Relación de problemas: Tema 4
1.-Un oscilador armónico del tipo bloque-muelle con k=23 N/m y m=0.47 kg tiene una
energía mecánica de 25 mJ.
a) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?
b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bloque?
c) ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando x=11 mm?
d) ¿Cúal es la distancia del bloque al centro cuando el módulo de su velocidad es de
0.25 m/s?
a)
Datos:
k = 23 N / m
m = 0.47 kg
E = 25 mJ = 0.025 J
1
2E
2 ⋅ 0.025
=
= 0.04662 m
E = kA2 → A =
2
k
23
A = 0.04662 m
b)
1
Ec = mv 2
2
1
2E
2 ⋅ 0.025
Ec max = mvmax 2 = E → vmax =
=
= 0.326 m / s
2
m
0.47
vmax = 0.326 m / s
c)
1
1
E = mv 2 + kx 2
2
2
2 E − kx 2
2 ⋅ 0.025 − 23 ⋅ 0.011
v=
=
m
0.47
v = 0.31695m / s
1
d)
1
1
E = mv 2 + kx 2
2
2
2 E − mv 2
2 ⋅ 0.025 − 0.47 ⋅ 0.252
x=
=
k
23
x = 0.02994 m
2.-Un reloj de péndulo que ha sido cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo
correcto en un lugar donde g= 9.823 m/s2 retrasa 40 s por día cuando se lleva a otro
lugar geográfico. ¿Cuánto vale g en ese lugar?
En un día retrasa 40 s. Luego el reloj con la nueva g tarda 3600·24·T+40 segundos en
marcar un día, donde T es su periodo (en segundos). Luego:
T=
3600 ⋅ 24 + 40
3600 ⋅ 24
Sabemos que para un péndulo:
T=
l
g
Si con g , T=1s → l = g1
1
1 T 2 T 2 1  3600 ⋅ 24+40 
Entonces: =
= =
g l g1 g1  3600 ⋅ 24 
g 2 = 9.814 m / s
3.-Un muelle tiene una longitud natural de 15 cm. Cuando le colgamos una masa de 50
g, queda en reposo con una longitud de 17 cm. Si ahora lo estiramos 5 cm, calcular:
a) La ecuación del movimiento (en la forma cosenoidal) si ponemos en marcha el
cronómetro cuando la masa pasa por primera vez por la posición de equilibrio.
b) Los valores de la elongación para los cuales la aceleración valga amax/2.
c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa desde su posición más baja
hasta la primera de las posiciones anteriores.
2
mg 50 ⋅ 9.8 ⋅10−3
k=
=
= 24.5 kg / s 2
−2
∆x0
2 ⋅10
a)
x = Asen (ωt + φ ) con ω 2 =
k
k
;ω =
= 22.14 rad / s
m
m
φ = 0 ya que en t = 0 pasa por la posición de equilibrio.
A= Amplitud o elongación máxima = 5 cm
x=5sen (ω t+0 )
x = 5senωt
b)
dx
= ω A cos (ωt + φ )
dt
dv
a = = −ω 2 Asen (ωt + φ ) = −ω 2 Asen (ωt + 0 ) → amax = −ω 2 a
dt
a
A
1
1
a = max = −ω 2 → senωt = → x = 5senωt = 5
2
2
2
2
x = 2.5 cm
v=
x (elongación correspondiente a
a max
A
)= ± 2.5 cm = ±
2
2
3
c)
−A
2
−A
2
−A
2
 2
1
1  A 1
W = ∫ Fdx = ∫ −kxdx = − kx 2  = − k  −  + kA =
2
2  2 2
− A
−A
−A
1
1 A2 3 2
= kA2 − k
= kA ≈ 0.023 J
2
2 4
8
W = 0.023 J
4.-Con un muelle, colgado de uno de sus extremos, se observa lo siguiente:
(1) Al colgar de su extremo libre un cuerpo de 500 g, su longitud inicial aumenta 15 cm.
(2) Al colgar de dicho extremo un peso de 2 kg y separarlo 20 cm de su posición de
equilibrio, el sistema efectúa un m.a.s.
Calcular para la situación (2):
a) El periodo de oscilación.
b) La velocidad máxima alcanzada por el cuerpo.
