136 5 5 5 Erwin Kreyszig Advanced Engineering Mathematics, 10 1. 2. 3. 6 23 18 2011 iii 12 1 2 1 23 49 57 75 95 Laplace 117 137 151 179 203 231 Fourier 259 275 287 299 307 313 Taylor Laurent v CHAPTER 1 ′ sin 2 sin cos ′ cos cos sin sin cos cos sin ′ sin sin cos cos sin cos sinh cosh ″′ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ∙ sec 3 ln ∙ sec ′ sin cos sin cot cot sin ln sin ″ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 1.2 Geometric Meaning of y = f (x, y). Direction Fields 4 ′ cos sin ′ ′ ′ ′ 5 sin ′ ′ ′ sin ′ ≤ ≤ ≤ ≤ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.000 1.100 1.120 1.331 1.464 1.611 1.772 1.949 2.144 2.358 2.594 1.000 1.105 1.221 1.350 1.492 1.649 1.822 2.014 2.226 2.460 2.718 0.000 0.005 0.011 0.019 0.028 0.038 0.051 0.065 0.082 0.102 0.125 1.2 Geometric Meaning of y = f (x, y). Direction Fields ′ 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 1.000 1.010 1.020 1.030 1.041 1.051 1.062 1.072 1.083 1.094 1.105 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.000 0.000 0.001 0.005 0.014 0.029 0.051 0.081 0.119 0.166 0.220 1.000 1.010 1.020 1.030 1.041 1.051 1.062 1.073 1.083 1.094 1.105 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.003 0.009 0.020 0.038 0.063 0.096 0.136 0.184 0.238 0.000 0.000 0.002 0.004 0.006 0.009 0.012 0.015 0.017 0.018 0.019 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 1.000 1.000 0.998 0.973 0.850 0.554 0.247 0.120 0.065 0.037 0.023 1.000 0.402 0.186 0.095 0.053 0.031 0.019 0.013 0.008 0.006 0.004 0.000 0.598 0.812 0.878 0.797 0.523 0.228 0.108 0.056 0.031 0.019 ′ ln ′ ′ ≠ cos cos sin ′ sec tan ′ ′ ′ ′ ′ cos cos cos ′ cos cos sin cos ln lnsin sin sin ′ cos ′ ′ ′ ′ ′ cos ′ sin cos ′ ln ln ′ ln ′ ln ln ′ ′ ′ arctan ′ sin tan csc cot tan arccot arccot tan ′ arccot csc sech cot tanh cot csc ′ sin cot tanh cot tanh ln ′ ′ ′ arctan tan tan 7 1.3 Separable ODEs. Modeling ′ 8 ′ ′ arctan × × m tan tan tan tan ′ ′ ′ cos sec tan arctan ′ arctan arctan ln ln ≒sec ′ ln ′ ln ∞ lnln ln lim ′ ″ ″ ″ ′ ′ ′ × msec ′ ln ≒ ln → ∞ ln ln ′ arctan ln ln ln ln ≒min ≥ ≥ ≒ ′ 9 1.4 Exact ODEs. Integrating Factors ′ ℉ ℉ ℉ ℉ ℉ ℉ ℉ ℉ ′ ⋯ ⋯ ⋯ ′ ′ ′ sin ∆ ∆ ≒sec≒min × msec sin cos cos × × × ≒ m ≒sec≒min ∆→ ′ ′ ′ ′ cos sin sin sin cos sin sin cos sin 10 sin cos cos cos cos sin ′ cos sin cos cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos sin ln cos cos sin cos sin ′ cos sin sin cos ′ sin cos sin cosh cos sinh sin cosh cos cosh sin sinh sin cosh sin ′ tan sec sec cosh sin sinh sin tan sec tan tan sec ′ sec tan cos sin sinh sinh cosh cos sinh sin ln si n h exp sec sec exp sin ′ sin exp sin ′ sin cos sin ′ cos cos cos cos sinh cosh cos sinh cos sinh sin ′ sinh sin sinh cos ′ sec ′ sec tan tan 11 tan ′ exp ln exp ′ ′ ′ ′ ′ ′ ln ln ′ sinh cosh sinh sinh cosh sinh cosh cosh ′ cosh cosh cosh sinh tanh lncosh cos cos sin cos exp lncos cos exp exp ln exp ′ ln ln sin sin 1.4 Exact ODEs. Integrating Factors cos sec cos sec sin sin exp sin 12 ln ± cos ∓ ± sin cos ′ ± cos ln ln ln ln cos ln cos cos cos cos cos ln ∓ cos ∓ sin cos ∓ cos ∓ cos ∓ cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos sin cos cos cos cos ′ cos ′ sec sec tan tan sec cos ln cos ∙ ln cos sin sin tan tan tan ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ln si n sin ln si n cot csc cot ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ sincsc sin ′ ln ln ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ln cosh cosh ′ tanh cos ln cos ∙ ln cos sin sin ′ cosh ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 13 1.5 Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics tan cot ′ ′ ′ lnsin ln sin sin 14 exp ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ln ln ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ cos sin ′ ′ ′ 15 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ″′ ′ ′ ″ ″ →∞ →∞ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → ′ ′ ′ ′ ′ ′ ln ′ ℉ min ′ cos 1.5 Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics ′ 16 →∞ → ′ ′ →∞ ′ ′ ≤ ≤ ≤ ≤ → ≤ ≤ min ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cosh ′ ′ ′ cosh 17 ′ ln ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ln ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 1.6 Orthogonal Trajectories. Optional ′ ′ ′ ′ ′ ′ 18 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ → ′ ′ ′ ′ sin sin sin cos cos cos ∞ min ≠ ln ln cos ≤ sin ′ sin ′ ′ ′ → ′ ′ ≤ ≤ ≤ ′ ≤ ≤ ≤ ≤ ′ ≤ ≤ ≤ ≤ ln ln ≠ ≠ ≠ ≠ ′ ′ 19 Chapter 1 Review Questins and Problems 20 ′ ln ln cos cos sin cos sin ln ln ln ln 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.200 0.216 0.233 0.251 0.270 0.289 0.310 0.331 0.353 0.376 0.400 0.200 0.216 0.234 0.252 0.272 0.292 0.313 0.335 0.357 0.381 0.405 0.000 0.000 0.001 0.002 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 0.005 0.005 sin ′ ′ ′ cos cos sin sin sin sin sin sinh cosh sin cos sin cos lncosh ln cosh cosh ′ ′ ′ exp ln ′ ′ ln ≒ ln ln ≒ ln ′ × sin sin sin Chapter 1 Review Questins and Problems 21 ln ≒ ln ln ≒ ln 22 ′ ℃ min CHAPTER 2 ′ ′ ′ ″ 24 ′ ′ ln ln ″ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ln ln ′ ′ ′ ln ln ″ ′ ln ′ cos cos cos cos sin tan ″ ′ cos sin ′ ′ ′ ′ arcsinh sinh ′ sinh cos cosh cosh cosh cos sin cosh cosh cosh cos ′ ′ arctan tan lncos ″ ′ ′ ″ ′ ′ ln ′ ln ′ ′ ′ ′ ″ ′ ′ 25 cos sin cos cot ≠ sin ≠ ′ sin ′ cos ′ ′ ″ cos ″ sin ″ ″ cos sin ′ ′ cos sin ≠ ln ′ ′ ″ ″ ≠ ln ln ′ ′ ln ″ ″ ′ ln ′ ln 2.1 Homogeneous Linear ODEs of Second Order ′ ″ cos cos sin ′ 26 sin cos sin cos cot ≠ sin ′ cos sin ′ sin cos ″ sin ± ± cos sin ± ± ± cos sin cos sin ″ ′ ″ ′ ″ ′ ± ″ ″ ′ cos sin ± ± cos sin cos sin ′ cos sin cos sin sin ′ ≠ ln ln ≠ ln ln ′ sin sin cos sin cos sin cos cos ≠ ′ ′ ′ ′ ′ ′ sin ′ ″ ′ cos sin ′ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ′ 27 2.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients ′ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ′ 28 ″ ′ → → lim lim ″ ′ → sinh sinh cosh sin sin cos sin sin sin cos sin cos ± cos sin ″ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ′ ″ ″ ′ ″ ′ ″ → cos sin sin cos cos sin cos ± cos sin lim lim → ± → cos sin ′ ″ ″ ″ cos sin ″ ″ ″ ± ∙ ″ ″ ″ ∙ ∙ cos sin ′ sin cos sin ′ ′ cos sin 29 2.4 Modeling of Free Oscillations of a Mass-Spring System cos sin ″ sin arctan ′ ′ cos sin sin 30 ≥ tan ′ ⋯ ⋯ ⋯ ′ ∙ ∙ ∙ ∙ ∆ ″ ′ cos sin sin arctan tan ln ′ ln ln × × ln ′ ′ ′ ln ln ln ln ″ ′ ≠ ln ln arctan ′ cos sin ′ ± ∆ ″ ′ ln 31 ″ ± ± cosln sinln ′ cosln sinln sinln ln ln ± cosln sinln ± cos ln sin ln ln ′ ′ ln ln ′ ′ ln 2.5 Euler-Cauchy Equations 32 ± ″ ′ cosln sinln ′ cosln sinln ′ ′ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ″ ′ ″ ′ ′ ′ ″ ′ ′ ″ ′ ′ ″ ′ ′ ″ ′ ln ′ ″ ′ → ln ln lim ln lim → → ln ′ ln ″ ln ″ ′ ln ln ′ ′ ″ ″ ′ ln ln ln ln 33 ′ ′ ≠ ″ ′ ′ ′ coscos sin sin ≠ ≠ ′ ′ ′ ′ ′ ′ cos sin ″ ′ ≠ ≠ ≠ ≠ ′ ≠ ± ≠ ≠ cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ′ cos cot ≠ sin ≠ cos sin cosh cosh sinh sinh ″ ′ cosh coth ≠ sinh ln ln ≠ ≠ cosln sinln cosln sinln cosln sinln ″ ′ ≠ ≠ ≠ cosln cotln≠ sinln ′ ln ″ ′ ≠ 2.6 Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian ± ≠ ′ 34 ± ′ ′ ′ ″ ′ cos sin cos sin cos sin ≠ ′ ≥ ≥ ∙ ∙ ∙ ∙ cos sin cosh sinh ″ ′ ″ coshcosh sinhsinh ≠ ″ ′ ′ ″ ′ ″ ′ cosh sinh cosh sinh cosh sinh ″ ″ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ″ ′ ′ ″ ″ ″ ′ exp ′ ln cos sin ″ ′ exp ′ ′ ∙ ∙ ′ ′ ′ ″ cos sin ′ sin cos ″ cos sin cos sin ′ cos sin ′ sin cos cos sin sin cos ″ cos sin sin cos cos sin ″ cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos ′ cos sin sin cos ″ sin cos sin ± cos sin cos sin ″ cos sin cos sin ′ cos sin ″ cos sin cos sin ± ″ ′ cos cos sin ′ cos sin cos ′ cos sin cos cos sin sin cos sin ′ cos sin ″ cos sin ′ sin cos ′ cos sin ± 35 2.7 Nonhomogeneous ODEs ± cos sin cos sin cos sin cos sin ″ ″ ′ cos sin ′ ″ cos sin cos ′ cos sin cos ′ cos sin cos 36 ″ cosh sinh ′ sinh cosh ″ cosh sinh ′ cosh sinh cosh sinh ′ cosh sinh cos sin ″ cos sin ′ cos sin sin cos ″ sin cos sin ± cos sin cos sin cos sin ′ cos sin sin sin ′ sin cos sin cos ″ cos sin cos sin cos sin cos sin ln ′ ln cos sin cos sin cos sin ″ ln ′ ′ cos sin ± ln ′ cos cos sin cos sin cos sin ′ sin cos cos sin ″ cos sin ± cos sin