전자장 이론
(ELECTROMAGNETIC THEORY)
2009. 3
고 지 환 교수
1-1
교재 : 마이크로파 공학, 원저 David Pozar
제 1장 전자장 이론
(Electromagnetic Theory)
제 3장 전송선로와 도파관
(Transmission Lines and Waveguide)
1-2
1. 좌표계 (coordinate system)
- 직교좌표계(cartesian coordinate system)
: ( x, y , z )
- 구좌표계(spherical coordinate system)
: (r ,θ , φ )
- 원통좌표계(cylindrical coordinate system) : ( ρ , φ , z )
z축
z
θ r
y
x
x축
φ
ρ
직교좌표
구좌표
( x, y , z )
(r ,θ , φ )
y축
원통좌표
(ρ ,φ , z)
1-3
좌표 변환 1
( x, y , z )
직교좌표
r = x2 + y2 + z 2
⎞
⎛
z
−1 ⎜
⎟
θ = cos
⎜ x2 + y2 + z 2 ⎟
⎠
⎝
⎛ y⎞
φ = tan −1 ⎜ ⎟
⎝ x⎠
z축
z
x축
φ
ρ
(ρ ,φ , z)
( x, y , z )
원통좌표
y
ρ = x2 + y 2
θ r
x
(r ,θ , φ )
구좌표
y축
⎛ y⎞
⎝x⎠
φ = tan −1 ⎜ ⎟
z=z
1-4
좌표 변환 2
(r ,θ , φ )
구좌표
직교좌표
( x, y , z )
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
z축
z
( x, y , z )
원통좌표
θ r
x
x축
φ ρ
y
y축
(ρ ,φ , z)
ρ = r sin θ
φ =φ
z = r cos θ
1-5
좌표 변환 3
원통좌표
(ρ ,φ , z)
( x, y , z )
직교좌표
x = ρ cos φ
y = ρ sin φ
z=z
z축
z
( x, y , z )
구좌표
θ r
x
x축
φ
ρ
y
y축
(r ,θ , φ )
r = ρ 2 + z2
⎛ρ⎞
θ = tan −1 ⎜ ⎟
⎝z⎠
φ =φ
1-6
좌표 변환 문제
1. 직교 좌표를 아래와 같이 변환하라.
⎛ 2 2
⎞
,
, 3 ⎟⎟
( x, y, z ) = ⎜⎜
⎝ 2 2
⎠
(r ,θ , φ )
(r , θ , φ ) = (2, 30 0 , 450 )
( x, y , z )
(ρ ,φ , z)
(ρ ,φ , z)
1-7
2. 스칼라 장 ( Scalar field )
0 스칼라장은 공간의 일부 점 또는 모든 점에서의 스칼라량을
표현하는 규칙(또는 함수)를 말한다.
예 : 등고선, 바다에서 위치에 따른 염도
위치마다의 온도
T ( x, y, z ) = T0 e
−k x2 + y 2 + z 2
1-8
3. 벡터 장 ( Vector field )
0 벡터장은 공간의 일부 점 또는 모든 점에서의 벡터량을
표현하는 규칙(또는 함수)를 말한다.
예 : 힘, 속도, 가속도, 전장
0 Vector
z축
A = Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ
Az zˆ A A xˆ
x
( x0 , y0 , z0 ) Ay yˆ
y축
x축
1-9
z축
Br rˆ
( x0 , y0 , z0 )
A
Bφφˆ
B θˆ
A = Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ
θ
y축
= Br rˆ + Bθ θˆ + Bφφˆ
= C ρ ρˆ + Cφφˆ + C z zˆ
x축
z축
C z zˆ A
Report 1
Cφφˆ
( x0 , y0 , z0 )
C ρ ρˆ
y축
위의 벡터 A의 직교 좌표벡터에서 Ax , Ay , Az 를 주어진다면
구좌표와 원통좌표의 각 성분들을 구하여라.