c) La aceleración máxima.
d) La aceleración y la velocidad del cuerpo cuando se encuentra a la mitad del camino
entre la posición de equilibrio y una de sus posiciones extremas.
e) El tiempo necesario para alcanzar el citado punto, partiendo de la posición de
equilibrio.
(1)
F = −kx
m g 0.5 ⋅ 9.81
= 32.7 N / m
k= 1 =
x
0.15
( 2)
(a)
ω=
m
k
2π
; T=
= 2π 2 = 1.55 s
m2
k
ω
T = 1.55 s
b)
x = A sin (ωt + φ ) ; v =
vmax = ω A =
k
A
m2
dx
dv
= ω A cos (ωt + φ ) ; a = = −ω 2 Asen (ωt + φ )
dt
dt
vmax = 0.81m / s
4
c)
amax = ω 2 A =
k
A
m2
amax = 3.27 m / s 2
d)
1
A
= Asenωt (φ = 0 ) senωt = → ωt = 30º
2
2
 A
 A
v   = ω A cos ωt = ω A ⋅ 0.866
v   = 0.699 m / s
2
2
 A  Aω 2
=
2
2
a
 A
2
 = 1.635 m / s
2
a
e)
1
π
π π m2
senωt = → ωt = → t =
=
2
6
6ω 6 k
t = 0.13 s
5.- Si la Tierra fuese una esfera homogénea y se hiciese un pequeño conducto recto de
polo a polo, al dejar caer por él un cuerpo, éste adquiriría un m.a.s.. ¿Por qué? Calcule
el periodo de ese movimiento.
Si se aplica la ley de Gauss para un punto en el interior de la
Tierra: R<RT
4
MT
g 4π R 2 = −4π G π R 3
4
3
π RT 3
3
Simplificando queda:
GM T ⌢
g=−
RR
RT 3
Siendo g el campo gravitatorio a una distancia R del centro de la Tierra.
Si se deja caer un cuerpo de masa m :
5
∑ F = ma , es decir:
−
GM T
d 2R
mR
=
ma
=
m
RT 2
dt 2
Luego
d 2R
GM T
=−
R ⇒ es un m.a.s.
2
dt
RT 3
con una ω =
T=
GM T
2π
R T3
π
y
T
=
=
2
ω
R T3
GM T
3π
ρG
6.-Un bloque cúbico de madera, de arista a =5 cm y masa m= 100 g, está flotando en un
estanque. Lo empujamos ligeramente hacia abajo y después lo soltamos; ¿Cuál será el
periodo de sus oscilaciones?
Bloque flotando en equilibrio.
Densidad agua:ρa
Volumen del cubo sumergido:Vcs
∑ F = ρaVcs g − ρcVc g = 0
ρaVcs = ρcVc
ρa y0 a 2 = ρc a3
6
Bloque oscilando.
∑ F = ρaVcs′ g − ρcVc g ≠ 0
Fresul = ρa a 2 ( y0 + y ) g − ρcVc g
Fresul = ρa a 2 y0 g − ρcVc g + ρa a 2 yg
Frecup = − ρa a 2 yg El signo se debe a que el sentido es contrario a y.
ρa a 2 g
d2y d2y
− ρa a yg = m 2 → 2 = −
y
m
dt
dt
ρ a2 g
mas con ω = a
m
2
ω
1 ρa a 2 g 1 1⋅ 52 ⋅ 980
υ=
=
=
= 2.49 Hz
2π 2π
m
2π
100
T = 0.4 s
7.-Un reloj regulado por un péndulo simple de periodo 0.11 s se coloca en un ascensor.
a) ¿Cuál es el periodo cuando el ascensor es acelerado hacia arriba con una aceleración
de módulo 0.5 g?
b) ¿Cuál es el periodo cuando el ascensor baja con una aceleración de módulo 0.5 g?
c) ¿Cuál es el periodo cuando el ascensor sube a una velocidad constante de 5.1 m/s?
d) Al empezar el día, el reloj de péndulo se encuentra dentro del ascensor en el piso
correspondiente al vestíbulo, y se ajusta a la misma hora del reloj del vestíbulo. El reloj
del péndulo y el del vestíbulo están calibrados de tal forma que marcan la misma hora si
permanecen inmóviles. Después de muchos viajes de subida y bajada del ascensor
durante el día, el reloj pendular vuelve a estar en el vestíbulo. ¿Marcan lo mismo los
relojes?
a)
Ascensor hacia arriba: ↑ a =
g
2