cos sin ′ sin cos cos sin ″ cos sin cos sin ″ sin cos cos sin ″ cos sin ′ cos sin sin cos ″ sin cos cos sin cos sin cos sin ′ sin cos sin cos cos sin cos sin ″ cos sin cos sin ′ sin cos cos sin sin ″ cos sin ± ″ cos sin sin cos sin sin ″ cos sin ± cos sin cos sin ′ cos sin cos sin ′ sin cos ′ sin cos ± cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ″ cos sin sin cos sin ± cos sin ′ sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ± cos sin cos sin cos sin cos sin ′ cos sin cos sin cos sin cos sin ± cos sin cos sin cos sin ′ sin cos cos sin ″ cos sin ′ sin cos cos sin cos sin cos sin ± ± ″ cos sin sin cos sin sin ± 2.8 Modeling: Forced Oscillations. Resonance ′ sin cos 37 cos sin sin cos sin sin ± ′ cos sin sin cos cos sin cos sin ′ sin cos sin 38 ″ cos sin cos sin sin ′ cos sin sin ± cos sin cos sin ′ sin cos ″ cos sin cos sin cos sin cos sin ′ cos cos sin ± ± cos sin cos sin cos sin cos sin ′ sin cos sin cos sin cos ″ cos sin cos sin cos sin cos sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin ′ sin sin sin ′ cos sin ′ cos sin cos sin cos sin cos sin ′ cos sin cos sin ′ cos cos ≥ cos sin cos sin ≤ m ax ≤ ≤ ′ sin cos ″ cos sin cos sin ′ cos sin cos sin cos cos cos sin sin cos sin cos sin ′ 39 ± ″ cos sin ′ cos sin cos ≤ ≤ cos sin cos sin ± cos sin ′ sin cos ″ cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos ± cos sin cos sin ′ sin cos ″ cos sin ′ sin cos sin ′ cos cos sin cos 2.8 Modeling: Forced Oscillations. Resonance cos cos cos cos sin sin 40 sin cos sin cos cos sin cos cos ′ cos cos sin arctan cos cos ′ sin cos cos ± sin ′ ″ cos ′ cos cos ′ ″ sin cos ′ cos cos ′ sin sin sin cos sin ′ sin arctan sin ′ cos ″ ′ cos ± cos sin ′ sin cos ″ cos sin ′ ″ ′ cos sin →∞ →∞ ″ ′ cos sin ′ sin cos ″ cos sin ′ ″ ′ cos sin ′ cos ″ ′ cos sin cos sin ′ sin cos ″ cos sin cos sin ′ cos sin ″ ′ cos ± ′ ′ cos sin ′ sin cos ″ ′ ″ cos sin sin ′ cos cos sin ′ ″ ′ cos sin ″ cos sin ″ cos sin ′ sin cos ′ ′ sin cos cos sin ′ cos cos sin ± ″ ′ cos ′ ″ ′ cos cos sin sin ′ ′ cos sin ′ cos sin 41 2.9 Modeling: Electric Circuits → ± → ″ ′ cos ′ cos sin cos sin cos sin ′ sin cos ″ cos sin cos sin 42 cos sin cos sin ″ ′ sin cos ′ cos sin ± ′ ′ sin cos cos sin cos sin ′ sin cos ″ cos sin cos sin cos sin cos sin ′ ″ ′ cos sin cos sin ′ ″ cos ′ sin ″ ′ sin ′ cos sin cos sin cos sin cos sin ± cos sin coscos sin sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin ± ∙ ∙ sin csc cos csc sin cos ln arctan cos sin lnsin cos sin cos sin lnsin ∙ ∙ ± cos sin ± cos sin coscos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cosh cos cosh sin cosh cos sin csc cos csc sin cos ln arctan coscos sin sin 43 cos sin cos sin cosh cos sin lnsin cos sin cos sin lnsin ± cos sin coscos sin sin cos sincos sin sin coscos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ∙ ∙ ± cos sin cos sin cos sin cos sin 2.10 Solution by Variation of Parameters ′ sin cos sin ∙ sec cos ∙ sec sin cos ″ cos sin cos sin sin tan 44 cos sin sin tan cos sin ∙ ∙ ± ∙ ∙ ∙ ∙ ∙cos ∙cos ″ ′ cos sin ″ ″ ′ ′ ± cos sin ± cos sin ″ ′ ± ′ ″ 45 Chapter 2 Review Questins and Problems ± cos sin cos sin ′ cos sin sin cos ″ cos cos sin ′ sin cos ″ cos sin cos sin ′ ′ ″ cos sin cos sin cos sin cos cos sin ″ ′ ′ ln′ ln ′ ′ ln ± cos sin ′ ″ cos sin ′ ± ∙ ∙ ′ cos sin ln ′ ″ ′ sin ln ′ sin cos 46 ″ cos sin cos sin ± cos sin cos sin ′ cos sin ″ ′ cos ′ ± cos sin ′ sin cos cos sin cos sin ″ cos sin cos sin cos sin ± cos sin ″ cos ′ ± cos sin cos sin ′ cos sin cos cos sin cos ″ ′ cos ± cos sin cos sin ′ cos cos ′ sin cos ″ cos sin ″ ′ sin cos sin m ax m ax ″ ′ cos ± cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin m ax cos sin cos sin 47 Chapter 2 Review Questins and Problems CHAPTER 3 ′ ″ ″′ 50 ′ ″ ″′ ′ ″ ″′ ′ ″ ″′ ′ cos sin ″ cos sin ″′ cos sin ′ sin cos ″ sin cos ″′ sin cos ′ ″ ″′ ′ ″ ″′ ′ ″ ″′ cos sin ′ ′ ′ ″ ″ ″ ′ ″ ″′ ′ ′ ′ ″ ″ ″ cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin ′ ″ ″′ ′ ″ ″′ ′ sin ″ cos ″′ sin cos ′ ″ ″′ ′ cos ″ sin ″′ cos sin ′ cos sin ″ sin cos ″′ cos sin sin cos ′ sin cos ″ cos sin ″′ sin cos cos sin ′ ′ ′ ′ ″ ″ ″ ″ ″′ ″′ ″′ ″′ cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin ∙ ∙ ∙ tan cot sec csc csc sec sec tan csc cot ′ ″ ″′ ″ ′ ″′ ′ ″ ″′ cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin ∙cos ∙sin ∙ 51 ∙cosh ∙sinh ∙ ⋯ ≠ ⋯ ⋯ ∙ ∙ ∙ ≠ ln ln ± cos sin cos sin ± ′ cos sin ″ ± cos sin cos sin ± ± ± cos sin cos sin cos sin ± cos sin ± cos sin ′ ″ cos sin ± ′ ″ cos ± ± cos sin cos sin ′ ″ ″′ 3.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients cos sin cos sin cos sin 52 ± ± cos sin ′ ″ ″′ ″ ′ ″′ ′ ′ ′ cos ″ ″ ′ ′ ″ ″′ ″′ ″ ′ ′ ″ ″′ ″′ ″ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ″′ ± ± ′ ″ ′ ″ ′ ″′ ′ ″ ′ ′ ′ ″ ″ ″′ ± cos sin ′ ″′ ″ ′ ± ± cos sin cos sin cosh sinh ± ″ ″ ′ ″ ″′ sinh cos sin cos sin sinh ± cos sin cos sin ″ cos sin cos sin cos sin ln ln ln ′ ″ ln ± cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin ′ ″ ln ln ± ± ln ln cos sin ln ln cos sin sin ′″ ± ± cos sin cos sin sin ln ln cos sin ln ln ln cos sin cos sin ln ln ′ ″ ′ ± cos sin cos sin 53 3.3 Nonhomogeneous Linear ODEs ′″ cos sin ′ ″ cos sin 54 ″′ ″ ′ ln ln ln ln ″′ ″ ′ ln cos sin cosh sinh sinh cos sin sinh ± ⋯ ± ⋯ × cosh sinh cosh cosh ± ± cos sin ± cos sin ± ± ± ± ′ ″ ′ ″ ± cos sin ′ ″ cos ± ± ′ ″ ″′ ′ ″ cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 55 Chapter 3 Review Questins and Problems CHAPTER 4 58 et ′ et ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ et tan ′ ′ ′ ′ et ′ ′ ′ ′ ′ et ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ et ″ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ± ± cos sin cos sin 59 ″ ″ cos sin cos sin cos sin cos sin ′ ′ ′ ′ ′ et ′ ′ et ′ ′ et ′ ′ et ′ ′ et 4.3 Constant-Coefficient Systems. Phase Plane Method ″ ″ et ′ ′ 60 et ′ ′ ′ cos sin ′ ′ ′ ′ cos sin et cos sin et ± et cos sin ± ′ ′ ′ et ′ ′ et cos sin ′ ′ et ′ ′ et ′ ″ ′ ″ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ′ et cos sin ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ et ″ ′ ′ ′ ′ cos sin cos sin cos sin ′ sin cos et ± ′ ′ ± 61 4.4 Criteria for Critical Points. Stability ′ ′ et et ′ ′ cos sin ∆ 62 et ′ ′ ∆ et ′ ′ ∆ et ′ ′ ∆ et ′ ′ ∆ et ′ ′ ∆ cos sin et cos sin ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ et et ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ et ± cos sin et ± cos sin cos sin ≠ ∆ ± cos sin ′ ′ 63 4.5 Qualitative Methods for Nonlinear Systems ′ ≠ ∆ ′ ′ ∆ ± cos sin ′ ′ ≠ ∆ ′ ′ ′ ∆ ′ ′ ∆ ∆ ′ ′ ∆ ≥ ∆ ≤ ′ ′ ∆ ∆ ′ ′ ∆ ∆ ′ ′ ∆ ≥ ∆ ≤ ′ ′ ′ ∆ 64 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ′ ∆ ∆ ∆ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ ′ ′ ∆ ′ ′ ′ ∆ ′ ′ ′ ∆ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ ∆ ∆ ′ ′ ± ′ ∆ ∆ ′ ′ ′ ′ sin ′ ′ ′ ′ sin sin ′ ∆ ′ ′ ′ sin sin sin ′ cos cos sin ∆ ′ ′ ′ ≥ ′ ′ cos cos sin ∆ cos ∆ ′ ′ cos ∆ ′ ′ sin ′ ∆ ≥ ′ ∆ 4.5 Qualitative Methods for Nonlinear Systems ′ 65 ′ ′ ′ ′ ∆ ′ ∆ ′ → ″′ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ″′ ′ ″ ′ ″ ′ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ′ 66 ′ ′ ′ ′ ′ et ± ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ et ± ′ cos sin ′ ′ cosh ′ cosh sinh et cos sin cos sin sin cosh sinh cosh sinh cos sin sinh cos sin sinh sinh ′ ′ ′ ′ et ′ ′ et ′ ′ et ± ′ ′ et ′ ′ et ± 67 4.6 Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs 68 ′ ′ et cos sin ′ ′ ± et cos sin sin cos sin cos sin ′ cos sin ′ et ± cos sin cos sin cos sin ′ ′ et sin sin cos sin sin cos sin ± cos sin cos sin 69 cos sin cos sin ′ ′ ′ ′ ′ ± sin ′ sin ± ′ sin ′ ′ ′ et et ′ Chapter 4 Review Questins and Problems et cos sin ′ ′ ″ 70 ⋯ ′ ′ ∆ et ± ′ ′ ∆ et ′ ′ ∆ et ± cos sin cos sin ′ ′ ∆ et ≠ × ′ ′ ′ ∆ et ′ ′ et ∆ et ′ ′ ± cos sin cos sin 71 ′ ′ ∆ et ± cos sin cos sin ∆ cos sin ∆ ′ ′ et cos sin et ′ sin ′ cos sin cos sin cos sin ′ ′ ′ cos cos sin ′ et cos sin cos sin cos sin cos sin Chapter 4 Review Questins and Problems ± ′ ′ 72 ′ ′ et cos sin cos sin ′ et ± ′ sin ′ sin sin ′ et cos sin ′ ′ ′ ′ cos sin cos sin cos sin ′ ∆ ′ ′ ∆ ′ ′ ′ ′ ∆ ∆ ′ cos cos sin ′ ∆ ′ cos cos sin ′ ∆ ′ ′ sin ′ ′ sin sin ∆ ′ ′ sin sin sin ∆ ′ ′ ′ ∆ 73 Chapter 4 Review Questins and Problems ′ cos ′ CHAPTER 5 ⋯ → 76 ⋯ ∞ ∞ ′ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ′ ⋯ ′ ⋯ ′ ⋯ ⋯ ∞ ′ ⋯ ⋯ ′ ∞ ″ ⋯ ⋯ cos sin ∞ → ′ ″ ′ ⋯ ″ ⋯ ′ ⋯ ′ ⋯ ∞ ∞ ′ ⋯ ∞ ∞ ∞ ⋯ ∞ ∞ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ″ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ′ ∞ ∞ ∞ ∞ ″ ∞ ∞ ″ ∞ ∞ ∞ ∞ ′ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ⋯ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ⋯ ∞ ∞ ∞ 77 ∞ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ′ ⋯ ⋯ 5.1 Power Series Method ⋯ ⋯ ∞ ⋯ ⋯ ∞ 78 ∞ ∞ ∞ ″ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ′ ⋯ ′ ″ ⋯ ″ ⋯ ⋯ ″ ′ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ′ ⋯ ∞ ″ ⋯ ′ ⋯ ″ ′ ∞ ′ ′ ⋯ ∞ ∞ ⋯ ∞ ′ ′ ′ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ′ ⋯ ′ ⋯ ⋯ ′ ∙ ∙ ∙ ⋯ ⋯ ln ln ln ⋯ ″ ′ ′ ′ 79 ln ln ′ ∙ ln ln ln ln ∞ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ⋯ ⋯ ln ∞ ∞ ∞ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∞ ∞ ∞ ≥ ″ ′ ≥ cos ∙ ∞ cos cos ∞ cos cos 5.2 Legendre s Equation. Legendre Polynomials Pn (x) ln ⋯ ln ⋯ ∙ cos cos ∞ ∞ 80 ∙ ∙ ∙ ∞ ∞ ∞ ∞ ∙ ∞ ⋯ ∙ ∙ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ″ ′ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ″ ′ ≥ ″ ′ ≥ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ sin ∞ ln csc ′ sin ln sin cos cot ∙ cot ″ ″ ′ ∞ ∞ ∞ ∞ ″ ∞ ⋯ ln ∙ ln ∞ ∞ ∙ ln ′ ∙ ⋯ ′ ∞ ∞ ⋯ ∞ ∞ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ 81 5.3 Extended Power Series Method: Frobenius Method ″ ′ ⋯ ∞ ln ⋯ 82 ∞ ⋯ ∞ ∞ ″ ′ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ln ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ∞ ⋯ ln ⋯ ″ ′ ln ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ln ⋯ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ⋯ ∞ ∞ ⋯ ∞ ″ ′ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ∞ ⋯ 83 ⋯ ⋯ ″ ′ ∞ ln ⋯ ″ ′ ∞ ⋯ ∞ ⋯ ln ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ 5.3 Extended Power Series Method: Frobenius Method ln ⋯ ∞ ∞ ∞ ′ ln ″ ′ 84 ⋯ ⋯ ⋯ ∞ sin ⋯ ln ′ sin sin cot ∞ ∞ sin ∞ ∞ ∞ ln csc cot ′ sin sin cos cot ∙ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ∞ ∞ ″ ′ ∞ sin cos cot ∙ ∞ ″ ′ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ → ∞ ′ ln ln ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ′ ∞ ″ ln ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ∙ ⋯ arctan ⋯ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∞ ∙ ∙ ⋯ arcsin 5.3 Extended Power Series Method: Frobenius Method ⋯ 85 ⋯ ⋯ 86 ⋯ ln ∞ ∞ ⋯ ⋯ ″ ′ ⋯ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ln ″ ′ → →∞ ∞ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ′ ″ ″ ″ ″ ′ 87 5.4 Bessel s Equation. Bessel Functions J v (x) ′ ′ ″ ′ ″ ″ ′ ′ ′ ′ ″ ′ ″ ″ ′ 88 ′ ″ ′ ′ ′ ″ ″ ′′ ″ ′ exp exp ″ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ± ′ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ″ ″ ′ ′ ′ ″ ″ ± ″ ″ ± cos sin ′ ′ cos sin sin ′′ ′ ′ ″ ″ ′ sin 89 cos cos ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ″ ″ ′ ″ ′ ′ ″ ″ ′ ′ ′ 5.5 Bessel Functions Yv (x). General Solution ′ 90 ′ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ″ ∞ ″ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ′ ′ ∞ ′ ″ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ′ ″ ′ ′ ″ ⋯ lim → → lim lim ∞ → ∞ ∞ ∞ ∞ lim ∞ lim lim →∞ →∞ → ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ∞ cos sin ∞ ∞ ≠ ″ ′ ∞ ″ ′ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ± ± ± ⋯ ∞ ∞ ⋯ Chapter 5 Review Questins and Problems 91 ⋯ ∞ ∞ 92 ∞ ′ ln ″ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ′ ∞ ln ln ∞ ∞ ∞ ∞ ″ ′ ⋯ ′ ∙ ∞ ⋯ ′ ″ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ln ⋯ ″ ′ ″ ⋯ ″ ′ ⋯ 93 ′ ″ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ″ ′ ∞ ∞ ⋯ ∞ ⋯ ∞ ′ ″ ⋯ ″ ′ ∞ ⋯ ′ ″ ″ ∞ ′ ′ ′ ln ∞ ∞ ∞ ⋯ ln ⋯ ⋯ ln ⋯ Chapter 5 Review Questins and Problems ″ ′ ′ ′ CHAPTER 6 ℒ 96 ℒ sinh ℒ ℒ sinh ℒ ℒcos ℒcos cos sin sin cos sin sin cos ℒ ℒcosh sinh sinh cosh sinh cosh ℒ ℒ ℒ cos ℒ sin ⋯ ℒ sin ℒ cos ℒcos ℒ cos ℒcos ℒ ℒ ln ′ ln ln ℒ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ℒcos ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ sinh ℒ ℒ ℒ sinh ℒ ℒ ℒ cos sin cos sin ℒ ℒ cos sin ℒ cosh sinh ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ cos ℒ cosh sinh ℒ 97 ℒ sin cos sin ℒ ℒsinh cos ℒ cos cos ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ cos ℒ ℒ ≠ ℒ 6.2 Transforms of Derivatives and Integrals. ODE ℒcos ℒ ℒ ℒ ≠ ℒ cos sin 98 ℒ cosh ℒ cos sin ″ ′ ′ sin ℒ sin ″ ′ ′ ′ ℒ ″ ′ ′ cos ′ cos sin ′ ′′ sin cos ℒ ℒ ′′ ℒ ℒ ′ ℒ ′ ℒ ℒ ℒ cos ′ cos sin sin ℒ ′ ℒ ℒ ℒ ℒ ′′ ℒ cos ′ cos sin sin ℒ ℒ ′ ℒ ′ sinh cosh sinh ′′ cosh sinh cosh ℒ ℒ ′′ ℒ ′ sin cos ′ ′′ sin cos sin sin sin cos sin ℒ ℒ ′′ ℒ ℒ ℒ ′ ℒ ℒ ∙ ℒ cos sin cos ℒ cos ′ cos sin ′ ′′ sin cos sin ℒ ℒ ′′ ℒ ℒ sin cos ℒ sin cos ′ ′′ sinh cosh sinh cosh ℒ ∙ ℒ ℒ cos sin sin cos sin cos ℒ ∙ ℒ ℒ cos sin sin cos sin cos ′ cosh sinh ℒ sin ℒ ℒ ∙ ℒ ℒ sinh sinh ℒ sin cos sin cos cosh ′ sinh cosh sinh ℒ ∙ ℒ ℒ ∙ ℒ ∙ ℒ ℒ sinh ℒ ℒ ∙ ℒ ℒ ∙ 6.2 Transforms of Derivatives and Integrals. ODE sin 99 ′ ℒ ℒ′ ℒ 100 ∞ ′ ′ ′ ℒ′ ∞ ∞ ∞ ∞ ℒ ℒ ℒ′ ′ cos cos cos sinh sinh sin sin sin sin cos sin ℒ ℒ ℒ ′ cos cos cos ℒ ℒ ℒ ℒ sinh sinh sinh sinh sinh ℒ ℒ ℒ cos cos cos cos cos cos cos ℒ cos cos sin cos cos cos cos cos sin cos cos cos sin cos ℒ 101 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin sin sin sin 6.3 Unit Step Function. Second Shifting Theorem ℒ ℒ ℒ sin sin sin sin sin sin 102 cos sin cos sin ′ coscos sinsin cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin ℒ ″ ′ sin ′ ′ ℒ sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin ℒ cos sin ℒ cos sin cos sin ℒ ℒ ″ cos ′ sin cos sin ℒ ℒ ℒ ℒ cos cos cos ℒ sin sin sin sin sin sin ′ ′ ∙ ∙ ∙ ℒ ∙ ∙ ℒ ℒ cos cos sin ∙ ℒ ∙ ℒ ℒ sin sin sin ℒ cos cos cos cos 103 6.3 Unit Step Function. Second Shifting Theorem ′ ′ ℒ 104 ℒ ℒ sin sin sin sin sin ℒ ℒ cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ℒ cos sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin 105 6.4 Short Impulses. Dirac s Delta Function. Partial Fractions sin sin sin sin sin lim → ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ℒ 106 sin ℒ sin ≠ lim → lim → ≠ ⋯ lim → ⋯ lim → ∗ ℒ ⋯ ℒ sin coth sin cos sin cos ∙ ℒ ℒ ∗sin sin cos cos ∗ coscos cos cos cos∗ cos cos sin cos sin ∗ ℒ ℒ cos sin sin sin ℒ ∗ sinh sin cos sin cos cos sin cossin sin sin cosh cos ∗ sin ℒ ∗ ℒ cosh sin → → → ∗ cos sin sin cos∗ ℒ ∗ 107 6.5 Convolution. Integral Equations ∗ sinh ℒ sinh cosh cosh sin ∗ sin ℒ sinsin cos cos sinh sinh 108 ℒ ∗ ℒ sin sin sin sin sin sin sin sin cos ∗ sin ℒ cossin sin sin ℒ sin cos sin cos cos sin ∗sinh sinh cosh cosh ℒ ℒ ℒ ℒ sinh cosh ℒ ℒ ℒ sinh ℒ cos ℒ ℒ cos ℒ sin ℒ sin ℒ sinh ℒ sin ℒ ⋯ ℒ sin sin ℒ ℒ sinh ℒ ℒ ℒ ℒ sin ′ ∞ ln ln ln sin ℒ ℒ ′ ℒ sin ℒ ′ cos ′ ℒ ℒ ℒ ℒ ′ ′ cos ′ ln ln ln ∞ ′ arccot ∞ ′ ℒ ′ ℒ ℒ ∞ ′ ′ sin 6.7 Systems of ODEs ℒ ℒ ln ln ln 109 cos sin sin cos 110 cos sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos cosh sinh cosh sinh cos cos ∗sin cos sin sin sin ∗sin cos cosh sinh sinh cosh cos cosh cos sin cos sin cos cos cos sin sin 111 6.7 Systems of ODEs ′ cos ′ 112 ″ sin ″ sin cos sin cos sin cos sin cos sin ≤ ≤ cos sin cos sin ≤ ≤ cos sin ≤ ≤ ⋯ cos sin ∞ cosh ∞ ℒ ℒ ℒ cos ∞ ℒℒ sinh ∞ ℒ ∞ sin ∞ ℒ≠ℒℒ ≤ ≤ otherwise lim → ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ sin sin cos cos sin sin cos ℒ sin cos ℒ ℒ ≠ ℒ ℒ ∞ ∞ ∞ ≠ ℒ≠ℒ ℒ ℒ cos sin cos ℒ ℒ cos ℒ ℒ ℒ cos sin ℒ ℒ cos sin ℒcosh sinh ℒ ℒ ℒ sin ℒ ℒ ℒ cos ℒ cos ℒ sin ℒcos sin ℒsin ∗ cos ℒsinℒcos ℒ ∗ ℒℒ 113 Chapter 6 Review Questins and Problems ℒ ℒ 114 cos sin cos sin cos sin ℒ cos cos cos ℒ cos ℒ cos sin cos cos sin cos sin cosh sinh cosh sinh sin sin 115 ″ ″ ″ ″ ′ cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos Chapter 6 Review Questins and Problems ″ ″ ″ ′ sin 116 cos sin cos sin ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ CHAPTER 7 ∙ 118 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 119 7.1 Matrices, Vectors: Addition and Scalar Multiplication 120 121 7.2 Matrix Multiplication 122 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cos sin cos cos sin sin cos sin tan sin cos sin tan cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos sincos sin sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos 