„, obtemos a segunda soluc5o
0.) ,
n ,
x > O.
(21).
Y2(x) = x 1/2 [ I + n_i
n„ = n!l1 •
E ‘ 72n);1 n x
Como anteriormente, podemos mostrar que a serie na Eq. (21) converge para toclo .v. Como y, e y, se comportarn comox e x''2 , respectivamente, pert() de .v = 0. estas funceies formai)) um conjun to fundamental de solucOes,
I.ogo, a soluciio geral da Eq. (8) é
(x) + czy2 (x),
y
x > 0.
O exemplo precedente ilustra o fato de que se x = 0 for um ponto singular regular, ent50 algumas vezes
existirao duas solucOes da forma (7) em uma vizinhanca dessc ponto. Analogamente, se existir urn ponto
singular regular em x = .v 0, poder5o existir duas solucaes da forma
Y=
— xor
Ean(x — x0)"
(22)
n=0
que são vzilidas perto de x x„. No entanto, assim canto uma equaciio de Euler pode Mio ter duas solucOes
da forma y = x', uma equacilo mais genii corn um ponto singular regular pude n5o ter duas solucOes da
forma (7) ou (22). En) particular, vamos mostrar na prOxima se45() (me se as raizes r, c r, da equacao indicial forem iguais on diferirem por um inteiro, entao a segunda soluciio sera normalmente uma estrutura
mais complicada. Em todos Os casos, no entanto, c possivel encon t rat- polo memos tuna solucAo da forma
(7) ou (22); se r, c r, di ft:61-cm por urn inteiro, essa soluc5o correspondera ao major valor de r. Se existir
apenas uma dessas solu4eies,ent50 a segunda solucão envolverzi urn term() logarittnico,como na equacao
de Euler quando as rafzes da equacäo caracterIstica sac) iguais. 0 me todo de reducao de ordeal ou algum
outro procedimento pode ser usado para se determinar a segunda solucão nesse caso. Isso sera discutido
nas SecOes 5.6 e 5.7.
Se as rafzes da equacdo j udicial forem complexas, entzio elan Mio poderao ser iguais nem diferir por
um inteiro, de modo que sempre existirao duas solucOes da forma (7) ou (22). E clam que essas solucOes (1.
sao funcOes complexas de x. No entanto, comb para a equacao de Euler, e possivel obter solucOes reais
tomando-se as panes real c imaginziria das solucaes complexas.
Finalmente, vamos mcncionar tuna quest5o pratica. Se P, Q e I? forem polinOmios, sera bem melhor,
muitas vezes, trabalhar diretamente corn a Eq. (1) do que corn a Eq. (3). Isso evita a necessidade de expandir xQ(x)/P(x) e x2/?(.v)//)(x) cm series de potencias. For exemplo, c mais conveniente considerar a
equacao
x(1 + x)y" + 2y' + xy = 0
do que escreve-la na forma
x2 y" +
0
2x
x2
Y' +
= 0,
1 + x"
1+x
que implicaria expandir 2x/(1 + x) c x 2/(1 + x) em series de potencias.
PROBLEMAS Em cada um dos Problems de 1 a 10:
N1ostre que a equacão diferencial dada tens um ponto singular regular em x = 0.
Determine a equacão indicial, a relac5o de recorrencia e as rafzes da equack) indicial.
Encontre a soluc5o em serie (x > 0) corresponclente a major raiz.
Se as rafzes forem diferentes e n5o cliferirem pOF um inteiro, encontre, tambem, a soluc5o em serie correspondente a menor raiz.
SOLUCOES EM SERIE PAM EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 221
1 2xy" + y' + xy = 0
xy" + y = 0
5. 3x2y" + 2.vy' + x2y = 0
7. xy" + (1 — x)y' — y =
9. x2y" — x(x + 3)y' + + 3)y = 1)
11. A equacdo de Legendre de ordem a é
0 y
x2
y = 0
4. xY + y — = 0
6. x2y" + xy' +(x— 2)y = 0
8. 2x2y" + 3xy' + (2x2 — 1)y = 0
10. 1.2y, ( x 2 + y = 0
xy + (
x2
(1 — x2 )y" — 2xy' + a(a + 1)y , = 0.
A solucao desta equaciio perto do ponto ordindrio x = 0 foi discutida nos Problemas 22
da Seciio 5.3.
0 Exemplo 4 da Seciio 5.4 mostrou que .v = ±1 são pontos singulares regulares.
Determine a equaciio indicial c suas raizes para o ponto x = 1.
Encontre uma solucilo em serie de potencias de x — 1 para x — I > 0.
Sugesteio: cscrcva 1 + x = 2 + (x — I) e.v = I + (x — I). Outra maneira é fazer a mudarica de vari:ivel .v — I =
e determiner uma solucao em set-le de potencias de t.
12. A equacao de Chebyshev é
(1 — A-2 )y" — xy' + a2y = 0,
6
onde a e constante: veja o Prohlema 10 da Seciio 5.3.
(a) Mostre que x = 1 e.r = -I silo pontos singulares regulares e encontre os expoentes em calla uma dessas
singularidades.
(b) Encontre duas solucOes em torso de .v = I.
A eqUi1C50 diterencial de Laguerre" e
xy" + ( —
Xy -=
Mostre que x = 0 e um ponto singular regular.
Determine a equac5o judicial. suas raizes e a relacâo de recorrencia.
(c) Encontre uma soluciio (x > 0). Mostre que se A. = nz for urn inteiro positivo, essa solucäo se reduzira a
um polinOmio.Quando normalizado apropriadamente, esse polintimio e conhecido como o polinOmio
de Laguerre. /.„,(x).
14. A equacao de Bessel de ordem zero é
x2y" + xy' + x2y = 0.
Mostre que x = 0 e um ponto singular regular.
Mostre que as raves da equacno indicial siio r, = r, = 0.
(c) Mostre que tuna soluci•to para x > 0
J0 (x) = l +
E (-1)"x2"
22,1(02
ri=1
(c1) Mostre que a serie para J„(x) converge para todo x. A funciio J„ é conhecida como a (wick) de Bessel
de primer ra especie de ordem zero.
15. Corn referencia ao Problema 14, use o metodo de reducao de ordem para mostrar que a segunda soluciio
da equaciio de Bessel de ordem zero content um termo logaritmico.
Ssigesulo: se y2 (x) = J„(x)u(x), entao
.Y2(x ) = Ju(x)
dx
-Wo(x)12 •
Encontre 0 primeiro termo na expansiio em serie de 1/x[J„(x)12.
16. A equac z• io de Bessel de ordem um é
x 2 y ri xyi + (x2 _ 1)), = 0.
(a) Mostre que x = 0 e um ponto singular regular.
(h) Mostre que as rains da equac5o indicial são r, = 1 e r2 = —1.
"Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). urn geinnetra e analista frances, estudou os polinOmios que levam seu nome em
tomb de 1879.
222 CAPiTULO CINCO
Mostre que uma solucdo para x > 0 e
(-1),. x2,1
x
31(0 = 2
n=()
(n + 1)! n! 22n
Mostre que a set-le converge para J,(x) para todo x. A funcâo J, é conliecida como a funcäo de Besse!"
de primeira esp6cie de ordem urn.
(e) Mostre que e impossivel determinar uma segunda solucdo da forma
x > 0.
b„ x",
x -1
n=0
5.6 Solusiies em Serie Perto de um Ponto Singular Regular, Parte II
Vamos considerar, agora, o problema geral de determinar uma soluciio da equacilo
L[y] x 2 y" + x[xp(x)]y/ + [x2 q(x)]y = 0,
(1)
onde
XP
nxn
x2 q(x) =
Pn-ei
=
(2)
n=0
n=0
e ambas as series convergem em um intervalo Ix' < p para algum p > 0. 0 ponto .v = 0 e um ponto singular
regular, e a equacâo de Euler correspondente 6
x2y" + poxy' + goy = 0.
(3)
Procuramos uma soluciio da Eq. (1) para x > 0 e supomos que ela tem a forma
y q5(r,x) =
E a,,x" E
=
n=(1
(4)
an x"-",
n=0
onde ao 0, e escrevemos y = 0(r. .v) para enfatizar que (/) depende tanto de r quanta de x. Segue que
CX)
(r + n)a„.v"+"-1
=
y" =
E
(r n)( 1. n -
)anxri-n-2
(5)
n=0
n=0
Ent5o,substituindo as Eqs. (2), (4) c (5) na Eq. (1), obtemos
aor(r - 1)1 + (r + 1 )rx' +I + • + a„(r + n)(r + n -1)x r+ " + • • •
+ • • • + Pn Xn + • • •)
(Po +
x [aorxr + a 1 (r + 1)xr+1 + • • • +
(go +
Multiplicando
+ • • • + gnxn + • • .)
x (aoxr aix r+1
anxrin
(r + n)z r-rn + • • •
I
= 0.
as series inlinitas e depois juntando os termos semelhantes, temos
+1
aoF(r)x r + [a l F(r + 1) + au(Pi r +
la2 F(r + 2) + ao(P2 r +q2) + a lIP1( r + 1) + chi} X r +2
+ „ F (r + n) + ao(P + (10+ a t[/3 n-1( r +
+n-
+
+
+ (1,11
x r+n + • • • = 0,
ou,em forma mais compacta,
IF
L[C(r,x) = aoF(r)xr
n= I
onde
n-1
a k[(r + k )Pn-k + (I n— k 1} x r+n = 0,
(r + rz)a,, +
k =0
(6)
SOLUCOES EM SERIE PAM EQUACOCS LINEARES DE SEOUNDA Omen
223
F(r) = r(r - 1) +por + go.
(7)
Para que a Eq. (6) seja satisfeita para todo x > 0, o coeficiente de cada potencia de x tem que ser igual a
zero.
Como no 0 0, o termo envolvendo leva a equacão F(r) = 0. Esta equac5o e chamada de equacao
indicial; note que é exatamente a equacdo que obterfamos procurando por solucites da forma y = .v' da
equacdo de Euler (3).Vamos denotar as raizes da equacao indicial por r, e r,,com r. > r, se as raizes forem
reais. Se as raizes forem complexas, nao importa sua desi g nac5o. So podemos esperar encontrar solucites
da Eq. (1) da forma (4) para esses valores de r. As raizes r, e r, sit° chamadas de expoentes na singularidade; elas determinam a natureza qualitativa das solucOes em uma vizinhanca do ponto singular.
Igualando a zero o codiciente de x''" na Eq. (6), obtemos a relacao de recorrencia
n- I
F(r + a)a,,
a k[( r + k )Pn-k + qn-k] = 0,
k=0
a > 1.
(8)
A Eq. (8) mostra que, em geral, a„ depende do valor de r e de todos os coeficientes anteriores
11„,
Ela mostra, tambem, que podemos calcular sucessivamente os valores de a l , u,, ...,a„,... em funcao do a„c
dos coeficientes das series para xp(x) e para x'g(x) desde que F(r +
n5o sejam
-hulos. Os unicos valores de r para os quais F(r) = 0 sdo r = r, e r = r2 ;
r,, segue que r, + it tido e
+ n) * 0 para n > 1. Logo, sempre pock mos dcterminar
2, if!,u711 a r, nem a r, se n > I . Em consequencia.
uma solucdo da Eq. (1) da forma (4), a saber,
cc
y i (x) = .rrI [1 +
a„(ri )xn i,
x > 0.
(9)
E
n=1
Int roduzimos a notaczio a„(r,) para indicar que a„ foi determinado da Eq. (8) com r = r,. Para especilicar
a constante arbitrziria na solucao, escolhemos a„ como 1.
Se r, nfto for igual a r, c se r, - r, nä° for um inteiro positivo. entzio r, + n sent diferente de r, para todo
valor de a > portanto, F(r, +
* 0 e sempre podemos obter ulna segunda solucao
y2(x)
= [i E
a n( r2) x "1,
X > 0.
(10)
n.1
Da mesma forma quc para as solucOcs em s6rie em tomb de um ponto ordinzirio, discutidas na
Secao 5.3. as st3ries nits Eqs. (9) c (10) co tvergem pelo memos no intervalo lx1 < p onde ambas as seconverg2.11-22. Dentro de seus ratos tre convergencta, as series de potenctas
ries para xp(v) e
cc,
I + E a„(r i )x" e I + E an(r2)xn detinem funcOes analfticas cm x = 0. Assim, o comportamento sinquc multipliczim essas duas funcLes
c
gular das funcites v, c y,, se existir, sera devido aos fatores
sttlucites
reais
para
x
<
0
podemos
fazer
a substituicito x = - coal > 0.
anztliticas. A segui r, para
Como poderiamos esperar da nossa discussäo sobre a equacdo de Euler, basta substituir x' n na Eq. (9) e
xr: na Eq. (10) por lx1'∎ e lx1'2 , respect ivamente. Finalmente, note que se r, e r2 forem nit meros complexos,
entao sera() necessariamente complexos conjugados e r, * r, + N para qualquer inteiro positivo N. Assim,
nesse caso sempre podemos encontrar duas solucties em serie da forma (4); no entanto, elas sat) funcaes
complexas de .v. SolucOes reais podcm ser obtidas tomando-se as partes real e imaginziria das solucOes
complexas. Os casos excepcionais em que r, = r, ou r, - r2 = N, onde N é urn inteiro positivo, necessitam
de uma discussâo major e sera() considerados mais tarde, nesta secâo.
E importante compreender que r, e r„ os expocntes no ponto singular, säo Weis de encontrar e que
eles determinam o comportamento qualitativo das solucOes. Para calcular r, e r2, basta resolver a equacao
indicial de segundo grau
(11)
r(r - 1) + por go = 0,
cujos coeficientes sat) dados por
po = lim xp(x),
x-0
go = lim x2 q(x)•
(12)
x-4,0
Note que esses sao exatamente os limites que precisam ser calculados para se classificar o ponto singular como ponto singular regular; assim, cm geral eles ja foram determinados em urn estAgio anterior da
investigacao.
Alem disso, se x = 0 é urn ponto singular regular da equacdo
(13)
P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0,
224 CAPITULO CINCO
onde as funcOes P, Q e R sao polinOmios, entao xp(x) = xQ(x)/P(x) e x2 q(x) = x2 R(x)IP(x). Entao,
po lm
i X
Q (x)
go = lim x 2 no
x-o
P(x)
o P(x)
(14)
Finalmente, os raios de converencia das series nas Eqs. (9) e (10) sac), pelo menos, iguais a distancia da
origem ao zero mais prOximo de P(x) diferente do prOprio x = 0.
EXEMPLO •
Discuta a natureza das solucoes da equacao
2x(1 + x)y" + (3 + x)y' - xy = 0
1
perto dos pontos singulares.
Esta equacdo e da forma (13) com P(x) = 2x(1 + x). Q(x) = 3 + x e R(.r) = -x. Os pontos x = 0 e x -1 sao os
Unicos pontos singulares. 0 ponto .v = 0 6 urn ponto singular regular, ja que
3+
3
=
lim x
= limx
P(x)
2x(1 + x)
2
-x
,,
R(x)
= 0.
lim x -- = iim.vx-o P(x) x-0 2x(1 + x)
Alem disso, da Eq. (14), po = e (h. 0. Logo, a equagfio indicial c r(r - 1) + = 0 e as raizes sao r, = 0. r, =
Como essas raizes na g sao iguais nem diferem por um inteiro, existem duas solucOes da forma
(x) 1 +
E a„(0)x" e
= 1.11-1/2
[1
+ E a„
)
n=1
para 0 < 1.v1 < p. Uma c• to inferior mra o raio de convergencia de cada s6rie é 1, a distlincia de .v = 0 a x = -1, o
0, C. de law, analitica al, c que a
outro zero de P(x). Note que a solucilo y,(x) permanece limitada quando .v
segunda solucäo y2 torna-se ilimitada quando .v -* 0.
0 ponto x = -1 tambiim é um ponto singular regular, pois
Inn (x + 1)
I j m (x + 1)
2
0.1")
P(x)
.
=
1)(3
-T)
2x(1 +x)
R(x) lirn + 1)2(-x)
=
P(x) x-. - II 2x(1 +
=
0.
Nesse caso, p„ = -1. q„= 0, de modo que a equaclio indicial e r(r - 1) - r 0. As razes da equac5o indicial
= 2 e r, = 0. Correspondendo a major raiz existe uma soluciio da forma
00
y i (x) = (x+ 1) 2 [1
a„(2)(x + 1)'1
A serie converge pelo menos para Ix + ii < 1 e y, e uma funcfio analitica al. Como as duas raizes diferem por urn
inteiro positivo, pode existir nu nag uma segunda soluclio da forma
Y2(x) = 1 +
E (0)(x +
an
Nao podemos dizer mais nada sem uma analise mats profunda.
Note que não foram necessarios calculos complicados para se descobrir informaceies sobre as solucOes apresentadas neste exempt°. So precisamos calcular alguns limites e resolver duas equagOes de segundo grau.
Vamos considerar, agora, os casos nos quids a equacao indicial tern raizes iguais ou que diferem por
urn inteiro positivo, r, - r2 = N. Como mostramos anteriormente, sempre existe uma solucao da forma (9)
correspondente a major raiz r, da equacão indicial. Por analogia corn a equacao de Euler, poderfamos
esperar que, se r, r2 , entao a segunda solucao conteria um term° logarftmico. Isso tambeni podera ser
verdade se as raizes diferirem por um inteiro positivo.
Raizes iguais. 0 metodo para encontrar a segunda solucao é essencialmente o mesmo que usamos para
encontrar a segunda solucdo da equacao de Euler (veja a Seca° 5.4) quando as raves da equacao indicial
cram iguais. Vamos considerar r como uma variavel continua e determinar a„ em funcao de r resolvendo
a relacao de fecorrencia (8). Para essa escolha de a„(r) para n > 1, a Eq. [6) se reduz a
SDI-DC(5ES EM SERIE PIRA EQUACOES LINEARES DE SEOUNDA ORDEM
L[01(r,x)
225
aoF(r)x rao(r —
(15)
ja que r, é uma raiz repetida de F(r). Fazendo r = r, na Eq. (15), encontramos que L[0](r,, x) = 0; logo,
como ja sabfamos,y,(x) dado pela Eq. (9) 6 uma solucäo da Eq. (1). Mas, mais importante, segue tambem
da Eq. (15), da mesma forma que para a equaedo de Euler, que
aqs
a
(r i ,x) = ao — k r (r — )2]
r
ar
=
rri
L[a1
ao[(r — ri ) 2 1 In x + 2(r — rj).C. 1
.r=ri
= 0.
(16)
Portanto, uma segunda solucâo da Eq. (1) e
Y2 (X) =
00
ao(r,x)
= a
ar
ar
r=ri
ao E an(r).ell
n_ 1
r=r1
OC
1
Ca)
()C ri In x) I (10 + E a n( r 1) x nj +x''
L
=
y
a,t(ri)xn
n=1
i (x) In x +
x > 0,
(17)
n=1
onde a,',(r,) denota a derivada daldr calculada em r = r,.
Pode ser diffcil determinar a„(r) como fulled° de r a partir da reified° de recorrencia (8) c depois diferenciar a expressfio resultante em reified° a r. Outro maneira é simplesmente supor que y tern a forma da
Eq. (17). Ou seja, suponha que
= yi(x) In + Xr E b„.1- ,
X>0,
(18)
n-=
onde y,(x) ja foi encontrado. Os coeficientes b szio calculados, como de lifibito, substituindo na equaciio
diferencial, juntando os termos corres ondentes e igualando Os coeficientes de cada otencia de x a zero.
Uma terceira possibilidade 6 usar o metodo de reduciio do ordem para encontrar y 2(x) uma vez conhecido y,(x).
Raizes ri e r2 Diferindo por urn Inteiro N. Nesse caso a deducdo da segunda soluedo é ben) mais complica-
da, e nao sera dada aqui. A forma dessa solucdo 6 dada pela Eq. (24) no prOximo teorema. Os coeficientes
c„(r2 ) na Eq. (24) sit() dados por
,
—[(r — r2 )a,,(r)]
c,,(r2 ) = dr
n = 1,2,...,
(19)
r=r2
onde a„(r) é determinado da relacäo de recorrencia (8) corn no = 1. Alen) disso, o coeficiente de a na Eq.
(24)
a = lim (r — r2 )a,v(r).
r—or2
(20)
Se aN(r2 ) for finito, então a = 0 e Y2 nao tem termo logarftmico. Uma deducdo completa das formulas (19)
e (20) pode ser encontrada no livro de Coddington (Capftulo 4).
Na pratica, a melhor maneira de determinar se a = 0 na segunda solucdo é tentar simplesmente calcular os a„ correspondentes a raiz r2 e ver se é possfvel determinar a.,-(r2 ). Se for, nao ha problema. Se nao,
precisamos usar a forma (24) corn a 0.
Quando r, — r2 = N existem, novamente, tr'es maneiras de se encontrar uma segunda soluedo. Primeiro,
podemos calcular a e c„(r2 ) diretamente, substituindo y pela expressao (24) na Eq. (1). Segundo, podemos
calcular c„(r2) e a da Eq. (24) usando as formulas (19) e (20). Se esse for o procedimento planejado, ao
calcular a solucao correspondente a r r, nao se esqueca de obter a fOrmula geral para a„(r), em vez de
encontrar apenas a„(r,). A terceira maneira a usar o metodo de reducdo de ordem.
Teorema 5.6.1 Considere a equacâo diferencial (1),
n ..
x2 y" + x[xp(x)ly' + [x2 q(x)b, = 0,
2 2 6 CAPITULO CINCO
onde x = 0 é urn ponto singular regular. Entdo, xp(x) e x2 q(x) sdo analfticas ern x = 0 corn expansdo em
series de potencias convergentes
00
00
p„xn ,
xp(x) =
x2q(x) = E „x"
n=0
n=0
para Ix' < p, onde p > 0 e o minim() entre os raios de convergencia das series de potencias para xp(x)
x2q(x). Sejam r, e r2 as rafzes da equacdo judicial
F(r) = r(r — 1) +por + go = 0,
corn r, > r,, se r, e r, forem reais. Entdo, em urn dos intervalos —p < x < 0 ou 0 < x < p, existe uma solucdo
da forma
co
[1 +
a„(r 1 )x"
y, (x) =
(21)
n=l
onde os a„(r,) sdo dados pela relacdo de rccorrencia (8) corn a„ = 1 t, r =
Sc r, — r, ndo é zero nem urn inteiro positivo, entdo em urn dos intervalos —p < .v < 0 ou 0 < x < p existe
uma segunda solucdo da forma
00
mx) Ixr [1 +
an(r2)x11
(22)
Os a n (r,) tambem sdo determinados pela relacdo de recorréncia (8), corn ao = 1 e r = r2. As series de
potencias nas Eqs. (21) e (22) convergem pelo menos para 'xi< p.
Sc r, = r2,entdo a segunda solucdo
00
(x)
In
(23)
lx1 + Ixr E b„(ri)x"
y2(x) = y t
n=1
Se r, — r2 = N, urn inteiro positivo, entdo
00
y2( x ) = ay, (x) In lx1 + lx1 r=
I 1 + E c„(r2 )x"
(24)
n=1
c„(r2) c a constante a podem ser determinados substituindo-se a forma da
Os cocficientes a„(r,),
solucdo em serie y na Eq. ( 1 ). A constante a pode ser nula, caso em que a solucdo (24) ndo tern termo
logarftmico. Cada tuna das series nas Eqs. (23) e (24) converge pelo menos para Ix' < p e define uma
funcdo analftica em alguma vizinhanca de x 0.
Em todos os tres casos as duas solucaes y,(x) c y 2(x) formam um conjunto fundamental de solucOes
para a equacdo diferencial dada.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas dc 1 a 12:
(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equaciio diferencial dada.
(b) Determine a equacdo judicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.
a2y" — x(2 + x)y' + (2 + x2 )y = 0
1. xy" + try' + 6ery = 0
y" + 4xy' + 6y = 0
3. x (x — 1)y'' + 6x2y' + 3y = 0
6. 2x(x + 2)y" + y' — xy = 0
5. x2 y" + 3(senx)y' — 2y = 0
8. (x + 1) 2y" + 3(x2 — 1)y' + 3y = 0
7. x2 y" + 1(x + sen x)y' + y 0
9. x2 (1 — x)y" — (1 + x)y' + 2xy = 0
Il. (x — 2) 2 (x + 2)y" + 2xy' + 3(x — 2)y = 0
11. (4 — x2 )y" + 2xy' + 3y = 0
12. x(x + 3) 2y" — 2(x + 3)y' — xy = 0
Em cada um dos Problemas de 13 a 17:
Mostre que x = 0 c urn ponto singular regular da equacdo diferencial dada.
Encontre os expoentes no ponto singular x = 0.
(c) Encontre os Wes primeiros termos n5o nulos em cada uma das duas solucOes (que rid() sac) natiplas uma
da outra) em torno dc x = 0.
SOIADES EM SERIE FARA EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
227
13. xy" + y' — y = 0
xy" +
+ y = 0; Veja o Problema 1
x(x - 1)y" + 6x2y1 + 3y =
Veja o Problema 3
xy" + y = 0
x2 y" + (senx)y' - (cos x)y = 0
18. (a) Mostre que
(In x)y" +
+y=0
tern um ponto singular regular em x = 1.
Determine as raizes da equacao indicial em x = 1.
Determine os tres primeiros termos nao nulos na serie E a„(x - 1)'" c orrespondente a raiz major.
n=0
Tome x - 1 > 0.
(d) Qual o valor que voce esperaria para o raio de convergencia da serie?
Em diversos problemas em fisica matematica é necessario estudar a equacao diferencial
x(1 - x)y" + [y - (1 + a + fi).vjy' - afiy = 0,
(i)
onde a. f3 e y sao constantes. Essa equacao é conhecida cone equacao hipergeometrica.
Mostre que x = 0 e um porno singular regular e que as rafzes da equacao indicial sac) 0 e I Mostre que .v = 1 e urn porno singular regular e que as rafzes da equacao indicial sac) 0 e y- a - 13.
Supondo que I - y nao é. um inteiro positivo, mostre que uma solucao da Eq. (i) em uma vizinhanca
de x = 0 6
V1(.17) = 1
all
y • fl
x+
a (a + One + I) 2
y(y + 1)2!
x +...
Qual o valor que voce esperaria para o raio de convergencia desta serie?
Supondo que I - y nao inteiro, mostre que ulna segunda solucao para 0 < x < I é
+ 1)(a - y + 2)(fi - y + 1)(fi - y +I) x2 + ...
(a - y 2r. ho - y -I- 1) + (a - y+
y2(x) = x i _ y [ 1
(2 - y)(3 - y)2!
(2 - y)1!
(e) Mostre que o ponto no intinito 6 um ponto singular regular e que as rafzes da equacao indicial sat) a
e Veja o Problema 43 da Secao 5.4.
20. Considere a equacao diferencial
x3y" + axy' + f3y = 0,
onde a c f3 sao constantes reais e a 0 0.
Mostre que x = 0 e urn ponto singular irregular.
Ao tentar encontrar uma solucao da forma E a„xr+", mostre que a equacao indicial para r é linear e,
n=0
portanto, existe apenas uma solucao formal desta forma suposta.
(c) Mostre que se /3.'a = -1.0. 1,2, ..., entao a solucao formal em serie termina e é. portanto, uma solucao
de fate. Para os outros valores dc Pia mostre que a solucao formal em serie tern raio de convergencia
nub°, logo nä° representa tuna solucäo de fate em nenhum intervalo.
21. Considere a equacao diferencial
a
f3
=
Y' + -Y
xi
xs + -Y
(i)
onde a 0 e /3 0 sao ruhmeros reais eset sat-) inteiros positives, arhitrarios por enquanto.
Mostre que, se s > 1 ou t > 2, entao o ponto x = 0 é urn ponto singular irregular.
Tente encontrar uma solucao da Eq. (i) da forma
E
CO
y=
x > 0.
(ii)
Mostre que se s = 2 e t = 2, entao existe apenas urn valor possivel para r para o qual existe uma solucao
formal da Eq. (i) da forma (ii).
Mostre que se s = 1 c t = 3, entao nä° existem solucOes da Eq. (i) da forma (ii).
Mostre que os valores maximos de s e de t para as quais a equacao indicial é de segundo grau em r [e,
portanto, podemos esperar encontrar duas solucOes da forma HI sao s = 1 e t = 2. Estas sac) precisa-
_•_
228 CAPITULO Ciric0
mente as condicOes que distinguem uma "singularidade fraca", ou um porno singular regular, de urn
ponto singular irregular, coma definimos na Secdo 5.4.
Corno aviso, deverfamos esclarecer que embora seja possfvel, algumas vezes, obter uma solucao formal em s6rie da forma (ii) em urn ponto singular irregular, a serie pode nä° ter rain de convergëncia
positivo. Veja o Problema 20 para urn exemplo.
5.7 Equasao de Bessel
Nesta secao vamos ilustrar a cliscussao na Seca° 5.6 consideranclo tres casos especiais da equacâo de
Bessel,14
+ (x 2
v2
x2y"
(1)
mostrar que x = 0 é urn ponto singular regular da Eq. (1). Temos
onde v é uma constants.
Po = hmx
go lim x
1
Q(x)
lim x - -= 1,
P(x)
X
2 R(x)
=
x-00
P(x)
X2x2 v 2
x2
= — V2.
Logo, a equacdo indicial é
r 2 _ v 2 = 0,
F(r) = r(r - 1) + por -F go = r(r - 1) + r - v2
corn rafzes r = +v. Consideraremos os tres casos v = 0, v = z c v = 1 para o intervalo x > 0.
Neste caso v = 0, de modo que a Eq. (1) fica reduzida a
Equaciio de Bessel de Ordem Zero.
L [y I x2 y" + xy' + x 2 y = 0,
e as rafzes da equacão indicial sit° iguais. Substituindo
Y
(r
n
= a0Xr
n=1
na Eq. (2), obtemos
„[(r + n)(r + n - 1)
L[q'1(r,x) =
anxr+11+2
(r + a)j.Vr+n
n=0
n=0
= a0 [r(r - 1) + rix r +
(r -4- 1)r + (r + 1)]xr+1
00
E la„1(r + a)(r + - 1) + (r + a)
I+
xr+" = 0.
(4)
n=2
Como ja observamos, as rafzes da equac5o indicial 1(r) = r(r - 1) + r = 0 sac) r, = 0 e r, = 0, logo temos o
caso de rafzes iguais. A relacão de recorr6ncia é
an_2(r)
an ( r )?
(r + n)(r + n — 1) + (r + n)
a„-2(r)
(r + n)2
2.
(5)
Para determinar y,(x) fazemos r igual a 0. Entao, da Eq. (4) segue que, para clue o coeficiente de xr.'
= 0. Alern disso,
seja zero, temos que escolher a, = 0. Portanto, da Eq. (5). a 3 = a5 = a, =
a„(0)
-an-2( 0 )/ tf2 ,
n = 2, 4, 6,8, ... ,
ou, fazendo n = 2m, obtemos
"Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) comecou uma carreira em negOcios quando jovem, mas se interessou logo por astronomic e matematica. Foi designado diretor do observatbrio em KOnigsberg em 1810 e manteve essa posicao ate sua morte.
Sett escudo de perturbacOes planetärias levou-o, em 1824, a fazer a primeira analise sistematica das solucaes da Eq. (1),
conhecidas como lung 6- es de Besse' E famoso, tarnb(;m. por fazer o primeiro ctilculo preciso da distlincia da Terra a ulna
estrela em 1838.
4
SoLucOr.s EM SERIE PARA EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 229
a 2 ,„(0) = — a2m -2 OW (2M) 2 ,
= 1, 2, 3, ... .
Assim,
a 2 (0) =
ao
ao
2 2a4(0) = 2422
ao
2 6 (3 2)2'
a6(0) =
e, ern geral,
=
(-1)mao
22' (m!)2'
— 1, 2, 3, . . .
Portanto,
[oc ( _ i) n x2m i
y i (x) = a
o
1
+
E 22m (102
x > 0.
In.1
A funcao entre colchctes e conhecida como a funciio de Bessel de primeira espixie de ordem zero, e é
denotada por Jo(x). Segue do Teorema 5.6.1 que a serie converge para todo x c que J„6 analitica em x =
0. Algumas das propriedades importantes de Jo estao discutidas nos problernas. A Figura 5.7.1 MOSI ra os
graficos de y = J„(x) e de algumas das somas parciais da sërie (7).
n = 4 n = 8 n = 12 n = 16 n =20
2
10 x
Y = Jo(x)
n = 2 n = 6 n = 10 n = 14 n = 18
FIGURA 5.7.1 AproximacOes polinomiais de Jo(x). 0 valor de n é o grau do polinOmio na aproximac5o.
Para determinar y,(x), vamos calcular a'„ (0). 15 Primeiro, note que devido ao coeficiente de x' • ' na Eq.
(4) (r + 1) 2 a (r) = 0 Logo, a,(r) = 0 para todo r prOximo de r = 0. Entdo, ndo so a,(0) = 0, mas tanibem a, (0) = 0.
= a '2n.1 (0) = = 0; logo, precisamos apenas
Da relacao do recorrencia 0) segue que a' 3 (0) = a'5 (0) =
calcular a' 2,,, (0), in = 1, 2, 3, .... Da Eq. (5), temos
m = 1, 2,3,....
a2m (r) = —a2m-2(r)/(r 2m) 2 ,
Resolvendo esta relacao de recorrencia, obtemos
a2 (r) —
ao
(r + 2) 2
a4 (r) =
ao
(r + 2) 2 (r + 4)2
e, em geral,
a2„,(r) —
(—1 ) m ao
(r + 2) 2 • • • ( r + 2m)2
m > 3.
(8)
Podemos efetuar os calculos de a' 2,,, (r) de maneira mats conveniente notando que, se
f(r) = (x — ce l ) fil (x — a 2 ) 1'2 (x — a 3 )'63• (x —
e se x for diferente de a,, a 2 ,
a„, ent5o
f'(x)/mil
_=
f (x)
x - al
P2
X — ce2
fin
X—
15 0 Problema 10 esquernatiza urn procedimento alternative no qual simplesmente substitufmos a fOrmula (23) da Seca° 5.6
na Eq. (2) e depois determinamos os b„.
230 CANTULO CI NCO
Apficando este resultado a a2,„(r) na Eq. (8), vemos que
a2', H (r)
a 2 ,„(r)
1
1
+ • ..
= —2 ( 1
r+2 r+4
r + 2m
e fazendo r igual a 0, obtemos
d2„,(0)
1
1
1
-2 [- + • • + — a2m (0).
2
+4
2m
Substituindo a 2 „,(0) dado pela Eq. (6) e fazendo
1
1
1
H „, = 1 + + + • • +
obtemos. finalmente,
d2m (0)
(— 1 )"' ao
1-1,n 22m (
In
Ili ! )2
A segunda soluc5o da equacao de Bessel de ordem zero é encontrada fazendo-se no= 1 e substituindo-se,
na Eq. (23) da Seca° 5.6,y,(x) e b 2 „,(0) = a,'„,(0). Obtemos
(-1)"'+1H,„ 2
Y2 (X ) = (X ) In X -
22? on D2
x`
x > 0.
(10)
PH=1
Em vez de y 2 , a segunda solucAo considerada, em geral, 6 uma determinada combinacäo linear de J,
e y2 . Ela e conhecida como a funcao de Bessel de segunda especie de ordem zero, e e denotada por Y0.
Seguindo Copson (Capftulo 12). definimosth
2
Yo(x) = — ly 2 (x) (y — In 2)4)(x)).
Jr
Aqui, ye uma constante, conhecida como a constante de Euler-Nlrischeroni:" ela e definida pela equacao
(12)
y = lim (II„ — In n) 0,5772.
n—
Substituindo y2 (x) na Eq. (1 1). obtemos
DO
, x
2
Yo(x) = — [(y + In —) AO) +
7
2
00 (
11
\ — .
In + 1 I-IM x 2m .
22m on !).2
x > 0.
(13)
m=1
A soluciio geral da equacAo de Bessel de ordem zero para x > 0 e
y=
0 (x) + c2Y0(x).
e que Yo (x) tern tuna singularidade logaritmica em x = 0, ou seja,
1 quando x
Note que J „(x)
0 por valores positivos. Ent5o. se estivermos interessados
Yo(x) se comporta como (2/7r)In x quando x
em solucaes da equacdo de Bessel de ordem zero que sejam finitas na origem, o que ocorre muitas vezes,
winos que descartar Y,. Os grrificos das funcOes Jo(x) e 110 (x) estao ilustrados na Figura 5.7.2.
FIGURA 5.7.2 As funceies de Bessel e Yo.
''Outros autores usam outras definicOes de Yo. Esta escolha para Y„ tarnbam é conhecida como funcäo de Weber, em homenagem a I leinrich Weber (1842-1913), clue ensinou em diversas universidades alemzis.
"Lorenzo Mascheroni (1750-1800) era um padre italiano que foi professor na University of Pavia. Ele calculou corretamente
as 19 primeiras casas decimais y em 1790.
SOLUCOES EM ERIE PARA EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
231
E. in teressante observar na Figura 5.7.2 que para x grande, ambas as functiesio(x) e Y0(x) oscilam. Poderfamos ter antecipado tal comportamcnto a partir da equaciio original; de fato, isso a verdade para as
solucOes da equac5o de Bessel de ordem u. Dividinclo a Eq. (1) por x 2, obtemos
,2
1
y" + — y' + (1 — :4) = O.
x-
Para x muito grande é razoavel suspeitar que os termos (11x)y i c (v2/x2 )y sao pequenos e,portanto,podem
ser desprezados. Se isso for verdade, entilo a equacäo de Bessel de ordem pode ser aproximada por
y" + y = 0.
As solucOes desta equacäo Sao sen x e cos x; poderfamos,entao,antecipar que as solucOes da equacilo de
Bessel para valores grander de x sâo semelhantes a combinacOes lineares dc sen .v e cos .v. isso esta correto no sentido em que as funcOes de Bessel sac) oscilatOrias; no entanto, esta apenas parcialmente correto.
Para x grande, as funcOcs J„ e
tamb6m decacm quando x aumenta; assim, a cquacao y" + y = 0 nâo
fornece uma aproximacâo adequada para a equacao de Bessel para valores grandes de x, e e necessiirio
uma analise mais delicada. De fato, e possfvel mostrar que
J0(x)
2\
quando x —> oo,
—) cos (A:
r.)
(max )
2 )1/2
(14)
sen x — \ quando x —> oo.
4)
(15)
x
Essas aproximacOes assintOticas. quando .v —> DO, Sao, de fato, muito boas. Por exemplo, a Figura 5.7.3
mostra que a aproximacao assintOtica (14) para Jo(x) é razoavelmente precisa para todo .v > I. Assim,
para aproximar J„(x) em todo o intervalo de zero a infinito podemos usar dois ou tres termos da srie (7)
para x < 1 e a aproximacilo assintOtica (14) para .v > 1.
Equaccio de Bessel de Ordem Melo. Este caso ilustra a situacão na qual as rafzes da equacao indicial dife-
rem por um in te iro posi t 0. nuts a segunda solucilo nab tem termo logaritmico. Fazendo v = na Eq. (1),
obtemos
L[y] x2y" + xy' + (x2 — y = 0.
Substituindo y = 4)(r, x) pela sërie (3), obtemos
00
L 101( r , x ) =--
E
n)(r + n — 1) (r + n) — Id a „x r '''
E a„x"-n+2
n=o
n=o
,
(r- — aox r +
+ 1) 2 — JJ a1 xr+1
00
4
-ER (r
11) 2 —
an a„_ 2 I X r+" -= O.
11=2
Aproximacäo assintOtica y = (21rx) 112 cos(x - n14)
y = Jo(x)
FIGURA 5.7.3 Aproximacäo assintOtica de Jo(x).
232
CAPiTU1.0 CINCO
As raizes da equaciio indicial são r, = e r2 = - J2-. ; logo, as raizes diferem por um inteiro. A relacâo de recorréncia é
n > 2.
(18)
Correspondendo a raiz maior r, = Z, pelo cocticiente de x"' na Eq. (17) vemos que a, = 0. Logo, da Eq. (18),
= 0. Alem disso, para r =
= a5 = • • • =
a„ -
an-2
,
n(n + 1)
I1 = 2, 4, 6 ..
ou, fazendo n = 2m, obtemos
abn-2
m = 1,2, 3,....
a2m — 2m (2m + 1)'
Resolvendo a relacao de recorrencia, encontramos
ao
a2 =
3!
a4 =
ao
5!
e, em geral,
(-1)"ao
(2m + 1)!'
a2„`
m = 1,2, 3,....
Portanto, fazendo a 0 = 1, obtemos
00 rnx2m+1
_jy
2 1 (___1)nx2,n 1
y 1(x ) =x/2[ 1 + E
(2m + 1)! = x
-1/2 E '
„,... (2m + 1)!
x > 0.
(19)
A segunda set-le de potCmcias na Eq. (19) é precisamente a serie de Taylor para sen x: logo, uma solucab
1715 -1 ira espdcie de ordem
para a equaciio de Bessel de ordem meio e x 1 / 2 sen x. A funcilo de Bessel cc.
meio, J,,,, e definida como (2/7r)tr2y1.Assim,
2 )1/2
J i/ 2 (X) = (—
7EX
senx,
> 0.
(20 )
possivel que encontremos cliticuldade em calcular a,, ja que N
Correspondendo a raiz r = r, - r, = I. No entanto, da Eq. (17) para r = - Z, os coeficientes de x' e de x''' sao ambos nulos, inclependente
da escolha de a„ c a,. Portanto, a„ e a, podem ser escolhidos arbitrariamente. Da relaVio de recorrcncia
(18) obtemos urn conjunto de coeficientes corn indices pares correspondendo a a, e urn conjunto de coeficientes corn indices impares correspondendo a a,. Entdo niio é necessario um termo logaritmico para se
obter uma segunda solucâo nesse caso. Deixamos como exercfcio mostrar que, para r
a2n
(- 1 )"a0
(2n)!
a 2n+1 =
(-1)"a1
n=
(2n + 1)!'
Logo,
a()
y2(x) = x - Ii2[
= ao
senx
cos x
1 2 ± at
X/
cc
-( onx2"
onx2n+1
E (2n)! + a1
(211 + 1)!
n= 0
n=0
x > O.
(21)
X
A constante a, simplesmente introduz urn maltiplo de y,(x). A segunda solucäo da equacao de Bessel dc
ordem meio é escolhida, em geral, como a solucao para a qual a, = (2/7r)'" e a, = 0. Ela e denotada por
Entdo
J-1/2 (X ) = (—
7TX
COS X,
x > 0.
(22)
A soluciio geral da Eq. (16) é y = c,J 12 (x) +
Comparando as Eqs. (20) c (22) corn as Eqs. (14) e (15), vemos que, exceto por urn deslocamento de
fase de 7r/4, as funcaes./_,,2 e J12 se parecem corn e Yo , respectivamente, para valores grandes de x. Os
graficos de J12 e .1. 1 r2 estão ilustrados na Figura 5.7.4.
SOLUCOES EM SERIE PARA EQUACOES LINEARES DE SEDUNDA ORDEM 233
FIGURA 5.7.4 As funcees de Bessel J, 2 e _,
Equaciio de Bessel de Ordem Urn. Este caso ilustra a situacão na qual as rafzes da equacilo indicial dife-
rem por urn inteiro positivo e a segunda solucao envolve urn termo logaritmico. Fazendo I . = I na Eq. (1).
temos
L[y] = x2 y" + xy' + (x2 - 1)y = 0.
(23)
Substituindo y = (1)(r, x) pela serie em (3) e juntando os termos como nos casos precedentes. obtemos
E {[(r
1.[C(r,x) = ao(r2 - 1).rr + a, I (r + 1) 2 — 11X r+1
n) 2 - 1] an + an-2 xr+" = 0.
(24)
n=2
As rafzes da equagno indicial sAo r, = 1 e r, = -1.A relacao de recorrencia
n > 2.
+ n) 2 - 11a„(r) = -an-2(r),
(25)
Correspondendo a rail major r = 1. a relacilo de recorrencia fica
an-2
n
2,3,4,....
an=
,
(n + 2)n
Pelo coeficiente de x'-' na Eq. (24), vemos também que a, = 0: logo, pela relacdo de recorrencia, a, = a, =
= 0. Para valores pares de n. seja n = 2m: cntao
a2m-2
a 2m
1,2,3,....
a 2nt =
(m + 1)m'
22(m
22
(2m + 2)(2,n)
Resolvendo essa relacrio de recorrencia, obtemos
a 2nn =
(-1)"' ao
2-"' (In + I )!m!'
in = 1,2, 3, ....
(26)
A funcao de Bessel de primeira espécie de ordem um, denotada por J,, é obtida escolhendo-se a, = 1/2.
Portanto,
J i ( A) = -2
E
(-1)m .2m
22m on +
)
( 27
)!tn! •
A serie converge absolutamente para todo x, de modo que J, é analitica em toda parte.
Ao determinar uma segunda solucao da equacao de Besse) de ordem um vamos ilustrar o metodo de
substituiciio direta. 0 cAlculo do termo geral na Eq. (28) abaixo e bastante complicado, mas os primeiros
poucos coeficientes podem ser encontrados facilmente. De acordo corn o Teorema 5.6.1, vamos supor que
CC
Y2( x) = (LI 1 (x) ln x + x -1[ 1 +
c nxn
x > 0.
(28)
n=1
Calculando y' 2 (x), Y"2(x), substituindo na Eq. (23) e usando o fato de que J, é uma solucao da Eq. (23),
obtemos
2ax.li(x)
+E
=0
[(n - 1)(n - 2)c, + (n - 1)c, - cn] xn-1
E
n=0
cx1
(29)
234 CAPITU1.0 CINCO
onde c, = 1. Substituindo J,(x) por sua expressao na Eq. (27), mudando os indices dos somatOrios nas duas
series e efetuando diversos alculos algebricos, chegamos a
00
(-1)m (2m + 1).x.2"
[(n2 - 1)cn-F t + c»-avn = -a .v
(30)
-c i ± [0 c2 + co]x +
22'n (m + 1)!m!
E
E
.
,n=1
L
n=2
Da Eq. (30) notamos primeiro que c, 0 e a = -c, = -I. Alen) disso, como a expressäo a direita do sinal
de igualdade contem apenas potencias impares de x, o coeficiente de cada potencia par de x na expressao
a esquerda do sinal de igualdade tens que ser nulo. Então, como c, = 0, temos c, = c5= 0. Correspondendo as potencias impares de .v, obtemos a relacão de recorrencia [seja a = 2m + 1 na serie a esquerda • ..
do sinal de igualdade na Eq. (30)]
(- 1 )"' (2rn + 1)
m = 1,2,3,... .
[(2m + 1) 2 - 1]c2n:+2 + C 2»1 =
(31)
2 2'n (m + 1)! m! '
Fazendo m = 1 na Eq. (31), obtemos
(32 - 1)c4 + c2 = (-1)3/(2 2 . 2!).
Note que c2 pode ser escolhido arbarariamente,c esta equacao, enta), determina c4 . Note, tambem, que na
equacao para o coeficiente de .v, (-2 aparece multiplicado por 0, e essa equagOo foi usada para determinar a.
Näo 6 surpreendente que c2 seja arbitr6rio, jä que c, é o coeficiente de x na expressao .v -1 [ I + E cn x" .
n.=_-1
Em consequencia, c2 gera simplesmente um imiltiplo de J, c y2 se esta determinado a menos de natiplos
de J,. De acordo corn a pnitica usual, escolhemos c, = 1/22. Obtemos, ent5o,
1 ± 1]
-1
-1 r 3 + 1 1
e4
242! L 1+ 2)
24 • 2 L 2
i
( 1)
(H, + Hi).
24 • 2 !
E possivel mostrar que a solucão da relacao de recorrencia (31) e
(-1)7: (1!1(int
1
C2'n =
corn a convenciio de que
y2(x) = Ji
72'
H
oT -
n
in = 1, 2_
= 0. Assim,
- Yn+
(x) .v
tn.!
H -1) /
2 2"' m!(rn - 1)!
x > 0.
(32)
0 calculo de y2 (x) usando outro procLdimento [veja as Eqs. (19) e (20) ( a Secão 5.6]. no qual determinamos c„(r2 ),(5 ligeiramente mais f icil. Em particular, este ultimo procedi nento fornece uma fOrmula
geral para c2„, sem a necessidade de se resolver uma relacao de recorrencia (1 • forma (31) (veja o Problema 11). Nesse aspect() voce pode querer, tambem, comparar Os cOlculos da segunda solucao da equacao
de Bessel de ordem zero no texto e no Problema 10.
A se gunda solucão da Eq. (23), a funcao de Bessel de segunda especie de ordem um, 1/ 1 , c escolhida,
em geral, como uma determinada combinacao linear de J, e y Seguindo Copson (Capitulo 12), Y, é
definida como
- In 2 Vi
= [-y2( x ) +
7r
onde y 6 definido pela Eq. (12).A solucao geral da Eq. (23) para x >0 6
Yi
y=
(33)
(X) +- C 2 Y 1 (X).
Note que enquanto J, e analitica cm x = 0, a segunda solucao Y, torna-se ilimitada do mesmo modo que
1/x quando x
0. A Figura 5.7.5 mostra os grvificos de J, c Y,.
-SOLUCOES EM SERIE FARA EQUACOES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 235
FIGURA 5.7.5 As funcOes de Bessel J, e Y,.
Em cada um dos Problems de 1 a 4, mostre que a equacäo diferencial dada tern um ponto singular regular em
x = 0 e determine duas solucOes para x > 0.
1. x2y" + 2xy' + xy = 0
x 2y" + xy' + ?Ay = 0
2. x2y" + 3xy' + (1 + x)y = 0
4. x2y" + 4.ry + (2 + x)y = 0
5. Encontre duas soluceies para a equac5o de Bessel de ordem
x2y" + xy' + (x2 - )y = 0,
x > 0.
OMostre que a equac5o de Bessel de ordem meio
x2 y" + xy' + (x2 - y = 0,
x> 0
pode ser reduzida a equac5o
v" + v = 0
pela mudano da variiivel dependente y = x-''2 v(x). Conduit disso que y,(x) = x- I '2 cos x e y2 (x) = x- 112 sen x
sao solucOes da equac5o de Bessel de ordem meio.
Mostre diretamente que a serie para J„ (x), Eq. (7), converge absolutamente para todo x.
Mostre diretamcnte que a s6rie para J,(x), Eq. (27), converge absolutamente para todo x e que Jo' (x) =
--Ji(x).
0 Considere a equac5o de Bessel de ordem v,
xy + (x2 + v2 )y =
x 2y ,
x > 0,
onde v e real e positivo.
Mostre que x = 0 é urn porno singular regular e que as rafzes da equacäo indicial sdo v e
Correspondendo a raiz major v, mostre que uma solucito
)1(x ) = x' [I -
1
x\2
1
(X y
1!(1 + v) 1/2) + 2!(1 + v)(2 + v) l2/ +
(-1)"
m !(1 + v) • •
x
+ v)\2)
•
Se 2v nil° for inteiro, mostre que a segunda solucao sera
Y2( X ) = ,r -I' [i -
1
1!(1 - v)
(x \ 2 +
k.)
e,
(-1r"
I x \ 21"
t x )4
nr!(1
v)
•
•
(m
v)
\2/ 1'
v)
1/2)
+
2!(1 - v)(2 m=3
1
Note que y,(x) ---* 0 quando x -* 0 e que y2(x) torna-se ilimitado quando x -* 0.
Verifique, por metodos diretos, que as series de potencias nas expressOes para y,(x) e y 2(x) convergem
absolutamente para todo x. Verifique, tambem, que Y 2 6 uma soluc5o, bastando apenas que v rtho seja
inteiro.
10. Mostramos, nesta secao, que uma solucao da equacão de-Bessel de ordem zero
L[y] = x2y" + xy' + x2y = 0
236 CAPITULO CINCO
J,,, onde Jo(x) e dada pela Eq. (7) corn a„ = 1. De acordo corn o Teorema 5.6.1, tuna segunda solucao tern
a forma (x > 0)
Co
Y2(x ) = Jo(x) In x + Eb,,x".
n=1
(a) Mostre que
L [Y21( x )
> n ( n — 1)b„x" +
E
n=2
n=1
+
E f +2 + 2xJ,;(x).
b,,
(i)
n=i
(h) Substituindo a representacäo em serie de J0(x) na Eq. (i), mostre que
b i x + 2 2 b 2 x2 +
E
ti.3
(-1)"2rix2"
(n 2 b„+ b„ 2 )x" = —2(ii
2 2" (11!) 2•
n=1
(c) Note que apareccm apenas potencias pares de x na expressão a direita do sinal de igualdade nit Eq.
(ii). Mostre que b, = b 3 = bs = = 0, b2 = 1/2 2 (1!) 2 e quc
(2n) 2 b 2„ + b 2„_ 2 = —2(-1)"(20/2 2 "(n!) 2 ,
Deduza quc
b4 =
1
22 42 (1+ 1 )
n = 2,3,4 ,
1
1
b 6 — 22 4 2 62 ( 1 + 2— +31 ) .
e
A solucao geral da relacao de recorrencia é b,„= (-1)"' 1 11„12'"(n!) 2 . Substituindo b„ na expressdo para y2(x),
obtemos a solucito dada na Eq. (10).
I I . Encontre uma segunda solucao da equac5o de Bessel de ordem um calculando os c„(r2 ) e a da Eq. (24) da
Sec5o 5.6 de acordo corn as fOrmulas (19) e (20) daquela secão. Algumas diretrizes para esse calculo silo
as seguintes. Primeiro, use a Eq. (24) desta secilo para mostrar que a 1 (-1) e a,'(-1) silo iguais a 0. Depois
mostre que c1 ( -1) = 0 e, da relacâo de recorrencia, que c„(-1) = 0 para n = 3, 5, .... Finalmente, use a Eq.
(25) para mostrar que
a2 (r) =
a0
(r +
a4(r) =
+
e que
a 2 ,,,(r) =
a()
(r + 1)(r + 3)(r + 3)(r + 5)
(-1)"' ao
(r + 1) • • • (r + 2m — 1)(r + 3) • • • (r + 2m + 1)'
m > 3.
Depois mostre que
c2„,(— 1) = (— 0'11+1 (H„, + H„,_ 1 )12 2m n1!(In — 1)!,
m > 1.
Atraves do ulna mudanca adequada de varizivel é possfvel, algumas vezes, transformar outra equacao diferencial em ulna equac5o de Bessel. Por exemplo, mostre que uma solucao de
x2y ,
122,82) y = 0,
(a 2 fi2x2,6
x>0
uma solucao da equacilo de Bessel de ordem v.
ë dada por y = x v2f(cr.r fl ), onde
Usando o resultado do Prohlema 12, mostre que a solucäo geral da equacao de Airy
y" — xy = 0,
x>0
x1/2[c1f1(31x3/2) C2f2( iX 3/2 )j, onde
e f2( ) formam um conjunto fundamental de soluceies da
equacao de Bessel de ordem urn terco.
14. Pode-se mostrar que J„ tem uma infinidade de zeros para x > 0. Em particular, os tres primeiros zeros silo
= 1,2, 3.... os zeros de
aproximadamente iguais a 2,405; 5,520 e 8,653 (veja a Figura 5.7.1). Denote por
J0; segue que
11, x = 0,
j° ( " ) = 0, X = 1.
y =
Verifique que y = J„(X.rx) satisfaz a equacdo diferencial
y" +
Mostre que, portanto,
1
7r-
2
+ Aj.Y = 0,
x > 0.
SOLUCGES EM SERIE PARA EQUACGES LINEARES DE SEGUNDA OFtDEM
237
Esta propriedade importante de J„(X,x), conhecida como propriedade de ortogonalidade, a util na resolucão de problems de valores de contorno.
Sugesttio: escreva a equacäo diferencial para J„(A.,x). Multiplique-a pot x./„(X,r) e a subtraia de .r../P.,r)
vezes a equaciio diferencial para J„(ti,x). Depois integre de 0 a 1.
EITRENCI AS
Coddington, E. A., An Introduction to Ordinary Differential Equations (Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. 1961;
New York: Dover, 1989).
Copson, E. T., An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable (Oxford: Oxford University Press,
1935).
Demonstracties dos Teoremas 5.3.1 e 5.6.1 podem ser encontradas em livros intermediarios ou avancados: veja, por
exempt°, os Capftulos 3 e 4 de Coddinzon, ou os Capitulos 3 e 4 de
Rainville, E. D., Intermediate Differential Equations (2nd ed.) (New York: Macmillan. 1964).
Veja tambem esses textos para uma discussiio do ponto no infinito, mencionado no Prohlema 43 da Seca. ° 5.4. 0 comportamento de solucOes perto de um ponto singular irregular e urn tOpico ainda mais avancado; uma discussão
sucinta pode ser encontrada no Capftulo 5 de
Coddington, E.A.,and Levinson. N., Theory of Ordinary Differential Equations (NewYork: McGraw-Hill, 1955).
DiscussOes mais complelas da equacäo de Bessel. da equacdo de Legendre e de muitas outras equagOes que levam
none de pessoas podem ser encontradas em livros avancados de equagOes difcrenciais, de metodos de matematica
aplicada e de funcOes especiais. Urn livro que trata de fun46es especiais, como os polinOmios de Legendre e as
funcOes de Bessel, 6
Hochstadt, H., Special Functions of Mathematical Physics (New York: Holt. 1961).
- de Bessel.funcOes de Legendre e outras func-Oes
Uma compilaciio excelente de fOrmulas,gralicos e tabelas de tune 6es
especiais da fisica matematica pode ser encontrada em
Abramowitz, M., and Stegun. I. A. (eds.). Handbook of Mathematical Functions (NewYork: Dover, 1965); publicado
originalmente pelo Departamento Nacional de PadrOes, Washington. DC, 1964.
CAPITULO NIMINInn•n•
6
A Transformada de Laplace
Muitos problemas prziticos de engenharia envolvem sistemas mecimicos ou eletricos sob a aczio de forcas
descontfnuas ou de impulsos. Os metodos descritos no Capftulo 3 sao, muitas vexes, complicados de usar
em tais problemas. Outro metodo particularmente adequado para esses problemas, embora possa ser
usado mais geralmente, baseia-se na transformada de Laplace. Vamos descrever. nestc capitulo, coin°
esse método importante funciona, enfatizando problemas tfpicos que aparecem MIS aplicacnes de engenharia.
6.1 Definicao da Transformada de Laplace
Integrais ImprOprias. Como a transformada de Laplace envolve uma integral de zero a infinito, e necesszirio conhecimento sobre integrals imprOprias desse tipo para apreciar o desenvolvimento subsequente
das propriedades da transformada. Vamos fornecer aqui uma revisäo rzipida de tais integrals imprciprias.
Se voce jzi estiver familiarizado corn integrals impreprias, pode querer pular esta revisao. Por outro lado,
se uma integral imprOpria é novidade para voce, ent5o voce deveria, provavelmente, consultar um livro
de Calcitic), onde encontrarzi muito mais detalhes e exemplos.
Uma integral imprOpria em um intervalo limitado é definida como urn limite de integrals em intervalos finitos; assini.
A f(t) dt,
Do
f(t) dt = lim f
(1)
A-4.m
Jn
onde A é um ralmero real positivo. Sc a integral de a ate A existe para todo A > a e se existe o limite quando A
oo, dizemos que a integral imprOpria converge para esse valor-limite. Caso contrzirio, a integral
diverge ou niio existe. Os exemplos a seguir ilustram ambas as possibilidades.
EXEMPLO
Seja f(r) = c", t > 0, onde c e uma constante real niio nula. Entno
A
A
—
1
fo
dt = lim f e" dt = A-.Do c
Aix 0
0
1
= 1im - (e" - 1).
A-. D; C
Segue que a integral imprOpria converge para o valor -1/c se c < 0 e diverge se c > 0. Se c = 0,o integrandof(r)
6 a funciio constante igual a 1 e a integral novamente diverge.
EXEMPLO
Seja f(t) = 111, r > 1. Então
dt
—
A dt
lim
f
Como lim In A = co, a integral imprOpria diverge.
t
A -.00
A
— lim In A.
