Pertemuan 9
Uji Proporsi Lebih Dari Dua Populasi
1. uji proporsi dari beberapa populasi binom
2. uji proporsi dari beberapa populasi multinom
Mata Kuliah : Metode Statistika II [Teori]
Politeknik Statistika STIS
Uji Proporsi Lebih Dari Dua Populasi
❖ Menguji apakah proporsi mengenai suatu hal adalah
sama untuk semua populasi
❖ Proporsi sering digunakan untuk memperkirakan
probabilitas
❖ Contoh :
 Pengujian proporsi barang yang rusak dari 3 pabrik
adalah sama
 Pengujian proporsi penduduk yang setuju KB di 4 desa
adalah sama
 Pengujian proporsi pendukung calon gubernur di 7
kabupaten adalah sama
TIM DOSEN MS II [TEORI]
2
Uji Proporsi Lebih Dari Dua Populasi
❖ Asumsi:
✓ sampel independen
✓
sampel diambil secara acak (misal sebanyak n)
✓
Masing-masing subject dapat diklasifikasikan ke
dalam dua atau lebih kategori yang mutually
exclusive
❖ Digunakan statistik uji chi-square
TIM DOSEN MS II [TEORI]
3
Uji Proporsi Lebih Dari Dua Populasi
Uji Proporsi
1 Populasi
2 Populasi
Lebih dari 2 Populasi
Uji Normal
Uji Normal
Uji Chi-Square
Gunakan sampel untuk mengambil kesimpulan tentang proporsi
populasi
TIM DOSEN MS II [TEORI]
4
Hipotesis:
𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝2 = … = 𝑝𝑘 = 𝑝 (proporsi semua populasi sama)
𝐻𝑎 : sedikitnya ada satu proporsi yang tidak sama /
tidak semua proporsi sama
Statistik Uji
𝑘
𝑟
2
(𝑜
−
𝑒
)
𝑖𝑗
𝑖𝑗
2
𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
= ෍෍
𝑒𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗=1
𝑘 = banyaknya populasi
r = banyaknya kategori
𝑒𝑖𝑗 = frekuensi harapan (np), dimana p diketahui
𝑜𝑖𝑗 = frekuensi teramati/observasi
2
2
Keputusan : tolak 𝐻0 jika 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
> 𝜒𝛼;𝑘(𝑟−1)
TIM DOSEN MS II [TEORI]
5
Hipotesis:
𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝2 = … = 𝑝𝑘 = 𝑝 (proporsi semua populasi sama)
𝐻𝑎 : sedikitnya ada satu proporsi yang tidak sama /
tidak semua proporsi sama
Statistik Uji
𝑘
𝑟
2
(𝑜
−
ȇ
)
𝑖𝑗
𝑖𝑗
2
𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
= ෍෍
ȇ𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗=1
𝑘 = banyaknya populasi
r = banyaknya kategori
ȇ𝑖𝑗 = frekuensi harapan ( npˆ ), dimana p tidak diketahui
𝑜𝑖𝑗 = frekuensi teramati/observasi
2
2
Keputusan : tolak 𝐻0 jika 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
> 𝜒𝛼;(𝑘−1)(𝑟−1)
TIM DOSEN MS II [TEORI]
6
Ada 2 jenis pengujian:
1. Pengujian untuk k populasi binomial, dimana
kemungkinan hasil ada dua (kategori hanya ada 2),
misalkan: sukses- gagal, ya – tidak, tinggi-rendah
2. Pengujian untuk k populasi multinomial, dimana
kemungkinan hasil lebih dari dua (kategori lebih dari
2), misalkan: sangat setuju-setuju-tidak setuju, jenis
ekskul yang diikuti, dll
Untuk kedua jenis pengujian tersebut, tahapan yang
dilakukan adalah sama, hanya berbeda pada derajat
bebas tabel chi-square nya.
TIM DOSEN MS II [TEORI]
7
Pengujian k Populasi Binomial
Tahapan Pengujian:
1.
Alokasikan masing-masing observasi ke dalam tabel
kontingensi berukuran kx2.
Nilai observasi dinotasikan dengan 𝑛𝑖𝑗 , 𝑖 =
1, … , 𝑘 dan 𝑗 = 1, … , 𝑟 . 𝑛𝑖𝑗 pada dasarnya sama
dengan frekuensi observasi (𝑜𝑖𝑗 )
Populasi
Kategori
1
2
....
k
Total
Sukses
n11
n21
.....
nk1
n.1
Gagal
n12
n22
.....
nk2
n.2
Total
n1.
n2.
.....
kk.
n
TIM DOSEN MS II [TEORI]
8
Pengujian k Populasi Binomial
2. Hitung nilai frekuensi harapan atau expected value (eij)
untuk masing-masing sel, yang diperoleh dari perkalian
total nilai kolom i dan total nilai baris ke j (total
marginal) dibagi total observasi.
