23장 연속적인 전하 분포와 가우스 법칙
Continuous Charge Distributions
and Gauss’s Law
23.1 연속적인 전하 분포에 의한 전기장
23.2 전기선속
23.3 가우스 법칙
23.4 다양한 형태의 전하 분포에 대한
가우스 법칙의 적용
원형문의 전하분포
23.1 연속적인 전하 분포에 의한 전기장
Electric Field of a Continuous Charge Distribution
⚫ 많은 전하들 사이의 거리가 이들 전하에서 전기장을 구하고자 하는 점까지의
거리에 비하여 매우 가까운 경우의 전하계를 연속적이라고 한다. 즉, 밀집된
전하계는 선, 면 또는 부피에 걸쳐 연속적으로 분포된 전하에서 전기장을
생각하자.
qi
E  ke  2 rˆi
ri
i
q
E = k e 2 rˆ
r
 E = k e lim 
qi →0
dq = dV
i
qi
dq
ˆ
ˆ
r

k
e 2r
2 i
ri
r
dq = dA dq = d
부피 전하 밀도
면 전하 밀도
선 전하 밀도
(volume charge density)
(surface charge density)
(linear charge density)
Q

V

Q
A

Q

2
예제 23.1
전하 막대에 의한 전기장
길이가 ℓ인 막대에 양(+) 전하 Q가 단위 길이당 전하 λ로 고르게 퍼져
있다. 막대의 긴축 한쪽 끝으로부터 a 만큼 떨어진 점 P에서의
전기장을 구하라.
풀이
dq
dx
=
k
e
x2
x2
dE = ke
E=
+a
a
E = ke  
+a
a
 E = ke
dx
ke  2
x
+a
dx
 1
=
k

e −
2
x
 x  a
keQ
Q1
1 
−
=


  a  + a  a ( + a )
E=
ke Q
kQ
 e2
a (l + a) a
3
예제 23.2
균일한 고리 전하에 의한 전기장
양(+) 전하 Q가 반지름이 a인 고리에 균일하게 분포하고 있다. 고리
면에 수직인 중심축으로부터 x만큼 떨어져 있는 점 P에서 고리에
의한 전기장을 구하라.
풀이 dE = k dq cos  = k
x
e 2
e
dq
cos 
2
2
r
(a + x )
x
x
cos  = = 2 2 1/ 2 이므로
r (a + x )
dEx = ke
ke x
dq
x
=
dq
2
2
2
2 1/ 2
2
2 3/ 2
(a + x ) (a + x )
(a + x )
 Ex = 
ke x
ke x
dq
=
dq
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2 
(a + x )
(a + x )
E =
ke x
Q
2
2 3/ 2
(a + x )
Ex =
ke Q
x
3
a
(단원 겉지 그림)
4
예제 23.3
균일한 원판 전하에 의한 전기장
균일한 표면 전하 밀도 σ를 갖는 반지름 R의 원판이 있다. 원판의
중심을 지나고 수직인 축 위의 x 만큼 져 있는 점 P에서 전기장을
구하라.
풀이 dq = dA =  ( 2r dr ) = 2r dr
원형고리와 같이 대칭성에 의해 중심축에 수평한 성분만
남으므로 (앞의 예제)
dE x =
ke x
(2r dr )
2
2 3/ 2
(r + x )
2r dr
0 (r 2 + x 2 )3 / 2
 E x = ke x 
R
R
= ke x  (r 2 + x 2 ) −3 / 2 d (r 2 )
0
R
 (r 2 + x 2 ) −1/ 2 
= ke x 

−1/ 2

0


x
= 2ke 1 − 2
2 1/ 2 
(
R
+
x
) 

