Analiza matematyczna 1
Eliza Jabłońska
1
Elementy logiki i teorii mnogości
1.1
Elementy rachunku zdań. Kwantyfikatory.
Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące prawdziwe lub fałszywe.
Każdemu zdaniu logicznemu przyporządkowuje się dokładnie jedną wartość logiczną:
prawdę – 1 lub fałsz – 0.
Niech X będzie dowolną niepustą przestrzenią. Formą zdaniową (= funkcją zdaniową) jednej zmiennej x o zakresie zmienności X nazywamy wyrażenie ϕ(x), które:
ˆ nie jest zdaniem logicznym,
ˆ występuję w nim zmienna x ∈ X,
ˆ po podstawieniu za zmienną x w wyrażeniu ϕ(x) dowolnego elementu z przestrzeni
X otrzymujemy zdanie logiczne.
Funkcje zdaniowe o tych samych zakresach zmienności można łączyć spójnikami logicznymi, otrzymując w ten sposób nowe funkcje zdaniowe.
Przykład 1.1. Niech Z będzie zbiorem liczb całkowitych. Wyrażenie
x2 − 2x > 0 dla x ∈ Z
jest formą zdaniową zmiennej x o zakresie zmienności Z.
Funktory zdaniotwórcze (jedno- lub dwuargumentowe) to spójniki, za pomocą
których z danych zdań lub form zdaniowych tworzymy inne zdania lub formy zdaniowe.
Funktory jednoargumentowe:
ˆ negacja (ozn. ¬)
α
¬α
0
1
1
0
Funktory dwuargumentowe:
1
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
ˆ koniunkcja (ozn. ∧) – ”i”
α
β
α∧β
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Koniunkcja zdań prawdziwych jest zdaniem prawdziwym; w pozostałych przypadkach koniunkcja jest zdaniem fałszywym.
ˆ alternatywa (ozn. ∨) – ”lub”
α
β
α∨β
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Alternatywa zdań fałszywych jest zdaniem fałszywym; w pozostałych przypadkach
alternatywa jest zdaniem prawdziwym.
ˆ implikacja (ozn. ⇒); α ⇒ β – ”z α wynika β”
α – poprzednik, β – następnik
α
β
α⇒β
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Jeśli poprzednik implikacji jest zdaniem prawdziwym, a następnik zdaniem fałszywym, to implikacja jest zdaniem fałszywym; w pozostałych przypadkach implikacja
dwóch zdań jest zdaniem prawdziwym.
ˆ równoważność (ozn. ⇔); α ⇔ β – ”α wtedy i tylko wtedy, gdy β”
α
β
α⇔β
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
2
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Jeśli obydwa zdania równoważności mają tę samą wartość logiczną (tzn. obydwa są
prawdziwe, bądź obydwa fałszywe), to równoważność jest zdaniem prawdziwym; w
pozostałych przypadkach równoważność jest zdaniem fałszywym.
Tautologią (= prawem logicznym) nazywamy takie wyrażenie składające się ze
zdań logicznych, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań
składowych.
Najważniejsze tautologie:
1) (α ∧ α) ⇔ α
2) (α ∨ α) ⇔ α
3) α ⇒ α – prawo tożsamości implikacji
4) α ⇔ α – prawo tożsamości równoważności
5) α ∨ ¬α – prawo wyłączonego środka
6) ¬(α ∧ ¬α) – prawo wyłączonej sprzeczności
7) ¬(¬α) ⇔ α – prawo podwójnej negacji
8) (α ∨ β) ⇔ (β ∨ α) – prawo przemienności alternatywy
9) (α ∧ β) ⇔ (β ∧ α) – prawo przemienności koniunkcji
10) (α ⇔ β) ⇔ [(α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α)]
11) (α ⇒ β) ⇔ (¬β ⇒ ¬α) – prawo kontrapozycji
12) (α ⇒ β) ⇔ (¬α ∨ β)
13) (α ∧ β) ⇒ α, (α ∧ β) ⇒ β
14) α ⇒ (α ∨ β), β ⇒ (α ∨ β)
15) ¬(α ∧ β) ⇔ (¬α ∨ ¬β) – pierwsze prawo de Morgana
16) ¬(α ∨ β) ⇔ (¬α ∧ ¬β) – drugie prawo de Morgana
17) [α ∨ (β ∨ γ)] ⇔ [(α ∨ β) ∨ γ] – prawo łączności alternatywy
18) [α ∧ (β ∧ γ)] ⇔ [(α ∧ β) ∧ γ] – prawo łączności koniunkcji
19) [α ∧ (β ∨ γ)] ⇔ [(α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)]
20) [α ∨ (β ∧ γ)] ⇔ [(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)]
3
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Dowód. Dla przykładu pokażemy dowód 6), 16), 20).
6)
α
¬α
α ∧ ¬α
¬(α ∧ ¬α)
0
1
0
1
1
0
0
1
16)
α
β
α∨β
¬(α ∨ β)
¬α
¬β
¬α ∧ ¬β
¬(α ∨ β) ⇔ ¬α ∧ ¬β
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
20) Oznaczmy zdanie 20) przez (⋆).
α
β
γ
β∧γ
α∨β∧γ
α∨β
α∨γ
(α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)
(⋆)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Jeśli implikacja α ⇒ β jest twierdzeniem, to jej poprzednik α jest założeniem, zaś
następnik β tezą. Mówimy też wówczas, że α jest warunkiem dostatecznym (= wystarczającym) na to, aby β, zaś β jest warunkiem koniecznym na to, aby α.
Jeśli równoważność α ⇔ β jest twierdzeniem, to mówimy, że α jest warunkiem
koniecznym i wystarczającym na to, aby β i na odwrót, β jest zaś β jest warunkiem
koniecznym i wystarczającym na to, aby α.
Kwantyfikatory są operacjami logicznymi (obok funktorów zdaniotwórczych) wykonywanymi na funkcjach zdaniowych:
^
ˆ kwantyfikator ogólny – „dla każdego x” (ozn. ∀ x lub ),
x
ˆ kwantyfikator szczegółowy – „istnieje x” (ozn. ∃ x lub
_
x
4
).
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Przykład 1.2. Rozważmy funkcję zdaniową ϕ(x) postaci x2 − 4 = 0.
