재료역학 강의노트
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno
재료역학 강의노트
제 6 장
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
보의 응력 (심화주제)
6.1 소개
- 보의 곡률/보의 수직응력/보의 전단응력에 대한 응용
o 합성보
o 경사 하중을 받는 보
o 비대칭 보
o 얇은 두께의 보의 전단응력
o 탄소성 굽힘
o 비선형 굽힘
6.2 합성보
- 한가지 이상의 재료로 제작된 보
o 2 종 합금보 (온도조절장치)
o 플라스틱 피복관
o 강철로 보강된 판을 가진 목재
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 재료를 절감하고 무게를 줄이기 위하여 개발됨.
 샌드위치보: 경량의 무게와 고강도/고강성 재료
항해/우주산업 등 산업 분야에 응용
스키/문/벽/패널/책꽂이/판지상자 등 일상에 활용
Face: 상대적 고강도 재료의 얇은 바깥층: I-형 보의 플랜지 역할
Core: 경량이고 저강도의 두꺼운 중간층:
I-형 보의 웨브 역할
중간층은 filler 로 사용되어 바깥층의 주름/좌굴에 대한 안전성 향상
 플라스틱 (Foam)
벌집구조 (Honeycomb)
파형구조 (Corrugated)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 변형률 및 응력
보의 기하학적 가정을 합성보에도 그대로 사용  단면은 평면을 유지함
x  
y

  y
( E2  E1 을 가정함)
 x1   E1   E1 y
(6-2a)
 x 2   E2   E2 y
(6-2b)
 중립축
단면에 작용하는 축력의 합은 0
  dA    dA  0
x1
1
2
x2
E1  y dA  E2  y dA  0
1
2
(6-3)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
2 축 대칭인 단면
 중립축은 도심축과 일치함 식 (6-3)을 필요하지 않음.
 모멘트 - 곡률 관계식
M    x y dA     x1 y dA    x 2 y dA
A
1
2
  E1  y 2 dA   E2  y 2 dA
1
2
M   ( E1 I1  E2 I 2 )

1


I  I1  I 2
(6-4)
M
E1 I1  E2 I 2
(6-5)
여기서
E1 I1  E2 I 2 는 합성보의 굽힘강도
 수직응력 (굽힘공식)
식 (6-5)를 식 (6-2)에 대입하면,
MyE1
E1 I1  E2 I 2
 x1  
Note:
 x2  
E2  E1 이면  x  
MyE2
E1 I1  E2 I 2
My
5 장의 식
I
(6-6a,b)
(5-13) 이 됨.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 샌드위치 보의 굽힘에 대한 근사이론
두 재료의 물성치 값의 차이가 클 때:
E2  0 을 가정함.
- 수직응력은 바깥층이 전부 지지함.
식 (6.6)   x1  
여기서
I1 
 top  
My
I1
 x2  0
b 3
h  hc3 

12
Mh
2 I1
 bottom 
(6-7)
(6-8)
Mh
2 I1
(6-9a,b)
- 두께가 얇은 경우 전단은 중간층이 전부 지지함.
 aver 
V
bhc
 aver 
V
bhc Gc
(6-10a,b)
 제한
선형 탄성에 한함. (콘크리트에는 적용 불가)
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
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
예제 6-1
문제
M  60 k-in, E1  1, 500 ksi, E2  30, 000 ksi ,
목재 (①)와 강철(②)에서의 최대/최소 인장/압축 응력은?
풀이
중립축의 위치를 를 먼저 구한다. 식 (6-3) 이용
 y dA  y A  (h  3 in)(4 in  6 in)  (h  3 in)(24 in )
2
1 1
1
1
1
 y dA  y A  (6.25 in  h )(4 in  0.5 in)  (h  6.25 in)(2 in )
2
2
2
따라서
2
1
1
E1  y dA  E2  y dA  0 에서
1
2
(1500 ksi)( h1  3 in)(24 in 2 )  (30, 000 ksi)( h1  6.25 in)(2 in 2 )  0

h1  5.031 in , h2  6.5 in  h1  1.469 in
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
I1 
1
(4 in)(6 in)3  (4 in)(6 in)(h1  3 in) 2  171.0 in 4
12
I2 
1
(4 in)(0.5 in)3  (4 in)(0.5 in)( h2  0.25 in) 2  3.01 in 4
12
Check:
1
1
I  (4 in)h13  (4 in) h23  169.8  4.2  174.0 in 4  I1  I 2
3
3
 1A  
Mh1 E1
(60 k-in)(5.031 in)(1500 ksi)

 1310 psi
E1 I1  E2 I 2
(1500 ksi)(171.0 in 4 )  (30,000 ksi)(3.01 in 4 )

 1C  
M (  h2  0.5 in)E1
(60 k-in)( 0.969 in)(1500 ksi)

 251 psi
E1 I1  E2 I 2
(1500 ksi)(171.0 in 4 )  (30,000 ksi)(3.01 in 4 )

 2B  
M (  h2 ) E2
(60 k-in)( 1.469 in)(30, 000 ksi)

 7620 psi
E1 I1  E2 I 2
(1500 ksi)(171.0 in 4 )  (30,000 ksi)(3.01 in 4 )