g 3
FT − mg = ma → FT = m ( g + a ) = m  g +  = mg
2 2

l
l
→ T1 = 2π
3
g
g
2
T1
2
2
2
=
→ T1 = T
= 0.11
T
3
3
3
T1 = 0.08981 s
T = 2π
7
b)
Ascensor baja: ↓ a =
g
2

g 1
mg − FT = ma → FT = m ( g − a ) = m  g −  = mg
2 2

T2 = 2π
l
g
2
T2
= 2 → T2 = T 2 = 0.11 2
T
T2 = 0.1556 s
c) A velocidad constante la aceleración es nula y el periodo no varía:
a = 0 → T = 0.11 s
d)
T= 0.11 s
- Reloj cuando el ascensor sube: T1 = 0.08981 s
- Reloj cuando el ascensor baja: T2 = 0.1556 s
Al bajar T2>T y no compensa cuando sube (T1<T)
T2 − T = 0.0456 s 
 el reloj se retrasa en total 0.0456 - 0.02019 = 0.02541 s
T − T1 = 0.02019 s 
Al acabar el día, el reloj habrá retrasado respecto al del vestíbulo.
8.-Un aro delgado de 1 m de radio y densidad lineal uniforme oscila libremente en torno
a un eje perpendicular a su plano que pasa por un punto de su borde.
a) ¿Cuál es el periodo para oscilaciones pequeñas?
b) Un pegote de cera cuya masa es igual al 12 por ciento de la masa del aro se coloca en
el punto de borde diametralmente opuesto al de suspensión, ¿cuál es ahora el periodo de
las pequeñas oscilaciones?
8
a)
R = 1m
Plano de giro = plano del anillo
T=
2π
ω
∑ M = −mgR sin θ ≃ −mgRθ = I
d 2θ
dt 2
 mgR 
d 2θ
mgR
= −
θ → ω =
2
I
dt
 I 
I
T = 2π
mgR
R = distancia del cm al centro de oscilación O.
I = momento de inercia del aro respecto a O.
I cm = ∫ r 2 dm = ∫ R 2 dm = R 2 ∫ dm = mR 2
Por Steiner: I = I cm + mR 2 = 2mR 2
T = 2π
2mR 2
2R
= 2π
mgR
g
T = 2π
2 ⋅1
→ T = 2.83845 s
9.8
b)
I′
m′gR′
m′ = m + mc = m + 0.12m = 1.12m
T ′ = 2π
I ′ = I + ( 0.12m )( 2 R ) = 2mR 2 + 0.48mR 2 = 2.48mR 2
2
mR + 0.12m2 R 1.24
=
R′ = ycm′ =
R
m + 0.12m
1.12
2.48mR 2
2R
T ′ = 2π
= 2π
→ T′ =T
1.24
g
1.12mg
R
1.12
9
9.- Una regla uniforme de longitud L=1 m, está suspendida de un extremo.
a) Determine el periodo de oscilación Te para pequeños desplazamientos angulares;
compare el resultado obtenido con el periodo de oscilación que se tendría si toda la
masa se localizara:
i) En el centro de masas (Tcm).
ii) En el extremo inferior (TL).
iii) ¿Cuál de los tres periodos es mayor?, ¿por qué?
b) Determine el periodo de oscilación (TP) si está suspendida de un punto P a una
distancia x del centro de masas.
Calcule el periodo de oscilación para x=L/6 (TL/6) y para x=L/2 (TL/2).
Comente los resultados obtenidos.
c) Determine el valor de x para que el periodo sea mínimo.
a)
L = 1m
I
mgd
Péndulo físico: T = 2π
con d=distancia del cm al punto de suspensión.
Colgada del extremo e:


