1
공통수학 1
23공통수학1_유형편_본문Ⅰ(001~024)OK.indd 1
2023-10-04 오후 3:56:43
개념과 유형이 하나로
차례
I . 다항식
III . 경우의 수
1 다항식
1 경우의 수
01 다항식의 연산
4
2 나머지 정리와 인수분해
01 나머지 정리
12
02 인수분해
19
01 합의 법칙과 곱의 법칙
78
02 순열
82
03 조합
87
II . 방정식과 부등식
IV . 행렬
1 복소수와 이차방정식
1 행렬
01 복소수의 뜻과 사칙연산
26
01 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배
92
02 이차방정식의 판별식
32
02 행렬의 곱셈
97
03 이차방정식의 근과 계수의 관계
35
2 이차방정식과 이차함수
01 이차방정식과 이차함수의 관계
42
02 이차함수의 최대, 최소
45
3 여러 가지 방정식
01 삼차방정식과 사차방정식
50
02 연립이차방정식
57
4 여러 가지 부등식
01 연립일차부등식
62
02 이차부등식
68
03 연립이차부등식
73
1
다항식
다항식
01 다항식의 연산
01 다항식의 연산
유형 01
다항식의 덧셈과 뺄셈
유형 02
다항식의 전개식에서 계수 구하기
다항식의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같은 순서로 한다.
다항식의 전개식에서 특정 항의 계수를 구할 때, 구해야 하
⑴ 괄호가 있는 경우 괄호를 푼다.
는 항이 나오는 부분만 선택하여 전개한다.
⑵ 동류항끼리 모아서 계산한다.
예 다항식 {x@+x-2}{x+1}의 전개식에서 x@항은
x@\1+x\x=2x@
따라서 x@의 계수는 2이다.
다항식 A=x @-2xy+y @, B=x @+2xy+y @에
1 두대하여
A+B를 간단히 하면?
① x @+y @
② 2x @+2y @
③ 3x @+3y @
④ 2x @-2xy+2y @
{x+4}{2x @-3x+1}의 전개식에서 x @의
5 다항식
계수를 구하시오.
⑤ 2x @+2xy+2y @
2 C=3x#-2x에 대하여 세 다항식 A=-3x#-x@+7, B=x@-3x,
다항식 {1+x+2x@+3x#+y+10x!)}@의 전개
6 식에서
x$의 계수를 구하시오.
A+B-2{B-2C}=ax#+bx @+cx+d
일 때, 상수 a, b, c, d에 대하여 ab-cd의 값을 구
하시오.
다항식 {x#+2x@+kx-1}@의 전개식에서 x@의 계
7 수가
5일 때, 양수 k의 값을 구하시오.
다항식 A=2x@+3xy+y@, B=x@+4xy+y@
3 두에 대하여
2{X-2A}=X-3B를 만족시키는 다
항식 X는?
① 3x@+5y@
② 3x@+xy+2y@
③ 5x@+y@
④ 5x@+xy+2y@
⑤ 5x@+3xy-y@
A, B에 대하여 연산 〈 A, B 〉를
8 두〈 A,다항식
B 〉=A@-AB+B @이라 할 때,
〈 x @-3, x @+x-1 〉의 전개식에서 x의 계수는?
다항식 A, B에 대하여 2A+B=x@-xy+y@,
4 두A-B=2x@+4xy-7y@일
때, 2A-3B를 계산
하시오.
4 Ⅰ-1. 다항식
① -3
② -2
④0
⑤1
③ -1
정답과 해설 108쪽
유형 03
곱셈 공식을 이용한 식의 전개
⑴ {a+b+c}@=a@+b@+c@+2ab+2bc+2ca
전개식에서 x @의 계수가 10
12 {x+a}#+x{x-4}의
일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
⑵ {a+b}#=a#+3a@b+3ab@+b#
{a-b}#=a#-3a@b+3ab@-b#
⑶ {a+b}{a@-ab+b@}=a#+b#
{a-b}{a@+ab+b@}=a#-b#
⑷ {x+a}{x+b}{x+c}
=x#+{a+b+c}x@+{ab+bc+ca}x+abc
⑸ {a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}
=a#+b#+c#-3abc
⑹ {a@+ab+b@}{a@-ab+b@}=a$+a@b@+b$
{2x-y}#{2x+y}#의 전개식에서 서로 다
13 다항식
른 항의 개수를 a, x$y@의 계수를 b, x@y$의 계수를
c라 할 때, a+b+c의 값은?
9 다음 중 옳지 않은 것은?
① {x-1}{x@+x+1}=x#-1
① -48
② -32
④0
⑤ 16
③ -16
② {x-1}{x+2}{x-3}=x#-2x@-5x+6
③ {x@+x+1}{x@-x+1}=x$+x@+1
④ {x-y-1}@=x@+y@-2xy-2x-2y+1
⑤ {x-y+2}{x@+y@+xy-2x+2y+4}
‌
=x#-y#+6xy+8
때,
14 x#=2일
{x+1}{x-1}{x @+x+1}{x @-x+1}의 값은?
10 27x#+ax@+bx+c일 때, 상수 a, b, c에 대하여
다항식 {3x-4}#을 전개한 식이
①1
② 3
④7
⑤9
③5
a+b-c의 값을 구하시오.
11 {2x+y}{4x@-2xy+y@}
다항식
{x+a}@{4x-1}#의 전개식에서 x의 계수
15 다항식
가 52, x@의 계수가 -241일 때, x$의 계수를 구하
시오. (단, a는 상수)
-{x-3y}{x@+3xy+9y@}
을 간단히 하시오.
01 다항식의 연산 5
01 다항식의 연산
유형 04
공통부분이 있는 식의 전개
곱셈 공식의 변형 - 문자가 2개인 경우
유형 05
⑴ 공통부분을 한 문자로 치환한 후 전개한다.
⑴ a@+b@={a+b}@-2ab={a-b}@+2ab
⑵ (일차식)\(일차식)\(일차식)\(일차식) 꼴
⑵ a#+b#={a+b}#-3ab{a+b}
SG ‌공통부분이 생기도록 두 개씩 짝을 지어 전개한 후
치환한다.
16 다항식 {x-2y+z}{x+2y-z}를 전개하면?
① x@-4y@-z@-4xy
a#-b#={a-b}#+3ab{a-b}
1
1
1
=[x+ ]@-2=[x- ]@+2
x
x
x@
1
1
1
⑷ x#+ =[x+ ]#-3[x+ ]
x
x
x#
⑶ x@+
x#-
1
1
1
=[x- ]#+3[x- ]
x
x
x#
② x@-4y@-z@+4yz
③ x@-4y@-z@+2xy-2yz-zx
④ x@+4y@+z@-2xy+4yz-2zx
y=j5-1일 때, x#-y#의 값을 구하시
19 x=j5+1,
오.
⑤ x@+4y@+z@+4xy+4yz-zx
3
{x@-x+1}{x@-3x+1}을 전개한 식이
17 다항식
x$+ax#+bx@+cx+1일 때, 상수 a, b, c에 대하
27
20 2x+ x =6일 때, 8x#+ x# 의 값을 구하시오.
여 abc의 값을 구하시오.
1
1
21 x$-11x @+1=0일 때, x$+x- x + x$ 의 값을
구하시오. (단, 0<x<1 )
다항식 {x-1}{x+1}{x+3}{x+5}를 전개하
18 면?
① x$-14x#+8x@+8x-15
② x$-14x#+16x@+8x-15
③ x$-14x#+24x@+8x-15
④ x$+8x#-24x@-8x-15
⑤ x$+8x#+14x@-8x-15
6 Ⅰ-1. 다항식
x@+y@=6을 만족시키는 두 실수 x, y에
22 x+y=2,
대하여 x&+y&의 값은?
① 34
② 82
④ 478
⑤ 1054
③ 198
정답과 해설 109쪽
UP
유형 06
곱셈 공식의 변형 - 문자가 3개인 경우 ⑴
⑴ a@+b@+c@={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}
⑵ a#+b#+c#
곱셈 공식의 변형 - 문자가 3개인 경우 ⑵
유형 07
⑴a
-b, b-c의 값이 주어진 경우 두 식을 더하여 a-c
의 값을 구한 후 다음을 이용하여 식의 값을 구한다.
={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}+3abc
a@+b@+c@-ab-bc-ca
1
= 9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0
2
1
1
1
23 a+b+c=-1, a + b + c =-1, abc=4일 때,
a@+b@+c@의 값은?
①7
② 8
④ 10
⑤ 11
② 41
④ 49
⑤ 52
c+a=k-b를 {a+b}{b+c}{c+a}에 대입한 후 전
개하여 식의 값을 구한다.
③9
x+z=3일 때,
26 x+y=2,
x @+y @+z@+xy-yz+zx의 값을 구하시오.
a@+b@+c@=14, abc=-6일 때,
24 a+b+c=2,
a@b@+b@c@+c@a@의 값은?
① 36
⑵a
+b+c=k인 경우 a+b=k-c, b+c=k-a, ③ 45
a@+b@+c@=7, abc=-1일 때,
27 a+b+c=3,
{‌ a+b}{b+c}{c+a}의 값은?
①1
② 2
④4
⑤5
1
1
③3
1
28 x + y + z =2, xyz=8,
25 때, abc의 값을 구하시오.
a+b+c=4, a@+b@+c@=6, a#+b#+c#=10일
{x+y}{y+z}{z+x}=136일 때, x @+y @+z@의
값은?
① 49
② 50
④ 52
⑤ 53
③ 51
01 다항식의 연산 7
01 다항식의 연산
곱셈 공식의 활용 - 수
유형 08
유형 09
⑴ 복잡한 수의 계산은 반복되는 수를 문자로 치환한 후
곱셈 공식을 이용한다.
곱셈 공식의 활용 - 도형
주어진 도형에서 선분의 길이를 문자로 놓고 주어진 둘레
의 길이, 넓이 등을 이용하여 식을 세운 후 곱셈 공식을
⑵ 곱셈 공식을 이용할 수 있도록 식을 변형하거나 하나의
이용한다.
수를 두 수의 합 또는 차로 나타낸다.
29 수 a의 값은?
2016\2019\2022=2019#-9a가 성립할 때, 상
그림과 같이 CC=90!인 직각삼각형 ABC가 있
33 다.
AXBZ=2j6이고 삼각형 ABC의 넓이가 3일 때,
AXCZ #+BCZ #의 값을 구하시오.
① 2018
② 2019
④ 2021
⑤ 2022
③ 2020
A
C
B
30
곱셈 공식을 이용하여
512{511@-510}-1
을 계산
511#
모서리의 길이의 합이 40이고 겉넓이가 64인
34 모든
직육면체의 대각선의 길이를 구하시오.
하면?
512
511
①1
②
④ 511
⑤ 512
1
1
1
③
511
510
1
1
31 [1+ 2 ][1+ 2@ ][1+ 2$ ][1+ 2* ]=2- 2N 을
만족시키는 자연수 n의 값을 구하시오.
그림과 같이 선분 AB 위의 점 C에 대하여 두
35 다음
선분 AC, BC를 각각 한 모서리로 하는 두 정육면
체가 있다. AXBZ=5j2이고 두 정육면체의 부피의
합이 70j2일 때, 두 정육면체의 겉넓이의 합을 구
하시오.
B
32 의 값을 구하시오.
C
3\5\17\257+1=2N을 만족시키는 자연수 n
8 Ⅰ-1. 다항식
A
5j2
정답과 해설 110쪽
유형 10
다항식의 나눗셈
유형 11
다항식의 나눗셈에 대한 등식
다항식의 나눗셈은 각 다항식을 내림차순으로 정리한 후
다항식 A를 다항식 B {B=0}로 나누었을 때의 몫을 Q,
자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산한다. 이때 나머지
나머지를 R라 하면
가 상수가 되거나 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다
A=BQ+R
낮아질 때까지 나눈다.
다음은 다항식 x#-x@-4를 x+1로 나누는 과정을
36 나타낸
것이다. 이때 상수 a, b, c, d에 대하여
a+b+c+d의 값을 구하시오.
x@+ax +2
x+1 r x #- x @
x #+ x @
를 구하시오.
-4t t
-2x @-2x
2x-ct t
2x+2
dt t
x$+3x@-2x+1을 x@-x-1로 나누었을
37 다항식
때의 몫을 Q{x}, 나머지를 R{x}라 할 때,
Q{-1}+R{1}의 값은?
② -5
④ 10
⑤ 15
③7
다항식 x#+2x @+3x+a가 x @+x+2로 나누어떨
38 어질
때, 상수 a의 값은?
① -2
② -1
④1
⑤2
4x#-3x@+5x-2를 다항식 A로 나누었을
39 다항식
때의 몫이 4x-3, 나머지가 x+1일 때, 다항식 A
tt
bx @
① -15
(단, R는 상수 또는 ( R의 차수)<( B의 차수))
③0
길이가 x@+x-6인 직사각형의 넓이가
40 가로의
x#+2x@-5x-6일 때, 이 직사각형의 세로의 길
이를 구하시오.
f{x}를 x@-x-2로 나누었을 때의 몫이
41 다항식
2x+6, 나머지가 2x-7일 때, f{x}를 2x-2로
나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오.
@-4x+2=0일 때, 2x$-8x#+3x @+4x+1의
42 x값은?
① -1
② 0
④2
⑤3
③1
01 다항식의 연산 9
01 다항식의 연산
정답과 해설 112쪽
유형 12
몫과 나머지의 변형
다항식 f{x}를 x+
유형 13
b
{a=0}로 나누었을 때의 몫을 a
Q{x}, 나머지를 R라 하면
b
f{x}=[x+ ]Q{x}+R
a
1
‌= {ax+b}Q{x}+R
a
조립제법
다항식을 일차식으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구할
때는 조립제법을 이용하면 편리하다.
예 조립제법을 이용하여 {x#-3x+1}_{x-2}의 몫과 나머지
를 구하면
(나누는 식)=0을 ▶ 2
만족시키는 x의 값
-3
+
+
2 \2 4 \2 2
1
1
Q{x},
a
1 ◀ 나누어지는
0
+
\2
1
‌={ax+b}\ Q{x}+R
a
‌SG ‌다항식 f{x}를 ax+b로 나누었을 때의 몫은
1
2
1
식의 계수
3
SG x#-3x+1={x-2}{x@+2x+1}+3
몫
나머지
나머지는 R이다.
f{x}를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q{x},
43 다항식
나머지를 R라 하고, f{x}를 2x-4로 나누었을 때
조립제법을 이용하여 다항식 x#-2x@+5를
45 다음은
x+1로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하는 과정
이다. 이때 a+b+c+d+e의 값은?
의 몫을 Q'{x}, 나머지를 R'이라 하자. 이때
a 1
Q{x}
R
+ 의 값을 구하시오.
Q'{x} R'
44 다항식 f{x}를 2x-1로 나누었을 때의 몫을 1Q{x},
나머지를 R라 할 때, 다항식 x f{x}를 x- 로 나
2
누었을 때의 몫과 나머지를 차례대로 나열한 것은?
①
1
1
x Q{x}+R, R
2
2
②
1
x Q{x}+R, 2R
2
③ x Q{x}, R
1
④ 2x Q{x}+R, R
2
⑤ 2x Q{x}+R, 2R
-2
c
1
5
3 -3
-3
d
①3
② 4
④6
⑤7
e
③5
조립제법을 이용하여 다항식 f{x}를
46 다음은
3x+2로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하는 과정
이다. 이때 몫과 나머지를 차례대로 나열한 것은?
-3@ 3
3
-1
4 -2
-2
2 -4
-3
6 -6
① x@-x+2, -6
② x@-x+2, -4
③ x@-x+2, -2
④ 3x@-3x+6, -6
⑤ 3x@-3x+6, -2
10 Ⅰ-1. 다항식
b
2
다항식
나머지 정리와
인수분해
01 나머지 정리
02 인수분해
01 나머지 정리
유형 01
항등식의 뜻과 성질
유형 02
미정계수법 - 계수비교법
주어진 등식이 x에 대한 항등식이면 x에 어떤 값을 대입
항등식의 양변을 한 문자에 대한 내림차순으로 정리한 후
하여도 항상 성립한다.
동류항의 계수를 비교한다.
☐x+s=0 꼴로 정리한 후 ☐=0, s=0임을 이용한다.
참고 양변이 내림차순으로 정리되어 있거나 식이 간단하여 전개
이때 여러 개의 문자를 포함한 등식이 x에 대한 항등식이면
1 다음 중 x에 대한 항등식인 것은?
하기 쉬운 경우에 이용하면 편리하다.
x@+{a-1}x-1=x@+2x+b가 x에 대한
4 등식
항등식일 때, 두 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?
① 3x+1=1
② 3x+4=3+4x
③ 2{x+4}+3x=5{x+1}+3
④ {x+1}{x-1}=x @+1
①1
② 2
④4
⑤5
③3
⑤ {x-3}@=x @+6x+9
실수 k에 대하여 등식 2 임의의
{2k+3}x+{3k-1}y+5k-9=0
이 성립할 때, 상수 x, y에 대하여 x+y의 값은?
① -2
② -1
④1
⑤2
실수 x에 대하여 등식
5 임의의
x#-ax@-bx+8={x@+2x-1}{x-c}
가 성립할 때, 상수 a, b, c에 대하여 a+b+c의
값을 구하시오.
③0
x-y=1을 만족시키는 모든 실수 x, y에 대하여
6 등식
ax-4ab+bx-6x+16=0이 x의 값에 관
3 등식
계없이 항상 성립할 때, 양수 a, b에 대하여
{ja+jb}@의 값을 구하시오.
12 Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해
x#+3x-14=y#+ay@+by+c
가 성립할 때, 상수 a, b, c에 대하여 a+b-c의
값을 구하시오.
정답과 해설 112쪽
유형 03
미정계수법 - 수치대입법
유형 04
항등식에서 계수의 합 구하기
항등식의 문자에 적당한 수를 대입한다.
다항식 f{x}=a0+a1 x+a2 x@+y+an xN에 대하여
참고 식이 복잡하여 전개하기 어렵거나 적당한 수를 대입하면 식
⑴ x=1을 대입
이 간단해지는 경우에 이용하면 편리하다.
SG f{1}=a0+a1+a2+y+an
⑵ x=-1을 대입
a{x+1}@+b{x-1}@=5x @-2x+5가 x에
7 등식
대한 항등식일 때, 두 상수 a, b의 곱 ab의 값은?
①4
② 6
④ 10
⑤ 12
③8
SG f{-1}=a0-a1+a2-y+{-1}Nan
예 등식 {1+x-x @}%=a0+a1 x+a2 x @+y+a10 x!)에서
양변에 x=1을 대입하면
yy ㉠
1=a0+a1+a2+a3+y+a10
양변에 x=-1을 대입하면
-1=a0-a1+a2-a3+y+a10
yy ㉡
㉠+㉡을 하면 0=2{a0+a2+y+a10}
/ a0+a2+y+a10=0
또 ㉠-㉡을 하면 2=2{a1+a3+y+a9}
/ a1+a3+y+a9=1
값에 관계없이 등식
8 x의
3x @+ax+4=bx{x-1}+c{x-1}{x-2}
{1-2x-x@}&=a0+a1 x+a2 x@+y+a14 x!$
10 등식
이 x에 대한 항등식일 때, 상수 a0, a1, a2, y, a14
에 대하여 a0-a1+a2-a3+y+a14의 값을 구하
시오.
가 항상 성립할 때, a+b+c의 값은?
(단, a, b, c는 상수이다.)
① -6
② -5
④ -3
⑤ -2
③ -4
{x@-3x-2}$=a0+a1 x+a2 x @+y+a8 x*
11 등식
이 x에 대한 항등식일 때, a1+a3+a5+a7의 값을
구하시오. (단, a0, a1, a2, y, a8은 상수)
P{x}가 모든 실수 x에 대하여 등식
9 다항식
x!)+x%-3x={x @-1}P{x}+ax+b
를 만족시킬 때, 상수 a, b에 대하여 a@+b@의 값을
구하시오.
12 등식
{-2x @+4x-1}%=a0+a1{x-1}+a2{x-1}@
+y+a10{x-1}!)
이 x에 대한 항등식일 때, a2+a4+a6+a8+a10의
값을 구하시오. (단, a0, a1, a2, y, a10은 상수)
01 나머지 정리 13
01 나머지 정리
UP
다항식의 나눗셈과 항등식
유형 05
유형 06
조립제법과 항등식
다항식의 나눗셈을 항등식으로 나타낸 후 미정계수법을
다항식 f{x}를 x-a에 대하여 내림차순으로 정리하려면
이용한다.
f{x}를 x-a로 나누는 조립제법을 몫에 대하여 연속으
SG ‌x
에 대한 다항식 A를 다항식 B {B=0}로 나누었을
때의 몫을 Q, 나머지를 R라 하면
로 이용해야 한다.
예 등식 x#-3x@+4=a{x-1}#+b{x-1}@+c{x-1}+d를
A=BQ+R
만족시키는 상수 a, b, c, d의 값을 구해 보자.
는 x에 대한 항등식이다.
1
1
(단, R는 상수 또는 ( R의 차수)<( B의 차수))
1
x#+2를 {x+1}{x-2}로 나누었을 때의
13 다항식
나머지를 ax+b라 할 때, a+b의 값을 구하시오.
(단, a, b는 상수이다.)
1
1
1
-3
0
4
1
-2
-2
-2
-2
1
-1
-1
2 ◀d
-3 ◀ c
1
a▶ 1
0 ◀b
따라서 x#-3x@+4={x-1}#-3{x-1}+2이므로
a=1, b=0, c=-3, d=2
x#+ax@+bx-6을 x@-3x-4로 나누었
14 다항식
을 때의 나머지가 2일 때, 상수 a, b에 대하여 ab의
값을 구하시오.
17 등식
x#-8x@+17x-5
=a{x-2}#+b{x-2}@+c{x-2}+d
가 x에 대한 항등식일 때, 상수 a, b, c, d에 대하
여 ad+bc의 값은?
① 11
② 13
④ 17
⑤ 19
③ 15
조건을 만족시키는 다항식 f{x}를
15 다음
x @-4x+3으로 나누었을 때의 나머지를 R{x}라
할 때, R{2}의 값을 구하시오.
㈎ f{1}=0
㈏ ‌모든 실수 x에 대하여
f{x+2}= f{x}+2x+4
값에 관계없이 등식
18 x의
16x#+28x @+22x+11
=a{2x+1}#+b{2x+1}@+c{2x+1}+d
가 항상 성립할 때, 상수 a, b, c, d에 대하여
a-b-c+d의 값은?
16 x@-3x+8, 나머지가 -12x-28일 때, f{-1}의
다항식 f{x @}을 f{x}로 나누었을 때의 몫이
값을 구하시오.
14 Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해
①3
② 5
④9
⑤ 11
③7
정답과 해설 113쪽
나머지 정리 - 일차식으로 나누는 경우
유형 07
유형 08
나머지 정리 - 이차식으로 나누는 경우
다항식 f{x}를
다항식을 이차식으로 나누었을 때의 나머지는 일차 이하의
⑴ 일차식 x-a로 나누었을 때의 나머지는 f{a}
다항식이므로 나머지를 ax+b ( a, b는 상수)로 놓고 항등
⑵ 일차식 ax+b로 나누었을 때의 나머지는 f [-
b
]
a
19 다항식 x#+x@+x+1을 2x-1로 나눈 나머지는?
①
9
8
②
15
④
8
11
8
③
13
8
17
⑤
8
f{x}=x#+ax-3을 x-2로 나누었을 때
20 다항식
의 나머지가 3일 때, f{x}를 x+1로 나누었을 때
의 나머지는? (단, a는 상수)
① -3
② -2
④2
⑤3
③1
식을 세운다.
다항식 f{x}를 x+4, x-2로 나누었을 때의 나머
22 지가
각각 8, 2일 때, f{x}를 x@+2x-8로 나누
었을 때의 나머지는?
① -x+4
② -x+7
④ 2x+4
⑤ 3x-1
③ x+3
실수 x에 대하여 f{3+x}= f{3-x}를 만족
23 모든
시키는 다항식 f{x}를 x-5로 나누었을 때의 나
머지가 4이다. 이때 f{x}를 {x-1}{x-5}로 나
누었을 때의 나머지를 구하시오.
최고차항의 계수가 1인 이차다항식 P{x}가 다음
21 조건을
만족시킬 때, P{4}의 값은?
㈎ P{x}를
‌
x-1로 나누었을 때의 나머지는 1이
f{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 8
24 다항식
이고, x@-4로 나누었을 때의 나머지가 2x-5이
다. f{x}를 x@-x-2로 나누었을 때의 나머지를
다.
㈏ xP{x}를
‌
x-2로 나누었을 때의 나머지는 2
이다.
①6
② 7
④9
⑤ 10
③8
R{x}라 할 때, f{-2}+R{1}의 값은?