123 7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → 124 → → → → → → → ≠ → → → → → → → → → → → ⋯ → → → ≠ 125 7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space → → → → 126 → ≠ → → ≠ → ≠ ≠ ≠ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ → → → ⋯ ⋯ ⋯ → ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ → ⋯ → → → ran ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ran ⋯ ⋯ ⋯ → ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ → 127 → 7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space ran ran → → → ⋯ ⋯ → → → → 128 → → → → → → → ≠ → → → → → ≤ → → → → ⋯ → ≠ ⋯ → ≠ → ≤ ≤ ⋯ ⋯ sin cos sin cos sin cos sinh cosh sinh cosh sinh cosh ∙ ∙ et et et et ⋯ ⋯ et et et et et ⋯ sec 7.7 Determinants. Cramer s Rule 129 et ⋯ sin cos cos sin sin cos cos sin cos et ∙ et ∙ 130 ≠ ∙ → → ≠ → → → → → ∙ ∙ ∙ ≠ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → tan sec cos sin → sin cos sin cos tan sec tan sec → → sec tan sin cos cos sin → cos sin cos sin sin cos → → 131 7.8 Inverse of a Matrix. Gauss-Jordan Elimination → → 132 → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → et ≤ ≤ ⋯ ≤ ≤ cos sin et ≠ et et ⋯ ⋯ ⋯ et 133 7.9 Vector Spaces, Inner Product Space, Linear Transformations ≤ ≠ ≠ 134 ≤ → → → → → → → → → → → → → → → → ∙ et et et et 135 → → → → Chapter 7 Review Questins and Problems → → → 136 → → → → → → CHAPTER 8 138 cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin 139 ⋯ et ≠ et et ≠ et ⋯ ⋯ ≠ 8.1 The Matrix Eigenvalue Problem. Determining Eigenvalues, Eigenvectors et et 140 → → → → → → → → → ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ et ≤ ≤ ⋯ ≠ trace ≤ ≤ ⋯ et et ≤ ≤ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 141 ≤ ≤ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ≤ ≤ cos sin cos sin ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 8.3 Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Metrices et et et 142 cos sin cos sin sin cos cos sin cos sincos sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos ∙ sin cos ≠ →∞ cos sin sin cos ≠ ∙ cos sin sin cos ≠ ∙ cos sin cos sin sin cos →∞ et et et et et et 143 trace trace trace ≤ ≤ trace ≤ ≤ trace trace 8.4 Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Forms 144 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 145 ≠ 8.4 Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Forms ≠ et ≠ et 146 147 8.5 Complex Matrices and Forms 148 149 Chapter 8 Review Questins and Problems CHAPTER 9 152 ∙ ∙ ∙ ≤ ≤ ≤ 153 ⋯ 9.1 Vectors in 2-Space and 3-Space ⋯ ⋯ 154 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ cos cos ∙ ∙ ∙ ∙ cos ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ cos ∙ ∙ ∙ ∙ cos ≠ ∙ ∙ cos ∙ cos cos ∙ ∙ ∙ ≠ cos sin cos sin ∙ cos cos sin sin ∙ cos cos ≤ cos cos cos sin sin ∙ cos ≤ cos ∙ ∙≤ ≤ cos ∙ ∙ ∙ ∙ cos ∙ ∙ ≤ ≤ cos ∙ 155 ∙ ∙ cos cos ∙ ∙ ∙ ∙ cos ∙ ∙ ∙ cos ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙ sin cos cos ∙∙ ∙ ∙∙ ∙ 9.3 Vector Product(Cross Product) 156 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ cos cos 157 9.4 Vector and Scalar Functions and Their Fields. Vector Calculus: Derivatives 158 159 9.4 Vector and Scalar Functions and Their Fields. Vector Calculus: Derivatives 160 161 ∙′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∙ ∙′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∙ ′ ′ ∙ ∙ ′ ′ ∙ ∙ ′ ∙ ′ ′ ′ ′ sin cos cos sin sin cosh cos sinh cos sinh sin cosh cos sin 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion sin cos cos sin cos sin 162 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin tan cos cos arctan sin cos sin cosh sinh cos sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cosh sinh cosh sinh 163 cos cos sin sin 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion 164 ≤ ≤ sin sin ≤ ≤ sin ≤ ≤ cos sin 165 ≤ sin ≤ ≤ sin ≤ ≤ cos cos ≤ ≤ ≤ ≤ ′ 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion sin ≤ cos 166 ′ sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin ′ ′ sin cos sin cos ′ sinh ′ ∙′ sinh cosh cos sin sin cos ′ cosh cosh sinh sinh ′ sin cos ′ ∙′ cos sin ′ ′ cos sin ′ sin cos ′ ∙′ ′ cos sin ′ sin cos ′ ′ cos sin sin sin ′ sin cos ′ ∙′ ′ sin cos ′ cos sin sin cos ′ ∙′ cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin sin tan cos cos sin sin cos sin cos cos n or m tan ′ ′ ′ ∙′ ′ ′ ′ 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion cos 167 cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin tan cos sin sin cos n or m tan 168 sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin tan cos cot sin sin cos cos n or m tan sec sec sec sec sec sec cos sin sin sec sin cos sec sin cos cos sin cos tan cos sin cos sin sin cos n or m tan min min min cos sin ′ sin cos ′ ∙′ cos sin ′ sin cos ″ cos sin ′ ∙′ ′ ″ ′ ′ ′ ∙′ ′ ∙′ ′ ∙′ ′ ∙″′ ∙′ ′ ∙″′ ∙′ ′ ∙″ ″ ′ ′ ∙′ ′ ∙′ ″∙″ ∙ ′ ∙′ ′ ∙″ ′ ∙″ ′ ∙′ ′ ∙′ ′ ∙′ ′ ∙″ ″∙″ ′ ∙′ ′ ∙′ ″∙″′ ∙′ ′ ∙″ ′ ∙′ ′ ′ ″ ″ ″ ″ ′ ′″ ′ ′ ∙′ ∙ ∙ ∙ ∙ ′ ′ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ″ ′ ″ ″′ ′ ″ ″′ 169 ′ ∙′ ′ ″ ″′ ′ ∙′″∙″ ′ ∙″ ′ ∙′ ′ ″ ″′ ′ ∙′″∙″ ′ ∙″ ′ sin cos ″ cos sin ″′ sin cos cos cos sin cos sin sin ′ ″ ″′ ′ ∙″ ′ ″ ″′ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ∙′ ″∙″ ′ ″ ′ ″ ″′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ sin cos ″ cos sin ″′ sin cos ′ ∙′ ″∙″ ′ ∙″ ′ ′ ″ ′ sin cos ′ ″ ″′ cos sin sin cos cos sin 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion ″ ′ ″′ ″ ″ ′ ′ 170 ∙ cos sin or sin cosh cos sinh 9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative 171 ra ra 172 sin sinh ∙ cos ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ i i i i cos sin i i i i cos cos cos cos i ∙ i i ∙ i i i ∙ ∙ i i 173 9.8 Divergence of a Vector Field ∙ i ∙ i 174 i i ∙ i i ∙ i i i i i i ra i ra ra i ra ra i ra i i i ≠ ≠ ra cosh sinh i ra cosh cosh cosh ra cos sin sin cos c rl ra i c rl c rl c rl c rl ra c rl c rl c rl sin cos sin 175 9.9 Curl of a Vactor Field ra i ra i i ra sin cos cos sin cos cos c rl i 176 c rl c rl sec sec csc cos sin arcsin ln arcsin ln i i c rl c rl c rl c rl c rl c rl i c rl csc cot csc c rl c rl i sec tan i c rl c rl ra c rl ra c rl c rl c rl c rl c rl c rl c rl c rl c rl 177 i c rl∙ ∙ c rl ra ra c rl c rl c rl c rl c rl c rl c rl c rl c rl c rl c rl ra i ra ′ ′ ″ ″ ′ sin cos cos sin ′ ∙ cos sin ra ra c rl i c rl i ∙ c rl c rl ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ′ lim → ∙ ∙ ∙ Chapter 9 Review Questins and Problems c rl c rl i c rl∙ ∙ c rl cos cos ∙ sin 178 sin ∙ ∙ sin cos cos sin cos sin sin tan cos arctan sin ∙ ra ra ra i i cos cos ∙ ra i c rl∙ cos cos i ra cos c rl c rl ra ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ c rl CHAPTER 10 ≤ ≤ ′ 180 ∙ ≤ ≤ ′ ∙ ≤ ≤ ′ ∙ ′ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ sin cos sin cos ∙ sin cos sin cos sin sin cos cos sin ≤ ≤ ∙ sin sin cos cos sin ′ sin cos ≤ ≤ ′ ∙ ∙ ∙ ∙ cos sin ≤ ≤ ∙ cos sin sin cos ′ ′ ′ sin cos ≤ ≤ ∙ sinh cosh cos sin sin ′ sin cos cosh sinh ′ cosh sinh ≤ ≤ ∙ ′ ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos ∙ ≤ ≤ ′ sin cos ∙ cos sin cos sin cos sin cossin sin ′ sin cos ∙ cossin cossin cos sin sin ′ sin cos sinh cosh cos sin sin cos ′ lim → ∞ ∙ lim → ∞ ≤ ≤ sin cos ′ ≤ ≤ ′ ∙ ∙ ∙ ∙′ ∙′ ∙′ ′ ≤ ′ ≤ ≤ ≤ ∙≤ cos cos sin sin sin cos cos cos sin cos sin sin ′ sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos ′ 181 10.2 Path Independence of Line Integrals cos sin cos sin ∙ cosh sinh ∙ cos sin sin cos sinh 182 cos cos sinh sinh sinh cos sin sin cosh sinh cosh sinh cosh cosh cosh sinh sinh cosh sinh cosh sinh sinh ′ sinh cosh sinh cosh sinh cosh sinh cosh sinh cosh sinh cosh sinh ≠ cosh cosh sinh cosh cosh sinh cosh cos sinh sin sin ′ cos cos cos sin ′ sin cos sin sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos ′ cos sin cos sinh cosh sin sin cosh cos sin sin sinh cosh sin sin sin cos ′ sinh ≤ ≤ ≤ ≤ ′ cos cos cos sin cos ′ sinh sinh ≠ ≤ ≤ ≤ ≤ cosh ≠ 183 ′ ′ ′ ≠ ra arctan cos sin ≠ cos cos cos sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin sin 10.2 Path Independence of Line Integrals cos ′ cos sin sin 184 sinh cosh cosh sinh sinh cosh cosh sinh sinh sinh sinh cos sin cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos sin cos cos sin sin 185 