전자장 이론 (ELECTROMAGNETIC THEORY) 2009. 3 고 지 환 교수 1-1 교재 : 마이크로파 공학, 원저 David Pozar 제 1장 전자장 이론 (Electromagnetic Theory) 제 3장 전송선로와 도파관 (Transmission Lines and Waveguide) 1-2 1. 좌표계 (coordinate system) - 직교좌표계(cartesian coordinate system) : ( x, y , z ) - 구좌표계(spherical coordinate system) : (r ,θ , φ ) - 원통좌표계(cylindrical coordinate system) : ( ρ , φ , z ) z축 z θ r y x x축 φ ρ 직교좌표 구좌표 ( x, y , z ) (r ,θ , φ ) y축 원통좌표 (ρ ,φ , z) 1-3 좌표 변환 1 ( x, y , z ) 직교좌표 r = x2 + y2 + z 2 ⎞ ⎛ z −1 ⎜ ⎟ θ = cos ⎜ x2 + y2 + z 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ y⎞ φ = tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ x⎠ z축 z x축 φ ρ (ρ ,φ , z) ( x, y , z ) 원통좌표 y ρ = x2 + y 2 θ r x (r ,θ , φ ) 구좌표 y축 ⎛ y⎞ ⎝x⎠ φ = tan −1 ⎜ ⎟ z=z 1-4 좌표 변환 2 (r ,θ , φ ) 구좌표 직교좌표 ( x, y , z ) x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ z축 z ( x, y , z ) 원통좌표 θ r x x축 φ ρ y y축 (ρ ,φ , z) ρ = r sin θ φ =φ z = r cos θ 1-5 좌표 변환 3 원통좌표 (ρ ,φ , z) ( x, y , z ) 직교좌표 x = ρ cos φ y = ρ sin φ z=z z축 z ( x, y , z ) 구좌표 θ r x x축 φ ρ y y축 (r ,θ , φ ) r = ρ 2 + z2 ⎛ρ⎞ θ = tan −1 ⎜ ⎟ ⎝z⎠ φ =φ 1-6 좌표 변환 문제 1. 직교 좌표를 아래와 같이 변환하라. ⎛ 2 2 ⎞ , , 3 ⎟⎟ ( x, y, z ) = ⎜⎜ ⎝ 2 2 ⎠ (r ,θ , φ ) (r , θ , φ ) = (2, 30 0 , 450 ) ( x, y , z ) (ρ ,φ , z) (ρ ,φ , z) 1-7 2. 스칼라 장 ( Scalar field ) 0 스칼라장은 공간의 일부 점 또는 모든 점에서의 스칼라량을 표현하는 규칙(또는 함수)를 말한다. 예 : 등고선, 바다에서 위치에 따른 염도 위치마다의 온도 T ( x, y, z ) = T0 e −k x2 + y 2 + z 2 1-8 3. 벡터 장 ( Vector field ) 0 벡터장은 공간의 일부 점 또는 모든 점에서의 벡터량을 표현하는 규칙(또는 함수)를 말한다. 예 : 힘, 속도, 가속도, 전장 0 Vector z축 A = Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ Az zˆ A A xˆ x ( x0 , y0 , z0 ) Ay yˆ y축 x축 1-9 z축 Br rˆ ( x0 , y0 , z0 ) A Bφφˆ B θˆ A = Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ θ y축 = Br rˆ + Bθ θˆ + Bφφˆ = C ρ ρˆ + Cφφˆ + C z zˆ x축 z축 C z zˆ A Report 1 Cφφˆ ( x0 , y0 , z0 ) C ρ ρˆ y축 위의 벡터 A의 직교 좌표벡터에서 Ax , Ay , Az 를 주어진다면 구좌표와 원통좌표의 각 성분들을 구하여라. x축 1-10 0 벡터의 대수학 - 벡터의 합성 