2025. 수학Ⅲ - 강윤석
#03. 쌍곡선
2학년 ___반 ___번 이름__________
1. 쌍곡선의 뜻
2. 쌍곡선의 방정식
(1) 평면 위의 서로 다른 두 점 F F′으로부터의 거리의
(1) 초점이 축 위에 있는 쌍곡선의 방정식
두 초점 F , F′ 으로부터의 거리의 차가
차가 일정한 점들의 집합을 쌍곡선이라 한다.
(2) 두 점 F F′ 을 쌍곡선의 초점이라 한다. 두 초점을
잇는 직선이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 A A′ 이라
인 쌍곡선의 방정식은
할 때, 두 점 A A′ 을 쌍곡선의 꼭짓점이라 하고
(단, )
선분 AA′을 쌍곡선의 주축이라 하며, 주축의 중점을
(2) 초점이 축 위에 있는 쌍곡선의 방정식
쌍곡선의 중심이라 한다.
두 초점 F , F′ c 으로부터의 거리의 차가
인 쌍곡선의 방정식은
(단, )
- 1 -
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3. 쌍곡선의 접근선
4. 쌍곡선의 접선
곡선 위의 점이 한없이 가까워지는 직선을
(1) 기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식
점근선이라 한다.
에 접하고 기울기가 인
① 쌍곡선
직선의 방정식은 ±
의 점근선의 방정식은
(1) 쌍곡선의
,
에 접하고 기울기가 인
② 쌍곡선
직선의 방정식은 ±
의 점근선의 방정식은
(2) 쌍곡선의
,
(2) 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식
위의 점 에서의
① 쌍곡선
접선의 방정식은
위의 점 에서의
② 쌍곡선
접선의 방정식은
- 2 -
2025. 수학Ⅲ - 강윤석
<문제 1>
두 점 F(3, 0), F'(-3, 0)을 초점으로 하는 쌍곡선
위의 제2사분면에 점 P가 있다. 점
PF 의 최솟값이 17일 때,
A(2, 12)에 대하여 AP
× 의 값을 구하시오. (단, , )
12 121
,
ㅣ
MiI
ㅣ
13 01
,
PF pF 2a
'
=
-
AP+ PE =APTPF+2a
=
AFT + 2a
=
13 +20 리 7
a2
afb2
=
q
=>b = is / b 3이
β
:
a yb
2
=
20
- 3 -
2025. 수학Ⅲ - 강윤석
<문제 2>
그림과 같이 두 점 F, F'을 초점으로 하는 쌍곡
( , ) 위의 점 P(6, 2)에
선
서의 접선 이 있다. 두 점 O(0, 0), Q(-6, 2)를
지나는 직선이 직선 과 점 R에서 만날 때, 선
분 PQ를 지름으로 하는 원이 점 R을 지난다.
사각형 PQF'F의 넓이를 구하시오. (단, 점 F의
좌표는 양수이다.)
t
^
m
고
6x
n
-
'×
재의
:
a
=
-
31
-
β≈ b 2
~
미에
3
.36 .
π - 4
1
5
F ( 6 01
,
=
a
b
2
⇒
=
⇒
C=
32
=
8
112 + 161 2 28
×
x
-)= 1
b2
기울기
S
b
2
y=
:
sy
=
- 4 -
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<문제 3>
위의 점
두 초점이 F, F'인 쌍곡선
′× PF
를 만족시킨다. 점 P에서의
P(2, 1)이 PF
접선 과 두 초점 F, F' 사이의 거리를 각각 ,
라 할 때,
× 의 값을 구하시오. (단,
PF′ 이다.)
, 이고, PF
(
*
*
β= dfb
4
김며
-
π
2
4b2 -
a
β
=ab
?
PFXPF FI
'+R
+β × G 라
=
5 -4c
5 +4 ×+
δ+
4
b t25
=
c
=
'
(
-
4
c
-
도
2
=
'
4b a ab
2
afb 3
=
'
접선 l
x
:
-
5b 3
.