1 2
 L
mL
mg   
2L
3
= 2π
 2   Te = 2π
3g
L

mg  
1 2

2
I e = mL

3
Te = 2π
Ie
Te = 1.638 s
a.i)
m localizada en el cm → Tcm = 2π
I cm
L
mg  
2
2
L
1
I cm = m   = mL2
4
2
1 2
L
mL
2 → T = 1.419 s
Tcm = 2π 4
= 2π
cm
g
L
mg  
2
Tcm = periodo del péndulo simple de longitud L/2
10
a.ii)
m localizada en el extremo L → TL = 2π
IL
mgL
I L = mL2
TL = 2π
mL2
L
= 2π
→ Tcm = 2.007 s
mgL
g
TL = periodo del péndulo simple de longitud L
a.iii)
Tcm < Te < TL debido a que Icm < I e < I L
b)

L2

+ x2

12
 TP = 2π
gx
1
2
2
2
I P = I cm + mx = mL + mx 
12

TP = 2π
IP
mgx
 6
6
L2 L2
L + 
+
12 36 
L
4L
x = → TL /6 = 2π 12 36 = 2π 
→ TL /6 = 2π
L
6
g
6g
g
6
 2 2
L2 L2
L + 
+
12 4 
L
4L
x = → TL / 2 = 2π 12 4 = 2π 
→ TL / 2 = 2π
L
2
g
6g
g
2
TL /6 = TL / 2 = 1.639 s
c)
TP = mínimo →
∂TP
=0
∂x
1
−
 L2
2
2
 L2
2
xgx
−
g
+
x
2


 12
1  12 + x 


2π
=0
2  gx 
g 2 x2




 L2

2 x −  + x 2  = 0
 12

2
L2
L
x = → x=
= 0.299 m
12
12
2
11
10.-El péndulo de un reloj normalmente oscila describiendo un arco de longitud 135
mm. El mecanismo funciona gracias a una pesa que cae hacia abajo. Una vez que la
pesa ha llegado a la base del reloj a las 9:17 horas, la longitud del arco disminuye hasta
95 mm a las 9:22 horas. Teniendo en cuenta que el reloj se para si la longitud del arco es
inferior a 50 mm. Determinar:
a) La constante γ para este movimiento.
b) La hora a la que se para el reloj.
a)
A′ = Ae−γ t
9 :17 → arco normal: 135 mm
9 : 22 → arco menor: 95 mm
En 9:17 tomamos t = 0 y A = 135 mm
Pasados 5 minutos: 95 = 135e−γ 5 → γ = 0.07028min −1
b)
El reloj se para a los 50 mm:
50 = 135e−γ t → t = −
ln
50
135 = 14.1328min
γ
El reloj se para a las: 9 :17 + 14.1328min ≃ 9 :31horas
11.-Una moneda permanece en reposo sobre una plataforma horizontal que realiza un
movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia ν.
a) Si la plataforma oscila verticalmente, ¿cuál es el valor máximo de A que permite a la
moneda permanecer en contacto permanente con la plataforma?
b) Supongamos ahora que la plataforma oscila horizontalmente y que µ es el coeficiente
de rozamiento estático entre la moneda y la plataforma. ¿Cuál es el valor máximo de A
que permite a la moneda permanecer en reposo respecto a la plataforma?
12
a)
P − N = ma
La aceleración máxima corresponderá a N = 0 → amax = g
En el oscilador armónico amax = Aω 2 luego:
A max =
amax
ω
2
=
g
4π 2υ 2
b)
Fr = N µ = mg µ 
 amax = µ g
Fr = ma

