Part A
Chapter 1.
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4
1-1 기본개념, 모델링
 모델링(Modeling)이란?
 물리적인 시스템 등을 수학적인 모델(함수, 방정식, 미분방정식 등)로 표현하는 것
 모델링(Modeling)의 전형적 단계 :
(1단계) 물리적 상황(물리적 시스템)에서 수학적 공식(수학적 모델)을 도출
(2단계) 수학적 방법에 의한 해
(3단계) 결과의 물리적 해석
 미분방정식(Differential Equation)
 미지 함수의 도함수(Derivative)를 포함하는 방정식
상미분방정식
미분방정식
(Differential Equation)
(Ordinary Differential Equation)
편미분방정식
(Partial Differential Equation)
독립변수(Independent Variable)가 1개인 미분방정식
3
y ' = cos x, y ''+ 9 y = e −2 x , y ' y '''− y '2 = 0
2
2개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 성분이 포함된 미분방정식
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x 2 ∂y 2
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5
1-1 기본개념, 모델링
 선형(Linear) & 비선형(Nonlinear)
 선형 : 종속변수 y 또는 그 모든 도함수를 포함한 항이 모두 1차인 미분방정식
 비선형 : 종속변수가 1차 이외의 것을 포함하고 있는 미분방정식
 미분방정식의 계수(Order) & 차수(Degree)
 계수 : 미분방정식에 포함되어 있는 최고계의 도함수의 계수
 차수 : 미분방정식에 포함되어 있는 최고계의 도함수의 차수
(1)
y ' = cos x,
(2)
y ''+ 9 y = e
( 3)
y ' y '''−

−2 x
,
1계 1차 선형 미분방정식

3 2
y' = 0
2
2계 1차 선형 미분방정식
 3계 1차 비선형 미분방정식
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6
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7
1-1 기본개념, 모델링
 미분방정식의 표현법 :
, ,
0
, …,
, ,
, …,
: 음적(Implicit) 표현
: 양적(explicit) 표현
 1계 상미분방정식(First-order ODE): 미지의 함수 y와 도함수 yʹ, 그리고 변수 x의 함수로만 구성됨
• 양함수 형태(Explicit Form) : y ' = f ( x, y )
• 음함수 형태(Implicit Form) : F ( x, y, y ') = 0
 미분방정식의 해(Solution)
 도함수가 존재하고 미분방정식을 만족시키는 함수
• 일반해(General Solution)
: n개의 임의의 상수를 포함한 해
해
(Solution)
: 미분방정식을 만족하는 해가 임의의 적분상수 c를 포함한 해
• 특수해(Particular Solution) : 적분상수가 특정조건에 의하여 특정한 값으로 결정된 경우
: 임의의 상수에 일정한 값을 대입했을 때의 해
• 특이해(Singular Solution)
: 일반해로 표현 불가능한 해
: 일반해로부터 얻을 수 없는 해
1-1 기본개념, 모델링
 초기값 문제(Initial Value Problems)
 주어진 초기 조건을 이용하여 일반해로부터 특수해를 구하는 것
y ' = f ( x, y ),
y ( x0 ) = y0
 Ex.4 다음 방정식의 초기값 문제를 풀어라.
y' =
y (0 ) = 5.7
dy
= 3 y,
dx
Step 1 일반해를 구함
(Ex.3에 의하여) 일반해 : y (x ) = ce
3x
Step 2 초기조건 적용
y (0 ) = ce0 = c = 5.7
특수해 : y (x ) = 5.7e
3x
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8
Page
9
1-1 기본개념, 모델링
Ex) 상미분방정식 구분 방법
O계 O차
제차
비제차
선형
상미분방정식
비선형
* 주어진 미분방정식이 유리분수식으로 표현되어 있을 때에는 유리화하여 적용
Report
1-2 y ' = f ( x, y ) 의 기하학적 의미: 방향장, Euler의 방법
 방향장(Direct Fields)
 미분방정식 y ' = f ( x, y ) 가 주어지면, xy-평면의 몇 개의 점에서 짧은 선분으로 기울기 f(x,y)
를 나타낸 것
(결과)
• 선요소들의 방향을 따라 선을 그리면 대략적인 해곡선의 모양을 알 수 있음
• 매우 복잡한 해를 갖거나 양함수 형태의 해가 존재하지 않는 미분방정식에서 대략적인 해곡
선의 형태를 판단하는데 사용할 수 있음
 Euler 방법
 등분된 x 값으로부터 근사해를 얻는 방법
 초기조건 y ( x0 ) = y0 에서 주어진 x0 를 이용
x1 =x0 + h,
x2 =x0 + 2h,
x3 =x0 + 3h,
M
y1 = y0 + hf ( x0 , y0 )
y2 = y1 + hf ( x1 , y1 )
y3 = y2 + hf ( x2 , y2 )
M
Page 10
1-3 분리가능 상미분방정식, 모델링
 변수분리형 미분방정식(Separable Differential Equation)
 1계 미분방정식이
g ( y )y' = f (x)