A-.co
t
239
2 110 CANTULO Sus
EXEMPLO
Seja f(t) = rP, t > 1, onde p é uma constante real e p
1; o caso p = 1 foi considerado no Exemplo 2. Entäo
A
1
dt = lim —0 1-P — 1).
dt = lirn
3
•
A-7.:
A- x
1-p
Quando A --> oo,k-P -0. 0 se p > 1, mas 21 1 -P --0. oo se p < 1. Portanto. f1 t -P dt converge para o valor 11(p - 1)
para p > 1, mas diverge (incorporando o resultado do Exemplo 2) para p < 1. Esses resultados säo and1ogos
. %
aqueles para a sale infinita E n-P .
n=1
Antes de discutir a possivel existencia de i f (t) dt, vamos definir alguns termos. Uma functio é dita
seccionalmente continua ou continua por pules em um intervalo a < t < /3 se o intervalo puder ser divi< t„ = 13 de modo que
dido por um mimero finito de pontos a = t o < t, <
<t<
f seja continua cm cada subintervalo aberto
jtenda a um limite finito nos extremos de cada subinterval° por pontos no interior do intervalo.
Em outras palavras,f e seccionalmente continua em urn intervalo a < t < fi se for continua of exceto por
urn minter° finito de descontinuidades do tipo salto. Se f for seccionalmente continua em a < t < $ para
todo $ > a, entdo clizemos que f 6 seccionalmente continua para t > a. A Figura 6.1.1 mostra urn exemplo
de uma func5o seccionalmente continua.
A integral de uma fungdo seccionalmente continua em urn intervalo finito a simplesmente a soma das
integrals nos subintcrvalos criados pelos pontos da particao. For exemplo, para a funcão f(t) na Figura
6.6.1, temos
fi
fi
f (t) dt = f f (t) dt + f f
a
dr+ f f (t) dt.
fi
ti
(2)
/2
t2
FIGURA 6.1 1 Uma funcao seccionalmente continua y = fit).
Para a funcfio na Figura 6.1.1 atrihuimos valores para a fungi -to nos extremos a e /3 e nos pontos da particao t, e t,. No entanto, para as integrals na Eq. (2) !Id° importa se a fungdof(t) estd definida nesses pontos,
ou quais os valores atribuidos a f(t) neles. Os valores das integrals na Eq. (2) permanecem os mesmos.
A
f (t) dt existe. Portanto,
Logo, se f for seccionalmente continua no intervalo a < t < A, a integral
it
a
se f for seccionalmente continua para t > a, e n t do f f (t) dt existe para todo A > a. No entanto, a Conti,
a
CO
nuidade por partes ndo é suficiente para garantir a converizencia da integral imprOpria J f (t) dt, como
mostram os exemplos precedentes.
a
Se f não puder ser integrada facilmente em termos de funcOes elementares, a definicii° de convergencc
cia de f f (t) dt pode ser dificil de aplicar. Muitas vezes a maneira mais conveniente de testar a convera
gencia ou divergencia de uma integral imprOpria 6 usando o teorema de comparacdo a seguir, andlogo a
urn teorema semelhante para series infinitas.
Teorema 6.1.1
Se f for seccionalmente continua para t > a, se lf(t)I < g(t) quando t ,?._ M para alguma constante positiva
CO
M c se i
DO
g(t) dt converge, enttio
A! f 0")
f (t) dt tambam converge. For outro lado, se f(t)> g(t) > 0 path
af cx)
g(t) dt diverge, entao
t > M e se
Af
a
f (t) dt tambOm diverge.
A TRANSFORMADA DE LAPLACE
241
A demonstracao deste resultado de Calculo rtho sera dada aqui. Ele se torna plausfvel, no entanto, se
compararmos as areas representadas por
g(t) dt e por
If M I dt. As fues
r-10 mais titeis para efeim
im
tos de comparacäo silo ea e r", que consideramos nos Exemplos 1,2 e 3.
A Transformada de Laplace. Entre as ferramentas muito titeis para a resolucao de equacties diferenciais
estao as transformadas integrals. Uma transformada integral é uma relacao da forma
:fi
F(s) =
K(s,t)f (t) dt,
(3)
onde K(s, t) é uma funcao dada, chamada de nticleo da transformac5o, e os limites de integracao a e
tambOm silo dados. E possivel que a = -oo ou = oo, ou ambos. A relacao (3) transforms a funcao f ern
outra funcao F, que e chamada a transformada def.
Existem diversas transformadas integrals titeis em matematica aplicada, mils vamos considerar, itste
capItulo, apenas a transformada de Laplace.' Essa transformada c delinida da seguinte maneira. Suponha
que f(t) 6 uma funcao delinida para t > 0 e que f satisfaz certas condicaes que sent° especificadas mais
adiante. Ent5o a transformada de Laplace del que denotaremos por r(f(t)) ou por • (s). e delinida pela
equacao
C{f(t)} = (s) = f
f (t) dt ,
(4)
sempre que essa integral imprOpria convergir. A transformada de Laplace usa o nCicleo K(s. if = e " . Como
as solucOes das equagOes diferenciais lineares corn coeficientes constantes estao hascadas na funcao exponencial, a transformada de Laplace ë particularmente Cad para essas equagOes. A ideia geral ao se usar
a transformada de Laplace para se resolver uma equacao diferencial é a seguinte:
Use a relaciio (4) para transformar urn problema de valor inicial para unlit funcao desconhecida f no domini° dos t em um problema mais simples (de fato, urn problema algarico) para F. no dominio dos s.
Resolva esse problema alg6brico para encontrar F.
3. Recupere a funcito desejada f de sua transformada F. Essa Ultima etapa é conliecida como "inverter a
transformada".
Em geral, o parametro s pode ser complexo, e todo o poder da transformada de Laplace so se torna
disponlvel quando F(s) e considerada uma funcao de variavel complexa. No entanto, para os problemas
discutidos aqui c sulicientc considerar apenas valores reais de s. A transformada de Laplace F de uma
func5o f vai exist ir se f satisfizer determinadas condicOes, com p as cnunciadas no teorema a seguir.
Teorema 6.1.2 Suponha que
f e seccionalmente continua no intervalo 0 < r < A para qualquer A positivo.
IRO < Ken' quando t > M. Nesta desigualdade, K, a e M silo constantes reais corn K e M necessariamente
positivas.
Ent5o, a transformada de Laplace L(f(t)) = F(s), delinida pela Eq. (4), existe para s > a.
Para estabelecer este teorema, vamos mostrar que a integral na Eq. (4) converge para s > a. Separando
a integral imprOpria em duas partes, temos
e —sr f (t) dt = f
st
oo
f (t) dt + ff (t) dt.
u
(5)
A primeira integral a direita do sinal de igualdade na Eq. (5) existe pela hipatese (1) do teorema; logo, a
existacia de F(s) depends da convergência da segunda integral. Pela hipOtese (2), temos, para t > M,
f
Ke' eal
Ke(a-s1`,
'A transformada de Laplace tern esse nome em homenagem ao eminente matematico frances P. S. Laplace. que estudou a
relacilo (3) em 1782. No entanto, as tcnicas descritas neste capitulo s6 foram desenvolvidas urn seculo depois ou mais tarde.
Elas se devem, principalmente, a Oliver Heaviside (1850-1925), urn engenheiro eletrico ingles inovador, mas pouco conventional, que fez contribuicties importantes para o desenvolvime nto e a aplicacao da teoria eletromagnetica.
242 CAPiTULO Sus
00
e assim, pelo Teorema 6.1.1. F(s) existe se f eta- St' dt convergir. Febo Exemplo 1, corn a - s no lugar de
xt
C. vemos que essa Ultima integral converge quando a - s < 0, o que estabelece o Teorema 6.1.2.
A menos que seja dito especificamente o contrario, vamos tratar. neste capftulo, quase que exclusivamente de funcOes que satisfazem as condicaes do Teorema 6.1.2. Tais funcOes säo descritas como seccionalmente continual c de ordem exponential quando t -4. co. Note que existem funceies que niio silo de
ordem exponencial quando t -). oo. Uma dessas funcOes é f(t) = e. Quando t --> oo, esta funcilo cresce
mais rapidamente do que Ke'", independentemente de qu5o grande sejam as constantes K e a.
As transformadas de Laplace de algumas funcOes elementares importantes sac, dadas nos exemplos
a seguir.
EXEMPLO
Seja f(t) = 1, t > 0. Entito, como no Exemplo 1,
e-"
—
£{1} = f e- s' dt = - 11m
Aix S
4
EXEMPLO
0
0
1
s > 0.
S
Seja f(t) = e"',1 > 0. Entao, novamente referindo-nos ao Exemplo 1,
°C{eat }
5
f
e - "e"' dt =
1
Seja
6
f(t) =
e-(s- °' dt
s > a.
S - a
EXEMPLO
=
1.
k,
0 < t < 1,
t =1,
0,
t > 1,
onde k é uma constants. Em contextos de engenhar a, f(t) represents inuitas vezes um impulso unitdrio, talvez
uma forca on uma tenszio.
Note quef 6 uma funcão seccionalmente continua. Entâo
i
,,,,1
e-'
1 - CS
, s > 0.
e. - " dt -- =
G(f (t)) = J e -" f (t) dt = f=
s
s
0
0
o
Observe que 1:N01 nil° depende de k, o valor da funciio no ponto de descontinuidade. Mesmo que f(t) nao
esteja definida neste ponto, a transformada de Laplace de fpermancce a mesma. Logo, existem muitas funcOes,
diferinclo de valor cm um tinico ponto. que tern a mesma transformada de Laplace.
EXEMPLO
Sejaf(t) = sen at,t > 0. Entito
E(sen at) = F(s) = f e -sr scti at dt,
7
s > 0.
Como
A
c"sen at dt,
F(s) = lim
A-..w J
integrando por partes, obtemos
F(s) = Alint.ti
[ e-31 cos at
a
s
= a a
Uma segunda integrando por partes fornece
A
A
0
a
e-s' cos at dt
e-" cos at dt.
1
s2 f e--sen
„
at dt
F(s) = - a az
1
s2
= - - F(s).
a a-
A TRAI1SPORMADA DE
LAPLACE 243
Portanto, resolvendo para F(s), temos
F(s) =
a
5.2
s > 0.
a2
Vamos supor que f e f2 säo duas funcOes cujas transformadas de Laplace existem para s > a, e s > a2,
respectivamente. Ent "ao, para s maior do que o mdximo de a, e
co
{ c fl (t) + c2f2 (t) = f
[c (t) + c 2f2 (t)] r
DO
= f
(t) dt + c2
e- "f2( 1 ) di;
logo
c {cif, (r)
c2f2 (t)) =
E{fi ( t)}
c 2 E {f2( 1 )} .(6)
A Eq. (6) afirma que a transformada de Laplace é urn operador linear, e faremos use frequents dessa
propriedade mais tarde. A soma na Eq. (6) pode ser prontamente estendida para urn ntimero arbitrario
de parcelas.
EXEM PLO
8
Encontre a transformada de Laplace de f(t) = 5e.- 2'- 3 sen 4t,t > 0.
Usando a Eq. (6), escrevemos
GU' (t)) = 5 Gle -2 ' } - 3G(sen4t).
Entao, dos Exemplos 5 e 6, obtemos
Elf (0) =
5
12
s+2 s 2 + 16.
s > 0.
PROBLEMAS Em cada um dos Problems de 1 a 4, esboce o grafico da furled° dada. Em cada caso determine se f (.: continua,
seccionalmente continua ou nenhuma das duas no intervalo 0 < t < 3.
1. f (0 =
gf
t2 ,
2 + t,
6 - t,
0<t<1
1< t < 2
2<t<3
2. f (t) =
t2,
0<t<1
1<t<2
2<t<3
4. f (t) =
(t) = { 1.
3 - t,
t2,
(t - 1)- 1 ,
1,
1,
3 - t,
1,
0<t<1
1<t<2
2<t<3
0<t<1
1<t<2
2<t<3
5. Encon re a transformada de Laplace de cada ma das funcOes a seguir:
f (t = t
f (t = t2
(c) f(T) = r, onde n é urn inteiro positivo.
6. Encontre a transformada de Laplace de f(t) = cos at, onde a e uma constante real.
Lembre que cosh bt = (e + e-')12 e senh bt = (e - e-" 1 )12. Em cada urn dos Problemas de 7 a 10, encontre a
transformada de Laplace da funcao dada; a e b silo constantes reais.
f (t) = cosh bt
9. f (t) = e cosh bt
(t)
bt
(t) = e"`senh
Em cada urn dos Problemas de 11 a 14, lembre que cos bt = (ern' + e-th')/2 c sen ht = (ez - e-6 9121. Supondo que as
formulas de integracâo elementares podem ser estendidas para esse caso, encontre a transformada de Laplace
d-i fungdo dada; a e h säo constantes reais.
f (t) = senbt
12. f (t) = cos bt
f (t) = ea ` cos bt
13. f (t) = e senbt
Em cada um dos Problemas de 15 a 20, use integracäo por partes para encontrar a transformada de Laplace da
fungdo dada; n é urn inteiro positivo e a é uma constante real.
t
244 CAPITULO Seis
f (t ) = te"'
f (t) = t cosh at
19. f(t)
16. f (t) = t sen at
eat
0-1(t)
20. f(t) = 12 senh at
t=senat
Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine se a integral dada converge ou diverge.
f0 to ' dt
21. f 02 +1)- 1 dt
24. f e -: cos t dt
23. f t -l et dt
oo. Integrando por mutes,
25. Suponha quef ef ' sdo continuos em t > 0 e de ordem exponencial quando
F(s) = 0. 0 resultado continua valid° sob concliceles menos restrimostre que, se F(s) = G(/(t)}, entdo lirn
s- 00
tivas, como as do Teorema 6.1.2.
A Ftinciio Gama. A funcao gama é denotada por P(p) e definida pela integral
00
(p + 1) = f e'xP dx.
(i)
A integral converge quando x co para todo p. Para p < 0 tombem 6 imprOpria, porque o integrando torna-se
0. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em x = 0 pant p > -1.
ilimitado quando x
Mostre que, para p > 0,
1-(p +
(p)•
=
Mostre que ro) =
Se p for um inteiro positivo, mostre que
+ I) = a!.
Como F(p) tombern esta definido quando p ndo 6 inteiro, esta fund° fornece uma extensao da funcdo
fatorial para valores nao inteiros da varidvel independente. Note que tainb6in 6 consistente delinir 0! = 1.
Mostre que, para p > 0,
p(p + I )(p +2)
[(p + n)/ (p).
- I)
(p +
Assim, [(p) pode ser determinado para todos os valores positivos de p se 1(p) for conhecido em um nnico intervalo de comprimento um, digamos, cm 0 < p < 1. E possivel mostrar que I' (1) = frr. Encontre
r (i) e r (14
27. Considere a transformada de Laplace de tr , onde p > -1.
Usando o Problema 26, mostre que
00
1
dx
e-511" dt = —
e
r{tP } =
sP+1 I
0
s > 0.
= P(p + 1 ) / sP+1 ,
Seja p igual a um inteiro positivo n em (a); mostre que
,
LW} = n! /
s > O.
Mostre que
c{i_1/2} = 2
.\/75 0
e
s > 0.
d,
x
E possivel mostrar que
jr2
e-x2 dx = — ;
portanto,
.0 - 1 /2 }
jr7s,
s > O.
Mostre que
r{t 1/2 } = vri/(2s3/2 ),
s > 0.
A TRANSFORMADA DE LAPLACE
245
6.2 Soloci° de Problemas de Valores Iniciais
Nesta secao vamos mostrar como a transformada de Laplace pode ser usada para resolver problems de
valor inicial para equac6es diferenciais lineares corn coeficientes constantes. A utilidade da transformada
de Laplace nesse contexto reside no fato de clue a transformada de f' estzi relacionada de maneira simples
a transformada de f. Esta relacilo estzi explicitada no teorema a scguir.
Teorema 6.2.1 Suponha quef ë continua e quef ' é seccionalmente continua em qualquer intervalo 0 < t A. Suponha,
alêm disso, que existem constantes K, a e M tais que If(t)1 < Ken para t > M. Entao r(f(0) existe para
s > a e, alem disso,
(t)} = sr{f (t)} — f(0).
(I)
Para provar este teorema, vamos considerar a integral
A
I e
-stf , (t) cit.
Se f' tent pontos de descontinuidade no intervalo 0 < r < A. vatnos denota-los por 1,, 1,, .... t„. Podemos,
entao, escrever essa integral como
A
ri
12
A
e -'1"(t) dr = f e---"f (t) dt + f e' f' (t) dt + • • • + f e - " f ' (t) d t .
a
I,
t„
f
I ntegrando cada parcela 1 dircita do sinal de igualdade por partes, obtemos
A
12
e-st f'(t) = e-7(t)1 +
f (t)
• + e -st f (t)A
0
t, +
0
+ s[j e -st f (t) dt + f e -sr (t) dt + • • • + f e -'7(t) dr].
fi
Como f e continua, as con tribuicOes em t,, t,,
integrals. obtemos
fjA
t„ das parcelas integradas se cancelam. Comhinando as
A
Cs` (t) dt = e- sn f (A,) f (0) + s f C s' f (t) cit.
Para A > M, temos If(A)1 < Ke"'; em consequencia, le-sAf(A)1 < Ke-(s-a". Portanto, eAf(A) —* 0 quando
A -4 oo sempre que s > a. Logo. para s > a,
E{f'(t)} = sG(f (t)) — f(0),
o que prova o teorema.
Se f' e f" satisfazem as mesmas condicOes impostas ern f ef respectivamente, no Teorema 6.2.1, entao
a transformada de Laplace de f" tambêm existe para s>aed dada por
.C(f"(t))
s2 L{f(t)} — sf(0) —
(0).
(2)
De fato, desde que a functio f e suas derivadas satisfacam condicees adequadas pode-se obter uma expresszlo para a n-esima derivada f") atraves de aplicaceles sucessivas desse teorema. 0 resultado é dado
no corolario a seguir.
Corolirio 6.22
Suponha que as funce•es f, f',
P-1) sdo continual e que f") é seccionalmente continua em qualquer
<
intervalo 0 < t < A. Suponha,alern disso, que existem constantes K, a e M tais que If(t)1 < Ken,lf '
xe",...,v(")(0 < Ke°1 para t > M. Ent-At:1,40) (0i existe para s > a e dado por
R sr-,2) (0) r-1) (0).
sn71 f (0) —
(01
Llf(n)
/ = st!4tf
(3)
—
Vamos mostrar, agora, como a transformada de Laplace pode ser usada para resolver problemas de
valor inicial. Sua utilidade maior é em problemas envolvendo equacees diferenciais não homogeneas,
246 CAPITULO SETS
como mostraremos em secOes mais adiante neste capftulo. Entretanto, vamos comecar olhando algumas
equagOes homogeneas, que sac) um pouco mais simples.
Vamos considerar a equacäo diferencial
EXEMPLO
y" - y - 2y = 0
1
(4)
corn condicties iniciais
y'(0) = 0.
y(0) = 1,
(5)
Este problema pode scr resolvido facilmente pelos metodos da Secäo 3.1. A equacao caracterfstica é
r2 - r - 2 = (r - 2)(r + 1) = 0,
(6)
e, em conscquencia, a solucao geral ch.( Eq. (4) é
y = c, e-` + c:e2'
(7)
Para satisfazer as condicaes iniciais (5), precisamos ter c, + c. = 1 e -c, + 2c, = 0; logo, c, = 3 e c, =I3 ' de modo
clue a solucäo do problema de valor inicial (4) e (5) é
le2t.
(8)
y
0 (t) =
e.,
Vamos agora resolver o mesmo problema usando a transformada de Laplace. Para fazer isso precisamos
supor clue o problema tern uma solucao y = 0(t) tal clue as duas primeiras derivadas satisfacam as condicties do
Corolario 6.2.2. Entao, calculando a transformada de Laplace da equacäo diferencial (4), obtemos
Giy") - E{y'} - 2L(y) = 0,
(9)
onde usamos a linearidade da transformada para escrever a transformada de uma soma como a soma das transformadas separadas. Usando o corolario para expressar G{y"j e Lb. ] em funOo de GM, a Eq. (9) flea
s2 r(y) - sy(0) - y'(0) - [sr(v} - y(0)] - 2r{y} = 0,
011
(s2 - s - 2)Y (s)+ (1 - s)y(0) - y'(0) = 0,
(10)
onde Y(s) = Gfyi. Substituindo os valores de y(0) e y'(0) dados pelas condicaes iniciais (5) na Eq. (10) e depois
resolvendo para Y(s), obtemos
s-1
s-1
Y(s) =
(11)
(s
2)(s + 1)
s2 - s - 2
Obtivemos, assim, uma expresszio para a transformada de Laplace Y(s) da solucäo y = 0(t) do problema de
valor inicial dado. Para determinar a funcäo (/) precisamos encontrar a funcao cuja transformada de Laplace é
Y(s) dada pela Eq. (11).
Isso pode ser feito mais facilmente expandindo-se a expressab a direita do sinal de igualdade na Eq. (11) em
frace•es parciais. Escrevemos, ent5o,
a(s +1) + b(s - 2)
a
b
s-1
Y(s) =
=
+
(12)
s-2
s+1
(s - 2)(s + 1) '
(s - 2)(s + 1)
onde os coeficientes a e b tern que ser determinados. Igualando os numeradores da segunda corn a quarta expressao na Eq. (12), obtemos
s - 1 = a(s + 1) + b(s - 2),
uma equacao que tern que ser satisfeita para todos os valores de s. Em particular, fazendo s = 2 temos que a =
3. Analogamente, se s = -I, undo b = 3. Substituindo esscs valores para a e b, respectivamente, temos
1/3
2/3
s + 1•
(13)
s-2
Finalmente, usando o resultado do Exemplo 5 da Secao 6.1. temos que le" tem transformada i(s - 2)- 1 ; analo6 i(s + 1)-'. Portanto, pela linearidade da transformada de Laplace,
gamente, a transformada de
Y(s) =
Y = 0(1) =
+
tem transformada (13) e é, portanto, solucdo do problem de valor inicial (4), (5). Note que ela satisfaz as condig 6- es do Corolario 6.2.2, como supusemos inicialmente. E claro que essa e a mesma solucäo que obtivemos
antes.
A TRANSFORMADA DE LAPLACE
247
0 mesmo procedimento pode ser aplicado a equactles lineares gerais de segunda ordem corn coeficientes constantes
ay" + by' + cy =-- f (0.1
(14)
Supondo que a solucalo y =
satisfaz as condicOes do Corolario 6.2.2 para n = 2, podemos calcular a
transformada da Eq. (14) obtendo, assim,
a[s2 Y (s) — sy(0) — y'(0)] + MsY(s) — y(0)] + cY(s) = F(s),
(15)
onde F(s) é a transformada de f(t). Resolvendo a Eq. (15) para Y(s),encontramos
Y(s) —
(as + h)y(0) + ay'(0)
as2 + bs + c
F(s)
as2 + bs + c•
(16)
0 problema, ent5o, esta resolvido, desde que possamos encontrar a funcdo y = 0(1) cuja transformada é
Y(s).
Mesmo nesse estagio inicial de nossa discussao, podemos apontar algumas das caracteristicas essenciais do metodo de transformada. Em primeiro lugar, a transformada Y(s) da funcilo desconhecida y =
0(t) é encontrada resolvendo-se uma equaciio algebrica em vez de uma cquactio d Ifrrencial , a Eq. (10)
em vez da Eq. (4) no Exemplo 1, ou, em geral, a Eq. (15) em y es da Eq. (14). Essa e a chave da utilidade da transformada de Laplace para resolver equacCies diferenciais oalindrias lineares con coeficientes
constantes — o problema é reduzido de uma equacilo diferencial para uma equacdo alizebrica..A seguir,
a solucâo satisfazendo as condiciies iniciais dadas é encontrada automaticamente, do modo que a tarefa
de determinar os valores apropriados para as constantes arbitrdrias na solucao geral nao aparece. Alcor
disco, como indicado na Eq. (15), as equacoes nao homogeneas säo tratadas exatamente da mesma forma
que as homogeneas; nao e necessdrio resolver primeiro a equacao homogenea correspondente. Finalmente. o metodo pode ser aplicado da mesma forma para equacOes de ordem major, desde que suponharnos
que a soluciio satisfaz as condicOes do coroliirio para o valor apropriado de a.
Observe que o polinOmio as' + hs + c, no denominador da fracdo a direita do sinal de igualdade na Eq.
(16), e precisamente o polinOmio caracteristico associado a Eq. (14). Como a expansao de Y(s) em fritcOes parciais para determinar 0(r) necessita da fatoracäo desse polinômio, a utilizacilo da transformada
de Laplace nao evita a necessidade de se encontrar as raizes da equacão caracteristica. Para equacOes de
ordem major do que dois isso pode ser um problema algebrico dificil, especialmente se as raizes forem
irracionais ou complexas.
A dificuldade major que ocorre ao se resolver urn problem de valor inicial pela tecnica da transformada estd na determinacilo da funcilo y = 0(1) correspondente a transformada Y(s). Esse problem
conhecido como o problema de inversâo da transformada de Laplace; 0(1) é chamada a transformada
inversa correspondente a Y(s) e o processo de encontrar 0(t) a partir de Y(s)d conhecido como inverter a
Y(s)} para denotar a transformada inversa de Y(s). Existe
transformada. Usamos, tambem, a notacilo
uma formula genii para a transformada de Laplace inversa, mas ela precisa de familiaridade con a teoria
de funcOes de ulna variavel complexa, c nao vamos considerd-la neste livro. No entanto, ainda e possfvel
desenvolver muitas propriedades importantes da transformada de Laplace e resolver muitos problemas
interessantes sem usar varidveis complexas.
Ao resolver o problema de valor inicial (4), (5) nä° consideramos o problema da possfvel cxistencia
de outras funcOes, alem da dada pela Eq. (8), que tambem tenham a transformada (13). Sabemos,
do Teorema 3.2.1, que o problema dc valor inicial nao tern outras solucoes. Consistente con esse fato,
pode-se mostrar que se f e g sao fur-10es continuas corn a mesma transformada de Laplace, entao f e g
sao icInticas. Por outro lido, se f e g so são seccionalmente contfnuas, eras poclem diferir em um ou mais
pontos de descontinuidade c ainda terem a mesma transformada de Laplace; veja o Exemplo 6 na Secdo
6.1. Essa falta de unicidade da transformada de Laplace inversa para fungi:5es seccionalmente contInuas
nao tem importilncia pratica nas aplicacaes.
Entdo, existe, essencialmente, uma bijecäo entre as funcOes e suas transformadas de Laplace. Esse
fato sugere a compilacao de uma tabela, como a Tabela 6.2.1, que fornece as transformadas das fungi:les
encontradas coin mais frequencia e vice-versa. As fungi:5es na segunda coluna da Tabela 6.2.1 sac) as transformadas das funcOes na primeira coluna. Talvez mais importante, as functies na primeira coluna säo as
transformadas inversas das functies na segunda coluna. Assim, por exemplo,se .a transformada da solucdo
de uma equacão diferencial é conhecida a solucão pode ser encontrada, muitas vezes, olhando-se simplesmente na tabela. Algumas das funcOes na Tabela 6.2.1 foram usadas como exemplos, outras aparecem
como problemas na Secdo 6.1, enquanto outras vâo ser encontradas mais adiante neste capitulo. A terceira coluna da tabela indica onde pode ser encontrada a deducäoda transformada dada. Embora a Tabela
6.2.1 seja suliciente para os exemplos e problemas dados neste livro, estdo disponlveis tabelas muito mais
R
i
248 cA
_.P.TOLO
-EIS
TABELA 6.2.1 Transformadas de Laplace Elementares
f (t) = L -1 {F (s))
••
1
1
s>0
-,
s
1
eat
p > -1
tP ,
n!
s it4.1 ,
Seciio 6.1:Ex. 5
s>0
Secäo 6.1; P rob. 27 A
r (p+ 1) '
s>0
sP+ I
a
sen at
s2 + a2 '
s
cos at
s2 + a2 '
a
s2 _ az '
senh at
cosh at
Seca() 6.1; Ex. 4
s>a
s - a'
t", n = inteiro positivo
Notas
F(s) = L{f (t)}
s2 - a2'
Seciio 6.1:Prob. 27
s>0
Secao 6.1; Ex. 7
s>0
Seca() 6.1; Prob. 6
s > ial
Sec5o 6.1; Prob. 8
s > lal
Seca) 6.1; Prob. 7
cat sen bts
>
(s _ a) 2 b . a
Secäo 6.1; Prob. 13
en cos ht
s-a
(s - a) 2 + b2
SecAo 6.1; Prob. 14
t" e`",
n
inteiro positivo
s>a
n!
(s _ ar, ,•
s>a
1
Seciio 6.1; Prob. 18
e-cs
s>0
tt,.(t)
Seca° 6.3
ite (t)f(t - c)
ccs F(s)
Seca° 6.3
ec` f (t)
F(s - c)
Seca° 6.3
15. f (ct)
1 F C) ,
16.
P. (s)G (s)
Seciio 6.6
8(1 - c)
c's
Seciio 6.5
f(") (t)
s" F(s) - 3' 1 f (0) - • • - - f ( " -1) (0) Seca° 6.2
fo
f (t - r)g(r) dr
19. (-t)nf (t)
c
c
F(")(s)
c>0
SecTio 6.3; Prob. 25
Secão 6.2; Prob. 28
completas (veja a lista de referencias no final deste capitulo). Transformadas e transformadas inversas
tambem podem ser encontradas atraves da utilizacäo de sistemas algébricos computacionais.
Coin frequencia, uma transformada de Laplace F(s) pode ser expressa como uma soma de diversas
parcelas,
F(s) =
(s) + F2 (S) + • • • + Fn(s).
(17)
A TRANSF ORMADA DE L APLACE
Suponha que f, (t) = C-1(F,(s)},
249
fn (t) = G-'{F,,(s)). Entdo, a fungdo
f (t) =
(t) + • • + f„(t)
tem a transformada de Laplace F(s). Pela unicidade enunciada anteriormente nä° existe outra fungdo
continua f tend° a mesma transformada. Assim,
{Fi (s)} + • • • +
{F (s)} =
{F„(s)};
(18)
ou seja, a transformada de Laplace inversa tambdm é urn operador linear.
E convenience, em muitos problemas, usar essa propriedade decompondo uma transformada dada em
uma soma de fungi:5es cujas transformadas inversas ja sào conhecidas ou podem ser encontradas em uma
tabela. ExpansOes em fracOes parciais são particularmente dteis nesse contexto, e urn resultado geral cobrindo muitos casos é dado no Problema 38. Outras propriedades dteis da transformada de Laplace serdo
deduzidas mais tarde neste capftulo.
Os exemplos a seguir fornecem ilustracOes adicionais da tdcnica de resolucdo de problemas de valor
inicial usando transformada de Laplace e expansâo em fracOes parciais.
EXEMPLO
Encontre a solucào da equacao diferencial
y" +y =sen2t,
2
(19)
satisfazendo as condicdes Uncials
y(0) = 2,
y'(0) = 1.
(20)
Vamos supor clue esse problema de valor inicial tem uma solucâo y = 4)(t) corn as duas primeiras derivadas
satisfazendo as condicdes do Corolirio 6.2.2. Entdo, calculando a transformada de Laplace da equacão diferencial, temos
s2 Y(s) — sy(0) — y'(0) + Y(s) = 2/(s2 + 4),
onde a transformada de sen 2t foi obtida da linha 5 na Tabela 6.2.1. Substituindo y(0) e y'(0) pelos valores dados
nas condicaes iniciais e resolvendo para Y(s), obtemos
2s3 + s2 + 8s + 6
(s..? 4. 1 )(s2 + 4)
Y (s)
(21)
Usando fracties parciais, podemos escrever Y(s) na forma
as + b cs + d
(as + b)(s2 + 4) + (cs + d)(s2 + 1)
Y(s) = s2 1 ± + 4
(S2 + 1)(S 2 + 4)
(22)
Expandindo o numerador da frac* a dircita do segundo sinal de igualdade na Eq. (22) e igualando-o ao numerador na Eq. (21), encontramos
2s3 s2 + 8s + 6 = (a + c)s3 + (b + d)s2 + (4a + c)s + (4b + d)
para todo s. Entdo, comparando os coeficientes de mesma potencia de s, temos
b + d -= 1,
a + c = 2,
41) + = 6.
+ c =- 8,
Em consequencia, a = 2, c = 0, b = 3e d =
donde
Y (s) =
2s
5/3
+
s2 + 1 s 2 + 1
2/3
s2 + 4
Das linhas 5 e 6 na Tabela 6.2.1, a solucilo do problema de valor inicial dado é
y=
EXEMPLO
= 2 cost + isen t — Isen 2t.
Encontre a solucdo do problema de valor inicial
y(4) — y = 0,
3
y(0) = 0,
y'(0) = 1,
y"(0) = 0,
(25)
y"(0) = 0.
(26)
250 CAPITULO SETS
satisfaz as condicOes do Corolario 6.2.2 para n = 4.
Neste problema precisamos supor que a solucao y =
A transformada de Laplace da equacao diferencial (25) e
s4 Y (s) - s3 y(0) - s2y'(0) - sy"(0) - y"'(0) - Y (s) = 0.
Entao, usando as condicOes iniciais (26) e resolvendo para Y(s), temos
52
Y (s) =
s4 - 1 .
(27)
Uma expansao em fracOes parciais para Y(s) é
Y(s) -
as+b
s2 - 1
cs + d
s2 + 1
e segue que
(as + b)(s2 + 1) + (cs + d)(s 2 - 1) = s2
(28)
para todo s. Fazendo s = 1 e s = -1, respectivamente, na Eq. (28), obtemos o par de equagOes
2(a + b) = 1,
2(-a + b) = 1,
Finalmente, igualando
e, portanto, a = 0 e b = Se fizermos s = 0 na Eq. (28), entao h - d = 0. de modo que d
as parcelas contendo as potencias ail-lien nos dois lados da Eq. (28). encontramos que a + c = 0, logo c = 0.
Assim.
Y (s) =
1/2
+
1/2
s- - 1 s2 + 1'
e, das linhas 7 e 5 da Tabela 6.2.1.a solucao do problema de valor inicial (25). (26) 6
senh t + sent
Y = =
2
As aplicacaes elementares mais importantes da transformada de Laplace estao no estudo de vibraceles
mecanicas e na analise de circuitos eletricos; as equagOes que governam esses fenOmenos foram deduzidas na Seca° 3.7. Urn sistema mola-massa em vibracao tem equacao de movimento
dv
(12 v
+ kv = F(1),
(31)
"I dr2 + dt
onde in e a massa, y e o coeficiente tie amortecimento, k é a constants da mola e F(t) é a forca externa
que esta sendo aplicada. A equacao que &screw um circuito eletrico corn indutancia L, resistância R e
capacitancia C (um circuito L RC) 6
Q
1
+ Q=E (1),
+R
C
dt2d t
é
a
tensao
aplicada.
Em termos da corrente 1(t) = dQ(t)Idt, podeE(t)
onde Q(t) 6 a carga no capacitor e
mos di ferenciar a Eq. (32) e escrever
L
d2 Q
dE
dl
1
d2 1
L —2 R — + - I = — (t).
dr
dt C
dr
Tambem tear que ser dadas condicOes iniciais adequadas para v, Q ou I.
Observamos anteriormente, na Seca° 3.7, que a Eq. (31) para o sistema mola-massa e a Eq. (32) ou
(33) para o circuito eletrico sao identieas matematicamente, diferindo, apenas, pela interpretacao das
constantes e variaveis que aparecem nelas. Existem outros problemas ffsicos que levam a mesma equacao
diferencial. Assim, uma vez resolvido o problema matematico sua solucao pode ser interpretada para
cada problema ffsico correspondents de interesse atual.
Nas listas de problemas ao final fiesta e de outras seceies neste capftulo sac) dados muitos problemas de
valor inicial para equagOes diferenciais lineares de segunda ordem corn coeficientes constantes. Muitos
podem ser interpretados como modelos de sistemas ffsicos particulares, mas, em geral, nao explicitamos
isso.
A T RANSFORMADA DE L APLACE 251
pROBLEMAS
Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da funciio dada.
3
4
F(s) =
2. F(s) =
s2 + 4
(s - 1)3
2
3s
F(s) 4. F(s)
s 2 + 3s - 4
s2 - s - 6
5. F(s) =
2s + 2
s 2 + 2s + 5
7. F(s) -
2s + 1
s 2 - 2s + 2
8. F(s) =
8s 2 - 4s + 12
s(s2 + 4)
1 -2s
4s + 5
10. F(s) =
2s - 3
.5 2 +2s+ 10
9. F(s)
s2
OF(s)
2s - 3
s2 _ 4
Em cada urn dos Problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o proble1113 de valor inicial
dado.
11. y" - y' 6y = 0;
y(0) = 1.
y'(0) = -I
y" + 3y' + 2y = 0;
y'(0) = 0
y" - 2y' + 2y = 0;
y(0) = 1,
y(0) 0,
y" - 4y' + 4y = 0;
y(0) = 1,
y'(0) = 1
y" - 2y' + 4y = 0;
y(0) = 2,
y(0) = 2,
y'(0) = 0
= 0;
y(0) = 0,
y" + 2y' + 5y = 0;
y (4) - 4y- + 6y" - 4y'
y (4 — y = 0;
y(0) = 1.
y'(0) =1
y'(0) = -1
y(0) = 0,
y'(0) -= 1, y"(0) = 0,
y"(0) = 1. y'"(0) = 0
y"'(0) = 1
y (4 ' - 4y = 0;
y(0) = 1, y'(0) = 0, y"(0) = -2, y"'(0) = 0
y(0) = 1, y'(0) = 0
y" + w 2 y = cos 2t, w 2 4;
y(0)
=
1, y'(0) = 0
y" - 2y' + 2y = cost;
y" - 2y' + 2y = cs;
y"4-2y'+y=4e-`;
y(0) = 0, y'(0) = 1
y(0) = 2, y'(0) = -1
Em cada um dos Problemas de 24 a 26, encontre a transformada de Laplace Y(s) = £(y) da solugao do probiema
de valor inicial dado. Sera desenvolvido urn metodo para determinar a transformada inversa na Sega° 6.3.
1, 0 < t < :r,
0,
y(0) = 1, y'(0) = 0
y" + 4y R. < t < oo;
eV'
1('),
"
0 < t < 1,
1< t< :
y(0) = 0, y'(0) = 0
0 < t < 1,
y(0) = 0, y'(0) = 0
1, 1 < t < oc;
I
As transformadas de Laplace de certas fungi:5es podem ser encontradas de modo conveniente pelas suns
expansOes em series de Taylor.
Use a set-le de Taylor para sen
y" + 4y =
t,
(_1)nt2n+1
sent -
E (2n + 1)!
n=t)
e, supondo que a transformada de Laplace desta serie pode ser calculada termo a termo, verifique que
1
s > 1.
L{sent} = .52 +
Seja
0,
t = 0.
I
0.
Supondo
que a transformada de Laplace desta fungäo
t
Encontre a serie de Taylor de f em tomb de
pode ser calculada termo a termo, veritique que
(sent)/t,
f(t ) = 1,
t
252 CAPITOL° SUS
.C(f (t)) = arctan(1/s),
s > 1.
(c) A funcao de Bessel de primeira especie de ordem zero J„ tern s&ie de Taylor (veja a Seca° 5.7)
(_ oni2n
Mt) = E 22n(02
n-0
Supondo que as transformadas de Laplace a seguir podem ser calculadas termo a termo, verifique que
r(Jo(t)} = (s2 + 1) -1/2 ,
s > 1,
h.)} = s-le-1/(4s)
s > 0.
Lv
o(
Os Problemas de 28 a 36 tratam da diferenciacäo de transformadas de Laplace.
Seja
F(s)
e-st f (t) tlt.
E possivel mostrar que enquantof satisfizer as condicOes do Teorema 6.1.2, pode-se diferenciar sob o sinal
de integral em relacao ao parametro s quando s > a.
Mostre que F'(s) = r(-tf(t)).
Mostre que P"'(s) = G((-t)"f(t)); portanto, derivar a transformada de Laplace corresponde a multiplicar a funcao original por -1.
Em cada um dos problemas de 29 a 34. use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da funcao dada; a e b sao ntimeros reais e n e um inteiro positivo.
29. f(t) = re'
30. f(t) = t2 sen bt
31. f(t) = t"
32. f (t) = t" ea'
f (t) = te"`sen bt
34. f (t) = to°` cos bt
35. Considere a equacao de Bessel de ordem zero
ty" + y + ty = 0.
Lembre da Seca° 5.4 que t = 0 6 urn ponto singular regular para esta equacao e, portanto, as solucOes
0. No entanto,‘,amos tentar determinar se existem solucaes que
podem se tornar ilimitadas quando t
permanecem limitadas em t = 0 e Cal derivadas finitas ai. Supondo que existe uma tal solucao y = OW, seja
Y(s) = r(0(1)1.
Mostre que Y(s) satisfaz
(1 + s2 )Y'(s) + sY (s)
0.
Mostre que Y(s) = c(1 + s 2 )-' onde c e ulna constante arbitraria.
expandindo em uma serie binomial valida para s > 1 e supondo
(c) Escrevendo (1 + s2)-'12 = .0(1 +
que e permitido inverter a transformada termo a termo, mostre que
(_iyit2n
= cE 2-n (n!)2 = do(t),
n=0
onde .10 6 a funcao de Bessel de primeira especie de ordem zero. Note que J„(0) = 1 e que J„ tem derivada
finita de todas as ordens em t = 0. Foi demonstrado na Seca° 5.7 que a segunda solucâo desta equacao
torna-se ilimitada quando t
0.
36. Para cada urn dos problemas de valor inicial a seguir, use os resultados do Problema 28 para encontrar
a equacao diferencial satisfeita por Y(s) = C(4)(0), onde y = cp(t) é a solucão do problema de valor inicial
dado.
y" - ty = 0;
(equacao de Airy)
y(0) = 1, y'(0) = 0
y(0) = 0, y'(0) = 1
(1 - 12 )y" - 2ty' + a(a + 1)y = 0;
(equacao de Legendre)
Note que a equacao diferencial para Y(s) é de primeira ordem no item (a), mas a de segunda ordem no
item (b). Isso ilustra o fato de que a transformada de Laplace nem sempre 6 (nil para se resolver equaciies
diferenciais com coeficientes variaveis, a menos que todos os coeficientes sejam, no maxim°, funcOes linearcs da variavel independente.
37. Suponha que
g(t) = f f (T) dr..
A TRANSFORMADA DE LAPLACE
253
Se G(s) e F(s) sit() as transformadas de Laplace de g(t) e f(t), respectivatnente, mostre (pie
G(s) = F(s)/s.
38. Vamos mostrar, neste problema, como se pode usar uma expansao geral cm fraciies parciais para se calcular muitas transformadas de Laplace inversas. Suponha que
F(s) = P(s)IQ(s),
onde Q(s) é um polinOmio de grau n corn raizes distintas r,, ...,r„. e P(s) t: um polinOmio de grau mcnor do
que n. Nesse caso, e possivel mostrar que P(s)IQ(s) tem uma expansrlo em fracnes parciais da forma
P(s)
Q(s)
onde os coeficientes A 1 ,
(a) Mostre que
Al
A„
s — r1
+•••+
(i)
s — r,
11„ precisam ser determinados.
Ak = P(rk)/Q'(rk),
k=
, n.
Sugesulo • urn modo de fazer isso e rnultiplicar a Eq. (i) por s — r, e depois totnar o limite quando s
(h) Mostre que
C-1{F (s)} =
(ii)
r,.
p(rk)
E Q'(rk)
e'kr
k =I
6.3 Funsiies Degrau
Na Secilo 6.2 esbocamos o procedimento geral usado ao se resolver urn problema de valor inicial atraves da
transformada de Laplace. Algumas das aplicacOes elementares mais interessantes do metodo de transformada ocorrem na soluciio de equaceles diferenciais lineares sob a Kilo de funcOes descontinuas ou de impulso.
Equacties desse tipo aparecem corn frequencia na analise do fluxo de corrente em circuitos eletricos ou nas
vibraciies de sistemas mecanicos. Nesta e nas secOes seguintes vamos desenvolver algumas propriedades adicionais da transformada de Laplace theis na solucao de tais problemas. A menos que se diga explicitamente
o contrArio,supomos que todas as funciies a seguir ski seccionalmente continuas e de ordem exponencial, de
modo que suas transformadas de Laplace existem pelo menos para s suficientemente grande.
Para tratar de maneira efetiva funcOes corn saltos, e util definir Irma funcao conhecida como funcao
degrau unitario, ou funcao de Heaviside.
Esta funcao seri denotada por u, e é definida por
{0, t < c,
1, t > c,
ti c (I)
C >
0.
(1)
A Figura 6.3.1 mostra o grafico de y = u,(t). Atribuimos, de forma urn tanto arbitraria, o valor urn a u, em
t = c. Entretanto, para uma funcao seccionalmente continua como u, lembre-se de que em geral o valor
em urn ponto de descontinuidade e irrelevante. 0 degrau tambem pode ser negativo. Por exemplo, a
Figura 6.3.2 mostra o grafico de y = 1 —
y
y
1
1
FIGURA 6.3.1 Grtifico de y = u,(t).
EXEMPLO
Esboce o grafico de y = h(t), onde
h(t)
1
t.
FIGURA 6.3.2 Grafico de y = 1 — u,(t).
u,(t) —
t > 0.
254 CAPITOL° SETS
Da definicao de 1.0) na Eq. (1), temos
h(t) =
0 - 0 = 0,
1 - 0 = 1,
1 - 1 = 0,
0 < t < 7r,
7r < t < 27r,
27r < t < oo.
Logo, a equacäo y = li(t) tern o grifico ilustrado na Figura 6.3.3. Pode-se pensar nessa funcao como um pulso
retangular.
y
1
2g
Ir
3g
FIGURA 6.3.3 Grille° de y =
EXEMPLO
2
.14
u,(t).
Considere a funcao
0 < t < 4,
4 < t < 7,
f (t)
7 < t < 9,
t? 9,
cujo gratico aparece na Figura 6.3.4. Expresse f(t) em termos de Eiji).
2,
5,
-1,
1,
(2)
y
5
4
3
2
11,-n
1
2
4
6
8
10
12
-1
FIGURA 6.3.4 Grzilico da func5o na Eq. (2).
Comecamos corn a func5o f,(t) = 2, que coincide coin f(t) em 10, 4). Para produzir o salto de trés unidades
em t = 4 somamos 3u 4 (t) a f,(t), obtendo
f2(1) = 2 + 3u4(t),
que coincide comf(t) em [0, 7). 0 salto negati yo de seis unidades em t = 7 corresponde a somar - 6u 7 (t), o que di
f3( t) = 2 + 3u 4 (t) - 6u7(1).
Finalmente, precisamos somar 2t1 9 (t) para corresponder ao salto de duas unidades em 1 = 9. Obtemos, ent5o,
f (t) = 2 + 3u 4 (t) - 6u 7 (t) + Ity(t).
(3)
A transformada de Laplace de tic é determinada facilmente:
r{itc(t)}
e-st
(t) d t =
s > O.
J e-st dt
(4)
A TRANSPORMADA DE LAPLACE
255
Para uma fungi-to f dada, definida para t > 0, vamos considerar muitas vezes a func d- o relacionada g
definida por
0
y = g(t)
t < c,
'
f (t - c), t > c,
que representa tuna translac5o de f por uma distancia c no sentido dos t positivos: veja a Figura 6.3.5. Em
termos da fungzio degrau unitario, podemos escrever g(t) na forma conveniente
g(t)
tt c (t)f (t - c).
A fungäo degrau unitario 6 particularmente importante no use da transformada devido a relacão dada
a seguir entre a transformada de f(t) e a de sua translacdo c (t)f(t - c).
y
y
f (0)
(0)
C
t
(a)
(h)
FIGURA 6.3.5 Uma translacäo da funcão dada. (a) y = f(t): (b) y = ,( t )f(t - c).
Teorema 6.3.1
—
Se F(s) = .C(f(t)} existe para s > a > 0 e se c 6 uma constante positiva, entao
G{Itc(Of (t - c)} = e' G{f (t)} = e'
F (s),
Reciprocamente, se f(t) =
s > a.
{F(s)}, entdo
tt c (t)f (t - c) = L -1 {e' F (s)).
0 Teorema 6.3.1 diz simplesmente que a translacdo de f(t) por uma distancia c no sentido dos t positivos corresponde a multiplicacilo de F(s) por e-". Para provar o Teorema 6.3.1 basta calcular a transformada de tt,.(t)f(t - c):
co
f e-u ttc(t)f (t - c) dt
Glu t (t) f (t - c)}
= f cc e-s1f (t - c) dt .
Fazendo uma mudanca na variavel de inteo,rac5o i = t - c, temos
.C(tt c (t)f (t - c)} --=
e-cs
f
0
0
f
e-csF(s).
Isso estabelece a Eq. (5); a Eq. (6) segue calculando-se a transformada inversa na Eq. (5).
= 1/s, temos imediaUrn exemplo simples desse teorema ocorre quando f(t) = 1. Lembrando que
Esse
resultado
esta
de
acordo
corn
o
da
Eq.
(4).
Os Exemplos 3 e
tamente, da Eq. (5), que .C(it.(t)} = e- s.
4 ilustram ainda mais como o Teorema 6.3.1 pode ser usado no calculo de transformadas e transformadas
inversas.
EXEM PLO
3
Se a funcao f for definida por
Isent,
f(t) = sent + cos(t - 7r/4),
0 < t < 7/4,
t > 7r/4,
encontre .C[f(t)}. 0 graft() de y = f(t) estä ilustrado na Figura 6.3.6.
256 CANTU.° SETS
5 -'41
2
1,5
1
2,5
FIGURA 6.3.6 Gnifico da funcao no Exemplo 3.
Note que f(t) = sen t + g(t), onde
{0,
g( t ) = cos(t — 7/4),
t < 7/4,
t 2 7r/4.
Logo,
g(t) =" '4 (t) cos(t — 7/4),
r(f (0} = L{sent} + L(it 7/.1 (t) cos(t — 7r/4))
= G{sent} + e' s14 .C{cos t}.
Introduzindo as transformadas de sen t e cos t. obtemos
1 + se-"l4
s
s2 + 1
s2 + 1
diretamente
dddefinicao.
de
CM}
Vocé deve comparar esse metodo corn o cAlculo
G(f(t)}
EXEMPLO
1
S2 + 1
+ e's" 4
Encontre a transformada inversa de
F(s) —
4
— e -is
S2
Da lincaridade da transformada inversa, temos
1, le"
s2 I
IF (s)) = G -1 I-1 —
f (t) =
t - it, (t) (t - 2).
A funcaof tambem pode ser escrita como
f (t) =
t, 0 < t < 2,
2, t > 2.
O teorema a seguir contem outra propriedade bastante util das transformadas de Laplace, semelhantes as dadas no Teorema 6.3.1.
Teorema 6.3.2 Se F(s) = r{f(t)) existe para s > a > 0 e se c e uma constante, entao
G{ed f (t)} = F (s — c),
s > a ± c.
(7)
Reciprocamente, se f(t) = GlF(s)), entao
eaf (I) = L -1 IF (s — c)}.
(8)
De acordo corn o Teorema 6.3.2, a multiplicacäo de f(t) por e" resulta na translacão da transformada
F(s) uma distancia c no sentido dos s positivos e reciprocamente. Para provar este teorema, vamos calcular Gfel(t)). Entdo,
A THANSFORMADA DE LAPLACE 257
00
00
f (t) dt = f
G{e" f (0) = f
f (t) dr
= F(s — c),
que e a Eq. (7). A restricilo s > a + c segue da observacäo que de acordo corn a hipOtese (ii) do Teorema
6.1.2 e If(t)1 < Keil; portanto, lecf(t)I < Ke("+c)t. A Eq. (8) é obtida calculando-se a transformada inversa da
Eq. (7), e a demonstraca) esta completa.
A aplica(ao principal do Teorema 6.3.2 esta no calculo de determinadas transformadas inversas, como
ilustrado no Exemplo 5.
EXEMPLO
5
Encontre a transformada inversa de
1
s 2 — 4s + 5.
Completando os quadrados no denominador, podemos escrever
G(s)
G(s) =
1
— F(s — 2),
(s — 2) 2 + 1
onde F(s) = (s 2 + 1) - '. Como G-' IF(s)1 = sen t, segue do Teorema 6.3.2 que
g(t) = G i {G(s)} = e2rsent.
Os resultados desta secao sac) muitas vexes Meis na resolucão de equagOes diferenciais, particularmente
aquelas sob a ac5o de funcOes descontfnuas. A prOxima secâo é devotada a exemplos que ilustram esse fato.
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 6. esboce o grafico da funcao dada no intervalo t > 0.
2. g(t) = (t — 3)u 2 (t) — (1 — 2)u3(t)
(1 g(t) = a 1 (t) + 2u 3 (1) — 6u 4 (t)
e
4. g(t) = f (t — 3)u3 (t), onde f (t) = sent
3 g(t) = f (1 — rr)tt,(t), onde f (t) = t2
5. g(t) = f (t — 1)u 2 (t), onde f (t) = 2t
(t) = ( 1 — 1)11 1 (0 — 2(t — 2)1(2 (t) + (t — 3)10(t)
Em cada um dos Problems de 7 a 12:
Esboce o grafico da fun45o dada.
Expresse f(t) em termos da funciio degrau unitario u, t).
7. f(t) =
9.
(t) =
0,
—2,
2,
1,
{ 1,
t,
t — 1,
t — 2,
0 < t < 3,
3 < t < 5,
5 < t < 7,
t > 7.
1,
0 < t < 1,
1 < t < 2,
2 < t < 3,
3 < t < 4,
t > 4.
—1,
1,
— 1,
0,
8. f (r) =
0 < t < 2,
t > 2.
t2 ,
10. f (t) = 1 , ,
0 < t < 1,
t,
1
0 < t < 2,
r > 2.
2,
7 — t,
0,
0 < t < 2,
2 < t < 5,
5 < t < 7,
t > 7.
1<
12. f (t) =
2<t<
0,
t > 3.
Em cada um dos Problemas de 13 a 18, cncontre a transformada de Laplace da funciio dada.
t<1
0,
= (),
t< 2
14. f (t) =
13. f( t )
t2 - 2t + 2, t > 1
(t — 2)2 , r > 2
f(t) =
0
/0,
f (t) = t — 7r,
0,
17. f (t)
t<
1
t < 7r
rt < t < 2n-
f ( 1 ) = 111(0 + 2U 3 (t) - 6u4(t)
t > 27r
(1 — 3)11 2 (0 — (t — 2)u3(t)
18. f (r) = t — u i (t)(t — 1),
t>0
258 CAPITULO SKIS
Em cada urn dos Problemas de 19 a 24, encontre a transformada de Laplace inversa da fungdo dada.
F(s) =
3!
20. F(s) =
(s - 2)4
2(s - 1)e-2s
F(s) = s2 _ 2s + 2
(s
23. F(s) . = s„,
z
s2 + s - 2
2e-25
22. F(s)
s2 - 4
e -s + e -2s - c's — e-4s
24. F(s) -
4s) + 3
5 Suponha que F(s) = L(f(t)) existe para s > a > 0.
(a) Mostre que se c é uma constante positiva, entao
G{f (ct)} = -1 F
,
c
s > ca.
(b) Mostre que se k é uma constante positiva, entilo
.0 -1 (F (ks)} = --k1- f ( it I.
(c) Mostre que se a c b sac-) constantes corn a > 0. entâo
1 -bi/a f (
{F (as + b)} = -e
a)
Em cada um dos Problemas de 26 a 29, use os resultados do Problema 25 para encontrar a transformada de
Laplace inversa da fungdo dada.
2s + 1
2" -"n!
27. F(s) =
26. F(s) = st1+1
4s 2 + 4s + 5
e2
1
29. F(s) 28. F(s) = 9s2 12s + 3
2s - 1
Em cada urn dos Problemas de 30 a 33, encontre a transformada de Laplace da funcao dada. No Problema 33,
suponha quc é permitido integrar a s6rie infinita termo a termo.
1. 0 < t < 1
0. 1 < t < 2
< 0 t<1
31. f(t) =10
30. f (1) = 0,
2<t<3
t>1
t>3
2n-1
f(t) = 1 - ( I) + • • • + ll2n(1) — 11 2/1+1 (t) = + E(-okuk(t)
k= 1
00
f(t) = 1 + E(-1)kuk(t). Veja a Figura 6.3.7.
k=1
y
1
1
T----i
I
1
I
T----1
I
I
1
1
1
I
4
1
i
i
1
I
3
4
5
2
FIGURA 6.3.7 Uma onda quadrada.
1
t
34. Suponha que fsatisfaz f(t + T) = f(t) para todo t > 0 e para algum ntimero positivo fixo T;f 6 dita peri6dica
corn period° T ern 0 < t < co. Mostre que
j•T
f (t) dt
L IP ( )) =
°
1 - e -sT
•
Em cada urn dos Problemas de 35 a 38, use o resultado do Problema 34 para encontrar a transformada de Laplace da funcao dada.
A TRANsFoRmADA DE LAPLACE 259
= 11,
35. f
0,
0 < t < 1,
1 < t < 2;
f (t + 2) -= f (t).
0 < t < 1,
1 < t < 2;
1,
—1,
36. f(t)
f(t + 2) = f(t).
Compare com o Problema 33.
Veja a Figura 6.3.8.
y
1
1i
4---1
f-----1
I
I
2i
41
1
1
1
3i
I
I
I
4-1
-1
1
1
51
I
I
.-----J
I
I
I
4--
FIGURA 6.3.8 Uma onda quadrada.
37. f (t) = t,
0 < t < 1;
38. f (t ) = sen I,
0 < t < rr;
f (t + 7r ) = f(t).
Veja a Figura 6.3.10.
f(t + 1) = f(t).
Veja a Figura 6.3.9.
y
1
4
3
FIGURA 6.3.9 Uma onda dente de semi.
1
2
FIGURA 6.3.10 Uma onda seno retificada.
39. (a) Se f(t) = 1 - tt,(t), encontre G(l(t)); compare com o Problema 30. Esboce o grafico de y = f(t).
onde a funcão f esta definida cm (a). Esboce o grafico de y = g(t) e encontre
Seja g(t) = f f
Lig(t)).
Seja h(t) = g(t) - ti,(t)g(t - 1), onde g esta definida em (h). Esboce o grafico de y = h(t) e encontre
r{h(t)).
40. Considers a funciio p definida por
I,
0 < t < 1,
P(t) = 2 - t, 1 < t < 2;
I
p(t + 2) = p(t).
Esboce o grafico de y = p(t).
Encontre r{p(t)1 notando que p e a extensao periOdica da funcao h no Problema 39(c) e usando, depois, o resultado do Problema 34.
(c) Encontre r(p(t)} observando que
P(t) = f f (t)di.
onde f c a funcao no Problema 36, e usando, depots, o Teorema 6.2.1.
6.4 Equasiies Diferenciais sob a Asio de Funsiies Descontinuas
Nesta secao, vamos voltar nossa atencäo para alguns exemplos onde o termo nä° homogeneo, ou forca
externa, é descontinuo.
260 CANTULO SETS
EXEMPLO
Encontre a solticäo da equacão diferencial
2y" + + 2y = g(t),
1
ondc
g(t) = 115 (t) - 11 20 (1) =
{1, 5 < t < 20,
0, 0 <t<
t <5
e
t > 20.
Suponha que as condicOes iniciais sao
y'(0) = 0.
y(0) = 0,
Este problema representa a carga em urn capacitor em urn circuito eletrico simples, ondc a tensdo é urn
pulso unittirio para 5 < t < 20. Ele pode representar. tambërn, a resposta de urn oscilador amortecido sob a ac5o
de uma forca g(t).
A transformada de Laplace da Eq. (1) é
2s2 Y(s) - 2sy(0) - 2y'(0) + sY (s) - y(0) + 2Y(s) = 41 5 (t)} - G {11 20 ([)) = (e-5s e -20s )/s.
Usando as condicOes iniciais (3) e resolvendo para Y(s), obtemos
e -5s — e—Ns
Y(s) =
s(2s2 + s + 2) •
Para encontrar y = (0,6 conveniente escrever Y(s) como
Y(s) =
(e -5s e-20s)H(s),
ondc
1
Ills) =(6)
s(2.52 + + 2).
