FB: Ngọc Ngân –  038 310 9009 –  Mỹ Đình – Từ Liêm – Hà Nội
LỚP TOÁN CHỊ NGÂN
 038 310 9009
FB: Ngọc Ngân
TỔNG HỢP CÔNG THỨC ĐẠI CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu nói hay : Động lực là thứ giúp bạn bắt đầu, thói quen là thứ giữ cho bạn đi tới.
I.
1.
2.
3.
CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC.
a  b
ac

b  c
a bac  bc
a  b
 ac  bc . Nhân hai vế với số dương thì bđt giữ chiều.

c  0
4.
a  b
 ac  bc . Nhân hai vế với số âm thì bđt đổi chiều.

c  0
5.
a  b
ac bd

c  d
6.
7.
ac b  a  bc
a  b  0
 ac  bd

c  d  0
8.
a  b  0
 a n  bn

n

N
*

9.
a  b 0 a  b
10. a  b  3 a  3 b
II.
BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
Định lí 1:
  a  a  a , a R

x  a  a  x  a với a  0

x  a
với a  0
x a 
 x  a
Định lí 2: a  b  a  b  a  b ( a, b R )
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
*) Định lí Cô-si (Cauchy) :Với các số a , b, c  0 ta có :
Dạng 1
Dạng 2
ab
 ab
2
Dạng 3
a  b  c  3 3 abc
abc 3
 abc
3
 abc 
abc  

3


a1  a2  ...  an  n. n a1 .a2 ...an
a1  a2  ...  an n
 a1 .a2 ...an
n
 a  a  ...  an 
a1 .a2 ...an   1 2

n


a  b  2 ab
ab
ab  

 2 
2
3
n
Tài liệu sưu tầm và biên soạn, nếu có chỗ nào sai sót mong quý độc giả góp ý để tài liệu hoàn thiện hơn 1
FB: Ngọc Ngân –  038 310 9009 –  Mỹ Đình – Từ Liêm – Hà Nội
a  b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c
a1  a2  ...  an
IV.
BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHI-A-CỐP-XKI
*) Định lí Bu-nhi-a-cốp-xki:
Với hai cặp số thực a,b và x,y ta có:
 ax  by    a2  b2  x 2  y 2  . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi
2
a b

x y
Với hai bộ số thực a,b,c và x,y,z ta có:
 ax  by  cz    a2  b2  c 2  x 2  y2  z 2  .Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi
2
V.
a b c
 
x y z
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Giải và biện luận bpt dạng ax  b  0
Định lí : ax  b  0 * 
b
a
b
TH2: Nếu a  0 thì  *   x  
a
TH3: Nếu a  0 thì  *   0x  b  0
TH1: Nếu a  0 thì  *   x  
KN1: b  0 thì  * vô nghiệm  S   
KN2: b  0 thì  * nghiệm đúng với mọi x thuộc R (S=R)
VI.
DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Nhị thức bậc nhất là gì? Là biểu thức có dạng f  x   ax  b trong đó a, b là hai số cho trước với
a0.
Dấu của nhị thức bậc nhất:
MẸO NHỚ : phải cùng trái khác
• Bảng xét dấu:
x
 
f x = ax  b

2
Trái dấu với a
0

Cùng dấu với a
Tài liệu sưu tầm và biên soạn, nếu có chỗ nào sai sót mong quý độc giả góp ý để tài liệu hoàn thiện hơn 2
FB: Ngọc Ngân –  038 310 9009 –  Mỹ Đình – Từ Liêm – Hà Nội
VII.
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Tam thức bậc hai là gì? Là biểu thức có dạng f  x   ax 2  bx  c  a  0 
Dấu của tam thức bậc hai:
MẸO NHỚ: Trong trái, ngoài cùng
• Bảng xét dấu:
x1

x
f x
Cùng
dấu
với a
0
x2
Trái
dấu
với a
0

Cùng
dấu
với a
Ứng dụng giải bài tập dấu của tam thức bậc hai:
Định lí : Cho f  x   ax 2  bx  c  a  0 
  0
f  x   0  x R  
a  0
  0
f  x   0  x R  
a  0
VIII.
  0
f  x   0  x R  
a  0
  0
f  x   0  x R  
a  0
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BPT CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN BẬC HAI
1.Phương trình.
Công thức:
 g  x   0
f x   gx   
2
 f  x   g  x 
2. Bất phương trình
1.
g x   0

f  x   g x    f  x   0

2
 f  x   g  x 
2.
g x   0

f  x   g x    f  x   0

2
 f  x   g  x 
3. f  x   g  x  * 
4. f  x   g  x  * 
 g  x   0
TH 1: 
2
 f  x   g  x 
TH 2: g  x   0
 g  x   0
TH 1: 
2
 f  x   g  x 
TH 2: g  x   0
VT  *   0

VP  *   0
 bpt luôn đúng x thỏa mãn g  x   0
VT  *   0

VP  *   0
 bpt luôn đúng x thỏa mãn g  x   0
Tài liệu sưu tầm và biên soạn, nếu có chỗ nào sai sót mong quý độc giả góp ý để tài liệu hoàn thiện hơn 3