 2C  
M (  h2  0.5 in)E2
(60 k-in)( 0.969 in)(30, 000 ksi)

 5030 psi 
E1 I1  E2 I 2
(1500 ksi)(171.0 in 4 )  (30,000 ksi)(3.01 in 4 )
Note:  2 C   1C , 그러나  2 C /  1C  E2 / E1  20
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
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
예제 6-2
문제
M  3.0 kN  m, E1  72 GPa, E2  800 MPa
바깥층/중간층의 최대 인장/압축응력을 다음의
(a) 일반이론
(b) 샌드위치보의 근사이론
으로 각각 구하기
풀이
(a) 일반이론
I1 
b 3
200 mm
 (160 mm)3  (150 mm)3   12.017  106 mm 4
( h  hc3 ) 
12
12
I2 
b 3 200 mm
hc 
(150 mm)3  56.250  106 mm 4
12
12
E1 I1  E2 I 2  (72 GPa)(12.017  10 6 mm 4 )  (800 MPa)(56.250  10 6 mm 4 )  910.200 N  m 2
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바깥층: ( 1 ) max  
중간층:
Note:
( 2 ) max  
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
M ( h / 2)( E1 ) (3.0 kN  m)(80 mm)(72 GPa)

 19.0 MPa
E1 I1  E2 I 2
910.200 N  m 2

M ( hc / 2)( E2 ) (3.0 kN  m)(75 mm)(800 MPa)

 0.198 MPa
E1 I1  E2 I 2
910.200 N  m 2

( 1 ) max /( 2 ) max  96 , since E1 / E2  90
(b) 샌드위치 보에 대한 근사이론
( 1 ) max  
Mh
(3.0 kN  m)(80 mm)

 20.0 MPa
2 I1
12.027  106 mm 4

Note: 근사해는 일반해의 값보다 큰 응력을 준다.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
6.3 환산단면 방법
- 계산 노력을 줄여주지는 않음
- 계산과정을 구체화하고 체계화하는데 편리한 수단
- 한가지 재료로 구성된 등가단면으로 환산하여 계산
- 이 등가단면을 환산단면 이라 부름.
- 계산은 보통의 보에 대한 관례적 방법을 따름
- 환산보의 응력을 원래 보의 응력으로 변환함.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 중립축과 환산단면
- 중립축이 같은 위치에 있어야 하며,
- 모멘트-저항 능력이 같아야 함.
중립축은 식 (6-3)으로 구해짐
E1  y dA  E2  y dA  0
1
2
여기에 계수비
n  E2 / E1 을 대입하면
 y dA   yn dA  0
1
(6-11)
2
(6-13)
 ②재료를 ①재료로 바꾸는 대신
그 폭을 n 배로 늘려서 구성한 환산단면을 의미함
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 모멘트-곡률 관계식
환산단면은 재료 ①로만 구성되어 있으므로
 x   E1 y
M     x y dA     x y dA    x y dA
A
1
2
  E1  y 2 dA  E1  y 2 dA   ( E1 I1  E1nI 2 )
1
여기에서
2
E1n  E2 이므로 위 식은
M   ( E1 I1  E2 I 2 ) 이 되어 식 (6-4)와 같아진다.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 수직응력
 x1  
My
IT
여기서
I T 는 환산단면의 중립축에 대한 관성모멘트임.
즉
IT  I1  nI 2  I1 
(6-15)
E2
I2
E1
(6-16)
(6-16)(6-15)
 x1  
MyE1
E1 I1  E2 I 2
(a)
원래보의 재료 ①에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력과 동일
원래보의 재료 ②에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력에 계수비
 x2  
My
MynE1
MyE2
n

IT
E1 I1  E2 I 2
E1 I1  E2 I 2
n 을 곱해야 함.
(b)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 일반적 유의사항
- 재료 ①을 재료 ②로 환산하는 것도 가능
- 재료 ①, ②모두를 다른 재료로 환산하는 것도 가능 (계산이 더 복잡해짐)
- 3 개 이상의 재료로 구성된 경우도 적용 가능.
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
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
예제 6-3
문제
M  60 k-in, E1  1, 500 ksi, E2  30, 000 ksi ,
환산 단면의 방법을 이용하여
목재 (①)와 강철(②)에서의 최대/최소 인장/압축 응력을 구하기.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
풀이
강철 (②)을 목재 (①)로 환산하기로 함. 계수비
n
E2 30, 000 ksi

 20
E1
1, 500 ksi
강철부분의 폭을 20 배 하여 환산단면을 구성함.
h1 
 y A  (3 in)(4 in)(6 in)  (6.25 in)(80 in)(0.5 in)  322.0 in  5.031 in
(4 in)(6 in)  (80 in)(0.5 in)
64.0 in
A
3
i
i
2
i
h2  6.5 in  h1  1.469 in
1
(4 in)(6 in)3  (4 in)(6 in)(h1  3 in) 2
12
1
 (80 in)(0.5 in)3  (80 in)(0.5 in)( h2  0.25 in) 2
12
 171.0 in 4  3.01 in 4  231.3 in 4
IT 
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
목재의 수직응력:
 1A  
My
(60 k-in)(5.031 in)