와 같은 형식일 때, 이러한 미분방정식을 변수분리형 방정식
g ( y )dy = f ( x )dx
dy 

Q y ' = 
dx 

* 변수분리를 할 경우, 양변을 적분하여 해를 구할 수 있음
 풀이 방법 :
g ( y )y' = f (x )

 g(y ) dy =  f (x ) dx + c
 dy

Q dx = dy 
 dx

 Ex. 1 미분방정식 y ' = 1 + y 2 을 풀어라.
y'
=1
1+ y2



dy / dx
=1

1 + y2
1
 1 + y 2 dy =  dx + c
dy
= dx(변수분리형)
1+ y2

arctan y = x + c(적분)
y = tan ( x + c ) (정리)
Page 11
1-3 분리가능 상미분방정식, 모델링
 Ex. 5 탱크엔 1000갤론의 물이 담겨져 있고 그 안에 100파운드의 소금이 처음에 놓아 있다. 갤런당 5
파운드의 소금이 용해된 소금물이 분당 10갤런씩 탱크 안으로 흘러 들어오고 혼합용액은 잘 휘저어져
일정하게 유지된다. 그리고 분당 10갤런의 소금물이 흘러나간다. 임의의 시간 t에서 탱크 안에 있는 전체
소금의 양을 구하라.
Step 1 모델화
▶ 소금의 변화량 (dy / dt = y ') = 소금의 유입량 - 소금의 유출량
소금의 유입량 = 10 gal/min × 5 lb/gal = 50 lb/min
소금의 유출량 = 10 gal/min × y/1000 lb/gal = y/100 lb/min

y ' = 50 −
1
y
=
(5000 − y ) : 소금의 양에 관한 미분방정식
100 100
▶ 초기조건 : y (0) = 100
Step 2 미분방정식의 일반해를 구함 :
t
−
1
dy
1
t + c *  y − 5000 = ce 100
=−
dt  ln y − 5000 = −
100
y − 5000
100
(변수분리형)
Step 3 초기조건을 적용하여 특수해를 구함
y(0) = 5000 + ce0 = 5000 + c = 100  c = −4900
(적분)
−
t
y = 5000 − 4900e 100 (특수해)
Page 12
1-3 분리가능 상미분방정식, 모델링
Ex) 변수분리형
Report
Page 13
1-3 분리가능 상미분방정식, 모델링
 확장된 방법 : 분리가능한 형태로 변환(동차미분방정식)
 동차(Homogeneous) 미분방정식 : 변수분리형이 아닌 미분방정식을 새로운 미지함수를
도입함으로서 변수분리형으로 만들 수 있는 미분방정식
,
 동차함수 : 실수 n에 대하여
,
가 성립할 때
,
를 n차의 동차함수
* 각 항의 총 차수가 같음을 의미
 y
x
 풀이방법 :
▶ y' = f   와 같은 형태의 미분방정식
이 상태로는 변수분리가 되지 않으므로 다음과 같이 새로운 함수 u를 도입한다.
u=
y
x
y = ux

y ' = ( ux ) ' = u ' x + u (u를 도입)

 y
y ' = f    u ' x + u = f (u )
x
1
1
 f ( u ) − u du =  x dx + c (적분)
(1)
,
,
,
,
,
,

u ' x = f (u ) − u

du
dx
=
(변수분리형)
f (u ) − u x
0 에서,
(2) 각 항별 전미분에 주의
이 간단하면,
,
이 간단하면,
,
동차성
Page 14
1-3 분리가능 상미분방정식, 모델링
 확장된 방법 : 분리가능한 형태로 변환(동차미분방정식)
 Ex. 8
2 xyy ' = y 2 − x 2 을 풀어라.
2 xyy ' = y 2 − x 2
1 y x
y ' =  −  (2xy로 나눔)
2 x y

