Capitolo 2 ombre dellamente LIBRO FUNZIONE Il sostantivo funzione fa pensare ad un ente che permette di svolgerequalcosa che assume svariati significati in base al contesto catena di funzioni Esempio Algoritmo lefunzioni devono restituire qualcosa ciò percui è stata pensata un caso particolare in C o C puòanche non restituire La funzione è una terra III Etnee Ittite Insieme di partenza f fr insieme di Partenza Ato il modo di esecuzione in matematica Insieme di definizione immaginarecome un cursoreche lampeggia pronto a la funzione è una regola ricevere un imput legge cioè una sequenzadioperazioni cio in matematica istruzioni chepereseguirledevonoesserelecite l'esito della funzione appartiene a B 0 f A B una funzione è insieme di arrivo in matematica codominio Y EB XE A I y FIN tale se y è unico la nozione di funzione è un concetto primitivo f A B è una funzione se il viceversa non è vero EA Zsa y E B posso fissare y fu y e avere infiniti valori di X osservazione concetto primitivo la funzione è definita anche come caso particolare di relazione ossia come il sottoinsieme del prodotto cartesiano costituito dalle coppie X y E B E AxD A B tra due insiemi A e B tali che perogni YEA esiste un unico f GliA E il sottoinsieme di B iù è f assume valori IMMAGINE di fca I XE A 4EB fa y perogni y esiste ama ama puòessere grande quanto B ma in genere non lo è fra E B A non è il dominio ma è l'insieme di definizione mapotrebbe essere anche ildominio ESEMPIO A I feat log s o l'immagine è zero singoletto f 41 LO quando ad f passo uninsieme che è un singoletto ottengo un insieme non posso ottenere piùvalori perché non che è un singoletto sarebbe una funzione DOMINIO GIR Data una legge f il dominio di f dance E IR cui ha senso valutare f Insieme massimale è esempio l'insieme più grande fin log e al Dominio AER a 0 N a2 0 x a dominio f è l'insieme massimale dei valoriin don f XER na Xa a C so a U a 0 x a o Naso oppo x a a x a a a a 0 La a R concetto di complementare Un insieme di definizione A è un qualsiasi sottoinsieme del dominio di unafunzione ilDominioviene concolato L'insieme di definizione viene assegnato ESEMPIO fai MEIN Fà NE Ndo R TE R LO se n è dispari e positivo EgesippoPotente nel 8E C8 0 2 con mpario dispari R don f e se m è pari don f 0 too se né dispari dance IR È 8 8 po TE A XE XE E fa mes sen positivo R O se n negativo don f don f arrivo a degli assurdi 2 ne in 70 è non negativo x se n è pari maa R 2 E I 2 sbagliato perchéil significato è diverso Quando fin X qE n e m devonoessere primi tra loro 12 don f Io 0 se 9 o es X don f o to se 9 0 es X calcolare l'immagine di una funzione ESEMPIO qui X f dance in f f quel 1,13 0,1 IR in cui ha senso calcolare insiemedei valori di don 9 AZ 1,1 R ACR in 0 IO a OPERAZIONI SULLEFUNZIONI fa A IR AI O A ER f IR A TO ALER A2 operazione checoinvolgaentrambe le funzioni uninsieme di definizione di fa Off fa fa As E faina don f E don f A don f esempio fa don f ESEMPIO X LEIRA E o too numero irrazionale doveho una legge di potenza devo togliere lo zero non è definito ma si potrebbe attraverso il limite UGUAGLIANZA TRA FUNZIONI fa A IR A E IR Ai fa A2 A A2E R A2 fa fa se e solo se cioè se Ai An Xx E Ai Aa hanno lo stesso f A e facaz fai allora fa in stessi gli valori restituiscono insieme di definizione immagini A Azi se ciò è verificato allora poniamo ESEMPIO R IR f f fa fa A g 50,13 IR gin X fig no perché anche se la legge è uguale gli insiemi di definizionesono divers Divisione tra funzioni Esempio fa don fa fa dom fa fa f R IR fa 1 Verificoche fa sia diverso da zeroaltrimenti l'operazione non sipuòfare donf fanfan fr don XEdonfr fin 0 somma sottrazione e prodotto non hanno ulteriori restrizioni cosasipuò fareconle funzioni RESTRIZIONE f A g È R Fia QE R Q 0 p Fifa a I a ristretta a è una specie di zoom si restringe il campo e sidefinisce solo nel sottoinsieme di A è un'operazione che non richiede condizioni sulla f l'operazione di restrizione