x축
1-10
0 벡터의 대수학
- 벡터의 합성
A+B =C
B
C
A
0 벡터의 곱셈( scalar product)
-
A • B = A B cos θ
교환법칙 :
A⋅B = B ⋅ A
분배법칙 :
A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
B
θ
A
예 : 어떤 물체에 힘 F가 작용하여 그물체를 d만큼 이동할때 한 일 W
F
d
W = F ⋅d
1-11
0 벡터의 적(vector product)
B
C
A × B = A B sin θ cˆ = C
θ
교환법칙 성립하지 않음 : A × B = − B × A
A
A × (B + C ) = A × B + A × C
분배법칙 성립 :
B = Bx xˆ + B y yˆ + Bz zˆ
A = Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ
xˆ
yˆ
zˆ
A × B = Ax
Ay
Az = ( Ay Bz − Az B y ) xˆ + ( Bx Az − Bz Ax ) yˆ + ( Ax Bz − Bx Ay ) zˆ
Bx
By
Bz
z
T = r×F
예 :회전 능률(Torque)
T
F
r
y
x
1-12
0 벡터의 기울기
i)
Vector function의 기본적인 도함수
ii) Scalar function의 벡터적인 도함수, 즉 Gradiant
iii) Vector function의 scalar 적인 도함수, 즉 Divergence(발산)
iv) Vector function의 Vector 적인 도함수, 즉 Curl (회전)
1-13
i)
Vector function의 기본적인 도함수
정의 :
dA
A (u + Δu ) − A (u )
= lim
du Δu →0
Δu
(스칼라 함수인 경우와 마찬가지임)
d
d
d
(A + B) =
A+
B
du
du
du
d f
d
d
( f A) =
A+ f
A
du
du
du
d
dA
dB
(A ⋅ B) =
⋅B + A⋅
du
du
du
d
dA
dB
(A × B) =
×B + A×
du
du
du
f : 스칼라 함수임.
1-14
ii Scalar function의 벡터적인 도함수, 즉 Gradiant
( 스칼라 함수의 최대 기울기 벡터 )
ƒ 기본적인 세 좌표계
직각좌표계
∇f =
∂f
∂f
∂f
xˆ + yˆ + zˆ
∂x
∂y
∂z
원통좌표계
∇f =
1 ∂f ˆ ∂f
∂f
ρˆ +
φ + zˆ
∂z
∂ρ
ρ ∂φ
구좌표계
∇f =
1 ∂f ˆ
1 ∂f ˆ
∂f
rˆ +
θ+
φ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
1-15
iii Vector function의 scalar 적인 도함수, 즉 Divergence(발산)
∇⋅ A
▽과 임의의 벡터 A와의 스칼라 적을 벡터 A의 발산(divergence)라 함.
▽▪A는 단위 체적당 밖으로 방출되는 선속을 의미함.
ƒ 기본적인 세 좌표계
직각좌표계
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∇⋅ A =
∂z
∂x ∂y
원통좌표계
∇⋅ A =
1 ∂
1 ∂Aφ ∂Az
( ρAρ ) +
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ ∂z
구좌표계
∇⋅ A =
1 ∂ 2
1 ∂
1 ∂Aφ
+
(sin
θ
)
+
(
r
A
)
A
r
θ
r 2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
1-16
O 체적 τ로 부터 유출하는 총선속은 곧 τ를 둘러싸는
폐곡면 S를 뚫고 유출하는 총선속과 같음
발산 정리(divergence theorm),
Gauss 정리
∫ A ⋅ da = ∫τ (∇ ⋅ A ) dτ
s
1-17
iV Vector function의 Vector 적인 도함수, 즉 Curl (회전)
∇× F
무한소의 폐경로에 대한 선적분의 값을 그 폐경로에 의해 만들어지는
면적으로 나눈 값으로 정의함.
[∇ × F ]i = lim
ΔS i →0
i
F
∫ F ⋅ dl
ΔSi
ΔSi
dl
0 Stokes 정리
임의의 곡면의 주변을 따라 순화적분은 벡터장의 회전과 면적소 벡터의
스칼라 적의 적분과 같다.