① -7
② -4
④2
⑤5
③ -1
01 나머지 정리 15
01 나머지 정리
UP
유형 09
나머지 정리 - 삼차식으로 나누는 경우
유형 10
‌f{ax+b}를 x-a로 나누는 경우
다항식 f{x}를 삼차식으로 나누었을 때의 나머지는 이차
다항식 f{ax+b}를 x-a로 나누었을 때의 나머지는
이하의 다항식이므로 나머지를 ax@+bx+c (a, b, c는 상수)
f{aa+b}
◀ x=a를 대입
로 놓고 항등식을 세운다.
f{x}를 x{x-3}으로 나누었을 때의 나머
25 다항식
지가 -2x+2이고, {x+2}{x-3}으로 나누었을
때의 나머지가 -4x+8이다. f{x}를
x{x+2}{x-3}으로 나누었을 때의 나머지를
R{x}라 할 때, R{x}를 x-1로 나누었을 때의 나
f{x}를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 3
28 다항식
일 때, 다항식 f{2x-7}을 x-3으로 나누었을 때
의 나머지는?
① -9
② -3
④1
⑤3
③ -1
머지는?
① -2
② -1
④1
⑤2
③0
f{x}를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 2
29 다항식
일 때, 다항식 {x@+2} f{x@-2}를 x+2로 나누었
f{x}를 x@+1로 나누었을 때의 나머지가
26 다항식
x+1이고, x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이다.
f{x}를 {x@+1}{x-1}로 나누었을 때의 나머지
을 때의 나머지는?
① -12
② -6
④ 12
⑤ 24
③6
를 R{x}라 할 때, R{2}의 값은?
①5
② 6 ④8
⑤9
③7
f{x}를 {x-2}@으로 나누었을 때의 나머
27 다항식
지가 3x-5이고, {x+1}#으로 나누었을 때의 나
머지가 {x-1}@이다. f{x}를 {x+1}@{x-2}로
나누었을 때의 나머지를 R{x}라 할 때, R{x}를
x+2로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.
16 Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해
다항식 f{x}를 x@-2x-3으로 나누었을 때의 나
30 머지가
x-1일 때, 다항식 x f{4x+5}를 2x+3으
로 나누었을 때의 나머지는?
① -3
② -2
④2
⑤3
③1
정답과 해설 115쪽
UP
유형 11
몫을 x-a로 나누는 경우
유형 12
나머지 정리를 이용한 수의 나눗셈
다항식 f{x}를 x-a로 나누었을 때의 몫을 Q{x}라 할
자연수 A를 자연수 B로 나누었을 때의 나머지는 A를 x에
때, Q{x}를 x-b로 나누었을 때의 나머지는 다음과 같
대한 다항식 f{x}로, B를 x에 대한 일차식 x+a로 놓고
은 순서로 구한다.
항등식으로 나타낸 후 x=-a를 대입하여 구한다. 이때
⑴ 다항식의 나눗셈을 항등식으로 나타낸다.
SG f{x}={x-a}Q{x}+ f{a}
나머지는 0보다 크거나 같고 나누는 수 B보다 작아야 함에
주의한다.
⑵ ⑴의 식의 양변에 x=b를 대입하여 Q{b}의 값을 구
예 50((을 51로 나누었을 때의 나머지를 구해 보자.
50=x로 놓으면 51=x+1
한다.
SG f{b}={b-a}Q{b}+ f{a}
x((을 x+1로 나누었을 때의 몫을 Q{x}, 나머지를 R라 하면
x((={x+1}Q{x}+R
f{x}를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q{x},
31 다항식
나머지가 3이다. f{x}를 x-3으로 나누었을 때의
나머지가 2일 때, Q{x}를 x-3으로 나누었을 때
양변에 x=-1을 대입하면 R=-1
그런데 0<(나머지)<51이어야 하므로
50((=51Q{50}-1=519Q{50}-10+50
따라서 구하는 나머지는 50이다.
의 나머지는?
① -2
② -1
④2
⑤3
③1
34 99#)을 98로 나누었을 때의 나머지는?
①1
② 3
④7
⑤9
③5
x!^+3x&-x#을 x+1로 나누었을 때의 몫
32 을다항식
Q{x}라 할 때, Q{x}를 x-1로 나누었을 때의
나머지를 구하시오.
35 123(을 121로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.
P{x}를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q{x},
33 다항식
나머지는 3이고, 다항식 Q{x}를 x-1로 나누었을
때의 나머지는 2이다. P{x}를 {x-1}{x-2}로
나누었을 때의 나머지를 R{x}라 하자. R{3}의 값
은?
①5
② 7
④ 11
⑤ 13
③9
36 8&(+8*)+8*!을 9로 나누었을 때의 나머지는?
①0
② 1
④7
⑤8
③2
01 나머지 정리 17
01 나머지 정리
정답과 해설 116쪽
유형 13
인수 정리
⑴ 다항식 f{x}가 일차식 x-a로 나누어떨어지면
① f{a}=0
f{x}=x@+ax+b가 다음 조건을 만족시
40 다항식
킬 때, 상수 a, b에 대하여 a@+b@의 값을 구하시오.
㈎ ‌다항식 {x+1} f{x}를 x+2로 나누었을 때
② x-a는 f{x}의 인수이다.
③ f{x}={x-a}Q{x} (단, Q{x}는 몫)
⑵ 다항식 f{x}가 {x-a}{x-b}로 나누어떨어지면
f{x}는 x-a, x-b로 각각 나누어떨어지므로
의 나머지는 -5이다.
㈏ ‌다항식 {x-2} f{x}는 x-3으로 나누어떨어
진다.
f{a}=0, f{b}=0
참고 다항식 f{ax+b}가 {x-a}{x-b}로 나누어떨어지면
f{aa+b}=0, f{ab+b}=0
다항식 3x#+2kx @-kx-12의 인수일 때,
37 x-2가
상수 k의 값은?
① -4
② -2
④2
⑤4
③0
삼차식 P{x}에 대하여 P{x}+2x는 {x-1}@으로
41 나누어떨어지고,
4-P{x}는 x @-4로 나누어떨어
진다. P{x}를 x-3으로 나누었을 때의 나머지는?
① 32
② 34
④ 38
⑤ 40
③ 36
x#+ax@+bx-12가 x+1, x-3으로 각각
38 다항식
나누어떨어질 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값을
구하시오.
계수가 1인 삼차식 f{x}가
42 최고차항의
f{2}= f{4}= f{8}=3을 만족시킬 때, f{9}의
f{x}=x#+ax@+bx+3에 대하여 다항식
39 다항식
f{2x-1}이 x@-1로 나누어떨어질 때, 상수 a, b
에 대하여 a-b의 값은?
①5
② 6
④8
⑤9
18 Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해
③7
값은?
① 36
② 38
④ 42
⑤ 44
③ 40
02 인수분해
정답과 해설 117쪽
유형 01
공식을 이용한 인수분해
유형 02
공식을 이용한 인수분해 - 식 변형
⑴ a@+b@+c@+2ab+2bc+2ca={a+b+c}@
인수분해 공식을 바로 적용할 수 없는 경우에는 인수분해
⑵ a#+3a@b+3ab@+b#={a+b}#
공식을 적용할 수 있는 형태로 식을 변형한다.
a#-3a@b+3ab@-b#={a-b}#
⑶ a#+b#={a+b}{a@-ab+b@}
4 다항식 x{x+2y}-{x@-1}y@을 인수분해하면?
a#-b#={a-b}{a@+ab+b@}
⑷ a#+b#+c#-3abc
① {x-xy+y}@
={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}
⑸ a$+a@b@+b$={a@+ab+b@}{a@-ab+b@}
② {x+xy+y}@
③ {x-y}{x+xy+y}
④ {x+y}{x-xy+y}
1 다음 중 옳지 않은 것은?
⑤ {x+xy+y}{x-xy+y}
① a@+4b@+4-4ab-4a+8b={a-2b-2}@
② a#+3a@+3a+1={a+1}#
③ 8a#-12a@b+6ab@-b#={2a-b}#
④ 64a#+b#={4a+b}{16a@-4ab+b@}
⑤ x#-27={x+3}{x@-3x+9}
5 다음 중 다항식 x^-64의 인수가 아닌 것은?
2 다항식 8x#+y#-27z#+18xyz를 인수분해하면?
① x-2
② x@-2x+4 ③ x@-4
④ x@+4
⑤ x#+8
① {2x+y-3z}#
② {2x-y-3z}{4x@+y@+9z@+2xy-3yz+6zx}
③ {2x+y-3z}{4x@+y@+9z@-4xy+6yz+12zx}
④ {2x+y-3z}{4x@+y@+9z@-2xy+3yz+6zx}
⑤ {2x+y-3z}{4x@+y@+9z@+2xy-3yz-6zx}
중 다항식 x#+8y#-3xy{x+2y}의 인수인
6 다음
것은?
x$+4x @+16이
3 다항식
{x @+ax+b}{x @-cx+d}로 인수분해될 때,
① x-2y
② x-y
④ x+3y
⑤ x+4y
③ x+y
a
‌ +b+c+d의 값은? (단, a, b, c, d는 양수이다.)
① 12
② 14
④ 18
⑤ 20
③ 16
02 인수분해 19
02 인수분해
유형 03
공통부분이 있는 식의 인수분해
⑴ 공통부분을 한 문자로 치환하여 인수분해한 후 원래의
식을 대입한다.
유형 04
x$+ax @+b 꼴인 식의 인수분해
x$+ax@+b에서 x@=X로 치환하여 X@+aX+b로 나
타낼 때
⑵ {x+a}{x+b}{x+c}{x+d}+k 꼴
SG ‌공통부분이 생기도록 두 일차식의 상수항의 합이 같
게 짝을 지어 전개한 후 공통부분을 치환하여 인수
분해한다.
⑴ X@+aX+b가 인수분해되는 경우
SG ‌X
@+aX+b를 인수분해한 후 X=x @을 대입하여
정리한다.
⑵ X@+aX+b가 인수분해되지 않는 경우
SG ‌x
$+ax@+b에 적당한 이차식을 더하거나 빼서 A@-B@ 꼴로 변형한 후 인수분해한다.
{x @+1}@+3{x @+1}+2가
7 다항식
{x @+a}{x @+b}로 인수분해될 때, 두 상수 a, b에
대하여 a+b의 값은?
①1
② 2
④4
⑤5
③3
다항식 {x@-4x+1}{x@-4x+7}+8을 인수분
8 해하면
{x-1}{x+a}{x@+bx+c}일 때, 상수
a, b, c에 대하여 a+b+c의 값을 구하시오.
x$-x @-12가 {x-a}{x+a}{x @+b}로
11 다항식
인수분해될 때, 두 양수 a, b에 대하여 a+b의 값
은?
①4
② 5
④7
⑤8
③6
x$-18x@+81을 인수분해하면
12 다항식
{x+a}@{x+b}@일 때, 상수 a, b에 대하여 a-b
의 값을 구하시오. (단, a>b)
{x+1}{x+2}{x+4}{x-1}+9가
9 다항식
{x@+ax+b}@으로 인수분해될 때, 상수 a, b에 대
하여 ab의 값을 구하시오.
x$+7x @+16이
13 다항식
{x @+ax+b}{x @-ax+b}
로 인수분해될 때, 두 양수 a, b에 대하여 a+b의
값은?
①5
② 6
④8
⑤9
③7
{x@+3x+2}{x@+9x+20}-10을 인수
10 다항식
분해하면 {x@+ax+10}{x@+bx+c}일 때, 상수
a, b, c에 대하여 a+b+c의 값을 구하시오.
20 Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해
다항식 x$+64가 x@의 계수가 1인 두 이차식의 곱
14 으로
인수분해될 때, 이 두 이차식의 합을 구하시오.
정답과 해설 117쪽
유형 05
여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해
순환하는 꼴인 식의 인수분해
유형 06
여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해는 다음과 같은 순
세 문자의 차수가 같으면서 순환하는 꼴인 식은 한 문자에
서로 한다.
대하여 내림차순으로 정리한 후 인수분해한다.
⑴ 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리한
다. 이때 차수가 모두 같으면 어느 한 문자에 대하여 내
림차순으로 정리한다.
⑵ 공통부분으로 묶거나 공식을 이용하여 인수분해한다.
중 다항식
18 다음
a{b@-c@}+b{c@-a@}+c{a@-b@}
의 인수인 것은?
다항식 2x@-3xy-2y@+7x+11y-15를 인수분
15 해하면
{2x+y+a}{x+by+c}일 때, 상수 a, b,
①a
② a-b
④ a+c
⑤ b+c
③ a+b
c에 대하여 abc의 값은?
① -30
② -12
④ 12
⑤ 30
③ -6
다항식 {a+b}{b+c}{c+a}+abc를 인수분해하
19 면?
다항식 x@-y@-z@+2yz+x+y-z를 인수분해하
16 면?
① {a-b-c}{ab+bc+ca}
② {a-b-c}{abc+a+b+c}
③ {a+b+c}{ab-bc-ca}
① {x-y+z}{x-y+z-1}
④ {a+b+c}{ab+bc+ca}
② {x-y+z}{x+y-z-1}
⑤ {a+b+c}{abc-a-b-c}
③ {x+y-z}{x-y+z+1}
④ {x+y-z}{x+y-z+1}
⑤ {x+y+z}{x-y-z-1}
중 다항식 {a+b}c#-{a@+ab+b@}c@+a@b@
17 다음
의 인수인 것은?
① a+b
② b+c
④ a@+b@
⑤ ab+bc+ca
③ a+b+c
b=c, c=a일 때,
20 a=b,
a@{b-c}+b@{c-a}+c@{a-b}
{a-b}{b-c}{c-a}
① -1
② 0
를 간단히 하면?
③1
④ -a-b-c ⑤ a+b+c
02 인수분해 21
02 인수분해
유형 07
인수 정리를 이용한 인수분해
삼차 이상의 다항식 f{x}는 인수 정리를 이용하여 다음과
같은 순서로 인수분해한다.
⑴ f{a}=0을 만족시키는 상수 a의 값을 구한다. 이때 a의
값은 -
( f{x}의 상수항의 양의 약수)
중에
( f{x}의 최고차항의 계수의 양의 약수)
서 찾는다.
⑵ 조립제법을 이용하여 f{x}를 x-a로 나누었을 때의
{x#+x@-5x+3}p인 직원기둥이 있다.
24 이부피가
직원기둥의 높이와 밑면의 반지름의 길이가 각
각 최고차항의 계수가 1인 x에 대한 일차식으로 나
타내어질 때, 이 직원기둥의 겉넓이는? (단, x>1)
① 4{x@-x}p
② 4{x@-1}p
③ 4x@p
④ 4{x@+1}p
⑤ 4{x@+x}p
몫 Q{x}를 구하여 f{x}={x-a}Q{x}로 나타낸다.
⑶Q
{x}를 더 이상 인수분해할 수 없을 때까지 인수분해
한다.
2x#-3x @-12x-7을 인수분해하면
21 다항식
{x+a}@{bx+c}일 때, a+b+c의 값은?
(단, a, b, c는 상수이다.)
① -6
② -5
④ -3
⑤ -2
③ -4
x#-3ax@-a@x+3a#이 x의 계수가 1인 세
25 다항식
일차식의 곱으로 인수분해될 때, 세 일차식의 합은
3x-12이다. 이때 상수 a의 값은?
① -2
② -1
④3
⑤4
③1
중 다항식 x$+2x#+x@-4의 인수가 아닌
22 다음
것은?
① x-1
② x+2
④ x@+x+2
⑤ x@-x+2
③ x@+x-2
계수가 1인 두 이차식 f{x}, g{x}에 대하여
26 x@의
f{x}g{x}=x$+3x#-3x@-11x-6,
f{-3}=0, g{2}=0
일 때, f{1}의 값은?
x#-x @-x+10, x#-2x+a가 모두 일
23 두차식다항식
x+b를 인수로 가질 때, 상수 a, b에 대하여
a+b의 값을 구하시오.
22 Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해
① -4
② -2
④2
⑤4
③0
정답과 해설 119쪽
UP
유형 08
계수가 대칭인 사차식의 인수분해
계수가 대칭인 x에 대한 사차식은 가운데 항이 상수가 되
도록 x@으로 묶은 후 x+
1
에 대한 식을 인수분해한다.
x
27 {x@+ax+b}{x@+cx+b}일 때, 정수 a, b, c에
다항식 x$+3x#-2x@+3x+1을 인수분해하면
대하여 a@+b@+c@의 값은?
① 16
② 17
④ 19
⑤ 20
③ 18
중 다항식 x$+2x#-x@+2x+1의 인수인 것
28 다음
은?
유형 09
인수분해의 활용 - 식의 값 구하기
주어진 식을 인수분해한 후 조건을 대입하여 식의 값을 구
한다.
y=1-j3일 때, x#-x@y-xy@+y#의
30 x=1+j3,
값은?
① 18
② 20
④ 24
⑤ 26
③ 22
b-c=2+j3일 때,
31 a-b=2-j3,
ab{a-b}-ac{a-c}+bc{b-c}의 값은?
① x@-x-1
② x@+x-1
① -3
② -2
③ x@+2x+1
④ x@+3x-1
④3
⑤4
③1
⑤ x@+3x+1
x$-4x#-3x@-4x+1이 x@의 계수가 1인
29 다항식
두 이차식의 곱으로 인수분해될 때, 이 두 이차식을
각각 f{x}, g{x}라 하자. 이때 f{2}+g{2}의 값
a, b, c가 a#+b#+c#=3abc를 만족시킬 때,
32 양수
2b 3c 4a
a
+
b
+
c
의 값을 구하시오.
을 구하시오.
02 인수분해 23
02 인수분해
정답과 해설 120쪽
UP
유형 10
인수분해의 활용 - 수의 계산
적당한 수를 문자로 치환하고 이 문자에 대한 식을 인수분
해한 후 수를 대입하여 값을 구한다.
② 3\10%
④ 3\10^
⑤ 10&
인수분해의 활용 - 삼각형의 모양 판단
삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c일 때
⑴ a=b 또는 b=c 또는 c=a SG 이등변삼각형
⑵ a=b=c SG 정삼각형
33 101#-3\101@+3\101-1의 값은?
① 10%
유형 11
③ 10^
⑶ a@=b@+c@ SG 빗변의 길이가 a인 직각삼각형
세 변의 길이 a, b, c에 대하여
37 삼각형의
{b+c}{a@-bc}-a{b@-c@}=0
이 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가?
① a=b인 이등변삼각형
② b=c인 이등변삼각형
③ c=a인 이등변삼각형
④ 빗변의 길이가 a인 직각삼각형
999#-1
34 1000\999+1 의 값을 구하시오.
⑤ 빗변의 길이가 b인 직각삼각형
아닌 두 자연수 a, b {a<b}에 대하여
35 1이
11$-6$=a\b\157
로 나타낼 때, a+b의 값은?
① 21
② 22
④ 24
⑤ 25
③ 23
다항식 x#-bx @+{b@-c@}x-b#+bc@의
38 x-a가
인수일 때, 세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형은 어떤
삼각형인가? (단, a=b)
① b=c인 이등변삼각형
② c=a인 이등변삼각형
③ 빗변의 길이가 a인 직각삼각형
④ 빗변의 길이가 b인 직각삼각형
36 j10\11\12\13+l1l의 값은?
① 129
② 130
④ 132
⑤ 133
24 Ⅰ-2. 나머지 정리와 인수분해
⑤ 빗변의 길이가 c인 직각삼각형
③ 131
1
방정식과 부등식
복소수와
이차방정식
01 복소수의 뜻과 사칙연산
02 이차방정식의 판별식
03 이차방정식의 근과 계수의 관계
01 복소수의 뜻과 사칙연산
유형 01
복소수의 뜻
유형 02
⑴임의의 실수 a, b에 대하여 a+bi 꼴로 나타내어지는
수를 복소수라 하고, 이때 a를 실수부분, b를 허수부분
이라 한다.
복소수의 사칙연산
a, b, c, d가 실수일 때
⑴ {a+bi}+{c+di}={a+c}+{b+d}i
{a+bi}-{c+di}={a-c}+{b-d}i
⑵ 복소수 a+bi 를 분류하면 다음과 같다.
⑵ {a+bi}{c+di}={ac-bd}+{ad+bc}i
① 실수 a {b=0}
② 허수 a+bi {b=0}-
순허수 bi {a=0, b=0}
a+bi ac+bd bc-ad
+
⑶ i (단, c+di=0)
=
c+di
c@+d@
c@+d@
순허수가 아닌 허수 a+bi
‌{a=0, b=0}
복소수 중에서 실수부분과 허수부분의 합이 3
1 다음
인 것은?
① -3i
② -1-2i
④ 2-i
⑤3
③ 1-2i
a+bi ( a, b는 실수)에 대하여 보기에서 옳
2 은복소수
것만을 있는 대로 고르시오.
보기
4 다음 중 옳지 않은 것은?
① {-1+4i}+{3i-1}=-2+7i
② {-2+3i}-{3+i}=-5+2i
③ {2i-3}@=5-12i
④ {2-3i}{3+i}=9-7i
7-i
⑤
=4-3i
i-1
대하여 {1+2i}zC 의 값은?
5 복소수(단,z=2-3i에
i=j-1l이고, z 는 z의 켤레복소수이다.)
C
ㄱ. 실수부분은 a, 허수부분은 bi이다.
① -4+7i
② -4+4i
ㄴ. a=0이면 순허수이다.
④ 3+7i
⑤ 7-4i
③ 3-4i
ㄷ. b=0이면 실수이다.
복소수 중 실수의 개수를 a, 순허수의 개수를
3 다음
b, 순허수가 아닌 허수의 개수를 c라 할 때,
a-b+c의 값을 구하시오.
i
‌j3- , 2-2i, 2
‌ 7i, -3+j3 i, z=3+i, w=2-i에 대하여
6 두1 복소수
1
=a+bi일 때, 실수 a, b에 대하여 a-b의
wX
값을 구하시오. (단, wX 는 w의 켤레복소수)
z
+
2-3j5, 0,
‌
p
1+j2
i
-1, 2
3
복소수 a, b에 대하여 연산 1를
7 두 a1b=ab+{a+b}i
라 할 때, {1+i}1{2-3i}를 계산하시오.
26 Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식
정답과 해설 121쪽
유형 03
복소수가 실수 또는 순허수가 될 조건
유형 04
복소수가 서로 같을 조건
‌a, b, c, d가 실수일 때
복소수 z=a+bi ( a, b는 실수)에 대하여
⑴ z가 실수이면 SG b=0
⑴ a=c, b=d이면 a+bi=c+di
⑵ z가 순허수이면 SG a=0, b=0
a+bi=c+di이면 a=c, b=d
⑶ z@이 실수이면 z는 실수 또는 순허수이므로
SG a=0 또는 b=0
⑵ a=0, b=0이면 a+bi=0
a+bi=0이면 a=0, b=0
⑷ z@이 양수이면 z는 0이 아닌 실수이므로
SG a=0, b=0
⑸ z@이 음수이면 z는 순허수이므로 SG a=0, b=0
복소수 i{a-i}@-8i가 실수일 때, 양수 a의 값을
8 구하시오.
z={1+i}a-2a+3-i가 순허수가 되도
9 복소수
록 하는 실수 a의 값을 a, 그때의 z의 값을 b라 할
② -1
④4
⑤7
z={2-k-i}@에 대하여 z를 제곱하면 음
11 복소수
수 x가 될 때, x의 값은?
② -5
④ -3
⑤ -2
② 5
④ 13
⑤ 20
③ 10
만족시키는 두 실수 a,
13 {3+ai}{2-i}=13+bi를
b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.
(단, i=j-1k이다.)
③1
z=6+5i+k{2-5i}에 대하여 z@이 실수
10 일복소수
때, 모든 실수 k의 값의 합을 구하시오.
① -6
①2
때, a+b@의 값은?
① -4
{3-2i}x+{i-1}y=7-5i를 만족시키는
12 등식
실수 x, y에 대하여 x@+y@의 값은?
③ -4
만족시키는 실
14 수등식x,|x-y|+{x+y}i-2=0을
y에 대하여 xy의 값을 구하시오.
등식 x@+y@i+2x-2{1+i}-3yi=1-Z2i Z를 만
15 족시키는
실수 x, y에 대하여 다음 중 x@+y@의 값
이 될 수 없는 것은?
①2
② 10
④ 17
⑤ 25
③ 15
01 복소수의 뜻과 사칙연산
27
01 복소수의 뜻과 사칙연산
복소수가 주어질 때의 식의 값
유형 05
⑴ 두 복소수 x, y가 서로 켤레복소수인 경우
SG ‌구해야 하는 식을 x+y, xy를 포함한 식으로 변형
한다.
⑵ x=a+bi ( a, b는 실수)가 주어진 경우
SG x-a=bi의
‌
양변을 제곱하여 {x-a}@=-b@임을
이용한다.
16 의 값은? (단, i=j-1l )
x=-2+3i, y=2+3i일 때, x#+x @y-xy @-y#
① 144
② 150
④ 162
⑤ 168
켤레복소수의 성질
유형 06
③ 156
두 복소수 z1, z2와 그 켤레복소수 z1,X z2X 에 대하여
⑴ z1+z1,X z1 z1X 는 실수이다.
⑵ z1X=z1이면 z1 은 실수이다.
z1이 실수이면 z1X=z1이다.
⑶ z1=
X -z1이면 z1은 순허수 또는 0이다.
z1이 순허수 또는 0이면 z1X=-z1이다.
아닌 복소수 z에 대하여 zC 는 z의 켤레복소수일
19 0이
때, 다음 중 항상 실수인 것이 아닌 것은?