A+B =C B C A 0 벡터의 곱셈( scalar product) - A • B = A B cos θ 교환법칙 : A⋅B = B ⋅ A 분배법칙 : A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C B θ A 예 : 어떤 물체에 힘 F가 작용하여 그물체를 d만큼 이동할때 한 일 W F d W = F ⋅d 1-11 0 벡터의 적(vector product) B C A × B = A B sin θ cˆ = C θ 교환법칙 성립하지 않음 : A × B = − B × A A A × (B + C ) = A × B + A × C 분배법칙 성립 : B = Bx xˆ + B y yˆ + Bz zˆ A = Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ xˆ yˆ zˆ A × B = Ax Ay Az = ( Ay Bz − Az B y ) xˆ + ( Bx Az − Bz Ax ) yˆ + ( Ax Bz − Bx Ay ) zˆ Bx By Bz z T = r×F 예 :회전 능률(Torque) T F r y x 1-12 0 벡터의 기울기 i) Vector function의 기본적인 도함수 ii) Scalar function의 벡터적인 도함수, 즉 Gradiant iii) Vector function의 scalar 적인 도함수, 즉 Divergence(발산) iv) Vector function의 Vector 적인 도함수, 즉 Curl (회전) 1-13 i) Vector function의 기본적인 도함수 정의 : dA A (u + Δu ) − A (u ) = lim du Δu →0 Δu (스칼라 함수인 경우와 마찬가지임) d d d (A + B) = A+ B du du du d f d d ( f A) = A+ f A du du du d dA dB (A ⋅ B) = ⋅B + A⋅ du du du d dA dB (A × B) = ×B + A× du du du f : 스칼라 함수임. 1-14 ii Scalar function의 벡터적인 도함수, 즉 Gradiant ( 스칼라 함수의 최대 기울기 벡터 ) 기본적인 세 좌표계 직각좌표계 ∇f = ∂f ∂f ∂f xˆ + yˆ + zˆ ∂x ∂y ∂z 원통좌표계 ∇f = 1 ∂f ˆ ∂f ∂f ρˆ + φ + zˆ ∂z ∂ρ ρ ∂φ 구좌표계 ∇f = 1 ∂f ˆ 1 ∂f ˆ ∂f rˆ + θ+ φ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ 1-15 iii Vector function의 scalar 적인 도함수, 즉 Divergence(발산) ∇⋅ A ▽과 임의의 벡터 A와의 스칼라 적을 벡터 A의 발산(divergence)라 함. ▽▪A는 단위 체적당 밖으로 방출되는 선속을 의미함. 기본적인 세 좌표계 직각좌표계 ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∇⋅ A = ∂z ∂x ∂y 원통좌표계 ∇⋅ A = 1 ∂ 1 ∂Aφ ∂Az ( ρAρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z 구좌표계 ∇⋅ A = 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂Aφ + (sin θ ) + ( r A ) A r θ r 2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 1-16 O 체적 τ로 부터 유출하는 총선속은 곧 τ를 둘러싸는 폐곡면 S를 뚫고 유출하는 총선속과 같음 발산 정리(divergence theorm), Gauss 정리 ∫ A ⋅ da = ∫τ (∇ ⋅ A ) dτ s 1-17 iV Vector function의 Vector 적인 도함수, 즉 Curl (회전) ∇× F 무한소의 폐경로에 대한 선적분의 값을 그 