Elasticity & Plasticity in Geotechnical Engineering

‫ﺗﺌﻮﺭﯼ ﺍﻻﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ ﻭ ﭘﻼﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ‬ ‫)ﻭﻳﺮﺍﺳﺖ ﺩﻭﻡ(‬ ‫ﺗﺄﻟﻴﻒ‬ ‫دﻛﺘﺮ اﻣﻴﺮ ﺣﻤﻴﺪي‬ ‫)ﻋﻀﻮ ﻫﻴﺄت ﻋﻠﻤﻲ داﻧﺸﮕﺎه ﺧﻮارزﻣﻲ(‬ ‫ﻣﻬﻨﺪس اﻟﻬﺎم ﻗﻨﺒﺮي اﻟﻤﻮﺗﻲ‬ ‫)ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ژﺋﻮﺗﻜﻨﻴﻚ(‬ ‫‪Email : simaye.danesh@yahoo.com‬‬ ‫‪Telegram : telegram.me/simayedaneshpub‬‬ ‫‪www.simayedanesh.ir‬‬ ‫ﺩﺭ ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ ﮊﺋﻮﺗﮑﻨﻴﮏ‬ ‫ﺳﺮﺷﻨﺎﺳﻪ‬ ‫ﻋﻨﻮان و ﻧﺎم ﭘﺪﻳﺪآور‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﺎت ﻧﺸﺮ‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﺎت ﻇﺎﻫﺮي‬ ‫ﺷﺎﺑﻚ‬ ‫ﻓﻬﺮﺳﺘﻨﻮﻳﺴﻲ‬ ‫ﻣﻮﺿﻮع‬ ‫ﻣﻮﺿﻮع‬ ‫ﻣﻮﺿﻮع‬ ‫ﺷﻨﺎﺳﻪ اﻓﺰوده‬ ‫ردهﺑﻨﺪي ﻛﻨﮕﺮه‬ ‫رده ﺑﻨﺪي دﻳﻮﻳﻲ‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﺸﻨﺎﺳﻲ ﻣﻠﻲ‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺣﻤﻴﺪي‪ ،‬اﻣﻴﺮ‪1353 ،‬‬ ‫ﺗﺌﻮري اﻻﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ و ﭘﻼﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ در ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ژﺋﻮﺗﻜﻨﻴﻚ ‪ /‬ﺗﺄﻟﻴﻒ‬ ‫اﻣﻴﺮ ﺣﻤﻴﺪي‪ ،‬اﻟﻬﺎم ﻗﻨﺒﺮي‬ ‫ﺗﻬﺮان‪ :‬ﺳﻴﻤﺎي داﻧﺶ ‪1394‬‬ ‫‪ 290‬ص‬ ‫‪978-600-120-253-7‬‬ ‫ﻓﻴﭙﺎ‬ ‫ارﺗﺠﺎع )ﻓﻴﺰﻳﻚ(‬ ‫ﭘﻼﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ‬ ‫ﺧﺎك – ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ‬ ‫ﻗﻨﺒﺮي‪ ،‬اﻟﻬﺎم‪1365 ،‬‬ ‫‪ 9 1394‬ت ‪ 8‬ح ‪QA 931 /‬‬ ‫‪531/382‬‬ ‫‪4095056‬‬ ‫ﺗﺌﻮري اﻻﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ و ﭘﻼﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ در ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ژﺋﻮﺗﻜﻨﻴﻚ‬ ‫ﺗـﺄﻟﻴـــــــﻒ‪:‬‬ ‫دﻛﺘﺮ اﻣﻴﺮ ﺣﻤﻴﺪي‬ ‫ﻣﻬﻨﺪس اﻟﻬﺎم ﻗﻨﺒﺮي اﻟﻤﻮﺗﻲ‬ ‫‪www.simayedanesh.ir‬‬ ‫ﻧـــﺎﺷـــــــــــﺮ‪:‬‬ ‫ﻧــﺎﺷﺮ ﻫـﻤﻜـﺎر‪:‬‬ ‫ﻧﻮﺑـﺖ ﭼـــــﺎپ‪:‬‬ ‫ﺗــﻴـــــــــــﺮاژ‪:‬‬ ‫ﻟــﻴـﺘﻮﮔﺮاﻓـــﻲ‪:‬‬ ‫ﭼـــــــﺎﭘــﺨـﺎﻧﻪ‪:‬‬ ‫ﺻـــﺤــــــﺎﻓـﻲ‪:‬‬ ‫ﺷــــﺎﺑـــــــــﻚ‪:‬‬ ‫ﻗــﻴـــــــــﻤــﺖ‪:‬‬ ‫اﻧﺘﺸﺎرات ﺳﻴﻤﺎي داﻧﺶ‬ ‫اﻧﺘﺸﺎرات آذر‬ ‫اول‪1396/‬‬ ‫‪ 1100‬ﻧﺴﺨﻪ‬ ‫ﺑﺎﺧﺘﺮ‬ ‫ﻣﻬﺮاد ‪66411720 -‬‬ ‫ﻣﻬﺮاد‬ ‫‪978-600-120-253 -7‬‬ ‫‪ 20000‬ﺗﻮﻣﺎن‬ ‫ﻛﻠﻴﻪ ﺣﻘﻮق اﻳﻦ اﺛﺮ ﺑﺮاي اﻧﺘﺸﺎرات ﺳﻴﻤﺎي داﻧﺶ ﻣﺤﻔﻮظ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫اﻧﺘﺸﺎرات ﺳﻴﻤﺎي داﻧﺶ‪ :‬ﺧﻴﺎﺑﺎن اﻧﻘﻼب‪ -‬اﺑﺘﺪاي ﺧﻴﺎﺑﺎن ‪ 12‬ﻓﺮوردﻳﻦ‬ ‫ﭘـــــﻼك‪ -318‬ﺗﻠﻔــــﻦ‪66464779 :‬‬ ‫ﻓﺮوﺷﮕﺎه ﺳﻴﻤﺎي داﻧﺶ‪66460545 :‬‬ ‫اﻧﺘﺸـــــــــــــﺎرات آذر‪66465830 :‬‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﻔﺮوﺷﻲ ﻋﺼﺮ داﻧﺶ‪66493701 :‬‬ ‫ﻛﺘﺎﺑﻔﺮوﺷﻲ ﭘﺮﻫـــــــﺎم‪66468235 :‬‬ ‫پیشگفتار‬ ‫امروزه مدلسازي عددي به کمک نرم افزارهاي مختلف‪ ،‬نقش بسزايي در تحليل و طراحي سازههااي‬ ‫ژئوتكنيكي دارد‪ .‬به منظور دستيابي به يک طرح مهندسي و کارآمد‪ ،‬به داده هااي متتراري کاه لاامل‬ ‫تنشها و کرنشها ميبالند نيازمنديم و الزمه اين امر پيش بيني دقيق رفتار خاك و اثر متقابل آن بار‬ ‫سازه ميبالد‪ .‬در سالهاي اخير مدلهاي رفتاري براي پيش بيني رفتار خاك در لرايط گوناگون توسته‬ ‫بسياري يافتهاند‪ .‬از جمله اين لرايط ميتوان به بارگذاري استاتيكي و دينااميكي کاه منجار باه ايجااد‬ ‫تغييرلكلهاي االستيک و پالستيک در خااك مايلاود‪ ،‬وضاتيتهاي متفااو سااختاري خااك مانناد‬ ‫سيمانتاسيون‪ ،‬رفتار غير ايزوتروپ و تغييرا رفتاري با افزايش يا کاهش دما الاره نمود‪ .‬مادل رفتااري‬ ‫مناسب نيز با توجه به لرايط مختلفي که براي خاك وجود دارد‪ ،‬متغير ميبالند‪.‬‬ ‫از آنجايي که متادال رياضي يک مدل رفتاري که در مدلساازي عاددي وارد مايلاود عموماا بار‬ ‫اساس تانسورهاي تنش و کرنش تتريف ميلوند تا مترف لارايط رفتااري ياک الماان از مااده بالاد‪،‬‬ ‫دانستن مفاهيم مربوط به تانسورها و عمليا رياضي مربوط به آن اهميت فراواني مييابد‪ .‬در اين کتاب‬ ‫ابتدا به تتريف مفاهيم مذکور پرداخته ميلود‪ .‬سپس مراني االستيسيته و مهمترين مادلهاي رفتااري‬ ‫االستيک مترفي خواهند لد‪ .‬در بحث پالستيسيته مدلهاي رفتااري در خواوف فلازا و پاس از آن‬ ‫خاکها توصيف ميگردند‪ .‬از اين جمله ميتوان مدلهاي موهر‪-‬کولمب و دراگر‪-‬پراگر که امروزه در تمامي‬ ‫نرم افزارهاي ژئوتكنيكي کاربرد دارند را ذکر نمود‪ .‬همچنين مدل هاي پالستيسايته بار مرنااي تراوري‬ ‫حالت بحراني در خاك و رفتار سخت لونده آن‪ ،‬همانند مدل کم کلاي و مادلهاي کالهاکدار نياز باه‬ ‫تفويل مورد بحث و بررسي قرار ميگيرند‪.‬‬ ‫عالوه بر موارد ذکر لده‪ ،‬در دهه هاي اخير مدلسازي هاي ژئاوتكنيكي در ماوارد خااف تار ماورد‬ ‫پژوهش واقع لده است‪ .‬از جمله اين موارد ميتوان به مدلسازي رفتار خاك هاي مخلاوط‪ ،‬خااك هااي‬ ‫غير الراع‪ ،‬خاکهاي سيمانته و مدلسازي رفتار ترمومكانيكي الاره نمود‪ .‬در اين کتاب نحاوه مدلساازي‬ ‫اين فرآيندها نيز مورد بررسي قرار گرفته و تاثيرا آنها بر پارامتر هاي مختلف مكانيكي خااك ارزياابي‬ ‫ميگردد‪.‬‬ ‫کتاب حاضر به دليل لمول مراحث تروري االستيسيته و پالستيسيته و مادلهاي رفتااري گونااگون‬ ‫مورد استفاده در مسائل مهندسي ژئوتكنيک‪ ،‬براي دانشجويان مقاطع کارلناسي ارلاد و دکتاري ايان‬ ‫رلته قابل استفاده و کاربرد ميبالد‪ .‬همچنين مهندسان طراح نيز مايتوانناد در خواوف اساتفاده از‬ ‫مدلهاي رفتاري مناسب در طرح و آناليز عددي سازه هاي ژئوتكنيكي‪ ،‬از مدل هاي مترفي لده استفاده‬ ‫نمايند‪ .‬در جهت بهرود کيفيت مطالب و ارتقاي هر چه بيشاتر آن‪ ،‬اساتفاده از نظارا اسااتيد محتارم‬ ‫دانشگاه و همكاران گرامي باعث کمال افتخار خواهد بود و دوستان ميتوانند هرگونه پيشنهاد خود را به‬ ‫ايميل )‪ (hamidi@khu.ac.ir‬ارسال نمايند‪.‬‬ ‫در پايان الزم است از عزيزاني که در جمع بندي و تهيه بخشهاي مختلفي از کتاب همكار نموده اند‬ ‫و مجالي براي نام بردن از ايشان نيست قدرداني گردد‪ .‬در اين ارتراط‪ ،‬بويژه از آقايان مهندس تاورچي و‬ ‫مهندس خزاعي‪ ،‬کمال تشكر و قدرداني را داريم‪ .‬اميد است اين کتاب گامي ماوثر در اساتفاده هار چاه‬ ‫صحيح تر از مفاهيم تروري االستيسيته و پالستيسيته در مسائل مهندسي ژئوتكنيک بالد‪.‬‬ ‫امیر حمیدی‬ ‫الهام قنبری‬ ‫پاییز ‪49‬‬ ‫فهرست مطالب‬ ‫فصل یک‪ :‬کلیات مدلسازی رفتار خاکها‪51 ...................................................................................‬‬ ‫‪ -1-1‬مقدمه ‪11 ...............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1‬تعیین قوانین رفتاری مواد ‪11 .................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-1‬قوانین رفتاری‪ ،‬نیاز کلیدی تحلیلهای تنش‪ -‬کرنش ‪11 .........................................................‬‬ ‫فصل دوم‪ :‬مبانی حساب تانسورها‪15 .............................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2‬مقدمه ‪21 ...............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2‬اندیس ها‪21 ..........................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-2‬اندیس موهومی ‪22 ................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-2‬اندیس آزاد ‪22 .......................................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-2‬دلتای کرونکر ‪23 ...................................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-2‬نشان جابجایی ‪24 ..................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2‬عملیاتی با استناد از نماد اندیس ها ‪21 ..................................................................................‬‬ ‫‪ -1-1-2‬جابجایی ‪21 ...........................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1-2‬ضرب ‪22 ...............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-1-2‬فاکتورگیری ‪22 ......................................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-1-2‬انقباض ‪22 .............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2‬تانسورها ‪21 ...........................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-2‬مولفه های تانسور ‪21 ............................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-2‬جمع تانسورها‪22 ..................................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-2-2‬حاصلضرب دایادیک‪ ،‬تانسوری یا باز ‪21 ..............................................................................‬‬ ‫‪ -4-2-2‬حاصلضرب دو تانسور ‪30 .....................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-2‬حاصلضرب اسکالر تانسورها ‪31 ...........................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-2‬ترانسپوز یک تانسور ‪31 ........................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-2‬تانسور متعامد ‪32 ...................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-2‬مولفه های تانسور در دستگاه مختصات تبدیل یافته ‪32 ........................................................‬‬ ‫‪ -1-2-2‬تانسورهای متقارن و پادمتقارن ‪33 .........................................................................................‬‬ ‫‪-10-2-2‬بردار دوگان ‪34 ....................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2‬مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ‪34 ..........................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2‬نامتغیرهای یک تانسور ‪32 ....................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2‬عملیات ریاضی بر روی تانسورها ‪32 ....................................................................................‬‬ ‫فصل سوم‪ :‬تغییرشکلها و تانسور کرنش‪95 ...................................................................................‬‬ ‫‪ -1-3‬مقدمه ‪41 ...............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-3‬تعاریف مختلف کرنش ‪41 ....................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-3‬تعریف کرنش کوشی ‪41 .......................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-3‬تعریف کرنش گرین ‪42 .........................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-2-3‬تعریف کرنش آلمانسی‪42 .....................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-3‬تانسور کرنش ‪42 ...................................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-3‬تانسور دوران ‪43 ...................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-3‬نامتغیرهای تانسور کرنش ‪44 .................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-3‬تجزیه تانسور کرنشی ‪42 .......................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-3‬نامتغیرهای تانسور کرنش انحرافی ‪41 ...................................................................................‬‬ ‫‪-1-1-2-3‬نامتغیر اول تانسور کرنش انحرافی ‪41 ...............................................................................‬‬ ‫‪-2-1-2-3‬نامتغیر دوم تانسور کرنش انحرافی ‪41 ...............................................................................‬‬ ‫‪-3-1-2-3‬نامتغیر سوم تانسور کرنش انحرافی ‪42 ..............................................................................‬‬ ‫‪ -1-3‬کرنش های اصلی ‪10 .............................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-3‬تانسور کرنش برای برخی از حاالت خاص تغییر شکل ‪11 ..................................................‬‬ ‫فصل چهارم‪ :‬نیروها و تانسور تنش‪14 ...........................................................................................‬‬ ‫‪ -1-4‬مقدمه ‪11 ...............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-4‬نامتغیرهای تانسور تنش ‪20 ...................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-4‬تجزیه تانسور تنش ‪21 ...........................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-4‬نامتغیرهای تانسور تنش انحرافی ‪22 ......................................................................................‬‬ ‫‪ -1-4‬تصویر تنش بر یک صفحه ‪24 ...............................................................................................‬‬ ‫‪ -2-4‬مولفه های برشی و نرمال تنش بر یک صفحه‪22 ..................................................................‬‬ ‫‪ -1-4‬تنش های اصلی ‪21 ...............................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-4‬محاسبه تنش های برشی ‪11 ..................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-4‬شرایط خاص اعمال تنش ‪13 ................................................................................................‬‬ ‫فصل پنجم‪ :‬آزمونهای آزمایشگاهی برای تعیین پارامترهای مدل رفتاری ‪51 ....................................‬‬ ‫‪ -1-1‬مقدمه ‪11 ...............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1‬رفتار غیر خطی ‪11 ................................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-1‬شکل کلی قوانین رفتاری ‪11 .................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-1‬مشخص نمودن پارامترهای رفتاری ‪11 ..................................................................................‬‬ ‫‪ -1-1‬مسیر تنش ‪11 ........................................................................................................................‬‬ ‫فصل ششم‪ :‬مبانی االستیسیته‪51 .....................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2‬مقدمه ‪21 ...............................................................................................................................‬‬ ‫‪-2-2‬‬ ‫تئوری انتشار امواج در محیط االستیک ‪21 ............................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-2‬روابط تنش‪-‬نیرو ‪22 ..............................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-2‬روابط کرنش‪-‬تغییرشکل ‪21 ..................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-2-2‬روابط تنش‪-‬کرنش ‪22 ...........................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-2-2‬امواج طولی ‪11 ......................................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-2‬موج پیچشی ‪12 .....................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-2‬سرعت ذرات در ناحیه تحت تنش ‪13 ..................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-2‬انعکاس امواج االستیک در انتهای میله ‪11 .............................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-2‬ارتعاش طولی میله های کوتاه ‪11 ..........................................................................................‬‬ ‫‪-1-2-2-2‬میله دو سر آزاد ‪11 ............................................................................................................‬‬ ‫‪-2-2-2-2‬میله دو سر گیردار ‪12 ........................................................................................................‬‬ ‫‪-3-2-2-2‬شرایط مرزی یک سر گیردار‪-‬یک سر آزاد ‪100 ................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-2‬معادله موج در فضای سه بعدی ‪101 .....................................................................................‬‬ ‫‪ -3-2‬مدل های االستیک مرتبه اول و دوم ‪104 ...............................................................................‬‬ ‫‪ -2-3-2‬مدل االستیک کوشی ‪102 ......................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-3-2‬مدلهای کوچی مرتبه اول‪101 ................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-3-2‬محاسبه ثوابت ‪ 1‬و ‪101 ............................................................................................  2‬‬ ‫‪-1-4-3-2‬شرایط برش خالص ‪101 ...................................................................................................‬‬ ‫‪-2-4-3-2‬شرایط تنش هیدرواستاتیک ‪111 ........................................................................................‬‬ ‫‪-3-4-3-2‬حالت کرنش صفحه ای ‪111 .............................................................................................‬‬ ‫‪-4-4-3-2‬حالت تنش صفحه ای ‪112 ................................................................................................‬‬ ‫‪-1-4-3-2‬حالت تنش تک محوری ‪113 ............................................................................................‬‬ ‫‪-2-4-3-2‬حالت کرنش تک محوری ‪114 ..........................................................................................‬‬ ‫‪ -1-3-2‬مدل های االستیک گرین ‪111 ................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-3-2‬مدل های االستیک گرین مرتبه اول‪111 ................................................................................‬‬ ‫‪ -1-3-2‬مدل های االستیک کوشی مرتبه دوم ‪111 ..............................................................................‬‬ ‫‪-1-1-3-2‬آزمایش کرنش تک محوری ‪120 .......................................................................................‬‬ ‫‪-2-1-3-2‬آزمایش برش ساده ‪121 .....................................................................................................‬‬ ‫‪-3-1-3-2‬تعیین پارامترهای مدل در شرایط برش خالص ‪122 ..........................................................‬‬ ‫‪ -2-3-2‬مدل های االستیک گرین مرتبه دوم ‪122 ...............................................................................‬‬ ‫‪-1-2-3-2‬شرایط کرنش تک محوری ‪123 .........................................................................................‬‬ ‫‪-2-2-3-2‬شرایط برش ساده ‪124 .......................................................................................................‬‬ ‫فصل هفتم‪ :‬مبانی پالستیسیته‪515 ...................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-1‬مقدمه ‪121 .............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1‬مرور تاریخچه پیدایش و توسعه تئوری پالستیسیته ‪122 .......................................................‬‬ ‫‪ -3-1‬معیار تسلیم ‪121 ....................................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-1‬فضای تنش های‪ -‬وسترگارد‪121 ..........................................................................................‬‬ ‫‪ -1-1‬معیارهای تسلیم در پالستیسیته فلزات ‪131 ...........................................................................‬‬ ‫‪ -1-1-1‬معیار تسلیم ون میزس ‪131 ...................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1-1‬معیار ترسکا ‪133 ....................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1‬رفتار پس از تسلیم ‪131 .........................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-1‬تاثیر مسیر تنش ‪132 ..............................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1‬تعیین کرنشهای پالستیک ‪132 ...............................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-1‬رابطه تنش‪-‬کرنش لوی‪-‬میزس ‪132 ......................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-1‬رابطه تنش‪-‬کرنش پرندتل‪-‬ریوس ‪131 .................................................................................‬‬ ‫‪ -3-2-1‬تعیین اجزای کرنشهای برشی و حجمی ‪140 .........................................................................‬‬ ‫‪ -4-2-1‬کرنش حجمی و سخت شوندگی پالستیک ‪143 ...................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-1‬کرنش برشی پالستیک ‪141 ...................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-1‬تابع پتانسیل پالستیک ‪110 ....................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2-1‬تعامد و جریان همبسته‪110 ...................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-1‬رفتار پتانسیل پالستیک ‪113 ...................................................................................................‬‬ ‫‪ -10-1‬کار پالستیک ‪111 ..................................................................................................................‬‬ ‫‪ -11-1‬سخت شوندگی پالستیک ‪111 ..............................................................................................‬‬ ‫‪ -12-1‬ارتباط تنش‪-‬کرنش در پالستیسیته کالسیک ‪112 ..................................................................‬‬ ‫‪ -13-1‬شکل سطح تسلیم ‪111 ..........................................................................................................‬‬ ‫فصل هشتم‪ :‬کاربرد پالستیسیته در مدلسازی رفتار مکانیکی خاک ها‪514 .......................................‬‬ ‫‪ -1-2‬مقدمه ‪111 .............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2‬معیار گسیختگی موهر‪-‬کولمب ‪120 ......................................................................................‬‬ ‫‪ -3-2‬تعیین پارامترهای معیار ‪122 ...................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-2‬مدل دراکر‪-‬پراگر‪122 ............................................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2‬تعیین پارامترها ‪122 ...............................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-2‬محدودیتهای مدل دراکر‪-‬پراگر ‪123 ......................................................................................‬‬ ‫‪ -1-2‬بروز رفتار سخت شونده تحت تنش هیدرواستاتیک ‪124 ......................................................‬‬ ‫‪ -2-2‬ارتباط تنش‪-‬کرنش در معیار دراکر‪-‬پراگر‪122 ......................................................................‬‬ ‫‪ -1-2‬مبانی حالت بحرانی در خاک ها‪111 .....................................................................................‬‬ ‫‪ -10-2‬مدل االستوپالستیک کم کلی ‪111 ..........................................................................................‬‬ ‫‪-1-10-2‬مدل کم کلی ‪111 .................................................................................................................‬‬ ‫‪-2-10-2‬محاسبات مدل کم کلی‪ :‬سه محوری زهکشی شده فشاری معمولی ‪111 .............................‬‬ ‫‪-3-10-2‬محاسبات مدل کم کلی‪ :‬سه محوری زهکشی نشده فشاری معمولی‪122 ............................‬‬ ‫‪ -11-2‬نکات تکمیلی در خصوص مدل کم کلی ‪112 .......................................................................‬‬ ‫‪-1-11-2‬معادله سطح تسلیم‪112 ........................................................................................................‬‬ ‫‪-2-11-2‬مدل کم کلی با نسبت فواصل ‪111 .......................................................................................‬‬ ‫‪-3-11-2‬تعیین معادله رفتاری مدل کم کلی ‪112 ................................................................................‬‬ ‫‪ -12-2‬مدل پالستیسیته عمومی پاستور و همکاران (‪112 ...................................................... )1110‬‬ ‫‪-1-12-2‬مدلسازی رفتار خاکهای رسی ‪112 .......................................................................................‬‬ ‫‪-2-12-2‬مدلسازی رفتار خاکهای ماسه ای ‪111 .................................................................................‬‬ ‫‪ -13-2‬مدلهای دارای کالهک ‪200 ....................................................................................................‬‬ ‫‪-1-13-2‬سطح تسلیم ثابت‪200 ..........................................................................................................‬‬ ‫‪-2-13-2‬سطح تسلیم پیش رونده یا کالهک ‪201 ...............................................................................‬‬ ‫فصل نهم‪ :‬روابط مقاومت‪-‬اتساع در خاکها‪155 .............................................................................‬‬ ‫‪ -1-1‬مقدمه ‪211 .............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-1‬تابع پتانسیل پالستیک‪ ،‬قانون جریان و ارتباط تنش‪-‬اتساع ‪211 ............................................‬‬ ‫‪ -1-2-1‬ارتباط تنش‪-‬اتساع در شرایط کرنش مسطح ‪214 ..................................................................‬‬ ‫‪ -2-2-1‬معادالت انرژی در مدل کم کلی اولیه و اصالح شده ‪221 .....................................................‬‬ ‫‪ -3-2-1‬مدل تنش‪-‬اتساع راو ‪224 ......................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-1‬روابط تنش‪-‬اتساع در خاکهای مخلوط درشت دانه ‪221 .......................................................‬‬ ‫‪ -1-3-1‬تاثیر تراکم نسبی ‪232 .............................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-3-1‬تاثیر درصد شن دانه ‪233 .......................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-3-1‬دانه بندی خاک ‪231 ..............................................................................................................‬‬ ‫‪ -4-3-1‬تاثیر سیمانتاسیون بر اتساع خاکهای مخلوط ‪231 ..................................................................‬‬ ‫فصل دهم‪ :‬مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانیکی خاکها‪192 ........................................................‬‬ ‫‪ -1-10‬مقدمه ‪243 .............................................................................................................................‬‬ ‫‪ -2-10‬مدلسازی رفتار مکانیکی خاکهای سیمانته ‪243 ......................................................................‬‬ ‫‪-1-2-10‬مرور رفتار خاکهای سیمانته در چارچوب مفاهیم حالت بحرانی ‪241 .................................‬‬ ‫‪-2-2-10‬ارائه و توسعه یک مدل رفتاری برای خاکهای سیمانته ‪211 .................................................‬‬ ‫‪-3-2-10‬فشار آب حفره ای ‪211 ........................................................................................................‬‬ ‫‪-4-2-10‬کرنشهای حجمی ‪222 ..........................................................................................................‬‬ ‫‪ -3-10‬مدلسازی رفتار ترمودینامیکی خاکهای رسی ‪223 ..................................................................‬‬ ‫‪-1-3-10‬تاثیر دما بر خصوصیات فیزیکی و مکانیکی خاک رس ‪224 ................................................‬‬ ‫‪-1-1-3-10‬تاثیر دما بر وزن مخصوص ‪224 ......................................................................................‬‬ ‫‪-2-1-3-10‬حدود اتربرگ‪224 ...........................................................................................................‬‬ ‫‪-3-1-3-10‬نفوذ پذیری ‪224 ..............................................................................................................‬‬ ‫‪-4-1-3-10‬مقاومت برشی خاک‪221 .................................................................................................‬‬ ‫‪-1-1-3-10‬تغییر حجم در شرایط زهکشی شده ‪221 ........................................................................‬‬ ‫‪-2-1-3-10‬فشار آب حفرهای در شرایط زهکشی نشده ‪221 .............................................................‬‬ ‫‪-2-3-10‬مدلسازی رفتار ترمومکانیکی رس اشباع ‪222 ......................................................................‬‬ ‫‪-1-2-3-10‬فرضیات مدلسازی رفتاری ‪222 .......................................................................................‬‬ ‫‪-2-2-3-10‬تعیین کرنش های حجمی ‪221 ........................................................................................‬‬ ‫‪-3-2-3-10‬تعیین کرنش های برشی‪212 ...........................................................................................‬‬ ‫‪-4-2-3-10‬قانون جریان ‪212 .............................................................................................................‬‬ ‫‪-1-2-3-10‬سطح تسلیم ‪214 ..............................................................................................................‬‬ ‫‪-3-3-10‬رفتار ترمومکانیکی خاکهای غیر اشباع‪211 ..........................................................................‬‬ ‫‪-1-3-3-10‬مبانی مدل رفتاری ترمومکانیکی حالت غیراشباع ‪211 .....................................................‬‬ ‫‪-2-3-3-10‬اصالح سخت شوندگی برای مکش ‪212 .........................................................................‬‬ ‫‪-3-3-3-10‬اصالح تابع تسلیم برای مکش ‪211 .................................................................................‬‬ ‫منابع و مراجع‪152 .........................................................................................................................‬‬ ‫فصل اول – کليات مدلسازی رفتار خاکها‬ ‫فصل اول‬ ‫کليات مدلسازی رفتار خاکها‬ ‫فصل یک‪ :‬کلیات مدلسازی رفتار خاکها‬ ‫‪ 1-1‬مقدمه‬ ‫علوم مهندسي با ادراك‪ ،‬تحليل و پيش بيني ويژگيهاي رفتار سازهها و سيستمها همراه لده اسات‪.‬‬ ‫در اين راه ناگريز از لناخت دقيق رفتار موادي هستيم که اين سيستمها با استقاده از آنها بنا لده اناد‪.‬‬ ‫در قدم اول‪ ،‬روش درك رفتار واقتي مواد بر مرناي ساده سازي و به عرار ديگر مدلهاي ساده رفتااري‬ ‫مواد ميبالد بدين ترتيب که در تحليلها از مدل هاي ساده لده از رفتار پيچيده و واقتي ماده استفاده‬ ‫ميگردد‪ .‬بترار ديگر مي توان باا تمرکاز بار مفااهيم ماورد تاکياد در ياک مسارله و کناار گذالاتن‬ ‫خووصيا غير مرترط از مدل مفهومي مناسب و سازگار با ان استفاده نمود‪ .‬در واقع انتخاب نوع مادل‬ ‫رفتاري در يک تحليل به کاربرد آن وابسته است‪ .‬براي مثال يک متمار ممكن است يک ساختمان قااب‬ ‫فوالدي را با يک سري از فضاها کاه در آن اساراب‪ ،‬ديوارهاا و کااربري هااي مختلاف قارار داده لاده‬ ‫مدلسازي کند‪ ،‬در حالي که يک مهندس سازه ممكن اسات قااب فاوالدي را باراي محاساره لنگرهااي‬ ‫خمشي در تيرها و ستونها با استفاده از يک سري المانهاي خطي مدلسازي کند‪.‬‬ ‫مدلسازي ميتواند بر مرناي ايده آل سازي خووصيا رفتاري مواالح انجاام گيارد‪ .‬بتناوان مثاال‬ ‫رابطه تنش کرنش يک نمونه فوالد نرم تحت کشش ساده در لكل (‪-1-1‬الف) مشاهده ميلود‪ .‬در اين‬ ‫لكل ‪ OA‬رفتار خطي اوليه را تا نقطه ‪ A‬نشان ميدهد‪ .‬در اين نقطه افت ناگهاني در تنش )‪ (AB‬بدون‬ ‫‪61‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫کاهش در کرنش ميلود‪ .‬سپس تنش در نمونه با افازايش کارنش ثابات بااقي خواهاد ماناد )‪ .(BC‬در‬ ‫نهايت نمونه دچار سخت لوندگي لده و تنش در آن تا لحظه گسيختگي افزايش مييابد )‪ .(CD‬با اين‬ ‫وجود اگر بخواهيم تحليل رفتار سازه هاي فوالدي را انجام دهيم اين رابطه تنش کرنش با نماودار اياده‬ ‫آل لده در لكل (‪-1-1‬ب) جايگزين خواهد لد‪ .‬در اين لكل رفتار خطي االستيک اوليه با خاط ‪OM‬‬ ‫مدل سازي لده و از افت ناگهاني مابين تنش تسليم حد باال و پايين صرف نظر لاده اسات‪ .‬همچناين‬ ‫قسمت سخت لوندگي در کرنش نيز حذف ميگردد و تغييرلكل هاي پالستيک در يک تنش ثابت تاا‬ ‫کرنش هاي خيلي زياد ادامه پيدا ميکند )‪.(MN‬‬ ‫مكانيک خاك کالسيک از روابط تنش کرنش ايده آل لده مفهومي تري استفاده مينماياد‪ .‬نماودار‬ ‫مرسوم تنش برلي در مقابل کرنش برلي براي نمونه خاك در منحناي ‪ OXY‬در لاكل (‪ )2-1‬نشاان‬ ‫داده لده است‪ .‬اگر محاسرا تنش مد نظر بالد‪ ،‬به دست آوردن سختي خاك تحت بارهااي سارويس‬ ‫در حالت االستيک مورد نياز است که با خط ‪ OA‬قابل تتيين است‪ .‬اگار محاسارا پاياداري ماد نظار‬ ‫بالد‪ ،‬گسيختگي خاك همراه با تغييرلكل هاي زياد آن مدنظر خواهد بود که باعاث در هام لكساتن‬ ‫سازه هاي ژئوتكنيكي ميلود‪ .‬لذا از اهميت رفتار اوليه خاك کاسته لاده و ارترااط تانش‪-‬کارنش باه‬ ‫صور صلب‪ 1‬و کامال پالستيک‪ 2‬توسط نمودار ‪ OBC‬مدلسازي ميلود‪.‬‬ ‫شکل‪ :)6-6‬رفتار فوالد نرم تحت کشش ساده‬ ‫‪1 Rigid‬‬ ‫‪2 Perfectly Plastic‬‬ ‫فصل اول – کليات مدلسازی رفتار خاکها‬ ‫‪61‬‬ ‫شکل‪ :)2-6‬رفتار واقعی خاک و مدلسازی ساده شده آن حين برش‬ ‫‪ 2-1‬تعیین قوانین رفتاری مواد‬ ‫لكل (‪ )3-1‬نمونهاي از ماده تحت بارگذاري تک محوري را نشان ميدهد که با استفاده از يک فنار‬ ‫لريه سازي لده است‪ .‬ارتراط نيرو و تغيير لكل با استفاده از رابطه زير قابل بيان ميبالد‪.‬‬ ‫(‪)1-1‬‬ ‫‪ku  Q‬‬ ‫در اين رابطه ‪ k‬سختي فنر‪ u ،‬تغيير لكل و ‪ Q‬نياروي وارده اسات‪ .‬مسالما در ايان رابطاه پاارامتر‬ ‫سختي مشخص کننده وضتيت رفتاري ماده است‪ .‬مقدار آن با اندازه گيري تغيير لكل تحات ياک باار‬ ‫مشخص قابل محاسره است‪ .‬حال اگر مطابق لكل (‪ )4-1‬بارگذاري ماده در جها مختلف انجام گيارد‪،‬‬ ‫بار وارده در هر يک از جها بر تغيير لكل ايجاد لده در جهت ديگر تاثيرگذار خواهد بود‪ .‬لاذا رابطاه‬ ‫نيرو‪ -‬تغيير لكل بوور زير تغيير خواهد نمود‪:‬‬ ‫(‪)2-1‬‬ ‫‪k z1 ‬‬ ‫‪ Q1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k z 2  u  Q2 ‬‬ ‫‪    ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k z3  v  Q3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ w  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Qn ‬‬ ‫‪k zn ‬‬ ‫‪k y1‬‬ ‫‪k y2‬‬ ‫‪k y3‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪k yn‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫‪ k x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k x2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k xn‬‬ ‫در اين رابطه ‪ k xi‬نشانگر ميزان تأثير نيروي ‪ Qi‬بر تغيير مكان جهات ‪ x‬يتناي ‪ u‬خواهاد باود‪ .‬باه‬ ‫همين ترتيب ‪ k yi‬و ‪ k zi‬نشانگر تأثير نيرو ‪ Qi‬بر تغيير مكان جها‬ ‫‪ z, y‬يتني ‪ v‬و ‪ w‬ميبالاند‪ .‬باا‬ ‫توجه به تأثيرگذاري مقدار نيرو بر تغير لكل هر يک از ديگر جها ‪ ،‬تتيين ماتريس رفتاري ]‪ [k‬در اين‬ ‫وضتيت بسيار دلوارتر خواهد بود‪.‬‬ ‫‪61‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫با افزايش تتداد عناصر مجهول در ماتريس رفتاري ماده‪ ،‬نياز به انجاام آزمايشاهاي بيشاتر جهات‬ ‫تتيين مقادير آنها خواهد بود‪ .‬در واقع انجام آزمايش تنها روش تتين درست و دقيق تر پارامترهاي ياک‬ ‫رابطه رفتاري است‪ .‬نكته مهم آن است که آزمون مورد استفاده بايد بطور صاحيح وضاتيت بارگاذاري و‬ ‫تغيير لكل نمونه خاك را لريه سازي و مدل سازي نمايد‪ .‬بنابراين در خووف وضتيت بارگذاري تاک‬ ‫محوري‪ ،‬اعمال بار و اندازه گيري تغير مكان در جهت اعمال بار‪ ،‬رابطه رفتاري را متين خواهد نمود‪ .‬امّا‬ ‫در لرايط تغيير لكل سه بتدي بايد با اعمال بارگذاري در جها مختلف‪ ،‬مقادير تغيير لكل نظيار در‬ ‫هر جهت تتيين لده تا تتيين عناصر ماتريس رفتاري مورد نظر امكان پذير گردد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)3- 6‬بارگذاری تک محوری و مدلسازی آن‬ ‫شکل ‪ :)4- 6‬بارگذاری چند محوری‬ ‫فصل اول – کليات مدلسازی رفتار خاکها‬ ‫‪61‬‬ ‫‪ 3-1‬قوانین رفتاری‪ ،‬نیاز کلیدی تحلیلهای تنش‪ -‬کرنش‬ ‫در صورتيكه حالت ساده اعمال تنش تک محوري بر يک ميله با سطح مقطع ثابت ‪ A‬و طاول ‪ l‬در‬ ‫نظر گرفته لود‪ ،‬رابطه (‪ )3-1‬مقدار تنش ‪ ‬را مشخص خواهد نمود‪.‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫(‪)3-1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫به همين ترتيب در صور ايجاد تغيير لكل ‪ u‬در اثر اعمال اين بار‪ ،‬کرنش نظير بوور زير تتريف‬ ‫مي گردد‪:‬‬ ‫‪u‬‬ ‫(‪)4-1‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫در اين متادال سه مجهول ‪ u,  , ‬وجود دارد‪ .‬امّا تنها دو متادله براي آنها در دسات اسات‪ .‬لاذا‬ ‫نياز به تتيين يک متادله اضافي براي ارتراط تنش و کرنش به عنوان متادله سوم قطتي خواهد بود‪ .‬اين‬ ‫‪1‬‬ ‫متادله در واقع همان قانون رفتاري ماده تحت بارگذاري خواهد بود‪ .‬لكل ساده رابطه هوك اين ارتراط‬ ‫را در وضتيت االستيک خطي نشان ميدهد که منجر به تتيين تمامي مجهوال خواهد لد‪.‬‬ ‫‪σE‬‬ ‫(‪)5-1‬‬ ‫پارامتر رفتاري موجود در اين رابطه‪ ،‬ضريب االستيسيته (‪ )E‬ميبالد‪ .‬در حالت کلي متادلاه تتاادل‬ ‫براي المان ماده در لرايط بارگذاري سه بتدي به صور زير بيان ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)6-1‬‬ ‫‪σij , j  Fi  0‬‬ ‫در اين رابطه ‪  ij‬تانسور تنش و عالمت کاما بيانگر مشتق آن نسرت به جهات ‪ j‬اسات‪ .‬همينطاور‬ ‫‪ Fi‬برآيند نيروهاي خارجي اعمال لده در جهت ‪ i‬خواهد بود‪ .‬به همين ترتيب ميتوان استنراط نماود‬ ‫که اين رابطه حاوي لش مجهول از درايه هاي تانسور تنش و ساه متادلاه تتاادل خواهاد باود‪ .‬رابطاه‬ ‫کرنش‪ -‬تغيير لكل نيز در يک ماده به فرم کلي نيز قابل بيان ميبالد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)7-1‬‬ ‫‪ε ij   u i, j  u j,i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫در اين رابطه ‪  ij‬تانسور کرنش و ‪ ui‬تغيير مكان نظير جهت ‪ i‬خواهد بود‪ .‬ايان رابطاه حااوي ناه‬ ‫مجهول که لش مورد آن مربوط به تانسور کرنش ‪  ij‬و سه مورد ديگار مرباوط باه تغييار لاكل ‪ui‬‬ ‫است‪ ،‬ميبالد‪ .‬همچنين اين رابطه‪ ،‬لش متادله مستقل براي حل در اختيار قرار خواهد داد‪.‬‬ ‫‪1 Hooke’s Law‬‬ ‫‪22‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫بدين ترتيب مجموع دو متادله (‪ )6-1‬و (‪ )7-1‬لامل پانزده مجهول و نه متادله مستقل مايبالاد‪ .‬باه‬ ‫مانند لرايط بارگذاري تک محوري‪ ،‬لش متادله الزم از قانون رفتاري بدست خواهند آمد کاه از رابطاه‬ ‫زير حاصل ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)8-1‬‬ ‫‪ ij  Cijk ε k‬‬ ‫در اين رابطه ‪ Cijkl‬بيانگر قانون رفتاري ماده است‪ .‬اين ارتراط لش متادله مستقل در اختيار قارار‬ ‫خواهد داد ولي لامل مجهول جديدي نيست‪ .‬در مجموع پانزده متادله و پاانزده مجهاول موجاود حال‬ ‫لده و مقادير تنش و کرنش حاصل خواهند گرديد‪ .‬بدين ترتيب لازوم دسترساي باه قاانون رفتااري از‬ ‫توضيحا ذکر لده به وضوح مشخص ميگردد‪ .‬با توجه به حضور انديس هاي متتدد در روابط مارترط‬ ‫با قوانين رفتاري در فول بتد قوانين مرترط با انديسها مرور و ارائه ميگردد‪.‬‬ ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ ‫فصل دوم‬ ‫مبانی حساب تانسورها‬ ‫‪-2‬فصل دوم‪ :‬مبانی حساب تانسورها‬ ‫‪ -1-2‬مقدمه‬ ‫در مراحث ري اضي و کاربرد آنهاا در مهندساي‪ ،‬باه کارا از کميتهاايي باه ناام تانساورها اساتفاده‬ ‫ميگردد‪ .‬در واقع تانسورها به منظور بيان هر چه بهتر مفاهيم و فرموالسيون رياضيا مورد استفاده در‬ ‫مسائل مهندسي بكار ميروند‪ .‬اعداد و اسكالرها تانسور از مرتره صفر ميبالند‪ .‬بردارها تانسورهاي مرتره‬ ‫اول و ماتريسها تانسورهايي از مرتره دوم هستند‪ .‬تانساورهاي از مرتراه بااالتر نمااد رياضاي لاناخته‬ ‫لدهاي مثل موارد قرل ندارند ولي در روابط مورد استفاده قرار ميگيرند‪ .‬در کاربرد تانسورها‪ ،‬انديسهاا‬ ‫نقش اساسي دارند‪ .‬بنابراين ابتدا به تتريف انواع انديسها و سپس تانساورها جهات اساتفاده از آنهاا در‬ ‫مسائل مدلسازي رفتاري خاکها پرداخته ميلود‪.‬‬ ‫‪ -2-2‬اندیسها‬ ‫يک دنراله بوور مجموع ‪ n‬جمله را ميتوان به صور زير نولت‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‪(1-2‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪a x‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ai x i ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪S  a1x 1  a2 x 2  an x n  S ‬‬ ‫‪22‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫همانطور که مشاهده ميلود با استفاده از انديس هاي ‪ i‬و يا ‪ j‬ميتوان عرار اولياه را باه صاور‬ ‫اختواري بازنويسي نمود‪ .‬انديسها متموال به دو دسته انديس آزاد و موهومي تقسيم مايلاوند کاه در‬ ‫اين قسمت مورد الاره قرار ميگيرند‪.‬‬ ‫‪-3-9-9‬اندیس موهومی‬ ‫‪3‬‬ ‫انديس موهومي انديسي است که در يک جمله عرار ‪ ،‬دوبار تكارار لاده بالاد‪ .‬باه عناوان نموناه‬ ‫انديس هاي ‪ i‬و ‪ j‬ذکر لده در رابطه (‪ )1-2‬انديس موهومي خواهند بود‪ .‬در مورد انديس هاي موهاومي‬ ‫‪2‬‬ ‫ميتوان از قانون جمع استفاده نمود‪ .‬بر اساس قانون جمع در صور وجاود اناديس موهاومي در ياک‬ ‫عرار امكان بسط آن بوور مجموع جمال وجود دارد‪ .‬با توجه به وجود سه محور اصلي در دساتگاه‬ ‫مختوا دکارتي‪ ،‬متموال در کاربردهاي مدلسازي و نظريه خميري‪ ،‬جمع تا سه جمله محدود ميگردد‪.‬‬ ‫بدين ترتيب خواهيم دالت‪:‬‬ ‫(‪)2-2‬‬ ‫‪S  ai x i  a j x j  a1x 1  a2 x 2  a3x 3‬‬ ‫همچنين ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ a x x  a x x  a x x  a x x ‬‬ ‫(‪)3-2‬‬ ‫‪13 1 3‬‬ ‫‪12 1 2‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪11 1 1‬‬ ‫‪ij i‬‬ ‫‪S  aij xi x j ‬‬ ‫‪i 1 j 1‬‬ ‫‪a21 x2 x1  a22 x2 x2  a23 x2 x3  a31 x3 x1  a32 x3 x2  a33 x3 x3‬‬ ‫بطور کلي در صور وجود ‪ n‬انديس موهومي در عرار ‪ 3n ،‬جمله خاواهيم دالات‪ .‬بتناوان مثاال‬ ‫عرار ‪:‬‬ ‫(‪)3-2‬‬ ‫‪xix jxk‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪j 1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪ijk‬‬ ‫‪aijk x i x j x k ‬‬ ‫لامل ‪ 27‬جمله ميبالد‪.‬‬ ‫‪-9-9-9‬اندیس آزاد‬ ‫‪1‬‬ ‫اگر انديس در تمامي جمال يک عرار فقط يک بار تكرار لده بالد‪ ،‬آن را انديس آزاد مينامناد‪.‬‬ ‫به عنوان مثال در عرار زير‪ i ،‬انديس آزاد و ‪ m‬انديس موهومي است‪.‬‬ ‫(‪)4-2‬‬ ‫‪x i  aim x m‬‬ ‫‪1 Dummy Index‬‬ ‫‪2 Summation rule‬‬ ‫‪3 Free index‬‬ ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ ‫بسط اين عرار بوور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪x 1  a11 x 1  a12 x 2  a13 x 3‬‬ ‫‪x 2  a21 x 1  a22 x 2  a23 x 3‬‬ ‫‪x 3  a31 x 1  a32 x 2  a33 x 3‬‬ ‫به همين ترتيب در عرار زير‪ i ،‬انديس آزاد و ‪ j‬انديس موهومي است‪:‬‬ ‫‪ai  bi c j d j  0‬‬ ‫‪a1  b1 c1d1  c 2d 2  c3d 3   0‬‬ ‫‪a2  b2 c1d1  c 2d 2  c3d 3   0‬‬ ‫(‪)5-2‬‬ ‫‪a3  b3 c1d1  c 2d 2  c3d 3   0‬‬ ‫تذکر‪ :‬اگر در رابطهاي ‪ m‬انديس آزاد وجود دالته بالد‪ 3m ،‬متادله نتيجه خواهد لد‪.‬‬ ‫به عنوان مثال در عرار زير‪ i ،‬و ‪ j‬انديس هاي آزاد هستند در حاليكه ‪ m‬انديس موهومي است‪ .‬لذا‬ ‫‪ 32  9‬متادله و هر متادله لامل ‪ 31  3‬جمله خواهد بود‪.‬‬ ‫‪T ij  Aim A jm‬‬ ‫(‪)6-2‬‬ ‫‪T11  A1m A1m  A11A11  A12 A12  A13A13‬‬ ‫‪T12  A1m A2m  A11A21  A12 A22  A13A23‬‬ ‫‪T13  A1m A3m  A11A31  A12 A32  A13A33‬‬ ‫همچنين در عرار زير ‪ i‬انديس آزاد امّا ‪ j‬و‪ k‬فاقد تتريف هستند‪.‬‬ ‫‪T ij  T ik‬‬ ‫(‪)7-2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-3-2‬دلتای کرونکر‬ ‫نماد دلتاي کرونكر نيز به کرّا در فرموالسيون تروري پالستيسيته مورد استفاده قرار ميگيرد و به‬ ‫قرار ذيل تتريف ميلود‪:‬‬ ‫(‪)8-2‬‬ ‫با توجه به اين تتريف ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪1 i  j‬‬ ‫‪δij  ‬‬ ‫‪0 i  j‬‬ ‫‪δ11  δ22  δ33  1‬‬ ‫‪δ12  δ13  δ21  δ31  δ23  δ32  0‬‬ ‫‪1 kronecker Delta‬‬ ‫‪24‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ δ11 δ12 δ13  1 0 0 ‬‬ ‫‪δ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 21 δ 22 δ 23   0 1 0 ‬‬ ‫‪ δ31 δ32 δ33  0 0 1 ‬‬ ‫‪δii  δ11 +δ22 +δ33  3‬‬ ‫‪1m am  11a1  12a2  13a3  a1‬‬ ‫‪ 2m am  a2‬‬ ‫‪3m am  a3‬‬ ‫به عرار ديگر ميتوان گفت‪:‬‬ ‫‪ im am  ai‬‬ ‫(‪)9-2‬‬ ‫يتني در ضرب دلتاي کرونكر‪ ،‬انديس مشترك حذف و انديس غيرمشترك جايگزين ميگردد‪.‬‬ ‫‪1m T mj  T1 j‬‬ ‫‪im T mj  T ij‬‬ ‫‪ mi T mj  T ij‬‬ ‫‪ ij  jm   im‬‬ ‫‪im  mj  jn   in‬‬ ‫در صورتيكه در دستگاه مختوا دکاارتي‪ ،‬بردارهااي يكّاه متتاماد نظيار محورهااي ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬باا‬ ‫‪ e 2 ,e1‬و‪ e3‬نمايش داده لوند‪ ،‬در خووف ضرب داخلي دو بردار ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪e i . e j  e i e j cos   ij ‬‬ ‫(‪)11-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a .b  ai e i  . b j e j  ai b j e i .e j  ai b j  ij  ai bi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-4-2‬نشان جابجایی‬ ‫بسته به تتداد جابجايي انجام لده در ترکياب ‪ ijk‬نسارت باه فارم ‪ 1 ،2 ،3‬بهواور زيار تترياف‬ ‫ميگردد‪:‬‬ ‫زوج‬ ‫‪j‬‬ ‫(‪)11-2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪k‬‬ ‫فرد‬ ‫نه زوج نه فرد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ijk  -1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 Permutation Symbol‬‬ ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ ‫‪22‬‬ ‫(‪)12-2‬‬ ‫‪ ijk   jki   kij‬‬ ‫(‪)13-2‬‬ ‫‪ ijk   jik‬‬ ‫(‪)14-2‬‬ ‫‪ iik  0‬‬ ‫بر اين اساس در خووف ضرب خارجي بردارهاي يكه متتامد ‪ e 2 ,e1‬و‪ e3‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)15-2‬‬ ‫‪e i e j   ijk e k‬‬ ‫(‪)16-2‬‬ ‫‪e j e k   jki e i‬‬ ‫(‪)17-2‬‬ ‫‪e1  e 2  123 e3  e3‬‬ ‫(‪)18-2‬‬ ‫‪e3 e 2   321 e1  e1‬‬ ‫‪‬‬ ‫به همين ترتيب ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)19-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a  b  ai e i   b j e j  ai b j e i  e j  ai b j  ijk e k‬‬ ‫تذکر‪ :‬ارتراط نشان جابجايي با دلتاي کرونكر بوور زير قابل اثرا ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)21-2‬‬ ‫‪ ijm  klm  ik  j  i  jk‬‬ ‫‪ -5-2‬عملیاتی با استفاده از نماد اندیس ها‬ ‫‪-3-3-9‬جابجایی‬ ‫فرض کنيد دو متادله ذيل را دالته باليم‪:‬‬ ‫(‪)21-2‬‬ ‫‪ai  v im bm‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bi  v in c n‬‬ ‫با جابجايي انديس ‪ i‬با ‪ m‬در عرار دوم ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪i m ‬‬ ‫(‪)22-2‬‬ ‫‪bm  v mnc n  ai  v imv mnc n‬‬ ‫در جابجايي انديسها نرايد انديس جديد‪ ،‬قرال در جملهها وجود دالته بالاد وگرناه ممكان اسات‬ ‫منجر به تغيير نوع انديس گردد‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ -9-3-9‬ضرب‬ ‫ضرب جمال نيز با روابط زير قابل تتريف ميبالد‪:‬‬ ‫‪ p  am b m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q  c m d m‬‬ ‫(‪)23-2‬‬ ‫در ابتدا با جابجايي انديسها ميتوان ‪ m‬را به ‪ j‬ترديل نمود‪ ،‬آنگاه‪:‬‬ ‫(‪)24-2‬‬ ‫‪pq  am bm  c j d j   am bm c j d j‬‬ ‫در واقع جابجايي انديسها با اين هدف انجام لد که در هر جمله يک انديس بيش از دو باار تكارار‬ ‫نشده و تتريف انديس موهومي خدلهدار نگردد‪.‬‬ ‫‪-1-3-9‬فاکتورگیری‬ ‫فاکتورگيري و امكان انجام آن از محاسرا مهّمي است که با استفاده از انديسها انجام ميگيرد‪.‬‬ ‫فرض ميلود که عرار زير وجود دالته بالد‪:‬‬ ‫‪T ij n j   ni  0‬‬ ‫(‪)25-2‬‬ ‫مي توان ‪ n i‬در جمله دوم را با مقدار زير جايگزين نمود‪:‬‬ ‫‪ni   ij n j‬‬ ‫(‪)26-2‬‬ ‫(‪)27-2‬‬ ‫‪T ij n j   ij n j  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)28-2‬‬ ‫‪T    n  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-1-3-9‬انقباض‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪3‬‬ ‫انقراض به متني يكي نمودن دو انديس و کاهش جمال است‪ .‬مسلمّا اين عمال در صاور امكاان‬ ‫تساوي دو انديس مجاز خواهد بود‪ .‬بتنوان نمونه زماني که قود داريم مجموع عناصر قطري يک تانسور‬ ‫از مرتره دو (ماتريس) را محاسره نماييم‪.‬‬ ‫(‪)29-2‬‬ ‫‪T ij  λθδij  2μE ij‬‬ ‫(‪)31-2‬‬ ‫‪Tii   ii  2Eii  3  2 E11  E22  E33 ‬‬ ‫‪1 Contraction‬‬ ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ ‫‪21‬‬ ‫‪-6-2‬تانسورها‬ ‫تانسورها مردلها يا ترديل هايي خطي هستند که ميتوانند فضاي محاسرا را تغيير دهند‪ .‬بتنوان‬ ‫مثال در رابطه زير ‪ A‬يک ترديل ميبالد که فضاي مربوط به محاسرا را از مجموعه متغيرهااي ‪ x‬باه‬ ‫مجموعه متغيرهاي ‪ z‬انتقال ميدهد‪:‬‬ ‫(‪)31-2‬‬ ‫‪Ax  z‬‬ ‫حال اگر براي مردل ‪ T‬و به ازاي هر دو بردار اختياري ‪ a2 , a1‬و اسكالر ‪ ،‬لروط زيار ارضاا گردناد‪،‬‬ ‫آن ترديل يک ترديل خطي و آن مردل يک تانسور ناميده ميلود‪:‬‬ ‫(‪)32-2‬‬ ‫‪ T  a1  a2   Ta1  Ta2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T  a1    Ta1‬‬ ‫‪-3-0-9‬مولفه های تانسور‬ ‫در صورتيكه ‪ e 2 ,e1‬و‪ e3‬مولفه هاي بردار يكّه در امتداد محورهاي مختوا بالند‪:‬‬ ‫(‪)34-2‬‬ ‫‪a  ai ei  a1 e1  a2 e 2  a3 e 3‬‬ ‫‪a . e1  a1‬‬ ‫‪a . e 2  a2‬‬ ‫‪a . e 3  a3‬‬ ‫در خووف عملكرد تانسورها بر بردارها‪ ،‬عملكرد زير بتنوان يک تتريف مدنظر قرار ميگيرد‪:‬‬ ‫‪ei . Te j  T ij ‬‬ ‫(‪)35-2‬‬ ‫‪e1. Te1  T11‬‬ ‫‪e 2 . Te3  T 23‬‬ ‫‪e3 . Te1  T 31‬‬ ‫با توجه به رابطه فوق‪ ،‬متادله زير نيز در حساب تانسورها در نظر گرفته ميلود‪:‬‬ ‫(‪)36-2‬‬ ‫‪Te j  T mj e m‬‬ ‫‪Te1  T m 1e m  T11 e1 T 21 e 2 T 31 e3‬‬ ‫‪Te 2  T m 2e m  T12 e1 T 22 e 2 T 32 e 3‬‬ ‫‪Te3  T m 3e m  T13 e1 T 23 e 2 T 33 e3‬‬ ‫مثال (‪ :)1-2‬تانسور ترديل که هر بردار مختوا را به تووير آينهاي آن ترديل مينمايد را محاسره‬ ‫نماييد‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫اگر تووير آينهاي بردارهاي يكه مختواا دکاارتي بار اسااس لاكل (‪ )1-2‬در نظار گرفتاه لاود‬ ‫ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪M e1  M11e1  M 21e2  M 31e3  e1‬‬ ‫‪Me1  e1‬‬ ‫‪M e2  M12e1  M 22e2  M 32e3  e2‬‬ ‫‪Me2  e2‬‬ ‫‪Me3  M13e1  M 23e2  M 33e3  e3‬‬ ‫‪Me3  e3‬‬ ‫‪ 1 0 0 ‬‬ ‫‪  M    0 1 0 ‬‬ ‫‪ 0 0 1 ‬‬ ‫شکل ‪ :(6-2‬تصویر آینهای بردارها یکه مختصات‬ ‫‪-3-0-9‬جمع تانسورها‬ ‫جمع دو تانسور بر اساس رابطه زير تتريف ميگردد‪ .‬جمع تانسورها نيز قطتا ياک تانساور را نتيجاه‬ ‫خواهد داد‪.‬‬ ‫(‪)37-2‬‬ ‫‪T  S ij  ei .T  S e j‬‬ ‫‪ ei . Te j  ei .Se j‬‬ ‫‪ T ij  S ij‬‬ ‫(‪)38-2‬‬ ‫‪T  S   T   S ‬‬ ‫‪‬‬ ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ 21 :‫و همچنين‬ T  S  a   T a   S a   )39-2(   T a   S a   T  a   S  a    T  S  a 1 ‫ یا باز‬9‫ تانسوری‬،3‫حاصلضرب دایادیک‬-9-0-9 ‫ بتنوان يک ترديل تتريف ميگردد و هر برداري‬ab ‫ بوور‬b ‫ و‬a ‫حاصلضرب داياديک بردارهاي‬ :‫ را بوور زير به بردار ديگري ترديل مينمايد‬c ‫چون‬ ab c  a b . c  )41-2( .‫حاصل ضرب داياديک دو بردار يک تانسور را نتيجه خواهد داد‬  ab  c   d   a b. c   d   a  b.c    b.d    a  b .c    a  b .d     ab  c    ab  d )41-2( :‫اعضاي تانسور حاصلضرب داياديک به قرار زير ميبالند‬ ab   e .ab e  e . a b .e   e . a b   i ij j i j i j )42-2( b j e i .a   ai b j a1b1 a1b2 a1b3  a1      (ab )  a2b1 a2b2 a2b3   a2  (b1 b2 b3 ) a3b1 a3b2 a3b3  a3  1 0 0  e1e1   0 0 0 0 0 0 0 0 0  e 2e3   0 0 1  0 0 0 T  T11  e1e1   T12  e1e2   T13  e1e3   T33  e3e3    T  T ij e i e j  1 Dyadic product 2 Tensor product 3 Open product )43-2( ‫‪32‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪-9-0-9‬حاصلضرب دو تانسور‬ ‫اگر ‪ T‬و ‪ S‬دو تانسور بالند‪ ،‬در آن صور ‪ TS‬و ‪ ST‬به عنوان ترديل زير مترفي لاده و خاود ياک‬ ‫تانسور ميبالند‪.‬‬ ‫(‪)44-2‬‬ ‫‪TS  a  T Sa ‬‬ ‫(‪)45-2‬‬ ‫‪ST  a  S Ta ‬‬ ‫(‪)46-2‬‬ ‫‪TS ij  ei .TS  e j  ei . T  Se j   ei . T  Smj em   Tim Smj‬‬ ‫به همين ترتيب ميتوان ثابت نمود‪:‬‬ ‫(‪)47-2‬‬ ‫‪(ST )ij  S imT mj‬‬ ‫(‪)48-2‬‬ ‫‪ST  TS‬‬ ‫مثال (‪ :)2-2‬يک جسم صلب در خالف جهت عقربه هاي ساعت به اناداز ‪ 91‬حاول ياک محاور‬ ‫دوران مينمايد‪ .‬تانسور دوران را محاسره نمايد‪ .‬محور دوران را ‪ e 3‬فرض کنيد‪.‬‬ ‫شکل ‪ )2-2‬بردارهای یکه در دستگاه مختصات دکارتی تحت دوران‬ ‫‪ 0 1 0 ‬‬ ‫‪R   1 0 0 ‬‬ ‫‪ 0 0 1‬‬ ‫‪Re1  e 2  R11e1  R 21e 2  R 31e3‬‬ ‫‪Re 2  e1  R12e1  R 22e 2  R 32e3 ‬‬ ‫‪Re3  e3  R13e1  R 23e 2  R 33e3‬‬ ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ ‫‪36‬‬ ‫حال اگر جسم مجددا اين بار حول ‪ e1‬به همان صور دوران نمايد داريم‪:‬‬ ‫‪Se1  e1‬‬ ‫‪1 0 0 ‬‬ ‫‪S  0 0 1‬‬ ‫‪0 1 0 ‬‬ ‫‪Se 2  e 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Se3  e 2‬‬ ‫‪0 1 0 ‬‬ ‫‪S  Ra   SR  a  0 0 1 a‬‬ ‫‪1 0 0 ‬‬ ‫‪ 0 0 1‬‬ ‫‪R  Sa    RS  a   1 0 0  a‬‬ ‫‪ 0 1 0 ‬‬ ‫‪-1-0-9‬حاصلضرب اسکالر تانسورها‬ ‫حاصلضرب اسكالر دو تانسور به دو فرم زير قابل تتريف است‪:‬‬ ‫(‪)49-2‬‬ ‫‪T :V  T ijV ij‬‬ ‫(‪)51-2‬‬ ‫‪T .. V  T ijV ji‬‬ ‫‪-1-0-9‬ترانسپوز‪ 3‬یک تانسور‬ ‫‪T‬‬ ‫ترانسپوز يک تانسور مثل ‪ T‬با ‪ T‬نشان داده ميلود و لرط زير را برآورده مينمايد‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)51-2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a . Tb  b . T T a‬‬ ‫الزم به ذکر است که ترانسپوز يک تانسور خود يک تانسور خواهد بود‪.‬‬ ‫اگر ‪ b ,a‬به ترتيب ‪ e i‬و ‪ e j‬در نظر گرفته لوند داريم‪:‬‬ ‫(‪)52-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ei . Te j  e j . T T e i  T ij  T jiT‬‬ ‫اين رابطه به متناي عوض کردن جاي سطر و ستون جهت تتيين ترانسپوز تانسور ميبالد‪.‬‬ ‫همچنين ميتوان اثرا نمود که رابطه زير برقرار است‪:‬‬ ‫‪1 Transpose‬‬ ‫‪32‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ST T T T S T‬‬ ‫(‪)53-2‬‬ ‫‪-3-0-9‬تانسور متعامد‬ ‫‪3‬‬ ‫ترديلي است که طي آن هر بردار طول و زاويه خود را حفظ مينمايد‪.‬‬ ‫‪Qa  a‬‬ ‫(‪)54-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)55-2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cos a ,b  cos Qa ,Qb‬‬ ‫(‪)56-2‬‬ ‫‪Qa .Qb  a .b‬‬ ‫(‪)57-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)59-2‬‬ ‫‪Qa .Qb  b . Q T Qa ‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)58-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a .b  b . Q T Qa‬‬ ‫‪b . I  Q T Q  a  0  Q T Q  I‬‬ ‫‪‬‬ ‫ميتوان ثابت نمود که ترانسپوز يک تانسور متتامد خود يک تانسور متتامد است‪.‬‬ ‫(‪)61-2‬‬ ‫‪Q Q  QQ  I‬‬ ‫به همين ترتيب خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫(‪)61-2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪QT Q   WQ  WimQmj  Qim‬‬ ‫‪Qmj  Qmi Qmj  Iij‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫و همچنين‪:‬‬ ‫(‪)62-2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ 1  Q  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Q  Q T   I   Q Q T  1  Q‬‬ ‫در خووف تانسورهاي متتامد ميتوان ترديلهاي دوران و انتكااس را ناام بارد‪ .‬دترميناان مااتريس‬ ‫دوران (‪ )+1‬و تانسور انتكاس (‪ )-1‬ميبالد‪.‬‬ ‫‪-0-0-9‬مولفه های تانسور در دستگاه مختصات تبدیل یافته‬ ‫اگر تانسور ‪ T‬در مختوا ‪ e j , ei‬و فرم ترديل يافته آن در مختوا ‪ T , ej , ei‬در نظر گرفته لود‪،‬‬ ‫ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)63-2‬‬ ‫‪Tij  ei . Te j‬‬ ‫‪1 Orthogonal transformation‬‬ ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ 33 Tij  ei. Tej )64-2(    T   Qmi em . T Qnj en  Qmi Qnj em . Ten  Qmi QnjTmn )65-2( T11  T 21   T 31 )66-2( T12 T 22 T 32 T13  Q11 Q 21 Q 31  T11 T12 T13  Q11 Q12 Q13   T 23   Q12 Q 22 Q 32  T 21 T 22 T 23  Q 21 Q 22 Q 23   T 33  Q13 Q 23 Q 33  T 31 T 32 T 33  Q 31 Q 32 Q 33  T   Q T T Q   )67-2( ‫ حاول‬ei ‫ از دوران‬ei ‫ بدسات آورياد در صاورتيكه‬ei ‫ را در مختواا‬T ‫ تانساور‬:)3-2( ‫مثال‬ .‫ بدست آمده بالد‬91 ‫ در خالف جهت عقربه هاي ساعت به ميزان‬e3 ‫محور‬ 0 1 0  T   1 2 0 0 0 1  e1  e2 e2  e1 e1  Q11e1  Q21e2  Q31e3 ei  Qmi em  e3  e3 e2  Q12 e1  Q22 e2  Q32 e3  0 1 0 Q  1 0 0 0 0 1  e3  Q13e1  Q23e2  Q33e3  0 1 0 0 1 0 0 1 0   2 1 0   T     1 0 0 1 2 0 1 0 0   1 0 0  0 0 1  0 0 1  0 0 1   0 0 1  9 ‫ و پادمتقارن‬3‫تانسورهای متقارن‬-7-0-9 ‫ به عراار ديگار‬.‫ اعضا نسرت به تغيير جايگاه سطري با ستوني تغيير نمينمايند‬،‫در تانسور متقارن‬ :‫ميتوان نولت‬ T T T  T ij  (T )Tij  T ji )68-2( :‫ بنابراين‬.‫ هر درايه سطري قرينه درايه نظير ستوني آن خواهد بود‬،‫در تانسور پادمتقارن‬ 1 Symmetric 2 Anti-symmetric ‫‪34‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫(‪)69-2‬‬ ‫‪T  T T‬‬ ‫‪T11  T22  T33  0‬‬ ‫(‪)71-2‬‬ ‫‪Tij  T ji‬‬ ‫‪‬‬ ‫هر تانسور ‪ T‬را ميتوان بوور مجموع دو تانسور متقارن ) ‪ (T S‬ونامتقارن ) ‪ (T A‬نولت‪:‬‬ ‫(‪)71-2‬‬ ‫‪T  T S T A‬‬ ‫در اين رابطه داريم‪:‬‬ ‫(‪)72-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)73-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-9-0-9‬بردار دوگان‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T T T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T A  T T T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪TS ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ثابت ميگردد که براي هر تانسور پادمتقارن برداري مانند ‪ t A‬وجود دارد که ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪Ta  t A  a‬‬ ‫(‪)74-2‬‬ ‫‪-7-2‬مقادیر ویژه‪ 2‬و بردارهای ویژه‬ ‫‪3‬‬ ‫اگر رابطه زير برقرار بالد‪ a ،‬يک بردار ويژه و ‪ ‬يک مقدار ويژه تانسور ‪ T‬ميبالند‪.‬‬ ‫(‪)75-2‬‬ ‫‪b  Ta   a‬‬ ‫همچنين در اينوور ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)76-2‬‬ ‫‪T a   Ta  a   a ‬‬ ‫بنابراين مقدار ويژه براي تمامي بردارهاي يک جهت ثابت است‪.‬‬ ‫همچنين اگر ‪ I‬تانسور واحد بالد‪ ،‬مقادار وياژه آن باراي هماه جهاا ‪ 1‬و ضامنا تماامي بردارهاا‪،‬‬ ‫ميتوانند بردار ويژه آن بالند‪.‬‬ ‫(‪)77-2‬‬ ‫‪Ia  a‬‬ ‫با توجه به آنكه مقدار ويژه براي تمام بردارهاي يک جهت ثابت است‪ ،‬بردار ويژه باه طاول واحاد را‬ ‫مالك محاسرا در نظر ميگيريم‪:‬‬ ‫‪1 Dual vector‬‬ ‫‪2 Eigen values‬‬ ‫‪3 Eigen vectors‬‬ 32 ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ n  i ei & 1 (12   22  32 ) 2  1 )78-2( :‫همچنين ميتوان نولت‬ Tn  n  In )79-2(  T  I  n  0 )81-2(  n   jej )81-2( T   I  j e j  0   j Te j   Ie j   0 )82-2( :‫ ضرب داخلي ميگردد‬e i ‫طرفين رابطه در‬   j ei .Te j  ei .Ie j   0 )83-2(   j Tij   Iij   0 )84-2(   j Tij   ij   0 )85-2(  1 T11      2T12  3T13  0 )86-2( 1T21   2 T22     3T23  0 )87-2( 1T31   2T32  3 T33     0 )88-2( :‫ الزم است‬،‫براي آنكه دستگاه جواب غير صفر دالته بالد‬ T  I  0 )89-2( T11   T12 T13 T21 T22   T23 T31 T32 T33   0 )91-2( ‫ باردار‬e1 ‫ مقادار وياژه و‬T11 ‫ بالد ثابت نماييد‬T21  T31  0 ،‫ در صورتيكه در يک تانسور‬:)4-2( ‫مثال‬ .‫ است‬T ‫ويژه‬ Te1  T11e1 T 21e 2 T 31e 3 ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ Te1  T11e1    T11 31 & a  e1 .‫ مقادير ويژه و بردارهاي ويژه تانسور زير را محاسره نماييد‬:)5-2( ‫مثال‬ 2 0 0  T   0 3 4  0 4 3  2 0 0 0 3 4 0 4 3    2     3    3     16  0 0   1  2 , 2  5 , 3  5 0 0 0  1    1  2  0 1 4   2   0  01  0 0 4 5  3   2  4 3  0 4 2  5 3  0 1  1   2  3  0 12   22   32  1  n1  e1 2  5  1  0 2  2 5 3  1 5  n2  1  2e2  e3  5 3  5  1  0 2  1 5 3  2 5 n3  1  e2  2e3  5 ‫ یک تانسور‬1‫نامتغیرهای‬-8-2 :‫ از رابطه زير محاسره ميلوند‬T ‫مقادير ويژه تانسور‬ T ij  ij  0     1    2     3   0 )91-2( :‫ با فرم زير ميگردد‬T ‫اين متادله منجر به متادله مشخوه تانسور‬   I 1  I 2  I 3  0 3 2 1 Invariants )92-2( ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ ‫‪31‬‬ ‫در اين متادله ‪ I2 ،I1‬و ‪ I3‬نامتغيرهاي تانسور بوده و از روابط زير محاسره ميلوند‪:‬‬ ‫‪I 1  T11 T 22 T 33  T ii  Tr T ‬‬ ‫(‪)93-2‬‬ ‫نامتغير اول ‪ trace‬يا همان مجموع عناصر قطري است‪.