10.4 Green s Theorem in the Plane ∙ ∙ cosh sinh ∙ ∙ ∙ cosh sinh cosh sinh cosh sinh cosh cosh cosh sinh cosh sinh cosh sinh cos cos sin cos sin cos sin sin ∙ sinh cosh cosh ∙ ln sin sin ∙ sinh cosh ∙ cos sin sinh sinh cos sin cos ∙ 186 ∙ csc ln cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin c rl c rl∙ ln ′ sin cos ∙′ cos sin sin cos sinh sin cos cos sin ∙ ∙ i cos c rl c rl∙ ∙ ∙′ cos sin ′ sin cos cos sin ′ i i cos sin cos ∙ ′ ′ cos sin cos sin i ′ ′ cosh cosh cosh cosh cosh ′ sin ′ cos cosh cosh ∙ ′ ′ ∙ sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos tan cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos arctan arctan 187 10.5 Surfaces for Surface Integrals ′ ′ sin cos tan cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos 188 ∙ cos cos ≠ cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos cosh sinh sinh cosh cosh sinh sinh cosh cosh sinh cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos 189 10.5 Surfaces for Surface Integrals cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos cosh sinh sinh cosh cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos sinsin cos cos cos sin cos sin sinh cosh cosh sinh sin cos cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin cos sin cos ∙ ra ra ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 190 cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos ≤ ≤ cos ≤ ≤ sin cos cos sin ∙ sin cos cos cos sin cos sin si n cos sin sin cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cosh sinh sinh sinh sinh ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin cos sin sin cos ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin ∙ cos sin sin coshcos ∙ cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sinh sinh si n cos ∙ cos sin cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ cos sin cos ∙ sin cos ∙ sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sincos sin cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ 191 10.6 Surface Integrals cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin cos sin sin cos sin sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos cos cos cos ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ cos cos 192 cos ∙ ′ ′′ ′ ′ ∙ ′ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∙ ′ ∙ cos ′ ′ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos cos sin ∙ cos sin ∙ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos ∙ ∙ sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin coscos cossin sin ≤ ≤ ≤ ≤ cossin coscos sin cos sin sin cos sin sin ∙ 193 ∙ ∙ cos ≤ ≤ ≤ ≤ cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos i sin sin ∙ sin sin sin sin ∙ sin sin sin cos cos i cos cos ∙ cos cos sinh sinh sinh cos ∙ ∙ cos cos sin cos sin ∙ cos cos sin cos cos i cos ∙ arctan i cos ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cos cos sin cos ∙ ∙ sin cos sin cos sin sin cos sin sin i cos 10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss sin cos cos ∙ cos sinh sinh cos sin cos sin ≤ cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos sin sin ≤ ≤ cos ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos sin sin cos ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ i sin cos ∙ i cosh ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cos ∙ i sinh 194 cos cos cos ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ cos cos cos sin ∙ cos sin sin cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ 195 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 196 cos cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ i i i i i cos ≤ ≤ i ra i ra ∙ i ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin cos cos cos i i i cos cos ∙ cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos ∙ cos ∙ ∙ cos lim → lim → ra ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ c rl c rl∙ c rl c rl c rl∙ 197 ± cos sin sin cos cos sin c rl c rl sin cos c rl cosh cos c rl∙ c rl cosh cos c rl∙ cos ≤ ≤ ≤ ≤ cos c rl∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ′ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ′ ∙ ′ cos sin ≤ ≤ ′ sin cos sin cos ± ≤ ≤ ≤ ≤ c rl c rl c rl∙ ± cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos ∙ ′ c rl∙ ± sin cos ≤ ≤ ≤ ≤ c rl ′ sin cos sin cos ∙ ′ sin cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos c rl c rl∙ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos c rl cos sin ≤ ≤ c rl c rl ≤ ≤ c rl c rl c rl∙ ′ ± ′ c rl cos ± ± cos sin sin ∙ ′ c rl∙ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ 10.9 Stokes s Theorem cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ c rl ± cos sin sin cos ∙ ′ c rl c rl cos sin 198 ∙ ′ c rl∙ ≤ ≤ ≤ ≤ c rl c rl ∙ ′ c rl∙ sin cos c rl c rl c rl cos sin c rl ∙ ′ c rl∙ cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin c rl sin ∙ ′ c rl sin c rl∙ cos sin sin cos ∙ ∙ sin sin sin cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin c rl∙ ∙ ′ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ c rl∙ c rl c rl c rl cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ ′ sin cos sin cos cos cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ c rl∙ sin sin ∙ ′ c rl ∙ c rl∙ ∙ i ∙ ′ c rl∙ c rl i cos sin ≤ ≤ ∙ cos sin sin cos ′ sin cos 199 cos sin sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin cos sin cos sin c rl ∙ ± ≤ ≤ ≤ ≤ c rl cos sin cos c rl cos sin cos ≤ ≤ ′ ∙ sin ′ ∙ sin sin c rl cos c rl c rl∙ cos ± c rl sinh ∙ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ c rl cos c rl cos sin ′ ± c rl ∙ c rl∙ sin cos sinh cosh cosh ′ ∙ cosh cosh sinh Chapter 10 Review Questins and Problems ∙ cos sin sin cos i 200 sin sin sin cos i sinh cos sin ∙ cos sin cos sin cos ∙ sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos cos sin cos sin cos cos cos ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos cos sin sin cos ∙ sin cos cos sin sin cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ i ∙ cos sin sin sin cos ∙ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin cos cos sin cos cos sin ∙ cos cos sin ∙ i ∙ i 201 Chapter 10 Review Questins and Problems CHAPTER 11 204 cos cos cos ′ ′ cos sin sin sin cos sin cos cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos n cos cos cos 홀수 짝수 205 sin 11.1 Fourier Series cos cos cos ⋯ . 돈 , . 2 S π ios 값 sunnnt an d에 ) . i 0 ~ Apminnm 이점 로 … S째 케 . m 어 ko , oM 에 n 에 n * … : -z 기 wsn 다가 mz - 홀수 짝수 sin cos cos cos ⋯ cos cos sin cos sin cos 홀수 cos 짝수 sin sin cos sin cos sin cos 홀수 짝수 cos cos cos ⋯ sin sin sin ⋯ cos sin ∴ cos cos cos ⋯ sin sin sin ⋯ . .이용 nnxlo 어리딩 tfonxrcrsnndo cos pmmn n cos cos wsul . ↑ ( 4 ns GSMC 1 2 nnn ② sin sin cos sin cos sin 206 ∴ cos cos cos ⋯ cos sin sin cos 홀수 짝수 ∴ sin sin sin ⋯ sin sin sin ⋯ cos 홀수 sin 짝수 ∴ sin sin sin ⋯ 주기 cos cos sin cos sin cos cos cos 짝수 cos 홀수 cos cos sin cos cos 홀수 짝수 sin sin cos sin ∴ cos cos cos ⋯ sin sin sin ⋯ sin sin cos sin ∴ sin sin sin sin ⋯ sin sin sin ∴ sin sin sin ⋯ sin sin sin ⋯ 주기 ± 에서 불연속 연속 cos cos sin cos sin cos cos cos 연속 207 11.1 Fourier Series cos sin sin sin sin sin 208 lim → lim → sin 짝수 cos tan 홀수 ∴ sin sin sin ⋯ sinh cosh sin sin ln cos cos sin cos sin cos cot 짝수 ∴ cos cos cos ⋯ cos cos sin cos sin 홀수 sin sin sin cos cos ∴ sin sin sin ⋯ cos cos sin cos cos cos ⋯ cos sin cos cos cos sin cos cos ⋯ cos cos ∴ cos cos cos ⋯ 짝수 sin cos cos cos cos cos cos cos ⋯ sin sin sin sin ⋯ cos cos cos cos cos ⋅ cos cos ⋯ ⋅ ⋅ 홀수 cos sin cos cos cos cos cos cos cos sin ∴ cos cos ⋅ ⋅ cos ⋯ ⋅ sin sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos sin 209 sin sin ∴ sin ⋯ sin sin sin ⋯ cos cos ≠ cos cos cos cos cos 11.2 Arbitrary Period. Even and Odd Functions. Half-Range Expansions cos cos sin ∴ sin sin sin ⋯ cos cos cos cos cos ⋯ ⋯ cos cos cos 210 sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos ∴ cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 짝수 cos 홀수 ∴ sin sin sin ⋯ sin sin sin sin sin ≠ cos sin sin cos cos cos cos ⋯ cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos ⋯ cos cos sin ∴ sin sin sin sin sin sin sin sin ⋯ cos cos ∞ cos ∴ cos cos cos ⋯ ∞ ∴ sin sin sin sin ⋯ sin sin sin cos sin cos cos sin cossin ∞ sin sin sin sin ⋯ sin sin sin cos sin sin cos cos ≠ sin cos sin ∞ cos