Ⅱ
정답 및 해설
빠른 정답 찾기
I. 지수함수와 로그함수
01 1)) ◯
2) ×
2) 해설 참조
3) ◯
4) ×
3) 해설 참조
02 1) 8
2) 2
3) 32
4) 4
5) '2
03 ⑤
04 1) 해설 참조
4) 해설 참조
05 1) ×
2) ×
3) ×
4) ◯
5) ◯
06 1) ◯
2) ×
2) y=2≈ ±⁄ +2
3) y={;2!;}
4) y=-5≈ ±‹ +5
12 y=2—≈ ±‹ +1
13 ;2!;
3
5) ×
07 a='3, b= 2
14 ㄷ, ㄹ
09 7
1
15 1) ×
;2!;
08 2
≈ ±⁄
2) y={ 2 } +3
11 1) y=-2≈ —⁄ -3
2) ◯
3) ×
4) ×
5) ◯
16 a=4, b=-3
20 1) 최댓값 : 4, 최솟값 : ;2!;
2) 최댓값 : 3, 최솟값 : ;9!;
21 1) 최댓값 : 3, 최솟값 : ;2¡7;
2) 최댓값 : 4, 최솟값 : 2
22 ;2!;
3) 최댓값 : 674, 최솟값 : 2
24 3
27 1) {x|x>2}
4) {x|x+-3인 모든 실수}
5) {x|x<-1 또는 x>3}
≈ —‹
3) y=3 +1
4) y={;2!;}
33 1) 해설 참조
2) 해설 참조
2) ◯
4) ×
;2 {;
3) ◯
5) 해설 참조
5) ◯
25 7
29 1) 8
2) log™ 3
3) 해설 참조
5) ◯
3) 최댓값 : 5, 최솟값 : ;;¡4£;;
26 2
4) -3
5) 2
30 7
34 1) ◯
2) ×
3) ◯
39 1) 해설 참조
40 y=-log™ (x+2)+3
41 -3
42 ㄱ, ㄴ, ㄹ
46 1) log;3!; '∂10, log;3!; 3, log;3!; '7
48 1) 최댓값 : 6, 최솟값 : 1
2) log™ '8, log™ 3, log™ 8
3) 최댓값 : 0, 최솟값 : log;3!; 33
51 10
53 2
54 1) x=;3%;
3) x=0 또는 x=2
4) x=3 또는 x=-2
2) x=0 또는 x=2
3) x=;2!;
2) x=-3
60 1) x=1, y=2 또는 x=2, y=1
2) x=4, y=1
61 25
3) x=-1 또는 x=0 또는 x=3
63 1) x=0 또는 x=3
67 1) 0<x<4
5) -1…x…4
2) -3<x<4
2) ◯
66 1) x>1
4) x=-1 또는 2…x…3
3) ◯
4) ×
4) log;3!; ;7!;<-log;3!; 8
47 ①
2) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0
4) x=;2%;
55 1) x=0
3) x=-1 또는 x=-3
62 1) x=1 또는 x=3
65 2
4) 해설 참조
49 1) 최댓값 : log™ 5, 최솟값 : 0
3) x=2, y=0
2) x=;3!; 또는 x=5
6) 1<x<3
3) -5<x<4
3) x=-;2!;
35 1) ◯
3) 해설 참조
3) log;5!; 4<log;5!; ;1¡0;
2) x=1 또는 x=2
56 1) x=0
2) x=2, y=2
4) x>;4%;
5) ×
44 1) ◯
50 1) 최댓값 : 7, 최솟값 : 3
58 1) x=3, y=2
3) x>-;3@;
4) ◯
3) 최댓값 : 5, 최솟값 : 2
32 ①
31 62
3) 2 log∞ 2, ;2!; log∞ 75, 3 log∞ 4
2) 최댓값 : -1, 최솟값 : -log£ 7
2) -2
3) {x|x>0}
2) 해설 참조
43 -12
2) log£ 5<-log£ ;6!;
2) 최댓값 : 2 log£ 5, 최솟값 : 2
52 1) 4
2) {x|x<4}
2) 최댓값 : 54, 최솟값 : -;4(;
3) 3
38 2
2) x=-1
57 1) x=0
59 2
2) x=1 또는 x=5
3) x=3 또는 x=5
64 1) x>1
2) -1…x…0
3) x>1
5) -2<x<0
68 -4
2) 1<x<2
3) 1…x…5
4) x>1
70 62
71 0<k<;4(;
72 3
73 2
75 5
78 1) x='5
2) x=8
3) x=;;¡2¡;;
4) x=1
79 1) x=1
2) x=1
3) x=;3$;
80 1) x=9
77 8
2) x=0
3) x=4
4) x=5
81 1) x=2
2) x=;24!3; 또는 x=27
3) x=2 또는 x=8
3) x=;3!; 또는 x=9
4) x=;100¡000; 또는 x=100
90 1) x=32 또는 x=;2!;
2 빠른 정답 찾기
2) x=3 또는 x=9
2) x=0
4) x=;9!; 또는 x=3
85 11
82 x=-3 또는 x=4
84 1) x=2 또는 x=16
86 17
3) x=5 또는 x=;62!5;
87 5
88 1) 16
91 1) x=;1¡0;
2) x>-3
4) -1…x…1
69 1) 0<x…1 또는 xæ3
76 2
a
4) 최댓값 : 239, 최솟값 : 5
2) y=log∞ (x+3)-2 (x>-3)
4) 해설 참조
45 1) log™ 10>log™ 6
a¤
19 a >a¤
28 1) y=log;3!; x` (x>0)
37 5
7) ×
;4!;
23 1) 최댓값 : 53, 최솟값 : 4
36 2'3
6) ×
1
3) { 4 }— , ‹ "≈2¤ , '8
;5!;
;4!;
4) ×
2) ‹ "≈3¤ <'∂27
17 1) 4⁄ fi <8⁄ ⁄
2) 5 , 25 , 125
;3!;
3) ◯
≈ —› -2
≈ ±⁄
4) y=-{;2!;} -3
18 1) › Æ;8!; , ‹ Æ;4!; , Æ;2!;
4) {Æ;2!; } >;4!;
;3@;
10 1) y=3≈ —‹ +1
≈ ±⁄
3) y=-{;2!;} -3
‹
3) (0.1)— >(0.1)
1
5) ×
74 49
4) x=6
83 1) x=2 또는 x=;4!;
2) x=;6¡4; 또는 x=8
2) 81
2) x=;3¡6;
89 -6
92 x=;1¡5;
II. 확률
93 1) -;2!;<x<2
2) 2<x<6
97 8
99 1) 0<x…;8!; 또는 xæ2
98 -3
2) 0<x<1 또는 x>4
112 8
105 2
113 1) 1
4) 5
115 1) e‹
2) ;e!;
3) ¶
4) -¶
118 ㄴ, ㄹ
121 2
122 1) 2
3
3) ln 3
2
4) ln 3
6) y'=3≈ (1+xln 3)
137 4e
2) ;3!;<x<9
3) 0<x<2 또는 x>4
4) 3
4) ln 2
2) e
4) ¶
125 1) 2
130 3
131 1) y'=e≈ ±¤
3) ;e!;
;3@;
132 5e
139 a=;2¡e;, b=-;2!;
7) y'=e≈ {ln x+;[!;}
145 a=;e!;, b=0
146 a=e, b=;e!;
110 10
114 1) ;3!;
2) '2
3) 3
117 1) -1
2) 5
6) -5
2) 1
3) log 8
127 2
128 1
1
efl
3)
124 1) 2
2) ;2#;
129 1) a=1, b=3
5) y'=2(1+x)e≈
135 a=0, b=-2, c=2
2) y'=;[$;
136 2
1
3) y'=-;[!;
4) y'= x ln 2
1
141 4e¤ -2e
2) e‹
4) 1
4) y'=3e‹ ≈
134 y=3ex-2e
140 1) y'=;[!;
109 20
120 1) 'e
6) ;e!;
3) y'=3≈ —¤ ln 3
133 1
6) y'=x(2 ln x+1)
;2#;
5) e¤
ln 9
126 ln 2
2) y'=2≈ ±⁄ ln 2
5) 0
4) ¶
123 1) 2
ln 3
3) ln 5
2) ;2#;
1
e¤
6) -¶
5) ¶
7) y'=(x+3)e≈ ±⁄
1 44 a=;2!;, b=e
4)
108 2
7) -1-ln 10
3) ;9!;
96 ;4!;
103 1) 1<x…8
2) ;2¡7;<x<3
6) 1+ln 3
2) ¶
2) -1<x<1
100 1) ;8¡1;<x<9
107 -12<k<0
5) '2
116 1) 1
119 1) e‹
5) ;3@;
95 1) ;2%;<x<3
102 1) 0<x<;2!; 또는 x>4
3) ;2!;
3) -2
138 a=e, b=0
5) y'=ln x+1
2) 1<x<9
106 ;4!;<a<1024
2) 0
3) ln 2
2) 0
2) a=ln 2, b=1
94 1) x>-;3$;
101 a=-1, b=-6
104 10—fi , 10‡
2) 1<x<81
111 120
3) x>5
143 e-1
142 5 ln 10
147 1
II. 삼각함수
01 1) 해설 참조
2) 해설 참조
3) 해설 참조
02 1) h=360°_n+130°(`n은 정수)
4) 해설 참조
2) h=360°_n-50°(`n은 정수) 또는 h=360°_n+310°(`n은 정수)
05 1) 제 3`사분면의 각
04 ㄴ, ㄷ
2) 제 4`사분면의 각
03 1) 360°_n+90°(`n은 정수)
3) 제 1`사분면의 각
07 제 1`사분면, 제 3`사분면, 제 4`사분면
08 90°
09 150°, 210°
3) -;3@;p 라디안
4) -;6&;p 라디안
12 1) 108°
2) 150°
3) 2np+;1!0&;p
14 ㄱ, ㄹ, ㅁ
4) l=;2#;p, S=;;™4¶;;p
15 ②
5) l=2p, S=3p
21 반지름의 길이 : 5, 최댓값 : 25
16 1) l=2p, S=10p
17 ;4“;
'2
'2
3) sin h>0, cos h<0, tan h<0
2) 제 3`사분면
34 sin h=-;5#;, tan h=-;4#;
1
2
3) sin h cos h
cos h
'3
'3
5) 2
6) 3
45 1) 1
48 1) -;2!;
2) 3
'3
46 1
47 1) -;2!;
49 1) 0
2) '3
50 1) - 2
3) -1
51 1) 2
'3
2) - 2
'2
3) - 3
'3
52 1) 1
'3
7) - 2
'2
8) - 2
'3
54 ㄱ, ㄴ
6) - 3
60 1) 1
2) -2
3) 11
4) 12
5) 1
42 2'2
'2
2)
1+'3
2
'3
55 1) 2
61 3+'3
62 2
25 2
26 sin h=;5$;,
'3
2) sin h<0, cos h>0, tan h<0
30 1) 제 2`사분면
5) sin h>0, cos h>0, tan h>0
36 -4
41 -;6%;
24 27p
'3
4) 제 3`사분면 또는 제 4`사분면
40 ;;¡7•;;
20 27
28 1) sin h=-;2!;, cos h= 2 , tan h=- 3
29 1) sin h>0, cos h>0, tan h>0
35 cos h=-;2!;, tan h='3
2)
2) ;2!;
23 64p
2) 2np+;2“;
3) l=;;¡2∞;;p, S=;;¶2∞;;p
19 반지름의 길이 : 6, 넓이 : ;2(;p
18 ;2“;
4) sin h<0, cos h<0, tan h>0
3) 제 1`사분면 또는 제 3`사분면
2) ;1∞2;p 라디안
13 1) 2np+p
2) l=;2(;p, S=9p
27 sin h=-;1!3@;, cos h=;1∞3;, tan h=-;;¡5™;;
2) sin h=- 2 , cos h=- 2 , tan h=1
06 제 1`사분면, 제 3`사분면
p
11 1) 6 라디안
4) -315°
22 반지름의 길이 : 100, 최댓값 : 10000
cos h=-;5#;, tan h=-;3$;
4) 제 2`사분면의 각
10 45°
3) -60°
2) 360°_n+80°(`n은 정수)
31 2
32 2 cos h
33 ④
37 1) -;8#;
2) -;3*;
38 - 2
'5
44 1) ;2!;
43 5
'2
2) 2
'2
39 1) 2
3) '3
2) 2
4) 1
3) -'3
4) - 2
'2
5) ;2!;
6) - 3
3) '3
4) -;2!;
5) -;2!;
6) 1
'2
3) -'3
4) 2
'3
5) - 2
'3
2) - 2
53 1) ;2!;
2) - 2
2) -1
3) 1
63 55
'6
56 5
64 1) ◯
57 1
`2` ) ×
'3
'2
58 ;;¡2ª;;`
`3` ) ◯
4) ◯
59 ②
`5` ) ◯
빠른 정답 찾기 3
6) ×
7̀) ◯
65 1) sin ;7“;<sin ;6“;<sin ;5“;
2) ×
3) ◯
4) ◯
5) ×
69 ③
3) cos ;2“;<cos 1<cos 0
73 1) 해설 참조
6) ×
2) 해설 참조
77 ⑤
최솟값 : -1
2) ×
3) ◯
78 ②
79ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ
4) 주기 : p, 최댓값 : ;2!;, 최솟값 : 0
89 1) y=sin {x-;2“;}-1, 최댓값 : 0, 최솟값 : -2, 주기 : 2p
93 ②
102 a=2, b=2, c=;2“;, d=-1
2) 최댓값 : 4,
2) 최댓값 : ;4(;, 최솟값 : 0
2'3
2'3
3
118 ㄱ, ㄷ
119 1) x= 4 또는 x=;4#;p
6) -1
2) 2개
3) 3개
p
'2-'6
4
3) 2-'3
2) 8-3'7
138
tan (a-b)='∂17
146 1) 0
2) 0
1
150 - 2p
'3
141 -3
3) 0
p
151 - 4
4 빠른 정답 찾기
3) 1
'2
2) 2
142 2
143 ;5$;
2) y'=;[!;-cos x
3) 3
2) 제 1`사분면
p
120 1) x= 12 또는 x=;1∞2;p
121 ;3“;
123 1) x=;6“; 또는 x=;2“; 또는
122 ;2!;
144 ;5#;
4) ;5#;
3) ;4“;<x<;3“;
153 2
3'2+2'5
2
145 1) ;2!;
2) - 2
6) 2
164 ;2“;
165 ;4“;, ;4%;p
3) 6
'3
4) 2
p
149 1
155 1
156 ;2!;
4) y'=-2 sin x cos x
158 -2p+3
'6-'2
4
136 -;4#;
148 - 2
7) ;4!;
131 ;4“;
137 1)
140 tan (a+b)=1,
'2
154 a=-2, b=2
3) y'=2x sin x+x¤ cos x
133 1)
3) -;;™7;¢ ;
3)
5) ;2!;
124 ③
2) ;2“;<x…;6%;p 또는 ;2#;p<x…;;¡6¡;;p
2) -;2¶5;
'ß30+2'3
9
3) 제 3`사분면
p
2) 0…x…;6“; 또는 ;6%;p…x<2p
6) y'=e≈ (3 sin x+3 cos x+1)
163 a=0, b=1
3) 3
117 1) 제 2`사분면
128 1) ;6“;<x<;6%;p
2) -
112 4
'3
2) '2
3) x= 6 또는 x=;6&;p
135 1) ;2@5;$
3) '3
'ß15+2'6
9
2) ;3%;
115 1) 2
2) 60°, +, 60°, -, 60°, '3, '3, -2-'3
'2+'6
4
152 a=12, b=4
5) y'=e≈ (cos x-sin x)-2≈ ln 2
162 2
127 ④
139 1) -
147 1) ;2#;
157 1) y'=cos x-2 sin x
161 a=1, b=1
'2
134 1) 1
2-'2
4
2) 최댓값 : -;3&;, 최솟값 : -3
3) x=;4“; 또는 x=;3@;p 또는 x=;4%;p 또는 x=;3%;p
130 1) 0…x<;3“;
132 1) 45°, cos 45°, sin 45°, 2 , 2 , 2 ,
2)
110 1) 최댓값 : 5, 최솟값 : -3
3) x=-;2“;
126 -3…k…1
'2
109 25
p
2) 12 <x<;1¶2;p
129 1) ;6&;p…x…;2#;p
2) 최댓값 : 3, 최솟값 : -1
2) x= 6 또는 x=;;¡6¡;;p
2) x=0 또는 x=;6“; 또는 x=;6%;p 또는 x=p
125 1) 7개
107 1) 최댓값 : 0, 최솟값 : -4
2) 2 cot h
2) x=;2“; 또는 x=p
2) y=-2 cos {;3!;x-;9“;}-1,
106 0
111 1) 최댓값 : 없다, 최솟값 : 1
116 1) 2 sec¤ h
p
또는 x=;1!2#;p 또는 x=;1!2&;p
x=;6%;p
88 ⑤
105 ;2(;
104 ;;¡2;£ ;
2'3
5)
82 ;2&;
101 a=-1, b=2, c=-'3
114 csc h=2 , sec h=- 3 , cot h=-'3
4) - 3
2) 주기 : 2p, 최댓값 : 1,
2) 점근선의 방정식 : x=2n+1 ( n은 정수),
100 a=2, b=3, c=-1
108 1) 최댓값 : 3, 최솟값 : 1
113 csc h=;4%;, sec h=;3%;, cot h=;4#;
75 ②
95 y=tan{x-;6“;}+5, 주기 : p, 점근선의 방정식 : x=np+;3@;p ( n은 정수)
99 ;2(;
3) 최댓값 : 4, 최솟값 : ;4&;
3) 치역 : {y|yæ0}, 주기 : p
84 1) 주기 : ;3@;p, 최댓값 : 1, 최솟값 : -1
87 a=2, b=2
86 2
103 a=3, b=1, c=;6“;, d=1
최솟값 : -2
72 ②
2) y=-sin {2x-;3@;p}+2, 최댓값 : 3, 최솟값 : 1, 주기 : p
94 ㄱ, ㄴ
98 a=5, b=8, c=3
71 해설 참조
5) 주기 : p, 최댓값 : 없다, 최솟값 : 0
92 1) y=;3!; cos (x+p)+;3$;, 최댓값 : ;3%;, 최솟값 : 1, 주기 : 2p
최댓값 : 1, 최솟값 : -3, 주기 : 6p
97 ㄱ, ㄷ
7) ×
85 1) 점근선의 방정식 : x=2np+p ( n은 정수), 주기 : 2p
3) 점근선의 방정식 : x=;3N;p+;6“; ( n은 정수), 주기 : ;3“;
96 ①
6) ×
6) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 없다.
2) 주기 : ;3@;p, 최댓값 : ;2!;, 최솟값 : -;2!;
2) 주기 : p, 최댓값 : 2, 최솟값 : -2
91 ㄷ
5) ◯
81 1) 주기 : 2p, 최댓값 : 2, 최솟값 : -2
80 3p
67 1) ×
2) cos ;6%;p<cos ;4#;p<cos ;3@;p
2) 치역 : {y|0…y…1}, 주기 : p
5) 치역 : {y|-1…y…1}, 주기 : 2p
3) 주기 : p, 최댓값과 최솟값 : 없다.
90 p=;3“;, q=1
4) ◯
66 ③
3) sin 0<sin ;4“;<sin 1
68 1) cos ;2“;<cos ;3“;<cos ;5“;
74 1) 치역 : {y|0…y…1}, 주기 : p
83 1) 주기 : p, 최댓값 : 1, 최솟값 : -1
주기 : 2
7) ×
70 1) ×
4) 치역 : {y|-1…y…1}, 주기 : 없다.
76 ③
2) sin ;5$;p<sin ;3“;<sin ;2“;
159 1
160 -6p
5) 2
3+'7
6
III. 미분법
01 1) y'=6) y'=
7
(2x+1)¤
4e≈
(e≈ +2)¤
4) y'=-
2) y'=
7) y'=-
12 5'3
'3 -1
3) y'=
19 1) y'=2 cos(2x+1)
2x+3
2"√x¤ +3x
p
sec¤ x-2 tan x
e¤ ≈
5) y'=
e≈
(e≈ +2)ln 3
¤
4
dy
3
4› 'ƒx-2
2(ln x+1)
4) y''=(x ln x)¤
33 a=-1, b=e
6) y'=-
2 tan x
ln 2
26 ;2!;
27 ;2!;
37 y=-;3¡e;x+e¤ +;3!;
55 1) 해설 참조
2x+5
x¤ +5x+10
dy
14 -1
15 1) y'=
16 54
4) y'=3sin x cos x ln 3
5) y'=2(e¤ ≈ -e—¤ ≈ )
3) y'=2 cot 2x
2
(x-1)ln 5
4) y'=
dy
1
3 ‹ "√(x-1)¤
2) dx =
42 a=1, b=1
2) 없다.
52 1) ◯
2) 해설 참조
35 1) y=-x+1
43 a=3, b=-7
3) (p, p)
2) ×
`3) ×
3) 해설 참조
56 1) 해설 참조
2) 최댓값 : p, 최솟값 : -2p
59 1) 최댓값 : 7efl , 최솟값 : -e¤
3) y=;2!;x
53 ㄱ, ㄷ
2) 해설 참조
2) 극솟값 : e
45 k<;;¡4£;;
36 ;2E;
41 1) 극솟값 : -;e!;
49 a=2, b=6, c=-4
3) 해설 참조
50 2
2) 해설 참조
3) 해설 참조
57 1) 최댓값 : 6, 최솟값 : -6
58 1) 최댓값 : 3, 최솟값 : -3
2) 최댓값 : e¤ , 최솟값 : 0
67 k<-1
2) y=2x-2
46 a<0
54 1) 해설 참조
4) 최댓값 : 8, 최솟값 : 7
66 k=e 또는 k<0
2) 1
2) y=;e!;x-;e#;
44 -4
`5
` )◯
3) 최댓값 : 1, 최솟값 : -;3!;
65 1) 2
32 1) y=x-1
4) (-3, ln 18), (3, ln 18)
`4) ×
3) y''=;[!;
31 -e
40 1) 극댓값 : ;3@;p+'3 , 극솟값 : ;3$;p-'3
39 -;e!;
18 ④
3) y'=4(3x¤ +2)tan‹ (x‹ +2x)sec¤ (x‹ +2x)
30 1
38 1
1
'x
17 -'2
6) y''=-sec¤ x
48 1) (0, 0)
64 ;2¡e;
1
}
x¤
5) y''=2e≈ (cos x-sin x)
2) y=2x-;4#;
09 1
3) y'=70(7x+4)·
2) y''=-e≈ (3 cos 2x+4 sin 2x)
2) 최댓값 : 없다, 최솟값 : -15
63 ;e!;
08 -2-'2
4) y'=-(2x+3)sin(x¤ +3x-2)
1
5 fi "çx›
25 1) dx =
24 ;;¡2¡;;
4 - 6
xfi
x‹
05 -55
29 1) y''=6x-4
2) 극솟값 : 0, 극댓값 : 4e—¤
51 -2'2…a…2'2
2) y'=
3) y'=
28 3
34 1) y=2x+;2“;
47 ;6“;…h…;6%;p
3) y'=2fi ≈ —‹ 5 ln 2
10
x‹
07 -4
sec¤ x
2'߃1+tan x
5) y'=
2x-x¤
e≈
4) y'=-(cot¤ x+csc¤ x)csc x
2) y'=6(3x-2)
6) y'=2{x-;[!;}{1+
5
2x‹ 'ßx
2) y'=2(x+1)e≈ ±¤ ≈
04 2
sec x¥tan x
(1+sec x)¤
3) y'=sec¤ x cos (tan x)
23 1) y'= 4x+1
3) dx =
8) y'=
5) y'=
2) y'=-
03 1
2) y'=-18(3x+1)cos¤ (3x +1)¤ sin(3x+1)¤
22 1) y'=3e‹ ≈ ±⁄
6) y'=
2
x‹
3
x›
3) y'=tan x+x`sec¤ x
2 sec¤ x
(1-tan x)¤
4) y'=-
2) y'=3x¤ sec¤ x‹
20 1) y'=6x¤ sin x‹ cosx‹
21 3
6) y'=6x+
2(3x¤ +2)
(x‹ +2x)‹
5) y'=-
2 cos x
(sin x+1)¤
02 1 y'=-
13 1) y'=6(x+2)(x¤ +4x-1)¤
4) y'=(x-1)› (7x¤ +10x+13)
2) y'=5'3x
4 - 6
xfi
x‡
7) y'=
4) y'=
2x ln x-x
(ln x)¤
2) y'=(tan x+sec x)sec x
6) y'=2 sec¤ x¥tan x
11 1
1
3) y'= cos x-1
8) y'=
5) y'=-
06 1) y'=sec¤ x-2 csc¤ x
10 14
1
x(ln x)¤
5 + 4 - 3 + 2
xfl
xfi
x›
x‹
5) y'=sec¤ x
3x¤ +6x+2
(x+1)¤
60 2
-2
61 ;3“;-'3
62 1+e
68 해설 참조
69 해설 참조
70 1
5) ;5#;x ‹ "≈x¤ +C
6) ;9@;x› 'åx +C
7) 2'ßx +C
71 -2
IV. 적분법
01 1) x¤ -3x+C
8) -
2
+C
'ßx
2)
1
x'3+1+C
'3+1
x¤
9) 2 -2x-;[!;+C
3) x-9 ‹ "≈x¤ +36 ‹ 'ßx -8 ln |x|+C
3) -;[!;+C
4) ;3@;x'ßx +C
10) 2x'ßx -'ßx +C
4) x¤ -;[@;+C
01 1) x+
5) ;3@;x'ßx +2x+C
1
+C
3x‹
x¤
x‹
2) 3 +;3$;x 'ßx +ln |x|+C
6) 2 +;3@;x 'ßx +x+C
03 e-3
빠른 정답 찾기 5
04 1)) tan x+C
2) 4 sin x+3 cos x+C
6) -cot x-x+C
7) -csc x+C
12) tan x+x+C
13) tan x+sec x+C
2) e≈ +
2≈
+C
ln 2
9) 3ex-
3) -
3≈ ±⁄
+C
ln 3
e¤ ≈
8)
4) x-
11) ex-1+
4) ;1¡2;(x› +2x¤ )‹ +C
08 e+1
09 1) ;8!; (2x+1)› +C
3) -;4!; cos› x+C
4) ln|tan x-1|+C
4) -cos(ln x)+C
5) ;3@; (ln x+1)'ƒln x+1+C
2) ;3!; (2x+3)'ƒ2x+3+C
18
1
3e¤
4) ln|x‹ +3x¤ +2x|+C
x-2
x-1
|+C
x
5) ;2!; ln|2x+1|+2 ln|x-2|+C
24 ②
x+1
-ex+1 +C
3) '3
4) ;2!; (efi -e)
5)
6) e-;e!;
32 1) 2
2) 2('2-1)
35 1) ;3!;
2) ;;¡3¢;;
3) 1
4) e-1
5) ;2!;
6) 4-2'3
39 1) 1
2) e
3
e¤
5) 1
6) e¤ +1
43 e‹
44 ④
45 1) f(x)=sin x+ 1-p
48 e
49 ;2“;
50 ;2%;+2 ln 2
54 p+4
55 1) 2
57 1) 2'2
2) e+;e!;-2
65 p(2efl +4e‹ -3)
6 빠른 정답 찾기
2)
p¤
4'2
3
66 2
3) e‹ -1
58 ;3!;
67 6'3
4) e¤ +1
59 ;2E;-1
3) x¤ +2x+ln|x+1|+C
3) x ln x-x+C
8
ln 3
3) 2'3+;3@; p
4) 0
5) 2
31 1) 2
33 1) '2
2) e-;e!;
3) 0
4) 1
34 ㄱ, ㄴ
2) ;2“;
3) ;4“;
37 1) ;2!;
2) ;3@;
3) 1
40 1
41 1-;e@;
7) ;4!;
2) 4
8)
3) -2
60 ;2E;-1
2) -e—≈ (x¤ +2x+2)+C
28 ②
36 1) ;4“;
5) 2
+C
5) ;2!; e≈ (sin x-cos x)+C
3) e+;e!;-2
2) ;2E;
6) ;5!; e
3) 2ln|x-1|+;3!; ln|3x+2|+C
2) xe≈ +e≈ +C
e;2“;-1
2
2) f(x)=e≈ +2x-e¤ -3
51 1) 2
5x+2
5) ;3!; tan (3x+1)+C
27 1) (x¤ -2)sin x+2x cos x +C
30 1) e¤ -1+
2
2) ;2!; ln|x¤ +4x+3|+C
4) 15ln|x-3|-11 ln|x-2|+C
25 1) -x cos x+sin x +C
26 2e
3) ;4!; (e≈ -1)› +C
17 1) ;1¡8; (3x-1)fl +C
2) ;2!; ln|2x+1|+C
x+1
2) -;3!; (1+cos x)‹ +C
15 1) ln (x¤ +1)+C
2) ;2!; x¤ +x-ln|x+2|+C
3) p+ln 2-2
4) 1-
7) e≈ -;2!;x¤ +C
2) ;3@; (e≈ +1)"√e≈ +1+C
4) ;3!; sin 3x-;2!; cos 2x+C
2) e-3
3) 1
2≈ -2—≈
+C
ln 2
8)
3) ;3!; (x¤ +x-1)‹ +C
16 ;2!; ln (e+3)
4) (x¤ -3x+3)e≈ +C
120
ln 5
+C
2) ;2!;e¤ ≈ -2x-;2!;e—¤¤ ≈ +C
12 1) ;3!; sin‹ x+C
6) ;5!; (ln x)fi +C
3) ln| x+2 |+C
5) ;2!;x¤ ln 2x-;4!;x¤ +C
3) ;2!;x¤ (ln x)¤ -;2!;x¤ ln x+;4!;x¤ +C
x+1
3) ;2!; ln|2x‹ +x¤ +1|+C
¤
21 1) ln|x+1|+C
2) ln|
4) xe
2) (x¤ -3)‹ +C
5) ln(1+e≈ )+C
20 ;4!;
2‹ ≈
+C
6 ln 2
7)
3≈
3¤ ≈
+
+C
ln 3
2 ln 3
14 1) -;2!; e—≈ +C
13 ;2#4%;
22 1) 3x+ln|x-1|+C
23 1) ;4!;;ln| x+2 |+C
6)
06 1) e
05 p-1
2¤ ≈
2≈ ±⁄
+
+x+C
2 ln 2
ln 2
5) 6"√e≈ +1+C
3) ;2!; cos {;6“;-2x}+C
19 x=-2 ln 2
+C
11) -cot x+C
2) ;5@;(x+1 )¤ 'ƒx+1 -;3@;(x+1 )'ƒx+1 +C
4) 2'ƒ1+x+C
4) ln|sin x|+C
x-1
2) 2 ln(x¤ -3x+5)+C
11 1) 2"√x¤ +3+C
3) -ln(2+cos x)+C
6) e
07 1)
5) e≈ -3x¤ -ln |x|+C
3) ;3@; (x+2)'ƒx+2-4'ƒx+2+C
15) -cot x+C
5¤ ≈
+C
2 ln 5
3¤ ≈
+C
2 ln 3
10 1) ln(x¤ +5)+C
1
+C
4(x¤ +2x+2)¤
5)
5) tan x-x+C
10) tan x+sin x+C
14) -cot x-cos x+C
e¤ 3≈
+C
ln 3
4)
4) -cos x+sin x+C
9) sec x+C
e› ≈
+C
4
2¤ ≈
2≈
+
+x+C
2 ln 2
ln 2
4) -
8) x+sin x+C
2—≈
+C
ln 2
10) 5≈ +C
3) 2 -e≈ +x+C
3) -cos x+tan x+C
46 f(x)=2e¤ ≈ +e≈
61 e+1
38 ③
42 2(e¤ +e-1)
47 f(x)=
(ln x)¤
+ln x
2
2'3
3
3) p
4) 1-;e!;
53 4
56 1) ln 2-;2!;
2) ln 3
3) e¤ -;e!;
4) ;;¡3£;;
62 18
63 e⁄ ‚ +49
52 1) ln 2
6) ;2!;
2) 1
29 1) ;;§3¢;;
2)
4
64 60
07
I. 지수함수와 로그함수
그래프가 두 점 { ;2!; , a }, (b, 3'3 )을 지나므로
I-1 지수함수
pp.8~15
a=3 ;2!; = '3
3'3=3 ;2#; =3∫
01
` 1) ◯
2) ×
3) ◯
4) ×
∴ b= ;2#;
a='3, b=;2#;
5) ×
08
02
f(x)=a≈ 이므로 f(1)=a, f(3)=a‹
`1)) f(3)=2‹ =8
f(k)=
`2)) f(-1)=2—⁄ =;2!;
그런데 f(k)=a˚ =a¤ 이므로 k=2
f(3)
a‹
= =a¤
a
f(1)
2
`3)) f(2)f(3)=2¤ _2‹ =2fi =32
f(5)
2fi
= =2¤ =4
f(3)
2‹
`4))
09
y=2≈ 의 그래프는 점 (0, 1)을 지나고 점 (a, 1)은 y=x의 그
`5)) f {;2!;}=2 ='2
;2!;
래프 위의 한 점이므로 a=1
1) 8
2)
1
2
3) 32
점 (a, b)는 y=2≈ 위의 한 점이므로 b=2å =2⁄ =2
4) 4
5) '2
점 (b, c)는 y=2≈ 위의 한 점이므로 c=2∫ =2¤ =4
∴ a+b+c=1+2+4=7
03
7
10
f(4)=a› =;4!;이므로
`1)) y-1=3≈ —‹ 에서 y=3≈ —‹ +1
f(-8)=a—° =(a› )—¤ ={;4!;}—¤ =4¤ =16
⑤
`2)) y-2=2≈ ±⁄ 에서 y=2≈ ±⁄ +2
`3)) y+2={;2!;}≈ —› 에서 y={;2!;}≈ —› -2
`4)) y-5=-5≈ ±‹ 에서 y=-5≈ ±‹ +5
04
` 1)
2)
`
y
y=2
6
x
y
1 x
6 y= 2
2) y=2≈ ±⁄ +2
≈ —›
3) y={;2!;} -2
4) y=-5≈ ±‹ +5
( )
4
4
2
2
-4-2 O
-2
2
4 x
-4-2 O
-2
` 3)
11
4 x
2
`1)) -y=2≈ —⁄ +3에서 y=-2≈ —⁄ -3
`2)) y=2—≈ —⁄ +3에서 y={;2!;}≈ ±⁄ +3
4̀)
y
10
y
10
x
y=3
8
8
6
6
4
4
2
-6 -4-2 O
-2
2)×
1
3
`3)) -y=2≈ —⁄ +3 ⇨ y=-2—≈ —⁄ -3에서 y=-{;2!;}≈ ±⁄ -3
x
( )
y= -
`4)) -y=2—≈ —⁄ +3에서 y=-{;2!;}≈ ±⁄ -3
2
2 4
6
x
-6 -4-2 O
-2
05
` 1)×
1) y=3≈ —‹ +1
`3)×
4)◯
5)◯
1) y=-2≈ —⁄ -3
2 4
6
x
3) y=-{;2!;}
≈ ±⁄ -3
≈ ±⁄ +3
2) y={;2!;}
≈ ±⁄ -3
4) y=-{;2!;}
12
y=2≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로
1만큼 평행이동시키면
y-1=2≈ ±‹ ⇨ y=2≈ ±‹ +1
06
1)◯
y=2≈ ±‹ +1의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동시키면
2)×
3)◯
4)×
5)×
y=2—≈ ±‹ +1
y=2—≈ ±‹ +1
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 7
13
y=a≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만
;2#;
`4)) {Æ;2!; }‹ ={;2!;} , ;4!;={;2!;}¤ 이고 ;2#;<2
이때, 함수 y={;2!;}≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하
큼 평행이동시키면
y-3=a≈ —¤
므로 {;2!;} >{;2!;}¤
∴ {Æ;2!; }‹ >;4!;
;2#;
y-3=a≈ —¤ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동시키면
∴ y=-a≈ —¤ -3
-y-3=a≈ —¤
1) 4⁄ fi <8⁄ ⁄
2) ‹ "≈3¤ <'∂27
이 그래프가 점 (1, -5)를 지나므로
;2!;
‹
4) {Æ;2!; } >;4!;
3) (0.1)— >(0.1)
-5=-a⁄ —¤ -3 ⇨ a—⁄ =2
∴ a=;2!;
;2!;
;3@;
18
;2!;
;3@;
`1)) Æ;2!; ={;2!;} , ‹ Æ;4!; =‹ æ≠{;2!;}¤ ={;2!;} ,
14
ㄱ. y='3 ¥3≈ =3≈ ±
;2!;
y='3 ¥3≈ 의 그래프는 y=3≈ 의 그래프를 x축의 방향으로
;4#;
› Æ;8!; =› æ{≠ ;2!;}‹ ={;2!;}
-;2!;만큼 평행이동한 것이다.
함수 y={;2!;}≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로
ㄴ. y=
y=
1
+2=3—≈ +2
3≈
{;2!;} >{;2!;} >{;2!;}
1
+2의 그래프는 y=3≈ 의 그래프를 y축에 대하여 대
3≈
따라서 작은 순으로 나열하면 › Æ;8!;, ‹ Æ;4!;, Æ;2!;
;2!;
칭이동한 후 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
2x+6
ㄷ. y=3
y=3
;4#;
`2)) 5 , 125 =(5‹ ) =5 , 25 =(5¤ ) =5
;3!;
2(x+3)
=3
2x+6
;3@;
;5!;
;5!;
;5#;
;4!;
;4!;
;2!;
함수 y=5≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로
의 그래프는 y=3≈ 의 그래프를 평행이동하거나 대
5 <5 <5
;3!;
칭이동하여도 겹쳐질 수 없다.
;2!;x
;2!;
;5#;
따라서 작은 순으로 나열하면 5 , 25 , 125
;3!;
;4!;
;5!;
;2!;x+2
ㄹ. y=9¥('3 )≈ -1=3¤ ¥3 -1=3
-1
y=9¥('3 )≈ -1의 그래프는 y=3≈ 의 그래프를 평행이동하
거나 대칭이동하여도 겹쳐질 수 없다.
-;4!;
`3)) '8 ="≈2‹ =2 , {;4!;} =4 =2 , ‹ "≈2¤ =2
;2#;
ㄷ, ㄹ
;4!;
;2!;
;3@;
함수 y=2≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로
2 <2 <2
;2!;
15
;3@;
;2#;
따라서 작은 순으로 나열하면 {;4!;}— , ‹ "≈2¤ , '8
;4!;
` 1) ×
2) ◯
3) ×
4) ×
5) ◯
1) › Æ;8!; , ‹ Æ;4!; , Æ;2!;
16
2) 5 , 25 , 125
;3!;
;5!;
;4!;
3) {;4!;}— , ‹ "≈2¤ , '8
;4!;
함수 y=a¥2≈ +b의 그래프의 점근선의 방정식은 y=b이므로
b=-3
19
또, 이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
1=a¥2‚ -3 ⇨ a=4
a=4, b=-3
0<a<;2!;이므로 a¤ -2a=a(a-2)<0
∴ a¤ <2a
이때, y=a≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하므로
a¤
17
a >a¤
a
`1)) 4⁄ fi =(2 2 )⁄ fi =2 30 , 8⁄ ⁄ =(2‹ ) 11 =2 33 이고 30<33
이때, 함수 y=2≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로
2‹ ‚ < 2‹ ‹
∴ 4⁄ fi < 8⁄ ⁄
`2)) ‹ "≈3¤ =3 , '∂27 ="≈3‹ =3 이고 ;3@;<;2#;
;3@;
;2#;
이때, 함수 y=3≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로
3 <3
;3@;
;2#;
∴ ‹ "≈3¤ <'∂27
`3)) (0.1)— , (0.1) 이고 -;2!;<;3@;
;2!;
;3@;
이때, 함수 y=(0.1)≈ 은 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
하므로 (0.1)— >(0.1)
;2!;
8 정답과 해설
;3@;
20
`1)) x=-1일 때, y=2—⁄ =;2!;
x=2일 때, y=2¤ =4
따라서 최댓값은 4, 최솟값은 ;2!;
`2)) x=-1일 때, y={;3!;}—⁄ =3
x=2일 때, y={;3!;}¤ =;9!;
따라서 최댓값은 3, 최솟값은 ;9!;
a¤
a >a¤
a
`3)) x=-1일 때, y={;2!;}—⁄ +3=5
`2)) y=3¤ ≈ -3≈ ±⁄ =(3≈ )¤ -3¥3≈
x=2일 때, y={;2!;}¤ +3=;;¡4;£ ;
y=t¤ -3t={t-;2#;}¤ -;4(;
따라서 최댓값은 5, 최솟값은 ;;¡4;£ ;
이때, 0…x…2이므로 1…t…9
3≈ =t (t>0)로 치환하면
따라서 함수는 t=9일 때 최댓값 54, t=
-1+3
`4)) x=-1일 때, y=3
-4=5
3
일 때 최솟값
2
2+3
x=2일 때, y=3
-4=239
-;4(;를 갖는다.
따라서 최댓값은 239, 최솟값은 5
1) 최댓값 : 4, 최솟값 : ;2!;
2) 최댓값 : 3, 최솟값 : ;9!;
3) 최댓값 : 5, 최솟값 : ;;¡4;£ ;
4) 최댓값 : 239, 최솟값 : 5
`3)) y=25—≈ +2¥5—≈ -1=[{
{
1 ≈ ¤
1
} ] +2¥{ }≈ -1
5
5
1 ≈
} =t (t>0)로 치환하면
5
y=t¤ +2t-1=(t+1)¤ -2
21
이때, -2…x…0이므로 1…t…25
`1)) f(x)=x¤ -4x+1=(x- 2 )¤ - 3 이라 하면
따라서 함수는 t=25일 때 최댓값 674, t=1일 때 최솟값 2
를 갖는다.
1…x…4에서
9
2) 최댓값 : 54, 최솟값 : - 4
f(1)= -2 , f( 2 )=-3, f(4)= 1
1) 최댓값 : 53, 최솟값 : 4
∴ -3 …f(x)… 1
3) 최댓값 : 674, 최솟값 : 2
y=3
x¤ -4x+1
=3 f(x)에서 밑이 1 보다 크므로
24
f(4)= 1 일 때, 최댓값은 3 1 = 3 ,
2≈ > 0 , 2—≈ > 0 이므로산술평균과기하평균의관계에의하여
f(2)= -3 일 때, 최솟값은 3 -3 = ;2¡7;
y=2≈ +2—≈ +1æ 2 "√2≈ ¥2—≈ +1= 3
(단, 등호는 2≈ = 2—≈ , 즉 x= 0 일 때 성립)
`2)) f(x)=-x¤ +6x-7=-(x-3)¤ +2라 하면 2…x…4에서
f(2)=1, f(3)=2, f(4)=1
따라서 주어진 함수의 최솟값은 3 이다.
3
∴ 1…f(x)…2
-x¤ +6x-7
=2 f(x)에서 밑이 1보다 크므로
y=2
f(3)=2일 때, 최댓값은 2¤ =4이고,
25
f(2)=f(4)=1일 때, 최솟값은 2⁄ =2이다.
3≈ >0, 3—≈ ±¤ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
1) 최댓값 : 3, 최솟값 : ;2¡7;
2) 최댓값 : 4, 최솟값 : 2
y=3≈ +3—≈ ±¤ æ2"√3≈ ¥3—≈ ±¤ =6
등호는 3≈ =3—≈ ±¤ , 즉 x=1일 때 성립하므로 p=1
따라서 주어진 함수는 x=1일 때 최솟값은 6이므로 q=6
∴ p+q=7
22
함̀수 y=a
7
-x¤ +2x+1
에서 0<a<1이므로 -x¤ +2x+1이 최대일
때 지수함수가 최솟값을 갖는다.
26
-x¤ +2x+1=-(x-1)¤ +2에서
y=(2≈ ±⁄ +2—≈ ±⁄ )-(4≈ +4—≈ )=2(2≈ +2—≈ )-(2≈ +2—≈ )¤ +2
-x¤ +2x+1의 최댓값은 2이므로
2≈ +2—≈ =t로 치환하면
a¤ =;4!;={;2!;}¤
∴ a=;2!; (∵ a>0)
;2!;
y=-t¤ +2t+2=-(t-1)¤ +3
그런데 2≈ >0, 2-x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의
하여 t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ ¥2—≈ =2
23
(단, 등호는 2≈ =2—≈ , 즉 x=0일 때 성립)
`1)) y=4≈ -2≈ ±⁄ +5=( 2≈ )¤ -2¥2≈ +5
즉, tæ2이므로 y=-(t-1)¤ +3의 그래프는 그림과 같다.
2≈ =t (t>0)로 치환하면
y=t¤ - 2 t+5=(t- 1 )¤ + 4
y
3
2
이때, -1…x…3이므로 ;2!; …t… 8
O
따라서 함수는 t= 8 일 때 최댓값 53 , t=1일 때 최솟
값 4 를 갖는다.
1
2
t
따라서 t=2일 때 주어진 함수는 최댓값 2를 갖는다.