‬‬ ‫(‪)94-2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T11 T12 T22 T23 T11 T13 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ T T T T‬‬ ‫‪T21 T22 T32 T33 T31 T33 2 ii jj ij ji‬‬ ‫‪T13‬‬ ‫‪T23‬‬ ‫‪T33‬‬ ‫(‪)95-2‬‬ ‫‪I2 ‬‬ ‫‪T11 T12‬‬ ‫‪I 3  T21 T22‬‬ ‫‪T31 T32‬‬ ‫تانسور ‪ T‬در ترديل نسرت به جها اصلي خود به فرم زير در ميآيد‪ .‬يتني اگار ساه جهات اصالي باه‬ ‫عنوان مختوا ترديل يافته در نظر گرفته لده و تانسور ‪ T‬در آن مختوا بدست آيد باه لاكل زيار‬ ‫خواهد بود‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫(‪)96-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T    0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫بدين ترتيب ميتوان سه نامتغير را بوور زير نيز بيان نمود‪:‬‬ ‫(‪)97-2‬‬ ‫‪I 1  1  2  3‬‬ ‫(‪)98-2‬‬ ‫‪I 2  12  23  13‬‬ ‫(‪)99-2‬‬ ‫‪I 3  123‬‬ ‫مثال (‪ :)6-2‬نامتغيرها و متادله مشخوه تانسور زير را محاسره نماييد‪:‬‬ ‫‪2 0 0 ‬‬ ‫‪T   0 3 4 ‬‬ ‫‪ 0 4 3‬‬ ‫‪I1  2  3  3  2‬‬ ‫‪I 2   2  3  0   3   3  4  4    2   3  0   25‬‬ ‫‪I 3  2   3   3  4  4   50‬‬ ‫‪ 1  5 , 2  2 , 3  5‬‬ ‫‪  3  2 2  25  50  0‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 31 ‫ عملیات ریاضی بر روی تانسورها‬-9-2 :‫عمليا مختلف رياضي به لكل زير بر تانسورها قابل انجام ميبالند‬ lim T t  t  T t  dT  dt t  0 t d dT dS T  S    dt dt dt d  t  d dT  t T   T   t   dt dt dt d dT dS TS   S  T dt dt dt d dT da Ta   a T dt dt dt d T dT T  ( )T dt dt d da db a .b  . b  a. dt dt dt d da db a b  b  a  dt dt dt )111-2( )111-2( )112-2( )113-2( )114-2(   )115-2(   )116-2(   )117-2( ‫فصل دوم – مبانی حساب تانسورها‬ ‫‪31‬‬ ‫تمرینات فصل دوم‬ ‫‪ -1‬حاصل ضرب عرار برداري زير را بدست آوريد‪.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪( B  C ).D‬‬ ‫‪ -2‬با فرض اينكه ماتريس ]‪ [A‬يک ماتريس ‪ 3x3‬ميبالد‪ ،‬نشان دهيد‪:‬‬ ‫‪A   ijk A1i A 2 j A3k   ijk Ai 1A j 2 A k 3‬‬ ‫‪ -3‬نشان دهيد که‪:‬‬ ‫‪i3‬‬ ‫‪j3‬‬ ‫‪k3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i2‬‬ ‫‪j2‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i1‬‬ ‫‪j1‬‬ ‫‪k1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ijk‬‬ ‫‪ -4‬نشان دهيد که‪:‬‬ ‫‪ rst A   ijk A ri Asj Atk   ijk Air A js A kt‬‬ ‫‪ -5‬عرار زير را اثرا کنيد‪:‬‬ ‫‪ ip  iq  ir‬‬ ‫‪ ijk  pqr   jp  jq  jr‬‬ ‫‪ kp  kq  kr‬‬ ‫فصل سوم – تغيير شکلها و تانسور کرنش‬ ‫فصل سوم‬ ‫تغييرشکلها و تانسور کرنش‬ ‫‪ -1-3‬مقدمه‬ ‫وقتي که جسم تحت تاثير مجموعهاي از نيروهاي خارجي قرار گيرد‪ ،‬تغيير لكل خواهد داد‪ .‬تتيين‬ ‫تغيير لكلها در آناليزهاي رايج در مهندسي ژئوتكنياک اهميات بسازايي دارناد‪ .‬بطاور کلاي رولاهاي‬ ‫مختلفي جهت بيان کرنش وجود دارد که در ذيل ارائه ميلوند‪.‬‬ ‫‪ -2-3‬تعاریف مختلف کرنش‬ ‫براي سهولت در درك مفهوم کرنش و تتاريف مختلف آن وضتيت يک بتدي در نظار گرفتاه مايلاود‪.‬‬ ‫ميله نازك به طول اوليه ‪ 0‬در نظر گرفته لود‪ .‬پس از اعمال نيروي محوري به آن‪ ،‬طاول ميلاه باه‬ ‫افزايش مييابد‪.‬‬ ‫‪-3-9-1‬تعریف کرنش کوشی‬ ‫‪3‬‬ ‫در اين تتريف تغيير طول به طول اوليه مالك تتريف کرنش ميبالد‪.‬‬ ‫(‪)1-3‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 Cauchy‬‬ ‫‪42‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪-9-9-1‬تعریف کرنش گرین‬ ‫‪3‬‬ ‫تتريف کرنش در اين حالت به قرار زير ميبالد‪ .‬همانطور که ديده ميلود نسرتي از ميانگين تغيير‬ ‫طول به طول اوليه ميله در تتريف قرلي ضرب لده است‪.‬‬ ‫‪ 0 2   0   0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 02‬‬ ‫‪ 0  2 0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)2-3‬‬ ‫‪ -1-9-1‬تعریف کرنش آلمانسی‬ ‫‪g ‬‬ ‫‪9‬‬ ‫اين تتريف بر مرناي طول ثانويه ميله بوده و رابطه آن تقريرا لريه به تتريف کرنش گرين ميبالد‪.‬‬ ‫‪ 0 2   0   0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)3-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫همانطور که مشاهده ميلود در دو تتريف اول مالك محاسره کرنش وضتيت اوليه و تغييار لاكل‬ ‫نيافته ميبالد‪ .‬ولي در تتريف سوم مالك تتريف کرنش‪ ،‬وضتيت تغيير لكل يافته ميله است‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-3-3‬تانسور کرنش‬ ‫تانسور کرنش با رابطه زير تتريف ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)4-3‬‬ ‫‪1  u i u j u  u  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  x j x i x i x j ‬‬ ‫‪ ij  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫همانطور که اين رابطه نشان ميدهد‪ ،‬تانسور کرنش لامل ‪ 9‬مولفه ميبالد که به دليل تقاارن آن‪،‬‬ ‫به ‪ 6‬مولفه کاهش مييابد‪ .‬به عالوه جمله سوم موجود در رابطه نشانگر جمال غيرخطاي باوده کاه در‬ ‫لرايط تغيير لكل بزرگ‪ 4‬وجود دارند‪ .‬اين ترمها نوعي از لرايط غيرخطي بودن‪ 5‬باا عناوان غيرخطاي‬ ‫بودن هندسي‪ 6‬را ايجاد مينمايند که با غير خطي بودن رفتار ماده متفاو ميبالد در صورتيكه مسرله‬ ‫متطوف به تغيير مكانهاي کوچک بالد‪ ،‬اين ترم حذف خواهد لد‪.‬‬ ‫از ‪ 6‬مولفه ذکر لده‪ 3 ،‬مولفه مربوط به کرنشهاي محوري‪ 7‬بوده و به قرار زير هستند‪:‬‬ ‫(‪)5-3‬‬ ‫‪1  u1 u1  u1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  x 1 x 1  x 1‬‬ ‫‪11  ‬‬ ‫‪1 Green‬‬ ‫‪2 Almansi‬‬ ‫‪3 Strain Tensor‬‬ ‫‪4 Large deformation‬‬ ‫‪5 Geometrical non-linearity‬‬ ‫‪6 Material non-linearity‬‬ ‫‪7 Axial strains‬‬ ‫فصل سوم – تغيير شکلها و تانسور کرنش‬ ‫‪43‬‬ ‫دقت گردد که در اين رابطه ‪ u1‬و ‪ u 2‬و ‪ u 3‬مولفه هاي تغيير لكل سيستم ميبالند که ميتاوان‬ ‫آنها را با ‪ w,v,u‬نشان داد‪ .‬همچنين ‪ x1‬و ‪ x 2‬و ‪ x 3‬نشانگر محورهاي مختوا بوده که ميتوان آنها را‬ ‫نيز با ‪ z,y,x‬نمايش داد‪ .‬لذا خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ 22 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪ 33 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫(‪)6-3‬‬ ‫(‪)7-3‬‬ ‫(‪)8-3‬‬ ‫همچنين سه مولفه کرنش برلي نيز به ترتيب ذيل به دست ميآيند‪:‬‬ ‫(‪)9-3‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪1  u‬‬ ‫‪12   1  2 ‬‬ ‫‪2  x 2 x 1 ‬‬ ‫که ميتوان آن را به صور زير نولت‪:‬‬ ‫(‪)11-3‬‬ ‫‪1  u v ‬‬ ‫‪    21‬‬ ‫‪2  y x ‬‬ ‫‪12  ‬‬ ‫به همين ترتيب خواهيم دالت‪:‬‬ ‫(‪)11-3‬‬ ‫(‪)12-3‬‬ ‫‪1  v w ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   32‬‬ ‫‪2  z y ‬‬ ‫‪ 23  ‬‬ ‫‪w ‬‬ ‫‪1  u‬‬ ‫‪13   ‬‬ ‫‪   31‬‬ ‫‪2  z x ‬‬ ‫‪-4-3‬تانسور دوران‬ ‫همانند تانسور کرنش‪ ،‬تانسور دوران داراي ‪ 6‬مولفه بوده و به قرار زير ميبالند‪:‬‬ ‫(‪)13-3‬‬ ‫‪1  ui u j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  x j xi ‬‬ ‫‪ij  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫با توجه به اين رابطه مشخص ميلود که اين تانسور پادمتقارن بوده و سه مولفاه قطاري آن صافر‬ ‫ميبالند‪.‬‬ ‫(‪)14-3‬‬ ‫‪11  22  33  0‬‬ ‫در خووف سه مولفه ديگر ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)15-3‬‬ ‫‪1  u v ‬‬ ‫‪   21‬‬ ‫‪2  y x ‬‬ ‫‪12  ‬‬ ‫‪44‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪1  v w ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  32‬‬ ‫‪2  z y ‬‬ ‫(‪)16-3‬‬ ‫‪23  ‬‬ ‫‪w ‬‬ ‫‪1  u‬‬ ‫‪13   ‬‬ ‫‪  31‬‬ ‫‪2  z x ‬‬ ‫(‪)17-3‬‬ ‫‪ 12 ,13 , 23‬به ترتيب دوران در صفحا ‪ xy, xz, yz‬ياا باه ترتياب حاول محورهااي ‪ z, y, x‬را‬ ‫نشان ميدهند‪.‬‬ ‫‪-5-3‬نامتغیرهای تانسور کرنش‬ ‫همانطور که در فول قرل ذکر گرديد‪ ،‬نامتغيرهاي يک تانسور‪ ،‬فارم متادلاه مشخواه آن را تتياين‬ ‫ميکنند‪ .‬در خووف تانسور کرنش‪ ،‬فرم متادله از قرار زير ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)18-3‬‬ ‫‪ 3  I1ε ε 2  I2 ε  I3ε  0‬‬ ‫در اين متادله ‪ ، I3ε ,I2 ,I1ε‬سه نامتغير تانسور کرنش ميبالند‪.‬‬ ‫اين نامتغيرها از روابط زير قابل محاسره هستند‪:‬‬ ‫(‪)19-3‬‬ ‫‪I1ε   ii  11   22   33‬‬ ‫‪11 12  22  23 11 13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12  22  23  33 13  33‬‬ ‫(‪)21-3‬‬ ‫‪I 2 ‬‬ ‫‪I 3   ij‬‬ ‫(‪)21-3‬‬ ‫با استفاده از تتريف ‪ Trace‬امكان تتريف مختور اين نامتغيرها و همچنين ارترااط آنهاا باا مفااهيم‬ ‫فيزيكي و مكانيكي ماده وجود خواهد دالت‪ .‬بدين ترتيب دسته دوم تتريفها براي سه نامتغير ماذکور‬ ‫به قرار زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪I1ε  I1  εii  ε11   22   33  tr  ‬‬ ‫(‪)22-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)23-3‬‬ ‫(‪)24-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I2ε  I2  εijε ji  tr ( )2  I 1 2  2I 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I3ε  I3  εik ε km ε mi  tr ( )3  I 1 3  3I 1 I 2  3I 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫همانطور که روابط نشان ميدهد ارتراط بين دو دسته مذکور توسط روابطي قابل محاسره ميبالاد‪.‬‬ ‫به عنوان اولين ارتراط فيزيكي نامتغيرها با ويژگيهاي ماده‪ ،‬مشخص ميگاردد کاه ناامتغير اول تانساور‬ ‫کرنش‪ ،‬همان کرنش حجمي‪ 1‬خواهد بود‪ .‬بديهي است در لرايط زهكشاي نشاده و عادم امكاان تغييار‬ ‫حجم خاك‪ ،‬نامتغير اول تانسور کرنش صفر خواهد بود‪.‬‬ ‫‪1 Volumetric strain‬‬ ‫فصل سوم – تغيير شکلها و تانسور کرنش‬ ‫‪42‬‬ ‫مثال (‪ :)1-3‬نامتغيرهاي دسته اول و دوم را براي تانسور کرنشي زير محاسره نماييد‪:‬‬ ‫‪5 2 2‬‬ ‫‪ ij   2 1 1   102‬‬ ‫‪ 2 1 0 ‬‬ ‫نامتغير اول ‪:  I 1 ‬‬ ‫‪I1  11   22   33   5  1  0 102  4 102‬‬ ‫نامتغير دوم ‪:  I 2 ‬‬ ‫‪11 12  22  23 11 13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12  22  23  33 13  33‬‬ ‫‪I 2 ‬‬ ‫‪ 5 2 1 1 5 2 ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  10‬‬ ‫‪ 2 1 1 0 2 0 ‬‬ ‫‪ 5  1  (2)2  1 0  (1)2  5  0  (2) 2  104‬‬ ‫‪ 14 104‬‬ ‫نامتغير سوم ‪:  I 3 ‬‬ ‫‪5 2 2‬‬ ‫‪I 3  2 1 1  106‬‬ ‫‪2 1 0‬‬ ‫‪ 5  1 0  11  2  2  0  1 2   2  2 1  2 1 106‬‬ ‫‪ 7 106‬‬ ‫محاسره نامتغير اول ‪:  I 1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4 10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I 1  tr     5  1  0 10‬‬ ‫محاسره نامتغير دوم ‪:  I 2 ‬‬ ‫نامتغير دوم را ميتوان به دو روش محاسره نمود‪:‬‬ ‫در روش اول از ارتراط آن با نامتغيرهاي دسته اول استفاده ميگردد‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I 1 2  2I 2  (4  102 )2  2 14 104   22 104‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I2 ‬‬ ‫‪41‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫روش دوم آنست که از مفهوم ‪ Trace‬استفاده نماييم‪:‬‬ ‫‪5 2 2 5 2 2‬‬ ‫‪33 10 12 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪I 2  tr   tr  2 1 1   2 1 1   10  tr 10 6 3   10 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 1 0   2 1 0 ‬‬ ‫‪12 3 5 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  33  6  5   104  22  104‬‬ ‫‪2‬‬ ‫محاسره نامتغير سوم ‪:  I 3 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫اين نامتغير نيز به دو روش محاسره ميلود‪ .‬در روش اول خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I 1 3  3I 1 I 2  3I 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (4  102 )3  3 4  102   14   104  3  7  106   84.33  10 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫در روش دوم از مفهوم ‪ Trace‬استفاده ميگردد‪:‬‬ ‫‪33 10 12  5 2 2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪I 3  tr 10 6 3   2 1 1  106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12 3 5   2 1 0 ‬‬ ‫‪ 209 68 76 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ tr  68 17 26   106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 76 26 27 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 209  17  27  106  84.33 106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-6-3‬تجزیه‪ 1‬تانسور کرنش‬ ‫تانسور کرنش را ميتوان با استفاده از رابطه زير به دو بخش تجزيه نمود‪:‬‬ ‫(‪)25-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫در اين رابطه ‪ E ij‬تانسور کرنش انحرافي‪ 2‬و ‪ε kk δij‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)26-3‬‬ ‫(‪)27-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ij  Eij  ε kk δij‬‬ ‫تانسور کرنش حجمي‪ 3‬ميبالند‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Eij   ij  ε kk δij‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ε kk δij   ij  Eij‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 Decomposition‬‬ ‫‪2 Deviatoric strain tensor‬‬ ‫‪3 Volumetric strain tensor‬‬ ‫فصل سوم – تغيير شکلها و تانسور کرنش‬ ‫‪41‬‬ ‫دقت در روابط نشان ميدهد که ‪ Trace‬تانسور کرنش انحرافي صفر ميبالد‪ .‬بترارتي‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Eii   ii  ε kk  ii   ii  ε kk  0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)28-3‬‬ ‫بنابراين ويژگي تانسور کرنش انحرافي آن است که مجموع عناصر قطري آن صفر هستند‪ .‬در خووف‬ ‫تانسور کرنش حجمي نيز ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)29-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ε kk δij  I 1δij  I 1 δij  11δij   22δij   33δij‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 11  ε 22   33  δij‬‬ ‫‪3‬‬ ‫با توجه به تتريف دلتاي کرونكر ميتوان نتيجه گرفت عناصر غيرقطري تانسور کرنشي حجمي که در‬ ‫آنها ‪ i  j‬مقداري برابر صفر دارند‪ .‬در صورتيكه در عناصر قطري که ‪ i  j‬است مقداري‬ ‫‪1‬‬ ‫برابر ‪11  ε 22   33 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫خواهند دالت‪ .‬لذا مجموع عناصر قطري برابر کرنش حجمي خواهد بود‪.‬‬ ‫‪-3-0-1‬نامتغیرهای تانسور کرنش انحرافی‬ ‫با توجه به اهميت تانسور کرنشي انحرافي به بحث در خووف نامتغيرهاي آن پرداخته ميلود‪.‬‬ ‫‪-3-3-0-1‬نامتغیر اول تانسور کرنش انحرافی‬ ‫همانطور که در قسمت قرل ذکر گرديد نامتغير اول اين تانسور صفر ميبالد‪.‬‬ ‫(‪)31-3‬‬ ‫‪I1E  I1D  tr  E   0‬‬ ‫‪-9-3-0-1‬نامتغیر دوم تانسور کرنش انحرافی‬ ‫نامتغير دوم تانسور کرنش انحرافي توسط رابطه زير قابل محاسره است‪:‬‬ ‫(‪)31-3‬‬ ‫‪I 2‬‬ ‫‪I2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I2 E  I2D  tr (E )2  EijE ji  I2ε  1  I 2  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫عمده روابط ارائه لده با استفاده از قوانين توصايف لاده باراي تانساورها در فوال قرال قابال اثراا‬ ‫ميبالند‪.‬‬ ‫در روابط باال انديس ‪ D‬براي نشان دادن تانسور کرنش انحرافي بكار رفته است‪ .‬مقادار ايان ناامتغير بار‬ ‫حسب مولفه هاي تانسور کرنش از قرار زير ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)32-3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I2D  112   22‬‬ ‫‪  33‬‬ ‫‪ 2122  2 23‬‬ ‫‪ 2132  3( v )2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪41‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫و يا به عرار ديگر‪:‬‬ ‫(‪)33-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I2D  (11   22 )2  ( 22   33 )2  (11   33 )2   122   23‬‬ ‫‪ 132‬‬ ‫‪6‬‬ ‫در روابط باال ‪ v  11   22   33‬نمايانگر کرنشي حجمي خواهد بود‪.‬‬ ‫در مفاهيم مهندسي غالرا از پارامتري به نام کرنش برلي اکتاهدرال‪ 1‬استفاده ميلود که باا ‪  oct‬نشاان‬ ‫داده ميلود‪ .‬در واقع اين پارامتر تووير بردار کرنش بر صفحه اکتاهادرال‪ 2‬نشاان داده لاده در لاكل‬ ‫(‪ )1-3‬ميبالد‪ .‬صفحه اکتاهدرال صفحهاي است که عمود بر نيمساز فضايي‪ 3‬بوده و با هار ساه محاور‬ ‫زاويه مساوي تشكيل ميدهد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)6-3‬نيمساز فضایی و صفحه اکتاهدرال که بر آن عمود میباشد‬ ‫مقدار کرنش اکتاهدرال برحسب مولفه هاي تانسور کرنش قابل محاسره ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)34-3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ oct‬‬ ‫‪ (11   22 )2  ( 22   33 ) 2  (11   33 ) 2   (12 ) 2  ( 23 ) 2  (13 ) 2 ‬‬ ‫با توجه به رابطه فوق کرنش اکتاهدرال توسط متادله زير با نامتغير دوم کرنش انحرافي مرترط ميگردد‪.‬‬ ‫(‪)35-3‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪I2D   oct‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1-3-0-1‬نامتغیر سوم تانسور کرنش انحرافی‬ ‫نامتغير سوم تانسور کرنشي نيز با استفاده از روابط زير بيان ميگردند‪:‬‬ ‫‪1 Octahedral shear strain‬‬ ‫‪2 Octahedral plane‬‬ ‫‪3 Space diagonal‬‬ ‫فصل سوم – تغيير شکلها و تانسور کرنش‬ ‫‪41‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I3E  I3D  tr (E )3  E ik E km E mi‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ I3ε  I1ε I2ε  ( I1ε )3  I3  I1I2  I13‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫(‪)36-3‬‬ ‫مثال (‪ :)2-3‬تانسور کرنش انحرافي‪ ،‬حجمي و نامتغيرهاي تانساور اول را محاساره نمايياد‪ .‬خاطرنشاان‬ ‫ميلود که از مثال اول سه نامتغير زير مشخص ميبالند‪:‬‬ ‫‪I1  4 102‬‬ ‫; ‪; I 2  22 104‬‬ ‫‪I 3  84.33 106‬‬ ‫‪5 2 2‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ ij   2 1 1   102‬‬ ‫‪E ij  εij  1 δij‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 1 0 ‬‬ ‫‪0.05 0.02 0.02 ‬‬ ‫‪1 0 0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.02 0.01 0.01   0.04  0 1 0 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.02 0.01‬‬ ‫‪0 0 1 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪3.67‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪2.33‬‬ ‫‪1   102‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.33‬‬ ‫همانطور که مشاهده ميلود نامتغير اول تانسور مذکور صفر ميبالد بترارتي‪:‬‬ ‫‪I1D  I1E  0‬‬ ‫‪I2‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪I2D  I2  1  (22  )  104  19.33  104‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I2D  tr(E)2   E112  E 22‬‬ ‫‪ E 33‬‬ ‫‪ 2E122  2E 23‬‬ ‫‪ 2E132 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3.672  2.332  1.332  2  22  2 1  2  22  104  19.33 104‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و همچنين نامتغير سوم به دو روش زير قابل محاسره است‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I3D  I3  I1I2 ‬‬ ‫‪I1   84.33   4  22 ‬‬ ‫‪ 43   106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 30.53 106‬‬ ‫و يا با استفاده از مفهوم ‪ Trace‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I3D  tr(E)3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪22‬‬ ‫‪101.47 38.69 38.71‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ tr  38.69 14.57 19.32  106  101.47  14.57  4.7  10 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 38.71 19.32‬‬ ‫‪4.7 ‬‬ ‫‪ 30.53 106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-7-3‬کرنش های اصلی‬ ‫رابطه زير ارتراط ميان تغيير مكان و کرنشها را نشان ميدهد‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dui   ij  ij da j‬‬ ‫(‪)37-3‬‬ ‫در اين رابطه ‪ da j‬جزء طول المان تغييرلكل يافته است‪ .‬با تقسيم طرفين بر اندازه بردار طول‬ ‫المان ‪ da‬و با فرض صفر بودن تانسور دوران ‪  ij‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)38-3‬‬ ‫در اين رابطه‬ ‫(‪)39-3‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪da j‬‬ ‫‪du i‬‬ ‫‪ εij‬‬ ‫‪ εi  εij‬‬ ‫‪da‬‬ ‫‪da‬‬ ‫بردار کسينوسهاي هادي المان ميبالند‪ ،‬بدين ترتيب ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪  εij‬‬ ‫بايد توجه دالت هيچ الزامي بر هم جهت بودن بردار کرنش و بردار جهت المان مطابق لكل زير وجود ندارد‪.‬‬ ‫شکل‪ :)2-3‬بردار کرنش و عدم الزام به هم جهت بودن آن با المان (دسای و سيریواردان‪)6114 2‬‬ ‫‪1 Principal strain‬‬ ‫‪2 Desai and Siriwardane‬‬ ‫‪1 principal directions‬‬ ‫فصل سوم – تغيير شکلها و تانسور کرنش‬ ‫‪26‬‬ ‫امّا همواره ميتوان جهاتي را يافت که در خووف آنها بردار کرنش هم جهت باا وضاتيت اولياه الماان‬ ‫بالند‪ .‬اين جها به جها اصلي‪ 1‬تانسور کرنشي متروف ميبالد‪ .‬با توجه به اين خووصيت مايتاوان‬ ‫نولت‪:‬‬ ‫‪εi  λ i  λ δij j‬‬ ‫(‪)41-3‬‬ ‫با جايگذاري از (‪ )38-3‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪(εij  λ δij ) j  0‬‬ ‫(‪)41-3‬‬ ‫و يا به فرم ماتريسي ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪   λ  I    0‬‬ ‫(‪)42-3‬‬ ‫(‪)43-3‬‬ ‫بسط جرري اين رابطه به سه متادله زير ترديل ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)a-43-3‬‬ ‫(‪)b-43-3‬‬ ‫(‪)c-43-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ T   1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11    1  12  2  13  3  0‬‬ ‫‪12 1   22    2   23  3  0‬‬ ‫‪13 1   23 2   33    3  0‬‬ ‫متموال براي حل دستگاه و تتيين جها اصلي با توجه به صفر بودن سمت راست سه متادله نياز به‬ ‫يک متادله اضافي است که از قرار زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)44-3‬‬ ‫‪i i 1 ‬‬ ‫‪1  2  3 1‬‬ ‫با توجه به آنكه سمت راست هر سه متادله صفر بوده‪ ،‬براي جلوگيري از صفر لدن‬ ‫لرط زير برقرار بالد‪.‬‬ ‫(‪)45-3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تا‬ ‫‪3‬‬ ‫بايد‬ ‫‪ε11  λ‬‬ ‫‪ε12‬‬ ‫‪ε13‬‬ ‫‪ε12‬‬ ‫‪ε 22  λ‬‬ ‫‪ε 23  0‬‬ ‫‪ε13‬‬ ‫‪ε 23‬‬ ‫‪ε 33  λ‬‬ ‫اين لرط به يک متادله درجه سوم بر حسب ‪ λ‬خواهد لد که همان متادله مشخوه تانسور ميبالد‪.‬‬ ‫(‪)46-3‬‬ ‫‪λ3  I1ε λ 2  I2 λ  I3ε  0‬‬ ‫بدين ترتيب مشخص ميلود که مقادير ويژه‪ ،1‬ريشه هاي متادله مشخوه تانسور ميبالاند‪ .‬نكتاه‬ ‫آنكه در صورتيكه تانسور کرنش به مختواتي که سه محور آن سه باردار وياژه تانساور هساتند تراديل‬ ‫گردد به فرم زير ترديل خواهد لد‪.‬‬ ‫‪1 principal values‬‬ ‫‪22‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ε 3 ‬‬ ‫(‪)47-3‬‬ ‫‪ε1 0‬‬ ‫‪ε ij   0 ε 2‬‬ ‫‪ 0 0‬‬ ‫بزرگترين عنور قطري کرنش اصلي حداکثر‪ ،1‬کوچكترين‪ ،‬کرنش اصلي حاداقل‪ 2‬و وساطي کارنش‬ ‫اصلي مياني‪ 3‬خواهند بود‪.‬‬ ‫مثال ‪ :3-3‬کرنشهاي اصلي و جها مربوطه را براي تانسور کرنشي زير حساب کنيد‪.‬‬ ‫‪3 1 0‬‬ ‫‪ε ij  1 3 0  102‬‬ ‫‪0 0 1 ‬‬ ‫مي توان نولت‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I 1ε  7 10‬‬ ‫‪I 2ε   9  1   3  0    3  0  104  14 104‬‬ ‫‪I 3ε  8 106‬‬ ‫بدين ترتيب متادله مشخوه از قرار زير حاصل ميگردد‪ .‬توجه لود چون همه عناصر تانسور کرنش‬ ‫ضريب ‪ 102‬را دارند از محاسرا حذف ميگردد‪.‬‬ ‫‪ε  4,2,1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ε 1ε  4 ε  2   0‬‬ ‫‪ε3  7ε 2  14ε  8  0 ‬‬ ‫در اين مقادير‪ ،‬کرنش اصلي حداکثر‪ ،4 ،‬کرنش اصلي حداقل‪ 1 ،‬و کرنش اصالي ميااني‪ 2 ،‬خواهاد‬ ‫بود که همگي در ‪ 102‬ضرب ميلوند‪ .‬حال جها اصلي مربوطه محاسره ميلوند‪:‬‬ ‫الف‪ -‬جهت کرنش اصلي حداکثر‬ ‫‪1  4 102‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3  4 1  2  0 3  0‬‬ ‫‪1 1  3  4 2  0 3  0‬‬ ‫‪ 3 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  1 4‬‬ ‫‪0 1 0‬‬ ‫از طرفي داريم‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫&‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 2 12  1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 Major principal strain‬‬ ‫‪2 Minor principal strain‬‬ ‫‪3 Intermediate principal strain‬‬ ‫فصل سوم – تغيير شکلها و تانسور کرنش‬ ‫‪23‬‬ ‫بدين ترتيب دو جهت در امتداد اصلي مربوط به کرنش حداکثر از قرار زير حاصل ميلوند‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫ب‪ -‬حالت اصلي مرترط با کرنش حداقل‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫متادله سوم نتيجهاي در اختيار نميگذارد لذا‬ ‫ميلود‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3  1.0 10‬‬ ‫‪ 3  1 1  2  0 3  0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1   3  1 2  0 3  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1  0 2  1  1 3  0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫با متادله کمكي طول واحد باردار هاادي حسااب‬ ‫‪3  1‬‬ ‫بدين ترتيب دو جهت در امتداد اصلي مربوط به کرنش اصلي حداقل محاسره ميلوند‪:‬‬ ‫‪3  1‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪3  1‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫پ‪ -‬جها اصلي مربوط به کرنش مياني‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2  2.0 10‬‬ ‫‪ 3  2  1  2  0 3  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  3  2 2  0 3  0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 1  0 2  1  2  3  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫لذا دو امتداد منطرق بر جهت مربوط به کرنش اصلي مياني از قرار زير ميبالند‪:‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪24‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫با در نظر گرفتن عالما مثرت و دسته اول از امتدادها ميتوان يک سيساتم مختواا جدياد باه‬ ‫لرح زير تشكيل داد‪.‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪major x 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Intermediate x 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Minor x 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫با قرار دادن بردارهاي مذکور به فرم ستوني در ماتريس ترديل‪ ،‬امكان محاسره فارم جدياد تانساور‬ ‫کرنش در سيستم مختواتي که محورهاي آن منطرق بر جها اصلي تانسور کرنش است وجود دارد‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪aij  ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فرم ترديل يافته تانسور کرنش در مختوا جديد به صور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫(‪)48-3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ij  aim a jn  mn‬‬ ‫همچنين در فرم ماتريسي نيز ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ε    aT ε  a‬‬ ‫(‪)49-3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0   10  0 2 0   102‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 1 0  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪0  1 3 0  ‬‬ ‫‪ 0 0 1   2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫همانطور که مشخص ميگردد ماتريس حاصله در مختوا جديد يک ماتريس قطري است کاه عناصار‬ ‫قطري آن کرنش هاي اصلي هستند‪ ،‬توجه لود که ترتيب قرارگيري کرنشهاي اصلي در اين ماتريس از‬ ‫بزرگ به کوچک نيست بلكه بستگي به آن دارد که جها اصلي مربوطاه باه چاه ترتيراي در مااتريس‬ ‫انتقال ‪ a ‬قرار گرفته اند‪.‬‬ ‫فصل سوم – تغيير شکلها و تانسور کرنش‬ ‫‪22‬‬ ‫‪-8-3‬تانسور کرنش برای برخی از حاالت خاص تغییر شکل‬ ‫برخي از لرايط خاف تغيير لكل که در آزمايشهاي ژئوتكنيک نيز کاربرد دارند ماورد توجاه بيشاتري‬ ‫قرار دارند‪ .‬در اينجا تانسور کرنش نظير برخي از اين مودهاي متروف ارائه ميگردد‪.‬‬ ‫‪ -3-9-1‬شرایط کرنش تک محوری‬ ‫لرايط کرنش تک محوري يتني فقط در يک جهت امكان تغييرلكل وجود دالته بالد و به وسايلهاي‬ ‫از ايجاد کرنش در جها ديگر جلوگيري نمود‪ .‬تانساور کارنش نظيار باراي ايان لارايط بواور زيار‬ ‫ميبالد‪:‬‬ ‫‪11 0 0 1 0 0‬‬ ‫‪ ij   0 0 0   0 0 0 ‬‬ ‫(‪)51-3‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ -9-9-1‬شرایط کرنش هیدرواستاتیک‬ ‫در اين وضتيت هيچگونه کرنش انحرافي وجود نخواهد دالت و جسام تنهاا کارنش حجماي را تجرباه‬ ‫خواهد نمود‪ .‬لذا تانسور کرنش مربوطه به لكل زير است‪:‬‬ ‫‪0  1 0 0 ‬‬ ‫‪11 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij   0 11 0    0 1 0 ‬‬ ‫(‪)51-3‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0 11   0 0 1 ‬‬ ‫‪ -1-9-1‬شرایط کرنش سه محوری‬ ‫‪1‬‬ ‫در اين لرايط مقادير مختلف کرنش بوور مستقل در هر يک از سه جهات اعماال مايلاود‪ .‬مكتاب‬ ‫لكل زير اين وضع را بهتر نشان ميدهد‪.‬‬ ‫‪0  1 0 0 ‬‬ ‫‪11 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij   0  22 0    0  2 0 ‬‬ ‫(‪)52-3‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0  33   0 0  3 ‬‬ ‫‪1 Triaxial‬‬ ‫‪21‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)3-3‬کرنش و تغييرشکل سه محوری‬ ‫در لرايط خاصي از اين حالت با نام لرايط کرنش استوانه اي‪ ،1‬دو مولفه از سه مولفه با يكديگر برابرند‪.‬‬ ‫لذا ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪0  1 0 0 ‬‬ ‫‪11 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij   0  22 0    0  2 0 ‬‬ ‫(‪)53-3‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  22   0 0  2 ‬‬ ‫‪ -1-9-1‬شرایط برش ساده‬ ‫‪9‬‬ ‫در اين وضتيت المان تنها تحت تاثير کرنشهاي برلي بوده و هيچگونه کرنش حجمي را تجربه نخواهاد‬ ‫نمود‪.‬‬ ‫‪ 0 12 0‬‬ ‫‪ ij  12 0 0 ‬‬ ‫(‪)54-3‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫شکل‪ :)4-3‬شرایط برش ساده و عدم تغيير حجم المان‬ ‫‪1 Clyndrical state of strain‬‬ ‫‪2 Simple shear‬‬ ‫فصل سوم – تغيير شکلها و تانسور کرنش‬ ‫‪21‬‬ ‫تمرینات فصل سوم‬ ‫‪ -1‬نامتغيرهاي کرنش و متادله مشخوه را براي تانسور کرنش زير که حالت کرنش در يک نقطه از‬ ‫محيط متخلخل را نشان ميدهد‪ ،‬محاسره کنيد‪.‬‬ ‫‪ 8  6  5‬‬ ‫‪ ij   6 12  4  10 3‬‬ ‫‪  5  4  9‬‬ ‫‪ -2‬درصورتيكه ‪ I1‬و ‪ I2‬نامتغيرهاي اول و دوم تانسور کرنش بالند ثابت نماييد نامتغير دوم تانساور‬ ‫کرنش انحرافي )‪ (I2D‬از رابطه ذيل قابل محاسره است‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I 2D  I 2  1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫فصل چهارم – نيروها و تانسور تنش‬ ‫فصل چهارم‬ ‫نيروها و تانسور تنش‬ ‫‪-1-4‬مقدمه‬ ‫مولفههاي تانسور تنش در لكل (‪ )1-4‬نشان داده لده است‪ .‬هر مولفه به صور زير قابال تترياف‬ ‫مي بالد‪:‬‬ ‫(‪)1-4‬‬ ‫‪ Fj ‬‬ ‫‪σij  lim  ‬‬ ‫‪ Ai ‬‬ ‫‪Ai 0‬‬ ‫در اين رابطه ‪ Fj‬مولفه نيرو در جهت ‪ j‬و ‪ Ai‬سطح مقطع عمود بر جهت ‪ i‬اسات کاه نياروي ‪ Fj‬روي‬ ‫آن تاثير مينمايد‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)6-4‬وضعيت تنشها در المان خاک‬ ‫در مكانيک خاك برخالف مكانيک جامدا ‪ ،‬تنشهاي فشاري مثرت و تنشاهاي کششاي باا عالمات‬ ‫منفي در نظر گرفته ميلوند‪ .‬در غياب ممان هاي داخلي‪ ،‬تانسور تنش متقارن بوده و ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)2-4‬‬ ‫بدين ترتيب ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪σij  σ ji‬‬ ‫‪σ12  σ21‬‬ ‫‪σ13  σ31‬‬ ‫‪σ23  σ32‬‬ ‫‪-2-4‬نامتغیرهای تانسور تنش‬ ‫به مانند تانسور کرنش‪ ،‬نامتغيرهاي تانساور تانش را مايتاوان باه دو روش تترياف نماود‪ .‬متادلاه‬ ‫مشخوه تانسور تنش ‪  ij‬به صور زير ارائه ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)3-4‬‬ ‫‪ 3  I1σ σ2  I2σ σ  I3σ  0‬‬ ‫در اين رابطه ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)4-4‬‬ ‫‪I1σ  σii  σ11  σ22  σ33‬‬ ‫فصل چهارم – نيروها و تانسور تنش‬ 16 I2σ  σ11 σ12 σ12 σ 22  σ22 σ 23 σ 23 σ11  σ33 σ13 σ13 σ33 )5-4( I3σ  σij )6-4( ‫ روش ديگر جهت تترياف نامتغيرهااي‬.‫ نامتغيرهاي تانسور تنش ميبالند‬I3 ‫ و‬I2 ،I1 ‫سه پارامتر‬ :‫تانسور تنش بوور زير ميبالد‬ I 1  J1   ii  11   22   33  tr    I 1  )7-4(  1 1 1 I 2  J 2   ij  ji  tr ( )2  I 12  2I 2 2 2 2 1 1 1 I3  J 3   ik km mi  tr ( )3  I13  3I1 I 2  3I 3 3 3 3  )8-4(  )9-4( :‫ را براي تانسور تنش زير محاسره نماييد‬J3 ‫ و‬J2 ،J1 ‫) نامتغيرهاي‬1-4( ‫مثال‬  3 1 0   ij   1 2 2  0 2 4  kN / m  2 J1   mm  3  2  4  9 kN / m2 2 1 1 J 2  I 12  2I 2  92  2  5  4  12   19.5 kN / m 2 2 2  J3             3 1 3 1 I 1  3I 1 I 2  3I 3  93  3  9  21  3 8   62 kN / m 2 3 3 ‫تجزیه تانسور تنش‬-3-4 ‫مي توان تانسور تنش را به دو بخش تانسور تنش انحرافي و تانساور تانش هيدوراساتاتيک تجزياه‬ .‫کرد‬ 1 3  ij  S ij   nn  ij  0 0   11  12  13   S 11 12 13   nn /3       nn /3 0   21  22  23    21 S 22  23    0  31  32  33   31  32 S 33   0 0  nn /3   )11-4( ‫‪12‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪   S   P ‬‬ ‫(‪)11-4‬‬ ‫تانسااااور تاااانش هيدرواسااااتاتيک قطااااري بااااوده و عناصاااار قطاااار آن مساااااوي و براباااار‬ ‫‪ nn 11   22   33‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫بالند‪ .‬در خووف تانسور تنش انحرافي نياز مايتاوان گفات کاه‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3‬مي‬ ‫مجموع عناصر قطري آن )‪ (trace‬برابر صفر ميبالد‪.‬‬ ‫(‪)12-4‬‬ ‫(‪)13-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S ij   ij   nn  ij‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S ii   ii   nn  ii   ii   nn  0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-4-4‬نامتغیرهای تانسور تنش انحرافی‬ ‫نامتغير اول تانسور تنش انحرافي برابر صفر ميبالد‪ .‬بنابراين‪:‬‬ ‫(‪)14-4‬‬ ‫‪S ii  S 11  S 22  S 33  0‬‬ ‫نامتغير دوم تانسور تنش انحرافي با ‪ J2D‬نمايش داده ميلود و از قرار زير است‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪J 2 D  I 2S  S ij S ij  tr S ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ij  mm  ij   ij  mm  ij ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   ij  ij  2 ij mm  ij  mm  ij  ij ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)15-4‬‬ ‫‪J 12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ J2 ‬‬ ‫‪ mm 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ mm 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ J2 ‬‬ ‫در صورتيكه بخواهيم ‪ J2D‬را بر اساس نگارش ماتريسي‪ 1‬محاسره نماييم ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ S 11 S 12 S 13  S 11 S 12 S 13 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J 2 D  tr  S 12 S 22 S 23  S 12 S 22 S 23 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ S 13 S 23 S 33  S 13 S 23 S 33 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ S 112  S 122  S 132  S 122  S 22‬‬ ‫‪ S 23‬‬ ‫‪ S 132  S 23‬‬ ‫‪ S 33‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 Matrix notation‬‬ ‫فصل چهارم – نيروها و تانسور تنش‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (11  p )2  ( 22  p )2  ( 33  p )2  2 S 122  2 S 23‬‬ ‫‪ 2 S 132 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫با توجه به اينكه ‪ S23   23 ، S12  12‬و ‪ S13  13‬ميبالد ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11   22‬‬ ‫‪  33‬‬ ‫‪ 2122  2 23‬‬ ‫‪ 2132  3 p 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫با جايگذاري مقدار‬ ‫‪ ii‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪J 2D ‬‬ ‫‪ p ‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (11   22 )2  ( 22   33 )2  (11   33 )2   122   23‬‬ ‫‪ 132‬‬ ‫‪6‬‬ ‫بر اساس تنشهاي اصلي ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪J 2D  (1   2 )2  ( 2   3 )2  (1   3 )2 ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫(‪)16-4‬‬ ‫با توجه به تتريف نامتغير دوم تانسور تنش )‪ (J2‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪J12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪J2D  J2 ‬‬ ‫که مشابه همان مقداري است که بر اساس نگاارش انديساي‪ 1‬از متادلاه (‪ )15-4‬محاساره گردياد‪.‬‬ ‫حسن روش دوم تتريف نامتغيرهاي تانسور تنش آن است که ميتوان توجيه مناساب مكاانيكي آنهاا را‬ ‫ذکر نمود‪ .‬در واقع نامتغير اول تانسور تنش انحرافي همان کرنش حجمي است که قطتا باراي وضاتيت‬ ‫تنش محوري اضافي خالص بدون فشار هيدرواساتاتيک صافر خواهاد باود‪ .‬ناامتغير دوم تانساور تانش‬ ‫‪2‬‬ ‫انحرافي را نيز ميتوان به يک پارامتر موثر ديگر به نام تنش برلي اکتاهادرال مارترط دانسات‪ .‬تانش‬ ‫برلي اکتاهدرال بر اساس رابطه زير تتريف ميگردد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ oct 2  (11   22 )2  ( 22   33 )2  (11   33 )2   12    23   13  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫بنابراين بر اساس تنشهاي اصلي ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)17-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ oct 2  (1   2 )2  ( 2   3 )2  (1   3 )2 ‬‬ ‫مقايسه روابط ‪ 16-4‬و ‪ 17-4‬نشان ميدهد‪:‬‬ ‫(‪)18-4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪J 2 D   oct 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 Index notation‬‬ ‫‪2 Octahedral shear stress‬‬ ‫‪14‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫در واقع ‪  oct‬مولفه بردار تنش بر صفحه اکتاهدرال‪ 1‬ميبالد‪ .‬صفحه اکتاهدرال صفحهاي است کاه‬ ‫با هر سه محور مختوا زواياي مساوي تشكيل ميدهد و در واقع عمود بر نيمساز فضايي‪ 2‬خواهد بود‪.‬‬ ‫نامتغير سوم تانسور تنش انحرافي نيز به روش زير محاسره ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)19-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪J 3D  I 3S  S ij S jm S mi  tr S ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ij  1  ij   jm  1  jm   mi  1  mi ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ( ij  jm  mi   ij  ij  J1  im  im‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ J12  mm  1  mm  1  mm‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪ J 3  J 1 J 2  J1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫در رابطه با مفهوم فيزيكي نامتغير سوم تنش در فوول آتي بحث خواهد لد‪.‬‬ ‫مثال ‪ :2-4‬نامتغيرهاي تانسور تنش انحرافي را براي تانسور تنش مثال (‪ )1-4‬محاسره نماييد‪.‬‬ ‫‪ 3 1 0 ‬‬ ‫‪ ij   1 2 2  kN / m 2‬‬ ‫‪ 0 2 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫از مثال (‪ )1-4‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪J1  9 kN / m 2‬‬ ‫‪J 2  19.5 (kN / m 2 )2‬‬ ‫‪J 3  62 (kN / m 2 )3‬‬ ‫بر اين اساس‪ ،‬نامتغير اول تانسور تنش انحرافي صفر‪ ،‬نامتغير دوم بر اساس رابطه (‪ )15-4‬و نامتغير‬ ‫سوم بر اساس رابطه (‪ )19-4‬قابل محاسره خواهند بود‪.‬‬ ‫‪-5-4‬تصویر تنش بر یک صفحه‬ ‫فرض نماييد تنش در يک نقطه با تانسور تنش ‪  ij‬بوور زير تتريف گردد‪:‬‬ ‫‪  11  12  13 ‬‬ ‫‪ ij    21  22  23 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 31  32  33 ‬‬ ‫‪1 Octahedral plane‬‬ ‫‪2 Space diagonal‬‬ ‫فصل چهارم – نيروها و تانسور تنش‬ ‫‪12‬‬ ‫بردار تنش بر هر صفحهاي که از اين نقطه عرور مينمايد با توجه به تتادل نيروها بار اسااس لاكل‬ ‫(‪ )2-4‬محاسره ميگردد‪.‬‬ ‫(‪)21-4‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ ij‬‬ ‫‪j ‬‬ ‫‪ ip   ji‬‬ ‫‪1‬‬ ‫در اين رابطه ‪ ( j  1, 2,3) l j‬کسينوسهاي هادي براي نرمال صفحه ميبالند‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)2-4‬وضعيت تنشها بر المان هرمی‬ ‫‪2‬‬ ‫مولفه هاي بردار تنش بر صفحه ‪ ABC‬بر اساس رابطه (‪ )21-4‬بوور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫(‪)21-4‬‬ ‫‪1p  11 1   21 2   31 3  11 1  12 2  13 3‬‬ ‫‪ 2p   21 1   22 2   23 3‬‬ ‫‪ 3p   31 1   32 2   33 3‬‬ ‫الزم به ذکر است که در برخي نگارلها تانسور تانش بواور ياک مااتريس ساطري بواور زيار‬ ‫نگالته ميلود که اين به دليل تقارن آن و تساوي دو به دوي لش مولفه غيرقطري آن است‪.‬‬ ‫‪ T  11  22  33 12  23 13 ‬‬ ‫‪1 Direction cosines‬‬ ‫‪2 Tetrahedral element‬‬ ‫‪11‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪-6-4‬مولفه های برشی و نرمال تنش بر یک صفحه‬ ‫لكل (‪ )3-4‬مولفه هاي برلي ) ‪ ( ‬و قائم ‪  n ‬را بر صفحه دلخواه که از نقطه ‪ P‬ميگذرد نشان‬ ‫ميدهد‪ .‬دقت لود که اين صفحه موازي محور سوم يتني ‪ x3‬انتخاب لاده و نرماال آن باا محاور ‪x1‬‬ ‫زاويه ‪ ‬تشكيل ميدهد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)3-4‬تنش های برشی و نرمال در صفحه گذرنده از نقطه ‪ P‬موازی ‪( x3‬دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫مثال (‪ :)3-4‬وضتيت تنش در نقطه ‪ P‬را با تانسور تنش زير نشان ميدهيم‪:‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪ ij   0 2 0 ‬‬ ‫‪1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫بردار تنش را بر صفحهاي که نرمال آن با محور ‪ x1‬زاويه ‪ ‬تشكيل ميدهد محاسره نماييد‪.‬‬ ‫‪1  cos ‬‬ ‫‪2  sin‬‬ ‫‪3  0.0‬‬ ‫با جايگذاري مولفه هاي تانسور تنش در روابط (‪ )21-4‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪1p  11 cos  12sin  cos‬‬ ‫‪ 2p   21 cos   22sin  2sin‬‬ ‫‪ 3p   31 cos  cos‬‬ ‫فصل چهارم – نيروها و تانسور تنش‬ ‫‪11‬‬ ‫با توجه به اين مقادير ميتوان مولفه هاي نرمال و برلي بر صفحه را بوور زير حساب کرد‪:‬‬ ‫‪ np  1p cos   2p sin  11 cos 2   22 sin 2  212 sin cos‬‬ ‫‪ cos 2  2sin 2‬‬ ‫‪ p  1p sin   2p cos  12  sin2  cos 2   sin cos 11   22 ‬‬ ‫‪ sin cos  2sin cos  sin cos‬‬ ‫براي ساير صفحا نيز ميتوان به طريق مشابه عمل نمود‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-7-4‬تنش های اصلی‬ ‫براي هر تانسور تنش ميتوان صفحاتي يافت که بردار تنش بطور کامل بر آنها عمود بوده و بنابراين مولفه‬ ‫تنش برلي برابر صفر بالد‪ .‬اين صفحا ‪ ،‬صفحا اصالي‪ 2‬و جهات عماود بار آنهاا جهاا اصالي‪ 3‬نامياده‬ ‫ميلوند‪ .‬ميتوان حداکثر سه صفحه از اين نوع را يافت که مقدار تنش نرمال بار آنهاا هماان تانش اصالي‬ ‫ميبالد‪ .‬بدين ترتيب مقدار تنش اصلي را با در نظرگيري اسكالر 𝜆 ميتوان به فرم زير نولت‪:‬‬ ‫(‪)22-4‬‬ ‫‪σi   i , i  1,2,3‬‬ ‫در اين رابطه ‪ li‬بردار واحد نرمال بر صفحه ميبالد‪ .‬لذا داريم‪:‬‬ ‫‪j  σij j‬‬ ‫‪σi   i  ij‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j 0‬‬ ‫‪ σ   ‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)23-4‬‬ ‫به فرم ماتريسي ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)24-4‬‬ ‫همچنين بايد توجه دالت‪:‬‬ ‫(‪)25-4‬‬ ‫(‪)26-4‬‬ ‫‪   λ I   0‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪ 13   1 ‬‬ ‫‪ 11  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 22  ‬‬ ‫‪ 23   2   0‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪  13‬‬ ‫‪ 23‬‬ ‫‪ 33     3 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 Principal stresses‬‬ ‫‪2 Principal planes‬‬ ‫‪3 Principal directions‬‬ ‫‪11‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫با توجه به متادله (‪ )25-4‬و اينكه سه پارامتر ‪، 1‬‬ ‫دترمينان ماتريس ضرايب برابر صفر بالد‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫نميتوانند صفر بالند بناابراين باياد‬ ‫‪ 11  ‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪ 13‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪ 22  ‬‬ ‫‪ 23  0‬‬ ‫‪ 13‬‬ ‫‪ 23‬‬ ‫‪ 33  ‬‬ ‫(‪)27-4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫با بسط اين دترمينان‪ ،‬متادله مشخوه به صور زير بدست ميآيد‪:‬‬ ‫‪ 3  I1  2  I 2   I3  0‬‬ ‫(‪)28-4‬‬ ‫اين متادله منجر به سه ريشه ميلود که همان تنشهاي اصالي خواهناد باود‪ .‬جهاا اصالي نظيار‬ ‫مقادير بدست آمده تنشهاي اصلي‪ ،‬با جايگذاري 𝜆 در متادال (‪ )24-4‬بدست خواهد آمد‪.‬‬ ‫در صورتيكه سه جهت اصلي به عنوان محورهاي مختوا در نظر گرفته لوند فرم تانسور تانش از‬ ‫قرار زير بدست ميآيد‪:‬‬ ‫‪ 1 0 0 ‬‬ ‫‪ ij   0  2 0 ‬‬ ‫‪0 0  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ترتيب ‪ 2 ،1‬و ‪ 3‬بر اساس نحوه و ترتيب انتخاب جها اصلي ميبالند‪ .‬تانش بزرگتار را تانش‬ ‫اصلي حداکثر‪ ،2‬کوچكترين را تنش اصلي حداقل‪ 3‬و وسطي را تنش اصلي مياني‪ 4‬نامند‪.‬‬ ‫مثال ‪ -4-4‬تانسور تنش در نقطه ‪ P‬بوور زيار نشاان داده مايلاود‪ .‬تنشاها در جهاا اصالي را‬ ‫محاسره نماييد‪.‬‬ ‫‪ 4 0 2 ‬‬ ‫‪ ij   0 5 0  kN / m 2‬‬ ‫‪ 2 0 4 ‬‬ ‫نامتغيرهاي تانسور تنش به صور زير محاسره ميلود‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪I1  13 kN / m‬‬ ‫‪I 2  20  20  12  52 (kN / m2 )2‬‬ ‫‪I3  60(kN / m2 )3‬‬ ‫‪1 Characteristic equation‬‬ ‫‪2 Major principal stress‬‬ ‫‪3 Minor principal stress‬‬ ‫‪4 Intermediate principal stress‬‬ ‫فصل چهارم – نيروها و تانسور تنش‬ ‫‪11‬‬ ‫متادله مشخوه به صور زير محاسره ميلود‪:‬‬ ‫‪ 13  52  60  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2, 5 &6 kN / m2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ :6 kN / m2‬تنش اصلی حداکثر‬ ‫‪ :2 kN / m2‬تنش اصلی حداقل‬ ‫‪ :5 kN / m2‬تنش اصلی میانی‬ ‫حل تنشهاي مذکور را در متادال مربوط به جها اصلي جايگزين مينماييم‪.‬‬ ‫تنش اصلي حداکثر‪:‬‬ ‫‪1  6.0 ‬‬ ‫‪ 4  6 1  2 3  0‬‬ ‫‪ 5  6 2  0  2  0‬‬ ‫‪2 1   4  6 3  0  1   3‬‬ ‫به عالوه‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫به عنوان متادله کمكي وجود دارد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2 12  1 1  ‬‬ ‫‪& 3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بدين ترتيب دو جهت اصلي که امتداد اصلي مربوط به تنش اصلي حداکثر را تشكيل ميدهد به دست ميآيند‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪, 3 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪, 3‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫تنش اصلي حداقل‪:‬‬ ‫‪ 3  2.0 ‬‬ ‫‪2 1 2 3  0‬‬ ‫‪ 5  2 2  0  2  0‬‬ ‫‪2 1   4  2 3  0  1  3‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪12‬‬ ‫همچنين‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫ميبالد‪ ،‬لذا‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫&‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 12  1 1  ‬‬ ‫لذا جها اصلي مربوط از قرار زير ميبالند‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 0 , 3  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, 3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تنش اصلي مياني‪:‬‬ ‫‪ 2  5.0 ‬‬ ‫‪ 1 2 3  0‬‬ ‫‪0 2 0‬‬ ‫‪2 1  1 3  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1  2  3 1‬‬ ‫لذا ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ 3 0‬‬ ‫‪1  3 0‬‬ ‫‪& 2  1‬‬ ‫&‬ ‫‪2  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بدين ترتيب جها اصلي بوور زير نگالته ميلوند‪ ،‬در واقع يكي از دو جهت اصلي باراي هار تانش‬ ‫اصلي انتخاب لده است‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪Major , x1 ( ,0, ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪Minor , x2 ( ,0,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪Intermediate, x3 (0,1,0‬‬ ‫بدين ترتيب ماتريس ترديل بوور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪aij   0‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫فصل چهارم – نيروها و تانسور تنش‬ ‫فرم ترديل يافته تانسور تنش تحت اين ماتريس ترديل بوور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij  aim a jn  mn‬‬ ‫(‪)29-4‬‬ ‫در فرم ماتريس ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪σ  a  σa ‬‬ ‫(‪)31-4‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2  6 0 0 ‬‬ ‫‪0   0 5 0 ‬‬ ‫‪1  0 0 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  4 0 2   2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0   0 5 0   0‬‬ ‫‪1   2 0 4   1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ترتيب عناصر قطري‪ ،‬وابسته به ترتيب در نظرگيري جها اصلي در ماتريس ترديل ميبالد‪.‬‬ ‫‪-8-4‬محاسبه تنش های برشی‬ ‫همانطور که قرال ذکر لد مولفه هاي تنشي برلي بر صفحا اصلي برابر صفر ميبالند‪ .‬بطور کلاي‬ ‫مولفه هاي تنش بر المان هرمي لكل از قرار زير تتريف لدند‪:‬‬ ‫‪ ip   ij j ‬‬ ‫‪ xp   xx x   xy y   xz z‬‬ ‫که ‪ lz , l y , lx‬کسينوسهاي هادي در جها‬ ‫‪z‬‬ ‫‪  yz‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪  yy‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ yp   yx‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪  zz‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪  zy‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪   zx‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ z, y, x‬ميبالند‪ .‬بادين ترتياب تانش نرماال ‪  n‬از‬ ‫قرار زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪ n  x xp  y yp  z zp‬‬ ‫با قرار دادن مقادير ‪  zp ,  yp ,  xp‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫(‪)31-4‬‬ ‫‪ xz ‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ yz  x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ xy  y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ n  2x xx  2y yy  2z zz  2  x‬‬ ‫با در دست دالتن ‪ ،  n‬تنش برلي ‪  s‬از رابطه محاسره ميگردد‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)32-4‬‬ ‫‪ n2   s2   xp    yp    zp ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  s2   xp    yp    zp    n2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫حالت خاصي را در نظر بگيريد که مختوا ‪ z, y, x‬منطرق بر جها اصلي در نظار گرفتاه لاده‬ ‫بالند‪ .‬در اين لرايط با توجه به صفر بودن مولفه هاي تنش برلي ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ xp  x  xx  1p  1 11‬‬ ‫‪ yp  y  yy   2p  2  22‬‬ ‫‪ zp  z  zz   3p  3  33‬‬ ‫‪ n  1211  22 22  23 33‬‬ ‫(‪)33-4‬‬ ‫(‪)34-4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ s2  12 112  22  222  23  332   12 11  22  22  23 33 ‬‬ ‫ثابت ميگردد که تنش برش ماکزيمم بر صفحاتي به لرح زير که با محورهاي اصلي زواياي ‪45‬‬ ‫تشكيل ميدهند‪ ،‬ايجاد ميگردد‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, 0, ‬‬ ‫)‬ ‫‪2 (‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‪, 0‬‬ ‫‪3 (‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(0, ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫با جايگذاري اين مقادير در رابطه (‪ )34-4‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 22   33 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ s 2    11   33 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ s 3    11   22 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ s1  ‬‬ ‫(‪)35-4‬‬ ‫تنش نرمال نظير نيز بر اساس رابطه (‪ )33-4‬به لرح زير خواهد بود‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 22   33 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n 2   11   33 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n3   11   22 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ n1 ‬‬ ‫(‪)36-4‬‬ ‫فصل چهارم – نيروها و تانسور تنش‬ ‫‪13‬‬ ‫‪ -9-4‬شرایط خاص اعمال تنش‬ ‫متموال در آزمايشگاه براي تتيين مدلهاي رفتاري از مسيرهاي مشخص تنش استفاده ميگردد‪ .‬متماول‬ ‫ترين مسيرهاي تنش در مهندسي ژئوتكنيک و تانسورهاي تنش نظير آنها در لكل (‪ )4-4‬نشان داده لاده‬ ‫است‪.‬‬ ‫‪1 0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫تک محوري‬ ‫‪ 0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0  0‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫هيدرواستاتيک‬ ‫‪1   2   3   ‬‬ ‫‪1 0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 2 0 ‬‬ ‫‪0 0  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫سه محوري حقيقي‬ ‫‪ 1 0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 2 0 ‬‬ ‫‪0 0  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫سه محوري استوانه اي‬ ‫‪ 0  12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  12 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫برش خالص‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫شکل ‪ :)4-4‬شرایط خاص تانسور تنش در المان خاک (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪14‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫تمرینات فصل چهارم‬ ‫‪ -1‬تانسور تنش در يک نقطه از محيط‪ ،‬توسط تانسور زير نشان داده لده است‪ .‬تنش هاي اصلي و‬ ‫جها اصلي در اين نقطه را محاسره کنيد‪.‬‬ ‫‪ 3  2  6‬‬ ‫‪ kN ‬‬ ‫‪ ij   2  1 0  2 ‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪ 6 0‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ -2‬براي تانسور زير‪ ،‬وضتيت تنش در جها اصلي را محاسره کنيد‪.‬‬ ‫‪ 1  3  4‬‬ ‫‪ kN ‬‬ ‫‪ ij    3 5  1 2 ‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪ 4  1  3‬‬ ‫‪ -3‬براي تانسور ارائه لده در تمرين دوم‪ ،‬مطلوب است تتيين تانسورهاي تانش هيدرواساتاتيک و‬ ‫تانسور تنش انحرافي‪.‬‬ ‫‪ -4‬عرار هاي زير را براي متغيرهاي تانسور تنش انحرافي ‪ S ij‬استخراج نماييد‪.‬‬ ‫‪J 1D  S ii  tr ( S )  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S ij S ij  tr ( S 2 )  J 2  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪J 3 D  S ij S jm S mi  tr ( S 3 )  J 3  J 1 J 2 ‬‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪J 2D ‬‬ ‫فصل پنجم – رفتار مکانيکی خاکها و مبانی مدلسازی رفتاری‬ ‫فصل پنجم‬ ‫آزمونهای آزمايشگاهی برای تعيين پارامترهای مدل‬ ‫رفتاری‬ ‫‪-1-5‬مقدمه‬ ‫رفتار غيرخطي در بسياري موارد به عنوان خميدگي و انحنا در ارتراط بين تنش و کرنش و منحني‬ ‫نظير آن تلقي ميگردد‪ .‬در صورتيكه رفتار غيرخطي بتلت تغييرا زياد در هندسه مادل بالاد بتناوان‬ ‫غيرخطي بودن هندسي‪ 1‬و در صورتيكه بدليل رفتار ماده بالد غيرخطي بودن موالح‪ 2‬ياا مااده نامياده‬ ‫ميلود‪.‬‬ ‫‪-2-5‬رفتار غیر خطی‬ ‫لكل (‪ )1-5‬لرايط کلي براي ارتراط نيرو و تغيير لكل را ارائه مينمايد‪ .‬در فرم نموي‪ ،‬اين ارتراط‬ ‫بوور زير نولته ميلود‪.‬‬ ‫(‪)1-5‬‬ ‫‪ kt dq  dQ‬‬ ‫‪1 Geometric non-linearity‬‬ ‫‪2 Material non-linearity‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪11‬‬ ‫شکل ‪ :)6-2‬ارتباط خطی و غير خطی نيرو‪-‬تغييرشکل و تنش‪-‬کرنش (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫در لرايط رفتار خطي‪ ،‬ماتريس رفتاري يا سختي مماسي در هر نقطاه‪  kt  ،‬باا مااتريس ساختي‬ ‫اوليه ‪  ki ‬برابر است‪ .‬در مراحث عددي و روش المان محدود‪ ،‬ماتريس سختي ‪  kt ‬بوور زير بياان‬ ‫ميگردد‪.‬‬ ‫(‪)2-5‬‬ ‫‪ kt    [ B] [Ct ][ B]dV‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪V‬‬ ‫در اين رابطه ‪  B ‬ماتريس ارتراط کرنش – تغيير لاكل و ‪ V‬حجام محادوده ياا الماان ماوردنظر‬ ‫ميبالد‪ .‬در اين رابطه ماتريس ‪ Ct ‬رابطه رفتاري و بيانگر ارتراط تنش‪-‬کارنش باوده و باه فارم زيار‬ ‫نشان داده ميلود‪:‬‬ ‫(‪)3-5‬‬ ‫(‪)4-5‬‬ ‫‪d   Ct d ‬‬ ‫‪d ij  Cijkt d k‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ Cijkl‬تانساور رفتااري خواهاد باود‪.‬‬ ‫در اين روابط ‪ d  , d ‬جزء باردار تانش و کارنش و‬ ‫تغييرا سطح نيرو و تنش حين اعمال بار بر ماده سرب ميگردد تا سختي مااده در هار لحظاه تغييار‬ ‫مينمايد بنابراين ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)5-5‬‬ ‫‪ kt   kt  Ct ‬‬ ‫یا‪:‬‬ ‫(‪)6-5‬‬ ‫‪ Ct   Ct  ‬‬ ‫فصل پنجم‪ -‬آزمونهای آزمایشگاهی برای تعيين پارامترهای مدل رفتاری‬ ‫‪11‬‬ ‫عالوه بر اين موضوع‪ ،‬وضتيت تنشهاي در محل‪ ،‬دانسيته موالح‪ ،‬درصد آب و نسارت تخلخال‪ ،‬ناوع‬ ‫بارگذاري استاتيكي و ديناميكي‪ ،‬نرخ بارگذاري و مسير تانش‪ ،‬ناپيوساتگيهاا و درزه و تارك بار رفتاار‬ ‫موالح تاثيرگذار ميبالد‪.‬‬ ‫‪-1-3‬شکل کلی قوانین رفتاری‬ ‫لكل کلي قوانين رفتاري به صور زير نگالته ميلود‪:‬‬ ‫(‪)7-5‬‬ ‫‪f  ,  ,  ,    0‬‬ ‫که ‪ ‬تنش‪  ،‬کرنش‪  ،‬نرخ تنش و ‪ ‬نرخ کرنش ميبالند‪ .‬براي تتيين قوانين رفتاري باياد‬ ‫مراحل زير را لحاظ نمود‪.‬‬ ‫الف‪ -‬مشخص نمودن فرموالسيون رياضي مدل‬ ‫ب‪ -‬تتيين پارامترهاي موثر در مدل رفتاري‬ ‫‪1‬‬ ‫ج‪ -‬تتيين پارامترها از آزمونهاي آزمايشگاهي و ارزيابي صحت عملكارد مادل کاه خاود لاامل دو‬ ‫مرحله ميبالد‪:‬‬ ‫د‪ -‬پيشريني صحيح و کمي داده هاي آزمايشگاهي که پارامترهاي مدل از طريق آنها تتياين لاده‬ ‫است به انضمام تتدادي ديگر که در تتيين پارامترهاي مدل بكار گرفته نشده اند و يا تحات مسايرهاي‬ ‫تنش ديگر انجام گرفته اند‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ه‪ -‬بكارگيري مدل رفتاري در يک راه حل بسته و يا يک مسرله مقدار مرزي که به روش عاددي‬ ‫حل ميگردد و صحت سنجي عملكرد مناسب مدل با نتايج ابزار گذاري و رفتارسنجي‪.‬‬ ‫‪-4-5‬مشخص نمودن پارامترهای رفتاری‬ ‫هنگامي که پارامترهاي يک مدل رفتاري مورد محاسره قرار ميگيرند نياز به داده هاي آزمايشگاهي احساس‬ ‫ميلود‪ .‬بدين ترتيب الزم است تا آزمايشهاي مناسب براي محاسره اين پارامترها انجام و نحوه محاسارا از‬ ‫نتايج اين آزمايشها اعالم گردند‪ .‬اين موضوع از مهمترين مراحل در محاسرا مربوط به ياک مادل رفتااري‬ ‫است‪ .‬براي محاسره پارامترهاي مدل رفتاري بايد لرايط آزمايشگاهي متناسب باا وضاتيت الماان خااك در‬ ‫خالل بارگذاري لحاظ لود‪ .‬آزمايش فشار هيدرواستاتيک‪ ،‬سه محوري متماولي‪ ،‬بارش سااده و فشاار تاک‬ ‫محوري نمونه هايي از اين موارد ميبالند‪ .‬در ذيل مرور مختوري بر اين آزمايشها ميلود‪:‬‬ ‫ آزمون فشار تک محوري‪ : 4‬در اين آزمايشها يک نمونه ياا ساطح مقطاع مادور ياا مربتاي بواو‬‫محوري تحت بارگذاري قرار ميگيرد‪ .‬نمودارهاي مستخرج از اين آزمايش لامل نمودار تنش محاوري‪-‬‬ ‫کرنش محوري و کرنش جانري‪-‬کرنش محوري بوده و به صور لكل (‪ )2-5‬داده ميلوند‪:‬‬ ‫‪1 Verification‬‬ ‫‪2 Closed form solution‬‬ ‫‪3 Boundary value problem‬‬ ‫‪4 Uniaxial‬‬ ‫‪11‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)2-2‬نمودارهای مستخرج از نتایج آزمایش فشار تک محوری‬ ‫آزمايش سه محوري متمولي‪ :1‬در اين آزمايش‪ ،‬ابتدا فشار همه جانره‪ 2‬بوسيله مايع درون سلول باه‬ ‫نمونه اعمال ميلود و سپس تنش محوري اضافي توسط پيستون بارگذاري وارد مايلاود‪ .‬آزماايش را‬ ‫ميتوان در لرايط زهكشي لده يا زهكشي نشده انجام داد و در نتيجه آن کرنشهاي حجماي ياا فشاار‬ ‫آب منفذي را محاسره نمود‪ .‬نمودارهاي مستخرج از اين آزمايش لامل نمودار تانش انحرافاي‪ -‬کارنش‬ ‫محوري و کرنش حجمي‪-‬کرنش محوري در لرايط زهكشي لده و فشار حفرهاي اضافي‪-‬کرنش محوري‬ ‫در لرايط زهكشي نشده بوور لكل (‪ )3-5‬هستند‪.‬‬ ‫شکل ‪ :(3-2‬نمونه آزمایشی و نمودارهای مستخرج از آزمایش سه محوری معمولی‬ ‫‪-‬‬ ‫برش ساده‪ :‬در آزمايش برش ساده که توسط روسكو‪ 3‬ابداع گرديد امكان تتياين رفتاار تانش‪-‬‬ ‫کرنش خاك بوور نمودار تنش برلي‪ -‬کرنش برلي در لكل (‪ )4-5‬وجود خواهد دالت‪.‬‬ ‫‪1 Conventional triaxial test‬‬ ‫‪2 Confining pressure‬‬ ‫‪3 Roscoe‬‬ ‫فصل پنجم‪ -‬آزمونهای آزمایشگاهی برای تعيين پارامترهای مدل رفتاری‬ ‫‪11‬‬ ‫شکل ‪ :(4-2‬شرایط بارگذاری در آزمایش برش ساده و نمودار تنش‪-‬کرنش مستخرج از آن‬ ‫‪-‬‬ ‫سه محوري واقتي‪ :1‬با توجه به آنكه خاك در لرايط حقيقي در وضتيت تنش چندمحوره قارار‬ ‫دارند‪ ،‬آزمايش سه محوري واقتي به نحو مناسري ميتواند لارايط حقيقاي خااك در محال را‬ ‫لريه سازي نمايد‪ .‬در آزمايش سه محوري واقتي امكان بارگذاري خاك در راستاي هر ياک از‬ ‫سه محور و اندازه گيري کرنش در سه راستاي مذکور وجود دارد‪ .‬نمونه خاك در اين آزماايش‬ ‫بوور مكتري بوده و در داخل يک قاب قرار ميگيرد‪ .‬نيرو از طريق سه جک هيادروليكي در‬ ‫سه راستاي متفاو به آن اعمال لده و تغيير لكلها توسط سنسورهاي ‪ LVDT2‬در هر جهت‬ ‫تتيين و قرائت ميگردد‪.‬‬ ‫‪-5-5‬مسیر تنش‬ ‫خاك در وضتيت واقتي بارگذاري تحت تاثير مسيرهاي مختلف تنش قرار مايگيارد‪ .‬باه عناوان نموناه‬ ‫ميتوان لرايط بارگذاري را در خووف يک لمع تحت بار محوري و جانري مطابق لكل (‪ )5-5‬در نظر‬ ‫گرفت‪ .‬همچنين در اين لكل‪ ،‬مسير تنش حين بارگذاري براي چند نقطه مختلف ارائه لده است‪.‬‬ ‫‪1 True triaxial‬‬ ‫‪2 Linear Variable Differential Transducer‬‬ ‫‪12‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)2-2‬شرایط واقعی بارگذاری المان خاک در محل (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫بدين ترتيب الزم است تا براي لريه سازي صحيح رفتار خاك باويژه در مساائلي کاه انادرکنش آن باا‬ ‫بارگذاري يک سازه همراه است‪ ،‬رفتار خاك تحت مسيرهاي تنش اصلي و مهم بررساي و کاارايي مادل‬ ‫رفتاري در لرايط مختلف ارزيابي ميگردد‪ .