Mouvement Circulaire
1. Repérage Angulaire et Vitesse Angulaire
Dans un mouvement circulaire, la position d’un corps est définie par son abscisse angulaire θ (en radians). Cette grandeur correspond à l’angle balayé
par rapport à une position de référence fixe.
M4
M3
M2
θ4
θ3
θ2
θ1
M1
L0 abscisse l0 origine
M0
Définitions Clés
• Vitesse angulaire moyenne :
ωmoy =
∆θ
∆t
Exemple : Si un point parcourt 2π radians en 5 secondes, ωmoy = 2π
≈
5
1.26 rad/s.
• Vitesse angulaire instantanée :
ω = lim
∆θ
∆t→0 ∆t
=
dθ
= θ̇
dt
C’est la dérivée temporelle de θ. Elle représente la rapidité de rotation
à un instant précis.
LIGHTBULB Point Clé : La vitesse angulaire est une grandeur vectorielle dirigée
selon l’axe de rotation.
1
Mouvement Circulaire
2. Relation Vitesse Linéaire et Angulaire
Pour un point situé à une distance r de l’axe de rotation :
B
SB
∆θ
θB
r
θA
∆S
A
SA
M0
Démonstration
• Vitesse linéaire moyenne :
vmoy =
∆s
r∆θ
=
= r · ωmoy
∆t
∆t
La vitesse linéaire dépend à la fois du rayon r et de la vitesse angulaire.
• Vitesse linéaire instantanée :
v = rω = rθ̇
Interprétation : Un point éloigné de l’axe (exemple : extrémité d’une
hélice) aura une vitesse linéaire plus élevée qu’un point proche.
LIGHTBULB Point Clé : La vitesse linéaire est proportionnelle à la distance de l’axe
de rotation.
2
Mouvement Circulaire
3. Accélération Angulaire
L’accélération angulaire traduit la variation temporelle de ω.
M4
τ
M3
M2
θ4
θ3
M1
θ2
θ1
M0
Définitions
• Accélération angulaire moyenne :
θ̈moy =
∆ω
∆t
• Accélération angulaire instantanée :
θ̈ =
dω
d2 θ
= 2
dt
dt
C’est la dérivée seconde de θ par rapport au temps.
LIGHTBULB Point Clé : L’accélération angulaire est une mesure de la variation de
la vitesse angulaire.
3
Mouvement Circulaire
4. Équations Horaires du Mouvement
Pour un mouvement circulaire uniformément accéléré (θ̈ = constante) :
Étape 1 : Intégration de l’accélération
dω
θ̈ =
=⇒
dt
Z
θ̈ dt = ω(t) = θ̈ · t + ω0
Étape 2 : Intégration de la vitesse
dθ
ω=
=⇒
dt
Z
1
(θ̈ · t + ω0 ) dt = θ(t) = θ̈ · t2 + ω0 t + θ0
2
Résumé
Vitesse angulaire
ω(t) = θ̈ · t + ω0
Abscisse angulaire
1
θ(t) = θ̈ · t2 + ω0 t + θ0
2
Table 1: Équations horaires du mouvement circulaire uniformément accéléré.
5. Nombre de Tours Effectués
Définition
Le nombre de tours n est lié à la variation d’angle ∆θ par :
∆θ = θ(tb ) − θ(ta ) = n · 2π
Relation Indépendante du Temps
En combinant ω 2 = ω02 + 2θ̈(θ − θ0 ):
ωb2 − ωa2
n=
4π θ̈
−0
Exemple : Si ωa = 0, ωb = 20π rad/s, et θ̈ = 2π rad/s2 , alors n = (20π)
=
4π·2π
25 tours.
2
4
Mouvement Circulaire
6. Étude des Courbes
Cas 1 : Courbe ω(t) Linéaire
θ̇
t
• Équation : ω(t) = k1 t + k2
• Interprétation : La dérivée dω
= k1 = θ̈ est constante.
dt
• Conclusion : Mouvement circulaire uniformément varié.