폐경로에 의해 만들어지는 면적으로 나눈 값으로 정의함. [∇ × F ]i = lim ΔS i →0 i F ∫ F ⋅ dl ΔSi ΔSi dl 0 Stokes 정리 임의의 곡면의 주변을 따라 순화적분은 벡터장의 회전과 면적소 벡터의 스칼라 적의 적분과 같다. ∫ A ⋅ d l = ∫ (∇ ×A ) ⋅ ds C S 1-18 기본적인 세 좌표계 직각좌표계 ( x, y, z ) ⎛ ∂A ∂Ay ⎞ ⎛ ∂Ax ∂Az ⎞ ⎛ ∂Ay ∂Ax ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + yˆ ⎜ − − ∇ × A = xˆ ⎜⎜ z − ⎟ + zˆ⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z x x y y z ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 원통좌표계 ( ρ , φ , z ) ∂A ⎞ ⎛ 1 ∂Az ∂Aφ ⎞ ˆ⎛ ∂Aρ ∂Az ⎞ 1⎛ ∂ ⎟⎟ + φ ⎜⎜ ⎟⎟ + zˆ ⎜⎜ ∇ × A = ρˆ ⎜⎜ − − ( ρAφ ) − ρ ⎟⎟ ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂ρ ⎠ ∂φ ⎠ ρ ⎝ ∂ρ ⎝ ρ ∂φ 구좌표계 (r , θ , φ ) ∇ × A = rˆ ⎤ ∂Aθ ⎤ ˆ 1 ⎡ 1 ∂Ar ∂ 1 ⎡∂ + − − ( sin ) A ( rA ) θ θ φ φ ⎥ ∂φ ⎥⎦ r sin θ ⎢⎣ ∂θ r ⎢⎣ sin θ ∂φ ∂r ⎦ ∂A ⎤ 1⎡ ∂ + φˆ ⎢ (rAθ ) − r ⎥ r ⎣ ∂r ∂θ ⎦ 1-19 제 1장 전자장 이론 (Electromagnetic Theory) 1-1 마이크로파 공학의 개념 (Introduction to Microwave Engineering) 1-2 맥스웰의 방정식 (Maxwell’s Equations) 1-3 매질내의 계 (Fields in Media and Boundary Conditions) 1-4 파동 방정식과 기본 평면파의 풀이 (The Eave Equation and Basic Plane Wave Solutions) 1-5 평면파의 일반해 (General Plane Wave Solutions) 1-6 에너지와 전력 (Energy and Power) 1-7 매질 경계로부터의 평면파 반사 (Plane Wave Reflection from a Media Interface) 1-8 유전체 경계면에 비스듬히 입사되는 파 (Oblique Incidence at a Dielectric Interface) 1-9 유용한 정리 (Some Useful Theorems) 1-20 1.1 Introduction to Microwave Engineering o Microwave 용어 정의 : 300 MHz ~ 300 GHz λ=c/f 1 m ~ 1 mm 파장 λ : 정해진 기준 시각에 파의 진폭의 최대점과 최대점 사이(또는 최소점과 최소점 사이이거나 임의의 다른 기준점 사이)의 거리로서 정의된다. . Millimeter 급의 파장을 갖는 신호 => Millimeter Wave(밀리미터파) O 일반적인 회로이론은 마이크로파 회로망 문제를 직접 해석하는데 이용될 수 없음. 1-21 1-22 o Microwave Wave 의 장점 가. 안테나 이득이 안테나의 전기적 크기에 비례하여 주어진 크기의 안테나는 높은 주파수에서 더 높은 이득이 얻음. ==> 시스템의 소형화 기능 나. 주파수 대역폭이 확대 (정보 전달 용량 확대) 예 : 600 MHz의 1% 대역폭 : 6 MHz 60 GHz의 1% 대역폭 : 600 MHz - 현재 주파수 사용 가능 주파수 대역이 고갈로 인해 더 높은 주파수대가 요구되고 있음. 다. 직진성이 우수함, Line-of-Sight - 전리층에서 구부러 지지 않음. -> 위성통신, 지상통신에서 사용, 대용량 정보 전송 - 지향성 안테나를 이용하여 주파수 재사용함. 