‬اين موضوع مستلزم آزمايش نمونه هاي خااك تحات تااثير‬ ‫مسيرهاي مختلف تنش است‪ .‬آزمايش سه محوري واقتي آزموني است که مايتاوان بوسايله آن رفتاار‬ ‫خاك را حين اعمال مسيرهاي تنش مختلف بررسي و ارزيابي نمود‪ .‬دراين قسمت نقاش و تااثير مساير‬ ‫تنش بر خاك و رفتار آن مورد تجزيه و تحليل قرار ميگيرد‪.‬‬ ‫لكل (‪ )6-5‬وضتيت مسير تنش در وضتيتهاي مختلاف بارگاذاري را در صافحه تنشاهاي اصالي ارائاه‬ ‫مينمايد‪ .‬اين لرايط در دو وضتيت صفحا سه محوري و اکتاهدرال نشان داده لده است‪ .‬در آزمايش‬ ‫سه محوري مرسوم دو تنش از سه تنش اصلي با هم مساوي هستند‪ .‬لذا در حالت ساه محاوري نموناه‬ ‫استوانهاي يكي از تنش هاي اصلي ‪ 2‬برابر محور افقي قرار خواهد دالت‪ .‬صفحه اکتاهادرال نياز بار‬ ‫نيمساز فضايي عمود و سه محور با آن زواياي برابر تشكيل ميدهند‪.‬‬ ‫شکل ‪ )1-2‬وضعيت مسير تنش‬ ‫الف) در فضای تنشهای اصلی ب) تصویر مسير تنش بر صفحه سه محوری ج) مسير تنش در صفحه اکتاهدرال‬ ‫(دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫فصل پنجم‪ -‬آزمونهای آزمایشگاهی برای تعيين پارامترهای مدل رفتاری‬ ‫‪16‬‬ ‫ مسير تنش هيدرواستاتيک يارفشار هيدرواستاتيک )‪ :(HC‬نمونه تحات تانش هيدرواساتاتيک ياا‬‫وضتيت تنش ايزوتروپ بارگذاري لده و بارگذاري در امتداد نيمساز فضايي تحت تاثير تانش مياانگين‬ ‫‪J‬‬ ‫‪ p  1‬ادامه پيدا مينمايد‪ .‬در لرايط تنش فشاري هيدرواستاتيک هيچگوناه کارنش برلاي ايجااد‬ ‫‪3‬‬ ‫نميلود و بنابراين براي تتيين ويژگيهاي حجمي و بويژه محاسره مدول بالک ‪ K‬مناسب مايبالاد‪ .‬در‬ ‫صورتيكه لرايط بوور زهكشي نشده برقرار بالد‪ ،‬ميتوان اندازه گيريها را بر اساس فشار آب حفرهاي‬ ‫نيز انجام داد‪.‬‬ ‫ مسير تنش فشار سه محوري متمولي‪ :(CTC) 1‬در سه محوري متماولي ابتادا نموناه اساتوانهاي‬‫تحت فشار همه جانره تحكيم يافته و سپس با اعماال تانش محاوري اضاافي فشااري باه گسايختگي‬ ‫ميرسد‪ .‬تحت اين لرايط بارگذاري نرخ تغييرا در تنش برلي اکتاهدرال و تنش نرمال اکتاهدرال ياا‬ ‫همان تنش ميانگين بوور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫(‪)8-5‬‬ ‫(‪)9-5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ oct ‬‬ ‫‪J1  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1   2    2   3    3  1 ‬‬ ‫‪ oct ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1   2   3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ oct ‬‬ ‫‪  oct ‬‬ ‫‪ -‬کشش سه محوري کاهش يافته‪ :(RTE) 2‬در دستگاه سه محوري واقتاي ابتادا نموناه در لارايط‬ ‫فشار ايزوتروپ بارگذاري ميگردد‪ .‬سپس ‪  2‬و ‪  3‬ثابت و ‪  1‬کاهش پيدا ميکند‪ .‬لذا در اين لرايط‬ ‫‪  2‬و ‪  3‬به تنشهاي اصلي حداکثر و مياني و ‪  1‬به تنش اصلي حداقل ترديل خواهاد لاد‪ .‬در ايان‬ ‫لرايط تنش هاي برلي و محوري اکتاهدرال با همان دو رابطه قرل قابل بيان است‪ .‬گرچه تنش برلاي‬ ‫اکتاهدرال افزايش و تنش محوري اکتاهدرال کاهش خواهد دالت‪.‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ oct ‬‬ ‫(‪)11-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫کشش سه محوري متمولي‪ :(CTE) 3‬در آزمايش سه محوري کششي متماولي ابتادا نموناه تحات‬‫‪ oct  ‬‬ ‫فشار ايزوتروپ تحكيم مييابد‪ .‬سپس دو تنش ‪  2‬و ‪  3‬افزايش و ‪  1‬ثابت نگاه دالته ميلوند‪ .‬لاذا‬ ‫در اين حالت ‪  2‬و ‪  3‬تنشهاي اصلي حداکثر و مياني و ‪  1‬تنش اصلي حداقل خواهد باود‪ .‬در ايان‬ ‫حالت تنش برلي اکتاهدرال از رابطه ذيل محاسره ميلود‪ .‬تنش نرمال اکتاهدرال نيز به قرار زير قابال‬ ‫محاسره است‪.‬‬ ‫‪1 Conventional triaxial compression‬‬ ‫‪2 Reduced triaxial extension‬‬ ‫‪3 Conventional triaxial extension‬‬ ‫‪12‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ oct   2‬‬ ‫(‪)11-5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ فشار سه محوري کاهش يافته‪ :(RTC) 1‬دراين آزمايش ابتدا نمونه تحت لارايط فشاار ايزوتاروپ‬‫‪ oct ‬‬ ‫بارگذاري لده و سپس تحت ‪  1‬ثابت‪  2 ،‬و ‪  3‬کاهش مييابند بر اين اساس تغييرا در تنشاهاي‬ ‫برلي افزايش و تنش محوري اکتاهدرال کاهش از قرار ذيل خواهند بود‪:‬‬ ‫(‪)12-5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ oct   2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ oct  ‬‬ ‫ سه محوري فشاري‪ (TC) 2‬و سه محوري کششي‪ :(TE) 3‬در ايان آزماايش بارگاذاري باه قسامي‬‫اعمال ميگردد که همواره در صفحه اکتاهدرال قرار خواهيم دالات‪ .‬باه عراار ديگار‪ ،‬تانش محاوري‬ ‫اکتاهدرال همواره ثابت باقي خواهد ماند‪ .‬در سه محوري فشاري ‪  1‬افزايش مييابد در حاليكاه ‪  2‬و‬ ‫‪  3‬به اندازه نوف افزايش آن کاهش مييابند‪ .‬به عرار ديگر اگر افزايش ‪  1‬باه انادازه ‪  1‬بالاد‬ ‫کاهش ‪  2‬و ‪  3‬به مقدار ‪  1 2‬خواهد بود‪ .‬در حالت سه محوري کششاي ‪  1‬باه انادازه ‪ 1‬‬ ‫کاهش و ‪  2‬و ‪  3‬هر يک به مقدار ‪  1 2‬افزايش خواهند دالت‪ .‬بدين ترتياب ‪  oct‬در هار دو‬ ‫حالت ثابت باقي خواهند ماند‪ .‬همانطور که قرال ذکر گرديد آزمون ‪ HC‬لارايط خاالص تغييار حجام را‬ ‫ارائه ميدهد حال آنكه ‪ TC‬و ‪ TE‬بيانگر لرايط تنش برلي خالص اسات‪ .‬بادين ترتياب ايان دو تسات‬ ‫براي يافتن مدول برلي موالح بسيار مناسب خواهند بود‪ .‬جزء تغييرا در تنش برلاي اکتاهادرال در‬ ‫لرايط فشاري افزايشي و در لرايط کششي کاهشي و از قرار زير خواهد بود‪.‬‬ ‫(‪)13-5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ oct ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫برش ساده‪ 4‬آزمايش برش ساده نيز در صفحه اکتاهدرال انجام ميگيرد‪ .‬لذا تنش نرماال اکتاهادرال‬ ‫ثابت باقي خواهد ماند‪ .‬بر خالف ‪ TC‬و ‪ TE‬در آزمايش برش ساده يكي از تنشاها مثال ‪  2‬ثابات نگااه‬ ‫دالته لده و براي دوتاي ديگر يكي افزايش و ديگري کاهش خواهد يافت‪ .‬مقدار اين نمو برابر قرل ولي‬ ‫در خالف جهت است يتني ‪ 1   3‬در اين آزمايش تغيير در تنش برلي اکتاهدرال افزايشي و‬ ‫به فرم زير بيان ميگردد‪.‬‬ ‫(‪)14-5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ oct ‬‬ ‫‪1 Reduced triaxial compression‬‬ ‫‪2 Triaxial compression‬‬ ‫‪3 Triaxial extension‬‬ ‫‪4 Simple shear‬‬ ‫فصل پنجم‪ -‬آزمونهای آزمایشگاهی برای تعيين پارامترهای مدل رفتاری‬ ‫‪13‬‬ ‫شکل ‪ :(1-2‬شرایط برش ساده یصورت ترکيب فشار هيدرواستاتيک و برش خالص‬ ‫بارگذاري متناسب‪ :(PL) 1‬طي اين آزمون نسرتي از تنشهاي اصلي ‪  3 ,  2 , 1‬ثابت باقي ميماند‪.‬‬ ‫عموما براي تتيين تاثير تنش اصلي مياني ‪ ،  2‬نسرت ‪ b‬با تتريف زير در نظر گرفته لده و ثابت فارض‬ ‫ميلود‪.‬‬ ‫‪ intermediate     minor ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫(‪)11-1‬‬ ‫‪  major     minor ‬‬ ‫‪ b‬براي سه محوري مرسوم ‪ CTC‬صفر و براي ‪ CTE‬برابر واحد خواهد بود‪.‬‬ ‫‪1 Proportional loading‬‬ ‫‪14‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫تمرینات فصل پنجم‬ ‫‪ -1‬کداميک از مسايرهاي تانش در لاكل زيار‪ ،‬مراين آزماايش ‪Reduced Triaxial Extension‬‬ ‫(‪ )RTE‬است؟‬ ‫‪a‬‬ ‫‪space diagonal‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ -2‬خاك ماسهاي با زاوياه اصاطكاك ‪ 31‬درجاه و تحكايم لاده تحات فشاار هماه جانراه ‪211‬‬ ‫کيلوپاسكال‪ ،‬تقريرا تحت چه تنش محوري در آزماايش ساه محاوري ‪ RTE‬گسايخته خواهاد‬ ‫لد؟‬ ‫‪ -3‬در لرايط ذکر لده در سوال ‪ ،2‬تنش محوري اضافي براي گسيختگي نمونه در آزماايش ساه‬ ‫محوري ‪ CTC‬چقدر است؟‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫فصل ششم‬ ‫مبانی االستيسيته‬ ‫‪ -1-6‬مقدمه‬ ‫رفتار االستيک به مفهاوم برگشات پاذيري تغييرلاكلهاي ايجااد لاده در مااده در خاالل پروساه‬ ‫بارگذاري و باربرداري است‪ .‬در مفهوم دقيقتر‪ ،‬رفتار االستيک حاکي از بازگشت کل انرژي اعماال لاده‬ ‫حين بارگذاري در طي باربرداري و به عرار ديگر عدم وجود ميرايي انرژي ميبالد‪ .‬در ايان فوال باه‬ ‫مفاهيم و مراني رفتار االستيک پرداخته ميلود‪ .‬از آنجا که االستيسيته همواره با تغييرلكلهاي کوچک‬ ‫در ماده همراه است‪ ،‬در تمامي موارد ذکر لده در اين فول‪ ،‬اساس بر تغيير مكانهاي بسيار کوچاک در‬ ‫پروسه بارگذاري ميبالد‪.‬‬ ‫‪ -2-6‬تئوری انتشار امواج در محیط االستیک‬ ‫اگر تنش به صور ناگهاني به يک جسم اعمال لود‪ ،‬در ابتدا قسمتي از جسم کاه باه منراع اغتشااش‬ ‫نزديک تر است‪ ،‬تحت تاثير واقع ميلود‪ .‬بدين ترتيب مولكولهاي مااده در مجااور آن بخاش‪ ،‬انارژي‬ ‫جنرشي کسب نموده که مولكول به مولكول به بخشهاي مجاور منتقل ميگاردد‪ .‬بادين ترتياب در اثار‬ ‫انتشار انرژي‪ ،‬تغيير لكل در جسم گسترش مييابد‪ .‬اين موضوع انتشار امواج تانش ناام دارد‪ .‬طريتات‬ ‫انتشار امواج در يک محيط االستيک موضوع اين بخش ميبالد‪ .‬عموما مسارله انتشاار اماواج باه چناد‬ ‫حالت عمده به لرح زير تقسيم ميلود‪:‬‬ ‫الف) امواج تنش االستيک در يک ميله‬ ‫ب) امواج تنش در يک محيط االستيک بي نهايت‬ ‫‪11‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫ج) امواج تنش در يک محيط االستيک نيمه بي نهايت‬ ‫در اين کتاب دو حالت "الف" و "ب" مورد بررسي قرار ميگيرد‪ .‬اما قرل از آن الزم اسات کاه تتااريف‬ ‫اساسي تنش‪ ،‬کرنش و پارامترهاي مربوط که در يک محيط االستيک دخيل هساتند ماورد بحاث قارار‬ ‫گيرد‪.‬‬ ‫‪ -3-9-0‬روابط تنش‪-‬نیرو‬ ‫لكل (‪ )1-6‬الماني از ماده که تحت تاثير نيروهاي عمودي و برلي قرار گرفته را نشان ميدهاد‪ .‬باا‬ ‫نولتن متادال تتادل در جها مختلف‪ ،‬امكان تتيين فرم کلي متادله تتادل سه بتدي جسام‪ ،‬تحات‬ ‫تاثير مجموعه تنشها وجود دارد‪:‬‬ ‫متادله تتادل در جهت ‪ X1‬يا ‪:X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx1  dx2 dx3  11  dx2 dx3   21  21 dx2  dx1 . dx3   21  dx1 . dx3‬‬ ‫‪ 11 ‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)1-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  31  31 dx3  dx1 dx2   31  dx1 . dx2  X1 dx1 dx2 dx3  0‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫نيروهاي حجمي در جهت ‪x1‬‬ ‫شکل ‪ :)6-1‬وضعيت تنشها بر صفحات مختلف یک المان حين بارگذاری‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫پس از ساده سازي رابطه فوق براي جهت ‪ x1‬داريم‪:‬‬ ‫(‪)2-6‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 11  21  31‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X1 0‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫در اين رابطه ‪ X1‬بيانگر نيروهاي حجمي‪ 1‬در جهت ‪ x1‬ميبالد‪ .‬به همين ترتيب در جهت ‪ x2‬يا ‪:y‬‬ ‫‪ 12  22  32‬‬ ‫(‪)3-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫و در جهت ‪ x3‬يا ‪:z‬‬ ‫(‪)4-6‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪ 13  23  33‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X 3 0‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫فرم انديسي متادال باال به صور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫(‪-5-6‬الف)‬ ‫‪X j 0‬‬ ‫و يا‪:‬‬ ‫(‪-5-6‬ب)‬ ‫‪X i 0‬‬ ‫‪ ij‬‬ ‫‪x i‬‬ ‫‪ ji‬‬ ‫‪x j‬‬ ‫الزم به ذکر است که اگر بر المان مذکور نيروي خارجي نيز وارد لود‪ ،‬براي هر جهت ميتوان آن را‬ ‫سمت راست متادله گذالت يا در نيروهاي حجمي جهت مربوطه ادغام کنايم‪ .‬بادين ترتياب مايتاوان‬ ‫نولت‪:‬‬ ‫‪ ji‬‬ ‫(‪)6-6‬‬ ‫‪F 0‬‬ ‫‪x j‬‬ ‫‪i‬‬ ‫فرم ديگر متادله تتادل به صور زير قابل نگارش ميبالد‪:‬‬ ‫‪ ij , j  Fi  0‬‬ ‫(‪)7-6‬‬ ‫متادله تتادل ديناميكي نيز به صور زير قابل بيان ميبالد‪:‬‬ ‫‪ ij , j  Fi  mui  cui‬‬ ‫(‪)8-6‬‬ ‫اين متادال ارتراط تنشها و نيروها را نشان ميدهند‪ .‬بترار ديگر بوسيله اين متادال کاه رواباط‬ ‫دسته اول ناميده ميلوند‪ ،‬امكان تتيين تنشها از روي نيروهاي اعمال لده بر جسم مهيا خواهد بود‪.‬‬ ‫‪ -9-9-0‬روابط کرنش‪-‬تغییرشکل‬ ‫کرنشهاي محوري يا نرمال به صور روابط زير قابل محاسره ميبالند‪:‬‬ ‫(‪-9-6‬الف)‬ ‫‪u‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪1 Body force‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪11‬‬ ‫(‪-9-6‬ب)‬ ‫‪v‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫(‪-9-6‬ج)‬ ‫‪w‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z ‬‬ ‫در اين روابط ‪  y ،  x‬و ‪  z‬کرنش نرمال به ترتيب در جها ‪ y ،x‬و ‪ z‬ميبالد و ‪ v ،u‬و ‪ w‬نياز باه‬ ‫ترتيب تغييرلكل در جها ‪ y ،x‬و ‪ z‬است‪ .‬در خووف مولفه هاي کرنش برلي نيز ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪-11-6‬الف)‬ ‫‪1  u v ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xy  ‬‬ ‫‪2  y‬‬ ‫(‪-11-6‬ب)‬ ‫‪1  v w ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  z y ‬‬ ‫(‪-11-6‬ج)‬ ‫‪1  u‬‬ ‫‪ yz  ‬‬ ‫‪w ‬‬ ‫‪ xz   ‬‬ ‫‪2  z x ‬‬ ‫بدين ترتيب فرم انديسي ارتراط کرنش‪-‬تغييرلكل به صور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫‪1  u j u i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  x i x j ‬‬ ‫‪ ij  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 u‬‬ ‫‪u i , j  u j ,i  ( i ‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 x j x i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪1  w‬‬ ‫‪13  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  x z ‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫‪1  u v ‬‬ ‫‪ 21  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  y x ‬‬ ‫‪1  w v ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  y z ‬‬ ‫‪ 23  ‬‬ ‫براي منظور نمودن لرايط تغيير لكل هاي بزرگ‪ ،‬عرار ذکر لده بوور زير توحيح ميگردد‪:‬‬ ‫‪u u‬‬ ‫‪1 u u‬‬ ‫(‪)11-6‬‬ ‫)‪  ( i  j   ‬‬ ‫‪xi x j‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪2 x j‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫در روابط ذکر لده که در اين فول به عناوان رواباط دساته دوم لاناخته مايلاوند در صاورتيكه‬ ‫مشتقا نسرت به وضتيت تغيير لكل يافته جسم بالد‪ ،‬در مكانيک جامدا تانسور کرنش آلمانساي و‬ ‫در هيدروديناميک تانسور کرنش اويلري ناميده ميلود اما اگر مشتقا نسرت به وضتيت جسم قرل از‬ ‫تغيير لكل بالد در مكانيک جامدا تانسور کرنش گرين و در هيدروديناميک تانسور کرنش الگراناژي‬ ‫ناميده ميلود‪.‬‬ ‫‪ -1-9-0‬روابط تنش‪-‬کرنش‬ ‫دسته روابط سوم‪ ،‬ارتراط تنشهاي وارده بر جسم با کرنشهاي ايجاد لده را بيان ماينمايناد‪ .‬وجاود‬ ‫اين روابط در تتيين مجهوال مسائل مكانيک جامدا الزامي ميبالد‪ .‬در ميله لكل (‪ )2-6‬با طول ‪l0‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪11‬‬ ‫و سطح مقطع ‪ A0‬که تحت بارگذاري محوري ‪ P‬قرار گرفته است‪ ،‬دسته اول و دوم روابط به لرح زيار‬ ‫براي تتيين مجهول مسرله يتني تغيير لكل ميله ‪ l‬کافي نميبالند‪.‬‬ ‫شکل ‪ )9-0‬نمایی از ميله تحت بارگذاری تک محوری‬ ‫ارتراط تنش و نيرو به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)12-6‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A0‬‬ ‫ارتراط کرنش و تغيير لكل نيز به فرم ذيل خواهد بود‪:‬‬ ‫(‪)13-6‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫براي يافتن ‪ l‬بايد ‪ ‬را از دستة روابط ديگري به دست آوريم که ارتراط باين تانش و کارنش را‬ ‫تتيين ميکنند و به روابط رفتاري متروفند‪ .‬اين دسته از روابط دسته سوم متادال خواهند بود کاه باه‬ ‫لكل کلي زير ميبالند‪:‬‬ ‫(‪)14-6‬‬ ‫‪ ij  Cijk l . k l‬‬ ‫‪ C ijk l‬در لرايط کلي لامل حداکثر ‪ 81‬پارامتر مستقل مايبالاد‪ .‬اماا باا فرضاياتي خااف‪ ،‬تتاداد‬ ‫پارامترهاي مستقل مورد نياز براي ترياين آن کااهش خواهاد يافات‪ .‬برخاي از ايان فرضايا و تتاداد‬ ‫پارامترهاي رفتاري نظير به لرح زير ميبالند‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪45 parameters‬‬ ‫‪36 parameters‬‬ ‫‪ Cijk l  C jik l ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ Cijk l  Cijlk ‬‬ ‫‪13 parameters‬‬ ‫‪1- Cijkl  Cklij‬‬ ‫‪ ij   ji‬‬ ‫‪2- ‬‬ ‫‪ kl   lk‬‬ ‫‪3- One planeof symmetry‬‬ ‫‪4- Twoor three Planes of symmetry  9 parameters‬‬ ‫‪5- Similar symmetry about two planes  6 parameters‬‬ ‫‪6  Similar symmetry about three planes  3 parameters‬‬ ‫‪7- Similar symmetry about all planes  2 parameters‬‬ ‫‪12‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫در لرايط آخر که در واقع ماده همگن و ايزوتروپ مد نظر ميبالد‪ ،‬تنها دو پاارامتر مساتقل باراي‬ ‫تريين ماتريس رفتاري کفايت مينمايد‪ .‬در ماده همگن و االستيک‪ ،‬کرنش هاي نرمال و تنش نرمال باه‬ ‫وسيله قانون هوك‪ 1‬با يكديگر مرترط ميگردند که با توجه به لكل (‪ )1-6‬توسط روابط زير قابال بياان‬ ‫ميبالد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)15-6‬‬ ‫‪     (   ) ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z ‬‬ ‫‪E ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ y   y   ( x   z ) ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ z   z   ( x   y ) ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪)16-6‬‬ ‫(‪)17-6‬‬ ‫و ‪ E‬مدول االستيسيته و ‪ ‬نسرت پواسون ميبالد‪ .‬تنش برلي و کرنش برلي نيز توساط رواباط‬ ‫زير به يكديگر مرترط ميلوند‪:‬‬ ‫‪ xy  G xy‬‬ ‫(‪)18-6‬‬ ‫(‪)19-0‬‬ ‫‪ yz  G yz‬‬ ‫(‪)21-6‬‬ ‫‪  yz ،  xy‬و ‪  zx‬کرنش هاي برلي ميبالند‪ .‬مدول برلي ‪ G‬به صور زير تتريف ميلود‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‪)21-6‬‬ ‫‪ zx  G zx‬‬ ‫‪2 1   ‬‬ ‫‪G‬‬ ‫روابط (‪ )15-6‬تا (‪ )17-6‬با هم ترکيب لده و به صور تغييرا تنش محاوري بار حساب کارنش‬ ‫محوري نولته ميلوند‪:‬‬ ‫‪ x    2G  x‬‬ ‫(‪)22-6‬‬ ‫‪ y    2G  y‬‬ ‫(‪)23-6‬‬ ‫(‪)24-6‬‬ ‫‪ z    2G  z‬‬ ‫که در آن‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‪)25-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   1  2 ‬‬ ‫‪ ‬ضريب المه‪ 2‬بوده و به راحتي با دالتن ‪ E‬و ‪ ‬براي هر موالحي به دست ميآيد‪ .‬همچناين ‪‬‬ ‫کرنش حجمي است که برابر مجموع سه مولفه کرنش نرمال ‪  z ,  y ,  x‬ميبالد‪.‬‬ ‫ارتراط تانسورهاي تنش و کرنش با استفاده از دو پاارامتر االساتيک ‪  , E‬باراي حالات همگان و‬ ‫ايزوتروپ به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪1 Hooke’s Law‬‬ ‫‪2 Lame’s constant‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫(‪)26-6‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0   ‬‬ ‫‪xx‬‬ ‫‪0   ‬‬ ‫‪  yy ‬‬ ‫‪0    zz ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  xy ‬‬ ‫‪0   yz ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1    xz ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xx ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ yy ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ zz ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xy  1  1  2  ‬‬ ‫‪ yz ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xz ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ -1-9-0‬امواج طولی‬ ‫لكل (‪ )3-6‬يک ميله با سطح مقطع عرضي ‪ A‬ميبالد‪ .‬مدول االستيسيته و وزن مخووف مواالح‬ ‫ميله به ترتيب ‪ E‬و ‪ ‬در نظر گرفته ميلوند‪ .‬فرض ميلود کاه تانش در مقطاع ‪ a-a‬باه ميازان ‪‬‬ ‫افزايش يابد‪ .‬ميزان افزايش تنش در مقطع ‪   ( x )x ،b-b‬خواهاد باود‪ .‬بار اسااس قاانون دوم‬ ‫نيوتن خواهيم دالت‪:‬‬ ‫(‪)27-6‬‬ ‫‪F  ma‬‬ ‫در نتيجه برآيند نيروها در جهت ‪ x‬به صور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫(‪)28-6‬‬ ‫‪(A x  )  2u‬‬ ‫‪t 2‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  A   ‬‬ ‫‪.  x A ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫که در آن ‪  Ax‬وزن ميله و ‪ g‬لتاب ثقل ميبالد‪ u .‬تغيير مكان در جهت ‪ x‬و ‪ t‬زمان ميبالاد‪.‬‬ ‫رابطه (‪ )28-6‬بر فرضياتي استوار است که از اين قرار ميبالند‪ :‬الف) تنش در تمام سطح مقطع عرضي‬ ‫ميله يكنواخت ميبالد و ب) سطح مقطع در زمان انتشار موج ثابت باقي ميماند‪ .‬پس از ساده سازي به‬ ‫رابطه زير ميرسيم‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)29-6‬‬ ‫‪ u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪t 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  ‬دانسيته موالح ميله ميبالد‪ .‬براساس قانون هوك داريم‪:‬‬ ‫(‪)31-6‬‬ ‫با جايگذاري در رابطه (‪ )28-6‬داريم‪:‬‬ ‫(‪)31-6‬‬ ‫(‪)32-6‬‬ ‫‪ x  ‬‬ ‫‪  E . u‬‬ ‫‪ 2u‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 2u‬‬ ‫) ‪( ) . ( 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 2u‬‬ ‫‪ 2u‬‬ ‫) ‪ ( c 2 ) . ( 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫رابطه (‪ )32-6‬متادله موج يک بتدي ميبالد‪ .‬عرار ‪  c‬سرعت انتشار امواج تنش طولي ميبالاد‬ ‫که به خووصيا موالح وابسته است و از رابطه زير به دست ميآيد‪:‬‬ ‫(‪)33-6‬‬ ‫‪V  E‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫شکل ‪ :)3-1‬انتشار امواج طولی در یک ميله یک بعدی (داس‪)6112 6‬‬ ‫‪ -3-9-0‬موج پیچشی‬ ‫‪9‬‬ ‫لكل (‪ )4-6‬ميلهاي را نشان ميدهد که گشتاور ‪ T‬در فاصلهاي برابر با ‪ x‬از انتهاي ميله برآن اعمال‬ ‫ميلود و در اين نقطه به ميزان زاويه ‪ ‬دوران ميکند‪ .‬گشاتاور در فاصالهاي برابار باا ‪ x  x‬برابار‬ ‫با ‪ T  (T x )x‬خواهد بود و دوران آن به ميزان ‪   ( x )x‬خواهد بود‪ .‬با اعمال قاانون دوم‬ ‫نيوتن ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)34-6‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T  T ‬‬ ‫‪.  x    J x 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)35-6‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪T  GJ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫که در آن ‪ J‬ممان اينرسي قطري مقطع ميله خواهد بود‪ .‬با جايگذاري (‪ )35-3‬در (‪ )34-3‬خاواهيم‬ ‫دالت‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪G ‬‬ ‫(‪)36-6‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t 2‬‬ ‫‪1 Das‬‬ ‫‪2 Torsional wave‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫(‪)37-6‬‬ ‫(‪)38-6‬‬ ‫‪s 2 .‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪  s‬سرعت امواج پيچشي ميبالد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)4-1‬امواج پيچشی در یک ميله (داس ‪)6112‬‬ ‫‪ -0-9-0‬سرعت ذرات در ناحیه تحت تنش‬ ‫دانستن تفاو بين سرعت انتشار امواج طولي ( ‪ ) c‬و سرعت ذرا در ناحياه تحات تانش موضاوع‬ ‫مهمي محسوب ميلود‪ .‬براي ايجاد تمايز بين اين دو‪ ،‬پالس تنش فشاري باا لاد ‪  x‬و ماد زماان‬ ‫اعمال ‪ t ‬را در نظر بگيريد (لكل ‪-5-6‬الف) که در انتهاي ياک ميلاه وارد مايلاود (لاكل ‪-5-6‬ب)‪.‬‬ ‫زماني که اين پالس تنش وارد ميلود قسمت کوچكي از ميله تحت فشار قرار ميگيرد‪ .‬با گذلت زمان‬ ‫اين فشار به نواحي بتدي انتقال مييابد‪ .‬در بازه زماني ‪ t‬تنش در مسافت زير حرکت ميکند‪:‬‬ ‫‪x V c .  t‬‬ ‫(‪)39-6‬‬ ‫در هر زماني که ‪ t  t ‬بالد‪ ،‬قسمتي از طول ميله باه انادازه ‪ x‬تشاكيل ناحياه فشارده لاده را‬ ‫ميدهد‪ .‬بنابراين ‪  t  t ‬و ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪x V c .t ‬‬ ‫(‪)41-6‬‬ ‫‪14‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫ميزان تغيير لكل ميله به صور زير محاسره ميلود‪:‬‬ ‫(‪)41-6‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)‪u  x ( . t ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ E ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫) ‪u   x  . (x‬‬ ‫‪ E ‬‬ ‫توجه دالته باليد که ‪ u‬تغييرمكان انتهاي ميله است‪ ،‬بنابراين سرعت انتهاي ميلاه و سارعت ذرا‬ ‫به صور زير بدست ميآيد‪:‬‬ ‫‪u  . c‬‬ ‫(‪)42-6‬‬ ‫‪u  x‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪t‬‬ ‫در اين خووف ذکر دو نكته الزامي است‪ :‬اول آنكه برخالف سارعت ماوج ‪  c‬کاه باه خووصايا‬ ‫فيزيكي متكي بود‪ ،‬سرعت ذره به خووصيا مكانيكي ماده نيز مرترط خواهد بود ( ‪  x‬لد ضاربه ياا‬ ‫تنش اعمال لده و از خووصيا مكانيكي ماده است)‪ .‬نكته دوم آنكاه اگار تانش وارده فشااري بالاد‪،‬‬ ‫سرعت ذرا و سرعت انتشار موج با يكديگر هم جهت است‪ .‬اگر تنش وارده کششي بالد‪ ،‬سرعت ذرا‬ ‫و سرعت انتشار موج در خالف جهت يكديگر خواهند بود‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)2-1‬سرعت انتشار موج و سرعت حرکت ذرات (داس‪)6112 6‬‬ ‫‪1 Das‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ -7-9-0‬انعکاس امواج االستیک در انتهای میله‬ ‫لكل (‪ )6-6‬ميلهاي را نشان ميدهد که تحت موج فشاري در امتداد جهت مثرات ‪ x‬قارار گرفتاه و‬ ‫موج کششي به همان لد نيز در امتداد جهت منفي ‪ x‬در آن حرکت ميکند‪ .‬هنگامي که اين دو موج‬ ‫در مقطع ‪ a-a‬به يكديگر ميرسند‪ ،‬يكديگر را خنثي کرده و تنش برآيند صفر مايلاود‪ ،‬باا ايان حاال‬ ‫سرعت ذرا ‪ u‬دو برابر ميلود (لكل ‪-6-6‬ب)‪ .‬اين بدين دليل است که سرعت ذرا در موج فشاري‬ ‫در جهت حرکت و براي موج کششي در خالف جهت حرکت ميبالد‪ .‬زماني که دو موج از يكديگر عرور‬ ‫ميکنند تنش و سرعت ذرا در مقطع ‪ a-a‬صفر خواهاد لاد (لاكل ‪-6-6‬ج)‪ .‬بادين ترتياب لارايط‬ ‫موجود در مقطع ‪ a-a‬متادل با حالتي است که در يک مقطع يک سار آزاد وجاود دارد‪ .‬لاكل (‪-6-6‬د)‬ ‫قسمت چپ مقطع ‪ a-a‬را نشان ميدهد که مقطع به عنوان يک انتهااي آزاد مايتواناد در نظار گرفتاه‬ ‫لود‪ .‬مشاهده ميلود که در انتهاي آزاد ميله‪ ،‬موج فشاري به صور ماوج کششاي باا مقادار و لاكل‬ ‫يكسان انتكاس مييابد‪ ،‬به همين ترتيب موج کششي نيز به صور ماوج فشااري در انتهااي آزاد ميلاه‬ ‫انتكاس مييابد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬انعکاس امواج تنش در سر آزاد ميله (داس ‪)6112‬‬ ‫لكل (‪-7-6‬الف) ميلهاي را نشان ميدهد که در آن دو موج فشاري با لد يكسان و در دو جهات‬ ‫مخالف به سمت هم حرکت ميکنند‪ .‬زماني که دو موج از يكديگر در مقطع ‪ a-a‬عرور ميکنناد‪ ،‬مقادار‬ ‫تنش دوبرابر ميلود‪ .‬با اين حال سرعت ذرا ‪ u‬صفر خواهد لد (لكل ‪-7-6‬ب)‪ .‬هنگامي که دو موج‬ ‫از يكديگر عرور ميکنند‪ ،‬تنش و سارعت ذرا در آن مقطاع صافر مايلاود (لاكل ‪-7-6‬ج)‪ .‬در ايان‬ ‫وضتيت‪ ،‬مقطع ‪ a-a‬مانند يک تكيه گاه گيردار عمل مينمايد‪ .‬بر اين اساس مشخص مايلاود (لاكل‬ ‫‪11‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪-7-6‬د) که موج فشاري برخورد کرده با تكيه گاه گيردار به صور موج فشااري باا هماان مقادار و در‬ ‫جهت عكس انتكاس مييابد اما تنش در انتهاي گيردار دو برابر ميلود‪ .‬به طور مشاابه‪ ،‬ماوج کششاي‬ ‫برخورد کرده به انتهاي گيردار‪ ،‬به صور موج کششي با همان لد در جهت مخالف انتكاس مييابد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬انعکاس امواج تنش در انتهای گيردار ميله (داس ‪)6112‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪ -9-9-0‬ارتعاش طولی میله های کوتاه‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫پاسخ متادله موج (رابطه ‪ )31-6‬براي ارتتاش ميله هاي کوتاه به لكل زير نولته ميلود‪:‬‬ ‫‪u  x , t   U  x  A1 sin n t  A 2 cos n t ‬‬ ‫(‪)43-6‬‬ ‫‪ A1‬و ‪ A 2‬ثوابت هستند و ‪ n‬فرکانس طريتي ارتتاش و ) ‪ U (x‬دامنه تغيير مكان در امتداد محور‬ ‫ميله است که از زمان مستقل ميبالد‪ .‬براي ارتتاش طولي ميله هاي يكنواخت‪ ،‬اگار رابطاه (‪ )43-6‬در‬ ‫رابطه (‪ )31-6‬جايگزين لود خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  u  x ,t ‬‬ ‫(‪)44-6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t 2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫(‪)45-6‬‬ ‫‪n2 . U  x   0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ 2u  x , t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ U x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫فرم جواب متادله باال به صور زير در ميآيد‪:‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪U  x   B1 sin  n   B2 cos  n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫(‪)46-6‬‬ ‫‪ B 1‬و ‪ B 2‬نيز ثوابت هستند که با اعمال لرايط مرزي ميله به دست ميآيند‪.‬‬ ‫‪ -3-9-9-0‬میله دو سر آزاد‬ ‫در لارايط ميلااه دو ساار آزاد‪ ،‬تانش و کاارنش در انتهاااي ميلاه صاافر اساات‪ ،‬بنااابراين در ‪، x  0‬‬ ‫‪ dU (x ) dx  0‬و در ‪ x  L‬يتني انتهاي ديگر ميله نيز ‪ dU (x ) dx  0‬خواهد بود (‪ L‬طاول ميلاه‬ ‫ميبالد)‪ .‬با مشتق گيري از رابطه (‪ )45-6‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫(‪)47-6‬‬ ‫‪ x B ‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪dU ( x‬‬ ‫‪ 0  1 n cos  n   2 n sin  n   0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫با اعمال لرط اول مرزي در رابطه باال خواهيم دالت‪:‬‬ ‫(‪)48-6‬‬ ‫‪B1  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n L‬‬ ‫‪)0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫(‪)49-6‬‬ ‫(‪)51-6‬‬ ‫‪B1n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B 2n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‪sin‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪dU  x ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dU  x ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x L‬‬ ‫‪n L‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n  c‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1 Short bars‬‬ ‫‪11‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫رابطه (‪ )51-6‬فرکانس ارتتاش آزاد يک ميله دوسر آزاد را نشان ميدهد‪.‬‬ ‫در نتيجه رابطه دامنه تغيير مكان براي اين حالت با جايگذاري رواباط (‪ )51-6‬و (‪ )48-6‬در رابطاه‬ ‫(‪ )46-6‬به دست ميآيد‪:‬‬ ‫‪ n x ‬‬ ‫‪U (x )  B 2 cos ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L ‬‬ ‫(‪)51-6‬‬ ‫)‪ U(x‬براي مود اول و دوم (‪ n=1‬و ‪ )n=2‬در لكل ‪ 8-6‬نشان داده لده است‪ .‬رابطاه )‪u(x,t‬‬ ‫تغييرا‬ ‫براي همه مودهاي ارتتاش با ترکيب روابط (‪ )51-6‬و (‪ )43-6‬به دست ميآيد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬ارتعاش طولی ميله کوتاه دو سر آزاد (داس ‪)6112‬‬ ‫‪ -9-9-9-0‬میله دو سر گیردار‬ ‫براي لرايط مارزي دو سارگيردار‪ ،‬در ‪ U (x )  0 ، x  0‬و در ‪ x  L‬نياز ‪ U (x )  0‬اسات‪ .‬باا‬ ‫جايگذاري لرط مرزي اول و دوم داريم‪:‬‬ ‫‪x  0  U x   0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B2  0‬‬ ‫(‪)52-6‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪n L‬‬ ‫‪)0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫(‪B1 sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ U x   0‬‬ ‫‪x L‬‬ ‫‪n L‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n  c‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫(‪)53-6‬‬ ‫(‪)54-6‬‬ ‫‪L‬‬ ‫با جايگذاري متادال (‪ )54-6‬و (‪ )52-6‬در متادله (‪ )46-6‬رابطه زير به دست ميآيد‪:‬‬ ‫(‪)55-6‬‬ ‫‪ n x ‬‬ ‫‪U (x )  B1 sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L ‬‬ ‫لكل (‪ )9-6‬تغييرا‬ ‫) ‪ U (x‬براي دو مود اول ارتتاش (يتني ‪ n=1‬و ‪ )n=2‬را نشان ميدهد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬ارتعاش طولی ميله کوتاه دو سر گيردار (داس ‪)6112‬‬ ‫‪622‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪-1-9-9-0‬شرایط مرزی یک سر گیردار‪-‬یک سر آزاد‬ ‫لرايط مرزي براي حالت يک سر گيردار‪-‬يک سر آزاد به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪U x   0‬‬ ‫(‪)56-6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫از لرط مرزي اول داريم‪:‬‬ ‫(‪)57-6‬‬ ‫از لرط مرزي دوم داريم‪:‬‬ ‫(‪)58-6‬‬ ‫(‪)59-6‬‬ ‫‪dU  x ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪B2  0‬‬ ‫‪n L‬‬ ‫‪)0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫(‪cos‬‬ ‫‪B1n‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪: x  0‬انتهاي گيردار‬ ‫‪xL‬‬ ‫‪:‬انتهاي آزاد‬ ‫‪ U x   0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x L‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪dU  x ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪n L 1‬‬ ‫‪ (2n  1)‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪n  (2n  1) ( c‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اين رابطه فرکانس طريتي ارتتاش براي ميله يک سر گيردار‪-‬يک سر آزاد را نشان مايدهاد‪ .‬لاكل‬ ‫(‪ )11-6‬تغييرا )‪ U(x‬براي دو مود اول ارتتاش را نشان ميدهد‪.‬‬ ‫شکل‪ :)62-1‬ارتعاش طولی ميله کوتاه یک سر گيردار‪-‬یک سر آزاد (داس ‪)6112‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪626‬‬ ‫‪ -3-9-0‬معادله موج در فضای سه بعدی‬ ‫لكل (‪ )11-6‬تنش هاي اعمال لده بر المان در محايط االساتيک باا ابتااد ‪ dy ،dx‬و ‪ dz‬را نشاان‬ ‫ميدهد‪ .‬براي به دست آوردن متادال ديفرانسيل حرکت بايد برآيند نيروهاا در جهات ‪ y ،x‬و ‪ z‬نولاته‬ ‫لود‪ .‬در جهت ‪ x‬داريم‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)61-6‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ zx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx    x  (dy )(dz )   zx ‬‬ ‫) ‪dz    zx  (dx )(dy‬‬ ‫‪  x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ yx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2u‬‬ ‫‪  yx ‬‬ ‫‪dy    yx  (dx )(dz )   (dx )(dy )(dz ) 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫در نتيجه خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪ x  yx  zx‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)61-6‬‬ ‫‪ u‬پارامتر تغييرمكان در جهت ‪ x‬ميبالد‪ .‬در جهت ‪ y‬و ‪ z‬به ترتيب روابط زير به دست ميآيد‪:‬‬ ‫‪ zy‬‬ ‫‪ xy‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫(‪)62-6‬‬ ‫‪ 2v‬‬ ‫‪t 2‬‬ ‫(‪)63-6‬‬ ‫‪ z  xz  yz‬‬ ‫‪ 2w‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ v‬و ‪ w‬پارامترهاي تغيير مكان در جهت ‪ y‬و ‪ z‬ميبالند‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)33-0‬به دست آوردن معادالت حرکت در یک محيط االستيک‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 622 ‫) و با توجه‬61-6( ‫ با دالتن رابطه‬.‫) متادال حرکت بر حسب تنش ميبالند‬63-6( ‫) الي‬61-6( ‫روابط‬ :‫ ميتوان نولت‬ zx   xz ‫ و‬ yx   xy ‫به اينكه‬  x  xy  xz  2u    2 x y z t )64-6( :‫ رابطه زير حاصل ميلود‬،‫) در رابطه فوق‬22-6( ‫) و‬21-6( ،)18-6( ‫با جايگذاري متادال‬   2u     (  2G x )  (G xy )  (G xz ) 2 x y z t :‫ج) در متادله اخير ميتوان نولت‬-11-6( ‫الف) و‬-11-6( ‫با جايگذاري روابط‬   2u   v u  u w  (  2G  x )  G (  ) G (  ) y x y z z x t 2 x )65-6(   2u   2u  2v  2w  2u  2u  2u    G (      ) x t 2 x 2 x y x z x 2 y 2 z 2 )66-6(  2u  2v  2w     2 x y x z x x )67-6( .‫ کرنش حجمي ميبالد‬ ‫که در آن‬  u   (  G )  G  2u x t 2 2 2  )68-6( 2 2 2  2 2 2 x y z )69-6( :‫ نيز خواهيم دالت‬z ‫ و‬y ‫به طور مشابه براي جهت‬  v   (  G )  G  2v y t 2 )71-6(   2w   (  G )  G 2w 2 z t )71-6( 2 :‫ و جمع آنها ميتوان نولت‬z ‫ و‬y ،x ‫) نسرت به‬71-6( ‫) و‬71-6( ،)68-6( ‫با مشتق گيري از روابط‬    2  2  2   2  u v w  v w  2  u    (   G )    2  2  2  G      2 t  x y z  y z   x y z   x   2  (  G ) 2  G  2  (  2G )  2 t 2      (  2G ) 2     V p 2  2  t 2 2    )72-6( :‫بنابراين‬ )73-6( ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫(‪)74-6‬‬ ‫‪623‬‬ ‫) ‪(  2G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Vp ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ V p‬سرعت امواج اتساعي‪ 1‬ميبالد‪ .‬همچنين به آن ماوج اولياه‪ )P( 2‬ياا ماوج فشااري نياز گفتاه‬ ‫ميلود‪ .‬اين موج در مقايسه با موج طولي سرعت بيشتري دارد‪.‬‬ ‫با مشتق گيري از رابطه (‪ )71-6‬نسرت به ‪ z‬و رابطه (‪ )71-6‬نسرت به ‪ y‬نيز ميتوان گفت‪:‬‬ ‫(‪)75-6‬‬ ‫‪ 2  v ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪v‬‬ ‫) ‪ (  G‬‬ ‫‪ G 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪y z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪t  z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)76-6‬‬ ‫‪ 2  w ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪ G 2‬‬ ‫) ‪  (  G‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪y z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪t  y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫با کم کردن رابطه (‪ )75-6‬از (‪ )76-6‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪ 2  w v ‬‬ ‫‪v ‬‬ ‫‪2  w‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ G ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z ‬‬ ‫‪t 2  y z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)77-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫از آنجاييكه‪:‬‬ ‫‪w v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2x‬‬ ‫‪y z‬‬ ‫(‪)78-6‬‬ ‫بنابراين‪:‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ G  2x‬‬ ‫‪t 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)79-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2x G 2‬‬ ‫‪  x   s 22x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t 2‬‬ ‫(‪)81-6‬‬ ‫که در آن ‪ V s  G‬مي بالد‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫متادله باال رابطه امواج برلي را نشان ميدهد که سرعت انتشار آن ‪ V s‬مي بالاد‪ .‬ايان ماوج‪ ،‬ماوج‬ ‫برلي‪ 4‬يا موج ثانويه‪ )S( 5‬نام دارد‪ .‬در مقايسه سرعت موج برلي با آنچه در مورد ميله يک بتدي گفتاه‬ ‫لد‪ ،‬نتيجه ميلود که اين دو سرعت موج مشابه يكديگر ميبالند‪.‬‬ ‫‪1 Dilatational wave‬‬ ‫‪2 Primary wave‬‬ ‫‪3 Compression wave‬‬ ‫‪4 Shear wave‬‬ ‫‪5 Secondary wave‬‬ ‫‪624‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ -3-6‬مدل های االستیک مرتبه اول و دوم‬ ‫اين مدلها لامل مدل کولي‪ 1‬و مدل گرين‪ 2‬ميبالند‪ .‬در مدل هاي کولاي‪ ،‬تانش بواور ياک‬ ‫تابع ‪ f‬از کرنش تتريف ميگردد‪ .‬اين تابع ميتواند از مرتره هاي اول‪ ،‬دوم يا بزرگتر بالد کاه مرتراه آن‬ ‫مرتره مدل رفتاري االستيک را بيان مينمايد‪.‬‬ ‫در مدل هاي گرين تابع انرژي ‪ W‬تتريف ميگردد که از مشتق گيري از آن نسرت به کرنش‪ ،‬تنشها‬ ‫و يا با مشتق گيري از آن نسرت به تنش‪ ،‬کرنشها قابل تتيين ميبالند‪.‬‬ ‫‪ -3-1-0‬رفتار االستیک‬ ‫لكل (‪ )12-6‬موالح با رفتار االستيک خطي را نشان ميدهند‪ .‬رفتار االستيک در ابتداي فوال باه‬ ‫عنوان لرايط عدم اتالف انرژي حين پروسه بارگذاري و باربرداري تتريف گرديد‪ .‬بدين ترتياب مطاابق‬ ‫لكل (‪ ،)13-6‬رفتار االستيک ميتواند به فرم غير خطي نيز نمود دالته بالاد اماا در صاورتيكه حاين‬ ‫پروسه باربرداري تغيير لكل پسماند‪ 3‬در جسم اتفاق بيافتد رفتار ماده بوور پالساتيک خواهاد باود‪.‬‬ ‫اين مورد نيز در لكل (‪ )13-6‬نشان داده لده است‪.‬‬ ‫ممكن است اين سوال پيش بيايد که در صور صفر لدن کرنش هاي پسماند حاين رفتاار غيرخطاي‬ ‫مطابق لكل (‪ )14-6‬رفتار موالح از چه نوع خواهد بود‪ .‬اين مورد در لكل (‪ )14-6‬نشان داده لاده اسات‪.‬‬ ‫بايد ذکر کرد که اگرچه تغييرلكل پسماندي در ماده بوجود نيامده است اما بدليل اتاالف انارژي در پروساه‬ ‫بارگذاري و باربرداري‪ ،‬قطتا رفتار ماده در اين لرايط نيز رفتار االستيک نخواهد بود‪.‬‬ ‫شکل‪ :)62-1‬رفتار االستيک خطی مصالح‬ ‫‪1 Cauchy‬‬ ‫‪2 Green‬‬ ‫‪3 Residual‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪622‬‬ ‫شکل‪ :)63-1‬رفتار االستيک و پالستيک غير خطی مصالح‬ ‫شکل ‪ :)64-1‬رفتار غير االستيک علی رغم عدم ایجاد کرنش پسماند‬ ‫بتنوان تتريف ديگري از لرايط رفتاري االستيک ميتوان گفت اگر تنشها فقط به وضتيت کارنش‬ ‫هاي آن لحظه مرترط بالد اين رفتار‪ ،‬رفتار االستيک خواهد بود‪ .‬حال آنكه در رفتار پالساتيک‪ ،‬تنشاها‬ ‫عالوه بر کرنشهاي موجود به تاريخچه کرنش‪ 1‬و تغييرلكل نيز مرترط ميبالند‪ .‬ساده ترين فارم رفتاار‬ ‫االستيک بوور خطي بوده و توسط رابطه هوك‪ 2‬به لكل زير تتريف ميگردد‪:‬‬ ‫‪  E ‬‬ ‫(‪)81-6‬‬ ‫در اين رابطه تانسور تنش و کرنش از قرار زير خواهند بود‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫(‪)82-6‬‬ ‫‪   11 , 22 , 33 ,12 , 23 ,13 ‬‬ ‫‪   11 ,  22 ,  33 , 12 ,  23 , 13 ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1 Strain history‬‬ ‫‪2 Hooke‬‬ ‫‪621‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫بسط اين رابطه به روابط خطي زير منجر ميگردد‪:‬‬ ‫‪ 11  C11 11  C12  22  C13  33  C14 12  C15  23  C16 13‬‬ ‫‪ 22  C21 11  C22  22  C23  33  C24 12  C25  23  C26 13‬‬ ‫(‪)83-6‬‬ ‫‪ 13  C61 11  C62  22  C63  33  C64 12  C65  23  C66 13‬‬ ‫در روابط باال ضرايب ‪ C‬درايه هاي ماتريس رفتاري ميبالاد‪ .‬فارم مااتريس و انديساي ايان رابطاه‬ ‫بوور زير قابل تتريف ميبالد‪ .‬در اين روابط ]‪ [C‬و ‪ Cijkl‬ماتريس رفتار ماده خواهند بود‪:‬‬ ‫‪   C  ‬‬ ‫(‪)84-6‬‬ ‫(‪)85-6‬‬ ‫‪ ij  Cijkl  kl‬‬ ‫‪ -9-1-0‬مدل االستیک کوشی‬ ‫‪3‬‬ ‫فرم کلي مدل االستيک کولي از قرار زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪ ij   0 ij  1  ij  2  im  mj  3  im  mn  nj ‬‬ ‫(‪)86-6‬‬ ‫در اين رابطه ضرايب ‪ ‬پارامترهاي مدل رفتاري ميبالند‪ .‬بر اساس قضيه کيلي‪-‬هميلتون‪ 2‬ميتوان‬ ‫رابطه فوق را به صور ساده تري نولت‪ .‬بر اساس اين قضيه در صورتيكه تابع ‪ f‬از متغير ‪ a‬تا توان ‪ n‬را‬ ‫لامل بالد (‪-87-6‬الف)‪ ،‬با استفاده از توابتي چندجملهاي از سه نامتغير اول‪ ،‬دوم و سوم تانسور ‪ a‬يتن‬ ‫‪ 1 ،0‬و ‪ 2‬ميتوان آن را تا درجه دوم به فرم متادله (‪-87-6‬ب) کاهش داد‪:‬‬ ‫(‪-87-6‬الف)‬ ‫‪f  a    .  I   1  a    2  a   3  a  ‬‬ ‫(‪-87-6‬ب)‬ ‫‪f a   0 . I   1 a   2 a ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بدين ترتيب با استفاده از اين قضيه در خووف فرم مدل االستيک کولي ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ ij   ij    ij    im mj‬‬ ‫(‪)88-6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫در اين رابطه ‪  ,  , ‬توابع چندجملهاي از نامتغيرهاي تانسور کارنش مايتوانناد بالاند‪ .‬باه‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ترتيب عكس نيز ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ ij   0 ij  1  ij  2  im  mj‬‬ ‫(‪)89-6‬‬ ‫در اين رابطه نيز ‪  ,  , ‬توابع چندجملهاي از نامتغيرهاي تانسور تنش ميبالند‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 Cauchy elastic models‬‬ ‫‪2 Cayley-Hamilton‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪621‬‬ ‫‪ -1-1-0‬مدلهای کوشی مرتبه اول‬ ‫در اين حالت ‪ 2‬صفر است‪ 0 ،‬تابع مرتره اول از کرنش و ‪ 1‬تابع مرتره صفر از کرنش يا بترارتي‬ ‫مقدار ثابت ميبالد‪ .‬بنابراين در اين مدل داريم‪:‬‬ ‫(‪)91-6‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪ ij  (0  1 I1 ) ij   2   0  ij  1 I1 ij  2 ‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫در رابطه باال عرار ‪  0  ij‬تنش هاي نالي از کرنش اوليه ميبالد‪ .‬تانش هااي نالاي از کارنش‬ ‫اوليه در بسياري از مواقع حذف ميگردد زيرا ما متموال با کرنش هاي حاصل از بارگذاري سروکار داريم‪.‬‬ ‫بنابراين‪:‬‬ ‫‪ ij  1 I 1 ij   2  ij‬‬ ‫(‪)91-6‬‬ ‫‪ -1-1-0‬محاسبه ثوابت ‪ 1‬و ‪ 2‬‬ ‫به منظور يافتن ثوابت ‪ 1‬و ‪  2‬دو حالت برش خالص و تنش هيدرواستاتيک بررسي ميگردد‪.‬‬ ‫‪ -3-1-1-0‬شرایط برش خالص‬ ‫‪3‬‬ ‫لكل (‪ )15-6‬وضتيت تنش در برش خالص يک المان دو بتدي را نشان ميدهاد‪ .‬بار اسااس ايان‬ ‫لكل داريم‪:‬‬ ‫‪12   21‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12   21‬‬ ‫در لرايط برش خالص‪ ،‬کرنش حجمي برابار صافر اسات يتناي ‪ ، I 1  11   22   33  0‬بناابراين‬ ‫طرق رابطه (‪ )91-6‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪ ij   2  ij‬‬ ‫(‪)92-6‬‬ ‫و تانسور براي حالت برش خالص به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)93-6‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ 212‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ارتراط تنش برلي و کرنش برلي در لرايط االستيک به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)94-6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ij   2 21‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪  G ‬‬ ‫‪1 Pure shear‬‬ ‫‪621‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫با توجه به لكل (‪ )16-6‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)95-6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بنابراين داريم‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 12   2 12   2  12 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 12  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)96-6‬‬ ‫‪ 2  2G‬‬ ‫(‪)97-6‬‬ ‫‪ ij  2  ij  2G  ij  G  ij‬‬ ‫شکل‪ :)62-1‬حالت تنش برش خالص در المان دوبعدی‬ ‫شکل‪ :)61-1‬وضعيت کرنشهای برشی در المان حين برش ساده‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪ -9-1-1-0‬شرایط تنش هیدرواستاتیک‬ ‫‪3‬‬ ‫تانسور کرنش در حالت تنش هيدرواستاتيک به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)98-6‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I1 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫بر اساس رابطه (‪ )96-6( ،)91-6‬و (‪ )98-6‬داريم‪:‬‬ ‫(‪)99-6‬‬ ‫همچنين‪:‬‬ ‫(‪)111-6‬‬ ‫‪621‬‬ ‫‪ I1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij   1   ij   0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I1 ‬‬ ‫‪ ij‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij   1 I 1  2G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11   22   33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ii‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪p‬‬ ‫با قرار دادن ‪ i  j‬داريم‪:‬‬ ‫‪I1 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫(‪)111-6‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪2G‬‬ ‫با قرار دادن ‪ 1  P‬و ‪ K‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ii  J 1   1 I 1  2G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J1 ‬‬ ‫‪2G ‬‬ ‫‪  1 ‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ، 1 ‬طرق نمودار (‪ )17-6‬داريام‪  .‬بتناوان ضاريب الماه و ‪K‬‬ ‫بتنوان مدول بالک‪ 3‬لناخته ميلود‪ .‬مدول بالک از ليب منحناي تغييارا تانش هيدرواساتاتيک در‬ ‫مقابل کرنش حجمي مطابق لكل (‪ )17-6‬قابل محاسره ميبالد‪.‬‬ ‫‪2G‬‬ ‫(‪)112-6‬‬ ‫‪K  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)113-6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2G‬‬ ‫‪1  K ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)114-6‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪1 Hydrostatic state of stress‬‬ ‫‪2 Lame’s coefficient‬‬ ‫‪3 Bulk modulus‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 662 ‫ تغييرات فشار هيدرواستاتيک در مقابل تغييرات حجم‬:)61-1‫شکل‬ :‫لكل نهايي مدل به صور زير در ميآيد‬   ij   K   2G  I1  ij  2G  ij 3  )115-6( :‫و يا‬ I    K I1  ij  2G   ij  1  ij  3   )116-6( ‫ بنابراين مدل نهايي کولي مرتراه اول‬،‫ ميبالد‬E ij ‫ کرنش برلي‬  ij  1  ij   I 3  ‫که در آن عرار‬ :‫به صور زير در ميآيد‬  ij  K I1 ij  2G Eij )117-6( :‫رابطه باال را ميتوان به صور ماتريسي نيز نشان داد‬  11   K     22   K  33   K    12   0  23   0     13   0 K K 0 0 K K 0 0 K K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4G  0   11   3   2G 0   22    3 0   33        2G 0  12   3 0   23   0    0   13   0   0 2G 3 4G 3 2G 3 0 2G 3 2G 3 4G 3 0 0 0 0 0  0    11    0 0 0   22     33  0 0 0      12    2G 0 0   23  0 2G 0   13   0 0 2G  0 0 666 ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ 4G  K  3   K  2G  3  2 G  K  3  0   0   0 2G 3 4G K 3 2G K 3 0 2G 3 2G K 3 4G K 3 0 0 0 0 0  ij  Sij 2G  K K  0    11    0 0 0   22     33  0 0 0      12    2G 0 0   23  0 2G 0   13   0 0 2G  0 0 )118-6( :‫به حالت عكس هم ميتوان نولت‬ )119-6( J1  ij 9K ‫بخش اول رابطه بيانگر جزء کرنش برلي و بخش دوم رابطه جزء کرنش حجمي را در تانسور کرنش‬ :‫ فرم ماتريسي اين رابطه به صور زير است‬.‫بيان مينمايد‬ 1  1  3G  9 K  1  1  11   9 K  6G     22   1  1  33   9 K 6G   12   0    23     13   0   0   1 1  9 K 6G 1 1  3G 9 K 1 1  9 K 6G 1 1  9 K 6G 1 1  9 K 6G 1 1  3G 9 K 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2G 0 0 0 0 1 2G 0 0 0 0  0   0     11    22 0      33     0   12    23    0   13   1   2G  3 )111-6( ‫ حالت کرنش صفحه ای‬-1-1-1-0 :‫) فرمول به صور زير حاصل ميلود‬115-6( ‫در حالت کرنش صفحهاي تنش هاي با بسط رابطه‬  I  3   11  K I1  2G  11  1    K    2G  2G   3K  4G   I1  2G11   11   K   22   3  3 3     2G   3K  4G    22   K  11  3 3      22   1 Plane strain )111-6( )112-6( ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬   33   K   662 )113-6( 2G  2G   11   K   22 3  3   12  2G 12 )114-6(  23  13  0 )115-6( ‫بدين ترتيب ماتريس مدل رفتاري االستيک کولي مرتره اول در حالت کرنش صفحهاي به صاور‬ :‫زير ميبالد‬  3K  4G  3  11      3K  2G  22    3     12  0   3K  2G 3 3K  4G 3 0  0    11  0   22      2G   12   )116-6( .‫ قابل تتيين ميبالد‬G ‫ و‬K ‫در حالت کرنش صفحهاي مدل االستيک کولي مرتره اول با دو پارامتر‬ 3 ‫ حالت تنش صفحه ای‬-1-1-1-0 :‫) براي حالت تنش صفحهاي داريم‬118-6( ‫با بسط رابطه‬ 11  S11 J1    22  1 1     11  11   9 K  11   22  2G 9 K 2G  3  1  1   1  1   11     22      3G 9 K   6G 9 K  1  1   1  1  22  11     22      6G 9 K   3G 9 K  12  )117-6( )118-6(  12 )119-6( 2G :‫حالت ماتريسي آن به صور زير ميبالد‬  1 1 1   1      3G 9 K  6G 9 K   11   1 1       1  1    22    6G 9 K  3 G 9 K 12    0 0   1 Plane stress  0      11 0   22     12 1    2G  )121-6( ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪ -3-1-1-0‬حالت تنش تک محوری‬ ‫‪663‬‬ ‫‪3‬‬ ‫طرق مدل االستيک کولي مرتره اول و رابطه (‪ )115-6‬براي تنشها و رابطه (‪ )119-6‬براي کرنش‬ ‫ها‪ ،‬تانسور تنش و کرنش در حالت تنش تک محوري که در لاكل (‪ )18-6‬نشاان داده لاده اسات باه‬ ‫صور زير به دست ميآيد‪:‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫(‪)121-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2G  3K  ‬‬ ‫‪ 18GK   11 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‪)122-6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2G  3K ‬‬ ‫‪ 18GK   11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪ ij   0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ G  3K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  11‬‬ ‫‪ 9GK ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫در نتيجه داريم‪:‬‬ ‫‪3K  G‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪9 KG‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪9 KG‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪11 3K  G‬‬ ‫‪11 ‬‬ ‫(‪)123-6‬‬ ‫(‪)124-6‬‬ ‫(‪)125-6‬‬ ‫‪2G  3K‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪18KG‬‬ ‫‪2G  3K‬‬ ‫‪ 33 ‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪18KG‬‬ ‫‪ 22 ‬‬ ‫از آنجاييكه تنش به صور تک محوري اعمال ميلود بنابراين ‪ ،  22   33‬پس خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪3K  2G‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪ 18KG‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3K  G‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪9KG‬‬ ‫(‪)126-6‬‬ ‫‪ 22‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3K  2G‬‬ ‫‪6 K  2G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 Uniaxial stress‬‬ ‫‪664‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬حالت تنش تک محوری‬ ‫‪ -0-1-1-0‬حالت کرنش تک محوری‬ ‫‪3‬‬ ‫براي حالت کرنش محوري با دالتن روابط زير و با بساط رابطاه (‪ )115-6‬و (‪ )119-6‬باراي مادل‬ ‫کولي‪ ،‬به تانسور کرنش و تنش زير ميرسيم‪:‬‬ ‫(‪)127-6‬‬ ‫(‪)128-6‬‬ ‫(‪)129-6‬‬ ‫‪ 22   33  0  I1  11‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ ij   0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4G ‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2G ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ K  3  11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2G  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ K  3  11 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫مانند باال خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪4G ‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫(‪)131-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 11   K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E 1   ‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪4G‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1   1  2 ‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪1 Uniaxial strain‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪662‬‬ ‫‪ M‬يا مدول محوور لده‪ ،1‬در واقع همان مدول االستيسيته در لرايط تغييرلكل جانري صفر است‬ ‫و قطتا مقداري بزرگتر از ‪ E‬خواهد دالت‪.‬‬ ‫‪ -3-1-0‬مدل های االستیک گرین‬ ‫‪9‬‬ ‫مدل هاي کولي بر اساس روابط بين تنش و کرنش تتريف ميلوند‪ .‬طرق اين تتريف دالتيم‪:‬‬ ‫‪ ij  f   ij ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij  f  ij ‬‬ ‫(‪)131-6‬‬ ‫اما دسته مدلهاي مدل گرين بر اساس تتريف انرژي به فرم زير بيان ميلوند‪:‬‬ ‫(‪)132-6‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪U 0  U 0  ij‬‬ ‫در اين رابطه ‪ U0‬تابع انرژي کرنشي بوده و موالحي که بتوان رابطه باال را براي آنهاا توصايف کارد‪،‬‬ ‫موالح هايپر االستيک‪ 3‬ناميده ميلوند‪.‬‬ ‫بر اساس قانون اول ترموديناميک ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ We   Q   U   T‬‬ ‫(‪)133-6‬‬ ‫که در آن ‪ We‬کار خارجي‪ Q ،‬حرار توليادي‪ U ،‬انارژي کرنشاي در واحاد حجام و ‪ T‬انارژي‬ ‫جنرشي نالي از حرار ميبالد‪ .‬همچنين قانون بقاي انرژي جنرشي به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪W e  W i  T‬‬ ‫(‪)134-6‬‬ ‫که در آن ‪ Wi‬کار داخلي ميبالد و ساير عالئم به صور باال تتريف ميلود‪.‬‬ ‫با ترکيب دو رابطه مذکور داريم‪:‬‬ ‫‪ Wi   T   We   T   U   T   Q    Q   U‬‬ ‫(‪)135-6‬‬ ‫اگر حرار توليدي صفر بالد‪:‬‬ ‫(‪)136-6‬‬ ‫‪U   W i  W e‬‬ ‫همچنين داريم‪:‬‬ ‫(‪)137-6‬‬ ‫‪ We   Fi  ui d V    ij ni  ui d S‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪1 Constrained modulus‬‬ ‫‪2 Green elastic models‬‬ ‫‪3 Hyper elastic‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪661‬‬ ‫در رابطه باال ‪ Fi  u i‬نشان دهنده برآيند نيروهاي حجماي‪ 1‬و ‪  ij n i  u i‬نشاان دهناده برآيناد‬ ‫نيروهاي سطحي‪ 2‬ميبالند‪ .‬بدين ترتيب‪:‬‬ ‫‪ We    ij  ui , j d V    ij   ij   ij  ij  d V‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ij   ij d V‬‬ ‫(‪)138-6‬‬ ‫‪v‬‬ ‫از طرف ديگر ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ U    U 0  d V ‬‬ ‫‪ U 0   ij   ij‬‬ ‫‪ U  We‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ U0‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫‪  ij‬‬ ‫(‪)139-6‬‬ ‫که در رابطه (‪   ij ،)138-6‬جزء کرنش و ‪  ij‬جزء دوران ميبالد که در اينجا و عماده مساائل‬ ‫مهندسي ژئوتكنيک صفر درنظر گرفته ميلود‪ .‬رابطه (‪ )139-6‬اساس مادل هااي االستيسايته گارين‬ ‫ميبالد‪ .‬با در نظر گرفتن تابع انرژي کرنشي ‪ U0‬بتنوان تابتي از نامتغيرهاي تانساور کارنش مايتاوان‬ ‫نولت‪:‬‬ ‫‪U 0  U 0  I 1 , I 2 , I 3   U 0  I 1 , I 2 , I 3 ‬‬ ‫(‪)141-6‬‬ ‫‪U 0  U 0  I1  U 0  I 2  U 0  I 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ij‬‬ ‫‪ I1   ij  I 2   ij  I 3   ij‬‬ ‫‪ I3‬‬ ‫‪  im  mj‬‬ ‫‪  ij‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ I2‬‬ ‫‪  ij‬‬ ‫‪  ij‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫رابطه باال نشان ميدهد که دو مدل کولي و گرين لريه به هم هستند (‬ ‫‪ I1‬‬ ‫کولي‪،‬‬ ‫‪ I1‬‬ ‫‪  ij‬‬ ‫‪  ij‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫‪ im  mj‬‬ ‫‪ I1‬‬ ‫‪ I2‬‬ ‫‪ I3‬‬ ‫(‪)141-6‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ 0‬نظير ‪ 1‬در مدل کولي و‬ ‫‪ I3‬‬ ‫‪ I2‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫نظير ‪ 0‬در مادل‬ ‫نظير ‪ 2‬در مدل کولي ميبالد)‪ ،‬اماا نكتاه مهام آن‬ ‫است که در مدل گرين بر خاالف مادل کولاي‪ ،‬کاه ‪ 1 ، 0‬و ‪ 2‬کاه مساتقل از هام بودناد‪ ،‬بادليل‬ ‫وابستگي عرارا‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪U0 U0‬‬ ‫و‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ I3‬‬ ‫‪ I2‬‬ ‫‪ I1‬‬ ‫به يكديگر وابسته خواهند بود‪:‬‬ ‫‪1 Body force‬‬ ‫‪2 Surface traction‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫(‪)142-6‬‬ ‫‪661‬‬ ‫‪   U 0 ‬‬ ‫‪  U 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ I1  I 2  I 2  I1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  U 0 ‬‬ ‫‪   U 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ I 3  I 2  I 2  I 3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   U 0     U 0 ‬‬ ‫‪ I1  I 3  I 3  I1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫همچنين متكوس رابطه گرين در مورد کرنشها هم به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪U co‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ ij  co  ij  co  im mj‬‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪J 2‬‬ ‫‪J 3‬‬ ‫(‪)143-6‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫تتريف انرژي کرنشي داخلي ‪ U 0‬بوور سطح زير نمودار تنش‪-‬کارنش و انارژي کرنشاي مكمال‬ ‫‪ U co‬در لكل (‪ )19-6‬آمده است‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬انرژی کرنشی داخلی و انرژی کرنشی مکمل‬ ‫‪ -0-1-0‬مدل های االستیک گرین مرتبه اول‬ ‫در مدل گرين مرتره اول رابطه (‪ )144-6‬براي تتريف انرژي کرنشي داخلي اساتفاده مايگاردد‪ .‬در‬ ‫اين رابطه ‪ I1‬و ‪ I2‬بترتيب نامتغيرهاي اول و دوم تانسور کرنش ميبالاند‪ .‬باا جايگاذاري ايان رابطاه در‬ ‫رابطه (‪ )141-6‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U 0  c1 . I 2  c 2 . I 1‬‬ ‫(‪)144-6‬‬ ‫‪    c I  c I     c I  c I   ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪mj‬‬ ‫‪im‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪I 3‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪I 2‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c1 I 2  c2 I12‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪ ij ‬‬ ‫‪1 Complementary energy‬‬ ‫‪661‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫(‪)145-6‬‬ ‫‪ 2c 2 . I 1 .ij  c1 . ij‬‬ ‫در مقايسه مدل گرين در رابطه (‪ )144-6‬با مدل کولي در رابطه (‪ )114-6‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪c1  2G‬‬ ‫(‪-146-6‬الف)‬ ‫‪2G‬‬ ‫‪K G‬‬ ‫‪ c2  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫(‪-146-6‬ب)‬ ‫‪2c2  K ‬‬ ‫با جايگذاري ‪ c1‬و ‪ c 2‬در رابطه (‪ )144-6‬داريم‪:‬‬ ‫‪K G‬‬ ‫‪U 0  2G . I 2     . I12 ‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫(‪)147-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I2  K 2‬‬ ‫‪ 2G  I 2  1  ‬‬ ‫‪I1 ‬‬ ‫‪6  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪U 0  2G I 2 D  I12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫رابطه (‪ )147-6‬تابع انرژي کرنشي مدل گرين مرتره اول را نشان ميدهد‪ .‬طرق رواباط (‪ )111-6‬و‬ ‫(‪ )111-6‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪J‬‬ ‫(‪)148-6‬‬ ‫‪p 1 KI‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)149-6‬‬ ‫(‪)151-6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪J 2D  2G I 2D‬‬ ‫‪1 J1‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪U 0  J 2D . I 2D ‬‬ ‫در روابط باال‪ I 1 ،‬کرنش هيدرواستاتيک‪ p ،‬تنش هيدرواساتاتيک‪ K ،‬مادول بالاک‪ ،‬و جملاه اول‬ ‫رابطه (‪ )147-6‬نشان دهنده کار برلي و جمله دوم آن نشان دهنده کار حجمي ميبالد‪ .