Cours de Mathématiques CHAPITRE 1 LANGAGE MATHEMATIQUE Première Année Sciences de Gestion ENCG AGADIR 2020- - 2021 1 Plan (première partie) 1. Eléments de logique Ø Ø Ø Ø Ø Définitions Opérations sur les propositions Quantificateurs logiques Techniques de démonstrations Exercices ENCG AGADIR 2020 - 2021 2 ELEMENTS DE LOGIQUE 1. Définitions: • Définition 1: On appelle Proposition une assertion qui est soit vraie, soit fausse, mais qui ne peut être les deux en même temps. Une Proposition doit être définie de manière aussi précise que possible; faute de quoi on ne peut affirmer si cette proposition est vraie ou fausse. • Exemples: ü « Tous les Hommes sont mortels » est une proposition vraie. ü « Tous les Hommes sont vivants » est une proposition fausse. ü L’assertion « il fait beau » n’est ni fausse ni vraie tant qu’on a pas donné une définition précise à ce que l’on entend par « faire beau ». ENCG AGADIR 2020 - 2021 3 ELEMENTS DE LOGIQUE ü Un barbier affirme « je ne rase que ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes » est une proposition fausse. En effet, si c’est vraie, alors il ne peut pas se raser lui-même, sinon il fait partie de ceux qui se rasent eux-mêmes or il ne peut pas les raser. S’il ne se rase pas lui-même, il contredit son affirmation, car alors il fait partie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes et doit donc se raser. Cette affirmation est donc tout le temps fausse. • Définition 2: o On désigne en général par P ou Q une proposition. o Les valeurs de vérité d’une proposition sont donnés par: V: qui exprime que la proposition est vraie. F: qui exprime que la proposition est fausse. ENCG AGADIR 2020 - 2021 4 ELEMENTS DE LOGIQUE • Définition 3: La négation d’une proposition P, notée « non P » a une valeur de vérité opposée à celle de P: lorsque P est vraie, non P est fausse. Et lorsque P est fausse, non P est vraie. On note la négation d’une proposition P par: Λ₯P • Exemple: Si P: « le Maroc est un pays africain » est une proposition vraie, alors non P: « le Maroc n’est pas un pays africain » est une proposition fausse. ENCG AGADIR 2020 - 2021 5 ELEMENTS DE LOGIQUE 2. Opérations sur les propositions: Soient P et Q deux propositions, les propositions qu’on peut générer à partir de P et Q sont: • P implique Q (P⇒Q): implication P est équivalent à Q (P⇔Q) : équivalence • Non P (Λ₯P ): négation • P et Q (PΛQ) : conjonction • P ou Q (PΛ Q) disjonction • ENCG AGADIR 2020 -2021 6 ELEMENTS DE LOGIQUE • L’implication: Soit deux propositions P et Q. S’il s’avère que lorsque P est une proposition vraie, alors Q est nécessairement une proposition vraie, on dit que P implique Q et on écrit: π ⇒ π . On dit aussi que: ü P est condition suffisante pour Q ( Si P alors Q); ü Q est condition nécessaire pour P (P seulement si Q). ENCG AGADIR 2020 - 2021 7 ELEMENTS DE LOGIQUE • Equivalence: Lorsque la température ambiante dans une pièce descend en dessous de 0 °C, tout eau contenue dans un récipient dans cette pièce se transforme en glace; l’eau est gelée. De même, si on observe de l’eau gelée dans une pièce, on sait que la température ambiante est en dessous de 0 °C. Si on pose la proposition P: « la température est sous 0 °C » et la proposition Q: « l’eau gèle » on voit que:π· ⇒ πΈ et πΈ ⇒ π· Chacune des propositions implique l’autre, elles sont donc équivalentes et on écrit: π· ⇔ πΈ ENCG AGADIR 2020 - 2021 8 ELEMENTS DE LOGIQUE π • Equivalence: Exemple: Soit la proposition P: « π est un nombre pair » et la proposition Q: « π = ππ » où n est un entier naturel, on a alors P⇔ Q. En