Vector
1. 2차원 좌표공간에서의 벡터
* 벡터의 표기
B
𝐴𝐵
A: initial point
B: end point
A
1) 벡터의 크기
𝐴𝐵
2) 두 벡터 𝐴𝐵, 𝐶𝐷의 동일
두 벡터가 크기가 같고 방향이 같은 경우,
두 벡터는 동일(equal)하다.
𝐴𝐵 = 𝐶𝐷
3) 벡터 𝐴𝐵의 음벡터(negative vector)
−𝐴𝐵 = 𝐵𝐴
벡터가 크기가 같고 방향이 반대인 경우
4) 스칼라곱
𝑘𝐴𝐵 (k ≠ 0)
5) 영벡터 (zero vector)
𝑘가 0인 경우,
𝑘𝐴𝐵 = 0
6) 두 벡터 𝐴𝐵, 𝐶𝐷의 평행
두 벡터가 방향이 같은 경우,
두 벡터는 평행(parallel)하다.
𝐴𝐵  𝐶𝐷
* 벡터의 덧셈과 뺄셈
1) 덧셈 : 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷
𝐴𝐵
𝐴𝐵
𝐶𝐷
𝐶𝐷
2) 뺄셈 : 𝐴𝐵 − 𝐶𝐷
𝐴𝐵 − 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 + −𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶)
* 좌표평면에서의 벡터
y
P(x1, y1)
𝑂𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 ) 위치 벡터
𝑂𝑃
x1, y1 : 벡터의 성분
O
x
* 벡터의 성분을 이용한 벡터의 연산
𝑎 = 𝑎1 , 𝑎2 ,
𝑏 = 𝑏1 , 𝑏2
1) 덧셈 : 𝑎 + 𝑏 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 )
2) 스칼라곱 : k𝑎 = (𝑘𝑎1 , 𝑘𝑎2)
3) 동일 : 𝑎 = 𝑏
𝑎1 = 𝑏1 𝑎𝑛𝑑 𝑎2 = 𝑏2
4) 뺄셈 : 𝑎 − 𝑏 = (𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2 )
* 벡터의 성질
1) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 : 교환법칙
2) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 : 결합법칙
3) 𝑎 + 0 = 𝑎 : 0 덧셈에 대한 항등원
4) 𝑎 + (−𝑎) = 0 : −𝑎 덧셈에 대한 역원
5) k 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
6) (𝑘1 + 𝑘2 )𝑎 = 𝑘1 𝑎 + 𝑘2 𝑎
7) 𝑘1 (𝑘2 𝑎) = (𝑘1 𝑘2 )𝑎
8) 0𝑎 = 0
* 크기
𝑎 = 𝑎1 , 𝑎2
𝑎 =
𝑎12 + 𝑎22
𝑎
𝑎2
𝑎1
* 단위벡터
크기가 1인 벡터
Ex) 임의의 벡터 𝑎와 동일한 방향의 단위벡터
→
𝑎
𝑎
* 𝒊, 𝒋 벡터
𝑖 = 1, 0
𝑖 : x축 방향의 단위벡터
𝑗 = 0, 1
𝑗 : y축 방향의 단위벡터
Ex) 임의의 벡터 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 )에 대해
𝑎 = 𝑎1 , 0 + 0, 𝑎2 = 𝑎1 1, 0 + 𝑎2 0, 1 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗
2. 3차원 좌표공간에서의 벡터
* 3차원 직교 좌표계
z
𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )
a3
𝑎
* 크기
𝑎 =
𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32
a2
y
a1
x
* 𝒊, 𝒋, 𝒌 벡터
𝑖 = 1, 0, 0
𝑎 = 𝑎1 𝑖 + 𝑎2 𝑗 + 𝑎3 𝑘
𝑗 = 0, 1, 0
𝑘 = 0, 0, 1
2차원 벡터의 성질은 3차원 벡터에서도 모두 성립
3. 내적 (dot product, scalar product)
* 내적의 정의
(0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋)
𝑎

𝑎 ∙ 𝑏 ≡ 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑏
𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )
𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) 인 경우
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
1
2
Ex) 𝑎 = 10, 2, −6 , 𝑏 = − , 4, −3 에 대해
𝑎 ∙ 𝑏 = −5 + 8 + 18 = 21
* 내적의 성질
1) 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 if 𝑎 = 0 or 𝑏 = 0 or 𝑎 ⊥ 𝑏
2) 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 : 교환법칙
3) 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 : 분배법칙
4) 𝑎 ∙ 𝑘𝑏 = 𝑘𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑘(𝑎 ∙ 𝑏)
5) 𝑎 ∙ 𝑎 ≥ 0
6) 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 2
 𝑎의 크기 : 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎
4. 외적 (cross product, vector product)
* 외적의 정의
𝑛
𝑎 × 𝑏 ≡ ( 𝑎 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑛
𝑏
𝑛 : 𝑎와 𝑏에 수직한 방향의 단위벡터

(오른손 법칙에 의해 정의됨)
𝑎
* 외적의 성질
1) 𝑎 × 𝑏 = 0 if 𝑎 = 0 or 𝑏 = 0 or 𝑎  𝑏
2) 𝑎 × 𝑏 = −𝑏 × 𝑎 : 교환법칙 성립하지 않음
3) 𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐)
4) (𝑎 + 𝑏) × 𝑐 = (𝑎 × 𝑐) + (𝑏 × 𝑐)
5) 𝑎 × 𝑘𝑏 = 𝑘𝑎 × 𝑏 = 𝑘(𝑎 × 𝑏)
6) 𝑎 × 𝑎 = 0
7) 𝑎 ∙ (𝑎 × 𝑏) = 0
8) 𝑏 ∙ (𝑎 × 𝑏) = 0
분배법칙
* 𝒊, 𝒋, 𝒌 벡터의 내적과 외적
𝑖 ∙ 𝑖 = 1,
𝑗 ∙ 𝑗 = 1,
𝑘∙𝑘 =1
𝑖 × 𝑖 = 0,
𝑗 × 𝑗 = 0,
𝑘×𝑘 =0
𝑖 × 𝑗 = 𝑘,
𝑗 × 𝑘 = 𝑖,
𝑘×𝑖=𝑗
𝑗 × 𝑖 = −𝑘,
𝑘 × 𝑗 = −𝑖,
𝑖 × 𝑘 = −𝑗