 1310 psi
IT
231.3 in 4

 1C  
My
(60 k-in)( 0.969 in)

 251 psi
IT
231.3 in 4

강철에서의 수직응력은 환산보의 응력에 계수비
n 을 곱하여 구한다.
 2B  
My
(60 k-in)( 1.469 in)
n
(20)  7620 psi
IT
231.3 in 4

 2C  
My
(60 k-in)( 0.969 in)
n
(20)  5030 psi
IT
231.3 in 4

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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
6.4 경사하중을 받는 2 축 대칭 보
- 경사하중을 받는 2 축 대칭보의 해석
- 비틀림이 생기지 않도록 하중은 도심 통과
- 경사하중은 대칭평면에 작용하는 분력으로 분해
- 각각의 분력에 의한 해석을 중첩함.
 굽힘모멘트에 대한 부호 규약
그림과 같은 오른나사의 법칙을 따름.
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Page 06-19
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 수직응력 (굽힘응력)
A 점에서의 응력은 M y , M z 각각에 의한 응력의 합,
x 
M yz
Iy

Mzy
Iz
(6-18)
 중립축
중립축의 방정식은 수직응력  x 를 0 으로 하면,
M yz
Iy

Mzy
0
Iz
 중립축
nn 은 도심 C 를 지나는 직선
중립축과 z 축 사이의 각
tan  
(6-19)
는
y M yIz

z M zIy
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 중립축과 하중의 경사각 사이의 관계
P  P cos  j  P sin  k
M y  ( P sin  )( L  x )
My
M z  ( P cos  )( L  x )
 tan 
Mz
중립축과 z 축 사이의 각
tan  
는
y M y Iz Iz

 tan 
z MzIy Iy
일반적으로는
 
예외-1: 하중이
x  y 평면상일 경우, 즉   0o , 180o
예외-2: 하중이
x  z 평면상일 경우, 즉   90o
예외-3:
I y  I z ; 원, 정사각형 등…
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
Page 06-21
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
예제 6-4
문제
b  100 mm, h  150 mm, L  1.6 m
최대 인장/최대 압축응력을 구하고 중립축의 위치 구하기
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
풀이
하중을 분해하면,
q y  q cos  q z  q sin 
최대 굽힘 모멘트는 보의 중앙에서 발생하며 그 크기는
q z L2 qL2 sin 

My 
8
8
M  qL2 / 8 이므로
qL2 cos 

Mz 
8
8
q y L2
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단면 특성, I y 
x 
M yz
Iy
hb 3
12
Page 06-23
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
Iz 
bh 3
12
cos  
M z y qL2 sin  qL2 cos  3qL2  sin 




 2 z  2 y
3
3
8hb /12 8bh /12
2bh  b
Iz
h

그림에서 관찰하면,
최대 압축은
D ( y  h / 2, z  b / 2) 점에서 발생,
최대 인장은
E ( y   h / 2, z  b / 2) 점에서 발생
 E   D 
3qL2  sin  cos  



4bh  b
h 

q  3.0 kN/m, b  100 mm, h  150 mm, L  1.6 m,  =26.57 o 을 대입하면
 E   D  4.01 MPa

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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
중립축은
3qL2  sin 
cos  
sin 
cos 
x 
z 2 y0
 2 z  2 y  0 
2
2bh  b
h
b
h

 tan  
y h2

tan 
z b2

수치를 대입하면
tan  

(150 mm) 2
(tan 26.57 o )  1.125
2
(100 mm)
  48.4o


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
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
예제 6-5
문제
(a) 하중
P 가 수직축 y 축의 방향일 경우 최대 굽힘응력을 구하라
(b) 하중
P 가 수직축 y 축과   1o 의 방향일 경우 최대 굽힘응력을 구하라
부록 E-2 에서 S24  80; b  7 in, h  24 in, I z  2100 in , I y  42.2 in
4
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4
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
풀이
y 축에 정렬되었을 때,
(a) 하중이
 max 
My PL( h / 2) (10 k)(12 ft)(12 in/ft)(12.00 in)


 8230 psi
Iz
Iz
2100 in 4

(b) 하중이   1 경사진 경우
o
M y  ( P sin  ) L  (10 k)(sin1o )(12 ft)(12 in/ft)  25.13 k-in
M z  ( P cos  ) L  (10 k)(cos1o )(12 ft)(12 in/ft)  1440 k-in
tan  
y M y I z ( 25.13 k-in)(2100 in 4 )


 0.8684    41o
( 1440 k-in)(42.2 in 4 )
z MzIy
Note:   1 이지만
o
 A   B 
M y zA
Iy

  41o ; I z /I y  2100 in 4 /42.2 in 4  50  매우 큰 수.
M z y A ( 25.13 k-in)( 3.5 in) ( 1440 k-in)(12 in)