2
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 9
I-2 로그함수
pp.16~24
29
`1)) f(3)=2‹ =8
27
`2)) g(3)=log™ 3
`3)) (gΩf )(3)=g(f(3))=g(2‹ )=log™ 2‹ =3
`1)) x-2>0에서 x>2
`4)) y=2≈ 에서 x=log™ y이므로
따라서 정의역은 {x|x>2}
y=log™`x ⇨ f —⁄ (x)=log™`x
`2)) 4-x>0에서 x<4
1
1
}=log™ =log™ 2—‹ =-3
8
8
f —⁄ {
따라서 정의역은 {x|x<4}
`3)) 3x>0에서 x>0
`5)) ( f —⁄ Ωg)(16)=f —⁄ (g(16))=f —⁄ (log™ 16)
따라서 정의역은 {x|x>0}
=f —⁄ (4)=log™ 4=2
`4)) (x+3)¤ >0에서 x+-3
1) 8
2) log™ 3
3) 3
4) -3
5) 2
따라서 정의역은 {x|x+-3인 모든 실수}
`5)) x¤ -2x-3>0에서 (x-3)(x+1)>0
∴ x<-1 또는 x>3
30
`` f(2)=logå 9+3=5
따라서 정의역은 {x|x<-1 또는 x>3}
1) {x|x>2}
3) {x|x>0}
2) {x|x<4}
4) {x|x+-3인 모든 실수}
5) {x|x<-1 또는 x>3}
logå 9=2 ⇨ a¤ =9
∴ a=3 ⇨ f(x)=log£ (4x+1)+3
7
f(20)=log£ 81+3=7
31
x+ 2
1
}=log™
x+1
x+1
28
`` f(x)=log™ {1+
`1)) 주어진 함수는 집합 {x|x는 실수}에서 집합 { y|y>0}으로
`` f(1)+f(2)+f(3)+y+f(n)
의 일대일 대응이다.
=log™
1
y={ }≈ 에서 x=log;3!; y
3
3
+log™
2
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
=log™ {
y=log;3!; x (x>0)
4
5
+log™
3
n+ 2
+y+log™
n+ 1
4
4
5
n+ 2
n+ 2
3
¥
¥
¥y¥
=5
}=log™
3
2
2
n+ 1
4
`2)) 주어진 함수는 집합 {x|x는 실수}에서 집합 { y|y>-3}으
로의 일대일 대응이다.
n+ 2
y=5≈ ±¤ -3에서 5≈ ±¤ =y+3
n 2 n
=2fi ⇨ n+2= 64
∴ n= 62
62
x+2=log∞ (y+3)
x=log∞ (y+3)-2
32
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
y=log¢ (x-1)+3에서
y=log∞ (x+3)-2 (x>-3)
`3)) 주어진 함수는 집합 {x|x>1}에서 집합 { y|y는 실수}로의
일대일 대응이다.
2x-6
x와 y를 서로 바꾸어 역함수를 구하면 y=2
∴ f —⁄ (x)=2
y=2 log£ (x-1)에서 log£ (x-1)=
x-1=3
log¢ (x-1)=y-3 ⇨ x-1=4¥ —‹ ⇨ x=(2¤ )¥ —‹ +1
y
2
;2};
y=3 +1
;2{;
`4)) 주어진 함수는 집합 {x|x>0}에서 집합 { y|y는 실수}로의
y={;2!;}≈ —‹
6
2) y=log∞ (x+3)-2 (x>-3)
3) y=3 +1
1 ≈ —‹
4) y={ 2 }
4 y=log-1 x
y=log™ x
-4-2 O
-2
2
2
2
4 x
-4-2 O
-2
2
4 x
4̀)
y
10
y
10
8
8
6
6
4
1) y=log;3!; x` (x>0)
10 정답과 해설
y
6
2
` 3)
`
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
;2{;
2̀)
y
4
1 ¥ —‹
}
2
①
33
x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는
일대일 대응이다.
y=log;2!; x+3에서 log;2!; x=y-3
+1
+1 ⇨ f —⁄ (4)=2¤ +1=5
` 1)
x=3 +1
;2};
x={
2x-6
2
-6 -4-2 O
-2
y=log£ x
2 4
6
x
4
2
-6 -4-2 O
-2
y=log-1 x
3
2 4
6
x
34
5)
` 1) ◯
`2) ×
`3) ◯
4) ◯
5) ×
y
10
`
8
6
4
35
y=log™ |x|
2
` 1) ◯
2) ◯
3) ◯
4) ×
5) ◯
-6 -4-2 O
-2
2 4
6
x
36
40
OA”=log£ a, OB”=log£ 2이므로
y=log™ x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동하면
AB”=OA”-OB”=log£ a-log£ 2=log£ ;2A;
-y=log™ x
즉, log£ ;2A;=;2!; ⇨ ;2A;=3 ='3
y=-log™ x
;2!;
∴ a=2'3
` 2'3
이 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평
행이동시키면
y-3=-log™ (x+2)
∴ y=-log™ (x+2)+3
37
` y=-log™ (x+2)+3
log™ x=log£ x ⇨ x=1
∴ A(1, 0)
41
log™ x=2이면 x=2¤ =4
y=log;2!; 5x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로
log£ x=2이면 x=3¤ =9
-1만큼 평행이동시키면
∴ B(4, 2), C(9, 2) ⇨ BC”=5
따라서 삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_5_2=5
` 5
y+1=log;2!; 5(x-2)
y=log;2!; 5(x-2)-1
=log2—⁄ 5(x-2)-1
∴ y=-log™ 5(x-2)-1
이 함수의 그래프가 y=-log™ 5(x+a)+b의 그래프와 일치
38
A(logå 4, logå 4), B(logå 4, 0), D(4, logå 4), C(4, 0)이므로
AB”=logå 4이고 BC”=4-logå 4
하므로 a=-2, b=-1
∴ a+b=-3
-3
사각형 ABCD가 정사각형이므로
logå 4=4-logå 4 ⇨ logå 4=2 ⇨ a¤ =4
∴ a=2 (∵ a>0)
` 2
42
ㄱ. y=5≈ +3, 즉 5≈ =y-3에서 로그의 정의에 의하여
x=log∞ (y-3)
x와 y를 서로 바꾸면 y=log∞ (x-3)
39
따라서 함수 y=5≈ +3의 그래프는 함수 y=log∞ x의 그래
1)
2)
y
10
8
8
ㄴ. y=log∞ (x-2)+1의 그래프는 함수 y=log∞ x의 그래프
6
를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동
6
y=log™ 2x
4
여 대칭이동한 것이다.
4 y=log™ (x+1)
2
2
-6 -4-2 O
-2
2 4
x
6
-6 -4-2 O
2 4
-2
6
x
한 것이다.
ㄷ. y=log'5 x-3=2 log∞ x-3이므로
y=log'5 x-3의 그래프는 함수 y=log∞ x의 그래프를 평
행이동 또는 대칭이동하여도 겹쳐질 수 없다.
` 3)
`
프를 x축에 대하여 3만큼 평행이동한 후 직선 y=x에 대하
y
10
4)
y
10
y
10
8
8
6
6
y=log™ (-x) 4
4
2
2
-6 -4-2 O
2 4
-2
6
-6 -4-2 O
-2
ㄹ. y=log;5!; (x+2)-4
y=log5—⁄ (x+2)-4
y=-log∞ (x+2)-4
이므로 함수 y=log;5!; (x+2)-4의 그래프는 함수
1
y=log™ (x)
y=log∞ x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향
x
으로 4만큼 평행이동한 후 x축에 대하여 대칭이동한 그래프
2 4
6
이다.
ㄱ, ㄴ, ㄹ
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 11
43
`2)) log™ 3=log™ '9 , log™ 8=log™ '∂64
y=log£
함수 y=log™ x의 그래프는 밑이 2이므로 x의 값이 증가하
2x-8
=log£ (2x-8)-log£ 27
27
면 y의 값도 증가한다.
y=log£ 2(x-4)-log£ 3‹ =log£ 2(x-4)-3
'8<'9<'∂64 이므로
2x-8
따라서 함수 y=log£
의 그래프는 함수 y=log£ 2x의
27
log™ '8 <log™ '9 <log™ '∂64
그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행
이동한 것이므로
따라서 작은 순서대로 나열하면 log™ '8, log™ 3, log™ 8
`3)) 세 수를 밑이 5인 로그의 꼴로 나타내면
2 log∞ 2=log∞ 2¤ =log∞ 4
f : (x, y)`` 1⁄ (x+4, y-3)
∴ a=4, b= -3 ⇨ ab=-12
3 log5 4=log∞ 4‹ =log∞ 64
-12
;2!; log∞ 75=log∞ '∂75
44
함수 y=log∞ x의 그래프는 밑이 5이므로 x의 값이 증가하
1̀) ◯
2) ◯
3) ◯
`4` ) ×
5) ◯
6) ×
면 y의 값도 증가하고 4<'∂75<64이므로
7) ×
log∞ 4<log∞ '∂75 <log∞ 64
45
따라서 작은 순서대로 나열하면
`1)) 함수 y=log™ x의 그래프는 밑이 2이므로 x의 값이 증가하
2 log∞ 2, ;2!; log∞ 75, 3 log∞ 4
면 y의 값도 증가 한다.
1) log;3!; '∂10, log;3!; 3, log;3!; '7
10 > 6이므로
2) log™ '8, log™ 3, log™ 8
log™ 10 > log™ 6
3) 2 log∞ 2, ;2!; log∞ 75, 3 log∞ 4
`2)) -log£ ;6!;=log£ {;6!;}—⁄ =log£ 6
함수 y=log£ x의 그래프는 밑이 3이므로 x의 값이 증가하
면 y의 값도 증가한다.
1<x<2이므로 log™ 1<log™ x<log™ 2
5 <6이므로 log£ 5 <log£ 6
∴ 0<log™ x<1
∴ log£ 5<-log£ ;6!;
`3)) 함수 y=log;5!; x의 그래프는 밑이
47
A-B=log™ x-logÆ 2=log™ x1
이므로 x의 값이 증가
5
A-B=
(log™ x)¤ -1
log™ x
A-B=
(log™ x-1)(log™ x+1)
<0
log™ x
하면 y의 값은 감소한다.
4>;1¡0;이므로 log;5!; 4<log;5!; ;1¡0;
1
log™ x
∴ A<B y ㉠
`4)) -log;3!; 8=log;3!; 8—⁄ =log;3!; ;8!;
A-C=log™ x-(log™ x)‹ =(log™ x){1-(log™ x)¤ }
1
함수 y=log;3!; x의 그래프는 밑이 이므로 x의 값이 증가
3
하면 y의 값은 감소한다.
=(log™ x)(1-log™ x)(1+log™ x)>0
∴ A>C y ㉡
①
㉠, ㉡에 의하여 C<A<B
;7!;>;8!;이므로 log;3!; ;7!;<log;3!; ;8!;
48
∴ log;3!; ;7!;<-log;3!; 8
1) log™ 10>log™ 6
`1)) y=log™ x는 밑이 2이므로
x=64일 때, 최댓값은 log™ 64=6
2) log£ 5<-log£ ;6!;
x=2일 때, 최솟값은 log™ 2=1
3) log;5!; 4<log;5!; ;1¡0;
`2)) y=log;3!; (3x+1)은 밑이 ;3!;이므로
4) log;3!; ;7!;<-log;3!; 8
x=;3@;일 때, 최댓값은 log;3!; 3=-1
x=2일 때, 최솟값은 log;3!; 7=-log£ 7
46
`3)) y=log™ (x-1)은 밑이 2이므로
`1)) 함수 y=log;3!; x의 그래프는 밑이 ;3!;이므로 x의 값이 증가
하면 y의 값은 감소한다.
x=33일 때, 최댓값은 log™ 32=5
x=5일 때, 최솟값은 log™ 4=2
'7 <'9 <'∂10 이므로 log;3!; 'ß10<log;3!; '9<log;3!; '7
1) 최댓값 : 6, 최솟값 : 1
2) 최댓값 : -1, 최솟값 : -log£ 7
따라서 작은 순서대로 나열하면 log;3!; 'ß10, log;3!; 3, log;3!; '7
3) 최댓값 : 5, 최솟값 : 2
12 정답과 해설
49
51
`1)) y=log™ (x¤ -6x+10) (2…x…5)에서
y=6(log£ x)¤ -3 log'3 x¤ +b
f(x)=x¤ -6x+10으로 놓으면
=6(log£ x)¤ -12 log£ x+b
f(x)=(x- 3 )¤ + 1 이고 f(x)의 최솟값은
=6(log£ x-1)¤ -6+b
log£ x=t로 치환하면 y=6(t-1)¤ -6+b
f( 3 )=1, 최댓값은 f( 5 )= 5 이다.
주어진 함수는 t=1, 즉 x=a에서 최솟값 1을 가지므로
주어진 로그함수의 밑이 2이므로
t=log£ a=1이고 -6+b=1
f( 5 )= 5 일 때, 최댓값은 log™ 5
∴ a=3, b=7 ⇨ a+b=10
10
f( 3 )=1일 때, 최솟값은 log™ 1 = 0
`2)) y=log£ (-x¤ +10x) (1…x…7)에서
f(x)=-x¤ +10x로 놓으면
52
`1)) x>1일 때, log£ x > 0, logÆ 81 > 0이므로 산술평균과
f(x)=-(x-5)¤ +25이고 f(x)의 최솟값은 f(1)=9,
기하평균의 관계에 의하여
최댓값은 f(5)=25이다.
log£ x+logÆ 81æ 2 'ƒlog£ x¥logÆ 81
주어진 로그함수의 밑이 3이므로
f(5)=25일 때, 최댓값은 log£ 25=2 log£ 5
log£ x+logÆ 81= 2 Æ… log£ x¥ 4 logÆ 3
f(1)=9일 때, 최솟값은 log£ 9=2
`3)) y=log;3!; (2x¤ +8x+9) (-2…x…2)에서
log£ x+logÆ 81=2Æ…log£ x¥
f(x)=2x¤ +8x+9로 놓으면
4
= 4
log£ x
(단, 등호는 log£ x= logÆ 81 일 때 성립)
f(x)=2(x+2)¤ +1이고 f(x)의 최솟값은 f(-2)=1,
최댓값은 f(2)=33이다.
따라서 구하는 최솟값은 4 이다.
주어진 로그함수의 밑이 ;3!;이므로
f(-2)=1일 때, 최댓값은 log;3!; 1=0
`2)) log;3!; {x+;]@;}+log;3!; {;[!;+2y}
=log;3!; {x+;]@;}{;[!;+2y}
f(2)=33일 때, 최솟값은 log;3!; 33
=log;3!; {2xy+
1) 최댓값 : log™ 5, 최솟값 : 0
2) 최댓값 : 2 log£ 5, 최솟값 : 2
2xy>0,
3) 최댓값 : 0, 최솟값 : log;3!; 33
2
+5}
xy
2
>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의
xy
하여
2xy+
50
2
2
+5æ2Æ…2xy¥
+5=9
xy
xy
`1)) 1…x…8에서
{단, 등호는 2xy=
log™ 1 … log™ x … log™ 8
log™ x=t로 치환하면 0 …t… 3
∴ log;3!; {x+;]@;}+log;3!; {;[!;+2y}
이때, 주어진 함수는
y=t¤ -2t+4
∴ =log;3!; {2xy+
=(t- 1 )¤ + 3
∴ …log;3!; 9=-2
2
일 때 성립}
xy
2
+5}
xy
따라서 구하는 최댓값은 -2이다.
따라서 t= 3 , 즉 x= 8 일 때 최댓값은 7 ,
1) 4
2) -2
t= 1 , 즉 x= 2 일 때 최솟값은 3
53
`2)) ;4!;…x…2에서
log™ x+log™ y=log™ xy이고 밑이 2이므로 xy가 최대일 때
log;2!; ;4!;ælog;2!; xælog;2!; 2
log™ x+log™ y도 최대이다.
log;2!; x=t로 치환하면 -1…t…2
x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
이때, 주어진 함수는
y=-t¤ +2t+3
x+yæ2'∂xy
=-(t-1)¤ +4
'∂xy …2
따라서 t=1, 즉 x=
4æ2'∂xy
1
일 때 최댓값은 4,
2
t=-1, 즉 x=2일 때 최솟값은 0
1) 최댓값 : 7, 최솟값 : 3
∴ xy…4 (단, 등호는 x=y일 때 성립)
즉, xy의 최댓값은 4이므로
log™ x+log™ y=log™ xy…log™ 4=2
2) 최댓값 : 4, 최솟값 : 0
따라서 구하는 최댓값은 2이다.
2
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 13
I-3 지수방정식과 지수부등식
pp.25~34
`3)) {;4!;}≈ =[{;2!;}≈ ]¤ , {;2!;}≈ —⁄ =2¥{;2!;}≈ 이므로
54
{;2!;}≈ =t (t>0)로 놓으면 주어진 방정식은
`1)) 27≈ =243에서 3‹ ≈ =3fi 이므로
t¤ -10t+16=0
∴ x=;3%;
3x=5
(t-2)(t-8)=0
∴ t=2 또는 t=8
{;2!;}≈ =2 또는 {;2!;}≈ =8이므로 x=-1 또는 x=-3
`2)) 3≈ ±⁄ =;9!;에서 3≈ ±⁄ =3—¤ 이므로
1) x=0
2) x=1 또는 x=2
x=-1
또는 x=-3
3)
∴ x=-3
x+1=-2
`3)) {;4!;}≈ =2에서 2—¤ ≈ =2이므로
-2x=1
57
∴ x=-;2!;
x-1=;2#;
t+ ;t!; =2
∴ x=;2%;
1) x=;3%;
1
이므로 2≈ =t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은
2≈
`1)) 2—≈ =
;2#;
`4)) {;3!;}⁄ —≈ =3'3에서 3≈ —⁄ =3 이므로
2) x=-3
3) x=-;2!;
4) x=;2%;
t¤ -2t+ 1 =0 ⇨ (t- 1 )¤ =0
∴ t=1
2≈ =1이므로 x= 0
55
`2)) 3¤ —≈ =
`1)) 9≈ ±¤ =27¥3≈ ±⁄ 에서 3 2 ≈ ±› =3≈ ± 4 이므로
t+
∴ x= 0
2 x+4=x+ 4
∴ t=1 또는 t=9
3≈ =1 또는 3≈ =9이므로 x=0 또는 x=2
5≈ =5—≈ —¤ 이므로
∴ x=-1
`3)) 5—≈ =
`3)) 3x¤ -1={;3!;}⁄ —¤ ≈ 에서 3x¤ -1=32x-1이므로
'5
+1-'5=0
t
t¤ +(1-'5 )t-'5=0 ⇨ (t+1)(t-'5 )=0
∴ x=0 또는 x=2
x¤ -5x
x¤ -5x
{;2#;}
∴ t='5 (∵ t>0)
4x-6
={;3@;}
1
이므로 5≈ =t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은
5≈
t-
x¤ -1=2x-1 ⇨ x(x-2)=0
`4)) {;2#;}
9
=10
t
t¤ -10t+9=0 ⇨ (t-1)(t-9)=0
`2)) 5≈ =(0.2)≈ ±¤ 에서 5≈ ={;5!;}≈ ±¤
x=-x-2
9
이므로 3≈ =t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은
3≈
에서
5≈ ='5이므로 x=;2!;
-4x+6
={;2#;}
이므로
1) x=0
2) x=0 또는 x=2
3) x=;2!;
x¤ -5x=-4x+6 ⇨ x¤ -x-6=0 ⇨ (x-3)(x+2)=0
∴ x=3 또는 x=-2
1) x=0
3) x=0 또는 x=2
2) x=-1
4) x=3 또는 x=-2
58
`1)) 2≈ =X, 3¥ =Y`(X>0, Y>0)로 놓으면 주어진 방정식은
[
X+Y=17
2X-Y=7
두 식을 연립하여 풀면 X=8, Y=9
56
`1)) 22x=( 2≈ )¤ 이므로 2≈ =t`(t>0)로 놓으면 주어진 방정
식은
2≈ =8=2‹ , 3¥ =9=3¤ 이므로 x=3, y=2
`2)) 5≈ =X, 2¥ =Y`(X>0, Y>0)로 놓으면 주어진 방정식은
X-4Y=9
2X+Y=54
t¤ + 3 t- 4 =0 ⇨ (t+ 4 )(t- 1 )=0
[
∴ t= 1 (∵ t>0)
두 식을 연립하여 풀면 X=25, Y=4
5≈ =25=5¤ , 2¥ =4=2¤ 이므로 x=2, y=2
2≈ = 1 이므로 x= 0
`3)) 2≈ =X, 5¥ =Y`(X>0, Y>0)로 놓으면 주어진 방정식은
`2)) 9≈ =(3≈ )¤ 이므로 3≈ =t (t>0)로 놓으면 주어진 방정식은
X-5Y=-1
4X+Y=17
t¤ -12t+27=0 ⇨ (t-3)(t-9)=0
[
∴ t=3 또는 t=9
두 식을 연립하여 풀면 X=4, Y=1
3≈ =3 또는 3≈ =9이므로
2≈ =4=2¤ , 3¥ =1=3‚ 이므로 x=2, y=0
x=1 또는 x=2
14 정답과 해설
1) x=3, y=2
2) x=2, y=2
3) x=2, y=0
59
62
2≈ =X, 3¥ =Y`(X>0, Y>0)로 놓으면 주어진 방정식은
`1)) x4x-1=xx+8에서 밑이 같으므로
X+Y=5
8X-2Y=10 ⇨ 4X-Y=5
⁄ 지수 가 같을 때, 4x-1=x+8
두 식을 연립하여 풀면
X=2, Y=3
¤ 밑이 1 일 때,
[
∴ x= 3
즉, x= 1 일 때 주어진 방정식은 성립한다.
2≈ =2=2⁄ , 3¥ =3=3⁄ 이므로
∴ x= 1 또는 x= 3
x=a=1, y=b=1
∴ a+b=2
2
`2)) x2x=xx+5에서 밑이 같으므로
⁄ 지수가 같을 때,
∴ x=5
2x=x+5
¤ 밑이 1일 때,
즉, x=1일 때 주어진 방정식은 성립한다.
60
∴ x=1 또는 x=5
`1)) 3≈ =X, 3¥ =Y`(X>0, Y>0)로 놓으면 주어진 방정식은
`3)) (x+2)x¤ =(x+2)3x에서 밑이 같으므로
X+Y=12
XY=27
⁄ 지수가 같을 때,
두 식을 연립하여 풀면
X(12-X)=27
¤ 밑이 1일 때,
X¤ -12X+27=0
∴ x=-1 또는 x=0 또는 x=3
[
x¤ =3x ⇨ x(x-3)=0
∴ x=0 또는 x=3
즉, x=-1일 때 주어진 방정식은 성립한다.
1) x=1 또는 x=3
2) x=1 또는 x=5
3) x=-1 또는 x=0 또는 x=3
(X-3)(X-9)=0
∴ X=3 또는 X=9 ⇨ X=3, Y=9 또는 X=9, Y=3
3≈ =3,``3¥ =9 또는 3≈ =9, 3¥ =3이므로
x=1, y=2 또는 x=2, y=1
`2)) 2≈ =X, 2¥ =Y`(X>0, Y>0)로 놓으면 주어진 방정식은
( X-Y=14
{ XY
11=8 ⇨ XY=32
9 4
63
`1)) (x+1)≈ =4≈ 에서 지수가 같으므로
⁄ 밑이 같을 때,
∴ x=3
x+1=4
두 식을 연립하여 풀면
X(X-14)=32
¤ 지수가 0일 때,
X¤ -14X-32=0
∴ x=0 또는 x=3
즉, x=0일 때 주어진 방정식은 성립한다.
`2)) x3x-1=53x-1에서 지수가 같으므로
(X-16)(X+2)=0
⁄ 밑이 같을 때, x=5
∴ X=16 (∵ X>0) ⇨ X=16, Y=2
¤ 지수가 0일 때,
2≈ =16, 2¥ =2이므로 x=4, y=1
1) x=1, y=2 또는 x=2, y=1
2) x=4, y=1
즉, x=
1
일 때 주어진 방정식은 성립한다.
3
∴ x=;3!; 또는 x=5
`3)) (x-1)x-3=4x-3에서 지수가 같으므로
61
⁄ 밑이 같을 때,
2≈ =X, 2¥ =Y`(X>0, Y>0)로 놓으면 주어진 방정식은
x-1=4
( X-Y=8
{ XY
11=X+2Y ⇨ XY=4X+8Y
9 4
∴ x=5
¤ 지수가 0일 때,
즉, x=3일 때 주어진 방정식은 성립한다.
∴ x=3 또는 x=5
두 식을 연립하여 풀면
X(X-8)=4X+8(X-8)
1) x=0 또는 x=3
X¤ -20X+64=0
1
2) x= 3 또는 x=5
3) x=3 또는 x=5
(X-4)(X-16)=0
∴ X=4 또는 X=16
⇨ X=4, Y=-4 또는 X=16, Y=8
64
그런데 X>0, Y>0이므로 X=16, Y=8
`1)) 4≈ >2x+1에서 22x>2x+1
2≈ =16,` 2¥ =8이므로 x=4, y=3
∴ a=4, b=3 ⇨ a¤ +b¤ =25
밑이 1보다 크므로
25
2x>x+1
∴ x>1
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 15
`2)) 9≈ >{
1 3-x
} 에서 32x>3x-3
3
`2)) {;4!;}≈ -{;2!;}≈ —⁄ …{;2!;}≈ -2에서
밑이 1보다 크므로
`3)) {
[{;2!;}≈ ]¤ -2{;2!;}≈ …{;2!;}≈ -2 ⇨ [{;2!;}≈ ]¤ -3{;2!;}≈ +2…0
∴ x>-3
2x>x-3
1 x+1
1 -2x
} 에서
} <{
4
'2
{;2!;}≈ =t`(t>0)로 치환하면
2-2x-2<2≈
t¤ -3t+2…0
밑이 1보다 크므로
(t-2)(t-1)…0
∴ 1…t…2
∴ x>-;3@;
-2x-2<x
즉, {;2!;}‚ …{;2!;}≈ …{;2!;}—⁄ 이고 밑이 1보다 작으므로
`4)) 0.3x+1<0.027-x+2에서 0.027=0.3‹ 이므로
0.3x+1<0.3-3x+6
-1…x…0
밑이 1보다 작으므로
x+1>-3x+6 ⇨ 4x>5
`3)) 2¥9≈ +3x+1-27>0에서
2¥(3≈ )¤ +3¥3≈ -27>0
∴ x>;4%;
3≈ =t`(t>0)로 치환하면
`5)) 64≈ æ(0.25)4-x¤ 에서 0.25=;4!;=4—⁄ 이므로
2t¤ +3t-27>0
43x æ4x¤ -4
(2t+9)(t-3)>0
밑이 1보다 작으므로
∴ t<-;2(; 또는 t>3
3xæx¤ -4 ⇨ x¤ -3x-4…0 ⇨ (x+1)(x-4)…0
그런데 t>0이므로 t>3
∴ -1…x…4
즉, 3≈ >3이고 밑이 1보다 크므로 x>1
`6)) (5≈ -5)(5≈ -125)<0에서 5<5≈ <125
`4)) 72x+1-50¥7≈ +7…0에서
즉, 5<5≈ <5‹ 에서
7¥(7≈ )¤ -50¥7≈ +7…0
밑이 1보다 크므로 1<x<3
7≈ =t`(t>0)로 치환하면
1) x>1
2) x>-3
3) x>-;3@;
4) x>;4%;
5) -1…x…4
6) 1<x<3
7t¤ -50t+7…0
(7t-1)(t-7)…0
∴ ;7!;…t…7
65
-x¤ -2x
{;9$;}
즉, 7—⁄ …7≈ …7⁄ 이고 밑이 1보다 크므로
x+2
에서
<{;2#;}
-2x¤ -4x
-1…x…1
1) x>1
-x-2
<{;3@;}
{;3@;}
2) -1…x…0
3) x>1
4) -1…x…1
밑이 1보다 작으므로
-2x¤ -4x>-x-2
2x¤ +3x-2<0
67
(2x-1)(x+2)<0
`1)) 1<3≈ <3› 에서 3‚ <3≈ <3›
∴ -2<x<;2!;
밑이 1보다 크므로 0<x<4
따라서 정수 x는 -1, 0이므로 구하는 정수 x의 개수는 2이다.
2
66
`1))
`2)) ;8!;<2≈ <16에서 2—‹ <2≈ <2›
밑이 1보다 크므로 -3<x<4
5 2x-4¥5≈ -5>0에서
`3)) ;8¡1;<{;3!;}≈ <243에서
( 5≈ )¤ -4¥ 5≈ -5>0
{;3!;}› <{;3!;}≈ <{;3!;}—fi
5≈ =t`(t>0)로 치환하면
밑이 1보다 작으므로 -5<x<4
t¤ - 4 t-5>0
(t- 5 )(t+1)>0
∴ t<-1 또는 t> 5
그런데 t>0이므로 t> 5
`4)) 3x+2…3x¤ …27¥32x에서
3x+2…3x¤ …32x+3
밑이 1보다 크므로
x+2…x¤ …2x+3
⁄ x+2…x¤ 에서 x¤ -x-2æ0 ⇨ (x+1)(x-2)æ0
∴ x…-1 또는 xæ2
즉, 5≈ >5이고 밑이 1보다 크므로
¤ x¤ …2x+3에서 x¤ -2x-3…0 ⇨ (x+1)(x-3)…0
x> 1
따라서 ⁄, ¤에서 x=-1 또는 2…x…3
∴ -1…x…3
16 정답과 해설
`2)) x3x-1<xx+3에서
x¤ +1
`5)) 4x-;2!;<{;2!;}
<4¥22x에서
⁄ x>1일 때,
22x-1<2-x¤ -1<22x+2
3x-1<x+3에서 x<2
밑이 1보다 크므로
∴ 1<x<2
¤ 0<x<1일 때,
2x-1<-x¤ -1<2x+2
3x-1>x+3에서 x>2
⁄ 2x-1<-x¤ -1에서 x¤ +2x<0 ⇨ x(x+2)<0
그런데 0<x<1이므로 해는 없다.
∴ -2 <x<0
‹ x=1일 때,
¤ -x¤ -1<2x+2에서 x¤ +2x+3>0
1¤ =1› 이므로 주어진 부등식은 성립하지 않는다.
그런데 x¤ +2x+3=(x+1)¤ +2>0이므로 이 부등식
은 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
`3)) xx¤ -1…x3x+9에서
따라서 ⁄, ¤에서 -2<x<0
1) 0<x<4
3) -5<x<4
⁄, ¤, ‹에 의해 1<x<2
⁄ x>1일 때,
2) -3<x<4
4) x=-1 또는 2…x…3
x¤ -1…3x+9 ⇨ x¤ -3x-10…0
(x-5)(x+2)…0
5) -2<x<0
∴ -2…x…5
그런데 x>1이므로 1<x…5
¤ 0<x<1일 때,
68
x¤ -1æ3x+9 ⇨ x¤ -3x-10æ0
⁄ 32x-1æ81x에서 32x-1æ34x
(x-5)(x+2)æ0
밑이 1보다 크므로
∴ x…-2 또는 xæ5
그런데 0<x<1이므로 해는 없다.
∴ x…-;2!;
2x-1æ4x
‹ x=1일 때,
¤ {;4!;}≈ -9¥{;2!;}≈ +8…0에서
1‚ =1⁄ ¤ =1이므로 주어진 부등식은 성립한다.
⁄, ¤, ‹에 의해 1…x…5
{;2!;}≈ =t`(t>0)로 치환하면
`4)) xx(x+1)>x-3(x+1)에서
⁄ x>1일 때,
t¤ -9t+8…0
x(x+1)>-3(x+1) ⇨ x¤ +4x+3>0
(t-1)(t-8)…0
∴ 1…t…8
(x+1)(x+3)>0
즉, {;2!;}‚ …{;2!;}≈ …{;2!;}—‹ 에서 밑이 1보다 작으므로
∴ x<-3 또는 x>-1
그런데 x>1이므로 x>1
-3…x…0
¤ 0<x<1일 때,
⁄, ¤를 모두 만족하는 x의 범위를 구하면
x(x+1)<-3(x+1) ⇨ x¤ +4x+3<0
(x+1)(x+3)<0
-3…x…-;2!;
∴ a=-3, b=-;2!; ⇨ a+2b=-4
∴ -3<x<-1
-4
그런데 0<x<1이므로 해는 없다.
‹ x=1일 때,
1¤ =1—fl 이므로 주어진 부등식은 성립하지 않는다.
69
⁄, ¤, ‹에 의해 x>1
x-2
`1)) x
1) 0<x…1 또는 xæ3
3) 1…x…5
-2x+7
æx
에서
⁄ x> 1 일 때,
x-2æ-2x+7에서 xæ 3
∴ xæ 3
¤ 0<x< 1 일 때,
2) 1<x<2
4) x>1
70
4≈ -2≈ ±‹ +1=0에서 ( 2≈ )¤ -8¥2≈ +1=0
2≈ =t`(t>0)로 치환하면 t¤ -8t+1=0 y ㉠
x-2 … -2x+7에서 x … 3
방정식 4≈ -2≈ ±‹ +1=0의 두 근이 a, b이므로 방정식 ㉠의 두
∴ 0<x< 1
근은 2a , 2b 이다.
‹ x= 1 일 때,
㉠에서 근과 계수의 관계에 의하여
1—⁄ =1fi =1이므로 부등식은 성립한다.
2a¥2b= 1 , 2a+2b= 8
∴ x= 1
∴ 22a+22b=( 2a+2b )¤ -2¥2a¥2b
⁄, ¤, ‹에 의해 0<x… 1 또는 xæ 3
= 8 ¤ -2¥ 1 = 62
62
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 17
71
76
9≈ -3≈ ±⁄ +k=0에서
x시간 경과 후 A박테리아의 수 : 2_2≈ 마리
(3≈ )¤ -3¥3≈ +k=0 y ㉠
x시간 경과 후 B박테리아의 수 : 1_8≈ 마리
3≈ =t`(t>0)로 치환하면
두 배양기의 박테리아의 수의 합이 72마리 이상이므로
t¤ -3t+k=0 y ㉡
2¥2≈ +8≈ æ72
㉠이 서로 다른 두 실근을 갖는다면 ㉡은 서로 다른 두 양의 실
근을 가져야 하므로
이때, 2≈ =t``(t>0)로 놓으면
⁄ t¤ -3t+k=0의 판별식을 D라 할 때
t‹ +2t-72æ0
1
1
0
2
-72
4
16
-72
4
18
-70
(t-4)(t¤ +4t+18)æ0이고
∴ k<;4(;
D=(-3)¤ -4¥k>0
4
2t+t‹ æ72
t¤ +4t+18=(t+2)¤ +14>0이므로
¤ (두 근의 곱)=k>0
t-4æ0 ⇨ tæ4
‹ (두 근의 합)=3>0
즉, 2≈ æ2¤ 이므로 xæ2
⁄, ¤, ‹에 의해 0<k<;4(;
0<k<;4(;
따라서 최소 2시간이 경과한 것이다.
2
72
77
9≈ -12¥3≈ +27<0
n년 후 810만 원의 투자 금액의 이익금이 2250만 원 이상이 된
(3≈ )¤ -12¥3≈ +27<0
다고 하면
(3≈ -3)(3≈ -9)<0
;4N;
810_{;3%;} æ2250
3<3≈ <9 ⇨ 3⁄ <3≈ <3¤
∴ 1<x<2
;4N;
{;3%;} æ;;™9;∞ ;={;3%;}¤
즉, a=1, b=2이므로
a+b=3
3
73
n
æ2
4
∴ næ8
따라서 최소 8년 후이다.
8
16≈ -15¥4≈ -16æ0
(4≈ )¤ -15¥4≈ -16æ0
(4≈ +1)(4≈ -16)æ0
4≈ æ0이므로
4≈ -16æ0 ⇨ 4≈ æ4¤
∴ xæ2
따라서 지수부등식을 만족하는 해 중 가장 작은 정수는 2이다.
2
I-4 로그방정식과 로그부등식
pp.35~45
78
74
`1)) 진수의 조건에서 x>0 y ㉠
7n일 후의 방사성 물질의 양은 처음의 {;2!;}« 이므로
1
= {;2!;}‡
128
log∞ x=;2!;에서 x= 5
∴ n= 7
;2!;
= '5
x= '5 는 ㉠을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.
따라서 방사성 물질의 양이 처음의
1
로 줄어드는 데 걸리는
128
시간은 7_ 7 = 49 (일)이다.
49
`2)) 밑의 조건에서 x>0, x+1 y ㉠
logÆ 64=2에서 x¤ =64
∴ x=-8 또는 x=8
㉠에 의하여 x=8
75
`3)) 진수의 조건에서 2x-1>0
20마리의 박테리아가 3시간 후에 1280마리가 되므로
∴ x>;2!; y ㉠
20_a‹ =1280
a‹ =
log (2x-1)=1에서 2x-1=10
1280
=64=4‹
20
x=;;¡2¡;;은 ㉠을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.
∴ a=4
50마리의 박테리아가 x시간 후 51200마리가 되었다면
`4)) 진수의 조건에서 x+3>0
50_4≈ =51200
∴ x>-3 y ㉠
51200
4≈ =
=1024=4fi
50
log'2 (x+3)=4에서 x+3=('2 )› =4
18 정답과 해설
∴ x=1
x=1은 ㉠을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.
∴ x=5
따라서 51200마리가 되는 것은 5시간 후이다.
∴ x=;;¡2;¡ ;
5
1) x='5
2) x=8
11
3) x= 2
4) x=1
79
`3)) 진수의 조건에서 x-1>0이고 x+5>0
∴ x>1 y ㉠
`1)) 진수의 조건에서 x+6>0이고 `8-x>0
∴ -6<x<8 y ㉠
log;2!; (x-1)=;2!; log;2!; (x+5)에서
log£ (x+6)=log£ (8-x)에서
2 log;2!; (x-1)=log;2!; (x+5)
∴ x=1
x+6=8-x
(x-1)¤ =x+5
x=1은 ㉠을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.
x¤ -3x-4=0
`2)) 진수의 조건에서 x+4>0이고 `6-x>0
㉠에 의하여 x=4
log;2!; (x+4)=log;2!; (6-x)에서
`4)) 진수의 조건에서 x+1>0이고 x+4>0
∴ x=1
x+4=6-x
∴ x>-1 y ㉠
x=1은 ㉠을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.
2 log™ (x+1)=log™ (x+4)+2에서
`3)) 진수의 조건에서 3x-1>0이고 18x-15>0
log™ (x+1)¤ =log™ (x+4)+log™ 4
∴ x>;6%; y ㉠
(x+1)¤ =4(x+4)
2 log∞ (3x-1)=log∞ (18x-15)에서
x¤ -2x-15=0
(3x-1)¤ =18x-15
(x-5)(x+3)=0
9x¤ -24x+16=0
㉠에 의하여 x=5
∴ x=-3 또는 x=5
1) x=9
∴ x=;3$;
(3x-4)¤ =0
∴ x=-1 또는 x=4
(x+1)(x-4)=0
∴ -4<x<6 y ㉠
x=;3$; 는 ㉠을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.