Przekształcając funkcję zdaniową ϕ(x) za pomocą kwantyfikatorów otrzymujemy:
^
ˆ zdanie fałszywe
ϕ(x),
x∈R
ˆ zdanie prawdziwe
_
ϕ(x).
x∈R
Twierdzenie 1.1. (prawa de Morgana) Dla dowolnej funkcji zdaniowej ϕ(x) określonej
na zbiorze X spełnione są warunki
!
_
^
¬
ϕ(x) ⇔
¬ϕ(x),
x∈X
x∈X
!
¬
^
ϕ(x)
⇔
x∈X
1.2
_
¬ϕ(x),
x∈X
Algebra zbiorów
Zbiór jest pojęciem pierwotnym (niedefiniowalnym).
Przynależność elementu do zbioru:
ˆ a ∈ A – a jest elementem zbioru A,
ˆ a ̸∈ A – a nie jest elementem zbioru A.
Zbiorem pustym nazywamy zbiór, do którego nie należy żaden element.
np. {x ∈ R : x2 + 1 = 0} = ∅.
Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B (= zbiór B jest nadzbiorem
zbioru A) (ozn. A ⊂ B), gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B, tzn.
∀ x ∈ A x ∈ B.
W konsekwencji A nie jest podzbiorem zbioru B (ozn. A ̸⊂ B), gdy istnieje element
zbioru A, który nie jest elementem zbioru B, tzn.
∃ x ∈ A x ̸∈ B.
Zbiory A i B są równe (ozn. A = B), jeśli każdy element zbioru A jest elementem
zbioru B i odwrotnie, każdy element zbioru B jest elementem zbioru A, tzn.
A = B ⇔ [(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)].
Fakt 1.1. (własności inkluzji)
Dla dowolnych zbiorów A, B, C:
ˆ ∅ ⊂ A,
5
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
ˆ A ⊂ A,
ˆ [(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C)] ⇒ A ⊂ C.
Niech X ̸= ∅. Dopełnieniem zbioru A ⊂ X do przestrzeni X nazywamy zbiór
wszystkich elementów zbioru X nienależących do A (ozn. A′ lub Ac ).
Fakt 1.2. Dla dowolnych zbiorów X ̸= ∅ i A, B ⊂ X:
ˆ Xc = ∅
ˆ (Ac )c = A
ˆ A ⊂ B ⇔ B c ⊂ Ac
Iloczynem (= przekrojem) zbiorów A i B (ozn. A ∩ B) nazywamy zbiór składający się z elementów należących jednocześnie do obu zbiorów; tzn.
x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).
Fakt 1.3. (własności iloczynu)
Dla dowolnych zbiorów A, B, C:
ˆ ∅ ∩ A = ∅,
ˆ A ∩ A = A,
ˆ A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A,
ˆ A ∩ B = B ∩ A,
ˆ A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B,
ˆ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,
ˆ (A ⊂ B ∧ C ⊂ D) ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ D,
Sumą zbiorów A i B (ozn. A ∪ B) nazywamy zbiór składający się z elementów
należących przynajmniej do jednego z tych zbiorów; tzn.
x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).
Fakt 1.4. (własności sumy)
Dla dowolnych zbiorów A, B, C:
ˆ ∅ ∪ A = A,
ˆ A ∪ A = A,
ˆ A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B,
ˆ A ∪ B = B ∪ A,
ˆ A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B,
6
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
ˆ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,
ˆ [(A ⊂ B) ∧ (C ⊂ D)] ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ D,
ˆ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
ˆ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
Twierdzenie 1.2. (prawa de Morgana dla zbiorów)
Dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c ,
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
Dowód. Udowodnimy pierwsze prawo, gdyż dowód drugiego przebiega analogicznie.
x ∈ (A ∩ B)c ⇔ x ̸∈ A ∩ B ⇔ ¬(x ∈ A ∩ B) ⇔ ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B) ⇔
¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B) ⇔ x ̸∈ A ∨ x ̸∈ B ⇔ x ∈ Ac ∨ x ∈ B c ⇐ x ∈ Ac ∪ B c .
Różnicą zbiorów A i B (ozn. A \ B) nazywamy zbiór składający się z elementów
należących do zbioru A i jednocześnie nienależących do zbioru B; tzn.
x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A ∧ x ̸∈ B.
Fakt 1.5. (własności różnicy)
Dla dowolnych zbiorów A, B, C:
ˆ A \ B ⊂ A,
ˆ A \ ∅ = A,
ˆ [(A ⊂ B) ∧ (C ⊂ D)] ⇒ A \ D ⊂ B \ C,
ˆ C ⊂ B ⇔ A \ B = ∅,
ˆ A ⊂ B ⇒ A ∪ (B \ A) = B,
ˆ A \ (A \ B) = A ∩ B,
ˆ A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C,
ˆ A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C),
ˆ A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
Para elementów a i b (ozn. (a, b)) jest zwana uporzadkowaną, gdy spełniony jest
warunek
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B (ozn. A × B) nazywamy zbiór par uporządkowanych (a, b), gdzie a ∈ A i b ∈ B; tzn.
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Płaszczyzna Euklidesa R2 jest iloczynem kartezjańskim R × R.
7
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Twierdzenie 1.3. (własności iloczynu kartezjańskiego)
Dla dowolnych zbiorów A, B, C spełnione są następujące własności:
ˆ A × ∅ = ∅ = ∅ × A,
ˆ (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C), A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C),
ˆ (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C), A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C),
ˆ (A \ B) × C = A × C \ B × C, A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C),
ˆ (A × B)c = (Ac × B c ) ∪ (Ac × B) ∪ (A × B c ), gdzie A ⊂ X i B ⊂ Y .
Analogicznie definiujemy iloczyn kartezjański zbiorów A1 , . . . , An (ozn. A1 ×. . .×An );
tzn.
A1 × . . . × An = {(a1 , . . . , an ) : a1 ∈ A1 , . . . , an ∈ An }.
Iloczyn kartezjański R3 = R × R × R jest 3–wymiarową przestrzenią euklidesową.
1.3
Podzbiory prostej. Kresy zbiorów
Oznaczmy przez:
ˆ N = {1, 2, 3, . . .} – zbiór liczb naturalnych,
ˆ Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} – zbiór liczb całkowitych,
o
n
p
ˆ Q = q : p ∈ Z, q ∈ N – zbiór liczb wymiernych,
ˆ R – zbiór liczb rzeczywistych; rozszerzenie zbioru liczb wymiernych do przestrzeni
zupełnej,
ˆ IQ = R \ Q – zbiór liczb niewymiernych.
Oczywiście N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R oraz IQ ⊂ R, Q ∩ IQ = ∅.