 10,310 psi 
(42.2 in 4 )
(2100 in 4 )
Iz
Note: 이 값은 (a)의 경우 8, 230 psi 에 비하여 25% 증가.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
6.5 비대칭 보의 굽힘
- 비대칭 단면에 대한 굽힘해석
- 가정된 중립축으로부터 시작하여 해석함.
 중립축
z  축이 중립축이라고 가정함.
 x   E y y
(6-31)
x  축 방향의 힘의 평형조건은,
  dA    E y dA 0
A

x
A
(6-32)
y
 y dA 0  z  축이 단면의 도심 C 를 통과함
A
y  축이 중립축이라고 가정함.
 x   E z z
(6-33)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
x  축 방향의 힘의 평형조건은,
  dA    E z dA 0
A

x
A
(6-34)
z
 z dA 0  y  축이 단면의 도심 C 를 통과함
A
응력 계산
z  축이 중립축이라고 가정함.
M z     x y dA   y E  y 2 dA  y EI z
(6-35a)
M y    x z dA   y E  yz dA    y EI yz
(6-35b)
A
A
A
A
I yz ; 관성모멘트 적 (Product of inertia)
(Note-1) 모멘트가 (6-35a,b)의 비율이면 z  축이 중립축이 됨.
(Note-2) z  축이 주축인 경우에는
굽힘은
I yz  0 이 되기 때문에
xy -평면에서 발생 ( M z 만 작용함.), 거동은 대칭단면과 동일.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
y  축이 중립축이라고 가정함.
M y    x y dA   z E  z 2 dA    z EI y
(6-36a)
M z     x y dA   z E  yz dA  z EI yz
(6-36b)
A
A
A
A
I yz ; 관성모멘트 적 (Product of inertia)
(Note-1) 모멘트가 (6-36a,b)의 비율이면
(Note-2)
y  축이 중립축이 됨.
y  축이 주축인 경우에는 I yz  0 이 되기 때문에
굽힘은
xz -평면에서 발생 ( M y 만 작용함.), 거동은 대칭단면과 동일.
결론
- 굽힘모멘트가 작용하는 평면은
y , z 축이 주도심축인 경우에만 중립면에 수직
- 이 경우 굽힘모멘트는 두 개의 주면 중의 한 면에 작용.
- 굽힘모멘트가 작용하는 주면은 굽힘평면이 됨  통상적인 굽힘이론이 적용됨.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 비대칭보를 해석하는 과정
1) 단면의 도심 C 를 결정함
2) C 가 중심인 주축
3) 하중을
y  z 축 방향 으로 분력을 구함.
M y  M sin 
x 
M yz
Iy
y  z 축을 설정함

M z  M cos 
M z y ( M sin  ) z ( M cos  ) y


Iz
Iy
Iz
중립축은 축응력  x  0 인 경우이므로
( M sin  ) z ( M cos  ) y

0
Iy
Iz

tan  
y Iz
 tan 
z Iy
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
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
예제 6-6
문제
채널단면 C10  15 을 고려함
  10o 의 각도로 하중모멘트 M  15 k-in 가 작용함.
점
A, B 에서의 굽힘응력  A ,  B 과 중립축의 위치 구하기
풀이
단면의 성질은 부록 E-3 으로부터 다음과 같이 구한다.
도심 C 는 채널의 뒷면에서 c  0.634 in
I y  2.28 in 4
점
I y  67.4 in 4
A, B 의 좌표는
y A  5.00 in
z A  2.600 in  0.634 in  1.966 in
y B  5.00 in
z B  0.634 in
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
굽힘모멘트의 분력은,
M y  M sin   (15 k-in)(sin10o )  2.605 k-in
M z  M cos   (15 k-in)(cos10o )  14.77 k-in
굽힘응력은,
A 
M y zA
Iy

M z yA
Iz
(2.605 k-in)( 1.966 in) (14.77 k-in)(5.00 in)

2.28 in 4
67.4 in 4
 2246 psi  1096 psi  3340 psi

B 
M y zB
Iy


M z yB
Iz
(2.605 k-in)(0.634 in) (14.77 k-in)( 5.00 in)

2.28 in 4
67.4 in 4
 724 psi  1096 psi  1820 psi

Iz
67.4 in 4
tan  
tan10o  5.212    79.1o
4
중립축의 위치는 tan  
Iy
2.28 in
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

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
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
예제 6-7
문제
Z - 단면에   20o 방향으로
모멘트 M  3 kN  m 를 받고 있다.
A, B, D , E 점에서의
수직응력
( A ,  B ,  D ,  E ) 을 구하고
중립축 구하기
h  200 mm, b  90 mm, t=15 mm
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
풀이
단면의 성질은 예제 12-7 의 결과로부터
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
일반이론
-
y  z 축이 주축이 아닌 임의의 축인 경우의 일반해석
 x   y Ey   z Ez
(*)
힘의 평형조건
 F    dx   E  y dA   E  z dA  0
x
x
y
z
(단면의 도심을 좌표축의 원점으로 하는 경우 자동만족)
모멘트 평형조건
M y    x z dA   y E  yz dA   z E  z 2 dA
  y EI yz   z EI y
M z     x y dA   y E  y 2 dA   z E  yz dA
  y EI z   z EI yz
(**)
(***)
(**)과 (***)을 연립하여 곡률에 대하여 풀면,
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y 
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
M z I y  M y I yz
z  
E ( I y I z  I yz2 )
M y I z  M z I yz
E ( I y I z  I yz2 )
이 식을 (*)에 대입하면 응력을 구할 수 있다.
x 
( M y I z  M z I yz ) z  ( M z I y  M y I yz ) y
I y I z  I yz2
Note: 이 식은 도심을 통과하는 임의의 축에 대한 일반 휨 공식임. (주축이 아니어도 무방함)
중립축은  x  0 으로부터,
( M y I z  M z I yz ) z  ( M z I y  M y I yz ) y  0
즉
tan  
y M y I z  M z I yz