‬با بسط رابطه‬ ‫(‪ )144-6‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U 0  c1 . I 2  c 2 . I 1‬‬ ‫(‪-144-6‬تكراري)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U 0  c1  112   22‬‬ ‫‪  332  122   23‬‬ ‫‪ 132 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c2 112   22‬‬ ‫‪  332  211 . 22  211 . 33  2 22 . 33 ‬‬ ‫(‪)151-6‬‬ ‫که در ان‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ U 0    c ij  ij‬‬ ‫‪i 1 j 1‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c1  c2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c1  c2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪661‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2 c1  c2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cij   c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪c2‬‬ ‫‪ -7-1-0‬مدل های االستیک کوشی مرتبه دوم‬ ‫پس از بررسي مدلهاي االستيک کولي و گرين از مرتره اول‪ ،‬اينک به بررسي مادلهاي االساتيک از‬ ‫مرتره دوم مي پردازيم‪ .‬بطور قطع‪ ،‬ارتراط تنشاها و کرنشاها در مادلهاي مرتراه بااالتر از ياک‪ ،‬بواور‬ ‫غيرخطي خواهد بود‪ .‬در خووف مدل کولي مرتره دوم ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ ij    ij    ij    im mj‬‬ ‫(‪-88-6‬تكراري)‬ ‫‪ 0  a1I 1  a2 I 12  a3 I 2 ‬‬ ‫تابع مرتره دو از کرنش‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تابع مرتره يک از کرنش‬ ‫‪1  a4  a5 I 1 ‬‬ ‫تابع مرتره صفر از کرنش‬ ‫‪ 2  a6 ‬‬ ‫(‪)152-6‬‬ ‫‪ ij  a1I 1  a2 I 12  a3 I 2  ij  a4  a5 I 1   ij  a6  im  mj‬‬ ‫‪ a1‬تا ‪ a6‬پارامترهاي مدل رفتاري ميبالند‪ .‬در مقايسه با مدل مرتره اول کولاي (رابطاه ‪)114-6‬‬ ‫ميتوان گفت که مدل مرتره اول تنهاا پارامترهااي ‪ a1‬و ‪ a4‬را دارد کاه باه صاور زيار قابال تترياف‬ ‫ميبالند‪:‬‬ ‫‪2G‬‬ ‫(‪)153-6‬‬ ‫‪a K‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)154-6‬‬ ‫‪a4  2G‬‬ ‫پارامترهاي ‪ a1‬و ‪ a4‬را در متادله (‪ )152-6‬جايگزين کرده و مينويسيم‪:‬‬ ‫(‪)155-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2G ‬‬ ‫‪I1  a2 I12  a3 I 2   ij   2G  a5 I1   ij  a6 im  mj‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij   K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫بطور قطع ساير پارامترهاي مدل رفتاري بايد مشابه قرال از بررساي عملكارد مادل در آزمايشاهاي‬ ‫ساده بدست آيند‪ .‬بدين منظور دو آزمايش کرنش تک محوري و برش خالص مدنظر قرار مايگيارد‪ .‬باا‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪622‬‬ ‫توجه به مشخص بودن تانسور تنش و کرنش اين دو آزمايش‪ ،‬پارامترهاي مدل رفتاري از روي آنها قابل‬ ‫تتيين خواهند بود‪.‬‬ ‫‪ -3-7-1-0‬آزمایش کرنش تک محوری‬ ‫تانسور کرنش در حالت کرنش تک محوري به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ ij   0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫(‪)156-6‬‬ ‫با بسط رابطه (‪ )155-6‬تنش ‪  11‬در اين حالت به صور زير ميبالند‪:‬‬ ‫(‪)157-6‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2G ‬‬ ‫‪11  a2 112  3 112  2G 11  a5 112  a6 112‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11   K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫لايان ذکر است که نحوه محاسره جمله آخر در رابطه فوق به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)158-6‬‬ ‫‪a6  im  mj  a6 i11 j  a6 i 2 2 j  a6 i 3 3 j  a6 112‬‬ ‫با فاکتور گيري از رابطه (‪ )157-6‬به رابطه زير ميرسيم‪:‬‬ ‫(‪)159-6‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪4G ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11   a2  3  a5  a6  112‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11   K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ساير تنشها نيز به صور زير به دست ميآيند‪:‬‬ ‫(‪)161-6‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2G ‬‬ ‫‪11  a2 112  3 112‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)161-6‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2G ‬‬ ‫‪11  a2 112  3 112‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)162-6‬‬ ‫نمودار تغييرا‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 22   K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 33   K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12  13   23  0‬‬ ‫‪  11‬بر حسب ‪ 11‬طرق رابطه (‪ )159-6‬در لكل (‪ )21-6‬نشان داده لده است‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)91-0‬نمودار تغييرات ‪  11‬بر حسب ‪ 11‬و ‪( 112‬دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪626‬‬ ‫براي به دست آوردن چهار مجهول ‪ a5 ، a3 ، a2‬و ‪ a6‬به حداقل چهار نقطه انتخابي از ايان نماودار‬ ‫نياز داريم که در لكل نيز نشان داده لده است‪ .‬با نولتن رابطه (‪ )159-6‬براي اين چهار نقطه‪ ،‬ضرايب‬ ‫مجهول بدست ميآيند‪.‬‬ ‫‪ -9-7-1-0‬آزمایش برش خالص‬ ‫تانسور کرنش در اين آزمايش به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫(‪)163-6‬‬ ‫‪ 0 12‬‬ ‫‪ ij   21 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫با جايگذاري اين تانسور در رابطه (‪ )87-6‬که بيانگر مدل االستيک کولي مرتره دوم اسات تانساور‬ ‫تنش به دست خواهد آمد‪:‬‬ ‫(‪)164-6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪12 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0   2  0 12 2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪12 0 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 0 0 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij  0 0 1 0  1 12‬‬ ‫‪0 0 1 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫الزم به ذکر است که کرنش محوري‪ ،‬تنش برلي ايجاد نميکند اما با مشاهده رابطه بااال مايتاوان‬ ‫نتيجه گرفت که امكان ايجاد تنش محوري در اثر اعمال کرنش برلي وجود خواهد دالت‪ .‬همچنين باا‬ ‫بسط رابطه تنش‪-‬کرنش براي مولفه هاي مختلف تنش محوري ايجاد لده مشخص ميگردد که مولفاه‬ ‫هاي تنش محوري در صفحه اعمال برش (صفحه ‪ 1‬و ‪ )2‬مساوي‪ ،‬اما در صفحه عمود بار جهات اعماال‬ ‫برش متفاو و الرته غير صفر است که به متناي توزيع غيريكنواخت تنش محوري ايجااد لاده در اثار‬ ‫اعمال کرنش برلي خالص (بر اساس مدل مذکور) خواهد بود‪.‬‬ ‫‪11  0  2122‬‬ ‫(‪)165-6‬‬ ‫(‪)166-6‬‬ ‫(‪)167-6‬‬ ‫(‪)168-6‬‬ ‫(‪)169-6‬‬ ‫(‪)171-6‬‬ ‫(‪)171-6‬‬ ‫(‪)172-6‬‬ ‫‪ 22  0   ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 12‬‬ ‫‪ 33  0‬‬ ‫‪12  112‬‬ ‫‪ 23  13  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S ij   ij   nn  ij‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S 11  11   11   22   33  11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 11   211   33   11   33   0  212 2  0  212 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S22  212 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪622‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪2‬‬ ‫‪212 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)173-6‬‬ ‫‪S33 ‬‬ ‫بر اساس روابط (‪ )171-6‬تا (‪ )173-6‬نيز مولفه هاي تانسور تنش انحرافاي در صافحه بارش برابار‬ ‫) ‪ ،( S 11  S 22‬اما در صفحه عمود بر آن متفاو ميبالند‪.‬‬ ‫‪ -1-7-1-0‬تعیین پارامترهای مدل در شرایط برش خالص‬ ‫طرق روابط (‪ )165-6‬و (‪ ،)166-6‬در مدل کولاي مرتراه دوم تانش هااي محاوري از مرتراه دوم‬ ‫ميبالد ولي بر اساس روابط (‪ )168-6‬و (‪ ،)169-6‬تنشهاي برلي توزيتي خطي دالته و از مرتراه اول‬ ‫هستند‪ .‬تنشها در اين حالت از روابط زير قابل محاسره ميبالند‪:‬‬ ‫‪11  a3122  a6122‬‬ ‫(‪)174-6‬‬ ‫(‪)175-6‬‬ ‫‪ 22  a   a ‬‬ ‫(‪)176-6‬‬ ‫‪ 33  a3122‬‬ ‫(‪)177-6‬‬ ‫‪12  2G 12‬‬ ‫(‪)178-6‬‬ ‫‪ 23  13  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 12‬‬ ‫نمودار رابطه تنش محوري و تنش برلي با کرنش برلي در لكل (‪ )21-6‬نشان داده لده است‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)93-0‬تغييرات تنش و کرنش برشی در مدل االستيک کوشی مرتبه دوم (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪ -9-1-0‬مدل های االستیک گرین مرتبه دوم‬ ‫در مدل االستيک گرين مرتره دوم رابطه انرژي کرنشي بتنوان تابع مرتره ساوم از کرنشاها بواور‬ ‫زير در نظر گرفته ميلود که با جايگذاري ان در رابطه (‪ )141-6‬به ارتراط تنش‪-‬کرنش براي اين مدل‬ ‫دست مييابيم‪:‬‬ ‫(‪)179-6‬‬ ‫‪U0  b0  b1 I1  b2 I12  b3 I13  b4 I1I 2  b5 I 2  b6 I3‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪623‬‬ ‫در صورتيكه براي کرنش صفر‪ ،‬تنشهاي صفر را لحاظ نماييم ضرايب بخش خطاي رابطاه يتناي ‪b0‬‬ ‫و ‪ b1‬برابر صفر خواهند لد و ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)181-6‬‬ ‫‪U0  b2 I12  b3 I13  b4 I1I 2  b5 I 2  b6 I3‬‬ ‫با صرفنظر از ترمهاي درجه سوم و مقايسه مقادير باقيمانده با تابع انرژي کرنشي مدل گرين مرتراه‬ ‫اول ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪K G‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 3 2(1  )(1  2 ) 2‬‬ ‫(‪)181-6‬‬ ‫(‪)182-6‬‬ ‫‪E‬‬ ‫) ‪(1 ‬‬ ‫‪c2  b2 ‬‬ ‫‪c1  b5  2G ‬‬ ‫با جايگذاري اين مقادير در رابطه (‪-181-6‬ب) داريم‪:‬‬ ‫‪3K  2G 2‬‬ ‫‪I1  2GI 2  b3 I13  b4 I1 I 2  b6 I 3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫(‪)183-6‬‬ ‫‪U0 ‬‬ ‫با جايگذاري متادله فوق در رابطه (‪ )141-6‬و مشتق گيري از آن داريم‪:‬‬ ‫(‪)184-6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2G ‬‬ ‫‪I1  3b3 I12  b4 I 2   ij   b4 I1  2G   ij  b6 im mj‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij   K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫مقايسه اين رابطه و رابطه (‪ )155-6‬نشان ميدهد که در رابطه مربوط به مادل گارين مرتراه دوم‪،‬‬ ‫ضرايب ‪ a3‬و ‪ a5‬با يكديگر مساوي هستند‪ .‬بترار ديگر ميتوان گفات مادل گارين مرتراه دوم‪ ،‬لاكل‬ ‫خاصي از مدل کولي مرتره دوم است و تتداد پارامترهاي آن يكي کمتر و ‪ 5‬عدد ميبالد‪.‬‬ ‫‪ 3-9-1-0‬شرایط کرنش تک محوری‬ ‫براي تتيين سه پارامتر باقيمانده مدل االستيک گرين از مرتراه دوم يتناي ‪ b4 ،b3‬و ‪ b6‬مجاددا از‬ ‫نتايج تستهاي متمول استفاده ميگردد‪ .‬در لرايط کرنش تک محوري با اعماال تانساور کارنش نشاان‬ ‫داده لده در رابطه (‪ )156-6‬درون رابطه (‪ )184-6‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫(‪)185-6‬‬ ‫(‪)186-6‬‬ ‫‪2G ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11  3b3 112  b4 112   2G  b4 11  11  b6 112‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 11   K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3b‬‬ ‫‪4G ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪K ‬‬ ‫‪11   3b3  4  b6  112‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2G ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11   3b3  b4  112‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 22   33   K ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪624‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫(‪)187-6‬‬ ‫‪12   23  13  0‬‬ ‫با توجه به سه مجهول موجود در روابط فوق‪ ،‬حداقل به سه نقطاه از منحناي تانش‪-‬کارنش رابطاه‬ ‫(‪ )185-6‬جهت تتيين مجهوال نياز خواهيم دالت‪.‬‬ ‫‪ -9-9-1-0‬شرایط برش خالص‬ ‫در اين وضتيت نيز با اعمال تانسور کرنش برلي خالص رابطه (‪ )163-6‬در رابطه (‪ )184-6‬ميتوان‬ ‫نولت‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)188-6‬‬ ‫‪11  b4 122  b6 122   b4  b6  122‬‬ ‫(‪)189-6‬‬ ‫‪ 22   b4  b6  122‬‬ ‫(‪)191-6‬‬ ‫‪ 33  b4 122‬‬ ‫(‪)191-6‬‬ ‫‪12  2G 12‬‬ ‫(‪)192-6‬‬ ‫‪13   23  0‬‬ ‫در صور استفاده از اين آزمايش نيز حداقل به دو نقطه از نمودار تنش‪-‬کرنش رابطه (‪ )188-6‬نياز‬ ‫داريم‪ .‬نكته مهم آنكه ضريب ‪ b3‬با استفاده از اين آزمايش بدست نخواهد آمد‪ .‬لذا مايتاوان گفات کاه‬ ‫آزمون کرنش تک محوري‪ ،‬آزمايش مناسب تري براي تتيين پارامترهاي اين مدل رفتاري ميبالد‪.‬‬ ‫فصل ششم – مبانی االستيسيته‬ ‫‪622‬‬ ‫تمرینات فصل ششم‬ ‫‪ .1‬رابطه سرعت موج طولي در يک ميله محوور لده بادون امكاان تغييرلاكل جاانري را تتياين‬ ‫کنيد‪.‬‬ ‫‪ .2‬درصورتيكه ميله محوور لده در محيط ارتجاعي قرار گرفته بالد‪ ،‬بطوريكه تغييرلكل جاانري‬ ‫آن وابسته به سختي محيط اطرافش بالد‪ ،‬سرعت انتشار موج طولي در ميله را محاسره نماييد‪.‬‬ ‫‪ .3‬مدول االستيسيته و نسرت پواسون يک نمونه خاك ماسه سيلتدار باه صاور زيار مايبالاد‪.‬‬ ‫سرعت موج طولي‪ ،‬فشاري و برلي را در اين خاك محاسره کنيد‪.‬‬ ‫‪E  70MPa‬‬ ‫‪  0.25‬‬ ‫‪ .4‬در مقايسه مدلهاي االستيک کداميک صحيح نيست؟‬ ‫الف‪ -‬مدل ‪ Green‬مرتره سوم داراي ‪ 9‬پارامتر مستقل ميبالد‪.‬‬ ‫ب‪ -‬مدل ‪ Cauchy‬مرتره سوم داراي ‪ 6‬پارامتر مستقل است‪.‬‬ ‫ج‪ -‬مدل ‪ Cauchy‬زير مجموعه مدلهاي ‪ Green‬است‪.‬‬ ‫د‪ -‬مدلهاي ‪ Green‬بر مرناي مالحظا انرژي داخلي تتيين ميلوند‪.‬‬ ‫‪ .5‬فرم کلي و پارامترهاي الزم در مدل االستيک ‪ Cauchy‬مرتره سوم را تتيين نماييد‪.‬‬ ‫‪ .6‬با استفاده از مدل االستيک ‪ Cauchy‬مرتره سه‪ ،‬فارم ماتريساي تانساور تانش را باراي لارايط‬ ‫کرنش مسطح و همچنين فرم ماتريسي تانسور کرنش را براي لرايط تانش مساطح محاساره و‬ ‫نتايج را با مدل االستيک ‪ Cauchy‬مرتره دو مقايسه نماييد‪.‬‬ ‫‪ .7‬فرموالسيون مدل االستيک ‪ Green‬مرتره سه را بدست آوريد‪ .‬مدل داراي چند پارامتر است و بر‬ ‫چه اساسي محاسره ميلوند؟ پارامترهاي آن را با مدل االستيک ‪ Cauchy‬مرتراه ساه مقايساه‬ ‫نماييد‪.‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫فصل هفتم‬ ‫مبانی پالستيسيته‬ ‫‪ -1-7‬مقدمه‬ ‫رفتار پالستيک به لرايطي اطالق ميگردد که در آن حين باربرداري جسم به وضتيت اولياه تغييار‬ ‫لكل خود بر نگردد‪ .‬به عرار ديگر کرنشهاي پسماند در ماده باقي بماند‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)6-1‬بارگذاری‪ ،‬باربرداری و وقوع کرنشهای پالستيک در ماده‬ ‫لكل (‪ )1-7‬رفتار االستوپالستيک يک نمونه از فوالد حين کشش را ارائه مينمايد‪ .‬بر ايان اسااس‪،‬‬ ‫رفتار فوالد حين بارگذاري تا نقطه ‪ A‬بوور االستيک خواهد بود‪ .‬اما پس از آن‪ ،‬در فاصله ‪ A‬تاا ‪ B‬باا‬ ‫‪621‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫باربرداري‪ ،‬بازگشت به کرنش صفر مشاهده نخواهد لد و مقداري کرنش پسماند در نمونه باقي خواهاد‬ ‫ماند‪ .‬نكته مهم آنكه با بارگذاري مجدد و تا حواول مجادد تاراز تانش نظيار نقطاه ‪ ،B‬رفتاار بواور‬ ‫االستيک و بر همان مسير باربرداري قرار خواهد دالت‪ .‬رفتار کلي نشان داده لده در لاكل (‪ )1-7‬باه‬ ‫عنوان رفتار سخت لونده‪ 1‬خوانده ميلود‪.‬‬ ‫باربرداري از نقطه ‪ C‬نيز رفتاري مشابه ايجاد مينمايد و مجددا در خالل آن با رفتار االستيک مواجه‬ ‫خواهيم بود‪ .‬نكته ديگر آنكه در لكل (‪ ،)1-7‬نقاط ‪ F‬و ‪ G‬از نظر سطح کرنش‪ ،‬لرايط مشابهي دارند اما‬ ‫تنشهاي نظير آن دو متفاو ميبالد‪ .‬بدين ترتياب مشاخص مايلاود کاه بارخالف لارايط رفتااري‬ ‫االستيک که در آن مقدار تنشها تنها وابساته باه مقادار کناوني کرنشاها باود‪ ،‬در وضاتيت پالساتيک‪،‬‬ ‫تاريخچه بارگذاري فاکتور مهمي در وضتيت تنشها خواهد بود‪.‬‬ ‫‪ -2-7‬مرور تاریخچه پیدایش و توسعه تئوری پالستیسیته‬ ‫اولين مراحث در خووف تروري پالستيسيته به تحقيقا کولماب (‪ )1773‬بار مايگاردد کاه متياار‬ ‫تسليمي براي مواد جامدي مثل خاك ارائه نمود‪ .‬پس از آن رانكين‪ ،)1853( 3‬مفاهيم مطارح لاده توساط‬ ‫کولمب را به مسائلي چون فشار محرك و مقاوم خااك در ديوارهااي حائال تتمايم داد‪ .‬ترساكا‪ )1864( 4‬از‬ ‫جمله نخستين کساني بود که تروري پالستيسيته را در زمينه فلزا مطرح نمود‪ .‬وي با تحقياق بار مساائل‬ ‫کاربردي همچون سوراخ لدگي و ذوب فلزا ‪ ،‬متيار تسليم متروف خود را در سال ‪ 1864‬ارائه کرد‪ .‬در سال‬ ‫‪ ،1871‬سنت ونانت‪ 5‬متيار ترسكا را در خووف پيچش و خمش مقاطع استوانهاي اعمال نمود‪ .‬لِوي‪ 6‬نيز در‬ ‫‪ 1871‬رابطهاي سه بتدي مابين تنش و نرخ کرنش پالستيک ارائه کرد‪ .‬ون ميزس‪ 7‬در سال ‪ 1913‬متادالتي‬ ‫مشابه لِوي براي بيان وضتيت تسليم در فلزا ارائه نمود و متيار تسليم ديگري را با مالحظا رياضي بنيان‬ ‫نمود‪ .‬رويس‪ 8‬نيز در ‪ 1931‬تروري پالستيسيته پرنتل‪ 9‬را با اضاافه نماودن محادودهاي باراي بياان لارايط‬ ‫االستيک بهرود بخشيد‪ .‬امّا با وجود همه اين تاللها‪ ،‬اولين چارچوب مدون براي تريين اصول بنيادين تروري‬ ‫پالستيسيته از سال ‪ 1945‬و با مطالتا دراگر‪ 11‬و پراگر‪ 11‬آغاز لد و مفاهيم مهمي همچون مكانيزم تسليم‬ ‫و رفتار ماده پس از تسليم مورد بررسي قرار گرفت‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 Hardening behavior‬‬ ‫‪2 Coulomb‬‬ ‫‪3 Rankine‬‬ ‫‪4 Tresca‬‬ ‫‪5 Saint-Venant‬‬ ‫‪6 Levy‬‬ ‫‪7 von Mises‬‬ ‫‪8 Reuss‬‬ ‫‪9 Prandtl‬‬ ‫‪10 Drucker‬‬ ‫‪11 Prager‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪621‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -3-7‬معیار تسلیم‬ ‫در واقع تسليم حد تغيير لكلهاي االستيک تحت تاثير مجموعهاي از تنشاها مايبالاد‪ .‬در لارايط‬ ‫اعمال تنش بوور يک بتدي‪ ،‬اين متيار با پارامترهايي چون مقاومت فشاريي تک محوري يا مقاومات‬ ‫کششي تک محوري قابل بيان است‪ .‬اما تتيين اين متيار در لرايط بارگذاري سه بتدي و باا توجاه باه‬ ‫اندرکنش نيرو و تغيير لكل در جها مختلف بر يكديگر پيچيده ميلود‪ .‬در لرايط کلي‪ ،‬متيار تسليم‬ ‫را ميتوان بوور زير بيان نمود‪.‬‬ ‫‪F  F 11 ,  22 ,  33 , 12 ,  23 , 13 ‬‬ ‫(‪)1-7‬‬ ‫در صورتيكه رابطه بر حسب تنشهاي اصلي و جها اصلي مرتب لود ميتوان به فرم زير رسيد‪:‬‬ ‫‪F  F 1 ,  2 ,  3 , n1 , n2 , n3 ‬‬ ‫(‪)2-7‬‬ ‫در رابطااه (‪  3 ,  2 ,  1 ،)2-7‬تنشااهاي اصاالي و ‪ n3 , n2 , n1‬بردارهاااي يكااه در جهااا اصاالي‬ ‫ميبالند‪ .‬در صورتيكه رفتار ماده بوور ايزوتروپ لحاظ گردد ميتوان متادله زير را بر حسب تنشهاي‬ ‫اصلي و يا نامتغيرهاي تانسور تنش نولت‪:‬‬ ‫‪F 1 ,  2 ,  3   0‬‬ ‫(‪)3-7‬‬ ‫‪F  J1 , J 2 , J 3   0‬‬ ‫(‪)4-7‬‬ ‫الزم به ذکر است که عموما در خووف فلزا تاثير فشار هيدرواستاتيک قابل اغماض است‪ .‬بترار‬ ‫ديگر فلزا تغيير حجم چنداني حتي تحت تاثير تنشهاي دورگير بسيار باالتر نشاان نخواهناد داد‪ .‬لاذا‬ ‫مي توان تسليم در فلزا را مساتقل از تانش دورگيار فارض نماود و متادلاه تساليم را تنهاا تاابتي از‬ ‫نامتغيرهاي دوم و سوم تانسور تنش انحرافي دانست‪:‬‬ ‫‪F  J 2 D , J 3D   0‬‬ ‫(‪)5-7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -4-7‬فضای تنش های‪ -2‬وسترگارد‬ ‫در صورتيكه سه جهت اصلي تانسور تنش‪ ،‬به عنوان محورهاي مختوا در نظر گرفته لوند‪ ،‬فضاي‬ ‫مذکور را فضاي تنش هاي‪ -‬وسترگارد مينامند‪ .‬لكل ‪ 2-7‬فضاي تنش مذکور را نشان ميدهد‪ .‬در اين‬ ‫فضا‪ ،‬خطي که با هر سه محور مذکور زواياي برابر تشكيل ميدهد را نيمساز فضايي‪ 4‬مينامند‪.‬‬ ‫‪1 Yield criterion‬‬ ‫‪2 Haigh‬‬ ‫‪3 Westergard‬‬ ‫‪4 Space diagonal‬‬ ‫‪632‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)2-1‬فضای تنش های‪ -‬وسترگارد‬ ‫در لكل فاصله مردا تا نقطه دلخواه ‪ P‬يا طول ‪ OP‬به لرح زير قابل محاسره ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)6-7‬‬ ‫‪OP     22   32‬‬ ‫در امتداد نيمساز فضايي خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)7-7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1   2   3 ‬‬ ‫کسينوسهاي هادي در راستاي نيمساز فضايي به قرار زير ميبالند‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)8-7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n1  n 2  n3 ‬‬ ‫بدين ترتيب متادله صفحه عمود بر نيسماز فضايي به صور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫‪1   2   3  c‬‬ ‫(‪)9-7‬‬ ‫فاصله هر صفحه گذرنده با متادله فوق تا مردأ ‪ O‬با رابطه زير محاسره ميلود‪:‬‬ ‫(‪)11-7‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫بنابراين ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)11-7‬‬ ‫‪1   2   3  3d‬‬ ‫سمت چپ اين رابطه همان تنش هيدرواستاتيک است‪ .‬بر اساس اين متادله تانش هيدرواساتاتيک‬ ‫بطور خطي با افزايش فاصله از مردأ ازدياد مييابد‪ .‬اين صفحه با اين مشخوه صفحه اکتاهدرال‪ 1‬ناميده‬ ‫‪1 Octahedral plane‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪636‬‬ ‫ميلود‪ .‬نتيجه ميلود که در صور فرض استقالل متيار تسليم از تنش هيدرواستاتيک‪ ،‬لكل و اندازه‬ ‫متيار بر صفحه اکتاهدرال (که سطح تسليم‪ 1‬ناميده ميلود) يكسان خواهد بود‪.‬‬ ‫در خووف فلزا با توجه به آنكه متيار تسليم مستقل از فشار هيدرواستاتيک است‪ ،‬متموال صفحه‬ ‫اکتاهدرال گذرنده از مردأ مختوا براي تتيين منحني تسليم در نظر گرفته ميلود‪ .‬صفحه گذرنده از‬ ‫مردأ با نام صفحه پي‪ 2‬لناخته ميلود‪ .‬اين صفحه در لكل ‪ 3-7‬نشان داده لده است‪ .‬الرته اين لكل‬ ‫با فرض رفتار ايزوتروپ و مقاومت برابر در کشش و فشار برقرار خواهاد باود‪ .‬لاش نقطاه ‪ T1‬الاي ‪T6‬‬ ‫فاصله برابري از مردأ دارند و متيار لرايط متقارني در هر قطاع ‪ 31‬از صفحه ‪ ‬خواهد دالت‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)3-1‬تصویر منحنی تسليم بر صفحه ‪( ‬دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪ -5-7‬معیارهای تسلیم در پالستیسیته فلزات‬ ‫در اين بخش چند متيار تسليم و لكل منحني تسليم نظيرلان در صفحه ‪ ‬ارائه ميگردد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -3-3-7‬معیار تسلیم ون میزس‬ ‫بر اساس تروري ون ميزس‪ ،‬تسليم زماني اتفاق ميافتد که نامتغير دوم تانسور تنش انحرافي به حد‬ ‫آستانه خاصي برسد‪ .‬در واقع‪ ،‬اساس اين متيار تسليم بر آن است که انرژي در سيستم باه حادي برابار‬ ‫انرژي تسليم نظير لرايط کشش ساده برسد‪ .‬بنابراين‪:‬‬ ‫‪J 2D  k 2‬‬ ‫‪Elastic condition‬‬ ‫‪Y ield of material‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ J 2D  k‬‬ ‫‪1 Yield locus‬‬ ‫‪2  -plane‬‬ ‫‪3 von Mises‬‬ ‫‪632‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(11   22 )2  ( 22   33 )2  ( 33  11 ) 2    122   232  132  k 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫با در نظرگيري تنشهاي اصلي‪‬‬ ‫(‪)12-7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(1   2 )2  ( 2   3 )2  ( 3   1 )2   k 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫تحت لرايط کششي ساده ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)13-7‬‬ ‫(حد تسلیم کششی)‬ ‫‪1   yt‬‬ ‫‪ 2  3  0‬‬ ‫&‬ ‫با فرض برابري تنش تسليم در فشار و کشش نيز داريم‪:‬‬ ‫‪ yt   yc   y‬‬ ‫(‪)14-7‬‬ ‫که ‪  y‬تنش تسليم کششي يا فشار تک محوري است‪ .‬بدين ترتيب ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1  k 2   y2  k  y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪)15-7‬‬ ‫(‪)16-7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(11   22 )2  ( 22   33 )2  ( 33   11 ) 2   122   232  132  y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫براي بررسي عملكرد متيار تسليم‪ ،‬آزمايش برش خالص را در نظر ميگيريم‪ .‬با جايگذاري مولفههاي‬ ‫تانسور تنش در متادله باال خواهيم دالت‪:‬‬ ‫(‪)17-7‬‬ ‫‪11   22   33   23  13  0‬‬ ‫‪12  s‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪‬‬ ‫بدين ترتيب براي موالحي که از متيار ون ميزس ترتيت مينمايد تنش تسليم در بارش سااده باه‬ ‫‪1‬‬ ‫برابر مقدار نظير در کشش يا فشار تک محوري خواهد بود‪ .‬لاكل کلاي متياار در لارايط‬ ‫ميزان‬ ‫‪3‬‬ ‫تنش مسطح ( ‪ )  3  0‬بوور زير قابل بيان است‪:‬‬ ‫‪(1   2 )2  ( 2   3 )2  ( 3  1 )2   6k 2  2 y2‬‬ ‫‪ 12   22  1 2  y2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)18-7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪          ‬‬ ‫‪  1    2    1  2   1‬‬ ‫‪  y    y    y   y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫اين متادله در دستگاه مختوا‬ ‫‪633‬‬ ‫‪   1  :   2 ‬يک بيضي است کاه باه بيضاي ون ميازس مشاهور‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ y  y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ميبالد‪ .‬تووير متيار بر صفحه پي نيز دايرهاي به لتاع ‪ y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫است‪ .‬لكل (‪ )4-7‬تواوير متيار بر اين‬ ‫صفحا را نشان ميدهد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)4-1‬تصاویر معيار ون ميزس در شرایط تنش مسطح و صفحه ‪( ‬دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -9-3-7‬معیار ترسکا‬ ‫بر اساس اين متيار‪ ،‬تسليم در زماني روي ميدهد که مقدار حداکثر تانش برلاي در جسام ايجااد‬ ‫گردد‪ .‬تمامي وضتيتهاي داخل متيار تسليم االستيک و روي آن لرايط پالستيک را نشان مايدهاد‪ .‬در‬ ‫اين متيار تنش تسليم در کشش و فشار يكسان فرض ميلود که براي بساياري ماواد از جملاه خاکهاا‬ ‫يک محدوديت بزرگ محسوب ميگردد‪ .‬همانطور که در بخش توصيف صفحه پي مشخص لاد‪ ،‬لاش‬ ‫قطاع مختلف از صفحه در وضتيتهاي تنش اصلي متفاو وجود دارد‪ .‬در قطته ‪ T5OT6‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)19-7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2  1   Tmax‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2   3  1 ‬‬ ‫طرق لكل (‪ ،)5-7‬در لرايط تک محوري با تنش تسليم ‪ ،  y‬تنش برلي حداکثر ‪ 1 2  y‬است‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)2-1‬ارتباط مقاومت برشی و مقاومت فشاری تک محوری‬ ‫‪1 Tresca‬‬ ‫‪634‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2  1    y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  2  1   y‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)21-7‬‬ ‫با توجه به عدم تأثير ‪  3‬در فرموالسيون‪ ،‬متيار تسليم ايان قطتاه‪ ،‬خاط (ياا صافحه اي) ماوازي‬ ‫صفحه ‪  3  0‬خواهد بود‪ .‬بدين ترتيب با توجه به مساوي بودن مقاومت در کشش و فشاار در لاش‬ ‫قطته‪ ،‬فرم کلي متيار ترسكا بوور زير نتيجه و مطابق لكل (‪ )6-7‬ترسيم ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)21-7‬‬ ‫(‪)22-7‬‬ ‫(‪)23-7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1   2   y  1   2   y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  2   3   y‬‬ ‫‪ 2   3  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3  1   y   3  1   y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بر اين اساس‪ ،‬در لرايط تک محوري که دو مولفه تنش اصلي برابر صفر هستند‪ ،‬مولفه ساوم تانش‬ ‫موجود برابر مقاومت تسليم ‪  y‬خواهد بود‪.‬‬ ‫مشابه متيار ون ميزس در لرايط برش خالص نيز ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ 1  S‬‬ ‫‪ 2  S‬‬ ‫‪3  0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪S 0  ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪S   S    y ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪   0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)24-7‬‬ ‫‪S ‬‬ ‫نتيجه ميلود که بر اساس متيار تساليم ترساكا‪ ،‬حاداکثر تانش برلاي در لارايط بارش خاالص‬ ‫‪ 1 2  y‬است‪ .‬بدين ترتيب اين متيار نشان ميدهد که تنش تسليم حين اعماال بارش خاالص نواف‬ ‫لرايط تنش تک محوري است‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬تصویر معيار تسليم ترسکا بر صفحه ‪ 3  0‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪632‬‬ ‫مقايسه متيارهاي تسليم ترسكا و ون ميزس در لكل (‪ )7-7‬ارائه لده است‪ .‬خطوط متارف مساير‬ ‫تنش نظير لرايط برش خالص و کشش تک محوري نيز در اين لكل نشان داده لده اند‪ .‬همانطور کاه‬ ‫مالحظه ميگردد‪ ،‬متيار ون ميزس دربرگيرنده و محيط بر متيار ترسكا در هر دو صفحه ماذکور اسات‪.‬‬ ‫تنش تسليم در لرايط کشش يا فشار تک محوري براي هر دو متياار منطراق اسات اماا نسارت تانش‬ ‫تسليم در لرايط برش خالص براي دو متيار از قرار زير خواهد بود که نشاانگر تحمال تانش بيشاتر در‬ ‫لرايط متيار وزن ميزس نسرت به ترسكا است‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫(‪)25-7‬‬ ‫‪2  3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬تصویر معيارهای ترسکا و ون ميزس بر صفحات ‪ ‬و ‪(  3  0‬دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪ -6-7‬رفتار پس از تسلیم‬ ‫بطور کلي وضتيتهاي متفاو براي لريه سازي رفتار مواد پس از وقوع تسليم در آنهاا از قارار زيار‬ ‫ميبالند که قرل از بحث در خووف رفتار پالستيک‪ ،‬به آنها الاره ميلود‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫الف‪ -‬رفتار االستيک کامل‬ ‫‪2‬‬ ‫ب‪ -‬رفتار صلب‪ -‬پالستيک کامل‬ ‫‪3‬‬ ‫پ‪ -‬رفتار صلب‪ -‬خطي و سخت لونده با کرنش‬ ‫‪4‬‬ ‫ رفتار االستيک‪ -‬پالستيک کامل‬‫‪1‬‬ ‫ث‪ -‬رفتار االستيک‪ -‬سخت لوندگي خطي با کرنش‬ ‫‪1 Perfectly elastic‬‬ ‫‪2 Rigid, Perfectly plastic‬‬ ‫‪3 Rigid, linear strain hardening‬‬ ‫‪4 Elastic, perfectly plastic‬‬ ‫‪631‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫لكل (‪ )8-7‬نمايي از انواع مختلف رفتارهاي مذکور به همراه روش مدلسازي آنها با استفاده از جرم و فنر‬ ‫را نشان ميدهد‪ .‬در لكل آخر‪ ،‬در انتهاي منحني تنش‪-‬کرنش رفتار نرم لونده‪ 2‬نيز مشاهده ميگردد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬شرایط مختلف برای رفتار پس از تسليم (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -7-7‬تاثیر مسیر تنش‬ ‫برخالف رفتار االستيک ماده که در آن پاسخ سيستم هيچگونه وابستگي به مسير تنش ندارد و تنها‬ ‫بر اساس وضتيت کنوني کرنشها قابل تريين است‪ ،‬در وضتيت رفتار پالستيک پاسخ سيستم باه لاد‬ ‫تحت تاثير مسير تنش اعمالي و تاريخچاه بارگاذاري قرلاي خواهاد باود‪ .‬مندلساون‪ )1968( 4‬باا ارائاه‬ ‫‪1 Elastic, linear strain hardening‬‬ ‫‪2 Softening‬‬ ‫‪3 Stress path‬‬ ‫‪4 Mendelson‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪631‬‬ ‫استداللي‪ ،‬اين موضوع را توضيح و علت آن را اثرا مينمايد‪ .‬در مساير تانش (‪ )1‬در لاكل (‪ ،)9-7‬باا‬ ‫اعمال بارگذاري محوري بر نمونه از نقطه ‪ O‬تا ‪ A‬در درون سطح تسليم کناوني و در نتيجاه در ناحياه‬ ‫رفتار االستيک قرار داريم‪ .‬به محض رسيدن به سطح تسليم در نقطه ‪ A‬رفتار به حالت االستو پالستيک‬ ‫تغيير يافته و به علت سخت لوندگي سطح تسليم کنوني بزرگتر و باه سامت خاارج گساترش خواهاد‬ ‫يافت‪ .‬با توجه به اعمال نيروي محوري در اين لرايط‪ ،‬کرنش پالستيک بين ‪ A‬تا ‪ B‬از نوع محوري بوده‬ ‫و بر اساس رابطه (‪ )26-7‬قابل تتيين است‪:‬‬ ‫شکل‪ :)1-1‬استدالل مندلسون (‪ )6111‬برای وابستگی رفتار پالستيک به مسير تنش (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫(‪)26-7‬‬ ‫با توجه به عدم تغيير حجم و صفر بودن تغييار حجام حاين کشاش سااده در وضاتيت پالساتيک‬ ‫ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ xP   P‬‬ ‫(‪)27-7‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ yP   zP  ‬‬ ‫در اين لرايط بارگذاري‪ ،‬همچنين کليه کرنشهاي برلي نيز برابر صفر خواهند بود‪.‬‬ ‫‪   0‬‬ ‫(‪)28-7‬‬ ‫اگر باربرداري تا نقطه ‪ C‬انجام گيرد‪ ،‬حين باربرداري تا نقطه ‪ C‬کرنشها کامال االستيک خواهد باود‪.‬‬ ‫در اين وضتيت اگر با ترکيب برش و کشش به مسير ‪ CDE‬ادامه دهيم‪ ،‬با توجه به قرارگيري کال ايان‬ ‫‪p‬‬ ‫‪zx‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪yz‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪631‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫مسير تنش درون محدوده ساطح تساليم کناوني يتناي ساطح لاماره ‪ 2‬در لاكل‪ ،‬هيچگوناه کارنش‬ ‫پالستيكي ايجاد نخواهد لد‪ .‬بدين ترتيب کرنش پالستيک در نقطه ‪ E‬با نقطه ‪ B‬برابر خواهد بود‪.‬‬ ‫در تالش دوم‪ ،‬ابتدا نمونه در مسير برش خالص ‪ OGH‬حرکت مينمايد‪ .‬تا نقطه ‪ G‬تغيير لكل بواور‬ ‫االستيک و از ‪ G‬تا ‪ H‬به وضتيت پالستيک خواهد بود‪ .‬با توجه به صفر باودن تغييارا حجماي نموناه‬ ‫حين اعمال برش خالص‪ ،‬کرنشهاي پالستيک در ‪ H‬از قرار زير هستند‪:‬‬ ‫(‪)29-7‬‬ ‫(‪)31-7‬‬ ‫‪ xP   yP   zP  0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪xz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪yz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪xy‬‬ ‫‪‬‬ ‫حال اگر باربرداري تا ‪ K‬انجام و با سپس با مسير تنش ترکيري کشش و نياروي محاوري ‪ KLE‬باه‬ ‫همان نقطه ‪ E‬برسيم‪ ،‬تغيير مكانها در باربرداري تا ‪ K‬و بارگذاري تا ‪ E‬همگي االستيک خواهند بود زيرا‬ ‫درون منحني تسليم کنوني يتني منحتي لماره ‪ 2‬قرار داريم‪ .‬بدين ترتيب کرنش پالستيک در نقطه ‪E‬‬ ‫و ‪ H‬با هم برابر خواهند بود‪.‬‬ ‫در مقايسه دو حالت مذکور‪ ،‬علاي رغام وضاتيت نهاايي يكساان هار دو مساير تانش در نقطاه ‪،E‬‬ ‫کرنشهاي پالستيک بوجود آمده در اين نقطه‪ ،‬تحت دو مسير تنش مختلف‪ ،‬متفاو خواهناد باود‪ .‬ايان‬ ‫موضوع تأثير مسير تنش بر کرنشهاي پالستيک را نشان ميدهد و بيان ميکند تاريخچه بارگاذاري بار‬ ‫پاسخ سيستم در وضتيت کرنشهاي پالستيک موثر ميبالد‪.‬‬ ‫‪ -8-7‬تعیین کرنشهای پالستیک‬ ‫‪ -3-9-7‬رابطه تنش‪-‬کرنش لوی‪-‬میزس‬ ‫‪3‬‬ ‫از اولين تاللها براي تتيين ارتراط تنش‪-‬کرنش در لرايط پالستيک‪ ،‬روابط لوي‪-‬ميزس بوده است‪.‬‬ ‫لوي (‪ )1871‬با صرفنظر از کرنشهاي االستيک رابطه زير را براي تتيين کرنشهاي پالستيک ارائه نمود‪.‬‬ ‫‪d 11 d  22 d  33 d 12 d  23 d 13‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S 11‬‬ ‫‪S 22‬‬ ‫‪S 33‬‬ ‫‪S 12‬‬ ‫‪S 23‬‬ ‫‪S 13‬‬ ‫(‪)31-7‬‬ ‫‪d  ij  S ij‬‬ ‫یا‬ ‫در اين رابطه ‪ Sij‬تانسور تنش انحرافي‪ d  ij ،‬جزء کرنش (پالستيک)‪  ،‬مقدار مثرتي اسات کاه‬ ‫ميتواند در خالل بارگذاري تغيير نمايد‪ .‬اين رابطه‪ ،‬قانون جرياان لاوي‪-‬ميازس نياز نامياده مايلاود‪.‬‬ ‫همچنين در اين رابطه فرض ميلود که مواد تحت جريان پالستيک و يا پروسه تسليم تراکم ناپذيرناد‬ ‫لذا ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪1 Levy- Mises‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪631‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‪)32-7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Eijp   ijP   kkP  ij   ijP‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بنابراين تانسور کرنش انحرافي با تانسور کرنش پالستيک کل برابر خواهند بود‪.‬‬ ‫با توجه به فرض دوم‪ ،‬يتني صفر بودن تغييرا حجم حين پروسه تسليم‪ ،‬بنظر ميرسد کاه رابطاه‬ ‫لوي‪-‬ميزس براي عمده فلزا مناسب است گرچه براي بساياري از مواالح ژئولاوژيكي رابطاه مناساري‬ ‫نخواهد بود‪ .‬بدين ترتيب بطور رابطه لِوي–ميزس عليرغم کوچک بودن کرنشهاي االساتيک در خااك و‬ ‫قابل توجه بودن کرنشهاي پالستيک در آن (که با فرض اول مدل هماهنگ است) جوابهاي مناساري در‬ ‫موالح خاکي نميدهد‪ ،‬ولي در فلزا که دامنه کرنشهاي االستيک بزرگتر و غيرقابل صرفنظر است (که‬ ‫با اولين فرض مدل ناهماهنگ ميبالد) جوابهاي مناسري ارائه خواهد کرد‪.‬‬ ‫‪ -9-9-7‬رابطه تنش‪-‬کرنش پرنتل‪-‬رویس‬ ‫‪3‬‬ ‫در اين متيار‪ ،‬کرنش کل بوور مجموع کرنشهاي االستيک و پالستيک لحاظ ميگردد و بر خالف‬ ‫متيار قرلي‪ ،‬از کرنشهاي االستيک صرفنظر نميگردد‪.‬‬ ‫(‪)33-7‬‬ ‫‪d  de d p‬‬ ‫بر اساس اين متيار‪ ،‬جزء کرنش پالستيک متناسب با تنش انحرافي وارده در هر مرحله از بارگذاري‬ ‫است‪:‬‬ ‫‪d 11p d  22p d  33p d 12p d  23p d 13p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S 11‬‬ ‫‪S 22‬‬ ‫‪S 33‬‬ ‫‪S 12‬‬ ‫‪S 23‬‬ ‫‪S 13‬‬ ‫(‪)34-7‬‬ ‫‪ d  ijp   Sij‬‬ ‫با نولتن روابط براي مولفه هاي مختلف و کسر آنها از يكديگر ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪d   d    S 11  S 22 ‬‬ ‫(‪)35-7‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪d  22  d  33   S 22  S 33 ‬‬ ‫(‪)36-7‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪d  33  d 11   S 33  S 11 ‬‬ ‫(‪)37-7‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪22‬‬ ‫(‪)38-7‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪d  p  d  33p d  33p  d 11p‬‬ ‫‪d 11p  d  22p‬‬ ‫‪ 22‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S 11  S 22‬‬ ‫‪S 22  S 33‬‬ ‫‪S 33  S 11‬‬ ‫براي تتيين ضريب 𝜆 در اين رابطه نيز ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪    22   33   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d 11p   S 11   11   11‬‬ ‫‪   3  11  2  22   33 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d  22p    22   11   33 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 Prandtl- Reuss‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪642‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  33   11   22 ‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d 13p  13‬‬ ‫‪, d  23p   23‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪d  33p ‬‬ ‫‪d 12p  12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ d  d    d  d    d  d   6  d   6  d   6  d ‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  2 11   22    22   33    33  11   6122  6 23‬‬ ‫‪ 6132 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪ 9 (d oct )  9( oct ) ‬‬ ‫(‪)39-7‬‬ ‫‪3 d  p oct‬‬ ‫‪2 J2D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d  p oct‬‬ ‫‪ oct‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫همانطور که اين رابطه نشان ميدهد‪ ،‬ضريب 𝜆 ثابت نروده و بوور تابتي از تانسور تنش و کارنش‬ ‫در هر لحظه و بر اساس نامتغير دوم تانسور تنش انحرافي و کرنش اکتاهدرال قابل محاسره است‪.‬‬ ‫‪ -1-9-7‬تعیین اجزای کرنشهای برشی و حجمی‬ ‫لكل (‪ )11-7‬يک سطح تسليم و مرز ناحيه االستيک و پالستيک را نشان ميدهد‪ .‬تغيير تانش در‬ ‫داخل سطح تسليم همراه با تغييرلكل هاي برگشت پذير يا االستيک است‪ .‬ارترااط نماو تغييرمكاان و‬ ‫نمو تنش با مشخص کردن خووصيا االستيک خاك قابل محاسره اسات‪ .‬باا فارض رفتاار همساان و‬ ‫االستيک خاك درون سطح تسليم‪ ،‬رابطه تنش کرنش االستيک به صور زير نولته ميلود که در آن‬ ‫تغييرا حجم با تغييرا تنش موثر ميانگين قابل تتيين است‪.‬‬ ‫(‪)41-7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   q ‬‬ ‫‪3G ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ve   K‬‬ ‫‪ e  ‬‬ ‫‪ s  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫در اين رابطه ‪  ve‬نمو کرنش حجمي االستيک‪  se ،‬نمو کرنش برلي االستيک‪  p ،‬نمو تانش‬ ‫موثر ميانگين‪  q ،‬تنش انحرافي‪ K ،‬مدول بالک و ‪ G‬مدول برلي خاك ميبالد‪.‬‬ ‫نمونه خاك با سطح تسليم )‪ (yl‬در صفحه تنش ‪ q  p‬در لكل (‪-11-7‬الاف) نشاان داده لاده‬ ‫است‪ .‬مكان‪ ،‬لكل و اندازه سطح تسليم خاك در لكل (‪-11-7‬الف) از روي تاريخچاه بارگاذاري قرلاي‬ ‫نمونه متين ميلود‪ .‬يكي از حالتهاي محتمل بارگذاريهاي پيشين‪ ،‬تراکم يک بتدي خاك بالد‪ .‬مساير‬ ‫تنش مربوطه با خط مستقيم ‪ OC‬در صفحه تانش ( ‪ ) q  p‬نشاان داده لاده کاه از نقطاه ‪ C‬نظيار‬ ‫حداکثر فشردگي خاك بر خط فشردگي نرمال‪ )ncl( 1‬در لكل ‪-11-7‬ب عرور ميکند‪.‬‬ ‫‪1 Normal compression line‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪646‬‬ ‫براي هار نقطاه مانناد ‪ A‬درون ساطح تساليم نياز مقادار حجام مخواوف‪ 1‬قابال تتياين مايبالاد‬ ‫‪   1 e ‬بدين ترتيب وضتيت نظير اين نقطه در صفحه تغييرا حجم ‪   p‬در لكل (‪-11-7‬ب)‬ ‫قابل ترسيم است‪ .‬با تغيير در تنش موثر نقطه ‪ A‬به نقطه ‪ B‬و بروز تغيير حجم در نمونه‪ ،‬وضتيت جدياد در‬ ‫‪2‬‬ ‫اين صفحه محاسره ميلود‪ .‬وضتيت تمامي نقاط داخلي سطح تساليم بار خطاوط بااربرداري‪ -‬بارگاذاري‬ ‫مجدد )‪ (url‬قرار دارند که ترکيب حجم مخووف و تنش موثر در حالت االستيک و قابل بازگشت را مترفاي‬ ‫مينمايد‪ .‬خط تحكيم ايزوتروپ و خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد را ميتوان در مقيااس لگااريتمي بواور‬ ‫نشان داده لده در لكل (‪ )13-7‬و بوور خطي رسم نمود‪.‬‬ ‫شکل‪ :)62-1‬خط تراکم نرمال )‪ ،(ncl‬تابع تسليم )‪ (yl‬و خط بارگذاری‪-‬باربرداری مجدد )‪( ،(url‬وود‪)6112 3‬‬ ‫‪1 Specific volume‬‬ ‫‪2 Unloading-reloading line‬‬ ‫‪3 Wood‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪642‬‬ ‫شکل ‪ :)66-1‬خط تراکم نرمال و خط بارگذاری‪-‬باربرداری مجدد )‪ (url‬در صفحه ‪  ln p‬‬ ‫در اين فضا رابطه خط تحكيم ايزوتروپ )‪ (ncl‬به صور زير در ميآيد‪:‬‬ ‫‪      ln p ‬‬ ‫(‪)41-7‬‬ ‫همچنين رابطه خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد )‪ (url‬به صور زير نولته ميلود‪:‬‬ ‫‪      ln p ‬‬ ‫(‪)42-7‬‬ ‫‪ ‬و ‪ ‬ليب دو خط و ‪  ‬و ‪  ‬عرض از مردا خطوط در ‪( p  1‬بر حساب واحاد تانش در‬ ‫لكل ‪ )11-7‬ميبالد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫نتايج آزمايش تحكيم يک بتدي يا ادئومتري اغلب در مقياس نيمه لگاريتمي با درنظرگيري محاور‬ ‫تنش به فرم لگاريتمي رسم ميلاوند‪ .‬در نتيجاه رفتاار فشاردگي و بااربرداري باا اساتفاده از اناديس‬ ‫فشردگي ‪ Cc‬و انديس تورم ‪ Cs‬که در لكل (‪ )12-7‬نمايش داده قابال بياان اسات‪ .‬در ايان صاور‬ ‫رابطه خط تحكيم ايزوتروپ به صور ‪:‬‬ ‫(‪)43-7‬‬ ‫‪   c  Cc log10  v‬‬ ‫و رابطه باربرداري يا تورم به صور زير نولته ميلود‪:‬‬ ‫(‪)44-7‬‬ ‫‪   s  Cs log10  v‬‬ ‫که در آن ‪  c‬و ‪  s‬عرض از مردا خطوط در ‪(  v  1‬بر حسب واحد تانش) مايبالاند‪ .‬لايب‬ ‫خطوط در متادال اخير به صور زير با يكديگر ارتراط پيدا ميکنند‪:‬‬ ‫(‪)45-7‬‬ ‫(‪)46-7‬‬ ‫‪Cc   ln10 2.3‬‬ ‫‪ ln10 2.3‬‬ ‫‪Cs‬‬ ‫‪1 Oedometer test‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪643‬‬ ‫شکل ‪ :)62-1‬نتایج آزمایش تراکم یک بعدی ادئومتر با اندیس فشردگی ‪ Cc‬و اندیس تورم ‪Cs‬‬ ‫با مشتق گيري از رابطه (‪ ،)42-7‬فرم ديفرانسيلي اين متادله به صور زير نولته لود‪:‬‬ ‫(‪)47-7‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ e  ‬‬ ‫در اين متادله‪ ،‬باالنويس ‪ e‬نشان دهنده تغييرا حجمي قابال بازگشات ياا االساتيک مايبالاد‪ .‬از‬ ‫آنجايي که تغييرا در حجم مخووف باعث تغييرا در کرنش حجمي ميلود‪:‬‬ ‫(‪)48-7‬‬ ‫رابطه (‪ )48-7‬به صور زير نولته ميلود‪:‬‬ ‫(‪)49-7‬‬ ‫با توجه به رابطه (‪ )49-7‬نتيجه ميلود‪:‬‬ ‫(‪)51-7‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ p  p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ p vp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ ve  ‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ -1-9-7‬کرنش حجمی و سخت شوندگی پالستیک‬ ‫در قسمت قرل تغييرا تنش در داخل سطح تسليم در نظر گرفتاه لاد‪ .‬تغيياري در تانش مانناد‬ ‫مسير تنش از نقطه ‪ K‬بر سطح کنوني تسليم )‪ (yl-1‬تا نقطه ‪ L‬بيرون از آن را در نظر بگيريد که مطابق‬ ‫لكل (‪-15-7‬الف) باعث تسليم خاك ميلود‪ .‬مسلما حالت تنش ‪ L‬بايد بار ياک تاابع تساليم جدياد‬ ‫‪644‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫)‪ (yl-2‬واقع لود‪ .‬فرض ميلود که بدون توجه به ميزان فشار پيش تحكيمي لكل سطح تساليم ثابات‬ ‫مانده و فقط اندازه آن تغيير ميکند‪ .‬در ضمن لكل سطح تسليم بدون توجه به مسير تنشي که منجار‬ ‫به تشكيل آن ميلود‪ ،‬ثابت ميماند‪ .‬به عرار ديگر سطوح تسليم متوالي هميشه لكل يكسان دارند‪.‬‬ ‫وضتيت خاك عادي تحكيم يافته تا نقطه ‪ A‬بر روي تابع تسليم ‪ yl-1‬قرار دارد‪ .‬درصورتيكه بار اسااس‬ ‫لكل (‪-13-7‬ب) با افرايش تنش ايزوتروپ و تحكيم بيشتر خاك بر خاط ‪ ncl‬باه نقطاه ‪ B‬برسايم‪ ،‬ساطح‬ ‫تسليم جديد گسترش يافته ‪ yl-2‬در صفحه تنش را خواهيم دالت‪ .‬اما در صور باربرداري در هار کادام از‬ ‫وضتيتهاي نظير نقاط ‪ A‬و ‪ B‬در لكل (‪-15-7‬ب)‪ ،‬با توجه به عدم ايجاد کرنشهاي پالستيک‪ ،‬تنها بار روي‬ ‫سطح تسليم کنوني حرکت خواهيم نمود‪ .‬بدين ترتيب‪ ،‬نقااط ‪ K‬و ‪ L‬در صافحه تغييارا حجماي‪ ،‬کاه بار‬ ‫خطوط ‪ url-1‬و ‪ url-2‬قرار دارند در صفحه تنش بترتيب بر منحنيهاي تسليم ‪ yl-1‬و ‪ yl-2‬واقع ميلوند‪.‬‬ ‫تغيير حجم کل که در مسير تنش از ‪ K‬تا ‪ L‬در لكل (‪-13-7‬الف) اتفاق ميافتد‪ ،‬با ميزان اخاتالف‬ ‫حجم مخووف ‪ ‬برروي محور عمودي ‪ v‬مشخص ميلود‪ .‬براي مدلسازي رفتار االساتو‪-‬پالساتيک‬ ‫خاك الزم است که اين تغيير حجم کل را به دو بخش برگشت پذير و غيرقابل برگشت تقسيم نمود‪:‬‬ ‫(‪)51-7‬‬ ‫‪v  v e  v p‬‬ ‫در لكل (‪ )14-7‬مشاهده ميلود که تغيير حجام پالساتيک خااك‪ ،‬تفااو دو خاط بااربرداري‪-‬‬ ‫بارگذاري مجدد در تنش موثر ميانگين ثابت ميبالد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)63-1‬الف‪ -‬انبساط سطح تسليم از ‪ yl-1‬به ‪ yl-2‬با افزایش تنش تحکيمی‪،‬‬ ‫ب‪ -‬تغييرات متناظر خط باربرداری‪-‬بارگذاری مجدد از ‪ url-1‬به ‪( url-2‬وود ‪)6112‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪642‬‬ ‫شکل ‪ :)64-1‬تنش موثر ميانگين رسم شده در مقياس لگاریتمی‬ ‫متادله خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد ‪ url-1‬به صور زير است‪:‬‬ ‫(‪)52-7‬‬ ‫‪1    1   ln p‬‬ ‫همچنين مطابق لكل‪ ،‬متادله خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد ‪ url-2‬نيز به صور زير است‪:‬‬ ‫(‪)53-7‬‬ ‫‪ 2    2   ln p‬‬ ‫تغيير در حجم مخووف مربوط به بخش پالستيک از تغيير در عرض از مردا ‪  ‬در متاادال بااال‬ ‫به دست ميآيد‪:‬‬ ‫(‪)54-7‬‬ ‫‪v p   2 1  vk 2  vk1‬‬ ‫بدين ترتيب‪ ،‬تغيير حجم االستيک از کم کردن اين مقدار از کل تغيير حجم مخووف بين نقاط ‪ A‬و ‪B‬‬ ‫در لكل (‪ )14-7‬بدست خواهد آمد‪ .‬همچنين در اين لكل‪ ،‬‬ ‫‪ p01‬تنش متناظر نقطه ‪ A‬بر خاط فشاردگي‬ ‫نرمال و ‪‬‬ ‫‪ p02‬تنش نظير نقطه ‪ B‬بر اين خط است‪ .‬بنابراين تغيير حجم پالستيک بواور تغييار در حجام‬ ‫‪ p02‬افازايش و ساپس مجاددا باه ‪‬‬ ‫‪ p01‬به ‪‬‬ ‫مخووف وقتي تنش بر خط فشردگي نرمال از ‪‬‬ ‫‪ p01‬کااهش‬ ‫مييابد نيز قابل تتريف ميبالد‪ .‬بر اين اساس از متادال (‪ )41-7‬و (‪ )42-7‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)55-7‬‬ ‫(‪)56-7‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫) ‪ p   ln( 02 )   ln( 02‬‬ ‫‪P01‬‬ ‫‪P01‬‬ ‫‪P‬‬ ‫) ‪ (   ) ln( 02‬‬ ‫‪P01‬‬ ‫‪641‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫جمله اول در متادله (‪ ،)55-7‬تغيير حجم کلي که با افزايش تنش موثر ميانگين از ‪ A‬تا ‪ B‬رخ ميدهد را‬ ‫نشان ميدهد و جمله دوم قسمتي از اين تغيير حجم است که با کاهش تنش ميانگين باازمي گاردد يتناي‬ ‫تغيير حجم االستيک را نشان ميدهد‪ .‬به فرم ديفرانسيلي متادله فوق را ميتوان به صور زير نولت‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p  (   ) 0‬‬ ‫(‪)57-7‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫با ترکيب متادال (‪ )48-7‬و (‪ ،)57-7‬کرنش پالستيک به صور زير بدست خواهد آمد‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ v p  (   ) 0‬‬ ‫(‪)58-7‬‬ ‫‪ p0‬‬ ‫رابطه اخير بسيار لريه به متادله (‪ )49-7‬مربوط به تغييرا کرنش حجمي االستيک بوده و تفاو‬ ‫مشاهده لده در ضرايب آنها ميبالد‪ .‬ضريب ) ‪ (   ‬در متادله (‪ )58-7‬که تغيير حجم پالستيک را‬ ‫کنتاارل ماايکنااد حاادودا ‪ 4‬براباار ضااريب ) ‪ ( ‬اساات کااه تغيياار لااكل االسااتيک را در متادلااه‬ ‫(‪ )49-7‬کنترل مينمايد‪ .‬همچنين زماني که تنش موثر ميانگين ( ‪ ) p ‬تغيير ميکند تغييرا حجماي‬ ‫االستيک رخ ميدهد ولي تغييرا حجمي پالستيک تنها زماني اتفاق ميافتد که اندازه تابع تسليم کاه‬ ‫با تنش فشردگي نرمال ( ‪ ) p 0‬مشخص لده تغيير کند‪.‬‬ ‫مقدار کل نمو کرنش حجمي مجموع مقادير االستيک و پالستيک آن ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)59-7‬‬ ‫(‪)61-7‬‬ ‫‪ v   ve   vp‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪v  ‬‬ ‫‪ (   ) 0‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p 0‬‬ ‫به همين ترتيب در مورد تغييرا کلي در حجم مخووف ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)61-7‬‬ ‫‪   e   p‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ (   ) 0‬‬ ‫(‪)62-7‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫زماني که خاك تحت تراکم يک بتدي قرار دارد‪ ،‬حالت تنش در راس تابع تسليم کنوني است و در نقاط‬ ‫‪ B ،A‬و ‪ C‬در لكل (‪ )15-7‬با ‪ p   p 0‬قرار داريم‪ .‬با جايگذاري در رابطه (‪ )61-7‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)63-7‬‬ ‫و تغيير کل در حجم مخووف برابر است با‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪v  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫(‪)64-7‬‬ ‫‪p‬‬ ‫که با انتگرال گيري‪ ،‬مكان هندسي نقاط ‪ B ،A‬و ‪ C‬يا همان متادله خط فشردگي نرمال باه دسات‬ ‫ميآيد‪:‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫(‪)65-7‬‬ ‫‪641‬‬ ‫‪      ln p ‬‬ ‫شکل ‪ :)62-1‬مکان هندسی تنشهای تسليم و نقاط نظير آنها بر خط فشردگی نرمال‬ ‫براي توضيح بيشتر در زمينه تفكيک کرنش حجمي االستيک و پالساتيک‪ ،‬پاساخ خااك رساي در‬ ‫مترض سه مسير تنش ‪ PR ،PQ‬و ‪ PS‬در سطح تسليم ‪ yl-1‬که از نقطه ‪ P‬لاروع مايلاوند را در نظار‬ ‫بگيريد (لكل ‪ .)16-7‬مسير ‪ PQ‬به سمت داخل تابع تسليم حرکت ميکناد در نتيجاه پاساخي کاامال‬ ‫االستيک را در بر خواهد دالت‪ .‬در صفحه تراکم ‪   p‬اين مسير بر روي خط بااربرداري‪-‬بارگاذاري‬ ‫مجدد ‪ url-1‬حرکت ميکند که تغيير حجم و تغيير کرنش االستيک آن به ترتيب توسط روابط (‪)47-7‬‬ ‫و (‪ )49-7‬به دست ميآيد‪ .‬اين تغييرا االستيک‪ ،‬تغييري در مقدار تنش پايش تحكيماي ‪ p 0‬ايجااد‬ ‫نميکند‪.‬‬ ‫مسير تنش ‪ PR‬در جهت قائم به سمت باال در صفحه تنش ‪ q  p‬در ‪ p ‬ثابات حرکات مايکناد‪.‬‬ ‫حالت تنش موثر جديد برروي تابع تسليم جديد ‪ yl-2‬قرار ميگيرد که ميتوان آن را باا فشاردگي نرماال از‬ ‫‪ p 01‬تا ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ p 02‬يا حرکت بر خط فشردگي نرمال ‪ ncl‬از ‪ A‬تا ‪ B‬در لكل ‪ 16-7‬بيان نمود‪ .‬تابع تسليم جدياد‬ ‫‪ yl-2‬با خط باربرداري–بارگذاري مجدد ‪ url-2‬همراه اسات کاه از نقطاه ‪ B‬بار خاط فشاردگي نرماال آغااز‬ ‫ميگردد‪ .‬طرق رابطه (‪ )49-7‬و با توجه به عدم تغيير تنش ماوثر مياانگين ‪ ، p ‬کارنش حجماي االساتيک‬ ‫وجود ندالته و بنابراين تغيير حجم نمونه در اين مسير تنش بوور کامال پالستيک خواهد بود‪ .‬تغيير حجم‬ ‫و کرنش حجمي پالستيک به ترتيب از روابط (‪ )57-7‬و (‪ )58-7‬قابل محاسره خواهند بود‪.‬‬ ‫‪641‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬بررسی کرنشهای حجمی ایجاد شده در مسيرهای مختلف تنش (وود ‪)6112‬‬ ‫مسير تنش ‪ PS‬حالتي را نشان ميدهد که طي آن تغيير در تنش موثر ميانگين ‪ p ‬دقيقا به انادازه‬ ‫مقدار نظير در مسير تنش ‪ PQ‬است اما نقاط طوري انتخاب لده اند که عالوه بر قرارگيري نقطاه ‪ S‬بار‬ ‫منحني تسليم انرساط يافته ‪ ،yl-2‬قرار دارد بلكه حجم مخووف آن در تماامي نقااط مساير تانش باه‬ ‫اندازه حجم اوليه در نقطه ‪ P‬ميبالد‪ .‬بترار ديگر‪ ،‬تووير اين مسير تنش در صافحه تاراکم ‪،   p‬‬ ‫خط افقي ‪ PS‬به موازا محور ‪ p ‬خواهد بود‪ .‬در اين مسير‪ ،‬هر دو مولفه کرنشهاي حجمي االستيک و‬ ‫پالستيک تغيير کرده اما تغيير حجم کلي صفر است‪ .‬لذا داريم‪:‬‬ ‫(‪)66-7‬‬ ‫‪   e   p  0‬‬ ‫همچنين بر حسب کرنش حجمي ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)67-7‬‬ ‫‪v  v e  v p  0‬‬ ‫همانطور که در لكل (‪ )16-7‬مشاهده ميلاود در مساير ‪  p   0 ،PS‬اسات کاه طراق رابطاه‬ ‫(‪ )49-7‬منتج به ‪ ve  0‬ميلود‪ .‬براي صفر ماندن کرنش حجمي کل در اين مسير تانش زهكشاي‬ ‫نشده بايد کرنش پالستيک حجمي ايجاد لده مثرت بالد ( ‪ .) vp  0‬بدين ترتيب بر اسااس رابطاه‬ ‫(‪  p 0  0 )58-7‬و منحني تسليم منرسط خواهد لد‪.‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪641‬‬ ‫‪ -3-9-7‬کرنش برشی پالستیک‬ ‫در بخش قرلي ديديم که تغيير در کرنش حجمي پالستيک سرب تغيير در اندازه سطح تساليم خواهاد‬ ‫لد‪ .‬تغيير حجم پالستيک مثرت ‪  v p  0‬باعث بسط تابع تسليم از ‪ yl-1‬به ‪ yl-2‬ميلود‪ .‬ايان انرسااط‬ ‫ممكن است از طريق مسيرهاي تانش مختلاف ‪ MN ،KL ،GH ،EF ،CD ،AB‬و ياا ‪ PQ‬در لاكل (‪)17-7‬‬ ‫بوجود آيد‪ .‬چون تغيير در تنش ميانگين ‪ p ‬در هر کدام از اين مسيرها متفاو است‪ ،‬تغيير حجم االستيک‬ ‫نظير آنها قطتا متفاو خواهد بود‪ .‬ولي از آنجاييكه هر مسير اتوالي بين دو تابع تسليم ثابت را ايجاد کارده‬ ‫است‪ ،‬تغيير در تنش تحكيمي ‪ p 0‬در تمامي اين مسيرها (که نشان دهندهي اندازه تابع ميبالاد) يكساان‬ ‫است‪ .‬و بدين ترتيب تغيير حجم پالستيک در تمامي آنها مشابه خواهد بود‪ .‬اين موضوع تفااوتي اساساي در‬ ‫نحوه محاسره تغييرحجم االستيک و پالستيک ميبالد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬مسيرهای تنش متفاوت بين دو تابع تسليم (وود ‪)6112‬‬ ‫کرنش هاي حجمي پالستيک يكي از اجزاي تغيير لكل هاي پالستيک ميبالد و الزم است مقدار‬ ‫کرنشهاي برلي پالستيک ايجاد لده نيز محاسره گردد‪ .‬براي تتيين کرنشاهاي برلاي پالساتيک الزم‬ ‫است تا جهت بردار کرنش پالستيک در روي سطح تسليم متين گردد‪ .‬اين موضوع در ادامه بيشتر مورد‬ ‫بررسي قرار ميگيرد‪.‬‬ ‫‪622‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ -0-9-7‬تابع پتانسیل پالستیک‬ ‫‪3‬‬ ‫مطابق لكل (‪-18-7‬الف) فرض لود که تسليم در وضتيت تانش ‪ Y‬در صافحه ‪ q  p‬اتفااق افتاد‪.‬‬ ‫وقوع تسليم همراه با ايجاد جزء کرنشهاي پالستيک حجماي ‪ vp‬و کرنشاهاي پالساتيک برلاي ‪  sp‬رخ‬ ‫ميدهد‪ .‬در نقطه ‪ Y‬مقادير کرنش پالستيک حجمي و کرنش پالستيک برلي‪ ،‬نظير محورهااي تانش ماوثر‬ ‫ميانگين ‪ p ‬و تنش انحرافي ‪ q‬ترسيم ميلوند‪ .‬جمع برداري اين دو مولفه‪ ،‬بردار نمو کرنش پالستيک کال‬ ‫(‪ )YS‬را نتيجه ميدهد‪ .‬خط ‪ AB‬در نقطه ‪ Y‬عمود بر اين بردار ترسيم ميلود‪ .‬ميتوان براي هر مسير تنش‬ ‫انتخابي ديگر نيز مولفه هاي بردار کرنش پالستيک را رسم و خط عمود بر اين بردار در نقطه تسليم را رسام‬ ‫کرد‪ .‬اين خطوط تشكيل سري منحنيهايي را ميدهند که مطابق لكل ‪-18-7‬الاف بردارهااي نماو کارنش‬ ‫پالستيک بر آنها عمودند‪ .‬اين منحني ها‪ ،‬توابع پتانسيل پالستيک نام دارند‪ .‬به عنوان نمونه‪ ،‬منحني پتانسيل‬ ‫گذرنده از حالت تنش ‪ Y‬که تسليم در آن رخ داده‪ ،‬به همراه بردار جزء کرنش پالستيک که نسارت اجازاي‬ ‫مختلف کرنش پالستيک را نشان ميدهد ارائه لده است‪ .‬بر اساس مواردي که قرال ذکار لاد‪ ،‬جازء کارنش‬ ‫پالستيک حجمي با تغييرا اندازه تابع تسليم مرترط ميبالد‪ .‬با استفاده از توابع پتانسايل پالساتيک ذکار‬ ‫لده‪ ،‬مكانيزم تغييرلكل هاي پالستيک به ويژه تغييرا کرنش برلي پالستيک (مرترط باا لاكل تاابع) و‬ ‫تغييرا در کرنش حجمي پالستيک (مرترط با اندازه تابع) بيان خواهد لد‪.‬‬ ‫شکل‪ :)61- 1‬نمایی از (الف) بردارهای نمو کرنش پالستيک عمود بر منحنيهای پتانسيل (ب) منحنيهای پتانسيل‬ ‫و تسليم (وود ‪)6112‬‬ ‫‪ -7-9-7‬تعامد‪ 9‬و جریان همبسته‬ ‫‪1‬‬ ‫براي تتيين رفتار پالستيک خاك‪ ،‬نياز به هر دو تابع تسليم و پتانسيل مايبالاد‪ .‬يكساان در نظار‬ ‫گرفتن توابع تسليم و پتانسيل پالستيک در يک مدل رفتاري بسيار سودمند است زيرا تتداد متادال و‬ ‫روابطي که براي توصيف پاسخ پالستيک مورد نياز است را کاهش مييابد‪ .‬بتاالوه‪ ،‬يكاي باودن ايان دو‬ ‫‪1 Plastic potential function‬‬ ‫‪2 Normality‬‬ ‫‪3 Associated flow‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪626‬‬ ‫تابع در مواردي که مدلسازي عددي با استفاده از مدل االستو پالستيک خاك در برناماه الماان محادود‬ ‫انجام ميگيرد‪ ،‬بسيار مفيد خواهد بود و حل متادالتي که در پروسه تحليال وجاود دارناد ساريع تار و‬ ‫اعترار مدلسازي عددي راحت تر تضمين ميلود‪.‬‬ ‫انطراق سطوح تسليم و پتانسيل پالستيک به نام قانون جريان همرسته لاناخته مايلاود‪ .‬در ايان‬ ‫وضتيت گفته ميلود که خاك از اصل تتامد پيروي مينمايد زيرا بردار جزء کرنش پالستيک عمود بار‬ ‫سطح تسليم ميبالد‪ .‬رفتار تغييرلكل هاي پالستيک يا جريان پالستيک‪ ،‬با تتامد بار ساطوح تساليم‬ ‫همراه است‪ .‬بدين ترتيب‪ ،‬تتامد و جريان هماراه دو واژه مشاابه باراي ترياين رفتاار پالساتيک مواالح‬ ‫ميبالند‪.‬‬ ‫لكل (‪ )19-7‬سطوح تسليم نمونه هاي رس وينيپگ به دسات آماده از اعمااق مختلاف در فضااي‬ ‫‪q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫به تنش نرمال تحكيمي ‪  vc‬را نشان ميدهد‪ .‬گراهام و همكااران (‪)1983‬‬ ‫تنش بي بتد‬ ‫‪‬‬ ‫‪ vc  vc‬‬ ‫همچنين کرنش هاي قرل و بتد از تسليم را اندازه گيري و بردار نمو کرنش پالساتيک را رسام نمودناد‬ ‫(لكل ‪-21-7‬الف)‪ .‬بر اين اساس بردارهاي نموي کرنش پالستيک عمود بر منحني تساليم مايبالاند‪.‬‬ ‫بررسي هاي دقيق تر نشان داده که انحراف از تتامد اين بردارها نهايتا ‪ 21‬درجه اسات کاه متوساط آن‬ ‫‪ 1‬درجه ميبالد (لكل ‪-22-7‬ب)‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬منحنی های تسليم چهار نمونه رس وینيپگ‪ 6‬بدست آمده از اعماق مختلف و نرمال شده به تنش پيش‬ ‫تحکيمی (گراهام‪ 2‬و همکاران‪)6113 ،‬‬ ‫‪1 Winnipeg‬‬ ‫‪2 Graham‬‬ ‫‪622‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)22-1‬نمایی از (الف) بردارهای نمو کرنش پالستيک در نقاط تسليم بدست آمده از آزمایشات سه محوری بر‬ ‫نمونه های دست نخورده رس وینيپگ (ب) انحراف از تعامد برای رس وینيپگ (گراهام و همکاران‪)6113 ،‬‬ ‫داده هاي مربوط به خاك رس‪ ،‬عمود بودن بردارهاي نمو کرنش پالستيک بر تاابع تساليم را نشاان‬ ‫ميدهند‪ .‬اصل تتامد براي ماسهها کمتر پذيرفته لده و در اغلب مادلهاي االساتو پالساتيک کاه باراي‬ ‫پيش بيني پاسخ اين خاكها استفاده ميلود‪ ،‬فرض بر تفاو توابع تسليم و پتانسيل پالساتيک اسات‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫که به آن قانون جريان غير همراه اطالق ميگردد (لده ‪ ،1977‬ورمير ‪.)1984‬‬ ‫‪5‬‬ ‫همچنين پورولسب‪ 4‬و همكاران (‪ )1967‬با آزمايشا سه محوري فشاري کاه بارروي ماساه اتااوا‬ ‫انجام دادند‪ ،‬به اين نتيجه رسيدند که فرض تتامد بردار نمو کرنش پالستيک بر تابع تسليم باعث تتيين‬ ‫کرنش هاي پالستيک حجمي منفي بزرگتر (انرساط يا اتساع حجمي پالستيک بيشتر) خواهد لد‪.‬‬ ‫‪1 Non-associated flow rule‬‬ ‫‪2 Lade‬‬ ‫‪3 Vermeer‬‬ ‫‪4 Poorooshasb‬‬ ‫‪5 Ottawa sand‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪623‬‬ ‫‪ -9-7‬رفتار پتانسیل پالستیک‬ ‫هنگامي که وضتيت تنش در مسير تنش مورد نظر به سطح تسليم ‪ F‬ميرسد‪ ،‬موالح دچاار تغييار‬ ‫لكل پالستيک ميلوند‪ .‬اين حالت جريان پالستيک ناميده ميلود‪ .‬رابطه جزء کرنش پالستيک و تابع‬ ‫پتانسيل پالستيک ‪ Q‬به صور زير قابل بيان ميبالد‪:‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ ij‬‬ ‫(‪)68-7‬‬ ‫‪d  ijp  ‬‬ ‫اين رابطه نيز به قانون تتامد‪ 1‬مشهور ميبالد زيرا بر اسااس تتاماد جازء کارنش تساليم بار تاابع‬ ‫پتانسيل بدست ميآيد‪ .‬در اين رابطه ‪ Q‬تاابع پتانسايل پالساتيک و 𝜆 فااکتور اساكالر و مثرتاي باراي‬ ‫تناسب ميبالد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اصول کلي پالستيسيته عموما بر تحقيقا دراکر در دهه ‪ 51‬توساته يافتاه اسات‪ .‬اسااس تراوري‬ ‫پالستيسيته دراکر بر چهار لرط به لرح زير استوار ميبالد‪.‬‬ ‫‪ -3-3-7‬شرط پیوستگی‬ ‫‪1‬‬ ‫در صورتيكه وضتيت تنش ‪  ij‬روي سطح تسليم در نظر گرفته لود‪ ،‬تغيير در نمو تنش يا ‪d ij‬‬ ‫ميتواند به صور بارگذاري‪ ،‬باربرداري و يا بارگذاري خنثي انجام گيرد‪ ،‬مشروط بر آنكه مسير تنش باه‬ ‫سمت خارج‪ ،‬داخل و يا مماس بر سطح تسليم واقع لود‪ .‬در لرط پيوساتگي‪ ،‬امكاان ايجااد کرنشاهاي‬ ‫پالستيک تنها براي بارگذاري امكان پذير بوده و باربرداري يا بارگذاري خنثي منجر به ايجاد کرنشاهاي‬ ‫پالستيک نخواهند لد‪.‬‬ ‫‪ -9-3-7‬شرط یکتایی‬ ‫‪1‬‬ ‫بر اساس لرط يكتايي‪ ،‬براي ياک جسام تحات تاأثير مجموعاهاي از نيروهااي خاارجي‪ ،‬تنشاها و‬ ‫کرنشهاي االستيک و پالستيک منتج يكتا ميبالند‪.‬‬ ‫‪ -1-3-7‬شرط برگشت ناپذیری‬ ‫‪3‬‬ ‫بر اساس اين لرط با توجه به بازگشت ناپذيري کرنشهاي پالستيک‪ ،‬کار انجام لاده توساط تغييار‬ ‫لكلهاي پالستيک مثرت خواهد بود‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ ij d  ij  0‬‬ ‫(‪)69-7‬‬ ‫‪1 Normality rule‬‬ ‫‪2 Drucker‬‬ ‫‪3 Condition of continuity‬‬ ‫‪4 Condition of uniqueness‬‬ ‫‪5 Condition of irreversibility‬‬ ‫‪624‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ -1-3-7‬شرط سازگاری‬ ‫‪3‬‬ ‫بر اساس لرط سازگاري‪ ،‬بارگذاري از يک وضتيت پالستيک باه وضاتيت پالساتيک ديگار خواهاد‬ ‫رسيد‪ .‬بترار ديگر تا زمان قرارگيري ماده در وضتيت پالستيک‪ ،‬دائما متيار تسليم ارضا ميگردد‪.