cos cos cos ∞ cos ∴ cos cos ⋯ ∴ ∴ sin sin sin sin sin sin sin ⋯ cos ∴ cos cos cos cos cos cos cos cos cos ⋯ 211 cos ∴ sin sin sin sin sin sin sin ⋯ cos cos cos sin 11.2 Arbitrary Period. Even and Odd Functions. Half-Range Expansions sin sin sin sin ∴ cos cos cos cos cos cos cos cos cos ⋯ ∴ cos ∙ cos cos ⋯ ∙ ∙ sin sin cos cos ≠ cos sin 212 ∴ sin sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin ≤≤ cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin ≥ ≤ cos ≠ ⋯ → → → ′ cos ″ ± sin sin cos sin ≠ cos sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos cos ≠ ⋯ sin sin 짝수 홀수 sin sin sin ⋯ cos sin sin sin cos sin sin sin ⋯ cos sin sin sin sin ⋯ cos sin ≠ ⋯ sin sin cos cos cos 홀수 ≠ 짝수 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin sin sin ⋯ sin cos cos cos ⋯ cos sin cos cos sin cos sin cos sin⋯ sin 213 11.3 Forced Oscillations sin sin sin ⋯ cos sin cos cos ⋯ cos sin cos sin sin sin ⋯ 214 sin cos sin cos sin cos sin⋯ cos cos sin ′ sin sin sin cos sin 짝수 ′ cos cos cos ⋯ ′ 홀수 cos sin cos sin⋯ sin sin sin ⋯ sin cos sin cos sin cos sin⋯ ″ ′ ′ ′ ′ cos sin cos 홀수 짝수 ′ cos cos ⋯ ′ cos sin cos ′ cos sin 215 cos sin cos sin cos sin⋯ ∞ cos sin ′ cos ′ cos cos cos ⋯ ′ ′ cos sin cos sin cos sin cos sin ⋯ sin cos sin 홀수 짝수 cos 11.3 Forced Oscillations cos sin cos sin⋯ sin sin ⋯ sin 216 ⋯ ⋯ sin ⋯ sin sin sin cos cos ⋯ cos ⋯ cos cos cos ⋯ ⋯ sin sin ⋯ sin sin ⋯ ⋯ cos cos ⋯ cos ≤ ⋯ ⋯ ⋯ cos cos sin sin sin ⋯ ⋯ cos cos cos cos cos cos cos ⋯ ⋯ cos cos ⋯ cos cos cos cos ⋯ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ≠ ≠ ′ ′ ′ ′ ≠ ′ ′ ≠ ′ ′ ′′ ′ ′ ≠ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ ≠ 217 11.5 Sturm-Liouville Problems. Orthogonal Functions 계수의 감소 연속성 를만족하는가장작은 불연속 연속 불연속 일때 연속 연속 일때 연속 문제번의 연속 문제번의 ′ ′ cos sin cos sin 218 sin ⋯ ′ cos sin sin cos 로치환 exp sin ⋯ ′′ ″ ′ ′ ″ ″ ′ cos sin ′ sin cos cos ⋯ sin ⋯ ′ ′ cos sin cos sin ′ ′ sin ⋯ sin ⋯ cos sin cos sin ′ sin cos ′ sincos sin cos cos sin ≠ cos sin sin cos cos sin ⋯ ⋯ sin ⋯ cos sin ⋯ ′ cos sin cos sin sin ⋯ arccos cosarccos cos cos cosarccos cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin ⋯ cos ≤ ≤ cos cosarccos sin ⋯ sin ⋯ sinln ⋯ sin sin cos cos sin arccos cosarccos cosarccos cos cos coscos ≠ ≠ cos sin cos sin ′ ″ 219 11.5 Sturm-Liouville Problems. Orthogonal Functions ′′ sin ⋯ ″′ → ∞ ∞ ∙ ∙ ∙ ∙ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ⋯ ∞ ∞ →∞ 220 lim lim ⋯ 221 ⋯ ⋯ ′ ∞ ⋯ ∞ ⋯ ∞ ′ ′ ′ ∞ ∞ ⋯ 11.6 Orthogonal Series. Generalized Fourier Series ∞ ∞ ∞ ∞ ′ ∞ ∞ ∞ ∞ ′ ″ ′ ⋯ ∞ 222 ∞ ′ ′ ′ ″ ′ ′ ″ ″ ′ ″ ′ ″ ′ ′ ′ ′ cos ∞ ∞ cos sin ∞ ≤ cos sin cos sin ∞ sin ∞ sin cos cos ≤ sin ∞ ∞ cos sin cos sin ∞ sin ≤ sin sin cos cos sin sin sin sinsin ≥ cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos ∞ ∞ sinsin sin ≤ ∞ ′ ′ ″ cos cos ∞ cos cos cos ≥ sin cos sin ∞ sin ∞ sin cos ∞ cos sin sin sin ∞ ∞ sin cos ∞ sin cos cos sin cos sin cos sin ∴ ∴ sin cos sin sin cos cos cos ∴ cos cos ∞ cos cos sin cos sin ∴ cos sin cos ∞ cos cos ∞ ∞ cos ∞ sin cos ∞ sin cos ∞ ∞ cos ∞ cos ∞ sin sin cos cos sin cos ∞ ∞ sin cos ∞ cos cos sin ∞ sin cos sin sin sin cos ∴ cos sin cos ∞ cos ∞ cos ∞ cos ∞ cos 223 11.7 Fourier Integral sin sin cos cos sin ∞ cos ∞ cos 224 sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin ∞ sin ∞ cos ∞ sin sin cos ∞ cos sin ∴ cos sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin ∞ ∴ sin cos sin ∞ cos sin sin sin cos cos cos ∴ ∞ cos sin sin sin cos sin cos ∴ sin cos sin ∞ sin sin cos sin cos ∴ sin cos sin ∞ cos cos sin sin sin sin sin sin sin cos ∞ ∞ sin cos sin cos ∞ sin cos ∞ sin cos ∞ ″ ℱ ℱ ℱ ∞ ′ ℱ ℱ ℱ ℱ 225 sin cos sin cos sin cos ∞ ℱ ′ ″ ℱ ℱ ′ ℱ ℱ ℱ ℱ cos sin ℱ ℱ sin cos ≤ sin ℱ ∞ ℱ sin sin ℱ ℱ sin sin cos ∞ cos ℱ cos cos ℱ ∞ ∞ 11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin sin 226 cos sin sin cos cos cos sin cos sin ⋅ ∞ ∞ cos ∞ ∞ ⋅ ∞ ⋅ ⋅ ⋅ ℱ ′ ℱ ℱ ′ ℱ ℱ ℱ ℱ ℱ ℱ sin sin ℱ sin sin ℱ sin sin ℱ ℱ ℱ sin cos cos cos sin ≠ sin →∞ ℱ 227 ℱ ℱ ℱ sin ℱ ℱ ∞ cos sin ∞ cos sin cos sin Chapter 11 Review Questins and Problems ℱ cos sin cos sin 228 cos sin sin cos cos ∴ sin sin sin ⋯ cos sin cos sin cos sin ∴ cos cos ⋯ sin sin sin ⋯ cos sin sinh cos cos sin cos cos sinhcos ′′ sin sin cos cos cos sinhcos sinh ∴ sinh cos cos ⋯ sinh sin sin ⋯ cos cos cos ′ sin sin sin ⋯ cos cos cos 229 cos cos cos coshcos sin cos cosh sin sin sin sin sin cos cos sin cos sin cos sinh ∴ sin sin sin ⋯ sin sin sin sinhsin cos sin sin ∴ cos cos ⋯ sin ∴ cos cos cos ⋯ cos cos 홀수 짝수 sin cos cos cos ⋯ cos ∴ cos cos cos ⋯ ⋯ ⋯ ′ cos cos sin sin sin sin ⋯ cos cos cos sin cos cos ⋯ Chapter 11 Review Questins and Problems cos cos cos ⋯ sin cos sin cos sin 230 cos sin cos sin cos cos cos sin cos sin sin ⋯ sin ∴ cos cos sin cos sin sin ∞ ⋯ ∞ sin cos sin cos sin cos cos sin cos cos ⋯ cos sin cos sin cos sin cos cos cos ⋯ cos ⋯ ∞ ∞ ∞ CHAPTER 12 ″ ″ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ∙ ∙ 232 sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos cos cos cos 233 cos sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos arctan sin 12.1 Basic Concepts of PDEs cos 234 cos sinh cos cosh cos sinh sin sinh cos sinh cos sinh cos sinh sin cosh sin sinh cos cosh sin cosh sin cosh sin cosh sin cosh ′ ′ ′ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ″ ″ ″ ″ ″ sin cos cos sin sin ′ ′ ′ ′ ′ ′ ″ ″ ′′ sin ′ 12.1 Basic Concepts of PDEs sin sin 235 ″ ″ ln ln ln ln ″ cos sin ″ ± ln ± cos sin ″ ′ ln ″ ′ cos sin 236 ″ ′ cos sin cos sin tan ″ ′ cos sin cos sin ± cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos ≠ cos ∴ cos sin ″ ″ sin sinsin sin sin sin sin 237 cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin sin sin sin ∴ sin cos cos sin sin 짝수 홀수 ∴ cos sin cos sin cos sin ⋯ cos sin cos sin cos sin ⋯ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin sin 홀수 sin 짝수 ∴ cos sin cos sin cos sin ⋯ sin sin sin sin sin 12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Series ∴ ∴ cos sin cos sin cos sin ⋯ sin sin sin sin sin ∴ cos sin cos sin cos sin ⋯ 238 ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos sin cos sin cos sin ⋯ cos sin cos sin cos sin cos sin ⋯ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin ∞ ∴ sin sin sin sin cos sin cos sin cos sin ⋯ ± ± cos sin cosh sinh ± ′ ′ cos sin cos sin cosh sinh ′ sin cos sinh cosh ′ ″ ″ ″ ″ ′ sin cos sinh cosh ≠ cos sin cosh sinh cos cosh sin sinh sin sinh cos cosh cos sin sin sinh cos cosh sin cos cos cosh cos cosh ∞ ∞ cos sin ′ ″ cos sin cosh sinh ∞ sin ″′ sin cos sinh cosh cos cosh sin sinh sin sinh cos cosh sin sin sinh 짝수 cos cosh 홀수 cos cosh cos cosh 239 12.4 D Alembert s Solution of the Wave Equation. Characteristics sin sin sin cos 240 ′ ′ ′ cos cos cos cos ′ ′ ′ sin sin sin cos ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 241 12.4 D Alembert s Solution of the Wave Equation. Characteristics ′ ″ ″ sin cos ′ ′ ′ ′ ′ ′ sin cos sin ∞ cos sin sin ∞ sin ′ sin ′ ′ ′ ″ ″ ″ ″ ″ cos 242 ln 홀수 짝수 sin sin sin sin sin ⋯ sin sin ∞ sin sin sin cos ⋅ ∞ sin sin ≠ sin ∞ sin ∞ sin sin sin ⋯ sin sin sin ⋯ cos sin ′ sin cos ∞ sin sin cos ⋯ ∞ cos cos 243 ∞ sin sin ∞ cos →∞ ∞ cos sinh sin 짝수 홀수 sinh sinh 짝수 sin sinh sinh sin sinh ⋯ sinh ∞ 홀수 sinh sin cos cos ⋯ ∞ → cos cos cos ∞ sinh sin sin ∞ cos cos sinh ≠ cos ∞ sinh ∞ sin sinh sinh cos sin sinh cos sin ≠ sin sinh sin sin sinh cos 홀수 짝수 sinh cos cos ⋯ ≠ sin sin sin sin sinh sin sinh sinh 12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Series. Steady Two-Dimensional Heat Problems. Dirichlet Problem ∞ sin sinh sinh sin sinh ⋯ sinh 244 cos sin sin ′ sin cos ′ cos ′ cos sin cos sinh ∞ cos sinh ∞ sinh cos sinh cos ∞ cos sin sinh sin cosh sinh ′ sin cos ′ sinh cosh sinh ′ sin ′ cosh sinh 홀수 sinh sinh 짝수 coshcosh sinhsinh cosh cos cosh sin sinh sinh sin sinh ⋯ sinh sin cosh sin coscosh tan ⋯ sin sinh sinh sin sinh ⋯ sinh ∞ cos cosh tan sinh sin sinh sin sin cos sin er sin cos ∞ 245 cos cos ∞ ∞ ∞ ∴ sin cos 12.9 Rectangular Membrane. Double Fourier Series ∴ sin ∞ ∞ ∞ cos ∴ ∞ ∞ ∴ ∞ cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin ∞ ∞ sin cos sin sin ∞ ∞ cos er er er er er er ⋯ cos ∞ er cos sin cos cos ∴ er sin ∴ cos ∞ ∞ ∞ er ∞ ∞ ert ert ∞ er sin sin sin sin sin sin sin sin ≠ or ≠ sin cos sin sin sin sin sin sin 홀수 짝수 은 짝수 홀수 sin sin sin sin sin sin sin sin 짝수 홀수 짝수 홀수 cos sin sin sin sin sin sin or 짝수 홀수 246 sin sin sin sin sin ∞ ∞ cos sin sin sin sin sin sin sin sin 홀수 sin sin sin ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ≠ or ≠ sin cos sin cos sin sin ′ sin sin sin sin sin sin sin sin sin ≠ ≠ 이다. 