24장 전위
Electric Potential
24.1 전위와 전위차
24.2 균일한 전기장에서의 전위차
24.3 점전하에 의한 전위와 전기적 위치 에너지
24.4 전위로부터 전기장의 계산
24.5 연속적인 전하 분포에 의한 전위
24.6 정전기적 평형 상태의 도체
1
24.1 전위와 전위차
Electric Potential and Potential Difference
 전하가 전기장 공간 내 어떤 점 A에서 점 B로 변위할 때, 계의
전기적 위치 에너지 변화
B
xf
A
i
 UE   q0  E  ds (Wc  x Fx dx   U )
 전기력은 보존력, 이 선적분은 A와 B 사이의 경로에 무관하다.
 시험 전하(q)를 전기장 내의 어떤 위치에 놓으면 이 전하와 전기장에
의한 위치 에너지(U )가 생기며 이 때 그 점에서의 전위 (전기 퍼텐셜:
electric potential) V
U
V 
q0
(단위: J/C = V)
 시험 전하가 A점에서 B점으로 이동하면 위치 에너지가 변하게 되며 이
때 두 점 사이의 전위차(potential difference) △V =VB –VA는 다음과 같다.
B
U
 V  VB V A
   E  ds
A
q0
-원천전하에 의해
-시험전하 두 지점 사이
2
 전위와 전위차 단위
1 V  1 J/C
 W  U  qV
- 전기장의 SI 단위(N/C)는 단위 길이당의 전압
1 N/C  1 V/m
전기장은 위치에 따라 전위가 변화하는 비율의
척도라고 해석할 수도 있다.
 전자 볼트(electron Volt: eV): 1 전자 볼트는 크기가 e인(전자 또는 양성자) 한
개가 1V의 전위차 내에서 가속될 때 전하-전기장계가 얻거나 잃는 에너지
1 eV  1.60218  10 19 C  V  1.60218  10 19 J
3
24.2 균일한 전기장에서의 전위차
Potential Difference in a Uniform Electric Field
 균일한 전기장 E가 아래로(-y) 향한다고 가정하자.
B
VB  VA  V    E  d s
A
   E ds  cos  
B
A
B
   E ds
A
B
V   E  ds
A
V   Ed
 전하-전기장계의 위치에너지의 변화
U E  q V   qEd
4
 균일한 전기장(E) 내에서 변위 s가 전기력선에 평행하지 않은 점
A와 B 사이로 이동하는 대전 입자를 생각해 보자.
B
V    E  d s
A
B
 E   d s  E  s
A
U E  q V   qE  s
 균일한 전기장 내에서 전기장과 수직(사이 각
90o)인 면에 있는 모든 점의 전위는 같고, 전위가
같은 일련의 점들로 이루어진 면
 등전위면(equipotential surface)
5
예제 24.1 부호가 다른 전하를 가진 두 평행판 사이의 전기장
그림24.5와 같이 두 평행한 도체판 사이에 12V의 전지가 연결되어 있다. 두 판
사이의 거리 d = 0.30cm cm이고, 판 사이의 전기장이 균일하다고 가정하자(이
가정은 두 판 사이의 간격이 판의 크기에 비해 매우 작고, 판의 모서리 부근에
있는 점들을 고려하지 않는다면 타당하다). 판 사이의 전기장 크기를 구하라.
풀이
E
E
VB  V A
d

VB  V A
d
12 V
3


4.0

10
V/m
2
0.30  10 m
12 V
3

4.0

10
V/m
2
0.30  10 m
6
예제 24.2 균일한 전기장 내에서 양성자의 운동
8.0 × 104 V/m 의 균일한 전기장 내에서 양성자를 정지 상태로부터
놓았다. 양성자가 점 A에서 B까지 E의 방향으로 d= 0.50 m 만큼
이동한다. 양성자가 0.50 m의 거리를 이동한 후의 속력을 구하라.
풀이
V   Ed  (8.0  104 V / m)(0.50m)
 4.0  104 V
 U  eV
K  U  0
1

