 부울 대수 법칙과 적용
◦ 식의 간략화란?
◦ 식의 보수 구하기
◦ 곱셈전개와 인수화
 진리표 사용법
 Ex-0r 연산 및 등가 연산 정의
 합의 정리
3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions
 주어진 논리곱의 합이나, 논리합의 곱식의 형태는 두 개의 분배 법칙을 사용
하여 곱셈전개로 얻을 수 있다.
X (Y  Z )  XY  XZ
(3  1)
( X  Y )( X  Z )  X  YZ
(3  2 )
 이와 더불어 다음 정리는 인수화와 곱셈전개에 유용한 정리이다. 이식에서
한쪽은 X와 짝을 하고, 다른 한쪽은 X’와 짝을 짓고 있다.
( X  Y )( X   Z )  XZ  X Y
(3  3)
증명)
만약 X = 0이라면 식(3-3)은 Y(1+Z) = 0 + Y 또는 Y = Y가 된다.
만약 X = 1이라면 식(3-3)은 (1+Y)Z = Z 또는 Z = Z가 된다.
식이 X = 0, X = 1에 대해 만족하므로 항상 성립한다.
3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions
AB  AC  ( A  C )( A  B )
 이와 같이 한 항은 변수를, 다른 항은 그 변수의 보수형태를 갖는 두항의 합
을 가질 때 적용할 수 있는 정리이다.
경우 1)
(Q  AB )(C D  Q )  QC D  Q AB 
경우 2)
(Q  AB )(C D  Q )  QC D  QQ   AB C D  Q AB 
 QC D  AB C D  Q AB 
일반적으로 식을 곱셈 전개할 때 식(3-1)과 식(3-2), 식(3-3)을 사용한다. 곱
셈 전개할 때 불필요한 항들의 발생을 피하기 위하여 일반적으로 식(3-1)을 적
용하기 전에 식(3-2)와 식(3-3)을 적용하고, 항들을 그룹화 하여야 한다.
3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions
예제
( A  B  C )( A  B  D )( A  B  E )( A  D   E )( A  C )
 ( A  B  C ' D )( A  B  E )( AC  A' ( D ' E ))
 ( A  B  C DE ) AC  A( D   E ) 
 ( A  B  C DE ) AC  AD   AE 
 AAC  AAD   AAE  BAC  BAD   BAE  C DEAC  C DE AD   C DE AE
 AC  ABC  ABD   ABE  AC DE
 AC (1  B )  ABD   ABE  AC DE
 AC  ABD   ABE  AC DE
이 예에서 만약 일반 분배법칙 식(3-1)을 사용하여 승산출력을 구하면 162개
의 항이 발생할 것이고, 이들 중에서 158항을 소거해야 4개의 항이 남게 된다.
3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions
인수화 예제
AC  ABD   ABE  AC DE
 AC  A( BD   BE  C DE )
 ( A  BD   BE  C DE )( A  C )
  A  C DE  B ( D   E ) ( A  C )
 ( A  C DE  B )( A  C DE  D   E )( A  C )
 ( A  B  C DE )( A  D   E  C DE )( A  C )
 ( A  B  C DE )( A  D   E (1  C D ))( A  C )
 ( A  B  C DE )( A  D   E )( A  C )
 ( A  B  C )( A  B  D )( A  B  E )( A  D   E )( A  C )
3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations
 배타적-OR(exclusive-OR)의 연산
00  0
0 1  1
1 0  1
11  0
 배타적-OR(exclusive-OR)의 진리표
X = 1또는 Y = 1이고, 둘다 같지 않을
X Y
X Y
때 배타적-OR의 결과는 1이다. 이러한
0
0
0
배타적-OR는 X가 0이고 Y가 1 또는 X
0
1
1
가 1이고 Y가 0인 경우이므로 AND와
1
0
1
1
1
0
OR 게이트를 이용해 다음과 같이 쓸 수
있다.