En el oscilador armónico implicará: Amax =
µg
4π 2υ 2
12.-Por la garganta de una polea, cuya masa m = 800 g puede considerarse concentrada
en su periferia, pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo
cuelga una masa M = 200 g y el otro extremo del hilo está atado a un resorte vertical de
constante elástica K = 16·105 dinas cm, que a su vez está fijo al suelo por su otro
extremo. Calcule el periodo de las pequeñas oscilaciones de M.
(Página 223 del Tebar-Flores)
Debe ser un movimiento armónico simple.
Cuando el sistema está en reposo la fuerza que actúa sobre el resorte es Mg y debe
cumplirse:
Mg = kx0 (1)
Donde hemos llamado x0 al alargamiento del resorte en esta posición de equilibrio.
13
Si desplazamos ligeramente la masa M y tiramos de ella hacia abajo:
T2 = k ( x0 + x ) (2)
Y en la masa M:
Mg − T1 = Ma ( 3)
Aplicando a la polea la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación:
T1R − T2 R = Iα = mR 2
I
a
= mRa
R
α
Dividiendo todo por R queda:
T1 − T2 = ma ( 4 )
De las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se deduce:
a=−
k
k
x → ω=
m + M a =−ω 2 x
m+M
y el periodo:
T=2π
M+m
103
= 2π
k
16 ⋅10
T = 0.157 s
13.-Un péndulo está constituido por dos esferas pequeñas e iguales de 1 kg de masa,
unidas a los extremos de una varilla rígida de 1 m de longitud y masa despreciable.
Determinar el periodo de las pequeñas oscilaciones de este péndulo si se suspende:
a) De un extremo.
b) Del otro extremo.
c) De un punto situado a un tercio de distancia entre uno y otro extremo.
d) Del punto medio.
a) y b)
T = 2π
l
g
T = 2s
c)
14
d = d1 + d 2
2
2
 2d 
d 
5md 2
I = m  + m  =
9
 3 
3
Iα z = −mgd1senθ + mgd 2 senθ ≃ −mg ( d1 − d 2 )θ
T = 2π
I
5d
= 2π
= 2.6 s
3g
mg ( d1 − d 2 )
T = 2.6 s
d)
d1 − d 2 = 0 → T = ∞
Modo 2:
2
2
2
d d
 2d 
 d  5md
L = − ; I = m
+
m
=

 
2 3
9
 3 
3
T = 2π
I
5d
= 2π
= 2.6 s
mgL
3g
14.-Cuando la plomada de un péndulo cónico describe una trayectoria circular, el hilo,
de longitud L, barre un cono de semiángulo θ.
a) Calcular el periodo del movimiento circular de la plomada en función de L, g y θ. Si
la circunferencia anterior está en el plano xy con el centro en el origen:
b) demuestre que cada coordenada, x e y, sigue un
m.a.s. y compare su periodo con el que tendría el
mismo sistema oscilando en un plano vertical.
15
R = Lsenθ
Sobre la masa A actúa su peso y la tensión de la cuerda F.
Su resultante debe ser FN , es decir, justamente la fuerza centrípeta
necesaria para describir el círculo.
FN = mω 2 R = mω 2 Lsenθ
mv 2
ω 2 R2
=
m
= mω 2 R
R v =ω R
R
F
mω 2 Lsenθ ω 2 Lsenθ
tgθ = N =
=
mg
mg
g
senθ
g
g
g
tgθ =
→ cosθ = 2 → ω 2 =
→ω =
cosθ
cosθ L
cosθ L
ω L
ω = 2π f
1
g
f =
2π cosθ L
FN =
f =
1
cosθ L
→ T = 2π
T
g
b)
P. cónico:
Rω = g tan θ
2
4π 2 g tan θ
l cos θ
=
Tc = 2π
2
T
lsenθ
g
P. Plano:
Tp = 2π
Relación:
l
g ;
Tc
= cos θ →
1
Tp
θ →0
En coordenadas rectangulares, (x, y) horizontales:
P. cónico:
x 2 + y 2 = R 2 , v = ω R = Cte.
P. planos:
x, y = R sin (ωt + φ0 )
Composición:
 x 2 + y 2 = R 2 sin 2 ωt + R 2 cos 2 ωt = R 2