라. 레이다 표적의 Effective reflective area는 표적의 전기적 크기에 비례함. - 안테나 이득이 크게 되어 표적 식별 향상. => 레이다 시스템에는 마이크로파가 유리함. 마. 분자, 원자 핵의 공진이 마이크로파에서 일어나므로 기초과학, 원격 검출(Remote Sensing), 의학의 진단 및 치료, 가열 등의 분야에 사용 1-23 o Microwave Wave 응용분야 - 지상통신, 위성통신 전화, 데이타, TV, PCS, WLANS, GPS 등 o Microwave Engineering의 역사(전자기학의 개념은 100전에 수립) - 현대 전자장 이론의 기초 : 1873년 James Clerk Maxwell에 의해 수학적 표현 수립 - Maxwell이론 실험 증명 : 1887년 –1891년에 Heinrich Hertz가 실험 수행 - Maxwell의 수학적 표현은 1885년~1887년 Oliver Heavside에 의해 지금과 같은 수학적 표현 - 1900년 초까지는 단파(HF)에서 초단파(VHF)영역에서 전파기술의 급격한 발전 - 2차세계대전(1940년대)에 레이다 출현 --> 이후 마이크로파 기술이 급격한 발전 1-24 1.2 Maxwell’s Equations o Maxwell’s Equations(Differential Equation Form) ∂B −M ∂t ∂D ∇×H = +J ∂t ∇ ⋅ D = ρ (t ) ∇×E = − ¾ Curl equation ¾ Divergence equation --------- (1.1a) --------- (1.1b) --------- (1.1c) ∇ ⋅B = 0 예) --------- (1.1d) E : Electric Field Intensity(전계의 세기) [V/m] H : Magnetic Field Intensity(자계의 세기) [A/m] D : Electric Flux Density(전속의 밀도) [Coul/m ] B : Magnetic Flux Density(자속의 밀도) [Wb/m ] JT : Electric Current Density(전기 전류 밀도) [A/m ] 2 E = E( x, y, z , t ) 2 2 ρ T : Electric Charge Density(전하 밀도) [Coul/m ] 3 -전자계의 원천(source)은 들은 전류 M 과 J 그리고 전하 ρ 이다. 전류는 실제로 전하의 흐름이므로 전하 밀도 ρ 가 전자계의 궁극적인 원천임. -자계전류 M 은 다만 수학적 편리함을 위한 가상 자계 전류원이다. 1-25 0 자유공간(free space)에서 전계, 자계와 선속 밀도 간의 관계 B = μ 0H ----------- (1.2a) D = ε 0E ----------- (1.2b) μ 0 = 4π × 10 −7 henry / m : 투자율(permeability) ε 0 = 8.85 × 10 −12 farad / m : 유전율(permittivity) 1-26 (1) 전계에 관한 Gauss의 정리 어떤 폐곡면을 통과하는 전속 = 폐곡면 내에 있는 전하량 ∇ ⋅ D = ρ (t ) ∫ (∇ ⋅ D)dv = ∫ ρ dv V V Gauss 정리 : ∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dV = Q S ∫ A ⋅ da = ∫ (∇ ⋅ A ) dv s V ----------- (1.4) V (2) 자계에 관한 Gauss의 정리 ∇ ⋅B = 0 ∫ (∇ ⋅ B)dV = 0 V ∫ B ⋅ ds = 0 ----------- (1.5) s 1-27 (3) Faraday 전자유도 법칙 Δv = dφ dt φ = ∫ B ⋅ da s Δv 자속의 세기를 변화하면 전압이 발생한다.