2) x=0
4) x=5
81
`1)) 진수의 조건에서 x+4>0이고 8-x>0 이므로
`4)) 진수의 조건에서 x+3>0이고 x-3>0
∴ x>3 y ㉠
-4 <x< 8
log (x+3)=2 log (x-3)에서
log;3!; (x+4)=-log£ (8-x)에서
x+3=(x-3)¤
y㉠
x¤ -7x+6=0
- log£ (x+4)=-log£ (8-x)
(x-1)(x-6)=0
x+4=8-x
∴ x=1 또는 x=6
∴ x= 2
㉠에 의하여 x=6
1) x=1
3) x=4
2) x=1
4
3) x= 3
㉠에 의하여 x= 2
4) x=6
`2)) 진수의 조건에서 x+2>0이고 x+1>0이므로
x>-1 y ㉠
log'2 (x+2)=log™ (x+1)+2에서
2 log™ (x+2)=log™ (x+1)+log™ 4
80
(x+2)¤ =4(x+1)
`1)) 진수의 조건에서 2x+3>0이고 x-2>0
∴ x> 2
x¤ =0
y㉠
∴ x=0
㉠에 의하여 x=0
1) x=2
2) x=0
log∞ (2x+3)=log∞ 3+log∞ (x-2)에서
log∞ (2x+3)=log∞ 3(x-2)
82
2x+3= 3x-6
밑의 조건에서
x¤ -1>0, x¤ -1+1, x+11>0, x+11+1 y ㉠
∴ x= 9
x¤ -1=x+11이므로
㉠에 의하여 x= 9
`2)) 진수의 조건에서 x+3>0이고 x+1>0
x¤ -x-12=0
(x+3)(x-4)=0
∴ x=-3 또는 x=4
㉠에 의하여 x=-3 또는 x=4
x=-3 또는 x=4
∴ x>-1 y ㉠
log£ (x+3)+log£ (x+1)=1에서
83
log£ (x+3)(x+1)=log£ 3
`1)) (log™ x)¤ +log™ x-2=0에서
(x+3)(x+1)=3
log™ x=t로 치환하면
x¤ +4x=0
t¤ +t-2=0 ⇨ (t-1)(t+2)=0
x(x+4)=0
즉, log™ x=1 또는 log™ x=-2
∴ x=0 또는 x=-4
㉠에 의하여 x=0
∴ t=1 또는 t=-2
∴ x=2 또는 x=;4!;
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 19
`2)) (log£ x)¤ +2 log£ x-15=0에서
`3)) log£ x-
log£ x=t로 치환하면
2
=1에서
log£ x
t¤ +2t-15=0
log£ x=t로 치환하면
(t+5)(t-3)=0
t-;t@;-1=0
∴ t=-5 또는 t=3
t¤ -t-2=0
즉, log£ x=-5 또는 log£ x=3
(t+1)(t-2)=0
∴ x=;24!3; 또는 x=27
∴ t=-1 또는 t=2
즉, log£ x=-1 또는 log£ x=2
`3)) (1+log™ x)¤ -6 log™ x+2=0에서
∴ x=;3!; 또는 x=9
log™ x=t로 치환하면
(1+t)¤ -6t+2=0
`4)) (1+log x)(2+log x)=12에서
t¤ -4t+3=0
log x=t로 치환하면
(t-1)(t-3)=0
(1+t)(2+t)=12
∴ t=1 또는 t=3
t¤ +3t-10=0
즉, log™ x=1 또는 log™ x=3
(t+5)(t-2)=0
∴ x=2 또는 x=8
∴ t=-5 또는 t=2
`4)) (log£ 9x)¤ -3 log£ x-6=0
즉, log x=-5 또는 log x=2
(2+log£ x)¤ -3 log£ x-6=0
log£ x=t로 치환하면
∴ x=;100¡000; 또는 x=100
(2+t)¤ -3t-6=0
1) x=2 또는 x=16
2) x=;6¡4; 또는 x=8
3) x=;3!; 또는 x=9
4) x=;100¡000; 또는 x=100
t¤ +t-2=0
(t+2)(t-1)=0
∴ t=-2 또는 t=1
즉, log£ x=-2 또는 log£ x=1
∴ x=;9!; 또는 x=3
1) x=2 또는 x=;4!;
3) x=2 또는 x=8
85
2) x=;24!3; 또는 x=27
4) x=;9!; 또는 x=3
log£ x=X, log™ y=Y로 치환하면
[
X+Y=4
XY=3
두 식을 연립하면
X¤ -4X+3=0
(X-1)(X-3)=0
X=1 또는 X=3
∴ X=1, Y=3 또는 X=3, Y=1
84
`1)) log™ x+
4
=5에서
log™ x
즉, log£ x=1, log™ y=3 또는 log£ x=3, log™ y=1
∴ x=3, y=8 또는 x=27, y=2
log™ x=t로 치환하면
a<b이므로
t+;t$;-5=0
a=3, b=8
∴ a+b=11
11
양변에 t를 곱하면
t¤ -5t+4=0
(t-1)(t-4)=0
∴ t=1 또는 t=4
즉, log™ x=1 또는 log™ x=4
∴ x=2 또는 x=16
`2)) (2+log™ x)(1+log™ x)=20에서
86
log™ x=X, log£ y=Y로 치환하면
[
X+Y=5
XY=6
(2+t)(1+t)=20
두 식을 연립하여 풀면
X=2, Y=3 또는 X=3, Y=2
t¤ +3t-18=0
⁄ log™ x=2, `log£ y=3일 때,
log™ x=t로 치환하면
(t+6)(t-3)=0
∴ t=-6 또는 t=3
즉, log™ x=-6 또는 log™ x=3
x=4, y=27
¤ log™ x=3, log£ y=2일 때,
x=8, `y=9
ab<100이므로 a=8, b=9
∴ x=;6¡4; 또는 x=8
20 정답과 해설
∴ a+b=17
17
87
[
`2)) xlog£ x=;9!;x‹ 의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
4 logÆ 2+logÚ 2=1
에서
2 logÆ 2-2 logÚ 2=3
log£ xlog£ x=log£ ;9!;x‹
logÆ 2=X, logÚ 2=Y로 치환하면
log£ x¥log£ x=log£ 3—¤ +3 log£ x
4X+Y=1
[
2X-2Y=3
log£ x=t로 치환하면
두 식을 연립하여 풀면 X=;2!;, Y=-1
(t-1)(t-2)=0
즉, logÆ 2=;2!;, logÚ 2=-1
즉, log£ x=1 또는 log£ x=2
x;2!;=2, y—⁄ =2
∴ x=3 또는 x=9
t¤ -3t+2=0
∴ t=1 또는 t=2
`3)) xlog∞ x=
∴ x=a=4, y=b=;2!;
∴ a+2b=5
625
의 양변에 밑이 5인 로그를 취하면
x‹
88
625
x‹
log∞ x¥log∞ x=log∞ 5› -3 log∞ x
`1)) 방̀정식 (log™ x)¤ -4 log™ x-3=0 y ㉠에서
log∞ x=t로 치환하면
5
log∞ xlog∞ x=log∞
t¤ +3t-4=0
log™ x =t로 치환하면
(t-1)(t+4)=0
t¤ -4t-3=0 y ㉡
∴ t=1 또는 t=-4
㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 log™ a , log™ b
즉, log∞ x=1 또는 log∞ x=-4
㉡의 근과 계수의 관계에서
∴ x=5 또는 x=;62!5;
log™ a+log™ b= 4
log™ ab= 4
1) x=32 또는 x=;2!;
∴ ab= 16
2) x=3 또는 x=9
`2)) 방정식 (1+log£ x)¤ -6 log£ x=0 y ㉠에서
3) x=5 또는 x=;62!5;
log£ x=t로 치환하면 t¤ -4t+1=0 y ㉡
㉠의 두 근이 a, b이므로 ㉡의 두 근은 log£ a, log£ b
㉡의 근과 계수의 관계에서
log£ a+log£ b=log£ ab=4
∴ ab=81
91
1) 16
2) 81
`1)) 2log 2x=5log 5x의 양변에 상용로그를 취하면
89
log 2x ¥log 2= log 5x ¥log 5
방̀정식 (log™ x)¤ +k log™ x-3=0의 두 근을 a, b라고 하면
(log 2+log x)log 2=(log 5+log x) log 5
ab=64
( log 2 -log 5)log x=( log 5 )¤ -(log 2)¤
log™ x=t로 치환하면 t¤ +kt-3=0 y ㉠
㉠의 두 근은 log™ a, log™ b이고 근과 계수의 관계에서
log x=
log™ a+log™ b=-k
log x=-( log 2 +log 5)
log™ ab=log™ 64=-k
∴ k=-6
90
-(log 2-log 5)(log 2+log 5)
log 2-log 5
-6
log x= log 10—⁄
∴ x= ;1¡0;
`1)) xlog™ x=32x› 의 양변에 밑이 2 인 로그를 취하면
log 2 xlog™ x=log 2 32x›
log™ x†¥log 2 x=log™ 2fi +4 log 2 x
log™ x =t로 치환하면
`2)) 3log 9x=2log 4x의 양변에 상용로그를 취하면
log 9x¥log 3=log 4x¥log 2
(log 9+log x)log 3=(log 4+log x)log 2
(log 3-log 2)log x=2(log 2)¤ -2(log 3)¤
t¤ -4t-5=0
(t- 5 )(t+ 1 )=0
∴ t= 5 또는 t= -1
즉, log™ x= 5 또는 log™ x= -1
∴ x= 32 또는 x= ;2!;
log x=
-2(log 3-log 2)(log 3+log 2)
log 2-log 3
log x=-2(log 2+log 3)
=log 6—¤
∴ x=;3¡6;
1) x=;1¡0;
2) x=;3¡6;
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 21
92
`2)) 진수의 조건에서
log 3
(3x)
log 5
의 양변에 상용로그를 취하면
=(5x)
x¤ +8x-9=(x-1)(x+9)>0이고
log 3¥log 3x=log 5¥log 5x
x+3>0이므로
(log 3+log x)log 3- (log 5+log x)log 5=0
x>1 y ㉠
양변의 밑을 0.5로 고치면
(log 3-log 5)log x=(log 5)¤ -(log 3)¤
log x=
log0.5¤ (x¤ +8x-9)>log0.5 (x+3)
-(log 3-log 5)(log 3+log 5)
log 3-log 5
;2!; log0.5 (x¤ +8x-9)>log0.5 (x+3)
log x=-log 15=log 15—⁄
log0.5 (x¤ +8x-9)>2 log0.5 (x+3)
∴ x=;1¡5;
x=;1¡5;
log0.5 (x¤ +8x-9)>log0.5 (x+3)¤
밑이 1보다 작으므로
x¤ +8x-9<x¤ +6x+9
93
2x<18
∴ x<9 y ㉡
`1)) 진수의 조건에서 2x+1 >0이므로 x> -;2!; y ㉠
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
1<x<9
log™ (2x+1)<log™ 5에서 밑이 1보다 크므로
1) x>-;3$;
∴x < 2 y ㉡
2x+1 < 5
2) 1<x<9
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -;2!; <x< 2
`2)) 진수의 조건에서 3x-2>0이고 6-x>0이므로
;3@;<x<6 y ㉠
95
log (3x-2)>log (6-x)에서 밑이 1보다 크므로
`1)) 진수의 조건에서
∴ x>2 y ㉡
3x-2>6-x
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
x-1>0이고 3-x >0이므로
2<x<6
1 <x< 3
`3)) 진수의 조건에서 x+6>0이고 2x+1>0이므로
y㉠
log£ (x-1)-log£ (3-x)-1>0에서
x>-;2!; y ㉠
log£ (x-1)>log£ (3-x)+1
log;3!; (x+6)>log;3!; (2x+1)에서 밑이 1보다 작으므로
log£ (x-1)>log£ 3(3-x)
x+6<2x+1
밑이 1보다 작으므로
∴ x>5 y ㉡
x-1 > 9-3x
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
∴ x > ;2%; y ㉡
x>5
1) -;2!;<x<2
2) 2<x<6
3) x>5
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
;2%; <x< 3
`2)) 진수의 조건에서
94
`1)) 진수의 조건에서 x+3>0이고 x¤ +1>0이므로
x+1>0이고 x+5>0이므로
x>-3 y ㉠
x>-1 y ㉠
양변의 밑을 2로 고치면
log;2!; (x+1)+log;2!; (x+5)>log;2!; 12에서
log™ (x+3)>log2¤ (x¤ +1)
log;2!; (x+1)(x+5)>log;2!; 12
log™ (x+3)>;2!; log™ (x¤ +1)
log;2!; (x¤ +6x+5)>log;2!; 12
2 log™ (x+3)>log™ (x¤ +1)
밑이 1보다 작으므로
log™ (x+3)¤ >log™ (x¤ +1)
x¤ +6x+5<12
밑이 1보다 크므로
x¤ +6x-7<0
(x+3)¤ >x¤ +1
(x+7)(x-1)<0
x¤ +6x+9 >x¤ +1
6x>-8
∴ x>-;3$; y ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>-;3$;
22 정답과 해설
∴ -7<x<1 y ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
-1<x<1
1) ;2%;<x<3
2) -1<x<1
96
99
진수의 조건에서 2-x>0이고 x+3>0이므로
`1)) 진수의 조건에서 x>0 y ㉠
-3<x<2 y ㉠
log£ (2-x)<log£ (x+3)+1에서
log™ x =t로 치환하면 주어진 부등식은
log£ (2-x)<log£ 3(x+3)
t¤ +2t-3æ0 ⇨ (t+ 3 )(t- 1 )æ0
밑이 1보다 크므로
2-x<3x+9
∴ t…-3 또는 tæ1
∴ x>-;4&; y ㉡
즉, log™ x…-3 또는 log™ xæ1이므로
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
log™ x …log™ 2—‹ 또는 log™ x ælog™ 2
-;4&;<x<2
밑이 1보다 크므로
∴ a=-;4&;, b=2 ⇨ a+b=;4!;
;4!;
x… ;8!; 또는 xæ 2
y㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
0<x… ;8!; 또는 xæ 2
97
`2)) 진수의 조건에서 x>0 y ㉠
진수의 조건에서 x>0
log£ x=t로 치환하면 주어진 부등식은
(log™ 16x){log™ ;8{;}…20에서
t¤ -t-2<0 ⇨ (t+1)(t-2)<0
∴ -1<t<2
(log™ 16 +log™ x)(log™ x - log™ 8)…0
즉, log£ 3—⁄ <log£ x<log£ 3¤
(log™ 2 4 +log™ x)(log™ x - log™ 2‹ )…0
밑이 1보다 크므로 ;3!;<x<9 y ㉡
(log™ x+ 4 )(log™ x - 3)…0
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;3!;<x<9
-4 …log™ x… 3
`3)) 진수의 조건에서 x>0 y ㉠
log™ 2 -4 …log™ x…log™ 2 3
log0.5 x=t로 치환하면 주어진 부등식은
t¤ +3t+2>0 ⇨ (t+2)(t+1)>0
밑이 1보다 크므로 ;1¡6; …x… 8
∴ t<-2 또는 t>-1
따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x는 1, 2, `y,` 8 로
즉, log0.5 x<-2 또는 log0.5 x>-1
8 개이다.
log0.5 x<log0.5 0.5—¤ 또는 log0.5 x>log0.5 0.5—⁄
8
밑이 1보다 작으므로
x>0.5—¤ 또는 x<0.5—⁄
즉, x>4 또는 x<2 y ㉡
98
x¤ -1
⁄`{;3!;}
-x¤ +1
3
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<x<2 또는 x>4
>81≈ ±⁄ 에서
1) 0<x…;8!; 또는 xæ2
4x+4
>3
2) ;3!;<x<9
3) 0<x<2 또는 x>4
밑이 1보다 크므로
-x¤ +1>4x+4
x¤ +4x+3<0
100
(x+3)(x+1)<0
`1)) 진수의 조건에서 x>0 y ㉠
∴ -3<x<-1 y ㉠
(log£ 27x) {log£ ;3{;}<5에서
¤`진수의 조건에서 x+2>0이고 x+3>0이므로
x>-2 y ㉡
(3+log£ x)(-1+log£ x)<5
log™ (x+2)<log™ (x+3)-1에서
(log£ x)¤ +2 log£ x-8<0
log™ (x+2)+log™ 2<log™ (x+3)
log£ x=t로 치환하면
log™ 2(x+2)<log™ (x+3)
t¤ +2t-8<0
밑이 1보다 크므로
(t+4)(t-2)<0
2(x+2)<x+3
∴ -4<t<2
∴ x<-1 y ㉢
즉, log£ ;8¡1;<log£ x<log£ 9
㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면
-2<x<-1 y ㉣
밑이 1보다 크므로 ;8¡1;<x<9 y ㉡
따라서 ㉠, ㉣의 공통 범위를 구하면 -2<x<-1
m=-2, n=-1이므로 m+n=-3
-3
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;8¡1;<x<9
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 23
`2)) 진수의 조건에서 x>0 y ㉠
`2)) 진수의 조건에서 x>0 y ㉠
x¤
의 양변에 밑이 ;3!;인 로그를 취하면
27
{log;2!; x}{log™ ;4{;}<0에서
xlog x>
-log™ x(-2+log™ x)<0
log;3!; xlog x<log;3!;
;3!;
;3!;
log™ x(log™ x-2)>0
log™ x=t로 치환하면
x¤
27
{log;3!; x}¤ <2 log;3!; x+log;3!; {;3!;}‹
t(t-2)>0
∴ t<0 또는 t>2
log;3!; x=t로 치환하면
즉, log™ x<log™ 1 또는 log™ x>log™ 4
t¤ -2t-3<0
밑이 1보다 크므로
(t-3)(t+1)<0
x<1 또는 x>4 y ㉡
즉, log;3!; {;3!;}—⁄ <log;3!; x<log;3!; {;3!;}‹
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
0<x<1 또는 x>4
∴ -1<t<3
밑이 1보다 작으므로 ;2¡7;<x<3 y ㉡
1) ;8¡1;<x<9
2) 0<x<1 또는 x>4
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;2¡7;<x<3
1) 0<x<;2!; 또는 x>4
2) ;2¡7;<x<3
103
`1)) 진수의 조건에서 log™ x >0, x>0이므로
y㉠
101
x> 1
;9!;<x<27의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
log£ (log™ x)…1에서
log£ (log™ x)…log£ 3
log£ ;9!;<log£ x<log£ 27
밑이 1 보다 크므로
∴ -2<log£ x<3
log£ x=t로 치환하면 주어진 부등식은 t¤ +at+b<0이고, 부
log™ x… 3
등식의 해가 -2<t<3이므로
log™ x…log™ 2‹
(t+2)(t-3)<0
밑이 1보다 크므로 x… 8
t¤ -t-6<0
∴ a=-1, b=-6
a=-1, b=-6
y㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1 <x… 8
`2)) 진수의 조건에서 log£ x>0, x>0이므로
x>1 y ㉠
log0.5 (log£ x)>-2에서
log0.5 (log£ x)>log0.5 0.5—¤
102
밑이 1보다 작으므로
`1)) 진수의 조건에서 x> 0
y㉠
log™ x
x
>4x의 양변에 밑이 2 인 로그를 취하면
log 2 xlog™ x>log 2 4x
( log™ x )¤ > log™ x +2
log£ x<4 ⇨ log£ x<log£ 3›
밑이 1보다 크므로 x<81 y ㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<x<81
1) 1<x…8
2) 1<x<81
104
log™ x =t로 치환하면
이
` 차방정식 x¤ -(log a+1)x+(log a+9)=0의 판별식을
t¤ -t-2>0
D라고 하면
(t+1)(t-2)>0
D=( log a +1)¤ - 4 (log a+9)=0
∴ t< -1 또는 t> 2
(log a)¤ -2 log a- 35 =0
즉, log™ x <log™ 2—⁄ 또는 log™ x >log™ 2¤
log a =t로 치환하면
밑이 1 보다 크므로
t¤ -2t- 35 =0
x < ;2!; 또는 x > 4 y ㉡
(t+ 5 )(t- 7 )=0
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
∴ t= -5 또는 t= 7
0<x< ;2!; 또는
즉, log a =-5 또는
x>4
log a =7
∴ a= 10 —fi 또는 a= 10‡
24 정답과 해설
10—fi , 10‡
105
109
방̀정식 (log∞ x)¤ -k log∞ x-6=0의 두 근을 a, b라고 하면
처음 상품 생산량을 a라 하고 매달 4 %씩 증가시킨다고 하면
ab=25
n개월 후의 상품 생산량은 a(1+ 0.04 )« 이다.
log∞ x=t로 치환하면 주어진 방정식은
이것이 처음의 2배가 되려면
t¤ -kt-6=0
y㉠
이 방정식의 두 근은 log∞ a, log∞ b이므로 근과 계수의 관계에
a(1+ 0.04 )« = 2a
의하여
㉠의 양변을 a 로 나누고 상용로그를 취하면
log∞ a+log∞ b=k
log (1+ 0.04 )« = log 2
log∞ ab =log∞ 25=2=k
∴ k=2
2
∴ n=
0.3
log 2
=
= 20
log 1.04
0.015
따라서 처음으로 2배가 되는 것은 20 개월 후이다.
106
이차방정식 x¤ -x log™ a+2 log™ a+5=0의 판별식을 D라고
하면
110
n년 후에 A학교의 학생 수가 B학교의 학생 수의 2배 이상이 되
D=(log™ a)¤ -4(2 log™ a+5)<0
려면
a_1.1« æ2_a_1.02«
log™ a=t로 치환하면
1.1« æ2_1.02«
t¤ -8t-20<0
(t-10)(t+2)<0
위 식의 양변에 상용로그를 취하면
log 1.1« ælog (2_1.02« )
∴ -2<t<10
n log 1.1ælog 2+n log 1.02
즉, -2<log™ a<10이므로
∴ næ
log™ 2—¤ <log™ a<log™ 2⁄ ‚
밑이 1보다 크므로 ;4!;<a<1024
;4!;<a<1024
20
log 2
0.3010
=
=9.176y
log 1.1-log 1.02
0.0414-0.0086
따라서 A학교의 학생 수가 B학교의 학생 수의 2배 이상이 되는
것은 10년 후부터이다.
10
111
20n 분 후 박테리아의 수는 10_3« 마리이므로
107
xlog£ x>(27x)˚ 의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
10_3« æ 10000
log£ xlog£ x>log£ (27x)˚
3« æ1000
(log£ x)¤ >k(3+log£ x)
log£ x=t로 치환하면
위 식의 양변에 상용로그를 취하면
log 3«« ælog 1000
t¤ -kt-3k>0 y ㉠
n log 3æ 3
x가 양수이면 t는 모든 실수이므로 모든 실수 t에 대하여 ㉠이
성립해야 한다.
∴ næ
이차방정식 t¤ -kt-3k=0의 판별식을 D라 하면
3
=
0.5
= 6
따라서 박테리아의 수가 10000마리 이상이 되는 것은 20_ 6
D=k¤ -4¥(-3k)=k(k+12)<0
∴ -12<k<0
3
log 3
-12<k<0
분 후, 즉 120 분 후부터이다.
120
112
n겹의 차단 필름을 통과한 후 자외선의 양이 처음의 50 % 이하
108
가 되어야 하므로
(log x)¤ -k log x+3-kæ0에서
a_0.9« …0.5a y ㉠
log x=t로 치환하면
㉠의 양변을 a로 나누고 상용로그를 취하면
t¤ -kt+3-kæ0 y ㉠
log 0.9« …log 0.5
x가 양수이면 t는 모든 실수이므로 모든 실수 t에 대하여 ㉠이
성립해야 한다.
n log ;1ª0;…log ;2!;
이차방정식 t¤ -kt+3-k=0의 판별식을 D라 하면
n(2 log 3-1)…-log 2
D=k¤ -4(3-k)=k¤ +4k-12=(k+6)(k-2)…0
∴ næ
∴ -6…k…2
따라서 실수 k의 최댓값은 2이다.
2
0.3
=7.5
0.04
구하는 자연수 n의 최솟값은 8이다.
8
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 25
I-5 지수함수와 로그함수의 미분
pp.46~55
118
3≈
3 ≈
= lim {
} =¶
x ⁄-¶ '∂10
"ç10≈
ㄱ̀. lim
113
x ⁄-¶
`3)) ln 'e=;2!; ln e=;2!;
`4)) ln e‹ =3 ln e=3
`5)) ln e'2='2 ln e='2
`6)
` ) ln 3e=ln 3+ln e=1+ln 3
`7)) ln
1
=-ln 10e=-1-ln 10
10e
{;3!;}≈ -1
1-3≈
= lim
=-1
x ⁄¶ 1+3≈
x ڦ
{;3!;}≈ +1
ㄴ. lim
ㄷ. lim
x ⁄0
1) 1
2) 0
3) ;2!;
4) 33
5) '2
6) 1+ln 3
7) -1-ln 10
1
=¶
1-3≈
;[!;
ㄹ. lim (3≈ -2≈ );[!;= lim [3≈ [1-{;3@;}≈ ]]
x ڦ
x ڦ
;[!;
= lim (3≈ );[!;[1-{;3@;}≈ ]
x ڦ
114
1)) e
ㄴ, ㄹ
=3¥1=3
ln ;3!;
ln e
ln '2
2)) e
={ ;3!; } = ;3!;
3)) eln 3=3ln e=3
ln e
=('2 ) ='2
119
4)) eln 5=5ln e=5
1) ;3!;
1
3) 3
2) '2
4) 5
3
`1)) lim (1+3x);[!;= lim [(1+3x) 3x ] = e‹
x ⁄0
x ⁄0
;3@;
`2)) lim (1+2x);3¡[;= lim [(1+2x);2¡[;] =e;3@;
x ⁄0
115
`3)) lim (1-x);[!;= lim [(1-x)—;[!;]—⁄ =e—⁄ =;e!;
x ⁄0
`1)) ln x=3 ⇨ x=e‹
`2)) ln x=-1 ⇨ x=e—⁄ =;e!;
`3)) e≈ =2 ⇨ x=ln 2
`4)) e¤ ≈ =4 ⇨ 2x=ln 4 ⇨ x=ln 2
1) e‹
2) ;e!;
3) ln 2
x ⁄0
4) ln 2
x ⁄0
`4)) lim (1-2x);[!;= lim [(1-2x)—;2¡[;]—¤ =e—¤ =
x ⁄0
x ⁄0
`5)) x-1=t로 놓으면 x 3⁄ 1일 때 t 3⁄ 0이므로
2
2
1
lim x x-1 = lim (1+t) t = lim [(1+t) t ]¤ =e¤
x ⁄1
t ⁄0
lim x 1-x = lim (1+t)— t = lim [(1+t) t ]—⁄ =e—⁄ =;e!;
1
`1)) lim {;4#;}≈ ={;4#;}‚ =1
`2)) lim {;4%;}≈ =¶
`3)) lim 3≈ =3—¤ =;9!;
`4)) lim {;3@;}≈ =¶
x ⁄0
2) ¶
3) ;9!;
5) 0
4) ¶
6) -5
4)
1 ≈
1 ¤ ≈ ;2!; ;2!;
} = lim [{1+
} ] =e ='e
x ڦ
2x
2x
`2)) lim {1+
1 fl≈
1 ¤≈ ‹
} ] =e‹
} = lim [{1+
x ڦ
2x
2x
x ڦ
1) 'e
{ ;7#; }≈ +1
1+{;5@;}≈
6) ;e!;
2) e‹
3)
1
efl
121
ㄱ̀. lim {1+
x ڦ
=5
1 ¤≈
} =e
2x
ㄴ. x=-t로 놓으면 x 3⁄ -¶일 때 t 3⁄ ¶이므로
`3)) 괄호의 식을 3≈ 으로 묶으면
lim {
x ⁄-¶
lim (3≈ -2≈ )= lim 3≈ [1-{;3@;}≈ ]=¶
x-1 ≈
} = lim [{1+;t!;}† ]—⁄ =e—⁄ =;e!;
t ڦ
x
ㄷ. lim (1+x)≈ =1
x ڦ
x ⁄0
ㄹ. x+2=t로 놓으면 x 3⁄ -2일 때 t 3⁄ 0이므로
`4)) 괄호의 식을 5≈ 으로 묶으면
lim (2≈ -5≈ )= lim 5≈ [{;5@;}≈ -1]=-¶
1
2) 5
3) ¶
1
lim (3+x) x+2 = lim (1+t) t =e
x ڦ
1) -1
5) e¤
`1)) lim {1+
= -1
5-{;5@;}≈
1
e¤
;2T;
1
lim {1-;[@;}‹ ≈ = lim [{1+;t@;} ]—fl =e—fl =
t ڦ
efl
{ ;7@; }≈ -1
5≈ ±⁄ -2≈
= lim
x ڦ
x ڦ
5≈ +2≈
26 정답과 해설
3) ;e!;
x ⁄-¶
`2)) 분모, 분자를 5≈ 으로 나누면
x ڦ
;3@;
`3)) x=-t로 놓으면 x 3⁄ -¶일 때 t 3⁄ ¶이므로
`1)) 분모, 분자를 7≈ 으로 나누면
lim
2) e
120
x ڦ
2≈ -7≈
= lim
lim
x ⁄¶ 3≈ +7≈
x ڦ
1
t ⁄0
x ⁄-¶
117
x ڦ
t ⁄0
1) e‹
7≈
= lim {;9&;}≈ =0 `6)) lim [{;3@;}≈ -5]=-5
x ڦ
x ڦ
3¤ ≈
1) 1
1
x ⁄1
x ڦ
x ⁄-2
x ڦ
t ⁄0
`6)) x-1=t로 놓으면 x 3⁄ 1일 때 t 3⁄ 0이므로
116
`5)) lim
1
e¤
x ⁄-2
4) -¶
t ⁄0
따라서 극한값이 e인 것은 ㄱ과 ㄹ로 2개이다.
2
122
`5)) lim
x ⁄0
`1)) lim log™ x=log™ 4=2
x ⁄4
log£ (1+2x)
log£ (1+3x)
`2)) lim log x=log™ 1=0
= lim
`3)) lim log;3!; x=log;3!; 9=-2
=
x ⁄0
x ⁄1
x ⁄9
log£ (1+2x)
3x
¥
¥;3@;
2x
log£ (1+3x)
1
¥ln 3¥;3@;=;3@;
ln 3
`4)) lim log£ 2x=¶
x ڦ
1) 2
3
3) ln 3
2) ;2#;
`5)) lim log;2!; x=¶
2
4) ln 3
5) ;3@;
x ⁄0+
`6)) lim log x=-¶
x ⁄0+
1) 2
125
2) 0
3) -2
4) ¶
6) -¶
5) ¶
`1)) lim
e¤ ≈ -1
e¤ ≈ -1
= lim
¥ 2 =1¥ 2 = 2
x ⁄0
x
2x
`2)) lim
e‹ ≈ -1
e‹ ≈ -1
3x
= lim
¥
x ⁄0
3x
x¤ +2x
x¤ +2x
x ⁄0
123
`1)) lim {log™ (4x+1)-log™ x}
x ڦ
x ⁄0
4 x+1
= lim log™
x ڦ
= lim
x ⁄0
x
=1¥;2#;=;2#;
= lim log™ { 4 +;[!;}=log™ 4 = 2
x ڦ
`3)) lim
`2)) lim {log (20x+1)-log 2x}
x ⁄0
x ڦ
= lim log
x ڦ
1) 2
x ڦ
x ⁄4
`lim
x ⁄0
x¤ -16
|
x-4
x ⁄0
=
= lim log|x+4|=log 8
x ⁄4
`4)) 2≈ +3≈ =3≈ [{;3@;}≈ +1]이므로
lim ;[!; log£ (2≈ +3≈ )= lim log£ [3≈ [{;3@;}≈ +1]]
2) 1
3) log 8
124
ln (1+2x)
ln (1+2x)
= lim
¥ 2
`1)) lim
x ⁄0
x ⁄0
x
2x
=1¥ 2 = 2
ln (1+3x)
ln (1+3x)
= lim
¥;2#;=1¥;2#;=;2#;
`2)) lim
x ⁄0
x ⁄0
2x
3x
`3)) lim
x ⁄0
log£ (1+3x)
log£ (1+3x)
= lim
¥3
x ⁄0
x
3x
=
`4)) lim
x ⁄0
`
ln 9
ln 2
x ڦ
;[!; log£ (2≈ +3≈ )=log£ 3=1
`
1
ln 9
¥ln 3¥2=
ln 2
ln 2
`lim x{ln (x+2)-ln x}= lim x ln
x ڦ
1) 2
log™ (1+2x) 3≈ -1
¥
¥2
2x
x
127
;[!;
x ڦ
ln 3
3) ln 5
{log™ (1+2x)}(3≈ -1)
x¤
= lim
(x-4)(x+4)
= lim log|
|
x ⁄4
x-4
`
2) ;2#;
126
`3)) lim (log|x¤ -16|-log|x-4|)
x ⁄4
3≈ -1
3≈ -1
x
ln 3
= lim
¥
=
x ⁄0
x
ln 5
5≈ -1
5≈ -1
20x+1
2x
= lim log {10+;2¡[;}=log 10=1
= lim log|
e‹ ≈ -1
3
¥ lim
x ⁄0 x+2
3x
1
3
¥3=
ln 3
ln 3
2x
log£ (1+2x)
log£ (1+2x)
= lim
¥
x
⁄0
2x
x¤ +x
x¤ +x
2
log£ (1+2x)
= lim
¥ lim
x ⁄0
x ⁄0 x+1
2x
1
2
=
¥2=
ln 3
ln 3
4) 1
`
x+2
x ڦ
x
x{ln (x+2)-ln x}= lim x ln { 1 +
x ڦ
2
x
} y㉠
;[@; =t로 놓으면 x ⁄ ¶일 때 t ⁄ 0이므로 ㉠은
2
lim
t ⁄0
t
¥ln (1+t)= lim 2 ¥
t ⁄0
ln(1+t)
= 2 ¥1= 2
t
2
128
x-1=t로 놓으면 x ⁄ 1일 때 t ⁄ 0이므로
`lim
x ⁄1
(t+1)¤ -e†
x¤ -e≈ —⁄
= lim
t ⁄0
t
x-1
= lim
t¤ +2t+1-e†
t
= lim
t¤ +2t-(e† -1)
t
t ⁄0
t ⁄0
= lim {t+2t ⁄0
=2-1=1
e† -1
}
t
1
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 27
129
`6)) 곱의 미분법에 의하여
`1)) x ⁄ 0일 때, (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므로
y'=(3≈ )'x+3≈ (x)'=x¥3≈ ln 3+3≈
(분자) ⁄ 0 이다.
=3≈ (1+x ln 3)
`7)) 곱의 미분법에 의하여
즉, lim ln (a+3x)= 0 이므로 ln a= 0
y'=e(x+2)'e≈ +e(x+2)(e≈ )'
x ⁄0
=e¥e≈ +e(x+2)e≈
∴ a= 1
=(x+3)e≈ ±⁄
a= 1 을 주어진 식에 대입하면
ln( 1 +3x)
b= lim
x ⁄0
1) y'=e≈ ±¤
4) y'=3e‹ ≈
ln( 1 +3x)
= lim
x ⁄0
x
¥ 3
3x
2) y'=2≈ ±⁄ ln 2
5) y'=2(1+x)e≈
3) y'=3≈ —¤ ln 3
6) y'=3≈ (1+xln 3)
7) y'=(x+3)e≈ ±⁄
= 1 ¥3= 3
132
∴ a= 1 , b= 3
f'(x)=3x¤ e≈ +(x‹ +1)e≈ =(x‹ +3x¤ +1)e≈
`2)) x ⁄ 0일 때, (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므로
∴ f'(1)=5e
(분자) ⁄ 0이다.
5e
∴ b=1
lim (eå ≈ -b)=1-b=0
x ⁄0
b=1을 주어진 식에 대입하면
133
eå ≈ -1
eå ≈ -1
= lim
¥a=1¥a=a=ln 2
lim
x ⁄0
x ⁄0
x
ax
f'(x)=e≈ +xe≈ =(x+1)e≈
f(x)-f(0)
=f'(0)이므로
lim
x ⁄0
x
∴ a=ln 2, b=1
1) a=1, b=3
2) a=ln 2, b=1
lim
x ⁄0
f(x)-f(0)
=1¥e‚ =1
x
1
130
x ⁄ 0일 때, (분자) ⁄ 0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로
134
lim (ebx+c-1)=eç -1=0
즉, 점 (1, e)에서의 접선의 기울기는 f'(1)=3e
(분모) ⁄ 0이다.
f'(x)=2xe≈ +x¤ e≈ =(x¤ +2x)e≈
∴ c=0
x ⁄0
c=0을 주어진 식에 대입하면
점 (1, e)에서의 접선의 방정식은
ln(1+ax)
e∫ ≈ -1
ln(1+ax)
bx
= lim
¥
¥;bA;
x ⁄0
ax
e∫ ≈ -1
y-e=3e(x-1)
lim
x ⁄0
∴ y=3ex-2e
135
=1¥1¥;bA;=;bA;
곱의 미분법에서
f'(x)=(e≈ ±å )'(x¤ +bx+c)+e≈ ±å (x¤ +bx+c)'
;bA;=3이므로 a=3b
∴
y=3ex-2e
=e≈ ±å (x¤ +bx+c)+e≈ ±å (2x+b)
a+c
3b+0
=
=3
b
b
3
=e≈ ±å {x¤ +(b+2)x+(b+c)}
f'(x)=x¤ e≈ 이므로
e≈ ±å {x¤ +(b+2)x+(b+c)}=x¤ e≈ y ㉠
131
e≈ >0이므로 ㉠의 양변을 e≈ 으로 나누면
`1)) y= e¤ ¥e≈ 이므로
eå x¤ +eå (b+2)x+eå (b+c)=x¤
x
y'= e¤ ¥(e≈ )'= e¤ ¥e =e≈ ±¤
`2)) y=2¥2≈ 이므로
eå =1, b+2=0, b+c=0이므로
a=0, b=-2, c=2
a=0, b=-2, c=2
y'=2¥(2≈ )'=2¥2≈ ¥ln 2=2≈ ±⁄ ln 2
`3)) y=
y'=
1
¥3≈ 이므로
3¤
1
1
¥(3≈ )'= ¥3≈ ¥ln 3=3≈ —¤ ln 3
3¤
3¤
`4)) y=(e‹ )≈ 이므로
y'=e‹ ≈ ln e‹ =3e‹ ≈
`5)) 곱의 미분법에 의하여
y'=(2x)'e≈ +2x(e≈ )'=2e≈ +2xe≈ =2(1+x)e≈
28 정답과 해설
136
y=ln 'x에서
'x =e¥ ⇨ x=e¤ ¥
x와 y를 서로 바꾸면
y=e¤ ≈ ⇨ g(x)=e¤ ≈
g '(x)=(e¤ ≈ )'=e¤ ≈ ln e¤ =2e¤ ≈ 이므로
g(x)-g(0)
=g '(0)=2
lim
x ⁄0
x
2
137
`5)) 곱의 미분법에 의하며
f '(x)=e≈
f(1+2h)- f(1-2h)
lim
h ⁄0
h
`6)) 곱의 미분법에 의하여
y'=x' ln x+x¥(ln x)'=ln x+1
y'=(x¤ )' ln x+x¤ ¥(ln x)'
f(1+2h)-f(1)-{ f(1-2h)-f(1)}
= lim
h ⁄0
h
=2x ln x+x=x(2 ln x+1)
`7)) 곱의 미분법에 의하여
f(1+2h)-f(1)
f(1-2h)-f(1)
= lim
¥2+= lim
h ⁄0
h ⁄0
2h
-2h
y'=(e≈ )' ln x+e≈ (ln x)'
=e≈ ln x+
e≈
=e≈ {ln x+;[!;}
x
1) y'=;[!;
2) y'=;[$;
3) y'=-;[!;
f(x)가 x=1에서 미분가능하려면 x=1에서 연속 이어야 하므로
1
4) y'= x ln 2
5) y'=ln x+1
6) y'=x(2 ln x+1)
lim (ax+b)= lim e≈ = f(1)
7) y'=e≈ {ln x+;[!;}
4e
=2 f'(1)+2 f'(1)=4 f'(1)=4e
138
x ⁄1+
x ⁄1-
a+b= e
∴ a= e -b y ㉠
141
또, f'(1) 의 값이 존재해야 하므로
f'(x)=‡
e≈
(x<1)
a
(x>1)
f'(x)=3x¤ ln x+x¤ -2x
∴ f'(e)=3e¤ +e¤ -2e=4e¤ -2e
여기에서 lim a= lim e≈
x ⁄1+
∴ a= e
4e¤ -2e
142
x ⁄1-
함수 f(x)의 그래프 위의 점 (5, 1)에서의 접선의 기울기는 `
y㉡
㉠, ㉡에 의하여 a= e , b= 0
a=e, b=0
`f'(5)이고 `f(x)=log 2x=log 2+log x이므로
`f'(x)=(log 2)'+(log x)'=
139
∴ (접선의 기울기)=f'(5)=
1
x ln 10
1
5 ln 10
1
5 ln 10
f(x)가 x=1에서 미분가능하려면 x=1에서 연속이어야 하므로
lim (x+b)= lim axe≈ =f(1)
x ⁄1+
x ⁄1-
143
1+b=ae
함수 f(x)=ln x는 닫힌 구간 [1, e]에서 연속이고 열린 구간
f(e)-f(1)
(1, e)에서 미분가능하므로
=f'(c)인 c가 열린
e-1
∴ b=ae-1 y ㉠
또, f'(1)의 값이 존재해야 하므로
f'(x)=[
ae≈ +axe≈
1
(x<1)
(x>1)
구간 (1, e)에서 적어도 하나 존재한다.
f'(x)=
여기에서 1= lim (ae≈ +axe≈ )
x ⁄1-
ae+ae=1
ln e-ln 1
1
1
=
=
e-1
e-1
c
∴ a=;2¡e; y ㉡
㉠, ㉡에 의하여 a=;2¡e;, b=-;2!;
1
이므로
x
∴ c=e-1
e-1
a=;2¡e;, b=-;2!;
144
f(x)가 x=1에서 미분가능하려면 x=1에서 연속 이어야 하
140
`1)) y=ln 2x= ln 2 +ln x이므로
므로
lim ( ln bx+1 )= lim (ax¤ +2)=f(1)
y'=( ln 2 )'+(ln x)'= ;[!;
4
`2)) y=ln x› =4 ln x이므로 y'=(4 ln x)'=
x
`3)) y=ln ;[!;=ln x—⁄ =-ln x이므로
y'=-(ln x)'=-
1
x
`4)) y=log™ 3x=log™ 3+log™ x이므로
y'=(log™ 3)'+(log™ x)'=
1
x ln 2
x ⁄1+
x ⁄1-
ln b+1 =a+2
∴ a= ln b ln b-1 y ㉠
또, f'(1)의 값이 존재해야 하므로
( 2ax (x<1)
f'(x)= {
;[!; (x>1)
9
여기에서 lim
x ⁄1+
1
= lim 2ax
x x ⁄1-
㉠, ㉡에 의하여 a= ;2!; , b=e
∴ 2a =1 y ㉡
;2#;
a=;2!;, b=e
;2#;
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 29
145
II. 삼각함수
f(x)가 x=e에서 미분가능하려면 x=e에서 연속이어야 하므
로
lim (ax+b)= lim ln x=f(e)
x ⁄e+
x ⁄e-
II-1 일반각과 호도법
ae+b=1
∴ b=1-ae y ㉠
01
또, f'(e)의 값이 존재해야 하므로
` 1)
( ;[!; (0<x<e)
f'(x)= {
9 a (x>e)
여기에서 lim a= lim
x ⁄e+
∴ a=
x ⁄e-
45˘
1
x
2)
O
X
X
O
P
3)
1
, b=0
e
f(x)가 모든 양수 x에 대하여 미분가능하려면 x=1에서 연속
이어야 하므로
lim be≈ = lim ln ax=f(1)
x ⁄1-
4)
P
P
O
a=;e!;, b=0
146
x ⁄1+
`
P
-120˘
1
y㉡
e
㉠, ㉡에 의하여 a=
pp.58~62
30˘
O
X
-350˘
X
02
1) h=360°_n+130°(`n은 정수)
2) h=360°_n-50°(`n은 정수) 또는
h=360°_n+310°(`n은 정수)
∴ be=ln a y ㉠
또, f'(1)의 값이 존재해야 하므로
( ;[!; (x<1)
f'(x)= {
9 be≈ (x>1)
여기에서 lim be≈ = lim
x ⁄1+
x ⁄1-
03
`1)) 450°=360°_1+90°이므로
360°_n+90°(n은 정수)
1
x
`2)) -1000°=360°_(-3)+80°이므로
360°_n+80°(n은 정수)
∴ be=1 y ㉡
㉠, ㉡에 의하여 a=e, b=
1
e
a=e, b=
04
147
ㄱ. -70°=360°_(-1)+290°
ㄴ. 430°=360°_1+70°
f'(x)=(x‹ )'¥ ln x+x‹ ¥(ln x)'
=3x¤ ln x+x¤ =x¤ (3ln x+1)
ㄷ. -290°=360°_(-1)+70°
ㄹ. 1330°=360°_3+250°
f(1)=0이므로
lim
x ⁄1
` 1) 360°_n+90°(n은 정수)
2) 360°_n+80°(n은 정수)
1
e
따라서 70°를 나타내는 동경과 일치하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.
f(x)
f(x)-f(1)
= lim
x ⁄1
x-1
x-1
=f'(1)=1
ㄴ, ㄷ
1
참고 360°_n+a°에서 n이 음수인 경우는 음의 방향으로 회전한
것이다. 그리고 n이 0 또는 자연수인 경우 회전 수이다.
05
`1)) 560°= 360 °_1+ 200 ° ← 제 3 사분면의 각
`2)) -795°=360°_(-3)+285° ← 제 4`사분면의 각
`3)) 1165°=360°_3+85° ← 제 1`사분면의 각
`4)) -225°=360°_(-1)+135° ← 제 2`사분면의 각
` 1) 제 3`사분면의 각
3) 제 1`사분면의 각
30 정답과 해설
2) 제 4`사분면의 각
4) 제 2`사분면의 각
06
09
h가 제 1`사분면의 각이므로
360 °_n<h<360°_n+ 90 ° (n은 정수)
그림과 같이 일반적으로 각 h를 나타내는 동경 OP와 각 7h를
나타내는 동경 OQ가 일직선 위에 있고 방향이 반대이므로
7h-h=360°_n+180°
y
P
180 °_n< h <180°_n+ 45 °
2
(단, n은 정수)
위 식에 n=0, 1, 2, y를 차례로 대입하면
⁄ n=0일 때,
x
O
7h
90°<h<270°이므로
90°<60°_n+30°<270°
0 °< h < 45 °이므로 h 는 제 1 `사분면의 각
2
2
Q
60°<60°_n<240°
¤ n=1일 때,
180 °< h < 225 °이므로 h 는 제 3 사분면의 각
2
2
n=2, 3, 4 y에 대해서도 동경의 위치가 제 1 `사분면, 제
3 사분면이 반복된다.
따라서
h
6h=360°_n+180°
∴ h=60°_n+30° y ㉠
h
를 나타내는 동경이 존재할 수 있는 사분면은 제` 1
2
사분면과 제` 3 `사분면이다.
제 1`사분면, 제 3`사분면
∴ 1<n<4
n은 정수이므로 n=2 또는 n=3
이를 ㉠에 대입하면
h=150° 또는 h=210°
150°, 210°
10
그림과 같이 일반적으로 각 h를 나타내는 동경 OP와 각 7h를
나타내는 동경 OQ가 x축에 대하여 서로 대칭이므로
07
h+7h=360°_n (단, n은 정수)
8h=360°_n
h가 제 3`사분면의 각이므로
360°_n+180°<h<360°_n+270° (n은 정수)
120°_n+60°<
∴ h=45°_n y ㉠
0°<h<90°이므로
h
<120°_n+90°
3
P
h
7h
0°<45°_n<90°
위 식에 n=0, 1, 2, y를 차례로 대입하면
⁄ n=0일 때,
60°<
y
x
O
Q
∴ 0<n<2
n은 정수이므로 n=1
h
h
<90°이므로 는 제1`사분면의 각
3
3
n=1을 ㉠에 대입하면 h=45°
45°
¤ n=1일 때,
180°<
h
h
<210°이므로 는 제3`사분면의 각
3
3
11
‹ n=2일 때,
300°<
h
h
<330°이므로 는 제4`사분면의 각
3
3
n=3, 4, 5, y에 대해서도 동경의 위치가 제1사분면, 제3`사분
면, 제`4`사분면이 반복된다.
`1)) 30°=30_1°=30_
p
= ;6“; (라디안)
180
`2)) 75°=75_1°=75_
p
=;1∞2;p (라디안)
180
h
를 나타내는 동경이 존재할 수 있는 사분면은 제1`사
3
`3)) -120°=-120_1°=-120_
p
=-;3@;p (라디안)
180
분면, 제3`사분면, 제4`사분면이다.
제1`사분면, 제3`사분면, 제4`사분면
`4)) -210°=-210_1°=-210_
p
=-;6&;p (라디안)
180
따라서
08
p
1) 6 라디안
2) ;1∞2;p 라디안
그림과 같이 일반적으로 각 h를 나타내는 동경 OP와 각 5h를
나타내는 동경 OQ가 서로 일치하므로
3) -;3@;p 라디안
4) -;6&;p 라디안
5h - h=360°_n (단, n은 정수)
4h =360°_n
y
P=Q
∴ h= 90 °_n y ㉠
0°<h<180°이므로
0°< 90 °_n<180°
h
O
x
5h
`1)) ;5#;p=;5#;p_1=;5#;p_
180°
=108°
p
`2)) ;6%;p=;6%;p_1=;6%;p_
180°
=150°
p
`3)) -
∴ 0<n< 2
n은 정수이므로 n= 1
n= 1 을 ㉠에 대입하면 h= 90 °
12
180°
p
p
p
=- _1=- _
=-60°
3
3
3
p
`4)) -;4&;p=-;4&;p_1=-;4&;p_
90°
1) 108°
180°
=-315°
p
2) 150°
3) -60°
4) -315°
Ⅱ. 삼각함수 31
13
17
`1)) 3p=2p+p이므로 2np+p
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면
`2)) ;2(;p=4p+;2“;이므로 2np+;2“;
S= ;2!;rl 이므로
`3)) -;1£0;p=-2p+;1!0&;p이므로 2np+;1!0&;p
8p= ;2!; _r_ 2p
1) 2np+p
2) 2np+;2“;
3) 2np+;1!0&;p
∴ r= 8
중심각의 크기를 h라고 하면 l=rh이므로
∴ h=
2p= 8 _h
14
ㄱ. 45°=45_
p
p
= (참)
180
4
ㄹ.
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면
S=;2!;rl이므로
p
=;3$;p (거짓)
180
9p=;2!;_r_3p
180°
p
p
p
= _1= _
=90° (참)
2
2
2
p
∴ r=6
중심각의 크기를 h라 하면 l=rh이므로
p
ㅁ. 1°=
(참)
180
ㅂ. ;1¶0;p=;1¶0;p_1=;1¶0;p_
;4“;
18
180°
ㄴ. 1=
(거짓)
p
ㄷ. 240°=240_
p
4
∴ h=
3p=6_h
180°
=126° (거짓)
p
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다.