Dla a, b ∈ R, a < b, definiujemy przedziały w zbiorze R:
ˆ (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} – przedział otwarty,
ˆ [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} – przedział domknięty,
ˆ [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} – przedział lewostronnie domknięty (= prawostronnie
otwarty),
ˆ (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} – przedział prawostronnie domknięty (= lewostronnie
otwarty),
ˆ (a, ∞) = {x ∈ R : x > a},
ˆ [a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a},
ˆ (−∞, b) = {x ∈ R : x < b},
8
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
ˆ (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b},
ˆ (−∞, ∞) = R,
Zbiór A ⊂ R nazywamy ograniczonym z dołu, jeżeli
∃ m ∈ R ∀ a ∈ A a ≥ m.
Dowolną liczbę m spełniającą warunek
a ≥ m dla każdego a ∈ A
nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A.
Zbiór A ⊂ R nazywamy ograniczonym z góry, jeżeli
∃ M ∈ R ∀ a ∈ A a ≤ M.
Dowolną liczbę M spełniającą warunek
a ≤ M dla każdego a ∈ A
nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A.
Zbiór A ⊂ R nazywamy ograniczonym, gdy jest jednocześnie ograniczony i z dołu
i z góry, co jest równoważne warunkowi
∃ M ∈ R ∀ a ∈ A |a| ≤ M.
Przykład 1.3.
a) Każdy przedział postaci (−∞, a) lub (−∞, a] dla a ∈ R jest ograniczony z góry (przez
dowolną liczbą ≥ a), ale nie z dołu.
b) Każdy przedział postaci (a, ∞) lub [a, ∞) dla a ∈ R jest ograniczony z dołu (przez
dowolną liczbę ≤ a), ale nie z góry.
c) Zbiór {2, 4, 6, . . .} jest ograniczony z dołu (przez dowolną liczbę ≤ 2), ale nie z góry.
1
+ n : n ∈ N jest ograniczony z dołu (przez dowolną liczbę ≤ 1), ale nie z
d) Zbiór
n
góry.
e) Zbiór {x ∈ R : sin x ≥ 0} nie jest ograniczony ani z dołu, ani z góry.
f) Zbiór n1 + m1 : n, m ∈ N jest ograniczony i z dołu (przez dowolną liczbę ≤ 0), i z
góry (przez dowolną liczbę ≥ 2).
Liczba a0 jest zwana:
ˆ najmniejszym elementem zbioru A (ozn. a0 = min A), jeśli
a0 ∈ A oraz ∀ a ∈ A a ≥ a0 ;
9
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
ˆ największym elementem zbioru A (ozn. a0 = max A), jeśli
a0 ∈ A oraz ∀ a ∈ A a ≤ a0 .
Fakt 1.6. Każdy zbiór A ⊂ R, który ma element największy (odp. najmniejszy), jest
ograniczony z góry (odp. z dołu).
Implikacja przeciwna nie jest prawdziwa, tzn. istnieją zbiory ograniczone z góry, które
nie mają elementu największego; np. przedział (−∞, a).
Kresem górnym zbioru A ⊂ R (ozn. sup A) nazywamy najmniejsze ograniczenie
górne tego zbioru, o ile zbiór jest ograniczony z góry; w przeciwnym razie przyjmujemy,
że sup A = ∞.
Kresem dolnym zbioru A ⊂ R (ozn. inf A) nazywamy największe ograniczenie
dolne tego zbioru, o ile zbiór jest ograniczony z dołu; w przeciwnym razie przyjmujemy,
że inf A = −∞.
Twierdzenie 1.4. Niech A ⊂ R.
(i) Jeśli A jest ograniczony z dołu, to inf A = a0 wtedy i tylko wtedy, gdy
(∗) ∀ a ∈ A a0 ≤ a,
(∗∗) ∀ ε > 0 ∃ aε ∈ A aε − ε < a0 .
(ii) Jeśli A jest ograniczony z góry, to sup A = a0 wtedy i tylko wtedy, gdy
(∗) ∀ a ∈ A a0 ≥ a,
(∗∗) ∀ ε > 0 ∃ aε ∈ A aε + ε > a0 .
Przykład 1.4.
a) Dla A = (−3, 2] sup A = 2 oraz inf A = −3.
b) Dla B = {1 + 2−n : n ∈ N} sup B =
3
oraz inf B = 1.
2
c) Dla C = (−∞, 0] \ Q sup C = 0 oraz inf C = −∞.
d) Dla D = [1, 2) ∪ {3} sup D = 3 oraz inf D = 1.
Aksjomat ciągłości: każdy niepusty podzbiór zbioru R ograniczony z dołu (odp. z góry)
ma kres górny (odp. dolny).
1.4
Uogólnione działania na zbiorach
Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym i niech 2X będzie rodziną wszystkich
podzbiorów zbioru X. Jeżeli T ̸= ∅, to dowolną funkcję f : T → 2X nazywamy indeksowaną rodziną zbiorów i oznaczamy (At )t∈T . Zbiór T nazywamy zbiorem indeksów
tej rodziny.
10
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Przykład 1.5. Niech X = R i T = N. Dla każdego n ∈ N określamy
1
1
An =
,
.
n+1 n
Zatem
A1 =
1
2
, 1 , A2 = 31 , 12 , A3 = 14 , 21 , . . .
Przykład 1.6. Niech X = R i T = R. Dla każdego t ∈ R określamy
At = {x ∈ R : tx ≤ 1} .
Zatem

1

 {x ∈ R : x ≤ t }, t > 0;
R,
t=0
At =


{x ∈ R : x ≥ 1t }, t < 0.
Iloczynem uogólnionym zbiorów rodziny (At )t∈T (ozn.
[
At ) nazywamy zbiór
t∈T
tych elementów przestrzeni X, które należą jednocześnie do wszystkich zbiorów tej rodziny; tzn.
\
At ⇔ ∀ t ∈ T x ∈ At .
x∈
t∈T
Sumą uogólnioną zbiorów rodziny (At )t∈T (ozn.
[
At ) nazywamy zbiór tych ele-
t∈T
mentów przestrzeni X, które należą do co najmniej jednego zbioru tej rodziny; tzn.