X  Y  X Y  XY 
X  Y  ( X  Y )( XY )  ( X  Y )( X   Y )  XY   X Y
3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations
 배타적-OR(exclusive-OR)의 게이트 기호
X
Y
X  Y  X Y  XY 
 배타적-OR(exclusive-OR)에 대한 정리
X 0  X
X 1  X 
X X 0
X  X 1
X Y  Y  X
( X  Y )  Z  X  (Y  Z )  X  Y  Z
X (Y  Z )  XY  XZ
( X  Y )  X  Y   X   Y  XY  X Y 
3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations
분배법칙에 대한 증명
XY  XZ  XY ( XZ )  ( XY ) XZ  XY ( X   Z )  ( X   Y ) XZ
 XYX   XYZ   X XZ  Y XZ
 XYZ   Y XZ
 X (YZ   Y Z )  X (Y  Z )
 등가연산(
 )의 정의

X Y
에 대한 진리표
( 0  0)  1
(0  1)  0
X Y
X Y
(1  0)  0
(1  1)  1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations
등가의 정의로 부터 X=Y이면 1임을 알 수 있다. X=Y=1 또는 X=Y=0일 때
(X  Y ) 1
이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
( X  Y )  XY  X Y 
등가는 배타적 –OR의 보수이다.
( X  Y )  ( X Y  XY )  ( X  Y )( X   Y )
 XX   XY  X Y   Y Y  XY  X Y 
 등가연산에 논리기호
 등가연산에 기호
A
B

X Y
A
B
( X  Y )  X  Y
3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations
다음 식을 간략화하라.
F  ( AB  C )  ( B  AC )
 ( AB )C  ( AB )C   B( AC )  B ( AC )
  ABC  ( A  B)C    ABC   B ( A  C )
 ABC  AC   BC   ABC   AB  BC
 B ( AC  A  C )  C ( A  B  AB)
 B ( A(C  1)  C )  C ( A  B(1  A))
 B ( A  C )  C ( A  B)
등가 및 배타적-OR에 대한 유용한 식
( XY   X Y )  XY  X Y 
(3-19)
3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations
연습문제) Algebraically prove the following identities
x  y  x  y  xy
3.3 The Consensus Theorem
 합의 정리
 합의 정리는 부울식을 간소화하는데 매우 중요한 역할을 한다 .
XY  X Z  YZ 형태로 주어지는 경우 YZ 는 중복되는 항으로 소거되어
XY  X Z 로 표시할 수 있다.
 소거된 항을 합의 항(Consensus term)이라고 한다. 두 항으로 된 식에서
한쪽 항에는 한 변수가, 다른 한쪽에는 그 변수의 보수가 있을 경우, 합의 항
은 변수에 보수를 취한 쪽의 남은 변수와 보수를 취하지 않은 쪽의 남은 변수
를 곱한 것이다.
ab  ac
abd  bde
 adde  ade
abd  abd 
 0
 bc
3.3 The Consensus Theorem
 합의 정리
XY  X Z  YZ  XY  X Z
증명)
XY  X Z  YZ  XY  X Z  ( X  X )YZ
 XY  XYZ  X Z  X YZ
 XY (1  Z )  X Z (1  Z )
 XY  X Z
ab  ac  bc  bc  ab  ab  ac  bc
 합의 정리의 쌍대
( X  Y )( X   Z )(Y  Z )  ( X  Y )( X   Z )
3.3 The Consensus Theorem
예제
AC D  ABD  BCD  ABC  AC D
 AC D  ABD  ABC  AC D
 BCD 항을 합의 정리에 의해서 소거한 경우이다. 그러나 경우에 따라서 이
항을 소거하지 않고, 이 항과 결합하는 합의 항을 찾으면 다음과 같다.
AC D  ABD  BCD  ABC  AC D
 AC D  BCD  AC D
3.3 The Consensus Theorem
예제
F  ABCD  BCDE  AB  BCE 
 ABCD  BCDE  AB  BCE   ACDE
 AB  BCE   ACDE
 ACDE는 더 이상 중복되는 항이 아니며, 마지막 식에서 생략될 수 없다.
3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions
 부울대수 법칙과 정리를 사용하여 스위칭 식을 간략화하기 위한 방법
 수식을 간략화하는 것은 게이트를 사용하여 회로를 구현할 때 게이트 수가
줄어서 회로구성 비용을 줄이기 때문에 중요하다.
