Université Ibn Zohr
École Nationale des Sciences Appliquées
MÉCANIQUE DES FLUIDES
Dr. S. El HAMDANI
Plan
Introduction à la mécanique des
milieux continus
Rappels sur les fluides
Statique des fluides
Dynamique des fluides parfaits
Dynamique des fluides réels
Plan
Introduction à la mécanique des
milieux continus
Rappels sur les fluides
Statique des fluides
Dynamique des fluides parfaits
Dynamique des fluides réels
Plan
Introduction à la mécanique des milieux continus
•
•
•
Objet de la mécanique des milieux continus
Cinématique des milieux continus
Dynamique des milieux continus
Plan
Introduction à la mécanique des
milieux continus
Rappels sur les fluides
Statique des fluides
Dynamique des fluides parfaits
Dynamique des fluides réels
Plan
Rappels
-
Fluide
Propriétés physiques des fluides
Définitions relatives aux écoulements
Forces appliquées à un élément fluide
Plan
Introduction à la mécanique des
milieux continus
Rappels sur les fluides
Statique des fluides
Dynamique des fluides parfaits
Dynamique des fluides réels
Plan
Statique des fluides
•
•
•
•
Pression en un point d’un fluide au repos
Equation fondamentale de la statique
Hydrostatique
Equation générale de l’hydrostatique et plan de charge
• Théorème d’Archimède
• Forces de pression sur les surfaces
Plan
Introduction à la mécanique des
milieux continus
Rappels sur les fluides
Statique des fluides
Dynamique des fluides parfaits
Dynamique des fluides réels
Plan
Dynamique des fluides parfaits
•
•
•
•
•
Définitions
Équation de continuité
Débits massique et volumique
Équations d’Euler
Théorème de Bernoulli
Plan
Introduction à la mécanique des
milieux continus
Rappels sur les fluides
Statique des fluides
Dynamique des fluides parfaits
Dynamique des fluides réels
Plan
Dynamique des fluides réels
•
•
•
•
Equations de Navier-Stokes
Equation de Bernoulli
Pertes de charge
Equation de Bernoulli généralisée
Rappels
Fluide
-
Milieu matériel continu, déformable, sans rigidité, qui peut s’écouler, c’est-àdire subir de grandes variations de forme sous l’action de forces qui sont
d’autant plus faibles que ces variations sont plus lentes.
- La notion de fluide s’oppose à celle du solide
Rappels
Propriétés physiques des fluides
Isotropie : propriétés identiques quelque soit la direction
Mobilité : les fluides s’écoulent et prennent la forme des récipients
qui les contient
Liquide : occupe un volume déterminé ne subissant que peu de
variations,
sa
masse
volumique
(kg.m-3)
reste
quasiconstante quelque soit la variation de la pression et/ou de
la température (Incompressible).
Gaz : occupe toujours le volume maximal offert. Sa masse volumique
varie en fonction de la pression et de la température (compressible).
Rappels
Propriétés physiques des fluides
Viscosité
La viscosité d’un fluide est la propriété qui exprime sa résistance à une force
tangentielle. La viscosité est due principalement à l’interaction entre les molécules du
fluide.
En 1890, Couette mit au point le dispositif permettant de mesurer la viscosité d’un
fluide (Figure 1) : dans le système constitué de deux cylindres de même axe,
séparés par le fluide étudié, la mesure de l’effort nécessaire pour faire tourner le
cylindre intérieur permet de déterminer la viscosité du fluide.
Fluide
U
F
Cylindre fixe
Paroi mobile
V
Cylindre tournant
y
dy
dV
Paroi fixe
Figure : Écoulement de Couette entre deux cylindres coaxiaux
Rappels
Propriétés physiques des fluides
Fluide
U
F
Cylindre fixe
Paroi mobile
V
Cylindre tournant
y
dy
dV
Paroi fixe
Couette remarque que pour que la plaque supérieure garde une vitesse
constante U, il faut lui appliquer une force constante F. Le fluide au contact de
la plaque supérieure va adhérer à celle-ci et se mouvoir à la vitesse U, tandis
que le fluide au contact de la plaque fixe aura une vitesse nulle. L’expérience
montre que la force de cisaillement F est proportionnelle à l’aire A de la
plaque, à la vitesse U et inversement proportionnelle à la distance y, soit :
F
AU
y
Rappels
Propriétés physiques des fluides
A partir des triangles semblables, on a la relation :
U
U dV

y dy
Paroi mobile
V
AU
F
y
y
dy
dV

la contrainte de cisaillement est définie par :
Paroi fixe
F
A
En introduisant la constante de proportionnalité  appelée viscosité dynamique, la
contrainte de cisaillement est définie par
 
dV
dy
On définit un deuxième coefficient de viscosité, le coefficient de viscosité cinématique (en m2.s-1)