[
At ⇔ ∃ t ∈ T x ∈ At .
x∈
t∈T
Gdy T = N, piszemy
\
An =
∞
\
[
An ,
n=1
n∈N
An =
n∈N
∞
[
An ,
n=1
Przykład 1.7. Niech X = R i T = N. Dla każdego n ∈ N określamy
1
1
An =
,
.
n+1 n
Wtedy
[
\
An = (0, 1],
n∈N
An = ∅.
n∈N
Przykład 1.8. Niech X = R i T = R. Dla każdego t ∈ R określamy

1

 {x ∈ R : x ≤ t }, t > 0;
R,
t=0
At =


1
{x ∈ R : x ≥ t }, t < 0.
Wtedy
[
t∈R
At = R,
\
t∈R
11
At = {0}.
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Twierdzenie 1.5. Dla dowolnych rodzin (At )t∈T , (Bt )t∈T podzbiorów przestrzeni X i
A ⊂ X:
[
\
1) At ⊂
At i
At ⊂ At dla każdego t ∈ T ,
t∈T
t∈T
2) jeśli At ⊂ Bt dla każdego t ∈ T , to
[
At ⊂
t∈T
3)
[
(At ∪ Bt ) =
t∈T
4)
\
[
(At ∩ Bt ) =
\
[
(At ∩ Bt ) ⊂
At ∩
\
(At ∪ Bt ) ⊃
7) A \
t∈T
\
At =
t∈T
8) A \
[
t∈T
[
t∈T
\
t∈T
At ⊂
\
Bt ,
t∈T
Bt ,
\
Bt ,
t∈T
At ∩
t∈T
t∈T
1.5
\
[
Bt oraz
t∈T
t∈T
t∈T
6)
At ∪
t∈T
t∈T
5)
[
[
[
Bt ,
t∈T
At ∪
\
Bt ,
t∈T
(A \ At ),
t∈T
At =
\
(A \ At ).
t∈T
Zasada indukcji matematycznej
Indukcja matematyczna (= indukcja zupełna)to metoda dowodzenia twierdzeń o
liczbach naturalnych.
Niech T (n) oznacza formę zdaniową zmiennej n określoną w dziedzinie N. Jeśli w
miejsce n podstawimy dowolną liczbę naturalną, to T (n) stanie się zdaniem prawdziwym
albo fałszywym, zależnie od wartości n. Jeżeli, na przykład, T (n) oznacza wypowiedź ”n
jest podzielne przez 2”, to T (4) jest zdaniem prawdziwym, natomiast T (5) jest zdaniem
fałszywym.
Twierdzenie 1.6. (zasada indukcji matematycznej)
Jeżeli:
1. istnieje taka liczba naturalna n0 , że T (n0 ) jest zdaniem prawdziwym,
2. dla każdej liczby naturalnej n ≥ n0 prawdziwa jest implikacja T (n) ⇒ T (n + 1),
to T (n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n ≥ n0 .
Przykład 1.9. Udowodnimy, że 2n > n2 dla n ≥ 5.
1. Dla n = 5 nierówność jest prawdziwa, gdyż 25 = 32 > 25 = 52 .
2. Założenie indukcyjne: 2n > n2 .
12
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
3. Teza indukcyjna: 2n+1 > (n + 1)2 .
4. Dowód indukcyjny:
Z założenia indukcyjnego 2n > n2 . Mnożąc stronami nierówność przez 2 otrzymujemy
2n+1 > 2n2 .
Teraz wystarczy wykazać, że
2n2 > (n + 1)2 .
Istotnie,
2n2 > n2 + 2n + 1 ⇔ n2 + 2n + 1 > 0 ⇔ (n + 1)2 > 0.
2
Funkcje
Funkcją zbioru X w zbiór Y (ozn. f : X → Y ) nazywamy przyporządkowanie
każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y . Wówczas zbiór X
nazywamy dziedziną funkcji f , zaś Y przeciwdziedziną tej funkcji.
Funkcje f : Xf → Y i g : Xg → Y są sobie równe, gdy Xf = Xg oraz f (x) = g(x)
dla każdego x ∈ Xf .
Wykresem funkcji f : X → Y nazywamy zbiór Gr f := {(x, y) ∈ X × Y : y =
f (x)}.
Obrazem zbioru A ⊂ X przez funkcję f : X → Y nazywamy zbiór
f (A) = {y ∈ Y : ∃ x ∈ A f (x) = y} .
Zbiór f (X) nazywamy zbiorem wartości funkcji f .
Przeciwobrazem zbioru B ⊂ Y przez funkcję f : X → Y nazywamy zbiór
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}.
2.1
Własności funkcji
Funkcję f : X → Y nazywamy:
ˆ surjekcją (= funkcją odwzorowującą X na Y ), jeśli Y = f (X),
ˆ injekcją (= funkcją różnowartościową), jeśli
∀ x1 , x2 ∈ X (x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2 )),
ˆ bijekcją (= funkcją wzajemnie jednoznaczną), jeśli jest jednocześnie surjekcją i injekcją.
Restrykcją (= obcięciem) funkcji f : X → Y do zbioru A ⊂ X (ozn. f |A )
nazywamy taką funkcję g : A → Y , że g(x) = f (x) dla każdego x ∈ A.
Złożeniem funkcji f : X → Y i g : Y → Z nazywamy funkcję g ◦ f : X → Z
zdefiniowaną wzorem (g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla każdego x ∈ X.
13
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Przykład 2.1. Dla funkcji f (x) = x3 i g(x) = 2x:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = (g(x))3 = (2x)3 = 8x3 ,
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = 2f (x) = 2x3 .
Jeśli f : X → Y jest injekcją, to funkcję f −1 : f (X) → Y spełniającą warunek
∀ y ∈ f (X) [f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y]
nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f .
Przykład 2.2. Wyznaczymy funckję odwrotną do funkcji f (x) = x2 − 2x dla x ∈ [1, ∞)
(oczywiście na tym przedziale f jest różnowartośćiowa).
Najpierw zauważmy, że f ([1, ∞)) = [−1, ∞). Ponadto:
x = y 2 − 2y ⇔ y 2 − 2y − x = 0 ⇔ (y − 1)2 − 1 − x = 0 ⇔ (y − 1)2 = x + 1.
Zatem, ponieważ x + 1 ≥ 0 dla x ∈ [−1, ∞),
√
√
y = 1 + x + 1 lub y = 1 − x + 1.
Jednak y ∈ [1, ∞),więc ostatecznie funkcja odwrotna jest określona wzorem
√
f −1 (x) = 1 + x + 1 dla x ∈ [−1, ∞).