2
2
2
v 2 = ( Rω ) cos 2 ωt + ( Rω ) sin 2 ωt = ( Rω ) ,
v = ωR
16
15.-Determine las frecuencias de oscilación correspondientes a cada uno de los sistemas
representados en las figuras siguientes, suponiendo que el bloque de masa m está
situado sobre una superficie horizontal lisa y que las constantes elásticas son k1 y k2
para cada uno de los dos resortes unidos al bloque.
a
b
c
a)
x = x1 + x2
 F = −k1 x1
F = F1 = F2  1
 F2 = −k2 x2
F F
F
= x1 + x2 = − 1 − 2
k
k1 k2
kk
1 1 1
→ = + →k = 1 2
k k1 k2
k1 + k2
F = −kx → x = −
ω=
k1k2
k
=
m
m ( k1 + k2 )
→ υa =
1
k1k2
2π m ( k1 + k2 )
17
b)
x1 = x2 = x
F1 = −k1 x1 
 F = F1 + F2
F2 = −k2 x2 
−kx = −k1 x1 − k2 x2 = − ( k1 + k2 ) x
k = k1 + k2
ω=
k +k
k
1 k1 + k2
= 1 2 → υb =
m
m
2π
m
c)
x1 = x2
Lo que se estira el muelle 1 es igual
a lo que se comprime el muelle 2.
F = F1 + F2
−kx = −k1 x1 − k2 x2 = − ( k1 + k2 ) x → k = k1 + k2
υc = υb
16.-Un tubo en forma de U y de sección recta constante A está abierto a la atmósfera.
Está lleno hasta un nivel de un líquido incompresible que fluye a través del tubo con
rozamiento despreciable. Demostrar que si se hace descender la superficie del líquido en
uno de los brazos de la U, y luego se deja libre, el periodo de las oscilaciones de la
columna líquida es T=2π(L/2g)1/2.
Fuerza recuperadora = Frec
Frec = − ρ g ( 2 y ) A
d2y
dt 2
m = ρV = ρ AL
− ρ g 2 yA = m
− ρ g2y A = ρ AL
d2y
dt 2
d2y
2g
=−
y → Movimiento armónico simple
2
L
dt
2g
2π
L
con ω =
→T =
→ T = 2π
L
2g
ω
18
17.-Un bloque de masa 2.5 kg está conectado a un muelle de constante elástica 1250
N/m, el movimiento del bloque está amortiguado con b=50 kg/s. Está sometido a una
fuerza externa sinusoidal de frecuencia angular ω=25 rad/s y módulo máximo 12 N.
Determinar:
a) La amplitud y la constante de fase para el movimiento en estado estacionario.
b) La amplitud del sistema cuando está en resonancia de amplitud.
ωt = 25 rad / s
m = 2.5 kg
k = 1250 N / m
b = 50 kg / s
Fo = 12 N
k 1250
=
= 500 s −2
m 2.5
b
50
=
= 10 s −1
γ=
2m 2 ⋅ 2.5
Fo 12
=
= 4.8 m / s 2
m 2.5
Fo
m
A =
ωo 2 =
o
(ω − ω ) + 4γ ω
2
o
tgδ =
2
2
t
2
2
t
2γωe
ωo 2 − ωt 2
Ao = 9.313 ⋅10−3 m
δ = arctg
2 ⋅10 ⋅ 25
= −75.96o → δ = −1.326 rad
500 − 625
Fo
Resonancia:ω = ωt → Ao = m = 9.6 mm
2γωt
Ao = 9.6 mm
18.-Un cuerpo de 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y está unido al extremo libre
de un muelle de constante elástica k= 200 N/m. En un instante dado sus oscilaciones
presentan una amplitud de 30 cm, pero debido al rozamiento, dicha amplitud se reduce a
la mitad cuando han transcurrido 25 segundos. Determinar:
a) El valor del parámetro de amortiguamiento β y del tiempo de relajación τ.
b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones no amortiguadas.
c) Lo mismo para las oscilaciones amortiguadas.
19
d) El tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energía del oscilador.
e) Lo mismo para que se disipe el 99% de la energía del oscilador. ¿Cuál será entonces
la amplitud de las oscilaciones?

m = 2 kg
k
 F = −kx = ma → ω =
m
k = 200 N / m 
A0 = 0.3 m
−βt
x = A0e 2 m cos (ωt − δ )
τ=
1
2β
a)
−βt

