2022 수리 논술 대비 – Final 문제
번 호
내 용
Final (1)
F-1
일 시
2022. 08. 13~
이 름
<논제1>
수열 이 다음과 같이 정의되어 있다. 물음에 답하여라.
≧
[논제 1-1] 모든 자연수 에 대하여 ≦
임을 증명하여라.
임을 증명하여라. (로피탈 정리는 사용하지 말 것)
[논제 1-2] lim
→ ∞
[논제 1-3]
∞
의 값을 구하여라.
1
<논제2>
이고 의 두 근을 라 한다. , ( ⋯ ) 인 수열 에
대하여 물음에 답하여라.
[논제 2-1] 임을 증명하여라.
[논제 2-2] 을 구하고 이를 통해 lim 의 값을 구하여라. (Hint : 에 대하여 생각해 보아라.)
→ ∞
2
ln
<논제3> 함수 의 성질에 대해 알아보려 한다. 물음에 답하여라.
ln
[논제 3-1] 함수 의 증감을 조사하여라.
[논제 3-2]
이라 할 때, 에 이항정리를 사용하여
( ⋯ )가
성립함을 증명하여라.
ln
[논제 3-3] 위 결과들을 사용하여 lim 임을 증명하여라.
→ ∞
ln
[논제 3-4] 위 결과들을 사용하여 lim 임을 증명하여라.
→ ∞
3
<논제4> 집합 는 ≧ 과 ≦ 을 만족하는 정수 의 원소의 개수를 이라 하고 물음에
답하여라. (은 자연수)
[논제 4-1]
≦ 임을 증명하여라.
[논제 4-2] lim
의 값을 구하여라.
→ ∞
4
<논제5>
⋯일 때, 물음에 답하여라.
[논제 5-1] ≧ 일 때, 임을 증명하여라.
[논제 5-2] ≧ 일 때, 임을 증명하여라.
∞
[논제 5-3]
의 값을 구하여라. (단, )
5
<논제6> 물음에 답하여라. (서로 관련 없는 두 문항)
⋯
[논제 6-1] 자연수 에 대하여,
이라 한다. 이 최대가 되는 의 값을 구하여라.
[논제 6-2] 양수로 이루어진 수열 ⋯ 에 대하여 일반항 과 항 까지의 합 사이에
이라는 관계가 성립한다. 이 때, 과 을 구하여라.
6
<논제7> 한 변의 길이가 1인 정육면체 속에 정육면체의 대각선을 축으로 가지는 직원기둥을 넣으려고 한다.
직원기둥의 밑면과 윗면이 정육면체의 각 면에 접하도록 넣을 때, 물음에 답하여라.
[논제 7-1] 직원기둥의 부피의 최댓값을 구하여라.
[논제 7-2] [논제 7-1]에서 구한 부피가 최대인 직원기둥을 정육면체의 밑면에 정사영 시켰을 때, 정사영의 넓이를
구하여라.
7
<논제8> 다음은 대수적 식의 기교에 관한 독립된 문제들이다. 각각을 해결하여 보아라.
[논제 8-1] ,
일 때, 의 값을 구하여라.
[논제 8-2] , 일 때, 를 에 관한 간단한 식으로 정리
하여라.
[논제 8-3] ( 는 양의 정수)일 때, 의 값을 구하여라.
[논제 8-4] 자연수 의 모든 양의 약수들의 합이 일 때, 의 모든 양의 약수의 역수들의 합을 구하여라.
8
<논제9> 다음은 대수적 식의 기교에 관한 독립된 문제들이다. 각각을 해결하여 보아라.
[논제 9-1] 4차 방정식 의 네 근을 라 할 때,
의 값을 구하여라.
[논제 9-2] 다항식 을 로 나눈 나머지를 구하여라. (직접 나누지 말 것)
[논제 9-3] 는 실수이고 을 만족할 때, 의 최솟값과 최댓값을 구하여라.
9
<논제10> 모든 실수에서 두 번 미분가능한 함수 가 항상 ″ 을 만족한다고 한다. 물음에 답하여라.
[논제 10-1] 평균값의 정리를 이용하여 임의의 실수 에 대하여 ≦ 임을 증명하여라.
[논제 10-2] [논제 10-1]을 이용하여 임의의 실수 에 대하여 ≦ 임을
증명하여라.
10
<논제11> 1번~140번 순서대로 140장의 카드가 있다. 1번부터 차례대로 카드를 빼내고 뒤로 넘기는 과정을
반복한다.(즉, 1번을 제거하고 2번 카드를 맨뒤로 넘기고 3번을 제거하고 4번 카드를 맨뒤로 넘기고.. 반복)
[논제 11-1] 이 때, 마지막에 남는 카드의 번호는 몇 번인가?
[논제 11-2] 만약 위의 상황에서 넘긴뒤 카드를 빼내는 순으로 순서를 바꾸게 되면 마지막에 남는 카드의 번호는 몇
번일지 구하여라.
11
<논제12> 한 개 직선상 개점이 있는데 이웃하는 두 점간의 거리는 1이고, 어떤 사람이 첫 번째 점에서
시작해서 나머지 점으로 넘어간다면, 회 넘은 후에야 첫 번째 점으로 돌아올 수 있다. 또 회 넘으면 모든
개점에 도달하게 된다. 물음에 답하여라.