2.2
Własności funkcji rzeczywistych
W dalszym ciągu skupimy się na funkcjach rzeczywistych, czyli funkcjach określonych
na zbiorze D ⊂ R o wartościach rzeczywistych.
Oczywiście wszystkie wymienione wcześniej własności funkcji odnoszą się również do
funkcji rzeczywistych (dla X = D ⊂ R i Y = R).
Zatem funkcja f : R → R:
ˆ jest injekcją, gdy każda prosta pozioma przecina jej wykres w co najwyżej jednym
punkcie,
ˆ jest surjekcją, gdy każda prosta pozioma przecina jej wykres w co najmniej jednym punkcie,
ˆ jest bijekcją, gdy każda prosta pozioma przecina jej wykres w dokładnie jednym
punkcie.
Funkcję f : D → R nazywamy:
ˆ parzystą, jeśli dla każdego ∀ x ∈ R − x ∈ D oraz f (−x) = f (x),
ˆ nieparzystą, jeśli ∀ x ∈ R − x ∈ D oraz f (−x) = −f (x),
ˆ okresową, jeśli istnieje taka liczba t ∈ R \ {0}, że ∀ x ∈ D
f (x + t) = f (x).
14
x ± t ∈ D oraz
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Uwaga. Z definicji okresowości wynika, że jeśli t jest okresem funkcji f , to dla każdego
k ∈ Z kt (−t, 2t, −2t, . . .) też jest okresem tej funkcji. Jeśli funkcja f jest okresowa oraz
istnieje najmniejszy okres dodatni, to nazywamy go okresem podstawowym funkcji
f.
Wykres rzeczywistej funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0, 0),
zaś parzystej jest symetryczny względem osi OY. Z kolei wykresy funkcji rzeczywistej
oraz funkcji do niej odwrotnej leżą symetrycznie względem prostej y = x.
Funkcję f : D → R nazywamy:
ˆ rosnącą, jeśli ∀ x1 , x2 ∈ D (x1 > x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )),
ˆ niemalejacą, jeśli ∀ x1 , x2 ∈ D (x1 > x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )),
ˆ malejącą, jeśli ∀ x1 , xd ∈ D (x1 > x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )),
ˆ nierosnącą, jeśli ∀ x1 , x2 ∈ D (x1 > x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )),
ˆ stałą, jeśli ∀ x1 , x2 ∈ D (x1 ̸= x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )),
ˆ monotoniczną, jeśli jest nierosnąca lub niemalejąca.
ˆ ograniczoną z góry, jeśli istnieje takie M ∈ R, że f (x) ≤ M dla każdego x ∈ D,
ˆ ograniczoną z dołu, jeśli istnieje takie m ∈ R, że f (x) ≥ m dla każdego x ∈ D,
ˆ ograniczoną, jeśli jest jednocześnie ograniczona i z góry i z dołu.
Fakt 2.1. Rzeczywista funkcja monotoniczna i okresowa jest stała.
Fakt 2.2. Rzeczywista funkcja parzysta i nieparzysta jest funkcją stałą y = 0.
Iloczynem funkcji f : R → R przez stałą c ∈ R nazywamy funkcję cf zdefiniowaną wzorem (cf )(x) = cf (x).
Sumą funkcji f : D → R i g : D → R nazywamy funkcję f +g zdefiniowaną wzorem
(f + g)(x) = f (x) + g(x).
Iloczynem funkcji f : D → R i g : D → R nazywamy funkcję f g zdefiniowaną
wzorem (f g)(x) = f (x)g(x).
Ilorazem funkcji f : D → R i g : D →R spełniającej
warunek g(x) ̸= 0 dla x ∈ D
f
f (x)
f
(x) =
.
nazywamy funkcję zdefiniowaną wzorem
g
g
g(x)
2.3
Podstawowe funkcje elementarne
2.3.1
Funkcja potęgowa
Niech a ∈ R \ {0}. Funkcją potęgową nazywamy funkcję f : Da → R opisaną wzorem
f (x) = xa
dla x ∈ Da ,
gdzie dziedzina Da tej funkcji zależy od wykładnika a.
I. a = n jest liczbą naturalną i parzystą. Wtedy f : R → R.
15
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Własności:
1. parzysta, (więc nie jest różnowartościowa),
2. malejąca na przedziale (−∞, 0],
3. rosnąca na przedziale [0, ∞),
4. zbiorem wartości jest przedział [0, ∞).
II. a = n jest liczbą naturalną i nieparzystą. Wtedy f : R → R.
Własności:
1. nieparzysta,
2. rosnąca (więc różnowartościowa),
3. zbiorem wartości jest zbiór R.
III. a = n jest liczbą całkowitą ujemną i parzystą. Wtedy f : R \ {0} → R.
16
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Własności:
1. parzysta (więc nie jest różnowartościowa),
2. rosnąca w przedziale (−∞, 0),
3. malejąca w przedziale (0, ∞),
4. zbiorem wartości jest przedział (0, ∞).
IV. a = n jest liczbą całkowitą ujemną i nieparzystą. Wtedy f : R \ {0} → R.
Własności:
1. nieparzysta,
2. różnowartościowa,
3. malejąca w przedziale (−∞, 0),
17
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
4. malejąca w przedziale (0, ∞),
5. zbiorem wartości jest zbiór R \ {0}.
V. a ∈ R \ Z jest dodatnie. W tym przypadku f : [0, ∞) → R.
a<1
a>1
Własności:
1. różnowartościowa,
2. rosnąca,
3. zbiorem wartości jest przedział [0, ∞).
VI. a ∈ R \ Z jest ujemne. W tym przypadku f : (0, ∞) → R.
Własności:
1. różnowartościowa,
2. malejąca,
3. zbiorem wartości jest przedział (0, ∞).
18
Eliza Jabłońska
2.3.2
Analiza matematyczna 1
Funkcja wykładnicza
Funkcją wykładniczą o podstawie a ∈ R, a > 0, a ̸= 1, nazywamy funkcję f : R → R,
f (x) = ax
dla x ∈ R.
I. a > 1.
Własności:
1. rosnąca (więc różnowartościowa),
2. zbiorem wartości jest przedział (0, ∞).
II. a ∈ (0, 1).
Własności:
1. malejąca (więc różnowartościowa),
2. zbiorem wartości jest przedział (0, ∞).
19
Eliza Jabłońska
2.3.3
Analiza matematyczna 1
Funkcja logarytmiczna
Funkcją logarytmiczną o podstawie a ∈ R, a > 0, a ̸= 1 nazywamy funkcję f :
(0, ∞) → R,
f (x) = loga x
dla x ∈ (0, ∞).