Entdo, se h(t) = C-1(11(s)}, temos
= us(t)h(t - 5) - tt 20 (t)h(t - 20).
y=
(7)
Observe que usamos o Teorema 6.3.1 para escrever a transformada inversa de c-''11(s) e de e- 21 "H(s), respectivamente. Finalmentc, para determinar h(t) usamos a expansao em fracOes parciais de H(s):
a
bs + c
(8)
H (s) = +
s 2s2 + s + 2
Determinando os coeticientes, encontramos a = b = -1 e c = 4. Logo,
H (s) =
1/2
s
s+
2s2 +s+ 2
1/2( 1
s
(s+ 1)+1
+ 1) 2 +
de modo que, pclas linhas 9 e 10 da Tabela 6.2.1. obtemos
h(t) = i - 1[C" cos(iT5 t/4) + (../1/15)e-`/4 sen 15 t/4)]
Na Figura 6.4.1, o grafico da solu(ao y = (t) das Eqs. (7) e (10) mostra que a solucao tern trts partes distintas. Para 0 < t < 5, a equacao diferencial é
2y" + y' + 2y = 0
(11)
e as condicaes iniciais sac) dadas pela Eq. (3). Como as condicties iniciais nao fornecem energia ao sistema e
como ni.io ha for-0 externa, o sistema permanece em repouso, ou seja, y = 0 para 0 < t < 5. Isso pode ser confirmado resolvendo-se a Eq. (11) sujeita as condiceies iniciais (3). Em particular, calculando a solucdo e suas
derivadas cm t = 5 ou, mais precisamente, quando t tende a 5 por valores menores, temos
y(5) = 0,
y( 5 ) = 0.
(12)
Quando t > 5, a equaciio diferencial fica
2y" + y' + 2y = 1,
(13)
cuja solucâo 6 a soma de uma constante (a resposta a for-0 externa constante) corn uma oscilacao amortecida
(a solucao da equagdo homogenea correspondente). 0 grafico na Figura 6.4.1 mostra claramente esse compor-
A TRANSFORMADA DE LAPLACE 261
tamento no intervalo 5 < t < 20. Pode-se encontrar uma expressao para essa parte da solucdo resolvendo-se a
equaciio diferencial (13) sujeita as condicOes iniciais (12). Finalmente, para t > 20 a equacao diferencial tornase novamente a Eq. (11) e as condicOes iniciais são obtidas calculando-se a solucao das Eqs. (13), (12) e suas
derivadas em t = 20. Esses valores
y(20)
0,50162,
(14)
y'(20) -1' 0,01125.
0 problema de valor inicial (11), (14) ndo contem forca externa, de modo que sua solucdo é uma oscilacdo
amortecida em torno de y = 0, como pode ser visto na Figura 6.4.1.
y
0,8 —
0,6
0,
10
20
30/
40 t
—0,2
FIGURA 6.4.1 Solucao do problema de valor inicial (1). (2), (3).
Embora possa ser Util visualizar a solucao na Figura 6.4.1 como composta de tres problemas separados
de valor inicial em tres intervalos diferentes, é urn tanto tedioso encontrar a solucão resolvendo-se esses
tres problemas separados. 0 metodo da transformada de Laplace fornece uma abordagem muito mais
conveniente e elegante para esse e outros problemas sob a acao de uma forca externa descontinua.
O efeito da descontinuidade da forca externa pode ser visto se examinarmos a soluciio (t) do Exemplo
1 corn mais cuidado. De acordo corn o Teorema 3.2.1 de existencia e unicidade, a soluciio c suas duas primeiras derivadas sao continuas exceto, possivelmente, nos pontos t = 5 e t 20, onde g é descontinua. Isso
tambem pode ser visto imediatamente da Eq. (7). Pode-se mostrar, tambern, por calculos diretos a partir da
Eq. (7), que e rp' sac) continuas mesmo em t = 5 e t = 20. No entanto, se calcularmos 0', veremos que
1im 0"(t) = 0,
lim 0"(t) = 1/2.
t-*5+
Ern consequencia, 0"(t) tern um salto de 1/2 em t 5. De maneira semelhante, pode-se mostrar que 0"(t) tern
urn salto de —1/2 em t = 20. Assim, o salto do termo nä° homogeneo g(t) nesses pontos e balanceado por um
salto correspondents no termo de maior ordem 2y" a esquerda do sinal de igualdade na equacdo.
Considere, agora, a equacdo linear de segunda ordem geral
y" + p(t)y' + q ( t)y = g(t),
(15)
onde p e q sac) continuas em algum intervalo a < t < /3, mas g so e seccionalmente continua af. Se y
sao continuas em a < t < f3, mas ip" tem descontinuidades do
(t) é uma solucAo da Eq. (15), entiio e
ObservacOes
semelhantes podem ser feitas para equagOes de ordem
tipo salto nos mesmos pontos que g.
maior; a derivada da solucäo de ordem igual a ordem mais alta que aparece na equacao diferencial tem
saltos nos mesmos pontos que o termo nä° homogeneo, mas a solucdo e suas derivadas de ordem mais
baixa são continuas, inclusive nesses pontos.
1 EXEMPLO
2
Descreva a natureza qualitative da solucäo do problema de valor inicial
y" 4y = g(t),
y(0) = 0,
y"(0) = 0,
(16)
(17)
262 CANTULO SETS
onde
0,
0 < t < 5.
g(t) = (t — 5)/5, 5 < t < 10,
1,
t> 10,
(18)
e depois encontre a solucao.
Neste exemplo, o termo nao homogeneo tem o grafico ilustrado na Figura 6.4.2, que 6 conhecido como rampa crescente. E relativarnente facil identiticar a forma geral da solucao. Para t < 5 a solucao é simplesmente y
0. Por outro lado, para t > 10 a solucao tem a forma
y = c1 cos 2t c2 sen 2t + 1/4.
(19)
A constante 1/4 é uma solucao particular da equacao nä° homogénea, enquanto os outros dois termos formam
a solucao geral da equacao homogenea associada. Assim, a solucao (19) corresponde a uma oscilacao harmonica simples em tomb de y = 1/4. Analogamente, no intervalo intermediario 5 < t < 10 a solucao oscila em torno
de uma certa funcao linear. Em um contexto de engenharia, por exemplo, poderiamos estar interessados em
saber a amplitude da oscilacao estado estacionario final.
Para resolver o problema, é conveniente escrever
g(t) = [16(0(1 — 5) — tt io(t)(t — 10)] /5,
(20)
como voce pode veriticar. Calculando a transformada de Laplace da equacao diferencial e usando as condicOes
iniciais, obtemos
(s2 + 4)Y(s) = ( e -5` — e-1°s)/5s2
ou
Y (s)
onde
(e-5s — e -104 )H (s)/5,
H(s) =
(21)
s 2 (s 2 + 4)
(22)
y
1
y = g(t)
0,5
/
5
10
15
20 t
FIGURA 6.4.2 Rampa crescente:y = g(t) da Eq. (18).
Logo, a solucao do problema de valor initial (16), (17), (18) é
Y=
= [ii 5 (1)/i(t - 5) — it i o(t)h(t — 10)] /5,
onde /40 6 a transformada inversa de H(s). A expansao cm fracaes parciais de H(s) é
1/4
1/4
H(s) =
s2
S2 + 4
e segue, entao, das linhas 3 c 5 da Tabela 6.2.1 que
11(t) =
— isen2t.
(25)
A Figura 6.4.3 mostra o gratico de y = cb(t). Note que ele tem o aspect() qualitativo indicado anteriormente. Para
encontrar a amplitude da oscilacao estado estacionilrio basta localizar um dos pontos de maxim° ou minimo
para t > 10. Igualando a derivada da solucao (23) a zero, vemos que o primeiro maxim° est() localizado aproximadamente em (10,642; 0,2979), de modo que a amplitude da oscilacao é de aproximadamente 0,0479.
Note que neste exemplo o termo nao homogeneo g é continuo, mas g' é descontinua em t = 5 e t = 10.
Entao a solucäo rb e suas duas primeiras derivadas sao continuas em toda parte, mas 0"' tern descontinuidades em t = 5 e t = 10 do mesmo tipo das descontinuidades de g' nesses pontos.
A TRAN S F O RMADA DE LAPLACE 263
y
0,30
0,20
0,10
I
I
5
10
15
20 t
FIGURA 6.4.3 Solu0o do problema de valor inicial (16), (17), (18).
Em cada urn dos Problemas de 1 a 13:
(a) Encontre a soluc5o do problema de valor inicial dado.
(h) Desenhe os graticos da solucao e do termo ndo homoganeo;explique a relacaO entre des.
1, 0 < t < 37r
02, 1. y" + y = f (t);
y(0) = 0, y'(0) =
f (t) =
0, 3r < t < oc
PROBLEMAS
y" + 2/ + 2y = h(t);
y(0) = 0,
y'(0) = 1;
h(t) =
1, .7 < t < 27r
0, 0<t <7r
e
t>
271,
3. y" + 4y =sent - u 2, (t) sen (t - 27r);
y(0) = 0, y'(0) = 0
y" + 4y =sent + u,(t) sen(t - 7r); y(0) = 0, y'(0) = 0
5. y" + 3y' + 2y = f (t);
y(0) = 0,
/(0) = 0;
y(0) = 0, y'(0) =1
" + 3y' + 2y = 11 2 (t);
y(0) = 1, y'(0) = 0
02, 7 . y"+ y =10,(t):
y"
y(0) = 0,
62/ 8. +Y' + Y = t - it :/2 (0(r - /2);
02
9. y" y = g(t);
10. y" + y' +
y(0) = 0.
= g(t);
y,(0)
= 1:
f (t) =
y'(0) = 0
g(t) = t/2,
3,
y(0) = 0, y'(0) = 0;
1, 0 < t < 10
0, t > 10
g(t) =
0<t<6
t>6
(sen t, 0 < t < 7r
t>
0,
y(0) = 0, y'(0) = 0
44-2, 11. y" + 4y = tt, (t) - 11 3 , (t);
02, 12. y (4) - y = u (t) - u2 (t); y(0) 0, y'(0) = 0, y"(0) = 0, y'"(0) = 0
02 13. y(4) ± 5y" ± 4y = 1 - u, (t);
Y(0) = 0, Y(0) = 0, y"(0) = o, y-(o) = o
Encontre uma expressão envolvendo u,(t) para uma funcaof cujo grafico é uma rampa crescente de zero
em t = to ate o valor h em t = + k.
Encontre uma expressäo envolvendo 11,(t) para uma funcäo g cujo grafico e uma rampa crescente de zero
em t = to ate o valor h em t = t + k, seguida de uma rampa decrescente que chega a zero ern t = t„ + 2k.
02 16. Urn determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial
+
+ u = kg(t),
u(0) = 0,
u'(0) = 0,
onde g(t) = u „(t) - it„(t) e k > 0 6 urn parametro.
Esboce o grafico de g(t). Note que 6 urn pulso dc tamanho unitirio que se estende por uma unidade
de tempo.
Resolva o problema de valor inicial.
264 CAPITULO SETS
Desenhe o grafico da solucao para k = 1/2, k = 1 e k = 2. Descreva as caracteristicas principais da solucao e como elas dependem de k.
Encontre, corn duas casas decimais, o menor valor de k para o qual a solucao u(t) alcanca o valor 2.
(e) Suponha que k = 2. Encontre o instante r ap6s o qual Iu(t)I < 0,1 para todo t > r.
02 17. Modifique o problema no Exemplo 2 desta secao substituindo o termo nao homogaeo g(t) por
f (t) = [its(t)(t — 5) — 115+k (t)(t — 5 — k)] /k.
Esboce o grâfico de f(t) e descreva como ele depende de k. Para que valores de k a funcaof(t) e igual
a g(t) no exemplo?
Resolva o problema de valor inicial
y" + 4y = f (t),
y(0) = 0, y'(0) = O.
(c) A solucao no item (b) depende de k, mas para t suficientemente grande a solucao sempre a uma oscilacâo harmonica simples em torno de y = 1/4.Tente decidir como a amplitude dessa oscilacao depende, finalmente, de k. Depois con firme sua conclusao fazendo o grafico da solucao para alguns valores
diferentes de k.
4p**/-2, 18. Considere o problema de valor inicial
y(0) = 0, y'(0) -= 0,
y" + 3 y' + 4y = fk (0,
onde
fk(r ) =
11/2k, 4 —k<t< 4 + k
e t>4+k
0 <t <4—k
0,
e 0 < k < 4.
Esboce o grafico de Mt). Note que a area sob o grafico a independente de k. Se f,(t) representa uma
forca, isso significa que o produto do mOdulo da forca e do intervalo de tempo durante o qual ela age
nao depende de k.
Escrevah(t) em termos da funcao degrau unitario e depois resolva o problema de valor inicial dado.
(c) Desenhe o grafico da solucao para k = 2, k = 1 e k = 1/2. Descreva como a solucao depende dc k.
Ressonancia e Batimento. Na Seca° 3.8 observamos como um oscilador harmOnico nao amortecido
(como um sistema mola-massa) sob a nab de uma forca senoidal entra em ressonancia se a frequencia
do termo nao homogeneo é igual a frequacia natural. Se a frequencia da forca é ligeiramente diferente
da frequacia natural, entao o sistema apresenta um batimento. Nos Problemas de 19 a 23 exploramos o
efeito de alguns termos nao homogeneos periOdicos nao senoidais.
Considere o problema de valor inicial
y" + y = f( t ),
y(0) = 0, y'(0) = 0,
onde
f(t) = uo(t) + 2 E(-1)kttk,(t).
k
Desenhe o grafico de f(t) em um intervalo como 0 < t <
Encontre a solucao do problema de valor inicial.
Seja n = 15 e desenhe o grafico da solucao para 0 < t < 60. Descreva a solucäo e explique por que ela
se comporta dessa maneira.
oo?
Investigue como a solucao muda quando n cresce. 0 que acontece quando n
02 20. Considere o problema de valor inicial
y" + 0,1y + y = f( t),
y(0) = 0, y'(0) = 0,
onde f(t) e a mesma do Prohlema 19.
Desenhe o grafico da solucão. Use um valor de n e um intervalo de tempo suficientemente grandes para
que a parte transiente da solucao tonne-se desprezfvel e o estado estacionario apareca claramente.
Estime a amplitude e a frequéncia da parte correspondente ao estado estaciondrio da solucao.
(c) Compare os resultados do item (b) com os da Seca° 3.8 para urn oscilador sob a acao de uma forca
senoidal.
442, 21. Considere o problema de valor inicial
yu +y = g(t),
y(0) = 0, y'(0) = 0,
1
A TRAIISFORMADA DE LAPLACE 265
onde
g(t) = tio(t) +
E(-1) k li k , (t).
o
Desenhe o grafico de g(t) em urn intervalo como 0 < t < 67r. Compare corn grafico de f(t) no Problema 19(a).
Encontre a solucao do problem de valor inicial.
Seja n = 15 e desenhe o grafico da solucao para 0 < t < 60. Descreva a solucao e explique por que ela
se comporta dessa maneira. Compare corn a solucao do Problema 19.
Investigue como a solucao muda quando n cresce. 0 que acontece quando n
oe,'?
642, 22. Considere o problema de valor inicial
y" + 0.1y
y = et),
y(0) = 0, y'(0) = 0,
onde g(t) é a mesma do Problema 21.
Desenhe o grafico da solucäo. Use urn valor de n e urn intervalo de tempo suficientemente grandes para
que a parte transiente da solucao torne-se desprezivel e o estado estacionario apareca claramente.
Estime a amplitude e a frequencia da parte correspondente ao estado estacionario da solucao.
(c) Compare os resultados do item (b) corn os do Problema 20 e os da Seca° 3.8 para um oscilador sob a
acao de uma forca senoidal.
dk2, 23. Considere o problema de valor inicial
y" +y = h(t),
y(0) = 0, y'(0) = 0,
onde
f (t) = ao(t) + 2 E(-1)kUllk/4(t).
k=i
Observe que este problema e identico ao Problema 19, exceto que a frequencia do termo nao homogeneo
foi urn pouco aumentada.
Encontre a solucao deste problema de valor inicial.
Seja n > 33 e desenhe o grafico da solucao para um intervalo 0 < t < 90 ou major. Scu grafico devc
mostrar urn batimento claramente reconhecivel.
Do grafico no item (b). estime o "period° lento" e o "period° rapido" para este oscilador.
Para urn oscilador sob a acao de uma forca senoidal mostramos, na Seca° 3.8, que a "frequencia lenta" t3 dada por Iw - 0.)„1/2, onde co, é a frequéncia natural do sistema e w é a frequencia do termo nao
homogeneo. Analogamente, a "frequencia rapida" e (a) + w0)/2. Use essas expressOes para calcular o
"period° rapido" e o "period° lento" para o oscilador neste problema. Qu5o prOximos esses resultados estäo de suas estimativas no item (c)?
6.5 Funciies de Impulso
Em algumas aplicacOes é necessario tratar fenOmenos de natureza impulsiva — por exemplo, tensOes ou
for-gas de modulo grande que agem por um period° de tempo muito curto. Tais problemas levam, corn
frequencia, a equagOes diferenciais da forma
(1)
ay" + by' cy g(t),
onde g(t) é grande em um intervalo pequeno to — r < t < t o + r e é zero nos outros pontos.
A integral 1(t), definida por
1(r) =---
f
10+r
g(t) dt ,
(2)
g(t) dt,
(3)
to —r
ou, como g(t) = 0 fora do intervalo (t0 — r, to + r),
1(r) =
f:
6 uma medida da forca do termo nao homogéneo. Em urn sistema mecanico, onde g(t) é uma forca, 1(r)
r, to + r). Analogamente, se y é a corrente
é o impulso total da forca g(t) sobre o intervalo de tempo (to —
266 CAPITULO Seis
em um circuito eletrico e g(t) 6 a derivada em relacao ao tempo da tensdo, entäo 1(r) representa a tensão
total impressa no circuito durante o intervalo de tempo (t„ — r, to + r).
Em particular, vamos supor que to 6 zero c que g(t) 6 dada por
—T <t < t ,
g(t) = d r(t) = Col2T'
t < —r ou t > r,
(4)
onde r e uma constante positiva pequena (vej-i a Figura 6.5.1). De acordo corn a E. 2 ou 3
ue imediatamente que nesse caso 1(r) = 1, independentemente do valor de r, desde que 0. Vamos agora usar
umternomogerieb—d;ide—al, fazendbCom que ele aja em intervalos de tempo cada vez mais curtos,
0, como indicalo na Figura 6.5.2. Como resultado desse limite, obtemos
ou seja, vamos fazer r
t 0 0.
lim d r (t) = 0,
(5)
y
II
II
II
II
z
FIGURA 6.5.2 Graficos de y = d.(t) quando
r •0.
FIGURA 6.5.1 Gratic° de y d,(t).
Alem disco, como 1(r) = 1 para todo r O. segue que
lim l(r) = 1.
(6)
r
As Eqs. (5) e (6) podem ser usadas para se definir uma funciio impulso unitario S, que funciona como urn
impulso de tamanho 1 cm t = 0 mas 6 zero para todos os outros valores de t diferentes de zero. Em outras
palavras, a "funcAo" 6 6 definida como tendo as propriedacles
S(t) = 0,
0;
t
(7)
6(t) dt = 1.
(8)
Loc.
NI5o existe uma funcao, no sentido usual da palavra, estudada em Calculo que satisfaca ambas as Eqs. (7)
e (8). A "funcao" 6 delinida por essas equacties 6 um exemplo de algo conhecido como funcO- es generalizadas, e e chamada de funciio delta de Dirac.' Como 8(t) corresponde a um impulso unitario em t = 0, um
impulso unitario em urn ponto arbitrario t = 6 dado por 6(t — t„). Das Eqs. (7) e (8), segue que
(5(t — to) = 0,
it
t
S(t — to) dt = 1.
to;
(9)
(10)
A funciio S nä° satisfaz as condicOes do Teorema 6.1.2, mas ainda assim sua transformada de Laplace
pode set- definida formalmente. Como 6(1) 6 definida como o limite de d.(t) quando r
0.6 natural definir a transformada de Laplace de S como urn limite analog° da transformada de de Em particular, vamos
supor que to > 0 e vamos definir CI* — t„)1 pela equacao
'Paul A. M. Dirac (1902-1984), tisk° matematico inglcs, recebeu scu Ph.D. de Cambridge em 1926 e foi professor de matematica dessa universidade ate 1969. Recebeu o prernio Nobel em 1933 (junto corn Erwin SchrOdinger) por seu trabalho
fundamental em mecilnica qutintica. Seu resultado mais conhecido foi a equacao relativIstica para o eletron, publicado em
1928. Dessa equacito elc previu o "antieltRron", ou positron, que foi observado pela primeira vez em 1932. Depois de se aposentar em Cambridge, Dirac se mudou para os Estados Unidos, onde teve uma posictio de professor pesquisador na Florida
State University.
267
A TRANSFOR1,LADA DE LAPLACE
L{8(t - to)} ----
r{d
- to)} .
(11)
Para calcular o limite na Eq. (11), note primeiro que se r < t„, o que vai acabar acontecendo quando r
0, entao to - r > 0. Como d,(t - to) é diferente de zero apenas no interval() de t„- r ate t., + r, temos
G {dr (t - to)} = f c't dr (t - to) dt
f
to-Fr
f
Substituindo
dr (t - to) dt.
-r
d,(t - 1,)) pela expressào na Eq. (4), obtemos
1 f to+ r
1=10+-r
1
L{dr (t - to)} = —
dt - — cst
to
2r
2sr
-T
1
= — e-s4)(6," -
t,=to--r
r)
2sr
ou
Lid, (t - to)}
= senhsr.
sr
0 quociente (senh sr)/sr 6 indeterminado quando r
regra de L'HOspital. Obtemos
h
se.m nh sr
.
r--0 0
,
0, mas seu limite pode ser ealculado atrzt vi% da
lim
Sr
(12)
s cosh sr
S
= 1.
Emit(), segue da Eq. (11) que
LIS (t
to)} = e-'t„ .
(13)
A Eq. (13) define LIS (t - 1„)) para qualquer to> 0. Vamos estender esse resultado, para permitir a 1„ ser
igual a zero, fazendo to -÷ 0 a direita do sinal de igualdade na Eq. (13); assim,
06(0)
lira
= 1.
(14)
(0,0
Dc maneira anziloga, 6 possivel delinir a integral do produto da funcao S por qualquer funcao continua
f. Te mos
100
(t - to)f (t) dt
lim f x dr (t - to)f (t) dt.
-,
-CC
Usando a definicao (4) de d,(t) e o teorema do valor medio para integrals, encontramos
1r±r f (t) elt
j_00 dr (t - to)f (t) dt —
2r jo,
onde t„ - r < t* < t„ + r. Portanto, t
1
= 1 •2r • f (e) = f (t* ),
2r
quando
r
->
0,
e segue da Eq. (15) que
to
8(t - to)f (t) dt = f (to) •
O exemplo a seguir ilustra o use da funciio delta na resolucdo de urn problem de valor inicial Corn urn
termo não homogéneo impulsivo.
I EXEMPLO
Encontre a solucäo do problema de valor inicial
2y”
1
,
+
- 5),
y'(0)
y' + 2y =
= 0•
Y( 0) 0,
Este problema de valor inicial vem do estudo do mesmo circuito eletrico ou oscilador mecanico do Exemplo 1
da Secao 6.4. A (mica diferenca 6 o termo nä° homogeneo.
268 CANTULO SETS
Para resolver o problema dado, calculamos a transformada de Laplace da equacao diferencial e usamos as
condicOes iniciais, obtendo
(2s2 + s + 2)Y (s) = e-5s.
Assim,
e -5s
e's
Y (s) = 2s2+s+2
Pelo Teorema 6.3.2 ou pela linha 9 da Tabela 6.2.1,
1
c- 1 I
1
is •
2 t +
-175
4
_ — e -'/4 sen
(s + 1) 2 +
'N13
r.
4
Poi tanto, pelo Teorema 6.3.1 temos
y = G - (Y (s )) =
2
tts(t)e-(1-5)14 sen
4
5
1
(t
5),
FIGURA 6.5.3 Solucao do problema de valor inicial (17), (18).
que é a solucao formal do problema dada Tamb6m é possivel escrever y na forma
t < 5,
Y=
I 2 e -0-5)14 sen
45
(t
5), t> 5.
grafico da Eq. (22) aparece na Figura 6.5.3. Como as condicOes iniciais em t = 0 sac) homogéneas e
ink) existe excitacao externa ate t = 5, nao ha resposta no intervalo 0 < t < 5. 0 impulso em t = 5 produz
uma oscilacao que decal, mas persiste indefinidamente. A resposta 6 continua em t = 5, apesar da singularidade do termo nao homogeneo nesse ponto. No entanto, a derivada primeira da solucao tern urn salto
em t = 5, e a derivada segunda tem uma descontinuidade infinita ai. Isso tern que acontecer pela equacao
diferencial (17), jzi que uma singularidade em um dos lados do sinal de igualdade tern que ser balanceada
por uma singularidade correspondents do outro lado.
Ao se trabalhar corn problemas envolvendo um termo nao homogéneo impulsivo, muitas vezes a utilizacao da funcâo delta simplifica bastante os calculos maternaticos. No entanto, se a excitacao atual se
estende a um intervalo de tempo curto, mas nao nulo, sera introduzido urn erro ao se modelar a excitacao
como instantanea. Esse erro pode scr muito pequcno, mas nao deve ser desprezado em um problema
pratico sem ser analisado. Pede-se que voce investigue essa questao no Problcma 16 para urn oscilador
ha rmOnico simples.
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 12:
(a) Encontre a solucao do problema de valor inicial dado.
• (b) Desenhe um grafico da solucfio.
A TRArisrortmAnn DC LAruice 269
1. y" + 2y' + 2y =
— 7);
y(0) = 1, y'(0) = 0
y" + 4y =
— ir) — 8(t — 21-r);
y(0) = 0, y'(0) = 0
3. y" + 3y' + 2y = S(1 — 5) + tt io(t);
Y(0) = 0, y'(0) = 1/2
y" — y = —2060 — 3);
y(0) = 1, y'(0) = 0
5. y" + 2y' + 3y = sent +
— 37);
y(0) = 0, y'(0) = 0
y" + 4y =
— 47);
y(0) = 1/2, y'(0) = 0
7. y" + y = S(t — 27) cos t;
y(0) = 0, y'(0) 1
® y" + 4y = 26(1 — 7/4); y(0) = 0, y'(0) = 0
y" + y = 11 /2 (t) + 3S(t — 37/2) — tr2,(t);
y(0) = 0, y'(0) = 0
2y" + y' + 4y = 6(1 — n/6) sent;
y(0) = 0, y'(0) = 0
y" + 2y' + 2y = cos t + 8(t — 7/2);
y(0) = 0, y'(0) = 0
yo) — y = S(t — 1);
y(0) = 0, y'(0) 0, y"(0) = 0, y"(0) = (I
13. Considere, novamente, o sistema no Exemplo 1 desta secdo, no qual urrrr OSCilaCil0 e excitada por um
impulso unitario em t = 5. Suponha que desejamos colocar o sistema cm repouso apes exatamente um
ciclo — ou seja, quando a resposta volta, pela primeira vez, a posic5o de equilibrio movendo•se no sent ido
positivo.
(a) Determine o impulso kS0 — 1(,) que deve ser aplicado ao sistema para se alcancar esse objetivo. Note
que k 6 o tamanho do impulso e 4, e o instante de sua aplicacão.
(h) Resolva o problema de valor inicial resultante e faca o gratico de sua solucdo para conk ( mar que se
comporta da mancira especificada.
14 Considere o problema de valor inicial
y" +
+ y = S(1 — 1),
y(0) = 0, y'(0) = 0,
onde y c o coeficiente de amortecimento (ou resistencia).
Seja y=1. Encontre a solucAo do problema de valor inicial e desenhe seu gratico.
Encontre o instante t, no qual a solucao atinge seu valor niximo. Encontre, tambenLesse valor maxi[no y, da solucao.
Seja y = a e repita os itens (a) e (h).
Determine como t, e y, variam quando y diminui. Quais säo os valores de t, e de y, quando y = 0?
Considere 0 problema de valor inicial
y" + yy' + y = kS(t — 1),
y(0) = 0, y'(0) = 0,
onde k c o tarnanho de um impulso em t = I e ye() coeficiente de amortecimento (ou resistencia).
(a) Seja y = Z. Encontre o valor de k para o qual a resposta tem um valor maxim() de 2; chame esse valor
de k,.
(h) Repit a o item (a) para y=
(c) Determine como k, varia quando y diminui. Qual o valor de k, quando y 0?
[6. Considere o problema de valor inicial
y" + y = fk (0,
y(0) = 0, y'(0) = 0,
onde f,(t) = [11 44, (t) — 11.,, 1 (t)P2k corn 0 < k < 1.
Encontre a soluc5o y = 0(t, k) do problema de valor inicial.
Calcule lirn (t, k) da solucao encontrada no item (a).
k —O
Observe que klimfk (t) S — 4). Encontre a solucâo 0,,(1) do problema de valor inicial dado corn M O
(t, k)?
substituido por S (t — 4). E verdade que (t) =
Rica os graficos de (/) (t, 1/2), P (t, 1/4) e 00 (t) nos mesmos eixos. Descreva a relacäo entre cl)(r, k) echo
(t).
Os Problemas de 17 a 22 tratam do efeito de urna sequencia de impulsos aplicados em um oscilador näo amortecido. Suponha que
y(0 ) = 0, y'(0) = 0.
y" + y f (0,
Para cada uma das escolhas para f(t):
(a) Tente prever a natureza da solucdo sem resolver o problema.
270 CANTULO SETS
Teste sua previsao encontrando a solucao e desenhando seu grafico.
Determine o que acontece apOs o final da sequencia de impulsos.
20
20
12, 17. f(t) = E S(t - kz)
6%2,
E (-1)"-'8(t - k7r)
f(t)
k=1k=1
'‘)
20
4g2 19. f (t) =
- kz/2)
f (I) =
k=1
k=1
-
/2)
4i (-1)k+1 S(t - 1 I k /4)
22. f(t) = t
S[t - (2k - 1)7]
21. f(t) =
(-1) k + I
k=1
k=1
23. A posiciio de urn determinado oscilador ligeiramente amortecido satisfaz o problema de valor inicial
20
y" + 0.1y . + y =
E(_o k -f-is (t - k g ),
y(0) = 0, y'(0) = O.
k=1
Note que, exceto pelo termo de amortecimento. este problema 6 igual ao Problema 18.
Tente prever a natureza da solucâo sem resolver o problema.
Teste sua previsdo encontrando a solucdo e desenhando seu grafico.
(c) Determine o que acontece apOs o final da sequencia de impulsos.
6'2 24. Proceda como no Problema 23 para o oscilador. satisfazendo
15
y" 0.1y' + y = E Sit - (2k - 1)71,
y(0) = 0, y'(0) = 0.
k= 1
Note que, exceto pelo termo de amortecimento. este problema é igual ao Problema 21.
25. (a) Mostre, pelo metodo de variaciio dos parfimetros.que a solucao do problem de valor inicial
v" + 2y' + 2y = f (t);
y(0) = 0, y'(0) 0
e
y = f e' r 'f(r)sen(t - r) dr.
f
(h) Mostre que, se f(t) = S (t - 7), entilo a solucilo do item (a) se reduz a
y u,(t)e -a 'sen(t - 7).
(c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado corn f(t) = S (t - 7)
e continue que a solucao coincide corn a encontrada no item (b).
6.6 A Convolusao
Algumas vezes 6 possfvel identificar uma transformada de Laplace H(s) como o produto de duas outras
transformadas F(s) e G(s), estas Oltimas correspondendo a funciies conhecidas f e g, respectivamente.
Nesse case, poderfamos pensar que //(s) seria a transformada do produto de f e g. Isso nao acontece, no
entanto; em outras palavras, a transformada de Laplace não comuta corn a multiplicacao usual. Por outro lado, se definirmos convenientemente urn "produto generalizado", ent5o a situacäo muda, conforme
enunciado no teorema a seguir.
Teorema 6.6.1 Se F(s) r{f(t)} e G(s) = L{g(t)} existem para s > a > 0, entdo
H(s) = F(s)G(s) = G{NO},
s > a,
(1)
onde
t
h(t) = f0 f (1 - r)g(r)
t
dr = f f(r)g(t - r) dr.
(2)
o
A func'do h é conhecida como a convolucdo de f e g; algumas vezes as integrais na Eq. (2) são chamadas
de integrais de convoluc5o.
A TRANSFORMADA DE LAPLACE 271
A igualdade das duas integrais na Eq. (2) segue da mudanca de variavel t — r
na primeira integral.
Antes de demonstrar esse teorema, vamos fazer algumas observa46es sabre a convolucao. De acordo corn
esse teorema, 6 a transformada da convolueao de duas funcOes, em vez da transformadaroduto
usual, que 6 dada pelo produto das transformadas separadas. E conveniente enfatizar que a convolucao
pode ser considerada como um "produto generaliza o escrevendo-se
h(t)
(f * g)(t)•
(3)
Em particular, a notacao (f * g)(t) serve para indicar a primeira integral na Eq. (2).
A convolucao (f * g)(t) tern muitas das propriedades da multiplicacao usual. Por exempla, e relativamente simples mostrar que
f * g=g *
f
f * (gi +g2)= f * g i +f * g 2
(f * g) *
f * (g * h)
(comutatividade)
(4)
(distributividade)
(5)
(associatividade)
(6)
f *0=-0*f=0.
(7)
€41))104 "rxt
)
Na Eq. (7) os zeros nao denotam o runner°, mas a funcao identicamente nula. As demonstracOes desses
resultados nao deixadas a cargo do leitor.
No entanto, a multiplicacao usual tern outran propriedades que a convolucao nao tern. Por exempla,
nao 6 verdade, em geral, que f * 1 seja igual a f. Para ver isso, note que
(f * 1)(t)
f f (t — r) • 1 dr = f f (t — r) dr.
Se, por exemplo, f(t) = cos t, entao
(lc * 1 )(t) = f cos(t — r) dr = — sen(t — r)
0
1 rr =t
=0
= —sen0 +sent
=sent.
f (t). Analogamente, pode nao ser verdade que f * f seja nao negativa. Veja o
E claro que (f * 1) (t)
Problema 3 para um exempla.
As convolucaes aparecem em diversas aplicacOes onde o comportamento do sisterna em qualquer instante t nao depende apenas do estado no instante t, mas tamb6m de sua hist6ria passada. Sistemas desse
tipo sac) chamados, algumas vezes, de sistemas hereditarias e ocorrem em campus tiro diversos quanto
transports, viscoelasticidade e dinamica populacional, entre outros.
Voltando a demonstracao do Teorema 6.6.1, observe, em primeiro lugar, quo, se
F(s) = f e-4 f () 4
0
cc
G (s) = f e' g(r ) dr,,
entao
cc
F(s)G(s) = f e-sV(0d f e'g(r)dr.
Como o integrando na primeira integral nä° depende da variavel de integrando da segunda integral, podemos escrever F(s)G(s) coma uma integral iterada,
F(s)G(s)
cc
f e'rg(r)[ f e-4 f dddr
0
= fwg(t)[f'°e--,(+0f(0 dEidr
Essa Oltima expressao pode ser colocada em uma forma mais conveniente atrav6s de novas variaveis de
oo
t — r para r fixo, de modo que d = dt. Al6m disso, = 0 corresponde a t = r e
integracao. Seja
oo;
entao a integral em relacao a na Eq. (9) vira uma integral em relacao a t:
corresponde a t =
272 CAPITULO SEIS
roc
F(s)G(s) = f g(r)
f (t - r) dtidr.
L
A integral a direita do sinal de igualdade na Eq. (10) é calculada sobre a regido ilimitada em forma de
cunha no piano tr que aparece sombreada na Figura 6.6.1. Supondo que se pode trocar a ordem de integracao, obtemos, finalrnente,
F(s)G(s) - f e ([ f (t - r)g(r) dr1(It
f
o
r= 0
FIGUR 6.6.1 Regido de integracdo para F(s)G(s).
ou
F(s)G(s) = f e-st h(t) (It
= G{11(1)},
onde
EXEMPLO
é definida peia Eq. (2). Isso completa a demonstracao do Teorema 6.6.1.
Encontrc a transformada inversa de
H(s) =
1
a
s2 (s2 + a 2 ) •
(13)
E conveniente pensar em 11(s) como o produto de s- 2 e al(s= + a 2), (pc s5o, de acordo corn as linhas 3 e 5 da
Tabela 6.2.1, as transformadas de t e de sen at, respectivamente. Portanto, pelo Teorema 6.6.1 a transformada
inversa de 11(s)
at -sen at
= f (t - r)senar dr =
a2
li(t)
for escrita na forma alternativa
mesmo
resultado
se
a
fungdo
Voce pode verificar que se obtein o
11(t) = f r sena(t - r) dr,,
o que confirma a Eq. (2) nesse caso. E claro que 140 tambem pode ser encontrada expandindo-se H(s) em
fracOes parciais.
EXEMPLO
Encontre a solucao do problema de valor inicial
2
y" + 4y = g(t),
y(0) 3,
y'(0) = -1.
Calculando a transformada de Laplace da equacdo diferencial e usando as condicOes iniciais, obtemos
s2 Y (s) -3s + 1 + 4 Y (s) = G(s)
ou
3s - 1
G(s)
Y (s) = s2 4 + s2 4 .
(17)
A MANSFORMADA DE LAPLACE
273
Note que a primeira e a segunda parcelas a direita do sinal de igualdade na Eq. (17) contem, respectivamente, a
dependencia de Y(s) nas conclicOes iniciais e no term nao homogeneo. E con y eniente escrever Y(s) na forma
s
1 2
1 2
Y(s) — 3
(18)
52 + 4 2 s2 + 4 + 2 52 + 4 G(s).
Erna°, usando as linhas 5 e 6 da Tabela 6.2.1 e o Teorema 6.6.1, temos
y = 3 cos 2t — z sen2t + -15 f sen2(t — )g(r )
(19)
o
Se urn term nao homogeneo especffico g é dado, entao a integral na Eq. (19) pode ser calculada (por metodos
numericos, se necessario).
0 Exemplo 2 ilustra a forca da convolucäo como ferramenta para se escrever a solucao de urn problema de valor inicial em funcao de uma integral. De fato, é possfvel proccdcr de um modo hastante semelhante em problems mais gerais. Considere o problem que consiste na equacao diferencial
ay" + by' + cy = g(t),
(20)
onde a, h e c sao constantes reais e g e uma funcao dada, com as condicOes iniciais
y(0) = yo,
y'(0) =
(21)
A abordagem de transformada fornece uma compreensao mais profunda sobre a est rutura da solucao de
qualquer problema desse tipo.
E comum a referencia ao problema de valor inicial (20), (21) como urn problema de entrada-saida. Os
coeficientes a,b e c descrevem as propriedades de algum sistema ffsico, e g(t) corresponde a forca externa
(entrada) agindo sobre o sistema. Os valores yo e yo' descrevem o estado inicial, c a soluc5o y c a resposta
(saida) no instante t.
Calculando a transformada de Laplace da Eq. (20) e usando as condiceies iniciais (21), obtemos
(as2 + hs + c)Y (s) — (as + b)yo — ay'o = G(s).
Se deft irmos
(s) =
(as + b)yo + ay'o(s)
as2 + bs + c
G(s)
as2 + bs + c'
(22)
podemos escrever
Y(s) = cl)(5) + k1J (s)
(23)
lfr(t),
(24)
Em consequencia,
Y=
onde (t) = G -4 (13(s)) c *(t) =
'(‘P(s)}. Note clue (I;.(t) é a soluciio do problema de valor inicial
ay" + by' + cy = 0,
y(0) = yo, y'(0) =
(25)
obtida das Eqs. (20) e (21) fazenclo g(t) igual a zero. Analogamente, *(t) é a solucao de
ay" + by' + cy g(t),
y(0) 0, y' (0) = 0,
(26)
na qual os valores iniciais e sao substitufdos por zero.
= .C-' {1)(s)) usando a Tabela
Uma vez dados valores especfficos para a, b e c, podemos encontrar
6.2.1, possivelmente em conjunto corn uma translacâo ou uma expansao em fracOes parciais. Para enconconveniente escreverlfr(s) como
trar *(t) =
ii (s)
H (s)G(s),
(27)
onde H(s) = (as' + bs + c)- t . A funcão H e conhecida como a funciio de transferencia3 c depende apenas
das propriedades do sistema em questao, ou seja, 1/(.c) fica inteiramente determinada pelos coeficientes
a, b e c. Por outro lado, G(s) depende exclusivame nte da excitacao externa g(t) que é aplicada ao sistema.
Pelo teorema sobre convolucOes, podemos escrever
3 Essa terminologia vem do fato do que H(s) 6 a razão entre as transformadas da resposta (saida) e da funciio externa (entrada) do problema (26).
274 CAPITULO Seis
(
{H (s)G(s)} = f h(t — r)g(r) dr,
t) =
(28)
onde h(t) = .C-'(H(s)) e g(t) é o termo nao homogeneo dado.
Para obter uma compreensao melhor du significado de h(t). vamos considerar o caso em que G(s) 1;
entao,g(t) = 8(t) e *(s) = H(s). Isso significa que y = Ii(t) é solucao do problema de valor inicial
ay" + by' + cy = (SW ,
y(o) o, y'(0) = o,
(29)
obtido da Eq. (26) substituindo-se g(t) por 8(t). Logo. NO é a resposta do sistema a um impulso unitario
aplicado em t = 0, e é natural chamar h(t) de resposta ao impulso do sistema. A Eq. (28) diz, entao, que
ii(t) é a convoluciio da resposta ao impulso corn a for-0 externa.
Com referencia ao Exemplo 2, observamos que nesse caso a funcao de transferencia é H(s) = 11(s2
4) e a resposta ao impulso é h(t) = (sen 2t)/2. Alem disco, as duas primeiras parcelas a direita do sinal de
igualdade na Eq. (19) constituem a fung5o OW, a solugdo da equagao homogenea associada que satisfaz
as condicOes iniciais dadas.
PROBLEMAS ( -1 Prove a comutatividade, a distrihutividade e a associatividade para a convoluctio.
f*g=g*f
+ g2 ) = f * + f * g2
f*
(c) f * (g * h) = (l * g)* h
Encontre um exemplo diferente do que foi dado no texto mostrando que (f * 1)(t) nao precisa ser igual a
J(r).
Mostre, atraves do exemplo f(t) = sen t. quef * f nao precisa ser nao negativa.
Em cada um dos Problemas de 4 a 7. encontre a transformada de Laplace da fungi -10 dada.
5. f (t) = f C" - "sen r dr
f (I) = f (t — r) 2 cos 2r dr
7. f(t) = f sen(t — r) cos r dr
6. f (t) = f (t — r)e r dr
0
Em cada um dos Problemas de 8 a 11. encontre a transformada de Laplace inversa da funciio dada usando o
teorema sobre convolucCies.
1
8. F(s) = s 4 (3.2 +
9. F(s)
1
1)
(5 + 1)(5 2 + 4)
G(s)
11. F(s) = s2 +
10. F(s) = (s + 1)2 (s2 + 4)
12. (a) Sc f(t) = r' e se g(t) = r, onde m e n sao inteiros positivos, mostre que
f*
g = trn÷n +1 f
(
u)n du.
Use o teorema sobre convolucOes para mostrar que
1.
u m (1 — u)" du =
m! n!
+ n + I)!
Estenda o resultado do item (b) para o caso ern que nr e n sao nameros positivos, mas nao necessariamente inteiros.
Em cada urn dos Problemas de 13 a 20, expresso a solucao do problema de valor inicial dado em funcao de uma
convolucao.
y" + w2y = g(t);
y(0) = 0, y(o) = 1
14. y" + 2y' + 2y = senat;
y(0) = 0, y'(0) = 0
4y" + 4y' + 17y = g(t); • y(0) = 0, y'(0) = 0
6. y" + y' +
= 1 — Et, 0);
y(0) = 1, y(0) = —1
y" + 4y' + 4y = g(t);
y(0) = 2, y'(0) = —3
y" + 3y' + 2y = cos at;
y(0) = 1, y'(0) = 0
y (4) — y = g(t);
y(0) = 0, y'(0) = 0, y"(0) = 0, y'"(0) = 0
y(0) = 1, y'(0) = 0, y"(0) = 0, y'"(0) = 0
y(4) + 5y" + 4y = g(t);
.. j5
1
„ • ,,
:
A T RANSFORMADA DE LAPLACE 275
Considere a equacao
0 (t) + f k(t - 00(0 = f (t),
na qual f e k sao funcOes conhecidas e deve ser determinada. Como a funcao desconhecida aparece
debaixo do sinal de integral, a equacao dada é dita uma equacao integral: em particular, ela pertence
classe de equagOes integrais conhecidas como equagOes integrals de Volterra. Calcule a transformada de
Laplace da equacao integral dada e obtenha uma expressao para .C{0(t)) em funcao das transformadas
G[/(t)) e flk(t)} das fungi:3es dadasfe k. A transformada inversa de G{0(0) é a solucao da equacao integral
original.
Considere a equacao integral de Volterra (veja o Problema 21)
0(t) + f (t - 00()
= sen2t
(i)
Resolva a equacão integral (i) usando a transformada de Laplace.
Diferenciando a Eq. (i) duas vezes, mostre que 0(t) satisfaz a equacao diferencial
0"(t) + (t) = -4sen2t.
Mostre tambem que as condicaes iniciais sac)
0(0) = 0.
= 2.
(c) Resolva o problema de valor inicial do item (b) e verifique que a solucao é a mesma obtida no item
(a).
Em cada um dos Problemas de 23 a 25:
(a) Resolva a equacao de Volterra dada usando a transformada de Laplace.
(h) Converta a equacao integral a um problema de valor inicial, como no Problema 22(b).
(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique que a solucao é a mesma encontrada no item
(a).
24. 0(t) - f (t - 00(0 =1
23. ow f - 00(0 = 1
25. 0(t) + 2 f cos(t - 00(0 = e-`
Existem [anthem equacOes, conhecidas como equavies integro-diferenciais, onde aparecem derivadas c integrals da funcao desconhecida. Em cada um dos Problemas de 26 a 28:
Resolva a equacao integro-diferencial dada usando a transformada de Laplace.
Diferenciando a equacito Integro-diferencial um minter° suficientc de vezes, converta-a em um problema
de valor inicial.
(c) Resolva o problema de valor inicial no item (b) e verifique que a solucao é a mesma encontrada no item
(a).
26. 0'(t) + f (t - )(1;.()
= t,
0(0) = 0
0
27. 0'(t) - i f -k) 2 0(0dk = - t,
0(0) = 1
0
28. 0'(t) + 0(t) = f sen(t - 00() c/4',
0(0) = 1
29. A TautOcrona. Um problerna de interesse na hist6ria da matematica é o de encontrar a taut6crona 4 — a
curva descrita por uma particula deslizando livremente sob a acao apenas da gravidade, atingindo o fundo
no mesmo instante independentement e de seu ponto de partida na curva. Esse problema apareceu na
construcao de urn reltigio corn pendulo, cujo perfodo é independente da amplitude de seu movimento. A
tautOcrona foi encontrada por Christian Iluygens (1629-1695) em 1673 por maodos geometricos e, mais
tarde, por Leibniz e Jakob Bernoulli usando argumentos analiticos. A solucäo de Bernoulli (em 1690) foi
uma das primeiras ocasiOes em que se resolveu explicitamente uma equacdo diferencial. A configuracäo
geometrica esta ilustrada na Figura 6.6.2.
'A palavra "tautOcrana" tem origem nas palavras gregas tauto, que
significa o mesmo, e chronos, que significa tempo.
276
CAPITULO
Sus
x
FIGURA 6.6.2 A tautOcrona.
0 ponto inicial P(a, b) é unido ao ponto final (0,0) pelo arco C. 0 comprimento de arcos é medido a partir
da origem e f(y) denota a taxa de variacao de s em relacao a y:
dx)
f 01) = — =- [ 1
(
dy
2]1/2
y
•
(1)
Segue ent5o, do princIpio de conservacâo de energia, que o empo T(b) necess6rio para uma particula
deslizar de P ate a origem é
1 f b f (y)
dy.
(ii)
T(b) = —
2g o
\A-1'7);
Suponha que T(b) = T,,, uma constante, para cada b. Calculando a transformada de Laplace da Eq. (ii)
nesse caso e usando o teorema sobre convolucOes. mostre que
iTg To
F(s) = \ —
T
Y
,/S
depois, mostre que
f =
A To
—•
,./y,
Sugestiio: veja o Problema 27 da Seca() 6.1.
Combinando as Eqs. (i) e (iv), mostre que
/2a —yy
dx
=
tly
y
onde a = gT,;172.
(c) Use a substituicao y = 2a sen2(O/2) para resolver a Eq. (v) e mostre que
x = a(0 +senO),
y = a(1 — cos 0).
(vi)
As Eqs. (vi) podem ser identificadas como equacOes parametricas de uma cicloide. Assim, a tautOcrona é
um arco dc uma cicloide.
REFERENCIAS Os livros listados a seguir contem informacOes adicionais sobre a transformada de Laplace e suns aplicacOes:
Churchill, R. V., Operational Mathematics (3rd ed.) (New York: McGraw-Hill, 1971).
Doetsch,G., Introduction to the Theory and Application of the LaplaceRansform (trans. W. Nader) (New York: Springer, 1974).
Kaplan,W., Operational Methods for Linear Systems (Reading. MA: Addison-Wesley, 1962).
Kuhfittig, P. K. F., Introduction to the Laplace Transform (New York: Plenum, 1978).
Miles, J. W., Integral Transforms in Applied Mathematics (London: Cambridge University Press, 1971).
Rainville, E. D., The Laplace Transform: An Introduction (New York: Macmillan, 1963).
Cada urn dos livros mencionados acima contem uma tabela de transformadas. Tambem estäo disponlveis tabelas
mais extensas; veja, por exemplo:
Erdelyi, A. (ed.), Thbles of Integral Transforms (Vol. 1) (New York: McGraw-Hill, 1954).
Roberts, G. E., and Kaufman, H., Table of Laplace Transforms (Philadelphia: Saunders, 1966).
Mais detalhes sobre funcOes generalizadas podem ser encontrados em
Lighthill, M. J., lintrier Analysis and Generalized Functions (London: Cambridge University Press, 1958).
ow-77-mrarr-2,'.77..A..$:fmsr,t, ;xi-G-411mA CAPITULO
simmnNowserm.
7
Sistemas de EquacOes
Lineares de Primeira Ordem
Existem muitos problemas ffsicos que envolvem diversos elementos separados associados de alg,uma
forma. For exemplo, circuitos eletricos tern essa caracteristica, assim como problemas em mecanica e em
outros campos. Nesses e em casos semelhantes, o problema matematico correspondente e ons.ste ern um
sistema de duas ou mais equagOes diferenciais, que sempre podem ser escritas como equagOes de primeira ordem. Vamos estudar, neste capftulo, sistemas de equagOes lineares de primeira ordem, em particular equacOes corn coeficientes constantes, utilizando alguns aspectos elementares da algebra linear para
unificar a apresentacâo. Em muitos aspectos, este capftulo segue a mesma India do tratamento dado as
equagOes lineares de segunda ordem no Capftulo 3.
7.1 Introducao
Sistemas de equagOes diferenciais ordinarias simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas varidveis dependentes, cada uma delis funciio da mesma variavel independente Unica.
Vamos denotar a variavel independente por t e as variaveis dependentes, que sdo funcoes de I, por x,. x,,
x3 , ... A diferenciacdo em relacdo a t sera denotada por uma linha.
Por exemplo, considere o sistema mola-massa na Figura 7.1.1. As duas massas se movem em uma
superficie scm atrito sob a influencia de forcas externas 1:,(t) e F,(t) e sdo, tambêm, restringidas em seu
movimento pelas três molas com constantes k,,k, c k 3 ,respectivamente. Usando argumentos semelhantes
aos da Secilo 3.7, encontramos as seguintes coordenadas x, e x, para as duas massas:
2
m1
/11 2
(t)
= k2(x2 - X1) - kiXi
= —(k 1 + k2)xi + k2x2 + (t),
(1)
d2
(TX2 -k3x2 - k2(X2 - x1) + F2(t)
"22 t2
= k2X1 - (k2 /(3)X2 F2(t).
A deducäo das Eqs. (1) esta esquematizada no Problema 17.
,Fi(t)
F2(t)
FIGURA 7.1.1 Urn sistema com duas massas e trés molas.
277
278 CAPITULO SETE
Vamos considerar, agora, o circuito I,RC em paralelo ilustrado na Figura 7.1.2. Seja V a diferenca de
tensao no capacitor e I a corrente passando pelo indutor. Entao, de acordo com a Seca° 3.7 e corn o Problema 19 desta secao, podemos mostrar que a diferenca de tensao e a corrente sac) descritas pelo sistema
de equacOcs
dl V
dt
(2)
I
V
dV
dt
C
RC'
onde L e a indutancia, C a capacitancia e R a resistência.
C
FIGURA 7.1.2 Um circuito RLC em paralelo.
Uma razao pela qual sistemas de equacOes de primeira ordem sao particularmente importantes a que
equacOes de ordem major sempre podem ser transformadas em tais sistemas. Isso, normalmente, é necessari° se é planejada uma abordagem nurnêrica, jA que quase todos os cOdigos para gem r solucifies num&
ricas aproximadas de equacOcs diferenciais sao escritos para sistemas de equacOes de primeira ordem. 0
exemplo a seguir ilustra como é facil fazer a transformacao.
EXEMPLO
O movimento de urn determinado sistema mola-massa (veja o Exemplo 3 da Seca° 3.7) e descrito pela equacao
diferencial de segunda ordem
1
u" + 0,125u' + u = 0.
(3)
Escreva essa equacao wino um sistema de equacOes de primeira ordem.
Sejam x, = it e x, = u'. Entdo, x,' = Akin disso, u"= x2 '. Entao, subst ituindo u, u' e u" na Eq. (3), obtemos
x; + 0,125x 2 + x 1 = 0.
Logo, x, e x2 satisfazem o seguinte sistema de duas equacOes diferenciais de primeira ordem:
x; = x2,
(4)
x; = —x, — 0,125x2.
A equacão geral do movimento de um sistema mola-massa,
m y" yv' + kv = F(t),
(5)
pode ser transformada em um sistema do primeira ordem do mesmo modo. Definindo x, = v e x2 = v' e
procedendo como no Exemplo 1, obtemos rapidamente o sistema
x'1 = X2,
(6)
xZ = —( k / m ) x i — (Y /m)x2 + F(t)/m.
Para transformar uma equacao arbitraria de ordem n
y`" ) = F (t, Y,y ' , • • • ,y (n-1) )
(7)
cm um sistema de n equacOes de primeira ordem, estendemos o m6todo do Exempla 1 definindo as variaveis x,, x2,
x„ por
X I = y,
Segue imediatamente que
x2 = y ,
X 3 = y', • • • , Xn = y (ri 1) •
(8)
•
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA OFtDEM
279
X1 = X2,
x 2 = X3,
(9)
4-1 =
e, da Eq. (7),
= F(t,x1,x2,... ,x„).
(10)
As Eqs. (9) e (10) sao casos particulares do sistema mais geral
x t = Ft, (t,
X 2, • • ,xn),
= F2(t, Xi, X2,
, Xn),
X:, = F n(t, X l, X2, • • • xn)•
De maneira analoga, o sistema (1) pode ser reduzido a um sistema de quatro equacCies de primeira ordem
da forma (11), enquanto o sistema (2)0 estti nessa forma. De fato, sistemas da forma (11) incluem quase
todos Os casos de interesse, de modo que a major parte da teoria mais avancada de equacOes diferenciais
é dedicada a tail sistemas.
Uma solucao do sistema (11) no intervalo I: a <t < pe urn conjunto de n funscOes
x t = 01(0,
x 2 = 462( t ),
x,. = on (t)
(12)
diferenciriveis cm todos os pontos do intervalo /e que satisfazem o sistema de equacOes ( I 1) cm todos os
pontos desse intervalo. Alem do sistema de equagOes diferenciais dado, podem ser fornecidas, tambdm,
condicOes iniciais da forma
Xi (to) = X (1) ,
X2 (to) = 4,
..., x„ ( to)
(13)
onde t„ e urn valor especificado de t em / e
sac) nameros dados. As equagOes diferenciais (11) e
as condicOes iniciais (13) juntas formam urn problema de valor inicial.
Uma solucao (12) pode ser vista como urn conjunto de equagOes parametricas em urn espaco de dimensao n. Para urn valor de t dado, as Eqs. (12) fornecem valores para as coordenadas x 1 ,
x„ de urn
ponto no espaco. A medida que t varia, as coordenadas, em geral, também mudam. A colecao de pontos
correspondentes para a < t < p forma tuna curva no espaco. As vezes é Util pensar na curva como a trajetOria ou o caminho percorrido por uma particula movendo-se de acordo corn o sistema de equacties
diferenciais (11). As condiciies iniciais (13) determinam o ponto inicial da particula em movimento.
As condicOes a seguir sobre F,, F2 , ..., F„, facilmente verificadas em problemas especificos, sao suficientes
para garantir que o problema de valor inicial (11),(13) tenha uma solucao Unica. 0 Teorema 7.1.1 é analog°
aoTeorema 2.4.2, o teorema de existencia e unicidade para uma Unica equacao de primeira ordem.
e suas derivadas parciais,
Teorema 7.1.1 Suponha que cada uma das funcOes F1 ,
aFiax„, sao continuas em uma regiao R do espaco tx,x 2 ...x„ definida por a < t < / 3, a, < x < fit , ..., an <
x2) esta em R. Entao, existe urn intervalo It — tol < / I no qual
x„ < fin, e suponha que o ponto (to, x?,
= ¢•„(t) do sistema de equagOes diferenciais (11) que tambern
existe uma Unica solucao x, = 0 1 (0, .
satisfaz as condicOes iniciais (13).
A demonstracao deste teorema pode ser construfda generalizando-se o argumento dado na Secao 2.8,
mas nao faremos isso aqui. No entanto, note que nao se diz nada nas hipOteses do teorema sobre as derivadas parciais de F1 ,
F„ em relacao a variavel independente t. Alem disso, na conclusao o comprimento
do
intervalo
no
qual
a solucao existe nä° estä especificado exatamente e, em alguns casos, pode ser
211
muito curto. Final mente, o mesmo resultado pode ser provado sob hipOteses mais fracas, mas muito mais
complicadas, de modo que o teorema, como enunciado, nao e o mais geral conhecido e as condicOes dadas
sao suficientes, mas nao necessarias, para a conclusäo ser valida.
tr.'„ nas Eqs. (11) for uma funcao linear das variaveis dependentes xl,
Se cada uma das fling 6- es
sistema
de
equagOes
a dito linear; caso contrail°, é nao linear. Assim, o sistema mais geral
...,x„, entao o
de n equagOes lineares tern a forma
280 CAPiTULO SETE
xi =
+ • • + p i,,(t)x,i + gi(t),
x'2 = p21(t)xi + • • • + p 2,„(t)xn + g2(0,
(14)
= Pni( t ) x i + • • • + Pnn(t )xn + g,i(t).
g„(t) forem identicamente nulas no intervalo I, entito o sistema (14) é dito
Se todas as tune 6- es g,(t),
homogeneo; caso contrario, ele é nao homogeneo. Observe que os sistemas (1) c (2) sào ambos lineares.
O sistema (1) é 115o homogeneo, a menos que l',(t) = FAO = 0, enquanto o sistema (2) 6 homogeneo. Para
o sistema linear (14), o teorema de existencia e unicidade e mais simples e tambem tem uma conclusdo
mais forte. E analog° aos Teoremas 2.4.1 c 3.2.1.
D 12, •• "P pm, g l , • ••, gn forem contfnuas em urn intervalo aberto I:a < t < fi, entao existira
Teorema 7.1.2 Se as funcOes .n1 1 + P
uma (mica soluedo x 1 = OM), ...,x„ = (Mt) do sistema (14) que tambem satisfaz as condicOes iniciais (13),
ondc to 6 qualquer ponto em I e 4,..., x° são mimeros dados. Alem disso, a solucào existe em todo o
intervalo I.
Note que em contraste corn a situacrio para um sistema nao linear a existencia e a unicidade de soluedo
para um sistema linear estão garantidas em todo o intervalo no qual as hipOteses sdo satisfeitas. Alem
x° em t = t„ sfro inteiramente arbitrarios, enquanto
disso, para um sistema linear os valores iniciais
no caso nao linear o ponto inicial tern que estar contido na regido R definida no Tcorema 7.1.1.
0 restante deste capftulo e dedicado a sistemas lineares de equaeOes de primeira ordem (sistemas
nao lineares estarâo inclufdos nas discuss6es dos CapItulos 8 e 9). Nossa apresentacao utiliza notacdo
matricial e supOe gm; o leitor esteja familiarizado corn as propriedades de matrizes. Os fatos bAsicos sobre
matrizes estao resumidos nas Secties 7.2 c 7.3, e material mais avancado sera revisto quando necessario
em secOes posteriores.
PROBLEMAS
Em cada um dos Problemas de 1 a 4, transforme a equacao dada em um sistema de equagOes de primeira ordem.