(Faraday가 발견) 어느 공간 어느 지점에 자계가 시간적으로 변화할때 그 근방에 전계의 크기를 나타낸다. ∇×E = − ∂B −M ∂t ∫ (∇ × E ) ⋅ ds = − S Faraday 법칙의 미분형 ∂ B ⋅ ds − ∫ M ⋅ds ∂t ∫s s [ Stokes 정리 ] ∫ A ⋅ d l = ∫ (∇ ×A ) ⋅ ds ∂ E ⋅ d l = − B ⋅ ds − ∫ M ⋅ds ∫c ∂t ∫s s C S ---- (1. 6) Faraday 법칙의 적분형 Maxwell 방정식의 적분형태 φ가 증가하면 유도전류는 반대방향으로 자속을 발생시켜 전자속을 감소시키며, φ가 감소하면 반대현상이 일어난다. 이를 Lenz의 법칙이라 한다. 1-28 (4) Ampere 주회적분 법칙 도선에 흐르는 전류와 주위에 발생하는 자계 사이에는 ∫ H ⋅ d l = ∫ J ⋅ ds s 벡터 형식으로 정리하면 ∇ × H = JT 공간에도 전속밀도의 변화분에 상당하는 전류가 흐른다면, 이 회로 전체에 걸쳐서 전류 연속의 조건이 만족한다. 변위 전류도 도선전류와 같은 모양의 자기 작용을 갖는다면 ∇×H = ∂D +J ∂t 공간 어느 점에 있어서 전계가 시한적으로 변화할때 그 근방에 발생하는 자계의 크기를 나타낸다. ∫ (∇ × H) ⋅ ds = s ∂ D ⋅ ds + ∫ J ⋅ ds ∂t ∫s s Stokes 정리 ∫ A ⋅ d l = ∫ (∇ ×A ) ⋅ ds C ∫ H ⋅ dl = c ∂ ∂ D ⋅ d s + J ⋅ d s = D ⋅ ds + I ∫s ∂t ∫s ∂t ∫s S ----------- (1.7) Maxwell 방정식의 적분형태 1-29 o 앞서 Maxwell 방정식은 임의의 시간에 대햐서 유효하지만, 대부분의 연구는 정상상태(steady-state)조건을 가정하한 시간에 따라 정형적(sinusoidal) 또는 고조파(harmonic)적으로 변하는 계에 한정됨. O 모든 계의 양은 시간 의존성을 의미하는 e jωt 를 갖는 복소벡터로 가정 O 예로 x 방향만 갖는 전계인 경우를 보자. E ( x, y, z , t ) = xˆ A( x, y, z ) cos(ωt + φ ) 진폭 Phase form 각주파수 ----------- (1.8) 위상 E ( x, y, z ) = xˆ A( x, y, z ) e jφ 라 두면 E ( x, y, z , t ) = Re[ E ( x, y, z ) e jωt ] = xˆA( x, y, z ) cos(ωt + φ ) ----------- (1.9) ----------- (1.10) 1-30 E ( x, y, z , t ) = Re[ E ( x, y, z ) e jωt ] 같은 방법으로 H ( x, y, z , t ) = Re[ H ( x, y, z ) e jωt ] D ( x, y, z , t ) = Re[ D ( x, y, z ) e jωt ] B ( x, y, z , t ) = Re[ B ( x, y, z ) e jωt ] J ( x, y, z , t ) = Re[ J ( x, y, z ) e jωt 앞서 식 (1.1) Maxwell 방정식에 적용하면 0 맥스웰 방정식의 Phase Form ∇ × E = − jωB − M ---- (1.14a) ∇ × H = jωD + J ---- (1.14b) ∇⋅D = ρ ---- (1.14c) ∇⋅B = 0 ---- (1.14d) ] jωt ρ ( x, y, z , t ) = Re[ ρ ( x, y, z ) e ] 전자장에서 phase 표기법을 사용하는 경우, 모든 항의 공통항인 e jωt 는 보통 생략한다. 1-31 전력과 에너지 - 한 주기 동안 시간적 평균값으로 나타냄. 0 전계를 다음과 같이 두고 예를 들어 보자. E = xˆA1 cos(ωt + φ1 ) + yˆ A2 cos(ωt + φ2 ) + zˆA3 cos(ωt + φ3 ) ----------- (1.11) 식 (1.11)을 Phase form으로 표시하면 E = xˆA1e jφ1 + yˆ A2 e jφ2 + zˆA3e jφ3 T T ( ) ----------- (1.12) [ ] 1 1 E av = ∫ E ⋅ E dt = ∫ A12 cos 2 (ωt + φ1 ) + A22 cos 2 (ωt + φ2 ) + A32 cos 2 (ωt + φ3 ) dt T o T o 2 1 2 A1 + A22 + A32 2 1 2 1 = E = E ⋅E* 2 2 = E H ----------- (1.13) 평균전력밀도 실효값은 E rms = E / 2 Pr = 1 Re( E × H * ) 2 1-32 T 1 2 cos ( wt + φ )dt = ? ∫ T 0 E = xˆA1e jφ1 + yˆ A2 e jφ2 + zˆA3e jφ3 E * = xˆA1e − jφ1 + yˆ A2 e − jφ2 + zˆA3e − jφ3 E ⋅ E * = A1 e jφ1 A1 e − jφ1 + A2 e jφ2 A2 e − jφ2 + A3e jφ3 A3e − jφ3 = A12 + A22 + A32 1-33 전류의 종류 전도전류 (conduction current) 대류전류 (convection current) : 전기를 띤 물질이 운동할 때에 그 물질에 나타나는 전류. 보통 기체 또는 액체 속의 이온화 전류를 이른다 ∂D Jd = 변위전류 (displacement current) ∂t ∂P Jp = 분극전류 (polarization current): ∂t 분극에 의한 역기전력 때문에 생기는 전류 1-34 전류의 종류 < 부피 전류 밀도 > < 표면 전류 밀도 > 1-35 < 선 전류 밀도 > < 다이폴 전류 > 1-36 1.3 매질 내의 계 (Field in media and Boundary condition) 유전체 (Dielectric material) O 유전체에 있어서 인가된 전계 E 는 총 변위 전속 D 를 증가시키는 전기적 다이폴 모멘트를 발생시키기 위하여 매질의 원자 또는 분자의 분극(polarization)을 발생킨다. D = ε o E + Pe ----------- (1.15) 전기분극벡터(Electic Polarization Vector) 인가된 전계 선형매질 내에서 전기 분극 벡터는 인가된 전계와 선형적인 관계를 갖는다. Pe = ε o χ e E ----------- (1.16) 전기분극율(electric susceptibility), 복소량 D = ε o E + Pe = ε o (1 + χ e ) E = ε E Pe ----------- (1.17) 복소 유전율(complex permittivity) = ε oε r E 유전상수(dielectric constant), 유전계수(dielectric coefficient) 비유전율(relative permittivity) ε = ε ′ − jε ′′ = ε o (1 + χ e ) = ε oε r ----------- (1.18) Є의 허수부는 진동하고 있는 다이폴 모멘트의 제동(damping)에 기인한 매질 내의 손실을 설명하는 항이다. (자유공간 내에는 Є은 실수이며 손실이 없다) 1-37 유전체의 손실은 등가적 도체 손실로 간주할 수 있다. 도전율를 갖는 매질 내에서 전도 전류가 존재하고 다음과 같이 표현할 수 있다. J = σE ----------- (1.19) 전자계의 관점에서 Ohm의 법칙에 해당됨. 위의 식들을 멕스웰 방정식에 대입하여 보자. ∇ × H = jωD + J = jωε E + σE = jω (ε ′ − jε ′′) E + σE = jω (ε ′ − jε ′′ − j (ωε ′′ + σ ) ⎫ σ ⎧ ωε ′ −j ) E = jω ⎨ ⎬E ω ω ⎩ω ⎭ ----------- (1.20) 유전체 제동에 의한 손실( ωε ′′ )은 도체 손실(σ )과 구별되지 않음을 알 수 있다. (ωε ′′ + σ ) 항은 실효 도전율로 간주할 수 있고, 포괄적으로 다음과 같이 유전체의 손실을 정의 한다. Re δ Imag tan δ = ωε ′′ + σ ωε ′ : 손실 탄전트(Loss tangent) ----------- (1.21) 매질은 보통 실수의 유전율 ε ′ = ε r ε 0 과 어느 주파수에서 loss tangent로서 나타낸다. 