fornisce un risultato data FA f A R g fia e dato non ci sono ulteriori restrizioni unico cioè A0 A EA è univocamente determinata il prolungamento estendere l'insieme di definizione non è univoco l'operazioneinversa è perché si hannoinfinitepossibilità ma bisognaavere un criterio I gg PROLUNGAMENTO fA R aIII restrizione AER A O supponiamo di considerare un insieme la funzione g B Allora la funzione IR tale che g B IR prolungamento BER BIO tale che A E B ga si chiama f Ig ristrettaad A f prolungamento di faB il prolungamento non puòessere univocamente determinato e definiamo AA ESEMPIO fin X f I 2,27 IR f prolungamento g L4.43 IR 4 2 Xx E g FIN Lamb 4 9 I 2,21 f lo mantengoaperto perché devo XXE E 2,2 iii HE 2,4 serve a eguagliare localmente funzioni che altrimenti sarebbero diverse sevoglio che la funzione a Eh geni AGLI b sia uguale a zero o ha b o a Et b 8 g fai Xx E XX E 4 AXE 4 2,2 2,4 il prolungamento in generale non è univoco ma può diventarlo assegnando opportune condizioni GRAFICO DI UNAFUNZIONE fA B A Be R A B definiamo il grafico di Gf 0 f e si inarcacon Ny E IRI FA C IR Y FIN EB Gf è un sottoinsieme di IR i cui elementi presentano una determinata relazione Una qualsiasi funzione un ma il contrarionon è vero f en gra APPUNTI p 28 ELEVAZIONE A POTENZA f don fa IR fa don f R f fin_ I fari s R A con fr o devo togliere i numeri razionali A e don 3 don f n don fr B faabbiasolovalorireali con B da determinare casoincui fa NERIO se B XE dom fr fin 0 concatenazione COMPOSIZIONE DI FUNZIONI fa A fa A2 IR R fa THE 1 è a che ha a chefarecon fecal immaginedi A fa è definita in uninsieme quindi_detesta difaabbiaintersezionenonvuota con A2 ylovogliopassaread fa procedendo E a ritroso fini f fica fofi x L y EAadf A immagine di fa e 4E A2 OSSERV l'immagine composizione o concatenazione di funzioni perfare questo X può essere un qualunque valore di A X deve appartiene ad don e deve essere tale che A XE AI e fica E Al fica E A2 la concatenazione è possibile per tutti i valori condizione XE À EA fica NAZ de fix E fica n Al lacomposizionenonpuòesserefattapertuttiivalori dell'insiemedi definizionedellafunzionepiùinterna fr maperunsuo sottoinsieme perchéÀ potrebbe essere vuoto devoprimaverificare chel'immaginedi fi intersecataall'immagine fa non sia vuotadevo inoltreverificareche sia nell'insieme CONTROIMMAGINE calcolare unimmagine è verificareun'identità calcolare una contraimmagine equivale Dato y Eflacone Lo fai fin y f y x EA a risolvere una equazione trova XEdon f EA Io E A taleche fa y è contenuto ma potrebbe nonessereA Introimmagine FUNZIONE INIETTIVA Data fa IR AER f è iniettiva se FUNZIONE SURIETTIVA A B ER AB D f A B A 0 xix è suriettiva se EA A x allora fai fa fai B cioè se la sua immagine coincide con il suo codominio se una funzione o f A B è iniettiva e suriettivaallora f è detta Biettiva INVERTIBILE Funzione Biunivoca se Ab EB Era EA fa b FUNZIONE INVERSA f ASB idea µ E A BER A A funzioneidentità idb B IDENTITÀ AB 0 HEA ida IN f A a B funzioneinversa Hy E B idb y 1 f di f a patto che verifico prima che è biettiva cioè allora f B A f o f identità su A fa f identità su B f sia piena III fare sia suriettiva che iniettiva f FEFÈ f f B a f al A B le due identità non sono uguali perché hanno dominio diverso la funzione identità è invertibile monotonia indica la caratteristicadelle funzioni ad essere monotona monotonia intervallo operativamente la monotonia si ricerca su intervalli nonsuldominio data fia R AGIR A O si associa al dominioma è raro crescente fà monotona decrescentesu A se e solo se a se xe xe allora è crescente se fine fai Cena si ha che fai fini strettamente crescente se xe a xe amore è decrescente se fai fini fa può essere uguale a fini perché si parla di crescenza quando si parla di disuguaglianza dolce E si dice nonDecrescente e usare strettamente nel caso di disuguaglianzeforti concettoastratto grafico on una In funzione è x y E IR perdefinizione Gp