2. u" + 0,5u' + 2u = 3 sent
I u" + 0,5u' + 2u = 0
4. 1.1 (4) — it = 0
3 t'u" +
+
— 0,25 )ii =0
Em cada urn dos Problemas 5 e 6, transforme o problema de valor inicial dado em um problema de valor inicial
para duas equaeOes de primeira orclem.
u" +0,25u' + Ltu = 2 cos 3t,
u(0) = 1, u'(0) = —2
SO
6. u" +p(t)u' + ti(t)u = g( t).
u(0) = uo, it' (0) =
Sistemas de equacties de primeira ordem podem scr transformados, algumas vezes, em uma Unica equacäo
de ordem maior. Considere o sistema
= —2x, + X2,
=
r,.
Resolva a primeira equacdo para e substitua na segunda equacAo. obtendo, assim, uma equaciio de
segunda ordem para x 1 . Resolva essa equacrio para x, c determine x,.
Encontre a solucao do sistema dado que tambem satisfaz as condicOes iniciais x,(0) = 2, x 2(0) = 3.
(c) Esboce a curva, para t > 0, dada em forma parametrica pelas expressOes para x, e x, encontradas em
(b).
Em cada urn dos Problemas de 8 a 12, proceda como no Problem 7.
Transforme o sistema dado em uma Unica equacäo de segunda ordem.
Encontre x, e x2 que satisfazem, tambem, as condicOes iniciais dadas.
(c) Esboce o grAfico da soluedo no piano x,x2 para t > 0.
9.
= 1,25x, + 0,75x2 ,
x1 (0) = 3
x 1 (0) = —2
8.
= 3x, — 2x2,
x'2 = 2x 1 — 2x2,
10. x, = x, — 2x2,
x2 = 3x1 — 4x2 ,
x2(0) =
x1 (0) = —1
x2 (0) = 2
x'2 = 0,75x, + 1,25x2 ,
x; = 2x2 ,
= —2x 1 ,
x1(0) = 3
x2 (0) = 4
x.(0) = 1
SISTEMAS DE EQUACOES LITIEARES DE PRIMEIRA ORDEM
12. x, = -0,5x, + 2x2,
x'2 = -2x, - 0,5x2,
281
xi (0) = -2
x2 (0) = 2
Transforme as Eqs. (2) para o circuito em paralelo em uma Unica equaciio de segunda ordem.
Mostre que se au, a l :, 021 e a,, forem constantes, corn a 12 e a21 scm serem nulos ao mesmo tempo, e se as
funceles g, e g 2 forem diferenciaveis, então o problema de valor inicial
= aiixi + a12x2 + Or),
,
x2 = a2l x, + a22x2 + g2 (t),
x i (0) =
x2(0) = xi;
podera ser transformado em urn problema de valor inicial para uma Unica equacilo de segunda ordem.
Pode-se usar o mesmo procedimento se a,,, ... , a2, forem funcOes de t?
Considere o sistema linear homogeneo
= Pir (t)x + pi2(r)y,
Y -= P21 ( t ) x. + P22 (t)y.
Mostre que se x =x,(t),y = y,(t) e x = x2(t), y = y2 (t) forem duas soluciies do sistema dada, entao x = c,x,(t) +
c2x2(t), y = c,y,(t) + c 2y 2 (t) tambern sera solucao, quaisquer que sejam as constantes c, c c2. Este t: o principio
da superposicdo.
Sejam .v = x, (I), y = y,(t) e x = x 2(t), y y,(t) duas solucaes do sistema linear nrio homogeneo
x = p i , (t)x + p i , (t)y g, (t),
= P21(t )x + p22(ny + g2(t).
Mostre que x = x,(t) - x 2 (t), y = y,(t) - y 2 (t) é uma solucao do sistema homogeneo associado.
As Eqs. (1) podem ser deduzidas desenhando-se urn diagrama mostrando as forcas agindo sabre cada massa. A Fieura 7.1.3a mostra a situacão quando os deslocamentos x, e x, das duas massas silo ambos positivos
(para a direita) e x, > x,. Nesse caso, as molas 1 e 2 estdo alongadas e a mola 3 esta comprimida, gerando
as for-gas ilustradas na Figura 7.1.36. Use a lei de Newton (F= ma) para deduzir as Eqs. ( I ).
18. Transforme o sistema (1) em um sistema de primeira ordem fazendo y, = x 1 , y, x y, x;, y., = x,'.
k2
ki
gAANW
I
I AMANNA1/4"
xi
k ix i 71 F1(t)
k2(x2- x1)
k 2(x2 x1)
F2 (0
1?1, 2
1,„_
k 3x2
FIGURA 7.1.3 (a) Os deslocamentos x, e x2 sdo ambos positivos. (b) 0 diagrama de for-gas para o sistema
mola-massa.
Circuitos Eletricos. A teoria do circuitos eletricos, do tipo ilustrado na Figura 7.1.2, consistindo em indutores, resisrencias e capacitores, bascia-se nas leis de Kirchhoff: (1) o fluxo total do corrente atravessando
cada no (ou jungfio) é zero; (2) a diferenca de tensao total em cada lac° fechado e zero. Alcor das leis de
Kirchhoff temos, tambem, a relacdo entre a corrente I em amperes passando por elemento do circuito e
a diferenca de potential V naquele elemento:
R = resistencia em ohms;
V = RI,
C — = 1,
dV ,
dt
C capacitancia em farads':
dI = V,
Lit
L indutancia em henrys.
As leis de Kirchhoff e a relacao entre corrente e diferenca de tensäo em cada elemento do circuito fornecem
um sistema de equagOes algebricas e diferencia is de onde é possfvel determinar a diferenca de tensdo e a
corrente em todo o circuito. Os Problemas 19 a 21 ilustram o procedimento que acabamos de descrever.
'Capacitores tern de fato, capaciamcias medidas tipicamente em microfarads. Usamos farad como unidade de medida por
conveniencia numerica.
282 CAPITULO SETE
19. Considere o circuito ilustrado na Figura 7.1.2. Sejam 1,, I, e 13 as correntes atravessando respectivamente o
capacitor, a resistência e o indutor. Analogamente, sejam V ,,V2 e V3 as diferencas de tensäo correspondentes. As setas denotam as direcOes, escolhidas arbitrariamente, nas quais as correntes e diferencas de tensäo
sera° consideradas positivas.
(a) Aplicando a segunda lei de Kirchhoff no taco superior do circuito, mostre que
V1 - V2 = 0.
(i)
Dc maneira analoga, mostre que
V2 - V3 = 0.
Aplicando a primeira lei de Kirchhoff cm qualqucr dos mis do circuito, mostre que
11 + /2 + /3 = 0.
(iii)
Use a relacäo entre a corrente e a diferenca de tensâo em cada elemento do circuito para obter as
equagOes
CV; =11 ,
V2 = Rh,
LI3 = V3.
(d) Elimine V,, V3, I, e das equaceles (i) a (iv) para obter
CV; = —/3 — —
LI3 —
-V I •
R
Observe que se omitirmos os indices nas Eqs. (v) teremos o sistema (2) delta sec5o.
20. Considere o circuito ilustrado na Figura 7.1.4. Use o metodo esbocado no Problema 19 para mostrar que a
corrente 1 atraves do indutor c a diferenca de tenszio V atraves do capacitor satisfazem o sistema de equacOes diferenciais
(11
d—t- = —1 — V ,
dV
= 21 — V .
dt
R = 1 ohm
FIGURA 7.1.4 0 circuito no Problema 20.
Considere o circuito ilustrado na Figura 7.1.5. Use o metodo esbocado no Problema 19 para mostrar que a
corrente I atraves do indutor e a diferenca de tensao V atraves do capacitor satisfazem o sistema de equaVies diferenciais
dl
L— = —R I I — V,
dt
dV
v
C— = 1 — — .
dt
R,
FIGURA 7.1.5 0 circuito no Problema 21.
Considere os dois tanques interligados ilustrados na Figura 7.1.6.' 0 Tanque 1 contem, inicialmente, 30 gal
de agua e 25 oz de sal, enquanto o Tanque 2 contem, inicialmente, 20 gal de agua e 15 oz de sal. Entra no
'Usamos as abreviacOes gal para galOes,oz para oncas e min para minutos; 1 oz 28,3495 g e 1 gal 4,546 1. ( N . T.)
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PR1MEIRA ORDEM 283
1,5 gal/min
1 gal/min
1 oz/gal
3 oz/gal
3 gal/min
1,5 gal/min
Tanque 1
2,5 gal/min Tanque 2
FIGURA 7.1.6 Dols tanques interligados (Problema 22).
lanque 1 uma mistura de agua contendo 1 oz/gal de sal a uma taxa de 1,5 gal/min. A mistura tlui cloTanque
1 para o Tanque 2 a uma taxa de 3 gal/min. Entra, lambent. no Tanque 2 (vinda de fora) uma mistura de
agua contendo 3 oz/gal de sal a ulna taxa de I gal/min. A mistura escorre do Tanque 2 a lima taxa de 4 gal!
min, e parte dela volta para o Tanque 1 a uma taxa de 1,5 gal/min, enquanto o restante deixa o sistema.
Sejam Q,(t) e Q,(1), respectivamente, as quantidades de sal em cada tanque no instante 1. Escreva as
equacOes diferenciais e as condicaes iniciais quc modclam o processo de fluxo. Observe que o sistema
de equacaes diferenciais é nä° homogeneo.
Encontre os valores de Q, e Q. para os quais o sistema esta em equilfbrio, ou seja, nao varia Corn o
tempo. Sejam Q F, e
os valores de equilfbrio. Voce pode prever qual tanque aringira seu estado de
equilfbrio mais rapidamente?
(c) Sejam x, = Q,(1)e x2 =
- Qs. Determine urn problema de valor inicial para x e x,. Observe
que o sistema de equagfies para x, e x 2 é homogeneo.
23. Considere dois tanques interligados de maneira analoga aos da Figura 7.1.6. 0 Tanque I cont&n, inicialmente, 60 gal de agua e V, oz de sal, enquanto o Tanque 2 contem, inicialmente. 100 gal de agua e
oz
de sal. Esta entrando no Tanque 1, a uma taxa de 3 gal/min. uma mistura de agua contendo q, oz/gal. A
mistura no Tanque 1 sai a uma taxa de 4 gal/min, da qual metade entra no Tanque 2, enquanto o restante
deixa o sistema. 0 Tanque 2 recebe de fora uma mistura de agua corn q, oz/gal de sal a uma taxa de I gal/
min. A mistura no Tanque 2 sai a uma taxa de 3 gal/min, nias uma parte disso volta para o Tanque 1 a uma
taxa de 1 gal/min, enquanto o restante deixa o sistema.
Desenhe urn diagrams que ilustre o processo de fluxo aqui descrito. Sejam Q,(t) e (22 (1), respectivamente, as quantidades de sal em cada tanque no instants t. Escreva as equace.tes diferenciais e as
condicties iniciais para Q, e Q, que modelam ° processo de fluxo.
Encontre os valores de equilfbrio Q e Qs em funcäo das concentracOes q, e q,.
E possivel (ajustando q, e q,) obter Q`i = 60 e QFi= 50 Como urn estado de equilibrio?
Descreva os estados de equilfbrio possfveis para esse sistema para diversos valores de q, c q,.
7.2 Revisio de Matrizes
For razties tanto teOricas quanto computacionais, é recomendavel ter em mente alguns dos resultados de
algebra matriciar para resolver urn problem de valor inicial para urn sistema de equacOes diferenciais
As propriedades de matrizes foram exploradas pela primeira vez em urn artigo de 1858 escrito pelo algebrista inglés Arthur
Cayley (1821-1895), embora a palavra "matriz" tenha sido introduzida por seu amigo James Sylvester (1814-1897) em 1850.
Cayley fez parte de seu trabalho matematico mais importante enquanto advogava, de 1849 ate 1863; tornou-se, depois, professor de matematica em Cambridge, uma posicâo quc manteve ate o fim de sua vida. Depois do trabalho pioneiro de Cayley,
o desenvolvimento da teoria de matrizes foi rapido, corn contribuicOes importantes de Charles Hermite, Georg Frobenius e
Camille Jordan, entre outros.
284 CAPITULO SETE
lineares. Para facilitar, esta e a prOxima secao serâo dedicadas a um pequeno resumo dos fatos sobre
matrizes que usaremos depois. Maiores detalhes podem ser encontrados em qualquer livro elementar de
algebra linear. Supomos, no entanto, que voce conhece determinantes e sabe calculd-los.
usando, de vez em quando, letras
Vamos denotar matrizes por letra maMsculas cm negrito, A, B, C,
4'....
Uma
matriz
A
consiste
em
urn
arranjo
retangular de ntimeros ou eles
maidsculas
como
gre y
mentos arrumados em in linhas e n colunas — ou seja,
A=(
\
a ll
alt
a t2
a 22
a2„
am '
am2
am,/
(1)
Dizemos que A é uma matriz m x n. Embora mais adiante neste capftulo facamos, muitas vezes, a hip6tese de que os elementos de determinadas matrizes sào nameros reais, nesta secao vamos supor que os
elementos podem ser nameros complexos. 0 elemento que esta na i-esima linha e na j-esima coluna sera
denotado por au , onde o primeiro indice identifica a linha e o segundo, a coluna. Algumas vezes utiliza-se
a notacao (ad) para denotar a matriz cujo elemento gen6rico c a„.
Associada a cada matriz A existe a matriz A T, conhecida como a transposta de A, que é obtida de A
permutando-se as linhas e colunas de A. Assim, se A = (a,1), entao A' = (ap ). Alem disso, denotaremos
o complexo conjugado de a, por Fig e a matriz obtida de A trocando-se todos os elementos pelos seus
conjugados por A. A matriz Ae a conjugada de A. Sera necessario, tambem, considerar a transposta da
conjugada, AT. Essa matriz é chamada de adjunta de A e denotada por A*.
Por exemplo, considere
2—i
A=
5 -1- 21)
(4+3i
3
Entao
AT_ 3
2—i
4+ 3i
—5+21
A=
A* =
4-3i
5 — 2i)
— 3i
(4 3
2+
—5 — ?i)
( 2 +!
3
Estarnos particularmente interessados em dois tipos especiais de matrixes: matrixes quadradas, que
tern o mesmo mimero de linhas e colunas — ou seja, nz = n; e vetores (ou vetores colunas), que podem
ser considerados como matrizes n x 1. ou matrizes tendo apenas uma coluna. Dizemos que uma matriz
quadrada corn n linhas c n colunas e de ordem n. Denotaremos vetores (colunas) por letras mintisculas
em negrito, x, y, q.... A transposta x' de uma coluna n x 1 ("; urn vetor linha, isto é, a matriz consistindo
em apenas uma linha cujos elementos sao iguais aos elementos nas posicezes correspondentes de x.
Propriedades de Matrizes.
L Igualdade. Duas matrizes in x nAeB sac) ditas iguais se todos os elementos correspondentes säo
iguais — ou seja, se a„= b,, para todo i e todo j.
Nlatriz Nula. 0 sfmbolo 0 sera usado para denotar a matriz (ou vetor) corn todos os elementos iguais
a O.
Soma. A soma de duas matrizes in xnAeBe definida como a matriz obtida somando-se os elementos correspondentes:
A + B = (aid + (bid = (aii +
(2)
Com essa definicao, segue que a soma de matrixes e comutativa e associative, de modo que
A+11=11±A,
A+(B +C)=(A +B)+C.
(3)
4. Nlultiplicaciio por tint Ntimero. 0 produto de uma matrix A por um ntImero complexo a é definido
da seguinte maneira:
aA = a(a,1) = (craii );
(4)
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
285
ou seja, cada elemento de A é multiplicado por a. As propriedades distributivas
a(A + B) = aA + aB,
(or + 13)A aA + /3A
(5)
szio satisfeitas por esse tipo de multiplicacäo. Em particular, a matriz negativa de A, denotada por —A.
definida por
—A = (-1)A.
(6)
Subtraciin. A diferenca A — B de duas matrizes in x n c definida por
A — B = A + (—B).
(7)
Logo.
A — B = (aid ) — (b,1)
—
(8)
que é sernelhante a Eq. (2).
Multiplicacao. 0 produto AB de duas matrizes est() definiclo sempre que o mil-nem de colunas da
primeira for igual ao ntImero de linhas da segunda. Se A e B säo matrizes in xnenx r. respectivamente,
entäo o produto C = AB é uma matriz in x r. 0 element() na i-esima linha e na j-esima coluna de C é encontrado multiplicando-se cada element() da i-esima linha de A polo element() correspondente da j-(Sima
coluna de B e, depois, somando-se os produtos resultantes. Simbolicamente,
cii
ni k b ki•
k=1
Pode-se mostrar, atravás de um calculo direto. que a multiplicacäo de matrizes e associativa
(AB)C = A(BC)
c distrihutiva
A(B + = AB + AC.
No entanto, em geral a multiplicacAo de matrizes na- o é comutativa. Para que ambos os produtos AB e
BA existam e sejam de mesmo tamanho, e necessArio que as matrizes A e B sejam quadradas de mesma
ordem. Mesmo nesse caso Os produtos sao normalmente diferentes, de modo que em geral
(12)
AB BA.
EXEMPLO
Para ilustrar a multiplicac5o de matrizes e o fato de que a multiplicacilo nâo é comutativa, considere as matrizes
1
1
i)
—2
2
1
—1
A (2
1
1
1 —1
0.
(2
B = 1 —1
2 —1
1
,
Da definicao de multiplicacäo dada pela Eq. (9), temos
(2 — 2 + 2
AB= 0 + 2 — 2
4+1+2
1 + 2 1 —1+0+1
0—2+10+0—1
2 — 1 — 1 —2+0+1
2
(2
0
.
= 0 —1
7
0 —1
Analogamente, vemos que
0
BA = ( 1
4
E claro que AB BA.
—3
—4
—5
0
2.
4
286 CAPiTULO SETE
Multiplicacao de Vetores. Existem diversas maneiras de se formar um produto de dois vetores x e y,
cada um corn n componentes. Uma é a extensão direta do produto escalar usual da Fisica e do Calculo;
denotamos esse produto por x'y e escrevemos
xT y
y
(13)
i=i
O resultado da Eq. (13) é um ntimero (complexo), e segue diretamente da Eq. (13) que
x T (y + z) = x Ty x Tz,
xT y y T x,
(ax)Ty = a(x T y) = xT(ay).
(14)
Existe urn outro produto entre vetores definido para dois vetores quaisquer corn o mesmo mimero de
componentes. Esse produto, denotado por (x, y), é chamado de produto inferno' e é definido por
(x, y) =
(15)
X ilYi •
O produto interno tambem é urn minter° (complexo), e comparando as Eqs. (13) e (15) vemos que
(x,y) = xTy.
(16)
Então, se todos os elementos forem reais, os dois produtos (13) e (15) são idénticos. Segue da Eq. (15) que
(x, y) = (y, x),
(x, y + z) = (x, y) + (x, z),
(17)
(x, ay) = -c7(x, y).
(ax, y) = a (x , y).
Note se mesmo que o vetor x tenha elementos corn parte imaginiiria não nula, o produto interno de x
consigo mesmo Ci um minter° real nao negativo
(18)
XiXi =
(X, X) =
i= I
i=1
denotada muitas vezes por 11x11, e chamada de comprimento ou taA. quantidade não negativa (x,
manho do x. Se (x, y) = 0, os dois vetores x e y s;io ditos ortogonais. Por exemplo, os vetores unitiirios i, j
e k. da geometria vetorial tridimensional, formam urn conjunto ortogonal. Por outro lado, se alguns dos
elementos de x nä. ° sao reais, entao o produto
=
(19)
i=1
pods nao ser um ntimero real.
For exemplo, sejam
i
x= —2
1+i
2—i
i
y=
3
Entiio,
x y = (i)(2 — i) + (-2)(i) + (1 + i)(3) = 4 + 3i,
(x,y) = (i)(2 + i) + (-2)(—i) + (1 + i)(3) = 2 + 7 i ,
x T x = (i) 2 + (-2) 2 + (1 +
= 3 + 2i,
(x, x) = (i)(—i) + (-2)(-2) + (1 + i)(1 — i) = 7.
Matrit Identidade. A identidade multiplicativa, ou simplesmente a matriz identidade 1,6 dada por
1 0
0 1
I = (.
0\
0
0 0
1/
*Ern portugués este produto tambdrn a chamado, muitas vezes, de produto escalar. No entanto, para nao confundir corn o
produto definido pela Eq. (13), reservaremos a nomenclatura "escalar" para o produto definido por (13).
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
287
Da definicäo de multiplicacäo matricial, temos
AI =
=A
(21)
para qualquer matriz (quadrada) A. Portant°, a comutatividade e valida para matrizes quadradas se uma
delas é a identidade.
9. Inversa. A matriz A e dita nao singular ou invertivel se existe uma outra matriz B tal que AB = I e
BA I, onde 1 é a identidade. Se existe tal B, pode-se mostrar que existe apenas uma. Ela e chamada de
inversa multiplicativa, ou, simplesmente, inversa de A, e escrevemos B =
Entdo
AA -1 = A -1 A = I.
(22)
Matrizes que nao tem inversas sdo ditas singulares ou nao invertiveis.
Existent vArias maneiras de se calcular A-' a partir dc A, supondo que ela exista. Uma envolve o use
de determinantes. A cada elemento a ,1 de uma matriz dada associa-se o menor Mir que 6 o determinante
da matriz obtida excluindo-se a i-esima linha e a j-esima coluna da matriz original - ou seja, a linha e a
coluna que contem o elemento
Mem disso, associa-se a cada elemento a, o cofator C,, definido pela
equacâo
Cif(-1)^+iM11(23)
Se B = A-', pode-se mostrar que o elemento geral b q e dado por
b .', =detCisA
(24)
Embora a Eq. (24) nao seja um modo eficiente' de calcular A-', sugere uma condiciio que A precisa
satisfazer para ter inversa. De fat°, a conclicäo e necessiiria e suficiente: A e invertivel se, e somente se, det
A 0. Se det A = 0, então A 6 singular.
Outra nmneira,geralmente melhor,de calcular A-' é atraves de operayfies elementares sabre as linhas.
Existent tres dessas operacOes:
3.
Permutar duas Unitas.
NIultiplicar uma linha por um escalar diferente de zero.
Somar qualquer nuiltiplo de uma linha a outra linha.
A transformacAo de uma matriz por uma sequencia de operace)es elementares a chamada de reducao
por linhas ou metodo de eliminaciio de Gauss'. Qualquer matriz invertivel A pode ser transformada na
identidade I atraves de uma sequencia sistematica dessas operaceoes. E possfvel mostrar que se a mesma
sequencia de operacaes for efetuada em I, entäo I é transformada em A-'. E mais eticiente executar a sequéncia de operaciies nas duas matrizes ao mesmo tempo, formando a matriz aumentada A11. 0 exempt()
a seguir ilustra o acid° de uma matriz inversa desse modo.
EXEMPLO
Encontre a inversa da matriz
1 -1 -1)
2
A= (3 -1
3
2
2
Comecamos formando a matriz aumentada All:
I
A I I --- (3
-1
-1
2
-1
2
3
I
1
0
0
0
1
0
0
0
1
'Para valores grander de ri,o ninnero de multiplicacde s necessarias para se calcular A-' pela Eq. (24)d proporcional a n!. Coin
a utilizaefto de mótodos mais eficientes,como o procediment o de reduc a- o por linhas descrito mais tarde, o ntimero de multiplicacOes flea proporcional a n' apenas. Mesmo para valores pequenos de n (como n = 4), determinantes nä() sâo ferramentas
boas para o calculo de inversas e m6Uxios de reduc5o por linhas sao preferiveis.
'Carl Friedrich Gauss (1777-1855) passou a major parte de sua vida em Gottingen e fez contribuicaes importances em muitas
areas da matenitica, incluindo teoria dos mimeros, algebra, geometria nao euclidiana e diferencial, e analise, assim como
em campos mais aplicados, como geodesica, estatistica e mecanica celeste. Considera-se que esteja entre os seis melhores
maternAticos de todos os tempos.
288 CAPITULO SETE
N
A matriz A pode ser transformada em I pela sequencia de operacOes a seguir c, ao mesmo tempo, I é transformada em A- 1 .0 resultado de cada passo parece ahaixo do enunciado.
(a) Obtenha zeros na primeira coluna fora da diagonal somando (-3) vezes a primeira linha a segunda e somando (-2) vezes a primeira linha a terceira.
0
0
1
—1
I
1
2
5 I —3
0
5 I —2
4
1
0
(b) Obtenha 1 na posicao diagonal na segunda coluna multiplicand° a segunda linha por 4,-.
-1
((1(1
1
—1
—1
I
1
0
1
;
I
—;
0
i
2
0
0
5 I —2
0
4
1
0
Obtenha zeros na segunda coluna fora da diagonal somando a segunda linha a primeira e somando (— 4)
vezes a segunda linha a terceira.
(1
0
0
1
I
0\
3
;
1
0
4 —2
I/
0 —5 I
Obtenha 1 na posicao diagonal na terceira coluna multiplicando a terceira linha or
0
(1
0
;
0
1
5
2
2
_ _3
2
4
-5
2
7
10
1
2
4
5
1
10
1
2
2
3
2
2
5
0
1
0
1
5
(e) Obtenha zeros na terceira coluna fora da diagonal somando (—;-) vezes a terceira linha a primeira e somando (4) vezes a terceira linha a segunda.
(1
0
0
I
0
1
0
I
1)
10
I
2
1
5
I
A Ultima dessas matrizes é IIA- 1 , urn resultado que pode ser verificado diretamente atraves da multiplicacao
pela matriz original A.
0
1
Esse exemplo tornou-se ligeiramente mais simples pelo fato de que a matriz original A tinha o primeiro elemento igual a 1 (a„ = 1). Se nfio for esse o caso, entao o primeiro passo é produzir 1 nessa posicäo
multiplicando-se a primeira linha por 1/a„ se a ll 0 0. Se a„ = 0, entao a primeira linha tem que ser trocada
por outra, de modo a trazer um elemento diferente de zero para o primeiro elemento da primeira linha
antes de prosseguir.
Funciies Matriciais. Vamos precisar, algumas vezes, considerar vetores ou matrizes cujos elementos sac)
fun0es de ulna variavel real t. Escrevemos
,4.
r t (t)
x(t) =
ail ( )
).
•••
ai„(t)
(25)
A(t) =
(4,1(0
•
amn(t)
respectivamente.
A matriz A(t) é dita continua cm t = to. ou em um intervalo a < t < /3, se todos os elementos de A säo
fun0es contfnuas de t no ponto dado, ou no intervalo dado. Analogamente, A é dita diferencirivel se
todos os seus elementos sac) diferenciaveis e sua derivada dA/dt é definida por
dA
dt
daii\
dt )
(26)
ou seja, cada elemento de dAldt é a derivada do elemento correspondente de A. Do mesmo modo, a
integral de ulna matriz de fun0es rs definida por
S ISTEMAS DE EQ UACOCS L INEARES DE PRIMEIRA O RDEN
289
Por exemplo, se
t
A(t) = (sen t
1
cost)
entäo
(cot
(t)
A ,s
0
1
720/2)
A(t) dt = (2
– sent)
7r.
fo
Muitas das propriedades do calculo elementar podem ser facilmente estendidas para funcOes matriciais;
em particular,
— (CA) = C
dA
dt
,
onde C e uma matriz constante;
dt
dA dB
— (A + B) = — + —•
dt
dt
dt
dt
(28)
(29)
dB
dA
(AB) = A-— + —B.
(30)
dt
dt
E precis() tomar cuidado em cada termo das Eqs. (28) e (30) para evitar trocar a (mien) de multiplicacAo. As definicaes expressas pelas Eqs. (26) e (27) tambem se aplicam ao caso particular de vetores.
PROBLEMAS
4
e B= (-1
6
1 –2
0
2 –I
Se A – ( 3
–2
I
3
(a) 2A + B
(c) AB
Se A–
3
(2)
, encontre
–2
5
1
(b) A – 4B
(d) BA
(1 +i
–1 + rl
3+2i
2–i
e
B– (i
3
2
–2i)'
encontre
(b) 3A + B
(a) A – 2 B
(c) AB
(d) BA
3
2
2
, encontre
3
–1
–1
=
0 –3 e B
1
3. Se A = (1
0
1
–2
2 –1
1
1
–2
(a) A T
(c) A T + B T.
(b)
(d) (A + B)T
(3 – 2i
4. Se A = 2 i
1+i
encontre
–2+31
(a) A T
3
5. Sc A = (2
1
(c) A•
(b)
2
–1
2
–1
2
1
e B=
2
–2
1
verifique que 2(A + B) = 2A + 2B.
2
0
1 –2
–2
3
2 –1
B=
6. Se A =
1
0
3
–2
verifique que
(a) (AB)C = A(BC)
(c) A(B + = AB + AC
1
3
0
1
3
0
–1
3),
2
–1 )
3
2
(2
c C= 1
0
1
2
1
0
2
–1
(b) (A + B) + C =A+(B+C)
290 CAPITULO SETE
Prove cada uma das propriedades a seguir da algebra de matrizes:
(b) A+ (B+C) = (A + B)+ C
(a) A+B=B+A
aA + aB
(d) (a + /3)A = ceA + f3A
(c) a(A +
(f) A(B + = AB + AC
(e) A(BC) = (AB)C
2 )
3i
1—i
Sex =
e y=(
—1 + i
2 ), encontre
3—i
(a) xTy
(c) (x, y)
(b) YTY
(d ) (Y, y)
2
3—i
1 + 2i
()
1 — 2i
i
e y=
Sex=
2
mostre que
(b) (x, y) = (y, x)
(a) x Ty = y Tx
Em cada urn dos Problemas de 10 a 19, calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela 6 singular.
( 1
4)
—
2
3
11.
(3
6
—1)
2
1
2
1
1
—1
1
—1
1
2
1
12. (2
3
2
4
5
3
5
6
13.
1
14. (-2
1
2
1
—2
1
8
—7
1
15. (0)22
0
0
I
2
1
16. (2
3
—1
1
—2
—1 )
0
1
( 2
17. —1
4
3
2
—1
1\
1
—1)
/ 1
0
18.
—1
\0
0
—1
0
1
0
1
1
—1
/ 1
—I
19.
I
\ —2
—1
2
0
2
2
—4
1
0
—1\
0
0
1/
0\
2
3
—1/
Prove que se existem duas matrizes B e C tais que AB = I e AC = I, entao B = C. Isso mostra que a matriz
A so pode ter uma inversa.
e`
SeA(t) = ( 2e
—et
2e-'
e-r
3e-1
e2'
—e2'
2e2'
e B(t) =
e-'
2e-`
—e -t
2 e'
—et
3e'
(a) A + 3B
3e21
C21 , encontre
—e2`
(h) AB
i
(c) dAldi
(d) f A(t) (It
f
Em cada urn dos Problemas de 22 a 24, verifique que o vetor dado satisfaz a equacdo diferencial dada.
2
22. x' = (3
—2
—2 x'
21
X=
23. x' =
(2
3
—1
—2) x + (-1) et,
24. x' =
(1
2
0
1
1
—1
1
—I x,
1
e2'
x= ( 1 ) e + 7 () te
x=
0
1
6
—8 e-' + 2
—4
1
—1
e2'
SISTEMAS DE EQUACOES LIDEARES DE PRIMEIRA ORDEM 291
Em cada um dos Problemas 25 e 26, verifique que a matriz dada satisfaz a equacAo diferencial dada.
25. x1/' =
26.
1
xi' = (3
2
4',
e -3'
e2(
41(t) =( -4e- 3'
e2'
-1
4
2 - 1)41,
1 -1
e'
4/(t) = -4e'
-e'
e -2r
e3'
—e-2' 2e3'
e ar
7.3 Sistemas de Equasks Lineares Algebricas; Independencia Linear, Autovalores e Autovetores
Vamos rever, nesta segao, alguns resultados de algebra linear que sdo importantes para a resolucTio de
sistemas lineares de equagOes diferenciais. Alguns dosses resultados säo facilmente demonstraveis,outros
Ilk); como estamos interessados apenas em resumir tuna informacao util de forma compacta, nao daremos indicacao da demonstracão cm nennum dos casos. Todos os resultados nesta secâo dependem de
alguns fatos bAsicos sobre sistemas lineares de equace•es algebricas.
Sistemas Lineares de Equacäes Algebricas. Urn coin unto de ir equacties algebricas lineares simultaneas em
n variaveis
auxi + 012x2 + • • + a ln X n = b1,
(1)
a, X
an2X2
"
' ann Xn
b,,
pode ser escrito como
Ax = b,
(2)
onde a matriz n x n A c o vetor b sao dados, e as componentes de x tern que ser deterrninadas. Se b = 0,
o sistema c dito homogeneo; caso contrario, ele c nao homogeneo.
Se a matriz de coeticientes A for invertivel - ou seja, se do A for diferente de zero - entdo o sistema
(2) tern uma Unica soluc5o. Como A 6 invertivel, A-' existe c a solucAo pode ser encontrada multiplicando-se cada lado da Eq. (2) a esquerda por
assim,
x = A tb.
(3)
Em particular, o problema homogeneo Ax = 0, correspondente a b = 0 na Eq. (2), tern apenas a solucdo
trivial x = 0.
Por outro lado, se A for singular - ou seja, se det A é zero - então ou nao existe solucäo da Eq. (2), ou
existe, mas nao c tinica. Como A 6 singular, A-' nav existe, de modo que a Eq. (3) nao e mais valida. 0
sisternA homogeneo
Ax = 0
(4)
tern (uma infinidade dc) solucaes ink) nulas, alem da solucao trivial. A situacäo para o sistema nao homogeneo (2) 6 mais complicada. Esse sistema nä° tem solucao, a menos que o vetor .b satisfaca tuna determinada condicao. Essa condicao e que
(b, y) = 0,
(5)
para todos os vetores y tais que A*y = 0, onde A* e a adjunta de A. Se a condicdo (5) for satisfeita, entäo
o sistema (2) tern uma infinidade de solucOes. Cada uma dessas solucaes tem a forma
x = x (°) +
(6)
onde xo) 6 uma solucâo particular da Eq. (2) e é qualquer solucao do sistema homogeneo (4). Note a
semelhanca entre a Eq. (6) c a solucdo de uma equacdo diferencial linear nao homogenea. As demonstracOes de algumas das afirmacOes precedentes estao esbocadas nos Problemas de 25 a 30.
Os resultados do paragrafo anterior silo importantes para classificar as soluceles de sistemas lineares.
No entanto, para resolver urn sistema particular 6 melhor, ern geral, usar reducdo por linhas para transformar o sistema em urn muito mais simples, do qual a solucâo (ou as solucOes), se existir(em), pode(m) ser
escrita(s) facihnente. Para fazer isso de maneira eficiente, podemos formar a matriz aumentada
292 CArrruLo Sur,
alt
at„
ant
ann
Ab=
(7)
juntando o vetor b a matriz de coeficientes A como uma col una adicional. A linha pontilhada Urea no lugar
dos sinais de igualdade e divide a matriz aumentada. Agora efetuamos as operacOes elementares na matriz
aumentada de modo a transformar A em uma matriz triangular - ou seja, em uma matriz cujos elementos
abaixo da diagonal principal sâo todos nulos. Uma vez feito isso, e facil ver se o sistema tem ou nao solucao
e, se tiver, encontra-las. Observe que as operacOes elementares sobre as linhas da matriz aumentada (7) säo
operacOes legftimas sobre as equagOes do sistema (1). 0 exemplo a seguir ilustra o processo.
EXEMPLO
Resolva o sistema de equacties
x i - 2x2 + 3x 3 = 7,
xi + x2 - 2x3 = -5,
1
2v1 - x2 - x3 =
4.
A matriz aumentada para o sistema (8) e
7
3I
1 -2
1 -2 I -5 .
I
4
( 2 -1 -1 I
Vamos agora efetuar operacOes elementares sobre as linhas da matriz (9) corn o objetivo de introduzir zeros na
matriz em sua parte inferior a esquerda. Cada passo esta descrito, e o resultado e mostrado cm seguida.
Sonic a primeira a segunda linha e some (-2) vezes a primeira linha a terceira.
(1
0
0
-2
-1
3
3
1
-7
7)
2
-10
(1
0
0
-2
1
3
3
-1
-7
7)
-2
-10
1
0
(0
-2
1
0
3I
-1 I
-4 I
7
-2
-4
1
0
(0
-2
1
0
3I
-1 I
1 I
7
-2
1
Multiplique a segunda linha por -1.
Some (-3) vezes a segunda linha a terceira.
Divida a terceira linha por -4.
A matriz obtida desse modo corresponde ao sistema de equagOes
- 2x23x3 = 7,
X2 —
x3 =
-2,
X3 =
1,
(10)
que e equivalente ao sistema original (8). Note que os coeficientes na Eq. (10) formam uma matriz triangular. Da
Ultima das Eqs. (10), temos x 3 = 1; da segunda, x, = -2 + x 3 = -1 . e, da primeira, x, = 7 + 2x, - 3x, = 2. Obtemos, assim,
2)
x= (-1 ,
1
que 6 a solucäo do sistema dado (8). Alias, como a solucao a Unica, conclulmos que a matriz de coeficientes 6
invertfvel.
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
EUMPLO
Discuta as solucOes do sistema
xt — 2x2 3x3 = 61,
2
2
293
+ x2 —
2X3 = b2,
—
+ 3x3 = b3
para diversos valores de b,, b, e h,.
Observe que os coeficientes no sistema (11) sao os mesmos do sistema (8), exceto pelo coeficiente de x3 na
terceira equacao. A matriz aumentada do sistema (11) é
1 —2
3 I bi
—1
1 —2 I b 2) •
(12)
—1
3
I
b3
(
Efetuando as operacOes (a), (b) e (c) como no Exemplo 1, transformamos a matriz (12) em
(1
0
0
—2
1
0
)
hi
3 I
—1 I
—6 1 —b2(13)
0 I 6 1 + 362 + 63
A equacao correspondente a terceira linha da matriz (13) é
b i + 36, + b3 = 0:
(14)
logo, o sistema (11) nao tem solucao, a menos que a condicao (14) seja satisfeita por b,, b, e 63. E possivel mostrar que essa condicäo e exatamente a Eq. (5) para o sistema (11).
Vamos supor que b, = 2, h2 = 1 e b, = —5, caso em que a Eq. (14) é satisfeita. Entao, as duas primeiras linhas
da matriz (13) correspondem as equagOes
X I — 2v2 + 3x3 = 2,
(15)
.vz — .v 3 = —3.
Para resolver o sistema (15), escolhemos uma das incOgnitas arhitrariamente e resolvemos para as outras duas.
Fazendo .v..3=a, onde a e arbitrario, segue que
= — 3,
x1=2(a-3)-3a+2=—a-4.
Escrevendo a solucao em now(*) vetorial. temos
x=
—a — 4
—1
—4)
a — 3) = a1) + (-3 .
0
a
1
(16)
E facil veriticar que a segunda parcela a direita do segundo sinal de igualdade na Eq. (16) é uma solucao do sistema nao homogeneo (11), enquanto a primeira parcela e a solucao mail geral possivel do sistema homogeneo
correspondente a (11).
A reducao pot linhas e tambal titil na resolucäo de sistemas homogeneos e de sistemas nos quais o
'limier() de equagOes é diferente do tnimero de inc69,nitas.
Independencia Linear. Urn conjunto de k vetores x"), ..., 'i lk ' é dito linearmente dependente se existe urn
conjunto de numeros (complexos) c,, ...,c,,, nem todos nulos, tais que
c l x(1) + • • • + ode° --,.. O.
(17)
Em outras palavras, x" ), ..., x (k) sao linearmente dependentes se existe uma relacao linear entre eles. Por
outro lado, se o Calico conjunto c,, ..., ck para o qual a Eq. (17) é satisfeita é c, = c, = ... = ck = 0, entao x"),
..., Ye° sao ditos linearmente independentes.
Considere um conjunto de n vetores, cada um doles corn n componentes. Seja x = 4i) a i-esima components do vetor x(i ) e seja X = (x v). Entao, a Eq. (17) pode ser escrita na forma
(
x(1 1) c) + • - • + xrcn
xtrci + - • - + X in Cn
•
•
(1) Ci + • • • +
X"
•
(n)
Cn
Xn
t ci +
+ xnnc.
=
Xc = O.
(18)
294 CAPiTULO SETE
Se det X 0 0, entao a Unica solucao da Eq. (18) é c = 0. mas se det X = 0, existent solucOes nao nulas. Logo,
o conjunto de vetores
x(k) é linearmente independente se, e somente se, det X 0 0.
EXEMPLO
3
Determine se os vetores
1
xw = ( 2
2
1.
3
x(2) =
1
)
-4
x (3) =
1
(19)
-11
sao linearmente independentes ou linearmente dependentes. Se forem linearmente dependentes, encontre tima
relacao linear entre des.
Para determinar se x"), x( 2 ) e x13) sac, linearmente dependentes. procuramos constantes c,, c 2 e c 3 tais que
c l x" ) + c 2 x(2 ' + c 3 x(3' = 0.
A Eq. (20) também pode ser escrita na forma
( 1
2
-1
\
2
-4
1
-1 1
1
3
0
c,
e,s
cl
=
0
0
e resolvida atraves de operacOes elementares sobre as linhas da matrix aumentada
( 1
2
-1
2
1
3
-4
I
0
1
1
0
-1II
I
0
.
(22)
Vamos proceder como nos Exemplos 1 e 2.
Some (-2) vexes a primeira linha a segunda e some a primeira a terceira lin ha.
1
2
-4
I
0)
0
-3
5
9 I
-15 I
0
0
0
Divida a segunda li nha por -3; depois some (-5) vexes a segunda linha a terceira.
2 -4 I 0\
1
0
1
(0
0
-3
0
I
I
0
0/
Obtemos, assim, o sistema equivalente
2c2 - 4c 3 = 0,
C2 — 3c3 = 0.
(23)
Da segunda das Eqs. (23) temos c, = c, e. da primeira, obtemos c, = 4c 3 - 2c, = -2c 3 . Resolvemos, entao para c,
e c, em funcäo de c 3 , corn esse Ultimo arbitrario. Se escolhermos, por conveniencia, c 3 = - 1, teremos c, = 2 e c, =
-3. Nesse caso a relacao desejada (20) fica
2x(I ) - 3x(2 ' - x (3) = 0,
e os vetores dados sao linearmente dependentes.
De maneira alternativa, podemos calcular det(xv), cujas colunas sao as componentes de x" ,, x( 2 ) e x( 3), res. pectivamente. Assim,
1
-4
2
det(x ii ) = 2
1
1
-1
3 -11
e calculus diretos mostram que é zero. Portant°, x(", x''' e x o) sao linearmente dependentes. No entanto, se os
coeficientes c,, c 2 e c3 forem necessarios, ainda podemos resolver a Eq. (20) para encontra-los.
Muitas vexes é util pensar nas colunas (ou linhas) de uma matrix A como vetores. Esses vetores colunas
(ou linhas) sac) linearmente independentes se, e somente se, det A 0. Alem disco, se C = AB, pode-se
mostrar que det C = (det A)(det B). Portanto, se as colunas (on linhas) de ambas, A e B, sat) linearmente
independentes, entao as colunas (ou linhas) de C tamhem o sao.
Vamos agora estender os conceitos de dependencia e indepenclencia linear a urn conjunto de tune-6es
vetoriais x ( "(t),
x (k)(t) definidas em um intervalo a < t < /3. Os vetores x")(t),
x (o(t) sac) ditos linear-
SISTF.MAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
295
mente dependentes em a < t < $ se existir um conjunto de constantes c 1 ,
c5 , näo todas nulas, tais que
c,x ( "(t) +
+ ckx(k )(t) = 0 para todo t no intervalo. Caso contrario, x m (t),
x (k) (t) sao ditos linearmente
x (k) (t) forem linearmente dependentes em um intervalo, ent5o des
independentes. Note que se x' (t),
sera° linearmente dependentes em todos os pontos do intervalo. No entanto, se x")(t),
x (k) (t) forem
linearmente independentes em urn intervalo, eles podem ou n5o ser linearmente independentes em cada
ponto; Iles podem, de fato. ser linearmente dependentes em cada porno mas corn urn conjunto diferente
de constantes em pontos diferentes. Veja o Problema 15 para urn exemplo.
Autovalores e Autovetores. A equacrio
Ax = y
(24)
pode ser vista como uma transformac5o linear que lev y (ou transforma) urn vetor dado x em urn novo
vetor y. Vetores que säo transformados em maltiplos de si mesmo säo importantes em muitas aplicacOes.5
Para encontrar tais vetores fazemos y = Xx, onde tie urn fator escalar de proporcionalidade, e procuramos
solucOes das equagOes
Ax = Ax,
ou
(A - Al)x = 0.
A Ultima equac5o tern solucties näo nulas se, e somente se, A for escolhido de modo que
det(A - AI) = 0.
(27)
Os valores de A que satisfazem a Eq. (27) sac) chamados de autovalores da matriz A, e as solucaes rtho nulas correspondentes das Eqs. (25) ou (26), obtidas usando-se tal valor de A, são chamadas de autovetores
correspondentes, ou associados, ague le autovalor.
Se A é tuna matriz 2 x 2. entdo a Eq. (26) Pica
a il a21
au
x1) = (0)
a22 — ).) (X2
0
c a Eq. (27) torna-se
(at t - X ) ( a 22 - X ) - apa -n = O.
0 exemplo a seguir ilustra como encontrar autovalores e autovetores.
EXEMPLO
Encontre Os autovalores e autovetores da matriz
3
4
A = (4
-1
-2)
Os autovalores a e os autovetores x satisfazem a equaciio (A - Xl)x = 0, ou
1
(3x1)
-2 - X) (x,
4
Os autovalores silo as rafzes da equacão
3-a.
4
det(A - Al)
-1
= A. 2 — X - 2 = 0.
-2 - A
Logo, os autovalores s5o X, = 2 e A 2 = - 1.
Para encontrar os autovetores, voltamos a Eq. (31) c substituimos X por urn dos autovalores encontrados.
Para A = 2, temos
1
(4
-1 x,
0
-4) (x2) - (0)
'Por exemplo, este problem é encontrado ao se procurar Os eixos principais de tens5o em urn corpo elastico e ao se procurar
os modos de vibracäo livre em urn sistcma conservativo corn urn 'Willem finito de graus do liberdade.
296 CAPITULO SETE
Logo, cada India desta equacao vetorial leva a condign° x, — x2 = 0, logo x, e x 2 sno iguais, Inas seus valores não
estno determinados. Se x, = c, entao .v2 = c tambem e o autovetor x1116
X
11)
c
c 11
Logo, existe uma familia infinita de autovetores, indexada pela constante arbitraria c, correspondendo ao auEscolheremos urn tinico membro dessa familia como representante; neste exemplo, parece mais
tovalor
simples escolher c = 1. Assim. em vez da Eq. (34), escrevemos
X (1) =
e lembramos que qualquer multiplo n5o nulo desse vetor tambem 6 um autovetor. Dizemos que x") e o autovetor correspondente ao autovalor A, = 2.
Fazendo, agora. A = —1 na Eq. (31). obtemos
4 —1 x i0
(4 —1) ( 2 ) — ( 0)
Mais uma vez obtemos uma (mica condign() sobre x, e x 2, a saber, 4x, —x2 = 0. Logo, o autovetor correspondente
ao autovalor A, = —1 é
(2)
X = (4)
ou qualquer nuiltiplo nâo nut() desse vetor.
Como ilustrado no Exemplo 4, os autovetores sac) determinados a menos de um constante multiplicativa näo nula; se essa constants c especificada de al2um modo, entao os autovetores säo ditos normalizados. No Exemplo 4 escolhemos a constante c para que as componentes dos autovetores fossem inteiros
--.._...-pequenos. No entanto, qualquer outra escolha de c seria igualmente valida, embora talvez n5o tao conveniente. Algumas vezes é conveniente normalizar um autovetor x escolhendo a constante de modo que
seu comprimento seja 11x11= (x, x)' = 1.
A Eq. (27) c um equacão polinomial de grail n em A, de modo que existem n autovalores A,,
alguns dos quail podem ser repetidos. Se um determinado autovalor aparece nt vezes como raiz da Eq. (27),
ele e dito de multiplicidade algebrica m. Cada autovalor tern pelo menos um autovetor associado, e um
autovalor de in tilt iplicidade algebrica nl pode ter q autovetores linearmente independentes. 0 !Miner° q
chamado de multiplicidade geometrica do autovalor, e pode-se mostrar que
1 < q < in.
(38)
Mem disco, exemplos most rain que q pode ser qualquer inteiro nesse interval°. Se todos os autovalores
de uma matriz A sac, simples (tern multiplicidade algebrica urn), entao cada autovalor tambem tem multiplicidade geometrica um.
E possivel mostrar que, se A., e A, forem dois autovalores de A, entao seus autovetores correspondentes
x"' e x 121 sao linearmente independentes (Problem 34). Este resultado pode ser estendido para qualquer
conjunto
..., Ax de autovalores (list intos: setts autovetores x( 1 ), ..., Ye" s5o linearmente independentes.
Ent5o, se todos os autovalores de uma matriz n x n forem simples, os n autovetores de A, um para cada
autovalor, sera) linearmente independentes. Por outro lado, se A fiver urn ou mais autovalores repetidos,
ent5o pode ter menos do que n autovetores linearmente independentes, ja que urn autovalor repetido
pode ter q < in autovetores. Como veremos na Segno 7.8, este fato pode levar a complicagOes mais tarde
na resolucao de sistemas de equacties diferenciais.
EXEMPLO
Encontre os autovalores e autovetores da matriz
0
A = (1
1
5
1
0
1
I
1
0
Os autovalores A e os autovetores x satisfazem a equacdo (A — AI)x = 0, ou
—A
1
1
1
—A
1
0
1 ) (x. 1 ) = ( 0) .
x30
—A
S ISTEMAS DE EQ UA CO ES L INEARES DE P R1MEIRA O RDEN 297
Os autovalores sao as raizes da equacao
—A
1
1
det(A — Al) =
1
1
1
1 = — X 3 ± 3A. + 2 = O.
--;n.
(41)
As rafzes da Eq. (41) sao A = 2.;.. = —1 e i,, = —1. Assim, 2 é um autovalor simples e —1 e um autovalor de multiplicidade algdbrica 2, ou um autovalor duplo.
Para encontrar o autovetor x"' associado ao autovalor
substitufmos = 2 na Eq. (40); isso nos leva ao
sistema
x1
x,
x3
0
0
0
1
—2
1
1)
1
—2
—1
1
0
(())
- 1 ) (fr i ) = ()
(-2
1
1
=
.
Podemos reduzi-lo ao sistema equivalente
(2
0
0
0
x3())
atraves de operaciies elementares sobre as lin has. Resolvendo esse sistema, obtemos o autovetor
1
x'" = (1)
1
Para k = —I, a Eq. (40) se reduz imediatamente a Unica equircao
r t +x2 +
= 0.
Assim, valores para duas das quantidades x,,x, e .v, podem ser escolhidos a rbitrariamente, e o terceiro valor fica
determinado pela Eq. (45). Por exemplo, se .v, = c, e x2 = c,. entao x, = —c,— c2 . Em notacao vetorial, temos
(
x=
CI
C2
= ci
1
_O
+
0
1)
(46)
- C2
Por exemplo, escolhe tido c 1 = 1 e c,= 0, obtemos o autovetor
x' 21 = ( 0)
1
(47)
—1
Qualquer mUltiplo nao nulo de x''' tamb(3m ë urn autovetor. mas um segundo autovetor independente pode ser
encontrado para uma outra escolha de c, e c, — por exemplo. c, = 0 e c2 = I. Nesse caso, obtemos
X(3) =
0
1)
(48)
—1
que a linearmente independente de x( 2 ). Portant°, neste exemplo existem dois autovetores linearmente independentes associados ao autovalor duplo.
Uma classe importance de matrizes, chamadas de autoadjuntas ou hermitianas, é aquela em que A* =
A, ou seja,a,,= a u . A classe das matrizes autoadjuntas inclui, como subclasse, as matrizes simetricas reais —
ou seja, matrizes corn todos os elementos reais tais que A T = A. Os autovalores e autovetores de matrizes
autoadjuntas tern as seguintes propriedades
Todos os autovalores sac) reais.
Sempre existe urn conjunto completo de n autovetores linearmente independentes, independentemente
das multiplicidades algaricas dos autovalores.
Se x1 ' ) e x' 2 ' sao autovetores correspondentes a autovalores distintos, entao (x 0 ), x(2)) = 0. Logo, se todos os
autovalores sao simples, os autovetores associados formam urn conjunto ortogonal de vetores.
E possivel escolher m autovetores ortogonais entre si associados a urn autovalor de multiplicidade m.
Assim, o conjunto completo de n autovetores sempre pode ser escolhido de modo que seja urn conjunto
ortogonal, alem de linearmente independente.
298 CAPiTULO SETE
As demonstracOcs das afirmacOes 1 e 3 estao esquematizadas nos Problemas 32 e 33. 0 Exemplo 5
envolve uma matriz simetrica real e ilustra as propriedades 1, 2 e 3, mas a escolha que fizemos para x (2 ) e
x 131 nao ilustra a propriedade 4. No entanto. sempre e possfvel escolher x( 2 ) e x 131 de modo que ( x 121 , x'3))
0. Por excmplo, poderfamos ter escolhido. no Exemplo 5, x( 2 ) como antes e x (3 ) usando c, = 1 e c:= -2 na
Eq. (46). Dessa forma, obterfamos
x (2) =
1)
0
-1
I)
X(3) = (-2
1
como autovetores associados ao autovalor = -1. Esses autovetores sac) ortogonais entre si e sao. tamb6m, ortogonais ao autovalor x") associado ao autovalor A = 2.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 6, resolva o conjunto de equagOes dado ou mostre que na7o tern solucdo.
2. x i + 2x2 - x., = 1
1.
xi- x3 = 0
3x, + X2 + X3 = 1
211 + X2 + X3 = 1
-x l f x2 + 2x3 = 2
x, - x2 + 213 = 1
3.
x, + 2/2 - 13 = 2
2x, + x2 + 13 = 1
- X2 + 213 = -1
4.
x, + 2x, - 13 = 0
21, + X2 + 13 =
+ 213 = 0
-
5.
x,
- X3 =
31, + x2 + x3 = 0
+ x2 + 2x3 = 0
6.
+ 212 - x3 = -2
-2x 1 - 4x, + 213 = 4
21, + 412 - 2x3 = -4
Em cada um dos Problemas de 7 a 11, determine se o conjunto de vetores dado é linearmente independente. Se
for linearmente dependents, encontre uma relaciio linear entre os vetores. Os vetores estao escritos na forma
de linhas para economizar espaco. mas podem ser considerados como vetores colunas, ou seja, podem ser usadas as transpostas dos vetores dados, em vez dos prOprios vetores.
x (I ) = (1,1,0),
X(2) = ( 0, 1, 1),
X(3) = ( 1,0, 1)
x") = (2,1,0),
x(2) = (0,1,0),
X(3) = (-1, 2,0)
x") = (1, 2, 2, 3),
x121 = (-1,0,3,1),
x( 3 ) = (-2, -1, 1, 0),
x14) = (-3, 0, -1, 3)
x") = (1,2,-1,0),
x(2) = (2,3, 1, -1),
x(3' = (-1,0,2,2),
x1'"
x 111 = (1,2, -2),
x(2) = (3,1,0),
x(3) = (2, -1. 1),
Suponha que cada urn dos vetores x( 1 ,
linearmente dependentes.
(3, -1, 1,3)
x( 4 ) = (4,3, -2)
x 1 - 1 tern n componentes, onde n < in. Mostre que e), ..., ye-) sao
Em cada urn dos Problemas 13 e 14. determine se o conjunto de vetores dado 6 linearmente independente para
-co < t < co. Se for linearmente dependents. encontre uma relacäo linear entre os vetores. Como nos Problemas
de 7 a 10, os vetores estao escritos como linhas para economizar espaco.
x( I )(t) = (e-' , 2e- 1 ),
x 11 (t) = (2sen t, sent), •
15. Sejam
x(2)(t) =
. x (3) (t) = (3e-',0)
x (2 )(t) = (sent,2sent)
x( 11 (t) =
1
x(2)(t) = ( t ) .
(tee')
Mostre que x o )(t) e x 1 '-)(t) sao linearmente dependentes em cada ponto do intervalo 0 < t < 1. Apesar disso,
mostre que x 19 (t) e x 1 '-)(t) sao linearmente independentes em 0 < t < 1.
Em cada urn dos Problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matrix dada.
16.
17.
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
18. ( -2
1
20.
22.
( 1
0
1
2
3
11/9
24. ( -2/9
8/9
( 1
)
19.
0 )
-1
21.
(-3
-5
23.
( 3
1
-
25.
4
()
3
2
2
0
2
4
2
3
-2
0
1
0
-2
2
1
-2/9
2/9
10/9
8/9
10/9
5/9
299
1)
i
3/4)
1
2
4
-4
2)
1
-1
Os problemas de 26 a 30 tratarn da resoluc5o de Ax = b quando det A = 0.
26. (a) Suponha que A 6 uma matriz real n x n. Mostre que (Ax, y) = (x,A ry) quaisquer que sejam os vetores x e y.
Sitgesulo: voce pode achar mais simples considerar primeiro o caso n = 2; depois estenda o resultado para
urn valor arbitrario de n.
Se A n5o for necessariamente real, mostre que (Ax, y) = (x, A* y) quaisquer que sejam os vetores x e y.
Se A for hermitiana, mostre que (Ax, y) = (x, Ay) quaisquer que sejam os vetores x e y.
27. Suponha quc para uma matriz dada A existe urn vetor nao nulo x tal que Ax = 0. Mostre que existe, tambem, um vetor n5o nulo y tal que A*y = 0.
Suponha que det A = 0 e que Ax = b tern soluc5o. Mostre que (b, y) = 0, onde y e qualquer solucdo de A*y
= 0. Veritique que essa afirmacao 6 verdadeira para o conjunto de equacOes no Exemplo 2.
Sugestao: use o resultado do Problem 26(b).
Suponha que det A = 0 e que x = )0'6 uma soluc5o de Ax = b. Mostre que se e uma soluc5o de At = 0 e
cr e qualquer constante, entiio x = x" + aE tarnWm e soluctio de Ax = b.
Suponha que det A = 0 e que y e uma solucäo de A*y = 0. Mostre que se (b, y) = 0 para qualquer desses
y, entao Ax = b tem soluc5o. Note que isso e a reciproca do Problema 28; a forma da soluc5o 6 dada pelo
Problema 29.
Sugestao: o que a relac5o A*y = 0 diz sobre as linhas de A? Novamente, pode ajudar considerar o caso n =
2 primeiro.
Prove que A = 0 e um autovalor de A se, e somente se, A e singular.
Vamos mostrar, neste problema, quc os autovalores de uma matriz autoadjunta A sdo reais. Seja x um
autovetor associado ao autovalor A.
(a) Mostre que (Ax, x) = (x, Ax). Sugestdo: veja o Problema 26(c).
(h) Mostre que A(x, x) = A(x, x). Sugestiio: lembre que Ax = Ax.
(c) Mostre que A = A, ou seja, o autovalor A e real.
Mostre que, se A, e A 2 sac) autovalores de uma matriz A autoadjunta e se A, * A 2 , entao os autovetores
correspondentes x o ) e x( 2 ) s5o ortogonais.
Sugestdo: use os resultados dos Problemas 26(c) e 32 para mostrar que (A, - A 2 )(x° t , x( 21 ) = 0.
34. Mostre que, se A, e Â2sdo autovalores de uma matriz A qualquer e se A, Az, entao os autovetores correspondentes x( 0 e x(') sit° linearmente independentes.
Sugestclo: comece corn c,x0 ) + c 2 x42) 0; multiplique por A para obter c i A.,x( 1 ) + c 2 A 2 x(2) = 0. Depois mostre
que c, = c, = 0.
7.4 Teoria Basica de Sistemas de Equaciies Lineares de Primeira Ordem
A teoria geral para sistemas de n equagOes lineares de primeira ordem
Cj = P11( t ) x i + • • • +
(t)xn + gi (t),
(1)
x,,' =
(t)x l + • • + p,,, (1)x,, +gn(t)
300 CAPITULO SETE
é bastante semelhante a teoria para uma Unica equagdo linear de ordem n. A discussdo nesta secdo,
portanto, segue as mesmas linhas gerais daquela feita nas SecOes 3.2 e 4.1. Para discutir o sistema (1) de
maneira mais eficiente, usaremos notacilo matricial. Ou seja, vamos considerar x, = 01 (t),
„ = &(t)
g„(t) sao componentes de um vetor g(t)
como componentes de um vetor x = OW; analogamente, Mt),
e p „(t),
p,„,(t) sao elementos de uma matriz n x n P(t). A Eq. (1) fica, entao, na forma
= P(t)x + g(t).