1. 항들의 조합
 두 항을 조합하기 위한 정리 XY  XY   X
abcd   abcd   abd 
를 이용한다.
X  ab d , Y  c
 이 정리를 사용하여 항을 조합할 때, 조합되는 두 항은 반드시 같은 변수를
가져야 하고, 변수들 중의 한 변수는 한 항에 보수형태로 표현되어야 하고 다
른 항은 보수가 아니어야 한다.
3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions
 또한 X  X  X
이기 때문에 주어진 항은 반복할 수 있고, 둘 이상의
다른 항과 조합될 수 있다.
abc  abc  abc  abc  abc  abc  abc
 ac  bc
( a  bc )( d  e)  a (b  c)( d  e)  d  e
X  d  e, Y  a  bc , Y   a(b  c)
2. 항들의 소거
 가능하다면 중복된 항을 소거하기 위하여
X  XY  X
를 사용하라.
그리고 나서 임의의 합의항을 소거하기 위해 합의항의 정리를 적용해 보라.
3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions
a b  a bc  a b [ X  a b ]
a bc  bcd  a bd  a bc  bcd
[ X  c, Y  bd , Z  a b ]
3. 문자들의 소
거
 중복된 문자를 소거하기 위하여 X  X Y  X  Y
를 사용하라.
이 정리를 적용하기 전에 간단한 인수화를 먼저 하는 것이 필요하다.
AB  AB C D  ABC D   A( B  B C D )  ABC D 
 A( B  C D )  ABC D 
 AB  AC D   ABC D 
 B ( A  AC D )  AC D 
 B ( A  CD )  AC D 
 AB  BCD   AC D 
3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions
4. 중복항 도입
xx 을 더하거나, ( x  x) 을 곱하거나, yz 를 xy  xz
에 더하거나, x 에 xy 를 더하여 중복항을 도입할 수 있다.
 중복항은
WX  XY  X Z   WY Z   WX  XY  X Z   WY Z   WZ 
 WX  XY  X Z   WZ 
 WX  XY  X Z 
3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions
예제
F  ABC D  ABC D  ABD  ABC D  ABCD  ACD  BCD
 A' C ' D ' BD( A' AC )  ACD ' B ' CD '
 A' C ' D ' A' BD  BCD  ACD ' B ' CD ' ABC
 A' C ' D ' A' BD  B ' CD ' ABC
예제
F  ( A  B  C )( A  B  C )( B  C )( A  C )( A  B  C )
 ( A' B ' )( B 'C )( A  C )  ( A' B ' )( A  C )
3.5 Proving the Validity of a Equation
 임의의 등식이 모든 변수 값들의 조합에 대하여 타당한지 결정하는 방법
1. 진리표를 만들고 변수들의 모든 가능한 조합에 대해 등식의 양변을
평가한다.
2. 등식의 한 변이 다른 변과 같아질 때까지 다양한 정리를 적용한다.
3. 등식의 양변이 같도록 간략화 한다.
4. 거꾸로 연산할 수 있는 등식의 양변에 똑 같은 연산을 수행하는 것을
허용한다. 예를 들면, 식의 양변에 보수를 취하는 것은 가능하지만,
같은 식으로 양변을 곱해서는 안 된다.
3.5 Proving the Validity of a Equation
 등식이 성립함을 보여라
ABD  BCD  AB C   ABD  BC D  AD  ABC
ABC D  ( A  BC )( A  C D)  BC D  ABC 
 ABCD  AC D  ABD  ABC D  BC D
3.5 Proving the Validity of a Equation
 일반 대수학에서의 소거의 법칙
x  y  x  z이면
yz
 부울 대수학에서의 소거의 법칙
x  y  x  z이면
x  1, y  0, z  1이면
yz
yz
 부울 대수학에서의 소거의 법칙
y  z이면
x y  xz
x  1, y  0, z  1이면
yz
 부울 대수의 법칙과 정리 적용
◦ 식의 간략화 방법
◦ 식의 보수 구하기. 곱셈전개와 인수화
 진리표를 사용하여 방법
 EX-or와 등가 연산을 이용한 기본 정리
 항을 정리 하기 위한 합의 정리