=
b /3 b리
-
1b 4 f 2b -3
br
b
=
l
=
1
dixdz
=
이
× 호
B
+
ㅕ
=
0
or
3
,
= if
-
a
¢= B
y의
=
2
"
x 돌려
3
- 5 -
1
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<문제 4>
그림과
같이
두
초점이
F,
F'인
쌍곡선
위의 제1사분면에 점 P가 있다. 두
점 P, F'을 지나는 직선 위의 점 Q에 대하여
이고 삼각형 PF'F의 넓이가 삼각형 PFQ
PF PQ
의 넓이의 4배일 때, 선분 QF의 길이는? (단, 점
PF′
QF′ 이다.)
F의 좌표는 양수이고,
8
업
、
=
\
'
\
8
'
=
DPFF 4× 0 PFQ
'
PF
=
-
4 PQ
PFF
=
8
64 64 + 4
)
=
PF PF 6
cosθ =
=
QF
'
=
PF 2
=
,
8/ 1
-
32 cos ( π θ 비
-
☆
-
c0
s
θ)
9
련
- 6 -
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<문제 5>
그림과 같이 두 점 F(4, -2), F'(-8, -2)를 초점으
( ,
로 하는 쌍곡선
)의 점근선 중 기울기가 양수인 직선을 ,
기울기가 음수인 직선을 이라 하고, 선분 FF'
을 지름으로 하는 원이 직선 과 만나는 두 점
을 각각 A, B, 직선 과 만나는 두 점을 각각
C, D라 하자. cos (∠AFD)＝ 일 때,
의 값은? (단, 두 점 A, C의 좌표는 -2보다 크
고, 와 는 상수이다.)
F (4 2) F ( 8
-
,
1a 2 by
p 2 q 2
-
=
,
'
(xty +
ly
=
,
a' b=
3
θ
!
2)
-
,
+21
β=
36
바
2더
넓
3in 법칙
ㄻ
sinθ
sin θ
=
ㆍ HFD
∴
2X6
=⇒ b 2-
5
=
.
: d =
4
- 7 -
=
μ
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<문제 6>
쌍곡선 의 점근선 중 기울기가 양수
인 직선을 이라 하자. 두 점근선이 서로 수직인
위의 서로 다른 두 점 A, B
쌍곡선
에서의 접선은 서로 평행하고 직선 에 모두 수
,
)에 대하여 삼각형 PAB의
직이다. 점 P(
넓이가 12일 때, 의 값을 구하시오. (단,
점 A의 좌표가 점 B의 좌표보다 작고, ,
는 양수이다.)
수직 =⇒ 6 b
=
l
:
접점 (K
yix
1 ,
*-
.
=
"
g, =
개의
H 1
asyi 1
:. =
iq
1
Al , ] ( - 1
-
"
A
=
급리"x 에
=
"
a
☆
i
=
a
,
17 .11
=
)
3☆
-
.
L
'
5
y,
*
y
=
A13
현
고
3
a
=
=
A = a= 12
:×
h
3
4, b 4
=
∴
32
- 8 -
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<문제 7>
① 1
Y
Y
'
,
-
=
의 타원
y
5 1
=
BQ
AQ
'
π y
axx - = 의쌍곡
② 1기
a
x
HQ
=
:
n
1(
리
2
10 B= 12
,
AB 3
=
∴
25
- 9 -
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<문제 8>
3k
θ
2k
3k
'
θ
는
4
고
β=
y
' Cosθ
9 k 4 k + 8k
RNEK
'
'
ERX
2
θ=
고 34
=
k
=
3
k
=
81 x 2 )
P/ 9
=
cos
ㄻ
-
6
,
+ 56
PFT 69
=
=
4
2a
.
=
15
15 9
-
: A=
3
afba = 16
:
=
3
=
1
63
- 10 -
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<문제 9>
녕
⑪
i
-
x+2
>θ
x
"
「
\
보
b
2
xt2 이려 2 : 2xt2
xf 3xt 리 대
때 ( x 7이
2 x9
144 81 + 49 xncost
=
-
cos
3
=
θ=
ixasin θ
한
=
×
49 ×
5
π
985
π
:
Io 애
- 11 -
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<문제 10>
~
n
Q 제 2사분면
QF -QF 6
3
=
-
PF
PF 6
=
P
\
2C x+ 6
26
-
∅
{
x
-
라
¤
b
≠
'
라
4 ct 12 28
A
y
-
1
ft 6
{
\
=
=
26
4c
4
=
28
때
에
- 12 -
'
'
-
b