Rappels
Propriétés physiques des fluides
Le Tableau 1 présente les valeurs de la viscosité cinématique pour différents fluides.
Fluide
 (m2.s-1)
Eau
1.006 10-6
Glycérine
1.18 10-3
Mercure
1.16 10-7
Air
1.5 10-5
Dioxyde de carbone
0.8 10-5
Hydrogène
1.5 10-4
Tableau 1 : Viscosité cinématique à 20°C et à la pression atmosphérique
Rappels
Propriétés physiques des fluides
-fluide parfait
Un fluide pour lequel la contrainte tangentielle est nulle (donc μ= 0) c’est-àdire que la contrainte est toujours normale à l’élément de surface considéré
lorsque le liquide est en mouvement. Cette notion s’oppose à la notion de
fluide visqueux.
-fluide visqueux.
Un fluide pour lequel la contrainte tangentielle est non nulle (μ≠0)
Rappels
Définitions relatives aux écoulements
- Un écoulement est permanent si les valeurs de pression p, de masse
volumique ρ et de vitesse V sont indépendantes du temps t en moyenne :
p, ρ , V  f(t).
- Un écoulement est non permanent si les valeurs de pression, de masse
volumique et de vitesse dépendent du temps t en moyenne : p, ρ , V = f(t).
Rappels
Définitions relatives aux écoulements
-Un écoulement est uniforme si les valeurs de pression, de masse
volumique et de vitesse sont indépendantes de l’abscisse x dans le sens de
l’écoulement
- Un écoulement est non uniforme ou varié si les valeurs de pression, de
masse volumique et de vitesse dépendent de l’abscisse x dans le sens de
l’écoulement (L’écoulement peut être graduellement ou rapidement varié).
Rappels
Définitions relatives aux écoulements
-Un écoulement est conservatif ou irrotationnel s’il n’y a pas d’échange
d’énergie entre les trajectoires des particules fluides. L’énergie totale des
particules fluides demeure constante. Un fluide parfait se déplaçant dans
un système sans pompe, ni ventilateur, ni turbine aura un écoulement
conservatif.
- Un écoulement est non conservatif ou rotationnel s’il y a échange
d’énergie entre les trajectoires des particules fluides par frottement
(viscosité) ou par inertie (changement de direction brusque). Un fluide réel
aura toujours un écoulement non conservatif se traduisant par des pertes
de charge (ou pertes d’énergie) au cours de son mouvement.
Rappels
Définitions relatives aux écoulements
-Un écoulement est incompressible si la masse volumique du fluide est
constante. Dans la pratique, la masse volumique n’est jamais constante,
l’hypothèse d’incompressibilité sera prise si la variation de la masse
volumique est faible devant ce qu’on désire étudier.
- Un écoulement est compressible si la masse volumique du fluide n’est
pas constante : variations importantes de la pression, variations
significatives de la température, vitesses élevées.
Rappels
Forces appliquées à un élément fluide
Soit un ensemble de particules fluides qui se trouvent à un instant donné à
l’intérieur d’une surface fermée S.
On distingue trois types de forces :
-les forces intérieures à S sont les forces d’origine
moléculaire, égales et opposées deux à deux
(principe d’action/réaction).
élément fluide (S, V)
Fin
t
Fext/surf
-les forces extérieures de surface sont les forces
moléculaires exercées par les particules
extérieures à S et voisines de S. Elles sont
proportionnelles aux éléments de surface dS.
-les forces extérieures de volume sont les forces
causées par des champs de force (pesanteur,
magnétique, …) qui exercent sur les particules
intérieures à S des actions proportionnelles aux
éléments de volume.
Fext/vol
dV
dS
Figure : Forces agissant sur un élément fluide
Statique des fluides
Objectif
étudier les conditions des fluides au repos. Les équations sont
identiques pour les fluides parfaits et les fluides réels car il n’y a pas de
mouvement du fluide donc pas de forces de viscosité et pas de forces
tangentielles de surfaces.
Statique des fluides
Pression en un point d’un fluide au repos
dF
Comme montré par la Figure , dans un fluide
en équilibre, la contrainte de surface dF est
toujours :
normale à l’élément de surface dS,
dirigée vers l’intérieur de l’élément fluide.
n
n
dF
dS
dS
Figure : Contrainte de surface
Cette contrainte de surface est égale à :


dF   pndS
La grandeur scalaire p au point considéré est la pression statique au
point considéré et ne dépend que de la position de ce point.
Statique des fluides
Équation fondamentale de la statique
Considérons un élément de fluide de forme parallélépipédique :
p
z
p
dz
z
dS2
dx
dy
dS1
dz
p
x
Figure : Forces agissant sur un élément fluide selon l’axe z
Statique