z M z I y  M y I yz
Note: 중립축을 알면;
최대응력의 발생점 파악에 유리
처짐의 방향을 결정할 수 있음 (중립축에 수직)
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특수한 경우-1:
x 
I y I z  I yz2
I yIz  I
M yz
Iy

tan  
I yz
Iy
M z  0 인 경우
M y ( I z z  I yz y )
특수한 경우-3:
x 
M y  0 인 경우
M z ( I yz z  I y y )
특수한 경우-2:
x 
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2
yz
tan  
Iz
I yz
y  z 축이 주축인 경우 즉 I yz  0 인 경우
Mzy
Iz
tan  
M y Iz
Mz Iy
 tan 
Iz
Iy
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
6.6 전단중심의 개념


다양한 특별한 조건 하에서 보의 굽힘 응력
-
경사하중을 받는 대칭 보 (6.6 절)
-
비 대칭 보 (6.5 절)
횡하중  굽힙 모멘트 + 전단력
-

전단력의 고려:
전단응력의 단면내 분포 (5 장)
횡하중이 대칭 평면이 아닌 평면 내에 작용하는 경우
-
비틀림이 없이 보가 굽어지기 위한 조건  특정한 점에 하중이 작용하여야 함
-
특정한 점:
전단 중심 (Shear Center)
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
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
1 축 대칭 단면을 가지는 캔틸레버 보 (자유단에 하중
P 작용)
-
좌표축의 원점: 도심
-
z -축이 대칭축: x  y  z 축은 주 도심축
-
중립면인
-
두개의 하중이 작용함:
-
M 0 : 수직응력에 의한 z 축에 대한 모멘트의 총합
-
P : 평형만을 고려하여 수직응력으로부터 구함 (5.8 절)
-
P 는 S 를 통과하여야 비틀림이 발생하지 않음
-
S : 전단중심 (Shear Center)
혹은
xz 평면내에서 굽어짐  xy 평면이 굽힘평면
M 0 , 및 P (그림 (b) 참조)
굽힘 중심 (Center of Flexure)
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
하중이 S 가 아닌
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
A 점에 작용하는 경우
 비틀림 모멘트 T 가 추가로 작용함
 2 축 대칭보 (그림 (a))
-
전단중심 S 와 도심 C 는 일치함
-
도심에 작용하는 하중
P 는 비틀림 없이 굽힘을 일으킴
 1 축 대칭 보 (그림 (b))
-
전단중심 S 와 도심 C 는 모두
y 축 (대칭축) 상의 서로 다른 점에
위치함
-
하중
P 를 y 축 성분과 z 축 성분으로 분해하여 해석함
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 비대칭 단면
-
도심 C 를 찾고,
-
주축
-
하중을
y  z 축을 찾고,
y 축 성분과 z 축 성분으로 분해하여 해석함
(일반축에 대하여 일반이론을 사용하는 것도 가능함)

전단 중심의 계산방법
-
2 축 대칭인 경우  도심과 일치
-
1 축 대칭인 경우  대칭축 상에서 위치를 결정하여야 함
-
일반단면  2 축의 위치를 모두 계산 하여야 함
-
일부 공학편람에 전단중심 계산 공식 제공
-
열린 단면: WF 보, 채널, 앵글, T 형 보, Z 형 보  상용 구조용 강재 (비틀림에 취약)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
6.7 두께가 얇은 열린 단면 보의 전단응력
전단응력 구하는 공식 (직사각형 보, 원형 보, 플랜지를 갖는 웨브), (식 5.83 에서 유도)

VQ
Ib
(6-41)
여기서 Q 는 전단응력을 구해야 하는 바깥쪽 단면의 1 차 모멘트이다.

얇은 두께의 열린 단면 (thin-walled open cross section)에 대한 고찰
-
벽 두께가 단면의 높이와 폭에 비하여 작고,
-
속이 빈 상자형 보의 경우와 같이 닫힌 단면이 아닌 열린 형태의 단면 (I 형 보/채널)

구조용 단면 (Structural section) 또는
프로파일 단면 (prifile section)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
- 임의 단면의 중앙선 mm
-
y 와 z 축은 주도심축
- 하중 P 는 전단중심 C
지나서
y 축에 평행
 z 축이 중립축이 되고,
굽힘은
xy 평면에서
발생함.
보의 임의의 점에서의 수직응력은  x  
s
F1    x dA  
0
Mzy
Iz
(6-42)
M z1 s
y dA : ad 면에 작용하는 합력
I z 0
s
F2    x dA  
0
M z2 s
y dA : bc 면에 작용하는 합력
I z 0
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
ad 단면의 모멘트가 더 크기 때문에 F1  F2 이며 평형을 위하여 전단응력  가 cd 면에 필요함
따라서  t dx  F2  F1  0 또는  t dx  F1  F2
 M z 2  M z1  1 s

 y dA
dx

 I zt 0
 
여기서
( M z 2  M z1 ) / dx 는 굽힘 모멘트의 변화율 dM / dx 이며 단면에 작용하는 전단력과 같음,
dM  M z 2  M z1 

