Cours de Mathématiques
CHAPITRE 1
LANGAGE MATHEMATIQUE
Première Année Sciences de Gestion
ENCG AGADIR
2020- - 2021
1
Plan (première partie)
1. Eléments de logique
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Définitions
Opérations sur les propositions
Quantificateurs logiques
Techniques de démonstrations
Exercices
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ELEMENTS DE LOGIQUE
1. Définitions:
• Définition 1:
On appelle Proposition une assertion qui est soit vraie, soit fausse, mais
qui ne peut être les deux en même temps.
Une Proposition doit être définie de manière aussi précise que possible;
faute de quoi on ne peut affirmer si cette proposition est vraie ou fausse.
• Exemples:
ü « Tous les Hommes sont mortels » est une proposition vraie.
ü « Tous les Hommes sont vivants » est une proposition fausse.
ü L’assertion « il fait beau » n’est ni fausse ni vraie tant qu’on a pas donné
une définition précise à ce que l’on entend par « faire beau ».
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ELEMENTS DE LOGIQUE
ü Un barbier affirme « je ne rase que ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes »
est une proposition fausse. En effet, si c’est vraie, alors il ne peut pas se raser
lui-même, sinon il fait partie de ceux qui se rasent eux-mêmes or il ne peut pas
les raser. S’il ne se rase pas lui-même, il contredit son affirmation, car alors il
fait partie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes et doit donc se raser. Cette
affirmation est donc tout le temps fausse.
• Définition 2:
o On désigne en général par P ou Q une proposition.
o Les valeurs de vérité d’une proposition sont donnés par:
V: qui exprime que la proposition est vraie.
F: qui exprime que la proposition est fausse.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
• Définition 3:
La négation d’une proposition P, notée « non P » a une valeur de vérité
opposée à celle de P: lorsque P est vraie, non P est fausse. Et lorsque P
est fausse, non P est vraie.
On note la négation d’une proposition P par: ˥P
• Exemple:
Si P: « le Maroc est un pays africain » est une proposition vraie, alors
non P: « le Maroc n’est pas un pays africain » est une proposition fausse.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
2. Opérations sur les propositions:
Soient P et Q deux propositions, les propositions qu’on peut générer à partir
de P et Q
sont:
•
P implique Q (P⇒Q): implication
P est équivalent à Q (P⇔Q) : équivalence
•
Non P (˥P ): négation
•
P et Q (P˄Q) : conjonction
•
P ou Q (P˅ Q) disjonction
•
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ELEMENTS DE LOGIQUE
• L’implication:
Soit deux propositions P et Q. S’il s’avère que lorsque P est une proposition
vraie, alors Q est nécessairement une proposition vraie, on dit que P
implique Q et on écrit: 𝑃 ⇒ 𝑄 . On dit aussi que:
ü P est condition suffisante pour Q ( Si P alors Q);
ü Q est condition nécessaire pour P (P seulement si Q).
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ELEMENTS DE LOGIQUE
• Equivalence:
Lorsque la température ambiante dans une pièce descend en dessous de 0 °C,
tout eau contenue dans un récipient dans cette pièce se transforme en
glace; l’eau est gelée. De même, si on observe de l’eau gelée dans une
pièce, on sait que la température ambiante est en dessous de 0 °C.
Si on pose la proposition P: « la température est sous 0 °C » et la proposition
Q: « l’eau gèle » on voit que:𝑷 ⇒ 𝑸 et 𝑸 ⇒ 𝑷
Chacune des propositions implique l’autre, elles sont donc équivalentes et on
écrit:
𝑷 ⇔ 𝑸
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ELEMENTS DE LOGIQUE
𝒂
• Equivalence:
Exemple:
Soit la proposition P: «
𝒂 est un nombre pair » et la proposition
Q: « 𝒂 = 𝟐𝒏 » où n est un entier naturel, on a alors P⇔ Q. En effet, on a
P⇒Q, car si a est pair, alors a est divisible par 2, on peut donc écrire
« a= 2n » .
D’autre part, on a Q⇒ P. En effet, si a= 2n avec n entier, alors ,
a est divisible par 2, donc c’est un nombre pair.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
• La conjonction:
Soit deux propositions P et Q, la conjonction de P et Q est l’ensemble des
éléments qui vérifient à la fois P et Q.