 Fext  0
Résultantes des forces de surface et de volume ?
Statique des fluides
Équation fondamentale de la statique


 Fext  0
p
z
p
dz
z
dS2


forces de volume dFV  fV dV
dx


d
F


p
n
dS
forces de surface
s
dS1
dy
dz
p
x
Figure : Forces agissant sur un
élément fluide selon l’axe z
Statique des fluides
Équation fondamentale de la statique
Résultantes des forces de surface selon z,

dFS
p
z
p
dz
z
dS2
dx
Pour l’élément de surface
dS1  dx.dy
dy



dFS1   p1n1dS1  pz dS1
Pour l’élément de surface
dS1
dS 2  dx.dy


p  

dFS 2   p 2 n 2 dS 2   p 
dz  z dS 2

z


Soit :



p

 p  
dFS  dFS1  dFS 2   dz  z dS  
dxdydz .z
z
 z 
dz
p
x
Figure : Forces agissant sur un
élément fluide selon l’axe z
Statique des fluides
Équation fondamentale de la statique

dFV
Résultantes des forces de volume selon z,
Pour l’élément de volume dV  dx.dy .dz
p
z
dS2
dx
, on a
dy


dFV  f V / z dV z
dS1



p 
 

F

d
F

d
F

f

dxdydz
.
z
0


 ext / z
S
V
V /z
z 

 Bilan :
soit
p
dz
z
dz
p
x
p
fV / z 
z
Figure : Forces agissant sur un
élément fluide selon l’axe z
On montrerait des relations similaires selon les deux autres axes, l’équation
fondamentale de la statique s’écrit alors en notation vectorielle :

f V  grad p
équation fondamentale de la statique
Statique des fluides
Hydrostatique
Dans le cas d’un fluide incompressible soumis au champ de pesanteur, les forces de volumes sont :


f V  g

g  grad p
soit
équation fondamentale de l’hydrostatique


g   gz
Si l’axe z est vertical ascendant, alors
et
dp   gdz
en intégrant cette équation entre deux points A et B d’altitude zA et zB et en prenant en compte
l’incompressibilité du fluide, on obtient :
pB
p A
dp   g 
soit
zB
zA
dz
p B  p A   g  z B  z A 
d’où
p B  gz B  p A  gz A
De manière plus générale, on a donc :
p  gz  pT  Constante
pT : pression piézométrique
Statique des fluides
Pression effective ou relative, et pression absolue
on a
p  gz  pT  Constante
avec p : pression statique ou absolue (Pa),
pT : pression piézométrique
Remarque : la pression absolue p est toujours positive. Dans la pratique, on utilise souvent la
pression relative pr qui est la différence de p à la pression atmosphérique pa :
pr  p  pa
La pression relative peut donc être positive ou négative, mais sa valeur minimale est –pa.
Statique des fluides
Équation générale de l’hydrostatique et plan de charge
p  gz  Cte
L’équation générale de l’hydrostatique (
en termes de pression :
p  gz  pT  Cte
en termes d’énergie :
pm

) peut être exprimée :
 mgz  ET  Cte
Cette équation traduit que l’énergie totale est la somme de l’énergie due à la pression et de
l’énergie potentielle.
En termes de hauteur :
p
 z  H T  Cte
g
Statique des fluides
Équation générale de l’hydrostatique et plan de charge
On a en termes de hauteur :
p
 z  H T  Cte
g
PCA
z
pa
g
On définit un plan de charge absolu PCA lorsque
les calculs sont effectués en pressions absolues.
PCR
On définit un plan de charge relatif PCR lorsque les
calculs sont effectués en pressions relatives.
Figure : Plan de charge
Statique des fluides
Unité de pression et mesure de pression
Unités de pression :
Pa
Mesure de pression :
tube piézométrique (mesure de la pression en un point):
PM  PA
H 
g
Statique des fluides
Unité de pression et mesure de pression
Mesure de pression :
Manomètre différentiel à deux liquides :
1
A
H
2
B
Statique des fluides
Action des forces de pression sur une surface plane
Soit la surface inclinée S d’un réservoir, on s’intéresse aux forces de pression agissant sur cette surface.
patm
O

n

f liquide / dS

f air / dS
liquide
dS
patm
air
S
z
Résultante des forces de pression :


f air / dS  p atm n
et


f liquide / dS   p atm   liquide gz n
Statique des fluides
Action des forces de pression sur une surface plane
patm
O




f S  f air / dS  f liquide / dS    liquide gzn

n

f liquide / dS
La résultante des forces de pression sur S est déterminée par :