1
1
y' = u' x + u =  u − 
2
u
1
1
1
u2 + 1
du 2u

=−
u' x = −  u +  = −
x
2
u
2u
dx u 2 + 1

y = ux, u =
2u
y
,
x
1

2u
1
du = − dx (변수분리형)
x
u2 + 1
1
c
 u 2 + 1 du = − x dx + c *  ln u + 1 = − ln x + c* = ln x + ln c = ln x , c = e (적분)
u2 + 1 =
c
x
2
2
c*
2
c
 y
   +1 =
x
 x
 x 2 + y 2 = cx
,
2
c
c

2
 x −  + y = (정리)
2
4

,
0 로 식을 변형하면,
2
동차함수이므로,
1
2
2
1
1
0
,
0
를 이용
Page 15
1-3 분리가능 상미분방정식, 모델링
Ex) 동차미분방정식
Report
Page 16
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
 완전미분방정식(Exact Differential Equation)
방정식 M ( x, y )dx + N (x, y )dy = 0 의 형태로 변형시켰을 때, 전미분 M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy 이 완전미분방정식
M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy 이 미지함수 u ( x, y ) 에 대하여
미분의 형태 du =
즉, M ( x, y ) =
∂u
,
∂x
∂u
∂u
dx + dy 인 경우
∂x
∂y
N ( x, y ) =
(전미분)
∂u
을 만족
∂y
 완전미분방정식이라면, du = 0

u ( x, y ) = c 이 되어 해를 쉽게 구할 수 있다.
 완전미분방정식의 필요충분조건
∂M ∂N
=
∂y
∂x

∂M ∂  ∂u  ∂ 2u
∂  ∂u  ∂N 
Q

=  =
=   =
∂y ∂y  ∂x  ∂x∂y ∂x  ∂y  ∂x 

 완전미분방정식의 풀이방법 :
Case 1)
M ( x, y ) =
∂u
∂x
 u ( x, y ) =  M ( x, y )dx + k ( y ) (x에 대하여 적분)
u ( x, y ) =  M ( x, y )dx + k ( y ) 
Case 2)
N ( x, y ) =
∂u
∂y
∂u
= N ( x, y ) 
∂y
dk
를 구함  k ( y ) 를 구함
dy
 u ( x, y ) =  N (x, y )dy + l ( x )(y에 대하여 적분)
u ( x, y ) =  N ( x, y )dy + l (x ) 
∂u
= M ( x, y ) 
∂x
dl
를 구함  l ( x ) 를 구함
dx
Page 17
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
 완전미분방정식(Exact Differential Equation)
 풀이방법 :
,
주어진 방정식,
,
(1)
임을 밝힘
(2)
,
(3)
0 에서
,
또는
,
또는 를 상수로 보고서
,
,
,
,
(4) (3)번을
라고 가정
또는
,
를 적분하여
,
를 구할수 있음
적분상수
또는 에 관하여 미분하고
,
"
,
"
!
,
또는
!
,
라고 가정하면
Page 18
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
Ex) 완전미분방정식
Report
Page 19
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
 완전미분방정식(Exact Differential Equation)
(
)
 Ex. 1 cos( x + y )dx + 3 y 2 + 2 y + cos( x + y ) dy = 0 을 풀어라.
Step 1 완전미분방정식인지 판별
∂M
= − sin (x + y )
∂y
∂N
N ( x, y ) = 3 y 2 + 2 y + cos( x + y ) 
= − sin ( x + y )
∂x
Step 2 미분방정식의 해를 구함
M (x, y ) = cos( x + y ) 
∂M ∂N
=
∂y
∂x
: 완전미분방정식
u (x, y ) =  M ( x, y )dx + k ( y ) =  cos( x + y )dx + k ( y ) = sin ( x + y ) + k ( y )
k ( y )를 구하기 위하여
∂u
= cos( x + y ) = N (x, y ) = 3 y 2 + 2 y 
∂y
dk
= 3 y 2 + 2 y  k = y3 + y 2 + c *
dy
∴ u ( x, y ) = sin ( x + y ) + y 3 + y 2 = c
Step 3 검증
(
)
∂u
= cos( x + y ) + cos( x + y ) y '+3 y 2 y '+2 yy' = 0  cos( x + y ) + cos( x + y ) + 3 y 2 2 y y ' = 0
∂x
Page 20
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
 완전미분방정식(Exact Differential Equation)
 문제 풀이 :
주어진 방정식, 5
(1)
4
4
8 &
,
5
4
→
4
,
4
8 & →
4
,
5
(2)
,
5
(4) (3)번을
4
∴
,
⇒
4 또는
또는 를 상수로 보고서
(3)
0 에서
5
2
4
,
,
또는 에 관하여 미분하고
"
→
를 구하면,
!
4
2 (
8 & 이라고 가정하면
를 적분하여
,
8 & →
"
-
,
또는
4
4
또는
2 (
!
,
를 구할수 있음
,
라고 가정하면
)*
)
Page 21
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
 완전미분방정식 형태로 변환 (Reduction to Exact Form)
: 완전미분방정식이 아닌 방정식에, 어떤 함수 F ( x , y ) 를 곱하여 완전미분방정식을 만듬
 적분인자 (Integrating Factors) : 완전미분방정식을 만드는 함수
 Ex. 3 − ydx + xdy = 0은 완전미분방정식이 아니다.
Q M = − y, N = x 
미분방정식의 양변에
M =−
1
y
, N=
x
x2
∂M
= −1,
∂y
∂N
= 1  not exact
∂x
1
y
1
(적분인자)을 곱하면 − 2 dx + dy = 0
x2
x
x