① z@+zC @
② z#+zC #
③ {z+1}@-{zC+1}@
④ {2z+1}{zC+1}-z
⑤ {z@+zC+1}+{zC @+z+1)
1+17i
1-17i
y@
x@
5
2
② -2
③-
17 x= 2 , y= 2 일 때, x + y 의 값은?
①-
④ -1
⑤-
3
2
1
2
아닌 두 복소수 z, w가 z+wX=0을 만족시
20 킬실수가
때, 보기에서 항상 실수인 것만을 있는 대로 고른
것은? (단, z,C wX 는 각각 z, w의 켤레복소수)
보기
ㄱ. z+w
ㄷ.
3-i
18 x= 1+i 일 때, x#-2x@+6x+5의 값은?
① 1-i
② 2-2i
④ 4+2i
⑤ 6-2i
28 Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식
③ 2+i
zC
w
ㄴ. zw
ㄹ. i{z-wX}
① ㄱ, ㄴ
② ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄴ, ㄹ
⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ
③ ㄷ, ㄹ
정답과 해설 122쪽
켤레복소수의 성질을 이용한 식의 값
유형 07
두 복소수 z1, z2와 그 켤레복소수 z1,X z2에
X 대하여
⑴ {z1}X Z=z1
⑵ z1+Zz2Z=z1X+z2,X z1-Zz2Z=z1X-z2X
⑶ z1z2Z=z1X\z2,X [
z1 e z1X
]= (단, z2=0)
z2
z2X
21 값을 구하시오.
a=3+i, b=1-3i일 때, aaC+aCb+abC+bbC의
(단, aC, bC는 각각 a, b의 켤레복소수)
z1, z2에 대하여 z1X z2=
X 2+5i,
22 두z1\복소수
z2=6-3i일 때, {z1-2}{z2+2}의 값은? X
X
(단, z1,X z2X 는 각각 z1, z2의 켤레복소수)
① 5-7i
② 5-6i
④ 6-5i
⑤ 6-3i
③ 6-7i
23 복소수‌a+1a에 대하여 a+aC=1, aaC=2이고
z‌ =
24
‌a-1
이라 할 때, zzC 의 값을 구하시오.
(단, aC, zC 는 각각 a, z의 켤레복소수)
3
두 복소수 a, b에 대하여 aCb=3, b+ =-4i일
‌bC
3
때, aC+ 의 값을 구하시오.
‌a
(단, aC, bC는 각각 a, b의 켤레복소수)
유형 08
조건을 만족시키는 복소수
복소수 z를 포함한 등식이 주어진 경우
SG z=a+bi
‌
( a, b는 실수)로 놓고 주어진 등식에 대입한
후 복소수가 서로 같을 조건을 이용하여 a, b의 값을
구한다.
z와 그 켤레복소수 zC에 대하여 등식
25 복소수
4iz+{2-i}z=4i-1이 성립할 때, 복소수 z는?
C
① 2-i
② 2+i
④ 3+i
⑤ 3+2i
③ 2+2i
z와 그 켤레복소수 zC에 대하여 등식
26 복소수
z+ZizZ=z+1+4i가 성립할 때, zz 의 값은?
C
① -5
② -1
④3
⑤5
③1
z와 그 켤레복소수 z에
C 대하여
27 복소수
z+z=4, zz=5
C
C
일 때, z@-4z의 값을 구하시오.
아닌 복소수 z와 그 켤레복소수 zC에 대하여 등
28 0이
식 {z+2}{z-1}Z+3z+2=0이 성립하고 복소수
Z
C
z의 실수부분과 허수부분이 같을 때, z@의 값을 구
하시오.
01 복소수의 뜻과 사칙연산
29
01 복소수의 뜻과 사칙연산
유형 09
i의 거듭제곱
유형 10
복소수의 거듭제곱
i, i @=-1, i #=-i, i $=1, i %=i, y이므로 음이 아닌
복소수 z의 거듭제곱은 z 또는 z@ 을 간단히 한 후 i 의 거듭
정수 k에 대하여
제곱을 이용하여 구한다.
i $K"!=i, i $K"@=-1, i $K"#=-i, i $K"$=1
SG 1+i =i, 1-i =-i, {1+i}@=2i, {1-i}@=-2i
1-i
1+i
29 1-i+i @-i #+y+i !))을 간단히 하시오.
1+i
33 자연수 n에 대하여 f{n}=[ 1-i ]N이라 할 때,
1+ f{1}+ f{2}+ f{3}+y+ f{96}의 값은?
① -i
② -1
④1
⑤i
③0
2i+4i @+6i #+8i $+y+100i %)=a+bi가
30 등식
성립할 때, 실수 a, b에 대하여 a-b의 값은?
① -102
② -52
④ 52
⑤ 102
③ -2
34 {1+i}#)+{1-i}#)을 간단히 하면?
자연수일 때,
31 다음 중 n이
1 1 1
1
1+ + + +y+
i i@ i#
iN
의 값이 될 수 없는 것은?
① -i
② 0
④ 1-i
⑤ 1+i
② 2!%
④ 2#)
⑤ 2#!
③ 2!^
1+i
‌j2
① -2i
② -2
③0
④2
⑤ 2i
35 n이 자연수일 때, [ ‌j2 ]@N-[ 1-i ]@N을 간단히
하면?
③1
f{n}=iN+{-i}N이라 할 때, f{n}=-2를 만족
32 시키는
50 이하의 자연수 n의 개수를 구하시오.
30 Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식
①0
z와 그 켤레복소수 z에
C 대하여 등식
36 복소수
{1+i}z+i z=1+i가 성립할 때, zN이 양수가 되
C
도록 하는 자연수 n의 최솟값을 구하시오.
정답과 해설 123쪽
음수의 제곱근의 계산
유형 11
⑴ a>0일 때, j-al=jak i
⑴ jak jb=-jabk이면 a<0, b<0 또는 a=0 또는 b=0
⑵ a<0, b<0이면 jak jb=-jabk
a>0, b<0이면
j‌ak
a
=-q w
b
‌jb
37 다음 중 옳은 것은?
① j-2k j5=-j10k
⑤
⑵
② j-2k j-5k=j10k
j‌5
5
③
=-q w
2
‌j-2k
‌j-5k q 5 w
④
= 2
‌j2
j‌-5k q 5 w
= 2
‌j-2k
38 {j2+j-2l}@의 값은? (단, i=j-1l )
① -4i
② -2i
④ 2i
⑤ 4i
음수의 제곱근의 성질
유형 12
③0
j‌ak
a
=-q w 이면 a>0, b<0 또는 a=0, b=0
b
‌jb
만족시키는 자연수 m, n의 개수를 각
41 각다음M,조건을
N이라 할 때, MN의 값을 구하시오.
㈎ jm-7l j-6k=-16{7-m}3
㈏
‌j3
3
=-q
e
n-6
‌jn-6l
아닌 두 실수 a, b에 대하여 ja k jb=-jabk일
42 0이
때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. 1a@b2=-ajb
ㄴ. j-ak j-bk=-jabk
ㄷ.
ㄹ.
보기
j‌a k
a
=q w
b
‌jb
① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄴ, ㄹ
‌j-ak
a
=-q w
b
‌jb
③ ㄱ, ㄹ
만족시키는 실
39 등식 {1-2i}x+{1+i}y=-3을
‌j12xk
수 x, y에 대하여 j3xk jy+
④ j6
② -j6
① -2j6
‌jy
의 값은?
③0
⑤ 2j6
43 0이 아닌 세 실수 a, b, c에 대하여
ja k jb=-jabk,
일 때,
‌j6
40 z=j-10l\q 5 -w ‌j-3l 일 때, z$의 값을 구하시오.
1
‌jc
c
=-q w
b
1‌b
j‌-ak
‌1b
‌1c-b3
+
를 간단히 하면?
‌ja k
‌1-b2 ‌1b-c3
① -3i
② -i
④i
⑤ 3i
③0
01 복소수의 뜻과 사칙연산
31
02 이차방정식의 판별식
유형 01
이차방정식의 풀이
한 근이 주어진 이차방정식
유형 02
⑴ 이차방정식 {ax-b}{cx-d}=0의 근
이차방정식의 한 근이 주어진 경우 주어진 한 근을 이차방
b
d
SG x= 또는 x=
a
c
정식에 대입하여 미정계수를 구한 후 다른 한 근을 구한다.
⑵ 계수가 실수인 이차방정식 ax@+bx+c=0의 근
SG x=
대한 이차방정식 x@+2ax-3a@=0의 한 근이
4 x에
1일 때, 다른 한 근을 a라 하자. 이때 a+a의 값을
-b-1b@-4ac3
2a
x @-2x+4=0의 해가 x=a-jbi일
1 이차방정식
때, 유리수 a, b에 대하여 a+b의 값은?
구하시오. (단, a>0)
(단, i=j-1k )
①2
② 4
④8
⑤ 10
③6
대한 이차방정식 {a-1}x@+x+a@-3=0의
5 x에
한 근이 2일 때, 다른 한 근은? (단, a는 상수)
{j3-1}x@-{2-j3}x-j3=0의 두
2 이차방정식
근을 a, b라 할 때, a+2b의 값을 구하시오.
① -2
②-
11
6
3
2
⑤-
4
3
④-
③-
5
3
(단, a>b)
6 이차방정식 ax@+x+b=0의 두 근이 1,1m이고 이
a, b에 대하여 연산 J를
3 복소수
a`J`b=a+b-ab
차방정식 bx@+x+a=0의 두 근이 - , n일 때,
2
m-n의 값은? (단, a, b, m, n은 실수)
라 할 때, 방정식 {x`J`x}+{2`J`x}-4=0을 푸시
① -3
② -2
오.
④1
⑤2
32 Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식
③ -1
정답과 해설 125쪽
유형 03
절댓값 기호를 포함한 방정식의 풀이
유형 04
이차방정식의 근의 판별
절댓값 기호를 포함한 방정식은 절댓값 기호 안의 식의 값
계수가 실수인 이차방정식 ax@+bx+c=0의 판별식을
이 0이 되는 x의 값을 기준으로 x의 값의 범위를 나눈 후
D=b@-4ac라 할 때
|A|=-
-A {A<0}
⑴ D>0 SG 서로 다른 두 실근
⑵ D=0 SG 중근 (서로 같은 두 실근)
A {A>0}
D>0이면
실근을 갖는다.
⑶ D<0 SG 서로 다른 두 허근
임을 이용하여 푼다.
7 방정식 x@-2|x-1|-1=0의 모든 근의 곱은?
① -3
② -1
④1
⑤3
③0
대한 이차방정식 x@+2{1-2m}x+4m@=0
10 x에
이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 m의 값
의 범위는?
① m>④ m>4
|x+2|@+|x+2|-20=0의 두 근을 a, b
8 방정식
라 할 때, a-b의 값은? (단, a>b)
①2
② 4
④8
⑤ 10
③6
1
4
② m<
1
4
③ m<
1
4
⑤ m<4
대한 이차방정식 x@-kx+k-1=0이 중근 a
11 x에
를 가질 때, k+a의 값은? (단, k는 상수이다.)
①1
② 2
④4
⑤5
③3
이차방정식 x @-3x+a=0이 서로 다른 두 실근을
12 갖도록
하는 정수 a의 최댓값을 M, 이차방정식
9 합을 구하시오.
방정식 |x+1|+1{x-31}@3=4-2x@의 모든 근의
x @-6x+3b+1=0이 서로 다른 두 허근을 갖도록
하는 정수 b의 최솟값을 m이라 할 때, M+m의
값은?
①3
② 4
④6
⑤7
③5
02 이차방정식의 판별식
33
02 이차방정식의 판별식
정답과 해설 126쪽
UP
유형 05
계수가 문자인 이차방정식의 근의 판별
유형 06
이차방정식의 판별식의 활용
계수가 실수인 이차방정식 ax@+bx+c=0에 대하여 실
⑴ 계수가 실수인 이차식 ax @+bx+c가 완전제곱식이면
수의 성질을 이용하여 b@-4ac의 부호를 조사하면 근을
➡ 이차방정식 ax @+bx+c=0이 중근을 갖는다.
판별할 수 있다.
➡ b@-4ac=0
⑵ k의 값에 관계없이 항상 중근을 가지면
13 4ax@+2bx+c=0의 근을 판별하시오.
실수 a, b, c에 대하여 b=a+c일 때, 이차방정식
➡ ‌판별식을 이용하여 세운 등식이 k에 대한 항등식임
을 이용한다.
대한 이차식 x@-2{1-k}x+k@-3k+2가
16 x에
완전제곱식일 때, 실수 k의 값을 구하시오.
b@
14 x에 대한 이차방정식 x@-ax+ 4 -1=0이 중근
을 가질 때, 이차방정식 x@+2ax-2b-7=0의 근
을 판별하시오. (단, a, b는 실수)
대한 이차방정식
17 x에
x @-2{m+a}x+m@+m+b=0이 실수 m의 값
에 관계없이 항상 중근을 가질 때, 12{a+b}의 값
은? (단, a, b는 상수이다.)
①9
② 10
④ 12
⑤ 13
③ 11
c
15 이차방정식 ax@-2bx-a+2b- a =0에 대하여
보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, a, b, c는 실수)
보기
ㄱ. c>0이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.
{a+b}x@+2cx+a-b가 완전제곱식일 때,
18 이차식
a, b, c를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 어떤 삼각
ㄴ. c=0이면 중근을 갖는다.
형인가?
ㄷ. a=b, c<0이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.
① 정삼각형
①ㄱ
② ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
③ ㄱ, ㄷ
② 예각삼각형
③ 둔각삼각형
④ a=b인 이등변삼각형
⑤ 빗변의 길이가 a인 직각삼각형
34 Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식
03 이차방정식의 근과 계수의 관계
정답과 해설 127쪽
유형 01
이차방정식의 근과 계수의 관계 ⑴
유형 02
이차방정식의 근과 계수의 관계 ⑵
이차방정식 ax@+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
이차방정식 ax@+bx+c=0의 두 근이 a, b이면
b
c
‌SG a+b=- , ab=
a
a
aa@+ba+c=0, ab@+bb+c=0
임을 이용하여 구하는 식의 차수를 낮춘 후 근과 계수의
관계를 이용한다.
x@+6x+7=0의 두 근을 a, b라 할 때,
1 이차방정식
a@+b@의 값은?
① 14
② 16
④ 20
⑤ 22
③ 18
x@-4x+1=0의 두 근을 a, b라 할 때,
2 이차방정식
‌a@ ‌b@
‌b
+
‌a
의 값은?
① 40
② 46
④ 58
⑤ 64
x@+7x+1=0의 두 근을 a, b라 할 때,
5 이차방정식
a@-7b의 값을 구하시오.
x@-2x+5=0의 두 근을 a, b라 할 때,
6 이차방정식
{a@-3a+7}{b@-b+3}의 값은?
① -2
② -3
④ -5
⑤ -6
③ -4
③ 52
x@+x-3=0의 두 근을 a, b라 할 때,
7 이차방정식
‌a@
‌b@
x@+2x-4=0의 두 근을 a, b라 할 때,
3 이차방정식
‌b
‌a
‌a-1
+
‌b-1
3+b-a@
+
3+a-b@
의 값을 구하시오.
의 값을 구하시오.
8 이차방정식 x@-6x+1=0의 두 근을 a, b라 할 때,
1a@2+13+1b@2+13의 값은?
x@-6x+4=0의 두 근을 a, b라 할 때,
4 ‌이차방정식
jak+jbk의 값을 구하시오.
① 2j3
② 2j6
④ 4j3
⑤ 3j6
③ 3j3
03 이차방정식의 근과 계수의 관계
35
03 이차방정식의 근과 계수의 관계
유형 03
두 근이 주어진 이차방정식
유형 04
근의 관계식이 주어진 이차방정식
두 이차방정식의 근이 주어진 경우 각각 근과 계수의 관계
이차방정식의 두 근 a, b에 대한 관계식이 주어지면 주어
를 이용하여 식을 세운 후 미정계수를 구한다.
진 식을 a+b, ab에 대한 식으로 변형한 후 근과 계수의
관계를 이용하여 미정계수를 구한다.
1
9 이차방정식 ax@+2x+b=0의 두 근이 -1, 3 일
때, 이차방정식 bx@+ax+a-b=0의 두 근의 곱
은? (단, a, b는 상수)
① -4
② -2
④4
⑤8
의 합은?
③2
8x@-2x+a=0의 두 근이 a, b이고,
10 이차방정식
이차방정식 4x@-bx+2=0의 두 근이 a+b, ab
일 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?
① 10
② 15
④ 25
⑤ 30
③ 20
11 이차방정식 x@-ax+b=0의 두 근이‌ba,‌ab이고,
이차방정식 x@+bx+a=0의 두 근이
상수 a, b에 대하여 a@+b@의 값은?
①2
② 4
④ 10
⑤ 12
36 Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식
x@+kx+1-2k=0의 두 근을 a, b라
12 이차방정식
할 때, a@+b@=0을 만족시키는 모든 상수 k의 값
③7
, 일 때,
‌a b
‌
① -4
② -2
④2
⑤4
③0
x@-ax+b=0의 두 근을 a, b라 할 때,
13 이차방정식
{a+1}{b+1}=1, {2a+1}{2b+1}=-1을
만족시키는 상수 a, b에 대하여 a@+b@의 값은?
①1
② 2
④4
⑤5
③3
x @-3x+k=0의 두 근을 a,
14 x에 대한 이차방정식
1
1
1
b라 할 때,
‌a@-a+k
+
‌b@-b+k
키는 실수 k의 값을 구하시오.
= 을 만족시
4
정답과 해설 128쪽
유형 05
두 근의 조건이 주어진 이차방정식
주어진 조건에 따라 두 근을 다음과 같이 놓고 근과 계수
의 관계를 이용하여 식을 세운다.
⑴ 두 근의 차가 k
⑵ 두 근이 연속인 정수
⑶ 두 근의 비가 m`:`n
SG a, a+k
SG a, a+1
SG ma, na {a=0}
대한 이차방정식
18 x에
x@+{m@+m-2}x+m+1=0의 두 실근의 절댓
값이 같고 부호가 서로 다를 때, 상수 m의 값은?
① -2
② -1
④1
⑤2
③-
1
2
⑷ 한 근이 다른 근의 k배 SG a, ka {a=0}
⑸ 절댓값이 같고 서로 다른 부호
SG a, -a {a=0}
SG 두 근의 합은 0, 곱은 음수
x@+mx+m-1=0의 한 근이 다른
15 이차방정식
근의 3배일 때, 정수 m의 값은?
① -4
② -3
④3
⑤4
③1
대한 이차방정식
19 x에
x @+{1-2m}x+3m@+8m-10=0의 두 근의
차가 3일 때, 모든 상수 m의 값의 합은?
①-
9
2
④ -3
② -4
⑤-
③-
7
2
5
2
이차방정식 x@-mx+m+5=0의 두 근이 연속인
16 정수일
때, 양수 m의 값을 구하시오.
x@-{k+1}x+k=0의 두 근의 비가
17 이차방정식
2`:`3일 때, 모든 상수 k의 값의 곱은?
①
2
3
④2
② 1
⑤
③
3
2
이차방정식 kx @-{k-1}x-3k=0의 두 실근의
20 절댓값의
비가 1`:`3일 때, 정수 k의 값은?
① -2
② -1
④2
⑤3
③1
9
4
03 이차방정식의 근과 계수의 관계
37
03 이차방정식의 근과 계수의 관계
UP
유형 06
잘못 보고 푼 이차방정식
유형 07
이차방정식의 계수를 잘못 보고 푼 경우
SG ‌바르게 보고 푼 계수를 확인한 후 이차방정식의 근과
계수의 관계를 이용하여 미정계수를 구한다.
이차방정식 f{x}=0의 근을 이용하여
f{ax+b}=0의 근 구하기
이차방정식 f{x}=0의 두 근을 a, b라 하면
f{a}=0, f{b}=0
따라서 이차방정식 f{ax+b}=0의 두 근을 구하면
21 는데 A는 x의 계수를 잘못 보고 풀었고, B는 상
A, B 두 사람이 x@의 계수가 1인 이차방정식을 푸
ax+b=a 또는 ax+b=b
/ x=
‌a-b
‌b-b
또는 x=
a
a
수항을 잘못 보고 풀었다. A가 얻은 근이 2-j3,
2+j3이고, B가 얻은 근이 -1, 4일 때, 원래의 이
차방정식을 구하시오.
f{x}=0의 두 근 a, b에 대하여 24 이차방정식
a+b=7, ab=-3일 때, 이차방정식
f{3x+1}=0의 두 근의 곱은?
① -1
② 1
④3
⑤4
③2
은주가 이차방정식 x@+ax+b=0을 푸는
22 데민지와
민지는 a를 잘못 보고 풀어서 두 근 -2, 6을 얻
었고, 은주는 b를 잘못 보고 풀어서 두 근 -2-2j3i,
-2+2j3 i를 얻었다. 원래의 이차방정식의 올바른
두 근 중 양수인 근은? (단, a, b는 상수, i=j-1l )
①1
② 2
④4
⑤5
③3
23 이차방정식 ax@+bx+c=0을 푸는데 근의 공식을
‌x=
-b-1b@-ac3
로 잘못 적용하여 풀었더니 두
a
근 -4, 2를 얻었다. 원래의 이차방정식의 두 근을
a, b라 할 때, a@+b@의 값을 구하시오.
38 Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식
(단, a, b, c는 실수)
대한 이차방정식 f{x}=0의 두 근의 합이 16
25 x에
일 때, x에 대한 이차방정식 f{2020-8x}=0의
두 근의 합을 구하시오.
이차방정식 f{2x-3}=0의 두 근의 합이 3일 때,
26 이차방정식
f{x}=0의 두 근의 합은?
①0
④
9
2
②
3
2
⑤6
③3
정답과 해설 129쪽
유형 08
두 수를 근으로 하는 이차방정식
유형 09
a, b를 두 근으로 하고 x@의 계수가 1인 이차방정식은
이차식의 인수분해
이차방정식 ax@+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
{x-a}{x-b}=0 SG x@-{a+b}x+ab=0
SG ax@+bx+c=a{x-a}{x-b}
이차방정식 x@+4x+5=0의 두 근을 a, b라 할 때,
27 다음
중 a+b, ab를 두 근으로 하고 x@의 계수가
1인 이차방정식은?
x@+2x+9를 복소수의 범위에서 인수분해
30 이차식
하면? (단, i=j-1k )
① {x-2+3i}{x-2-3i}
① x@-9x+20=0
② x@-x-20=0
② {x+1+2j2}{x+1-2j2}
③ x@-x+20=0
④ x@+x-20=0
③ {x+1+j2 i}{x+1-j2 i}
⑤ x@+9x+20=0
④ {x+1+2j2 i}{x+1-2j2 i}
⑤ {x+1+3i}{x+1-3i}
x@-3x+1=0의 두 근을 a, b라 할 때,
28 이차방정식
1
1
a+ , b+ 을 두 근으로 하고 x@의 계수가 1인
‌a
‌b
이차방정식을 구하시오.
식의 합은? (단, i=j-1k )
그림과 같이 삼각형
29 오른쪽
ABC가 변 AB를 지름으로
하는 원에 내접하고 있다.
AXB=
Z 10이고, 꼭짓점 C에
① 2x-2
② 2x
④ 2x-2i
⑤ 2x+2i
③ 2x+2
C
A
H
B
서 변 AB에 내린 수선의 발
을 H라 하면 AXH=
Z a, BXH=
Z b, CXH=
Z 4일 때, a, b
를 두 근으로 하고 x@의 계수가 1인 이차방정식을 구
하시오.
x@+2x+2가 복소수의 범위에서 x의 계수
31 가이차식
1인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차
1
32 이차식 2 x@+3x+6을 복소수의 범위에서 인수분
해하면
1
{x+a+bi}{x+a-bi}이다. 이때 양수
2
a, b에 대하여 a+b@의 값은? (단, i=j-1k )
①2
② 3
④6
⑤8
③4
03 이차방정식의 근과 계수의 관계
39
03 이차방정식의 근과 계수의 관계
정답과 해설 130쪽
유형 10
이차방정식의 켤레근의 성질
⑴계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 p+qjmk이면
(단, p, q는 유리수, q=0, jmk은 무리수)
다른 한 근은 p-qjmk이다.
이차방정식 x@+ax+b=0의 한 근이 2-j3i일 때,
36 실수
a, b를 두 근으로 하는 이차방정식이
x@+mx+n=0이다. 이때 상수 m, n에 대하여
m-n의 값을 구하시오. (단, i=j-1k )
⑵계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 p+qi이면 다른
한 근은 p-qi이다. (단, p, q는 실수, q=0, i=j-1k )
대한 이차방정식 2x@+ax+b=0의 한 근이
33 x에
2-i일 때, b-a의 값은? (단, a, b는 실수이고, i=j-1k이다.)
① 12
② 14
④ 18
⑤ 20
③ 16
ax @+bx+c=0의 b를 잘못 보고 풀었
37 이차방정식
더니 한 근이 4+2j2가 나왔고, c를 잘못 보고 풀었
더니 한 근이 -3+j2가 나왔다. 처음 이차방정식
을 풀면? (단, a, b, c는 유리수)
① x=-4-j10k
② x=-4 또는 x=-2
③ x=1 또는 x=7
④ x=2 또는 x=4
⑤ x=4-j10k
x@-6x+a=0의 한 근이 b-j2일 때,
34 이차방정식
유리수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.
f{x}=x @+px+q가 다음 조건을 만족시
38 다항식
킬 때, 실수 p, q에 대하여 p+q의 값은?
x@-{a+b}x-ab=0의 한 근이
35 이차방정식
2+4i
1-i
일 때, 실수 a, b에 대하여 a@+b@의 값은?