FS   f S dS     liquide gz n dS
S
S
Soit



FS    liquide g  zdS .n    liquide gz G Sn
S

f air / dS
liquide
dS
patm
air
z
S
Statique des fluides
Action des forces de pression sur une surface plane
Point d’application de la résultante (centre de poussée)
Le centre de poussée P est tel que le moment de la résultante des forces de pression par
rapport à ce point est nul :





M P , FS  0
PM  OM  OP


PM

f
dS

0
S

soit
S
donc




PM

f
dS

OM

f
dS

OP

F

0
S
S
S


S
S
Le centre de poussée P est tel que :


OP  FS   OM  f S dS
S
Statique des fluides
Action des forces de pression sur les surfaces courbes
Soit une vanne de courbure AB et de largeur b.
On va calculer la résultante des forces de pression exercée sur la surface courbe.

FV

FH

F
Air
Soit F la réaction du liquide sur la vanne.
Pour une surface courbe, la force horizontale est égale à la force exercée sur la projection verticale de la
surface courbe.
La force verticale est égale au poids du liquide réel ou fictif situé au dessus de la surface courbe par
rapport à la surface du liquide.
Statique des fluides
Action des forces de pression sur les surfaces courbes

FV

FH  Sg hG

Air


 FV  0

h  h2 

FH  h1  h2 bg  h2  1

2 


bg 2
FH 
h1  h22
2

FH

F


FV  P  0

FV  P  gV
Statique des fluides
Théorème d’Archimède
Soit un solide de forme cylindre de diamètre D et de hauteur h plongé dans un liquide de masse
volumique r, ce cylindre est maintenu vertical comme indiqué sur la Figure . Le solide est supposé
indéformable. Sur son pourtour, le cylindre reçoit des forces horizontales de pression. Ces forces sont
toutes dirigées vers le centre du disque et la résultante est nulle.
z
1
H
0’
0
h
2
0
Plan de référence
D’autre part, il existe des forces de pression F1 et F2 agissant sur les faces 1 et 2 respectivement.
Statique des fluides
Théorème d’Archimède
z
On a
F1  p1 S1
donc
1


F1   g H  z1 S1 z


De même, on obtient : F2  g H  z 2 S 2 z
H
0’
0
h
2
0
La résultante des forces est alors :
 




F  F1  F2  g z1  z 2 Sz  ghSz  gVz
Plan de référence
Statique des fluides
Théorème d’Archimède
Énoncé du théorème d’Archimède :
Tout corps plongé dans un liquide au repos reçoit une
poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids
du liquide qu’il déplace et appliquée au centre de gravité
du liquide déplacé, ou centre de poussée.
Statique des fluides
Théorème d’Archimède
Flottabilité
Le solide indéformable de la figure précédente est soumis à deux forces :
-la poussée d’Archimède :


F   liquide gVsolide z
-le poids du solide :


P    solide gV solide z
La résultante est donc :


R   liquide   solide gVsolide z
Le comportement du solide résulte du signe de la résultante donc plus simplement de la
comparaison des masses volumiques du solide et du liquide.
si
alors le solide est en équilibre indifférent dans le liquide, il occupe une
 liquide   solide
position comprise entre la surface libre du liquide et le fond du réservoir, dite
« entre deux eaux ».
liquide   solide
alors le solide coule au fond du réservoir.
 liquide   solide
alors le solide remonte à la surface et flotte. Une partie du corps émerge du liquide.
Le volume immergé V’ est tel que la poussée d’Archimède devient égale au poids
du solide.
Statique des fluides
Application
Déterminer les réactions exercées aux points A et B d’un cylindre de diamètre D, de longueur L et d’un poids P.
L
Liquide
D
RA
RB
B
Dynamique des fluides parfaits
Définitions
trajectoire
Positions successives occupées par une particule au cours du temps.
Dynamique des fluides parfaits
Définitions
ligne de courant
Toute ligne qui, en tous ses points, admet pour tangente le vecteur
vitesse en ce point à un instant donné.
Dynamique des fluides parfaits
Définitions
Tube de courant
Un tube de courant est la partie élémentaire du fluide en mouvement
limitée par des lignes de courant.
Dynamique des fluides parfaits
Définitions
Écoulement permanent
- Pas d’évolution au cours du temps
- Pour un écoulement permanent, les trajectoires et les lignes de
courant sont confondues.
Dynamique des fluides parfaits
Définitions
Débit
Le débit volumique à travers une surface S est :