Twierdzenie 2.1. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna, obie o tej samej podstawie a > 0, a ̸= 1, są funkcjami wzajemnie odwrotnymi, tzn. jeśli f : R → (0, ∞),
f (x) = ax oraz g : (0, ∞) → R, g(x) = loga (x), to
(f ◦ g)(x) = x
dla x ∈ (0, ∞)
oraz
(g ◦ f )(x) = x
aloga x = x
dla x ∈ (0, ∞)
oraz
loga ax = x
I. a > 1.
Własności:
1. rosnąca (więc różnowartościowa),
2. zbiorem wartości jest zbiór R.
II. a ∈ (0, 1).
20
dla x ∈ R,
dla x ∈ R.
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Własności:
1. malejąca (więc różnowartościowa),
2. zbiorem wartości jest zbiór R.
2.3.4
Funkcje trygonometryczne
Funkcją trygonometryczną sinus nazywamy funkcję
R ∋ x 7→ sin x ∈ R.
Własności funkcji sin:
1. nieparzysta,
2. okresowa o okresie podstawowym 2π,
3. rosnąca na każdym z przedziałów − π2 + 2kπ, π2 + 2kπ dla k ∈ Z,
4. malejąca na każdym z przedziałów π2 + 2kπ, 3π
+
2kπ
dla k ∈ Z,
2
5. zbiorem wartości jest przedział [−1, 1].
Funkcją trygonometryczną cosinus nazywamy funkcję
R ∋ x 7→ cos x ∈ R.
21
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Własności funkcji cos:
1. parzysta,
2. okresowa o okresie podstawowym 2π,
3. rosnąca na każdym z przedziałów [π + 2kπ, 2π + 2kπ] dla k ∈ Z,
4. malejąca na każdym z przedziałów [2kπ, π + 2kπ] dla k ∈ Z,
5. zbiorem wartości funkcji jest przedział [−1, 1].
Funkcją trygonometryczną tangens nazywamy funkcję
R ∋ x 7→ tg x ∈ R.
Własności funkcji tg:
1. nieparzysta,
2. okresowa o okresie podstawowym π,
3. rosnąca w każdym z przedziałów − π2 + kπ, π2 + kπ dla k ∈ Z,
4. zbiorem wartości jest zbiór R.
Funkcją trygonometryczną cotangens nazywamy funkcję
R ∋ x 7→ ctg x ∈ R.
22
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Własności funkcji ctg:
1. nieparzysta,
2. okresowa o okresie podstawowym π,
3. malejąca w każdym z przedziałów (kπ, (k + 1)π) dla k ∈ Z,
4. zbiorem wartości jest zbiór R.
2.3.5
Funkcje cyklometryczne
I. Funkcja arcus sinus. W celu skonstruowania funkcji odwrotnej do funkcji sin
(globalnie nie można tego zrobić, gdyż funkcja
sin nie
jest globalnie różnowartościowa)
zawężamy dziedzinę funkcji sin do przedziału − π2 , π2 (jedna z wielu możliwości wyboru
maksymalnego przedziału na którym funkcja sin jest różnowartościowa),
tzn. rozpatrujemy funkcję
h π πi
→ [−1, 1].
sin : − ,
2 2
Tak zawężona funkcja jest bijekcją, można więc wyznaczyć funkcję do niej odwrotną,
którą nazwiemy arcusem sinusem, tzn.
h π πi
arc sin : [−1, 1] → − ,
,
arc sin x = y ⇐⇒ sin y = x.
2 2
23
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Własności funkcji arc sin:
1. nieparzysta,
2. rosnąca (więc różnowartościowa),
3. zbiorem wartości jest przedział − π2 , π2 ,
Funkcje sin |[− π , π ] oraz arc sin są funkcjami wzajemnie odwrotnymi:
2 2
Dla a ∈ [−1, 1] rozwiązaniami równania
sin x = a
są x = arc sin a + 2kπ lub x = π − arc sin a + 2kπ, gdzie k ∈ Z.
24
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Przykład 2.3. Rozwiązaniami równania
sin x =
1
7
są x = arc sin 17 + 2kπ lub x = π − arc sin 17 + 2kπ, gdzie k ∈ Z.
II. Funkcja arcus cosinus. W celu skonstruowania funkcji odwrotnej do funkcji cos
zawężamy dziedzinę funkcji cos do przedziału [0, π],
tzn. rozpatrujemy funkcję
cos : [0, π] → [−1, 1].
Tak zawężona funkcja jest bijekcją, można więc wyznaczyć funkcję do niej odwrotną,
którą nazwiemy arcusem cosinusem, tzn.
arc cos : [−1, 1] → [0, π] ,
arc cos x = y ⇐⇒ cos y = x.
Własności funkcji arc cos:
1. malejąca (więc różnowartościowa),
25
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
2. zbiorem wartości jest przedział [0, π],
Funkcje cos |[0,π] oraz arc cos są funkcjami wzajemnie odwrotnymi:
Dla a ∈ [−1, 1] rozwiązaniami równania
cos x = a
są x = arc cos a + 2kπ lub x = − arc cos a + 2kπ, gdzie k ∈ Z.
Przykład 2.4. Rozwiązaniami równania
cos x =
1
7
są x = arc cos 71 + 2kπ lub x = − arc cos 71 + 2kπ, gdzie k ∈ Z.
III. Funkcja arcus tangens. W celu skonstruowania
funkcji odwrotnej do funkcji tg
π π
zawężamy dziedzinę funkcji tg do przedziału − 2 , 2 ,
26
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
tzn. rozpatrujemy funkcję
π π
→ R.
tg : − ,
2 2
Tak zawężona funkcja jest bijekcją, można więc wyznaczyć funkcję do niej odwrotną,
którą nazwiemy arcusem tangensem, tzn.
π π
arc tg : R → − ,
,
arc tg x = y ⇐⇒ tg y = x.
2 2
Własności funkcji arc tg:
1. nieparzysta,
2. rosnąca (więc różnowartościowa),
3. zbiorem wartości jest przedział − π2 , π2 ,
Funkcje tg |(− π , π ) oraz arc tg są funkcjami wzajemnie odwrotnymi:
2 2
Dla a ∈ R rozwiązaniem równania
tg x = a
jest x = arc tg a + kπ, gdzie k ∈ Z.
Przykład 2.5. Rozwiązaniem równania
tg x = 15
jest x = arc tg 15 + kπ, gdzie k ∈ Z.