∫ A ⋅ d l = ∫ (∇ ×A ) ⋅ ds
C
S
1-18
ƒ 기본적인 세 좌표계
직각좌표계 ( x, y, z )
⎛ ∂A ∂Ay ⎞ ⎛ ∂Ax ∂Az ⎞ ⎛ ∂Ay ∂Ax ⎞
⎟⎟
⎟⎟ + yˆ ⎜
−
−
∇ × A = xˆ ⎜⎜ z −
⎟ + zˆ⎜⎜
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
x
x
y
y
z
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
원통좌표계 ( ρ , φ , z )
∂A ⎞
⎛ 1 ∂Az ∂Aφ ⎞ ˆ⎛ ∂Aρ ∂Az ⎞
1⎛ ∂
⎟⎟ + φ ⎜⎜
⎟⎟ + zˆ ⎜⎜
∇ × A = ρˆ ⎜⎜
−
−
( ρAφ ) − ρ ⎟⎟
∂z ⎠ ⎝ ∂z
∂ρ ⎠
∂φ ⎠
ρ ⎝ ∂ρ
⎝ ρ ∂φ
구좌표계 (r , θ , φ )
∇ × A = rˆ
⎤
∂Aθ ⎤ ˆ 1 ⎡ 1 ∂Ar ∂
1 ⎡∂
+
−
−
(
sin
)
A
(
rA
)
θ
θ
φ
φ ⎥
∂φ ⎥⎦
r sin θ ⎢⎣ ∂θ
r ⎢⎣ sin θ ∂φ ∂r
⎦
∂A ⎤
1⎡ ∂
+ φˆ ⎢ (rAθ ) − r ⎥
r ⎣ ∂r
∂θ ⎦
1-19
제 1장 전자장 이론 (Electromagnetic Theory)
1-1 마이크로파 공학의 개념 (Introduction to Microwave Engineering)
1-2 맥스웰의 방정식 (Maxwell’s Equations)
1-3 매질내의 계 (Fields in Media and Boundary Conditions)
1-4 파동 방정식과 기본 평면파의 풀이 (The Eave Equation and Basic Plane Wave Solutions)
1-5 평면파의 일반해 (General Plane Wave Solutions)
1-6 에너지와 전력 (Energy and Power)
1-7 매질 경계로부터의 평면파 반사 (Plane Wave Reflection from a Media Interface)
1-8 유전체 경계면에 비스듬히 입사되는 파 (Oblique Incidence at a Dielectric Interface)
1-9 유용한 정리 (Some Useful Theorems)
1-20
1.1 Introduction to Microwave Engineering
o Microwave 용어 정의 : 300 MHz ~ 300 GHz
λ=c/f
1 m ~ 1 mm
파장 λ : 정해진 기준 시각에 파의 진폭의 최대점과 최대점 사이(또는 최소점과 최소점
사이이거나 임의의 다른 기준점 사이)의 거리로서 정의된다.
. Millimeter 급의 파장을 갖는 신호 => Millimeter Wave(밀리미터파)
O 일반적인 회로이론은 마이크로파 회로망 문제를 직접 해석하는데 이용될 수 없음.
1-21
1-22
o Microwave Wave 의 장점
가. 안테나 이득이 안테나의 전기적 크기에 비례하여 주어진 크기의 안테나는 높은 주파수에서
더 높은 이득이 얻음.
==> 시스템의 소형화 기능
나. 주파수 대역폭이 확대 (정보 전달 용량 확대)
예 : 600 MHz의 1% 대역폭 : 6 MHz
60 GHz의 1% 대역폭 : 600 MHz
- 현재 주파수 사용 가능 주파수 대역이 고갈로 인해 더 높은 주파수대가 요구되고 있음.
다. 직진성이 우수함, Line-of-Sight
- 전리층에서 구부러 지지 않음. -> 위성통신, 지상통신에서 사용, 대용량 정보 전송
- 지향성 안테나를 이용하여 주파수 재사용함.
라. 레이다 표적의 Effective reflective area는 표적의 전기적 크기에 비례함.