㈎ ‌다항식 f{x}를 x-4로 나누었을 때의 나머지
는 4이다.
㈏ ‌이차방정식 f{x}=0의 한 근은 k-2i이다.
(단, i=j-1k )
①8
② 12
④ 20
⑤ 24
40 Ⅱ-1. 복소수와 이차방정식
③ 16
(단, k는 실수, i=j-1k )
①8
② 10
④ 14
⑤ 16
③ 12
2
방정식과 부등식
이차방정식과
이차함수
01 이차방정식과 이차함수의 관계
02 이차함수의 최대, 최소
01 이차방정식과 이차함수의 관계
유형 01
이차함수의 그래프와 x축의 교점
이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프와 x축의 교점의 x좌
표는 이차방정식 ax@+bx+c=0의 실근과 같다.
SG ‌이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 a, b이면
y=-x@+ax+2a-1의 그래프와 x축
4 이차함수
의 두 교점의 x좌표의 합이 3일 때, 이차함수
y=x@-{a-1}x-a@+1의 그래프와 x축의 두 교
점 사이의 거리를 구하시오. (단, a는 상수)
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
b
c
a+b=- , ab=
a
a
y=2x@+ax-1의 그래프가 x축과 만나
1 이차함수
는 두 점의 x좌표의 합이 -1일 때, 상수 a의 값은?
2
① -2
② -1
④1
⑤2
③0
이차함수 y=x@+ax+b의 그래프와 x축의 두 교
3
점의 x좌표가 각각 -1, 일 때, 상수 a, b에 대하
2
여 a-b의 값은?
① -1
② 0
④2
⑤3
③1
y=2x@-ax-5의 그래프가 x축과 두 점
3 이차함수
{-1, 0}, {b, 0}에서 만날 때, 상수 a, b에 대하
여 a+2b의 값을 구하시오.
42 Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수
y=x@+2kx+2k+1의 그래프와 x축의
5 이차함수
두 교점 사이의 거리가 2j2일 때, 양수 k의 값을 구
하시오.
y=ax@+bx+c의 그래프가 두 점
6 이차함수
{0, -4}, {-1-j5, 0}을 지날 때, 유리수 a, b,
c에 대하여 a+b+c의 값은?
① -4
② -3
④ -1
⑤1
③ -2
y= f{x}의 그래
7 이차함수
프가 오른쪽 그림과 같을
y
y=f{x}
때, 방정식 f{3x+2}=0
의 모든 실근의 합을 구하
시오.
-1
O
2
x
정답과 해설 131쪽
유형 02
이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계
유형 03
이차함수의 그래프와 직선의 교점
이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프와 x축의 위치 관계는
이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프와 직선 y=mx+n의
이차방정식 ax@+bx+c=0의 판별식을 D라 할 때
교점의 x좌표는 이차방정식 ax@+{b-m}x+c-n=0
⑴ D>0이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
의 실근과 같다.
⑵ D=0이면 한 점에서 만난다(접한다).
⑶ D<0이면 만나지 않는다.
SG ‌이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표가 a, b이면
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-
다음 이차함수의 그래프 중 x축과 만나지 않는 것
8 은?
① y=x@-2x+1
② y=x@-3x-6
b-m
c-n
, ab=
a
a
y=x@-2x-7의 그래프와 직선
11 이차함수
y=2x+5의 두 교점의 좌표를 {a, b}, {c, d}라
할 때, ac+bd의 값을 구하시오.
③ y=2x@-12x+16
④ y=3x@-3x+7
⑤ y=3x@-18x+27
직선 y=x+12가 서로 다
12 른곡선두y=2x@-5x+a와
점에서 만나고 두 교점의 x좌표의 곱이 -4일
때, 상수 a의 값은?
y=x@-5x+k의 그래프와 x축이 서로
9 이차함수
다른 두 점에서 만나도록 하는 자연수 k의 최댓값
①3
② 4
④6
⑤7
③5
은?
①4
② 6
④ 10
⑤ 12
③8
y=2x@+ax-1의 그래프와 직선
13 이차함수
y=3x+b의 두 교점의 x좌표가 각각 -1, 3일 때,
상수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.
y=-x@+3x-2k의 그래프는 x축과 서
10 로이차함수
다른 두 점에서 만나고, 이차함수 y=x@+2kx+4k-3의 그래프는 x축과 접할 때,
상수 k의 값은?
① -5
② -3
④1
⑤3
③ -1
y=x@-{a+1}x-2의 그래프와 직선
14 이차함수
y=-4x+1의 두 교점의 x좌표의 차가 4일 때, 모
든 상수 a의 값의 합을 구하시오.
01 이차방정식과 이차함수의 관계
43
01 이차방정식과 이차함수의 관계
정답과 해설 132쪽
유형 04
이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프와 직선 y=mx+n의
위치 관계는 이차방정식 ax@+{b-m}x+c-n=0의 판
{-1, 0}을 지나고 기울기가 m인 직선이 곡선
18 ‌점y=x@+x+4에
접할 때, 양수 m의 값은?
①
별식을 D라 할 때
⑴ D>0이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
3
2
④3
② 2
⑤
⑵ D=0이면 한 점에서 만난다(접한다).
③
5
2
7
2
⑶ D<0이면 만나지 않는다.
y=x@-3x+2k의 그래프와 직선
15 이차함수
y=3x+k가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는
정수 k의 최댓값은?
①6
② 7
④9
⑤ 10
③8
직선 y=2x+k는 이차함수 y=x@+x+3의 그래
19 프와
만나지 않고, 이차함수 y=x@+kx-k+9의
그래프와 접할 때, 상수 k의 값을 구하시오.
16 선 y=-2x-3이 만나도록 하는 상수 m의 값의
이차함수 y=x@+2{m+2}x+m@의 그래프와 직
x에 대한 이차함수 y=x@-4kx+4k@+k의 그래
20 프와
직선 y=2ax+b가 실수 k의 값에 관계없이
항상 접할 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)
범위를 구하시오.
y=ax-6이 직선 y=2x+3에 평행하고 이차
17 직선
함수 y=x@-4x+b의 그래프에 접할 때, 상수 a, b
에 대하여 a+b의 값은?
① -5
② -2
④2
⑤5
44 Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수
③0
①
1
8
②
3
16
④
5
16
⑤
3
8
③
1
4
x@-3|x|-x+k=0이 서로 다른 세 실근
21 을방정식
갖도록 하는 모든 상수 k의 값의 합은?
① -1
② 0
④2
⑤3
③1
02 이차함수의 최대, 최소
정답과 해설 133쪽
유형 01
이차함수의 최댓값과 최솟값
a<x<b에서 이차함수 f{x}=a{x-p}@+q는
⑴ 꼭짓점의 x좌표 p가 주어진 범위에 포함될 때
SG ‌f{a}, f{p}, f{b} 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장
작은 값이 최솟값이다.
y=2x@-4kx+k@-12k+30의 최솟값
4 이차함수
을 f{k}라 하자. -2<k<4에서 함수 f{k}가
k=a에서 최댓값 b를 가질 때, a+b의 값은?
① 46
② 48
④ 52
⑤ 54
③ 50
⑵꼭짓점의 x좌표 p가 주어진 범위에 포함되지 않을 때
SG ‌f{a}, f{b} 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값
이다.
이차함수 y=-3x@+12x-8의
1 -1<x<3에서
최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+m의 값
을 구하시오.
f{x}가 모든 실수 x에 대하여
5 이차함수
f{x-1}- f{x}=-2x+3을 만족시키고,
f{0}=-1일 때, 0<x<4에서 함수 f{x}의 최댓
값과 최솟값의 합은?
2
1
2<x<4에서 이차함수 y= x@-x+k의 최댓값
2
① -7
② -4
④2
⑤5
③ -1
과 최솟값의 차는? (단, k는 상수)
①
5
2
④4
② 3
⑤
③
7
2
9
2
계수가 유리수인 이차함수 f{x}가 다음 조건을 만
6 족시킬
때, -2<x<4에서 f{x}의 최솟값을 구하
시오.
3 f{x}=x@-4px의 최솟값을 g{p}라 하자.
실수 p에 대하여 0<x<2에서 이차함수
1
‌g{-1}+g[ ]의 값은?
2
① -3
② -2
④0
⑤1
㈎ ‌이차함수 y= f{x}의 그래프는 y축과 점
{0, 2}에서 만난다.
㈏ ‌이차함수 y= f{x}의 그래프와 직선
y=-2x+6의 두 교점 중 한 점의 x좌표가
③ -1
1-j5이다.
02 이차함수의 최대, 최소
45
02 이차함수의 최대, 최소
유형 02
최댓값 또는 최솟값이 주어졌을 때,
미정계수 구하기
이차함수의 식을 y=a{x-p}@+q 꼴로 변형한 후 주어진
최댓값 또는 최솟값을 이용하여 미정계수를 구한다.
이차함수 f{x}=x@+ax+b가 다음 조건을 만족
11 시킬
때, -2<x<5에서 함수 f{x}의 최댓값을
구하시오. (단, a, b는 상수)
㈎ f{-1}= f{3}
㈏ 함수 f{x}의 최솟값은 -4이다.
때, 이차함수 f{x}=2x@-4x+k의
7 -2<x<3일
최솟값은 1이고 최댓값은 M이다. k+M의 값을
구하시오. (단, k는 상수이다.)
이차함수 y=x@-4x+a의 최댓값
8 과-1<x<1에서
최솟값의 곱이 9일 때, 양수 a의 값을 구하시오.
12 이차함수 f{x}가 다음 조건을 만족시킨다.
㈎ x에
‌ 대한 방정식 f{x}=0의 두 근은 -2와 4
이다.
㈏ 5<x<8에서
‌
이차함수 f{x}의 최댓값은 80
이다.
‌f{-5}의 값을 구하시오.
이차함수 y=-ax@+2ax+b의
9 -1<x<2에서
최댓값이 8, 최솟값이 -8일 때, 상수 a, b에 대하
여 a-b의 값은? (단, a>0)
① -3
② -1
④3
⑤5
③0
a에 대하여 0<x<a에서 이차함수
13 양수
f{x}=x@-8x+a+6
의 최솟값이 0이 되도록 하는 모든 a의 값의 합은?
이차함수 y=3x@-6x+2의 최댓값
10 0<x<a에서
이 11이고 최솟값이 b일 때, a+b의 값을 구하시오.
46 Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수
(단, a>0 )
① 11
② 12
④ 14
⑤ 15
③ 13
정답과 해설 134쪽
유형 03
공통부분이 있는 함수의 최댓값과 최솟값
유형 04
조건을 만족시키는 이차식의 최댓값과 최솟값
공통부분이 있는 함수의 최댓값과 최솟값은 다음과 같은
조건을 만족시키는 이차식의 최댓값과 최솟값은 다음과
순서로 구한다.
같은 순서로 구한다.
⑴ 공통부분을 t로 놓고 t의 값의 범위를 구한다.
⑴ 주어진 등식을 한 문자에 대하여 정리한다.
⑵ 치환한 함수의 식을 y=a{t-p}@+q 꼴로 변형한다.
⑵⑴의 식을 최댓값과 최솟값을 구해야 하는 이차식에 대
⑶⑴에서 구한 범위에서 함수 y=a{t-p}@+q의 최댓값
입하여 범위가 주어진 문자에 대한 이차식으로 나타낸다.
과 최솟값을 구한다.
⑶제한된 범위에서 이차함수의 최대, 최소를 이용하여 최
댓값과 최솟값을 구한다.
함수 y=-{x@+2x}@+2{x@+2x}+3의 최댓값
14 은?
①1
② 2
④4
⑤5
③3
함수
15 0<x<3에서
y=2{x@-2x+1}@-4{x@-2x+2}-1의 최댓값
과 최솟값의 합은?
① -2
② 0
④4
⑤6
③2
x+y=4인 실수 x, y에 대하여
17 0<x<4이고
x@+xy+y@의 최댓값과 최솟값의 합은?
① 28
② 30
④ 34
⑤ 36
③ 32
1
18 직선 y=- 4 x+1이 y축과 만나는 점을 A, x축
과 만나는 점을 B라 하자. 점 P{a, b}가 점 A에서
1
직선 y=- x+1을 따라 점 B까지 움직일 때,
4
a
‌ @+8b의 최솟값은?
y
A
y=-4!x+1
x
B
O
16 y={4x@+4x}@-6{4x@+4x}+k의 최솟값이 2일
-1<x<1에서 함수
때, 상수 k의 값을 구하시오.
①5
②
17
3
④7
⑤
23
3
③
19
3
02 이차함수의 최대, 최소
47
02 이차함수의 최대, 최소
정답과 해설 135쪽
유형 05
이차함수의 최댓값과 최솟값의 활용
이차함수의 최댓값과 최솟값의 활용 문제는 다음과 같은
순서로 푼다.
⑴문제의 상황에 맞게 변수 x를 정하고, x에 대한 이차함
수의 식을 세운다.
⑵ 조건을 만족시키는 x의 값의 범위를 확인한다.
그림과 같이 밑면의 반지름의
21 오른쪽
길이가 2이고 높이가 16인 원기둥이
2
있다. 밑면의 넓이가 매초 2p씩 늘어
나고 높이가 매초 1씩 줄어든다고 할
16
때, 이 원기둥의 부피의 최댓값을 구하
시오.
이때 길이, 넓이, 시간, 금액 등에 해당하는 값은 양수
이어야 함에 유의한다.
⑶⑵에서 구한 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값을
구한다.
높이가 5 m인 건물의 옥상에서 초
19 지면으로부터의
속 30 m로 지면과 수직 방향으로 쏘아 올린 물 로
켓의 t초 후의 지면으로부터의 높이를 h m라 하면
그림과 같이 길이
22 오른쪽
가 18 m인 철망을 이용하
h=-5t @+30t+5일 때, 물 로켓을 쏘아 올린 지
여 담장 옆에 칸막이가 있
2초 이상 5초 이하에서 물 로켓의 최고 높이와 최소
는 직사각형 모양의 우리
높이의 차를 구하시오.
를 만들려고 한다. 세 우리
의 넓이의 비는 1`:`1`:`2이고 담장에는 철망을 사용
하지 않을 때, 우리 전체의 넓이의 최댓값은?
(단, 철망의 두께는 무시한다.)
① 12 m@
② 15 m@
④ 21 m@
⑤ 24 m@
③ 18 m@
이차함수 f{x}=x@-2ax+5a의 그래프의 꼭짓
20 점을
A라 하고, 점 A에서 x축에 내린 수선의 발을
B라 하자. 0<a<5일 때, OBZ+AXB의
Z 최댓값은?
(단, O는 원점이고, a는 a=0, a=5인 실수이다.)
y
y=f{x}
그림과 같이 밑변의 길
23 오른쪽
이가 20이고 높이가 20인 삼
A
O
B
①5
② 6
④8
⑤9
48 Ⅱ-2. 이차방정식과 이차함수
각형에 내접하는 직사각형이
20
있다. 직사각형의 한 변이 삼
x
각형의 밑변 위에 있을 때, 이
③7
직사각형의 넓이의 최댓값을
구하시오.
20
3
방정식과 부등식
여러 가지 방정식
01 삼차방정식과 사차방정식
02 연립이차방정식
01 삼차방정식과 사차방정식
유형 01
삼차방정식과 사차방정식의 풀이
유형 02
공통부분이 있는 사차방정식의 풀이
방정식 f{x}=0에서 인수분해 공식 및 인수 정리와 조립
공통부분을 한 문자로 치환한 후 인수분해하여 푼다.
제법을 이용하여 f{x}를 인수분해한 후 해를 구한다.
이때 공통부분이 바로 보이지 않으면 공통부분이 생기도록
식을 변형한다.
1 근의 곱을 구하시오.
삼차방정식 x#-9x@+13x+23=0의 모든 양의
참고 (일차식)\(일차식)\(일차식)\(일차식)+k ( k는 상수) 꼴
SG ‌두 일차식의 상수항의 합이 같게 짝을 지어 전개한 후 공
통부분을 치환한다.
사차방정식 {x@-x}@-5{x@-x}+6=0의 모든
5 실근의
합을 구하시오.
x$+2x#+x@-2x-2=0의 모든 실근
2 의사차방정식
합은?
① -2
② -1
④1
⑤2
③0
{x@+2x-2}{x@+2x-6}+3=0의
6 사차방정식
모든 음의 근의 합은?
① -4-j6
② -6
④ -5
⑤ -2-j6
③ -1-2j6
3 삼차방정식
x#+2x @-3x-10=0
의 서로 다른 두 허근을 a, b라 할 때, a#+b#의 값
은?
① -2
② -3
④ -5
⑤ -6
③ -4
x$-3x#+3x@+x-6=0의 서로 다른
4 두사차방정식
실근을 a, b, 서로 다른 두 허근을 c, d라 할 때,
a+b+c@+d@의 값을 구하시오.
50 Ⅱ-3. 여러 가지 방정식
사차방정식 {x+1}{x+2}@{x+3}=20의 두 실
7 근의
곱을 a, 두 허근의 곱을 b라 할 때, b-a의 값
을 구하시오.
방정식 {x @-4x+3}{x @-6x+8}=120의 한 허
8 근을
x라 할 때, x@-5x의 값은?
① -16
② -14
④ -10
⑤ -8
③ -12
정답과 해설 136쪽
UP
유형 03
x$+ax@+b=0 꼴의 사차방정식의 풀이
계수가 대칭인 사차방정식의 풀이
유형 04
x$+ax@+b=0에서 x@=t로 치환하여 t @+at+b=0으
사차방정식 ax$+bx#+cx@+bx+a=0은 다음과 같은 순
로 나타낼 때
서로 푼다.
⑴ 좌변이 인수분해되는 경우
⑴ 가운데 항이 상수가 되도록 양변을 x@으로 나눈다.
SG ‌좌변을 인수분해하여 t의 값을 구한 후 t에 x@을 대
입하여 푼다.
⑵ 좌변이 인수분해되지 않는 경우
SG x$+ax@+b=0의
‌
좌변에 적당한 이차식을 더하거나
빼서 A@-B@=0 꼴로 변형한 후 인수분해하여 푼다.
9 사차방정식 x$+9x@-36=0의 모든 실근의 곱은?
① -9
② -3
④9
⑤ 12
③3
x$-8x@+4=0의 가장 큰 근을 a, 가
10 장사차방정식
작은 근을 b라 할 때, a+b의 값은?
11
① -4-2j3
② -2-j3
④ 2-2j3
⑤0
③ -2
1
1
=[x+ ]@-2임을 이용하여 식을 변형한다.
x
x@
1
⑶ x+ =t로 치환한 후 t에 대한 이차방정식을 푼다.
x
⑵ x@+
⑷ t=x+
1
을 대입하여 해를 구한다.
x
12 사차방정식 x$-3x#+2x@-3x+1=0의 실근은?
①
-2-j5
2
② -2-j5
④
3-j5
2
⑤ 3-j5
③ 1-j5
서로 다른
13 사차방정식 2x$+3x#-x@+3x+2=0의
‌b ‌a
두 허근을 a, b라 할 때,
‌a
+ 의 값을 구하시오.
‌b
한 근을
14 사차방정식 x$+6x#+11x@+6x+1=0의
1
사차방정식 x$+4x@+16=0의 네 근을 a, b, c,
1 1 1 1
d라 할 때, + + + 의 값을 구하시오.
‌a ‌b ‌c ‌d
a라 할 때, |a- |의 값은?
‌a
① j5
② j6
④ 2j2
⑤3
③ j7
01 삼차방정식과 사차방정식
51
01 삼차방정식과 사차방정식
유형 05
근이 주어진 삼차 · 사차방정식
유형 06
근의 조건이 주어진 삼차방정식
방정식 f{x}=0의 한 근이 a이면 f{a}=0임을 이용하여
삼차방정식을 {x-a}{ax@+bx+c}=0 (a는 실수) 꼴로
미정계수를 구한 후 방정식을 푼다.
인수분해한 후 이차방정식 ax@+bx+c=0의 판별식을 D
라 할 때, 이 삼차방정식이
15 1이고 나머지 두 근이 a, b일 때, a+a+b의 값을
삼차방정식 x#-{a+1}x+2a-1=0의 한 근이
⑴ 실근만을 가지면 SG D>0
⑵ 중근을 가지면 SG ax@+bx+c=0의 한 근이 x=a이거나 D=0
⑶ 허근을 가지면 SG D<0
구하시오. (단, a는 상수)
삼차방정식 x#+x@+2{k-1}x-2k=0의 근이
19 모두
실수가 되도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구
하시오.
대한 사차방정식 x$-x#+ax @+x+6=0의
16 x에
한 근이 -2일 때, 네 실근 중 가장 큰 것을 b라 하
자. a+b의 값은? (단, a는 상수이다.)
① -7
② -6
④ -4
⑤ -3
③ -5
x#-4x@+{3k-1}x-6k+10=0이
20 삼차방정식
한 실근과 두 허근을 갖도록 하는 정수 k의 최솟값
은?
①1
② 2
④4
⑤5
③3
x#+ax@+{a-3}x+b=0의 두 근이
17 삼차방정식
-2, 3일 때, 나머지 한 근은? (단, a, b는 상수)
① -3
② -1
④2
⑤4
③1
x#-7x @+{a+6}x-a=0이 서로 다
21 른삼차방정식
세 실근을 갖도록 하는 자연수 a의 개수를 구하
시오.
x$-6x#+ax@+bx-2=0의 두 근이
18 사차방정식
-1, 2일 때, 나머지 두 근의 곱을 구하시오.
(단, a, b는 상수)
22 삼차방정식
x#-5x@+{a+4}x-a=0
의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 모든
실수 a의 값의 합을 구하시오.
52 Ⅱ-3. 여러 가지 방정식
정답과 해설 138쪽
삼차방정식의 활용
유형 07
삼차방정식의 근과 계수의 관계
유형 08
삼차방정식의 활용 문제는 다음과 같은 순서로 푼다.
삼차방정식 ax#+bx@+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라
⑴문제의 상황에 맞게 구하는 것을 x로 놓은 후 방정식을
하면
세운다.
⑵ 방정식을 푼다.
⑶ 문제의 조건에 맞는 해만 택한다.
S‌ G a+b+c=‌
ab+bc+ca=
abc=-
길이와 세로의 길이가 각각 3, 2이고 높이
23 가로의
가 1인 직육면체의 모든 모서리의 길이를 각각 같
은 길이만큼 늘여서 새로 만든 직육면체의 부피가
원래 직육면체의 부피의 20배가 되도록 할 때, 새
b
a
c
a
d
a
x#+x@+2x+3=0의 세 근을 a, b, c
26 삼차방정식‌a+b
‌b+c ‌c+a
라 할 때,
로운 직육면체의 가로의 길이를 구하시오.
①④
4
3
2
3
‌ab
+
‌bc
+
2
② - 3
⑤
‌ca
의 값은?
③
1
3
4
3
모양의 두 그릇 A, B가 있다. 그릇 A는 밑
24 원기둥
면의 지름의 길이와 높이가 같고, 그릇 B는 높이가
A와 같지만 밑면의 반지름의 길이가 A보다 2 cm
만큼 길다. 그릇 A에 물을 가득 담아서 이미 물이
16p cm#만큼 들어 있는 그릇 B에 부었더니 반이
찼다고 할 때, 그릇 A의 높이를 구하시오.
2x#-3x@+4x+2=0의 세 근을 a, b,
27 삼차방정식
c라 할 때, a@b@+b@c@+c@a@의 값은?
① -7
② -5
④5
⑤7
③ -3
모양의 쌓기나무를 이
25 정육면체
용하여 오른쪽 그림과 같은 입체
도형을 만들었더니 부피가 a cm#, 겉넓이가 b cm@였다.
b-a=45일 때, 쌓기나무 한 개
의 한 모서리의 길이를 구하시오. (단, 쌓기나무의 모서리의 길이는 자연수이다.)
x#-5x-6=0의 세 근을 a, b, c라
28 삼차방정식
할 때, a#+b#+c#의 값은?
① -18
② -6
④ 18
⑤ 30
③6
01 삼차방정식과 사차방정식
53
01 삼차방정식과 사차방정식
x#-2x@+3x-4=0의 세 근을 a, b,
29 삼차방정식
c라 할 때, {a+b}{b+c}{c+a}의 값을 구하시
오.
유형 09
세 수를 근으로 하는 삼차방정식
a, b, c를 근으로 하고 x#의 계수가 1인 삼차방정식은
x#-{a+b+c}x@+{ab+bc+ca}x-abc=0
x#+x@+2=0의 세 근을 a, b, c라 할
33 삼차방정식
때, ab, bc, ca를 세 근으로 하고 x#의 계수가 1인
삼차방정식은?
30 라 할 때, {a+1}{b+1}{c+1}=1이 성립한다.