(2)
A utilizacdo de vetores e matrizes não so economiza muito espaco e facilita os cdlculos, mas tambem
enfatiza a semelhanca entre sistemas de equagOes e uma nnica equacao (escalar).
Dizemos que urn vetor x = OW é uma solucdo da Eq. (2) se suas componentes satisfazem o sistema de
equagOes (1). Ao longo delta secdo, vamos supor que P e g sao continuas em algum intervalo a < t < 13,
ou seja, as fungi:5es escalares p i" p„„, g1, • g, sao continuas nesse intervalo. Dc acordo coin o Teorema
7.1.2, isso é suficiente para garantir a existencia de solucOes da Eq. (2) no intervalo a < t < $.
E conveniente considerar primeiro a equacdo homogenea
= P(t)x
(3)
obtida da Eq. (2) fazendo-se g(t) = 0. Uma vez resolvida a equagdo homogenea, existem diversos metodos
para se resolver a equacdo ndo homogenea (2); isso sera feito na Secdo 7.9. Usaremos a notacdo
7 X 1k (t)
Xi l (t)
x (1) (t) =
X21 (t)
,
x (k)(t) =
X 2k (t)
(4)
\xnk(1)/
para denotar solucOes especificas do sistema (3). Note que x ,1 (t) =
(t) denota a i-esima componente da
j-Osima solugao x(i )(t). Os fatos principals sobre a estrutura das solucbes do sistema (3) estdo enunciados
nos Teoremas de 7.4.1 a 7.4.4. Eles sao bastante semelhantes aos teoremas correspondentes nas SecOes
3.2 e 4.1; algumas das demonstracOes [learn como exercicio para o leitor.
Xn1(t)
Teorema 7.4.1 Se as funcOes vetoriais x" ) e x m sao solucOes do sistema (3), entdo a combinacão linear c,x ( ') + c2x(2)
tambem é solugdo quaisquer que sejam as constantes c, e c2.
Esse e o principio da superposigdo; para provii-lo, basta derivar c i x") + c,x( 2 ) e usar o fato de que x") e
x( 2 ) satisfazem a Eq. (3). Aplicando repetidamente o Teorema 7.4.1, chegamos a conclusdo de que, se x()),
x' bo sao solucOes da Eq. (3), entdo
X = c
X (1) (t) + • • • + ckx(k)(t)
tambem e solucao quaisquer que sejam as constantes
X (I) (t) =
2e 3 '
Como exempla pode-se verificar que
x(2) (t)
C) e3r,
2
(- 2 ee l
= —2) Ci
satisfazem a equacdo
,
x=
1)
k4
1
x.
De acordo corn o Teorema 7.4.1,
x = c 1 ( 1 ) e3` + c 2
=
X (1) (t)
1 ) e-t
( —2
C2X(2)(t)
tambem satisfaz a Eq. (7).
Como indicamos antes, aplicando repetidamente o Teorema 7.4.1 segue que coda combinagdo linear
finita de solucOes da Eq. (3) tambem é solucdo. A questdo, agora, e saber se todas as solucOes da Eq. (3)
podem ser encontradas dessa maneira. Por analogia corn casos anteriores é razodvel esperar que para um
sistema da forma (3) de ordem n seja suficiente formar combinagOes lineares de n solucOes escolhidas
apropriadamente. Sejam, entdo,
x(") n solucOes do sistema (3) de ordem n e considere a matriz X(t)
cujas colunas sao os vetores x( 1 )(t), ...,x(")(t):
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
x i i(t)
•••
xin(t)
Y nl ( t )
••
xn„(t)
301
X(t) =
(9)
Lembre-se, da Secdo 7.3, de que as colunas de X(t) sdo lincarmente independentes para um valor dado
de t se, e somente se, det X # 0 para esse valor de t. Esse determinante a chamado de wronskiano das n
solucOes
x(") e denotado por W[xo),
ou seja,
W[x(I) ,
, x(") ]( t) = det X(t)•
(10)
Entdo, as solucCies x (0,
x(") sdo linearmente independentes em um ponto se, e somente se, W[x(I),
x(")] nao é zero nesse ponto.
Teorema 7.4.2 Se as funcOes vetoriaisx (1),...,x(o sdo solucOes linearmente independentes do sistema (3) em cada ponto
— do intervalo a < t < 0, entdo cada solucdo x = OW do sistema (3) pode ser expressa como uma combinacdo linear de x(1),
x("),
= cix (1) (t) + • • • + c„x(")(t)
(11)
de exatamente um modo.
Antes de provar o Teorema 7.4.2, note que de acordo corn o Teorema 7.4.1 todas as expressOes da forma (11) sdo solucOes do sistema (3), enquanto que pelo Teorema 7.4.2 todas as solucOes da Eq. (3) podem
ser escritas na forma (11). Se pensarmos nas constantes c 1 ,
c„ como arbitrarias, entdo a Eq. (11) inclui
todas as solucOes do sistema (3), e é costume chamii-la de solucao geral. Qualquer conjunto de solucaes
x( 0,
x(") da Eq. (3) que seja linearmente independente em cada ponto do intervalo a < t < 0 é chamado
de conjunto fundamental de soluclies para esse intervalo.
Para provar o Teorema 7.4.2 vamos mostrar que, dada qualquer solucdo da Eq. (3), OW = c,x0 ) +
+ c„x(") para valores apropriados de c,,
c,,. Seja t = algum ponto do intervalo a < t < /3 e seja = 0(4)).
Queremos determinar se existe alguma solucdo da forma x = c,x") +
+ c„x(") que tambem satisfaz a
condicao inicial x(t())
Em outras palavras, queremos saber se existem valores c 1 ,
c„ para os quais
x
(1) (to) + • • • + cnx (n) (to) •=-•
(12)
ou, em forma escalar,
cixtt t r o) + • • • + cnxintto) =
(13)
(to) +
• + cnxnn ( to) = Sn •
c„ a exataA condicdo neeessaria e suficiente para que as Eqs. (13) possuam uma Unica solucdo c,,
x`l no ponto to, seja
mente que o determinante da matriz dos coeficientes, que 6 o wronskiano 1Vfx"),
diferente de zero. A hipOtese de que /cm__ x ( " ) sao linearmente independentes em todo o intervalo a < t
< ff garante que W[x( 0,
nao se anula em t t„ e, portanto, existe uma (Unica) solucdo da Eq. (3) da
forma x = c.,x( 1 ) + + c„x" que também satisfaz a condicdo inicial (12). Pela unicidade no Teorema 7.1.2,
+ c„x("), como querfamos provar.
essa solucão e idCntica a OW, logo OW = c,x") +
sdo solucOes da Eq. (3) no intervalo a < t < $, entdo Me),
ou nunca se anula nesse intervalo.
Teorema 7.4.3 Se x(1),
ou a identicamente nulo
A importancia do Teorema 7.4.3 reside no fato de que nos livra da necessidade de examinar W[xW,
x(")] em todos os pontos do intervalo de interesse e nos permite determinar se x ifi, ..., ye") forma um
conjunto fundamental de solucaes simplesmente calculando seu wronskiano em qualquer ponto conveniente do intervalo.
x(")
A demonstracdo do Teorema 7.4.3 e feita estabelecendo-se, primeiro, que o wronskiano de x (0,
satisfaz a equacdo diferencial (veja o Problema 2)
302 CAPITULO SETE
dW
= (P11 + P22 + • • + NOW.
dt
Logo,
W (t)
c exp
ip (t) + • • • + p,„,(t)] di} ,
onde c é uma constants arbitraria e a conclusdo do teorema segue imediatamente. A expressäo para W(t)
na Eq. (15) é conhecida como a formula de Abel; observe a semelhanca corn a Eq. (27) da Secdo 3.2.
De maneira alternativa, o Teorema 7.4.3 tambem pode ser demonstrado provando-se que se n soluda Eq. (3) forem linearmente dependentes em urn ponto t = to, entäo seräo linearmente
cOes
...,
dependentes em todos os pontos em a < t < 13 (veja o Problema 8). Em consequéncia, se x"),
V"' forem
linearmente independentes em urn ponto. terdo que ser linearmente independentes em todos os pontos
do intervalo.
0 pr6ximo teorema diz que o sistema (3) tem pelo menos um conjunto fundamental de solucOes.
Teorema 7.4.4 Sejam
/ 1\
0
e( 1 )
0
e(2) =
.
/o\
o\
1
0
0
.. . ,
e(n ) —
0
\0/
\0/
\1/
alert) disso, suponha que xo), ..., V" ) ski solucOes do sistema (3) satisfazendo as condicOes iniciais
x (I) (to) = e a ),
,
x( n )(to) = e( n ),
respectivamente, onde to 6. urn ponto qualquer no intervalo a < t < Entäo
junto fundamental de solucOes para o sistema (3).
(16)
V") formam urn con-
Para provar este teorema, note que a existéncia e a unicidade das solucOes x m . ...,
mencionadas
no Teorema 7.4.4 sdo garantidas pelo Teorema 7.1.2. Vio e dificil ver que o wronskiano dessas solucOes é
V"' é urn conjunto fundamental de solticOes.
igual a I quando t = t„: portanto, x"),
Uma vez encontrado urn conj unto fundamental de solucOes, podem ser gerados outros conjuntos atray es de combinacOes lineares (independentes) do primeiro conjunto. Para fins teOricos o conjunto dado
pelo Teorema 7.4.4 é, em geral, o mais simples possivel.
Resumindo:
Qualquer conjunto de n solucaes linearmente independentes do sistema x' = P(t)x constitui urn conjunto
fundamental de solucties.
Sob as condicOes dadas nesta secdo, tais conjuntos fundamentals sempre existem.
3. Toda soluciio do sistema x' = P(t)x pode ser representada como uma combinacäo linear de qualquer conjunto fundamental de solucaes.
PROBLEMAS
Prove a afirmacdo feita logo apOs o Teorema 7.4.1 para urn valor arbitrzirio do inteiro k.
Neste problema vamos esquematizar a demonstraciio do Teorema 7.4.3 no caso n = 2. Sejam V') e x( 2 ) solu26es da Eq. (3) para a<t<fie seja W o wronskiano de
e
(a) Mostrc que
dr'"
dW
dx12)
dr
dr
dt
(I)
(2)
X2
X2
x (I)
x(1.2 )
dx(1)
2
dx?)
dt
dt
(b) Usando a Eq. (3), mostre que
dW
dt
= (P11 + pn)W
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEN
303
Encontre W(t) resolvendo a equacão diferencial obtida no item (b). Use esta expressäo para obter a
conclusào enunciada no Teorema 7.4.3.
Demonstre o Teorema 7.4.3 para urn valor arbitrario de n generalizando os procedimentos dos itens
(a). (b) e (c).
3. Mostre que os wronskianos de dois conjuntos fundamentais de soluceies do sistema (3) podem diferir, no
maxim°, por uma constante multiplicativa.
Sugestiio: use a Eq. (15).
@ Se x, = y e x2 = y', então a equacilo de segunda ordem
y" + p(t)y' + q(t)y = 0
(i)
corresponde ao sistema
= X2,
= —q (t )x 1 — p(t)x2.
Mostre que, se ei e x(2) formarern urn conjunto fundamental de solucOes para as Eqs. (ii) e se y o ) e y(2)
formarem urn conjunto fundamental de solucOes para a Eq. (i), então Wry"), y'2 1 = c141[x1 ), x'')], onde c 6
uma constante nao nula.
Sugestdo: y" >(t) c y''- I(t) tern que ser combinacOes lineares de x„(t) e x1,(t).
N1ostre que a solucäo geral de x' = P(t)x + g(t) 6 a soma de qualquer soluciio particular x( P ) dessa equacao
corn a solucii° geral x''') da equac;io homogaca associada.
t
6. Considere os vetores x( i )(t) = ( ) e x' 2> (t) = (1
-) I.
Calcule o wronskiano de x o ) e x(2).
Em que intervalos e) c x( 2) säo linearmente independentes?
Que conclusäo pode-se tirar sobre os coeticientes no sistema homogaeo de equacaes diferenciais
satisfeito por x( 1 ) e x':')?
Encontre esse sistema de equagOes e veritique as conclusties do item (c).
1.
ett
, e responda as mcsmas perguntas existentes no ProConsidere os vetores x' 1 )(1) = ( '7 1 e x' 2 (t) =
flJ
e
blema 6.
Os dois problemas a seguir indicam uma outra demonstracäb para o Teorema 7.4.2.
x("" solucOes de x' = P(t)x no intervalo a < t < Suponha que P 6 continua e seja t, ) um ponto
Sejam x").
arbitriirio no intervalo dado. Mostre que x 11, ...,
sdo linearmente dependentcs para a < t < li se (e somente se) x("(t„), ...,x1"0(t,,)säo linearmente dependentes. Em outras palavras, x"),
x'""são linearmente
dependentes no intervalo (a, /3) se forem linearmente dependentes em qualqucr ponto nele.
+ c„,x("o
Sugestiio: exist= constantes c ....c„, tais que c,x")(t„) +
+ c„,x("')(t„) = 0. Seja z(t) = c,x'"(t) +
(t) e use o teorema de unicidade para mostrar que z(t) = 0 para todo t ern a < 1 <
xl") solucOes linearmente independentes de x' = P(t)x, onde P 6 continua em a < t < 0.
Sejam x"),
tv1ostre que qualqucr soluc5o x = z(t) pode ser escrita na forma
z(t) = c l x (1) (t) + • • • + c„x'")(t)
para constantes apropriadas c,,
c„.
Sugestao: use o resultado do Problema 12 da Secäo 7.3 c o Problema 8.
+ k„xt")
Mostre que a expressao para a solucao z(t) no item (a) é unica, ou seja, se z(t) = k,x")(t) +
(t), entao k, = c,,
k„ c„.
Sugestdo: mostre que (k, — c,)xt "(t) +
+ (k„— c„)x(^)(t) = 0 para todo t ern a < t < f3 e use a independencia
linear de x"), x(").
7.5 Sistemas Lineares Homogeneos corn Coeficientes Constantes
Vamos concentrar a ma j or parte da nossa atencão em sistemas de equagOes lineares homoge'neas corn
coeficientes constantes, ou seja, sistemas da forma
= Ax,
(1)
304 CAPiTULO SETE
onde A c uma matriz constante n x n. A menos que se diga o contrario, suporemos que todos os elementos de A silo mimeros reais (e nao complexos).
Se n = 1, o sistema se reduz a uma Unica equacao de primeira ordem
dx
(2)
— = ax,
Observamos, na Secdo 2.5, que x = 0 é a dnica solue50 de equilfbrio se a 0. Outras
cuja solucäo é x =
solucOes tendem a x = 0 se a < 0 e, nesse caso, dizemos quc x = 0 e uma solucAo de equilfbrio assintoticamente estavel. Por outro lado.sc a> 0, entilo x = 0 é instavel,ja que as outras solucOes se distanciam dela.
Para sistemas de n equagOes a situacao e antiloga, de certa forma. cmbora mais complicada. Solucaes de
equilfbrio silo encontradas resolvendo-se Ax = 0. Em geral, vamos supor que det A 4-- 0, de modo que a
Unica solucdo de equilfbrio é x = 0. Uma pergunta importante é se outras solucoes se aproximam ou se
afastam dessa quando t aumenta; em outras palavras, x = 0 é assintoticamente estavel ou instävel? Existem outras possibilidades?
0 caso n = 2 é particularmcnte importante e permite visualizacäo no piano x ix2, chamado o piano de
fase. Calculando Ax em urn grande !Winer° de pontos e fazendo o grafico dos vetores resultantes, obtemos um campo de direcOes de vetores tangentes a soluciies do sistema de equa ties diferenciais. Pode-se
obter, em geral, uma compreensao qualitativa do comportamentoe so ucaes atraves de urn campo de
direcOes. Incluindo-se no grafico algumas curvas-solucoes, ou trajetOrias, pode-se obter informacão mais
precisa. Urn grafico contendo uma amostra representativa de trajetOrias para um sistema dado é chamado
um retrato de fase. Veremos mais tarde. nesta secão, exemplos de campos de direcOes e retratos de fase.
Para construir solucties do sistema (1) tentaremos generalizar o tratamento de equacOes lineares de
segunda ordem da Secao 3.1. Vamos supor, entilo,que uma solucão vai envolver uma funcâo exponencial
e". Alem disso,solucaes da Eq. (1) silo vetores, logo vamos multiplicar e"por urn vetor constante Assim,
procuramos solucOes da Eq. (1) da forma
x =en
(3)
onde o expoente r e o vetor devem ser determinados. Substituindo x dado pela Eq. (3) no sistema (1),
obtemos
,V" = AV"
Cancelando o fator escalar ndo nulo e", obtemos Al= r, ou
(A — r1) = 0,
(4)
onde I e a matriz identidade n x a. EntSo, para resolver o sistema de equagOes diferenciais (1) precisamos
resolver o sistema de equagOes algebricas (4). Esse Ultimo problem e precisamente o que determina Os
autovalores e autovetores da matriz de coeficientes A. Portanto, o vetor x dado pela Eq. (3) é uma solucAo
da Eq. (1), desde que r seja urn autovalor e seja um autovetor associado da matriz de coeficientes A.
Os dois exemplos a seguir ilustram o procedimento para se encontrar a soluc50 no caso de matrizes
de coeficientes 2 x 2. Vamos mostrar, tambem, como construir os retratos de fase correspondentes. Mais
adiante, nesta sec5o, vamos discutir mais o sistema geral n x n.
I EXEM PLO
Considere o sistema
,
1=
(1
4
1)
1 x.
(5)
Faca um grafico do campo do direcOes c determine o comportamento qualitativo das solugöcs. Depois encontre
a soluciio geral e desenhe diversas trajetOrias.
A Figura 7.5.1 mostra urn campo de direcOes pant esse sistema. Dessa figura é fticil ver quc uma solucao
tIpica se afasta da vizinhanca da origem e acaba tendo retas tangentes corn coeficientes angulares de aproximadamente 2 no primeiro ou no terceiro quadrants.
Para encontrar explicitamente solucOes, vamos supor que x =
substituir na Eq. (5). Somos levados ao
sistema de equagOes algebricas
(1
4
r
1)
1—
()
(6)
As Eqs. (6) tern uma solucdo ndo trivial se, e somente se, o determinante da matriz de coeficientes e zero. Logo,
os valores permitidos para r silo encontrados pela equacAo
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 305
X2.
\
\
—
/ / / / / /
/- / / / /
"'"
/
/
/
/
/
/
t
/ / / /
1 1 \
( 1 1 1 / I / /
1 /
/ 1
/ / 4
/
/ -2
1
/ 1
/
//
/
//
//
11.
/ -1 /
ivi
/ 1
/ /1 /
1 / /
\ t 1 t
/ / 1 /,1"--\
I
/ 1 ///v--s•\
/ ///vv— N \
/ / / /
--
/ / /
/ / / /
-
FIGURA 7.5.1 Campo de direcOes para o sistema (5).
1-r
1
4
1- r
= (1 - r)2 - 4
= r2 - 2r - 3 = 0.
(7)
A Eq. (7) tern raizes r, = 3 e r2 = -1: esses sâo os autovalores da matriz de coeficientes na Eq. (5). Se r = 3, o
sistema (6) se reduz a uma Unica equacao
-2E, + 6= 0.
Logo,
(8)
= 4 e o autovetor correspondente a r, = 3 pode ser escolhido como
el) =
- (2
Analogamente, correspondendo a r, = -1 encontramos que
(2) =
= -4, de modo que o autovetor é
( 1)
-2
As solucOes correspondentes da equacdo diferencial säo
x' ir (t) = ( 1 ) e3'
2
x (2) (t)
(
1 ) e-'.
-2
0 wronskiano dessas soluc-Oes
W[x (1) x (2) 1(1) =
e3'
2e3 '
e-'
-2e-'
= -4e2t ,
que nunca se anula. Portanto. as solucOes x(') e X(21 formam um conjunto fundamental de solucOes, e a solucäo
geral do sistema (5) é
X = CIX (1) (0C2X(2)(t)
= c, ( )
2
,
+ c2c (
1
-2
) e-',
(13)
onde c, e c, sdo constantes arbitrarias.
Para visualizar a solucao (13), ajuda considerarmos seu grafico no piano x,x, para diversos valores das constantes c, e c2 . Comecamos corn x = c,x")(t) ou, em forma escalar,
x, = cle 31 ,
x2
2Cie31.
Eliminando t nessas duas equagOes, vemos que essa solucao pertence a reta x 2 = 2x 1 ; veja a Figura 7.5.2a. Esta
a reta que content a origem e tern a direcäo do autovetor V). Se olharmos a solucao como a trajetOria de uma
particula em movimento, então a particula esta no primeiro quadrante quando c, > 0 e no terceiro quando c, <
0. Em qualquer desses casos, a particula se afasta da origem quando t aumenta. Considere agora x = c 2 zM, ou
x, = c2 e-'
x2 = -2c2e-1
x1
2
0.5
1
—2
(b)
(a)
FIGURA 7.5.2 (a) TrajetOrias do sistema (5); a origem e urn ponto de seta. (h) Graficos de x, em funcao de t
para o sistema (5).
Essa solucao pertence a reta x 2 = —2.v,.cuja direcao e determinada pelo autovetor t''). A solucao esta no quarto
quadrante quando c, > 0 e no segundo quando c,< 0. corno mostra a Figura 7.5.2a. Em ambos Os casos a particula se aproxima da origem quando t aumenta. A solucao (13)6 uma combinacao de x")(t) e x'" (t). Para valores
grander de t, a parcela c,x("(t) z dominante e a parcela c2x(2 )(t) torna-se desprezivel. Logo, todas as solucaes
quando t
oo. Analogamente, todas as solucaes para as
para as quais c, 0 sao assintOticas a reta x, =
quais c2 0 sao assintOticas a reta x, = —2x, quando t —oc. A Figura 7.5.2a mostra o gratico de diversas solucOes. 0 padrao de trajetOrias nessa figura é tipico de sistemas 2 x 2 x' = Ax para os quais os autovalores sao
reais e tern sinais opostos. A origem e chamada de ponto de seta neste caso. Pontos de sela silo sempre instaveis,
porque quase todas as trajetOrias se afastam dole quando t aumenta.
No parzigrafo precedente descrevemos coax) desenhar. manualmente. um esboco qualitativamente correto
das trajetOrias de urn sistema como na Eq. (5). uma vez determinados Os autovalores e autovetores. No entanto,
para produzir urn desenho detalhado e preciso como na Figura 7.5.2a e em outras figure que aparecern mais
adiante neste capitulo urn computador e extremzimente (nil, se nao indispenszivel.
Como alternativa a Figura 7.5.2a voce pode fazer, tamhem, o graft() de x,,ou de x 2, como funcao de t; alguns
graticos tipicos de x, cm funcao de t aparecem na Figura 7.5.2b, e Os de x, em funcao do t sao semelhantes. Para
oc. A Figura
determinadas condicOes iniciais c, = (1 na Eq. (13), de modo que x, = cc' e x, --0 0 quando t
7.5.2h mostra urn desses graticos,correspondente a trajetOria que se aproxima da origem na Figura 7.5.2a. Para
a maioria das condicOes iniciais, no entanto, c, 0 e x, é dado por c,e" + c,e A presenca da parcela contendo
uma exponential positiva faz corn que x, cresca exponencialmente em modulo quando t aumenta. A Figura
7.5.2b mostra diversos graficos desse tipo, correspondendo a trajetOrias que se afastam da origem na Figura
7.5.2a. E irnportante compreender a relacäo entre as parses (a) e (b) da Figura 7.5.2 e de outras figuras semelhantes que aparecerao mais tarde, ja que voce pode querer visualizar solucOes no piano x,x 2 ou como funcaes
da variavel independente t.
EXEMPLO
Considere o sistema
3
2
X =
x.
(14)
Desenhe um campo de direcOes para este sistema; depois encontre a solucao geral e faca o grafico de diversas
trajetOrias no piano de fase.
0 campo de direceies para o sistema (14) na Figura 7.5.3 mostra claramente que todas as solucaes se aproxi; obtemos, c n la°, o sistema algebrico
mam da origem. Para encontrar soluceies, suponha que x =
r
(15)
r) (:Z) = (0)
Os autovalores satisfazem
(-3 — r)( —2 — r) — 2 r2 + 5r + 4
= (r + 1)(r + 4)
0,
(16)
S ISTEMAS DE EQ UACO ES L INEARES DE PRIMEIRA OfiDEM 307
x
\
\\\
\
\
/r
/
/
- / (
--- /
\ -2
----/ / I
/ 1 \
/ I 1 \ \ \
\
\\NNN'NNN.\-n
\\\\\\\\\N
FIGURA 7.5.3 Campo de direct-5es para o sistema (14).
de modo que r, = -1 e r, = -4. Para r= -I, a Eq. (15) flea
-2
(0)
-1 )
Logo, l 2 = f t,, e o autovetor 4-(' I associado ao autovalor r, = -I pode ser escolhido como
Analogamente, correspondendo ao autovalor r, = -4, temos =
de modo que o autovetor
(L), (-4
1
Portanto, urn conjunto fundamental de soluciies para o sistema (14)6
x(1) (t) = ( 1
e a solucao geral
6-1,
x(2)(0 = -12 e-4`,
1
x = c,x(()(0 + c2 x( 2 ) = c,( 4
e-t +c,
c2 - 112 e-4` .
(21)
A Figura 7.5.4a mostra graticos da solucao (21) para diversos valores de c, e c,. A solucäo x(')(t) se aproxima da origem ao longo da reta x 2 = ./2- - x 1 , enquanto a solucäo x9t) se aproxima da origem ao longo da reta
(a)
(b)
FIGURA 7.5.4 (a) TrajetOrias do sistema (14); a origem e urn no. (b) Graft° de x, em funcäo de t para o
sistema (14).
308 CAFITULO SETE
direcOes dessas retas säo determinadas pelos autovetores V) e V), respectivamente.Temos, em
xi =
geral, uma combinacdo dessas duas solucOes fundamentais. Quando t oo, x (2)(t) a desprezivel em comparacdo
corn x(')(t). Entao, a menos que c, = 0, a solucão (21) se aproxima da origem tangente a rota x 2 --= f xi . 0 padrao
de trajetOrias ilustrado na Figura 7.5.4a é tipico de todos os sistemas 2 x 2 x' = Ax para os quais os autovalores
sdo reais, distintos e de mesmo sinal. A origem é chamada de no para tais sistemas. Sc os autovalores fossem positivos, em vez de negativos, as trajetOrias seriam semelhantes, mas o sentido de percurso seria no sentido oposto. Os n6s serdo assintoticamente estaveis se os autovalores forem negativos, e instaveis se forem positivos.
Embora a Figura 7.5.4a tenha sido gerada por computador, urn esboco qualitativamente correto das trajetOrias pode ser fcito rapidamentc a mao, baseado no conhecimento dos autovalores e autovetores.
A Figura 7.5.4b mostra graficos tipicos de x, em funcao de t. Note que cada urn dos graficos se aproxima
assintoticamente do eixo dos t quando t aumenta, correspondendo a uma trajetOria que se aproxima da origem
na Figura 7.5.4a. 0 comportamento de x2 como funcao de t é analog°.
Os dois exemplos precedentes ilustram os dois casos principais para urn sistema 2 x 2 corn autovalores
reais distintos: os autovalores tem sinais opostos (Exemplo 1) ou o mesmo sinal (Exemplo 2). Outra possibilidade é zero ser autovalor, mas nesse caso det A = 0, o que contradiz a hipOtese feita no inIcio desta
secao. No entanto, veja os Problemas 7 e 8.
Voltando ao sistema geral (1), procedemos como nos exemplos. Para encontrar solucOes da equacilo
diferencial (1) precisamos encontrar os autovalores e autovetores de A a partir do sistema algebrico (4).
Os autovalores r,, ...,r„ (que n5o precisam ser distintos) s'ao rafzes da equac5o polinomial de grau n
det(A — rI) = 0.
(22)
A natureza dos autovalores e dos autovetores associados determina a natureza da solucilo geral do sistema (1). Se supusermos quc A c uma matriz real, existem tres possihilidades para os autovalores de A:
Todos os autovalores sao reins e distintos entre si.
Alguns autovalores ocorrem em pares complexos conjugados.
3. Alguns autovalores säo repetidos.
Se os autovalores forem reais e distintos, como nos dois exemplos precedentes, entao existe urn autovetor real
associado a cada autovalor ri e o conj unto de n autovetores V), ...,
linearmente independente. As solucOes correspondentes do sistema diferencial ( I ) sdo
x (1) (t) =
(I)
,..
. ,
x ( " ) (t) =
( " ) e.'"`
(23)
Para mostrar que essas solucOes formam um conjunto fundamental, calculamos seu wronskiano:
m e rg
(n)er„f
wix( 1 ),
, x (") ](t) =
nrnerit
!,11)er,,t
(t)
= e
(n)
(r i +••.-Fr,)t
(24)
Sn
(nn)
Em primeiro lugar, note que a funcao exponencial nunca se anula. Segundo, como os autovetores (1),
V) sdo linearmente independentes, o Ultimo determinante na Eq. (24) e diferente de zero. Em consequencia, o wronskiano W[x( 1 ),
x ml(t) nunca se anula; portanto, x" ),
x(") formam urn conjunto fundamental
de solucOes. Logo, a solucão geral da Eq. (1)
x = c1 (1) e rit + • • • ± c„ (n) er'" t •
( 25)
Se A for real e simetrica (urn caso particular de matrizes autoadjuntas), lembre-se, da Secao 7.3, de que
todos os autovalores r 1 ,
r„ tern que ser reais. Akin disso, mesmo que alguns autovalores sejam repetidos sempre existe urn conjunto completo de n autovetores 4"41 ), ..., 4'4" ) que säo linearmente independentes
(de fato, ortogonais). Portanto, as solucOes correspondentes do sistema diferencial (1) dadas pela Eq.
(23) formam urn conjunto fundamental de solucOes, e a solucdo geral c dada, novamente, pela Eq. (25).
0 exemplo a seguir ilustra esse caso.
SISTEMAS DE EQUACOES LINFARES DE PRIMEIRA ORDEM 309
EXEMPLO
Encontre a solucäo geral de
3
x' = (0
1
1
1
0
1
1
1 x.
0
(26)
Note que a matriz de coeficientes ë real e simetrica. Os autovalores e autovetores dessa matriz foram encontrados no Exemplo 5 da Seca° 7.3:
1
rr = 2,
7. = -1,
r3 -= -1;
= 1 ;
1
(2) =
(27)
1
( 0,
-1)
0
(3) = ( 1 .
-1
(28)
Portanto, um conjunto fundamental de solucOes da Eq. (26) é
1
0 e-1,
xo) (t) = (11 e2r ,x(2)(/) =
x(3)(t) =
1
0
1 e-',
-1
e a solucao geral e
1
1
0
x = c,(1) e 2 ' + c20) e - ' + c3 (1 c'
-1
-1
Este exemplo ilustra o fato de que embora urn autovalor (r = -1) tenha multiplicidade algebrica 2, pode ainda
ser possivel encontrar dois autovetores linearmente independentes
e
e, entao. construir a solucao geral
(30).
0 comportamento da solucdo (30) depende, de modo critic°, das condicOes iniciais. Para valores grandes de
t a primeira parcela na Eq. (30) e a dorninante: logo, se c, 0, todas as componentes de x tornam-se ilimitadas
quando t oc. Por outro lado, para determinadas condicOes iniciais c, pode ser zero. Nesse caso, a solucao so
tern termos exponenciais corn potencias negativas e x
0 quando t -> DC. Os pontos iniciais que fazem corn
que c, seja nulo sao exatamente aqueles que pertencem ao piano determinado pelos autovetores 4421 e 40 associados aos dois autovalores negativos. Assim, solucOes que comecam nesse piano se aproximam da origem
quando t oc, enquanto as outras solucaes tornam-se ilimitadas.
r
Se alguns dos autovalores ocorrem em pares complexos conjugados, entao ainda existern , n solucOes
linearmente independentes da forma (23), desde que todos os autovalores sejam distintos. E claro que
solucOes vindas de autovalores complexos tomam valores complexos. No entanto, como na Secdo 3.3,
possfvel obter urn conjunto completo de solucOes reais. Isso sera discutido na Secao 7.6.
Dificuldades mais serias podem ocorrer se urn autovalor for repetido. Nessa eventualidade, o mimero
de autovetores linearmente independentes pode ser menor do que a multiplicidade algébrica do autovalor. Se for esse o caso, o namero de solucOes linearmente independentes da forma V' sera menor do que
n. Para construir um conjunto fundamental de soluceies a necessario, entao, procurar soluceies adicionais
de outra forma. A situacao e parecida corn o caso de uma equacdo linear de ordem n corn coeficientes
constantes; uma raiz repetida da equacao diferencial fornecia solucOes da forma en ,te,t2en, etc. 0 caso de
autovalores repetidos sera tratado na Seca° 7.8.
Finalmente, se A for complexa, entao os autovalores complexos n5o precisam aparecer em pares conjugados e os autovetores sat), em gcral, complexos, mesmo que o autovalor associado seja real. As solucOes da equac5o diferencial (1) ainda si-fo da forma (23), desde que os autovalores sejam distintos, mas em
gcral todas as solucifies ski complexas.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 6:
Encontre a solucao geral do sistema de equacOes dado e descreva o comportamento das soluceies quando
t CC.
Desenhe um campo de direcOes e faca o grafico de algumas trajetOrias do sistema.
310 CAPfTULO SETE
1. x'
=
_1
=
3
442, 5. x' =
x' = (1
3
—2)
—4 x
4. x' = (1
4
1)
—2
2
—2)
—2
2
)
—2)
5
(-2
1
I)
IL 6. x' =
—2
(
4
5 X
4
3
rt
Em cada urn dos Problemas 7 e 8:
Encontre a solucao geral do sistema de equaceles dado.
Desenhe urn campo de dirt:0es e algumas das trajetOrias. Em cada um desses problemas a matriz de
coeficientes tern um autovalor nulo. Como resultado, o padrao das trajetOrias e diferente dos padrOes nos
exemplos no texto.
4-2, 7. x' = (48 —3)
—6
64-2, 8. x' =
6
(3
—1
6)
—2
Em cada um dos Problemas de 9 a 14, encontre a solucao geral do sistema de equagOes dado.
9. x' =
( 1
1
(1
x' = 1
2
13. x' =
( 1
2
—8
x
2
2
1
1
1
1
1
—5
1
—1 x
—3
1
2
2+i
-1
—1—i
3
2
0
2
@;) x' = (
'12
x
x'= (2
4
1
14. x' =
3
2
x
4
2) x
3
—1
2
1
4
—1
—1
x
Em cada urn dos Problemas de 15 a 18. resolva o problem de valor inicial dado. Descreva o comportamento
da solucao quando
=
ox
5 — I)
x,
1
(3
(1
0
1
2
1
—1
x(0) =
( 2)
—I
2
2)
2 x, x(0) = 0
3
1
16. x' =
(-2
—5
18. x' =
0
2
—1
1)
4
x,
x(0) =
0 —1
0
0 x,
2
4
(i)
3
x(0) =
7)
5
5
19. 0 sistema tx' = Axe analog° a equacao de Euler de segunda ordem (Seca() 5.4). Suponha que x = Vr,onde
r tern que satisfazer (A — rig = 0 para se obter solucaes nä° triviais
6 urn vetor constante, e mostre que
da equacao diferencial dada.
Referindo-se ao Problema 19, resolva o sistema de equacöes dado em cada um dos Problemas de 20 a 23. Suponha que t > 0.
2
20. tx' =
22. tx' = (
—1
_ 2) x
4
—3
8
—6) x
21. tx' =
23. Ix' .=
(5
—1)
3
1
(22
—2
x
Em cada um dos Problemas de 24 a 27 sao dados os autovalores e autovetores da matriz A. Considere o sistema
correspondente x' = Ax.
Esboce um retrato de fase do sistema.
Esboce a trajetOria que passa pelo ponto inicial (2,3).
(c) Para a trajetOria no item (b), esboce os graficos de .1, e de x 2 em funcao de t no mesmo conjunto de eixos.
(1) =
-1,
t(?)
r2 = — 2
2, s — 2)
(2) ;
(
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 311
r 1 = 1,
= -1,
27. r 1 = 1,
(1) =
•
\-12 '
4 (1) =
(- 1
(
4(1) = 21 ;
;
r2 = -2,
(2) = 1
2
r2 = 2,
(2)
= ()
r2 = 2,
t (2) =
-12
28. Considere urn sistema 2 x 2 x' = Ax. Se supusermos que r, # r2 . a solucäo geral d x = c,re'ir + c24"2)e'21,
desde que 4-(') e 4(2 ) sejam linearmente independentes. Neste problema vatnos estabelecer a independência
linear de 4"" e 4-(2) supondo que sao linearmente dependentes e, depois, mostrando que isso nos leva a uma
contradic5o.
Note que 4( , ) satisfaz a equac5o matricial (A - r,I)V) = 0: analogamente, (A - r 2 1)4( 2) = 0.
Mostre que (A - r,I)V 1 = ( r, - r,)}" 11.
Suponha que,;") e 4(2 ) sao linearmente dependentes.Entdo c14(i) + c24(21 = 0 e pelo menos urn entre c, e
c2 d diferente de zero; suponha quc c, # 0. Mostre que (A - r21)(c,r) + c2t( 2 ))= 0 e que (A - r2I)(c,e' ) +
c,r21) = c,(r, - r2 )e". Logo, c, = 0, uma contradicdo. Portanto,C) e 4(2 ) sao linearmente independentes.
Modifique o argumento no item (c) para o caso em que c2 # 0.
(e) Faca um argument° semelhante para o caso em que a ordem n 6 igual a 3; note que o procedimento
pode ser estendido para urn valor arbitrario de n.
Considere a equacao
ay" + by' + cy = 0.
(i)
onde a, b c c sao constantes. Foi mostrado, no Capauto 3, que a solucão geral depende das raizes da equac5o caracteristica
ar2 + br + c = O.
(ii)
Transforme a Eq. (i) em um sistema de equacties de primeira ordem fazendo x, = y, x2 = y'. Encontre
o sistema de equacOes x' = Ax satisfeito por x (= xi.
x2
Encontre a equac5o quc determina os autovalores da matriz de coeficientes A no item (a). Note que
essa equacao e simplesmente a equac5o caracteristica (ii) da Eq. (i).
12. 30. 0 sistema de dois tanques do Problema 21 na Sec5o 7.1 nos leva ao problema de valor inicial
3
1
10
40) x
x,
x( 0) =
I
1
10
5
onde x, e x, sao os dcsvios dos nfveis de sal Q, e Q, dos seus respectivos pontos de equilibrio.
Encontre a solucilo do problema de valor inicial dado.
Faca os graticos do x, e x2 em funcdo do t no mesmo conjunto de eixos.
< 0.5 e lx,(r)l< 0,5 para todo t > T.
(c) Encontre o menor instante T tal quc
31. Considere o sistema
x, = ( -1 -1)
-a -1
Resolva o sistema para a = 0,5. Quais sao os autovalores da matriz de coeficientes? Classifique o ponto de equilibrio na origem em relacäo ao tipo.
Resolva o sistema para a = 2. Quais s5o os autovalores da matriz de coeficientes? Classifique o ponto
de equilibrio na origem em relacäo ao tipo.
(c) As solucaes encontradas em (a) e (b) exibem dois tipos de comportamento bem diferentes. Encontre
os autovalores da matriz de coeficientes em funcão de a c determine o valor de a entre 0,5 e 2 onde
ocorre a transicao de um tipo de comportamento para outro.
Circuitos Eletricos. Os Problemas 32 e 33 tratam do circuito eldtrico descrito pelo sistema de equagOes diferenciais dado no Problema 21 da SecAo 7.1:
R,
1
d ( I) ( T
It v
C
1
CR2
) (I
v) •
(i)
312 CAPITULO SETE
32. (a) Encontre a solucao geral da Eq. (i) se R,= 1 S2, R,= s S2, L=2HeC= 3 F.
(b) Mostre que 1(t) —> 0 e V(t) 0 quando t —+ co, independentemente dos valores iniciais 1(0) e V(0).
33. Considere o sistema precedente de equagOes difcrenciais (i).
Encontre condicOes que R,, R2, C e L tem que satisfazer para quc os autovalores da matriz de coeficientes sejam reais c distintos.
Se as condicel'es encontradas no item (a) sao satisfeitas, mostre que ambos os autovalores sac) negativos. Depois. mostre que 1(t) —> 0 e V(t) —> 0 quando t —+ cc, independentemente das condiceies
iniciais.
(c) Se as condicties encontradas no item (a) nao forem satisfeitas, entao os autovalores sao complexos ou
repetidos. Voce acredita que 1(t) 0 e V(t) --> 0 quando t --> oo tambern nesscs casos'?
Sugesttio: uma abordagem possfvel para o item (c) é transformar o sistema (i) em uma Unica equacäo de
segunda ordem. Vamos, tambem, discutir autovalores complexos e repetidos nas Sece•es 7.6 e 7.8.
7.6 Autovalores Complexos
Nesta secao vamos considerar, novamente, urn sistema de n equagOes lineares homogeneas corn coeficientes constantes
= Ax,
(1)
entao, como na Seca°
onde a matrix de coeficientes A é real. Se procurarmos solucOes da forma x =
7.5, segue quc r tern que ser urn autovalor e um autovetor associado da rnatriz de coeficientes A. Lembre
r„ de A sao as raises da equacao
quc os autovalores r,,
det(A — rI) = 0,
(2)
(A -rI) = 0.
(3)
e que os autovetores associados satisfazem
Se A for real, os coeficientes na equacao polinomial (2) para r serao reais c os autovalores complexos
terao que aparecer em pares conjugados. Por exempla se r, = A + ip for urn autovalor de A, onde e u sao
reais, entao r, = X — ip tambern o sera. Para explorar o efeito de autovalores complexos, varnos comecar
corn urn exempla
Encontre urn conjunto fundamental de solucoes rcais do sistema
EXEMPLO
1
x' =
)
—1
(4)
e mostre-o graficamente.
A Figura 7.6.1 mostra urn campo de direct-5es para o sistema (4). Esse grafico sugere que as trajetOrias no
piano de fase sao espirais aproxirnando-se na origem no sentido horario.
.X2
n ---.... N \ \ \ \ \ \ \
--- ---.... N \ \ \ \ \ \
2 ---..,....s, \ \ \ \ \ \ 1\
------.N\\\\ \ \\ \I 1
7.77-------------....-,.. \ \ \ \ \
1
77.---------------.,......., \ \ \\ \1 \i 1
11
777.--------_-_ 1-..., \ \ \
////./..----------,...\\\ I I I 1 1 1
‘ I I I I / / /
/ / / / / / / / --- — --,.. \
//,(///./•,'..,-----\ I I (1 I / .(1 1
/ /1/ 11/ /1///-2
I /I / Ij-1 //
j f\\--// 1 /// 2 //x1
/
I
1
\
\--..---777777//
/////1
I I I I I I 1 \ \N-,.------777.77/
,...„/
....,,
,...
.......
1-----------5
I I I 1 \ \ \\N. \......-.... .
II11\\\ \\ \\ \`,..--.----..-1
-- 7
1 \ \ \ \ \ \ \,,,,,,...---1 \ \ \ \ \ l'.. `..... -2
\ \ 'N.\\--.
N N n.. -'\\ \ \\ \\14
FIGURA 7.6.1 Urn campo de direcOes para o Problema (4).
--a
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIKA ORDEM 313
Para encontrar urn conjunto fundamental de solucOes, supomos que
x=
e obtemos o conjunto de equagOes lineares algebricas
r
- 21
1
-
-1
G2) — (0)
para os autovalores e autovetores de A. A equacao caracterfstica é
- 7,1 - r
—1
portanto, os autovalores são r,
vetores associados são
1
1
— —
= r2
r+
= 0;
(7)
+ i e r, = --+ - i. Urn ealculo direto a partir da Eq. (6) mostra que os auto-
= (
(2) = ( 1
1
(8)
•
Observe que os autovetores 4" l 'e
soluceles para o sistema (4) é
tambem são complexos conjugados. Logo, urn conjunto fundamental de
1
x''' (t) = () e l -1/2+i)t •
• .• = (1.)
X (2) v)
e'
(9)
Para obter urn conjunto de soluceles reais, precisamos encontrar as partes real e imaginriria de ye" ou de x(2).
De fato,
x")(t) = (1
i
e ''' (cos t + isent) =
(e-`12 cos t)
(e-`12 sent)
+i
- e -02 sent
e-02 cos t .
(10)
Portanto,
,
Cost
u(t) = e -` sent)
v(t) = e -t o
( sent)
COS t
d um conjunto de solucOes reais. Para verificar que u(t) e v(t) sac) linearmente independentes, vamos calcular
scu wronskiano:
W(u. v)(t) =
e- t/2 cos t
-e- 02 sent
e -02 sent
e -`12 cost
.
= e -e (cos2 t + sent) =
Como o wronskiano nunca se anula, segue que u(t) e v(t) forinam um conjunto fundamental de solucOes (reais)
do sistema (4).
Os graficos das solucOes u(t) e v(t) aparecem na Figura 7.6.2a. Como
u(0) =
(1)
v(0) = (?)
os grrificos de u(t) e de v(t)contern os pontos (1,0) e (0,1), respectivamente. Outras solucOes do sistema (4) sac)
combinacOes lineares de u(t) e v(t). e a Figura 7.6.2a mostra, tambdm, algumas dessas solucOes. Todas as trajetOrias se aproximam da origem ao longo do uma espiral quando t-4 oo, formando uma infinidade de caminhos
em torno da origem; isso e devido ao fato de que as solucOes (11) silo produtos de uma exponencial decrescente
corn fatores seno ou cosseno. Alguns graficos tipicos de x, em funcito de t estilo ilustrados na Figura 7.6.26; cada
uma representa uma oscilacäo decrescente no tempo.
A Figura 7.6.2a e tipica de sistemas de segunda ordem x' = Ax cujos autovalores são complexos corn parte
real negativa. A origem é chamada de ponto espiral e é assintoticamente estavel, ja que todas as trajetOrias se
aproximam dela quando t aumenta. Para urn sistema cujos autovalores tern parte real positiva as trajetOrias
silo semelhantes is da Figura 7.6.2a, exceto que o sentido do movimento é oposto, se afastando da origem, e
as trajetOrias são ilimitadas. Nesse caso, a origem é instrivel. Se a parte real dos autovalores é nula, entdo as
trajetOrias nem se aproximam da origem nem se tornam ilimitadas, mas, em vez disso, percorrem repetidamente
uma curva fechada em torno da origem. Nesse caso, a origem é chamada de centro e é tambem dita estavel, mas
nao assintoticamente estavel. Nos tres casos o sentido do movimento pode ser horario, como neste exemplo, ou
trigonometric°, dependendo dos elementos na mat riz de coeficientes A.
314 CAPiTI21.0
S ETE
(b)
(a)
FIGURA 7.6.2 (a) TrajetOrias do sistema (4): a origem L: um ponto espiral. (h) Graficos de x, em functio de t
para o sistema (4).
Voltando a equa45o genii (I)
= Ax.
Podemos proceder como no exemplo. Suponha que existc urn par de autovalores complexos conjugados
tantbrn
complexos conjugados. Para
r, = A + itt e r, = — ill. Entzio os autovetores associados 1 " c
ver isso, suponha qua r, e 11> satisfazern
(A —
(I) = 0.
(12)
Calculando a equacilo complexa conjugada dessa equaciio e observando que A e I sao reais. obtemos
(A — T- 1 1) (1) = 0,
onde r, e
(13)
sac) os complexos conjugados de r, e de r. respectivamente. Em outras palavras, r, =
=
e urn autovetor associado. As solucOes correspondentes
tambem c um autovalor
net,
x (1) (t)
x(2)(t) = mei,/
(14)
da equaciio difercncial (I) sao, ent5o, complexos conjugadas uma cla outra. Portant°. como no Exemplo
1, podemos encontrar duas solucOes reais da Eq. (I) correspondentes aos autovalores r, e r, tomando as
partes real e imaginaria de x")(0 ou de x''-)(t) dadas pela Eq. (14).
= a 4- ill), onde a e b s5o reais:ent5o,
Vamos escrever
x(1) (t) = (a + ib)e(A±i")`
= (a + ib)e" 1 (cos
+ i seri it
( 15)
Separando x" )(t) em suits partes real e imaginaria, obtemos
0 ) (0 = ex' (a cos itt — b seng + ieAr (asen t + b cos pi).
(16)
Se escrevermos x( " (t) = u(t) + iv(t), ent5o os vetores
u(t) = eAs (a cos lit — b sen At),
v(t)
(17)
ex ' (a senitt + b cos At)
solucOes reais da Eq. (1). E possivel mostrar que u e v säo solucOcs linearmente independentes (veja
o Problema 27).
Por exemplo, suponha que a matrix A tem dots autovalores complexos r, = ti +
— iit, e que r3,
...,r„ s5o reais a distintos. Sejam 4-") = a + ib, 4.(2) = a — ib, 4'(3), ..., V") os autovetores associados. Entao, a
solucilo geral da Eq. (1)
x = c 01(0 + c2 v(t) + c3 (3) er3' + • • • + c, (n) er" ` ,
(18)
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRI71EIR4 ORDEM 315
onde u(t) e v(t) sao dados pelas Eqs. (17). Enfatizamos que essa analise se aplica apenas quando a matriz
de coeficientes A na Eq. (1) for real. pois so nesse caso os autovalores e autovetores complexos tern que
aparecer em pares complexos conjugados.
Para sistemas 2 x 2 corn coeficientes reais, completamos nossa descricao dos tres casos principais que
podem ocorrer.
Autovalores reais corn sinais opostos; x = 0 é urn ponto de sela.
Autovalores reais diferentes, mas corn o mesmo sinal; x = 0 6 um n6.
3. Autovalores complexos corn parte real diferente de zero; x 0 6 urn ponto espiral.
Outras possihilidades sao menos importantes e ocorrem como transicAo entre Bois dos casos que acabamos de listar. Por exemplo, um autovalor zero ocorre durante a transicao entre um ponto de sela e um
nO. Autovalores imagintirios puros ocorrem durante a transicao entre pontos espirais assintoticamente
estaveis e instaveis. Finalmente, autovalores reais e iguais aparecern durante a transicdo entre nOs e pontos espirais.
EXEMPLO
0 sistema
,
K=
2
2
0)
a
-2
contem um pardmetro a. Descreva como as solticOes dcpendem qualitativamente de a; em particular. encontre
os valores criticos de a nos quais o comportamento qualitativo das trajetOrias no piano de fase muda drasticamente.
0 comportamento das trajetOrias c controlado pelos autovalores da matriz de coeficientes. A equactio caracteristica
r 2 - ar + 4 = 0.
de modo que Os autovalores s5o
a ± Vor 2 — 16
( 21)
•
Da Eq. (21) segue que os autovalores sao complexos conjugados para -4 < a < 4 e reais nos outros casos. Assim,
Bois valores criticos sao a = -4 e a = 4, onde os autovalores mudam de reais para complexos ou vice-versa. Para
negatives. de modo que todas as trajetOrias se aproximam da origem. que
e
a < -4 ambos us autovalores
'mu nO assintoticarnente estrivel. Para a > 4 ambos os autovalores sac) positivos, de modo que a origem 6, novamente, um nO, so que dessa vez instavel; todas as trajetOrias (exceto x = 0) se tornam ilimitadas. No intervalo
intermeditirio -4 < a < 4 Os autovalores sao complexos c as trajetOrias sac. espirais. No entanto, para -4 < a <
0 a parte real dos autovalores 6 negativa, as espirais estao orientadas para dentro e a origem a assintoticamente estavel, enquanto para 0 < a < 4 a parte real dos autovalores c positiva e a origem e instavel. Assim, a = 0
tambëni é um valor critic°, onde o sentido do movimento espiral niuda de dentro para fora. Para esse valor de
a a origem 6 um centre e as trajetOrias sao curvas fechadas cm torno da °dam, correspondercOes
perro leas no tempo. Os outros valores criticos, a = +4, geram autovalores reais e iguais. Nesse caso a origem
C. novamente, um nO, mas o retrato de fase a urn pouco diferente daqueles da Secito 7.5. Vamos analisar esse
caso na Secdo 7.8.
r=
2
Urn Sistema Mola-Massa Mtiltiplo. Considere o sistema corn duas massas e ties molas ilustrado na Figura
7.1.1. cujas equircOes de movimento sao dadas pelas Eqs. ( I ) na Secao 7.1. Se supusermos que nä° ha
forcas externas, entao F,(t) = 0, 1.1,(t) = 0 e as equagOes resultantes sat)
1111
d2xt
, = -( k 1
dt-
d--x2
dt-
k2 ).r 1 + k2.r2,
= k 2 x 1 — (k 2 + k3)x2.
Essas equagOes podem ser resolvidas como urn sistema de duas equagOes de segunda ordem (veja o Prohlema 29), mas consistente corn nossa abordagem neste capitulo vamos transforms-las em urn sistema de
quatro equagOes de primeira ordem. Sejam y, = x,, y, = x 2 , y3 = x; e y4 = x2'. Entdo
= Y3,
Yz = Y4,
316 CAPiTLILO SETE
e, das Eqs. (22),
rn1y'3 = — (k1 k2)Y
Y
k 2Y2,
M2Y4' = k 2 I
( k 2 k3)y2.
(24)
0 exemplo a seguir trata urn caso particular desse sistema corn duas massas e tr'e's molas.
EXEMPLO
3
Suponha que m, = 2, m2 = 9/4, k, = 1, k, = 3 e k3 = 15/4 nas Eqs. (23) e (24), de modo que essas equacOes ficam
(25)
— 3 y 2•
Y4 = 3Yt
y'3 = —2 YI IY2,
3/2 = y4,
Yi = Y3 ,
.Analise os movimentos possfveis descritos pelas Eqs. (25) e desenhe graticos mostrando comportamentos tipicos.
Podemos escrever o sistema (25) em forma matricial como
0
1
0
0
1
0
0
0
(26)
= AY.
0
0
3/2
—2
0
0
4/3 —3
Tenha em mente que y, e y 2 sac) as posicoes das duas massas em relaceles as suas posicOes de equilfbrio e que y3
onde r tem que ser um autovalor da matrix. A e
e y, sac) suas velocidades. Supomos, como de libito, que y =
urn a utovetor associado. E possivel. embora t raba I hoso, encontrar os autovalores e autovetores de A manualmente, mas e mais facil corn um programa de computador apropriado. 0 polinOmio caracterfstico de A
r + 5r 2 + 4 = (r2 + 1)(r2 4)
(27)
r, = 2i e r, = —2i. Os autovetores associados sac)
de modo que Os autovalores sao r, = i, r
3\
—4
6i
3N
(4)
t (3)
(28)
—3i
—8ij
—21)
2i/
As solucOes complexas re e 4" 2 'e. -" sao complexas conjugadas, logo podemos encontrar duas solucOes reais
usando as partes real e imaginaria de uma das solucOes complexas. For exemplo, temos
(3\
II)
=
(2)
h e ir =
3i
(cost + Sen
2i)
3 sen
/ 3 cos t\
(2
sen t
2 cos t
+i
= 11 0 (1) + iv( "(1).
3 cos t
—3 sen t
2 cos t
\ —2 sen t/
(29)
De maneira semelhante, obtemos
_ —4 (cos 2t + i sen 2t)
6i
—8i
(
3 cos 2t
4 cos 2t
—6 sen 2t +r
( 8 seri 2t
3 sen 2t)
—4 sen 2t = u 12)( 1 )
6 cos 2t
—8 cos 2t
iv(2)(0.
(30)
v w,u( 2) e 0' sao linearmente indepeudentes e formarn, portanto,
Deixamos a seu cargo a verificacao de que
urn conjunto fundamental de solucOes.Assim, a solucao geral da Eq. (26) e"
3 sen 2t
/ 3 cos 2t
3 sen
/ 3 cos t \
—4 cos 2t
—4 sen 2t
2 sen t
2 cos t
(31)
+
+ C2
+ C3
=
—6 sen 2t)
6 cos 2t
3 cos t
—3 sen t
—8 cos 2t
2 cos t/
\ 8 sen 2t
\ —2 sen tl
onde
e c, sao constantes arbitrarias.
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIFiA Owen
317
O espaco de fase para esse sistema tern dimensao quatro e cada solucao, obtida por urn conjunto particular de valores para c 1 .
na Eq. (31), corresponde a uma trajetOria nesse espaco. Como cada solucao, dada
pela Eq. (31), é periOdica corn periodo 27. cada trajetOria é uma curva fechada.
importa onde a trajetOria
comeca em t = 0, ela retorna a csse port to cm r = 27, t = 47r, e assim por diante, percorrendo a mesma curva repctidamente em intervalos de tempo de comprimento 27. Nao tentaremos mostrar nenhuma dessas trajetOrias
de dimensao quatro aqui. Em vcz disco, mostramos projecOes de algumas trajetOrias nos pianos y,y 3 ou y,y4nas
figuras mais adiante, mostrando, assim. o movimento de cada massa separadamente.
As duas primeiras parcelas a direita do sinal de igualdade na Eq. (31) descrevem movimentos corn frequencia 1 e period() 27. Note que y, = (2/3)y, nessas parcelas e que y4 = (2/3)y3. Isso signilica que as duas massas
se movem pant a frente e para tras juntas, sempre no mesmo sentido, mas corn a segunda massa percorrendo
dois tercos da distancia percorrida pela primeira. Se focalizarmos na solucao u")(t) e fizermos o grafico de y, e
y, cm funcao de t nos mesmos eixos. obteremos os graficos de cossenos corn amplitudes 3 e 2, respectivamente,
ilustrados na Figura 7.6.3a. .A trajetOria da primeira massa no piano y,y3 permanece no circulo de raio 3 na Figura 7.6.3b. percorrido no sentido horario comecando no ponto (3, 0) e completando uma volta em urn tempo
27r. Esta figura tambem mostra a trajetOria da segunda massa no piano yzy.s, que permanece no circulo de raio
2, tambetn percorrido no sentido horario comecando em (2, 0) e tambern completando uma volta cm urn tempo 27r. A origem e urn centro nos pianos respectivos y,y, c y, •4 . Graficos semelhantes (corn um deslocamento
apropriado no tempo) sat) obtidos de v") ou de uma combinacao linear de uo ) e v").
As parcelas remanescentes a direita do sinal de igualdade na Eq. (31) descrevem movimentos corn frequencia 2 e period() 7. Observe que nesse caso y, = - (4/3)y, e y4 = - (4/3)y,. Isso significa que as duas massas estao
sempre se movendo em sentidos opostos e que a segunda massa percorre quatro tercos da distlincia percorrida
pela primcira. Considerando apenas u' =1(t) e fazendo os graficos de y, e y, em funcao de t nos mesmos eixos,
obtemos a Figura 7.6.4a. Existe uma diferenca de fast de 7T e a amplitude de y, e de quatro tercos da amplitu-
(b)
(a)
para
a
solucao
u")(t). (b) Superem
funcao
de
t
y2
t
e
de
em
funcao
de
y,
FIGURA 7.6.3 (a) 11m grafico de
posicao de projecOes de trajetOrias nos pianos y,y 3 e y2y., para a solucao u")(t).
(b)
(a)
FIGURA 7.6.4 (a) Um grafico de y, em funcao de t e de y2 em (LINA() de t para a solucao u(2)(t). (b) Superposicao de projecoes de trajetOrias nos pianos y,y3 e yg, para a solucao u(2)(1).
frL
318 CAPITL10 SETE
de de y,, contirmando as afirmacOes precedentes sobre o movimento das massas. A Figura 7.6.46 mostra uma
superposic5o das trajetOrias das duas massas em seus respectivos pianos de fase. Ambas sao elipses, a interna
correspondendo a primeira massa e a externa a segunda. A trajetOria da elipse interna comeca em (3,0) e a da
elipse externa em (-4,0). Ambas sac) percorridas no sentido horario e a volta é completada em urn tempo jr. A
uma vez, graficos semelhantes sao obtidos de V') ou
um centro nos pianos respectivos y,y 3 e
de uma combinacào linear de u(') e yo).
