문제 1) 벡터 F = axxy + ayyz + azzx일 때
(a) 원점을 한 모서리로 하고 1사분면에 있는 단위입방체의 표면으로부터 밖으로 향하는
선속의 총합을 구하라.
(b)   F를 구하고, 발산정리를 증명하라.
풀이)
z
1
1
O
y
1
x
F = axxy + ayyz + azzx
To find F  ds

y  0, ds  a y dxdz
(a) Left face:
1 1
   yzdxdz  0
0 0
y  1, ds  a y dxdz
Right face:
1
1 1
  yzdxdz  2
0 0
Top face:
z  1, ds  a z dxdy
1
1 1
  zxdxdy  2
0 0
Bottom face:
z  0, ds  a z dxdy
1 1
   zxdxdy  0
0 0
Front face:
x  1, ds  a x dydz
1 1
1
  xydydz  2
0 0
Back face:
x  0, ds  a x dydz
1 1
   xydydz  0
3
Adding these results:  F  ds 
2
0 0
  F  y  z  x, dv  dxdydz
(b)
1 1 1
3
   Fdv     x  y  z dxdydz  2
0 0 0
 발산정리 성립함
1
문제 2) 벡터함수 A = azz에서
(a) 밑면은 xy평면과 일치하고 원점에서 반경 3을 가지는 반구의 표면상에서
 A  ds 를 구
하라.
(b)   A를 구하라.
(c) 발산 정리를 증명하라.
풀이) A = azz =az rcosθ
𝐴
𝐴
𝐴
sin 𝜃 cos 𝜙
= cos 𝜃 cos 𝜙
− sin 𝜙
sin 𝜃 sin 𝜙
cos 𝜃 sin 𝜙
cos 𝜙
cos 𝜃
− sin 𝜃
0
0
0 = 𝑧 cos 𝜃 a r − 𝑧 sin 𝜃 a 𝛉 = 𝑟cos 2 𝜃a r − 𝑟 cos 𝜃 sin 𝜃 a 𝛉
𝑧
(a) Over the hemispherical surface: 𝑑s = 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙ar
(𝑟cos2 𝜃ar − 𝑟 cos 𝜃 sin 𝜃 a𝛉 ) ∙ (𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙ar ) =
A ∙ 𝑑𝐬 =
𝑟3 cos2 𝜃 sin 𝜃|𝑟=3 𝑑𝜃𝑑𝜙
1
= 18𝜋
3
Over the flat base: 𝑑s = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙a𝛉
= (3 ) ∙ (2𝜋) ∙
(𝑟cos2 𝜃ar − 𝑟 cos 𝜃 sin 𝜃 a𝛉 ) ∙ (𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙a𝛉 ) = −
A ∙ 𝑑𝐬 =
𝑟2 cos 𝜃 sin2 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜙|
=0
∴
A ∙ 𝑑𝐬 = 18𝜋
(b) ∇ ∙ A =
=1
(c) ∫ ∇ ∙ A 𝑑𝑣 = 1 × (volume of hemispherical region) =
𝜋 × 3 = 18𝜋 = ∮ A ∙ 𝑑𝐬
→ Divergence theorem is proved.
2
문제 3) 벡터장이 아래와 같이 주어져 있다.
Q = rsinar + rcosa + ra
다음 적분들을 계산하라.
 Q  ds 여기서 S 은 체적의 윗면이다.
(b)  Q  ds 여기서 S 는 체적의 경사면이다.
(c)    Qdv
(a)
1
S1
2
S2
V
풀이)
 Q  ds   rsina  r cos a  ra   r sin dda 
S1
(a)
r
S1
θ
2
φ

2

r
3
  r sin dd  4  3  2   2.2767
 Q  ds   rsina  r cosa  ra   r sin ddra 

S2
6
0
0
3
r 2
r
S2
(b)

(c)   Q 
2
2
2
0
0
θ
φ
θ
4
  r cos  sin ddr    3 3  7.2552
  r sin Q   r sin Q   rQ 
1


2

2

r 2 sin  
6
r

 

r
   Qdv   2 sin   cos cot  r sin drdd



3   8  4 
3 
  d  2 sin   cos  d  r dr  2    
  


 9.532
4
8  3
3 
2 
2
V
V
2
0
※ ∇∙Q =
= 3 sin 𝜃 +
2
6
0
2
2
0
sin2
+
  

+
=


3𝑟 sin2 𝜃 + 𝑟 cos 2𝜃
1 − 2sin2 𝜃
sin2 𝜃 + 1 sin2 𝜃 + sin2 𝜃 + cos 2 𝜃
=
=
= 2 sin 𝜃 + cos 𝜃 cot 𝜃
sin 𝜃
sin 𝜃
sin 𝜃
(2 sin 𝜃 + cos 𝜃 cot 𝜃) sin 𝜃 𝑑𝜃 =
=
2
1 − cos 2𝜃
+ 1 𝑑𝜃 =
2
2sin2 𝜃 + cos 𝜃 𝑑𝜃 =
3 − cos 2𝜃
3𝜃 sin 2𝜃
𝑑𝜃 =
−
2
2
4
sin2 𝜃 + 1 𝑑𝜃
=
𝜋 √3
−
4
8
3