삼차방정식 x#+ax@+x-2=0의 세 근을 a, b, c
① x#+2x@+4=0
② x#+2x@-4=0
③ x#+2x+4=0
④ x#+2x-4=0
⑤ x#-2x-4=0
이때 a@+b@+c@의 값을 구하시오. (단, a는 상수)
삼차방정식 x#+ax@+bx-60=0이 연속하는 세
31 정수를
근으로 가질 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의
값을 구하시오.
c라 할 때,
‌ab
,
,
을 세 근으로 하는 삼차
‌bc c
‌a
방정식은 ax#+bx @+cx-1=0이다. 이때 상수 a,
b, c에 대하여 a+b+c의 값을 구하시오.
2x#-5x@-2ax+8=0의 세 근 중 두
32 삼차방정식
근이 이차방정식 x@-2x-2b=0의 근일 때, 상수
a, b에 대하여 a-b의 값은?
① -7
② -1
④6
⑤9
54 Ⅱ-3. 여러 가지 방정식
@-2x+4=0의 세 근을 a, b,
34 삼차방정식 x#-3x
1
1
1
x#+2x+1=0의 세 근을 a, b, c라
35 삼차방정식
‌b+c ‌c+a ‌a+b
할 때,
③3
‌a@
,
‌b@
,
‌c@
를 세 근으로 하고 x#
의 계수가 1인 삼차방정식을 구하시오.
정답과 해설 139쪽
유형 10
삼차방정식의 켤레근의 성질
⑴계수가 유리수인 삼차방정식의 한 근이 p+qjmk이면
(단, p, q는 유리수, q=0, jmk은 무리수)
x#-mx@+{2m+4}x-2m+4=0의
39 삼차방정식
한 근이 4-2j2일 때, 유리수 m의 값은?
p-qjmk도 근이다.
①0
② 1
④5
⑤ 10
③2
⑵계수가 실수인 삼차방정식의 한 근이 p+qi이면 p-qi
도 근이다. (단, p, q는 실수, q=0, i=j-1k )
두 근이 1-j2,
36 삼차방정식 ax#+x@+bx+c=0의b+c
2일 때, 유리수 a, b, c에 대하여
a 의 값을 구
하시오.
x#-4x@+ax+b=0의 두 근이 1-i,
40 삼차방정식
c일 때, a, b, c를 세 근으로 하고 x#의 계수가 1인
삼차방정식은? (단, a, b, c는 실수, i=j-1k )
① x#-4x@-20x+48=0
② x#-4x@+10x-48=0
37 일 때, 나머지 두 근의 곱은? (단, a, b는 유리수)
삼차방정식 x#-5x@+ax+b=0의 한 근이 2-j3
① -2-j3
② -2
④ 2+j3
⑤ 4+2j3
1+j7i
이고
2
나머지 두 근 중 실근을 a라 할 때, k+a의 값은?
(단, k는 실수, i=j-1k )
①1
② 2
④5
⑤7
④ x#+2x@-10x-24=0
⑤ x#+4x@+20x+48=0
③0
38 삼차방정식 x#+x+k=0의 한 근이
③ x#-2x@-10x+24=0
③3
실수 a, b, c에 대하여 한 근이 1+j3 i인 방정
41 세식 x#+ax
@+bx+c=0과 이차방정식
x @+ax+2=0이 공통인 근 m을 가질 때, m의 값
은? (단, i=j-1k )
①2
② 1
④ -1
⑤ -2
③0
01 삼차방정식과 사차방정식
55
01 삼차방정식과 사차방정식
정답과 해설 141쪽
유형 11
방정식 x#=1의 허근의 성질
⑴방정식 x#=1의 한 허근을 x라 하면 다음이 성립한다.
(단, xX 는 x의 켤레복소수)
① x#=1, x@+x+1=0
x#+1=0의 한 허근을 x라 할 때,
45 방정식
x$-2x#+3x@-4x+5=ax+b를 만족시키는
실수 a, b에 대하여 b-a의 값을 구하시오.
② x+xX=-1, xxX=1
③ x@=x=
X
1
‌
x
⑵방정식 x#=-1의 한 허근을 x라 하면 다음이 성립한
다. (단, xX 는 x의 켤레복소수)
x@+x+1=0의 한 허근 x에 대하여
46 이차방정식
‌x#+2x
① x#=-1, x@-x+1=0
② x+x=
X 1, xx=
X 1
z‌ =
1
③ x@=-xX=‌x
‌x#+3x
라 할 때, zzC 의 값을 구하시오.
(단, zC 는 z의 켤레복소수)
방정식 x#=1의 한 허근을 x라 할 때, 다음 중 그
42 값이
나머지 넷과 다른 하나는? (단, xX 는 x의 켤레복소수)
① x@+x
② x+xX
1
‌
x
⑤ x@+
④ x@+
③ x+
1
‌
x
1
‌@
x
방정식 x#-1=0의 한 허근을 x라 할 때, 보기에서
47 옳은
것만을 있는 대로 고른 것은?
보기
ㄱ.
‌x
1
- =-1
‌x+1 ‌x@
ㄴ. {x#+1}{x@+1}{x+1}=2
한 허근을 x라 할 때,
43 방정식 x#=-1의
@
‌x@
‌xX
의 값을 구하시오.
+
‌x@+1 ‌xX @+1
(단, xX 는 x의 켤레복소수)
x#=1의 한 허근을 x라 할 때,
44 삼차방정식
‌{x@-2x+1}^)+{x@-x-1}^)의 값은?
①0
② 1
④ 2^)
⑤ 3^)+2^)
56 Ⅱ-3. 여러 가지 방정식
③2
1
1
1
1
ㄷ. ‌
+
+
+y+
=9
‌x+1 ‌x@+1 ‌x#+1
‌x@)+1
①ㄱ
② ㄴ
④ ㄱ, ㄴ
⑤ ㄴ, ㄷ
③ㄷ
x#=1의 한 허근을 x라 할 때,
48 방정식
x$N+{x+1}$N+1=0을 만족시키는 40 이하의 자
연수 n의 개수를 구하시오.
02 연립이차방정식
정답과 해설 142쪽
일차방정식과 이차방정식으로 이루어진
연립이차방정식의 풀이
유형 01
두 이차방정식으로 이루어진
연립이차방정식의 풀이
유형 02
일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식은
두 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식은 다음과 같
다음과 같은 순서로 푼다.
은 순서로 푼다.
⑴ 일차방정식을 한 미지수에 대하여 정리한다.
⑴두 이차방정식 중 인수분해되는 것을 인수분해하여 두
⑵⑴의 식을 이차방정식에 대입하여 한 미지수의 값을 구
한다.
일차방정식을 얻는다.
⑵⑴에서 얻은 식을 나머지 이차방정식에 각각 대입하여
⑶⑵에서 구한 미지수를 일차방정식에 대입하여 다른 미
지수의 값을 구한다.
한 미지수의 값을 구한다.
⑶⑵에서 구한 미지수를 ⑴에서 얻은 식에 대입하여 다른
미지수의 값을 구한다.
1 연립방정식
x-y+1=0
-
4
x @-2y @-2=0
② -4
④ -2
⑤ -1
3x @-8xy-3y @=0
x @+3y @=12
를 만족시키는 정
수 x, y의 순서쌍 {x, y}를 모두 구하시오.
의 해를 x=a, y=b라 할 때, a+b의 값은?
① -5
연립방정식 -
③ -3
5 연립방정식
x @-3xy+2y @=0
-
2
2x-y=4
연립방정식 을 만족시키는 x,
x@+2xy-2y@=13
x @-y @=9
의 해를
-
y에 대하여 x-y의 최댓값을 구하시오.
x=a1
x=a2
또는 y=b1
y=b2
라 하자. a1<a2일 때, b1-b2의 값은?
3
( 1 1
x-y=4
+ =b
두 연립방정식 ,- x y
이 공통인
xy=a
9 x@+y@=10
① -2j3
② -2j2
④ 2j3
⑤4
③ 2j2
해를 가질 때, 상수 a, b에 대하여 모든 ab의 값의
합은?
① -1
② 0
④2
⑤3
③1
6
연립방정식 -
2x@+3xy-2y@=0
를 만족시키는 자
x@+xy=12
연수 x, y에 대하여 x+y의 값을 구하시오.
02 연립이차방정식
57
02 연립이차방정식
x@-xy-6y@=0
7 연립방정식 - x@+2xy-3y@=24를 만족시키는 실
수 x, y에 대하여 xy의 값은?
①4
② 6
④ 10
⑤ 12
유형 03
대칭식으로 이루어진 연립이차방정식의 풀이
대칭식으로 이루어진 연립이차방정식은 다음과 같은 순서
로 푼다.
③8
⑴x+y=u, xy=v로 놓고 주어진 연립방정식을 u, v에
대한 연립방정식으로 변형한다.
⑵⑴의 연립방정식을 풀어 u, v의 값을 구한다.
⑶x, y는 이차방정식 t@-ut+v=0의 두 근임을 이용하
여 x, y의 값을 구한다.
SG t‌ @-ut+v=0의 해가 t=a 또는 t=b이면
x=a, y=b 또는 x=b, y=a
10
8
연립방정식 -
x, y에 대하여 x+y의 최댓값은?
② 3
④7
⑤ 25
x@+y@=17
를 만족시키는 자연수 x,
xy=4
y의 순서쌍 {x, y}의 개수는?
x@+y@=25
을 만족시키는
12x@+7xy-12y@=0
① -1
연립방정식 -
①0
② 1
④3
⑤4
③2
③4
xy+x+y=-1
11 연립방정식 - x@+3xy+y@=5를 만족시키는 x, y
에 대하여 다음 중 x-y의 값이 될 수 있는 것은?
9 두 연립방정식
ax @+by @=-8
-
2x @-xy+y @=16
,-
① -8
② -6
④ -2
⑤0
③ -4
6x @-5xy+y @=0
ax @-by @=28
이 공통인 해를 가질 때, 정수 a, b에 대하여 ab의
값을 구하시오.
12
연립방정식 -
2x+2y+xy=-7
을 만족시키는 정
x @+y @+x+y=20
수 x, y에 대하여 x@-y@의 최댓값을 구하시오.
58 Ⅱ-3. 여러 가지 방정식
정답과 해설 143쪽
해의 조건이 주어진 연립이차방정식
유형 04
유형 05
연립이차방정식의 활용
일차방정식을 이차방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차
연립이차방정식의 활용 문제는 다음과 같은 순서로 푼다.
방정식을 얻은 후 판별식을 이용하여 해의 조건을 만족시
⑴문제의 상황에 맞게 미지수를 정한 후 연립이차방정식
키는 미정계수를 구한다.
을 세운다.
특히 대칭식으로 이루어진 연립이차방정식은 x, y를 두 근
⑵ 연립이차방정식을 푼다.
으로 하는 t에 대한 이차방정식을 세운 후 같은 방법으로
⑶ 문제의 조건에 맞는 해만 택한다.
푼다.
길이가 25인 원에 둘레의 길이가 62인 직사
16 지름의
각형이 내접하고 있다. 이때 직사각형의 가로의 길
대한 연립방정식
13 x, y에2x+y=1
-
이는? (단, 가로의 길이가 세로의 길이보다 길다.)
x@-ky=-6
이 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 양수 k의 값은?
①1
② 2
④4
⑤5
①7
② 12
④ 24
⑤ 26
③3
그림에서 사각형
17 오른쪽
A, B, C, D가 모두 정사
14
연립방정식 -
x+y=-2a+1
이 실근을 가질 때,
xy=a@+1
다음 중 실수 a의 값이 될 수 있는 것은?
15
① -1
1
② - 2
④1
3
⑤
2
③0
x+y=2k-1
연립방정식 가 실근을 갖지
xy+x+y=k@-2k
않도록 하는 정수 k의 최댓값은?
① -1
② 0
④2
⑤4
③ 16
C
각형이고, A의 한 변의 길
이와 B의 한 변의 길이의
합이 8이다. 두 정사각형
D
A
B
8
A, D의 넓이의 차가 24일 때, 정사각형 A의 한 변
의 길이를 구하시오.
그림과 같이 대각선의
18 오른쪽
길이가 12j2+12인 정사각형
에 내접하는 두 원이 서로 외
접한다. 두 원의 넓이의 합이
③1
80p일 때, 두 원 중 작은 원
의 반지름의 길이를 구하시오.
02 연립이차방정식
59
02 연립이차방정식
정답과 해설 145쪽
유형 06
정수 조건이 있는 부정방정식의 풀이
유형 07
(일차식)\(일차식)=(정수) 꼴로 변형한 후 약수와 배수의
방법 1
A
‌ @+B@=0 꼴로 변형한 후 A, B가 실수이면
A=0, B=0임을 이용한다.
성질을 이용한다.
방법 2
19 y에 대하여 x+y의 값은?
①2
②3
④5
⑤6
‌한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 후 이차방
정식의 판별식 D가 D>0임을 이용한다.
방정식 xy-2x-y+3=0을 만족시키는 정수 x,
4
실수 조건이 있는 부정방정식의 풀이
방정식 {x+2y-1}@+{x-y+2}@=0을 만족시
23 키는
실수 x, y에 대하여 xy의 값은?
③4
① -2
② -1
④1
⑤2
③0
2
20 방정식 m + n =1을 만족시키는 자연수 m, n에
대하여 m+n의 최댓값을 구하시오.
x@+2x+y@-4y+5=0을 만족시키는 실
24 방정식
수 x, y에 대하여 x@+y@의 값을 구하시오.
x@-2px+5p=0의 두 근이 모두 자연
21 이차방정식
수일 때, 정수 p의 최솟값은?
①1
② 3
④7
⑤9
방정식 2x@+4y@+4xy+2x+1=0을 만족시키는
25 실수
x, y에 대하여 x+y의 값은?
③5
① -1
④
그림과 같은 사각형
22 오른쪽
ABCD에서 AXDZ=5,
A
자연수 a, b에 대하여 모든
ab의 값의 합을 구하시오.
60 Ⅱ-3. 여러 가지 방정식
③0
⑤1
D
a
BCZ=7, CA=CC=90!이
다. AXB=
Z a, CDZ=b라 할 때,
5
1
2
1
② - 2
b
B
7
C
방정식 x@+2xy+2y@-4x-10y+13=0을 만족
26 시키는
실수 x, y의 값을 구하시오.
4
방정식과 부등식
여러 가지 부등식
01 연립일차부등식
02 이차부등식
03 연립이차부등식
01 연립일차부등식
유형 01
부등식 ax>b의 풀이
유형 02
연립일차부등식의 풀이
x에 대한 부등식 ax>b의 해는
연립일차부등식은 다음과 같은 순서로 푼다.
b
⑴ a>0일 때, x>
a
⑴ 각 일차부등식을 푼다.
b
⑵ a<0일 때, x<
a
⑶ 공통부분을 찾아 연립부등식의 해를 구한다.
⑶ a=0일 때, -
⑵‌각 부등식의 해를 수직선 위에 나타낸다.
참고 A<B<C 꼴의 부등식은 연립부등식 -
b>0이면 해는 없다.
b<0이면 해는 모든 실수이다.
때, x에 대한 부등식 ax-7b>bx-7a를
1 a<b일
푸시오.
A<B
꼴로 고쳐
B<C
서 푼다.
5
연립부등식 -
x+3<3x
3x+4<2x+8
의 해가 a<x<b일
때, ab의 값은?
①6
② 7 ④9
⑤ 10
③8
부등식 a@x-a>16x+3의 해가 모든 실수일 때,
2 상수
a의 값을 구하시오.
6 부등식 5x-4<3x-2<10x+12를 풀면?
3
1
부등식 {a+b}x+a-b<0의 해가 x> 일 때,
2
② x<-3
④ x>-5
⑤ x>3
62 Ⅱ-4. 여러 가지 부등식
③ x>2 ④ -2<x<1
③ x<3
{a-b}x+2a-3b<0이 해를 갖지 않을
4 부등식
때, 부등식 2ax-5b+a>0을 푸시오. ② x<1
⑤ 1<x<2
부등식 bx+3a+4b>0을 풀면? (단, a, b는 상수)
① x<-5
① x<-2 (단, a, b는 상수)
7
연립부등식 -
3x+8>x-4
2{x-3}<x+3
x의 개수를 구하시오.
을 만족시키는 정수
정답과 해설 146쪽
4x-3<6{x-1}<7x-2를 만족시키는
8 부등식
정수 x의 최솟값을 구하시오.
유형 03
해가 특수한 연립일차부등식
연립부등식에서 각 일차부등식의 해를 수직선 위에 나타
내었을 때
⑴ 공통부분이 한 점이면 SG 해가 한 개이다.
⑵ 공통부분이 없으면 SG 해는 없다.
x
‌ -1<1-
x
9 연립부등식 - 2x+1
>
3
2
2-x
2
4x+8<3{x+3}
의 해가 a<x<b
일 때, b-a의 값은?
①1
② 2
④4
⑤ 5
12 연립부등식 - x-4>-3x+8 을 풀면?
① x=1
② x=2
④ x>3
⑤ 해는 없다.
③ x<1
③3
해가 없는 연립부등식인 것만을 있는 대
13 보기에서
로 고른 것은?
보기
2
‌ -3< x-1
x
3
10 연립부등식 - ‌1-0.6x>0.1x+1.7을 만족시키는
x의 최댓값을 구하시오.
11
ㄱ.`ㄷ.`-
2x<4
x+3>2
2!x+3<2%
3+x<2x
ㄴ. -
-2x+1<-5
ㄹ. -
-4x+2>2
x-1<2
2x-9>x-9
① ㄱ, ㄷ
② ㄱ, ㄹ
④ ㄴ, ㄹ
⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ
③ ㄴ, ㄷ
3x+2
( 2x+1
-1<
2
연립부등식 - 3
를 만족
9 ‌0.4x+1>0.5{x+1}+0.2
시키는 모든 정수 x의 값의 합은?
① -2
② -1
④1
⑤ 2
③0
x-9
x
14 부등식 3 <x+1< 2 -2의 해가 일차방정식
ax-4=2의 해와 같을 때, 상수 a의 값을 구하시
오.
01 연립일차부등식
63
01 연립일차부등식
유형 04
해가 주어진 연립일차부등식
각 일차부등식의 해를 구한 후 주어진 연립부등식의 해와
2x+a 3
5
‌
> x3
2
3
-
18 연립부등식 ‌7x+14<9x+b 의 해가 x=6일 때,
비교한다.
상수 a, b에 대하여 a-b의 값을 구하시오.
x>A
의 해가 a<x<b이면 A=a, B=b
‌SG x<B
15
연립부등식 -
5x-3<2x+3
의 해를 수직선 위
3{x+2}>2x+a
에 나타내면 다음 그림과 같을 때, 상수 a의 값을
구하시오.
-1
16
연립부등식 -
2
x
19
연립부등식 -
2x+3<3x+a
의 해가 x>4일
-x+2a+4<x+2
때, 모든 상수 a의 값의 합은?
①1
② 2 ④4
⑤5
③3
6x-5<2x+7
의 해가 -2<x<b
x+7>-3x+a
일 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?
① -2
② 0
④4
⑤6
③2
20
연립부등식 -
ax+b<0
의 해를 수직선 위에 나타
cx-d>0
내면 다음 그림과 같을 때, 연립부등식 ax-b>0
를 풀면? (단, a, b, c, d는 상수)
-cx+d<-4c
-3
7x+a<5{x+2}<6x+b의 해가 4<x<7
17 부등식
일 때, 상수 a, b에 대하여 ab의 값은?
① -24
② -12
④ 12
⑤ 24
64 Ⅱ-4. 여러 가지 부등식
③ -6
2
x
① x<-2 ② -2<x<1
③ -2<x<1 ④ -1<x<2
⑤ x>1
정답과 해설 147쪽
유형 05
해를 갖거나 갖지 않을 조건이 주어진
연립일차부등식
유형 06
정수인 해의 조건이 주어진 연립일차부등식
각 일차부등식의 해를 구한 후 이를 주어진 정수인 해의
각 일차부등식의 해를 구한 후 이를 주어진 해의 조건에
조건을 만족시키도록 수직선 위에 나타낸다.
맞게 수직선 위에 나타낸다.
⑴ 연립부등식을 만족시키는 정수인 해가 n개이면
⑴ 연립부등식이 해를 갖는 경우
➡ ‌공통부분이 n개의 정수를 포함하도록 수직선 위에
SG 공통부분이 있도록 해를 수직선 위에 나타낸다.
⑵ 연립부등식이 해를 갖지 않는 경우
SG 공통부분이 없도록 해를 수직선 위에 나타낸다.
나타낸다.
⑵ 연립부등식을 만족시키는 정수인 해의 합이 주어지면
➡ ‌공통부분에 포함되는 정수의 합이 조건을 만족시키
도록 수직선 위에 나타낸다.
21
연립부등식 -
3x+5>2x+a
4x<2x-6
이 해를 갖지 않도록
연립부등식
24 x에 대한
x+2>3
하는 상수 a의 값의 범위는?
① a>2
② a>1
④ a>-2
⑤ a>-2
-
③ a>1
3x<a+1
을 만족시키는 모든 정수 x의 값의 합이 9가 되도
록 하는 자연수 a의 최댓값은?
① 10
② 11
④ 13
⑤ 14
③ 12
2-3x
‌
>a
- 2
22 연립부등식 ‌4x-5>x+7이 해를 갖지 않도록 하
25
는 정수 a의 최솟값을 구하시오.
연립부등식 -
2x-5<5x+1
를 만족시키는 자연
3{x+1}<2x+a
수 x가 1과 2뿐일 때, 정수 a의 값을 구하시오.
23 하는 정수 a의 최댓값은?
부등식 5x+a<3x-2<10x+12가 해를 갖도록
① -1
② 1
④5
⑤ 7
③3
26
8x-1<8+5x
연립부등식 - a-3x
를 만족시키는 정수 x
<4
2
가 1개뿐일 때, 상수 a의 값의 범위는?
① 9<a<12
② 9<a<12
③ 11<a<14
④ 11<a<14
⑤ 13<a<16
01 연립일차부등식
65
01 연립일차부등식
유형 07
연립일차부등식의 활용
유형 08
연립일차부등식의 활용 문제는 다음과 같은 순서로 푼다.
⑴문제의 상황에 맞게 미지수를 정한 후 연립일차부등식
을 세운다.
⑵ 연립일차부등식을 푼다.
⑶ 구한 해가 문제의 조건에 맞는지 확인한다.
절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
- 절댓값의 성질 이용
절댓값의 성질을 이용하여 다음과 같이 절댓값 기호를 없
앤 후 푼다. (단, c>0, d>0, c<d)
⑴ |ax+b|<c SG -c<ax+b<c
⑵ |ax+b|>c SG ax+b<-c 또는 ax+b>c
⑶ c<|ax+b|<d
‌
27 크고, 작은 두 수의 합에서 가장 큰 수를 뺀 값은 9
SG -d<ax+b<-c 또는 c<ax+b<d
연속하는 세 정수가 있다. 세 정수의 합은 30보다
보다 크지 않다고 할 때, 세 정수 중 가장 작은 수를
구하시오.
%의 소금물 200 g에 5 %의 소금물을 섞어서
28 20
10 % 이상 15 % 미만의 소금물을 만들려고 한다.
이때 섞어야 하는 5 %의 소금물의 양의 범위는?
|x+4|>3의 해가 x<a 또는 x>b일 때,
30 부등식
ab의 값은?
① -7
② -1
④7
⑤ 14
③1
|2x-1|<5를 만족시키는 모든 정수 x의
31 부등식
개수는?
① 80 g 초과 380 g 이하
①2
② 4
② 90 g 초과 390 g 이하
④8
⑤ 10
③6
③ 100 g 초과 400 g 이하
④ 110 g 초과 410 g 이하
⑤ 120 g 초과 420 g 이하
32
연립부등식 -
2x+5<9
|x-3|<7
을 만족시키는 정수 x의
개수를 구하시오.
초콜릿을 나누어 주는데 학생 한 명에
29 학생들에게
게 5개씩 주면 초콜릿이 13개 남고, 7개씩 주면 학
생 3명은 받지 못할 때, 학생은 최대 몇 명인지 구
하시오.
66 Ⅱ-4. 여러 가지 부등식
|ax+3|<b의 해가 -2<x<1일 때, 양
33 수부등식
a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.
정답과 해설 149쪽
유형 09
절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
- 구간을 나누어 풀기
|x|+|x-2|<6의 해가 a<x<b일 때,
37 부등식
b-a의 값을 구하시오.
절댓값 기호를 포함한 부등식은 절댓값 기호 안의 식의 값
이 0이 되는 값을 기준으로 범위를 나누어 푼다.
⑴‌|ax-b|<cx+d {a=0} 꼴의 부등식
b
b
‌SG x의 값의 범위를 x< , x> 로 나누어 푼다.
a
a
⑵ |x-a|+|x-b|<c {a<b, c>0} 꼴의 부등식
SG x의
‌ 값의 범위를 x<a, a<x<b, x>b로 나누어
참고 제곱근을 포함한 부등식은 1A@ 2=|A|임을 이용한다.
푼다.
34 부등식 |x-1|>3x-5를 풀면?
3
2
① x<1
② x<
④ 1<x<2
⑤ 1<x<2
② -1 ④1
⑤2
③0
①4
④
19
4
② 2
④4
⑤ 5
③3
39 부등식 |x+1|+1x@-4x+343<x+3의 해는?
① -2<x<2
② -1<x<3
③ 0<x<4
④ x<-1 또는 x>3
⑤ x<0 또는 x>4
대한 부등식 |3x-1|<x+a의 해가 36 x에
-1<x<3일 때, 양수 a의 값은?