Cas 2 : Courbe ω 2 (θ) Linéaire
(θ̇)2
θ
• Équation : ω 2 = k1 θ + k2
5
Mouvement Circulaire
• Dérivation :
2ω
dω
dθ
k1
= k1
=⇒ 2θ̈ · ω = k1 · ω =⇒ θ̈ =
dt
dt
2
Conclusion : L’accélération angulaire est constante, mouvement uniformément varié.
7. Accélération dans le Repère de Frenet
~at
M
~an
~aG
~n
~u
θ
L’accélération totale se décompose en deux composantes :
Composante Tangentielle (at )
• Origine : Variation de la norme de la vitesse.
• Expression :
at =
dv
d
= (rθ̇) = rθ̈
dt
dt
Composante Normale (an )
• Origine : Changement de direction de la vitesse.
• Expression :
an =
v2
(rθ̇)2
=
= rθ̇2
r
r
6
Mouvement Circulaire
Résultat Final
~aG = rθ̈ ~u + rθ̇2 ~n
Cas Particulier : Mouvement circulaire uniforme (θ̈ = 0)
~a = ~an = rω 2 ~n
L’accélération est purement centripète, dirigée vers le centre de rotation.
8. Dynamique de Rotation : Relation Fondamentale
N1
rN
M1
~n
~u
SN
θ
SM
M0
N0
Observation Clé
Pour deux points M et N d’un solide en rotation :
• vM = rM · ω et vN = rN · ω
• La vitesse angulaire ω est identique pour tous les points du disque.
7
Mouvement Circulaire
Couplage Cinématique Poulie-Corps
(t = 0)
M1
x
(t = t1 )
θ
M
r
M
0
~k
G
x
G
z
Hypothèse : Le fil est inextensible et sans masse.
Relation Déplacement Linéaire/Angulaire
• Pour un point M du disque (rayon r) : Tout point situé à la même
distance r de l’axe a la même vitesse linéaire que le centre d’inertie G du
corps (S).
• Lien géométrique : La distance x parcourue par le corps (S) est égale
à la longueur d’arc correspondante sur la poulie :
x = rθ
Dérivation des Relations Cinématiques
1. Vitesse :
x = rθ
d
=⇒ ẋ = rθ̇
dt
=⇒ v = rω
2. Accélération :
d
=⇒ ẍ = rθ̈
dt
=⇒ ax = rθ̈
8
Mouvement Circulaire
Interprétation :
• La descente du corps (S) entraîne une rotation de la poulie.
• L’accélération linéaire ax est proportionnelle à l’accélération angulaire θ̈.
Loi Fondamentale
Pour un corps en rotation autour d’un axe fixe ∆ :
X
M∆ = J∆ · θ̈
• M∆ : Moment résultant des forces (en N·m)
• J∆ : Moment d’inertie (en kg·m²)
9. Application : Poulie et Masse en Rotation
−→
R∆
r
(∆) θ
−
→
Pp
M0
−
→0
T
T~
(S)
P~
Étape 1 : Deuxième loi de Newton sur la masse S
−
→ −
→
→
P + T = m−
aG
En projection verticale :
P − T = max =⇒ T = m(g − ax )
9
Mouvement Circulaire
Étape 2 : Relation Fondamentale sur la Poulie
• Moments :
−
→
– M∆ (Pp ) = 0 (force appliquée sur l’axe)
−
→
– M∆ (T 0 ) = T 0 · r (bras de levier = rayon r)
• Équation :
T 0 · r = J∆ · θ̈
Avec θ̈ = arx , on obtient :
T0 =
J∆ · ax
r2
Étape 3 : Résolution du Système
En combinant T = T 0 :
m(g − ax ) =
J∆ · ax
mg
=⇒ ax =
2
r
m + Jr∆2
Interprétation :
• Si J∆ → 0 (poulie idéale), ax → g.
• Si J∆ est grand, l’accélération diminue significativement.
10. Synthèse des Points Clés
1. Unicité de ω : Tous les points d’un solide rigide partagent la même
vitesse angulaire ω.
2. Dualité Vitesse Linéaire/Angulaire :
v = rω
et ω =
v
r
3. Rôle du Moment d’Inertie : Plus J∆ est grand, plus le solide résiste
aux variations de rotation.
10
0