원판으로부터 가까운 축 위에서는(R ≫ x)
 E x = 2k e =

2 0
5
23.2 전기선속
Electric Flux
⚫ 전기선속: 단위 면적당 전기력선의 수(면적 선 밀도)는 전기장의
세기에 비례
 E = EA
전기 선속 (단위: N.m2/C)
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⚫ 전기선속(Electric Flux)의 일반화
A= lw
w⊥ = w cos 
A⊥ = l w⊥ = l w cos 
A⊥ = A cos 
 E = EA⊥ = EA cos 
 E = ( E cos  ) A = En A
➢ 일반적인 면에서 전기선속 정의
 E = Ei Ai cos i = Ei  Ai
 E   Ei  Ai
E 
 E  dA
surface
➢ 한 구의 중심에 점전하가 위치한다고 가정하자.
폐곡면: 어떤 표면이 내부 공간과 외부 공간을 분리하고, 이 표면을
지나지 않고는 한 공간에서 다른 공간으로 이동할 수 없는 표면.
면적 요소 ①: θ < 90° → 선속은 양(＋)
면적 요소 ②: θ = 90° → 선속은 영(0)
면적 요소 ③: 90° < θ < 180° → 선속은 음( - )
표 면 을 통 과 하는 알 짜 선 속은 표 면 을
통과하는 알짜 전기력선의 수에 비례한다.
알짜 전기 력선의 수는 표면 을 통과 하여
나가는 전기력선 수에서 표면을 통과하여
들어오는 전기력선 수를 뺀 값을 의미한다.
폐곡면에 대한 알짜 선속은 다음과 같다.
  E =  E  dA =  En dA
En :표면에 수직인 전기장 성분
8
예제 23.4
정육면체를 통과하는 전기선속
균일한 전기장 E가 x-축 방향으로 향하고 있다. 그림 23.9와 같이 한
변의 길이가 ℓ인 정육면체의 표면을 통과하는 알짜 전기 선속을
구하라.
풀이
전기장의 방향과 평행한 네 면을 통과하는
선속은 0이 된다.
 E =  E  dA +  E  dA
1
2
 E  dA =  E(cos180)dA = −E  dA
1
1
1
= − EA = − E 2
 E  dA =  E (cos 0)dA
= E  dA = + EA = E 2
2
2
2
  E = − E 2 + E 2 = 0
9
23.3 가우스 법칙
Gauss’s Law
⚫ 전하를 둘러싸고 있는 폐곡면을 지나는 전기 선속을
고 려하 자 . ( 가 우스 면 ) 반 지름 r 인 구 의 중 심에
점전하 q가 있다고 가정하자.
E  Ai = EAi
  E =  E  dA =  EdA = E  dA
점전하에 의한 전기장에 대한 식과 구의 면적
을 대입하면,
q
 E = k e 2 (4r 2 ) = 4k e q
r
q
E =
0
→ 구형의 가우스 면을 통과하는 알짜 선속은 r의
크기에는 무관하고, 가우스 면내의 전하량에 비례.
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점 전하 q를 둘러싸고 있는 폐곡면을 지나는 알짜 선속은
폐곡면 의 모양에 무관하 고, 폐곡면 내의 전하량 에만
의존한다고 할 수 있으며, 크기는 항상 q/ε0으로 주어진다.
➢ 여러 개의 전하에 의해 만들어진 전기장은 각각의
전하에 의한 전기장들의 벡터합. 전기 선속은?
 E  dA =  (E + E +   )  dA
1
2
  E =  E  dA =
qin
0
Gauss’s law
→ 전기장 E를 구하는데 이용
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23.4 다양한 형태의 전하 분포에 대한 가우스 법칙 적용
Application of Gauss’s Law to Various Charge Distriutions
➢ 전하 분포가 매우 대칭적인 경우에는 가우스의 법칙이 전기장을
계산하는 데에 매우 유용하게 사용된다.
➢ 가우스 면을 설정할 때, 전하 분포의 대칭성을 이용하면 전기장 E를 적분
기호 밖으로 낼 수 있어 쉽게 계산할 수 있다.
⚫ 가우스 면을 설정할 때 고려할 사항
1. 주어진 대칭성 때문에 전기장의 크기가 가우스면 상에서 일정한 크기의
상수가 되는 것을 쉽게 알아볼 수 있는 경우.
2. 전기장 E와 면적 요소 벡터 dA가 평행하기 때문에 식 (23.7)의 스칼라곱이 E
dA로 주어지는 경우.
3. E와 dA가 수직이기 때문에 스칼라곱이 영(0)으로 주어지는 경우.
4. 전기장이 가우스 면 상에서 영(0)이 되는 것을 쉽게 알아볼 수 있는 경우.
12
예제 23.5
구 대칭 전하 분포에 의한 전기장
반지름 a인 속이 찬 부도체 구가 균일한 부피 전하 밀도 ρ와 전체 양(+)전하 Q를
가진다.
(A) 구 밖의 한 점에서 전기장의 크기를 구하라.
(B) 구 내부의 한 점에서 전기장의 크기를 구하라.
풀이
(A)
 E =  E  dA =  EdA =
2
 EdA = E  dA = E (4r ) =
Q
0
Q
0
Q
Q
E =
= ke 2 (r  a)
2
40 r
r
(B)
 4 3
 Q / a 
3
 r = k Q r (r  a)
E = 
e 3
3(1 / 4ke )
a
4 
qin = V  =   r 3 
3 
2
EdA
=
E
dA
=
E
(
4

r
)=


qin
0
  r 3 
4
qin
3
=  r
E=
=
40 r 2
40 r 2
3 0
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예제 23.6
원통 대칭 전하 분포에 의한 전기장
단위 길이당 양(＋) 전하가 λ의 크기로 균일하게 대전되어 있는 무한히 길고
곧은 도선으로부터 거리가 r 만큼 떨어진 점에서의 전기장을 구하라.
풀이
 E =  E  dA =  E  dA +  E  dA = E  dA = EA
side
plane
qin 
= =
0 0

 E ( 2r) =
0
E =

20 r
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예제 23.7
전하 평면
양(+) 전하가 표면 전하밀도 σ로 고르게 대전되어 있는 무한 평면에
의한 전기장을 구하라.
풀이
 E =  E  dA =  E  dA +  E  dA
side
= E  dA = 2 EA =
plane
plane
qin A
=
0 0

E =
2 0
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문제 양(+) 전하로 대전된 무한 평면과 음전하로 대전된 무한 평면이 같은
크기로 평행하게 가 마주보고 있는 경우 전기장은 어떤 형태를 띠는가?
두 전하 밀도는 같다.
풀이
 E =  E  dA =  E  dA +  E  dA
side
= E  dA = 2 EA =
plane
E =

2 0
plane
qin A
=
0 0
(균일한 전기장)
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