17
②
4
①1
③ x<2
x>|3x+1|-7을 만족시키는 모든 정수
35 부등식
x의 값의 합은?
① -2
부등식 |2x-3|+2|2x+1|>5를 만족시키는 자
38 연수
x의 최솟값은?
9
③
2
3|x+2|+|x-2|<a가 해를 갖도록 하
40 부등식
는 상수 a의 값의 범위를 구하시오.
⑤5
01 연립일차부등식
67
02 이차부등식
유형 01
그래프를 이용한 부등식의 풀이
유형 02
⑴ 부등식 f{x}>g{x}의 해
이차부등식의 풀이
이차부등식 f{x}>0, f{x}<0의 해는 이차방정식 SG ‌함수 y=f{x}의 그래프가 함수 y=g{x}의 그래프
f{x}=0의 판별식 D에 대하여 다음을 이용하여 y=f{x}
보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위
의 그래프를 생각한 후 구한다.
⑵ 부등식 f{x}<g{x}의 해
⑴ D>0 또는 D=0이면
SG ‌함수 y=f{x}의 그래프가 함수 y=g{x}의 그래프
➡ f{x}를 실수 범위에서 인수분해한다.
보다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위
⑵ D<0이면
➡ f{x}를 a{x-p}@+q 꼴로 변형한다.
이차함수 y=f{x}, 1 두y=g{x}의
그래프가 오른
참고 절댓값 기호를 포함한 이차부등식은 절댓값 기호 안의 식의
y
쪽 그림과 같을 때, 부등식
값이 0이 되는 x의 값을 기준으로 범위를 나누어 푼다.
4
x@+4x>x+10의 해가 x<a 또는 4 이차부등식
x>b일 때, a+b의 값은?
2
-1
f{x}<g{x}의 해는?
y=f{x}
O
3
x
y=g{x}
① x<-1 또는 x>3
② -1<x<3
③ x<2 또는 x>4
① -5
② -4
④ -2
⑤ -1
③ -3
④ 2<x<3
⑤ 2<x<4
5 이차부등식 -x@+4x-2>0을 풀면?
y=ax@+bx+c의 그래프와 직선 2 이차함수
y=mx+n이 다음 그림과 같을 때, 이차부등식 ① x<2-j2
ax@+{b-m}x+c-n>0의 해를 구하시오.
y=ax@+bx+c
② x<2-j2 또는 x>2+j2
y
③ 2-j2<x<2+j2
④ 4-j2<x<4+j2
-2
-4
1
O
2
3
⑤ x>4+j2
x
y=mx+n
3 y=g{x}의 그래프가 오른
두 이차함수 y=f{x}, y=f{x}
y
쪽 그림과 같을 때, 부등식
f{x}g{x}>0의 해를 구
하시오.
68 Ⅱ-4. 여러 가지 부등식
O
1 2
3
4
x
y=g{x}
{x+2}{x-1}<4x+16을 만족시키
6 이차부등식
는 정수 x의 개수를 구하시오.
정답과 해설 151쪽
해가 없는 이차부등식인 것만을 있는 대
7 보기에서
로 고른 것은?
보기
ㄱ. x@+2x+1<0
ㄴ. x@-4x+4>0
ㄷ. x@+16>8x
ㄹ. x@-3x-5>3x@
유형 03
이차부등식의 활용
이차부등식의 활용 문제는 다음과 같은 순서로 푼다.
⑴문제의 상황에 맞게 미지수를 정한 후 이차부등식을 세
운다.
⑵ 이차부등식을 푼다.
⑶ 구한 해가 문제의 조건에 맞는지 확인한다.
①ㄱ
② ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ
③ ㄱ, ㄹ
높이가 20 m인 건물에서 초속 25 m
11 지면으로부터의
로 똑바로 위로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 지면으
로부터의 높이를 h m라 하면 h=20+25t-5t@인
관계가 성립한다고 한다. 이 물체의 높이가 40 m
이상인 시간은 몇 초 동안인지 구하시오.
1
8 일차부등식 ax-b<0의 해가 x< 9 일 때, 이차부
등식 ax@-2ax+9b<0을 푸시오. (단, a, b는 상수)
길이와 세로의 길이가 각각 5 cm, 9 cm인
12 가로의
직사각형이 있다. 이 직사각형의 가로의 길이를 x cm만큼 늘이고 세로의 길이를 x cm만큼 줄여서
만든 직사각형의 넓이가 13 cm@ 이상이 되도록 할
y=f{x}의 그래프가
9 이차함수
오른쪽 그림과 같을 때, 부등식
f{x}>4의 해를 구하시오.
y y=f{x}
-2
O
때, x의 최댓값을 구하시오.
1 x
-2
라면 전문점에서 라면 한 그릇의 가격이 2000
13 어느
원이면 하루에 200그릇이 판매되고, 라면 한 그릇
의 가격을 100원씩 내릴 때마다 하루 판매량이 20
그릇씩 늘어난다고 한다. 하루의 라면 판매액의 합
10 b-a의 값은?
부등식 x@-4|x|-5<0의 해가 a<x<b일 때,
계가 442000원 이상이 되기 위한 라면 한 그릇의
가격의 최댓값은?
① -2
② 2
④ 10
⑤ 14
③6
① 1500원
② 1600원
④ 1800원
⑤ 1900원
③ 1700원
02 이차부등식
69
02 이차부등식
유형 04
해가 주어진 이차부등식
유형 05
⑴‌해가 a<x<b이고 x@의 계수가 1인 이차부등식
부등식 f{x}<0의 해를 이용하여
부등식 f{ax+b}<0의 해 구하기
SG {x-a}{x-b}<0
이차부등식 f{x}<0의 해가 a<x<b이면
이차부등식 f{ax+b}=p{ax+b-a}{ax+b-b}
⑵‌해가 x<a 또는 x>b {a<b}이고 x@의 계수가 1인
SG {x-a}{x-b}>0
임을 이용하여 부등식 f{ax+b}<0의 해를 구할 수 있다.
14 -2<x<4일 때, ab의 값을 구하시오. x에 대한 부등식 x@+ax+b<0의 해가 (단, a, b는 상수이다.)
2x@+2ax-b>0의 해가 x<-4 또는
15 이차부등식
x>a일 때, 상수 a, b에 대하여 b-a의 값을 구하
시오. (단, a>-4)
x@+ax+b<0의 해가 x=-3일 때,
16 이차부등식
이차부등식 bx@-ax-24<0을 만족시키는 모든
정수 x의 값의 합은? (단, a, b는 상수)
① -1
② 0
④2
⑤ 3
f{x}=p{x-a}{x-b} {p>0}와 같이 식을 세운 후
y=f{x}의 그래프
18 가이차함수
오른쪽 그림과 같을 때, 부
등식 f [
x+1
]<0을 푸시오.
3
y
y=f{x}
-1
O
3
x
f{x}>0의 해가 x<-3 또는 x>4
19 이차부등식
일 때, 부등식 f{-x}<0을 푸시오.
이차부등식 f{x}<0의 해가 -2<x<6일 때, 부
20 등식
f{3x+1}<0을 만족시키는 정수 x의 개수를
구하시오.
③1
f{x}>0의 해가 1<x<5일 때, 다음
21 이차부등식
중 부등식 f{1004-x}<0을 만족시키는 x의 값
17 때, 이차부등식 cx@+4ax+2b>0을 푸시오. 이차부등식 ax@+bx+c>0의 해가 2<x<3일
70 Ⅱ-4. 여러 가지 부등식
(단, a, b, c는 상수)
이 될 수 없는 것은?
① 997
② 999
④ 1003
⑤ 1005
③ 1001
정답과 해설 152쪽
유형 06
정수인 해의 조건이 주어진 이차부등식
유형 07
이차부등식을 만족시키는 정수인 해의 개수 또는 합이 주
모든 실수에 대하여 항상 성립하는
이차부등식
이차방정식 ax@+bx+c=0의 판별식을 D라 할 때, 모든
어진 경우
➡주어진 이차부등식의 해를 구한 후 이 해가 조건을 만
족시키도록 수직선 위에 나타낸다.
실수 x에 대하여
⑴ ax@+bx+c>0이 성립한다. SG a>0, D<0
⑵ ax@+bx+c>0이 성립한다. SG a>0, D<0
22 시키는 모든 정수 x의 값의 합이 10일 때, 양의 정
이차부등식 x@-{2a+3}x+a{a+3}<0을 만족
⑶ ax@+bx+c<0이 성립한다. SG a<0, D<0
⑷ ax@+bx+c<0이 성립한다. SG a<0, D<0
수 a의 값은?
①1
② 2
④4
⑤5
③3
실수 x에 대하여 부등식 25 모든
x@-2kx+2k+15>0
이 성립하도록 하는 정수 k의 개수는?
이차부등식 x@-ax+2a<6x-4a를 만족시키는
23 정수
x가 4개가 되도록 하는 모든 자연수 a의 값의
합을 구하시오.
①7
② 9
④ 13
⑤ 15
③ 11
실수 x에 대하여 이차부등식 ax@-3ax-6<0
26 모든
이 성립하도록 하는 모든 정수 a의 값의 합을 구하
시오.
모든 실수 x에 대하여 1x@+2kx3-k+23가 실수가
27 되도록
하는 상수 k의 최댓값을 구하시오.
x@-{4a-3}x-12a<0을 만족시키
24 는이차부등식
정수 x가 6개가 되도록 하는 정수 a의 값은?
① -6
② -4
④2
⑤4
③ -2
실수 x에 대하여 부등식 28 모든
{m-3}x@+2{m-3}x-4<0
이 성립하도록 하는 상수 m의 값의 범위를 구하시
오.
02 이차부등식
71
02 이차부등식
정답과 해설 154쪽
유형 08
해를 갖거나 갖지 않을 조건이 주어진
이차부등식
⑴ 이차부등식 ax@+bx+c>0이 해를 가질 조건
① a>0이면 SG 이차부등식은 항상 해를 갖는다.
② a<0이면 SG b@-4ac>0
⑵ 이차부등식 ax@+bx+c>0이 해를 갖지 않을 조건
SG 이차부등식 ax@+bx+c<0의 해는 모든 실수이다.
SG a<0, b@-4ac<0
29 를 갖지 않도록 하는 실수 a의 최솟값을 구하시오.
x에 대한 이차부등식 x@+8x+{a-6}<0이 해
-x@+2{a+3}x+a-3>0이 해를
30 이차부등식
갖도록 하는 상수 a의 값의 범위를 구하시오.
유형 09
제한된 범위에서 항상 성립하는 이차부등식
⑴ a<x<b에서 이차부등식 f{x}>0이 항상 성립한다.
SG a<x<b에서 (`f{x}의 최솟값)>0이다.
⑵ a<x<b에서 이차부등식 f{x}<0이 항상 성립한다.
SG a<x<b에서 (`f{x}의 최댓값)<0이다.
이차부등식 -x@+3x+2k<0이 항
33 상1<x<2에서
성립하도록 하는 상수 k의 값의 범위는?
① k<-
9
8
④ k>1
② k<-1
③ k>-1
9
⑤ k> 8
x@-10x+24<0을 만족시키는 실수 x
34 이차부등식
에 대하여 이차부등식 x@-6x-a@+17>0이 항상
성립하도록 하는 정수 a의 개수를 구하시오.
ax@+4x+a>0이 해를 갖도록 하는
31 이차부등식
상수 a의 값의 범위를 구하시오.
이차함수 y=-x@+kx+2k의 그
35 -1<x<3에서
래프가 직선 y=-x+1보다 위쪽에 있을 때, 상수
k의 최솟값은?
ax@-2ax-3>0이 해를 갖지 않도록 하는
32 부등식
정수 a의 개수는?
①1
② 2
④4
⑤ 5
72 Ⅱ-4. 여러 가지 부등식
③3
①
7
5
②
11
5
④
19
5
⑤
23
5
③3
03 연립이차부등식
정답과 해설 155쪽
연립이차부등식의 풀이
유형 01
유형 02
해가 주어진 연립이차부등식
연립이차부등식은 다음과 같은 순서로 푼다.
각 부등식의 해의 공통부분이 주어진 해와 일치하도록 수
⑴ 각 부등식의 해를 구한다.
직선 위에 나타낸다.
⑵ ⑴에서 구한 해의 공통부분을 구한다.
1
3x+2<5x+12
연립부등식 를 푸시오.
2x@+2x>12
5
연립부등식 -
x@-2x-3>0
의 해가 x@-{a+2}x+2a<0
-2<x<-1일 때, 상수 a의 값은?
① -2
② -1 ④1
⑤ 2
③0
2 연립부등식
x@-x-56<0
-
2x@-3x-2>0
을 만족시키는 정수 x의 개수를 구하시오.
3x@+4x+1<0의 해와 연립부등식 6 이차부등식
6x@-x-1>0
‌-
의 해가 같을 때, 상수 a의 x@+{1-a}x-a<0
최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.
2x+1<x@-6x+8<15의 해가 a<x<b
3 부등식
일 때, ab의 값은?
① -7
② -1
④7
⑤ 14
③1
x@+{a+b}x+ab>0
7 연립부등식 - x@-{a+c}x+ac<0 의 해가 -2<x<1 또는 2<x<3일 때, 상수 a, b, c에
4
연립부등식 -
x@+2|x|-35>0
|x-2|<6
을 만족시키는 모
든 정수 x의 값의 합은?
①5
② 11
④ 26
⑤ 35
대하여 abc의 값은? (단, a<b<c)
① -6
② -2
④4
⑤6
③2
③ 18
03 연립이차부등식
73
03 연립이차부등식
유형 03
해의 조건이 주어진 연립이차부등식
유형 04
연립이차부등식의 활용
각 부등식의 해를 구한 후 이를 주어진 해의 조건을 만족
연립이차부등식의 활용 문제는 다음과 같은 순서로 푼다.
시키도록 수직선 위에 나타낸다.
⑴문제의 상황에 맞게 미지수를 정한 후 연립이차부등식
을 세운다.
⑵ 연립이차부등식을 푼다.
x@-5x-14>0
8 연립부등식 - x@-2{a+3}x+a@+6a<0이 해를
갖지 않도록 하는 정수 a의 최댓값을 구하시오.
⑶ 구한 해가 문제의 조건에 맞는지 확인한다.
길이가 24인 직사각형의 넓이가 27 이상이
11 고둘레의
가로의 길이가 세로의 길이보다 길거나 같도록
가로의 길이와 세로의 길이를 정할 때, 가로의 길이
의 범위를 구하시오. 9
연립부등식 -
x@+x-6<0
을 만족시키는
x@-{a+5}x+5a>0
정수 x의 값이 -2뿐일 때, 상수 a의 값의 범위를
구하시오.
그림과 같이 직사각형
12 오른쪽
ABCD의 변 위에 AEZ=AFZ=BFZ, EDZ=3을
만족시키는 두 점 E, F와 A
E
F
H
ADZ|FHZ, ABZ|EGZ를 만족
시키는 두 점 H, G가 있다.
B
D
G
C
이때 색칠한 부분의 둘레의 길이가 42 이하이고 넓
이가 18 이상이 되도록 하는 선분 AE의 길이의 최
댓값을 구하시오.
연립부등식
10 x에 대한
x@-2x-3>0
-
x@-{5+k}x+5k<0
을 만족시키는 정수 x의 개수가 5가 되도록 하는
모든 정수 k의 값의 곱은?
① -36
② -30
④ -18
⑤ -12
③ -24
변의 길이가 2x-1, x, 2x+1인 삼각형이 둔각
13 세삼각형이
되도록 하는 x의 값의 범위는?
① 1<x<3
② 1<x<5
③ 1<x<7
④ 2<x<8
⑤ 2<x<9
74 Ⅱ-4. 여러 가지 부등식
정답과 해설 156쪽
유형 05
이차방정식의 근의 판별
유형 06
이차방정식의 실근의 부호
이차방정식 ax@+bx+c=0의 판별식을 D라 할 때, 다
이차방정식 ax@+bx+c=0의 두 실근을 a, b, 판별식을
음을 이용하여 이차부등식을 세운다.
D라 하면
⑵ 중근을 갖는다. SG D=0
⑵ 두 근이 모두 음수 SG D>0, a+b<0, ab>0
⑴ 서로 다른 두 실근을 갖는다. SG D>0
⑶ 서로 다른 두 허근을 갖는다. SG D<0
x@+ax+a=0은 허근을 갖고, 이차방
14 이차방정식
정식 x@+ax-a+3=0은 실근을 갖도록 하는 실
수 a의 값의 범위는?
① -6<a<0
② -6<a<4
③ 0<a<2
④ 0<a<4
⑴ 두 근이 모두 양수 SG D>0, a+b>0, ab>0
⑶ 두 근이 서로 다른 부호 SG ab<0
이차방정식 x@-2{k+1}x+4=0의 서로 다른 두
17 근이
모두 양수일 때, 실수 k의 값의 범위는?
① k<-3
② k<-3
④ k>1
⑤ k>1
③ k>-1
⑤ 2<a<4
이차방정식 x@+{k-1}x+k+2=0의 두 근이
18 모두
음수일 때, 실수 k의 최솟값은?
15 지 않고, 이차함수 y=x@-2ax+16의 그래프는 x
이차함수 y=x@+ax+16의 그래프는 x축과 만나
① -2
② 1
④4
⑤ 7
③3
축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 정수 a의
개수는?
①4
② 6
④ 10
⑤ 12
③8
대한 이차방정식 19 x에
x@+4{m-1}x+m@-m-6=0의 두 근의 부호
가 서로 다를 때, 정수 m의 개수를 구하시오.
x@+2ax+3a+4=0은 실근을 갖고,
16 이차방정식
부등식 {a+2}x@-2{a+2}x+7>0은 모든 실
수 x에 대하여 성립하도록 하는 모든 정수 a의 값
의 합을 구하시오.
대한 이차방정식 20 x에
x@-{k@-2k-8}x-k+3=0의 두 근의 부호가
서로 다르고 양수인 근이 음수인 근의 절댓값보다
클 때, 정수 k의 최솟값을 구하시오.
03 연립이차부등식
75
03 연립이차부등식
정답과 해설 158쪽
유형 07
이차방정식의 실근의 위치
이차방정식 ax@+bx+c=0 {a>0}의 판별식을 D라 하
고, f{x}=ax@+bx+c라 할 때
x@-4kx+3k+1=0의 두 근이 모두
24 이차방정식
-1과 1 사이에 있을 때, 실수 k의 최댓값을 구하
시오.
⑴ 두 근이 모두 p보다 크다.
SG D>0, f{p}>0, -
b
>p
2a
◀ 축의 방정식 x=-
b
2a
⑵ 두 근이 모두 p보다 작다.
SG D>0, f{p}>0, -
b
<p
2a
⑶ 두 근 사이에 p가 있다.
SG f{p}<0
⑷ 두 근이 모두 p, q 사이에 있다. (단, p<q)
SG D>0, f{p}>0, f{q}>0, p<-
b
<q
2a
이차방정식 x@-{k+1}x-4k=0의 두 근을 a, 25 b라
할 때, -1<a<0, 2<b<3이 되도록 하는
실수 k의 값의 범위가 p<k<q이다. 이때 p+q의
값을 구하시오.
x에 대한 이차방정식 x@-3x+a@-2=0의 두 근
21 사이에
2가 있을 때, 실수 a의 값의 범위를 구하시
오.
x@-3x+a+2=0의 서로 다른 두 근
26 이차방정식
중 한 근만이 이차방정식 x@-7x+12=0의 두 근
22 1보다 작을 때, 정수 a의 개수를 구하시오.
이차방정식 x@-2ax+4a+5=0의 두 근이 모두
사이에 있도록 하는 실수 a의 값의 범위는?
① -7<a<-2
② -7<a<-1
③ -6<a<-3
④ -6<a<-2
⑤ -4<a<-2
x@+2{k+2}x-k-2=0의 서로 다
23 이차방정식
른 두 실근이 모두 -2보다 클 때, 실수 k의 값의
범위는?
① k<-3
② -3<k<-2
6
③ - <k<0
5
6
④ k<-3 또는 -2<k<5
⑤ k<-3 또는 -2<k<0
76 Ⅱ-4. 여러 가지 부등식
x@-2{a+2}x-a=0이 -2<x<2
27 이차방정식
에서 실근을 갖도록 하는 실수 a의 값의 범위가 a<a 또는 a>b일 때, ab의 값은?
①3
② 4
④6
⑤7
③5
1
경우의 수
경우의 수
01 합의 법칙과 곱의 법칙
02 순열
03 조합
01 합의 법칙과 곱의 법칙
유형 01
합의 법칙
유형 02
방정식, 부등식을 만족시키는 순서쌍의 개수
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A와 사
방정식 ax+by+cz=d 또는 부등식 ax+by+cz<d를
건 B가 일어나는 경우의 수가 각각 m, n이면
만족시키는 자연수 x, y, z의 순서쌍 {x, y, z}의 개수는 x,
(사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수)=m+n
y, z 중에서 계수의 절댓값이 가장 큰 문자에 1, 2, 3, y
을 차례대로 대입하여 구한다.
1 는 두 눈의 수의 합이 8의 약수인 경우의 수를 구하
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오
참고 음이 아닌 정수의 순서쌍의 개수를 구할 때는 주어진 방정식
또는 부등식의 계수의 절댓값이 가장 큰 문자에 0, 1, 2, y
를 차례대로 대입한다.
시오.
x, y, z에 대하여 방정식 2x+y+z=8을
5 자연수
만족시키는 순서쌍 {x, y, z}의 개수는?
2 는 두 눈의 수의 차가 2 미만인 경우의 수는?
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오
① 12
② 14
④ 18
⑤ 20
①5
② 7 ④ 11
⑤ 13
③9
③ 16
아닌 정수 x, y에 대하여 부등식 2x+5y<15
6 음이
를 만족시키는 순서쌍 {x, y}의 개수는?
5까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 5개의
3 1부터
공이 들어 있는 주머니에서 1개씩 세 번 공을 꺼낼
① 18
② 19
④ 21
⑤ 22
③ 20
때, 꺼낸 공에 적힌 세 수의 곱이 4 또는 5인 경우
의 수를 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣는다.)
1부터 100까지의 자연수 중에서 3과 5로 모두 나누
4 어떨어지지
않는 수의 개수는?
① 32
② 48
④ 69
⑤ 74
78 Ⅲ-1. 경우의 수
③ 53
y=2x@-ax+b의 그래프가 x축과 만나
7 지이차함수
않도록 하는 5 이하의 자연수 a, b의 순서쌍 {a, b}의 개수를 구하시오.
정답과 해설 160쪽
유형 03
곱의 법칙
유형 04
약수의 개수
두 사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어나는 경우의 수가
자연수 N이 N=pAqBrC ( p, q, r는 서로 다른 소수, a, b,
m, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n
c는 자연수) 꼴로 소인수분해될 때, N의 양의 약수의 개수
이면
(두 사건 A, B가 동시에 일어나는 경우의 수)=m\n
모자, 5종류의 바지, 2종류의 신발 중에서
8 4종류의
모자, 바지, 신발을 각각 1개씩 구매하는 경우의 수
를 구하시오.
{a+b}{x+y+z}{p+q+r}를 전개할
9 때다항식
생기는 항의 개수를 구하시오.
SG {a+1}{b+1}{c+1}
12 360의 양의 약수의 개수는?
① 12
② 18
④ 30
⑤ 36
③ 24
13 120과 320의 양의 공약수의 개수는?
①8
② 9
④ 11
⑤ 12
③ 10
조건을 만족시키는 두 자리의 자연수의 개수
10 다음
는?
㈎ 2의 배수이다.
㈏ 십의 자리의 수는 6의 약수이다.
① 16
② 20
④ 28
⑤ 32
③ 24
다른 세 개의 주사위를 동시에 던질 때, 적어
11 서로
도 하나의 주사위에서 3의 배수의 눈이 나오는 경
우의 수는?
① 27
② 64
④ 152
⑤ 189
③ 108
180의 양의 약수 중에서 짝수의 개수를 a, 3의 배
14 수의
개수를 b라 할 때, a+b의 값은?
① 20
② 21
④ 23
⑤ 24
③ 22
양의 약수의 개수가 80일 때, 자연수
15 2$\3#\7N의
n의 값을 구하시오.
01 합의 법칙과 곱의 법칙
79
01 합의 법칙과 곱의 법칙
UP
유형 05
수형도를 이용하는 경우의 수
유형 06
도로망에서의 경우의 수
특별한 규칙이 없을 때의 경우의 수는 중복되거나 빠짐없
⑴연이어 갈 수 있는 도로이면 곱의 법칙을 이용한다.
이 모든 경우를 나열하여 구한다. 이때 수형도를 이용하면
⑵ 연이어 갈 수 없는 도로이면 합의 법칙을 이용한다.
편리하다.
학생이 보고서를 작성한 후 각자 다른 한 명
16 4명의
의 보고서를 보려고 한다. 자신의 보고서는 자신이
보지 않는다고 할 때, 보고서를 보는 경우의 수는?
①3
② 6
④ 12
⑤ 15
③9
그림과 같이 집, 도
19 오른쪽
서관, 편의점 사이를 연결
편의점
하는 도로가 있다. 집에서
출발하여 도서관에 갔다가
집
편의점을 들러 집으로 돌아
오는 경우의 수를 구하시
도서관
오. (단, 같은 지점은 두 번
이상 지나지 않는다.)