  Vy
dx 
dx

여기서 V y 는
y 축에 평행하며 y 축의 음의 방향을 양으로 함 (4 장의 부호 규약)
따라서 전단응력은  
Vy
s
V y Qz
I zt 0
I zt
 y dA 
s
, 여기서 Qz   y dA
0
-
전단응력은 단면의 중앙선을 따라 단면의 가장자리에 평행하게 작용함.
-
이 응력은 벽의 두께
-
두께가 얇은 경우에 유효하며, 벽의 두께는 일정할 필요가 없고
t 에 걸쳐 일정한 세기를 갖는 다고 가정함.
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s 의 함수로 변화 가능.
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
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
전단흐름 (Shear Flow)
-
V y Qz



f
t
그 점에서 전단응력과 두께의 곱.
Iz
-
여기서 전단흐름
-
단면의 위와 아래의 가장자리에서 Qz  0 
-
z 축에 평행한 하중에 의한 굽힙의 경우 (전단중심 통과하는 경우)  xz 평면이 굽힘평면
f 는 V y 와 I z 가 일정하기 때문에 Qz 에 정비례 함.
동일한 해석방법에 의해  
f t  0
Vz Q y
Vz Q y
f
t



y
I yt ,
I y ( 축이 중립축)
여기서 Vz 는 z 축에 평행한 전단력, Q y 는

y 축에 대한 1 차 모멤트임.
전단력이 전단중심을 지나 작용하고, 주도심축의 하나에 평행한 경우 적용가능함
-
전단력이 경사지게 작용하면, 주축에 평행한 성분으로 분해하여 각각 해석하여 중첩함.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
6.8 WF 보의 전단응력
 상부 플랜지의 전단응력
- 단면 bb 에서의 전단응력 고려
- 거리
- 점
s 는 a 를 원점으로 측정
a 와 단면 bb 사이 면적은 st1
- 이 면적의 도심으로부터
중립축 까지의 거리는 h / 2
- 점
a 와 단면 bb 사이 면적은 st1
- 따라서 Qz  st f h / 2
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
단면 bb 에서의 플랜지의 전단응력은
-
f 
V y Qz
I zt

P ( st f h / 2)
I zt f

shP
2I z
- 응력의 방향은 그림 (c)를 고려함.
- 방향은 그림 (d)에 도시함.
- 응력은 점
- 1 
a ( s  0) 에서 0 으로부터 s  b / 2 에서 최대값  1 까지 변화함.
bht f P
bhP
, 이에 대응하는 전단흐름은 f1   1t f 
4I z
4I z
- 상부 플랜지의 좌측 부분상의 점
c 로부터 우측으로 s 를 측정하여 플랜지 좌측 계산.
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
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
웨브의 전단응력
-
웹의 상단을 수평으로 잘라낸 부분 (플랜지와 웨브의 접합부)을 고려하면, Qz  bt f h / 2
-
이에 대응하는 전단응력은  2 
-
주목!!
-
단면 dd 에서는 Qz 
-
따라서 중립축으로부터 거리 r 떨어진 웹의 전단응력은
bht f P
bht f P
f
t



2
2 w
2 I z t w , 전단흐름은
2I z
(6-51, 52)
f 2  2 f1  플랜지 좌/우의 전단흐름이 합해져서 웹으로 전단됨.
2
bt f h  h

 h / 2  r  bt f h t w  h
2
   r  (t w ) 


 r 

2
2
2 4
2

 2 

 bt f h h 2
 P
  r2 
4
 tw
 2I z
w  
(6-53)
-
r  h / 2 일때 이 식은 (6-51, 52)로 축소됨.
-
r  0 일때 최대 전단응력 이 구해짐.  max  
-
모든 계산은 단면의 중앙선 치수를 근거로 계산  근사계산값임 (cf. 5.10 절 결과)
 bt f h  Ph
 
 tw 4  2 I z
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Page 06-54
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
 max
ht
 1 w
4bt f
2
-
웨브의 전단응력은 포물선 분포, 그리고
-
h  2b 이고 t f  2tw 인 값을 취하면  max /  2  1.25
하부 플랜지의 전단응력
-

제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
하부 플랜지도 같은 방법으로 해석 가능한.
일반적인 유의사항
-
상/하부 플랜지의 전단력 합계는 서로 상쇄됨.
-
웨브에서의 전단응력은 합력
R    dA  2 
h/2
0
-
R 을 가지며, 전단응력을 웨브의 높이에 걸쳐 적분하여 구함.
 t w dr  2t w 
h/2
0
 bt f h h 2
 bt f h  h 2t w P
2  P 



 
r
dr




4
2
t
I
t
 w
 z 
 w 6  2I z
t w h 3 bt f h
I


I-Beam 의 관성 모멘트는 z
12
2
(6-56)
2
, 윗식에 대입하면,
RP
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
6.9 두께가 얇은 열린 단면의 전단중심