2
 mv  0   eV  0
2

v
v
2eV

m
2e   Ed 
m

2eEd
m
2 1.6  10 19 C  8.0  10 4 V   0.50 m 
 2.8  10 6 m/s
1.67  10 27 kg
7
24.3 점전하에 의한 전위와 위치 에너지
Electric Potential and Potential Energy Due to Point Charges
 점전하의 전위와 위치 에너지 계산
B
VB  VA    E  d s
A
E
ke q
r
2
r
q
E  d s  k e 2 rˆ  d s
r
rˆ  d s  ds cos 
ds cos   dr
q
E  d s  k e 2 dr
r
8
r
dr
q B
VB  VA   k e q  2  k e
rA r
r rA
1 1
VB  VA  k e q   
 rB rA 
rB
 무한 지점(A)을 V=0 이 되도록 기준점을 잡자.
VA  0 at rA  
q
V  ke
r
◀ 단일 점전하에 의한 전위
9
 점전하군에 의한 전위
V  ke 
i
qi
ri
Wext  q2 V
 q1

U E  Wext  q2 V  U E  0  q2  k e
 0
 r12

q1 q2
U E  ke
r12
 셋 이상의 점 전하로 이루어진 계의 전체 위치 에너지
 q1q2 q1q3 q2 q3 

U  ke 


 r12
r13
r23 

10
10
예제 24.3 두 점전하에 의한 전위
q1=2.00 μC의 점 전하가 원점에 놓여 있고, q2=-6.00 μC의 전하가 y-축 위의 (0,
3.00)m에 놓여 있다.
(A) 좌표가 (4.00, 0)m인 점 P에서 이 들 두 전하에 의한 전체 전위를 구하라.
(B)
q3=3.00 μC의 전하를 무한대에서 점 P까지 가져옴에 따라 세 전하로
이루어지는 계의 전체 위치 에너지 변화를 구하라.
q
풀이 (A)
q 
V p  k e  1  2 
r2 
 r1
V p  (8.99  109 N  m 2 / c 2 )
 2.00  10  6 C 6.00  10  6 C 



4
.
00
m
5
.
00
m


 6.29  103V
(B)
U f  q3V p
U  U f  U i  q3V p  0
 (3.00  10  6 C )( 6.29  103V )
 1.89  10  2 J
11
24.4 전위로부터 전기장의 계산
Obtaining the Value of the Electric Field from the Electric Potential
 어떤 영역에서 전위를 알고 있을 때 전기장을 어떻게
계산할 수 있는지에 대해 알아보자.
dV  E  ds
1차원의 경우,
B
(V    E  ds)
A
E  ds  E x dx 이므로
dV
Ex  
dx
E  d s  Er dr
dV   Er dr
dV
Er  
dr
 시험 전하가 등전위면을 따라 ds 만큼 이동할 때, 전위는 등전위면을
따라 일정하기 때문에 dV=0이다. 이때는 dV=-E·ds=0이 된다. 즉, 전기장
E는 등전위면을 따르는 변위에 수직이어야 한다. 이것은 등전위면은
등전위면을 지나가는 전기력선에 항상 수직이어야 함을 의미한다.
12
 일반적으로, 전위는 세 개의 공간 좌표들의 함수이다. 전위 V가 직교
좌표계로 주어진다면, 전기장 성분 Ex, Ey, Ez는 편미분에 의해 V(x, y,
z)로부터 구한다.
Ex  
V
x
Ey  
V
y
Ez  
V
z
13
24.5 연속적인 전위 분포에 의한 전위
Electric Potential Due to Continuous Charge Distributions
 미소 전하 dq를 마치 점 전하로 생각하여 연속적으로
분포되어 있는 전하에 의한 전위를 계산할 수 있다.
dq
dV  k e
r
dq
V  k e 
r
14
예제 24.4 쌍극자에 의한 전위
그림 24.13에서와 같이 거리 2a만큼 떨어져 크기는 같고 부호가 반대인 두
개의 전하로 이루어진 전기 쌍극자가 있다. 쌍극자는 x- 축 상에 있고, 그
중심은 원점에 있다.
(A) y-축 상의 점 P에서의 전위를 구하라.
(B) ＋x축 상의 점 R에서의 전위를 구하라.
(C) 쌍극자로부터 멀리 떨어져있는 x-축 상에서의 V 와 Ex를 각각 구하라.
풀이