이면 lo 따라서 임의의 상수 에 대하여 , tan , , 가 에 무관하다고 하자. 그러면 을 얻는다. 따라서 cos sin라 놓으면 sin sin 극좌표 를 이용하면 계산이 훨씬 간단하다. sin 중심이 원점에 있고 반지름이 인 원판에 대하여 마찬가지로 하면 평형상태에서의 열전도 문제는 직교좌표 대신 cos 은 짝수 홀수 sin ∙ ∙ 이다. ′ 247 ′ lo 이다. cos cos cos sin cos 이고 sin ≤ ≤ ≤ ≤ 12.10 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane. Fourier-Bessel Series cos sin cos cos cos ≤ ≤ lim ≤ ≤ → ≤ ≤ 248 ″ ′ ∞ cos sin ≥ ∞ cos sin cos sin cos sin sin 를 얻는다. sin cos sin ∴ ∞ sin cos cos cos cos ⋯ cos cos sin sin sin 변수분리에 의해서 cos sin ∞ cos sin cos sin ∞ ln ± ± sin sin sin ⋯ cos cos cos cos cos cos cos ≠ cos cos cos cos cos cos sin ∴ sin sin sin sin ⋯ 249 12.10 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane. Fourier-Bessel Series ∴ cos cos cos sin sin ⋯ cos sin ∴ cos cos ⋯ cos cos sin sin sin sin sin ⋯ cos sin sin cos sin cos sin ∞ 250 ∞ 수 cos ″ sin ′ ″ cos sin cos sin cos 는 sin ⋯ cos sin cos cos cos cos cos ″ ′ 251 ′ ln ′ ln exp ln ln 5.3절의 식(11′)에 의해서, 이면 cos cos 이면 cos cos ln 이다. ln ln cos 이면 ln ln ″ ′ cos 이다. cos cos ″ ′ cos cos cos cos cos ′sin 여기서 ′ 을 의미한다. cos cos ′sin cos ′′sin cos ′sin cos sin sin sin sin cos ′′sin cos ′cos 따라서 sin sin cos cos ′′sin cos ′cos cos cos ″ cos cos ′ cos 왜냐하면 cos 은 르장드르 미분방정식 ″ ′ 을 만족하기 때문이다. 마찬가지로 에 대해서도 같은 방법으로 보이면 된다. 12.11 Laplace s Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potential ″ ′ ″ cos sin 252 exp ∞ ∞ sin sin cos cos sin cos cos sin ≤≤ ⋯ cos cos cos cos sin sin cos sin ∞ cos cos sin ⋯ cos cos cos cos cos sin ≤≤ ≤≤ ⋯ cos sin ∞ cos ≤≤ ⋯ cos cos sin ≤≤ ⋯ cos cos sin ∞ cos ≤≤ ⋯ cos cos cos cos cos sin ≤≤ ⋯ cos cos cos sin cos cos sin ≤≤ ⋯ → cos ∞ cos cos cos sin ≤≤ ⋯ cos 253 12.12 Solution of PDEs by Laplace Transforms → ∞ sin sin ⋯ cos sin ″ ″ 변위함수 sin 이므로 속력은 cos 이다. 가 을 얻는다. 정리하면, 된다. 에 관해 적분하면 254 을 얻는다. 을 이다. 이를 위의 해에 적용하면 이다. 따라서 이다. 이 보조방정식의 해에 inverse Laplace transform 을 취하면, ′ ′ ′ ′ ′ ′ sin sin 그러면, 보조방정식 라 하자. sin → →∞ 255 ∞ ± → →∞ ⋯ ⋯ ⋯ sin Chapter 12 Review Questins and Problems → →∞ ∞ ∞ c 수 256 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∞ cos sin ∞ sin sin ± ⋯ cos sin cos sin sin sin sin ′ ′ ′′ ∞ sin sin sin ⋯ cos sin cos sin sin sin sin ∞ sin sin sin ⋯ 257 ∞ sin sin ∞ ∞ cos cos sin sin sin cos ∞ ∞ sin cos sin cos ∞ cos cos ⋯ cos ∞ cos ∞ sin ∞ sin sin ∞ sin sin sin sin cos cos cos sin ∞ sin ⋯ cos cos cos ∞ sin sin sin Chapter 12 Review Questins and Problems sin sin cos cos sin 258 ∞ ∞ sin sin sin sin ∞ ∞ sin sin cos cos cos cos CHAPTER 13 260 e m ≠ ≠ ≠ ⋅ ⋅ e e e e e e m m m m m e e e m m m e e e e e e e e m m m m cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 261 13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots r tan 262 tan cos sin tan r ± ± cos sin r cos tan sin tan r tan cos tan sin tan r tan r tan tan r tan tan cos sin cos sin cos sin cos sin r r tan cos sin cos cos sin cos cos cos e e cos e sin m m m m cos sin cos sin si n e m si n m ≥ si n si n ± si n cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ± ± ± cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 263 cos sin cos sin cos sin cos sin tan cos sin cos sin cos sin 13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots sin cos cos cos sin cos sin cos sin 264 cos sin cos sin cos sin sin cos ± ± ± ± ± cos sin cos sin ⋯ cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ± ± ± cos ± sin ± ± ± ± ± ± ± ≤ cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos ≤ e m ≥ e ≥ m ± ± ± ± ± ± ± ± ≤ 265 계제 e 계제 계제 ≤ 계제 ∞ ∞ 계 함 계제 ≥ ≥ 계 함 13.3 Derivative. Analytic Function e m 266 e m lim lim ≠ → → ≤ lim → ∞ m e ′ → e cos cos → → m sin sin ′ ≤ ′ → m e cos → ′ ′ ′ ′ ′ ′ → sin sin → m → → ≤ ≤ m e → ≠ ≠ sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos 267 13.4 Cauch-Riemann Equations. Laplace s Equation sin cos cos sin cos sin cos sin ≠ cos sin cos sin cos sin cos cos e m ≠ sin cos sin cos ≠ sin sinh cos cosh sin cosh cos sinh sin cos sin cos cos sin cos sin sinh cos cosh ≠ sin sinh sin cosh cos sinh sin cosh ln sin sinh ≠ ± cos sinh ≠ ± ± cos cosh sin cosh sin sin cos sin sin ≠ cos cos sin cos 268 ± sin cos sinh sin cos cos sin cosh cos cosh e ′ m ′ ′ ′ ′ ′ m ′ ± e ′ ′ ′ ′ ′ cos sinh sin cosh ′ e ′ m ′ cos cosh cos cosh sin sinh e const const m const cosh cos cosh cos sinh cos cosh sin const cosh cos const const ± ′ cosh sin sinh cos const sinh sin const cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ⋯ cos sin cos sin ⋯ cos tan sin tan exp tan cos sin e cos m sin ′ e exp cos sin m exp cos cos sin cos sin sin sin cos sin exp cos e cos m sin ′ ′ exp cos sin ′ ′ ″ ′ e exp cos m exp sin cos sin cos sin ′ cos ′ sin cos sin cos sin ≠ cos sin cos sin sin ± ⋯ ± ± ± ⋯ tan ln tan ± ⋯ cos sin ln tan ± ⋯ 269 13.5 Exponential Function cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos ln ± ⋯ ⋯ sin sinh sinh 270 ln ± cosh cos sin cos sin cos sin cosh cos sinh sin cos cosh cosh cosh cosh cos sinh sin coshcos sinhsin cos cos cosh sin sinh coscosh sinsinh sinh sinhcos coshsin sin cos sin cos sin cos sin sinh cos cosh sin cosh coshcos sinhsin sin sinh cos sinh cos cosh cos sinh cosh cosh cos sinh sin sin sinh cos cosh sin cos cos cos cosh cosh sinh sinh cosh sin sin sin cos cos sinh cos cosh sinh cosh cosh sinh sinh cos ≥ sinh cos ≤ cosh sinh ≤ cos ≤ cosh cosh sinh sin sin sinh sin cosh cosh sinh cosh sin ≥ sinh sin ≤ cosh sinh ≤ sin ≤ cosh cosh sinh cosh sinh cosh cos sin sin cos cosh sinh cosh sinh cos sin cosh sinh sin cos sin sin m cos sin sinh sin sin cosh cos sinh cos sinh sin cosh cos sinh ± cosh sin sinh sin sinh esin cos sin sin sinh cos sinh cos cosh cos sinh sin sinh cos cosh cosh ± ± cosh cosh cos sinh sin cosh cos sinh sin cosh cos sin sinh cosh cos 수 sin cos sin tan cos cos cos cos cosh sin sinh cos cosh sin sinh cos sinh sin sinh cos sinh sinh sin sinh sin cosh cos ± sinh sinh cos cosh sin sinh cos cosh sin cosh sin cos sinh sinh cosh sin cos m tan etan cos sinh cos sinh 수 ln ln ln ln ln ln ln n ± ln ± tan ln ln ln n n ln ln ln ln n 수 ln ln ln ln n ln ln 수 ln ln ln ln ln ln ln ln tan ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln n r ln ln r ln ln ln sin ln tan cos ln n ln tan ln tan n ln 수 ln n cos sin ar ln ln ar ln ln ar ar cos sin ln ln ln ar ar cos sin cos sin n ln n ln n ln n ± ln ± n tan ln ln ln ar ar cos sin ln ln ln ar ar cos sin 271 13.7 Logarithm. General Power. Principal Value sin cos sin cosh cos sinh cos cosh sin sinh sin cos cosh cos sin sinh sin cosh sinh cos sinh cosh sin cos cosh sinh cos ln n ln ln cosln sinln n ln expln ln cos ln sin ln 272 sin sin n ln expln ln cos ln sin ln n ln ln ln cos ln sin ln n n exp n exp ln tan cos tan sin tan sin tan cos tan ln ln cos ln sin ln cos cos cosh cosh ln sinh sinh ln cos sin sin ln sinh tanh cosh tanh ln sin sin sincos cossin sin sin sincos cossin sin sin tan tan ln 273 cos sin cos sin ± ± cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin ± cos sin tan tan cos sin tan tan cos sin tan tan cos sin ± ± cos sin Chapter 13 Review Questins and Problems 274 sinh sinh sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cosh cos cosh cos sinh cos cosh cos sinh sin cosh sin sinh cos cosh sin sinh cos cos exp cos sin cos sin sin sincosh cossinh tan cos coscosh sinsinh tan tanh tantanh cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin exp exp sin sinh cos sinh cos cosh cos sinh cos cosh sin sinh sin cosh sin cosh cos sinh sin sin cos coscosh sin sinh n ln tan tan sin sincosh cossinh sinh sinh CHAPTER 14 276 277 cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin ≤ ≤ cosh sinh ∞ ≤ ≤ ∞ ≤ ≤ 14.1 Line Integral in the Complex Plane ≤ ≤ ≤ ≤ m 278 ≤ ≤ e e e ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin sin sinh cos ≤ ≤ m m m m m sinh ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ sec sec sec tan tan tan tanh ≤ ≤ m e e e≤ e e e e ≤ 279 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cos ± cos ± ± ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cos