27
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
IV. Funkcja arcus cotangens. W celu skonstruowania funkcji odwrotnej do funkcji
ctg zawężamy dziedzinę funkcji ctg do przedziału (0, π),
tzn. rozpatrujemy funkcję
ctg : (0, π) → R.
Tak zawężona funkcja jest bijekcją, można więc wyznaczyć funkcję do niej odwrotną,
którą nazwiemy arcusem cotangensem, tzn.
arc ctg : R → (0, π) ,
arc ctgx = y ⇐⇒ ctg y = x.
Własności funkcji arc ctg:
1. malejąca (więc różnowartościowa),
2. zbiorem wartości jest przedział (0, π).
Funkcje ctg |(0,π) oraz arc ctg są funkcjami wzajemnie odwrotnymi:
28
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Dla a ∈ R rozwiązaniem równania
ctg x = a
jest x = arc ctg a + kπ, gdzie k ∈ Z.
Przykład 2.6. Rozwiązaniem równania
ctg x = 15
jest x = arc ctg 15 + kπ, gdzie k ∈ Z.
2.4
Funkcje elementarne
Definicja 2.1. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych
za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania bądź odwracania funkcji, nazywamy funkcjami elementarnymi.
2.4.1
Funkcje hiperboliczne
Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję sinh : R → R określoną wzorem
sinh x =
ex − e−x
2
29
dla x ∈ R.
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Własności funkcji sinh:
1. nieparzysta,
2. rosnąca (więc różnowartościowa),
3. zbiorem wartości jest R.
Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję cosh : R → [1, ∞) określoną wzorem
ex + e−x
cosh x =
dla x ∈ R.
2
Własności funkcji cosh:
1. parzysta (więc nie jest różnowartościowa),
2. malejąca w przedziale (−∞, 0],
3. rosnąca w przedziale [0, ∞),
30
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
4. zbiorem wartości jest przedział [1, ∞).
Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję tgh : R → (−1, 1) określoną wzorem
sinh x
ex − e−x
tgh x =
= x
dla x ∈ R.
cosh x
e + e−x
Własności funkcji tgh:
1. nieparzysta,
2. rosnąca (więc różnowartościowa),
3. zbiorem wartości jest (−1, 1).
Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję ctgh : R \ {0} → (−∞, −1) ∪
(1, ∞) określoną wzorem
ctgh x =
ex + e−x
cosh x
= x
sinh x
e − e−x
31
dla x ∈ R.
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Własności funkcji ctgh:
1. nieparzysta,
2. malejąca w przedziale (−∞, 0),
3. malejąca w przedziale (0, ∞),
4. więc różnowartościowa,
5. zbiorem wartości jest (−∞, −1) ∪ (1, ∞).
2.4.2
Wielomiany
Niech n ∈ N. Wielomianem (rzeczywistym) stopnia n ∈ N nazywamy funkcję f :
R → R określoną wzorem
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
gdzie a0 , a1 , . . . , an ∈ R są współczynnikami wielomianu oraz an ̸= 0.
Oczywiście funkcja potęgowa o wykładniku naturalnym jest szczególnym przypadkiem wielomianu.
Wynikiem zarówno dodawania jak i mnożenia wielomianów jest wielomian.
Przykład 2.7. Niech
f (x) = 5x3 + 2x2 − 1,
g(x) = 6x2 − 3x − 4
dla x ∈ R. Wtedy:
(f + g)(x) = (5x3 + 2x2 − 1) + (6x2 − 3x − 4) = 5x3 + 8x2 − 3x − 5,
(f g)(x) = f (x)g(x) = (5x3 + 2x2 − 1)(6x2 − 3x − 4)
= 30x5 − 15x4 − 20x3 + 12x4 − 6x3 − 8x2 − 6x2 + 3x + 4
= 30x5 − 3x4 − 26x3 − 14x2 + 3x + 4.
Twierdzenie 2.2. Każdy wielomian f : R → R można jednoznacznie zapisać w postaci
f (x) = g(x)h(x) + r(x) gdzie g, h, r są wielomianami, przy czym stopień wielomianu r
jest mniejszy niż stopień g.
Operacja ta jest równoważna dzieleniu wielomianu f przez g z resztą r. Jeżeli r = 0,
to wielomian f nazywamy podzielnym przez g, z kolei g nazywamy dzielnikiem wielomianu f .
Przykład 2.8. (dzielenie pisemne wielomianów)
Podzielimy wielomian f (x) = 2x3 + 2x + 4 przez g(x) = x2 − 3x + 9.
32
Eliza Jabłońska
Zatem
Analiza matematyczna 1
2x3 + 2x + 4
2x − 50
= 2x + 6 + 2
.
2
x − 3x + 9
x − 3x + 9
Liczbę a ∈ R nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym wielomianu f : R → R,
jeśli f (a) = 0.
Twierdzenie 2.3. (twierdzenie Bézouta)
Liczba rzeczywista a jest pierwiastkiem wielomianu f : R → R wtedy i tylko wtedy, gdy
f jest podzielny przez dwumian x − a.
Wniosek 2.1. Każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
Wniosek 2.2. Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich stopnie
oraz współczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej.
Schemat Hornera stosuje się w przypadku dzielenia wielomianu f (x) = an xn +
an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 stopnia n > 1 przez dwumian postaci x − a. Wynikiem takiego
dzielenia jest wielomian stopnia n − 1 oraz reszta r.
Utwórzmy tabelę:
|
| an | an−1 | . . . | a2 | a1 | a0 |
| a | an | bn−2 | . . . | b1 | b0 | r |
gdzie współczynniki bn−2 , . . . , b0 , r wyznaczamy kolejno, zaczynając od lewej strony,
bn−2 = an a + an−1
bn−3 = bn−2 a + an−2
...
b 0 = b 1 a + a1 ,
r = b 0 a + a0 .
Wówczas
f (x) = bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 +
r
.
x−a
Przykład 2.9. Podzielimy wielomian 3x7 + 3x3 − 4x2 + 2 przez dwumian x + 2.
|
| 3 | 0 | 0 | 0 | 3 | −4 | 0 |
2
|
| −2 | 3 | −6 | 12 | −24 | 51 | −106 | 212 | −422 |
33
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
Zatem
422
3x7 + 3x3 − 4x2 + 2
= 3x6 − 6x5 + 12x4 − 24x3 + 51x2 − 106x + 212 −
.
x+2
x+2
Liczba rzeczywista a jest pierwiastkiem k–krotnym wielomianu f : R → R, gdy
istnieje taki wielomian g : R → R, że f (x) = (x − a)k g(x) oraz g(a) ̸= 0.