- 안테나 이득이 크게 되어 표적 식별 향상. => 레이다 시스템에는 마이크로파가 유리함.
마. 분자, 원자 핵의 공진이 마이크로파에서 일어나므로 기초과학, 원격 검출(Remote Sensing),
의학의 진단 및 치료, 가열 등의 분야에 사용
1-23
o Microwave Wave 응용분야
- 지상통신, 위성통신
전화, 데이타, TV, PCS, WLANS, GPS 등
o Microwave Engineering의 역사(전자기학의 개념은 100전에 수립)
- 현대 전자장 이론의 기초 : 1873년 James Clerk Maxwell에 의해 수학적 표현 수립
- Maxwell이론 실험 증명
: 1887년 –1891년에 Heinrich Hertz가 실험 수행
- Maxwell의 수학적 표현은 1885년~1887년 Oliver Heavside에 의해 지금과 같은 수학적 표현
- 1900년 초까지는 단파(HF)에서 초단파(VHF)영역에서 전파기술의 급격한 발전
- 2차세계대전(1940년대)에 레이다 출현 --> 이후 마이크로파 기술이 급격한 발전
1-24
1.2 Maxwell’s Equations
o Maxwell’s Equations(Differential Equation Form)
∂B
−M
∂t
∂D
∇×H =
+J
∂t
∇ ⋅ D = ρ (t )
∇×E = −
¾ Curl equation
¾ Divergence
equation
--------- (1.1a)
--------- (1.1b)
--------- (1.1c)
∇ ⋅B = 0
예)
--------- (1.1d)
E : Electric Field Intensity(전계의 세기) [V/m]
H : Magnetic Field Intensity(자계의 세기) [A/m]
D : Electric Flux Density(전속의 밀도) [Coul/m ]
B : Magnetic Flux Density(자속의 밀도) [Wb/m ]
JT : Electric Current Density(전기 전류 밀도) [A/m ]
2
E = E( x, y, z , t )
2
2
ρ T : Electric Charge Density(전하 밀도) [Coul/m ]
3
-전자계의 원천(source)은 들은 전류 M 과 J 그리고 전하 ρ 이다.
전류는 실제로 전하의 흐름이므로 전하 밀도 ρ 가 전자계의 궁극적인 원천임.
-자계전류 M 은 다만 수학적 편리함을 위한 가상 자계 전류원이다.
1-25
0 자유공간(free space)에서 전계, 자계와 선속 밀도 간의 관계
B = μ 0H
----------- (1.2a)
D = ε 0E
----------- (1.2b)
μ 0 = 4π × 10 −7 henry / m
: 투자율(permeability)
ε 0 = 8.85 × 10 −12 farad / m
: 유전율(permittivity)
1-26
(1) 전계에 관한 Gauss의 정리
어떤 폐곡면을 통과하는 전속 = 폐곡면 내에 있는 전하량
∇ ⋅ D = ρ (t )
∫ (∇ ⋅ D)dv = ∫ ρ dv
V
V
Gauss 정리 :
∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dV = Q
S
∫ A ⋅ da = ∫ (∇ ⋅ A ) dv
s
V
----------- (1.4)
V
(2) 자계에 관한 Gauss의 정리
∇ ⋅B = 0
∫ (∇ ⋅ B)dV = 0
V
∫ B ⋅ ds = 0
----------- (1.5)
s
1-27
(3) Faraday 전자유도 법칙
Δv =
dφ
dt
φ = ∫ B ⋅ da
s
Δv
자속의 세기를 변화하면 전압이 발생한다.(Faraday가 발견)
어느 공간 어느 지점에 자계가 시간적으로 변화할때 그 근방에 전계의 크기를 나타낸다.