qV   V .n dS
Le débit massique à travers une surface S est :

q m   V .n dS

n
S
S

V
dS
(S)
Figure : Débit à travers une surface quelconque
Dynamique des fluides parfaits
Définitions
But de la dynamique des fluides parfaits
- Étudier le mouvement des fluides en tenant compte des forces qui provoquent
ce mouvement. En tout point, on déterminera la vitesse, la pression et la
masse volumique.
- Pour les fluides parfaits, les forces de viscosité n’interviennent pas.
Dynamique des fluides parfaits
Équation de continuité ou de conservation de la masse
L’équation de continuité exprime que le fluide est continu, c’est-à-dire qu’il ne peut y
avoir dans aucune partie du fluide ni apport extérieur, ni prélèvement de matière. La
masse se conserve au cours de l’écoulement.
Pour établir cette équation, on considérera un parallélépipède élémentaire de fluide de
volume dxdydz (Figure).
z
A
E
B
F
D
H
C
G
y
x
Dynamique des fluides parfaits
Équation de continuité ou de conservation de la masse
z
Pendant le temps dt, il entre par la face ABCD une masse de fluide égale à :
A
m ABCD  udydzdt
E
F
D
Pendant le même temps, il sort de la face EFGH, une masse de fluide
égale à celle qui est entrée, augmentée de sa différentielle partielle par
rapport à x :
  u  

m EFGH   u 
dx  dydzdt
x


H
x
L’accroissement de masse du volume de contrôle correspondant au mouvement du
fluide à travers les deux faces est :
m x  
  u 
dxdydzdt
x
B
C
G
y
Dynamique des fluides parfaits
Équation de continuité ou de conservation de la masse
L’accroissement total de masse du volume de contrôle est obtenu
par un raisonnement analogue pour les autres faces :
   u    v    w  
dxdydzdt
m  m x  m y  m z  



x

y

z


z
A
E
B
F
D
L’accroissement de masse est obligatoirement égal
l’accroissement de masse volumique multiplié par le volume, soit :
à
H
C
G
y
m 

dtdxdydz
t
x
On obtient alors :
    u    v    w 
0



t  x
y
z 
(équation de continuité pour un fluide parfait)
Si le fluide est incompressible ( = constante), on a alors :
ou

divV  0
u v w


0
x y z
Dynamique des fluides parfaits
Équation de continuité ou de conservation de la masse
Cas d’un fluide incompressible dans un tube de courant :



div V  0   div Vdv  0   Vn ds  0
v
s




 Vnds   Vn1ds   Vn2 ds   Vnl ds  0
s
s1
s2
sl


 Vn2 ds    Vn1ds
s2
s1
Le débit volumique est conservé le long d’un tube de courant:
Dynamique des fluides parfaits
Équations d’Euler
Le principe fondamental de la dynamique est défini par :


F

m

 ext
Appliquée à un élément de volume de fluide, cette expression devient :

f V  grad p  
où
m : masse de l’élément fluide considéré (kg),


: accélération de l’élément fluide (N.kg-1 ou m.s-2),
f V : forces de volumes appliqués à l’élément (N.m3), et
grad p
: résultantes des forces de pression appliquées à l’élément (N.m3).
Dynamique des fluides parfaits
Équations d’Euler
Équation d’Euler en coordonnées cartésiennes

f V  grad p  
En coordonnées cartésiennes, si X, Y et Z sont les composantes des forces de volume, on a :

p
X

  x


x

p

  y
Y 

y

 Z  p  
z

z
 
V  V  x, y , z , t 
et

dV
 
dt

Dynamique des fluides parfaits
Équations d’Euler
Équation d’Euler en coordonnées cartésiennes

f V  grad p  
V x
V x
V x dV x
1 p V x
1
X


V

V

V


x
y
z

 x
x
y
z
t
dt

V y
V y
V y dV y
1 p V y
1

Vx 
Vy 
Vz 

 Y



y

x

y

z

t
dt

V z
V z
V z dV z
1 p V z
1
Z


V

V

V


x
y
z



z

x

y

z

t
dt

équations d’Euler en cartésien
Dynamique des fluides parfaits
Équations d’Euler
V x
V x
V x dV x
1 p V x
1
  X   x  x V x  y V y  z V z  t  dt

