1. 다항식의 연산
02 다항식의 곱셈
1 지수법칙
일반적으로 단항식과 단항식의 곱셈은 다음 지수법칙을 이용하여 간단히 한다.
m, n이 자연수일 때
m-n
(m>n일 때)
va
Q
⑵ am/an`= a^m =q 1 (m=n일 때)
a^n Q 1
w n-m (m<n일 때)
a
⑴ a^m\a^n=am+n
⑶ (a^m)^n=a^m^n
보기
a^n
⑸ (a
b)^Ì=
/
⑷ (ab)^n=a^nb^n
b^n
(-xy^2)^3\(-3x^2)=(-1)^3\x^1\^3y^2\^3\(-3x^2)=-x^3y^6`\(-3x^2)=3x^3^+^2y^6`=3x^5y^6`
2 다항식의 곱셈
03
다항식의 곱셈은 분배법칙과 지수법칙을 이용하여 식을 전개한 다음 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다.
①
②
③
(x+y)(a+b+c)=ax+bx+cx+ay+by+cy
④ ⑤
⑥
①
②
③
④
⑤
⑥
몇 개의 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한다고 한다.
⑴ (x+1)(x^2+2x+3)
⑵ (x^2-3xy+y)(2x-3y)
예제
다음 식을 전개하시오.
풀이
⑴ (x+1)(x^2+2x+3)=x^3+2x^2+3x+x^2+2x+3=x^3+3x^2+5x+3
⑵ (x^2-3xy+y)(2x-3y)=2x^3-3x^2y-6x^2y+9xy^2+2xy-3y^2
=2x^3-9x^2y+9xy^2+2xy-3y^2
3 다항식의 곱셈에 대한 성질
다항식의 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질이 성립한다.
세 다항식 A, B, C에 대하여
⑴ 교환법칙: AB=BA
⑵ 결합법칙: (AB)C=A(BC)
⑶ 분배법칙: A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC
다항식의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하므로 (AB)C와 A(BC)는 ABC와 같이 괄호를 사용하지 않고 나타낼 수 있다.
14
1. 다항식의 연산
03
Ⅰ-1
04~06
다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개할 수도 있지만 다음과 같은 곱셈 공식을 이용하면 편리하게
계산할 수 있다.
⑴ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
⑵ (a+b)(a-b)=a^2-b^2
⑶ (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
⑷ (ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd
⑸ (x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc
(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc
⑹ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
⑺ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
⑻ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3
⑼ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc
⑽ (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2b^2+b^4
증명
곱셈 공식 ⑴ ~ ⑷는 중학교에서 이미 학습한 것이므로 ⑸ ~ ⑽을 유도해 보자.
⑸ (x+a)(x+b)(x+c)={(x+a)(x+b)}(x+c)
곱셈 공식 ⑶
={x^2+(a+b)x+ab}(x+c)
=x^3+cx^2+(a+b)x^2+(a+b)cx+abx+abc
=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc
⑹ (a+b+c)^2={(a+b)+c}^2=(a+b)^2+2(a+b)c+c^2
곱셈 공식 ⑴
=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2
=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
⑺ (a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)
곱셈 공식 ⑴
=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3
=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
위의 곱셈 공식 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3에 b 대신 -b를 대입하면
(a-b)^3=a^3+3a^2\(-b)+3a\(-b)^2+(-b)^3
=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
⑻ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3
⑼ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc+a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2
=a^3+b^3+c^3-3abc
⑽ (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)={(a^2+b^2)+ab}{(a^2+b^2)-ab}
곱셈 공식 ⑵
=(a^2+b^2)^2-(ab)^2
곱셈 공식 ⑴
=a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2
=a^4+a^2b^2+b^4
17
다항식의 연산
1 곱셈 공식
식
1. 다항식의 연산
04
1 곱셈 공식의 변형
식의
07~09
10
문자의 합 또는 차와 곱이 주어질 때 다음과 같은 곱셈 공식의 변형을 이용하면 여러 가지 식의 값을 편리
하게 구할 수 있다.
⑴ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab
⑵ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab
(a+b)^2=(a-b)^2+4ab
⑶ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)
⑷ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
⑸ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1
2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
/
a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=1
2{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}
/
⑹ a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
⑴, ⑶의 식에 a 대신 x, b 대신 1
x을 대입하면 다음과 같다.
/
⑴ x^2+ 1 =(x+1
x)^-2=(x-1
/
x)^+2
/
x^2
⑶ x^3+ 1 =(x+1
x)^‘-3(x+1
/
x)
/
x^3
1
=(x-1
x)^‘+3(x-1
/
x)
/
x^3x^3
증명
⑴ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2에서 2ab를 이항하면
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
⑶ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3에서 3a^2b+3ab^2을 이항하면
a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2=(a+b)^3-3ab(a+b)
⑷ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca에서 2ab+2bc+2ca를 이항하면
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
⑸ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1
2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)
/
=1
2{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)}
/
=1
2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}
/
예제
a+b=3, ab=1일 때, 다음 식의 값을 구하시오.
⑴ a^2+b^2
풀이
⑵ a^3+b^3
⑴ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2\1=7
⑵ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=3^3-3\1\3=18
22
3 조립제법
15
다항식 f(x)를 x에 대한 일차식으로 나눌 때, 직접 나눗셈을 하지 않고 계수만을 이용하여 몫과 나머지를 구
하는 방법을 조립제법이라 한다.
예를 들어 3x^3-2x^2+x-6을 x-2로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구해 보자.
다항식의 계수를 첫째 줄에 차례로 적는다. 이때 계수가 0인 항은 그 자리에 0을 적는다.
(나누는 식)=0이 되는 x의 값, 즉 x-2=0인 x의 값 2를 맨 왼쪽에 적는다.