∇×E = −
∂B
−M
∂t
∫ (∇ × E ) ⋅ ds = −
S
Faraday 법칙의 미분형
∂
B ⋅ ds − ∫ M ⋅ds
∂t ∫s
s
[ Stokes 정리 ]
∫ A ⋅ d l = ∫ (∇ ×A ) ⋅ ds
∂
E
⋅
d
l
=
−
B ⋅ ds − ∫ M ⋅ds
∫c
∂t ∫s
s
C
S
---- (1. 6)
Faraday 법칙의 적분형
Maxwell 방정식의 적분형태
φ가 증가하면 유도전류는 반대방향으로 자속을 발생시켜 전자속을 감소시키며,
φ가 감소하면 반대현상이 일어난다. 이를 Lenz의 법칙이라 한다.
1-28
(4) Ampere 주회적분 법칙
도선에 흐르는 전류와 주위에 발생하는 자계 사이에는
∫ H ⋅ d l = ∫ J ⋅ ds
s
벡터 형식으로 정리하면
∇ × H = JT
공간에도 전속밀도의 변화분에 상당하는 전류가 흐른다면, 이 회로 전체에 걸쳐서
전류 연속의 조건이 만족한다. 변위 전류도 도선전류와 같은 모양의 자기 작용을 갖는다면
∇×H =
∂D
+J
∂t
공간 어느 점에 있어서 전계가 시한적으로 변화할때 그 근방에 발생하는 자계의 크기를 나타낸다.
∫ (∇ × H) ⋅ ds =
s
∂
D ⋅ ds + ∫ J ⋅ ds
∂t ∫s
s
Stokes 정리
∫ A ⋅ d l = ∫ (∇ ×A ) ⋅ ds
C
∫ H ⋅ dl =
c
∂
∂
D
⋅
d
s
+
J
⋅
d
s
=
D ⋅ ds + I
∫s
∂t ∫s
∂t ∫s
S
----------- (1.7)
Maxwell 방정식의 적분형태
1-29
o 앞서 Maxwell 방정식은 임의의 시간에 대햐서 유효하지만, 대부분의 연구는 정상상태(steady-state)조건을
가정하한 시간에 따라 정형적(sinusoidal) 또는 고조파(harmonic)적으로 변하는 계에 한정됨.
O 모든 계의 양은 시간 의존성을 의미하는
e jωt 를 갖는 복소벡터로 가정
O 예로 x 방향만 갖는 전계인 경우를 보자.
E ( x, y, z , t ) = xˆ A( x, y, z ) cos(ωt + φ )
진폭
Phase form
각주파수
----------- (1.8)
위상
E ( x, y, z ) = xˆ A( x, y, z ) e jφ 라 두면
E ( x, y, z , t ) = Re[ E ( x, y, z ) e jωt ]
= xˆA( x, y, z ) cos(ωt + φ )
----------- (1.9)
----------- (1.10)
1-30
E ( x, y, z , t ) = Re[ E ( x, y, z ) e jωt ]
같은 방법으로
H ( x, y, z , t ) = Re[ H ( x, y, z ) e jωt ]
D ( x, y, z , t ) = Re[ D ( x, y, z ) e jωt ]
B ( x, y, z , t ) = Re[ B ( x, y, z ) e jωt ]
J ( x, y, z , t ) = Re[ J ( x, y, z ) e
jωt
앞서 식 (1.1) Maxwell 방정식에 적용하면
0 맥스웰 방정식의 Phase Form
∇ × E = − jωB − M
---- (1.14a)
∇ × H = jωD + J
---- (1.14b)
∇⋅D = ρ
---- (1.14c)
∇⋅B = 0
---- (1.14d)
]
jωt
ρ ( x, y, z , t ) = Re[ ρ ( x, y, z ) e ]
전자장에서 phase 표기법을 사용하는 경우, 모든 항의
공통항인 e
jωt
는 보통 생략한다.
1-31
전력과 에너지
- 한 주기 동안 시간적 평균값으로 나타냄.
0 전계를 다음과 같이 두고 예를 들어 보자.