ㄱ, ㄹ, ㅁ
p
2
;2“;
19
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 h, 호의 길이를 l
15
이라 하면 l=rh이므로
ㄱ. 480°=360°+120°이므로 제2사분면의 각이다. (참)
180°
=300° (참)
ㄴ. ;3%;p라디안=;3%;p_
p
;2#;p=r_
∴ r=6
넓이를 S라 하면 S=;2!;rl이므로
180°
=57.29y°이므로 90°보다 작다. (거짓)
ㄷ. 1라디안은
p
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
p
4
②
S=;2!;_6_;2#;p=;2(;p
반지름의 길이 : 6, 넓이 : ;2(;p
20
16
부채꼴의 반지름의 길이를 r라 하면
`1)) l= rh =10_ ;5“; = 2p
S=;2!; rl =;2!;_ 10 _2p= 10p
21=r+r+;2#;r
`2)) l=4_;8(;p=;2(;p, S=;2!;_4_;2(;p=9p
넓이를 S라 하면
l=9_
p
=;3@;p이므로
180
20=l+2r
∴ l=20- 2r
이때, r>0, l>0이므로 0<r< 10
y㉠
부채꼴의 넓이를 S라 하면
l=3_;3@;p=2p, S=;2!;_3_2p=3p
32 정답과 해설
27
이가 20이므로
p
=;2#;p, S=;2!;_9_;2#;p=;;™4;¶ ;p
6
1) l=2p, S=10p
2) l=;2(;p, S=9p
3) l=;;¡2;∞ ;p, S=;;¶2;∞ ;p
4) l=;2#;p, S=;;™4;¶ ;p
5) l=2p, S=3p
r
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면 둘레의 길
p
p
= 이므로
180
6
`5)) 120°=120_
∴ r=6
21
S=;2!;_10_;;¡2;∞ ;p=;;¶2;∞ ;p
`4)) 30°=30_
3
2
S=;2!;r¤ h=;2!;_6¤ _;2#;=27
`3)) l=10_;4#;p=;;¡2;∞ ;p
3
-r
2
r
l=r_;2#;=;2#;r
S=;2!;rl=;2!;r(20- 2r )= - r¤ +10r
=-(r- 5 )¤ + 25
따라서 r= 5 는 ㉠을 만족하므로 반지름의 길이가 5 일 때
넓이의 최댓값은 25 이다.
반지름의 길이 : 5, 최댓값 : 25
22
II-2 삼각함수의 뜻
pp.63~71
부채꼴 모양의 잔디밭의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라
26
하면 둘레의 길이가 400이므로
400=l+2r
OP”=Æ…(-3)¤ + 4 ¤ =5이므로
∴ l=400-2r
이때, r>0, l>0이므로 0<r<200 y ㉠
4
sin h=
잔디밭의 넓이를 S라 하면
5
, cos h=-
3
, tan h= -;3$;
5
S=;2!;rl=;2!;r(400-2r)=-r¤ +200r
sin h=;5$;, cos h=-;5#;, tan h=-;3$;
=-(r-100)¤ +10000
따라서 r=100은 ㉠을 만족하므로 반지름의 길이가 100일 때
넓이의 최댓값은 10000이다.
반지름의 길이 : 100, 최댓값 : 10000
27
OP”="√5¤ +(-12)¤ =13이므로
sin h=-;1!3@;, cos h=;1∞3;, tan h=-;;¡5;™ ;
23
원뿔의 전개도는 오른쪽 그림과 같
고, 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원
의 둘레의 길이와 같으므로
sin h=-;1!3@;, cos h=;1∞3;, tan h=-;;¡5;™ ;
12
28
2p_ 4 = 8 p
4
옆면인 부채꼴의 넓이는
;2!;_12_ 8 p= 48 p
`1)) 오른쪽 그림과 같이 반지
y
름의 길이가 2인 원에서
-30 ° 를 나타내는 동경
2
∴ (부채꼴의 겉넓이)=(옆면의 넓이)+(밑면의 넓이)
= 48 p+p_4¤ = 64 p
64p
'3
-30˘
위의 y좌표가 -1인 점 P
-2
를 잡으면 점 P는 제` 4
O
-1
사분면 위의 점이고,
-2
2 x
2
P('3 , -1)
OP”= 2 이므로 점 P의
24
원뿔의 전개도는 오른쪽 그림과 같고, 부
채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의
길이와 같으므로
2p_3=6p
옆면인 부채꼴의 넓이는
x좌표는 æ≠ 2 ¤ -(-1)¤ = '3
6
P( '3 , -1)이므로
sin h= -;2!; , cos h=
3
;2!;_6_6p=18p
=18p+p_3¤ =27p
27p
2
y
5
p
4
'2
를 나타내는 동경 위의 x좌
점 P는 제 3`사분면 위의 점
이고,
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l, 넓이가 최대일 때
의 중심각의 크기를 h라 하자.
'3
3
5
-p
4
-1
O
-'2
'2
'2 x
-1
P(-1, -1)
-'2
OP”='2이므로 점 P의 y좌표는
-"√('2 )¤ -(-1)¤ =-1
둘레의 길이가 12이므로 12=l+2r
P(-1, -1)이므로
'2
-1
sin h=
=2
'2
∴ l=12-2r
이때, r>0, l>0이므로 0<r<6 y ㉠
부채꼴의 넓이를 S라 하면
S=;2!;rl=;2!;r(12-2r)=-r¤ +6r
=-(r-3)¤ +9
r=3은 ㉠을 만족하므로 반지름의 길이가 3일 때, 넓이의 최댓
cos h=
'2
-1
=2
'2
tan h=
-1
=1
-1
'3
'3
1) sin h=-;2!;, cos h= 2 , tan h=- 3
값은 9이다. 즉, 9=;2!;_3¤ _h
∴ h=2
=-
'3
표가 -1인 점 P를 잡으면
25
1
, tan h=-
`2)) 오른쪽 그림과 같이 반지름
의 길이가 '2 인 원에서
∴ (부채꼴의 겉넓이)=(옆면의 넓이)+(밑면의 넓이)
'3
2
'2
'2
2) sin h=- 2 , cos h=- 2 , tan h=1
Ⅱ. 삼각함수 33
29
32
`1)) h=;1∞2;p는 제` 1 사분면의 각이므로
h는 제4`사분면의 각이므로
sin h<0, cos h>0, tan h<0
sin h > 0, cos h > 0, tan h > 0
sin h-cos h+tan h<0이므로
`2)) h=-25°는 제4`사분면의 각이므로
"√(sin h-cos h+tan çh)¤ =-sin h+cos h-tan h
sin h<0, cos h>0, tan h<0
∴ sin h+|cos h|-|tan h|+"√(sin h-cos h+tan çh)¤
=sin h+cos h+tan h-sin h+cos h-tan h
`3)) h=;4#;p는 제2`사분면의 각이므로
2 cos h
=2 cos h
sin h>0, cos h<0, tan h<0
`4)) h=;6&;p는 제3`사분면의 각이므로
33
sin h<0, cos h<0, tan h>0
`5)) h=390°는 제1`사분면의 각이므로
sin h cos h<0이고 sin h-cos h>0 ⇨ sin h>cos h이므로
sin h>0, cos h<0이다. 따라서 h는 제2`사분면의 각이므로
sin h>0, cos h>0, tan h>0
1) sin h>0, cos h>0, tan h>0
2) sin h<0, cos h>0, tan h<0
3) sin h>0, cos h<0, tan h<0
4) sin h<0, cos h<0, tan h>0
5) sin h>0, cos h>0, tan h>0
tan h<0
또, tan h cos h>0, tan h sin h<0
④
34
sin¤ h +cos¤ h=1이므로
sin¤ h =1-cos¤ h=1-{;5$;}¤ = ;2ª5;
30
이때, 각 h가 제4`사분면의 각이므로 sin h < 0
`1)) sin h>0이면 h는 제1`사분면 또는 제2`사분면의 각이고
∴ sin h= -;5#; ,
cos h<0이면 h는 제2`사분면 또는 제3`사분면의 각이다.
따라서 조건을 만족하는 각 h는 제2`사분면의 각이다.
`2)) sin h<0이면 h는 제3`사분면 또는 제4`사분면의 각이고
sin h
=
∴ tan h=
cos h
tan h>0이면 h는 제1`사분면 또는 제3`사분면의 각이다.
-;5#;
= -;4#;
;5$;
따라서 조건을 만족하는 각 h는 제3`사분면의 각이다.
`3)) sin h cos h>0이면
sin h=-;5#;, tan h=-;4#;
⁄ sin h>0, cos h>0에서 h는 제1`사분면의 각이다.
¤ sin h<0, cos h<0에서 h는 제3`사분면의 각이다.
따라서 조건을 만족하는 각 h는 제1`사분면 또는 제3`사분면
의 각이다.
35
s̀in¤ h+cos¤ h=1이므로
`4)) cos h tan h<0이면
⁄ cos h>0, tan h<0에서 h는 제4`사분면의 각이다.
cos¤ h=1-sin¤ h=1-{-
¤ cos h<0, tan h>0에서 h는 제3`사분면의 각이다.
따라서 조건을 만족하는 각 h는 제3`사분면 또는 제4`사분면
'3 ¤
} =;4!;
2
이때, 각 h가 제3`사분면의 각이므로 cos h<0
∴ cos h=-;2!;,
의 각이다.
1) 제2`사분면
2) 제3`사분면
3) 제1`사분면 또는 제3`사분면
4) 제3`사분면 또는 제4`사분면
'3
-12
sin h
2
=
='3
∴ tan h=
cos h
-;2!;
cos h=-;2!;, tan h='3
31
36
OP”="√2¤ +(-1)¤ ='5이므로
sin¤ h+cos¤ h=1이므로
1
2
sin h=, cos h=
, tan h=-;2!;
'5
'5
∴ '5 (sin h+cos h)-2tan h
sin¤ h=1-cos¤ h=1-{-;5#;}¤ =;2!5^
1
2
+
}-2_{-;2!;}=2
∴ ='5 {'5
'5
34 정답과 해설
각 h가 제3`사분면의 각이므로 sin h<0
2
∴ sin h=-;5$; ⇨ 5 sin h=-4
-4
37
41
`1)) sin h+cos h=;2!;의 양변을 제곱 하면
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
sin h+cos h=-;3@;, sin h cos h=;3K;
sin¤ h +2 sin h cos h+cos¤ h= ;4!;
sin h+cos h=-;3@;의 양변을 제곱하면
이때, sin¤ h+cos¤ h= 1 이므로
sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h=;9$;
∴ sin h cos h= -;8#;
1 +2 sin h cos h= ;4!;
sin h cos h
sin¤ h+cos¤ h
1
+
=
=
=-;3*;
`2))
cos h sin h
sin h cos h
sin h cos h
1) -;8#;
2) -;3*;
1+2sin h cos h=;9$;
∴ sin h cos h=-;1∞8;
;3K;=-;1∞8;
∴ k=-;6%;
-;6%;
38
(cos h-sin h)¤ =cos¤ h-2 cos h sin h+sin¤ h
42
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
=1-2_{-;4!;}=;2#;
sin h+cos h=-;4K;
h가 제2`사분면의 각이므로
sin h>0, cos h<0 ⇨ cos h-sin h<0
∴ cos h-sin h=-Æ;2#; =-
sin h cos h=-;4!;
'6
2
-
'6
2
39
sin h+cos h=-;4K;의 양변을 제곱하면
sin¤ h+2sin h cos h+cos¤ h=
`1)) (sin h+cos h)¤ +(sin h-cos h)¤
1+2_{-;4!;}=
=sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h
+sin¤ h-2 sin h cos h+cos¤ h
k¤
16
k¤
⇨ k¤ =8
16
∴ k=2'2 (∵ k>0)
2'2
=2(sin¤ h+cos¤ h)=2
`2))
cos h
cos h
sin h
+tan h=
+
1+sin h
1+sin h
cos h
43
cos¤ h+sin¤ h+sin h
=
(1+sin h) cos h
=
`3))
직선 x+2y-3=0, 즉 y=-;2!;x+;2#;의 기울기는 -;2!;이므로
1+sin h
1
=
(1+sin h) cos h
cos h
tan h=-;2!;
sin¤ h+cos¤ h=1이므로 양변을 cos¤ h로 나누면
tan h
tan h
+
1+cos h
1-cos h
tan¤ h+1=
tan h-tan h cos h+tan h+tan h cos h
=
1-cos¤ h
sin¤ h=1-cos¤ h=1-;5$;=;5!;
2 tan h
sin h
1
2
=
=2_
_
=
cos h
sin h cos h
sin¤ h
sin¤ h
1) 2
2)
1
cos h
3)
2
sin h cos h
∴ sin h=Æ;5!; =
'5
p
{∵ <h<p}
5
2
'5
5
44
40
tan h+
1
1
⇨ {-;2!;}¤ +1=
⇨ cos¤ h=;5$;
cos¤ h
cos¤ h
1
sin h
cos h
=
+
tan h
cos h
sin h
=
`1)) sin ;;¡6;£ ;p=sin {2p+ ;6“; }=sin ;6“; = ;2!;
sin¤ h+cos¤ h
1
=
y`㉠
sin h cos h
sin h cos h
`2)) cos ;4(;p=cos {2p+
'2
p
p
}=cos =
2
4
4
p
p
}=tan ='3
3
3
sin h+cos h=;3$;의 양변을 제곱하면
`3)) tan ;;¡3;ª ;p=tan {6p+
sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h=;;¡9;§ ;
`4)) sin 450°=sin (360°+90°)=sin 90°=1
`5)) cos 750°=cos (2_360°+30°)=cos 30°=
1+2 sin h cos h=;;¡9§;;
`6)) tan 390°=tan (360°+30°)=tan 30°=
∴ sin h cos h=;1¶8;
㉠에 대입하면 tan h+
1
=;;¡7;• ;
tan h
;;¡7;• ;
1) ;2!;
'2
2) 2
3) '3
4) 1
'3
2
'3
3
'3
5) 2
'3
6) 3
Ⅱ. 삼각함수 35
45
`3)) tan {-;4(;p}=-tan ;4(;p=-tan {2p+
`1)) sin ;3&;p=sin {2p+
p
p
}=sin
3
3
cos ;;¡3£;p=cos {4p+
=-tan
p
p
}=cos
3
3
p
p
}=sin
6
6
cos ;;¡6;£ ;p=cos {2p+
p
p
}=cos
6
6
p
=-1
4
1) -;2!;
p
p
+cos¤
=1
∴ sin¤ ;3&;p+cos¤ ;;¡3;£ ;p=sin¤
3
3
`2)) sin ;;™6;∞ ;p=sin {4p+
p
}
4
3) -1
2) ;2!;
49
1)) sin (-90°)+sin (-89°)+sin (-88°)+y
y+sin 89°+sin 90°
=-sin 90°-sin 89°-sin 88°-y+sin 89°+sin 90°
=sin 0°=0
p
sin 1
6
'3
p
=
=tan =
∴
3
6
p
cos ;;¡6;£ ;p
cos 1
6
sin ;;™6;∞ ;p
2)) cos (-30°)+sin (-20°)+tan (-10°)
+tan 10°+sin 20°+cos 30°
1) 1
=cos 30°-sin 20°-tan 10°+tan 10°+sin 20°+cos 30°
'3
2) 3
46
=2cos 30°=2_
'3
='3
2
1) 0
2) '3
50
sin ;;¡6;£ ;p=sin {2p+
p
p
}=sin
6
6
tan ;4(;p=tan {2p+
p
p
}=tan
4
4
`1)) sin ;4%;p=sin {p+ ;4“; }= -sin ;4“; = -
p
p
cos ;3&;p=cos {2p+ }=cos
3
3
p
p
p
∴ sin ;;¡6;£ ;p¥tan ;4(;p+cos ;3&;p=sin ¥tan +cos
6
4
3
=;2!;¥1+;2!;=1
`2)) cos ;6&;p=cos {p+
'3
p
p
}=-cos =2
6
6
`3)) tan ;3$;p=tan {p+
p
p
}=tan ='3
3
3
'2
2
`4)) sin 210°=sin (180°+30°)=-sin 30°=-;2!;
1
`5)) cos 240°=cos (180°+60°)=-cos 60°=-;2!;
`6)) tan 225°=tan (180°+45°)=tan 45°=1
47
`1)) sin {-
p
p
}=-sin =-;2!;
6
6
'2
1) - 2
'3
2) - 2
3) '3
`2)) cos {-
'2
p
p
}=cos =
2
4
4
4) -;2!;
5) -;2!;
6) 1
`3)) tan {-
p
p
}=-tan =-'3
3
3
`4)) sin (-45°)=-sin 45°=-
51
'2
2
`5)) cos (-60°)=cos 60°=;2!;
`6)) tan (-30°)=-tan 30°=-
'3
3
1) -;2!;
'2
2) 2
3) -'3
'2
4) - 2
5) ;2!;
'3
6) - 3
`1)) sin ;3@;p=sin {p-
'3
p
p
}=sin =
2
3
3
`2)) cos ;4#;p=cos {p-
'2
p
p
}=-cos =2
4
4
`3)) tan ;6%;p=tan {p-
'3
p
p
}=-tan =3
6
6
'3
1) 2
'2
2) - 2
'3
3) - 3
52
`1)) sin (p+h)=-sin h , cos(p-h)=-cos h
48
∴ sin¤ (p+h)+cos¤ (p-h)=sin¤ h+cos¤ h=1
p
`1)) sin {-;;¡6£;;p}=-sin ;;¡6;£ ;p=-sin {2p+ }
6
=-sin
p
=-;2!;
6
`2)) cos {-;;¡3;¡ ;p}=cos ;;¡3;¡ ;p=cos {4p=cos {-
36 정답과 해설
`2)) sin ;3@;p¥tan ;6&;p-cos ;3$;p¥tan ;3$;p
=sin {p-
p
}
3
p
p
}=cos =;2!;
3
3
=sin
=
p
p
p
p
}¥tan {p+ }-cos {p+ }¥tan {p+ }
3
6
3
3
p
p
p
p
¥tan +cos ¥tan
3
6
3
3
'3
'3
1+'3
_
+;2!;_'3=
2
3
2
1) 1
2)
1+'3
2
53
cos (p-h) tan (p+h)
`3))
`1)) sin ;6%;p=sin {
p
+ ;3“; }= cos ;3“; = ;2!;
2
`2)) cos ;4#;p=cos {
'2
p
p
p
+ }=-sin =2
2
4
4
p
p
`3)) tan ;3@;p=tan { + }=2
6
1
p
tan 1
6
cos {;2“;-h}
=
-cos h_(-tan h)
sin h
=cos h_
=-'3
sin h
1
_
cos h
sin h
'3
1) 2
=1
2) -1
3) 1
'3
`4)) sin 120°=sin (90°+30°)=cos 30°=
2
`5)) cos 135°=cos (90°+45°)=-sin 45°=-
56
'2
2
cos(90°-h)=sin h이므로
cos¤ h+cos¤ (90°-h)=cos¤ h+sin¤ h=1
'3
1
=`6)) tan 150°=tan (90°+60°)=3
tan 60°
cos¤ 0°+cos¤ 10°+cos¤ 20°+y+cos¤ 90°
=(cos¤ 0°+cos¤ 90°)+(cos¤ 10°+cos¤ 80°)+y
`7)) sin {-;4#;p}=-sin ;4#;p=-sin {;2“;+;4“;}
y+(cos¤ 40°+cos¤ 50°)
=(cos¤ 0°+sin¤ 0°)+(cos¤ 10°+sin¤ 10°)+y
'2
=-cos ;4“;=2
y+(cos¤ 40°+sin¤ 40°)
`8)) cos (-150°)=cos 150°=cos(90°+60°)
=-sin 60°=-
5
=1+1+1+1+1=5
'3
2
1) ;2!;
'2
2) - 2
3) -'3
'3
4) 2
'2
5) - 2
'3
6) - 3
'2
7) - 2
'3
8) - 2
57
1
이므로 tan h_tan (90°-h)=1
tan h
∴ tan 2°_tan 4°_y_tan 86°_tan 88°
tan (90°-h)=
=(tan 2°_tan 88°)_(tan 4°_tan 86°)_y
y_(tan 44°_tan 46°)
={tan 2°_
54
y_{tan 44°_
1
p
}=-1 (참)
ㄱ. tan h¥tan { +h}=tan h¥{2
tan h
p
-h}+sin (2p+h)=sin h+sin h=2sin h (거짓)
2
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
ㄱ, ㄴ
1
58
sin (90°-h)=cos h이므로
sin¤ 5°+sin¤ 10°+sin¤ 15°+y+sin¤ 90°
=(sin¤ 5°+sin¤ 85°)+(sin¤ 10°+sin¤ 80°)+y
y+(sin¤ 40°+sin¤ 50°)+sin¤ 45°+sin¤ 90°
=(sin¤ 5°+cos¤ 5°)+(sin¤ 10°+cos¤ 10°)+y
y+(sin¤ 40°+cos¤ 40°)+sin¤ 45°+sin¤ 90°
55
p
p
p
p
p
`1)) sin { - }+sin {p+ }-cos { + }
2
3
6
2
3
= cos
p
p
p
- sin
+ sin
3
6
3
=;2!; - ;2!; +
`2))
1
}
tan 44°
∴ =1
p
ㄴ. sin { +h}+cos (p-h)=cos h-cos h=0 (참)
2
ㄷ. cos {
1
1
}_{tan 4°_
}_y
tan 2°
tan 4°
sin h sin {;2“;+h}
tan {;2“;+h}
'3
2
=1_8+{
'2 ¤
} +1=;;¡2;ª ;
2
;;¡2;ª ;`
59
5h=;2“;-h이므로
= '3
2
+cos h tan {
sin 5h=sin {;2“;-h}=cos h,̀ cos 5h=cos {;2“;-h}=sin h
p
p
-h} cos { +h}
2
2
=sin h_cos h_(-tan h)+cos h_
tan 5h=tan {;2“;-h}=
1
tan h
① sin 5h=cos h (참)
1
_(-sin h)
tan h
sin h
cos h
=sin h_cos h_{_(-sin h)
}+cos h_
cos h
sin h
=-sin¤ h-cos¤ h=-(sin¤ h+cos¤ h)=-1
② cosh+sin 5h=cosh+cosh=2cosh (거짓)
③ sin¤ h+sin¤ 5h=sin¤ h+cos¤ h=1 (참)
④ sin h-cos (-5h)=sin h-cos 5h=sin h-sin h=0 (참)
⑤ tan h tan 5h=tan h_
1
=1 (참)
tan h
②
Ⅱ. 삼각함수 37
II-3 삼각함수의 그래프와 성질
pp.72~86
65
`1)) 0<
60
p
<
7
`1)) 함수 f(x)의 주기가 2이므로
∴ sin
f(x+ 2 )=f(x)
p
<
6
p
p
5
p
< sin
7
∴ f(3)=f(1+ 2 )=f( 1 )= 1
<;2“;
< sin
5
y
p
sin3 1
4p
sin5
O
`2)) sin ;5$;p=sin {p-;5“;}
`2)) 함수 f(x)의 주기가 3이므로
`
f(-5)=f(-2)=f(1)=f(4)=f(7)=f(10)=-2
`3)) 함수 f(x)의 주기가 5이므로
sin ;5$;p=sin ;5“;
0<;5“;<;3“;<;2“;이므로 그
f(x+5n)=f(x) (단, n은 정수)
p
6
p
p p-5 3 2
p
4
-p
5
h
림에서 sin ;5$;p<sin ;3“;<sin ;2“;
∴ f(222)=f(2+5_44)=f(2)=11
`4)) 함수 f(x)의 주기가 4이므로
f(47)=f(3+4_11)=f(3)=12
`3)) 0<;4“;<1<;2“;이므로 그림에서
`5)) 함수 f(x)의 주기가 2p이므로
y
sin1
f(x+2p_n)=f(x) (단, n은 정수)
sin 0<sin ;4“;<sin 1
∴ f(100p)=f(0+2p_50)=f(0)=1
180°
=57.29y°
※ 1라디안=
p
1) 1
2) -2
3) 11
4) 12
5) 1
1) sin ;7“;<sin ;6“;<sin ;5“;
61
x-
O
p
p
p
-1 4
2
h
2) sin ;5$;p<sin ;3“;<sin ;2“;
3) sin 0<sin ;4“;<sin 1
p
p
=t로 치환하면 x=t+ 에서 f(t)=f(t+ p )이므
2
2
66
① 주기는 2p이다.
로 함수 f(x)의 주기는 p 이다.
② 치역은 {y|-1…y…1}이다.
∴ 3 f {;4%;p}+f {;3&;p}=3 f { p +;4“;}+f { 2p +;3“;}
④ 정의역은 실수 전체의 집합이다.
⑤ 0<h<;2“;에서 h의 값이 증가하면 y의 값은 증가한다.
∴ 3 f {;4%;p}+f {;3&;p}=3f { ;4“; }+f { ;3“; }
③
67
∴ 3 f {;4%;p}+f {;3&;p}=3+Æ… 3
3+'3
` 1) ×
2) ×
3) ◯
4) ◯
5) ×
6) ×
7) ×
68
`1)) 0<
62
p
5
함수 f(x)의 주기가 4이므로
f(13)=f(9)=f(5)=f(1)=1¤ +1=2
∴ cos
2
<
p
<
3
p
p
2
< cos
2
p
< cos
3
p
5
`2)) ;2“;<;3@;p<;4#;p<;6%;p<p ⇨ cos ;6%;p<cos ;4#;p<cos ;3@;p
63
`3)) 0<1<;2“;이므로 그림에서
조건 ㈎에 의해 함수 f(x)의 주기가 3이므로
( f(1)=f(4)=y=f(10)=f(13)=f(16)=f(19)
{ f(-1)=f(2)=y=f(11)=f(14)=f(17)=f(20)
9 f(0)=f(3)=y=f(12)=f(15)=f(18)
cos ;2“;<cos 1<cos 0
따라서 f(1)=2¥1+5=7, f(-1)=2¥(-1)+5=3,
(∵ 1라디안=57.29y°)
180°
(∵ 1라디안=
p
y
p
2
cos 1
O
p
3
-p
2
1
h
f(0)=5이므로
1) cos ;2“;<cos ;3“;<cos ;5“;
f(10)+f(11)+f(12)+y+f(20)
=4 f(1)+4 f(-1)+3 f(0)
2) cos ;6%;p<cos ;4#;p<cos ;3@;p
55
=4_7+4_3+3_5=55
3) cos ;2“;<cos 1<cos 0
69
64
1) ◯
`2` ) ×
38 정답과 해설
`3` ) ◯
4) ◯
`5` ) ◯
6) ×
7̀) ◯
③ 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.
③
70
77
` 1) ×
2) ×
3) ◯
4) ◯
5) ◯
6) ×
7) ×
71
① 주기는 없다.
② 최댓값과 최솟값은 없다.
③ 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.
④ 치역은 실수 전체의 집합이다.
함수
y=sin h
y=cos h
78
y=tan h
np+;2“; (단, n은 정
정의역
실수 전체의 집합
실수 전체의 집합
ㄱ. ⁄ hæ0일 때, y=sin |h|=sin h
¤ h<0일 때, y=sin |h|=sin (-h)=-sin h
수)를 제외한 실수
따라서 y=sin h와 y=sin |h|의 그래프는 일치하지 않는다.
전체의 집합
치역
{y|-1…y…1}
{ y|-1…y…1}
실수 전체의 집합
ㄴ. ⁄ hæ0일 때, y=cos|h|=cos h
¤ h<0일 때, y=cos |h|=cos (-h)=cos h
대칭성 원점에 대하여 대칭 y축에 대하여 대칭 원점에 대하여 대칭
주기
2p
2p
⑤
따라서 y=cos h와 y=cos |h|의 그래프는 일치한다.
ㄷ. ⁄ hæ0일 때, y=tan |h|=tan h
p
¤ h<0일 때, y=tan |h|=tan (-h)=-tan h
따라서 y=tan h와 y=tan |h|의 그래프는 일치하지 않는다.
72
따라서 일치하는 것은 ㄴ이다.
② 정의역은 np+
p
`( 단, n은 정수)를 제외한 실수 전체의 집합
2
이다.
②
②
79
주기가 p인 함수 : y=|sin h|, y=|cos h|, y=|tan h|
주기가 2p인 함수 : y=cos |h|
주기가 없는 함수 : y=sin|h|, y=tan|h|
73
ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ
y
1
1)
-2p
-p
80
y=|sin h|의 주기는 p이고, y=cos |h|의 주기는 2p이므로
h
2p
p
O
주기의 합은 3p이다.
-1
81
y
1
2)
`
-p
3p
`1)) y=2 sin x의 그래프는 그림과 같다.
y
2
p
O
3
-p
2
h
O
-1
p
2
2p x
p
-2
74
∴ 주기 : 2p , 최댓값 : 2 , 최솟값 : -2
1̀) 치역 : { y|0…y…1}, 주기 : p
2) 치역 : { y|0…y…1}, 주기 : p
`2)) y=-cos x의 그래프는 그림과 같다.
y
3) 치역 : { y|yæ0}, 주기 : p
4) 치역 : { y|-1…y…1}, 주기 : 없다.
1
x
-2p
5) 치역 : { y|-1…y…1}, 주기 : 2p
6) 치역 : 실수 전체의 집합, 주기 : 없다.
-p
O
p
2p
-1
∴ 주기 : 2p, 최댓값 : 1, 최솟값 : -1
75
`3)) y=;2!; tan x의 그래프는 그림과 같다.
① 주기는 없다.
③ 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.
y
④ 치역은 {y|-1…y…1}이다.
⑤ 점근선은 없다.
②
O
p
-2
p
2
p 3
-p
2
x
76
③ 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.
③
∴ 주기 : p, 최댓값과 최솟값 : 없다.
Ⅱ. 삼각함수 39
84
`4)) y=|;2!; cos x|의 그래프는 그림과 같다.
`1)) y=cos 3x의 그래프는 그림과 같다.
y
1
2
y
1
x
-2p
-p
p
3
2p
p
O
p
2
p
6
O
1
-2
2 x
-p
3
-1
∴ 주기 : p, 최댓값 : ;2!;, 최솟값 : 0
∴ 주기 : ;3@;p, 최댓값 : 1, 최솟값 : -1
`5)) y=|2 tan x|의 그래프는 그림과 같다.
`2)) y=-2 cos 2x의 그래프는 그림과 같다.
y
y
2
-p
p
-2
p
O 2
p
p
x
p
-4
p
4
O
x
p 3
- 2 4p
∴ 주기 : p, 최댓값 : 없다, 최솟값 : 0
-2
1) 주기 : 2p, 최댓값 : 2, 최솟값 : -2
2) 주기 : 2p, 최댓값 : 1, 최솟값 : -1
∴ 주기 : p, 최댓값 : 2, 최솟값 : -2
3) 주기 : p, 최댓값과 최솟값 : 없다.
1) 주기 : ;3@;p, 최댓값 : 1, 최솟값 : -1
4) 주기 : p, 최댓값 : ;2!;, 최솟값 : 0
2) 주기 : p, 최댓값 : 2, 최솟값 : -2
5) 주기 : p, 최댓값 : 없다, 최솟값 : 0
82
85
함수 y=a sin x의 최댓값이 ;2#;이므로
|a|=;2#;
`1)) y=tan ;2{;의 그래프는 그림과 같다.
∴ a=;2#; (∵ a>0)
주기가 bp이므로 bp=2p
y
∴ b=2
∴ a+b=;2&;
;2&;
x
O
p
-p
83
2p
3p
`1)) y=sin 2x의 그래프는 그림과 같다.
y
1
점근선의 방정식은
3
-p
4
O
2
px
p
p
- 4
2
-1
= n p+;2“;
∴ 점근선의 방정식 : x= 2n p+ p (단, n은 정수)
∴ 주기 : 2p
`2)) y=2 tan ;2“;x의 그래프는 그림과 같다.
∴ 주기 : p , 최댓값 : 1 , 최솟값 : -1
y
`2)) y=;2!; sin 3x의 그래프는 그림과 같다.
y
1
2
1
-2
x
p
2
O
p
6
p
3
O
x
2
-p
3
-1
1
2
3
x
∴ 주기 : ;3@;p, 최댓값 : ;2!;, 최솟값 : -;2!;
1) 주기 : p, 최댓값 : 1, 최솟값 : -1
2) 주기 : ;3@;p, 최댓값 : ;2!;, 최솟값 : -;2!;
40 정답과 해설
점근선의 방정식은 ;2“;x=np+;2“;
∴ 점근선의 방정식 : x=2n+1 (단, n은 정수), 주기 : 2
89
`3)) y=-2 tan 3x의 그래프는 그림과 같다.
y
`1)) y-( -1 )=sin {x- ;2“; }
∴ y=sin {x- ;2“; }- 1
p
-6
p
6
O
p
3
p x
2
최댓값은 1- 1 = 0 , 최솟값은 -1- 1 = -2 ,
주기는 2p
∴ y=-sin {2x-;3@;p}+2
`2)) y-2=-sin 2 {x-;3“;}
점근선의 방정식은 3x=np+;2“;
최댓값은 1+2=3, 최솟값은 -1+2=1, 주기는
∴ 점근선의 방정식 : x=;3N;p+;6“; (단, n은 정수), 주기 : ;3“;
1) 점근선의 방정식 : x=2np+p (n은 정수), 주기 : 2p
2) 점근선의 방정식 : x=2n+1 (n은 정수), 주기 : 2
2p
=p
2
1) y=sin {x-;2“;}-1, 최댓값 : 0, 최솟값 : -2, 주기 : 2p
2) y=-sin {2x-;3@;p}+2, 최댓값 : 3, 최솟값 : 1, 주기 : p
3) 점근선의 방정식 : x=;3N;p+;6“; (n은 정수), 주기 : ;3“;
90
y=2sin (3x-p)+1=2 sin 3{x-;3“;}+1이므로
86
y=2sin (3x-p)+1의 그래프는 y=2 sin 3x의 그래프를 x축
f(x)=-;3!; cos px에서
a=| -;3!; |=
의 방향으로
1
p
만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
3
∴ p=;3“;, q=1
3
p=;3“;, q=1
91
b=-| -;3!; |= -;3!;
ㄱ̀. 주기가 2p인 주기함수이다. (거짓)
ㄴ. f(x)의 최댓값은 1-2=-1, 최솟값은 -1-2=-3이므
2p
c=
= 2
p
로 최댓값과 최솟값의 합은 -4이다. (거짓)
∴ a+b+c= 2
2
따라서 옳은 것은 ㄷ이다.
ㄷ
92
`1)) y-;3$;=;3!; cos (x+p)
87
∴ y=;3!; cos (x+p)+;3$;
f(x)=a tan bx+2에서 주기가 ;2“;이므로
최댓값은 ;3!;+;3$;=;3%;
p
=;2“;
|b|
∴ b=2 (∵ b>0) ⇨ f(x)=a tan 2x+2
최솟값은 -;3!;+;3$;=1
p
p
f { }=a tan +2=a+2=4
8
4
∴ a=2
주기는 2p
a=2, b=2
`2)) y+1=-2 cos ;3!; {x-
p
}
3
∴ y=-2 cos {;3!;x-;9“;}-1
88
최댓값은 2-1=1
p
p
f {x+ }=f(x)이므로 f(x)는 주기가 인 주기함수이다.
3
3
최솟값은 -2-1=-3
ㄱ. f(x)=;2!; sin ;3“;x의 주기 :
주기는
2p =6
;3!;
|;3“;|
ㄴ. f(x)=cos 6x의 주기 :
1) y=;3!; cos (x+p)+;3$;,
2p
=;3“;
|6|
ㄷ. f(x)='3 tan 3x의 주기 :
2) 최댓값 : ;3%;, 최솟값 : 1, 주기 : 2p
p
=;3“;
|3|
따라서 주기가 ;3“;인 함수는 ㄴ, ㄷ이다.
2p =6p
2) y=-2cos{;3!;x-;9“;}-1,
⑤
2) 최댓값 : 1, 최솟값 : -3, 주기 : 6p
Ⅱ. 삼각함수 41
93
97
p
y=cos{x+ }=-sin x
2
②
ㄱ. f(x)=-tan (2px-p)+1의 주기는
p
=;2!; (참)
|2p|
ㄴ. f(x)의 최댓값과 최솟값은 없다. (거짓)
ㄷ. f(x)=-tan (2px-p)+1=-tan 2p {x-
94
f(x)=-tan (2px-p)+1의 그래프는
2p =4p
ㄱ. f(x)=3 cos {;2{;+p}-1의 주기는
1
}+1
2
y=-tan 2px의 그래프를 x축의 방향으로
|;2!;|
1
만큼,
2
y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. (참)
f(x+2p)=f(x-2p)에서 x-2p=t로 치환하면
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
f(t)=f(t+4p)로 주기가 4p인 함수이다. (참)
ㄱ, ㄷ
ㄴ. 최댓값은 2, 최솟값은 -4이므로 최댓값과 최솟값의 합은
음수이다. (참)
ㄷ. f(x)=3 cos {
x
+p}-1=3 cos ;2!; (x+2p)-1
2
98
ㄷ. f(x)=3 cos {
x
1
+p}-1=3 cos (x+2p)-1의 그래
2
2
주̀기가
프는 y=3 cos
x
의 그래프를 x축의 방향으로 -2p만큼, y
2
=
p
b
∴ b= 8
4
f(0)=a sin 0+c=c
축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
2p
p
이므로
4
ㄱ, ㄴ
∴ c=3
f(x)=a sin 8x+3의 최댓값이 8이므로
a+c=8
∴ a= 5
a=5, b=8, c=3
95
y-5=tan {x-
p
}
6
∴ y=tan {x-
p
}+5
6
99
주기는 p
점근선의 방정식은 x-
∴ b=;2!; (∵ b>0)
p
p
=np+ 이므로
6
2
f(x)=a cos ;2!;x+c의 최솟값이 -2이므로
x=np+;3@;p (n은 정수)
y=tan {x-
2p
=4p
|b|
주기가 4p이므로
-|a|+c=-2
-a+c=-2 (∵ a>0) y ㉠
p
}+5, 주기 : p,
6
점근선의 방정식 : x=np+;3@;p (n은 정수)
f {;3@;p}=a cos
p
+c=;2A;+c
3
;2A;+c=;2%; y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=3, c=1
96
② y=sin 3(x-p)의 그래프는 y=sin 3x의 그래프를 x축의
∴ a+b+c=3+;2!;+1=;2(;
;2(;
방향으로 p만큼 평행이동한 것과 같다.
③ y=sin 3(x+5p)+2의 그래프는 y=sin 3x의 그래프를 x
축의 방향으로 -5p만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한
것과 같다.
④ y=-cos 3 {x+
⑤ y=cos {3x⑤ y=cos {
2x =6p
∴ b=3 (∵ b>0)
|;b!;|
p
}+;2!;
2
f(x)=a cos {p-;3{;}+c의 최댓값이 1이므로
|a|+c=1
-a+c=1 (∵ a>0) y ㉠
p
}+;2!;의 그래프는 y=sin 3x의 그래프를
2
f(p)=a cos ;3@;p+c=-;2A;+c=-2 y ㉡
1
만큼 평행이동한 것과 같다.
2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=2, c=-1
y축의 방향으로
42 정답과 해설
주기가 6p이므로
p
p
}=-cos {3x+ }=sin 3x
6
2
p
-3x}+;2!;=sin 3x+;2!;
2
⑤ y=cos {3x-
100
①
a=2, b=3, c=-1
101
주기가
104
p
p
p
=
이므로
2
|b|
2
최댓값이 ;2&;이고 a>0이므로 a+c=;2&; y ㉠
∴ b=2 (∵ b>0)
f(x)=a tan 2x+c에서 f(0)='3이므로
f(0)=a tan 0+c=c
f{
주기가
∴ c='3
f{
p
}=2이므로
18
f{
p
p
}=a|sin |+c=2
18
6
p
p
}=a tan +c='3a+'3
6
3
'3a+'3=0
∴ a=-1
a=-1, b=2, c='3
p
p
p
이고 b>0이므로 =
3
b
3
∴ b=3
;2!;a+c=2 y ㉡
㉠, ㉡을 연립하면 a=3, c=;2!;
102
∴ a+b+c=3+3+;2!;=;;¡2;£ ;
;;¡2;£ ;
주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 1, 최솟값이 -3이고 a>0
이므로
a+ d =1, -a +d=-3
105
위의 두 식을 연립하면 a= 2 , d= -1
최댓값이 5이므로 1+b=5
주기가 ;2#;p- ;2“; = p 이고 b>0이므로
p
p
p
주기가 이고 a>0이므로 a =
4
4
2p
= p
b
∴f{
∴ b= 2
∴ b=4
∴ a=4
p
p
}=|cos |+4=;2!;+4=;2(;
12
3
;2(;
주어진 함수의 식은 y= 2 sin ( 2 x+c)- 1 이고, 그래
프가 점 (0, 1 )을 지나므로
1 =2 sin ( 0 +c)- 1
106
최솟값이 -1이므로 0+b=-1
⇨ sin c= 1
주기가
0<c<p이므로 c= ;2“;
∴f{
∴ a= 2 , b= 2 , c= ;2“; , d= -1
∴ b=-1
p
p
p
이고 a>0이므로 a =
2
2
∴ a=2
p
p
}=|tan |-1=1-1=0
8
4
0
a=2, b=2, c=;2“;, d=-1
107
`1)) cos {x+
p
p
}=cos { +x}= -sin x
2
2
sin x =t로 치환하면
103
y=sin x-cos {x+
주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 4, 최솟값이 -2이고 a>0
이므로
a+d=4, -a+d=-2
`
-4 …2t-2… 0
13
p
p- =2p이고 b>0이므로
6
6
2p
=2p
b
따라서 주어진 함수의 최댓값은 0 , 최솟값은 -4 이다.
∴ b=1
`2)) sin {x-
주어진 함수의 식은 y=3 cos (x-c)+1이고 그래프가 점
{
0<c<
y=2 cos x-sin {x-
p
p
-c}+1 ⇨ cos { -c}=1
6
6
p
p
이므로 -c=0
2
6
∴ a=3, b=1, c=;6“;, d=1
p
p
}=-sin { -x}=-cos x
2
2
cos x=t로 치환하면
p
, 4}를 지나므로
6
4=3 cos {
y=t+ t -2= 2t -2
이때, -1…t…1이므로
위의 두 식을 연립하면 a=3, d=1
주기가
p
}-2
2
∴ c=
`
y=2t+t+1=3t+1
이때, -1…t…1이므로
p
6
a=3, b=1, c=
p
}+1
2
-2…3t+1…4
p
, d=1
6
따라서 주어진 함수의 최댓값은 4, 최솟값은 -2이다.
1) 최댓값 : 0, 최솟값 : -4
2) 최댓값 : 4, 최솟값 : -2
Ⅱ. 삼각함수 43
108
`2)) sin¤ x+cos¤ x=1이므로
`1)) y=|cos x-1|+1에서
y=-sin¤ x+cos x+;4%;=-(1-cos¤ x)+cos x+;4%;
cos x=t로 치환하면
y=cos¤ x+cos x+;4!;
y=|t-1|+1
tæ1일 때, y=t
cos x=t로 치환하면
y
t<1일 때, y=-t+2
2
9
4
이때, -1…t…1이므로
오른쪽 그림에서 t=-1일 때 최댓값
1
은 3, t=1일 때 최솟값은 1이다.
오른쪽 그림에서
-1 O
1
t
`2)) y=|2 sin x+4|-3에서
1
4
t=1일 때, 최댓값은 ;4(;,
-1 1 O
-2
t=-;2!;일 때, 최솟값은 0이다.
sin x=t로 치환하면
y
3
y=|2t+4|-3
tæ-2일 때, y=2t+1
1
O
이때, -1…t…1이므로
1 t
-1
오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값은
sin {x-;2“;}=-sin {;2“;-x}=-cos x 이고,
sin¤ x+cos¤ x=1이므로
y=cos {x+;2“;}-sin¤ {x-;2“;}+3
-3
3, t=-1일 때 최솟값은 -1이다.
1 t
`3)) cos {x+;2“;}=-sin x,
-2 -1
t<-2일 때, y=-2t-7
1) 최댓값 : 3, 최솟값 : 1
y
y=t¤ +t+;4!;={t+;2!;}¤
3
이때, -1…t…1이므로
2) 최댓값 : 3, 최솟값 : -1
y=-sin x-cos¤ x+3=-sin x-(1-sin¤ x)+3
y=sin¤ x-sin x+2
sin x=t로 치환하면
109
y=t¤ -t+2={t-;2!;}¤ +;4&;
y=a|cos x-2|+b에서
이때, -1…t…1이므로
cos x=t로 치환하면
7
4
t=-1일 때, 최댓값은 4,
y
3a+b
tæ2일 때, y=at-2a+b
-1 O 1 1
2
t=;2!;일 때, 최솟값은 ;4&;이다.
t<2일 때, y=-at+2a+b
이때, a>0이고 -1…t…1이므로
1) 최댓값 : 5, 최솟값 : -3
-1
은 a+b, t=-1일 때 최댓값은
O
1
t
a+b
∴ a+b=-1, 3a+b=5
`1)) y=
∴ a¤ +b¤ =25
25
110
y= -2 t¤ +4t+ 3
-(t+1)+4
-t+3
=
t+1
t+1
y=
4
-1
t+1
솟값은 1이고 최댓값은 없다.
y
3
1
-1
t
1
O
-1
y
5
`2)) y=
-2 cos x-5
에서 cos `x=t로 치환하면
cos x+2
3
y=
-2(t+2)-1
-2t-5
-1
=
=
-2
t+2
t+2
t+2
-1
O
1
-3
t
오른쪽 그림에서
-2 -1
오른쪽 그림에서 t=1일 때 최댓값은 5
이다.
t= -1 일 때, 최솟값은 -3 이다.