V y
V y
V y dV y
1 p V y
1

Vx 
Vy 
Vz 

 Y
 y
x
y
z
t
dt

V z
V z
V z dV z
1 p V z
1
  Z   z  x V x  y V y  z V z  t  dt

Équation d’Euler le long d’une trajectoire
On recherche la relation liant les coordonnées des forces de volumes (X, Y et Z), les
coordonnées du point considéré (x, y et z), la pression (p), la masse volumique () et le temps (t).
Pour cela, on va multiplier la première équation du système précédent par dx, la seconde par dy… et
additionner les trois équations résultats, on obtient alors une unique équation :
1

or :
et


 Xdx  Ydy  Zdz   1  p dx  p dy  p dz  
  x
dp 
y
p
p
p
p
dx 
dy 
dz 
dt
x
y
z
t
z

V y
V x
V
dx 
dy  z dz
t
t
t
donc
p
p
p
p
dx 
dy 
dz  dp 
dt
x
y
z
t
V y
Vx
V
x
y
z
dx 
dy  z dz  dVx
 dVy
 dVz
 Vx dVx  V y dVy  Vz dVz
t
t
t
t
t
t
 
 V .dV
Le long de la trajectoire d’une particule fluide, les équations d’Euler se résument à une unique équation :
 
1
p  1
dt    Xdx  Ydy  Zdz   V .dV
 dp 

t  
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Théorème de Bernoulli
Il s’agit en fait d’une simplification des équations d’Euler, on considérera que l’écoulement
est permanent et que les seules forces de volume en présence sont les forces de

pesanteur ( fV   gz ) .
L’équation
 
1
p  1
dt    Xdx  Ydy  Zdz   V .dV
 dp 

t  
1
devient :
soit, après intégration

 
dp   gdz  V .dV
V2
p   gz 
 Cte

2
1
Le long de la trajectoire d’une particule fluide, on a donc la relation :
V2
p  gz  
 Cte
2
équation de Bernoulli
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Cas particulier d’un écoulement ou les trajectoires sont rectilignes et parallèles entre elles:
Plan (y,z)
Trajectoires
Équations d’Euler
2dy+3dz
1



Ydy  Zdz   1  p dy  p dz   V y dVy  Vz dVz
l’écoulement est permanent
forces de volume sont les forces de pesanteur
Plan (y,z)
Trajectoires rectilignes: vitesse nulles selon y et z.
p  gz  Cte
  y
z

Dans une section perpendiculaire à
un écoulement rectiligne
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Interprétations énergétique de l’équation de Bernoulli :
p  gz  
V2
 Cte
2
Comme pour l’équation générale de l’hydrostatique, l’équation peut s’exprimer en terme de
pression, d’énergie et de hauteur.
Énergie :
V2
 mgz  m
 Cte  ET

2
mp
énergie mécanique totale
ET :
mp
:

énergie potentielle de pression
mgz :
énergie potentielle de situation/localisation
V2 :
m
2
énergie cinétique
en Joule
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Interprétations énergétique de l’équation de Bernoulli :
p  gz  
Pression :
V2
p  gz  
 Cte  pT
2
pT :
:
p
pression totale
pression statique
p  gz :
pression motrice (notée p*)
V2

2
pression dynamique
:
en Pascal
V2
 Cte
2
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Interprétations énergétique de l’équation de Bernoulli :
p  gz  
V2
 Cte
2
Hauteur :
p
V2
z
 Cte  H T
g
2g
hauteur du plan de charge absolu (ou ligne d’énergie)
HT :
:z
p
g
V2
2g
en Mètre
hauteur du point considéré
z :
:
hauteur piézométrique
hauteur cinétique
p  p atm
V2
z
 Cte  H r(hauteur du plan de charge relatif (ou ligne d’énergie relative))
g
2g
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Généralisation de l’équation de Bernoulli au cas d’un fluide traversant une
machine hydraulique :
Machine hydraulique:
-Réceptrice (ex : turbine) : absorbe de l’énergie
-génératrice (ex : pompe) : génère de l’énergie
Cas d’un récepteur :
Entrée (1)
récepteur
Sortie (2)
E : énergie mécanique absorbée par la machine par unité de masse de fluide qui la traverse (J/kg) :
p1
2
2
V
p
V
 gz1  1  2  gz2  2  E