‬‬ ‫براي جزء تنش ‪ d‬در لكل (‪ )21-7‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫(‪)71-7‬‬ ‫‪d   d  d ‬‬ ‫امّا بر اساس لرط پيوستگي‪ ،‬کار پالستيک انجام لده توسط تنش مماس بار ساطح تساليم يتناي‬ ‫‪ d t ‬صفر خواهد بود‪ ،‬لذا کرنش پالستيک فقط در راستاي قائم بر سطح تسليم ايجاد خواهد لاد و‬ ‫اين تاييدي بر قانون تتامد است‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)26-1‬اثبات تعامد با استفاده از شروط پيوستگی و سازگاری (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫مثال ‪ :1‬براي متيار تسليم ون ميزس قانون تتامد را بكار برريد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f  (1   2 )2  ( 2   3 )2  ( 3  1 ) 2   k 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  3  1   2‬‬ ‫‪ 3 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  2   3  1 ,‬‬ ‫‪ 2 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1   2   3 ,‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ ij‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 3  1  2 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d  3p ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2  3  1  ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d  2p ‬‬ ‫‪ d  ijp  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 21  2  3  ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ d 1p ‬‬ ‫‪1 Condition of consistency‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫‪622‬‬ ‫مثال ‪ :2‬براي متيار تسليم ترسكا قانون تتامد را بكار برريد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1   3   k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d  3p   ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d  2p  0 ,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ d 1p   ,‬‬ ‫‪ ij‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d  ijp  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -11-7‬کار پالستیک‬ ‫مفهوم کار پالستيک نقش مهمي در قوانين رفتاري در پالستيسيته دارد‪ .‬کاار کال انجاام لاده در‬ ‫واحد حجم براي جزء کرنش ايجاد لده از قرار زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪dW   ij d ij‬‬ ‫(‪)71-7‬‬ ‫جزء کرنش کل نيز از دو بخش االستيک و پالستيک به لرح زير تشكيل لده است‪:‬‬ ‫(‪)72-7‬‬ ‫(‪)73-7‬‬ ‫‪d  ij  d  ije  d  ijp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dW   ij d ije  d ijp   ij d ije   ij d ijp  dW e  dW p‬‬ ‫با توجه به آنكه کار االستيک قابل برگشت ميبالد‪ ،‬اين بخش برابر صفر بوده و تنها بخش باقيمانده‬ ‫کار پالستيک خواهد بود‪ .‬از طرفي در فلزا ‪ ،‬کار انجام لده توسط تنشهاي هيدرواستاتيک صافر اسات‬ ‫لذا تنها بخش باقيمانده کار پالستيک انجام لده توسط تنشهاي انحرافي خواهد بود‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪dW  Sij d  ij‬‬ ‫(‪)74-7‬‬ ‫‪ -11-7‬سخت شوندگی پالستیک‬ ‫رفتار سخت لوندگي در دو سيستم مختلف قابل بحث ميبالد‪ .‬بار اسااس نظار اول‪ ،‬تاابع تساليم‬ ‫تابتي از کار پالستيک انجام لده حين بارگذاري است‪ .‬بترار ديگر بزرگ لدن سطح تسليم با افزايش‬ ‫توام تنشها و کار پالستيک بر اساس رابطه زير ممكن است‪.‬‬ ‫(‪)75-7‬‬ ‫‪f  f  ij ,W p ‬‬ ‫در سيستم دوم نيز مكانيزم تسليم تنها به عنوان تابتي از تنها کرنشهاي پالستيک لحاظ ميگاردد‪.‬‬ ‫بنابراين سخت لوندگي و بسط سطح تسليم تابتي از کرنشهاي پالستيک ايجاد لده خواهد بود‪.‬‬ ‫‪1 Plastic work‬‬ ‫‪621‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)76-7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f  f  ij ,  p‬‬ ‫در مفاهيم تروري پالستيسيته اين دو متيار هم ارز ميبالند‪.‬‬ ‫‪ -12-7‬ارتباط تنش‪-‬کرنش در پالستیسیته کالسیک‬ ‫فرض ميلود که تابع تسليم خاك به صور زير تتريف لود‪:‬‬ ‫(‪)77-7‬‬ ‫همچنين تابع پتانسيل خاك به صور در نظر گرفته ميلود‪:‬‬ ‫(‪)78-7‬‬ ‫‪f ( p , q , p0 )  0‬‬ ‫‪Q ( p , q ,  )  0‬‬ ‫در اين رابطه ‪ ‬پارامتر کنترل کننده اندازه تابع پتانسيل پالستيک است‪ .‬با توجه به قاانون تتاماد‬ ‫خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫(‪)79-7‬‬ ‫‪vp  ‬‬ ‫‪p ‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫(‪)81-7‬‬ ‫‪ sp  ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ ‬يک ضريب است که بر اساس پارامترهاي سخت لوندگي مفروض باراي خااك قابال اساتخراج‬ ‫است‪ .‬با فرض تغيير در اندازه تابع تسليم با تغيير در تنش تحكيمي ‪ ، p 0‬نرخ تغييرا آن با نمو کرنش‬ ‫حجمي پالستيک و کرنش برلي پالستيک که بياانگر قاانون ساخت لاوندگي کرنشاي اسات تتياين‬ ‫ميلود‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‪)81-7‬‬ ‫‪ p0  0p  vp  0p  sp‬‬ ‫‪ v‬‬ ‫‪ s‬‬ ‫فرم ديفرانسيلي تابع تسليم نيز به صور زير است‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‪)82-7‬‬ ‫‪ p  q ‬‬ ‫‪ p 0  0‬‬ ‫‪p ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫با ترکيب روابط (‪ )79-7‬تا (‪ ،)82-7‬پارامتر ‪ ‬به دست ميآيد‪:‬‬ ‫(‪)83-7‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f p 0 Q p 0 Q‬‬ ‫) ‪ p  q‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪p ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪p 0 vp p   sp q‬‬ ‫(‪  ‬‬ ‫با جايگذاري ‪ ‬در روابط (‪ )79-7‬و (‪ ،)81-7‬فرم عمومي رابطه تانش‪-‬کارنش پالساتيک بدسات‬ ‫ميآيد‪:‬‬ ‫فصل هفتم – مبانی پالستيسيته‬ ‫(‪)84-7‬‬ ‫‪621‬‬ ‫‪ f Q f Q ‬‬ ‫‪ p  p  q p    p ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  q ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ s ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ s q    p  q q q ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪v‬‬ ‫بر اساس اين رابطه‪ ،‬اگر توابع تسليم و پتانسيل پالستيک بر يكديگر منطرق بالند و بترارتي خااك‬ ‫از قانون جريان همرسته ترتيت نمايد‪ ،‬ماتريس رفتاري در رابطه (‪ )84-7‬متقارن خواهد لد‪.‬‬ ‫‪ -13-7‬شکل سطح تسلیم‬ ‫با توجه به لكل (‪ )22-7‬و لرط برگشت ناپذيري ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)85-7‬‬ ‫‪ .d  p  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ d  p cos   0‬‬ ‫اين لرط نشان دهنده الزام در حاده بودن زاويه در لكل خواهاد باود‪ .‬بار ايان اسااس مشاخص‬ ‫ميلود که براي ارضاي لرط حاده بودن اين زاويه بايد همواره تقتر سطح تسليم به سمت پاايين و باه‬ ‫عرارتي ديگر تحدب آن به سمت باال بالد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)22-1‬تعيين تقعر و تحدب تابع تسليم (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪621‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫تمرینات فصل هفتم‬ ‫‪-1‬کداميک از فرضيا متيار ‪ Levy-Mises‬در تتيين کرنشهاي پالستيک نيست؟‬ ‫الف‪ -‬ارتراط تنش و کرنش انحرافي مستقل از تنش هيدرواستاتيكي است‪.‬‬ ‫ب‪ -‬جزء کرنش کل برابر با مجموع جزء کرنش االستيک و پالستيک است‪.‬‬ ‫ج‪ -‬تحت فشار همه جانره‪ ،‬ماده بوورا تراکم ناپذير عمل مينمايد‪.‬‬ ‫د‪ -‬محورهاي تنش اصلي و کرنش اصلي بر يكديگر منطرق ميبالند‪.‬‬ ‫‪-2‬کداميک صحيح نيست؟‬ ‫الف‪ -‬در رفتار االستيک‪ ،‬کرنشها مستقل از مسير تنش اعمال لده ميبالند‪.‬‬ ‫ب‪ -‬کرنشهاي پالستيک تحت تاثير مسيرهاي تنش مختلف تغيير مينمايند‪.‬‬ ‫ج‪ -‬براي تتيين دقيق پارامترهاي رفتاري‪ ،‬استفاده از نتايج آزمايش در مسيرهاي تنش مختلف بهتر‬ ‫است‪.‬‬ ‫د‪ -‬در يک مسرله مهندسي‪ ،‬خاك تحت تاثير مسير تنش بارگذاري واحد قرار ميگيرد‪.‬‬ ‫‪-3‬نقش مسير تنش )‪ (stress path‬را در تتيين پارامترهاي مدل رفتاري توضيح دهيد‪.‬‬ ‫‪-4‬مدل االستو پالستيک سخت لونده حجمي نشان داده لاده درزيار رفتاار ياک نموناه خااك را‬ ‫توصيف ميکند‪.‬‬ ‫‪ vp‬‬ ‫‪ p0   p0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫و کرنش حجمي االستيک آن به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪v e  ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫نشان دهيد که اگر مكان هندسي و مسيرهاي تنش موثر زهكشي نشده بر حسب ‪ p ‬و‬ ‫‪p‬‬ ‫ترسيم لوند‪ ،‬آنگاه در هر مقداري از ‪ ‬نسرت ليب هر دو منحني برابر است با‪  1    :‬‬ ‫‪‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫فصل هشتم‬ ‫کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار‬ ‫مکانيکی خاکها‬ ‫‪ -1-8‬مقدمه‬ ‫در فول قرل با موالحي سر و کار دالتيم که رفتار و تسليم آنها مستقل از نامتغير اول تانسور تنش و يا‬ ‫تنش موثر ميانگين بود‪ .‬به اين مواد‪ ،‬موالح غيراصطكاکي‪ 1‬نيز ميگويند‪ .‬در موالح خااکي ايان ناوع رفتاار‬ ‫وجود ندارد و مقاومت آنها به لد تحت تاثير تنش هيدرواستاتيک خواهد باود‪ .‬بار خاالف فلازا ‪ ،‬عموماا‬ ‫خاکها با ازدياد تنش هيدرواستاتيک تغيير حجم زيادي از خود نشان ميدهند و به مقاومت آنها نياز افازوده‬ ‫ميلود‪ .‬الرته رفتار در خاکهاي رسي در لرايط زهكشي نشده را ميتوان تا حدي لريه به فلزا لحاظ نمود‬ ‫و از مدلهاي رفتاري قرلي براي آن استفاده کرد‪ .‬زيرا براي اين موالح نيز با افزايش فشار همه جانره‪ ،‬تغييري‬ ‫در مقاومت برلي زهكشي نشده مشاهده نمينماييم ‪ .   0‬اما بوور کلي‪ ،‬در هر موالحي که رفتاار‬ ‫سخت لونده با ازدياد تنشهاي هيدرواستاتيک مشاهده لود‪ ،‬متيارهاي تسليم ارائه لده در فول قرل مانند‬ ‫ترسكا و ون ميزس مناسب نخواهند بود‪ .‬در اين بخش به بررسي رفتار و موالح اصطكاکي پرداخته ميلود‪.‬‬ ‫‪1 Non-frictional material‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪612‬‬ ‫‪ -2-8‬معیار گسیختگی موهر‪-‬کولمب‬ ‫بر اساس متيار گسيختگي ماوهر‪ -‬کولماب‪ ،‬مقاومات برلاي‪ ،‬باا افازايش تانش نرماال بار صافحه‬ ‫گسيختگي ازدياد مييابد‪.‬‬ ‫‪  c   tan‬‬ ‫(‪)1-8‬‬ ‫در اين رابطه ‪ ‬مقاومت برلي‪ c ،‬چسرندگي و ‪ ‬زاويه اصطكاك خاك خواهاد باود‪ .‬ايان متياار‬ ‫بوور لماتيک در لكل (‪ )1-8‬نشان داده لده است‪ .‬متيار موهر‪-‬کولمب را مايتاوان باا اساتفاده از‬ ‫تنش هاي اصلي نيز بيان نمود‪ .‬بر اساس لكل (‪ )1-8‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪1   3‬‬ ‫(‪)2-8‬‬ ‫‪ AB  BF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1   3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ OA sin  c cos   1‬‬ ‫‪sin  c cos ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫در اين رابطه ‪  3 ,  1‬تنشهاي اصلي حداکثر و حداقل بوده و همانطور که مشاخص اسات از تانش‬ ‫ميانگين ‪  2‬صرفنظر لده است‪ .‬با استفاده از مولفه هاي تانسور تنش‪ ،‬متيار فوق را ميتاوان بواور‬ ‫ديگر نيز نولت‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)3-8‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪sin  c cos‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪   13 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫متيار ارائه لده توسط متادال ذکر لده بيانگر يک لش ضلتي نامتقارن و در فضا يک هرم بوده که در‬ ‫لكل (‪ )1-8‬نشان داده لده است‪ .‬تووير اين متيار بر صفحه پي در لكل (‪ )2-8‬ارائه گرديده است‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫شکل ‪ :)6-1‬معيار گسيختگی موهر‪-‬کولمب در شرایط دو و سه بعدی (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪616‬‬ ‫شکل ‪ :)2-1‬تصویر معيارهای موهر‪-‬کولمب و دراکر‪-‬پراگر بر صفحه پی (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫بر اساس متيار موهر کولمب‪ ،‬مقاومت نظير لرايط تسليم در فشار بيشتر از مقدار نظيار در لارايط‬ ‫کشش خواهد بود‪ .‬اين موضوع بيانگر وابستگي رفتار مكانيكي ماده به نامتغير سوم تانسور تانش اسات‪.‬‬ ‫امّا با توجه به عدم تأثيرپذيري متيار از تنش اصلي مياني‪ ،‬امكان ارائه فرموالسيون آن بار اسااس لاش‬ ‫مولفه تانسور تنش مشكل خواهد بود و بترار ديگر امكان ارائه فرموالسيون بر اساس نامتغيرهاي تنش‬ ‫پيچيده است‪ .‬الرته با استفاده از پارامتر جديد ‪ ‬ميتوان لكل تازهاي از متيار تسليم موهر‪ -‬کولمب را‬ ‫ارائه نمود‪ .‬پارامتر ‪ ‬بر اساس رابطه زير ارائه ميگردد‪.‬‬ ‫(‪)4-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3 3 J3D ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin 1  ‬‬ ‫‪ 2 J3/ 2 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2D ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫بدين ترتيب با استفاده از ‪ J1 ، J 2D‬و ‪ ‬به عنوان سري جديد نامتغيرها‪ ،‬متيار موهر‪-‬کولماب در‬ ‫حالت سه بتدي فضاي تنش به لرح زير ارائه ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)5-8‬‬ ‫‪sinφsinθ  c cosφ  0‬‬ ‫‪J 2D‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f  J1sinφ  J 2D cosθ ‬‬ ‫نكته قابل ذکر آن است که در لرايط ‪   0‬فرموالسيون متيار ماوهر کولماب باه متياار ترساكا‬ ‫ترديل خواهد لد‪.‬‬ ‫‪612‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ -3-8‬تعیین پارامترهای معیار‬ ‫پارامترهاي ‪ c‬و ‪ ‬از آزمايشهاي موطلح مكانيک خاك مانند برش مستقيم يا ساه محاوري قابال‬ ‫محاسره هستند‪ .‬براي تتين اين پارامترها‪ ،‬انجام حداقل دو آزمايش براي ترسيم پاوش مشاترك خطاي‬ ‫دواير موهر الزامي خواهد بود‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -4-8‬مدل دراکر‪-‬پراگر‬ ‫در اين مدل براي در نظرگيري اثر تمامي تنشهاي اصلي و اساتفاده از نامتغيرهااي مرساوم تانساور‬ ‫تنش‪ ،‬رابطه زير براي سطح تسليم پيشنهاد گرديد‪.‬‬ ‫(‪)6-8‬‬ ‫‪f  J 2D   J1  k‬‬ ‫در اين رابطه ‪  , ‬پارامترهاي مثرت و ‪ J1‬نامتيغر اول تانسور تنش است‪ J 2D .‬نياز ناامتغير دوم‬ ‫تانسور تانش انحرافاي خواهاد باود‪ .‬مطاابق لاكل (‪ )3-8‬ايان رابطاه ياک خاط مساتقيم در فضااي‬ ‫‪ J1  J 2D‬خواهد بود‪ .‬لكل متيار در صفحه پي يک دايره به لكل (‪ )2-8‬و در فضااي ساه بتادي‬ ‫نيز يک مخروط است‪.‬‬ ‫وقتي مسير تنش به متيار تسليم برخورد مينمايد کرنشهاي پالستيک ايجاد ميلود که مطابق لاكل‬ ‫(‪ )3-8‬و بر اساس قانون تتامد بر آن عمود خواهند بود‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)3-1‬تعامد کرنشهای پالستيک بر سطح تسليم دراکر‪-‬پراگر (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪ -5-8‬تعیین پارامترها‬ ‫پارامترهاي مدل دراکر‪ -‬پراگر‪ ،‬ليب و عرض از مردأ متيار در فضاي ‪ J1  J 2D‬ميبالند‪ .‬براي‬ ‫تتيين پارامترها نياز به انجام حداقل دو آزمايش برش مستقيم و يا سه محوري متمولي ميبالد‪ .‬با قرار‬ ‫دادن نقاط تسليم در فضاي تنش ‪ ، J1  J 2D‬متيار تسليم مشاخص مايگاردد‪ .‬مقاادير ‪  , ‬بار‬ ‫‪1 Drucker- Prager‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪613‬‬ ‫‪ c, ‬بدسات‬ ‫حسب زاويه اصطكاك داخلي ‪ ‬و چسرندگي ‪ c‬قابل تريين ميبالند‪ .‬با توجه به تفاو‬ ‫آمده از آزمايش سه محوري و آزمايشا کرنش مسطح روابط زير قابل پيشنهاد است‪( .‬دساي و سيريواردان‬ ‫‪)1984‬‬ ‫(‪)7-8‬‬ ‫(‪)8-8‬‬ ‫‪6c cosφ‬‬ ‫‪3  3  sinφ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(9  12tan 2 φ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2sinφ‬‬ ‫‪3  3  sinφ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪tanφ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(9  12tan φ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬سه محوري‬ ‫‪:  ‬کرنش مسطح‬ ‫‪ -6-8‬محدودیتهای مدل دراکر‪-‬پراگر‬ ‫به محض برخورد مسير تنش به سطح تسليم‪ ،‬متيار تسليم ارضا ميلود‪ .‬بنابراين ميتاوان گفات در‬ ‫خالل ايجاد کرنشهاي پالستيک‪ ،‬همواره تغيير در ‪ f‬صفر خواهد بود‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪d  ij  0‬‬ ‫‪ ij‬‬ ‫(‪)9-8‬‬ ‫‪ df ‬‬ ‫‪df  0‬‬ ‫با جايگذاري متادله (‪ )6-8‬يتني سطح تسليم دراکر‪-‬پراگر در متادله (‪ )9-8‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪ f  J 2D   J1  k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪J 2 D  S ij S ij‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)11-8‬‬ ‫‪ Sij‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪df  ‬‬ ‫‪  ij  d ij  0‬‬ ‫‪2 J‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Sij‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ij ‬‬ ‫‪2 J‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ij‬‬ ‫‪2D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫با توجه به رابطه فوق کرنش پالستيک حجمي از قرار زير خواهد بود‪:‬‬ ‫(‪)11-8‬‬ ‫‪d  ijp  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ii‬‬ ‫‪d  iip   ‬‬ ‫‪  ii   3‬‬ ‫‪2 J‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫بدين ترتيب نتيجه ميلود که کرنش پالستيک حجمي همواره داراي عالمت منفي خواهد بود‪ .‬اين‬ ‫موضوع حاکي از افزايش حجم و يا وقوع اتساع در زمان وقوع تسليم تحت اين متيار خواهاد باود‪ .‬باياد‬ ‫توجه دالت که داده هاي آزمايشگاهي براي رسهاي عادي تحكيم يافته و يا ماسه سست نشانگر کاهش‬ ‫حجم و يا رفتار انقراضي در زمان تسليم و گسيختگي است‪ .‬بنابراين‪ ،‬متيار دراکر‪-‬پراگر رابطاه رفتااري‬ ‫مناسري براي اين خاکها نخواهد بود‪ .‬به همين ترتيب متيار دراکر‪ -‬پراگر براي مدلسازي عددي مسائلي‬ ‫چون روانگرايي خاکهاي ماسهاي و يا تراکم ديناميكي خاکها که در آنها با خاکهاي سست مواجه هستيم‬ ‫و تغيير حجمها از نوع فشاري است مناسب نخواهد بود‪.‬‬ ‫‪614‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ -7-8‬بروز رفتار سخت شونده تحت تنش هیدرواستاتیک‬ ‫در بسياري از موالح با منشاء ژئولوژيكي‪ ،‬رفتار ماده از مراحل ابتدايي بارگذاري باا تغييار لاكلهاي‬ ‫پالستيک توام ميبالد‪ .‬به عرار ديگر‪ ،‬بطور قطع با باربرداري مقداري تغيير لكل در آن باقي خواهاد‬ ‫‪1‬‬ ‫ماند که برگشت پذير نخواهد بود‪ .‬با توجه به تتريف تابع تسليم ‪ ،‬ماده بطور پيوسته در لارايط تساليم‬ ‫قرار ميگيرد تا به سطح تسليم نهايي که توسط ‪ f‬مشخص ميلاود و نظيار حالات گسايختگي اسات‬ ‫‪2‬‬ ‫برسد‪ .‬اين سطح گسيختگي در واقع همان سطح تسليم نهايي ماده خواهد بود‪.‬‬ ‫در خالل بارگذاري هيدرواستاتيک نيز‪ ،‬برخي مواد از جمله خاکها دچار تغييار لاكل پالساتيک ياا‬ ‫تسليم ميلوند ولي ممكن است لزوما به گسيختگي منجر نگردد‪ .‬همانطور کاه در لاكل (‪ )4-8‬نشاان‬ ‫داده لده‪ ،‬حين بارگذاري و باربرداري هيدرواستاتيک امكان ايجاد کرنشهاي پالستيک در موالح وجاود‬ ‫خواهد دالت‪ .‬با توجه به مفاهيم ياد لده‪ ،‬ميتوان از يک سري ساطوح تساليم پايش روناده اساتفاده‬ ‫نمود‪ .‬با توجه به آنكه تسليم حين اعمال تنشهاي هيدرواستاتيک نيز قابل مشاهده است اين سطوح بايد‬ ‫حتما محور افقي ‪ J1‬را نيز قطع نمايند‪ .‬اين ايده اولين بار توسط دراکر مطرح و در لكل (‪ )5-7‬نشاان‬ ‫‪3‬‬ ‫داده لده است‪ .‬اين سطوح تسليم پيشرو را کالهک ‪ ،‬مينامند‪.‬‬ ‫حين تسليم پيش رونده در ماده‪ ،‬موالح رفتار سخت لونده را تجربه ماينمايناد و کاار پالساتيک‬ ‫انجام لده نمادي از اين رفتار خواهد بود‪ .‬در اين مواد وقتي وضتيت تنش از سطح تسليم کنوني عراور‬ ‫‪4‬‬ ‫مينمايد‪ ،‬يک سطح تسليم جديد که به کالهک سخت لوندگي ناميده ميلود ايجاد ميگردد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)4-1‬وقوع کرنشهای پالستيک و تسليم حين اعمال تنش هيدرواستاتيک در خاک‬ ‫‪1 Yield‬‬ ‫‪2 Failure‬‬ ‫‪3 Cap‬‬ ‫‪4 Hardening cap‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪612‬‬ ‫شکل ‪ :)2-1‬سطوح تسليم پيش رونده (کالهک)‬ ‫بر اساس اصول ياد لده پالستيسيته در فول پيشين‪ ،‬سطح تسليم بايد تقتري رو به پايين دالاته‬ ‫‪1‬‬ ‫بالد يا به عرارتي محدب بالد‪ .‬بدين ترتيب دراکر‪ ،‬کمانهايي از دايره را باه عناوان کالهاک پيشانهاد‬ ‫نمود ولي لكلهاي ديگري نيز توسط ساير محققين پيشنهاد لده است‪ .‬در واقع لكل اين سطح بايد بر‬ ‫اساس داده هاي آزمايشگاهي تحت مسيرهاي تنش مختلف تتيين لود‪ .‬ساطح تساليم جدياد‪ ،‬مطاابق‬ ‫لكل (‪ )5-8‬متيار دراکر–پراگر را در يک زاويه قطع مينمايد‪ .‬با توجه به يكتايي کرنشاهاي پالساتيک‬ ‫مطابق لروط دراکر‪-‬پراگر‪ ،‬سطح تسليم جديد بايد در اين نقطه بر متيار دراکر‪ -‬پراگر مماس بالاد‪ .‬باا‬ ‫توجه به آنكه در نقطه تقاطع با محور ‪ J1‬کرنشها فقط از نوع حجمي هستند و نرايد مولفه برلي وجود‬ ‫دالته بالد‪ ،‬لذا متيار محور ‪ J1‬را تحت زاويه قائم قطع خواهد بود‪.‬‬ ‫مثال (‪ :)1-8‬تتيين پارامترهاي مدل موهر‪-‬کولمب و دراکر‪-‬پراگر‬ ‫بر اساس نتايج آزمايشهاي دانه بندي بر نمونه هاي اخذ لده از نقاط مختلف آبرفت سري ‪ A‬تهران‪،‬‬ ‫يک خاك ماسهاي لندار در طرقه بندي ‪ Unified‬ارائه لده است‪ .‬در زير‪ ،‬خووصايا فيزيكاي خااك‬ ‫مذکور ارائه لده است‪ .‬همچنين نتايج آزمايشهاي سه محوري تحكيم يافته‪-‬زهكشي لده بر نمونه هاي‬ ‫با قطر ‪ 111‬ميليمتر و تراکم نسري ‪ 71‬درصاد در فشاارهاي دورگيار ‪ 51 ،25‬و ‪ 111‬کيلوپاساكال‪ ،‬در‬ ‫جدول ارائه لده است‪ .‬پارامترهاي مدلهاي ترساكا‪ ،‬ون ميازس‪ ،‬ماوهر‪-‬کولماب و دراکار‪-‬پراگار را از ‪3‬‬ ‫آزمايش ‪ CTC‬محاسره نماييد‪.‬‬ ‫‪ max  18.74 kN / m3‬‬ ‫‪,  min  16 kN / m3 ,‬‬ ‫‪Gs  2.58‬‬ ‫)‪1   3 ult (kPa‬‬ ‫)‪ 0   oct (kPa‬‬ ‫نام آزمایش‬ ‫‪130‬‬ ‫‪196‬‬ ‫‪432‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪CTC No.1‬‬ ‫‪CTC No.2‬‬ ‫‪CTC No.3‬‬ ‫‪1 Convex‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 611 :‫ داريم‬CTC ‫ آزمايش‬3 ‫ با استفاده از‬:‫پاسخ‬ 1. CTC , 0  25 kPa :‫با رجوع به داده هاي مرترط در جدول ميتوان نولت‬ 1   3 ult  130 kPa  1  130  3  130  25  155 kPa 1   3  155  25  180 kPa J 2D  1   3 2 1   3  65kPa 2  90 kPa 1 2 2 2 1   2    2   3    3  1    5633.33  6 J 2 D  75kPa J1  1   2   3  155  25  25  205kPa 2. CTC , 0  50 kPa 1   3   196kPa  1  196  50  246kPa 1   3 2  246  50  148kPa 2 J 2D  113.16kPa 1   3 2  246  50  98kPa 2 J1  246  50  50  346kPa 3. CTC , 0  100 kPa 1   3   432kPa  1  432  100  532kPa 1   3  316kPa 2 J 2D  250kPa 1   3  216kPa 2 J1  732kPa ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪1   3‬‬ ‫در برابر‬ ‫‪1   3‬‬ ‫‪611‬‬ ‫و همچنين ‪ J1‬در برابار ‪J 2D‬‬ ‫سه نقطه يافت لده در دو فضاي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ترسيم ميلوند‪ .‬از فضاي اول پارامترهااي مادلهاي ترساكا و ماوهر‪-‬کولماب محاساره و از فضااي دوم‬ ‫پارامترهاي مدلهاي ون ميزس و دراکر‪-‬پراگر محاسره ميگردند‪.‬‬ ‫‪Tresca:‬‬ ‫‪1   3‬‬ ‫‪ k  126.33kPa‬‬ ‫‪2 average‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 611 Mohr- Coulomb: 1   3 2  1   3 2 sin  c cos :‫با توجه به لكل ميتوان نولت‬ 1   3 2 k 1   3 2 tan  tan  sin , c  k cos tan  0.676   34 k  1.5  c  1.5  1.81kPa cos 34 von Mises: J 2D average  k  146kPa Drucker- Prager: J 2 D   J1  k  0  ‫ با توجه به شکل‬k  2.0  d J 2D  0.336 dJ 1 ‫پراگر‬-‫کرنش در معیار دراکر‬-‫ ارتباط تنش‬-8-8 :‫) ميتوان نولت‬11-8( ‫با توجه به رابطه‬  Sij  d  ije  d  ij      ij   2 J  2D   e d  mm  d  mm  3 d ij  K d  e mm e  e d  mm  Sij  2G  d  ij   ij  3   )12-8(    Sij d d ij  K  d  mm  3  Sij  2G d  ij    ij  mm  ij   ij  3 2 J2D   :‫ داريم‬df  0  S ij  df     ij  d  ij  0 2 J  2D    )13-8( ‫ در عرار‬d ij ‫با جايگذاري اين رابطه بجاي‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ 611  Sij   Sij    Sij d    ij   d  mm  3  K ij  2G    ij  d  ij   mm  ij   0 2 J  2 J   3 2 J 2D 2D 2D      S ij ij  S ii  0 ‫از طرفي‬: 3  d  mm  3  K    9 2 K  G   GSij d  ij GSij d  ij J 2D ij ij  3  , J 2D  G  0  3K d  mm J  S ij   ij   1   ij  3 ‫از طرفي‬:  J 3K  J 2 D    3  G    9 2 K  J 2 D 1   G    ij d  ij  d  mm  1   )14-8( J 2 D  9 2 K  1     G  ‫ با فرض‬: P  )15-8( :‫پراگر ميتوان نولت‬-‫ با توجه به تتريف سطح تسليم مدل دراکر‬.‫ يک کميت بدون بتد است‬P ‫که‬ J1  J2D   )16-8(  J1 3 K J 2 D   3 G J 2D  k 3  3 K J 2 D G   9 2 K   J1 3 K J 2 D 1    J  2 D 1    k  3 G 3  G    J1 3 K J 2 D k    P  1  3 G 3   k   d  mm  P   1  3  P k  ij d  ij   )17-8( ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬   612 :‫ ميتوان نولت‬λ ‫با جايگذاري‬  d  k P  1 d  mm    2G   3   mn mn  3 K  GSij  d ij  d  mm  K    2 G d   ij ij ij    3  Pk J 2 D      G mn d  mn 2G  3 K  d ij  d  mm  K   ij  2G d  ij   mn d  mn Sij  Sij  3  Pk Pk J 2 D   Gd  mm  P  1 K d  mm  P  1  ij  P 3 P J 2 D )18-8( Sij h :‫ ميتوان نولت‬Sij   ij   ij ‫با قرار دادن‬ 3 G mn d  mn 2G  3 K  d ij  d  mm  K   ij  2G d  ij   mn d  mn Sij   ij  3  Pk Pk J 2 D   G mn d  mn J1 ij 3Pk J 2 D – Gd  mm  P  1 J1Sij K  P  1 Gd  mm  P  1 d  mn ij   ij   P 3 P J 2 D 9 P J 2 D )19-8( ‫ ايان متغيرهاا از قارار زيار‬.‫اين رابطه با در نظرگيري چند تغيير متغير به فرم ساده تر در مايآياد‬ :‫هستند‬  3 k k  P   1 J1   h     2G  6 J 2D  6 J 2 D  h P k A P  h B C  )21-8( J 2D k )21-8( )22-8( 1  9 kG  k  P  1 6 J 2 D 2  3 K J1       2G 6 J  2D   2h2 J 2 D 3 K 2h 2   Pk E 1  9 2 k 1 2kP  J 2 D  G 3 K E )23-8( )24-8( ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫(‪)25-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪616‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d  ij  2Gd ij  2G A  mn ij   ij  mn  B  mn ij  C  mn  ij  d mn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫از طرفي‪:‬‬ ‫(‪)26-8‬‬ ‫‪ -9-8‬مبانی حالت بحرانی در خاک ها‬ ‫مطابق لكل (‪ ،)6-8‬هنگامي که نمونه خاك سست تحت برش قرار ميگيارد‪ ،‬قرال از رسايدن باه‬ ‫گسيختگي از اليه هاي مختلف تسليم عرور ميکند‪ .‬بدين ترتيب مسير تنش‪ ،‬از سطوح تساليم متاوالي‬ ‫عرور مينمايد تا به وضتيت گسيختگي برسد‪ .‬در طول اين مساير خااك تغييار لاكلهاي پالساتيک را‬ ‫تجربه خواهد نمود‪ .‬پروسه تسليم و ايجاد کرنشهاي پالستيک تا رسيدن به نسرت تخلخل حالت بحراني‬ ‫ادامه خواهد يافت‪ .‬در اين وضتيت‪ ،‬حين تغيير لكل برلي‪ ،‬نسرت تخلخال خااك ثابات بااقي خواهاد‬ ‫ماند‪ .‬در اين وضتيت موالح به لرايطي ميرسند که چينش دانه هاي خاك موجب عادم ايجااد تغييار‬ ‫حجم حين برش خواهد لد‪ .‬اين نسرت تخلخل خاف به نسرت تخلخل حالت بحراني موسوم است‪.‬‬ ‫‪612‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬منحنیهای تنش انحرافی‪-‬کرنش محوری و کرنش حجمی‪-‬کرنش محوری ماسه سست و متراکم‬ ‫هنگامي که نمونه خاك متراکم مطابق لكل (‪ ،)6-8‬تحت برش قرار گيرد به نقطه اوج مقاومت خواهاد‬ ‫رسيد و بتد از آن با رفتار نرم لونده به سمت مقاومت پسماند حرکت مينمايد‪ .‬در ابتدا نموناه متاراکم‬ ‫لده و پس از آن با اتساع به سمت تغيير حجم ثابت متناظر با لرايط بحراني حرکت خواهد نمود‪ .‬ايان‬ ‫موضوع مشابه ايده دانسيته بحراني است که توسط کاساگرانده (‪ )1936‬مطرح گردياد‪ .‬بار اسااس نظار‬ ‫ايشان‪ ،‬نمونه با تراکم کمتر از حالت بحراني به نحوي تغيير لكل ميدهد که تغييار حجام آن کااهش‬ ‫يابد و نمونه با تراکم نسري بيشتر از حالت بحراني با افزايش حجم مواجه خواهد لد‪.‬‬ ‫در بررسي رفتار تسليم خاکهاي رسي عاادي تحكايم يافتاه‪ ،‬روساكو و همكاارانش (‪ )1958‬نتاايج‬ ‫تتدادي آزمايش سه محوري فشاري زهكشي نشده را مورد بررسي و تفسير قرار دادناد‪ .‬تتادادي مساير‬ ‫تنش موثر بدست آماده از آزمايشاها در لاكل (‪ )7-8‬نشاان داده لاده اسات‪ .‬هماانطور کاه مشااهده‬ ‫ميگردد‪ ،‬مسيرهاي تنش موثر همگي يک لكل ميبالند و وضتيت نهايي آنها نيز بر خطي مستقيم در‬ ‫صفحه '‪ q-p‬واقع لده است‪ .‬لرايط نهايي با ‪ Q4 , Q3 , Q2 , Q1‬نشان داده لده است‪ .‬در فضاي '‪ e-p‬نيز‬ ‫وضتيت نهايي نقاط بر يک منحني لريه به منحني تحكيم ايزوتروپ واقع ميگردند‪ .‬ايان دو در فضااي‬ ‫)‪ e  Ln( p‬بوور دو خط موازي يكديگر خواهند بود‪.‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪613‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬مسير تنش در آزمایش سه محوری زهکشی نشده بر رس عادی تحکيم یافته‬ ‫(روسکو و همکاران ‪)6121‬‬ ‫نتايج آزمايشهاي سه محوري زهكشي لده بر رس عادي تحكيم يافته نياز در لاكل (‪ )8-8‬نشاان‬ ‫داده لده است‪ .‬حالت بحراني در ايان آزمايشاها نياز بار هماان خاط حالات بحراناي بدسات آماده از‬ ‫آزمايشهاي زهكشي نشده واقع است‪ .‬ليب اين خط در فضاي '‪ q-p‬با ‪ M‬نشان داده ميلود که يكاي از‬ ‫پارامترهاي حالت بحراني خاك است‪ .‬وضتيت مسير تنش و خط حالت بحراني در آزمايشهاي زهكشاي‬ ‫لده در لكل (‪ )8-8‬نشان داده لده است‪ .‬در نمونه هاي متراکم وضتيت تنش نموناه باه بااالي خاط‬ ‫حالت بحراني رسيده و بتد با رفتار نرم لونده به روي آن بر ميگردد‪.‬‬ ‫‪614‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬مسير تنش زهکشی شده و خط حالت بحرانی خاک‬ ‫لكل (‪ )9-8‬وضتيت لماتيک رفتار خاك در فضاي سه بتدي '‪ e-q-p‬را نشاان مايدهاد‪ .‬در واقاع‬ ‫هرگونه وضتيت رفتاري خاك در زير سطوح مرزي نشان داده لده در اين لكل اتفاق افتاده و عدول از‬ ‫آنها ميسر نيست‪ .‬سطح ‪ ABCD‬به عنوان يک سطح مرزي براي خاکهاي عاادي تحكايم يافتاه باا ناام‬ ‫سطح روسكو‪ 1‬ناميده ميلود‪ .‬در حاليكه ‪ BBCC‬به عنوان سطح مرزي ديگر براي خاکهااي پايش‬ ‫تحكيم يافته با نام سطح ورللو‪ 2‬ناميده ميلود‪ .‬لرايط نمونه هاي عادي تحكايم يافتاه ياا سسات در‬ ‫سمت چپ و نمونه هاي پيش تحكيم يافته در سمت راست خط حالت بحراني خواهد بود‪.‬‬ ‫‪1 Roscoe surface‬‬ ‫‪2 Hvorslev surface‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪612‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬سطوح حالت بحرانی خاک در فضای سه بعدی (اتکينسون و برانزبی‪)6111 6‬‬ ‫‪ -31-9‬مدل االستوپالستیک کم کلی‬ ‫‪9‬‬ ‫در قسمتهاي قرلي اصول مدلسازي رفتار االستوپالستيک خاك ماورد بررساي قارار گرفات و تواباع‬ ‫تسليم و پتانسيل پالستيک توصيف لدند‪ .‬در اين قسمت‪ ،‬يک مدل االستو پالستيک کارآمد براي پيش‬ ‫بيني رفتار خاك مترفي ميگردد‪ .‬اين مدل بتنوان يكي از مدل هاي با سخت لوندگي حجمي در نظار‬ ‫گرفته ميلود‪ .‬براي اولين بار اين مدل بنام "کم کلي" توسط روسكو‪ 3‬و اساكافيلد‪ )1963( 4‬مترفاي و‬ ‫سپس با اعمال تغييراتي توسط روسكو و برلند‪ )1968( 5‬و با نام مادل "کام کلاي اصاالح لاده" ارائاه‬ ‫گرديد تا از مدل قديمي متمايز گردد‪ .‬هم اکنون و با گذلات ساالها‪ ،‬مشخواه "اصاالح لاده" حاذف‬ ‫ميگردد و اين مدل در مدلسازي هاي عددي استفاده ميلود‪.‬‬ ‫‪ -3-31-9‬مدل کم کلی‬ ‫چهار جزء اصلي يک مدل االستو پالستيک که در فول قرل بيان لد به لرح زير است‪:‬‬ ‫الف‪ -‬خووصيا االستيک‬ ‫‪1 Atkinson and Bransby‬‬ ‫‪2 Cam clay‬‬ ‫‪3 Roscoe‬‬ ‫‪4 Schofield‬‬ ‫‪5 Burland‬‬ ‫‪611‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫ب‪ -‬سطح تسليم‬ ‫پ‪ -‬تابع پتانسيل پالستيک‬ ‫ قانون سخت لوندگي‬‫در مدل کم کلي به مانند قرل فرض ميلود که کرنش حجمي االستيک باا تغييار در تانش ماوثر‬ ‫ميانگين ‪ p ‬طرق رابطه زير قابل تتيين است‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪v e  ‬‬ ‫(‪)27-8‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫مطابق لكل (‪ ،)11-8‬ليب خط باربرداري ( ‪ ) ‬با تتيين تغييارا حجام مخواوف در مقابال تانش‬ ‫تحكيم ايزوتروپ در مقياس نيمه لگاريتمي قابل محاسره است‪ .‬کرنش برلي االساتيک نياز بار اسااس‬ ‫تنش انحرافي طرق رابطه زير محاسره ميلود‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫(‪)28-8‬‬ ‫‪ s e ‬‬ ‫‪3G‬‬ ‫شکل ‪ :)62-1‬الف) تابع تسليم بيضوی مدل کم کلی در صفحه تنش ‪، q  p‬‬ ‫ب و ج) خط فشردگی نرمال و خط باربرداری‪-‬بارگذاری مجدد در صفحه تراکم (وود ‪)6112‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪611‬‬ ‫ساده ترين لكل سطح تسليم در صفحه تنش ‪ q  p‬يک دايره و در فضاي تنش اصلي يک کاره‬ ‫است‪ .‬ساده ترين حالت بتدي بيضي يا يک بيضيگون در فضاي تنش اصلي است که ميتواند در مقايسه‬ ‫با لكل دايره مناسب تر بالد زيرا نسرت قطر بزرگ به کوچک آن ميتواند به عنوان متغير به مدلسازي‬ ‫بهتر رفتار خاك کمک نمايد‪ .‬ساده تر است مطابق لكل (‪-11-8‬الف) سطح تسليم از مردا فضاي تنش‬ ‫موثر بگذرد‪ .‬متادله بيضي لكل (‪-11-8‬الف) به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪M2‬‬ ‫(‪)29-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p 0 M 2   2‬‬ ‫در اين رابطه ‪   q / p ‬بيانگر نسرت تنش و ‪ M‬ليب خط حالت بحراناي در صافحه ‪q  p‬‬ ‫ميبالد‪ .‬اين متادله يک سري بيضي را تشكيل ميدهند که همگي لكل مشابهي دارند و هماه آنهاا از‬ ‫مردا عرور ميکنند‪ .‬اندازه بيضيها توسط پارامتر ‪ p 0‬کنترل ميلوند‪ .‬زماني که خاك در لرايط تساليم‬ ‫قرار دارد تغييرا ‪ p 0‬از طريق فرم ديفرانسيلي رابطه (‪ )29-8‬به تغييرا تنش ماوثر مياانگين ‪ p ‬و‬ ‫تنش انحرافي ‪ q‬مرترط ميلود‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 0 0‬‬ ‫(‪-31-8‬الف)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p  M ‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫(‪-31-8‬ب)‬ ‫‪M 2  2  p ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ q  p 0‬‬ ‫)‬ ‫‪( 2‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M  p ‬‬ ‫‪M   p  p 0‬‬ ‫(‬ ‫به منظور ارائه لكل متناسب با قالب کلي توابع تسليم که در فول قرلي توضيح داده لاد‪ ،‬متادلاه‬ ‫(‪ )29-8‬به صور زير بازنويسي ميلود‪:‬‬ ‫‪f  q 2  M 2  p ( p 0  p )  0‬‬ ‫(‪)31-8‬‬ ‫با فرض پيروي خاك از لرايط قانون تتامد خواهيم دالت‪:‬‬ ‫(‪)32-8‬‬ ‫‪g  f  q 2  M 2  p ( p 0  p )  0‬‬ ‫در نتيجه بردار نمو کرنش پالستيک که طرق لكل (‪-11-8‬الف) در جهت عمود بر تابع تسليم و به‬ ‫سمت بيرون ميبالد از رابطه ذيل قابل تتيين است‪:‬‬ ‫(‪)33-8‬‬ ‫‪vp g p  M 2 (2 p   p 0 ) M 2   2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ sp g q‬‬ ‫‪2q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫فرض ميلود که تابع تسليم با همان لكل بيضي با ازدياد تنش موثر تحكيمي ‪ p 0‬بسط ميياباد‪.‬‬ ‫بنابراين تنش موثر تحكيمي کنترل کننده سخت لوندگي خاك ميبالد‪ .‬از طارف ديگار ايان پاارامتر‬ ‫طرق روابط مربوط به تراکم خاك‪ ،‬با تغييرا حجمي آن مرترط ميبالد‪ .‬به مانند وضاتيت ادئاومتري‪،‬‬ ‫‪611‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫ميتوان رابطه خطي بين حجم مخووف ‪ ‬و لگاريتم تنش ماوثر مياانگين ‪ p 0‬در پروساه فشاردگي‬ ‫تحت تنش همه جانره به لكل (‪-11-8‬ج) نولت‪.‬‬ ‫(‪)34-8‬‬ ‫‪  N   ln p0‬‬ ‫در اين رابطه ‪ N‬ثابتي است که مشاخص کنناده موقتيات خاط فشاردگي نرماال (‪ )ncl‬در فضااي‬ ‫‪   p‬در ‪ p  1‬ميبالد (لكل ‪-11-8‬ج)‪ .‬مقدار کرنش حجمي پالستيک بار اسااس رابطاه (‪-7‬‬ ‫‪ )58‬به لرح زير خواهد بود‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪vp  (   ) /   0‬‬ ‫(‪)35-8‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫اين رابطه سخت لوندگي حجمي مدل را نشان ميدهد‪ .‬بدين ترتياب مولفاه هااي تانساور ساخت‬ ‫لوندگي مدل به صور زير خواهد لد‪:‬‬ ‫‪p 0  p 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪- 36-8‬الف)‬ ‫‪vp   ‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‪-36-8‬ب)‬ ‫‪ sp‬‬ ‫و بدين ترتيب چهار المان مدل تكميل ميلود‪ .‬با ترکيب روابط (‪ )27-8‬و (‪ )28-8‬ميتوانيم پاسخ‬ ‫تنش کرنش االستيک را به صور رابطه ماتريسي بنويسيم‪:‬‬ ‫(‪)37-8‬‬ ‫‪ ve   /  p 0   p‬‬ ‫‪ e  ‬‬ ‫‪1/3G   q ‬‬ ‫‪ s  0‬‬ ‫با جايگزيني در رابطه (‪ )84-7‬ميتوان پاسخ تنش‪-‬کرنش پالستيک مدل رفتااري کام کلاي را باه‬ ‫صور رابطه ماتريسي زير خالصه کنيم‪:‬‬ ‫(‪)38-8‬‬ ‫‪vp ‬‬ ‫) ‪(M 2   2‬‬ ‫‪  p ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(  ‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪4 2 / (M 2  2 )   q ‬‬ ‫‪ s   p (M   )  2‬‬ ‫رابطه باال فقط زماني عمل ميکند که مسير تنش سطح تسليم کنوني را قطع کرده و کارنش هااي‬ ‫پالستيک به وجود آيد‪ .‬ماتريس رفتااري باه دليال فارض جرياان همرساته متقاارن باوده و در ضامن‬ ‫دترمينان آن صفر ميبالد‪.‬‬ ‫با توجه به لكل (‪ )11-8‬فرض ميلود نقطه ‪ A‬در فضاي ‪   p‬بر تابع تسليم کنوني باا مقادار‬ ‫تنش تحكيمي ‪‬‬ ‫‪ p 0  p 0A‬مشخص لده بالاد‪ .‬ساپس نماو تانش ماوثر ) ‪ AB ( p ,  q‬اعماال‬ ‫ميلود‪ .‬تابع تسليم جديد که از حالت تنش موثر ) ‪ B ( p    p  : q   q‬عرور مايکناد از رابطاه‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪611‬‬ ‫(‪ )31-8‬محاسره لود‪ .‬اگر در اين لرايط ‪ p 0 B  p 0 A‬بالد (لكل ‪-11-8‬الف) آنگاه منحناي تساليم‬ ‫تا وضتيت جديد تنش گسترش مييابد و اگر در ايان لارايط ‪ p 0 B  p 0 A‬بالاد (لاكل ‪-11-8‬ب)‪،‬‬ ‫آنگاه حالت جديد تنش داخل سطح تسليم افتاده و بنابراين کرنش هاي پالساتيک رخ ناداده و بادليل‬ ‫عدم سخت لوندگي‪ ،‬اندازه سطح تسليم تغيير نميکند‪ .‬مجموع نمو کرنشها از جمع رواباط (‪ )37-8‬و‬ ‫(‪ )38-8‬به دست ميآيد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)66-1‬الف) نمو تنشی که سطح تسليم کنونی را بسط میدهد‪،‬‬ ‫ب) نمو تنش در داخل سطح تسليم کنونی و عدم تغيير آن (وود‪)6112 ،‬‬ ‫‪ -9-31-9‬محاسبات مدل کم کلی‪ :‬سه محوری زهکشی شده فشاری معمولی‬ ‫آزمايش سه محوري مرساوم زهكشاي لاده فشااري توساط مساير تانش آن در صافحه ‪q  p‬‬ ‫لناخته ميلود زيرا فشار دورگير در آن ثابت است‪.‬‬ ‫(‪)39-8‬‬ ‫‪ q  3 p ‬‬ ‫مسير تنش ‪ BC‬در آزمايش سه محوري زهكشي لاده فشااري در لاكل (‪ )9-8‬نشاان داده لاده‬ ‫است‪ .‬فرض ميلود مطابق لكل (‪-12-8‬الف) حالت تنش ‪ B‬بر تابع تساليم کناوني ‪ yl-B‬قارار دالاته‬ ‫‪ p 0B‬مشخص ميلود که نظير نقطه ‪‬‬ ‫بالد‪ .‬تابع تسليم با فشار تحكيمي ‪‬‬ ‫‪ p   p 0B‬بر خط فشاردگي‬ ‫ايزوتروپ در صفحه تراکم بوده و در ابتداي خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد ‪ url B‬واقع است‪.‬‬ ‫‪612‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫با اعمال نمو تنش ‪ BC‬به نقطه ‪ C‬ميرسيم که مطابق لكل (‪-12-8‬ب) برروي يک تابع تسليم جديد و‬ ‫بزرگتري مثل ‪ yl-C‬قرار دارد‪ .‬تووير نقطه ‪ C‬را نيز ميتوان با تووير بار خاط بااربرداري‪-‬بارگاذاري در‬ ‫صفحه تراکم مشخص نمود‪ .‬تغيير حجم بين ‪ B‬تا ‪ C‬از يک بخش االستيک قابل برگشت که از تغيير در‬ ‫‪ p ‬بين دو نقطه ‪ B‬و ‪ C‬نتيجه لده و يک بخش پالستيک غير قابل بازگشت که از بساط و گساترش‬ ‫تابع تسليم نتيجه لده‪ ،‬تشكيل لده است‪ .‬مطابق لكل (‪-12-8‬ب)‪ ،‬بخش پالستيک کرنش با تتياين‬ ‫‪p‬‬ ‫‪  BC‬بين دو خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد ‪ url B‬و ‪ url C‬در صفحه تاراکم نشاان داده‬ ‫فاصله قائم‬ ‫لده و بر اساس رابطه زير قابل تتيين ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)41-8‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ BC‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪vp BC ‬‬ ‫شکل ‪ :)62-1‬تعيين کرنشهای حجمی پالستيک از مسير تنش‪ ،‬سطح تسليم بسط یافته و منحنی تنش‪-‬تغيير حجم‬ ‫در لكل (‪-12-8‬الف) در راستاي عمود بر تابع تسليم ‪ yl B‬در نقطه ‪ ،B‬جهت باردار کارنش پالساتيک‬ ‫نشان داده لده است‪ .‬با توجه به تتيين مقدار کرنش حجمي پالستيک از رابطاه (‪ )41-8‬و مشاخص باودن‬ ‫جهت عمود بر سطح تسليم در نقطه ‪ ،B‬مقدار کرنش برلي پالستيک قابل محاسره است‪.‬‬ ‫با اعمال نموهاي بتدي تنش زهكشي لده ‪ DE ،CD‬و ‪ EF‬مطابق لكل (‪-13-8‬الف)‪ ،‬تاابع تساليم‬ ‫به طرز فزايندهاي بزرگتر خواهد لد‪ .‬بر اين اساس وضتيت تنش کنوني بر تابع تساليم تغييار نماوده و‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪616‬‬ ‫بنابراين جهت عمود بر تابع تسليم نيز مطابق لكل (‪-13-8‬الف) تغيير ماينماياد‪ .‬لاذا نسارت کارنش‬ ‫برلي پالستيک به کرنش حجمي پالستيک بطور پيوسته افزايش خواهد دالت تا حدي کاه در نهايات‬ ‫در نقطه ‪ F‬به موازا محور ‪ q‬خواهد لد‪ .‬در نقطه ‪ F‬از لكل (‪ )11-8‬و رابطه (‪ )31-8‬داريم‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪  M‬‬ ‫(‪)41-8‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‪)42-8‬‬ ‫‪p   0F‬‬ ‫‪2‬‬ ‫در اين نقطه‪ ،‬با افزايش کرنش برلي پالستيک‪ ،‬هيچ کرنش حجمي پالستيكي بوجود نمايآياد‪ .‬باا‬ ‫صفر لدن تغييرا کرنش حجمي پالستيک‪ ،‬اندازه تابع تسليم ‪ yl-F‬ثابت باقي ماناده و در رابطاه (‪-8‬‬ ‫‪  p0  0 ،)35‬خواهد بود‪ .‬بدين ترتيب کرنش برلي پالستيک در تنش موثر ثابات افازايش يافتاه و‬ ‫تنش انحرافي ثابت باقي خواهد ماند‪.‬‬ ‫اگر رابطه (‪ )38-8‬را در حالتي که ‪   M‬است در نظر بگيريم ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪vp‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ sp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫(‪)43-8‬‬ ‫(‪)44-8‬‬ ‫در لكل (‪-13-8‬الف) پيشرفت آزمايش زهكشي لده در صفحه تنش ‪ q  p‬بررسي لد‪ .‬متادل‬ ‫با هر مقدار تنش تحكيمي موجود در راس توابع تسليم گذرنده از نقاط ‪ E ،D ،C ،B‬و ‪ ،F‬ميتوان خاط‬ ‫باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد آن را در صفحه تراکم ‪   p‬مطاابق لاكل (‪-13-8‬ب) ترسايم کارد‪ .‬باا‬ ‫تتيين نقاط نظير مسير تنش لكل (‪-13-8‬الف) بر خطوط باربرداري نظير در لكل (‪-13-8‬ب)‪ ،‬امكان‬ ‫محاسره کرنشهاي حجمي پالستيک از فواصل بين نقاط نظير بر خطوط باربرداري ميسر خواهد بود‪ .‬باا‬ ‫تتيين کرنشهاي پالستيک حجمي و با مشخص بودن جهت عمود بر سطح تسليم در هر نقطه از تالقاي‬ ‫مسير تنش با سطح تسليم طرق رابطه (‪ ،)33-8‬کرنش پالستيک برلي قابل محاساره اسات‪ .‬باا جماع‬ ‫کرنشهاي پالستيک برلي بدست آمده با کرنشهاي االستيک برلاي حاصاله از رابطاه (‪ ،)37-8‬کارنش‬ ‫برلي کل قابل محاسره است‪ .‬در ضمن از ترکيب رابطاه تانش‪-‬کارنش پالساتيک (‪ )38-8‬باا متادلاه‬ ‫(‪ )39-8‬که نشانگر مسير تنش موثر آزمايش سه محوري زهكشي لده است‪ ،‬کرنش برلي پالستيک به‬ ‫لرح زير نيز قابل محاسره ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)45-8‬‬ ‫‪2 (M 2  2 )  12 2‬‬ ‫‪q‬‬ ‫) ‪3 p (M 2   2 )(M 2  2‬‬ ‫) ‪ sp  (  ‬‬ ‫‪612‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫طرق لكل (‪-13-8‬ج) هنگامي که ‪ ‬به سمت ‪ M‬افزايش مييابد‪ ،‬ليب ‪  q  sp‬مرترا تا صفر‬ ‫کاهش پيدا مينمايد‪ .‬در نهايات نتاايج آزماايش در لاكل هااي (‪-13-8‬ب) و (‪-13-8‬ج) را مايتاوان‬ ‫ترکيب نموده و تغييرا حجم مخووف در مقابل کرنش برلي را در لكل (‪-13-8‬د) ترسيم نمود‪.‬‬ ‫مطابق رابطه (‪ )33-8‬که ارتراط کرنش حجمي و برلي پالستيک را بيان مينمايد‪ ،‬هنگامي که نسارت‬ ‫تنش ‪ ‬به سمت ‪ M‬افزايش ياباد‪ ،‬نسارت ‪ vp  sp‬و متتاقاب آن لايب نماودار تغييارا کارنش‬ ‫حجمي با کرنش برلي به طور يكنواخت طرق لكل (‪-13-8‬د) تا صفر کاهش پيدا ميکند‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)63-1‬نحوه گسترش سطح تسليم و محاسبه منحنيهای تنش‪-‬کرنش و تغيير حجم کرنش در آزمایش‬ ‫سه محوری زهکشی شده معمولی (وود ‪)6112‬‬ ‫براي بررسي رفتار خاك تحت آزمايش سه محوري زهكشي لده متمولي‪ ،‬سه حالت مختلف در نظر‬ ‫گرفته ميلود‪ .‬در حالت اول ستي بر آن است که رفتار خاك رسي عادي تحكيم يافتاه‪ 1‬ماورد بررساي‬ ‫قرار ميگيرد‪ .‬در اين لرايط مطابق لكل (‪-14-8‬الف) نقطه لروع مسير تنش‪ ،‬همان تانش تحكيماي‬ ‫نمونه خواهد بود‪ .‬بترار ديگر نقطه ‪ A‬در راس تابع تسليم ‪ yl-A‬قرار دارد‪ .‬هنگامي که تراکم زهكشاي‬ ‫لده آغاز ميگردد تابع تسليم گسترش يافته و کرنش هاي پالستيک از ابتداي فشردگي زهكشي لاده‬ ‫‪1 Normally consolidated clay‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫ايجاد ميلود‪ .‬مسير تنش زهكشي لده نظيار در صافحه تاراکم ‪   p‬در لاكل‬ ‫‪613‬‬ ‫(‪-14-8‬ب)‪،‬‬ ‫منحني تنش انحرافي‪-‬کرنش برلي ‪ q   s‬در لكل (‪-14-8‬ج) و منحني حجام مخواوف‪ -‬کارنش‬ ‫برلي ‪    s‬در لكل (‪-14-8‬د) نشان داده لده است‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)64-1‬محاسبات منحنی تنش کرنش و تغيير حجم کرنش در آزمایش سه محوری زهکشی شده معمولی‬ ‫روی رس عادی تحکيم یافته (وود ‪)6112‬‬ ‫وضتيت دومي که مورد بررسي قرار ميگيرد خاك رس تا حدي پيش تحكيم يافتاه‪ 1‬مايبالاد‪ .‬در‬ ‫اين لرايط‪ ،‬ابتدا خاك تا تنش تحكيمي ‪‬‬ ‫‪( p 0  p 0B‬لاكل ‪-15-8‬الاف) متاراکم گاردد و ساپس باا‬ ‫باربرداري ايزوتروپ تا نقطه ‪ A‬باربرداري لود‪ .‬در اين حالت خاك تا حدي پيش تحكايم يافتاه خواهاد‬ ‫لد‪ .‬حين باربرداري ايزوتروپ تا ‪ A‬و برش زهكشي لاده از ‪ A‬تاا ‪ ،B‬تغييارا تانش در داخال ساطح‬ ‫تسليم قرار گرفته و بنابراين کرنشهاي االستيک ايجااد مايلاوند‪ .‬نقااط ‪ A‬و ‪ B‬روي خاط بااربرداري‪-‬‬ ‫بارگذاري مجدد ‪ url-B‬نظير ‪‬‬ ‫‪ p 0  p 0B‬قرار دارند (لكل ‪-15-8‬ب)‪ .‬در مسير برش زهكشي لده ‪A‬‬ ‫تا ‪ ،B‬پاسخ خاك االستيک خواهد بود (لكل ‪-15-8‬ج)‪ .‬باا لاروع پروساه تساليم خااك در نقطاه ‪،B‬‬ ‫کرنش هاي پالستيک ايجاد و افت ناگهاني سختي در منحناي تانش انحرافاي‪-‬کارنش برلاي ‪q   s‬‬ ‫‪1 Lightly overconsolidated clay‬‬ ‫‪614‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫مشاهده ميلود‪ .‬به طور مشابه‪ ،‬تغيير حجم از ‪ A‬تا ‪ B‬االستيک‪ ،‬برگشت پذير و کوچک است ولي پاس‬ ‫از ايجاد کرنشهاي پالستيک‪ ،‬پرلي در رابطه تغيير حجام‪-‬کارنش برلاي ‪    s‬مشااهده مايلاود‬ ‫(لكل ‪-15-8‬د)‪ .‬تيزي اين پرش به پارامتر هاي حالت بحراني خااك مثال ‪ G ، ، ‬و ‪ M‬و همچناين‬ ‫نسرت تنش ‪ ‬که نظير نقطه تسليم است بستگي دارد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)62-1‬محاسبات منحنی تنش کرنش و تغيير حجم کرنش در آزمایش سه محوری زهکشی شده معمولی‬ ‫روی رس تا حدی پيش تحکيم یافته (وود ‪)6112‬‬ ‫سومين حالتي که مورد بررسي قرار ميگيرد خاك بسيار پيش تحكيم يافته‪ 1‬است‪ .‬ابتدا نمونه خاك تاا‬ ‫نقطه ‪ K‬بوور ايزوتروپ تحكيم يافته‪ ،‬سپس تا نقطه ‪ P‬تحت باربرداري ايزوتروپ قرار ميگيارد و در انتهاا‬ ‫برش سه محوري زهكشي لده بر آن اعمال ميگردد‪ .‬در اين لرايط‪ ،‬نقطه تالقي مسير تنش برلي با سطح‬ ‫تسليم کنوني‪ ،‬نقطه ‪ Q‬در سمپ چپ نقطه اوج منحني تسليم ميبالد‪ .‬بترار ديگر در نقطه ‪ ،Q‬در لاكل‬ ‫(‪-16-8‬الف)‪   M ،‬خواهد بود‪ .‬به همين دليل‪ ،‬جهت عمود بر سطح تسليم که بيانگر نسرت کرنشهاي‬ ‫پالستيک حجمي و برلي است‪ ،‬به سمت چپ بوده که حاکي از منفي بودن جزء کرنش پالستيک حجمي و‬ ‫يا اتساع نمونه است‪ .‬براي ايجاد اتساع‪ 2‬حجمي پالستيک در رابطه (‪ )35-8‬بايد ‪  p 0  0‬بالد که حاکي‬ ‫‪1 Heavily overconsolidated clay‬‬ ‫‪2 Dilation‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪612‬‬ ‫‪1‬‬ ‫از انقراض تابع تسليم با ازدياد کرنش پالستيک برلي ميبالد‪ .‬اين مكانيزم با نام نرم لاوندگي پالساتيک‬ ‫ناميده ميلود‪ .‬نحوه پيشرفت آزمايش در صفحه تراکم نيز مطابق لكل (‪-16-8‬ب) با تووير کردن نقاط ‪،R‬‬ ‫‪ S‬و ‪ T‬از صفحه تنش (لكل ‪-16-8‬الف) از توابع تسليم ‪ yl-S ،yl-R‬و ‪ yl-T‬به سمت پايين در صفحه تراکم‬ ‫بر خطوط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد ‪ url-S ،url-R‬و ‪ url-T‬مشاهده ميلود‪.‬‬ ‫هنگامي که تابع تسليم کوچک ميلود‪ ،‬مكان حالت تنش موثر ‪ S ،R ،Q‬و ‪ T‬نسارت باه راس تاابع‬ ‫تسليم تغيير ميکند و جهت بردار نمو کرنش پالستيک به تدريج باه صاور قاائم در نقطاه ‪ T‬خواهاد‬ ‫رسيد‪ ،‬در اين حالت ‪   M‬خواهد بود و تغييرلكل برلي پالستيک بدون تغييار پالساتيک حجماي‬ ‫ادامه مييابد‪ .‬نمودارهاي تنش انحرافي‪-‬کرنش برلي ‪ q   s‬و حجم مخووف‪-‬کرنش برلي ‪   s‬‬ ‫به صور لكل هاي (‪-16-8‬ج و د) خواهد بود‪ .‬نقطه ‪ Q‬در لكل (‪-16-8‬د) نظيار اوج منحناي تانش‬ ‫انحرافي‪-‬کرنش برلي در لكل (‪-16-8‬ج) است‪ .‬بدين ترتيب افزايش در تنش انحرافي ‪ q‬نظير کااهش‬ ‫در حجم مخووف و کاهش در تنش انحرافي نظير افزايش در حجم مخووف خواهد بود‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬محاسبات منحنی تنش کرنش و تغيير حجم کرنش در آزمایش سه محوری زهکشی شده معمولی‬ ‫روی رس بسيار پيش تحکيم یافته (وود ‪)6112‬‬ ‫در خووف رفتار نرم لونده که با انقراض سطح تسليم مترفي گرديد و مسير تنش از ‪ Q‬به ‪ R‬برگشات‬ ‫اين لرهه وجود دارد که چرا بجاي ايجاد کرنشهاي پالستيک در اين پروسه‪ ،‬منحناي تانش‪-‬کارنش باا‬ ‫‪1 Plastic softening‬‬ ‫‪611‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫رفتاري االستيک بر روي خود باز نگردد و بجاي نقطه ‪ R‬در لكل (‪-17-8‬ب)‪ ،‬بر نقطه '‪ R‬قارار نگيارد‪.‬‬ ‫پاسخ اين لرهه آن است که در صور برگشت به نقطه '‪ R‬با کاهش کرنشاهاي برلاي ماواجهيم حاال‬ ‫آنكه روند ايجاد کرنشهاي برلي همواره بوور افزايشي است‪ .‬بدين ترتيب امكان بروز رفتار االساتيک‬ ‫توام با بروز پديده نرم لوندگي منتفي است‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬رفتار نرم شونده با کرنش و انقباض سطح تسليم‬ ‫‪ -1-31-9‬محاسبات مدل کم کلی‪ :‬سه محوری زهکشی نشده فشاری معمولی‬ ‫در لرايط زهكشي نشده‪ ،‬با توجه به عدم تغيير حجم خاك‪ ،‬مجموع کرنشهاي حجماي االساتيک و‬ ‫پالستيک صفر ميبالد‪ .‬بدين ترتيب بايد مجددا اجزاي فرموالسيون کرنشاهاي حجماي ماورد بررساي‬ ‫قرار گيرد‪ .‬نمو کرنش حجمي االستيک به صور زير تتريف ميگردد‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪v e  ‬‬ ‫(‪)46-8‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫و نمو کرنش حجمي پالستيک نيز به صور زير قابل تتريف است‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪vp  (   ) /   0‬‬ ‫(‪)47-8‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫با توجه به لرايط زهكشي نشده ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)48-8‬‬ ‫(‪)49-8‬‬ ‫‪vp  ve  0‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ (   ) 0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p0‬‬ ‫‪‬‬ ‫اين متادله‪ ،‬ارتراط تغييرا تنش موثر ميانگين ‪ p ‬با تغييرا اندازه تاابع تساليم کاه باا ‪ p 0‬کنتارل‬ ‫ميلود را برقرار مينمايد‪ .‬هندسه تابع تسليم نيز ارتراطي ديگر بين تغييرا ‪ p ‬و ‪( ‬يا ‪ )q‬برقرار ميکند‬ ‫که لروع تسليم و پروسه سخت لوندگي را با تغيير در ‪ p 0‬بيان مينمايد‪ .‬بنابراين رابطه(‪ )49-8‬محدوديت‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪611‬‬ ‫جديدي در لكل تابع تسليم است که منجر به عدم تغيير حجم خااك مايلاود‪ .‬از رابطاه (‪-31-8‬الاف) و‬ ‫(‪ )49-8‬داريم‪:‬‬ ‫) ‪ p  (  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)51-8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫) ‪ (M   2‬‬ ‫با انتگرال گيري از رابطه باال داريم‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p i  M 2   2 ‬‬ ‫(‪)51-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p   M 2  i 2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫(‪)52-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫که در آن ‪ i‬و ‪ p i‬مقادير اوليه نسرت تنش و تنش موثر ميانگين اوليه را مترفي ميکنناد‪ .‬رابطاه‬ ‫(‪ )51-8‬لكل مسير تنش موثر زهكشي نشده در صفحه ‪ q  p‬را مشخص مينمايد که در لكل (‪-8‬‬ ‫‪ )18‬نيز نمايش داده لده است‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬سطوح تسليم خاک و مسير تنش موثر زهکشی نشده‬ ‫اگر وضتيت تنش موثر درون سطح تسليم کنوني قرار گيرد امكان ايجاد کرنش حجماي پالساتيک‬ ‫وجود ندارد‪ .‬بنابراين تنها راه براي ارضاي رابطه (‪ )48-8‬آن است که کرنش حجمي االستيک نيز صافر‬ ‫بالد‪ .‬بدين ترتيب از رابطه (‪ )46-8‬نتيجه ميلود که در تنش موثر ميانگين ‪ p ‬ثابت است‪ .‬لذا مساير‬ ‫تنش آزمايش زهكشي نشده بر نمونه هاي پيش تحكيم يافته که از داخل سطح تسليم لروع ميلود تا‬ ‫زماني که به سطح تسليم کنوني برسد بطور عمودي حرکت مينماياد (‪ AB‬در لاكل ‪ )19-8‬و ساپس‬ ‫مسير تنش موثر االستو‪-‬پالستيک در رابطه (‪ )51-8‬به آن متول ميلود (‪ BC‬در لكل ‪.)19-8‬‬ ‫‪611‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬مسير تنش آزمایش سه محوری زهکشی نشده بر خاک پيش تحکيم یافته‬ ‫از رابطه (‪ )49-8‬واضح است که تغييرا در ‪ p ‬و ‪ p 0‬همواره ميبايست عالمت مخالف هم دالته‬ ‫بالند‪ .‬عالمت ‪  p 0‬با عالمت نمو کرنش حجمي پالستيک مرترط است و باا لايب عماود بار ساطح‬ ‫تسليم با تابع پتانسيل مرترط ميبالد‪ .‬اگر لروع مسير تنش زهكشي نشاده بار ساطح تساليم بياانگر‬ ‫با ‪   M‬بالد (مانند ‪ AB‬در لكل (‪ )21-8‬و (‪ ،)21-8‬تسليم با باردار نماو کارنش پالساتيک کاه‬ ‫جهت آن به سمت راست است رخ ميدهد که به متني فشردگي حجمي پالساتيک مايبالاد‪ .‬در ايان‬ ‫لرايط خاك در وضتيت سخت لوندگي بوده و اندازه تابع تسليم افزايش مييابد ( ‪ .)  p 0  0‬با توجه‬ ‫به وضتيت مسير تنش زهكشي نشده در صفحه تراکم‪ ،‬براي صفر بودن کرنش حجمي کل باياد کارنش‬ ‫االستيک منفي يا انرساط االستيک وجود دالته بالد و بنابراين به تراع آن باياد تانش ماوثر مياانگين‬ ‫کاهش يابد ‪ .  p   0‬انرساط االستيک ايجاد لده‪ ،‬فشردگي پالستيک را خنثي خواهد کرد‪.‬‬ ‫اگر لروع تغيير لكل زهكشي نشاده باا ‪ QR(   M‬در لاكل (‪ )21-8‬و (‪ )21-8‬تاوام بالاد‪،‬‬ ‫تسليم با جهت نمو کرنش پالستيک که به سمت چپ الاره دارد اتفاق ميافتد‪ ،‬که باه متناي انرسااط‬ ‫حجمي پالستيک خواهد بود‪ .‬خاك در اين حالت دچار نرم لوندگي پالستيک ميلود و بايد اندازه تابع‬ ‫تسليم کاهش يابد ( ‪ .)  p 0  0‬در صور صفر بودن تغيير حجمها بر اساس مساير تانش در صافحه‬ ‫تراکم‪ ،‬بايد تنش موثر ميانگين افزايش ياباد ( ‪ .)  p   0‬بادين ترتياب کرنشاهاي االساتيک حجماي‬ ‫مثرت يا فشردگي االستيک ايجاد لده‪ ،‬انرساط پالستيک را خنثي ميکند‪.‬‬ ‫اگر نمو تغيير لكل زهكشي نشده در راس تابع تسليم يا پتانسيل پالستيک با ‪   M‬رخ دهاد (‪ G‬در‬ ‫لكل (‪ )21-8‬و (‪ ،)21-8‬جهت بردار نمو کرنش پالستيک موازي محور ‪ q‬خواهد بود کاه باه متناي صافر‬ ‫بودن کرنش حجمي پالستيک خواهد بود‪ .‬در اين حالت برش به طرز نامحدود و بدون تغيير در اندازه سطح‬ ‫تسليم ادامه مييابد ( ‪ ،)  p 0  0‬و در نتيجه بر اساس رابطه (‪ )49-8‬تنش موثر ميانگين نيز بدون تغييار‬ ‫باقي ميماند ‪ .  p   0‬بنابراين نسرت تنش خاف ‪ ،   M‬به عنوان يک حد مرزي براي تانش ماوثر‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪611‬‬ ‫ميانگين زهكشي نشده عمل ميكند و مسيرهاي تنش ميتوانند از دو جهت تا نسرت تانش خااف حرکات‬ ‫نمايند‪.‬‬ ‫پيش بيني مسير تنش موثر در آزمايش زهكشي نشده نيازمند اطالعااتي در خواوف مقادار فشاار آب‬ ‫حفرهاي ايجاد لده است‪ .‬به همين ترتيب با در دسات دالاتن مساير تانش مايتاوان تغييارا فشاار‬ ‫حفرهاي را از تفاضل مسير تنش موثر و کل بدست آورد‪ .‬اگر تغييرا در تنش موثر ميانگين باا ‪  p ‬و‬ ‫تغييرا در تنش کل ميانگين ‪  p‬بالد‪ ،‬تغيير در فشار آب حفرهاي ‪  u‬به صور زير خواهد بود‪:‬‬ ‫(‪)53-8‬‬ ‫‪u   p   p ‬‬ ‫لكل (‪ )22-8‬نتايج آزمايش سه محوري زهكشي نشده را نشان ميدهد‪ .‬بارگذاري بار خااك عاادي‬ ‫تحكيم يافته از نقطه ‪ A‬لروع لاده اسات‪ .‬بادين ترتياب ساطوح تساليم متاوالي باا فواصال يكساان‬ ‫‪  p 0 cte ‬ترسيم ميگردند‪ .‬با توجه به آنكه در صفحه تراکم ‪   p‬تغيير حجم صفر ميبالد‬ ‫( ‪ )   0‬مسير تنش در اين صفح بوور خطي افقي خواهد بود (لكل ‪-22-8‬ب)‪ .‬هر نقطه ‪،B ،A‬‬ ‫‪ E ،D ،C‬و ‪ F‬بر روي يک خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد قرار دارند که از نقطه نظير راس هر يک تاابع‬ ‫تسليم جديد لروع لده اند‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)22-1‬نحوه رشد سطح تسليم در بارگذاری زهکشی نشده با مسيرهای تنش مختلف (وود ‪)6112‬‬ ‫شکل ‪ :)26-1‬تصویر مسيرهای تنش زهکشی نشده مختلف در صفحه تراکم (وود ‪)6112‬‬ ‫‪612‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫در صفحه تنش موثر ‪ ، q  p‬با تووير کردن نقاط ‪ E ،D ،C ،B ،A‬و ‪ F‬برروي سطوح تسليم متنااظر‪،‬‬ ‫بردار نمو کرنش پالستيک رسم ميلود و نسرت جزء کرنش برلي پالستيک به جازء کارنش حجماي‬ ‫پالستيک مشخص ميلود‪ .‬جزء کرنش حجمي پالستيک از فواصل قائم بين خطوط متوالي باربرداري‪-‬‬ ‫بارگذاري مجدد در صفحه تغيير حجم ( ‪ )  p‬مطابق لكل (‪-22-8‬ب) قابل محاسره است‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫(‪)54-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪vp ‬‬ ‫با محاسره جزء کرنش حجمي پالستيک‪ ،‬جزء کرنش برلي پالستيک نيز قابل تتيين خواهد بود‪ .‬با‬ ‫افزودن کرنش برلي االستيک ميتوان رابطه تانش انحرافاي‪-‬کارنش برلاي را باه دسات آورد (لاكل‬ ‫‪-22-8‬ج)‪ .‬فشار حفرهاي در هر مرحله از فواصل افقي بين مسير تنش کل و موثر در صافحه ‪q  p‬‬ ‫طرق لكل (‪-22-8‬الف) بدست ميآيد که ميتوان آن را در مقابل کارنش برلاي ترسايم کارد (لاكل‬ ‫‪-22-8‬د)‪ .‬همانگونه که قرال نيز توضيح داده لد‪ ،‬مسير تنش نميتواند فراتار از نسارت تانش ‪  M‬‬ ‫حرکت کند‪ .‬بدين ترتيب مقادير تنش انحرافي ‪ q‬و تنش موثر مياانگين ‪ p ‬مجاانري را در منحنيهااي‬ ‫تنش انحرافي‪-‬کرنش محوري بر اساس لكل (‪-22-8‬ج) و فشار حفره اي‪-‬کرنش محوري مطابق لاكل‬ ‫(‪-22-8‬د) ايجاد ميکند‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)22-1‬محاسبات منحنی تنش کرنش و فشار حفرهای در آزمایش سه محوری زهکشی نشده معمولی‬ ‫روی رس عادی تحکيم یافته (وود ‪)6112‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪616‬‬ ‫آزمايش زهكشي نشده بر نمونه اندکي پيش تحكيم يافته مشابه حالت عادي تحكيم يافتاه خواهاد‬ ‫بود‪ ،‬با اين تفاو که مطابق لكل (‪-23-8‬الف)‪ ،‬مسير تنش در ابتدا با فاز االساتيک ‪ AB‬در ‪ p ‬ثابات‬ ‫لروع ميلود و تا زماني که مسير تنش به تابع تسليم اوليه ‪ yl-B‬نرسيده بالد باه حرکات قاائم خاود‬ ‫ادامه خواهد داد‪ .‬در صفحه تراکم‪ ،‬مسير تنش مربوطه بر خطي افقي که بيانگر عدم تغيير حجام اسات‬ ‫حرکت مينمايد (لكل ‪-23-8‬ب)‪.‬‬ ‫بدين ترتيب در بخش ‪ AB‬تنها کرنش هاي برلاي االساتيک باه وجاود مايآياد و منحناي تانش‬ ‫انحرافي‪-‬کرنش برلي در اين وضتيت حالتي خطي خواهد دالت (لكل ‪-23-8‬ج)‪ .‬از نقطه ‪ B‬تا ‪ F‬کاه‬ ‫بر خط حالت بحراني ‪   M‬قرار دارد‪ ،‬رفتار مشابهي با وضتيت عادي تحكيم يافته وجاود دارد‪ .‬فشاار‬ ‫منفذي اضافي در هر نقطه‪ ،‬از تفاضل مقادير تنش موثر ميانگين و تنش کل ميانگين بر مسيرهاي تنش‬ ‫مربوطه قابل انجام است‪.‬‬ ‫روند محاسرا براي آزمايش زهكشي نشده بر خاك بسيار بيش تحكيم يافته در لاكل (‪ )24-8‬نشاان‬ ‫داده لده است‪ .‬فاز اول بارگذاري ‪ PQ‬کامال االستيک بوده و تغييري در تنش موثر مياانگين وجاود نخواهاد‬ ‫دالت‪ .‬زمانيكه مسير تنش به تابع تسليم اوليه ‪ yl-Q‬ميرسد آن را در ‪   M‬قطع مينمايد‪ .‬بدين ترتيب‬ ‫کرنشهاي حجمي پالستيک اتساعي و رفتار نرم لونده‪ ،‬توام با کوچک لدن سطح تسليم مشاهده ميگاردد‬ ‫(لكل ‪-24-8‬الف)‪ .‬مسير تنش تا زمان حوول به لرايط ‪   M‬ادامه خواهد يافت‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)23-1‬محاسبات منحنی تنش کرنش و فشار حفرهای کرنش در آزمایش سه محوری زهکشی نشده‬ ‫معمولی روی رس تا حدی تحکيم یافته (وود ‪)6112‬‬ ‫‪612‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)24-1‬محاسبات منحنی تنش کرنش و فشار حفرهای کرنش در آزمایش سه محوری زهکشی نشده‬ ‫معمولی روی رس بسيار تحکيم یافته (وود ‪)6112‬‬ ‫‪ -11-8‬نکات تکمیلی در خصوص مدل کم کلی‬ ‫‪ -3-33-9‬معادله سطح تسلیم‬ ‫همانطور که قرال ذکر گرديد‪ ،‬نسرت تنش با استفاده از رابطه زير تتريف ميگردد‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‪)55-8‬‬ ‫(‪)56-8‬‬ ‫نسرت جزء تغييرا تنش نيز با رابطه زير ارائه ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)57-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q   p  dq  pd   dp‬‬ ‫‪dq‬‬ ‫‪   dq   dp‬‬ ‫‪dp‬‬ ‫از دو رابطه ميتوان نتيجه گرفت‪:‬‬ ‫(‪)58-8‬‬ ‫‪dp‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪p  ‬‬ ‫‪pd   dp   dp ‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪613‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dp‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ p      0  ln p  ln po      0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‪)59-8‬‬ ‫‪o‬‬ ‫به فرم ديفرانسيلي نيز ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)61-8‬‬ ‫‪dpo dp‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪po‬‬ ‫‪p  ‬‬ ‫شکل ‪ :)22-1‬خط بارگذاری و باربرداری ایزوتروپ در فضای ‪( e  ln p‬دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫با توجه به لكل (‪ )25-8‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪dpo‬‬ ‫‪po‬‬ ‫‪dpo‬‬ ‫‪po‬‬ ‫(‪)61-8‬‬ ‫‪dp0‬‬ ‫با قرار دادن بجاي‬ ‫‪p0‬‬ ‫(‪)62-8‬‬ ‫‪dpo‬‬ ‫‪po‬‬ ‫‪de  ‬‬ ‫‪dee  k‬‬ ‫‪ de p      k ‬‬ ‫از (‪ )61-8‬خواهيم دالت‪:‬‬ ‫‪ dp‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪de p      k  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ p    ‬‬ ‫بدين ترتيب جزء کرنش حجمي پالستيک از رابطه ذيل محاسره خواهد لد‪:‬‬ ‫(‪)63-8‬‬ ‫‪de p   k  dp‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  e 1  e  p    ‬‬ ‫‪d  vp  ‬‬ ‫‪614‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫درباره ‪ ‬فرضيا متتددي انجام لده است‪ .‬بطور متمول ‪ ‬از انرژي ميرا لده‪ 1‬در پروسه بارگذاري‬ ‫و باربرداري تتيين ميلود‪ .