즉 주파수에 의존적이다. 1-38 유전체 매질 내에서 전자파 문제를 풀 때 유전율 ε 로 두고 문제를 해결한 다음 복소 유전율로 대치하므로서 손실이 있는 경우의 문제를 해결할 수 있다. ε = ε ′ − jε ′′ = ε ′(1 − j tan δ ) O 등방성 매질(isotropic materials) : Pe 는 E 와 동일한 방향으로 놓여 있는 매질 D = ε o E + Pe = ε E O 비등방성 매질(anisotropic materials) : Pe 는 E 또는 D 와 E 사이에 좀 더 복잡한 관계를 갖는 매질 - 일반적인 선형관계는 Rank가 2인 Tensor의 형태로서 다음과 같은 행렬 형태로 표현 ⎡ Dx ⎤ ⎡ε xx ⎢ D ⎥ = ⎢ε ⎢ y ⎥ ⎢ yx ⎢⎣ Dz ⎥⎦ ⎢⎣ε zx ε xy ε xz ⎤ ⎡ E x ⎤ ⎡ Ex ⎤ ⎥ ε yy ε yz ⎥ ⎢⎢ E y ⎥⎥ = [ε ] ⎢⎢ E y ⎥⎥ ⎢⎣ E z ⎥⎦ ε zy ε zz ⎥⎦ ⎢⎣ E z ⎥⎦ ----------- (1.21) 예) crystal structure, ionized gases Tensor permittivity (텐서 유전율) Tensor : 방향마다 다른 강도를 나타내려면 벡터량 여러 개를 모아 놓은 양 Rank : 행렬 A의 1차 독립인 행벡터의 최대수를 A의 계수(rank)라 함. 1-39 자성체(magnetic material) O 인가된 자계는 자기분극벡터 Pm 을 발생시키기 위하여 자성체 내에서 자기 다이폴 모멘트의 방향을 정렬시킨다. B = μ o ( H + Pm ) 선형 자성체에 있어서, H ----------- (1.23) Pm은 다음과 같이 H와 선형적 관계를 갖는다. Pm = χ m H ----------- (1.24) 복소 자기 분극율(magnetic susceptibility) B = μ o (1 + χ m ) H = μ H ----------- (1.25) 투자율(permeability) μ = μ o (1 + χ m ) = μ ′ − jμ ′′ χ m 또는 μ 의 허수부는 제동력(damping force)에 기인한 손실을 반영한다. 1-40 O 등방성 매질(isotropic materials) : Pm 는 H 와 동일한 방향으로 놓여 있는 매질 B = μ o (1 + χ m ) H = μ H O 비등방성 매질(anisotropic materials) : ⎡ Bx ⎤ ⎡ μ xx ⎢ B ⎥ = ⎢μ ⎢ y ⎥ ⎢ yx ⎢⎣ Bz ⎥⎦ ⎢⎣ μ zx 예) ferrite μ xy μ yy μ zy μ xz ⎤ ⎡ H x ⎤ ⎡H x ⎤ ⎥ μ yz ⎥ ⎢⎢ H y ⎥⎥ = [μ ] ⎢⎢ H y ⎥⎥ ⎢⎣ H z ⎥⎦ μ zz ⎥⎦ ⎢⎣ H z ⎥⎦ ----------- (1.26) Tensor permeability (텐서 투자율) 1-41 O 선형 매질(linear media) 이라 가정하면, 멕스웰 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. ∇ × E = − jωμH − M ----------- (1.27a) ∇ × H = jωεE + J ----------- (1.27b) ∇⋅E = ρ /ε ----------- (1.27c) ∇⋅H = 0 ----------- (1.27d) 전속 밀도 D 및 자속 밀도 B 는 다음과 같다. D =ε E ----------- (1.28a) B =μH ----------- (1.28b) 위 미분방정식을 풀기 위해서는 경계조건(boundary condition)이 필요하다. 1-42 일반적 매질 경계에서의 계 (Field at a General Material Interface) n̂ 1) 전속(Electric Flux