Os tipos de movimento descritos nos dois paragrafos precedentes sao chamados de modos fundamentais
de vibracdo para o sistema coin duas massas. Cada urn deles resulta de condicOes iniciais bem especiais. Por
exemplo, para obter o modo fundamental de frequencia 1 ambas as constantes, c 3 e c4, na Eq. (31) tem que ser
nulas. Isso so ocorre para conclicOes iniciais nas quais 3y 2(0) = 2y,(0) e 33 ,4(0) = 2y 3(0). Analogamente. o modo
fundamental de frequencia 2 s6 e obtido quando ambas as constantes, c, e c,, na Eq. (31) sat) nulas — ou seja,
quando as condicties iniciais sao tais que 3y2 (0) = — 4y,(0) e 33,4(0) = — 4y3(0).
Para condicOes iniciais mais gerais, a solucdo é uma combinac5o dos dois modos fundamentais. A Figura
7.6.5a mostra um grafico de y, em func5o de t para urn caso tipico, e a projecao da trajetOria correspondente
no piano y,y3 esta na Figura 7.6.5b. Esta Ultima figura pode (tar uma ideia errada,j5 que mostra a projecao da
trajetOria cruzando a si mesma. Isso näo pode ocorrer na trajetOria real em quatro dimensees, pois violaria o
teorema geral de existencia e unicidade: nao podem existir duas solucOes diferentes saindo do mesmo ponto
inicial.
FIGURA 7.6.5 Uma solucao do sistema (22) satisfazendo as condicOes iniciais y(0) = (-1,4,1.1). (a) Um grafico
de y, em func5o de t. (h) a projecao da trajetOria no piano y,y 3. Como dito no texto, a trajetOria real em quatro
dimensOes näo se intersecta.
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 6:
Expresse a soluc5o geral do sistema de equaceies dado Como combinacão de funcOes reais.
Desenhe, tambem, um campo de direcOes, esboce algumas trajetOrias e descreva o comportamento das
soluceies quando t oo.
S ISTEMAS DE E QUA CO ES L ITIEARES DE PRIMEIRA O RDEM 319
12,
1. x' =
3 —2)
(4 —1
x=
(2 -5 )
441‘?/
1 —2
5. x' = ( I —I ) x
5 —3
(1
—4)
1
-1
2
4. x' =
— 52
x
-1
I
2
—5 —1 x
6. x' =
Em cada urn dos Problemas 7 e 8, expresse a solucäo geral do sistema de equacOes dado cm tcrinos de fungi:3es
reais.
0
0
1 —2) x
2
1
7. x' = 2
(1
3
S.
2
0 x
0
3
0
= ( 1 —1
2 —1
Em cada urn dos Problemas 9 e 10, encontre a solucao do problema de valor inicial dado. Descreva o
comportamento da solucao quando t
9. x' = (I —5
1 -)
3 x.
x(0) = (1)
1
(-1
—1 —1 x.
x(0) = ( 1)
—2
Em cada urn dos Problemas 11 e 12:
(a) Encontre os autovalores do sistema dado.
(h) Escolha um porno inicial (diferente da origem) e desenhe a trajetOria correspondente no piano x,x2.
Para a sua trajetöria encontrada cm (b). desenhe os graticos de x, e x, em funcão de t.
Para a sua trajetOria encontrada em (h). desenhe o grifico correspondente no espaco tridimensional tx,x2.
_4
12
II. X' =( 1
-2
4V. ,
12. x' = (1 ;) x
1 —1) x
Em cada um dos Problemas de 13 a 20, a matriz de coeticientes contem urn pariimetro a. Em cada urn desses
problemas:
Determine Os autovalores cm fungdo de a.
Encontre o valor ou valores criticos de a onde a natureza qualitative do retrato de fase para o sistema
muda.
(c) Desenhe retratos de fase para urn valor de a ligeiramente menor e para outro valor ligeiramente major do
que cada valor critico.
(l - 5)
15. x' =
•
( 2 —2)
—5
5
16. x ,
3
ii) x
(4
a
17. x' = (-1
X
4
rx
—1)
(a 10)
—1 —4
18. x' =
3
( -6
8
20. x' = 4
a
-4)
—a6 x
Em cada urn dos Problemas 21 e 22, resolva o sistema de equagOes dado pelo metodo do Problema 19 da Secao
7.5. Suponha que t > 0.
21. tx' = (-1
2 —1)
22. tx' =
(1 —2)
Em cada um dos Problemas 23 e 24:
Encontre Os autovalores do sistema dado.
Escolha um ponto inicial (diferente da origem) e desenhe as trajetOrias correspondentes no piano x,x,.
Desenhe, tambem, as trajetOrias nos pianos x,x,e x„x3.
(c) Para o ponto inicial do item (b), desenhe a trajetOria correspondente no espaco x,x2x3.
25. Considere o circuito ektrico ilustrado no Figura 7.6.6. Suponha que R, = R2 = 4 i2. C = Z F e L = 8 H.
(a) Mostre que esse circuito é descrito pelo sistema de equagOes diferenciais
_1
d(
(ft
V) — 2
1
-12) (V)
(i)
onde 1 é a corrente passando no indutor e V é a queda de voltagem atraves do capacitor. Sugesttio: veja o
Problema 19 da Seclio 7.1.
Encontre a solucão geral das Eqs. (i) como combinacdo de functies reais.
Encontre 1(t) e V(t) se 1(0) = 2 A e V(0) = 3 V.
(d) Determine os valores limites de 1(t) e V(t) quando t —+ cc. Esses valores limites dependem das condicOes iniciais?
FIGURA 7.6.6 0 circuito no Problem 25.
26. 0 circuito eletrico ilustrado na Figura 7.6.7 é descrito pelo sistema do equacaes diferenciais
(V) —
0 11
1
T
(1
1
V)
(I)
RC
C
FIGURA 7.6.7 0 circuito no Problema 26.
onde / é a corrente passando no indutor eVea queda de voltagem atraves do capacitor. Essas equagOes
diferenciais foram deduzidas no Problema 19 da Sec5o 7.1.
(a) Mostre que os autovalores da matriz de coeficientes silo reais e distintos se L > 4R'-C: mostre que sac,
complexos conjugados se L < 4/VC.
(h) Suponha que R = 1 ft C = F e L = 1 H. Encontre a soluciio geral do sistema (i) neste caso.
Encontre 1(t) c V(t) se /(0) = 2 A e V(0) = 1 V.
Para o circuito no item (h). determine os valores limites de 1(t) e V(t) quando
oc. Esses valores
lirnites dependem das condicOes iniciais?
27. Vamos indicar, neste problema.como mostrar que u(t) c v(t), dados pelas Eqs. (17). silo linearmente inde+ e r, = A — it< urn par de autovalores conjugados da matriz de coeficientes A da
pendentes.Sejam r,
Eq. (1); sejam V) = a + ib e f") = a — ib os autovetores associados. Lembre-se de quc foi dito na Seca) 7.3
entao V) e i"' silo linearmente independentes.
que se r,
(a) Vamos mostrar, primeiro, que a e b silo linearmente independentes. Considere a equactio c,a + c,b =
0. Expressc a e b em fungdo de V) e de ft ", c depois mostre quc (c, — ic,)e) + (c, + ic,)f(') = 0.
SISTE;lAS DC EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA OFtDEM
321
Mostre que c,— ic2 = 0 e c, + ic, = 0 e que, portanto, c, = 0 e c2 = 0. Em consequència. a e b s5o linearmente independentes.
Para mostrar que u(t) c v(t) são linearmente independentes, considere a equacão c,u(to) + c2v(to) = 0.
onde to e um ponto arhitrario. Reescreva essa equacão em termos de a e be depois prossiga como no
item (b) para mostrar que c, = 0 e c, = 0. Logo, u(t) e v(t) sac, linearmente independentes no ponto
arbitrario to. Portanto, sao linearmente independentes em qualquer ponto e em qualquer intervalo.
Uma massa m em uma mola corn constants k satisfaz a equacäo diferencial (veja a Sec5o 3.7)
Inv" + kv = O.
onde v(t) e o deslocamento da massa no instante t a part ir de sua posicão de equilibrio.
Sejam .1: 1 = v e x2 = v': mostre que o sistema resultante é
x' =
(
0
1)
—klm
0
x.
Encontre os autovalores da matriz para o sistema no item (a).
Esboce diversas trajetOrias do sistema. Escolha uma de suas trajetOrias e esboce os grdficos correspondentes de x, e de x, em funcao de t. Esboce ambos os graficos no mesmo conjunto de eixos.
Qual a relacao entre os autovalores da matriz de coeficientes e a frequência natural do sistema molamassa?
29. Considere o sistema com duas massas e tres s molas do Exempt° 3 no texto. Em vez de converter o problema em um sistema de quatro equacties de primeira ordem. vamos indicar aqui como proceder diretamente
das Eqs. (22).
(a) Mostre que as Eqs. (22) podern ser escritas na forma
—2 3/2)
x = Ax.
4/3 —3
(h) Suponha que x =
(I)
c mostre que
(A — r2 11) = 0.
Note que r' (em vez de r) é urn autovalor de A associado ao autovetor
Encontre os autovalores e autovetores de A.
Escreva express t-ies para x, e Deve haver quatro constantes arbitrarias nessas expressOes.
(e) Diferenciando os resul t ados do item (d), escreva expressOes para x; e x 2'. Seus resultados nos itens (d)
e (e) devem estar de acordo corn a Eq. (31) no texto.
30. Considere o sistema com duas massas e tres molas cujas equacties de movimento sat) as Eqs. (22) no texto.
Suponha que nr, = 1. In, = 4/3, k, = 1, k 2 = 3 e k, = 4/3.
Como no texto, transforme o sistema em quatro equagOes de primeira ordem da forma y' = Ay. Determine a matriz de coeficientes A.
Encontre os autovalores e autovetores de A.
Escreva a soluc5o geral do sistema.
Descreva os modos fundamentals de vibrag5o. Para cada modo fundamental, desenhe graficos de y, e
de y2 em funclio de t. Desenhe, tamhk:m, as trajetOrias correspondentes nos pianos y iy3 e
Considere as condicOes iniciais y(0) = (2, 1. 0, 0) T. Calcule as constantes arbitrarias na solucdo geral
do item (c). Qual o period() do movimento nesse caso? Desenhe gräficos de y, e de y, em fung5o de
t. Desenhe, tamhCm, as trajettirias correspondentes nos pianos y,y, e y2y4. Certifique-se de que voce
compreende como as trajetOrias s5o percorridas durante um period() completo.
Considere outras condigOes iniciais de sua escolha e desenhe graficos semeihantes aos pedidos no
item (e).
Considere
o sistema corn duas massas e tre:s molas cujas equacties de movimento sac, as Eqs. (22) no texto.
31
Suponha que
= in, = 1, k, = k, = = I.
Como no texto, transforme o sistema em quatro equagOes de primeira ordem da forma y' = Ay. Determine a matriz de coeficientes A.
Encontre os autovalores e autovetores de A.
Escreva a solugão geral do sistema.
Descreva os modos fundamentals de vibraciio. Para cada modo fundamental, desenhe graficos de y,
e de y2 em func5o de t. Desenhe, tamht3m, as trajetOrias correspondentes nos pianos y,y 3 e y2y4.
322 CAPiTULO SETE
Considere as condicOes iniciais y(0) = (-1, 3, 0,0) T. Calcule as constantes arbitrarias na solucão geral
do item (c). Desenhe graficos de y, e de y, em funcao de t. Voce acha que a solucao e periOdica? Detambern, as trajetOrias correspondentes nos pianos y ,y3 e
Considere outras condicacs iniciais de sua escolha e desenhe grAficos semelliantes aos pedidos no
item (e).
7.7 Matrizes Fundamentais
A estrutura de solucifies de sistemas de equagOes diferenciais lineares pode ficar mais clara pela introdux(")(1) formam um conjunto fundamental de
cao da ideia de matrix. fundamental. Suponha que x")(t),
solucbes para a equacao
= P(t)x
(1)
em algum intervalo a < t < /3. Entao, a matriz
x (1 1) (1, )
xy,)(t)
'I'(t)
•
x(,1) (t) • • • x;")(t)
=(2)
x'"'(t), e dita ulna matrix fundamental para o sistema (1). Note que
cujas colunas sao Os vetores x" i (t),
uma matriz fundamental é invertfvel, ja que suas colunas sao vetores linearmente independentes.
EXEMPLO
i'.ncontre uma matriz fundamental para 0 sistema
x, =
1
4
I)
I
No Excmplo I da Seca° 7.5 vimos que
x io (t) =
(2e
e3'
xc'(t) =
3')
—2e'
sao solucaes linearmente independentes da Eq. (3). Assim. uma matrix fundamental para o sistema (3) t;
(t) =
(e3'
e'
2e.'
—2e")
A solucao de um problema de valor inicial pock ser escrita de mancira bem compacta em termos de
tuna matriz fundamental. A solucao geral da Eq. (1) 6
x = x (I) (t) + • • • + c„x"(t)
(5)
ou, em termos de 41(t),
x = `1i(t)c •(6)
onde c 6 urn vetor constante com componentes arbitrarias c 1 ,
consistindo na equacao diferencial (1) e na condicao inicial
x(to) =
c„. Para urn problema de valor inicial
(7)
onde to e urn ponto dado em a < t < f3 e 6 um vetor inicial dado, Basta escolher o vetor c na Eq. (6) que
satisfaca a condicao inicial (7). Portant°, c tem que satisfazer
41 (to)c = x0 .
(
8)
Logo, como 41 (to) is invertivel,
=
(to)x°
(9)
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMER; ORDEN
;
x = 41 (0411 (to)x°
323
(10)
é a solucdo do problema de valor inicial (1), (7). Enfatizamos, no entanto, que para resolver urn problema
de valor inicial dado normalmente resolvemos a Eq. (8) por reducdo de linhas e, depois, substituimos a
solucao c na Eq. (6), em vez de calcular 41-'(to) e usar a Eq. (10).
Lembre-se de que cada coluna da matriz fundamental 41 é uma solucão da Eq. (1). Segue que 41 satisfaz a equacao diferencial matricial
40' = P(041 .
( 11)
Essa relacao e confirmada imediatamente comparando-se os dois lados da Eq. (11) coluna a coluna.
Algumas vezes é conveniente usar a matrix fundamental especial, denotada por (Kt), cujas colunas
sdo os vetores xln (t),
x(")(t) dados no Teorema 7.4.4. Alen da equacao diferencial (1 ), esses vetores
satisfazem as condicOes iniciais
x(i)(to) = eti) ,
(12)
onde
é o vetor unitario, detinido no Teorema 7.4.4, corn urn na j-esima posiciio e zeros em todas as
outras componentes. Assim, (KO tens a propriedade
1
0
1
• •
• •
01
0
=I.
4)(to) =
0
0
(13)
1
• •
Vamos sempre reservar o simbolo para denotar a matrix fundamental que satisfaz a condicilo inicial
(13) e usar 4t quando se desejar tuna matrix fundamental arbitraria. Em termos de 4)(0, a soluciio do
problema de valor inicial (1). (7) parece ate mats simples; como 41 -'(to) = I, segue da Eq. (10) que
x = 4>(t)x() .
(14)
Embora a matrix fundamental 4, (t) seja. muitas vezes, mais complicada do que 4 1(t), ela sera particularmente Util se o mesmo sistema de equacOes difcrcnciais for resolvido repetidamente sujeito a condicaes
iniciais diferentes. lsso corresponde a urn sistema fisico dado que pode comecar em muitos estados iniciais diferentes. Se a matrix fundamental 4> (t) tiver sido determinada, entâo a solucilo para cada conjunto
de condicaes iniciais podera ser encontrada simplesmente atraves da multiplicacdo de matrizes, como
na
indicado na Eq. (14). A matriz 4)(t) representa, assim, uma transformacao das condicaes iniciais
soluc5o x(t) em um instante arbitrario t. Comparando as Eqs. (10) e (14), é claro que 4)(t) = 41 (t)41 1(t).
EXEMPLO
Para o sistema (3).
l)
1
x' = (1
4
2
no Exemplo 1, encontre a matrix fundamental 4> tal que 0(0) = I.
As colunas de 4, silo as soluceies da Eq. (3) que satisfazem as condicOes iniciais
xo )(o)
(01 ) ,
x(2).(0)
x=
(21) e3g
c.2
(i)
(15)
Como a solucao geral da Eq. (3)
21) e_,,
podemos encontrar a solucAo que satisfaz o primeiro conjunto de condicaes iniciais escolhendo c, = c, =
analogamente, obtemos a soluciio que satisfaz o segundo conjunto de condicöes iniciais escolhendo c, = a e c2
Logo.
=
.e3` + le-1-41 e 3r — 4I e l
(16)
(N O = (-
e3'
—
c`
le
2
2 '+ le-1
Note que os elementos de 4> (t) sao mais complicados que os da matriz fundamental %Y(t) dada pela Eq. (4); no
entanto, agora d facil determinar a solucäo correspondente a qualquer conjunto de condicOes iniciais.
324 CAPiTULO SETE
A Matriz exp(At). Lembre que a solucdo do problema de valor inicial escalar
x = ax,
x(0) = xo,
onde a 6 constante,
x = xo exp(at).
Considere, agora, o problema de valor inicial correspondente para um sistema n x n, a saber,
= Ax,
x(0) = x°,
onde A é uma matriz constante. Aplicando os resultados desta secdo ao problema (19), podemos escrever
sua solucâo como
x = 4)(t)x°,
(20)
onde 4)(0) = I. A comparacäo entre os problemas (17) e (19) e suas solucOes sugere que a matriz 1'(t)
pode ter um carater exponencial. Vamos explorar essa possibilidade.
A funcao exponencial escalar exp(at) pode ser representada pela serie de potencias
exp(at) = 1 +
E
ant"
(21)
n!
n=1
que converge para todo t. Vamos, agora, subst it uir o escalar a pela matriz n x n constante A e considerar
a serie correspondente
A"t''
I
E n!
A2t2
= + At +
Antn
+ — + • • • .
+
n!
2!
n.1
(22)
Cada termo na serie (22)6 uma matriz n x n. E possfvel mostrar que cada elemento dessa soma de matrioo. Logo, a set-le (22) define uma nova matriz como sua soma, que
zes converge para todo t quando n
denotamos por exp(At), ou scja,
A" t"
exp(At) = I +
(23)
n!
n=1
analoga a expansâo (21) da funcao escalar exp(at).
Diferenciando a set-le (23) termo a termo, obtemos
—[exp(At)]
dt
E
°°
n=1
A"
" t-I
(n — 1)!
A I+
E
A" t "
n=
n.
= A exp(At).
Assim, exp(At) satisfaz a equacão diferencial
a'
exp(At) = A exp(At).
dt
Al6m disso, quando t = 0 exp(At) satisfaz a condicao inicial
exp(At)
r=o
= I.
A matriz fundamental 4) satisfaz o mesmo problema de valor inicial que exp(At), a saber,
' = A4 ,
4) (0) = I.
Ent5o, pela parte referente a unicidade no Teorema 7.1.2 (estendido para equacaes diferenciais matriciais) conclufmos que exp(At) e a matriz fundamental 4(t) säo iguais. Assim, podemos escrever a solucäo
do problema de valor inicial (19) na forma
x = exp(At)x°,
(28)
que a andloga a solucao (18) do problem de valor inicial (17).
Para justificar, definitivamente, a utilizacäo de exp(At) para a soma da serie (22) deverfamos demonstrar que essa fungdo matricial tem as propriedades que associamos a funcao exponencial usual. Um modo
de fazer isso esta esquematizado no Problema 15.
1
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
325
Matrizes Diagonalizaveis. A razao basica pela qual urn sistema linear de equacOes (algebricas ou diferen-
ciais) apresenta alguma dificuldade é que as equagOes estao, em geral, acopladas. Em outras palavras,
algumas das equacOes, ou todas elas, envolvem mais de uma das incOgnitas - tipicamente, todas elas. Portanto, as equagOes em urn sistema tern que ser resolvidas simultanemente. Por outro lado, se cada equacao dependesse de tuna Unica variavel entao cada equaglio poderia ser resolvida independentemente de
todas as outras, o que é uma tarefa muito mais simples. Essa observacäo sugere que uma possfvel maneira
de resolver urn sistema de equagOes pode ser transformando-o em um sistema equivalente desacoplado,
no qual cada equacao contem uma Unica incognita. Isso corresponds a transformar a matriz de coeficientes A em uma matriz diagonal.
Autovetores servem para se obter uma tal transformacao. Suponha que a matriz n x a A tern urn
conjunto completo de n autovetores linearmente independentes. Lembre-se de que esse a certamente o
caso quando os autovalores de A forem todos distintos ou quando A for autoadjunta. Denotando esses
autovetores por to), ..., r> e por A I , ..., os autovalores associados, formamos a matriz T, cujas colunas
Sao os autovetores, ou seja,
(29)
Como as colunas de T sac) vetores linearmente independentes, det T * 0: logo, T é invertivel e T-' existe.
Urn calculo direto mostra que as colunas da matriz AT sao simplesmente os vetores Al;"'),
Ar. Como
= Ag4), segue que
Xar
AT =
= TD,
,c.1)
;")
onde
D=
/X 1
0
(30)
0
0
0
A2
\0
0 • • • ;4,„/
uma matriz diagonal cujos elementos diagonals sac) os autovalores de A. Da Eq. (30), segue que
T- 'AT = D.
Assim, se os autovalores e autovetores de A sac) conhecidos, A pode ser transformada em uma matriz
diagonal pela Eq. (32). Esse processo e conhecido como uma transformacao de semelhanca e a Eq. (32) é
descrita, cm palavras, dizendo-se que A e semelhante a matriz diagonal D. Outra maneira é dizer que A
diagonalizavel. Observe que uma semelhanca nao muda os autovalores de A e transforma seus autovetores nos vetores coordenados
...,
Se A for autoadjunta, o determinante de T-' a muito simples. Sabemos que os autovetores 4('),
de A sao ortogonais entre si, logo podemos escolhe-los de inodo que estejam normalizados por (4.0 , r)
1. Erna°, 6 &Ica verificar que T- 1 = T*; em outras palavras, a inversa de T e igual a sua adjunta (sua
transposta conjugada).
Finalmente, observamos que se A tiver menos do que n autovetores linearmente independentes, entao
nao existe matriz T tal que T-'AT = D. Nesse caso, A nao e semelhante a nenhuma matriz diagonal e nao
diagonalizavel.
EXEMPLO
Considere a matriz
3
A =(
1
4
1
ll.
Encontre ulna matriz T que defina uma semelhanca e mostre que A e diagonalizavel.
No Exemplo 1 da Seca° 7.5 vimos que os autovalores e autovetores de A sac'
r i = 3,
(1) -_ ( 1
2 )•
r2 = -1,
Logo, a matriz de semelhanca T e sua inversa T-' sao dadas por
326 CAPiTULO SETE
T=
(1
•
2 —2)
T =.
(24
- 1)
Portanto, voce pode verificar clue
T-I AT = (3 —1 = D.
0
(36)
= Ax,
(37)
Vamos, agora, voltar para o sistema
onde A 6 uma matriz constante. Nas Secees 7.5 e 7.6 descrevemos como resolver tal sistema partindo da
Vamos fornecer, agora, outro ponto de vista, baseado na diagonalizacão da matriz
hipOtese de que x
de coeficientes A.
De acordo corn os resultados que acabamos de enunciar, 6 possivel diagonalizar A sempre que A fiver
urn conjunto completo de n autovetores linearmente independentes. Sejam
..., 4-(") os autovetores de
r„ e formem a matriz de semelhanca 1' cujas colunas sdo V ), ..., V).
A associados aos autovalores r1 ,
Entdo, deli nindo ulna nova variiivel dependente y pela relacão
x = Ty,
(38)
temos, da Eq. (37),
Ty' = ATy.
Multiplicand° por
obtemos
y' = (T - I AT)y,
ou, usando a Eq. (32),
(41)
= Dy.
Lembre clue D c a matriz diagonal cujas elementos diagonals sAo Os autovalores r i ,
triz fundamental para o sistema (41) 6 a matriz diagonal (veja o Prohlema 16)
Q(t) = exp(Dt) =
/erli
0
0
r„ de A. Uma ma-
0
el'
(42)
\0
0
er^`
Uma matriz fundamental 41 para o sistema (37) c formada, entiio, de Q atraves da transformacAo (38)
= TQ:
(43)
ou seja,
(44)
A Eq. (44) confirma o resultado obtido na Seca() 7.5. Esse processo de diagonalizacdo nao tem nenhuma vantagem computacional cm relacão ao metodo da Secão 7.5,0 que, em qualquer caso, e preciso
calcular os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes no sistema de equacOes diferenciais.
•
EXEMPLO
4
Considere, mais uma vez, o sistema de equagOes diferenciais
x' = Ax,
(45)
onde A é dada pela Eq. (33). Usando a transformaciio x = Ty, onde T é dada pela Eq. (35), voce pode reduzir
o sistema (45) ao sistema diagonal
S ISTEMAS DE EQ UA CO ES L INEARES DE PRIMEIRA O RDEM 327
,
y—
3
0
y Dy.
0 —1
(46)
Obtenha uma matriz fundamental para o sistema (46) e depois a transforme para obter uma matriz fundamental para o sistema original (45).
Multiplicando, repetidamente, D por si mesma. vemos que
D2 =
(9
0
0)
(7
. D3 =2
1
0
I)
Portanto, segue da Eq. (23) que exp(Dt) é uma matriz diagonal corn elementos diagonals
eDr = (3'
0
(47)
e e,
e
ou seja,
e-`) •
Finalmente, obtemos a matriz fundamental desejada g11(t) multiplicando T por exp(At):
41 (0 =
(1
1) (e4 '
2 —2
0
0) = ( e 3'
c-`
2e3( —2e'
e-t
Note que essa matriz fundamental é a cncontrada no Exemplo 1.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 10:
Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equaciies dado.
Encontre, tainbL1m. a matriz fundamental CO que (-satisfaz 41 (0)= I.
)
(3 —1
x
3 X
(2
3
- 1)
5. x' =(I
7. x' =
—2)
6.
x
x'
=
(—
1
—1)x
—I
10. x' =(1
3
2
—1
2
1
4
—1
—I
x(0) =
( 2)
—1
8.
1
I
1
—Ix
—5 —3
x
x, = I
(5 —1)
3
1
S = (12
C1
—8
_1)
4. x' = (1
4
—2 x
x
11. Resolva o problema de valor inicial
X' =
(2 —1)
x.
3 —2
, usando a matriz fundamental 4)(0 encontrada no Problema 3.
QResolva o problema de valor inicial
x=
1
—4
—)
1 x,
x(0) = (3)
1
usando a matriz fundamental 4)(t) encontrada no Problema 6.
Mostre que 4)(t) = 4'(t)4' '(1„), onde 4)(t) e %V(t) sdo como definidas nesta secdo.
A matriz fundamental (1)(t) para o sistcma (3) foi encontrada no Exemplo 2. Mostre que 4)(t) 4)(s) = 4)(t
s) multiplicando 4)(t) c 4)(s).
= A. 4)(0) = I. No texto, denotamos essa matriz tamb6m
15. Seja 4)(0 a matriz fundamental satisfazendo
por exp(At). Neste problem vamos mostrar que 4) tern, de fato, as propriedades algebricas principais
associadas a funcao exponencial.
(a) Mostre que 4)(t)4)(s) = 4)(t + s), ou seja, exp(At)exp(As) = exp[A(t + s)].
Sugestiio: mostre que se s é fixo e t variavel, entâo 4'(t).(s) e 4)(t + s) satisfazem o problema de valor inicial
Z' = AZ, Z(0) = 4)(s).
328 CAPITULO SETE
Mostre que 4)(1)4>(-1) = I, ou scja,exp(At)exp[A(-0]= I. Depois, mostre que (1)(-t) = 'W.
Mostre que 4)(t - s) = 4'(t) '(s).
a„, entäo exp(At) e tamb6m
Mostre que se A 6 uma matriz, diagonal corn elementos diagonals a,,
uma matriz diagonal corn elementos diagonals exp(a,t), exp(a,t), ...,exp(a„t).
Considere urn oscilador satisfazendo o problema de valor inicial
u(0) = uo, u'(0) = vo.
u" a)2 11 = 0,
(i)
Sejam x, = v = a' c coloque as Eqs.(i) na forma
x' = Ax,
x(0) = x°.
(ii)
Usando a serie (23), mostrc quc
exp At = I cos tut + A
seri cot
(c) Encontre a solucao do problema de valor inicial (ii).
18. 0 metodo de aproximacOes sucessivas (veja a Seca° 2.8) tambern pode set aplicado a sistemas de equacOes. Por exempt°, considere o problema de valor inicial
x' = Ax,
x(0) = x0,
(i)
onde A é uma matriz constants e urn vetor dado.
Suponha que existe unlit soluciio x = 4'(t) e mostrc que ela tern que satisfazer a equacA° integral
(ii)
= x° + f AO(s) ds •
f
Comece corn a aproximaciio inicial (1)"(t) = x". Substitua 4'(s) no lado direito da Eq. (ii) por essa expressäo e obtenha ulna nova aproximacilo (1)"'(t). Mostre que
0" ) ( 1 ) = (I + At)x°.
(iii)
Repita esse processo obtendo, assim. uma sequacia de aproximacOes 4>" '. 4)"), 40(2),
um argumento indutivo para mostrar que
(1)("), ... Use
tit
0") ( t) = ( I I- At + A', t2-/ ! 4- • • + A"tz!-) x0.
Faca n
(iv)
oc e mostre que a soluciio do problema de valor inicial (i) 6
Ct) = exp(At)x°•
(v)
7.8 Autovalores Repetidos
Coneluiremos nossa discussao do sistema linear homogênco corn coeficientes constantes
x'
Ax
(1)
considerando o caso em que a matriz A tern autovalores repetidos. Lembre que observamos, na Sccilo
7.3, que urn autovalor repetido corn multiplicidade algebrica k > 2 pode ter multiplicidade geometrica
menor do que k. Em outras palavras, pode ter menos do que k autovetores linearmente independentes
associados a esse autovalor. 0 exemplo a seguir ilustra essa possibilidade.
EXEMPLO
Encontre os autovalores e autovetores da matriz
A=
1
(2)
Os autovalores r e os autovetores satisfazcm a cquacao (A - rig = 0, ou
(1- r
1
-1
3-
(,2
0
(0)
(3)
&STEMS DE EQUACOES LIDEARES DE PRimetRA ORDEM 329
Os autovalores säo as rafzes da equacdo
det(A - rI) =
1-r
1
-1
= r- - 4r + 4 = 0.
3-r
(4)
Logo, os dois autovalores säo r, = 2 e r, = 2, ou seja, o autovalor 2 tern multiplicidade 2.
Para determinar os autovetores associados, precisamos voltar para a Eq. (3) e usar o valor 2 para r. Isso nos clá
(5)
(1
1) (2) = (0)
Obtemos, portanto, uma Unica condiciio +
0, que determina em funcao de ., ou vice-versa. Então, urn
autovetor associado ao autovalor r 2 é
(6)
ou qualquer multiplo não nulo desse vetor. Note que existe apenas urn autovetor linearmente independente
associado a esse autovalor duplo.
Voltando para o sistema (1), suponha que r p é uma raiz de multiplicidade k da equacao
det(A - rI) = 0.
(7)
Entäo p é urn autovalor de multiplicidade k da matriz A. Nesse caso, existem duas possibilidades: ou existem k vetores linearmente independentes associados ao autovalor p, ou existem menos do que k desses
vetores.
No primeiro caso, sejarn
os k autovetores linearmente independentes associados ao autovalor p de multiplicidade k. Entao, x"'(t) = ' e", ..., x'"(t) =
são k solucOes linearmente independentes da Eq. (1). Assim. nesse caso, nao faz cliferenca que o autovalor r = p seja repetido: ainda existe
urn conjunto fundamental de soluceies da Eq. (1) da forma e.". Esse caso sempre ocorre se a matriz A de
coeficientes for autoadjunta.
No entanto, se a matriz de coeficientes Mio for autoadjunta entao podem existir menos do que k vetores linearmente independentes associados ao autovalor p de multiplicidade algebrica k e, se for esse o
caso, havera menos do que k soluceies da Eq. (1) da forma
associadas a esse autovalor. Portanto, para
construir a solucilo geral da Eq. (1) 6 precis° encontrar outras soluceies de forma diferente. Por analogia
corn resultados anteriores para equagOes lineares de ordem ii, 6 natural procurar outras soluceies envolvendo produtos de funcOes polinomiais e exponenciais. Vamos primeiro considerar urn exemplo.
EXEMPLO
Encontre urn conjunto fundamental de soluceies para
2
x' = Ax
(1-1)
1
3
(8)
e desenhe um retrato de fase para esse sistema.
A Figura 7.8.1 mostra urn campo de dirge:1'es para o sistema (8). Nessa figura parece que todas as solucaes
nä° nulas se afastam da origem.
X2
\\\\\\\\\\
"
\\\\
\ \ \\\\ \\
\ \ \\
\•.--\\\\ \\ \ \
-,.......\\ \\ \ \ \
--*------•,-\\\\ 1
-------.--..---,.\\\
...---,,.." ....
i . \
i///1 1
t
1 (
\-1
\ \
1
1111 1 \ \ \ \
II1f
1 \
\
\ \ \ -2
1I1I
1 \1 1
i 1 11 i
1
\
1III
FIGURA 7.8.1 Urn campo de direcOes para o sistema (8).
330 CAPiTULO SETE
Para resolver esse sistema, note quc a matriz de coeficientes 6 igual a matriz no Exemplo 1. Sabemos, entao,
que r = 2 é um autovalor duplo que tern urn dine° autovetor correspondents linearmente independente, que
podemos escolher como = (1, —1). Logo, uma solucao do sistema (8) é
x")(t)
( 1) e2t
(9)
—1
mas nao existe uma segunda solucäo da forma x =
Baseado no procedimento usado para equagOes lineares de segunda ordem na Seca° 3.4. parece natural
tentar encontrar uma segunda solucao do sistema (8) da forma
x = te2 ',
(10)
onde 6 urn vetor constants a ser determinado. Substituindo x na Eq. (8), obtemos
e2t AVe2' = 0.
2Ve2`
(11)
Para que a Eq. (11) seja satisfeita para todo r, e necessario que os coeficientes de tea e de
terrno 0, vemos quc
sejam nulos. Do
=0.
(12)
Logo, não existe solucao não nula do sistema (8) da forma (10).
Como a Eq. (I I) cont6m termos em 10 e
parece que akin deate'' a segunda solucao tern que conter,
tambem, um termo da forma qe; em outras palavras, precisamos supor que
x = te2t + qe. 2 ,
(13)
onde e q sao vetores constantes que deverao ser determinados. Substituindo x na Eq. (8) por essa expressao,
obtemos
+ 2 oe2f = A (ve2/
2Ve2'
Igualando os coeficientes de te e de 0 de cada lado da Eq. (14), encontramos as condicOes
(A — 21) =0
(
A — 2 1 ) 11 =
para 1 e q. A Eq. (15) sera satisfeita se 4 for urn autovetor de A associado ao autovalor r = 2, ou seja, r = (1,
—1). Como det(A — 21) c nulo, poderiamos esperar que a Eq. (16) nao tivesse solucào. No entanto, isso não
necessariamente verdadc. j5 que para alguns vetores e possivel resolver a Eq. (16). De fato, a matriz aumentada para a Eq. (16) 6
( - I —I I
1)
1
1 I —1
A segunda linha dessa matriz 6 proportional a primeira, de modo que o sistema pode ser resolvido.Temos
— 111 — q2 = 1,
(a)
(b)
FIGURA 7.8.2 (a) TrajetOrias do sistema (8); a origem é urn no imprOprio. (h) Graficos de x, em funcao de t
para o sistema (8).
SISTEMAS DE EQUACOES LINEAR
ES DE PRIMEIRA ORDEM
331
de modo que se = k, onde k é arbitrario, então 71, = -k - 1.Se escrevermos
- (_ i k_ k)
00)
) ±k(
(-
(17)
-1)
ent5o, substituindo e n na Eq. (13), obtemos
x=
1 ) te 2' + (_00e2, + k
1)
-1
-1 le''.
(18)
0 Ultimo termo na Eq. (18) é simplesmente um mfiltiplo da primeira soluctlo x o )(t) e pode ser ignorado, mas os
dois primeiros termos constituem uma nova soluciio:
xrzr (t) =
)
+
o
-1
e2'.
(19)
Urn calculo elementar mostra que W[x1",x(2'](t) = -e' e. portanto,e) e xm formain urn conjunto fundamental de solucOes para o sistema (8). A solucdo geral é
X=
X (I) (t)
= Ct (_
C2X(2)(t)
,,,,
[(__ 1 ) te- + (_1)
e2' 4
(20)
O grafico da soluctio (20) 6 um pouco mais dificil de analisar do que em a guns dos exemplos anteriores. E
e que x 0 quando t y -oc.t possivel mostrar que quando t
claro que x Lorna-se ilimitada quando t
todas as solucOes se aproximain da origem tangentes a reta x, = -x, determinada pelo autovetor. Analogamente,quando t
oc, cada trajetOria e assintOtica a uma reta Corn coeficiente angular -1. As trajetorias do
sistema (8) aparecem na Figura 7.8.2a, e alguns gralicos tipicos de x, em funciio de t aparecem na Figura 7.8.26.
O padnio de trajetorias nessa figura 6 tipico de sistemas de segunda ordem x' = Ax com autovalores iguais e
apenas um autovetor independente. A origem 6 chamada de no imprOprio nesse caso. Sc os autovalores forem
negativos, ent5o as trajetorias sao semelhantes mas percorridas cm sentido oposto. Urn n6 imprOprio pode ser
assintoticamente estavel ou instavel, dependendo de Os autovalores serem negativos ou positivos.
Uma diferenca entre urn sistema de duas equacOes de primeira ordem e uma Unica equacäo de segunda ordem 6 evidente no exempt() precedente. Lembre-se de que para uma equacão linear de segunda
ordem cuja equacão caracteristica tem uma raiz repetida r,, nao a neccssario um termo da forma lie' na
segunda solucAo. ja que isso um mfiltiplo da primeira solu45o. Por out ro lado, para um sistema corn duas
equacOes dc primeira ordem o term()
da Eq. (13) coin r, = 2 nao c um imiltiplo da primeira solu45o
V", de modo que o termo ge' , ` precisa ser mantido.
0 Exemplo 2 6 tipico do caso geral quando existe um autovalor duplo e um Lillie() autovetor associado
independente. Considere, novamente, o sistema (I) e suponha que r = p é um autovalor duplo de A, mas
que existe apenas um autovetor associado independente Ent5o, uma solu45o [semelhante a Eq. (9)] é
x (I) (t)
= fr' t ,
(
21)
onde satisfaz
= 0.
(A -
(22)
Procedendo como no Exemplo 2, vemos que uma segunda solucao [seine' hante a Eq. (19)]
x(2)(0 ste
p`
onde satisfaz a Eq. (22) e
(23)
determinado de
(24)
(A - pl)g =
Embora det(A - pl) = 0, pode-se mostrar que e sempre possfvel resolver a Eq. (24) para q. 0 vetor
chamado de autovetor generalizado associado ao autovalor p.
Matrizes Fundamentals. Como explicado na Seca° 7.7, matrizes fundamentSis sáo formadas colocando-se
solut;Oes linearmente independentes ern colunas. Assim, por exemplo, pode-se formar uma matrix fundamental para o sistema (8) usando-se as solucOes x (I )(t) e x12 '(t) dadas nas Eqs. (9) e (19), respectivamente:
41(t)
e 2r
t2I
-e21
-1e2r - e2`
= e2r (
1
-1
-1 - t)
(25)
332 CAPITULO SETE
A matriz que satisfaz (1)(0) = I tamb6m pode ser imediatamente encontrada atraves da relacdo 4'(t)
111(t) Ili '(0). Para a Eq. (8), temos
\
‘111(0) = (
—1 —1)
—10)
11(0) =
e, portant°,
(Kt) = 41 (t)41-1 (0) e2t
(- 11 —i t — 12
)(
(1 — t
—t
t
1+t
= e2t
A Ultima matiz 6, tamb6m, a matriz exponencial exp(At).
Formas de Jordan. Como vimos na Secão 7.7. uma matriz A n x n so pode ser diagonalizada se tiver urn
conjunto completo de n autovetores linearmente independentes. Se existent menos autovetores (devido
a autovalores repetidos), entao A sempre pode ser transformada cm uma matriz quase diagonal denominada sua forma canOnica de Jordan, 6 que tern os autovalores de A em sua diagonal, urn em determinadas
posicOes acima da diagonal principal e zeros em todos os outros lugares.
Considere, novamcnte, a matriz A dada pcla Eq. (2). Forme a matriz de semelhanca T corn o link()
autovetor dado pela Eq. (6) em sua primeira coluna e corn o autovetor generalizado dado pela Eq.
(17) corn k = 0 na segunda coluna. Entao,T e sua inversa s5o dados por
T
1
0
01)
— l) •
—1
(28)
Como voce. pock; verificar, segue que
T -I AT =
0
2
= J.
(29)
A matriz J na Eq. (29) 6 a forma canOnica de Jordan de A. Ela é tipica de toda y as formal de Jordan por
ter o mimero 1 acima da diagonal principal na coluna correspondents ao autovetor que estri faltando (e
substitufdo em T pelo autovetor generalizado).
Se comecarmos de novo da Eq. (1).
= Ax,
a transformacâo x = Ty, onde T e dado pcla Eq. (28). produz o sistema
(30)
= Jy.
onde J é dado pcla Eq. (29). Em forma escalar, o sistema (30) é
Yi = 2)7 1 + Y2•
(31)
Y2 = 2 Y2•
Essas equaciies podcm ser resolvidas imediatamente em ordem inversa. Dessa forma, obtemos
= cre 2t ,
Yr = c t te2r + c2 e2t .
( 32)
Logo, as duas solucOes independentes do sistema (30) säo
y (1) (0 = ( 1 ) e 21
y(2) 0
=
t
e2r,
(33)
e a matriz fundamental correspondente 6
e2t
41(t)
(34)
(.3
e2l)
Como ii(0) = I, podemos identificar, tambem, a matriz na Eq. (34) como exp(k). 0 mesmo resultado
pode ser encontrado calculando-se as potencias de J e substituindo-as na serie exponencial (veja os Problemas de 19 a 21). Para obter uma matriz fundamental para o sistema original, formamos o produto
4 Camille Jordan (1838-1921), professor da Ecole Polytechnique e do College de France, fez contribuicties importantes
analise, a topologia e especialmente a algebra. A forma de Jordan de uma matriz apareccu em scu influents livro, Traite des
substitutions e des equations algebriques, publicado em 1870.
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEN 333
e 2r
te
‘11 (t) = T exp(Jt) = (_e21
2t
— e21 — to
2i )
(35)
que a igual a matriz fundamental dada na Eq. (25).
Ndo discutiremos aqui as formas de Jordan de matrizes n x n em maiores detalhes. Para n grande, é
possivel quo existam autovalores corn multiplicidade algebrica alta e talvez corn multiplicidade geometrica muito menor. Uma discussAo completa' da forma de Jordan para uma matriz n x tt geral requer conhecimentos mais profundos de algebra linear do que supomos que os leitores deste livro tern. Os Problemas
de 17 a 21 pedem que voce explore o use de formas de Jordan para sistemas corn tres equagOes.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problems de 1 a 4:
Desenhe urn campo de direceies e esboce algumas trajetOrias.
Descreva como as soluceies se comportam quando t —* oo.
(c) Encontre a solucäo geral do sistema de equacOes.
402 1. x, = (3 — 4) x
e,
1 —1
(_ 3
O.2. 3. x' =
e 4. x' =
X
I
—4)X
.
1)
!
-(8
i
—2
2)
x
Nos Problemas 5 e 6. encontre a solucäo geral do sistema de equacOes dado.
1
1
1
0
1
1
1
I x
x
0
5. x' = 2
6.
= (1
1
—1
1
1
()
Em cada um dos Problemas de 7 a 10:
Encontre a solucäo do problema de valor inicial dado.
Desenhe a trajetOria da solucao no piano x,x 2 e desenhe, tambëm, o grafico de x, em funcäo de t.
x.
e, 7. x, = (14 —4)
—7
020' (_53
9. x' = (
•2'
i
2
-I ) X,
X(0) = (_31)
) X,
X(0) = (.23)
3
2
( 3
0-2,
1
x(0) = (32)
9
—3) x'
x(0) = (4)
Em cada um dos Problemas 11 e 12:
Encontre a solucdo do problema de valor initial dado.
Desenhe a trajetOria correspondente no espaco x,x 2x, e desenhe, tambem, o grafico de x, em fungdo de t.
( 1
0
0
e 11. x' = —4
1
0
3
6
2
—2
1
1
1
—;
1
1
I?, 12. x' =
—1)
x,
x(0) = (
1 x,
x(0) =
—2
2
—30
2)
3
—1
Em cada urn dos Problemas 13 e 14, resolva o sistema de equacOes dado pelo metodo do Problema 19
da Secao 7.5. Suponha que t > 0.
7Veja, pot exemplo,os lk ros listados nas Referéncias no final deste capitulo.
334 CAPITULO SETE
13. tx' = (3
1
—4)
—1
—4)
14. tx' = (1
4
—7
Mostre que todas as solucOes do sistema
x, _ (a
c
1?
x
d
tendem a zero quando t —+ oo se, e somente se, a + d < 0 e ad — bc > 0. Compare esse resultado corn o do
Problema 38 na Secito 3.4.
Considere, novamente, o circuit° elarico no Problema 26 da Sec5o 7.6. Esse circuit° e descrito pelo sistema de equacOes diferenciais
1
d
/
( V)
t (V)
RC
C
Mostre quc os autovalores sao reais e iguais se L = 4R2C.
Suponha que R I D. C = 1 FeL=4 H. Suponita,tambem, que 1(0) = 1 A e V(0) = 2 V. Encontre 1(t)
e V(t).
Autovalores de Multiplicidade 3. Se a matriz A tem um autovalor de multiplicidade algebrica 3, ent5o podem
existir um, dois ou tres autovetores associados linearmente independentes. A solucilo geral do sisterna x' =
Axe diferente, dependendo do tuirnero de autovetores independentes associados ao autovalor triplo. Como
observado no texto n5o hti dificuldade se existent tres autovetores, ja que. nesse caso, existent tres solucOes independentes da forma x = c,". Os dois problemas a seguir ilustram o procedi [tient° para se encontrar a solucao
no caso de um autovalor triplo corn um ou dois autovetores independentes, respectivatnente.
17. Considere o sistema
1
x' = Ax = ( 2
—3
1
1
2
—1) x.
4
(I)
Mostre quc r = 2 é um autovalor de multiplieidade 3 da matriz de coeticientes A e que existe apenas
urn autovetor associado, a saber,
( 0
1)
Usando a in formacao do item (a). escreva uma solucao x io(t) do sistema (i). Nao existe outra solucao
da forma purarnente exponencial x =
+ qe". Most re que c q satisfazem as cquaPara encontrar ulna segunda soluciao,suponha que x =
cOes
(A —21)q =
(A —211) =0,
que
Como ja foi encontrado no item (a), resolva a segunda equacao para 7/. Despreze o mOltiplo de
quc nos leva, apenas, a um mriltiplo da primeira soluciio x11. Depois,escreva uma segunda
aparece em
solucao x'-'(t) do sistema (i).
Para encontrar uma terceira soluctio,suponha que x = (1212)e" + qte" + Ce a . Mostre que q e satisfazem as equagOes
(A —
(),
= 0,
(A —21g = q
=
(A
As duas primeiras equitcOes silo as mesmas do item (c), logo, para resolver a equacao para despreze noque aparece. Depois, escreva uma terceira solucao x'' 1 (t) do sisterna (i).
vamente o mtiltiplo de
Escreva uma matriz fundamental k11(1) para o sistema (i).
Forme a matriz. T corn o autovetor 4'( 1 ) na primeira coluna e os autovetores generalizados n e nas
segunda e terceira colunas. Depots, encontre T-' e forme o produto J = T-'AT. A matriz J e a forma
canOnica de Jordan de A.
Considere o sistema
5
x = Ax = ( 8
—4
—3
—5
3
—2
—4
3
x.
(i)
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 335
(a) Mostre que r = 1 6 urn autovetor triplo da matriz de coeficientes A e que existem dois autovetores
associados linearmente independentes, que podemos escolher como
(1)
=
(0)
(2) =
,
1
2
°
2)
(ii)
—3
Encontre duas solucOes linearmente independentes x y)(t)e x( 2 )(t da Eq. (i).
(b) Para encontrar uma terceira solucào, suponha que x =
+ rte'; mostre que entao i e n tam que satisfazer
(A —I) = 0,
(iii)
(A —
(iv)
=
•
e
Mostre que = c i + c2 2 ', onde c, e c2 sào constantes arbitrarias, 6 a solucao mail geral da Eq. (iii).
Mostre que para resolver a Eq. (iv) é necessario que c 1 = c2.
E conveniente escolher c, = c2 = 2. Para essa escolha, mostre que
2
0
.
4=
=
0 ,
—2
(v)
—1
onde retiramos os mdltiplos de V ) e V' que aparecem em ii. Use os resultados dados nas Eqs. (v) para
encontrar uma terceira solucäo linearmente independente x( 3 )(t) da Eq. (i).
Escreva uma matriz fundamental 1'(t) para o sistema (i).
Forme a matriz T corn o autovetor V) na primeira coluna e corn o autovetor e o autovetor generalizado q, dados pelas Eqs. (v), nas duas Ultimas colunas. Encontre T e forme o produto J = T-' AT. A
matriz J é a forma canOnica de Jordan de A.
19. Seja J =( 0;''
A1 ), onde A e urn numero real arbitrario.
Encontre J', J c J'.
Use urn argumento indutivo para mostrar que J" =
A"
0
Determine exp(Jt).
Use exp(Jt) para resolver o problema de valor inicial x' = Jx, x(0) = x().
20. Seja
A
J= 0
0
0
A
0
0
1
A
,
onde A. é urn nUmero real arbitrario.
Encontre J 2, J 3 e J4.
Use urn argumento indutivo para mostrar que
A"
0
n X" -1
A."
J" =(0
0
0
0
A"
Determine exp(Jt).
Observe que se voce escolher A = 1, entao a matriz J neste problema a igual a matriz J no Problema
18(f). Usando a matriz T do Problema 18(f). forme o produto Texp(Jt) corn A = 1.A matriz resultante
é igual a matriz fundamental 'I'(t) no Problema 18(e)? Se nao for, explique a discrepancia.
21. Seja
J = (A
0
0
onde A 6 urn namero real arbitrario.
Encontre32,33 e
Use um argumento indutivo para mostrar que
1
A.
0
0
1
A
,
336 CAPITULO SETE
xn
J" = (0
0
nxn-i
[n(n — 1)/2p."-2
0
Determine exp(Jt).
Observe que se voce escolher = 2, entao a matriz J nestc problema é igual a matriz J no Problema
17(f). Usando a matriz T do Problema 17(f), forme o produto Texp(Jt) corn = 2. Observe que a matriz resultante é a mesma da matriz fundamental 4/(0 no Problema 17(e).
7.9 Sistemas Lineares Nao Homogeneos
Nesta secão vamos considerar o sistema nao homogeneo
x' = P(t)x + g(t),
(1)
onde a matriz n x n P(t) e o vetor n x 1 g(t) sa p continuos em a < t < 0. Pelo mesmo argument° usado na Seca° 3.5 (veja, tambem, o Problema 16 nesta secao), a solucäo geral da Eq. (1) pods ser expressa na forma
, in) (I)
(2)
X = CIX (I) (t) + • • • + CnX
+V(t),
onde c,x")(t) + c„xi")(t) 6 a solucao geral do sistema homogeneo x' = P(t)x e v(t) é uma solucao particular
do sistema nao homogenco (1). Vamos descrever, rapidamente, diversos metodos para se encontrar v(t).
Diagonalizaccio. Comecamos corn urn sistema da forma
x' = Ax + g(t),
(3)
onde A 6 uma matriz n x n constante diagonalizavel. Diagonalizando a matriz de coeficientes A como
indicado na Seca° 7.7, podemos transformar a Eq. (3) cm um sistema de equacOes facilmente
r de A e defina uma variavel dependente
Seja T a matriz cujas colunas sac) os autovetores
nova y por
x = Ty.
(4)
Então, substituindo x na Eq. (3) pela expressao anterior, obtemos
Ty' = ATy + g(t).
Multiplicando por T-', segue que
y' = (T -1 AT)y + T -1 g(t) = Dy + h(t),
(5)
onde h(t) = T-'g(t) e D d a matrix diagonal cujos elementos diagonals sac) os autovalores r 1 ,
r„ de A,
que aparecem como colunas
arrumados na mesma ordem que os autovetores correspondentes
de T. A Eq. (5) é urn sistema de n equagOes desacopladas para y i (t), ...,y„(t); em consequencia, as equacOes podem ser resolvidas separadamente. Em forma escalar, a Eq. (5) fica
y;(t) = ri yi (t) + Ii i (t),
= 1, . . . ,n,
(6)
onde h i (t) uma determinada combinacão linear de g,(t), g„(t). A Eq. (6) é uma equacao linear de
primeira ordeme pode ser resolvida pelos metodos da Seca° 2.1. De fato, temos
yi (t)
eri t f
to
hi(s) ds + cj erif ,
j = 1, .
,n,
(7)
onde os ci sao constantes arbitrarias. Finalmente, a solucao x da Eq. (3) é obtida da Eq. (4). Ao s'er multiplicado pela matriz de semelhanca T o segundo termo do lado direito do sinal de igualdade na Eq. (7)
fornece a solucão geral da equacao homogenea x' = Ax, enquanto o primeiro termo fornece uma solucao
particular do sistema nao homogeneo (3).
S ISTEMAS DE EQUACO ES L INEARES DE F'RIMEIRA O RDEM 337
EXEMPLO
Encontre a solucâo geral do sistema
= (-2
(2e-')
1
1 -2 x + 3t = Ax + Wry
)
(8)
Procedendo como na Secao 7.5, vemos que os autovalores da matriz de coeficientes sâo r, = -3 e r2 = - 1, e
os autovetores correspondentes sac)
(9)
Logo, a solucäo geral da equacao homogenea é
X =
( 1) 3,
e- + c 2 ()
1e'
-1
(10)
Antes de escrever a matriz T de autovetores, lembre que vamos precisar encontrar T- 1 .A matriz de coeficientes
A é real e simetrica, logo podemos usar o resultado enunciado no final da Seca- o 7.3: T-' é simplesmente a adjunta ou (como T é real) a transposta de T, desde que os autovetores de A estejam normalizados de modo que
= 1. Portant°, normalizando
e t2), temos
T=
1(1
1
1
-1
,r, = 1 (1
1
-1
1)
Fazendo x = Ty e substituindo na Eq. (8), obtemos o seguinte sistema de equace•es para a variavel dependente nova y:
/-3
= DY T-Ig(t) =
0
0
-1) Y
y', + 3y i =
-
1 (2e -' - 3t
2e-' + 3t)
(12)
Logo,
(13)
Y2 + y 2 =
+
3
t.
Cada uma das Eqs. (13) e uma equacao linear de primeira ordem e, portanto, pode ser resolvida pelos metodos
da Secao 2.1. Desse modo, obtemos
3
t
-- e - —
2 [(3 )
1
+ cle-3(
(14)
,
3
y 2 = ,r2te- + — t - 1) + c 2 e-' .
V-2 (
Finalmente, escrevemos a solucäo em funcao das variaveis originais:
- 1,_ Yi "2)
x = Ty - ./2 \-yi +y2/
=
( (c, /,./1)e- 3' + [(c2I .4) + fl e" + t - 1 + te'
-
(c i l 4)e- 3' + [ ( c2/
= ki
( -1
- de" + 2t - i + to
e _ 3, k2 (1) _, + 1 ( -1 e,
1
(1) te-r + (1 )
1
2
1 (4
5 5)
(15)
onde k i = c1/12 e k2 = c2 /..// As dual primeiras parcelas a direita do sinal de igualdade na Eq. (15) formam a
solucao geral do sistema homogeneo associado a Eq. (8). As parcelas restantes formam uma solucao particular
do sistema näo homogeneo.
Se a matriz de coeficientes A na Eq. (3) näo for diagonalizavel (devido a autovalores repetidos e a falta
de autovetores) pode, de qualquer jeito, ser reduzida a sua forma canOnica de Jordan J atraves de uma
matriz de semelhanca apropriada T, envolvendo tanto autovetores quanto autovetores generalizados.
Nesse caso, as equaciies diferenciais para y,,
y„ näo estaräo totalmente desacopladas, ja que algumas
338 CAPITULO Sere
linhas de J tem Bois elementos nao nulos, um autovalor na posicao diagonal e urn 1 na posicdo adjacente
y,, ainda podem ser resolvidas consecutivamente, comecando
direita. No entanto, as equaceles para
corn y„. Entdo, a soluciio do sistema original (3) pode ser encontrada pela relacao x = Ty.
coeficientes lndeterminados. Uma segunda maneira de Sc encontrar uma solucdo particular do sistema
nao homogaeo (1) é o metodo dos coeficientes indeterminados. Para usar esse metodo supomos que a
solucfio tern determinada forma corn alguns ou todos os coeficientes indeterminados e depois procuramos esses coeficientes de modo a satisfazer a equacdo diferencial. Do ponto de vista pratico esse metodo
so e aplicavel se a matrix de coeficientes P for constante e se as componentes de g forem funcfies polinomiais, exponenciais, senoidais ou produtos de tais funcOes. Nesse caso, a forma correta da solucäo pode
ser prevista de maneira simples e sistematica. 0 procedimento para escolher a forma da solucdo é essencialmente o mesmo dado na Secdo 3.5 para equacoes lineares de segunda ordem. A principal diferenca
e ilustrada polo caso de urn termo nao homogOneo da forma ue, onde A é uma raiz simples da equacdo
caracterfstica. Nessa situacdo, em vez de supor uma solucdo da forma ate" é preciso usar ate' + be", onde
a e b são determinados substituindo-se a expressao na equacão diferencial.
EXEMPLO
Use o metodo dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solucdo particular de
(-2
1
2
(2e-`)
1)
-2 x
Ax g(t).
(16)
Esse é o mesmo sistema de equacöes do Exemplo 1. Para usar o metodo dos coeficientes a determinar escrevemos g(t) na forma
g(t)
= (2 ) e_, (0) t
0
1- 3
Vamos supor, entao, que
x = v(t) = ate' + be' + ct + d,
onde a, b, c e d sao vetores a serem determinados. Note que r = -1 é um autovalor da matriz de coeficientes
e, portanto, temos que incluir tanto ate' quanto be-1 na solucao proposta. Substituindo a Eq. (18) na Eq. (16) e
juntando os termos, obtemos as seguintes equagbes algebricas para a, b, c e d:
Aa = -a,
Ab = a - b -
Ac=-
(2
0
(0)
3
Ad = c.
Da primeira das Eqs. (19), vemos que a é urn autovetor de A associado ao autovalor r = -1. Logo, s r = (a, a),
onde a e qualquer constante diferente de zero. Note que a segunda das Eqs. (19) so pode ser resolvida se a =
1 e, nesse caso, temos
b r-- k
para qualquer constante k. A escolha mais simples e k = 0, donde b T = (0, -1). As terceira e quarta equagOes em
(19) fornecem, ent5o, CT = (1, 2) e d T = (-4/3,-5/3), respectivamente. Finalmente, da Eq. (18) obtemos a solucäo
particular
v(t) =
1
0
te' - ( 1 )
+ (2) t -
1 (4
5)
(21)
A soluc5o particular (21) nao a identica i3 contida na Eq. (15) do Exemplo 1, porque o termo contendo
é
diferente. No entanto, se escolhermos k = 1/2 na Eq. (20) teremos b T = (1/2, -1/2), e as dual solucOes particulares
ficardo idénticas.
4,
SISTEMAS or. EQUACOES LINEARES DE FRIMEIRA ORDCM
339
Variaccio dos Parâmetros. Vamos considerar, agora, problemas mais gerais onde a matriz de coeficientes
nä° é constante ou nao 6 diagonalizavel. Seja
= P(t)x + g(t),
(22)
onde P(t) e g(t) sac) continuas em a < t < Suponha que uma matriz fundamental %Kt) para o sistema
homogeneo associado
x' = P(t)x
(23)
ja foi encontrada. Vamos usar o metodo de variacao dos parAmetros para construir uma solucao particular e, portanto, a solucAo geral do sistema nä° homogeneo (22).