Hal tsb diperoleh dari asumsi bahwa jika dua events
adalah independent, maka peluang gabungannya sama
dengan perkalian masing-masing peluang marginalnya,
shg
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑥(𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠)
𝐹𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝐻𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 ∶
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛
Contoh : ȇ𝑖𝑗 =
(𝑛𝑖. )(𝑛.𝑗 )
𝑛
3. Hitung statistik uji chi square dan bandingkan dengan
titik kritis pada tabel chi-square
TIM DOSEN MS II [TEORI]
9
Pengujian k Populasi Binomial
Statistik uji yang digunakan
𝑘
2
2
(𝑜
−
ȇ
)
𝑖𝑗
𝑖𝑗
2
𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
= ෍෍
ȇ𝑖𝑗
𝑖=1 𝑗=1
Karena pengujian pada sampel binomial, maka 𝑟 = 2
Sehingga
2
2
Keputusan : tolak 𝐻0 jika 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
> 𝜒𝛼;
𝑘−1 2−1 )
2
2
Atau tolak 𝐻0 jika 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
> 𝜒𝛼;
𝑘−1
TIM DOSEN MS II [TEORI]
10
Contoh: Kasus Binomial
Dalam suatu pabrik, seperangkat data dikumpulkan
untuk menentukan apakah proporsi barang cacat yang
dikerjakan karyawan pada shift pagi, sore atau malam
adalah sama. Data dikumpulkan sebagai berikut:
Kategori
Shift
Pagi
Sore
Malam
Total
Cacat
45
55
70
170
Tidak Cacat
905
890
870
2.665
Total
950
945
940
2.835
Gunakan tingkat signifikansi 0,025 untuk menentukan
apakah proporsi yang cacat sama pada ketiga shift kerja.
TIM DOSEN MS II [TEORI]
11
Contoh: Kasus Binomial
Hipotesis :
𝐻0 : 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝3
(proporsi barang cacat pada semua shift kerja
adalah sama)
𝐻𝑎 : sedikitnya ada satu proporsi yang tidak sama /
tidak semua proporsi sama
Tingkat signifikansi : 0,025
Keputusan:
2
2
Tolak 𝐻0 jika 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
> 𝜒0,025;2
= 7,378
TIM DOSEN MS II [TEORI]
12
Contoh: Kasus Binomial
Menghitung frekuensi harapan
Contoh : ȇ11 =
Kategori
(170)(950)
= 57,0
2.835
Shift
Pagi
Sore
Malam
Total
Cacat
45
(57,0)
55
(56,7)
70
(56,3)
170
Tidak Cacat
905
(893,0)
890
(888,3)
870
(883,7)
2.665
950
945
940
2.835
Total
(catatan : angka yang di dalam kurung adalah ȇ𝑖𝑗 )
TIM DOSEN MS II [TEORI]
13
Contoh: Kasus Binomial
Menghitung statistik uji chi square
2
2
(45
−
57,0)
870
−
883,7
2
𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
=
+ …+
= 6,29
57,0
883,7
Keputusan : gagal tolak 𝐻0 pada tingkat signifikansi 0,025
Kesimpulan : Terdapat cukup bukti (data sampel
mendukung) bahwa proposi barang cacat
pada ketiga shift kerja adalah sama
TIM DOSEN MS II [TEORI]
14
Pengujian k Populasi Multinomial
Tahapan Pengujian:
1. Alokasikan masing-masing observasi ke dalam tabel
kontingensi berukuran k x r dimana k adalah banyaknya,
populasi dan r adalah banyaknya kemungkinan
hasil/kategori.
Populasi
Kategori
....
k
Total
1
n11
n21
.....
nk1
n.1
2
n12
n22
.....
nk2
n.2
r
n1r
n2r
.....
nkr
Total
n1.
n2.
.....
nk.
....
2
....
1
TIM DOSEN MS II [TEORI]
n.r
n
15
Pengujian k Populasi Multinomial
2. Hitung nilai frekuensi harapan atau expected value
(𝑒𝑖𝑗 ) untuk masing-masing sel, yang diperoleh dari
perkalian total nilai kolom i dan total nilai baris ke j
(total marginal) dibagi total observasi.
3. Hitung statistik uji chi square dan bandingkan dengan
titik kritis pada tabel chi square
Statistik uji yang digunakan
𝑘
𝑟
2
𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
= ෍෍
𝑖=1 𝑗=1
(𝑜𝑖𝑗 − ȇ𝑖𝑗 )2
ȇ𝑖𝑗
2
2
Keputusan : tolak 𝐻0 jika 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
> 𝜒𝛼;
𝑘−1 𝑟−1 )
TIM DOSEN MS II [TEORI]
16
Contoh: Kasus Multinomial
Ingin diketahui apakah ada perbedaan proporsi
mahasiswa yang mengikuti UKM Kerohanian, UKM
Media Kampus dan UKM Cheby pada tingkat I-IV.