Density)인 경우 Dn 2 Δs Medium 2 ρs h Medium 1 s ∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dV S V if h → 0, Dt → 0 ----- (1.29) Δs Dn 2 − Δs Dn1 = Δs ρ s Dn1 Dn 2 − Dn1 = ρ s ----- (1.30) 2) 자속(Magnetic Flux Density)인 경우 nˆ ⋅ ( D2 − D1 ) = ρ s ∫ B ⋅ dS = 0 ----- (1.31) S if h → 0, Bt → 0 Bn 2 − Bn1 = 0, Bn 2 = Bn1 nˆ ⋅ B2 = nˆ ⋅ B1 ----- (1.32) 1-43 3) 전계(Electric Field Intensity)인 경우 n̂ Et 2 Medium 2 C M sn h ∫ E ⋅ d l = − jω ∫ B ⋅ ds − ∫ M ⋅ ds c if Et1 Medium 1 Δl S s ----- (1.33) s h → 0, S = h Δl → 0 M = M sδ (h) 라 두면 ----- (1.34) Δl Et1 − Δl Et 2 = − Δl M s 4) 자계(Magnetic Field Intensity)인 경우 ∫ H ⋅ d l = jω ∫ D ⋅ ds + ∫ J ⋅ds c s s if h → 0, S = h Δl → 0 J = J sδ (h) Et1 − Et 2 = − M s ( E2 − E1 ) × nˆ = M s ----- (1.35) ----- (1.36) Δl H t1 − Δl H t 2 = Δl J s H t1 − H t 2 = J s → ( H1 − H 2 ) × nˆ = J s nˆ × ( H 2 − H1 ) = J s ( A × B = − B × A = B × (− A )) ----- (1.37) 1-44 O Field at a dielectric interface (유전체 경계에서의 계) - 유전체 경계면에서 전하 또는 표면전류는 존재하지 않는다. nˆ ⋅ D1 = nˆ ⋅ D2 ----- (1.38a) nˆ ⋅ B1 = nˆ ⋅ B2 ----- (1.38b) nˆ × E1 = nˆ × E2 ----- (1.38c) nˆ × H1 = nˆ × H 2 ----- (1.38d) Medium 2 ε2 Medium 1 ε1 E2 , H 2 E1 , H1 n̂ D2 , B2 D1 , B1 O Field at the Interface with a perfect conductor (완전도체(전계벽:electric wall) 경계에서의 계) - 모든 계의 성분들은 도체 내부 영역에서 0 임. nˆ ⋅ D = ρ s ----- (1.39a) nˆ ⋅ B = 0 ----- (1.39b) nˆ × E = 0 ----- (1.39c) nˆ × H = J s ----- (1.39d) n̂ Medium ε Js H D ρs perfect conductor 1-45 O Field at the magnetic wall ( 자계벽(magnetic wall)의 경계조건) - electric wall의 경계조건에 상대되는 경계 조건을 자계벽(magnetic wall)의 경계조건이다. - 이 경우 H의 접선성분이 없어져야 한다. - 실제로 조건하지 않고, 인위적으로 구현해야 함.(예: corrugated surface) nˆ ⋅ D = 0 ----- (1.40a) nˆ ⋅ B = 0 ----- (1.40b) nˆ × E = − M s ----- (1.40c) nˆ × H = 0 ----- (1.40d) n̂ Medium ε Ms E Magnetic Wall O Radiation Condition (방사 조건) - 전원(source)으로 부터 무한대 거리에서 전자파는 영이고, 외부 방향으로 전파되어야 함을 뜻한다. 1-46
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