Chapter 2. 1. 정역학의 기초 2. 벡터 3. 질점의 평형 4. 모멘트 5. 동일 평면 내의 평형 해석 2-1 정역학의 기초 기본 개념과 원리 • 고전 물리학 : 1890년 이전에 밝혀진 고전역학, 열역학, 광학, 전자기학 분야에서 이론, 개념, 법칙, 실험들을 포함 고전 물리학에 중요한 공헌을 한 사람 뉴턴(Netwon) 고전역학을 체계적인 이론으로 발전시켰고 수학을 도구로 활용하기 위하여 미적분학을 창안한 사람 중의 한 명 • 현대 물리학 : 19세기 말 시작되었고, 고전 물리학으로 설명할 수 없는 많은 물리적 현상 등이 발견되면서 현대 물리학이 발전 이 시기에 이루어진 가장 중요한 두 가지 발전 : 상대성 이론 & 양자역학 • 역학에서 사용되는 기본 개념 : 공간, 시간, 질량, 힘 공간(space) : 한 점 P의 위치는 어느 특정한 기준점 또는 원점으로부터 세 방향으로 측정된 3개의 길이에 의해 정의됨 이러한 길이를 P의 좌표값(coordinates) 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 시간(time) : 질량(mass) : 장소나 상태에 따라 달라지지 않는 물질의 고유한 양, 단위 : k𝑔, 𝑔, 𝑚𝑔 관성질량(뉴턴의 운동 제2법칙으로 정의되는 질량) 중력질량(만유인력의 법칙을 사용하여 정의하는 질량) 힘(force) : 하나의 물체가 다른 물체에 미치는 작용을 나타냄 힘은 그것이 작용하는 점, 크기 및 작용방향으로 특징지워지며, 이러한 힘은 벡터(vector)에 의해 표현됨 힘은 다른 개념(공간, 시간, 질량)과 관련이 있으므로 독립적이지 않음 17 2-1 정역학의 기초 질점의 운동에 대한 뉴턴의 법칙 • 질점(particle) : 공간상에서 한 점을 차지하는 매우 작은 양의 물질 • 강체(rigid body) : 상호간에 고정된 위치를 가지고 있는 많은 질점들의 결합체 뉴턴(Newton)의 운동 법칙 ① 제1법칙 (관성의 법칙) • 질점에 작용하는 힘들의 합이 0일 때, 질점의 속도는 일정하다. 특히 질점이 처음에 정지상태에 있 었다면, 질점은 정지상태를 계속 유지한다. ② 제2법칙 (힘과 가속도의 법칙) • 질점에 작용하는 힘들의 합이 0이 아닐 때, 힘들의 합은 질점의 선형운동량의 변화율과 같다. 만일 질량이 일정하다면, 힘들의 합은 질점의 질량과 가속도를 곱한 값과 같다. 𝐹 𝑚𝑎 ③ 제3법칙 (작용반작용의 법칙) • 두 질점이 서로에게 가하는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다. Newton의 제2법칙에 따라, 힘의 단위 1 N은 1kg의 질량이 1m/s2의 가속도를 갖는데 필요한 힘 18 2-2 벡터 관성좌표계 • 뉴턴의 제2법칙을 적용할 때에는 가속도 측정의 기준이 되는 좌표계 선택이 중요 관성좌표계(inertial reference)는 뉴턴의 질점에 관한 법칙이 성립되는 좌표계 뉴턴의 법칙이 명백히 성립하는 좌표계는 관성이라는 말을 빼고 통상좌표계라고 부르기도 함 • 이러한 좌표계에는 직각좌표계, 극좌표계, 원통좌표계 등이 다양함 평면상의 한 점을 표시하기 위해 수평과 수직선이 교차하는 점을 원점으로 정의하는 직각 좌표계(rectangular coordinates) = 카테시안 자표계(Cartesian coordinate) 𝑥, 𝑦 평면상의 한 점을 표시하기 위해 평면 극좌표계(plane polar coordinate)도 많이 사용 직각좌표계와 극좌표계와의 관계 : 𝑥, 𝑦 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑟 𝑟, 𝜃 𝑥 𝑦 19 2-2 벡터 역학을 위한 벡터(vector) • 스칼라(scalar)와 벡터(vector) • 벡터의 성질과 계산 • 벡터의 성분 • 단위벡터(unit vector) • 벡터의 내적(inner product, dot product) • 벡터의 외적(cross product) Report (p.35~49) • 스칼라 삼중적(scalar triple product) 및 벡터 삼중적(vector triple product) 20 2-3 질점의 평형 힘의 개념 및 힘의 평형 • 힘(force)의 개념은 뉴턴의 3가지 운동법칙에 의하여 설명됨 𝐹 𝑚𝑎 힘은 크기와 방향을 가지기 때문에 벡터량이며 도식적으로 방향을 가리키는 선분으로 나타낼 수 있음 물체를 밀거나 공을 던질 때 그 물체에 힘이 가해지지만, 힘이 언제나 운동을 유발하는 것은 아님 예) 앉아서 책을 읽고 있을 때 몸은 아래 방향으로 중력을 받고 있지만 몸은 정지한 채로 있음 • 힘 만이 운동을 변화시킬 수 있기 때문에 물체를 가속시키는 것은 바로 힘(force) • 어떠한 물체에 여러 힘이 동시에 작용하면 알짜힘(net force, 합력)을 이용하여 생각해야 함 합력(알짜힘)이란 물체가 받고 있는 모든 힘을 ‘벡터합＇한 것 물체에 작용하는 합력이 0이 아닐 때에 한하여 물체가 가속됨 물체에 작용하는 합력이 0이면 그 물체는 계속 정지상태로 있고, 움직이는 물체는 그 속도로 운동을 계속하게 됨 물체가 정지해 있거나 등속운동을 할 때 물체가 평형상태(equilibrium)에 있다고 함 : ∑𝐹 0 𝐹 , 𝐹 , 𝐹 힘이 동시에 가해진다고 가정 각 힘들을 점 0에 모음 𝑅 ∑𝐹⃗ 𝐹 𝐹 𝐹 ∑𝐹 𝚤⃗ 𝑅 𝚤⃗ 좌표계에에서의 힘의 표시 𝑅 𝚥⃗ ∑𝐹 𝚥⃗ ∑𝐹 𝑘 𝑅 𝑘 전달성의 원리 및 합력의 계산 (힘의 평형) (예제 2.7) 21 2-3 질점의 평형 뉴턴의 제1법칙과 관성 • 제1법칙(=관성의 법칙) : 물체에 작용하는 외력이 없을 경우에 정지해 있는 물체는 정지 상태를 유지하고, 등속 직선 운동을 하는 물체는 그 운동을 지속함 물체에 작용하는 합력이 0이면 가속도가 0 물체의 운동에 아무런 작용을 하지 않으면 그것의 속도는 변화하지 않는다. • 물체가 그 속도를 변화시키려는 시도를 거스르려고 하는 경향성이 관성(inertia)이라고 함 고립된 물체(주위와 상호작용을 하지 않는 물체)는 정지해 있거나 등속운동을 하게 됨 22 2-4 모멘트 • 일반적으로 어떤 강체에 가해시는 힘은, 그 물체를 병진운동을 하게 할 수도 있고, 물체를 회전운동을 하게 할 수도 있음 그 힘의 크기는 뉴턴의 제2법칙에 의해서 물체를 병진 시키는 능력에 비례함 • 물체를 회전시키는 능력을 모멘트(moment) 물체를 회전시키는 효과는 ‘힘을 크기’와 ‘한 점과 힘의 작용선’과의 거리에 의존함 어떤 축을 중심으로 물체를 회전시키는 힘의 영향을 한 축에 대한 힘의 모멘트라고 함 모멘트의 정의 임의의 힘 𝐹⃗ 와 𝐹⃗ 의 작용선 상에 있지 않은 임의의 점 O를 생각 이때, 힘 𝐹⃗ 와 점 O는 한 평명을 결정할 수 있음 A : 𝐹⃗ 의 작용선 상의 어떤 점 𝑟⃗ : 점 O에서 점 A로의 벡터 라고 정의하면, 힘 𝐹⃗ 의 모멘트, 𝐹⃗ 𝑀 𝑟⃗ 𝑁·𝑚 * 모멘트 중심인 점 O를 중심으로 모멘트가 발생함을 의미함 점 O에 대한 𝐹⃗ 의 모멘트는 벡터이며, 두 벡터의 외적의 성질로부터 𝑀 는 𝑟⃗ 와 𝐹⃗ 에 모두 수직이며, 방향은 오른손 법칙에 의해 결정됨 (예제 2.8) 23 2-4 모멘트 모멘트의 기학학적 해석 • 한 점에 대한 모멘트는 벡터의 외적에 의해 구할 수 있음 모멘트의 크기 : 𝑀 𝑟⃗ 𝐹⃗ 𝑟⃗ 𝐹⃗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑 𝑟⃗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑀 𝐹⃗ 𝑑 : d는 모멘트 중심에서 𝐹⃗ 의 작용선까지 수직거리이며, 수직거리를 모멘트 팔(moment arm)이라고 함 : 𝑀 의 크기는 힘의 크기와 수직거리 d에 의존하므로, 이 힘은 모멘트의 변화 없이 작용선을 따라 어디든지 옮겨 놓을 수 있음 • 모멘트 정리(principle of moments) : 한 점에 대한 힘의 모멘트는 그 힘의 분력이 만드는 각 모멘트의 합과 같다. 