Diperoleh data sampel sebagai berikut
UKM
Tingkat
I
II
III
IV
Total
Kerohanian
5
11
10
11
37
Media
Kampus
21
21
9
13
64
Cheby
14
9
21
15
59
Total
40
41
40
39
160
TIM DOSEN MS II [TEORI]
17
Contoh: Kasus Multinomial
Hipotesis :
𝐻0 : 𝑝𝑖1 = 𝑝𝑖2 = 𝑝𝑖3 = 𝑝𝑖4 = 𝑝𝑖 , i =
1,2,3(smestinya pj|1 = pj|2 = pj|3 = untuk i = 1,2,3
(proporsi mahasiswa yang mengikuti 3 jenis UKM
adalah sama untuk semua tingkat)
𝐻𝑎 : proporsi mahasiswa yang mengikuti 3 jenis UKM
adalah tidak semuanya sama
Tingkat signifikansi : 0,05
Keputusan :
2
2
Tolak 𝐻0 jika 𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
> 𝜒0,05
;6 = 12,592
TIM DOSEN MS II [TEORI]
18
Contoh: Kasus Multinomial
Penghitungan frekuensi harapan
(64)(40)
Contoh : ȇ21 =
= 16,00
160
UKM
Tingkat
I
II
III
IV
Total
Kerohanian
5
(9,25)
11
(9,48)
10
(9,25)
11
(9,02)
37
Media
Kampus
21
(16,00)
21
9
(16,40) (16,00)
13
(15,60)
64
Cheby
14
(14,75)
9
21
(15,12) (14,75)
15
(14,38)
59
Total
40
39
160
41
40
(catatan : angka yang di dalam kurung adalah ȇ𝑖𝑗 )
TIM DOSEN MS II [TEORI]
19
Contoh: Kasus Multinomial
Menghitung statistik uji chi square
2
2
(5
−
9,25)
15
−
14,38
2
𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔
=
+ …+
= 204,224
9,25
14,38
Keputusan : tolak 𝐻0 pada tingkat signifikansi 0,05
Kesimpulan :
Terdapat perbedaan proporsi mahasiswa yang
mengikuti UKM Kerohanian, UKM Media Kampus dan
UKM Cheby untuk setiap tingkat
TIM DOSEN MS II [TEORI]
20
Catatan :
➢ Rumus
(𝑂𝑖𝑗 −ȇ𝑖𝑗 )2
2
𝑟
𝑘
𝜒ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = σ𝑖=1 σ𝑗=1
ȇ
𝑖𝑗
untuk
pengujian beberapa proporsi hanya berlaku jika
ȇ𝑖𝑗 ≥ 5 untuk semua i dan j
➢ Jika ȇ𝑖𝑗 < 5 maka harus dilakukan penggabungan
sel-sel yang berdekatan, sehingga derajat bebas chisquarenya makin berkurang
➢ Dalam tabel kontingensi ukuran 2x2 yang hanya
mempunyai df=1 biasanya diterapkan koreksi Yate
bagi Kekontinyuan.
2
𝑜
−
ȇ
−
0,5
𝑖
𝑖
2
𝜒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑
=෍
ȇ𝑖
𝑖
➢ Bila
frekuansi harapan besar maka chi-square
terkoreksi dan tidak terkoreksi hampir sama.
TIM DOSEN MS II [TEORI]
21
Latihan Soal
1. Dalam suatu penelitian untuk menduga proporsi ibu
rumahtangga yang menonton sinetron, diperoleh
bahwa 48 diantara 200 ibu rumahtangga di Bandung,
29 diantara 150 ibu rumahtangga di Jakarta, dan 35
diantara 150 ibu rumahtangga di Surabaya
menonton sekurang-kurangnya satu sinetron.
Gunakan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis
bahwa tidak ada perbedaan antara proporsi ibu
rumahtangga yang setia menonton sinetron di ketiga
kota tersebut
TIM DOSEN MS II [TEORI]
22
Latihan Soal
2. Suatu contoh acak mahasiswa diklasifikasikan menurut
tingkat dan sosial media yang paling sering diakses. Data
diperoleh sebagai berikut
Tingkat
Sosial
Media
I
II
III
IV
Total
Facebook
15
9
10
21
55
Instagram
28
15
19
23
85
Twitter
14
11
20
15
60
Total
57
35
49
59
200
Dengan tingkat signifikansi 5%, dapatkah kita
menyimpulkan bahwa proporsi mahasiswa yang paling
sering mengakses facebook, instagram dan twitter
adalah sama untuk semua tingkat?
TIM DOSEN MS II [TEORI]
23
TERIMA KASIH
TIM DOSEN MS II [TEORI]
24