Edom f y fa E Im f se si prende la funzionediDirichlet definitanell'intervallo 0,13 fin o se x è razionale 1 se x èirrazionale e fai a ga a a aaaa ma a ga a Ya globalmente è una funzione crescente a p la caratterizzazione della monotonia è sempre associata all'insiemespecifico osservazione su cui si osserva se al posto di A scriviamo don e allora caratterizzano la monotonia di f sututto don f ipotizzando che ciò sia vero nelladefinizione si associa ai insieme di definizione o dominio la funzione abbia tratti con comportamenti diversi ma è raro infatti è solito che avrai bisogna studiare la monotonia su intervalli ristretti La domanda da porsi è taleche Ik E don f data con K 1 fi don f N IR e tale che è possibile determinare uninsieme f è monotona in ciascun In cheoperazione compioperverificarela monotonia KK 1 N fi Restrizione deve essere monotona su In 1 prolungamento a menoche non impongo una condizione non è monotono IR f IRI O ESEMPIO fa I individuiamo i due intervalli di monotonia x IL C00 0 Ia 0 a fra è monotonastrettamente decrescente fra è monotona strettamente decrescente o f è monotona in c so o u o è ERRATO dire che a perché non si studia sulle unioni se risulta monotona sututto il dominio è una proprietà in più Esempio L 3 è un caso in cui x 31 0,1 E 2,3 il dominio non è lo stesso dell'insieme di definizione l'insieme di definizione FLO1 XE X A 0,130 2,3 è MS c f 2,3 è m s d nulla puòdirsi sulla monotonia di A caratterizando la funzione è iniettiva lattnètoria implica l'iniettività perché è sufficienteavereil segno 7 o monotona su A con A insieme di definizione di f quando dico che f è supponendo che ciò sia vero ancora sto dicendo ad esempioche se f è monotona strettamente crescente su A per ogni fa xa E A con xe xe allora fui fix µ fix.it fa ed sonodiversi cioe è iniettiva fi è monotona Tuttavia se f è iniettivasua allorastodicendo finexn EA con te Xa fai fai a seconda di come prendo x e a non ho informazioni fini fini sulla monotonia fiala fa pertanto posso concludere che stretta monotonia CASOPARTICOLARE no inattività su A o su Ip strettamente FÉIN A supponiamo che to CX CNCA i E tra xe e x è inattiva per xo perché to no Exo fini e fino è monotona è un intervallo degenere vale lo stesso per Lo quindi è crescente e decrescente allo stessotempo la monotonia studia sui singolari Nonevieta di studiare no e xe se io prendo la restrizione monotonia quindi perché anche sesono singolari figoup anchese non è unintervallo soddisfa la condizione di è monotona strettamente crescente sui singoletti la monotonia è convenzionale nonc'è nulla to CX è in questo caso crescente nosy fioi e fini se sonovicini einnetto Teorema fa A fs Somma di funzioni e monotonia R fi fi A IR 1 se f 2 se fi e 3 fi è monotonacrescente e fa è monotonadecrescente nulla può concludersi sul comportamento di fs e fa sono monotone crescenti allora fs è monotona crescente fa sono monotone decrescenti allora fs è monotona decrescente se teorema Monotonia funzioni composte fa A1 B fa Aa Ba f f fatti À 1 se 2 se 31 se A B 70 ER A B ER Br 0 À TER E Bidar 0 f e fr sono monotone crescenti allora fa è monotonacrescente f a fi sono monotonedecrescenti allora fa è monotona crescente f è moratacrescente e fa è monotona decrescente allora fa è monotona decrescente ESEMPIO Funzione SEGNO sign R R II 011 signor 1 x o o o estrarre il segno di un numero reale no è monotona crescente s o È E signal O sigla i X O composizione perché signor 40,1 la funzione I le signi compongo abt FUNZIONI LIMITATE quando devo caratterizzare la limitatezza della funzionepossoscaricarlo sullaamitatezzadelleimmagini Date f don e R IM fà limitata inferiormente se 7mE IR in f E fà limitata superiormente se 7mE IR im f e 0 m limitata superiormente f è limitata sup e inf se 7m E R in f E mm Limitata se fà limitata inferiormente amore txt dom f fin m se f è limitata superiormente alloraXXEdon f finem se f è limitata allora Fat donca