𝑀 𝑟⃗ 𝐹⃗ 𝚤⃗ 𝑥 𝐹 𝑦𝐹 𝑧𝐹 𝚤⃗ 𝚥⃗ 𝑦 𝐹 𝑘 𝑦 𝐹 𝑧𝐹 𝑥𝐹 𝚥⃗ 𝑥𝐹 𝑦𝐹 𝑘 (예제 2.9) 24 2-5 동일 평면 내의 평형 해석 • 동일 평면 내에서의 평형을 해석하기 위해서 가장 중요한 개념 중의 하나가 자유물체도(Free‐Body Diagram, FBD) 자유뮬체도를 이용하여 평형상태에서 물체에 작용하는 힘과 모멘트의 평형방정식을 구하고, 이것으로부터 반력을 구하게 됨 평형의 정의 • 질점에서 힘과 모멘트의 동일 평면 내에서의 평형(equilibrium)의 정의 : 물체에 작용하는 합력과 모멘트의 합이 0인 것 즉, 물체에 작용하는 힘계의 합력이 0이며 평형이라고 할 수 있음 • 초기에 정지하여 있는 물체에 힘이 작용할 때, 합력이 0이라는 것은 물체가 이동하려는 경향이 없음을 의미함 이렇게 움직이지 않는 물체에 대하여 관심을 갖는 문제를 해결하는 학문을 정역학(statics) 힘계의 합력이 0이 아닌 경우 힘계에 대한 물체의 응답에 관심을 가지는 학문을 동역학(dynamics) • 힘계의 합력이 0인 물체의 응답을 다음과 같은 평형방정식으로 서술할 수 있음 • 물체의 평형 해석에 관한 3가지 단계 ∑𝐹 0 ∑𝐹 0 ∑𝐹 0 ① 물체에 작용하는 모든 작용력, 반력, 모멘트를 나타내는 물체의 자유물체도를 그린다. ② 자유물체도에 나타난 힘과 모멘트에 대한 평형방정식을 작성한다. ③ 평형방정식을 이용하여 미지수를 구한다 25 2-5 동일 평면 내의 평형 해석 자유물체도(FBD) • 동일 평면 내의 평형 해석에서 자유물체도는 문제 해결에 매우 중요함 자유물체도 정의 : 물체에 작용하는 모든 힘을 나타내는 물체의 개략도 자유(free)라는 의미는, 모든 지지부가 제거되고 물체에 작용하는 힘, 반력 등에 의해 대체되는 것을 의미함 자유물체도의 구성은 물리적인 문제를 수학적으로 해석할 수 있는 형태로 전환하는 가장 중요한 단계 • 물체에 작용하는 힘은 반력(reaction)과 작용력(applied force)의 일반적인 범주로 나눌 수 있음 반력이란 반작용력의 줄임말로서 물체에 결합되어 있는 지지부에 의해 물체에 작용하는 힘 • 자유물체도를 구성하는 일반적인 원칙 ① 모든 지지부(접촉면, 지지용 케이블 등)가 제거된 것으로 가정한 물체의 개략도를 그린다. ② 개략도에 모든 작용력을 기호로 표시한다. 물체의 무게는 무게 중심에 작용하도록 간주한다. ③ 개략도의 각 지지부에 기인하는 반력을 기호로 표시한다. 반력의 방향을 표시하기 전에 기준축이 설정되어야 한다. 기준축은 임의의 방향으로 설정하여도 무방하다. 이는 구해진 해로부터 정확한 방향이 결정될 것이다. (+)의 결과는 가정된 방향이 기준축과 동일한 방향이라는 것을 나타내고, (‐)의 결과는 가정된 방향이 기준축과 반대 방향이라는 것을 의미함 ④ 개략도에 모든 관련된 각도와 차원의 나타낸다. 26 2-5 동일 평면 내의 평형 해석 반력(reaction) • 자유물체도를 도식화하는데 가장 어려운 단계는 바로 반력을 도식화하는 것 • 다양한 동일 평면 내의 지지부에 의해 작용하는 반력을 표시 (1) 유연케이블(flexible cable) (4) 마찰력(surface with friction) (2) 마찰이 없는 표면(frictionless surface) (5) 핀지지(pin support) (3) 롤러지지(roller support) (6) 고정지지(cantilever) (예제 2.10) 27 2-5 동일 평면 내의 평형 해석 평형방정식 • 평형방정식은 일반적인 동일 평면 힘계의 경우 다음의 식으로 요약할 수 있음 ∑𝐹 0 ∑𝐹 0 ∑𝑀 0 모멘트 중심인 O점과 x와 y축의 방향은 임의적으로 선택할 수있음 평형 문제를 해석할 때는 3개의 식으로 해결 힘의 평형에 관계된 식 2개 모멘트의 평형에 관계된 식 1개 반력 구하기 (p.62) (풀이방법) 주어진 문제 확인 : 자유 물체도 도식 평형방정식 세우기 평형방정식 풀이(반력 계산) 28