qi
q
q 

0
(A) V p  k e   k e 
2
2
2
2
r
i
 a  y
a  y 
i
(B)
q
2k e qa
q 
 q
VR  k e  i  k e 




r
x

a
x

a
x2  a2


i
i
(C) VR 
2 k e qa
 2 k e qa 



(x a)


lim
2
2
2
x a 
x
x  a 
4k e qa
dV
d  2k e qa 
d 1
Ex  
    2   2k e qa  2    3
( x a )
dx
dx 
x 
dx  x 
x
15
예제 24.5 균일하게 대전된 고리에 의한 전위
(A) 반지름이 a인 고리에 전체 전하량 +Q가 고르게 분포하고 있을 때,
중심축 상의 한 점 P 에서의 전위를 구하라.
(B) 점 P 에서의 전기장의 크기를 구하라.
풀이
(A)
dq
dq
 ke 
r
a2  x2
ke
keQ
dq


a2  x2
a2  x2
V  ke 
V 
dV
d
  k eQ
( a 2  x 2 ) 1 / 2
dx
dx
3 / 2
 1
  keQ   a 2  x 2
(2 x)
 2
(B) E x  

 Ex 

ke x
Q
2
2 3/ 2
(a  x )
16
예제 24.6 균일하게 대전된 원판에 의한 전위
반지름이 R이고 표면 전하 밀도가 σ인 균일하게 대전된 원반이 있다.
(A) 원반의 중심축 상의 한 점 P에서의 전위를 구하라.
(B) 점 P에서의 전기장의 x 성분을 구하라.
풀이
(A) dq  dA   ( 2r dr )  2 r dr 이므로
dV 
k e dq

r 2  x2
k e 2 rdr
r 2  x2
R
2 r dr
0
r 2  x2
V  k e 
R
 k e  ( r 2  x 2 ) 1/ 2 2 r dr
0

V  2ke ( R 2  x 2 )1/ 2  x
(B)
Ex  



dV
x
 2ke 1  2
2 1/ 2 
dx
(
R

x
) 

17
예제 24.7 유한한 길이의 선전하에 의한 전위
x-축 상에 놓여있는 길이가 ℓ 인 막대가 있다. 전체 전하량이 +Q인 이 막대는
선전하 밀도 λ=Q/ℓ로 균일하게 대전되어 있다. 원점에서 거리가 a 만큼 떨어진
점 P에서의 전위를 구하라.
풀이
dq  dx
dV  k e
dq
 ke
r
V  ke 
0
a x

dx
0
a2  x2
V   ke

dx
dx
2
이므로
2


Q
 k e 1n x  a 2  x 2 0

a2  x2
Q
V  k e  ln  a 2  2  ln a 


Q   a2  2 

 k e ln 


a




18
24.6 정전기적 평형 상태의 도체
Conductors in Electrostatic Equilibrium
 도체 내에서 전하의 알짜 운동이 없는 경우, 도체는 정전기적 평형
상태(electrostatic equilibrium)로 다음과 같은 성질이 있다.
1. 도체 내부가 차 있거나 비어 있거나 상관없이, 도체 내부의 어느
위치에서나 전기장은 영이다.
2. 고립된 도체에 생긴 과잉 전하는 도체 표면에만 분포한다.
3. 대전되어 있는 도체 표면 바로 바깥의 전기장은 도체 표면에 수직이고
σ/ε0의 크기를 갖는다. ( σ는 표면 전하 밀도)
4. 불규칙한 모양을 가지는 도체인 경우, 표면 전하 밀도는 면의 곡률
반지름이 가장 작은 곳, 즉 뾰족한 점에서 가장 크다.
 E   EdA  EA 
E 
qin A