Como a solucao geral do sistema homogeneo (23) 6 4 1 (t)c, 6 natural proceder como na Secao 3.6 e
buscar uma solucäo do sistema nao homogéneo (22) substituindo-se o vetor constante c por uma funcao
vetorial u(t). Assim, supomos que
x = 41 (t)u(t),
(24)
onde u(t) é urn vetor a ser encontrado. Diferenciando x dado pela Eq. (24) e impondo a Eq. (22), obtemos
(t)u(t) + 41 (t)u' (t) = P(t)* (t)u(t) + g(t).
(25)
Como 41 (t) 6 uma matriz fundamental, 4 1 '(t) = P(t)41(t); logo, a Eq. (25) se reduz a
'l'(t)u'(t) = g(t).
(26)
Lembre que 4'(t) é invertivel em qualquer intervalo onde P 6 continua. Entäo *At) existe e temos
u'(t) = 41-1(t)g(t)•
(27)
Logo, podemos selecionar como u(t) qualquer vetor na classe de vetores que satisfazem a Eq. (27); esses
vetores estäo determinados a menos de urn vetor constante aditivo; portanto, denotamos u(t) por
u(t) =
(t)g(t) dt + c,
(28)
onde o vetor constante c 6 arbitrririo. Se as integrals na Eq. (28) puderem ser calculadas, a solucäo geral
do sistema (22) poderd ser encontrada substituindo-se u(t) na Eq. (24) pela expressao na Eq. (28). No
entanto, mesmo se as integrals nao puderem ser calculadas ainda podemos escrever a solucäo geral da
Eq. (22) na forma
x *Mc +
f 41-1 (s)g(s) ds,
(29)
onde t, é qualquer ponto no intervalo (a, /3). Note que a primeira parcela a direita do sinal de igualdade
na Eq. (29) 6 a solucao geral do sistema homogéneo associado (23), e a segunda parcela 6 uma solucäo
particular da Eq. (22).
Vamos considerar agora o problema de valor inicial consistindo na equacao diferencial (22) e na condick) inicial
x(to) = x°.
(30)
Podemos encontrar a solucao desse problema de maneira conveniente se escolhermos o limite inferior de
integracäo na Eq. (29) como o ponto inicial to. Entao a solucio geral da equacao diferencial é
(31)
(t) f 41-1 (s)g(s) ds.
ro
Para t = t„ a integral na Eq. (31) 6 zero, de modo que a condicão inicial (30) tambern sera satisfeita se
escolhermos
x = 41 (t)c +
C
*-1(4))X°.
(32)
Portanto,
x = (041-1 (to)x° + 41(t) J r 41-1 (s)g(s) ds
(33)
6 a solucâo do problema de valor inicial dado. Mais uma vez, embora seja titil usar 4'-' para escrever as
solucOes (29) e (33) em geral, em casos particulares 6 melhor resolver as equagOes necessarias por reducAo de linhas do que calcular ' e substituir nas Eqs. (29) e (33).
340 CAPiTULO SETE
A solucdo (33) fica em uma forma ligeiramente mais simples se usarmos a matriz fundamental (I)(t)
que satisfaz 4)(0 = I. Nesse caso, temos
x 4)(t)x° + (Kt) f <V I (s)g(s) ds.
(34)
A Eq. (34) pode ser ainda mais simplificada se a matriz de coeficientes P(t) for constante (veja o Problema 17).
Use o metodo de variacao dos parametros para encontrar a solucäo geral do sistema
EXEMPLO
3
(2e-' )
= Ax + g(t).
- 2) x + 3t
1
x ' = (-2
1
Esse e o mesmo sistema de equagOes dos Exemplos 1 e 2.
A solucâo geral do sistema homogeneo associado foi dada na Eq. (10). Assim,
11(t) =
- e -3'
e-1
e-'
é uma matriz fundamental. Então, a solucao x da Eq. (35) é dada por x = 4 1(t)u(t), onde
g(t), ou
e-3'
-e -3'
satisfaz 111(t)u'(t)
e :u' - 2e14,
3t
e- '
(
de
linhas,
obtemos
Resolvendo a Eq. (37) por reduccao
, e 2' 3 3t
il I = e - ite
Logo,
e
It, (t) =
- 1te 3 ' + e3 ' + el,
u2 (t) = t
- ie` + C2,
x = tIP (t)u(t)
= (
1
1
1
, 1 (
) e_,
11
+( )t 14
) e--- + c2 ( ) e + ( ) te- + 5) '
2 -1
-1
1
1
2
que 6 a mesma solucao obtida anteriormente.
Transformadas de Laplace. Usamos a transformada de Laplace no Capititlo 6 para resolver equagOes
lineares de qualqucr orclem. Ela tambem pode ser usada de maneira semelhante para resolver sistemas
de equacties. Como a transformada e uma integral, a transformada de um vetor 6 calculada componente
a componente. Assim, (x(t)) é o vetor cujas componentes sac) as transformadas das componentes respectivas de x(t) e, analogamente, para X(x'(t)}. Denotaretnos X{x(t)) por X(s). Ent5o, por uma extens-do
do Teorema 6.2.1 para vetores, temos
,C{x' (t)} = sX(s) - x(0).
EXEMPLO
4
r
(39)
Use o metodo de transformada de Laplace para resolver o sistema
x, = (-2
1) x (2e-')
1 -2
3t
Ax + g(t).
(40)
Esse e o mesmo sistema de equagOes dos Exemplos de 1 a 3.
Calculando a transformada de Laplace de cada parcela na Eq. (40), obtemos
sX(s) - x(0) = AX(s) + G(s),
onde G(s) 6 a transformada de g(t). A transformada G(s) 6 dada por
(41)
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
G(s) =
(2/(s + 1)
3/s2
341
(42)
Simplificaremos os calculos restantes supondo que x(t) satisfaz a condic5o inicial x(0) = 0. Ent5o, a Eq. (41) fica
(sl - A)X(s) = G(s),
(43)
onde, como de habit°, I é a matriz identidade. Logo, X(s) e dada por
X(s) = (sI - A)-1G(s).
(44)
A matriz (sI - A)-' é chamada matriz de transferencia porque, multiplicando-a pela transformada do vetor de
entrada g(t), obtemos a transformada do vetor de safda x(t). Neste exemplo, temos
+ 2 -1 )
-1
s+2
sI - A =
e obtemos, por urn calculo direto,
(sI - A) -1 -
1
s+2
(s + 1)(s + 3)
1
1)
s+2
Então, substituindo as Eqs. (42) e (46) na Eq. (44) e efetuando as multiplicacOes indicadas, vemos que
2(s + 2)3
X (s) =
(s + 1)2 (s + 3) + s2 (s + 1)(s + 3)
(47)
2
3(s + 2)
(s + 1) 2 (s + 3) s2 (s + 1)(s + 3)
Finalmente, precisamos obter a solucao x(t) de sua transformada X(s). Isso pode ser feito expandindo-se as
expressaes na Eq. (47) em fracOes parciais e usando-se a Tabela 6.2.1 ou (mais eficientemente) usando um programa de computador apropriado. Dc qualquer modo, depois de simplificado o resultado fica
2
x(t) = 1
2
1 e_ ,
3 -1
I to +
1
2
14
35
(48)
A Eq. (48) fornece a soluciio particular do sistema (40) que satisfaz a condicdo inicial x(0) = 0. Por causa disso,
ela difere ligeiramente das solucOes particulares obtidas nos tres exemplos precedentes. Para obter a solucao
geral da Eq. (40) voce precisa somar a expressäo na Eq. (48) a soluc5o geral (10) do sistema homogéneo associado a Eq. (40).
Cada urn dos metodos para se resolver equagOes n5o homogeneas tem vantagens e desvantagens.
0 metodo dos coeficientes indeterminados näo precisa de integrac5o, mas tem escopo limitado e pode
levar a diversos conjuntos de equagOes algëbricas. 0 metodo de diagonalizacäo requer que se encontre
a inversa da matriz de semelhanca e a solucäo de urn conjunto de equagOes lineares de primeira ordem
desacopladas, seguida de uma multiplicacäo de matrizes. Sua principal vantagem é que para matrizes de
coeficiente autoadjuntas a inversa da matriz de semelhanca pode ser encontrada sem calculos — uma
caracterfstica muito importante para sistemas grander. 0 metodo da transformada de Laplace envolve
a inversâo de uma matriz para se encontrar a matriz de transferencia, seguida de uma multiplicacäo e,
finalmente, da determinacdo da transformada inversa de cada parcela na expressäo resultante. Ela é
particularmente titil em problemas corn termos n5o homogeneos que envolvem funci5es descontfnuas ou
impulsivas. 0 metodo de variacão dos parametros e o mais geral. Por outro lado, envolve a solucäo de urn
conjunto de equagOes lineares algebricas corn coeficientes variaveis, seguido de uma integracäo e de uma
multiplicac5o de matrizes, de modo que tambern é o mais complicado do ponto de vista computacional.
Para muitos sistemas pequenos corn coeficientes constantes, tais como as dos exemplos desta secdo, todos
esses maodos funcionam bem, e pode näo fazer muita diferenca qual deles a escolhido.
PROBLEMAS
Em cada urn dos Problemas de 1 a 12, encontre a solucao geral do sistema de equagOes dados.
2 -1) + (es)
1
1)
2. x' =
1. x' =
1 3 -2
—1) X + C-0 e"`)
-t
5
(2
- cos t)
1
1
4. x' =
3. x' =
1 -2 ) " ( sen t )
(4 —2) X ± (22e)
12. x' =
(2
1
-5) x (csc t)
sec t
-2
2
<t<
13. 0 circuito eletrico mostrado na Figura 7.9.1 é descrito pelo sistema de equacties diferenciais
x+
dx = dt
( 2 - I
1 (t),
0
(I)
onde x, e a corrente atraves do indutor, x2 6 a queda de voltagem atraves do capacitor e 1(t) 6 a corrente
fornecida pela fonte externa.
L = 8 henrys
= — farad
2
R = 4 ohms
R = 4 ohms
FIGURA 7.9.1 0 circuito no Problema 13.
Determine uma matriz fundamental 411(t) para o sistema homogeneo associado a Eq. (i). Veja o Problema 25 da SecAo 7.6.
Se 1(t) = e-'2, determine a solucao do sistema (i) que satisfaz a condiciio inicial x(0) = 0.
Em cada um dos Problemas 14 e 15, veritiquc que o vetor dado 6 a solucdo geral do sistema homogeneo associado e depois resolva o sistema nä° homogeneo. Suponha que t > 0.
1
1
(1 - t-1)
x(`) = c,( ) t + c2 ( ) t-I
14. tx' = (2
3
1
2t
3 -2 x +
I
tx' =
(3
2
-2t
-2) x
1
-1.4
-2
1
'
x(c) =
(
2
2) t 1 + C2 ( ) t2
1
Seja x = CO a solucäo geral de x' = P(t)x + g(t) e seja x = v(t) uma solucAo particular do mesmo sistema.
is Considerando a diferenca
= u(t) + v(t), onde u(t) 6 a soluciio geral do sistema
- v(t), mostre que
homogeneo x' = P(t)x.
17. Considere o problema de valor inicial
x' = Ax + g(t),
x(0) =
Depois de observar o Problema 15(c) na Seca° 7.7, mostre que
x = 4'(t)x° f 4)(t - s)g(s) ds.
Mostre tambern que
x = exp(At)x° + f exp[A(t - s)]g(s) ds.
0
Compare esses resultados corn os do Problema 27 na SecAo 3.6.
SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
343
KEFERE. NCIAS* Mais informacOes sobre matrizes e algebra linear estdo disponfveis em qualqucr livro introdutOrio sobre o assunto. A
lista a seguir 6 uma amostra representativa:
Anton, H. and Rorres, C., Elementary Linear Algebra (8th ed.) (New York: Wiley, 2000).
Johnson, L. W., Riess, R. D., and Arnold, J.T., Introduction to Linear Algebra (5th ed.) (Reading, MA: Addison-Wesley,
2001).
Kolman, B., Elementary Linear Algebra (8th ed.) (Upper Saddle River, NJ: Prentice-I lall, 2003).
Leon, S. J., Linear Algebra with Applications (6th ed.) (New York: Macmillan, 2002).
Strang,G., Linear Algebra and Its Applications (4th ed.)(New York: Academic Press, 1998).
0 livro a seguir trata equagOes diferenciais elementares coin anfase especial em sistemas de equagOes de primeira
ordem:
Brannan, J. R. and Boyce, W. E., Differential Equations: An Introduction to Modern Methods and Applications
(New York: Wiley, 2007).
*Os livros de Kolman, B. e Leon, S.J. foram traduzidos para o portuguas. (N.T.)
1
CAPITULO
8
Metodos Numencos
Ate agora discutimos metodos para resolver equagOes difercnciais usando tecnicas analfticas como integracdo ou expansdo em series. Em geral, a enfase era em encontrar uma expressao exata para a solucdo.
Infelizmente, existem muitos problems importances em engenharia e ciencia, especialmente problemas
nä° lineares, nos quail esses metodos ou nrio se aplicam ou sâo muito complicados para se usar. Neste
capftulo vamos usar uma abordagem alternativa, a utilizacao de metodos numericos aproximados para
se obter uma aproximaciio precisa da solucao de urn problema de valor inicial. Vamos apresentar esses
metodos no contexto o mais simples possivel, ou seja, uma Unica equacrlo escalar de primeira ordem. No
entanto, eles podem ser facilmente estenclidos para sistemas de equagOes de primeira ordem. e isso esta
esquematizado rapidamente na Seca° 8.6. Os procedimentos aqui descritos podem ser executados facilmente em computadores pessoais.
8.1 0 Metodo de Euler ou Metodo da Reta Tangente
Para discutir o descnvolvimento e a utilizaciio de procedimentos numericos vamos nos concentrar principalmente ern problemas de valor inicial para equacOes de primeira ordem consistindo na equacao diferencial
dt
= f (t, Y)
(1)
Yo.
(2)
e na condicão inicial
Y( to)
Vamos supor que as funcOes f e f,, sdo continuas em algum retangulo no piano ty contendo o ponto (to,
yo). Enti.io, pelo Teorema 2.4.2 existe uma Unica solucao y = 0 (t) do problema dado em algum intervalo
em torno de to. Sc a Eq. (1) for nfio linear, entao o intervalo de existencia da solucdo pode ser diffcil de
ser determinado e pode nä° ter uma relacão simples corn a fungdo f. No entanto, vamos supor, em todas
as nossas discussOes, que existe uma (mica solucdo do problema de valor inicial (1), (2) no intervalo de
interesse•
Na Secäo 2.7 descrevemos o metodo mais antigo e mais simples de aproximacâo numerica, a saber, o
metodo de Euler, ou o metodo da reta tangente. Esse metodo é expresso pela equacdo
Yn+1 = yn + f(tn,Yn)(tn+1
tn),
n
0, 1, 2, . . . .
(3)
Se o tamanho do passo tiver valor uniforme h e se denotarmosf(t„,y„) porf,„ entäo a Eq. (3) fica na forma
(4)
n = 0,1, 2, ....
yn+i = yn +fnil,
0 metodo de Euler consiste em calcular repetidamente a Eq. (3) ou (4), usando o resultado de cada passo
para executar o prOximo passo. Dessa mancira voce obtem uma sequencia de valores yo, v y2,2, • • •, Y • —
t„,
que aproximam o valor da soluciio (t) nos pontos to, t1 , t2,
345
346 CAri-ruto OITO
Na Secdo 2.7 observamos que um programa de computador para o metodo de Euler tern a estrutura
dada a seguir. As instrucOes especfficas podem ser escritas em qualquer linguagem de programacâo conveniente.
0 Metodo de Euler
Passo 1. defina f(t,y)
Passo 2.
Passo 3.
Passo 4.
Passo 5.
Passo 6.
Pass() 7.
Passo 8.
alimente os valores iniciais 10 e y0
alimente o tamanho do passo h e o ntImero de passos n
escreva tO e y0
para j de 1 ate n calcule
k 1 = f (t,y)
y=y+h*kl
t =t +h
escreva t c y
fim
Alguns exemplos do metodo de Euler aparecem na Seca° 2.7. Como outro exemplo, considere o problema de valor inicial
y' =1 - t + 4y,
(5)
y(0) = 1.
(6)
A Eq. (5) a uma equacdo linear de primeira ordem, e pode-se verificar facilmente que a solucão que satisfaz as condiceles iniciais (6) e
=
= t - 16
(7)
Como a solucao exata e conhecida ndo precisamos de metodos numericos para resolver o problema de
valor inicial (5), (6). Por outro lado, a disponibilidade da solucäo exata torna facil determinar a precisao
de qualquer procedimento numeric° utilizado nesse problema. Usaremos esse problem ao longo do
capitulo para ilustrar e comparar os metodos numericos diferentes. As soluciies da Eq. (5) divergem rapidamente umas das outros, de modo que deverfamos esperar uma dificuldade razoavel em aproximar bent
a solucao (7) em qualquer intervalo consideravel. Dc fato, essa e a razão da escolha desse problema em
particular; sera relativamente facil observar as vantagens de se usar metodos mais precisos.
EXEMPLO
1
Usando a formula de Euler (4) e tamanhos de passo = 0,05; 0,025; 0,01 c 0,001, determine valores aproxima(t) do problema (5), (6) no intervalo 0 < t < 2.
dos da solucao y
Os calculos indicados foram feitos em urn computador, e a Tabela 8.1.1 mostra alguns resultados. A precisdo
não impressions muito. Para Jr = 0,01,0 erro percentual é de 3,85% em t = 0,5, 7,49% em t = 1,0 e 14,4% em t =
2,0. Os erros percentuais correspondentes para h = 0,001 sac) de 0,40%, 0,79% c 1,58%, respectivamente. Note
que se Jr = 0,001, precisamos de 2.000 passos para atravessar o intervalo de t = 0 ate t = 2. Assim, a necessaria
uma quantidade consideravel de calculos para se obter uma precisao razoavelmente boa para esse problema
usando-se o metodo de Euler. Quando discutirmos outros metodos numericos mais adiante, neste capitulo,
veremos que e possfvel obter precisäo comparavel, ou ate melhor, corn tamanhos de passos muito maiores e
muito menos passos computacionais.
TABELA 8.1.1 Comparacao dos Resultados de Aproximaciies Numericas da Solucao de
y' = 1 - t + 4y, y(0) = 1, Usando o Metodo de Euler para Tamanhos de Passos Diferentes h
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1,0
1,5
2,0
t.-
h = 0,05
h = 0,025
h = 0,01
h = 0,001
Exata
1,0000000
1,5475000
2,3249000
3,4333560
5,0185326
7,2901870
45,588400
282,07187
1745,6662
1,0000000
1,5761188
2,4080117
3,6143837
5,3690304
7,9264062
53,807866
361,75945
2432,7878
1,0000000
1,5952901
2,4644587
3,7390345
5, 6137120
8,3766865
60,037126
426,40818
3029,3279
1,0000000
1,6076289
2,5011159
3,8207130
5,7754845
8,6770692
64,382558
473,55979
3484,1608
1,0000000
1,6090418
2,5053299
3,8301388
5,7942260
8,7120041
64,897803
479,25919
3540,2001
mt-r000s numtRicos 347
Para se comecar a investigar os erros na utilizacao de aproximacOes numaricas e sugerir, tambem,
maneiras de se construir algoritmos mais precisos ajuda mencionar algumas maneiras alternativas de se
olhar o metodo de Euler.
Primeiro, vamos escrever a equacao diferencial (1) no porno t t„ na forma
do
— (t ) = f [ tn, 0 (in)]•
(8)
dr
Entao, aproximamos a derivada na Eq. (8) pelo quociente de diferencas correspondente (direto. ou para
a frente), obtendo
) — 0(47)
— f[tn,4)(4)1.
4,4. 1 — In
(9)
Finalmente, se substituirmos
c (r„) pelos seus valores aproximados yn ., e y„. respectivamente, e
resolvermos para y„.,, obteremos a formula de Euler (3).
Outro ponto de vista é escrever o problema como uma equacao integral. Como y = (t) c uma solucão
do problema de valor initial (1), (2), integrando-se de t„ ate
obtemos
f
o'(t) dt =
f it ,4)(t)1(1t,
rn
OU
f0(6,+)=ti
f[t,(1)(r)]
.
(10)
A integral na Eq. (10) representa Lwometricamente a area sob a curv y na Figura 8.1.1 entre r = e t = t„„,.
Se aproximarmos a integral substituindo .nt.0 (t)] por scu valor At„. (t„)] em t = t„. estaremos aproximando a area real pela area do retangulo sombreado. Desse modo, obtemos
(r„ +i )
(to + ft i„. ((„)1(r„+1 — tn)
= (4, + hflt,i. 0 MI .(11)
Finalmente, para obter uma aproximaciio y„,, para (t„.,) fazemos uma segunda aproximaciio substituindo (t,,) pelo seu valor aproximado y„ na Eq. (11). lsso nos da a formula de Euler y„7 , = y„ + /If (r„, yn).
Urn algoritmo mais precis() pode ser obtido atraves de tuna aproximacao mais precisa da integral. Isso
sera discutido na Seca° 8.2.
FIGURA 8.1.1 Deduciio integral do metodo de Euler.
Uma terceira abordagem e supor que a solucäo y 0 (t) tem uma serie de Taylor em torno do ponto
Entao,
h2
0(4, + h ) = (4,) + ( in) h + 0"(1,1) — +...,
2!
ou
h2
(tn+i ) = 0„) + f[tn, (t„)lh + 0"0„)
+••-
(12)
Se a sale é truncada depois das duas primeiras parcelas e (r„,,) e 0 (t„)sao substitufdos por seus valores
aproximados y„., e yn , novamente obtemos a formula de Euler (4). Se forem usadas mais parcelas na serie,
obtem-se uma formula mais precisa. Alám disso, usando uma serie de Taylor corn resto é possfvel estimar
o tamanho do erro na fOrmula. Isso sera discutido mais adiante nesta secao.
348 CAPfTULO OITO
A Formula de Euler Inversa. Pode - se obter uma variante da formula de Euler aproximando-se a derivada
na Eq. (8) pelo quociente de diferencas inverso (ou para tras) [4) (t„) - (t„.,)1/1t, em vez do quociente de
diferencas direto usado na Eq. (9). Obtemos, assim.
On) - 95 ( i n -I)
hf
yn),
OU
+ hf (tn,Yn)•
=
Variando o fndice de n para n + I. obtemos a fOrmula de Euler inversa
Yn-i
Y11
hf ( tn+1, yn+ I )•
(13)
Supondo y„ conhecido e y„,, a ser calculado, note que a Eq. (13) näo fornece uma formula explicita para
y„,,. Em vez disso, e uma equaca.° que define implicitamente y„„, e precisa ser resolvida para se determinar o valor de y„,.,. A dificuldade disso depende exclusivamente da natureza da func5of
EXEMPLO
2
Use a fOrmula de Euler inversa (13) e tamanhos de passos = 0,05: 0,025; 0,01 e 0,001 para encontrar valores
aproximados da solue5o do problema de valor inicial (5), (6) no intervalo 0 < t < 2.
Para este problema, a förmula de Euler inversa (13) flea
yn,I . Yn h ( 1 - t,,+1 + 4Y,+1)•
Vamos mostrar os dois primeiros passos em detalhe. de modo a tornar claro como o metodo funciona. No primeiro passo, temos
yi =
h(1 - t 1 + 4y 1 ) = 1 + (0,05)(1 - 0,05 + 4y,).
Resolvendo essa equacäo para y,. obtemos
y l = 1,0475/0,8 = 1,309375.
Note que como a equaciio diferencial e linear, a equacao implicita para y, timbal e linear e, portant°, fad' de
resolver. A seguir,
={t(1 - (2 + 4y2 ) = 1.309375 + (0,05)(1 - 0,1 + 4y2),
o que leva a
Y2 = 1.354375/0,8 = 1,69296875.
Continuando os calculos em urn computador, obtemos os resultados ilustrados na Tabela 8.1.2. Os valores
dados pela formula de Euler inversa sao uniformemente muito grandes para este problcrna,enquanto os valores obtidos pelo metodo de Euler cram muito pequenos. Neste problema os erros s5o um pouco maiores para a
formula de Euler inversa do que para o metodo de Euler, embora para valores pequenos de h a diferenca seja
insignificante. Como o metodo de Euler inverso parece ser menos preciso do que o direto e é um pouco mais
complicado, é natural perguntar por que menciona-lo. A resposta e que ele e o exemplo mais simples de uma
classe de metodos conhecidos como fOrmulas inversas de diferenciacäo que sdo muito uteis para certos tipos
de equacaes diferenciais. Voltaremos a essa questao mais adiante, neste capitulo.
TABELA 8.1.2 Comparac5o dos Resultados de AproximacOes Numericas da Solucao de
y' = 1 - t + 4y, y (0) = 1 Usando-se o Metodo de Euler Inverso para Tamanhos de Passos
Diferentes h
h = 0,05
0
1,0000000
0,1
0.2
0.3
0,4
0,5
1,0
1,5
2,0
1,6929688
2,7616699
4,4174530
6,9905516
10,996956
103,06171
959,44236
8934,0696
it = 0.025
h = 0,01
h = 0,001
Exata
1,0000000
1,6474375
2,6211306
4,0920886
6,3209569
9,7050002
80,402761
661,00731
5435,7294
1,0000000
1,6236638
2,5491368
3,9285724
5,9908303
9,0801473
70,452395
542,12432
4172,7228
1,0000000
1,6104634
2,5095731
3,8396379
5,8131282
8,7472667
65,419964
485,05825
3597,4478
1,0000000
1,6090418
2,5053299
3,8301388
5,7942260
8,7120041
64,897803
479,25919
3540,2001
M tTODOS
Numtrucos
349
Erros em Aproximacóes Numericas. A utilizacdo de urn procedimento numeric°, como a fOrmula de Euler,
para resolver urn problema de valor inicial levanta uma serie de questoes que precisam ser respondidas
antes de se aceitar a solucao numerica aproximada como satisfatOria. Uma dessas é a questa° da convergéncia, ou seja, quando o tamanho do passo h tende a zero os valores da solucäo numerica yo, y,, y2, ...,
y„, tendem ao valor correspondcnte da solucao exata? Mesmo supondo que a resposta seja afirmativa,
resta o problema pratico importante de qua° rapid° a aproximacdo numerica converge para a solucdo.
Em outras palavras, o qua() pequeno tern que ser o tamanho do passo para garantir urn determinado nivel de precisdo? Queremos usar urn tamanho de passo que seja suficientemente pequeno para garantir a
precisao necessaria, mas que nao seja pequeno demais. Urn passo desnecessariamente pequeno torna os
calculos mais lentos, mais caros e, em alguns casos. pods at causar perda de precisao.
Existem duas Pontes fundamentals de erro ao se resolver urn problema de valor inicial numericamente.
Vamos supor, primeiro, que nosso computador é tal que podemos efetuar todos os calculos corn precisdo
absoluta, ou seja, mantendo urn namero infinito de casas decimais. A diferenca E„ entre a solucao y = 0 (t)
do problema de valor inicial (1), (2) e sua aproximacao numerica é dada por
E,, = 0 (tn) — Yn
(14)
e é conhecida como o erro de truncamento global. Ele tern duas causas: primeiro, em cada passo usamos
uma formula aproximada para determinar • „. 1 ; segundo, os dados de entrada cm cada etapa estdo apenas
aproximadamente corretos,ja que em geral (t„) nao é igual a y„. Se supusermos que y„ = 0 (t„), entdo o
Critic° erro efetuado em cada passo 6 devido ao use de uma fOrmula aproximada. Esse erro é conhecido
como o erro de truncarnento local e„.
A segunda fonts fundamental de erro e que efetuamos os calculos em aritmetica corn apenas urn ntimero finito de cligitos. Isso nos leva a urn erro de arredondamento R„ detinido por
Rn =
— n•
(15)
onde Y„ 6 o valor computado de fato pelo mdtodo numeric° dado.
0 valor absoluto do erro total em se calcular 4, (1„) c dado por
10( tn) — Yn I = 14( tn) — yn
—
(16)
Usando a desigualdade triangular. In + bl < lal + lb'. obtemos da Eq. (16)
IO( tn) — Yn1
195(tn) — yni + lyn — Yn1
(17)
l Enl+ I Rnl .
Logo, o erro total c lim t ado pela soma dos valores absolutos dos erros de truncarnento e de arredondamemo. Para os procedimentos numericos discutidos neste livro é possivel obter estimativas titeis do erro
de truncarnento. No entanto, limitamos nossa discussao basicamente ao erro de truncamento local, que
um pouco mais simples. 0 erro de arredondamento e claramente de natureza mais aleatOria. Depende do
tipo de computador utilizado, da ordem em que os calculos sao efetuados, do metodo de arredondamento
e assim por diante. Embora uma analise do erro de arredondamento esteja alem do escopo deste livro,
é possivel dizer mais do que se poderia esperar a primeira vista (veja, por exemplo, o livro de Hcnrici
listado nas referéncias). Alguns dos perigos do erro de arredondamento sao discutidos nos Problemas de
25 a 27 e na Seca° 8.5.
Erro de Truncamento Local para o Mitodo de Euler. Vamos supor que a solucao y = 4, (t) do problema de
valor inicial (1), (2) tern derivada segunda continua no intervalo de interesse. Para garantir isso podemos
supor que f f, e f,. sao continuas. Observe que se f tem essas propriedades e se 0 c uma solucao do problema de valor inicial (1), (2), entäo
0'(t) = f[t,0(t)],
e, pela regra da cadeia,
4,"( t ) = f[t,0(t)] fy[t,0(t)10'(t)
= fi[t,0(t)] + fy[t,0(t)]f[t,0(t)].
(18)
Como a expressao a direita do sinal de igualdade nessa equacdo é continua, 0" tambem 6 continua.
Usando, entdo, um polin6rnio de Taylor corn resto para expandir 4, em torno de t,„ obtemos
+ h) = (t n )
(1)' (t
+ 10”( t a ) h2 ,
(19)
350 CAKTULO OITO
onde 7„ é algum ponto no intcrvalo t„ < t < t„ + It. Subtraindo a Eq. (4) da Eq. (19) e observando que 4 (t„
+ It) . (t„_,) e 0' (t„) = f [t„, 4 (t„)], vemos que
0 ( tn+
Yn+t = [0 (tn) — yn] + h(f [G„ 0 (in) — f(G„ Yn)} + .10" ( ,,)h2 •
(20)
Para calcular o erro de truncamento local, aplicamos a Eq. (20) a solucao exam (t), ou seja, tomamos
y„ como sendo (1„). Entao, vemos imediatamente da Eq. (20) que o erro de truncamento local e„., é
en+1 = 0(41+1) — yn+i = 10"(in)h2•
(21)
Assim, o erro de truncamento local para o metodo de Euler é proporcional ao quadrado do tamanho
do passo It, e o fator de proporcionalidadc depende da derivada segunda da solucão 0.A expressao dada
pela Eq. (21) depende de n e, cm geral, e diferente para cada passo. Uma coca uniforme, valida cm urn
intervalo [a. b], é dada por
i en1 < Mh2/2,
(22)
onde M é o maximo de I0"(t)I no intervalo [a, b]. Como a Eq. (22) é baseada no pior caso possfvel — ou
seja, o maior valor possfvel de I0"(t)I — cssa pode ser uma estimativa bem major do que o erro de truncamento local em certas partes do intervalo [a, 1)]. Urn dos usos da Eq. (22) e escolher um tamanho de
passo que resultara em urn erro de truncamento local que nao ultrapasse um nivel de tolerância dado. Por
exemplo, se o erro de truncamento local nao pode ser major do que E, entao. da Eq. (22), temos
< N/26/M.
(23)
A diticuldade basica em se usar a Eq. (21), (22) ou (23) reside na estimativa de 10"(01, ou M. No entanto, o
fato central expresso por essas equacOes e que o erro de truncamento local 6 proporcional a It'. Logo, se
It for reduzido por um fator de 1/2, entao o erro e reduzido por um fator de 1/4, c assim por diante.
0 erro de truncamento global E„ e mais importante do que o erro de truncamento local. A analise para
se estimar E„ e mais dilicil do que a para e„. Entretanto, conhecendo o erro de truncamento local podemos fazer uma estimativa intuitiva do erro de truncamento global em um ponto lixo T > to como segue.
Suponha que levarnos n passos para ir de to ate T to + tilt. Em cada passo o erro 6 no maxim° Mir'/2; logo,
o erro cm n passos é no maxim° nMh 2/2. Notando que n (T— t„)Ih, vemos que o erro de truncamento
global para o metodo de Euler para se ir de to ate T e limitado por
Mh 2
Mh
= (T — to)-.
(24)
2
2
Esse argument° nao esta completo, pois nao leva em consideracao o efeito de um erro em um passo sobre
Os passos seguintes. De qualquer jeito, pode-se mostrar que o erro de truncamento global ao se usar o
metodo de Euler em urn interval() linito nao e maior do que uma constants vezes It; veja o Problema 23
para mais detalhes. 0 metodo de Euler é chamado de um metodo de primeira ordem porque seu erro de
truncamento global e proporcional a primeira potencia do tamanho do passo.
Por ser mais acessIvel, vamos usar daqui para a frente o erro de truncamento local como nossa medida
principal da precisao de urn metodo numeric° e para comparar metodos diferentes. Se tivermos uma
informacdo a priori sobre a solucao do problema de valor inicial dado, podemos usar o resultado (21)
para obter informaciio mais precisa sobre como o erro de truncamento local varia corn t. Como exemplo,
considers o problem ilustrativo
n
y' = 1 — t + 4y,
no intervalo 0 < t < 2. Seja y
anteriormente,
y(0) = 1
(25)
( t) a solucao do problema de valor inicial (25). Entao, como observado
0(t) = ( 4t — 3 + 19e)/16
e, portanto,
0"(t) = 19e.
A Eq. (21) diz, ent5o, que
en+ 1 —
19e4(^/z2
2
to < t„ < tn
+ h.
(26)
0 aparecimento do fator 19 e o crescimento rapid() de e” explicam por que os resultados na Tabela 8.1.1
nao foram muito precisos.
mt-r000s NumeRicos
351
Por exemplo, para 1r = 0.05 o erro no primeiro passo é
el =
— yr
19e4(°(0,0025)
2
0 < < 0,05.
E claro que e, e positivo e. como e4')< e°-2, temos
190,2(0,0025)
el <
0,02901.
(27)
Note, tambem, que e4i° >1: logo. e t > 19(0,0025)/2 = 0.02375. 0 erro 6, de fato, 0.02542. Segue da Eq. (26)
que o erro piora progresskamente quando t aumenta; isso tambem c claro nos resultados que aparecem
na Tabela 8.1.1. Cälculos semelhantes para cocas do erro de truncamento local dirio
1.0617 L'
19e3'8 ( 0, 0025)
19e4 (O. 0025 )
L.' 1,2967
< ezo <
2
2
para se ir de 0,95 para 1,0 e
57.96 L'
19e7•8(0,0025)
19e8(0.0025)
2 70 80
< e4o <
2
2
para se ir de 1.95 para 2.0.
Esses resultados indicam que para este problema o erro de truncamento local é cm tomb de 2500
vezes major perto de t = 2 do que prOximo a t = 0. Assim, para reduzir o erro de truncamento local a um
nivel aceitavel em todo o intervalo 0 < t < 2 e preciso escolher urn tamanho de passo baseado na analise
cm uma vizinhanca de t = 2. E claro que esse tamanho de passo sera muito major do que o necessario
prOximo a t = 0. Por exemplo, para se obter um erro de truncamento local de 0,01 para este problema
precisamos de urn tamanho de passo de em torno de 0,00059 prOximo a t = 2 e de urn tamanho de passo
de aproximalamente 0,032 perto de t = 0. A utilizacâo de um tamanho de passo uniforme que 6 menor
do que o necessario em boa parte do intervalo resulta em mais calculos do que necessario, mais tempo
consumido e. possivelmente. mais perigo de erros de arredondamento inaceitaveis.
Outra abordagem e manter o erro de truncamento local aproximadamente constante ao longo do intervalo, reduzindo gradualmente o tamanho do passo it medida que t aumenta. No problema do exemplo
precisariamos reduzir 11 por urn fator de mais ou menos 50 ao se ir de t = 0 para t = 2. Um metodo onde se
varia o tamanho do passo e d i to adaptativo. Todos os cOdigos computacionais modernos para se resolver
equacOes diferenciais tem a capacidade de ajustar o tamanho do passo quando necessario. Voltaremos a
essa questtio na prOxima secdo.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 6. encontre valores aproximados da solucao do problema de valor inicial
dado em t = 0,1:02;0.3 e 0,4.
Use o metodo de Euler corn It = 0.05.
Use o metodo de Euler corn h = 0.025.
Use o metodo de Euler inverso corn h = 0,05.
Use o metodo de Euler inverso corn h = 0,025.
y(0) = 2
02 2. y' = St —
y(0) = 1
02, 1. y' = 3 + t — y,
y(0) = 1
02, 4. y' 21 +
y(0) = 1
02, 3. y' = 2y — 3t,
y2+ 2ty
dr/ 5.
y(0) = —1
y(0) = 0.5
0-2, 6. y' = (t2— Y2 )sen y •
-r3 + 1. 2
Em cada urn dos Problemas de 7 a 12. encontre valores aproximados da solucao do problema de valor inicial
dado em t = 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0.
Use o metodo de Euler corn h = 0.025.
Use o metodo de Euler corn h = 0,0125.
Use o metodo de Euler inverso corn h = 0,025.
Use o metodo de Euler inverso corn h = 0,0125.
•
02, 9. y' = ,/r+—.y,
8. y = St -
y(0) = 2
4;2, 10. y' = 2t + e-0',
y(0) = 1
y(0) = 1
7. y' = 0.5 - 1 + 2y,
y(0) = 3
402 11. y' = (4 - ty)/(1 + y 2 ),
y(0) = -2
0?, 12. y' = (y 2 + 2ty)/(3 + / 2 ),
y.(0) = 0,5
1'2 13. Complete os calculos que levam aos elementos nas colunas tres e quatro da Tabela 8.1.1.
e, 14. Complete os calculos que levam aos elementos nas colunas três e quatro da Tabela 8.1.2.
Usando tras parcelas da serie de Taylor dada na Eq. (12) e fazendo h = 0,1, determine valores aproximados
da soloed° do exemplo ilustrativo y' = 1 - t + 4y, y. (0) = 1 cm t = 0,1 e 0,2. Compare os resultados con) os
do metodo de Euler e corn os valores exatos.
Sugestao: se y' = f(t,y), o que e y"?
Nos Problems 16 e 17, estime o erro de truncamento local para o metodo de Euler em termos da soloed°
y = (t). Obtenha uma cota para e„., em termos de t e de 0 (t) que seja valida no intervalo 0 < t < 1. Usando
uma formula para a soloed°, obtenha uma cota mais precisa para e„. 1 . Para 11 = 0,1. calcule uma cota para e l e
compare-a corn o erro exato em t = 0,1. Calcule, tambem, uma cota para o erro e, no quarto passo.
y(0) = 1
17. y' = i - t + 2y,
y(0) -= 1
y' = 2y - 1,
Em cada urn dos Problemas de 18 a 21, obtenha uma formula para o erro de truncamento local para o metodo
de Euler em termos de t e da soloed° 0.
y(0) = 2
19. y' = St 18. y' = 12 + y 2 ,
y(0) = 1
20. y' = "FT-Y,
21. y' = 2t +
y(1) = 3
y(0) = 1
02 22. Considere o problema de valor inicial
= cos 57 t,
y(0) = 1.
Determine a soloed() y = (t) e desenhe o grafico de y = (t) para 0 < t < 1.
Determine valores aproximados para 0 (t) cm t = 0,2; 0,4 e 0,6 usando o metodo de Euler corn h = 0,2.
Desenhe um grafico corn segmcntos de reta para a soloed° aproximada e compare-o corn o grafico da
soloed° exata.
Repita o calculo do item (b) para 0 < t < 0,4 mas corn h = 0,1.
Mostre, atrav6s do calculo do erro de truncamento local, que nenhum desses tamanhos de passos e
suficientemente pequeno. Determine um valor de 11 que garanta que o erro de truncamento local é
menor do que 0,05 ao longo do intervalo 0 < t < 1.0 fato de ser necessario urn valor tao pequeno de
It e consequência de o max14)"(t)Iser tao grande.
23. Vamos discutir, neste problema, o erro de truncamento global associado ao metodo de Euler para o problema de valor inicial y' = At. y),y( t0 )= y„. Supondo que as forty:5es f e f,. silo continuas em Lma regido R
fechada e limitada do piano ty que inclui o ponto (t„, y„), pode-se mostrar que existe uma constante L tal
que [' (t, y) - f (t, yl < Lly - jlonde (t, y) e (t, 57) silo dois pontos quaisquer em R corn a mesma coordenada
t (veja o Problema 15 da Seed() 2.8). Alan disco, vamos supor que f, ë continua. de modo que a soloed() 4)
tem derivada segunda continua.
Usando a Eq. (20), mostre que
•
l En+i I
lEnl+ lilf[t„.0(t„)1 - f (t„,y.)I + 1h2 10"(701
alEn1 + $h2 ,
(i)
ondc a=1+11Le f3 = max14)"(t)1/2 em to < t < t„.
Aceitando,sem demonstracfro,o fato de que se En = 0 e se IE,,Isatisfaz a Eq. (i), entdo lE„1 < 1311'(a" - 1)/
(a - 1) para a 0 I, mostre que
(1 +
-1
(.1 5_
(ii)
1 Eph.
A Eq. (ii) fornece uma cota para lE„lem termos de 11, L, n e /3. Note que para urn h fixo essa cola aumenta
quando n aumenta, ou seja, o erro aumenta corn a distiincia ao ponto inicial t„.
(c) Mostre que (1 + hL)" < e"hL; portanto,
e ((„-hot. _
en ' - 1
/3h.
L 131t L
METODOS NUMÈRICOS 353
Para um ponto fixo T = t0 + nli [ou seja. nh e constante e h = (T - t„)In], essa coca para o erro a da forma
uma constante vezes h e tende a zero quando lz 0. Note. tambern, que para nh L = (T - t„)L pequeno 0
lado a direita do sinal de igualdade na equaci rio precedence é aproximadamente igual a nh"-'13 = (T - tu)1311,
que foi obtido na Eq. (24) por urn argument° intuitivo.
Deduza uma expressäo analoga a Eq. (21) para o erro de truncamento local para a fOrmula de Euler ir.versa.
Sugestiio: construa uma aproximacao de Taylor apropriada de 0 (t) em torno de t =
Usando urn tamanho de passo h = 0,05 e o metodo de Euler. mas mantendo apenas tres digitos ao longo
dos calculos, determine valores aproximados para a solucäo ern t = 0.1; 0.2; 0.3 e 0.4 para cada um dos problemas de valor inicial a seguir.
y' = 1 - t + 4y,
y(0) = 1
y' = 3 + t - y,
y(0) = 1
y(0) = 1
Compare os resultados com os obtidos no Exemplo 1 e nos Problemas 1 e 3. As pequenas diferencas entre
alguns dos resultados arredondados para tres digitos e os resultados atuais säo devidas ao erro de arredondamento. 0 erro de arredondamento tornar-se-ia importante se os calculos exigissem muitos passos.
26. 0 problema a seguir ilustra urn perigo que ocorre devido ao erro de arredondamento quando rulmeros
quase iguais s5o subtraldos e a diferenca é multiplicada. entdo, por urn ntimero muito grande. Calcule a
quantidade
6 . 010 18.04
1000.
2.004 6.000
(c) y' = 2y - 3t,
da seguinte maneira:
Arredonde primeiro cada elemento no determinante para dois digitos.
Arredonde primeiro cada elemento no determinante para tres digitos.
(c) Retenha todos os quatro digitos. Compare este valor corn os resultados dos itens (a) c (b).
27 . A distributividade a(b - c) = al) - ac nao vale, em g eral, se os produtos sao arredondados para urn n timer°
menor de digitos. Para mostrar isso em um caso especifico. faca a = 0,22, b = 3,19 e c = 2,17. Depois de cada
multiplica0o, arredonde retirando o Ultimo digit°.
8.2 Aprimoramentos no Metodo de Euler
Como para muitos problemas o mt:toclo de Euler precisa de urn tamanho de passo muito pequeno para
se obter resultados suficientemente precisos, houve urn grande esforco para se desenvolver metodos mais
eficientes. Nas prOximas tres secOes vamos discutir alguns desses metodos. Considere o problema de valor
inicial
Y = f (t , y),
y (to) = yo
(1)
e denote por y = (0 sua solucao. Lembre da Eq. (10) da Secao 8.1 que, ao integrar ulna equacdo diferencial dada de t„ ate tn.,, obtemos
cb(tn+i) = 0(41)
f t" f[t..95(t)Idt.
(2)
A formula de Euler
yn4-1 = y,, + hf
y„)
(3)
é obtida substituindo-se f[t, 0 (I)] na Eq. (2) por seu valor aproximado f(t„, y„) no extremo esquerdo do
intervalo de integracao.
Formula de Euler Aprimorada. Uma formula de aproximac5o melhor pode ser obtida se o integrando
na Eq. (2) for aproximado de modo mais preciso. Um modo de fazer isso é aproximar o integrando pela
media de seus valores nas duns extremidades, a saber, litt„. p (t„)] + flt„ + ,, (t„„)11/2. Isso e equivalente a
aproximar a area em baixo da curva na Figura 8.2.1 entre t = t„ c t = t„,, pela area do trapezio sombreado.
Dessa forma,
Alem disso,substituimos (t„) e (t„,,,) pelos seus valores aproximados respectivos y,, e
obtemos, da Eq. (2),
354 CAPITULO OITO
Y n+). Yn +
f (t„, Y n) +f ( tn+i Y n+i)
2
h.
Como a incognita y„., aparece como urn dos argumentos de f a direita do sinal de igualdade na Eq. (4),
esta equacao define y„,, implicitamente, em vez de explicitamente. Dependendo da natureza da funcao
a
f pode ser bem (Ufa resolver a Eq. (4) para y„. 1 . Essa dificuldade pode ser sanada substituindo-se
direita do sinal de igualdade na Eq. (4) polo valor obtido usando-sc a formula de Euler (3). Entao,
f (t,„ yn) +
Yn+i =
+ 11,Y, + hf
2
= +
fn f (t„ h,
hf,z)
2
h
h,
onde t„., foi substit uklo por t„ + h.
o valor aproximado de
em fungdo
A Eq. (5) nos da uma fOrmula explicita para se calcular
dos dados em t„. Essa formula é conhecida como a formula de Euler aprimorada ou a fOrmula de Heun.'
A formula de Euler aprimorada 6 urn exempt() de urn metodo em (hts etapas: primeiro calculamos y„+
hf„ da fOrmula de Euler e, depois, usamos esse resultado para calcular y„,, da Eq. (5). A fOrmula de Euler
aprimorada (5) nao represents uma melhoria sobre a fOrmula (3), jii que o erro de truncamento local ao
se usar a Eq. (5) 0 proporcional a It', enquanto para o metodo de Euler e proporcional a It'. Essa estimativa para o erro na fOrmula de Euler aprimorada esta provada no Problema 14. Pode-se mostrar, tambem,
que para um intcrvalo finito o erro de truncarnento global para a fOrmula de Euler aprimorada e limitado
por uma constitute vezes h 2, de modo que esse metodo e de segunda ordem. Note que essa precisao maior
e obtida a custa de mais trabalho computacional. jii que agora é necessiirio calcular f(t, y) duas vezes para
se it de I„ a t„,,.
FIGURA 8.2.1 Deduciio do metodo de Euler aprimorado.
Se f (t. y) depender apenas de t e nao de y, entao a resolucao da equacao diferencial y' = f (t, y) se
reduzirii a integrar f (t). Nesse caso, a fOrmula de Euler aprimorada (5) fica
Yn+I Yn =
( tn) + f (t„ +h)1,
(6)
que e, simplesmente, a regra do trapezio para integracao numerica.
EXEMPLO
1
Use a fOrmula de Euler aprimorada (5) para calcular valores aproximados da solucão do problem de valor
inicial
y' = 1 — t + 4y,
y(0) = 1.
(7)
Para esclarecer exatamente quais calculos <to necessarios, vamos mostrar alguns passos em detalhe. Para
este problems, f (t, y) = 1— t + 4y; logo,
= 1 — t„ + 4y„
f (t„ + h,y,t + hf„) = 1 — (t„ 10+ 4(y,, +
'A fOrmula tem esse nome em homenagem a Karl Heun (18594929), professor da Thchnical University of Karlsruhe.
M tTODOS N UM
bucos 355
Além disso, 4, = 0, Yo = 1 e fo = 1 - + 4yo = 5. Se h = 0,025, entdo
f (to + h, yo + hfo) = 1 - 0,025 + 4[1 + (0 , 025 )(5)1 = 5,475.
Portanto, da Eq. (5) temos
.Y1 = 1 4- (0,5)(5 + 5,475)(0.025) = 1.1309375.
(8)
No segundo passo. precisamos calcular
= 1 - 0,025 + 4(1,1309375) = 5,49875,
v1 ± hf, = 1,1309375 + (0,025)(5.49875) = 1,26840625,
e
f (t2 ,y, + hfi ) = 1 - 0,05 + 4(1,26840625) = 6.023625.
Logo, da Eq. (5),
y2 = 1.1309375 + (0,5)(5.49875 + 6.023625)(0.025) = 1.2749671875.
(9)
A Tabela 8.2.1 mostra outros resultados para 0 < t < 2 obtidos usando-se o metodo de Euler aprimorado
corn h = 0.025 e h = 0.01. Para comparar os resultados do metodo de Euler aprimorado com os do metodo de
Euler, note que o metodo de Euler aprimorado precisa de dois calculos dos valores de fem cada passo, enquanto o metodo de Euler precisa so de um. Isso e importante, ja que tipicamente a major parte do tempo computacional de cada pass() e gasto calculando-se os valores de f, de modo que contar essas operacOes e urna maneira
razoavel de se estimar o esforco computacional total. Entilo. para urn tamanho de passo dado 11 o metodo de
Euler aprimorado precisa do dobro dos calculos de valores de f do metodo de Euler. De outro ponto de vista,
o metodo de Euler aprimorado corn tamanho de passo necessita do mesmo namero de calculos de valores de
f que o metodo de Euler corn passo h12.
TABELA 8.2.1 Uma Comparric5o dos Resultados Usando-se os Metodos de Euler e de
Euler Aprimorado para o Problema de Valor Initial y' = 1 - t + 4y, y(0) = 1
Euler
0
0,1
0.2
0,3
0.4
0.5
1.0
1.5
2,0
Euler Aprimorado
= 0,01
h = 0,001
h = 0,025
h = 0,01
Exata
1.0000000
1.5952901
2.4644587
3.7390345
5.6137120
8.3766865
60.037126
426.40818
3029.3279
1,0000000
1,6076289
2,5011159
3,8207130
5,7754845
8,6770692
64,382558
473,55979
3484,1608
1,0000000
1,6079462
2,5020618
3,8228282
5,7796888
8,6849039
64,497931
474,83402
3496,6702
1.0000000
1.6088585
2.5047827
3,8289146
5,7917911
8,7074637
64,830722
478,51588
3532,8789
1,0000000
1,6090418
2,5053299
3,8301388
5,7942260
8,7120041
64,897803
479,25919
3540,2001
Observando a Tabela 8.2.1 voce pode ver que o metodo de Euler aprimorado com It = 0,025 (IA resultados
muito melhores do que o metodo de Euler com It = 0,01. Note que para alcancar t = 2 com esses tamanhos de
passos o metodo de Euler aprimorado precisa de 160 calculos de valores de f, enquanto o metodo de Euler
precisa de 200. Mais importante de se notar é que o metodo de Euler aprimorado corn h = 0,025 é ligeiramente
mais preciso do que o metodo de Euler corn 11 = 0,001 (2000 calculos de valores de n. Em outras palavras, com
algo da ordem de urn doze avos do esforco computacional o metodo de Euler aprimorado fornece resultados
para este problem comparaveis a, ou um pouco melhores do que, os gerados pelo metodo de Euler. Isso ilustra o fato de que comparado ao metodo de Euler o metodo de Euler aprimorado é claramente mais eficiente,
gerando resultados substancialmente melhores ou precisando de muito menos esforco computacional total, ou
ambos.
Os erros percentuais em t = 2 para o metodo de Euler aprimorado são de 1,22% para h = 0,025 e de 0,21%
para it = 0,01.
Um programa de computador para o metodo de Euler pode ser imediatamente modificado para implementar o metodo de Euler aprimorado. Basta substituir o Passo 6 no algoritmo da Secdo 8.1 pelo
seguinte:
356 CAPiTULO OITO
Pass() 6.
k 1 = f(t,y)
k2= f(t + lt,y+h*kl)
y = y + (h /2) * (kl + k2)
t=t+h
Variagio no Tamanho dos Passos. Mencionamos, na Secao 8.1, a possihilidade de ajustar o tamanho dos
passos a medida que os calculos prosseguem, de modo a manter o erro de truncamento local em urn nivel
mais ou menos constante. 0 objetivo é nao usar mais passos do que o necessario e. ao mesmo tempo, manter algum controle sobre a precisao das aproximacOes. Vamos descrever aqui como isso pode ser feito.
Suponha que, ap ps n passos. chegamos ao ponto (t,,, y„). Escolhemos urn tamanho de passo h e calculamos
y„,,. A seguir, estimamos o erro que tizemos ao calcular y„.,. Sem conhecer a solucao exata, o melhor que
podemos fazer c usar um metodo mais preciso e repetir os calculos a partir de (t„, y„). Por exemplo, se
tivermos usado o metodo de Euler para o calculo original poderiamos repetir corn o metodo de Euler
aprimorado. Entao. a diferenca entre os dois valores calculados e uma estimativa e" s+t 1 do erro ao se usar
o metodo original. Se o erro estimado 6 diferente da tolerancia de erro s. entao ajustamos o tamanho do
passo e repetimos o calculo. A chave em fazer esse ajuste eficientemente é saber como o erro de truncamento local e„.., depende do tamanho do passo h. Para o metodo de Euler o erro de truncamento local
proportional a It : , de modo que para trazer o erro estimado (diminuindo ou aumentando) ao nivel de
tolerancia E precisamos multiplicar o tamanho do passo original pelo fator 3 /enes,11.
Para ilustrar esse procedimento vamos considerar o problema (7) do exempt()
= 1 — t + 4y,
y(0) = 1.
Vocé pode verificar que apOs um passo corn h = 0,1 obtemos os valores 1,5 e 1.595 coin os metodos de
Euler e de Euler aprimorado, respectivamente. Logo, o erro estimado para o maodo de Euler é 0,095. Se
tivermos escolhido uma tolerancia de 0,05 para o erro, por exemplo, precisariamos diminuir o tamanho
do passo multiplicando-o pelo fator ,/0,05/0,095 L' 0,73. Arredondando para baixo para ser conservador, vamos escolher o tamanho de passo ajustado como sendo h = 0.07. °Memos. entao. da formula de
Euler,
yi = 1 + ( 0,07)f (0, 1) = 1,35
0(0.07).
Usando a fOrmula de Euler aprimorada obtemos y, 1.39655. de modo que o erro estimado ao se usar
a formula de Euler 6 0,04655. que é ligeiramente menor do que a tolerancia especificada. 0 erro de fato,
baseado em tuna comparacao corn a solucao exata, 6 um pouco maior, a saber, 0,05122.
Podemos seguir o mesmo procedimento em cada passo dos calculos, mantendo assim o erro de truncamento local aproximadarnente constante ao longo de todo o process°. COdigos modernos adaptativos
para a resolucao de equaciies diferenciais ajustam o tamanho do passo a medida que prossegucm de
mancira hem semelhante a essa. embora usem, em geral, formulas mais precisas do que as de Euler e de
Euler aprimorado. Em consequencia, sao ao mesmo tempo eficientes e precisas, usando passos muito
pequenos apenas onde é realmente necessario.
PROBLEMAS Em cada urn dos Problemas de 1 a 6. encontre valores aproximados da soluciio do problema de valor inicial
dado cm t = 0,1; 0.2:0,3 e 0.4. Compare os resultados corn os obtidos pelo metodo de Euler e pelo metodo de
Euler inverso na Secäo 8.1 e corn a solucao exata (se disponivel).
(a) Use o metodo de Euler aprimorado corn h 0,05.
(h) Use o metodo de Euler aprimorado corn 6 = 0,025.
(c) Use o metodo de Euler aprimorado corn h = 0,0125.
02 1. y = 3 + r — y,
y(0) = 1
02, 2. y' = 5t — 3,[y,
y(0) = 2
402, 3. y' = 2y — 3t,
y(0) = i
02 4. y' = 2t +
y(0) = 1
02, 5.
=
+ 2ty
y(0) = —1
02, 6. y' = (t2 — y2 )seny,
y(0) = 0,5
3 + t2
Em cada um dos Problemas de 7 a 12. encontre valores aproximados da solucao do problema de valor inicial
dado em t = 0,5; 1,0; 1,5 c 2.0.
Use o metodo de Euler aprimorado corn h = 0,025.
Use o metodo de Euler aprimorado corn Ir = 0,0125.
NETODOS NUME.RICOS 357
e, 7. y' = 0,5 — + 2y,
y(0) = 1
1
49, 9. y' =
+ y,
y(0) = 3
44/ 8. y' = 5t —
y(0) = 2
ik?, 10. y' = 2t +
y(0) = 1
4 •),.., 11. y' = (4 — ty)/(1 + y 2 ),
y(0) = —2
y' = (y 2 + 2ty)/(3 + 1 2 ),
y(0) = 0,5
Complete os cdlculos necessarios para se obter os elementos nas colunas qua tro e cinco da Tabela 8.2.1.
Neste problema vamos provar que o erro de truncamento local para a ftirmula de Euler aprimorada
proporcional a li". Se supusermos que a solucao 0 do problema de valor inicial y' = f (t. y), y (to) = )1, tem
derivadas continuas ate a terceira ordem (f tem derivadas parciais de segundaordem continuas), segue
que
0 (t„ + 11) = (t„) + 0' (t„)h +
4)" 0'0,
2!
+
0'" (t
3!
h3
'
onde t„ < 1„ < t„ + h. Suponha que y„ = fi (t„).
(a) Mostre que, paradado pela Eq. (5).
en + , = 1)
00,— Yn41
—
4)"( t„)h — (flt„+
(i„)1:3
(i)
•
3!
0(t)J0' (t) e a aproximacâo de Taylor corn recto para uma
hf(t„,y„)1—f(t,t. y„)}
2!
(h) Usando os fatos de que 0"(t) = fjt.0(t)] +
funcao F(t,y) de duas variciveis é da forma
h+
F (a + h, b + k) = F (a. b) + Fi (a, b)11 + Fy (a, b)k
1
1 „ + 21zkF„. + k 2 F).,.)
+ — (11 3 :
onde estii entre it c a + 11 e t1 estti entre h e b + k. mostre que o primciro termo a direita do sinal de igualdade na Eq. (i) e proporcional a h' mais termos de ordem major. Esse e o resultado desejado.
(c) Mostre que, se f (t, y) é linear em t e v. entiio e„., = 0—(i„)1( 116, onde t„ <i,, < 1„.,.
Stigestdo: o que stiof„,.f„. e f,.,.?
Considere o metodo de Euler aprimorado para resolver o problema de valor inicial ilustrativo y' = 1 — t +
4y, y (0) = 1. Usando o resultado (10 problema 14(c) e a soluciio exata do problema de valor Uncial. determine e„,, e uma cota para o erro em qualquer passo em 0 < t < 2. Compare esse erro corn o obtido na Eq.
(26) da Seca() 8.1 usando o metodo de Euler. Obtenha, tambem, uma cota para e, corn /I = 0.05 e compare
corn a Eq. (27) da Sectio 8.1.
Em cada um dos Problems 16 e 17, use a solucâo exata (t) para determiner e„., e uma cota para e„., em qualquer pass() no intervalo 0 < t < 1 para o metodo de Euler aprimorado para o problema de valor inicial dado.
Obtenha, tambem. uma cota para e, corn h 0.1 e compare corn a estimativa semelhante para o metodo de
Euler e corn o erro exato usando o metodo de Euler aprimorado.
y(0) = 1
y(0) = 1
17. y' = 0,5 — t + 2y,
16. y' = 2y — 1,
Em cada urn dos Problemas de 18 a 21.efetue urn passo do metodo de Euler e do metodo de Euler aprimorado
usando o tamanho de pass() = 0,1. Suponha que se deseja urn erro de truncamento local nil() minor do que
0,0025. Estime o tamanho de passo necesstirio para o metodo de Euler satisfazer essa condicdo no primeiro
passo.
y(0) = 2
18. y' = 0,5 — t + 2y,
y(0) = 1
19. y' = 5t — 3, ,
20. y' =
+ y,
y(0) = 3
21. y' = (y2 + 2ty)/(3 + 12 ),
y(0) = 0,5
22. A fOrmula de Euler moditicada para o problema de valor inicial y' = f (t, y), y (to) = yo é dada por
- 1 = y„ + hf[t„ + ;h, y„ + 111. (t„, y„)].