채널 단면
-
플랜지의 최대 전단 응력을 구하기 위해 (I-형 보와 동일); Qz  bt f h / 2
-
따라서 플랜지의 최대 전단응력은  1 
-
웨브의 상부에서의 응력은  2 
V y Qz
I z tw
V y Qz

I zt f

bhV y
2I z
bt f hV y
2t w I z
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
bt f h
-
따라서 최대 전단응력은  max 
-
hb t f V y
  1b 
 (t f ) 
(그림 (b)의 삼각형 면적)
각 플랜지에 걸리는 수평 전단력 F1  
4I z
 2 
-
웹의 수직력은 사각형 면적 + 포물선의 면적
-
 t w h 3 bh 2t f  V y
2
즉 F2   2 ht w  3 ( max   2 ) ht w   12  2  I

 z
-
tw h3 bt f h

를 대입하면 F2  V y (예상된 결과)
여기에 I z 
12
2
-
두개의
-
즉 F1h  F2 e  0 , 이식을 풀면, 전단중심의 위치는 e 
2

ht w  h  
ht w  h
    bt f 

2 4 
4 2
-
중립축에서 면적의 1 차 모멘트는 Qz 
 bt
h  hV
 f   y
I z tw  tw 4  2 I z
V y Qz
2
2
F1 과 F2 (  V y ) 은 전단중심에 대해 비틀림을 유발하지 않아야 함.
b 2 h 2t f
4I z

3b 2t f
htw  6bt f
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
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
앵글 단면
-
bs/2
bb 단면의 Qz  st 
 ; (면적  중립축에서 면적의 도심거리)
2 

-
V y Qz
Vy s 
s




b


s
단면 끝에서 떨어진 점의 전단응력은
2
I zt
Iz 2 
-
 tb3  tb3
o

(부록 D 의 경우 24 의   45 인 경우)
여기서 I z  2 I BB  2 
6
3


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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
3V y s 
s
b  
3
2
bt 2
-
그러므로  
-
최대 전단응력은 s  b 에서 발생함  max 
-
각 변의 전단력은
-
힘
-
수직 성분은
-
합력은 두개의 힘
F
3V y
2bt 2
Vy
2
( max b)(t ) 
3
2
F 의 수평 성분은 서로 상쇄
F / 2  V y / 2 , 즉 수직합력은 전단력 V y 와 같다.
F 의 작용선의 교차점을 통과  전단 중심 S 는 앵글 두 변의 교차점
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
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
두 개의 좁은 직사각형을 접합하여 만든 단면
-

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각 단면의 합력을 고려하면 쉽게 S 를 구할 수 있음.
Z 형 단면
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
제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
예제 6-8
문제
전단중심의 위치 구하기
풀이
- 전단중심은 z 축상에 위치함.
- 점
a 로부터 s 의 거리에 위치한 점의
단면 bb 를 고려하자.
- 점
a 와 단면 bb 사이의 단면적의
1 차 모멘트는 면적요소 dA 를
적분하여 구할 수 있다.

-
-
Qz   y dA   ( r cos  )(tr d )  r 2t sin 
0
단면 bb 에서의 전단응력은  
V y Qz
I zt

V y r 2 sin 
Iz
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
I z   r 3t / 2 (부록 D 의 경우 22, 23)을 대입하여  
-
여기서
-
확인:   0 또는    일 때   0
-
   / 2 일때 최대 전단응력 발생
-
전단응력의 합력은 수직 전단력 V y
-
중심 O 에 대한 전단응력의 모멘트
-
즉
-
dA 요소에 의한 모멘트는 dM 0  r ( dA) 
-
전단응력에 의한 모멘트는 M 0   dM 0  
-
(g)에 대입하여
M 0  Vy e
2V y sin 
 rt
M 0 는 전단력 V y (전단중심 S 통과)의 모멘트와 동일.
(g)
e
2V y sin  dA
t