• La disjonction:
Soit deux propositions P et Q, la disjonction de P et Q représente l’ensemble
des éléments qui vérifient soit P, soit Q, soit P et Q à la fois.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
• Exemple:
Soit l’ensemble des étudiants de la première année de L’ENCG d’Agadir,
P: la proposition « prend des notes lors du cours de mathématiques », et la
proposition Q: « a acheté ce manuel ».
ü La conjonction : « P ET Q » est l’ensemble des étudiants qui prennent des
notes du cours et qui ont acheté ce manuel.
ü La disjonction: « P OU Q » est l’ensemble des étudiants qui soit prennent
des notes du cours, soit ont acheté ce manuel, soit les deux.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
2. Opérations sur les propositions:
Pour chaque proposition, on définit les valeurs de vérités de ces propositions
par les tables de vérités:
• les connecteurs implication et équivalence: soient P et Q deux
propositions, on définit alors les propositions P⇒Q et P⇔Q comme suit:
P
Q
P⇒Q
P⇔Q
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
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ELEMENTS DE LOGIQUE
2. Opérations sur les propositions:
• Le connecteur NON:
Soit P une proposiQon, on définit les valeurs de vérités de la proposiQon ˥P
dans le tableau suivant:
P
˥P
V
F
F
V
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ELEMENTS DE LOGIQUE
2. Opérations sur les propositions:
•
Les connecteurs OU et ET :
P
Q
P ˄ Q
P ˅ Q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
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ELEMENTS DE LOGIQUE
• Lois de Morgan:
Soient P et Q deux propositions, alors on a:
ü 𝑃" ≡ 𝑃
ü(((((((((
𝑃˅𝑄) ≡ 𝑃* ˄𝑄(
ü(((((((((
𝑃˄𝑄) ≡ 𝑃(˅𝑄(
(𝑃 ⇒ 𝑄) ≡ 𝑃˄𝑄(
ü(((((((((((
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ELEMENTS DE LOGIQUE
• La distributivité des connecteurs:
Soient P, Q et R trois propositions, alors on a les équivalences suivantes:
ü 𝑃˅(𝑄˄ 𝑅 ) ≡ (𝑃˅𝑄 )˄(𝑃˅𝑅 )
ü𝑃˄(𝑄˅𝑅 ) ≡ (𝑃˄𝑄 )˅(𝑃˄𝑅 )
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ELEMENTS DE LOGIQUE
• Théorème:
Soient P et Q deux propositions, on a:
ü𝑃 ⇒ 𝑄 ≡ (𝑃' ˅𝑄 )
* ⇒ 𝑃'
ü𝑃 ⇒ 𝑄 ≡ 𝑄
ü𝑃 ⇔ 𝑄 ≡ (𝑃 ⇒ 𝑄)˄(𝑄 ⇒ 𝑃)
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ELEMENTS DE LOGIQUE
3. Quantificateurs logiques:
Comme le nom l’indique, les quantificateurs nous permettent de quantifier, c’està dire de déterminer le quantité d’un objet ou d’une variable. Le langage
courant a ce défaut d’être parfois ambigu sur la quantification indiquée. Par
exemple, les phrases suivantes « un mouton est blanc » et « un mouton est
noir ». D’un point de vue syntaxique, les deux phrases sont proches l’une de
l’autre et pourtant les deux phrases renvoient à un sens bien différent.
o La première phrase signifie qu’en général, un mouton est blanc.
o La second au contraire vise un mouton particulier.
Pour éviter tout ambiguïté, on introduit les deux symboles logiques, appelés
quantificateurs:
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ELEMENTS DE LOGIQUE
3. Quantificateurs logiques:
Ø Le symbole ∀, se lit « pour tout » ou « quelque soit » et s’appelle
quantificateur universel.
Ø Le symbole ∃, se lit « il existe » et s’appelle le quantificateur
existentiel .
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ELEMENTS DE LOGIQUE
3. Quantificateurs logiques:
Exemple:
Soit Ω, un troupeau de moutons.
• L’affirmation P: « tous les moutons du troupeau sont blancs », s’écrit :
∀ 𝒙 ∈ 𝜴,
𝒙 𝒆𝒔𝒕 𝒃𝒍𝒂𝒏𝒄
•
L’affirmation Q: « Il y a quelques moutons noirs dans ce troupeau »,
s’écrit:
∃ 𝒙 ∈ 𝜴, 𝒕𝒆𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙 𝒆𝒔𝒕 𝒏𝒐𝒊𝒓.