 1
− β 25
= e 2m
A ( t )  2
En t = 25 s → A ( t + 25 ) =
2 
β
2m ln 2
25 = ln 2 → β =
2m
25
Aδ = A0e 2 m
β = 0.11 kgs −1
τ=
m
β
= 18.03 s
τ = 18.03 s
b)
ω0 = 10 rad / s →ν =
ν = 1.591549 Hz
10
2π
Hz ) T =
(s)
(
2π
10
T = 0.62831 s
c)
ω = ω0 2 − β 2 →ν =
ν = 1.59 Hz
ω
2π
T = 0.628 s
d)
20
−
t
La energía se disipa de acuerdo con la expresión E = E0 e τ
T
− 1
E
T1 es el tiempo necesario para que se disipe la mitad: E (T1 ) = 0 = E0 e τ
2
T1 = τ ln 2 = 12.6 s
T1 = 12.6 s
e)
T
− 2
E (T2 ) = 0.01E0 = E0 e τ
T2 es el tiempo necesario para que se disipe el 99%.
E (T2 ) = −τ ln 0.01 = 83.8 s
T2 = 83.8 s
La amplitud viene dada por:
−
Bt
−
t
A ( t ) = A0 e 2 m = A0 e 2τ
t
−
A(t )
= e 2τ
A0
Al transcurrir T2 tendremos:
A ( T2 )
A0
=e
T
− 2
2τ
=e
ln
0.01
2
1
= ( 0.01) 2 = 0.1
Ha decaído al 90% de la amplitud inicial.
19.-Los átomos de un sólido ejecutan oscilaciones armónicas independientes alrededor
de posiciones fijas de equilibrio dispuestas según una red cúbica de lado a = 1,1·10-11m.
Estos átomos tienen una masa de 10-22 g y vibran con frecuencia de 1013 Hz. Según la
mecánica estadística, la energía total de cada oscilador es κT, donde κ =R/N0 es la
constante de Boltzman.
a) Calcular la constante de recuperación.
b) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones a temperatura ambiente (17ºC)?
c) Imaginando que el sólido fundiese cuando la amplitud de las oscilaciones alcanzase
un valor de a/10, ¿a qué temperatura fundiría el sólido?
Datos: R = 8,31 J/Kmol, N0 = 6.023,1023 moléculas/mol.
21
f = 1013 Hz
E = κT
m = 10−22 g
κ=
ω = 2π f
R
N0
a)
(
)
2
k = mω 2 = 10−22 ⋅10−3 kg ⋅ 2π ⋅1013 Hz = 10−254π ⋅1026 kg / s 2
k = 40π 2 N / m
b)
1
2E
2κ T
E = kA2 → A =
=
=
2
k
k
2
8.31
( 273 + 17 )
6.023 ⋅1023
40π 2
A = 1.672 ⋅10−12 m
c)
a
A= ;
10
2
1
1 a
E = kA2 = k   = κ T fuión
2
2  10 
(
)
2
−11
23
ka 2 N0 40π 5.1⋅10 6.023 ⋅10
ka 2
ka 2
T fuión =
=
=
=
2κ100 200 R
200 R
200 ⋅ 8.31
N0
T fuión = 372.09 K = 99.09 º C
20.- Consideramos un pequeño objeto, de masa m, que tan sólo puede moverse a lo
largo de una recta, unido a un extremo de un muelle de constante elástica k y de
longitud l0. El otro extremo del muelle está unido a un punto fijo A situado a una
distancia l=l0 de la recta sobre la que se mueve el pequeño objeto, como se muestra en
la figura. Calcular la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sistema.
22
k ,l0
l > l0
x
Fx = F cosθ = F 
L
 l0 
x
d 2x

L = l + ∆l
 Fx = −k ( L − l0 ) = −k 1 −  x = m 2
L
L
dt


F = −k ( L − l0 )


l0
l
l
k  l0 
k  l − l0 
= 0 ≈ 0 →ω =
1 −  =


L l + ∆l l
m l 
m  l 
ω=
k  l − l0 


m  l 
23