∂M
∂N
1
1
=− 2,
=− 2
∂y
∂x
x
x
 exact
Page 22
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
Page 23
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
 적분인자 구하는 방법
,
주어진 방정식,
,
0 에서 . ,
(1)
,
,
0 일 때에는
(2)
,
,
0 일 때에는
(3)
,
,
(4)
,
,
(5)
1
(6)
1
,
를 적분인자라고 하면
1
. ,
,
,
1
. ,
,
,
1
. ,
,
,
가 동차함수일 때에는
,
*
,
,
*
,
.
일 때에는
이 를 포함하지 않을 경우에 .
,
*
0
/ 1
이 를 포함하지 않을 경우에 .
,
/ 2
(7)
1
이
만의 함수일 때 .
(8)
1
이
만의 함수일 때 .
(참고)
3
3
,
5
5
0
,
/
,
*
,
2
1
3
3
1
1
*
0 24 1
1
1
3
2
3
,
,
,
2
*
0 23 1
/
1
,
2
673*
Page 24
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
 Ex. 5 정리 1 또는 2를 이용하여 다음의 미분방정식의 적분인자를 찾고 초기값 문제를 풀어라.
(e
x+ y
)
(
)
+ ye y dx + xe y − 1 dy = 0,
Step 1 완전미분방정식인지 판별
y (0 ) = −1

Q (x, y ) = xe − 1 
∂Q
= ey
∂x
y
Step 2 적분인자 구하기
∴
검증
∂P
= e x + y + e y + ye y
∂y
P(x, y ) = e x + y + ye y
(
)
∂P ∂Q
≠
∂y ∂x
(
)  적용불가능
R=
1  ∂P ∂Q 
1
1
=

−
e x + y + e y + ye y − e y = y
e x + y + ye y
Q  ∂y ∂x  xe y − 1
xe − 1
R* =
1  ∂Q ∂P 
1

=
e y − e x + y − e y − ye y = −1  F * ( y ) = e− y
−
P  ∂x ∂y  e x + y + ye y
(
: 완전미분방정식이 아님
)
(e + y )dx + (x − e )dy = 0
−y
x
(
)
(
∂ x
∂
e + y =1=
x − e− y
∂y
∂x
) 
완전미분방정식
(
)
Step 3 일반해 구하기 ∂u = e x + y  u =  e x + y dx = e x + xy + k ( y ) 
∂x
∂u
= x + k ' ( y ) = x − e− y
∂y
 k ' ( y ) = −e − y
 k ( y ) = e− y
일반해 : u (x, y ) = e x + xy + e − y = c
Step 4 특수해 구하기
초기조건 적용
y ( 0 ) = −1
특수해 :
u ( x, y ) = e x + xy + e− y = 3.72