cos sin cos cos cos cos cos sin 14.2 Cauchy s Integral Theorem 280 tan sec ± tan tan ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ cos cos cos sin cos sin e e m ⋅ m ≤ ≤ ⋅ cot cot cosec tanh ± ± ⋯ cot cos cot 14.2 Cauchy s Integral Theorem n ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cos cos sin cos cos sin sin ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ± ± ⋯ tan ± ± 281 282 sin sin sin sin cos sin → ± cosh cosh cosh sin cos cos sin cos cos cos ln tan tan tan tanh n n ln n sin sin sin sin sin sinh sin exp exp exp cos sin ≠ 283 sin cos exp exp exp cos ″ sin n cosh sinh ′ sinh cosh cosh n sin sin sin sin ′ sec ′ cos sinh ′ cos sin ′ tan sec ″ sin tan cos cos cos n n n n ′ cos n ′ n cos sin exp exp ′ cos cos cos sin cos sin 홀수 cosh sinh 짝수 sinh cosh 14.4 Derivatives of Analytic Functions cos sin 284 ″ sinh sinh ln ≤ ⋯ ⋯ ≠ ⋯ ≤ ≤ ≠ ≤ ≤ cosh ′ cosh cosh 285 cosh sinh ≤ ≤ ≤ ≤ ′ sec tan sec ≤ ≤ ∙ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ m m ≠ m tan m e ≠ ∙ cos cos sin sin cosh Chapter 14 Review Questins and Problems CHAPTER 15 288 ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋯ ⋅⋅⋅ ⋯ → ∞ lim → ∞ lim → ∞ cos sin tan lim lim → ∞ lim → ∞ ∞ lim → ∞ ∞ ∞ lim lim → ∞ 홀수 짝수 ln cosh → ∞ ∞ → ∞ lim lim → ∞ cos sin tan cos sin lim lim → ∞ → ∞ ∞ ∞ ≤ → → ∞ ⋯ max → ∞ → ∞ → → ∞ ≤ ≤ → → ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ≤ ≤ ⋯ ⋯ ⋯ ≤ ⋯ ⋯ ⋯ ≤ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ → ⋯ ∞ lim →∞ lim → ∞ ∞ ∞ ∞ ≥ ∞ ⋯ ∞ ≥ lim → ∞ ∞ ⋯ →∞ → ∞ lim ⋅ → ∞ lim ∞ → ∞ ∞ ∞ ⋯ →∞ lim ∙ → ∞ lim lim → ∞ → ∞ 289 15.2 Power Series ≤ ⋯ lim ∙ → ∞ lim → ∞ lim ∙ → ∞ lim → ∞ 290 lim ∙ lim ∞ → ∞ → ∞ lim ∙ lim → ∞ → ∞ lim → ∞ lim ∙ → ∞ lim ∞ → ∞ lim lim ∙ → ∞ → ∞ lim → ∞ lim ∙ → ∞ lim ∞ lim lim → ∞ → ∞ → ∞ lim lim → ∞ lim ∙ → ∞ lim → ∞ → ∞ lim lim → ∞ → ∞ ∞ ∞ lim ± lim ± lim → ∞ → ∞ → ∞ ln ln lim limln lim → ∞ lim → ∞ → ∞ → ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ′ ′ ∞ → ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ → → ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ → ∞ ∞ ⋯ ∞ ∞ ⋯ → ∞ ∞ → ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 291 ∞ ∞ 15.3 Functions Gioven by Power Series ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ 292 → → ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ → ∞ cos ∞ ∞ ∞ ∞ sin ∞ ∞ lim lim → ∞ → ∞ lim ∞ → ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ → → lim → ∞ ∞ ∞ 293 sin ⋯ ⋯ ′ ∞ ″ ′ ′ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ∞ sin sin ⋯ cos sin cos ⋯ ⋯ ∞ er ∞ ∞ ⋯ exp ∞ exp ⋯ ∞ exp exp ∞ ⋯ ⋯ sin cos ⋯ ⋯ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ′ i sin ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ∞ 15.4 Taylor and Maclaurin Series ⋯ ∞ ⋯ ⋯ 294 sin ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ∞ sinh ′ ′ ∞ cosh ∞ n ′ ⋯ ⋯ ′ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cos ≠ ∞ ∞ sin cosh ⋯ ′ ∞ ∞ cos cos ⋯ ′ sin ′ ⋯ ⋯ cos ∞ ′ cos ⋯ ⋯ cos′ ⋯ ⋯ ⋯ sin sinh′ cos sin ⋯ ′ ′ ⋯ ⋯ cosh′ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ sinh sinh sinh cosh sin sinh ⋯ cosh ⋯ sinh ⋯ ∞ lim →∞ ∙ ≤ ≤ lim → ∞ ≤ ∞ lim lim → ∞ →∞ ≤ ≤ ≤ lim tanh →∞ ∞ tanh ≤ tanh lim →∞ lim →∞ lim lim → ∞ →∞ ≤ ∞ 15.5 Uniform Convergence. Optional ≤ 295 lim lim → ∞ →∞ lim lim → ∞ →∞ ∞ lim lim → ∞ →∞ ≤ ∞ ∞ ≤ ′ → → lim → ∞ lim →∞ ≤ ∞ sinh ∞ ≤ ∞ ∞ ≤ sinh ≠ sin ≤ ≤ ∞ sin ≤ ≤ sin ≤ sin ≥ 296 sin exp exp exp → sin ≥ ∞ lim →∞ →∞ lim →∞ lim →∞ lim lim lim lim lim →∞ →∞ → ∞ lim lim lim → ∞ ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ lim lim → ∞ → ∞ ∞ Ln ∞ lim lim → ∞ → ∞ ∞ ∞ lim → ∞ lim ∞ →∞ ∴ ∞ ∞ sin lim lim ∞ → ∞ →∞ sin′ cos cos′ sin ∞ sinh ∞ lim lim → ∞ →∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ∞ cosh ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ cos ⋯ ∞ ∞ ⋯ ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ∞ sin sin ⋯ ⋯ ∞ ⋯ ⋯ Ln Ln Ln ln Ln ln ⋯ ln ⋯ 297 Chapter 15 Review Questins and Problems ⋯ CHAPTER 16 cos ⋯ ⋯ 300 ⋯ ⋯ ∞ exp ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ cosh ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ≠ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ≠ ∞ ′ ±±⋯ ⋯ ⋯ tan ± ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ ⋅ ⋅ sin sin sin cos ± ± ± ⋯ sin ⋯ ⋯ ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ ⋅ ⋅ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ sin ∞ ∞ ± ± ⋯ sin ± ± ⋯ tan ± ± ⋯ tan ± ± ⋯ cosh sin tan cos Ln ± ± ± cosh ± ± ⋯ ∞ sin ≠ ∞ ′ ′ ≠ ′ ≠ ≠ ln cos sin cos si n sin cos ln tan ln ln 16.2 Singularities and Zeros. Infinity ∞ ∞ 301 → → ∞ 302 sin es limcos lim → → exp exp es lim → cos es lim lim → → exp es lim → cos exp exp es lim → cos sin sin → lim ⋯ es es exp sin es lim lim → → es exp sin es es es exp exp exp es lim lim → → es lim lim → → cosh ± ± es es tan cosh cosh es lim → sin es lim sin → cosh es tan ∞ cosh cosh es lim → cosh cosh es lim → cosh cosh es lim → ⋯ cos cos ± es es sin ∞ ± es ∞ es es sin cos cos cos sin ± ± cos cos ± ± ± ± es ′ es ∞ es ± sin cos ∞ cos cos cos lim es → es es ± ∞ ∞ ± es es ∞ ∞ 303 16.4 Residue Integration of Real Integrals sin cos es cos es ⋯ ± ± ∞ es ∞ es 304 ∞ ± ± ∞ ∞ ∞ cos sin es ∞ es es ∞ ′ es pr ⋯ ′ ′ ′ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ es ∞ es pr es escos sin ∞ cos sin cos m es e ∞ ∞ ∞ ± es ∞ ∞ es ∞ ∞ ∞ es pr ∞ cos sin sin e es m ± ± es ∞ ∞ cos cos ∞ ∞ ∞ cos ∞ → es ∞ ∞ ∞ es pr →∞ 305 Chapter 16 Review Questins and Problems CHAPTER 17 ⇒ ⇒ 308 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ m ≤ ⇒ m ≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤ ≤ ≥ r → ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ar ⋯ 309 ≤ ≥ cos cos′ sin ± ′ 17.2 Linear Fractional Transformations ±±⋯ sin ⋯ ⋯ ± cos ′ ± ± ≠ sin ′ cos ≠ ± ± ± ⋯ ar ar ar ± ± ± ⋯ lim ar → alon C ′ lim ar lim ar ar ar ≠ ′ ⋯ ⋯ ⋯ ar ar ar ⋯ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ± ⋅ ⋅ e ± 310 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ar ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ar ≤ ∞ ⋅ ⋅ ∞ ≤ ar ≤ ⇒ ∞ ∞ cos cos ≤ cos sin sin tan ∞ ≤∞ ar sin sin tan cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ar ≤ cosh cosh ≤ ≤ ≤ ≤ cosh sin ± ⋯ ⇒ sincosh cos sinh sin cos cosh sinh cosh sinh cosh cos sin ± ± ⋯ cosh sinh ≤ ≤ sin cos cosh sinh cosh sinh sin sin cosh cos sinh cossinh ⇒ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ≠± ±⋯ ⇒ sin cos sin cosh 311 cosh sin cos sinh ln ≤ ≤ ln ≤ ≤ 17.5 Riemann Surfaces Optional ≤ ≤ ≤ ar ≤ sinh 312 ≠ ± ± ± cos sin ′ ± ± cos sin cos sin ± ± cos ′ sin ± ± ± ⋯ ± ± ± ⋯ ≠ ln ln m ≤ CHAPTER 18 ″ ′ 314 ″ ⇒ ln ′ ln ′ ⇒ ′ ⇒ ln ln ln ′ ⇒ ln ln ln ln ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ln ′ ⇒ tan ln Ln ln ln ln ″ ′ ″ ⇒ ln ′ ln ′ ⇒ ′ ⇒ ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ′ ln ln ln Ln ⇒ ′ ⇒ r ln cos cos cos cos sin sin cos cosh sin sinh cosh sinh cos sin tan ± ⇒ ±tan ± ⇒ ± ⇒ cos sin ± cos sin cosh sinh ⇒ ′ ⇒ sin sinh ′ sin cos cosh cos sin sinh sin cosh sin cosh ′ ⇒ ⇒ sin sinh ⇒ ⇒ ln sin e cos sin sin cos sin sin cosh sinh cos sinh cosh cos sinh sin cosh cos sinh r cos sinh sin sin cosh cos sinh sin cosh Ln ln cos cos sin ln ln ln e ln ln cos sin ln cos sin cos sin cos Ln r 18.2 Use of Conformal Mapping. Modeling 315 316 r r ⇒ r r r sin ⇒ ′ ⇒ r sin r r r ≥ ± ′ r 317 18.4 Fluid Flow ln ln ar ln const const ar ar ′ ′ ′ ln ln sin sin or ± ′ ⋅ ⋅ ⋅ cos cos cosh sin sinh cos sin cosh sinh cosh sinh cosh sinh ± arccosh ⇒ cosh cos sin ln ar ln m ln sin cos →∞ ′ ′ ′ → → ± sin cos sin cos cos sin sin ∞ ∞ cos cos cos ∞ ∞ sin ∞ sin sin 318 cos cos sin sin cos sin ∞ cos sin sin sin cos cos sin cos ″ ′ ″ sin cos ″ ′ ″ cos sin ″ ′ sin cos cos cos ∞ ∞ cos cos cos cos cos sin sin cos ∞ cos sin ∞ ∞ 319 sin sin sinh sinh ± ≠ const const cos cos sinh cos sin cos sin ≤ cos cos sin cos sin ≤ cos sin cos sin ⋅ sinh ± ≤ ≤ ≤ sin ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ sin exp cos ≤ ≥ ≥ sin sin cosh cos sinh cosh cos 18.6 General Properties of Harmonic Functions ⋅ Ln ln r r r 320 r ′ const const cos 2011 12 15 1 2 733 2014 5 1966 10 6 1 168 Copyright © 2011, Pan Korea Book Corporation. http://www.bumhanbook.co.kr ISBN 978 89 7129 243 3 93500 1 222 736 8696