effet, on a P⇒Q, car si a est pair, alors a est divisible par 2, on peut donc écrire « a= 2n » . D’autre part, on a Q⇒ P. En effet, si a= 2n avec n entier, alors , a est divisible par 2, donc c’est un nombre pair. ENCG AGADIR 2020 - 2021 9 ELEMENTS DE LOGIQUE • La conjonction: Soit deux propositions P et Q, la conjonction de P et Q est l’ensemble des éléments qui vérifient à la fois P et Q. • La disjonction: Soit deux propositions P et Q, la disjonction de P et Q représente l’ensemble des éléments qui vérifient soit P, soit Q, soit P et Q à la fois. ENCG AGADIR 2020 - 2021 10 ELEMENTS DE LOGIQUE • Exemple: Soit l’ensemble des étudiants de la première année de L’ENCG d’Agadir, P: la proposition « prend des notes lors du cours de mathématiques », et la proposition Q: « a acheté ce manuel ». ü La conjonction : « P ET Q » est l’ensemble des étudiants qui prennent des notes du cours et qui ont acheté ce manuel. ü La disjonction: « P OU Q » est l’ensemble des étudiants qui soit prennent des notes du cours, soit ont acheté ce manuel, soit les deux. ENCG AGADIR 2020 - 2021 11 ELEMENTS DE LOGIQUE 2. Opérations sur les propositions: Pour chaque proposition, on définit les valeurs de vérités de ces propositions par les tables de vérités: • les connecteurs implication et équivalence: soient P et Q deux propositions, on définit alors les propositions P⇒Q et P⇔Q comme suit: P Q P⇒Q P⇔Q V V V V V F F F F V V F F F V V ENCG AGADIR 2020 – 2021 12 ELEMENTS DE LOGIQUE 2. Opérations sur les propositions: • Le connecteur NON: Soit P une proposiQon, on déο¬nit les valeurs de vérités de la proposiQon Λ₯P dans le tableau suivant: P Λ₯P V F F V ENCG AGADIR 2020 - 2021 13 ELEMENTS DE LOGIQUE 2. Opérations sur les propositions: • Les connecteurs OU et ET : P Q P Λ Q P Λ Q V V V V F F F F V F F V F V F V ENCG AGADIR 2020 - 2021 14 ELEMENTS DE LOGIQUE • Lois de Morgan: Soient P et Q deux propositions, alors on a: ü π" ≡ π ü((((((((( πΛ π) ≡ π* Λπ( ü((((((((( πΛπ) ≡ π(Λ π( (π ⇒ π) ≡ πΛπ( ü((((((((((( ENCG AGADIR 2020 - 2021 15 ELEMENTS DE LOGIQUE • La distributivité des connecteurs: Soient P, Q et R trois propositions, alors on a les équivalences suivantes: ü πΛ (πΛ π ) ≡ (πΛ π )Λ(πΛ π ) üπΛ(πΛ π ) ≡ (πΛπ )Λ (πΛπ ) ENCG AGADIR 2020 - 2021 16 ELEMENTS DE LOGIQUE • Théorème: Soient P et Q deux propositions, on a: üπ ⇒ π ≡ (π' Λ π ) * ⇒ π' üπ ⇒ π ≡ π üπ ⇔ π ≡ (π ⇒ π)Λ(π ⇒ π) ENCG AGADIR 2020 – 2021 17 ELEMENTS DE LOGIQUE 3. Quantificateurs logiques: Comme le nom l’indique, les quantificateurs nous permettent de quantifier, c’està dire de déterminer le quantité d’un objet ou d’une variable. Le langage courant a ce défaut d’être parfois ambigu sur la quantification indiquée. Par exemple, les phrases suivantes « un mouton est blanc » et « un mouton est noir ». D’un point de vue syntaxique, les deux phrases sont proches l’une de l’autre et pourtant les deux phrases renvoient à un sens bien différent. o La première phrase signifie qu’en général, un mouton est blanc. o La second au contraire vise un mouton particulier. Pour éviter tout ambiguïté, on introduit les deux symboles logiques, appelés quantificateurs: ENCG AGADIR 2020 - 2021 18 ELEMENTS DE LOGIQUE 3. Quantificateurs logiques: Ø Le symbole ∀, se lit « pour tout » ou « quelque soit » et s’appelle quantificateur universel. Ø Le symbole ∃, se lit « il existe » et s’appelle le quantificateur existentiel . ENCG AGADIR 2020 - 2021 19 ELEMENTS DE LOGIQUE 3. Quantificateurs logiques: Exemple: Soit Ω, un troupeau de moutons. • L’affirmation P: « tous les moutons du troupeau sont blancs », s’écrit : ∀ π ∈ π΄, π πππ πππππ • L’affirmation Q: « Il y a quelques moutons noirs dans ce troupeau », s’écrit: ∃ π ∈ π΄, πππ πππ π πππ ππππ. • L’affirmation R: « Il y a un unique mouton noir dans ce troupeau », s’écrit: ∃! π ∈ π΄, πππ πππ π πππ ππππ. ENCG AGADIR 2020 – 2021 20 ELEMENTS DE LOGIQUE 3. Quantificateurs logiques: Remarque: Lorsqu’une proposition est composée de plusieurs quantificateurs, l’ordre dans lequel ceux-ci apparaissent est très important. On ne peut changer la place que de deux quantificateurs identiques, sous peine de changer le sens de la proposition. Exemple 1: « pour toute personne, il existe une maison », veut dire que chaque personne habite dans une maison. Par contre, l’affirmation « il existe une maison pour toutes les personnes », renvoie au sens que tout le monde habite la même maison, ce qui est complètement différent de la première affirmation. ENCG AGADIR 2020 - 2021 21 ELEMENTS DE LOGIQUE 3. Quantificateurs logiques: Exemple 2: La propriété: π·: ∀ π ∈ Ν, ∃ π ∈ Ν πππ πππ π = π, exprime le fait que pour tout entier naturel n, il existe un entier m qui lui égal. Cette proposition est vraie, il suffit de prendre m=n. Par contre, si on change l’ordre d’apparition des quantificateurs : π·: ∃ π ∈ Ν, ∀ π ∈ Ν, π = π, qui se lit « il existe un entier π, tel que pour tout entier n, on a m=n » . cette proposition est clairement fausse, il n’existe aucun entier qui soit égal à tous les entiers. ENCG AGADIR 2020 - 2021 22 ELEMENTS DE LOGIQUE 4. Techniques de démonstration: Ø Raisonnement par contraposé: Le raisonnement par contraposée consiste à démontrer que la proposition P⇒ Q est vraie en démontrant que la contraposée Λ₯Q ⇒ Λ₯ P est vraie. Exemple: ( à faire) prouver que si ππ πππ ππππππ, πππππ π πππ ππππππ. ENCG AGADIR 2020 - 2021 23 ELEMENTS DE LOGIQUE 4. Techniques de raisonnement: Ø Raisonnement par absurde: L’intuition derrière une démonstration par l’absurde repose sur le fait que si une proposition ne peut pas être fausse, alors elle est forcément vraie. Le point de départ de la démonstration consiste à supposer que la proposition est fausse, ET de montrer que cette supposition nous mène à une impossibilité ou une contradiction. Donc la proposition doit être vraie. ENCG AGADIR 2020 - 2021 24 ELEMENTS DE LOGIQUE Ø Raisonnement par récurrence: Une démonstration par récurrence ne peut être appliquée que pour les propositions qui dépendent d’un entier naturel n. On peut indiquer cette dépendance d’une proposition P à un entier naturel n par la notation: P(n). Par exemple si on prend la proposition P: « si n est pair, alors son carré est pair » on observe que: 2 est pair et 22 = 4 est pair ; 4est pair et ππ = ππ est pair ; 6 est pair et ππ = ππ pair ; 8 est pair et ππ = ππ est pair . ENCG AGADIR 2020 - 2021 25 ELEMENTS DE LOGIQUE ØRaisonnement par récurrence: Ces premières vérifications nous mènent à penser que, si on continue la série, on obtiendra le résultat général: « si un entier naturel est pair, alors son carré est pair ». Ce qui très important à ce stade, en vue d’établir un raisonnement par récurrence, c’est d’être en mesure de spécifier la proposition en fonction de n, valide pour n’importe entier naturel n. Il ne peut y avoir de trou comme c’est le cas ici, où doivent être laisser de côté les entiers impairs. La spécification correcte est donc: π·(π): « (π. π) est pair, alors (π. π)π est pair » En vue de prouver que cette formule est valide pour n’importe quel entier k ENCG AGADIR 2020 - 2021 26 ELEMENTS DE LOGIQUE ØRaisonnement par récurrence: On suit les étapes: • La propriété