2

2
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Généralisation de l’équation de Bernoulli au cas d’un fluide traversant une
machine hydraulique :
Cas d’un générateur :
Entrée (1)
générateur
Sortie (2)
E : énergie mécanique générée par la machine par unité de masse de fluide qui la traverse (J/kg) :
p1
2
2
V
p
V
 gz1  1  E  2  gz2  2

2

2
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Application du théorème de Bernoulli :
Tube de venturi (mesure de débit) :
z
z3
z4
z
V2
V1
O1
S1
0
S2 O2
Dynamique des fluides parfaits
z
Hydrodynamique du fluide parfait
Application du théorème de Bernoulli :
z
z3
Tube de venturi (mesure de débit) :
4
z
Loi de la statique appliquée au premier tube :
p1  gz1  p atm  gz 3
Loi de la statique appliquée au second tube :
p 2  gz 2  p atm  gz 4
O
1
S 1
1
V
2
S O
2
V12
V2
 p 2  gz 2   2
2
2
Bernoulli sur la trajectoire O1O2 :
p1  gz1  
On obtient après simplification :
V12  V22  2 g z 4  z 3 
Conservation du débit entre les points O1 et O2 :
On obtient enfin la relation du débit volumique :
0
V
qV  V1 S1  V2 S 2
qV  2 g  z 4  z 3 
S12 .S 22
S12  S 22
 k th . 2 g  z 4  z 3 
Le débit est directement proportionnel à la différence de hauteur dans les tubes et aux
dimensions du venturi. Le coefficient kth est appelé « coefficient théorique du venturi ».
2
Dynamique des fluides parfaits
Hydrodynamique du fluide parfait
Application du théorème de Bernoulli :
Pression et vitesse d’un écoulement :
Tube 2
Tube 1
z
N’
M’
N
M
0
On dispose de deux tubes pour mesurer la vitesse d’écoulement, V, d’un liquide. Le premier tube est
placé directement dans l’écoulement en position verticale (en M), le liquide monte dans le tube jusqu’à
l’équilibre (en M’). On place un second tube dans le sens de l’écoulement (en N), en aval du point M,
sur la même trajectoire de la particule fluide passant par M. Du liquide monte dans le tube jusqu’à
l’équilibre statique (point N’).
Dynamique des fluides parfaits
Application du théorème de Bernoulli :
La loi de la statique appliquée au tube 1 donne : p M  p atm  g z M '  z M 
De même pour le tube 2 :
N
’
M
’
N
M
p N  p atm  g z N '  z N 
p N  p M  g z N '  z M '   g z N  z M 
Bernoulli entre les points M et N :
VN  0

V  2 g z N '  z M ' 
V N2
VM2
p M  gz M  
 p N  gz N  
2
2

z
V2
 p N  p M  g  z N  z M 
2
V2
 g  z N '  z M ' 
2
La vitesse de l’écoulement est directement obtenue par la différence de
hauteur entre les deux tubes.
0
Dynamique des fluides parfaits
Application du théorème de Bernoulli :
Tube de pitot
Dynamique des fluides parfaits
Application du théorème de Bernoulli :
Vidange d’un réservoir
Dynamique des fluides parfaits
Application du théorème de Bernoulli :
Vidange d’un réservoir
Débit théorique :
VM S M  V B S B
avec
SM  SB
Qthéorique  S B 2 gh
Débit réel :
Contraction des trajectoires en B
Cc 
sec tion contractée
sec tion de la conduite
Qréel  C c S B 2 gh
Dynamique des fluides parfaits
Théorème d’Euler
But du théorème d’Euler
A partir des vitesses aux frontières d’un domaine D de fluide en mouvement, déterminer les forces
extérieures qui s’exercent sur ce domaine.

n
Théorème d’Euler dans le cas général
dS
On considère un volume (V) de fluide, en mvt, délimité par la surface (S) :
(S)
•Théorème des quantités de mouvement appliqué à (V) :


Q   v dv
•Quantités de mouvement du volume (V) :


DQ
  Fext
Dt
v
•Dérivée particulaire d’une intégrale de volume :



 
DQ D
 ( v )

v dv  
dv   ( v )v .n ds

v
s
Dt
Dt
t

D
f
fdv  
dv   f v .n ds

v
v
s
Dt
t
•Théorème d’Euler, écoulement permanent, volume V quelconque :
 



s( v )v .n ds   Fext  FS  FV

V
Dynamique des fluides parfaits
Théorème d’Euler
théorème d’Euler appliqué à un tube de courant
 

 

 

 
s( v )v .n ds  s1 ( v1 )v1 .n1 ds  s2 ( v2 )v2 .n2 ds  sl ( vl )vl .nl ds
 

 

 
s( v )v .n ds  s1 ( v1 )v1 .n1 ds  s2 ( v2 )v2 .n2 ds
 




s( v )v .n ds  v2 s2 ( v2 )ds  v1 s1 ( v1 )ds  Qm (v2  v1 )
•Théorème d’Euler, écoulement permanent, tube de courant :





Qm (v 2  v1 )   Fext  FS  FV
Dynamique des fluides réels
Objectif :
Étudier le mouvement des fluides en tenant compte des forces qui provoquent ce mouvement. En tout
point, on déterminera la vitesse, la pression et la masse volumique. Pour les fluides réels, les forces de
viscosité interviennent.
Équations de Navier-Stokes
Dans le chapitre précédent, nous avons vu que les équations d’Euler en dynamique des fluides
parfaits (sans viscosité) se résument à :

f V  grad p  
En dynamique des fluides réels (visqueux), en plus des forces de volume et de pression existent les
forces de viscosité. Les équations d’Euler modifiées pour prendre les effets visqueux en compte
sont appelées équations de Navier-Stokes, elles s’écrivent en notation vectorielle de la manière
suivante :


équations de Navier-Stokes
f  grad p  V  
V
avec
 : viscosité dynamique (en kg.m-1.s-1), et

V : le laplacien du vecteur vitesse.
Dynamique des fluides réels


f V  grad p  V  
Les équations de Navier-Stokes en coordonnées cartésiennes sont :
dV x
1 p
1
X




V

x

 x
dt

dV y
1 p
1
  V y 
 Y
 y
dt

dV z
1 p
1
Z




V

z

 z
dt

Dynamique des fluides réels
Équation de Bernoulli
Comme précédemment, on peut écrire les équations de Navier-Stokes le long de
la trajectoire de la particule fluide, on obtient alors une unique équation :
 
1
p  1
dt    Xdx  Ydy  Zdz   V .dV   V x dx  V y dy  V z dz 
 dp 

t  
La simplification de l’équation précédente pour un écoulement permanent, soumis
aux forces de pesanteur permet l’obtention de l’équation de Bernoulli pour un fluide réel :
V2
p  gz  
 j  Cte
2
équation de Bernoulli pour un fluide réel
j permet de prendre en compte les effets visqueux, c’est une valeur positive.
Dynamique des fluides réels
Dynamique des fluides réels
Pertes de charge
Le mouvement d’un fluide réel s’accompagne toujours de différents frottements, on distingue selon
leur origine :
-les frottements internes au fluide dus à la viscosité de celui-ci,
-les frottements du fluide sur les parois de la canalisation,
- les frottements supplémentaires occasionnés par une perturbation localisée de l’écoulement
(changement de direction ou de section, obstacles divers…).
Dynamique des fluides réels
Pertes de charge
perte de charge linéaire
La perte de charge linéaire est proportionnelle à la vitesse, à un coefficient de perte de charge
l sans unité et inversement proportionnelle au diamètre :
Pertes de charge singulières
J
lL V 2
D 2g
Les conduits comportent inévitablement des obstacles à l’écoulement du fluide, notamment :
les changements de section : élargissement, rétrécissement
les changements de direction : courbes, coudes
les branchements : tés de séparation et de réunion
2
les organes de robinetterie : robinets, clapets, filtres…
les grilles, les échangeurs…
V
jsingulière   .
2g
Dynamique des fluides réels
Equation de Bernoulli généralisée
L’équation de Bernoulli peut être généralisée afin de prendre en compte les énergies fluidiques des générateurs ou récepteurs,
ainsi que les pertes de charge linéaires et singulières. Ainsi, l’équation de Bernoulli entre deux points 1 et 2 appartenant à la
trajectoire d’une particule fluide s’écrit en pression :
p1  gz1  
p'
n' W
  p

V12
V2
1  n
   g W M   M r     j lin   j sing 
 p 2  gz 2   2 
g
i
j 



2
2 qV  g 1
r 1  r 
j 1
 i 1

Dynamique des fluides réels