E = xˆA1 cos(ωt + φ1 ) + yˆ A2 cos(ωt + φ2 ) + zˆA3 cos(ωt + φ3 )
----------- (1.11)
식 (1.11)을 Phase form으로 표시하면
E = xˆA1e jφ1 + yˆ A2 e jφ2 + zˆA3e jφ3
T
T
(
)
----------- (1.12)
[
]
1
1
E av = ∫ E ⋅ E dt = ∫ A12 cos 2 (ωt + φ1 ) + A22 cos 2 (ωt + φ2 ) + A32 cos 2 (ωt + φ3 ) dt
T o
T o
2
1 2
A1 + A22 + A32
2
1 2 1
= E = E ⋅E*
2
2
=
E
H
----------- (1.13)
평균전력밀도
실효값은
E rms = E / 2
Pr =
1
Re( E × H * )
2
1-32
T
1
2
cos
( wt + φ )dt = ?
∫
T 0
E = xˆA1e jφ1 + yˆ A2 e jφ2 + zˆA3e jφ3
E * = xˆA1e − jφ1 + yˆ A2 e − jφ2 + zˆA3e − jφ3
E ⋅ E * = A1 e jφ1 A1 e − jφ1 + A2 e jφ2 A2 e − jφ2 + A3e jφ3 A3e − jφ3
= A12 + A22 + A32
1-33
전류의
종류
전도전류 (conduction current)
대류전류 (convection current) :
전기를 띤 물질이 운동할 때에 그 물질에 나타나는 전류. 보통 기체 또는 액체 속의 이온화 전류를 이른다
∂D
Jd =
변위전류 (displacement current)
∂t
∂P
Jp =
분극전류 (polarization current):
∂t
분극에 의한 역기전력 때문에 생기는 전류
1-34
전류의
종류
< 부피 전류 밀도 >
< 표면 전류 밀도 >
1-35
< 선 전류 밀도 >
< 다이폴 전류 >
1-36
1.3 매질 내의 계 (Field in media and Boundary condition)
유전체 (Dielectric material)
O 유전체에 있어서 인가된 전계 E 는 총 변위 전속 D 를 증가시키는 전기적 다이폴 모멘트를 발생시키기
위하여 매질의 원자 또는 분자의 분극(polarization)을 발생킨다.
D = ε o E + Pe
----------- (1.15)
전기분극벡터(Electic Polarization Vector)
인가된 전계
선형매질 내에서 전기 분극 벡터는 인가된 전계와 선형적인 관계를 갖는다.
Pe = ε o χ e E
----------- (1.16)
전기분극율(electric susceptibility), 복소량
D = ε o E + Pe = ε o (1 + χ e ) E = ε E
Pe
----------- (1.17)
복소 유전율(complex permittivity)
= ε oε r E
유전상수(dielectric constant), 유전계수(dielectric coefficient)
비유전율(relative permittivity)
ε = ε ′ − jε ′′ = ε o (1 + χ e ) = ε oε r
----------- (1.18)
Є의 허수부는 진동하고 있는 다이폴 모멘트의 제동(damping)에 기인한 매질 내의
손실을 설명하는 항이다.
(자유공간 내에는 Є은 실수이며 손실이 없다)
1-37
유전체의 손실은 등가적 도체 손실로 간주할 수 있다.
도전율를 갖는 매질 내에서 전도 전류가 존재하고 다음과 같이 표현할 수 있다.
J = σE
----------- (1.19)
전자계의 관점에서 Ohm의 법칙에 해당됨.
위의 식들을 멕스웰 방정식에 대입하여 보자.
∇ × H = jωD + J = jωε E + σE = jω (ε ′ − jε ′′) E + σE
= jω (ε ′ − jε ′′ − j
(ωε ′′ + σ ) ⎫
σ
⎧ ωε ′
−j
) E = jω ⎨
⎬E
ω
ω
⎩ω
⎭
----------- (1.20)
유전체 제동에 의한 손실( ωε ′′ )은 도체 손실(σ )과 구별되지 않음을 알 수 있다.
(ωε ′′ + σ ) 항은 실효 도전율로 간주할 수 있고, 포괄적으로 다음과 같이 유전체의 손실을 정의 한다.
Re
δ
Imag
tan δ =
ωε ′′ + σ
ωε ′ : 손실 탄전트(Loss tangent)
----------- (1.21)
매질은 보통 실수의 유전율 ε ′ = ε r ε 0 과 어느 주파수에서 loss tangent로서 나타낸다.
즉 주파수에 의존적이다.
1-38
유전체 매질 내에서 전자파 문제를 풀 때 유전율 ε 로 두고 문제를 해결한 다음 복소 유전율로 대치하므로서
손실이 있는 경우의 문제를 해결할 수 있다.
ε = ε ′ − jε ′′ = ε ′(1 − j tan δ )
O 등방성 매질(isotropic materials) : Pe 는
E 와 동일한 방향으로 놓여 있는 매질
D = ε o E + Pe = ε E
O 비등방성 매질(anisotropic materials) : Pe 는 E 또는
D 와 E 사이에 좀 더 복잡한 관계를 갖는 매질
- 일반적인 선형관계는 Rank가 2인 Tensor의 형태로서 다음과 같은 행렬 형태로 표현
⎡ Dx ⎤ ⎡ε xx
⎢ D ⎥ = ⎢ε
⎢ y ⎥ ⎢ yx
⎢⎣ Dz ⎥⎦ ⎢⎣ε zx
ε xy ε xz ⎤ ⎡ E x ⎤
⎡ Ex ⎤
⎥
ε yy ε yz ⎥ ⎢⎢ E y ⎥⎥ = [ε ] ⎢⎢ E y ⎥⎥
⎢⎣ E z ⎥⎦
ε zy ε zz ⎥⎦ ⎢⎣ E z ⎥⎦
----------- (1.21)
예) crystal structure, ionized gases
Tensor permittivity (텐서 유전율)
Tensor : 방향마다 다른 강도를 나타내려면 벡터량 여러 개를 모아 놓은 양
Rank
: 행렬 A의 1차 독립인 행벡터의 최대수를 A의 계수(rank)라 함.
1-39
자성체(magnetic material)
O 인가된 자계는 자기분극벡터 Pm 을 발생시키기 위하여 자성체 내에서 자기 다이폴 모멘트의 방향을 정렬시킨다.
B = μ o ( H + Pm )
선형 자성체에 있어서,
H
----------- (1.23)
Pm은 다음과 같이 H와 선형적 관계를 갖는다.
Pm = χ m H
----------- (1.24)
복소 자기 분극율(magnetic susceptibility)
B = μ o (1 + χ m ) H = μ H
----------- (1.25)
투자율(permeability)
μ = μ o (1 + χ m ) = μ ′ − jμ ′′
χ m 또는 μ 의 허수부는 제동력(damping force)에 기인한 손실을 반영한다.
1-40
O 등방성 매질(isotropic materials) : Pm 는 H 와 동일한 방향으로 놓여 있는 매질
B = μ o (1 + χ m ) H = μ H
O 비등방성 매질(anisotropic materials) :
⎡ Bx ⎤ ⎡ μ xx
⎢ B ⎥ = ⎢μ
⎢ y ⎥ ⎢ yx
⎢⎣ Bz ⎥⎦ ⎢⎣ μ zx
예)
ferrite
μ xy
μ yy
μ zy
μ xz ⎤ ⎡ H x ⎤
⎡H x ⎤
⎥
μ yz ⎥ ⎢⎢ H y ⎥⎥ = [μ ] ⎢⎢ H y ⎥⎥
⎢⎣ H z ⎥⎦
μ zz ⎥⎦ ⎢⎣ H z ⎥⎦
----------- (1.26)
Tensor permeability (텐서 투자율)
1-41
O 선형 매질(linear media) 이라 가정하면, 멕스웰 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
∇ × E = − jωμH − M
----------- (1.27a)
∇ × H = jωεE + J
----------- (1.27b)
∇⋅E = ρ /ε
----------- (1.27c)
∇⋅H = 0
----------- (1.27d)
전속 밀도 D 및 자속 밀도 B 는 다음과 같다.