[논제 12-1] 가장 먼 길을 뛰어간 경우를 추측하여 그 길이를 구해보아라.
[논제 12-2] 본인이 예상한 길이가 최대임을 논리적으로 설명하여라.
12
<논제13> 준우와 민호가 1에서 개의 자연수 중에서 1개씩 선택을 한다.
선택된 수를 라 할 때, 물음에 답하여라.
[논제 13-1] 가 짝수일 확률을 구하여라.
[논제 13-2] 일 확률을 구하여라. (단, 는 ≦ 을 만족시키는 정수)
13
<논제14> 의 번호가 붙여진 3장의 카드가 상자에 들어 있다. 이 상자에서 무작위로 1장의 카드를 꺼내어
그 번호를 기록하고 카드를 다시 넣는 시행을 반복한다. 이 때, 꺼낸 카드의 번호가 카드를 다시 꺼내기 전의
시행에서 기록딘 번호보다 작으면 여기서 시행을 끝낸다. 시행을 끝낼 때까지 상자에서 카드를 꺼낸 횟수를
확률변수 라 하자. 물음에 답하여라.
[논제 14-1] 을 구하여라.
[논제 14-2] ( ≧ )를 구하여라.
[논제 14-3] 번째 시행에서 꺼낸 카드의 번호 가 2이고, 여기서 시행이 끝날 확률 와
가 1이고 여기서 시행이 끝날 확률 을 각각 구하여라. (단, ≧
14
<논제15> 상자 속에 번호 ⋯ 이 씌어진 카드가 각각 1장씩 들어 있다.
[논제 15] 이 상자에서 카드 2장을 꺼낼 때 카드에 씌어져 있는 번호의 합을 으로 나눈 나머지가 일 확률을
구하여라. (단, ≧ , ≦ ≦ ) (상황에 맞게 정확히 답을 서술하여라.)
15
<논제16> 3종류의 서로 다른 신호 가 나오는 기계가 있다. 이 기계를 움직이게 하면 먼저 신호가
나오고, 그것에 이어 계속 나오는 신호의 순서는 불규칙하다. 신호가 나오는 확률은 다음과 같다.
[상황1]
만약 신호가 나오면 다음에 신호가 나오는 확률은 각각 이다.
또, 만약 신호가 나오면 다음에 신호가 나오는 확률은 각각 이다. (단, ≠ )
[상황2] 만약 신호가 나오면 기계는 멈춘다.
이 기계에서 나오는 신호열을 관측할 때 신호가 번째까지 이어지고 번째 신호가 일 확률을 , 마찬가지로
번째 신호가 신호일 확률을 이라 한다. 물음에 답하여라.
[논제 16-1] 과 의 점화식을 각각 세워라.
[논제 16-2] 이 때, 을 으로 나타낸 뒤 을 구하여라.
[논제 16-3] 신호가 나올 때까지 관측할 때 신호열 가운데 신호가 나타날 회수의 기댓값을 구하여라.
16
<논제17> 앞면이 나올 확률이 ( 인 구부러진 동전이 있다. A B 는 동전이 HHH 이거나 HTH 가 나올
때까지 계속 던진다. 만약 HHH 가 나오면 A 가 이기는 것이고, HTH 가 나오면 B 가 이기는 것이다.
[논제 17] 를 어떤 값으로 잡아야 A B 가 공정한 게임을 할 수 있을지 구하여라.(즉, A B 가 이길 확률이 같다.)
17
<논제18> 실수 에 대하여, 는 를 넘지 않는 최대의 정수를 나타낸다. 이 자연수일 때,
라 하자. 물음에 답하여라.
[논제 18-1]
이 되는 자연수 의 개수 ,
가 되는 자연수 의 개수 를 구해 보아라.
[논제 18-2] lim
의 값을 구하여라.
→ ∞
18
<논제19> 극대 / 극소에 관한 문제이다. 물음에 답하여라.
[논제 19-1] cos 가 극값을 가지기 위한 의 조건을 구하여라.
[논제 19-2] ln 에 대하여, 가 두 점에서 극값을 갖기 위한 의 조건을 구하여라.
[논제 19-3] sin cos 가 구간 에서 극값을 갖도록 하는 실수 의 범위를
구하여라.
19
<논제20> 물음에 답하여라.
라 한다. 을 에 관한 식으로 나타내어라.
[논제 20-1]
[논제 20-2] 연속함수 의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고, 모든 실수 에 대하여
의 값은?
이다. 일 때,
20
<논제21> 대수 방정식에 관한 문제들이다. 물음에 답하여라.
[논제 21-1] 에 대한 방정식 이 서로 다른 다섯 개의 실근을 가질 때, 음수 의 최솟값을
구하시오. (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
[논제 21-2] 에 대한 이차방정식 이 다음 두 조건을 만족시킬 때, 가능한 를 모두
구하여라.
(가) 는 한 자리의 자연수이다.
(나) 두 근 에 대하여 이다.
[논제 21-3] 이차방정식 의 두 근 중 적어도 하나가 정수가 되도록 하는 자연수 를 모두
구하여라.
21