•
L’affirmation R: « Il y a un unique mouton noir dans ce troupeau »,
s’écrit:
∃! 𝒙 ∈ 𝜴, 𝒕𝒆𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙 𝒆𝒔𝒕 𝒏𝒐𝒊𝒓.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
3. Quantificateurs logiques:
Remarque:
Lorsqu’une proposition est composée de plusieurs quantificateurs, l’ordre
dans lequel ceux-ci apparaissent est très important. On ne peut changer
la place que de deux quantificateurs identiques, sous peine de changer le
sens de la proposition.
Exemple 1:
« pour toute personne, il existe une maison », veut dire que chaque
personne habite dans une maison. Par contre, l’affirmation « il existe une
maison pour toutes les personnes », renvoie au sens que tout le monde
habite la même maison, ce qui est complètement différent de la première
affirmation.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
3. Quantificateurs logiques:
Exemple 2:
La propriété:
𝑷: ∀ 𝒏 ∈ Ν, ∃ 𝒎 ∈ Ν 𝒕𝒆𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒏 = 𝒎, exprime le fait que pour tout entier
naturel n, il existe un entier m qui lui égal. Cette proposition est vraie, il
suffit de prendre m=n. Par contre, si on change l’ordre d’apparition des
quantificateurs :
𝑷: ∃ 𝒎 ∈ Ν, ∀ 𝒏 ∈ Ν, 𝒏 = 𝒎, qui se lit « il existe un entier 𝑚, tel que pour
tout entier n, on a m=n » . cette proposition est clairement fausse, il
n’existe aucun entier qui soit égal à tous les entiers.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
4. Techniques de démonstration:
Ø Raisonnement par contraposé:
Le raisonnement par contraposée consiste à démontrer que la proposition
P⇒ Q est vraie en démontrant que la contraposée ˥Q ⇒ ˥ P est vraie.
Exemple: ( à faire)
prouver que si 𝒎𝟐 𝒆𝒔𝒕 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒊𝒓, 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒎 𝒆𝒔𝒕 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒊𝒓.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
4. Techniques de raisonnement:
Ø Raisonnement par absurde:
L’intuition derrière une démonstration par l’absurde repose sur le fait que si
une proposition ne peut pas être fausse, alors elle est forcément vraie.
Le point de départ de la démonstration consiste à supposer que la
proposition est fausse, ET de montrer que cette supposition nous mène à
une impossibilité ou une contradiction. Donc la proposition doit être vraie.
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Ø Raisonnement par récurrence:
Une démonstration par récurrence ne peut être appliquée que pour les
propositions qui dépendent d’un entier naturel n. On peut indiquer cette
dépendance d’une proposition P à un entier naturel n par la notation:
P(n).
Par exemple si on prend la proposition P: « si n est pair, alors son carré est
pair » on observe que:
2 est pair et 22 = 4 est pair ;
4est pair et 𝟒𝟐 = 𝟏𝟔 est pair ;
6 est pair et 𝟔𝟐 = 𝟑𝟐 pair ;
8 est pair et 𝟖𝟐 = 𝟔𝟒 est pair .
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ELEMENTS DE LOGIQUE
ØRaisonnement par récurrence:
Ces premières vérifications nous mènent à penser que, si on continue la série,
on obtiendra le résultat général: « si un entier naturel est pair, alors son
carré est pair ».
Ce qui très important à ce stade, en vue d’établir un raisonnement par
récurrence, c’est d’être en mesure de spécifier la proposition en fonction
de n, valide pour n’importe entier naturel n. Il ne peut y avoir de trou
comme c’est le cas ici, où doivent être laisser de côté les entiers impairs.
La spécification correcte est donc:
𝑷(𝒏): « (𝟐. 𝒏) est pair, alors (𝟐. 𝒏)𝟐 est pair »
En vue de prouver que cette formule est valide pour n’importe quel entier k
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ØRaisonnement par récurrence:
On suit les étapes:
• La propriété est vraie pour 2;
• On suppose que:
•
𝑷(𝒌): « (𝟐𝒌) est pair, alors (𝟐𝒌)𝟐 = 𝟒𝒌𝟐 est pair . » est une
proposition VRAIE
On examine ce qui se passe pour l’entier naturel k+1, c’est-à-dire en vérifié
si la proposition: (à faire chez vous)
𝑷(𝒌 + 𝟏): « 𝟐. (𝒌 + 𝟏) est pair, alors (𝟐. (𝒌 + 𝟏))𝟐 est pair »
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ØRaisonnement par récurrence:
Résumé (principe de récurrence):
Soit 𝑃(𝑛) une proposition établie pour tout 𝑛 ∈ 𝑁 , ou éventuellement
valide à partir d’un certain rang 𝑛0 (c'est-à-dire pour tout 𝒏 ≥ 𝒏𝟎 .