u ( 0, −1) = e0 + 0 + e = 3.72
Page 25
1-4 완전상미분방정식, 적분인자
Ex) 완전미분방정식, 적분인자
Page 26
1-5 선형상미분방정식, Bernoulii 방정식, 개체군 역학
제차(동차) 선형 상미분방정식
상미분방정식
선형 상미분방정식
(Homogeneous Linear ODEs)
(Linear ODEs)
비제차(비동차) 선형 상미분방정식
(Nonhomogeneous Linear ODEs)
(ODEs)
비선형 상미분방정식
(Nonlinear ODEs)
 선형미분방정식(Linear Differential Equation)
: 방정식 내에서 미지의 함수 y와 그의 도함수의 관계가 선형인 미분방정식
Ex. y '+ p ( x ) y = r ( x ) : 선형미분방정식 /
y '+ p ( x ) y = r ( x ) y 2 : 비선형미분방정식
 표준형(Standard Form) : y '+ p ( x ) y = r ( x )
•
•
입력(Input) :
r ( x)
출력(Output) : y ( x )
*
"
의 계수가 1이 되도록 함
 제차 (Homogeneous), 비제차 (Nonhomogeneous) 미분방정식
y '+ p ( x ) y = 0

y '+ p ( x ) y = r ( x ) ≠ 0
1계 제차 선형미분방정식
 1계 비제차 선형미분방정식
 제차 미분방정식의 해법(변수분리형)
y '+ p ( x ) y = 0


dy
= − p ( x) y
dx
ln y = −  p ( x ) dx + c *

dy
= − p ( x ) dx
y

− p ( x ) dx
y = ce 
Page 27
1-5 선형상미분방정식, Bernoulii 방정식, 개체군 역학
 비제차 미분방정식의 해법(완전미분방정식의 해법 응용)
y '+ p( x ) y = r ( x )
P = py − r , Q = 1
R=
• 적분인자 구하기
( py − r )dx + dy = 0

∂Q
∂P
= p≠0=
∂x
∂y

1  ∂P ∂Q 
−

= p
Q  ∂y ∂x 
 완전미분방정식이 아님

1 dF
=p
F dx

∂u
pdx
pdx
= pye  + l ' ( x ) = e  ( py − r )
∂x
∴ F = e

pdx
• 적분인자 곱하여 해 구하기
e
pdx
( py − r )dx + e  dy = 0
pdx
∂u
pdx
= e
∂y
u = ye 


l ' ( x ) = − re 

ye 
pdx
pdx
pdx
+ l (x )
 l ( x ) = −  re  dx + c  u = ye 
pdx
=  re  dx + c
pdx
∴ y=e 
− pdx

pdx
[ re dx + c]
−  re  dx = c
pdx
 pdx
Page 28
1-5 선형상미분방정식, Bernoulii 방정식, 개체군 역학
 선형상미분방정식 풀이 방법
선형성이란 모든 계수가 만의 함수이고 와 모든 의 도함수가 1차임을 의미
그러므로 7계 선형미분방정식의 일반형은
* 위에서 7
3*
3*
⋯
6*
69
1이면 1계선형미분방정식
6*
.
6 3*
6
69
⇒
;
∗ 6*
로써 나누어
의 계수가 1이 되도록 함
를 선형미분방정식에 대한 적분인자라고 하면, . ,
/0 :
1계 선형미분방정식의 풀이 방법 :
(1) 1계선형미분방정식에서
(2) 적분인수 / 0 :
/0 :
" 계수가 1이 되도록 변형
를 곱하면,
;
/0 :
/0 :
(3) 위의 2 번의 좌변은 적분인수와 종속변수의 곱의 도함수이므로
/0 :
/0 :
(4) 양변을 적분함
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1-5 선형상미분방정식, Bernoulii 방정식, 개체군 역학

Ex. 1 다음의 선형상미분방정식을 풀어라.
y '+ y tan x = sin 2 x, y (0) = 1
p = tan x,

r = sin 2 x = 2sin x cos x,
h =  pdx = ln | sec x |
∴ y = cos x  2  sin xdx + c  = c cos x − 2 cos 2 x
초기조건에 의하여 1 = c ⋅1 − 2 ⋅12

c=3
∴ y = 3cos x − 2 cos 2 x
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1-5 선형상미분방정식, Bernoulii 방정식, 개체군 역학
Ex) 1계 선형미분방정식
Report
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1-5 선형상미분방정식, Bernoulii 방정식, 개체군 역학
 Bernoulli Equation : y '+ p ( x ) y = g ( x ) y a
•
a = 0 or 1 이면 선형
•
a ≠ 0 and 1 이면 비선형
 비선형 Bernoulli 방정식인 경우 : 선형미분방정식으로 변환가능
y '+ p( x ) y = g ( x ) y a
y ' = g ( x ) y a − p( x ) y

u = y 1− a 로 치환

u ' = (1 − a ) y −a y ' = (1 − a ) y −a ( gy a − py ) = (1 − a )(g − py 1−a ) = (1 − a )( g − pu )