puòesserepiùcomododire che I me ma EIR perché se mefinem Limitata inferiormente ta cioè ma E fin ma fini e m conmio HX E don f potrei prenderem max mi f è una funzione te frico nonhasenso prendere mapositivo ma mio mai è limitatasup perché fu è tuttosotto l'asse delleascisse ESTREMI DI UNA FUNZIONE f don e IR estremo inferiore ai f info inff inf im fi è l'estremo inferiore dell'immaginedi f inf f infffa xe donca fin XEdance inf f è l'estremosuperiore dell'immagine di f estremo superioredi f supp sup f e sup im if supp sup fa xe donca fin sup f XE donif ESEMPIO IN fri 0 0,10 o x fa IN f suquesto insieme di definizione è il valore assoluto inf fin XE RYO O I 8 g oppure inflging inf gko.tn XE O a per zero devo prolungare 1buco.no p µ 2 yep dopo x O 1 inffia NE IR inf gia ECO o O conriferimento sup gia AIR to funzione illimitata superiormente f don f in generale data una funzione f quando lo diventano sono minimo e massimo dellaimmagine di Minimo e massimo di Se f donf info e sup f non sono elementi IR una funzione IR è limitata inferiormente cosicché inf f E TR inf f allora si pone min f e e se prende il nome di minimo di inff E mi f f è un elemento dell immagine Il minimo di f se esiste è unico Inoltreessendo un elemento dell'immagine esiste lacontraimmagine GEdonca fumi min f min Xm puònonessere unico minga E fa E donif Gli elementi dellecontroimmagini di f e di min 4fa E doma si chiamano E IR funzione è limitatasuperiormente appartiene all'immagine di f allora si pone sup fin se il sup fai ye gang E dame funzione senocoseno E dance i fumi min E damp fini Edamp e se punti di minimo sup fin xedom.fi Max fin E don f il massimo se esiste è unico f IIa f LE Gli elementi delle controimmagini di f donca fam max fa XE donca si chiamano puntidi massimo e di min fin xe donca ESTREMI LOCALI fidanca Fissiamo IR SE IR se XE donca n AltoS 8 O e prendiamo xo.sinota di f in donceingodixots se quindi f è necessariamentedefinita ne dona e e fai e fin ancora fini si dice Massimolocale no si dice punto di massimo locale o relativo txt dom f n to Si xo f in domain to 2 nord si ha che Ca S no 8 Xo fai a fini allora fai è minimo locale o relativodif si dice punto di minimo locale o relativo MASSIMO TRADUE FUNZIONI Edances R fa don171 R F defandomizi IR ESEMPIO fa max A FIN FIN fain fine E fa o A XE IO TO IN per x fix in certi casi una prevale sull'altra FIN io fix e xe fa o FIN X XE 0,10 FUNZIONI LINEARI fi don f 112 è detta funzione lineare se Ha NE dance e His22ER I LIETI Edom f proprietà additiva fix X fin fix proprietà di omogenità fax lineare E combinazione Afa siha film Axa 11 fini 2142 si possono associare alle funzioni corrispondenti allerette per l'origine casoPARTICOLARE perdon'f tir fai ax attr e b o rete perl'origine esempio le conversioni Funzioni affini fxi axtbab.fr è il casogenerale quando esiste anana aaaa fi don f IR è periodica di periodo pro E XtpE domCfleFCXtpEfiN TEOREMA sia a f periodica di periodo p allora tre IN 40 b se a Ela fà periodica di periodonp a o flan è periodica di periodo fa il periodo viene essenzialmentedefinito come periodo minimo piùpiccolo reale positivo manonè sempre dettoche sia possibile calcolare il minimo periodo ci sono funzioni periodiche che però non hanno Es FUNZIONE DI DIRICHLET q e periodo minimo Ehi L XE A periodo è un qualunquerazionale positivo e non si puòdare unvalore minimo aunqualunque azionale positivo perché il periodo per definizione è una e i razionali positivi hanno come FUNZIONE PARTE INTERA è il più gramo estremo inferiore lo zero IR Z mamma e l'immagine asty tra tesi è il piùgrande numerointero o funzione mantissa prendevalorireale e li associa all'intervallo 0,27 d M IR immagine IO 1 Mix a definizioneprendi il valore e sottrai la parte intera se x E 50,11 MIN X o se x E se 2 MIN x 1 se XE 1,0 MIN X 1 quantità maggioredi zero Mantissaè una funzione periodica di periodominimo L 512 1
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