1) 최댓값 : 없다, 최솟값 : 1
O 1
t
t=1일 때, 최댓값은 -;3&;
t=-1일 때, 최솟값은 -3
3
y
이때, -1…t…1이므로
=-2(t- 1 )¤ + 5
이때, -1 …t… 1 이므로
y=
오른쪽 그림에서 t=1일 때, 최
y=2 cos¤ x+4 sin x+1
sin x=t로 치환하면
-sin x+3
에서 sin x=t로 치환하면
sin x+1
이때, -1<t…1이므로
`1)) sin¤ x+cos¤ x= 1 이므로
= -2 sin¤ x+4 sin x+ 3
3) 최댓값 : 4, 최솟값 : ;4&;
111
b
두 식을 연립하면 a=3, b=-4
=2( 1 -sin¤ x)+4 sin x+1
t
2) 최댓값 : ;4(;, 최솟값 : 0
2
3a+b이다.
44 정답과 해설
4
오른쪽 그림에서
y=a|t-2|+b
오른쪽 그림에서 t=1일 때 최솟값
y
-2
7
-3
-3
2) 최댓값 : -;3&;, 최솟값 : -3
112
115
-4|sin x|+2
y=
에서
2|sin x|+1
`1)) csc ;6“;=
|sin x|=t로 치환하면
y=
=
-2(2t+1)+4
-4t+2
=
2t+1
2t+1
`3)) cot ;3“;=
4
-2
2t+1
1
-2
1
sin ;6“;
1
tan ;3“;
y
`4)) csc {-;3“;}=
2
`5)) sec {-;6“;}=
t
`6)) cot {-;4“;}=
1) 2
2) '2
=
sin {-;3“;}
1
=
cos {-;6“;}
1
=
tan {-;4“;}
-2
이때, 0…t…1이므로
1
cos ;4“;
='2
'3
3
=
1
O 1
2
-3
`2)) sec ;4“;=
=2
'3
3) 3
1
-sin ;3“;
1
cos ;6“;
=-
2'3
3
=
1
-tan ;4“;
2'3
3
=-1
2'3
4) - 3
5)
2'3
3
6) -1
위의 그림에서
t=0일 때, 최댓값은 2
116
t=1일 때, 최솟값은 -;3@;
`1))
M=2, m=-;3@;이므로
1
1
+
1+sin h
1-sin h
=
M-3m=4
4
(1-sin h)+(1+sin h)
(1+sin h)(1-sin h)
2
=
`2))
II-4 삼각방정식과 삼각부등식
pp.87~94
113
OP”=Æ… 3 ¤ +4¤ = 5 이므로
=
2
= 2 sec¤ h
cos¤ h
tan h
tan h
sec h-1
sec h+1
=
tan h(sec h+1)-tan h(sec h-1)
(sec h-1)(sec h+1)
=
2tan h
2 tan h
2
=
=
=2 cot h
tan h
sec¤ h-1
tan¤ h
`3)) (1+cot¤ h)(1-cos¤ h)=csc¤ h¥sin¤ h
y
5
4
csc h= ;4%;
1-sin¤ h
=
P(3, 4)
1
¥sin¤ h=1
sin¤ h
1) 2 sec¤ h
2) 2 cot h
3) 1
h
-5
sec h= ;3%;
3
O
cot h= ;4#;
5 x
117
`1)) sec h<0일 때, h는 제2`사분면 또는 제3`사분면의 각
-5
cot h<0일 때, h는 제2`사분면 또는 제4`사분면의 각
csc h=;4%;, sec h=;3%;, cot h=;4#;
따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 각 h는 제2`사분면의
각이다.
`2)) csc h>0일 때, h는 제1`사분면 또는 제2`사분면의 각
114
sec h>0일 때, h는 제1`사분면 또는 제4`사분면의 각
OP”="√(-'3 )¤ +1¤ =2이므로
y
csc h=2
2
2'3
2
=3
'3
cot h=-'3
sec h=-
P(-'3, 1)
-'3
각이다.
1
h
2
-2
따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 각 h는 제1`사분면의
O
`3)) csc h sec h>0에서
2
x
csc h>0, sec h>0 또는 csc h<0, sec h<0
한편, csc h+sec h<0이므로 csc h<0, sec h<0
csc h<0일 때, h는 제3`사분면 또는 제4`사분면의 각
-2
csc h=2 , sec h=-
2'3
, cot h=-'3
3
sec h<0일 때, h는 제2`사분면 또는 제3`사분면의 각
따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 각 h는 제3`사분면의
각이다.
1) 제2`사분면
2) 제1`사분면
3) 제3`사분면
Ⅱ. 삼각함수 45
118
'3
이므로 0…x<2p에서 y=cos x의 그래프와
2
`2)) cos x=
ㄱ. sin h+cos h=;2!;의 양변을 제곱하면
직선 y=
ㄱ. sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h=;4!;
cos
ㄱ. 1+2 sin h cos h=;4!;
p '3
p
=
이므로 점 A의 x좌표는 x=
2
6
6
점 A와 점 B는 직선 x=p에 대하여 대칭이므로 점 B의
p
p
x좌표는 x=2p- =;;¡6;¡ ;p
∴ x= 또는 x=;;¡6;¡ ;p
6
6
ㄱ. ∴ sin h cos h=-;8#; (참)
ㄴ. tan h +cot h=
sin h
cos h
sin¤ h+cos¤ h
+
=
cos h
sin h
sin h cos h
y
1
1
=-;3*; (거짓)
ㄴ. tan h +cot h=
sin h cos h
O
=1-2 sin h cos h
p
2p x
11
-p
6
3
-p
2
'3
이므로 0…x<2p에서 y=tan x의 그래프와
3
`3)) tan x=
3
7
}=
8
4
직선 y=
sin h>cos h이므로 sin h -cos h>0
tan
'7
(참)
2
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
ㄱ, ㄷ
'3
y=2
B
-1
=sin¤ h-2 sin h cos h+cos¤ h
∴ sin h -cos h=
A
p p
-6 2
ㄷ. (sin h -cos h)¤
=1-2_{-
'3
의 교점의 x좌표를 구한다.
2
'3
의 교점의 x좌표를 구한다.
3
p '3
p
=
이므로 점 A의 x좌표는 x=
3
6
6
y=tan x의 주기는 p이므로 점 B의 x좌표는
x=p+
p
=;6&;p
6
∴ x=
p
또는 x=;6&;p
6
y
119
`1)) [풀이`1]
'3
-A
3
'2
의교
2
0…x<2p에서 y=sin x의 그래프와 직선 y=
B
p
pO 6 2
점의 x 좌표를 구한다.
sin
x좌표는 x=p- ;4“; = ;4#;p
p
3) x= 6 또는 x=;6&;p
120
A
B
'2
y=2
3
-p
2
p
t좌표를 구하면
p
pO6 2
-1
5
-p
6
y
B
1
3
-p
4
2 x=
A
'2
y=2
p
4
점 A, B에 대하여 두 동
-1
O
각의 크기를 구하면
p
또는 x= ;4#;p
4
3
-p
2
p
'2
y=
와 단위원의 교
2
경 OA, OB가 나타내는
p
, ;6%;p , ;;¡6;£ ;p , ;;¡6;¶ ;p 이므로
6
y
1
2p x
p
p
- 2 3
4
-p
4
그림과 같이 직선
46 정답과 해설
y㉠
㉠의 범위에서 y=sin t의 그래프와 직선 y= ;2!; 의 교점의
[풀이`2]
x=
p
2) x= 6 또는 x=;;¡6;¡ ;p
한편, 0…x<2p이므로 0…t< 4p
y
-1
'3
y=3
`1)) sin 2x=;2!;이고 2x =t로 치환하면 sin t =;2!;
∴ x=;4“; 또는 x= ;4#;p
'2 1
-2
O
2p x
3
-p
7
2
-p
6
p
1) x= 4 또는 x=;4#;p
p '2
=
이므로 그림과 같이 점 A의 x좌표는 x= ;4“;
2
4
점 A와 점 B는 직선 x= ;2“; 에 대하여 대칭이므로 점 B의
p
-1
1
2p
3p
4p
1
y=2
13
-p
6
17
-p
6
p
또는 2 x= ;6%; p 또는 2 x= ;;¡6;£ ; p
6
또는 2 x= ;;¡6;¶ ; p
x
∴ x=
t
p
또는 x= ;1∞2;p 또는 x= ;1!2#;p
12
또는 x= ;1!2&;p
`2)) cos{x+
x+
p
'2
}=4
2
122
'2
p
=t로 치환하면 cos t=4
2
한편, 0…x<2p이므로
tan {x+
p
9
…t< p y`㉠
4
4
x+
㉠의 범위에서 y=cos t의 그래프와 직선 y=점의 t좌표를 구하면
'2
의교
2
3
5
p, p이므로
4
4
p
=t로 치환하면 tan t='3
6
한편, 0…x<2p이므로
13
p
…t<
p y`㉠
6
6
㉠의 범위에서 y=tan t의 그래프와 직선 y='3의 교점의 t좌
y
1
4
p
또는 p이므로
3
3
표는
3
-p
4
p
O
5
-p
4
'2
--2
-1
y
t
p
4
2p 9 p
4
'2
y=--2
'3
p
3
p
5
x+ = p 또는 x+ = p
4
4
4
4
x+
1
p
1
p
x+ }='3이고 x+ =t로 치환하면
3
2
3
2
∴ x=
p
5
<t< p y`㉠
6
6
㉠의 범위에서 y=tan t의 그
래프와 직선 y='3의 교점의
t좌표는
p
이므로
3
p
4
3
-p -p
3
2
13 t
-p
6
7
p
또는 x= p
6
6
a+b=
∴ cos
y
7
p
+ p=;3$;p
6
6
a+b
=cos ;3“;=;2!;
4
;2!;
y='3
'3
p 5
- -p
2 6
O
1
p
p
x+ =
3
2
3
2p
4
p
p
p
= 또는 x+ = p
6
3
6
3
tan t='3
한편, -p<x<p이므로
y='3
p
2
pp
O 6 3
∴ x=;2“; 또는 x=p
`3)) tan {
p
}='3이고,
6
p
p p
-6 3
t
123
∴ x=-;2“;
`1)) sin¤ x+ cos¤ x =1이므로
p
5
13
17
1) x= 12 또는 x= 12 p 또는 x= 12 p 또는 x= 12 p
2( 1-sin¤ x )+3 sin x-3=0
p
2) x= 2 또는 x=p
2 sin¤ x -3sin x+ 1 =0
p
3) x=- 2
( 2 sin x -1)(sin x- 1 )=0
121
2x+
∴ sin x=;2!; 또는 sin x= 1
'3
p
=t로 치환하면 sin t=
6
2
한편, 0…x<p이므로
0…x<2p에서
13
p
…t<
p y`㉠
6
6
⁄ sin x=;2!;일 때, x=
㉠의 범위에서 y=sin t의 그래프와 직선 y=
'3
의 교점의 t좌
2
2
p
표는
또는 p이므로
3
3
'3
y=-2
p
`2)) 2 sin¤ x-sin x=0
2p
p p 2
O p
6 3 3
(2 sin x-1)sin x=0
13
t
-p
6
sin x=;2!; 또는 sin x=0
-1
2x+
¤ sin x= 1 일 때, x= ;2“;
∴ x=;6“; 또는 x= ;2“; 또는 x= ;6%;p
y
1
'3
-2
p
또는 x= ;6%;p
6
0…x<2p에서
2
p
p
p
= 또는 2x+ = p
6
3
6
3
sin x=;2!;이면 x=
p
p
∴ x=
또는 x=
12
4
p
p
p
+ = 이다.
따라서 모든 근의 합은
12
4
3
p
또는 x=;6%;p
6
sin x=0이면 x=0 또는 x=p
p
3
∴ x=0 또는 x=;6“; 또는 x=;6%;p 또는 x=p
Ⅱ. 삼각함수 47
`3)) tan x-
`2)) cos px=|x|의 실근의 개수는 y=cos px의 그래프와
'3
=1-'3의 양변에 tan x를 곱하면
tan x
y=|x|의 그래프의 교점의 개수와 같다.
tan¤ x-(1-'3 )tan x-'3=0
2p
=2이므로
p
(tan x-1)(tan x+'3 )=0
y=cos px의 주기는
∴ tan x=1 또는 tan x=-'3
두 함수 y=cos px와 y=|x|의 그래프는 그림과 같다.
0…x<2p에서
y
p
⁄ tan x=1일 때, x= 또는 x=;4%;p
4
1
y=|x|
y=cos px
3
¤ tan x=-'3일 때, x=;3@;p 또는 x=;3%;p
-2
-1
1
O
x
2
-1
∴ x=;4“; 또는 x=;3@;p 또는 x=;4%;p 또는 x=;3%;p
위 그림에서 두 그래프의 교점이 2개이므로
p
p
1) x= 6 또는 x= 2 또는 x=;6%;p
cos px=|x|의 실근의 개수는 2이다.
`3)) sin |x|=
2) x=0 또는 x=;6“; 또는 x=;6%;p 또는 x=p
3) x=;4“; 또는 x=;3@;p 또는 x=;4%;p 또는 x=;3%;p
|x|
이므로 3sin |x|=|x|의 실근의 개수는
3
y=sin |x|의 그래프와
y=
|x|
의 그래프의 교점의 개수와 같다.
3
y
y=sin |x|
124
|x|
y=3
1
1̀=sin¤ x+cos¤ x이므로
-p
-3
3cos¤ x+cos x¥sin x=2(sin¤ x+cos¤ x)
p
-1
O
1
3
x
cos¤ x+cos x¥sin x-2 sin¤ x=0
-1
(cos x+2sin x) (cos x-sin x)=0
cos x=-2sin x 또는 cos x=sin x
위 그림에서 두 그래프의 교점이 3개이므로
위의 두 식의 양변을 각각 cos x로 나누면
3 sin |x|=|x|의 실근의 개수는 3이다.
1=-2 tan x 또는 1=tan x
1) 7개
∴ tan x=-;2!; 또는 tan x=1
126
p
이때, 0…x< 에서 tan xæ0이므로
2
cos¤ x-2 cos x+k=0에서
2) 2개
3) 3개
-cos¤ x+2 cos x=k
tan x=1
함수 y=-cos¤ x+2 cos x라 하고
∴ x=;4“;
③
cos x=t로 치환하면
y
™
y=-t +2t
1
-1 O
-1…t…1이고
1
y=-t¤ +2t=-(t-1)¤ +1
125
`1)) sin px=;3!;x의 실근의 개수는 y=sin px의 그래프와 직선
t
y=k
따라서 오른쪽 그림에서 주어진 방
정식이 실근을 가지려면
-3…k…1
-3…k…1
-3
y= ;3!; x의 교점 의 개수와 같다.
y=sin px의 주기는
2p
127
= 2 이므로
s̀in¤ x+2 sin {x+
p
두 함수 y=sin px와 y=;3!;x의 그래프는 그림과 같다.
y
1
x
y=sin px y=3
1
-3 -2
-1
O
1
2
3
-1
x
p
}+k=0에서
2
(1-cos¤ x)+2 cos x+k=0 ⇨ cos¤ x-2 cos x-1=k
y=cos¤ x-2 cos x-1이라 하고 cos x=t로 치환하면
-1…t…1이고
y=t¤ -2t-1=(t-1)¤ -2
오른쪽 그림에서 주어진 방정식이
실근을 가지려면
-2…k…2
sin px=;3!;x의 실근의 개수는 7 이다.
48 정답과 해설
M+m=0
2
y=k
1
따라서 M=2, m=-2이므로
위 그림에서 두 그래프의 교점이 7 개이므로
y
④
-1
-2
O
t
™
y=t -2t-1
128
`1)) sin x>
1
의 해는 그림에서 y=sin x의 그래프가 직선
2
`2)) 2 sin {x+
x+
y= ;2!; 보다 위 쪽(경계선 제외 )에 있는 부분의 x의 값
래프는 그림과 같으므로 두 그래프의 교점의 t좌표를 구하면
p
, ;4#;p
4
1
y= 2
2p
x
p
p
2
p
…t<;;¡6;£ ;p
6
'2
p
…t<;;¡6;£ ;p에서 y=sin t의 그래프와 직선 y=
의그
6
2
y=sin x
1
2 O
p
6
'2
p
=t로 놓으면 sin t>
y`㉠
6
2
0…x<2p이므로
의 범위이므로 ;6“; <x< ;6%; p
y
1
'2
p
p
}>'2에서 sin {x+ }>
6
6
2
5
-p
6
y
-1
y=sin t
1
O
p
p
- 4
6
-1
'3
`2)) '3 tan x+1…0, 즉 tan x…의 해는 그림에서
3
'3
y=tan x의 그래프가 직선 y=보다 아래쪽(경계선
3
p
3
-p
4
'2
y=2
2p
13
--p
6
포함)에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로
㉠의 해는 y=sin t의 그래프가 직선 y=
;2“;<x…;6%;p 또는 ;2#;p<x…;;¡6;¡ ;p
계선 제외)에 있는 부분의 t의 값의 범위이므로
y
p 5
- -p
2 6
p
3 11
-p -p
2 6
'3
2p x y=-3
5
3
11
p
2) 2 <x… 6 p 또는 2 p<x… 6 p
1) ;6“;<x<;6%;p
x-
∴
'3
p
에서
}…3
2
p
<x<;1¶2;p
12
p
7
2) 12 <x< 12 p
130
sin¤ x +cos¤ x=1이므로
2(1-cos¤ x) -3 cos x<0
2 cos¤ x+3 cos x- 2 >0
'3
p
=t로 놓으면 cos t…y`㉠
3
2
0…x<2p이므로 -
p
p
p
3
이므로 <x+ < p
6
4
6
4
7
3
1) 6 p…x… 2 p
`1))
129
`1)) cos {x-
( 2 cos x-1)(cos x+ 2 )>0
p
…t<;3%;p
3
그런데 cos x+2 > 0이므로 2 cos x-1>0
'3
p
- …t<;3%;p에서 y=cos t의 그래프와 직선 y=3
2
∴ cos x> ;2!; y`㉠
의 그래프는 그림과 같으므로 두 그래프의 교점의 t좌표를
구하면
5
7
p, p
6
6
0…x…p에서 y= cos x 와 직선 y=
y
1
림과 같으므로 교점의 x좌표는 ;3“;
p
2
p
-3
-1
1
의 그래프는 그
2
y
7
3
5
-p
-p -p
6 p 6
2
O
'2
보다 위쪽(경
2
p
3
<t< p
4
4
y=tan x
t=x+
O
t
5
-p
3
y=cos t
㉠의 해는 y=cos t의 그래프가 직선 y=-
t
'3
y=-2
'3
보다 아래
2
1
1
2
y=cos x
O
p p
-3 2
1
y=2
p
x
-1
쪽(경계선 포함)에 있는 부분의 t의 값의 범위이므로
부등식 ㉠의 해는 함수 y=cos x의 그래프가 직선 y= ;2!;
;6%;p…t…;6&;p
보다 위 쪽(경계선 제외 )에 있는 x의 값의 범위이므로
이때, t=x-;3“;이므로
;6%;p…x-;3“;…;6&;p
∴ ;6&;p…x…;2#;p
0 …x< ;3“;
Ⅱ. 삼각함수 49
`2)) cos {x+
II-5 삼각함수의 미분
p
}=-sin x이므로
2
pp.95~102
2 sin¤ x+3 sin x-2…0 ⇨ (2 sin x-1)(sin x+2)…0
132
그런데 sin x+2>0이므로
`1)) sin 75°=sin (30°+ 45° )
2 sin x-1…0 ⇨ ∴ sin x…;2!; y`㉠
=sin 30°¥ cos 45° +cos 30°¥ sin 45°
1
0…x<2p에서 y=sin x와 직선 y= 의 그래프는 그림과
2
같으므로 교점의 x좌표는
y
1
1
2
O
p 5
, p
6 6
'3
'2
'2+'6
1 '2
+`
¥`
=
sin 75°= ¥`
2
2
2
2
4
`2)) tan 105°=tan (45°+ 60° )
y=sin x
1
y=2
p
p
6
`
tan 105°=
`
tan 105°=
2p x
5
-p
6
-1
tan 45° + tan 60°
1 - tan 45°¥tan 60°
1+ '3
= -2-'3
1- '3
부등식 ㉠의 해는 함수 y=sin x의 그래프가 직선 y=
'2 '3 '2 '2+'6
1) 45°, cos 45°, sin 45°, 2 , 2 , 2 ,
4
2) 60°, +, 60°, -, 60°, '3, '3, -2-'3
1
보
2
다 아래쪽(경계선 포함)에 있는 x의 값의 범위이므로
0…x…;6“; 또는 ;6%;p…x<2p
133
`3)) tan¤ x-('3+1)tan x+'3<0
`1)) sin 15°=sin (45°-30°)
=sin 45°¥cos 30°-cos 45°¥sin 30°
(tan`x-'3 )(tan x-1)<0
∴ 1<tan x<'3 y`㉠
0…x<;2“;에서 y=tan x와 두 직선 y=1, y='3의 그래프
=
'2 '3
'2 1
¥
¥
2
2
2 2
는 그림과 같으므로 교점의 x좌표는 각각 ;4“;, ;3“;
=
'6-'2
4
부등식 ㉠의 해는 함수
y=tan x의 그래프가 직선
y='3
y=1보다 위쪽(경계선 제외)
y=1
y=tan x
y
에 있고 직선 y='3보다 아
`2)) cos 105°=cos (60°+45°)
=cos 60°¥cos 45°-sin 60°¥sin 45°
O
p
p p
-- - x
4 3
2
래쪽(경계선 제외)에 있는 x
의 값의 범위이므로 ;4“;<x<;3“;
=
'2-'6
4
tan 60°-tan 45°
1+tan 60°¥tan 45°
'3-1
=
1+'3
=2-'3
'6-'2
1)
4
=
131
sec¤ x=1+tan¤ x이므로
(1+tan¤ x)-tan x-1>0 ⇨ tan¤ x-tan x>0
-
'3 '2
1 '2
¥
¥
2 2
2
2
`3)) tan 15°=tan (60°-45°)
1) 0…x<;3“; 2) 0…x…;6“; 또는 ;6%;p…x<2p 3) ;4“;<x<;3“;
tan x(tan x-1)>0
=
∴ tan x<0 또는 tan x>1 y`㉠
2)
'2-'6
4
3) 2-'3
p
p
<x< 에서 y=tan x와 두 직선 y=0, y=1의 그래프
2
2
는 그림과 같으므로 교점의 x좌표는 각각 0,
부등식 ㉠의 해는 함수
y=tan x의 그래프가 직선
134
p
4
y
y=tan x
`2)) cos 65°¥cos 20°+sin 65°¥sin 20°
y=1보다 위쪽(경계선 제외)
또는 직선 y=0보다 아래쪽
=cos(65°-20°)=cos 45°=
y=1
(경계선 제외)에 있는 x의 값
의 범위이므로
O
p
-2
p p x
- 4
2
-;2“;<x<0 또는 ;4“;<x<;2“;
따라서 a=0, b=;4“;이므로 a+b=;4“;
50 정답과 해설
`1)) sin 35°¥cos 55°+cos 35°¥sin 55°
=sin (35°+55°)=sin 90°=1
;4“;
`3))
'2
2
tan 25°+tan 35°
=tan (25°+35°)
1-tan 25°¥tan 35°
=tan 60°='3
1) 1
'2
2) 2
3) '3
135
139
p
`1)) 0<a< 에서 cos a > 0이므로
2
`1)) 0<a<
p p
, <b<p에서
2 2
cos a > 0, cos b < 0이므로
cos a="√1-sin¤ a =æ≠1-{ ;5$; }¤ = ;5#;
cos a=Æ…1- sin¤ a =æ≠1-{
∴ sin 2a=2 sin a cos a =2¥;5$;¥ ;5#; = ;2@5$;
'5
cos b= - "√1-sin¤ b =-æ≠1-{ ;3@; }¤ = 3
`2)) cos 2a=1-2 sin¤ a=1-2¥{;5$;}¤ =1-;2#5@;=-;2¶5;
∴ sin (a-b)=sin a cos b - cos a sin b
`3)) sin a=;5$;, cos a=;5#;이므로
tan a=
sin a
=
cos a
∴ tan 2a=
;5$;
∴ sin (a-b)=
=;3$;
;5#;
2¥;3$;
;3*;
2 tan a
=
=
=-;;™7;¢ ;
1-tan¤ a
-;9&;
1-{;3$;}¤
'ß15+2'6
`
9
2) -;2¶5;
3) -;;™7;¢ ;
`2)) cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b
=
`3)) tan a=
tan b=
'6
'5
'3 2
'ß30+2'3
¥{¥ =}3
3
3 3
9
'2
sin a
=
2
cos a
2'5
sin b
=5
cos b
∴ tan (a-b)=
136
2¥{-;3!;}
2 tan a
tan 2a=
=
1-tan¤ a
1-{-;3!;}¤
-;3@;
'3
'5
'6 2
¥{ ¥
}3
3
3
3
∴ sin (a-b)=-
1) ;2@5$;
=
'3 ¤
'6
} =
3
3
=-;4#;
-;4#;
tan a-tan b
1+tan a tan b
'2
2'5
12-{-11}
3'2+2'5
2
5
=
=
2
'2
2'5
1+12¥{-11}
2
5
'ß15+2'6
'ß30+2'3
3'2+2'5
1) 2) 3)
9
9
2
;9*;
140
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
137
`1)) 0<h<
tan a+tan b= ;2#; , tan a tan b= -;2!;
p
에서 cos h>0이므로
2
cos h="√1-sin¤ h=æ≠1-{
1+cos h
h
=
=
∴ cos¤
2
2
1-cos h
h
=
=
`2)) tan¤
2
1+cos h
tan a + tan b
∴ tan (a+b)=
'2 ¤
'7
} =
3
3
;2#;
'7
3+'7
3
=
6
2
∴ tan (a+b)=
'7
3
(tan a-tan b)¤ =(tan a+tan b)¤ -4 tan a tan b
1+
11+
1 - tan a tan b
=
3-'7
=8-3'7
3+'7
1)
3+'7
6
'7
3
2) 8-3'7
(tan a-tan b)¤ ={ ;2#; }¤ -4¥{ -;2!; }= ;;¡4;¶ ;
tan a>tan b이므로 tan a-tan b=
∴ tan (a-b)=
'∂17
2
tan a - tan b
1 + tan a tan b
138
45°
1-cos 45°
=
2
2
'2
12-'2
2
sin¤ 22.5°=
=
2
4
= 1
1 -{-;2!;}
sin¤ 22.5°=sin¤
∴ tan (a-b)=
2-'2
4
'∂17
:;2;:
1 +{-;2!;}
= '∂17
tan (a+b)=1, tan (a-b)='∂17
Ⅱ. 삼각함수 51
141
145
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
p
`1)) lim sin x=sin =;2!;
6
x ⁄ ;6“;
k
1
tan a+tan b=- , tan a tan b=
2
2
tan (a+b)=
tan a+tan b
=
1-tan a tan b
-;2K;
`2)) lim cos x=cos ;4%;p=cos {p+;4“;}=-cos ;4“; =x ⁄ ;4%;p
=3
`3)) lim (tan x+cos x)=tan {-;6“;}+cos {-;6“;}
x ⁄- ;6“;
1-;2!;
∴ k=-3
-3
=-tan ;6“;+cos ;6“;
=cos¤ x
'3
'3
'3
+
=
3
2
6
1-sin¤ x
4)) lim 1-sin x = lim 1-sin x
142
x ⁄ ;2“;
x ⁄ ;2“;
(1-sin x)(1+sin x)
1-sin x
x ⁄ ;2“;
두 직선 y=x+2, y=-3x+1이 x축의 양의 방향과 이루는
= lim
각의 크기를 각각 a, b라 하면
tan a= 1 , tan b= -3
= lim (1+sin x)
x ⁄ ;2“;
h=b - a이므로
=1+sin
tan b - tan a
sin¤ x
tan h=tan (b - a)=
1-cos¤ x
= lim
x ⁄p
-3 -1
= 2
p
=1+1=2
2
= lim
5)) lim
x ⁄ p 1+cos x
x ⁄ p 1+cos x
1 + tan b tan a
tan h=
'2
2
2
(1-cos x)(1+cos x)
1+cos x
= lim (1-cos x)
1 + (-3)¥ 1
x ⁄p
=1-cos p=1-(-1)=2
'2
2) - 2
1) ;2!;
'3
3) 6
4) 2
5) 2
143
두 직선 2x-y-1=0, x-2y+6=0이 x축의 양의 방향과 이
루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면
tan a=2, tan b=;2!;
146
h=a-b이므로
tan h=tan (a-b)=
2-;2!;
tan a-tan b
=
=;4#;
1+tan a tan b
1+2¥;2!;
`1)) x+0일 때, -1 …sin ;[!;… 1 이므로
-|x|…x sin ;[!;…|x|
sec¤ h=1+tan¤ h=1+;1ª6;=;1@6%;이므로 cos¤ h=;2!5^;
이때, lim |x|= lim (-|x|)= 0 이므로
x ⁄0
∴ cos h=;5$; (∵ h는 예각)
;5$;
x ⁄0
lim x sin ;[!;= 0
x ⁄0
`2)) x+0일 때, -1…sin ;[!;…1이므로
-|tan x|…tan x sin ;[!; …|tan x|
144
두 직선 4x-y+1=0, ax-y+2=0이 x축의 양의 방향과 이
tan a=4, tan b=a
x ⁄0
`3)) x ⁄ ¶이므로 x>0이고
p
(∵ 0<a<4)
4
tan (a-b)=
52 정답과 해설
-1…sin x…1이므로 -;[!; …
tan a-tan b
=1
1+tan a tan b
4-a
=1 ⇨ 4-a=1+4a
1+4a
x ⁄0
lim tan x sin ;[!; =0
p
두 직선이 이루는 각의 크기가 이므로
4
a-b=
이때, lim |tan x|= lim (-|tan x|)=0이므로
x ⁄0
루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면
∴ a=;5#;
sin x
…;[!;
x
이때, lim {-;[!;}= lim ;[!;=0이므로
x ڦ
;5#;
sin x
lim
=0
x ڦ
x
x ڦ
1) 0
2) 0
3) 0
147
149
3x
sin 3x
sin 3x
= lim
¥
x ⁄0
x ⁄0
2x
2x
3x
;[!; =t로 놓으면
`1)) lim
`
x ⁄ ¶일 때
t ⁄ 0이고 x=;t!; 이므로
=1¥ ;2#; = ;2#;
`2)) lim
sin 5x
sin 5x 5x
= lim
¥
=1¥ ;3%; =;3%;
x ⁄0
3x
5x
3x
`3)) lim
tan 3x
tan 3x 3x
= lim
¥
=1¥3=3
x ⁄0
x
3x
x
`4)) lim
sin 3x
sin 3x
5x
3x
= lim
¥
¥
x ⁄0
sin 5x
3x
sin 5x 5x
x ⁄0
x ⁄0
x ⁄0
lim x tan ;[!; = lim ;t!; tan t
x ڦ
t ⁄0
tan t
=1
t
= lim
t ⁄0
1
=1¥1¥ ;5#; =;5#;
150
tan (tan x)
x ⁄0
2x
`5)) lim
= lim
x ⁄0
x-p=t로 놓으면
x ⁄ p일 때
tan (tan x) tan x
¥
¥;2!;
tan x
x
t ⁄ 0이고 x=p+t이므로
=1¥1¥ ;2!; =;2!;
lim
x ⁄p
sin x
sin x
= lim
x ⁄ p (x+p)(x-p)
x¤ -p¤
sin (3x¤ +2x)
x¤ +x
sin (3x¤ +2x) 3x¤ +2x
= lim
¥
x ⁄0
3x¤ +2x
x¤ +x
`6)) lim
x ⁄0
=1¥ lim
x ⁄0
1-cos x
2x¤
(1-cos x)(1+cos x)
= lim
x ⁄0
2x¤ (1+cos x)
= lim
sin¤ x
2x¤ (1+cos x)
x ⁄0
= lim {
x ⁄0
3) 3
4) ;5#;
5) ;2!;
6) 2
7) ;4!;
lim
-
1
2p
x ⁄1
sin {cos ;2“;x}
(x+1)(x-1)
= lim
sin {cos ;2“; (1+t)}
t ⁄0
p
=t로 놓으면
2
x cos x
= lim
t ⁄0
x-;2“;
1
2p
x ⁄ 1일 때 t ⁄ 0이고 x=1+t이므로
= lim
(2+t)t
sin {cos {;2“; +;2“; t}}
t ⁄0
= lim
lim
1
sin t
¥ lim
2p+t t ⁄ 0 t
x-1=t로 놓으면
x ⁄ ;2“; 일 때 t ⁄ 0이고 x= ;2“; +t이므로
x ⁄ ;2“;
=- lim
151
148
x-
1
sin t
¥
(2p+t)
t
=-
sin x ¤
1
}¥
x
2(1+cos x)
2) ;3%;
=- lim
t ⁄0
=1¥ ;4!; =;4!;
1) ;2#;
-sin t
(2p+t)t
t ⁄0
x ⁄0
1-cos¤ x
2x¤ (1+cos x)
= lim
t ⁄0
`7)) lim
x ⁄0
sin (p+t)
(2p+t)t
t ⁄0
3x+2
=1¥2=2
x+1
= lim
= lim
(2+t)t
sin {-sin ;2“; t}
t ⁄0
{ ;2“; +t} cos { ;2“; +t}
t
=- lim
t ⁄0
{ ;2“; +t} sin t
= - lim
t ⁄0
=- lim
t
sin t
= - lim { ;2“; +t}¥
= -;2“;
t ⁄0
t
t ⁄0
-
p
2
(2+t)t
sin {sin ;2“; t}
sin ;2“; t
sin {sin ;2“; t}
sin ;2“; t
=-1¥1¥;4“;=-;4“;
¥
sin ;2“; t
;2“; t
¥ lim
t ⁄0
;2“; t
¥
(2+t)t
sin ;2“; t
;2“; t
¥ lim
t ⁄0
;2“; t
(2+t)t
-
p
4
Ⅱ. 삼각함수 53
152
155
0 이 아닌 극한값이 존재하고 x ⁄ 0일 때 (분자) ⁄ 0이므로
원 O의 반지름의 길이가 r이므로
(분모) ⁄ 0 이어야 한다.
μAP= rh
x ⁄0
lim
x ⁄0
sin 3x
= lim
'ƒax+b-2 x ⁄ 0
= lim
sin 3x
{Æ… ax +4+2} sin 3x
{Æ… ax +4+2} sin 3x
∴
ax
sin 3x
x ⁄0
ax
3x
a
2r sin h
2
rh
sin h
2
= lim
h ⁄ 0+
= 1
1
h
2
¥{Æ…ax+ 4 +2}
156
12
¥ 4 =
a
OC”=OB” cos h=cos h이므로
=1
∴ a= 12
AC”=1-OC”=1-cos h
a=12, b=4
∴ lim
h ⁄ 0+
153
0이 아닌 극한값이 존재하고 x ⁄ 0일 때 (분모) ⁄ 0이므로
(분자) ⁄ 0이어야 한다.
AC”
1-cos h
= lim
h ⁄ 0+
h¤
h¤
(1-cos h)(1+cos h)
= lim
h ⁄ 0+
h¤ (1+cos h)
= lim
1-cos¤ h
h¤ (1+cos h)
= lim
sin¤ h
h¤ (1+cos h)
h ⁄ 0+
즉, lim ln (2x+a)=ln a=0
x ⁄0
h ⁄ 0+
∴ a=1
ln (2x+a)
ln (2x+1)
lim
= lim
x ⁄0
x ⁄0
sin bx
sin bx
sin h ¤
1
}¥
1+cos h
h
=1¥ ;2!; =;2!;
= lim {
h ⁄ 0+
bx
2x 1
¥
¥
ln (2x+1)
x ⁄ 0 sin bx
bx 2x
= lim
∴ a+b=2
;2!;
157
∴ b=1
=1¥ ;b@; ¥1=2
2
`1)) y'=(sin x)'+2(cos x)'=cos x-2 sin x
`2)) y'=(ln x)'-(sin x)'=;[!;-cos x
154
0이 아닌 극한값이 존재하고 x ⁄
(분자) ⁄ 0이어야 한다.
즉, lim (ax+p)=
x ⁄ ;2“;
p
일 때 (분모) ⁄ 0이므로
2
ap
+p=0
2
lim -2x+p = lim
cos x
x ⁄ ;2“;
x ⁄ ;2“;
= lim
t ⁄0
t ⁄0
54 정답과 해설
=e≈ cos x+e≈ (-sin x)-2≈ ln 2
=e≈ (cos x-sin x)-2≈ ln 2
= lim
∴ b=2
`5)) y'=(e≈ cos x)'-(2≈ )'
=e≈ cos x-e≈ sin x-2≈ ln 2
p
p
일 때 t ⁄ 0이고 x= +t이므로
2
2
x ⁄ ;2“;
`4)) y=cos¤ x=cos x¥cos x이므로
=-2 sin x cos x
cos x
x⁄
cos x
=2x sin x+x¤ cos x
=-sin x¥cos x+cos x¥(-sin x)
-2{x-;2“;}
p
=t로 놓으면
2
-2{x-;2“;}
`3)) y'=(x¤ )' sin x+x¤ (sin x)'
y'=(cos x)'cos x+cos x (cos x)'
∴ a=-2
x-
lim
h
2
3x
¥
3
= 1 ¥
p
h
, ∠B=
인 직각삼각형이므로
2
2
AP”
= lim
∴ lim
h ⁄ 0+
h ⁄ 0+
μAP
ax+ 4 -4
x ⁄0
= lim
AP”= 2r sin
Æ…ax+ 4 -2
x ⁄0
= lim
△PAB는 ∠APB=
∴ b= 4
즉, lim 'ƒax+b-2= 0
`6)) y'=(e≈ )' (3 sin x+1)+e≈ (3 sin x+1)'
=e≈ (3 sin x+1)+e≈ (3 cos x)
=e≈ (3 sin x+3 cos x+1)
-2t
cos {;2“; +t}
1) y'=cos x-2 sin x
-2t
=2
-sin t
3) y'=2x sin x+x¤ cos x
4) y'=-2 sin x cos x
5) y'=e≈ (cos x-sin x)-2≈ ln 2
a=-2, b=2
2) y'=;[!;-cos x
6) y'=e≈ (3 sin x+3 cos x+1)
158
163
함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면
f'(x)=(x¤ cos x)'-(3 sin x)'
x=0에서 연속이므로
=2x cos x-x¤ sin x-3 cos x
∴ f'(p)=2p_(-1)-p¤ _0-3_(-1)
lim (3x¤ +ax+1)= lim b cos x=f(0)
-2p+3
=-2p+3
x ⁄ 0-
x ⁄ 0+
∴ b=1
또, f'(x)=[
159
6x+a
(x<0)
-sin x (x>0)
에서
x=0에서 미분가능하므로
f(x)=e≈ sin x에서 f(0)=0
f(x)
f(x)-f(0)
lim
= lim
=f'(0)
x ⁄0
x ⁄0
x
x-0
lim (6x+a)= lim (-sin x)
x ⁄ 0-
x ⁄ 0+
∴ a=0
a=0, b=1
함수 f(x)=e≈ sin x를 미분하면
f'(x)=(e≈ )' sin x+e≈ (sin x)'
=e≈ sin x+e≈ cos x
∴ f'(0)=1
1
적용할 수 있다.
f(p+h)-f(p-h)
h ⁄0
h
lim
f( p )-f( 0 )
= lim
f(p+h)-f(p)+f(p)-f(p-h)
h
= lim
f(p+h)-f(p)
f(p-h)-f(p)
+ lim
h ⁄0
h
-h
h ⁄0
함수 f(x)=2x+sin x는 구간 [0, p]에서 연속이고 구간
(0, p)에서 미분가능 하므로 구간 [0, p]에서 평균값 정리를
160
h ⁄0
164
(2 p +sin p )-( 0 +sin 0 )
=
p -0
p
= 2 y㉠
=f'(p)+f'(p)=2`f '(p)
f'(x)= 2 +cos x이므로 f'(c)= 2 +cos c y ㉡
함수 f(x)=3x sin x를 미분하면
평균값 정리를 만족하므로 ㉠=㉡에 의해
f'(x)=(3x)' sin x+3x (sin x)'
=3 sin x+3x cos x
2 +cos c= 2
∴ f'(p)=-3p ⇨ (구하는 값)=-6p
-6p
cos c=0
∴ c=
p
(∵ 0<c<p)
2
;2“;
161
함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속 이므로
165
lim ( ax+b )= lim ( sin x+1 )= f(0)
x ⁄ 0-
x ⁄ 0+
함수 f(x)=sin x+cos x는 구간 [0, 2p]에서 연속이고 구간
(0, 2p)에서 미분가능하므로 구간 [0, 2p]에서 평균값 정리를
∴ b= 1
또, f'(x)=‡
a
적용할 수 있다.