est vraie pour 2; • On suppose que: • π·(π): « (ππ) est pair, alors (ππ)π = πππ est pair . » est une proposition VRAIE On examine ce qui se passe pour l’entier naturel k+1, c’est-à-dire en vérifié si la proposition: (à faire chez vous) π·(π + π): « π. (π + π) est pair, alors (π. (π + π))π est pair » ENCG AGADIR 2020 - 2021 27 ELEMENTS DE LOGIQUE ØRaisonnement par récurrence: Résumé (principe de récurrence): Soit π(π) une proposition établie pour tout π ∈ π , ou éventuellement valide à partir d’un certain rang π0 (c'est-à-dire pour tout π ≥ ππ . o Initiation : on a π·(π) ou π·(ππ ) est VRAIE ; o Hypothèse de récurrence : On suppose que pour un k donné, P(k) est VRAIE, ET en vérifié que cela implique que P(k+1) est VRAIE. Si c’est bien le cas, alors la proposition π(π) est vraie pour tout entier π ∈ π . ENCG AGADIR 2020 - 2021 28 ELEMENTS DE LOGIQUE ØDéduction directe: On considère la proposition: P: « le carré d’un nombre pair est un nombre pair ». Pour démontrer qu’une proposition P est vraie: o On démontre qu’une proposition Q vraie entraine que P est vraie: Q ⇒ P. D’une manière générale, on peut même recourir à une chaîne de déduction logique utilisant plusieurs propositions: Q ⇒R ⇒M ⇒ P. Un autre cas de figure s’observe si P repose sur un ensemble d’hypothèses H: o On montre alors que si ces hypothèses H sont vérifiées, alors P est vraie: H ⇒ P. ENCG AGADIR 2020 - 2021 29 ELEMENTS DE LOGIQUE ØDéduction directe: La différence entre les deux approches est que: • dans le dernier cas, on ne discute pas les hypothèses, on ne doit pas les prouver. Il faut juste vérifier que, si elles sont observées, alors elles impliquent bien P. • Dans l’autre approche, il faut montrer que l’implication P ⇒ Q est VRAIE, ainsi que démontrer Q. ENCG AGADIR 2020 - 2021 30 ELEMENTS DE LOGIQUE ØDéduction directe: Exemple: Soit • hypothèses H: m et n deux entiers naturels pairs. • La proposition P: « le carré d’un nombre pair est un nombre pair » • La proposition Q: «le produit de deux nombres pairs est un nombre pair ». 1) Démontrer P directement à partir de H: m est un nombre pair. 2) Démontrer P à partir de Q. ENCG AGADIR 2020 - 2021 31 ELEMENTS DE LOGIQUE Réponse: 1) Prouvons que H⇒P. On a m est un nombre pair, donc m s’écrit m= 2k, avec k entier. D’autre part on a: π2 = (2π )2 = 4π 2 = 2π ′ , avec π ′ = 2π 2 . On a donc : π2 = 2π ′ , avec π ′ entier, d’où π2 est pair 2) Soient m et n deux nombres pairs. Donc, m=2k et n= 2k’, où k et k’ sont deux entiers. On a alors, π. π = 2π × 2π′ = 4π. π′ = 2π′′, avec π ′′ = 2π. π′ est un entier. D’où π. π est pair( on a démontrer Q). Or, Q⇒ P pour le voir, il suffit de poser n=m, on aura donc π. π = ππ et donc ππ πππ ππππ. ENCG AGADIR 2020 - 2021 32 ELEMENTS DE LOGIQUE ØRaisonnement par analogie: un raisonnement par analogie procède à une comparaison avant d’aboutir à une conclusion. Pour discuter le raisonnement, on peut étudier la pertinence des analogies étudiées. ENCG AGADIR 2020 - 2021 33 ELEMENTS DE LOGIQUE • Exercices: 1. Prouver par récurrence que la proposition suivante est vraie pour tout entier naturel non nul n, π·(π): ππ + ππ + ππ + ππ + β― ππ = π π+π .π − π0 π 2. démontrer par récurrence que la proposition suivante est vraie pour tout entier naturel n, π π·(π): π + π + π + β― . +π = π(π + π) π ENCG AGADIR 2020 - 2021 34 ELEMENTS DE LOGIQUE Exercices: 3. 4. Démontrer que √5 est un nombre irrationnel. Démontrer « x pair ET y pair » ⇒ « x+y pair » ENCG AGADIR 2020 - 2021 35 FIN de la première partie ENCG AGADIR 2020 - 2021 36
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