부울 대수 법칙과 적용 ◦ 식의 간략화란? ◦ 식의 보수 구하기 ◦ 곱셈전개와 인수화 진리표 사용법 Ex-0r 연산 및 등가 연산 정의 합의 정리 3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions 주어진 논리곱의 합이나, 논리합의 곱식의 형태는 두 개의 분배 법칙을 사용 하여 곱셈전개로 얻을 수 있다. X (Y Z ) XY XZ (3 1) ( X Y )( X Z ) X YZ (3 2 ) 이와 더불어 다음 정리는 인수화와 곱셈전개에 유용한 정리이다. 이식에서 한쪽은 X와 짝을 하고, 다른 한쪽은 X’와 짝을 짓고 있다. ( X Y )( X Z ) XZ X Y (3 3) 증명) 만약 X = 0이라면 식(3-3)은 Y(1+Z) = 0 + Y 또는 Y = Y가 된다. 만약 X = 1이라면 식(3-3)은 (1+Y)Z = Z 또는 Z = Z가 된다. 식이 X = 0, X = 1에 대해 만족하므로 항상 성립한다. 3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions AB AC ( A C )( A B ) 이와 같이 한 항은 변수를, 다른 항은 그 변수의 보수형태를 갖는 두항의 합 을 가질 때 적용할 수 있는 정리이다. 경우 1) (Q AB )(C D Q ) QC D Q AB 경우 2) (Q AB )(C D Q ) QC D QQ AB C D Q AB QC D AB C D Q AB 일반적으로 식을 곱셈 전개할 때 식(3-1)과 식(3-2), 식(3-3)을 사용한다. 곱 셈 전개할 때 불필요한 항들의 발생을 피하기 위하여 일반적으로 식(3-1)을 적 용하기 전에 식(3-2)와 식(3-3)을 적용하고, 항들을 그룹화 하여야 한다. 3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions 예제 ( A B C )( A B D )( A B E )( A D E )( A C ) ( A B C ' D )( A B E )( AC A' ( D ' E )) ( A B C DE ) AC A( D E ) ( A B C DE ) AC AD AE AAC AAD AAE BAC BAD BAE C DEAC C DE AD C DE AE AC ABC ABD ABE AC DE AC (1 B ) ABD ABE AC DE AC ABD ABE AC DE 이 예에서 만약 일반 분배법칙 식(3-1)을 사용하여 승산출력을 구하면 162개 의 항이 발생할 것이고, 이들 중에서 158항을 소거해야 4개의 항이 남게 된다. 3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions 인수화 예제 AC ABD ABE AC DE AC A( BD BE C DE ) ( A BD BE C DE )( A C ) A C DE B ( D E ) ( A C ) ( A C DE B )( A C DE D E )( A C ) ( A B C DE )( A D E C DE )( A C ) ( A B C DE )( A D E (1 C D ))( A C ) ( A B C DE )( A D E )( A C ) ( A B C )( A B D )( A B E )( A D E )( A C ) 3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations 배타적-OR(exclusive-OR)의 연산 00 0 0 1 1 1 0 1 11 0 배타적-OR(exclusive-OR)의 진리표 X = 1또는 Y = 1이고, 둘다 같지 않을 X Y X Y 때 배타적-OR의 결과는 1이다. 이러한 0 0 0 배타적-OR는 X가 0이고 Y가 1 또는 X 0 1 1 가 1이고 Y가 0인 경우이므로 AND와 1 0 1 1 1 0 OR 게이트를 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다. X Y X Y XY X Y ( X Y )( XY ) ( X Y )( X Y ) XY X Y 3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations 배타적-OR(exclusive-OR)의 게이트 기호 X Y X Y X Y XY 배타적-OR(exclusive-OR)에 대한 정리 X 0 X X 1 X X X 0 X X 1 X Y Y X ( X Y ) Z X (Y Z ) X Y Z X (Y Z ) XY XZ ( X Y ) X Y X Y XY X Y 3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations 분배법칙에 대한 증명 XY XZ XY ( XZ ) ( XY ) XZ XY ( X Z ) ( X Y ) XZ XYX XYZ X XZ Y XZ XYZ Y XZ X (YZ Y Z ) X (Y Z ) 등가연산( )의 정의 X Y 에 대한 진리표 ( 0 0) 1 (0 1) 0 X Y X Y (1 0) 0 (1 1) 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations 등가의 정의로 부터 X=Y이면 1임을 알 수 있다. X=Y=1 또는 X=Y=0일 때 (X Y ) 1 이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. ( X Y ) XY X Y 등가는 배타적 –OR의 보수이다. ( X Y ) ( X Y XY ) ( X Y )( X Y ) XX XY X Y Y Y XY X Y 등가연산에 논리기호 등가연산에 기호 A B X Y A B ( X Y ) X Y 3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations 다음 식을 간략화하라. F ( AB C ) ( B AC ) ( AB )C ( AB )C B( AC ) B ( AC ) ABC ( A B)C ABC B ( A C ) ABC AC BC ABC AB BC B ( AC A C ) C ( A B AB) B ( A(C 1) C ) C ( A B(1 A)) B ( A C ) C ( A B) 등가 및 배타적-OR에 대한 유용한 식 ( XY X Y ) XY X Y (3-19) 3.2 Exclusive-OR and Equivalence Operations 연습문제) Algebraically prove the following identities x y x y xy 3.3 The Consensus Theorem 합의 정리 합의 정리는 부울식을 간소화하는데 매우 중요한 역할을 한다 . XY X Z YZ 형태로 주어지는 경우 YZ 는 중복되는 항으로 소거되어 XY X Z 로 표시할 수 있다. 