1학기 미적분학 및 연습I (온라인) Department: Quiz 1-풀이 ID number: Tr. 김광중 name: 1. Evaluate the limit if it exist. If not, give reasons. tan lim → tan sol) ! "## 꼴$ 부정형이므로 로피탈 법칙을 이용하자. lim → tan tan tan lim tan → tan lim → tan tan 이라고 하자. lim ln* lim * + lim ,ln* + , (→# ( →# (→# 이므로 lim ln 를 계산해보면 → ln tan sec → tan lim 이다. lim ln lim → → tan tan 이다. 따라서 lim * + ,. , lim 이므로 lim → (→# → tan 부분점수) tan (1) 로피탈 법칙 또는 lim : +2, → tan ln tan : +3 (2) lim tan or lim → → tan (3) lim 또는 → ln tan sec tan tan : +2 tan (4) 정답 : +3 2. Use the mean value theorem to show that ≤ ln tan ≤ tan for ≥ . pf) 인 경우 성립함을 보이자. ≤ ln tan ≤ at tan ≤ ln ≤ 으로 성립 tan ⇔ 인 경우 성립함을 보이자. ln tan 이라고 하면, 그럼 ′ tan 이고 tan ( ) 이다. ′′ tan ′ 이 감소함수이므로 ′ ′ 이다. 또한 함수 ln 과 tan 는 ≥ 에서 연속이므로 도 연속이고, ′ 이므로 는 미분가능하다. tan 평균값정리에 의해서 ′ ( ) 이다. 따라서 ′ ′ ′ 이므로 ln tan ⇔ ≤ ln tan ≤ 임. tan tan 부분점수) (1) 경우 확인 : +2 (2) ′ ( ) : +4 (평균값정리 정의만 표시 : +2) (3) ln tan ≤ 논리성립 : +2 (4) ≤ ln tan tan 논리성립 : +2 3. Find the range of for which the following improper integral converges. ∞ sol) ㄱ) ≤ 인 경우, ∞ ∞ ∞ 이고, 는 로 -판정법에 의해서 발산한다. ≤ ∞ 는 ≤ 범위에서 발산한다. 비교판정법에 따라서 ㄴ) 인 경우, 이므로 이고 이다. 따라서 ∞ ∞ ∞ ≤ ≤ 이다. 비교판정법을 사용하면 ∞ ∞ 는 -판정법에 의해서 일 때, 수렴한다. ∞ 는 범위에서 수렴한다. 따라서 ∞ 또한 ∞ 는 -판정법에 의해서 ≤ 일 때, 발산한다. ∞ 따라서 는 ≤ ≤ 범위에서 발산한다. ∞ 결국, ㄱ), ㄴ)에 의해서 는 범위에서 수렴하고, 나머지 범위에서 발산한다. 부분점수) : +2 (1) ∞ (2) 의 수렴구간 : +2 (3) : +2 ∞ (4) 의 발산구간 : +2 (5) 정답 : +2 4. Let and be the volume of revolutions of the region which are bounded by sinh , and ln about -axis and -axis, respectively. Find and . ln sol) sinh ln ln ln ln sinh ln ln 부분점수) ln (1) sinh : +2 (2) ln : +2 ln (3) sinh : +2 (4) 부분적분법 : +2 (5) ln : +2 ln ln ln ln 5. (a) Graph the curve cos . (b) Find the area of the region inside cos and outside . sol) (a) (b) 단위 원의 밖이면서 극좌표의 그림의 안쪽 영역에 대한 넓이를 구하자. 먼저 극좌표의 그림과 단위 원이 만나는 점을 구하면, cos 이므로 이다. ≤ ≤ 의 그림이 8개 반복되므로 cos sin sin 부분점수) (1) 극좌표 그림 : +4 (길이 또는 들어오는 각도가 없다면 –2) (2) 교점 : +2 (3) 극좌표 넓이 공식 : +2 (4) 정답 : +2