D =ε E
----------- (1.28a)
B =μH
----------- (1.28b)
위 미분방정식을 풀기 위해서는 경계조건(boundary condition)이 필요하다.
1-42
일반적 매질 경계에서의 계 (Field at a General Material Interface)
n̂
1) 전속(Electric Flux Density)인 경우
Dn 2
Δs
Medium 2
ρs
h
Medium 1
s
∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dV
S
V
if
h → 0, Dt → 0
----- (1.29)
Δs Dn 2 − Δs Dn1 = Δs ρ s
Dn1
Dn 2 − Dn1 = ρ s
----- (1.30)
2) 자속(Magnetic Flux Density)인 경우
nˆ ⋅ ( D2 − D1 ) = ρ s
∫ B ⋅ dS = 0
----- (1.31)
S
if
h → 0, Bt → 0
Bn 2 − Bn1 = 0, Bn 2 = Bn1
nˆ ⋅ B2 = nˆ ⋅ B1
----- (1.32)
1-43
3) 전계(Electric Field Intensity)인 경우
n̂
Et 2
Medium 2
C
M sn
h
∫ E ⋅ d l = − jω ∫ B ⋅ ds − ∫ M ⋅ ds
c
if
Et1
Medium 1
Δl
S
s
----- (1.33)
s
h → 0, S = h Δl → 0
M = M sδ (h) 라 두면
----- (1.34)
Δl Et1 − Δl Et 2 = − Δl M s
4) 자계(Magnetic Field Intensity)인 경우
∫ H ⋅ d l = jω ∫ D ⋅ ds + ∫ J ⋅ds
c
s
s
if
h → 0, S = h Δl → 0
J = J sδ (h)
Et1 − Et 2 = − M s
( E2 − E1 ) × nˆ = M s
----- (1.35)
----- (1.36)
Δl H t1 − Δl H t 2 = Δl J s
H t1 − H t 2 = J s
→ ( H1 − H 2 ) × nˆ = J s
nˆ × ( H 2 − H1 ) = J s
( A × B = − B × A = B × (− A ))
----- (1.37)
1-44
O Field at a dielectric interface (유전체 경계에서의 계)
- 유전체 경계면에서 전하 또는 표면전류는 존재하지 않는다.
nˆ ⋅ D1 = nˆ ⋅ D2
----- (1.38a)
nˆ ⋅ B1 = nˆ ⋅ B2
----- (1.38b)
nˆ × E1 = nˆ × E2
----- (1.38c)
nˆ × H1 = nˆ × H 2
----- (1.38d)
Medium 2
ε2
Medium 1
ε1
E2 , H 2
E1 , H1
n̂
D2 , B2
D1 , B1
O Field at the Interface with a perfect conductor (완전도체(전계벽:electric wall) 경계에서의 계)
- 모든 계의 성분들은 도체 내부 영역에서 0 임.
nˆ ⋅ D = ρ s
----- (1.39a)
nˆ ⋅ B = 0
----- (1.39b)
nˆ × E = 0
----- (1.39c)
nˆ × H = J s
----- (1.39d)
n̂
Medium
ε
Js
H
D
ρs
perfect conductor
1-45
O Field at the magnetic wall ( 자계벽(magnetic wall)의 경계조건)
- electric wall의 경계조건에 상대되는 경계 조건을 자계벽(magnetic wall)의 경계조건이다.
- 이 경우
H의 접선성분이 없어져야 한다.
- 실제로 조건하지 않고, 인위적으로 구현해야 함.(예: corrugated surface)
nˆ ⋅ D = 0
----- (1.40a)
nˆ ⋅ B = 0
----- (1.40b)
nˆ × E = − M s
----- (1.40c)
nˆ × H = 0
----- (1.40d)
n̂
Medium
ε
Ms
E
Magnetic Wall
O Radiation Condition (방사 조건)
- 전원(source)으로 부터 무한대 거리에서 전자파는 영이고, 외부 방향으로 전파되어야 함을 뜻한다.
1-46