0 0

0
19
 정전 평형 상태에서 도체 표면은 전위차가 영(0)이다.
평형 상태에 있는 도체의 알짜 전하는 도체 표면에
분포한다. 또한 도체 표면 바로 바깥쪽의 전기장은 도체
표면에 수직인 방향이며, 도체 내부의 전기장은
영(0)이다.
또, 평형 상태에 있는 대전된 도체 표면 상에 있는 모든
점의 전위는 같다.
B
VB  VA    E  ds  0
A
• 정전기적 평형 상태에 있는 대전된 도체 표면은 등전위면을
이룬다. 또한 도체 내부의 전기장이 영(0)이므로, 도체
내부의 모든 점에서 전위는 일정하며 그 표면의 전위와 같다.
금속 구 표면에서의 전위는 keQ/R
금속 구 내부의 전위는 일정하므로, 금속 구 내부에 위치하는
임의의 점에서의 전위도 keQ/R
 곡률 반지름이 작은 볼록한 부분에서 전기장이 커지고,
뾰족한 부분에서 매우 강해진다. (오른쪽 위 그림)
20
왜! 그런지 이론적으로 알아보자.
반지름이 각각 r1과 r2인 도체 구가 이들 구의 반지름의 크기보다 훨씬
더 큰 거리만큼 떨어져 있으며 두 도체 구를 도선으로 연결하였다. 평형
상태에서 두 도체 구의 전하가 각각 q1과 q2이고, 두 도체 구에 균일하게
대전되어 있다고 하자.
q1
q2
V  ke
 ke
r1
r2
q1
1
ke 2
V
E1
r1
r
r

 1  2
q2
1
E2
r1
V
ke 2
r2
r2
 반지름 작으면 전기장은 강하고, 반지름이 크면
전기장 약하므로 뾰족한 부분에서 전기장이 강하다.
21
 속이 빈 형태의 도체(A Cavity Within a Conductor)
빈 공간 내부의 전기장은 도체 표면의 전하 분포와 무관하게
항상 영(0)이다. 또한, 도체 외부에 전기장이 존재할지라도 빈
공간 내부의 전기장은 역시 영(0)이다.
B
VB  VA    E  ds  0
A
 전위차가 0이므로, 적분은 도체 위의 두 점 사이의 모든 경로에서
영(0)이어야 한다. 따라서 빈 공간 내의 모든 곳에서 전기장은 영(0)이어야
한다.
22
예제 24.8 구 껍질(Spherical shell) 내의 구
양(+) 전하 Q로 대전된 반지름이 a인 부도체 구가, -2Q로 대전되어 있는 안쪽
반지름이 b이고 바깥쪽 반지름이 c인 도체 구 껍질의 중심에 위치하고 있다.
가우스의 법칙을 이용하여 그림에 표기된 영역 ①, ②, ③, ④에서의 전기장을
구하고, 정전기적 평형 상태에 있는 구 껍질의 전하 분포에 대하여 설명하라.
풀이
Q
E1  k e 3 r ( r  a )
a
Q
E2  k e 2 ( a  r b)
r
정전 평형 상태의 도체 내부
전기장은 0이므로(가우스 법칙을
사용해도 가우스면 내부의 알짜
전하량은 0임)
qin  qsphere  qinner
qinner  qin  qsphere  0  Q  Q
E3  0 (b r  c)
가우스 법칙에서 가우스 면 내부의
알짜 전하량은 -Q이므로
E4  
keQ
(r  c)
2
r
23