f(2p)-f(0) (sin 2p+cos 2p)-(sin 0+cos 0)
=
=0
2p-0
2p
(x<0)
에서 x=0에서 미분가능하므로
cos x (x>0)
f'(x)=cos x-sin x이므로 f'(c)=cos c-sin c
cos c-sin c=0
lim a = lim cos x
x ⁄ 0-
x ⁄ 0+
∴ a= 1
a=1, b=1
y
1
y=cos x
p
2
162
함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이므로
lim e≈ = lim (a cos x+bx)=f(0)
x ⁄ 0-
sin c=cos c
∴ a=1
또, f'(x)=[
(x<0)
-sin x+b (x>0)
p
4
2p
x
3
-p
2 y=sin x
-1
x ⁄ 0+
e≈
O
5
-p
p 4
∴ c=;4“; 또는 c=;4%;p
;4“;, ;4%;p
에서
x=0에서 미분가능하므로
lim e≈ = lim (-sin x+b)
x ⁄ 0-
x ⁄ 0+
∴ b=1
∴ a+b=2
2
Ⅱ. 삼각함수 55
02
III. 미분법
`1)) y'= -3 x-3- 1 = -3 x -4 =-
III-1 함수의 몫의 미분법
pp.106~109
`1)) y'=
y'=
`2)) y'=
`
`
y'=-(-4x-4-1)+3¥(-2x-2-1)
(2x+1)¤
`
y'=4x-5-6x-3=
3 (2x+1)-2( 3 x+ 5 )
(2x+1)¤
=-
7
(2x+1)¤
6x(x+1)-(3x¤ -2)
3x¤ +6x+2
y'=
=
(x+1)¤
(x+1)¤
`
-sin x¥sin x-(cos x+1) ¥cos x
sin¤ x
y'=
4
6
xfi
x‹
`4)) y=x-5-x-4+x-3-x-2이므로
y'=-5x-5-1-(-4x-4-1)-3x-3-1-(-2x-2-1)
`
y'=-5x-6+4x-5-3x-4+2x-3
(3x¤ -2)'(x+1)-(3x¤ -2)(x+1)'
(x+1)¤
(cos x+1)' sin x-(cos x+1)(sin x)'
(sin x)¤
`
y'=-
5
4
3
2
+ - +
xfl
xfi
x›
x‹
`5)) y=x-4+x-6이므로
y'=-4x-4-1-6x-6-1=-4x-5-6x-7=-
`
y'=3¥2x2-1-(-2x-2-1)=6x+2x-3=6x+
`
1 y'=-
1
cos x-1
3
x›
4) y'=-
5
4
3
2
+ - +
xfl
xfi
x›
x‹
`4)) y'=
(sin x-1)'(sin x+1)-(sin x-1)(sin x+1)'
(sin x+1)¤
6) y'=6x+
`
y'=
cos x ¥(sin x+1)-(sin x-1) ¥cos x
(sin x+1)¤
`
y'=
2 cos x
(sin x+1)¤
y'=
y'=
2) y'=-
10
x‹
3) y'=
2
x‹
4
6
xfi
x‹
5) y'=-
4
6
xfi
x‡
2
x‹
03
f'(x)=
(x‹ +x¤ +k)'(x¤ +1)-(x‹ +x¤ +k)(x¤ +1)'
(x¤ +1)¤
`5)) y'=
(x¤ )'e≈ -x¤ (e≈ )'
2xe≈ -x¤ e≈
2x-x¤
=
=
(e≈ )¤
e¤ ≈
e≈
f'(x)=
(3x¤ +2x)(x¤ +1)-(x‹ +x¤ +k)¥2x
(x¤ +1)¤
`6)) y'=
(e≈ -2)'(e≈ +2)-(e≈ -2)(e≈ +2)'
(e≈ +2)¤
f'(x)=
x› +3x¤ +2x-2kx
(x¤ +1)¤
`
e¤ ≈ +2e≈ -e¤ ≈ +2e≈
4e≈
=
(e≈ +2)¤
(e≈ +2)¤
f'(1)=1이므로
y'=
4
6
xfi
x‡
`6)) y=3x¤ +1-x-2이므로
-(1+cos x)
-1-cos x
=
(1-cos x)(1+cos x)
1-cos¤ x
`
10
x‹
(3x+5)'(2x+1) - (3x+5)( 2 x+ 1 )'
`3)) y'=
`
x4
`3)) y=-x-4+3x-2이므로
01
`
`2)) y'=5¥(-2x-2-1)=-10x-3=-
3
6-2k
=1
4
∴ k=1
`7)) y'=-
`8)) y'=
`
y'=
;[!;
(ln x)'
1
==(ln x)¤
(ln x)¤
x(ln x)¤
1
04
(x¤ )' ln x-x¤ (ln x)'
(ln x)¤
f'(x)=
(sin x-cos x)'e≈ -(sin x-cos x)(e≈ )'
(e≈ )¤
2x ln x-x¤ ¥;[!;
f'(x)=
(cos x+sin x)e≈ -(sin x-cos x)e≈
2 cos x
=
e¤ ≈
e≈
(ln x)¤
∴ f'(0)=2
7
1) y'=(2x+1)¤
3x¤ +6x+2
2) y'=
(x+1)¤
1
3) y'= cos x-1
4) y'=
2 cos x
(sin x+1)¤
6) y'=
4e≈
(e≈ +2)¤
8) y'=
2x ln x-x
(ln x)¤
5) y'=
2x-x¤
e≈
7) y'=-
56 정답과 해설
2x ln x-x
=
(ln x)¤
1
x(ln x)¤
2
05
f(x)=x—⁄ +x—¤ +x—‹ +x—› +y+x—⁄ ‚ 에서
f'(x)=-x-2-2x-3-3x-4-4x-5-y-10x-11
∴ f'(1)=-1-2-3-4-y-10
=-(1+2+3+4+y+10)
=-55
-55
06
09
`1)) y'= sec¤ x+2( - csc¤ x)
f'(x)=(e≈ )' sin x+e≈ (sin x)'
=e≈ sin x+e≈ cos x
= sec¤ x- 2 csc¤ x
=e≈ (sin x+cos x)
`2)) y'=sec x¥tan x+sec¤ x=(tan x+sec x)sec x
∴ f'(0)=1
1
`3)) y'=(x)' tan x+x(tan x)'
=tan x+x sec¤ x
10
`4)) y'=(csc x)' cot x+csc x(cot x)'
f'(x)=(tan x)' sec x+tan x(sec x)'
=(-csc x¥cot x) cot x+csc x(-csc¤ x)
f'(x)=sec¤ x¥sec x+tan x¥(sec x¥tan x)
=-csc x¥cot¤ x-csc‹ x=-(cot¤ x+csc¤ x)csc x
f'(x)=sec x (sec¤¤ x+tan¤ x)
`5)) y'=(sin x)' sec x+sin x(sec x)'
`
y'=cos x¥sec x+sin x¥sec x¥tan x
`
y'=(cos x+sin x¥tan x) sec x
`
y'=
∴ f' {;3“;}=2(4+3)=14
cos¤ x+sin¤ x
¥sec x=sec¤ x
cos x
11
`6)) y=sec¤ x=sec x¥sec x
lim
`
y'=(sec x)' sec x+sec x(sec x)'
`
y'=sec x¥tan x¥sec x+sec x¥sec x¥tan x
`
y'=2 sec¤ x¥tan x
14
h ⁄0
f (0+h)-f (0)
=f ' (0)
h
f'(x)=(x)'sec x+x(sec x)'
=sec x+x¥sec x¥tan x
∴ f' (0)=1
1
(1+tan x)'(1-tan x)-(1+tan x)(1-tan x)'
`7)) y'=
(1-tan x)¤
y'=
`
2 sec¤ x
y'=
(1-tan x)¤
`
lim
f {;3“;+h}- f {;3“;-h}
h ⁄0
h
(sec x)'(1+sec x)-sec x(1+sec x)'
(1+sec x)¤
= lim
sec x¥tan x(1+sec x)-sec x¥sec x¥tan x
y'=
(1+sec x)¤
= lim
`8)) y'=
`
12
sec¤ x(1-tan x)-(1+tan x)(-sec¤ x)
(1-tan x)¤
`
y'=
h ⁄0
h
f {;3“;+h}- f {;3“;}
h ⁄0
sec x¥tan x
(1+sec x)¤
1) y'=sec¤ x-2 csc¤ x
3) y'=tan x+x`sec¤ x
2) y'=(tan x+sec x)sec x
2 sec¤ x
7) y'=
(1-tan x)¤
h
+ lim
f {;3“;-h} - f {;3“;}
h ⁄0
-h
=f' {;3“;}+f' {;3“;}=2f' {;3“;}
f'(x)=cos x¥tan x+sin x¥sec¤ x
=sin x+tan x¥sec x
4) y'=-(cot¤ x+csc¤ x)csc x
5) y'=sec¤ x
6) y'=2 sec¤ x¥tan x
f' {;3“;}=sin ;3“;+tan ;3“; sec ;3“;
sec x¥tan x
8) y'=
(1+sec x)¤
f' {;3“;}=
07
'3
5'3
+'3_2=
2
2
∴ 2f' {;3“;}=5'3
f'(x)=-csc¤ x=∴ f' {;6“;}=-
f {;3“;+h}- f {;3“;}+ f {;3“;}- f {;3“;-h}
1
5'3
1
sin¤ x
=-4
-4
sin¤ ;6“;
08
III-2 합성함수와 역함수의 미분법
f(x)= cot x +csc x이므로
13
f'(x)=( cot x )'+(csc x)'
`1)) y'= 3 (x¤ +4x-1) 2 ( x¤ + 4x -1)'
f'(x)=- csc¤ x - csc x cot x
∴ f' {;4“;}= -2-'2
pp.110~115
= 3 (x¤ +4x-1) 2 ( 2x + 4 )
-2-'2
= 6 (x+ 2 )(x¤ +4x-1) 2
Ⅲ. 미분법 57
16
`2)) y'=2(3x-1)(3x-1)'-2(3x-1)'
=6(3x-1)-6=6(3x-2)
f'(x)=3(x+"√çx› +3 )¤ (x+"√çx› +3 )'
`3)) y'=10(7x+4)· (7x+4)'
2x‹
}
"√x› +3
∴ f'(1)=3(1+2)¤ ¥(1+1)=54
f'(x)=3(x+"√çx› +3 )¤ {1+
=70(7x+4)·
`4)) y'=(x¤ +2x+3)'(x-1)fi +(x¤ +2x+3)¥{(x-1)fi }'
54
=(2x+2)(x-1)fi +(x¤ +2x+3)¥5(x-1)›
=(x-1)› (2x¤ -2+5x¤ +10x+15)
17
=(x-1)› (7x¤ +10x+13)
2f(x)f'(x)
f(x)f'(x)
=
2"√1+{ f(x)}¤
"√1+{ f(x)}¤
f(3)f'(3)
(-1)¥2
=
=-'2
∴ g '(3)=
"√1+{ f(3)}¤
"√1+(-1)¤
g '(x)=
`5)) y=(x‹ +2x)-2이므로
y'=-2(x‹ +2x)-3¥(x‹ +2x)'
`
=-2(x‹ +2x)-3¥(3x¤ +2)
`
y'=-
2(3x¤ +2)
(x‹ +2x)‹
18
1
}
`6)) y'=2{x-;[!;}{x-;[!;} '=2 {x-;[!;}{1+
x¤
미분가능한 함수 f(x)에 대하여 lim
x ⁄1
1) y'=6(x+2)(x¤ +4x-1)¤
2) y'=6(3x-2)
y'=70(7x+4)·
y'=(x-1)›
(7x¤ +10x+13)
3)
4)
2(3x¤ +2)
1
}
5) y'=6) y'=2 {x-;[!;}{1+
(x‹ +2x)‹
x¤
14
f(x)-3
=1에서
x-1
x ⁄ 1일 때, (분모) ⁄ 0이고, 극한값이 존재하므로 (분자) ⁄ 0
∴ f(1)=3
lim { f(x)-3}=0
x ⁄1
미분계수의 정의에 의해
f(x)-3
f(x)-f(1)
= lim
=f'(1)=1
lim
x ⁄1
x ⁄1
x-1
x-1
g(x)+2
=-2에서 x ⁄ 3일 때,
x-3
x+a
x+a '
f'(x)=2{
}{
}
x¤ +1
x¤ +1
마찬가지로 lim
(x¤ +1)-(x+a)¥2x
x+a
f'(x)=2{
}¥
(x¤ +1)¤
x¤ +1
lim { g(x)+2}=0
x ⁄3
(분모) ⁄ 0이고, 극한값이 존재하므로 (분자) ⁄ 0
x ⁄3
∴ g(3)=-2
미분계수의 정의에 의하여
g(x)+2
g(x)-g(3)
= lim
=g '(3)=-2
lim
x ⁄3
x ⁄3
x-3
x-3
2(x+a)(1-2ax-x¤ )
(x¤ +1)‹
f'(0)=-2이므로
f'(x)=
∴ a=-1
2a=-2
-'2
-1
h(x)=g( f(x))를 미분하면
h'(x)=g '( f(x))f'(x)
∴ h'(1)=g '( f(1))f'(1)=g '(3)f'(1)
15
`1)) y'=2 (x;2!;)'=2¥ ;2!; x;2!;- 1 =x
-;2!;
=-2_1=-2
1
=
`2)) y'=5'3 x'3 -1
'ßx
19
`3)) y=(x¤ +3x);2!;이므로
`
y'=;2!; (x¤ +3x)
`4)) y=
`1)) y'= cos (2x+1)¥( 2 x+ 1 )'=2 cos (2x+ 1 )
2x+3
¥(x¤ +3x)'=
2"√x¤ +3x
-;2!;
`2)) y'=sec¤ x‹ ¥(x‹ )'=3x¤ sec¤ x‹
`3)) y'=cos(tan x)¥(tan x)'=sec¤ x cos (tan x)
1
=x-;2%;이므로
x¤ 'ßx
y'=-;2%;x-;2&;=-
`4)) y'=-sin (x¤ +3x-2)¥(x¤ +3x-2)'
=-(2x+3)sin (x¤ +3x-2)
5
2x‹ 'ßx
1) y'=2 cos(2x+1)
2) y'=3x¤ sec¤ x‹
3) y'=sec¤ x cos(tan x)
`5)) y=(1+tan x);2!;
4) y'=-(2x+3)sin (x¤ +3x-2)
`
y'=;2!;(1+tan x);2!;-1¥(1+tan x)'
`
y'=;2!;(1+tan x)-;2!;¥sec¤ x
`
y'=
20
`1)) y'={(sin x‹ )¤ }'=2 sin x‹ ¥ cosx‹ ¥(x‹ )'
sec¤ x
2'߃1+tan x
1) y'=
1
'x
4) y'=-
58 정답과 해설
④
'3 -1
2) y'=5'3x
5
2x‹ 'ßx
5) y'=
3) y'=
sec¤ x
2'߃1+tan x
2x+3
2"√x¤ +3x
= 6 x¤ sin x‹ cos x‹
`2)) y'=[{cos (3x+1)¤ }‹ ] '
=3 cos¤ (3x+1)¤ ¥{-sin (3x+1)¤ }¥2(3x+1)¥3
=-18(3x+1)cos¤ (3x +1)¤ sin(3x+1)¤
24
`3)) y'=[{tan (x‹ +2x)}› ] '
=4 tan‹ (x‹ +2x)¥sec¤ (x‹ +2x)¥(3x¤ +2)
f(x)=ln(e≈ +e¤ ≈ +e‹ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈ )이므로 f(0)=ln 10
=4(3x¤ +2) tan‹ (x‹ +2x) sec¤ (x‹ +2x)
1) y'=6x¤ sin x‹ cosx‹
2) y'=-18(3x+1)cos¤ (3x +1)¤ sin(3x+1)¤
3) y'=4(3x¤ +2)tan‹ (x‹ +2x) sec¤ (x‹ +2x)
lim
x ⁄0
1
e≈ +e¤ ≈ +e‹ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈
ln
x
10
= lim
1
{ln(e≈ +e¤ ≈ +e‹ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈ )-ln 10}
x
= lim
f(x)-f(0)
1
{ f(x)-f(0)}= lim
=f'(0)
x ⁄0
x
x
x ⁄0
x ⁄0
21
f'(x)=
p
f(x)=9-4 cos x에서
6
f'(x)=4 sin
∴ f'(0)=
p
p
p
x¥{ x}'=;3@;p sin x
6
6
6
∴ f'(5)=;3@;p sin ;6%;p=;3@;p_;2!;=
(e≈ +e¤ ≈ +e‹ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈ )' e≈ +2e¤ ≈ +3e‹ ≈ +y+10e⁄ ‚ ≈
=
e≈ +e¤ ≈ +e‹ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈
e≈ +e¤ ≈ +e‹ ≈ +y+e⁄ ‚ ≈
p
3
p
3
1+2+3+y+10
55
=
=;;¡2;¡ ;
10
10
;;¡2;¡ ;
25
`1)) 주어진 식의 양변을 5제곱하면 yfi = x
22
양변을 y 에 대하여 미분하면
`1)) y'=e‹ ≈ ±⁄ ¥( 3x+1 )'= 3 e‹ ≈ ±⁄
`2)) y'=e≈ ¤ ±¤ ≈ ¥(x¤ +2x)'=2(x+1)e≈ ¤ ±¤ ≈
∴
`3)) y'=2fi ≈ —‹ ¥ln 2¥(5x-3)'=2fi ≈ —‹ 5 ln 2
`4)) y'=3sin x ¥ln 3¥(sin x)'=3sin x cos x ln 3
양변을 y에 대하여 미분하면
=2(e¤ ≈ -e—¤ ≈ )
dx
=3y¤
dy
(tan x)'¥e¤ ≈ -tan x¥(e¤ ≈ )'
`6)) y'=
(e¤ ≈ )¤
∴
e¤ ≈ sec¤ x-2e¤ ≈ tan x
y'=
e› ≈
;3$;
y› =(x-2)‹ ⇨ x=y +2
¤
1) y'=3e‹ ≈ ±⁄
3) y'=2fi ≈ —‹ 5 ln 2
2) y'=2(x+1)e≈ ±¤ ≈
sin x
4) y'=3 cos x ln 3
5) y'=2(e¤ ≈ -e—¤ ≈ )
6) y'=
양변을 y에 대하여 미분하면
sec¤ x-2 tan x
e¤ ≈
∴
23
∴
(4x+1)'
4
=
4x+1
4x+1
;3!;
dx
=;3$; y
dy
1
dy
3
3
=
=
=
dx
dx
4 ‹ 'y
4y;3!;
dy
=
dy
1) dx =
(x¤ +5x+10)'
2x+5
=
`2)) y'=
x¤ +5x+10
x¤ +5x+10
(sin 2x)'
2 cos 2x
=
=2 cot 2x
`3)) y'=
sin 2x
sin 2x
3
3
=
4 › 'ƒx-2
4⁄ ¤ "√(x-2)‹
1
dy
1
2) dx =
5 fi "çx›
3 ‹ "√(x-1)¤
dy
3) dx =
3
4 › 'ƒx-2
26
{(x-1)¤ }'
2(x-1)
2
=
=
`4)) y'=
(x-1)¤ ln 5
(x-1)¤ ln 5
(x-1) ln 5
(e≈ +2)'
e≈
=
`5)) y'=
(e≈ +2)ln 3
(e≈ +2)ln 3
(cos¤ x)'
-2 sin x cos x
2 tan x
=
=`6)) y'=
cos¤ x ln 2
cos¤ x ln 2
ln 2
4
1) y'= 4x+1
2x+5
2) y'=
x¤ +5x+10
3) y'=2 cot 2x
4) y'=
e≈
(e≈ +2)ln 3
1
dy
1
1
=
=
=
dx
dx
3y¤
3 ‹ "√(x-1)¤
dy
`3)) 주어진 식의 양변을 4제곱하면
sec¤ x-2 tan x
e¤ ≈
5) y'=
5 fi Æ… x›
y‹ =x-1 ⇨ x=y‹ +1
=2(e≈ -e—≈ )(e≈ +e—≈ )
`1)) y'=
1
=
`2)) 주어진 식의 양변을 세제곱하면
`5)) y'=2(e≈ -e—≈ )¥(e≈ -e—≈ )'
y'=
1
dy
1
=
=
dx
dx
5 y›
dy
dx
= 5y›
dy
2
(x-1) ln 5
6) y'=-
2 tan x
ln 2
g(-3)=a라고 하면 f(a)= -3
f(a)=a‹ +3a¤ +5a= -3
(a+ 1 )(a¤ + 2 a+ 3 )=0
a¤ +2a+3 > 0이므로 a= -1
즉, g(-3)= -1 이고 f'(x)= 3x¤ +6x+5 이므로
f'( g( -3 ))= f '(-1)= 2
∴ g'(-3)=
1
f'( g(-3) )
=
1
f '( -1 )
= ;2!;
;2!;
Ⅲ. 미분법 59
27
30
g(1)=a라고 하면 f(a)=1
p
p
p
{∵ - <a< }
∴ a=
4
2
2
`f(a)=tan a=1
p
즉, g(1)= 이고 f '(x)=sec¤ x이므로
4
`` f'(x)=
e≈ +e—≈ ¥(-x)'
e≈ -e—≈
=
이므로
2
2
`` f''(x)=
e≈ -e—≈ ¥(-x)'
e≈ +e—≈
=
2
2
∴ f''(0)=
p
1
=2
`f'( g(1))= f'{ }=
4
cos¤ ;4“;
e‚ +e‚
=1
2
1
31
1
1
=
=;2!;
∴ g '(1)=
f'(g(1)) f'{;4“;}
;2!;
lim
f '{;2“;+h}-f'{;2“;}
h ⁄0
h
=f''{;2“;}
f'(x)=esin xcos x이므로
f"(x)=(esin x)'cos x+esin x(cos x)'
28
미분가능한 함수 f(x)에 대하여 lim
x ⁄2
=esin x cos¤ x-esin x sin x
f(x)-3
=;3!;에서
x-2
x ⁄ 2일 때, (분모) ⁄ 0이고, 극한값이 존재하므로 (분자) ⁄ 0
이다.
=esin x(cos¤ x-sin x)
∴ f''{;2“;}=e(0-1)=-e
-e
즉, lim { f(x)-3}=0에서 f(2)=3이므로 g(3)=2
x ⁄2
III-3 도함수의 활용
미분계수의 정의에 의하여
f(x)-3
f(x)-f(2)
= lim
=f'(2)=;3!;
lim
x ⁄2
x ⁄2
x-2
x-2
1
1
=
=3
∴ g'(3)=
f'( g(3))
f '(2)
pp.116~129
32
3
`1)) f(x)=x ln x라 하면
f'(x)=ln x+ 1
점 (1, 0)에서 접선의 기울기는 f'(1)= 1
29
∴ y= x-1
y- 0 = 1 (x- 1 )
`1)) y'= 3 x 2 - 4 x+ 1 이므로 y''= 6 x- 4
`2)) f(x)=cos px+x¤ 이라 하면
`2)) y'=(e≈ )' cos 2x+e≈ (cos 2x)'
f'(x)=-p sin px+2x
=e≈ cos 2x-2e≈ sin 2x=e≈ (cos 2x-2 sin 2x)
이므로
점 (1, 0)에서 접선의 기울기는 f'(1)=2
y''=(e≈ )' (cos 2x-2 sin 2x)+e≈ (cos 2x-2 sin 2x)'
y-0=2(x-1)
∴ y=2x-2
1) y=x-1
=e≈ (cos 2x-2 sin 2x)+e≈ (-2 sin 2x-4 cos 2x)
=-e≈ (3 cos 2x+4 sin 2x)
`3)) y'=ln x+x¥
`4)) y'=2¥
y''=
33
1
1
=ln x+1이므로 y''=
x
x
f(x)=x-x ln x라 하면
`f '(x)=1-ln x-x¥
(ln x)'
2
=
이므로
x ln x
ln x
y-0=-(x-e)
=e≈ (sin x+cos x)+e≈ (cos x-sin x)
=2e≈ cos x
y=-x+e
∴ a=-1, b=e
`1)) f(x)=x+cos x라 하면
y''=2(e≈ )'cos x+2e≈ (cos x)'
f'(x)=1 - sin x
=2e≈ cos x-2e≈ sin x
=2e≈ (cos x-sin x)
f'(a)=1 - sin a=2
(cos x)'
sin x
==-tan x이므로
cos x
cos x
∴ a= -;2“;
접점의 좌표는 { -;2“; , -;2“; }이므로
y''=-sec¤ x
2) y''=-e≈ (3 cos 2x+4 sin 2x)
2(ln x+1)
(x ln x)¤
3) y''=;[!;
4) y''=-
5) y''=2e≈ (cos x-sin x)
6) y''=-sec¤ x
60 정답과 해설
a=-1, b=e
34
이므로
1) y''=6x-4
1
=-ln x
x
점 (e, 0)에서 접선의 기울기는 f'(e)=-1
2(ln x+1)
-2(x ln x)'
=(x ln x)¤
(x ln x)¤
`5)) y'=(e≈ )'(sin x+cos x)+e≈ (sin x+cos x)'
`6)) y'=
2) y=2x-2
접선의 방정식은 y-{ -;2“; }=2[x-{ -;2“; }]
∴ y=2x+
p
2
``2)) f(x)='ƒ2x-1이라 하면 f'(x)=
f'(a)=
1
'ƒ2x-1
36
f(x)=e≈ —⁄ 이라 하면 f'(x)=e≈ —⁄
1
=2
'ƒ2a-1
1
=4
2a-1
y
y=ex-1
접점의 좌표를 (t, e† —⁄ )이라 하면
y=ex-2
x=t에서의 접선의 기울기는
∴ a=;8%;
f'(t)=e† —⁄
1 2
A(1, 0)
접점의 좌표는 {;8%;, ;2!;}이므로
접선의 방정식은
y-e† —⁄ =e† —⁄ (x-t) y ㉠
O
접선의 방정식은 y-;2!;=2{x-;8%;}
이 직선이 점 A(1, 0)을 지나므로
-e B
p
1) y=2x+ 2
∴ y=2x-;4#;
x
0-e† —⁄ =e† —⁄ (1-t)
2) y=2x-;4#;
e† —⁄ >0이므로 t=2 y ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 y=ex-e
즉, 점 B의 좌표는 (0, -e)이므로
△OAB=;2!;_1_e=;2E;
;2E;
35
`1)) f(x)=e—≈ 이라 하면 f'(x)= -e—≈
접점의 좌표를 (t,
e—† )이라 하면
37
x=t에서의 접선의 기울기는 f'(t)= -e—†
f(x)=x¤ ln x라 하면
접선의 방정식은 y- e—† = -e—† (x- t ) y ㉠
이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로
f'(x)= 2x ln x+x¤ ¥ ;[!; = 2x ln x +x
점 (e, e¤ )에서의 접선의 기울기는
0-e—† = -e—† (1-t)
f'(e)= 2e ln e+ e = 3e
e—† >0이므로 t= 0
y` ㉡
접선과 수직인 직선의 기울기를 m이라 하면
㉡을 ㉠에 대입하면 y= -x+1
`2)) f(x)=ln(x-3)이라 하면 f'(x)=
m¥3e= -1
1
x-3
∴ m= -;3¡e;
접점의 좌표를 (t, ln(t-3))이라 하면
따라서 구하는 직선의 방정식은
1
x=t에서의 접선의 기울기는 f'(t)=
t-3
접선의 방정식은 y-ln(t-3)=
1
(x-t) y ㉠
t-3
이 직선이 점 (3, 0)을 지나므로
0-ln(t-3)=
y- e¤ = -;3¡e; (x-e)이므로
y= -;3¡e;x+e¤ +;3!;
y=-
1
x+e¤ +;3!;
3e
1
(3-t)
t-3
ln(t-3)=1이므로 t=e+3 y` ㉡
38
㉡을 ㉠에 대입하면 y=;e!;x-;e#;
f(x)=1+cos x라 하면
1
2'ƒx-1
접점의 좌표를 (t, 'ƒt-1 )이라 하면
``3)) f(x)='ƒx-1이라 하면 f'(x)=
x=t에서의 접선의 기울기는 f'(t)=
f '(x)=-sin x
점 (t, 1+cos t)에서의 접선의 기울기는 f '(t)=-sin t
이 접선에 수직인 직선의 기울기는
1
2'ƒt-1
구하는 직선의 방정식은
접선의 방정식은
y-(1+cos t)=
1
(x-t) y ㉠
2'ƒt-1
이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로
y-'ƒt-1 =
y=
1
(0-t)
2'ƒt-1
2(t-1)=t이므로 t=2 y ㉡
0-'ƒt-1 =
1
(x-t)
sin t
1
t
x+1+cos t
sin t
sin t
여기에 x=0을 대입하면
g(t)=-
㉡을 ㉠에 대입하면 y=;2!;x
1) y=-x+1
t
+1+cos t
sin t
∴ lim g(t)= lim {2) y=;e!;x-;e#;
1
이므로
sin t
3) y=;2!;x
t ⁄0
t ⁄0
t
+1+cos t}
sin t
=-1+1+1=1
1
Ⅲ. 미분법 61
41
39
f(x)=
`1)) f(x)=x ln x에서 x>0이고
k
, g(x)=ln x라 하면
x
f'(x)=ln x+ 1
k
1
f '(x)=- , g '(x)=
x
x¤
두 곡선의 접점의 x좌표를 t(t>0)라 하면
f''(x)= ;[!;
함숫값이 같으므로 f(t)=g(t)에서
f'(x)=0에서 x= ;e!;
k
=ln t y ㉠
t
f''{
접선의 기울기가 같으므로 f '(t)=g'(t)에서
1
}=e > 0
e
1
일 때 극소 이고
e
-
k
1
=
t
t¤
따라서 x=
-
k
=1 (∵ t>0) y ㉡
t
극솟 값은 f {
㉠, ㉡에서 ln t=-1
1
}= -;e!;
e
`2)) f'(x)=2xe—≈ -x¤ e—≈ =e—≈ (2x-x¤ )
1
∴ t=
e
f"(x)=-e—≈ (2x-x¤ )+e—≈ (2-2x)
=e—≈ (x¤ -4x+2)
㉠에서 k=t ln t이므로 t=
1
을 대입하면
e
f'(x)=-x(x-2)e—≈ =0에서 x=0 또는 x=2
f''(0)=2>0, f''(2)=-2e—¤ <0
1
1
k= ln =-;e!;
e
e
1
e
따라서 x=0일 때 극소이고 극솟값은 f(0)=0
x=2일 때 극대이고 극댓값은 f(2)=4e—¤
1
1) 극솟값 : - e
2) 극솟값 : 0, 극댓값 : 4e—¤
40
42
`1)) f '(x)= 1+2 cos x
f'(x)=a cos x - b sin x
f '(x)= 0 에서 x= ;3@;p , x= ;3$;p
함수 f(x)가 x=
함수 f(x)의 증감표로 나타내면
x
0
f '(x)
f(x)
0
y
;3@;p
y
;3$;p
y
+
0
-
0
+
↗
극대
↘
극소
↗
2p
2p
p
에서 극댓값 '2 를 가지므로
4
f{ ;4“; }='2, f' { ;4“; }=0
'2
'2
a+
b='2
2
2
f{ ;4“; }='2에서
위의 표로부터 함수 f(x)는
∴ a+b= 2
y㉠
x= ;3@;p 일 때 극대이고
f' { ;4“; }=0에서
극댓값은 f{ ;3@;p }= ;3@;p +'3
∴ a-b= 0
'2
'2
ab=0
2
2
y㉡
㉠, ㉡에 의하여 a= 1 , b= 1
a=1, b=1
x=;3$;p일 때 극소이고
43
극솟값은 f{ ;3$;p }= ;3$; p -'3
f(x)=ax¤ +bx+ln x에서 x>0이고
e≈ (x-1)
x¤
f'(x)=0에서 x=1
`2)) f'(x)=
f '(x)=2ax+b+
1
x
x=1에서 극솟값 -4를 가지므로
함수 f(x)의 증감표로 나타내면
f(1)=-4, f '(1)=0
y
1
y
f(1)=-4에서
f '(x)
-
0
+
a+b+ln 1=-4
f(x)
↘
극소
↗
∴ a+b=-4 y ㉠
x
0
위의 표로부터 함수 f(x)는 x=1일 때 극소이고 극솟값은
2a+b+1=0
f(1)=e
1) 극댓값 : ;3@;p+'3, 극솟값 : ;3$;p-'3
62 정답과 해설
f '(1)=0에서
2) 극솟값 : e
∴ 2a+b=-1 y ㉡
㉠, ㉡에 의하여 a=3, b=-7
a=3, b=-7
44
48
f'(x)=e≈ -9e—≈ ⇨ f"(x)=e≈ +9e—≈
`1)) f(x)=x‹ -4x라 하면
f'(x)=0에서 e≈ =9e—≈
f '(x)= 3x¤ -4 , f''(x)= 6x
e≈ >0이므로 양변에 e≈ 을 곱하면
e¤ ≈ =9 ⇨ (e≈ )¤ =9 ⇨ e≈ =3 (∵ e≈ >0)
f ''(x)=0에서 x= 0
∴ x=ln 3
그런데 f"(ln 3)=eln 3+9e-ln 3=6>0이므로 x=ln 3에서 함
이때, x= 0 의 좌우에서 f ''(x)의 부호를 조사하면
수 f(x)는 극솟값을 갖는다.
x< 0 이면 f ''(x) < 0이므로 위로 볼록하고
f(ln 3)=2이므로 eln 3+9e-ln 3+a=2 ⇨ 3+3+a=2
∴ a=-4
x> 0 이면 f ''(x) > 0이므로 아래로 볼록하다.
-4
f(0)=0이므로 변곡점의 좌표는 (0, 0) 이다.
`2)) f(x)=
45
f '(x)=
f'(x)= -e—≈ (x¤ -3x+k)+e—≈ ( 2 x- 3 )
e≈ +e—≈
이라 하면
2
e≈ -e—≈
e≈ +e—≈
, f ''(x)=
2
2
f''(x)=0을 만족하는 x의 값은 없고, 모든 실수 x에 대하
= e—≈ (-x¤ + 5 x-k- 3 )
여 f''(x)>0이므로 f(x)의 그래프는 아래로 볼록하고 변
e—≈ >0이므로 f'(x)=0이려면
곡점은 없다.
x¤ - 5 x+k+ 3 =0 y ㉠
`3)) f(x)=x+sin x라 하면
f '(x)=1+cos x, f ''(x)=-sin x
함수 f(x)가 극값을 가지려면 ㉠의 실근 이 존재하고, 그 x의
f ''(x)=0에서 x=p
값의 좌우에서
f'(x) 의 부호가 바뀌어야 한다. 즉, ㉠은
이때, x=p의 좌우에서 f''(x)의 부호를 조사하면
x<p이면 f''(x)<0이므로 위로 볼록하고
서로 다른 두 실근 을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D라 하면
x>p이면 f''(x)>0이므로 아래로 볼록하다.
D=( -5 )¤ -4(k+ 3 ) > 0
f(p)=p이므로 변곡점의 좌표는 (p, p)이다.
∴ k< ;;¡4;£ ;
k<;;¡4;£ ;
`4)) f(x)=ln(x¤ +9)라 하면
f '(x)=
2x
x¤ +9
-2(x+3)(x-3)
(x¤ +9)¤
f ''(x)=0에서 x=-3 또는 x=3
f ''(x)=
46
a
-4x¤ -a
-4=
x¤
x¤
f'(x)=0이려면
이때, x=—3의 좌우에서 f''(x)의 부호를 조사하면
-4x¤ -a=0 ⇨ 4x¤ +a=0 y ㉠
x>3이면 `f ''(x)<0이므로 위로 볼록하다.
함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 ㉠이 서로 다른
f(-3)=ln 18, f(3)=ln 18이므로
두 실근을 가져야 한다. ㉠의 판별식을 D라 하면
변곡점의 좌표는 (-3, ln 18)과 (3, ln 18)이다.
f'(x)=-
x<-3이면 f''(x)<0이므로 위로 볼록하고
-3<x<3이면 f''(x)>0이므로 아래로 볼록하고
D=-16a>0
∴ a<0
1) (0, 0)
2) 없다.
3) (p, p)
4) (-3, ln 18), (3, ln 18)
a<0
49
47
f'(x)= 3a x¤ + 2b x
함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)의 부호가 바뀌지 않
아야 하므로 f'(x)æ0 또는 f'(x)…0이어야 한다.
f''(x)= 6a x+ 2b
f'(x)=3x¤ +4x cos h+1이고 방정식 f'(x)=0이 중근이나
x=1인 점에서의 접선의 기울기가 18이므로
허근을 가져야 하므로 f'(x)=0의 판별식을 D라 하면
f'(1)= 18
D
=(2 cos h)¤ -3…0
4
(2 cos h+'3 )(2 cos h-'3 )…0
점 (-1, 0)이 변곡점이므로
-
'3
'3
…cos h…
2
2
∴
p
…h…;6%;p
6
⇨
3 a+ 2 b=18 y ㉠
f''(-1)= 0
⇨ -6 a+2b=0 y ㉡
f(-1)= 0
⇨ -a +b+c=0 y ㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
p
…h…;6%;p
6
a= 2 , b= 6 , c= -4
a=2, b=6, c=-4
Ⅲ. 미분법 63
50
54
1
1
f'(x)=2ax+b- , f''(x)=2a+
x
x¤
`1)) ① 정의역 : 실수 전체 의 집합
② f(-x)=f(x)이므로 곡선은 y축 에 대하여 대칭이다.
x=;2!;에서 극솟값을 가지므로 f' {;2!;}=0
∴ a+b-2=0 y ㉠
'2
'2
}=0
변곡점의 x의 좌표가
이므로 f'' {
2
2
③ f(0)= ;3@; 이므로 y절편은 ;3@; 이고 x¤ +3>0이므로
x 축과 만나지 않는다.
∴ 2a+2=0 y ㉡
㉠, ㉡에 의하여 a=-1, b=3
④ f'(x)=
f(x)=-x¤ +3x-ln x이므로
f'(x)=-2x+3-
-(2x-1)(x-1)
1
-2x¤ +3x-1
=
=
x
x
x
f'(x)=0에서 x=;2!; 또는 x=1
-4x
(x¤ +3) 2
12 (x+ 1 )(x- 1 )
④ f"(x)=
(x¤ +3)‹
④ f'(x)=0에서 x= 0
1
f"(x)=-2+
에서 f"{;2!;}>0, f"(1)<0
x¤
따라서 x=1에서 극대이고 극댓값은 f(1)=2
f"(x)=0에서 x= —1
2
⑤
0
y
1
y
+
0
-
-
-
-
-
-
0
+
x
y
-1
y
51
f '(x)
+
+
f(x)=3x› +ax‹ +x¤ +1이라 하면
f "(x)
+
0
f'(x)=12x‹ +3ax¤ +2x ⇨ f''(x)=36x¤ +6ax+2
f(x)
변곡점
극대
변곡점
곡선 y=f(x)가 변곡점을 갖지 않으려면 f''(x)의 부호가 바
⑤ 극대점 : {0, ;3@; }, 변곡점 : {-1, ;2!; }, {1, ;2!; }
뀌지 않아야 하므로 f"(x)æ0 또는 f"(x)…0, 즉 방정식
f''(x)=0이 중근이나 허근을 가져야 한다.
⑥ xlim
⁄-¶
따라서 f''(x)=0의 판별식을 D라 하면
D
=(3a)¤ -36¥2…0 ⇨ a¤ -8…0
4
2
2
= 0 , xlim
= 0 이므로 점근
⁄¶ x¤ +3
x¤ +3
선은 x 축이다.
⇨ (a+2'2 )(a-2'2)…0
∴ -2'2 …a…2'2
따라서 함수 f(x)=
-2'2 …a…2'2
2
의 그래프는 그림과 같다.
x¤ +3
y
2
3
52
`1)) f'(a)=0이고 f'(x)의 부호가 x=a의 왼쪽에서는 -이고
y=f(x)
11
22
오른쪽에서는 +이므로 y=f(x)는 x=a에서 극솟값을 가
진다. (◯)
O
-1
x
1
`2)) f'(b)+0이므로y=f(x)는x=b에서극값을갖지않는다. (×)
`3)) f"(x)=0인 점의 x좌표는 x=b이고, 이 점의 좌우에서
`2)) ① 정의역 : 실수 전체의 집합
f'(x)의 증가와 감소가 바뀌므로 f"(x)의 부호가 바뀐다.
② f(-x)=-f(x)이므로 곡선은 원점에 대하여 대칭이다.
따라서 변곡점은 (b, f(b))로 1개이다. (×)
③ f(0)=0이므로 곡선은 원점을 지난다.
`4)) 구간 (a, b)에서 f "(x)>0이므로 아래로 볼록하고, 구간
(b, c)에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하다. (×)
④ f'(x)=
-5(x+1)(x-1)
(x¤ +1)¤
④ f"(x)=
10x(x¤ -3)
(x¤ +1)‹
`5)) 구간 (a, b)에서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하다. (◯)
1) ◯
2) ×
3) ×
4) ×
5) ◯
④ f'(x)=0에서 x=—1
53
ㄱ. f '(a)=0이고 f '(x)의 부호가 x=a의 왼쪽에서는 -이
고, 오른쪽에서는 +이므로 x=a에서 극솟값을 가진다. (참)
④ f"(x)=0에서 x=0 또는 x=—'3
⑤
x
y -'3 y -1 y 0 y 1 y
'3
y
ㄴ. f'(b)+0이므로 y=f(x)는 x=b에서 극값을 갖지 않는다.
f '(x) -
-
-
0
+ + + 0 -
-
-
(거짓)
f "(x) -
0
+
+
+ 0 - - -
0
+
ㄷ. f"(x)=0인 점은 (b, f(b)), (d, f(d))이고, 각각의 점의
좌우에서 f'(x)의 증가와 감소가 바뀌므로 f"(x)의 부호
f(x)
변곡점
극소
변
곡
점
극
대
변곡점
가 바뀐다. 따라서 변곡점은 2개이다. (참)
ㄹ. 구간 (c, d)에서 f"(x)<0이므로 위로 볼록하고, 구간
(d, e)에서 f"(x)>0이므로 아래로 볼록하다. (거짓)
ㄱ, ㄷ
64 정답과 해설
④ 극소점 : {-1, -;2%;}, 극대점 : {1, ;2%;}
④ 변곡점 : {-'3, -
5'3
5'3
}, (0, 0), {'3,
}
4
4
⑥ xlim
⁄-¶
5x
5x
=0, xlim
=0이므로 점근선은 x
⁄¶ x¤ +1
x¤ +1
축이다.
5 y
2
5'3
4
`1)) ① 정의역 : xæ0 인 모든 실수의 집합
② 대칭성과 주기성은 없다 .
5x
의 그래프는 그림과 같다.
x¤ +1
따라서 함수 f(x)=
55
③ f(x)=0에서 x= 0 또는 x= 3 이므로 x축과의 교
y=f(x)
점은 ( 0 , 0), ( 3 , 0)이다.
3
④ f'(x)=1-
-'3 -1
O
2Æ… 3x
x
1 '3
3
, f"(x)=
4xÆ… 3x
③ f'(x)=0에서 x= ;4#;
5'3
-4
5
-2
③ f"(x)>0이므로 변곡점은 없다.
⑤
0
x
y
;4#;
y
`3)) ① 정의역 : x+-1인 모든 실수의 집합
f '(x)
-
0
+
② 대칭성과 주기성은 없다.
③ f(0)=2이므로 y절편은 2이다.
f "(x)
+
+
+
7
¤
⑤ x¤ -x+2={x-;2!;} + >0이므로 x축과 만나지 않
4
는다.
③ 극소점 : { ;4#; , -;4#; }
f(x)=¶이므로 점근선은 없다.
⑥ xlim
ڦ
(x+3)(x-1)
④ f'(x)=
(x+1)¤
③ f"(x)=
따라서 함수 f(x)=x-'∂3x의 그래프는 그림과 같다.
y
8
(x+1)‹
y=f(x)
③ f'(x)=0에서
③ x=-3 또는 x=1
O
3
-4
③ f"(x)+0이므로 변곡점은 없다.
⑤
x
y
-3
y
y
1
y
f '(x)
+
0
-
-
0
+
f "(x)
-
-
-
+
+
+
f(x)
(-1)
극대
극소
3
4
x
3
`2)) ① 정의역 : 0…x…2p인 모든 실수의 집합
② f(-x)=-f(x)이므로 원점에 대하여 대칭이다.
③ f(0)=0이므로 곡선은 원점을 지난다.
③ 극대점 : (-3, -7) 극소점 : (1, 1)
⑥ f(x)=
극소
0
f(x)
④ f'(x)=1+cos x
x¤ -x+2
x+1
f"(x)=-sin x
f '(x)=0에서 x=p이지만, f '(x)æ0이므로 극대점,
4
=x-2+
x+1
극소점은 없다.
③ 이므로 점근선은 x=-1, y=x-2
f"(x)=0에서 x=0 또는 x=p 또는 x=2p이다.
x¤ -x+2
따라서 함수 f(x)=
의 그래프는 그림과 같다.
x+1
⑤
x
0
f '(x)
y
y=f(x)
y=x-2
0
f(x)
0
p
y
+
0
+
-
0
+
변곡점
2p
0
2p
② 변곡점 : (p, p)
2
1
-3
-1 O 1 2
f "(x)
y
따라서 함수 f(x)=x+sin x의 그래프는 그림과 같다.
x
y
2p
-2
y=f(x)
p
-7
1) 해설 참조
2) 해설 참조
3) 해설 참조
O
p
2p x
Ⅲ. 미분법 65
`3)) ① 정의역 : 0…x…2p인 모든 실수의 집합
`2)) ① 정의역 : 실수 전체의 집합
② 대칭성과 주기성은 없다.
③ f(0)=2이므로 y절편은 2이다.
④ f'(x)=1-2 sin x
f"(x)=-2 cos x
② f(-x)=f(x)이므로 곡선은 y축에 대하여 대칭이다.
③ f(0)=1이므로 y절편은 1이고 e-x¤ >0이므로 x축과 만
나지 않는다.
④ f'(x)=-2xe-x¤
④ f"(x)=2(2x¤ -1)e-x¤
f'(x)=0에서 x=;6“; 또는 x=;6%;p
④ f'(x)=0에서 x=0
f"(x)=0에서 x=;2“; 또는 x=;2#;p
⑤
④ f"(x)=0에서
y ;6%;p y ;2#;p y 2p
y
;6“;
y
;2“;
f '(x)
+
0
-
- -
0
f "(x)
- - -
0
+ +
극대
변곡점
x
f(x)
0
2
+
극소
'2
'2
또는 x=
2
2
⑤
+ + +
0
④ x=-
-
변곡점
④ 극대점 : {;6“;, ;6“;+'3 }, 극소점 : {;6%;p, ;6%;p-'3}
x
y
f '(x)
+
f "(x)
+
y
0
y
'2
2
y
+
+
0
-
-
-
0
-
-
-
0
+
변곡점
f(x)
변곡점 : {;2“;, ;2“;}, {;2#;p, ;2#;p}
'2
2
-
극대
④ 극대점 : (0, 1), 변곡점 : {-
따라서 함수 f(x)=x+2 cos x의 그래프는 그림과 같다.
y
2p+2
변곡점
'2
1
'2
1
,
}, {
,
}
2
2
'e
'e
e-x¤ =0, xlim
e-x¤ =0이므로 점근선은 x축이다.
⑥ xlim
⁄-¶
ڦ
따라서 함수 f(x)=e-x¤ 의 그래프는 그림과 같다.
y=f(x)
3
-p
2
y
1
p
-+'3
6
p
2 2
5
-p-'3
6
p p 5p
O-6 2 6
1
'e
1) 해설 참조
x
3
-p 2p
2
2) 해설 참조
'2
-2
y=f(x)
O
x
'2
2
3) 해설 참조
56
`1)) ① 정의역 : 실수 전체 의 집합
② 대칭성과 주기성은 없다.
`3)) ① 정의역 : x>0인 실수 전체의 집합
② 대칭성과 주기성은 없다.
③ f(0)=0이므로 곡선은 원점 을 지난다.
③ f(e)=0이므로 x축과의 교점은 (e, 0)이다.
④ f'(x)=e≈ ( 1 +x)
④ f'(x)=-ln x
f"(x)= e≈ ( 2 +x)
④ f"(x)=-;[!;
f'(x)=0에서 x= -1 , f"(x)=0에서 x= -2
⑤
f'(x)=0에서 x=1
x
y
-2
y
-1
y
0
y
f"(x)<0이므로 변곡점은 없다.
f '(x)
-
-
-
0
+
+
+
⑤
f "(x)
-
0
+
+
+
+
+
f(x)
변곡점
극소
0
④ 극소점 : { -1 , -;e!; }, 변곡점 : { -2 , -
2
}
e¤
xe≈ = 0 , xlim
xe≈ = ¶ 이므로 x<0일 때, 점
⑥ xlim
⁄-¶
ڦ
y
1
y
e
y
f '(x)
+
0
-
-
-
f "(x)
-
-
-
-
-
x
0
극대
f(x)
0
④ 극대점 : (1, 1)
(x-x ln x)=-¶
⑥ xlim
ڦ
따라서 함수 f(x)=x-x ln x의 그래프는 그림과 같다.