u '+(1 − a ) pu = (1 − a )g : u에 관한 선형미분방정식
Bernoulli의 미분방정식 풀이 방법 :
;
1
3* 로 치환하면
(1)
(2)
(3)
7 > 0, 7 > 1
!
7
/0
1 ;
3* :
:
=0
7
7
1
1
로 변형됨
/0 3
3* :
)]
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1-5 선형상미분방정식, Bernoulii 방정식, 개체군 역학
Ex) Bernoulli 방정식
Report
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1-5 선형상미분방정식, Bernoulii 방정식, 개체군 역학
 Ex. 4 논리적 방정식(Logistic Equation)
논리적 방정식(또는 Verhulst 방정식)으로 알려진 Bernoulli 방정식을 풀어라.
y ' = Ay − By 2
y ' = Ay − By 2

a=2
u = y −1 로 치환

y '− Ay = − By 2

u ' = − y −2 y ' = − y −2 ( Ay − By 2 ) = − Ay −1 + B = − Au + B

u '+ Au = B
p = A,

r=B
∴ y=
: u에 관한 선형미분방정식
h =  pdx = Ax

1
1
=
B + ce− Ax
u
A
(
)
B
B

u = e − h   e h rdx + c  = e − Ax  e Ax + c  = ce− Ax +
A
A


: Verhulst 방정식의 해
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1-6 직교절선
 직교궤적(Orthogonal Trajectory): 주어진 곡선에 직교하는 곡선
 곡선 y = g ( x ) 에 수직하게 교차하는 직교궤적 구하기
• 1단계 주어진 곡선을 해곡선으로 하는 미분방정식 y '= f ( x, y ) 을 구한다.
1
을 구한다.
f ( x, y )
• 2단계 직교궤적의 미분방정식 y ' = −
• 3단계 직교궤적의 미분방정식의 해를 구한다.
 Ex. 단일 매개변수 이차 포물선 모임이 y = cx 2 라 하자.
Step 1
y
=c
x2

y ' x 2 − 2 xy
=0
x4

y'=
2y
x
x
Step 2 %y ' = −
2 %y
Step 3 2 %y %y '+ x = 0

%y 2 + 1 x 2 = c *
2
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1-7 초기값 문제에 대한 해의 존재와 유일성
• 초기값 문제의 특수해가 항상 존재하는 것도 아니다.
Ex.
y ' + y = 0,
y ' = 2 x,
xy ' = y − 1,
y ( 0) = 1
y (0) = 1
y ( 0) = 1

만족하는 해가 없다.
y = x2 + 1
만족하는 해가 하나 있다. 

 만족하는 해가 무수히 많다. 
y = 1 + cx
 존재성의 문제
어떤 조건하에서 초기값 문제가 적어도 하나의 해를 갖는가?
 유일성의 문제
어떤 조건하에서 주어진 초기값 문제가 많아야 한 개의 해를 갖는가?
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1-7 초기값 문제에 대한 해의 존재와 유일성
 존재정리
초기값 문제 y' = f ( x, y ) , y ( x0 ) = y0 에서 x − x0 < a,
y − y0 < b 로 정의되는 사각형
내의 모든 점 ( x, y ) 에서 f ( x, y ) 가 연속이고 f ( x, y ) ≤ K(발산하지 않음)이면
최소한 하나 이상의 해를 갖는다.
 유일성정리
초기값 문제 y ' = f ( x, y ),
y ( x0 ) = y0에서 x − x0 < a,
y − y0 < b 로 정의되는 사각형
∂f
∂f
가 연속이고 f ≤ K ,
≤ M (발산하지 않음)
∂y
∂y
이면 최대 하나의 해를 갖는다. 해의 존재성 정리와 연결하여 생각하면 이 초기값
내의 모든 점 ( x , y ) 에서 f ( x, y ),
문제는 정확하게 하나의 해를 갖게 된다.
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Reports of Chapter 1
 1장 Report
- 연습문제 1.1 :
- 연습문제 1.2 :
- 연습문제 1.3 :
- 연습문제 1.4 :
- 1장 복습문제 :
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Summary of Chapter 1
1계 상미분방정식(First-Order ODEs)
1) 상미분방정식의 구분
2) 변수분리형
3) 동차미분방정식
4) 완전미분방정식
5) 적분인자
6) 1계 선형상미분방정식
7) Bernoulli 방정식  1계 비선형 상미분방정식 풀이
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