Twierdzenie 2.4. (o pierwiastkach wymiernych wielomianu)
Niech f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 będzie wielomianem stopnia n o współp
czynnikach całkowitych oraz niech liczba wymierna , gdzie N W D(p, q) = 1, będzie
q
pierwiastkiem wielomianu f . Wtedy p|a0 oraz q|an .
Przykład 2.10. Znajdziemy wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu f (x) = 4x3 −
18x2 − 2x + 5.
Ponieważ q|4, więc q ∈ {±1, ±2, ±4}. Natomiast p|5, więc p ∈ {±1, ±5}. Stąd
1 1
5 5
p
∈ ±1, ± , ± , ±5, ± , ±
.
q
2 4
2 4
1
= 0.
f (1) = −11 ̸= 0, f (−1) = −15 ̸= 0, f
2
1
Zatem f jest podzielny przez dwumian x − . Zastosujemy więc schemat Hornera:
2
|
|
1
2
| 4 | −18 | −2 | 5 |
| 4 | −16 | −10 | 0 |
Zatem
1
1
5
2
2
4x − 18x − 2x + 5 = x −
(4x − 16x − 10) = 4 x −
x − 4x −
.
2
2
2
√
26
Obliczając ∆ = 26, otrzymujemy pierwiastek 2 ±
. Pierwiastkami wielomianu są
2
1
1√
1√
więc , 2 +
26, 2 −
26.
2
2
2
3
2
Twierdzenie 2.5. (o rozkładzie wielomianu na czynniki)
Każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej
drugiego; tzn. jeśli f : R → R jest wielomianem stopnia n postaci
f (x) = an xn + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,
gdzie an , . . . , a0 ∈ R, an ̸= 0, który ma pierwiastki x1 , . . . , xr krotności odpowiednio
k1 , . . . , kr , to
f (x) = an (x − x1 )k1 . . . (x − xr )kr (x2 + p1 x + q1 )l1 . . . (x2 + ps x + qqs )ls ,
dla pewnych s, l1 , . . . , ls ∈ N spełniających k1 +. . .+kr +2(l1 +. . .+ls ) = n, p1 , . . . , ps , q1 . . . , qs ∈
R.
34
Eliza Jabłońska
2.4.3
Analiza matematyczna 1
Funkcje wymierne
Funkcją wymierną nazywamy iloraz
f
wielomianów f, g : R → R, gdzie g(x) ̸= 0 dla
g
każdego x ∈ R.
f
wielomianów f, g : R →
g
R, gdzie g(x) ̸= 0 dla każdego x ∈ R oraz stopnień wielomianu f jest niższy od stopnia
wielomianu g.
Funkcję wymierną nazywamy właściwą, jeśli jest ilorazem
Uwaga. Każda funkcja wymierna jest sumą wielomianu oraz funkcji wymiernej właściwej (jeśli funkcja wymierna jest niewłaściwa, to wystarczy podzielić licznik przez mianownik).
Przykład 2.11. Funkcję wymierną
x4 + 4x + 1
x2 + 2
rozłożymy na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej.
x2 (x2 + 2) − 2x2 + 4x + 1
−2x2 + 4x + 1
x4 + 4x + 1
2
=
=
x
+
x2 + 2
x2 + 2
x2 + 2
−2(x2 + 2) + 4x + 5
4x + 5
=x +
= x2 − 2 + 2
.
2
x +2
x +2
2
Wyróżniamy następujące ułamki proste:
1) pierwszego rodzaju – funkcja wymierna postaci
a
,
(x + a)n
gdzie A, a ∈ R oraz n ∈ N,
2) drugiego rodzaju – funkcja wymierna postaci
Ax + B
(x2 + px + q)n
,
gdzie A, B, p, q ∈ R, przy czym ∆ = p2 − 4q < 0, oraz n ∈ N,
Twierdzenie 2.6. (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Każda funkcja wymierna właściwa
f (x)
an (x − x1 )k1 . . . (x − xr )kr (x2 + p1 x + q1 )l1 . . . (x2 + ps x + qqs )ls
jest sumą k1 + . . . + kr ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l1 + . . . + ls ułamków
prostych drugiego rodzaju, przy czym:
35
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
ˆ czynnikowi (x − xi )ki odpowiada suma
Ai2
Aiki
Ai1
+
+
.
.
.
+
,
x − xi (x − xi )2
(x − xi )ki
gdzie Ai1 , . . . , Aiki ∈ R dla i ∈ {1, . . . , r},
ˆ czynnikowi (x2 + pj x + qj )lj odpowiada suma
Bjlj x + Cjlj
Bj2 x + Cj2
Bj1 x + Cj1
+
+
.
.
.
+
,
x2 + pj x + qj (x2 + pj x + qj )2
(x2 + pj x + qj )lj
gdzie Bj1 , . . . , Bjlj , Cj1 , . . . , Cjlj ∈ R dla j ∈ {1, . . . , s}.
Przykład 2.12. Aby znaleźć rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste, należy znaleźć
stałe:
A
B
C
D
3x3 + 4x2 + x + 1
= +
+
+
; wyznaczyć A, B, C, D;
a)
3
2
x(x + 1)
x x + 1 (x + 1)
(x + 1)3
b)
c)
2x2 + 3x − 1
A
B
C
= +
+
; wyznaczyć A, B, C;
3
x −x
x x+1 x−1
3x
(x2 + 1)2 (x2 − 9)
2.4.4
=
A
B
Cx + D Ex + F
+
+ 2
+
; wyznaczyć A, B, C, D, E, F .
x + 3 x − 3 x + 1 (x2 + 1)2
Funkcje specjalne
I. Wartość bezwzględna, czyli funkcja | · | : R → [0, ∞) określona wzorem
(
x dla x ≥ 0,
|x| =
−x dla x < 0.
II. Signum, czyli funkcja sgn : R → {−1, 0, 1} określona wzorem


 1 dla x > 0,
0 dla x = 0,
sgn x =


−1 dla x < 0.
36
Eliza Jabłońska
Analiza matematyczna 1
III. Część całkowita liczby, czyli funkcja E : R → Z określona wzorem
E(x) = k
dla x ∈ [k, k + 1), k ∈ Z.
37