근선은 x 축이다.
따라서 함수 f(x)=xe≈ 의 그래프는 그림과 같다.
y
y=f(x)
1
y
y=f(x)
O
1
x
e
-2 -1 O
x
1
-e
66 정답과 해설
2
-™
e
1) 해설 참조
2) 해설 참조
3) 해설 참조
57
58
`1)) f'(x)=x¤ - 1 = (x+1)(x-1)
-2 x
`1)) f '(x)="√6-x¤ + x ¥
2"√6-x¤
f'(x)=0에서 x= -1 또는 x= 1
-3
x
f '(x)
f(x)
-6
y
-1
y
1
y
+
0
-
0
+
↗
;3@;
↘
-;3@;
↗
6 - 2 x¤
=
"√6-x¤
f '(x)=0에서 x=-'3 또는 x=Æ… 3
3
-'6
x
f '(x)
6
f(x)
극댓값은 f( -1 )= ;3@;
0
y
-'3
y
'3
y
-
0
+
0
-
↘
-3
↗
3
↘
'6
0
극댓값은 f{Æ… 3 }= 3
극솟값은 f( 1 )= -;3@;
극솟값은 f(-'3 )= -3
양 끝값은 f(-3)= -6 , f(3)= 6
양 끝값은 f( -'6 )=0, f( '6 )=0
∴ 최댓값 : 6 , 최솟값 : -6
∴ 최댓값 : 3 , 최솟값 : -3
`2)) f '(x)=cos x-cos x+x sin x=x sin x
f '(x)=0에서 x=0 또는 x=p 또는 x=2p
`2)) f'(x)=12x‹ +24x¤ -12x-24
=12(x+2)(x+1)(x-1)
y
0
x
f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=-1 또는 x=1
f '(x)
0
f(x)
p
y
+
0
-
↗
p
↘
x
y
-2
y
-1
y
1
y
f '(x)
-
0
+
0
-
0
+
극댓값은 f(p)=p
f(x)
↘
12
↗
17
↘
-15
↗
양 끝값은 f(0)=0, f(2p)=-2p
f(1)=-15
`
∴ 최댓값 : 없다, 최솟값 : -15
59
1) 최댓값 : 3, 최솟값 : -3
= -2 (x¤ - x- 2 )e-2x
f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
f '(x)
f(x)
-;7@;
= -2 (x+ 1 )(x- 2 )e-2x
y
-1
y
1
y
-
0
+
0
-
↘
-;3!;
↗
1
↘
3
f '(x)=0에서 x= -1 또는 x= 2
;7#;
x
-3
f '(x)
극댓값은 f(1)=1, 극솟값은 f(-1)=-;3!;
f(x)
양 끝값은 f(-2)=-;7@;, f(3)=;7#;
(2x+1)(x-1)-(x¤ +x+2)
(x+1)(x-3)
=
(x-1)¤
(x-1)¤
2
f '(x)
f(x)
8
y
2
y
0
+
0
-
↘
-e¤
↗
2
e›
↘
3
7
efl
2
e›
양 끝값은 f(-3)= 7efl , f(3)=
7
efl
∴ 최댓값 : 7efl , 최솟값 : -e¤
y
3
y
-
0
+
↘
7
↗
5
`2)) f '(x)=3-ln x-1=2-ln x
f '(x)=0에서 x=e¤
8
x
극솟값은 f(3)=7, 양 끝값은 f(2)=8,
f '(x)
f(5)=8
f(x)
∴ 최댓값 : 8, 최솟값 : 7
1) 최댓값 : 6, 최솟값 : -6
-1
-
극솟값은 f( -1 )= -e¤
f'(x)=0에서 x=3 (∵ 2…x…5)
x
7efl
y
극댓값은 f( 2 )=
∴ 최댓값 : 1, 최솟값 : -;3!;
`4)) f'(x)=
2) 최댓값 : p, 최솟값 : -2p
`1)) f '(x)= 2x e-2x- 2 (x¤ - 2 )e-2x
x¤ -x+1-x(2x-1)
(x+1)(x-1)
=`3)) f'(x)=
(x¤ -x+1)¤
(x¤ -x+1)¤
-2
-2p
∴ 최댓값 : p, 최솟값 : -2p
극댓값은 f(-1)=17, 극솟값은 f(-2)=12,
x
2p
2) 최댓값 : 없다, 최솟값 : -15
3) 최댓값 : 1, 최솟값 : -;3!; 4) 최댓값 : 8, 최솟값 : 7
1
3
y
e¤
y
+
0
-
↗
e¤
↘
e‹
0
극댓값은 f(e¤ )=e¤ , 양 끝값은 f(1)=3, f(e‹ )=0
∴ 최댓값 : e¤ , 최솟값 : 0
1) 최댓값 : 7efl , 최솟값 : -e¤
2) 최댓값 : e¤ , 최솟값 : 0
Ⅲ. 미분법 67
60
63
ax
f'(x)= 2x e + ax¤ e
두̀ 곡선 y=e2x, y=e-2x은 y축 에 대하여 대칭이므로
ax
점 D의 좌표를 D(t, e-2t) (t>0)이라 하면
=x( 2 + a x)eax
BC”= 2t , DC”= e-2t
f'(x)=0에서
직사각형 ABCD의 넓이를 S(t)라 하면 S(t)= 2te-2t
x=0 또는 x= -;a@;
S'(t)=2 e-2t - 4t e-2t=2 e-2t (1- 2t )
a>1에 의해 -;a@;<0이므로 f(x)의 증감표를 나타내면
x
f '(x)
f(x)
4e
-;a@;
y
0
y
+
0
-
0
+
↗
4 -2
e
a¤
y
-2
-2a
↘
y
;2!;
y
S'(t)
+
0
-
S(t)
↗
;e!;
↘
t
2a
↗
0
S'(t)=0에서 t= ;2!;
2
4e
최댓값이 4e› 이고 a는 a>1인 정수이므로 최댓값은
0
f( 2 )= 4e2a =4e›
∴ a= 2
2
t= ;2!; 일 때, S(t)는 극대이고 최대이므로 직사각형 ABCD
1
e
의 넓이의 최댓값은 ;e!; 이다.
64
61
점̀ P의 좌표를 (t, e-t)이라 하면 점 P는 제`1`사분면 위의 점이
f'(x)=a-2a cos 2x
므로 t>0이고, PQ”=e-t, RP”=t
f'(x)=0에서
△PRQ의 넓이를 S(t)라 하면 S(t)=;2!;te-t
cos 2x=;2!;이므로 x=;6“;
x
0
f '(x)
y
;6“;
y
-
0
+
↘
;6“;a-
S'(t)=;2!;e-t-;2!;te-t=;2!;e-t(1-t)
;2“;
S'(t)=0에서 t=1
y
1
y
S'(t)
+
0
-
S(t)
↗
t
f(x)
0
'3
a
2
↗
;2A;p
a>0이므로 최댓값은
0
↘
;2¡e;
f {;2“;}=;2A;p=p
t=1일 때, S(t)는 극대이고 최대이므로 △PRQ의 넓이의 최댓
∴ a=2
값은 ;2¡e;이다.
최솟값은 f {;6“;}이므로
65
f {;6“;}=;6“;¥2-
'3
¥2=;3“;-'3
2
;3“;-'3
`1)) f(x)=
;2¡e;
x
라 놓으면
x¤ +4
f'(x)=
-(x+ 2 )(x- 2 )
(x¤ +4)-x¥2x
=
(x¤ +4)¤
(x¤ +4)¤
f'(x)=0에서 x= -2 또는 x= 2 이고
62
lim f(x)=0, lim f(x)=0
x ⁄-¶
f'(x)=ln x+x¥;[!;+1=ln x+2
함수 y=f(x)의 증감표와 그래프는 다음과 같다.
f'(x)=0에서
x=e-2
0
y
e—¤
y
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
-e—¤ +a
↗
x
x=e 일 때, 극소이고 최소이다.
최솟값이 1이므로
f(e )=-e +a=1
68 정답과 해설
y
-2
y
2
y
f '(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
-;4!;
↗
;4!;
↘
함수 y=f(x)의 그
이 서로 다른 두 점
-2
∴ a=1+e-2
x
1
래프와 직선 y=
5
-2
-2
x ڦ
1+e-2
에서만나므로방정식
y
-2
1
4
y=f(x)
O
1
-4
2
x
x
=;5!;의실근의개수는 2 이다.
x¤ +4
`2)) f(x)=e≈ -x라 놓으면
68
y
f'(x)=e≈ -1이고
f(x)=2e≈ -x-1이라 놓으면
f'(x)=0에서 x=0
f'(x)=2 e≈ - 1
y=f(x)
함수 y=f(x)의 증감표와 그래
f'(x)=0에서 x= -ln 2
프는 다음과 같다.
x
y
0
y
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
1
↗
1
x
O
y
x
y
-ln 2
y
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
ln 2
↗
f(x)=2ex-x-1
함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=1이 한 점에서 만나므로
함수 y=f(x)의 그래프는 그림
방정식 e≈ -x=1의 서로 다른 실근의 개수는 1이다.
과 같고 이 함수는 x= -ln 2
1) 2
2) 1
1
ln 2
x
-ln 2 O
에서 최솟값 ln 2 를 가진다.
2e≈ -x-1æ ln 2 >0
66
∴ 2e≈ >x+1
해설 참조
방정식 e≈ =kx가 오직 하나의 실근을 가지려면 곡선 y=e≈ 과 직
선 y=kx가 한 점에서 만나야 한다.
69
f(x)=e≈ , g(x)=kx라 놓으면
f(x)=2 ln x-x-1이라 놓으면
f'(x)= e≈ , g '(x)= k
f'(x)=;[@;-1
곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가
y
y=ex
y=g(x)
접할 때의 접점의 x좌표를 t라 하면
f'(x)=0에서 x=2
2
y
2
y
f '(x) +
0
-
2 ln 2-3
↘
x
함숫값이 같으므로 f(t)=g(t)에서
e† =kt y ㉠
f(x)=ex
접선의기울기가같으므로
f'(t)=g'(t)에서
1
f(x)
x
O
y
↗
O
x
f(x)=2ln x-x-1
2ln 2-3
함수 y=f(x)의 그래프는
그림과 같고 이 함수는 x=2에서 최댓값 2 ln 2-3을 가진다.
e† =k y ㉡
2 ln 2-3=ln 4-ln e‹ <0
㉠, ㉡에서 t= 1 , k= e
따라서 2 ln x-x-1<0이므로 2 ln x<x+1이다.
해설 참조
따라서 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 한 점에서 만나도록
하는 실수 k의 값 또는 범위는 k= e 또는 k < 0이다.
k=e 또는 k<0
70
f(x)=e≈ -x-k라 놓으면
f'(x)= e≈ -1
67
f'(x)=0에서 x= 0
방정식 ln x=x+k가 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선
y=ln x와 직선 y=x+k가 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.
f(x)=ln x, g(x)=x+k라 놓으면
f'(x)=;[!;, g '(x)=1
곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 접할 때의 접점의 x좌표를 t
라 하면
함숫값이 같으므로
f(t)=g(t)에서
x
y
0
y
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
1-k
↗
함수 f(x)의 최솟값은 f( 0 )= 1-k 이므로
1-k æ0 ⇨ k… 1
y
따라서 실수 k의 최댓값은 1 이다.
y=x-1
1
f(x)=ln x
ln t=t+k y ㉠
1
기울기가 같으므로
O
f'(t)=g'(t)에서
-1
g(x)=x+k
x
71
1
-1
'ƒx+1
0<x<8에서 f'(x)<0이므로 함수 f(x)는 0<x<8에서 감
f(x)=2'ƒx+1-x-a라 놓으면 f'(x)=
;t!;=1 y ㉡
㉠, ㉡에서 t=1, k=-1
소하는 함수이다.
따라서 곡선 y=f(x)와 직
0<x<8인 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0이 성립하려면
선 y=g(x)가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범
f(8)=2'9-8-a=-2-aæ0 ⇨ a…-2
위는 k<-1이다.
따라서 실수 a의 최댓값은 -2이다.
k<-1
-2
Ⅲ. 미분법 69
02
IV. 적분법
`1)) {1-;[!;}{1+;[!;}{1+
IV-1 여러 가지 함수의 부정적분
∴ : {1-;[!;}{1+;[!;}{1+
pp.137~139
∴ =: {1-
01
`1)) : (2x-3)dx=2¥
`2)) : {x+
1
¥x1+1-3x+C
1+1
=x¤ -3x+C
`2)) : x'3 dx=
`3)) :
1
1
dx=
x-2+1+C=-;[!;+C
-2+1
x¤
1
`4)) : 'ßx dx=: x;2!; dx=
`
1
`
`4)) : {'ßx -;[!;}¤ dx+: {'ßx +;[!;}¤ dx
x;3@;+1+C
;3@;+1
=: {x-
;2&;+1
:
`8)) :
:
`5)) :
x;2&;+1+C=;9@;x;2(;+C
`6)) :
-;2#;
1
1
x-;2#;+1+C
dx=: x dx=
x'ßx
-;2#;+1
('ßx )‹ -1
('ßx -1)(x+'ßx +1)
dx=:
dx
'ßx -1
'ßx -1
=: (x+'ßx +1)dx=
1) x+
2
dx=+C
'ßx
x¤
+;3@;x'ßx +x+C
2
1
+C
3x‹
x‹
2) 3 +;3$;x'ßx +ln |x|+C
3) x-9 ‹ "≈x¤ +36 ‹ 'ßx -8 ln|x|+C
x‹ -2x¤ +1
1
dx=: {x-2+ } dx
`9)) :
x¤
x¤
70 정답과 해설
x'ßx
1
dx-:
dx
'ßx -1
'ßx -1
=:
;2!;
`10)) : {3'ßx -
('ßx +2)('ßx -2)
x-4
dx=:
dx
'ßx -2
'ßx -2
=: ('ßx +2)dx=;3@;x'ßx +2x+C
dx=2x +C=2'ßx+C
dx=
2
}dx=x¤ -;[@;+C
x¤
x
4
dx-:
dx
'ßx -2
'ßx -2
=:
1
1
x-;2!;+1+C
dx=: x-;2!; dx=
'ßx
-;2!;+1
:
2
1
2
1
+
+
}dx+: {x+
} dx
x¤
x¤
'ßx
'ßx
=: {2x+
: x‹ 'ßx dx=;9@;x› 'åx +C
`7)) :
`
1
6
12
+
-;[*; } dx
‹ 'ßx
‹ "≈x¤
=x-9 ‹ "≈x¤ +36 ‹ 'ßx -8 ln |x|+C
: ‹ "≈x¤ dx=;5#;x ‹ "≈x¤ +C
: x‹ 'ßx dx=
x-6 ‹ "≈x¤ +12 ‹ 'ßx -8
dx
x
=: {1-
`6)) : x‹ 'ßx dx=: x3+;2!; dx=: x;2&; dx
`
x‹
+;3$;x 'ßx +ln |x|+C
}¤ dx=
3
x;2!; +1+C
: 'ßx dx=;3@;x;2#;+C=;3@;x'ßx +C
1
1
+C
}dx =x+
x›
3x‹
(‹ 'ßx -2)‹
dx
x
=:
;2!;+1
`5)) : ‹ "≈x¤ dx=: x;3@; dx=
`
`3)) :
1
}dx
x¤
1 ¤
} dx=: {x¤ +2'ßx +;[!;} dx
'ßx
: {x+
1
x'3+1+C
'3+1
1
1
1
1
}={1- }{1+ }=1x¤
x¤
x¤
x›
4) x¤ -;[@;+C
x¤
-2x-;[!;+C
2
2
5) 3 x'ßx +2x+C
x¤
6) 2 +;3@;x'ßx +x+C
1
}dx=2x'ßx -'ßx +C
2'ßx
1
x'3+1+C
'3+1
1) x¤ -3x+C
2)
3) -;[!;+C
4) ;3@;x'ßx +C
5) ;5#;x ‹ "≈x¤ +C
6) ;9@;x› 'åx +C
7) 2'ßx +C
8) -
x¤
9) 2 -2x-;[!;+C
10) 2x'ßx -'ßx +C
2
+C
'ßx
03
`f '(x)=1-;[@;이므로
`f(x)=: {1-;[@; }dx=x-2 ln x+C
곡선 y=f(x)가 점 (1, 0)을 지나므로 `f(1)=0
1-2 ln 1+C=0
∴ C=-1
따라서 f(x)=x-2 ln x-1이므로
f(e)=e-2 ln e-1=e-3
e-3
04
1) tan x+C
3) -cos x+tan x+C
2) 4 sin x+3 cos x+C
4) -cos x+sin x+C
5) tan x-x+C
7) -csc x+C
6) -cot x-x+C
8) x+sin x+C
`3)) : (sin x+sec¤ x)dx=-cos x+tan x+C
9) sec x+C
11) -cot x+C
10) tan x+sin x+C
12) tan x+x+C
`4)) : (tan x+1) cos x dx=: (sin x+cos x)dx
13) tan x+sec x+C
15) -cot x+C
14) -cot x-cos x+C
`1)) :
1
dx=: sec¤ x dx=tan x+C
cos¤ x
`2)) : (4 cos x-3 sin x)dx=4 sin x+3 cos x+C
=-cos x+sin x+C
`5)) : tan¤ x dx=: (sec¤ x-1)dx
=tan x-x+C
`6)) : cot¤ x dx=: (csc¤ x-1)dx
`
:
`8)) :
:
`11)) :
∴ f {;3“;}=2¥;3“;+2 cos ;3“;-2+;3“;
dx=: tan x¥sec x dx=sec x+C
1+cos‹ x
dx=: (sec¤ x+cos x)dx
cos¤ x
dx=tan x+sin x+C
1
1
dx=:
dx
1-cos¤ x
sin¤ x
1+cos¤ x
1+cos¤ x
dx=:
dx
1-sin¤ x
cos¤ x
:
dx=tan x+x+C
`1)) : ex+1 dx=e: e≈ dx=e¥e≈ +C=ex+1+C
`2)) : (e≈ +2≈ )dx=e≈ +
`3)) : {;2!;}≈ dx=
`14)) :
1+sin‹ x
1
dx=: {
+sin x}dx
sin¤ x
sin¤ x
=: (csc¤ x+sin x)dx
=-cot x-cos x+C
`15)) : cot x csc x sec x dx=:
=:
{;2!;}≈
cos x
1
1
¥
¥
dx
sin x sin x cos x
1
dx
sin¤ x
=: csc¤ x dx=-cot x+C
2≈
+C
ln 2
=-
ln ;2!;
2—≈
+C
ln 2
`4)) : e¤ 3≈ dx=e¤ : 3≈ dx=e¤ ¥
`5)) : 5¤ ≈ dx=: 25≈ dx=
3≈
e¤ 3≈
=
+C
ln 3
ln 3
25≈
5¤ ≈
+C=
+C
ln 25
2 ln 5
`6)) : ('e )2x-2 dx=: ex-1 dx=;e!;: e≈ dx=ex-1 +C
`7)) : 23x-1 dx=:
8≈
dx
2
=;2!;¥
=tan x+sec x+C
p-1
06
`13)) : (sec x+tan x)sec x dx
=: (sec¤ x+sec x tan x)dx
∴ C=-2+;3“;
=;3@;p+2¥;2!;-2+;3“;=p-1
(1-cos x)(1+cos x)
dx
1-cos x
=: (sec¤ x+1)dx
`
=2x+2 cos x+C
sin¤ x
1-cos¤ x
dx=:
dx
1-cos x
1-cos x
=: csc¤ x dx=-cot x+C
`12)) :
2(1-sin x)(1+sin x)
dx=: 2(1-sin x)dx
1+sin x
f(0)=;3“;이므로 f(0)=2+C=;3“;
1
1
1
dx=:
¥
dx
`9)) :
cot x¥cos x
cot x cos x
`10)) :
2(1-sin¤ x)
2 cos¤ x
dx=:
dx
1+sin x
1+sin x
dx=-csc x+C
=: (1+cos x)dx=x+sin x+C
:
=:
cos x
1
cos x
dx=:
¥
dx=: csc x cot x dx
sin x sin x
sin¤ x
=:
`
f(x)=:
: cot¤ x dx=-cot x-x+C
`7)) :
`
05
8≈
2‹ ≈
+C=
+C
ln 8
6 ln 2
{;2!;}≈
2≈
+
+C
`8)) : (2≈ +2—≈ )dx=: [2≈ +{;2!;}≈ ]dx=
ln 2
ln ;2!;
`
: (2≈ +2—≈ )dx=
2≈ -2—≈
+C
ln 2
`9)) : (3ex-3x+1)dx=: (3ex-3¥3x)dx
=3ex-3¥
=3ex-
3≈
+C
ln 3
3≈ ±⁄
+C
ln 3
`10)) : 5x ln 5 dx=ln 5: 5≈ dx
=ln 5¥
5≈
+C=5x+C
ln 5
Ⅳ. 적분법 71
`11)) : (ex-1+32x)dx=: {
=
e≈
+9x}dx
e
x+1
+C
=: (4≈ +2≈ +1)dx
3¤ ≈
+C
2 ln 3
2≈
+C
ln 2
2) e≈ +
2—≈
+C
ln 2
3) -
4)
e¤ 3≈
+C
ln 3
5)
5¤ ≈
+C
2 ln 5
6) e
7)
2‹ ≈
+C
6 ln 2
8)
2≈ -2—≈
+C
ln 2
9) 3e -
10) 5≈ +C
(2≈ -1)(4≈ +2≈ +1)
8≈ -1
dx=:
dx
2≈ -1
2≈ -1
e≈
9≈
+
+C
e
ln 9
=ex-1+
1) e
`8)) :
11) e
x-1
+
x-1
+C
x
3≈ ±⁄
+C
ln 3
3¤ ≈
+C
2 ln 3
1)
=
4≈
2≈
+
+x+C
ln 4
ln 2
=
2¤ ≈
2≈
+
+x+C
2 ln 2
ln 2
2¤ ≈
2≈ ±⁄
+
+x+C
2 ln 2
ln 2
e¤ ≈
e—¤ ≈
2) 2 -2x- 2 +C
e¤ ≈
3) 2 -e≈ +x+C
4) x-
e› ≈
+C
4
5) e≈ -3x¤ -ln |x|+C
6)
3≈
3¤ ≈
+
+C
ln 3
2 ln 3
7) e≈ -;2!;x¤ +C
8)
2¤ ≈
2≈
+
+x+C
2 ln 2
ln 2
07
08
`1)) : (2≈ +1)¤ dx=: (4≈ +2x+1+1)dx
f'(x)=e≈ +2x이므로
4≈
2≈
=
+2¥
+x+C
ln 4
ln 2
=
2¤ ≈
2≈ ±⁄
+
+x+C
2 ln 2
ln 2
`2)) : (e≈ -e—≈ )¤ dx=: (e¤ ≈ -2+e
-2x
)dx
=
(e¤ )≈
(e—¤ )≈
-2x+
+C
ln e¤
ln e—¤
=
e¤ ≈
e—¤ ≈
-2x+C
2
2
f(0)=1+C=1
∴ C=0
f(1)=e+1
e+1
e‹ ≈ +1
(e≈ +1)(e¤ ≈ -e≈ +1)
dx=:
dx
e≈ +1
e≈ +1
=: (e¤ ≈ -e≈ +1)dx=
e¤ ≈
-e≈ +x+C
2
`4)) : (1-e≈ )(1+e≈ )(1+e¤ ≈ )dx=: (1-e4x)dx
=x`5)) :
곡선이 점 (0, 1)을 지나므로 `f(0)=1
따라서 f(x)=e≈ +x¤ 이므로
=: {(e¤ )≈ -2+(e—¤ )≈ } dx
`3)) :
f(x)=: (e≈ +2x)dx=e≈ +x¤ +C
e› ≈
+C
4
xe≈ -6x¤ -1
dx=: {e≈ -6x-;[!; } dx
x
IV-2 치환적분법과 부분적분법
09
1)) 2x+1=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
2=
dt
dx
∴ dx=;2!;dt
∴ : (2x+1)‹ dx=;2!;: t‹ dt=;2!;¥;4!;t› +C
=e≈ -3x¤ -ln |x|+C
9≈ +27≈
9≈
27≈
dx=: {
+
`6)) :
} dx
3≈
3≈
3≈
=: (3≈ +9≈ )dx
=
3≈
9≈
+
+C
ln 3
ln 9
3≈
3¤ ≈
+
+C
ln 3
2 ln 3
(e≈ +x)(e≈ -x)
e¤ ≈ -x¤
dx=:
dx
`7)) :
e≈ +x
e≈ +x
=
=: (e≈ -x)dx
=e≈ -;2!;x¤ +C
72 정답과 해설
pp.140~147
=;8!; (2x+1)› +C
2)) x¤ -3=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
2x=
dt
dx
∴ 2x dx=dt
∴ : 6x(x¤ -3)¤ dx=: 3t¤ dt=3¥;3!;t‹ +C
=(x¤ -3)‹ +C
3)) x¤ +x-1=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
2x+1=
dt
dx
∴ (2x+1)dx=dt
∴ : (2x+1)(x¤ +x-1)¤ dx=: t¤ dt=;3!;t‹ +C
=;3!; (x¤ +x-1)‹ +C
4)) x› +2x¤ =t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
4x‹ +4x=
dt
dx
`2)) 'ƒx+1=t로 놓으면 x+1=t¤
∴ (x‹ +x)dx=;4!;dt
양변을 x에 대하여 미분하면 1=2t
∴ : (x‹ +x)(x› +2x¤ )¤ dx=;4!;: t¤ dt=;4!;¥;3!;t‹ +C
∴ dx=2tdt
∴ : x'ƒx+1dx
=;1¡2;(x› +2x¤ )‹ +C
1) ;8!; (2x+1)› +C
2) (x¤ -3)‹ +C
3) ;3!; (x¤ +x-1)‹ +C
4) ;1¡2; (x› +2x¤ )‹ +C
dt
dx
∴ =: (t¤ -1)t¥2tdt
∴ =: (2t› -2t¤ )dt=;5@; tfi -;3@; t‹ +C
∴ =;5@;('ƒx+1)fi -;3@;('ƒx+1)‹ +C
∴ =;5@;(x+1 )¤ 'ƒx+1 -;3@;(x+1 )'ƒx+1 +C
10
`1)) x¤ +5=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
`3)) 'ƒx+2=t로 놓으면 x+2=t¤
2x=
dt
dx
∴:
2x
1
dx=: dt=ln|t|+C
t
x¤ +5
∴:
∴:
dx=ln (x¤ +5)+C
∴:
dx=: (2t¤ -4)dt=;3@; t‹ -4t+C
∴:
dx=;3@; ('ƒx+2)‹ -4'ƒx+2+C
∴:
dx=;3@; (x+2 )'ƒx+2 -4'ƒx+2 +C
∴ 2xdx=dt
양변을 x에 대하여 미분하면 1=2t
`2)) x¤ -3x+5=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
2x-3=
dt
dx
∴ (2x-3)dx=dt
∴:
4x-6
1
dx=2: dt=2 ln|t|+C
t
x¤ -3x+5
∴:
dx=2 ln (x¤ -3x+5)+C
dt
dx
∴:
∴:
∴:
dt
dx
∴:
1
dx=+C
4(x¤ +2x+2)¤
1) ln(x¤ +5)+C
2) 2 ln (x¤ -3x+5)+C
3) ;2!; ln|2x‹ +x¤ +1|+C
1
+C
4) 4(x¤ +2x+2)¤
11
`1))
"√x¤ +3 =t로 놓으면 x¤ +3 =t¤
dt
양변을 x에 대하여 미분하면 2x =2t
dx
∴ 2x dx=2tdt
∴:
∴:
2x
dx=: ;t!; ¥2tdt=: 2 dt
"√x¤ +3
dx= 2t +C= 2"√x¤ +3 +C
dt
dx
∴ e≈ dx=2tdt
∴:
x+1
1
dx=;2!; : dt
(x¤ +2x+2)‹
t‹
dx=;2!; ¥{-;2!; t—¤ }+C
dx=2'ƒx +1+C
양변을 x에 대하여 미분하면 e≈ =2t
∴ (x+1)dx=;2!; dt
∴:
1
1
dx=: ¥2tdt=: 2dt=2t+C
t
'ƒx +1
`5)) "√e≈ +1=t로 놓으면 e≈ +1=t¤
`4)) x¤ +2x+2=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
2x+2=
dt
dx
∴ dx=2tdt
∴ (3x¤ +x)dx=;2!; dt
dx=;2!; ln|2x‹ +x¤ +1|+C
x
t¤ -2
dx=:
¥2tdt
t
'ƒx+2
양변을 x에 대하여 미분하면 1=2t
3x¤ +x
1
dx=;2!; : dt=;2!; ln|t|+C
∴:
t
2x‹ +x¤ +1
∴:
∴ dx=2tdt
`4)) 'ƒx +1=t로 놓으면 x+1=t¤
`3)) 2x‹ +x¤ +1=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
6x¤ +2x=
dt
dx
∴:
3e≈
3
dx=: ¥2tdt=: 6 dt
t
"√e≈ +1
dx=6t+C=6"√e≈ +1+C
1) 2"√x¤ +3+C
2) ;5@;(x+1)¤ 'ƒx+1-;3@;(x+1)'ƒx+1+C
3) ;3@; (x+2)'ƒx+2-4'ƒx+2+C
4) 2'ƒx+1+C
5) 6"√e≈ +1+C
12
`1)) sin x=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
cos x =
dt
dx
∴ cos x dx=dt
∴ : sin¤ x cos x dx=: t¤ dt=
1
t 3 +C
3
∴ : sin¤ x cos x dx= ;3!; sin‹ x+C
Ⅳ. 적분법 73
`2)) 1+cos x=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
-sin x=
dt
dx
`2)) e≈ +1=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
∴ sin x dx=-dt
e≈ =
dt
dx
∴ e≈ dx=dt
∴ : sin x(1+cos x)¤ dx=: t¤ ¥(-dt)=-: t¤ dt
∴ : e≈ "√e≈ +1 dx=: 't dt=;3@; t't+C
∴ : sin x(1+cos x)¤ dx=-;3!; t‹ +C
∴ : e≈ "√e≈ +1 dx=;3@; (e≈ +1)"√e≈ +1+C
`3)) e≈ -1=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
∴ : sin x(1+cos x)¤ dx=-;3!; (1+cos x)‹ +C
e≈ =
`3)) cos x=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
-sin x=
dt
dx
dt
dx
∴ e≈ dx=dt
∴ : (e≈ -1)‹ e≈ dx=: t‹ dt=;4!; t› +C
∴ sin x dx=-dt
∴ : (e≈ -1)‹ e≈ dx=;4!; (e≈ -1)› +C
∴ : cos‹ x sin x dx=: t‹ ¥(-dt)=-: t‹ dt
`4)) ln x=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
∴ : cos‹ x sin x dx=-;4!; t› +C=-;4!; cos› x+C
;[!;=
dt
dx
∴ sec¤ x dx=dt
∴:
sin(ln x)
dx=: sin t dt=-cos t+C
x
∴:
sec¤ x
1
dx=:
dt=ln|t|+C
t
tan x-1
∴:
∴:
dx=ln|tan x-1|+C
`4)) tan x-1=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
sec¤ x=
dt
dx
∴ ;[!; dx=dt
dx=-cos(ln x)+C
`5)) ln x+1=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
1) ;3!; sin‹ x+C
2) -;3!; (1+cos x)‹ +C
3) -;4!; cos› x+C
4) ln|tan x-1|+C
;[!;=
dt
dx
∴:
'ƒln x+1
dx=: 't dt=;3@; t't+C
x
∴ ;[!; dx=dt
∴:
13
dx=;3@; (ln x+1)'ƒln x+1+C
`6)) ln x=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
f(x)=: cos‹ x dx=: cos¤ x¥cos x dx
f(x)=: (1-sin¤ x)cos x dx
;[!;=
dt
dx
sin x=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
∴:
(ln x)›
dx=: t› dt=;5!; tfi +C
x
cos x =
dt
dx
∴ ;[!; dx=dt
∴ cos x dx=dt
=;5!; (ln x)fi +C
∴ f(x)=: (1-sin¤ x)cos x dx
∴ f(x)=: (1-t¤ )dt=t-
¤
t‹
+C
3
∴ f(x)=sin x-;3!; sin‹ x+C
f(0)=1이므로 0-0+C=1
1) -;2!; e—≈ +C
2) ;3@; (e≈ +1)"√e≈ +1+C
3) ;4!; (e≈ -1)› +C
4) -cos(ln x)+C
5) ;3@; (ln x+1)'ƒln x+1+C
6) ;5!; (ln x)fi +C
∴ C=1
따라서 f(x)=sin x-;3!; sin‹ x+1이므로
f{
p
p
p
+1
}=sin -;3!; sin‹
6
6
6
f{
}=;2!;-;3!;¥{;2!;}‹ +1=;2#4%;
14
`1))
-x¤ =t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
-2 x=
dt
dx
`1)) ( x¤ +1 )'=2x이고 x¤ +1 >0이므로
;2#4%;
:
( x¤ +1)'
2x
dx=:
dx
x¤ +1
x¤ +1
:
dx= ln (x¤ +1)+C
`2)) (x¤ +4x+3)'=2x+4이므로
∴ x dx= -;2!; dt
∴ : xe—≈ ¤ dx= -;2!; : e† dt
∴ : xe—≈ ¤ dx= -;2!; e† +C= -;2!; e—≈ ¤ +C
74 정답과 해설
15
:
x+2
2x+4
dx=;2!;:
dx
x¤ +4x+3
x¤ +4x+3
(x¤ +4x+3)'
dx
x¤ +4x+3
:
dx=;2!; :
:
dx=;2!; ln|x¤ +4x+3|+C
`3)) (2+cos x)'=-sin x이고 2+cos x>0이므로
:
4)) (3x)'=3, (2x)'=2이므로
: (cos 3x+sin 2x)dx=;3!; sin 3x-;2!; cos 2x+C
sin x
-sin x
dx=-:
dx
2+cos x
2+cos x
dx=-:
:
dx=-ln (2+cos x)+C
`4)) cot x=
cos x
이고 (sin x)'=cos x이므로
sin x
: cot x dx=:
5)) (3x+1)'=3이므로
(2+cos x)'
dx
2+cos x
:
: sec¤ (3x+1)dx=;3!; tan (3x+1)+C
6)) (5x+2)'=5이므로
: e5x+2dx=;5!; e5x+2+C
cos x
(sin x )'
dx=:
dx
sin x
sin x
: cot x dx=ln|sin x|+C
`5)) (1+e≈ )'=e≈ 이고 1+e≈ >0이므로
:
(1+e≈ )'
e≈
dx=:
dx=ln(1+e≈ )+C
1+e≈
1+e≈
1) ln (x¤ +1)+C
2) ;2!; ln|x¤ +4x+3|+C
3) -ln(2+cos x)+C
5) ln(1+e≈ )+C
4) ln|sin x|+C
1) ;1¡8; (3x-1)fl +C
2) ;3!; (2x+3)'ƒ2x+3+C
p
3) ;2!; cos { 6 -2x}+C
4) ;3!; sin 3x-;2!; cos 2x+C
5) ;3!; tan (3x+1)+C
6) ;5!; e
5x+2
+C
18
f(x)=: (sin 6x+e3x-2)dx
f(x)=;6!;¥(-cos 6x)+;3!;e3x-2+C
16
f(x)=-;6!; cos 6x+;3!;e3x-2+C
(e¤ ≈ +3)'=2e¤ ≈ 이고 e¤ ≈ +3>0이므로
f(x)=:
f{;3“;}=;3!;ep-2이므로
e¤ ≈
2e¤ ≈
dx=;2!;:
dx
e¤ ≈ +3
e¤ ≈ +3
-;6!;+;3!;ep-2+C=;3!;ep-2
(e¤ ≈ +3)'
f(x)=;2!;:
dx
e¤ ≈ +3
∴ C=;6!;
f(x)=;2!; ln (e¤ ≈ +3)+C
따라서 f(x)=-;6!; cos 6x+;3!;e3x-2+;6!;이므로
f(0)=ln 2이므로
f(0)=-;6!;+;3!;e-2+;6!;=
;2!; ln 4+C=ln 2+C=ln 2
∴ C=0
1
3e¤
1
3e¤
19
따라서 f(x)=;2!; ln (e¤ ≈ +3)이므로
f(x)=: e;2!;x dx=2e;2!;x+C
f{;2!;}=;2!; ln (e+3)
;2!; ln (e+3)
f(0)=1이므로
∴ C=-1
2e‚ +C=1
;2!;x
∴ f(x)=2e -1
17
f(x)=0에서
1)) (3x-1)'= 3 이므로
: (3x-1)fi dx= ;3!; ¥;6!; (3x-1)fl +C
: (3x-1)fi dx= ;1¡8; (3x-1)fl
+C
2e;2!;x=1 ⇨ e;2!;x=;2!; ⇨ ;2!;x=-ln 2
∴ x=-2 ln 2
x=-2 ln 2
20
f(x)=: cos {2x-;3“;}dx=;2!; sin {2x-;3“;}+C
2)) (2x+3)'=2이므로
: 'ƒ2x+3 dx=;2!;¥;3@; (2x+3);2#; +C
: 'ƒ2x+3 dx=;3!; (2x+3)'ƒ2x+3 +C
f {;1∞2;p}=;2!;이므로
;2!; sin {;6%;p-;3“;}+C=;2!; ⇨ ;2!; sin ;2“;+C=;2!;
p
3)) { 6 -2x} '=-2이므로
: sin {
: sin {
;2!;+C=;2!;
p
p
-2x}dx=-;2!;¥[-cos { -2x}]+C
6
6
-2x}dx=;2!; cos {
p
-2x}+C
6
∴ C=0
즉, f(x)=;2!; sin {2x-;3“;}이므로
f {;4“;}=;2!; sin {;2“;-;3“;}=;2!; sin ;6“;=;4!;
;4!;
Ⅳ. 적분법 75
21
`2))
`1)) :
1
dx=ln|x+1|+C
x+1
`2)) :
1
dx=;2!; ln|2x+1|+C
2x+1
`3)) : {
2
1
+
}dx
x-1
3x+2
이므로
:
1
1
1
dx=: {
- }dx
x(x-1)
x-1
x
=ln|x-1|-ln|x|+C
=ln|
=2 ln|x-1|+;3!; ln|3x+2|+C
`4)) : {;[!;+
1
1
1
1
1
=-{ }=
x(x-1)
x
x-1
x-1
x
`3))
1
1
+
}dx
x+1
x+2
x-1
|+C
x
1
1
1
1
=
=
x+2
x¤ +3x+2 (x+1)(x+2) x+1
이므로
=ln|x|+ln|x+1|+ln|x+2|
:
=ln|x(x+1)(x+2)|+C
=ln|x‹ +3x¤ +2x|+C
1) ln|x+1|+C
2) ;2!; ln|2x+1|+C
3) 2 ln|x-1|+;3!; ln|3x+2|+C
4) ln |x‹ +3x¤ +2x|+C
`4))
1
1
1
dx=: {
}dx
x+1
x+2
x¤ +3x+2
:
dx=ln|x+1|-ln|x+2|+C
:
dx=ln|
x+1
|+C
x+2
4x+3
4x+3
A
B
=
=
+
x-2
x¤ -5x+6 (x-3)(x-2) x-3
로 놓으면
4x+3
A(x-2)+B(x-3)
=
x¤ -5x+6
(x-3)(x-2)
22
( A+B )x-( 2A+3B )
`1)) :
3x-2
dx=:
x-1
3 (x-1)+ 1
x-1
=
(x-3)(x-2)
위 식은 x에 대한 항등식이므로
dx
1
A+B =4, 2A+3B =-3
:
dx=: { 3 +
:
dx= 3x +ln|x- 1 |+C
x-1
}dx
∴ A= 15 , B= -11
∴:
x¤ +3x+1
1
dx=: {x+1`2)) :
}dx
x+2
x+2
:
dx=;2!; x¤ +x-ln|x+2|+C
`3)) :
2x¤ +4x+3
1
dx=: {2x+2+
}dx
x+1
x+1
:
dx=x¤ +2x+ln|x+1|+C
1) 3x+ln|x-1|+C
2) ;2!; x¤ +x-ln|x+2|+C
3) x¤ +2x+ln|x+1|+C
4x+3
dx
x¤ -5x+6
∴ =: {
15
x-3
-
11
x-2
}dx
∴ = 15 ln|x-3|- 11 ln|x-2|+C
`5))
5x
5x
A
B
=
=
+
2x¤ -3x-2
(2x+1)(x-2)
2x+1
x-2
이므로
5x
A(x-2)+B(2x+1)
=
2x¤ -3x-2
(2x+1)(x-2)
(A+2B)x+(-2A+B)
(2x+1)(x-2)
위 식은 x에 대한 항등식이므로
=
23
1
1
1
1
=
{
}이므로
`1))
x-2
x+2
(x-2)(x+2)
4
1
dx
:
(x-2)(x+2)
1
1
1
=
:{
} dx
x-2
x+2
4
=
1
(ln|x-2| - ln|x+2|)+C
4
=
1
x- 2
ln
4
76 정답과 해설
| x+ 2 |+C
A+2B=5, -2A+B=0
∴ A=1, B=2
∴:
∴:
5x
1
2
+
dx=: {
}dx
2x¤ -3x-2
2x+1
x-2
dx=;2!; ln|2x+1|+2 ln|x-2|+C
x-2
1) ;4!; ln| x+2 |+C
2) ln|
x-1
|+C
x
x+1
3) ln| x+2 |+C
4) 15ln|x-3|-11 ln|x-2|+C
5) ;2!; ln|2x+1|+2 ln|x-2|+C
24
26
x-1
A
B
=
+
로 놓으면
x¤ -8x+15
x-5
x-3
(A+B)x+(-3A-5B)
x-1
=
(x-5)(x-3)
x¤ -8x+15
위 식은 x에 대한 항등식이므로
F(x)=xf(x)-x¤ e≈ 의 양변을
x에 대하여 미분하면
f(x)=f(x)+xf'(x)-2xe≈ -x¤ e≈
∴ f '(x)=2e≈ +xe≈ =(2+x)e≈
f(x)=: (2+x)e≈ dx에서
A+B=1, -3A-5B=-1
∴ A=2, B=-1
u(x)=2+x, v'(x)=e≈ 으로 놓으면
x-1
f(x)=:
dx
x¤ -8x+15
u'(x)=1, v(x)=e≈ 이므로
f(x)=(2+x)e≈ -: e≈ dx
2
1
f(x)=: {
}dx
x-5
x-3
f(x)=(2+x)e≈ -e≈ +C
f(x)=2 ln|x-5|-ln|x-3|+C
f(x)=(1+x)e≈ +C
f(4)=ln 2이므로
f(-1)=0이므로 C=0
f(4)=2ln|-1|-ln|1|+C=ln 2
∴ f(x)=(x+1)e≈
∴ C=ln2
∴ f(1)=2e
2e
따라서 f(x)=2 ln|x-5|-ln |x-3|+ln2이므로
②
f(7)=2 ln 2-ln 4+ln 2=ln 2
25
27
`1)) f(x)= x , g '(x)= sin x 로 놓으면
`1)) f(x)=x¤ , g'(x)=cos x로 놓으면
f'(x)= 1 , g(x)= -cos x 이므로
f '(x)= 2x , g(x)= sin x 이므로
: x sin x dx= -x cos x +: cos x dx
: x¤ cos x dx= x¤ sin x -2: x sin x dx y`㉠
: x sin x dx= -x cos x+sin x +C
한편, : x sin x dx에서
`2)) f(x)=x+2, g '(x)=e≈ 으로 놓으면
f'(x)=1, g(x)=e≈ 이므로
u(x)=x, v'(x)=sin x로 놓으면
: (x+2)e≈ dx=(x+2)e≈ -: e≈ dx
u'(x)= 1 , v(x)= -cos x 이므로
: x sin x dx= -x cos x +: cos x dx
: (x+2)e≈ dx=(x+2)e≈ -e≈ +C
: (x+2)e≈ dx=xe≈ +e≈ +C
: x sin x dx= -x cos x+sin x +C¡ y`㉡
`3)) f(x)=ln x, g '(x)=1로 놓으면
㉡을 ㉠에 대입하면
1
f'(x)= , g(x)=x이므로
x
: x¤ cos x dx= x¤ sin x -2( -x cos x+sin x +C¡)
: ln x dx=x ln x-: 1 dx
: x¤ cos x dx=x¤ sin x+2x cos x -2 sin x+C
: x¤ cos x dx=(x¤ -2) sin x +2x cos x +C
=x ln x-x+C
x+1
`4)) f(x)=x, g '(x)=e
f'(x)=1, g(x)=e
x+1
`2)) f(x)=x¤ , g'(x)=e—≈ 으로 놓으면
으로 놓으면
f '(x)=2x, g(x)=-e—≈ 이므로
이므로
: xex+1 dx=xex+1-: ex+1 dx
: x¤ e—≈ dx=-x¤ e—≈ +2: xe—≈ dx y`㉠
: xex+1 dx=xex+1 -ex+1 +C
한편, : xe—≈ dx에서
`5)) f(x)=ln 2x, g '(x)=x로 놓으면
u(x)=x, v'(x)=e—≈ 으로 놓으면
f'(x)=;[!;, g(x)=;2!;x¤ 이므로
u'(x)=1, v(x)=-e—≈ 이므로
: x ln 2x dx=;2!;x ¤ ln 2x-: ;2!;x dx
: xe—≈ dx=-xe—≈ +: e—≈ dx
: xe—≈ dx=-xe—≈ -e—≈ +C¡ y`㉡
: x ln 2x dx=;2!;x¤ ln 2x-;4!;x¤ +C
㉡을 ㉠에 대입하면
1) -x cos x+sin x +C
2) xe≈ +e≈ +C
3) x ln x-x+C
4) xe
5) ;2!;x¤ ln 2x-;4!;x¤ +C
x+1
-ex+1 +C
: x¤ e—≈ dx=-x¤ e—≈ +2(-xe—≈ -e—≈ +C¡)
: x¤ e—≈ dx=-x¤ e—≈ -2xe—≈ -2e—≈ +C
: x¤ e—≈ dx=-e—≈ (x¤ +2x+2)+C
Ⅳ. 적분법 77
3)) f(x)=(ln x)¤ , g '(x)=x로 놓으면
28
1
f'(x)=2 ln x¥ , g(x)=;2!;x¤ 이므로
x
: e≈ cos x dx에서
: x(ln x)¤ dx=;2!;x¤ (ln x)¤ -: x ln x dx y`㉠
f(x)=cos x, g'(x)=e≈ 으로 놓으면
한편, : x ln x dx에서
u(x)=ln x, v'(x)=x로 놓으면
u'(x)=
1
, v(x)=;2!;x¤ 이므로
x
: x ln x dx=;2!;x¤ ln x-: ;2!;x dx
f'(x)=-sin x, g(x)=e≈ 이므로
: e≈ cos x dx=e≈ cos x+: e≈ sin x dx y`㉠
: e≈ sin x dx에서
u(x)=sin x, v'(x)=e≈ 으로 놓으면
u'(x)=cos x, v(x)=e≈ 이므로
: x ln x dx=;2!;x¤ ln x-;4!;x¤ +C¡ y`㉡
: e≈ sin x dx=e≈ sin x-: e≈ cos x dx y`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
㉡을 ㉠에 대입하면
: x(ln x)¤ dx=;2!;x¤ (ln x)¤ -{;2!;x¤ ln x-;4!;x¤ +C¡}
: e≈ cos x dx=e≈ cos x dx+{e≈ sin x-: e≈ cos x dx}
: x(ln x)¤ dx=;2!;x¤ (ln x)¤ -;2!;x¤ ln x+;4!;x¤ +C
∴ h(x)=: e≈ cos x dx=;2!;e≈ (cos x+sin x)+C
`4)) f(x)=x¤ -x, g '(x)=e≈ 으로 놓으면
f'(x)=2x-1, g(x)=e≈ 이므로
h(0)=;2!;이므로
: (x¤ -x)e≈ dx=(x¤ -x)e≈ -: (2x-1)e≈ dx y`㉠
;2!;+C=;2!;
: (2x-1)e≈ dx에서
따라서 h(x)=;2!;e≈ (cos x+sin x)이므로
u(x)=2x-1, v'(x)=e≈ 으로 놓으면
u'(x)=2, v(x)=e≈ 이므로
h(p)=;2!;ep(cos p+sin p)=-;2!;ep
∴ C=0
②
: (2x-1)e≈ dx=(2x-1)e≈ -: 2e≈ dx
: (2x-1)e≈ dx=(2x-3)e≈ +C¡ y`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
: (x¤ -x)e≈ dx=(x¤ -x)e≈ -{(2x-3)e≈ +C¡}
: (x¤ -x)e≈ dx=(x¤ -3x+3)e≈ +C
`5)) f(x)=sin x, g '(x)=e≈ 으로 놓으면
f'(x)=cos x, g(x)=e≈ 이므로
: e≈ sin x dx=e≈ sin x-: e≈ cos x dx y`㉠
IV-3 여러 가지 함수의 정적분
pp.148~150
29
`1)) :!9 {'∂x +
1
} dx=[ ;3@; x'∂x +2 '∂x ]9!