다항식의 최고차항의 계수 3을 셋째 줄에 내려 적는다.
에서 적은 수 2와 에서 적은 수 3의 곱 6을 두 번째 항의 계수 -2 아래에 적고, -2와 6의 합 4를
6 아래에 적는다.
와 같은 과정을 계속 반복할 때, 셋째 줄에 적힌 수 중 맨 오른쪽에 있는 수가 나머지이고 그 수를 제
외한 수가 몫의 계수이다.
x-2=0인
x의 값
x-2`<Ô`3x`Ü
-2x`Û
2
3
+x
-6
-2
1
-6
+
+
3
6
4
이차항의
계수
일차항의
계수
_2
_2
+
_2
8
9
18
12
상수항
몫: 3x`Û+4x+9
나머지: 12
­
‌
‌
∴ 3x`Ü-2x`Û+x-6=(x-2)(3x`Û+4x+9)+12
다항식 f(x)를 x+ b 와 ax+b (aâ¬0)로 나누었을 때의 몫과 나머지의 관계
a
14
보충
학습
다항식 f(x)를 x+b
a로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면
/
f(x)=(x+b
a) Q(x)+R=(ax+b)\/’ Q(x)+R
/
이므로 f(x)를 ax+b로 나누었을 때의 몫은 1
a Q(x), 나머지는 R이다.
/
몫
나머지
➡ f(x)를 ax+b로 나누었을 때의 몫은 x+b
a로 나누었을 때의 몫의 1
/
a배이고,
/
‌
f(x)를 ax+b로 나누었을 때의 나머지는 x+b
a로 나누었을 때의 나머지와 같다.
/
28
● 정답 및 풀이 7쪽
Ⅰ-1
(a+b)/m=;a
m:+;b
/
m:
/
다음을 계산하시오.
⑴ (6a^2b^3c+9ab^2c^3)/(-3ab^2c)
다항식의 연산
34
⑵ (4xy^4z^5-2x^3y^7z^3)/2xy^3z^2
⑶ (25a^4b^5c^6-5a^3b^2c+10a^6b^7c^9)/(-5a^2b^5c)
35
다음 나눗셈에서  안에 알맞은 것을 써넣고, 몫과 나머지를 각각 구
하시오.
⑴
+2x -8
x+1) x^3 +3x^2-6x+ 1
x^3 + x^2
⑵
2x 2x^2-1) 4x^3-2x^2
-4
4x^3
- 2x
-2x^2+ 2x -
-6x
2x^2+2x
+1
+1
-8x- 8
36
계수가 0인 항의 자리는 비워
두고 자연수의 나눗셈과 같은
방법으로 한다.
-
다음을 만족시키는 다항식 f(x)를 구하시오.
⑴ f(x)를 x^2-1로 나누었을 때의 몫이 x-2, 나머지가 4이다.
다항식 A를 다항식 B로 나
누었을 때의 몫이 Q, 나머지
가 R이면
A=BQ+R
⑵ f(x)를 x^2+2x+2로 나누었을 때의 몫이 x+1, 나머지가
-x+3이다.
37
다음은 조립제법을 이용하여 나눗셈의 몫과 나머지를 구하는 과정이
­
다.  안에 알맞은 것을 써넣고, 몫과 나머지를 각각 구하시오.
⑵ (3x^3-4x^2-2x+6)/(x-1)
­
⑴ (x^3-5x+1)/(x+2)
-2 1
1
-2
-2
3
-1
6
-3
-1 -3
1
3
29
● 더 다양한 문제는 RPM 공통수학 1 14쪽
13
Ⅰ-1
다항식의 나눗셈 - A=BQ+R
다항식의 연산
다항식 x^4-3x^2-x-5를 다항식 A로 나누었을 때의 몫이 x^2+x+3이고 나머지가
7x+10일 때, 다항식 A를 구하시오.
풀이
다항식 x^4-3x^2-x-5를 다항식 A로 나누었을 때의 몫
이 x^2+x+3, 나머지가 7x+10이므로
x^4-3x^2-x-5=A(x^2+x+3)+7x+10
A(x^2+x+3)=x^4-3x^2-x-5-(7x+10)
∴ A=(x^4-3x^2-8x-15)/(x^2+x+3)
=x^4-3x^2-8x-15
=x^2-x-5
x^2-x -5
x^2+x+3`) x^4
-3x^2-8x-15
x^4+x^3+3x^2
-x^3-6x^2-8x
-x^3- x^2-3x
-5x^2-5x-15
-5x^2-5x-15
0
● 더 다양한 문제는 RPM 공통수학 1 15쪽
14
몫과 나머지의 변형
다항식 f(x)를 x-2
3로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 할 때, f(x)를
/
3x-2로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오.
풀이
다항식 f(x)를 x-2
3로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R이므로
/
f(x)=(x-2
3)Q(x)+R=1
/
3(3x-2)Q(x)+R=(3x-2)\1
/
3Q(x)+R
/
따라서 f(x)를 3x-2로 나누었을 때의 몫은 /dQ(x), 나머지는 R이다.
KEY
Point
≐
다항식 A를 다항식 B로 나누었을 때의 몫이 Q, 나머지가 R ⇨ A=BQ+R
≐
ax-b`(aL0)로 나눈 몫 ⇨ x-
b
로 나눈 몫의 /’배
a
● 정답 및 풀이 8쪽
40
다항식 6x^4-x^3-16x^2+5x를 다항식 A로 나누었을 때의 몫이 3x^2-2x-4이고 나머지
≐
≐
가 5x-8일 때, 다항식 A를 구하시오.
41
다항식 f(x)를 2x+4로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 할 때, f(x)를 x+2로
나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오.
31