5개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 일렬로 나열하여 다섯
17 자리의
자연수 a1a2a3a4a5를 만들 때, 그림과 같이 네 지
20 오른쪽
점 A, B, C, D를 연결하
a2=2, ak=k {k=1, 3, 4, 5}
는 도로가 있다. B 지점에
를 만족시키는 자연수의 개수를 구하시오. 서 D 지점으로 가는 경우
B
A
D
의 수를 구하시오. 학생 A, B, C, D, E가 가방을 운동장에 모
18 아5명의
놓고 농구를 한 후 임의로 가방을 하나씩 들었을
(단, 같은 지점은 두 번 이상 지나지 않는다.)
그림과 같이 세 지
21 오른쪽
점 A, B, C를 연결하는 도
때, 1명만 자신의 가방을 드는 경우의 수는?
로가 있다. A 지점에서 출
① 40
② 45
발하여 C 지점으로 갔다가
④ 55
⑤ 60
③ 50
A
B
C
한 번 지나간 길은 다시 지나지 않고 A 지점으로
돌아오는 경우의 수를 구하시오.
80 Ⅲ-1. 경우의 수
C
(단, 같은 지점은 두 번 이상 지나지 않는다.)
정답과 해설 161쪽
유형 07
UP
색칠하는 경우의 수
유형 08
색칠하는 경우의 수는 다음과 같은 순서로 구한다.
지불 방법의 수와 지불 금액의 수
⑴ 지불 방법의 수
⑴가장 많은 영역과 인접하고 있는 영역에 색칠하는 경우
의 수를 먼저 구한다.
⑵서로 같은 색을 칠할 수 있는 영역은 같은 색을 칠하는
단위가 다른 화폐가 각각 p개, q개, r개일 때
SG {p+1}{q+1}{r+1}-1
⑵ 지불 금액의 수
0원을 지불하는 경우 제외
다른 종류의 화폐 각각으로 지불할 수 있는 금액이 중
경우와 다른 색을 칠하는 경우로 나누어 생각한다.
복되는 경우 큰 단위의 화폐를 작은 단위의 화폐로 바
⑶ 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한다.
꾸어 생각한다.
그림과 같은 5개의 영
22 역오른쪽
A, B, C, D, E를 서로
B
A
다른 5가지 색으로 칠하려고
C
D
E
동전 4개, 100원짜리 동전 3개, 500원짜
25 10원짜리
리 동전 2개의 일부 또는 전부를 사용하여 지불할
수 있는 방법의 수는?
한다. 같은 색을 중복하여 사
(단, 0원을 지불하는 경우는 제외한다.)
용해도 좋으나 인접한 영역은 서로 다른 색을 칠하
는 경우의 수를 구하시오.
(단, 각 영역에는 한 가지 색만 칠한다.)
그림과 같은 5개
23 의오른쪽
영역 A, B, C, D, E
를 서로 다른 4가지 색으
A
①9
② 23
④ 59
⑤ 60
③ 24
E
B
C
D
로 칠하려고 한다. 같은 색
지폐 3장, 5000원짜리 지폐 2장,
26 1000원짜리
10000원짜리 지폐 3장의 일부 또는 전부를 사용하
을 중복하여 사용해도 좋으나 인접한 영역은 서로
여 지불할 수 있는 금액의 수를 구하시오.
다른 색을 칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 0원을 지불하는 경우는 제외한다.)
(단, 각 영역에는 한 가지 색만 칠한다.)
오른쪽 그림과 같이 5개의 영역으로
24 나누어진
도형을 서로 다른 3가지
색으로 칠하려고 한다. 같은 색을 중
복하여 사용해도 좋으나 인접한 영
역은 서로 다른 색을 칠하는 경우의
수를 구하시오.
지폐 1장, 500원짜리 동전 4개, 100원
27 1000원짜리
짜리 동전 3개의 일부 또는 전부를 사용하여 지불할
수 있는 방법의 수를 a, 지불할 수 있는 금액의 수를
b라 할 때, a+b의 값을 구하시오. (단, 0원을 지불하는 경우는 제외한다.)
(단, 각 영역에는 한 가지 색만 칠한다.)
01 합의 법칙과 곱의 법칙
81
02 순열
유형 01
nPr의 계산
유형 02
nPr=n{n-1}{n-2}\y\{n-r+1}(단, 0<r<n)
n?
‌=
(단, 0<r<n)
{n-r}?
등식 2nP3=52\nP2를 만족시키는 자연수 n의 값
2 은?
② 6
④8
⑤ 9
③7
3 는 자연수 n의 값은?
등식 n'1P3-4\nP2-10\n-1P1=0을 만족시키
①2
② 3
④5
⑤ 6
⑴서로 다른 n개에서 r개를 택하여 일렬로 나열하는 경
우의 수 SG nPr
⑵ 서로 다른 n개를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수
5Pr\4?=1440을 만족시키는 자연수 r의 값
1 등식
을 구하시오.
①5
순열의 수
③4
SG nPn=n?
시합에서 4명의 선수가 승부차기를 할 때, 순
5 축구
서를 정하는 경우의 수를 구하시오.
개의 숫자 1, 3, 5, 7, 9 중에서 서로 다른 4개
6 다섯
를 사용하여 만들 수 있는 네 자리의 비밀번호의 개
수는?
① 24
② 60
④ 180
⑤ 625
③ 120
서로 다른 n권의 책 중에서 3권을 택하여 책꽂이에
7 일렬로
꽂는 경우의 수가 210일 때, n의 값을 구하
시오.
문고에 있는 서로 다른 5권의 문학 영역의 책
8 학급
과 서로 다른 4권의 과학 영역의 책 중에서 같은 영
역의 책으로만 2권을 골라 순서대로 읽는 경우의
5Pr<12\5Pr-2를 만족시키는 자연수 r의
4 부등식
개수를 구하시오.
82 Ⅲ-1. 경우의 수
수는?
① 20
② 32
④ 120
⑤ 240
③ 72
정답과 해설 163쪽
유형 03
이웃할 때의 순열의 수
서로 다른 n개 중에서 r개가 서로 이웃하도록 나열하는
경우의 수는 다음과 같은 순서로 구한다.
⑴이웃하는 것을 한 묶음으로 생각하여 일렬로 나열하는
다른 2권의 수학 영역 교재, 서로 다른 4권의
12 서로
영어 영역 교재, 서로 다른 2권의 국어 영역 교재를
책꽂이에 일렬로 꽂을 때, 같은 영역의 교재끼리 서
로 이웃하도록 꽂는 경우의 수를 구하시오.
경우의 수를 구한다. SG {n-r+1}?
⑵묶음 안에서 이웃하는 것끼리 자리를 바꾸는 경우의 수
를 구한다. SG r?
⑶⑴, ⑵에서 구한 경우의 수를 곱한다.
SG {n-r+1}?\r?
B를 포함한 농구 선수 5명을 일렬로 세울 때,
9 A,
A와 B가 서로 이웃하도록 세우는 경우의 수는?
①4
② 12 ④ 48
⑤ 60
7개의 문자 c, h, e, e, r, u, p를 모두 일렬로 나
13 열할
때, 2개의 문자 e가 서로 이웃하게 되는 경우
의 수를 구하시오.
③ 24
1학년 학생 5명과 2학년 학생 3명을 일렬로 세울
10 때,
2학년 학생 3명이 서로 이웃하도록 세우는 경
우의 수는?
학생 2명, 2학년 학생 2명, 3학년 학생 2명
14 1학년
을 3명씩 두 줄로 세워 사진을 찍으려고 한다. 1학
년 학생끼리 같은 줄에 서로 이웃하도록 세우고, 2
학년 학생끼리 같은 줄에 서로 이웃하도록 세우는
① 24
② 60
④ 720
⑤ 4320
③ 120
야구 선수 n명과 축구 선수 5명을 일렬로 세울 때,
11 축구
선수끼리 서로 이웃하도록 세우는 경우의 수
가 2880이다. 이때 n의 값은?
①3
②4
④6
⑤ 7
경우의 수를 구하시오.
놓여 있는 7개의 똑같은 의자에 남학생 2명
15 일렬로
과 여학생 3명이 앉을 때, 남학생끼리 서로 이웃하
도록 앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 두 학생 사이
에 빈 의자가 있는 경우는 이웃하지 않는 것으로 한
③5
다.)
02 순열
83
02 순열
유형 04
이웃하지 않을 때의 순열의 수
유형 05
제한 조건이 있을 때의 순열의 수
서로 다른 n개 중에서 r개가 서로 이웃하지 않도록 나열하는
제한 조건이 있을 때의 순열의 수는 다음과 같은 순서로
경우의 수는 다음과 같은 순서로 구한다.
구한다.
⑴이웃해도 되는 것을 일렬로 나열하는 경우의 수를 구한다.
⑴특정한 자리를 고정시키고, 그 자리에 나열하는 경우의
⑵이웃해도 되는 것의 사이사이와 양 끝에 이웃하지 않는
⑵특정한 자리를 제외한 나머지 자리에 나열하는 경우의
SG {n-r}?
수를 구한다.
것을 나열하는 경우의 수를 구한다. SG n-r'1Pr
⑶⑴, ⑵에서 구한 경우의 수를 곱한다.
SG {n-r}?\n-r'1Pr
friend에 있는 6개의 문자를 일렬로 나열할 때, 모
16 음끼리
서로 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수
를 구하시오.
수를 구한다.
⑶ ⑴, ⑵에서 구한 경우의 수를 곱한다.
포함한 6명의 학생이 달리기 시합을 할 때,
20 은혜를
은혜가 4등을 하는 경우의 수는?
①2
② 6 ④ 120
⑤ 720
③ 24
3명과 여학생 3명을 일렬로 세울 때, 남학
17 남학생
생과 여학생을 교대로 세우는 경우의 수는?
① 36
② 48
④ 108
⑤ 144
③ 72
있는 7개의 문자를 일렬로 나열할 때,
21 delight에
양 끝에 자음이 오도록 나열하는 경우의 수를 구하
시오.
축구 선수 2명, 야구 선수 2명, 농구 선수 3명을 일
18 렬로
세울 때, 축구 선수끼리는 서로 이웃하고 야구
선수끼리는 서로 이웃하지 않도록 세우는 경우의
수를 구하시오.
놓여 있는 9개의 똑같은 접시에 서로 다른
19 일렬로
종류의 빵 4개를 올려 놓을 때, 어느 두 개의 빵도
서로 이웃하지 않도록 올려 놓는 경우의 수는? (단, 한 개의 접시에 한 개의 빵만 올려 놓는다.)
①6
② 30
④ 360
⑤ 720
84 Ⅲ-1. 경우의 수
③ 120
남자 4명과 여자 2명을 일렬로 세울 때, 여자는 양
22 끝에
세우지 않는 경우의 수는?
① 48
② 96
④ 288
⑤ 576
③ 144
정답과 해설 164쪽
아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 5명의 가
23 할머니,
족이 있다. 이 가족이 그림과 같이 번호가 적힌 5개
의 의자에 모두 앉을 때, 아버지, 어머니가 모두 홀
수 번호가 적힌 의자에 앉는 경우의 수는?
1
2
3
4
5
유형 06
‘적어도’의 조건이 있을 때의 순열의 수
(사건 A가 적어도 한 번 일어나는 경우의 수)
=(모든 경우의 수)-(사건 A가 일어나지 않는 경우의 수)
7개의 문자 A, B, C, D, E, F, G가 각각 하나씩
27 적힌
7장의 카드 중에서 3장을 뽑아 일렬로 나열할
때, 적어도 하나는 모음이 적힌 카드가 놓이도록 나
열하는 경우의 수를 구하시오.
① 28
② 30
④ 34
⑤ 36
③ 32
숫자 1, 2, 3, 4, 5가 각각 하나씩 적힌 5장
28 5개의
의 카드를 일렬로 나열할 때, 홀수가 적힌 카드가
3명과 여학생 4명을 일렬로 세울 때, 같은
24 남학생
성별의 학생을 양 끝에 세우는 경우의 수를 구하시
오.
있는 5개의 문자를 일렬로 나열할 때, t와
25 times에
s 사이에 i만 오도록 나열하는 경우의 수를 구하시
오.
26 와 t 사이에 2개의 모음만 오도록 나열하는 경우의
cabinet에 있는 7개의 문자를 일렬로 나열할 때, c
수를 구하시오.
적어도 2개는 서로 이웃하도록 나열하는 경우의 수
는?
① 72
② 84
④ 108
⑤ 120
③ 96
놓여 있는 7개의 똑같은 의자에 학생 2명이
29 일렬로
앉을 때, 두 학생 사이에 적어도 하나의 빈 의자가
있도록 하는 경우의 수를 구하시오.
다른 6개의 알파벳을 일렬로 나열할 때, 적어
30 서로
도 한쪽 끝에 자음이 오도록 나열하는 경우의 수는
576이다. 이때 6개의 알파벳 중에서 자음의 개수를
구하시오.
02 순열
85
02 순열
정답과 해설 165쪽
유형 07
순열을 이용한 자연수의 개수
유형 08
사전식 배열에서 특정한 위치 찾기
주어진 조건에 따라 기준이 되는 자리에 오는 숫자를 먼저
문자를 사전식으로 배열하거나 숫자를 크기순으로 나열할
정하고 나머지 자리에는 남은 숫자를 나열한다. 이때 맨
때, 맨 앞 자리부터 고정시켜서 차례대로 순열의 수를 구
앞 자리에는 0이 올 수 없음에 유의한다.
해 본다.
참고 서로 다른 n개의 숫자에서 서로 다른 k개를 택하여 만들 수
있는 k자리의 자연수의 개수는
숫자 1, 2, 3, 4, 5를 모두 사용하여 만든 다
35 5개의
섯 자리의 자연수를 작은 수부터 순서대로 나열할
•숫자에 0이 포함되지 않은 경우 SG nPk
•숫자에 0이 포함된 경우 SG {n-1}\n-1Pk-1
때, 24351은 몇 번째 수인지 구하시오.
숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5에서 서로 다른 5개의
31 6개의
숫자를 택하여 만들 수 있는 다섯 자리의 자연수의
개수를 구하시오.
숫자 0, 1, 2, 3, 4를 모두 사용하여 만들 수
32 5개의
있는 다섯 자리의 자연수 중에서 짝수의 개수를 구
하시오.
문자 A, B, C, D, E, F를 모두 한 번씩
36 6개의
만 사용하여 만든 문자열을 사전식으로 배열할 때,
267번째로 나타나는 문자열은?
① AFEDBC
② BFDCAE
③ CADEFB
④ CBADFE
⑤ CBAEDF
숫자 1, 2, 3, 4, 5에서 서로 다른 3개의 숫
33 5개의
자를 택하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수 중에서
3의 배수가 아닌 것의 개수를 구하시오.
숫자 0, 1, 2, 3, 4에서 서로 다른 3개의 숫
34 5개의
자를 택하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수 중에서
백의 자리의 숫자가 일의 자리의 숫자보다 큰 자연
수의 개수는?
① 10
② 20
④ 40
⑤ 50
86 Ⅲ-1. 경우의 수
③ 30
숫자 0, 1, 2, 3, 4를 모두 사용하여 만든 다
37 5개의
섯 자리의 자연수 중에서 56번째로 큰 수는?
① 23401
② 23410
④ 24301
⑤ 24310
③ 24103
03 조합
정답과 해설 166쪽
유형 01
‌nCr=
nCr의 계산
유형 02
서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 택하는
nPr
n?
=
(단, 0<r<n)
r?
r?{n-r}?
경우의 수 SG nCr
nC2+n'1C3=2\nP2를 만족시키는 자연수 n
1 등식
의 값은?
①5
② 6
④8
⑤ 9
조합의 수
③7
대한 이차방정식 5x@+nCrx-2\nPr=0의
2 x에
두 근이 -4, 2가 되도록 하는 자연수 n, r에 대하
날 급식에 밥 2종류, 반찬 6종류, 국 3종류가
4 어느
나왔을 때, 밥 1종류, 반찬 3종류, 국 1종류를 고르
는 경우의 수는?
① 40
② 60
④ 100
⑤ 120
③ 80
학교 학생 5명과 B 학교 학생 9명으로 이루어진
5 A글짓기
동아리에서 대회에 나갈 대표 3명을 뽑을 때,
같은 학교 학생으로만 뽑는 경우의 수를 구하시오.
여 nr의 값을 구하시오.
피자 가게에서는 서로 다른 5개의 토핑 중에
6 어느
서 원하는 토핑을 선택하여 주문할 수 있다고 한다.
이때 토핑을 선택하는 경우의 수를 구하시오. 3
보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, 토핑은 1개 이상 선택해야 한다.)
보기
ㄱ. nPr=r?\nCr (단, 0<r<n)
ㄴ. r\nCr-1=n\n-1Cr-1 (단, 1<r<n)
ㄷ. nCr\rCk=nCk\n-kCr-k (단, 0<k<r<n)
①ㄱ
② ㄷ ④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
옷가게에서 판매하는 셔츠와 바지의 가짓수가
7 어느
같다. 이 옷가게에서 셔츠와 바지의 구분 없이 3가
지를 고르는 경우의 수가 셔츠 중에서 3가지를 고르
는 경우의 수의 10배일 때, 이 옷가게에서 셔츠 1가
지와 바지 2가지를 고르는 경우의 수를 구하시오. (단, 셔츠와 바지의 종류는 각각 3가지 이상이다.)
03 조합
87
03 조합
유형 03
제한 조건이 있을 때의 조합의 수
⑴서로 다른 n개에서 특정한 k개를 포함하여 r개를 뽑는
경우의 수
SG k개는
‌
고정시키고 나머지 {n-k}개 중에서 a, b, c에 대하여 부등식 1<a<b<c<7
11 자연수
을 만족시키는 모든 순서쌍 {a, b, c}의 개수는?
① 10
② 15 ④ 30
⑤ 35
③ 20
{r-k}개를 뽑는 경우의 수와 같으므로 n-kCr-k
⑵서로 다른 n개에서 특정한 k개를 제외하고 r개를 뽑는
경우의 수
SG k개를
‌
제외한 {n-k}개 중에서 r개를 뽑는 경우의
수와 같으므로 n-kCr
⑶n개 중에서 a<b<c를 만족시키는 a, b, c를 정하는
경우의 수
SG n개
‌ 중에서 3개를 뽑아 크기가 작은 순서대로 a, b,
c로 정하면 되므로 nC3
8까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 8
12 1부터
장의 카드 중에서 동시에 5장의 카드를 선택하려고
한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수의 합이 짝수인
경우의 수는?
B 두 학생을 포함한 9명의 학생 중에서 4명을
8 A,
뽑을 때, A, B를 모두 포함하여 뽑는 경우의 수는?
①9
② 14
④ 28
⑤ 32 ① 24
② 28 ④ 36
⑤ 40
③ 32
③ 21
그림과 같이 9개의 칸으로 나누
13 어진
정사각형의 각 칸에 1부터
9 공이 들어 있는 주머니에서 동시에 3개의 공을 꺼
1부터 9까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 9개의
낼 때, 5가 적힌 공은 반드시 꺼내고 짝수가 적힌
공은 꺼내지 않는 경우의 수를 구하시오.
9까지의 자연수가 적혀 있다. 이
9개의 숫자 중 다음 조건을 만족
1
2
3
4
5
6
7
8
9
시키도록 2개의 숫자를 선택하려고 한다.
㈎ 선택한 2개의 숫자는 서로 다른 가로줄에 있다.
㈏ 선택한 2개의 숫자는 서로 다른 세로줄에 있다.
예를 들어 숫자 1과 5를 선택하는 것은 조건을 만
족시키지만 숫자 3과 9를 선택하는 것은 조건을 만
10 종이 중에서 3장을 뽑을 때, 노란색 색종이를 반드
노란색 색종이를 포함한 색이 서로 다른 n장의 색
시 포함하여 뽑는 경우의 수가 15이다. 이때 n의
값을 구하시오.
88 Ⅲ-1. 경우의 수
족시키지 않는다. 조건을 만족시키도록 2개의 숫자
를 선택하는 경우의 수는?
①9
② 12
④ 18
⑤ 21
③ 15
정답과 해설 167쪽
유형 04
‘적어도’의 조건이 있을 때의 조합의 수
유형 05
뽑아서 나열하는 경우의 수
(사건 A가 적어도 한 번 일어나는 경우의 수)
서로 다른 n개 중에서 r개를 택하여 일렬로 나열하는 경
=(모든 경우의 수)-(사건 A가 일어나지 않는 경우의 수)
우의 수
남학생 5명과 여학생 5명 중에서 4명을 뽑을 때, 여
14 학생을
적어도 1명은 포함하여 뽑는 경우의 수는?
① 190
② 195
④ 205
⑤ 210 ③ 200
SG nCr\r?
서로 다른 6권의 국어책과 서로 다른 4권의 수학책
18 중에서
2권의 국어책과 2권의 수학책을 택하여 책
꽂이에 일렬로 꽂는 경우의 수는?
① 1190
② 1200
④ 1890
⑤ 2160
③ 1440
학생 6명과 2학년 학생 8명 중에서 3명을 뽑
15 아1학년
진로 탐색 활동을 하려고 할 때, 1학년 학생과 2
학년 학생을 각각 적어도 1명씩 포함하여 뽑는 경
우의 수는?
① 36
② 72
④ 288
⑤ 576
③ 144
문자 a, b, c, d, e, f, g 중에서 a, b를 포함
19 7개의
한 4개의 문자를 택하여 일렬로 나열하는 경우의
수는?
① 240
② 252
④ 276
⑤ 288
③ 264
10명인 볼링 동호회에서 운영진 3명을 뽑을
16 회원이
때, 남자 회원을 적어도 1명은 포함하여 뽑는 경우
의 수가 110이다. 이때 남자 회원 수를 구하시오.
A, B 두 사람을 포함한 8명 중에서 5명을 뽑아 일
20 렬로
세울 때, A, B를 모두 포함하고 이 두 명이
서로 이웃하도록 세우는 경우의 수는?
17 의 카드 중에서 5장을 택할 때, 짝수가 적힌 카드를
1부터 10까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 10장
① 940
② 950
④ 970
⑤ 980
③ 960
적어도 2장은 택하는 경우의 수를 구하시오.
03 조합
89
03 조합
정답과 해설 168쪽
유형 06
직선 또는 삼각형의 개수
유형 07
사각형의 개수
어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 n개의 점
서로 평행한 m개의 직선과 서로 평행한 n개의 직선이 만
에 대하여
날 때, 이 직선으로 만들 수 있는 평행사변형의 개수
⑴ 2개의 점을 이어서 만들 수 있는 직선의 개수 SG nC2
⑵ 3개의 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수 SG nC3
SG ‌서로 평행한 m개의 직선과 서로 평행한 n개의 직선
중에서 각각 2개를 택하면 되므로 mC2\nC2
참고 한 직선 위에 있는 서로 다른 3개의 점으로는 삼각형을 만
들 수 없다.
서로 다른 n개의 점 중에서 어느 세 점도 한 직선
21 위에
있지 않을 때, 이 점 중에서 2개의 점을 이어
서 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수는 66이다.
그림과 같이 서로 평
24 오른쪽
행한 6개의 직선과 서로 평
행한 5개의 직선이 만날 때,
이 평행한 직선으로 만들 수
있는 평행사변형의 개수를 구하시오.
이때 n의 값은?
①8
② 9
④ 11
⑤ 12
③ 10
그림과 같이 반원 위
25 오른쪽
에 있는 9개의 점 중에서 4개
의 점을 꼭짓점으로 하는 사
각형의 개수는?
그림과 같이 원 위에
22 오른쪽
같은 간격으로 놓인 8개의 점
① 81
② 92
④ 121
⑤ 126
중에서 3개의 점을 꼭짓점으
로 하는 직각삼각형의 개수를
구하시오.
오른쪽 그림과 같이 9개의 정
26 사각형을
이어 붙인 도형에서
찾을 수 있는 정사각형이 아닌
직사각형의 개수를 구하시오.
다음 그림과 같이 같은 간격으로 놓인 15개의 점 중
23 에서
3개의 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를
구하시오.
그림과 같이 사다리꼴
27 오른쪽
위에 있는 10개의 점 중에서
4개의 점을 꼭짓점으로 하는
사각형의 개수를 구하시오.
90 Ⅲ-1. 경우의 수
③ 116
1
행렬
행렬
01 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배
02 행렬의 곱셈
01 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배
유형 01
A의 {i, j} 성분 aij가 4 이차정사각행렬
aij=2i-j+1일 때, 이차정사각행렬 B의 {i, j}
행렬의 {i, j} 성분
행렬 A={aij}의 {i, j} 성분
SG 행렬 A의 제 i 행과 제 j 열이 만나는 위치에 있는 성분
SG ‌aij를 나타내는 식에 i=1, 2, y, j=1, 2, y를 대입
한값
행렬 A의 {i, j} 성분 aij가 aij=i+j @-ij일
1 4\2
때, a12+a22+a31+a42의 값을 구하시오.
이차정사각행렬 A의 {i, j} 성분 aij가 아래와 같이
2 정의될
때, 행렬 A의 모든 성분의 합은?