2rV y sin  d 
0

M 0 4r

 1.27 r
Vy

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2rVy sin  d


4rV y


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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
*6.10 탄소성 굽힘
- 선형 영역을 넘어서는 하중에 대한 해석
- 그림과 같은 탄소성 재료를 가정함
- 구조용 강재에 적합함
- 변형경화를 무시하는 해석.
- 변형경화는 강도의 증가를 일으키므로 안전한 해석
 항복 모멘트
중립축에서 가장 멀리 떨어진 점
c가
항복응력에 도달할 때의 모멘트  항복모멘트
MY 
Y I
c
 Y S
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 소성모멘트와 중립축
(c): 최대 변형률이 항복 변형률  Y 에 도달함: 모멘트의 크기는 항복모멘트
MY 가 됨
(d)(e): 최대 변형률은 계속 증가함
- 응력은 재료의 물성으로 인하여  Y 값보가 커질 수 없음.
- 보의 중앙핵심부 (탄성핵심부): 탄성을 유지함
보의 가깥 영역: 완전 소성이 됨, 응력은  Y 을 유지함
- z 축이 대칭축이 아니면, 중립축은 도심으로부터 멀어짐 (그 크기는 작음)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
(f) 완전 소성역이 점점 커져서 보 전체가 완전소성역이 된 경우
- 최대 모멘트 저항 능력에 도달함
- 최대변형률은 항복 변형률  Y 의 10 ~ 15 배가 되며, 탄성 핵심부는 없어짐.
- 이때의 모멘트가 소성모멘트
M P 가 됨.
- 모든 단면의 응력값이  Y 이 됨.
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
중립축은 축방향 힘의 평형으로부터,
T  C   Y A1   Y A2
A1  A2  A / 2
중립축은 단면을
두개의 같은 면적으로 나눔.
소성모멘트는 모멘트 평형조건으로부터,
M P     y dA    (  Y ) y dA    Y y dA
A
A1
A2
  Y ( y1 A1 )   Y (  y2 A2 ) 
 Y A( y1  y2 )
2
혹은
M P  Cy1  Ty2 
 Y A( y1  y2 )
2
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 소성계수 및 형상계수
Z
위의 식에서
A( y1  y2 )
를 단면에 대한 소성계수로 정의하면,
2
M P  Y Z
소성모멘트/항복모멘트 비율  형상계수 (shape factor)
f 
f 라고 부름 (단면 형태만의 함수)
MP Z

MY S
- 항복이 처음 시작된 후의 보의 예비강도의 척도
- 재료가 중립축 가까이 있으면 그 값이 커짐 (e.g. 중실 원형단면)
- 재료가 중립축 멀리 있으면 그 값이 작아짐 (e.g. WF 단면)
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 직사각형 단면 보
단면계수는 S 
bh 2
6
따라서 항복모멘트 M Y 
y1  y2 
 Y bh 2
6
h
이므로 소성계수는
4
Z
A( y1  y2 ) bh  h h  bh 2

  
2
2 4 4
4
 Y bh 2
소성모멘트
MP 
형상계수는
MP Z 3
 
MY S 2
4
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
M Y  M  M P 인 경우의 고찰
h

C1  T1   Y b   e 
2

C2  T2 
Y e
2
b
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
h

 4e 
h
 h
  be  4e 
M  C1   e   C2     Y b   e    e   Y  
2  3 
2

 3 
2
 2


 Y bh 2  3
6
 3 2e 2 
2e 2 


 2 
M

Y 
2 
2
h
2
h 



Check: e  h / 2 일 때
Check: e  0 일 때
위 식을
MY  M  M P
M  MY
M  3M Y / 2  M P
e 에 대해 풀어쓰면,
굽힘모멘트를 알 때 탄성핵심부의 크기를 구할 수 있음
eh
13 M 

 
2  2 MY 
Check:
M  M Y 이면 e  h / 2
Check:
M  M P  3M Y / 2 이면 e  0
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 WF 보
  h tf 
h
 1  h

Z  bt f     (t w )   t f      t f  
2
 2  2

 2 2 
 h tf  1
 bt f ( h  t f )  t w     bh 2  (b  tw )( h  2t f ) 2 
2 2  4
2
1 3
3
 h tf  
1
t w  h  2t f   2  bt f  bt f    
12
12
 2 2  
S
h
2
f 
Z
S
WF 보에 대한
Z 값은 AISC 매뉴얼에 있음
보통 WF 보의
f  1.1 ~ 1.2
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 예제 6-9
문제
원형 단면에 대한 항복모멘트/소성계수/소성모멘트/형상계수 구하기
풀이
MY 
A
Y I
c
d2
4
 Y ( d 4 / 64)

d /2
y1  y2 
A( y1  y2 ) d 3
Z

2
6
M P  Y Z 
f 
Y d 3
6
M P 16

 1.70
M Y 3
 d3 
 Y 

 32 

2d
(부록 D 의 경우-9/10)
3



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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
 예제 6-10
문제
탄소성 재료
( Y  33 ksi) 의 박스형 보
플랜지는 항복상태, 웨브는 선형탄성거동일 때
M 구하기
b  5.0 in, b1  4.0 in, h  9.0 in, h1  7.5 in
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
풀이
모멘트를 2 부분으로 나누어서 생각함
(1) 탄성핵심부 웨브의 모멘트
M1
(2) 플랜지에서의 항복응력  Y 에 의한 모멘트
M2
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제 6 장: 보의 응력 (심화 주제)
(b  b1 ) h12
S1 
6
M 1   Y S1 
 Y (b  b1 ) h12
6
플랜지 부분의 응력에 대한 모멘트를 구하기 위한 플랜지에서의 합력
F는
 h  h1 
F  Yb 

 2 
 h  h1   Y b( h  h1 )
M2  F 

4
 2 
2
M  M1  M 2 
2
Y
3bh 2  (b  2b1 ) h12 
12
수치를 대입하면, M  1330 k-in
주: 이 예제에서
이 예제의


M Y  1196 k-in , M P  1485 k-in (문제 6.10-13)에서 구해짐
M 은 M Y 와 M P 사이의 값이다.
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