소거된 항을 합의 항(Consensus term)이라고 한다. 두 항으로 된 식에서 한쪽 항에는 한 변수가, 다른 한쪽에는 그 변수의 보수가 있을 경우, 합의 항 은 변수에 보수를 취한 쪽의 남은 변수와 보수를 취하지 않은 쪽의 남은 변수 를 곱한 것이다. ab ac abd bde adde ade abd abd 0 bc 3.3 The Consensus Theorem 합의 정리 XY X Z YZ XY X Z 증명) XY X Z YZ XY X Z ( X X )YZ XY XYZ X Z X YZ XY (1 Z ) X Z (1 Z ) XY X Z ab ac bc bc ab ab ac bc 합의 정리의 쌍대 ( X Y )( X Z )(Y Z ) ( X Y )( X Z ) 3.3 The Consensus Theorem 예제 AC D ABD BCD ABC AC D AC D ABD ABC AC D BCD 항을 합의 정리에 의해서 소거한 경우이다. 그러나 경우에 따라서 이 항을 소거하지 않고, 이 항과 결합하는 합의 항을 찾으면 다음과 같다. AC D ABD BCD ABC AC D AC D BCD AC D 3.3 The Consensus Theorem 예제 F ABCD BCDE AB BCE ABCD BCDE AB BCE ACDE AB BCE ACDE ACDE는 더 이상 중복되는 항이 아니며, 마지막 식에서 생략될 수 없다. 3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions 부울대수 법칙과 정리를 사용하여 스위칭 식을 간략화하기 위한 방법 수식을 간략화하는 것은 게이트를 사용하여 회로를 구현할 때 게이트 수가 줄어서 회로구성 비용을 줄이기 때문에 중요하다. 1. 항들의 조합 두 항을 조합하기 위한 정리 XY XY X abcd abcd abd 를 이용한다. X ab d , Y c 이 정리를 사용하여 항을 조합할 때, 조합되는 두 항은 반드시 같은 변수를 가져야 하고, 변수들 중의 한 변수는 한 항에 보수형태로 표현되어야 하고 다 른 항은 보수가 아니어야 한다. 3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions 또한 X X X 이기 때문에 주어진 항은 반복할 수 있고, 둘 이상의 다른 항과 조합될 수 있다. abc abc abc abc abc abc abc ac bc ( a bc )( d e) a (b c)( d e) d e X d e, Y a bc , Y a(b c) 2. 항들의 소거 가능하다면 중복된 항을 소거하기 위하여 X XY X 를 사용하라. 그리고 나서 임의의 합의항을 소거하기 위해 합의항의 정리를 적용해 보라. 3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions a b a bc a b [ X a b ] a bc bcd a bd a bc bcd [ X c, Y bd , Z a b ] 3. 문자들의 소 거 중복된 문자를 소거하기 위하여 X X Y X Y 를 사용하라. 이 정리를 적용하기 전에 간단한 인수화를 먼저 하는 것이 필요하다. AB AB C D ABC D A( B B C D ) ABC D A( B C D ) ABC D AB AC D ABC D B ( A AC D ) AC D B ( A CD ) AC D AB BCD AC D 3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions 4. 중복항 도입 xx 을 더하거나, ( x x) 을 곱하거나, yz 를 xy xz 에 더하거나, x 에 xy 를 더하여 중복항을 도입할 수 있다. 중복항은 WX XY X Z WY Z WX XY X Z WY Z WZ WX XY X Z WZ WX XY X Z 3.4 Algebraic Simplification of Switching Expressions 예제 F ABC D ABC D ABD ABC D ABCD ACD BCD A' C ' D ' BD( A' AC ) ACD ' B ' CD ' A' C ' D ' A' BD BCD ACD ' B ' CD ' ABC A' C ' D ' A' BD B ' CD ' ABC 예제 F ( A B C )( A B C )( B C )( A C )( A B C ) ( A' B ' )( B 'C )( A C ) ( A' B ' )( A C ) 3.5 Proving the Validity of a Equation 임의의 등식이 모든 변수 값들의 조합에 대하여 타당한지 결정하는 방법 1. 진리표를 만들고 변수들의 모든 가능한 조합에 대해 등식의 양변을 평가한다. 2. 등식의 한 변이 다른 변과 같아질 때까지 다양한 정리를 적용한다. 3. 등식의 양변이 같도록 간략화 한다. 4. 거꾸로 연산할 수 있는 등식의 양변에 똑 같은 연산을 수행하는 것을 허용한다. 예를 들면, 식의 양변에 보수를 취하는 것은 가능하지만, 같은 식으로 양변을 곱해서는 안 된다. 3.5 Proving the Validity of a Equation 등식이 성립함을 보여라 ABD BCD AB C ABD BC D AD ABC ABC D ( A BC )( A C D) BC D ABC ABCD AC D ABD ABC D BC D 3.5 Proving the Validity of a Equation 일반 대수학에서의 소거의 법칙 x y x z이면 yz 부울 대수학에서의 소거의 법칙 x y x z이면 x 1, y 0, z 1이면 yz yz 부울 대수학에서의 소거의 법칙 y z이면 x y xz x 1, y 0, z 1이면 yz 부울 대수의 법칙과 정리 적용 ◦ 식의 간략화 방법 ◦ 식의 보수 구하기. 곱셈전개와 인수화 진리표를 사용하여 방법 EX-or와 등가 연산을 이용한 기본 정리 항을 정리 하기 위한 합의 정리
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