'∂x
:!9 {'∂x +
: e≈ cos x dx에서
} dx=(18+ 6 )-{ ;3@; +2}= ;;§3;¢ ;
u(x)=cos x , v'(x)=e≈ 으로 놓으면
u'(x)=-sin x, v(x)=e≈ 이므로
`2)) :) (cos x+sin x)dx=[sin x-cos x])
: e≈ cos x dx=e≈ cos x+: e≈ sin x dx y`㉡
`
㉡을 ㉠에 대입하면
`3)) :) sec¤ x dx=[tan x]) ='3
: e≈ sin x dx=e≈ sin x-e≈ cos x-: e≈ sin x dx
∴ : e≈ sin x dx=;2!; e≈ (sin x-cos x)+C
1) (x¤ -2)sin x+2x cos x +C
2) -e—≈ (x¤ +2x+2)+C
3) ;2!;x¤ (ln x)¤ -;2!;x¤ ln x+;4!;x¤ +C
4) (x¤ -3x+3)e≈ +C
5) ;2!; e≈ (sin x-cos x)+C
;4“;
:) (cos x+sin x)dx={
;4“;
;3“;
: e≈ sin x dx=e≈ sin x-{e≈ cos x+: e≈ sin x dx}
78 정답과 해설
;4“;
'2
'2
}-(0-1)=1
2
2
;3“;
`4)) :_1! e¤ ≈ ±‹ dx=[;2!; e¤ ≈ ±‹ ]1_!=;2!; (efi -e)
`5)) :!3 5≈ dx=[
5≈
125
5
120
=
]3!=
ln 5
ln 5 ln 5
ln 5
`6)) :)1 (e≈ +e—≈ )dx=[e≈ -e—≈ ]1)
:)1 (e≈ +e—≈ )dx={e-;e!;}-(1-1)=e-;e!;
1) ;;§3;¢ ;
2) 1
4) ;2!; (efi -e)
5)
120
ln 5
3) '3
6) e-;e!;
30
`3)) :_1˘ f(x)dx=:_0˘ f(x)dx+:)1 f(x)dx
3≈
`1)) :)2 (e≈ +3≈ )dx=[e≈ +
]2)
ln 3
1
dx
x+1
`
9
1
:)2 (e≈ +3≈ )dx={e¤ +
}-{1+
}
ln 3
ln 3
:_1˘ f(x)dx=:_0˘ (sin x+1)dx+:)1
`
8
:)2 (e≈ +3≈ )dx=e¤ -1+
ln 3
:_1˘ f(x)dx=[-cos x+x]0_˘+[ln(x+1)]1)
`
:_1˘ f(x)dx=p+ln 2-2
1) 2
``2)) :) (2 cos x-e¤ ≈ )dx+:) (2 cos x+e¤ ≈ )dx
;2“;
;2“;
2) e-3
3) p+ln 2-2
;2“;
=:) {(2 cos x-e¤ ≈ )+(2 cos x+e¤ ≈ )} dx
;2“;
32
`1)) '∂x-1=0에서
;2“;
=:) 4 cos x dx=[4 sin x]) =4
;3“;
( '∂x-1 (xæ 1 )
|'∂x-1|= {
9 -'∂x+1 (x< 1 )
;3“;
;3“;
;3“;
=:) (sec x+1)¤ dx+:) (sec x-1)¤ dx
;3“;
=:) {(sec x+1)¤ +(sec x-1)¤ }dx
;3“;
∴ x= 1
'∂x= 1
``3)) :) (sec x+1)¤ dx-: 0 (sec x-1)¤ dx
∴ :)4 |'∂x-1|dx
;3“;
=:) (2 sec¤ +2)dx=2:) (sec¤ x+1)dx
∴ =:)
1
( -'∂x +1)dx+: 41 ('∂x- 1 )dx
;3“;
=2[tan x+x]) =2'3+;3@; p
``4)) :) (sin x-cos x)dx+:
;4“;
;2“;
1
∴ =[ -;3@; x'∂x +x]) +[ ;3@; x'∂x -x]4 1
(sin x-cos x)dx
∴ ={ -;3@; +1}+[{ ;3@; ¥4'4-4}-{ ;3@; -1}]
;4“;
;2“;
;2“;
=:) (sin x-cos x)dx=[-cos x-sin x]) =-1+1=0
1
1
1
dx-:#8
dy+:)2
dz
``5)) :@8
'ƒx+1
'ƒy+1
'ƒz+1
`2)) cos x-sin x=0에서
x=;4“; {∵ 0…x…;2“;}
=:@8
1
1
1
dx-:#8
dx+:)2
dx
'ƒx+1
'ƒx+1
'ƒx+1
=:@8
1
1
1
dx+:*3
dx+:)2
dx
'ƒx+1
'ƒx+1
'ƒx+1
=:@3
1
1
1
1
dx+:)2
dx=:)2
dx+:@3
dx
'ƒx+1
'ƒx+1
'ƒx+1
'ƒx+1
( cos x-sin x
1
=:)3
dx=[2'ƒx+1]3)=4-2=2
'ƒx+1
8
1) e¤ -1+
ln 3
2) 4
3) 2'3+;3@; p
∴= 2
|cos x-sin x|= {
9 -cos x+sin x {;4“;…x…;2“;}
∴ :) |cos x-sin x|dx
;2“;
;4“;
4) 0
5) 2
{0…x<;4“;}
∴ =:) (cos x-sin x)dx+:
;2“;
(-cos x+sin x)dx
;4“;
;4“;
`1)) :
ln 2
:
ln 2
:
ln 2
f(x)dx=:
-;2“;
`
-;2“;
`
-;2“;
`
`
;2“;
∴ =[sin x+cos x]) +[-sin x-cos x];4“;
31
:
ln 2
-;2“;
ln 2
:
0
-;2“;
f(x)dx=:
0
-;2“;
ln 2
f(x)dx+: 0 f(x)dx
ln 2
cos x dx+: 0
e≈ dx
∴ =('2-1)+(-1+'2)
∴ =2('2-1)
3)) e≈ -1=0에서
e≈ =1
f(x)dx=[ sin x ] -;2“;+[ e≈ ] 0
∴ x=0
ln 2
0
f(x)dx={0-( -1 )}+( e¬ « ¤ -1)
f(x)dx= 1 +2-1= 2
-;2“;
``
`2)) :_»! f(x)dx=:_0! f(x)dx+:)» f(x)dx
`
`
:_»! f(x)dx=:_0! e—≈ dx+:)» (cos x-sin x)dx
`
:_»! f(x)dx=[-e—≈ ]0-1+[sin x+cos x]»)
`
:_»! f(x)dx=(-1+e)+(-1-1)=e-3
|e≈ -1|=[
e≈ -1
(xæ0)
-e≈ +1 (x<0)
∴ :_1! |e≈ -1|dx
∴ =:_0! (-e≈ +1)dx+:)1 (e≈ -1)dx
∴ =[-e≈ +x]0_!+[e≈ -x]1)
∴ =e+;e!;-2
1) 2
2) 2('2-1)
3) e+;e!;-2
Ⅳ. 적분법 79
IV-4 정적분의 치환적분법과 부분적분법
33
1)) y=sin x는 기 함수, y=cos x는 우 함수이므로
35
(sin x+cos x)dx= 2 :) cos x dx
`1))
:
;4“;
:
;4“;
:
;4“;
;4“;
-;4“;
(sin x+cos x)dx= 2 [ sin x ]) = 2 ¥
;4“;
-;4“;
2x =
'2
2
2)) f(x)=
∴ :_1!
∴ xdx= ;2!; dt
∴ : 2 x"√x¤ -3 dx= ;2!; :
e≈ +e—≈
이라 하면
2
f(-x)=
dt
dx
x=2일 때 t= 1 , x='3일 때 t= 0
(sin x+cos x)dx= '2
-;4“;
x¤ -3 =t라 놓으면
'3
e—≈ +e≈
=f(x)이므로 f(x)는 우함수이다.
2
1
0
Æ… t dt
∴ : 3 x"√x¤ -3 dx= ;2!; [;3@; t 't ]
'3
e≈ +e—≈
e≈ +e—≈
dx=2:)1
dx
2
2
1
0
∴ : 3 x"√x¤ -3 dx=;3!;( 1 - 0 )= ;3!;
'3
∴ :_1!
dx=:)1 (e≈ +e—≈ )dx=[e≈ -e—≈ ]1)
∴ :_1!
dx={e-
`2)) 2-x=t라 놓으면
dt
∴ dx=-dt
dx
x=1일 때 t=1, x=-2일 때 t=4
-1=
1
}-(1-1)=e-;e!;
e
3)) f(x)=2≈ -2—≈ 이라 하면
∴ :_1@ 'ƒ2-x dx=-:$1 'tdt
f(-x)=2—≈ -2≈ =-(2≈ -2—≈ )=-f(x)
이므로 f(x)는 기함수이다.
∴ :_1@ 'ƒ2-x dx=:!4 'tdt
∴ :_1! (2≈ -2—≈ )dx=0
4)) y=x¤ 은 우함수, y=tan x는 기함수이므로 y=x¤ tan x는
기함수이고, y=cos x는 우함수이다.
∴:
;6“;
∴:
;3“;
∴:
;3“;
∴ :_1@ 'ƒ2-x dx=;3@;(4'4-1)=;;¡3;¢ ;
;6“;
(x¤ tan x+cos x)dx=2:) cos x dx
`3)) 2x-;6“;=t라 놓으면
-;6“;
;6“;
dt
dx
(x¤ tan x+cos x)dx=2[sin x])
2=
(x¤ tan x+cos x)dx=2¥;2!;=1
x=;2“;일 때 t=;6%;p, x=0일 때 t=-;6“;
-;3“;
-;3“;
∴ :_1@ 'ƒ2-x dx=[;3@;t't]4!
1) '2
2) e-;e!;
3) 0
4) 1
∴ dx=;2!;dt
∴ :) 2 cos {2x-;6“;} dx=:_
;6%;p
;2“;
cos tdt
;6“;
∴ :) 3 cos {2x-;6“;} dx=[sin t ]_
;6%;p
;2“;
;6“;
∴ :) 3 cos {2x-;6“;} dx=;2!;-{-;2!;}=1
34
;2“;
ㄱ. F(x)=x¤ f(x)라 하면
F(-x)=(-x)¤ f(-x)=x¤ ¥(-f(x))=-F(x)
dt
∴ x dx=;2!;dt
dx
x=1일 때 t=1, x=0일 때 t=0
이므로 F(x)는 기함수이다.
2x=
∴ :_1! x¤ f(x)dx=0
ㄴ. G(x)=tan f(x)라 하면
G(-x)=tan f(-x)=tan(-f(x))=-tan f(x)
=-G(x)
ㄴ. 이므로 G(x)는 기함수이다.
∴ :)2 6xex¤ dx=[e† ]1)=e-1
1
dt
=
x
dx
ㄷ. H(x)=(e≈ -e—≈ )f(x)라 하면
∴
1
dx=dt
x
x=e¤ 일 때 t=2, x=e일 때 t=1
1
1
2
dx=:!2
dt
∴ :Ee
x(ln x)¤
t¤
H(-x)=(e—≈ -e≈ )f(-x)=(e—≈ -e≈ )(-f(x))
=(e≈ -e—≈ )f(x)=H(x)
ㄴ. 이므로 H(x)는 우함수이다.
ㄴ. ∴ :_1! (e≈ -e—≈ )f(x)dx=2:)1 (e≈ -e—≈ )f(x)dx
80 정답과 해설
∴ :)1 2xex¤ dx=:)1 e† dt
`5)) lnx=t라 놓으면
∴ :_1! tan f(x)dx=0
따라서 정적분의 값이 항상 0인 것은 ㄱ, ㄴ이다.
`4)) x¤ =t라 놓으면
ㄱ, ㄴ
∴ :Ee
3
∴ :Ee
3
dx=[-
1
]2!
t
dx=-;2!;-(-1)=;2!;
pp.151~157
37
`6)) tan x-1=t라 놓으면
dt
sec¤ x=
dx
`1))
∴ sec¤ x dx=dt
1+sin x =t라 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
cos x =
p
p
일 때 t='3-1, x= 일 때 t=0
3
4
x=
∴:
;3“;
∴ cos x dx=dt
2 (tan x-1)sec¤ x dx
;4“;
'3-1
∴ =:)
2tdt=[t¤ ])
'3-1
dt
dx
x=0일 때 t=1, x=
=('3-1)¤ =4-2'3
;2“; (1- sin¤ x )cos x
cos‹ x
dx=:)
dx
1+sin x
1+sin x
1) ;3!;
2) ;;¡3;¢ ;
3) 1
∴ :)
4) e-1
5) ;2!;
6) 4-2'3
∴ :)
dx=:) (1- sin x )cos xdx
∴ :)
dx=:! (2- t )dt
∴ :)
dx=[2t-
;2“;
;2“;
36
;2“;
;2“;
`1)) x=sin h { -;2“;…h…;2“; }라 놓고 양변을 x에 대하여 미
dh
dx
;2“;
;2“;
sin x=t라 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
x=0일 때 h=0, x=1일 때 h= ;2“;
cos x=
∴ :)1 "√1-x¤ dx=:)
∴ :)1 "√1-x¤ dx=:)
∴ :)1 "√1-x¤ dx=:)
Æ…1- sin¤ h ¥ cos h dh
;2“;
;2“;
2
;2“;
dh
∴ :) cos‹ x dx=[t;2“;
∴ :)1
e≈ =
∴ dx=cos h dh
p
2
1
¥cos h dh=:) 1dh
cos h
∴ :)3
dx=:)
∴ :)3
dx=[h]) =;2“;
;2“;
ln (2e-1)
∴ :)
ln (2e-1)
∴ :)
ln (2e-1)
e≈
dx=:@2 e ;t!;dt
e≈ +1
dx=[ln t]2@e
dx=ln2e-ln 2=1
1) ;2!;
p
p
<h< }라 놓고 양변을 x에 대하여 미분
2
2
2) ;3@;
3) 1
38
3x-1=t로 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
하면
dh
dx
dt
∴ dx=;3!;dt
dx
x=1일 때 t=2, x=2일 때 t=5
3=
∴ dx=sec¤ hdh
x=0일 때 h=0, x=1일 때 h=
p
4
∴ :!2 f(3x-1)dx=;3!;:@5 f(t)dt y`㉠
;4“;
1
sec¤ h
dh
∴ :)1
dx=:)
x¤ +1
tan¤ h+1
∴ :)1
∴ :)
;2“;
`3)) x=tan h {-
1=sec¤ h
dt
dx
∴ e≈ dx=dt
x=0일 때 t=2, x=ln (2e-1)일 때 t=2e
;2“;
1
1
cos h dh
dx=:)
"√1-x¤
"√1-sin¤ h`
;2“;
t‹
]1) =;3@;
3
`3)) e≈ +1=t라 놓고 양변을 x에 대하여 미분하면
하면
x=0일 때 h=0, x=1일 때 h=
;2“;
;2“;
p
p
<h< }라 놓고 양변을 x에 대하여 미분
2
2
dh
dx
p
일 때 t=1
2
∴ :) cos‹ x dx=:)1 (1-t¤ )dt
;2“;
1=cos h
∴ cos x dx=dt
∴ :) cos‹ x dx=:) (1-sin¤ x)cos x dx
∴ :)1 "√1-x¤ dx=;2!;[h+;2!; sin 2h ]) = ;4“;
`2)) x=sin h {-
dt
dx
x=0일 때 t=0, x=
cos¤ h dh
1+ cos 2h
2
t¤
]! = ;2!;
2
`2)) :) cos‹ x dx=:) (1-sin¤ x)cos x dx이므로
∴ dx= cos h dh
;2“;
2
;2“;
분하면
1= cos h
p
일 때 t= 2
2
;4“;
구간 [2, 5]에서 함수 f(x)=x이므로 ㉠을 구하면
;3!;:@5 tdt=;3!;[;2!;t¤ ]5@
;4“;
dx=:) dh=[h]) =;4“;
1) ;4“;
p
2) 2
p
3) 4
;3!;:@5 tdt=;3!;{;;™2∞;;-2}=;2&;
③
Ⅳ. 적분법 81
39
`8)) f(x)=cos x, g '(x)=e≈ 으로 놓으면
f'(x)=-sin x, g(x)=e≈ 이므로
`1)) f(x)=x, g '(x)=e≈ 으로 놓으면
:) e≈ cos x dx=[e≈ cos x]) -:) (-e≈ sin x)dx
f'(x)=1, g(x)=e≈ 이므로
;2“;
:)1 xe≈ dx=[xe≈ ]1)-:)1 e≈ dx
;2“;
;2“;
:) e≈ cos x dx=-1+:) e≈ sin x dx y`㉠
;2“;
:)1 xe≈ dx=e-[e≈ ]1)
;2“;
:) e≈ sin x dx에서
;2“;
:)1 xe≈ dx=e-(e-1)=1
u(x)=sin x, v'(x)=e≈ 으로 놓으면
`2)) f(x)=1+x, g '(x)=e≈ 으로 놓으면
u'(x)=cos x, v(x)=e≈ 이므로
f'(x)=1, g(x)=e≈ 이므로
:) e≈ sin x dx=[e≈ sin x]) -:) e≈ cos x dx y`㉡
;2“;
:)1 (1+x)e≈ dx=[(1+x)e≈ ]1)-:)1 e≈ dx
:) e≈ cos x dx=-1+[e≈ sin x]) -:) e≈ cos x dx
;2“;
`3)) f(x)=x, g '(x)=sin x로 놓으면
;2“;
;2“;
;2“;
2:) e≈ cos x dx=e;2“;-1
f'(x)=1, g(x)=-cos x이므로
:) x sin x dx=[-x cos x]) -:) (-cos x)dx
;2“;
;2“;
㉡을 ㉠에 대입하면
:)1 (1+x)e≈ dx=2e-1-[e≈ ]1) =e
;2“;
;2“;
∴ :) e≈ cos x dx=
;2“;
;2“;
e;2“;-1
2
:) x sin x dx=0+[sin x]) =1
1) 1
2) e
3) 1
4) 1-
1
4)) f(x)=ln x, g '(x)= 로 놓으면
5) 1
6) e¤ +1
7) ;4!;
8)
;2“;
;2“;
x¤
3
e¤
e;2“;-1
2
f'(x)=;[!;, g(x)=-;[!;이므로
2
:!e
2
:!e
2
2
2 1
ln x
dx=[-;[!; ln x]e! +:!e
dx
x¤
x¤
:!e
dx=-
40
f(x)=x, g'(x)=e≈ 으로 놓으면
2
2
+[-;[!;]e!
e¤
`f '(x)= 1 , g(x)= e≈ 이므로
3
dx=1e¤
:)a xe≈ dx=[ xe≈ ]a) -:)a
`5)) f(x)=ln x, g '(x)=1로 놓으면
e≈ dx
:)a xe≈ dx=a eå -[ e≈ ]a) =aeå -eå +1
f'(x)=;[!;, g(x)=x이므로
:)a xe≈ dx=1이므로
:!e ln x dx=[x ln x]e! -:!e dx
a eå - eå +1=1
:!e ln x dx=e-[x]e!
eå (a-1)=0
:!e ln x dx=e-(e-1)=1
eå >0 이므로 a= 1
1
6)) f(x)=ln x, g '(x)=4x로 놓으면
f'(x)=;[!;, g(x)=2x¤ 이므로
:!e 4x ln x dx=[2x¤ ln x]e!-:!e 2xdx
:!e 4x ln x dx=2e¤ -[x¤ ]e!
:!e 4x ln x dx=e¤ +1
:)2 f(x)dx-:_2@ f(x)dx+:_1@ f(x)dx
=:)2 f(x)dx+:@- 2 f(x)dx+:_1@ f(x)dx
7)) f(x)=sin x, g '(x)=cos x로 놓으면
f'(x)=cos x, g(x)=sin x이므로
:) sin x cos x dx=[sin¤ x]) -:) sin x cos x dx
;4“;
41
;4“;
;4“;
=:)1 f(x)dx=:)1 xe—≈ dx
u(x)=x, v'(x)=e—≈ 으로 놓으면
u'(x)=1, v(x)=-e—≈ 이므로
2:) sin x cos x dx=;2!;
:)1 xe—≈ dx=[-xe—≈ ]1)+:)1 e—≈ dx
∴ :) sin x cos x dx=;4!;
:)1 xe—≈ dx=-;e!;+[-e—≈ ]1)=1-;e@;
;4“;
;4“;
82 정답과 해설
1-;e@;
42
45
(|x+1|+|x-1|)e≈ =[
2e≈
(0…x<1)
:)» f(t)dt =k(k는 상수)로 놓으면 f(x)= sin x+k
`1))
2xe≈ (1<x…2)
이므로
∴ :)2 (|x+1|+|x-1|)e≈ dx
k=:)» ( sin t+k )dt=[ -cos t +kt]»)= 2 +kp
∴ =:)1 2e≈ dx+:!2 2xe≈ dx
2
∴ k=
∴ =2[e≈ ]1) +∞2[xe≈ ]2!-:!2 e≈ dx§
⇨ f(x)= sin x+
1- p
2
1-p
`2)) :)2 f(t)dt=k(k는 상수)로 놓으면 f(x)=e≈ +2x+k
∴ =2(e-1)+2(2e¤ -e)-2[e≈ ]2!
k=:)2 (e† +2t+k)dt=[e† +t¤ +kt]2)=e¤ +3+2k
∴ =2e-2+4e¤ -2e-2e¤ +2e
∴ =2(e¤ +e-1)
2(e¤ +e-1)
따라서 k=-e¤ -3이므로 f(x)=e≈ +2x-e¤ -3
2
1) f(x)=sin x+ 1-p
43
2) f(x)=e≈ +2x-e¤ -3
x-1 =t로 놓으면 x= t+1 이고
1 =
dt
dx
∴ dx= dt
46
x=2일 때, t= 1
:)/ f(t)dt=e¤ ≈ +e≈ -2 y ㉠
x=3일 때, t= 2
㉠에서 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여
:@3 e≈ f(x-1)dx=:
1
:)2 e≈ f(x-1)dx=:
1
2
2
미분 하면
e t+1 f( t )dt
f(x)=(e¤ ≈ +e≈ -2)'= 2e¤ ≈ +e≈
et+1 t dt
f(x)=2e¤ ≈ +e≈
f(t)=t, g '(t)= et+1 으로 놓으면
47
f'(t)=1, g(t)= et+1 이므로
:
2
1
et+1 t dt=[ tet+1 ] 1 -: 1
2
2
xf(x)=x ln x+:!/ f(t)dt y ㉠
et+1 dt
㉠에서 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분
=(2e‹ -e¤ )-(e‹ -e¤ )
e‹
= e‹
하면
f(x)+xf'(x)=ln x+1+f(x)
∴ xf'(x)=ln x+1
ln x
x>0이므로 f'(x)=
+;[!;
x
44
ㄱ. f(x)=ln x, g '(x)=x‹ 으로 놓으면
∴ f(x)=: {
f'(x)=;[!;, g(x)=;4!;x› 이므로
∴ f(x)=
:!2 x‹ ln x dx=[;4!; x› ln x]2! -:!2 ;4!;x‹ dx
ln x
ln x
dx+: ;[!; dx
+;[!;} dx=:
x
x
(ln x)¤
+ln x+C
2
㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=0이므로 C=0
:!2 x‹ ln x dx=4 ln 2-[;1¡6;x› ]2!=4 ln 2-;1!6%; (거짓)
∴ f(x)=
ㄴ. f(x)=x, g'(x)=sin 2x으로 놓으면
(ln x)¤
+ln x
2
f(x)=
(ln x)¤
+ln x
2
f'(x)=1, g(x)=-;2!; cos 2x이므로
48
:) x sin 2x dx=[-;2!; x cos 2x]) +;2!;:) cos 2x dx
;2“;
:) x sin 2x dx=
;2“;
;2“;
;2“;
x:@/ f(t)dt-:@/ tf(t)dt=e≈ -e¤ x+e¤ y ㉠
;2“;
p
p
+;4!; [sin 2x]) = (참)
4
4
㉠의 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분하면
ㄷ. y=x는 기함수이고 y=cos x는 우함수이므로 y=x cos x
는 기함수이다.
또, y=x‹ 도 기함수이다.
∴ :@/ f(t)dt=e≈ -e¤ y ㉡
∴ :_»˘ (x cos x+x‹ )dx=0 (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
:@/ f(t)dt+x f(x)-x f(x)=e≈ -e¤
㉡의 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분하
④
면 f(x)=e≈
∴ f(1)=e
e
Ⅳ. 적분법 83
49
`3)) f(x)=x cos px의 한 부정적분을 F(x)라 하면
lim ;h!;:!1_H— h f(x)dx
f'(x)=(1+sin x)cosx
h ⁄0
f'(x)=0에서 sin x=-1 또는 cosx=0
= lim ;h!;[F(x)]1!—-_hH
h ⁄0
0<x<p이므로 x=;2“;
함수 f(x)의 증감표는 다음과 같다.
0
x
y
;2“;
y
+
0
-
f(x)
↗
극대
↘
p
p¤
1) 2
=2f(1)=-2
;2“;
적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분하면
f'(x)=0에서 x=1 (∵ x>0)
= lim
n ڦ
1
1
1
ª
n
1+
n
+
1
1
= lim ;Kn+!
함수 f(x)의 증감표는 다음과 같다.
n ڦ
1
y
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
극소
↗
즉, f(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이다.
t¤
∴ f(1)=:!2 {t+1+;t@;} dt=[ +t+2 ln t]2!=;2%;+2 ln 2
2
;2%;+2 ln 2
=:)
1
¥
1+ ;nK;
1
1
1
1
:˘/ f(t)dt= lim
[ F(t) ]/˘
x ⁄p x-p
x-p
F(x) - F(p)
:˘/ f(t)dt= lim
x ⁄p
x-p
:˘/ f(t)dt= F' (p)= f (p)
:˘/ f(t)dt=p¤ sin ;6%;p =
p¤
2
`2)) f(x)=e≈ +ln x의 한 부정적분을 F(x)라 하면
1
1
:!/ f(t)dt= lim
[F(t)]/!
x ⁄1 x¤ -1
x ⁄1 x¤ -1
lim
:!/ f(t)dt= lim
x ⁄1
x ⁄1
`2)) lim
n ڦ
'3+'6+y+'∂3n
n'ßn
84 정답과 해설
3n 1
}
n
n
3k
¥;n!; =:)1 '∂3x dx
n
='3 [;3@;x'x]1)=
2'3
3
n ڦ
p
2p
np
+sin
+y+sin
}
n
n
n
=2 lim {sin
p
2p
np
+sin
+y+sin
} ;n!;
n
n
n
`3)) lim ;n@; {sin
n ڦ
=
2
kp p
¥
lim ;Kn+! sin
p n ڦ
n n
=
2
:)» sin x dx
p
=
2
4
[-cos x]»)=
p
p
`4)) lim ;n!; {e;n!;-1+e;n@;-1+y+e;nN;-1}
n ڦ
1
=:)1 ex-1 dx
n
= lim ;Kn+! e;nK;-1¥
F(x)-F(1)
1
¥
]
x-1
x+1
=[ex-1]1)=1-;e!;
:!/ f(t)dt=F'(1)¥;2!;=;2!; f(1)=;2E;
º
n
dx
F(x)-F(1)
x¤ -1
:!/ f(t)dt= lim [
1+
=[ ln(1+x) ]1)=ln 2
n ڦ
x ⁄p
n
1
n
1+ x
= lim ;Kn+! æ≠
lim
+y+
n
n ڦ
`1)) f(x)=x¤ sin{x-;6“;}의 한 부정적분을 F(x)라 하면
2
1+
= lim {æ;n#; +æ;n^; +y+æ≠
51
3) -2
1
1
1
+
+y+
}
n+1
n+2
n+n
n ڦ
(x+2)(x-1)
2
x¤ +x-2
-;[@;=
=
f'(x)=1+
x(x+1)
x+1
x(x+1)
2) ;2E;
52
`1)) lim {
2
-{x+1+;[@;}
x+1
y
F(1+h)-F(1)
F(1-h)-F(1)
+ lim
h ⁄0
h
-h
=F'(1)+F'(1)=2F'(1)
50
0
= lim
h ⁄0
따라서 f(x)는 x=;2“;에서 극댓값을 가지므로 a=;2“;
x
F(1+h)-F(1-h)
h
h ⁄0
f '(x)
f'(x)=x+1+1+
= lim
n ڦ
1) ln 2
2)
2'3
3
4
3) p
4) 1-;e!;
53
y
`2)) y='ƒx-2 의 그래프는 그림과 같
호 AB를 n등분하는 (n-1)개의
x2+y2=4
y
점을 점 A에 가까운 점부터 차례
k
-p
n
로 P¡, P™, y, P«–¡이라 할 때, 점
P˚에서 x축에 내린 수선의 발을 Qk
O
B
Qk
S=
∠AOP˚= ;nK; p이므로
S=:!4 e
S˚=;2!;¥BO”¥P’˚Q˚”=;2!;¥2¥ 2 sin ;nK;p = 2 sin ;nK;p
n ڦ
p
p
; S˚= lim
;
n ڦ n k=1
n k=1
y
y=ex-1
x-1
∴ lim
x
4
4'2
3
`3)) y=ex-1의 그래프는 그림과 같으므로
P’˚Q˚”=P’˚O”¥sin ;nK; p=2 sin ;nK; p
n-1
2
O
S=:@4 'ƒx-2 dx
S=[;3@;(x-2)'ƒx-2 ]4@
A x
라 하자.
n-1
ƒ
y='x-2
으므로
Pk
dx
S=[ex-1 ]4!
p
2 sin k
n
O 1
4
x
S=e‹ -1
p
k를 x로 바꾸면 적분구간은 [ 0 , p ]이므로 정적분으로
n
y
`4)) y=ln x의 그래프는 그림과 같으므로
y=ln x
¤
나타내면
S=:!e ln x dx
p
p
p
2 sin k =: 2 sin x dx
lim
;
n
0
n ڦ n k=1
S=[x ln x-x]!e =e¤ +1
O
n-1
=[ -2 cos x ] = 4
p
4
0
`5)) 곡선과 x축과의 교점의 x좌표는
y
y=cos x
x=;2“;
54
∠P˚OQ˚=
k
p이므로
2n
k
k
p=sin
p
2n
2n
O’Q˚”=P’˚O”¥cos
k
k
p=cos
p
2n
2n
∴ l˚=1+sin
lim
n ڦ
;2“;<x…p일 때, cos x<0이므로
S=:)» |cos x|dx
S=:) cos x dx-:;2“» ; cos x dx
;2“;
p n-1
p n-1
p
p
k+cos
k}
; l˚= lim
; {1+sin
n ڦ n k=1
n k=1
2n
2n
n-1
n ڦ k=1
{1+sin
x
cos xæ0이고
k
k
p+cos
p
2n
2n
l˚=2 lim ;
p
p
2
O
0…x…;2“;일 때,
P’˚Q˚”=P’˚O”¥sin
™
e x
1
¤
S=[sin x]) -[sin x];2“» ; =2
;2“;
p
p
p
k+cos
k}¥
2n
2n
2n
`6)) 곡선과 x축과의 교점의 x좌표는 x=0
y
p
p
k를 x로 바꾸면 적분구간은 [0, ]이므로 정적분으로 나타
2n
2
O
내면
-1
p
p
p
2 lim ; {1+sin
k+cos
k}¥
n ڦ k=1
2n
2n
2n
n-1
1
-2
-1
1
x
1
y=----1
x+1
;2“;
=2:) (1+sin x+cos x)dx
-;2!;…x…0일 때,
=2[x-cos x+sin x] ) =p+4
;2“;
p+4
VI-5 정적분의 활용
pp.168~172
y
S=-cos p-(-cos 0)=2
S=: 0 {
1
1
-1}dx-:)1 {
-1}dx
x+1
x+1
S=[ln(x+1)-x]0-;2!;-[ln(x+1)-x]1)=;2!;
S=:)» sin x dx
S=[-cos x]»)
1
-1|dx
x+1
-;2!;
y=sin x
O
1
-1<0이므로
x+1
S=: 1 |
-;2!;
55
`1)) 0…x…p일 때, sin xæ0이므로
0<x…1일 때,
1
-1æ0이고
x+1
p x
4'2
3
1) 2
2)
4) e¤ +1
5) 2
3) e‹ -1
6) ;2!;
Ⅳ. 적분법 85
`2)) 두 곡선 y=e≈ , y=e-x의 교점의 x좌표 y=e-x y
를 구하면
56
y y=e2x
`1)) y=e2x에서 x= ;2!; ln y 이므로
1
S=
2
e≈ =e-x ⇨ e2x=1
x
0…x…1일 때, e …e
ln y dy
2
1
S=;2!; [y ln y - y ]2!
1
따라서 구하는 넓이 S는
O
S=:)1 (e≈ -e—≈ )dx
x-1
과 y축과 두 직
x
선 y=2, y=4로 둘러싸인 부
`2)) 곡선 y=
분은 그림과 같다.
S=[e≈ +e—≈ ]1)={e+;e!;}-2=e+;e!;-2
y
4
x-1
y=--x
1) 2'2
2) e+;e!;-2
2
1
O
x-1
1
에서 x=x
y-1
x
5̀8
두 곡선 y=x¤ , y='x의 교점의
이므로
S=-:@4 {-
1 x
O
S=:)1 |e≈ -e—≈ |dx
x
S= ln 2-;2!;
y=
x
∴ x=0
-x
:!2
y=e
y=x
2
y
x좌표를 구하면
1
} dy=[ln (y-1)]4@
y-1
y='x
x¤ ='x ⇨ x› -x=0
x(x-1)(x¤ +x+1)=0
S=ln 3
`3)) y=ln x+2에서 x=e
∴ S=:!4 e
y-2
y-2
dy=[e
∴ x=0 또는 x=1
y
]4!
y-2
y=ln x+2
4
S=:)1 ('x-x¤ )dx=[;3@;x'x-
1
∴ S=e¤ -;e!;
O
x
`4)) y='∂2x 에서 x=;2!;y¤
y
y='2x
ß
∴ S=;2!;:!3 y¤ dy
3
x‹
]1)=;3!;
3
;3!;
f(x)=ln x라 놓으면 f'(x)= ;[!;
점 (e, 1)에서 그은 접선의 기울기는
x
O
1) ln 2-;2!;
x
1
5̀9
1
∴ S=;6!;[y‹ ]3!=;;¡3;£ ;
O
따라서 구하는 넓이 S는
2) ln 3
f'( e )= ;e!;
3) e¤ -;e!;
4) ;;¡3;£ ;
점 (e, 1)에서 그은 접선의 방정식
은
y
y-1= ;e!; (x-e)
O
1
y= - x
e
1
57
`1)) 두 곡선 y=sin x, y=cos x의 교점의 x좌표를 구하면
sin x= cos x
y
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
p
p
4
;4“; <x…p일 때,
S= ;2!; _e_1-: e1
y=sin x
O
sin x … cos x
x
f(x)=e≈ 이라 놓으면 f'(x)=e≈
;2E;-1
x
y
y=e
y=ex
점 (1, e)에서 그은 접선의 기울기는
S=:)» |sin x-cos x| dx
(cos x-sin x) dx+: ;4“» ; (sin x-cos x) dx
S=[ sin x+cos x ]) +[ -cos x-sin x ]» ;4“;
;4“;
S= '2 -1+ 1 +'2= 2'2
86 정답과 해설
S= ;2E; -[ x ln x-x ]e 1 = ;2E;-1
6̀0
따라서 구하는 넓이 S는
;4“;
ln x dx
y=cos x
sin x > cos x
S=:)
x
e
y=ln x
∴ y= ;e!;x
⇨ x= ;4“; (∵ 0…x…p)
0…x… ;4“; 일 때,
1
f'(1)=e
e
점 (1, e)에서 그은 접선의 방정식은
y-e=e(x-1)
∴ y=ex
O
1
x
따라서 구하는 넓이를 S라 하면
S=:)1 (e≈ -ex)dx=[e≈ -;2E;x¤ ]1)=;2E;-1
;2E;-1
61
65
두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프는 [그림 1]과 같고
단면의 넓이를 S(x)라고 하면
:)1 f(x)dx=S¡, :@
S(x)=p(2e≈ +1)¤ =p(4e2x+4ex+1)
e+1
g(x)dx=S™라 하자.
높이가 3일 때의 이 입체도형의 부피를 V라 하면
S™에 해당하는 부분을 직선 y=x 에 대하여 대칭이동하면
V=p:)3 (4e2x+4ex+1)dx
[그림 2]와 같다.
V=p[2e2x+4ex+x]3)
∴ :)1 f(x)dx+:@
g(x)dx=S¡+S™
∴ :)1 f(x)dx+:@
g(x)dx= 1_(e+1) = e+1
e+1
e+1
y
y
y=f(x)
y=x
e+1
e+1
2
2
y=g(x)
S¡
y=f(x)
66
S™
곡선 y='ƒsin x (0…x…p)
서 x축에 내린 수선의 발을 Q
S™
2 e+1
1
x
1
O
[그림 1]
p(2efl +4e‹ -3)
y
S(x)
P
위의 점 P(x, 'ƒsin x )에
S¡
1
O
V=p(2efl +4e‹ -3)
x
O
Q
라 하면 PQ” = 'ƒsin x 이
[그림 2]
e+1
62
y='sin
ƒ x
p x
므로 x축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하면
S(x)=( 'ƒsin x )¤ = sin x
V=:)»
sin x dx=[ -cos x ]»)= 2
2
두 함수 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프는 [그림 1]과 같고
:)3 g(x)dx=S¡, :#6 f(x)dx=S™라 하자.
67
오른쪽 그림과 같이 작은 입체도형의
밑면의 중심을 원점 O로 하여 좌표축
S™에 해당하는 부분을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면
[그림 2]와 같다.
을 정한다. 점 P(x, 0)에서 x축에
∴ :)3 g(x)dx+:#6 f(x)dx=S¡+S™
수직인 평면으로 자른 단면을
∴ :)3 g(x)dx+:#6 f(x)dx=3_6=18
y y=g(x)
y=x
6
y=f(x)
3
로
3
O
x
6
[그림 1]
3
O
y
3
x
"√9-x¤
'3
"√9-x¤
△PQR=;2!;¥"√9-x¤ ¥
'3
S¡
S™
3
QR”=PQ” tan 30°=
3
S¡
Q
-3
P
x
O
△PQR라 할 때 PQ”="√9-x¤ 이므
y y=g(x)
6
S™
R
S(x)
9-x¤
2'3
따라서 작은 입체도형의 부피는
x
=
[그림 2]
18
63
:_#3
9-x¤
1
dx=
:)3 (9-x¤ )dx
2'3
'3
=
단면의 넓이를 S(x)라고 하면 S(x)=e≈ +x
1
x‹
[9x- ])3=6'3
3
'3
6'3
이 입체도형의 부피를 V라고 하면
V=:)1 0 (e≈ +x)dx=[e≈ +
x¤
]1)0
2
V=e⁄ ‚ +49
e⁄ ‚ +49
64
단면의 넓이를 S(x)라고 하면
S(x)=cos px+4
이 입체도형의 부피를 V라 하면
V=:)1 5 (cos px+4)dx
V=[
1
sin px+4x]1)5 =60
p
60
Ⅳ. 적분법 87
항상 자족하는 마음을 갖자!
송어들이 무리 지어 사는 작은 연못에 잉어가 들어와 살았다.
처음에는‘별세상이다’싶어 무심코 살았지만 머지않아 잉어가
살기에는 좁다는 생각이 들었고, 잠 좀 자려고 하면
조그마한 송어들이 걸리적거려 짜증나기 일쑤였다.
송어들 역시 잉어가 꼬리를 한 번 칠 때마다
비늘이 벗겨지고 아가미도 얻어맞아 무척 불편했다.
어느 날 늙은 할아버지 송어가 잉어에게 제안했다.
“더 넓은 강물에서 마음껏 물살을 헤치며 사는 것이
이런 작은 연못보다는 낫지 않겠는가?”
그 송어의 말에 솔깃한 잉어는 마침 장마로 물이 불어나자
큰 어려움 없이 넓은 강물로 갔다.
잉어는 더 넓은 강물에서 힘차게 헤엄쳐 다녔다.
그런데 이것도 잠시!
큰 메기 떼들이 넓은 입을 벌리고 잉어에게 달려들었다.
혼비백산한 잉어는 메기를 피해 도망 다녔다.
정신없이 도망 다니는 동안,
잉어의 양쪽 비늘은 다 떨어져 나가고,
메기에게 꼬리를 물어 뜯겨 제대로 헤엄칠 수도 없게 되었다.
언제 메기에게 잡혀 먹힐지 몰라 전전긍긍 불안한 나날들,
주변의 동료 물고기들은 모두 커 보였고, 보는 것조차 두려워졌다.
이렇게 겁에 질려 산다는 것이 너무 힘들었던 잉어는
작은 연못에서 살던 시절이 그리웠다.
이제 얼마 있지 않으면 장마철이 끝나 강물이 줄어들고
연못으로 돌아갈 수가 없게 된다.
잉어는 사력을 다해 반쪽ㅤ꼬리로 헤엄을 쳐 옛날에 살던 작은 연못에 겨우 도착했다.
이때부터 잉어는 송어에게 절대로 큰소리를 치거나 으스대지 않았다.
[출처 : 아프리카 세네갈 우화]
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