‬در مدل کم کلي اوليه‪ 2‬روسكو و اساكافيلد (‪ ،)1963‬انارژي ميارا لاده باا‬ ‫رابطه زير بيان ميگردد‪:‬‬ ‫‪dW  Mpd s ‬‬ ‫(‪)64-8‬‬ ‫(‪)65-8‬‬ ‫‪ pd vp  qd sp  Mpd s‬‬ ‫در نظريااه حالاات بحرانااي از کرنشااهاي برلااي االسااتيک صاارفنظر ماايگااردد و ماايتااوان گفاات‪:‬‬ ‫‪ d s  d sp‬بنابراين‪:‬‬ ‫(‪)66-8‬‬ ‫‪  c  M ‬‬ ‫‪d  sp‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d vp M  ‬‬ ‫در اين رابطه ‪  c‬مقدار ‪ ‬براي مدل کم کلي اوليه است‪ .‬با جايگذاري ايان رابطاه در متادلاه (‪)59-8‬‬ ‫متادله سطح تسليم مدل کم کلي اوليه به لرح زير بدست ميآيد‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‪)67-8‬‬ ‫‪q  Mp ln 0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫لكل (‪ )26-8‬نمايي از سطح تسليم مدل کم کلي اوليه را نشان ميدهد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)21-1‬شکل تابع تسليم مدل کم کلی اوليه‬ ‫همانطور که مشاهده ميگردد در محل برخورد با محور تنش ميانگين‪ ،‬جزء کرنش پالستيک عماود بار‬ ‫محور نروده و ايجاد زاويه ‪ ‬مينمايد‪ .‬با توجه به آنكه در اين نقطه‪ ،‬خاك تحت تنش ايزوتروپ خالص بدون‬ ‫هيچ تنش برلي است‪ ،‬وجود مولفه کرنش برلي در آن منطقي بنظر نميرسد‪ .‬براي رفع اين مشكل‪ ،‬مادل‬ ‫مذکور توسط روسكو و برلند (‪ )1963‬اصالح و جزء کار تلف لده توسط رابطه ذيل ارائه لد‪:‬‬ ‫(‪)68-8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ d   M  d ‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪dW  p‬‬ ‫‪1 Dissipated energy‬‬ ‫‪2 Original Cam clay model‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪612‬‬ ‫به همان ترتيب قرلي اين رابطه به متادله زير منجر ميگردد‪:‬‬ ‫‪M  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪)69-8‬‬ ‫‪  cm ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪1‬‬ ‫که ‪  cm‬تابع ‪ ‬در مدل کم کلي اصالح لده ميبالد‪ .‬بدين ترتيب ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‪)71-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 d‬‬ ‫‪dp‬‬ ‫‪0 M 2   2   p p‬‬ ‫‪o‬‬ ‫(‪)71-8‬‬ ‫‪ ln M 2   2  ln M 2   ln p  ln po‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫(‪)72-8‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪M ‬‬ ‫‪ o  M 2 p2  M 2 po p  q 2  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اين متادله‪ ،‬همان سطح تسليم بيضي لكل مدل کم کلي اصالح لده را نشان ميدهد‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ -9-33-9‬مدل کم کلی با نسبت فواصل‬ ‫ايده نسرت فواصل بدين دليل است که مدل کم کلي عمدتا در خاکهاي رسي جوابهاي مناسب تري‬ ‫نسرت به خاکهاي ماسهاي ارائه مينمايد‪ .‬براي آنكه مدل در خاکهاي ماسهاي نيز جوابهاي خوبي بدست‬ ‫دهد‪ ،‬اسالم و همكاران‪ ،)2114( 3‬ضريب توحيحي به نام نسرت فواصل را تتريف نمودند‪ .‬اين ضريب در‬ ‫واقع فاصله خطوط تحكيم ايزوتروپ و حالت بحراني در فضاي ‪ e  ln p‬را بيان مينمايد‪.‬‬ ‫بر اساس لكل (‪ ،)27-8‬با باربرداري در نقطه ‪ A‬و تتيين نقطه برخورد خط باربرداري با خط حالت‬ ‫بحراني (نقطه ‪ ،)B‬نسرت فواصل ‪ r‬را ميتوان به صور زير تتريف نمود‪:‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫‪pcs‬‬ ‫(‪)73-8‬‬ ‫‪r‬‬ ‫شکل ‪ :)21-1‬نحوه تعيين نسبت فواصل ‪ r‬در مدل کم کلی (اسالم و همکاران ‪)2222‬‬ ‫‪1 Modified Cam clay‬‬ ‫‪2 Cam clay with spacing ratio‬‬ ‫‪3 Islam et al.‬‬ ‫‪611‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)21-1‬منحنی تسليم مدل کم کلی با نسبت فواصل (اسالم و همکاران ‪)2222‬‬ ‫منحني تسليم مدل کم کلي با نسرت فواصل در لكل (‪ )28-8‬ارائه لده است‪ .‬بر اساس اين لاكل‬ ‫مشخص ميلود که در مدل کم کلي اصالح لده‪ ،‬نسرت فواصل ‪ r‬برابر ‪ 2‬ميبالد‪ .‬همچناين در مادل‬ ‫کم کلي اوليه نيز مقدار اين پارامتر ‪ 2/72‬خواهد بود‪ .‬اما در مدل با نسرت فواصل‪ ،‬مقدار ‪ r‬الزاما ‪ 2‬نروده‬ ‫و ميتواند مقادير متفاوتي را اختيار نمايد‪ .‬در ماسهها مقدار ‪ r‬بين ‪ 5‬تا ‪ 6‬جوابهااي مناساري از مادل را‬ ‫ارائه ميدهد‪ .‬متادله سطح تسليم مدل کم کلي اوليه با نسرت فواصل بوور زير است‪:‬‬ ‫‪ ´ ‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ln  0 ‬‬ ‫‪ p ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪Mp ‬‬ ‫‪lnr‬‬ ‫(‪)74-8‬‬ ‫همچنين در مدل کم کلي اصالح لده نيز متادله سطح تسليم از قرار زير ميبالد‪ .‬سطح تساليم مادل‬ ‫کم کلي اصالح لده با نسرت فواصل نيز محور تنش موثر ميانگين را تحت زاويه قائم قطع خواهد کرد‪.‬‬ ‫(‪)75-8‬‬ ‫‪ p 0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪   1‬‬ ‫‪ q ‬‬ ‫‪p ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ r  1‬‬ ‫‪ Mp  ‬‬ ‫‪ -1-33-9‬تعیین معادله رفتاری مدل کم کلی‬ ‫کرنش حجمي پالستيک از رابطه زير قابل محاسره است‪:‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪d  d v  d‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪   k  dpo‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  e o  po‬‬ ‫(‪)76-8‬‬ ‫متادله سطح تسليم مدل کم کلي در مختوا '‪ p‬و ‪ q‬به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)77-8‬‬ ‫‪f  M 2 p2  M 2 po p  q 2  0‬‬ ‫در مختوا نامتغيرهاي تانسور تنش انحرافي ‪ J 2 D , J1‬رابطه مذکور بوور زير در ميآيد‪:‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ 611 )78-8( f  M 2 J12  M 2J1J o1  27J 2D  0 ‫ مايبالاد کاه‬J1 ‫ در محل برخوردکالهک تساليم باا محاور‬J1 ‫ مقدار نامتغير‬J 01 ‫در اين رابطه‬ .‫ اين مقدار پارامتر سخت لوندگي مدل است که تابع کرنشهاي حجمي ميبالاد‬.‫ ميبالد‬p0 ‫مترادف‬ :‫در لرايط تسليم ميتوان نولت‬ f f f f  f q, p, po  vp   df  dq  dp  p d  vp  0   q p d   v )79-8( :‫بر اساس قانون تتامد ميتوان نولت‬ d  ijp   Q  ij )81-8( .‫ پارامتر رابطه تتامد است‬ ‫ تابع پتانسيل پالستيک و‬Q ‫در اين رابطه‬ Aij  Q Q  p  Q  q        ij p   ij  q   ij  )81-8( :‫ (تابع تسليم) ميتوان نولت‬F ‫در صور استفاده از تابع‬ Bij  F F  p  F  q        ij p   ij  q   ij   df  Bij d ij   )82-8( F d  vp  0 p  v d  ij  C ijkl d  kl  d  p kl )83-8( :‫با استفاده از قانون هوك ميتوان نولت‬  )84-8( :‫ خواهيم دالت‬df  0 ‫با جايگذاري در رابطه‬   F  A  0  df  B ij C ijkl d  kl   A kl   p v ii B ij C ijkl d  kl  F B ij C ijkl A kl  p Aii v     C ijkl A kl B mnC mnrs  d  rs  d  ij  C ijrs  F  B mnC mnrs A rs  p A ii    v   C ijkl A kl B mnC mnrs p C ijrs  F B mnC mnrs A rs  p Aii v )85-8( )86-8( )87-8( )88-8( ‫‪611‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫با توجه به رابطه ابتدايي بخش ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪po 1  eo ‬‬ ‫‪po‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪ v‬‬ ‫(‪)89-8‬‬ ‫‪M 2 ppo 1  eo ‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F po‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‪ vp po  vp‬‬ ‫(‪)91-8‬‬ ‫‪ -12-8‬مدل پالستیسیته عمومی‪ 1‬پاستور و همکاران‪)1991( 2‬‬ ‫بر خالف مدلهاي مطرح لده در نظريه پالستيسيته کالسيک‪ ،‬عدم الزام به وجود توابع تسليم دسته‬ ‫مدلهاي مرسوم در تروري پالستيسيته عمومي را تشكيل ميدهد‪ .‬بطور کلاي در مادلهاي پالستيسايته‬ ‫عمومي‪ ،‬بردارهاي عمود بر سطوح تسليم و پتانسيل ارائه ميلوند و نيازي باه ارائاه مساتقيم متاادال‬ ‫توابع مذکور نيست‪.‬‬ ‫‪ -3-39-9‬مدلسازی رفتار خاکهای رسی‬ ‫‪3‬‬ ‫در مدل مذکور نرخ اتساع با رابطه خطي پيشنهاد لده توسط فروسارد (‪ )1983‬بيان ميگردد‪:‬‬ ‫‪d v d vp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1    M   ‬‬ ‫‪d  s d  sp‬‬ ‫(‪)91-8‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫در اين رابطه ‪ ‬پارامتر مدل‪ M ،‬ليب خط حالت پايدار و ‪ ‬نسرت تنش ‪ q p‬ميبالد‪ .‬باا در‬ ‫نظر گيري قانون جريان همرسته و تساوي توابع تسليم و پتانسايل‪ ،‬مولفاه هااي باردار واحاد عماود و‬ ‫مماس بر سطح تسليم با استفاده از پارامتر ‪ d‬به فرم زير تتريف ميلوند‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫(‪)92-8‬‬ ‫‪1 d 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)93-8‬‬ ‫‪1 d 2‬‬ ‫پارامتر سخت لوندگي ‪ H‬نيز بوور زير تتريف ميلود‪.‬‬ ‫(‪)94-8‬‬ ‫(‪)97-8‬‬ ‫‪ns ‬‬ ‫‪H  H o p  f  ‬‬ ‫‪1  eo‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫(‪)95-8‬‬ ‫(‪)96-8‬‬ ‫‪nv ‬‬ ‫‪1  d  sign 1   ‬‬ ‫‪1  d   M ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪o‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ho ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f    1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ M ‬‬ ‫‪do  1    ‬‬ ‫‪1 Generalized plasticity models‬‬ ‫‪2 Pastor et al.‬‬ ‫‪3 Frossard‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪611‬‬ ‫‪ -9-39-9‬مدلسازی رفتار خاکهای ماسه ای‬ ‫در خووف ماسه ها‪ ،‬فرض تتامد به نتايج مناسري منجر نميگاردد بناابراين‪ ،‬مادل از تواباع تساليم و‬ ‫پتانسيل مجزايي در اين خووف استفاده مينمايد‪ .‬بردارهاي يكه عمود و مماس بر سطح تساليم طراق‬ ‫روابط (‪ )92-8‬و (‪ ،)93-8‬با استفاده از تتريف ‪ df‬بجاي ‪ d‬بوور زير حساب ميلود‪:‬‬ ‫‪d f  1    M f  ‬‬ ‫(‪)98-8‬‬ ‫به همين ترتيب‪ ،‬بردار يكه عمود و مماس بر سطح پتانسيل نيز با استفاده از همان روابط و با استفاده از‬ ‫‪ dg‬به لكل زير حساب ميلود‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)99-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d g  1    M g ‬‬ ‫(‪)111-8‬‬ ‫‪ Dr‬‬ ‫‪Mf‬‬ ‫‪Mg‬‬ ‫علي رغم عدم نياز به توابع تسليم و پتانسيل‪ ،‬متادله اين توابع بواور زيار باوده و در لاكل (‪)29-8‬‬ ‫نشان داده لده است‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)111-8‬‬ ‫‪p   ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f  q  M f p  1   1  ( )  ‬‬ ‫‪pc  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)112-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p   ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪g  q  M g p  1   1  ( )  ‬‬ ‫‪p g  ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫سخت لوندگي مدل نيز بر اساس رابطه زير قابل محاسره خواهد بود‪:‬‬ ‫‪pc 1  e 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪pc‬‬ ‫‪vp   k‬‬ ‫(‪)113-8‬‬ ‫شکل ‪ :)21-1‬توابع تسليم و پتانسيل در مدل پاستور و همکاران (‪)6112‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪222‬‬ ‫‪ -13-8‬مدلهای دارای کالهک‬ ‫‪1‬‬ ‫بتنوان يک تفاو اصلي بين مدلهاي کالهکدار و مدلهاي حالت بحراني‪ ،‬ميتوان باه ايان موضاوع‬ ‫الاره نمود که بر خالف مدلهاي حالت بحراني که بر اساس يک سطح تسليم ثابت بياان مايلاوند‪ ،‬در‬ ‫‪3‬‬ ‫مدلهاي داراي کالهک‪ ،‬تسليم توسط دو بخش لامل سطح تسليم ثابت‪ 2‬و سطوح تسليم پيش روناده‬ ‫بيان ميگردد‪ .‬لكل (‪ )31-8‬نمايي از سطح تسليم ثابت ‪ f1‬و سطوح تسليم پايش روناده ‪ f2‬در مادل‬ ‫داراي کالهک را نشان ميدهد‪ .‬بدين ترتيب‪ ABC ،‬در اين لكل بيانگر سطح تسليم مدل خواهد بود‪ .‬در‬ ‫مدلهاي داراي کالهک‪ ،‬تسليم پيوسته خاك باا اساتفاده از کالهكهااي متحارك و پايش روناده بياان‬ ‫ميگردد‪ .‬حرکت اين کالهكها تا رسيدن به سطح گسيختگي ادامه خواهاد دالات‪ .‬در ضامن‪ ،‬بارخالف‬ ‫مدلهاي حالت بحراني که عموما در فضاي '‪ q-p‬تتريف ميلوند‪ ،‬مدلهاي کالهکدار در فضاي سه بتدي‬ ‫تنشها و با استفاده از نامتغيرهاي تانسور تنش ترسيم ميلوند‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)32-1‬سطوح تسليم ثابت و پيش رونده در مدل کالهک دار (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪ -3-31-9‬سطح تسلیم ثابت‬ ‫سطح تسليم ثابت که لرايط نهايي‪ ،‬بحراني و يا گسيختگي را در خاك مدل مينمايد بواور زيار‬ ‫نشان داده ميلود‪:‬‬ ‫(‪)114-8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f 1 J1 , J 2D  0‬‬ ‫در مدلهاي کالهکدار اوليه‪ ،‬سطح تسليم ثابت بواور پاوش مشاترك مادل دراکار‪-‬پراگار و ون‬ ‫ميزس تتريف ميلد‪ .‬اين موضوع در لكل (‪ )31-8‬نيز نشان داده لده اسات‪ .‬ايان مادل باراي لاريه‬ ‫سازي رفتار موالح ماسهاي تحت بارگذاري انفجار و بروز روانگرايي در آنها تحت فشارهاي دورگيار بااال‬ ‫‪1 Cap models‬‬ ‫‪2 Fixed yield surface‬‬ ‫‪3 Moving yield caps‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪226‬‬ ‫مورد استفاده قرار گرفت‪ .‬با توجه به عدم بروز رفتاار ساخت لاونده در لارايط زهكشاي نشاده‪ ،‬باراي‬ ‫مدلسازي رفتار خاك تحت فشارهاي دورگير باال از مدل ون ميزس استفاده لد‪.‬‬ ‫همچنين دي ماجو و ساندلر‪ )1971( 1‬رابطه ذيل را براي سطح تسليم ثابت پيشنهاد دادند‪:‬‬ ‫(‪)115-8‬‬ ‫که ‪  ، ‬و ‪ ‬پارامترهاي خاك ميبالند‪.‬‬ ‫‪ -9-31-9‬سطح تسلیم پیش رونده‪ 9‬یا کالهک‬ ‫متادله اين سطح نيز‪ ،‬با رابطه ذيل مشخص ميلود‪:‬‬ ‫(‪)116-8‬‬ ‫‪f 1  J 2D  γe βJ1  α  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f 2  J1 , J 2 D , k1  0‬‬ ‫در اين رابطه ‪ k1‬پارامتر وابسته به تاريخچه تغيير لكل باوده و متماوال بار اسااس کرنشاهاي حجماي‬ ‫پالستيک بيان ميگردد‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‪)117-8‬‬ ‫) ‪k1  g ( v )  g ( ii‬‬ ‫بدين ترتيب در فضاي نامتغير هاي تنش انحرافي‪ f2 ،‬سطحي پيش رونده است که نقاط مختلف آن‪،‬‬ ‫کرنش حجمي پالستيک يكسان دالته و بترار ديگر کانتور کرنش حجمي پالستيک است‪.‬‬ ‫دي ماجو و ساندلر (‪ )1971‬از يک رابطه بيضوي مطابق لكل (‪ )28-8‬باراي تترياف ساطوح تساليم پايش‬ ‫رونده در خاکهاي دانهاي استفاده کردند‪ .‬بر اساس اين رابطه ميتوان سطح تسليم را بوور زير بيان نمود‪:‬‬ ‫(‪)118-8‬‬ ‫‪f 2  R 2 J 2D  (J1  C )2  R 2b 2‬‬ ‫تتريف پارامترها در لكل (‪ )28-8‬ارائه لده است‪ .‬بر اساس اين لكل‪:‬‬ ‫(‪)119-8‬‬ ‫‪Rb  X  C‬‬ ‫شکل ‪ :)36-1‬سطوح تسليم ثابت و پيشرفته و پارامترهای مختلف آنها (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫‪1 Di Maggio and Sandler‬‬ ‫‪2 Moving yield surface‬‬ ‫‪222‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫که ‪ R‬نسرت قطر بزرگ به قطر کوچک بيضي است و ‪ X‬محل تقاطع با محور ‪ J1‬و يا همان فشاار‬ ‫دورگير ميبالد‪ C .‬مقدار ‪ J1‬در مرکز بيضي و ‪ b‬مقدار ‪J 2D‬‬ ‫در ‪ J1  C‬خواهد بود‪ .‬در واقاع ‪X‬‬ ‫پارامتر سخت لوندگي است که ميزان رلد سطح تسليم را بيان ميکند‪ .‬در صور لزوم تترياف رفتاار‬ ‫غير همسان در جها مختلف‪ ،‬يک تابع براي بيان سختي کينماتيک نياز فتاال خواهاد لاد‪ .‬باراي ‪X‬‬ ‫ميتوان تابع ذيل را لحاظ نمود‪.‬‬ ‫‪1   vp ‬‬ ‫‪ln 1    Z‬‬ ‫‪D  W‬‬ ‫(‪)111-8‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫مقادير ‪ D‬و ‪ W‬پارامترهاي ماده و ‪ Z‬کالهک ابتدايي است که وضتيت اوليه سطح تسليم يا تنشهاي‬ ‫اوليه را بيان مينمايد‪.‬‬ ‫مثال (‪ :)2-8‬تتيين پارامترها در مدل کالهک دار‬ ‫الف‪ -‬تتيين سطح تسليم ثابت‬ ‫براي داده هاي ارائه لده در مثال (‪ )1-8‬در خووف آبرفت سري ‪ A‬تهران‪ ،‬پارامترهاي سطوح تسليم ثابت و‬ ‫متحرك مدل کالهکدار را محاسره نماييد‪ .‬عالوه بر داده هاي ارائه لده در مثال مذکور‪ ،‬در جدول ارائه لده‬ ‫در اين مثال‪ ،‬نتايج چند آزمايش تحت فشارهاي دورگير باالتر نيز به مجموعه قرلي اضافه لاده اسات‪ .‬ايان‬ ‫داده ها‪ ،‬با استفاده از نقاط گسيختگي خاك در منحني هاي تنش انحرافي‪-‬کرنش محوري بدست آمده اند‪.‬‬ ‫)‪J 2 D (kPa‬‬ ‫)‪J1 (kPa‬‬ ‫نام آزمایش‬ ‫‪70‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪395‬‬ ‫‪450‬‬ ‫‪255‬‬ ‫‪346‬‬ ‫‪732‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪CTC No.1‬‬ ‫‪CTC No.2‬‬ ‫‪CTC No.3‬‬ ‫‪CTC No.4‬‬ ‫‪CTC No.5‬‬ ‫‪CTC No.6‬‬ ‫در لكل (‪ ،)31-8‬سطح تسليم ثابت با تتيين پوش گسيختگي مشاترك مادل دراکار‪-‬پراگار و ون‬ ‫ميزس مترفي لد‪ .‬رولي ديگر براي تتيين سطح تساليم ثابات‪ ،‬اساتفاده از پاوش مشاترك دو ساطح‬ ‫گسيختگي دراکر‪-‬پراگر‪ ،‬يكي با عارض از مرادا صافر‪ ،‬مرباوط باه فشاارهاي دورگيار پاايين و ديگاري‬ ‫بيشترين عرض از مردا‪ ،‬مربوط به فشارهاي دورگير باال است‪ .‬بر اين اساس دساي و همكاران‪،)1979( 1‬‬ ‫رابطه زير را براي اين پوش مشترك ارائه نمودند‪:‬‬ ‫‪ J‬‬ ‫(‪)111-8‬‬ ‫‪f 1  J 2D   e‬‬ ‫‪  J1    0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 Desai et al.‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪223‬‬ ‫پارامترهاي اين سطح لامل ‪  ,  ,  , ‬ميبالند که از برازش رياضي رابطاه فاوق باه داده هااي‬ ‫آزمايشگاهي بدست ميآيند‪ .‬الرته بايد دقت دالت که در لرايط ‪   0‬اين سطح منطراق بار ساطح‬ ‫تسليم قرلي (يتني پوش مشترك سطوح گسيختگي دراکر‪-‬پراگر و ون ميزس) خواهد بود‪ .‬نكتاه ديگار‬ ‫آنكه اگر ‪ ،   ‬عرور پوش دراکر‪-‬پراگر اول از مردا الزامي نخواهاد دالات‪ .‬لاكل (‪ )32-8‬وضاتيت‬ ‫سطح مذکور و نقش پارامترهاي مدل در آن را نشان ميدهد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)32-1‬سطح تسليم ثابت مدل کالهکدار بر مبنای داده های آزمایشگاهی‬ ‫در ادامه نحوه محاسره پارامترهاي مدل در خووف اين مثال ارائه ميلود‪ .‬نقاط گسيختگي مربوط‬ ‫به آزمايشهاي برش سه محوري در فضاي ‪ J1  J 2D‬در لكل (‪ )33-8‬ترسايم لاده اناد‪ .‬متادلاه‬ ‫(‪ )111-8‬را ميتوان بوور زير بازنويسي نمود‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)33-1‬تعيين سطح تسليم ثابت مدل کالهکدار بر مبنای آزمایش‬ ‫‪224‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪J 2 D     J 1   e   J1‬‬ ‫در محل برخورد با محور قائم ( ‪ ) J1  0‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪J 2D    ‬‬ ‫همچنين در مقادير بزرگ ‪ J1‬ميتوان گفت‪:‬‬ ‫‪J 2D     J1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e   J1  0‬‬ ‫بدين ترتيب ميتوان پارامترهاي مدل را تتيين نمود‪ .‬ضمنا تاييد مايلاود کاه در ‪ ،   ‬پاوش‬ ‫دراکر‪-‬پراگر از مردأ عرور مينمايد‪ .‬بر اساس لكل ترسيم لده ميتوان دريافت‪:‬‬ ‫‪  272.8,     0    272.8‬‬ ‫‪3.38‬‬ ‫‪ 0.0886‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d J 2D‬‬ ‫‪dJ1‬‬ ‫‪‬‬ ‫براي تتيين ‪ ‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪   J1  J 2D‬‬ ‫‪1     J1  J 2D ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e   J1 ‬‬ ‫يک نقطه دلخواه مثل ‪ A‬در لكل (‪ )33-8‬از پوش ترسيم لده در نظر گرفته ميلود‪ .‬با جايگذاري‬ ‫مقادير ‪ J1‬و ‪J 2D‬‬ ‫مربوط به آن در متادله فوق‪ ،‬مقدار ‪ ‬محاسره ميگردد‪.‬‬ ‫‪J1  732 psi‬‬ ‫‪  0.00155‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J 2 D  250 psi‬‬ ‫ب‪ -‬سطح تسليم متحرك‬ ‫براي تتيين سطح تسليم متحرك ضروري است تا کرنش حجمي پالساتيک ‪  vp‬در نقااط مختلاف‬ ‫مسير تنش محاسره لوند‪ .‬پروسه محاسره ‪  vp‬منجر به تتيين کانتورهاي هم کرنش حجمي ميلاود‪.‬‬ ‫با توجه به آنكه پارامتر سخت لوندگي به عنوان تابتي از کرنشهاي حجمي پالستيک مطرح است‪ ،‬ايان‬ ‫کانتورها به عنوان کالهک هاي پيش رونده ترسيم ميلاوند‪ .‬کارنش حجماي پالساتيک از داده هااي‬ ‫آزمايشگاهي محاسره ميگردد‪ .‬در صورتيكه طي آزمايش هر سه تنش اصالي تغييار يابناد نمودارهااي‬ ‫‪  2   2 ،  1  1‬و ‪  3   3‬ترسيم ميلوند امّا در صورتيكه فقط يک تنش اصلي مثل ‪  1‬تغيير‬ ‫يابد نمودارهاي ‪  1   2 ،  1  1‬و ‪  1   3‬ترسيم ميلوند‪.‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪222‬‬ ‫شکل‪ :)34-1‬تغييرات هر یک از مولفه های تنش اصلی با کرنش اصلی نظير آن (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫براي تتيين کرنش حجمي پالستيک ‪ ،  vp‬سه کرنش محوري اصالي پالساتيک باا يكاديگر جماع‬ ‫ميلوند‪ .‬بدين منظور‪ ،‬مطابق لكل (‪ ،)34-8‬براي جزء تنش از ‪ A‬تا ‪ B‬بر اساس مدول برگشت متوسط‬ ‫‪ ، Er‬کرنشهاي االستيک را از کرنش کل کم نموده و کرنش پالستيک نظير محاسره ميگردد‪ .‬اين عمل‬ ‫بطور متناظر براي هر سه منحني تنش اصلي‪-‬کرنش اصلي انجام و کرنش حجمي پالستيک با جمع سه‬ ‫مقدار بدست ميآيد‪.‬‬ ‫‪d vp  d 1p  d  2p  d  3p‬‬ ‫با توجه به اينكه پروسه مزبور براي يک جزء تنش انجام گرفت‪ ،‬در کل مساير ماورد نظار مايتاوان‬ ‫نولت‪:‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪vp  d vp‬‬ ‫(‪)112-8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫شکل ‪ :)32-1‬کانتورهای کرنش حجمی پالستيک و تعيين سطوح تسليم متحرک‬ ‫روش ديگر‪ ،‬محاسره کرنشهاي االستيک از رابطه رفتاري االستيک و کسر آن از کرنش کل بر اساس‬ ‫رابطه زير است‪:‬‬ ‫‪221‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪)113-8‬‬ ‫(‪)114-8‬‬ ‫‪d    c  d  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪d vp  d 1  d  2  d  3   d 1e  d  2e  d  3e‬‬ ‫الرته با توجه به کوچک بودن دامنه رفتار االستيک خااك‪ ،‬ميتاوان بجااي اساتفاده از کارنش حجماي‬ ‫پالستيک از کرنش پالستيک کل نيز استفاده کرد که منجر به پاسخهاي مناسب و قابل قرولي نيز ميلاود‪.‬‬ ‫پس از تتيين کرنشهاي حجمي پالستيک در نقاط مختلف از مسيرهاي تنش‪ ،‬کانتورهاي هم کرنش حجمي‬ ‫مطابق لكل (‪ )35-8‬رسم لده و با برازش منحني به آنها‪ ،‬پارامترهاي مورد نياز بدست ميآيند‪.‬‬ ‫پ‪ -‬تابع پتانسيل پالستيک‬ ‫با تتيين مولفه هاي برلي و حجمي کرنش پالستيک در هر نقطه از مسير تنش‪ ،‬جهت بردار کرنش‬ ‫پالستيک نيز در هر نقطه از فضاي تنش ‪ J1 : J 2 D‬بدست خواهد آمد‪ .‬با توجه به اينكه بردار کرنش‬ ‫پالستيک در هر نقطه بر سطح پتانسيل عمود است‪ ،‬با اين روش امكان تتيين سطح پتانسيل پالستيک‬ ‫‪ Q‬به عنوان سطح تقريري که در تمام نقاط بر اين بردارها عمود است وجود خواهد دالت‪ .‬اين روش در‬ ‫لكل (‪ )36-8‬نشان داده لده است‪.‬‬ ‫بر اساس توضيحا ارائه لده در خووف سطوح تسليم متحرك‪ ،‬چهار پارامتر ‪ Z ،W ،D‬و ‪ R‬باراي‬ ‫مشخص نمودن آن قابل تتيين ميبالند‪ .‬با توجه عدم در نظرگيري سطح تسليم اولياه در ايان مثاال‪،‬‬ ‫‪ Z=0‬خواهد بود‪ .‬دقت گردد متموال ‪ Z‬در مواردي لحاظ ميلود که از يک مرحلاه آزماايش باه مرحلاه‬ ‫بتدي برويم‪ .‬يطور مثال يتني‪ ،‬ابتدا نمونه تحت يک مسير تنش خاف آزمايش و سپس با تغييار مساير‬ ‫تنش به مسير تنش جديدي رسيده باليم‪ .‬مقادير پارامترهاي ‪ D‬و ‪ W‬از آزماايش هيدواساتاتيک قابال‬ ‫هستند با جايگذاري ‪ Z=0‬ميتوان نولت‪:‬‬ ‫شکل ‪ :)31-1‬محاسبه جهت بردارهای کرنش پالستيک و سطح پتانسيل (دسای و سيریواردان ‪)6114‬‬ ‫(‪)115-8‬‬ ‫‪1   vp ‬‬ ‫‪ln 1  ‬‬ ‫‪D  W‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪221‬‬ ‫مقدار ‪ X=3p‬در نظر گرفته ميلود که ‪ p‬تنش همه جانره ايزوتروپ اعمالي خواهد بود‪ .‬بنابراين‪:‬‬ ‫‪ p ‬‬ ‫‪3 pD   ln 1  v  ‬‬ ‫‪ W‬‬ ‫‪ vp  W 1  e3 pD ‬‬ ‫(‪)116-8‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪vp  v  ve  v W 1  e 3 pD  ‬‬ ‫در اين رابطه ‪ K‬مادول بالاک خااك مايبالاد‪ .‬باراي تتياين ‪ D‬و ‪ W‬از داده هااي آزماايش فشاار‬ ‫هيدرواستاتيک استفاده ميگردد‪ .‬در خووف آبرفت تهران‪ ،‬آزمايشهاي فشار هيدرواساتاتيک بار نموناه‬ ‫استوانهاي با قطر ‪ 11‬و ارتفاع ‪ 21‬سانتيميتري در تراکم نسري ‪ %71‬انجام و باراي پانج مرحلاه اعماال‬ ‫فشار دورگير ‪ 411 ،311 ،211 ،111‬و ‪ 511‬کيلوپاسكال‪ ،‬نمودار تغييرا حجم باا زماان بواور زيار‬ ‫بدست آمده است‪ .‬بدين ترتيب کرنش حجمي کل در هر مرحله از تقسيم تغييرا حجم متناظر با هار‬ ‫فشار دورگير بر حجم اوليه مطابق رابطه زير محاسره ميگردد‪ .‬با تتيين کرنشهاي پالستيک مايتاوان‪،‬‬ ‫تغييرا کرنش حجمي کل در برابر فشار دورگير را بوور جدولي بدست آورد‪.‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪v ‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫) ‪Volume Change (cm3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Time (min‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪0.0019‬‬ ‫‪0.0038‬‬ ‫‪0.0062‬‬ ‫‪0.0076‬‬ ‫‪0.0095‬‬ ‫)‪p (kPa‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪500‬‬ ‫از اين جدول دو نقطه با فشار ‪ 311‬و ‪ 511‬کيلوپاسكال انتخااب لاده و اعاداد در رابطاه (‪)116-8‬‬ ‫جايگذاري ميلوند‪ .‬با فرض آنكه مدول بالک ‪ K=120 MPa‬بالد ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪221‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪ W 1  e3300 D‬‬ ‫‪120000‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪0.0095 ‬‬ ‫‪ W 1  e3500 D‬‬ ‫‪120000‬‬ ‫‪0.0062 ‬‬ ‫‪ 0.693‬‬ ‫‪1  e900D‬‬ ‫‪1  e1500D‬‬ ‫بدين ترتيب مقدار ‪ D‬با ستي و خطا بدست ميآيد‪ .‬حدس اوليه براي اين متادله بوور زيار قابال‬ ‫تتيين است‪:‬‬ ‫‪(900 1500) D  ln(0.693)  D  0.00061‬‬ ‫سپس با جايگذاري مقدار آن در يكي از روابط‪ W ،‬محاسره خواهد لاد‪ .‬در ساتي اول از ‪ D=0.00061‬و‬ ‫‪ W=0.0088‬استفاده ميگردد‪ .‬با کاهش از اين مقدار به سمت مقادير کمتر‪ ،‬متموال ميتوان مقدار دقيقتاري‬ ‫يافت‪ .‬به اين ترتيب با بررسي دقيق تر مقادار ‪ D=0.00053‬و ‪ W=0.0098‬محاساره مايلاود‪ .‬مقادار ‪ W‬باا‬ ‫جايگذاري از متادله اول بدست آمده است‪ .‬در صور محاسره ‪ W‬از هر دو متادله و محاسره مقدار ميانگين‪،‬‬ ‫سومين ستي براي حل متادله عرار از ‪ D=0.00053‬و ‪ W=0.0097‬خواهد بود‪ .‬به اين ترتياب جادول زيار‬ ‫براي بررسي پيشريني هاي مدل در سه ستي بتمل آمده قابل تتيين است‪ .‬بر اساس اين جدول‪ ،‬در محدوده‬ ‫مورد بررسي‪ ،‬پاسخ مدل حساسيت زيادي به مقادير اين پارامترها نشان نميدهد‪:‬‬ ‫انتخاب سوم‬ ‫انتخاب دوم‬ ‫انتخاب اول‬ ‫آزمایش‬ ‫(‪p )kPa‬‬ ‫‪0.0013‬‬ ‫‪0.0013‬‬ ‫‪0.0014‬‬ ‫‪0.0019‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0.0022‬‬ ‫‪0.0022‬‬ ‫‪0.0023‬‬ ‫‪0.0038‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪0.0030‬‬ ‫‪0.0030‬‬ ‫‪0.0031‬‬ ‫‪0.0062‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪0.0039‬‬ ‫‪0.0039‬‬ ‫‪0.0039‬‬ ‫‪0.0076‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪0.0047‬‬ ‫‪0.0047‬‬ ‫‪0.0048‬‬ ‫‪0.0095‬‬ ‫‪500‬‬ ‫نكته مهم آن است که اگر نتايج آزمايش فشار هيدرواستاتيک تحت فشارهاي دورگير بسيار بااال در‬ ‫دست بالد‪ ،‬ترم ‪ e3 pD‬در عرار باه سامت صافر ميال ماينماياد و بادين ترتياب ‪ W‬از کرنشاهاي‬ ‫پالستيک قابل تتيين است‪ .‬با محاسره ‪ W‬ميتوان در مقادير کاوچكتر فشاار دورگيار باا جايگاذاري در‬ ‫متادله‪ D ،‬را نيز بدست آورد‪.‬‬ ‫پارامتر ‪ R‬بيان کننده اندازه و لكل سطح تسليم است‪ .‬مقدار اين پارامتر بر اساس لكل کانتورهااي‬ ‫هم کرنش پالستيک قابل تتيين است‪ .‬در بسياري موارد با فرض متادله بيضوي براي کالهاک و نسارت‬ ‫فصل هشتم – کاربرد پالستيسيته در مدلسازی رفتار مکانيک خاکها‬ ‫‪221‬‬ ‫قطر بزرگ به کوچک بين ‪ 1.67‬تا ‪ 2.0‬مقدار پارامتر ‪ R‬بين اين دو حد لحاظ ميگردد‪ .‬بدين ترتيب سه‬ ‫متادله ذيل مرين سطوح تسليم و سخت لوندگي مدل کالهکدار خواهد بود‪:‬‬ ‫سطح تسليم ثابت‬ ‫سطح تسليم متحرك‬ ‫تابع سخت لوندگي‬ ‫‪J 2 D  272.8  0.0886 J1  272.8e0.00155 J1‬‬ ‫‪R 2 J 2D  (J1  c )2  R 2b 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ln 1  v ‬‬ ‫‪0.00053  0.0097 ‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪262‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫تمرینات فصل هشتم‬ ‫‪-1‬در خووف متيار ‪ Mohr-Coulomb‬کداميک از موارد زير صحيح نيست؟‬ ‫الف‪ -‬در اين متيار از تنش اصلي ميانگين صرفنظر ميلود‪.‬‬ ‫ب‪ -‬مقاومت کششي و فشاري موالح در اين متيار متفاو از هم هستند‪.‬‬ ‫ج‪ -‬متيار موهر کولمب متموال در صفحه نامتتيرهاي تنش استفاده ميگردد‪.‬‬ ‫د‪ -‬نامتغير سوم تانسور تنش در تتريف اين متيار وارد ميگردد‪.‬‬ ‫‪-2‬کدام مورد خووف متيار دراکر پراگر نادرست است؟‬ ‫الف‪ -‬عملكرد ضتيف تري در محاسره کرنشهاي پالستيک نسرت به موهر‪-‬کولمب دارد‪.‬‬ ‫ب‪ -‬تغيير حجم خاکهاي متراکم را به نحو مناسب تري مدل مينمايد‪.‬‬ ‫ج‪ -‬دو پارامتر آن با استفاده از نتايج آزمايش سه محوري قابل محاسره هستند‪.‬‬ ‫د‪ -‬لكل متيار گسيختگي در صفحه تنشهاي اصلي بوور يک دايره ميبالد‪.‬‬ ‫‪-3‬کدام مورد خووف سطح حالت مرزي در صفحه ‪ q-p′-e‬نادرست است؟‬ ‫الف‪ -‬در مقاطع ‪ e‬ثابت‪ ،‬با ازدياد نسرت تخلخل سطح روسكو بزرگتر ميلود‪.‬‬ ‫ب‪ -‬مسير تنش نمونه هاي عادي تحكيم يافته در راستاي ساطح روساكو باه خاط حالات بحراناي‬ ‫ميرسند‪.‬‬ ‫ج‪ -‬مسير تنش نمونه هاي پيش تحكيم يافته در راستاي سطح ورسلو به خط حالت بحراني ميرسند‪.‬‬ ‫د‪ -‬تووير خط حالت بحراني در صفحه ‪ p′-e‬بوور يک منحني خواهد بود‪.‬‬ ‫‪-4‬مدل کم کلي اصالح لده چه نقوي از مدل کم کلي اوليه را برطرف مينمايد؟‬ ‫الف‪ -‬سطح تسليم متقارن ميلود‪.‬‬ ‫ب‪ -‬در تنش هيدرواستاتيک‪ ،‬کرنشهاي پالستيک بوور صحيح مدلسازي ميلوند‪.‬‬ ‫ج‪ -‬در محل تالقي سطح تسليم و خط حالت بحراني‪ ،‬کرنشهاي پالستيک اصالح ميلوند‪.‬‬ ‫د‪ -‬کرنش برلي پالستيک و کل با هم برابر در نظر گرفته ميلوند‪.‬‬ ‫‪-5‬تووير متيارهاي ‪ Mohr-Coulomb ،von Mises ،Tresca‬و همچنين ‪ Drucker-Prager‬بر صفحه‬ ‫‪ ‬را ترسيم نماييد‪.‬‬ ‫‪-6‬سطح حالت مرزي )‪ (state boundary‬را در فضااي کلاي ساه محاوري ‪ p′-q-e‬ترسايم نمايياد و‬ ‫هريک از بخشهاي آن را تشريح کنيد‪.‬‬ ‫‪-7‬نحوه تتيين پولهاي ثابت و متغير مدلهاي االستوپالستيک داراي ‪ Cap‬را توضيح دهيد‪.‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫فصل نهم‬ ‫روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪ -1-9‬مقدمه‬ ‫چهارچوب کلي مدل هاي االستو پالستيک براي تريين رفتار خاکها در فوال هفاتم بياان گردياد‪.‬‬ ‫ويژگي هاي اساسي اين چهارچوب لامل سطوح تسليم‪ ،‬که مرز تغييرلكلهاي کامال قابل بازگشت را در‬ ‫بر دارد و تابع پتانسيل پالستيک که حالت يا مكانيزم تغيير لكل پالساتيک باه وجاود آماده در زماان‬ ‫تسليم را کنترل ميکند‪ ،‬ميلوند‪ .‬تطابق توابع پتانسيل پالستيک و تسليم بر يكديگر مدلساازي رفتاار‬ ‫خاك را تسهيل مينمايد زيرا محاسره تابع پتانسيل پالستيک امري پيچيده ميبالد‪ .‬در مدل کم کلاي‬ ‫و در فول هشتم‪ ،‬فرض جريان همرسته و تطابق پتانسايل پالساتيک و ساطح تساليم باراي محاساره‬ ‫کرنشهاي پالستيک در نظر گرفته لد‪.‬‬ ‫در اين فول‪ ،‬قوانين مختلف براي محاسره نرخ تغيير لكل هاي پالستيک مترفي لده و عوامل کنتارل‬ ‫کننده نرخ اين تغيير لكلها با بيان منابع مختلف و داده هاي آزمايشگاهي مورد بحاث و بررساي قارار‬ ‫گرفته است‪.‬‬ ‫‪ -2-9‬تابع پتانسیل پالستیک‪ ،‬قانون جریان و ارتباط تنش‪-‬اتساع‬ ‫در فول هفتم توابع پتانسيل پالستيک به عناوان منحناي هاايي در صافحه تانش ماوثر ‪q  p‬‬ ‫مترفي لدند که مطابق لكل (‪ )1-9‬بردار نمو کرنش پالستيک ‪ d sp / d vp‬بر آنها عمود ميبالاند‪.‬‬ ‫‪262‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫در بسياري از مدل هاي رفتاري خاك‪ ،‬نسرت ‪ d sp / d vp‬تنها به نسرت تنش ‪   q / p ‬و نه به‬ ‫تک تک مقدار ‪ p ‬و ‪ q‬وابسته ميگردد‪ .‬نسرت ‪ d sp / d vp‬طرق تتريف در جهت عمود بر پتانسايل‬ ‫پالستيک ميبالد‪ ،‬که اگر تابتي از نسرت تنش ‪   q / p ‬نيز بالد‪ ،‬مطابق لكل (‪ )1-9‬ميتواند با‬ ‫رسم لتاعي از مرکز صفحه ‪ q  p‬به دست آيد‪.‬‬ ‫راه جايگزين ديگر براي مترفي توابع پتانسيل پالستيک آن است که نسرت تنش ‪ ‬در مقابل نسرت‬ ‫نمو کرنش پالستيک ‪ d sp / d vp‬رسم لود‪ .‬مطابق لكل (لكل ‪ ،)1-9‬کميتي که نسرت نمو کرنش‬ ‫برلي و کرنش حجمي پالستيک را نشان ميدهد زاويه ‪ ‬بين بردار نمو کرنش و محور ‪ p ‬است‪:‬‬ ‫‪d  sp‬‬ ‫(‪)1-9‬‬ ‫‪d  vp‬‬ ‫رابطه بين نسرت نمو کرنش پالستيک و نسرت تنش به عنوان قانون جريان لناخته مايلاود کاه‬ ‫‪tan  ‬‬ ‫مكانيزم تغيير لكل يا جريان پالستيک خاك را کنترل ميکند‪ .‬نسرت ‪ d sp / d vp‬اتساع پالساتيک‬ ‫خاك است و مطابق لكل (‪ ،)2-9‬نمودارهاي مربوطاه بار حساب ‪ ‬و نسارت تانش ‪ ،‬نمودارهااي‬ ‫تنش‪-‬اتساع‪ 1‬نام دارند‪.‬‬ ‫‪ sp‬‬ ‫شکل ‪ :)6-1‬نسبت تنش ‪   q / p ‬و زاویه اتساع‬ ‫‪vp‬‬ ‫‪  tan 1‬‬ ‫(وود ‪)6112‬‬ ‫‪1 Stress-dilatancy‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪263‬‬ ‫شکل ‪( :)2-1‬الف) نمو کرنش پالستيک برای تراکم ایزوتروپ به همراه حالت بحرانی ترسيم شده در فضای ‪q  p‬‬ ‫(ب) نمودار تنش‪-‬اتساع ‪  : ‬بين نقاط تراکم ایزوتروپ ( ‪) I :  0‬و حالت بحرانی ( ‪) C :  ‬‬ ‫اين روش مترفي براي تريين رفتار پالستيک خاك مناسب است گرچه براي تريين رفتار االساتيک‬ ‫چندان مناسب به نظر نميرسد‪ .‬زيرا متموال نسرت کرنشهاي برلي و حجمي االستيک‪ ،‬بسته به ثوابات‬ ‫االستيک خاك مانند مدول برلي و مدول بالک‪ ،‬مضربي از نسرت تنشهاي برلي و حجمي خواهد باود‪.‬‬ ‫بتالوه اين ويژگي براي تريين نسرت نمو کرنشهاي برلي و حجمي کل نياز مناساب نيسات زيارا ايان‬ ‫پارامتر لامل هر دوي کرنشهاي االستيک و پالستيک خواهد بود‪ .‬گرچه‪ ،‬در بسياري از لارايط‪ ،‬تساليم‬ ‫زماني رخ ميدهد که سهم کرنش االستيک در مقابل کرنش کل قابل صرف نظر خواهد باود و اخاتالف‬ ‫بين نسرت نمو کرنش پالستيک و نسرت نمو کرنش کل اندك است‪ .‬طي آزمايشهاي زهكشي نشده ياا‬ ‫حجم ثابت‪ ،‬نسرت ‪ v /  s  0‬است‪ .‬بنابراين در زمان تسليم خاك طي آزماون زهكشاي نشاده‪،‬‬ ‫مجموع کرنشهاي حجمي االستيک و پالستيک صفر باوده و بتراارتي ايان دو مولفاه کارنش‪ ،‬عالمتاي‬ ‫مخالف يكديگر دارند‪ ،‬لذا نسرت ‪ vp /  sp  0‬خواهد بود‪.‬‬ ‫بر اساس مدل کم کلي‪ ،‬در حالت بحراني خاك بدون کرنش حجمي پالستيک به کرنش برلي ادامه‬ ‫ميدهد‪ .‬بدين ترتيب در نسرت تانش ‪ vp /  sp  0 ،  M‬مايبالاد‪ .‬بناابراين‪ ،‬باردار جازء‬ ‫کرنش پالستيک موازي با محور ‪ q‬خواهد بود (لكل ‪-2-9‬الف) و بر اساس رابطه (‪ ،)1-9‬در نقطاه ‪ C‬از‬ ‫‪‬‬ ‫لكل (‪-2-9‬ب) ‪  ‬است‪ .‬در لرايط تراکم ايزوتروپ )‪ (q=0‬نيز‪ ،‬با توجاه باه عادم تغييار لاكل‬ ‫‪2‬‬ ‫برلي ‪  sp  0‬و بردار نمو کرنش پالستيک به موازا محور ‪ p ‬خواهد بود (لاكل ‪-2-9‬الاف)‪ .‬در‬ ‫اين حالت زاوبه اتساع پالستيک ‪   0‬ميبالد (نقطه ‪ I‬در لكل (‪-2-9‬ب)‪ .‬تابع پتانسيل پالستيک‪،‬‬ ‫رابط بين اين دو وضتيت بوده و قانون جريان را براي آن موالح مشخص ماينماياد‪ .‬باه عراار ديگار‪،‬‬ ‫قانون جريان ارتراط ‪  : ‬را بين نقاط ‪ I‬و ‪ C‬بيان مينمايد‪ .‬لاكل دقياق ايان منحناي در خاکهااي‬ ‫مختلف وضتيت متفاوتي خواهد دالت‪.‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪264‬‬ ‫قانون جريان براي مدل کم کلي اصالح لده که در فول هشتم ارائه گرديد به لارح ذيال اسات و‬ ‫براي ‪ M=1.0‬در لكل (‪ )3-9‬ترسيم لده است‪.‬‬ ‫(‪)2-9‬‬ ‫(‪)3-9‬‬ ‫‪vp M 2   2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ sp‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪tan   2 2‬‬ ‫‪M ‬‬ ‫شکل ‪ :)3-1‬نمایی از (الف) تابع پتانسيل پالستيک‪( ،‬ب) رابطه تنش‪-‬اتساع مدل کم کلی (وود ‪)6112‬‬ ‫‪ -3-9-3‬ارتباط تنش‪-‬اتساع در شرایط کرنش مسطح‬ ‫مدل کم کلي مد ها براي توصيف رفتار خاكها در آزمايشا سه محوري استفاده مايلاد‪ .‬مادل‬ ‫هايي که ارتراط بين نسرت تنش و نرخ اتساع را توضيح ميدهد‪ ،‬به سادگي براي حالت کرنش محاوري‬ ‫نيز قابل کاربرد هستند‪ .‬لريه سازي اتساع خاك با قفل و بست پره هااي ارهاي لاكل در لاكل (‪)4-9‬‬ ‫نشان داده لده است‪ .‬در واقع‪ ،‬اتساع خاك هنگام برش‪ ،‬با فرض لغازش ناه بار صافحه افقاي بلكاه بار‬ ‫صفحهاي که با افق زاويه اتساع ‪ ‬ميسازد (لكل ‪-4-9‬الف)‪ ،‬لريه سازي ميگردد‪ .‬لغازش باين ذرا‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪262‬‬ ‫خاك‪ ،‬بر روي اين صفحا اتفاق ميافتد‪ .‬نگاهي بر نيروهايي کاه در فرآيناد لغازش درگيار مايلاوند‬ ‫(لكل ‪-4-9‬ب) نشان ميدهد‪ ،‬درصورتيكه زاويه اصطكاك در مقابل لغزش بار روي صافحا لايبدار‬ ‫‪ cs‬بالد‪ ،‬زاويه اصطكاك بسيج لده ظاهري براي حرکت در جهت افقي‪ m ،‬به صاور زيار خواهاد‬ ‫بود‪:‬‬ ‫(‪)4-9‬‬ ‫‪m  cs ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫رابطه (‪ )4-9‬به عنوان رابطه تنش‪-‬اتساع تتريف ميلود کاه زاوياه بسايج لاده ‪ m‬را باه زاوياه‬ ‫اتساع ‪ ‬در حين بارگذاري برلي مرترط مينمايد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)1-3‬نمایش شماتيک (الف) لغزش و گير افتادگی پره های ارهای شکل بر روی سطوح زبر شيبدار (ب)‬ ‫نيروهای برآیند وارده بر روی صفحه شيب دار (وود ‪)6112‬‬ ‫صفحه لغزش در لكل (‪ )4-9‬را ميتوان در نمونه خاك حين آزمايش برش مستقيم‪ 2‬مطابق لاكل‬ ‫(‪ )5-9‬در نظر گرفت‪ .‬کميت هايي که در اين آزمايش اندازه گيري ميلوند بار عمودي ‪ ،P‬بار برلاي ‪Q‬‬ ‫‪1 Mobilized friction angle‬‬ ‫‪2 Direct Shear test‬‬ ‫‪261‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫و تغيير مكان هاي متادل ‪ x‬و ‪ y‬در مرزهاي جتره برش ميبالند‪ .‬کار انجام لده توسط بارهاي اعماالي‬ ‫‪ P‬و ‪ Q‬بر نمونه خاك حين ايجاد نمو تغييرمكان هاي ‪ x‬و ‪ ،y‬به لرح زير است‪:‬‬ ‫(‪)5-9‬‬ ‫‪WT  P  y  Q  x‬‬ ‫عرار ‪ Q  x‬نشان دهنده کار انجام لده حين برش نمونه و عرار ‪ P  y‬نشان دهنده کاار انجاام‬ ‫لده در زماني است که خاك تحت اثر برش تغيير حجم ميدهد‪ .‬براي خاکي مانند ماسه متراکم که در حين‬ ‫برش اتساع پيدا ميكند‪  y  0 ،‬و بار عمودي ‪ P‬به سمت باال کشيده ميلود‪ .‬خاك به دليل سوار لادن‬ ‫ذرا بر يكديگر منرسط ميلود و تغيير لكل تنها زماني که برخي ذرا قادر به رانده لادن بارروي ذرا‬ ‫ديگر بالند ادامه پيدا ميکند‪ .‬به دليل اين حرکت‪ ،‬کل کار برلي ‪ Q  x‬توسط خااك جاذب نمايلاود‪،‬‬ ‫مقداري از آن براي غلره بر نيروي عمودي و بترارتي غلره بر اتساع دانه هاي خاك مورد نياز است‪ .‬باقي مانده‬ ‫کار خالص ورودي ‪ W T‬که به نمونه وارد ميلود نيز در روناد تغييار لاكل االساتيک و باويژه مقابلاه باا‬ ‫مقاومت اصطكاکي بين دانه هاي خاك حين لغزش صرف ميگردد‪.‬‬ ‫بر اساس مطالتا تيلور‪ ،)1948( 1‬رابطاه اتسااع‪-‬تانش باا فارض جاذب کال کاار ورودي توساط‬ ‫اصطكاك بين دانهاي و عدم اتالف انرژي توساط تغييار لاكل االساتيک داناههاا قابال حواول اسات‪.‬‬ ‫درصورتيكه فرض لود اتالف انرژي اصطكاکي‪ ،‬توساط باار عماودي ‪ P‬و ضاريب اصاطكاك ‪ ‬کنتارل‬ ‫ميلود ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)6-9‬‬ ‫‪WT   P  x‬‬ ‫با کنار هم گذالتن و منظم کردن روابط (‪ )5-9‬و (‪ )6-9‬داريم‪:‬‬ ‫‪Q y‬‬ ‫(‪)7-9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P x‬‬ ‫جمله اول‪ ،‬زاويه اصطكاك بسيج لده بر صفحه افقي و جمله دوم نياز نشاان دهناده اتسااع نموناه‬ ‫حين برش است‪:‬‬ ‫(‪)8-9‬‬ ‫(‪)9-9‬‬ ‫(‪)11-9‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ tan m‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪  tan‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪tan m    tan‬‬ ‫زماني که ذرا خاك در حجم خاك ثابت لغزش و دوران را تجربه ميکنند و بترارتي خااك باه حالات‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪y‬‬ ‫خواهد بود‪ .‬لذا رابطه (‪ )7-9‬را ميتوان به لكل زير نولت‪:‬‬ ‫و ‪‬‬ ‫بحراني رسيده بالد‪ 0 ،‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪)11-9‬‬ ‫‪  tan m‬‬ ‫‪1 Taylor‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪261‬‬ ‫شکل (‪ :)2-1‬سطوح زبر و شيبدار در جعبه برش مستقيم‬ ‫صحت رابطه (‪ )11-9‬را ميتوان با بررسي داده هاي آزمايش برش مستقيم بر ماسه سست و متراکم‬ ‫که توسط تيلور (‪ )1948‬در لكل (‪ )6-9‬گزارش لده است‪ ،‬امتحان نماود‪ .‬از لايب نماودار داده هااي‬ ‫‪y‬‬ ‫استفاده مايلاود‪.‬‬ ‫تغيير مكان در جها ‪ x‬و ‪ y‬در لكل (‪-6-9‬ب)‪ ،‬براي به دست آوردن مقادير‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫در لكل (‪-7-9‬الف) ترسيم لده است‪.‬‬ ‫اين نسرت در مقابل نسرت بار افقي به بار عمودي‬ ‫‪P‬‬ ‫شکل‪ :)1-1‬آزمایش برش مستقيم بر ماسه اتاوا تحت تنش نرمال ‪ 211‬کيلوپاسکال ( ‪ : ‬متراکم با‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ :  ، 0  1.562‬سست با ‪ ،) 0  1.652‬الف) زاویه اصطکاک بسيج شده‬ ‫‪P‬‬ ‫بر روی صفحه افقی در برابر‬ ‫تغييرمکان برشی ‪ ،x‬ب) تغيير مکان قائم ‪ y‬در مقابل تغيير مکان برشی ‪( x‬تيلور‪)6141 ،‬‬ ‫‪261‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪Q y‬‬ ‫در لكل (‪-7-9‬ب) مجموع‬ ‫‪‬‬ ‫‪P x‬‬ ‫که نقاط نشان داده لده در لكل هاي (‪-7-9‬الف) و (‪-7-9‬ب)‪ ،‬در تغييرلكلهاي برلي کوچک ‪ ،x‬همخواني‬ ‫مناسري با روابط (‪ )7-9‬و (‪ )11-9‬ندارند‪ .‬علت اين امر آن است که قانون جريان بايد بر اساس تغييار لاكل‬ ‫پالستيک ايجاد لده و نه تغيير لكل کل تتيين لود‪ .‬بدين ترتيب بايد کار برلي انجام لده در مراحل اوليه‬ ‫آزمايش که موجب بروز تغيير لكل االستيک ميگردد‪ ،‬در روابط مد نظر قرار گيرد‪.‬‬ ‫در تغييرلكلهاي برلي بزرگتر ‪ ،x‬دادهها داراي ثرا بيشتري مايبالاند و مقادار مياانگين ‪   0.49‬از‬ ‫لكل (‪-7-9‬ب) قابل استخراج خواهد بود‪ .‬رابطه (‪ )7-9‬نيز با ‪   0.49‬در لاكل (‪-7-9‬الاف) ترسايم لاده‬ ‫است و رفتار نرم لونده ماسهها را هنگامي که نسرت تنش از مقادار اوج کااهش مايياباد را باه خاوبي نشاان‬ ‫ميدهد‪.‬‬ ‫در مقابل تغيير مكان افقي ‪ x‬ترسيم لده است‪ .‬مشخص است‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬نسبت تنش و اتساع در آزمایشات برش مستقيم بر روی ماسه اتاوا و رابطه (‪ :  ( ،)1-1‬متراکم با‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪y‬‬ ‫در مقابل اتساع‬ ‫‪ :  ،  0  1.562‬سست با ‪ ،) 0  1.652‬الف) زاویه اصطکاک بسيج شده‬ ‫‪P‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Q y‬‬ ‫در مقابل تغيير مکان برشی ‪( x‬تيلور‪)6141 ،‬‬ ‫مجمع‬ ‫‪‬‬ ‫‪P x‬‬ ‫‪ ،‬ب)‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪261‬‬ ‫هر چند اندازه گيري نيروهاي ‪ P‬و ‪ Q‬و تغيير مكانهااي ‪ x‬و ‪ y‬در آزمايشاا بارش مساتقيم عملاي‬ ‫است‪ ،‬به دليل عدم تغيير لكل همگن نمونه در جتره برش‪ ،‬تتيين تنشها و بويژه کرنشها عماال امكاان‬ ‫پذير نروده و با خطاي فراواني همراه است‪ .‬آزمايش برش ساده‪ ،1‬سيستم کرنش مسطح ديگري است که‬ ‫تغييرلكل هاي ايجاد لده در آن‪ ،‬وضتيت يكنواخت تري نسرت به برش مستقيم ايجاد مينماياد‪ .‬ايان‬ ‫وضتيت تغيير لكل در لكل (‪-8-9‬الف) نشان داده لده است‪ .‬حين اعمال نيروي برلي‪ ،‬طاول نموناه‬ ‫ثابت باقي ميماند اما ممكن است ارتفاع آن تغيير کند‪ .‬با ابزارگذاري مناسب‪ ،‬اندازه گيري تنش برلاي‬ ‫و عمودي ‪  yx‬و ‪  yy‬که بر خاك اعمال ميلوند‪ ،‬امكان پذير است‪ .‬از تغيير مكانهاي افقي و قائم ‪ x‬و‬ ‫‪ ،y‬کرنشهاي نظير قابل محاسره هستند‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ yy ‬‬ ‫(‪)12-9‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪)13-9‬‬ ‫‪ yx ‬‬ ‫‪h‬‬ ‫که در آن ‪ h‬ارتفاع نمونه ميبالد‪ .‬همچنين با توجه به طول ثابت نموناه‪  xx  0 ،‬خواهاد باود‪.‬‬ ‫لكل (‪-8-9‬ب) نيز نحوه محاسره زاويه اتساع ‪ ‬که با مقدار حرکت نسري صفحه باال نسرت به صفحه‬ ‫پايين مرترط است را با استفاده از دايره موهر بيان مينمايد‪.‬‬ ‫(‪)14-9‬‬ ‫‪ yy‬‬ ‫‪ yx‬‬ ‫‪tan ‬‬ ‫در اين رابطه ‪ ،‬زاويه اتساع نمونه ناميده ميلود‪ .‬اين زاويه هماانطور کاه در لاكل (‪-8-9‬ب) دياده‬ ‫ميلود‪ ،‬ليب مماس بر اين دايره موهر در نقاطي است که محور کرنش برلي را قطع ميکند‪ .‬در واقع‬ ‫‪ ‬در دايره موهر کرنشي‪ ،‬متادل زاويه اصاطكاك ‪ ،  ‬در داياره ماوهر تانش اسات (لاكل ‪-8-9‬ج)‪.‬‬ ‫تتريف مذکور در لرايط کرنش محوري سودمند است ولي بطور مشابه ميتوان زاويه ‪ ‬را براي لرايط‬ ‫سه محوري تتريف نمود‪:‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪sin  ‬‬ ‫(‪)15-9‬‬ ‫‪ s‬‬ ‫رابطه (‪ )7-9‬بر حسب مقادير تنش و کرنش که از دستگاه برش ساده قابل تتيين است‪ ،‬باه صاور‬ ‫زير در ميآيد‪:‬‬ ‫(‪)16-9‬‬ ‫‪ yx  yy‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ yy  yx‬‬ ‫‪1 Simple shear test‬‬ ‫‪222‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫داده هاي آزمايش برش ساده بر ماسه سست و متراکم ليتون بازارد‪ 1‬کاه توساط اساترود‪)1971( 2‬‬ ‫‪ yx  yy‬‬ ‫‪‬‬ ‫گزارش لده در لكل (‪ )9-9‬با جمع مقادير‬ ‫‪ yy  yx‬‬ ‫‪  xy‬رسم لده است‪ .‬اين نمودار متادل لكل (‪-7-9‬ب) براي آزمايش برش مستقيم اسات‪ .‬بار اسااس‬ ‫در مقابل کرنش برلي اندازه گياري لاده‬ ‫داده هاي آزمايش برش ساده‪ ،‬مقدار ‪   0.575‬بدست ميآيد‪ .‬همچناين مشاخص اسات کاه پاساخ‬ ‫نمونه ماسهاي متراکم با پاسخ نمونه ماسهاي سست‪ ،‬بر يک خط يكسان قرار ميگيرند‪.‬‬ ‫شکل‪ :)1-1‬نمایی از (الف) تغيير شکل حين برش ساده‪( ،‬ب) زاویه اتساع ‪( ، ‬ج) زاویه اصطکاک بسيج شده‬ ‫(وود ‪)6112‬‬ ‫‪1 Leighton Buzzard‬‬ ‫‪2 Stroud‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪226‬‬ ‫شکل ‪ :)1-1‬مجموع نسبت تنش و اتساع در آزمایشات برش ساده بر ماسه ليتون بازارد ( ‪ : ‬متراکم با‬ ‫‪ :  ، 0  1.53‬سست با ‪( )  0  1.78‬استرود ‪)6116‬‬ ‫‪ -9-9-3‬معادالت انرژی در مدل کم کلی اولیه و اصالح شده‬ ‫روابطه (‪ )5-9‬و (‪ )6-9‬رولي را توصيف ميکنند که در آن کار انجام لده توسط نيروهاي وارده بار‬ ‫مرزهاي جتره برش‪ ،‬به صور اصطكاك در خااك زايال مايلاود‪ .‬متادلاه تانش‪-‬اتسااع (‪ )7-9‬باراي‬ ‫آزمايش برش مستقيم تتيين‪ ،‬اما براي لرايط متقارن محوري آزمايش سه محوري قابال تتمايم اسات‪.‬‬ ‫کل کار ورودي در واحد حجم به نمونه سه محوري که در صفحه تنش هاي ‪ q  p‬هنگامي که تحت‬ ‫کرنشهاي ‪  p‬و ‪  q‬قرار دارد‪ ،‬به صور زير است‪:‬‬ ‫(‪)17-9‬‬ ‫‪W  p v  q s‬‬ ‫بخشي از کار ورودي صرف تغييرلكل االستيک خاك و برگشت پذير است‪ .‬انرژي برگشت ناپذير که در‬ ‫روند تغيير لكل خاك زائل ميلود به صور زير قابل بيان است‪:‬‬ ‫(‪)18-9‬‬ ‫‪ E  p vp  q sp‬‬ ‫طرق فرضيه تيلور (‪ ،)1948‬کل اين انرژي براي غلره بر اصطكاك خاك صرف ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)19-9‬‬ ‫‪ E  Mp  sp‬‬ ‫‪222‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫بنابراين ترکيب روابط (‪ )18-9‬و (‪ )19-9‬به صور زير بازنويسي ميلود‪:‬‬ ‫(‪)21-9‬‬ ‫‪p   q  Mp  sp‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪q vp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪p   sp‬‬ ‫(‪)21-9‬‬ ‫‪vp‬‬ ‫ليب خط بحراني ‪ M‬پارامتر مناساري اسات کاه وضاتيت خااك در حالات بحراناي ‪ 0‬‬ ‫و‬ ‫‪ sp‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪  M‬‬ ‫را به خوبي بيان مينمايد‪ .‬منحني ‪ 2‬در لاكل (‪ ،)11-9‬رابطاه (‪ )21-9‬را در نماودار‬ ‫‪p‬‬ ‫) ‪   q p :  (tan 1  sp /  vp‬به عناوان رابطاه تانش‪-‬اتسااع نشاان مايدهاد‪ .‬تاابع پتانسايل‬ ‫پالستيک در صفحه ‪ q  p‬که جهت بردار نماو کارنش پالساتيک را باا نسارت ‪  sp  vp‬کنتارل‬ ‫مينمايد را نيز ميتوان با انتگرال گيري از رابطه (‪ )21-9‬به دست آورد‪ .‬الرته‪ ،‬لكل متادل ايان رابطاه‬ ‫براي انتگرال گيري به صور زير ميبالد‪:‬‬ ‫‪q dq‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪p  dp ‬‬ ‫(‪)22-9‬‬ ‫بر اين اساس‪ ،‬تابع پتانسيل پالستيک به فرم زير تتيين خواهد لد‪:‬‬ ‫(‪)23-9‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ln 0‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ p 0‬کنترل کننده اندازه تابع پتانسيل پالستيک بوده و مقدار ‪ p ‬را در ‪   0‬نشان ميدهد‪ .‬اين‬ ‫منحني در لكل (‪ )11-9‬رسم لده است‪.‬‬ ‫‪β‬‬ ‫شکل (‪ :)62-1‬روابط تنش‪-‬اتساع در مدلهای (‪ )6‬کم کلی اصالح شده‪ )2( ،‬کم کلی اوليه (‪ )3‬راو‪( 6‬برای ‪)M=1‬‬ ‫‪1 Rowe‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪223‬‬ ‫با فرض ترتيت جريان پالستيک خاك از رابطه (‪ )21-9‬و تتامد‪ ،‬تابع تسليم نيز از رابطه (‪ )23-9‬به‬ ‫دست خواهد آمد‪ .‬با درنظرگيري توابع تساليم و پتانسايل پالساتيک ماذکور در چاارچوب مادل هااي‬ ‫رفتاري االستو‪-‬پالستيک با سخت لوندگي حجمي‪ ،‬مدل کم کلاي اولياه روساكو و اساكافيلد (‪)1963‬‬ ‫مترفي گرديد‪ .‬در مدل کم کلي اصالح لده‪ ،‬کار پالستيک بر اساس متادله زير باز نويسي ميلود‪:‬‬ ‫(‪)24-9‬‬ ‫‪p vp  q sp  p  (vp )2  (M  sp )2‬‬ ‫قانون جريان و پتانسيل پالستيک بيضوي براي مدل کم کلي اصالح لده‪ ،‬بوور منحني ‪ 1‬در لكل‬ ‫(‪ )11-9‬نشان داده لده است‪ .‬تفاو آلكار قوانين جريان مدل کم کلي اوليه و اصالح لده‪ ،‬در مقادير‬ ‫پايين نسرت تنش ‪ ‬نمايان است‪ .‬در لكل (‪ ،)11-9‬قانون جريان مدل کم کلي اوليه از نقطه‬ ‫)‪ (  0,  =0‬نمي گذرد‪ .‬اين بدين متني است که طي بارگذاري ايزوتروپ ( ‪ )  0‬نيز‪ ،‬کرنش‬ ‫برلي پالستيک قابل توجهي توليد ميلود‪.‬‬ ‫در راستاي توجيه اين مشكل‪ ،‬روسكو‪ ،‬اسكافيلد‪ ،‬و توراراجا‪ )1963( 1‬نظرياه تغييرلاكل هااي غيار‬ ‫يكنواخت خاك را پيشنهاد داده و ذکر نمودند که " نمونه خاك ممكن است لامل نواحي بالاد کاه در‬ ‫آن اعوجاج پالستيک در جها مختلف رخ ميدهد‪ ،‬به نحوي که در کل نمونه‪ ،‬اعوجاج برآيند برابر صفر‬ ‫خواهد بود"‪ .‬اسكافيلد و راس‪ )1968( 2‬اين مشكل را با بيان اين فرض که مطابق لاكل (‪ ،)11-9‬تاابع‬ ‫پتانسيل پالستيک در کشش سه محوري‪ ،‬تووير آينهاي منحني آن در فشار سه محوري ميبالاد و در‬ ‫نتيجه مطابق لكل (‪ ،)11-9‬قانون جريان در ‪   0‬دچار ناپيوستگي ميلود توجيه نمودند‪ .‬بار ايان‬ ‫اساس و بدليل ناپيوستگي تابع مذکور در ‪ ،   0‬مقدار متوسط ‪   0‬قابال انتخااب اسات‪ .‬هايچ‬ ‫کدام از اين پيشنهادا از نقطه نظر محاسراتي رضايت بخش نميبالند‪ ،‬زيرا مدل باراي مقاادير بسايار‬ ‫کوچک و غير صفر نسرت تنش ايجاب ميکند که کرنش برلي پالستيک قابل مالحظهاي تولياد لاود‪.‬‬ ‫در ضمن‪ ،‬تابع پتانسيل پالستيک ناپيوسته مشكال متتددي را در تحليلهاي عددي ايجاد مينمايد‪.‬‬ ‫‪1 Thurairajah‬‬ ‫‪2 Wroth‬‬ ‫‪224‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)66-1‬توابع پتانسيل پالستيک در مدلهای (‪ )6‬کم کلی اصالح شده‪ )2( ،‬کم کلی اوليه (‪ )3‬راو (برای ‪)M=1‬‬ ‫‪ -1-9-3‬مدل تنش‪-‬اتساع راو‬ ‫‪3‬‬ ‫راو (‪ )1962‬لكل ديگري از قانون جريان را مترفي نمود‪ .‬بر اين اساس‪ ،‬در نمونه خااکي کاه تحات‬ ‫برش قرار دارد‪ ،‬نسرت کار انجام لده توسط تنش محرك‪ 2‬به کار انجام لده توسط تنش مقاوم‪ 3‬در هار‬ ‫سطح کرنش ضريب ثابتي مانند ‪ K‬است‪.‬‬ ‫(‪)25-9‬‬ ‫ثابت ‪ K‬به ضريب اصطكاك خاك ‪ f‬توسط رابطه زير مرترط ميلود‪:‬‬ ‫‪1  sin  f‬‬ ‫‪  f‬‬ ‫‪K  tan 2 (  ) ‬‬ ‫(‪)26-9‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪1  sin  f‬‬ ‫راو پيشنهاد ميکند که زاويه ‪ f‬در محدوده زير قرار دارد‪:‬‬ ‫(‪)27-9‬‬ ‫‪  f  cs‬‬ ‫که در آن ‪ cs‬زاويه اصطكاك حالت بحراني تحت برش با حجم ثابت و ‪ ‬زاويه اصاطكاك لغازش‬ ‫بين ذرهاي است‪.‬‬ ‫‪1 Rowe‬‬ ‫‪2 Driving stress‬‬ ‫‪3 Driven stress‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪222‬‬ ‫در سه محوري فشاري تنش محوري ‪ ،  a‬تنش محرك (که باا نماو کارنش فشااري ‪  a‬هماراه‬ ‫است) و تنش لتاعي ‪  r‬تنش رانده لده (که با نمو کرنش کششي ‪  r‬همراه اسات) مايبالاند‪.‬‬ ‫رابطه تنش‪-‬اتساع راو براي سه محوري فشاري بيان لده است‪:‬‬ ‫‪ a a‬‬ ‫‪K‬‬ ‫(‪)28-9‬‬ ‫‪2 r r‬‬ ‫رابطه (‪ )28-9‬را ميتاوان بار حساب متغيرهااي تانش ‪ p ‬و ‪ q‬و نماو کرنشاهاي ‪ v‬و ‪ s‬‬ ‫بوور زير نولت‪:‬‬ ‫(‪)29-9‬‬ ‫)‪v 3 (2  K )  9(K  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ s 2 (K  1)  3(2K  1‬‬ ‫با صرف نظر از کرنشهاي االستيک و انتگرال گيري از رابطه (‪ ،)29-9‬تاابع پتانسايل پالساتيک باه‬ ‫لرح زير تتيين ميلود‪:‬‬ ‫)‪1 ( k 1‬‬ ‫‪ 3  ‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‪)31-9‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫در لرايط حالت بحراني‪ ،‬زاويه اصطكاك ‪ cs‬و ليب خاط حالات بحراناي ‪ M‬باراي آزماايش ساه‬ ‫محوري فشاري به صور زير با يكديگر مرترط ميلوند‪.‬‬ ‫‪3M‬‬ ‫(‪)31-9‬‬ ‫‪sin cs ‬‬ ‫‪6M‬‬ ‫بدين ترتيب روابط (‪ )26-9‬و (‪ )29-9‬به صور زير در ميآيند‪:‬‬ ‫‪3  2M‬‬ ‫(‪)32-9‬‬ ‫‪K ‬‬ ‫‪3 M‬‬ ‫(‪)33-9‬‬ ‫‪v‬‬ ‫) ‪9(M  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ s 9  3M  2M ‬‬ ‫اين رابطه لريه قانون جريان مدل کم کلي اوليه به لرح زير است‪:‬‬ ‫(‪)34-9‬‬ ‫‪vp‬‬ ‫‪ M ‬‬ ‫‪ sp‬‬ ‫قانون جريان متادله (‪ )33-9‬بر حسب ‪ ‬و ‪ ‬در لكل (‪ )11-9‬به صاور منحناي ‪ 3‬ترسايم لاده‬ ‫است‪ .‬تابع پتانسيل پالستيک (رابطه ‪ )31-9‬نيز در فضاي تنش موثر ‪ q  p‬درلكل (‪ )11-9‬ترسيم لده‬ ‫است‪.‬‬ ‫بالتكس براي لرايط سه محوري کششي‪ ،‬تنش لتاعي بتنوان تنش محرك و تنش محوري‪ ،‬تانش‬ ‫مقاوم خواهد بود‪ .‬بر اين اساس رابطه (‪ )25-9‬به صور زير در ميآيد‪:‬‬ ‫‪2 r r‬‬ ‫‪K‬‬ ‫(‪)35-9‬‬ ‫‪ a a‬‬ ‫‪221‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫فرم متادل رابطه (‪ )29-9‬براي لرايط سه محوري کششي نيز به صور زير قابل بيان است‪:‬‬ ‫(‪)36-9‬‬ ‫)‪v 3 (2K  1)  9(K  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ s 2 (1  K )  3(K  2‬‬ ‫با انتگرال گيري از رابطه (‪ ،)36-9‬تابع پتانسيل پالستيک نيز به صور زير قابل بيان است‪:‬‬ ‫)‪1 ( k 1‬‬ ‫‪ 3  2 ‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‪)37-9‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪p 0‬‬ ‫‪ (3   ) ‬‬ ‫واضح است که پتانسيل پالستيک و قانون جريان در حالت ساه محاوري فشااري و کششاي لاكل‬ ‫يكساني ندارند‪ .‬منحني ‪ 3‬در لكلهاي (‪ )11-9‬و (‪ ،)11-9‬لرايط نظير سه محوري کششاي ( ‪   0‬و‬ ‫‪ ) q  0‬را نشان ميدهند‪ .‬مشابه مدل کم کلي اوليه‪ ،‬تابع پتانسيل پالستيک در ‪   0‬نشان دهنده‬ ‫کرنش برلي پالستيک بوده و قانون جريان در اين نقطاه داراي ناپيوساتگي اسات‪ .‬در لارايط کارنش‬ ‫مسطح‪ ،‬درصورتيكه محورهاي اجزاي کرنش و تنش اصلي بار هام منطراق بالاند‪ ،‬رابطاه (‪ )25-9‬باه‬ ‫صور زير نولته ميلود‪:‬‬ ‫‪ 11‬‬ ‫‪K‬‬ ‫(‪)38-9‬‬ ‫‪ 3 3‬‬ ‫بر اساس دايره موهر تنش هاي موثر در لكل (‪-8-9‬ج) داريم‪:‬‬ ‫‪ 1 1  sin m‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)39-9‬‬ ‫‪ 3 1  sin m‬‬ ‫که در آن ‪ m‬زاويه اصطكاك بسيج لده در خاك است‪ .‬از دايره موهر نمو کرنش در لاكل (‪-8-9‬‬ ‫ب) نيز داريم‪:‬‬ ‫(‪)41-9‬‬ ‫‪1  sin‬‬ ‫‪1  sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫که در آن ‪ ‬زاويه اتساع خاك ميبالاد‪ .‬از رابطاه (‪ )26-9‬و در لارايطي کاه ‪ ، m  cs‬زاوياه‬ ‫اصطكاك خاك در حالت بحراني از رابطه زير به دست ميآيد‪:‬‬ ‫‪1  sin cs‬‬ ‫‪K ‬‬ ‫(‪)41-9‬‬ ‫‪1  sin cs‬‬ ‫به اين ترتيب‪ ،‬رابطه (‪ )38-9‬به صور زير بازنويسي ميلود‪:‬‬ ‫(‪)42-9‬‬ ‫‪sin cs  sin‬‬ ‫‪1  sin cs sin‬‬ ‫‪sin m ‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪221‬‬ ‫‪ -3-9‬روابط تنش‪-‬اتساع در خاکهای مخلوط درشت دانه‬ ‫مقاومت برلي خاکهاي ماسهاي حاوي درلت دانه لني‪ ،‬از مسائل مهم در طراحي هاي ژئوتكنيكي‬ ‫است‪ .‬براساس طرقه بندي متحد‪ ،1‬خاکهاي مخلوط درلت دانه‪ ،‬خاکهايي هستند که‪ ،‬بر روي الک ‪211‬‬ ‫(قطر متادل ‪ 1/175‬ميليمتر) جمع لده و از قطر ‪ 76/2‬ميليمتر کوچكتر ميبالاند‪ .‬بيشاترين کااربرد‬ ‫اين موالح در در اليه هاي زهكش‪ ،‬راهسازي‪ ،‬موالح ساتگدانه اي‪ 2‬و پوساته خاارجي سادهاي خااکي‬ ‫ميبالد‪ .‬همانطور که در باال به اهميت کاربردي موالح مخلوط الاره لد‪ ،‬بايد به ايان نكتاه مهام هام‬ ‫الاره کرد که انجام آزمايشا مكانيكي جهت تتيين پارامترهاي رفتاري اين مواد به علات ساايز بازرگ‬ ‫دانه ها‪ ،‬به آساني مقدور نميبالد‪ .‬ابتاد نمونه هاي مورد نياز و همچنين هزينه انجام آزمايشا بويژه در‬ ‫کارهاي تحقيقاتي و مطالتاتي زياد ميبالد‪ .‬به همين علت‪ ،‬محققان زيادي طاي سااليان متماادي و باا‬ ‫استفاده از رولهاي مختلف‪ ،‬به تريين رفتار و تتيين خووصيا مقاومتي پرداختند‪ .‬در بساياري از ايان‬ ‫مطالتا ‪ ،‬قطر حداکثر دانهها به يک هشتم تا يک لشم ابتاد نمونه آزمايشي محدود مايگاردد‪ .‬در هار‬ ‫حال‪ ،‬ارزيابي رفتار تنش‪-‬کرنش مخلوط هاي درلت دانه ‪ ،‬نيازمند استفاده از دستگاههاي آزمايشگاهي‬ ‫با مقياس بزرگ ميبالد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اولين تحقيا بر روي رفتار ماسهها توسط کاساگرانده (‪ )1936‬صاور گرفات‪ .‬وي باا اساتفاده از‬ ‫مفهوم تخلخل حالت بحراني‪ ،‬رفتار مكانيكي خاکهاي ماسهاي را تشريح نمود‪ .‬با انجام آزمايشهاي برلي‬ ‫مستقيم کند‪ ،‬نسرت تخلخلي را تتريف نمود که در آن‪ ،‬در اثر اعمال نيروي برلي‪ ،‬افازايش ياا کااهش‬ ‫حجم در نمونه مشاهده نميگردد‪ .‬براي چند دهه‪ ،‬تتريف بيان لده در مجامع علمي مورد استفاده قرار‬ ‫گرفت تا اينكه در سال ‪ ،1981‬پولوس‪ 4‬لرايط حالت پايدار را در آزماايش ساه محاوري کنتارل تانش‬ ‫تتريف نمود‪ .‬بر اين اساس‪ ،‬حالت پايدار لرايطي را نشان ميدهاد کاه در آن خااك بطاور پيوساته در‬ ‫‪5‬‬ ‫حجم ثابت‪ ،‬تنش موثر نرمال ثابت و تنش برلي ثابت‪ ،‬به تغيير لكل برلاي اداماه مايدهاد‪ .‬بولتاون‬ ‫(‪ 1986‬و ‪ ،)1987‬با بررسي رفتار مقاومتي و اتساع ‪ 17‬نوع ماسه مختلف‪ ،‬وابستگي ما بين پارامترهااي‬ ‫مكانيكي و مقاومتي اين خاكها را نشان داد‪.‬‬ ‫(‪)43-9‬‬ ‫(‪)44-9‬‬ ‫‪  cs  5I R  0.8 max‬‬ ‫‪max‬‬ ‫‪I R  D R (10  Ln ( p ))  1‬‬ ‫‪1 Unified‬‬ ‫‪2 Rockfill‬‬ ‫‪3 Casagrande‬‬ ‫‪4 Polous‬‬ ‫‪5 Bolton‬‬ ‫‪221‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫انديس ‪ IR‬ارتراط مابين درصد تراکم نسري موالح ( ‪ ) D R‬و تنش موثر مياانگين ( ‪ ) p ‬بار حساب‬ ‫کيلوپاسكال را بيان مينمايد‪ .‬زاويه اصطكاك حالت بحراني تابتي از جنس و لرايط کااني هااي خااك‬ ‫ميبالد‪ .‬در لرايط متقارن محوري‪ ،‬ضريب انديس ‪ IR‬در رابطه (‪ )44-9‬از ‪ 5‬به ‪ 3‬تغيير خواهد يافت‪.‬‬ ‫در خاکهاي مخلوط لن و ماسهاي و در درصدهاي لن دانه پايين‪ ،‬درلت دانه هاي لاني در مااتريس‬ ‫ماسهاي لناور خواهند بود‪ .‬در اين حالت‪ ،‬رفتار خاك مخلوط توسط بخش ماسهاي کنترل ميلاود‪ .‬باا‬ ‫افزايش درصد درلت دانه در مخلوط و در صورتيكه تتداد لن دانهها از حد مشخوي بيشتر لود‪ ،‬لان‬ ‫دانهها با يكديگر تماس برقرار نموده و رفتار کلي مخلوط‪ ،‬توسط بخش درلت دانه کنترل خواهاد لاد‪.‬‬ ‫به درصد درلت دانهاي که مرز اين دو رفتار را از يكديگر جدا مينمايد‪ ،‬آستانه لناوري‪ 1‬گفته ميلود‪.‬‬ ‫اين تتريف اولين بار توسط فراگاتزي و همكاران (‪ 1991‬و ‪ )1992‬براي مخلاوط هااي لان و ماساهاي‬ ‫ارائه لد‪ .‬لكل (‪ )12-9‬نمايي از وضتيت دانه هاي خاك مخلوط را در لرايط لناوري و غيار لاناوري‬ ‫دانهها نشان ميدهد‪.‬‬ ‫مهمترين عامل فيزيكي موثر بر آستانه لناوري مخلوط هاي لن و ماسه اي‪ ،‬دانه بندي موالح بكار‬ ‫رفته و درصد هر يک از آنها در مخلوط مورد نظر بالد‪ .‬والخو (‪ ،)2111‬نشان داد که هنگامي که ميازان‬ ‫لن بيش از ‪ 71‬درصد است مقاومت برلي مخلوط لن و ماسه‪ ،‬با مقاومت اصطكاکي داناه هااي لان‬ ‫کنترل ميلود‪ .‬مطابق تحقيقا فراگاتزي و همكاران‪ ،‬به دليل کاهش دانسيته نسري ماتريس ماساهاي‬ ‫دور‪ 2‬با افزايش درصد لن دانه‪ ،‬مقاومت سه محوري استاتيكي خاکهاي مخلوط لن و ماساه باا ازديااد‬ ‫درصد لن دانه کاهش مييابد‪ .‬برخي ديگر مانند ياگيز (‪ )2111‬و کوکولو و همكااران (‪ )2114‬نتيجاه‬ ‫گرفتند که مقاومت استاتيكي مخلوط با ازدياد لن افزايش ميياباد‪ .‬ولاي طراق تحقيقاا اوناس و ژو‬ ‫(‪ ،)1995‬مقاومت سه محوري تناوبي‪ ،‬با ازدياد درصد لن دانه زياد ميلود‪.‬‬ ‫الف‬ ‫ب‬ ‫الف‬ ‫شکل ‪ :)62-1‬وضعيت خاک مخلوط شن وماسه ای درحاالت‬ ‫الف) شناوری شن دانهها‬ ‫ب) وضعيت غيرشناوری‬ ‫‪1 Floating threshold‬‬ ‫‪2 Far field density‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪221‬‬ ‫‪25‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪dry unit weight (kN/m3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪maximum dry unit weight‬‬ ‫‪minimum dry unit weight‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫)‪gravel content (%‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪void ratio‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪maximum void ratio‬‬ ‫‪minimum void ratio‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪gravel content (%‬‬ ‫شکل ‪ :)63-1‬تغييرات دانسيته نسبی و نسبت تخلخل با درصد شن دانه در مخلوط‬ ‫(حميدی و همکاران ‪)2221-a‬‬ ‫لكل (‪ )13-9‬تغييرا دانسيته خشک حداقل و حداکثر و نسرت تخلخل حداقل و حداکثر مخلوط‬ ‫لن و ماسهاي در آزمايشهاي حميدي و همكاران (‪ )2119-a‬را نشان ميدهاد‪ .‬بار اسااس ايان لاكل‪،‬‬ ‫درصد لناوري حدود ‪ ،%61‬براي خاك مورد آزمايش قابل تشخيص است‬ ‫بيست سال بتد از بولتون (‪ ،)1986‬سيموني و هولزباي (‪ ،)2116‬روابط مقاومت‪-‬اتساع را به خاکهاي‬ ‫مخلوط لن و ماسهاي بسط دادند‪ .‬در تحقيقا ايشان جهت تتيين مقاومات برلاي خااك مخلاوط‪ ،‬از‬ ‫ماسه مخلوط با ‪ %61‬وزني لن و براي آزمايشها از دستگاه برش مستقيم بزرگ مقيااس اساتفاده لاده‬ ‫است‪ .‬طرق تتريف‪ %61 ،‬وزني لن دانه‪ ،‬آستانه لناوري موالح مخلوط خواهد بود‪ .‬اين محققين رابطاه‬ ‫(‪ )45-9‬را براي تتيين انديس ‪ IR‬بوور تابتي از نسرت تخلخل حداقل و حداکثر پيشنهاد دادند‪.‬‬ ‫‪232‬‬ ‫(‪)45-9‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I R ,mixture  5D r ,mixture  1  4.3 e min,sand  e min,mixture ‬‬ ‫‪ I R ,mixture‬انديس رابطه مقاومت‪-‬اتساع مخلوط‪ D R ,mixture ،‬تراکم نسري موالح مخلاوط‪e min,sand ،‬‬ ‫نسرت تخلخل حداقل ماسه و ‪ e min,mixture‬نسرت تخلخل حداقل مخلوط ميبالد‪.