Seguindo o procedimento esquematizado no Problema 14, mostre que o erro de truncamento local na
fOrmula de Euler modilicada e proporcional a IP.
Em cada urn dos Problems de 23 a 26. use a fOrmula de Euler moditicada do Problema 22 corn h = 0,05 para
calcular valores aproximados da solucao do problema de valor Uncial dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare
os resultados corn os ohtidos nos Problemas de 1 a 4.
358 CAKTULO OITO
ec, 23. y' = 3 + t — y,
y(0) = 1
02 24. y' = 5t — 315',
y(0) = 2
y(0) = 1
6;2, 26. y' = 2t + e n ,
y(0) = 1
(C.. 25. y' = 2y — 3t,
27. Niostre que a formula de Euler modificada do Problema 22 é idOntica a fOrmula de Euler aprimorada da
Eq. (5) para = f (t, y) se f e linear em t e y.
8.3 0 Metodo de Runge-Kutta
Introduzimos, nas secOes anteriores, a fOrmula de Euler, a formula de Euler inversa e a fOrmula de Euler
aprimorada como maneiras de resolver o problema de valor inicial
y' = f (t, y),
Y(to) = y o
(1)
numericamente. Os erros de truncamento locais para esses metodos sào proporcionais a h 2 ,11 2 e h 3 , respectivamente. Os metodos de Euler e de Ettler aprimorado pertencem aquela que 6 conhecida hoje como a
classe de metodos de Runge-Kutta.2
Nesta secilo vamos discutir o metodo desenvolvido oricnnalmente por Runge e Kutta. Esse metodo
e chamado atualmente de metodo classic° de Runge-Kutta de quarta ordem cm quatro estagios, mas
na pratica as pessoas se referem a ele simplesmente como o metodo de Runge-Kutta, e seguiremos essa
pratica. Esse metodo tern um erro de truncamento local proporcional a it'. Assim, é dual ordens de
grandeza mais preciso do que o metodo de Euler aprimorado e trés ordens de grandeza mais preciso do
que o metodo de Euler. Ele e relativamente simples de usar e suficientemente preciso para tratar muitos
problemas de maneira eficiente. lsso é particularmente verdadeiro para os metodos de Runge-Kutta
adaptativos, nos quail se pode variar o tamanho dos passos quanclo necessärio. Retornaremos a essa
questiio no final desta
A formula de Rungc-Kutta cnvolvc uma media ponderada de valores de f (t, y) em pontos diferentes
no intervalo < t < t„,,. E dada por
4-1 = Yn
(kni + 2k,1 2 + 2k„3 + k„ .t4
6
(2)
onde
kn1 = f
k„ 2 = f(4, +
, y n + ; 1k ,,,),
k,, 3 = f (t„ +
y,, +
(3)
k,,4 = f ( tn + h ,y„ + Iikn3)•
A soma (k„, + 2k„:„ +2k„ 3 + k„,)/6 tambem pode ser interpretada como urn coeficiente angular medio. Note
que k„, é o coeficiente angular no extremo esquerdo do intervalo, k„ ., é o coeficiente angular no ponto
medio usando-se a fOrmula de Euler para ir de t„ ate t„ + h12. k„„ é a segunda aproximacao do coeficientc
angular no porno medio c k,, e o coeficiente angular em t„ + 11 usando a fOrmula de Euler e o coeficiente
angular k„3 para it de t„ a t„ + lz.
Embora, em principio, nä° seja dificil mostrar que a Eq. (2) difcre da expansdo de Taylor da soluciio
por termos proporcionais a /t`, os calculos algebricos sac) bern longos. 3 Vir mos aceitar, ent5o, o fato de que
o erro do truncamento local ao se usar a Eq. (2) é proporcional a It' e que, para um intervalo finito, o erro
de truncamento global 6 no maxim() uma constante vezes /t'. A descriciio anterior deste metodo como
um metodo de quarta ordem em quatro estagios reflete os fatos de que o erro de truncamento global é
de quarta ordem no tamanho do passo h e ha quatro estagios intcrmediarios nos calculos (os calculos de
E claro que as fOrmulas de Runge-Kutta, Eqs. (2) e (3), sdo mais complicadas que qualquer das fOrmulas discutidas ate agora. Isso n5o 6 muito importante, no entanto, jii que näo e diffcil escrever urn progra2 Carl David Runge (1856-1927), matematico e fisico alem5o, trabalhou muitos arms em espectroscopia. A analise de dados o
levou a considerar problemas cm computacâo numerica, e o metodo de Runge-Kutta teve origem em seu artigo sobre solucOes numericas de equacOes diferenciais de 1895.0 metodo foi estendido para sistcmas de equacOes em 1901 por M. Wilhelm
Kutta (1867-1944). Kutta era urn matematico alemäo que trabalhava corn aerodinamica e e, tambem, muito conhecido por
suas contribuicOes importantes i3 teoria classica de aerofOlio.
3 Veja, per exemplo, o Capitulo 3 do livro de Henrici, listado nas referencias.
ritTODOS N UM E RICOS
359
ma de computador que implemente esse metodo. Tal programa tern a mesma estrutura que o algoritmo
para o metodo de Euler esqucmatizado na Secdo 8.1. E specificamente, as linhas no Passo 6 no algoritmo
de Euler tern que ser substituidas pelas seguintes:
Passo 6.
k 1 = f (t, y)
k2 = f(t + 0.5 * h,y + 0,5 * h * kl)
k3 = f(t + 0.5 * h,y + 0,5 *h * k2)
k4 = f(t + h,y + h * k3)
y = y + (h/6)* (kl + 2* k2 +2* k3 + k4)
t=t+h
Note que, se f ndo depende de y, entdo
k,,2 = ko = f (4, + h/2),
k „1 = f (G),
kna f(t„ + h),
(4)
e a Eq. (2) se reduz a
Y n+1 -
= 6 if (tn) + 4f (t„ + h/2) + f (t„ + h)].
(5)
A Eq. (5) pode ser identificada Com a regra de Simpson' para o cdlculo aproximado da integral de y'
f (t). 0 fato de que a regra de Simpson tem um erro proportional a it s é consistente corn o erro de trunca-
mento local na formula de Runge-Kutta.
EXEMPLO
1
Use o metodo de Runge-Kutta para calcular valores aproximados da solucdo y = (t) (t) do problema de valor
initial
y' = 1 - t + 4y,
y(0) = 1.
(6)
Fazendo h = 0.2. temos
kol = f (0;1) = 5;
hkoi = 1 0,
ko2 = f(0 +0,1:1 + 0,5) = 6,9;
hko2 = 1,38,
ko3 = f(0 + 0,1:1 + 0,69) = 7,66;
hko31.532,
ko4 = f(0 + 0,2;1 + 1,532) = 10,928.
Logo,
YI = 1 +
0,2
5 + 2(6,9) + 2(7,66) + 10,928]
= 1 + 1,5016 = 2,5016.
= 0,1 c h = 0,05.
A Tabela 8.3.1 mostra outros resultados obtidos polo metodo de Runge-Kutta corn h =
Note que o metodo de Runge-Kutta fornece urn valor cm t = 2 que difere da solucdo exata par apenas 0,122%,
TABELA 8.3.1 Uma Comparac5o dos Resultados para a Aproximacdo Numerica da
Solucdo do Problema de Valor Initial y' = 1 - t + 4y, y(0) = 1
Euler
Aprimorado
II = 0,025
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1,0
1,5
2,0
1,0000000
1,6079462
2,5020618
3,8228282
5,7796888
8,6849039
64,497931
474,83402
3496,6702
h = 0,2
1,0000000
2,5016000
5,7776358
64,441579
3490,5574
Exata
Runge-Kutta
h = 0,1
h = 0,05
1.0000000
1,6089333
2 5050062
3,8294145
5,7927853
8,7093175
64,858107
478,81928
3535,8667
1,0000000
1,6090338
2,5053060
3,8300854
5,7941197
8,7118060
64,894875
479,22674
3539,8804
1,0000000
1,6090418
2,5053299
3,8301388
5,7942260
8,7120041
64,897803
479,25919
3540,2001
A regra de Simpson leva esse nome cm homenagem a Thomas Simpson (1710-1761), urn matematico ingles e autor de livrostextos, que a puhlicou em 1743.
'
360 CANTULO OITO
se o tamanho do passo e h = 0,1,e por apenas 0,00903% se h = 0,05. No Ultimo caso, o erro é menor do que uma
parte em dez mil, e o valor calculado em t = 2 esta correto ate quatro digitos.
Para efeitos de comparacao, note que os metodos de Runge-Kutta, corn h = 0.05, e o de Euler aprimorado,
corn h = 0,025, precisam de 160 calculos de valores de f para chegar a t = 2. 0 metodo de Euler aprimorado
fornece um resultado em t = 2 corn erro de 1,23%. Embora esse erro possa ser aceitavel para alguns fins, é mais
de 135 vezes o erro feito pelo metodo de Runge-Kutta corn esforco computacional comparável. Note, tambem,
que o metodo de Rungc-Kutta corn h = 0,2. ou 40 calculos de valores de f produz urn valor cm t = 2 corn erro
de 1,40%, que a so ligeiramente major do que o erro no metodo de Euler aprimorado corn h = 0,025, que calcula 160 valores de f. Assim, vemos, de novo, que urn algoritmo mais preciso a mais eficiente; produz melhores
resultados corn esforco semelhante, ou resultados anilogos coin menos esforco.
0 metodo classic° de Runge-Kutta sofre dos mesmos defeitos que outros metodos corn tamanho de
passo fixo para problemas onde o erro de truncamento local varia muito no intervalo de interesse. On
seja, Urn passo suficientemente pequeno para obter precisao satisfatOria em algumas partes do intervalo
podc ser muito menor do que o necessario em outras partes. Isso estimulou o desenvolvimento de metodos de Runge-Kutta adaptativos, que providenciam a modificacao do tamanho do passo automaticamente a medida que procedem os calculos, de modo a manter o erro de truncamento local prOximo ou
abaixo de urn nivel de tolerancia especificado. Como explicado na Secao 8.2, isso requcr a estimativa do
erro de truncamento local em cada passo. Urn modo de fazer isso é repetir os calculos corn urn metodo
de quinta ordem — que tern urn erro de truncamento local proportional a It° — e depois usar a diferenca
entre os dois resultados como uma estimativa para o erro. Se isso for feito de urn modo direto o use de urn
metodo de quinta ordem precisa de pelo menos mais cinco calculos de f ern cada etapa, alem dos necessarios originalmente pelo metodo de quarta ordem. No entanto, se fizermos uma escolha apropriada dos
pontos intermediarios c dos coeficicntes de peso nas expressOes para k„,, em urn determinado metodo
de Runge-Kutta de quarta ordem, entao essas expressOes podem scr usadas novamente, junto corn urn
estagio adicional, em urn metodo de quinta ordem correspondente. Isso resulta em urn ganho substancial
em eficiéncia. Acontece que isso pode ser feito de mais de uma maneira.
0 primeiro par de metodos de Runge-Kutta de quarta e quinta ordens foi desenvolvido por Erwin
Fehlberg,' no final da decada de 1960 e é conhecido como o metodo de Runge-Kutta-Fehlberg, ou metodo
RKF. 6 A popularidade do metodo RKF foi consideravelmente aumentada pelo aparecimento, cm 1977,
de sua implementacao RKF45 em Fortran por Lawrence F. Shampine e A. Watts. 0 metodo RKF e outros metodos de Runge-Kutta adaptativos sao metodos Inuit° poderosos c eficientes para a aproximacao
numerica de solucOes de uma classe enorme de problemas de valor inicial. I mplementacOes especificas de
urn ou mais deles estão disponiveis amplamente em pacifies comerciais de softwares.
Em cada um dos Problemas de 1 a 6, encontre valores aproximados da solucao do problema de valor inicial
dado em t = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4. Compare os resultados corn os obtidos usando outros metodos e corn a solucao
exata (se disponivel).
Use o metodo de Runge-Kutta corn h = 0,1.
Use o metodo de Runge-Kutta corn h = 0,05.
62 1. y' = 3 + t – y,
y(0) = 1
6•2, 2. y' = 5t –
y(0) = 2
PROBLEMAS
e, 3. y'= 2y – 3t,
y(0) = 1
•2, 4. y' 2t +
Y" = 0.5
4 2 6.
v2 + 2ty
e
5. = 3 + f2
•
y' = (r 2 – y 2 )seny,
y(0) = 1
y(0) = –1
Em cada um dos Problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solucao do problema de valor inicial
dado em r = 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0. Compare os resultados corn os obtidoS usando outros metodos.
Use o metodo de Runge-Kutta corn h = 0,1.
Use o metodo de Runge-Kutta corn = 0,05.
`Fehlberg (1911-1990) nasceu na Alemanha, recebeu seu doutorado da Technical University of B erlin em 1942, emigrou pant
os Estados Unidos depois da Segunda Guerra Mundial e trabalhou na NASA por muitos anos. 0 metodo de Runge-KuttaFehlberg foi publicado pela primeira vcz em urn RelatOrio Técnico da NASA em 1969.
'Os detalhes do metodo RKF podem ser encontrados, por exempto, no livro de Ascher e Petzold e no de Mattheij e Molenaar,
listados nas referencias.
Me..ronos Numtrucos 361
64-2, 7. y' = 0,5 — t + 2y,
.2. 9. y' =
y(0) = 1
y(0) = 3
402,
y(0) = 2
02 10. y' = 2t + e Y ,
402
y' = (4 — ty)/(1 + y2 ),
y(0) = —2
0
y' = (y2 + 2ty)/(3 + t2),
y(0) = 0,5
2
8. y' = 5t —
y(0) =
Confirme os resultados na Tabela 8.3.1 efetuando os calculos indicados.
Considere o problema de valor inicial
=
+ y2 ,
y(o) = 1.
Desenhe urn campo de direcOes para essa equacäo.
Use o metodo de Runge-Kutta ou outros metodos para encontrar valores aproximados da solucão em
t = 0,8: 0.9 e 0,95. Escolha um tamanho de passo suficientemente pequeno de modo que voce acredite
que seus resultados tenham precisão de, pelo menos, quatro dfgitos.
(c) Tente estender os calculos no item (h) para obter uma aproximacâo precisa da solucao em t = 1. Se encontrar dificuldade em fazer isso, explique por que voce acha que isso acontece. 0 campo de direcOes
no item (a) pode ajudar.
01 15. Considere o problema de valor inicial
y' = 3/2 /(3y2 — 4),
y(0) = 0.
Desenhe urn campo de direcOes para essa equacao.
Estime ate onde a solucao pode ser estendida para a direita. Seja t„ a extremidade direita do intervalo
de existencia dessa solucao. 0 que acontece em „ que impede a solucao de continuar?
Use o método de Runge-Kutta corn diversos tamanhos de passos para encontrar urn valor aproximado de tm.
Se voce continuar os calculos alem de t„, voce pode continuar a gerar valores de y. Qual o significado
(se ha algum) desses valores?
(e) Suponha que a condicao inicial e modificada para y(0) = 1. Repita os itens (h) e (c) para este problema.
8.4 Metodos de Passos Mtiltiplos
Discuti mos, em secOes anteriores, procedi mentos numdricos para resolver o problema de valor inicial
y' = f (t, y),
y (to) = y o,
(1)
no qual Os dados no ponto t„ são usados para calcular urn valor aproximado da solucao (t„.,) no prOximo
ponto da particão t = t„,,. Em outran palavras, o valor calculado em qualquer ponto da particdo depende,
apenas, dos dados no ponto anterior da particao. Tais mdtodos sac) chamados de metodos de partida ou
(t) em alguns
metodos de passo tinico. Entretanto, uma vez obtidos valores aproximados da solucão y
pontos aldm de t, d natural perguntar se podemos usar algumas dessas informacOes, em vez de s6 o valor
no Ultimo ponto, para calcular o valor de 0 (t) no prOximo ponto. Especificamente, se sdo conhecidos
em to y 2 em t2 , y, em1„,como podemos usar essa informacdo para determiner y„,, em t„.,? Metodos que
utilizam informacão em mais do que o Ultimo ponto da particdo sdo conhecidos como metodos de passos
Vamos descrever dois tipos de tais metodos nesta secdo, os mdtodos de Adams' e as fOrmulas
inversas de diferenciacao. Dentro de cada tipo podem-se obter nfveis diversos de precisdo, dependendo
do minter° de pontos de dados utilizados. Por simplicidade, vamos supor ao longo de nossa discuss d- o que
o tamanho do passo h d constante.
Metodos de Adams. Lembre que
("I
4)(41+1) — 4)(4) = f
(1)'(t) dt,
(2)
'John Couch Adams (1819-1892), astrOnomo ingles,e mais famoso pela sua descoberta, junto corn Joseph Leverrier, do planeta Netuno em 1846. Adams era, tambem, extremamente habilidoso em calculo; scu procedimento para integracao numerica
de equagOes diferenciais apareceu cm 1883 em urn Iivro de coautoria corn Francis Bashforth sobre acao capilar.
362 CAPITIA0 OITO
onde (t) é a solucão do problema de valor inicial (1). A ideia basica de urn metodo de Adams é aproximar (t) por um polinOmio P, (t) de grau k e usar o polinOmio para calcular a integral na Eq. (2). Os
coeficientes de Pk (t) sAo determinados usando-se os k + 1 dados calculados anteriormente. Por exemplo,
suponha que queremos usar urn polinOmio de grau um P, (t) = At + B. Precisamos, entao, de dois pontos
fazemos P,(t„) = f (t„, y„)
de dados apenas, (t„, y„) e (t„ y„_,). Como P, deve ser uma aproximacâo de
y„„). Lembre que denotamos f yi) por f; para j inteiro. Entzio, A e B ten que satisfazer
e P,(t„) = f
as equagOes
At„ + B = fn.
(3)
At„_ i + B = fn-t.
Resolvendo para A e B, obtemos
A=
fn — fn– I
B = ' –
— fntn– I
(4)
Substituindo 0' (t) por P,(t) e calculando a integral na Eq. (2), vemos que
A
'
( tn–I) — ( tit) = — (t „ +1 —
+ B(tn-t — t„)•
2
Finalmente, substitunnos c6 (1„,,) e 0 (t„) por y„,, e y„, respectivamente. e fazemos algumas simplificacOes
alg6hricas. Para um tamanho de passo constante h, obtemos
Y'n+1 =
(5)
Plfn —
A Eq. (5) é a formula de Adams-Bashforth de segunda ordem. E uma larmula explieita para y„,, cm função de y„ e y„_,, e tem erro de truncamento local proporcional a h'.
Observamos que a formula de Adams-Bashforth de primeira ordem, baseada no polinOmio Pn(t) = f„
de grau zero, e simplesmente a fOrmula de Euler original.
Formulas de Adams mais prccisas podem ser obtidas usando-se esse procedimento esquematizado,
so que coin urn polinOmio de ordem major c um mimero corrcspondente major de pontos. Por exemplo,
suponha que esta sendo usado um polinOmio de grau tits. PAO. Os coeficientes säo determinados pelos
Substituindo 0' (t) por esse polinOmio na Eq. (2),
quatro pontos (t„,y„) •y„_,) e (t„_3,
calculando a integral e simplificando o resultado obtemos. finalmente. a fOrmula de Adams-Bashforth de
quarta ordem, a saber.
y„.44 = y„ + (h124)(55f,, — 59fn_t +
— 9.fn-3) .(6)
0 erro do truncamento local para essa fOrmula de quarta ordem 6 proporcional a h'.
Uma varia45o na deduck) das fOrmulas de Adams-Bashforth fornece outro conjunto de formulas conhecido como as fOrmulas de Adam-Moulton.' Para ver a di ferenca, vemos considerar novamente o caso
de segunda ordem. Mais uma vez. usamos um polinOmio de primeiro grau Q,(t) = at + 0, mas determinaEnt5o, a e satisfazem
mos os coeficientes usando os pontos (t„, y„) e
at„ + fl = fit,
tn+t +
(7)
= in+1,
e segue que
=
fni-1 fn
R
int n+ I
fn— I to
(8)
Substituindo 0' (t) na Eq. (2) por Q,(t) c simplificando, obtemos
y„ 4. 1 = y,, +
Pif (1,14-1,yn+1),
(9)
que é a fOrmula de Adam-Moulton de segunda ordem. Escrevemos f (t„,,, y„,,) na Ultima parcela para
cnfatizar que a formula de Adam-Moulton 6 jmpilcjta, em vez de explicita, ja que a incognita y„,, aparece
nos dois lados da equacdo. 0 erro de truncamento local para a formula de Adam-Moulton de segunda
ordem é proporcional a h'.
A fOrmula de Adam-Moulton de primeira ordem é simplesmente a 16rmula de Euler inversa, como
voce poderia imaginar pot- analogia corn a fOrmula de Adams-Bashforth de primeira ordem.
"Forest Ray Moulton (1872-1952) foi um astrOnomo e administrador cientifico americano. Enquanto calculava trajetOrias
balisticas durante a Primeira Guerra Mundial, fez meihorias substanciais na formula de Adams.
Mtrouos Numtrucos
363
Formulas mais precisas de ordem mais alta podem ser obtidas usando-se um polinOmio de major grau.
A fOrmula de Adam-Moulton de quarta ordem, corn um erro de truncamento local proporcional a It', é
Yn+
Yn + (h/24)(9.f-4-1 + 19.in -
f„_2)•
(10)
Observe quc essa é, tambem, uma fOrmula implicita, jzi que y„,4 aparece em f,,,,,
Embora as formulas de Adarns-Bashforth e de Adam-Moulton de mesma ordem tenham erros de
truncamento local proporcionais a mesma potencia de as fOrmulas de Adam-Moulton de ordem nao
muito alta sao, de fato, bem mats precisas. Por exemplo, para as formulas de quarta ordem (6) e (10) a
constante de proporcionalidade para a fOrmula de Adam-Moulton e menor do que 1/10 da constante de
proporcionalidade para a formula de Adams-Bashforth. A pergunta natural 6, entao: deve-se usar a Wanda de Adams-Bashforth cxplIcita (e mats rapida), ou a formula de Adam-Moulton, mats precisa, porem
implicita (e mats lenta)? A resposta depende de, ao se usar a formula mais precisa, se poder aumcntar o
tamanho do passo, reduzindo o minter° de passos, de modo a compensar os calculos adicionais que tem
de ser feitos ern calla passo.
De fato, analistas nutn6ricos tentaram obter, ao mesmo tempo, simplicidade e precisao combinando as
duas fOrmulas no que a conhecido como o metodo de previsio e correcao. Urna vez conhecidos y„_ 3 . v„_2,
y„_, e y„, podemos calcular
ef,„ e depots usar a formula de Adams-Bashforth (6) (para a previsao) para obter um primeiro valor para y,, 1 . Calculamos,entao,f„„, e usamos a formula de Adam-Moulton
(10) (para a correcao), que nao e mats implicita. para obter um valor melhorado de y„,,. Pude mos, e claro,
continuar a usar a formula de correcao (10) se a mudanca em y„., for muito grande. No entanto, se for
necessario usar a fOrmula de correcao mais de uma, ou talvez duas vezes, isso significa quc o tamanho do
passo h esta muito grande e deve ser reduzido.
Para se usar qualquer dos metodos de passos maltiplos e necessario calcular, primeiro, alguns y, por
outro metodo. Por exemplo, o metodo de Adam-Moulton de quarta ordem precisa de valores para y, e
y2, enquanto o metodo de Adams-Bashforth de quarta ordem precisa, tambem, de urn valor para y3. Um
modo de proceder 6 usar um metodo de partida de precisao comparavel para se calcular os valores Uncials necessarios. Etna°, para um metodo de passos mtiltiplos de quarta ordem pode-se usar o metodo de
Runge-Kutta para calcular os valores iniciais. Esse é o metodo utilizado no prOximo exemplo.
Outra ahordagem 6 usar um metodo de ordem baixa cum um h hem pequeno para calcular y,, e. depots, it aumentando gradualmente tanto a ordem quanto o tamanho do pass° ate determintr. • um mimero
suficiente de valores.
EXEMPLA)
1
Considere, novamentc, o problema de valor Uncial
y' = 1 — + 4y,
y(0) = 1.
(11)
Com um tamanho de passo Ir = 0,1, determine um valor aproximado da solucao y = (t) cm t = 0,4 usando a
fOrmula de Adams-Bashforth de quarta ordem, a fOrmula de Adam-Moulton de quarta ordem e o metodo de
previsão e correcao.
Para os dados iniciais, varnos usar os valores y,. y2 c y, obtidos pelo metodo de Runge-Kutta. Esses valores
estao na Tahela 8.3.1. A seguir, calculamos os valores correspondentes de f (t, y), obtendo
yo = 1,
fo = 5,
yi = 1,6089333,
= 7,3357332,
f2 = 10.820025,
Y2 = 2.5050062,
16,017658.
y3 = 3,8294145,
Então, da fOrmula de Adams-Bashforth, Eq. (6), vemos que v ., = 5,7836305.0 valor exato da soluciio em t = 0.4,
correto ate oito digitos, 6 5,7942260, de modo que o erro é —0.010595.
A fOrmula de Adam-Moulton, Eq. (10), nos leva a equacão
y4 = 4,9251275 + 0,15y4,
de onde segue que y, = 5,7942676, com um erro de apenas 0,0000416.
Finalmente, usando o resultado da fOrmula de Adams-Bashforth como valor previsto para 0 (0,4) podemos
usar a Eq. (10) para correcao. Correspondendo ao valor previsto de y,. encontramosf, = 23,734522. Portanto,
da Eq. (10), o valor correto de y, e 5,7926721. Isso resulta em urn erro de —0,0015539.
Observe quc o metodo de Adams-Bashforth e o mais simples e mais rapid() dosses metodos, ja que envolve
apenas o calculo de uma Unica fOrmula explfcita.Tambem e o menos precis°. Usar a fOrmula de Adam-Moulton
para a correcao aumenta a quantidade de calculos, mas o metodo ainda e explicito. Neste exemplo, o erro no
364 CAPiTULO OITO
valor corrigido de y, e reduzido por aproximadamente urn fator de 7, quando comparado corn o erro no valor
previsto. 0 metodo de Adam-Moulton sozinho fornece o melhor resultado, de longe, corn urn erro em torno
de 1/40 do erro do metodo de previsäo e correcdo. Lembre-se, no entanto, de que a formula de Adam-Moulton
é implicita, o que significa que é necessario resolver uma equacâo em cada passo. No problema considerado
aqui essa equacäo a linear, logo a solucTro foi encontrada rapidamente, mas em outros problemas essa parte do
procedimento pode levar muito mais tempo.
0 metodo de Runge-Kutta corn h = 0,1 fornece y = 5,7927853, corn urn erro de -0,0014407; veja a Tabela
8.3.1. Assim, para esse problema o metodo de Runge-Kutta e comparavel, em precisdo, ao metodo de previsto
e correcao.
Formulas Inuersas de Diferenciaciio. Outro tipo de metodo de passos mOltiplos aparece quando se usa urn
polinOmio Pk (t) para se aproximar a solucdo (/) (t) do problema de valor inicial (1), em vez de sua deri(t„,„) a f (t,,,,, y „,i)
vada 0' (t) como nos metodos de Adams. Diferenciamos, entao, Pk (t) e igualamos
para obter uma fOrmula implicita para y„,,. Essas sal° chamadas de fOrmulas inversas de diferenciacäo.
Esses metodos foram amplamente utilizados na decada de 1970 devido ao trabalho de C. William Gear'
nas chamadas equagOes diferenciais rIgidas. cujas solucOes säo muito diffceis de serem aproximadas pelos
metodos discutidos ate agora; veja a Secao 8.5.
0 caso mais simples usa um polinOmio de primeiro grau P,(t) = At + B. Os coeficientes sao escolhidos
de acordo corn os valores da solucdo y„ e y„. i . Assim. A e B tern que satisfazer
At„
B = yn,
Atn+ , + B =
(12)
Como P,' (t) = A, a condicao
Pi (tn+i) = f (tn+1,Yn+r)
6, simplesmente,
A
f ( t n+1 n +1) •
(13)
Subtraindo a primeira das Eqs. (12) da segunda, obtemos outra expressdo para A,
A = (Yn-i - y„)/h.
Substituindo esse valor de A na Eq. (13) e rearrumando os termos, obtemos a formula inversa de diferenciacao de primeira ordem
Yn+1 = Ytt
/if (41+1, Yn+1)•
(14)
Note que a Eq. (14) 6 simplesmente a formula de Euler inversa que vimos na Secäo 8.1.
Usando polinOmios de maior ordem e mais pontos de dados correspondentes, e possfvel obter fOrmulas inversas de diferenciacdo de quakitier ordem. A formula de segunda ordem 6
Y„-Ft =
- )'n-I + 2hf(tn-i-I,Yn4-1)1,
e a de quarta ordem é
Yn+1 =
inQ —
3 6Yn-i + 16y n-2 — 3Yn-3 laf (41+1 Y n+1)] •
Essas fOrmulas tern erros de truncamento local proporcionais a h'e h 5 , respectivamente.
EXEM PLO
2.
Use a formula inversa de diferenciacão de quarta ordem corn h = 0,1 e os dados do Exemplo 1 para determinar
urn valor aproximado da solucao y = 0 (t) em t = 0,4 para o problema de valor inicial (11).
Usando a Eq. (16) corn n = 3, = 0,1 e yo, y„ dados no Exemplo 1, obtemos a equac5o
y4 = 4,6837842 + 0,192y4.
Logo,
ya = 5.7967626.
C. William Gear (1935–), nascido em Londres, Inglaterra, fez sua graduaclio na Cambridge University c rccebeu scu doutorado em 1960 na University of I llinois. Foi professor da University of Illinois durante a maior parte de sua carreira e fez contribuicOes importances canto para projetos de computador quanto em analise nurnerica. Seu importance livro sobre analise
numerica para equacties diferenciais esta listado nas referencias.
MtTODOS NUMEFUCOS
365
Comparando o valor calculado corn o valor exato (0,4) = 5,7942260, vemos que o erro 6 de 0,0025366. Isso é
urn pouco melhor do que o resultado obtido pelo metodo de Adams-Bashforth. mas nao c tao born quanto o
obtido pelo metodo de previsao e correcao, e esta longe de ser tao born quanto o resultado obtido pelo metodo
de Adams-Moulton.
Uma comparacao entre metodos de passo Calico e de passos nniltiplos tern que levar em consideracao
diversos fatores. 0 metodo de Runge-Kutta de quarta ordem precisa de quatro calculos de valores de f
em cada passo, enquanto o metodo de Adams-Bashforth de quarta ordem (apOs os valores iniciais) precisa de apenas urn, e o de previsao e correcao, de apenas dois. Entao, para urn tamanho de passo h dado
os dois Ultimos metodos podem ser bem mais rapidos do que o de Runge-Kutta. No entanto, se o metodo
de Runge-Kutta é mais preciso e usa, portanto, menos passos, entao a diferenca em velocidade sera reduzida e, talvez, eliminada. Para o metodo de Adam-Moulton e as formulas inversas de diferenciacao é
preciso levar em consideracao, tambem, a dificuldade em se resolver a equacao implicita em cada passo.
Todos os metodos de passos mtiltiplos tem a possihilidade de que erros em passos anteriores possam ser
realimentados em calculos posteriores corn consequencias desfavoraveis. Por outro lado, as aproximaciies
polinomiais subjacentes em metodos de passos mtiltiplos tornam faceis as aproximacOes da solucao em
pontos fora da particao, caso isso seja desejavel. Os metodos de passos mtiltiplos tornaram-se populares
principalmente porque é relativamente facil tanto estimar o erro cm cada passo quanto ajustar a ordem
e o tamanho do passo para controls-lo. Para uma discussao mais profunda dessas questOes, veja os livros
citados no final deste capftulo; cm particular, Shampine (1994) e uma fonts importante.
PROBLEMAS
Em cada urn dos Problemas de 1 a 6, determine urn valor aproximado da solucao em t = 0,4 e t = 0,5 usando
o metodo especificado. Para os valores iniciais, use o metodo de Runge-Kutta; veja os Problemas de 1 a 6 na
Seca° 8.3. Compare os resultados dos värios metodos entre si e corn a solucao exata (se disponivel).
Use o metodo de previsao e correcao de quarta ordem corn h = 0,1. Use a fOrmula de correcao uma vez em
cada passo.
Use o metodo de Adam-Moulton de quarta ordem corn h = 0.1.
(c) Use o metodo inverso de diferenciacao de quarta ordem corn h = 0,1.
2, 1. y' = 3 + t — y,
0-2, 3. y' = 2y — 3t,
3
y(0) = 1
y(0) =
2 2. y' = 5t —
0
4. y' = 2t + e -q ,
2
y(0) = 2
y(0) = 1
5. y, = y2 + 2ty
6. y' = (t2 — y2 )seny,
y(0) = —1
y(0) = 0.5
+ 02,
t2
Em cada urn dos Problems de 7 a 12, determine valores aproximados da solucao do problema de valor inicial
dado em t = 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0, usando o metodo especificado. Para os valores iniciais, use os valores dados pelo
metodo de Runge-Kutta; veja os Problemas de 7 a 12 na Seca° 8.3. Compare os resultados dos varios metodos
entre si e corn a solucao exata (se disponlvel).
Use o metodo de previsao e correcao de quarta ordem corn h = 0,05. Use a fOrmula de correcao uma vez
cm cada passo.
Use o metodo de Adam-Moulton de quarta ordem corn h = 0,05.
(c) Use o metodo inverso de diferenciacao de quarta ordem corn h = 0,05.
e,
y(0) = 1
6•2, 8. y' = St —
02 10. y' = 2t + e- o',
9. y' = 3t +Y,
y(0) = 3
02,
y' = (4 — ty)/(1 + y2 ),
y(0) = —2
y(0) = 0,5
02,
y' = 012 2ty)/(3 + t2),
02,
7. y' = 0,5 — t + 2y,
0-2,
y(0) = 2
y(0) = 1
Mostre que o metodo de Adams-Bashforth de primeira ordem e o metodo de Euler c que o metodo de
Adam-Moulton de primeira ordem é o metodo de Euler inverso.
Mostre que a fOrmula de Adams-Bashforth de terceira ordem
yn+ , = y„ + (h/12)(23f,, — 16f,„ 1 + 5f,,-2)•
Mostre que a formula de Adam-Moulton de terceira ordem é
y„+1 =y, + (11/12)(5fn+1 + 8f,, — fn-1).
Deduza a formula inversa de diferenciacao de segunda ordem dada pela Eq. (15) nesta secao.
366 CAPiTIll 0 OITO
8.5 Mais sobre Erros; Estabilidade
Na Secão 8.1 discutimos al g umas ideias relacionadas a erros que podem ocorrer na solucão numérica do
problema de valor inicial
= f( t ,Y),
Y(to) = yo.
(1)
Vamos continuer essa discussao 'testa secão e vamos mostrar, tambem, outras dificuldades que podern
aparecer. Alguns dos pontos que queremos destacar s5o ben diffceis de tratar em detalhes e, portanto,
serâo ilustrados atraves de exemplos.
Erros de Truncamento e de Arredondamento. Lembre que mostramos, para o metodo de Euler, que o erro
de truncamento local é proporcional a h 2 e que, para urn interval() finito, o erro de truncamento global e,
no maxim°, ulna constante vezes h. Em geral, para um metodo de ordem p o erro de truncamento local e
e o erro de truncamento global em urn intervalo finito e limitado por uma constante
proporcional a
vezes hP . Para ohter uma boa precisao usamos em geral urn procedimento corn p razoavelmente grande,
vai ficando, em
talvez quatro ou mais. A medida que p aumenta a fOrmula que se usa para calcular
geral, mais complicada, sendo portanto necesstirios mais calculos em cada passo; no entanto, isso nao
representa urn problema seri°, a menos que f (t, y) seja muito complicada ou que se tenha que repetir os
calculos 'minas vezes. Se o tamanho do passo h for diminuldo, o erro de truncamento global diminui pelo
mesmo fator elevado a potencia p. Entretanto, como mencionamos na Secào 8.1, se h for muito pequeno sera° necesszirios muitos passos para se cobrir urn intervalo fixo e o erro de arredondamento global
pode ser major do que o erro de truncamento global. A Figura 8.5.1 ilustra essa situacao graficamente.
Supomos que o erro de arredondamento R„ e proporcional ao minter° de calculos efetuados e, portanto,
inversamente proporcional ao tamanho do passo h. For outro lado, o erro de truncamento E„ e proporcional a uma potencia positiva de h. Da Eq. (17) da Seca) 8.1, sabemos que o erro total é limitado por lE„1 +
1/?„1; logo, queremos escolher It de modo a minimizar essa quanticlade. 0 valor Otimo de h ocorre quando a
taxa de crescirnento do erro de truncamento (quando Ii aument a) 6 equilibrada pela taxa de decaimento
do erro de arredondamento, como indicado na Figura 8.5.1.
Erro
ktimo
FIGURA 8.5.1 A dependencia dos erros de truncamento e de arredondamento em
relac5o tamanho do passo h.
EXEMPLO
1
Considere o problema
y' = 1 — t + 4y,
y(0) = 1.
(2)
Usando o metodo de Euler corn diversos tamanhos de passos. calcule valores aproximados para a solucao (t)
em t = 0,5 e t = 1.Tente determinar o tamanho de passo Otimo.
Mantendo apenas quatro digitos para diminuir os calculos, obtemos os dados da Tabela 8.5.1. As dual primeiras colunas correspondent ao tamanho do passo h e ao minter° de passos N necessarios para se percorrer o
intervalo 0 < t < 1. Entao,y„ e y s5o aproximaceies de (0,5) 8,712 c de 0 (1) = 64,90, respectivamentc. Essas
quantidades aparecem na terceira e quinta colunas. A quarta e a sexta colunas mostram as diferencas entre os
valores calculados c o valor exato da soluctio.
Para tamanhos de passos relativamente grandes, o erro de arredondamento a muito menor do que o erro de
truncamento global. Em consequencia, o erro total é aproximadamente igual ao erro de truncamento global.
que 6, para o metodo de Euler, limitado por until constante vezes h. Assim, ao se reduzir o tamanho do passo
o erro e reduzido proporcionalmente. As tres primeiras linhas na Tabela 8.5.1 mostram esse tipo de comportamento. Para h = 0,001 o erro continua sendo reduzido, nuts muito menos proporcionalmente; isso indica que
Mtrocos Numtrucos 367
TABELA 8.5.1 AproximacOes da Solucäo do Problema de Valor
Inicial v' = 1 - t + 4y, y(0) = 1 Usando o Metodo de Euler corn
Tamanhos de Passos Diferentes
h
N
yNi2
Erro
Y,v
Erro
0,01
0,005
0,002
0,001
0,0008
0,000625
0,0005
0,0004
0,00025
100
200
500
1000
1250
1600
2000
2500
4000
8,390
8.551
8.633
8.656
8.636
8,616
8.772
8.507
8.231
0,322
0,161
0,079
0,056
0,076
0,096
0.060
0.205
0,481
60,12
62,51
63,75
63,94
63,78
64,35
64.00
63,40
56,77
4.78
2,39
1,15
0,96
1,17
0,55
0,90
1.50
8,13
o erro de arredondamento esta se tornando importante. Ao se reduzir h ainda mais o erro comeca a tlutuar, e
torna-se problematica a obtencão de melhorias significativas na precis5o. Para valores de h menores do que
0.0(X)5 o erro esta claramente aumentando, o que indica que o erro de arredondamento e agora a parte dominante do erro total.
Esses resultados também podem ser expressos em termos do minter° de passos N. Para N menor do que
algo em torno de 1000 a precistio pode ser melhorada usando-se mais passos, enquanto para N major do que
also em torno de 2000 o aumento do ntimero de passos tem o efeito contrario. Assim, para esse problema é
melhor usar um N que esteja entre 1000 e 2000. Para os calculos ilustrados na Tabela 8.5.1 o melhor resultado
para t = 0,5 ocorre para N = 1000. enquanto o melhor resultado para t = 1 é para N = 1600.
Voce deve tomar cuidado para n5o inferir coisas demais dos resultados mostrados no Exemplo 1. Os
intervalos para Os valores Otimos de e N dependent da equacao diferencial, do metodo numeric° usado e do minter° de dfgitos que sAo retidos nos calculos. Apesar disso, e verdade em geral que se forem
necessaries passos denials em um calculo, entiio provavelmente o erro de arredondamento vai acabar
se acumulando a tal ponto que pode diminuir consideravelmente a precisâo do procedimento. Isso não
nos preocupa em muitos problemas: para eles, qualquer um dos metodos de quarta ordem discutidos nas
SecOes 8.3 c 8.4 procluzini bons resultados corn um minter° de passos muito menor do que o que torna
o erro de arredondamento importante. Para alguns problems, no entanto. o erro de arredondamento
torna-se de importtlncia vital. Para tail problemas a escolha do metodo pode ser crucial. Essa é, tambern.
uma boa raziio pela qual cOdigos modernos fornecem modos de ajuste do tamanho do passo durante o
procedimento, usando urn tamanho de passo grande sempre que possfvel e um tamanho muito pequeno
apenas onde necesstirio.
Assintotas Verticals. Como segundo exempla considere o problema de determinar a solucäo y
y' =
t2 + y2 ,
y(0) =, 1.
(t) de
(3)
Como a equacdo diferencial a niio linear, o teorema de existencia e unicidade (Teorema 2.4.2) s6
garante que existe solucão em (dont intervalo em tomb de t = 0. Suponha que tentamos calcular uma
solucao do problema de valor inicial no intervalo 0 < t < 1 usando procedimentos numericos diferentes.
Se usarmos o metodo de Euler corn It = 0,1; 0.05 e 0,01, encontraremos os seguintes valores aproximados em r = 1: 7,189548: 12,32093 e 90,75551, respectivamente. As enormes diferencas entre os valores
calculados sac, uma evidencia convincente de que precisamos usar urn metodo numeric° mais preciso
- o metodo de Runge-Kutta, por exempla Usando o metodo de Runge-Kutta corn h = 0,1 obtemos o
valor aproximado 735,0991 em t = 1, que é bem diferente dos obtidos pelo metodo de Euler. Repetindo
os calculos corn h = 0,05 e 11 = 0,01, obtemos a informacao interessante listada na Tabela 8.5.2.
Os valores em t = 0,90 säo razoaveis, e poderfamos acreditar que a solucâo tern valor aproximado de
14,305 em t = 0,90. No entanto,nilo é claro o esta acontecendo entre t = 0,9 e t = 1,0. Para ajudar a descobrim, vamos fazer algumas aproximacOes analfticas da solucdo do problema de valor inicial (3). Note que,
em 0 < t <1,
y2 < t2 + y2 < 1 + y2.
Isso sugere que a solucao y = (t) de
(4)
368 CANTU() OITO
• o do
TABELA 83.2 AproximacOes da Soluc A
Problema de Valor Inicial y' =122 + y2 , y(0) = 1
Usando o Mao& de Runge-Kutta
h
0,1
0,05
0,01
0,001
y
t = 0.90
t = 1,0
14,02182
14,27117
14,30478
14,30486
735.0991
1.75863 x
2,0913 x 102893
=
+ y2,
y(0) = 1
e a solucdo y = 02 (t) de
= y2,
y(0) = 1
silo cotas inferior e superior, respectivamente, para a solucao y = (t) do problema original, ja quc todas
essas solucaes tern o mesmo valor no instante inicial. De fato, pode-se mostrar (pelo metodo de iteracdo
da Seca° 2.8, por exemplo) que c2 (t) < 0 (t) < O, (t) enquanto essas funciles existirem. E importante observar que podemos resolver as Eqs. (5) c (6) para 0, c 0: por separacäo de variaveis. Encontramos
7r
0 1 (0 = tan (t — ) ,
4
(t) =
1
1
t
•
(7)
oo quando t
7/4 0,785. Esses calculos mostram que a soLogo, 02 (t) —+ oo quando 1 —› 1 e 0, (t)
lucAo do problema de valor inicial original existe pelo menos em 0 < t < 7r/4 e, no maxim°, em 0 < t < 1.
A solucão do problem (3) tem uma assfntota vertical para algum t em n. /4 < t < 1 e, portanto, não existe
no intervalo inteiro 0 < t < 1.
Nossos cAlculos numericos, no entanto, sugerem quc podemos it alem de t = 7r/4 e, provavelmente, alem
de t = 0,9. Supondo que a solucäo do problema (3) existe em t = 0.9 e tern um valor aproximado de 14,305,
podemos obter uma estimativa mais precisa do que acontece para valores maiores de t considerando os
problemas de valor inicial (5) e (6) corn a condicdo y (0) = 1 substitufda por y (0,9) = 14,305. Obtemos,
então,
0, (t) = tan(t + 0,60100),
02 (t) = 1/(0,96991 — t),
(8)
onde guardarnos apenas cinco casas decimals. Logo, 0, (t)
oe quando t
712 — 0,60100 - == 0,96980 e 0,
(t)
oo quando t —+ 0,96991. Conclufmos que a assintota da solucao do problema de valor inicial (3) esta
entre essas dois valores. Esse exemplo ilustra que tipo de informacão pode ser obtido por uma combinacdo cuidadosa de metodos analfticos c numericos.
Estabilidade. 0 conceito de estabilidade esta associado a possibilidade de que pequenos erros introduzi-
dos durante um procedimento matemAtico possam ser reduzidos a medida que o procedimento continua.
Reciprocamente, ocorre instabilidade se pequenos erros tendem a aumentar, talvez sem li mite. Por exemplo, identiticamos na Seca) 2.5 solucOes de equilihrio de uma equacâo diferencial como sendo (assintoticamente) estaveis ou instAveis, dependendo se as soluc rOes inicialmente prOximas a solucilo de equilfbrio
tendem a se aproximar ou a se afastar dela quando t aumenta. De maneira urn pouco mais geral, a solucäo
de urn problema de valor inicial é assintoticamente estavel se solucOes inicialmente prOximas tendem a
se aproximar da solucAo dada, e é assintoticamente instavel se tendem a se afastar. Visualmente, em urn
problem assintoticamente estavel os graficos das solucOes estäo prOximos, enquanto em urn problema
instAvel eles se separam.
Se estivermos resolvendo numericamente urn problema de valor inicial, o melhor que podemos esperar é que a aproximacao numerica tenha comportment° semelhante ao da solucao exata. NA° podemos
transformar um problema instAvel em urn estavel simplesmente aproximando sua solucäo numericamente. No entanto, pode acontecer que um procedimento numeric° introduza instabilidades quc nao faziam
parte do problema original, o que pode causar problemas ao se aproximar a solucao. Para evitar tais
instabilidades pode ser necessario colocar restricOes sobre o tamanho do passo h.
Para ilustrar o quc pode acontecer no contexto mais simples possfvel, considere a equacdo diferencial
dy/dt = 07,
(9)
MtTODOS Numbucos
369
onde r e constante. Suponha que ao resolver essa equacào chegamos ao ponto (t„, y„). Vamos comparar a
solucdo exata da Eq. (9) quc tem esse valor, a saber,
y
y,,exp[r(t — tn )),
(10)
corn aproximaciies numericas obtidas da fOrmula de Euler
Yn+1 = y„ + hf ( tr: Yn)
(11)
7
e da formula inversa de Euler
Yn + hf ( tn+13Yn+1)•
Yn+1
(12)
Da formula de Euler (11), obtemos
Yn+1 = yn + hry n = yn (1 + rh).
Analogamente, da formula inversa de Euler (12), obtemos
Yn+1 = yn + hryn+i,
ou
Yn+1 =
yn
1 — rh =
Ynf l + rh + (rh) 2 + . .1
Finalmente, calculando a solucao (10) em t„ + h,encontrarnos
Yn+1 = y„ exp(rh) = y„ [ 1 + rh +
(rh)2
(15)
2
Comparando as Eqs. (13), (14) e (15) vemos que os erros em ambas as förmulas de Euler e inversa de
Euler sfro da ordem de h = , como previsto pela teoria.
Suponha agora que mudamos o valor de y„ para y„ + 6. Se quiser, pode pensar em S como sendo urn
erro acumulado ate chegarmos a t t„. A questdo é saber se esse erro aumenta ou diminui quando se cid
mais urn passo para t„,,.
Para a solucao exata (15) a mudanca em y,,,, devida ao erro S cm y„ é simplesmente S exp(rh). Essa
quantidade é menor do quc S se exp(rh) < 1, ou seja, se r < 0. Isso confirma nossa conclusdo no Capftulo
2 que a Eq. (9) é assintoticamente estavel se r < 0 e instavel se r > 0.
Para o metodo de Euler inverso, a variacdo em y„,, na Eq. (14) devida ao erro S e 341 — rh). Para r < 0,
essa quantidade e sempre negativa e nunca e major do que 1. Entilo, se a equacao diferencial for estavel
o metodo de Euler inverso tambem o e para um passo de tamanho arbitrario h.
Por outro lado, para o metodo de Euler a mudanca em y„., na Eq. (13) devida ao erro 8 6 8 (1 + rh). Se
lembrarmos que r < 0 e impusermos a condicao 11 + rhl < 1, veremos que h tera que satisfazer h < 2/1r1. Logo,
o metodo de Euler nilo a estavel para esse problema, a menos que h seja suficientemente pequeno.
A restricão sobre o tamanho do passo h ao se usar o metodo de Euler no exemplo anterior 6 bem fraca,
a nä° ser que Irl seja muito grande. De qualquer jeito, o exemplo ilustra que pode ser necessario restringir
h para se obter estabilidade no metodo numeric°, mesmo quando o problema inicial a estavel para todos
os valores de h. Problemas para os quais 6 necessario um tamanho de passo muito menor para estabilidade do que para a precisdo sac) chamados de rigiclos. As fOrmulas inversas de diferenciacao descritas
na Secäo 8.4 (dentre as quais a fOrmula inversa de Euler é o exemplo de menor ordem) sdo as fOrmulas
mais populares para tratar problemas rigidos. 0 exemplo a seguir ilustra o tipo de instabilidadc que pode
ocorrer ao Sc tentar aproximar a solucdo de um problema rigida
EXEMPLO
2
Urn Problema
Rigid°
Considere o problema de valor inicial
y' —100y + 100t +1,
y(0) = 1.
(16)
Encontre aproximacOes numericas para a solucdo em 0 < t < 1 usando os metodos de Euler, de Euler inverso
e de Runge-Kutta. Compare os resultados numericos corn a solucTto exata.
Como a equacfio diferencial é linear, 6 facil de resolver, e a solucäo do problema de valor inicial (16) e
y = 0(t) = e -1°°1
t.
(17)
A segunda coluna da Tabela 8.5.3 mostra alguns valores da solucao 0 (t), corretos ate seis casas decimais, e a
Figura 8.5.2 mostra urn grafico da solucdo. Existe uma camada fina (algumas vezes chamada de camada limite)
a direita de t = 0 na qual o termo exponencial 6 relevante e a solucdo varia rapidamente. Uma vez passada essa
3 7 0 CAPITULO OITO
camada, no entanto,0 (t) t e o graft° da solucao é essencialmente uma reta. A largura da camada limite a um
tanto arbitraria, mas é necessariamcnte pequena. Em t = 0,1, por exemplo, exp(-100t) 0,000045.
Sc planejarmos aproximar a solucao (17) numericamente poderiamos esperar, intuitivamente, que so é necessario um tamanho de passo pequeno na camada limite. Para tornar essa expectativa urn pouco mais precisa,
lembre-se, da Seca° 8.1, de quc os erros de truncamento global para os metodos de Euler e de Euler inverso
que varia de urn valor de 104 em t = 0 para quase
sac) proporcionais a 0" (1). Para esse problema, (t) =
zero para 1> 0,2. Logo, e necessario um tamanho dc passo muito pequeno para se obter precisao perto de t = 0,
mas um tamanho de passo muito major c adequado quando t é urn pouco major.
Por outro lado, a analise de estahilidade das equagOes de (9) a (15) tambem se aplica a este problema. Como
r = -100 para a Eq. (16). segue quc precisamos de h < 0,02 para a estabilidade do metodo de Euler, mas nao
existe restricao correspondente para o metodo de Euler inverso.
TABELA 8.5.3 AproximacOes Numericas da Solucao do Problema de Valor Inicial
y' = -100y + 100t + I, y(0) = I
Euler
0,025
t
Exata
0,0
0,05
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,000000
1,000000
2,300000
0,056738
5,162500
0,100045
0,200000 25,8289
0,400000 657,241
0,600000 1.68 x 104
0.800000 431 x 105
1,000000 1,11 x 10'
Euler
0.0166...
Runge-Kutta
0.0333...
Runge-Kutta
0,025
Euler Inverso
0,1
1,000000
-0,246296
0,187792
0,207707
0,400059
0,600000
0,800000
1,000000
1.000000
1,000000
0,470471
0,276796
0,231257
0,400977
0.600031
0,800001
1,000000
1,000000
10,6527
111.559
1,24 x 104
1.38 x 106
1.54 x 108
1,71 x 10 10
0,190909
0,208264
0,400068
0,600001
0,800000
1,000000
As colunas 3 e 4 da Tabela 8.5.3 mostram alguns resultados usando o metodo de Euler. Os valores obtidos
para lz = 0,025 nä° servem devido a instabilidade, enquanto quc os valores para Iz = 0.01666... sao razoavelmente precisos para t > 0,2. No entanto, pode-se obter precisao comparavel para esse intervalo de t corn h = 0,1
usando-se o metodo de Euler inverso, como mostram os resultados na coluna 7 da tabela.
A situacao nao melhora se usarmos, em vez do metodo de Euler, urn metodo mais precis°, como o de
Runge-Kutta. Para este problema o metodo de Runge-Kutta e instavel para Iz =
mas estavel para h =
0,025, como mostram os resultados nas colunas 5 e 6 da Tabela 8.5.3.
Os resultados dados na tabela para t = 0,05 e t = 0,1 mostram que é preciso urn tamanho de passo menor
na camada limite para se obter uma aproximacäo precisa. 0 Problema 3 convida voce a explorar mais essa
questa°.
FIGURA 8.5.2 A solucao do problema de valor inicial (16).
Como exemplo final, vamos considerar o problerna de determinar duas solucaes linearmente independentes da equacäo linear de segunda ordem
y"- l072y =0
(18)
para t > 0. A generalizacdo de tëcnicas numdricas, desenvolvidas para equaciies de primeira ordem, para
equagOes de ordem maior ou para sistemas de equagOes sera discutida na Seca() 8.6, mas nao precisamos
MtTODOS NUMtRICOS 371
disso para essa discussao. Duas solucOes linearmente indeptendentes da Eq. (18) sao (t) = cosh(irt)
e 4)2 (0 = senh(s/.1717r0. A primeira solucao, (/),(t- cosh(,/107r0, é gerada pelas condicOes iniciais (0) =
1,4) ' (0) = 0; a segunda solucao, 0 2 (t) = senh(11070, é gerada pelas condicOes iniciais 040) = 0,4) 2 ' (0) =N/107 Embora, analiticamente, possamos ver a diferenca entre cosh(s/iTl y) e senh(sfiThrt), para valores
grander de t temos cosh(s/1Thrrt) e"
1 e senh(s/11)7rt) - e'.):"/2; numericamente, essas duas
funcOes parecem exatamente iguais se mantivermos o mesmo ntimero finito fixo de digitos. Por exemplo,
encontramos que para t = 1 os valores corretos corn oito digitos significativos sao
senh s/R)7r = cosh ./1-67 = 10.315,894.
Se os calculos forcm feitos em uma maquina que trabalha corn oito digitos, as duas solucOes e
sac)
identicas para t = 1 e, do fato, para t > 1. Logo, embora as duas solucOes sejam linearmente independentes,
seus valores numericos mostrariam que elas sao iguais.ja que podemos manter apenas urn ninnero finito
de digitos. Esse fenOmeno é chamado de dependencia numerica.
Para o problema em pauta podemos evitar parcialmente essa dificuldade calculando, em vez de
cosh(lart) e senh(../art), as solucOeslinearmellte independentes 4) 3 = e'1173:" e q54 = e-sr1°'", correspondendo,
respectivamente, as condicOes iniciais (1), (0) = 1, ri)'3 (0) = s/ar e 04 (0) = 1 e C' (0) = -N/T
.O;r. A solucao
cresce exponencialmente, enquanto que decai exponencialmente. Mesmo assim, encontramos dificuldade para calcular corretamente em um intervalo grande. A mai() c que cm cada passo do calculo
de C introduzimos erros de truncamento e de arredondamento. Logo, ern qualquer ponto t„ os dados a
serem usados para o prOximo ponto nao sac) precisamente os valores de q5, (t„) e de
(1„). A solucao do
problenna de valor inicial corn esses dados em t,, nil() envolve s6 e- s1 ° :". mas envolve tambern e'7".
Como o erro nos dados em t„ é pequeno, essa Ultima funcão aparece corn urn coeficicnte bem pequeno.
1 °' tende a zero e eiTa' t cresce rapidamente, esta Ultima acaba dominando e
De qualquer jeito, como e srl °" - C.
a solucao calculada é simplesmente urn natiplo de err
Especificamente, suponha que usamos o metodo de Runge-Kutta para calcular a solucäo y = (0 =
e 10T` do problerna de valor inicial
y' - 107r 2y = 0,
y(0) = 1,
y'(0) =
(0 metodo de Runge-Kutta para sistemas de segunda ordem sera descrito na Secao 8.6.) Usando aritmetica de, precisao simples (oito digitos) corn tamanho de passo h = 0,01, obtemos os resultados na Tabela
8.5.4. E evidente desses resultados que a soluc5o numerica comeca a ficar significativamente diferente
da solucao exata para t > 0,5, e logo difere dela por varias ordcns de grandeza. A razao e a presenca, na
solucao numerica, de uma pequena componcntc da solucao que cresce exponencialmente 03 = efro,Tr.
Com aritmetica de oito digitos podemos esperar um erro de arredondamento da ordem de 10- 8 em cada
passo. Como e lib' cresce por urn fator de 3,7 x 10 21 de t = 0 ate t = 5. urn erro de 10- 8 perto de t = 0 pode
produzir urn erro da ordem de 10 13 ern t = 5, mesmo que nä° sejam introduzidos outros erros nos calculos
interrnediarios. Os resultados dados na Tabela 8.5.4 mostram que isso é exatamente o que acontece.
TABELA 8.5.4 Solucao exata de y" - 10;r 2y = 0,
e Aproximacâo Numërica
y(0) = 1,y'(0)
Usando o Metodo de Runge-Kutta corn h = 0,01
y
0,0
0,25
0,5
0,75
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Numerica
Exata
1,0
8,3439 x 10 2
6,9623 x 10 -3
5,8409 x 10'
8,6688 x 10 -5
5,4900 x 10 -3
7,8852 x 10- 1
1,1326 x 102
1,6268 x 104
2,3368 x 106
3,3565 x 108
4,8211 x 10 10
6,9249 x 1012
1,0
8,3438 x 10-2
6,9620 x 10-3
5,8089 x 10-4
4,8469 x 10-5
3,3744 x 10-7
2,3492 x 10-9
1,6355 x 10-"
1,1386 x 10-13
7,9272 x 10-16
5,5189 x 10-18
3,8422 x 10-20
2,6749 x 10-22
372 CAPITULO OITO
Voc-6 deve ter em mente que os valores numericos dos elementos na segunda coluna da Tabela 8.5.4
sao extremamente sensiveis a pequenas variacOes no modo como os calculos sao executados. Independentemente desses detalhes, no entanto, o crescimento exponencial da aproximacâo ficard evidente.
A Eq. (18) é altamente instavel, e o comportamento ilustrado nesse exemplo e tipico de problemas
instaveis. Podemos seguir precisamente a solucao por urn tempo e o intervalo pode scr estendido usandose tamanhos menores de passos on metodos mais precisos, mas finalmente a instabilidade no problema
domina e leva a grander erros.
Alguns Comentórios sobre Mitodos Numericos. Introduzimos, neste capitulo, diversos metodos numericos
para se aproximar a solucao de urn problema de valor inicial. Tentamos enfatizar algumas ideias importantes mantendo, ao mesmo tempo, urn nivel razoavel de complexidade. Urn exemplo disso e que sempre
usamos um tamanho de passo uniforme, mas a producao atual de cOdigos fornece maneiras de se mudar
o