-
①[
1
3
2
]
4
②[
1
2
3
]
4
④[
2
1
4
]
3
⑤[
3
1
4
]
2
② 2 ④4
⑤5
2
4
1
]
3
aij=-
i @-j @ {i>j}
-aji {i<j}
{i=1, 2, 3, j=1, 2, 3}
일 때, 행렬 A의 제1행의 모든 성분의 합을 구하시
오.
i-2j{i<j}
①1
③[
5 행렬 A의 {i, j} 성분 aij가
i-1{i>j}
aij= i+j {i=j}
3
성분 bij는 bij=aji를 만족시킨다. 이때 행렬 B는?
③3
2
4 -3
]에 대하여 A={aij}일
3 -1
4
때, 다음 중 옳은 것은?
6 삼차정사각행렬 A의 {i, j} 성분 aij가 pi+qj-2 {i=j}
행렬 A=[
aij=-
① 3\2 행렬이다.
1 5 7
일 때, A= x y z 이다. 이때 실수 x, y, z
9 11 1
에 대하여 x+y+z의 값을 구하시오. ② {2, 1} 성분은 4이다.
③ a12+a23=7
④ i=j인 모든 성분의 합은 8이다.
⑤ i+j=3을 만족시키는 모든 성분의 곱은 12이다.
92 Ⅳ-1. 행렬
1
[
{i=j}
]
(단, p, q는 상수)
정답과 해설 169쪽
유형 02
행렬의 활용
주어진 조건에 따라 행렬의 각 성분을 차례대로 구한 후 직
사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶어 행렬로 나타낸다.
그림과 같은 전기 회로가 있다. 삼차정사각행
10 다음
렬 A의 {i, j} 성분 aij를 스위치 i, j가 닫혀 있을
때, 불이 켜지는 전구의 개수로 정의한다. 이때 행
렬 A는?
도시 A1, A2 사이를 화살표 방향으로 관광하는
7 두코스가
다음 그림과 같다. 도시 Ai에서 도시 Aj로
스위치 1
바로 가는 관광 코스의 수를 aij라 할 때, aij를 스위치 2
{i, j} 성분으로 하는 행렬을 구하시오. (단, i=1, 2, j=1, 2)
스위치 3
A1
A2
2 1 1
① 1 2 3 1 3 2
]
2 1 1
② 1 3 2
1 2 3
]
2 3 2
③ 3 1 2
2 2 3
]
2 3 3
④ 2 1 3
1 2 3
]
2 3 3
⑤ 3 1 2
3 2 1
]
[
8 과 같다. 행렬 A의 {i, j} 성분 aij가 세 공원 P1, P2, P3을 연결하는 산책로가 다음 그림
aij=-
공원`Pi에서 공원 Pj로 가는 경로의 수 {i=j}
0
{i=j}
[
[
[
[
일 때, 행렬 A의 모든 성분의 합을 구하시오.
(단, i=1, 2, 3, j=1, 2, 3)
P1
P2
P3
A의 {i, j} 성분 aij를 이차함수 11 이차정사각행렬
y=x@-2{i+j}x+9의 그래프와 x축이 만나는
A의 {i, j} 성분 aij가
9 행렬
aij=( i @+j의 양의 약수의 개수)
일 때, 행렬 A는? (단, i=1, 2, j=1, 2, 3)
①[
2 2 2
2 2 3
2 3 3
] ②[
] ③[
]
2 3 2
2 4 2
3 4 2
2 2
④ 2 4
3 2
[
]
2 2
⑤ 3 2
4 2
[
점의 개수로 정의할 때, 행렬 A는?
①[
0 1
]
1 1
②[
0 1
]
1 2
④[
1 0
]
0 2
⑤[
1 1
]
2 0
③[
0 2
]
2 1
]
01 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배 93
01 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배
유형 03
서로 같은 행렬
두 행렬 A=[
a
b
c d
], B=[
유형 04
x
y
z
w
]에 대하여 A=B이면
a=x, b=y, c=z, d=w
12
행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배 ⑴
두 행렬 A=[
a11
a12
a21
a22
A+B=[
3a-1
5
5
c+3
등식 [
]=[
]을 만족시
-1
2b
3-d -6
키는 실수 a, b, c, d에 대하여 a+b+c+d의 값
A-B=[
kA=[
], B=[
b11
b12
b21
b22
a11+b11
a12+b12
a21+b21
a22+b22
a11-b11
a12-b12
a21-b21
a22-b22
ka11
ka12
ka21
ka22
]에 대하여
]
]
] (단, k는 실수)
을 구하시오.
16
1
1
행렬 A-B는?
1
2
], B=[
5
2
두 행렬 A=[
-2
]에 대하여
-3
13 두 행렬 -7 2a-5b
①[
-1 -1
]
②[
-1 3
c
③[
-1 3
]
-1 8
④[
1 -3
]
1 -8
⑤[
3 -1
]
3
2
A=[
ad-3b -1
], B=[
]
-a+3b
2ad+9b
1
에 대하여 A=B일 때, 실수 a, b, c, d에 대하여
ab+cd의 값은?
14
① -2
② -1
④1
⑤2
-1
두 행렬 A=[
a+b
③0
a
ab
], B=[
b
3
a
]에 대하
b
17
-1
행렬 A=[
2
1
2
의 합은?
① 12
② 15
을 구하시오.
④ 21
⑤ 24
aij=pi+qj, bij=-
i+{-2}J-1 {i=j}
j
{i=j}
이고 A=B일 때, 상수 p, q에 대하여 pq의 값을
구하시오.
94 Ⅳ-1. 행렬
]
0
]에 대하여 행렬 3A의 모든 성분
1
여 A=B일 때, 실수 a, b에 대하여 a#+b#의 값
15 두 이차정사각행렬 A, B의 {i, j} 성분 aij, bij가
-1 2
18 세 행렬 1 2
③ 18
5 -1
3
2
], B=[
], C=[
]
3 4
2
1
1 -1
에 대하여 3{A+2B}-2{A+C}-3B를 구하
A=[
시오.
정답과 해설 170쪽
2
1
19 두 행렬 A, B에 대하여 A=[ 1 -1 ]이고 A+B=[
5
2
3
]일 때, 행렬 B의 모든 성분의 합
0
유형 05
행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배 ⑵ - 연립
두 행렬 A, B의 합, 차에 대한 두 등식이 주어진 경우에는
다항식에서의 연립일차방정식처럼 생각하여 푼다.
은?
①7
② 8 ④ 10
⑤ 11
③9
22 이차정사각행렬 A,5 B가
13
4 11
], 2A+B=[
]
2 10
1 11
을 만족시킬 때, 행렬 A+B의 모든 성분의 합을
A+2B=[
구하시오.
20
1
0
5 -3
]
①[
9 11
③[
5
3
]
-9 -11
⑤[
-5 -3
]
9 -11
], B=[
2
-1
]에 대하
3 -2
4
3
여 A+X=3B+2X를 만족시키는 행렬 X는?
두 행렬 A=[
-5
3
②[
]
-9 -11
④[
-5 3
]
-9 11
23
두 행렬 A=[
1
-3
0
2
], B=[
1
-1
4
]와 두 행
2
렬 X, Y가 X+Y=A-3B, X-Y=3A+B
를 만족시킬 때, 행렬 X-2Y는?
①[
-2 -12
]
-9 -2
②[
3 4
]
-4 3
③[
6 12
]
-3 6
④[
10 12
]
-15 10
⑤[
14 20
]
-17 14
A, B에 대하여 행렬 A의 {i, j}
21 이차정사각행렬
성분 aij는
aij=-
i @-1 {i>j}
2-j {i<j}
이다. 행렬 3B-A의 {i, j} 성분이 2aji일 때, 행
렬 B의 {2, 1} 성분은?
① -1
② 0
④2
⑤3
③1
이차정사각행렬 A, B에 대하여 X=A-B,
24 두Y=2A+B를
만족시키는 두 행렬 X, Y의 {i, j}
성분을 각각 xij, yij라 하면 xij=i @-j, yij=i-j @
일 때, 행렬 A+5B의 모든 성분의 합을 구하시오.
01 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배 95
01 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배
정답과 해설 171쪽
유형 06
1
0
-1
0
28 세 행렬 A=[ 2 -1 ], B=[ 1 k ], 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배 ⑶
- 행렬이 서로 같을 조건
행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배를 포함한 등식이 성립하면 각
변을 계산한 후 행렬이 서로 같을 조건을 이용하여 식을
-1 0
]에 대하여 xA+yB=C일 때, 실
7 1
수 k, x, y에 대하여 k+x+y의 값을 구하시오.
C=[
세운다.
참고 세 행렬 A=[
a11 a12
a21 a22
], B=[
b11 b12
b21 b22
], C=[
c11
c12
c21 c22
]
에 대하여 xA+yB=C를 만족시키는 실수 x, y의 값을
구하려면 행렬이 서로 같을 조건을 이용하여 xa11+yb11=c11, xa12+yb12=c12
A, B에 대하여 행렬 A의 29 두{i,이차정사각행렬
j} 성분 aij와 행렬 B의 {i, j} 성분 bij가 각각
xa21+yb21=c21, xa22+yb22=c22
와 같이 식을 세운 후 연립방정식을 푼다.
25
두 행렬 A=[
2A+B=[
26
2 1
0 1
], B=[
1
0
4 a
]에 대하여 aij=aji, bij=-bji를 만족시킨다. 8 15
A+B=[
]일 때, a21+a22의 값을 구하
-1
7
시오.
5 2
]일 때, a의 값은?
4 7
①1
② 2 ④4
⑤5
③3
등식 x 4
-1
z
y 2
4
x
[
]+[
]=[
]+[
]
2 y
1 -1
x z
y -4
를 만족시키는 실수 x, y, z에 대하여 xyz의 값을
구하시오.
중간고사와 기말고
30 1학기
사에서 국어, 수학, 영어 과
국어
목 성적의 평균을 오른쪽과
수학
같은 행렬로 나타낼 때, 학
영어
중간 기말
[
a11 a12
a21 a22
a31 a32
]
생이 각각 30명, 20명인 두
반 A, B의 각 과목 성적의 평균을 나타내는 행렬
A, B는 63 65
70 74
A= 70 64 , B= 65 61
70 80
76 83
이다. 각 과목 성적에 대한 두 반 A, B의 전체 평
[
]
[
]
균을 나타내는 행렬을 xA+yB 꼴로 나타낼 때,
실수 x, y의 값은?
2
3
1
27 두 행렬 A=[ 0 1 ], B=[ 2
-1
]에 대하여
3
3
7
]을 xA+yB 꼴로 나타낼 때,
-2 -1
실수 x, y에 대하여 x-y의 값을 구하시오.
행렬 [
96 Ⅳ-1. 행렬
① x=
1
1
, y=
50
50
3
2
③ x= , y= 5
5
⑤ x=30, y=20
② x=
1
1
, y=
30
20
1
1
④ x= , y=
2
2
02 행렬의 곱셈
정답과 해설 172쪽
4 두 이차정사각행렬5 A,3 B에 대하여 1
행렬의 곱셈
유형 01
A+2B=[
두 이차정사각행렬의 곱셈은 다음과 같이 계산한다.
[
a
b
c
d
][
x
y
z
w
]=[
ax+bz
ay+bw
cx+dz
cy+dw
4 2
일 때, 행렬 AB는?
]
참고 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때만 행
렬의 곱 AB가 정의된다.
1
1 0
1
], B=[
2 0
0
렬 AB의 모든 성분의 합은?
두 행렬 A=[
①7
② 8 ④ 10
⑤ 11
2
]에 대하여 행
0
], A-2B=[
7
]
4 -6
2
2
]
4 -6
①[
1
4
]
4 -8
②[
2 -2
]
4 -8
④[
3
7
]
2 -6
⑤[
3
7
]
4 -8
③[
③9
5
두 행렬 A=[
x -2
1 2
], B=[
]가 -3
1
3 y
BA=O를 만족시킬 때, 실수 x, y에 대하여 xy의
값을 구하시오. (단, O는 영행렬)
1
4
0
2
3
2 세 행렬 A=[ 5 1 ], B=[ 2 0 ], C=[ 3 ]에
대하여 행렬 {A-B}C의 모든 성분의 합을 구하
시오.
6 등식 1
a 2 3
1 3
-2 -1
][
]=[
]-[
]
0 -1 b 1
x 2
1
y
를 만족시키는 실수 x, y에 대하여 x+y의 값을 구
[
하시오. (단, a, b는 실수)
3
1 3
2
두 행렬 A=[
], B=[ ]에 대하여 보기에
4 0
1
서 연산이 정의되는 것만을 있는 대로 고른 것은?
보기
ㄱ. AB
ㄴ. BA
ㄷ. A+AB
ㄹ. AB-B
①ㄱ
② ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄷ, ㄹ
③ ㄱ, ㄹ
두 근을 a, b라 할
7 이차방정식 x@-4x-1=0의
a b
b a
때, 두 행렬 A=[
0
a
], B=[
0
b
]에 대하여
행렬 AB의 모든 성분의 합을 구하시오.
02 행렬의 곱셈 97
02 행렬의 곱셈
1
0
행렬의 거듭제곱
11 행렬 A=[ 0 2 ]에 대하여 행렬 AN의 모든 성분
정사각행렬 A와 자연수 m, n에 대하여
의 합이 129가 되도록 하는 자연수 n의 값은?
유형 02
⑴ ‌AA=A@, A@A=A#, A#A=A$, y / AN_!A=AN (단, n>2)
⑵ AMAN=AM"N, {AM}N=AMN
8
행렬 A=[
-3
-3
수 k의 값은?
0
]에 대하여 A#=kA일 때, 실
0
① -9
② -3 ④9
⑤ 27
①5
② 6 ④8
⑤9
③7
③3
12 두 행렬 A, B에 대하여
1 3
A+B=[
-1 5
일 때, 행렬 A@-B@은?
9
a
1
행렬 A=[
]가 A#=O를 만족시킨다.
-4 -2
정수 a의 값은? (단, O는 영행렬이다.)
① -4
② -2
④2
⑤4
a
1
10 행렬 A=[ 0 1 ]에 대하여 A(=[ 0
족시키는 실수 a의 값을 구하시오.
98 Ⅳ-1. 행렬
-1
1
3
1
2
6
①[
1
3
1
]
1
②[
2
9
2
]
4
④[
3
6
3
]
4
⑤[
3
9
3
]
9
③[
]
3
]
2
③0
13
1
], A-B=[
36
]을 만
1
a -1
-1 -1
], B=[
]에 대
1
b
0 -2
하여 AB+A=O를 만족시킬 때, p q
A+A@+A#+y+A@)!)=[
]이다.
r s
두 행렬 A=[
p@+q@+r@+s@의 값을 구하시오.
(단, O는 영행렬이다.)
정답과 해설 173쪽
행렬의 곱셈의 실생활에의 활용
유형 03
주어진 조건을 행렬로 나타내고 행렬의 곱을 구하여 각 성
분이 의미하는 것이 무엇인지 파악한다.
2013학년도 수시 모집에서 어느 대학 A학과
15 표는
와 B학과의 선발 인원수와 경쟁률을 나타낸 것이다.
<선발 인원수>
구분
14 와 배드민턴을 배우고 있다. 두 학교 A, B의 1학년
어느 고등학교 A와 B에서는 체육활동으로 테니스
과 2학년의 학생 수는 [표 1]과 같다. 두 학교 모두
[표 2]와 같이 1학년 학생의 70 %는 테니스를, 30 %
는 배드민턴을 배우고, 2학년 학생의 60 %는 테니
스를, 40 %는 배드민턴을 배운다고 한다.
(단위: %)
(단위: 명)
학교
A
B
활동
1학년
300
200
2학년
250
150
학년
학년
1학년
2학년
테니스
70
60
배드민턴
30
40
[표 1]
[표 1]과 [표 2]를 각각 행렬 P=[
[표 2]
300 200
], 250 150
0.7 0.6
]로 나타낼 때, A학교에서 배드민
0.3 0.4
턴을 배우는 학생 수를 나타낸 것은?
Q=[
① PQ의 {1, 2} 성분
② PQ의 {2, 1} 성분
③ QP의 {1, 2} 성분
④ QP의 {2, 1} 성분
<경쟁률>
A학과 B학과
구분
일반 전형 특별 전형
일반 전형
30
40
A학과
5.1
21.4
특별 전형
10
20
B학과
10.7
11.5
경쟁률은
(지원자 수)
의 값이고, 일반 전형과 특
(선발 인원수)
별 전형에 동시에 지원할 수 없으며, A학과와 B학
과에 동시에 지원할 수 없다고 한다. 2013학년도
수시 모집에서 이 대학 A, B 두 학과의 일반 전형
지원자 수의 합을 m, B학과의 일반 전형과 특별
전형 지원자 수의 합을 n이라 하자. 두 행렬 30 40
5.1 21.4
P=[
], Q=[
]에 대하여 10 20
10.7 11.5
m+n의 값과 같은 것은?
① 행렬 PQ의 {1, 1} 성분과 {2,``2} 성분의 합
② ‌행렬 PQ의 {1, 1} 성분과 행렬 QP의 {1, 1}
성분의 합
③ ‌행렬 PQ의 {1, 1} 성분과 행렬 QP의 {2, 2}
성분의 합
④ ‌행렬 PQ의 {2, 2} 성분과 행렬 QP의 {1, 1}
성분의 합
⑤ ‌행렬 PQ의 {2, 2} 성분과 행렬 QP의 {2, 2}
성분의 합
⑤ QP의 {2, 2} 성분
A, B의 현재 생산원가를 각각 a원, b원이
16 두라 제품
하고, 1년 후의 생산원가를 각각 a'원, b'원이라
a'
0.8 0.3 a
]=[
][ ]인 관계가 성립한다.
b'
0.2 0.8 b
이와 같은 추세로 두 제품 A, B의 생산원가가 변
하면 [
하고 현재 A, B의 생산원가의 비가 1 : 1일 때, 2
년 후 A, B의 생산원가의 비를 구하시오.
02 행렬의 곱셈 99
02 행렬의 곱셈
유형 04
행렬의 곱셈에 대한 성질 ⑴
유형 05
행렬의 곱셈에 대한 성질 ⑵
합과 곱이 정의되는 세 행렬 A, B, C에 대하여
주어진 조건에서 괄호가 있는 쪽을 전개한 후 행렬이 서로
⑴ {AB}C=A{BC}
같을 조건을 이용한다. 이때 두 행렬 A, B에 대하여 일반
⑵ A{B+C}=AB+AC, {A+B}C=AC+BC
적으로 AB=BA임에 유의한다.
⑶ k{AB}={kA}B=A{kB} (단, k는 실수)
참고 {AB}@=A@B@, {A+B}@=A@+2AB+B@, {A-B}@=A@-2AB+B@, {A+B}{A-B}=A@-B@
을 각각 만족시키는 조건은 모두 AB=BA이다.
17 두 행렬 A,1B에 대하여
3
3 -1
]
2 -1
2
1
일 때, A@-AB의 모든 성분의 합은?
], A-B=[
A=[
18
① 12
② 10 ④6
⑤4
1
0
0
], B=[
0 -1
1
여 A@-2AB+BA-2B@은?
-1 -1
]
1 -2
1 2
③[
]
2 3
⑤[
②[
x의 값은?
1 -1
]
-1
2
2 4
],
2 -2
]
0
4
일 때, {A-2B}{A+3B}의 {1, 2} 성분과 100 Ⅳ-1. 행렬
④1
⑤2
③0
], B=[
]
3 0
y -1
이라 하자. {A+B}{A-B}=A@-B@일 때, A=[
x@+y@의 값을 구하시오.
19 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여
1 2
{2, 2} 성분의 합을 구하시오.
② -1 y에 대하여 두 행렬 A, B를
21 두 실수 x, -1
x
-2
2
3 5
]
1 2
A@-6B@=[
① -2
-1
]에 대하
1
2
1
④[
]
1 -2
{A+2B}{A-3B}=[
x -3
]가 2
{A+B}@=A@+2AB+B@을 만족시킬 때, 실수
③8
두 행렬 A=[
①[
1 1
20 두 행렬 A=[ 0 1 ], B=[ 0
22
두 행렬 A=[
x@ 1
3 1
], B=[
]이
1 2x
1 y@
{A+2B}@=A@+4AB+4B@을 만족시킬 때, 정
수 x, y의 순서쌍 {x, y}의 개수를 구하시오.
정답과 해설 174쪽
유형 06
a
A[ ] 꼴을 포함한 식의 변형
b
유형 07
단위행렬
행렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AE=EA=A가 성립
a
‌A[ ] 꼴의 행렬을 포함한 식을 이용하여 행렬을 구할 때
b
함을 이용하여 주어진 식을 간단히 한 후 계산한다.
는 다음과 같이 행렬의 곱셈에 대한 성질을 이용하여 주어
진 식을 이용할 수 있도록 변형한다.
a
c
-2 0
a
c
mA[ ]+nA[ ]=A-m[ ]+n[ ]=
b
d
b
d
‌=A[
23
ma+nc
mb+nd
26 행렬 A=[ 1 3 ]에 대하여 {A-E}{A@+A+E}는? (단, E는 단위행렬)
]
이차정사각행렬 A가
a
1
c
1
A[ ]=[ ], A[ ]=[
]
b
2
d
-1
을 만족시킬 때, A[
①[
-1
]
7
4
④[ ]
2
①[
-9 0
-8 0
-2 0
] ②[
] ③[
]
7 26
7 27
1 3
④[
1 0
]
0 1
⑤[
4 0
]
1 9
2a+3c
]와 같은 행렬은?
2b+3d
2
② [ ]
4
③[
3
]
-3
5
⑤[ ]
1
27
a -1
]가 {A+E}{A-E}=E를
1
b
만족시킬 때, 실수 a, b에 대하여 a@+b@의 값은?
행렬 A=[
24
1
2
이차정사각행렬 A에 대하여 A[ ]=[ ], 0
3
(단, E는 단위행렬)
①2
② 3
④5
⑤6
③4
0
-1
1
p
A[ ]=[
]이다. A[ ]=[ ]일 때, p+q
1
2
2
q
의 값은?
①6
② 7 ④9
⑤ 10
③8
28
25
1
-2
], 이차정사각행렬 A에 대하여 A[
]=[
4
-2
3
0
4
x
A[ ]=[ ]이다. A!))[ ]=[ ]를 만족시키는
2
0
0
y
실수 x, y에 대하여
이차정사각행렬 A에 대하여 A@=[
3 1
]이고,
-1 a
{A@-A+E}{A@+A+E}의 모든 성분의 합이
14일 때, 양수 a의 값을 구하시오.
(단, E는 단위행렬)
y
의 값을 구하시오.
x
02 행렬의 곱셈 101
02 행렬의 곱셈
정답과 해설 176쪽
유형 08
단위행렬을 이용한 행렬의 거듭제곱
유형 09
행렬의 곱셈의 여러 가지 성질
A@=AA, A#=A@A, y를 차례대로 구하여 단위행렬 E
행렬의 곱셈에서 다음에 유의한다.
꼴이 나오는 경우를 찾아 주어진 식을 간단히 한다.
⑴ 일반적으로 행렬의 연산에서 곱셈에 대한 교환법칙은
참고 정사각행렬 A가 자연수 m, n과 실수 k에 대하여 AN=kE
이면 {AN}M=kME이다.
성립하지 않는다.
⑵ 두 행렬 A, B에 대하여 A=O, B=O이지만 AB=O
인 경우가 있다.
29
-2 1
행렬 A=[
]에 대하여 다음 중 A!)+A#)
-3 1
과 같은 행렬은? (단, E는 단위행렬)
①E
② 2E ④ A+E
⑤ 2A+E
③ 2A
⑶ 세 행렬 A, B, C에 대하여 A=O일 때, AB=AC이
지만 B=C인 경우가 있다.
이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB=-BA
33 두일 때,
보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, AB=O, O는 영행렬)
보기
ㄱ. {A+B}@=A@+B@
ㄴ. {A+B}{A-B}=A@-B@
30
2 -1
행렬 A=[
]에 대하여 행렬 A((+A!))의
5 -2
모든 성분의 합을 구하시오.
ㄷ. {AB}@=A@B@
ㄹ. A$B=BA$
① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄹ
④ ㄴ, ㄹ
⑤ ㄷ, ㄹ
③ ㄴ, ㄷ
이차정사각행렬 A, B가 A+B=O, AB=E
31 두를 만족시킬
때, 행렬 A#))+B#))의 {2, 2} 성분을
구하시오. (단, O는 영행렬, E는 단위행렬)
이차정사각행렬 A, B에 대하여 보기에서 옳은
34 두것만을
있는 대로 고른 것은?
(단, O는 영행렬, E는 단위행렬)
보기
ㄱ. A@=O이면 A#=O이다.
이차정사각행렬 A, B가 A+B=E, AB=O
32 두를 만족시킬
때, 다음 중
A!)))+A(((B+A((*B@+y+AB(((+B!)))
과 같은 행렬은? (단, E는 단위행렬, O는 영행렬)
①O
② E ④ 2A
⑤ A@
102 Ⅳ-1. 행렬
③A
ㄴ. {A-E}@=O이면 A=E이다.
ㄷ. A#=A%=E이면 A=E이다.
ㄹ. A+B=2E이면 AB=BA이다.
① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
④ ㄱ, ㄷ, ㄹ
⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ
③ ㄴ, ㄹ