‬‬ ‫نكته مهم آن است که در تحقيقاا بولتاون (‪ )1986‬و سايموني و هولزبااي (‪ ،)2116‬ساربار وارده باه‬ ‫نمونهها کمتر از ‪ 151‬کيلو پاسكال بوده است که کمتر از آستانه خردلدگي دانه ها‪ 1‬قرار دارد‪ .‬بولتاون‬ ‫مشاهده کرد که تمايل ذرا به خرد لدن تحت برش تا زماني که تنش موثر ميانگين ياا فشاار ساربار‬ ‫کمتر از ‪ 151‬کيلوپاسكال ميبالد‪ ،‬نامحسوس است‪ .‬تحت سربار کوچكتر‪ ،‬امكان اتساع نمونهها که فقط‬ ‫تابتي از تراکم نسري است‪ ،‬زياد ميبالد‪ .‬اتساع از لحاظ مفهوم به متني ازدياد حجم و از لحاظ فيزيكي‪،‬‬ ‫قرار گرفتن دانه هاي خاك بر روي يكديگر در هنگام اعمال برش ميبالد‪ .‬بنابراين خردلادگي مواالح‬ ‫در سربارهاي باال ميتواند بر رفتار مقاومتي و اتساع موالح اثر بگذارد‪.‬‬ ‫جهت بسط رابطه سيموني و هولزباي (‪ )2116‬به فشارهاي سربار بزرگتار‪ ،‬حميادي و همكااران (‪)2119-a‬‬ ‫آزمايشهاي برش مستقيم بر مخلوط ماسه و درلت دانه را تحت سربارهاي بزرگتر انجام و روابط ذيل را براي‬ ‫تتيين ارتراط مقاومت و اتساع اين خاکها پيشنهاد دادند‪ .‬در اين روابط‪ I S ،‬تابتي از فشار ساربار اسات کاه‬ ‫دربرگيرنده اثرا خردلدگي موالح ميبالد‪  .‬فشار سربار بر حسب کيلوپاسكال بوده و باه جااي عادد‬ ‫‪ ،1/8‬پارامتر ‪ b‬جايگزين لده است‪.‬‬ ‫(‪)46-9‬‬ ‫) ‪cs ,mixture  cs ,sand  I s (e min,sand  e min,mixture‬‬ ‫(‪)47-9‬‬ ‫‪I S   0.65‬‬ ‫(‪)48-9‬‬ ‫‪max,mixture  cs,mixture  b. max  5I R,S‬‬ ‫(‪)49-9‬‬ ‫(‪)51-9‬‬ ‫‪b  0.8   3  0.003  .  emin,sand  emin,mixture ‬‬ ‫‪I R ,S  5Drmixture  1   4.5  0.006  . e min,sand  e min,mixture ‬‬ ‫همانطور که مشاهده ميلود‪ ،‬در اين رواباط بجااي عادد ‪ 1/8‬پيشانهادي بولتاون (‪ ،)1986‬پاارامتر ‪b‬‬ ‫جايگزين لده است‪ .‬ستي لده تا اثرا پارامترهاي مختلف همچون درصد لن‪ ،‬تراکم نسري و سربار بر‬ ‫روي پارامتر فوق الذکر مورد بررسي قرار گيرد‪ .‬هماانطور کاه از لاكل (‪ )14-9‬مشااهده مايلاود‪ ،‬باا‬ ‫افزايش درصد لن‪ ،‬تابع ‪ b‬بوور خطي کاهش يافته و ليب اين خط‪ ،‬باا افازايش ساربار کمتار لاده‬ ‫است‪ .‬در ضمن مقدار اين ضريب وابستگي خاصي به درصد لن دانه را نشان نميدهد‪.‬‬ ‫برخي محققين نيز از ارتراط خووصيا مقاومتي خاکهاي مخلوط با ويژگيهااي فيزيكاي مانناد درصاد‬ ‫سايش لس آنجلس استفاده نمودند (مارلال ‪ .)1967‬ويژگيهاي مقاومتي موالح مخلوط تا حدي تحات‬ ‫‪1 Particle crushing limit‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪236‬‬ ‫تاثير نوع آزمايش نيز تغيير مينمايد‪ .‬قنرري )‪ (2118‬نشان داد که زاويه اصطكاك داخلي بدست آماده‬ ‫از آزمايشهاي سه محوري متفاو از نتايج بدست آمده از آزمايش برش مستقيم مايبالاد‪ .‬باياد توجاه‬ ‫لود که موالح سنگدانه اي‪ ،‬از حيث اندازه و قطر دانهها بزرگتر از اندازه هاي مرسوم براي دساتگاههاي‬ ‫آزمايشگاهها ميبالند و با توجه به اين موضاوع ‪ ،‬اساتفاده از رواباط تجرباي و ياا ارتراطاا موجاود باا‬ ‫خووصيا فيزيكي اين موالح امري غير منطقي نخواهد بود‪.‬‬ ‫‪Dr= 35%‬‬ ‫‪150 kPa‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪300 kPa‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪450 kPa‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪emin,sand - emin,mixture‬‬ ‫‪Dr= 60%‬‬ ‫‪150 kPa‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪300 kPa‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪450 kPa‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪emin,sand - emin,mixture‬‬ ‫‪Dr= 85%‬‬ ‫‪150 kPa‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪450 kPa‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪300 kPa‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪emin,sand - emin,mixture‬‬ ‫شکل ‪ :)64-1‬تغييرات ضریب اتساع‪-‬مقاومت ‪ b‬با دانسيته نسبی و فشار سربار (حميدی و همکاران ‪)2221-a‬‬ ‫‪232‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫پارامترهاي موثر بر مقاومت برلي خاکهاي مخلوط درلت دانه‪ ،‬لامل اندازه دانه ها‪ ،‬تراکم نسري‪ ،‬فشار‬ ‫دورگير يا تنش سربار‪ ،‬دانه بندي‪ ،‬لكل دانه ها‪ ،‬جانس و سااختار خااك مايبالاد‪ .‬در اداماه ماروري‬ ‫مختور بر اثرا اين عوامل بر رفتار مقاومتي خاکهاي درلت دانه ميگردد‪.‬‬ ‫‪ -3-1-3‬تاثیر تراکم نسبی‬ ‫نمودار تنش برلي‪-‬تغيير لكل افقي و تغيير لكل قائم‪ -‬تغيير لكل افقاي در آزمايشاهاي گازارش‬ ‫لده توسط حميدي و همكاران (‪ )2119-b‬بر نموناه حااوي ‪ %61‬لان داناه تحات فشاار ساربار ‪311‬‬ ‫کيلوپاسكال در تراکم هاي نسري ‪ 61 ،35‬و ‪ %85‬در لكل (‪ )15-9‬نشان داده لده است‪ .‬بر اساس ايان‬ ‫لكل‪ ،‬مقاومت برلي خاك مخلوط با ازدياد تراکم نسري افزايش يافته و اتساع نهايي نيز با ازدياد تراکم‬ ‫نسري خاك افزايش مييابد‪ .‬اما مقدار فشردگي اوليه نمونه‪ ،‬با افزايش تراکم نسري کاهش مييابد‪.‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪Dr=35%‬‬ ‫‪Dr=60%‬‬ ‫‪Dr=85%‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫)‪shear stress (kN/m2‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫)‪Shear displacement (mm‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪Dr=35%‬‬ ‫‪Dr=60%‬‬ ‫‪Dr=85%‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪dilation (mm‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫)‪Shearl displacement (mm‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-0.5‬‬ ‫شکل ‪ :)62-1‬تاثير تراکم نسبی بر مقاومت و اتساع مخلوطهای شن و ماسه (حميدی و همکاران ‪)2221-b‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪233‬‬ ‫‪ -9-1-3‬تاثیر درصد شن دانه‬ ‫لكل (‪ )16-9‬نيز تاثير درصد لن را بار منحناي تانش‪-‬کارنش مخلاوط لان و ماساه در لارايط‬ ‫لناوري و غير لناوري در تراکم نسري ‪ 85‬درصد تحات ساربار ‪ 211‬کيلوپاساكال ماورد بررساي قارار‬ ‫ميدهد‪ .‬از نمودارهاي مذکور رفتار نرم لونده خاك مخلوط پس از نقطه اوج و افزايش مقاومت برلي و‬ ‫اتساع با ازدياد درصد لن دانه و همچنين کاهش فشردگي اوليه با افازايش درصاد درلات داناه قابال‬ ‫مشاهده است‪.‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪sand‬‬ ‫‪sand+20% gravel‬‬ ‫‪sand+40% gravel‬‬ ‫‪sand+60% gravel‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫)‪shear stress (kN/m2‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪shear displacement (mm‬‬ ‫‪sand‬‬ ‫‪sand+20% gravel‬‬ ‫‪sand+40% gravel‬‬ ‫‪sand+60% gravel‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪dilation (mm‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪shear displacement (mm‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬تاثير درصد شن دانه بر مقاومت برشی و اتساع خاک مخلوط (حميدی و همکاران ‪)2221-b‬‬ ‫بر اساس مطالتا حميدي و همكاران (‪ ،)2119-b‬تغييرا زاويه اصطكاك مخلوط در مقابل درصد‬ ‫لن در تراکم هاي نسري ‪ 61 ،35‬و ‪ %85‬در لكل (‪ )17-9‬نشان داده لده است‪ .‬از اين لكل پيداسات‬ ‫که افزايش مقدار لن و تراکم نسري سرب ازديااد زاوياه اصاطكاك داخلاي لاده و منجار باه افازايش‬ ‫مقاومت برلي ميلود‪ .‬همچنين لكل (‪ ،)18-9‬تغييرا زاويه اصطكاك داخلاي در مقاادير لان داناه‬ ‫باالتر از آستانه لناوري‪ ،‬بر اساس مطالتا حميدي و عليزاده (‪ )2119‬نشان داده لاده اسات‪ .‬بار ايان‬ ‫اساس مشخص است که تاثير درصد لن دانه بر زاويه اصطكاك داخلي در درصدهاي لن دانه زياد‪ ،‬باه‬ ‫مراتب کمتر از مقادير نظير در مقادير لن دانه پايين تر از حد لناوري است‪.‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪234‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪30‬‬ ‫)‪Friction angle (degree‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35% relative density‬‬ ‫‪60% relative density‬‬ ‫‪85% relative density‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Gravel content (%‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬تغييرات زاویه اصطکاک خاک مخلوط با درصد شن دانه و تراکم نسبی‬ ‫(حميدی و همکاران ‪)2221-b‬‬ ‫‪Dr = 85%‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪35‬‬ ‫)‪Hamidi et al. (2009-b‬‬ ‫)‪Alizadeh and Hamidi (2009‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Gravel content(%‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬تغييرات زاویه اصطکاک خاک مخلوط با درصد شن دانه باالتر از حد شناوری‬ ‫(عليزاده و حميدی ‪)2221‬‬ ‫)‪Friction angle (degrees‬‬ ‫‪45‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪232‬‬ ‫‪ -1-1-3‬دانه بندی خاک‬ ‫مطالتا آزمايشگاهي بر خاکهاي لني دانه درلت عمدتا به حداکثر قطر ذرا ‪ 11‬ميليمتر محدود لده‬ ‫است‪ .‬در واقع‪ ،‬بخش دانه درلت تر مخلوط کنار گذالته لده و آزمايش بر بخش ريزتر انجام ميگيرد‪ .‬ايان‬ ‫روش به دانه بندي غربال لده‪ 1‬متروف است‪ .‬در تحقيقاا ديگار‪ ،‬منحناي داناه بنادي ماورد اساتفاده در‬ ‫آزمايشها موازي با دانه بندي اصلي انتخاب ميگردد که به اين روش‪ ،‬دانه بندي موازي‪ 2‬گفته ميلود‪ .‬در هر‬ ‫حال در اين دو روش‪ ،‬بخش موثر و قابل توجهي که همان دانه هاي بزرگتر ميبالد‪ ،‬ناديده گرفته ميلود‪.‬‬ ‫‪Base‬‬ ‫‪Scalped‬‬ ‫‪Parallel‬‬ ‫‪0.007‬‬ ‫‪0.006‬‬ ‫‪0.003‬‬ ‫‪0.002‬‬ ‫‪Base‬‬ ‫‪Scalped‬‬ ‫‪Parallel‬‬ ‫‪300‬‬ ‫)‪Vertical displacement (m‬‬ ‫‪0.004‬‬ ‫‪a) Dr=35%‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0.001‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪-0.001‬‬ ‫)‪Shear displacement (m‬‬ ‫‪0.006‬‬ ‫‪0.002‬‬ ‫‪Base‬‬ ‫‪Scalped‬‬ ‫‪Parallel‬‬ ‫)‪Shear displacement (m‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪b) Dr=60%‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪300‬‬ ‫)‪Vertical displacement (m‬‬ ‫‪0.003‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0.001‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪-0.001‬‬ ‫)‪Shear displacement (m‬‬ ‫‪0.006‬‬ ‫‪0.002‬‬ ‫‪Base‬‬ ‫‪Scalped‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪c) Dr=85%‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪300‬‬ ‫)‪Vertical displacement (m‬‬ ‫‪0.003‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪150‬‬ ‫)‪Shear stress (kPa‬‬ ‫‪0.004‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫)‪Shear displacement (m‬‬ ‫‪Base‬‬ ‫‪Scalped‬‬ ‫‪Parallel‬‬ ‫‪0.007‬‬ ‫‪0.005‬‬ ‫)‪Shear stress (kPa‬‬ ‫‪0.004‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪Base‬‬ ‫‪Scalped‬‬ ‫‪Parallel‬‬ ‫‪0.007‬‬ ‫‪0.005‬‬ ‫)‪Shear stress (kPa‬‬ ‫‪0.005‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0.001‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Parallel‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫)‪Shear displacement (m‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪-0.001‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪0.03‬‬ ‫)‪Shear displacement (m‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0‬‬ ‫شکل ‪ :)61-1‬تغييرات تنش برشی و تغيير شکل قائم در مقابل تغيير شکل برشی برای سه نوع دانه بندی پایه‪،‬‬ ‫غربال شده و موازی تحت سربار ‪ 622‬کيلوپاسکال (الف) تراکم نسبی ‪( %32‬ب) تراکم نسبی ‪( %12‬ج) تراکم‬ ‫نسبی ‪( %12‬حميدی و همکاران ‪)2262‬‬ ‫‪1 Scalped method‬‬ ‫‪2 Parallel Method‬‬ ‫‪231‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫لكل (‪ )19-9‬تغييرا تغييرمكان قائم (اتساع) و تنش برلي در مقابل کرنش برلي را براي نموناه‬ ‫هاي با دانه بندي متفاو ‪ ،‬در تراکم هاي نسري مختلف تحت سربارهاي متفاو نشان ميدهد‪ .‬با توجه‬ ‫به اين آزمايشها که توسط حميدي و همكاران (‪ )2112‬گزارش گرديده است‪ ،‬مقاومات برلاي حاداکثر‬ ‫متتلق به خاك مرنا‪ 1‬ميبالد‪ .‬بتد از آن‪ ،‬نمونه غربال لده حائز بيشاترين مقاومات برلاي و کمتارين‬ ‫مقدار مقاومت نيز متتلق به خاکهاي با دانه بندي موازي است‪ .‬اختالف مقاومت براي دو دانه بندي مرنا‬ ‫و غربال لده کمتر از ‪ %15‬ميبالد‪ .‬در حاليكه اين تفاو بين دانه بنادي هااي مرناا و ماوازي بسايار‬ ‫بيشتر مي بالد‪ .‬علت ان است که تفاو بين دانه بندي هاي اصلي و غربال لده‪ ،‬تنها در حداکثر انادازه‬ ‫دانه هاي لني است‪ .‬در حاليكه براي دو نوع دانه بندي پايه و موازي‪ ،‬هم قطر دانهها و هم توزياع آنهاا‬ ‫متفاو از دانه بندي پايه ميبالد‪.‬‬ ‫مطالتا حميدي و همكاران (‪ )2112‬نشان ميدهد که اختالف مقاومت بين نمونهها با دانه بنادي‬ ‫مرنا و موازي با ازدياد سربار وارده‪ ،‬افزايش مييابد و با تغيير ساربار از ‪ 111‬تاا ‪ 311‬کيلوپاساكال‪ ،‬ايان‬ ‫اختالف به ‪ %25‬تا ‪ %31‬خواهد رسيد‪ .‬نقش اتساع در اين موضوع بسايار حاائز اهميات اسات‪ .‬افازايش‬ ‫سربار سرب کاهش اتساع و در نتيجه ازدياد نقش ساير پارامترهاي موثر بر روي مقاومت برلي خاك‪ ،‬از‬ ‫جمله دانه بندي ميبالد‪ .‬لكل (‪ )19-9‬نشان ميدهد که اختالف بين حداکثر اتساع در خااك مرناا و‬ ‫دانه بندي غربال لده‪ ،‬به مراتب کمتر از خاك مرنا و دانه بندي موازي ميبالاد‪ .‬حميادي و همكااران‬ ‫(‪ ،)2112‬زاويه اصطكاك حداکثر خاك مخلوط را با استفاده از رابطه زير به تراکم نسري و فشاار ساربار‬ ‫مرترط نمودند‪.‬‬ ‫‪  A .D r  B‬‬ ‫(‪)51-9‬‬ ‫‪max‬‬ ‫در اين متادله‪ A ،‬و‪ B‬تابع سربار و نوع دانه بندي خاك ميبالند‪ .‬با در نظر گارفتن تغييارا ايان‬ ‫پارامترها با سربار‪ ،‬روابط زير براي سه نوع دانه بندي متفاو بدست ميآيند‪:‬‬ ‫(‪)52-9‬‬ ‫‪B max  0.013Dr  0.42  17Dr  44.3‬‬ ‫(‪)53-9‬‬ ‫‪S max  0.01 2Dr  0.42  10Dr  44.7‬‬ ‫(‪)54-9‬‬ ‫‪P max  0.015Dr  0.35  26Dr  32.4‬‬ ‫در اين متادال ‪ S max ، B max ،‬و ‪ P max‬حداکثر زواياي اصطكاك حداکثر خااك پاياه‪،‬‬ ‫غربال لده و موازي ميبالند‪ .‬با کم کردن متادال مربوط به دانه بندي غربال لده يا موازي از متادله‬ ‫مربوط به خاك پايه ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)55-9‬‬ ‫(‪)56-9‬‬ ‫‪B  S max  0.01 Dr  0.18  7Dr  0.4‬‬ ‫‪B  P max  0.01 2Dr  0.07   9Dr  11.9‬‬ ‫‪1 Base soil‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪231‬‬ ‫در اين متادال ‪ ،‬تراکم نسري بر حسب درصد و فشار سربار بر حسب کيلوپاسكال خواهند بود‪ .‬بدين‬ ‫ترتيب‪ ،‬با استفاده از اين دو متادله ميتوان زاويه اصطكاك خاك مرنا را با استفاده از نتايج آزماايش بار‬ ‫دانه بندي متادل غربال لده يا موازي در ساربار و تاراکم نساري يكساان‪ ،‬تخماين زد‪ .‬لاكل (‪)21-9‬‬ ‫مقايسه بين نتايج آزمايشگاهي و متادال مذکور را براي زاويه اصطكاك حداکثر نشان مايدهاد‪ .‬نتاايج‬ ‫حاکي از تخمين مناسب متادال با خطاي حداکثر ‪ 1/5‬درجه است‪.‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪R² = 0.9914‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪Maximum friction angle‬‬ ‫)‪(predicted‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪Scalped‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪Parallel‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪40‬‬ ‫)‪Maximum friction angle (measured‬‬ ‫شکل ‪ :)22-1‬اعتبار سنجی معادالت پيشنهادی برای تخمين مقاومت خاک بر مبنای دانه بندی معادل‬ ‫(حميدی و همکاران ‪)2262‬‬ ‫‪ -1-1-3‬تاثیر سیمانتاسیون بر اتساع خاکهای مخلوط‬ ‫ساکسنا و الستريكو‪ )1978( 1‬عنوان کردند که در خاکهاي سيمانته تحت بارگذاري برلاي‪ ،‬پاس از‬ ‫فشردگي ابتدايي کوچک‪ ،‬تمايل زيادي به افزايش حجم و اتساع مشاهده ميگردد‪ .‬حميدي و ساليماني‬ ‫(‪ ،) 2112‬با استفاده از سه سري نتايج آزمايش ساه محاوري بار نموناه هااي مخلاوط لان و ماساهاي‬ ‫‪4‬‬ ‫سيمانته با آهک‪( 2‬اصغري و همكاران ‪ ،)2113‬سايمان پرتلناد‪( 3‬حاائري و همكااران ‪ )2115-a‬و گاچ‬ ‫(حائري و همكاران ‪ 2115-b‬و ‪ ،)2116‬به بررسي ارتراط مقاومت‪-‬اتسااع در خاکهااي ماساهاي لاندار‬ ‫سيماني لده پرداختند‪ .‬لكل (‪ )21-9‬نتايج آزمايش سه محوري بر ماسه لندار سيمانته لده با سنگ‬ ‫گچ را نشان ميدهد‪ .‬در لكل (‪-21-9‬الف) رفتار تردتر توام با بروز نقطه اوج مشخص‪ ،‬در نمودار تانش‬ ‫انحرافي‪-‬کرنش محوري خاك سيمانته‪ ،‬در مقايسه با نمونه غيار سايمانته مشاهود اسات‪ .‬ايان افازايش‬ ‫‪1 Saxena and Lastrico‬‬ ‫‪2 Lime‬‬ ‫‪3 Portland cement‬‬ ‫‪4 Gypsum‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪231‬‬ ‫لديد در مقاومت به ترع نرخ لديد اتساعي اسات کاه در نموناه سايماني لاده در لاكل (‪-21-9‬ب)‬ ‫مشاهده ميلود‪ .‬نكته مهم آن است که بر اساس لكل (‪-21-9‬الف)‪ ،‬مقاومت برلي و اتسااع مااکزيمم‬ ‫در خاك غيرسيمانته در يک سطح کرنش رخ ميدهند‪ .‬اما در خاکهاي سيمانته‪ ،‬حداکثر اتسااع بتاد از‬ ‫نقطه اوج تنش برلي روي خواهد داد‪.‬‬ ‫نرخ اتساع نمونهها نيز با توجه به اعمال کرنش محوري به نمونه ها‪ ،‬با محاسره ‪ d v d a‬تتياين‬ ‫لده و در لكل (‪-21-9‬ج) نشان داده لده است‪ .‬بر اساس اين لكل نيز‪ ،‬نرخ لديدتر اتساع در نموناه‬ ‫هاي سيماني نسرت به نمونه هاي غير سيمانته قابل مشاهده خواهد بود‪ .‬زاويه اتسااع در آزماايش ساه‬ ‫محوري نيز از رابطه زير بدست ميآيد‪:‬‬ ‫(‪)57-9‬‬ ‫‪  d v d a‬‬ ‫در اين رابطه‪  ،‬زاويه اتساع‪ d v ،‬و ‪ d  a‬نمو کرنش حجمي و کرنش محوري ميبالند‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)26-1‬تاثير سيمانی شدن بر اتساع و مقاومت برشی خاک (حميدی و سليمانی ‪)2262‬‬ ‫افزودن عامل سيماني به خاك ماسه اي‪ ،‬به مانند اضافه لدن لن دانهها کاه در بخاش قرلاي توصايف‬ ‫گرديد‪ ،‬باعث افزايش قابل توجه اتساع حداکثر ميلود‪ .‬لكل (‪ )22-9‬تغييرا اتساع ( ‪ ) d v d a‬باا‬ ‫کرنش محوري را براي نمونه هاي سيمانته لده با مقادير مختلاف سايمان‪ ،‬تحات تانش دورگيار ‪111‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪231‬‬ ‫کيلوپاسكال نشان ميدهد‪ .‬بر اساس اين لكل‪ ،‬اتساع خاك سيمانته‪ ،‬به لد با افزايش درصد سايمان‬ ‫افزايش مييابد‪ .‬همچنين بر اساس اين لكل‪ ،‬در مقدار ثابت سيمان‪ ،‬خااك سايماني لاده باا سايمان‬ ‫پرتلند بيشترين اتساع و خاك سيمانته با آهک‪ ،‬کمترين اتساع را نشان ميدهد‪.‬‬ ‫حميدي و سليماني (‪ )2112‬روابط ذيل را براي ارتراط مقاومت و اتساع در خاکهاي ماسه لندار خاوب‬ ‫دانه بندي لده سيمانته ارائه نمودند‪ .‬در اين روابط‪ CC ،‬درصد سيمان موجود در خاك ميبالد‪:‬‬ ‫‪ max   cv  3I R,C‬‬ ‫)‪(58-9‬‬ ‫)‪(59-9‬‬ ‫]) ‪I R ,C  [10  0.35Ln (540CC )]Dr  [1  (16CC  78)(e min,uncemented  e min,cemented‬‬ ‫)‪(61-9‬‬ ‫]) ‪Gypsum : I R,C  [10  0.30Ln(730CC)]Dr  [1  (9CC  36)(emin,uncemented  emin,cemented‬‬ ‫‪Lime :‬‬ ‫)‪Portland : I R,C  [10  0.31Ln(770CC)]Dr  [1  (21CC  82)(emin,uncemented  emin,cemented )] (61-9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ب) گ‬ ‫‪Uncemented‬‬ ‫‪1.5% Cemented‬‬ ‫‪3% Cemented‬‬ ‫‪4.5% Cemented‬‬ ‫‪6‬‬ ‫الف) آهک‬ ‫‪Uncemented‬‬ ‫‪1.5% Cemented‬‬ ‫‪3% Cemented‬‬ ‫‪4.5% Cemented‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Dilatancy‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪Axial Strain (%‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪Axial Strain (%‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪Uncemented‬‬ ‫‪1.5% Cemented‬‬ ‫‪3% Cemented‬‬ ‫‪4.5% Cemented‬‬ ‫‪6% Cemented‬‬ ‫ج) سیمان پرتلند‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Dilatancy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪Axial Strain (%‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫شکل (‪ :)22-1‬منحنی اتساع‪-‬کرنش محوری خاک سيمانته شده در جنس و درصدهای مختلف سيمان‬ ‫(حميدی و سليمانی ‪)2262‬‬ ‫‪Dilatancy‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪242‬‬ ‫‪(b) CU, CP=100 kPa‬‬ ‫)‪CC=3% (Portland cement‬‬ ‫‪(a) CD, CP=100 kPa‬‬ ‫)‪CC=3% (Portland cement‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪100‬‬ ‫)‪Well graded soil (Haeri et al. (2005a‬‬ ‫‪-200‬‬ ‫)‪Pore pressure (kPa‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪Poorly graded mixture‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪Poorly graded mixture‬‬ ‫)‪Well graded soil (Haeri et al. (2005a‬‬ ‫‪-300‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪-400‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫)‪Volumetric strain (%‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫شکل ‪ :)23-1‬تغييرات اتساع و فشار حفرهای در ماسه شندار سيمانته بد و خوب دانه بندی شده‬ ‫(امينی و حميدی ‪)2264‬‬ ‫تحقيقا در خووف رفتار مقاومتي و اتساع خاکهاي سيماني لده‪ ،‬با انجام ازمايشهاي برش مساتقيم و‬ ‫سه محوري بزرگ مقياس ادامه يافت‪ .‬اميني و حميدي (‪ ،)2114‬آزمايشهاي را براي بررساي رفتاار مخلاوط‬ ‫لن و ماسه سيمانته بد دانه بندي لده انجام دادند‪ .‬لكل (‪ ،)23-9‬تغييرا اتساع و فشاار حفارهاي ايجااد‬ ‫لده در ماسه لندار سيمانته بد دانه بندي لده طي آزمايشهاي سه محوري زهكشي لده و زهكشي نشده‬ ‫را با نتايج آزمايشهاي حائري و همكاران (‪ )2115-b‬بر خاك نظير خوب دانهبندي لده مقايسه مينمايد‪.‬‬ ‫درصد لن دانه موجود در خاك خوب دانه بندي لده در حدود ‪ %41‬و در نمونه بد دانه بندي لده ‪%31‬‬ ‫است‪ .‬با توجه به درصد باالتر لن دانه در خاك مخلوط خوب دانه بندي لده‪ ،‬انتظاار مايرود اتسااع ايجااد‬ ‫لده حين برش زهكشي لده (لكل ‪ )a-23-9‬و يا فشار حفرهاي ايجاد لده طي برش زهكشي نشده (لكل‬ ‫‪ )b-23-9‬از مقادير نظير در نمونه بد دانه بندي لده بيشتر بالد‪ .‬اما نتيجه ازمايشها نشان ميدهد که علاي‬ ‫رغم درصد لن بيشتر‪ ،‬خاك بد دانه بندي لده‪ ،‬اتساع و ياا فشاار حفارهاي منفاي بيشاتري را در لارايط‬ ‫زهكشي لده و زهكشي نشده ارائه مينمايد‪ .‬اين موضوع‪ ،‬تمايل و امكان وقوع اتساع بيشتر در خاك مخلوط‬ ‫بد دانه بندي لده سيمانته را در مقايسه با خاك مخلوط خوب دانه بندي لده سيمانته اثرا مينمايد‪.‬‬ ‫در ادامه‪ ،‬اميني و همكاران (‪ ،)2113‬با انجام آزمايشهاي برش مستقيم در جتره بارش ‪ 311‬در ‪ 311‬در‬ ‫‪ 171‬ميليمتري‪ ،‬به تريين رفتار مقااومتي و اتسااع خاکهااي مخلاوط باد داناه بنادي لاده سايمانته‬ ‫پر داختند‪ .‬با انجام آزمايش در درصادهاي مختلاف سايمان و فشاارهاي ساربار متتادد‪ ،‬رابطاه بولتاون‬ ‫(‪ )1986‬را براي نمونه هاي سيماني لده بدست آوردند‪.‬‬ ‫‪max  cv  0.07 max‬‬ ‫(‪)62-9‬‬ ‫علت کاهش لديد ضريب رابطه بولتون (‪ )1986‬از ‪ 1/8‬در ماسه متمولي باه ‪ 1/17‬در ايان رابطاه‪،‬‬ ‫ترکيب سه عامل افزاينده اتساع در خاك است‪ .‬اين سه عامل‪ ،‬حضور لن دانه هاا‪ ،‬سيمانتاسايون و باد‬ ‫دانه بندي بودن خاك است که موجب افازايش لاديد اتسااع حاداکثر ( ‪ ) max‬در خااك و در نتيجاه‬ ‫کاهش لديد ضريب مربوطه در رابطه ميلود‪ .‬زاويه اتساع در خاکهاي مخلاوط لان و ماساه باد داناه‬ ‫بندي لده سيمانته‪ ،‬مقادير بسيار بااليي را داراست‪ .‬بار اسااس مطالتاا اميناي و همكااران (‪،)2114‬‬ ‫زواياي اتساع تا ‪ 48‬درجه در تراکمهاي باال مشاهده لده است‪.‬‬ ‫فصل نهم – روابط مقاومت – اتساع در خاکها‬ ‫‪246‬‬ ‫تمرینات فصل نهم‬ ‫‪-1‬با فرض کره هاي هم اندازه به لتاع ‪ ،r‬رابطه بولتون (‪ )1986‬را براي ماسه بد دانه بندي لده به‬ ‫صور تحليلي محاسره نماييد‪.‬‬ ‫‪-2‬با بررسي مقاال و منابع موجود‪ ،‬تاثير ازدياد فشار دورگير به مقاادير بااالتر از حاد خردلادگي‬ ‫دانهها را بر رابطه بولتون (‪ )1986‬تفسير کنيد‪.‬‬ ‫‪-3‬قانون جريان در مدل پالستيسيته عمومي پاستور و همكاران (‪ )1991‬را تتيين نماييد‪.‬‬ ‫‪-4‬قانون جريان براي سطح تسليم ثابت و سطوح تسليم متحرك مدل کالهکدار را بررسي کنيد‪.‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پيشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫فصل دهم‬ ‫مبانی مدلسازی پيشرفته رفتار مکانيکی‬ ‫خاکها‬ ‫‪ -1-11‬مقدمه‬ ‫در اين فول‪ ،‬کليا مدلسازي رفتاري پيشرفته خاکها در سه بخش مختلف مورد بررسي و توصايف‬ ‫قرار ميگيرد‪ .‬اين سه بخش لامل بررسي و مدلسازي رفتار مكانيكي خاکهاي ماسهاي سايمانته‪ ،‬رفتاار‬ ‫ترمومكانيكي خاکهاي رسي الراع و غير الراع و همچنين چارچوب تريين رفتار مكانيكي خاکهاي غيار‬ ‫الراع ميبالد‪ .‬در هر بخش‪ ،‬ابتدا توضيحاتي در خووف ويژگيهاي اصلي رفتاري مواالح ماذکور ارائاه‬ ‫داده لده و سپس مدلسازي رفتار اين مواد بر اساس ساده ترين قوانين و اصول ممكن ارائه ميلاود تاا‬ ‫امكان استفاده از مفاهيم ذکر لده در فوول قرلي‪ ،‬براي مدلسازي رفتار مكانيكي اين خاکها نشاان داده‬ ‫لود‪.‬‬ ‫‪ -2-11‬مدلسازی رفتار مکانیکی خاکهای سیمانته‬ ‫عوامل محيطي و گذلت زمان‪ ،‬اغلب باعث ايجاد ساختار در خاكهاي طريتي ميلاود‪ .‬سااختار و‬ ‫بافت‪ 2‬خاك نقش مهمي در ويژگيهاي ژئوتكنيكي آن دارند‪ .‬برخالف رسها که عموما بار اثار عاواملي‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 Structure‬‬ ‫‪2 Texture‬‬ ‫‪244‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫چون پيش تحكيمي‪ ،‬حرار و همچنين خشک لدگي داراي سااختار مايلاوند‪ ،‬در خاکهااي داناهاي‬ ‫مهمترين عامل ايجاد ساختار‪ ،‬سيمانتاسيون و ايجاد باندهاي سيماني بين ذرا خاك اسات‪ .‬همچناين‬ ‫به عنوان يک روش بهسازي خاك‪ ،‬در بسياري موارد از افزودن سيمان به آن در جهت افزايش مقاومات‬ ‫و ظرفيت باربري استفاده مينمايند‪ .‬از اين رو‪ ،‬بررسي و لناخت رفتار اين خاكها و همچنين ارائه مدل‬ ‫رفتاري براي لناسايي ويژگي هاي آنها حائز اهميت بسيار است‪ .‬وجود ساختار سيماني در خاك موجب‬ ‫تفاو هاي رفتاري با لرايط غير سيمانته‪ ،‬تحت تنشهاي اعمالي ميگردد‪ .‬با توجه به آنكه امكاان اخاذ‬ ‫نمونه دست نخورده از خاکهاي دانهاي سيمانته بسيار دلوار است‪ ،‬عموما از نمونه هاي با سيمانتاسايون‬ ‫مونوعي‪ 1‬جهت بررسي ويژگيهاي رفتاري اين خاکها پرداخته ميلود‪ .‬در ادامه به بررسي برخي از ايان‬ ‫مطالتا پرداخته ميلود‪.‬‬ ‫اتكينسون و کوپ‪ )1993( 2‬با انجام آزمايشهاي مختلف بر ماسه سيمانته عنوان کردناد باه دليال‬ ‫سختي باالي باندهاي سيماني‪ ،‬رفتار خاك تا قرل از خردلدگي باندها بواور االساتيک و پاس از آن‬ ‫خاك به مانند خاكهاي غير سيمانته رفتاري االستوپالستيک نشان خواهد داد‪ .‬بر اساس لكل (‪)1-11‬‬ ‫سه حالت مختلف قابل بررسي است‪.‬‬ ‫الف‪ -‬در فشارهاي دورگير بسيار باال‪ ،‬باندهاي سيماني در حين پروسه تحكيم ايزوتروپ از بين رفته‬ ‫و بنابراين در مرحله اعمال بار برلي‪ ،‬خاك رفتاري مشابه خاکهاي غير سيمانته خواهد دالت‪ .‬در واقع‪،‬‬ ‫لروع مسير تنش از خارج سطح تسليم اوليه باندها بوده و رفتار خاك از ابتداي بارگذاري توام باا باروز‬ ‫تغييرلكلهاي پالستيک خواهد بود‪ .‬اين لرايط با خط ‪ 1‬در لكل (‪ )1-11‬نشان داده لده است‪.‬‬ ‫ب‪ -‬در لرايطي که فشار دورگير کوچكتر از مقاومت باندهاي سيماني بالد‪ ،‬پس از مرحلاه تحكايم‬ ‫ايزوتروپ‪ ،‬بخشي از مقاومت باند ها باقي خواهد ماند اما با افزايش تانش انحرافاي‪ ،‬باه تادريج بانادهاي‬ ‫سيماني خرد و از بين ميروند‪ .‬پس از آن‪ ،‬رفتار خاك همانند خااكهااي غيار سايمانته مايبالاد تاا‬ ‫وضتيت تنش به خط حالت بحراني برسد‪ .‬همانطور که خط ‪ 2‬در لكل (‪ )1-11‬نشان مايدهاد‪ ،‬رفتاار‬ ‫خاك قرل از رسيدن به سطح تسليم باندهاي سيماني‪ ،‬کامال االستيک بوده و پس از تساليم بانادهاا باا‬ ‫تغييرلكلهاي پالستيک همراه خواهد بود‪ .‬بدين ترتيب‪ ،‬در نمودار تنش‪-‬کرنش يک ناحيه خطي قرل از‬ ‫تسليم باندها لكل خواهد گرفت و پس از لروع تسليم‪ ،‬رفتار بوور غير خطي دنرال ميلود‪.‬‬ ‫ج‪ -‬در لرايطي که نمونه تحت فشارهاي همه جانره بسيار کمتر از مقاومت باندهاي سيماني بالاد‪،‬‬ ‫نمونه خاك تا رسيدن به سطح تسليم باندهاي سيمانته‪ ،‬رفتار االستيک خطي از خود نشان خواهد داد‪.‬‬ ‫همانطور که خط ‪ 3‬در لكل (‪ )1-11‬نشان مي دهد‪ ،‬پاس از باروز تساليم در خااك‪ ،‬باا کااهش تانش‬ ‫انحرافي و بروز رفتار نرم لونده‪ ،‬نمونه خاك به حالت بحراني ميل خواهد کرد‪.‬‬ ‫‪1 Artificial cementation‬‬ ‫‪2 Atkinson and Coop‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪242‬‬ ‫شکل ‪ :)6-62‬تقسيم بندی رفتار خاک سيمانته به حاالت مختلف بر حسب فشار دورگير‬ ‫(اتکينسون و کوپ ‪)6113‬‬ ‫رفتار اين خاكها در صفحه تراکم )‪ e  Ln( p‬مطابق لكل (‪ )2-11‬ميبالد‪ .‬همان طور کاه در‬ ‫اين لكل ديده ميلود‪ ،‬قرل از رسيدن به سطح تنش ‪ ، py ,i‬رفتار خاك داراي ساختار بوور خطاي‬ ‫‪1‬‬ ‫با ليب بسيار کم مشاهده ميگردد پس از آن‪ ،‬رفتار بوور غير خطي با ليب تندتر پيش مايرود تاا‬ ‫در تنشهاي موثر ميانگين بسيار باال‪ ،‬به لرايط نظير بر خط تحكيم عادي نمونه بازساازي لاده‪ 2‬برساد‬ ‫(در اينجا منظور از نمونه بازسازي لده‪ ،‬خاکي است که باندهاي آن به دليل هرگونه دست خاوردگي از‬ ‫بين رفته بالد)‪ py ,i .‬سطح تنشي است که در آن‪ ،‬باندهاي سيمانته تحت اثر فشاار ايزوتاروپ خارد و‬ ‫مقاومت آنها از بين ميرود‪ .‬قرل از ‪ ، py ,i‬افت در نسرت تخلخل بسيار بطري بوده و رفتاري االساتيک را‬ ‫لاهد هستيم‪ .‬در واقع‪ ،‬ليب اين خط برابر ليب خط باربرداري ايزوتروپ است‪ .‬پس از ‪ ، py ,i‬تغييرا‬ ‫لديد نسرت تخلخل و بروز کرنشهاي پالستيک حجمي در خاك مشاهده ميگردد‪ .‬ليو و کارتر (‪)2112‬‬ ‫با استفاده از اين ايده‪ ،‬نسخهاي جديد از مدل کم کلي‪ ،‬با نام مدل رفتاري کام کلاي داراي سااختار‪ 3‬را‬ ‫ارائه نمودند‪.‬‬ ‫‪1 Structured soil‬‬ ‫‪2 Reconstituted soil‬‬ ‫‪3 Structured Cam clay model‬‬ ‫‪241‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫شکل ‪ :)2-62‬رفتار خاکهای دارای ساختار تحت فشار ایزوتروپ ( ليو و کارتر ‪)2002‬‬ ‫ماالندراکي و تول‪ )2111( 1‬با انجام آزمايشهاي سه محوري بر خاك سيمانته و اندازه گيري سختي‬ ‫خاك در کرنشهاي بسيار پايين‪ ،‬نمودار سختي محوري‪ -‬کرنش محوري را در مقيااس لگااريتمي باراي‬ ‫بررسي لرايط تسليم خاك سيماني پيشنهاد دادند‪.‬‬ ‫همان طور که در لكل (‪ )3-11‬ديده ميلود‪ ،‬پروسه تسليم در خاكهاي سيمانته در ساه مرحلاه‬ ‫رخ ميدهد‪ .‬تسليم اوليه‪ 2‬در خاك سيمانته‪ ،‬لروع ترك خوردگي و خردلدگي باندها ميبالد‪ .‬در ايان‬ ‫مرحله هنوز افت لديد در سختي خاك سيمانته مشاهده نخواهد لد‪ .‬با ازدياد ساطح کرنشاها‪ ،‬تساليم‬ ‫باندها‪ 3‬در خاك سيماني لده اتفاق افتاده و افت لديد در ميزان سختي خاك رويت ميلود‪ .‬در نهايت‬ ‫با کاهش لديد سختي و در کرنشهاي باال‪ ،‬بروز گسيختگي و يا ازدياد بيش از حد تغييرلاكل‪ ،‬تساليم‬ ‫نهايي‪ 4‬خاك بروز خواهد کرد و خاك بسمت گسيختگي ميرود‪ .‬در اين لارايط‪ ،‬خااك تاوان مقاومات‬ ‫بيشتر در برابر بارهاي وارده را نخواهد دالت‪.‬‬ ‫‪1 Malandaraki and Toll‬‬ ‫‪2 First yield‬‬ ‫‪3 Bond yield‬‬ ‫‪4 Final yield‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪241‬‬ ‫شکل ‪ :)3-62‬منحنی تغييرات سختی محوری‪-‬کرنش محوری (ماالندراکی و تول ‪)2226‬‬ ‫‪ -3-1-31‬مرور رفتار خاکهای سیمانته در چارچوب مفاهیم حالت بحرانی‬ ‫مرور ادبيا فني‪ ،‬مراحث محدودي را در زمينه بررسي و تريين رفتاار مكاانيكي خاکهااي مخلاوط‬ ‫طريتي نشان ميدهد‪ .‬حائري و حميدي (‪ )2115‬با نمونه گيري دست خورده از نقااط مختلاف آبرفات‬ ‫تهران‪ ،‬رفتار خاكهاي مخلوط لن و ماسه را بررسي نموده و با استفاده از مفااهيم حالات بحراناي باه‬ ‫ارزيابي پتانسيل وقوع روانگرايي در آن پرداختند‪ .‬بر اساس بررسي هاي انجام لده توسط ايشاان‪ ،‬باروز‬ ‫حالت بحراني در مخلوطهاي لن و ماسه طريتاي حاين آزماايش ساه محاوري مرساوم‪ ،‬در کرنشاهاي‬ ‫محوري بسيار بزرگ حدود ‪ %25‬يا باالتر محتمل ميبالد‪ .‬لكل (‪ )4-11‬بيانگر مسايرهاي تانش ماوثر‬ ‫سه محوري زهكشي نشده نرمال لده به فشار دورگير اوليه براي نمونه هاي دست خورده اخاذ لاده از‬ ‫اعماق مختلف گمانه هاي متتدد حفر لده توسط حائري و حميدي (‪ )2115‬در آبرفت تهران است‪ .‬بار‬ ‫اساس اين لكل‪ ،‬علي رغم ادامه بارگذاري تا سطوح کرنش بااال‪ ،‬حواول حالات پايادار نيازمناد اداماه‬ ‫بارگذاري تا کرنشهاي بيشتر خواهد بود‪ .‬در وضتيت کنوني کرنش نهايي در اين آزمايشها که بين ‪ 21‬تا‬ ‫‪ %25‬است‪ ،‬بجاي يک نقطه مشخص‪ ،‬محدودهاي براي بروز حالت پايدار وجود خواهد دالت‪.‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪241‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Steady State‬‬ ‫‪Locus‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪3-5‬‬ ‫‪3 - 17‬‬ ‫‪8 - 18‬‬ ‫‪9 - 11‬‬ ‫‪9 - 13‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪q/p'i‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪4-9‬‬ ‫‪4 - 14‬‬ ‫‪6 - 11‬‬ ‫‪6 - 13‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪p'/p'i‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p'/p'i‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪8 - 13‬‬ ‫‪8 - 14‬‬ ‫‪8 - 15‬‬ ‫‪8 - 19‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪q/p'i‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪Steady State‬‬ ‫‪Locus‬‬ ‫‪q/p'i‬‬ ‫‪Steady State‬‬ ‫‪Locus‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪1-7‬‬ ‫‪4-5‬‬ ‫‪7 - 15‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪q/p'i‬‬ ‫‪Steady State‬‬ ‫‪Locus‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p'/p'i‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪p'/p'i‬‬ ‫شکل ‪ :)4-62‬مسير تنش زهکشی نشده نمونه های مخلوط شن و ماسه طبيعی (حائری و حميدی ‪)2222‬‬ ‫در تحقيق ديگر‪ ،‬حميدي و حائري (‪ )2115‬اصول و مفاهيم به کار رفته براي تريين رفتار مكاانيكي‬ ‫ماسه هاي لندار را به مخلوطهاي لن و ماساهاي سايمانته تتمايم دادناد‪ .‬لاكل (‪ )5-11‬تتادادي از‬ ‫مسيرهاي تنش موثر سه محوري زهكشي نشده در صفحه تنش نرمال به فشار دورگيار اولياه را‪ ،‬باراي‬ ‫خاك سيمانته در فشارهاي دورگير اوليه و درصدهاي سيمانتاسيون مختلف نشان ميدهد‪ .‬به همراه اين‬ ‫مسيرهاي تنش‪ ،‬يک مسير تنش موثر زهكشي نشده مربوط به نمونه غير سيمانته از خاك ماذکور نياز‬ ‫براي فشار دورگير ‪ 511‬کيلوپاسكال ارائه لده است‪ .‬اين لكل نشان ميدهد که تمامي مسيرهاي تنش‬ ‫در نهايت به يک محدوده واحد که بيانگر همان حالت بحراني در خاك است همگرا ميلوند‪ .‬با توجه به‬ ‫وقوع حالت بحراني در کرنشهاي بسيار بزرگ و خردلدگي عماده بانادهاي سايماني در ايان وضاتيت‪،‬‬ ‫تمامي مسيرهاي تنش مربوط به نمونه هاي سايمانته و غيار سايمانته باه ياک محادوده واحاد خاتم‬ ‫ميلوند‪ .‬در اين فضا‪ ، pcs ،‬مقدار تنش موثر ايزوتروپ‪ ،‬بر خط حالت بحراني در نسارت تخلخال نظيار‬ ‫ميبالد و بر اساس رابطه زير تتريف ميگردد‪ .‬با توجه به ماهيت زهكشي نشده ايان آزمايشاها‪ ،‬نسارت‬ ‫تخلخل در تمامي طول مسير تنش ثابت و برابر نسرت تخلخل اوليه خواهد بود‪.‬‬ ‫(‪)1-11‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪pcs  exp ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪241‬‬ ‫در اين رابطه‪  ،‬عرض از مردا خط حالت بحراني در ‪ p  1‬و ‪ ‬ليب خط حال بحراني اسات‪.‬‬ ‫اتكينسون و ليتل‪ )1988( 1‬استفاده از فضاي تنش ‪ Ln  p  Ln  q ‬را براي تتيين تووير سطح ورللو‬ ‫پيشنهاد نمودند‪ .‬بر اساس اين لكل مشخص ميلود که در نمونه هاي سيمانته‪ ،‬بجاي يک خط واحاد‬ ‫براي تووير اين دو سطح‪ ،‬دو محدوده بدست ميآيد که تواوير سطوح ماذکور در باين ان حادود قارار‬ ‫ميگيرند‪.‬‬ ‫مشابه اين وضتيت‪ ،‬در صفحه تراکم ‪   Ln  p‬قابل مشاهده خواهد باود‪ .‬ضامن اينكاه باه نظار‬ ‫ميرسد در اين صفحه‪ ،‬محدوده تغييرا تواوير سطوح مربوطه‪ ،‬به ويژه در خووف سطح ورللو بيشتر‬ ‫است‪ .‬اين موضوع‪ ،‬لزوم پيشنهاد صفحهاي جديد‪ ،‬براي تتيين يک تووير واحد از سطوح مذکور را براي‬ ‫خاك سيماني لده‪ ،‬الزامي مينمايد‪.‬‬ ‫حميدي و حائري (‪ )2115‬بر مرناي لكل (‪ ،)8-11‬فضااي جديادي را باراي تترياف خاط حالات‬ ‫بحراني و سطح ورللو ارائه نمودند‪ .‬اين لكل به خوبي نشان ميدهد که در اين فضاي جديد‪ ،‬علي رغام‬ ‫صد برابر نمودن مقياس هر يک از محورها‪ ،‬ميزان تفرق دادهها بسيار کمتر باوده و امكاان تترياف ياک‬ ‫تووير يكتا از سطوح مذکور و ايجاد يک چارچوب رفتاري مناسب بر مرناي نظريه حاال بحراناي باراي‬ ‫خاکهاي سيماني لده وجود خواهد دالت‪ .‬استفاده از فضاي ماذکور‪ ،‬توساط تاول و همكااران (‪)2116‬‬ ‫براي ساير خاکهاي ماسهاي سيمانته مورد ارزيابي قرار گرفت‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Critical State Locus‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Uncemented‬‬ ‫‪'3=500 kPa‬‬ ‫‪Asghari et al. 2003‬‬ ‫‪Normalized deviatoric stress‬‬ ‫)‪(q/p'cs‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Normalized mean effective stress (p'/p'cs‬‬ ‫شکل ‪ :)2-62‬مسير تنش زهکشی نشده نمونه های مخلوط شن و ماسه طبيعی (حميدی و حائری ‪)2222‬‬ ‫‪1 Atkinson and Little‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪222‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪Hvorslev Surface‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪CSL‬‬ ‫‪Ln(q), kPa‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Ln(p'), kPa‬‬ ‫شکل ‪ :)1-62‬تصویر سطح حالت بحرانی و ورشلو نمونه سيمانته در صفحه ‪Ln  p  Ln  q ‬‬ ‫(حميدی و حائری ‪)2222‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪Critical state line limits‬‬ ‫‪Hvorslev Surface limits‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪Specific volume‬‬ ‫‪1.55‬‬ ‫‪1.45‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Ln (p'), kPa‬‬ ‫شکل ‪ :)1-62‬مسير تنش زهکشی نشده نمونه های مخلوط شن و ماسه طبيعی (حميدی و حائری ‪)2222‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪226‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫])‪100[(q/(p0*p'cs‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Critical State‬‬ ‫‪Hvorslev Surface‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫])‪100[p'/(p0*p'cs‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫شکل ‪ :)1-62‬مسير تنش زهکشی نشده نمونه های مخلوط شن و ماسه طبيعی (حميدی و حائری ‪)2222‬‬ ‫‪ -9-1-31‬ارائه و توسعه یک مدل رفتاری برای خاکهای سیمانته‬ ‫با استفاده از مفاهيم ذکر لده در فواول قرال‪ ،‬در ايان قسامت چاارچوبي باراي مدلساازي رفتاار‬ ‫خاكهاي سيمانته ارائه ميلود‪ .‬اساس ايان مادل بار مرنااي مطالتاا حاائري و حميادي (‪ )2119‬و‬ ‫روانرخش و حميدي (‪ )2113‬قرار دارد‪ .‬رفتار ماسههاي سايمانته متااثر از دو بخاش سااختاري خااك‬ ‫لامل مقاومت باندها و دانههاي خاك ميبالد‪ .‬در مدل ارائه لده‪ ،‬با اعمال بارگذاري خارجي بار نموناه‬ ‫خاك‪ ،‬بخشي به باندهاي سيماني و بخش ديگر به ماتريس غير سيمانته وارد ميلود‪ .‬رفتار اين خاكها‬ ‫تحت تاثير باري که بر بخش غير سيماني وارد ميلود را ميتوان بر اساس مادلهااي متماول موجاود‬ ‫براي خاكهاي دانهاي در نظر گرفت‪ .‬بنابراين‪ ،‬براي تريين مقاومت و رفتار باندها مدلي ارائه و گسترش‬ ‫مييابد که قادر به پيش بيني رفتار بخش سيماني بالد‪ .‬در انتها‪ ،‬سهم هر قسامت در روناد بارگاذاري‬ ‫محاسره لده و با تلفيق اين دو‪ ،‬رفتار تنش‪-‬کرنش خاك سيمانته پيش بيني خواهد لد‪.‬‬ ‫جدا سازي جزء کرنشها بر اساس روابط زير انجام ميلود‪ .‬نكته قابل توجه آن است کاه باه دليال‬ ‫کاهش پتانسيل فشردگي و تغيير لكل با افزايش درجه سيمانتاسيون‪ ،‬کرنش حجمي و برلي در خاك‬ ‫سيمانته کمتر از مقادير نظير در خاك غير سيماني است‪ .‬بدين ترتيب ميتوان نولت‪:‬‬ ‫(‪)2-11‬‬ ‫‪d v  d vm  d vb‬‬ ‫(‪)3-11‬‬ ‫‪d  s  d  sm  d  sb‬‬ ‫‪222‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫که در آن ‪ d vm‬و ‪ d vb‬به ترتيب جزء کرنشهاي حجماي مااتريس غيار سايماني و بانادهااي‬ ‫سيماني ميبالد‪ .‬به همين ترتيب ‪ d vm‬و ‪ ، d vb‬جزء کرنش هاي برلي در بخاش غيار سايمانته و‬ ‫ساختار سيماني است‪ .‬با برقراري تتادل بين نيروهاي داخلي ايجاد لده و خارجي اعمال لده مايتاوان‬ ‫متادله تتادل انرژي در خاك سيمانته را به لكل زير نولت‪:‬‬ ‫(‪)4-11‬‬ ‫‪pd v  qd s  pm d vm  qm d sm   pb  pb0  d vb   qb  qb0  d sb‬‬ ‫در متادله فوق ‪ pm‬و ‪ pb‬به ترتيب تنش ميانگين در مااتريس خااك و بانادهااي سايماني لاده‬ ‫ميبالند‪ q m .‬و ‪ q b‬نيز به ترتيب تنش انحرافي در خااك غيار سايماني و سااختار سايمانته اسات‪.‬‬ ‫مقادير تنش ميانگين و انحرافي اوليه در باندها نيز با ‪ pb 0‬و ‪ qb 0‬نشان داده لده است‪ .‬باا جداساازي‬ ‫بخش حجمي و برلي در متادله فوق متادله زير حاصل ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)5-11‬‬ ‫(‪)6-11‬‬ ‫‪ d ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪p  pm 1  vb    pb  pb 0  vb‬‬ ‫‪d v‬‬ ‫‪ d v ‬‬ ‫‪ d ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪q  q m 1  sb   qb  qb 0  sb‬‬ ‫‪d s‬‬ ‫‪ d s ‬‬ ‫با تتريف متغير ‪ ‬بتنوان پارامتر اضمحالل باندها‪ ،1‬رابطه فوق را ميتوان به صور زير نولت‪:‬‬ ‫(‪)7-11‬‬ ‫‪   vb  v  exp   L   0 exp   L ‬‬ ‫(‪)8-11‬‬ ‫‪p  1    pm    pb  pb 0 ‬‬ ‫(‪)9-11‬‬ ‫‪q  1    q m   qb  qb 0 ‬‬ ‫پارامتر ‪ ‬در روابط فوق ضريب وزني است که سهم هر يک از بخش هاي باند سايماني و مااتريس‬ ‫خاك را مشخص مينمايد‪ .‬مقدار ‪  0‬جزو ثوابات مادل باوده و از پروساه کاليرراسايون مادل حاصال‬ ‫ميلود‪ .‬پارامتر ‪ L‬نيز ميزان افت در سختي خاك سيماني در اثر خرد لدگي باندها با ازديااد کارنش را‬ ‫مشخص مينمايد‪ .‬با توجه به آنكه در آزمايش سه محوري‪ ،‬نمونه تحت تاثير مستقيم کرنشهاي محوري‬ ‫است‪ ،‬از مدول االستيسيته ‪ ،E‬در کرنش فتلي و ‪ E0‬بتنوان مدول االستيسيته اوليه خااك در کرنشاهاي‬ ‫بسيار کوچک استفاده ميگردد‪:‬‬ ‫(‪)11-11‬‬ ‫‪E ‬‬ ‫‪L  ln  0 ‬‬ ‫‪E ‬‬ ‫‪1 Bond degradation‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪223‬‬ ‫بدين ترتيب‪ ،‬يک فرموالسيون جديد براي جداسازي سهم باندهاي سيماني و ماتريس غير سايماني‬ ‫به دست ميآيد که با ادغام آنها توسط پارامتر اضمحالل باندها ( ‪ ،) ‬رفتاار خااك سايمانته باا ازديااد‬ ‫کرنش و خردلدگي باندها‪ ،‬به تدريج به رفتار خاك غير سيمانته ميل خواهد کرد‪.‬‬ ‫براي مدلسازي رفتار باندهاي سيماني از مدل ارائه لده توسط حميدي و حاائري (‪ )2118‬اساتفاده‬ ‫ميگردد‪ .‬با توجه به نمودار موجود در لكل (‪ ،)9-11‬مشاهده ميلود که با افزايش فشار هماه جانراه‪،‬‬ ‫نسرت مقاومت برلي خاك سيماني لده به خاك غير سيماني کاهش مييابد‪ .‬لذا با ازدياد فشاار هماه‬ ‫جانره‪ ،‬تاثير باندهاي سيماني بر عملكرد خاك کاهش خواهد يافت‪ .‬اين فشار دورگير را ميتوان با بارون‬ ‫يابي دادهها و يافتن محل تالقي نمودارها با محور افقاي تتياين کارد‪ .‬ايان فشاار باا ‪ pc‬ناام گاذاري‬ ‫ميگردد‪ .‬بر اين اساس‪ ،‬حميدي و حائري (‪ ،)2118‬متادله زير را براي تتيين تغييرا مقاومت بانادهاي‬ ‫سيماني با فشار دورگير پيشنهاد دادند‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p ‬‬ ‫(‪)11-11‬‬ ‫‪q  qbu 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫در اين متادله ‪ q bd‬مقاومت زهكشي لده باندها و ‪ qbu‬مقاومت بانادها در فشاار هماه جانراه صافر‬ ‫است‪ .‬در ضمن ‪ a‬يكي از پارامترهاي مدل است که در پروسه کاليرراسيون باراي خااك ماورد نظار باه‬ ‫دست ميآيد‪ .‬با توجه به متادله (‪ ،)11-11‬رابطه مشابهي نيز براي محاسره تغييارا ساختي بانادهاي‬ ‫سيماني بوور متادله (‪ )12-11‬پيشنهاد لده است‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1.5% Cement‬‬ ‫‪3.0% Cement‬‬ ‫‪4.5% Cement‬‬ ‫‪6.0% Cement‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪300‬‬ ‫)‪Confining Stress (kPa‬‬ ‫‪100‬‬ ‫)‪q max (cemented)/qmax (uncemeneted‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫شکل ‪ :)1-62‬تغييرات مقاومت برشی نرمال شده خاک سيمانته با فشار دورگير (حائری و حميدی ‪)2221‬‬ ‫‪224‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪b‬‬ ‫(‪)12-11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p ‬‬ ‫‪k  kbu 1  ‬‬ ‫‪ pc ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫در اين رابطه‪ kbd ،‬سختي باندها در لرايط زهكشي لده و ‪ kbu‬سختي باندها در فشار همه جانراه‬ ‫صفر است‪ .‬در اين پژوهش باراي ثوابات ‪ a‬و ‪ b‬کاه تاوابتي از درجاه سايماني لادن خااك هساتند از‬ ‫کاليرراسيون مدل در آزمايش هاي سه محوري تحت فشار دورگير ‪ 111‬کيلوپاسكال استفاده لده است‪.‬‬ ‫با کاليرراسيون مدل و جاگذاري پارامترها به صور تابتي از ميزان سايمانته لادن‪ ،‬متادلاه هااي زيار‬ ‫بدست ميآيد‪ .‬در اين روابط ‪ CC‬درصد سيمان و ‪ p‬فشاار ماوثر مياانگين بار حساب کيلوپاساكال‬ ‫ميبالد‪.‬‬ ‫‪1.5 0.1CC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q  130CC  290  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 726.6exp  0.1CC  ‬‬ ‫(‪)13-11‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2.1 0.3CC‬‬ ‫(‪)14-11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪k  17.5  CC  0.75 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 726.6exp  0.1CC  ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫در اين مدل رفتار باندها تا رسيدن به مقاومت گسيختگي ‪ ، q bd‬به صور االستيک خطاي در نظار‬ ‫گرفته لده است‪ .‬بتد از آن و با لروع خردلدگي باندها‪ ،‬تنش در باندها به صور نماايي و بار اسااس‬ ‫رابطه زير کاهش خواهد يافت‪:‬‬ ‫(‪)15-11‬‬ ‫‪dqbd‬‬ ‫‪  qbd‬‬ ‫‪d a‬‬ ‫در اين رابطه‪ ،‬پارامتر ‪ ‬نشان دهنده ميزان کاهش تنش باندها با افزايش کارنش محاوري خواهاد‬ ‫بود‪.‬‬ ‫با استفاده از اين روابط‪ ،‬تغييرا تنش انحرافي‪-‬کرنش محوري باندهاي سايماني لاده‪ ،‬در لارايط‬ ‫زهكشي لده قابل تتيين است‪ .‬بر اساس لكل (‪ ،)11-11‬با افازايش درصاد سايمان‪ ،‬مقاومات برلاي‬ ‫افزايش مييابد اما ازدياد فشار دورگير عاملي در جهت کاهش مقاومت باندها خواهد بود‪.‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪1.5% cement‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪3.0% cement‬‬ ‫‪(b) 100 kPa‬‬ ‫‪500‬‬ ‫)‪Bond stress (kPa‬‬ ‫‪6.0% cement‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪(a) 25 kPa‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪(d) 500 kPa‬‬ ‫‪500‬‬ ‫)‪Bond stress (kPa‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪1.5% cement‬‬ ‫‪3.0% cement‬‬ ‫‪4.5% cement‬‬ ‫‪6.0% cement‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪(c) 300 kPa‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Bond stress (kPa‬‬ ‫‪1.5% cement‬‬ ‫‪3.0% cement‬‬ ‫‪4.5% cement‬‬ ‫‪6.0% cement‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪Bond stress (kPa‬‬ ‫‪4.5% cement‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1.5% cement‬‬ ‫‪3.0% cement‬‬ ‫‪4.5% cement‬‬ ‫‪6.0% cement‬‬ ‫‪222‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫شکل ‪ :)62-62‬تغييرات مقاومت انحرافی زهکشی شده باندها با کرنش محوری در فشارهای دورگير و درصد‬ ‫سيمانهای مختلف (حائری و حميدی ‪)2221‬‬ ‫در مدل پيشنهادي حائري و همكاران (‪ ،)2119‬بر اساس نتايج آزمايشگاهي‪ ،‬نسرت مقاومت برلاي‬ ‫زهكشي لده به زهكشي نشده بوور رابطه ارائه لده است‪ .‬همچنين بطاور مشاابه‪ ،‬بار ايان اسااس‬ ‫رابطه مشابهاي براي نسرت سختي لرايط زهكشي لده به سختي زهكشي نشاده مطاابق رابطاه (‪-11‬‬ ‫‪ )17‬ارائه لده است‪.‬‬ ‫(‪)16-11‬‬ ‫‪qbd‬‬ ‫‪ 0.0009 p  0.044CC  0.5‬‬ ‫‪qbu‬‬ ‫‪kbd‬‬ ‫(‪)17-11‬‬ ‫‪ mpn‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪kb‬‬ ‫در رابطه دوم‪ m ،‬و ‪ n‬پارامترهاي مدل بوده که بر حسب کاليرراسيون قابال تتياين هساتند‪ .‬لاكل‬ ‫(‪ )11-11‬نيز تغييرا مقاومت زهكشي نشده باند هاي سيماني با درصد سيمان و فشار دورگير را ارائاه‬ ‫مينمايد‪ .‬بدين ترتيب کليه پارامترهاي الزم جهت تريين رفتار باندهاي سيماني مشخص خواهد بود‪ .‬باا‬ ‫ترکيب منحنيهاي مقاومتي باندها با بخش غير سيماني بر اساس روابط (‪ )8-11‬و (‪ ،)9-11‬رفتار تانش‬ ‫انحرافي‪-‬کرنش محوري خاك سيمانته تتيين خواهد لد‪.‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪221‬‬ ‫‪1.5% cement‬‬ ‫‪3.0% cement‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪(b) 100 kPa‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪(a) 25 kPa‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪(d) 500 kPa‬‬ ‫‪500‬‬ ‫)‪Bond stress (kPa‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪1.5% cement‬‬ ‫‪3.0% cement‬‬ ‫‪4.5% cement‬‬ ‫‪6.0% cement‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪(c) 300 kPa‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Bond stress (kPa‬‬ ‫‪1.5% cement‬‬ ‫‪3.0% cement‬‬ ‫‪4.5% cement‬‬ ‫‪6.0% cement‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪Bond stress (kPa‬‬ ‫‪6.0% cement‬‬ ‫)‪Bond stress (kPa‬‬ ‫‪4.5% cement‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1.5% cement‬‬ ‫‪3.0% cement‬‬ ‫‪4.5% cement‬‬ ‫‪6.0% cement‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫شکل ‪ :)66-62‬تغييرات مقاومت انحرافی زهکشی نشده باندها با کرنش محوری در فشارهای دورگير و درصد‬ ‫سيمانهای مختلف (حائری و حميدی ‪)2221‬‬ ‫در بخش غيرسيماني اين مدل ميتوان از مدلهاي رايج باراي خاکهااي داناهاي اساتفاده کارد‪ .‬در‬ ‫خاكهاي دانهاي‪ ،‬يكي از مدلهاي قابل قرول‪ ،‬مدل پالستيسيته عمومي پاساتور و همكااران‪)1983( 1‬‬ ‫ميبالد‪ .‬اين مدل در فول هفتم بطاور کامال مترفاي گردياد‪ .‬لاكل (‪ ،)12-11‬منحناي هااي تانش‬ ‫انحرافي‪-‬کرنش محوري زهكشي لده و لكل (‪ ،)13-11‬منحني هاي تانش انحرافاي‪-‬کارنش محاوري‬ ‫زهكشي نشده را در مدلسازي رفتار مكانيكي آبرفت درلت داناه ساري ‪ A‬تهاران‪ ،‬باا اساتفاده از مادل‬ ‫پاستور و همكاران (‪ )1983‬ارائه مينمايد‪.‬‬ ‫براي پيش بيني رفتار خاك سيماني‪ ،‬ادغام منحنيهاي تنش انحرافي‪-‬کرنش محوري باندها و خااك‬ ‫غير سيماني ضروري است‪ .‬ثوابت مورد نياز براي اين ادغان با کاليرراسيون مدل به کمک نتايج آزمايش‬ ‫هاي مختلف انجام ميلود‪ .‬پارامتر اضمحالل مقاومت باند‪  ،‬و پارامتر مرباوط باه ساهم مقاومات هار‬ ‫بخش ( ‪ ،) ‬براي لرايط زهكشي لده از روابط (‪ )18-11‬و (‪ )19-11‬و در لارايط زهكشاي نشاده از‬ ‫روابط (‪ )21-11‬و (‪ )21-11‬حاصل ميلوند‪.‬‬ ‫(‪)18-11‬‬ ‫‪0d  35.2exp  0.0018 p‬‬ ‫(‪)19-11‬‬ ‫‪ d  4.6  0.028 p  0.00004 p2‬‬ ‫‪0u  7.8  0.135 p  0.00002 p2‬‬ ‫(‪)21-11‬‬ ‫‪1 Pastor et al.‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ 221 )21-11( u  5 1500 1500 Model Test Experiment 1000 500 1000 500 0 0 0 5 10 15 20 0 5 Axial strain (%) 1500 10 15 Axial strain (%) 20 1500 Model Test Experiment 500 kPa confinement Model Test Experiment Deviatoric stress (kPa) 300 kPa confinement Deviatoric stress (kPa) Model Train Experiment 100 kPa confinement Deviatoric stress (kPa) Deviatoric stress (kPa) 25 kPa confinement 1000 500 1000 500 0 0 0 5 10 15 Axial strain (%) 20 0 5 10 15 Axial strain (%) 20 )2221 ‫ تغييرات تنش انحرافی زهکشی شده خاک غير سيمانی با کرنش محوری (حائری و حميدی‬:)62-62‫شکل‬ 1000 1000 100 kPa confinement Deviatoric stress (kPa) 800 600 Model Test 400 Experiment 200 Deviatoric stress (kPa) 25 kPa confinement 800 600 Model Train Experiment 400 200 0 0 0 5 10 15 0 20 5 Axial strain (%) 1000 1000 15 20 500 kPa confinement 300 kPa confinement 800 800 Deviatoric stress (kPa) Deviatoric stress (kPa) 10 Axial strain (%) 600 400 Model Test 200 600 400 Model Test 200 Experiment Experiment 0 0 0 5 10 Axial strain (%) 15 20 0 5 10 15 20 Axial strain (%) )2221 ‫ تغييرات تنش انحرافی زهکشی نشده خاک غير سيمانی با کرنش محوری (حائری و حميدی‬:)63-62( ‫شکل‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 221 ‫ باا ادغاام‬،‫) نتايج حاصل از مدلسازي رفتااري خااك سايماني لاده‬13-11( ‫) و‬12-11( ‫لكلهاي‬ .‫) را ارائه مينمايد‬13-11( ‫) تا‬11-11( ‫منحنيهاي‬ (a) 25 kPa (b) 100 kPa 4000 3000 1.5% 3.0% 4.5% 2000 Experiment 1000 Model Train Deviatoric stress (kPa) Deviatoric stress (kPa) 4000 3000 1.5% 3.0% 4.5% 2000 Experiment 1000 0 Model Test 0 0 5 10 15 Axial strain (%) 20 0 4000 (c) 300 kPa 4000 5 10 15 Axial strain (%) (d) 500 kPa 1.5% 3.0% 4.5% 2000 1000 Experiment Deviatoric stress (kPa) Deviatoric stress (kPa) 1.5% 3000 3.0% 3000 4.5% 2000 1000 Experiment Model Train Model Train 0 0 5 10 15 Axial strain (%) 20 0 20 0 5 10 15 Axial strain (%) 20 )2221 ‫ تغييرات تنش انحرافی زهکشی شده خاک غير سيمانی با کرنش محوری (حائری و حميدی‬:)64-62‫شکل‬ 4000 4000 (a) 25 kPa (b) 100 kPa 1.5% 3.0% 4.5% 1.5% Deviatoric stress (kPa) 4.5% Experiment 2000 Model Train 1000 3000 Deviatoric stress (kPa) 3.0% 3000 Model Test 1000 0 0 0 5 10 15 Axial strain (%) 20 0 (c) 300 kPa 5 1.5% 3000 3.0% 4.5% 2000 1000 Experiment 10 15 Axial strain (%) 20 (d) 500 kPa 4000 Deviatoric stress (kPa) 4000 Deviatoric stress (kPa) Experiment 2000 3000 1.5% 3.0% 4.5% 2000 1000 Experiment Model Train Model Train 0 0 0 5 10 Axial strain (%) 15 20 0 5 10 15 Axial strain (%) 20 )2221 ‫ تغييرات تنش انحرافی زهکشی نشده خاک غير سيمانی با کرنش محوری (حائری و حميدی‬:)62-62 ‫شکل‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪221‬‬ ‫‪ -1-1-31‬فشار آب حفرهای‬ ‫در مدل رفتاري ارائه لده توسط حائري و حميدي (‪ ،)2119‬فشار آب حفرهاي نيز با روندي مشاابه‬ ‫رفتار تنش‪-‬کرنش خاك سيمانته‪ ،‬با ترکيب مقادير نظير در دو بخاش بانادهاي سايماني و خااك غيار‬ ‫سيمانته صور ميپذيرد‪ .‬در لرايط زهكشي نشده باراي خااك غيار سايمانته‪ ،‬باا فارض صافر باودن‬ ‫تغييرا حجم در مدل رفتاري پاستور و همكاران (‪ ،)1983‬رابطه زير براي محاسره فشاار آب حفارهاي‬ ‫به دست ميآيد‪ .‬لكل (‪ )16-11‬تغييرا فشار آب حفرهاي در خاك سيماني بر مرناي پيش بيني مدل‬ ‫مذکور در فشارهاي مختلف دورگير را ارائه مينمايد‪ .‬لايان ذکر است که رابطه زير‪ ،‬فشاار آب حفارهاي‬ ‫منفي ايجاد لده تحت فشارهاي دورگير پايين را به خوبي پيش بيني نميکند‪.‬‬ ‫(‪)22-11‬‬ ‫‪1 1 ‬‬ ‫‪um   ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ 3 M  m‬‬ ‫‪g ‬‬ ‫‪‬‬ ‫براي محاسره فشار آب حفرهاي در باندها نيز ميتوان از تتريف جزء کارنش حجماي بانادها ( ‪،)  vb‬‬ ‫جزء فشار آب حفرهاي ( ‪ ) ub‬و مدول برگشتي‪ ) Erb ( 1‬استفاده نمود‪ .‬بر ايان اسااس رواباط (‪ )23-11‬و‬ ‫(‪ )24-11‬قابل حوول ميبالد‪.‬‬ ‫(‪)23-11‬‬ ‫(‪)24-11‬‬ ‫‪pb‬‬ ‫‪Kb‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ub  rb pb‬‬ ‫‪Kb‬‬ ‫‪ vb ‬‬ ‫در روابط فوق ‪ pb‬جزء تنش موثر ميانگين در باندهاست که مشابه رابطه (‪ )15-11‬به فرم زيار باا‬ ‫کرنش محوري تغيير خواهد نمود‪:‬‬ ‫(‪)25-11‬‬ ‫‪pb‬‬ ‫‪  pb‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪pb ‬‬ ‫با قرار دادن رابطه (‪ )25-11‬در رابطه (‪ )24-11‬ميتوان تغييرا فشاار آب حفارهاي را بار اسااس‬ ‫رابطه (‪ )26-11‬به دست آورد‪:‬‬ ‫(‪)26-11‬‬ ‫‪Erb‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪pb   A rb exp   a ‬‬ ‫‪Kb‬‬ ‫‪Kb‬‬ ‫‪ub  ‬‬ ‫با انتگرال گيري از طرفين رابطه (‪ )26-11‬و با تتيين ثوابت متادله با کاليرراسيون‪ ،‬ميتاوان فشاار‬ ‫آب حفرهاي ايجاد لده در خاك را محاسره نمود‪.‬‬ ‫(‪)27-11‬‬ ‫‪Erb‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪exp   a  d  a  A rb exp   a   C‬‬ ‫‪Kb‬‬ ‫‪Kb‬‬ ‫‪ub    A‬‬ ‫‪1 Rebound modulus‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪212‬‬ ‫رابطه فوق را ميتوان با تغيير ليوه نگارش بوور رابطه (‪ )28-11‬نيز ارائه نمود‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AErb‬‬ ‫‪ub  C 1 ‬‬ ‫‪exp   a  ‬‬ ‫‪CKb‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)28-11‬‬ ‫‪AErb‬‬ ‫با توجه به مقدار ‪   5‬در لرايط زهكشي نشده و‬ ‫‪CKb‬‬ ‫‪ D ‬رابطه (‪ )28-11‬را ميتاوان باه‬ ‫صور زير بازنويسي نمود‪:‬‬ ‫‪ub  E 1  D exp  5 a  ‬‬ ‫(‪)29-11‬‬ ‫بر اين اساس‪ ،‬فشار حفرهاي ايجاد لده در باندها با استفاده از دو پارامتر ‪ D‬و ‪ E‬قابل تريين خواهاد‬ ‫بود‪ .‬اين دو پارامتر با کاليرراسيون مدل بر اساس نتايج آزمايشها قابل محاسره خواهد بود‪.‬‬ ‫با تتيين فشار حفرهاي در بخش غير سيماني و باندهاي سيمانته و سپس تلفيق آنها بر اساس رابطه‬ ‫(‪ ،)31-11‬فشار حفرهاي توليد لده طي بارگذاري زهكشي نشده در خاك سيماني قابل محاسره خواهد‬ ‫بود‪ .‬لكل (‪ )17-11‬نتايج مدلسازي فشار آب حفرهاي توليد لده در خاك سيماني لده با ‪ 3‬درصدهاي‬ ‫گچ در فشارهاي مختلف دورگير و لكل (‪ )18-11‬نتايج مدلسازي فشار آب حفرهاي در خاك سايماني‬ ‫لده با درصدهاي مختلف گچ را ارائه مينمايد‪.‬‬ ‫‪u  1    um   ub‬‬ ‫(‪)31-11‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪(a) Confinement=25 kPa‬‬ ‫‪(b) Confinement=100 kPa‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪50‬‬ ‫)‪Poree pressure (kPa‬‬ ‫‪Model Train‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪Model Test‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪(c) Confinement=300 kPa‬‬ ‫‪(d) Confinement=500 kPa‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪Model Test‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪Model Test‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪0‬‬ ‫شکل ‪ :)61-62‬فشار آب حفرهای در خاک غير سيمانی بر مبنای مدل پاستور و همکاران ‪6113‬‬ ‫(حائری و حميدی ‪)2221‬‬ ‫)‪Pore pressure (kPa‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪200‬‬ ‫)‪Poree pressure (kPa‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪Pore pressure (kPa‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪150‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ 216 500 500 300 Pore pressure (kPa) Model Train Experiment (a) 25 kPa confinement 3.0% Gypsum 400 100 0 -100 0 2 4 6 8 10 -200 -300 200 100 0 -100 0 2 4 Axial strain (%) 500 500 Model Test Experiment (c) 300 kPa confinement 3.0% Gypsum 400 200 100 0 2 4 6 8 10 -200 -300 -400 Model Train Experiment (d) 500 kPa confinement 3.0% Gypsum 300 Pore pressure (kPa) Pore pressure (kPa) 10 -300 Axial strain (%) -100 0 8 -500 -500 300 6 -200 -400 -400 400 Model Train Experiment (b) 100 kPa confinement 3.0% Gypsum 300 200 Pore pressure (kPa) 400 200 100 0 -100 0 2 4 6 8 10 -200 -300 -400 -500 -500 Axial strain (%) Axial strain (%) ‫ درصد گچ‬3 ‫ بررسی نتایج مدل برای فشار آب حفرهای در خاک سيمانی شده با‬:)61-62 ‫شکل‬ )2221 ‫(حائری و حميدی‬ 500 (a) 1.5% Gypsum '3=300 kPa Pore pressure (kPa) 300 Model Test 500 Experiment 400 200 100 0 -100 0 500 Model Test (b) 3.0% Gypsum '3=300 kPa 300 1000 1500 2000 -200 Pore pressure (kPa) 400 200 100 0 -100 0 500 -300 -400 -400 500 2000 (c) 4.5% Gypsum '3=300 kPa 300 Mean effective stress (kPa) Model Test 500 Experiment 400 200 100 0 0 500 Model Test 1000 1500 -200 2000 200 100 0 -100 0 500 1000 1500 2000 -200 -300 -300 -400 -400 -500 Experiment (d) 6.0% Gypsum '3=300 kPa 300 Pore pressure (kPa) 400 Pore pressure (kPa) 1500 -500 Mean effective stress (kPa) -100 1000 -200 -300 -500 Experiment -500 Mean effective stress (kPa) Mean effective stress (kPa) ‫ نتایج مدل برای فشار آب حفرهای در خاک سيمانی شده با درصدهای مختلف گچ‬:)61-62 ‫شکل‬ )2221 ‫(حائری و حميدی‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪212‬‬ ‫‪ -1-1-31‬کرنشهای حجمی‬ ‫به مانند فشار آب حفرهاي توليد لده در لرايط زهكشي نشده‪ ،‬در لرايط زهكشي لاده نياز باياد‬ ‫کرنشهاي حجمي محاسره لوند‪ .‬کرنشهاي حجمي خاك سيماني‪ ،‬با استفاده از رابطه (‪ )2-11‬بر مرناي‬ ‫مقادير کرنش حجمي در خاك غير سيماني و باندهاي سيمانته محاسره ميلاوند‪ .‬کارنش حجماي در‬ ‫خاك غير سيماني بر اساس مدل پاستور و همكااران (‪ )1983‬محاساره مايگاردد‪ .‬کارنش حجماي در‬ ‫باندهاي سيماني نيز بر اساس روابط (‪ )23-11‬و (‪ )24-11‬با تقسيم فشار آب حفرهاي محاسره لده بار‬ ‫مدول برگشتي تتيين ميلود‪ .‬حائري و حميدي (‪ )2119‬با کاليرراسيون نتايج مدل براي آبرفت درلت‬ ‫دانه سري ‪ A‬تهران‪ ،‬مقدار مدول برگشتي متوسط ‪ 5511‬کيلوپاسكال را پيشنهاد دادند‪ .‬بر ايان اسااس‬ ‫با تلفيق مقادير کرنش حجمي بخش غير سيماني و باندهاي سيماني‪ ،‬کارنش حجماي خااك سايماني‬ ‫لده با ‪ 3‬درصد گچ مشاابه لاكل (‪ )19-11‬بدسات خواهاد آماد‪ .