o Initiation : on a 𝑷(𝟎) ou 𝑷(𝒏𝟎 ) est VRAIE ;
o Hypothèse de récurrence : On suppose que pour un k donné, P(k) est
VRAIE, ET en vérifié que cela implique que P(k+1) est VRAIE. Si c’est
bien le cas, alors la proposition 𝑃(𝑛) est vraie pour tout entier 𝑛 ∈ 𝑁 .
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ØDéduction directe:
On considère la proposition: P: « le carré d’un nombre pair est un nombre
pair ».
Pour démontrer qu’une proposition P est vraie:
o On démontre qu’une proposition Q vraie entraine que P est vraie: Q ⇒ P.
D’une manière générale, on peut même recourir à une chaîne de
déduction logique utilisant plusieurs propositions: Q ⇒R ⇒M ⇒ P.
Un autre cas de figure s’observe si P repose sur un ensemble d’hypothèses
H:
o On montre alors que si ces hypothèses H sont vérifiées, alors P est
vraie: H ⇒ P.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
ØDéduction directe:
La différence entre les deux approches est que:
•
dans le dernier cas, on ne discute pas les hypothèses, on ne doit pas les
prouver. Il faut juste vérifier que, si elles sont observées, alors elles
impliquent bien P.
•
Dans l’autre approche, il faut montrer que l’implication P ⇒ Q est VRAIE,
ainsi que démontrer Q.
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ØDéduction directe:
Exemple:
Soit
• hypothèses H: m et n deux entiers naturels pairs.
• La proposition P: « le carré d’un nombre pair est un nombre pair »
• La proposition Q: «le produit de deux nombres pairs est un nombre
pair ».
1) Démontrer P directement à partir de H: m est un nombre pair.
2) Démontrer P à partir de Q.
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Réponse:
1) Prouvons que H⇒P. On a m est un nombre pair, donc m s’écrit m= 2k,
avec k entier.
D’autre part on a:
𝑚2 = (2𝑘 )2 = 4𝑘 2 = 2𝑘 ′ , avec 𝑘 ′ = 2𝑘 2 .
On a donc : 𝑚2 = 2𝑘 ′ , avec 𝑘 ′ entier, d’où 𝑚2 est pair
2) Soient m et n deux nombres pairs. Donc, m=2k et n= 2k’, où k et k’ sont
deux entiers.
On a alors, 𝑚. 𝑛 = 2𝑘 × 2𝑘′ = 4𝑘. 𝑘′ = 2𝑘′′, avec 𝑘 ′′ = 2𝑘. 𝑘′ est un entier.
D’où 𝑚. 𝑛 est pair( on a démontrer Q).
Or, Q⇒ P pour le voir, il suffit de poser n=m, on aura donc
𝒏. 𝒎 = 𝒎𝟐 et donc 𝒎𝟐 𝒆𝒔𝒕 𝒑𝒂𝒊𝒓.
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ØRaisonnement par analogie:
un raisonnement par analogie procède à une
comparaison avant d’aboutir à une conclusion.
Pour discuter le raisonnement, on peut
étudier la pertinence des analogies étudiées.
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ELEMENTS DE LOGIQUE
• Exercices:
1.
Prouver par récurrence que la proposition suivante est vraie pour tout
entier naturel non nul n,
𝑷(𝒏): 𝟑𝟏 + 𝟑𝟐 + 𝟑𝟑 + 𝟑𝟒 + ⋯ 𝟑𝒏 =
𝟏 𝒏+𝟏
.𝟑
− 𝟑0
𝟐
2. démontrer par récurrence que la proposition suivante est vraie pour
tout entier naturel n,
𝟏
𝑷(𝒏): 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯ . +𝒏 = 𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
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Exercices:
3.
4.
Démontrer que √5 est un nombre irrationnel.
Démontrer « x pair ET y pair » ⇒ « x+y pair »
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FIN de la première partie
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