‬همچناين لاكل (‪ )21-11‬نماودار‬ ‫تغييرا کرنش حجمي با کرنش محوري را در خاك سيماني لده با درصدهاي مختلف سايمان گچاي‬ ‫ارائه خواهد نمود‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪Model Train‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪(b) 100 kPa confinement‬‬ ‫‪3.0% Gypsum‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪Volumetric strain (%‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪Model Train‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪(d) 500 kPa confinement‬‬ ‫‪3.0% Gypsum‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Volumetric strain (%‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪Model Train‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪(c) 300 kPa confinement‬‬ ‫‪3.0% Gypsum‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫شکل ‪ :)61-62‬بررسی نتایج مدل برای کرنشهای حجمی در خاک سيمانی شده با ‪ 3‬درصد گچ‬ ‫(حائری و حميدی ‪)2221‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Volumetric strain (%‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Volumetric strain (%‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪Model Train‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪(a) 25 kPa confinement‬‬ ‫‪3.0% Gypsum‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪213‬‬ ‫در اين بخش کليا رولي براي مدلسازي رفتاار مكاانيكي خاکهااي سايماني لاده ارائاه گردياد‪.‬‬ ‫روانرخش و حميدي (‪ )2113‬نيز با تغيير پارامترها در مدل پالستيسيته عماومي مانزاناال و همكااران‬ ‫(‪ ،)2111‬که نسخه جديدي از مدل پاساتور و همكااران (‪ )1991‬اسات باه مدلساازي رفتاار خاکهااي‬ ‫سيماني لده پرداختند‪ .‬که خوانندگان براي اطالع بيشتر از عملكرد آن مدل ميتوانند به مقاله ماذکور‬ ‫رجوع نمايند‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪Model Train‬‬ ‫‪Model Train‬‬ ‫‪(b) 3.0% Gypsum‬‬ ‫‪'3=300 kPa‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Volumetric strain (%‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪Model Train‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Volumetric strain (%‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫)‪Volumetric strain (%‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(c) 4.5% Gypsum‬‬ ‫‪'3=300 kPa‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪Model Train‬‬ ‫‪(d) 6.0% Gypsum‬‬ ‫‪'3=300 kPa‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫)‪Volumetric strain (%‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(a) 1.5% Gypsum‬‬ ‫‪'3=300 kPa‬‬ ‫‪Experiment‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫شکل‪ :)22-62‬نتایج مدل برای فشار آب حفرهای در خاک سيمانی شده با درصدهای مختلف گچ‬ ‫(حائری و حميدی ‪)2221‬‬ ‫‪ -4-11‬مدلسازی رفتار ترمومکانیکی خاکهای رسی‬ ‫در بسياري موارد مانند مدفن زباله هاي هسته اي‪ ،‬سازه هاي ژئوترمال مثل لمع هاي حرارتي‪ ،‬حفاري‬ ‫چاه هاي نفتي‪ ،‬کابل هاي فشار قوي مدفون در خاك‪ ،‬نمونه برداري و آزمايشا برجا خووصا در بساتر‬ ‫اقيانوسها و همچنين حرکت لتابدار برخي زمين لغزهها و ساير پديده هاي مشابه‪ ،‬خااك در متارض‬ ‫توليد و انتشار حرار قرار ميگيرد‪ .‬با توجه به تاثيرا بسزايي که حرار بر رفتاار مكاانيكي خاکهااي‬ ‫رسي دارد‪ ،‬الزم است اين اثرا به نحو مناسري در مدلسازي رفتار مكانيكي خاکها وارد گردد‪.‬‬ ‫‪1 Manzanal et al.‬‬ ‫‪214‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫بر اساس مطالتا آزمايشگاهي‪ ،‬تاثيرا دما بر رفتار مكانيكي خاکهاي ريزدانه بويژه رسها مشاخص‬ ‫لده است‪ .‬علت اين امر آن است که به دليل لكل صفحهاي کاني هاي رسي‪ ،‬نيروهاي جاذب ساطحي‬ ‫در رفتار اين خاكها نقش مهمي را ايفا مينمايد‪ .‬توزيع بار الكتريكي بر سطح دانهها نياز باعاث جاذب‬ ‫يون هاي غير هم نام آب لده بدين ترتيب‪ ،‬اليه آب جذب سطحي نياز در اطاراف کااني رساي لاكل‬ ‫ميگيرد‪ .‬با توجه به تفاو گرماي ويژه آب و کاني رسي‪ ،‬وجود اين اليه منجر باه تااثير دماا بار رفتاار‬ ‫مكانيكي خاك خواهد لد‪ .‬در واقع‪ ،‬افزايش دما باعث انرساط توامان و ناهمگون ذرا خاك و الياه آب‬ ‫لده که بر رفتار خاك تاثير گذار است‪.‬‬ ‫‪ -3-1-31‬تاثیر دما بر خصوصیات فیزیکی و مکانیکی خاک رس‬ ‫دما بر ويژگي هاي مختلف خاك رسيي تاثير گذار است‪ .‬از جمله اين ويژگيها که دما سارب تغييار‬ ‫آن ميلود ميتوان به وزن مخووف‪ ،‬حدود اتربرگ‪ ،‬نفوذ پذيري‪ ،‬مقاومت برلي‪ ،‬تغيير حجام و فشاار‬ ‫آب حفرهاي الاره نمود‪ .‬در ادامه تاثير دما بر اين پارامترها توضيح داده خواهد لد‪.‬‬ ‫‪ -9-1-31‬تاثیر دما بر وزن مخصوص‬ ‫با توجه به اينكه دانسيته آب با افزايش دما تا حدي کاهش مييابد‪ ،‬انتظار ميرود که با ازدياد دما از‬ ‫‪ 21‬تا ‪ 111‬درجه سانتيگراد‪ ،‬چگالي ويژه رسها در دماي مشخص افزايش ياباد و سارد کاردن مجادد‬ ‫خاك تا دماي ‪ 21‬درجه‪ ،‬وزن مخووف را باه ميازان اولياه کااهش دهاد‪ .‬در نتيجاه اثار دماا بار وزن‬ ‫مخووف پديدهاي برگشت پذير است‪.‬‬ ‫‪ -3-9-1-31‬حدود اتربرگ‬ ‫نتايج تحقيقا بلز و استانكولسكو‪ )1958( 1‬نشان ميدهد که تاثير حرار بر حد رواناي و لااخص‬ ‫خميري بيش از حد پالستيک ميبالد‪ .‬در خاك هايي که کاني بنتونيت به عنوان کاني غالب خاك باه‬ ‫حساب ميآيد‪ ،‬افزايش دما باعث کاهش لديد حد رئاني و لاخص خميري ميگردد‪ .‬ولاي در خاکهااي‬ ‫رسي که کاني غالب آن کائولونيت بالد‪ ،‬افزايش دما تا حدود ‪ 411‬درجه سانتي گاراد تغيياري در حاد‬ ‫رواني و لاخص خميري ايجاد نمينمايد (ونگ و همكاران‪ .)1991 2‬نتايج اين تحقيقاا نشاان داد کاه‬ ‫در دماهاي بين ‪ 111‬تا ‪ 211‬درجه سانتي گراد تاثير حرار بر حدود اتربرگ زياد نيست و فقط انادکي‬ ‫با گرم لدن کاهش پيدا ميکند‪.‬‬ ‫‪ -9-9-1-31‬نفوذ پذیری‬ ‫ابو النجا‪ )2115( 3‬نشان داد که نفوذ پذيري خاك با ازدياد دما افزايش مييابد‪ .‬علات ايان افازايش‪،‬‬ ‫‪1 Beles and Stanculescu‬‬ ‫‪2 Wang et al.‬‬ ‫‪3 Abuel-Naga‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪212‬‬ ‫کاهش ويسكوزيته آب در اثر حرار و در نتيجه کاهش مقاومت ساختار داخلي خااك در برابار جرياان‬ ‫سيال در توده آن تحت تنش ثابت است‪ .‬اين امر باعث تسهيل تراوش در رس و تسريع جريان درون آن‬ ‫ميلود‪ .‬نتايج تحقيقا ديالژ‪ 1‬و همكاران (‪ )2111‬نشان داده که در دماهاي باال‪ ،‬تتيين نفوذ پذيري از‬ ‫منحني هاي تحكيم موجب تخمين بيش از حد نفوذ پذيري ميلود‪.‬‬ ‫‪ -1-9-1-31‬مقاومت برشی خاک‬ ‫در مطالتا آزمايشگاهي مختلف در زمينه اثر دما بر مقاومت برلي خاك رس اختالفا زيادي باه‬ ‫چشم ميخورد‪ .‬علت اين اختالف مسير هاي مختلف تنش و حرار اعمالي در آزمايشهاي صور گرفته‬ ‫توسط محققين مختلف ميبالد‪ .‬هوکل و بلدي‪ )1991( 2‬نشان دادند که مقاومت برلاي ساه محاوري‬ ‫تحكيم يافته زهكشي لده نمونه هاي رس با افزايش دماا کااهش مايياباد‪ .‬اماا محققاان ديگار مانناد‬ ‫چكراواك و اللويي‪ )2114( 3‬در آزمايشا سه محوري تحكيم يافته زهكشي لده بار روي نموناه هااي‬ ‫رس اليدار دست خورده نشان دادند که مقاومت برلي زهكشي لده و مدول االستيسيته نموناه هااي‬ ‫عادي تحكيم يافته و پيش تحكيم يافته با ازدياد دما افزايش مييابد‪.‬‬ ‫‪ -1-9-1-31‬تغییر حجم در شرایط زهکشی شده‬ ‫نتايج تحقيقا نشان ميدهد که بخش عمدهاي از تغييرا حجم پالستيک در خالل سيكل اول حرار‬ ‫روي ميدهد و در سيكل هاي بتدي‪ ،‬تغيير حجم دائمي به مراتب کمتري رخ خواهد داد‪ .‬بر اسااس تترياف‬ ‫کامپانال و ميچل‪ ،)1968( 4‬اين موضوع تثريت حرارتي‪ 5‬با ازدياد سيكلهاي حرار ناميده ميلود‪.‬‬ ‫‪ -3-9-1-31‬فشار آب حفرهای در شرایط زهکشی نشده‬ ‫حرار دادن خاك در لرايط زهكشي نشده تحت تنش کل ثابت‪ ،‬سرب افزايش حجم نمونه خااك‬ ‫ميلود‪ .‬در نتيجه‪ ،‬به دليل تفاو ضرايب انرساط حرارتي آب و ذرا خاك‪ ،‬فشار آب حفرهاي افازايش‬ ‫خواهد يافت‪ .‬ابو النجا (‪ )2115‬نشان داد که اگر افزايش دما سريع بالد‪ ،‬به دليل انرساط حجمي بيشتر‬ ‫آب حفرهاي نسرت به کاني هاي جامد‪ ،‬ازدياد قابل توجه فشار آب حفرهاي رس عادي تحكيم يافتاه در‬ ‫لرايط زهكشي لده رخ خواهد داد‪ .‬همچنين حرار دادن نمونه هاي ايليت در لرايط زهكشي نشاده‬ ‫نيز باعث افزايش فشار آب حفرهاي لده که اين افزايش فشار در هنگام سرد لدن تا حد زيادي برگشت‬ ‫پذير است‪.‬‬ ‫‪1 Delage et al.‬‬ ‫‪2 Baldi‬‬ ‫‪3 Laloui‬‬ ‫‪4 Mitchell‬‬ ‫‪5 Thermal Stabilization‬‬ ‫‪211‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ -1-1-31‬مدلسازی رفتار ترمومکانیکی رس اشباع‬ ‫با توجه به مطالب بيان لده و همچنين مطالتا محققان پيشين ميتوان دريافت کاه اثار دماا بار‬ ‫خاك هاي رسي قابل تامل ميبالد و به منظور جلوگيري از هرگونه رخداد غير قابال کنتارل بار رفتاار‬ ‫خاك رسي در اثر افزايش دما‪ ،‬بايد آن را به دقت بررسي و کنترل نمود‪ .‬از طارف ديگار‪ ،‬آب نياز نقاش‬ ‫بسزايي در اين تغيير رفتار دارد‪ .‬لذا در اين بخش‪ ،‬ابتدا چاارچوب کلاي مدلساازي رفتاار ترمومكاانيكي‬ ‫خاك رس الراع مترفي لده و پس از آن مختوري درباره مدلسازي رفتار خاکهااي غيار الاراع بحاث‬ ‫ميگردد‪ .‬به منظور يافتن روابط مناسب براي پيش بيني رفتار خاك الزم است به مانند هر مدل رفتاري‬ ‫ديگر‪ ،‬تغييرلكلهاي االستيک‪ ،‬سطوح تسليم و پتانسيل و قانون سخت لوندگي مدل بواور گاام باه‬ ‫گام مترفي و محاسره گردد‪ .‬مراني ارائه لده در خووف خاك الراع‪ ،‬برمرناي مدل ارائاه لاده توساط‬ ‫حميدي و خزاعي (‪ )2111‬و حميدي و همكاران (‪ )2115‬قرار دارد‪.‬‬ ‫‪ - 3-1-1-31‬فرضیات مدلسازی رفتاری‬ ‫اصول مدل ارائه لده توسط حميادي و خزاعاي (‪ )2111‬کاه بتادها توساط حميادي و همكااران‬ ‫(‪ )2115‬مورد بازبيني و اصالح قرار گرفت‪ ،‬برمرناي حرکا خط تحكايم ايزوتاروپ (‪ )NCL‬باا ازديااد‬ ‫حرار در صفحه تراکم مطابق لكل (‪ )21-11‬مطابق با فرضيا زير ميبالد‪.‬‬ ‫الف‪ -‬با افزايش دما‪ ،‬خط ‪ NCL‬به سمت مقادير کمتر نسرت تخلخل (‪ )e‬حرکات کارده و باه خاط‬ ‫حالت بحراني (‪ )CSL‬نزديک ميلود (چكراواك و اللويي ‪ 2114‬و ابو النجا ‪.)2115‬‬ ‫ب‪ -‬ليب خط حالت بحراني ‪ CSL‬در صفحه تانش ‪ q  p‬و صافحه تاراکم ‪ e  Lnp‬باه دماا‬ ‫وابسته نيست (گراهام و همكاران‪ 2111 1‬و چكراواك و اللويي ‪)2114‬‬ ‫ج‪ -‬در صورتي که ليب ‪ NCL‬و ‪ CSL‬در دماي محيط‪ ،‬يكسان در نظر گرفتاه لاود‪ ،‬افازايش دماا‬ ‫تاثيري بر ليب ‪ NCL‬در دماهاي باالتر ندالته و موازي با ‪ NCL‬اوليه به سمت پايين و نسرت تخلخال‬ ‫هاي کمتر حرکت ميکند‪.‬‬ ‫د‪ -‬در صورتي که ليب ‪ NCL‬و ‪ CSL‬در دماي محيط‪ ،‬متفاو در نظر گرفته لود (لايب ‪ NCL‬از‬ ‫‪ CSL‬بيشتر بالد)‪ ،‬با افزايش دما ليب ‪ NCL‬کاهش پيدا ميکناد‪ .‬بطوريكاه در حاداکثر دمااي قابال‬ ‫تحمل توسط خاك‪ ،‬با ليب ‪ CSL‬يكسان خواهد لد‪.‬‬ ‫ها‪ -‬کاهش در نسرت تخلخل در اثر افزايش حرار ‪ ،‬نسرتي از حداکثر اختالف بين نسارت تخلخال‬ ‫خطوط ‪ NCL‬و ‪ CSL‬در دماي محيط است بنابراين ميتوان نتيجاه گرفات کاه خاط ‪ NCL‬در درجاه‬ ‫حرار هاي باال هيچ گاه زير خط ‪ CSL‬در درجه حرار محيط قرار نخواهد گرفت‪.‬‬ ‫و‪ -‬در جهت سادگي مدل‪ ،‬از کرنش حجمي حرارتي دانه هاي خاك صرف نظر لده است‪.‬‬ ‫‪1 Graham et al.‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪211‬‬ ‫شکل ‪ :)26-62‬مدلسازی رفتار خط تحکيم نرمال در درجه حرارت باالتر (حميدی و خزاعی ‪)2262‬‬ ‫همانطور که بيان لد‪ ،‬خط ‪ NCL‬با افزايش دما از دماي محيط‪ 1‬به ‪ ،T‬در صافحه تاراکم باه سامت‬ ‫پايين حرکت ميکند‪ .‬در نتيجه ميتوان براي بيان نسرت تخلخل در تنش موثر ميانگين ‪ p ‬نولت‪:‬‬ ‫‪eT  e A  eT‬‬ ‫(‪)31-11‬‬ ‫در عرار فوق ‪ eT‬نسرت تخلخل در دمااي ‪ eA ،T‬نسارت تخلخال در دمااي محايط و ‪ ΔeT‬کااهش‬ ‫نسرت تخلخل در اثر حرکت خط ‪ NCL‬به سمت خط حالت بحراني ‪ CSL‬با افزايش دما ميبالد‪ .‬باراي‬ ‫در نظر گرفتن کاهش ليب خط ‪ NCL‬در دماهاي باالتر فرض ميلود که ‪ ΔeT‬به تانش وابساته اسات‪.‬‬ ‫رابطه (‪ )32-11‬کاهش ‪ ΔeT‬را در اثر افزايش تنش موثر ميانگين نشان ميدهد‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‪)32-11‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪eT  e max   0 ‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪ p 0‬تنش موثر ميانگين در ابتداي آزمايش و ‪ n‬پارامتر بي بتدي است که از کاليرراسيون مادل باه‬ ‫دست ميآيد‪ .‬مطابق لكل (‪ e max ،)21-11‬اختالف نسارت تخلخال باين خطاوط ‪ NCL‬و ‪ CSL‬در‬ ‫ابتداي آزمايش در دماي محيط است‪ .‬ضريب اول در رابطه باال ( ‪ ) e max‬نشان دهندهي فرض پانجم‬ ‫مدل است که قرال توضيح داده لد و در آن ‪ ‬ضريري بين صفر و يک اسات‪ .‬عراار‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  p 0 ‬باراي‬ ‫‪ p ‬‬ ‫نشان دادن وابستگي ميزان کاهش در نسرت تخلخل به تنش موثر ميانگين با افازايش حارار در نظار‬ ‫گرفته لده است‪ .‬پارامتر ‪ n‬مقدار مثرتي است که اگر کاهش در نسرت تخلخل مساتقل از تانش ماوثر‬ ‫ميانگين بالد‪ ،‬صفر در نظر گرفته ميلود‪.‬‬ ‫‪1 Ambient temperature‬‬ ‫‪211‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫موقتيت ‪ NCL‬در دماهاي باالتر تابتي از اختالف بين ‪ NCL‬و ‪ CSL‬در دماي محيط در نظر گرفتاه‬ ‫ميلود‪ .‬بنابراين در رابطه (‪  ،)32-11‬در دماي محيط صفر و در حداکثر دماي قابل تحمال توساط‬ ‫خاك‪ ،‬يک لحاظ خواهد لد‪ .‬به همين منظور‪ ،‬رابطه زير براي تتيين ‪ ‬پيشنهاد لده است‪:‬‬ ‫‪  T ‬‬ ‫‪  1-exp   1   ‬‬ ‫‪  T A ‬‬ ‫(‪)33-11‬‬ ‫که در آن ‪ T A‬و ‪ T‬به ترتيب دماي محيط و دماي افزايش يافتاه مايبالاند‪ .‬از رابطاه (‪)33-11‬‬ ‫ميتوان نتيجه گرفت که ‪ ‬در محدوده صفر تا يک تغيير خواهد کارد‪ .‬همچناين ‪ ‬پاارامتر مادل‬ ‫است که از پروسه کاليرراسيون به دست خواهد آمد‪ .‬با فرض اينكاه کارنش هااي االساتيک حجماي از‬ ‫درجه حرار مستقل ميبالند و فقط از تغييرا در تنش موثر ميانگين به دست ميآيند‪ ،‬و با دانساتن‬ ‫اينكه کرنش هاي پالستيک حجمي نيز از تغيير در فشار پيش تحكيمي کاه پاارامتر ساخت لاوندگي‬ ‫است نتيجه ميلوند‪ ،‬ميتوان نتيجه گرفت که کرنش هايي که از کاهش در نسارت تخلخال باه دليال‬ ‫افزايش حرار حاصل ميلوند‪ ،‬کرنش هاي حجمي پالستيک ميبالند و بنابراين ‪ p ‬در رابطاه (‪-11‬‬ ‫‪ )32‬بايد با فشار پيش تحكيمي ‪ pc‬جايگزين لود‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‪)34-11‬‬ ‫‪ p ‬‬ ‫‪eT  e max   0 ‬‬ ‫‪ pc ‬‬ ‫از تروري حالت بحراني‪ ،‬نسرت تخلخل اوليه در صفحه تراکمي به صور زير تتريف خواهد لد‪:‬‬ ‫‪ p ‬‬ ‫(‪)35-11‬‬ ‫‪eA  N- Ln  pc    Ln  c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ N‬طرق تتريف فوول گذلته‪ ،‬حجم مخووف در تانش ماوثر مياانگين واحاد و در دمااي محايط‬ ‫ميبالد‪  ،‬ليب خط تحكيم ايزوتروپ و ‪ ‬ليب خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد ميبالد‪ .‬با ترکيب‬ ‫روابط (‪ )32-11( ،)31-11‬و (‪ )34-11‬در رابطه (‪ ،)35-11‬رابطه زير براي تتياين نسارت تخلخال در‬ ‫دماي افزايش يافته به دست ميآيد‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‪)36-11‬‬ ‫‪ p ‬‬ ‫‪eT  N-T ln p      T  ln pc  e max  0 ‬‬ ‫‪ pc ‬‬ ‫که در آن ‪  T‬ليب خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد در دمااي افازايش يافتاه مايبالاد‪ .‬در مادل‬ ‫حميدي و خزاعي (‪ ،)2111‬ليب خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد بر اسااس رابطاه گراهاام و همكااران‬ ‫(‪ ،)2111‬به صور زير وابسته به دما در نظر گرفته لده است‪.‬‬ ‫(‪)37-11‬‬ ‫‪T ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ 1  C ln  ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ TA ‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪211‬‬ ‫که در آن ‪  A‬ليب خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد در دماي محيط ( ‪ ) TA‬ميبالاد‪ .‬همچناين ‪C‬‬ ‫پارامتر مدل براي در نظر گيري تغييرا در ليب خط باربرداري‪-‬بارگذاري مجدد با حارار اسات کاه‬ ‫بايد از نتايج آزمايشگاهي به دست آيد‪.‬‬ ‫‪ -9-1-1-31‬تعیین کرنش های حجمی‬ ‫رابطه نسرت تخلخل با کرنش هاي حجمي ايجاد لده به صور زير قابل بيان است‪:‬‬ ‫(‪)38-11‬‬ ‫‪de  d v 1  e ‬‬ ‫که در آن ‪ de‬و ‪ d  v‬نمو نسرت تخلخل و کرنش حجمي ميبالند‪ .‬با توجه به صارفنظر نماودن از‬ ‫کرنشهاي حجمي حرارتي دانه هاي خاك در اين مدل‪ ،‬تغييرلكل هاي االستيک تنها با تغيير در تانش‬ ‫موثر ميانگين ايجاد ميلوند‪ .‬بنابراين‪ ،‬با مشتق گيري از رابطه (‪ )36-11‬نسرت به ‪ p ‬و با جايگاذاري‬ ‫مقادير از رابطه (‪ ،)38-11‬رابطه زير را براي تتيين کرنش االستيک حجمي نتيجه ميدهد‪.‬‬ ‫‪ dp ‬‬ ‫‪d ve  T‬‬ ‫‪0 p‬‬ ‫(‪)39-11‬‬ ‫که در آن ‪  0‬حجم مخووف اوليه ( ‪ ) 0  1  e 0‬در دماي افزايش يافته ‪ T‬ميبالد‪ .‬مدول بالک‬ ‫‪ K‬بر اساس رابطه زير‪ ،‬وابسته به تنش موثر ميانگين تتيين ميگردد‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫(‪)41-11‬‬ ‫‪ p ‬‬ ‫‪K  K0  ‬‬ ‫‪ p 0 ‬‬ ‫که در آن ‪ p ‬و ‪ p0‬به ترتيب تنش موثر ميانگين کنوني و اوليه و ‪ a‬نياز پاارامتر مادل اسات‪ .‬بار‬ ‫اساس رابطه (‪ ،)39-11‬مدول بالک اوليه ( ‪ ) K 0‬در تنش موثر ميانگين اوليه ( ‪ ) p0‬به صور زير قابال‬ ‫تتيين است‪:‬‬ ‫(‪)41-11‬‬ ‫‪ 0 p 0‬‬ ‫‪T‬‬ ‫(‪)42-11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dp‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K0 ‬‬ ‫‪d  ve ‬‬ ‫همانطور که قرال توضيح داده لد‪ ،‬کرنش حجمي پالستيک نتيجه تغيير در فشاار پايش تحكيماي‬ ‫‪ pc‬ميبالد‪ .‬با مشتق گيري از رابطه (‪ )36-11‬نسرت باه ‪ pc‬و باا جايگاذاري ‪ eT‬و ‪ de‬از رواباط‬ ‫(‪ )34-11‬و (‪ ،)38-11‬رابطه زير براي کرنش هاي حجمي پالستيک نتيجه ميلود‪.‬‬ ‫(‪)43-11‬‬ ‫‪A  T dpc n eT dpc‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  e pc 1  e pc‬‬ ‫‪d v p ‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪212‬‬ ‫بر اساس نظر زينكوويچ و همكاران‪ ،)1999( 1‬تغيير در حالت تانش ياک الماان خااك باه صاور‬ ‫مجموع دو حالت جداگانه زير در نظر گرفته ميلود‪:‬‬ ‫الف) تغيير در تراز تنش‪ ،‬که در اين حالت متادل تغييار در تانش ماوثر ‪ p ‬مايبالاد‪ ،‬درحاليكاه‬ ‫نسرت تنش ثابت است‪.‬‬ ‫ب) تغيير در نسرت تنش به صورتي که تراز تنش ( ‪ ) p ‬ثابت بماند‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫پاسخ خاك در برابر اين دو نوع بارگاذاري متفااو اسات‪ .‬بار اسااس نظار لياو و کاارتر (‪،)2118‬‬ ‫ويژگيهاي تغيير لكل خاك با تغيير در نسرت تنش به اثرا مكانيزم برلي مربوط ميلاود‪ .‬باه دليال‬ ‫تفاو در مشخوه هاي رفتاري خاك تحت اين دو حالت تنش‪ ،‬قوانين رفتاري که از آزمايشا با نسرت‬ ‫تنش ثابت بدست آيند‪ ،‬براي لرايطي که نسرت تنش متغير است مناسب نخواهند بود‪ .‬بر ايان اسااس‪،‬‬ ‫اصالحا پيشنهادي ليو و کارتر (‪ ،)2112‬براي در نظرگيري اثر مكانيزم برلي بر کرنش هاي پالستيک‬ ‫با ضريب‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫(‪)44-11‬‬ ‫در مدل حاضر اضافه گرديد‪:‬‬ ‫‪A  T dpc‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  dpc‬‬ ‫‪ n eT 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪pc‬‬ ‫‪ M    1  e  pc‬‬ ‫‪1 e‬‬ ‫‪d v p ‬‬ ‫در اين مدل‪  ،‬نسرت تنش و ‪ M‬ليب خط حالت بحراناي در صافحه ‪ q  p‬مايبالاد‪ .‬در نهايات‪،‬‬ ‫کرنش حجمي کل از جمع مولفه هاي کرنش حجمي االساتيک و پالساتيک باه دسات مايآياد‪ .‬محققاان‬ ‫بسياري با انجام آزمايش بر انواع رس الراع به اين نتيجه رسيدند که فشار پيش تحكيمي به دما وابسته است‬ ‫(موريتز‪ ،1995 3‬بودالي و همكاران‪ ،1994 4‬تيدفور و سالفور‪ 1989 5‬و سلطان و همكاران‪ .)2112 6‬همانطور‬ ‫که در لكل (‪ )22-11‬مشاهده ميلود با افزايش دما‪ ،‬فشار پيش تحكيمي کاهش مييابد‪.‬‬ ‫‪1 Zienkiewicz et al.‬‬ ‫‪2 Liu and Carter‬‬ ‫‪3 Moritz‬‬ ‫‪4 Boudali et al.‬‬ ‫‪5 Tidfors and Sällfors‬‬ ‫‪6 Sultan et al.‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪216‬‬ ‫شکل ‪ :)22-62‬تغييرات فشار پيش تحکيمی با درجه حرارت از نتایج آزمایشگاهی (حميدی و همکاران ‪)2262‬‬ ‫خطوط پيوسته در لكل باال با درون يابي نتايج آزمايشگاهي به صور زير قابل تتيين ميبالند‪:‬‬ ‫‪pcT  pc exp   T ‬‬ ‫(‪)45-11‬‬ ‫که ‪‬‬ ‫‪ pcT‬فشار پيش تحكيمي در دماي ‪ T ،T‬تغيير در درجه حرار و ‪ ‬پارامتر مدل اسات و‬ ‫با استفاده از رابطه زير با تقريب خوبي به دست ميآيد‪:‬‬ ‫‪3 p 0‬‬ ‫‪ 3 p H 0‬‬ ‫‪  T‬‬ ‫(‪)46-11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫در اين رابطه‬ ‫‪   T ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ H 0 ‬و ‪  p‬تابع ضريب انرساط حرارتي ميبالد‪ .‬رابطه ديگري توسط‬ ‫چكراواك و اللويي (‪ )2114‬پيشنهاد لده که نتايج مشابهي براي ‪‬‬ ‫‪ pcT‬ارائاه ماينماياد‪ .‬باا اساتفاده از‬ ‫روابط (‪ )45-11‬و (‪ )46-11‬داريم‪:‬‬ ‫(‪)47-11‬‬ ‫‪pcT  pc exp  3 p H 0 T ‬‬ ‫با مشتق گيري از رابطه (‪ )36-11‬نسرت به ‪‬‬ ‫‪ pcT‬و با جايگذاري روابط (‪ )34-11‬و (‪ ،)38-11‬نماو‬ ‫کرنش حجمي پالستيک به صور زير محاسره ميلود‪:‬‬ ‫‪1 dpcT‬‬ ‫‪H L pcT‬‬ ‫(‪)48-11‬‬ ‫در اين رابطه‪ H L ،‬به صور زير به دست ميآيد‪:‬‬ ‫(‪)49-11‬‬ ‫‪d v p ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ MT ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ M T  ‬‬ ‫‪  T   n eT  ‬‬ ‫‪HL ‬‬ ‫‪212‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫که در آن ‪ ‬حجم مخووف‪ M T ،‬ليب خط ‪ CSL‬در درجه حرار افازايش يافتاه و ‪ ‬نسارت‬ ‫تنش ميبالد‪.‬‬ ‫‪ -1-1-1-31‬تعیین کرنش های برشی‬ ‫‪1‬‬ ‫پاستور و همكاران (‪ )1991‬و مدرسي و اللويي (‪ )1997‬مدول برلاي را وابساته باه ساطح تانش‬ ‫کنوني فرض نمودند‪ .‬گراهام و همكاران (‪ )2111‬وابستگي مدول برلي به نسرت بايش تحكيماي را بار‬ ‫اساس مطالتا راس و هولزباي‪ )1985( 2‬پيشنهاد داده و رابطه خطي آن با دما را بررساي نمودناد‪ .‬در‬ ‫مدل حاضر نيز مدول برلي طرق رابطه زير وابسته به تراز تنش و درجه حرار فرض ميگردد‪:‬‬ ‫‪ p  ‬‬ ‫‪ T ‬‬ ‫‪G  G A   1  D ln   ‬‬ ‫‪ T A ‬‬ ‫‪ p 0  ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫(‪)51-11‬‬ ‫که در آن ‪ GA‬مدول برلي در دماي محيط و در تنش متوسط ميانگين اوليه ‪ p0‬ميبالد‪ .‬بتالوه‪،‬‬ ‫‪ D‬و ‪ b‬نيز دو پارامتر مدل هستند که بر اساس کاليرراسيون با داده هاي آزمايشگاهي به دست ميآيند‪.‬‬ ‫بنابراين داريم‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dq‬‬ ‫‪3G‬‬ ‫(‪)51-11‬‬ ‫‪d  se ‬‬ ‫از طرف ديگر‪ ،‬کرنش هاي برلي پالستيک نيز بر اساس متيار زير به دست آيد‪:‬‬ ‫(‪)52-11‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d  sp ‬‬ ‫که در آن ‪ ‬نسرت کرنش حجمي پالستيک به کرنش برلي پالستيک يا همان قاانون جرياان در‬ ‫مدل رفتاري است‪.‬‬ ‫‪ -1-1-1-31‬قانون جریان‬ ‫گراهام و همكاران (‪ )2111‬مستقل بودن قانون جريان از دما را پيشنهاد نمودند‪ .‬آنها نشان دادند که‬ ‫جهت بردار نمو کرنش پالستيک با افزايش دما در رس ايليت بازسازي لده ثابت باقي ميماند‪ .‬اما نتايج‬ ‫آزمايشگاهي ابو النجا (‪ )2115‬براي رس نرم بانكوك نشان ميدهد که افزايش دماا موجاب افازايش در‬ ‫نسرت کرنش هاي پالستيک ميلود‪ .‬بر خالف اين‪ ،‬قهرمان نژاد‪ )2113( 3‬نياز ثابات کارد کاه نسارت‬ ‫کرنشهاي پالستيک‪ ،‬با افزايش دما کااهش مايياباد‪ .‬حميادي و خزاعاي‪ ،)2111( 4‬قاانون جريااني را‬ ‫پيشنهاد دادند که قادر به مدلسازي تمام سه حالت ممكن براي تغييرا در نسرت کرنشهاي پالساتيک‬ ‫‪1 Modaressi‬‬ ‫‪2 Wroth and Houlsby‬‬ ‫‪3 Ghahremannejad‬‬ ‫‪4 Khazaei‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪213‬‬ ‫با ازدياد درجه حرار بالد‪ .‬ايشان رابطه زير را براي ‪ ‬پيشنهاد کردند تا اثارا حارار در تغييارا‬ ‫کرنش پالستيک لحاظ لود‪:‬‬ ‫‪d v p M 2   2‬‬ ‫(‪)53-11‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d s p‬‬ ‫‪2T ‬‬ ‫که در آن ‪ T‬پارامتر مدل است‪ .‬پيش از اين ذکر لد که افزايش در درجه حرار باعث کاهش در‬ ‫نسرت تخلخل ميلود‪ .‬در مدل حميدي و خزاعي (‪ ،)2119‬پارامتري که به طور صريح وابستگي نسرت‬ ‫تخلخل به دما را نشان ميدهد‪  ،‬است‪ .‬به عرار ديگر‪ ،‬افزايش دما متادل با افزايش ‪ ‬خواهد باود‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫بنابراين براي بيان پارامتر قانون جريان ‪ T‬به صور تابتي از دما‪ ،‬آن را به عنوان تابتي از ‪ ‬در نظار‬ ‫گرفته اند‪ .‬بر اين اساس‪ ،‬همرستگي بين ‪ T‬و ‪ ‬به صور زير پيشنهاد ميگردد‪:‬‬ ‫الف‪ -‬مستقل بودن ‪ ‬از دما (گراهام و همكاران ‪ ،)2111‬که نظير ‪ T  1‬ميبالد‪.‬‬ ‫ب‪ -‬افزايش در ‪ ‬در اثر ازدياد دما (ابو النجا ‪ ،)2115‬که نظير ‪ T  1  ‬است‪.‬‬ ‫پ‪ -‬کاهش در ‪ ‬به علت افزايش دما (قهرمان نژاد ‪ ،)2113‬که نظير ‪ T  1  ‬خواهد بود‪.‬‬ ‫براي بررسي آنكه کدام حالت بايد در مدلسازي رفتار خااك ماورد اساتفاده قارار گيارد‪ ،‬مطاابق لاكل‬ ‫(‪ ،)23-11‬تغييرا ‪  : / ‬در دماهاي مختلف ماورد بررساي قارار مايگيارد (حميادي و همكااران‬ ‫‪.)2115‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪T=25 C‬‬ ‫‪T=40 C‬‬ ‫‪25 C‬‬ ‫‪70C‬‬ ‫‪90C‬‬ ‫‪Hamidi & Khazaei, 2010‬‬ ‫)‪Current study, Equation (24‬‬ ‫‪=1.30‬‬ ‫‪T=60 C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=1.42‬‬ ‫)‪Current study, Equation (24‬‬ ‫‪=1.48‬‬ ‫‪=1.5‬‬ ‫‪=1.4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪=1.2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫شکل ‪ :)23-62‬تغييرات فشار پيش تحکيمی با درجه حرارت از نتایج آزمایشگاهی (حميدی و همکاران ‪)2262‬‬ ‫اگر نسرت کرنش پالستيک مستقل از حرار بالد‪ ،‬مدل کم کلي اصاالح لاده باا فارض ‪T  1‬‬ ‫مورد استفاده قرار ميگيرد‪ .‬افزايش در نسرت کرنشهاي پالستيک با افازايش درجاه حارار در نسارت‬ ‫تنش ثابت مطابق لكل چپ‪ ،‬با کاهش ‪ T  1‬بر اساس متادله ‪ T  1  ‬رخ ميدهاد‪ .‬همچناين‬ ‫کاهش در نسرت کرنشهاي پالستيک با افزايش درجه حرار در نسرت تنش ثابت مطابق لكل راسات‪،‬‬ ‫با ‪ T  1  ‬مدلسازي ميلود‪.‬‬ ‫‪214‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ -3-1-1-31‬سطح تسلیم‬ ‫تاناکا (‪ ،)1995‬چكراواك (‪ )2113‬و ابو النجا (‪ )2115‬اثرا حرار بر سطوح تسليم خاکها را مورد‬ ‫بررسي قرار دادند‪ .‬با فرض ايده حفظ انرژي در زمان تسليم و با انتگرال گيري از قانون جريان‪ ،‬روسكو و‬ ‫همكاران (‪ )1968‬رابطه زير را براي تتيين سطح تسليم ارائه نمودند‪:‬‬ ‫‪dp   d ‬‬ ‫‪pc p   0    0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫(‪)54-11‬‬ ‫در مدل حميدي و خزاعي (‪ ،)2119‬با جايگذاري قانون جريان مدل مطابق رابطه (‪ ،)53-11‬رابطاه‬ ‫زير براي سطح تسليم مدل به دست ميآيد‪:‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪2T 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p M  pc  T‬‬ ‫(‪)55-11‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2T  1  p ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫با توجه به قانون جريان همراه در اين مدل‪ ،‬از رابطه فوق ميتوان براي تتيين کرنشاهاي پالساتيک‬ ‫در تمامي درجه حرار ها استفاده نمود‪ .‬در لرايط ‪ ، T  1‬سطح تسليم مشابه مدل کم کلاي اصاالح‬ ‫لده خواهد بود‪ .‬با استفاده از رابطه (‪ ،)55-11‬تنش موثر ميانگين در نقطه تقاطع خط حالت بحراني با‬ ‫سطح تسليم‪ ، pcs ،‬محاسره خواهد لد‪:‬‬ ‫(‪)56-11‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪pcs  pc  2T 12T‬‬ ‫استفاده از روابط (‪ )39-11‬و (‪ )43-11‬براي ارضا لدن لرايط صفر لدن کرنش حجمي پالستيک‬ ‫در حالت زهكشي نشده‪ ،‬يتني ‪ ، d ve  d vp  0‬منجر به رابطه زير ميلود‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫(‪)57-11‬‬ ‫‪pc1  p1  n eT  A T ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪pc 2  p 2 ‬‬ ‫(‪)58-11‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪n eT   A  T ‬‬ ‫انديس ‪ 1‬و ‪ 2‬به هر دو گام مختلف محاسرا مربوط ميلود‪ .‬پارامتر ‪ ‬مشاابه مادل کام کلاي‪ ،‬بار‬ ‫اساس متادله (‪ )58-11‬تتريف ميلود‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫و بنابراين‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)59-11‬‬ ‫‪pc1  p1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪pc 2  p 2 ‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪212‬‬ ‫لكل (‪ )24-11‬پيشريني مدل حميدي و خزاعي (‪ )2119‬را در خووف تريين رفتار ساه محاوري‬ ‫زهكشي لده رس بانكوك ارائه مي نمايد‪ .‬داده هااي آزمايشاگاهي در ايان لاكل بار اسااس مطالتاا‬ ‫ابو النجا (‪ )2115‬انتخاب لده است‪.‬‬ ‫)‪OCR(2‬‬ ‫)‪OCR(8‬‬ ‫)‪Model (OCR=2‬‬ ‫)‪Model (OCR=8‬‬ ‫‪500‬‬ ‫)‪OCR(1‬‬ ‫)‪OCR(4‬‬ ‫)‪Model (OCR=1‬‬ ‫)‪Model (OCR=4‬‬ ‫)‪(a‬‬ ‫‪400‬‬ ‫)‪Deviatoric Stress (kPa‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Axial Strain (%‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪(b‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪Volumetric Strain (%‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫)‪OCR(2‬‬ ‫)‪OCR(8‬‬ ‫)‪Model (OCR=2‬‬ ‫)‪Model (OCR=8‬‬ ‫)‪OCR(1‬‬ ‫)‪OCR(4‬‬ ‫)‪Model (OCR=1‬‬ ‫)‪Model (OCR=4‬‬ ‫)‪Axial Strain (%‬‬ ‫‪-15‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫شکل ‪ :)24-62‬پيش بينی مدل از رفتار تنش انحرافی‪-‬کرنش محوری و تغيير حجم‪-‬کرنش محوری نمونه های‬ ‫عادی تحکيم یافته و پيش تحکيم یافته رس بانکوک در دمای ‪ 12‬درجه سانتيگراد و فشار پيش تحکيمی‬ ‫‪( pc  300 kPa‬حميدی و خزاعی ‪)2221‬‬ ‫نكته مهم در خووف سطح تسليم مدل پيشنهادي حميدي و خزاعي (‪ )2119‬آن بود کاه باا افازايش‬ ‫دما‪ ،‬سطوح تسليم با يكديگر تالقي مينمودند‪ .‬براي رفاع ايان الاكال‪ ،‬حميادي و همكااران (‪،)2115‬‬ ‫قانون جريان متفاوتي از متادله (‪ )53-11‬را به لكل زير در نظر گرفته اند‪:‬‬ ‫(‪)61-11‬‬ ‫‪  2    1  2 ‬‬ ‫‪2T‬‬ ‫‪‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪211‬‬ ‫در اين رابطه‪  ،‬و ‪ ‬پارامترهاي ساختاري ناميده ميلوند‪ .‬باا جايگاذاري ايان رابطاه در (‪)54-11‬‬ ‫ميتوان نولت‪:‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫(‪)61-11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ (   1)  p cT‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1 ‬‬ ‫‪q   T p ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  1  p  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫لكل (‪ )25-11‬مقايسه پيشريني هاي حميادي و همكااران (‪ )2115‬باا مادل حميادي و خزاعاي‬ ‫(‪ )2119‬در خووف تريين رفتار سه محوري زهكشي لده رس بانكوك بواور منحناي هااي تانش‬ ‫انحرافي‪-‬کرنش محوري و کرنش حجمي‪-‬کرنش محاوري در دمااي ‪ 71‬درجاه ساانتيگراد و نسارتهاي‬ ‫مختلف پيش تحكيمي را ارائه مينمايد‪ .‬بر اساس اين لكل‪ ،‬بهراود کيفاي و کماي مادل در پيشاريني‬ ‫رفتاري خاك بديهي ميرسد‪ .‬کليه داده هاي آزمايشگاهي از نتايج مطالتا ابو النجاا (‪ )2115‬اقترااس‬ ‫لده است‪.‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪200‬‬ ‫)‪Deviatoric stress (kPa‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪Volumetric Strain (%‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪500‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-15‬‬ ‫‪40‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪20‬‬ ‫)‪Axial strain (%‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪OCR=2‬‬ ‫‪OCR=1‬‬ ‫‪OCR=2‬‬ ‫‪OCR=1‬‬ ‫‪OCR=8‬‬ ‫‪OCR=4‬‬ ‫‪OCR=8‬‬ ‫‪OCR=4‬‬ ‫‪Current model predictions‬‬ ‫‪Hamidi & Khazaei, 2010‬‬ ‫‪Current model predictions‬‬ ‫‪Hamidi & Khazaei, 2010‬‬ ‫شکل ‪ :)22-62‬مقایسه پيش بينی های مدل حميدی و همکاران (‪ )2262‬با نتایج مدل حميدی و خزاعی (‪)2221‬‬ ‫از رفتار تنش انحرافی‪-‬کرنش محوری و تغيير حجم‪-‬کرنش محوری نمونه های عادی تحکيم یافته و پيش‬ ‫تحکيم یافته رس بانکوک در دمای ‪ 12‬درجه سانتيگراد و فشار پيش تحکيمی ‪pc  300 kPa‬‬ ‫(حميدی و خزاعی ‪)2262‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪211‬‬ ‫‪ -1-1-31‬رفتار ترمومکانیکی خاکهای غیر اشباع‬ ‫خاك غير الراع از سه فاز ذرا جامد‪ ،‬فاز مايع و فاز گاز (هوا) تشكيل لده است‪ .‬باه علات وجاود‬ ‫هوا در بين خلل و فرج خاك‪ ،‬حين بارگذاري فشار آب حفرهاي منفاي ياا مكاش‪ 1‬رخ خواهاد داد و در‬ ‫نتيجهي اين موضوع تغييراتي در روابط تنش موثر خاك ايجاد ميگردد‪ .‬در ضمن همانطور که در بخش‬ ‫قرل گفته لد‪ ،‬روابط ارائه لده براي مدلسازي رفتار ترمومكانيكي خاك رس الراع‪ ،‬براساس تنش موثر‬ ‫ميانگين ميبالند‪ .‬در نتيجه ميتوان با محاسره تنش ماوثر در حالات غيار الاراع و جايگاذاري آن در‬ ‫روابط قرلي‪ ،‬مدل رفتاري ترمومكانيكي را براي خاك رس غير الراع اصالح نمود‪ .‬ايان روش مدلساازي‪،‬‬ ‫توسط تورچي و حميدي (‪ )2115‬انجام گرفت‪ .‬براساس رابطه بيشاپ‪ )1954( 2‬تنش موثر در خاك غير‬ ‫الراع از قرار زير است‪:‬‬ ‫(‪)62-11‬‬ ‫‪pB  p  ua  X (ua  uw )  p  Xs‬‬ ‫در رابطه فوق ‪ p B‬تنش ميانگين موثر بيشاپ‪ p ،‬تنش ميانگين کل ‪ ua ،‬فشار هاواي حفاراه اي‪uw ،‬‬ ‫فشار آب حفره اي‪ X ،‬تابتي از درجه الراع خاك‪ p ،‬تنش ميانگين موثر خاك خشک و ‪ s‬مكش ايجاد‬ ‫لده در خاك ميبالد‪ X .‬بر اساس رابطه خليلي و خراز‪ )1998( 3‬به صور زير قابل محاسره ميبالد‪:‬‬ ‫(‪)63-11‬‬ ‫‪ s  se ‬‬ ‫‪ s  se ‬‬ ‫‪  s T  s  ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫که در آن ‪ Se‬فشار حرابي‪ 4‬يا نقطه ورود هوا‪ 5‬در درجه حرار ‪ T‬و ‪   0.5‬ميبالد‪.‬‬ ‫‪ -3-1-1-31‬مبانی مدل رفتاری ترمومکانیکی حالت غیراشباع‬ ‫با وارد نمودن تتريف ساده تنش بيشاپ در مدل ترمومكانيكي خاك الاراع کاه توساط حميادي و‬ ‫همكاران (‪ )2115‬پيشنهاد لده است‪ ،‬تغييرا حجم ايجاد لده توسط مكش در نظر گرفته لاد‪ .‬ولاي‬ ‫پيش بيني هاي به دست آمده متموال با نتايج آزمايشگاهي تطابق مناسري ندالتند‪ .‬به وياژه‪ ،‬وابساتگي‬ ‫تراکم پذيري خاك به مكش به طور مناسري ايجاد نمي لاد‪ .‬همچناين‪ ،‬تانش تساليم هماه جانراه باا‬ ‫افزايش مكش کاهش پيدا ميکرد که اين موضاوع مغااير باا نتاايج آزمايشاگاهي فردالناد‪ 6‬و همكااران‬ ‫(‪ )1978‬ميبالد‪ .‬تورچي و حميدي (‪ )2115‬نشان دادند که تغيير برخي ديگر از ويژگيهاي مدل اولياه‬ ‫موجب بهرود مناسب پيشرينيها و جرران نقاط ضتف لده و سرب ميلود رفتار آزمايشگاهي باه نحاو‬ ‫مناسري بازسازي گردد‪.‬‬ ‫‪1 Suction‬‬ ‫‪2 Bishop‬‬ ‫‪3 Khalili and Khabbaz‬‬ ‫‪4 Bubbling pressure‬‬ ‫‪5 Air entry value‬‬ ‫‪6 Fredlund‬‬ ‫‪211‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫‪ -9-1-1-31‬اصالح سخت شوندگی برای مکش‬ ‫فردالند و مورگنسترن‪ )1977( 1‬با مترفي مكش به عنوان پارامتر مساتقل تانش در خاکهااي غيار‬ ‫الراع‪ ،‬نمو کرنش حجمي پالستيک را به صور زير تتريف کردند‪:‬‬ ‫‪1 d  pcT  X s ‬‬ ‫‪HL‬‬ ‫‪pcT  X s‬‬ ‫(‪)64-11‬‬ ‫‪d vp ‬‬ ‫که در آن ‪ pcT‬فشار پيش تحكيمي در درجه حرار ‪ T‬و ‪ H L‬مدول سخت لوندگي ميبالد‪ .‬با اين‬ ‫حال‪ ،‬وابستگي تراکم پذيري خاك به مكش بطور مناسري در ايان رابطاه لحااظ نشاده و کارنش هااي‬ ‫حجمي پالستيک که از رابطه فوق حاصل ميلوند‪ ،‬نتايج آزمايشگاهي را دست بااال بارآورد مايکنناد‪.‬‬ ‫بدين ترتيب مدول سخت لوندگي در اين رابطه تغيير داده لد تا اثرا مكش به نحو مناسب تاري در‬ ‫ويژگيهاي تراکم پذيري خاك لحاظ گردد‪.‬‬ ‫(‪)65-11‬‬ ‫‪H s  H L 1  s   H L H ws‬‬ ‫در اين رابطه ‪ H s‬سخت لوندگي در مكاش ‪ s‬و ‪ ‬پاارامتر مادل مايبالاد‪ . .‬لاكل (‪)26-11‬‬ ‫تغييرا مدول سخت لوندگي ‪ H s‬با مكش و درجه حرار را ارائه مينمايد‪.‬‬ ‫شکل‪ :)21-62‬تغييرات مدول سخت شوندگی با مکش و درجه حرارت در مدل تورچی و حميدی ‪2262‬‬ ‫(داده های آزمایشگاهی از یوچایپيچات و خليلی‪ 2221 2‬اقتباس شده است)‬ ‫‪1 Morgenstern‬‬ ‫‪2 Uchaipichat and Khalili‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪211‬‬ ‫‪ -1-1-1-31‬اصالح تابع تسلیم برای مکش‬ ‫با تتريف فشار پيش تحكيمي خاك غير الراع‪ ،‬امكان تتريف سطح تسليم در دماهاي بااالتر امكاان‬ ‫پذير خواهد بود‪.‬‬ ‫‪ (us )  pcT‬‬ ‫‪  s‬‬ ‫‪pcT‬‬ ‫(‪)66-11‬‬ ‫در اين رابطه‪ us  ،‬‬ ‫‪ pcT‬فشار پيش تحكيمي خاك غير الراع در دماي ‪ T‬و ‪ ‬پارامتر مادل اسات‬ ‫که با کاليرراسيون محاسره ميگردد‪ .‬بدين ترتيب رابطه زير براي سطح تسليم بدست ميآيد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2 (   1)  pcT (u s )  s   ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫(‪)67-11‬‬ ‫‪f  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫در اين رابطه‪  T  ،‬ليب خط حال بحراني در دماي ‪ T‬و ‪ ‬پارامتر مدل رفتاري است‪ .‬همانطادر‬ ‫که مشاهده ميلود‪ ،‬در مدل تورچي و حميدي (‪ ،)2115‬وابستگي ليب خط حالت بحراناي باه درجاه‬ ‫حرار محيط نيز در نظر گرفته لده است‪ .‬ايشان رابطه زير را براي تتيين لايب خاط حالات بحراناي‬ ‫خاك غير الراع در دماي ‪ T‬پيشنهاد دادند‪:‬‬ ‫(‪)68-11‬‬ ‫‪ Xs ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ se  1 ‬‬ ‫‪ ln  T T   (1) y 1 Ln ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x 1‬‬ ‫‪M Ts  M A   1‬‬ ‫در اين رابطه‪ Ts ،‬ليب خط بحراني خاك غير الاراع در دمااي ‪ M A ،T‬ايان لايب در دمااي‬ ‫محيط‪ x ،‬ثابتي است که در صور کاهش ليب خط بحراني با دماا مقادار صافر و در صاور افازايش‬ ‫ليب خط بحراني با دما مقدار يک را اختيار ميکند‪  ،‬ثابت مدل رفتاري و ‪ y‬ثابت ديگري باا مقاادير‬ ‫صفر يا يک است‪ .‬متموال با ازدياد مكش در خاك غير الراع‪ ،‬ليب خط بحراني افزايش مييابد‪ .‬اما پس‬ ‫از يک مكش بحراني ( ‪ ،) scr‬ليب اين خط با ازدياد مكش‪ ،‬کااهش خواهاد يافات‪ .‬بناابراين در مقاادير‬ ‫مكش کمتر از ‪ y ، scr‬مقدار يک‪ ،‬و براي مكش بزرگتر از ‪ y ، scr‬مقادار صافر را اختياار خواهاد کارد‪.‬‬ ‫لكل (‪ )27-11‬تغييرا سطح تسليم مدل پيشنهادي را با مكش و درجه حرار ارائه مينمايد‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)21-62‬تغييرات تابع تسليم با مکش و درجه حرارت در مدل تورچی و حميدی ‪2262‬‬ ‫‪212‬‬ ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ ‫لكل (‪ )28-11‬پيش بيني هاي مدل از رفتار مكانيكي رس غير الراع‪ ،‬تحت آزمايش ساه محاوري‬ ‫زهكشي لده در مكاش ‪ 111‬کيلوپاساكال و درجاه حارار هااي متفااو را نشاان مايدهاد‪ .‬کلياه‬ ‫منحنيهاي آزمايشگاهي موجود از نتايج يوچايپيچا و خليلي (‪ )2119‬اقتراس گرديده است‪.‬‬ ‫شکل ‪ :)21-62‬منحنيهای تنش انحرافی‪-‬کرنش محوری (در سمت چپ) و منحنيهای کرنش حجمی‪-‬کرنش محوری‬ ‫(در سمت راست) برای مکش ‪ 622‬کيلوپاسکال و مقادیر مختلف درجه حرارت بر اساس مدل رفتاری پيشنهادی‬ ‫حميدی و تورچی (‪( )2262‬داده های آزمایشگاهی از یوچایپيچات و خليلی‪ 2221 6‬اقتباس شده است)‬ ‫‪a) 25˚C ، b) 40˚C ، C ) 60˚C‬‬ ‫‪1 Uchaipichat and Khalili‬‬ ‫فصل دهم – مبانی مدلسازی پیشرفته رفتار مکانيکی خاکها‬ ‫‪216‬‬ ‫تمرینات فصل دهم‬ ‫‪ -1‬با استفاده از مفاهيم ارائه لده در ايان فوال‪ ،‬در خواوف امكاان مدلساازي رفتاار مكاانيكي‬ ‫خاکهاي داراي ساختار در دماهاي باال تحقيق نماييد‪.‬‬ ‫‪ -2‬متادال ارائه لده براي تريين رفتار مكانيكي خاك غير الراع در دماهاي باال را با اساتفاده از‬ ‫تغييرا خط تحكيم ايزوتروپ ‪ ncl‬در فضاي تراکم بدست آوريد‪.‬‬ ‫‪ -3‬بر اساس تمرينا اول و دوم‪ ،‬چارچوبي براي تريين رفتار مكانيكي خاکهاي رساي غيار الاراع‬ ‫داراي ساختار‪ ،‬در دماهاي باال ارائه کنيد‪.‬‬ ‫‪ -4‬بررسي نماييد که چه چارچوبي براي تريين رفتار مكانيكي خاکهاي ماسهاي مسلح باا ترکياب‬ ‫سيمان و الياف مناسب ميبالد‪.‬‬ ‫منابع و مراجع‬ ‫منابع و مراجع‬ Abuel-Naga, H. (2005). “Thermo-mechanical behavior of soft Bangkok clay: Experimental results and constitutive modeling”, Ph.D. Thesis, Asian Institute of Technology, Thailand. Airey, D.W., Budhu, M. and Wood, D.M. (1985). “Some aspects of the behaviour of soils in simple shear”, In Banerjee, P.K. and Butterfield, R (eds.), Developments in soil mechanics and geotechnical engineering:Stress-strain modelling of soils, Elsevier, pp. 185-213. Alizadeh, M. and Hamidi, A. (2009). " Shear strength characteristics of sand-gravel mixtures in high gravel contents", Engineering Geology Journal of Kharazmi University, 3(2), pp. 735-756 (In Persian). Amini, Y. and Hamidi, A. (2014). “Triaxial shear behavior of a cement-treated sand-gravel mixture”, Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering, 6, pp. 455-465. Amini, Y., Hamidi, A. and Asghari, E. “Shear strength-dilation characteristics of cemented sand-gravel mixtures”, International Journal of Geotechnical Engineering, 8(4), pp. 406-413. Asghari, E., Toll, D.G. and Haeri, S.M. (2003). “Triaxial behavior of a cemented gravely sand, Tehran alluvium”, Geotechnical and Geological Engineering Journal, 21(1), pp. 1-28. Atkinson, J.H. and Bransby, P.L. (1978). “The mechanics of soils, An introduction to critical state soil mechanics”, McGraw-Hill, UK. Atkinson, J.H. and Little, J.A. (1988). “Undrained triaxial strength and stress-strain characteristics of a glacial till soil”, Canadian Geotechnical Journal, 25, pp. 428439. Bels, A.A. and Stanculescu, L.I. (1958). “Thermal trestment as a mean of improving the stability of earth masses”, Géotechnique, 8(4), pp. 158-165. Bishop, A.W. (1954). “The use of pore pressure coefficients in practice”, Géotechnique, 4(4), pp. 148-152. Bolton, M.D. (1986). “The strength and dilatancy of sands”, Géotechnique, 36(1), pp. 65-78. Bolton, M.D. (1987). “The strength and dilatancy of sands”, Géotechnique, 37(1), pp. 219-226. Boudali, M., Leroueil, S. and Srinivasa Murthy, B.R. (1994). “Viscous behaviour of natural clays”, Proc., 13th Int. Conf. On Soil Mechanics and Foundation Engineering,Oxford & IBH Publishing, New Delhi, India, pp. 411-416. Campanella, R.G. and Mitchell, J.K. (1968). “Influence of temperature variations on soil behavior”, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, 94(3), pp. 709-734. ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 214 Casagrande, A. (1936). “Characteristics of cohesionless soil affecting the stability of slopes and earth fills, Journal of Boston Society of Civil Engineering, pp. 13-32. Cekerevac, C. (2003). “Thermal effects on the mechanical behaviour of saturated clays : An experimental and constitutive study”, Ph.D. thesis, Ecole polytechnique Fédéral de Lausanne, Lausanne, Switzerland. Cekerevac, C. and Laloui, L. (2004). “Experimental study of thermal effects on the mechanical behavior of a clay”, International Journal for Numerical Analytical Methods Geomechanics, 28(3), pp. 209-228. Coloumb, C.A. (1973). “Essai sur une application des r gles e quelques probl mes de statique, relatifs l’architecture”, e e e e e e e e e e e divers Savans, & lûs dans ses Assemblées, 7, pp. 343-82. Coop, M.R. and Atkinson, J.H. (1993). “The mechanics of cemented carbonate sands”, Géotechnique, 43(1), pp. 53-67. Das, B.M. (1990). “Principles of soil dynamics”, Kent Publishing, USA. Delage, P., Sultan, N. and Cui, Y.J. (2000), “On the thermal consolidation of Boom clay”, Canadian Geotechnical Journal, 37(2), pp. 343-354. Desai, C.S., Perumpral, J.V., Sture, S., Phan, H.V. (1979), “Geometric and material nonlinear three-dimensional analysis of structures moving on ground”, Report to NSF, Department of Civil Engineering, Virginia Polytechnical Institute and State University, Blacksburg. Desai, C.S., Siriwardane, H.J., (1984). “Constitutive laws for engineering materials with emphasis on geologic materials”, Prentice-Hall Inc., USA. DiMaggio, F.L. and Sandler, I.S., (1971). “Material model for granular soils”, Journal Engineering Mechanical Division, ASCE, 97(EM3), pp. 935-950. Drucker, D.C. (1949). “Relations of experiments to mathematical theories of plasticity”, Journal of Applied Mechanics, 16, pp. 349-357. Drucker, D. C. (1951). “A more fundamental approach to plastic stress-strain relations”, First U.S. National Congress of Applied Mechanics, ASME, pp. 487491. Drucker, D. C. and Prager, W. (1952). “Soil mechanics and plastic analysis for limit design”, Quarterly of Applied Mathematics, 10 (2), pp. 157–165. Drucker, D. C. (1953). “Limit analysis of two and three Dimensional soil mechanics problems”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1, pp. 217226. Drucker, D. C. (1954). “A definition of stable inelastic material”, Journal of Applied Mechanics, ASCE, 26, pp. 101-106. Drucker, D. C. (1966). “Concepts of path independence and material stability for soils”, In Kravtchenko, J. and Sirieys, P.M. (eds.), Proceedings of First UTAM 212 ‫منابع و مراجع‬ Sympusium on Rheology and Soil Mechanics, Grenoble, Springer-Verlag, pp. 2346. Evans, M.D. and Zhou, S. (1995). “Liquefaction behavior of sand-gravel composites”, Journal of Geotechnical Engineering Division, ASCE, 121(3), pp. 287-298. Fragaszy, R.J., Su, W. and Siddiqi, F.H. (1990). “Effect of oversized particles on the density of clean granular soils”, Geotechnical Testing Journal, 13(2), pp. 106114. Fragaszy, R.J., Su, W., Siddiqi, F.H. and Ho, C.L. (1992). “Modeling strength of sandy gravel”, Journal of Geotechnical Engineering Division, ASCE, 118(6), pp. 920-935. Fredlund, D.G. and Morgenstern, N.R. (1977). “Stress state variables for unsaturated soils”, Journal of Geotechnical Engineering Division, ASCE, 103(GT5), pp. 447-466. Fredlund, D.G., Morgenstern, N.R. and Widger, R.A. (1978). “The shear strength of unsaturated soils”, Canadian Geotechnical Journal, 15(3), pp. 313-321. Fredlund, D.G. and Rahardjo, H. (1993). “Soil Mechanics for unsaturated soils”, John Wiley & Sons. Frossard, E. (1983). “Une équation d’écoulement simple pour les materiaux granulaires, Géotechnique, 33(1), pp. 21-29. Ghahremannejad, B. (2003). “Thermo-mechanical behaviour of two reconstituted clays”, Doctorial Thesis, University of Sydney. Ghanbari, A., Sadeghpour, A.H., Mohammadzadeh, H. and Mohamadzadeh, M. (2008). “An experimental study on the behavior of rockfill materials using large scale tests”, Electronic Journal of Geotechnical Engineering, 13(G), pp. 8-23. Ghanbari, E. Hamidi, A. and Abdolahzadeh, N. (2013). “A study of the rockfill material behavior in large-scale tests”, Civil Engineering Infrastructures Journal, 46(2), pp. 125-143. Graham, J., Noonan, M.L. and Lew, K.V. (1983), “Yield states and stress-strain relationships in a natural plastic clay”, Canadian Geotechnical Journal, 20(3), pp. 502-516. Graham, J., Tanaka, N., Crilly, T. and Alfaro, M. (2001). “Modified Cam-clay modeling of temperature effects in clays”, Canadian Geotechnical Journal,38, pp. 608-621. Haeri, S.M. and Hamidi, A. (2005). “Steady state and liquefaction characteristics of gravely sands”, Geotechnical and Geological Engineering Journal, 23(2), pp. 141-156. Haeri, S.M., Hosseini, S.M. and Toll, D.G. (2005a). “The behaviour of an artificially cemented sandy gravel”, Geotechnical and Geological Engineering Journal, 23 (5), pp. 537-560. ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 211 Haeri, S.M. and Hamidi, A., and Tabatabaee, N. (2005b). “The effect of gypsum cementation on the mechanical behavior of gravely sands”, Geotechnical Testing Journal, 28 (4), pp. 180-190. Haeri, S.M., Hamidi, A., Hosseini, S.M., Asghari, E., Toll, D.G. (2006). “Effect of cement type on the mechanical behavior of a gravely sand”, Geotechnical and Geological Engineering Journal, 24 (2), pp. 335-360. Hamidi, A. and Haeri, S.M. (2008). “Application of a Bond Model for Constitutive Modeling of Cemented Gravely Sands”, 12th Conference of the International Association for Computer Methods and Advances in Geomechanics, Goa, India. Haeri, S.M. and Hamidi, A. (2009). “Constitutive modeling of cemented gravelly sands”, Geomechanics and Geoengineering: An international Journal, 4 (2), pp. 123-139. Hamidi A. and Haeri, S.M. (2005). “Critical state concepts for a cemented gravely sand”, Electronic Journal of Geotechnical Engineering, 10(E), pp. 1-12. Hamidi, A. and Haeri, S.M. (2008). “Stiffness and deformation characteristics of a cemented gravely sand”, International Journal of Civil Engineering, 6(3), pp. 159173. Hamidi, A., Alizadeh, M. and Soleimani, S.M. (2009-a). “Effect of particle crushing on shear strength and dilation characteristics of sand-gravel mixtures”, International Journal of Civil Engineering, 7 (1), pp. 62-72. Hamidi, A., Yazdanjou, V. and Salimi, S.N. (2009-b). “Shear strength characteristics of sand-gravel mixtures”, International Journal of Geotechnical Engineering, 3(1), pp. 29-38. Hamidi, A. and Khazaei, C. (2010). “A thermo-mechanical constitutive model for saturated clays”, International Journal of Geotechnical Engineering, 10(4), pp. 445-459. Hamidi, A., Azini, E. and Masoudi, B. (2012). “Impact of gradation on the shear strength-dilation behavior of well graded sand-gravel mixtures”, Scientia Iranica, 19(3), pp. 393-402. Hamidi, A. and Soleimani, M. (2012). “Shear strength characteristics of sandgravel mixtures”, International Journal of Geotechnical Engineering, 6, pp. 415425. Hamidi, A., Tourchi, S. and Khazaei, C. (2015). “Thermo-mechanical constitutive model for saturated clays based on critical state theory”, International Journal of Geomechanics, ASCE, 15(1), pp. 1-9. Hardin, B.O. (1985). “Crushing of soils particles”, Journal of Geotechnicl Engineering, ASCE 111, pp. 1177-1192. Hazen, A. (1911). “Discussion of dams on sand foundation”, by A.C. Koenig, Transactions, American Society of Civil Engineers, 73, pp. 199. 211 ‫منابع و مراجع‬ Hueckel, T. and Baldi, M. (1990). “Thermoplastic of saturated clays: An experimental constitutive study”, Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, 116, pp. 1778-1796. Indraratna, B., Wijewardena, L.S.S. and Balasubramaniam, A.S. (1993). “Largescale triaxial testing of greywacke rockfill”, Geotechnique, 43(1), pp. 37-51. Islam, M.K., Carter, J.P. and Airey, A.W. (2004), “Comparison of the yield locus and stress-dilatancy function of some critical state constitutive models with experimental data for carbonate sand”, IE(I) Journal, 84, pp. 267-274. Khalili, N. and Khabbaz, M.H. (1998). “A unique relationship for χ for the determination of the shear strength of unsaturated soils”, Géotechnicque, 48(2), pp. 1-7. Kokusho, T., Hara, T. and Hiraoka, R. (2004). “Undrained shear strength of granular soils with different particle gradations”, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 130(6), pp. 621-629. Lade, P.V. (1977). “Elasto-plastic stress-strain theory for cohesionless soil with curved yield surfaces”, International Journal of Solids and Structures, 13(11), pp. 1019-1035. Lee, K. and Farhoodmand, I. (1967). “Compressibility and breakage of granular soil in anisotropic triaxial compression”, Canadian Geotechnical Journal, IV(1), pp. 68-86. Levy, M. (1871). “Extrait du memoire sur les equations generals des mouvements interieurs des corps solides ductiles au dela des limites ou l’élasticite pourrait les ramener a leur premier état”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 16, pp. 369-372. Liu, M.D. and Carter, J.P. (2002). “Structured Cam clay model”, Canadian Geotechnical Journal, 39(6), pp. 1313-1332. Malandraki, V. and Toll, D.G. (2001). “Triaxial tests on a weakly bonded soil with changes in stress path”, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 127(3), pp. 282-291. Manzanal, D., Merodo, J.A.F. and Pastor, M. (2011). “Generalized plasticity state parameter-based model for saturated and unsaturated soils. Part 1: saturated state”, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 35(18), pp. 1899-1917. Marsal, R.J. (1967). “Discussion of shear strength”, Proceeding of the 6th International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, 3, pp. 310-316. Mendelson, A. (1968). “Plasticity: Theory and application”, Mc Millan Publishing Co., Cleveland, USA. ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 211 Modaressi, H. and Laloui, L. (1997). “A thermo-viscoplastic constitutive model for clays”, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 21(5), pp. 313-335. Moritz, L. (1995). “Geotechnical properties of clay at elevated temperatures”, Report No. 47, Swedish Geotechnical Institute, Linkӧping, Sweden. Pastor, M., Zienkiewicz, O.C. and Leung, K.H. (1985). “Single model for transient soil loading in earthquake analysis, part II: non associative models for sands”, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 9, pp. 447-498. Pastor, M., Zienkiewicz, O.C. and Chan, A.H.C. (1990). “Generalized plasticity and the modeling of soil behavior”, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 14(3), pp. 151-190. Poorooshasb, H.B., Holubec, I. and Sherbourne, A.N. (1967), “Yielding and flow of sand in triaxial compression: Part II and III”, Canadian Geotechnical Journal, 4(4), pp. 376-397. Poulos, S.J. (1981). “The steady state of deformation”, Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, 107(GT5), pp. 553-562. Prager, W. (1945). “Strain hardening under combined stresses”, Journal of Applied Physics, 16, pp. 837-840. Prager, W. (1949). “Recent developments in mathematical theory of plasticity”, Journal of Applied Physics, 20, pp. 235-241. Prager, W. (1955). “The theory of plasticity: A survey of recent achievements”, Institution of Mechanical Engineers, 169, pp. 41-57. Rankine, W. (1853). “On the general law of transformation of energy”, Philosophical Magazine, 34, pp. 106-117. Ravanbakhsh, E. and Hamidi, A. (2013). “constitutive model for cemented sands using critical state concepts”, International Journal of Geotechnical Engineering, 7(4), pp. 364-373. Reuss, A. (1930). “Zeitschrift fur angewandte mathematic und Mechanik”, 10, pp. 266. Roscoe, K.H., Schofield, A.N. and Wroth, C.P. (1958). “On the yielding of soils”, Géotechnique, 8(1), pp. 22-52. Roscoe, K.H. and Schofield, A.N. (1963). “Mechanical behavior of an idealized ‘wet’ clay”, Proceeding of European Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Wiesbaden, Germany, pp. 47-54. Roscoe, K.H., Schofield, A.N. and Thurairajah, A. (1963). “Yielding of clays in states wetter than critical”, Géotechnique, 13(3), pp. 211-240. Roscoe, K.H. and Burland, J.B. (1968). “On the generalized stress-strain behavior of ‘wet’ clay”, In Heyman, J. and Leckie, F.A. (eds.), Engineering plasticity, Cambridge University Press, pp. 535-609. 211 ‫منابع و مراجع‬ Rowe, P.W. (1962). “The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact”, Proceedings of Royal Society, London, pp. 500527. Saint Venant, B. (1870). “Mémoire sur l’établissement des équations différentielles des mouvements intericurs opérés dans les corps solides ductiles au dela des limites oû l’élasticité pourrait les ramener leur premier état”, Comptes Rendus eb e e e e e e e e e e 70, pp. 473-480. Saxena, S.K. and Lastrico, R.M. (1978). “Static properties of lightly cemented sand”, Journal of Geotechnical Engineering Division, 104, pp. 1449-1465. Schofield, A.N. and Wroth, C.P. (1968). “Critical state soil mechanics”, McGrawHill, London. Simoni, A. and houlsby, G.T. (2006). “The direct shear strength and dilatancy of sand-gravel mixtures”, Geotechnical and Geological Engineering Journal, 24(3), pp. 523-549. Stroud, M.A. (1971). “The behaviour of sand at low stress levels in the simple shear apparatus”, Ph.D. Thesis, Cambridge University, UK. Sultan, N., Delage, P. and Cui, Y.J. (2002). “Temperature effects on the volume change behaviour of Boom clay”, Enineering Geology, 64(2-3), pp. 135-145. Tanaka, N. (1995). “Thermal elastic plastic behavior and modeling of saturated clays”, Ph.D. Thesis, Department of Civil and Geological Engineering, University of Manitoba, Winnipeg, Canada. Taylor, D.W. (1948). “Fundamentals of soil mechanics”, John Wiley, New York. Tidfors, M. and Sällfors, S. (1989). “Temperature effect on preconsolidation pressure”, Geotechnical Testing Journal, ASTM, 12(1), pp. 93-97. Toll, D.G., Malandraki, V., Ali Rahman, Z. and Gallipoli, D. (2006). “Bonded soils: problematic or predictable?”, 2nd International Conference on Problematic Soils, Malaysia. Tourchi, S. and Hamidi, A. (2015). “Thermo-mechanical constitutive modeling of unsaturated clays based on the critical state concepts”, Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering, 7(2), pp. 193-198. Tresca, H. (1864). “Sur l’ecoulement des corps solides soumis a de fortes pressions”, C e e eb e e e e e e e e Sciences, 59, pp. 754-758. Uchaipichat, A. and Khalili, N. (2009). “Experimental investigation of thermohydro-mechanical behavior of an unsaturated silt”, Géotechnique, 59(4), pp. 339353. Vallejo, L.E. (2001). “Interpretation of the limits in shear strength in binary granular mixtures”, Canadian Geotechnical Journal, 38(5), pp. 1097-1104. ‫تئوری االستيسيته و پالستيسيته در مهندسی ژئوتکنيک‬ 212 Vermeer, P.A. (1984). “A five-constant model unifying well-established concepts”, Constitutive relations for soils, In Gudehus, G., Darve, F. and Vardoulakis, I. (eds.), Rotterdam, Balkema, pp. 175-197. Von Mises, R. (1913). “Mechanik der plastischen Körper im plastisch deformablen Zustand”, Göttinger Nachrichten Math. Phys., Klasse 1, pp. 582-592. Wang, M.C., Benway, J.M. and Arayssi, A.M. (1990). “The effect of heating on engineering properties of clays”, ASTM Special publication, Philadelphia. Wood, D.M., (1990). “Soil behavior and critical state soil mechanics”, Cambridge University Press, UK. Wroth, C.P. and Houlsby, G.T. (1985). “Soil mechanics property characterization and analysis procedures”, Proceeding of 11th Conference on Soil Mechanics and Foundations Engineering, San Francisco, California, pp. 1-54. Yagiz, S. (2001). “Brief note on the influence of shape and percentage of gravel on the shear strength of sand and gravel mixture”, Buletin of Engineering Geology and Environment, 60(4), pp. 321-323. Zienkiewicz, O.C., Chan, A., Pastor, M., Schrefler, B.A. and Shiomi, T. (1999). “Computational geomechanics with special reference to earthquale”, John Wiley & Sons, Chichester, US.

Elasticity & Plasticity in Geotechnical Engineering

Products

Support

Elasticity & Plasticity in Geotechnical Engineering

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib